Formeln für Mathematik und Statistik
Wirtschaftswissenschaften
0925
2023
978-3-8385-5955-1
978-3-8252-5955-6
UTB
Ingolf Terveer
10.36198/9783838559551
Die Formeln für das Wirtschaftsstudium immer griffbereit
Die 4., überarbeitete und erweiterte Auflage bietet genau die mathematischen und statistischen Formeln der Wirtschaftswissenschaften, die Sie in der Mathe- und Statistikprüfung benötigen.
Zahlreiche Verteilungen und ihre Eigenschaften sind zudem in Tabellenform dargestellt, ebenso statistische Tests in Ein- und Zweistichprobenmodellen sowie Verfahren der Regressionsanalyse.
Neu in dieser Formelsammlung sind in der Mathematik die Formeln zur Analysis explizit für zwei Variablen. In der Statistik kamen Formeln bei Konfidenzintervallen für Verteilungsparameter hinzu.
Ein wichtiges Nachschlagewerk, das Studierende der Betriebs- und Volkswirtschaftslehre sowie der Wirtschaftsinformatik stets griffbereit haben sollten.
Ingolf Terveer Formeln für Mathematik und Statistik 4. Auflage utb 4291 Eine Arbeitsgemeinschaft der Verlage Brill | Schöningh - Fink · Paderborn Brill | Vandenhoeck & Ruprecht · Göttingen - Böhlau · Wien · Köln Verlag Barbara Budrich · Opladen · Toronto facultas · Wien Haupt Verlag · Bern Verlag Julius Klinkhardt · Bad Heilbrunn Mohr Siebeck · Tübingen Narr Francke Attempto Verlag - expert verlag · Tübingen Psychiatrie Verlag · Köln Ernst Reinhardt Verlag · München transcript Verlag · Bielefeld Verlag Eugen Ulmer · Stuttgart UVK Verlag · München Waxmann · Münster · New York wbv Publikation · Bielefeld Wochenschau Verlag · Frankfurt am Main Dr. Ingolf Terveer ist Akademischer Oberrat am Institut für Wirtschaftsinformatik der Westfälischen Wilhelms-Universität Münster. Ingolf Terveer Formeln für Mathematik und Statistik Wirtschaftswissenschaften 4., überarbeitete und erweiterte Auflage UVK Verlag · München 4., überarbeitete und erweiterte Auflage 2023 3., überarbeitete und erweiterte Auflage 2019 2., überarbeitete Auflage 2017 1. Auflage 2015 DOI: https: / / doi.org/ 10.36198/ 9783838559551 © UVK Verlag 2023 ‒ ein Unternehmen der Narr Francke Attempto Verlag GmbH + Co. KG Dischingerweg 5 · D-72070 Tübingen Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikro‐ verfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Alle Informationen in diesem Buch wurden mit großer Sorgfalt erstellt. Fehler können dennoch nicht völlig ausgeschlossen werden. Weder Verlag noch Autor: innen oder Herausgeber: innen übernehmen deshalb eine Gewährleistung für die Korrektheit des Inhaltes und haften nicht für fehlerhafte Angaben und deren Folgen. Diese Publikation enthält gegebenenfalls Links zu externen Inhalten Dritter, auf die weder Verlag noch Autor: innen oder Herausgeber: innen Einfluss haben. Für die Inhalte der verlinkten Seiten sind stets die jeweiligen Anbieter oder Betreibenden der Seiten verantwortlich. Internet: www.narr.de eMail: info@narr.de Einbandgestaltung: siegel konzeption | gestaltung CPI books GmbH, Leck utb-Nr. 4291 ISBN 978-3-8252-5955-6 (Print) ISBN 978-3-8385-5955-1 (ePDF) Umschlagabbildung: © Hermann Littich ∙ iStock Autorenbild: © privat Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen National‐ bibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http: / / dnb.dnb.de abrufbar. www.fsc.org MIX Papier aus verantwortungsvollen Quellen FSC ® C083411 ® Inhalt 1 Grundlegende Begriffe 9 1.1 Mengen und Zahlbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Mengenoperationen und -relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Ebene Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Tupel und Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.6 Operationen zwischen Matrizen und Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.7 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 Lineare Gleichungssysteme 17 2.1 LGS und Matrixdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Eliminationsverfahren nach Gauß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3 Lösungsmenge eines LGS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.4 Lineare Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3 Vektoren 21 3.1 Linearkombinationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2 Untervektorraum, Basis und Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.3 Skalarprodukt, Norm und Abstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.4 Projektionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4 Matrizen 25 4.1 Regeln für das Rechnen mit Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.2 Quadratische Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.3 Inverse Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.4 Determinanten quadratischer Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.5 Anwendungen der Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.6 Symmetrische Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.7 Definitheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 5 Folgen und Reihen 29 5.1 Folgen in den Wirtschaftswissenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 5.2 Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 6 Inhalt 5.3 Spezielle Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 5.4 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 5.5 Finanzmathematische Folgen und Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 6 Funktionen einer Variable 35 6.1 Allgemeine Sprechweisen und Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 6.2 Rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 6.3 Exponentialfunktion, Logarithmus und Potenz . . . . . . . . . . . . . . . . 40 6.4 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 6.5 Gamma-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 6.6 Betrag und Betragsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 6.7 Indikatorfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 7 Differentialrechnung 45 7.1 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 7.2 Ableitungen bei Funktionen einer Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 7.3 Partielle Ableitung und Differential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 7.4 Mehrdimensionale Kettenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 7.5 Ableitungsbegriffe auf Grundlage des Differentials . . . . . . . . . . . . . . 47 7.6 Homogene Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 7.7 Ableitungen zweiter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 8 Integralrechnung 51 8.1 Stammfunktionen und unbestimmte Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . 51 8.2 Bestimmte Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 8.3 Mehrfachintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 9 Optimierung differenzierbarer Funktionen 55 9.1 Optimierung ohne Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 9.2 Optimierung mit Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 9.3 Optimierung bei exogenen Parametern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 10 Deskriptive Statistik 59 10.1 Univariate Stichprobe x 1 , . . . , x n ∈ R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 10.2 Bivariate Stichprobe x 1 , . . . , x n , y 1 , . . . , y n ∈ R . . . . . . . . . . . . . . . 60 10.3 Multivariate Stichproben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 10.4 Agglomeratives Clustern von n Objekten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 11 Wahrscheinlichkeitsrechnung 63 11.1 Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 11.2 Regeln für allgemeine Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 11.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . 64 11.4 Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Inhalt 7 11.5 Multivariate Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 11.6 Transformation stetiger Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 11.7 Erwartungswert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 11.8 Verteilungskennzahlen für univariate ZV X . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 11.9 Grenzwertsätze für u.i.v. ZV X 1 , X 2 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 11.10Kennzahlen multivariater Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 12 Verteilungen 69 12.1 Diskrete univariate Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 12.2 Stetige univariate Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 13 Statistische Tests 81 13.1 Einstichprobentests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 13.1.1 Tests für ein- und zweiseitige Hypothesen . . . . . . . . . . . . . . 82 13.1.2 Tests mit einseitigem Ablehnungsbereich . . . . . . . . . . . . . . . 83 13.2 Zweistichprobentests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 13.2.1 Tests für ein- und zweiseitige Hypothesen . . . . . . . . . . . . . . 84 13.2.2 Tests mit einseitigem Ablehnungsbereich . . . . . . . . . . . . . . . 86 13.3 Regressionsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 13.3.1 Statistisches Modell der Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 13.3.2 Parameterschätzung und Prognose . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 13.3.3 Streuungszerlegung und Varianzschätzung . . . . . . . . . . . . . . 89 13.3.4 Hypothesentests im linearen Regressionsmodell . . . . . . . . . . . . 89 13.4 Varianzanalyse mit einem Faktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 13.5 Kovarianzanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 14 Verteilungstabellen 93 14.1 Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung . . . . . . . . . . . . . . 