Mikroökonomie: 77 Aufgaben, die Bachelorstudierende beherrschen müssen
0214
2022
978-3-8385-5123-4
978-3-8252-5123-9
UTB
Claudia Kurz
Agnes Sputek
10.36198/9783838551234
Die Leser:innen dieses Buches bewahren in der Mikroökonomieprüfung ganz sicher einen kühlen Kopf!
Die Mikroökonomie ist für viele Bachelorstudierende ein Angstfach - speziell für angehende Betriebswirt:innen. Dieses Buch hilft dabei, die Prüfungsvorbereitung zu optimieren und stellt 77 charakteristische Prüfungsaufgaben mit Schwierigkeitsgrad, Bearbeitungszeit und Musterlösung vor. Die Autorinnen weisen auf häufig gemacht Fehler explizit hin und vermitteln mathematische Grundlagen prägnant.
Ausgewählte Themen des Buches sind die Haushalts- und Produktionstheorie, der Markt bei vollkommener Konkurrenz, staatliche Eingriffe in den Markt sowie Marktversagen, unvollkommene Märkte und Wettbewerbspolitik.
Kurzum: Das Buch ist ein Must-have für Studierende der Betriebs- und Volkswirtschaftslehre.
<?page no="0"?> Claudia Kurz | Agnes Sputek Mikroökonomie: 77 Aufgaben, die Bachelorstudierende beherrschen müssen <?page no="1"?> utb 5123 Eine Arbeitsgemeinschaft der Verlage Brill | Schöningh - Fink · Paderborn Brill | Vandenhoeck & Ruprecht · Göttingen - Böhlau Verlag · Wien · Köln Verlag Barbara Budrich · Opladen · Toronto facultas · Wien Haupt Verlag · Bern Verlag Julius Klinkhardt · Bad Heilbrunn Mohr Siebeck · Tübingen Narr Francke Attempto Verlag - expert verlag · Tübingen Psychiatrie Verlag · Köln Ernst Reinhardt Verlag · München transcript Verlag · Bielefeld Verlag Eugen Ulmer · Stuttgart UVK Verlag · München Waxmann · Münster · New York wbv Publikation · Bielefeld Wochenschau Verlag · Frankfurt am Main UTB (XL) Impressum_22.indd 1 UTB (XL) Impressum_22.indd 1 23.10.21 13: 18 23.10.21 13: 18 <?page no="2"?> Prof. Dr. Claudia Kurz lehrt Allgemeine Volkswirtschaftslehre und Quantitative Methoden an der Hochschule Mainz. Prof. Dr. Agnes Sputek lehrt Volkswirtschaftslehre und Wirtschaftspolitik an der Hochschule Mainz. <?page no="3"?> Claudia Kurz, Agnes Sputek Mikroökonomie: 77 Aufgaben, die Bachelorstudierende beherrschen müssen UVK Verlag · München <?page no="4"?> Umschlagabbildung sowie Piktogramme im Buch: © yuoak · iStock Bibliographische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliographische Daten sind im Internet über http: / / dnb.dnb.de abrufbar. 1. Auflage 2022 © UVK Verlag 2022 - ein Unternehmen der Narr Francke Attempto Verlag GmbH + Co. KG Dischingerweg 5 · D-72070 Tübingen Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Alle Informationen in diesem Buch wurden mit großer Sorgfalt erstellt. Fehler können dennoch nicht völlig ausgeschlossen werden. Weder Verlag noch Autor: innen oder Herausgeber: innen übernehmen deshalb eine Gewährleistung für die Korrektheit des Inhaltes und haften nicht für fehlerhafte Angaben und deren Folgen. Diese Publikation enthält gegebenenfalls Links zu externen Inhalten Dritter, auf die weder Verlag noch Autor: innen oder Herausgeber: innen Einfluss haben. Für die Inhalte der verlinkten Seiten sind stets die jeweiligen Anbieter oder Betreibenden der Seiten verantwortlich. Internet: www.narr.de eMail: info@narr.de Einbandgestaltung: Atelier Reichert, Stuttgart Druck und Bindung: CPI books GmbH, Leck utb-Nr. 5123 ISBN 978-3-8252-5123-9 (Print) ISBN 978-3-8385-5123-4 (ePDF) ISBN 978-3-8463-5123-9 (ePub) <?page no="5"?> Vorwort Diese Aufgabensammlung ist in erster Linie für Bachelor-Studierende wirtschaftswissenschaftlicher Fächer an Universitäten und Hochschulen konzipiert. Zur Zielgruppe gehören aber auch Studierende anderer Fächer, die in ihrem Studium mikroökonomische Inhalte belegen. Eine wesentliche Motivation, dieses Buch zu verfassen war der immer wieder vorgetragene Wunsch unserer Studierenden nach Übungsmöglichkeiten für den mikroökonomischen Stoff. Diesem Wunsch sind wir mit diesem Buch nun gefolgt, weil auch aus unserer Sicht das selbständige Lösen von Aufgaben zum Verständnis des Stoffes und zur Klausurvorbereitung unerlässlich ist. Da es eine Vielzahl mikroökonomischer Lehrbücher für Bachelorstudiengänge gibt, folgt diese Aufgabensammlung nicht einem bestimmten Lehrbuch, sondern umfasst den standardmäßig gelehrten Stoff. Wir bedanken uns bei unseren Unterstützern, die wesentlich zum Gelingen des Buches beigetragen haben. Für die sehr angenehme Zusammenarbeit möchten wir unserem Lektor Rainer Berger danken. Sein Verständnis und seine Geduld haben es uns ermöglicht, trotz der coronabedingten Belastungen das Buch fertigzustellen. Wichtig für das Gelingen war darüber hinaus Ingo Geurtz, der uns in der Anfangsphase begleitet und eine solide Basis fürs Weiterarbeiten geschaffen hat. Sogar nach seinem Wegzug aus Mainz stand er uns mit Rat und Tat zur Seite. Ihm ebenso sowie Maruan El-Mohammed gebührt besonderer Dank für die wertvolle und verlässliche Unterstützung bei der Formatierung der Druckvorlage, der Erstellung der Abbildungen und nicht zuletzt dafür, dass sie für alle Diskussionen zur Verfügung standen und oftmals Lösungen fanden. Ebenfalls danken wir Martin Fischer, der uns bei der Erstellung der Abbildungen unterstützt und bei einigen Aufgaben seine Einschätzung zur Bearbeitungszeit gegeben hat. Jonathan Grunow und Felix Kurz danken wir für das gewissenhafte Korrekturlesen sowie ihre Hilfe bei der Formatierung, und nicht zuletzt für die Bereitschaft, sich als Fachfremde in die Thematik zu vertiefen. Selbstverständlich liegt die Verantwortung für verbliebene Fehler bei uns. Mainz, im Herbst 2021 Claudia Kurz und Agnes Sputek <?page no="7"?> Inhaltsverzeichnis Vorwort ................................................................................................................................................. 5 Notationsverzeichnis ...................................................................................................................... 9 1 Wichtiges vorab ............................................................................................................ 11 1.1 Bearbeitungshinweise .................................................................................................... 11 1.2 Vor der Klausur ............................................................................................................... 12 1.3 Während der Klausur ..................................................................................................... 12 1.4 Nach der Klausur............................................................................................................. 13 2 Haushaltstheorie .......................................................................................................... 15 2.1 Präferenzen ....................................................................................................................... 15 2.2 Budgetgerade.................................................................................................................... 22 2.3 Nutzenmaximierung....................................................................................................... 24 2.4 Einkommens- und Substitutionseffekt....................................................................... 27 Lösungen zu Kapitel 2: Haushaltstheorie ....................................................................................... 31 3 Produktionstheorie ...................................................................................................... 47 3.1 Produktionsfunktionen .................................................................................................. 47 3.2 Kostenminimierung ........................................................................................................ 49 3.3 Kostenfunktionen und Gewinnmaximierung........................................................... 53 Lösungen zu Kapitel 3: Produktionstheorie ................................................................................... 61 4 Markt bei vollkommener Konkurrenz .................................................................. 81 4.1 Marktgleichgewicht, Komparative Statik und Wohlfahrtseffekte ...................... 83 4.2 Elastizitäten ...................................................................................................................... 87 Lösungen zu Kapitel 4: Markt bei vollkommener Konkurrenz .................................................... 91 5 Staatliche Eingriffe in den Markt ......................................................................... 103 5.1 Höchst- und Mindestpreis........................................................................................... 103 5.2 Steuern und Subventionen für bestimmte Güter................................................... 105 Lösungen zu Kapitel 5: Staatliche Eingriffe in den Markt ......................................................... 111 <?page no="8"?> 8 Inhaltsverzeichnis 6 Unvollkommene Märkte und Wettbewerbspolitik ........................................ 125 6.1 Monopol...........................................................................................................................126 6.2 Duopol und strategische Interaktion........................................................................ 130 6.3 Monopolistische Konkurrenz ..................................................................................... 132 Lösungen zu Kapitel 6: Unvollkommene Märkte und Wettbewerbspolitik ............................... 137 <?page no="9"?> Notationsverzeichnis 𝑈𝑈 Nutzen(niveau) 𝑥𝑥 𝑖𝑖 Menge Gut 𝑖𝑖, 𝑖𝑖 = 1, 2 𝑀𝑀𝑈𝑈 𝑖𝑖 = 𝑈𝑈 𝑖𝑖′ = 𝑈𝑈 𝑥𝑥 𝑖𝑖 Grenznutzen des Gutes 𝑖𝑖, 𝑖𝑖 = 1, 2 𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺 Grenzrate der Substitution 𝑦𝑦 Einkommen (Budget) 𝑝𝑝 𝑖𝑖 Preis Gut 𝑖𝑖, 𝑖𝑖 = 1, 2 𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑖𝑖 Grenzprodukt des Faktors 𝑖𝑖, 𝑖𝑖 = 1, 2 𝑇𝑇𝐺𝐺𝐺𝐺 Grenzrate der technischen Substitution 𝑣𝑣 𝑖𝑖 Menge Faktor 𝑖𝑖, 𝑖𝑖 = 1, 2 𝐶𝐶 Menge Kapitaleinheiten 𝐿𝐿 Menge Arbeitseinheiten 𝑞𝑞 𝑖𝑖 Faktorpreis für Faktor 𝑖𝑖, 𝑖𝑖 = 1, 2 𝑤𝑤 Lohn für eine Arbeitsstunde 𝑟𝑟 Preis für den Faktor Kapital 𝐾𝐾(𝑥𝑥) Gesamtkosten in Abhängigkeit von 𝑥𝑥 𝐾𝐾 𝑣𝑣 (𝑥𝑥) Variable Kosten in Abhängigkeit von x 𝐾𝐾 𝑓𝑓 Fixkosten 𝐷𝐷𝐾𝐾 Durchschnittskosten 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐾𝐾 Durchschnittliche variable Kosten 𝐺𝐺𝐾𝐾 = 𝐾𝐾 ′ Grenzkosten 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐾𝐾 Durchschnittliche Fixkosten 𝜀𝜀 Elastizität 𝐸𝐸 Erlös 𝐺𝐺𝐸𝐸 = 𝐸𝐸′ Grenzerlös 𝐾𝐾𝐺𝐺 Konsumentenrente 𝑀𝑀𝐺𝐺 Produzentenrente <?page no="11"?> 1 Wichtiges vorab In einem Studium der Wirtschaftswissenschaften ist die Mikroökonomie ein wesentlicher Bestandteil. Sie ist in der Regel das erste Modul der Volkswirtschaftslehre, in dem einzelwirtschaftliche Fragestellungen behandelt werden: Betrachtet werden einzelne Wirtschaftssubjekte und deren Zusammenspiel auf Märkten für homogene Güter. Großes Gewicht hat dabei die Entscheidungsfindung der Haushalte über ihren Konsum sowie die der Unternehmen über ihr Angebot als Grundlage für die Analyse von Märkten und Marktergebnissen. Die Mikroökonomie bietet somit einen fundierten Blick auf das Angebots- und Nachfrageverhalten und vermittelt das Verständnis für die Funktionsweise von Märkten. Dabei zeigen sich, insbesondere bei den unternehmerischen Entscheidungen, Parallelen zur Betriebswirtschaftslehre. Darüber hinaus sind auch wirtschaftspolitisch motivierte Eingriffe in bestimmte Märkte Gegenstand der Mikroökonomie: Sie liefert ein Instrumentarium zur Analyse der Wirkungen staatlicher Eingriffe in Märkte und damit die Fähigkeit, in der Diskussion befindliche wirtschaftspolitische Maßnahmen zu beurteilen und sinnvolle von wenig geeigneten staatlichen Interventionen zu unterscheiden. 1.1 Bearbeitungshinweise Die Aufgaben in diesem Buch dienen dem Einüben und Vertiefen der in einer Vorlesung vermittelten Inhalte. Sie folgen einer weitverbreiteten Gliederung der Mikroökonomie. Begonnen wird mit der Konsumentscheidung eines typischen Haushalts, gefolgt von der Angebotsentscheidung eines typischen Unternehmens. Im Folgenden wird das Zusammenspiel beider Marktseiten unter den Bedingungen der vollkommenen Konkurrenz analysiert. Anschließend werden verschiedene staatliche Eingriffe in das Marktgeschehen thematisiert. Der letzte Bereich beschäftigt sich schließlich mit Märkten, die nicht den Annahmen der vollkommenen Konkurrenz entsprechen. Diese Vorgehensweise ist nicht der einzig mögliche Aufbau. Daher sind die Aufgaben so gewählt, dass sie immer dann bearbeitet werden können, wenn der entsprechende Stoff in der Vorlesung behandelt wurde. Sollte in Ihrem Fall etwa zuerst die Produktionstheorie und danach die Konsumtheorie behandelt werden, können Sie die Aufgaben auch in dieser Reihenfolge bearbeiten. Die Aufgaben sind jeweils mit Hinweisen auf die Bearbeitungszeit und den Schwierigkeitsgrad versehen. Bei den Schwierigkeitsgraden gibt es 3 Klassen von einfach über mittel bis schwer, die Bearbeitungszeiten sind in 5-Minuten-Abständen angegeben. Die Bearbeitungszeiten sind eher großzügig kalkuliert und sollten lediglich als Hinweise interpretiert werden. Wieviel Zeit Sie benötigen, ist häufig individuell unterschiedlich. Bei manchen Aufgaben werden Sie mehr, bei anderen weniger Zeit benötigen. Gerade wenn Sie beim ersten Bearbeiten einer Aufgabe mehr Zeit brauchen als angegeben, lassen Sie sich nicht entmutigen. Mit zunehmender Übung sollten Sie dann schneller werden. <?page no="12"?> 12 Mikroökonomie · 77 Aufgaben Versuchen Sie die Aufgaben möglichst ohne Ihre Unterlagen und ohne Ihr Lehrbuch zu lösen, vor allem aber (zunächst) ohne die in diesem Buch aufgezeigten Lösungen. Erst wenn Sie nicht weiterkommen, lesen Sie in Ihren Vorlesungsunterlagen und Ihrem Lehrbuch nach. Am Ende erst überprüfen Sie Ihr Ergebnis mit den vorgegebenen Lösungen. Neben der individuellen Bearbeitung ist auch das Üben der Aufgaben in Lerngruppen möglich und sinnvoll. 1.2 Vor der Klausur Die folgenden Punkte sind als Hilfestellung für die grundsätzliche Vorbereitung auf die Klausur gedacht. Bitte bedenken Sie, dass Sie für die Bearbeitung komplexer Inhalte genügend Zeit einplanen. Am besten ist ein begleitendes Lernen über die gesamte Vorlesungszeit hinweg. Für das zusammenfassende und intensive Lernen vor der Klausur sollten Sie die folgenden Punkte beachten: Machen Sie sich einen Überblick über den relevanten Stoff. Teilen Sie sich den Stoff in Lernzeiten ein, die Sie bis zur Klausur abarbeiten. Planen Sie dabei auch Pufferzeiten mit ein, falls Sie für eine Fragestellung länger brauchen oder sich nicht gut konzentrieren können. Lesen Sie zunächst noch einmal Ihre Vorlesungsunterlagen. Zur Ergänzung und bei Unklarheiten ziehen Sie ein Lehrbuch zu Rate. Lösen Sie dann die passenden Übungsaufgaben, ohne die Lösung zu benutzen. Sollten Sie nicht auf das richtige Ergebnis kommen, versuchen Sie unbedingt, Ihren Fehler zu verstehen. Auswendiglernen von Lösungen ist nicht zielführend, da Sie in der Klausur oft Transfer- und Verständnisaufgaben lösen müssen. Bilden Sie Lerngruppen, in denen Sie den Stoff diskutieren. Erklären Sie sich die Inhalte gegenseitig und stellen Sie sich Fragen, um Ihr Verständnis der Inhalte zu vertiefen. Üben Sie ausreichend, denn in der Klausur sind nicht nur Verständnis wichtig, sondern auch eine gewisse Sicherheit und Schnelligkeit. 1.3 Während der Klausur Der wichtigste Hinweis ist wohl: Bleiben Sie gelassen und starten Sie mit Ruhe in die Bearbeitung. Befolgen Sie alle Anweisungen der Aufsichtsführenden und tragen Sie als Erstes die geforderten persönlichen Angaben wie Matrikelnummer und eventuell Namen in der Klausur ein. Auf die Klausur selbst beziehen sich die folgenden Hinweise: Wenn es Anweisungen zur Klausur gibt (meist auf einem Deckblatt), lesen Sie diese genau und halten sich an alles. Lesen Sie alle Aufgaben zumindest grob, bevor Sie starten. Beginnen Sie mit der Aufgabe, die Ihnen am leichtesten fällt, dann mit der zweitschwersten usw. So gewinnen Sie Sicherheit für den Rest der Klausur. Lesen Sie dann vor der konkreten Bearbeitung die Fragestellung genau und beantworten Sie nur die gestellten Fragen. Für Dinge, die nicht gefragt sind, können Sie keine <?page no="13"?> Wichtiges vorab 13 Punkte erwarten. Achten Sie in den Aufgabentexten auf eventuell angegebene Annahmen. Solche können jedoch auch über den Aufgaben stehen, um die Aufgabentexte kürzer und übersichtlicher zu halten. Lösen Sie zunächst die Standardfragen und dann die „Denkaufgaben“. Sollten Sie gerade die letzte Teilaufgabe einer Aufgabe nicht sofort lösen können, lassen Sie sie zunächst unbearbeitet und gehen Sie zur nächsten Aufgabe über. Oft sind die letzten Teilaufgaben die kniffligen. Teilaufgaben bauen häufig aufeinander auf, um die Bearbeitung zu gliedern. Markieren Sie daher Ihre Lösungen, so dass Sie schnell darauf zurückgreifen können. Prüfen Sie Ihre Lösungen auf Plausibilität! Sollten Sie bei einer Teilaufgabe nicht zu einer Lösung kommen, die Sie aber in der weiteren Bearbeitung brauchen, machen Sie das deutlich. Erklären Sie, dass Sie stattdessen eine „erfundene“ plausible Lösung für die weitere Bearbeitung verwenden. Halten Sie die Zeit im Blick und beißen Sie sich nicht an einer Aufgabe fest. Wenn Sie nicht weiterkommen, wenden Sie sich zunächst einer anderen Aufgabe zu. Bieten Sie nicht unterschiedliche Lösungen zur gleichen Frage an. Sollten Sie etwas an Ihren Lösungen ändern, stellen Sie klar, welche Lösung gewertet werden soll. Je klarer Ihre Lösungen und Angaben auf der Klausur sind, desto besser. Stellen Sie zweifelsfrei klar, zu welcher Aufgabe Ihre Ausführungen gehören. Wenn Sie eine Ergänzung haben, für die bei Ihrer Antwort kein Platz mehr ist, geben Sie dort genau an, wo Ihre Bearbeitung fortgeführt wird. Bevor Sie die Klausur abgeben, prüfen Sie, ob Sie alle Aufgaben gelöst haben und ob Sie Ihre persönlichen Angaben wie Matrikelnummer und eventuell Namen angegeben haben. 1.4 Nach der Klausur Wie auch immer es gelaufen ist, es ist vorbei. Sprechen Sie nicht mit anderen die Klausur durch und grübeln Sie nicht über Ihre Lösungen nach. Besser ist es, sich bewusst zu entspannen. Gönnen Sie sich eine Pause, bevor Sie weitere Klausurvorbereitungen starten. <?page no="15"?> 2 Haushaltstheorie In aller Kürze | Haushaltstheorie Dieses Kapitel beschäftigt sich mit Entscheidungen von Haushalten bezüglich ihres Konsumverhaltens. Dabei wird in der Regel eine Nutzenfunktion unterstellt, die es für die optimale Entscheidung unter Berücksichtigung von Restriktionen zu maximieren gilt. In den Übungsaufgaben wird zur Vereinfachung davon ausgegangen, dass jeder Haushalt lediglich zwei Güter konsumiert und diese Güter beliebig teilbar sind. Im ersten Teil 2.1 geht es nur um Präferenzen, also die Vorlieben von Konsumenten. Beschränkungen werden zunächst nicht beachtet, getreu dem Motto: „Träumen ist erlaubt. In den Geldbeutel schauen wir später“. Was sich ein Haushalt leisten kann, wird in 2.2 thematisiert. In 2.3 werden die Wünsche mit den Restriktionen zusammengeführt und das beste Güterbündel gesucht, das der Haushalt sich leisten kann. Für die Aufgaben gelten die Bedingungen der vollkommenen Konkurrenz. Die entsprechenden Modellannahmen sind im Kasten „Annahmen der vollkommenen Konkurrenz“ in Kapitel 4 zusammengestellt. 2.1 Präferenzen Aufgabe 2.1.1 Schwierigkeitsgrad Zeit einfach 15 Minuten a) Ein Haushalt konsumiert das Güterbündel 𝑋𝑋 0 = (2,5) , d.h. von Gut 1 konsumiert er die Menge 2, von Gut 2 die Menge 5. Geben Sie an, wie dieses Güterbündel nach der Annahme der Nichtsättigung im Vergleich zum Güterbündel 𝑋𝑋 1 = (1,6) , zu beurteilen ist. b) Welche allgemeine Aussage bezüglich der Präferenzen eines Konsumenten können Sie über die Güterbündel 𝐴𝐴, 𝐵𝐵, 𝐶𝐶 und 𝐷𝐷 machen, wenn die Annahme der „Nichtsättigung“ zutrifft? <?page no="16"?> 16 Mikroökonomie · 77 Aufgaben Abb. 1 Aufgabe 2.1.2 Schwierigkeitsgrad Zeit einfach 5 Minuten Max konsumiert nur die Güter Schokolade und Wasser. Er hat 3 verschiedene Güterbündel 𝐴𝐴 , 𝐵𝐵 und 𝐶𝐶 zur Auswahl, die sich aus diesen Gütern zusammensetzen. Er zieht das Güterbündel 𝐴𝐴 gegenüber dem Güterbündel 𝐵𝐵 vor und ebenso 𝐵𝐵 gegenüber 𝐶𝐶 . Können Sie eine Aussage darüber herleiten, ob Max im direkten Vergleich von 𝐴𝐴 und 𝐶𝐶 eines dieser beiden Güterbündel vorzieht? Welche Annahme über Präferenzen wenden Sie zur Beantwortung dieser Frage an? Aufgabe 2.1.3 Schwierigkeitsgrad Zeit einfach 5 Minuten Eine Studentin mag Pralinen, aber sie hat einen abnehmenden Grenznutzen beim Konsum von Pralinen. Erläutern Sie diesen Begriff für das konkrete Beispiel. Aufgabe 2.1.4 Schwierigkeitsgrad Zeit einfach 10 Minuten Maria konsumiert Musik-Downloads ( 𝑀𝑀 ) und Konzerttickets ( 𝐶𝐶 ). Ihre Nutzenfunktion ist gegeben durch 𝑈𝑈 = 𝑀𝑀 0,5 𝐶𝐶 0,5 . a) Erläutern Sie verbal, was man unter einer Indifferenzkurve versteht. Gut 1 Gut 2 A B C D <?page no="17"?> Haushaltstheorie 17 b) Berechnen Sie nachvollziehbar, ob die Konsumgüterbündel 𝐺𝐺 1 (𝑀𝑀 = 4, 𝐶𝐶 = 1) und 𝐺𝐺 2 (𝑀𝑀 = 2, 𝐶𝐶 = 2) auf der gleichen Indifferenzkurve liegen. Das sollten Sie wissen | Wichtiges rund ums Ableiten Die Ableitung gibt an, um wie viele Einheiten sich die abhängige Variable (hier 𝑦𝑦 ) verändert, wenn die unabhängige Variable (hier 𝑥𝑥 ) um eine Einheit steigt. Schreibweisen für Ableitungen Es gibt unterschiedliche Schreibweisen der Ableitungen: Funktionen mit einer Variablen: 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) Erste Ableitung: 𝑦𝑦 ′ = 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 𝑥𝑥 𝑦𝑦 ′ ist eine zulässige Schreibweise, da es nur eine Variable gibt und daher eindeutig ist, dass nach dieser Variablen abgeleitet wurde. Zweite Ableitung: 𝑦𝑦 ′′ = 𝑑𝑑 2 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑥𝑥 2 = 𝑦𝑦 𝑥𝑥𝑥𝑥 Funktionen mit mehreren Variablen: z.B. 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥 1 , 𝑥𝑥 2 ) . Leitet man nach einer der unabhängigen Variablen ab, spricht man von einer partiellen Ableitung. Erste partielle Ableitung: 𝜕𝜕𝑑𝑑 𝜕𝜕𝑥𝑥 1 = 𝑦𝑦 𝑥𝑥 1 Zweite partielle Ableitung nach der gleichen Variablen 𝑥𝑥 1 : 𝜕𝜕 2 𝑑𝑑 𝜕𝜕𝑥𝑥 12 = 𝑦𝑦 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 1 Zweite partielle Ableitung, zuerst nach 𝑥𝑥 1 , dann nach 𝑥𝑥 2 : 𝜕𝜕 2 𝑑𝑑 𝜕𝜕𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 = 𝑦𝑦 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 Beachten Sie: Bei partiellen Ableitungen wird als Zeichen für das Differenzieren ein 𝜕𝜕 verwendet. Weitere verbreitete Schreibweisen für die erste partielle Ableitung einer Funktion 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥 1 , 𝑥𝑥 2 ) nach der Variablen 𝑥𝑥 𝑖𝑖 (i = 1,2) sind: 𝑦𝑦 𝑥𝑥 𝑖𝑖 , 𝑦𝑦 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ′ , 𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ′ Ableitungsregeln Produktregel: Die Produktregel gibt an, wie die Ableitung eines Produkts aus zwei Funktionen der gleichen Variablen 𝑥𝑥 lautet. Diese Funktionen werden mit 𝑢𝑢 = 𝑢𝑢(𝑥𝑥) und 𝑣𝑣 = 𝑣𝑣(𝑥𝑥) bezeichnet. Nach der Produktregel gilt: (𝑢𝑢𝑣𝑣) ′ = 𝑢𝑢 ′ 𝑣𝑣 + 𝑢𝑢𝑣𝑣 ′ Anwendungsbeispiel: 𝑢𝑢 = 𝑥𝑥 2 𝑣𝑣 = 2𝑥𝑥 + 3 𝑢𝑢𝑣𝑣 = 𝑥𝑥²(2𝑥𝑥 + 3) 𝑢𝑢′ = 2𝑥𝑥 𝑣𝑣′ = 2 (𝑢𝑢𝑣𝑣) ′ = 2𝑥𝑥(2𝑥𝑥 + 3) + 𝑥𝑥 2 ∙ 2 = 6𝑥𝑥 2 + 6x <?page no="18"?> 18 Mikroökonomie · 77 Aufgaben Ist, wie in obigem Beispiel, das Produkt aus 𝑢𝑢 und 𝑣𝑣 leicht zu berechnen, ist es auch möglich, anstelle der Produktregel, 𝑢𝑢𝑣𝑣 direkt durch Ausmultiplizieren zu bestimmen und das Ergebnis abzuleiten. Quotientenregel Die Ableitung eines Quotienten 𝑢𝑢𝑣𝑣 , wobei 𝑢𝑢 = 𝑢𝑢(𝑥𝑥) und 𝑣𝑣 = 𝑣𝑣(𝑥𝑥) jeweils Funktionen der gleichen Variablen 𝑥𝑥 sind, folgt der Quotientenregel: �𝑢𝑢𝑣𝑣� ′ = 𝑢𝑢 ′ 𝑣𝑣 − 𝑢𝑢𝑣𝑣 ′ 𝑣𝑣 2 Anwendungsbeispiel: 𝑢𝑢 = 𝑥𝑥 2 𝑣𝑣 = 2𝑥𝑥 + 3 𝑢𝑢𝑣𝑣 = 𝑥𝑥 2 2𝑥𝑥 + 3 𝑢𝑢 ′ = 2𝑥𝑥 𝑣𝑣 ′ = 2 �𝑢𝑢𝑣𝑣� ′ = 2𝑥𝑥(2𝑥𝑥 + 3) − 𝑥𝑥 2 ∙ 2 (2𝑥𝑥 + 3) 2 = 2𝑥𝑥 2 + 6𝑥𝑥 (2𝑥𝑥 + 3) 2 Aufgabe 2.1.5 Schwierigkeitsgrad Zeit schwierig 20 Minuten Ein Haushalt konsumiert die Güter Milch 𝑀𝑀 und Cornflakes 𝐶𝐶 . Seine Nutzenfunktion sei: 𝑈𝑈 = 𝑀𝑀 0,5 𝐶𝐶 0,5 Berechnen Sie die Gleichung für die Grenzrate der Substitution. Wie hoch ist die Grenzrate der Substitution an der Stelle des Güterbündels 𝐺𝐺(𝑀𝑀 = 4, 𝐶𝐶 = 1) ? Interpretieren Sie das Ergebnis. Aufgabe 2.1.6 Schwierigkeitsgrad Zeit einfach 5 Minuten In der nachstehenden Graphik sind zwei Indifferenzkurven eines Haushalts sowie drei Güterbündel ( 𝐴𝐴, 𝐵𝐵, 𝐶𝐶 ) dargestellt. Vergleichen Sie diese Güterbündel paarweise und stellen sie bei allen möglichen Paaren dieser Güterbündel fest, ob der Haushalt zwischen ihnen indifferent ist, oder eines der beiden Güterbündel vorzieht. <?page no="19"?> Haushaltstheorie 19 Abb. 2 Aufgabe 2.1.7 Schwierigkeitsgrad Zeit mittel 25 Minuten Gegeben sei ein Haushalt mit einer bestimmten Nutzenfunktion. a) Die Güter seien imperfekte Substitute. Können sich die Indifferenzkurven dieses Haushalts schneiden? Begründen Sie Ihre Aussage anhand einer geeigneten Graphik. b) Lösen Sie die Fragestellung aus Aufgabenteil a) für den Fall, dass die Güter perfekte Substitute sind. Das sollten Sie wissen | Rund um Lage und Verlauf von Indifferenzkurven Auf einer Indifferenzkurve liegen alle Güterbündel, die für den Haushalt den gleichen Nutzen erzeugen. Jede Indifferenzkurve steht für ein bestimmtes Nutzenniveau, das anders ist als auf allen anderen Indifferenzkurven. Aus diesem Grund können sich Indifferenzkurven nicht schneiden, weil der Nutzen zweier Kurven nicht gleich sein kann. Indifferenzkurven haben bei normalen Gütern keine Abschnitte mit positiver Steigung, da sie eine Trade-off-Beziehung darstellen. Bei Substituten gilt: Mehr von einem Gut würde den Nutzen erhöhen, daher muss die Zunahme des einen Gutes durch die Abnahme des anderen Gutes kompensiert werden, um den Nutzen konstant zu halten. Bei einer positiven Steigung würde aber mehr von beiden Gütern konsumiert werden, was immer eine Nutzenerhöhung zur Folge hätte. Auch bei dem Sonderfall perfekter Komplemente können die Indifferenzkurven keine Abschnitte mit positiver Steigung aufweisen. Steigt nämlich die Menge beider Güter, steigt auch der Nutzen. Damit erreicht der Haushalt eine andere Indifferenzkurve. A B C x 1 x 2 <?page no="20"?> 20 Mikroökonomie · 77 Aufgaben Je weiter eine Indifferenzkurve vom Nullpunkt entfernt ist, desto höher ist der ihr zugeordnete Nutzen, da alle auf ihr liegenden Güterbündel von einem oder von beiden Gütern mehr beinhalten als tiefer liegende Indifferenzkurven. Hinweis zur Darstellung von Indifferenzkurven Um die Darstellung zu vereinheitlichen, wird in diesem Buch bei Indifferenzkurven, soweit keine konkreten Güter angegeben sind, die Menge des Gutes 2 immer auf der Ordinate abgebildet. Daher wird die Gleichung einer Indifferenzkurve als Funktion der Form 𝑥𝑥 2 (𝑥𝑥 1 ) dargestellt. Aufgabe 2.1.8 Schwierigkeitsgrad Zeit einfach 10 Minuten Die nachfolgenden Graphiken zeigen unterschiedliche Formen von Indifferenzkurven eines Haushalts. Überprüfen Sie, inwiefern die nachstehenden Aussagen auf die einzelnen Graphiken zutreffen. Abb. 3 Geben Sie in der Lösungstabelle in jedem Feld alle Graphiken an, auf die eine oder mehrere der folgenden Aussagen zutreffen. a) b) c) d) e) passende Graphik(en) Tab. 1 x 1 x 2 x 2 x 2 A B C x 1 x 1 <?page no="21"?