1 Einführung Oft wird behauptet, dass es Leonardo da Vinci war [1] der den ersten bedeutenden Beitrag zur Physik der Reibung geleistet hat, indem er das bekannte „Gesetz der trockenen Reibung“ formulierte: (a) Reibung ist proportional zum Gewicht; (b) Reibung hängt nicht von der Kontaktfläche ab; (c) das Verhältnis von Reibung zu Gewicht beträgt ungefähr 1/ 4. Diese Beobachtungen hat da Vinci in seinen persönlichen Tagebüchern festgehalten, sie wurden einer breiten Öffentlichkeit jedoch nicht bekannt und scheinen keine Auswirkung auf die Wissenschaft und das Ingenieurwesen seiner Zeit gehabt zu haben. Die erste Studie der Reibung, welche durch die Veröffentlichung in Abhandlungen der Pariser Akademie der Wissenschaften weit bekannt wurde und einen dauernden Einfluss auf die Wissenschaft und Ingenieurpraxis ausübte, war die Studie von Amontons von 1699 [2]. Gleich zu Beginn seiner Abhandlung formuliert Amontons die folgenden vier „Reibgesetze“: Zum einen, erhöht/ verringert sich der Reibwiderstand proportional zum Druck. Zweitens ist der durch Reibung verursachte Widerstand für Eisen, Kupfer, Blei und Holz gleich, solange sie mit einem Fett beschichtet sind. Drittens entspricht dieser Widerstand ungefähr einem Drittel des Drucks. Viertens hängt der Widerstand nicht von der Geschwindigkeit und anderen Bedingungen ab. Dies ist die klassische Formulierung des Gesetzes der trockenen Reibung wie sie in den meisten Schulbüchern über Physik zu finden ist. Die Proportionalität der Reibkraft zur Normalkraft wird verdient als „Gesetz von Amontons“ bezeichnet. Aus Wissenschaft und Forschung 47 Tribologie + Schmierungstechnik · 67. Jahrgang · 3/ 2020 DOI 10.30419/ TuS-2020-0018 Coulomb und Amontons und verallgemeinerte Reibgesetze Elena Popova, Valentin L. Popov* Das „Coulombsche Reibgesetz“, das in den meisten Lehrbüchern zu finden ist - die Reibkraft ist proportional zur Normalkraft und hängt nicht von Kontaktfläche und Geschwindigkeit ab - hat wenig mit der tatsächlichen Arbeit von Coulomb zu tun. Im Gegenteil, Coulomb stellte fest, dass die Unabhängigkeit des Reibungskoeffizienten von Geschwindigkeit, Normalkraft, Kontaktfläche und Rauheit nur eine erste, sehr grobe Näherung ist. Er unterschied zwischen Reibpaarungen, bei denen die Proportionalität der Reibkraft zur Normalkraft eine gute Näherung darstellt (z. B. Metall-Metall), und solchen, bei denen erhebliche Abweichungen von dieser Proportionalität bestehen (Holz auf Metall oder Holz auf Holz). Coulomb gibt einfache zweigliedrige Beziehungen an, die diese experimentellen Ergebnisse empirisch zusammenfassen. Ihre Weiterentwicklung führt zu den heute intensiv diskutierten verallgemeinerten Reibgesetzen. Schlüsselwörter Haftreibung, Gleitreibung, Reibungskinetik, Materialabhängigkeit, Wissenschaftsgeschichte Coulomb and Amontons and generalized friction laws The simple formulation of “Coulombʼs law of friction” which can be found in most textbooks—the force of friction is proportional to the normal force and does not depend on the contact area and velocity— has little to do with the real work of Coulomb. On the contrary, Coulomb found that Amontonsʼ law, as well as the independence of the coefficient of friction on velocity, normal force, contact area and roughness are only a first, very rough approximation. He differentiated between material couples (e.g. metal-metal), where the proportionality of the force of friction to the normal force is a good approximation, and other (wood on metal or wood on wood), where there are significant deviations from the proportionality. Coulomb gives simple two-term relations, which empirically summarize these experimental findings. Their further development leads to the generalized friction laws that are intensively discussed today. Keywords Static friction, sliding friction, kinetics of friction, material dependency, history of science Kurzfassung Abstract * Elena Popova, Prof. Dr. Valentin L. Popov Technische Universität Berlin, 10623 Berlin TuS_3_2020.qxp_TuS_3_2020 18.08.20 11: 24 Seite 47 Problemen zu bestimmen, soweit eine Mischung aus Berechnung und physikalischen Prinzipien dies zulässt.