93 14.2 Quantile der Standardnormal- und t ( n )-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . 94 14.3 Quantile der χ 2 ( n )-Verteilung, n ≤ 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 14.4 Quantile der F ( m, n )-Verteilung, n ≤ 500, m ≤ 20 . . . . . . . . . . . . . 99 14.5 Quantile w α ( n 1 , n 2 ) der Wilcoxon-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 14.6 Quantile d α ( n ) der Kolmogoroff-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 15 R-Befehle 117 15.1 Objekte und Objekteigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 15.2 Vektoren, Matrizen und Arrays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 15.3 Mathematische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 15.4 Matrixoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 15.5 Numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 15.6 Lineare Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 15.7 Datenerzeugung, -import und -export . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Inhalt 15.8 Deskriptive Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 15.9 Explorative Statistik, Grafische Illustration . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 15.10Schließende Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 15.11Grafikfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 15.12Programmierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 15.13Arbeiten mit Paketen, Hilfefunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Symbole und Abkürzungen 123 Das griechische Alphabet 128 Index 129 Mathematik 1 Grundlegende Begriffe 1.1 Mengen und Zahlbereiche Reelle Zahlen sind Definitionsbereich ökonomischer Größen (Preis, Absatz, Produktionsmenge, Gewinn, Kosten,. . . ). Vielfach beschränkt man sich auf positive reelle Zahlen oder ein Teilintervall der positiven reellen Zahlen (den ökonomischen Definitionsbereich). Reelle Zahlen Die grundlegende Zahlenmengen sind N ⊂ N 0 ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R: Name Symbol Beschreibung Natürliche Zahlen N { 1 , 2 , 3 , . . . } N 0 { 0 , 1 , 2 , 3 , . . . } Ganze Zahlen Z { . . . , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , . . . } Rationale Zahlen Q { x : x = p q , p ∈ Z , q ∈ N } Reelle Zahlen R Dezimaldarstellung Jede Zahl x ∈ R hat eindeutige Darstellung als Dezimalzahl x = ± ∑ ∞ k = − n a k 10 − k (1.1) mit den Stellen a k ∈ { 0 , . . . , 9 } , wobei 1 ∀ n ∈ N ∃ k ≥ n mit a k ̸ = 9. ■ Ganzzahlteil [ x ] = ± ∑ 0 k = − n a k 10 − k ■ x ∈ Q g.d.w. ∃ n 0 , d ∈ N mit a k = a k + d ∀ k ≥ n 0 (periodische Dezimalzahl). ■ x ∈ R heißt abbrechende Dezimalzahl g.d.w. ∃ m ∈ N mit a k = 0 ∀ k > m . ■ Eine Zahl x ∈ R \ Q heißt irrational. Anordnungseigenschaft von R Für x, y ∈ R gilt entweder x < y oder x = y oder y < x (bzw. x > y ). x ≤ y (bzw. y ≥ x ) bedeutet, dass entweder x = y oder x < y gilt. Intervalle 2,3,4 abgeschlossen offen [ a ; b ] : = { x ∈ R : a ≤ x ≤ b } ] a ; b [ : = { x ∈ R : a < x < b } [ a ; ∞ ] : = { x ∈ R : a ≤ x < ∞} ] a ; ∞ [ : = { x ∈ R : a < x < ∞} [ −∞ ; b ] : = { x ∈ R : −∞ < x ≤ b } ] − ∞ ; b [ : = { x ∈ R : −∞ < x < b } ] − ∞ ; ∞ [: = R 0 (Null) zerlegt R in die Bereiche [0; ∞ [ bzw. ] − ∞ ; 0] der positiven bzw. der negativen reellen Zahlen 5 . 1 d.h. Darstellungen, bei denen fast alle Ziffern 9 sind, werden ausgeschlossen. 2 Dabei sind a, b ∈ R, a ≤ b 3 In der Intervallschreibweise wird das Semikolon oft durch Komma o.ä. ersetzt. 4 Sinngemäß sind halboffene/ -abgeschlossene Intervalle [ a ; b [, ] a ; b ] erklärt. 5 Bei ]0; ∞ [, den strikt positiven, bzw. ] − ∞ ; 0[, den strikt negativen reellen Zahlen wird Null ausgeschlossen. 10 1 Grundlegende Begriffe Maximum und Minimum einer Menge M eine Menge reeller Zahlen ■ max(M) : = x , falls x ∈ M und ∀ y ∈ M : x ≥ y gilt 6,7 . (1.2) ■ min(M) : = x , falls x ∈ M und ∀ y ∈ M : x ≤ y gilt 8 . (1.3) ■ sup(M) : = x , falls x minimal ist mit der Eigenschaft ∀ y ∈ M : x ≥ y . (1.4) ■ inf(M) : = x , falls x maximal ist mit der Eigenschaft ∀ y ∈ M : x ≤ y . (1.5) 1.2 Mengenoperationen und -relationen Es seien A, B Mengen reeller Zahlen 9 . ■ Vereinigungsmenge 10 : A ∪ B : = { x ∈ R : x ∈ A oder x ∈ B } (1.6) ■ Schnittmenge 11 : A ∩ B : = { x ∈ R : x ∈ A und x ∈ B } (1.7) A, B heißen disjunkt, wenn A ∩ B = ∅ . Mengen A 1 , . . . , A n heißen paarweise disjunkt wenn A i ∩ A j = ∅∀ i ̸ = j . ■ Komplement 12,13 : A c : = { x ∈ R : x / ∈ A }. (1.8) ■ relatives Komplement: A \ B : = A ∩ B c (1.9) ■ symmetrische Differenz: A ∆ B = ( A \ B ) ∪ ( B \ A ) (1.10) ■ Teilmenge: A ⊆ B g.d.w. ∀ x : x ∈ A ⇒ x ∈ B . echte Teilmenge: A ⊂ B ( A ⊊ B ) g.d.w. A ⊆ B und A ̸ = B . Besondere Teilmengen von R: R und und die leere Menge ∅ R c (enthält kein Element). Mengenkalkül für A, B, C ⊆ R: Kommutativgesetze A ∪ B = B ∪ A (1.11) A ∩ B = B ∩ A (1.12) Assoziativgesetze A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪ C (1.13) A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C (1.14) Distributivgesetze A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) (1.15) A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) (1.16) Gesetze von de Morgan ( A ∪ B ) c = A c ∩ B c (1.17) ( A ∩ B ) c = A c ∪ B c (1.18) 1.3 Ebene Geometrie Rechte Winkel (90 ◦ ) sind mit , der Flächeninhalt ist jeweils mit A , der Umfang ist mit U bezeichnet. 6 Für endliches M = { a 1 , . . . , a n } schreibt man auch max( a 1 , . . . , a n ) bzw. a 1 ∨ · · · ∨ a n 7 Während bei der Mengenschreibweise üblicherweise jedes Element genau einmal aufgezählt wird, sind bei der funktionalen Schreibweise auch Übereinstimmungen der Elemente a 1 , . . . , a n möglich (sog. Bindungen). 8 Für endliches M = { a 1 , . . . , a n } schreibt man auch min( a 1 , . . . , a n ) bzw. a 1 ∧ · · · ∧ a n 9 Definitionen und Regeln lassen sich wortwörtlich auf Teilmengen von R n bzw. R m oder auf Teilmengen beliebiger anderer Mengen M übertragen. 10 lies: „ A vereinigt (mit) B “ 11 lies: „ A geschnitten (mit) B “ 12 lies: „A Komplement“ 13 Statt A c schreibt man auch A . Mathematik 1.3 Ebene Geometrie 11 a b c α β γ h c ( x 1 , y 1 ) ( x 2 , y 2 ) ( x 3 , y 3 ) Dreieck α + β + γ = 180 ◦ (1.19) A = 1 2 · c · h c (1.20) A = √ s ( s − a )( s − b )( s − c ) (1.21) mit s = a + b + c 2 A = ∣∣ 12 3 ∑ i =1 x i ( y i +1 − y i − 1 ) ∣∣ (1.22) mit y 0 = y 3 , y 4 = y 1 c 2 = a 2 + b 2 − 2 ab cos( γ ) (1.23) a b c a 0 b 0 c 0 Strahlensätze a a 0 = b b 0 = c c 0 (1.24) c p q b a h c α rechtwinkliges Dreieck c 2 = a 2 + b 2 (1.25) b 2 = pc, a 2 = qc , h 2 c = pq (1.26) sin( α ) = a c , cos( α ) = b c (1.27) tan( α ) = a b (1.28) a a a h a gleichseitiges Dreieck U = 3 a (1.29) h a = √ 3 2 a (1.30) A = √ 3 4 a 2 (1.31) a b d Rechteck A = ab (1.32) Umfang: U = 2 a + 2 b (1.33) d = √ a 2 + b 2 (1.34) a b h a h b Parallelogramm A = a · h a = b · h b (1.35) a h b Trapez A = a + b 2 · h (1.36) 12 1 Grundlegende Begriffe ( x 1 , y 1 ) ( x 2 , y 2 ) ( x 3 , y 3 ) . . . ( x n − 1 , y n − 1 ) ( x n , y n ) Polygon A = n i =1 ( y i + y i +1 )( x i − x i +1 ) 2 (1.37) mit x n +1 = x 1 , y n +1 = y 1 r r 0 β 0 β b A Kreissektor 0 ≤ r 0 ≤ r , 0 ≤ β 0 ≤ β ≤ 360 ◦ Bogenlänge: b = β − β 0 180 · r · π (1.38) A = β − β 0 360 · π · ( r 2 − r 2 0 ) (1.39) Vollkreis ( r 0 = 0 , β 1 = 0 , β = 360 ◦ ) b = 2 π · r (Umfang) (1.40) A = π · r 2 (1.41) 1.4 Tupel und Vektoren Vektoren bündeln gleichartige ökonomische Größen: Teile einer Fertigungsliste, Lagerbestände verschiedener Produkte, Attribute bzw. Daten eines Kunden, Marktanteile von Anbietern u.v.m. Tupel und Zeilenvektoren Für n ∈ N ist ein n -Tupel bzw. Zeilenvektor eine Liste a = ( a 1 , . . . , a n ) (1.42) von n reellen Zahlen 14 a 1 , . . . , a n , den Komponenten/ Koordinaten des Tupels. R n ist die Menge aller derartigen Zeilenvektoren. 15,16 . Spaltenvektoren Ein Spaltenvektor a ist ein Ausdruck 17 a = a 1 ... a n (1.43) mit a 1 , . . . , a n ∈ R. Die Menge aller Spaltenvektoren ist R n . 14 nicht unbedingt verschieden 15 Für n = 2 spricht man von (geordneten) Paaren, für n = 3 von Tripeln 16 Das Komma zwischen den Komponenten kann je nach Zahldarstellung durch ein anderes Trennzeichen (Semikolon, senkrechter Strich,. . . ) ersetzt werden, um die Übersichtlichkeit zu erhöhen. 17 Vektoren werden mit - ggf. fett gedruckten - Kleinbuchstaben bezeichnet, ihre Komponenten erhalten denselben Buchstaben, ergänzt um einen Index rechts unten. Nummerierung von Vektoren erfolgt mit einem geklammerten Index rechts oben (z.B. a (1) , a (2) , . . . , a ( n ) ). Die Klammern sind zur Unterscheidung von der Potenzschreibweise gedacht. Mathematik 1.6 Operationen zwischen Matrizen und Vektoren 13 Kartesisches Produkt Für A 1 , . . . , A n ⊆ R ist das kartesische Produkt 18 A 1 × · · · × A n : = a 1 ... a n : ∀ i ∈ { 1 , . . . , n } a i ∈ A i (1.44) Falls A 1 = · · · = A n = M ⊆ R, schreibt man dafür M n . (abgeschlossener 19 ) Quader: Q = [ a 1 ; b 1 ] × · · · × [ a n ; b n ] (1.45) mit Intervallen [ a i ; b i ], i = 1 , . . . , n . Er hat ■ Volumen V ( Q ) = ( b 1 − a 1 ) · · · ( b n − a n ) (1.46) ■ Durchmesser 20 D ∞ ( Q ) = max( b 1 − a 1 , . . . , b n − a n ). (1.47) Sind alle Intervalle gleich lang, so heißt Q Würfel, für [ a i ; b i ] = [0; 1] ∀ i Einheitswürfel. Vektoren bündeln gleichartige ökonomische Größen: Teile einer Fertigungsliste, Lagerbestände verschiedener Produkte, Attribute bzw. Daten eines Kunden, Marktanteile von Anbietern u.v.m. 1.5 Matrizen m × n -Matrix 21,22 A : tabellarisches Schema A = ( a ij ) = a 11 . . . a 1 n ... ... a m 1 . . . a mn (1.48) mit m Zeilen, n Spalten und reellen Komponenten a ij . Mit R m × n bezeichnet man die Menge aller (reellen) m × n -Matrizen. Blockmatrix A : eine Darstellung 23 A = A 11 A 12 A 21 A 22 , (1.49) wobei A 11 , A 12 , A 21 , A 22 selbst wieder Matrizen sind. Anwendungsbeispiele für Matrizen A = ( a ij ) ■ m × n -Verflechtungsmatrizen ( m Produkte, n Rohstoffe): a ij gibt an, wieviel Einheiten des Rohstoffes i zur Herstellung einer Einheit des Rohstoffes j benötigt werden. ■ n × n -Input-Output-Matrizen 24 ( n Wirtschaftssektoren): a ij ist der für die Herstellung einer Einheit eines Güterwertes in Sektor j benötigte Güterwert aus Sektor i . ■ n × n -Übergangsmatrizen ( n Anbieter, periodischer Wechsel): a ij ist Anteil der Kunden von Anbieter j , die zu Anbieter i wechseln. ■ N × K -Datenmatrizen stellen statistische Datensätze dar: a ij ist Wert des j -ten Attributs in Datensatz i . 