lichkeit durch einen Perspektivwechsel Analogien zu anderen Disziplinen zu erarbeiten und daraus neue Ansätze zu besseren Prozessen zu kreieren. Schließlich sind Oberflächen tribologischer Systeme von essentieller Bedeutung innerhalb der industriellen Wertschöpfungskette und tragen durch das optimierte Zusammenspiel aller Systemkomponenten und den dazu verwendeten Produktionsprozessen maßgeblich zum effizienten Einsatz aller benötigten Ressourcen bei. Dem zufolge stellt eine tribologisch relevante Quantifizierung von Oberflächeneigenschaften nicht nur eine akademische Fragestellung, sondern eine ökonomische Notwendigkeit dar. Herausfordernd ist dabei die Tatsache, dass Interaktionen in tribologischen Systemen auf verschiedenen Skalen passieren, die von den Abweichungen der makroskopischen Idealgeometrie bis hin zur atomaren Wechselwirkung auf molekularer Ebene reichen und demnach bei der Oberflächenmodellierung berücksichtigt werden müs- Aus Wissenschaft und Forschung 20 Tribologie + Schmierungstechnik · 70. Jahrgang · eOnly Sonderausgabe 2/ 2023 DOI 10.24053/ TuS-2023-0042 1 Motivation Die Oberflächeneigenschaften von Reibpartnern und ihre Charakterisierung gehört zu den zentralen Untersuchungsgegenständen der Tribologie [1]. Aufgrund des hohen interdisziplinären Charakters, dieses formal sehr jungen Forschungsgebiets, werden Oberflächen aus den unterschiedlichen Perspektiven der jeweiligen Disziplinen wie, unter anderem Kontinuumsmechanik, Werkstoffkunde oder Schmierstoffchemie, betrachtet und erfordern für die jeweils anderen Fachrichtungen ein hohes Maß an Abstraktionsvermögen. Dies birgt die Gefahr von fehlinterpretierten Modellvorstellungen, wenn z.B. überhöhte Darstellungen von Topographie intuitiv mit bekannten Geländestrukturen der makroskopischen Welt verknüpft werden [2]. Es eröffnet aber zugleich die Mög- Charakterisierung tribologischer Funktionsflächen im Phasenraum Boris Brodmann* Dieser Beitrag wurde im Rahmen der 64. Tribologie-Fachtagung 2023 der Gesellschaft für Tribologie (GfT) eingereicht. Der Aufsatz behandelt die Charakterisierung von tribologischen Funktionsoberflächen. Er zeigt, wie sich die Funktionseigenschaften der Oberflächenmikrogeometrie als statistisches Ensemble im Phasenraum darstellen lassen, deren kanonisch konjugierten Koordinaten aus den Dichteverteilungen von Höhen- und Steigungswerten gebildet werden. Er betont, dass die Limitierung topografischer Messverfahren hinsichtlich der Messung von Oberflächensteigungen die Anwendung von kontaktmechanischen Modellen in der Praxis erschwert. Hierfür wird ein ergänzendes Messprinzip vorgestellt und auf Beispiele von praxisrelevanten tribologischen Funktionsflächen angewendet. Schlüsselwörter Oberflächenrauhigkeit, Amplitudendichteverteilung, spektrale Leistungsdichte, Winkelverteilung, Phasenraum, Streulichtverteilung A phase space characterization of surfaces with tribological function The paper deals with the characterization of tribological functional surfaces. It shows that mathematically independent spatial and spatial frequency-space properties shape the surface microgeometry into a statistical ensemble in phase space. The canonically conjugate coordinates are formed from the density distributions of height and slope values. It is pointed out that the focus of tribology on topographic measurement techniques limits the practical application of contact mechanics models. Therefore, a complementary measurement method is introduced, which robustly and reliably captures aspects of contact mechanics that have been neglected by practitioners. The theoretical foundations are outlined and explained through example measurements on different surface types Keywords Surface roughness, amplitude density distribution, spectral power density, angular distribution, phase space, scattered light distribution Kurzfassung Abstract * Boris Brodmann OptoSurf GmbH, Nobelstrasse 9-13, 76275 Ettlingen sen [3]. Eine besonders anspruchsvolle Aufgabe besteht demnach in der präzisen Definition von Kennzahlen tribologisch relevanter Oberflächenstrukturen und ihrer Quantifizierung durch Messung. Da aufgrund von mikroskopisch kleinen Unebenheiten, die als Rauheit bezeichnet werden, die Wechselwirkung sich berührender Oberflächen nicht auf die scheinbare Kontaktfläche, sondern über eine geringe Anzahl von Erhebungen, den Asperiten, verteilt, sind die Eigenschaften dieser Kontakte unter mechanischer Belastung von großer Bedeutung für das Verhalten tribologischer Systeme. Einen Überblick zur Modellierung und Beschreibung der Kontaktfläche zwischen zwei Körpern in technischen Systemen zeigt Taylor in [4]. Eine zentrale Annahme aller Modelle ist der zufällige Charakter von rauen Oberflächen und die Anwendung von stochastischen Methoden zur Charakterisierung der topografischen Eigenschaften. Als wichtigste Kennzahlen werden die zentralen Momente der spektralen Leistungsdichte (PSD) genannt. So kann die mittlere Asperitenhöhe durch das Integral m 0 , der