Jutta Arrenberg Wirtschaftsmathematik: 77 Aufgaben, die Bachelorstudierende beherrschen müssen 2. Auflage utb 4911 Eine Arbeitsgemeinschaft der Verlage Böhlau Verlag · Wien · Köln · Weimar Verlag Barbara Budrich · Opladen · Toronto facultas · Wien Wilhelm Fink · Paderborn Narr Francke Attempto Verlag / expert verlag · Tübingen Haupt Verlag · Bern Verlag Julius Klinkhardt · Bad Heilbrunn Mohr Siebeck · Tübingen Ernst Reinhardt Verlag · München Ferdinand Schöningh · Paderborn transcript Verlag · Bielefeld Eugen Ulmer Verlag · Stuttgart UVK Verlag · München Vandenhoeck & Ruprecht · Göttingen Waxmann · Münster · New York wbv Publikation · Bielefeld Wochenschau Verlag · Frankfurt am Main 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt - Kopie.indd 1 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt - Kopie.indd 1 10.05.2021 16: 25: 35 10.05.2021 16: 25: 35 Prof. Dr. Jutta Arrenberg lehrt Wirtschafts- und Finanzmathematik sowie Wirtschaftsstatistik an der TH Köln. 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 2 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 2 10.05.2021 11: 54: 26 10.05.2021 11: 54: 26 Jutta Arrenberg Wirtschaftsmathematik: 77 Aufgaben, die Bachelorstudierende beherrschen müssen 2., überarbeitete Auflage UVK Verlag · München 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 3 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 3 10.05.2021 11: 54: 26 10.05.2021 11: 54: 26 Umschlagabbildung und Piktogramme im Buch: c � yuoak, iStock Autorenfoto (S. ii): c � privat Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliographische Daten sind im Internet über http: / / dnb.dnb.de abrufbar. 2., überarbeitete Auflage 1. Auflage 2018 c � UVK Verlag 2021 - Ein Unternehmen der Narr Francke Attempto Verlag GmbH + Co. KG Dischingerweg 5 · 72070 Tübingen Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Internet: www.narr.de eMail: info@narr.de Einbandgestaltung: Atelier Reichert, Stuttgart Druck und Bindung: CPI books GmbH, Leck utb-Nr. 4911 ISBN 978-3-8252-5647-0 (Print) ISBN 978-3-8385-5647-5 (ePDF) 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 4 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 4 10.05.2021 11: 54: 26 10.05.2021 11: 54: 26 Vorwort Vorwort zur zweiten Auflage Dieses Übungsbuch bereitet gut und umfassend auf eine Prüfung vor. Die Neuauflage vermittelt auch Aufgaben zur Integralrechnung. Ich wünsche Ihnen viel Erfolg und viel Freude beim Bearbeiten der Aufgaben! Vorwort zur ersten Auflage Dieses Buch ist ein Coach für die Vorbereitung auf eine Klausur in Wirtschaftsmathematik. Das Buch begleitet den Leser (w,m) bei der Klausurvorbereitung auf dem langen Weg bis zur Lagrange-Methode. Es bietet dazu zahlreiche Aufgaben mit ausführlichen Lösungen an. Fertigkeiten wie Matrizenmultiplikation, Gaußalgorithmus, Grenzwerte von Funktionen, Ableitungen und partielle Ableitungen, Extremwert-Bestimmung sind Meilensteine zum großen Ziel, die Lagrange-Methode zu verstehen. Außerdem weist das Buch zu jedem Thema auf häufige Fehler in Klausuren hin. Und es gibt Tipps, wie sich diese häufigen Fehler vermeiden lassen. Des Weiteren gibt es Tipps zu speziellen Lösungswegen. Solche Hinweise sind aus meinen Klausur-Korrekturen sowie aus meinen Antworten zu Fragen während meiner Mathematik-Vorlesungen zusammengestellt. Das Buch richtet sich an Studierende, die schon die Vorlesungen zur Wirtschaftsmathematik besucht haben oder sich autodidaktisch Wirtschaftsmathematik angeeignet haben und jetzt kurz vor der Klausur stehen. Als Klausurvorbereitung habe ich 77 typische Aufgaben herausgesucht, die auf meiner 20-jährigen Tätigkeit als Professorin für Mathematik einschließlich quantitativer Methoden der Wirtschaftswissenschaften an der Technischen Hochschule Köln beruhen. Zu jeder Aufgabe wird der Schwierigkeitsgrad angegeben und es wird die Zeit vorgegeben, die in der Klausur zur Bearbeitung der Aufgabe zur Verfügung steht. Das Besondere an diesem Übungsbuch ist die ausführliche Darstellung der Musterlösungen insb. bei Fehlerschwerpunkten. Großen Wert habe ich auf die Struktur der Lösungswege gelegt. Bei einigen Aufgaben sind mehrere Lösungswege angegeben, damit möglichst viele Studierende die Lösung verstehen und somit die Klausur bestehen. Ich wünsche den Leserinnen und Lesern dieses Buches viel Erfolg für die Wirtschaftsmathematik-Klausur! Köln, im Februar 2021 Jutta Arrenberg v 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 5 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 5 10.05.2021 11: 54: 26 10.05.2021 11: 54: 26 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 6 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 6 10.05.2021 11: 54: 26 10.05.2021 11: 54: 26 Inhaltsverzeichnis 1 Wichtiges vorab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Wieso Mathematik? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Bearbeitungshinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Hilfsmittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.4 Vor der Klausur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.5 Während der Klausur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.6 Nach der Klausur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.7 Checkliste zur Klausur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 Matrizenrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1 Matrizen mit Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2 Matrizen mit Buchstaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3 Häufige Fehler in Klausuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3 Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.1 Ohne Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.2 Eindeutige Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.3 Mehrdeutige Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.4 Nicht negative ganzzahlige Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.5 Häufige Fehler in Klausuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4 Grenzwerte von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.1 Faktorisieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.2 Regel von de l’Hôpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.3 Häufige Fehler in Klausuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 5 Differentiation von Funktionen einer Variablen . . . . . . . . . . . . . . 27 5.1 Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 5.2 Elastizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 5.3 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 5.4 Grenzanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 5.5 Häufige Fehler in Klausuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 6 Kurvendiskussion von f (x ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 6.1 Wendestellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 6.2 Sattelstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 6.3 Extremstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 6.4 Häufige Fehler in Klausuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 vii 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 7 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 7 10.05.2021 11: 54: 26 10.05.2021 11: 54: 26 viii Inhaltsverzeichnis 7 Differentiation von Funktionen mehrerer Variablen . . . . . . . . . . . . 41 7.1 Partielle Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 7.2 Partielle Elastizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 7.3 Grenzanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 7.4 Häufige Fehler in Klausuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 8 Kurvendiskussion von f (x , y ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 8.1 Sattelstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 8.2 Extremstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 8.3 Häufige Fehler in Klausuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 9 Extremstellen unter Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 9.1 Einsetz-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 9.2 Lagrange-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 9.3 Häufige Fehler in Klausuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 10 Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 10.1 Bestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 10.2 Unbestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 10.3 Häufige Fehler in Klausuren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 11 Gemischte Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Lösungen Lösungen zu Kapitel 2: Matrizenrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Lösungen zu Kapitel 3: Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Lösungen zu Kapitel 4: Grenzwerte von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Lösungen zu Kapitel 5: Differentiation von Funktionen einer Variablen . . . . . . . 93 Lösungen zu Kapitel 6: Kurvendiskussion von f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Lösungen zu Kapitel 7: Differentiation von Funktionen mehrerer Variablen . . . . . 117 Lösungen zu Kapitel 8: Kurvendiskussion von f (x , y ) . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Lösungen zu Kapitel 9: Extremstellen unter Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . 139 Lösungen zu Kapitel 10: Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 Lösungen zu Kapitel 11: Gemischte Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Tipp- und Wissen-Verzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 8 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 8 10.05.2021 11: 54: 26 10.05.2021 11: 54: 26 Abkürzungs- und Symbolverzeichnis Abkürzungen bzw. beziehungsweise d. h. das heißt Def.bereich Definitionsbereich GE Geldeinheit ggf. gegebenenfalls glob. global LE Leistungseinheit lok. lokal Max. Maximum ME Mengeneinheit Min. Minimum NB Nebenbedingung u. a. unter anderem usw. und so weiter vgl. vergleiche z. B. zum Beispiel Symbole D f Definitionsbereich der Funktion f x produzierte und abgesetzte Mengeneinheiten p Verkaufspreis in Geldeinheiten pro Mengeneinheit p(x ) Preis-Absatz Funktion x (p) Preis-Absatz Funktion U(x ) Umsatzfunktion, Erlösfunktion K(x ) Kostenfunktion, Gesamtkosten k(x ) Stückkosten, Durchschnittskosten K v (x ) variable Kosten k v (x ) variable Stückkosten ix 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 9 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 9 10.05.2021 11: 54: 26 10.05.2021 11: 54: 26 x Abkürzungs- und Symbolverzeichnis K f (x ) Fixkosten G(x ) Gewinnfunktion R 1 Rohmaterial R 1 r 1 Anzahl der Mengeneinheiten von Rohmaterial R 1 Z 1 Zwischenprodukt Z 1 E 1 Endprodukt E 1 e 1 Anzahl der Mengeneinheiten von Endprodukt E 1 f x (x , y ) partielle Ableitung erster Ordnung in Richtung der x -Achse f y (x , y ) partielle Ableitung erster Ordnung in Richtung der y -Achse f x x (x , y ) partielle Ableitung zweiter Ordnung zweimal in Richtung der x -Achse f y y (x , y ) partielle Ableitung zweiter Ordnung zweimal in Richtung der y -Achse f x y (x , y ) (gemischte) partielle Ableitung zweiter Ordnung D(x , y ) Determinante der Hesse-Matrix D(x , y ) = f x x (x , y ) · f y y (x , y ) − [f x y (x , y )] 2 λ Lagrange-Multiplikator L(x , y , λ) Lagrangefunktion Zeichen für einen Widerspruch 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 10 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 10 10.05.2021 11: 54: 26 10.05.2021 11: 54: 26 Abkürzungs- und Symbolverzeichnis xi Emoticons Lösungen Schwierigkeitsgrad/ Bearbeitungszeit Häufig gemachte Fehler Tipp Wissenswertes/ Hintergrundwissen Checkliste Formeln Literatur 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 11 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 11 10.05.2021 11: 54: 26 10.05.2021 11: 54: 26 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 12 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 12 10.05.2021 11: 54: 26 10.05.2021 11: 54: 26 Kapitel 1: Wichtiges vorab Mathematik kennt jeder Studierende aus der Schulzeit. Zu Beginn des Studiums ist aber bei den meisten Studierenden der Schulabschluss in Mathematik mehr als ein Jahr her und somit „verjährt“. In vielen Studiengängen - nicht nur der Wirtschaftswissenschaften - steht Mathematik jedoch als Pflichtmodul im Studienverlaufsplan. Mathematik bildet die Grundlage für weiterführende Module wie z. B. Finanz- und Investitionsmanagement, Internes Rechnungswesen, Makroökonomie, Mikroökonomie und für Schwerpunktfächer wie z. B. Controlling, Externes Rechnungswesen, Investition und Finanzierung, Logistik, Personalmanagement, Unternehmensführung und Wirtschaftsprüfung. In letzter Zeit nehmen auch einige Studierende fachfremder Fakultäten freiwillig an der Wirtschaftsmathematik-Klausur teil, um in einem geplanten Masterstudium besser vorbereitet zu sein, als ihre eigene Fakultät dies ermöglicht. Mathematik ist aus dem Alltag nicht wegzudenken. Aus Unkenntnis wird unter Mathematik oft lediglich das Rechnen mit Zahlen verstanden. Dabei ist Mathematik weit mehr als das, was sich auch mit einem Taschenrechner lösen lässt. Nach Abschluss eines Studiums beim Einstieg ins Berufsleben zeigt sich, dass Mathematik-Kenntnisse unabdingbar sind. Nicht immer muss dann ein mathematisches Problem gelöst werden, sondern es werden Experten (w,m) hinzugezogen. Jedoch müssen die Aufgabenstellung erkannt und die Lösung des Problems verstanden werden. 1.1 Wieso Mathematik? Welche Kenntnisse in Mathematik benötigt werden, hängt davon ab, was jemand in seinem Leben erreichen möchte. So sind Prozentrechnung und Dreisatz durchaus wichtige Verfahren im Alltag. Diese beiden Verfahren allein reichen jedoch nicht aus, um ein Studium in einem wirtschaftswissenschaftlichen Fach erfolgreich zum Abschluss zu bringen. 1 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 13 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 13 10.05.2021 11: 54: 27 10.05.2021 11: 54: 27 2 Kapitel 1: Wichtiges vorab Im Studium werden u. a. Modelle aufgestellt und diskutiert, um daraus Erkenntnisse für wirtschaftliches, nachhaltiges Handeln abzuleiten. Es sollen logische Zusammenhänge zwischen ökonomischen Größen wie z. B. Gewinn, Umsatz, Preis, Stückkosten aufgedeckt werden. Aus diesen Zusammenhängen ergeben sich Strukturen, die mit Logik auf wiederkehrende Muster untersucht werden. Das Erlernen von Logik ist ein wichtiger Schritt im Studium. Dazu bietet die Mathematik eine Vielzahl von Anwendungen, an denen Studierende ihren Wissensstand ausprobieren können. Kaum eine Abschlussarbeit im Fachgebiet Wirtschaftswissenschaften kommt ohne Mathematik aus. Später im Berufsleben ist die Mathematik auch wichtig: Sie wird gebraucht für Analysen, Prognosen, Optimierung, Simulationen, um nur einige Beispiele zu nennen. Damit sollen Abläufe optimiert, Ergebnisse kontrolliert, Investitionen beurteilt, Projekte eingeschätzt, Finanzen dokumentiert, Nachfragen usw. berechnet werden. Was auch immer Ihr Grund ist, Mathematik zu lernen, die nachfolgenden Kapitel sollen Sie dabei unterstützen, die Klausur mit einer guten Note zu meistern. 1.2 Bearbeitungshinweise Oft berichten Studierende, sie hätten alle Klausuraufgaben lösen können und seien nur deshalb durch die Klausur gefallen, weil sie für die Bearbeitung der Aufgaben mehr Zeit als vorgesehen benötigt hätten. Um diese Fehleinschätzung zu vermeiden und damit einem Nicht-Bestehen vorzubeugen, ist in diesem Buch bei jeder Aufgabe die jeweilige maximale Bearbeitungszeit vorgegeben. Stoppen Sie deshalb pro Aufgabe Ihre Bearbeitungszeit. Es reicht nicht, die Aufgaben lösen zu können, sondern eine Aufgabe muss binnen der Zeitvorgabe gelöst werden. Der Schwierigkeitsgrad einer Aufgabe wird in drei Stufen (einfach, mittelschwer, schwer) vorgegeben. Diese Angaben sollen beim Lernen ein Feedback darstellen, wie weit oder wie nah diese Aufgabe am Lernziel liegt. Prüflinge sind in der Klausur häufig aufgeregt, sodass das Üben gerade von schweren Aufgaben sehr wichtig ist. Ist eine Teilaufgabe alphabetisch mit [a], [b], [c] usw. nummeriert, so ist die Reihenfolge der Bearbeitung der Aufgabe beliebig. Ist hingegen eine Teilaufgabe mit den Ziffern [1], [2], [3] usw. nummeriert, so muss diese Aufgabe auch genau in dieser Reihenfolge bearbeitet werden. Das Üben für eine Wirtschaftsmathematik-Klausur erfolgt in drei aufeinander aufbauenden Etappen: In der ersten Etappe wird das Rechnen mit Matrizen und Vektoren geübt, es werden Lösungen von Gleichungssystemen bestimmt und es werden Grenzwerte von Funktionen durch Faktorisieren berechnet. In der zweiten Etappe wird das Ableiten geübt. Ableitungen kommen in jeder Wirtschaftsmathematik-Klausur vor. Viele Aufgaben bauen auf Ableitungen auf. In der dritten Etappe werden Kurvendiskussionen geführt. 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 14 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 14 10.05.2021 11: 54: 27 10.05.2021 11: 54: 27 1.3 Hilfsmittel 3 Erst wenn das Wissen einer Etappe vollständig verstanden wurde, sollte das Wissen der nächsten Etappe bearbeitet werden. Im Gegensatz zu etlichen anderen Fächern lässt sich in einer Mathematik-Klausur gut erkennen, was zu berechnen ist, also ob Ableitungen bestimmt werden sollen oder Extremstellen gesucht sind oder eine Elastizität zu berechnen ist usw. Die Aufgaben zu diesen einzelnen Themen finden Sie im Kapitel 2 bis Kapitel 10. Dann gibt es in Klausuren noch vermischte Fragestellungen, die sich nicht nur einem Themengebiet zuordnen lassen. Diese Aufgaben finden Sie im Kapitel 11. Formel-Navigator Eine umfassende Formelsammlung befindet sich am Ende des Buches ab der Seite 167. Die Formeln sind nummeriert. Die Formelsammlung ist gegliedert in zwei Teile. Im ersten Teil ab der Seite 167 sind Formeln aus dem Studium angegeben. Diese Formeln stehen Ihnen auch während der Klausur zur Verfügung. Im zweiten Teil ab der Seite 170 sind Formeln aus der Schulzeit angegeben, die Sie bereits aus der Schulzeit kennen sollten. Deshalb stehen Ihnen diese Formeln während der Klausur nicht zur Verfügung. Die ausführlichen Lösungen zu den einzelnen Aufgaben beginnen ab der Seite 69. Zum besseren Verständnis dieser Musterlösungen wurde bei jedem Lösungsweg die zugehörige Nummer der Formel aus der Formelsammlung angegeben. 1.3 Hilfsmittel In den Klausuren zur Wirtschaftsmathematik erlauben viele Hochschulen als Hilfsmittel sowohl einen Taschenrechner als auch eine Formelsammlung. Einige Hochschulen erlauben jedoch nur Taschenrechner mit den vier Grundrechenarten. Die erlaubten Hilfsmittel werden bei der Veröffentlichung der Prüferinnen und Prüfer mit aufgeführt. Falls Sie noch einen Taschenrechner aus Ihrer Schulzeit besitzen und dieser Taschenrechner die e -Funktion, den Logarithmus ln bzw. log sowie beliebige Wurzeln und Potenzen bereit hält, so sind Sie gut ausgestattet. Möchten Sie sich jedoch für Ihr Studium einen neuen Taschenrechner kaufen, so tun Sie dies bitte nicht eine Woche vor der Klausur. Hintergrund ist, dass die Eingabe/ Bedienung eines Taschenrechners geübt werden muss, um damit in der Klausur bestens vertraut zu sein. Grafik-fähige Taschenrechner haben den Vorteil, dass bei Kurvendiskussionen der Verlauf der zu untersuchenden Funktion angezeigt werden kann. Es beruhigt erheblich in einer Klausur zu sehen, ob und wo eine Funktion Extremstellen besitzt. Formelsammlungen sind häufig ebenfalls ein erlaubtes Hilfsmittel. So wie es unzählige Taschenrechner-Modelle gibt, so können auch Formelsammlungen sehr unterschiedlich ausfallen. Zum einen durch die Anzahl der aufgeführten Formeln, zum anderen durch die Darstellung der Formeln. So verwirrt es jedes Mal viele Studierende, wenn bei der 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 15 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 15 10.05.2021 11: 54: 27 10.05.2021 11: 54: 27 4 Kapitel 1: Wichtiges vorab pq -Formel die Klammern unter dem Wurzel-Zeichen schon aufgelöst sind: x = − p 2 ± √ p 2 4 − q statt x = − p 2 ± √( p 2 ) 2 − q. Die Formelsammlung haben Sie idealerweise schon parat liegen bei der Klausurvorbereitung. Bitte informieren Sie sich vor dem Klausurtag, welche Hilfsmittel an Ihrer Hochschule zugelassen sind. 1.4 Vor der Klausur Ein Zeitplan, wann was gelernt wird, ist für eine gute Klausur-Vorbereitung unerlässlich. Außerdem verschafft solch ein Zeitplan Zuversicht, die Klausur auch mit einer guten Note zu bestehen. Zur Erstellung des Zeitplans schreiben Sie sich bitte alle klausurrelevanten Themen auf. Anschließend verteilen Sie die Themen gleichmäßig auf die verbleibenden Tage bis zur Klausur. Rechnen Sie zu jedem klausurrelevanten Thema so lang Beispiele, bis Sie den Eindruck haben, das Thema verstanden zu haben. Oft reichen zu jedem Thema (mit Ausnahme von Ableitungen und Integralen) etwa fünf Beispiele. Machen Sie sich dabei mit den Formeln vertraut, die Ihnen in der Klausur zur Verfügung stehen. Und achten Sie darauf, welche Formeln Sie auswendig wissen müssen, weil sie Ihnen in der Klausur nicht zur Verfügung stehen. Nichts beruhigt vor der Klausur die Nerven so gut wie das Erfolgserlebnis, Aufgaben lösen zu können. Am Abend vor der Klausur legen Sie bitte sämtliche Utensilien für die morgige Klausur griffbereit hin: erlaubte Hilfsmittel wie z. B. Taschenrechner, Schreibmaterial mit Ersatzstift (kein Bleistift), Stifte in bunten Farben zum Markieren (bitte kein Rot), ggf. eine Uhr (Vorsicht: Mobiltelefone sind in Klausuren nicht zugelassen, sie gelten als Täuschungsversuch). Falls erlaubt, so nehmen Sie sich etwas zu trinken mit, am besten Wasser oder Tee. Und falls die Klausur lang ist, nehmen Sie sich auch etwas zu essen mit. Kaugummi und Nüsse sind sehr gut, weil sie die Durchblutung des Gehirns fördern. 1.5 Während der Klausur Als erstes tragen Sie bitte Ihren Namen auf das Deckblatt der Klausur in das dafür vorgesehene Namensfeld ein. Lesen Sie eine Aufgabe vor der Bearbeitung einmal komplett durch und achten Sie dabei präzise darauf, was genau gefragt ist. Für richtige Antworten auf Fragen, die gar nicht gestellt wurden, gibt es keine Punkte. Versuchen Sie, in der Klausur möglichst viele Aufgaben zu bearbeiten. Suchen Sie niemals einen Rechenfehler, wenn Ergebnisse Ihnen nicht sinnvoll erscheinen, da Rechenfehler einen geringeren Punktabzug bedeuten als fehlende bearbeitete Aufgaben. (Häufiger 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 16 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 16 10.05.2021 11: 54: 27 10.05.2021 11: 54: 27 1.6 Nach der Klausur 5 Fehler in der Klausur ist, dass eine Zahl aus der Aufgabenstellung falsch abgeschrieben wird. Diesen Fehler finden Sie während der Klausur nicht.) Markieren Sie wichtige Informationen farblich. Als Buchstaben für Variablen wählen Sie die Anfangsbuchstaben der ökonomischen Größen. Schreiben Sie Tabellen bitte nicht ab (das kostet zu viel Zeit), sondern ergänzen Sie die Tabellen in der Aufgabenstellung. Meistens lassen die Prüfer (w,m) in Tabellen genügend Platz für weitere Spalten oder für die letzte Zeile. Fehlen Ihnen zum Weiterrechnen Zwischenergebnisse, so nehmen Sie einen Wert an, den Sie für geeignet halten. Notieren Sie das in Ihrer Klausur „Annahme: Der Wert beträgt . . . “. Rechnen Sie anschließend mit diesem angenommenen Wert weiter, um den Prüfern zu zeigen, dass Sie das Verfahren beherrschen und um ggf. Folgepunkte zu erhalten. Denken Sie an Antwortsätze, wenn die Aufgabe als Frage formuliert ist. Ein kurzer Antwortsatz lautet z. B.: „Der gesuchte Wert beträgt . . . .“ Kontrollieren Sie in der Klausur niemals Ihre Ergebnisse, indem Sie eine Probe rechnen. Es sei denn, Sie haben schon alle Aufgaben gelöst. Hintergrund ist, dass sich einige Prüflinge erst bei der Probe verrechnen und dann richtige Ergebnisse durchstreichen. Manche Prüflinge geraten in Unruhe, wenn der Sitznachbar laut aufseufzt oder permanent mit den Füßen scharrt. (So ist häufig zu beobachten, dass beim Abbruch einer Klausur Sitznachbarn ebenfalls die Klausur abbrechen.) Versuchen Sie deshalb, die Ruhe zu bewahren. Sie haben jetzt keine andere Chance, außer dass Sie alles, was Sie können, aufschreiben. Und versuchen Sie dabei, eine Atmosphäre der Ruhe um sich zu erzeugen, ignorieren Sie die Geräusche Ihrer Sitznachbarn. 1.6 Nach der Klausur Ist eine Klausur erst einmal abgegeben, so haben Sie keinen Einfluss mehr auf die Note. Eine Krankmeldung nach Abgabe der Klausur sieht die Prüfungsordnung nicht vor. Das bedeutet, sobald Sie sich während des Schreibens einer Klausur krank fühlen, sollten Sie die Klausur abbrechen und noch am Klausurtag ein ärztliches Attest einholen und dem Prüfungsamt zukommen lassen, damit dieser Versuch, die Klausur mitzuschreiben, ggf. annulliert wird. Einige Hochschulen haben vorgefertigte Formulare für ein Attest, das bei der Klausuraufsicht bereit liegt. Tauschen Sie sich nach der Klausur mit anderen Prüflingen über die Ergebnisse der Aufgaben aus. Das beruhigt und schweißt zusammen. 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 17 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 17 10.05.2021 11: 54: 27 10.05.2021 11: 54: 27 6 Kapitel 1: Wichtiges vorab 1.7 Checkliste zur Klausur In der nachfolgenden Liste sind einige Punkte zusammengefasst, die zum Bestehen einer Klausur sehr hilfreich sind: Checkliste: Daran sollten Sie unbedingt denken! Studierendenausweis mit Lichtbild mitnehmen. Uhr mitnehmen (Mobiltelefone zu Hause oder im Schließfach der Hochschule oder ausgeschaltet in Ihrer Aktentasche deponieren). Zugelassene Hilfsmittel wie z. B. Taschenrechner mitnehmen. Schreibutensilien plus Ersatzstift mitnehmen. Ggf. Trinken und Essen mitnehmen. Versuchen Sie in der Klausur ruhig zu bleiben unabhängig vom Verhalten Ihres Sitznachbarn. Lesen Sie eine Aufgabe vor der Bearbeitung einmal vollständig durch. Bearbeiten Sie so viele Aufgaben wie eben möglich. Suchen Sie keine Rechenfehler in der Klausur. Rechnen Sie niemals eine Probe in der Klausur. Erweitern Sie Tabellen im Aufgabentext, anstatt die Tabellen erneut abzuschreiben. Eine als Frage formulierte Aufgabe erfordert für die volle Punktzahl einen Antwortsatz. 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 18 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 18 10.05.2021 11: 54: 27 10.05.2021 11: 54: 27 Kapitel 2: Matrizenrechnung Studierende berechnen eine Matrizenmultiplikation gerne mit dem Taschenrechner. Prüfer hingegen verwenden gerne Variablen/ Buchstaben, sodass die gesuchte Matrizenmultiplikation sich nicht mit einem Taschenrechner lösen lässt. Das sollten Sie wissen! Rechenregeln für Matrizen: stets im Allgemeinen (A + B) + D = A + (B + D) A · B � = B · A A + B = B + A A(B + D) = AB + AD (A · B) · C = A · (B · C) A · E = A E · A = A ( A t ) t = A (A · B) t = B t · A t Wobei E die Einheitsmatrix bezeichnet. Das sollten Sie wissen! Zur Matrizenrechnung gehört auch das Rechnen mit Vektoren. Matrizen vom Typ( m ; 1) sind (Spalten-)Vektoren, Matrizen vom Typ (1; n ) sind Zeilenvektoren, wobei gilt m, n ∈ N . 7 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 19 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 19 10.05.2021 11: 54: 27 10.05.2021 11: 54: 27 8 Kapitel 2: Matrizenrechnung 2.1 Matrizen mit Zahlen Aufgabe 2.1 Schwierigkeit: mittelschwer Zeit: 6 Minuten Gegeben sind der Vektor x und die Matrix A wie folgt: x = ⎛⎝ 1 2 − 1 ⎞⎠ und A = ⎡⎣ 4 3 − 1 2 7 − 3 − 5 2 1 ⎤⎦ Berechnen Sie: [a] x t · A [b] A · x [c] x t · A · x Aufgabe 2.2 Schwierigkeit: einfach Zeit: 4 Minuten In einem zweistufigen Produktionsprozess werden in der ersten Stufe aus den Rohmaterialien R 1 , R 2 die Zwischenprodukte Z 1 , Z 2 hergestellt. In einer zweiten Stufe werden aus den Zwischenprodukten die Endprodukte E 1 , E 2 hergestellt. Kurz: R 1 , R 2 −→ Z 1 , Z 2 −→ E 1 , E 2 . Der Direktbedarf an Mengeneinheiten ist in folgender Materialflussgrafik (Gozintograph) dargestellt: Z 1 R 1 E 1 Z 2 R 2 E 2 3 2 1 1 2 5 6 4 Wie viele Mengeneinheiten der Rohstoffe R 1 , R 2 werden insgesamt benötigt, um jeweils eine Mengeneinheit der Endprodukte E 1 bzw. E 2 herzustellen? 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 20 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 20 10.05.2021 11: 54: 27 10.05.2021 11: 54: 27 2.2 Matrizen mit Buchstaben 9 Aufgabe 2.3 Schwierigkeit: mittelschwer Zeit: 6 Minuten Bei einem dreistufigen Produktionsprozess werden aus Rohstoffen R 1 und R 2 , Zwischenprodukte Z 1 und Z 2 , daraus Vorprodukte V 1 und V 2 und schließlich Endprodukte E 1 und E 2 gemäß folgender Materialflussgrafik hergestellt: Z 1 R 1 V 1 Z 2 R 2 V 2 E 1 E 2 4 1 2 1 1 3 5 2 1 3 Geben Sie die Gesamtbedarfsmatrix an. Aufgabe 2.4 Schwierigkeit: einfach Zeit: 4 Minuten Gegeben sind die beiden folgenden Matrizen: A = [ 2 4 6 1 ] und B = [ 3 1 7 5 ] Berechnen Sie: [a] 3A − B [b] A · B [c] B · A 2.2 Matrizen mit Buchstaben Das sollten Sie wissen! Reihenfolge der Rechenarten mit Matrizen: Priorität Rechenart 1 Transponieren 2 Multiplizieren 3 Addieren/ Subtrahieren 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 21 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 21 10.05.2021 11: 54: 27 10.05.2021 11: 54: 27 10 Kapitel 2: Matrizenrechnung Aufgabe 2.5 Schwierigkeit: schwer Zeit: 5 Minuten A, B, C seien (n, n) -Matrizen und E die (n, n) -Einheitsmatrix; n ∈ N . Ferner bezeichnet A t die transponierte Matrix (Transponierte) von A . Lösen Sie die Klammern auf und fassen Sie, soweit es geht, zusammen: [a] (A t · 5B) t [b] E(A − C)B − A(2B − C) [c] (A + B) t − (2A · E) t Aufgabe 2.6 Schwierigkeit: mittelschwer Zeit: 5 Minuten Gegeben sind die beiden Matrizen: A = ⎡⎣ a b 3 − 1 2 − 5 7 c − 4 ⎤⎦ und B = ⎡⎣ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎤⎦ mit a, b, c ∈ R Berechnen Sie: [a] A t [b] B − A [c] A · B Aufgabe 2.7 Schwierigkeit: einfach Zeit: 10 Minuten [a] A, B, C seien (3, 3) -Matrizen und E sei die Einheitsmatrix vom Typ (3,3). Lösen Sie die Klammern auf und fassen Sie, soweit es geht, zusammen: [1] (2A − B)C + CB 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 22 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 22 10.05.2021 11: 54: 27 10.05.2021 11: 54: 27 2.3 Häufige Fehler in Klausuren 11 [2] (2A − B)E + B [3] (2A − B)B − 2AB [b] A, B, C seien 4 × 4 -Matrizen und E die 4 × 4 -Einheitsmatrix. Reduzieren Sie die nachfolgenden Terme so, dass die Anzahl der erforderlichen Matrizenmultiplikationen minimal ist: [1] A(2B + C) − 3AC [2] 3(AB + 2CA) − 6AC [3] A(B + E) − E(A − B)B Aufgabe 2.8 Schwierigkeit: mittelschwer Zeit: 5 Minuten Gegeben seien die Matrizen A und B durch: A = 1 √ 2 · ⎛⎝ 3 2 1 2 4 0 ⎞⎠ und B = 1 √ 2 · � 1 a 1 1 � mit a ∈ R Berechnen Sie die Matrizenprodukte A · B und B 2 . 