18 Zur Vereinfachung wird dieselbe Produkt-Schreibweise oft auch für Zeilenvektoren verwendet. Das n -fache kartesische Produkt M × · · · × M wird im Falle von Spaltenvektoren mit M n und im Falle von Zeilenvektoren mit M n bezeichnet. 19 Sinngemäß können Quader auch mit Hilfe von offenen, halboffenen oder auch unbeschränkten Intervallen gebildet werden. 20 im Sinne des Maximum-Abstandes; vorstellbar als Kantenlänge des kleinsten Würfels, der diesen Quader enthält. 21 Matrizen werden mit Großbuchstaben, ihre Einträge mit den zugehörigen, doppelt indizierten Kleinbuchstaben bezeichnet. 22 Eine 1 × m Matrix lässt sich mit einem m -Zeilenvektor identifizieren, eine n × 1-Matrix mit einem n -Spaltenvektor. 23 d.h. eine Aufteilung von A in Blöcke, die selbst wieder Matrizen sind, wobei in jeder Zeile bzw. jeder Spalte gleich viele Blöcke auftreten und die Matrizen jeder Zeile (Spalte) gleich viele Zeilen (Spalten) haben. 24 Verwendung in Leontief-Modellen 14 1 Grundlegende Begriffe 1.6 Operationen zwischen Matrizen und Vektoren Vergleich und Anordnung von m × n -Matrizen ■ A = B ⇔ ∀ i ∈ { 1 , . . . , m } , j ∈ { 1 , . . . , n } : a ij = b ij ■ A ≥ B ⇔ ∀ i ∈ { 1 , . . . , m } , j ∈ { 1 , . . . , n } : a ij ≥ b ij ■ A ≤ B ⇔ ∀ i ∈ { 1 , . . . , m } , j ∈ { 1 , . . . , n } : a ij ≤ b ij (sinngemäß auch für Vergleich und Anordnung von Vektoren) Transposition a 11 . . . a 1 n ... ... a m 1 . . . a mn T = a 11 . . . a m 1 ... ... a 1 n . . . a mn (1.50) für Vektoren: a 1 ... a n T = ( a 1 , . . . , a n ) , ( a 1 , . . . , a n ) T = a 1 ... a n (1.51) Addition und skalare Multiplikation Für A, B ∈ R m × n , α ∈ R (Skalar) A + B = a 11 + b 11 . . . a 1 n + b 1 n ... ... a m 1 + b m 1 . . . a mn + b mn (1.52) αA = αa 11 . . . αa 1 n ... ... αa m 1 . . . αa mn (1.53) Vektoraddition x + y und skalare Multiplikation αx für Vektoren x, y ∈ R n : x 1 ... x n + y 1 ... y n : = x 1 + y 1 ... x n + y n , α x 1 ... x n : = αx 1 ... αx n (1.54) Matrixprodukt C = AB zweier Matrizen A ∈ R m × k , B ∈ R k × n c 11 · · · c 1 n ... c ij ... c m 1 . . . c mn = a 11 . . . a 1 k a i 1 . . . a ik ... ... a m 1 . . . a mk ... ... · b 11 · · · b 1 j · · · b 1 n ... ... ... b k 1 · · · b kj · · · b kn (1.55) c ij = a i 1 b 1 j + a i 2 b 2 j + · · · + a ik b kj (1.56) Spezialfälle: ■ Produkt Ax ∈ R m von A ∈ R m × n mit Spaltenvektor x ∈ R n . ■ Produkt xA ∈ R n von A ∈ R m × n mit Zeilenvektor x ∈ R m . ■ Matrixpotenz für A ∈ R n × n A 0 : = I n , A k : = A · A · · · A ( k Faktoren) (1.57) Mathematik 1.7 Funktionen 15 Ökonomische Anwendungen des Matrix-Produktes ■ Ist A die Verflechtungsmatrix zwischen Rohstoffen R 1 , . . . , R m und (Zwischen-)Produkten Z 1 , . . . , Z k , so ist Ax der einem Produktvektor x ∈ R k zugeordnete Rohstoffvektor. Ist zudem B die Verflechtungsmatrix zwischen Z 1 , . . . , Z k und Endprodukten E 1 , . . . , E n , so ist AB die Verflechtungsmatrix zwischen R 1 , . . . , R m und E 1 , . . . , E n . ■ Ist A ∈ R n × n die Übergangsmatrix der Kundenwanderung für eine spezielle Periode, so ist Ax die Verteilung der Folgeperiode zur aktuellen Verteilung x ∈ R n . Dabei ist ein stochastischer Vektor bzw. eine Verteilung ein Vektor x mit x j ≥ 0 ∀ j und x 1 + · · · + x n = 1 (1.58) - Eine Verteilung x ∈ R n mit Ax = x bzw. ( I n − A ) x = ¯0 (1.59) heißt stationäre bzw. stabile Verteilung zur Übergangsmatrix A . - A k ist die k -Schritt-Übergangsmatrix für k Zeiteinheiten 25 , d.h. ist x ∈ R n Verteilung einer Periode, so ist A k x die Verteilung nach k weiteren Perioden. - Wenn es ℓ ∈ N gibt, so dass A ℓ nur strikt positive Einträge hat, so gibt es genau eine stabile Verteilung x . Zudem ist x = lim k →∞ A k x (0) für jede Verteilung x (0) . 1.7 Funktionen Grundbegriffe Gegeben seien zwei Teilmengen D ⊆ R n und 26 W ⊆ R m . Unter einer Funktion f : D → W versteht man eine Teilmenge 27 R von D × W mit folgender Eigenschaft: zu jedem x ∈ D gibt es genau ein y = f ( x ) ∈ W, so dass ( x, y ) ∈ R . Für diese Zuordnung schreibt man auch x → f ( x ) (1.60) Der Ausdruck f ( x ) heißt Funktionsterm, D f : = D wird Definitionsbereich, W f : = W wird Wertebereich von f genannt. Falls W = R (d.h. m = 1), so wird f als einwertige, anderenfalls (d.h. W = R m mit m > 1) als mehrwertige oder vektorwertige Funktion bezeichnet. Das Bild von A ⊆ D unter f ist die Menge aller y ∈ W, die als Funktionswert f ( x ) mit x ∈ A realisiert werden: f (A) : = { y ∈ W : ∃ x ∈ A y = f ( x ) } (1.61) Das Bild von f ist die Menge aller y ∈ W, die als Funktionswert f ( x ) mit x ∈ D realisiert werden: Bild ( f ) : = f (D) ⊆ W (1.62) Das Urbild von B ⊆ W unter f ist die Menge aller x ∈ D, zu denen der Bildwert f ( x ) in B liegt: f − 1 (B) : = { x ∈ D : f ( x ) ∈ B } ⊆ R n (1.63) 25 Angenommen ist gleiches Kundenwechselverhalten für jede Zeiteinheit. 26 im folgenden meist m = 1. 27 Eine Teilmenge R ⊆ D × W wird auch Relation zwischen D und W genannt. 16 1 Grundlegende Begriffe Verkettung von Funktionen Sind g : D → W und f : W → V Funktionen mit D ⊆ R n , W ⊆ R m , V ⊆ R k , so versteht man unter der Verkettung von f und/ mit g die Funktion 28 f ◦ g : D → V , ( f ◦ g )( x ) = f ( g ( x )) (1.64) Identität id : R n → R n , id( x ) = x (1.65) Umkehrfunktion Eine Funktion f : D → W heißt ■ surjektiv, wenn f (D) = W, ■ injektiv, wenn f − 1 ( { y } ) höchstens einelementig ist ∀ y ∈ W, ■ bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist. Eine bijektive Funktion f : D → W ist umkehrbar, d.h. es gibt zu jedem y ∈ W genau ein x = g ( y ) ∈ D mit f ( x ) = y . Es gilt dann g ◦ f = id , d.h. g ( f ( x )) = x ∀ x ∈ D (1.66) f ◦ g = id , d.h. f ( g ( y )) = y ∀ y ∈ W (1.67) g : W → D heißt Umkehrfunktion zu f und wird mit f − 1 bezeichnet 29 . Funktionen im ökonomischen Sachzusammenhang Darstellung rechnerischer Zusammenhänge zwischen (Gruppen von) ökonomischen Variablen: ■ Kostenfunktion: zwischen eingesetzten Produktionsfaktoren und gesamten Kosten der Herstellung ■ Produktionsfunktion: zwischen Faktoreinsatzmengen den Produktionsoutput. ■ Nachfragefunktion: zwischen abgesetzter Menge und Preis. ■ Umsatzfunktion (Erlösfunktion): zwischen abgesetzter Menge und Umsatz. ■ Gewinnfunktion: Differenz einer Umsatz- und einer Kostenfunktion. Ohne fixe Kosten: Deckungsbeitrags-Funktion. 28 lies: „ f verkettet mit g “ 29 lies: „ f hoch minus Eins“ Mathematik 2 Lineare Gleichungssysteme 2.1 LGS und Matrixdarstellung Lineares Gleichungssystem (LGS): ein System von m Gleichungen in Unbekannten x 1 , . . . , x n der Form Ax = b (2.1) bzw. a i 1 x 1 + a i 2 x 2 + · · · + a in x n = b i , i = 1 , . . . , m (2.2) mit Variablenvektor x = ( x 1 , . . . , x n ) T , Koeffizientenmatrix 1 A ∈ R m × n Vektor b ∈ R m . Gleichungsmatrix eines LGS (2.1) ist ( A | b ) = a 11 a 12 . . . a 1 n b 1 ... ... ... ... a m 1 a m 2 . . . a mn b m (2.3) Lösungsmenge L A,b : = { x ∈ R n : Ax = b } (2.4) Homogenes LGS 2 : Ax = ¯0. Kern ( A ) : = L A, ¯0 wird als Kern der Matrix A bezeichnet. Zeilenumformungen (ZUF) ( A | b ) → ( A ′ | b ′ ) mit L A,b = L A ′ ,b ′ : (ZV( i, j )) Zeile i und j werden vertauscht ( i ̸ = j ) (2.5) (ZM( i, β )) Zeile i wird mit Konstante β ̸ = 0 multipliziert. (2.6) (ZA( i, j, α )) Zu Zeile j wird das α -fache von Zeile i ̸ = j addiert. (2.7) Zeilenstufenform 3,4,5,6,7 : 24 2 Lineare Gleichungssysteme 2.1.1 Zeilenstufenform Durch Zeilenumformungen 3 kann man eine Gleichungsmatrix ( A | b ) in Zeilenstufenform (ZSF) ( Z | c ) überführen 4 , 5 , 6 , 7 : · · · 1 · · · 0 · · · z 1 · · · 0 · · · c 1 · · · 0 · · · 1 · · · z 2 · · · 0 · · · c 2 · · · 0 · · · 0 · · · z k 1 · · · c k · · · 0 · · · 0 · · · 0 0 · · · c k +1 · · · 0 · · · 0 · · · 0 0 · · · c m ↓ ↓ ↓ ↓ j 1 j 2 j k ... ... ... ... ... ... ... ... (2.5) ■ Rang ( A ) : = k ≤ n heißt Rang von A . ■ Spalten j 1 , . . . , j k heißen Pivotspalten, die zugehörigen Variablen heißen Pivotvariablen. 2.2 Lösungsmenge eines LGS anhand der Zeilenstufenform Falls in (2.5) einer der Werte c k +1 ,. . . , c m von Null verschieden ist, so ist das LGS unlösbar. Anderenfalls ergibt sich die Lösungsmenge, indem die Gleichungen nach den Basisvariablen x j 1 , . . . , x j k freige- 8 9 , 10 (2.8) ■ Durch ZUF kann ( A | b ) in diese Zeilenstufenform (2.8) überführt werden. ■ Rg ( A ) : = k ≤ n heißt Rang von A . ■ Basisbzw. Pivotspalten: j 1 , . . . , j k , Basisbzw. Pivotvariablen: x j 1 , . . . , x j k , Pivotstellen: (1 , j 1 ) , . . . , ( k, j k ) . 1 Es wird stets angenommen, dass A nicht die Nullmatrix ist. 2 Ax = b mit b ̸ = ¯0 heißt inhomogen 3 Unterhalb der Treppenlinie sind die Einträge der Spalten 1 , . . . , n gleich Null. 4 Bis auf c k +1 , . . . , c m ist ( Z | c ) eindeutig bestimmt. 5 Im Falle der Lösbarkeit darf man die letzten m − k Zeilen streichen. 6 Auch Z - ohne Spalte c - wird als Zeilenstufenform bezeichnet. 