mittlere Neigungswinkel durch die Varianz m 2 und der mittlere Krümmungsradius durch die Kurtosis m 4 dieser Funktion berechnet werden [5]. Diesen elementaren statistischen Kenngrößen der theoretischen Modelle stehen eine Fülle von Oberflächenparametern gegenüber, die von der internationalen Normung der angewandten Tribologie angeboten werden [35], [36]. Darunter finden sich auch Entsprechungen der wichtigen kontaktmechanischen Größen wie Rq ( √ m 0 ) und Rdq ( √ m 2 ). Eine weitere Perspektive zum Verständnis der Wirkung von Mikrostrukturen in tribologischen Systemen eröffnen Ansätze der Nichtgleichgewichts-Thermodynamik. Sie bieten theoretische Modelle für die Entwicklung tribologischer Prozesse, um z.B. das Verhalten während des Einlaufs zu modellieren [8], [9] und [10]. Dabei wird einem tribologischen System kontinuierlich hochwertige mechanische Energie zugeführt und der Aufbau dissipativer Strukturen durch entstehende Reibungsenergie ermöglicht. Die beobachtete Reduzierung des Reibungskoeffizienten während des Einlaufprozesses benötigt Systembestandteile, die sich während dieses Vorgangs selbst optimieren und durch Entropieexport ihres „Unordnungsmülls“ entledigen [11]. Nosonowsky skizziert in seinem Artikel „Entropy in Tribology: in the Search for Applications“ [12] einen Zusammenhang zwischen Kontaktmechanik, tribologischen Prozessen und dem Organisationsgrad von Oberflächenmikrostrukturen. Dabei übernimmt er die Definition von Rauheit als Standardabweichung der Höhen aus dem Greenwood/ Williamson Modell und schlägt die Shannon-Entropie der Amplitudendichteverteilung als Kenngröße zur Untersuchung von Oberflächenveränderungen im Einlaufprozess vor [13]. Dabei wird jedoch übersehen, dass die reale Kontaktfläche elastischer Körper vor allem von den Neigungswinkeln der Asperiten abhängt [14] und diese elementare Eigenschaft unberücksichtigt bleibt. So entwickelt Popov in [15] ein Modell für den Reibungskoeffizienten, dessen topografische Komponente vor allen Dingen durch den mittleren Gradienten gegeben ist. Eine tiefergehende Untersuchung der Rolle topografischer Eigenschaften und ihren Einfluss auf das physikalische Verhalten der Oberfläche von Reibpartnern erscheint auf dieser Basis unumgänglich. Dabei ist bemerkenswert, dass sich die Kontaktmodelle in zwei mathematisch unabhängige Perspektiven unterteilen lassen: eine Orts- und eine Frequenzperspektive. Um die weitere Diskussion zu vereinfachen, wird eine Topographie wie in Bild 1 gezeigt von einer zweidimensionalen Funktion z(x,y) auf eine eindimensionale Konturlinie z(x) reduziert. Eine Studie von Popov [16] zeigt, dass trotz dieser Vereinfachung die grundlegenden Kontakteigenschaften für zufällige und isotrope Topografien erhalten bleiben. Aus Wissenschaft und Forschung 21 Tribologie + Schmierungstechnik · 70. Jahrgang · eOnly Sonderausgabe 2/ 2023 DOI 10.24053/ TuS-2023-0042 Bild 1: Unebenheiten einer ideal glatten Oberfläche mit den Koordinaten z(x,y) Es wird aber oft übersehen, dass viele dieser aus Topografiedaten berechneten Parameter hochgradig miteinander korreliert sind und es zwei oder mehr unterschiedliche Kenngrößen gibt, deren Informationsgehalt nahezu identisch ist. Dieser Umstand wurde bereits 1982 von Whitehouse als „parameter rash“ bemängelt [6]. Eine sehr gute Übersicht der Parameter und eine Diskussion ihrer funktionellen Aussagen beschreiben Pawlus et al [7]. Bild 2: Kontur eines Profilschnitts durch eine Oberfläche mit den identifizierten Höhen z und ihrer Auftrittswahrscheinlichkeit in einem Höhenintervall p(z) Hier wird die Auslenkung z einer Koordinate x 0 zu den Zeitpunkten t 0 + ndt über eine Periodenlänge T betrachtet. So entsteht eine Kontur, wie sie durch scannende Abtastung erfolgt und der Aufnahmetechnik durch Profilometrie entspricht. Diese Darstellung wird in Bild 3a visualisiert. Die einzelnen Wellenvektoren und deren Summe im Zeitintervall T = 1 sind farbig gekennzeichnet. Hieraus kann die Frequenzraumdarstellung der Oberfläche entwickelt werden. Diese wird in Form ihrer spektralen Leistungsdichte PSD ausgedrückt. (4) wobei R eine Konstante ist und mit α = -(2H + 1) mit 0 < H < 1 als Hurst Exponenten, eine selbstaffine fraktale Oberfläche modelliert wird. Die spektrale Leistungsdichte (PSD) ist also eine zur intuitiveren Ortsfunktion korrespondierende Darstellung von zufällig rauen Oberflächen. Allerdings repräsentiert sie nicht eine definierte, sondern ein Ensemble von möglichen Zeitreihen, deren zentrale statistische Momente m 0 , m 2 und m 4 identisch sind. Die konkrete Zeitreihe aus (1) ist nur ein Repräsentant aller möglichen Konturen. Das Diagramm in Bild 3b zeigt den Graphen der PSD in der doppelt logarithmischen Darstellung. Der Hurst-(oder auch Hölder) Exponent entspricht der Steigung des Abfalls der Amplituden in der doppelt logarithmischen Darstellung der PSD. Die senkrechten Linien Lc und Ls zeigen die Bandbegrenzung der Konturlinie an. Lc repräsentiert den langwelligsten, Ls den