“ In dieser Arbeit berücksichtigte Coulomb nur die Haftreibung. Er schreibt: „Reibung und Kohäsion sind keine aktiven Kräfte wie die Schwerkraft, die immer ihre volle Wirkung entfalten, sondern nur passive Kräfte. Diese beiden Kräfte können durch die Grenzen ihrer Festigkeit charakterisiert werden... Ich gehe hier davon aus, dass die Festigkeit aufgrund von Reibung proportional zur Druckkraft ist, wie von Amontons festgestellt wurde, obwohl die Reibung bei großen Körpern nicht genau diesem Gesetz folgt. Aus dieser Annahme ergibt sich, dass die Reibung für Ziegelsteine drei Viertel der Druckkraft beträgt... “([6], Abschnitt IV). Der Schwerpunkt dieser ersten Abhandlung von Coulomb lag jedoch nicht auf Reibung, sondern auf der Mechanik und Festigkeit von Materialien. Von der Darstellungsform und den verwendeten mathematischen Mitteln kommt dieses erste Werk von Coulomb den modernen Lehrbüchern über die Festigkeitslehre sehr nahe. Bei der Behandlung der Festigkeit von Säulen betrachtet er zunächst unterschiedlich gerichtete Schnitte der Säule unter der Annahme einer Kohäsion, die nicht von der Druckkraft abhängt. Er findet den Schnitt mit der maximalen Tangentialspannung, indem er die Ableitung der Spannung in Bezug auf den Winkel auf Null setzt. So kommt er zum Ergebnis, dass die Säulen durch Scherung entlang von Flächen zerstört werden, die um 45° zur Achse der Säule geneigt sind. Anschließend verallgemeinert er seine Behandlung, indem er eine Scherfestigkeit einführt, die Kohäsions- und Reibungskomponenten aufweist, wobei die letztere proportional zur Druckkraft ist. In der gegenwärtigen Notation würden wir seine Annahme als τ = τ 0 + μσ N , (1) schreiben, wobei τ die Tangentialspannung ist, τ 0 die Tangentialfestigkeit bei der verschwindenden Normalspannung, σ N die Normalspannung in dem gegebenen Schnitt und μ der „interne Reibungskoeffizient“, welcher aus unabhängigen Experimenten bestimmt werden kann und von Coulomb für die von ihm auf Martinique benutzten Ziegelsteine zu μ ≈ 3/ 4 abgeschätzt wurde. Die Gleichung (1) wird in der Mechanik der granularen Medien und Böden standardmäßig benutzt (siehe z.B. [8], Chapter 20) und wird historisch korrekt als Coulombsches Bruchkriterium bezeichnet. Es ist interessant festzustellen, dass Coulomb dieses „Zweikomponenten- Gesetz“ für Festigkeit/ Reibung auch in seinen späteren Arbeiten benutzt. Er betrachtet also die „Festigkeit“ und die „Haftreibung“ aus der gleichen Perspektive. Der Unterschied besteht für ihn nur in der relativen Bedeutung der Kohäsions- und Reibungsbeiträge. 1774 wurde Coulomb nach La Houge in der Nähe des großen Hafens von Cherbourg (1774 - 1777) [5] und später (1777 - 1778) nach Besançon verlegt, wo er viel Aus Wissenschaft und Forschung 48 Tribologie + Schmierungstechnik · 67. Jahrgang · 3/ 2020 DOI 10.30419/ TuS-2020-0018 Das große Verdienst von Amontons war eine drastische Vereinfachung des sehr komplexen Phänomens der trockenen Reibung. Sein Reibgesetz war nur eine grobe Näherung und hatte einen rein empirischen Charakter, da es zu seiner Zeit keine adäquaten Ideen gab, die eine „Herleitung“ oder ein theoretisches Verständnis dieses Gesetzes ermöglichen würden. Auch heute noch werden sehr emotionale Diskussionen über