2.3 Häufige Fehler in Klausuren Fehler, die Sie vermeiden sollten! Für zwei reelle Zahlen a, b gilt das Kommutativgesetz der Multiplikation: a · b = b · a so ist z. B. das Produkt 3 · 7 dasselbe wie 7 · 3 . Hingegen gilt bis auf wenige Ausnahmen für zwei Matrizen A, B : A · B � = B · A wie z. B. in Aufgabe 2.4. Diese Besonderheit der Matrizenrechnung ist in Klausuren eine häufige Fehlerquelle. Der Fehler, der dann auftritt, ist, dass z. B. in Aufgabe 2.7 nicht unterschieden wird zwischen CA und AC . 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 23 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 23 10.05.2021 11: 54: 27 10.05.2021 11: 54: 27 12 Kapitel 2: Matrizenrechnung Tipp! Das Produkt A · B zweier Matrizen A, B kann nur dann berechnet werden, wenn die Anzahl der Spalten von A genauso groß ist wie die Anzahl der Zeilen von B . Ist A z. B. eine 2 × 3 -Matrix, so muss B genau drei Zeilen haben, B kann z. B. eine 3 × 4 -Matrix sein. Das Matrizenprodukt C = A · B ist dann eine 2 × 4 Matrix: A (2,3) · B (3,4) = C (2,4) Hingegen existiert das Matrizenprodukt B · A nicht, weil die Anzahl der Spalten von B nicht genauso groß ist wie die Anzahl der Zeilen von A . Kurz: B (3,4) · A (2,3) lässt sich nicht berechnen. Somit ist offensichtlich, dass für Matrizen das Kommutativgesetz der Multiplikation nicht gelten kann. Also kann es im Allgemeinen nicht gelten, dass A · B dasselbe ist wie B · A . 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 24 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 24 10.05.2021 11: 54: 27 10.05.2021 11: 54: 27 Kapitel 3: Gleichungssysteme Das sollten Sie wissen! Beim Lösen eines linearen Gleichungssystems können genau drei Fälle auftreten: Das Gleichungssystem hat keine Lösung. Das Gleichungssystem hat genau eine Lösung. Das Gleichungssystem hat mehr als eine Lösung. 3.1 Ohne Lösung Aufgabe 3.1 Schwierigkeit: einfach Zeit: 10 Minuten Ein Unternehmer stellt vier Produkte E 1 , E 2 , E 3 , E 4 aus den Rohstoffen R 1 , R 2 , R 3 , R 4 her. Der Bedarf an Rohstoffmengen für jeweils eine Stückzahl der Endprodukte ist aus der folgenden Tabelle ersichtlich: Endprodukte E 1 E 2 E 3 E 4 R 1 1 1 2 0 Roh- R 2 1 2 3 1 stoffe R 3 0 1 1 2 R 4 0 0 0 1 13 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 25 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 25 10.05.2021 11: 54: 27 10.05.2021 11: 54: 27 14 Kapitel 3: Gleichungssysteme Als Vorrat stehen vier Mengeneinheiten von R 1 , sieben Mengeneinheiten von R 2 , drei Mengeneinheiten von R 3 und eine Mengeneinheit von R 4 zur Verfügung. Es sind die Stückzahlen e 1 , e 2 , e 3 , e 4 der Endprodukte zu ermitteln, wenn von den Rohstoffen nichts übrig bleiben soll. Die Tochter des Unternehmers teilt ihrem Vater mit, dass das Problem unlösbar sei. Beweisen Sie dies, indem Sie das Gleichungssystem aufstellen und untersuchen. 3.2 Eindeutige Lösung Aufgabe 3.2 Schwierigkeit: mittelschwer Zeit: 15 Minuten Jede der drei Kostenstellen K 1 , K 2 , K 3 des Unternehmens A erbringt Leistungen (gemessen in LE) für die jeweils anderen Kostenstellen und für Kunden außerhalb des Unternehmens gemäß folgender Tabelle: von an K 1 K 2 K 3 Kunden K 1 0 25 15 70 K 2 20 0 10 90 K 3 40 30 0 110 Die Primärkosten betragen 300 GE in K 1 , 200 GE in K 2 und 270 GE in K 3 . [1] Stellen Sie das lineare Gleichungssystem zur Berechnung der innerbetrieblichen Verrechnungspreise auf. [2] Bestimmen Sie die innerbetrieblichen Verrechnungspreise mithilfe des Gaußalgorithmus. Aufgabe 3.3 Schwierigkeit: einfach Zeit: 20 Minuten [a] Bestimmen Sie mit dem Gaußalgorithmus die Lösungsmenge des folgenden linearen Gleichungssystems: I 2x 1 + 4x 3 = 24 II x 1 + 4x 2 + 2x 3 = 30 III 7x 1 + 6x 2 + 6x 3 = 71 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 26 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 26 10.05.2021 11: 54: 27 10.05.2021 11: 54: 27 3.2 Eindeutige Lösung 15 [b] Bestimmen Sie die Lösungsmenge des folgenden Gleichungssystems: I x 1 + x 2 + 2x 3 = 90 II 3x 1 + 2x 2 + 5x 3 = 220 III 5x 1 + 7x 2 + 9x 3 = 460 Aufgabe 3.4 Schwierigkeit: einfach Zeit: 12 Minuten Aus den Rohstoffen R 1 , R 2 , R 3 werden die drei Endprodukte E 1 , E 2 , E 3 hergestellt. Der Rohstoffgesamtbedarf (in Mengeneinheiten (ME)) ist wie folgt: Für die Erzeugung einer Mengeneinheit des Endprodukts E 1 werden 2 ME von R 1 , 4 ME von R 2 und 9 ME von R 3 benötigt. Für die Erzeugung einer Mengeneinheit des Endprodukts E 2 werden 1 ME von R 1 , 2 ME von R 2 und 3 ME von R 3 benötigt. Für die Erzeugung einer Mengeneinheit des Endprodukts E 3 werden 1 ME von R 1 , 1 ME von R 2 und 1 ME von R 3 benötigt. Es stehen insgesamt 12 ME von R 1 , 23 ME von R 2 und 40 ME von R 3 für die Produktion zur Verfügung. Berechnen Sie für diesen Vorrat an Rohmaterial das Produktionsprogramm und gehen Sie dabei wie folgt vor: [1] Stellen Sie das Gleichungssystem auf. [2] Bestimmen Sie die Lösung des Gleichungssystems mit dem Gaußalgorithmus. Aufgabe 3.5 Schwierigkeit: mittelschwer Zeit: 15 Minuten Jede der drei Kostenstellen K 1 , K 2 und K 3 eines Unternehmens erbringt Leistungen (in Leistungseinheiten) für die jeweils anderen Kostenstellen und für Kunden außerhalb des Unternehmens gemäß folgender Tabelle: von an K 1 K 2 K 3 Kunden K 1 0 10 20 70 K 2 15 0 35 50 K 3 30 45 0 25 Primärkosten fallen bei K 1 in Höhe von 35 GE, bei K 2 in Höhe von 100 GE und bei K 3 in Höhe von 255 GE an. 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 27 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 27 10.05.2021 11: 54: 27 10.05.2021 11: 54: 27 16 Kapitel 3: Gleichungssysteme [1] Stellen Sie das Gleichungssystem zur Berechnung der innerbetrieblichen Verrechnungspreise auf. [2] Bestimmen Sie die innerbetrieblichen Verrechnungspreise mit dem Gaußalgorithmus. Aufgabe 3.6 Schwierigkeit: mittelschwer Zeit: 4 Minuten In einem Produktionsprozess werden aus drei Rohmaterialien R 1 , R 2 , R 3 die Endprodukte E 1 , E 2 , E 3 hergestellt. Die Rohmaterialkosten für jeweils eine ME der Endprodukte betragen 140 GE für E 1 , 135 GE für E 2 und 91 GE für E 3 . Der Gesamtbedarf an Rohmaterial für jeweils eine ME der Endprodukte ist wie folgt: E 1 E 2 E 3 R 1 5 8 9 R 2 11 10 3 R 3 7 5 4 Stellen Sie das Gleichungssystem auf, mit dem die Kosten pro ME der Rohmaterialien berechnet werden könnten. (Keine Berechnung des Gleichungssystems! ) 3.3 Mehrdeutige Lösung Aufgabe 3.7 Schwierigkeit: mittelschwer Zeit: 10 Minuten Gegeben ist das folgende Gleichungssystem: I 2x 1 + x 2 + 3x 3 = 80 II 5x 1 + 2x 2 + 4x 3 = 130 III 4x 1 + x 2 − x 3 = 20 Bestimmen Sie die Lösungsmenge des Gleichungssystems. 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 28 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 28 10.05.2021 11: 54: 27 10.05.2021 11: 54: 27 3.4 Nicht negative ganzzahlige Lösung 17 3.4 Nicht negative ganzzahlige Lösung Aufgabe 3.8 Schwierigkeit: mittelschwer Zeit: 15 Minuten Gegeben ist das folgende lineare Gleichungssystem: I 5x 1 − 2x 2 + 300x 3 = 3 100 II 3x 1 + 4x 2 − 340x 3 = 300 III 2x 1 + 2x 2 − 160x 3 = 400 [1] Bestimmen Sie mit dem Gaußalgorithmus die Lösungsmenge des Gleichungssystems. [2] Geben Sie alle nicht negativen Lösungen an. [3] Bestimmen Sie die nicht negativen ganzzahligen Lösungen. Aufgabe 3.9 Schwierigkeit: schwer Zeit: 7 Minuten Bei der Berechnung eines Produktionsprogramms (e 1 , e 2 , e 3 ) mit Hilfe des Gaußalgorithmus ergibt sich das folgende Endtableau: Zeile e 1 e 2 e 3 � 7 2 3 − 1 21 � 8 0 5 − 2 − 75 � 9 0 0 0 0 [1] Bestimmen Sie die Lösungsmenge des Gleichungssystems. [2] Geben Sie alle nicht negativen Lösungen an. [3] Bestimmen Sie die nicht negativen ganzzahligen Lösungen. 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 29 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 29 10.05.2021 11: 54: 28 10.05.2021 11: 54: 28 18 Kapitel 3: Gleichungssysteme Aufgabe 3.10 Schwierigkeit: schwer Zeit: 7 Minuten Das Endtableau eines Gaußalgorithmus sieht wie folgt aus: Zeile x 1 x 2 x 3 � 1 7 0 71 1 400 � 2 0 7 − 11 − 70 � 3 0 0 0 0 bzw. ⎛⎝ 7 0 71 1 400 0 7 − 11 − 70 0 0 0 0 ⎞⎠ [1] Bestimmen Sie die Lösungsmenge des zugrunde liegenden Gleichungssystems. [2] Bestimmen Sie alle nicht negativen Lösungen. [3] Bestimmen Sie alle nicht negativen ganzzahligen Lösungen. Aufgabe 3.11 Schwierigkeit: mittelschwer Zeit: 15 Minuten In einem Produktionsprozess werden aus den drei Rohmaterialien R 1 , R 2 , R 3 drei Endprodukte E 1 , E 2 , E 3 hergestellt. Der Bedarf (in ME) an Rohmaterialien für jeweils eine ME der Endprodukte lautet wie folgt: E 1 E 2 E 3 R 1 10 1 10 R 2 40 5 30 R 3 50 6 40 An Vorrat im Lager liegen folgende ME des Rohmaterials: Vorrat R 1 350 R 2 1 350 R 3 1 700 Bestimmen Sie, wie viele ME der Endprodukte sich aus dem Vorrat herstellen lassen, wenn der gesamte Vorrat verbraucht werden soll. Gehen Sie dazu wie folgt vor: [1] Stellen Sie das Gleichungssystem auf. [2] Bestimmen Sie die Lösungsmenge des Gleichungssystems. [3] Bestimmen Sie alle nicht negativen Lösungen. [4] Bestimmen Sie alle nicht negativen ganzzahligen Lösungen. [5] Geben Sie eine spezielle nicht negative ganzzahlige Lösung an. 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 30 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 30 10.05.2021 11: 54: 28 10.05.2021 11: 54: 28 3.5 Häufige Fehler in Klausuren 19 Aufgabe 3.12 Schwierigkeit: mittelschwer Zeit: 15 Minuten Gegeben ist das folgende Gleichungssystem: I 2x 1 + 5x 2 + 2x 3 = 60 II x 1 + 4x 2 + 4x 3 = 60 III x 1 + 2x 2 = 20 [1] Bestimmen Sie die Lösungsmenge des Gleichungssystems. [2] Bestimmen Sie alle nicht negativen Lösungen. [3] Bestimmen Sie alle nicht negativen ganzzahligen Lösungen. Aufgabe 3.13 Schwierigkeit: mittelschwer Zeit: 15 Minuten Gegeben sei das folgende Gleichungssystem: I x 1 + 3x 2 − x 3 = 35 II 2x 1 + x 2 + 13x 3 = 65 III 2x 1 − 4x 2 + 28x 3 = 60 IV 3x 1 + 4x 2 + 12x 3 = 100 [1] Bestimmen Sie alle nicht negativen Lösungen. [2] Bestimmen Sie eine beliebige nicht negative ganzzahlige Lösung. 3.5 Häufige Fehler in Klausuren Fehler, die Sie vermeiden sollten! Neben Rechenfehlern ist ein häufiger Fehler in Klausuren, dass beim Gaußalgorithmus durch eine Rechenoperation die schon erreichte Staffelform wieder zerstört wird. Würde z. B. in Aufgabe 3.2 die Zeile 12 berechnet durch 12 = 9 − 14 · 7 , so stände zwar in der Zeile 12 unter dem Pivotelement die gewünschte Null: 12 = 9 − 14 · 7 = ( − 154, 0, 440, 264) 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 31 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 31 10.05.2021 11: 54: 28 10.05.2021 11: 54: 28 20 Kapitel 3: Gleichungssysteme Jedoch wäre die schon erreichte Staffelform wieder zerstört, weil die erste Zahl in der Zeile 12 nicht mehr eine Null ist. Der häufige Fehler in Klausuren ist dann, dass statt 12 = (-154,0,440,264) fälschlicherweise geschrieben wird 12 = (0,0,440,264). Dieser Fehler wird von Prüfern nicht mehr als Rechenfehler mit einem nur geringen Punktabzug gewertet, sondern als Verständnisfehler mit einem erheblichen Punktabzug. Fehler, die Sie vermeiden sollten! Ein weiterer Fehler in Klausuren ist, dass beim Gaußalgorithmus eine äquivalente Umformung gleich zweimal durchgeführt wird. Dieser Fehler erzeugt eine komplette Nullzeile und somit eine falsche Lösung. Würden z. B. in Aufgabe 3.2 die Zeilen 8 und 9 wie folgt berechnet: 8 = 3 · 5 − 5 · 6 = (0, 82, − 198, − 150) 9 = 5 · 6 − 3 · 5 = (0, − 82, 198, 150) So ergäbe im nächsten Tableau die Addition der beiden Zeilen 8 und 9 : 8 + 9 = (0, 0, 0, 0) eine komplette Nullzeile. Tipp! Diese beiden Fehler beim Gaußalgorithmus werden vermieden, wenn zur Berechnung eines neuen Tableaus ausschließlich die Zeile mit dem Pivotelement (Pivotzeile) verwendet wird. Z. B. in Aufgabe 3.2 wird das dritte Tableau nur mit Hilfe der Pivotzeile 4 berechnet. Fehler, die Sie vermeiden sollten! Um alle nicht negativen Lösungen eines mehrdeutigen Gleichungssystems zu finden, muss mit Ungleichungen gerechnet werden (siehe z. B. Teilaufgabe [2] aus Aufgabe 3.8). Aus Unkenntnis wird dann in Klausuren mit dem Gleichheitszeichen statt mit dem Ungleichheitszeichen gerechnet, was zu Punktabzügen führt. 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 32 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 32 10.05.2021 11: 54: 28 10.05.2021 11: 54: 28 3.5 Häufige Fehler in Klausuren 21 Tipp! Das Rechnen mit Ungleichungen erfordert weniger Aufwand, wenn in einer Ungleichung im ersten Rechenschritt der negative Summand auf beiden Seiten addiert wird, z. B.: 500 − 20x 3 ≥ 0 | +20x 3 500 ≥ 20x 3 | ÷ 20 25 ≥ x 3 x 3 ≤ 25 Fehler, die Sie vermeiden sollten! Lautet die Aufgabe, aus einer gegebenen Matrix zunächst ein Gleichungssystem aufzustellen (wie z. B. in Aufgabe 3.1 oder Aufgabe 3.6), so ist einem Prüfling häufig nicht klar, ob das Gleichungssystem aus der Matrix zeilenweise wie in Aufgabe 3.1 oder spaltenweise wie in Aufgabe 3.6 herausgelesen wird. Tipp! Ob ein Gleichungssystem zeilenweise oder spaltenweise aus einer Matrix herausgelesen wird, lässt sich daran erkennen, wo die Kapazitäten stehen. Stehen die Kapazitäten am Zeilenende wie z. B. in Aufgabe 3.1 der Vorrat: Endprodukte Vorrat E 1 E 2 E 3 E 4 R 1 1 1 2 0 4 Roh- R 2 1 2 3 1 7 stoffe R 3 0 1 1 2 3 R 4 0 0 0 1 1 so ist das Gleichungssystem zeilenweise herauszulesen: I e 1 + e 2 + 2e 3 = 4 II e 1 + 2e 2 + 3e 3 + e 4 = 7 III e 2 + e 3 + 2e 4 = 3 IV e 4 = 1 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 33 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 33 10.05.2021 11: 54: 28 10.05.2021 11: 54: 28 22 Kapitel 3: Gleichungssysteme Stehen hingegen die Kapazitäten in der letzten Zeile der angegebenen Matrix, also unter jeder Spalte wie z. B. in Aufgabe 3.6 die Rohmaterialkosten für jeweils eine Mengeneinheit der Endprodukte: E 1 E 2 E 3 R 1 5 8 9 R 2 11 10 3 R 3 7 5 4 Kosten 140 135 91 so ist das Gleichungssystem spaltenweise herauszulesen: I 5q 1 + 11q 2 + 7q 3 = 140 II 8q 1 + 10q 2 + 5q 3 = 135 III 9q 1 + 3q 2 + 4q 3 = 91 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 34 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 34 10.05.2021 11: 54: 28 10.05.2021 11: 54: 28 Kapitel 4: Grenzwerte von Funktionen Das sollten Sie wissen! Der Grenzwert lim x → x 0 f (x ) g(x ) einer rationalen Funktion kann im Fall f (x 0 ) = 0 = g(x 0 ) bestimmt werden mit: Faktorisieren und anschließendem Kürzen der Regel von de l’Hôpital 4.1 Faktorisieren Aufgabe 4.1 Schwierigkeit: mittelschwer Zeit: 5 Minuten Berechnen Sie den folgenden Grenzwert: lim x → 5 9x − 45 3x 2 − 18x + 15 23 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 35 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 35 10.05.2021 11: 54: 28 10.05.2021 11: 54: 28 24 Kapitel 4: Grenzwerte von Funktionen Aufgabe 4.2 Schwierigkeit: mittelschwer Zeit: 5 Minuten Berechnen Sie den folgenden Grenzwert: lim x →− 3 − 2x 2 − 2x + 12 3x + 9 Aufgabe 4.3 Schwierigkeit: schwer Zeit: 5 Minuten Berechnen Sie den folgenden Grenzwert: lim x → 0 x 5 − 12x 4 + x 3 + 3x 2 x 2 4.2 Regel von de l’Hôpital Aufgabe 4.4 Schwierigkeit: einfach Zeit: 5 Minuten Berechnen Sie den folgenden Grenzwert: lim x → 5 9x − 45 3x 2 − 18x + 15 Aufgabe 4.5 Schwierigkeit: einfach Zeit: 5 Minuten Berechnen Sie den folgenden Grenzwert: lim x →− 3 − 2x 2 − 2x + 12 3x + 9 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 36 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 36 10.05.2021 11: 54: 28 10.05.2021 11: 54: 28 4.3 Häufige Fehler in Klausuren 25 Aufgabe 4.6 Schwierigkeit: schwer Zeit: 5 Minuten Berechnen Sie den folgenden Grenzwert: lim x → 0 x 5 − 12x 4 + x 3 + 3x 2 x 2 4.3 Häufige Fehler in Klausuren Die meisten Studierenden bestimmen den Grenzwert einer rationalen Funktion mit der Regel von de l’Hôpital. Dabei treten außer Rechenfehlern keine gravierenden Fehler auf. Fehler, die Sie vermeiden sollten! Soll der Grenzwert einer rationalen Funktion hingegen durch Faktorisieren bestimmt werden, so treten zwei häufige Fehler auf: Beim Faktorisieren wird nicht auf das Minus-Vorzeichen geachtet. Der Faktor beim Faktorisieren lautet jedoch wie folgt: Faktor = x − Nullstelle Steht im Nenner oder Zähler der rationalen Funktion ein Polynom zweiten Grades z. B. ax 2 + bx + c (wie z. B. im Nenner in Aufgabe 4.1), so muss vor Anwendung der pq -Formel zur Bestimmung der Nullstellen zunächst durch a dividiert werden. Und beim Faktorisieren erscheint der Faktor a wieder: Faktor = a(x − Nullstelle ) Der Fehler, der dann gemacht wird, ist, dass der Faktor a vergessen wird. 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 37 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 37 10.05.2021 11: 54: 28 10.05.2021 11: 54: 28 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 38 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 38 10.05.2021 11: 54: 28 10.05.2021 11: 54: 28 Kapitel 5: Differentiation von Funktionen einer Variablen Das sollten Sie wissen! Ableitungen von Funktionen lassen sich ökonomisch interpretieren. In Klausuren gibt es folgende Aufgaben dazu: Bestimmung der ersten, zweiten und dritten Ableitung Berechnung und Interpretation einer Elastizität Bestimmung der Monotonie einer Funktion Berechnung und Interpretation von Grenzkosten, Grenzerlös und Grenzproduktivität 5.1 Ableitungen Das sollten Sie wissen! In der Formelsammlung, die während einer Klausur zur Verfügung steht, gibt es zur Bestimmung von Ableitungen die: Formeln 1 bis 6 mit den Ableitungen der sechs elementaren Funktionen Formeln 7 bis 11 mit den fünf Ableitungsregeln. 27 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 39 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 39 10.05.2021 11: 54: 28 10.05.2021 11: 54: 28 28 Kapitel 5: Differentiation von Funktionen einer Variablen Aufgabe 5.1 Schwierigkeit: schwer Zeit: 51 Minuten Bestimmen Sie die erste Ableitung der folgenden Funktionen: [a] f (x ) = ln(x 2 + 1); x ∈ R [b] f (x ) = 3 √ x 4 + 5x 2 ; x > 0 [c] h(x ) = x ln x ; x > 0 [d] f (y ) = 1 2 − y + y 2 2 − 2 ln(y ) ; y > 0 [e] G(x ) = − 20x + 320 √ x − 100 ; x ∈ (0; 100] [f] f (x ) = (x 3 + 1) · e x ; x ∈ R [g] G(r 1 ) = − 10r 1 − 500 r 1 + 200 ; r 1 > 0 [h] f (x ) = x 3 + 4 √ x ; x > 0 [i] f (x ) = 1 2x + √ x ; x > 0 [j] g(x ) = x · ln(x 2 + 1); x ∈ R [k] f (x ) = 2x · ln(x ); x > 0 [l] k(x ) = 2x + 12 + 56 x ; x ∈ (0; 9] [m] f (x ) = 3x 4 + 7x 3 − 3x 2 + ln(x ) + 10; x > 0 [n] h(x ) = e x · √ x ; x > 0 [o] f (x ) = 2x 2 + 2x − ln(x ); x > 0 [p] h(x ) = ln(x ) · (x 2 + 1); x > 0 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 40 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 40 10.05.2021 11: 54: 28 10.05.2021 11: 54: 28 5.1 Ableitungen 29 Aufgabe 5.2 Schwierigkeit: schwer Zeit: 8 Minuten [a] Gegeben sei die Funktion: f (x ) = 2x + 5 x 3 ; x > 0 Welche der drei nachfolgenden Funktionen ist die Ableitung von f (x ) ? (Begründung! ) [1] f ′ (x ) = − 4x − 15 x 4 [2] f ′ (x ) = 4x + 15 x 4 [3] f ′ (x ) = − 4x − 15 x 6 [b] Zeigen Sie, dass die Funktion: f (x ) = x 2 · e x ; x ∈ R für x � = 0 der Gleichung: f ′ (x ) = f (x ) · 2 + x x genügt. Aufgabe 5.3 Schwierigkeit: schwer Zeit: 24 Minuten Bestimmen Sie die erste und zweite Ableitung der folgenden Funktionen: [a] f (x ) = x 3 + 7x 2 − ln(x ); x > 0 [b] f (x ) = 50x − 20 x ; x ∈ (0; ∞ ] [c] g(x ) = ln(x 3 · e x ); x ∈ (0; ∞ ] [d] k(x ) = 3x 2 − 30x + 450 + 1 152 x ; x ∈ (0; 20] 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 41 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 41 10.05.2021 11: 54: 28 10.05.2021 11: 54: 28 30 Kapitel 5: Differentiation von Funktionen einer Variablen 5.2 Elastizität Das sollten Sie wissen! Veränderungen von Funktionswerten ökonomischer Funktionen können in absoluten Werten wie ME, GE etc. angegeben werden oder aber in Prozent. Die Elastizität misst die Veränderungen in Prozent. Aufgabe 5.4 Schwierigkeit: schwer Zeit: 6 Minuten Für die Absatzmenge x (in ME) und den Verkaufspreis p (in GE pro ME) lautet die Preis-Absatz Funktion eines bestimmten Unternehmens wie folgt: x (p) = 75 7 + p [a] Bestimmen Sie den Definitionsbereich der Preis-Absatz Funktion x (p) . [b] Berechnen Sie die Elastizität von x (p) im Punkt p = 8 und interpretieren Sie das Ergebnis. Aufgabe 5.5 Schwierigkeit: einfach Zeit: 5 Minuten Für die Absatzmenge x (in ME) und den Verkaufspreis p (in GE pro ME) lautet die Preis-Absatz Funktion eines bestimmten Unternehmens wie folgt: x (p) = 18 − 0,6p [a] Bestimmen Sie den Definitionsbereich der Preis-Absatz Funktion x (p) . [b] Berechnen Sie die Preiselastizität, d. h. die Elastizität der Funktion x (p) , an der Stelle p 0 = 11 und interpretieren Sie das Ergebnis. 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 42 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 42 10.05.2021 11: 54: 28 10.05.2021 11: 54: 28 5.3 Monotonie 31 Aufgabe 5.6 Schwierigkeit: schwer Zeit: 6 Minuten Für die Absatzmenge x (in ME) und den Verkaufspreis p (in GE pro ME) lautet die Preis-Absatz Funktion eines bestimmten Unternehmens wie folgt: x (p) = 100 5 + p [a] Bestimmen Sie den Definitionsbereich der Preis-Absatz Funktion x (p) . [b] Berechnen und interpretieren Sie die Elastizität an der Stelle p = 5 . 5.3 Monotonie Das sollten Sie wissen! Anhand des Vorzeichens der ersten Ableitung lässt sich die Monotonie einer Funktion erkennen. Aufgabe 5.7 Schwierigkeit: einfach Zeit: 4 Minuten Ein Unternehmen arbeitet mit folgender Preis-Absatz Funktion: p(x ) = x 2 − 28x + 196 ; x ∈ [0; 9] ( x = abgesetzte und produzierte Menge, p = Preis in e pro Mengeneinheit) Zeigen Sie, dass die Preis-Absatz Funktion monoton fallend ist. 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 43 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 43 10.05.2021 11: 54: 28 10.05.2021 11: 54: 28 32 Kapitel 5: Differentiation von Funktionen einer Variablen 5.4 Grenzanalyse Das sollten Sie wissen! Ökonomische Funktionen Kosten K(x ) = K v (x ) + K f (x ) Umsatz U(x ) = p(x ) · x Gewinn G(x ) = U(x ) − K(x ) Deckungsbeitrag U(x ) − K v (x ) Stückkosten k(x ) = K(x ) x variable Stückkosten k v (x ) = K v (x ) x Stückgewinn g(x ) = G(x ) x Wobei p(x ) die Preis-Absatz Funktion bezeichnet. Das sollten Sie wissen! Veränderungen von Funktionswerten ökonomischer Funktionen können in absoluten Werten wie ME, GE etc. angegeben werden oder aber in Prozent. Die Grenzanalyse misst die Veränderungen in absoluten Werten. Aufgabe 5.8 Schwierigkeit: einfach Zeit: 5 Minuten Die Gesamtkosten (in Tausend Euro) für die Herstellung eines Produkts beruhen in Abhängigkeit von der Menge x in Mengeneinheiten (ME) auf folgender Funktion: K(x ) = 4x 3 − 48x 2 + 320x + 1 292 ; x ≥ 0 [1] Berechnen Sie die Grenzkosten bei einer Produktionsmenge von 4 ME und interpretieren Sie das Ergebnis. [2] Ermitteln Sie die Funktion der variablen Stückkosten (durchschnittlichen variablen Kosten) und geben Sie den Definitionsbereich an. 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 44 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 44 10.05.2021 11: 54: 29 10.05.2021 11: 54: 29 5.5 Häufige Fehler in Klausuren 33 Aufgabe 5.9 Schwierigkeit: einfach Zeit: 5 Minuten Gegeben ist die Kostenfunktion: K(x ) = 2x 3 − 18x 2 + 250x + 100 ; x ≥ 0 [1] Berechnen Sie die Kosten und die Grenzkosten an der Stelle x = 6 . [2] Interpretieren Sie die Grenzkosten an der Stelle x = 6 . 5.5 Häufige Fehler in Klausuren Fehler, die Sie vermeiden sollten! Viele Fehler beim Ableiten treten nur deshalb auf, weil Basiswissen aus der Schulzeit nicht präsent ist. Ist z. B. die Ableitung von 3 √ x 4 gesucht, so wird die Funktion vor dem Ableiten erst einmal mit Hilfe der Wurzelrechnung (vgl. Formel 26) umgeschrieben in 3 √ x 4 = x 4 3 . Danach wird mit der Formel 2 wie folgt abgeleitet: ( x 4 3 ) � = 4 3 · x 4 3 − 1 = 4 3 · x 1 3 = 4 3 · 3 √ x Auf die Potenzrechnung geht z. B. die Ableitung von 1 x 2 zurück. Auch hier muss erst einmal die Funktion gemäß der Formel 17 umgeschrieben werden zu 1 x 2 = x − 2 . Jetzt kann mit der Formel 2 wie folgt abgeleitet werden: ( x − 2 ) � = − 2 · x − 2 − 1 = − 2 · x − 3 = − 2 x 3 Alternativ kann 1 x 2 auch mit der Quotientenregel Formel 10 abgeleitet werden (vgl. Aufgabe 6.1). Auch die Ableitung von 1 x ergibt sich nach der Umformung mit Formel 17 zu 1 x = x − 1 aus der Ableitungsformel 2 wie folgt: ( x − 1 ) � = − 1 · x − 1 − 1 = − x − 2 = − 1 x 2 Alternativ kann 1 x auch mit der Quotientenregel Formel 10 abgeleitet werden (vgl. Aufgabe 5.3 [a]). 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 45 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 45 10.05.2021 11: 54: 29 10.05.2021 11: 54: 29 34 Kapitel 5: Differentiation von Funktionen einer Variablen Es sind also nicht mangelnde Kenntnisse beim Ableiten, die hier zu Fehlern führen, sondern mangelnde Kenntnisse der Potenz- und Wurzelrechnung. Tipp! Um erfolgreich ableiten zu können, müssen die Rechenregeln der Potenz- und Wurzelrechnung beherrscht werden. Fehler, die Sie vermeiden sollten! Erhebliche Schwierigkeiten gibt es mit der Kettenregel Formel 11. Das Problem liegt darin, dass nicht erkannt wird, was die äußere Funktion f und die innere Funktion g einer verknüpften Abbildung f (g(x )) sind. Eine Verknüpfung f (g(x )) wird auch manchmal mit einem Produkt f (x ) · g(x ) verwechselt. Tipp! Das Üben für die Ableitung anhand der Kettenregel Formel 11 erfolgt in zwei Schritten: [1] Zunächst wird geübt, aus einer verknüpften Funktion h(x ) die äußere Funktion f (x ) und die innere Funktion g(x ) zu erkennen. Oft gibt es gleich mehrere Möglichkeiten, wie die äußere und wie die innere Funktion aussehen. Mit Hinblick auf die Kettenregel stehen jedoch als äußere Funktionen nur die sogenannten elementaren Funktionen aus den Formeln 1 bis 6 zur Verfügung. [2] Erst wenn die äußere und die innere Funktion einer verknüpften Funktion sicher erkannt werden, wird das Ableiten der äußeren und der inneren Funktion geübt., aus der sich die Ableitung anhand der Kettenregel zusammensetzt. (vgl. Aufgabe 5.1 [a]) 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 46 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 46 10.05.2021 11: 54: 29 10.05.2021 11: 54: 29 Kapitel 6: Kurvendiskussion von f (x ) Das sollten Sie wissen! Bei der Kurvendiskussion werden in einer Klausur drei Punkte abgefragt: Wendestellen Sattelstellen Extremstellen (lokale und globale) Das sollten Sie wissen! Eigenschaft Überprüfung x 0 Wendestelle f ′′ (x 0 ) = 0 f ′′′ (x 0 ) � = 0 x 0 Sattelstelle f ′′ (x 0 ) = 0 f ′′′ (x 0 ) � = 0 f ′ (x 0 ) = 0 x 0 lokale Minimalstelle f ′ (x 0 ) = 0 f ′′ (x 0 ) > 0 x 0 lokale Maximalstelle f ′ (x 0 ) = 0 f ′′ (x 0 ) < 0 x 0 globale Minimalstelle in [a; b] f ′ (x 0 ) = 0 f ′′ (x ) > 0 für alle x ∈ (a; b) x 0 globale Maximalstelle in [a; b] f ′ (x 0 ) = 0 f ′′ (x ) < 0 für alle x ∈ (a; b) 35 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 47 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 47 10.05.2021 11: 54: 29 10.05.2021 11: 54: 29 36 Kapitel 6: Kurvendiskussion von f (x ) 6.1 Wendestellen Aufgabe 6.1 Schwierigkeit: mittelschwer Zeit: 7 Minuten Zeigen Sie, dass die Funktion: f (x ) = 2x 2 + 2x − ln(x ) ; x > 0 keine Wendestellen hat. Aufgabe 6.2 Schwierigkeit: mittelschwer Zeit: 5 Minuten Gegeben ist eine Funktion: f (x ) = x 5 − 12x 4 + x 3 + 3x 2 x 2 ; x ∈ R \{ 0 } Bestimmen Sie die Wendestelle von f (x ) . 6.2 Sattelstellen Tipp! Bei der Suche nach einer Sattelstelle ist es häufig weniger Rechenaufwand, wenn zuerst die Nullstelle der zweiten Ableitung bestimmt wird, anstatt zuerst die Nullstelle der ersten Ableitung zu finden. Die Sattelstelle wird dann in den folgenden drei Schritten bestimmt: [1] Zuerst wird die Nullstelle x 0 der zweiten Ableitung bestimmt. [2] Anschließend wird überprüft, ob die dritte Ableitung an dieser Stelle ungleich null ist: f ′′′ (x 0 ) ? � = 0 [3] Zum Schluss wird x 0 in die erste Ableitung eingesetzt, um zu sehen, ob x 0 auch eine Nullstelle der ersten Ableitung ist: f ′ (x 0 ) ? = 0 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 48 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 48 10.05.2021 11: 54: 29 10.05.2021 11: 54: 29 6.3 Extremstellen 37 Aufgabe 6.3 Schwierigkeit: mittelschwer Zeit: 5 Minuten Bestimmen Sie die Sattelstelle der Funktion: f (x ) = (x − 7) 3 ; x ∈ R 6.3 Extremstellen Aufgabe 6.4 Schwierigkeit: mittelschwer Zeit: 7 Minuten Die Gesamtkosten (in Tausend Euro) für die Herstellung eines Produkts beruhen in Abhängigkeit von der Menge x (in ME) auf folgender Funktion: K(x ) = 4x 3 − 48x 2 + 320x + 1 292 ; x ≥ 0 [1] Bei welcher Produktionsmenge sind die variablen Stückkosten (durchschnittlichen variablen Kosten) minimal (Betriebsminimum)? [2] Ist die folgende Aussage zutreffend? „Im Betriebsminimum betragen sowohl die variablen Stückkosten als auch die Grenzkosten 176 Tausend Euro.