kurzwelligsten Anteil, falls ideale Filter zur Bandbegrenzung angenommen werden. Der in (4) und Bild 3b eingeführte Hurst-Exponent wird als zentrale Eigenschaft von rauen Oberflächen beschrieben [18], [19], [14], [20], doch wird dies in der Literatur kontrovers diskutiert. Aus Sicht von Whitehouse sind ausschließlich relevante Modelle und Methoden zu untersuchen, die für die industrielle Praxis von Relevanz sind [21]. Dabei stellt er ebenfalls die Verwendung von Kenngrößen in Frage, die aus numerischen Ableitungen von Profilen oder Topografien gewonnen werden, da sie im hohen Maße von den individuellen Geräteeigenschaften und der Umgebung abhängig sind [22]. Im Folgen- ( ) = ( | | ) Aus Wissenschaft und Forschung 22 Tribologie + Schmierungstechnik · 70. Jahrgang · eOnly Sonderausgabe 2/ 2023 DOI 10.24053/ TuS-2023-0042 Diese Kontur kann nun als ein Polynom n-ter Ordnung mit der Form (1) verstanden und diskutiert werden. Die für die Berechnung der realen Kontaktfläche eines verformten Mikrokontakts erforderlichen Eigenschaften einer Unebenheit an der Stelle x i lassen sich direkt, wie in Bild 2 gezeigt, aus den Ortsraum-Koordinaten der Kontur z(x) berechnen. Die Kontaktkuppen sind Extremwerte der Funktion mit negativer Krümmung. Eine Dichtefunktion p(z) gibt die Wahrscheinlichkeit an, in einem Intervall z + dz einen Asperiten zu finden und die zugehörige Standardabweichung (2) entspricht der mittleren Asperitenhöhe. Die aus der Diskussion ermittelten Werte für Steigungen z‘ und Krümmungen z‘‘ können analog zur Ermittlung der rms Werte σ‘ 2 und σ‘‘ 2 verwendet werden. Aus dieser Perspektive wird die Oberfläche eines Werkstücks als Landschaft mit Bergen, Hügeln, Ebenen, Senken, Tälern und Schluchten interpretiert, die durch geodätische Messung ermittelt werden kann. Dem gegenüber steht die Vorstellung, dass die Oberfläche eines Werkstücks eher einem Ozean gleicht, auf dessen Oberfläche sich zufällige, wellenartige Strukturen ausbreiten und überlagern [17]. In diesem Fall bildet sich die Topografie als eine Reihe von Wellenvektoren q(x,t) ab, die jeweils eine komplexwertige Amplitude C(k) = a k + ib k besitzen und als komplexwertige Exponentialfunktion C(k)e ikt ausgedrückt werden. Wird die Auslenkung einer ortsfesten Koordinate x 0 über einen Zeitraum T betrachtet, entsteht eine Zeitreihe z(t), die einem Polynom z(x) aus (1) entspricht. (3) lim ( ) = + + + + = = 1 ( ) = + + + + = Bild 3: a) Kontur als Zeitreihe mit den diskreten Wellenvektoren q und der resultierenden z(t); b) PSD der Funktion z(t) mit log(PSD) und log(q) und den cut-off Grenzen Lc und Ls den soll einerseits gezeigt werden, dass eine tribologische Funktionsbeschreibung beide Perspektiven zwingend erforderlich macht und stellt eine Methodik vor, die in die industrielle Praxis übertragen werden kann. Gleichzeitig eröffnet dieses Modell einen Weg um Topografie aus der Perspektive der Thermodynamik zu beschreiben. 2 Mikrozustände des „Topografie“- Ensembles In der Tribologie weist die äußerste Randschicht von technischen Oberflächen keine kristalline, sondern vielmehr eine amorphe Bindungsstruktur auf. Unter Berücksichtigung dieser Eigenschaften kann die Oberfläche als eine Flüssigkeit interpretiert werden, deren Bewegung durch thermodynamische Energiebarrieren gehemmt wird. Diese Eigenschaft wird z.B. unter dem Begriff „frozen capillar waves“ als Phänomen untersucht [23], im Folgenden jedoch allgemein als Analogie für technische Oberflächen angewendet. Wir können uns die Oberflächenunebenheiten daher als eine Art „Schnappschuss“ von sich ausbreitenden Wellen einer Flüssigkeit vorstellen. In diesem Konzept entspricht die Auslenkung z an einer bestimmten Oberflächenkoordinate x dem Verhalten eines ortsfesten Teilchens, das eine Wellenbewegung zum Zeitpunkt t überträgt. Durch die diskrete Konturabtastung wird diese Analogie anschaulich. Bild 4 zeigt die Auslenkung eines Teilchens zum Zeitpunkt t i sowie die zurückgelegte Höhendifferenz Δz im Zeitraum Δt. Wird die Auslenkung über einen genügend langen Zeitraum T betrachtet, so dass die zentralen Momente der PSD der Zeitreihe bis auf geringe Schwankungen konstant bleiben, dann ist der Zustand des Systems stationär. Alle Zeitreihen z(t) die diesen Zustand repräsentieren bilden ein Ensemble mit identischen Eigenschaften, die durch statistische Kennzahlen diesen Mikrozustand definieren. Solche stationären Zeitreihen z(t) werden in Bild 5 gezeigt. Die Histogramme der Höhenverteilung p(z) der individuellen Zeitreihen zeigen nur geringe Abweichungen einer kontinuierlichen Normalverteilung. Die Abweichungen können als statische Fluktuationen interpretiert werden, führen in der Praxis zu relevanten Messwertestreuungen und können die Fähigkeit eines Fertigungsprozesses elementar beeinflussen [24] [25]. Anders verhält es sich, werden wie in Bild 6 gezeigt Zeitreihen mit unterschiedlichen PSDs aber ähnlicher Amplitudendichtverteilung miteinander verglichen. Während in 6a offensichtlich völlig zufällig verteilte