die physikalische Herkunft des Gesetzes von Amontons geführt (siehe z.B. [3] und [4]). Man darf nicht vergessen, dass die allgemeine „Gültigkeit“ des Gesetzes von Amontons seiner extremen Grobheit zu verdanken ist: es ist eine „nullte Näherung“, welche die Realität nur qualitativ beschreibt und nicht zu gebrauchen ist sobald man detailliertere Informationen über die Reibkraft braucht. Ein viel gründlicheres und detaillierteres Verständnis des Phänomens Reibung in seiner gesamten Komplexität wurden von Charles Augustin Coulomb geliefert, eine Analyse dessen Werke im Fokus dieses Artikels steht. 2 Arbeiten von Coulomb zur Reibung: ein historischer Überblick Charles Augustin de Coulomb (1736 - 1806) ist eine der zentralen Persönlichkeiten in der Geschichte der Tribologie. Nach den ersten grundlegenden experimentellen Arbeiten von Amontons zur trockenen Reibung [2] erweiterte er essentiell unser Wissen über äußere Reibung und hat damit eine solide Grundlage für die künftige Forschung auf diesem Gebiet geschaffen - eine Grundlage, die bis heute Bestand hat. Es ist lehrreich die Biographie von Coulomb zu betrachten, um die Wurzeln seiner einflussreichen Arbeit zu verstehen. Die meisten seiner Arbeiten zur Reibung wurden in den Jahren zwischen 1773 und 1780 durchgeführt [5]. Die erste wissenschaftliche Arbeit von Coulomb war seine Abhandlung von 1773 „Zur Anwendung der Regeln von Maximum und Minimum auf einige statische Probleme, die für die Architektur relevant sind“ [6] (englische Übersetzung siehe [7]). Die in dieser Abhandlung dargestellten Forschungsergebnisse wurden von Coulomb auf Martinique erarbeitet, wo er zwischen 1764 und 1772 diente und den Bau von Fort Bourbon überwachte. Coulomb erinnerte sich an die Zeit, die er auf Martinique verbracht hatte: „Acht Jahre lang war ich (fast immer allein) für den Bau von Fort Bourbon und die Arbeit von 1.200 Menschen verantwortlich. Zu dieser Zeit befand ich mich oft in einer Lage, wo ich feststellen musste in welchem Maße sich Theorien, die auf Hypothesen oder Experimenten basieren, die in Miniaturform in einem physikalischen Labor erhalten wurden, in der Praxis sich als unbefriedigend herausstellen. Ich habe mein Leben der Forschung gewidmet, die für die Arbeit von Offizieren der Ingenieurtruppen verwendet werden können“, [5]. Im ersten Satz seiner Abhandlung schreibt Coulomb: „Ziel dieses Werkes ist es, die Wirkung von Reibung und Kohäsion bei einigen statischen TuS_3_2020.qxp_TuS_3_2020 18.08.20 11: 24 Seite 48 Freizeit hatte. Zu dieser Zeit erledigte Coulomb eine Reihe von Arbeiten für das Militärministerium. 1779 wurde Coulomb nach Marseille und 1779 - 1780 nach Rochefort verlegt, wo er eine Reihe von Experimenten zur Untersuchung der äußeren Reibung durchführte, deren Ergebnisse in der Abhandlung „Theorie des machines simple“ vorgestellt wurden, einer grundlegenden Arbeit zur Reibungstheorie [9]. 1781 erhielt Coulomb für diese Arbeit einen Preis der Pariser Akademie der Wissenschaften. Dies war bereits der zweite von Coulomb gewonnene Preis. Im Folgenden werden wir einige Ergebnisse dieser Arbeit nach der späteren Ausgabe von 1821 analysieren [9]. 1780 untersuchte Coulomb auch Reibung in Flüssigkeiten. Er stellte korrekt fest, dass die Reibungskraft in Flüssigkeiten proportional zur Geschwindigkeit bei sehr kleinen Geschwindigkeiten und zum Quadrat der Geschwindigkeit bei größeren Geschwindigkeiten ist und nicht von der Rauheit der Feststoffe abhängt, mit denen sie in Kontakt stehen. Im Fall von Flüssigkeiten vermutete er, dass es auch einen „kohäsiven“ Teil der Reibung geben kann, der nicht von der Geschwindigkeit abhängt [10]. Er konnte ihn jedoch nicht experimentell bestimmen. Diese intuitive Vorhersage hat sich später als teilweise richtig erwiesen, da man bei einigen „Fluiden“ in der Tat sowohl statische als auch viskose Reibungsteile identifizieren kann (wie z. B. bei weichen Elastomeren oder Fettschmierung). 