“ Begründen Sie Ihre Antwort! Aufgabe 6.5 Schwierigkeit: schwer Zeit: 10 Minuten Eine Woche vor dem Klausurtermin beginnt ein Student mit den Vorbereitungen. Die Anzahl P der Punkte, die er in der Klausur - in Abhängigkeit der pro Tag an die Vorbereitung verwendeten Stunden x ∈ (0; 24) - erzielen wird, beträgt voraussichtlich: P (x ) = 2 √ 6x − x + 94 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 49 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 49 10.05.2021 11: 54: 29 10.05.2021 11: 54: 29 38 Kapitel 6: Kurvendiskussion von f (x ) Bestimmen Sie die Vorbereitungszeit (in Stunden pro Tag), die zu einer maximalen Punktzahl führt. Welche maximale Punktzahl erzielt der Student bei dieser Vorbereitungszeit? Aufgabe 6.6 Schwierigkeit: mittelschwer Zeit: 10 Minuten Gegeben sind in Abhängigkeit der produzierten und abgesetzten Menge x folgende Preis-Absatz Funktion: p(x ) = 1 200 − 10x und folgende Kostenfunktion: K(x ) = 1 3 x 3 − 40x 2 + 1 700x + 666 2 3 ; x ≥ 0 [1] Bestimmen Sie den Definitionsbereich der Preis-Absatz Funktion p(x ) . [2] Bestimmen Sie die Gewinnfunktion und ihren Definitionsbereich. [3] Bestimmen Sie den maximalen Gewinn. 6.4 Häufige Fehler in Klausuren Fehler, die Sie vermeiden sollten! Die unterschiedliche Vorgehensweise, wie von einer Funktion f (x ) Wende-, Sattel- und Extremstellen bestimmt werden, wird in Klausuren erfreulich gut beherrscht. Im Wesentlichen treten dabei jedoch zwei häufige Fehler auf: Quadratische Gleichungen können nicht sicher nach x aufgelöst werden. (Quadratische Gleichungen ergeben sich z. B., wenn die Nullstellen der ersten oder der zweiten Ableitung bestimmt werden müssen.) Der Unterschied zwischen der Bestimmung einer globalen Extremstelle im Vergleich zu einer lokalen Extremstelle wurde nicht verstanden. Tipp! Um quadratische Gleichungen zu lösen, reicht es nicht, den Taschenrechner darum zu bemühen. Viele Prüfer verlangen in Klausuren einen Lösungsweg. Es gibt gleich mehrere Verfahren zum Lösen von quadratischen Gleichungen: 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 50 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 50 10.05.2021 11: 54: 29 10.05.2021 11: 54: 29 6.4 Häufige Fehler in Klausuren 39 pq -Formel (Formel 15 siehe Seite 170) abc -Formel (Formel 16 siehe Seite 170) quadratische Ergänzung Zum Lösen einer quadratischen Gleichung ist es unerheblich, welches Verfahren Sie nutzen. Das sollten Sie wissen! Soll eine quadratische Gleichung: ax 2 + bx + c = 0 mit der pq -Formel 15 gelöst werden, so muss die Gleichung zunächst durch a dividiert werden. Mit p = b a und q = c a ergibt sich nach der Division: x 2 + px + q = 0 Tipp! Fehlt bei einer quadratischen Gleichung der lineare Term, liegt also folgende Gleichung vor: ax 2 + c = 0 So kann die Lösung ebenfalls mit der pq -Formel 15 oder der abc -Formel 16 bestimmt werden. Ein kürzerer Lösungsweg ergibt sich hingegen, wenn c subtrahiert wird und anschließend durch a dividiert wird: x 2 = − c a Nach dem Wurzel-Ziehen lautet die Lösung: x = ± √ − c a Ist der Quotient c a positiv, so hat die quadratische Gleichung keine Lösung (wie z. B. in Aufgabe 6.1). 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 51 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 51 10.05.2021 11: 54: 29 10.05.2021 11: 54: 29 40 Kapitel 6: Kurvendiskussion von f (x ) Tipp! Das Vorliegen einer globalen im Gegensatz zu einer lokalen Extremstelle einer Funktion f (x ) in einem Intervall [a; b] lässt sich daran erkennen, dass die zweite Ableitung von f (x ) keinen Vorzeichenwechsel für x ∈ (a; b) macht. D. h. die zweite Ableitung ist für alle x ∈ (a; b) entweder immer positiv oder aber immer negativ. Ob eine zweite Ableitung einen Vorzeichenwechsel macht oder nicht, kann von der Wahl des Intervalls (a; b) abhängen. Z. B. gilt für folgende Ableitung: f ′′ (x ) = − 2x + 60 f ′′ (x ) ist immer positiv für x ∈ (0, 30) ; insb. macht die zweite Ableitung keinen Vorzeichenwechsel im Intervall (0,30). f ′′ (x ) ist immer negativ für x ∈ (30, 120) , wobei statt 120 auch jede andere reelle Zahl größer als 30 als Intervallobergrenze möglich ist; insb. macht die zweite Ableitung keinen Vorzeichenwechsel im Intervall (30,120). Fazit: f ′′ (x ) macht einen Vorzeichenwechsel für x ∈ (0; 120) . (vgl. Aufgabe 6.6) 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 52 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 52 10.05.2021 11: 54: 29 10.05.2021 11: 54: 29 Kapitel 7: Differentiation von Funktionen mehrerer Variablen Das sollten Sie wissen! Partielle Ableitungen lassen sich ebenfalls ökonomisch interpretieren. In Klausuren werden dazu folgende Themen abgefragt: partielle Ableitungen erster und zweiter Ordnung partielle Elastizität Grenzanalyse 7.1 Partielle Ableitungen Das sollten Sie wissen! In der Formelsammlung, die während einer Klausur zur Verfügung steht, gibt es zur Bestimmung von partiellen Ableitungen: die Formeln 1 bis 6 mit den Ableitungen der sechs elementaren Funktionen sowie die Formeln 7 bis 11 mit den fünf Ableitungsregeln. 41 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 53 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 53 10.05.2021 11: 54: 29 10.05.2021 11: 54: 29 42 Kapitel 7: Differentiation von Funktionen mehrerer Variablen Aufgabe 7.1 Schwierigkeit: mittelschwer Zeit: 15 Minuten Berechnen Sie die ersten und zweiten partiellen Ableitungen der nachfolgenden Funktionen: [a] f (x , y ) = (7x − 5y ) 3 ; x , y ∈ R [b] f (x , y , z ) = x 2 + 2x y + 2y 2 + z 3 − 27z + 2x − 2ay + 100 ; x , y , z ∈ R [c] f (x 1 , x 2 , x 3 ) = − x 2 1 − x 2 2 − a · x 2 3 − x 1 · x 2 + x 2 · x 3 ; x 1 , x 2 , x 3 ∈ R Aufgabe 7.2 Schwierigkeit: schwer Zeit: 18 Minuten Berechnen Sie die ersten und zweiten partiellen Ableitungen der nachfolgenden Funktionen: [a] f (x , y ) = e x + ln(y 2 + 1) + 2x 2 y ; x , y ∈ R [b] f (x , y , z ) = 4x 2 − 2x y + 5y + (z − x ) 3 ; x , y , z ∈ R [c] h(x , y ) = 2e 0,4x − 2y ; x , y ∈ R Aufgabe 7.3 Schwierigkeit: schwer Zeit: 12 Minuten Bestimmen Sie die ersten partiellen Ableitungen der nachfolgenden Funktionen: [a] f (x , y ) = x y 4 + ln(x 4 + 1) + x y ; x , y > 0 [b] f (x , y , z ) = x 2 − x · y + 1 2 y 2 + x − 4y + ln(z 2 + 1) ; (x , y , z ) ∈ R 3 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 54 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 54 10.05.2021 11: 54: 29 10.05.2021 11: 54: 29 7.2 Partielle Elastizität 43 Aufgabe 7.4 Schwierigkeit: einfach Zeit: 12 Minuten Berechnen Sie die ersten und zweiten partiellen Ableitungen der nachfolgenden Funktionen: [a] f (x , y ) = 10x 2 − 5y 3 + 2x y ; x , y ∈ R [b] f (x , y ) = x 2 · y − 4y + 4x ; (x , y ) ∈ R 2 [c] f (x , y ) = 1 3 x 3 − 3 2 x 2 + 2x + 1 2 y 2 − 4y + 10 ; (x , y ) ∈ R 2 [d] f (x , y ) = 1 3 x 3 + 2x 2 − 4y + 1 3 y 3 ; x , y ∈ R 7.2 Partielle Elastizität Das sollten Sie wissen! Bezeichnen x die ME von Gut I, y die ME von Gut II und K(x , y ) die Kosten in Abhängigkeit von x und y . So gibt die partielle Elastizität: ε K,x (x , y ) (Formel 13) von Gut I an der Stelle (x , y ) an, um wie viel Prozent sich die Kosten in etwa verändern, wenn bei gleich bleibender Menge y die Menge x um ein Prozent erhöht wird. ε K,y (x , y ) (Formel 14) von Gut II an der Stelle (x , y ) gibt an, um wie viel Prozent sich die Kosten in etwa verändern, wenn bei gleich bleibender Menge x die Menge y um ein Prozent erhöht wird. Aufgabe 7.5 Schwierigkeit: mittelschwer Zeit: 7 Minuten Ein Unternehmen stellt zwei Güter A und B her. Die Kostenfunktion in Abhängigkeit der Mengen x des Guts A und y des Guts B lautet: K(x ; y ) = 2x + 4y + 10 ; x , y > 0 Für welche Mengenkombination von Gut A und Gut B sind die partiellen Elastizitäten: ε x (x ; y ) = K x (x ; y ) · x K(x ; y ) und ε y (x ; y ) = K y (x ; y ) · y K(x ; y ) gleich groß? 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 55 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 55 10.05.2021 11: 54: 29 10.05.2021 11: 54: 29 44 Kapitel 7: Differentiation von Funktionen mehrerer Variablen Aufgabe 7.6 Schwierigkeit: schwer Zeit: 15 Minuten Gegeben ist die Produktionsfunktion: r (x , y ) = √ x + y 2 ; x , y > 0 Die sogenannte Skalenelastizität ist die Summe der partiellen Elastizitäten: ε x (x , y ) + ε y (x , y ) = x r (x , y ) r x (x , y ) + y r (x , y ) r y (x , y ) Die Skalenelastizität gibt an, um wie viel Prozent sich der Funktionswert ungefähr ändert, wenn alle Variablen um ein Prozent steigen. Bestimmen Sie die Skalenelastizität der Produktionsfunktion in (x , y ) = (4, 1) . 7.3 Grenzanalyse Das sollten Sie wissen! Ökonomische Funktionen Umsatz U(x 1 , x 2 ) = p 1 · x 1 + p 2 · x 2 Gewinn G(x 1 , x 2 ) = U(x 1 , x 2 ) − K(x 1 , x 2 ) Das sollten Sie wissen! Veränderungen von Funktionswerten ökonomischer Funktionen können in absoluten Werten wie ME, GE etc. angegeben werden oder aber in Prozent. Die Grenzanalyse misst die Veränderungen in absoluten Werten. Gibt es genau zwei reellwertige Variablen, so misst die Grenzanalyse die Veränderungen des Funktionswerts, wenn der Wert einer Variablen um eine Einheit steigt, während der Wert der anderen Variablen unverändert bleibt. 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 56 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 56 10.05.2021 11: 54: 30 10.05.2021 11: 54: 30 7.4 Häufige Fehler in Klausuren 45 Aufgabe 7.7 Schwierigkeit: einfach Zeit: 5 Minuten Es bezeichnen x = ME von Gut I und y = ME von Gut II. Berechnen und interpretieren Sie für die Mengenkombination x = 5 und y = 6 die Grenzkosten von Gut I und die Grenzkosten von Gut II der folgenden Kostenfunktion: K(x , y ) = 3x 2 + 2y 2 + x y + 100 ; x , y ≥ 0 7.4 Häufige Fehler in Klausuren Das sollten Sie wissen! Wenn f (x , y ) partiell in Richtung der x -Achse abgeleitet wird, ist y bekanntlich eine Konstante. Diese Konstante kann in zwei unterschiedlichen Weisen in f (x , y ) auftauchen: als additive Konstante als Faktor Fehler, die Sie vermeiden sollten! Bei partiellen Ableitungen tritt häufig der Fehler auf, dass Variablen, die als Faktoren beim Ableiten erhalten bleiben, vergessen werden. Tipp! Die Ableitung der additiven Konstante ist null. So beträgt z. B. in Aufgabe 7.4 die partielle Ableitung von − 5y 3 in Richtung der x -Achse null. Der Faktor hingegen bleibt beim Ableiten erhalten. So beträgt z. B. in Aufgabe 7.2 die partielle Ableitung von 2x 2 y in Richtung der x -Achse 4x y . 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 57 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 57 10.05.2021 11: 54: 30 10.05.2021 11: 54: 30 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 58 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 58 10.05.2021 11: 54: 30 10.05.2021 11: 54: 30 Kapitel 8: Kurvendiskussion von f (x , y ) Das sollten Sie wissen! Sattel- und Extremstellen von f (x , y ) werden wie folgt bestimmt: Eigenschaft Überprüfung Sattelstelle f x (x 0 ; y 0 ) = 0 f y (x 0 ; y 0 ) = 0 f x x (x 0 ; y 0 ) · f y y (x 0 ; y 0 ) − (f x y (x 0 ; y 0 )) 2 < 0 (x 0 ; y 0 ) lokale Minimalstelle f x (x 0 ; y 0 ) = 0 f y (x 0 ; y 0 ) = 0 f x x (x 0 ; y 0 ) · f y y (x 0 ; y 0 ) − (f x y (x 0 ; y 0 )) 2 > 0 f x x (x 0 ; y 0 ) > 0 (x 0 ; y 0 ) lokale Maximalstelle f x (x 0 ; y 0 ) = 0 f y (x 0 ; y 0 ) = 0 f x x (x 0 ; y 0 ) · f y y (x 0 ; y 0 ) − (f x y (x 0 ; y 0 )) 2 > 0 f x x (x 0 ; y 0 ) < 0 (x 0 ; y 0 ) globale Minimalstelle in D f f x (x 0 ; y 0 ) = 0 f y (x 0 ; y 0 ) = 0 f x x (x ; y ) · f y y (x ; y ) − (f x y (x ; y )) 2 > 0 für alle x , y ∈ D f f x x (x ; y ) > 0 für alle x , y ∈ D f (x 0 ; y 0 ) globale Maximalstelle in D f f x (x 0 ; y 0 ) = 0 f y (x 0 ; y 0 ) = 0 f x x (x ; y ) · f y y (x ; y ) − (f x y (x ; y )) 2 > 0 für alle x , y ∈ D f f x x (x ; y ) < 0 für alle x , y ∈ D f 47 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 59 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 59 10.05.2021 11: 54: 30 10.05.2021 11: 54: 30 48 Kapitel 8: Kurvendiskussion von f (x , y ) 8.1 Sattelstellen Das sollten Sie wissen! Um Sattelstellen der Funktion f (x , y ) zu finden, werden erst einmal wie bei der Suche nach Extremstellen die stationären Punkte (x 0 ; y 0 ) bestimmt. Ist dann D(x 0 ; y 0 ) < 0 , so liegt in (x 0 ; y 0 ) eine Sattelstelle vor. Aufgabe 8.1 Schwierigkeit: einfach Zeit: 5 Minuten Bestimmen Sie die Sattelstellen von: f (x , y ) = 4x y + 6x + 2y ; (x , y ) ∈ R 2 Aufgabe 8.2 Schwierigkeit: mittelschwer Zeit: 7 Minuten Untersuchen Sie die Funktion: f (x , y ) = x 2 − y 2 + 2x y − 6y − 3 ; x , y ∈ R auf Sattelstellen. 8.2 Extremstellen Das sollten Sie wissen! Lokale Extremstellen werden auch als streng relative Extremstellen bezeichnet. Und globale Extremstellen werden auch als absolute Extremstellen bezeichnet. 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 60 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 60 10.05.2021 11: 54: 30 10.05.2021 11: 54: 30 8.2 Extremstellen 49 Aufgabe 8.3 Schwierigkeit: schwer Zeit: 12 Minuten Gegeben sei die Funktion: f (x , y ) = x 3 + 2y 2 − x · y + 100 ; x , y ∈ R Bestimmen Sie die lokalen (streng relativen) Extremstellen dieser Funktion. Aufgabe 8.4 Schwierigkeit: mittelschwer Zeit: 12 Minuten Ein Unternehmen fertigt zwei Produkte P 1 und P 2 . Die produzierte und abgesetzte Menge des Produkts P 1 wird mit x bezeichnet und die von P 2 mit y . Der Gewinn ist gegeben durch: G(x , y ) = − x 2 + 14x − 1 2 y 2 + 16y + x y − 20; x , y ∈ [0; 200] Berechnen Sie die Gewinn-maximale Mengenkombination von P 1 und P 2 . Tipp! Ist in einer Aufgabe der stationäre Punkt (x 0 , y 0 ) vorgegeben, so vereinfacht sich die notwendige Bedingung zur Berechnung von Extremstellen erheblich. Die Werte von x 0 und y 0 dürfen in die ersten partiellen Ableitungen eingesetzt werden und es muss lediglich herauskommen, dass beide ersten partiellen Ableitungen null betragen. (vgl. Aufgabe 8.5 und Aufgabe 8.6) Aufgabe 8.5 Schwierigkeit: schwer Zeit: 10 Minuten Es sei a ∈ (0; 2) . Zeigen Sie, dass die Funktion: f (x , y ) = x 2 + ax y + y 2 ; (x , y ) ∈ R 2 an der Stelle (x , y ) = (0, 0) das globale (absolute) Minimum annimmt. 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 61 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 61 10.05.2021 11: 54: 30 10.05.2021 11: 54: 30 50 Kapitel 8: Kurvendiskussion von f (x , y ) Aufgabe 8.6 Schwierigkeit: schwer Zeit: 10 Minuten Zeigen Sie, dass die Funktion: f (x , y ) = e x 2 +y 2 ; (x , y ) ∈ R 2 an der Stelle (x , y ) = (0, 0) ein lokales (streng relatives) Minimum hat. Aufgabe 8.7 Schwierigkeit: mittelschwer Zeit: 10 Minuten Bestimmen Sie alle Stellen, an denen die Funktion: f (x , y , z ) = x 2 − x · y + 1 2 y 2 + x − 4y + ln(z 2 + 1) ; (x , y , z ) ∈ R 3 einen lokalen (streng relativen) Extremwert annehmen könnte. Aufgabe 8.8 Schwierigkeit: einfach Zeit: 12 Minuten Bestimmen Sie alle Stellen, an denen die Funktion: f (x , y ) = 1 3 x 3 − 3 2 x 2 + 2x + 1 2 y 2 − 4y + 10 ; (x , y ) ∈ R 2 einen lokalen (streng relativen) Extremwert besitzt. Geben Sie jeweils an, ob es sich dabei um ein Maximum oder Minium handelt. Aufgabe 8.9 Schwierigkeit: mittelschwer Zeit: 10 Minuten Zeigen Sie, dass die Funktion: f (x , y ) = y · e x + 4x + 4y + 8 ; (x , y ) ∈ R 2 keine lokalen (streng relativen) Extremstellen besitzt. 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 62 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 62 10.05.2021 11: 54: 30 10.05.2021 11: 54: 30 8.3 Häufige Fehler in Klausuren 51 8.3 Häufige Fehler in Klausuren Fehler, die Sie vermeiden sollten! Erfahrungsgemäß haben Studierende, die sich zur Klausur angemeldet haben, die Vorgehensweisen zur Bestimmung von Sattel- und Extremstellen von f (x , y ) gut gelernt. Die beiden Fehler, die jetzt dennoch auftauchen, entstehen: zum einen beim Lösen des Gleichungssystems, um die stationären Punkte zu berechnen, und zum anderen bei der Unterscheidung zwischen lokalen und globalen Extremstellen. Tipp! Beim Lösen eines Gleichungssystems, um die stationären Punkte zu bestimmen, gibt es leider keinen Lösungsweg, der immer sicher zur richtigen Lösung führt. Es gibt jedoch im Wesentlichen drei Lösungswege, die immer wieder auftauchen: [1] Jede Gleichung des zu lösenden Gleichungssystems enthält jeweils nur eine Variable wie z. B. in Aufgabe 8.1. Dann wird jede Gleichung nach der in der Gleichung vorkommenden Variablen aufgelöst, um die stationären Punkte zu erhalten. [2] Die Addition zweier Gleichungen des zu lösenden Gleichungssystems führt zu einer neuen Gleichung mit nur einer Variablen wie z. B. in Aufgabe 8.2. [3] Beim Lösen des Gleichungssystems treten verschiedene Fälle auf, sodass eine Fallunterscheidung gemacht werden muss wie z. B. in Aufgabe 8.3. Tipp! Der Unterschied zwischen dem Vorliegen einer lokalen und einer globalen Extremstelle, lässt sich daran erkennen, dass bei einer globalen Extremstelle weder D(x , y ) noch f x x (x , y ) einen Vorzeichenwechsel machen dürfen (wie z. B. in Aufgabe 8.4). Oder anders ausgedrückt. Sobald eine der beiden Terme D(x , y ) und f x x (x , y ) einen Vorzeichenwechsel machen kann, handelt es sich um eine lokale Extremstelle (wie z. B. in Aufgabe 8.3). 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 63 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 63 10.05.2021 11: 54: 30 10.05.2021 11: 54: 30 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 64 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 64 10.05.2021 11: 54: 30 10.05.2021 11: 54: 30 Kapitel 9: Extremstellen unter Nebenbedingungen Das sollten Sie wissen! Zum Auffinden von Extremstellen von f (x , y ) unter einer Nebenbedingung gibt es zwei Verfahren: Einsetz-Methode Lagrange-Methode 9.1 Einsetz-Methode Aufgabe 9.1 Schwierigkeit: mittelschwer Zeit: 15 Minuten Bestimmen Sie die globale Minimalstelle der Funktion: f (x , y ) = x 2 + 2y 2 + x y + x + y − 17 ; (x , y ) ∈ R 2 unter der Nebenbedingung x + y = 8 . 53 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 65 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 65 10.05.2021 11: 54: 30 10.05.2021 11: 54: 30 54 Kapitel 9: Extremstellen unter Nebenbedingungen Aufgabe 9.2 Schwierigkeit: schwer Zeit: 15 Minuten Es sei a ≥ 1 . Bestimmen Sie die lokalen Extremstellen der Funktion: f (x , y ) = x 2 + y 2 − x · y − 3 · a · x ; x , y ∈ R unter der Nebenbedingung e x+y = 1 . Aufgabe 9.3 Schwierigkeit: schwer Zeit: 15 Minuten Bestimmen Sie das globale (absolute) Minimum der Funktion: f (x , y ) = x 2 + x y + y 2 + 4x + 2y − 10 ; (x , y ) ∈ R 2 unter der Nebenbedingung x + y = a . Dabei sei a ∈ R eine beliebige reelle Zahl. 9.2 Lagrange-Methode Das sollten Sie wissen! Für die Lagrangefunktion L(x , y , λ) = f (x , y ) + λ · (NB in Nullform) gilt: Eigenschaft Überprüfung (x 0 ; y 0 ) lokale Minimalstelle unter NB L x (x 0 ; y 0 ; λ 0 ) = 0 L y (x 0 ; y 0 ; λ 0 ) = 0 L λ (x 0 ; y 0 ; λ 0 ) = 0 L x x (x 0 ; y 0 ; λ 0 ) · L y y (x 0 ; y 0 ; λ 0 ) − (L x y (x 0 ; y 0 ; λ 0 )) 2 > 0 L x x (x 0 ; y 0 ; λ 0 ) > 0 (x 0 ; y 0 ) lokale Maximalstelle unter NB L x (x 0 ; y 0 ; λ 0 ) = 0 L y (x 0 ; y 0 ; λ 0 ) = 0 L λ (x 0 ; y 0 ; λ 0 ) = 0 L x x (x 0 ; y 0 ; λ 0 ) · L y y (x 0 ; y 0 ; λ 0 ) − (L x y (x 0 ; y 0 ; λ 0 )) 2 > 0 L x x (x 0 ; y 0 ; λ 0 ) < 0 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 66 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 66 10.05.2021 11: 54: 30 10.05.2021 11: 54: 30 9.2 Lagrange-Methode 55 Eigenschaft Überprüfung (x 0 ; y 0 ) globale Minimalstelle unter NB L x (x 0 ; y 0 ; λ 0 ) = 0 L y (x 0 ; y 0 ; λ 0 ) = 0 L λ (x 0 ; y 0 ; λ 0 ) = 0 L x x (x ; y ; λ 0 ) · L y y (x ; y ; λ 0 ) − (L x y (x ; y ; λ 0 )) 2 > 0 für alle x , y ∈ D f L x x (x ; y ; λ 0 ) > 0 für alle x , y ∈ D f (x 0 ; y 0 ) globale Maximalstelle unter NB L x (x 0 ; y 0 ; λ 0 ) = 0 L y (x 0 ; y 0 ; λ 0 ) = 0 L λ (x 0 ; y 0 ; λ 0 ) = 0 L x x (x ; y ; λ 0 ) · L y y (x ; y ; λ 0 ) − (L x y (x ; y ; λ 0 )) 2 > 0 für alle x , y ∈ D f L x x (x ; y ; λ 0 ) < 0 für alle x , y ∈ D f Aufgabe 9.4 Schwierigkeit: mittelschwer Zeit: 15 Minuten Bestimmen Sie mithilfe der Lagrange-Methode die globale Minimalstelle der Funktion: f (x , y ) = 4x 2 + 5y 2 − 2x y + 200 ; x , y ∈ R unter der Nebenbedingung x + 2y = 50 . Aufgabe 9.5 Schwierigkeit: mittelschwer Zeit: 15 Minuten Bestimmen Sie die globale Minimalstelle der Funktion: f (x , y ) = x 2 + 2y 2 + x y + x + y − 17 ; (x , y ) ∈ R 2 unter der Nebenbedingung x + y = 8 . 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 67 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 67 10.05.2021 11: 54: 31 10.05.2021 11: 54: 31 56 Kapitel 9: Extremstellen unter Nebenbedingungen Aufgabe 9.6 Schwierigkeit: schwer Zeit: 15 Minuten Es sei a ≥ 1 . Bestimmen Sie die lokalen Extremstellen der Funktion: f (x , y ) = x 2 + y 2 − x · y − 3 · a · x ; x , y ∈ R unter der Nebenbedingung e x+y = 1 . Aufgabe 9.7 Schwierigkeit: schwer Zeit: 15 Minuten Bestimmen Sie das globale (absolute) Minimum der Funktion: f (x , y ) = x 2 + x y + y 2 + 4x + 2y − 10 ; (x , y ) ∈ R 2 unter der Nebenbedingung x + y = a . Dabei sei a ∈ R eine beliebige reelle Zahl. Aufgabe 9.8 Schwierigkeit: schwer Zeit: 15 Minuten Ein Unternehmen stellt zwei Güter A und B her. Die Kostenfunktion in Abhängigkeit der Mengen x des Guts A und y des Guts B lautet: K(x ; y ) = 2x + 4y + 10 ; x , y > 0 Die Verkaufspreise der Güter betragen 6 GE für eine ME von Gut A und 5 GE für eine ME von Gut B . Wie hoch ist der maximale Gewinn, wenn die Produktionsrestriktion 2x 2 + y 2 = 36 eingehalten werden muss? 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 68 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 68 10.05.2021 11: 54: 31 10.05.2021 11: 54: 31 9.3 Häufige Fehler in Klausuren 57 Aufgabe 9.9 Schwierigkeit: schwer Zeit: 15 Minuten Ein Konsument konsumiert nur zwei Güter und zwar x Einheiten des ersten Gutes und y Einheiten des zweiten Gutes. Die Nutzenfunktion des Konsumenten ist: u(x , y ) = 3 ln(x ) + 15 ln(y ) ; x , y > 0 Beide Güter kosten eine GE je Mengeneinheit und der Konsument will genau 120 GE ausgeben. Bestimmen Sie mit Hilfe der Lagrange-Methode ein Nutzenmaximum unter Berücksichtigung der Budgetrestriktion. 9.3 Häufige Fehler in Klausuren Fehler, die Sie vermeiden sollten! Die Lagrange-Methode gilt unter Studierenden als die schwierigste Aufgabenstellung der Aufgabensammlung dieses Buches. Manchmal wird deshalb die Lagrange- Methode bei der Vorbereitung auf die Klausur nicht geübt in der Hoffnung, mit der Einsetz-Methode die Klausur zu bestehen. Tipp! Ein Vergleich der drei Vorgehensweisen zur Bestimmung von Extremstellen von: [1] f (x ); x ∈ R [2] f (x , y ); (x , y ) ∈ R 2 [3] f (x , y ); (x , y ) ∈ R 2 unter einer Nebenbedingung zeigt die Analogien der drei Vorgehensweisen. In der Verallgemeinerung von [1] auf [2] kommt lediglich die Hessische Determinante D(x , y ) hinzu, die immer positiv sein muss. In der Verallgemeinerung von [2] auf [3] kommt der Lagrange-Multiplikator λ hinzu, nach dem einmal partiell abgeleitet werden muss. Ansonsten sind die drei Vorgehensweisen von [1], [2], [3] völlig analog. 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 69 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 69 10.05.2021 11: 54: 31 10.05.2021 11: 54: 31 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 70 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 70 10.05.2021 11: 54: 31 10.05.2021 11: 54: 31 Kapitel 10: Integrale Tipp! Ein Integral kann entweder eine reelle Zahl sein oder eine Funktion: Integral = ? einfaches Integral mehrfaches Integral bestimmtes unbestimmtes bestimmtes unbestimmtes Ergebnis ist eine reelle Zahl Ergebnis ist eine Funktion Ergebnis ist eine reelle Zahl Ergebnis ist eine Funktion Das sollten Sie wissen! In der Formelsammlung, die während einer Klausur zur Verfügung steht, gibt es zur Bestimmung von Integralen die: Formeln 15 bis 20 mit den Integralen der sechs elementaren Funktionen Formeln 21 bis 24 mit den vier Integrationsregeln. 59 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 71 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 71 10.05.2021 11: 54: 31 10.05.2021 11: 54: 31 60 Kapitel 10: Integrale 10.1 Bestimmtes Integral Aufgabe 10.1 Schwierigkeit: mittelschwer Zeit: 15 Minuten Berechnen Sie das folgende Mehrfachintegral: ∫ 8 3 ∫ 4 1 ( x 2 − y 3 ) d x d y = ? 10.2 Unbestimmtes Integral Aufgabe 10.2 Schwierigkeit: schwer Zeit: 45 Minuten Berechnen Sie folgende Integrale: [a] ∫ e x (3e x + 1) 2 d x = ? [b] ∫ √ x 1 + √ x d x = ? 10.3 Häufige Fehler in Klausuren Das sollten Sie wissen! Ist die zu integrierende Funktion keine der elementaren Funktionen aus den Formeln 15 bis 20, so muss eine oder auch gleich mehrere der vier Integrationsregeln 21 bis 24 angewandt werden. Fehler, die Sie vermeiden sollten! Neben Rechenfehlern der vier Grundrechenarten sind insb. Vorzeichenfehler und Fehler beim Rechnen mit Potenzen die häufigsten Gründe für Punktabzüge. 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 72 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 72 10.05.2021 11: 54: 31 10.05.2021 11: 54: 31 Kapitel 11: Gemischte Aufgaben Aufgabe 11.1 Schwierigkeit: mittelschwer Zeit: 10 Minuten Ergänzen Sie bitte die fehlenden Werte in der nachfolgenden Tabelle. Firma Preis Output Umsatz Gesamtkosten Fixkosten Variable Kosten Stückkosten variable Stück kosten 1 950 150 500 50 2 9 000 6 300 2,1 1,6 3 10 700 10 500 12 4 5 500 5 500 4 000 0,75 5 4 400 400 800 61 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 73 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 73 10.05.2021 11: 54: 31 10.05.2021 11: 54: 31 62 Kapitel 11: Gemischte Aufgaben Aufgabe 11.2 Schwierigkeit: schwer Zeit: 15 Minuten Zeigen Sie, dass die Funktion: f (x , y ) = x 2 · y − 4y + 4x ; (x , y ) ∈ R 2 keine lokalen (streng relativen) Extremstellen besitzt. Aufgabe 11.3 Schwierigkeit: mittelschwer Zeit: 15 Minuten Gegeben sind die Preis-Absatz Funktion x (p) und die Kostenfunktion K(x ) eines Unternehmens durch: x (p) = 15 − 0,2p mit p ∈ [0; 75] K(x ) = 4x 2 − 6x + 126 mit x ≥ 0 [1] Berechnen Sie die Gewinnfunktion und bestimmen Sie ihren ökonomisch sinnvollen Definitionsbereich. [2] Ermitteln Sie den Gewinn-maximalen Preis und die Gewinn-maximale Menge. [3] Nehmen Sie an, die Grafen der Grenzkosten- und der Grenzerlösfunktion für ein Unternehmen liegen Ihnen vor und diese schneiden sich in einem Punkt x 0 . Welche Aussage können Sie dann über die Gewinnfunktion an dieser Schnittstelle x 0 treffen? Aufgabe 11.4 Schwierigkeit: einfach Zeit: 15 Minuten Gegeben sei die Gesamtkostenfunktion K(x ) eines Monopolisten mit: K(x ) = 3x 2 − 4x + 56 ; x ∈ [0; 12] Die produzierte Menge x (in ME) kann am Markt in Abhängigkeit des Preises p (in GE pro ME) gemäß der folgenden Preis-Absatz Funktion abgesetzt werden: x (p) = 12 − 0,2p ; p ∈ [0; 60] 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 74 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 74 10.05.2021 11: 54: 31 10.05.2021 11: 54: 31 Kapitel 11: Gemischte Aufgaben 63 [a] Bestimmen Sie die Elastizität von x (p) in p 0 = 6 und interpretieren Sie das Ergebnis. [b] Berechnen Sie die Gewinnfunktion, geben Sie deren Definitionsbereich an und bestimmen Sie die Gewinnzone. [c] Berechnen Sie den maximalen Gewinn und den dazugehörigen Gewinn-maximalen Preis. Aufgabe 11.5 Schwierigkeit: mittelschwer Zeit: 15 Minuten Gegeben sei die folgende Funktion: f (x , y , z ) = x 2 + 2x y + 2y 2 + z 3 − 27z + 2x − 2ay + 100 ; x , y , z ∈ R Dabei sei a eine beliebige reelle Zahl. [a] Bestimmen Sie alle ersten und zweiten partiellen Ableitungen. [b] Bestimmen Sie alle (x , y , z ) -Kombinationen (stationäre Punkte), an denen ein lokaler (streng relativer) Extremwert liegen kann. Aufgabe 11.6 Schwierigkeit: schwer Zeit: 15 Minuten Bei einem zweistufigen Produktionsprozess werden aus den Rohmaterialien R 1 , R 2 , R 3 zunächst die Zwischenprodukte Z 1 , Z 2 hergestellt, anschließend werden aus den Zwischenprodukten die Endprodukte E 1 , E 2 , E 3 gefertigt. Der Direktbedarf (in ME) an Rohmaterial für jeweils eine ME der Zwischenprodukte beträgt: Z 1 Z 2 R 1 3 2 R 2 4 5 R 3 1 6 Der Direktbedarf (in ME) an Zwischenprodukten für jeweils eine ME der Endprodukte ist wie folgt gegeben: E 1 E 2 E 3 Z 1 2 1 7 Z 2 3 4 5 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 75 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 75 10.05.2021 11: 54: 31 10.05.2021 11: 54: 31 64 Kapitel 11: Gemischte Aufgaben Im Lager befindet sich ein Vorrat von 1 390 ME von R 1 , 2 530 ME von R 2 und 2 010 ME von R 3 . Um zu ermitteln, wie viele ME der Endprodukte sich aus dem Vorrat herstellen lassen, gehen Sie bitte wie folgt vor: [1] Berechnen Sie die Gesamtbedarfsmatrix. [2] Stellen Sie das zugehörige Gleichungssystem auf und bestimmen Sie die Lösungsmenge des Gleichungssystems. [3] Bestimmen Sie alle nicht negativen ganzzahligen Lösungen. Aufgabe 11.7 Schwierigkeit: einfach Zeit: 15 Minuten Ein Unternehmen fertigt zwei Produkte P 1 und P 2 . Die produzierten und abgesetzten Mengeneinheiten von P 1 betragen x , die produzierten und abgesetzten Mengeneinheiten von P 2 betragen y . Der Verkaufspreis von einer Mengeneinheit (ME) von Produkt P 1 beträgt 18 Geldeinheiten (GE), der Verkaufspreis von einer ME von P 2 beträgt 9 GE. Die Kosten betragen: K(x , y ) = 3x y + 4,5x 2 + y 2 + 10 ; x , y ∈ [0; 5] [a] Geben Sie die Umsatzfunktion (Erlösfunktion) an. [b] Bestimmen Sie die Gewinn-maximale Mengenkombination der beiden Produkte und den maximalen Gewinn. [c] Berechnen Sie die Grenzkosten von Produkt P 1 und die Grenzkosten von Produkt P 2 . Aufgabe 11.8 Schwierigkeit: mittelschwer Zeit: 15 Minuten Ein Unternehmen produziert zwei Güter A und B . Die Produktions- und Absatzmenge von Gut A sei x 1 , die Produktions- und Absatzmenge von Gut B sei x 2 . Die Umsatzfunktion (Erlösfunktion) des Unternehmens ist gegeben durch: U(x 1 , x 2 ) = − 2x 2 1 − x 1 x 2 − x 2 2 + 200x 1 + 160x 2 ; x 1 ∈ [0; 40] und x 2 ∈ [0; 40] Die Kostenfunktion lautet: K(x 1 , x 2 ) = 2x 2 1 + 3x 1 x 2 + 3x 2 2 + 100 ; x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 76 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 76 10.05.2021 11: 54: 31 10.05.2021 11: 54: 31 Kapitel 11: Gemischte Aufgaben 65 [a] Ermitteln Sie den maximalen Gewinn und die dazugehörigen Produktionsmengen. Welcher Umsatz (Erlös) wird dabei erwirtschaftet, welche Kosten fallen an? [b] Das Unternehmen möchte in der kommenden Periode von Gut A und Gut B zusammen insgesamt 30 Mengeneinheiten produzieren. Wie muss das Unternehmen die 30 Mengeneinheiten auf die beiden Güter verteilen, damit die Kosten minimal werden? Und wie hoch sind dann die minimalen Kosten? 