> Haushaltstheorie 21 a) Substitution ist bei der zugrunde liegenden Nutzenfunktion des betrachteten Haushalts ausgeschlossen. b) Bereits eine kleine Preiserhöhung eines der Güter kann ceteris paribus (c.p.) dazu führen, dass dessen nachgefragte Menge auf null sinkt. c) Eine Reduktion der Menge eines Gutes bei Konstanz der Menge des anderen Gutes führt nicht zwangsläufig zu einer Nutzensenkung. d) Betrachtet werden imperfekte Substitute. e) Der Haushalt will in jedem Fall beide Güter konsumieren. Fehler, die Sie vermeiden sollten | Verwechseln Sie nicht Grenznutzen und Grenzrate der Substitution! Der Nutzen wird in den meisten Modellen als eine Funktion von zwei Gütern dargestellt: 𝑈𝑈(𝑥𝑥 1 , 𝑥𝑥 2 ) . Diese dreidimensionale Funktion lässt sich nur schwer graphisch darstellen. Setzt man aber eine der drei Variablen - Nutzen ( 𝑈𝑈 ), Menge des Gutes 1 ( 𝑥𝑥 1 ) oder Menge des Gutes 2 (𝑥𝑥 2 ) - konstant und variiert nur die beiden anderen Merkmale, erhält man zweidimensionale Zusammenhänge. Dieses Konzept wird sowohl bei den Grenznutzen als auch bei der Grenzrate der Substitution angewendet. Für die Berechnung des Grenznutzens eines Gutes hält man die Menge des anderen Gutes konstant und untersucht, wie sich die Änderung der Menge des betrachteten Gutes auf den Nutzen auswirkt. Der Grenznutzen von Gut 1 gibt somit an, wie sich der Nutzen ändert, wenn sich der Konsum von Gut 1 um eine marginale Einheit erhöht und gleichzeitig der Konsum von Gut 2 unverändert bleibt (das gilt analog für eine Verringerung des Konsums von Gut 1). Isst Sandra z.B. sowohl Äpfel als auch Bananen gern, würde ihre Nutzenfunktion positiv von diesen beiden Gütern abhängen. Der Grenznutzen von Äpfeln könnte dann folgendermaßen beschrieben werden: „Wie verändert sich Sandras Nutzen, wenn sie bei gleichem Konsum von Bananen einen Apfel mehr isst? “ Äquivalent wäre: „Wie hat sich Sandras Nutzen durch den letzten Apfel, den sie gegessen hat, verändert? “ Berechnet wird der Grenznutzen als erste partielle Ableitung der Nutzenfunktion nach der Menge des Gutes, dessen Grenznutzen ermittelt werden soll. Zur Ermittlung der Grenzrate der Substitution wird dagegen der Nutzen konstant gehalten. Die Grenzrate der Substitution ist die Steigung der Indifferenzkurve. Hier handelt es sich um eine Trade-off Beziehung. Wenn mehr von Gut 𝑥𝑥 1 konsumiert wird, bleibt der Nutzen nur konstant, wenn gleichzeitig weniger von Gut 𝑥𝑥 2 konsumiert wird. Hier werden die Grenznutzen der beiden Güter gegeneinander aufgewogen. Die Grenzrate der Substitution ist folglich das Verhältnis der Grenznutzen beider Güter (𝑈𝑈 𝑥𝑥 𝑖𝑖 , 𝑖𝑖 = 1,2) : 𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺 = 𝑈𝑈 𝑥𝑥 1 𝑈𝑈 𝑥𝑥 2 <?page no="22"?> 22 Mikroökonomie · 77 Aufgaben Somit sagt eine Grenzrate der Substitution von minus zwei beispielsweise aus, dass eine zusätzliche Einheit von Gut 𝑥𝑥 1 den Nutzen doppelt so stark erhöht wie eine zusätzliche Einheit von Gut 𝑥𝑥 2 . Der Konsument müsste also für den Verzicht auf eine Einheit von Gut 𝑥𝑥 1 ( 𝑑𝑑𝑥𝑥 1 = −1 ) mit zwei Einheiten von Gut 𝑥𝑥 2 ( 𝑑𝑑𝑥𝑥 2 = 2 ) entschädigt werden. Dann bliebe sein Nutzen gleich. 2.2 Budgetgerade Das sollten Sie wissen | Mathematische Grundlagen: Umformung und Interpretation linearer Gleichungen Werden zwei Güter in den Mengen 𝑥𝑥 1 und 𝑥𝑥 2 konsumiert, gibt die Budgetgerade an, wieviel sich ein Haushalt bei gegebenen Preisen der Güter (𝑝𝑝 1 , 𝑝𝑝 2 ) und gegebenem Einkommen 𝑦𝑦 leisten kann, wenn er sein Einkommen vollständig zu Konsumzwecken verwendet: 𝑦𝑦 = 𝑝𝑝 1 𝑥𝑥 1 + 𝑝𝑝 2 𝑥𝑥 2 Um die Darstellung zu vereinheitlichen, wird bei der Budgetgeraden, soweit keine konkreten Güter angegeben sind, in den Aufgaben und Lösungen die Menge des Gutes 2 immer auf der Ordinate abgebildet. Daher wird die Gleichung der Budgetgerade als Funktion der Form 𝑥𝑥 2 (𝑥𝑥 1 ) dargestellt. Dies entspricht der Vorgehensweise bei den Indifferenzkurven. Auflösen nach 𝑥𝑥 2 ergibt: 𝑥𝑥 2 = 𝑦𝑦 𝑝𝑝 2 − 𝑝𝑝 1 𝑝𝑝 2 𝑥𝑥 1 Diese Funktion ist linear. Dabei gibt der Achsenabschnitt 𝑑𝑑 𝑝𝑝 2 an, wieviel von Gut 2 sich der Haushalt leisten kann, wenn er sein Einkommen vollständig ausschöpft und nur Gut 2 konsumiert. Die Steigung − 𝑝𝑝 1 𝑝𝑝 2 dagegen gibt an, wie der Haushalt die Güter gegeneinander am Markt tauschen kann. Dies ergibt sich aus der (für ein Koordinatensystem mit 𝑥𝑥 an der Abszisse und 𝑦𝑦 an der Ordinate bekannten) Grundform linearer Gleichungen 𝑦𝑦 = 𝑚𝑚𝑥𝑥 + 𝑏𝑏 , wobei 𝑚𝑚 die Steigung und 𝑏𝑏 den Ordinatenabschnitt bezeichnet. <?page no="23"?> Haushaltstheorie 23 Aufgabe 2.2.1 Schwierigkeitsgrad Zeit einfach 5 Minuten Gegeben ist die Budgetgerade eines nutzenmaximierenden Teilzeit-Studierenden, der nur die Güter Kleidung und Bücher konsumiert. Sein Einkommen sei sein Arbeitsentgelt. Betrachten Sie die folgenden möglichen Verlagerungen der Budgetgeraden (der Pfeil zeigt jeweils auf die neue Gerade). Geben Sie für alle Fälle 𝐴𝐴 , 𝐵𝐵 und 𝐶𝐶 an, durch welche der unten genannten exogenen Veränderungen diese zustande gekommen sein können. Abb. 4 a) Eine Preissteigerung für Kleidung. b) Einführung eines Zuschusses für Bücher (Annahme: Die Nachfrage ist normal geneigt). c) Eine Erhöhung der Einkommensteuer. d) Eine Steigerung aller Preise um den gleichen Prozentsatz aufgrund einer Erhöhung der Mehrwertsteuer. Aufgabe 2.2.2 Schwierigkeitsgrad Zeit mittel 25 Minuten Heike hat für ihre beiden Lieblingssportarten Schwimmen ( 𝑥𝑥 1 ) und Eislaufen ( 𝑥𝑥 2 ) ein monatliches Budget in Höhe von 40 Euro. Ein Besuch im Schwimmbad kostet 4 Euro, ein Besuch in der Eissporthalle 8 Euro. a) Geben Sie rechnerisch und graphisch alle Konsummöglichkeiten von 𝑥𝑥 1 und 𝑥𝑥 2 an. b) Interpretieren Sie die Steigung der Budgetgeraden. Kleidung Bücher Bücher Bücher A B C Kleidung Kleidung <?page no="24"?> 24 Mikroökonomie · 77 Aufgaben c) Heike möchte auf jeden Fall einmal in der Woche Schwimmen, also viermal pro Monat. Wie oft kann sie dann pro Monat maximal in die Eissporthalle? Zeichnen Sie den Punkt auf der Budgetgeraden ein. d) Heikes Oma freut sich über ihre sportliche Enkelin und erhöht ihr Freizeitbudget auf 60 Euro. Zeichnen Sie die Veränderung in das Diagramm ein und berechnen Sie die neue Budgetgerade. e) Aufgrund des Klimawandels erhöht sich der Preis für einen Besuch in der Eissporthalle auf 10 Euro. Wie ändert sich die Budgetgerade, wenn das Budget 40 Euro beträgt? Zeigen Sie die Veränderung graphisch. Aufgabe 2.2.3 Schwierigkeitsgrad Zeit schwer 15 Minuten Gehen Sie von der Ausgangssituation der Aufgabe 2.2.2 aus. Nun plant die Schwimmbadverwaltung einen neuen Tarif: Bei einer monatlichen fixen Gebühr von 8 Euro, liegt der Preis für jeden Schwimmbadbesuch bei 2 Euro. Gehen Sie davon aus, dass Heike auf jeden Fall ins Schwimmbad gehen möchte. a) Bestimmen Sie auch diese Budgetgerade und stellen Sie diese graphisch dar. b) Stellen Sie fest, ab welcher Anzahl von monatlichen Schwimmbadbesuchen diese Lösung für Heike attraktiver ist als diejenige in Aufgabe 2.2.2. Bestimmen Sie dazu zunächst im Vergleich der beiden Tarife die Menge von 𝑥𝑥 1 , bei der Heike indifferent zwischen den Tarifen ist. Ermitteln Sie dies sowohl graphisch als auch rechnerisch. 2.3 Nutzenmaximierung Aufgabe 2.3.1 Schwierigkeitsgrad Zeit einfach 10 Minuten Betrachtet wird ein nutzenmaximierender Haushalt, dessen Konsumentscheidung in nachstehender Graphik dargestellt ist. <?page no="25"?> Haushaltstheorie 25 Abb. 5 Die Großbuchstaben geben die mit Punkten bezeichneten Güterbündel an. a) Welche(s) Güterbündel der angegebenen Güterbündel wird der Konsument in obenstehender Graphik wählen? Geben Sie den (die) entsprechenden Buchstaben an. b) Kann der Haushalt aufgrund exogener Änderungen 𝐼𝐼 3 erreichen, wenn b1) der Preis des Gutes 1 sinkt? b2) der Preis des Gutes 2 steigt? Begründen Sie Ihre Antwort. c) Sind ceteris paribus (c.p.) andere exogene Veränderungen denkbar, die dem Haushalt ermöglichen 𝐼𝐼 3 zu realisieren? Falls ja, nennen Sie eine solche Veränderung und geben Sie an, was sich in der vorgegebenen Graphik ändert. Aufgabe 2.3.2 Schwierigkeitsgrad Zeit mittel 15 Minuten Eine Studentin ist eine Leseratte und liest alle gekauften Bücher sofort. Sie mag Krimis 𝐾𝐾 und Sachbücher 𝐺𝐺 . Ihre Nutzenfunktion lautet: 𝑈𝑈(𝐾𝐾, 𝐺𝐺) = 60𝐾𝐾 0,4 𝐺𝐺 0,8 . Ein Krimi kostet 5 Euro und ein Sachbuch 20 Euro. a) Berechnen Sie die Grenzrate der Substitution. b) Berechnen Sie, in welchem Verhältnis 𝐾𝐾/ 𝐺𝐺 die Studentin die Bücher erwerben wird? c) Nehmen Sie an, dass die Studentin 120 Euro für den Kauf von Büchern zur Verfügung hat. Wie viele Krimis und wie viele Sachbücher wird sie kaufen, um ihren Nutzen zu maximieren? x 1 x 2 A B C E I 1 I 2 I 3 D <?page no="26"?> 26 Mikroökonomie · 77 Aufgaben Aufgabe 2.3.3 Schwierigkeitsgrad Zeit mittel 10 Minuten Elsa arbeitet 10 Stunden am Tag und erhält einen Stundenlohn in Höhe von 10 Euro. Ihr Einkommen gibt sie immer sofort für Konsum aus, pro Tag benötigt sie mindestens 12 Stunden Freizeit. In nachstehendem Diagramm ist eine ihrer Indifferenzkurven eingezeichnet. Abb. 6 a) Zeichnen Sie Elsas Budgetgerade in das Diagramm und tragen Sie ihren derzeitigen Konsumpunkt ein. b) Arbeitet Elsa in Ihrem Nutzenmaximum? Begründen Sie Ihre Antwort! Wenn Elsa ihre Arbeitszeit frei wählen könnte, würde sie lieber länger oder kürzer arbeiten? Aufgabe 2.3.4 Schwierigkeitsgrad Zeit schwer 20 Minuten Ein Haushalt konsumiert ein nur aus den Gütern Kleidung und Urlaub bestehendes Güterbündel. Bei diesem Güterbündel sei der Grenznutzen für Kleidung 15, der Grenznutzen für Urlaub 80. Der Preis für Urlaub ist 8 Geldeinheiten, der für Kleidung 7,50 Geldeinheiten. Gehen Sie davon aus, dass der Haushalt sein gesamtes Einkommen zu Konsumzwecken verwendet. a) Überprüfen Sie, ob sich der Haushalt in seinem Nutzenmaximum befindet oder ob es möglich ist durch Umschichtung des Güterbündels seinen Nutzen zu steigern. Falls ja, auf welche Weise kann dies erfolgen? Freizeit pro Tag 120 100 80 60 40 20 0 14 16 18 20 22 24 Konsum in € 12 Indifferenzkurve <?page no="27"?> Haushaltstheorie 27 b) Zeigen Sie anhand einer geeigneten Graphik, in welchem Bereich das in der Ausgangssituation konsumierte Güterbündel liegen wird. Aufgabe 2.3.5 Schwierigkeitsgrad Zeit schwer 25 Minuten Thorsten, ein nutzenmaximierender Student der BWL, will sich nach einer Klausur eine Woche lang seine Abende mit Wein verfeinern. Der Literpreis von Rotwein sei 𝑝𝑝 𝑅𝑅 = 6 Euro, derjenige von Weißwein sei 𝑝𝑝 𝑊𝑊 = 4 Euro. Das für Wein verfügbare Budget des Studenten sei für die besagte Woche 120 Euro. Nehmen Sie an, er habe die folgende Nutzenfunktion 𝑈𝑈(𝑥𝑥 𝑅𝑅 , 𝑥𝑥 𝑊𝑊 ) = 4𝑥𝑥 𝑅𝑅 + 2𝑥𝑥 𝑊𝑊 . Dabei steht 𝑥𝑥 𝑅𝑅 für die konsumierte Menge Rotwein und 𝑥𝑥 𝑊𝑊 für die konsumierte Menge Weißwein. a) Bestimmen Sie die Gleichung der Indifferenzkurve. b) Definieren Sie die Grenzrate der Substitution und bestimmen Sie diese in Thorstens Haushaltsoptimum. c) Zeigen Sie in einer Skizze, welches Güterbündel Thorsten wählt. d) Welches Nutzenniveau wird Thorsten realisieren? e) Wie wird sich sein Konsumplan verändern, wenn der Preis je Liter für Weißwein auf 6 Euro; wie, wenn er auf 8 Euro steigt? 2.4 Einkommens- und Substitutionseffekt Das sollten Sie wissen | Einkommens- und Substitutionseffekt Einkommens- und der Substitutionseffekt beschreiben die kombinierte Reaktion der Konsumgütermengen auf Änderungen der relativen Preise. In den hier verwendeten Modellen wird immer davon ausgegangen, dass ein bestimmter Konsument - nennen wir ihn Paul - sein gesamtes Budget für nur zwei (aus seiner Sicht normale und unvollständig substituierbare) Güter ausgibt, z.B. für Milch und Äpfel. Seine Nutzenmaximierung führt bei gegebenem Budget zum optimalen Güterbündel aus den Konsummengen der beiden Güter. Was passiert aber mit den optimalen Konsumgütermengen, wenn sich der relative Preis der beiden Güter ändert? Angenommen Milch wird teurer. Dies hat Auswirkungen auf die Budgetgerade: Sie dreht sich nach innen. <?page no="28"?> 28 Mikroökonomie · 77 Aufgaben Dadurch haben sich zwei Dinge bezüglich der Konsumentscheidung geändert: [1] Die Steigung der Budgetgeraden hat sich geändert. Sie ist flacher geworden, da Milch nun im Vergleich zu Äpfeln teurer geworden ist. Wie wird Paul auf diese Änderung reagieren? Es ist anzunehmen, dass er weniger von dem nun vergleichsweise teureren Gut und mehr von dem vergleichsweise günstigeren Gut kaufen wird. Er substituiert Äpfel für Milch, kauft also weniger Milch und dafür mehr Äpfel. Diese Reaktion nennt man den Substitutionseffekt. [2] Ein Blick auf das Diagramm zeigt aber auch, dass die gedrehte Budgetgerade mit Ausnahme des Drehpunkts weiter innen liegt als zuvor. Paul kann sich die Güterbündel auf der alten Budgetgeraden nicht mehr leisten, da jedes Güterbündel, das auch Milch enthält, nun mehr kostet als zuvor. Da sein Budget gleichgeblieben ist, hat offensichtlich seine Kaufkraft, also sein reales Budget abgenommen. Wie reagiert Paul auf weniger (reales) Einkommen? Er kauft weniger von allen Gütern ein, konsumiert also weniger Milch und weniger Äpfel. Diese Reaktion wird als Einkommenseffekt bezeichnet. Zu beachten ist, dass die Drehung der Budgetgerade beide Effekte beinhaltet, sie treten also gleichzeitig auf. Für Milch ist das Ergebnis für die Konsumentscheidung eindeutig: Substitutions- und Einkommenseffekt sagen beide, dass Paul weniger Milch konsumieren wird, wenn Milch im Vergleich zu Äpfeln teurer wird. Anders ist es mit dem Effekt auf den Konsum von Äpfeln: Hier wirken beide Effekte gleichzeitig und gegensätzlich. Wie Paul reagieren wird, hängt davon ab, welcher der beiden Effekte stärker ist. Was bestimmt die Stärke von Einkommens- und Substitutionseffekt zueinander? Das hängt von Pauls persönlichen Präferenzen und somit von der individuell empfundenen Wichtigkeit beider Güter ab. Bei unvollkommenen Substituten kann man ohne nähere Kenntnis der Präferenzen keine Aussage bezüglich der Konsumänderung von Äpfeln machen. Äpfel Milch Budgetgerade Abb. 7 <?page no="29"?> Haushaltstheorie 29 Aufgabe 2.4.1 Schwierigkeitsgrad Zeit einfach 5 Minuten Ein Student konsumiert die Güter Chips und Kaffee. Beide sind aus seiner Sicht normale Güter. Nun fällt der Preis für Chips. Tragen Sie in die Tabelle die Richtung der angegebenen Effekte auf die jeweiligen Konsumgütermengen ein. Effekt Lösung Einkommenseffekt für Kaffee Einkommenseffekt für Chips Substitutionseffekt für Kaffee Substitutionseffekt für Chips Gesamteffekt für Kaffee Gesamteffekt für Chips Tab. 2 Aufgabe 2.4.2 Schwierigkeitsgrad Zeit schwer 10 Minuten Ein Student konsumiert die Güter Zwieback und Kaffee, wobei Zwieback für ihn ein inferiores Gut darstellt. Nun steigt der Preis für Zwieback. Geben Sie gemäß obigem Schema den Einkommens- und Substitutionseffekt für Kaffee und Zwieback an. <?page no="30"?> 30 Mikroökonomie · 77 Aufgaben Aufgabe 2.4.3 Schwierigkeitsgrad Zeit einfach 5 Minuten Für einen Studenten sind Kaffee und Nussecken komplementäre Güter, die er nur in einem festen Verhältnis konsumieren will (perfekte Komplemente). Nun steigt der Preis für Nussecken. Wie verändern sich seine Konsummengen für Nussecken und Kaffee? Aufgabe 2.4.4 Schwierigkeitsgrad Zeit mittel 10 Minuten Gertrud isst gerne Brezeln und Kuchen, beides sind für sie normale Güter. Sie hat ein gegebenes Budget für beide Güter und konsumiert in ihrem optimalen Konsumpunkt. Nun steigt der Preis für Brezeln. Gertrud kauft daher weniger Brezeln und mehr Kuchen. a) Welche beiden Effekte wirken? b) Welcher Effekt überwiegt bezüglich der Entscheidung für Kuchen? <?page no="31"?> Lösungen zu Kapitel 2: Haushaltstheorie Lösung zu Aufgabe 2.1.1 a) Allgemeines Vorgehen: Verglichen werden zwei Güterbündel 𝑋𝑋 0 = (𝑥𝑥 10 , 𝑥𝑥 20 ) und 𝑋𝑋 1 = (𝑥𝑥 11 , 𝑥𝑥 21 ) , in denen die gleichen Güterarten enthalten sind. Die Annahme der Nichtsättigung besagt: Ein Güterbündel 𝑋𝑋 0 , in dem von mindestens einem Gut mehr und von keinem Gut weniger enthalten ist als in einem Vergleichsgüterbündel 𝑋𝑋 1 , wird höher geschätzt als 𝑋𝑋 1 . Anwendung in der Aufgabenstellung: In 𝑋𝑋 0 ist von Gut 1 mehr ( 2 > 1 ) enthalten, von Gut 2 jedoch weniger ( 5 < 6 ). Somit ist Annahme der Nichtsättigung nicht anwendbar, die Güterbündel können auf diese Weise nicht angeordnet werden. Hierzu wären Informationen über die Präferenzen des betrachteten Haushalts erforderlich. b) Das Güterbündel 𝐵𝐵 ist allen anderen Güterbündeln vorzuziehen, da es von beiden Gütern mehr als alle anderen Güterbündel enthält. Aus dem gleichen Grund ist auch Güterbündel 𝐶𝐶 dem Güterbündel 𝐷𝐷 vorzuziehen. Das Güterbündel 𝐴𝐴 ist dem Güterbündel 𝐷𝐷 vorzuziehen, da es zwar genauso viele Einheiten von Gut 1 beinhaltet, aber mehr Einheiten von Gut 2. Leider kann keine Aussage darüber getroffen werden, ob der Konsument Güterbündel 𝐴𝐴 oder Güterbündel 𝐶𝐶 vorziehen würde. Güterbündel 𝐴𝐴 enthält zwar mehr von Gut 2 als Güterbündel 𝐶𝐶 , dafür aber weniger von Gut 1. Hier besteht ein Trade-off zwischen beiden Gütern. Das Gleiche gilt für den Vergleich der Konsumgüterbündel 𝐵𝐵 und 𝐶𝐶 . Um eine Aussage über die Reihenfolge treffen zu können, müssten die genauen Präferenzen des Konsumenten bekannt sein. Lösung zu Aufgabe 2.1.2 Die Annahme der Transitivität einer Präferenzordnung besagt: Wenn gilt 𝐴𝐴 ≻ 𝐵𝐵 und 𝐵𝐵 ≻ 𝐶𝐶 , dann gilt 𝐴𝐴 ≻ 𝐶𝐶 . Somit wird Max das Güterbündel 𝐴𝐴 gegenüber 𝐶𝐶 vorziehen, falls seine Präferenzen transitiv sind. <?page no="32"?> 32 Mikroökonomie · 77 Aufgaben Lösung zu Aufgabe 2.1.3 Weil die Studentin Pralinen mag, steigt ihr Nutzen mit jeder zusätzlichen Praline, die sie isst. Ihr Grenznutzen ist also positiv. Allerdings wird der Nutzenzuwachs mit jeder zusätzlichen Praline geringer: Beispielsweise erhöht sich ihr Nutzen bei der ersten Praline stärker als bei der zweiten. Ihr Grenznutzen ist daher abnehmend. Lösung zu Aufgabe 2.1.4 a) Eine Indifferenzkurve ist eine Kurve gleichen Nutzens, d.h. sie verbindet alle Güterbündel, die für den betrachteten Haushalt den gleichen Nutzen erzeugen. Der Nutzen ist somit auf einer gegebenen Indifferenzkurve konstant. b) Einsetzen der Mengen in die Nutzenfunktion ergibt: 𝐺𝐺 1 : 𝑈𝑈(𝐺𝐺 1 ) = 4 0,5 ∙ 1 0,5 = 2 𝐺𝐺 2 : 𝑈𝑈(𝐺𝐺 2 ) = 2 0,5 ∙ 2 0,5 = 2 Beide Güterbündel liegen auf der gleichen Indifferenzkurve, da beide den gleichen Nutzen ( 𝑈𝑈 = 2 ) erzeugen. Lösung zu Aufgabe 2.1.5 Die Grenzrate der Substitution ist die Steigung der Indifferenzkurve. Auf einer Indifferenzkurve wiederum sind alle Güterbündel, die für den betrachteten Haushalt den gleichen Nutzen haben. Damit ist der Nutzen 𝑈𝑈 konstant, die Gütermengen dagegen sind flexibel. Hier sei angenommen, dass 𝐶𝐶 an der Ordinate und 𝑀𝑀 an der Abszisse stehen. Daher wird die Nutzenfunktion nach 𝐶𝐶 aufgelöst, wobei 𝑈𝑈 konstant gesetzt wird: 𝑈𝑈� = 𝑀𝑀 0,5 𝐶𝐶 0,5 𝐶𝐶 0,5 = 𝑈𝑈�𝑀𝑀 −0,5 Quadrieren ergibt die Gleichung der Indifferenzkurve: 𝐶𝐶 = 𝑈𝑈� 2 𝑀𝑀 −1 Die Grenzrate der Substitution ergibt sich aus der Ableitung: 𝑑𝑑𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑀𝑀 = −𝑈𝑈� 2 𝑀𝑀 −2 Bei dem gegebenen Güterbündel ist 𝑀𝑀 bekannt und 𝑈𝑈 lässt sich bestimmen: 𝑈𝑈(𝑀𝑀 = 4, 𝐶𝐶 = 1) = 2 <?page no="33"?> Lösungen zu Kapitel 2: Haushaltstheorie 33 Somit gilt: 𝑑𝑑𝐶𝐶 𝑑𝑑𝑀𝑀 = −𝑈𝑈� 2 𝑀𝑀 −2 = −2 2 ∙ 4 −2 = − 4 16 = − 14 Das bedeutet, der Haushalt ist bereit, auf eine Einheit Milch zu verzichten ( 𝑑𝑑𝑀𝑀 = −1 ), falls er 0,25 zusätzliche Einheiten Cornflakes ( 𝑑𝑑𝐶𝐶 = 1/ 4 ) erhält. Man kann es auch umgekehrt interpretieren: Für eine weitere Einheit Cornflakes würde der Haushalt auf vier Einheiten Milch verzichten. Wenn Sie die Grenzrate der Substitution ( 𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺 ) in der Form 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 berechnen, ergibt sich eine 𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺 von −4 , die in gleicher Weise zu interpretieren ist. Lösung zu Aufgabe 2.1.6 Der Nutzen von 𝐴𝐴 und 𝐵𝐵 ist gleich hoch, da sie auf derselben Indifferenzkurve liegen. Der Nutzen in 𝐶𝐶 ist höher als in 𝐴𝐴 bzw. 𝐵𝐵 . In 𝐶𝐶 ist sowohl mehr von Gut 1 als auch von Gut 2 enthalten, daher ist nach der Annahme der Nichtsättigung der Nutzen in 𝐶𝐶 höher. Da 𝐵𝐵 den gleichen Nutzen erzielt wie 𝐴𝐴 , ist der Nutzen in 𝐶𝐶 höher als der in 𝐵𝐵 . Lösung zu Aufgabe 2.1.7 a) Abb. 8 Im Bereich zwischen 𝑥𝑥 1 = 0 und 𝑥𝑥 1 = 𝑥𝑥 11 gilt, bei gegebener Menge von 𝑥𝑥 1 ist die Menge von 𝑥𝑥 2 auf der blauen Indifferenzkurve höher als auf der roten. Nach der Annahme der Nichtsättigung muss daher der Nutzen auf der blauen Indifferenzkurve höher sein als auf der roten. x 10 x 11 x 12 x 22 x 20 x 20 x 22 x 21 x 2 x 1 <?page no="34"?> 34 Mikroökonomie · 77 Aufgaben Beispiel: Im Güterbündel ( 𝑥𝑥 10 , 𝑥𝑥 20 ) muss der Nutzen höher sein als im Güterbündel ( 𝑥𝑥 10 , 𝑥𝑥 20 ), da gleichviel von Gut 1, aber mehr von Gut 2 enthalten ist (vgl. Annahme der Nichtsättigung). Bei größeren Mengen von Gut 1 ( 𝑥𝑥 1 > 𝑥𝑥 11 ) ist die Menge von Gut 2 auf der blauen Indifferenzkurve kleiner als diejenige auf der roten. Bsp.: Güterbündel ( 𝑥𝑥 12 , 𝑥𝑥 22 ) und Güterbündel ( 𝑥𝑥 12 , 𝑥𝑥 22 ). Dies würde implizieren, dass der Nutzen auf der blauen Indifferenzkurve niedriger ist als auf der roten. Das ist ein Widerspruch zu oben, da die blaue Indifferenzkurve nicht in einem Bereich einen höheren, in einem anderen aber einen niedrigeren Nutzen darstellen kann als eine beliebige andere Indifferenzkurve. b) Hier gilt die gleiche Antwort wie in Aufgabenteil a). Der entscheidende Unterschied zu imperfekten Substituten (und der Lösung in Aufgabenteil a)) besteht darin, dass bei perfekten Substituten die Indifferenzkurven linear fallend verlaufen. Auch diese können sich nicht schneiden. Dies ist in gleicher Weise begründet wie im Falle imperfekter Substitute, wie in nachfolgender Graphik gezeigt wird. Alle relevanten Punkte entsprechen genau der Argumentation in a). Abb. 9 Lösung zu Aufgabe 2.1.8 In den Abbildungen sind die Güter A: imperfekte Substitute B: perfekte Substitute C: perfekte Komplemente x 2 x 1 x 10 x 11 x 12 x 22 x 20 x 20 x 22 x 21 <?page no="35"?> Lösungen zu Kapitel 2: Haushaltstheorie 35 a) b) c) d) e) passende Graphik(en) C B C A A, C Tab. 3 Lösung zu Aufgabe 2.2.1 A B C a) c), d) b) Tab. 4 Lösung zu Aufgabe 2.2.2 a) Hier wird nach der Budgetgeraden gefragt. Rechnerisch kann sie so dargestellt werden, dass die Summe aller Ausgaben für Schwimmen und Eislaufen genau dem dafür zur Verfügung stehenden Budget entspricht: 40 = 4𝑥𝑥 1 + 8𝑥𝑥 2 Durch Auflösen nach 𝑥𝑥 2 kann die Gleichung so umgeformt werden, dass für die Graphik der Achsenabschnitt 𝑥𝑥 2 und die Steigung direkt abgelesen werden können: 𝑥𝑥 2 = 5 − 12 𝑥𝑥 1 Abb. 10 b) Die Steigung der Budgetgeraden gibt den relativen Preis des Schwimmens an: 𝑝𝑝 1 𝑝𝑝 2 = 12 . Man kann an der Steigung der Budgetgeraden erkennen, dass ein Besuch des 53 4 10 A x 1 x 2 <?page no="36"?> 36 Mikroökonomie · 77 Aufgaben Schwimmbades halb so teuer ist wie ein Besuch der Eissporthalle. Dies ist das Austauschverhältnis am Markt und gibt die Opportunitätskosten an. c) Vier Schwimmbadbesuche sind gegeben, es gilt also 𝑥𝑥 1 = 4. Dieser Wert kann in die Budgetgerade eingesetzt werden, um den Wert für die Anzahl der Besuche in der Eissporthalle ( 𝑥𝑥 2 ) zu erhalten: 𝑥𝑥 2 = 5 − 12 ∙ 4 = 3 . Dies ist der Punkt A in obenstehender Abbildung. d) Das Geschenk der Oma erhöht Heikes Budget: 𝑦𝑦 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑢𝑢 = 60 . Die neue Budgetgerade lautet: 60 = 4𝑥𝑥 1 + 8𝑥𝑥 2 bzw. aufgelöst nach 𝑥𝑥 2 : 𝑥𝑥 2 = 7,5 − 12 𝑥𝑥 1 Durch das neue Budget entsteht eine Parallelverschiebung der Budgetgeraden nach außen. Abb. 11 e) Der Eintritt in die Eissporthalle verteuert sich, es gilt der neue Preis 𝑝𝑝 2𝑛𝑛𝑛𝑛𝑢𝑢 = 10 . Dadurch ändert sich die Budgetgerade zu: 40 = 4𝑥𝑥 1 + 10𝑥𝑥 2 bzw. aufgelöst nach 𝑥𝑥 2 : 𝑥𝑥 2 = 4 − 25 𝑥𝑥 1 . Die Budgetgerade wird flacher und der Ordinatenabschnitt ändert sich zu 4. Wenn Heike komplett auf Schwimmen verzichten würde, kann sie sich statt fünf nur noch vier Besuche in der Eissporthalle leisten. Würde sie aber gar nicht in die Eissporthalle gehen, ändert sich für sie nichts, es sind weiterhin zehn Schwimmbadbesuche möglich. Abb. 12 5 10 d) x 1 x 2 15 7,5 54 10 e) x 1 x 2 <?page no="37"?> Lösungen zu Kapitel 2: Haushaltstheorie 37 Lösung zu Aufgabe 2.2.3 a) Bei dem neuen Tarif ist ein von der Menge unabhängiges Fixum in Höhe von 8 Euro zu entrichten und darüber hinaus ein Preis von 2 Euro für jeden Besuch. Die Budgetgerade lautet dann: 40 = 8 + 2𝑥𝑥 1 + 8𝑥𝑥 2 Umformen nach 𝑥𝑥 2 ergibt 𝑥𝑥 2 = 4 − 14 𝑥𝑥 1 Abb. 13 b) Die gleichen Mengen konsumiert Heike im Schnittpunkt der Budgetgeraden, in diesem Punkt sind beide Tarife somit für sie gleich zu bewerten. Berechnung des Schnittpunkts der Budgetgeraden: 5 − 12 𝑥𝑥 1 = 4 − 14 𝑥𝑥 1 | − 4 und + 12 𝑥𝑥 1 1 = 14 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 1 = 4 Wenn Heike öfter als viermal im Monat schwimmen gehen will, ist der neue Tarif für sie vorteilhaft. 4 16 5 10 4 Budgetgerade 2.2.2 Budgetgerade 2.2.3x 1 x 2 <?page no="38"?> 38 Mikroökonomie · 77 Aufgaben Lösung zu Aufgabe 2.3.1 a) 𝐶𝐶 . In 𝐶𝐶 erreicht der Haushalt, gegeben sein Einkommen und gegeben die Güterpreise, die höchstmögliche Indifferenzkurve und damit den höchsten realisierbaren Nutzen. b) b1) Ja. Durch die Senkung des Preises von Gut 1 kann sich der Haushalt mehr leisten. In der Graphik dreht sich die Budgetgerade im Ordinatenabschnitt nach rechts, so dass bei ausreichender Preissenkung ein Tangentialpunkt mit 𝐼𝐼 3 erreicht werden kann, wie die nachstehende Graphik zeigt. Abb. 14 b2) Nein. In diesem Fall reicht sein Einkommen aufgrund der Preissteigerung von Gut 2 nicht mehr aus, um das bisher optimale Güterbündel 𝐶𝐶 zu realisieren. Die Budgetgerade dreht sich durch die Preiserhöhung von Gut 2 im Abszissenabschnitt nach links. Es ist nicht einmal mehr 𝐼𝐼 2 erreichbar. c) Auch durch eine Einkommenserhöhung wäre 𝐼𝐼 3 zu realisieren. In diesem Fall wird die Budgetgerade parallel nach außen verlagert. Sie wird so weit verlagert, bis sie 𝐼𝐼 3 tangiert. x 1 x 2 C I 1 I 2 I 3 D <?page no="39"?> Lösungen zu Kapitel 2: Haushaltstheorie 39 Lösung zu Aufgabe 2.3.2 a) Die Steigung der Indifferenzkurve ist die Grenzrate der Substitution. Diese Information kann man zur Berechnung der Grenzrate der Substitution nutzen. Zunächst bildet man das totale Differential der Nutzenfunktion: 𝑑𝑑𝑈𝑈 = 𝑈𝑈 𝐾𝐾′ 𝑑𝑑𝐾𝐾 + 𝑈𝑈 𝑆𝑆′ 𝑑𝑑𝐺𝐺 Da das Nutzenniveau entlang der Indifferenzkurve gleich ist, gilt: 𝑑𝑑𝑈𝑈 = 0 . Durch geeignetes Umstellen der Gleichung oben, erhält man die Gleichung für die Steigung, die durch die Veränderung der Ordinate in Bezug auf die Veränderung der Abszisse dargestellt werden kann. In diesem Beispiel kann man selbst wählen, welche Variable welcher Achse zugeordnet wird. Im Folgenden werden die Krimis auf der Ordinate und die Sachbücher auf der Abszisse abgetragen. Die Grenzrate der Substitution gibt an, auf wie viele Krimis die Studentin freiwillig verzichten würde, wenn man ihr ein Sachbuch mehr gibt: 𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺 = 𝑑𝑑𝐾𝐾 𝑑𝑑𝐺𝐺 = − 𝑈𝑈 𝑆𝑆′ 𝑈𝑈 𝐾𝐾′ = − 0,8 ∙ 60 ∙ 𝐾𝐾 0,4 ∙ 𝐺𝐺 −0,2 0,4 ∙ 60 ∙ 𝐾𝐾 −0,6 ∙ 𝐺𝐺 0,8 Dieser scheinbar recht komplizierte Ausdruck lässt sich gut vereinfachen. Zunächst multipliziert man die Zahlenwerte aus und schreibt die Faktoren mit negativem Exponenten auf die andere Seite des Bruchstrichs: 𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺 = − 48 ∙ 𝐾𝐾 0,4 ∙ 𝐾𝐾 0,6 24 ∙ 𝐺𝐺 0,8 ∙ 𝐺𝐺 0,2 Die Zahlen können gekürzt werden und die Exponenten der gleichen Basis werden addiert. Das ergibt: 𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺 = − 2 ∙ 𝐾𝐾 (0,4+0,6) 𝐺𝐺 (0,8+0,2) = − 2𝐾𝐾 𝐺𝐺 Die Grenzrate der Substitution der Studentin ist in diesem Beispiel nicht konstant, sondern hängt davon ab, wie viele Krimis und wie viele Sachbücher sie bereits konsumiert hat. Hätte sie beispielsweise bereits genauso viele Sachbücher wie Krimis (d.h. 𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺 = −2 ); wäre sie bereit, für ein Sachbuch auf zwei Krimis zu verzichten. Würde man die Achsen vertauschen, mit 𝐾𝐾 auf der Abszisse und 𝐺𝐺 auf der Ordinate, wäre die 𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺 der Kehrwert, also − 𝑆𝑆 2𝐾𝐾 und würde entsprechend umgekehrt interpretiert. b) Die bisherige Lösung in a) berücksichtigt allerdings nur die Vorlieben der Studentin. Ihr tatsächliches Konsumverhalten wird aber auch von den Preisen für Sachbücher und Krimis abhängen. Im optimalen Konsumpunkt entsprechen die relativen Güterpreise der Grenzrate der Substitution, die oben als Grenznutzenverhältnis hergeleitet wurde: − 𝑝𝑝 𝑆𝑆 𝑝𝑝 𝑘𝑘 = − 𝑈𝑈 𝑆𝑆′ 𝑈𝑈 𝐾𝐾′ <?page no="40"?> 40 Mikroökonomie · 77 Aufgaben Dies ist die Bedingung für das Nutzenmaximum, die auch als 2. Gossensches Gesetz bezeichnet wird. In diese Gleichung können die Preisangaben und die Lösung aus Teilaufgabe a) eingetragen werden: 20 5 = 2𝐾𝐾 𝐺𝐺 Die 2 bringt man noch auf die andere Seite und erhält für das Konsumverhältnis 𝐾𝐾/ 𝐺𝐺 folgende Lösung: 𝐾𝐾𝐺𝐺 = 2 bzw. 