1781 endete die Karriere von Coulomb als Ingenieur. Von dieser Zeit an beschäftigte er sich mit physikalischen Problemen (insbesondere, machte er seine berühmte Entdeckung des Gesetzes der Wechselwirkung elektrisch geladener Teilchen). Wie in [11],[12] gezeigt wird, kann diese „plötzliche“ Veränderung seines Forschungsgebiets logisch durch seine früheren Arbeiten erklärt werden. Durch die vorangegangenen Untersuchungen zur Torsion von Drähten hatte Coulomb ein sehr empfindliches Gerät zur Messung von Kräften geschaffen. Er hat dann seinen Aufbau für die Untersuchung der elastischen Eigenschaften von Drähten als Gerät zur Messung von Kräften „neu interpretiert“. Nach diesem Akt der „Exaptation“ begann Coulomb, verschiedene Kräfte zu messen, auch elektrische. Ein sehr berühmtes Porträt von Coulomb zeigt Coulomb mit seiner Torsionswaage. Dieses Porträt kann als Symbol seines Lebens angesehen werden, da es ein Objekt darstellt, das seine Studien zur Mechanik von Materialien und Elektrizität verbindet. 3 Die wichtigsten Erkenntnisse von Coulomb über trockene Reibung Coulomb beginnt seine wichtigste Arbeit über Reibung mit dem folgenden Satz: „Amontons scheint der erste Autor zu sein, der versucht hat, die Reibung und Steifigkeit von Seilen zur Berechnung von Maschinen abzuschätzen. Er glaubte durch seine Experimente herausgefunden zu haben, dass die Größe der Kontaktfläche die Reibung nicht beeinflusst, die somit nur von der Druckkraft der berührenden Teile abhängt: Er kommt zum Schluss, dass die Reibung in allen Fällen proportional zur Druckkraft ist“, [9]. Im Weiteren stellt Coulomb jedoch fest, dass andere Untersuchungen zeigen, dass das Amontons-Gesetz nicht genau ist und dass eine detaillierte Untersuchung erforderlich ist. Coulomb untersuchte die Reibungskraft als Funktion von vielen Faktoren, welche Gillmor [5] wie folgt zusammenfasst: 1. Materialien der kontaktierenden Körper 2. Oberflächenbeschaffenheit (poliert, rau) 3. Schmiermittel (Öl, Talg, Teer, Fett, Wasser) 4. Gewicht (Normalkraft) 5. Kontaktfläche 6. Verformungs- oder Kohäsionseffekte aufgrund der Ruhezeit 7. Geometrische Ausrichtung wechselwirkender Oberflächen (parallel oder senkrecht zur Holz maserung usw.) 8. Geschwindigkeit der Gleitbewegung 9. Verformung aufgrund der Geometrie der Oberflächen (Form der zusammenwirkenden Oberflächen planar, spitz, gekrümmt) 10. Temperatur, Luftfeuchtigkeit 11. Bewegungszustand (gleichmäßig oder stoßartig) 12. Luftdruck Die Untersuchung von Coulomb ist ein Beispiel für hervorragende experimentelle Arbeit, die anscheinend nicht von rein theoretischen Ideen oder einfachen Regeln geleitet wurde. Er untersuchte „ehrlich“ die Reibungskraft unter verschiedenen Bedingungen und versuchte, die Ergebnisse in einer Form darzustellen, die von Physikern und Ingenieuren verwendet werden kann. Abhängigkeit der statischen Reibungskraft von der Kontaktzeit Beginnen wir mit seinen Untersuchungen zur Haftreibung. Coulomb wusste, dass die statische Reibungskraft von der Zeit abhängt, die seit der ersten Berührung verstrichen ist. Er gibt daher niemals den Wert der statischen Reibungskraft an, sondern drei oder vier Werte: z.B. nach 1/ 2 Sekunde, 2 Sekunden, „10 Sekunden und einer Stunde“, siehe Bild 1. Die letzte Aussage bedeutet, dass die Reibungskraft nach 10 Sekunden ihr stationäres Niveau erreicht und sich nicht weiter ändert. Aus Wissenschaft und Forschung 49 Tribologie + Schmierungstechnik · 67. Jahrgang · 3/ 2020 DOI 10.30419/ TuS-2020-0018 TuS_3_2020.qxp_TuS_3_2020 18.08.20 11: 24 Seite 49 gerung in [13] und [14] über die Eindringtiefe als Hauptparameter des Reibungsprozesses. Coulomb selbst hat jedoch nur sehr allgemeine empirische Zusammenhänge angegeben ([9], Kapitel II, S. 99): „1. Wenn Holz auf Holz ohne Schmierung gleitet, ist die Reibungskraft nach einer bestimmten Kontaktdauer direkt proportional zum Normaldruck. Die Kraft nimmt nur in den ersten Augenblicken des Kontakts zu, nach wenigen Minuten erreicht sie ein Maximum. 