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 77 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 77 10.05.2021 11: 54: 31 10.05.2021 11: 54: 31 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 78 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 78 10.05.2021 11: 54: 31 10.05.2021 11: 54: 31 Lösungen Lösungen 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 79 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 79 10.05.2021 11: 54: 31 10.05.2021 11: 54: 31 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 80 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 80 10.05.2021 11: 54: 31 10.05.2021 11: 54: 31 Lösungen Lösungen zu Kapitel 2: Matrizenrechnung Während in der Mengenlehre runde und eckige Klammern unterschiedliche Bedeutungen haben, ist es bei der Matrizenrechnung unerheblich, ob die Elemente einer Matrix von eckigen oder von runden Klammern umschlossen werden. Tipp! Um für zwei Matrizen A und B das Produkt A · B zu berechnen, ist folgendes Schema sehr hilfreich. Gemäß dem sogenannten Falk-Schema werden in ein großes Fadenkreuz links unten die Matrix A und rechts oben die Matrix B eingetragen: B A Dann werden der Reihenfolge ihres Auftretens nach die Elemente einer Zeile von A mit den Elementen einer Spalte von B paarweise multipliziert. Anschließend wird die Summe dieser Produkte rechts unten ins Fadenkreuz eingetragen. Das Ergebnis ist die Matrix C = A · B : B A C 2.1 [a] x t · A = 4 3 − 1 2 7 − 3 − 5 2 1 1 2 − 1 = 4 3 − 1 2 7 − 3 − 5 2 1 1 2 − 1 13 15 − 8 = [13, 15, − 8] [b] A · x = 1 2 − 1 4 3 − 1 2 7 − 3 − 5 2 1 = 1 2 − 1 4 3 − 1 11 2 7 − 3 19 − 5 2 1 − 2 = ⎡⎣ 11 19 − 2 ⎤⎦ [c] x t · A · x = 1 2 − 1 13 15 − 8 = 1 2 − 1 13 15 − 8 51 = [51] 69 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 81 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 81 10.05.2021 11: 54: 32 10.05.2021 11: 54: 32 70 Lösungen zu Kapitel 2: Matrizenrechnung 2.2 Gesamtbedarfsmatrix = ? 1. Lösungsweg: Die Direktbedarfsmatrizen sind: Z 1 Z 2 R 1 R 2 ( 3 1 2 6 ) = A E 1 E 2 Z 1 Z 2 ( 2 1 5 4 ) = B Die Gesamtbedarfsmatrix M ist: M = A · B = ( 3 1 2 6 ) · ( 2 1 5 4 ) = ( 11 7 34 26 ) 2. Lösungsweg: Durch Abfahren der Pfade der Materialflussgrafik ergibt sich: R 1 → E 1 : 3 · 2 + 1 · 5 = 11 R 1 → E 2 : 1 · 4 + 3 · 1 = 7 R 2 → E 1 : 2 · 2 + 6 · 5 = 34 R 2 → E 2 : 6 · 4 + 2 · 1 = 26 Somit ist M = ( 11 7 34 26 ) die Gesamtbedarfsmatrix. 2.3 Gesamtbedarfsmatrix = ? 1. Lösungsweg: Die Direktbedarfsmatrizen sind: Z 1 Z 2 R 1 R 2 ( 4 2 1 0 ) = A V 1 V 2 Z 1 Z 2 ( 1 1 0 3 ) = B E 1 E 2 V 1 V 2 ( 5 3 1 2 ) = C Die Gesamtbedarfsmatrix M ist: M = A · B · C = ( 4 2 1 0 ) · ( 1 1 0 3 ) · ( 5 3 1 2 ) = ( 4 10 1 1 ) · ( 5 3 1 2 ) = ( 30 32 6 5 ) 2. Lösungsweg: Durch Abfahren der Pfade der Materialflussgrafik ergibt sich: R 1 → E 1 : 4 · 1 · 5 + 2 · 3 · 1 + 4 · 1 · 1 = 30 R 1 → E 2 : 2 · 2 · 3 + 4 · 1 · 2 + 4 · 1 · 3 = 32 R 2 → E 1 : 1 · 1 · 5 + 1 · 1 · 1 = 6 R 2 → E 2 : 1 · 1 · 2 + 1 · 1 · 3 = 5 Somit ist M = ( 30 32 6 5 ) die Gesamtbedarfsmatrix. 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 82 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 82 10.05.2021 11: 54: 32 10.05.2021 11: 54: 32 Lösungen zu Kapitel 2: Matrizenrechnung 71 Lösungen 2.4 [a] 3A − B = 3 · � 2 4 6 1 � − � 3 1 7 5 � = � 6 12 18 3 � − � 3 1 7 5 � = � 3 11 11 − 2 � [b] A · B = 3 1 7 5 2 4 6 1 = 3 1 7 5 2 4 34 22 6 1 25 11 = � 34 22 25 11 � [c] B · A = 2 4 6 1 3 1 7 5 = 2 4 6 1 3 1 12 13 7 5 44 33 = � 12 13 44 33 � 2.5 [a] (A t · 5B) t = (5B) t · A = 5 · B t · A [b] 1. Lösungsweg: E(A − C)B − A(2B − C) = AB − CB − 2AB +AC = − AB − CB +AC = A(C − B) − CB 2. Lösungsweg: E(A − C)B − A(2B − C) = AB − CB − 2AB +AC = − AB − CB +AC = AC − (A+C)B [c] (A + B) t − (2A · E) t = A t + B t − 2A t = B t − A t = (B − A) t 2.6 [a] A t = ⎡⎣ a − 1 7 b 2 c 3 − 5 − 4 ⎤⎦ [b] B − A = ⎡⎣ 1 − a − b − 3 1 − 1 5 − 7 − c 5 ⎤⎦ [c] A · B = A , weil B die Einheitsmatrix ist. 2.7 [a] [1] (2A − B)C + CB = 2AC − BC + CB [2] (2A − B)E + B = 2A − B + B = 2A [3] (2A − B)B − 2AB = 2AB − B 2 − 2AB = − B 2 [b] [1] A(2B + C) − 3AC = 2AB + AC − 3AC = 2A(B − C) [2] 3(AB + 2CA) − 6AC = 3AB + 6CA − 6AC = 3A(B − 2C) + 6CA [3] A(B + E) − E(A − B)B = AB + A − AB + BB = A + BB 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 83 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 83 10.05.2021 11: 54: 32 10.05.2021 11: 54: 32 72 Lösungen zu Kapitel 2: Matrizenrechnung 2.8 A · B = 1 2 · ⎛⎝ 5 3a + 2 3 a + 2 4 4a ⎞⎠ = ⎛⎝ 2,5 1,5a + 1 1,5 0,5a + 1 2 2a ⎞⎠ B 2 = B · B = 1 2 · � 1 + a 2a 2 1 + a � = � 0,5 + 0,5a a 1 0,5 + 0,5a � mit a ∈ R 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 84 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 84 10.05.2021 11: 54: 32 10.05.2021 11: 54: 32 Lösungen Lösungen zu Kapitel 3: Gleichungssysteme Das sollten Sie wissen! Der Gaußalgorithmus zum Lösen eines linearen Gleichungssystems Ax = b durchläuft drei Phasen: [1] In der ersten Phase wird das Starttableau A | b aufgestellt. [2] Durch äquivalente Umformungen wird in der zweiten Phase die Koeffizientenmatrix A in eine Matrix in Staffelform überführt. Dazu wird jede Zeile unter der Pivotzeile mit Hilfe des Pivotelements umgeformt. (Das Pivotelement habe ich zum besseren Erkennen in den dargestellten Lösungen in eine eckige Box gesetzt.) [3] Aus dem Endtableau wird in der dritten Phase rekursiv, d. h. beginnend mit der letzten Zeile, die Lösung bestimmt. 3.1 e 1 = ME von E 1 , e 2 = ME von E 2 , e 3 = ME von E 3 , e 4 = ME von E 4 Gaußalgorithmus: Zeile e 1 e 2 e 3 e 4 b Operation � 1 1 1 2 0 4 � 2 1 2 3 1 7 � 3 0 1 1 2 3 � 4 0 0 0 1 1 � 5 1 1 2 0 4 � 1 � 6 0 1 1 1 3 � 2 −� 1 � 7 0 1 1 2 3 � 3 � 8 0 0 0 1 1 � 4 � 9 1 1 2 0 4 � 5 � 10 0 1 1 1 3 � 6 � 11 0 0 0 1 0 � 7 −� 6 � 12 0 0 0 1 1 � 8 � 13 1 1 2 0 4 � 9 � 14 0 1 1 1 3 � 10 � 15 0 0 0 1 0 � 11 � 16 0 0 0 0 1 � 12 −� 11 Zeile 16 : 0 · x 4 = 1 ; d. h. Lösungsmenge L = ∅ 73 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 85 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 85 10.05.2021 11: 54: 32 10.05.2021 11: 54: 32 74 Lösungen zu Kapitel 3: Gleichungssysteme Das sollten Sie wissen! Dass ein Gleichungssystem keine Lösung hat, lässt sich im Endtableau erkennen. Dort steht abgesehen von ggf. kompletten Nullzeilen in der letzten Zeile am Zeilenende eine Zahl ungleich null (wie z. B. die Zahl Eins in der Zeile 16 von Aufgabe 3.1), während davor nur Nullen stehen. 3.2 [1] v 1 = Bewertung in GE für eine in K 1 hergestellte LE v 2 = Bewertung in GE für eine in K 2 hergestellte LE v 3 = Bewertung in GE für eine in K 3 hergestellte LE Kostengleichgewicht: I (25 + 15 + 70)v 1 − 20v 2 − 40v 3 = 300 II (20 + 10 + 90)v 2 − 25v 1 − 30v 3 = 200 III (40 + 30 + 110)v 3 − 15v 1 − 10v 2 = 270 [2] Gaußalgorithmus: Zeile v 1 v 2 v 3 Operation � 1 110 − 20 − 40 300 � 2 − 25 120 − 30 200 � 3 − 15 − 10 180 270 � 4 11 − 2 − 4 30 � 1 ÷ 10 � 5 − 5 24 − 6 40 � 2 ÷ 5 � 6 − 3 − 2 36 54 � 3 ÷ 5 � 7 11 − 2 − 4 30 � 4 � 8 0 254 − 86 590 11 · � 5 +5 · � 4 � 9 0 − 28 384 684 11 · � 6 +3 · � 4 � 10 − 11 − 2 − 4 30 � 7 � 11 0 254 − 86 590 � 8 � 12 0 0 95 128 190 256 254 · � 9 +28 · � 8 Zeile 12 : 95 128v 3 = 190 256 ⇔ v 3 = 2 Zeile 11 : 254v 2 − 86 · 2 = 590 ⇔ v 2 = 590 + 172 254 = 762 254 = 3 Zeile 10 : 11v 1 − 2 · 3 − 4 · 2 = 30 ⇔ v 1 = 30 + 6 + 8 11 = 44 11 = 4 Lösungsmenge des Gleichungssystems: L = ⎧⎨⎩⎛⎝ 4 3 2 ⎞⎠⎫⎬⎭ d. h. die innerbetrieblichen Verrechnungspreise betragen in K 1 genau 4 GE, in K 2 genau 3 GE und in K 3 genau 2 GE. 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 86 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 86 10.05.2021 11: 54: 32 10.05.2021 11: 54: 32 Lösungen zu Kapitel 3: Gleichungssysteme 75 Lösungen Das sollten Sie wissen! Die beiden Faktoren, mit denen anhand der Pivotzeile die darunter stehende Zeile für die angestrebte Staffelform umgeformt werden muss, ergeben sich aus der Primfaktorenzerlegung. Für z. B. die Zeile 12 aus Aufgabe 3.2 gilt mit der Primfaktorenzerlegung: 254 = 2 · 127 28 = 2 · 2 · 7 Das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 28 und 254 ist somit: 2 · 2 · 7 · 127 Daraus ergeben sich die beiden gesuchten Faktoren wie folgt: 12 = 127 · 9 + 14 · 8 = (0, 0, 47 564, 95 128) Tipp! Ist nicht klar, mit welchem Faktor ein Pivotelement multipliziert werden muss, um in der Zeile unter dem Pivotelement eine Null zu erzeugen, so können wie z. B. in Zeile 12 von Aufgabe 3.2 statt der Primfaktorenzerlegung das Pivotelement 254 selber und die darunter stehende Zahl − 28 als Faktoren verwendet werden: 12 = 254 · 9 + 28 · 8 = (0, 0, 95 128, 190 256) Das erzeugt immer die gewünschte Null unter dem Pivotelement. 3.3 [a] Gaußalgorithmus: Zeile x 1 x 2 x 3 Operation � 1 2 0 4 24 � 2 1 4 2 30 � 3 7 6 6 71 � 4 1 4 2 30 � 2 � 5 0 − 8 0 − 36 � 1 − 2 · � 2 � 6 0 − 22 − 8 − 139 � 3 − 7 · � 2 � 7 1 4 2 30 � 4 � 8 0 − 8 0 − 36 � 5 � 9 0 0 − 32 − 160 4 · � 6 − 11 · � 5 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 87 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 87 10.05.2021 11: 54: 32 10.05.2021 11: 54: 32 76 Lösungen zu Kapitel 3: Gleichungssysteme Zeile 9 : − 32x 3 = − 160 ⇔ x 3 = 5 Zeile 8 : − 8x 2 = − 36 ⇔ x 2 = 4,5 Einsetzen in Zeile 7 ergibt: x 1 + 18 + 10 = 30 ⇔ x 1 = 2 Die Lösungsmenge L ergibt sich somit wie folgt: L = ⎧⎨⎩⎛⎝ 2 4,5 5 ⎞⎠⎫⎬⎭ [b] Gaußalgorithmus: Zeile x 1 x 2 x 3 Operation � 1 1 1 2 90 � 2 3 2 5 220 � 3 5 7 9 460 � 4 1 1 2 90 � 1 � 5 0 − 1 − 1 − 50 � 2 − 3 · � 1 � 6 0 2 − 1 10 � 3 − 5 · � 1 � 7 1 1 2 90 � 4 � 8 0 − 1 − 1 − 50 � 5 � 9 0 0 − 3 − 90 � 6 + 2 · � 5 Zeile 9 : − 3x 3 = − 90 ⇔ x 3 = 30 Einsetzen in Zeile 8 ergibt: − x 2 − 30 = − 50 ⇔ x 2 = 20 Einsetzen in Zeile 7 ergibt: x 1 + 20 + 60 = 90 ⇔ x 1 = 10 Die Lösungsmenge L ergibt sich somit wie folgt: L = ⎧⎨⎩⎛⎝ 10 20 30 ⎞⎠⎫⎬⎭ Tipp! Stehen gleich mehrere Zahlen als Pivotelement zur Auswahl wie z. B. die Zahlen 2,1 und 7 im ersten Tableau der Lösung zu Aufgabe 3.3, so verspricht die kleinste Zahl 1 als Pivotelement weniger Rechenaufwand als die beiden größeren Zahlen 2 und 7. 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 88 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 88 10.05.2021 11: 54: 33 10.05.2021 11: 54: 33 Lösungen zu Kapitel 3: Gleichungssysteme 77 Lösungen 3.4 Rohstoffbedarf für jeweils eine ME der Endprodukte: E 1 E 2 E 3 R 1 2 1 1 R 2 4 2 1 R 3 9 3 1 [1] e 1 = ME von E 1 , e 2 = ME von E 2 , e 3 = ME von E 3 Gleichungssystem: I 2e 1 + e 2 + e 3 = 12 II 4e 1 + 2e 2 + e 3 = 23 III 9e 1 + 3e 2 + e 3 = 40 [2] Gaußalgorithmus: Zeile e 1 e 2 e 3 Operation � 1 2 1 1 12 � 2 4 2 1 23 � 3 9 3 1 40 � 4 2 1 1 12 � 1 � 5 0 0 − 1 − 1 � 2 − 2 · � 1 � 6 0 − 3 -7 − 28 2 · � 3 − 9 · � 1 � 7 2 1 1 12 � 4 � 8 0 − 3 -7 − 28 � 6 � 9 0 0 -1 -1 � 5 Zeile 9 : − e 3 = − 1 ⇔ e 3 = 1 Einsetzen in Zeile 8 ergibt: − 3e 2 − 7 · 1 = − 28 ⇔ − 3e 2 = − 21 ⇔ e 2 = 7 Einsetzen in Zeile 7 ergibt: 2e 1 + 7 + 1 = 12 ⇔ 2e 1 = 4 ⇔ e 1 = 2 Die Lösungsmenge L ergibt sich somit wie folgt: L = ⎧⎨⎩⎛⎝ 2 7 1 ⎞⎠⎫⎬⎭ d. h. aus dem Vorrat können 2 ME von E 1 , 7 ME von E 2 und eine ME von E 3 hergestellt werden. 3.5 Seien v 1 , v 2 und v 3 die Bewertungen (in GE) für die Herstellung je einer Leistungseinheit der drei Kostenstellen. [1] Kostengleichgewicht: Werden für jede Kostenstelle die empfangenen von den abgegebenen Leistungen abgezogen, so müssen die Primärkosten gerade gedeckt sein: 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 89 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 89 10.05.2021 11: 54: 33 10.05.2021 11: 54: 33 78 Lösungen zu Kapitel 3: Gleichungssysteme (70 + 10 + 20)v 1 − 15v 2 − 30v 3 = 35 (50 + 15 + 35)v 2 − 10v 1 − 45v 3 = 100 (25 + 30 + 45)v 3 − 20v 1 − 35v 2 = 255 [2] Mit dem Gaußalgorithmus ergibt sich: Zeile v 1 v 2 v 3 Operation � 1 100 − 15 − 30 35 � 2 − 10 100 − 45 100 � 3 − 20 − 35 100 255 � 4 − 10 100 − 45 100 � 2 � 5 0 985 − 480 1 035 � 1 +10 · � 2 � 6 0 − 235 190 55 � 3 − 2 · � 2 � 7 − 10 100 − 45 100 � 4 � 8 0 − 235 190 55 � 6 � 9 0 0 74 350 297 400 235 · � 5 +985 · � 6 Aus Zeile 9 ergibt sich: 74 350v 3 = 297 400 ⇔ v 3 = 4 Einsetzen in Zeile 8 ergibt: − 235v 2 + 190 · 4 = 55 ⇔ v 2 = 3 Einsetzen in Zeile 7 ergibt: − 10v 1 + 100 · 3 − 45 · 4 = 100 ⇔ v 1 = 2 Die Lösungsmenge L ergibt sich somit wie folgt: L = ⎧⎨⎩⎛⎝ 2 3 4 ⎞⎠⎫⎬⎭ d. h. die innerbetrieblichen Verrechnungspreise für die Herstellung jeweils einer Leistungseinheit betragen in Kostenstelle K1 genau 2 GE, in Kostenstelle K 2 genau 3 GE und in Kostenstelle K 3 genau 4 GE. 3.6 q 1 = GE pro ME von R 1 , q 2 = GE pro ME von R 2 , q 3 = GE pro ME von R 3 I 5q 1 + 11q 2 + 7q 3 = 140 II 8q 1 + 10q 2 + 5q 3 = 135 III 9q 1 + 3q 2 + 4q 3 = 91 Das sollten Sie wissen! Ist ein Gleichungssystem lösbar, so lässt sich eine mehrdeutige Lösung im Endtableau erkennen. Dort hat nicht jede Variable ein Pivotelement (wie z. B. die Variable x 3 im Endtableau von Aufgabe 3.7). Variablen, die im Endtableau kein Pivotelement haben, dürfen beliebig aus R gewählt werden. 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 90 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 90 10.05.2021 11: 54: 33 10.05.2021 11: 54: 33 Lösungen zu Kapitel 3: Gleichungssysteme 79 Lösungen Tipp! Um alle Lösungen eines mehrdeutigen Gleichungssystems systematisch zu finden, wird bei der rekursiven Bestimmung der Lösungen die Gleichung einer Zeile immer nach der Variablen aufgelöst, die in dieser Zeile das Pivotelement hat. So wird z. B. die Gleichung in der Zeile 8 von Aufgabe 3.7 nach der Variablen x 2 (und nicht nach der Variablen x 3 ) aufgelöst. 3.7 Gaußalgorithmus: Zeile x 1 x 2 x 3 Operation � 1 2 1 3 80 � 2 5 2 4 130 � 3 4 1 − 1 20 � 4 2 1 3 80 � 1 � 5 0 − 1 − 7 − 140 2 · � 2 − 5 · � 1 � 6 0 − 1 − 7 − 140 � 3 − 2 · � 1 � 7 2 1 3 80 � 4 � 8 0 − 1 − 7 − 140 � 5 � 9 0 0 0 0 � 6 −� 5 Im Endtableau haben x 1 und x 2 ein Pivotelement, während x 3 kein Pivotelement hat: Zeile x 1 x 2 x 3 � 7 2 1 3 80 � 8 0 − 1 − 7 − 140 � 9 0 0 0 0 Die Variablen, die im Endtableau kein Pivotelement haben, dürfen für die Lösung des Gleichungssystems beliebig aus R gewählt werden: x 3 ∈ R . Zeile 9 : keine Information Aus Zeile 8 ergibt sich: − x 2 − 7x 3 = − 140 In der Zeile 8 hat x 2 ein Pivotelement, deshalb lösen wir die Gleichung nach x 2 auf: x 2 = 140 − 7x 3 . Einsetzen in Zeile 7 ergibt: 2x 1 + (140 − 7x 3 ) + 3x 3 = 80 In der Zeile 7 hat x 1 ein Pivotelement, deshalb lösen wir die Gleichung nach x 1 auf: x 1 = − 30 + 2x 3 . L = ⎧⎨⎩⎛⎝ − 30 + 2x 3 140 − 7x 3 x 3 ⎞⎠ ; x 3 ∈ R ⎫⎬⎭ 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 91 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 91 10.05.2021 11: 54: 33 10.05.2021 11: 54: 33 80 Lösungen zu Kapitel 3: Gleichungssysteme Das sollten Sie wissen! Um alle nicht negativen ganzzahligen Lösungen eines Gleichungssystems aufschreiben zu können, werden Aufzählungen von Elementen einer Menge benötigt. Dabei haben runde Klammern „(“ bzw. „)“ und eckige Klammern „[“ bzw. „]“ und geschweifte Klammern „ { “ bzw. „ } “’ unterschiedliche Bedeutungen. (vgl. Arrenberg et al. [2]). Für das Aufzählen von Elementen einer Menge sind geschweifte Klammern zu verwenden. 3.8 [1] Gaußalgorithmus: Zeile x 1 x 2 x 3 Operation � 1 5 − 2 300 3 100 � 2 3 4 − 340 300 � 3 2 2 − 160 400 � 4 2 2 − 160 400 � 3 � 5 0 − 14 1 400 4 200 2 · � 1 − 5 · � 3 � 6 0 2 − 200 − 600 2 · � 2 − 3 · � 3 � 7 2 2 − 160 400 � 4 � 8 0 2 − 200 − 600 � 6 � 9 0 0 0 0 � 5 +7 · � 6 Zeile 8 : 2x 2 − 200x 3 = − 600 ⇔ x 2 = 100x 3 − 300 Zeile 7 : 2x 1 + 2(100x 3 − 300) − 160x 3 = − 400 ⇔ 2x 1 + 40x 3 − 600 = 400 ⇔ x 1 = 500 − 20x 3 Die Lösungsmenge L ergibt sich somit wie folgt: L = ⎧⎨⎩⎛⎝ 500 − 20x 3 100x 3 − 300 x 3 ⎞⎠ ; x 3 ∈ R ⎫⎬⎭ [2] x 1 = 500 − 20x 3 ≥ 0 ⇔ 500 ≥ 20x 3 ⇔ 25 ≥ x 3 ⇔ x 3 ≤ 25 x 2 = 100x 3 − 300 ≥ 0 ⇔ 100x 3 ≥ 300 ⇔ x 3 ≥ 3 x 3 ≥ 0 Fazit: x 3 ∈ ( −∞ ; 25] ∩ [3; + ∞ ) ∩ [0; + ∞ ) = [3; 25] nicht negative L = ⎧⎨⎩⎛⎝ 500 − 20x 3 100x 3 − 300 x 3 ⎞⎠ ; x 3 ∈ [3; 25] ⎫⎬⎭ [3] Da in keinem der beiden Terme 500 − 20x 3 und 100x 3 − 300 ein Bruch vorkommt, können für x 3 alle ganzen Zahlen aus dem Intervall [3; 25] gewählt werden, damit die Lösung nicht negativ und ganzzahlig ist: nicht negative ganzzahlige L = ⎧⎨⎩⎛⎝ 500 − 20x 3 100x 3 − 300 x 3 ⎞⎠ ; x 3 ∈ { 3, 4, 5, . . . , 25 } ⎫⎬⎭ 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 92 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 92 10.05.2021 11: 54: 33 10.05.2021 11: 54: 33 Lösungen zu Kapitel 3: Gleichungssysteme 81 Lösungen Um eine spezielle ganzzahlige nicht negative Lösung zu erhalten, wird für x 3 ein Wert aus der Menge { 3, 4, 5, . . . , 25 } eingesetzt, z. B. x 3 = 7 . Dann betragen: x 1 = 500 − 20 · 7 = 360 x 2 = 100 · 7 − 300 = 400 Tipp! Ist die Lösung eines Gleichungssystems mit z. B. den drei Variablen x 1 , x 2 , x 3 mehrdeutig und soll die ganzzahlige Lösung bestimmt werden, so müssen aus der Darstellung der Variablen x 1 , x 2 , x 3 in L die Brüche herausgesucht werden. Lautet z. B.: L = ⎧⎨⎩⎛⎝ 200 − 17 4 x 3 10 3 x 3 − 30 x 3 ⎞⎠ ; x 3 ∈ R ⎫⎬⎭ so muss x 3 sowohl ein Vielfaches der Zahl 3 als auch ein Vielfaches der Zahl 4 sein, damit die beiden Terme 17 4 x 3 und 10 3 x 3 ganzzahlig sind. Das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 3 und 4 ist die Zahl 12. Deshalb muss x 3 ein Vielfaches der Zahl 12 sein, damit die Lösung ganzzahlig ist. Lautet z. B.: L = ⎧⎨⎩⎛⎝ 200 − 1 4 x 3 7 8 x 3 − 30 x 3 ⎞⎠ ; x 3 ∈ R ⎫⎬⎭ so muss x 3 sowohl ein Vielfaches der Zahl 4 als auch ein Vielfaches der Zahl 8 sein, damit die beiden Terme 1 4 x 3 und 7 8 x 3 ganzzahlig sind. Das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 4 und 8 ist die Zahl 8. Deshalb muss x 3 ein Vielfaches der Zahl 8 sein, damit die Lösung ganzzahlig ist. Lautet z. B.: L = ⎧⎨⎩⎛⎝ 200 − x 3 10 3 x 3 − 37 3 x 3 ⎞⎠ ; x 3 ∈ [3,7; 200] ⎫⎬⎭ so tauchen in der Darstellung von x 2 gleich zwei Brüche auf: 10 3 x 3 und 37 3 . Damit x 2 = 10 3 x 3 − 37 3 = 10x 3 − 37 3 ganzzahlig ist, muss der Term 10x 3 − 37 ein Vielfaches der Zahl 3 sein. Die kleinste ganze Zahl für x 3 ∈ [3,7; 200] ist der Wert x 3 = 4 . Jetzt probieren wir für x 3 nacheinander die Zahlen 4,5,6,7,. . . ,200 aus, um die ganzzahlige L zu finden: [1] 1. Fall: x 3 = 4 . Dann lässt sich der Term 10x 3 − 37 = 40 − 37 = 3 ohne Rest durch drei dividieren. [2] 2. Fall: x 3 = 5 . Dann lässt sich der Term 10x 3 − 37 = 50 − 37 = 13 nicht ohne Rest durch drei dividieren. 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 93 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 93 10.05.2021 11: 54: 34 10.05.2021 11: 54: 34 82 Lösungen zu Kapitel 3: Gleichungssysteme [3] 3. Fall: x 3 = 6 . Dann lässt sich der Term 10x 3 − 37 = 60 − 37 = 23 nicht ohne Rest durch drei dividieren. [4] 4. Fall: x 3 = 7 . Dann lässt sich der Term 10x 3 − 37 = 70 − 37 = 33 ohne Rest durch drei dividieren. [5] 5. Fall: x 3 = 8 . Dann lässt sich der Term 10x 3 − 37 = 80 − 37 = 43 nicht ohne Rest durch drei dividieren. [6] 6. Fall: x 3 = 9 . Dann lässt sich der Term 10x 3 − 37 = 90 − 37 = 53 nicht ohne Rest durch drei dividieren. [7] 7. Fall: x 3 = 10 . Dann lässt sich der Term 10x 3 − 37 = 100 − 37 = 63 ohne Rest durch drei dividieren. [8] usw. Fazit: x 3 muss aus der Menge { 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, ..., 196, 199 } sein, damit die Lösung ganzzahlig ist. 3.9 [1] Zeile 9 : keine Information Zeile 8 : 5e 2 − 2e 3 = − 75 ⇔ e 2 = 2 5 e 3 − 15 Zeile 7 : 2e 1 + 3e 2 − e 3 = 21 ⇔ 2e 1 − 45 + 6 5 e 3 − e 3 = 21 ⇔ e 1 = 33 − 1 10 e 3 Die Lösungsmenge ergibt sich somit wie folgt: L = ⎧⎨⎩⎛⎝ 33 − 1 10 e 3 2 5 e 3 − 15 e 3 ⎞⎠ ; e 3 ∈ R ⎫⎬⎭ [2] e 1 = 33 − 1 10 e 3 ≥ 0 ⇔ 33 ≥ 0,1e 3 ⇔ 330 ≥ e 3 ⇔ e 3 ≤ 330 e 2 = 2 5 e 3 − 15 ≥ 0 ⇔ 2 5 e 3 ≥ 15 ⇔ e 3 ≥ 37,5 e 3 ≥ 0 Fazit: e 3 ∈ ( −∞ ; 330] ∩ [37,5; + ∞ ) ∩ [0; + ∞ ) = [37,5; 330] Die Lösungsmenge L ergibt sich somit wie folgt: nicht negative L = ⎧⎨⎩⎛⎝ 33 − 1 10 e 3 2 5 e 3 − 15 e 3 ⎞⎠ ; e 3 ∈ [37,5 ; 330] ⎫⎬⎭ [3] e 3 muss ein Vielfaches der Zahl 5 sein, damit der Term 2 5 e 3 ganzzahlig ist. Und e 3 muss ein Vielfaches der Zahl 10 sein, damit der Term 1 10 e 3 ganzzahlig ist. Damit beide Terme 1 10 e 3 und 2 5 e 3 ganzzahlig sind, muss also e 3 ein Vielfaches der Zahl 10 sein. Gleichzeitig muss e 3 im Intervall [37,5 ; 330] liegen, damit die Lösung nicht negativ ist. 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 94 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 94 10.05.2021 11: 54: 34 10.05.2021 11: 54: 34 Lösungen zu Kapitel 3: Gleichungssysteme 83 Lösungen Die Lösungsmenge L ergibt sich somit wie folgt: nicht negative ganzzahlige L = ⎧⎨⎩⎛⎝ 33 − 1 10 e 3 2 5 e 3 − 15 e 3 ⎞⎠ ; e 3 ∈ { 40, 50, 60, 70 . . . 320, 330 } ⎫⎬⎭ Es gibt also dreißig verschiedene nicht negative ganzzahlige Lösungen. Für z. B. e 3 = 40 lautet die nicht negative ganzzahlige Lösung: ⎛⎝ 29 1 40 ⎞⎠ Und für z. B. e 3 = 290 lautet die nicht negative ganzzahlige Lösung: ⎛⎝ 4 101 290 ⎞⎠ 3.10 [1] Zeile 2 : 7x 2 − 11x 3 = − 70 ⇔ 7x 2 = 11x 3 − 70 ⇔ x 2 = 11 7 x 3 − 10 Zeile 1 : 7x 1 + 71x 3 = 1 400 ⇔ 7x 1 = 1 400 − 71x 3 ⇔ x 1 = 200 − 71 7 x 3 d. h. L = ⎧⎨⎩⎛⎝ 200 − 71 7 x 3 11 7 x 3 − 10 x 3 ⎞⎠ ; x 3 ∈ R ⎫⎬⎭ [2] x 1 = 200 − 71 7 x 3 ≥ 0 ⇔ 200 ≥ 71 7 x 3 ⇔ 1 400 71 ≥ x 3 ⇔ x 3 ≤ 19,7 x 2 = 11 7 x 3 − 10 ≥ 0 ⇔ 11 7 x 3 ≥ 10 ⇔ x 3 ≥ 70 11 = 6,4 x 3 ≥ 0 Fazit: x 3 ∈ ( −∞ ; 19,7] ∩ [6,4; + ∞ ) ∩ [0; + ∞ ) = [6,4; 19,7] nicht negative L = ⎧⎨⎩⎛⎝ 200 − 71 7 x 3 11 7 x 3 − 10 x 3 ⎞⎠ ; x 3 ∈ [6,4 ; 19,7] ⎫⎬⎭ [3] x 3 muss ein Vielfaches der Zahl 7 sein, damit die beiden Terme 71 7 x 3 und 11 7 x 3 ganzzahlig sind. Gleichzeitig muss x 3 im Intervall [6,4 ; 19,7] liegen, damit die Lösung nicht negativ ist. Die einzigen Vielfachen der Zahl 7 im Intervall [6,4 ; 19,7] sind die beiden Zahlen 7 und 14. Die Lösungsmenge L ergibt sich somit wie folgt: nicht negative ganzzahlige L = ⎧⎨⎩⎛⎝ 200 − 71 7 x 3 11 7 x 3 − 10 x 3 ⎞⎠ ; x 3 ∈ { 7; 14 } ⎫⎬⎭ 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 95 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 95 10.05.2021 11: 54: 34 10.05.2021 11: 54: 34 84 Lösungen zu Kapitel 3: Gleichungssysteme d. h. es gibt genau zwei nicht negative ganzzahlige Lösungen: ⎛⎝ 129 1 7 ⎞⎠ und ⎛⎝ 58 12 14 ⎞⎠ 3.11 e 1 = ME von E 1 , e 2 = ME von E 2 , e 3 = ME von E 3 [1] Gleichungssystem: I 10e 1 + e 2 + 10e 3 = 350 II 40e 1 + 5e 2 + 30e 3 = 1 350 III 50e 1 + 6e 2 + 40e 3 = 1 700 [2] Gaußalgorithmus: Zeile e 1 e 2 e 3 Operation � 1 10 1 10 350 � 2 40 5 30 1 350 � 3 50 6 40 1 700 � 4 10 1 10 350 � 1 � 5 0 1 − 10 − 50 � 2 − 4 · � 1 � 6 0 1 -10 − 50 � 3 − 5 · � 1 � 7 10 1 10 350 � 4 � 8 0 1 -10 − 50 � 5 � 9 0 0 0 0 � 6 −� 5 Zeile 8 : e 2 − 10e 3 = − 50 ⇔ x 2 = 10e 3 − 50 Zeile 7 : 10e 1 + 10e 3 − 50 + 10e 3 = 350 ⇔ 10e 1 = 400 − 20e 3 ⇔ e 1 = 40 − 2e 3 Die Lösungsmenge L ergibt sich somit wie folgt: L = ⎧⎨⎩⎛⎝ 40 − 2e 3 10e 3 − 50 e 3 ⎞⎠ ; e 3 ∈ R ⎫⎬⎭ [3] e 1 = 40 − 2e 3 ≥ 0 ⇔ 40 ≥ 2e 3 ⇔ 20 ≥ e 3 ⇔ e 3 ≤ 20 e 2 = 10e 3 − 50 ≥ 0 ⇔ 10e 3 ≥ 50 ⇔ e 3 ≥ 5 e 3 ≥ 0 Fazit: e 3 ∈ ( −∞ ; 20] ∩ [5; + ∞ ) ∩ [0; + ∞ ) = [5; 20] Die Lösungsmenge L ergibt sich somit wie folgt: nicht negative L = ⎧⎨⎩⎛⎝ 40 − 2e 3 10e 3 − 50 e 3 ⎞⎠ ; e 3 ∈ [5; 20] ⎫⎬⎭ [4] Da in keinem der beiden Terme 40 − 2e 3 und 10e 3 − 50 ein Bruch vorkommt, können für e 3 alle ganzen Zahlen aus dem Intervall [5; 20] gewählt werden, damit die Lösung 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 96 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 96 10.05.2021 11: 54: 34 10.05.2021 11: 54: 34 Lösungen zu Kapitel 3: Gleichungssysteme 85 Lösungen nicht negativ und ganzzahlig ist: nicht negative ganzzahlige L = ⎧⎨⎩⎛⎝ 40 − 2e 3 10e 3 − 50 e 3 ⎞⎠ ; e 3 ∈ { 5, 6, 7, . . . , 20 } ⎫⎬⎭ [5] Es gibt also sechzehn verschiedene nicht negative ganzzahlige Lösungen. Für z. B. e 3 = 5 ergeben sich e 2 = 10 · 5 − 50 = 0 und e 1 = 40 − 2 · 5 = 30 : ⎛⎝ 30 0 5 ⎞⎠ d. h. aus dem Vorrat lassen sich z. B. 30 ME von E 1 und 5 ME von E 3 herstellen. 3.12 [1] Gaußalgorithmus: Zeile x 1 x 2 x 3 Operation � 1 2 5 2 60 � 2 1 4 4 60 � 3 1 2 0 20 � 4 1 2 0 20 � 3 � 5 0 2 4 40 � 2 −� 3 � 6 0 1 2 20 � 1 − 2 · � 3 � 7 1 2 0 20 � 6 � 8 0 1 2 20 � 6 � 9 0 0 0 0 � 5 − 2 · � 6 Zeile 8 : x 2 + 2x 3 = 20 ⇔ x 2 = 20 − 2x 3 Einsetzen in Zeile 7 ergibt: x 1 + 2 · (20 − 2x 3 ) = 20 ⇔ x 1 = 4x 3 − 20 L = ⎧⎨⎩⎛⎝ 4x 3 − 20 20 − 2x 3 x 3 ⎞⎠ ; x 3 ∈ R ⎫⎬⎭ [2] x 1 = 4x 3 − 20 ≥ 0 ⇔ 4x 3 ≥ 20 ⇔ x 3 ≥ 5 x 2 = 20 − 2x 3 ≥ 0 ⇔ 20 ≥ 2x 3 ⇔ 10 ≥ x 3 ⇔ x 3 ≤ 10 x 3 ≥ 0 Fazit: x 3 ∈ [5; + ∞ ) ∩ ( −∞ ; 10] ∩ [0; + ∞ ) = [5; 10] nicht negative L = ⎧⎨⎩⎛⎝ 4x 3 − 20 20 − 2x 3 x 3 ⎞⎠ ; x 3 ∈ [5; 10] ⎫⎬⎭ [3] Da in keinem der beiden Terme 4x 3 − 20 und 20 − 2x 3 ein Bruch vorkommt, können für x 3 alle ganzen Zahlen aus dem Intervall [5; 10] gewählt werden, damit die Lösung nicht negativ und ganzzahlig ist: 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 97 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 97 10.05.2021 11: 54: 35 10.05.2021 11: 54: 35 86 Lösungen zu Kapitel 3: Gleichungssysteme nicht negative ganzzahlige L = ⎧⎨⎩⎛⎝ 4x 3 − 20 20 − 2x 3 x 3 ⎞⎠ ; x 3 ∈ { 5, 6, 7, 8, 9, 10 } ⎫⎬⎭ d. h. es gibt sechs nicht negative ganzzahlige Lösungen: ⎛⎝ 0 10 5 ⎞⎠ ⎛⎝ 4 8 6 ⎞⎠ ⎛⎝ 8 6 7 ⎞⎠ ⎛⎝ 12 4 8 ⎞⎠ ⎛⎝ 16 2 9 ⎞⎠ ⎛⎝ 20 0 10 ⎞⎠ 3.13 Gaußalgorithmus: Zeile x 1 x 2 x 3 Operation � 1 1 3 − 1 35 � 2 2 1 13 65 � 3 2 − 4 28 60 � 4 3 4 12 100 � 5 1 3 − 1 35 � 1 � 6 0 − 5 15 − 5 � 2 − 2 · � 1 � 7 0 − 10 30 − 10 � 3 − 2 · � 1 � 8 0 − 5 15 − 5 � 4 − 3 · � 1 � 9 1 3 − 1 35 � 5 � 10 0 − 5 15 − 5 � 6 � 11 0 0 0 0 � 7 − 2 · � 6 � 12 0 0 0 0 � 8 −� 6 Zeile 10 : − 5x 2 + 15x 3 = − 5 ⇔ x 2 = 1 + 3x 3 Einsetzen in Zeile 9 ergibt: x 1 + 3 · (1 + 3x 3 ) − x 3 = 35 ⇔ x 1 = 32 − 8x 3 L = ⎧⎨⎩⎛⎝ 32 − 8x 3 1 + 3x 3 x 3 ⎞⎠ ; x 3 ∈ R ⎫⎬⎭ [1] x 1 = 32 − 8x 3 ≥ 0 ⇔ 32 ≥ 8x 3 ⇔ 4 ≥ x 3 ⇔ x 3 ≤ 4 x 2 = 1 + 3x 3 ≥ 0 ⇔ 3x 3 ≥ − 1 ⇔ x 3 ≥ − 1 3 x 3 ≥ 0 Fazit: x 3 ∈ ( −∞ ; 4] ∩ [ − 1 3 ; + ∞ ) ∩ [0; + ∞ ) = [0; 4] nicht negative nicht negative L = ⎧⎨⎩⎛⎝ 32 − 8x 3 1 + 3x 3 x 3 ⎞⎠ ; x 3 ∈ [0; 4] ⎫⎬⎭ [2] Für z. B. x 3 = 0 gilt: x 1 = 32 und x 2 = 1 . 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 98 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 98 10.05.2021 11: 54: 35 10.05.2021 11: 54: 35 Lösungen Lösungen zu Kapitel 4: Grenzwerte von Funktionen Tipp! Die Bestimmung des Grenzwerts lim x → x 0 f (x ) g(x ) einer rationalen Funktion durch ggf. Faktorisieren und Kürzen erfolgt in drei Schritten: [1] Im ersten Schritt wird x 0 sowohl im Zähler als auch im Nenner eingesetzt. Steht dann im Nenner keine Null, so ergibt der Quotient f (x 0 ) g(x 0 ) den gesuchten Grenzwert. Steht jedoch im Nenner eine Null, so beginnt der zweite Schritt. [2] Für den Fall, dass beim Einsetzen von x 0 nicht nur im Nenner, sondern auch im Zähler eine Null steht, werden im zweiten Schritt sowohl das Polynom im Zähler als auch das Polynom im Nenner faktorisiert. Anschließend werden der faktorisierte Zähler und der faktorisierte Nenner jeweils durch den Faktor (x − x 0 ) gekürzt. Der gesuchte Grenzwert ergibt sich jetzt durch Einsetzen von x 0 im gekürzten Zähler und im gekürzten Nenner. (vgl. Lösung zu Aufgabe 4.1) [3] Steht im ersten Schritt beim Einsetzen von x 0 zwar im Nenner eine Null, nicht aber im Zähler, so muss im dritten und letzten Schritt eine Wertetabelle aufgestellt werden. Dazu werden die Funktionswerte der rationalen Funktion z. B. an den sechs Stellen x 0 − 0,1 , x 0 − 0,01 , x 0 − 0,001 , x 0 + 0,001 , x 0 + 0,01 , x 0 + 0,1 ausgewertet, um zu erkennen, ob der linksseitige Grenzwert und der rechtsseitige Grenzwert überhaupt existieren. (vgl. Arrenberg [1]) 4.1 lim x → 5 9x − 45 3x 2 − 18x + 15 = ? Durch Einsetzen von x 0 = 5 ergibt sich: Zähler = 9 · 5 − 45 = 0 Nenner = 3 · 25 − 18 · 5 + 15 = 75 − 90 + 15 = 0 Fazit: Nenner = 0 = Zähler Faktorisieren: Zähler = 9x − 45 = 9(x − 5) Nenner = 0 = 3x 2 − 18x + 15 87 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 99 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 99 10.05.2021 11: 54: 35 10.05.2021 11: 54: 35 88 Lösungen zu Kapitel 4: Grenzwerte von Funktionen Division durch 3, um die pq -Formel anwenden zu können, ergibt: 0 = x 2 − 6x + 5 Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 15. x = 3 ± √ 9 − 5 = 3 ± √ 4 = 3 ± 2 ⇔ x = 5 oder x = 1 Faktorisieren mit dem Faktor (x − Nullstelle ) ergibt: Nenner = 3(x − 5)(x − 1) Somit haben wir: lim x → 5 9x − 45 3x 2 − 18x + 15 = lim x → 5 9(x − 5) 3(x − 5)(x − 1) Division durch den Faktor (x − 5) ergibt: lim x → 5 9(x − 5) 3(x − 5)(x − 1) = lim x → 5 9 3(x − 1) Jetzt setzen wir für x den Wert x 0 = 5 ein: lim x → 5 9 3(x − 1) = 9 12 = 3 4 = 0,75 4.2 lim x →− 3 − 2x 2 − 2x + 12 3x + 9 = ? Durch Einsetzen von x 0 = − 3 ergibt sich: Zähler = − 2 · 9 − 2 · ( − 3) + 12 = − 18 + 6 + 12 = 0 Nenner = 3 · ( − 3) + 9 = − 9 + 9 = 0 Fazit: Nenner = 0 = Zähler Faktorisieren: Zähler = 0 = − 2x 2 − 2x + 12 Division durch − 2 , um die pq -Formel anwenden zu können, ergibt: 0 = x 2 + x − 6 Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 15. x = − 1 2 ± √ 1 4 + 6 = − 1 2 ± √ 25 4 = − 1 2 ± 5 2 ⇔ x = − 3 oder x = 2 Faktorisieren mit dem Faktor (x − Nullstelle ) ergibt: Zähler = − 2(x − 2)(x − ( − 3)) = − 2(x − 2)(x + 3) Nenner = 3x + 9 = 3(x + 3) 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 100 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 100 10.05.2021 11: 54: 35 10.05.2021 11: 54: 35 Lösungen zu Kapitel 4: Grenzwerte von Funktionen 89 Lösungen Somit haben wir: lim x →− 3 − 2x 2 − 2x + 12 3x + 9 = lim x →− 3 − 2(x − 2)(x + 3) 3(x + 3) Kürzen durch den Faktor (x + 3) ergibt: lim x →− 3 − 2(x − 2)(x + 3) 3(x + 3) = lim x →− 3 − 2(x − 2) 3 Jetzt setzen wir für x den Wert x 0 = − 3 ein: lim x →− 3 − 2(x − 2) 3 = 10 3 4.3 lim x → 0 x 5 − 12x 4 + x 3 + 3x 2 x 2 = ? 