Höhen zu sehen sind, erscheint ihre Abfolge in 6b regelmäßiger. Trotzdem korrelieren ihre Amplitudendichteverteilungen p(z) sehr stark. Anscheinend entsprechen beide Reihen möglichen Permutationen derselben Grundgesamtheit mit unterschied- Aus Wissenschaft und Forschung 23 Tribologie + Schmierungstechnik · 70. Jahrgang · eOnly Sonderausgabe 2/ 2023 DOI 10.24053/ TuS-2023-0042 Bild 5: Diskrete Werte z(t) und ihre Amplitudendichte-Histogramme für vier verschiedene Zeitsignale Bild 4: Die Auslenkung eines Teilchens über einen Zeitraum von diskreten Zeiteinheiten Δt geschätzt werden, dass die Anzahl der möglichen Mikrozustände bei a) bedeutend größer ist als bei b), da hier die Auslenkung keine beliebigen aufeinanderfolgenden Werte annehmen dürfen. Um eine Abschätzung der Zahl der möglichen Permutationen eines topografischen Ensembles betrachten zu können, wird ein Menge von n Koordinaten betrachtet, deren PSD weißem Rauschen entspricht und dessen kürzeste Ortsfrequenz ls (µm -1 ) beträgt. Die Länge T wird so gewählt, dass für normalverteilte Höhen angenommen werden kann, dass die maximal mögliche Differenz größer oder gleich dem 8-fachen der Standardabweichung der Auslenkung gilt. Nach Seewig [25] ist dies für viele Typen technischer Oberflächen bei 1.000 < n < 10.000 der Fall. Wird das Nyquist/ Shannon Abtasttheorem als zu erfüllende Grenze für die Anzahl n gewählt, gilt für ein gegebenes ls von z.B. 2,5 µm durch Anwenden von Scotts Regel [26] eine sinnvolle Klassenbreite ∆z für eine Normalverteilung mit σ = 1µm und einer Anzahl n = 3200 (Mindestabstand für die Koordinaten beträgt 1,25 µm, gebräuchliche Länge L = 4000 µm) (6) Bei einem σ von einem Mikrometer wäre die maximal zu erwartende Höhendifferenz eines Koordinatenensembles 8 µm. Hieraus ergäbe sich eine Klassenzahl von k ~ 34. Da die Anzahl der zu erwartenden Zustände durch = 3,49 ~0,24 (µ ) Aus Wissenschaft und Forschung 24 Tribologie + Schmierungstechnik · 70. Jahrgang · eOnly Sonderausgabe 2/ 2023 DOI 10.24053/ TuS-2023-0042 licher Eintrittswahrscheinlichkeit. In Bild 7 wird dies an Hand von zehn Datenpunkten veranschaulicht. Während die Koordinaten in 7a) keiner Ordnung folgen, sind sie in 7b) in Form einer Sinuswelle angeordnet. Die Anzahl der möglichen Anordnungen w in b) lässt sich abzählen. Nur eine Verschiebung der Teilchen ohne Neuordnung bildet wiederum eine sinusförmige Anordnung und maximal neun weitere unterschiedliche Anordnungen sind möglich. Für die Anzahl der Anordnungen von a) müssen die Permutationen berechnet werden. Im Beispiel sind es n = 10 Koordinatenteilchen ζ von denen jeweils 2 im gleichen Höhenintervall liegen. Für die Anzahl der möglichen Anordnungen Z gilt dann: (5) Jede mögliche Anordnung identischer Eigenschaften eines Ensembles definiert in der statistischen Physik einen sogenannten Mikrozustand [26], der ein Beispielzustand des Makrozustands ist. Für eine technische Oberfläche repräsentiert demnach eine Messung der Oberflächentopografie an einer zufällig ausgewählten Position einem Mikrozustand der Topografiekoordinaten Wird dieses einfache Beispiel auf das in Bild 6 dargestellte Koordinatenensemble übertragen, kann leicht ab- = 113.400 = ! = ! ! ! ! ! ! = 10! 2! 2! 2! 2! 2! Bild 6: Diskrete Zeitreihen und ihre Auslenkungsdichten PSD mit a) α = 0 und b) α = -1,1 Bild 7: Diskrete Höhenzustände von ζ mit unterschiedlichem Ordnungsgrad. a) unabhängig b) Sinusförmig große Fakultäten unübersichtlich wird, bietet sich die Verwendung der Sterling Formel für (7) große Fakultäten an. Daraus kann mit (5) und (7) die Anzahl der möglichen Höhenanordnungen Z für eine gegebene Dichteverteilung p(ζ i ) abgeschätzt werden. (8) In der Kontaktmechanik wird üblicherweise davon ausgegangen, dass Höhen normalverteilt [27] sind und damit wäre die Dichteverteilung durch: (9) zu beschreiben und entspräche der Annahme der Kontaktmechanik wie sie bereits im Greenwood Williamson Modell gemacht wird [27]. Für das Beispiel aus (6) ergeben sich mit (8) und (9) ungefähr 1,7 ·10 45 mögliche Koordinatenanordnungen. Allerdings ist die Annahme [ ln ( ( ) ) 1 ]} ( ) = 1 2 ( ) ln ( ) ~ ( ) { ( ) ln ( ! ) ~ ( ) von normalverteilten Amplitudendichten auf technischen Oberflächen nur für sehr wenige Anwendungsfälle gültig [22]. In Bild 8 werden zur Verdeutlichung zwei Ensemble mit identischen PSDs aber verschiedener Amplitudendichteverteilung gezeigt, die für zwei unterschiedliche Fertigungsverfahren, Schleifen und Honen exemplarisch sind. Während bei der geschliffenen Kontur a die Teilchen symmetrisch um das Nullniveau verteilt sind, scheinen sie bei Kontur b durch eine „Barriere“ an einer größeren Auslenkung zu positiven z-Werten gehindert zu werden. Letzteres wird in der industriellen Praxis bevorzugt, da so nur wenige über das mittlere Niveau aufragende Unebenheiten gegeben sind. Die dadurch entstehende negative Schiefe der Auslenkungen gilt aus Sicht der angewandten Tribologie als besonders funktionsrelevant, da sie, bei identischem R q