2. Wenn Holz auf Holz ohne Schmiermittel mit einer bestimmten Geschwindigkeit gleitet, ist die Reibungskraft ebenfalls proportional zum Normaldruck, aber selbst ihr maximaler Betrag ist viel geringer als der Betrag, der erforderlich ist, um die Verbindung zwischen den Oberflächen nach einiger Kontaktzeit zu lösen. Beispielsweise wird festgestellt, dass das Verhältnis der Kraft, die erforderlich ist, um den Kontakt zwischen zwei Eichenoberflächen nach einigen Minuten Kontakt zu unterbrechen, zur Gleitkraft 35: 22.3 beträgt. 3. Wenn Metall ohne Schmierung auf Metall gleitet, ist die Reibungskraft proportional zum Druck, aber ihr Wert ist der gleiche beim Losbrechen und Gleiten. 4. Die Ergebnisse für das Gleiten unterschiedlicher Oberflächen wie Holz auf Metall ohne Schmiermittel unterscheiden sich erheblich von den vorherigen, da die Reibungsintensität in Abhängigkeit von der Kontaktdauer langsam zunimmt und nach 4 bis 5 Tagen ihr Maximum erreicht, während sie für Metalle sofort den stationären Wert erreicht und für Holz in wenigen Minuten. Dieses Wachstum ist so langsam, dass der Reibungswiderstand bei sehr niedrigen Geschwindigkeiten fast der gleiche ist wie bei einem Losbrechen oder Trennen nach 3 oder 4 Sekunden Kontakt. Bei Holz, das auf Holz ohne Schmiermittel gleitet, und bei Metall, das auf Metall gleitet, wirkt sich die Geschwindigkeit nur sehr schwach auf die Reibung aus: In diesem Fall nimmt die Reibung mit zunehmender Geschwindigkeit zu; während die Geschwindigkeit exponentiell zunimmt, nimmt die Reibung in einem arithmetischen Verlauf zu.“ 4 Coulomb und moderne Reibgesetze Der Hauptbeitrag von Coulomb zur Theorie der Reibung bestand darin, dass er auf der Grundlage einer Fülle experimenteller Daten das Amontons-Gesetz bestätigte, aber gleichzeitig seine begrenzte Natur aufgezeigt hat. Er untersuchte detailliert die schwachen Abhängigkeiten des Reibungskoeffizienten von verschiedenen Parametern wie Normalkraft, Gleitgeschwindigkeit, Kontaktgröße sowie atmosphärische Bedingungen und zeigte, dass das Reibungsphänomen zu kompliziert ist, um durch eine einzige Gleichung beschrieben zu werden. In einigen begrenzten Bereichen externer Parameter gelang es ihm jedoch, die Reibung mit zweigliedrigen Glei- Aus Wissenschaft und Forschung 50 Tribologie + Schmierungstechnik · 67. Jahrgang · 3/ 2020 DOI 10.30419/ TuS-2020-0018 Abhängigkeit der Gleitreibungskraft von der Normalkraft und der Größe des Kontaktgebiets Coulomb untersuchte auch die Abhängigkeit des Gleitreibungskoeffizienten von der Normalkraft. Zu bemerken ist, dass Coulomb selbst nie den Begriff „Reibungskoeffizient“ verwendet hat, sondern häufig das Verhältnis der Normalkraft zur Reibungskraft, den „inversen Reibungskoeffizienten“, darstellt. In einem Fall beobachtet Coulomb eine Abnahme des Reibungskoeffizienten fast um den Faktor zwei durch Erhöhen der Normalkraft um den Faktor 35. In anderen Beispielen beobachtete er eine noch stärkere Abhängigkeit von der Normalkraft. Was die Abhängigkeit der Reibkraft von der Kontaktgröße betrifft, stellt Coulomb fest, dass in den meisten Fällen die Reibungskraft nicht sehr empfindlich zur Größe der Kontaktfläche