1. Lösungsweg: Ausklammern von x 2 ergibt: lim x → 0 x 5 − 12x 4 + x 3 + 3x 2 x 2 = lim x → 0 x 2 (x 3 − 12x 2 + x + 3) x 2 Kürzen durch x 2 ergibt: lim x → 0 x 2 (x 3 − 12x 2 + x + 3) x 2 = lim x → 0 (x 3 − 12x 2 + x + 3) Jetzt setzen wir für x den Wert x 0 = 0 ein: lim x → 0 (x 3 − 12x 2 + x + 3) = 3 2. Lösungsweg: Durch Einsetzen von x 0 = 0 ergibt sich: Zähler = 0 Nenner = 0 Fazit: Nenner = 0 = Zähler Faktorisieren: Faktorisieren mit dem Faktor (x − Nullstelle ) ergibt: Zähler = (x − 0)(x 4 − 12x 3 + x 2 + 3x ) = x · (x 4 − 12x 3 + x 2 + 3x ) Nenner = (x − 0)x = x · x Somit haben wir: lim x → 0 x 5 − 12x 4 + x 3 + 3x 2 x 2 = lim x → 0 x (x 4 − 12x 3 + x 2 + 3x ) x · x Kürzen durch den Faktor x ergibt: lim x → 0 x (x 4 − 12x 3 + x 2 + 3x ) x · x = lim x → 0 x 4 − 12x 3 + x 2 + 3x x 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 101 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 101 10.05.2021 11: 54: 35 10.05.2021 11: 54: 35 90 Lösungen zu Kapitel 4: Grenzwerte von Funktionen Durch Einsetzen von x 0 = 0 ergibt sich: Zähler = 0 Nenner = 0 Fazit: Nenner = 0 = Zähler Faktorisieren: Faktorisieren mit dem Faktor (x − Nullstelle ) ergibt: Zähler = (x − 0)(x 3 − 12x 2 + x + 3) = x · (x 3 − 12x 2 + x + 3) Nenner = (x − 0) = x Somit haben wir: lim x → 0 x 4 − 12x 3 + x 2 + 3x x = lim x → 0 x (x 3 − 12x 2 + x + 3) x Kürzen durch den Faktor x ergibt: lim x → 0 x (x 3 − 12x 2 + x + 3) x = lim x → 0 (x 3 − 12x 2 + x + 3) Jetzt setzen wir für x den Wert x 0 = 0 ein: lim x → 0 (x 3 − 12x 2 + x + 3) = 3 Tipp! Die Bestimmung des Grenzwerts lim x → x 0 f (x ) g(x ) einer rationalen Funktion anhand der Regel von de l’Hôpital ist möglich, wenn beim Einsetzen von x 0 sowohl im Zähler als auch im Nenner eine Null steht. Für die volle Punktzahl in Klausuren muss also zuerst gezeigt werden, dass gilt: f (x 0 ) = 0 = g(x 0 ) . Anschließend werden der Zähler und der Nenner einmal abgeleitet. [1] Gilt beim Einsetzen von x 0 im abgeleiteten Nenner, dass der Wert ungleich null ist, also g � (x 0 ) � = 0 , so ergibt sich der Grenzwert wie folgt: lim x → x 0 f (x ) g(x ) = lim x → x 0 f � (x ) g � (x ) = f � (x 0 ) g � (x 0 ) (vgl. Aufgabe 4.4 und Aufgabe 4.5) [2] Gilt beim Einsetzen von x 0 im abgeleiteten Zähler und im abgeleiteten Nenner, dass beide Werte gleich null sind, also f � (x 0 ) = 0 und g � (x 0 ) = 0 , so werden der Zähler und der Nenner ein zweites Mal abgeleitet. Ist dann g �� (x 0 ) � = 0 , so ergibt sich der Grenzwert wie folgt: lim x → x 0 f (x ) g(x ) = lim x → x 0 f �� (x ) g �� (x ) = f �� (x 0 ) g �� (x 0 ) (vgl. Aufgabe 4.6) 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 102 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 102 10.05.2021 11: 54: 36 10.05.2021 11: 54: 36 Lösungen zu Kapitel 4: Grenzwerte von Funktionen 91 Lösungen [3] Für den Fall, dass beide zweiten Ableitungen an der Stelle x 0 null betragen, also dass gilt: f �� (x 0 ) = 0 = g �� (x 0 ) , werden der Zähler und der Nenner ein drittes Mal abgeleitet usw. 4.4 lim x → 5 9x − 45 3x 2 − 18x + 15 = ? Durch Einsetzen von x 0 = 5 ergibt sich: Zähler = 9 · 5 − 45 = 0 Nenner = 3 · 25 − 18 · 5 + 15 = 75 − 90 + 15 = 0 Fazit: Nenner = 0 = Zähler d. h. es ist die Voraussetzung für die Anwendung der Regel von de l’Hôpital erfüllt. Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 2. Ableitung des Zählers = (9x − 45) � = 9 Ableitung des Nenners = (3x 2 − 18x + 15) � = 6x − 18 Mit der Regel von de l’Hôpital ergibt sich: lim x → 5 9x − 45 3x 2 − 18x + 15 = lim x → 5 9 6x − 18 Jetzt setzen wir für x den Wert x 0 = 5 ein: lim x → 5 9 6x − 18 = 9 30 − 18 = 9 12 = 3 4 = 0,75 4.5 lim x →− 3 − 2x 2 − 2x + 12 3x + 9 = ? Durch Einsetzen von x 0 = − 3 ergibt sich: Zähler = − 2 · 9 − 2 · ( − 3) + 12 = − 18 + 6 + 12 = 0 Nenner = 3 · ( − 3) + 9 = − 9 + 9 = 0 Fazit: Nenner = 0 = Zähler d. h. es ist die Voraussetzung für die Anwendung der Regel von de l’Hôpital erfüllt. Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 2. Ableitung des Zählers = ( − 2x 2 − 2x + 12) � = − 4x − 2 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 103 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 103 10.05.2021 11: 54: 36 10.05.2021 11: 54: 36 92 Lösungen zu Kapitel 4: Grenzwerte von Funktionen Ableitung des Nenners = (3x + 9) � = 3 Mit der Regel von de l’Hôpital ergibt sich: lim x →− 3 − 2x 2 − 2x + 12 3x + 9 = lim x →− 3 − 4x − 2 3 Jetzt setzen wir für x den Wert x 0 = − 3 ein: lim x →− 3 − 4x − 2 3 = lim x →− 3 − 4 · ( − 3) − 2 3 = 12 − 2 3 = 10 3 4.6 lim x → 0 x 5 − 12x 4 + x 3 + 3x 2 x 2 = ? Durch Einsetzen von x 0 = 0 ergibt sich: Nenner = 0 = Zähler d. h. es ist die Voraussetzung für die Anwendung der Regel von de l’Hôpital erfüllt. Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 2. Ableitung des Zählers = (x 5 − 12x 4 + x 3 + 3x 2 ) � = 5x 4 − 48x 3 + 3x 2 + 6x Ableitung des Nenners = (x 2 ) � = 2x Mit der Regel von de l’Hôpital ergibt sich: lim x → 0 x 5 − 12x 4 + x 3 + 3x 2 x 2 = lim x → 0 5x 4 − 48x 3 + 3x 2 + 6x 2x Durch Einsetzen von x 0 = 0 ergibt sich: Fazit: Nenner = 0 = Zähler Jetzt wenden wir ein weiteres Mal die Regel von de l’Hôpital an. Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 2. Ableitung des Zählers = (5x 4 − 48x 3 + 3x 2 + 6x ) � = 20x 3 − 144x 2 + 6x + 6 Ableitung des Nenners = (2x ) � = 2 Mit der Regel von de l’Hôpital ergibt sich: lim x → 0 5x 4 − 48x 3 + 3x 2 + 6x 2x = lim x → 0 20x 3 − 144x 2 + 6x + 6 2 Jetzt setzen wir für x den Wert x 0 = 0 ein: lim x → 0 20x 3 − 144x 2 + 6x + 6 2 = 6 2 = 3 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 104 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 104 10.05.2021 11: 54: 36 10.05.2021 11: 54: 36 Lösungen Lösungen zu Kapitel 5: Differentiation von Funktionen einer Variablen Tipp! Die Kettenregel (Formel 11) gilt unter Studierenden als schwerste der fünf Ableitungsregeln (Formel 7 bis Formel 11). Solange nur Funktionen f von einer Variablen x ∈ R betrachtet werden, ist es hilfreich, beim Ableiten mit der Kettenregel die innere Funktion i(x ) und die äußere Funktion a(y ) aufzuschreiben. Ist z. B. die Ableitung der verknüpften Funktion f (x ) = e 3x+7 gesucht, so ist wie folgt vorzugehen: [1] Innere Funktion i(x ) = 3x + 7 und i ′ (x ) = 3 gemäß Formel 2. [2] Äußere Funktion a(y ) = e y und a ′ (y ) = e y gemäß Formel 3. [3] Gemäß Formel 11 wird dort, wo in der Ableitung a ′ (y ) die Variable y steht, die innere Funktion hingeschrieben. Anschließend wir noch mit der Ableitung i ′ (x ) multipliziert. Das ergibt: f ′ (x ) = e 3x+7 · 3 = 3e 3x+7 5.1 [a] ( ln(x 2 + 1) ) ′ = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 11. innere Funktion i(x ) = x 2 + 1 und i ′ (x ) = 2x gemäß Formel 2 äußere Funktion a(y ) = ln(y ) und a ′ (y ) = 1 y gemäß Formel 5 Kettenregel: f ′ (x ) = 1 x 2 + 1 · 2x = 2x x 2 + 1 [b] ( 3 √ x 4 + 5x 2 ) ′ = ? Um 3 √ x 4 ableiten zu können, wird der Term umgeschrieben. Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 26. 3 √ x 4 = x 4 3 93 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 105 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 105 10.05.2021 11: 54: 36 10.05.2021 11: 54: 36 94 Lösungen zu Kapitel 5: Differentiation von Funktionen einer Variablen Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 2, Formel 7 und Formel 8. f � (x ) = ( x 4/ 3 + 5x 2 ) � = 4 3 x 1/ 3 + 10x Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 24. f � (x ) = 4 3 x 1/ 3 + 10x = 4 3 3 √ x + 10x [c] ( x ln x ) � = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 2, Formel 5 und Formel 10. h � (x ) = 1 · ln(x ) − x · 1 x (ln x ) 2 = ln(x ) − 1 (ln x ) 2 [d] ( 1 2 − y + y 2 2 − 2 ln(y ) ) � = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 1, Formel 2, Formel 5, Formel 7 und Formel 8. f � (y ) = 0 − 1 + 2y 2 − 2 · 1 y = − 1 + y − 2 y [e] ( − 20x + 320 √ x − 100 ) � = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 23. ( − 20x + 320 √ x − 100 ) � = ( − 20x + 320 · x 0,5 − 100 ) � = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 1, Formel 2, Formel 7 und Formel 8. G � (x ) = − 20 + 320 · 0,5 · x − 0,5 = − 20 + 160 · x − 0,5 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 106 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 106 10.05.2021 11: 54: 36 10.05.2021 11: 54: 36 Lösungen zu Kapitel 5: Differentiation von Funktionen einer Variablen 95 Lösungen Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 17 und Formel 23. G � (x ) = − 20 + 160 · 1 x 0,5 = − 20 + 160 √ x [f] ( (x 3 + 1) · e x ) � = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 2, Formel 3, Formel 8 und Formel 9. f � (x ) = 3x 2 · e x + (x 3 + 1) · e x = 3x 2 · e x + x 3 · e x + e x = (x 3 + 3x 2 + 1) · e x [g] ( − 10r 1 − 500 r 1 + 200 ) � = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 17. ( − 10r 1 − 500 r 1 + 200 ) � = ( − 10r 1 − 500r − 1 1 + 200 ) � = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 1, Formel 2, Formel 7 und Formel 8. G � (r 1 ) = − 10 − 500 · ( − 1) · r − 2 1 Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 17. G � (r 1 ) = − 10 − 500 · ( − 1) · r − 2 1 = − 10 + 500 r 2 1 [h] ( x 3 + 4 √ x ) � = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 25. ( x 3 + 4 √ x ) � = ( x 3 + x 1 4 ) � = ? 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 107 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 107 10.05.2021 11: 54: 37 10.05.2021 11: 54: 37 96 Lösungen zu Kapitel 5: Differentiation von Funktionen einer Variablen Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 2 und Formel 8. f � (x ) = 3x 2 + 1 4 · x − 3 4 Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 17 und Formel 26. f � (x ) = 3x 2 + 1 4 · 1 x 3 4 = 3x 2 + 1 4 4 √ x 3 [i] ( 1 2x + √ x ) � = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 23. ( 1 2x + √ x ) � = ( 1 2x + x 0,5 ) � = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 17. ( 1 2x + √ x ) � = ( 1 2x + x 0,5 ) � = ( 0,5x − 1 + x 0,5 ) � = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 2, Formel 7 und Formel 8. f � (x ) = − 0,5x − 2 + 0,5x − 0,5 Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 17 und Formel 23. f � (x ) = − 1 2x 2 + 1 2 √ x [j] ( x · ln(x 2 + 1) ) � = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 2, Formel 5, Formel 9 und Formel 11. 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 108 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 108 10.05.2021 11: 54: 37 10.05.2021 11: 54: 37 Lösungen zu Kapitel 5: Differentiation von Funktionen einer Variablen 97 Lösungen g � (x ) = 1 · ln(x 2 + 1) + x · 1 x 2 + 1 · 2x = ln(x 2 + 1) + 2x 2 x 2 + 1 (Hinweis: Eine ausführliche Lösung für die Anwendung der Kettenregel Formel 11 steht in der Aufgabe 5.1 [a].) [k] (2x · ln(x )) � = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 2, Formel 5, Formel 7 und Formel 9. f � (x ) = 2 · ln(x ) + 2x · 1 x = 2 ln(x ) + 2 [l] ( 2x + 12 + 56 x ) � = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 17. ( 2x + 12 + 56 x ) � = ( 2x + 12 + 56x − 1 ) � = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 1, Formel 2, Formel 7 und Formel 8. k � (x ) = 2 − 56x − 2 Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 17. k � (x ) = 2 − 56 x 2 [m] ( 3x 4 + 7x 3 − 3x 2 + ln(x ) + 10 ) � = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 2, Formel 5, Formel 7 und Formel 8. f � (x ) = 12x 3 + 21x 2 − 6x + 1 x 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 109 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 109 10.05.2021 11: 54: 37 10.05.2021 11: 54: 37 98 Lösungen zu Kapitel 5: Differentiation von Funktionen einer Variablen [n] ( e x · √ x ) � = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 23. ( e x · √ x ) � = ( e x · x 0,5 ) � = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 2, Formel 3 und Formel 9. h � (x ) = e x · x 0,5 + e x · 0,5x − 0,5 Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 17. h � (x ) = e x · x 0,5 + e x · 0,5x − 0,5 = e x · x 0,5 + 0,5 · e x · 1 x 0,5 Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 23. h � (x ) = e x √ x + e x 2 √ x [o] ( 2x 2 + 2x − ln(x ) ) � = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 1, Formel 2, Formel 5, Formel 7 und Formel 8. f � (x ) = 4x + 2 − 1 x [p] ( ln(x ) · (x 2 + 1) ) � = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 1, Formel 2, Formel 5, Formel 8 und Formel 9. h � (x ) = 1 x · (x 2 + 1) + ln(x ) · 2x = x + 1 x + 2x ln(x ) 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 110 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 110 10.05.2021 11: 54: 37 10.05.2021 11: 54: 37 Lösungen zu Kapitel 5: Differentiation von Funktionen einer Variablen 99 Lösungen 5.2 [a] ( 2x + 5 x 3 ) � = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 1, Formel 2, Formel 3, Formel 7 und Formel 10. f � (x ) = 2x 3 − (2x + 5) · 3x 2 x 6 = 2x 3 − 6x 3 − 15x 2 x 6 = − 4x 3 − 15x 2 x 6 = x 2 ( − 4x − 15) x 6 Kürzen durch x 2 ergibt: f � (x ) = − 4x − 15 x 4 d. h. [1] ist die richtige Antwort. [b] ( x 2 · e x ) � = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 2, Formel 3 und Formel 9. 1. Lösungsweg: f � (x ) = 2x · e x + x 2 · e x = ( 2 x + 1 ) · x 2 · e x = 2 + x x · x 2 · e x = 2 + x x · f (x ) 2. Lösungsweg: 2 + x x · f (x ) = 2 + x x · x 2 · e x = (2 + x ) · x · e x = 2x e x + x 2 e x = f � (x ) 5.3 [a] ( x 3 + 7x 2 − ln(x ) ) � = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 5, Formel 7 und Formel 8. f � (x ) = 3x 2 + 14x − 1 x Um die Ableitung von 1 x mit Hilfe der Formel 2 zu bestimmen, muss der Term erst einmal umgeschrieben werden: 1 x = x − 1 gemäß Formel 17. Mit der Formel 2 ergibt sich dann: ( x − 1 ) � = ( − 1) · x − 2 = − 1 x 2 Alternativ kann die Ableitung von 1 x auch mit der Quotientenregel Formel 10 wie folgt bestimmt werden: 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 111 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 111 10.05.2021 11: 54: 37 10.05.2021 11: 54: 37 100 Lösungen zu Kapitel 5: Differentiation von Funktionen einer Variablen ( 1 x ) � = 0 · x − 1 · 1 x 2 = − 1 x 2 Somit ergibt sich: f �� (x ) = 6x + 14 − ( − 1 x 2 ) = 6x + 14 + 1 x 2 [b] ( 50x − 20 x ) � = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 2, Formel 7, Formel 8 und Formel 17. f � (x ) = ( 50x − 20 · x − 1 ) � = 50 + 20 x 2 ( 50 + 20 x 2 ) � = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 1, Formel 2, Formel 7, Formel 8 und Formel 17. f �� (x ) = ( 50 + 20 · x − 2 ) � = − 40 x 3 [c] ( ln(x 3 · e x ) ) � = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 34 und Formel 36. g(x ) = ln(x 3 · e x ) = ln(x 3 ) + ln(e x ) = 3 · ln(x ) + x ln(e) ︸ ︷︷ ︸ =1 = 3 ln(x ) + x (3 ln(x ) + x ) � = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 2, Formel 5, Formel 7 und Formel 8. g � (x ) = 3 x + 1 ( 3 x + 1 ) � = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 1, Formel 7, Formel 8 und Formel 17. g �� (x ) = ( 3 · x − 1 + 1 ) � = − 3 x 2 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 112 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 112 10.05.2021 11: 54: 37 10.05.2021 11: 54: 37 Lösungen zu Kapitel 5: Differentiation von Funktionen einer Variablen 101 Lösungen [d] ( 3x 2 − 30x + 450 + 1 152 x ) � = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 1, Formel 2, Formel 7, Formel 8 und Formel 17. k � (x ) = ( 3x 2 − 30x + 450 + 1 152 · x − 1 ) � = 6x − 30 − 1 152 x 2 ( 6x − 30 − 1 152 x 2 ) � = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 1, Formel 2, Formel 7, Formel 8 und Formel 17. k �� (x ) = ( 6x + 30 − 1 152 · x − 2 ) � = 6 + 2 304 x 3 Das sollten Sie wissen! Die Elastizität ε f (x ) (Formel 12) einer Funktion f im Punkt x gibt an, um wie viel Prozent sich der Wert von f (x ) in etwa verändert, wenn das Argument x um ein Prozent erhöht wird. 5.4 [a] Rein rechnerisch ist für p = − 7 der Nenner null. Jedoch kann ökonomisch betrachtet der Preis p pro ME nur Werte gleich oder größer null annehmen, sodass der Definitionsbereich von x (p) das Intervall [0; ∞ ) ist. [b] ε x (8) = ? x (8) = 75 7 + 8 = 75 15 = 5 x � (p) = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 17. x � (p) = ( 75 7 + p ) � = ( 75 · (7 + p) − 1 ) � = ? 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 113 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 113 10.05.2021 11: 54: 38 10.05.2021 11: 54: 38 102 Lösungen zu Kapitel 5: Differentiation von Funktionen einer Variablen Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 1, Formel 2, Formel 8 und Formel 11. innere Funktion i(p) = 7 + p ⇒ i � (p) = (7 + p) � = 1 äußere Funktion a(p) = 75 · p − 1 ⇒ a � (p) = (75 · p − 1 ) � = − 75 · p − 2 x � (p) = ( 75 7 + p ) � = ( 75 · (7 + p) − 1 ) � = 75 · ( − 1) · (7 + p) − 2 · 1 = − 75 (7 + p) 2 x � (8) = − 75 (7 + 8) 2 = − 75 225 = − 1 3 Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 12. ε x (8) = − 1 3 · 8 5 = − 0,53 d. h. steigt der Preis von 8 GE um ein Prozent, so sinkt der Absatz um 0,53 Prozent. 5.5 [a] p ∈ ? x p 18 0 0 30 d. h. p ∈ [0; 30] [b] ε x (11) = ? x (11) = 11,4 x � (p) = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 1, Formel 2, Formel 7 und Formel 8. x � (p) = − 0,6 Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 12. ε x (11) = ( − 0,6) · 11 11,4 = − 0,57895 . . . d. h. steigt der Preis von 11 GE um ein Prozent, so sinkt der Absatz um etwa 0,58 %. 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 114 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 114 10.05.2021 11: 54: 38 10.05.2021 11: 54: 38 Lösungen zu Kapitel 5: Differentiation von Funktionen einer Variablen 103 Lösungen 5.6 [a] Rein rechnerisch ist für p = − 5 der Nenner null. Jedoch kann ökonomisch betrachtet der Preis p pro ME nur Werte gleich oder größer null annehmen, sodass der Definitionsbereich von x (p) das Intervall [0; ∞ ) ist. [b] ε x (5) = ? x (5) = 100 5 + 5 = 10 x � (p) = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 17. x � (p) = ( 100 · (5 + p) − 1 ) � Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 1, Formel 2, Formel 8 und Formel 11. innere Funktion i(p) = 5 + p ⇒ i � (p) = (5 + p) � = 1 äußere Funktion a(p) = 100 · p − 1 ⇒ a � (p) = (100 · p − 1 ) � = − 100 · p − 2 x � (p) = ( 100 · (5 + p) − 1 ) � = 100 · ( − 1) · (5 + p) − 2 = − 100 (5 + p) 2 x � (5) = − 100 10 2 = − 1 Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 12. ε x (5) = ( − 1) · 5 10 = − 0,5 d. h. steigt der Preis von 5 GE um ein Prozent, so sinkt der Absatz um etwa 0,5 %. Das sollten Sie wissen! Eigenschaft Überprüfung f monoton f � (x ) ≥ 0 steigend in [a; b] für alle x ∈ (a; b) f monoton f � (x ) ≤ 0 fallend in [a; b] für alle x ∈ (a; b) 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 115 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 115 10.05.2021 11: 54: 38 10.05.2021 11: 54: 38 104 Lösungen zu Kapitel 5: Differentiation von Funktionen einer Variablen 5.7 Graf der Preis-Absatz Funktion p(x ) = x 2 − 28x + 196 ; x ∈ [0; 9] 0 2 4 6 8 50 100 150 200 x p(x ) = x 2 − 28x + 196 Um zu zeigen, dass die Preis-Absatz Funktion monoton fallend, muss die erste Ableitung immer negativ sein. p ′ (x ) = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 2, Formel 7 und Formel 8. p ′ (x ) = 2x − 28 < 0 für alle x ∈ [0; 9] Graf der ersten Ableitung p ′ (x ) = 2x − 28 ; x ∈ [0; 9] der Preis-Absatz Funktion 0 2 4 6 8 − 25 − 20 − 15 − 10 x p ′ (x ) = 2x − 28 d. h. p(x ) ist monoton fallend. 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 116 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 116 10.05.2021 11: 54: 38 10.05.2021 11: 54: 38 Lösungen zu Kapitel 5: Differentiation von Funktionen einer Variablen 105 Lösungen Da die Werte der ersten Ableitung im Intervall [0; 9] immer echt kleiner als null sind, ist die Preis-Absatz Funktion sogar streng monoton fallend. Das sollten Sie wissen! Grenzanalyse: Die Grenzkosten K ′ (x 0 ) einer Kostenfunktion an der Stelle x 0 geben an, um wie viele GE sich die Kosten (in etwa) verändern, wenn statt x 0 ME jetzt x 0 + 1 ME hergestellt werden. Der Grenzerlös U ′ (x 0 ) einer Umsatzfunktion an der Stelle x 0 gibt an, um wie viele GE sich der Umsatz (in etwa) verändert, wenn statt x 0 ME jetzt x 0 + 1 ME produziert und abgesetzt werden. Die Grenzproduktivität x ′ (r 0 ) gibt an, um wie viele Einheiten sich die Ausbringungsmenge (in etwa) verändert, wenn statt r 0 Einheiten jetzt r 0 + 1 Einheiten des Produktionsfaktors in den Produktionsprozess gesteckt werden. 5.8 [1] K ′ (x ) = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 2, Formel 7 und Formel 8. K ′ (x ) = 12x 2 − 96x + 320 K ′ (4) = 128 d. h. werden statt 4 ME jetzt 5 ME hergestellt, so steigen die Kosten um etwa 128 000 Euro. Probe: x 4 5 K(x ) 2 060 2 192 = 2 060 + 132 ≈ 2 060 + 128 d. h. werden statt 4 ME jetzt 5 ME hergestellt, so steigen die Kosten um exakt 132 000 Euro. Die Grenzkosten in Höhe von 128 000 Euro an der Stelle x = 4 sind lediglich ein Näherungswert für den Kostenanstieg. [2] Die variablen Kosten betragen: K v (x ) = 4x 3 − 48x 2 + 320x ; x ≥ 0 Um die variablen Stückkosten zu erhalten, werden die variablen Kosten durch x dividiert. k v (x ) = K v (x ) x = 4x 2 − 48x + 320 Durch x darf aber nur dann dividiert werden, wenn x ungleich null ist. Deshalb muss der Wert x = 0 beim Definitionsbereich der variablen Stückkosten ausgeschlossen werden. 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 117 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 117 10.05.2021 11: 54: 38 10.05.2021 11: 54: 38 106 Lösungen zu Kapitel 5: Differentiation von Funktionen einer Variablen Das ergibt: k v (x ) = K v (x ) x = 4x 2 − 48x + 320 ; x > 0 5.9 K ′ (x ) = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 2, Formel 7 und Formel 8. K ′ (x ) = 6x 2 − 36x + 250 [1] K(6) = 1 384 und K ′ (6) = 250 [2] Werden statt 6 ME jetzt 7 ME hergestellt, so steigen die Kosten um etwa 250 GE. Probe: x 6 7 K(x ) 1 384 1 654 = 1 384 + 270 ≈ 1 384 + 250 d. h. werden statt 6 ME jetzt 7 ME hergestellt, so steigen die Kosten um exakt 270 GE. Die Grenzkosten in Höhe von 250 GE an der Stelle x = 6 sind lediglich ein Näherungswert für den Kostenanstieg. 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 118 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 118 10.05.2021 11: 54: 38 10.05.2021 11: 54: 38 Lösungen Lösungen zu Kapitel 6: Kurvendiskussion von f(x) Tipp! Zur Unterscheidung, ob eine lokale oder globale Extremstelle vorliegt, soll das folgende Entscheidungsdiagramm helfen: f ′ (x 0 ) = 0 f ′′ (x 0 ) = 0? f ′′′ (x 0 ) = 0? Vorzeichen von f (4) (x 0 ) untersuchen f ′′ hat immer dasselbe Vorzeichen? x 0 Sattelstelle f ′′ (x 0 ) > 0? f ′′ > immer 0? x 0 lok. Max. x 0 lok. Min. x 0 glob. Max. x 0 glob. Min. nein nein ja ja nein ja nein ja nein ja Das sollten Sie wissen! Es liegt eine Wendestelle von f in x 0 vor, wenn gilt: f ′′ (x 0 ) = 0 und f ′′′ (x 0 ) = 0 107 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 119 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 119 10.05.2021 11: 54: 39 10.05.2021 11: 54: 39 108 Lösungen zu Kapitel 6: Kurvendiskussion von f(x) 6.1 Graf der Funktion f (x ) = 2x 2 + 2x − ln(x ) ; x > 0 0 1 2 3 4 5 0 20 40 60 x f (x ) = 2x 2 + 2x − ln(x ) Zunächst bestimmen wir die ersten drei Ableitungen. f � (x ) = ( 2x 2 + 2x − ln(x ) ) � = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 2, Formel 5, Formel 7 und Formel 8. f � (x ) = 4x + 2 − 1 x f �� (x ) = ( 4x + 2 − 1 x ) � = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 17. f �� (x ) = ( 4x + 2 − 1 x ) � = ( 4x + 2 − x − 1 ) � = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 1, Formel 2, Formel 7 und Formel 8. f �� (x ) = ( 4x + 2 − x − 1 ) � = 4 − ( − 1) · x − 2 = 4 + x − 2 Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 17. f �� (x ) = 4 + x − 2 = 4 + 1 x 2 f ��� (x ) = ( 4 + 1 x 2 ) � = ? 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 120 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 120 10.05.2021 11: 54: 39 10.05.2021 11: 54: 39 Lösungen zu Kapitel 6: Kurvendiskussion von f(x) 109 Lösungen Die dritte Ableitung kann ohne (siehe 1. Lösungsweg) oder mit (siehe 2. Lösungsweg) der Quotientenregel Formel 10 bestimmt werden. 1. Lösungsweg: Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 17. f ��� (x ) = ( 4 + 1 x 2 ) � = ( 4 + x − 2 ) � = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 1, Formel 2 und Formel 8. f ��� (x ) = ( 4 + x − 2 ) � = − 2x − 3 Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 17. f ��� (x ) = − 2x − 3 = − 2 x 3 2. Lösungsweg: Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 10. f ��� (x ) = ( 4 + 1 x 2 ) � = 0 + 0 · x 2 − 1 · 2x x 4 = − 2x x 4 = − 2 x 3 Um Wendestellen zu finden, werden Nullstellen der zweiten Ableitung gesucht: 0 = f �� (x ) = 4 + 1 x 2 Die Gleichung wird mit x 2 multipliziert: 0 = 4x 2 + 1 Auf beiden Seiten der Gleichung wird die Zahl Eins subtrahiert: 4x 2 = − 1 Die Gleichung wird durch 4 geteilt: x 2 = − 1 4 Das ist ein Widerspruch; d. h. f �� (x ) hat keine Nullstellen. Also besitzt f (x ) keine Wendestellen. 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 121 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 121 10.05.2021 11: 54: 39 10.05.2021 11: 54: 39 110 Lösungen zu Kapitel 6: Kurvendiskussion von f(x) 6.2 Zunächst wird im Zähler x 2 ausgeklammert. Anschließend wird der Bruch durch x 2 gekürzt: f (x ) = x 5 − 12x 4 + x 3 + 3x 2 x 2 = x 2 (x 3 − 12x 2 + x + 3) x 2 = x 3 − 12x 2 + x + 3 Graf der Funktion f (x ) = x 3 − 12x 2 + x + 3 ; x ∈ R \{ 0 } 0 2 4 6 8 − 250 − 200 − 150 − 100 − 50 0 x f (x ) = x 3 − 12x 2 + x + 3 f ′ (x ) = ( x 3 − 12x 2 + x + 3 ) ′ = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 1, Formel 2, Formel 7 und Formel 8. f ′ (x ) = 3x 2 − 24x + 1 f ′′ (x ) = ( 3x 2 − 24x + 1 ) ′ = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 1, Formel 2, Formel 7 und Formel 8. f ′′ (x ) = 6x − 24 f ′′′ (x ) = (6x − 24) ′ = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 1, Formel 2, Formel 7 und Formel 8. f ′′′ (x ) = 6 Die Wendestelle wird in den folgenden zwei Schritten bestimmt: [1] 0 = f ′′ (x ) = 6x − 24 ⇔ x = 4 [2] f ′′′ (4) = 6 � = 0 d. h. x = 4 ist eine Wendestelle. 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 122 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 122 10.05.2021 11: 54: 39 10.05.2021 11: 54: 39 Lösungen zu Kapitel 6: Kurvendiskussion von f(x) 111 Lösungen 6.3 Graf der Funktion f (x ) = (x − 7) 3 ; x ∈ R 0 2 4 6 8 10 12 14 − 400 − 200 0 200 400 x f (x ) = (x − 7) 3 f ′ (x ) = ( (x − 7) 3 ) ′ = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 11. innere Funktion i(x ) = x − 7 und i ′ (x ) = 1 äußere Funktion a(y ) = y 3 und a ′ (y ) = 3y 2 f ′ (x ) = 3 · (x − 7) 2 · 1 = 3(x − 7) 2 f ′′ (x ) = ( 3(x − 7) 2 ) ′ = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 11. innere Funktion i(x ) = x − 7 und i ′ (x ) = 1 äußere Funktion a(y ) = 3y 2 und a ′ (y ) = 6y f ′′ (x ) = 6 · (x − 7) · 1 = 6(x − 7) f ′′′ (x ) = (6(x − 7)) ′ = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 1, Formel 2, Formel 7 und Formel 8. f ′′′ (x ) = (6(x − 7)) ′ = (6x − 42) ′ = 6 Die Sattelstelle wird in den folgenden drei Schritten bestimmt: [1] 0 = f ′′ (x ) = 6(x − 7) ⇔ x = 7 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 123 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 123 10.05.2021 11: 54: 39 10.05.2021 11: 54: 39 112 Lösungen zu Kapitel 6: Kurvendiskussion von f(x) [2] f ′′′ (7) = 6 � = 0 [3] f ′ (7) = 3(7 − 7) 2 = 0 d. h. x = 7 ist eine Sattelstelle. 6.4 variable Stückkosten: k v (x ) = 4x 3 − 48x 2 + 320x x = 4x 2 − 48x + 320 ; x > 0 [1] k ′ v (x ) = ( 4x 2 − 48x + 320 ) ′ = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 1, Formel 2, Formel 7 und Formel 8. k ′ v (x ) = 8x − 48 k ′′ v (x ) = (8x − 48) ′ = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 1, Formel 2, Formel 7 und Formel 8. k ′′ v (x ) = 8 Notwendige Bedingung: 0 = k ′ v (x ) = 8x − 48 ⇔ x = 6 Hinreichende Bedingung: k ′′ v (x ) = 8 > immer 0 d. h. k v (x ) hat in x = 6 ein globales Minimum. [2] K ′ (x ) = ( 4x 3 − 48x 2 + 320x + 1 292 ) ′ = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 1, Formel 2, Formel 7 und Formel 8. K ′ (x ) = 12x 2 − 96x + 320 K ′ (6) = 12 · 36 − 96 · 6 + 320 = 176 k v (6) = 4 · 36 − 48 · 6 + 320 = 176 Somit sind die Grenzkosten und die variablen Stückkosten an der Betriebsminimum- Stelle gleich groß. 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 124 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 124 10.05.2021 11: 54: 40 10.05.2021 11: 54: 40 Lösungen zu Kapitel 6: Kurvendiskussion von f(x) 113 Lösungen Schnittstelle von Grenzkosten K ′ (x ) und variablen Stückkosten k v (x ) 0 2 4 6 8 10 12 200 400 600 800 x K ′ (x ), k v (x ) K ′ (x ) k v (x ) 6.5 Graf der Funktion P (x ) = 2 √ 6x − x + 94 ; x ∈ (0; 24) 0 5 10 15 20 25 94 96 98 100 x P (x ) = 2 √ 6x − x + 94 Vor dem Ableiten wird der Term √ 6x umgeschrieben. Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 29 mit n = 2 und r = 1 . √ 6x = √ 6 · √ x Gemäß der Formel 25 gilt: √ 6 · √ x = √ 6 · x 0,5 P ′ (x ) = ( 2 · √ 6 · x 0,5 − x + 94 ) ′ = ? 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 125 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 125 10.05.2021 11: 54: 40 10.05.2021 11: 54: 40 114 Lösungen zu Kapitel 6: Kurvendiskussion von f(x) Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 1, Formel 2, Formel 7 und Formel 8. P � (x ) = 2 · √ 6 · 0,5 · x − 0,5 − 1 = √ 6 · x − 0,5 − 1 Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 17 und Formel 23. P � (x ) = √ 6 · x − 0,5 − 1 = √ 6 · 1 √ x − 1 P �� (x ) = ( √ 6 · 1 √ x − 1 ) � = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 17 und Formel 23. P �� (x ) = ( √ 6 · 1 √ x − 1 ) � = ( √ 6 · x − 0,5 − 1 ) � = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 1, Formel 2, Formel 7 und Formel 8. P �� (x ) = ( √ 6 · x − 0,5 − 1 ) � = √ 6 · ( − 0,5) · x − 1,5 Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 17, Formel 23 und Formel 29. P �� (x ) = √ 6 · ( − 0,5) · x − 1,5 = −√ 6 2 · 1 x 1,5 = − √ 6 4 · 1 √ x 3 = −√ 1,5 √ x 3 Notwendige Bedingung: 0 = P � (x ) = √ 6 · 1 √ x − 1 Die Multiplikation mit √ x ergibt: 0 = √ 6 − √ x ⇔ √ x = √ 6 ⇔ x = 6 Hinreichende Bedingung: P �� (x ) = −√ 1,5 √ x 3 < immer 0 ; für x ∈ (0; 24) d. h. x = 6 globale Maximalstelle P (6) = 2 · √ 36 − 6 + 94 = 18 − 6 + 94 = 100 d. h. der Student würde mit einem Einsatz von sechs Stunden pro Tag 100 Punkte in der Klausur erzielen. 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 126 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 126 10.05.2021 11: 54: 40 10.05.2021 11: 54: 40 Lösungen zu Kapitel 6: Kurvendiskussion von f(x) 115 Lösungen 6.6 [1] x ∈ ? x p 0 1 200 120 0 d. h. der Definitionsbereich von p(x ) ist das Intervall [0; 120]. [2] U(x ) = x · p(x ) = 1 200x − 10x 2 ; x ∈ [0; 120] G(x ) = U(x ) − K(x ) = − 1 3 x 3 + 30x 2 − 500x − 666 2 3 ; x ∈ [0; 120] Der Definitionsbereich von K(x ) ist das Intervall [0; ∞ ) . Der Definitionsbereich von U(x ) ist das Intervall [0; 120]. Der Definitionsbereich von G(x ) ist der Durchschnitt [0; ∞ ) ∩ [0; 120] = [0; 120] . [3] G ′ (x ) = ( − 1 3 x 3 + 30x 2 − 500x − 666 2 3 ) ′ = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 1, Formel 2, Formel 7 und Formel 8. G ′ (x ) = − x 2 + 60x − 500 G ′′ (x ) = ( − x 2 + 60x − 500 ) ′ = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 1, Formel 2, Formel 7 und Formel 8. G ′′ (x ) = − 2x + 60 Notwendige Bedingung: 0 = G ′ (x ) = − x 2 + 60x − 500 | · ( − 1) 0 = x 2 − 60x + 500 Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 15. x = 30 ± √ 900 − 500 = 30 ± 20 ⇔ x = 50 oder x = 10 Hinreichende Bedingung: G ′′ (x ) = − 2x + 60 kann sowohl positiv als auch negativ sein G ′′ (10) = 40 > 0 ; d. h. x = 10 lok. Minimalstelle G ′′ (50) = − 40 < 0 ; d. h. x = 50 lok. Maximalstelle 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 127 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 127 10.05.2021 11: 54: 40 10.05.2021 11: 54: 40 116 Lösungen zu Kapitel 6: Kurvendiskussion von f(x) Graf der Funktion G(x ) = − 1 3 x 3 + 30x 2 − 500x − 666 2 3 ; x ∈ [0; 120] 0 20 40 60 − 4000 − 2000 0 2000 4000 6000 8000 x G(x ) = − 1 3 x 3 + 30x 2 − 500x − 666 2 3 Aus der Grafik ist ersichtlich, dass die Stelle x = 50 sogar eine globale Maximalstelle ist. G(50) = 7 666,67 ; d. h. der maximale Gewinn beträgt 7 666,67 GE. 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 128 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 128 10.05.2021 11: 54: 40 10.05.2021 11: 54: 40 Lösungen Lösungen zu Kapitel 7: Differentiation von Funktionen mehrerer Variablen Das sollten Sie wissen! Der Wert einer gemischten partiellen Ableitung ist für gegebene Werte x und y von der Reihenfolge, in der die gemischte Ableitung gebildet wird, unabhängig, wenn die gemischte Ableitung in dem betrachteten Punkt stetig ist: f x,y (x , y ) = f y x (x , y ) Tipp! Die Kettenregel (Formel 11) gilt unter Studierenden als schwerste der fünf Ableitungsregeln (Formel 7 bis Formel 11). Werden Funktionen f von zwei Variablen x , y ∈ R betrachtet, so ist es hilfreich, beim partiellen Ableiten mit der Kettenregel die innere Funktion i(x , y ) und die äußere Funktion a(t) aufzuschreiben, wobei die äußere Funktion eine Funktion von R nach R ist, also t ∈ R . Ist z. B. die partielle Ableitung f x (x , y ) der verknüpften Funktion f (x , y ) = e 3x − 7y gesucht, so ist wie folgt vorzugehen: [1] Innere Funktion i(x , y ) = 3x − 7y und i x (x , y ) = 3 gemäß Formel 2. [2] Äußere Funktion a(t) = e t und a � (t) = e t gemäß Formel 3. [3] Gemäß Formel 11 wird dort, wo in der Ableitung a � (t) die Variable t steht, die innere Funktion hingeschrieben. Anschließend wir noch mit der Ableitung i x (x , y ) multipliziert. Das ergibt: f x (x , y ) = e 3x − 7y · 3 = 3e 3x − 7y 7.1 [a] f x (x , y ) = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 11. innere Funktion i(x , y ) = 7x − 5y und i x (x , y ) = 7 äußere Funktion a(t) = t 3 und a � (t) = 3t 2 f x (x , y ) = 3(7x − 5y ) 2 · 7 = 21(7x − 5y ) 2 f y (x , y ) = ? 117 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 129 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 129 10.05.2021 11: 54: 41 10.05.2021 11: 54: 41 118 Lösungen zu Kapitel 7: Differentiation von Funktionen mehrerer Variablen Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 11. innere Funktion i(x , y ) = 7x − 5y und i y (x , y ) = − 5 äußere Funktion a(t) = t 3 und a ′ (t) = 3t 2 f y (x , y ) = 3(7x − 5y ) 2 · ( − 5) = − 15(7x − 5y ) 2 f x x (x , y ) = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 11. innere Funktion i(x , y ) = 7x − 5y und i x (x , y ) = 7 äußere Funktion a(t) = 21t 2 und a ′ (t) = 42t f x x (x , y ) = 42(7x − 5y ) · 7 = 294(7x − 5y ) f y y (x , y ) = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 11. innere Funktion i(x , y ) = 7x − 5y und i y (x , y ) = − 5 äußere Funktion a(t) = − 15t 2 und a ′ (t) = − 30t f y y (x , y ) = − 30(7x − 5y ) · ( − 5) = 150(7x − 5y ) f x y (x , y ) = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 11. 1. Lösungsweg: partielle Ableitung von f x (x , y ) in Richtung der y -Achse innere Funktion i(x , y ) = 7x − 5y und i y (x , y ) = − 5 äußere Funktion a(t) = 21t 2 und a ′ (t) = 42t f x y (x , y ) = 42(7x − 5y ) · ( − 5) = − 210(7x − 5y ) 2. Lösungsweg: partielle Ableitung von f y (x , y ) in Richtung der x -Achse innere Funktion i(x , y ) = 7x − 5y und i x (x , y ) = 7 äußere Funktion a(t) = − 15t 2 und a ′ (t) = − 30t f y x (x , y ) = − 30(7x − 5y ) · 7 = − 210(7x − 5y ) 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 130 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 130 10.05.2021 11: 54: 41 10.05.2021 11: 54: 41 Lösungen zu Kapitel 7: Differentiation von Funktionen mehrerer Variablen 119 Lösungen [b] partielle Ableitungen erster und zweiter Ordnung = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 8. f x (x , y , z ) = 2x + 2y + 2 f y (x , y , z ) = 2x + 4y − 2a f z (x , y , z ) = 3z 2 − 27 f x x (x , y , z ) = 2 f y y (x , y , z ) = 4 f z z (x , y , z ) = 6z f x y (x , y , z ) = 2 f x z (x , y , z ) = 0 f y z (x , y , z ) = 0 [c] partielle Ableitungen erster und zweiter Ordnung = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 8. f x 1 (x 1 , x 2 , x 3 ) = − 2x 1 − x 2 f x 2 (x 1 , x 2 , x 3 ) = − 2x 2 − x 1 + x 3 f x 3 (x 1 , x 2 , x 3 ) = − 2ax 3 + x 2 f x 1 x 1 (x 1 , x 2 , x 3 ) = − 2 f x 2 x 2 (x 1 , x 2 , x 3 ) = − 2 f x 3 x 3 (x 1 , x 2 , x 3 ) = − 2a f x 1 x 2 (x 1 , x 2 , x 3 ) = − 1 f x 1 x 3 (x 1 , x 2 , x 3 ) = 0 f x 2 x 3 (x 1 , x 2 , x 3 ) = 1 7.2 [a] f x (x , y ) = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 8. f x (x , y ) = e x + 4x y f y (x , y ) = ? 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 131 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 131 10.05.2021 11: 54: 41 10.05.2021 11: 54: 41 120 Lösungen zu Kapitel 7: Differentiation von Funktionen mehrerer Variablen Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 11. Zunächst wird die verknüpfte Funktion a(i(x , y )) = ln(y 2 + 1) mit der Kettenregel abgeleitet: innere Funktion i(x , y ) = y 2 + 1 und i y (x , y ) = 2y äußere Funktion a(t) = ln(t) und a ′ (t) = 1 t mit Formel 5 Somit beträgt die partielle Ableitung von ln(y 2 + 1) in Richtung der y -Achse: 1 y 2 + 1 · 2y = 2y y 2 + 1 Daraus ergibt sich: f y (x , y ) = 2y y 2 + 1 + 2x 2 f x x (x , y ) = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 8. f x x (x , y ) = e x + 4y f y y (x , y ) = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 10. f y y (x , y ) = 2(y 2 + 1) − 2y · 2y (y 2 + 1) 2 = 2y 2 + 2 − 4y 2 (y 2 + 1) 2 = 2 − 2y 2 (y 2 + 1) 2 = 2 · 1 − y 2 (y 2 + 1) 2 f x y (x , y ) = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 8. f x y (x , y ) = 4x 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 132 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 132 10.05.2021 11: 54: 41 10.05.2021 11: 54: 41 Lösungen zu Kapitel 7: Differentiation von Funktionen mehrerer Variablen 121 Lösungen [b] f x (x , y , z ) = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 11. innere Funktion i(x , y , z ) = z − x und i x (x , y , z ) = − 1 äußere Funktion a(t) = t 3 und a ′ (t) = 3t 2 f x (x , y , z ) = 8x − 2y + 3(z − x ) 2 · ( − 1) = 8x − 2y − 3(z − x ) 2 f y (x , y , z ) = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 8. f y (x , y , z ) = − 2x + 5 f z (x , y , z ) = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 11. innere Funktion i(x , y , z ) = z − x und i z (x , y , z ) = 1 äußere Funktion a(t) = t 3 und a ′ (t) = 3t 2 f z (x , y , z ) = 3(z − x ) 2 · 1 = 3(z − x ) 2 f x x (x , y , z ) = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 11. innere Funktion i(x , y , z ) = z − x und i x (x , y , z ) = − 1 äußere Funktion a(t) = 3t 2 und a ′ (t) = 6t f x x (x , y , z ) = 8 − 6(z − x ) · ( − 1) = 8 + 6(z − x ) f y y (x , y , z ) = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 1. f y y (x , y , z ) = 0 f z z (x , y , z ) = ? 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 133 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 133 10.05.2021 11: 54: 42 10.05.2021 11: 54: 42 122 Lösungen zu Kapitel 7: Differentiation von Funktionen mehrerer Variablen Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 11. innere Funktion i(x , y , z ) = z − x und i z (x , y , z ) = 1 äußere Funktion a(t) = 3t 2 und a � (t) = 6t f z z (x , y , z ) = 6(z − x ) · 1 = 6(z − x ) f x y (x , y , z ) = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 8. f x y (x , y , z ) = − 2 f x z (x , y , z ) = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 11. innere Funktion i(x , y , z ) = z − x und i z (x , y , z ) = 1 äußere Funktion a(t) = − 3t 2 und a � (t) = − 6t f x z (x , y , z ) = − 6(z − x ) · 1 = − 6(z − x ) f y z (x , y , z ) = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 1. f y z (x , y , z ) = 0 [c] h x (x , y ) = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 11. innere Funktion i(x , y ) = 0,4x − 2y und i x (x , y ) = 0,4 äußere Funktion a(t) = e t und a � (t) = e t mit Formel 3 h x (x , y ) = 2e 0,4x − 2y · 0,4 = 0,8e 0,4x − 2y h y (x , y ) = ? 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 134 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 134 10.05.2021 11: 54: 42 10.05.2021 11: 54: 42 Lösungen zu Kapitel 7: Differentiation von Funktionen mehrerer Variablen 123 Lösungen Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 11. innere Funktion i(x , y ) = 0,4x − 2y und i y (x , y ) = − 2 äußere Funktion a(t) = e t und a � (t) = e t mit Formel 3 h y (x , y ) = 2e 0,x − 2y · ( − 2) = − 4e 0,4x − 2y h x x (x , y ) = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 11. innere Funktion i(x , y ) = 0,4x − 2y und i x (x , y ) = 0,4 äußere Funktion a(t) = e t und a � (t) = e t mit Formel 3 h x x (x , y ) = 0,8e 0,4x − 2y · 0,4 = 0,32e 0,4x − 2y h y y (x , y ) = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 11. innere Funktion i(x , y ) = 0,4x − 2y und i y (x , y ) = − 2 äußere Funktion a(t) = e t und a � (t) = e t mit Formel 3 h y y (x , y ) = − 4e 0,4x − 2y · ( − 2) = 8e 0,4x − 2y h x y (x , y ) = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 11. innere Funktion i(x , y ) = 0,4x − 2y und i y (x , y ) = − 2 äußere Funktion a(t) = 0,8e t und a � (t) = 0,8e t mit Formel 3 h x y (x , y ) = 0,8e 0,4x − 2y · ( − 2) = − 1,6e 0,4x − 2y 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 135 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 135 10.05.2021 11: 54: 42 10.05.2021 11: 54: 42 124 Lösungen zu Kapitel 7: Differentiation von Funktionen mehrerer Variablen 7.3 [a] f x (x , y ) = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 11. innere Funktion i(x , y ) = x 4 + 1 und i x (x , y ) = 4x 3 äußere Funktion a(t) = ln(t) und a ′ (t) = 1 t mit Formel 5 Somit beträgt die partielle Ableitung von ln(x 4 + 1) in Richtung der x -Achse: 1 x 4 + 1 · 4x 3 = 4x 3 x 4 + 1 Daraus ergibt sich: f x (x , y ) = y 4 + 4x 3 x 4 + 1 + 1 y f y (x , y ) = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 10. f y (x , y ) = x · 4y 3 + 0 · y − x · 1 y 2 = 4x y 3 − x y 2 [b] f x (x , y , z ) = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 8. f x (x , y , z ) = 2x − y + 1 f y (x , y , z ) = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 8. f y (x , y , z ) = − x + y − 4 f z (x , y , z ) = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 11. 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 136 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 136 10.05.2021 11: 54: 42 10.05.2021 11: 54: 42 Lösungen zu Kapitel 7: Differentiation von Funktionen mehrerer Variablen 125 Lösungen innere Funktion i(x , y , z ) = z 2 + 1 und i z (x , y , z ) = 2z äußere Funktion a(t) = ln(t) und a ′ (t) = 1 t mit Formel 5 Somit beträgt die partielle Ableitung von ln(z 2 + 1) in Richtung der z -Achse: f z (x , y , z ) = 1 z 2 + 1 · 2z = 2z z 2 + 1 7.4 [a] partielle Ableitungen erster und zweiter Ordnung = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 8. f x (x , y ) = 20x + 2y f y (x , y ) = − 15y 2 + 2x f x x (x , y ) = 20 f y y (x , y ) = − 30y f x y (x , y ) = 2 [b] partielle Ableitungen erster und zweiter Ordnung = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 8. f x (x , y ) = 2x y + 4 f y (x , y ) = x 2 − 4 f x x (x , y ) = 2y f y y (x , y ) = 0 f x y (x , y ) = 2x [c] partielle Ableitungen erster und zweiter Ordnung = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 8. f x (x , y ) = x 2 − 3x + 2 f y (x , y ) = y − 4 f x x (x , y ) = 2x − 3 f y y (x , y ) = 1 f x y (x , y ) = 0 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 137 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 137 10.05.2021 11: 54: 42 10.05.2021 11: 54: 42 126 Lösungen zu Kapitel 7: Differentiation von Funktionen mehrerer Variablen [d] partielle Ableitungen erster und zweiter Ordnung = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 8. f x (x , y ) = x 2 + 4x f y (x , y ) = − 4 + y 2 f x x (x , y ) = 2x + 4 f y y (x , y ) = 2y f x y (x , y ) = 0 7.5 ε K,x (x ; y ) = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 2 und Formel 13. K x (x ; y ) = 2 ε K,x (x ; y ) = K x (x ; y ) · x K(x ; y ) = 2 · x 2x + 4y + 10 ε K,y (x ; y ) = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 2 und Formel 14. K y (x ; y ) = 4 ε K,y (x ; y ) = K y (x ; y ) · y K(x ; y ) = 4 · y 2x + 4y + 10 Wenn beide partiellen Elastizitäten gleich groß sein sollen, muss gelten: 2 · x 2x + 4y + 10 = 4 · y 2x + 4y + 10 Die Multiplikation der Gleichung mit dem Nenner 2x + 4y + 10 ergibt: 2x = 4y ⇔ x = 2y d. h. die ME von Gut A müssen das Doppelte der ME von Gut B betragen. Probe: Angenommen y beträgt fünf, also y = 5 ME von Gut B, dann muss x zehn betragen, also x = 2 · y = 2 · 5 = 10 ME von Gut A. Dann gilt für die partiellen Elastizitäten an der Stelle (x ; y ) = (10; 5) : ε K,x (10; 5) = 2 · 10 20 + 20 + 10 = 20 50 = 0,4 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 138 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 138 10.05.2021 11: 54: 43 10.05.2021 11: 54: 43 Lösungen zu Kapitel 7: Differentiation von Funktionen mehrerer Variablen 127 Lösungen ε K,y (10; 5) = 4 · 5 20 + 20 + 10 = 20 50 = 0,4 d. h. die beiden partiellen Elastizitäten sind gleich groß. 7.6 Zunächst wird √ x mit der Formel 23 umgeschrieben zu √ x = x 0,5 . Die partiellen Ableitungen ergeben sich dann gemäß Formel 2 wie folgt: r x (x , y ) = 0,5 · x − 0,5 Mit Formel 17 und Formel 23 gilt dann: r x (x , y ) = 0,5 · x − 0,5 = 1 2 √ x r y (x , y ) = 2y ε r,x (4, 1) + ε r,y (4, 1) = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 13 und Formel 14. Die Skalenelastizität ist ε r,x (x , y ) + ε r,y (x , y ) = 1 2 √ x · x √ x + y 2 + 2y · y √ x + y 2 An der Stelle (x , y ) = (4, 1) ergibt sich: ε r,x (4, 1) + ε r,y (4, 1) = 1 2 √ 4 · 4 √ 4 + 1 2 + 2 · 1 · 1 √ 4 + 1 2 = 1 3 + 2 3 = 1 7.7 Mit der Formel 2 ergeben sich die partiellen Ableitungen: K x (x ; y ) = 6x + y K y (x ; y ) = 4y + x Die Grenzkosten von Gut I an der Stelle (x ; y ) = (5; 6) betragen: K x (5; 6) = 36 d. h. werden statt 5 ME von Gut I und 6 ME von Gut II jetzt 6 ME von Gut I und 6 ME von Gut II hergestellt, so steigen die Kosten um etwa 36 GE. Die Grenzkosten von Gut II an der Stelle (x ; y ) = (5; 6) betragen: K y (5; 6) = 29 d. h. werden statt 5 ME von Gut I und 6 ME von Gut II jetzt 5 ME von Gut I und 7 ME von Gut II hergestellt, so steigen die Kosten um etwa 29 GE. Probe: (x , y ) (5, 6) (6, 6) K(x , y ) 277 316 = 277 + 39 ≈ 277 + 36 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 139 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 139 10.05.2021 11: 54: 43 10.05.2021 11: 54: 43 128 Lösungen zu Kapitel 7: Differentiation von Funktionen mehrerer Variablen d. h. werden statt 5 ME von Gut I und 6 ME von Gut II jetzt 6 ME von Gut I und 6 ME von Gut II hergestellt, so steigen die Kosten um genau 39 GE. Die Grenzkosten von Gut I in Höhe von 36 GE sind lediglich ein Näherungswert für den Kostenanstieg. (x , y ) (5, 6) (5, 7) K(x , y ) 277 308 = 277 + 31 ≈ 277 + 29 d. h. werden statt 5 ME von Gut I und 6 ME von Gut II jetzt 5 ME von Gut I und 7 ME von Gut II hergestellt, so steigen die Kosten um genau 31 GE. Die Grenzkosten von Gut II in Höhe von 29 GE sind lediglich ein Näherungswert für den Kostenanstieg. 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 140 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 140 10.05.2021 11: 54: 43 10.05.2021 11: 54: 43 Lösungen Lösungen zu Kapitel 8: Kurvendiskussion von f (x , y ) 8.1 partielle Ableitungen = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 2, Formel 7 und Formel 8. f x (x , y ) = 4y + 6 f y (x , y ) = 4x + 2 f x x (x , y ) = 0 f y y (x , y ) = 0 f x y (x , y ) = 4 Notwendige Bedingung: I 0 = 4y + 6 ⇔ y = − 3 2 II 0 = 4x + 2 ⇔ x = − 1 2 d. h. ( − 1 2 ; − 3 2 ) ist ein stationärer Punkt. Hinreichende Bedingung: D(x ; y ) = 0 − 4 2 = − 16 D ( − 1 2 ; − 3 2 ) = − 16 < 0 d. h. ( − 1 2 ; − 3 2 ) ist eine Sattelstelle Tipp! Zur Unterscheidung, ob eine lokale oder globale Extremstelle vorliegt, soll das folgende Entscheidungsdiagramm helfen: 129 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 141 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 141 10.05.2021 11: 54: 43 10.05.2021 11: 54: 43 130 Lösungen zu Kapitel 8: Kurvendiskussion von f (x , y ) f x (x 0 , y 0 ) = 0 f y (x 0 , y 0 ) = 0 D(x 0 , y 0 ) = 0? Ende D(x 0 , y 0 ) > 0? (x 0 , y 0 ) Sattelstelle f x x (x 0 , y 0 ) = 0? D(x , y ) hat immer dasselbe Vorzeichen? f x x (x 0 , y 0 ) > 0? f x x hat immer dasselbe Vorzeichen? (x 0 , y 0 ) lok. Max. (x 0 , y 0 ) lok. Min. f x x > immer 0? (x 0 , y 0 ) glob. Max. (x 0 , y 0 ) glob. Min. Ende ja nein nein ja nein ja nein ja ja nein ja nein ja nein 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 142 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 142 10.05.2021 11: 54: 43 10.05.2021 11: 54: 43 Lösungen zu Kapitel 8: Kurvendiskussion von f (x , y ) 131 Lösungen 8.2 Graf der Funktion f (x , y ) = x 2 − y 2 + 2x y − 6y − 3 − 2 0 2 − 2 0 2 − 40 − 20 0 20 40 f(x,y) partielle Ableitungen = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 1, Formel 2, Formel 7 und Formel 8. f x (x , y ) = 2x + 2y f y (x , y ) = − 2y + 2x − 6 f x x (x , y ) = 2 f y y (x , y ) = − 2 f x y (x , y ) = f y x (x , y ) = 2 Notwendige Bedingung: I f x (x , y ) = 0 ⇔ 2x + 2y = 0 II f y (x , y ) = 0 ⇔ − 2y + 2x − 6 = 0 I+II: 2x + 2x − 6 = 4x − 6 = 0 ⇔ x = 3 2 Einsetzen in II: − 2y − 3 = 0 ⇔ y = − 3 2 d. h. ( 3 2 ; − 3 2 ) ist ein stationärer Punkt. Hinreichende Bedingung: D(x , y ) = f x x (x , y ) · f y y (x , y ) − (f x y (x , y )) 2 = 2 · ( − 2) − 2 2 = − 8 < 0 d. h. (x 0 , y 0 ) = ( 3 2 ; − 3 2 ) ist Sattelstelle von f . 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 143 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 143 10.05.2021 11: 54: 44 10.05.2021 11: 54: 44 132 Lösungen zu Kapitel 8: Kurvendiskussion von f (x , y ) 8.3 partielle Ableitungen = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 1, Formel 2, Formel 7 und Formel 8. f x (x , y ) = 3x 2 − y f y (x , y ) = 4y − x f x x (x , y ) = 6x f y y (x , y ) = 4 f x y (x , y ) = − 1 Notwendige Bedingung: I 0 = 3x 2 − y II 0 = 4y − x 4 · I + II 0 = 12x 2 − x = 12x (x − 1 12 ) ⇔ x = 0 oder x = 1 12 Fallunterscheidung: 1. Fall: x = 0 ⇒ II 0 = 4y ⇔ y = 0 2. Fall: x = 1 12 ⇒ II 0 = 4y − 1 12 ⇔ y = 1 48 d. h. (0; 0) und ( 1 12 ; 1 48 ) sind stationäre Punkte. Hinreichende Bedingung: D(x ; y ) = 6x · 4 − ( − 1) 2 = 24x − 1 D(0; 0) = − 1 < 0 d. h. (0; 0) ist eine Sattelstelle. D ( 1 12 ; 1 48 ) = 1 > 0 und f x x ( 1 12 ; 1 48 ) = 1 2 > 0 d. h. ( 1 12 ; 1 48 ) ist eine lokale Minimalstelle. 8.4 partielle Ableitungen = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 1, Formel 2, Formel 7 und Formel 8. G x (x , y ) = − 2x + 14 + y G y (x , y ) = − y + 16 + x 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 144 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 144 10.05.2021 11: 54: 44 10.05.2021 11: 54: 44 Lösungen zu Kapitel 8: Kurvendiskussion von f (x , y ) 133 Lösungen G x x (x , y ) = − 2 G y y (x , y ) = − 1 G x y (x , y ) = 1 Notwendige Bedingung: I 0 = − 2x + 14 + y II 0 = − y + 16 + x I+II 0 = − x + 30 ⇔ x = 30 II y = 16 + x = 16 + 30 = 46 d. h. (30; 46) ist eine mögliche Extremstelle. Hinreichende Bedingung: D(x , y ) = ( − 2) · ( − 1) − 1 2 = 1 > immer 0 G x x (x , y ) = − 2 < immer 0 d. h. (30; 46) globales (absolutes) Maximum d. h. die Gewinn-maximalen Mengen betragen x = 30 ME und y = 46 ME. Das sollten Sie wissen! Taucht in einer Funktionsgleichung von f (x , y ) eine unbekannte Größe z. B. a ∈ R auf, so wird beim (partiellen) Ableiten a behandelt wie eine Konstante. (vgl. Aufgabe 8.5). 8.5 partielle Ableitungen = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 2, Formel 7 und Formel 8. f x (x , y ) = 2x + ay f y (x , y ) = ax + 2y f x x (x , y ) = 2 f y y (x , y ) = 2 f x y (x , y ) = a Notwendige Bedingung: Für x = 0 und y = 0 gilt: I 2 · 0 + a · 0 = 0 II a · 0 + 2 · 0 = 0 d. h. (0, 0) ist ein stationärer Punkt. 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 145 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 145 10.05.2021 11: 54: 44 10.05.2021 11: 54: 44 134 Lösungen zu Kapitel 8: Kurvendiskussion von f (x , y ) Hinreichende Bedingung: Für a ∈ (0; 2) gilt: a 2 ∈ (0; 4) . Somit haben wir: D(x , y ) = f x x (x , y ) · f y y (x , y ) − [(f x y (x , y )] 2 = 2 · 2 − a 2 > immer 0 f x x (x , y ) = 2 > immer 0 d. h. (0; 0) ist eine globale Minimalstelle. 8.6 f x (x , y ) = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 3 und Formel 11. innere Funktion i(x , y ) = x 2 + y 2 und i x (x , y ) = 2x äußere Funktion a(t) = e t und a ′ (t) = e t f x (x , y ) = e x 2 +y 2 · 2x = 2x · e x 2 +y 2 f y (x , y ) = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 3 und Formel 11. innere Funktion i(x , y ) = x 2 + y 2 und i y (x , y ) = 2y äußere Funktion a(t) = e t und a ′ (t) = e t f y (x , y ) = e x 2 +y 2 · 2y = 2y · e x 2 +y 2 f x x (x , y ) = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 3, Formel 9 und Formel 11. f x x (x , y ) = 2 · e x 2 +y 2 + 2x · 2x · e x 2 +y 2 = e x 2 +y 2 (2 + 4x 2 ) f y y (x , y ) = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 3, Formel 9 und Formel 11. f y y (x , y ) = 2 · e x 2 +y 2 + 2y · 2y · e x 2 +y 2 = e x 2 +y 2 (2 + 4y 2 ) f x y (x , y ) = ? 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 146 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 146 10.05.2021 11: 54: 44 10.05.2021 11: 54: 44 Lösungen zu Kapitel 8: Kurvendiskussion von f (x , y ) 135 Lösungen Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 3 und Formel 11. f x y (x , y ) = 2x · 2y · e x 2 +y 2 = 4x y · e x 2 +y 2 Notwendige Bedingung: Für x = 0 und y = 0 gilt: I 2 · 0 · e 0 = 0 II 2 · 0 · e 0 = 0 d. h. (0, 0) ist ein stationärer Punkt. Hinreichende Bedingung: D(0, 0) = (2 · e 0 + 0 · e 0 ) 2 − 0 · e 0 = 2 2 = 4 > 0 , da e 0 = 1 f x x (0, 0) = e 0 (2 + 4 · 0) = 2 > 0 , da e 0 = 1 d. h. (0; 0) ist eine lokale Minimalstelle. 8.7 f x (x , y , z ) = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 2. f x (x , y , z ) = 2x − y + 1 f y (x , y , z ) = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 2. f y (x , y , z ) = − x + y − 4 f z (x , y , z ) = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 5 und Formel 11. innere Funktion i(x , y , z ) = z 2 + 1 und i z (x , y , z ) = 2z äußere Funktion a(t) = ln t und a ′ (t) = 1 t f z (x , y , z ) = 1 z 2 + 1 · 2z = 2z z 2 + 1 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 147 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 147 10.05.2021 11: 54: 45 10.05.2021 11: 54: 45 136 Lösungen zu Kapitel 8: Kurvendiskussion von f (x , y ) Notwendige Bedingung: I 0 = 2x − y + 1 II 0 = − x + y − 4 III 0 = 2z z 2 + 1 ⇔ 2z = 0 ⇔ z = 0 Multiplikation mit z 2 + 1 I + II 0 = x − 3 ⇔ x = 3 I 0 = 6 − y + 1 ⇔ y = 7 d. h. (3; 7; 0) ist ein stationärer Punkt. 8.8 partielle Ableitungen = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 2. f x (x , y ) = x 2 − 3x + 2 f y (x , y ) = y − 4 f x x (x , y ) = 2x − 3 f y y (x , y ) = 1 f x y (x , y ) = 0 Notwendige Bedingung: Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 15. I 0 = x 2 − 3x + 2 ⇔ x = 1,5 ± √ 2,25 − 2 = 1,5 ± 0,5 ⇔ x = 2 oder x = 1 II 0 = y − 4 ⇔ y = 4 d. h. (1; 4) und (2; 4) sind stationäre Punkte. Hinreichende Bedingung: D(x ; y ) = (2x − 3) · 1 − 0 2 = 2x − 3 D(1; 4) = − 1 < 0 d. h. (1; 4) ist eine Sattelstelle. D(2; 4) = 1 > 0 und f x x (2; 4) = 1 > 0 d. h. (2; 4) ist eine lokale Minimalstelle. 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 148 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 148 10.05.2021 11: 54: 45 10.05.2021 11: 54: 45 Lösungen zu Kapitel 8: Kurvendiskussion von f (x , y ) 137 Lösungen 8.9 f x (x , y ) = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 2 und Formel 3. f x (x , y ) = y · e x + 4 f y (, x y ) = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 2. f y (x , y ) = e x + 4 f x x (x , y ) = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 3. f x x (x , y ) = y · e x f y y (x , y ) = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 1. f y y (x , y ) = 0 f x y (x , y ) = ? Formel-Navigator Verwenden Sie für f x y (x , y ) Formel 2 bzw. für f y x (x , y ) Formel 3. f x y (x , y ) = e x Notwendige Bedingung: I 0 = y · e x + 4 II 0 = e x + 4 Wir subtrahieren in der Gleichung II die Zahl 4. Das ergibt: e x = − 4 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 149 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 149 10.05.2021 11: 54: 45 10.05.2021 11: 54: 45 138 Lösungen zu Kapitel 8: Kurvendiskussion von f (x , y ) Das ist ein Widerspruch, da gilt: e x > immer 0 . Die e -Funktion hat folgenden Verlauf: − 8 − 6 − 4 − 2 0 0,1 0,2 0,3 0,4 x f (x ) = e x d. h. es gibt keine stationären Punkte; d. h. es gibt keine lokalen Extremstellen. 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 150 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 150 10.05.2021 11: 54: 45 10.05.2021 11: 54: 45 Lösungen Lösungen zu Kapitel 9: Extremstellen unter Nebenbedingungen Das sollten Sie wissen! In Klausuraufgaben gibt es drei unterschiedliche Aufgabenstellungen, um Extremstellen unter Nebenbedingungen zu bestimmen: Die Methode ist nicht vorgeschrieben. Hier haben Sie freie Wahl zwischen Einsetz- und Lagrange-Methode. Die Einsetz-Methode ist vorgeschrieben. Die Lagrange-Methode ist vorgeschrieben. Tipp! Wird eine Extremstelle unter einer Nebenbedingung in der Klausur mit einer anderen als der vorgeschriebenen Methode bestimmt, so gibt es, auch für eine richtige Lösung, null Punkte. Ist hingegen die Methode nicht vorgeschrieben, so gibt es Anhaltspunkte, welche der beiden Methoden einen geringeren Rechenaufwand verspricht: Ist die Nebenbedingung linear wie z. B. in Aufgabe 9.1 und Aufgabe 9.5, so ist die Einsetz-Methode vorzuziehen, weil sich die Nebenbedingung ohne großen Rechenaufwand nach einer Variablen auflösen lässt. Ist hingegen die Nebenbedingung quadratisch wie z. B. in Aufgabe 9.8, so ist die Lagrange-Methode der Einsetz-Methode vorzuziehen, da die Auflösung der Nebenbedingung nach einer der beiden Variablen aufwändig wäre. Das sollten Sie wissen! Wird für die Einsetz-Methode eine Nebenbedingung, z. B. x + y = 8 aus der Aufgabe 9.1, nach einer Variablen aufgelöst, so ist es für die Lösung unerheblich, ob die Gleichung nach x oder nach y aufgelöst wird: x = 8 − y oder y = 8 − x 139 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 151 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 151 10.05.2021 11: 54: 45 10.05.2021 11: 54: 45 140 Lösungen zu Kapitel 9: Extremstellen unter Nebenbedingungen 9.1 Einsetz-Methode 1. Lösungsweg: NB x + y = 8 ⇔ x = 8 − y Setze: f (y ) = (8 − y ) 2 + 2y 2 + (8 − y )y + (8 − y ) + y − 17 Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 38. f (y ) = 64 − 16y + y 2 + 2y 2 + 8y − y 2 + 8 − y + y − 17 = 2y 2 − 8y + 55 f ′ (y ) = ? und f ′′ (y ) = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 2. f ′ (y ) = 4y − 8 f ′′ (y ) = 4 Notwendige Bedingung: 0 = 4y − 8 ⇔ y = 2 x = 8 − 2 = 6 Hinreichende Bedingung: f ′′ (y ) = 4 > immer 0 d. h. f (x , y ) hat in (6 ; 2) eine globale Minimalstelle unter Berücksichtigung der Nebenbedingung. 