7 Abkürzung: ZSF 18 2 Lineare Gleichungssysteme 2.2 Eliminationsverfahren nach Gauß START R1: Pivotspalte finden R2: Pivotspalte ab Pivotstelle formatieren R3: Alle Pivotspalten gefunden? R4: Rücksubstitution ja nein Wende auf die Gleichungsmatrix (2.3) nacheinander folgende Zeilenumformungen 8 an: START Setze j 0 = 0 und r = 1. R1 Finde 9 j r > j r − 1 mit a rj r ̸ = 0 und a st = 0 ∀ s ≥ r ∀ t < j r . a rj r heißt Pivotelement. R2 ZM( r, 1 / a r,j r ) und dann für alle i > r : ZA( r, i, − a i,j r ) R3 Falls j r = n , r = m oder a iℓ = 0 für alle i > r, ℓ > j r , gehe zu R4. Sonst erhöhe r um 1 und gehe zu R1. R4 Mit den gefundenen Pivotstellen (1 , j 1 ) , . . . , ( r, j r ) führe aus 10 : Für r = k, k − 1 , . . . , 2 und jeweils i = 1 , . . . , r − 1: ZA( r, i, − a i,j r ) 2.3 Lösungsmenge eines LGS Gilt in (2.8) c i ̸ = 0 für ein i > k , so ist das LGS unlösbar, sonst: ■ Basislösung: x ( B ) = ( x ( B ) 1 , . . . , x ( B ) n ) T mit x ( B ) j 1 = c 1 , . . . , x ( B ) j k = c k , x ( B ) j = 0 für j ̸∈ { j 1 , . . . , j k } (2.9) Falls k = n , ist x ( B ) eindeutige Lösung. ■ Lösungen für k < n : freie Festlegung der Nichtbasisvariablen, Berechnung der Basisvariablen gemäß 11,12,13 x j p = c p − ∑ ℓ ̸ = j p z pℓ x ℓ , p = 1 , . . . , k (2.10) Zwei Gleichungen in zwei Variablen Das LGS ax + by = e, cx + dy = f hat für ad − bc ̸ = 0 die eindeutige Lösung x = de − bf ad − bc , y = af − ce ad − bc (2.11) 8 Die nach einer Zeilenumformung entstandene Gleichungsmatrix wird jeweils wieder mit ( A | b ) bezeichnet. 9 Gegebenenfalls ist eine Zeilenvertauschung nötig, damit man solch ein a rj findet. 10 Die Reihenfolge der Umformungen kann hier beliebig sein, Umformung von rechts nach links ist aber am effizientesten. 11 Wegen z pj r = 0 für r ̸ = p erfolgt die Summation in (2.10) tatsächlich nur über Nichtbasis-Indizes, d.h. über j ̸∈ { j 1 , . . . , j k } ; alle Summanden zu Basisindizes j k ̸ = j ℓ werden Null. 12 Lösung in Vektorform vgl. (3.6), mit Inverse vgl. (4.6) 13 Alle Aussagen in 2.3 gelten sinngemäß auch bei einer Basisform ( Z | c ). Mathematik 2.4 Lineare Optimierung 19 2.4 Lineare Optimierung Ein lineares Optimierungsproblem 14 (LOP) in Standardform 15 hat mit Variablenvektor x = ( x 1 , . . . , x n ) T die Form c T x ! = min unter Ax = b, x ≥ ¯0 (2.12) mit c ∈ R n , A ∈ R m × n , Rg ( A ) = m , b ∈ R m , b ≥ ¯0. Basisform und Basislösung Eine m × ( n + 1) Gleichungsmatrix ( F | d ) ist in Basisform, wenn in F alle Einheitsvektoren e (1) , . . . , e ( m ) als Spalten 16 auftreten. Die zugehörigen Spalten 17 j 1 , . . . , j m heißen Basisspalten 18 . Die zugehörigen Variablen x j 1 , . . . , x j m heißen Basisvariablen 19 . Simplexalgorithmus Simplex- Tableau zur gegebenen Basisform alle δ j ≤ 0? Wähle δ ℓ > 0 alle f kℓ ≤ 0? Wähle k mit f kℓ > 0 und x k f kℓ = min Lösung gefunden Basiswechsel an f kℓ Problem unlösbar nein nein ja ja Für LOP in Standardform (2.12), das bereits in Basisform ( F | d ) mit d ≥ ¯0 vorliegt 20 : [1] Simplex-Tableau aufstellen: c 1 . . . c ℓ . . . c n x Engpass c j 1 f 11 . . . f 1 ℓ . . . f 1 n d 1 d 1 / f 1 ℓ ... ... ... ... ... ... c j k f k 1 . . . f kℓ . . . f kn d k d k / f kℓ ... ... ... ... ... ... c j m f m 1 . . .f mℓ . . . f mn d m d m / f mℓ δ 1 . . . δ ℓ . . . δ n z mit δ j = m ∑ r =1 c j r f rj − c j (2.13) z = m ∑ r =1 c j r d r (2.14) 14 auch: lineares Programm 15 Überführung anderer LOP in Standardform: Ein Maximierungsproblem wird durch Multiplikation der Zielfunktion mit − 1 in ein Minimierungsproblem überführt. Eine Nebenbedingung der Form a i 1 x 1 + · · · + a in x n ≤ b i (bzw. ≥ b i ) wird mit einer Schlupfvariable y i ≥ 0 überführt in a i 1 x 1 + · · · + a in x n + y i = b i (bzw. · · · − y i = b i ). Eine Gleichung mit b i < 0 wird mit − 1 multipliziert. Redundante Gleichungen werden schließlich gestrichen. 16 Solche Spalten heißen Einheitsspalten. 17 Anders als bei der ZSF muss nicht j 1 < · · · < j m gelten und liegt auch keine Treppenform vor. 18 bzw. Pivotspalten 19 Die übrigen Variablen heißen Nichtbasisvariablen. 20 Basisspalten seien hier j 1 , . . . , j m . 20 2 Lineare Gleichungssysteme [2] Falls δ j ≤ 0 ∀ j : Optimallösung erreicht! Sonst wähle 21 ein ℓ mit δ ℓ > 0. [3] Falls f iℓ ≤ 0 ∀ i : (2.12) unlösbar 22 . Sonst wähle 23 k mit f kℓ > 0 und d k f kℓ minimal. [4] Neue Simplex-Tableau durch Basiswechsel 24,25 an Pivotstelle ( k, ℓ ): [a] ZM( k, 1 / f kℓ ), dann [b] ZA( k, i, − f iℓ ) für i ̸ = k , [c] ZA( k, m + 1 , − δ ℓ ) 26 Fahre mit der neuen Basisform in Schritt [2] fort. Zweiphasenmethode LOP in Standardform Phase 1: Hilfsproblem mit zusätzlichen künstlichen Variablen und künstlicher Kostenfunktion Zielwert in Phase 1 > 0? Problem unlösbar Phase 2: Ausgangsproblem mit Startlösung aus Phase 1 durchführen. ja nein Ein LOP in Standardform (2.12) löst man wie folgt: [1] Phase 1: Fehlen k Einheitsspalten in A , so löse das LOP u 1 + · · · + u k = ¯1 T u ! = min unter Ax + Ku = b ; x, u ≥ ¯0 (2.15) K ∈ R m × k besteht aus den k Einheitsspalten, die in A fehlen 27,28 . Die Lösung des Problems sei mit x (1) , u (1) bezeichnet. [2] Phase 2: Falls ¯1 T u (1) > 0 , so hat das Ausgangsproblem keine Lösung. Anderenfalls ist x (1) eine zulässige Basislösung von (2.12). Bezeichnet ˜ Ax + ˜ Ku = ˜ b die Nebenbedingungen laut Schlusstableau aus Phase 1, so ist [ ˜ A | ˜ b ] eine Basisform, mit der das Ausgangsproblem (2.12) gelöst wird. 21 Bei mehreren Möglichkeiten: Wähle das kleinstmögliche ℓ (Bland-Regel, 1. Teil) 22 Die Zielfunktion ist nach unten unbeschränkt. 23 Bei mehreren Möglichkeiten: Wähle k mit am weitesten links liegender Basisspalte (Bland-Regel, 2. Teil). 24 Jede Zeilenumformung bezieht sich immer auf die in der vorigen Zeilenumformung erhaltene Gleichungsmatrix. 25 Basisspalten werden dann j 1 , . . . , j k − 1 , ℓ, j k +1 , . . . , j m . 26 Die letzte Umformung entspricht Neuberechnung von δ -Werten und Zielwert gemäß (2.13) und (2.14). 27 Wenn keine Einheitsspalte fehlt, kann Phase 1 übersprungen werden. 28 Die zusätzlichen Variablen u 1 , . . . , u k des LOP heißen künstliche Variablen. Mathematik 3 Vektoren Besondere Vektoren des R n sind 1,2 ■ Nullvektor (Ursprung(svektor)) ¯0 = ¯0 n = 0... 0 und Einsvektor ¯1 = ¯1 n = 1... 1 (3.1) ■ für j ∈ { 1 , . . . , n } der j -te Einheitsvektor 3 e ( j ) = 0... 1... 0 (3.2) 3.1 Linearkombinationen Es seien a (1) , . . . , a ( m ) Vektoren des R n und A = [ a (1) , . . . , a ( m ) ] die aus den Spalten a (1) , . . . , a ( m ) gebildete Matrix in R n × m . Jeder Vektor b ∈ R n der Form b = α 1 a (1) + · · · + α m a ( m ) = Aα mit α = ( α 1 , . . . , α m ) T (3.3) heißt Linearkombination (LK) von a (1) , . . . , a ( m ) mit Koeffizienten/ Koordinaten α i . Ob b (eindeutige) LK von a (1) , . . . , a ( m ) ist, bestimmt man durch Lösung des LGS Aα = b . Eine konvexe Linearkombination von a (1) , . . . , a ( m ) ist eine LK α 1 a (1) + · · · + α m a ( m ) (3.4) mit α 1 , . . . , α m ∈ [0; 1] und α 1 + · · · + α m = 1. D ⊆ R n heißt konvex, wenn jede konvexe LK von Vektoren aus D wieder in D liegt (z.B. alle Quader und Kugeln sind konvex). Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit ■ a (1) , . . . , a ( m ) heißen linear abhängig (l.a.), wenn ¯0 sich auf mehrere Arten linear aus diesen kombinieren lässt, d.h. wenn das LGS Aα = ¯0 nicht nur die Lösung α = ¯0 hat. ■ a (1) , . . . , a ( m ) heißen linear unabhängig (l.u.), wenn das LGS genau eine Lösung hat. 1 Bei den Vektoren geht die Anzahl n der Komponenten i.d.R. aus dem Zusammenhang hervor, sonst Indizierung, z.B. ¯0 n . 2 Entsprechend Konstantvektor ¯ s 1 bzw. Konstantmatrix ¯ s m × n für Vektoren bzw. Matrizen mit identischen Einträgen s . 3 d.h. 1 an der j -ten Komponente, 0 sonst. 22 3 Vektoren Lineare Hülle L = Span ( a (1) , . . . , a ( m ) ) zum Erzeugendensystem a (1) , . . . , a ( m ) ist ■ die Menge L aller Linearkombinationen von a (1) , . . . , a ( m ) und gleichzeitig ■ die Menge L aller Vektoren Aα , wobei α ∈ R m (das Bild / der Spaltenraum von A ). Man sagt, L wird von a (1) , . . . , a ( m ) aufgespannt (erzeugt). 3.2 Untervektorraum, Basis und Dimension Untervektorraum (UVR) ist eine Menge L ⊆ R n mit ■ ¯0 ∈ L ■ x, y ∈ L , α ∈ R ⇒ α ( x + y ) ∈ L Jeder UVR wird durch endlich viele Vektoren aufgespannt. Dimension dim(L) eines UVR ist Anzahl m linear unabhängiger Vektoren a (1) , . . . , a ( m ) , von denen L aufgespannt wird 4 . UVR der Dimension 1 bzw. 2 heißen Geraden bzw. Ebenen. Basis: Ein l.u. Erzeugendensystem eines UVR. Basis von Kern ( A ) wird wie folgt bestimmt: [1] Bringe A in Basisform 5 Z = ( z ij ) mit Basispalten j 1 , . . . , j k und Nichtbasisspalten ℓ ∈ K = { 1 , . . . , n } \ { j 1 , . . . , j k } . [2] Zu jeder Nichtbasisspalte ℓ wird Basisvektor b ( ℓ ) gebildet 6,7,8 : · · · 1 · · · 0 · · · z 1 ℓ · · · 0 · · · · · · 0 · · · 1 · · · z 2 ℓ · · · 0 · · · · · · 0 · · · 0 · · · ... 0 · · · · · · 0 · · · 0 · · · z kℓ 1 · · · ↓ ↓ ↓ ↓ j 1 j 2 ℓ j k ↓ ↓ ↓ ↓ · · · − z 1 ℓ · · · − z 2 ℓ · · · 1 · · · − z kℓ · · · Z = b ( ℓ ) =( ) T (3.5) Lösungsmenge eines LGS Ax = b mittels Kern ( A ) Bestimme mit Zeilenumformungen eine Basisform ( Z | c ). Dann gilt L = { x = x ( B ) + ℓ ∈ K x ℓ b ( ℓ ) : x ℓ ∈ R für ℓ ∈ K } (3.6) mit x ( B ) gemäß (2.9) und b ( ℓ ) gemäß (3.5). 4 aus einem l.a. Erzeugendensystem a (1) , . . . , a ( k ) bekommt man ein solches l.u. System z.B., indem man A = ( a (1) , . . . , a ( k ) ) mit Zeilenumformungen in Basisform Z überführt und in A alle Vektoren zu Nichtbasisspalten der Basisform streicht. 5 Eventuelle Nullzeilen in Z müssen gestrichen werden. 