ist, wie dies bereits von Amontons festgestellt wurde. In einigen Fällen stellte er jedoch eine ausgeprägte Abhängigkeit fest. Abhängigkeit von anderen Parametern Wie bereits oben erwähnt, hat Coulomb auch den Einfluss vieler anderer Faktoren untersucht und sich bemüht, diese in einer Form zusammenzufassen, die von Ingenieuren verwendet werden kann. In den meisten Fällen gelang es ihm, einfache zweigliedrige Gesetze des gleichen Typs wie Gl. (1) zu formulieren, wobei der erste Term den Hauptbeitrag und der zweite eine relativ schwache Abhängigkeit von der betroffenen Variablen (Zeit, Normalkraft, Geschwindigkeit, Größe des Kontakts...) beschrieb. Aus heutiger Sicht ist es interessant festzustellen, dass die wichtigsten Erkenntnisse von Coulomb über die Abhängigkeit der Reibungskraft von der Normalkraft und der scheinbaren Kontaktgröße wie folgt zusammengefasst werden können: Der Reibungskoeffizient für das gegebene Reibungspaar wird größer, wenn die Eindringtiefe zweier Körper kleiner wird (kleinere Kräfte, größere Kontaktflächen). Dies korreliert mit der Schlussfol- Bild 1: Typische Darstellung von Daten zur Reibungskraft in der „Théorie des machine simples“. Die Werte für jede Normalkraft werden für unterschiedliche Wartezeiten bis zum Zeitpunkt der Sättigung angegeben. Quelle: [9]. TuS_3_2020.qxp_TuS_3_2020 18.08.20 11: 24 Seite 50 chungen zu beschreiben, von denen der erste Term eine Konstante und der zweite eine relativ schwache (oft logarithmische, wie im Fall der Geschwindigkeit) Abhängigkeit von dem betrachteten Parameter darstellt. Schematisch können seine Näherungen in der folgenden Form umformuliert werden μ = μ 0 + α ln F N + β ln υ + γ ln L + …, (2) wobei L die charakteristische Größe des Systems ist. Das Vorhandensein solcher Abhängigkeiten bedeutet, dass der stationäre Reibungskoeffizient (in einem begrenzten Bereich des Parameterraums) wie folgt geschrieben werden kann μ = μ 0 + ln (F α N υ β L γ ) (3) also abhängig von einer einzigen Variablen der Form F α N υ β L γ . Untersuchungen in den folgenden Jahrhunderten haben die Richtigkeit dieser allgemeinen Vorstellungen für tribologische Systeme verschiedener physikalischer Natur gezeigt. So kann der Reibungskoeffizient in geschmierten Systemen im Bereich der hydrodynamischen Schmierung als geschrieben werden [8], wobei η die dynamische Viskosität des Schmiermittels ist und D die charakteristische Größe des Systems. In diesem Fall, gemäß der Gleichung (3) gilt α = -1/ 2, β = 1/ 2 und γ = 1/ 2. In jüngster Zeit wurden Abhängigkeiten mit nur einer „Mastervariablen“ für die Elastomerreibung im Rahmen des Greenwood-Tabor- Grosch-Paradigmas gefunden, d.h. im Rahmen der Hypothese über die rheologische Natur der Elastomerreibung [15],[16]. Es wurde gezeigt [17],[18], dass sowohl für makroskopisch ebene als auch für makroskopisch gekrümmte Körper der Reibungskoeffizient in einem begrenzten Parameterbereich als Funktion einer Parameterkombination der Form F α N υ β L γ beschrieben werden kann, während die Konstanten α, β und γ von der jeweiligen Rheologie und der Form des Körpers abhängen können. Hervorzuheben ist, dass die Abhängigkeiten der Form (2) zum Konstruieren von verallgemeinerten Reibgesetzen auf rein empirischer Basis, ohne theoretischen Hintergrund, verwendet werden können. Solange die schwachen Abhängigkeiten der Form (2) additiv sind, kann das Masterkurvenverfahren angewendet werden. Zu bemerken ist, dass ähnliche Potenzgesetzgleichungen auch zur Beschreibung von Verschleiß vorgeschlagen und experimentell überprüft wurden [19]. 