Infrastruktur + Verkehrspolitik 30 INTERNATIONALES VERKEHRSWESEN (62) 12/ 2010 Wolfgang Wirth Das Fundamentaldiagramm und sein Aussagegehalt Anmerkungen zu einer wichtigen Bemessungsgrundlage von Straßen Das Fundamentaldiagramm, eine Kerngrundlage der Leistungsberechnung von Verkehrsstraßen, wird hier einer kritischen Analyse unterzogen. Unter anderem werden folgende Fragestellungen untersucht: Ist es berechtigt, die an realen Straßenquerschnitten ermittelten Messpunktwolken, die noch dazu ganz unterschiedliche Verkehrszustände beschreiben, durch eine diskrete Kurve zu ersetzen? Wie kann man sich in einem dynamischen Fundamentaldiagramm Kurvenverläufe, die gegen die aus der Hydraulik adaptierten Kontinuitätsgleichung für kompressible Flüssigkeiten verstoßen, vorstellen? Warum wird der Kurvenzug auch in Bereichen, in denen keine Messpunkte vorliegen, durchgehend dargestellt? Kurzum: Es geht um die Frage nach der eigentlichen Aussage des Fundamentaldiagramms. Gibt es eine präzise, allgemein gültige Definition dessen, was im Fundamentaldiagramm konkret dargestellt ist? Dazu wird auch auf die Anfänge der Verkehrsflussmessungen in den USA (New Jersey 1920er und Greenshields 1930er Jahre) zurückgegriffen. Der Autor: Univ.-Prof. Dr.-Ing. Wolfgang Wirth, Universität der Bundeswehr München, Institut für Verkehrswesen und Raumplanung, 85577 Neubiberg; wolfgang. wirth@unibw.de A ls Fundamentaldiagramm im engeren Sinn wird in der Verkehrswissenschaft die grafische Darstellung des Zusammenhangs zwischen Verkehrsstärke (Kfz pro Zeiteinheit) und Verkehrsdichte (Kfz pro Längeneinheit) auf einem Straßenabschnitt der sog. „freien Strecke“ bezeichnet ([13], S. 19; [17], S. 78). Im weiteren Sinn versteht man unter Fundamentaldiagramm auch die Darstellung der Zusammenhänge zwischen Verkehrsstärke und mittlerer Geschwindigkeit einerseits sowie Verkehrsdichte und mittlerer Geschwindigkeit andererseits. Eine Sonderform ist das sog. „dynamische Fundamentaldiagramm“, in dem nicht nur die oben genannten Zusammenhänge - rein statistisch - dargestellt sind, sondern aus dem auch das zeitliche Nacheinander von unmittelbar aufeinanderfolgenden Verkehrszuständen abgelesen werden kann. Es ist offensichtlich, dass ein dynamisches Fundamentaldiagramm immer nur für einen eng begrenzten Streckenabschnitt, eigentlich nur für einen diskreten Messquerschnitt, aufgestellt werden kann; für weit auseinanderliegende Querschnitte oder gar verschiedene Straßen ist eine gemeinsame Zeitreihe verschiedener Verkehrszustände, die unmittelbar ineinander übergehen, wenig sinnvoll. Bis heute befassen sich zahlreiche verkehrswissenschaftliche Veröffentlichungen [2] mit dem Fundamentaldiagramm, eine Widersprüchlichkeit des dynamischen Fundamentaldiagramms konnten sie allerdings nicht aufklären. Bevor auf diese Widersprüchlichkeit eingegangen wird, soll zunächst Grundsätzliches zum Verkehrsstrom auf einem Abschnitt der freien Strecke, der im Richtungsverkehr betrieben wird, ausgeführt werden. Kfz-Trajektorien im Weg-Zeit-Diagramm Gegeben sei ein Abschnitt der Länge Δx einer Autobahn-Richtungsfahrbahn („freie Strecke“), der über eine Zeitspanne Δt beobachtet wird. Der Abschnitt sei knotenpunktsfrei und habe auch sonst keine Zu- und Ausfahrten, sei also im Sinne der mathematischen Feldtheorie quellen- und senkenfrei. Bildet man das Raum-Zeit-Element der Länge Δx und der Zeitspanne Δt in einem linksdrehenden Koordinatensystem mit der Zeit als Abszisse und dem Weg als Ordinate ab, so lassen sich die Trajektorien (Bewegungslinien) der einzelnen Kfz auf dem Autobahnabschnitt graphisch darstellen. Da Wenden auf der Autobahn unzulässig ist, müssen alle Trajektorien wesentlich von links unten nach rechts oben in dem Weg-Zeit-Diagramm verlaufen. Genauer: Für alle Kfz-Trajektorien muss in jedem Punkt gelten: 0 ≤ dx/ dt <∞. Der Fall dx/ dt = 0 stellt das stehende Fahrzeug („Vollstau“) dar, der − praktisch ausgeschlossene Fall − dx/ dt = ∞ würde eine unendlich hohe Geschwindigkeit („Beamen“) bedeuten. Mit anderen Worten: Jede Trajektorie wird durch eine mit wachsendem Argument monoton nicht abnehmende Funktion beschrieben. Eine Trajektorie kann, wie gesagt, ausnahmsweise horizontal