2. Lösungsweg: NB x + y = 8 ⇔ y = 8 − x Setze: f (x ) = x 2 + 2(8 − x ) 2 + x (8 − x ) + x + (8 − x ) − 17 Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 38. f (x ) = x 2 + 128 − 32x + 2x 2 + 8x − x 2 + x + 8 − x − 17 = 2x 2 − 24x + 119 f ′ (x ) = ? und f ′′ (x ) = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 2. 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 152 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 152 10.05.2021 11: 54: 46 10.05.2021 11: 54: 46 Lösungen zu Kapitel 9: Extremstellen unter Nebenbedingungen 141 Lösungen f ′ (x ) = 4x − 24 f ′′ (x ) = 4 Notwendige Bedingung: 0 = 4x − 24 ⇔ x = 6 y = 8 − 6 = 2 Hinreichende Bedingung: f ′′ (x ) = 4 > immer 0 d. h. f (x , y ) hat in (6 ; 2) eine globale Minimalstelle unter Berücksichtigung der Nebenbedingung. 9.2 Einsetz-Methode e x+y = 1 Wenn die beiden Seiten der Gleichung gleich groß sind, so muss auch der natürliche Logarithmus der beiden Seiten gleich groß sein: ln ( e x+y ) = ln 1 Da ln 1 = 0 ist, ergibt sich: ln ( e x+y ) = 0 Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 36. 0 = ln ( e x+y ) = (x + y ) · ln(e) Da ln(e) = 1 ist, ergibt sich: x + y = 0 ⇔ y = − x Setze: f (x ) = x 2 + ( − x ) 2 − x · ( − x ) − 3ax = 3x 2 − 3ax f ′ (x ) = ? und f ′′ (x ) = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 2. f ′ (x ) = 6x − 3a f ′′ (x ) = 6 Notwendige Bedingung: 0 = 6x − 3a ⇔ x = 3a 6 = a 2 y = − a 2 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 153 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 153 10.05.2021 11: 54: 46 10.05.2021 11: 54: 46 142 Lösungen zu Kapitel 9: Extremstellen unter Nebenbedingungen Hinreichende Bedingung: f ′′ (x ) = 6 > immer 0 d. h. f (x , y ) hat in ( a 2 ; − a 2 ) eine globale Minimalstelle unter Berücksichtigung der Nebenbedingung. 9.3 Einsetz-Methode x + y = a ⇔ y = a − x Setze: f (x ) = x 2 + x (a − x ) + (a − x ) 2 + 4x + 2(a − x ) − 10 Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 38. f (x ) = x 2 + ax − x 2 + a 2 − 2ax + x 2 + 4x + 2a − 2x − 10 = x 2 + 2x − ax + a 2 + 2a − 10 f ′ (x ) = ? und f ′′ (x ) = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 2. f ′ (x ) = 2x + 2 − a f ′′ (x ) = 2 Notwendige Bedingung: 0 = 2x + 2 − a ⇔ 2x = a − 2 ⇔ x = 0,5a − 1 y = a − x = a − (0,5a − 1) = 0,5a + 1 Hinreichende Bedingung: f ′′ (x ) = 2 > immer 0 d. h. f (x , y ) hat in (0,5a − 1; 0,5a + 1) eine globale Minimalstelle unter Berücksichtigung der Nebenbedingung. Das sollten Sie wissen! Eine Nebenbedingung, z. B. x + 2y = 50 aus der Aufgabe 9.4, wird in die Lagrangefunktion in Nullform eingesetzt. Dabei ist es für die Lösung unerheblich, ob die Nullform der Nebenbedingung: x + 2y − 50 = 0 oder 50 − x − 2y = 0 lautet. (vgl. auch Aufgabe 9.9) 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 154 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 154 10.05.2021 11: 54: 46 10.05.2021 11: 54: 46 Lösungen zu Kapitel 9: Extremstellen unter Nebenbedingungen 143 Lösungen Tipp! Kommt der Lagrange-Multiplikator λ in den zweiten partiellen Ableitungen der Lagrangefunktion nicht vor (wie z. B. in Aufgabe 9.4), so muss der Wert von λ 0 in Klausuren nicht ausgerechnet werden. Dies muss in der Lösung jedoch wie folgt vermerkt werden: „Der Wert von λ 0 wird nicht benötigt.“ 9.4 Lagrange-Methode L(x , y , λ) = 4x 2 + 5y 2 − 2x y + 200 + λ(x + 2y − 50) partielle Ableitungen erster und zweiter Ordnung = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 2. L x (x , y , λ) = 8x − 2y + λ L y (x , y , λ) = 10y − 2x + 2λ L λ (x , y , λ) = x + 2y − 50 L x x (x , y , λ) = 8 L y y (x , y , λ) = 10 L x y (x , y , λ) = − 2 Notwendige Bedingung: I 0 = 8x − 2y + λ II 0 = 10y − 2x + 2λ III 0 = x + 2y − 50 I − 0,5 · II 0 = 9x − 7y ⇔ 7y = 9x ⇔ y = 9 7 x III 0 = x + 18 7 x − 50 = 25 7 x − 50 ⇔ x = 50 · 7 25 = 14 ⇒ y = 9 7 · 14 = 18 Der Wert von λ 0 wird nicht benötigt. d. h. (14; 18; λ 0 ) ist ein stationärer Punkt. Hinreichende Bedingung: D(x , y , λ 0 ) = 8 · 10 − ( − 2) 2 = 76 > immer 0 L x x (x , y , λ 0 ) = 8 > immer 0 d. h. f (x , y ) hat in (14; 18) eine globale Minimalstelle unter Berücksichtigung der Nebenbedingung. 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 155 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 155 10.05.2021 11: 54: 46 10.05.2021 11: 54: 46 144 Lösungen zu Kapitel 9: Extremstellen unter Nebenbedingungen 9.5 Lagrange-Methode L(x , y , λ) = x 2 + 2y 2 + x y + x + y − 17 + λ(x + y − 8) partielle Ableitungen erster und zweiter Ordnung = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 2. L x (x , y , λ) = 2x + y + 1 + λ L y (x , y , λ) = 4y + x + 1 + λ L λ (x , y , λ) = x + y − 8 L x x (x , y , λ) = 2 L y y (x , y , λ) = 4 L x y (x , y , λ) = 1 Notwendige Bedingung: I 0 = 2x + y + 1 + λ II 0 = 4y + x + 1 + λ III 0 = x + y − 8 I − II 0 = x − 3y ⇔ x = 3y III 0 = 3y + y − 8 = 4y − 8 ⇔ y = 2 ⇒ x = 3 · 2 = 6 Der Wert von λ 0 wird nicht benötigt. d. h. (6; 2; λ 0 ) ist ein stationärer Punkt. Hinreichende Bedingung: D(x ; y ; λ 0 ) = 2 · 4 − 1 2 = 7 > immer > 0 L x x (x ; y ; λ 0 ) = 2 > immer 0 d. h. f (x , y ) hat in (6 ; 2) eine globale Minimalstelle unter Berücksichtigung der Nebenbedingung. 9.6 Lagrange-Methode L(x , y , λ) = x 2 + y 2 − x y − 3ax + λ(e x+y − 1) partielle Ableitungen erster und zweiter Ordnung = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 2, Formel 3 und Formel 11. 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 156 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 156 10.05.2021 11: 54: 47 10.05.2021 11: 54: 47 Lösungen zu Kapitel 9: Extremstellen unter Nebenbedingungen 145 Lösungen innere Funktion i(x , y ) = x + y und i x (x , y ) = 1 äußere Funktion a(t) = e t und a ′ (t) = e t Daraus ergibt sich: a x (i(x , y )) · i x (x , y ) = e x+y · 1 = e x+y Somit haben wir: L x (x , y , λ) = 2x − y − 3a + λe x+y L y (x , y , λ) = 2y − x + λe x+y L λ (x , y , λ) = e x+y − 1 L x x (x , y , λ) = 2 + λe x+y L y y (x , y , λ) = 2 + λe x+y L x y (x , y , λ) = − 1 + λe x+y Notwendige Bedingung: I 0 = 2x − y − 3a + λe x+y II 0 = 2y − x + λe x+y III 0 = e x+y − 1 Wir addieren in der Gleichung III auf beiden Seiten eins: e x+y = 1 Wir setzen auf beide Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus: ln ( e x+y ) = ln 1 Da ln 1 = 0 gilt, ergibt sich: ln ( e x+y ) = 0 Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 36. (x + y ) · ln(e) = 0 Da ln e = 1 ist, ergibt sich: x + y = 0 ⇔ y = − x I − II 0 = 3x − 3y − 3a = 3x − 3 · ( − x ) − 3a = 6x − 3a ⇔ x = a 2 ⇒ y = − a 2 II 0 = 2 · ( − a 2 ) − a 2 + λe 0 = − 3 2 a + λ ⇔ λ = 3 2 a d. h. ( a 2 , − a 2 , 3 2 a ) ist ein stationärer Punkt. Hinreichende Bedingung: D ( a 2 , − a 2 , 3 2 a ) = ( 2 + 3 2 a ) 2 − ( − 1 + 3 2 a ) 2 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 157 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 157 10.05.2021 11: 54: 47 10.05.2021 11: 54: 47 146 Lösungen zu Kapitel 9: Extremstellen unter Nebenbedingungen Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 37. D ( a 2 , − a 2 , 3 2 a ) = 4 + 6a + 2,25a 2 − (1 − 3a + 2,25a 2 ) = 4 + 6a + 2,25a 2 − 1 + 3a − 2,25a 2 Jetzt fassen wir die Terme zusammen: D ( a 2 , − a 2 , 3 2 a ) = 3 + 9a > 0 ; da a ≥ 1 L x x ( a 2 , − a 2 , 3 2 a ) = 2 + 1,5a > 0 ; da a ≥ 1 d. h. f (x , y ) hat in ( a 2 , − a 2 ) eine lokale Minimalstelle unter Berücksichtigung der Nebenbedingung. 9.7 Lagrange-Methode L(x , y , λ) = x 2 + x y + y 2 + 4x + 2y − 10 + λ(x + y − a) partielle Ableitungen erster und zweiter Ordnung = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 2. L x (x , y , λ) = 2x + y + 4 + λ L y (x , y , λ) = x + 2y + 2 + λ L λ (x , y , λ) = x + y − a L x x (x , y , λ) = 2 L y y (x , y , λ) = 2 L x y (x , y , λ) = 1 Notwendige Bedingung: I 0 = 2x + y + 4 + λ II 0 = x + 2y + 2 + λ III 0 = x + y − a I − II 0 = x − y + 2 ⇔ y = x + 2 III 0 = x + (x + 2) − a = 2x + 2 − a ⇔ 2x = a − 2 ⇔ x = 0,5a − 1 y = (0,5a − 1) + 2 = 0,5a + 1 Der Wert von λ 0 wird nicht benötigt. d. h. (0,5a − 1 ; 0,5a + 1; λ 0 ) ist ein stationärer Punkt. 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 158 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 158 10.05.2021 11: 54: 47 10.05.2021 11: 54: 47 Lösungen zu Kapitel 9: Extremstellen unter Nebenbedingungen 147 Lösungen Hinreichende Bedingung: D(x ; y ; λ 0 ) = 2 · 2 − 1 2 = 3 > immer 0 L x x (x ; y ; λ 0 ) = 2 > immer 0 d. h. f (x , y ) hat in (0,5a − 1 ; 0,5a + 1) eine globale Minimalstelle unter Berücksichtigung der Nebenbedingung. 9.8 Umsatzfunktion U(x ; y ) = 6 · x + 5 · y Gewinnfunktion G(x ; y ) = U(x ; y ) − K(x ; y ) = 6 · x + 5 · y − (2x + 4y + 10) = 4x + y − 10 ; x , y > 0 Lagrangefunktion L(x , y , λ) = 4x + y − 10 + λ(2x 2 + y 2 − 36) partielle Ableitungen erster und zweiter Ordnung = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 2. L x (x , y , λ) = 4 + 4λx L y (x , y , λ) = 1 + 2λy L λ (x , y , λ) = 2x 2 + y 2 − 36 L x x (x , y , λ) = 4λ L y y (x , y , λ) = 2λ L x y (x , y , λ) = 0 Notwendige Bedingung: I 0 = 4 + 4λx II 0 = 1 + 2λy III 0 = 2x 2 + y 2 − 36 y · I − 2x · II 0 = 4y − 2x ⇔ x = 2y III 0 = 2(2y ) 2 + y 2 − 36 = 9y 2 − 36 ⇔ y = − 2 ︸ ︷︷ ︸ / ∈ Def.bereich oder y = 2 ⇒ x = 4 I 0 = 4 + 16λ ⇔ λ = − 1 4 d. h. (4; 2; − 0,25) ist ein stationärer Punkt. Hinreichende Bedingung: D(x ; y ; − 0,25) = 8 · ( − 0,25) 2 − 0 = 0,5 > immer 0 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 159 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 159 10.05.2021 11: 54: 48 10.05.2021 11: 54: 48 148 Lösungen zu Kapitel 9: Extremstellen unter Nebenbedingungen L x x (x ; y ; − 0,25) = 4 · ( − 0,25) = − 1 < immer 0 d. h. G(x , y ) hat in (4 ; 2) ein glob. Max unter Berücksichtigung der Nebenbedingung. G(4; 2) = 18 − 10 = 8 d. h. der maximale Gewinn beträgt unter Berücksichtigung der Produktionsrestriktion 8 GE. 9.9 1. Lösungsweg: Lagrangefunktion L(x , y , λ) = 3 ln(x ) + 15 ln(y ) + λ(x + y − 120) partielle Ableitungen erster und zweiter Ordnung = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 2 und Formel 5. L x (x , y , λ) = 3 x + λ L y (x , y , λ) = 15 y + λ L λ (x , y , λ) = x + y − 120 L x x (x , y , λ) = − 3 x 2 L y y (x , y , λ) = − 15 y 2 L x y (x , y , λ) = 0 Notwendige Bedingung: I 3 x + λ = 0 ⇔ λ = − 3 x II 15 y + λ = 0 ⇔ λ = − 15 y III x + y − 120 = 0 Gleichsetzen von I und II ergibt: − 3 x = − 15 y ⇔ 3 = 15x y ⇔ 3y = 15x ⇔ y = 5x Einsetzen von y = 5x in III ergibt: x + 5x − 120 = 0 ⇔ 6x = 120 ⇔ x = 20 Daraus ergibt sich: y = 5 · 20 = 100 und λ = − 3 20 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 160 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 160 10.05.2021 11: 54: 48 10.05.2021 11: 54: 48 Lösungen zu Kapitel 9: Extremstellen unter Nebenbedingungen 149 Lösungen Einziger stationärer Punkt ist somit (x , y , λ) = ( 20, 100, − 3 20 ) . (Der Wert von λ 0 = − 3 20 wird jedoch nicht benötigt.) Hinreichende Bedingung: D(x , y , λ 0 ) = ( − 3 x 2 )( − 15 y 2 ) − 0 2 = 45 x 2 y 2 > immer 0 L x x (x , y , λ 0 ) = − 3 x 2 < immer 0 Somit liegt in (x , y ) = (20, 100) ein globales Maximum unter Berücksichtigung der Budgetrestriktion vor. 2. Lösungsweg: Lagrangefunktion L(x , y , λ) = 3 ln(x ) + 15 ln(y ) + λ(120 − x − y ) partielle Ableitungen erster und zweiter Ordnung = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 2 und Formel 5. L x (x , y , λ) = 3 x − λ L y (x , y , λ) = 15 y − λ L λ (x , y , λ) = 120 − x − y L x x (x , y , λ) = − 3 x 2 L y y (x , y , λ) = − 15 y 2 L x y (x , y , λ) = 0 Notwendige Bedingung: I 3 x − λ = 0 ⇔ λ = 3 x II 15 y − λ = 0 ⇔ λ = 15 y III 120 − x − y = 0 Gleichsetzen von I und II ergibt. 3 x = 15 y ⇔ 3 = 15x y ⇔ 3y = 15x ⇔ y = 5x Einsetzen von y = 5x in III ergibt: 120 − x − 5x = 0 ⇔ 6x = 120 ⇔ x = 20 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 161 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 161 10.05.2021 11: 54: 48 10.05.2021 11: 54: 48 150 Lösungen zu Kapitel 9: Extremstellen unter Nebenbedingungen Daraus ergibt sich: y = 5 · 20 = 100 und λ = 3 20 Einziger stationärer Punkt ist somit (x , y , λ) = (20, 100, 3 20 ) . (Der Wert von λ 0 = 3 20 wird jedoch nicht benötigt.) Hinreichende Bedingung: D(x , y , λ 0 ) = ( − 3 x 2 )( − 15 y 2 ) − 0 2 = 45 x 2 y 2 > immer 0 L x x (x , y , λ 0 ) = − 3 x 2 < immer 0 Somit liegt in (x , y ) = (20, 100) ein globales Maximum unter Berücksichtigung der Budgetrestriktion vor. 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 162 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 162 10.05.2021 11: 54: 48 10.05.2021 11: 54: 48 Lösungen Lösungen zu Kapitel 10: Integrale Tipp! Das Lösen eines Integrals beruht im Wesentlichen auf erfolgreichem Ausprobieren: Integral = ? elementare Funktion multipliziert mit einem Faktor? Faktorregel Summe zweier elementarer Funktionen? Summenregel Produkt einer elementaren Funktion mit der Ableitung einer anderen elementaren Funktion? partielle Integration Verknüpfung zweier elementarer Funktionen? Substitution Umformen des Integrals, bis nur noch Ableitungen elementarer Funktionen zu integrieren sind ja nein ja nein ja nein ja nein Das sollten Sie wissen! Ein Mehrfachintegral wird von innen beginnend nach außen gelöst. Die Reihenfolge eines Mehrfachintegrals darf vertauscht werden. 151 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 163 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 163 10.05.2021 11: 54: 48 10.05.2021 11: 54: 48 152 Lösungen zu Kapitel 10: Integrale 10.1 1. Lösungsweg: Formel-Navigator Verwenden Sie hier die Summenregel Formel 22 und Formel 16. ∫ 8 3 ∫ 4 1 ( x 2 − y 3 ) d x d y = ∫ 8 3 [ 1 3 x 3 − x y 3 ] 4 1 d y = ∫ 8 3 ( 64 3 − 4y 3 − 1 3 + y 3 ) d y = ∫ 8 3 ( 21 − 3y 3 ) d y = [ 21y − 3 4 y 4 ] 8 3 = 168 − 3 072 − 63 + 243 4 = − 2 906,25 2. Lösungsweg: ∫ 8 3 ∫ 4 1 ( x 2 − y 3 ) d x d y = ∫ 4 1 ∫ 8 3 ( x 2 − y 3 ) d y d x = ∫ 4 1 [ x 2 y − 1 4 y 4 ] 8 3 d x = ∫ 4 1 ( 8x 2 − 1 024 − 3x 2 + 81 4 ) d x = ∫ 4 1 ( 5x 2 − 1 003,75 ) d x = [ 5 3 x 3 − 1 003,75x ] 4 1 = 320 3 − 4 015 − 5 3 + 1 003,75 = 315 3 − 3 011,25 = − 2 906,25 10.2 [a] Das gesuchte Integral: ∫ e x (3e x + 1) 2 d x = ? wird durch Substitution bestimmt. innere Funktion g(x ) = 3 · e x + 1 ⇒ g � (x ) = 3 · e x äußere Funktion f (x ) = 1 x 2 ⇒ F (x ) = − 1 x + c Somit haben wir: e x (3e x + 1) 2 = 1 3 · 3 · e x · 1 (3e x + 1) 2 = 1 3 · (f (g(x )) · g � (x ) Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 24. ∫ e x (3e x + 1) 2 d x = 1 3 · − 1 3e x + 1 + c = − 1 3 (3e x + 1) + c [b] Das gesuchte Integral: ∫ √ x 1 + √ x d x = ? wird durch Substitution mit der inneren Funktion g(x ) = 1 + √ x bestimmt. Die Ableitung der inneren Funktion lautet: g � (x ) = 1 2 √ x . 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 164 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 164 10.05.2021 11: 54: 49 10.05.2021 11: 54: 49 Lösungen zu Kapitel 10: Integrale 153 Lösungen Wir formen die zu integrierende Funktion um, indem wir zunächst mit dem Faktor 2 √ x 2 √ x den Bruch erweitern: √ x 1 + √ x = 2 √ x 2 √ x · √ x 1 + √ x = 2 · √ x · √ x 1 + √ x · 1 2 √ x Den Zähler des ersten Bruches erweitern wir mit +1 − 1 : 2 · √ x · √ x 1 + √ x · 1 2 √ x = 2 ( 1 + √ x − 1 ) 2 1 + √ x · 1 2 √ x = 2 ( (1 + √ x ) − 1 ) 2 1 + √ x · 1 2 √ x Wir quadrieren: 2 ( (1 + √ x ) − 1 ) 2 1 + √ x · 1 2 √ x = 2(1 + √ x ) 2 − 4(1 + √ x ) + 2 1 + √ x · 1 2 √ x Wir zerlegen den ersten Bruch in drei Brüche: 2(1 + √ x ) 2 − 4(1 + √ x ) + 2 1 + √ x · 1 2 √ x = ( 2(1 + √ x ) 2 1 + √ x − 4(1 + √ x ) 1 + √ x + 2 1 + √ x ) · 1 2 √ x Jetzt lassen sich die ersten beiden Brüche durch den Nenner 1 + √ x kürzen: ( 2(1 + √ x ) 2 1 + √ x − 4(1 + √ x ) 1 + √ x + 2 1 + √ x ) · 1 2 √ x = ( 2(1 + √ x ) − 4 + 2 1 + √ x ) · 1 2 √ x Auflösen der Klammer ergibt: ( 2(1 + √ x ) − 4 + 2 1 + √ x ) · 1 2 √ x = 2(1 + √ x ) · 1 2 √ x − 4 · 1 2 √ x + 2 1 + √ x · 1 2 √ x Wir berechnen die Integrale dieser drei Summanden nacheinander. Das Integral vom ersten Summanden lautet: ∫ 2(1 + √ x ) · 1 2 √ x d x = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 24. innere Funktion g(x ) = 1 + √ x äußere Funktion f (x ) = 2x ⇒ F (x ) = x 2 ∫ 2(1 + √ x ) · 1 2 √ x d x = ( 1 + √ x ) 2 + c Jetzt berechnen wir das Integral vom zweiten Summanden: ∫ − 4 · 1 2 √ x d x = − 4 √ x + c Zuletzt berechnen wir das Integral vom dritten Summanden: ∫ 2 1 + √ x · 1 2 √ x d x = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 24. 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 165 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 165 10.05.2021 11: 54: 49 10.05.2021 11: 54: 49 154 Lösungen zu Kapitel 10: Integrale innere Funktion g(x ) = 1 + √ x äußere Funktion f (x ) = 2 x ⇒ F (x ) = 2 · ln(x ) ∫ 2 1 + √ x · 1 2 √ x d x = 2 · ln(1 + √ x ) + c Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 22. Aus diesen drei Integralen ergibt sich das gesuchte Integral gemäß der Summenregel: ∫ √ x 1 + √ x d x = ( 1 + √ x ) 2 − 4 √ x + 2 · ln(1 + √ x ) + c Wir rechnen die Probe: (( 1 + √ x ) 2 − 4 √ x + 2 · ln(1 + √ x ) + c ) ′ = ? Wir quadrieren den ersten Summanden ( 1 + √ x ) 2 . Außerdem ist die Ableitung der additiven Konstante c eh null, sodass wir sie weglassen können. Das ergibt: ( 1 + 2 √ x + x − 4 √ x + 2 · ln(1 + √ x ) ) ′ = ? Wir lassen die additive Konstanten 1 weg, weil deren Ableitung eh null beträgt. Zusammenfassen ergibt dann: ( − 2 √ x + x + 2 · ln(1 + √ x ) ) ′ = ? Mit der inneren Funktion 1 + √ x und der äußeren Funktion ln(x ) ergibt das Ableiten gemäß der Kettenregel Formel 11: − 2 · 1 2 √ x + 1 + 2 · 1 1 + √ x · 1 2 √ x Wir kürzen bei zwei Brüchen durch 2: − 1 √ x + 1 + 1 √ x ( 1 + √ x ) Mit dem Hauptnenner √ x ( 1 + √ x ) ergibt sich: − (1 + √ x ) √ x ( 1 + √ x ) + √ x ( 1 + √ x ) √ x ( 1 + √ x ) + 1 √ x ( 1 + √ x ) Zusammenfassen der drei Brüche und Auflösen der Klammern im Zähler ergibt: − 1 − √ x + √ x + x + 1 √ x ( 1 + √ x ) = x √ x ( 1 + √ x ) = √ x · √ x √ x ( 1 + √ x ) Kürzen durch √ x ergibt: √ x 1 + √ x 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 166 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 166 10.05.2021 11: 54: 50 10.05.2021 11: 54: 50 Lösungen Lösungen zu Kapitel 11: Gemischte Aufgaben 11.1 Den Zusammenhang zwischen den unterschiedlichen ökonomischen Funktionen finden Sie unter dem Wissen-Hinweis auf der Seite 32. Firma Preis Output Umsatz Gesamtkosten Fixkosten Variable Kosten Stückkosten variable Stück kosten 1 95 10 950 650 150 500 65 50 2 3 3 000 9 000 6 300 1 500 4 800 2,1 1,6 3 10 700 7 000 10 500 2 100 8 400 15 12 4 2,75 2 000 5 500 5 500 4 000 1 500 2,75 0,75 5 4 400 1 600 1 200 400 800 3 2 Firma 1 variable Kosten K v (x ) = 500 variable Stückkosten k v (x ) = 500 x = 50 Output x = 500 50 = 10 Fixkosten K f (10) = 150 Gesamtkosten K(10) = K v (10) + K f (10) = 500 + 150 = 650 Stückkosten k(10) = K(10) 10 = 650 10 = 64 Umsatz U(10) = 950 = 10 · p(10) Preis p(10) = U(10) 10 = 950 10 = 95 Firma 2 Stückkosten k(x ) = 2,1 Gesamtkosten K(x ) = 6 300 Stückkosten 2,1 = k(x ) = K(x ) x = 6 300 x Output x = 6 300 2,1 = 3 000 variable Stückkosten k v (3 000) = 1,6 variable Kosten K v (3 000) = k v (3 000) · 3 000 = 1,6 · 3 000 = 4 800 155 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 167 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 167 10.05.2021 11: 54: 50 10.05.2021 11: 54: 50 156 Lösungen zu Kapitel 11: Gemischte Aufgaben Kosten K(3 000) = K v (3 000) + K f (3 000) Fixkosten K f (3 000) = K(3 000) − K v (3 000) = 6 300 − 4 800 = 1 500 Umsatz U(3 000) = 9 000 Preis p(3 000) = U(3 000) 3 000 = 9 000 3 000 = 3 Firma 3 Output x = 700 variable Stückkosten k v (700) = 12 variable Kosten K v (700) = k v (700) · 700 = 12 · 700 = 8 400 Gesamtkosten K(700) = 10 500 Fixkosten K f (700) = K(700) − K v (700) = 10 500 − 8 400 = 2 100 Preis p(700) = 10 Umsatz U(700) = p(700) · 700 = 10 · 700 = 7 000 Firma 4 Gesamtkosten K(x ) = 5 500 Fixkosten K f (x ) = 4 000 Kosten K(x ) = K v (x ) + K f (x ) variable Kosten K v (x ) = K(x ) − K f (x ) = 5 500 − 4 000 = 1 500 variable Stückkosten k v (x ) = 0,75 variable Stückkosten k v (x ) = K v (x ) x = 1 500 x = 0,75 Output x = 1 500 0,75 = 2 000 Umsatz U(2 000) = 5 500 Preis p(2 000) = U(200) 2 000 = 5 500 2 000 = 2,75 Firma 5 Output x = 400 variable Kosten K v (400) = 800 variable Stückkosten k v (400) = K v (400) 400 = 2 Fixkosten K f (400) = 400 Gesamtkosten K(400) = K v (400)0 + K f (400) = 800 + 400 = 1 200 Stückkosten k(400) = K(400) 400 = 1 200 400 = 3 Preis p(400) = 4 Umsatz U(400) = p(400) · 400 = 4 · 400 = 1 600 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 168 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 168 10.05.2021 11: 54: 50 10.05.2021 11: 54: 50 Lösungen zu Kapitel 11: Gemischte Aufgaben 157 Lösungen 11.2 partielle Ableitungen = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 2. f x (x , y ) = 2x y + 4 f y (x , y ) = x 2 − 4 f x x (x , y ) = 2y f y y (x , y ) = 0 f x y (x , y ) = x Notwendige Bedingung: I 0 = 2x y + 4 II 0 = x 2 − 4 ⇔ x = ± 2 gemäß Formel 15 Fallunterscheidung: 1. Fall: x = − 2 ⇔ − 4y + 4 = 0 ⇔ y = 1 2. Fall: x = +2 ⇔ 4y + 4 = 0 ⇔ y = − 1 d. h. (2; − 1) und ( − 2; 1) sind stationäre Punkte. Hinreichende Bedingung: D(x , y ) = 2y · 0 − (2x ) 2 = − 4x 2 D(2; − 1) = − 16 < 0 ; d. h. (2; − 1) ist eine Sattelstelle. D( − 2; 1) = − 16 < 0 ; d. h. ( − 2; 1) ist eine Sattelstelle. 11.3 [1] Umkehrabbildung p(x ) = ? x = 15 − 0,2p ⇔ x + 0,2p = 15 ⇔ 0,2p = 15 − x ⇔ p = 75 − 5x d. h. p(x ) = 75 − 5x Um den Definitionsbereich von p(x ) zu bestimmen, stellen wir eine Wertetabelle auf: p x 0 15 75 0 d. h. p(x ) = 75 − 5x ; x ∈ [0; 15] Umsatzfunktion U(x ) = ? U(x ) = p(x ) · x = (75 − 5x ) · x = 75x − 5x 2 ; x ∈ [0; 15] Gewinnfunktion G(x ) = ? G(x ) = U(x ) − K(x ) = 75x − 5x 2 − 4x 2 + 6x − 126 = − 9x 2 + 81x − 126 ; x ∈ [0; 15] 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 169 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 169 10.05.2021 11: 54: 50 10.05.2021 11: 54: 50 158 Lösungen zu Kapitel 11: Gemischte Aufgaben Der Definitionsbereich von G(x ) ist der Durchschnitt der beiden Definitionsbereiche von U(x ) und K(x ) : [0; 15] ∩ [0; ∞ ) = [0; 15] [2] Ableitungen = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 2. G ′ (x ) = − 18x + 81 G ′′ (x ) = − 18 Notwendige Bedingung: 0 = − 18x + 81 ⇔ x = 4,5 Hinreichende Bedingung: G ′′ (x ) = − 18 < immer 0 d. h. x = 4,5 ist eine globale Maximalstelle; d. h. die Gewinn-maximale Menge beträgt 4,5 ME und der Gewinn-maximale Preis beträgt p(4,5) = 75 − 5 · 4,5 = 52,5 GE. [3] Graf der Funktionen G(x ) Gewinn, K ′ (x ) Grenzkosten und U ′ (x ) Grenzerlös, x ∈ [0; 15] 0 5 10 15 − 1000 − 800 − 600 − 400 − 200 0 200 x K ′ (x ), U ′ (x ), G(x ) K ′ (x ) U ′ (x ) G(x ) Allgemein gilt: In den Schnittstellen von Grenzkosten und Grenzerlös liegen die möglichen Extremstellen der Gewinnfunktion. Hier: In der Schnittstelle x = 4,5 von Grenzkosten K ′ (x ) und Grenzerlös U ′ (x ) liegt die mögliche Extremstelle der Gewinnfunktion G(x ) . 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 170 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 170 10.05.2021 11: 54: 51 10.05.2021 11: 54: 51 Lösungen zu Kapitel 11: Gemischte Aufgaben 159 Lösungen 11.4 [a] x ′ (p) = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 2. x ′ (p) = − 0,2 ε x (6) = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 12. ε x (6) = x ′ (6) · 6 x (6) = − 0,2 · 6 10,8 = − 0,1 d. h. wird der Preis von 6 GE um ein Prozent erhöht auf 6,06 GE, so sinkt der Absatz um 0,1 Prozent. [b] Umkehrabbildung p(x ) = ? x = 12 − 0,2p ⇔ 0,2p = 12 − x ⇔ p = 60 − 5x d. h. p(x ) = 60 − 5x ; x ∈ [0; 12] U(x ) = ? U(x ) = p(x ) · x = 60x − 5x 2 ; x ∈ [0; 12] G(x ) = ? G(x ) = U(x ) − K(x ) = − 8x 2 + 64x − 56 ; x ∈ [0; 12] Graf der Funktion G(x ) = − 8x 2 + 64x − 56 ; x ∈ [0; 12] 0 2 4 6 8 10 12 − 400 − 200 0 x G(x ) = − 8x 2 + 64x − 56 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 171 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 171 10.05.2021 11: 54: 51 10.05.2021 11: 54: 51 160 Lösungen zu Kapitel 11: Gemischte Aufgaben Zur Bestimmung der Gewinnzone werden die Nullstellen von G(x ) gesucht: G(x ) = − 8x 2 + 64x − 56 = 0 Division durch − 8 ergibt: x 2 − 8x + 7 = 0 Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 15. x = 4 ± √ 16 − 7 = 4 ± 3 d. h. x = 1 oder x = 7 Da G(0) = − 56 beträgt, lautet die Gewinnzone (1; 7). [c] Ableitungen = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 2. G ′ (x ) = − 16x + 64 G ′′ (x ) = − 16 Notwendige Bedingung: 0 = − 16x + 64 ⇔ x = 4 Hinreichende Bedingung: G ′′ (x ) = − 16 < immer d. h. x = 4 ist eine globale Maximalstelle. G(4) = 72 d. h. der maximale Gewinn beträgt 72 GE und der Gewinn-maximale Preis beträgt p(4) = 60 − 20 = 40 GE. 11.5 [a] partielle Ableitungen erster und zweiter Ordnung = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 2. f x (x , y , z ) = 2x + 2y + 2 f y (x , y , z ) = 2x + 4y − 2a f z (x , y , z ) = 3z 2 − 27 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 172 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 172 10.05.2021 11: 54: 51 10.05.2021 11: 54: 51 Lösungen zu Kapitel 11: Gemischte Aufgaben 161 Lösungen f x x (x , y , z ) = 2 f x y (x , y , z ) = 2 f x z (x , y , z ) = 0 f y y (x , y , z ) = 4 f y z (x , y , z ) = 0 f z z (x , y , z ) = 6z [b] Notwendige Bedingung: I 0 = 2x + 2y + 2 II 0 = 2x + 4y − 2a III 0 = 3z 2 − 27 ⇔ z 2 = 9 ⇔ z = ± 3 II − I 0 = 2y − 2a − 2 ⇔ y = a + 1 I 0 = 2x + 4(a + 1) − 2a = 2x + 2a + 4 ⇔ x = − a − 2 d. h. ( − a − 2; a + 1; 3) und ( − a − 2; a + 1; − 3) sind stationäre Punkte. 11.6 M = Gesamtbedarf [a] M = A · B = ⎡⎣ 12 11 31 23 24 53 20 25 37 ⎤⎦ [b] e i = ME von E i ; für i = 1, 2, 3 I 12e 1 + 11e 2 + 31e 3 = 1 390 II 23e 1 + 24e 2 + 53e 3 = 2 530 III 20e 1 + 25e 2 + 37e 3 = 2 010 Gaußalgorithmus: Zeile e 1 e 2 e 3 r Operation � 1 12 11 31 1 390 � 2 23 24 53 2 530 � 3 20 25 37 2 010 � 4 12 11 31 1 390 � 1 � 5 0 35 − 77 − 1 610 12 · � 2 − 23 · � 1 � 6 0 20 − 44 − 920 3 · � 3 − 5 · � 1 � 7 12 11 31 1 390 � 4 � 8 0 20 − 44 − 920 � 6 � 9 0 0 0 0 4 · � 5 − 7 · � 6 9 20e 2 − 44e 3 = − 920 ⇔ e 2 = − 46 + 2,2e 3 8 12e 1 + 11( − 46 + 2,2e 3 ) + 31e 3 = 1 390 ⇔ e 1 = 158 − 4,6e 3 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 173 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 173 10.05.2021 11: 54: 52 10.05.2021 11: 54: 52 162 Lösungen zu Kapitel 11: Gemischte Aufgaben L = ⎧⎨⎩⎛⎝ 158 − 4,6e 3 2,2e 3 − 46 e 3 ⎞⎠ ; e 3 ∈ R ⎫⎬⎭ [c] Nicht negative Lösungen: e 1 = 158 − 4,6e 3 ≥ 0 ⇔ 158 ≥ 4,6e 3 ⇔ 34,3478 ≥ e 3 ⇔ e 3 ≤ 34,3478 e 2 = 2,2e 3 − 46 ≥ 0 ⇔ 2,2e 3 ≥ 46 ⇔ e 3 ≥ 20,9091 e 3 ≥ 0 Der Durchschnitt dieser drei Intervalle ergibt: ( −∞ ; 34,3478] ∩ [20,9091; ∞ ) ∩ [0; ∞ ) = [20,9091; 34,3478] L = ⎧⎨⎩⎛⎝ 158 − 4,6e 3 2,2e 3 − 46 e 3 ⎞⎠ ; e 3 ∈ [20,9091; 34,3478] ⎫⎬⎭ Nicht negative ganzzahlige Lösungen: e 3 muss ein Vielfaches der Zahl Fünf sein, damit 4,6e 3 = 4 3 5 e 3 und 2,2e 3 = 2 1 5 e 3 ganze Zahlen sind. Zusätzlich muss e 3 im Intervall [20,9091; 34,3478] liegen. In diesem Intervall liegen nur zwei Vielfache der Zahl Fünf: 25 und 30. e 3 = 25 ⇒ e 1 = 43 und e 2 = 9 e 3 = 30 ⇒ e 1 = 20 und e 2 = 20 11.7 [a] Umsatz U(x , y ) = 18x + 9y [b] Gewinn G(x , y ) = U(x , y ) − K(x , y ) = 18x + 9y − 3x y − 4,5x 2 − y 2 − 10 partielle Ableitungen = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 2. G x (x , y ) = 18 − 3y − 9x G y (x , y ) = 9 − 3x − 2y G x x (x , y ) = − 9 G y y (x , y ) = − 2 G x y (x , y ) = − 3 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 174 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 174 10.05.2021 11: 54: 52 10.05.2021 11: 54: 52 Lösungen zu Kapitel 11: Gemischte Aufgaben 163 Lösungen Notwendige Bedingung: I 0 = 18 − 3y − 9x II 0 = 9 − 3x − 2y I 0 = 18 − 9x − 3y 3 · II 0 = 27 − 9x − 6y I − 3 · II 0 = − 9 + 3y ⇔ y = 3 I 0 = 18 − 9 − 9x ⇔ x = 1 d. h. (x , y ) = (1; 3) ist ein stationärer Punkt. Hinreichende Bedingung: D(x , y ) = ( − 9) · ( − 2) − ( − 3) 2 = 9 > immer 0 G x x (x , y ) = − 9 < immer 0 d. h. (x , y ) = (1; 3) = globales Maximum d. h. die Gewinn-maximale Mengenkombination beträgt x = 1 und y = 3 . G(1, 3) = 12,5 d. h. der maximale Gewinn beträgt 12,5 GE. [c] Grenzkosten = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 2. Die Grenzkosten von Produkt P 1 betragen K x (x , y ) = 3y + 9x und die Grenzkosten von Produkt P 2 betragen K y (x , y ) = 3x + 2y . 