einen schnelleren Schmierfilmaufbau verspricht. Diese Eigenschaft wird besonders im Zusammenhang der so genannten Funktionskenngrößen betont [2]. Aus diesem Grund schlägt Whitehouse vor, die sogenannte Betaverteilung zur Beschreibung der Amplitudendichteverteilung zu verwenden [22], die eine Trennung der Verteilung über das Nullniveau aufragender Höhenwerte von jener ermöglicht, die unter diesem Niveau liegen. Aus Wissenschaft und Forschung 25 Tribologie + Schmierungstechnik · 70. Jahrgang · eOnly Sonderausgabe 2/ 2023 DOI 10.24053/ TuS-2023-0042 Bild 9: Vergleich zweier Oberflächenprofile mit umsortierten Höhenwerten Bild 8: Diskrete Zeitreihen und ihre Auslenkungsdichten einer PSD mit a) α = 0 und b) α = 1,1 pretiert q als Ort- und q˙ als Impulskoordinate, dann entspricht dies einer Abbildung im Phasenraum. In Bild 11 sind die Konturen a) und b) aus Bild 10 als Phasenraumtrajektorie mit ihren neuen Koordinaten q und q˙ dargestellt. Die sinusförmige Kontur b) zeigt die erwartete Ellipse der Phasenraumtrajektorie eines reibungsfreien harmonischen Oszillators, die zufällig verteilte Kontur a einen random walk, mit sich kreuzenden Trajektorien, die eine statistische Betrachtung unabdinglich machen. Der Mikrozustand des Systems Topografie wird aus beiden Verteilungen ermittelt. Das in Bild 10 skizzierte Histogramm für die Dichteverteilung p(q˙) benötigt wegen seiner besonderen Bedeutung eine nähere Diskussion. Für die Impulsinformation bedarf es der Ableitung des Ortes eines Teilchens nach der lateralen Komponente dq ⁄ dt = q˙. Für ein 2D Konturensemble genügt es nun die numerische Ableitung der Höhe z zu seiner folgenden Nachbarkoordinate (dz i+1 - dz i-1 ) ⁄ 2∆x = ∇ z zu berechnen. In Abschnitt 2 wurde gezeigt, dass dieses Ensemble wichtige Informationen über die Oberflächentopographie enthält. Das Vorgehen, die Oberflächengradienten aus den Höhenkoordinaten zu berechnen wird aber, insbesondere von Whitehouse, als hochgradig, unsicher abgelehnt, da die Unsicherheiten der Gradientenberechnung, insbesondere bei klassischen topografischen Messverfahren wie z.B. dem Tastschnitt, von vielen unsystematischen Einflussfaktoren beeinflusst werden und dadurch keine eindeutig vergleichbaren Messergebnisse möglich sind [22]. Trotz der elementaren Bedeutung dieser Oberflächeneigenschaft in tribologischen Systemen, erfahren sie kaum Beachtung in angewandten Themen der Tribologie, wird hier doch hauptsächlich die Eigenschaften der Amplitudendichteverteilung von Topografie-Messungen diskutiert. Die Analogie der Phasenraumdarstellung ermöglicht auch die Ausdehnung auf den Entropiebegriff, der von Nosonovky für die Oberflächentopografie eingeführt wurde, um die Veränderung der Topografie während des Aus Wissenschaft und Forschung 26 Tribologie + Schmierungstechnik · 70. Jahrgang · eOnly Sonderausgabe 2/ 2023 DOI 10.24053/ TuS-2023-0042 (10) Mit dieser Verteilung lassen sich durch MonteCarlo Simulation [24] Zeitreihen erzeugen, die zu real vermessenen Oberflächen approximativ gleich sind. In Bild 9 wird gezeigt, dass eine Umordnung der z-Werte zu neuen Zeitreihen führt, deren spektrale Leistungsdichten sich offensichtlich deutlich unterscheiden. Die Idee eine Oberfläche entweder mittels Kenngrößen der Amplitudendichteverteilung oder jenen der spektralen Leistungsdichte zu beschreiben reicht also nicht aus, um das System Topografie zu verstehen. Eine multivariate Dichteverteilung, wie bereits von Peklenik [28] vorgeschlagen erscheint zwingend notwendig. Im Folgenden wird eine bivariate Dichteverteilung vorgestellt, aus der sich zusätzlich Analogien zur statistischen Beschreibung thermodynamischer Zustände herstellen lassen. Phasenraumdarstellung des Topografieensembles Für die Beschreibung von Zuständen und Zustandsveränderungen wird in der statistischen Thermodynamik das System im sehr abstrakten Phasenraum beschrieben. Im Fall eines Topografieensembles resultiert diese Komponente aus der Differenz zur Nachbarkoordinate, wie es in Bild 10 gezeigt wird. Jedes Koordinaten Teilchen ζ besitzt durch seine Auslenkung einen Ortsfreiheitsgrad z und einen Impulsfreiheitsgrad z˙, der im Bild durch den Winkel θ ersetzt ist. Dieser Zusammenhang ergibt sich aus der Ableitung der Höhenkoordinaten z nach der lateralen Komponente. Ist es in dynamischen Systemen die Zeit t, kann diese bei „Schnappschüssen“ eines Wellenensembles durch die Ortskoordinate x ersetzt werden. (11) Hier wird die Kleinwinkelnäherung der Taylorreihen Entwicklung des Tangens verwendet. Wird für die Höhe z eine von q˙ abhängige Funktion q(q˙) gewählt und inter- ( , , ) = ( + ) ( ) + ( ) ( 1 ) = t a n = Bild 10: Ableitung diskreter Höhenwerte ζ nach ihrer lateralen Komponente und mit unterschiedlichem Ordnungsgrad. a) unabhängig b) Sinusförmig und ihre Darstellung in einem Histogramm im Intervall θ + ∆θ Einlaufs als Teil des Selbstorganisationsprozesses zu verstehen [12]. Die hier verwendete Shannon Entropie muss die Wahrscheinlichkeit p i für einen Zustand im