verlaufen (Stillstand), aber niemals vertikal, die praktische Höchststeigung dx/ dt ist durch eine realistische strecken-, witterungs- und Kfz-technisch bedingte Höchstgeschwindigkeit v max begrenzt. Abb. 1: Beispiel eines Raum-Zeit- Elements mit 6 Fz- Trajektorien in einem Weg-Zeit- Diagramm (Fz-Nummerierung fallend) Infrastruktur + Verkehrspolitik 31 INTERNATIONALES VERKEHRSWESEN (62) 12/ 2010 In einem Weg-Zeit-Diagramm dieser Form lässt sich die Aussage der aus der Hydraulik übernommenen Kontinuitätsgleichung für kompressible Flüssigkeiten (z. B. nach [18]) sehr überzeugend veranschaulichen (Abbildung 1) . In dieser Analogie zwischen Hydraulik und Straßenverkehrsfluss-Theorie entspricht ein Kfz samt seinem Abstand zum vorausfahrenden Kfz einem Flüssigkeitsmolekül. Die Kompressibilität beschreibt das Abstandsverhalten des Kraftfahrers, das zu unterschiedlichen Wegbzw. Zeitlücken bei verschiedenen mittleren Geschwindigkeiten führt. Die adaptierte, oben angegebene Kontinuitätsgleichung für kompressible Flüssigkeiten besagt, dass in einem im Sinne der Rohrhydraulik als geschlossenes System zu betrachtenden Raum-Zeit-Element eine Erhöhung der Verkehrsdichte k in der Zeitspanne Δt stets eine Verminderung der Verkehrsstärke q im Streckenabschnitt Δx nach sich ziehen muss und analog umgekehrt. Wie kunstvoll man auch immer die Trajektorien unter den oben genannten Randbedingungen zu konstruieren vermag, an diesem Urgesetz der Kontinuität führt kein Weg vorbei. Die wichtige Essenz dieses Befundes ist, dass in einem Richtungsfahrbahnabschnitt einer Autobahn, der ein, wie oben beschrieben, geschlossenes System darstellt, die Werte der partiellen Ableitungen ∂k/ ∂t und ∂q/ ∂x stets unterschiedliche Vorzeichen haben und dem Betrag nach gleich groß sein müssen. Das dynamische Fundamentaldiagramm Nun ist das Fundamentaldiagramm in dem oben definierten engeren Sinn eine zweidimensionale Darstellung des Zusammenhangs zwischen der Verkehrsstärke q und der Verkehrsdichte k, in der man die Gesetzmäßigkeit der Kontinuitätsgleichung für kompressible Flüssigkeiten nachvollziehen kann. Voraussetzung dafür ist allerdings, dass es sich um ein sogenanntes dynamisches Fundamentaldiagramm handelt, bei dem normalerweise der funktionsmäßige Zusammenhang zwischen Verkehrsstärke und Verkehrsdichte durch einzelne Kurvenelemente oder eine Folge von solchen („Kurvenzüge“) beschrieben wird, wobei ein einzelnes Linienelement immer den Übergang von einem Verkehrszustand zu einem zeitlich unmittelbar darauffolgenden Verkehrszustand darstellt oder umgekehrt. Bei dieser Darstellungsform ist sofort ersichtlich, dass Zustandsübergänge, bei denen gleichzeitig beide Größen − Verkehrsstärke q und Verkehrsdichte k − zu- oder abnehmen, unzulässig sind, weil sie die Kontinuitätsgleichung verletzen würden. Zulässig wären demnach allein Zustandsübergangsvektoren, also Linienelemente, mit einem Steigungswinkel von 0 bis - 90º, unzulässig wären solche mit einem Steigungswinkel von 0 bis + 90º. Die in den dynamischen Fundamentaldiagrammen häufig eingezeichneten Hystereseschleifen können also lediglich die in Abbildung 2 prinzipiell dargestellte Form a) annehmen, niemals aber b) oder c) entsprechende Formen. Die gezeigten unzulässigen Formen der Hystereseschleifen kommen aber reihenweise im verkehrswissenschaftlichen Fachschrifttum vor [2]. Um diese Unzulässigkeit weiter zu verdeutlichen, sind in dem in Abbildung 3 dargestellten dynamischen Fundamentaldiagramm ein Zustand 1 und ein Zustand 2 eingetragen, denen beiden dieselbe mittlere Geschwindigkeit v - zugrunde liegt. Würde es sich nicht um ein dynamisches, sondern um ein „ganz normales“ Fundamentaldiagramm handeln, wären Punkt 1 und Punkt 2 zwei voneinander unabhängige, isoliert an einer Messstelle ermittelte Verkehrszustände: Es ist ganz offensichtlich, dass z. B. unter der Bedingung derselben mittleren Geschwindigkeit in beiden Fällen der Zustand 1 bei einer geringeren Verkehrsdichte auch die geringere Verkehrsstärke und der Zustand 2 bei einer höheren Verkehrsdichte auch die größere Verkehrsstärke aufweisen muss. Anders verhält es sich im dynamischen Fundamentaldiagramm: Auf keinen Fall kann der Zustand 