𝐾𝐾 = 2𝐺𝐺 Bei den gegebenen Preisen ist also zu erwarten, dass die Studentin doppelt so viele Krimis wie Sachbücher konsumieren wird. Beachten Sie, dass es in der Literatur eine andere, sehr verbreitete Schreibweise für das 2. Gossensche Gesetz gibt, die sich durch einfaches Umformen aus der obenstehenden Variante ergibt, nämlich: 𝑈𝑈 𝑆𝑆′ 𝑝𝑝 𝑆𝑆 = 𝑈𝑈 𝐾𝐾′ 𝑝𝑝 𝐾𝐾 c) Nun ist bekannt, dass die Studentin ein Budget von 𝑦𝑦 = 120 Euro für den Kauf der beiden Bücherarten zur Verfügung hat. Da in den hier verwendeten Modellen grundsätzlich von „Nicht-Sättigung“ ausgegangen wird, gibt sie ihr Budget komplett aus und die Budgetgerade kann für die Lösung benutzt werden: y = p K ∙ K + p S ∙ S In diese Formel setzt man nun alle bekannten Angaben und die Lösung aus Teilaufgabe b) ein 120 = 5 ∙ 2 ∙ 𝐺𝐺 + 20 ∙ 𝐺𝐺 und erhält: 120 = 30 ∙ 𝐺𝐺 bzw . 𝐺𝐺 = 4 Aus Teilaufgabe b) ist bekannt, dass die Studentin doppelt so viele Krimis wie Sachbücher kaufen wird. Daher lautet die Lösung für die Anzahl Krimis: 𝐾𝐾 = 8 . Die Lösung kann durch Einsetzen in die Budgetgerade überprüft werden: Vier Sachbücher kosten 80 Euro und acht Krimis kosten 40 Euro. Das macht in der Summe 120 Euro. Stimmt! Lösung zu Aufgabe 2.3.3 a) Zum Einzeichnen der Budgetgerade ermittelt man die Achsenabschnitte: Der Schnittpunkt mit der Abszisse beschreibt die Situation, in der Elsa gar nicht arbeitet (24 h Freizeit) und nichts verdient. Der Schnittpunkt mit der Ordinate misst ihren Lohn bei <?page no="41"?> Lösungen zu Kapitel 2: Haushaltstheorie 41 einer Freizeit von 12 h: (24 − 12) ∙ 10 = 120 . Der aktuelle Konsumpunkt liegt bei 14 h Freizeit und einem Verdienst von 100 Euro. Abb. 15 b) Nein, Elsa arbeitet nicht in ihrem Nutzenmaximum. In ihrem derzeitigen Konsumpunkt entspricht die Grenzrate der Substitution nicht dem relativen Preis der Freizeit. Ihr relativer Grenznutzen aus einer zusätzlichen Stunde Freizeit ist höher als der Lohnsatz. Elsa würde daher lieber weniger arbeiten. Lösung zu Aufgabe 2.3.4 a) Ein Haushalt befindet sich in seinem Nutzenmaximum, wenn gilt: 𝑑𝑑𝑈𝑈 𝑖𝑖 𝑝𝑝 𝑖𝑖 = 𝑑𝑑𝑈𝑈 𝑗𝑗 𝑝𝑝 𝑗𝑗 für 𝑖𝑖, 𝑗𝑗 = 1, … , 𝑛𝑛 Hier gilt: 𝑑𝑑𝑈𝑈 𝑘𝑘 𝑝𝑝 𝑘𝑘 = 2 und 𝑑𝑑𝑈𝑈 𝑢𝑢 𝑝𝑝 𝑢𝑢 = 10 , wobei die Indizes 𝑘𝑘 Kleidung bzw. 𝑢𝑢 Urlaub bezeichnen. Da 2 ≠ 10, befindet sich der Haushalt nicht in seinem Nutzenmaximum. Das bedeutet, er kann seinen Nutzen durch Umschichtung des betrachteten Güterbündels steigern. Hätte der Haushalt die letzte Geldeinheit, die er für Kleidung ausgegeben hat, nicht für Kleidung verwendet, wäre sein Nutzen um 2 gesunken. Da er aber sein gesamtes Einkommen ausgeben will, kann er diese Geldeinheit, die er vom Kleidungskonsum abgezogen hat, für Urlaub ausgeben, was ihm einen zusätzlichen Nutzen von 10 erbringt. Insgesamt ist durch diese Umschichtung eine Steigerung des Nutzens um 8 (= 10 − 2) möglich. Freizeit pro Tag 120 100 80 60 40 20 0 14 16 18 20 22 24 Konsum in € 12 Indifferenzkurve derzeitiger Konsumpunkt Budgetgerade <?page no="42"?> 42 Mikroökonomie · 77 Aufgaben b) Da der Haushalt zugunsten von Urlaub umschichten soll, um seinen Nutzen zu steigern, muss er - gemessen am Nutzenmaximum - in der Ausgangssituation zu wenig Urlaub und zu viel Kleidung konsumiert haben. Daher muss er in der Ausgangssituation ein Güterbündel realisiert haben, das auf dem roten Teil der Budgetgeraden liegt. Dieses muss auf einer Indifferenzkurve mit einem niedrigeren Nutzenniveau liegen, wie etwa 𝐼𝐼 1 in der Graphik. Abb. 16 Lösung zu Aufgabe 2.3.5 Hinweis: Hier wird der Fall betrachtet, dass die Menge von Weißwein auf der Ordinate steht. Anderenfalls muss nach 𝑥𝑥 𝑅𝑅 aufgelöst werden, das weitere Vorgehen ist dann identisch mit der untenstehenden Lösung. a) Auf einer Indifferenzkurve ist der Nutzen konstant, die Gütermengen flexibel. Sie umfasst alle Güterbündel aus Weiß- und Rotwein, die den gleichen Nutzen 𝑈𝑈� erzeugen. Bei vorliegender Nutzenfunktion gilt: 𝑈𝑈� = 4𝑥𝑥 𝑅𝑅 + 2𝑥𝑥 𝑊𝑊 Auflösen nach 𝑥𝑥 𝑊𝑊 ergibt die Gleichung der Indifferenzkurven: 𝑥𝑥 𝑊𝑊 = 0,5𝑈𝑈� − 2𝑥𝑥 𝑅𝑅 , wobei sich für jedes 𝑈𝑈 � eine andere Indifferenzkurve ergibt. Aus dieser Gleichung ist für jede Menge von 𝑥𝑥 𝑅𝑅 diejenige Menge von 𝑥𝑥 𝑊𝑊 ablesbar, die konsumiert werden muss, damit das vorgegebene Nutzenniveau erreicht wird. Beispiel: 𝑈𝑈� = 10 Der Haushalt möchte eine Einheit Rotwein konsumieren, dann erreicht er einen Nutzen von 10, wenn er zusätzlich noch 3 Einheiten Weißwein konsumiert. Aus der Gleichung der Indifferenzkurven ergibt sich: Diese sind linear. Das bedeutet, dass die beiden Sorten Wein, aus Sicht von Thorsten, perfekte Substitute sind. x 1 x 2 I 1 I 2 Budgetgerade Nutzenmaximum <?page no="43"?> Lösungen zu Kapitel 2: Haushaltstheorie 43 b) 𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺 ist definiert als die Steigung der Indifferenzkurve. Ableiten der Indifferenzkurve ergibt: 𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺 = 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑊𝑊 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑅𝑅 und somit 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑊𝑊 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑅𝑅 = −2 Da die 𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺 unabhängig von den konsumierten Gütermengen immer -2 beträgt, ist sie auch im Haushaltsoptimum -2. Das bedeutet, dass Thorsten, unabhängig davon wie sein Güterbündel zusammengesetzt ist, immer bereit ist, auf eine Einheit Rotwein zu verzichten, wenn er dafür zwei Einheiten mehr Weißwein bekommt. c) Für die Graphik wird die Budgetgerade benötigt. Diese lautet allgemein: 𝑦𝑦 = 𝑝𝑝 1 𝑥𝑥 1 + 𝑝𝑝 2 𝑥𝑥 2 Einsetzen der vorliegenden Werte ergibt: 120 = 6𝑥𝑥 𝑅𝑅 + 4𝑥𝑥 𝑊𝑊 | − 6𝑥𝑥 𝑅𝑅 4𝑥𝑥 𝑊𝑊 = 120 − 6𝑥𝑥 𝑅𝑅 |: 4 𝑥𝑥 𝑊𝑊 = 30 − 32 𝑥𝑥 𝑅𝑅 Somit ist die Budgetgerade linear mit einem Achsenabschnitt von 30 und einer Steigung von −1,5 . Sie ist flacher als die Indifferenzkurve. Graphische Lösung: Man zeichnet zunächst die Budgetgerade ein und ergänzt die Graphik dann mit Indifferenzkurven. Die Indifferenzkurve wird so weit nach außen verschoben, dass sie die Budgetgerade gerade noch erreicht, also noch einen Punkt mit ihr gemeinsam hat. Das Ziel ist, diejenige Indifferenzkurve zu ermitteln, die bei gegebenem Budget den höchsten Nutzen erzeugt. Thorsten wird 20 Einheiten Rotwein und keinen Weißwein konsumieren. Abb. 17 d) 𝑈𝑈(20, 0) = 4 ∙ 20 + 2 ∙ 0 = 80 x R x W I 1 I 2 Budgetgerade Indifferenzkurven I 1 und I 2 mit der Steigung -2 Budgetgerade mit der Steigung -1,5 30 20optimales Güterbündel <?page no="44"?> 44 Mikroökonomie · 77 Aufgaben e) Es ändert sich nichts. Thorsten konsumiert schon jetzt keinen Weißwein. Wenn dieser teurer wird, ohne dass sich der Preis für Rotwein ändert, wird Thorsten nicht auf Weißwein umschichten. Lösung zu Aufgabe 2.4.1 Effekt Lösung Einkommenseffekt für Kaffee + Einkommenseffekt für Chips + Substitutionseffekt für Kaffee - Substitutionseffekt für Chips + Gesamteffekt für Kaffee unbestimmt Gesamteffekt für Chips + Tab. 5 Lösung zu Aufgabe 2.4.2 Effekt Lösung Einkommenseffekt für Kaffee - Einkommenseffekt für Zwieback + Substitutionseffekt für Kaffee + Substitutionseffekt für Zwieback - Gesamteffekt für Kaffee unbestimmt Gesamteffekt für Zwieback unbestimmt Tab. 6 Lösung zu Aufgabe 2.4.3 Da durch den gestiegenen Preis für Kaffee jedes für den Studenten attraktive Konsumgüterbündel teurer wird, wird der Student sowohl weniger Nussecken als auch weniger Kaffee konsumieren. <?page no="45"?> Lösungen zu Kapitel 2: Haushaltstheorie 45 Erläuterung: Wichtig ist hier die Information, dass Kaffee und Nussecken perfekte Komplemente sind: Der Student will sie immer im gleichen Verhältnis konsumieren, er trinkt also z.B. zu jeder Nussecke genau zwei Tassen Kaffee. Es wirkt somit nur der Einkommenseffekt, da Substitution zwischen den Gütern ausgeschlossen ist. Lösung zu Aufgabe 2.4.4 a) Es wirken der Einkommens- und der Substitutionseffekt. b) Da Gertrud mehr Kuchen konsumiert, überwiegt der Substitutionseffekt. <?page no="47"?> 3 Produktionstheorie In aller Kürze | Produktionstheorie Dieses Kapitel behandelt die Produktions- und Angebotsentscheidung eines Unternehmens, das unter den Bedingungen der vollkommenen Konkurrenz anbietet ( die Annahmen sind im Kasten „Annahmen der vollkommenen Konkurrenz“ in Kapitel 4 zusammengestellt ) . Ebenso wie in Kapitel 2 wird hier eine Zweiteilung vorgenommen. Zuerst werden die technischen Möglichkeiten der Produktion behandelt, dabei werden monetäre Aspekte zunächst noch nicht betrachtet. Die Fragestellungen in Abschnitt 3.1 beruhen auf der Produktionsfunktion. Dabei wird zur Vereinfachung davon ausgegangen, dass ein Gut mit zwei Inputfaktoren produziert wird. Auch dies ist eine Parallele zu Kapitel 2. Im zweiten Abschnitt kommen dann monetäre Aspekte, konkret die Preise der für die Produktion benötigten Faktoren hinzu. Interessant ist nämlich aus Unternehmenssicht nicht nur die Frage, wie ein gegebener Output produziert werden kann, sondern auch, wie dies möglichst kostengünstig bewerkstelligt werden kann (Kostenminimierung). Im letzten Abschnitt (3.3) geht es dann auf dieser Grundlage um die individuelle Angebotsfunktion eines Unternehmens, die sich aus der Gewinnmaximierung herleitet. Anders als bei den Aufgaben zur Kostenminimierung geht man hier davon aus, dass das Unternehmen fixe und variable Kosten hat. 3.1 Produktionsfunktionen Das sollten Sie wissen | Grenzprodukt und Totales Differential Die Produktionsfunktion gibt die Höhe des Outputs 𝑥𝑥 in Abhängigkeit der eingesetzten Produktionsfaktoren an. Zur Vereinfachung verwenden wir hier nur Produktionsfunktionen mit zwei Inputs 𝑣𝑣 1 und 𝑣𝑣 2 . Die Höhe des Outputs hängt von der Inputmenge ab und verändert sich, wenn sich diese ändert. Das Grenzprodukt gibt die Veränderung des Outputs an, wenn einer der Inputs geändert wird und alle anderen konstant bleiben. Das Grenzprodukt eines Produktionsfaktors kann durch die partielle Ableitung der Produktionsfunktion nach diesem Faktor berechnet werden. Das Grenzprodukt des Faktors 𝑖𝑖 ( 𝑖𝑖 = 1,2 ) ist dann: 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝜕𝜕𝑣𝑣 𝑖𝑖 Natürlich können sich auch die eingesetzten Mengen beider Inputfaktoren ändern. Beispielsweise kann der Faktor Arbeit durch den Faktor Kapital substituiert werden. Die Auswirkungen von Veränderungen beider Faktoren auf den Output wird durch <?page no="48"?> 48 Mikroökonomie · 77 Aufgaben das totale Differential ausgedrückt: 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝜕𝜕𝑣𝑣 1 𝑑𝑑𝑣𝑣 1 + 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝜕𝜕𝑣𝑣 2 𝑑𝑑𝑣𝑣 2 . Die gesamte Veränderung des Outputs wird bestimmt durch die Summe der Outputreaktionen auf die Änderung jeweils eines Faktors. Die partiellen Ableitungen stehen dabei für die Reaktion des Outputs auf die Änderung der jeweiligen Faktoreinsatzmenge um eine marginale Einheit und die Ausdrücke 𝑑𝑑𝑣𝑣 1 und 𝑑𝑑𝑣𝑣 2 bezeichnen die Höhe der jeweiligen Änderung der Inputs. Aufgabe 3.1.1 Schwierigkeitsgrad Zeit mittel 10 Minuten Ein Unternehmen produziert ein Gut mit zwei Faktoren und der folgenden Produktionsfunktion 𝑥𝑥 = 3𝑣𝑣 10,5 𝑣𝑣 20,5 . a) Bestimmen Sie das Grenzprodukt 𝑀𝑀𝑀𝑀 für beide Faktoren. b) Wie verhält sich das Grenzprodukt des Faktors 1 bei zunehmender Einsatzmenge dieses Faktors und Konstanz von Faktor 2? Aufgabe 3.1.2 Schwierigkeitsgrad Zeit mittel 15 Minuten Ein Unternehmen produziert ein Gut mit zwei Faktoren. Bestimmen Sie für die folgende Produktionsfunktion 𝑥𝑥 = 𝐴𝐴𝑣𝑣 1𝛼𝛼 𝑣𝑣 2𝛽𝛽 mit 𝐴𝐴, 𝛼𝛼, 𝛽𝛽 > 0 a) das Grenzprodukt für beide Faktoren. b) Wie verhält sich das Grenzprodukt des Faktors 1 bei zunehmender Einsatzmenge dieses Faktors und Konstanz von Faktor 2? Aufgabe 3.1.3 Schwierigkeitsgrad Zeit mittel 15 Minuten Ein Unternehmen produziert mit folgender Produktionsfunktion 𝑥𝑥 = �4𝑣𝑣 1 + 2𝑣𝑣 2 . <?page no="49"?> Produktionstheorie 49 a) Bestimmen Sie die Gleichung der Isoquante für 𝑥𝑥 = 20 . Stellen Sie diese graphisch dar und stellen Sie fest, ob bzw. in welcher Weise die Faktoren substituierbar sind. b) Bestimmen Sie die Grenzrate der technischen Substitution. c) Wie ändert sich die Grenzrate der technischen Substitution bei zunehmendem 𝑣𝑣 1 ? Aufgabe 3.1.4 Schwierigkeitsgrad Zeit mittel 10 Minuten Leiten Sie mit Hilfe des totalen Differentials die Steigung der Isoquanten allgemein her. Betrachten Sie eine Produktionsfunktion mit Output 𝑥𝑥 und zwei Produktionsfaktoren 𝑣𝑣 1 und 𝑣𝑣 2 . Aufgabe 3.1.5 Schwierigkeitsgrad Zeit einfach 10 Minuten Ein Unternehmen produziert ein Gut mit den beiden Faktoren Kapital und Arbeit. Zeichnen Sie jeweils eine Produktionsfunktion in Abhängigkeit der Menge des Faktors Arbeit mit abnehmendem, zunehmendem, wechselndem und konstantem Grenzprodukt der Arbeit. 3.2 Kostenminimierung Fehler, die Sie vermeiden sollten | Graphische Lösung der Kostenminimierung im Vergleich zur Nutzenmaximierung x 1 x 2 A Budgetgerade Indifferenzkurve 0 Indifferenzkurve 1 x 2∗ x 1∗ Beispiel Nutzenmaximierung Abb. 18 <?page no="50"?> 50 Mikroökonomie · 77 Aufgaben Auf den ersten Blick ist das Diagramm der Kostenminimierung dem Diagramm der Nutzenmaximierung sehr ähnlich. Die schwarzen Graphen in den Diagrammen stellen jeweils eine mögliche Ausgangssituation in beiden Fragestellungen dar: Die Isoquante ähnelt der Indifferenzkurve und die Isokostenlinie kann mit der Budgetgeraden verglichen werden. Dennoch sind die Fragestellungen und damit auch die Lösungen unterschiedlich. Bei der Nutzenmaximierung wird der Nutzen bei gegebenem Budget maximiert, d.h. die Budgetgerade ist fest und die Indifferenzkurve wird verschoben, bis sie die Budgetgerade tangiert. Im oberen Diagramm der Nutzenmaximierung zeigt die rote Funktion die nach außen verschobene Indifferenzkurve 1. Der Punkt 𝐴𝐴 ist der optimale Konsumpunkt. Bei der Kostenminimierung dagegen werden die Kosten bei gegebenem Output minimiert, d.h. die Isoquante ist fest und die Isokostenlinie wird verschoben, bis sie die Isoquante tangiert. Im unteren Diagramm der Kostenminimierung zeigt die rote Funktion die nach innen verschobene Isokostenlinie 1. Der Punkt 𝐵𝐵 ist das Kostenminimum. Aufgabe 3.2.1 Schwierigkeitsgrad Zeit mittel 20 Minuten Ein Unternehmen produziert mit folgender Produktionsfunktion: 𝑥𝑥 = �3𝑣𝑣 1 4𝑣𝑣 2 a) Bestimmen Sie die Gleichung der Isoquante für 𝑥𝑥 = 20 . Stellen Sie diese graphisch dar und stellen Sie fest, ob bzw. in welcher Weise die Faktoren substituierbar sind. v 1 v 2 B Isokostenlinie 0 Isoquante Isokostenlinie 1 v 1∗ v 2∗ Beispiel Kostenminimierung Abb. 19 <?page no="51"?> Produktionstheorie 51 b) Die Faktorpreise seien 𝑞𝑞 1 = 4 und 𝑞𝑞 2 = 5 . Bestimmen Sie die Gleichung der Isokostenlinie. c) Welchen Wert nimmt die Grenzrate der technischen Substitution im Kostenminimum an? Begründen Sie Ihre Antwort. Aufgabe 3.2.2 Schwierigkeitsgrad Zeit schwer 25 Minuten Gehen Sie von folgender hypothetischer Situation aus: Ein Autohersteller plant zur Umstellung auf Elektromobilität eine Batteriefabrik. Als mögliche Standorte kommen Deutschland und Schweden in Betracht. In untenstehendem Diagramm sind die verschiedenen Technologien eingezeichnet, die das Unternehmen in der neuen Produktionsstätte verwenden könnte, um die geplante Outputmenge herzustellen. Abb. 20 a) Gibt es im Diagramm Technologien, die das Unternehmen nicht wählen sollte? Wenn ja, welche? b) Nehmen Sie an, dass in Deutschland eine Arbeitsstunde 𝑤𝑤 𝐷𝐷 = 40 Euro und eine Energieeinheit 𝑝𝑝 𝐷𝐷 = 20 Euro kostet. Stellen Sie eine Gleichung für die gesamten Kosten auf. Zeichnen Sie die Isokostenlinie für Kosten von 2.000 Euro in das Diagramm ein. c) Welche ist die kostenminimale Technologie, wenn die Batterien am Standort Deutschland gebaut werden? (graphische Lösung! ) d) In Schweden sind zwar die Arbeitskosten höher, aber Energie ist viel günstiger als in Deutschland. Nehmen Sie an, es gilt: 𝑤𝑤 𝑆𝑆 = 50 und 𝑝𝑝 𝑆𝑆 = 2 . Für den schwedischen Standort ergäbe sich daher als kostenminimale Technologie 𝐴𝐴 . In welchem Land sollte das Unternehmen produzieren, wenn nur die Kosten zählen? Arbeitsstunden L 600 500 400 300 200 100 10 20 30 40 50 60 Anzahl Energieeinheiten E + D + C + A + B <?page no="52"?> 52 Mikroökonomie · 77 Aufgaben Aufgabe 3.2.3 Schwierigkeitsgrad Zeit schwer 25 Minuten Ein Unternehmen möchte eine Produktionsstätte errichten, in der es plant, einen Output von 𝑥𝑥 = 1.000 Einheiten zu erstellen. Es produziert mit der Technologie 𝑥𝑥 = 10𝐶𝐶 0,3 𝐿𝐿 0,2 , wobei 𝐶𝐶 die eingesetzte Menge Kapital und 𝐿𝐿 die eingesetzte Menge Arbeit bezeichnet. Eine Einheit Kapital kostet das Unternehmen 𝑟𝑟 = 150 Euro, eine Einheit Arbeit 𝑤𝑤 = 100 Euro. a) Entwickeln Sie in folgendem Diagramm graphisch die Minimalkostenkombination. Benennen Sie die Funktionen und zeichnen Sie den Optimalpunkt ein. Abb. 21 b) Beantworten Sie rechnerisch nachvollziehbar die folgenden Fragen: In welchem Verhältnis 𝑑𝑑𝐿𝐿 wird das Unternehmen in der Minimalkostenkombination die beiden Inputfaktoren einsetzen? Was ist die kostenminimale Einsatzmenge von Arbeit und Kapital? L C <?page no="53"?> Produktionstheorie 53 3.3 Kostenfunktionen und Gewinnmaximierung Das sollten Sie wissen | Gewinnmaximierung bei vollkommener Konkurrenz: Bedingung 1. Ordnung und Bedingung 2. Ordnung Zur Berechnung der gewinnmaximierenden Menge ist zunächst die Stelle zu bestimmen, an der die 1. Ableitung der Gewinnfunktion den Wert Null annimmt (Bedingung 1. Ordnung). Es gilt: 𝐺𝐺𝐺𝐺𝑤𝑤𝑖𝑖𝑛𝑛𝑛𝑛 = 𝐸𝐸𝑟𝑟𝐸𝐸ö𝑠𝑠 − 𝐾𝐾𝐾𝐾𝑠𝑠𝐾𝐾𝐺𝐺𝑛𝑛 also 𝐺𝐺 = 𝐸𝐸 − 𝐾𝐾 , die 1. Ableitung lautet damit: 𝐺𝐺 ′ = 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝐺𝐺𝐸𝐸 − 𝐺𝐺𝐾𝐾 = 0 Dies ist erfüllt, wenn gilt 𝐺𝐺𝐸𝐸 = 𝐺𝐺𝐾𝐾 Bedingung 1. Ordnung allgemein Bei vollkommener Konkurrenz entspricht der Grenzerlös dem Preis, da der Preis für das betrachtete Unternehmen gegeben ist und somit unabhängig von der Menge, die dieses Unternehmen produziert. Damit kann die Bedingung 1. Ordnung bei vollkommener Konkurrenz auch folgendermaßen ausgedrückt werden: 𝑝𝑝 = 𝐺𝐺𝐾𝐾 Bedingung 1. Ordnung bei vollkommener Konkurrenz Diese Bedingung sagt allerdings nur aus, dass an dieser Stelle ein Extremwert vorliegt, nicht aber, dass dieser ein Maximum ist. Um auszuschließen, dass man auf diese Weise statt eines Maximums ein Minimum des Gewinns bestimmt hat, ist noch zu überprüfen, welches Vorzeichen die 2. Ableitung des Gewinns bei diesem Extremwert hat. Für ein Maximum muss gelten: 𝐺𝐺 ′′ = 𝑑𝑑 2 𝐺𝐺 𝑑𝑑𝑥𝑥 2 < 0 Bei vollkommener Konkurrenz ist die zweite Ableitung des Gewinns: 𝐺𝐺 ′′ = 𝑑𝑑 2 𝐺𝐺 𝑑𝑑𝑥𝑥 2 = −𝐺𝐺𝐾𝐾 ′ Die Bedingung 2. Ordnung ist somit erfüllt, wenn gilt: 𝐺𝐺𝐾𝐾 ′ > 0 Bedingung 2. Ordnung bei vollkommener Konkurrenz Wenn die Grenzkosten einen steigenden Verlauf haben, liegt somit an der Stelle 𝐺𝐺𝐸𝐸 = 𝐺𝐺𝐾𝐾 ein Gewinnmaximum vor. Zusammengefasst gilt bei vollkommener Konkurrenz: 𝑝𝑝 = 𝐺𝐺𝐾𝐾 Bedingung 1. Ordnung 𝐺𝐺𝐾𝐾 ′ > 0 Bedingung 2. Ordnung <?page no="54"?> 54 Mikroökonomie · 77 Aufgaben Aufgabe 3.3.1 Schwierigkeitsgrad Zeit einfach 15 Minuten Gegeben sei der Stahlmarkt, auf dem die Bedingungen der vollkommenen Konkurrenz erfüllt seien. Ein gewinnmaximierendes, stahlproduzierendes Unternehmen steht vor folgender Kostensituation: Grenzkosten: 𝐺𝐺𝐾𝐾 = 3 + 2𝑥𝑥 Durchschnittliche variable Kosten: 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐾𝐾 = 3 + 𝑥𝑥 Fixkosten: 𝐾𝐾 𝑓𝑓 = 16 Marktpreis: 𝑝𝑝 = 9 a) Berechnen Sie die vom Unternehmen angebotene Menge an Stahl im Gewinnmaximum. b) Wird das Unternehmen zu diesem Preis anbieten? Lösen Sie diese Frage rechnerisch. Unterstützen Sie Ihre Argumentation darüber hinaus durch Ergänzung der nachstehenden Graphik. Bestimmen Sie in der Graphik die kurzfristige und die langfristige individuelle Angebotsfunktion. Erläutern Sie. Abb. 22 Aufgabe 3.3.2 Schwierigkeitsgrad Zeit einfach 15 Minuten In nachfolgendem Diagramm ist die Kostenstruktur eines Unternehmens eingetragen. Es gilt vollkommener Wettbewerb und der Preis beträgt 50 Euro. x DK DK GK DVK p <?page no="55"?> Produktionstheorie 55 Abb. 23 a) Zeichnen Sie die gewinnmaximale Produktionsmenge ein. Macht das Unternehmen einen Gewinn oder einen Verlust? Tragen Sie den Gewinn (bzw. Verlust) in das Diagramm ein. b) Nehmen Sie an, die Kostenstruktur ist für alle Unternehmen gleich und die Zahl der Unternehmen verändert sich durch Markteintritte bzw. Marktaustritte. Wird es auf diesem Markt voraussichtlich zu Markteintritten, -austritten oder keinem von beiden kommen? c) Welcher Preis wird sich einstellen? Aufgabe 3.3.3 Schwierigkeitsgrad Zeit schwer 25 Minuten Ein Unternehmen stellt Druckmaschinen 𝑥𝑥 her. Für die Produktionsfunktion gilt: 𝑥𝑥 = 𝐶𝐶 ∙ 𝐿𝐿 0,5 , wobei 𝐶𝐶 die Anzahl Fließbandmaschinen und 𝐿𝐿 die Anzahl der Arbeitsteams darstellt. Es sind 5 Fließbandmaschinen im Einsatz, die zusammen Kosten in Höhe von 64.000 Euro verursachen. Die Arbeitskosten für jedes Arbeitsteam betragen 1.000 Euro. Die Materialkosten pro Druckmaschine belaufen sich auf m = 200 Euro. Ansonsten fallen keine Kosten an. a) Leiten Sie nachvollziehbar die Kostenfunktion des Unternehmens her. b) Berechnen Sie nachvollziehbar, welcher Marktpreis für eine Druckmaschine mindestens erzielt werden muss, wenn sich das Unternehmen in vollkommener Konkurrenz befindet und keinen Verlust erwirtschaften soll. x DK DK GK DVK p 10 50 40 DVK GK <?page no="56"?> 56 Mikroökonomie · 77 Aufgaben Aufgabe 3.3.4 Schwierigkeitsgrad Zeit mittel 20 Minuten Ein Unternehmen in vollkommenem Wettbewerb hat folgende Kostenfunktion: 𝐾𝐾(𝑥𝑥) = 2.500 + 𝑥𝑥² + 6𝑥𝑥 a) Ab welchem Preis erzielt das Unternehmen einen positiven Gewinn? b) Nehmen Sie an, der Preis beträgt 120 Euro. Wie hoch ist die gewinnmaximale Produktionsmenge des Unternehmens? Wie hoch ist der Gewinn des Unternehmens? Aufgabe 3.3.5 Schwierigkeitsgrad Zeit mittel 15 Minuten Ein Unternehmen produziert Laubsauger. Das Unternehmen agiert unter vollkommener Konkurrenz und hat die Kostenfunktion: 𝐾𝐾(𝑥𝑥) = 1.600 + 𝑥𝑥² + 6𝑥𝑥 . Der Preis für ein Gerät beträgt 90 Euro. Zu diesem Preis beträgt die gewinnmaximale Menge des Unternehmens 𝑥𝑥 = 45 und das Unternehmen erwirtschaftet einen Gewinn. a) Nehmen Sie an, alle Unternehmen auf dem Markt haben die gleiche Kostenstruktur. Wie weit darf der Preis für Laubsauger fallen, so dass es gerade zu keinen Marktaustritten auf dem Markt kommt? Nehmen Sie an, zu diesem Preis können auf dem Markt insgesamt 400 Laubsauger verkauft werden. Wie viele Unternehmen bieten auf dem Markt an? b) Die Regierung möchte, dass aus Umweltgründen weniger Laubsauger verkauft werden, und erhebt eine Steuer in Höhe von 5 Euro pro verkauftem Laubsauger. Wie ändert sich die Kostenfunktion unter Einbeziehung der Steuer, wenn das Unternehmen die Steuer an den Staat abführen muss? Aufgabe 3.3.6 Schwierigkeitsgrad Zeit einfach 15 Minuten Ein Unternehmen hat die Kostenfunktion 𝐾𝐾(𝑥𝑥) = 200 + 5𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥² . Es agiert unter vollkommener Konkurrenz und der Marktpreis beträgt 65 Euro pro Stück. Im nachfolgenden Diagramm sind die gesamten Durchschnittskosten und die Grenzkosten eingezeichnet. <?page no="57"?> Produktionstheorie 57 Abb. 24 a) Berechnen Sie die Funktion der durchschnittlichen variablen Kosten ( 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐾𝐾 ) und skizzieren Sie sie im nachfolgenden Diagramm. b) Zeichnen Sie in das Diagramm die angebotene Menge, den Gewinn und die Gesamtkosten bei Gewinnmaximierung ein. c) Berechnen Sie die angebotene Menge des Unternehmens, wenn es seinen Gewinn maximiert. Aufgabe 3.3.7 Schwierigkeitsgrad Zeit schwer 20 Minuten Zeigen Sie mathematisch, dass die Grenzkosten die Durchschnittskosten stets in deren Minimum schneiden. Aufgabe 3.3.8 Schwierigkeitsgrad Zeit schwer 20 Minuten Ein hypothetisches, gewinnmaximierendes Unternehmen produziert ein Gut unter den Bedingungen der vollkommenen Konkurrenz. Seine Kostenfunktion sei gegeben durch 𝐾𝐾(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥² + 10𝑥𝑥 + 100 . x DK DK GK DVK p 5 65 GK <?page no="58"?> 58 Mikroökonomie · 77 Aufgaben a) Unterstellen Sie, der Marktpreis sei 𝑝𝑝 = 12 . Bestimmen Sie bei diesem Preis die gewinnmaximale Menge. Überprüfen Sie, ob das Unternehmen zu diesem Preis kurzfristig und langfristig anbieten soll. b) Berechnen Sie den Preis, ab dem das Unternehmen langfristig anbieten soll. Aufgabe 3.3.9 Schwierigkeitsgrad Zeit mittel 20 Minuten Ein Unternehmen, das unter den Bedingungen der vollkommenen Konkurrenz agiert, bringt als potenzielles Trendgetränk Coro, eine ausgeklügelte Mischung von Cola und Rotwein, auf den Markt. Die Kostenfunktion dieses Unternehmens lautet: 𝐾𝐾(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑥𝑥 2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐, 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐 > 0 a) Zu bestimmen ist die gewinnmaximierende Menge. b) Bestimmen Sie die Gleichung der Durchschnittskosten 𝐷𝐷𝐾𝐾 . c) Bestimmen Sie die Gleichung der durchschnittlichen variablen Kosten 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐾𝐾 . d) Es gelte 𝐷𝐷𝐾𝐾 > 𝑝𝑝 > 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐾𝐾 . − Wird das Unternehmen in diesem Fall einen positiven, einen negativen oder keinen Gewinn erzielen? − Soll das Unternehmen in dieser Situation kurzfristig produzieren? Begründen Sie kurz. Aufgabe 3.3.10 Schwierigkeitsgrad Zeit Mittel 10 Minuten Ein gewinnmaximierendes Unternehmen, das unter den Bedingungen der vollkommenen Konkurrenz agiert, hat die Kostenfunktion 𝐾𝐾(𝑥𝑥) . Einzelheiten seien nicht bekannt: a) Leiten Sie die Bedingung 1. Ordnung für das Gewinnmaximum her. b) Leiten Sie die Bedingung 2. Ordnung her. Welchen Verlauf müssen die Grenzkosten aufweisen, damit ein Gewinnmaximum - bei Erfüllung der Bedingung 1. Ordnung - vorliegt. <?page no="59"?> Produktionstheorie 59 Fehler, die Sie vermeiden sollten | Gewinnmaximierung und Kosten Worauf Sie grundsätzlich achten sollten: 𝐷𝐷𝐾𝐾 = 𝐺𝐺𝐾𝐾 ist nicht die Bedingung für das Gewinnmaximum! Beide Größen sind Kostengrößen, damit ist nur mit deren Kenntnis keine Aussage über den Gewinn möglich. Bei der Bestimmung der 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐾𝐾 und der 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐾𝐾 ist darauf zu achten, dass sie jeweils aus der ursprünglichen Kostenfunktion genommen werden müssen. Sie ergeben sich nicht unmittelbar aus den 𝐷𝐷𝐾𝐾 . Der Preis darf nicht mit den Gesamtkosten verglichen werden. Es ist nicht anzunehmen, dass der Preis einer Tüte Gummibärchen die gesamten Kosten der gesamten Gummibärchenproduktion (möglicherweise ein Betrag in Millionenhöhe! ) decken muss, damit das Unternehmen seinen Gewinn maximiert. Preise beziehen sich auf ein Stück. Sie sind damit Durchschnittsumsätze und werden daher nur mit Durchschnittskosten oder Grenzkosten verglichen. Worauf Sie in der graphischen Betrachtung achten sollten: Bei der Zeichnung ist darauf zu achten, dass die durchschnittlichen variablen Kosten ( 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐾𝐾 ) und die durchschnittlichen Fixkosten ( 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐾𝐾 ) gemeinsam die Durchschnittskosten ( 𝐷𝐷𝐾𝐾 ) bilden. D.h. 𝐷𝐷𝐾𝐾 ist die Summe aus 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐾𝐾 und 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐾𝐾 und eine Summe von positiven Werten kann niemals kleiner sein als einer der Summanden. Die 𝐷𝐷𝐾𝐾 dürfen daher weder die 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐾𝐾 noch die 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐾𝐾 schneiden. Beim Zeichnen der Durchschnittskosten ( 𝐷𝐷𝐾𝐾 ) und der Grenzkosten ( 𝐺𝐺𝐾𝐾 ) ist darauf zu achten, dass die Grenzkosten die Durchschnittskosten in ihrem Minimum schneiden! Beachtet man diese Bedingung nicht, können sich bei der graphischen Herleitung des Gewinnmaximums Fehler ergeben. In der vollkommenen Konkurrenz ist der Marktpreis für jedes Unternehmen fest vorgegeben. Daher ist der Preis als horizontale Linie einzuzeichnen. Für das Gewinnmaximum gilt bei vollkommener Konkurrenz, dass der Preis den Grenzkosten entspricht. Zur Ermittlung der gewinnmaximalen Menge nimmt man daher den Schnittpunkt zwischen der horizontalen Preisgeraden und den Grenzkosten. Dieser Schnittpunkt muss nicht im Minimum der Durchschnittskosten liegen! <?page no="61"?