6 Im Schaubild ist die ZSF angegeben, dies ist sinngemäß auf eine beliebige Basisform übertragbar. 7 Alle „ · · · “ in b sind durch (ggf. leere Sequenzen von) Nullen zu ergänzen. 8 jeder skalar Vielfache Vektor αb ( ℓ ) mit α ̸ = 0 ist genau so geeignet. Mathematik 3.3 Skalarprodukt, Norm und Abstand 23 3.3 Skalarprodukt, Norm und Abstand Skalarprodukt von x, y ∈ R n ⟨ x, y ⟩ : = x T y = x 1 y 1 + · · · + x n y n (3.7) (Euklidische) Norm von x ∈ R n ∥ x ∥ : = √ ⟨ x, x ⟩ = √ x T x = √ x 21 + · · · + x 2 n (3.8) Eigenschaften für x, y ∈ R n und α ∈ R: ∥ x ∥ ≥ 0 und ∥ x ∥ = 0 ⇔ x = ¯0 (3.9) ∥ αx ∥ = | α |∥ x ∥ (3.10) ∥ x + y ∥ ≤ ∥ x ∥ + ∥ y ∥ (Dreiecksungleichung) (3.11) |⟨ x, y ⟩| ≤ ∥ x ∥ · ∥ y ∥ (Cauchy-Schwarz-Ungleichung) (3.12) ∥ x ∥ · ∥ y ∥ · cos( φ ) = ⟨ x, y ⟩ (Winkel φ zwischen Vektoren) (3.13) Weitere Normen (mit Eigenschaften (3.9)-(3.11)) ■ Minkowski-Norm 9 ∥ x ∥ p : = p √ | x 1 | p + · · · + | x n | p (3.14) ■ Maximum-Norm: ∥ x ∥ ∞ : = max( | x 1 | , . . . , | x n | ) (3.15) Orthogonalität x, y ∈ R n heißen orthogonal ( x ⊥ y ), wenn ⟨ x, y ⟩ = 0 und orthonormal, wenn zusätzlich ∥ x ∥ = ∥ y ∥ = 1. Vektoren a (1) , . . . , a ( m ) ∈ R n heißen (paarweise) orthogonal bzw. orthonormal, wenn dies für je zwei verschiedene der Vektoren gilt. Linearkombination mit paarweise orthonormalen Vektoren a (1) , . . . , a ( n ) ∈ R n : x = ⟨ a (1) , x ⟩ a (1) + · · · + ⟨ a ( n ) , x ⟩ a ( n ) ∀ x ∈ R n (3.16) Abstand Der euklidische Abstand von x, y ∈ R n ist der Ausdruck 10 ∥ x − y ∥ = √ ( x 1 − y 1 ) 2 + · · · + ( x n − y n ) 2 (3.17) Durchmesser von Q ⊆ R n ist 11 D ( Q ) : = sup {∥ x − y ∥ : x, y ∈ Q } . (Offene) Kugel um x ∈ R n mit Radius r > 0 ist erklärt als B r ( x ) = B ( x, r ) : = { y ∈ R n : ∥ x − y ∥ < r } (3.18) Sie hat das ( n -dimensionale) Volumen V = r n π n/ 2 Γ( n 2 + 1) und den Durchmesser d = 2 r Spezialfall n = 3: V = 4 3 πr 3 (3.19) 9 bzw. p -Norm, für p = 1 auch City-Block-Norm genannt, ∥ x ∥ 1 = | x 1 | + · · · + | x n | . Für p = 2 ergibt sich die euklidische Norm, d.h. ∥ x ∥ 2 = ∥ x ∥ . 10 Auch die anderen genannten Normen ergeben Abstandsmaße, z.B. den City-Block-Abstand ∥ x − y ∥ 1 oder Maximum-Abstand ∥ x − y ∥ ∞ . 11 Analog z.B. Maximum-Durchmesser D ∞ ( Q ) : = sup {∥ x − y ∥ ∞ : x, y ∈ Q } . 24 3 Vektoren Topologische Eigenschaften von Mengen ■ Ein innerer Punkt einer Menge D ⊆ R n ist ein Punkt x , für den B r ( x ) ⊆ D für ein (geeignet kleines) r > 0. ■ Eine Menge D ⊆ R n heißt - offen, wenn sie nur innere Punkte enthält, - abgeschlossen, wenn D c offen ist, und - kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt 12 ist. ■ Der Rand ∂ D von D ⊂ R n ist die Menge aller Punkte x , für die jede offene Kugel B r ( x ) mit r > 0 Punkte von D und D c enthält. - Kugeln B r ( x ) sind offen mit ∂B r ( x ) = { y ∈ R n : ∥ y − x ∥ = r } . - Ein Quader D = A 1 × · · · × A n mit Intervallen A j ⊆ R ist offen, wenn alle A j offen sind, und abgeschlossen, wenn alle A j abgeschlossen sind. ∂ D besteht aus den Vektoren x ∈ R n , für die wenigstens ein x j linke oder rechte Intervallgrenze von A j ist. 3.4 Projektionen Ist L ein UVR des R n mit Erzeugendensystem 13 a (1) , . . . , a ( m ) und x ∈ R n , so versteht man unter der Projektion von x auf L proj ( x, L) = z = α 1 a (1) + · · · + α m a ( m ) = Aα ∈ L (3.20) den Vektor z ∈ L mit kleinstem Abstand ∥ x − z ∥ . Für z = proj ( x, L) gilt z ⊥ ( z − x ). (3.21) Normalgleichungen z = proj ( x, L) g.d.w. z − x ⊥ a ( ℓ ) ∀ ℓ = 1 , . . . , m , d.h. m ∑ p =1 ⟨ a ( ℓ ) , a ( p ) ⟩ · α p = ⟨ a ( ℓ ) , x ⟩ , ℓ = 1 , . . . , m, bzw. ( A T A ) α = A T x (3.22) Wenn a (1) , . . . , a ( m ) l.u. sind, so ist A T A invertierbar, und es gilt α = ( A T A ) − 1 A T x und proj ( x, L) = A ( A T A ) − 1 A T x. (3.23) Orthonormale Projektion Sind a (1) , . . . , a ( m ) paarweise orthonormal, dann gilt proj ( x, L) = ⟨ a (1) , x ⟩ a (1) + · · · + ⟨ a ( m ) , x ⟩ a ( m ) (3.24) 12 eine Menge D ⊂ R n ist beschränkt, wenn es ein K > 0 gibt mit D ⊆ [ − K ; K ] n . 13 Im Folgenden sei A die aus a (1) , . . . , a ( m ) spaltenweise gebildete Matrix. Mathematik 4 Matrizen 4.1 Regeln für das Rechnen mit Matrizen Für Matrizen A, B, C und Skalare α, β gelten folgende Regeln 1,2 : Kommutativ- A + B = B + A gesetze ( AB ) T = B T A T generell aber AB ̸ = BA α ( AB ) = ( αA ) B = A ( αB ) Assoziativ- A + ( B + C ) = ( A + B ) + C gesetze ( AB ) C = A ( BC ) Distributiv- A ( B + C ) = AB + AC gesetze ( A + B ) C = AC + BC ( α + β ) A = αA + βA α ( A + B ) = αA + αB 4.2 Quadratische Matrizen Notation: A = ( a ij ) i,j =1 ...,n = a 11 a 12 · · · a 1 n a 21 a 22 · · · a 2 n ... ... a n 1 a n 2 · · · a nn ∈ R n × n (4.1) Hauptdiagonale: Einträge a 11 , a 22 ,. . . , a nn . ■ Diagonalmatrix: A = diag( a 11 , a 22 , . . . , a nn ) : = a 11 0 · · · 0 0 a 22 · · · 0 ... . . . 0 0 . . . a nn (4.2) ■ Einheitsmatrix: I n : = diag(1 , . . . , 1) ∈ R n × n (4.3) Sofern das jeweilige Matrixprodukt gebildet werden kann, gilt: I n · B = B und A · I n = A (4.4) 4.3 Inverse Matrix ■ Inverse Matrix zu A ∈ R n × n : Matrix B mit AB = BA = I n , Schreibweise: A − 1 ■ Invertierbare Matrix 3 : Eine Matrix A , zu der A − 1 existiert. 1 falls die jeweiligen Terme gebildet werden dürfen. 2 sinngemäß auch für den Spezialfall von Zeilenbzw. Spaltenvektoren. 3 auch: reguläre Matrix. Eine nicht invertierbare Matrix heißt singulär. 26 4 Matrizen Berechnung der inversen Matrix Überführe ( A | I n ), falls möglich, mit Zeilenumformungen in ZSF ( I n | B ). Dann ist A invertierbar 4 und es ist A − 1 = B . Inverse einer 2 × 2-Matrix a b c d − 1 = 1 ad − bc d − b − c a (falls ad − bc ̸ = 0) (4.5) Lösung von LGS mit Matrixinversion Für invertierbares A : Ax = b ⇔ x = A − 1 b (4.6) 4.4 Determinanten quadratischer Matrizen Spezialfälle ■ n = 1: det( a ) = a (4.7) ■ n = 2: det a b c d = ad − bc (4.8) ■ n = 3, Sarrus-Regel: det a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 21 a 32 a 13 − a 31 a 22 a 13 − a 21 a 12 a 33 − a 32 a 23 a 11 (4.9) ■ Obere bzw. untere Dreiecksmatrix: det d 11 ∗ ∗ 0 . . . ∗ 0 0 d nn = det d 11 0 0 ∗ . . . 0 ∗ ∗ d nn = d 11 · · · d nn (4.10) Determinante und Zeilenumformungen det( A ) = ( − 1) k det( B ) / c (4.11) wenn man A mit Zeilenumformungen 5 in B überführt 6 und ■ k die Anzahl der Vertauschungen (ZV) und ■ c das Produkt der Faktoren der Multiplikationen (ZM) ist, Determinantenberechnung durch Entwicklung ■ nach Zeile 7 i : det( A ) = n ℓ =1 ( − 1) i + ℓ a iℓ det( A iℓ ) (4.12) ■ nach Spalte 7 j : det( A ) = n k =1 ( − 1) k + j a kj det( A kj ) (4.13) 4 Falls die Überführung nicht möglich ist, so ist A singulär. 5 zu Zeilenumformungen vgl. S.17. 6 z.B. in eine Dreiecksmatrix 7 A kℓ erhält man jeweils durch Streichen der k -ten Zeile und ℓ -ten Spalte aus A . Mathematik 4.6 Symmetrische Matrizen 27 Weitere Regeln für quadratische Matrizen A , B ■ Transposition: det( A T ) = det( A ) (4.14) ■ Blockmatrix: det A ∗ 0 B = det A 0 ∗ B = det( A ) det( B ) (4.15) ■ Matrixprodukt 8 : det( AB ) = det( A ) det( B ) (4.16) 4.5 Anwendungen der Determinante Prüfung auf Invertierbarkeit Eine quadratische Matrix A ist invertierbar genau dann, wenn ihre Determinante det( A ) ungleich Null ist. Cramer’sche Regel Die Lösung des LGS Ax = b mit invertierbarer Matrix A ∈ R n × n ist x = ( x 1 , . . . , x n ) T mit 9 x j = det( A j ) / det( A ) Eigenwerte ■ Charakteristisches Polynom von A ∈ R n × n : p ( λ ) = det( A − λI n ). (4.17) Das charakteristische Polynom von A ∈ R n × n hat Grad n . ■ Eigenwert von A : Nullstelle des charakteristischen Polynoms- (4.18) ■ Eigenvektor von A zum Eigenwert λ : Ein Vektor x ̸ = ¯0 mit Ax = λx (4.19) ■ Eigenraum von A zum Eigenwert λ : Der UVR Kern ( A − λI n ) ̸ = { ¯0 } (4.20) 4.6 Symmetrische Matrizen Eine Matrix H heißt symmetrisch, wenn H T = H Eigenwerte symmetrischer Matrizen H ∈ R n × n sind ausschließlich reelle Zahlen λ 1 , . . . , λ n (mit Vielfachheit gerechnet 10 ). Das charakteristische Polynom hat die Form det( H − λI n ) = ( − 1) n ( λ − λ 1 ) · · · ( λ − λ n ) (4.21) Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind bei einer symmetrischen Matrix H orthogonal. Zu den Eigenwerten λ 1 , . . . , λ n von H gibt es paarweise orthonormale Eigenvektoren x (1) , . . . , x ( n ) . Setzt man diese zu einer Matrix M = ( x (1) , . . . , x ( n ) ) zusammen, so gilt M T · M = I n und die Hauptachsentransformation H = M · diag( λ 1 , . . . , λ n ) · M T (4.22) 8 sofern dieses gebildet werden kann. 9 Dabei entsteht A j aus A durch Ersetzen der j -ten Spalte mit b . 10 Bei den Werten λ 1 , . . . , λ n können Wiederholungen auftreten. 28 4 Matrizen 4.7 Definitheit Eine symmetrische Matrix H ∈ R n × n heißt ■ positiv definit g.d.w. ⟨ x, Hx ⟩ = x T Hx > 0 ∀ x ∈ R n , x ̸ = ¯0 (4.23) ■ positiv semidefinit g.d.w. ⟨ x, Hx ⟩ ≥ 0 ∀ x ∈ R n (4.24) H heißt negativ (semi-)definit, wenn − H positiv (semi-)definit ist 11 . Eine weder positiv semidefinite noch negativ semidefinite Matrix heißt indefinit. Determinantenkriterium für Definitheit Hauptuntermatrizen H ℓ und Hauptminoren (Hauptunterdeterminanten) δ ℓ einer symmetrischen n × n -Matrix H sind H ℓ = h 11 . . . h 1 ℓ ... ... h ℓ 1 . . . h ℓℓ , δ ℓ ( H ) : = det( H ℓ ) ℓ = 1 , . . . , n (4.25) Determinantenkriterium: H ist positiv definit ⇔ δ ℓ ( H ) > 0 ∀ ℓ (4.26) Spezielles Kriterium für 2 x 2-Matrizen: a b b c ist pos. (bzw. neg.) semidefinit für ac − b 2 = 0 und a > 0 (bzw. a < 0). (4.27) Allgemeiner Fall: Ist ein Hauptminor Null, so gelten nur Ausschlusskriterien: H ist ■ indefinit, wenn ∃ ℓ ∈ { 2 , 4 , 6 , . . . } mit δ ℓ ( H ) < 0. ■ nicht positiv definit, wenn ∃ ℓ ∈ { 1 , 3 , . . . } mit δ ℓ ( H ) < 0. Eigenwertkriterium H ist positiv (semi)definit ⇔ alle Eigenwerte sind > 0 ( ≥ 0) Eingeschränkte Definitheit Es sei G ∈ R r × n . H heißt 12 positiv definit unter Gx = ¯0, wenn ⟨ x, Hx ⟩ > 0 ∀ x ∈ R n mit x ̸ = ¯0 und Gx = ¯0 (4.28) ■ Reduktionskriterium: (4.29) Setze eine Basis von Kern ( G ) zu einer Matrix A zusammen. H ist positiv/ negativ (semi-)definit unter Gx = ¯0 g.d.w. A T HA ist positiv/ negativ (semi-)definit. ■ Determinantenkriterium: (4.30) Wenn alle Hauptminoren der Blockmatrix 0 G G T H zu einer Zeilen- und Spaltenzahl größer als 2 r das Vorzeichen ( − 1) r haben, dann ist H positiv definit unter Gx = ¯0. 