1 unmittelbar in den Zustand 2 oder der Zustand 2 unmittelbar in den Zustand 1 übergehen. Das erhellt sich schon aus der Tatsache, dass eine Veränderung des Verkehrsstärke-Verkehrsdichte-Gefüges ohne Veränderung der mittleren Geschwindigkeit ausgeschlossen ist. Wie kann man nun diesen Widerspruch auflösen? Rückblick Um sich der Aufklärung dieser Frage zu widmen, muss in die Entstehungszeit des Fundamentaldiagramms zurückgegangen werden. Zunächst wurden einfach an einem fixen Straßenquerschnitt die lokale Geschwindigkeit v und die Weglücke (Bruttoabstand zum vorausfahrenden Fahrzeug) Δx B je Kfz gemessen und die so ermittelten Wertepaare als Punkte in einem Δx B -v-Diagramm aufgetragen - die Messungen betrafen also jeweils Einzelfahrzeuge. Die Messwerte beider Größen variieren naturgemäß sowohl zufällig als auch systematisch. Bezüglich der ersten Eigenschaft kann man sie als Realisationen von Zufallsvariablen auffassen. Zweckmäßigerweise fasst man entweder dicht beieinanderliegende fahrzeugbezogene Messpunkte (Punkteschar) zu einem repräsentativen Punkt mit Mittelwertkoordinaten (Scharmittel) zusammen oder man klassifiziert die Koordinatenwerte der Messpunkte, wie das auch Greenshields getan hat [7]. Dabei ist die auch von ihm angewandte Übung, im Diagramm dem Messpunkt die Beobachtungszahl als Information über dessen Repräsentativität beizuschreiben, positiv hervorzuheben. Diese Information wird heute - leider nur - manchmal durch die unterschiedliche Größe der im Diagramm dargestellen Messpunkte mit einem der Beobachtungszahl proportionalen Flächeninhalt wiedergegeben. Ein anderer Weg ist die Zusammenfassung der Einzelbeobachtungen für ein bestimmtes Bezugszeitintervall mit entsprechender Mittelwertbildung. Solche Auswertungsintervalle etwa von 1, 5 oder 15 Minuten sind noch heute gebräuchlich, wobei das 1-Minuten-Intervall eigentlich zu klein ist, weil es bei „freiem Verkehrsablauf“ auf Landstraßen schon wieder zu nahe an das Einzelfahrzeug kommt. Das Fundamentaldiagramm soll aber den makroskopischen Verkehrsfluss modellieren - für ein Einzelfahrzeug hätte es überhaupt keinen Sinn (vgl. vorletzter Abschnitt). Als nächster Schritt bietet sich der Übergang vom Δx B -v --Diagramm zum kv --Diagramm an: Die Umrechnung der Größe „mittlere Weglücke“ in die Größe „Verkehrsdichte“ ist ein rein formaler Akt - die eine Größe ist der Kehrwert der anderen. Ergebnis ist eine Punktwolke im Diagramm, die nicht mehr und nicht weniger besagt, als dass die aufgetragenen Kombinationen von mittlerer Geschwindigkeit und mittleren Weglücken bzw. Verkehrsdichten - bei Zugrundelegung eines bestimmten Bezugszeitintervalls - an diesem Messquerschnitt beobachtet wurden. In einem weiteren Schritt - das war auch in der Anfangszeit der Verkehrsflussmes- Abb. 2: Zulässige (a) und unzulässige (b, c) Formen von Hystereseschleifen im q-k- Diagramm Abb. 3: Zwei Messpunkte mit identischem v --Wert im Fundamentaldiagramm Infrastruktur + Verkehrspolitik 32 INTERNATIONALES VERKEHRSWESEN (62) 12/ 2010 sungen das erklärte Ziel - kann dann nachgewiesen werden, dass vergleichbare Straßenquerschnitte und -typen unter denselben äußeren Randbedingungen (Tageszeit, Witterung) bei demselben Fahrzeug- und Kraftfahrerkollektiv ähnliche Punktwolken im k-v --Diagramm liefern. Soweit ist die Welt in Ordnung. Das erste Problem tauchte in der Vergangenheit auf, als man auf dem Weg zum Fundamentaldiagramm im engeren Sinne, also dem q-k-Diagramm, daranging, die Verkehrsdichte k, die nur sehr umständlich direkt ermittelt werden kann (Greenshields hat sie mit seiner Kamera dennoch unmittelbar gemessen [6]), aus den beiden leichter ermittelbaren Größen q und v - zu berechnen (vgl. [15] S. 2, 2. Spiegelstrich). Abgesehen davon, dass die einfache lineare Beziehung q = k v - zur Umrechnung von q auf k nur bei stationärem und längs der Strecke homogenem Verkehrsfluss verwendet werden dürfte (eine Einschränkung, die häufig ignoriert wird, z. B. [2], S. 7), gilt es, Folgendes zu berücksichtigen: Soll die Verkehrsdichte aus Verkehrsstärke und mittlerer Geschwindigkeit berechnet werden, dann wird zwingend ein, wenn auch noch so kurzes, Streckenintervall benötigt; denn die