> Lösungen zu Kapitel 3: Produktionstheorie Lösung zu Aufgabe 3.1.1 a) Das Grenzprodukt eines Faktors 𝑖𝑖 ist bestimmt durch die erste partielle Ableitung der Produktionsfunktion nach der Menge eben dieses Faktors 𝑖𝑖 . Das Grenzprodukt des Faktors 1 ist folglich: 𝑀𝑀𝑀𝑀 1 = 3 ∙ 0,5𝑣𝑣 1−0,5 𝑣𝑣 20,5 = 1,5𝑣𝑣 1−0,5 𝑣𝑣 20,5 Das Grenzprodukt des Faktors 2 ist: 𝑀𝑀𝑀𝑀 2 = 3 ∙ 0,5𝑣𝑣 10,5 𝑣𝑣 2−0,5 = 1,5𝑣𝑣 10,5 𝑣𝑣 2−0,5 b) Eine Funktion hat immer dann einen fallenden Verlauf, wenn ihre Ableitung negativ ist. Somit ist das Grenzprodukt des Faktors 1 fallend (also abnehmend) mit zunehmender Einsatzmenge des Faktors 1 bei Konstanz des Faktors 2, wenn die Ableitung von 𝑀𝑀𝑀𝑀 1 nach 𝑣𝑣 1 negativ ist. Wegen 𝑀𝑀𝑀𝑀 1 = 1,5𝑣𝑣 1−0,5 𝑣𝑣 20,5 gilt 𝜕𝜕𝑀𝑀𝑀𝑀 1 𝜕𝜕𝑣𝑣 1 = −0,75𝑣𝑣 1−1,5 𝑣𝑣 20,5 < 0. Da 𝑣𝑣 𝑖𝑖 (𝑖𝑖 = 1,2) Mengen sind, sind sowohl 𝑣𝑣 1−1,5 , als auch 𝑣𝑣 20,5 positiv und der Gesamtausdruck somit negativ. Das Grenzprodukt des Faktors 1 ist bei dieser Funktion abnehmend. Lösung zu Aufgabe 3.1.2 a) Hier wird nach den partiellen Ableitungen der Produktionsfunktion nach dem jeweiligen Faktor gefragt: Grenzprodukt des Faktors 1: 𝑀𝑀𝑀𝑀 1 = 𝐴𝐴𝛼𝛼𝑣𝑣 1𝛼𝛼−1 𝑣𝑣 2𝛽𝛽 Grenzprodukt des Faktors 2: 𝑀𝑀𝑀𝑀 2 = 𝐴𝐴𝛽𝛽𝑣𝑣 1𝛼𝛼 𝑣𝑣 2𝛽𝛽−1 b) Eine Funktion hat immer dann einen fallenden Verlauf, wenn ihre Ableitung negativ ist. <?page no="62"?> 62 Mikroökonomie · 77 Aufgaben Somit ist das Grenzprodukt des Faktors 1 fallend (also abnehmend) mit zunehmender Einsatzmenge des Faktors 1 bei Konstanz des Faktors 2, wenn die Ableitung von 𝑀𝑀𝑀𝑀 1 nach 𝑣𝑣 1 negativ ist. Wegen 𝑀𝑀𝑀𝑀 1 = 𝐴𝐴𝛼𝛼𝑣𝑣 1𝛼𝛼−1 𝑣𝑣 2𝛽𝛽 gilt 𝜕𝜕𝑀𝑀𝑀𝑀 1 𝜕𝜕𝑣𝑣 1 = 𝐴𝐴𝛼𝛼(𝛼𝛼 − 1)𝑣𝑣 1𝛼𝛼−2 𝑣𝑣 2𝛽𝛽 Um das Vorzeichen zu bestimmen, müssen die Vorzeichen aller Komponenten bestimmt werden. Da 𝑣𝑣 𝑖𝑖 (𝑖𝑖 = 1,2) Mengen sind, sind sowohl 𝑣𝑣 1𝛼𝛼−2 als auch 𝑣𝑣 2𝛽𝛽 positiv. 𝐴𝐴 ist annahmegemäß positiv. Somit ist der Ausdruck negativ, wenn ( 𝛼𝛼 − 1 ) negativ ist. Das ist wiederum gegeben, wenn 𝛼𝛼 < 1 ist. Dann ist der Gesamtausdruck negativ und das Grenzprodukt des Faktors 1 abnehmend. Ist 𝛼𝛼 > 1 , ist der Ausdruck positiv und das Grenzprodukt würde steigen. Lösung zu Aufgabe 3.1.3 a) Die Isoquante wird aus der Produktionsfunktion abgeleitet, indem der Output auf das vorgegebene Niveau gesetzt wird. Dann wird für jede Menge des Faktors 1 bestimmt, wie viel von Faktor 2 benötigt wird, um eben diesen Output zu erzeugen. Mathematisch bedeutet das: Man setzt die zu produzierende Menge in die Produktionsfunktion ein (hier 𝑥𝑥 = 20 ) und löst diese dann nach 𝑣𝑣 2 auf und erhält so eine Funktion der Form 𝑣𝑣 2 = 𝑓𝑓(𝑣𝑣 1 ) : 𝑥𝑥 = �4𝑣𝑣 1 + 2𝑣𝑣 2 20 = �4𝑣𝑣 1 + 2𝑣𝑣 2 Quadrieren ergibt: 400 = 4𝑣𝑣 1 + 2𝑣𝑣 2 Auflösen nach v 2 ergibt die Gleichung der Isoquante: 𝑣𝑣 2 = 200 − 2𝑣𝑣 1 Da diese Isoquante linear ist, handelt es sich bei den Faktoren um perfekte Substitute. <?page no="63"?> Lösungen zu Kapitel 3: Produktionstheorie 63 Abb. 25 b) Die Grenzrate der technischen Substitution 𝜕𝜕𝑣𝑣 2 𝜕𝜕𝑣𝑣 1 ist -2. Wenn also eine marginale Einheit von Faktor 1 weniger eingesetzt wird, muss die Menge von Faktor 2 um 2 marginale Einheiten erhöht werden, um weiterhin einen Output von 20 zu erzielen. c) Die Grenzrate der technischen Substitution ist konstant und damit unabhängig von der eingesetzten Menge des Faktors 1. Sie ändert sich also nicht mit zunehmendem Einsatz dieses Faktors. Lösung zu Aufgabe 3.1.4 Wie in Aufgabe 3.1.3 gezeigt, ist die Isoquante eine Funktion, die 𝑣𝑣 2 als Funktion von 𝑣𝑣 1 bei gegebenem Output beschreibt, also 𝑣𝑣 2 = 𝑓𝑓(𝑣𝑣 1 ) . Die Steigung der Isoquante, die als Grenzrate der technischen Substitution oder Technische Rate der Substitution bezeichnet wird, ist somit 𝑑𝑑𝑣𝑣 2 𝑑𝑑𝑣𝑣 1 . Zur Berechnung der Steigung kann man sich das totale Differential der Produktionsfunktion zu Nutze machen: 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝜕𝜕𝑣𝑣 1 𝑑𝑑𝑣𝑣 1 + 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝜕𝜕𝑣𝑣 2 𝑑𝑑𝑣𝑣 2 . Die Isoquante gibt definitionsgemäß alle Kombinationen der Inputfaktoren 𝑣𝑣 1 und 𝑣𝑣 2 an, mit denen der gleiche Output produziert werden kann. Entlang der Isoquante ist der Output demnach konstant und es gilt: 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 0 . Es gilt also: 0 = 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝜕𝜕𝑣𝑣 1 𝑑𝑑𝑣𝑣 1 + 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝜕𝜕𝑣𝑣 2 𝑑𝑑𝑣𝑣 2 . Diese Gleichung lässt sich nun nach der oben definierten Steigung auflösen: 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝜕𝜕𝑣𝑣 2 𝑑𝑑𝑣𝑣 2 = − 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝜕𝜕𝑣𝑣 1 𝑑𝑑𝑣𝑣 1 v 2 100 200 Isoquante v 1 <?page no="64"?> 64 Mikroökonomie · 77 Aufgaben 𝑑𝑑𝑣𝑣 2 𝑑𝑑𝑣𝑣 1 = − 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝜕𝜕𝑣𝑣 1 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝜕𝜕𝑣𝑣 2 Dieser etwas kompliziert wirkende Ausdruck ist nichts anderes als das Grenzprodukt des Faktors 𝑣𝑣 1 bezogen auf das Grenzprodukt des Faktors 𝑣𝑣 2 . Lösung zu Aufgabe 3.1.5 Abb. 26 Lösung zu Aufgabe 3.2.1 a) Die Isoquante wird aus der Produktionsfunktion abgeleitet, indem man den Output auf das vorgegebene Niveau setzt und dann für jede Menge des Faktors 1 bestimmt, wie viel von Faktor 2 benötigt wird, um eben diesen Output zu erzeugen. Mathematisch bedeutet das: Man setzt die zu produzierende Menge in die Produktionsfunktion ein (hier 𝑥𝑥 = 20 ) und löst diese dann nach 𝑣𝑣 2 auf. 𝑥𝑥 = �3𝑣𝑣 1 4𝑣𝑣 2 20 = �3𝑣𝑣 1 4𝑣𝑣 2 Quadrieren ergibt: 400 = 3𝑣𝑣 1 4𝑣𝑣 2 Input Output Input Output Input Output Input Output abnehmendes Grenzprodukt zunehmendes Grenzprodukt konstantes Grenzprodukt wechselndes Grenzprodukt steigend konstant abnehmend <?page no="65"?> Lösungen zu Kapitel 3: Produktionstheorie 65 Auflösen nach 𝑣𝑣 2 ergibt die Gleichung der Isoquante: 𝑣𝑣 2 = 400 12𝑣𝑣 1 = 100 3𝑣𝑣 1 Da diese Isoquante hyperbolisch verläuft, handelt es sich bei den Faktoren um imperfekte Substitute. Abb. 27 b) Die Gleichung der Isokostenlinie ergibt sich aus der Summe der Kosten aller Faktoren 𝐾𝐾 = 𝑞𝑞 1 𝑣𝑣 1 + 𝑞𝑞 2 𝑣𝑣 2 durch Konstantsetzen der Kosten und Auflösen nach 𝑣𝑣 2 . Da hier die Faktorpreise bekannt sind, kann man diese einsetzen und erhält: 𝐾𝐾� = 4𝑣𝑣 1 + 5𝑣𝑣 2 Auflösen nach 𝑣𝑣 2 ergibt die Isokostenlinie für das Kostenniveau 𝐾𝐾� 𝑣𝑣 2 = 𝐾𝐾� 5 − 45 𝑣𝑣 1 c) Im Kostenminimum berührt die Isokostenlinie die Isoquante. Beide haben dort die gleiche Steigung. Die Steigung der Isokostenlinie entspricht den relativen Inputpreisen. Die Grenzrate der technischen Substitution entspricht der Steigung der Isoquante. Im Kostenminimum gilt: 𝑞𝑞 1 𝑞𝑞 2 = 𝛿𝛿𝑥𝑥 𝛿𝛿𝑣𝑣 1 𝛿𝛿𝑥𝑥 𝛿𝛿𝑣𝑣 2 = 45 = 𝑇𝑇𝐺𝐺𝐺𝐺 v 1 v 2 Isoquante <?page no="66"?> 66 Mikroökonomie · 77 Aufgaben Lösung zu Aufgabe 3.2.2 Abb. 28 a) Das Unternehmen sollte nicht Technologie 𝐵𝐵 wählen, da bei dieser Technologie für die gleiche Outputmenge mehr von beiden Inputs benötigt wird als bei Technologie 𝐶𝐶 . b) Die Gleichung für die Kosten in Deutschland lautet: 𝐾𝐾 𝐷𝐷 = 𝑤𝑤 𝐷𝐷 ∙ 𝐿𝐿 + 𝑝𝑝 𝐷𝐷 ∙ 𝐸𝐸 = 40𝐿𝐿 + 20𝐸𝐸 Bei einem Budget von 2.000 ergibt sich die in die Graphik eingezeichnete Isokostenlinie (b). c) Mit der bereits eingezeichneten Isokostenlinie (b) zu einem Budget von 2.000 Euro lässt sich der geplante Output mit keiner der verfügbaren Technologien verwirklichen. Das Budget muss also erhöht werden, was graphisch eine Verschiebung der Isokostenlinie nach außen bedeutet. Bei der Verschiebung „trifft“ die Isokostenlinie als erstes Technologie 𝐷𝐷 (Isokostenlinie Kostenminimierung). Technologie 𝐷𝐷 wäre also für Deutschland die kostenminimale Produktionstechnologie. d) Würde das Unternehmen mit Technologie 𝐷𝐷 in Deutschland produzieren, ergäben sich folgende Kosten: 𝐾𝐾 𝐷𝐷 = 40 ∙ 40 + 20 ∙ 100 = 3.600 In Schweden wäre dagegen Technologie 𝐴𝐴 kostenminimal. Diese Technologie ergäbe in Schweden folgende Kosten: 𝐾𝐾 𝑆𝑆 = 50 ∙ 10 + 2 ∙ 400 = 1.300 Wenn nur die Kosten zählen, sollte das Unternehmen folglich in Schweden produzieren. Arbeitsstunden L 600 500 400 300 200 100 10 20 30 40 50 60 Anzahl Energieeinheiten E + D +C + A +B Isokostenlinie Kostenminimierung Isokostenlinie (b) <?page no="67"?> Lösungen zu Kapitel 3: Produktionstheorie 67 Lösung zu Aufgabe 3.2.3 a) Im Diagramm sind eine Isoquante und eine Isokostenlinie abgebildet. Um den kostenminimalen Punkt zu erreichen, wird die Isokostenlinie in Richtung Ursprung verschoben, bis sie die Isoquante nur noch tangiert (Isokostenlinie 1). Dieser Tangentialpunkt gibt die kostenminimale Einsatzmenge von Kapital 𝐶𝐶 und Arbeit 𝐿𝐿 an. Abb. 29 b) Im Kostenminimum entspricht die Steigung der Isokostenlinie der Steigung der Isoquante. Der relative Inputpreis entspricht dem relativen Grenzprodukt der Inputfaktoren. Es gilt also: 𝑤𝑤𝑟𝑟 = 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝜕𝜕𝐿𝐿 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝜕𝜕𝐶𝐶 (Alternativ kann man auch den Kehrwert der Bedingung verwenden, das führt zum gleichen Ergebnis.) Diese Gleichung gilt es nun mit den Angaben aus dem Beispiel zu füllen. Während die Inputpreise 𝑤𝑤 und 𝑟𝑟 gegeben sind, müssen die Grenzprodukte des Kapitals und der Arbeit mit den partiellen Ableitungen errechnet werden: 1) 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝜕𝜕𝐿𝐿 = 10 ∙ 𝐶𝐶 0,3 ∙ 0,2 ∙ 𝐿𝐿 0,2−1 = 2 ∙ 𝐶𝐶 0,3 ∙ 𝐿𝐿 −0,8 2) 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝜕𝜕𝑑𝑑 = 10 ∙ 𝐿𝐿 0,2 ∙ 0,3 ∙ 𝐶𝐶 0,3−1 = 3 ∙ 𝐿𝐿 0,2 ∙ 𝐶𝐶 −0,7 Die beiden partiellen Ableitungen werden zusammen mit den Inputpreisen in die Bedingung für das Kostenminimum eingesetzt: 100 150 = 2 ∙ 𝐶𝐶 0,3 ∙ 𝐶𝐶 0,7 𝐿𝐿 0,8 ∙ 3 ∙ 𝐿𝐿 0,2 L C C ∗ L ∗ Isoquante Isokostenlinie 0 Isokostenlinie 1 <?page no="68"?> 68 Mikroökonomie · 77 Aufgaben Zusammengefasst führt dieser Ausdruck zur gefragten Bedingung: 𝑑𝑑𝐿𝐿 = 1 Im Kostenminimum werden die beiden Inputfaktoren in der gleichen Menge 𝐶𝐶 = 𝐿𝐿 eingesetzt. Wie können nun die 1.000 Outputeinheiten kostenminimal produziert werden? Dafür substituiert man 𝐿𝐿 durch 𝐶𝐶 (oder umgekehrt) und setzt diese Bedingung in die Produktionsfunktion für 1.000 Einheiten ein: 1.000 = 10 ∙ C 0,3 ∙ C 0,2 und erhält 100 = √𝐶𝐶 . Die kostenminimalen Inputmengen von Kapital und Arbeit zur Produktion von 1.000 Outputeinheiten sind je 10.000 Einheiten. Lösung zu Aufgabe 3.3.1 a) Es gibt zwei Wege zur Berechnung des Gewinnmaximums. In beiden Fällen wird die gewinnmaximierende Menge bestimmt, da in der vollkommenen Konkurrenz die angebotene Menge der einzige Aktionsparameter des Unternehmens ist und somit nur die Menge optimiert werden kann. (1) Der erste Weg ist der aus der Mathematik bekannte Weg der Bestimmung von Extremwerten einer vorgegebenen Funktion. Bei der Gewinnmaximierung besteht er aus den Schritten: Ableiten der Gewinngleichung nach der Menge, Nullsetzen der Ableitung, Berechnung der Menge, bei der der Gewinn maximal ist durch Auflösen nach 𝑥𝑥 und letztendlich Überprüfen der Bedingung zweiter Ordnung, um festzustellen, ob der Gewinn bei dieser Menge maximal oder minimal ist. Das bedeutet, es muss überprüft werden, welches Vorzeichen die 2. Ableitung des Gewinns hat. Ist diese beim gewinnmaximierenden 𝑥𝑥 negativ, liegt ein Gewinnmaximum vor. Konkret für die vorliegende Fragestellung ist dieser Weg hier beschrieben: Die Gewinngleichung lautet allgemein: 𝐺𝐺 = 𝑝𝑝 ∙ 𝑥𝑥 − 𝐾𝐾(𝑥𝑥) Durch Einsetzen des Marktpreises und der Kostenfunktion (aus 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐾𝐾 und 𝐾𝐾 𝑓𝑓 hergeleitet) ergibt sich im konkreten Fall: 𝐺𝐺 = 9𝑥𝑥 − (3𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 2 + 16) = 6𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 2 − 16 Das ist die Grundlage für die Gewinnmaximierung folgend den oben genannten Schritten: Erster Schritt: Ableitung der Gewinnfunktion nach 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝐺𝐺 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 6 − 2𝑥𝑥 Zweiter Schritt: Nullsetzen der Ableitung <?page no="69"?> Lösungen zu Kapitel 3: Produktionstheorie 69 𝑑𝑑𝐺𝐺 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 6 − 2𝑥𝑥 = 0 Dritter Schritt: Bestimmung der gewinnmaximierenden Menge 𝑥𝑥 ∗ 6 − 2𝑥𝑥 = 0 ⟹ 2𝑥𝑥 = 6 ⟹ 𝑥𝑥 ∗ = 3 Vierter Schritt: Überprüfung, ob an der Stelle 𝑥𝑥 ∗ = 3 ein Gewinnmaximum vorliegt, dazu wird die 2. Ableitung der Gewinnfunktion gebildet: 𝜕𝜕 2 𝐺𝐺 𝜕𝜕𝑥𝑥 2 = −2 < 0 Da diese hier negativ ist, liegt ein Maximum vor. (2) Der zweite Weg besteht in der Verwendung der in der vollkommenen Konkurrenz geltenden Gewinnmaximierungsbedingung 1. Ordnung: 𝑝𝑝 = 𝐺𝐺𝐾𝐾 und der anschließenden Überprüfung der Bedingung 2. Ordnung. Im vorliegenden Fall ist dies im Folgenden beschrieben: Zunächst sind die Grenzkosten zu ermitteln. Hier sind sie: 𝐺𝐺𝐾𝐾 = 𝑑𝑑𝐾𝐾 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 3 + 2𝑥𝑥 Einsetzen der Grenzkosten und des gegebenen Marktpreises in die Gewinnmaximierungsbedingung 1. Ordnung ergibt: 9 = 3 + 2𝑥𝑥 6 = 2𝑥𝑥 𝑥𝑥 ∗ = 3 Auch hier muss die Bedingung 2. Ordnung überprüft werden, wie oben bereits gezeigt (s. unter (1)). b) Die Berechnung der Höhe des Gewinns im Gewinnmaximum, also bei 𝑥𝑥 ∗ = 3 ergibt: 𝐺𝐺(𝑥𝑥 ∗ = 3) = 9 ∙ 3 − 3 ∙ 3 − 16 = 2 Das Unternehmen erzielt einen positiven Gewinn und wird daher die Menge von 3 produzieren und diese am Markt anbieten. <?page no="70"?> 70 Mikroökonomie · 77 Aufgaben Abb. 30 Der grün eingezeichnete Teil der Grenzkostenkurve stellt die langfristige Angebotsfunktion dar: Wenn der Preis hier die 𝐺𝐺𝐾𝐾 schneidet, ist durch den Schnittpunkt die anzubietende Menge bestimmt. Begründung: Da 𝑝𝑝 > 𝐷𝐷𝐾𝐾 gilt, erwirtschaftet jedes angebotene Stück einen Gewinn. Die kurzfristige Angebotsfunktion umfasst neben dem grünen auch den gelben Teil der 𝐺𝐺𝐾𝐾 , denn im gelben Teil ist der Preis größer als die 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐾𝐾 , womit neben den variablen Kosten auch ein Teil der Fixkosten gedeckt wird (Deckungsbeitrag), so dass der Verlust geringer ist als bei Produktionsaufgabe. Lösung zu Aufgabe 3.3.2 Abb. 31 3 DVK DK GK DVK p DK x GK gewinnmaximale Produktionsmenge x DK 10 50 40 DVK x ∗ DK GK DVK p GK Gewinn <?page no="71"?> Lösungen zu Kapitel 3: Produktionstheorie 71 a) Das Unternehmen macht einen Gewinn, da bei der gewinnmaximalen Produktionsmenge 𝑥𝑥 ∗ die Durchschnittskosten kleiner sind als der Preis. Der Gewinn ist die grüne Fläche: 𝐺𝐺 = (𝑝𝑝 − 𝐷𝐷𝐾𝐾(𝑥𝑥 ∗ )) ∙ 𝑥𝑥 ∗ b) Da das Unternehmen einen positiven ökonomischen Gewinn erwirtschaftet, besteht ein Anreiz für Markteintritte. c) Die Markteintritte führen zu einer Erhöhung des Angebots des hergestellten Gutes. Daher ist zu erwarten, dass der Preis sinken wird. Ein Gleichgewicht ist zu erwarten, wenn der Preis den Durchschnittskosten entspricht und ein ökonomischer Gewinn von Null erwirtschaftet wird. Dann besteht kein Anreiz mehr für Markteintritte bzw. Marktaustritte. Dieses Gleichgewicht stellt sich bei einem Preis von 40 Euro ein, denn hier gilt: 𝑀𝑀𝑟𝑟𝐺𝐺𝑖𝑖𝑠𝑠 = 𝐺𝐺𝑟𝑟𝐺𝐺𝑛𝑛𝐺𝐺𝑘𝑘𝐾𝐾𝑠𝑠𝐾𝐾𝐺𝐺𝑛𝑛 = 𝐷𝐷𝑢𝑢𝑟𝑟𝑐𝑐ℎ𝑠𝑠𝑐𝑐ℎ𝑛𝑛𝑖𝑖𝐾𝐾𝐾𝐾𝑠𝑠𝑘𝑘𝐾𝐾𝑠𝑠𝐾𝐾𝐺𝐺𝑛𝑛 Lösung zu Aufgabe 3.3.3 a) Die Gesamtkosten des Unternehmens ergeben sich aus der Summe der einzelnen Kostenkomponenten. Hier gibt es drei Kostenkomponenten: Die Kosten für die Arbeitsteams, für die Fließbandmaschinen und für das Material: Gesamtkosten: 𝐾𝐾 = 𝑤𝑤 ∙ 𝐿𝐿 + 𝑟𝑟 ∙ 𝐶𝐶 + 𝑚𝑚 ∙ 𝑥𝑥 𝑤𝑤 steht hier für die Kosten pro Arbeitsteam ( 𝑤𝑤 = 1.000 ) und 𝑟𝑟 für die Kosten der Fließbandmaschinen. Da fix 5 Fließbandmaschinen zu Kosten von 64.000 Euro eingesetzt werden, gilt 𝑟𝑟 ∙ 𝐶𝐶 = 64.000 . Diese Werte können in die Gesamtkosten eingesetzt werden: 𝐾𝐾 = 1.000 ∙ 𝐿𝐿 + 64.000 + 200 ∙ 𝑥𝑥 Eine Kostenfunktion ist definiert als Funktion, die die Kosten in Abhängigkeit von der Produktionsmenge 𝑥𝑥 angibt. Insofern stören in der obigen Gleichung noch die Arbeitsteams 𝐿𝐿 . Diese können jedoch unter Verwendung der Produktionsfunktion durch 𝑥𝑥 ersetzt werden. Dazu löst man die Produktionsfunktion nach 𝐿𝐿 auf und quadriert die Gleichung auf beiden Seiten: 𝐿𝐿 = �𝑥𝑥 𝐶𝐶� 2 = 𝑥𝑥 2 25 Diese Umformung wird in die Kostenfunktion eingesetzt und man erhält das Ergebnis: 𝐾𝐾(𝑥𝑥) = 1.000 ∙ 𝑥𝑥 2 25 + 64.000 + 200𝑥𝑥 = 64.000 + 40𝑥𝑥 2 + 200𝑥𝑥 b) Hier wird nach dem Konkurrenzpreis gefragt, bei dem das Unternehmen gerade einen ökonomischen Gewinn von Null erwirtschaftet. Zur Berechnung dieses Preises wird die Bedingung für ein Gewinnmaximum bei vollkommener Konkurrenz (Preis gleich Grenzkosten) mit der Nullgewinnbedingung (Preis gleich Durchschnittskosten) verbunden. Das ergibt die Bedingung „Grenzkosten gleich Durchschnittskosten“: <?page no="72"?> 72 Mikroökonomie · 77 Aufgaben 𝐾𝐾 ′ (𝑥𝑥) = 𝐾𝐾(𝑥𝑥) 𝑥𝑥 Auf diese Weise ermittelt man zunächst die produzierte Menge, indem die Grenzkosten und die Durchschnittskosten aus der in Teilaufgabe b) ermittelten Kostenfunktion berechnet werden: 80𝑥𝑥 + 200 = 64.000 𝑥𝑥 + 40𝑥𝑥 + 200 Zieht man auf beiden Seiten der Gleichung 200 ab und multipliziert mit x, erhält man: 80𝑥𝑥 2 = 64.000 + 40𝑥𝑥² bzw.: 40𝑥𝑥 2 = 64.000 Teilt man die Gleichung auf beiden Seiten durch 40 und zieht anschließend die Wurzel, erhält man die Produktionsmenge 𝑥𝑥 = 40 . Da es sich um eine Menge handelt, ist die negative Wurzel hier nicht relevant und kann ignoriert werden. Gesucht ist nun der zugehörige Preis. Hierzu können die 40 Produktionseinheiten z.B. in die Bedingung für das Gewinnmaximum (Preis = Grenzkosten) eingesetzt werden: 𝑝𝑝 = 80 ∙ 40 + 200 = 3.400 Das Unternehmen muss also pro Druckmaschine einen Preis von 3.400 Euro oder mehr erhalten, um keinen ökonomischen Verlust zu erleiden. Lösung zu Aufgabe 3.3.4 a) Diese Aufgabe ist sehr ähnlich zu Aufgabe 3.3.3., Teilaufgabe b). Man sucht den Punkt, an dem das Unternehmen einen ökonomischen Gewinn von Null erwirtschaftet. Es gelten also sowohl die Bedingung für das Gewinnmaximum als auch die Bedingung für Nullgewinn: 𝐾𝐾 ′ (𝑥𝑥) = 𝐾𝐾(𝑥𝑥) 𝑥𝑥 Man ermittelt die obige Bedingung für die konkret gegebene Kostenfunktion: 2𝑥𝑥 + 6 = 2.500 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 + 6 Die Gleichung kann nun analog wie in Aufgabe 3.3.3. nach 𝑥𝑥 aufgelöst werden. Man erhält das Ergebnis 𝑥𝑥 = 50 . Um den Preis zu ermitteln, setzt man die 50 in die Grenzkosten ein und erhält den Preis 𝑝𝑝 = 106 . Ab einem Preis von 106 kann das Unternehmen einen positiven Gewinn erwarten. b) Nun ist ein höherer Preis von 120 Euro gegeben. Man weiß bereits, dass das Unternehmen einen Gewinn erwirtschaftet. Die gewinnmaximale Produktionsmenge <?page no="73"?> Lösungen zu Kapitel 3: Produktionstheorie 73 ermittelt man über die Bedingung für ein Gewinnmaximum bei vollkommener Konkurrenz: 𝑝𝑝 = 𝐾𝐾 ′ (𝑥𝑥) Das bedeutet für die konkrete Kostenfunktion der Aufgabe: 120 = 2𝑥𝑥 + 6 Durch Subtrahieren von 6 auf beiden Seiten und Teilen der Gleichung durch 2 erhält man die gewinnmaximale Menge 𝑥𝑥 ∗ = 57 . Gemäß der Bedingung 2. Ordnung handelt es sich um ein Gewinnmaximum, da 𝐺𝐺𝐾𝐾 ′ = 2 > 0 . Für die Berechnung des Gewinns braucht man die Gewinnfunktion: 𝐺𝐺(𝑥𝑥) = 𝑝𝑝 ∙ 𝑥𝑥 − 𝐾𝐾(𝑥𝑥) In diese werden Preis und Menge eingesetzt: 𝐺𝐺(𝑥𝑥) = 120 ∙ 57 − 2.500 − 57 2 − 6 ∙ 57 = 749 Bei einem gegebenen Preis von 120 Euro erwirtschaftet das Unternehmen einen maximalen Gewinn von 749 Euro, wenn es 57 Produktionseinheiten herstellt und verkauft. Lösung zu Aufgabe 3.3.5 a) Es kommt dann nicht mehr zu Markteintritten, wenn die Unternehmen einen ökonomischen Gewinn von Null erwirtschaften. Dies ist dann der Fall, wenn sowohl die Bedingung für ein Gewinnmaximum bei vollkommener Konkurrenz (Preis = Grenzkosten) als auch die Nullgewinnbedingung (Preis = Durchschnittskosten) gilt. Beide Bedingungen kann man zusammenfassen und erhält: 𝐾𝐾 ′ (𝑥𝑥) = 𝐾𝐾(𝑥𝑥) 𝑥𝑥 Für die konkrete Kostenfunktion ergibt sich die Gleichung: 1.600 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 + 6 = 2𝑥𝑥 + 6 Durch Auflösen der Gleichung nach 𝑥𝑥 erhält man eine Produktionsmenge pro Unternehmen von 𝑥𝑥 = 40 . Den zu dieser Produktionsmenge passenden Preis kann man ermitteln, indem man die 40 entweder in die Durchschnittskosten- oder die Grenzkostenfunktion einsetzt. Wählt man die Grenzkostenfunktion, ermittelt sich der Preis aus: 𝐾𝐾 ′ (40) = 2 ∙ 40 + 6 = 86 . Wenn auf dem Markt insgesamt 400 Laubsauger angeboten werden und jedes Unternehmen 40 Stück produziert, dann ergibt sich die Anzahl der Unternehmen als 400/ 40 = 10 . Zehn Unternehmen sind auf dem Markt aktiv und bieten jeweils 40 Laubsauger an. <?page no="74"?> 74 Mikroökonomie · 77 Aufgaben b) Die Steuer bewirkt, dass sich die variablen Kosten des Unternehmens um 5x erhöhen, da die Steuer pro Laubsauger erhoben wird. Die Kostenfunktion ändert sich zu: 𝐾𝐾(𝑥𝑥) = 1.600 + 𝑥𝑥 2 + 6𝑥𝑥 + 5𝑥𝑥 = 1.600 + 𝑥𝑥 2 + 11𝑥𝑥 Lösung zu Aufgabe 3.3.6 Abb. 32 a) Die durchschnittlichen variablen Kosten sind definiert als die gesamten variablen Kosten geteilt durch die Produktionsmenge: 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐾𝐾 = 𝐾𝐾 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣 (𝑥𝑥) 𝑥𝑥 in diesem Fall also: 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐾𝐾 = 5𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥² 𝑥𝑥 = 5 + 2𝑥𝑥 b) Die angebotene Menge 𝑥𝑥 ∗ entspricht der gewinnmaximierenden Menge. Sie ergibt sich aus dem Schnittpunkt der Grenzkosten mit dem Preis. Die orangefarbene Fläche stellt die Gesamtkosten dar: 𝐾𝐾 = 𝐷𝐷𝐾𝐾(𝑥𝑥 ∗ ) ∙ 𝑥𝑥 ∗ . Die grüne Fläche ist der Gewinn: 𝐺𝐺 = (𝑝𝑝 − 𝐷𝐷𝐾𝐾(𝑥𝑥 ∗ )) ∙ 𝑥𝑥 ∗ . c) Bei vollkommener Konkurrenz gilt im Gewinnmaximum Preis gleich Grenzkosten: 𝑝𝑝 = 𝐾𝐾 ′ (𝑥𝑥) Dies ergibt hier: 65 = 5 + 4𝑥𝑥 x DK 5 65 Preis DVK x ∗ gewinnmaximale Menge DK GK DVK p GK Gewinn Gesamtkosten <?page no="75"?> Lösungen zu Kapitel 3: Produktionstheorie 75 Um nach 𝑥𝑥 aufzulösen, zieht man auf beiden Seiten der Gleichung 5 ab und teilt durch 4. Als Ergebnis erhält man 𝑥𝑥 = 15 . Es handelt sich um ein Gewinnmaximum (Bedingung 2. Ordnung), wenn die Grenzkosten steigend verlaufen. Dies ist hier der Fall 𝐺𝐺𝐾𝐾 ′ = 4 > 0 . Bei einem Preis von 65 Euro wählt das Unternehmen die gewinnmaximale Produktionsmenge 15 Stück. Lösung zu Aufgabe 3.3.7 Die Durchschnittskosten 𝐷𝐷𝐾𝐾 sind definitionsgemäß zu berechnen, indem die Kosten durch den Output geteilt werden und sind damit mathematisch durch einen Quotienten gegeben. Zur Bestimmung des Minimums der Durchschnittskosten ist daher die Quotientenregel anzuwenden: 𝐷𝐷𝐾𝐾 = 𝐾𝐾(𝑥𝑥) 𝑥𝑥 Zur Anwendung der Quotientenregel �� 𝑢𝑢𝑣𝑣 � ′ = 𝑢𝑢 ′ 𝑣𝑣−𝑢𝑢𝑣𝑣 ′ 𝑣𝑣 2 � müssen die Größen 𝑢𝑢 und 𝑣𝑣 bestimmt werden. Zur Quotientenregel vgl. Kasten „Wichtiges rund ums Ableiten“ in Kapitel 2. Hier ist: 𝑢𝑢 = 𝐾𝐾(𝑥𝑥) und somit 𝑢𝑢 ′ = 𝑑𝑑𝐾𝐾 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝐺𝐺𝐾𝐾 𝑣𝑣 = 𝑥𝑥 und somit 𝑣𝑣 ′ = 1 . Damit gilt 𝑑𝑑𝐷𝐷𝐾𝐾 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 ∙ 𝐺𝐺𝐾𝐾 − 1 ∙ 𝐾𝐾(𝑥𝑥) 𝑥𝑥 2 Im Minimum der Durchschnittskosten muss deren erste Ableitung den Wert Null haben: 𝑑𝑑𝐷𝐷𝐾𝐾 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 ∙ 𝐺𝐺𝐾𝐾 − 𝐾𝐾(𝑥𝑥) 𝑥𝑥 2 = 0 Somit ist die Bedingung 1. Ordnung für das Minimum von 𝐷𝐷𝐾𝐾 : 𝐺𝐺𝐾𝐾 𝑥𝑥 = 𝐾𝐾(𝑥𝑥) 𝑥𝑥 2 Multiplizieren beider Seiten mit 𝑥𝑥 ergibt: 𝐺𝐺𝐾𝐾 = 𝐾𝐾(𝑥𝑥) 𝑥𝑥 Hinter dem Gleichheitszeichen steht nun die Definitionsgleichung von 𝐷𝐷𝐾𝐾 �𝐷𝐷𝐾𝐾 = 𝐾𝐾(𝑥𝑥) 𝑥𝑥 �. <?page no="76"?> 76 Mikroökonomie · 77 Aufgaben Die obige Bedingung 1. Ordnung für ein Minimum der Durchschnittskosten lässt sich damit auch folgendermaßen schreiben: 𝐺𝐺𝐾𝐾 = 𝐷𝐷𝐾𝐾 Das Minimum der Durchschnittskosten ist somit an der Stelle, an der sich die Grenzkosten und die Durchschnittskosten schneiden. Lösung zu Aufgabe 3.3.8 a) Hier ist zunächst wieder nach der gewinnmaximalen Menge bei gegebenem Preis 𝑝𝑝 = 12 gefragt. Die Bedingung für ein Gewinnmaximum vereinfacht sich unter der Annahme von vollkommener Konkurrenz zu: 𝑝𝑝 = 𝐾𝐾 ′ (𝑥𝑥) . Eingesetzt in die konkrete Kostenfunktion ergibt dies: 12 = 2𝑥𝑥 + 10 . Auflösen nach 𝑥𝑥 führt zur gewinnmaximalen Menge 𝑥𝑥 ∗ = 1 . Ein Maximum liegt vor, da die Grenzkosten steigend verlaufen: 𝐺𝐺𝐾𝐾 ′ = 2 > 0 . Soll das Unternehmen zu diesem Preis langfristig anbieten? Das wäre nur der Fall, wenn das Unternehmen keinen ökonomischen Verlust erwirtschaftet. Das lässt sich mit der Überprüfung der Bedingung 𝑝𝑝 ≥ 𝐷𝐷𝐾𝐾(𝑥𝑥) herausfinden. Die Durchschnittskosten lauten in diesem Beispiel: 𝐷𝐷𝐾𝐾(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 + 10 + 100 𝑥𝑥 . An der Stelle 𝑥𝑥 = 1 beträgt der Wert dieser Funktion 𝐷𝐷𝐾𝐾(𝑥𝑥 = 1) = 111 . Die Durchschnittskosten sind deutlich höher als der Preis, sodass das Unternehmen in dieser Konstellation einen ökonomischen Verlust erfährt. Langfristig lohnt sich die Produktion nicht, es könnte aber sinnvoll sein, kurzfristig zu produzieren. Das lohnt sich nur, wenn durch die Produktion die durchschnittlichen variablen Kosten komplett und ein Teil der Fixkosten gedeckt werden können. Die Bedingung für kurzfristige Produktion lautet daher 𝑝𝑝 > 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐾𝐾 . Die durchschnittlichen variablen Kosten sind in diesem Beispiel 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐾𝐾(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 + 10 . Setzt man die Produktionsmenge 𝑥𝑥 = 1 ein, erhält man den Funktionswert 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐾𝐾(1) = 11 . Bei einer Produktionsmenge von 𝑥𝑥 = 1 ist der Preis leicht höher als die durchschnittlichen variablen Kosten und zumindest kurzfristig sollte weiter produziert werden. b) Hier ist nun nach dem Preis gefragt, ab dem ein ökonomischer Verlust vermieden wird und sich die Produktion auch langfristig lohnt. Dafür werden die Bedingungen für ein Gewinnmaximum ( 𝑝𝑝 = 𝐺𝐺𝐾𝐾 ) und für einen ökonomischen Gewinn von Null ( 𝑝𝑝 = 𝐷𝐷𝐾𝐾 ) kombiniert: 𝐺𝐺𝐾𝐾 = 𝐷𝐷𝐾𝐾 . Beide Funktionen wurden bereits in Teilaufgabe a) ermittelt, sodass direkt eingesetzt werden kann: 2𝑥𝑥 + 10 = 𝑥𝑥 + 10 + 100 𝑥𝑥 Subtrahiert man auf beiden Seiten 𝑥𝑥 und 10, erhält man: 𝑥𝑥 = 100 𝑥𝑥 bzw. 𝑥𝑥 2 = 100. Bei einer Menge von 𝑥𝑥 = 10 wäre der ökonomische Gewinn genau Null. Der dazugehörige Preis ergibt sich z.B. durch Einsetzen in die Grenzkostenfunktion: 𝐾𝐾 ′ (10) = 30 . Bei der gegebenen Kostenstruktur lohnt sich die Produktion ab einem Preis von 30 langfristig. <?page no="77"?> Lösungen zu Kapitel 3: Produktionstheorie 77 Lösung zu Aufgabe 3.3.9 a) Die Gewinngleichung lautet hier: 𝐺𝐺 = 𝑝𝑝𝑥𝑥 − 𝑎𝑎𝑥𝑥 2 − 𝑏𝑏𝑥𝑥 − 𝑐𝑐 Die erste Ableitung muss im Gewinnmaximum Null sein: 𝑑𝑑𝐺𝐺 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑝𝑝 − 2𝑎𝑎𝑥𝑥 − 𝑏𝑏 = 0 Auflösen nach 𝑥𝑥 ergibt: 𝑥𝑥 = 𝑝𝑝 2𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 2𝑎𝑎 Für die Bedingung zweiter Ordnung muss 𝐺𝐺 ein zweites Mal nach 𝑥𝑥 abgeleitet werden: 𝑑𝑑 2 𝐺𝐺 𝑑𝑑𝑥𝑥 2 = −2𝑎𝑎 Da 𝑎𝑎 > 0 gilt, ist dieser Ausdruck negativ und die Bedingung 2. Ordnung erfüllt. Alternativ könnte man die gewinnmaximale Menge auch über die Gewinnmaximierungsbedingung 𝑝𝑝 = 𝐾𝐾 ′ (𝑥𝑥) berechnen und kommt zum gleichen Ergebnis. Für die Bedingung 2. Ordnung müsste gezeigt werden, dass die Ableitung der Grenzkosten positiv ist. b) Die Durchschnittskosten sind definiert als: 𝐷𝐷𝐾𝐾 = 𝐾𝐾(𝑥𝑥) 𝑥𝑥 Hier gilt somit: 𝐷𝐷𝐾𝐾 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 𝑥𝑥 c) Es gilt: 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐾𝐾 = 𝐾𝐾 𝑣𝑣 (𝑥𝑥) 𝑥𝑥 sowie 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐾𝐾 = 𝐾𝐾 𝑓𝑓 (𝑥𝑥) 𝑥𝑥 Hier gilt somit: 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐾𝐾 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏 und: 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐾𝐾 = 𝑐𝑐 𝑥𝑥 d) Wenn der Preis unterhalb der Durchschnittskosten liegt, erlöst jedes einzelne produzierte Stück am Markt weniger, als es an Kosten erzeugt. Folglich ist der Gewinn negativ. Das gilt unabhängig davon, wie sich der Preis zu den durchschnittlichen variablen Kosten verhält. <?page no="78"?