11 d.h. zur Überprüfung von negativer Definitheit die nachfolgenden Kriterien auf − H anzuwenden. 12 sinngemäß: semidefinit und negativ definit unter Gx = ¯0 Mathematik 5 Folgen und Reihen 5.1 Folgen in den Wirtschaftswissenschaften Eine (Zahlen-)Folge 1 ( a n ) n ∈ N 0 ist eine Funktion mit Definitionsbereich N 0 und Wertebereich R, n → a n ∈ R , n ∈ N 0 (5.1) a n heißt Folgenglied bzw. Folgenterm zum Folgenindex n . Unter einer Punktfolge (im R k ) versteht man eine Folge ( a ( n ) ) n ∈ N 0 von Vektoren a ( n ) = ( a ( n ) 1 , . . . , a ( n ) k ) T ∈ R k (5.2) festgelegt durch k Koordinatenfolgen ( a ( n ) 1 ) n ∈ N 0 , . . . , ( a ( n ) k ) n ∈ N 0 . Summen- und Differenzenfolge Einer Folge ( a n ) n ∈ N 0 zugeordnet sind die ■ (Partial-)Summenfolge 2 n → s n : = ∑ n j =0 a j : = a 0 + a 1 + · · · + a n (5.3) ■ Differenzenfolge n → ∆ a n : = a n − a n − 1 (5.4) Indexverschiebung: ∑ n j = m a j = ∑ n − m j =0 a j + m ∀ m ∈ N 0 (5.5) Darstellungsformen ■ explizites Bildungsgesetz n → a n (Folgenterm), ■ implizites/ rekursives Bildungsgesetz a n + k = h ( a n , a n +1 , . . . , a n + k − 1 ) mit einer Funktion h : D ⊆ R k → R. Mit a 0 , . . . , a k − 1 gehen weitere Folgenglieder jeweils aus den k vorangehenden hervor. Monotone Folgen ( a n ) n ∈ N 0 heißt wenn für alle n ∈ N 0 gilt monoton wachsend (isoton): a n ≤ a n +1 (5.6) streng monoton wachsend (streng isoton): a n < a n +1 (5.7) monoton fallend (antiton): a n ≥ a n +1 (5.8) streng monoton fallend (streng antiton): a n > a n +1 (5.9) 1 Eine Folge kann als „unendlich langes“ Tupel ( a 0 , a 1 , a 2 , . . . ) aufgefasst werden. 2 sinngemäß ∑ n j = m a j : = a m + a m +1 + · · · + a n 30 5 Folgen und Reihen Beschränktheit Eine Folge ( a n ) n ∈ N 0 heißt ■ nach oben beschränkt, wenn es O ∈ R gibt, so dass ∀ n ∈ N 0 a n ≤ O (5.10) ■ nach unten beschränkt, wenn es U ∈ R gibt, so dass ∀ n ∈ N 0 a n ≥ U (5.11) ■ beschränkt, wenn sie nach oben und unten beschränkt ist. (5.12) Eine Punktfolge heißt beschränkt, wenn ihre Koordinatenfolgen beschränkt sind. Folgen in der Ökonomie Der Folgenindex n steht in der Ökonomie oft für Zeitpunkte am Ende oder Anfang einer Periode. Folgen beschreiben z.B. die Entwicklung/ den Zuwachs eines Kapitals, Preisentwicklungen, Angebots- oder Nachfragebereitschaften. Summenfolgen setzt man zur Untersuchung von Saldi, Differenzenfolgen bei Trendanalysen ein. Je nach Kontext werden Folgen oft auch für Indexbereiche N oder oder Z oder N k = { k, k + 1 , k + 2 , . . . } mit k ∈ Z erklärt 3 . 5.2 Grenzwerte Konvergenz Eine Folge ( a n ) n ∈ N 0 heißt konvergent mit Grenzwert a ∈ R, wenn für jedes ϵ > 0 fast alle 4 Folgenglieder im Intervall ] a − ϵ ; a + ϵ [ liegen, d.h. mit einem (von ϵ abhängigen) N 0 = N 0 ( ϵ ) gilt: | a n − a | < ϵ für alle n ≥ N 0 (5.13) Für den Grenzwert a schreibt man dann lim n →∞ a n = a. (5.14) Eine konvergente Folge mit Grenzwert Null heißt Nullfolge. Eine nicht konvergente Folge heißt divergent. Man schreibt lim n →∞ a n = ∞ bzw. lim n →∞ a n = −∞ (5.15) wenn a n > 0 bzw. a n < 0 für fast alle n und lim n →∞ 1 / a n = 0. Eine Punktfolge ( a ( n ) ) n ∈ N 0 = (( a ( n ) 1 , . . . , a ( n ) k ) T ) n ∈ N 0 heißt konvergent mit Grenzwert a = ( a 1 , . . . , a k ) T ∈ R k , wenn ihre k Koordinatenfolgen konvergent mit Grenzwerten a 1 , . . . , a k sind. Beschränktheit und Konvergenz Eine konvergente Folge ist beschränkt. Eine monotone und beschränkte Folge ist konvergent. Grenzwertsätze Gilt lim n →∞ a n = a und lim n →∞ b n = b , so folgt: ■ lim n →∞ ( a n ± b n ) = a ± b , (5.16) ■ lim n →∞ ( a n b n ) = ab , (5.17) ■ lim n →∞ ( a n / b n ) = a/ b (sofern b ̸ = 0). (5.18) 3 die folgenden Sachverhalte übertragen sich sinngemäß auf solche Index-Bereiche. 4 d.h. alle bis auf endlich viele Mathematik 5.3 Spezielle Folgen 31 Unendliche Reihe zu einer Folge ( a n ) n ∈ N 0 mit 5 s n : = n ∑ j =0 a j ist ∞ ∑ j =0 a j der Grenzwert n ∑ j =0 a j = lim n →∞ s n (5.19) Konvergenzkriterien für Reihen ∞ ∑ j =0 a j ist konvergent in folgenden Fällen ■ Majorantenkriterium: Falls | a j | ≤ | b j |∀ j und ∞ ∑ j =0 | b j | < ∞ (5.20) ■ Quotientenkriterium: Falls mit q ∈ ]0; 1[ gilt | a n +1 a n | ≤ q für fast alle n (5.21) ■ Quotientengrenzwertkriterium: Falls lim n →∞ | a n +1 a n | < 1 (5.22) 5.3 Spezielle Folgen Arithmetische Folge explizit: a n = α 0 + α 1 n (5.23) implizit: a 0 = α 0 , a n +1 = a n + α 1 für n > 0 (5.24) Eine arithmetische Folge ist ■ konstant für α 1 = 0 ■ streng monoton wachsend für α 1 > 0 ■ streng monoton fallend für α 1 < 0 Eine arithmetische Folge hat die ■ Differenzenfolge ∆ a n = α 1 (5.25) ■ Partialsummenfolge s n = α 0 ( n + 1) + α 1 n ( n +1) 2 (5.26) Ganzrationale bzw. rationale Folge vom Grad k ist eine Folge mit dem expliziten Bildungsgesetz n → a n = α 0 + α 1 n + α 2 n 2 + · · · + α k n k (5.27) mit α 0 , . . . , α k ∈ R und 6 α k ̸ = 0. Eine ganzrationale Folge ist divergent für k > 0, ihre Differenzenbzw. Partialsummenfolge ist rational vom Grad k − 1 bzw. k + 1. Neben (5.25) lauten weitere spezielle Summen: ■ n ∑ j =0 j = n ( n +1) 2 (5.28) ■ n ∑ j =0 j 2 = n ( n +1)(2 n +1) 6 (5.29) ■ n ∑ j =0 j 3 = n 2 ( n +1) 2 4 (5.30) ■ n ∑ j =0 j 4 = n ( n +1)(2 n +1) ( 3 n 2 +3 n − 1 ) 30 (5.31) 5 ( s n ) n ∈N 0 heißt Partialsummenfolge 6 Im Fall Grad 0 ist auch α 0 = 0, d.h. a n = 0 ∀ n möglich. 32 5 Folgen und Reihen Gebrochen-rationale Folge hat das explizite Bildungsgesetz n → a n = p n / q n (5.32) wobei p n = α 0 + α 1 n + · · · + α k n k bzw. q n = β 0 + β 1 n + · · · + β k n ℓ ganzrationale Folgen vom Grad k bzw. ℓ sind. Sie ist divergent für k > ℓ und konvergent mit Grenzwert 0 für k < ℓ bzw. α k / β k für k = ℓ Geometrische Folge explizit n → a n = c · p n , n ∈ N 0 , mit p ∈ R, c ∈ R , c ̸ = 0 (5.33) implizit a 0 = c, a n = a n − 1 · p für n > 0 (5.34) ■ Nullfolge für | p | < 1 ■ divergent für | p | > 1 ■ Geometrische Summe ( p ̸ = 1 , 0 ≤ k ≤ n ): n ∑ j = k p j = p k − p n +1 1 − p (5.35) ∞ ∑ j = k p j = p k 1 − p (5.36) Lineare Differenzengleichung erster Ordnung Für ( a n ) n ∈ N 0 mit Startwert a 0 und ∆ a n = a n − a n − 1 = a + ba n − 1 (mit b ̸ = 0) gilt a n = a 0 (1 + b ) n + a b ((1 + b ) n − 1) (5.37) 5.4 Potenzreihen Eine Potenzreihe (erzeugende Funktion von ( a n ) n ∈ N 0 ) ist eine unendliche Reihe f ( x ) = ∞ ∑ j =0 a j x j , x ∈ R (5.38) Konvergenzkriterium Ist n → a n r n beschränkt für ein r > 0, so konvergiert die Potenzreihe (5.38) für | x | < r . Ableiten von Potenzreihen Konvergiert f ( x ) = ∞ ∑ j =0 a j x j für | x | < r , so ist f für | x | < r differenzierbar, und es gilt 7 f ′ ( x ) = ∞ ∑ j =0 j · a j x j − 1 ∀ x ∈ ] − r ; r [ (5.39) 7 d.h. eine konvergente Potenzreihe darf gliedweise abgeleitet werden, um ihre Ableitung nach x zu berechnen. Mathematik 5.5 Finanzmathematische Folgen und Reihen 33 Koeffizientenvergleich Falls mit r 1 , r 2 ∈ R, r 1 < r 2 gilt ∞ ∑ n =0 a n x n = ∞ ∑ n =0 b n x n < ∞ für alle x ∈ ] r 1 ; r 2 [, so gilt a n = b n ∀ n ∈ N 0 . Wichtige Potenzreihen und Bereiche, in denen sie konvergieren Geometrische Reihe ∞ ∑ j =0 x j = 1 1 − x , ∞ ∑ j = k x j = x k 1 − x | x | < 1 (5.40) ∞ ∑ j =0 j · x j = x (1 − x ) 2 | x | < 1 (5.41) ∞ ∑ j =0 j 2 · x j = x (1 + x ) (1 − x ) 3 | x | < 1 (5.42) ∞ ∑ j =0 j 3 · x j = x (1 + 4 x + x 2 ) (1 − x ) 4 | x | < 1 (5.43) Exponentialreihe e x = 1 + x + x 2 2 + x 3 6 + · · · x ∈ R (5.44) eulersche Zahl e = 1 + 12 + 16 + 1 24 + · · · ≈ 2 , 718 . . . (5.45) Logarithmusreihe ln(1 + x ) = x − x 2 2 + x 3 3 ∓ · · · | x | < 1 (5.46) Sinusreihe sin( x ) = x − x 3 6 + x 5 120 ∓ · · · x ∈ R (5.47) Cosinusreihe cos( x ) = 1 − x 2 2 + x 4 24 ∓ · · · x ∈ R (5.48) Binomische Reihe (1 + x ) α = ∞ ∑ j =1 ( α j ) x k | x | < 1 (5.49) Binomialkoeffizient ( α j ) : = α ( α − 1) ··· ( α − j +1) j ! ∀ j ∈ N , ( α 0 ) : = 1 α > 0 (5.50) 5.5 Finanzmathematische Folgen und Reihen Kapitalentwicklung bei nachschüssiger Rechnung 8 (implizite Form): K n = q n K n − 1 + r n (5.51) mit Startkapital K 0 , Zinsfaktor q n = 1 + p n 100 , Zinsfuß p n > 0, Ein-/ Auszahlungen r n Explizite Kapitalformel Wenn Zinsfaktor q = 1 + p 100 und Ein-/ Auszahlung r unabhängig von n sind: K n = K 0 · q n + r · q n − 1 q − 1 , n ∈ N 0 (5.52) 8 Ein-/ Auszahlung am Ende einer Zinsperiode - es wird nur die nachschüssige Rechnung behandelt. 