Verkehrsdichte kann sich ja nicht auf nur einen Messquerschnitt mit der Längenausdehnung 0 beziehen (die am angegebenen Ort enthaltene Aussage, dass eine lokal ermittelte v m zur Errechnung von k ausreichen würde, ist ein Trugschluss; denn k ist eine längenbezogene Größe, die sich ohne eine Bezugsstrecke nicht ermitteln lässt, es sei denn, es läge in der Umgebung der lokalen Messstelle Verkehrsdichte-Homogenität oder Ergodizität vor. Beides wurde nach vorliegenden Erkenntnissen bisher niemals nachgewiesen und dürfte in der Praxis auch kaum der Fall sein; denn im Fundamentaldiagramm sollen erklärtermaßen zwar in sich stationäre, gleichwohl aber deutlich unterschiedliche Verkehrszustände dargestellt werden [15]). Mit dem Zeitintervall Δt, auf das Greenshields seine Verkehrsstärkezählungen bezogen hat, und dem Streckenintervall Δx, das zur Berechnung der Verkehrsdichte dient, liegen aber genau die oben beschriebenen Bedingungen des Raum- Zeit-Elements im Weg-Zeit-Diagramm vor: In einem dynamischen Fundamentaldiagramm könnte der Zustand 2, wie gesagt, nur dann unmittelbar auf den Zustand 1 (jeweils wie in Abbildung 3 angegeben) folgen, wenn die Kontinuitätsgleichung für kompressible Flüssigkeiten verletzt würde. Insofern sind alle Fundamentaldiagramme (q-k-Diagramme) - nicht nur die dynamischen -, bei denen die Punktwolke durch eine diskrete Kurve ersetzt ist, kritisch zu sehen, weil sie suggerieren, dass sich der Verkehrszustand auf der diskreten Linie hin- und herbewegen könnte, was insbesondere in dem vom Koordinatennullpunkt aufsteigenden Parabelast wegen der Gültigkeit der Kontinuitätsgleichung unmöglich ist. Es ist wohl möglich, dass die durch die Linie repräsentierten Zustände an der Messstelle irgendwann beobachtet wurden, unmittelbar ineinander übergehen können sie aber nicht. Man mag sich dabei mit der Vorstellung behelfen, dass der Übergang in Richtung der mit einem Winkel zwischen 0° und 90° steigenden diskreten Linie in einem Zickzackkurs, der die Bedingungen der Kontinuitätsgleichung erfüllt, ähnlich dem Kreuzen eines Segelschiffs erfolgt. Ein weiterer Erklärungsgrund könnte sein, dass der Beobachter, der dort gemessen und ein solches Diagramm erstellt hat, übersehen haben mag, dass sich kurz vor oder hinter der Messstrecke eine Anschlussstelle befindet, die mit ihrem Einfahrtsstrom die Randbedingungen der ungestörten Messung verfälscht. Grundsätzlich gilt, dass in dem oben definierten geschlossenen System ein dynamisches Fundamentaldiagramm immer nur innerhalb eines eng begrenzten Gültigkeitsbereichs, der von keinem starken Wechsel von momentanen und lokalen Verkehrsballungs- und Entzerrungserscheinungen (Staubildung und -auflösung) geprägt ist, erstellt werden kann. 1938, drei Jahre nach Greenshields zweiter Veröffentlichung zur Verkehrsflusstheorie, gelangt Bruno Wehner „zu dem Ergebnis, dass die Leistungsfähigkeit einer Strasse gleich dem Quotienten aus der Verkehrsgeschwindigkeit und einem nach den gegebenen Erläuterungen errechneten Mindestabstand ist, wobei zweckmässigerweise die Leistungsfähigkeit als stündliche angegeben wird, also als die Zahl der Fahrzeuge je Stunde“ [1]. In dem als Quelle angegebenen Protokoll schließt dann die richtige, auf Beobachtungen auf der Schau-ins-Land-Straße nach einem Bergrennen beruhende Feststellung Wehners an, „dass bei grösseren Verkehrsmengen mit wachsender Fahrzeugzahl die Geschwindigkeit sehr rasch abfällt“. Die Quotientenformel kann einerseits zu einem Trugschluss führen, z. B. wenn die landläufige, an Autobahnen plakatierte „Halbe-Tacho-Regel“ (analytisch: Δx B [m] = 0,5 v [km/ h] bzw. Δx B [km] = 0,5 v/ 1000 = v/ 2000 [km/ h]) für den Bremsweg, also für den Mindestabstand, eingesetzt wird. Dann ergibt sich nämlich als Resultat von q = v/ Δx B [(km/ h)/ km] = 2000 [1/ h] eine konstante Kapazität von 2000 Kfz/ h, d. h. die Verkehrsstärke wäre unabhängig von der Geschwindigkeit, was ja Wehners Nachsatz ausdrücklich ausschließt. Andererseits enthält Wehners Aussage schon die beiden wichtigsten Befunde der Verkehrsflusstheorie: Die (mittlere) Geschwindigkeit des Fahrstroms ist stark auslastungsabhängig und der Fahrzeugmindestabstand ist wiederum