Phasenraum betrachtet werden. Hierfür ist das Phasenvolumen dq˙ · dq zu verwenden, damit das statistische Gewicht eines Zustands W definiert werden kann [29]. Denn die Entropie S wird über (12) definiert. Neben der Herausforderung die Anzahl der möglichen Zustände identischer Eigenschaften eines Ensembles zu definieren, sind zusätzlich die messtechnischen Herausforderungen zu beachten die insbesondere für die Verteilung der Gradienten gelten. Eine Alternative zu den Topografiemessungen, die nur die Koordinaten eines Untersystems des Ensembles darstellen, bieten flächenintegrierende Verfahren wie z.B. Streulichtverfahren, welche u.a. eine direkte messtechnische Erfassung der Gradienten ermöglichen. Die Messung der Ozeanunebenheiten aus dem von Nayak [17] verwendeten Modell von Longuett-Higgins [5] erfolgte durch die Interpretation von gestreuten elektromagnetischen Wellen [30]. Im nächsten Abschnitt soll die Kombination einer Topografiemessung mit einem in der VDA2009 [31] beschriebenen Streulichtverfahren skizziert werden, mit deren Hilfe eine direkte Erfassung der beiden Koordinaten der beschriebenen Phasenraumdarstellung ohne die Ermittlung einer numerischen Ableitung ermöglicht wird. 3 Kombinierte Streulicht- und Topografiemessung zur Untersuchung tribologischer Systeme Streulicht bietet eine alternative Perspektive auf Oberflächeneigenschaften. Einerseits kann mit einem wel- = W lenmechanischen Ansatz eine direkte Beziehung zwischen dem reflektierten Lichtstrom I s , dem Streuwinkel φ s und den Wellenvektoren q der PSD der Oberfläche hergeleitet werden. Für Oberflächen mit einem σ q << λ (der Wellenlänge des verwendeten Lichts) kann angenommen werden, dass bei senkrechter Beleuchtung die Beziehung (13) gilt. Daraus kann eine Proportionalität der Intensitätsverteilung des reflektierten Streulichts ARS(φ) mit der PSD der Oberfläche hergeleitet werden [32]. Hierfür müssen jedoch die Bedingungen für die Gültigkeit dieser Modelle erfüllt sein, die in der Praxis nicht für jeden möglichen Fall gegeben sind. Dazu gehören genaue Kenntnis des reflektierenden Materials und normalverteilte Höhen [32]. Eine im Vergleich deutlich robustere Interpretation der Lichtstreuung verwendet das in [33] diskutierte Spiegelfacettenmodell. Hier werden die Flanken zwischen zwei Oberflächenkoordinaten als ideal spiegelnde Facetten angenommen. Bei senkrechter Beleuchtung wie in Bild 12 skizziert entspricht der Streuwinkel φ s dann dem doppelten Oberflächenwinkel θ. Dieser wiederum steht über die Kleinwinkelnäherung in direkter Beziehung zur zeitlichen Änderung der Auslenkung, also der Steigung ∇ z ≈ θ. Da der Impuls p eine Funktion der Zeit ist, kann die Dichteverteilung der Oberflächensteigungen p(θ) als analog zur Dichteverteilung der Impulse p(q˙) eines Topografieensembles interpretiert werden und erlaubt wie in Bild 13 skizziert eine Integration in das Phasenraummodell aus Abschnitt 3 . Veränderungen der Topografie in Folge tribologischer Belastungen können so aus der thermodynamischen Perspektive betrachtet werden, ohne die Nachteile der numerischen Ableitung berücksichtigen zu müssen. Zur Berechnung der Koordinatenteilchen können einfache geometrische Überlegungen dienen. Aus sin = Aus Wissenschaft und Forschung 27 Tribologie + Schmierungstechnik · 70. Jahrgang · eOnly Sonderausgabe 2/ 2023 DOI 10.24053/ TuS-2023-0042 Bild 11: Phasenraumtrajektorien als Beispielsystem der Konturen b und a, sowie deren dazugehörige Histogramme H(z) und H(θ) Topografieinformationen wurde ein Konfokalmikroskop der Firma Mahr und ein Streulichtsystem nach VDA2009 der Firma OptoSurf verwendet. Die Topografiemessung zeigt ein Bildfeld mit 320 µm Seitenlänge und die beleuchtete Fläche hat einen Radius von 340 µm. Die Anzahl n der beiden Messgeräte kann als gleich angenommen werden. Ausgewertet wurden die Dichteverteilungen von p(q) und p(q˙) der Topografiemessung von Eingangsoberfläche A und der Einlaufspur B sowie ihre Kombination zu einem möglichen Mikrozustand der Oberfläche. Parallel dazu wurde die Oberfläche vollflächig mit dem Streulichtmessgerät abgetastet und die Varianz der Streuwinkelverteilung von 102.400 einzelnen Streuverteilungen Aus Wissenschaft und Forschung 28 Tribologie + Schmierungstechnik · 70. Jahrgang · eOnly Sonderausgabe 2/ 2023 DOI 10.24053/ TuS-2023-0042 (13) folgt, dass die Grenzwellenlänge ls durch die Wellenlänge des verwendeten Lichts λ und dem maximal erfassbaren Streuwinkel A gegeben ist. Für eine beleuchtete Fläche mit einem Radius r ergeben sich damit ähnlich zu (7) (14) Teilchen. Im Folgenden soll das Modell auf ein reales tribologisches System angewendet werden. Untersucht wurde die Laufspur der flachen Walze eines Amslerprüfstands wie er in [34] beschrieben ist. Verglichen wird der Zustand vor und nach einem Belastungstest. Für die Messung der = 2 sin ( ) (122) Bild 12: Schematische Darstellung der Lichtstreuung und Aufbau eines Streulichtsensors nach VDA2009 Bild 13: Kombinierte Messung aus topografischer