11.8 [a] G(x 1 , x 2 ) = U(x 1 , x 2 ) − K(x 1 , x 2 ) = − 4x 2 1 − 4x 1 x 2 − 4x 2 2 + 200x 1 + 160x 2 − 100 partielle Ableitungen = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 2. G x 1 (x 1 , x 2 ) = − 8x 1 − 4x 2 + 200 G x 2 (x 1 , x 2 ) = − 4x 1 − 8x 2 + 160 G x 1 x 1 (x 1 , x 2 ) = − 8 G x 2 x 2 (x 1 , x 2 ) = − 8 G x 1 x 2 (x 1 , x 2 ) = − 4 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 175 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 175 10.05.2021 11: 54: 52 10.05.2021 11: 54: 52 164 Lösungen zu Kapitel 11: Gemischte Aufgaben Notwendige Bedingung: I 0 = − 8x 1 − 4x 2 + 200 II 0 = − 4x 1 − 8x 2 + 160 I 0 = − 8x 1 − 4x 2 + 200 2 · II 0 = − 8x 1 − 16x 2 + 320 I − 2 · II 0 = 12x 2 − 120 ⇔ x 2 = 10 II x 1 = 40 − 2 · x 2 = 40 − 2 · 10 = 20 d. h. (20, 10) ist eine mögliche Extremstelle. Hinreichende Bedingung: D(x 1 , x 2 ) = ( − 8) · ( − 8) − ( − 4) 2 = 64 − 16 = 48 > immer 0 G x 1 x 1 (x 1 , x 2 ) = − 8 < immer 0 d. h. (20,10) ist eine globale Maximalstelle. Umsatz (Erlös) U(20, 10) = 4 500 GE Kosten K(20, 19) = 1 800 GE maximaler Gewinn G(20, 10) = 2 700 GE [b] 1. Lösungsweg: Einsetz-Methode K(x 1 , x 2 ) ! = minimal unter NB x 1 + x 2 = 30 ⇔ x 2 = 30 − x 1 Setze: K(x 1 ) = K(x 1 , 30 − x 2 ) = 2x 2 1 + 3x 1 (30 − x 1 ) + 3(30 − x 1 ) 2 + 100 Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 38. K(x 1 ) = 2x 2 1 + 90x 1 − 3x 2 1 + 3(900 − 60x 1 + x 2 1 ) + 100 = 2x 2 1 + 90x 1 − 3x 2 1 + 2 700 − 180x 1 + 3x 2 1 + 100 = 2x 2 1 − 90x 1 + 2 800 Ableitungen = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 2. K ′ (x 1 ) = 4x 1 − 90 K ′′ (x 1 ) = 4 Notwendige Bedingung: 0 = K ′ (x 1 ) = 4x 1 − 90 ⇔ x 1 = 22,5 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 176 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 176 10.05.2021 11: 54: 53 10.05.2021 11: 54: 53 Lösungen zu Kapitel 11: Gemischte Aufgaben 165 Lösungen Hinreichende Bedingung: K ′′ (x 1 ) = 4 < immer 0 x 2 = 30 − x 1 = 30 − 22,5 = 7,5 d. h. K(x 1 , x 2 ) hat in (22,5 ; 7,5) eine globale Minimalstelle unter Berücksichtigung der Nebenbedingung. K(22,5; 7,5) = 1 787,5 Die minimalen Kosten unter Berücksichtigung der Nebenbedingung betragen 1 787,50 GE. 2. Lösungsweg: Lagrange-Methode L(x 1 , x 2 , λ) = 2x 2 1 + 3x 1 x 2 + 3x 2 2 + 100 + λ(x 1 + x 2 − 30) partielle Ableitungen = ? Formel-Navigator Verwenden Sie hier Formel 2. L x 1 (x 1 , x 2 , λ) = 4x 1 + 3x 2 + λ L x 2 (x 1 , x 2 , λ) = 3x 1 + 6x 2 + λ L λ (x 1 , x 2 , λ) = x 1 + x 2 − 30 L x 1 x 1 (x 1 , x 2 , λ) = 4 L x 2 x 2 (x 1 , x 2 , λ) = 6 L x 1 x 2 (x 1 , x 2 , λ) = 3 Notwendige Bedingung: I 0 = 4x 1 + 3x 2 + λ II 0 = 3x 1 + 6x 2 + λ III 0 = x 1 + x 2 − 30 ⇔ λ = − 4x 1 − 3x 2 ⇔ λ = − 3x 1 − 6x 2 λ = λ − 4x 1 − 3x 2 = − 3x 1 − 6x 2 0 = x 1 − 3x 2 III 0 = x 1 + x 2 − 30 Differenz 0 = (x 1 − 3x 2 ) − (x 1 + x 2 − 30) = − 4x 2 + 30 ⇔ x 2 = 7,5 ⇒ III x 1 = 30 − x 2 = 30 − 7,5 = 22,5 ⇒ λ = − 4 · 22,5 − 3 · 7,5 = − 112,5 (Der Wert von λ 0 = − 112,5 wird jedoch nicht benötigt.) d. h. (22,5 ; 7,5) mögliche Extremstelle 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 177 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 177 10.05.2021 11: 54: 53 10.05.2021 11: 54: 53 166 Lösungen zu Kapitel 11: Gemischte Aufgaben Hinreichende Bedingung: D(x 1 ; x 2 ; λ 0 ) = L x 1 x 1 (x 1 ; x 2 ; λ 0 ) · L x 2 x 2 (x 1 ; x 2 ; λ 0 ) − (L x 1 x 2 (x 1 ; x 2 ; λ 0 )) 2 = 4 · 6 − (3) 2 = 15 > immer 0 L x 1 x 1 (x 1 ; x 2 ; λ 0 ) = 4 > immer 0 d. h. K(x 1 , x 2 ) hat in (22,5 ; 7,5) eine lokale Minimalstelle unter Berücksichtigung der Nebenbedingung. K(22,5; 7,5) = 1 787,5 Die minimalen Kosten unter Berücksichtigung der Nebenbedingung betragen 1 787,50 GE. 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 178 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 178 10.05.2021 11: 54: 53 10.05.2021 11: 54: 53 Formeln (Studium) Formeln Formeln aus dem Studium Ableitungen elementarer Funktionen f (x ) = c ; c ∈ R ⇒ f ′ (x ) = 0 (1) f (x ) = x t ; t ∈ R ⇒ f ′ (x ) = t · x t − 1 (2) f (x ) = ex ⇒ f ′ (x ) = ex (3) f (x ) = ax ; a > 0 ⇒ f ′ (x ) = ax · ln(a) (4) f (x ) = ln(x ) ⇒ f ′ (x ) = 1 x (5) f (x ) = log a (x ); 0 < a � = 1 ⇒ f ′ (x ) = 1 x · ln(a) (6) Ableitungsregeln Faktorregel Ableitung der Funktion c · f (x ) c · f ′ (x ) (7) Summenregel Ableitung der Funktion f (x ) + g(x ) f ′ (x ) + g ′ (x ) (8) Produktregel Ableitung der Funktion f (x ) · g(x ) f ′ (x ) · g(x ) + f (x ) · g ′ (x ) (9) Quotientenregel Ableitung der Funktion f (x ) g(x ) f ′ (x ) · g(x ) − f (x ) · g ′ (x ) g 2 (x ) (10) 167 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 179 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 179 10.05.2021 11: 54: 54 10.05.2021 11: 54: 54 168 Formeln Kettenregel Ableitung der Funktion f (g(x )) f � (g(x )) · g � (x ) (11) Elastizität ε f (x ) = x · f � (x ) f (x ) , (12) falls x � = 0, f (x ) � = 0 Partielle Elastizität ε f ,x (x , y ) = x · f x (x , y ) f (x , y ) , (13) falls x � = 0, f (x , y ) � = 0 ε f ,y (x , y ) = y · f y (x , y ) f (x , y ) , (14) falls y � = 0, f (x , y ) � = 0 Integrale elementarer Funktionen f (x ) = a ; a ∈ R ⇒ F (x ) = ax + c (15) f (x ) = x t ; t ∈ R \ {− 1 } ⇒ F (x ) = 1 t + 1 · x t+1 + c (16) f (x ) = x − 1 ⇒ F (x ) = ln | x | + c (17) f (x ) = ex ⇒ F (x ) = ex + c (18) f (x ) = ax ; a > 0 ⇒ F (x ) = 1 ln(a) ax + c (19) f (x ) = ln(x ) ⇒ F (x ) = x · ln x − x + c (20) 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 180 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 180 10.05.2021 11: 54: 54 10.05.2021 11: 54: 54 Formeln 169 Formeln Integrationsregeln Faktorregel Integral der Funktion a · f (x ) ∫ a · f (x ) d x = a ∫ f (x ) d x (21) Summenregel Integral der Funktion f (x ) + g(x ) ∫ (f (x ) + g(x )) d x = ∫ f (x ) d x + ∫ g(x ) d x (22) Partielle Integration Integral der Funktion f (x ) · g ′ (x ) ∫ f (x ) · g ′ (x ) d x = f (x ) · g(x ) − ∫ f ′ (x ) · g(x ) d x (23) Substitution Integral der Funktion f (g(x )) · g ′ (x ) ∫ f (g(x )) · g ′ (x ) d x = (F ◦ g) (x ) + c (24) 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 181 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 181 10.05.2021 11: 54: 54 10.05.2021 11: 54: 54 170 Formeln Formeln aus der Schulzeit Quadratische Gleichungen pq-Formel x 2 + px + q = 0 ⇔ x = − p 2 ± √( p 2 ) 2 − q (15) abc-Formel ax 2 + bx + c = 0 ⇔ x = − b ± √ b 2 − 4ac 2a (16) Potenzrechnung Definition a − n = 1 a n (17) Rechenregeln a n · a m = a n+m (18) a n a m = a n − m (19) a n · b n = (a · b) n (20) a n b n = ( a b ) n (21) (a n ) m = a n · m = (a m ) n (22) Wurzeln Quadratwurzel √ a = a 1 2 = x für x 2 = a ; a ≥ 0 (23) Kubikwurzel 3 √ a = a 1 3 = x für x 3 = a ; a ≥ 0 (24) n-te Wurzel n √ a = a 1 n = x für x n = a ; a ≥ 0; n ∈ N (25) 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 182 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 182 10.05.2021 11: 54: 54 10.05.2021 11: 54: 54 Formeln 171 Formeln Wurzel n √ a m = a m n = x für x n = a m ; a > 0; n ∈ N ; m ∈ Z (26) Rechenregeln Es gilt für a , b > 0 ; n , m ∈ N und r , s ∈ Z : n √ a r · m √ a s = a r n · a s m = a r n + s m (27) n √ a r : m √ a s = a r n : a s m = a r n − s m (28) n √ a r · n √ b r = a r n · b r n = (a · b) r n = n √ (a · b) r (29) n √ a r : n √ b r = a r n : b r n = ( a b ) r n = n √( a b ) r (30) m √( n √ a r ) s = ( a r n ) s m = a r · s n · m = n · m √ a r · s (31) Logarithmus Definition Für a ∈ R + \{ 1 } und b ∈ R + x = log a b ⇔ a x = b (32) Rechenregeln log a b = log c b log c a (33) log a (u · v ) = log a (u) + log a (v ) (34) log a ( u v ) = log a (u) − log a (v ) (35) log a (u r ) = r · log a (u) (36) Binomische Formeln (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (37) (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 (38) (a + b)(a − b) = a 2 − b 2 (39) 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 183 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 183 10.05.2021 11: 54: 55 10.05.2021 11: 54: 55 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 184 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 184 10.05.2021 11: 54: 55 10.05.2021 11: 54: 55 Literaturverzeichnis [1] Arrenberg, J. (2020). Wirtschaftsmathematik für Bachelor. 6., überarbeitete und erweiterte Auflage, Konstanz, UVK-Verl.-Ges. (UTB, 3674) [2] Arrenberg, J.; Kiy, M.; Knobloch, R.; Lange, W. (2021). Vorkurs in Wirtschaftsmathematik. 6., vollständig überarbeitete und erweiterte Auflage, Berlin, de Gruyter Oldenbourg 173 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 185 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 185 10.05.2021 11: 54: 55 10.05.2021 11: 54: 55 Tipp- und Wissen-Verzeichnis Tipp: Ableitung, 34, 93 Tipp: Extremstellen unter NB, 139, 143 Tipp: Gleichungssystem, 20, 21, 75, 76, 79, 81 Tipp: Grenzwert einer Funktion, 87, 90 Tipp: Integrale, 59, 151 Tipp: Kurvendiskussion von f (x ) , 36, 38-40, 107 Tipp: Kurvendiskussion von f (x , y ) , 49, 51, 129 Tipp: Lagrange-Methode, 57 Tipp: Matrizenrechnung, 12, 69 Tipp: Partielle Ableitung, 45, 117 Wissen: Ökonomische Funktionen, 32 Wissen: Ableitung, 27 Wissen: Elastizität, 30, 101 Wissen: Extremstellen unter NB, 53, 54, 139, 142 Wissen: Gleichungssystem, 13, 73-75, 78, 80 Wissen: Grenzanalyse, 32, 44, 105 Wissen: Grenzwert einer Funktion, 23 Wissen: Integrale, 59, 60, 151 Wissen: Kurvendiskussion von f (x ) , 35, 39, 107 Wissen: Kurvendiskussion von f (x , y ) , 47, 48 Wissen: Matrizenrechnung, 7, 9 Wissen: Monotonie, 31, 103 Wissen: Partielle Ableitung, 41, 45, 117, 133 Wissen: Partielle Elastizität, 43 174 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 186 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt.indd 186 10.05.2021 11: 54: 55 10.05.2021 11: 54: 55 uistik \ Literaturgeschichte \ Anglistik \ Bauwesen \ Fremdsprachendidaktik \ DaF \ Germanistik \ Literaturwissenschaft \ Rechtswissenschaft \ Historische Sprach senschaft \ Slawistik \ Skandinavistik \ BWL \ Wirtschaft \ Tourismus \ VWL \ Maschinenbau \ Politikwissenschaft \ Elektrotechnik \ Mathematik & Statistik schaft \ Slawistik \ Skandinavistik \ BWL \ Wirtschaft \ Tourismus \ VWL \ Maschinenbau \ Politikwissenschaft \ Elektrotechnik \ Mathematik & Stat \ Management \ Altphilologie \ Sport \ Gesundheit \ Romanistik \ Theologie \ Kulturwissenschaften \ Soziologie \ Theaterwissenschaft \ Geschichte \ anagement \ Altphilologie \ Sport \ Gesundheit \ Romanistik \ Theologie \ Kulturwissenschaften \ Soziologie \ Theaterwissenschaft \ Geschicht Spracherwerb \ Philosophie \ Medien- und Kommunikationswissenschaft \ Linguistik \ Literaturgeschichte \ Anglistik \ Bauwesen \ Fremdsprachendidaktik \ acherwerb \ Philosophie \ Medien- und Kommunikationswissenschaft \ Linguistik \ Literaturgeschichte \ Anglistik \ Bauwesen \ Fremdsprachendidakt DaF \ Germanistik \ Literaturwissenschaft \ Rechtswissenschaft \ Historische Sprachwissenschaft \ Slawistik \ Skandinavistik \ BWL \ Wirtschaft \ Tourismus F \ Germanistik \ Literaturwissenschaft \ Rechtswissenschaft \ Historische Sprachwissenschaft \ Slawistik \ Skandinavistik \ BWL \ Wirtschaft \ Tourism \ VWL \ Maschinenbau \ Politikwissenschaft \ Elektrotechnik \ Mathematik & Statistik \ Management \ Altphilologie \ Sport \ Gesundheit \ Romanistik \ WL \ Maschinenbau \ Politikwissenschaft \ Elektrotechnik \ Mathematik & Statistik \ Management \ Altphilologie \ Sport \ Gesundheit \ Romanist Theologie \ Kulturwissenschaften \ Soziologie \ Theaterwissenschaft \ Geschichte \ Spracherwerb \ Philosophie \ Medien- und Kommunikationswissenschaft ologie \ Kulturwissenschaften \ Soziologie \ Theaterwissenschaft \ Geschichte \ Spracherwerb \ Philosophie \ Medien- und Kommunikationswissensc \ Linguistik \ Literaturgeschichte \ Anglistik \ Bauwesen \ Fremdsprachendidaktik \ DaF \ Germanistik \ Literaturwissenschaft \ Rechtswissenschaft \ nguistik \ Literaturgeschichte \ Anglistik \ Bauwesen \ Fremdsprachendidaktik \ DaF \ Germanistik \ Literaturwissenschaft \ Rechtswissenscha Historische Sprachwissenschaft \ Slawistik \ Skandinavistik \ BWL \ Wirtschaft \ Tourismus \ VWL \ Maschinenbau \ Politikwissenschaft \ Elektrotechnik \ orische Sprachwissenschaft \ Slawistik \ Skandinavistik \ BWL \ Wirtschaft \ Tourismus \ VWL \ Maschinenbau \ Politikwissenschaft \ Elektrotechn Mathematik & Statistik \ Management \ Altphilologie \ Sport \ Gesundheit \ Romanistik \ Theologie \ Kulturwissenschaften \ Soziologie \ Theaterwissen hematik & Statistik \ Management \ Altphilologie \ Sport \ Gesundheit \ Romanistik \ Theologie \ Kulturwissenschaften \ Soziologie \ Theaterwiss schaft Linguistik \ Literaturgeschichte \ Anglistik \ Bauwesen \ Fremdsprachendidaktik \ DaF \ Germanistik \ Literaturwissenschaft \ Rechtswissenschaft \ aft Linguistik \ Literaturgeschichte \ Anglistik \ Bauwesen \ Fremdsprachendidaktik \ DaF \ Germanistik \ Literaturwissenschaft \ Rechtswissenscha Historische Sprachwissenschaft \ Slawistik \ Skandinavistik \ BWL \ Wirtschaft \ Tourismus \ VWL \ Maschinenbau \ Politikwissenschaft \ Elektrotechnik \ orische Sprachwissenschaft \ Slawistik \ Skandinavistik \ BWL \ Wirtschaft \ Tourismus \ VWL \ Maschinenbau \ Politikwissenschaft \ Elektrotechn Mathematik & Statistik \ Management \ Altphilologie \ Sport \ Gesundheit \ Romanistik \ Theologie \ Kulturwissenschaften \ Soziologie \ Theaterwissen hematik & Statistik \ Management \ Altphilologie \ Sport \ Gesundheit \ Romanistik \ Theologie \ Kulturwissenschaften \ Soziologie \ Theaterwiss schaft \ Geschichte \ Spracherwerb \ Philosophie \ Medien- und Kommunikationswissenschaft \ Linguistik \ Literaturgeschichte \ Anglistik \ Bauwesen aft \ Geschichte \ Spracherwerb \ Philosophie \ Medien- und Kommunikationswissenschaft \ Linguistik \ Literaturgeschichte \ Anglistik \ Bauwe \ Fremdsprachendidaktik \ DaF \ Germanistik \ Literaturwissenschaft \ Rechtswissenschaft \ Historische Sprachwissenschaft \ Slawistik \ Skandinavistik emdsprachendidaktik \ DaF \ Germanistik \ Literaturwissenschaft \ Rechtswissenschaft \ Historische Sprachwissenschaft \ Slawistik \ Skandinav \ BWL \ Wirtschaft \ Tourismus \ VWL \ Maschinenbau \ Politikwissenschaft \ Elektrotechnik \ Mathematik & Statistik \ Management \ Altphilologie \ WL \ Wirtschaft \ Tourismus \ VWL \ Maschinenbau \ Politikwissenschaft \ Elektrotechnik \ Mathematik & Statistik \ Management \ Altphilolog Sport \ Gesundheit \ Romanistik \ Theologie \ Kulturwissenschaften \ Soziologie \ Theaterwissenschaft \ Geschichte \ Spracherwerb \ Philosophie \ rt \ Gesundheit \ Romanistik \ Theologie \ Kulturwissenschaften \ Soziologie \ Theaterwissenschaft \ Geschichte \ Spracherwerb \ Philosoph ien- und Kommunikationswissenschaft \ Linguistik \ Literaturgeschichte \ Anglistik \ Bauwesen \ Fremdsprachendidaktik \ DaF \ Germanistik \ Literaturwissensc BUCHTIPP Jutta Arrenberg Wirtschaftsmathematik für Bachelor 6., überarbeitete und erweiterte Auflage 2020, 295 Seiten €[D] 24,90 ISBN 978-3-8252-5487-2 eISBN 978-3-8385-5487-7 Jutta Arrenberg Wirtschaftsmathematik für Bachelor 6. Auflage 17.07.20 08: 56 Die Mathematik ist wichtiger Bestandteil eines wirtschaftswissenschaftlichen Bachelorstudiums. Studierende werden deswegen bereits in den ersten Semestern mit Themen wie zum Beispiel Matrizen, Linearen Gleichungen und der Lagrange-Methode konfrontiert. Dieses erfolgreiche Lehrbuch stellt in der 6., überarbeiteten und erweiterten Auflage die für das Studium relevanten mathematischen Verfahren dar. Die Autorin legt dabei größten Wert auf Verständlichkeit: Jedes Kapitel nennt vorab Lernziele. Wichtige Definitionen und Sätze sind hervorgehoben, Beispiele sowie Prüfungstipps illustrieren den Stoff. Zusammenfassungen und zahlreiche Übungen mit Lösungen helfen zudem dabei, den Stoff zu vertiefen und sich optimal auf die Prüfung vorzubereiten. UVK Verlag. Ein Unternehmen der Narr Francke Attempto Verlag GmbH + Co. KG Dischingerweg 5 \ 72070 Tübingen \ Germany Tel. +49 (0)7071 97 97 0 \ Fax +49 (0)7071 97 97 11 \ info@narr.de \ www.narr.de 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt - Kopie.indd 1 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt - Kopie.indd 1 10.05.2021 16: 29: 47 10.05.2021 16: 29: 47 uistik \ Literaturgeschichte \ Anglistik \ Bauwesen \ Fremdsprachendidaktik \ DaF \ Germanistik \ Literaturwissenschaft \ Rechtswissenschaft \ Historische Sprach senschaft \ Slawistik \ Skandinavistik \ BWL \ Wirtschaft \ Tourismus \ VWL \ Maschinenbau \ Politikwissenschaft \ Elektrotechnik \ Mathematik & Statistik schaft \ Slawistik \ Skandinavistik \ BWL \ Wirtschaft \ Tourismus \ VWL \ Maschinenbau \ Politikwissenschaft \ Elektrotechnik \ Mathematik & Stat \ Management \ Altphilologie \ Sport \ Gesundheit \ Romanistik \ Theologie \ Kulturwissenschaften \ Soziologie \ Theaterwissenschaft \ Geschichte \ anagement \ Altphilologie \ Sport \ Gesundheit \ Romanistik \ Theologie \ Kulturwissenschaften \ Soziologie \ Theaterwissenschaft \ Geschicht Spracherwerb \ Philosophie \ Medien- und Kommunikationswissenschaft \ Linguistik \ Literaturgeschichte \ Anglistik \ Bauwesen \ Fremdsprachendidaktik \ acherwerb \ Philosophie \ Medien- und Kommunikationswissenschaft \ Linguistik \ Literaturgeschichte \ Anglistik \ Bauwesen \ Fremdsprachendidakt DaF \ Germanistik \ Literaturwissenschaft \ Rechtswissenschaft \ Historische Sprachwissenschaft \ Slawistik \ Skandinavistik \ BWL \ Wirtschaft \ Tourismus F \ Germanistik \ Literaturwissenschaft \ Rechtswissenschaft \ Historische Sprachwissenschaft \ Slawistik \ Skandinavistik \ BWL \ Wirtschaft \ Tourism \ VWL \ Maschinenbau \ Politikwissenschaft \ Elektrotechnik \ Mathematik & Statistik \ Management \ Altphilologie \ Sport \ Gesundheit \ Romanistik \ WL \ Maschinenbau \ Politikwissenschaft \ Elektrotechnik \ Mathematik & Statistik \ Management \ Altphilologie \ Sport \ Gesundheit \ Romanist Theologie \ Kulturwissenschaften \ Soziologie \ Theaterwissenschaft \ Geschichte \ Spracherwerb \ Philosophie \ Medien- und Kommunikationswissenschaft ologie \ Kulturwissenschaften \ Soziologie \ Theaterwissenschaft \ Geschichte \ Spracherwerb \ Philosophie \ Medien- und Kommunikationswissensc \ Linguistik \ Literaturgeschichte \ Anglistik \ Bauwesen \ Fremdsprachendidaktik \ DaF \ Germanistik \ Literaturwissenschaft \ Rechtswissenschaft \ nguistik \ Literaturgeschichte \ Anglistik \ Bauwesen \ Fremdsprachendidaktik \ DaF \ Germanistik \ Literaturwissenschaft \ Rechtswissenscha Historische Sprachwissenschaft \ Slawistik \ Skandinavistik \ BWL \ Wirtschaft \ Tourismus \ VWL \ Maschinenbau \ Politikwissenschaft \ Elektrotechnik \ orische Sprachwissenschaft \ Slawistik \ Skandinavistik \ BWL \ Wirtschaft \ Tourismus \ VWL \ Maschinenbau \ Politikwissenschaft \ Elektrotechn Mathematik & Statistik \ Management \ Altphilologie \ Sport \ Gesundheit \ Romanistik \ Theologie \ Kulturwissenschaften \ Soziologie \ Theaterwissen hematik & Statistik \ Management \ Altphilologie \ Sport \ Gesundheit \ Romanistik \ Theologie \ Kulturwissenschaften \ Soziologie \ Theaterwiss schaft Linguistik \ Literaturgeschichte \ Anglistik \ Bauwesen \ Fremdsprachendidaktik \ DaF \ Germanistik \ Literaturwissenschaft \ Rechtswissenschaft \ aft Linguistik \ Literaturgeschichte \ Anglistik \ Bauwesen \ Fremdsprachendidaktik \ DaF \ Germanistik \ Literaturwissenschaft \ Rechtswissenscha Historische Sprachwissenschaft \ Slawistik \ Skandinavistik \ BWL \ Wirtschaft \ Tourismus \ VWL \ Maschinenbau \ Politikwissenschaft \ Elektrotechnik \ orische Sprachwissenschaft \ Slawistik \ Skandinavistik \ BWL \ Wirtschaft \ Tourismus \ VWL \ Maschinenbau \ Politikwissenschaft \ Elektrotechn Mathematik & Statistik \ Management \ Altphilologie \ Sport \ Gesundheit \ Romanistik \ Theologie \ Kulturwissenschaften \ Soziologie \ Theaterwissen hematik & Statistik \ Management \ Altphilologie \ Sport \ Gesundheit \ Romanistik \ Theologie \ Kulturwissenschaften \ Soziologie \ Theaterwiss schaft \ Geschichte \ Spracherwerb \ Philosophie \ Medien- und Kommunikationswissenschaft \ Linguistik \ Literaturgeschichte \ Anglistik \ Bauwesen aft \ Geschichte \ Spracherwerb \ Philosophie \ Medien- und Kommunikationswissenschaft \ Linguistik \ Literaturgeschichte \ Anglistik \ Bauwe \ Fremdsprachendidaktik \ DaF \ Germanistik \ Literaturwissenschaft \ Rechtswissenschaft \ Historische Sprachwissenschaft \ Slawistik \ Skandinavistik emdsprachendidaktik \ DaF \ Germanistik \ Literaturwissenschaft \ Rechtswissenschaft \ Historische Sprachwissenschaft \ Slawistik \ Skandinav \ BWL \ Wirtschaft \ Tourismus \ VWL \ Maschinenbau \ Politikwissenschaft \ Elektrotechnik \ Mathematik & Statistik \ Management \ Altphilologie \ WL \ Wirtschaft \ Tourismus \ VWL \ Maschinenbau \ Politikwissenschaft \ Elektrotechnik \ Mathematik & Statistik \ Management \ Altphilolog Sport \ Gesundheit \ Romanistik \ Theologie \ Kulturwissenschaften \ Soziologie \ Theaterwissenschaft \ Geschichte \ Spracherwerb \ Philosophie \ rt \ Gesundheit \ Romanistik \ Theologie \ Kulturwissenschaften \ Soziologie \ Theaterwissenschaft \ Geschichte \ Spracherwerb \ Philosoph ien- und Kommunikationswissenschaft \ Linguistik \ Literaturgeschichte \ Anglistik \ Bauwesen \ Fremdsprachendidaktik \ DaF \ Germanistik \ Literaturwissensc BUCHTIPP Jutta Arrenberg Wirtschaftsstatistik für Bachelor 4., überarbeitete Auflage 2020, 318 Seiten €[D] 24,90 ISBN 978-3-8252-5488-9 eISBN 978-3-8385-5488-4 Jutta Arrenberg Wirtschaftsstatistik für Bachelor 4. Auflage 14.07.20 21: 02 Kenntnisse der Wirtschaftsstatistik sind für ein erfolgreiches Wirtschaftsstudium unerlässlich. Erfahrungsgemäß tun sich Studierende aber gerade damit schwer. Das Buch legt deshalb besonderen Wert auf Verständlichkeit: Definitionen sind mit Beispielen versehen und jedes Kapitel endet mit einer Zusammenfassung. Die zahlreichen Prüfungstipps beruhen auf Erkenntnissen aus der Korrektur von über 10.000 Klausuren. Im Buch finden sich alle Themen, die Bachelorstudierende der Wirtschaftswissenschaften kennen sollten. Dazu zählen u. a. die Darstellung von Datensätzen, die Wahrscheinlichkeitsrechnung, Lage- und Streuungsparameter, die lineare Regression, Indizes, diskrete und stetige Verteilungsmodelle, das Schätzen von Parametern, Konfidenzintervalle sowie die statistischen Tests: Gaußtest, t-Test, Chi-Quadrat-Unabhängigkeitstest und Chi-Quadrat-Anpassungstest. UVK Verlag. Ein Unternehmen der Narr Francke Attempto Verlag GmbH + Co. KG Dischingerweg 5 \ 72070 Tübingen \ Germany Tel. +49 (0)7071 97 97 0 \ Fax +49 (0)7071 97 97 11 \ info@narr.de \ www.narr.de 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt - Kopie.indd 1 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt - Kopie.indd 1 10.05.2021 16: 30: 22 10.05.2021 16: 30: 22 uistik \ Literaturgeschichte \ Anglistik \ Bauwesen \ Fremdsprachendidaktik \ DaF \ Germanistik \ Literaturwissenschaft \ Rechtswissenschaft \ Historische Sprach senschaft \ Slawistik \ Skandinavistik \ BWL \ Wirtschaft \ Tourismus \ VWL \ Maschinenbau \ Politikwissenschaft \ Elektrotechnik \ Mathematik & Statistik schaft \ Slawistik \ Skandinavistik \ BWL \ Wirtschaft \ Tourismus \ VWL \ Maschinenbau \ Politikwissenschaft \ Elektrotechnik \ Mathematik & Stat \ Management \ Altphilologie \ Sport \ Gesundheit \ Romanistik \ Theologie \ Kulturwissenschaften \ Soziologie \ Theaterwissenschaft \ Geschichte \ anagement \ Altphilologie \ Sport \ Gesundheit \ Romanistik \ Theologie \ Kulturwissenschaften \ Soziologie \ Theaterwissenschaft \ Geschicht Spracherwerb \ Philosophie \ Medien- und Kommunikationswissenschaft \ Linguistik \ Literaturgeschichte \ Anglistik \ Bauwesen \ Fremdsprachendidaktik \ acherwerb \ Philosophie \ Medien- und Kommunikationswissenschaft \ Linguistik \ Literaturgeschichte \ Anglistik \ Bauwesen \ Fremdsprachendidakt DaF \ Germanistik \ Literaturwissenschaft \ Rechtswissenschaft \ Historische Sprachwissenschaft \ Slawistik \ Skandinavistik \ BWL \ Wirtschaft \ Tourismus F \ Germanistik \ Literaturwissenschaft \ Rechtswissenschaft \ Historische Sprachwissenschaft \ Slawistik \ Skandinavistik \ BWL \ Wirtschaft \ Tourism \ VWL \ Maschinenbau \ Politikwissenschaft \ Elektrotechnik \ Mathematik & Statistik \ Management \ Altphilologie \ Sport \ Gesundheit \ Romanistik \ WL \ Maschinenbau \ Politikwissenschaft \ Elektrotechnik \ Mathematik & Statistik \ Management \ Altphilologie \ Sport \ Gesundheit \ Romanist Theologie \ Kulturwissenschaften \ Soziologie \ Theaterwissenschaft \ Geschichte \ Spracherwerb \ Philosophie \ Medien- und Kommunikationswissenschaft ologie \ Kulturwissenschaften \ Soziologie \ Theaterwissenschaft \ Geschichte \ Spracherwerb \ Philosophie \ Medien- und Kommunikationswissensc \ Linguistik \ Literaturgeschichte \ Anglistik \ Bauwesen \ Fremdsprachendidaktik \ DaF \ Germanistik \ Literaturwissenschaft \ Rechtswissenschaft \ nguistik \ Literaturgeschichte \ Anglistik \ Bauwesen \ Fremdsprachendidaktik \ DaF \ Germanistik \ Literaturwissenschaft \ Rechtswissenscha Historische Sprachwissenschaft \ Slawistik \ Skandinavistik \ BWL \ Wirtschaft \ Tourismus \ VWL \ Maschinenbau \ Politikwissenschaft \ Elektrotechnik \ orische Sprachwissenschaft \ Slawistik \ Skandinavistik \ BWL \ Wirtschaft \ Tourismus \ VWL \ Maschinenbau \ Politikwissenschaft \ Elektrotechn Mathematik & Statistik \ Management \ Altphilologie \ Sport \ Gesundheit \ Romanistik \ Theologie \ Kulturwissenschaften \ Soziologie \ Theaterwissen hematik & Statistik \ Management \ Altphilologie \ Sport \ Gesundheit \ Romanistik \ Theologie \ Kulturwissenschaften \ Soziologie \ Theaterwiss schaft Linguistik \ Literaturgeschichte \ Anglistik \ Bauwesen \ Fremdsprachendidaktik \ DaF \ Germanistik \ Literaturwissenschaft \ Rechtswissenschaft \ aft Linguistik \ Literaturgeschichte \ Anglistik \ Bauwesen \ Fremdsprachendidaktik \ DaF \ Germanistik \ Literaturwissenschaft \ Rechtswissenscha Historische Sprachwissenschaft \ Slawistik \ Skandinavistik \ BWL \ Wirtschaft \ Tourismus \ VWL \ Maschinenbau \ Politikwissenschaft \ Elektrotechnik \ orische Sprachwissenschaft \ Slawistik \ Skandinavistik \ BWL \ Wirtschaft \ Tourismus \ VWL \ Maschinenbau \ Politikwissenschaft \ Elektrotechn Mathematik & Statistik \ Management \ Altphilologie \ Sport \ Gesundheit \ Romanistik \ Theologie \ Kulturwissenschaften \ Soziologie \ Theaterwissen hematik & Statistik \ Management \ Altphilologie \ Sport \ Gesundheit \ Romanistik \ Theologie \ Kulturwissenschaften \ Soziologie \ Theaterwiss schaft \ Geschichte \ Spracherwerb \ Philosophie \ Medien- und Kommunikationswissenschaft \ Linguistik \ Literaturgeschichte \ Anglistik \ Bauwesen aft \ Geschichte \ Spracherwerb \ Philosophie \ Medien- und Kommunikationswissenschaft \ Linguistik \ Literaturgeschichte \ Anglistik \ Bauwe \ Fremdsprachendidaktik \ DaF \ Germanistik \ Literaturwissenschaft \ Rechtswissenschaft \ Historische Sprachwissenschaft \ Slawistik \ Skandinavistik emdsprachendidaktik \ DaF \ Germanistik \ Literaturwissenschaft \ Rechtswissenschaft \ Historische Sprachwissenschaft \ Slawistik \ Skandinav \ BWL \ Wirtschaft \ Tourismus \ VWL \ Maschinenbau \ Politikwissenschaft \ Elektrotechnik \ Mathematik & Statistik \ Management \ Altphilologie \ WL \ Wirtschaft \ Tourismus \ VWL \ Maschinenbau \ Politikwissenschaft \ Elektrotechnik \ Mathematik & Statistik \ Management \ Altphilolog Sport \ Gesundheit \ Romanistik \ Theologie \ Kulturwissenschaften \ Soziologie \ Theaterwissenschaft \ Geschichte \ Spracherwerb \ Philosophie \ rt \ Gesundheit \ Romanistik \ Theologie \ Kulturwissenschaften \ Soziologie \ Theaterwissenschaft \ Geschichte \ Spracherwerb \ Philosoph ien- und Kommunikationswissenschaft \ Linguistik \ Literaturgeschichte \ Anglistik \ Bauwesen \ Fremdsprachendidaktik \ DaF \ Germanistik \ Literaturwissensc BUCHTIPP Holger Walther Ohne Prüfungsangst studieren 3., überarbeitete und erweiterte Auflage 2021, 185 Seiten €[D] 14,90 ISBN 978-3-8252-5577-0 eISBN 978-3-8385-5577-5 Holger Walther Ohne Prüfungsangst studieren 3. Auflage 26.11.20 17: 45 Mit Prüfungsangst-Check! Panik, Schlaflosigkeit, Nervosität, Blackout - für viele Studierende ist und bleibt die Prüfung ein Alptraum. Dieser Ratgeber gibt Ihnen deswegen Tipps, Tricks und konkrete Übungen an die Hand, die Ihnen dabei helfen, Stress und Denkblockaden vor und in der Prüfung erfolgreich zu lösen. Holger Walther verrät Ihnen, wie Sie negative Einstellungen zur Prüfung verändern, Entspannungsübungen in Ihren Alltag integrieren und Lerntechniken richtig anwenden. Denn genau dieses Dreigespann hilft Ihnen dabei, Prüfungsängste langfristig abzulegen. Übrigens: Im Buch befindet sich ein Fragebogen. Dieser Prüfungsangst-Check verrät Ihnen konkret, wo Ihre Ängste liegen und wo Sie im Buch Lösungen finden. UVK Verlag. Ein Unternehmen der Narr Francke Attempto Verlag GmbH + Co. KG Dischingerweg 5 \ 72070 Tübingen \ Germany Tel. +49 (0)7071 97 97 0 \ Fax +49 (0)7071 97 97 11 \ info@narr.de \ www.narr.de 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt - Kopie.indd 1 45647_Arrenberg_3mm_Anschnitt - Kopie.indd 1 10.05.2021 16: 30: 46 10.05.2021 16: 30: 46 Die Leser: innen dieses Buches bewahren in der Wirtschaftsmathematikprüfung ganz sicher einen kühlen Kopf! Jutta Arrenberg stellt 77 Klausuraufgaben mit Lösungen vor. Im Mittelpunkt stehen u.a. die Matrizenrechnung sowie Gleichungssysteme, die Grenzwerte und die Differentiation von Funktionen mit dazugehöriger (partieller) Ableitung, die Kurvendiskussion von f(x) sowie f(x,y) und last but not least die Extremstellen unter Nebenbedingungen mit der Einsetz- und der Lagrange-Methode. Auf häufig gemachte Fehler in Klausuren weist die Autorin explizit hin, ebenso auf die aufzuwendende Zeit und den Schwierigkeitsgrad pro Aufgabe. Auch alle wichtigen Formeln aus der Schulzeit und dem Studium sind im Buch zu finden. Zudem verrät sie, wie sich Studierende richtig auf die Prüfung vorbereiten und gibt Tipps für die Klausur. Diese 2., überarbeitete Auflage beinhaltet nun auch Aufgaben zur Integralrechnung. Kurzum: Das Buch ist ein Must-have für Studierende der Betriebs- und Volkswirtschaftslehre. Betriebs- und Volkswirtschaftslehre ,! 7ID8C5-cfgeha! ISBN 978-3-8252-5647-0 Dies ist ein utb-Band aus dem UVK Verlag. utb ist eine Kooperation von Verlagen mit einem gemeinsamen Ziel: Lehrbücher und Lernmedien für das erfolgreiche Studium zu veröffentlichen. utb-shop.de QR-Code für mehr Infos und Bewertungen zu diesem Titel mit Aufgaben, Lösungen, Formeln