geschwindigkeitsabhängig. Zum Ersatz der Punktwolke durch einen Kurvenzug Der Ersatz der Punktwolke im Fundamentaldiagramm durch eine diskrete Linie ist grundsätzlich problematisch, und zwar nicht nur wegen der Hystereseeffekte. Sinn des Fundamentaldiagramms ist es ja, eine allgemein gültige Gesetzmäßigkeit des Verkehrsflusses für einen bestimmten Straßentypus unter wohl definierten Randbedingungen abzuleiten. Selbst wenn man diese Klassifizierung sehr scharf vornimmt, ist die Streuung etwa des q-v --Zusammenhangs immer noch relativ groß − es ist ein hochgradig stochastischer Zusammenhang und keineswegs ein so straffer wie etwa beim Ohmschen Gesetz zwischen Spannung und Stromstärke in der Elektrotechnik. Während man beim Ohmschen Gesetz mit Fug und Recht die empirisch ermittelten Messwertpaare von Spannung und Stromstärke durch eine − etwa mittels Regressionsrechnung bestimmte − diskrete (im Fall des Ohmschen Gesetzes auch einem statistischen Linearitätstest standhaltende) Linie ersetzen kann, sind die Verhältnisse beim Fundamentaldiagramm weitaus verwickelter: Es herrscht eben nicht ein unbestechliches physikalisches Gesetz und schon gar keine lineare Abhängigkeit, sondern es spielen systematisch schwer fassbare Willkürentscheidungen des Kraftfahrers herein, die zu dem oben beschriebenen hochgradig stochastischen Zusammenhang führen. Und dann stellt sich unversehens die Frage: Soll diese diskrete Kurve die Punktwolke gewissermaßen schwerlinienmäßig Abb. 4: Versuch, das klassische q-v --Diagramm mit Bereichsangaben zu hinterlegen (gerastert: staugefährdeter Bereich) Infrastruktur + Verkehrspolitik 33 INTERNATIONALES VERKEHRSWESEN (62) 12/ 2010 Abb. 5: Observed Relations between Volume and Velocity of Vehicular Traffic (= fig. 33 in [14]) b)Aus demselben Grund ist es wenig sinnvoll, in diesem Fall einen Linearitätstest durchzuführen; Greenshields hat die Linearität schlichtweg postuliert, ohne über deren Berechtigung Rechenschaft abzulegen. c) Die Substitution k = q/ v - (wiederum unsere Schreibweise! ) wäre nur dann zulässig, wenn der betrachtete Verkehrsfluss stationär und streckenhomogen wäre - nur dann könnte v - wie eine Konstante behandelt werden. Andernfalls sollte aus der Schreibweise hervorgehen, dass es sich um eine Variable handelt, also etwa die Geradengleichung ein und erhält nach Ausmultiplizieren mit v - So erhält GREENSHIELDS die Parabelform in seinem q-v --Diagramm (gemäß Abbildung 7 ) und legt damit das Fundament für alle q-v --Diagramme bis heute. Dazu ist dreierlei zu bemerken: a) Aufgrund der dürftigen Datenlage im Verkehrsdichtebereich > 60 vpm ist die Steigung der Regressionsgeraden stark zufallsgeprägt und deswegen wenig aussagekräftig. annähern oder soll sie eine innere oder äußere Einhüllende sein je nachdem, ob die im Hinblick auf die Zielvorgabe günstigsten oder die ungünstigsten Messwerte eingefangen werden sollen? Diese Frage spielt insbesondere dann eine Rolle, wenn man den Scheitel der diskreten Kurve in irgendeiner Weise zur Kapazitätsermittlung eines bestimmten Straßentypus heranziehen will. Verschiedene Autoren haben festgestellt, dass es sich bei der diskreten Kurve um eine Art Hüllkurve handeln muss, die einen Bereich mit zulässigen bzw. möglichen Wertepaaren abgrenzt (Abbildung 4) , z. B. [16; 15]. Schlums und Jacobs haben schon 1967 auf diese und einige weitere Ungereimtheiten des Fundamentaldiagramms hingewiesen in ihrem fundamentalen Aufsatz in Straße und Autobahn [16], der im Schrifttumsverzeichnis von [2] leider fehlt, dessen Lektüre aber jedem Nachwuchswissenschaftler auf dem Traffic-flow-Gebiet empfohlen sei. So verführerisch die Übernahme der Modellvorstellung aus der Hydraulik ist, so muss doch vergegenwärtigt werden, dass Flüssigkeitsmoleküle ausschließlich mechanischen Gesetzen gehorchen, die sich in geschlossenen analytischen Ansätzen formulieren lassen, dass Kraftfahrer jedoch einen eigenen, individuellen Willen besitzen, der sich häufig der Formulierung in derartig geschlossenen Ansätzen widersetzt. Das bedeutet, dass man statt eines straffen funktionalen Zusammenhangs zwischen den Größen q, k und v -, der zu Recht mit einer Kurvenfunktion beschrieben werden könnte, eben