Messung einer Prüfstand Probe mit Einlaufspur ausgewertet. Diese ist als Aq (A steht für das englische angle) in der VDA2009 normativ beschrieben und ist direkt proportional zu ∇ z 2 . In Bild 13 wird die Auswertung visualisiert. Es fällt besonders auf, dass der überwiegende Anteil an Oberflächenveränderung auf die q˙ Koordinaten entfällt. Zwar ist auch eine Reduktion der Höhen hin zu einer negativen Schiefe der Dichteverteilung p(q) zu erkennen, aber die Änderung von ∇ z 2 erscheint einerseits in der p(q˙) Verteilung der Topografiemessung, deutlicher noch in der Farbdarstellung der Streulichtmessung. Auch ohne eine Berechnung des Phasenraumvolumens kann aus der Darstellung in Bild 13 von einer eine Abnahme der Entropie S ausgegangen werden denn offensichtlich ist die für diesen Zustand zulässige Anzahl an möglichen Mikrozuständen deutlich kleiner, als bei der Eingangsoberfläche, deren zulässige Teilchenzustände über einen großen Bereich des Phasenraumvolumens verteilt sind, so dass angenommen werden kann, (15) Damit ist eine quantitative Verbindung der Topografie zur Nichtgleichgewichts-thermodynamik darstellbar und Oberflächenveränderungen, die bislang quantitativ nicht zu erfassen waren, können durch die Analyse nach VDA2009 messbar gemacht werden. Der Abbau von Entropie kann als dissipative Strukturbildung interpretiert werden, die durch die kontinuierlich aufgewendete Reibarbeit dem System Energie zum Abbau von Unordnung zugeführt hat. Auch wenn diese Analogien keinen realen physikalischen Hintergrund haben, können sie doch bei der Entwicklung eines besseren Verständnisses von Oberflächenmessungen helfen. 4 Zusammenfassung und Ausblick Der Aufsatz beschreibt die unterschiedlichen Perspektiven der Oberflächenmodellierung kontaktmechanischer Modelle. Er identifiziert eine Orts- und eine Frequenzraumperspektive und zeigt welche Informationsverluste durch die Fokussierung auf eine der beiden Darstellungen entstehen können. Es wird durch Kombinatorik die mögliche Anzahl der Koordinatenanordnung eines Topografieensembles ermittelt und mit Hilfe einer Kombination von Orts- und Impulskoordinaten einer Topografiemessung dessen Phasenraumvolumen skizziert. Dieses Modell wurde auf die Laufspur eines Stift/ Scheibe Prüfstands angewendet, um zu zeigen, dass sich dissipative Strukturen auch in der Skala der Rauheit von technischen Oberflächen ausbilden. Eine Anwendung des Modells auf verschiedene technische Oberflächen in tribologischen Systemen wird in weiteren Arbeiten veröffentlicht werden. Eine detailliertere Berechnung des Phasenraumvolumens durch erweiterte Anwendung der Modele der statistischen Mechanik wird angestrebt. > . Danksagung Der Autor bedankt sich für die finanzielle Unterstützung der Europäischen Kommission im Rahmen des Projekts InterQ 958357. Darüber hinaus spricht er Matthias Eifler seinen Dank für die fachliche Unterstützung und Frank Rentzsch für die Entwicklung des Simulationstools aus. Außerdem geht mein Dank an Florian Reinle und Dominic Linsler für die zur Verfügungstellung der Prüfstandproben. Literatur: [1] Gesellschaft für Tribologie e.V.: Arbeitsblatt 7 Tribologie. Definitionen, Begriffe, Prüfung. Eigendruck der GfT e.V., Moers, 2002 [2] Bodschwinna, Horst. Hillmann, Walter. Oberflächenmesstechnik mit Tastschnittgeräten in der industriellen Praxis. Deutschland: Beuth, 1992. [3] Jacobs TDB, Pastewka L; Guest Editors. Surface topography as a material parameter. MRS Bull. 2022; 47(12): 1205-1210. doi: 10.1557/ s43577-022-00465-5. Epub 2023 Jan 31. PMID: 36846501; PMCID: PMC9947057. [4] Taylor, R.I. Rough Surface Contact Modelling—A Review. Lubricants 2022, 10, 98. https: / / doi.org/ 10.3390/ lubricants10050098 [5] Longuet-Higgins, M. S. “The Statistical Analysis of a Random, Moving Surface.” Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences, vol. 249, no. 966, 1957, pp. 321- 87. JSTOR, http: / / www.jstor.org/ stable/ 91668. Accessed 4 Dec. 2023 [6] D.J. Whitehouse, The parameter rash — is there a cure? , Wear, Volume 83, Issue 1, 1982, Pages 75-78, ISSN 0043- 1648, https: / / doi.org/ 10.1016/ 0043-1648(82)90341-6. [7] Pawlus, P.; Reizer, R.; Wieczorowski, M. Functional Importance of Surface Texture Parameters. Materials 2021, 14, 5326. https: / / doi.org/ 10.3390/ ma14185326 [8] Naderi M. On the Evidence of Thermodynamic Self-Organization during Fatigue: A Review. Entropy (Basel). 2020 Mar 24; 22(3): 372. doi: 10.3390/ e22030372. PMID: 33286146; PMCID: PMC7516845. [9] Scherge, M. The Running-in of Lubricated Metal-Metal Contacts—A Review on Ultra-Low Wear Systems. Lubricants 2018, 6, 54. https: / / doi.org/ 10.3390/ lubricants6020054 [10] M.M. Khonsari, Sahar Ghatrehsamani, Saleh Akbarzadeh, On the running-in nature of metallic tribo-components: A review, Wear, Volumes 474-475, 2021, 203871, ISSN 0043-1648, https: / / doi.org/ 10.1016/ j.wear.2021.203871. [11] W. Ebeling, et al.: Anwendungsmöglichkeiten von Prinzipien der Selbstorganisation, Studie Teilprojekt E2/ YE1 SFB 230, Berlin 1993, in: Nichtlineare Dynamik-Technologieanalyse, Düsseldorf 1993 [12] Nosonovsky, M. Entropy in Tribology: in the Search for Applications. Entropy 2010, 12, 1345-1390. https: / / doi.org/ 10.3390/ e12061345 Aus Wissenschaft und Forschung 29 Tribologie + Schmierungstechnik · 70. Jahrgang · eOnly Sonderausgabe 2/ 2023 DOI 10.24053/ TuS-2023-0042 [25] Seewig, J. (2013). B6.2 - The Uncertainty of Roughness Parameters. 