> 78 Mikroökonomie · 77 Aufgaben Da hier der Preis allerdings über den durchschnittlichen variablen Kosten liegt, ist er ausreichend, um für das betrachtete Gut die variablen Kosten und einen Teil der Fixkosten zu decken. Es wird ein Deckungsbeitrag zu den Fixkosten erwirtschaftet, so dass das Unternehmen zumindest kurzfristig weiter produzieren sollte. Lösung zu Aufgabe 3.3.10 Eine konkrete Kostenfunktion ist hier nicht bekannt. Die Bedingungen sollen allgemein, also unabhängig von der vorliegenden Kostenfunktion hergeleitet werden. Damit sind sie allgemein anwendbar für Unternehmen, die unter vollkommener Konkurrenz anbieten. a) Herleitung der Bedingung erster Ordnung: Die Gewinndefinition lautet: 𝐺𝐺 = 𝑝𝑝 ∙ 𝑥𝑥 − 𝐾𝐾(𝑥𝑥) Zu bestimmen ist die gewinnmaximierende Menge, daher muss nach 𝑥𝑥 abgeleitet und diese Ableitung Null gesetzt werden: 𝑑𝑑𝐺𝐺 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑝𝑝 − 𝑑𝑑𝐾𝐾(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 0 Zu beachten ist dabei, dass bei vollkommener Konkurrenz der Preis aus Sicht des betrachteten Unternehmens konstant ist. Es gilt definitionsgemäß: 𝐺𝐺𝐾𝐾 = 𝑑𝑑𝐾𝐾(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥 und somit: 𝑑𝑑𝐺𝐺 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑝𝑝 − 𝐺𝐺𝐾𝐾 = 0 | + 𝐺𝐺𝐾𝐾 𝑝𝑝 = 𝐺𝐺𝐾𝐾 (Bedingung erster Ordnung). b) Herleitung der Bedingung zweiter Ordnung: Es ist zu überprüfen, ob bei Geltung der Bedingung erster Ordnung ein Maximum oder ein Minimum vorliegt. Ein Maximum ist dann gegeben, wenn die zweite Ableitung im Extrempunkt negativ ist, hier also, wenn die zweite Ableitung der Gewinnfunktion negativ ist: 𝜕𝜕 2 𝐺𝐺 𝜕𝜕𝑥𝑥 2 < 0 Die zweite Ableitung lautet wegen der Konstanz von p: 𝜕𝜕 2 𝐺𝐺 𝜕𝜕𝑥𝑥 2 = 0 − 𝑑𝑑𝐺𝐺𝐾𝐾 𝑑𝑑𝑥𝑥 Für ein Gewinnmaximum muss gelten: 𝜕𝜕 2 𝐺𝐺 𝜕𝜕𝑥𝑥 2 = − 𝑑𝑑𝐺𝐺𝐾𝐾 𝑑𝑑𝑥𝑥 < 0 Multiplizieren mit (−1) ergibt: <?page no="79"?> Lösungen zu Kapitel 3: Produktionstheorie 79 𝑑𝑑𝐺𝐺𝐾𝐾 𝑑𝑑𝑥𝑥 > 0 Die Bedingung 2. Ordnung ist somit erfüllt, wenn die Steigung der Grenzkosten bei der gewinnmaximierenden Menge positiv ist. <?page no="81"?> 4 Markt bei vollkommener Konkurrenz In aller Kürze | Markt bei vollkommener Konkurrenz In diesem Kapitel wird der Markt insgesamt betrachtet. Auf diesem Markt treffen alle Haushalte, die ein gegebenes Gut nachfragen und alle Unternehmen, die eben dieses Gut anbieten, aufeinander. Dabei ist zu beachten, dass nun, anders als in Kapitel 2 und 3, nicht mehr ein individueller Haushalt bzw. ein individuelles Unternehmen Gegenstand der Analyse ist, sondern eine Vielzahl von Akteuren auf beiden Seiten betrachtet werden. Weitere Akteure sind in diesem Kapitel nicht auf den betrachteten Märkten aktiv. Der Aufgabenteil 4.1 betrachtet das Marktgleichgewicht, es gilt weiterhin die Annahme der vollkommenen Konkurrenz. In 4.2. werden Elastizitäten betrachtet. Auch hier werden normalerweise die Annahmen der vollkommenen Konkurrenz vorausgesetzt. Da aber auch bei Marktmacht die Preiselastizität der Nachfrage wichtig ist, wird bei einigen Teilaufgaben von der Annahme der vollkommenen Konkurrenz abgewichen und es werden einzelne Anbieter mit Marktmacht betrachtet. In diesen Fällen findet sich jeweils ein Hinweis in der Aufgabenstellung. Das sollten Sie wissen | Annahmen der vollkommenen Konkurrenz Viele unabhängige Anbieter und Nachfrager. Alle Marktteilnehmer sind sehr klein, gemessen am Marktvolumen. Homogenität der Güter Auf einem Markt wird nur ein identisches Gut gehandelt. Alle Exemplare sind aus Sicht der Konsumenten absolut gleichwertig, unabhängig davon, welcher Anbieter es produziert. Wenn ein Gut aus Sicht der Konsumenten andersartig ist, dann würde es nach der Logik der vollkommenen Konkurrenz auf einem anderen Markt gehandelt. So gibt es beispielsweise einen Markt für Schrippen, einen anderen für Laugenbrötchen. Keine Präferenzen jenseits der Gutseigenschaften, wie etwa räumliche, zeitliche oder persönliche Präferenzen. So entscheidet bei einem gegebenen Gut nur der Preis über den Kauf, nicht beispielsweise die Freundlichkeit eines Anbieters oder die ansprechende Präsentation der Ware. Es spielt auch keine Rolle, wie weit das Ladengeschäft vom Heimatort entfernt ist. Vollkommene Markttransparenz. Dies bedeutet, dass sowohl die Anbieter als auch die Nachfrager alle Angebote auch bzgl. der Preise auf dem Markt kennen und entsprechend entscheiden. Unendliche Reaktionsgeschwindigkeit aller Marktteilnehmer. Dies bedeutet, dass alle Marktteilnehmer immer sofort ohne jede Verzögerung auf Veränderungen reagieren. <?page no="82"?> 82 Mikroökonomie · 77 Aufgaben In der Folge dieser Annahmen gilt, dass kein Marktteilnehmer Einfluss auf den Preis hat und den Marktpreis somit als gegeben hinnimmt. Der einzelne Marktteilnehmer kann dann nur über die Menge entscheiden. Die Akteure werden daher als Mengenanpasser oder auch als Preisnehmer bezeichnet. Die Annahmen der vollkommenen Konkurrenz werden häufig als realitätsfern kritisiert. Tatsächlich lässt sich in der Realität wohl kaum ein Markt finden, der die strengen Annahmen erfüllt. Dennoch ist das Modell insbesondere aus zwei Gründen sinnvoll: Zum einen stellt das Modell der vollkommenen Konkurrenz einen Benchmark dar. Die Bandbreite unterschiedlicher Wettbewerbsintensitäten reicht von keinem Wettbewerb (Monopol) bis zu perfektem Wettbewerb (vollkommene Konkurrenz). Das Modell der vollkommenen Konkurrenz beschreibt den größtmöglichen Wettbewerb und damit auch die maximal durch eine Marktlösung erreichbare Wohlfahrt. Mit dieser Situation können andere Märkte verglichen werden. Zum anderen stellt das Marktmodell eine Vereinfachung dar, die die Modellierung erheblich erleichtert. Auch auf Märkten mit einem geringeren Wettbewerbsgrad beobachten wir ähnliche Effekte und Dynamiken. Das Modell der vollkommenen Konkurrenz kann daher auch für andere Marktformen Tendenzaussagen geben und beispielsweise die Wirkungen exogener Veränderungen und politischer Eingriffe erklären. Bitte beachten Sie: Die Annahmen sind nicht in allen Quellen einheitlich aufgelistet, die hier aufgeführten sind jedoch in aller Regel enthalten. Begriffe „vollkommener Wettbewerb“ und „vollkommener Markt“ werden in der Literatur ebenfalls benutzt und werden in der Regel synonym verwendet. Dies gilt auch hier. Relevant ist für Sie jeweils die Abgrenzung, die in Ihrer Veranstaltung zugrunde gelegt ist. Fehler, die Sie vermeiden sollten | Interpretation der Angebotskurve Bei der Interpretation des Marktdiagramms kommt es häufig zu Fehlinterpretationen der Angebotskurve. Die Angebotskurve gibt zu jeder produzierten Menge den Preis an, den die Anbieter gerade noch akzeptieren würden. Sozusagen einen Minimalpreis aus Sicht der Anbieter. Im Marktdiagramm muss dieser Preis steigen, wenn mehr verkauft werden soll. Warum ist das so? Dies hängt mit den Grenzkosten der Anbieter zusammen. Im Modell mit vollkommener Konkurrenz unterstellt man steigende Grenzkosten: Je mehr von einem Gut produziert werden soll, desto teurer wird die Herstellung der letzten Einheit des Gutes. Die Grenzkosten geben also die Opportunitätskosten der Produktion der letzten Einheit an. Der Anbieter möchte mindestens den Preis erhalten, der die Kosten deckt, die zusätzlich durch die Produktion einer weiteren Einheit des Gutes entstehen. Da die Grenzkosten mit der Produktionsmenge steigen, steigt auch der Preis, den die Anbieter gerade noch akzeptieren würden. Natürlich gibt es auch Produktionsprozesse, bei denen die Grenzkosten nicht steigen. Bei fallenden oder konstanten Grenzkosten gibt es auf den entsprechenden Märkten typischerweise wenig Wettbewerb. Es überleben nur einige wenige Unternehmen, im Extremfall nur eines. <?page no="83"?> Markt bei vollkommener Konkurrenz 83 4.1 Marktgleichgewicht, Komparative Statik und Wohlfahrtseffekte Aufgabe 4.1.1 Schwierigkeitsgrad Zeit einfach 10 Minuten Betrachten Sie folgenden Markt, für den die Annahmen der vollkommenen Konkurrenz gelten: Die inverse Nachfragekurve lautet: 𝑝𝑝(𝑥𝑥) = 6- 0,5𝑥𝑥 Die inverse Angebotskurve lautet: 𝑝𝑝(𝑥𝑥) = 1 + 2𝑥𝑥 a) Berechnen Sie die gleichgewichtige Menge und den gleichgewichtigen Preis. b) Skizzieren Sie ein passendes Marktdiagramm. Tragen Sie Konsumenten- und Produzentenrente in das Diagramm ein und berechnen Sie diese. Aufgabe 4.1.2 Schwierigkeitsgrad Zeit einfach 25 Minuten Auf dem Markt für ein landwirtschaftliches Produkt herrscht vollkommene Konkurrenz und es gelten die folgenden Angebots- und Nachfragefunktionen: Nachfrage: 𝑥𝑥 = 1.400- 4𝑝𝑝 Angebot: 𝑥𝑥 = 2𝑝𝑝- 400 a) Berechnen Sie den Preis, bei dem sich der Markt im Gleichgewicht befindet. b) Welche Menge können die Unternehmen zu diesem Preis absetzen? c) Berechnen Sie die Konsumenten- und Produzentenrente, wenn sich der Markt im Gleichgewicht befindet (Hinweis: Verwenden Sie hierzu eine geeignete Graphik.). d) Erwarten Sie bei einem Preis 𝑝𝑝 = 325 einen Angebots- oder Nachfrageüberschuss? e) In Folge eines Lebensmittelskandals sinkt die Nachfrage nach dem landwirtschaftlichen Produkt. Welche der folgenden, vorgegebenen Nachfragefunktionen halten Sie in diesem Fall für wahrscheinlicher: 𝑥𝑥 1 = 1.200 − 4𝑝𝑝 oder 𝑥𝑥 2 = 1.660 − 4𝑝𝑝 ? <?page no="84"?> 84 Mikroökonomie · 77 Aufgaben Aufgabe 4.1.3 Schwierigkeitsgrad Zeit mittel 10 Minuten Auf einem vollkommenen Markt gelten folgende Bedingungen: Der Prohibitivpreis beträgt 10 Euro, unter einem Preis von 2 Euro wird nichts angeboten. Soll die abgesetzte Menge um eine Einheit erhöht werden, muss der Preis um 3 Euro gesenkt werden. Soll die angebotene Menge um eine Einheit erhöht werden, muss auch der Preis um 1 Euro erhöht werden. a) Berechnen Sie Preis und Menge im Marktgleichgewicht. b) Was ist höher, Produzenten- oder Konsumentenrente? Aufgabe 4.1.4 Schwierigkeitsgrad Zeit einfach 10 Minuten Joghurt und Quark gelten gleichermaßen als Calciumlieferanten. Die inverse Nachfrage nach Joghurt hat die funktionale Form: 𝑝𝑝(𝑥𝑥) = 20 − 8𝑥𝑥 . Die Angebotsfunktion für Joghurt ist linear steigend. Nehmen Sie nun an, dass der Preis für Quark steigt. a) Zeichnen Sie die Auswirkungen auf den Markt für Joghurt und das neue Marktgleichgewicht in eine geeignete Graphik. b) Welche der folgenden inversen Nachfragefunktionen für Joghurt halten Sie nach der Preisänderung für Quark wahrscheinlicher: (1) 𝑝𝑝(𝑥𝑥) = 25 − 8𝑥𝑥 oder (2) 𝑝𝑝(𝑥𝑥) = 15 − 8𝑥𝑥 c) Welche Effekte hat die Preisänderung auf die Produzentenrente auf dem Markt für Joghurt? Zeichnen Sie die Änderung der Produzentenrente in das Diagramm ein. Steigt oder fällt die Produzentenrente? <?page no="85"?> Markt bei vollkommener Konkurrenz 85 Aufgabe 4.1.5 Schwierigkeitsgrad Zeit einfach 5 Minuten Das folgende Diagramm stellt den Markt für eine bestimmte Sorte Druckertoner dar. Nehmen Sie an, dass der Preis für die zugehörigen Drucker deutlich fällt. Abb. 33 a) Zeichnen Sie die Auswirkungen auf den Markt für Druckertoner und das neue Marktgleichgewicht in Ihr Diagramm ein. b) Welche Effekte hat die Preisänderung auf die Produzentenrente auf dem Markt für Druckertoner? Aufgabe 4.1.6 Schwierigkeitsgrad Zeit mittel 15 Minuten Betrachten Sie den Markt für heiße Schokolade. Stellen Sie für die folgenden exogenen Veränderungen jeweils fest, ob und in welcher Weise sie Einfluss auf die Lage von Angebots- und Nachfragefunktion haben. Geben Sie weiterhin an, ob bzw. wie sich dies jeweils auf Gleichgewichtspreis und -menge auswirkt. Unterstellen Sie, Kaffee und heiße Schokolade seien Substitute. a) Der Kaffeepreis fällt. b) Der Preis für Kakaobohnen steigt. c) Das Einkommen sinkt aufgrund einer Rezession. d) Eine verbesserte Erntetechnologie für Kakaobohnen wird entwickelt. Preis Menge Angebot Nachfrage p 0∗ x 0∗ <?page no="86"?> 86 Mikroökonomie · 77 Aufgaben e) Eine Studie belegt, dass heiße Schokolade das Immunsystem stärkt. f ) Höchstpreis für heiße Schokolade wird eingeführt. Aufgabe 4.1.7 Schwierigkeitsgrad Zeit mittel 10 Minuten Viele Bäckereien bieten ihren Kunden auch Kaffee zum Mitnehmen an. Nehmen Sie an, dass dieser Markt durch vollkommene Konkurrenz beschrieben werden kann. Ein neues Umweltgesetz schreibt nun die Verwendung von Mehrwegsystemen bei den Kaffeebechern vor, wodurch sich die Kosten pro Tasse Kaffee für die Bäckereien erhöhen. a) Zeichnen Sie ein geeignetes Marktdiagramm, in dem Sie die Situation vor und nach der Gesetzesänderung darstellen. Wie verändern sich Preis und Mengen auf dem Markt? b) Finden Sie in Ihrem Diagramm eine Wohlfahrtsveränderung durch die Gesetzesänderung? Wenn ja, zeichnen Sie diese ein. Handelt es sich um einen Verlust oder einen Gewinn? Diskutieren Sie die Wohlfahrtsveränderung auch aus Sicht der Gesellschaft. Aufgabe 4.1.8 Schwierigkeitsgrad Zeit schwer 20 Minuten Überprüfen Sie mit Hilfe eines Marktdiagramms die These: „Unter den Bedingungen der vollkommenen Konkurrenz führt der Marktmechanismus zu maximaler Wohlfahrt.“ Gehen Sie davon aus, dass es auf dem betrachteten Markt keine anderen Akteure als Produzenten und Konsumenten gibt und es darüber hinaus, niemanden gibt, dessen Nutzen oder Gewinn durch diesen Markt direkt (also ohne Vermittlung über den Marktmechanismus) beeinflusst wird. <?page no="87"?> Markt bei vollkommener Konkurrenz 87 4.2 Elastizitäten Das sollten Sie wissen | Definition: Preiselastizität der Nachfrage 𝜀𝜀 𝜀𝜀 = 𝑝𝑝𝑟𝑟𝐾𝐾𝐺𝐺𝐺𝐺𝑛𝑛𝐾𝐾𝑢𝑢𝑎𝑎𝐸𝐸𝐺𝐺 Ä𝑛𝑛𝑑𝑑𝐺𝐺𝑟𝑟𝑢𝑢𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑑𝑑𝐺𝐺𝑟𝑟 𝑛𝑛𝑎𝑎𝑐𝑐ℎ𝑛𝑛𝐺𝐺𝑓𝑓𝑟𝑟𝑎𝑎𝑛𝑛𝐾𝐾𝐺𝐺𝑛𝑛 𝑀𝑀𝐺𝐺𝑛𝑛𝑛𝑛𝐺𝐺 𝑝𝑝𝑟𝑟𝐾𝐾𝐺𝐺𝐺𝐺𝑛𝑛𝐾𝐾𝑢𝑢𝑎𝑎𝐸𝐸𝐺𝐺 Ä𝑛𝑛𝑑𝑑𝐺𝐺𝑟𝑟𝑢𝑢𝑛𝑛𝑛𝑛 𝑑𝑑𝐺𝐺𝑠𝑠 𝑀𝑀𝑟𝑟𝐺𝐺𝑖𝑖𝑠𝑠𝐺𝐺𝑠𝑠 = Δ𝑥𝑥 𝑥𝑥 Δ𝑝𝑝 𝑝𝑝 Oder bei marginalen Veränderungen: ε = 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑥𝑥 Dabei beschreibt der erste Teil der Definitionsgleichung die Ableitung der Nachfragefunktion nach dem Preis, also die Steigung der Nachfragefunktion. Diese sagt aus, um wie viele Einheiten die nachgefragte Menge zurückgeht, wenn der Preis um eine Einheit steigt. Die Elastizität dagegen betrachtet prozentuale Veränderungen. Fehler, die Sie vermeiden sollten| Vorzeichen der Preiselastizität der Nachfrage Die Preiselastizität der Nachfrage ist bei normal geneigter Nachfrage eine negative Größe. Das ist darin begründet, dass Preissteigerungen zu einem Rückgang der nachgefragten Menge führen und umgekehrt. Wäre die Preiselastizität der Nachfrage positiv, hieße das, die Nachfrager wollen mehr kaufen, wenn der Preis des betrachteten Gutes steigt. Das ist bei normalen Gütern nicht der Fall. Allerdings wird die Preiselastizität der Nachfrage häufig betragsmäßig angegeben. Dies dient der Vereinfachung. Vergessen Sie aber nicht, dass bei normalen Gütern tatsächlich ein negativer Zusammenhang zwischen Preis und nachgefragter Menge besteht. Beachten Sie: Der Betrag einer Größe ist definitionsgemäß positiv, d.h. in Bezug auf die Elastizität gilt zwingend |𝜀𝜀| ≥ 0 . Der Betrag einer Größe darf daher nicht mit einer negativen Zahl gleichgesetzt werden. Aufgabe 4.2.1 Schwierigkeitsgrad Zeit mittel 15 Minuten Ein Unternehmen produziert USB-Adapter und sieht sich der folgenden inversen Nachfragefunktion nach seinem Gut gegenüber: 𝑝𝑝(𝑥𝑥) = 20- 4𝑥𝑥 , 𝑥𝑥 wird in 1.000 Einheiten <?page no="88"?> 88 Mikroökonomie · 77 Aufgaben gemessen. Nehmen Sie an, dass auf diesem Markt keine vollkommene Konkurrenz herrscht, sondern dass das Unternehmen einen gewissen Grad an Marktmacht besitzt. a) Berechnen Sie die Funktion der Preiselastizität der Nachfrage. b) Nehmen Sie an, das Unternehmen möchte 3.000 Adapter produzieren und verkaufen. Welchen Preis kann es dann verlangen? c) Das Unternehmen überlegt, den Preis weiter zu senken, um mehr Einheiten verkaufen zu können. Ist diese Strategie zur Erlössteigerung sinnvoll? d) Ein externer Berater rät dem Unternehmen, seine Preispolitik radikal umzustellen und einen Preis von 16 Euro zu verlangen. Welche Menge könnte das Unternehmen dann absetzen? e) Berechnen Sie die Preiselastizität bei einem Preis von 16 Euro. Erneut überlegt der Manager, den Preis für die Adapter zu senken. Diskutieren Sie diese Überlegung in Hinblick auf Erlös und Gewinn. Aufgabe 4.2.2 Schwierigkeitsgrad Zeit mittel 20 Minuten Gegeben sei die folgende Nachfragefunktion: 𝑥𝑥 = 240 − 8𝑝𝑝 Stellen Sie fest, welche der folgenden Ergebnisse richtig sind. Der Preis 𝑝𝑝 ist positiv und kleiner als der Prohibitivpreis. a) 𝜀𝜀 = −8 b) 𝜀𝜀 = 8 c) 𝜀𝜀 = −𝑝𝑝 30 − 𝑝𝑝 d) |𝜀𝜀| = −𝑝𝑝 30 − 𝑝𝑝 e) |𝜀𝜀| = 𝑝𝑝 30 − 𝑝𝑝 f) 𝜀𝜀 = −1 30 g) 𝜀𝜀 = 𝑝𝑝 𝑝𝑝 − 30 <?page no="89"?> Markt bei vollkommener Konkurrenz 89 Aufgabe 4.2.3 Schwierigkeitsgrad Zeit einfach 5 Minuten In den beiden Kleinstädten A und B werden Bäckerbrötchen verkauft. Der Markt für Bäckerbrötchen kann in beiden Städten in einem Marktdiagramm dargestellt werden. Die gleichgewichtigen Mengen und Preise sind in beiden Städten gleich, die Nachfrage in Stadt B ist jedoch wesentlich elastischer: Vergleichen Sie die Konsumentenrenten der beiden Städte. Aufgabe 4.2.4 Schwierigkeitsgrad Zeit mittel 20 Minuten Die inverse Nachfrage nach Regenschirmen sei gegeben durch 𝑝𝑝(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏𝑥𝑥 mit 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 > 0 . a) Berechnen Sie die Funktion der Preiselastizität der Nachfrage für Regenschirme. Vereinfachen Sie dabei so weit wie möglich. b) Stellen Sie diese Nachfragekurve graphisch dar und bezeichnen Sie die Achsenabschnitte. c) Berechnen Sie nachvollziehbar, welchen Wert die Preiselastizität der Nachfrage bei der Hälfte des Prohibitivpreises annimmt. Aufgabe 4.2.5 Schwierigkeitsgrad Zeit schwer 10 Minuten Gehen Sie von der folgenden Nachfragefunktion aus: 𝑥𝑥 = 𝑝𝑝 −𝛼𝛼 𝛼𝛼 > 0 a) Berechnen Sie die Steigung. b) Berechnen Sie die Preiselastizität der Nachfrage für diese Nachfragefunktion. <?page no="90"?> 90 Mikroökonomie · 77 Aufgaben Aufgabe 4.2.6 Schwierigkeitsgrad Zeit schwer 25 Minuten Der Markt für Fernseher sei durch folgende Funktionen gekennzeichnet, wobei 𝑥𝑥 die Menge und 𝑝𝑝 den Preis bezeichnen: Nachfrage: 𝑥𝑥(𝑝𝑝) = 100 − 0,2𝑝𝑝 + 𝑝𝑝 𝑠𝑠 Angebot: 𝑝𝑝(𝑥𝑥) = 10 + 5𝑥𝑥 a) 𝑝𝑝 𝑠𝑠 sei der Preis eines anderen Gutes. In welcher Beziehung stehen die beiden Güter für den Konsumenten? b) 𝑝𝑝 𝑠𝑠 sei 500 Euro. Berechnen Sie die gleichgewichtige Menge und den gleichgewichtigen Preis. c) Berechnen Sie nachvollziehbar die Kreuzpreiselastizität der Nachfrage nach Fernsehern gegenüber dem anderen Gut mit dem Preis 𝑝𝑝 𝑠𝑠 . Gehen Sie von einem Preis für Fernseher von 𝑝𝑝 = 1.505 und 𝑝𝑝 𝑠𝑠 = 500 aus. Interpretieren Sie Ihr Ergebnis. Aufgabe 4.2.7 Schwierigkeitsgrad Zeit schwer 25 Minuten Der Markt für Digitalradios ist durch folgende Funktionen gekennzeichnet, wobei 𝑥𝑥 die Menge, 𝑝𝑝 den Preis und 𝑦𝑦 das Einkommen bezeichnen. (1) 𝑝𝑝 = 1.000- 5𝑥𝑥 + 0,5𝑦𝑦 (2) 𝑝𝑝 = 10 + 5𝑥𝑥 Das Einkommen beträgt 600 Euro. a) Welche der beiden Funktionen ist die Angebotskurve? b) Berechnen Sie die gleichgewichtige Menge und den gleichgewichtigen Preis. c) Berechnen Sie die Einkommenselastizität der Nachfrage beim Marktgleichgewicht. Interpretieren Sie Ihr Ergebnis. <?page no="91"?> Lösungen zu Kapitel 4: Markt bei vollkommener Konkurrenz Lösung zu Aufgabe 4.1.1 a) Im Gleichgewicht stellen sich Preis und Menge so ein, dass Nachfrage und Angebot gleich sind. Rechnerisch erfolgt das durch Gleichsetzen der inversen Angebots- und Nachfragefunktionen: 6 − 0,5𝑥𝑥 = 1 + 2𝑥𝑥 Die Gleichung wird nun nach 𝑥𝑥 aufgelöst und man erhält die gleichgewichtige Marktmenge 𝑥𝑥 ∗ : 2,5𝑥𝑥 = 5 ⇒ 𝑥𝑥 ∗ = 2 Diese Menge kann nun in die Nachfrage- oder in die Angebotsfunktion eingesetzt werden, um den gleichgewichtigen Preis zu erhalten: N: 𝑝𝑝 ∗ = 6 − 0,5 ∙ 2 = 5 A: 𝑝𝑝 ∗ = 1 + 2 ∙ 2 = 5 Der gleichgewichtige Preis ist 𝑝𝑝 ∗ = 5 . b) Die Konsumentenrente ist die Fläche des grünen Dreiecks zwischen Marktpreis und Nachfragefunktion: 𝐾𝐾𝐺𝐺 = (6 − 5) ∙ 2 ∙ 0,5 = 1 Die Produzentenrente ist die Fläche des roten Dreiecks zwischen Marktpreis und Angebotsfunktion: 𝑀𝑀𝐺𝐺 = (5 − 1) ∙ 2 ∙ 0,5 = 4 Abb. 34 N 1 p ∗ = 5 x ∗ = 2 6 p x A Konsumentenrente Produzentenrente <?page no="92"?> 92 Mikroökonomie · 77 Aufgaben Lösung zu Aufgabe 4.1.2 a) Gleichsetzung von Angebots- und Nachfragefunktion: 1.400 − 4𝑝𝑝 = 2𝑝𝑝 − 400 | + 4𝑝𝑝 + 400 1.800 = 6𝑝𝑝 | ∶ 6 𝑝𝑝 ∗ = 300 b) Einsetzen in 𝑥𝑥 𝑣𝑣 (oder wahlweise in 𝑥𝑥 𝑛𝑛 ): 𝑥𝑥 ∗ = 2 ∙ 300 − 400 = 200 c) Für die Graphik müssen zunächst die Umkehrfunktionen gebildet werden, da in einem Marktdiagramm der Preis an der Ordinate und die Menge an der Abszisse dargestellt wird. Die Umkehrfunktionen erhält man durch Umstellen nach 𝑝𝑝 . Sie lauten: 𝑝𝑝 = 350 − 0,25 𝑥𝑥 𝑝𝑝 = 200 + 0,5 𝑥𝑥 Abb. 35 Konsumenten- und Produzentenrente werden als Dreiecksflächen berechnet: Konsumentenrente: 𝐾𝐾𝐺𝐺 = 0,5 ∙ (350 − 300) ∙ 200 = 5.000 Produzentenrente: 𝑀𝑀𝐺𝐺 = 0,5 ∙ (300 − 200) ∙ 200 = 10.000 d) Da der Preis von 325 über dem Marktgleichgewicht liegt, wird es einen Angebotsüberschuss geben. e) Da bei jedem Preis nun weniger nachgefragt wird, muss die Nachfragekurve unterhalb derjenigen aus a) liegen. Daher ist 𝑥𝑥 1𝑛𝑛 = 1.200 − 4𝑝𝑝 hier zu erwarten. A N 200 p ∗ = 300 x ∗ = 200 350 p x Konsumentenrente Produzentenrente <?page no="93"?> Lösungen zu Kapitel 4: Markt bei vollkommener Konkurrenz 93 Lösung zu Aufgabe 4.1.3 a) Für die Berechnung des Marktgleichgewichts erstellt man aus den Angaben zunächst die Gleichungen für Angebot und Nachfrage: Inverse Nachfrage: 𝑝𝑝(𝑥𝑥) = 10 − 3𝑥𝑥 Inverses Angebot: 𝑝𝑝(𝑥𝑥) = 2 + 𝑥𝑥 Durch Gleichsetzen der Funktionen erhält man die gleichgewichtige Menge 𝑥𝑥 ∗ : 10 − 3𝑥𝑥 = 2 + 𝑥𝑥 4𝑥𝑥 = 8 𝑥𝑥 ∗ = 2 Der gleichgewichtige Preis ergibt sich aus Einsetzen in die Nachfrage- oder die Angebotsfunktion: Nachfrage: 𝑝𝑝 ∗ = 10 − 3 ∙ 2 = 4 Angebot: 𝑝𝑝 ∗ = 2 + 2 = 4 b) Die Nachfragefunktion ist steiler und damit unelastischer als das Angebot. Daher ist die Konsumentenrente im Marktgleichgewicht höher als die Produzentenrente. Lösung zu Aufgabe 4.1.4 a) Da die beiden Güter Substitute sind, verlagert sich die inverse Nachfrage nach Joghurt weg vom Ursprung: Abb. 36 A N p x N‘ p 0∗ x 0∗ x 1∗ p 1∗ <?page no="94"?> 94 Mikroökonomie · 77 Aufgaben b) Da die Nachfrager bereit sind, für jede Menge einen höheren Preis zu zahlen, ist (1) wahrscheinlicher. c) Die Produzentenrente steigt um die orange unterlegte Fläche, da sowohl der Marktpreis als auch die abgesetzte Menge steigen. Abb. 37 Lösung zu Aufgabe 4.1.5 a) Bei Druckern und Druckertonern handelt es sich um komplementäre Güter. Wenn der Preis für Drucker fällt, werden mehr Drucker gekauft und die Nachfrage nach Druckertonern steigt. Die inverse Nachfragefunktion nach Druckertonern verschiebt sich nach rechts, weil die Nachfrage bei jedem Preis zunimmt. b) Die Produzentenrente steigt, weil mehr Güter zu einem höheren Preis verkauft werden können. A N p x N‘ p 0∗ x 0∗ x 1∗ p 1∗ Produzentenrente bei N Produzentenrente bei N‘ Veränderung Produzentenrente <?page no="95"?> Lösungen zu Kapitel 4: Markt bei vollkommener Konkurrenz 95 Abb. 38 Lösung zu Aufgabe 4.1.6 Verlagerung Veränderung Angebot Nachfrage 𝒑𝒑 𝒙𝒙 Kaffeepreis fällt unverändert nach links sinkt sinkt Preis für Kakaobohnen steigt nach oben unverändert steigt sinkt Einkommen sinkt unverändert nach links sinkt sinkt verbesserte Erntetechnologie nach unten unverändert sinkt steigt Immunsystem wird durch heiße Schokolade gestärkt unverändert nach rechts steigt steigt Höchstpreis für heiße Schokolade unverändert unverändert sinkt sinkt Tab. 7 p p 0∗ x 0∗ x 1∗ p 1∗ N N‘ Produzentenrente neu Produzentenrente altA x <?page no="96"?> 96 Mikroökonomie · 77 Aufgaben Lösung zu Aufgabe 4.1.7 a) Aufgrund der höheren Kosten bieten die Bäckereien jede Menge Kaffee zu einem höheren Preis an. Die Angebotskurve verschiebt sich nach oben. Der gleichgewichtige Preis steigt und die gleichgewichtige Menge sinkt. b) Ja, die Wohlfahrt auf dem Markt ändert sich, da weniger zu einem höheren Preis verkauft wird. Aus Sicht der Anbieter und Nachfrager auf dem Markt entsteht daher ein Wohlfahrtsverlust (blaue Fläche). Allerdings verursachten die Einwegbecher zuvor auch soziale Kosten, die von Kunden und Anbietern des Kaffees zum Mitnehmen vorher nicht berücksichtigt wurden, da sie diese nicht tragen, sondern sie Dritten entstehen. Aus Sicht der Gesellschaft könnten die Wohlfahrt durch das Gesetz erhöht werden und das neue Marktgleichgewicht effizienter sein als vorher. Abb. 39 p Angebot x p 0∗ p 1∗ x 0∗ x 1∗ Nachfrage Angebot mit neuem Gesetz Wohlfahrtsverlust gegenüber dem Gleichgewicht <?page no="97"?> Lösungen zu Kapitel 4: Markt bei vollkommener Konkurrenz 97 Lösung zu Aufgabe 4.1.8 Abb. 40 In der Graphik ist die Wohlfahrt im Marktgleichgewicht durch die Fläche 𝐸𝐸𝐷𝐷𝐺𝐺 gegeben, die Konsumentenrente ist 𝐷𝐷𝑝𝑝 ∗ 𝐺𝐺 (schwarz gepunktet), die Produzentenrenten 𝐸𝐸𝑝𝑝 ∗ 𝐺𝐺 (schwarz schraffiert). Zur Überprüfung der These wird die Wohlfahrt für die Preise 𝑝𝑝′ (ein beliebig gewählter Preis unterhalb 𝑝𝑝 ∗ ) und 𝑝𝑝 ′′ (ein beliebig gewählter Preis oberhalb 𝑝𝑝 ∗ ) ermittelt und mit der Wohlfahrt im Gleichgewicht verglichen. In beiden Fällen ist die gehandelte Menge kleiner als 𝑥𝑥 ∗ und somit entsteht für Mengen jenseits der nun gehandelten Menge ( 𝑥𝑥 ′ bzw. 𝑥𝑥 ′′ ) bis 𝑥𝑥 ∗ keine Rente. Die Wohlfahrt ist um das blaue Dreieck kleiner als im Gleichgewicht. Lösung zu Aufgabe 4.2.1 a) Für die Berechnung der Elastizitätsfunktion wird die Umkehrfunktion der gegebenen inversen Nachfrage benötigt, d.h. man stellt die Gleichung nach 𝑥𝑥 um und erhält 𝑥𝑥(𝑝𝑝) = 5- 0,25𝑝𝑝 . Nun kann man die Elastizitätsfunktion berechnen: 𝜀𝜀 𝑥𝑥,𝑝𝑝 (𝑝𝑝) = 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑝𝑝 ∙ 𝑝𝑝𝑥𝑥 = −0,25 ∙ 𝑝𝑝 5 − 0,25𝑝𝑝 = −𝑝𝑝 20 − 𝑝𝑝 b) Um den Preis zu ermitteln, setzt man die gegebene Menge 𝑥𝑥 = 3 in die inverse Nachfragefunktion ein: 𝑝𝑝(3) = 20- 12 = 8 . Das Unternehmen kann einen Preis in Höhe von 8 Euro verlangen. Angebot Nachfrage p x p′′ p′ p ∗ x ∗ F E G x ′ x′′ .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wohlfahrtsverlust gegenüber dem Gleichgewicht Konsumentenrente im Gleichgewicht . . . Produzentenrente im Gleichgewicht <?page no="98"?> 98 Mikroökonomie · 77 Aufgaben c) Die Elastizität bei 𝑝𝑝 = 8 erhält man durch Einsetzen in die Elastizitätsfunktion: 𝜀𝜀 𝑥𝑥,𝑝𝑝 (𝑝𝑝 = 8) = − 23 . Die Nachfrage ist an dieser Stelle unelastisch. Eine Senkung des Preises um ein Prozent würde eine unterproportionale Mengenerhöhung zur Folge haben, so dass der Erlös sinken würde. d) Die Menge, die bei einem Preis von 16 Euro abgesetzt werden könnte, erhält man durch Einsetzen in die Nachfragefunktion aus a): 𝑥𝑥(16) = 1 . Das Unternehmen könnte zu einem Preis von 16 Euro 1.000 Adapter verkaufen. e) Die Elastizität bei einem Preis von 16 Euro beträgt: 𝜀𝜀 𝑥𝑥,𝑝𝑝 (𝑝𝑝 = 16) = −4 . Die Nachfrage ist an dieser Stelle elastisch, so dass eine Preissenkung um ein Prozent zu einem überproportionalen Anstieg der Menge führen würde. Der Erlös würde also steigen. Die Auswirkungen auf den Gewinn kennt man nicht, da die Kostenfunktion des Unternehmens nicht bekannt ist. Lösung zu Aufgabe 4.2.2 a ) falsch b ) falsch c ) richtig d ) falsch e ) richtig f ) falsch g ) richtig Lösung zu Aufgabe 4.2.3 Eine elastischere Nachfrage bedeutet, dass die Nachfrage weniger steil ist. Die Nachfrage in der Nachbarstadt B entspricht einer Drehung der inversen Nachfragefunktion in Stadt A im Marktgleichgewicht nach links. Dadurch sinkt die Konsumentenrente von der grünen auf die schwarz schraffierte Fläche. Ob die Produzentenrente in Stadt B oder in Stadt A größer ist, kann man nicht sagen, da keine Angabe zur Angebotsfunktion in Stadt B gemacht wurde. Sollten die Angebotsfunktionen in beiden Städten identisch sein, wäre auch die Produzentenrente gleich hoch. <?page no="99"?> Lösungen zu Kapitel 4: Markt bei vollkommener Konkurrenz 99 Abb. 41 Lösung zu Aufgabe 4.2.4 a) In einem ersten Schritt bildet man die Umkehrfunktion der gegebenen inversen Nachfrage 𝑝𝑝(𝑥𝑥) . Dazu stellt man die Gleichung nach 𝑥𝑥 um und erhält: 𝑥𝑥 = 𝑣𝑣𝑏𝑏 − 1 𝑏𝑏 𝑝𝑝 . Die Steigung dieser Funktion lautet: 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑝𝑝 = − 1 𝑏𝑏 . Diese Steigung und die Gleichung für 𝑥𝑥 setzt man nun in die Formel für die Preiselastizität ein: 𝜀𝜀 𝑥𝑥,𝑝𝑝 = 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑝𝑝 ∙ 𝑝𝑝𝑥𝑥 = − 1𝑏𝑏 ∙ 𝑝𝑝 𝑎𝑎𝑏𝑏 − 1𝑏𝑏 𝑝𝑝 Dieser komplizierte Bruch lässt sich durch Zusammenfassen auf einen Bruch und ausmultiplizieren des Nenners vereinfachen zu: 𝜀𝜀 𝑥𝑥,𝑝𝑝 = −𝑝𝑝 𝑎𝑎 − 𝑝𝑝 b) Abb. 42 Preis pro Brötchen Angebot in beiden Städten Brötchen, Stück p ∗ x ∗ elastischere Nachfrage in Stadt B Nachfrage in Stadt A Konsumentenrente in Stadt A Konsumentenrente in Stadt B x a Nachfrage für Regenschirme p <?page no="100"?