5 Verallgemeinertes Masterkurvenverfahren Die Idee, dass der Reibungskoeffizient vom Produkt bestimmter relevanten Material- und Belastungsparameter darstellbar ist, fand in der letzten Zeit eine Weiterentwicklung, die auf einer Verbindung von allgemeinen 2 / N vL F μ η ≈ theoretischen Ansätzen mit der reinen Empirik beruht. Aus der Reibungstheorie von Elastomeren kommt die Idee, dass der Reibungskoeffizient als Produkt von zwei Faktoren dargestellt werden kann: (4) wobei ∇ z der quadratische Mittelwert des Oberflächengradienten ist, a der mittlere Kontaktradius von „Asperiten“, υ die Gleitgeschwindigkeit und τ die charakteristische Relaxationszeit des Mediums [14]. In der Gleichung (4) hängen die Parameter Oberflächengradient und Radius der lokalen Kontakte nicht nur von der Eindringtiefe, sondern auch von der Oberflächenrauheit ab. Es ist praktisch unmöglich, diese Eigenschaften zu messen. Dies ist jedoch auch nicht erforderlich, da nur die durch Gleichung (4) gegebene allgemeine Struktur wichtig ist. Es ist ausreichend zu wissen, dass diese Größen ausschließlich durch die Eindringtiefe bestimmt werden [14]. Die Relaxationszeit beschreibt die Rheologie des Materials und ist temperaturabhängig. Daher kann die Gleichung (4) als Funktion der Eindringtiefe d und der Temperatur T umgeschrieben werden (5) In einer doppel-logarithmischen Skala nimmt sie die Form (6) an, mit Φ (·) = logΨ(exp(·)). Diese Form führt logisch zum verallgemeinerten Masterkurvenverfahren und schlussendlich zur Bestimmung des Reibungskoeffizienten als Funktion der Gleitgeschwindigkeit, der Temperatur und der Eindringtiefe. Gemäß (6) haben die Kurven von logμ in Abhängigkeit von logυ für verschiedene Temperaturen und Eindringtiefen dieselbe Form, die nur entlang der vertikalen oder horizontalen Achse verschoben wird. Wenn wir die Kurven horizontal um den Faktor logτ (T) - loga (d) und vertikal um den Faktor log ∇ z (d) verschieben, erzeugen wir eine einzige „Masterkurve“. Somit wird rein empirisch die komplette Abhängigkeit des Reibungskoeffizienten von der Temperatur, der Geschwindigkeit und der Normalkraft bestimmt! Die Wirksamkeit dieses Verfahrens bei der Anwendung auf die Geschwindigkeits- und Normalkraftabhängigkeit der Reibung wurde experimentell in [14] bestätigt. 6 Was Coulomb nicht geschafft hat Was Coulomb nicht geschafft hat, ist eine Vereinheitlichung der statischen und kinetischen Reibung. Er entdeckte die Zeitabhängigkeit der statischen Reibungskraft und die Geschwindigkeitsabhängigkeit der Gleitreibungskraft, betrachtete diese Abhängigkeiten jedoch nicht als Manifestationen derselben Physik. Verbindung Aus Wissenschaft und Forschung 51 Tribologie + Schmierungstechnik · 67. Jahrgang · 3/ 2020 DOI 10.30419/ TuS-2020-0018 , v z a τ μ Ψ ⎛ ⎞ = ∇ ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . ( ) ( ) ( ) v T z d a d τ μ Ψ ⎛ ⎞ ⋅ = ∇ ⋅ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ( ) ( ) ( ) ( ) log log log log log z d v T a d μ Φ τ − ∇ = + − TuS_3_2020.qxp_TuS_3_2020 18.08.20 11: 24 Seite 51 Coulomb hat uns ein Arbeitsprogramm hinterlassen, welches die tribologische Gemeinschaft noch nicht abgearbeitet hat. Die Formulierung effektiver theoretischer und empirischer Verfahren zur Konstruktion „verallgemeinerter Reibgesetze“, einschließlich der Abhängigkeiten von der Normalkraft und der Form, bleibt in der modernen Tribologie ein heißes Thema. Dieser Beitrag basiert auf der Publikation [26] und erweitert diese durch zusätzliche historische Hintergründe. 8 Literatur [1] Dowson, D. History of Tribology. Longman Group Limited, London, 1979, 678 pp. [2] Amontons, G. De la resistance cause’e dans les machines (About Resistance and Force in Machines). Mem. l’Acedemie R. A, 257-282 (1699). [3] Barber, J.R. Multiscale Surfaces and Amontons’ Law of Friction. Trib. Lett. 49, 539-543 (2013). 