291-296. https: / / doi10.5162/ sensor2013/ B6.2. [26] DAVID W. SCOTT, On optimal and data-based histograms, Biometrika, Volume 66, Issue 3, December 1979, Pages 605-610, https: / / doi.org/ 10.1093/ biomet/ 66.3.605 [27] Greenwood J. A. and Williamson J. B. P. 1966Contact of nominally flat surfacesProc. R. Soc. Lond. A295300- 319http: / / doi.org/ 10.1098/ rspa.1966.0242 [28] Peklenik J. Paper 24: New Developments in Surface Characterization and Measurements by Means of Random Process Analysis. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Conference Proceedings. 1967; 182(11): 108-126. doi: 10.1243/ PIME_CONF_1967_182_309_02 [29] Landau L D, Lifschitz E M. Lehrbuch der Theoretischen Physik, Band 5: statistische Physik Teil 1. Haan-Gruiten: Europa Verlag 2016 [30] Jackson, Frederick C. A curvature-corrected Kirchhoff Formulation for RADAR Sea-Return from the near vertical. NASA CR-2406 Report (04/ 1974) [31] VDA 2009: Geometrische Produktspezifikation: Oberflächenbeschaffenheit - Winkelaufgelöste Streulichtmesstechnik, Definition, Kenngrößen und Anwendung - Gruppenlizenz (group license), AGB (GTC) Art. 10, 2 [32] Vorburger, T.V., Silver, R., Brodmann, R., Brodmann, B., Seewig, J. (2011). Light Scattering Methods. In: Leach, R. (eds) Optical Measurement of Surface Topography. Springer, Berlin, Heidelberg. https: / / doi.org/ 10.1007/ 978- 3-642-12012-1_12 [33] Brodmann R and Allgauer M 1989 Comparison of light scattering from rough surfaces with optical and mechanical profilometry Proc. SPIE 1009, Surface Measurement and Characterization, 111 ed J M Bennett pp 111-8 [34] Reinle, Florian and Dominic Linsler. Reibungsoptimierung durch Gleitschleifen: „Das Einlauf- und Reibverhalten über Topographie einstellen.“ Tribologie und Schmierungstechnik (2023): n. pag [35] ISO 25178-6: geometrical product specifications (GPS) - Surface texture: areal - Part 6: classification of methods for measuring surface texture (ISO 25178-6: 2010) [36] ISO 21920-2: 2021 Geometrical product specifications (GPS) - Surface texture: Profile - Part 2: Terms, definitions and surfacetexture parameters Aus Wissenschaft und Forschung 30 Tribologie + Schmierungstechnik · 70. Jahrgang · eOnly Sonderausgabe 2/ 2023 DOI 10.24053/ TuS-2023-0042 [13] Mortazavi, V, Menezes, PL, & Nosonovsky, M. “Studies of Shannon Entropy Evolution due to Self-Organization During the Running-In.” Proceedings of the ASME/ STLE 2011 International Joint Tribology Conference. ASME/ STLE 2011 Joint Tribology Conference. Los Angeles, California, USA. October 24-26, 2011. pp. 303-305. ASME. https: / / doi.org/ 10.1115/ IJTC2011-61231 [14] Hyun S, Pei L, Molinari JF, Robbins MO. Finite-element analysis of contact between elastic self-affine surfaces. Phys Rev E Stat Nonlin Soft Matter Phys. 2004 Aug; 70 (2 Pt 2): 026117. doi: 10.1103/ PhysRevE.70.026117. Epub 2004 Aug 31. PMID: 15447555. [15] Popov (2016) What does friction really depend on? Robust governing parameters in contact mechanics and frictionPhys.Mesom. 19, 2, 115-122 [16] Popov, V.L. Method of reduction of dimensionality in contact and friction mechanics: A linkage between micro and macro scales. Friction 1, 41-62 (2013). https: / / doi.org/ 10.1007/ s40544-013-0005-3 [17] Nayak, P. R. (July 1, 1971). “Random Process Mo” ASME. J. of Lubrication Tech. July 1971; 93(3): 398- 407. https: / / doi.org/ 10.1115/ 1.3451608. [18] B.N.J. Persson, Contact mechanics for randomly rough surfaces, Surface Science Reports, Volume 61, Issue 4, 2006, Pages 201-227, ISSN 0167-5729, https: / / doi.org/ 10.1016/ j.surfrep.2006.04.001. [19] H. Zahouani, R. Vargiolu, J.-L. Loubet,Fractal models of surface topography and contact mechanics,Mathematical and Computer Modelling,Volume 28, Issues 4-8,1998,Pages 517-534,ISSN 0895-7177, https: / / doi.org/ 10.1016/ S0895-7177(98)00139-3. [20] Jacobs, Tevis & Pastewka, Lars. (2023). Surface topography as a material parameter. MRS Bulletin. 47. 10.1557/ s43577-022-00465-5. [21] D.J. Whitehouse, Fractal or fiction, Wear, Volume 249, Issues 5-6, 2001, Pages 345-353, ISSN 0043-1648, https: / / doi.org/ 10.1016/ S0043-1648(01)00535-X. [22] Whitehouse, D.J. (2010). Handbook of Surface and Nanometrology (2nd ed.). CRC Press. https: / / doi.org/ 10.1201/ b10415 [23] B.N.J. Persson, Influence of frozen capillary waves on contact mechanics, Wear, Volume 264, Issues 9-10, 2008, Pages 746-749, ISSN 0043-1648, https: / / doi.org/ 10.1016/ j.wear.2006.10.028. [24] Dorothee Hüser et al 2016 Meas. Sci. Technol. 27 085005 DOI 10.1088/ 0957-0233/ 27/ 8/ 085005