34 5 Folgen und Reihen Zinseszinsrechnung Für r = 0 und konstanten Zinsfuß p n = p K n = K 0 (1 + p/ 100) n , n ∈ N 0 (5.53) Unterjährige Verzinsung mit m Perioden pro Jahr, Jahreszinsfuß p und Periodenzinsfuß p m = p/ m . Kapital nach einem Jahr ist K 1 m = K 0 (1 + p m / 100) m (5.54) Stetige Verzinsung mit Jahreszinsfuß p nach einem Jahr K = K 0 · lim m →∞ (1 + p/ 100 m ) m = K 0 · e p/ 100 (5.55) Rentenrechnung Kapitalentwicklung bei Auszahlung r n > 0 ■ implizit: K n = q n K n − 1 − r n (5.56) ■ bei q n = q, r n = r explizit: K n = K 0 · q n − r · q n − 1 q − 1 (5.57) ewige Rente für K 0 ( q − 1) ≥ r , anderenfalls beträgt die Laufzeit ■ n = − log q (1 − K 0 ( q − 1) r ) Perioden bei Rente r , (5.58) ■ n Perioden bei Rente r = K 0 ( q − 1) q n q n − 1 . (5.59) Endwert einer Gegenwartszahlung r > 0 nach n identischen Zinsperioden r · q n − 1 (5.60) Rentenendwert von n solchen Zahlungen ist n − 1 ∑ j =0 rq j = r q n − 1 q − 1 (5.61) Barwert einer in Periode n getätigten Zahlung r > 0 ist r/ q n . Rentenbarwert der ewigen nachschüssigen Rente r > 0 P V e = ( r/ q + r/ q 2 + · · · ) = r q − 1 = r p/ 100 (5.62) Rentenbarwert einer n -maligen nachschüssigen Rente r > 0 P V = P V e (1 − 1 / q n ) (5.63) Kapitalwert ist Barwert einer Investition, d.h. N P V : = − I + n ∑ j =1 r j / q j + ℓ/ q n (5.64) mit Investitionsbetrag I > 0, Rückflüssen r 1 > 0 , . . . , r n > 0 und Liquidationserlös ℓ > 0 (nach Periode n ). Bei konstanten Rückflüssen r j = r > 0 und konstantem Zinsfaktor q ist N P V = − I + r q n · q n − 1 q − 1 + ℓ q n (5.65) Interner Zinsfuß einer Investition ist der Zinsfuß p = 100( q − 1), mit N P V = 0. Mathematik 6 Funktionen einer Variable 6.1 Allgemeine Sprechweisen und Eigenschaften Im folgenden sei f : D → R eine Funktion einer Variable mit Definitionsbereich 1 D = [ a ; b ]. Graph einer Funktion Menge aller Punkte ( x, f ( x )) mit x ∈ D, d.h. die Menge G f = { ( x | f ( x ) : x ∈ D } = { ( x | y ) : x ∈ D , y = f ( x ) } (6.1) Die Darstellung von G f in einem Koordinatensystem heißt ebenfalls Graph von f . x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x y 0 f ( x ) Bezeichnungen: Abszisse/ Ordinate (horizontale/ vertikale Achse). Ordinatenabschnitt (im Schaubild: y 0 ), Ursprung (0 | 0) (Schnittpunkt von Abszisse und Ordinate). Nullstelle von f : ein x ∈ D mit f ( x ) = 0. Im Schaubild: x 2 , x 5 Newton-Verfahren Für differenzierbares f lässt sich eine Nullstelle x 0 als Grenzwert der Folge ( a n ) n ∈ N 0 approximieren mit Startwert a 0 ∈ D ausreichend nahe bei x 0 und a n +1 = a n − f ( a n ) / f ′ ( a n ) , n ∈ N 0 (6.2) Monotonie 2 f heißt wenn für alle t 1 < t 2 gilt monoton wachsend (isoton) f ( t 1 ) ≤ f ( t 2 ) (6.3) streng monoton wachsend (streng isoton) f ( t 1 ) < f ( t 2 ) (6.4) monoton fallend (antiton) f ( t 1 ) ≥ f ( t 2 ) (6.5) streng monoton fallend (streng antiton) f ( t 1 ) > f ( t 2 ) (6.6) 1 Die nachfolgenden Begriffe, Aussagen übertragen sich sinngemäß auf Definitionsbereiche der Form ] a ; b [, ] − ∞ ; b ], [ a ; ∞ [, ] − ∞ ; ∞ [ usw. 2 Im Schaubild S.35 ist f in [ x 1 ; x 3 ] und [ x 5 ; x 6 ] (streng) isoton, in [ x 3 ; x 5 ] (streng) antiton. 36 6 Funktionen einer Variable Überprüfung der Monotonie: Falls f auf D =] a ; b [ differenzierbar ist, so gilt: ■ Schluss auf f -Monotonie: Wenn ∀ x ∈ D dann ist f f ′ ( x ) ≥ 0 isoton (6.7) f ′ ( x ) > 0 streng isoton (6.8) f ′ ( x ) ≤ 0 antiton (6.9) f ′ ( x ) < 0 streng antiton (6.10) ■ Schluss auf f ′ -Vorzeichenverhalten: Wenn f dann gilt ∀ x ∈ D isoton ist f ′ ( x ) ≥ 0 (6.11) antiton ist f ′ ( x ) ≥ 0 (6.12) ■ Spezialfall „konstante Funktion“: f konstant ⇔ f ′ ( x ) = 0 ∀ x ∈ D (6.13) Krümmungsverhalten 3 f heißt wenn ∀ t 1 , t 2 ∈ D mit t 1 ̸ = t 2 , ∀ λ ∈ ]0; 1[ gilt: konvex f ( λt 1 + (1 − λ ) t 2 ) ≤ λf ( t 1 ) + (1 − λ ) f ( t 2 ) (6.14) streng konvex f ( λt 1 + (1 − λ ) t 2 ) < λf ( t 1 ) + (1 − λ ) f ( t 2 ) (6.15) konkav f ( λt 1 + (1 − λ ) t 2 ) ≥ λf ( t 1 ) + (1 − λ ) f ( t 2 ) (6.16) streng konkav f ( λt 1 + (1 − λ ) t 2 ) > λf ( t 1 ) + (1 − λ ) f ( t 2 ) (6.17) Überprüfung der Krümmung: Wenn f auf D =] a ; b [ zweimal differenzierbar ist, so gilt: ■ Schluss auf f -Krümmung: Wenn ∀ x ∈ D dann ist f f ′′ ( x ) ≥ 0 konvex (6.18) f ′′ ( x ) > 0 streng konvex (6.19) f ′′ ( x ) ≤ 0 konkav (6.20) f ′′ ( x ) < 0 streng konkav (6.21) ■ Schluss auf f ′′ -Vorzeichenverhalten: Wenn f dann gilt ∀ x ∈ D konvex ist f ′′ ( x ) ≥ 0 (6.22) konkav ist f ′′ ( x ) ≥ 0 (6.23) ■ Spezialfall „lineare Funktion“: f linear ⇔ f ′′ ( x ) = 0 ∀ x ∈ D (6.24) lokale und globale Extrema 4 f hat in x ∈ D ein wenn ∀ ˜ x ∈ D gilt (globales bzw. absolutes) Minimum f ( x ) ≤ f (˜ x ) (6.25) (globales bzw. absolutes) Maximum f ( x ) ≥ f (˜ x ) (6.26) f hat in x ∈ D ein wenn ∃ ϵ > 0 ∀ ˜ x ∈ D mit | ˜ x − x | < ϵ gilt lokales Minimum f ( x ) ≤ f (˜ x ) (6.27) lokales Maximum f ( x ) ≥ f (˜ x ) (6.28) Extremum ist Oberbegriff für Minimum bzw. Maximum. Notwendige Bedingung für ein lokales Extremum einer differenzierbaren Funktion in einem offenen Intervall D =] a ; b [: ■ f hat in x ∈ D ein lokales Extremum ⇒ f ′ ( x ) = 0 (6.29) Hinreichende Bedingungen für lokales Extremum von f in x ∈ ] a ; b [ mit f ′ ( x ) = 0: ■ Bedingung erster Ordnung: Mit D ′ =] x − δ ; x + δ [ mit (geeignet kleinem) δ > 0: Wenn ∀ ˜ x ∈ D ′ Art des Extremums von f f ′ (˜ x )(˜ x − x ) ≥ 0 lokales Minimum (6.30) f ′ (˜ x )(˜ x − x ) ≤ 0 lokales Maximum (6.31) 3 Im Schaubild S.35 ist f in [ x 1 ; x 4 ] (streng) konkav, in [ x 4 ; x 6 ] (streng) konvex. 4 Im Schaubild S.35 hat f bezogen auf D = [ x 1 ; x 6 ] in x 1 ein globales Minimum und in x 3 ein globales Maximum sowie in x 3 , x 6 lokale Maxima und in x 1 , x 5 lokale Minima. Mathematik 6.2 Rationale Funktionen 37 ■ Bedingung zweiter Ordnung für 2 × differenzierbares f : Wenn Art des Extremums von f f ′′ ( x ) > 0 lokales Minimum (6.32) f ′′ ( x ) < 0 lokales Maximum (6.33) Extrema für konvexes/ konkaves f : Für differenzierbares f und x ∈ D mit f ′ ( x ) = 0: Wenn Art des Extremums von f in x f auf D konvex und f ′ ( x ) = 0 globales Minimum (6.34) f auf D konkav und f ′ ( x ) = 0 globales Maximum (6.35) Randwertvergleich f stetig, mit kleinstem lok. Minimum u , größtem lok. Maximum v und 5 : g 1 : = lim x →−∞ f ( x ), g 2 : = lim x →∞ f ( x ), x ∨ y = max( x, y ), x ∧ y = min( x, y ) Das Minimum liegt in wenn Maximum liegt in wenn D = [ a ; b ] { u, a, b } { u, a, b } (6.36) D = R u g 1 ∧ g 2 ≥ f ( u ) v g 1 ∨ g 2 ≤ f ( v ) (6.37) D = [ a ; ∞ [ { u, a } g 2 ≥ f ( u ) ∧ f ( a ) { v, a } g 2 ≤ f ( v ) ∨ f ( a ) (6.38) D =] − ∞ ; b ] { u, b } g 1 ≥ f ( u ) ∧ f ( b ) { v, b } g 1 ≤ f ( v ) ∨ f ( b ) (6.39) Wendestellen x ∈ D heißt Wendestelle von f , wenn es ein δ > 0 gibt, so dass f auf ] x − δ ; x ] und [ x ; x + δ [ unterschiedliches Krümmungsverhalten hat 6,7 . Notwendige Bedingung bei 2 × differenzierbarem f : ■ f hat in x ∈ D Wendestelle ⇒ f ′′ ( x ) = 0 (6.40) Hinreichende Bedingung bei 3 × differenzierbarem f : ■ f ′′ ( x ) = 0 und f ′′′ ( x ) ̸ = 0 ⇒ f hat in x ∈ D Wendestelle. (6.41) 6.2 Rationale Funktionen Ganzrationale Funktionen Normalform f ( x ) = p ( x ) = a 0 + a 1 x + · · · + a n x n mit a n ̸ = 0 (6.42) Linearform p ( x ) = a n ( x − x 1 ) · · · ( x − x n ) mit a n ̸ = 0 (6.43) Grad n (6.44) Leitkoeffizient a n (6.45) normiertes Polynom ein Polynom mit Leitkoeffizient 1 (6.46) Monom (vom Grad n ) p ( x ) = x n (6.47) Faktorisierung p ( x ) = p 1 ( x ) · p 2 ( x ) mit Polynomen p 1 , p 2 (6.48) Polynome vom Grad n = 0 sind konstant. Hier ist auch a 0 = 0 möglich. 5 es sei angenommen, dass die in den Aussagen genannten Grenzwerte jeweils existieren. 6 d.h. Wechsel von streng konvex nach streng konkav oder umgekehrt. 7 Im Schaubild S.35 ist x 4 eine Wendestelle von f . 38 6 Funktionen einer Variable Spezialfall lineare Funktion ( n = 1) Normalform f ( x ) = ax + b (6.49) Punkt-Steigungs-Form f ( x ) = a ( x − x 0 ) + y 0 mit ( x 0 | y 0 ) ∈ G f (6.50) Linearform f ( x ) = a ( x − x 1 ) mit x 1 = − b a (6.51) Spezialfall quadratische Funktion ( n = 2) Normalform f ( x ) = ax 2 + bx + c = a ( x 2 + px + q ) mit p = b/ a , q = c/ a (6.52) Scheitelpunktform f ( x ) = a ( x − x 0 ) 2 + y 0 (6.53) Scheitelpunkt ( x 0 | y 0 ) = ( − b 2 a | c − b 2 4 a ) (6.54) Linearform f ( x ) = a ( x − x 1 )( x − x 2 ) (nur für D = p 2 / 4 − q ≥ 0) (6.55) mit x 1 , 2 = − p 2 ± √ D Spezialfall kubische bzw. ertragsgesetzliche Funktion. ( n = 3) Normalform f ( x ) = ax 2 + bx + cx + d = a ( x 3 + Ax 2 + Bx + C ) mit A = b a , B = c a , C = d a (6.56) reduzierte Form f ( x ) = a ( z 3 + pz + q ) mit z = x + A 3 , p = B − A 2 3 , q = 2 A 3 27 − AB 3 + C (6.57) Koeffizientenvergleich Zwei Polynome in Normalform p 1 ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x + · · · + a n x n , p 2 ( x ) = b 0 + b 1 x + b 2 x 2 + · · · + b m x m sind genau dann gleich, wenn gilt: ■ n = grad ( p 1 ) = grad ( p 2 ) und a i = b i für alle i = 1 , . . . , n . (6.58) Gebrochen-rationale Funktion eine Funktion f ( x ) = p ( x ) q ( x ) (6.59) mit Polynomen p, q . Nullstellen von q sind Definitionslücken von f . Nullstellen eines Polynoms werden auch Wurzeln genannt. Nullstellen für Polynome vom Grad ≤ 3 f ( x ) = ax + b mit a ̸ = 0 x = − b / a (6.60) f ( x ) = x 2 + px + q mit Diskriminante ∆ = p 2 / 4 − q ≥ 0 x = − p / 2 ± √ ∆ (6.61) f ( x ) = x 3 + px + q mit Diskriminante ∆ = q 2 / 4 + p 3 / 27 ∆ = 0, p = 0 x = 0 (6.62) ∆ = 0, p ̸ = 0 x 1 = 3 q p , x 2 = − 3 q 2 p (6.63) ∆ > 0 x = u + v mit u 3 = − q 2 + √ ∆, v 3 = − q 2 − √ ∆ (6.64) ∆ < 0 ( ⇒ p < 0) x 1 = √ − 4 p/ 3 · cos( 13 arccos( − q 2 · √ − 27 / p 3 ) ) (6.65) x 2 = − √ − 4 p/ 3 · cos( 13 arccos( − q 2 · √ − 27 / p 3 ) + π 3 ) (6.66) x 3 = − √ − 4 p/ 3 · cos( 13 arccos( − q 2 · √ − 27 / p 3 ) − π 3 ) (6.67) Mathematik 6.2 Rationale Funktionen 39 Polynome mit ungeradem Grad haben eine reelle Nullstelle. Nullstellen von Polynomen ab Grad 3 werden i.d.R. numerisch angenähert, z.B. mit dem Newton-Verfahren, vgl. (6.2). Vielfachheit n p ( x 0 ) : = k der Nullstelle x 0 eines Polynoms p ( x ) = ˜ p ( x )( x − x 0 ) k , k ≥ 0, dabei ist ˜ p ein Polynom mit ˜ p ( x 0 ) ̸ = 0. Für k ≥ 2 hat p in x 0 ■ ein lokales Extremum, wenn k > 0 gerade ist. ■ eine Wendestelle, wenn k ungerade ist. Horner-Schema zur Faktorisierung und Funktionswertberechnung