> 100 Mikroökonomie · 77 Aufgaben c) Der Prohibitivpreis ist der Achsenabschnitt 𝑎𝑎 der gegebenen inversen Nachfragefunktion. Seine Hälfte, 𝑝𝑝 = 𝑣𝑣2 , setzt man in die Preiselastizität der Nachfrage ein, wie sie in Teilaufgabe a) berechnet wurde: 𝜀𝜀 𝑥𝑥,𝑝𝑝 �𝑝𝑝 = 𝑎𝑎2� = − 𝑎𝑎2 𝑎𝑎 − 𝑎𝑎2 = − 𝑎𝑎2 𝑎𝑎2 = −1 Die Preiselastizität der Nachfrage einer linearen Nachfragefunktion ist bei der Hälfte des Prohibitivpreises immer gleich minus eins. Das gilt natürlich nicht nur für Regenschirme! Lösung zu Aufgabe 4.2.5 Zur Bestimmung der Preiselastizität der Nachfrage, ist zuerst die Ableitung der Nachfragekurve zu bestimmen. Diese lautet: 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑝𝑝 = −𝛼𝛼𝑝𝑝 𝛼𝛼−1 Einsetzen in die Definitionsgleichung der Preiselastizität der Nachfrage: �𝜀𝜀 = 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑝𝑝 ∙ 𝑝𝑝𝑥𝑥 � ergibt unter Berücksichtigung der vorgegebenen Nachfragefunktion und deren oben gebildeten Ableitung: 𝜀𝜀 = −𝛼𝛼𝑝𝑝 𝛼𝛼−1 𝑝𝑝 𝑝𝑝 𝛼𝛼 Dabei lässt sich 𝑝𝑝 ∝ kürzen und es bleibt 𝜀𝜀 = −𝛼𝛼𝑝𝑝 −1 𝑝𝑝 , das wiederum ist 𝜀𝜀 = −𝛼𝛼 . Diese Nachfragefunktion ist isoelastisch. Das bedeutet, sie hat in jedem Punkt, also unabhängig von 𝑝𝑝 , die gleiche Elastizität. <?page no="101"?> Lösungen zu Kapitel 4: Markt bei vollkommener Konkurrenz 101 Lösung zu Aufgabe 4.2.6 a) Wenn der Preis des anderen Gutes steigt, steigt die Nachfrage nach Fernsehern. Es handelt sich daher um ein Substitutionsgut. b) Das Marktgleichgewicht liegt dann vor, wenn das Angebot der Nachfrage entspricht. Um diesen Schnittpunkt der Funktionen zu ermitteln, kann die Nachfrage 𝑥𝑥(𝑝𝑝) in die Angebotsfunktion eingesetzt werden: 𝑝𝑝 = 10 + 5(100 − 0,2𝑝𝑝 + 500) = 10 + 500 − 𝑝𝑝 + 2.500 = 3.010 − 𝑝𝑝 Durch Umstellen nach 𝑝𝑝 erhält man den markträumenden Preis 𝑝𝑝 ∗ = 1.505 . Dieser kann nun in die Nachfragefunktion (oder Angebotsfunktion) eingesetzt werden: 𝑥𝑥(𝑝𝑝 = 1.505) = 100 − 0,2 ∙ 1.505 + 500 = 299 Die gleichgewichtige Menge beträgt 299 Stück. c) Die Kreuzpreiselastizität beschreibt die Elastizität, bei der betrachtet wird, wie die Menge 𝑥𝑥 auf den Preis eines anderen Gutes 𝑝𝑝 𝑠𝑠 reagiert. Die funktionale Form lautet: 𝜀𝜀 𝑥𝑥,𝑝𝑝 𝑠𝑠 (𝑝𝑝 𝑠𝑠 ) = 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑠𝑠 ∙ 𝑝𝑝 𝑠𝑠 𝑥𝑥 Der erste Teil der Multiplikation stellt die erste partielle Ableitung der Nachfragefunktion 𝑥𝑥 nach dem Preis des anderen Gutes 𝑝𝑝 𝑠𝑠 dar: 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑠𝑠 = 1 Eingesetzt in die Funktionsgleichung ergibt sich die Kreuzpreiselastizität: 𝜀𝜀 𝑥𝑥,𝑝𝑝 𝑠𝑠 (𝑝𝑝 𝑠𝑠 ) = 1 ∙ 𝑝𝑝 𝑠𝑠 100 − 0,2𝑝𝑝 + 𝑝𝑝 𝑠𝑠 Für 𝑝𝑝 und 𝑝𝑝 𝑠𝑠 setzen wir die gegebenen Werte ein und erhalten: 𝜀𝜀 𝑥𝑥,𝑝𝑝 𝑠𝑠 (500) = 1 ∙ 500 100 − 0,2 ∙ 1.505 + 500 = 1,67 Im Marktgleichgewicht und bei einem Preis des Substitutionsgutes in Höhe von 500 führt eine einprozentige Erhöhung des Preises 𝑝𝑝 𝑠𝑠 zu einem Anstieg der Nachfrage nach Fernsehern um 1,67%. Die Nachfrage reagiert überproportional auf die Preisänderung. <?page no="102"?> 102 Mikroökonomie · 77 Aufgaben Lösung zu Aufgabe 4.2.7 a) Die Funktion (2) ist die inverse Angebotsfunktion, da sie steigend in der Menge ist. b) Die gleichgewichtige Menge erhält man durch Gleichsetzen von (1) und (2): 1.000 − 5𝑥𝑥 + 0,5 ∙ 600 = 10 + 5𝑥𝑥 Auflösen nach 𝑥𝑥 ergibt eine gleichgewichtige Menge von 𝑥𝑥 ∗ = 129 . Diesen Wert setzt man in die inverse Angebotsfunktion ein und erhält einen gleichgewichtigen Preis von 𝑝𝑝 ∗ = 655 . c) Die Einkommenselastizität beschreibt die Elastizität der Menge 𝑥𝑥 auf das Einkommen 𝑦𝑦 . Die funktionale Form lautet: 𝜀𝜀 𝑥𝑥,𝑑𝑑 (𝑦𝑦, 𝑝𝑝) = 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑦𝑦 ∙ 𝑦𝑦𝑥𝑥 Der erste Teil der Multiplikation stellt die erste partielle Ableitung der Nachfragefunktion 𝑥𝑥(𝑝𝑝, 𝑦𝑦) nach dem Einkommen 𝑦𝑦 dar. Zur Berechnung stellt man die Nachfragefunktion 𝑝𝑝(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) entsprechend nach 𝑥𝑥 um: 5𝑥𝑥 = 1.000 − 𝑝𝑝 + 0,5𝑦𝑦 𝑥𝑥 = 200 − 0,2𝑝𝑝 + 0,1𝑦𝑦 Die erste partielle Ableitung von 𝑥𝑥(𝑝𝑝, 𝑦𝑦) ist: 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0,1 Eingesetzt in die Funktionsgleichung ergibt sich die Einkommenselastizität: 𝜀𝜀 𝑥𝑥,𝑑𝑑 (𝑦𝑦) = 0,1 ∙ 𝑦𝑦 200 − 0,2𝑝𝑝 + 0,1𝑦𝑦 Für 𝑝𝑝 und 𝑦𝑦 setzt man die gegebenen Werte ein und erhält: 𝜀𝜀 𝑥𝑥,𝑑𝑑 (600) = 1 ∙ 600 200 − 0,2 ∙ 655 + 0,1 ∙ 600 = 0,47 Im Marktgleichgewicht und bei einem Einkommen in Höhe von 600 führt eine einprozentige Erhöhung des Einkommens zu einem Anstieg der Nachfrage nach Digitalradios um 0,47%. Die Nachfrage reagiert unterproportional auf die Einkommensänderung. <?page no="103"?> 5 Staatliche Eingriffe in den Markt In aller Kürze | Staatliche Eingriffe in den Markt Dieses Kapitel ist der Wirkung wirtschaftspolitischer Eingriffe auf bestimmten Märkten gewidmet. Es geht hierbei nicht um allgemeingültige Maßnahmen, sondern um solche, die für einen speziellen Markt ergriffen werden. Häufig diskutiert werden dabei seit langer Zeit immer wieder die Märkte für Wohnraum, für landwirtschaftliche Erzeugnisse sowie für gesundheitsschädigende Güter. Abschnitt 5.1 beschäftigt sich mit Preiseingriffen in den Markt, während in 5.2 die Wirkungen von Steuern und Subventionen auf Märkten betrachtet werden. 5.1 Höchst- und Mindestpreis Aufgabe 5.1.1 Schwierigkeitsgrad Zeit einfach 15 Minuten Betrachten Sie den deutschen Markt für LED-Leuchtmittel. Es herrschen folgende Funktionen: Angebotsfunktion: 𝑥𝑥 = 4𝑝𝑝 − 20 Nachfragefunktion: 𝑥𝑥 = 50 − 𝑝𝑝 a) Bestimmen Sie Menge und Preis im Marktgleichgewicht. b) Der Gesetzgeber ist der Ansicht, der Preis für LED-Leuchtmittel sei zu hoch und den Verbrauchern nicht zumutbar. Er setzt daher einen Höchstpreis in Höhe von 𝑝𝑝 𝑚𝑚𝑣𝑣𝑥𝑥 = 12 fest. Welche Menge wird nun gehandelt? c) Zeichnen Sie die Situation in ein geeignetes Diagramm und charakterisieren Sie die Marktsituation. <?page no="104"?> 104 Mikroökonomie · 77 Aufgaben Aufgabe 5.1.2 Schwierigkeitsgrad Zeit mittel 20 Minuten Gegeben sei ein Markt ohne staatlichen Eingriff mit Nachfragefunktion: 𝑥𝑥 = 50 − 6𝑝𝑝 Angebotsfunktion: 𝑥𝑥 = 10 + 2𝑝𝑝 a) Geben Sie einen sinnvollen Höchstpreis an. b) Bestimmen Sie für Ihren Preis die gehandelte Menge. c) Welche der folgende Alternativmaßnahmen würden Sie aus gesellschaftlicher Sicht dem Höchstpreis gegenüber vorziehen? Begründen Sie Ihr Ergebnis jeweils kurz. c1) Steuer für die Anbieter. c2) Subvention an die Nachfrager. c3) Subvention an die Anbieter. Aufgabe 5.1.3 Schwierigkeitsgrad Zeit einfach 20 Minuten Auf dem Markt für Fortbildungsseminare in Mikroökonomie gelten folgende inverse Angebots- und Nachfragefunktionen: (1) 𝑝𝑝(𝑥𝑥) = 20 − 2𝑥𝑥 (2) 𝑝𝑝(𝑥𝑥) = 5 + 3𝑥𝑥 𝑝𝑝 sei dabei der Preis pro Stunde und 𝑥𝑥 die Anzahl der Stunden. a) Berechnen Sie Preis und Menge im Marktgleichgewicht. b) Zeichnen Sie Angebot und Nachfrage in ein Marktdiagramm ein. Benennen Sie die Achsenabschnitte der Funktionen und zeichnen Sie das Marktgleichgewicht ein. Berechnen Sie anschließend Konsumenten- und Produzentenrente im Marktgleichgewicht. c) Da der Staat Mikroökonomie für sehr wichtig hält, möchte er, dass mehr Bürger die Seminare besuchen können. Er legt daher einen Höchstpreis pro Seminarstunde in Höhe von 11 Euro fest. Skizzieren Sie den Höchstpreis in Ihr Diagramm. Berechnen Sie die jetzt verkaufte Menge an Seminarstunden. Hat der Staat mit dem Höchstpreis sein Ziel erreicht? <?page no="105"?> Staatliche Eingriffe in den Markt 105 Aufgabe 5.1.4 Schwierigkeitsgrad Zeit schwer 20 Minuten Die europäische Agrarpolitik legt für Butter einen sogenannten Referenzpreis fest. Dies ist ein staatlich festgelegter Mindestpreis, zu dem den Erzeugern die Butter abgekauft wird. a) Erstellen Sie ein Marktdiagramm mit Angebots- und Nachfragefunktionen. Zeichnen Sie einen geeigneten staatlichen Mindestpreis ein. Erläutern Sie die Auswirkungen des Mindestpreises auf die angebotenen und nachgefragten Mengen an Butter. Warum ist eine Aufkaufgarantie des Staates notwendig? b) Zeichnen Sie in das Diagramm die Wohlfahrtseffekte des Mindestpreises ein. Wie verändert sich die Wohlfahrt im Vergleich zu einem unregulierten Markt? c) Nach anfänglich hohen Referenzpreisen und großzügiger Aufkaufpolitik hat die EU in den letzten Jahren die Referenzpreise deutlich gesenkt und mit einer Quotenregelung zur Beschränkung der Aufkäufe versehen. Erklären Sie aus ökonomischer Sicht, warum diese Modifizierungen eingeführt wurden. 5.2 Steuern und Subventionen für bestimmte Güter Das sollten Sie wissen | Steuern und Subventionen Steuern und Subventionen sind zwei Seiten einer Medaille: Sie unterscheiden sich insofern, als dass in einem Fall etwas gezahlt werden muss, im Anderen erhält man etwas. Eine Steuer ist also de facto eine negative Subvention. Damit ist die Methodik bei der Analyse gleich, nur die Richtung unterscheidet sich. Bei der Modellierung einer Steuer oder Subvention ist es immer wichtig zu wissen, wer die Steuer an den Fiskus abführt bzw. die Subvention ausgezahlt bekommt, denn dessen Funktion wird verschoben. Werden die Konsumenten besteuert oder subventioniert, ändert sich das verfügbare Einkommen, was zu einer Verschiebung der Nachfragefunktion führt. Bei einer Besteuerung oder Subventionierung der Unternehmen ändern sich die Grenzkosten und somit verschiebt sich die Angebotsfunktion. Wer letztendlich durch Steuer oder Subvention bebzw. entlastet wird, ergibt sich dann aus der Lage des neuen Gleichgewichts im Vergleich zum Vorherigen und ist das Ergebnis der Analyse. <?page no="106"?> 106 Mikroökonomie · 77 Aufgaben Aufgabe 5.2.1 Schwierigkeitsgrad Zeit mittel 15 Minuten Betrachten Sie den deutschen Tabakmarkt anhand einer geeigneten Graphik. a) Aufgrund unvorhergesehener Haushaltsbelastungen wird die Einführung einer Tabaksteuer von 𝐾𝐾 Geldeinheiten je Mengeneinheit Tabak beschlossen. Bestimmen Sie graphisch die Auswirkungen dieser politischen Maßnahme auf dem Tabakmarkt und zeigen Sie, welche Auswirkungen sich auf die Preise für Anbieter und Konsumenten ergeben? b) Zeichnen Sie das Steueraufkommen in Ihre Graphik ein. Welchen Teil des Steueraufkommens tragen die Verbraucher und welchen die Anbieter? Begründen Sie Ihre Antwort. Aufgabe 5.2.2 Schwierigkeitsgrad Zeit mittel 15 Minuten Gegeben ist der Markt für alkoholische Getränke, auf dem nun eine Verbrauchsteuer von 𝐾𝐾 € je Mengeneinheit eingeführt werden soll, um Alkoholkonsum in der Öffentlichkeit einzuschränken. Zeigen Sie graphisch die Wohlfahrtswirkungen dieser Steuer. Stellen Sie fest, ob die Wohlfahrt durch die Steuer verändert wird. Wenn sie sich ändert, wird die Wohlfahrt steigen oder sinken? Aufgabe 5.2.3 Schwierigkeitsgrad Zeit mittel 5 Minuten Nehmen Sie an, der Finanzminister erwägt die Erhöhung einer Verbrauchsteuer auf einem Markt. Es stehen ihm zwei Märkte zur Auswahl, die sich nur bezüglich der Preiselastizität der Nachfrage voneinander unterscheiden: Markt 1: Preiselastizität der Nachfrage |𝜀𝜀| = 0,7 Markt 2: Preiselastizität der Nachfrage |𝜀𝜀| = 1,4 Welchen Markt sollte er auswählen? <?page no="107"?> Staatliche Eingriffe in den Markt 107 Aufgabe 5.2.4 Schwierigkeitsgrad Zeit schwer 40 Minuten Auf einem Markt herrschen folgende Bedingungen Nachfragefunktion: 𝑥𝑥 𝑛𝑛 = 100 − 10𝑝𝑝 𝑛𝑛 Angebotsfunktion: 𝑥𝑥 𝑣𝑣 = 20 + 2𝑝𝑝 𝑣𝑣 Nun wird eine Verbrauchsteuer in Höhe von 𝐾𝐾 = 2 pro verkaufter Einheit eingeführt. a) Welche Auswirkungen ergeben sich auf diesem Markt für den Gleichgewichtspreis und die Gleichgewichtsmenge? Wie sind die Auswirkungen für die Konsumenten, wie für die Anbieter? Welches Steueraufkommen aus der Steuererhöhung kann der Staat realisieren? b) Alternativ beabsichtigt der Staat die Einführung einer Verbrauchsteuer in gleicher Höhe ( 𝐾𝐾 = 2 ) auf folgenden Märkten: (1) Nachfragefunktion: 𝑥𝑥 𝑛𝑛 = 100 − 10𝑝𝑝 𝑛𝑛 Angebotsfunktion: 𝑥𝑥 𝑣𝑣 = 20 + 10𝑝𝑝 𝑣𝑣 (2) Nachfragefunktion: 𝑥𝑥 𝑛𝑛 = 100 − 10𝑝𝑝 𝑛𝑛 Angebotsfunktion: 𝑥𝑥 𝑣𝑣 = 20 + 30𝑝𝑝 𝑣𝑣 Bestimmen Sie für diese Marktbedingungen jeweils Gleichgewichtspreis und Gleichgewichtsmenge sowohl vor als auch nach Einführung der Steuer. Wie sind die Auswirkungen für die Konsumenten, wie für die Anbieter? Welches Steueraufkommen aus der Steuererhebung kann der Staat jeweils realisieren? c) Wie sind die Preiselastizitäten der Nachfrage und des Angebots im Marktgleichgewicht in diesen drei Beispielen und welchen Einfluss haben sie darauf, welche Marktseite die Auswirkungen der Steuererhebung stärker trägt? Aufgabe 5.2.5 Schwierigkeitsgrad Zeit schwer 25 Minuten Auf einem Markt gelten die folgenden Bedingungen: Nachfragefunktion: 𝑥𝑥 𝑛𝑛 = 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏𝑝𝑝 𝑛𝑛 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 > 0 Angebotsfunktion: 𝑥𝑥 𝑣𝑣 = 𝑐𝑐 + 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑣𝑣 𝑐𝑐, 𝑑𝑑 > 0 Genaue Parameterwerte sind nicht bekannt. Es soll eine Verbrauchsteuer von 𝐾𝐾 Geldeinheiten je Mengeneinheit eingeführt werden. <?page no="108"?> 108 Mikroökonomie · 77 Aufgaben Berechnen Sie für diesen Markt die Auswirkungen der Steuer auf den Preis, den die Nachfrager zahlen müssen, sowie auf den Preis, den die Anbieter letztendlich zum Decken ihrer Kosten sowie zur Gewinnerzielung erhalten. Aufgabe 5.2.6 Schwierigkeitsgrad Zeit mittel 15 Minuten Gegeben sei folgende Situation: Die Mobilfunkanbieter agieren auf dem Markt für mobile Daten unter vollkommener Konkurrenz. Der Marktpreis für mobile Daten wird als zu hoch angesehen. Die Regierung sieht sich zum Handeln gezwungen, um die Digitalisierung voranzutreiben. Daher wird eine Subvention an die Anbieter in Höhe von 𝑠𝑠 Euro je verkaufter Einheit eingeführt, um einen niedrigeren Verkaufspreis zu ermöglichen a) Zeigen Sie graphisch, welche Auswirkungen sich in diesem Fall für den betrachteten Markt ergeben. Welche Auswirkungen hat die Subvention auf Preise und Menge? Zeichnen Sie die Subventionszahlungen des Staates in die Graphik ein. b) Erläutern Sie, welche Auswirkungen in diesem Fall die Preiselastizität der Nachfrage ceteris paribus (c.p.) auf die Wirksamkeit der politischen Maßnahme hat. Aufgabe 5.2.7 Schwierigkeitsgrad Zeit mittel 20 Minuten Nehmen Sie an, die Politik möchte die Belastung durch hohe Mieten senken. Mieter sollen daher einen staatlichen Zuschuss 𝑠𝑠 in Höhe von 300 Euro pro gemieteter Wohnung erhalten. Für die Analyse soll ein Marktsegment mit identischen Wohnungen untersucht werden. a) Auf dem Markt gelten folgende Funktionen, wobei 𝑝𝑝 die Miete und 𝑥𝑥 die Wohnungsanzahl darstellt: 𝑝𝑝(𝑥𝑥) = 1.000 − 2𝑥𝑥 und 𝑝𝑝(𝑥𝑥) = 400 + 𝑥𝑥 . Berechnen Sie die gleichgewichtige Miete und die Anzahl vermieteter Wohnungen ohne staatlichen Mietzuschuss. b) Welche Miete wird sich auf dem Markt mit staatlichem Mietzuschuss einstellen? Wie viele Wohnungen werden dann vermietet? Wie viel muss der Staat insgesamt für die Zuschüsse ausgeben? c) Profitieren auch die Vermieter von den staatlichen Zuschüssen? Begründen Sie Ihre Antwort kurz! d) Stellen Sie die Situation auch graphisch dar. Erstellen Sie dazu zunächst ein Marktdiagramm ohne staatliche Zuschüsse und ergänzen Sie dieses dann um die Subvention. Tragen Sie die relevanten Preise und Mengen ein. Markieren Sie die Ausgaben des Staates für die Maßnahme. <?page no="109"?> Staatliche Eingriffe in den Markt 109 Das sollten Sie wissen | Wohlfahrtswirkungen einer Verbrauchsteuer Bei der Analyse der Wohlfahrtswirkungen ergibt sich, dass die Wohlfahrt durch die Verbrauchsteuer sinkt. Daraus lässt sich aber nicht die Schlussfolgerung ableiten, die Steuer sei grundsätzlich negativ zu beurteilen. Es sind noch zusätzliche Aspekte zu beachten, die nicht nur darauf beruhen, dass die Wohlfahrt aufgrund der Tatsache abnimmt, dass vom betrachteten Gut weniger konsumiert wird. [1] Wenn es bei der Verbrauchsteuer um die Lenkung des Verhaltens der Konsumenten geht (Lenkungswirkung der Steuer), etwa bei der Tabaksteuer, dann ist die Einschränkung des Konsums das erklärte Ziel der Politik und damit nicht per se negativ zu bewerten. [2] Wenn Dritte von dem Konsum negativ betroffen sind, etwa beim Benzinkonsum durch Abgase, dann sind auch die Auswirkungen für diese Wirtschaftssubjekte bei der Bestimmung der Auswirkungen auf die gesellschaftliche Wohlfahrt zu berücksichtigen. Die alleinige Betrachtung von Produzenten, Konsumenten und Staat greift dann zu kurz. Da Dritte geschädigt werden, sinkt deren Wohlfahrt. Diese negative Wohlfahrtswirkung ist i.d.R. umso größer, je mehr vom schädlichen Gut konsumiert wird. Wird das berücksichtigt, ergibt sich i.d.R. eine höhere Wohlfahrt durch die Besteuerung. Diese Analyse sprengt den hier gegebenen Rahmen, daher sei auf die umweltökonomische Literatur oder auch weitergehende Lehrbücher zur Mikroökonomie (Stichwort Externe Effekte) verwiesen. <?page no="111"?> Lösungen zu Kapitel 5: Staatliche Eingriffe in den Markt Lösung zu Aufgabe 5.1.1 a) Gleichsetzen von Angebot und Nachfrage ergibt: 4𝑝𝑝 − 20 = 50 − 𝑝𝑝 Auflösen nach 𝑝𝑝 ergibt den Preis im Marktgleichgewicht ( 𝑝𝑝 ∗ = 14) , der in eine der beiden Kurven eingesetzt werden muss, um die Gleichgewichtsmenge zu bestimmen, hier wird die Nachfrage gewählt: 𝑥𝑥 = 20 − 14 = 36 b) Beim Preis von 12 ergibt sich ein Angebot von 28 und eine Nachfrage von 38. Da nicht mehr als 28 Einheiten des Leuchtmittels produziert und angeboten werden, ist die nachgefragte Menge nicht realisierbar. Die gehandelte Menge beträgt 28. Die Nachfrager sind rationiert. c) Es ergibt sich eine Überschussnachfrage von 10 Einheiten, die durch die grüne Linie gekennzeichnet ist. Abb. 43 Lösung zu Aufgabe 5.1.2 a) Da ein Höchstpreis gesetzt werden kann, wenn aus staatlicher Sicht der Marktpreis für die Nachfrager zu hoch ist, ist zuerst der Gleichgewichtspreis zu bestimmen. Er ergibt sich im Schnittpunkt von Angebot und Nachfrage: 50 − 6𝑝𝑝 = 10 + 2𝑝𝑝 p x 28 14 5 36 Angebot Nachfrage 50 38 Überschussnachfrage 50 p max =12 <?page no="112"?> 112 Mikroökonomie · 77 Aufgaben und somit 𝑝𝑝 ∗ = 5 Der Höchstpreis muss darunter liegen, also beispielsweise bei 𝑝𝑝 = 4 . b) Die kürzere Marktseite ist die Angebotsseite, die gehandelte Menge somit die angebotene Menge. Einsetzen des Preises in die Angebotsfunktion ergibt die gehandelte Menge: 𝑥𝑥(𝑝𝑝 = 4) = 10 + 2 ∙ 4 = 18 𝑥𝑥 = 18 c) c1) Eine Steuer auf das Angebot ist ungeeignet. Hier verschiebt sich die Angebotsfunktion um die Steuer nach oben: Der Preis steigt und die Menge sinkt. Ein Höchstpreis wird aber eingesetzt, um die Preise zu dämpfen (siehe dazu auch Aufgabe 5.2.1). c2) Diese Maßnahme ist dem Höchstpreis vorzuziehen. Die Nachfragefunktion verschiebt sich um die Subvention nach oben. Zwar steigt der Marktpreis, doch die Nachfrager zahlen nur den neuen Preis abzüglich der Subvention, damit sinkt der Preis für die Nachfrager (wie beim Höchstpreis), aber die Menge 𝑥𝑥 steigt. Die Versorgung wird also besser (siehe dazu auch Aufgabe 5.2.7). c3) Diese Maßnahme ist dem Höchstpreis vorzuziehen. Die Angebotsfunktion verschiebt sich um die Subvention nach unten. Der Preis sinkt für die Nachfrager (wie beim Höchstpreis) aber die Menge 𝑥𝑥 steigt, die Versorgung wird somit besser (siehe dazu auch Aufgabe 5.2.6). Lösung zu Aufgabe 5.1.3 a) Die Berechnung des Marktgleichgewichts ist bereits aus früheren Kapiteln bekannt. Die gleichgewichtige Menge kann durch Gleichsetzen der Angebots- und Nachfragefunktion berechnet werden. Man erhält 𝑥𝑥 ∗ = 3 . Durch Einsetzen von 𝑥𝑥 ∗ in eine der beiden Funktionen wird der Gleichgewichtspreis ermittelt: 𝑝𝑝 ∗ = 14 b) Aus den Diagrammflächen können Konsumenten- und Produzentenrente berechnet werden. Das grüne Dreieck oberhalb des Marktpreises stellt die Konsumentenrente dar. Seine Fläche wird mit folgender Formel berechnet: 𝐾𝐾𝐺𝐺 = 12 (20 − 14) ∙ 3 = 9 Das rote Dreieck unterhalb des Marktpreises stellt die Produzentenrente dar. Ihre Flächenberechnung lautet: 𝑀𝑀𝐺𝐺 = 12 (14 − 5) ∙ 3 = 13,5 <?page no="113"?> Lösungen zu Kapitel 5: Staatliche Eingriffe in den Markt 113 Da die Angebotsfunktion unelastischer ist als die Nachfragefunktion, ist die Produzentenrente höher als die Konsumentenrente. Abb. 44 c) Der Höchstpreis liegt unterhalb des Marktgleichgewichtes. Es kommt zu einem Nachfrageüberschuss, da bei einem Preis von 11 Euro die Nachfrage das Angebot übersteigt. Die limitierende Seite ist das Angebot. Die Höhe des Angebots bei 11 Euro erhält man durch Einsetzen des Höchstpreises in die Angebotsfunktion: 11 = 5 + 3𝑥𝑥 . Durch Auflösen nach 𝑥𝑥 ergibt sich eine angebotene und verkaufte Menge in Höhe von 𝑥𝑥 = 2 . Der Höchstpreis führt demnach nicht zu einer höheren Konsummenge an Seminarstunden, sondern die Stundenzahl verringert sich von 3 im Marktgleichgewicht auf 2 mit Höchstpreis. Der Staat hat sein Ziel nicht erreicht. Abb. 45 p x 3 145 10 20 Konsumentenrente Produzentenrente A N x A = 2 p x 20 Höchstpreis 14 5 10 11 x N A N <?page no="114"?> 114 Mikroökonomie · 77 Aufgaben Lösung zu Aufgabe 5.1.4 a) Aufgrund des Mindestpreises besteht für die Anbieter ein Anreiz, mehr als die gleichgewichtige Menge 𝑥𝑥 ∗ zu produzieren. Das Angebot steigt auf 𝑥𝑥 𝐴𝐴𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 . Gleichzeitig geht die Nachfrage aufgrund des höheren Preises auf 𝑥𝑥 𝑁𝑁𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 zurück. Es gibt einen Angebotsüberschuss. Ein Mindestpreis hat normalerweise das Ziel, die Anbieter zu unterstützen. Dies gelingt nur, wenn der Mindestpreis mit einer Aufkaufgarantie gekoppelt wird, da die Anbieter ansonsten weniger verkaufen könnten, da die Nachfrage aufgrund des höheren Preises zurückgeht. Abb. 46 b) Durch den Mindestpreis sinkt die Konsumentenrente aufgrund des höheren Preises und der geringeren Menge 𝑥𝑥 𝑁𝑁𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 (grüne Fläche). Die neue Produzentenrente (rosafarbene Fläche) ist deutlich höher als ohne Mindestpreis, da die Anbieter eine größere Menge zu einem höheren Preis verkaufen können. Dies ist allerdings nur aufgrund der Aufkaufgarantie möglich, die vom Staat finanziert werden muss. Die violett umrahmte Fläche gibt daher die Ausgaben des Staates wieder. Die Fläche ergibt sich aus dem garantierten Preis multipliziert mit der vom Staat gekauften Menge: (𝑥𝑥 𝐴𝐴𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 − 𝑥𝑥 𝑁𝑁𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 ) ∙ 𝑝𝑝 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑛𝑛 . Da die Ausgaben des Staates nicht für andere Dinge verwendet werden können, gelten sie als wohlfahrtsmindernd. Während also die Produzenten vom Mindestpreis profitieren, verlieren Konsumenten und Staat an Wohlfahrt. Wie sieht nun die Nettowohlfahrtsveränderung aus? Der Verlust der Konsumenten geht komplett an die Produzenten über. Das obere Dreieck, das zusätzlich an Wohlfahrt entstanden ist und zur Produzentenrente gehört, wurde durch Staatsausgaben finanziert. Dies ist wohlfahrtsneutral, da die Ausgaben des Staates den Produzenten zugute kommen. Dies wird durch die Politik beabsichtigt. Das kleine Dreieck, das zuvor bereits zur Gesamtwohlfahrt gehörte und nun den Produzenten alleine gehört, ist allerdings wohlfahrtsmindernd. Zwar sieht es zunächst nur aus wie eine Umverteilung p x x ∗ p ∗ A N Mindestpreis p min Angebotsüberschuss <?page no="115"?> Lösungen zu Kapitel 5: Staatliche Eingriffe in den Markt 115 der Wohlfahrt, aber durch den Mindestpreis bezahlt der Staat zusätzlich für diese verkaufte Gütermenge und das mindert die Wohlfahrt. Die schraffierte Fläche stellt daher den Nettowohlfahrtsverlust des Staates dar. Abb. 47 Zusammenfassend lässt sich feststellen, dass zwar die Anbieter wie beabsichtigt vom Mindestpreis profitieren. Insgesamt führt die Politik aber zu hohen Staatsausgaben und einem Nettowohlfahrtsverlust. c) Wie in Teilaufgabe b) gezeigt, ist die Referenzpreispolitik sehr teuer für den Staat. Zudem führt sie zu Überproduktion, da die Anbieter aufgrund der höheren Preise mehr produzieren, die Nachfrager aber weniger zu diesem hohen Preis kaufen. Folglich kommt es zu steigender Lagerhaltung. In der EU wurden die Lagerbestände dann teilweise durch subventionierte Exporte abgebaut. Die heutige Kombination aus Produktionsquoten und geringen Referenzpreisen soll die Überproduktion verhindern und ist für die Konsumenten günstiger. Die Referenzpreise dienen im Wesentlichen der Absicherung der Bauern vor zu starken Schwankungen der Weltmarktpreise. Lösung zu Aufgabe 5.2.1 a) Durch die Steuer verschiebt sich die Angebotsfunktion um den Steuersatz 𝐾𝐾 nach oben. Dadurch entsteht auf dem Markt ein neuer, höherer Gleichgewichtspreis 𝑝𝑝 ∗∗ , den die Nachfrager bezahlen müssen. Die verkaufte Menge reduziert sich auf 𝑥𝑥 ∗∗ . Da die Anbieter die Steuer an den Staat abführen müssen, erhalten sie nur den Preis (𝑝𝑝 ∗∗ − 𝐾𝐾) , also einen geringeren Preis als ohne Steuer. p x x ∗ p ∗ A N Mindestpreis p min Konsumentenrente Produzentenrente Ausgaben für Aufkaufgarantie Wohlfahrtsverlust gegenüber unreguliertem Markt <?page no="116"?> 116 Mikroökonomie · 77 Aufgaben Abb. 48 b) Das Steueraufkommen des Staates wird berechnet als Steuersatz 𝐾𝐾 mal verkaufte Menge 𝑥𝑥 ∗∗ . Auch wenn die Steuer insgesamt von den Anbietern an den Staat abgeführt wird, teilen sich doch beide Marktseiten die Steuerlast. Die Anbieter erhalten jetzt einen geringeren Preis als vorher: Dieser Unterschied multipliziert mit der Menge 𝑥𝑥 ∗∗ ergibt die Steuerlast der Anbieter (blaue Fläche). Die Nachfrager zahlen einen höheren Preis als ohne Steuer: Dieser Unterschied multipliziert mit der Menge 𝑥𝑥 ∗∗ ergibt die Steuerlast der Nachfrager (grüne Fläche). Abb. 49 p x A N A‘ x ∗ p ∗ p ∗∗ p ∗∗ − t x ∗∗ t neuer Preis für Nachfrager neuer Preis für Anbieter p ∗∗ p ∗∗ − t Preissteigerung aus Nachfragersicht Preissenkung aus Anbietersicht p x A N A‘ x * p ∗ p ∗∗ p ** t x ** t Steuerlast der Anbieter Steuerlast der Nachfrager Steueraufkommen: T = t � x ∗∗ <?page no="117"?> Lösungen zu Kapitel 5: Staatliche Eingriffe in den Markt 117 Lösung zu Aufgabe 5.2.2 Vor Einführung der Verbrauchsteuer ist die Angebotsfunktion 𝐴𝐴 relevant. Die Wohlfahrt ist die Summe aus Konsumenten- und Produzentenrente und damit die Dreiecksfläche zwischen 𝐴𝐴 und 𝑁𝑁 bis zum Gleichgewicht. Durch die Einführung der Steuer verlagert sich die Angebotsfunktion um den Steuersatz nach oben, es entsteht ein neues Gleichgewicht. Die Komponenten der Wohlfahrt sind in der Graphik angegeben. Zu beachten ist dabei, dass ein neuer Akteur hinzukommt, für den auch Wohlfahrtseffekte entstehen: Der Staat erhöht seine Wohlfahrt durch die Steuereinnahmen für die neu eingeführte Alkoholsteuer. Gegenüber der Ausgangssituation ist die Wohlfahrt um die blau eingezeichnete Spitze des Dreiecks kleiner geworden. Hierzu ist auf den Kasten „Wohlfahrtswirkung einer Verbrauchsteuer“ verwiesen. Abb. 50 Lösung zu Aufgabe 5.2.3 Wenn man annimmt, dass der Finanzminister ein möglichst hohes Steueraufkommen erzielen möchte, sollte er den Markt mit der unelastischen Nachfragefunktion |𝜀𝜀| = 0,7 wählen. Eine Steuererhöhung bewirkt in der Regel eine durch die Preiserhöhung herbeigeführte Reduktion der gehandelten Menge. Dem steht die Erhöhung des Steuersatzes entgegen. Die Auswirkungen auf das Steueraufkommen sind damit von zwei gegenläufigen Veränderungen bestimmt: 𝐾𝐾 steigt, 𝑥𝑥 sinkt: 𝑇𝑇 = 𝐾𝐾(↑) ∙ 𝑥𝑥(↓) . p x A N A‘ x * p * p ** p ** t x ** t T = tx ** Konsumentenrente Produzentenrente Steuereinnahmen Wohlfahrtsverlust <?page no="118"?