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Jahrgang · 3/ 2020 DOI 10.30419/ TuS-2020-0018 beider Abhängigkeiten geschah viel später, in den 1970er Jahren in den Werken von Dieterich [20], sowie Rice und Ruina [21]. Dieterich und Ruina zeigten, dass die Vereinheitlichung der statischen und kinetischen Reibung durch die Einführung einer zusätzlichen internen Zustandsvariablen erreicht werden kann. Die Gleichungen von Dieterich-Ruina sehen sehr ähnlich zu (2) aus, enthalten jedoch eine zusätzliche Differentialgleichung, mit der die im Reibungskontakt ablaufenden Prozesse auch ohne Relativbewegung beschrieben werden können. Dieses theoretische Schema hat einen sehr einfachen und robusten theoretischen Hintergrund [22]. Das Konzept von Dieterich und Ruina erwies sich als sehr erfolgreich und wurde für verschiedene Materialien in einem sehr breiten Geschwindigkeitsbereich bestätigt [23]. 7 Schlussfolgerung Zunächst sei bemerkt, dass die einfache Formulierung des „Coulombschen Reibgesetzes“, die in den meisten Lehrbüchern zu finden ist - die Reibungskraft ist proportional zur Normalkraft und hängt nicht von der Kontaktfläche und der Geschwindigkeit ab - wenig mit der wirklichen Arbeit von Coulomb zu tun hat. Im Gegenteil, Coulomb stellte fest, dass das Amontons’sche Gesetz sowie die Unabhängigkeit des Reibungskoeffizienten von Geschwindigkeit, Normalkraft, Kontaktfläche und Rauheit nur eine erste, sehr grobe Näherung ist. Er unterschied zwischen materiellen Paaren (z. B. Metall- Metall), bei denen das Amontons-Gesetz eine gute Näherung darstellt, und anderen (Holz auf Metall oder Holz auf Holz), bei denen erhebliche Abweichungen vom Amontons-Gesetz bestehen. In allen Fällen sind die Abhängigkeiten jedoch relativ schwach. In der heutigen Sprache würden wir sagen, dass sie logarithmischen Charakter haben: Die geometrischen und Belastungsparameter müssen um mehrere Größenordnungen geändert werden, um eine Änderung des Reibungskoeffizienten um den Faktor zwei zu erreichen. Coulomb gibt auch einfache zweigliedrige Beziehungen an, die diese experimentellen Ergebnisse empirisch zusammenfassen. Einige der von Coulomb festgestellten Abhängigkeiten wurden auch in den folgenden Jahren eingehend untersucht, insbesondere die Geschwindigkeitsabhängigkeit des Reibungskoeffizienten. Der Grund dafür kann in der Bedeutung der Geschwindigkeitsabhängigkeit für die dynamische Stabilität von Reibungssystemen liegen. Die explizite Abhängigkeit von der Zeit (Reibungskinetik) wurde seit den Arbeiten von Dieterich untersucht. Die Abhängigkeit des Reibungskoeffizienten von der Normalkraft ist ein Bereich, der sich erst zu entwickeln beginnt [24],[25]. Die Abhängigkeit der Reibungskraft von der Größe des Systems wurde noch nicht systematisch untersucht. TuS_3_2020.qxp_TuS_3_2020 18.08.20 11: 24 Seite 52 [14] Popov, V.L., Voll, L., Kusche, S., Li, Q., Rozhkova, S.V. Generalized master curve procedure for elastomer friction taking into account dependencies on velocity, temperature and normal force. Tribology International 120, 376-380 (2018) [15] Greenwood, J.A., Tabor, D. The friction of hard sliders on lubricated rubber - the importance of deformation losses. Proc. Roy. Soc. London. 71, 989-1001 (1958). [16] Grosch, K.A. Relation between Friction and Visco-Elastic Properties of Rubber. Proc. Roy. Soc. London A. 274, 21- 39 (1963). [17] Li Q., Popov M., Dimaki A., Filippov A.E., Kürschner S., Popov V.L. Friction between a viscoelastic body and a rigid surface with random self-affine roughness. Phys. Rev. Lett. 111, 034301 (2013). [18] Popov, V.L., Voll, L., Li,Q., Chai, Y.S. & Popov, M. 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