eine stark streuende Punktwolke erhält. Die beliebte Abhilfe gegen diesen Effekt, nämlich verhältnismäßig lange Bezugszeitintervalle bei der Messwertzusammenfassung zu verwenden, um die Streuung der Punktwolke zu reduzieren und so wenigstens rechnerisch einen einigermaßen straffen Zusammenhang zu erzielen, ist nicht zweckmäßig: So fallen z. B. bei Verwendung von Einstundenintervallen zahlreiche Messpunkte mit Extremwerten weg, was die Aussagekraft des Fundamentaldiagramms spürbar schmälert. Aber auch - im Gegenteil - bei der immer stärkeren Verkürzung des Bezugszeitintervalls ist Vorsicht geboten, wie unten dargelegt. Die Herkunft der Parabelform Um der Parabelform für das q-v --Diagramm nachzuspüren, siehe [7], muss vergegenwärtigt werden, was konkret Greenshields damals gemacht hat. Er hat die beobachteten Messwertpaare (density of vehicles per mile of pavement; speed in miles per hour) in ein k-v --Diagramm eingetragen (vgl. Abbildung 6 ) und durch die Messpunkte eine Regressionsgerade gelegt. In der uns geläufigen Schreibweise lautet deren Geradengleichung wenn v - max der Achsabschnitt auf der Ordinate und - m die Geradensteigung ist. Dann führt Greenshields die Substitution (wieder in unserer Schreibweise) k = q/ v - in Abb. 6: Speed in Miles per Hour Corresponding to a Given Average Density in Vehicles per Mile of Pavement (= fig. 5 in [7]) Infrastruktur + Verkehrspolitik 34 INTERNATIONALES VERKEHRSWESEN (62) 12/ 2010 len und anwenden, auf einem schmalen Grat der Sinnfälligkeit, dessen Einhaltung immer wieder streng überprüft werden sollte. Die im Zusammenhang mit dem Fundamentaldiagramm auftretenden Ungereimtheiten und argumentativen Brüche bezüglich stationärem/ instationärem und homogenem/ inhomogenem Verkehrsfluss sowie bezüglich der unterschiedlichen Verkehrszustände („frei“, „teilgebunden“, „gebunden“, „stockend“, „Stau“ usw.) scheinen in Fachveröffentlichungen zum Fundamentaldiagramm immer wieder auf, ein extremes Beispiel ist [13]. Es ist zwar möglich, die unterschiedlichen Verkehrszustände in einem gemeinsamen Fundamentaldiagramm im Sinne einer Zustandskartierung als Punktwolke darzustellen, es ist aber schlechterdings unmöglich, ein konsistentes Fundamentaldiagramm mit diskreten Zustandskurven, wie das heute in der Fachliteratur so oft zu finden ist, zu erstellen u. a. auch deswegen, weil es keinen geschlossenen analytischen Ansatz zu seiner Beschreibung gibt - bis heute jedenfalls. Auch das Modell von van Aerde, das in [5] als „der einzige bekannte Ansatz, mit dem eine realistische Beschreibung sämtlicher [! ] Verkehrszustände im q-v- Diagramm mit einem durchgehenden Kurvenzug gelingt“, vorgestellt wird, vermag an dieser Tatsache nichts zu ändern. Und so vermitteln auch die q-v-Diagramme gemäß Abbildung 1 und 2 in [5] mit ihrem diskreten Kurvenzug wieder die falsche Vorstellung, dass sich der Verkehrszustand quasi auf dieser Kurve auf- und abbewegen könnte. Um es noch einmal deutlich zu sagen: Wo keine Messpunkte im qv-Diagramm vorhanden sind, hat auch ein durchgehender Kurvenzug nichts zu suchen, ansonsten würde eine nicht vorhandene Kontinuität auf rein spekulativer Basis vorgetäuscht. Greenshields hat den unteren Parabelast wenigstens nur strichliert eingezeichnet, um diesem Sachverhalt Rechnung zu tragen. pischen Modellaussagen. Dies vermag sie aber beim besten Willen nicht zu leisten, was sofort folgende Extremwertbetrachtung erhellt: Wenn z. B. das Bezugszeitintervall kleiner als die durchschnittliche Zeitlücke gewählt wird, so täuscht ein Messwert q = 0, der zufällig in einer Zeitlücke erfasst wird, so etwas wie eine längere Verkehrsstärke-Nullperiode vor, wie sie etwa innerhalb eines signalanlagenbedingt gepulkten Verkehrsstroms auftritt. Hierher gehört auch das Postulat, dass die diskrete Linie im q-v --Diagramm, genauer der obere Parabelast in seinem Berührungspunkt mit der Ordinate, eine horizontale Tangente haben muss (z. B. [15], Abbildung 1 ), weil bei der entsprechend kleinen Verkehrsstärke die Geschwindigkeit frei wählbar und damit von q unabhängig sei. Theoretisch kann aber bei einer sehr kleinen Verkehrsstärke nahezu jede beliebige Geschwindigkeit zwischen 0 und v - tang