> 118 Mikroökonomie · 77 Aufgaben Der Gesamteffekt ist abhängig davon, welcher Effekt überwiegt. Je unelastischer die Nachfrage ist, desto geringer wird die Mengenreduktion sein und desto eher wird das Steueraufkommen 𝑇𝑇 steigen. Besonders deutlich wird das bei einer vollkommen unelastischen Nachfrage, bei der die Menge unverändert bleibt, während der Steuersatz 𝐾𝐾 angehoben wird. Wenn also die Aufkommensfunktion der Steuer im Mittelpunkt steht, sollte für die Steuererhöhung das Gut mit der unelastischeren Nachfrage ausgewählt werden. Abb. 51 Lösung zu Aufgabe 5.2.4 a) Gleichgewicht vor Einführung der Steuer: 100 − 10𝑝𝑝 = 20 + 2𝑝𝑝 80 = 12𝑝𝑝 𝑝𝑝 ∗ = 20 3 Einsetzen in die Angebotsfunktion (oder wahlweise die Nachfragefunktion) ergibt die Gleichgewichtsmenge: 𝑥𝑥 ∗ = 20 + 2 ∙ 20 3 = 100 3 Gleichgewicht nach Einführung der Steuer: Nun ist zu berücksichtigen, dass der Preis, den die Nachfrager bezahlen, sich von dem unterscheidet, den die Anbieter letztendlich nach Abführung der Steuer erhalten. Der p A N unelastisch p x A‘ N elastisch t x ∗∗ Mengenrückgang durch Steuer bei unelastischer Nachfrage Mengenrückgang durch Steuer bei elastischer Nachfrage x ∗ x∗∗ x∗ x A A‘ t Steueraufkommen T = t � x ∗∗ <?page no="119"?> Lösungen zu Kapitel 5: Staatliche Eingriffe in den Markt 119 Preis der Nachfrager ist somit um den Steuersatz höher als der Preis der Anbieter: 𝑝𝑝 𝑛𝑛 = 𝑝𝑝 𝑣𝑣 + 𝐾𝐾 Nachfragefunktion: 𝑥𝑥 𝑛𝑛 = 100 − 10𝑝𝑝 𝑛𝑛 = 100 − 10(𝑝𝑝 𝑣𝑣 + 𝐾𝐾) Angebotsfunktion: 𝑥𝑥 𝑣𝑣 = 20 + 2𝑝𝑝 𝑣𝑣 Gleichgewicht: 𝑥𝑥 𝑛𝑛 = 𝑥𝑥 𝑣𝑣 100 − 10𝑝𝑝 𝑣𝑣 − 10 ∙ 𝐾𝐾 = 20 + 2𝑝𝑝 𝑣𝑣 100 − 10𝑝𝑝 𝑣𝑣 − 20 = 20 + 2𝑝𝑝 𝑣𝑣 60 = 12𝑝𝑝 𝑣𝑣 𝑝𝑝 𝑣𝑣 = 5 𝑝𝑝 𝑛𝑛 = 7 Da der Preis für beide Marktseiten vor der Einführung der Steuer bei 20 3 lag, steigt der Preis für die Nachfrager um 13 , für die Anbieter dagegen sinkt er um 53 . Damit ist die Angebotsseite stärker betroffen. Ihr gelingt nur eine geringfügige Überwälzung der Steuer, den weitaus größeren Teil trägt sie selbst. Die gleichgewichtige Menge nach Steuer ( 𝑥𝑥 ∗∗ ) ergibt sich aus dem Einsetzen der Preise in die jeweiligen Funktionen, z.B. 𝑝𝑝 𝑛𝑛 in die Nachfragefunktion: 𝑥𝑥 ∗∗ = 100 − 10𝑝𝑝 𝑛𝑛 = 30 Das Steueraufkommen beträgt: 𝑇𝑇 = 𝑥𝑥 ∗∗ ∙ 𝐾𝐾 = 30 ∙ 2 = 60 b) Für b) wird der gleiche Rechenweg angewandt wie für a), daher werden hier lediglich die Ergebnisse genannt. b1) Preis vor Einführung der Steuer: 𝑝𝑝 ∗ = 4 Menge vor Einführung der Steuer: 𝑥𝑥 ∗ = 60 Preise nach Einführung der Steuer: 𝑝𝑝 𝑣𝑣 = 3 𝑝𝑝 𝑛𝑛 = 5 Beide Marktseiten tragen die Hälfte der Steuer. Menge nach Einführung der Steuer: 𝑥𝑥 ∗∗ = 50 Steueraufkommen: 𝑇𝑇 = 100 b2) Preis vor Einführung der Steuer: 𝑝𝑝 ∗ = 2 Menge vor Einführung der Steuer: 𝑥𝑥 ∗ = 80 Preise nach Einführung der Steuer: 𝑝𝑝 𝑣𝑣 = 1,5 𝑝𝑝 𝑛𝑛 = 3,5 <?page no="120"?> 120 Mikroökonomie · 77 Aufgaben Die Steuer wird stärker von der Nachfrageseite getragen. Menge nach Einführung der Steuer: 𝑥𝑥 ∗∗ = 65 Steueraufkommen: 𝑇𝑇 = 130 c) Auch hier werden die Berechnungen für die Funktionen aus a) ausführlich gezeigt, für b1) und b2) die Ergebnisse genannt. Die Preiselastizität der Nachfrage ist definiert als: 𝜀𝜀 𝑛𝑛 = 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑛𝑛 ∙ 𝑝𝑝 𝑛𝑛 𝑥𝑥 𝑛𝑛 Hier gilt: 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑛𝑛 = −10 Einsetzen in die Definitionsgleichung ergibt 𝜀𝜀 𝑛𝑛 = −10 𝑝𝑝 𝑛𝑛 100 − 10𝑝𝑝 𝑛𝑛 = −10 𝑝𝑝 𝑛𝑛 10(10 − 1𝑝𝑝 𝑛𝑛 ) = − 𝑝𝑝 𝑛𝑛 10 − 𝑝𝑝 𝑛𝑛 𝜀𝜀 𝑛𝑛 �𝑝𝑝 ∗ = 20 3 � = − 20 3 10 − 20 3 = −2 Damit ist die Nachfragefunktion elastisch. Die Preiselastizität des Angebots ist definiert als: 𝜀𝜀 𝑣𝑣 = 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑣𝑣 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑣𝑣 ∙ 𝑝𝑝 𝑣𝑣 𝑥𝑥 𝑣𝑣 Bei den Werten aus a) ist die Ableitung der Angebotsfunktion 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑎𝑎 = 2 und die Elastizität ist: 𝜀𝜀 𝑣𝑣 = 2 𝑝𝑝 𝑣𝑣 20 + 2𝑝𝑝 𝑣𝑣 = 𝑝𝑝 𝑣𝑣 10 + 𝑝𝑝 𝑣𝑣 Im Marktgleichgewicht ist der Wert: 𝜀𝜀 𝑣𝑣 �𝑝𝑝 ∗ = 20 3 � = 25 = 0,4 Somit ist das Angebot unelastisch, die angebotene Menge reagiert deutlich weniger stark auf Preisänderungen als die nachgefragte Menge. Die Nachfrageseite wird ihre Menge stark reduzieren, beispielsweise weil sie auf Substitute ausweichen kann. Daher wird die Nachfrageseite weniger von der steuerinduzierten Preissteigerung betroffen sein. Es wird relativ wenig überwälzt, der Preis für die Nachfrager steigt um 13 , während derjenige für die Anbieter um 53 sinkt. <?page no="121"?> Lösungen zu Kapitel 5: Staatliche Eingriffe in den Markt 121 Werte aus b1) 𝜀𝜀 𝑛𝑛 (𝑝𝑝 ∗ = 4) = − 23 = −0, 6� → N ist unelastisch 𝜀𝜀 𝑣𝑣 (𝑝𝑝 ∗ = 4) = 23 = 0, 6� → A ist unelastisch Beide Marktseiten reagieren gleich stark auf Preisänderungen, daher tragen beide gleich viel von der Steuer, nämlich jeweils eine Preisänderung von 1 und damit die Hälfte der Steuerlast. Werte aus b2) 𝜀𝜀 𝑛𝑛 (𝑝𝑝 ∗ = 2) = −0,25 unelastisch 𝜀𝜀 𝑣𝑣 (𝑝𝑝 ∗ = 2) = 0,75 unelastisch Beide Funktionen sind unelastisch, aber das Angebot reagiert stärker als die Nachfrage und ist somit vergleichsweise elastischer. Daher müssen die Nachfrager mehr von der Steuer tragen. Konkret tragen die Nachfrager 0,5, die Anbieter dagegen 1,5 in Form von Preisänderungen. Die Steuerlast verteilt sich also zu einem Viertel auf die Anbieter und zu drei Viertel auf die Nachfrager. Lösung zu Aufgabe 5.2.5 1. Schritt: Gleichgewicht vor Einführung der Steuer 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏𝑝𝑝 𝑛𝑛 = 𝑐𝑐 + 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑣𝑣 Auflösen nach p ergibt: 𝑝𝑝 ∗ = 𝑎𝑎 − 𝑐𝑐 𝑏𝑏 + 𝑑𝑑 Einsetzen in die Angebotsfunktion (oder wahlweise die Nachfragefunktion) ergibt die Gleichgewichtsmenge 𝑥𝑥 ∗ . 𝑥𝑥 ∗ = 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 𝑎𝑎 − 𝑐𝑐 𝑏𝑏 + 𝑑𝑑 Erweitern des ersten Terms ermöglicht eine Vereinfachung des Ausdrucks: 𝑥𝑥 ∗ = 𝑎𝑎(𝑏𝑏 + 𝑑𝑑) 𝑏𝑏 + 𝑑𝑑 − 𝑏𝑏(𝑎𝑎 − 𝑐𝑐) 𝑏𝑏 + 𝑑𝑑 Ausklammern und auf einen Nenner bringen: 𝑥𝑥 ∗ = 𝑎𝑎𝑏𝑏 + 𝑎𝑎𝑑𝑑 − 𝑏𝑏𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑐𝑐 𝑏𝑏 + 𝑑𝑑 <?page no="122"?> 122 Mikroökonomie · 77 Aufgaben Wegen 𝑏𝑏 ∙ 𝑎𝑎 = 𝑎𝑎 ∙ 𝑏𝑏 lässt sich der Zähler vereinfachen und im Ergebnis ist die Menge im Gleichgewicht: 𝑥𝑥 ∗ = 𝑎𝑎𝑑𝑑 + 𝑏𝑏𝑐𝑐 𝑏𝑏 + 𝑑𝑑 Durch diese Vereinfachung lässt sich die Gleichgewichtsmenge, die sich durch Einsetzen des Marktpreises in die Nachfragefunktion ergibt, mit derjenigen, die sich durch Einsetzen in die Angebotsfunktion ergibt vergleichen. Alternativ kann man die Gleichgewichtsmenge durch Einsetzen des Marktpreises in die Angebotsfunktion berechnen. Die Rechnung funktioniert auf die gleiche Weise und führt zum gleichen Ergebnis. 2. Schritt: Gleichgewicht nach Einführung der Steuer Nun ist zu berücksichtigen, dass der Preis, den die Nachfrager bezahlen, sich von dem unterscheidet, den die Anbieter letztendlich nach Abführung der Steuer erhalten. Der Preis, den die Anbieter realisieren, ist somit um den Steuersatz geringer, als der Preis der Nachfrager. Es gilt: 𝑝𝑝 𝑛𝑛 = 𝑝𝑝 𝑣𝑣 + 𝐾𝐾 Damit gilt nun: Lineare Nachfragefunktion: 𝑥𝑥 𝑛𝑛 = 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏𝑝𝑝 𝑛𝑛 = 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏(𝑝𝑝 𝑣𝑣 + 𝐾𝐾) Lineare Angebotsfunktion: 𝑥𝑥 𝑣𝑣 = 𝑐𝑐 + 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑣𝑣 Das Gleichgewicht wird durch Gleichsetzen von Angebot und Nachfrage bestimmt: 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏(𝑝𝑝 𝑣𝑣 + 𝐾𝐾) = 𝑐𝑐 + 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑣𝑣 Auflösen nach 𝑝𝑝 𝑣𝑣 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏𝑝𝑝 𝑣𝑣 − 𝑏𝑏𝐾𝐾 = 𝑐𝑐 + 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑣𝑣 | − 𝑐𝑐 𝑢𝑢𝑛𝑛𝑑𝑑 + 𝑏𝑏𝑝𝑝 𝑣𝑣 𝑎𝑎 − 𝑐𝑐 − 𝑏𝑏𝐾𝐾 = 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑣𝑣 + 𝑏𝑏𝑝𝑝 𝑣𝑣 𝑎𝑎 − 𝑐𝑐 − 𝑏𝑏𝐾𝐾 = (𝑑𝑑 + 𝑏𝑏)𝑝𝑝 𝑣𝑣 |: (𝑑𝑑 + 𝑏𝑏) 𝑝𝑝 𝑣𝑣 = 𝑎𝑎 − 𝑐𝑐 𝑑𝑑 + 𝑏𝑏 − 𝑏𝑏 𝑑𝑑 + 𝑏𝑏 𝐾𝐾 Wegen 𝑝𝑝 ∗ = 𝑣𝑣−𝑐𝑐 𝑑𝑑+𝑏𝑏 ist 𝑝𝑝 𝑣𝑣 der Preis, den die Anbieter nach Abführen der Verbrauchsteuer realisieren, gegenüber dem vorherigen Gleichgewichtspreis 𝑝𝑝 ∗ gesunken, wenn 𝑏𝑏 > 0 gilt und (𝑑𝑑 + 𝑏𝑏) nicht unendlich wird. Einsetzen in die Gleichung für 𝑝𝑝 𝑛𝑛 ergibt: 𝑝𝑝 𝑛𝑛 = 𝑝𝑝 𝑣𝑣 + 𝐾𝐾 = 𝑎𝑎 − 𝑐𝑐 𝑑𝑑 + 𝑏𝑏 − 𝑏𝑏 𝑑𝑑 + 𝑏𝑏 𝐾𝐾 + 𝐾𝐾 <?page no="123"?> Lösungen zu Kapitel 5: Staatliche Eingriffe in den Markt 123 Die Terme, die 𝐾𝐾 enthalten, müssen zusammengefasst werden − 𝑏𝑏 𝑑𝑑 + 𝑏𝑏 𝐾𝐾 + 𝐾𝐾 = − 𝑏𝑏 𝑑𝑑 + 𝑏𝑏 𝐾𝐾 + 𝑑𝑑 + 𝑏𝑏 𝑑𝑑 + 𝑏𝑏 𝐾𝐾 Auf einen Nenner bringen ergibt − 𝑏𝑏 𝑑𝑑 + 𝑏𝑏 𝐾𝐾 + 𝑑𝑑 + 𝑏𝑏 𝑑𝑑 + 𝑏𝑏 𝐾𝐾 = −𝑏𝑏 + 𝑑𝑑 + 𝑏𝑏 𝑑𝑑 + 𝑏𝑏 𝐾𝐾 = 𝑑𝑑 𝑑𝑑 + 𝑏𝑏 𝐾𝐾 Somit gilt: 𝑝𝑝 𝑛𝑛 = 𝑎𝑎 − 𝑐𝑐 𝑑𝑑 + 𝑏𝑏 + 𝑑𝑑 𝑑𝑑 + 𝑏𝑏 𝐾𝐾 Da der erste Summand den Gleichgewichtspreis vor Einführung der Steuer wiedergibt (wegen 𝑝𝑝 ∗ = 𝑣𝑣−𝑐𝑐 𝑑𝑑+𝑏𝑏 ), zeigt sich, dass der Preis für die Nachfrager gestiegen ist, wenn 𝑑𝑑 > 0 gilt und (𝑑𝑑 + 𝑏𝑏) nicht unendlich wird. Lösung zu Aufgabe 5.2.6 a) Bei einer Subvention an die Anbieter verschiebt sich die Angebotsfunktion um die Subvention 𝑠𝑠 nach unten. Dies führt zu einem Anstieg der Menge auf 𝑥𝑥 ∗∗ . Die Nachfrager zahlen nun einen geringeren Preis 𝑝𝑝 ∗∗ . Die Anbieter erhalten für jede verkaufte Einheit des Gutes den Preis 𝑝𝑝 ∗∗ von den Nachfragern zuzüglich der Subvention 𝑠𝑠 . Die Subventionszahlungen des Staates belaufen sich auf 𝐺𝐺 = 𝑠𝑠 ∙ 𝑥𝑥 ∗∗ . Abb. 52 b) Je elastischer die Nachfrage ist, desto stärker reagieren die Konsumenten auf Preisänderungen. Der Mengenanstieg in Folge der Subvention und die Ausgaben des Staates für die Subvention ( 𝐺𝐺 = 𝑠𝑠 ∙ 𝑥𝑥 ∗∗ )sind bei gegebenem 𝑠𝑠 höher. p x A‘ N A x ** p ** p * p ** + s x * s Subventionsausgaben des Staates S = s � x ∗∗ <?page no="124"?> 124 Mikroökonomie · 77 Aufgaben Lösung zu Aufgabe 5.2.7 a) Zur Berechnung des Gleichgewichts ohne Subvention setzt man Angebot und Nachfrage gleich: 1.000 − 2𝑥𝑥 = 400 + 𝑥𝑥 . Als Lösung erhält man die gleichgewichtige Menge 𝑥𝑥 ∗ = 200 . Diese kann man nun in Angebots- oder Nachfragefunktion einsetzen und kommt zum Gleichgewichtspreis 𝑝𝑝 ∗ = 600 . b) Die Subvention wird an die Mieter gezahlt, ihre Zahlungsbereitschaft steigt dadurch zu jeder Menge um die Höhe der Subvention 𝑠𝑠 . Die neue inverse Nachfragefunktion 𝑁𝑁 ′ lautet: 𝑝𝑝 𝑛𝑛𝑛𝑛𝑢𝑢 = 1.000 − 2𝑥𝑥 + 300 = 1300 − 2𝑥𝑥 Das neue Gleichgewicht erlangt man durch Gleichsetzen mit der Angebotsfunktion: 1.300 − 2𝑥𝑥 = 400 + 𝑥𝑥 . Die Lösung ist nun: 𝑥𝑥 ∗∗ = 300 und 𝑝𝑝 ∗∗ = 700 Die Subvention wird pro vermietete Wohnung bezahlt, d.h. die Ausgaben des Staates für die Subvention betragen: 𝐺𝐺 = 𝑠𝑠 ∙ 𝑥𝑥 ∗∗ = 300 ∙ 300 = 90.000 . Der Marktpreis für die Wohnung ist zwar gestiegen, aber da die Mieter eine Subvention erhalten, müssen sie selbst nur 𝑝𝑝 ∗∗ − 𝑠𝑠 = 400 bezahlen, den Rest erhalten sie vom Staat. c) Ja, auch die Vermieter profitieren von der Subvention. Sie können mehr Wohnungen zu einem höheren Preis vermieten. d) Abb. 53 p x N‘ N A x ** p ** − s p * p ** x * s 1.300 1.000 Subventionsausgaben des Staates S = s � x ∗∗ <?page no="125"?> 6 Unvollkommene Märkte und Wettbewerbspolitik In aller Kürze | Unvollkommene Märkte und Wettbewerbspolitik Die Annahmen des vollkommenen Marktes wurden bisher immer als erfüllt betrachtet. Dieses Kapitel beschäftigt sich nun mit Fragestellungen, in denen diese Annahmen zumindest teilweise verletzt sind und daher nur eingeschränkter Wettbewerb herrscht. Grundsätzlich kann der Wettbewerb sowohl auf Seiten der Nachfrage als auch auf Seiten des Angebots eingeschränkt sein. Eine nachfrageseitige Einschränkung würde beispielsweise vorliegen, wenn ein Unternehmen nur einen wichtigen Kunden hat, der den Großteil der Produktion kauft. In diesem Fall übt der Kunde einen gewissen Grad an Marktmacht über das Unternehmen aus. Dies ist z.B. häufig bei Zulieferfirmen der Fall, wie in der Automobilbranche oder im Lebensmittelbereich. Auf der Angebotsseite liegt dann Marktmacht vor, wenn nur ein einziges oder einige wenige Unternehmen ein Produkt anbieten. Die Übungen in diesem Kapitel greifen nur Fragen von angebotsseitiger Marktmacht auf. In der Abbildung werden die verschiedenen Grade von Marktmacht auf Seiten des Angebots verdeutlicht und die Folgen daraus zusammengefasst. Die beiden Extrempunkte sind kein Wettbewerb - also ein Monopol - und vollkommene Konkurrenz. Beide Formen sind in der Realität nicht ganz so häufig, ihre Modelle können aber gut als Benchmark verwendet werden. Abschnitt 6.1. stellt daher Übungsaufgaben zum Monopol vor. Hat bei einem Monopol ein Unternehmen die ganze Marktmacht, teilen sich beim Duopol zwei Unternehmen die Nachfrage. Dies führt zu strategischem Verhalten, das in einigen Übungsaufgaben in Abschnitt 6.2. betrachtet wird. Eine Zwischenform, die in der Realität häufig vorkommt, ist die monopolistische Konkurrenz. Hier stellt das Unternehmen durch Produktdifferenzierung einen Unterschied zu den Angeboten der Konkurrenz her und erreicht so einen gewissen Preissetzungsspielraum. Mit Modellen dieser Art beschäftigen sich die Aufgaben in Abschnitt 6.3. Duopol Monopol Oligopol Vollkommene Konkurrenz Monopolistische Konkurrenz zunehmender Wettbewerb elastischere unternehmensspezifische Nachfrage Wohlfahrtseffekte: Mark-up fällt Produzentenrente fällt Konsumentenrente steigt gesamtgesellschaftliche Wohlfahrt steigt Abb. 54 <?page no="126"?> 126 Mikroökonomie · 77 Aufgaben 6.1 Monopol Das sollten Sie wissen | Gewinnmaximierung im Monopol: Bedingung 1. Ordnung und Bedingung 2. Ordnung Zur Berechnung der gewinnmaximierenden Menge ist zunächst die Stelle zu bestimmen, an der die 1. Ableitung der Gewinnfunktion den Wert Null annimmt. Der Gewinn wird als gesamter Erlös abzüglich der gesamten Kosten berechnet. Für die Bedingung 1. Ordnung gilt damit: 𝐺𝐺 ′ = 𝑑𝑑𝐺𝐺 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝐺𝐺𝐸𝐸 − 𝐺𝐺𝐾𝐾 = 0 wobei 𝐺𝐺𝐸𝐸 den Grenzerlös und GK die Grenzkosten bezeichnen. Dies ist erfüllt, wenn gilt: 𝐺𝐺𝐸𝐸 = 𝐺𝐺𝐾𝐾 (Bedingung 1. Ordnung) Beachten Sie: Anders als bei vollkommener Konkurrenz entspricht der Grenzerlös nicht dem Preis, da der Preis, den der Monopolist erzielt von der Menge abhängt, also nicht konstant ist. Da gilt 𝐸𝐸(𝑥𝑥) = 𝑝𝑝(𝑥𝑥) ∙ 𝑥𝑥 ist die Produktregel anzuwenden: 𝐺𝐺𝐸𝐸 = 𝑝𝑝 ′ (𝑥𝑥) + 𝑥𝑥 ∙ 𝑝𝑝(𝑥𝑥) Um auszuschließen, dass an dieser Stelle ein Minimum des Gewinns vorliegt, ist noch zu überprüfen, welches Vorzeichen die 2. Ableitung des Gewinns bei diesem Extremwert hat. Für ein Maximum muss gelten: 𝐺𝐺 ′′ = 𝑑𝑑 2 𝐺𝐺 𝑑𝑑𝑥𝑥 2 < 0 (Bedingung 2. Ordnung) Da hierbei GE von der Menge abhängt und somit die Ableitung von GE nach x nicht null ist, lässt sich im Monopol die Bedingung 2. Ordnung auch folgendermaßen schreiben: 𝐺𝐺 ′′ = 𝑑𝑑 2 𝐺𝐺 𝑑𝑑𝑥𝑥 2 = 𝐺𝐺𝐸𝐸 ′ − 𝐺𝐺𝐾𝐾 ′ < 0 (Bedingung 2. Ordnung) Beachten Sie, dass hier die Bedingung 2. Ordnung, anders als in der vollkommenen Konkurrenz, nicht bereits erfüllt ist, wenn die Grenzkosten einen steigenden Verlauf haben. Bei einer vorgegebenen Nachfragefunktion lässt sich GE leicht berechnen, wie die Übungsaufgaben zum Monopol und zur monopolistischen Konkurrenz zeigen. <?page no="127"?> Unvollkommene Märkte und Wettbewerbspolitik 127 Aufgabe 6.1.1 Schwierigkeitsgrad Zeit einfach 15 Minuten Ein Monopolist hat folgende Kostenfunktion 𝐾𝐾(𝑥𝑥) = 20 + 4𝑥𝑥 . Die Marktnachfrage lautet 𝑝𝑝(𝑥𝑥) = 24- 2𝑥𝑥 . a) Berechnen Sie die gewinnmaximale Produktionsmenge des Monopolisten, wenn der Monopolist das Gut zu einem einheitlichen Preis anbieten muss. Welchen Preis wird er verlangen? Wie hoch ist sein Gewinn? b) Ermitteln Sie in einem geeigneten Diagramm graphisch die gewinnmaximale Menge und den gewinnmaximalen Preis. Beschriften Sie auch die Achsenschnittpunkte der Funktionen. Aufgabe 6.1.2 Schwierigkeitsgrad Zeit mittel 20 Minuten Ein Monopolist hat die folgende Kostenfunktion: 𝐾𝐾(𝑥𝑥) = 400 + 4𝑥𝑥 Die Marktnachfrage lautet: 𝑝𝑝(𝑥𝑥) = 24- 2𝑥𝑥 c) Berechnen Sie die gewinnmaximale Produktionsmenge des Monopolisten. Welchen Preis wird er verlangen? Wie hoch ist sein Gewinn? b) Erstellen Sie eine geeignete Graphik, um die Gewinnmaximierung des Monopolisten darzustellen. Bestimmen Sie in der Graphik Konsumenten- und Produzentenrente. Berechnen Sie diese. Gibt es einen Wohlfahrtsverlust gegenüber der optimalen Allokation? c) Gehen Sie nun davon aus, dass sich der Monopolist so verhält, als würde er unter den Bedingungen der vollkommenen Konkurrenz anbieten. Bestimmen Sie hier zuerst Preis und Menge und tragen Sie dann die resultierenden Konsumenten- und Produzentenrenten in das Diagramm ein. Gibt es einen Wohlfahrtsverlust gegenüber der optimalen Allokation? Wie hoch sind Konsumenten- und Produzentenrente? Aufgabe 6.1.3 Schwierigkeitsgrad Zeit mittel 15 Minuten Ein Monopolist hat Grenzkosten in Höhe von 8 Euro. Die Nachfragefunktion ist linear und der Prohibitivpreis beträgt 44 Euro. Wenn er seine verkaufte Menge um eine Einheit ausdehnen möchte, muss er den Preis um genau 2 Euro senken. <?page no="128"?> 128 Mikroökonomie · 77 Aufgaben a) Berechnen Sie die gewinnmaximale Produktionsmenge und den zugehörigen Preis des Monopolisten. b) Welcher Preis sollte im Wohlfahrtsmaximum gelten und welche Menge könnte dann verkauft werden? Aufgabe 6.1.4 Schwierigkeitsgrad Zeit schwer 30 Minuten Auf dem Markt für einen bestimmten Impfstoff gebe es nur einen Anbieter, dessen Kostenfunktion lautet: 𝐾𝐾(𝑥𝑥) = 𝑐𝑐𝑥𝑥 2 + 𝑑𝑑 , 𝑐𝑐, 𝑑𝑑 > 0 Die gesamte Nachfrage nach dem Impfstoff ist durch 𝑝𝑝(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎- 𝑏𝑏𝑥𝑥 , 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 > 0 gegeben. a) Berechnen Sie die Menge, die am Markt gehandelt wird und den Preis, der hierfür zu zahlen ist. b) Unterstellen Sie, dass der Staat den Anbieter nun verpflichtet, nach den Bedingungen der vollkommenen Konkurrenz anzubieten, da er davon ausgeht, so würde mehr Impfstoff zu einem geringeren Preis auf dem Markt gehandelt werden. Überprüfen Sie diese Position des Staates. Gehen Sie dabei folgendermaßen vor: (1) Berechnen Sie den Preis und die Menge, die sich nun einstellen. (2) Vergleichen Sie die in a) und b) berechneten Preise miteinander. In welcher Marktform ist der Preis höher? War die staatliche Einschätzung bezüglich des Preises richtig? Aufgabe 6.1.5 Schwierigkeitsgrad Zeit mittel 15 Minuten a) Für ein Medikament gibt es ein Patent und daher nur einen Anbieter. Dieser unterliegt folgender Kostenfunktion: 𝐾𝐾(𝑥𝑥) = 50 + 2𝑥𝑥 . Die inverse Nachfrage nach dem Produkt ist gegeben und lautet: 𝑝𝑝(𝑥𝑥) = 5- 0,5𝑥𝑥 . Berechnen Sie die gewinnmaximale Produktionsmenge des Monopolisten, wenn der Monopolist das Gut zu einem Einheitspreis anbieten muss. Welchen Preis wird er verlangen? b) In folgendem Diagramm ist die Situation schematisch dargestellt. Der Monopolist nimmt nun vollständige Preisdifferenzierung vor. Tragen Sie die Werte der Achsen- <?page no="129"?> Unvollkommene Märkte und Wettbewerbspolitik 129 abschnitte der Funktionen ein. Zeichnen Sie die Produzentenrente ein und berechnen Sie den Wert der Produzentenrente. Wie hoch ist die Konsumentenrente? Abb. 55 Aufgabe 6.1.6 Schwierigkeitsgrad Zeit mittel 20 Minuten Ein Unternehmen hat einen neuartigen Elektromotor entwickelt und ein Patent darauf erhalten. Die inverse Nachfrage nach solchen Motoren folgt der Funktion: 𝑝𝑝(𝑥𝑥) = 18 − 𝑥𝑥 𝑥𝑥 wird in 1.000 Stück gemessen. a) Das Unternehmen, als einziger Anbieter, hat die Kostenfunktion 𝐾𝐾(𝑥𝑥) = 500 + 2𝑥𝑥 2 . Berechnen Sie nun die angebotene Menge und den Preis. b) Zeichnen Sie in einem geeigneten Diagramm die gewinnmaximale Menge und den zugehörigen Preis des Monopolisten ein. Zeichnen Sie Produzentenrente und Konsumentenrente ein. Berechnen Sie die Produzenten- und die Konsumentenrente im Monopol. Tragen Sie die Nettowohlfahrtsveränderung gegenüber der Marktlösung bei vollkommenem Wettbewerb ein. Berechnen Sie die Nettowohlfahrtsveränderung. Handelt es sich um einen Wohlfahrtsverlust oder -gewinn? Begründen Sie kurz. x Grenzkosten Nachfrage Grenzerlös pGE GK <?page no="130"?> 130 Mikroökonomie · 77 Aufgaben 6.2 Duopol und strategische Interaktion Das sollten Sie wissen | Strategische Entscheidungen im Sinne der Spieltheorie Strategische Entscheidungen werden im Rahmen der Spieltheorie folgendermaßen abgegrenzt: Neben dem Entscheidungsträger selbst gibt es strategisch denkende und handelnde „Gegenspieler“, so dass das Ergebnis (die Auszahlung) nicht nur von der eigenen Strategiewahl, sondern auch von der des „Gegenspielers“ abhängt. Dabei sind die Spieler sich der gegenseitigen Abhängigkeit bewusst und werden sie als rationale Akteure bei der Strategiewahl berücksichtigen. Ein Beispiel ist die Preissetzung im Duopol: Wenn ein Duopolist (A) den Preis senkt, um Kunden des Konkurrenten (B) anzuziehen, hat dies Einfluss auf den Gewinn von B. Damit sind die Entscheidungen von A für den Gewinn von B relevant. Da B seinerseits mit einer Preissenkung reagieren kann, ist es denkbar, dass die Strategie von A mittelbis langfristig nicht zielführend ist. Die Abhängigkeit von Entscheidungen des Anderen ist somit für beide gegeben. A sollte also mögliche Reaktionen von B vor der Preisentscheidung berücksichtigen. Das sollten Sie wissen | Terminologie Spieltheorie Die Analyse von Duopolen erfolgt häufig mithilfe von spieltheoretischen Ansätzen, deren grundlegende Terminologie im Folgenden erläutert wird. Zunächst werden einige zentrale Begriffe der spieltheoretischen Terminologie definiert: Spieler: Die Akteure, hier die beiden Konkurrenten, werden als Spieler bezeichnet. Strategie: Die Handlungsalternativen der Spieler werden als Strategien bezeichnet. Auszahlung: Die Ergebnisse, die die Spieler aufgrund der Strategieentscheidungen erhalten, heißen Auszahlung. Was genau die Auszahlung ist, hängt vom Entscheidungsproblem ab. Im Duopol kann dies der Gewinn sein oder beispielsweise auch der Marktanteil. Dominante Strategie: Ist eine Strategie, unabhängig davon, welche Strategie der Gegner wählt, für den betrachteten Spieler immer besser, so heißt diese Strategie dominante Strategie. Diese Strategie sollte der Spieler wählen. Gleichgewicht in dominanten Strategien: Wenn beide Spieler über eine dominante Strategie verfügen, heißt die Kombination beider dominanter Strategien ein Gleichgewicht in dominanten Strategien. <?page no="131"?> Unvollkommene Märkte und Wettbewerbspolitik 131 Aufgabe 6.2.1 Schwierigkeitsgrad Zeit einfach 5 Minuten Zwei konkurrierende Bäckereien A und B entscheiden über ihre Preispolitik. Beide könnten entweder einen geringeren Preis 𝑝𝑝 𝐿𝐿 oder einen höheren Preis 𝑝𝑝 𝐻𝐻 verlangen. Die Auszahlungsmatrix ist: Abb. 56 Bäckerei B 𝑝𝑝 𝐻𝐻 𝑝𝑝 𝐿𝐿 Bäckerei A 𝑝𝑝 𝐻𝐻 A: 30, B: 30 A: 5, B: 80 𝑝𝑝 𝐿𝐿 A: 80, B: 5 A: 15, B: 15 a) Zu welchem Ergebnis kommt das Spiel? b) Liegt ein Gefangenendilemma vor? Begründen Sie Ihre Antwort! Aufgabe 6.2.2 Schwierigkeitsgrad Zeit mittel 10 Minuten Anton und Franz sind Bauern. Sie können pro Jahr immer nur eine Sorte anbauen. Je nach Marktangebot unterscheiden sich die Absatzpreise, so dass die eigenen Erträge auch von der Entscheidung des Anderen abhängen. Abbildung 57 zeigt die möglichen Auszahlungen der strategischen Interaktion. Abb. 57 Anton Kartoffeln Rüben Franz Kartoffeln F: 70, A: 100 F: 100, A: 160 Rüben F: 50, A: 200 F: 25, A: 210 a) Gibt es für die Bauern jeweils eine dominante Strategie? Wie lautet das Spielergebnis? b) Ist das Spielergebnis pareto-optimal? <?page no="132"?> 132 Mikroökonomie · 77 Aufgaben Aufgabe 6.2.3 Schwierigkeitsgrad Zeit schwer 25 Minuten Auf einem Markt sei die inverse Nachfrage gegeben durch 𝑝𝑝 = 500- 5𝑥𝑥 . Es herrsche ein homogenes Duopol, beide Anbieter haben die Kostenfunktion: 𝐾𝐾 𝑖𝑖 = 200𝑥𝑥 𝑖𝑖 , 𝑖𝑖 = 1, 2 Berechnen Sie die von den Duopolisten abgesetzten Mengen und den Marktpreis bei a) Mengenfestlegung im Cournot-Modell. b) Mengenfestlegung im Stackelberg-Modell (Unternehmen 1 sei der Stackelberg-Führer). 6.3 Monopolistische Konkurrenz Aufgabe 6.3.1 Schwierigkeitsgrad Zeit mittel 15 Minuten Stellen Sie sich den Markt für Laserdrucker vor, auf dem es viele Anbieter gibt. Das Unternehmen DF hat sich auf diesem Markt mit seiner Marke einen Namen gemacht. a) Erläutern Sie, welche Art von Markt hier vorliegt? b) Nehmen Sie an, die unternehmensspezifische inverse Nachfrage für eine bestimmte Sorte Drucker von DF lautet: 𝑝𝑝 = 361- 4𝑥𝑥 . Die Kostenfunktion für die Herstellung dieser Druckersorte beträgt 𝐾𝐾(𝑥𝑥) = 5.000 + 2𝑥𝑥² + 𝑥𝑥 . Berechnen Sie Preis und Menge, wenn DF auf diesem Markt seinen Gewinn maximiert. Erwarten Sie auf diesem Markt weitere Anpassungsprozesse? Wenn ja, welche Preisentwicklung erwarten Sie? c) Nehmen Sie an, der Markt befindet sich nach einigen Anpassungsprozessen im mittelfristigen Gleichgewicht. Stellen Sie die Situation graphisch dar, indem Sie die Nachfrage, den Grenzerlös, die Grenzkosten und die Durchschnittskosten in einem Diagramm skizzieren (ohne Zahlenwerte! ). <?page no="133"?> Unvollkommene Märkte und Wettbewerbspolitik 133 Aufgabe 6.3.2 Schwierigkeitsgrad Zeit mittel 15 Minuten Gegeben sei ein Unternehmen unter den Bedingungen monopolistischer Konkurrenz. a) Nutzen Sie für die Lösung die nachstehende Skizze, die die Ausgangssituation zeigt: Bestimmen Sie in dieser Graphik Preis ( 𝑝𝑝 ), Menge ( 𝑥𝑥 ), Kosten ( 𝐾𝐾 ), Erlös ( 𝐸𝐸 ) und Gewinn ( 𝐺𝐺 ) des Unternehmens in der Ausgangssituation! Abb. 58 b) Zeigen Sie die Situation nach Ablauf aller Anpassungsprozesse auf: Wie werden sich Nachfrage und Grenzerlös einstellen? Wie hoch sind Marktpreis und -menge im Gleichgewicht? Ergänzen Sie die nachstehende Graphik! Eine maßstabsgetreue Zeichnung ist nicht erforderlich. Abb. 59 c) Ist die Situation in b) pareto-optimal? Begründen Sie Ihre Antwort. Grenzerlös Durchschnittskosten x Grenzkosten unternehmensspezifische Nachfrage pDK GK GE Durchschnittskosten x Grenzkosten pDK GK GE <?page no="134"?> 134 Mikroökonomie · 77 Aufgaben Aufgabe 6.3.3 Schwierigkeitsgrad Zeit mittel 10 Minuten Gehen Sie davon aus, dass für ein Unternehmen das nachfolgende Diagramm gilt: Abb. 60 a) Ergänzen Sie die Graphik so, dass Sie die gewinnmaximale Menge und den gewinnmaximalen Preis eintragen können. b) Macht das Unternehmen einen Gewinn oder einen Verlust? Begründen Sie Ihre Antwort. Zeichnen Sie den Gewinn bzw. den Verlust in das Diagramm ein. c) Ausgehend von Ihrem Ergebnis in b: Erwarten Sie auf diesem Markt Markteintritte oder Marktaustritte. Wie wird sich die unternehmensspezifische Nachfrage dadurch verändern? Aufgabe 6.3.4 Schwierigkeitsgrad Zeit mittel 15 Minuten Das Unternehmen Blix produziert Computerbildschirme. Es agiert unter monopolistischer Konkurrenz und sieht sich folgender unternehmensspezifischer inverser Nachfragefunktion gegenüber 𝑝𝑝(𝑥𝑥) = 401- 2𝑥𝑥 . Die Kostenfunktion des Unternehmens lautet 𝐾𝐾(𝑥𝑥) = 3.000 + 2𝑥𝑥² + 𝑥𝑥 . x Durchschnittskosten Grenzkosten 120 20 60 unternehmensspezifische Nachfrage pDK GK <?page no="135"?> Unvollkommene Märkte und Wettbewerbspolitik 135 a) Wie lautet allgemein die Bedingung für ein Gewinnmaximum? Erläutern Sie verbal, warum diese Bedingung zu einem Gewinnmaximum führt. b) Berechnen Sie die gewinnmaximale Menge und den gewinnmaximalen Preis des Unternehmens. c) Berechnen Sie den Stückgewinn des Unternehmens. <?page no="137"?> Lösungen zu Kapitel 6: Unvollkommene Märkte und Wettbewerbspolitik Lösung zu Aufgabe 6.1.1 a) Der Monopolist verhält sich annahmegemäß so, dass sein Gewinn maximiert wird. Das ist erfüllt, wenn die erste Ableitung des Gewinns Null ist (Bedingung 1. Ordnung) und darüber hinaus die zweite Ableitung bei dem so bestimmten Extremwert kleiner als Null ist (Bedingung 2. Ordnung). Die Bedingung 1. Ordnung lautet 𝐺𝐺𝐸𝐸 = 𝐺𝐺𝐾𝐾 . Beide Größen werden zunächst ermittelt. 𝐺𝐺𝐾𝐾 = 𝐾𝐾 ′ (𝑥𝑥) = 4 𝐸𝐸 = 𝑝𝑝(𝑥𝑥) ∙ 𝑥𝑥 = (24 − 2𝑥𝑥)𝑥𝑥 = 24𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥² 𝐺𝐺𝐸𝐸 = 𝐸𝐸 ′ (𝑥𝑥) = 24 − 4𝑥𝑥 𝐺𝐺𝐸𝐸 = 𝐺𝐺𝐾𝐾 24 − 4𝑥𝑥 = 4 | + 4𝑥𝑥 𝑢𝑢𝑛𝑛𝑑𝑑 − 4 20 = 4𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑑𝑑 = 5 Die Bedingung 2. Ordnung lautet: 𝐺𝐺𝐸𝐸 ′ − 𝐺𝐺𝐾𝐾 ′ < 0 𝐺𝐺𝐸𝐸 ′ = −4 𝐺𝐺𝐾𝐾 ′ = 0 𝐺𝐺 ′′ = 𝑑𝑑²𝐺𝐺 𝑑𝑑𝑥𝑥² = 𝐺𝐺𝐸𝐸 ′ − 𝐺𝐺𝐾𝐾 ′ = −4 + 0 < 0 Alternativ lässt sich die gewinnmaximierende Menge folgendermaßen berechnen: 𝐺𝐺 = 𝐸𝐸(𝑥𝑥) − 𝐾𝐾(𝑥𝑥) hier also 𝐺𝐺 = 24𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 2 − 20 − 4𝑥𝑥 Ableiten und Nullsetzen der Ableitung ergibt: 𝐺𝐺 ′ = 𝑑𝑑𝐺𝐺 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 20 − 4𝑥𝑥 = 0 und somit 𝑥𝑥 𝑑𝑑 = 5 Die Bedingung 2. Ordnung 𝐺𝐺 ′′ < 0 ist auch hier entsprechend der obigen Vorgehensweise zu überprüfen: 𝐺𝐺 ′′ = −4 < 0 <?page no="138"?> 138 Mikroökonomie · 77 Aufgaben Einsetzen von 𝑥𝑥 𝑑𝑑 in die inverse Nachfragefunktion ergibt den Preis, den die Nachfrager bei dieser Menge zu zahlen bereit sind. Diesen Preis wird der Monopolist ansetzen: 𝑝𝑝 = 24 − 2 ∙ 5 𝑝𝑝 𝑑𝑑 = 14 Der Gewinn des Monopolisten ist: 𝐺𝐺 = 24 ∙ 5 − 2 ∙ 25 − 20 − 4 ∙ 5 = 30 Abb. 61 Lösung zu Aufgabe 6.1.2 a) In dieser Aufgabe sind nahezu die gleichen Funktionen gegeben wie in der vorherigen Aufgabe 6.1.1, lediglich die Fixkosten unterschieden sich. Sie betragen jetzt 400. Die gewinnmaximale Menge und der gewinnmaximale Preis entsprechen der Lösung in 6.1.1, da das Optimum nicht von den Fixkosten abhängt. Es gilt weiterhin: 𝑥𝑥 𝑑𝑑 = 5 , 𝑝𝑝 𝑑𝑑 = 14 . Allerdings ändert sich der Gewinn: 𝐺𝐺 = 24𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 2 − 400 − 4𝑥𝑥 = −350 In diesem Beispiel macht der Monopolist einen Verlust. 𝑝𝑝 𝑑𝑑 und 𝑥𝑥 𝑑𝑑 geben die Stelle mit dem geringsten Verlust an, da der Monopolist aufgrund der hohen Fixkosten keinen Gewinn erwirtschaften kann. b) Da der Monopolist einen Mark-up verlangt, also den Preis höher als die Grenzkosten setzt, gibt es einen Nettowohlfahrtsverlust (blaues Dreieck). Die Flächen der Konsumenten- und Produzentenrente im Monopol können berechnet werden: Die Fläche des grünen Dreiecks der Konsumentenrente ergibt sich als: x Grenzkosten Nachfragefunktion Grenzerlös 5 14 24 4 12 6 (x M ; p M ) pGE GK <?page no="139"?> Lösungen zu Kapitel 6: Unvollkommene Märkte und Wettbewerbspolitik 139 𝐾𝐾𝐺𝐺 𝑑𝑑 = (24 − 14) ∙ 5 ∙ 0,5 = 25 Die Fläche des roten Vierecks der Produzentenrente lautet: 𝑀𝑀𝐺𝐺 𝑑𝑑 = (14 − 4) ∙ 5 = 50 Abb. 62 c) Unter den Bedingungen der vollkommenen Konkurrenz kann der Monopolist seine Marktmacht nicht für einen Mark-up nutzen. Es gilt 𝑀𝑀𝑟𝑟𝐺𝐺𝑖𝑖𝑠𝑠 = 𝐺𝐺𝑟𝑟𝐺𝐺𝑛𝑛𝐺𝐺𝑘𝑘𝐾𝐾𝑠𝑠𝐾𝐾𝐺𝐺𝑛𝑛 . Zur Berechnung von Preis und Menge unter den Bedingungen der vollkommenen Konkurrenz verwendet man die Bedingung: 24 − 2𝑥𝑥 = 4 Aufgelöst nach 𝑥𝑥 erhält man 𝑥𝑥 𝐾𝐾 = 10 . Der dazugehörige Preis lautet: 𝑝𝑝 𝐾𝐾 (10) = 4 = 𝐺𝐺𝐾𝐾 Da unter diesen Bedingungen für jede verkaufte Einheit der Preis den Grenzkosten entspricht, ist die Produzentenrente gleich Null. Es gibt auch keinen Nettowohlfahrtsverlust, d.h. die gesamte Wohlfahrt ist maximal. Die gesamte Wohlfahrt entspricht der Konsumentenrente: 𝐾𝐾𝐺𝐺 𝐾𝐾 = (24 − 4) ∙ 10 ∙ 0,5 = 100 x Grenzkosten Nachfragefunktion Grenzerlös 24 4 12 6 5 14 Konsumentenrente Produzentenrente Nettowohlfahrtsverlust pGE GK <?page no="140"?> 140 Mikroökonomie · 77 Aufgaben Abb. 63 Lösung zu Aufgabe 6.1.3 a) Im Gewinnmaximum gilt: 𝐺𝐺𝐸𝐸 = 𝐺𝐺𝐾𝐾 . Während die Grenzkosten gegeben sind, muss der Grenzerlös erst errechnet werden. Die Erlösfunktion lautet: 𝐸𝐸(𝑥𝑥) = 𝑝𝑝(𝑥𝑥) ∙ 𝑥𝑥 . Die inverse Nachfragefunktion 𝑝𝑝(𝑥𝑥) ergibt sich aus den Angaben zu Prohibitivpreis und Steigung im Text: 𝑝𝑝(𝑥𝑥) = 44 − 2𝑥𝑥 . Die Erlösfunktion ist damit: 𝐸𝐸(𝑥𝑥) = (44 − 2𝑥𝑥)𝑥𝑥 = 44𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥 2 . Der Grenzerlös ist die Ableitung der Erlösfunktion: 𝐺𝐺 𝐸𝐸 = 𝐸𝐸′ ( 𝑥𝑥 ) = 44 − 4𝑥𝑥 . Grenzerlös und Grenzkosten können nun in die Bedingung für das Gewinnmaximum eingesetzt werden: 44 − 4𝑥𝑥 = 8 . Auflösen nach 𝑥𝑥 ergibt die gewinnmaximale Menge im Monopol: 𝑥𝑥 𝑑𝑑 = 9 . Durch Einsetzen der Menge in die inverse Nachfragefunktion wird der gewinnmaximale Preis im Monopol ermittelt: 𝑝𝑝 𝑑𝑑 = 𝑝𝑝(9) = 26 . Zu prüfen ist noch die Bedingung 2. Ordnung, um sicherzustellen, dass es sich an dieser Stelle um ein Maximum und kein Minimum des Gewinns handelt. Das ist gegeben, wenn 𝐺𝐺 ′′ < 0 bzw. wenn 𝐺𝐺𝐸𝐸 ′ − 𝐺𝐺𝐾𝐾 ′ < 0 gilt. Da hier bereits der Grenzerlös und die Grenzkosten berechnet wurden, bietet es sich an, die zweite Variante der Bedingung 2. Ordnung heranzuziehen: Die Ableitung des Grenzerlöses ist 𝐺𝐺𝐸𝐸 ′ = −4 , die Ableitung der Grenzkosten ist 𝐺𝐺𝐾𝐾′ = 0 . Damit ist die Bedingung 2. Ordnung in der Variante 𝐺𝐺𝐸𝐸 ′ − 𝐺𝐺𝐾𝐾 ′ < 0 erfüllt. x Grenzkosten Nachfragefunktion Grenzerlös 24 4 12 6 10 Konsumentenrente pGE GK <?page no="141"?> Lösungen zu Kapitel 6: Unvollkommene Märkte und Wettbewerbspolitik 141 b) Ein Wohlfahrtsmaximum entsteht, wenn das Unternehmen keinen Mark-up verlangt und der Preis den Grenzkosten entspricht. Der Preis im Wohlfahrtsmaximum ist daher 𝑝𝑝 𝐾𝐾 = 8 . Dieser Preis wird in die inverse Nachfrage eingesetzt, um die Menge im Wohlfahrtsmaximum zu ermitteln: 8 = 44 − 2𝑥𝑥 . Aufgelöst nach 𝑥𝑥 erhält man die wohlfahrtsmaximale Menge 𝑥𝑥 𝐾𝐾 = 18 . Lösung zu Aufgabe 6.1.4 a) Der Gewinn des Unternehmens ist unter Berücksichtigung der Erlösfunktion 𝐸𝐸(𝑥𝑥) = 𝑝𝑝(𝑥𝑥) ∙ 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 − 𝑏𝑏𝑥𝑥 2 : 𝐺𝐺 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 − 𝑏𝑏𝑥𝑥 2 − 𝑐𝑐𝑥𝑥 2 − 𝑑𝑑 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 − (𝑏𝑏 + 𝑐𝑐)𝑥𝑥 2 Im Gewinnmaximum muss gelten 𝐺𝐺´ = 0 : 𝐺𝐺 ′ = 𝑎𝑎 − 2𝑏𝑏𝑥𝑥 − 2𝑐𝑐𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 − 2(𝑏𝑏 + 𝑐𝑐)𝑥𝑥 = 0 Durch Auflösen nach 𝑥𝑥 erhält man die gewinnmaximierende Menge des Monopolisten: 𝑥𝑥 𝑑𝑑 = 𝑎𝑎 2(𝑏𝑏 + 𝑐𝑐) Einsetzen in die inverse Nachfragefunktion ergibt: 𝑝𝑝 = 𝑎𝑎 − 𝑎𝑎𝑏𝑏 2(𝑏𝑏 + 𝑐𝑐) Dies wird auf einen Nenner gebracht und dann so weit wie möglich vereinfacht: 𝑝𝑝 = 2𝑎𝑎(𝑏𝑏 + 𝑐𝑐) − 𝑎𝑎𝑏𝑏 2(𝑏𝑏 + 𝑐𝑐) oder 𝑝𝑝 = 2𝑎𝑎𝑏𝑏 + 2𝑎𝑎𝑐𝑐 − 𝑎𝑎𝑏𝑏 2(𝑏𝑏 + 𝑐𝑐) was sich vereinfachen lässt zu 𝑝𝑝 𝑑𝑑 = 𝑎𝑎𝑏𝑏 + 2𝑎𝑎𝑐𝑐 2(𝑏𝑏 + 𝑐𝑐) Die Bedingung 2. Ordnung ist erfüllt, wenn 𝐺𝐺 ′′ < 0 bzw. wenn 𝐺𝐺𝐸𝐸 ′ − 𝐺𝐺𝐾𝐾 ′ < 0 gilt. Hier ist bereits 𝐺𝐺 ′ berechnet, also ist es hier sinnvoll, diese Variante zu wählen und 𝐺𝐺 ′′ zu bestimmen: 𝐺𝐺 ′′ = −2𝑏𝑏 − 2𝑐𝑐 Dieser Ausdruck ist negativ, da annahmegemäß gilt 𝑏𝑏, 𝑐𝑐 > 0 . b) (1) Anzusetzen ist bei der Bedingung 1. Ordnung 𝑝𝑝 = 𝐺𝐺𝐾𝐾 , hier ist das 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏𝑥𝑥 = 2𝑐𝑐𝑥𝑥, <?page no="142"?> 142 Mikroökonomie · 77 Aufgaben also 𝑥𝑥 𝐾𝐾 = 𝑎𝑎 𝑏𝑏 + 2𝑐𝑐 Der Preis ergibt sich durch Einsetzen: 𝑝𝑝 𝐾𝐾 = 𝑎𝑎 − 𝑎𝑎 𝑏𝑏 + 2𝑐𝑐 = 2𝑎𝑎𝑐𝑐 𝑏𝑏 + 2𝑐𝑐 (2) Hier ist zu prüfen welcher der Preise höher ist, also welche der folgenden drei Alternativen gilt: 𝑝𝑝 𝑑𝑑 �>= <� 𝑝𝑝 𝐾𝐾 Einsetzen der Preise ergibt: 𝑎𝑎𝑏𝑏 + 2𝑎𝑎𝑐𝑐 2(𝑏𝑏 + 𝑐𝑐) �>=<� 2𝑎𝑎𝑐𝑐 𝑏𝑏 + 2𝑐𝑐 | ∙ (𝑏𝑏 + 2𝑐𝑐) ∙ 2(𝑏𝑏 + 𝑐𝑐) (𝑎𝑎𝑏𝑏 + 2𝑎𝑎𝑐𝑐) ∙ (𝑏𝑏 + 2𝑐𝑐) �>=<� 2𝑎𝑎𝑐𝑐(2𝑏𝑏 + 2𝑐𝑐) 𝑎𝑎𝑏𝑏 2 + 2𝑎𝑎𝑏𝑏𝑐𝑐 + 2𝑎𝑎𝑏𝑏𝑐𝑐 + 4𝑎𝑎𝑐𝑐 2 �>=<� 4𝑎𝑎𝑏𝑏𝑐𝑐 + 4𝑎𝑎𝑐𝑐 2 Da auf beiden Seiten 4𝑎𝑎𝑏𝑏𝑐𝑐 + 4𝑎𝑎𝑐𝑐 2 steht, lässt sich dies vereinfachen zu: 𝑎𝑎𝑏𝑏 2 �>=<� 0 Die linke Seite der Ungleichung enthält nur positive Komponenten, daher ist die obere Beziehung zutreffend, also 𝑎𝑎𝑏𝑏 2 > 0 . Weil ausschließlich Äquivalenzumformungen vorgenommen wurden, muss auch in der ersten Ungleichung die obere Relation gelten und somit gilt: 𝑝𝑝 𝑑𝑑 > 𝑝𝑝 𝐾𝐾 Lösung zu Aufgabe 6.1.5 a) Zur Ermittlung der gewinnmaximalen Menge verwendet man die allgemeine Bedingung für ein Gewinnmaximum: 𝐺𝐺𝐸𝐸 = 𝐺𝐺𝐾𝐾 . Die Grenzkosten ergeben sich aus der ersten Ableitung der Kostenfunktion: 𝐺𝐺𝐾𝐾 = 𝐾𝐾 ′ (𝑥𝑥) = 2 . Der Grenzerlös ist die erste Ableitung der Erlösfunktion 𝐸𝐸(𝑥𝑥) = 5𝑥𝑥 − 0,5𝑥𝑥² . Er lautet 𝐺𝐺𝐸𝐸 = 𝐸𝐸 ′ (𝑥𝑥) = 5 − 𝑥𝑥 . Setzt man nun Grenzerlös und Grenzkosten gleich, erhält man die gewinnmaximale Menge des Monopolisten 𝑥𝑥 𝑑𝑑 = 3 . Der gewinnmaximale Preis wird durch Einsetzen von 𝑥𝑥 𝑑𝑑 in die inverse Nachfragefunktion berechnet: 𝑝𝑝 𝑑𝑑 = 𝑝𝑝(3) = 3,50 . <?page no="143"?> Lösungen zu Kapitel 6: Unvollkommene Märkte und Wettbewerbspolitik 143 Ein Gewinnmaximum liegt vor, wenn gilt: 𝐺𝐺𝐸𝐸 ′ − 𝐺𝐺𝐾𝐾 ′ < 0 (Bedingung 2. Ordnung). Hier sind 𝐺𝐺𝐸𝐸 ′ = −1 und 𝐺𝐺𝐾𝐾 ′ = 0 . Die Bedingung 2. Ordnung ist erfüllt, es handelt sich um ein Gewinnmaximum. b) Im Gegensatz zu a) wird nun vollkommene Preisdifferenzierung angenommen, d.h. der Monopolist kann unterschiedliche Preise für sein Produkt verlangen, so dass jeder Käufer genau seine Zahlungsbereitschaft als Preis zahlen muss. Die Konsumentenrente ist in diesem Fall daher Null. Die Produzentenrente entspricht dem gekennzeichneten Dreieck im Diagramm. Sie ergibt sich aus der Summe der Unterschiede zwischen Preis und Grenzkosten für jede verkaufte Einheit. Aber wieviel verkauft der Monopolist mit vollkommener Preisdifferenzierung? Der Monopolist bietet das Produkt so lange an, bis der Preis genau den Grenzkosten entspricht, darunter würde er nicht gehen. Also verkauft er so viel, bis der letzte Käufer eine Zahlungsbereitschaft hat, die den Grenzkosten entspricht. Graphisch ist das an der Stelle des Schnittpunkts von Nachfragefunktion und Grenzkosten: 𝑝𝑝(𝑥𝑥) = 𝐺𝐺𝐾𝐾 . Aus dieser Bedingung lässt sich die verkaufte Menge berechnen: 5 − 0,5𝑥𝑥 = 2 , d.h. 𝑥𝑥 = 6 . Die Höhe der Produzentenrente entspricht der Fläche des eingezeichneten Dreiecks: 𝑀𝑀𝐺𝐺 = (5 − 2) ∙ 6 ∙ 0,5 = 9 . Bei vollständiger Preisdifferenzierung ist die gesamte Wohlfahrt maximal. Abb. 64 Lösung zu Aufgabe 6.1.6 a) Auch hier gilt für das Gewinnmaximum 𝐺𝐺𝐸𝐸 = 𝐺𝐺𝐾𝐾 . Die Grenzkosten sind 𝐺𝐺𝐾𝐾 = 𝐾𝐾 ′ (𝑥𝑥) = 4𝑥𝑥 . Der Grenzerlös beträgt 𝐺𝐺𝐸𝐸 = 18 − 2𝑥𝑥 . Aus der Bedingung für das Gewinnmaximum 18 − 2𝑥𝑥 = 4𝑥𝑥 , erhält man im Gewinnmaximum des Monopolisten: 𝑥𝑥 𝑑𝑑 = 3 . Setzt man diese in die inverse Nachfragefunktion ein, ergibt sich der gewinnmaximale Preis 𝑝𝑝 𝑑𝑑 = 15 . x Grenzkosten Nachfrage Grenzerlös 5 2 10 6 Produzentenrente 5 pGE GK <?page no="144"?> 144 Mikroökonomie · 77 Aufgaben Es handelt sich um ein Maximum, wenn gilt: 𝐺𝐺𝐸𝐸 ′ − 𝐺𝐺𝐾𝐾 ′ < 0 (Bedingung 2. Ordnung). Eingesetzt in die Bedingung erhält man: 𝐺𝐺𝐸𝐸 ′ − 𝐺𝐺𝐾𝐾 ′ = −2 − 4 < 0 . Im Gewinnmaximum werden somit 3.000 Elektromotoren zu einem Preis von 15 Euro verkauft. b) Die Konsumentenrente wird als Dreiecksfläche berechnet: 𝐾𝐾𝐺𝐺 = (18 − 15) ∙ 3.000 ∙ 0,5 = 4.500 𝐸𝐸𝑢𝑢𝑟𝑟𝐾𝐾 . Die Produzentenrente besteht aus einem Viereck und einem Dreieck. Zur Berechnung der beiden Flächen benötigt man die Grenzkosten im Gewinnmaximum: 𝐺𝐺𝐾𝐾 = 4 ∙ 3 = 12 . Die Fläche der gesamten Produzentenrente ist: 𝑀𝑀𝐺𝐺 = (15 − 12) ∙ 3.000 + 12 ∙ 3.000 ∙ 0,5 = 27.000 𝐸𝐸𝑢𝑢𝑟𝑟𝐾𝐾 Die Produzentenrente ist also deutlich höher als die Konsumentenrente. In diesem Monopol gibt es einen Nettowohlfahrtsverlust, der dem blauen Dreieck entspricht. Es handelt sich um einen Verlust, da im Monopol der Preis höher als die Grenzkosten ist und die Lösung nicht pareto-optimal ist. Betrachtet man also beide Marktseiten zusammen, wären diese bessergestellt, wenn der Monopolist weitere Einheiten zu einem geringeren Preis verkaufen würde. Dies ist bei einem Einheitspreis aber nicht möglich. Zur Berechnung der Fläche des Nettowohlfahrtsverlusts benötigt man die Produktionsmenge im Schnittpunkt von Grenzkosten und Nachfragefunktion : 𝐺𝐺𝐾𝐾 = 𝑝𝑝(𝑥𝑥) ⟹ 4𝑥𝑥 = 18 − 𝑥𝑥 . Daraus ergibt sich 𝑥𝑥 = 3,6 , also 3.600 Stück. Der Nettowohlfahrtsverlust beträgt dann (15 − 12) ∙ (3.600 − 3.000) ∙ 0,5 = 900 . Abb. 65 Lösung zu Aufgabe 6.2.1 a) In diesem Spiel sind die beiden Spieler Bäckerei A und B. Um die Strategie von Bäckerei A zu ermitteln, stellt man die Frage, was jeweils die beste Reaktion (best x Grenzkosten Nachfragefunktion 18 Grenzerlös 15 12 3 3,6 9 18 Konsumentenrente Produzentenrente Nettowohlfahrtsverlust pGE GK <?page no="145"?> Lösungen zu Kapitel 6: Unvollkommene Märkte und Wettbewerbspolitik 145 response) von Bäckerei A auf ein jedes mögliches Verhalten von Bäckerei B ist: Dies ist in der Abbildung in Rot dargestellt: Sollte Bäckerei B den höheren Preis 𝑝𝑝 𝐻𝐻 verlangen, hätte Backerei A bei einem ebenfalls höheren Preis eine Auszahlung von 30, würde aber bei einem niedrigeren Preis aufgrund des Wettbewerbsvorteils eine höhere Auszahlung von 80 realisieren. Die beste Reaktion von Bäckerei A auf einen hohen Preis von Bäckerei B wäre also der niedrigere Preis 𝑝𝑝 𝐿𝐿 . Sollte Bäckerei B dagegen den niedrigeren Preis 𝑝𝑝 𝐿𝐿 wählen, hätte Bäckerei A eine höhere Auszahlung, wenn sie ebenfalls den niedrigeren Preis 𝑝𝑝 𝐿𝐿 wählt. In diesem Fall hätte sie eine Auszahlung von 15, bei der Wahl von 𝑝𝑝 𝐻𝐻 dagegen nur eine Auszahlung in Höhe von 5. In beiden Fällen wäre die beste Reaktion für Bäckerei A also die Wahl von 𝑝𝑝 𝐿𝐿 . Bäckerei A hat eine dominante Strategie, die in der Wahl des geringeren Preises besteht. Ganz analog kann man nun für Bäckerei B vorgehen, indem man bestimmt, welches jeweils die beste Reaktion von Bäckerei B auf das Verhalten von Bäckerei A ist. Dies ist in der Abbildung grün dargestellt. Hier kommt man zum Ergebnis, dass Bäckerei B den niedrigeren Preis 𝑝𝑝 𝐿𝐿 wählen sollte, wenn Bäckerei A einen hohen Preis verlangt. Auch wenn Bäckerei A den niedrigeren Preis ansetzt, sollte sich Bäckerei B für den niedrigeren Preis entscheiden. Auch Bäckerei B hat also eine dominante Strategie, die in der Wahl von 𝑝𝑝 𝐿𝐿 besteht. Es gibt demzufolge ein Gleichgewicht in dominanten Strategien, nämlich wenn beide Spieler ihre dominante Strategie spielen (graues Feld): Im Ergebnis des Spiels wählen beide Bäckereien den niedrigeren Preis. Dies führt jeweils zu einer Auszahlung von 15 für beide Spieler. b) Das Spielergebnis ist jedoch nicht pareto-optimal, da es ein Feld gibt, in dem sich beide verbessern könnten: Würden beide Bäckereien bei der ursprünglichen Vereinbarung eines höheren Preises bleiben (blau unterlegtes Feld), hätten beide eine höhere Auszahlung von 30. Es liegt daher ein Gefangenendilemma vor, da das Spiel nicht zu einem pareto-optimalen Ergebnis führt. Abb. 66 Bäckerei B 𝑝𝑝 𝐻𝐻 𝑝𝑝 𝐿𝐿 Bäckerei A 𝑝𝑝 𝐻𝐻 A: 30, B: 30 A: 5, B: 80 𝑝𝑝 𝐿𝐿 A: 80, B: 5 A: 15, B: 15 Lösung zu Aufgabe 6.2.2 a) In diesem Spiel haben sowohl Franz als auch Anton eine dominante Strategie. Für die Visualisierung ist für Franz die Farbe Rot, für Anton Grün gewählt. Egal, welche <?page no="146"?> 146 Mikroökonomie · 77 Aufgaben Strategie Franz wählt, für Anton wäre die beste Reaktion (best response) immer, Rüben anzubauen. Würde Franz Kartoffeln anbauen, hätte Anton beim Anbau von Kartoffeln eine Auszahlung in Höhe von 100. Würde er mit dem Anbau von Rüben auf Franz Kartoffelwahl reagieren, hätte Anton eine Auszahlung in Höhe von 160. Würde Franz dagegen Rüben anbauen, hätte Anton beim Anbau von Kartoffeln eine Auszahlung in Höhe von 200, beim Anbau von Rüben aber eine Auszahlung von 210. Aus diesem Grund ist Antons dominante Strategie der Anbau von Rüben. Bei Franz verhält es sich genau umgekehrt: Auch bei ihm ist die beste Antwort (best response) immer gleich und seine dominante Strategie ist der Anbau von Kartoffeln. Das Gleichgewicht liegt dort, wo beide Spieler ihre dominante Strategie verfolgen (graues Feld): Franz baut Kartoffeln an und Anton Rüben. b) Das Gleichgewicht des Spiels ist pareto-optimal, da es kein anderes Feld gibt, in dem sich einer der beiden Spieler verbessern kann, ohne dass sich der Andere schlechter stellt. Es gibt auch kein Feld, in dem sich beide besserstellen würden. Abb. 67 Anton Kartoffeln Rüben Franz Kartoffeln F: 70, A: 100 F: 100, A: 160 Rüben F: 50, A: 200 F: 25, A: 210 Lösung zu Aufgabe 6.2.3 Zunächst werden die Reaktionsfunktionen der beiden Duopolisten, die sich aus der jeweiligen Gewinnmaximierung ergeben, bestimmt. Zu beachten ist dabei, dass sich der Marktpreis aufgrund der insgesamt am Markt angebotenen Menge ( 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 1 + 𝑥𝑥 2 ) ergibt, zur Bestimmung von Umsatz und Kosten aber die jeweils individuelle Menge des betrachteten Duopolisten relevant ist: 𝐺𝐺 𝑖𝑖 = 𝑝𝑝(𝑥𝑥 1 + 𝑥𝑥 2 ) ∙ 𝑥𝑥 𝑖𝑖 − 𝐾𝐾 𝑖𝑖 (𝑥𝑥 𝑖𝑖 ) , 𝑖𝑖 = 1,2 Gewinnmaximierung Duopolist 1: 𝐺𝐺 1 = 𝑝𝑝(𝑥𝑥 1 + 𝑥𝑥 2 ) ∙ 𝑥𝑥 1 − 200𝑥𝑥 1 𝐺𝐺 1 = �500 − 5(𝑥𝑥 1 + 𝑥𝑥 2 )� ∙ 𝑥𝑥 1 − 200𝑥𝑥 1 = 500𝑥𝑥 1 − 5𝑥𝑥 12 − 5𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 2 − 200𝑥𝑥 1 𝐺𝐺 1 maximieren: 𝑑𝑑𝐺𝐺 1 𝑑𝑑𝑥𝑥 1 = 500 − 10𝑥𝑥 1 − 5𝑥𝑥 2 − 200 = 0 10𝑥𝑥 1 = 300 − 5𝑥𝑥 2 𝑥𝑥 1 = 30 − 12 𝑥𝑥 2 <?page no="147"?> Lösungen zu Kapitel 6: Unvollkommene Märkte und Wettbewerbspolitik 147 Die letzte Gleichung stellt die Reaktionsfunktion von Duopolist 1 dar. Die Reaktionsfunktion des zweiten Duopolisten ist analog zu bestimmen. Da die Situation in der Aufgabenstellung symmetrisch ist, wird die Reaktionsfunktion die gleiche Gestalt haben. Das wäre anders, wäre die Kostensituation der Duopolisten unterschiedlich. Die Reaktionsfunktionen lauten somit: Duopolist 1: 𝑥𝑥 1 = 30 − 12 𝑥𝑥 2 Duopolist 2: 𝑥𝑥 2 = 30 − 12 𝑥𝑥 1 Die Reaktionen folgen aus der Gewinnmaximierung ohne zusätzliche Annahmen über das zugrundeliegende Modell und gelten somit für beide Modelle. a) Cournot-Modell: Zunächst wird Duopolist 1 betrachtet. Seine gewinnmaximale Menge ist abhängig von der Menge seines Konkurrenten. Für diese wird er dessen Reaktionsfunktion ansetzen, also für 𝑥𝑥 2 die Reaktionsfunktion des Konkurrenten in seine eigene Reaktionsfunktion einsetzen. 𝑥𝑥 1 = 30 − 12 𝑥𝑥 2 𝑥𝑥 1 = 30 − 12 �30 − 12 𝑥𝑥 1 � = 30 − 15 + 14 𝑥𝑥 1 34 𝑥𝑥 1 = 15 𝑥𝑥 1 = 43 ∙ 15 = 20 Die Vorgehensweise für Duopolist 2 ist analog, folglich ist im Ergebnis 𝑥𝑥 2 = 20 . Der Marktpreis ergibt sich durch Einsetzen der insgesamt auf dem Markt verfügbaren Menge ( 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 1 + 𝑥𝑥 2 = 40 ) in die inverse Nachfragefunktion: 𝑝𝑝 = 500 − 5𝑥𝑥 = 500 − 5 ∙ 40 = 300 b) Stackelberg-Modell: Gewinnmaximierung des Stackelberg-Führers (Duopolist 1) 𝐺𝐺 1 = 𝑝𝑝(𝑥𝑥 1 + 𝑥𝑥 2 )𝑥𝑥 1 − 𝐾𝐾(𝑥𝑥 1 ) 𝐺𝐺 1 = (500 − 5(𝑥𝑥 1 + 𝑥𝑥 2 ))𝑥𝑥 1 − 200𝑥𝑥 1 Sein Gewinn hängt ab von der Menge des Stackelberg-Anpassers. Da er davon ausgehen kann, dass sich der Stackelberg-Anpasser als Gewinnmaximierer verhält, kann er dessen Reaktionsfunktion für 𝑥𝑥 2 ansetzen, denn diese gibt an, wie der Stackelberg- Anpasser auf jede beliebige Menge des Stackelberg-Führers mit seinem Angebot <?page no="148"?> 148 Mikroökonomie · 77 Aufgaben reagieren wird. Somit kennt er bereits bei der Gewinnmaximierung die Mengenreaktion des Konkurrenten ( 𝑥𝑥 2 = 30 − 12 𝑥𝑥 1 ) und wird diese in die Maximierung einbeziehen. Konkret bedeutet dies: Einsetzen der Reaktionsfunktion des Stackelberg-Anpassers in den Gewinn des Stackelberg-Führers: 𝐺𝐺 1 = �500 − 5 �𝑥𝑥 1 + 30 − 12 𝑥𝑥 1 �� 𝑥𝑥 1 − 200𝑥𝑥 1 𝐺𝐺 1 = 500𝑥𝑥 1 − 5𝑥𝑥 12 − 150𝑥𝑥 1 + 52 𝑥𝑥 12 − 200𝑥𝑥 1 𝐺𝐺 1 = 150𝑥𝑥 1 − 52 𝑥𝑥 12 𝐺𝐺 1 maximieren: 𝑑𝑑𝐺𝐺 1 𝑑𝑑𝑥𝑥 1 = 150 − 2 ∙ 52 𝑥𝑥 1 = 50 − 5𝑥𝑥 1 = 0 𝑥𝑥 1∗ = 30 Damit kann die Menge des Stackelberg-Anpassers aus dessen Reaktionsfunktion bestimmt werden: 𝑥𝑥 2 = 30 − 12 𝑥𝑥 1 Einsetzen von 𝑥𝑥 1∗ = 30 𝑥𝑥 2 = 30 − 12 ∙ 30 𝑥𝑥 2∗ = 15 Der Marktpreis ist dann 𝑝𝑝 = 500 − 5(30 + 15) 𝑝𝑝 ∗ = 275 Lösung zu Aufgabe 6.3.1 a) Es handelt sich hier um monopolistische Konkurrenz. Da viele Anbieter auf dem Markt sind, herrscht ein gewisser Grad an Wettbewerb. Gleichzeitig differenzieren die Anbieter ihre Produkte voneinander, so dass sie für die Nachfrager unterscheidbar werden. Durch die Produktdifferenzierung entsteht ein Preissetzungsspielraum für das einzelne Unternehmen. Das ist die Monopolkomponente des Modells. <?page no="149"?> Lösungen zu Kapitel 6: Unvollkommene Märkte und Wettbewerbspolitik 149 b) Bei der Gewinnmaximierung gilt immer die Bedingung: Grenzerlös gleich Grenzkosten. Der Erlös ist in diesem Fall eine Funktion der Menge, da der Preis mit der Menge variiert: 𝐸𝐸(𝑥𝑥) = 𝑝𝑝(𝑥𝑥) ∙ 𝑥𝑥 Setzt man die unternehmensspezifische inverse Nachfrage in die Erlösfunktion ein, erhält man: 𝐸𝐸(𝑥𝑥) = (361 − 4𝑥𝑥)𝑥𝑥 = 361𝑥𝑥 − 4𝑥𝑥 2 Die Ableitung der Erlösfunktion ergibt den Grenzerlös: 𝐺𝐺𝐸𝐸 = 𝐸𝐸 ′ (𝑥𝑥) = 361 − 8𝑥𝑥 Die Grenzkosten sind die Ableitung der Kostenfunktion: 𝐺𝐺𝐾𝐾 = 𝐾𝐾 ′ (𝑥𝑥) = 4𝑥𝑥 + 1 Beides setzt man nun in die Bedingung für das Gewinnmaximum ( 𝐺𝐺𝐸𝐸 = 𝐺𝐺𝐾𝐾 ) ein: 361 − 8𝑥𝑥 = 4𝑥𝑥 + 1 . Aufgelöst nach 𝑥𝑥 erhält man die gewinnmaximale Menge 𝑥𝑥 ∗ = 30 . Der Preis ergibt sich aus der unternehmensspezifischen Nachfrage: 𝑝𝑝 ∗ = 𝑝𝑝(30) = 361 − 4 ∙ 30 = 241 Mittelfristig ist aufgrund der Möglichkeit von Marktein- und -austritten auf dem Markt ein ökonomischer Gewinn von Null zu erwarten. Dies ist der Fall, wenn im Gewinnmaximum die Durchschnittskosten dem Preis entsprechen. Die Durchschnittskostenfunktion lautet in dieser Aufgabe: 𝐷𝐷𝐾𝐾 = 𝐾𝐾(𝑥𝑥) 𝑥𝑥 = 5.000 𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 + 1 An der Stelle des Gewinnmaximums betragen die Durchschnittskosten: 𝐷𝐷𝐾𝐾(30) = 227,67 . Sie sind kleiner als der Preis, der 241 beträgt. Auf dem Markt liegt also ein ökonomischer Gewinn vor. Es ist zu erwarten, dass der positive Gewinn zu Markteintritten führt. Diese erhöhen die Konkurrenz, so dass es vermutlich zu einem Preisrückgang kommen wird. Zur Gewinnermittlung kann man anstatt des Vergleichs der Durchschnittskosten mit dem Preis auch die Gewinnfunktion verwenden. Der Gewinn bei einer Produktionsmenge von 30 beträgt: 𝐺𝐺(30) = 𝑝𝑝 ∗ ∙ 𝑥𝑥 ∗ − 𝐾𝐾(𝑥𝑥 ∗ ) = 400 c) Abb. 68 Grenzerlös durchschnittliche Gesamtkosten unternehmensspezifische Nachfrage x Grenzkosten x * p * pDK GE GK <?page no="150"?> 150 Mikroökonomie · 77 Aufgaben Lösung zu Aufgabe 6.3.2 a) Die gewinnmaximale Menge ist bestimmt durch den Schnittpunkt des Grenzerlöses und der Grenzkosten. Die unternehmensspezifische inverse Nachfragefunktion an der Stelle der gewinnmaximalen Menge zeigt den gewinnmaximalen Preis. Abb. 69 b) Nach Ablauf aller Anpassungsprozesse ist der Markt im mittelfristigen Gleichgewicht und die Unternehmen erwirtschaften weder einen ökonomischen Gewinn noch einen ökonomischen Verlust. Daher berühren sich Durchschnittskosten- und Nachfragefunktion im Gewinnmaximum. Abb. 70 c) Der Markt ist zwar im Gleichgewicht, aber die Situation ist nicht pareto-optimal, da in der monopolistischen Konkurrenz ein Preis oberhalb der Grenzkosten verlangt wird. Die Unternehmen realisieren einen Mark-up. Theoretisch könnten sich daher beide Marktseiten zusammen besserstellen, wenn zusätzliche Einheiten des Gutes an Durchschnittskosten x * p * x Grenzkosten Grenzerlös unternehmensspezifische Nachfrage Kosten bei x*: K(x ∗ ) Erlös bei x*: E(x ∗ ) Gewinn bei x*: G(x ∗ ) = E(x ∗ ) - K(x ∗ ) pDK GE GK Durchschnittskosten x * p * x Grenzkosten Grenzerlös unternehmensspezifische Nachfrage pDK GE GK <?page no="151"?> Lösungen zu Kapitel 6: Unvollkommene Märkte und Wettbewerbspolitik 151 weitere Konsumenten zu einem geringeren Preis verkauft würden. Dies wäre bis zu einer Absatzmenge von 𝑥𝑥 𝑃𝑃𝑃𝑃 möglich, da bis dorthin die Zahlungsbereitschaft größer gleich den Grenzkosten ist. Abb. 71 Lösung zu Aufgabe 6.3.3 Abb. 72 a) Die grün eingezeichnete Fläche stellt einen ökonomischen Gewinn dar, da der Preis bei der gewinnmaximalen Produktionsmenge höher ist als die Durchschnittskosten. b) Auf diesem Markt werden Markteintritte erwartet, da das Unternehmen einen ökonomischen Gewinn erwirtschaftet. Durch die Markteintritte steigt das Angebot Grenzerlös Durchschnittskosten x MK p MK x PO x Grenzkosten unternehmensspezifische Nachfrage pDK GE GK x Durchschnittskosten Grenzkosten 120 20 60 Grenzerlös unternehmensspezifische Nachfrage x * p ∗ pDK GK Gewinn <?page no="152"?> 152 Mikroökonomie · 77 Aufgaben vergleichbarer Produkte, der Wettbewerb erhöht sich. Die unternehmensspezifische Nachfrage wird geringer und elastischer. Der Mark-up des Unternehmens sinkt und die Preise auf diesem Markt werden voraussichtlich fallen. Lösung zu Aufgabe 6.3.4 a) Die allgemeine Bedingung für ein Gewinnmaximum lautet: Grenzerlös gleich Grenzkosten. Der Grenzerlös gibt die Änderung des Erlöses an, wenn sich die produzierte Menge um eine (marginal kleine) Einheit ändert. Die Grenzkosten messen die Änderung der Gesamtkosten, wenn sich die produzierte Menge um eine (marginal kleine) Einheit ändert. Wird nun eine Einheit mehr produziert und steigt der Erlös stärker als die Kosten ( 𝐺𝐺𝑟𝑟𝐺𝐺𝑛𝑛𝐺𝐺𝐺𝐺𝑟𝑟𝐸𝐸ö𝑠𝑠 > 𝐺𝐺𝑟𝑟𝐺𝐺𝑛𝑛𝐺𝐺𝑘𝑘𝐾𝐾𝑠𝑠𝐾𝐾𝐺𝐺𝑛𝑛 ) erhöht sich durch die Produktion dieser einen marginalen Einheit der Gewinn. Das Maximum ist offensichtlich noch nicht erreicht und es sollte mehr produziert werden. Steigt der Erlös bei der Produktion einer zusätzlichen Einheit dagegen weniger stark als die Kosten, sinkt der Gewinn durch die Produktion dieser Einheit. Auch hier ist noch kein Extrempunkt erreicht und die Einheit sollte besser nicht produziert werden. Der gewinnmaximale Punkt ist also dort, wo die Produktion einer zusätzlichen Einheit den Gewinn nicht ändert, weil er bereits maximal ist. b) Die Bedingung für ein Gewinnmaximum ( 𝐺𝐺𝐸𝐸 = 𝐺𝐺𝐾𝐾 ) wird jetzt auf die Situation von Blix angewendet. Die Grenzkosten lauten: 𝐾𝐾 ′ (𝑥𝑥) = 4𝑥𝑥 + 1 . Der Grenzerlös ist die erste Ableitung der Erlösfunktion, die erst berechnet werden muss: 𝐸𝐸(𝑥𝑥) = 𝑝𝑝(𝑥𝑥) ∙ 𝑥𝑥 = 401𝑥𝑥 − 2𝑥𝑥² und 𝐸𝐸 ′ (𝑥𝑥) = 401 − 4𝑥𝑥 Die Bedingung für das Gewinnmaximum von Blix lautet damit 401 − 4𝑥𝑥 = 4𝑥𝑥 + 1 . Aufgelöst nach 𝑥𝑥 erhält man daraus die gewinnmaximale Menge 𝑥𝑥 ∗ = 50 . Setzt man 𝑥𝑥 ∗ in die unternehmensspezifische inverse Nachfrage ein, erhält man den gewinnmaximalen Preis: 𝑝𝑝 ∗ = 𝑝𝑝(50) = 301 c) Der Stückgewinn ist der Unterschied zwischen Preis und Durchschnittskosten. Während der Preis bereits aus Teilaufgabe b) bekannt ist, müssen die Durchschnittskosten im Gewinnmaximum erst berechnet werden. Dazu bildet man die Funktion der Durchschnittskosten 𝐷𝐷𝐾𝐾(𝑥𝑥) = 𝐾𝐾(𝑥𝑥) 𝑥𝑥 = 3.000 𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 + 1 . Im Gewinnmaximum betragen die Durchschnittskosten: 𝐷𝐷𝐾𝐾(50) = 161 . Der Stückgewinn ist also 𝑝𝑝 − 𝐷𝐷𝐾𝐾 = 301 − 161 = 140 . <?page no="153"?> BUCHTIPP Jutta Arrenberg Wirtschaftsstatistik: 77 Aufgaben, die Bachelorstudierende beherrschen müssen 2., überarbeitete Auflage 2021, 210 Seiten €[D] 24,90 ISBN 978-3-8252-5648-7 eISBN 978-3-8385-5648-2 Jutta Arrenberg stellt 77 Klausuraufgaben mit Lösungen vor. Im Mittelpunkt stehen u.a. Kennzahlen aus Daten, das Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten sowie die Binomial- und Normalverteilung. Auch auf Skalierung von Variablen, Zufallsvariablen und Indexrechnung geht die Autorin ein. Sie behandelt zudem Lineare Regression, Konfidenzintervalle sowie statistische Tests. Auf häufig gemachte Fehler in Klausuren weist sie explizit hin, ebenso auf die aufzuwendende Zeit und den Schwierigkeitsgrad pro Aufgabe. Auch alle wichtigen Formeln aus dem Studium sind im Buch zu finden. Zudem verrät sie, wie sich Studierende richtig auf die Prüfung vorbereiten, und gibt Tipps für die Klausur. UVK Verlag. Ein Unternehmen der Narr Francke Attempto Verlag GmbH + Co. KG Dischingerweg 5 \ 72070 Tübingen \ Germany Tel. +49 (0)7071 97 97 0 \ Fax +49 (0)7071 97 97 11 \ info@narr.de \ www.narr.de <?page no="154"?> BUCHTIPP Jutta Arrenberg Wirtschaftsmathematik: 77 Aufgaben, die Bachelorstudierende beherrschen müssen 2., überarbeitete Auflage 2021, 186 Seiten €[D] 24,90 ISBN 978-3-8252-5647-0 eISBN 978-3-8385-5647-5 Jutta Arrenberg stellt 77 Klausuraufgaben mit Lösungen vor. Im Mittelpunkt stehen u.a. die Matrizenrechnung sowie Gleichungssysteme, die Grenzwerte und die Differentiation von Funktionen mit dazugehöriger (partieller) Ableitung, die Kurvendiskussion von f(x) sowie f(x,y) und last but not least die Extremstellen unter Nebenbedingungen mit der Einsetz- und der Lagrange-Methode. Auf häufig gemachte Fehler in Klausuren weist die Autorin explizit hin, ebenso auf die aufzuwendende Zeit und den Schwierigkeitsgrad pro Aufgabe. Auch alle wichtigen Formeln aus der Schulzeit und dem Studium sind im Buch zu finden. Zudem verrät sie, wie sich Studierende richtig auf die Prüfung vorbereiten, und gibt Tipps für die Klausur. UVK Verlag. Ein Unternehmen der Narr Francke Attempto Verlag GmbH + Co. KG Dischingerweg 5 \ 72070 Tübingen \ Germany Tel. +49 (0)7071 97 97 0 \ Fax +49 (0)7071 97 97 11 \ info@narr.de \ www.narr.de <?page no="155"?> Die Leser: innen dieses Buches bewahren in der Mikroökonomieprüfung ganz sicher einen kühlen Kopf! Die Mikroökonomie ist für viele Bachelorstudierende ein Angstfach speziell für angehende Betriebswirt: innen. Dieses Buch hilft dabei, die Prüfungsvorbereitung zu optimieren, und stellt 77 charakteristische Prüfungsaufgaben mit Schwierigkeitsgrad, Bearbeitungszeit und Musterlösung vor. Die Autorinnen weisen auf häufig gemacht Fehler explizit hin und vermitteln mathematische Grundlagen prägnant. Ausgewählte Themen des Buches sind die Haushalts- und Produktionstheorie, der Markt bei vollkommener Konkurrenz, staatliche Eingriffe in den Markt sowie Marktversagen, unvollkommene Märkte und Wettbewerbspolitik. Kurzum: Das Buch ist ein Must-have für Studierende der Betriebs- und Volkswirtschaftslehre. Wirtschaftswissenschaften ,! 7ID8C5-cfbcdj! ISBN 978-3-8252-5123-9 Dies ist ein utb-Band aus dem UVK Verlag. utb ist eine Kooperation von Verlagen mit einem gemeinsamen Ziel: Lehr- und Lernmedien für das erfolgreiche Studium zu veröffentlichen. utb.de QR-Code für mehr Infos und Bewertungen zu diesem Titel mit Aufgaben und Lösungen