gewählt werden. Allenfalls kann die horizontale Tangente, der sich die diskrete Linie asymptotisch nähert, als trassierungstechnisch maximal mögliche Geschwindigkeit des Straßenabschnitts gedeutet werden [16]. Dabei hat schon das frühe q-v --Diagramm („velocity curve“) in der über 80 Jahre alten Veröffentlichung [14] gezeigt, dass es keine zur Verkehrsstärke- Achse parallele Tangente gibt (siehe Abbildung 5 ). Eine weitere Ambivalenz betrifft die diskrete Linie im Koordinatenursprung des q-v --Diagramms. Dieser Punkt kann Vollstau (stehender Verkehr k>>0), aber auch „kein Fz auf der Strecke“ (q = 0; k = 0) bedeuten. Der Kurvenpunkt repräsentiert also gleichermaßen eine sehr große wie eine verschwindend kleine Verkehrsdichte. Es bleibt jedenfalls zu konstatieren, dass die Übung, die Punktwolke durch diskrete Linien zu ersetzen, in vielen Fällen zu Irritationen führt. Fazit Man bewegt sich mit dem Fundamentaldiagramm, will man es korrekt ersteldv -(x,t), was dann automatisch wieder zu einer Differentialgleichung (s. o.) führen würde. Für die Differentialgleichung existieren viele Lösungen. Voraussetzung für eine den Verkehrsfluss realistisch abbildende Lösung wäre die Vorgabe eines gesetzmäßigen Zusammenhangs etwa zwischen v - und Δx B bzw. k oder zwischen v - und q. Die Parabelform und ein entsprechender funktionaler Ansatz wurden also nicht etwa durch Anschauung der Punktwolke oder Regressionsrechnung gewonnen, sondern durch analytische Überlegungen zum Verkehrsfluss und zu den verschiedenen Zuständen des Verkehrsablaufs (Abbildung 6) . Es drängt sich der Verdacht auf, dass auch die angenommene Analogie zu dem Hydraulikmodell für Freispiegelgerinne mit strömendem und schießendem Abfluss, den beiden Alternativen, die sich bei gegebener Energiehöhe einstellen können, die Parabelform bestätigt hat. Auch die Übernahme der Wellentheorie mit zwei Arten Dichtewellen, die sich entgegen oder in der Verkehrsstromrichtung ausbreiten ([17], S. 78), legt diese Vermutung nahe. Weitere Kritikpunkte Eine Tatsache erschwert die Erstellung, Handhabung und Interpretation des Fundamentaldiagramms besonders − und da muss nochmals auf den Vergleich mit dem Ohmschen Gesetz zurückgegriffen werden: Während es sich dort bei den Ausgangsdaten um diskrete Einzelmesswerte von Spannung und Stromstärke handelt, sind die zu „kartierenden“ Wertepaare im Fundamentaldiagramm in allen drei Fällen − q, k, v - − bereits über ein Zeitund/ oder Wegintervall gemittelte Durchschnittswerte. Gewiss, das Fundamentaldiagramm soll ja Verkehrszustände makroskopisch modellieren. Nur stößt diese Modelltheorie, dort wo sie räumlich und zeitlich zu kleinteilig wird, an ihre Grenzen, nämlich an einen nahtlosen Übergang zu mikrosko- Abb. 7: Speed in Miles per Hour to a Given Density in Vehicles per Hour on a Two-lane Highway (= fig. 6 in [7]) Abb. 8: General speed-volume diagram (= fig. 3.53 in [11]) Infrastruktur + Verkehrspolitik 35 INTERNATIONALES VERKEHRSWESEN (62) 12/ 2010 Nebenbei: Die Kurvendarstellung, nach der van Aerde-Modellfunktion in den Diagrammen am angegebenen Ort zeigt im oberen Ast eine gestrecktere Linienführung als die Parabelfunktion. Hier stellt sich wiederum die Frage: Wäre die Annäherung der oberen Punktfolge durch eine Gerade (wie sie etwa in fig. 3.53 im HCM 1965 [11] dargestellt ist - siehe Abbildung 8 ) nicht berechtigter? Vergleicht man die q-v- Diagramme für die Bemessung zweistreifiger Landstraßen in den RAS-Q 96 [4] mit denjenigen im HBS 2001 [3], so fällt auf, dass die Linienzüge des einzig hier relevanten oberen Kurvenastes im ersten Fall oben konvex und im zweiten Fall oben konkav sind. Eine Erklärung dafür, dass hier die Dinge von einer Regelwerkgeneration zur nächsten „auf den Kopf gestellt wurden“, ist nicht bekannt. Nach sachlogischen Kriterien kann nur eine der beiden Kurvenformen richtig sein - aber vielleicht liegt, wie so oft, die Wahrheit in der Mitte und es handelt sich doch um einen linearen Zusammenhang - der Linearitätstest ist man uns wie schon in den vorerwähnten Fällen - einmal mehr schuldig geblieben. Zurück zum Thema: Es sei hier die Vermutung ausgesprochen, dass die realistische analytische Modellierung des Übergangszustandes zwischen „freiem“ und „gebundenem“ Verkehrsfluss noch weitaus schwieriger ist als diejenige zwischen Hookeschem Festkörper und Newtonscher Flüssigkeit bei der Beschreibung des viskoelastischen Werkstoffverhaltens von Bitumen. Vielleicht probiert es ein physikalisch beschlagener Kollege einmal mit einem Ansatz analog dem komplexen Modul in der Rheologie, in dem er den freien und den gebundenen Verkehrszustand der realen und der imaginären Koordinatenachse zuweist. Literatur [1] FG, Niederschrift über die 11. Sitzung der Arbeitsgruppe „Planung, Strassengestaltung und Verkehr“ am 26. März 1938 in Berlin, V.D.J.-Haus [sic] [2] FGSV (Hg.), Hinweise zum Fundamentaldiagramm - Grundlagen und Anwendungen (Köln, 2005) [3] FGSV (Hg.), Handbuch für die Bemessung von Straßenverkehrsanlagen (HBS 2001) (Köln, 2001) [4] FGSV (Hg.), Richtlinien für die Anlage von Straßen (RAS), Teil: Querschnitte (RAS-Q 96) (Köln, 1996) [5] Geistefeldt, Justin, „Überprüfung der verkehrstechnischen Bemessungswerte des HBS für die Autobahnen“, Straßenverkehrstechnik (2009), S. 643 - 650 [6] Greenshields, Bruce D., ”The Photographic Method of Studying Traffic Behavior“, Proc. of the 13. Annual Meeting, Highway Research Board, vol. 13 (Washington, 1934), pp. 382 - 399 [7] derselbe, ”A Study of Traffic Capacity“, Proc. of the 14. Annual Meeting, Highway Research Board, vol. 14 (Washington, 1935), pp. 448-477 [8] Heidemann, Dirk; Hotop, Rüdiger, „Verteilung der Pkw-Geschwindigkeiten im Netz der Bundesautobahnen”, Straße und Autobahn (1984), S. 190 - 195 [9] Helbing, Dirk, Verkehrsdynamik: Neue physikalische Modellierungskonzepte (Berlin, Heidelberg, 1997) [10] Highway Res. Board (ed.), Highway Capacity Manual - Practical Applications of Research (Washington D.C., 1950) [15] Sachse, Thomas; Keller, Hartmut, Einfluss des Bezugsintervalls in Fundamentaldiagrammen auf die zutreffende Beschreibung der Leistungsfähigkeit von Straßenabschnitten, Forschung Straßenbau und Straßenverkehrstechnik, H. 614 (Bonn, 1991) [16] Schlums, J.; Jacobs, F., „Probleme des Dimensionierens von Anlagen des Straßenverkehrs: Eine Stellungnahme zum ‚Highway Capacity Manual 1965’“, Straße und Autobahn (1967), Heft 8 u. 9 [17] Schnabel, Werner; Lohse, Dieter, Grundlagen der Straßenverkehrstechnik und der Verkehrsplanung, Bd. 1 (Berlin, 1997) [18] Truckenbrodt, E., Fluidmechanik (Berlin, 1980), Bd. 1 [11] Highway Res. Board (ed.), Highway Capacity Manual 1965, HRB, Special Rep. 87 (Washington D.C., 1965) [12] Kühne, Reinhart, “Foundations of Traffic Flow Theory I: Greenshield’s Legacy - Highway Traffic”, Proc. Greenshield’s 75 Symposium, ed. by Traffic Flow Theory and Characteristics (Woods Hole, 2008) [13] Leutzbach, Wilhelm, „Das Fundamentaldiagramm”, Kapazitätsreserven der Verkehrsträger, Schriftenreihe der DVWG, Heft B 178 (Aachen, 1994) [14] Lewis, Harold M.; Goodrich, Ernest P., Highway Traffic, Regional Plan of New York and its Environs, Regional Survey, vol. III (New York, 1927) Summary The fundamental diagram and its significance The so-called fundamental diagram, a key factor in the assessment of road productivity, is the subject of a critical analysis in this report. The following questions are being dealt with: How can a dynamic fundamental diagram serve to explain the run of curves, which contravene the hydraulic-based continuity equation for compressible fluids? Why does the plotted curve tend to be featured in a continuous run also in those cases for which there are no actual measuring points? A final question about the significance of a fundamental diagram: Is there a precise and generally acceptable definition of what the fundamental diagram aims to portray? In this connection, we refer to the early stages of traffic flow evaluations carried out in the USA, in New Jersey in the 1920s and in Greenshields in the 1930s. Veranstalter Mesago Messe Frankfurt GmbH Rotebühlstraße 83-85 70178 Stuttgart Tel. +49 711 61946-827 Fax +49 711 61946-90 Ideeller Träger Bundesverband Parken e. V . www.parken-messe.de 11.- 12. Mai 2011 Wiesbaden, Rhein-Main-Hallen Fachausstellung und Fachtagung für Planung, Bau und Betrieb von Einrichtungen des ruhenden Verkehrs