a n a n − 1 · · · a 1 a 0 x 0 0 b n − 1 x 0 · · · b 1 x 0 b 0 x 0 Summe b n − 1 b n − 2 · · · b 0 p ( x 0 ) (6.68) b n − 1 = a n , b m = a m +1 + b m +1 x 0 , p ( x 0 ) = a 0 + b 0 x 0 (6.69) p ( x ) = p ( x 0 ) + ( x − x 0 )( b 0 + b 1 x + · · · + b n − 1 x n − 1 ) (6.70) Polynomdivision: p ( x ) − p ( x 0 ) x − x 0 = b n − 1 x n − 1 + b n − 2 x n − 2 + · · · + b 1 x + b 0 (6.71) Nullstellen-Vielfachheit und Polstellen gebrochen-rationaler Funktionen Nullstellen sind immer die Nullstellen des Zählerpolynoms, die keine Definitionslücken sind. Eine gebrochen-rationale Funktion f ( x ) = p ( x ) q ( x ) = ( x − x 0 ) k v ( x ) ( x − x 0 ) ℓ w ( x ) mit Vielfachheiten k im Zähler, ℓ im Nenner hat im Fall k ≥ ℓ eine hebbare Definitionslücke in x 0 , hebbar durch ■ 0, wenn k > ℓ (6.72) ■ v ( x 0 ) / w ( x 0 ) wenn k = ℓ (6.73) Im Falle k < ℓ hat f in x 0 eine ■ Polstelle mit Vorzeichenwechsel, wenn ℓ − k gerade ist, (6.74) ■ Polstelle ohne Vorzeichenwechsel, wenn ℓ − k ungerade ist. (6.75) Partialbruchzerlegung Sind p, q Polynome mit grad ( p ) < grad ( q ) und q ( x ) = q 1 ( x ) q 2 ( x ) mit Polynomen q 1 , q 2 ohne gemeinsame Nullstelle, so gibt es Polynome p 1 , p 2 mit grad ( p i ) < grad ( q i ) und 8 p ( x ) q ( x ) = p 1 ( x ) q 1 ( x ) + p 2 ( x ) q 2 ( x ) (6.76) Spezialfall mit x 1 ̸ = x 2 : ax + b ( x − x 1 )( x − x 2 ) = A x − x 1 + B x − x 2 (6.77) mit A = ax 1 + b x 1 − x 2 , B = ax 2 + b x 2 − x 1 (6.78) 8 Ansatz: Koeffizientenvergleich von p ( x ) und p 1 ( x ) q 2 ( x ) + p 2 ( x ) q 1 ( x ). 40 6 Funktionen einer Variable Für eine rationale Funktion f ( x ) = p ( x ) / ( x − t ) k mit p ( t ) ̸ = 0 und grad ( p ) < k gibt es eine Partialbruchzerlegung der Form 9 p ( x ) ( x − t ) k = A 1 ( x − t ) k + A 2 ( x − t ) k − 1 + · · · + A k − 1 ( x − t ) 2 + A k ( x − t ) (6.79) dabei ist A j = p ( j − 1) ( t ) ( j − 1)! (6.80) Spezialfälle: ax + b ( x − t ) 2 = at + b ( x − t ) 2 + a x − t (6.81) ax 2 + bx + c ( x − t ) 3 = at 2 + bt + c ( x − t ) 3 + 2 at + b ( x − t ) 2 + a x − t (6.82) Ableitungen und Stammfunktionen Für Polynome f ( x ) = a 0 + a 1 x + · · · + a n x n : f ′ ( x ) = 0 + a 1 + 2 a 2 x · · · + na n x n − 1 (6.83) ∫ f ( x ) dx = a 0 x + 12 a 1 x 2 + · · · + 1 n +1 a n x n +1 (6.84) Für gebrochen-rationale Funktionen f ( x ) = p ( x ) / q ( x ) f ′ ( x ) = p ′ ( x ) q ( x ) − p ( x ) q ′ ( x ) q ( x ) 2 (6.85) ∫ f ( x ) dx = ln( q ( x )), falls p ( x ) = q ′ ( x ) (6.86) anderenfalls Partialbruchzerlegung und summandenweise Integration 6.3 Exponentialfunktion, Logarithmus und Potenz Rechenregeln für Exponentiale und Logarithmen ( a, b > 0 , x, y ∈ R , n ∈ N) a x + y = a x · a y (6.87) ( a x ) r = a r · x (6.88) a 0 = 1 (6.89) a 1 = a (6.90) a n = a · · · · · a ( n Faktoren) (6.91) b x = a x · log a ( b ) = e x · ln( b ) (6.92) log a ( x · y ) = log a ( x ) + log a ( y ) (6.93) log a ( x r ) = r · log a ( x ) (6.94) log a (1) = 0 (6.95) log a ( a ) = 1 (6.96) log a ( a x ) = x (6.97) log b ( x ) = log a ( x ) log a ( b ) = ln( x ) ln( b ) (6.98) Exponentialfunktion f : R → R, f ( x ) = a x zur Basis a > 0 ■ hat keine Nullstellen. (6.99) ■ ist konvex. (6.100) ■ ist streng isoton für a > 1 und streng antiton für a < 1. (6.101) ■ hat die Ableitung f ′ ( x ) = ln( a ) · a x (6.102) ■ hat Stammfunktion ∫ f ( x ) dx = 1 ln( a ) a x (6.103) 9 mit p (0) ( t ) = p ( t ) , p (1) ( t ) = p ′ ( t ) , p (2) ( t ) = p ′′ ( t ) , . . . , vgl. (7.60) Mathematik 6.3 Exponentialfunktion, Logarithmus und Potenz 41 (Eulersche) Exponentialfunktion (e-Funktion) x → f ( x ) = exp( x ) = e x (6.104) Ihre Basis ist die eulersche Zahl e = lim m →∞ (1 + 1 m ) m = ∞ ∑ k =0 1 k ! = 2 , 71828 . . . (6.105) Abschätzung: e x ≥ 1 + x ∀ x ∈ R (6.106) Die e -Funktion ist die einzige differenzierbare Funktion mit den beiden Eigenschaften ■ f (0) = 1 (6.107) ■ Ableitung f ′ ( x ) = f ( x ). (6.108) Stammfunktion der e-Funktion ist ∫ e x dx = e x (6.109) Logarithmusfunktion durch Umkehrung der Exponentialfunktion zur Basis a > 0: y = log a ( x ) ⇔ x = a y (6.110) Natürlicher Logarithmus f ( x ) = ln( x ) = log e ( x ) (6.111) Dekadischer Logarithmus lg( x ) = log 10 ( x ) (6.112) Dyadischer Logarithmus ld( x ) = log 2 ( x ) (6.113) Die Logarithmusfunktion x → f ( x ) = log a ( x ) ■ hat nur eine Nullstelle, log a (1) = 0 (6.114) ■ ist streng monoton wachsend und konkav für a > 1, (6.115) ■ ist streng monoton fallend und konvex für 0 < a < 1. (6.116) ■ hat die Ableitung f ′ ( x ) = 1 / ( x ln( a )) (6.117) ■ hat Stammfunktion ∫ f ( x ) dx = ( x ln( x ) − x ) / ln( a ) (6.118) Potenz und Wurzel: a p/ q = q √ a p für a > 0 , p ∈ N 0 , q ∈ N (6.119) Dabei ist 10 q √ a = a 1 / q (positive) Lösung der Gleichung x q = a . (6.120) Verträglichkeit von Potenz mit Produkt bzw. Summe ■ Produktbildung: ( xy ) a = x a · y a ∀ x, y > 0 , a ∈ R . (6.121) 10 q -te Wurzel von a > 0 42 6 Funktionen einer Variable ■ Summenbildung: Binomische Formel ( x + y ) n = n ∑ k =0 ( n k ) x k y n − k ∀ x, y ∈ R , n ∈ N (6.122) Dabei ist für n ∈ N 0 , k ∈ { 0 , . . . , n } der Binomialkoeffizient 11 ( n k ) : = n ! k ! ( n − k )! = n ( n − 1) · · · ( n − k + 1) k ( k − 1) · · · 2 · 1 (6.123) Die Funktion x → f ( x ) = x a , x > 0 (bzw. x ≥ 0 für a > 0) (6.124) mit a ∈ R heißt Potenzfunktion (Cobb-Douglas-Funktion). Die Potenzfunktion (nur) für a > 0 die Nullstelle x = 0 und ist ■ streng monoton wachsend und konvex für a > 0, (6.125) ■ streng monoton fallend und konkav für für a < 0. (6.126) Ableitung und Stammfunktion ■ Ableitung der Potenzfunktion ist f ′ ( x ) = ax a − 1 (6.127) ■ Stammfunktion für a ∈ R ist ∫ x a dx = { x a +1 / ( a + 1) a ̸ = − 1 ln( x ) a = 1 (6.128) 6.4 Trigonometrische Funktionen Sinus und Cosinus beschreiben die Koordinaten von Punkten des Einheitskreises in Abhängigkeit vom Winkel 12 φ ∈ [0; 2 π ], Tangens und Cotangens die Verhältnisse der Koordinaten. tan( ϕ ) = sin( ϕ ) / cos( ϕ ) cot( ϕ ) = cos( ϕ ) / sin( ϕ ) 11 lies: „ n über k “ 12 Die Kreiskonstante π ≈ 3 , 1415927 ist der halbe Umfang des Kreises mit Radius 1 und Grundlage der Winkelmessung im Bogenmaß. Hier entspricht jeder Winkel der Länge des dem Winkel zugehörigen Kreisbogens, z.B. der Vollkreiswinkel dem Umfang 2 π des Einheitskreises und der rechte Winkel dem Viertelkreisbogen mit der Länge π/ 2. Mathematik 6.6 Betrag und Betragsfunktion 43 Funktionswerttabelle für Werte von x im Bogenmaß und Gradmaß 13 α ∈ [0 ◦ ; 360 ◦ ]: x 0 π 4 π 3 π 2 2 π 3 3 π 4 π 5 π 4 4 π 3 3 π 2 5 π 3 7 π 4 2 π α 0 ◦ 45 ◦ 60 ◦ 90 ◦ 120 ◦ 135 ◦ 180 ◦ 225 ◦ 240 ◦ 270 ◦ 300 ◦ 315 ◦ 360 ◦ sin( x ) 0 1 / √ 2 √ 3 / 2 1 √ 3 / 2 1 / √ 2 0 − 1 / √ 2 − √ 3 / 2 − 1 − √ 3 / 2 − 1 / √ 2 0 cos( x ) 1 1 / √ 2 1 / 2 0 − 1 / 2 − 1 / √ 2 − 1 − 1 / √ 2 − 1 / 2 0 1 / 2 1 / √ 2 1 tan( x ) 0 1 √ 3 −√ 3 − 1 0 1 √ 3 −√ 3 − 1 0 cot( x ) 1 1 / √ 3 0 − 1 / √ 3 − 1 1 1 / √ 3 0 − 1 / √ 3 − 1 ■ Phasenverschiebung: sin( x ) = cos( π/ 2 − x ) (6.129) ■ 2 π -Periodizität: sin( x + 2 π ) = sin( x ) , cos( x + 2 π ) = cos( x ) (6.130) ■ Symmetrieeigenschaften: cos( − x ) = cos( x ) , sin( − x ) = − sin( x ) (6.131) ■ Trigonometrischer Pythagoras sin 2 ( x ) + cos 2 ( x ) = 1 (6.132) ■ Additionstheoreme: sin( x + y ) = sin( x ) cos( y ) + sin( y ) cos( x ) (6.133) cos( x + y ) = cos( x ) cos( y ) − sin( x ) sin( y ) (6.134) Umkehrfunktionen sin und tan sind umkehrbar auf ] − π 2 ; π 2 [, cos und cot sind umkehrbar auf ]0; π [. Die entsprechenden Umkehrfunktionen heißen arcsin , arccos , arctan , arccot. Ableitungen und Stammfunktionen f ( x ) = sin( x ) cos( x ) tan( x ) cot( x ) f ′ ( x ) = cos( x ) − sin( x ) 1 cos 2 ( x ) − 1 sin 2 ( x ) ∫ f ( x ) dx = − cos( x ) sin( x ) − ln | cos( x ) | ln | sin( x ) | f ( x ) = arcsin( x ) arccos( x ) arctan(x) arccot(x) f ′ ( x ) = 1 √ 1 − x 2 − 1 √ 1 − x 2 1 1 + x 2 − 1 1 + x 2 ∫ f ( x ) dx = x arcsin( x ) x arccos( x ) x arctan( x ) x arccot( x ) + √ 1 − x 2 −√ 1 − x 2 − 12 ln(1 + x 2 ) + 12 ln(1 + x 2 ) 6.5 Gamma-Funktion Γ( x ) = ∫ ∞ 0 t x − 1 e − t dt für x > 0 (6.135) ■ Γ( x + 1) = x · Γ( x ) für x > 0 (6.136) ■ Γ( n + 1) = n ! für n ∈ N (6.137) ■ Γ(1) = 1, Γ( 12 ) = √ π (6.138) 13 Umrechnung von x (Bogenmaß) in α (Gradmaß): α = 180 x/ π . 44 6 Funktionen einer Variable 6.6 Betrag und Betragsfunktion (Absolut-)Betrag | x | = { x für x ≥ 0 − x für x < 0 (6.139) Für x, y ∈ R gilt: ■ | x | = max( − x, x ) (6.140) ■ | xy | = | x | · | y | (6.141) ■ | x + y | ≤ | x | + | y | (Dreiecksungleichung) (6.142) Die Betragsfunktion x → | x | ist stetig und (nur) in x = 0 nicht differenzierbar. Vorzeichenfunktion: sgn( x ) = { x/ | x | für x ̸ = 0 0 für x = 0 , sgn( x ) ∈ {− 1 , 0 , 1 } (6.143) 6.7 Indikatorfunktion Für A ⊆ R: 1 A : R → { 0 , 1 } , 1 A ( x ) = { 1 falls x ∈ A 0 falls x / ∈ A (6.144) Regeln für die Indikatorfunktion Für Mengen A, B ⊆ R und alle x ∈ R gilt: Komplement 1 A c ( x ) = 1 − 1 A ( ω ) (6.145) Schnitt 1 A ∩ B ( x ) = 1 A ( x )1 B ( x ) = min(1 A ( x ) , 1 B ( x ) (6.146) Vereinigung 1 A ∪ B ( x ) = max(1 A ( x ) , 1 B ( x )) = 1 A ( x ) + 1 B ( x ) − 1 A ∩ B ( x ) (6.147) Symm. Differenz 1 A ∆ B ( x ) = | 1 A ( x ) − 1 B ( x ) | (6.148) Mathematik 7 Differentialrechnung 7.1 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen Funktionsgrenzwert von f : D ⊆ R → R in x 0 ∈ D ist 1,2 lim x → x 0 f ( x ) : = y ∈ R, (7.1) wenn für jede Folge ( x n ) n ∈ N in D mit lim n →∞ x n = x 0 gilt lim n →∞ f ( x n ) = y . Funktionsgrenzwert gegen ∞ ist 3 lim x →∞ f ( x ) : = y ∈ R, (7.2) wenn für jede Folge ( x n ) n ∈ N mit lim n →∞ x n = ∞ gilt lim n →∞ f ( x n ) = y Grenzwertsätze Falls lim x → x 0 f i ( x ) = y i ∈ R, i = 1 , 2 für Funktionen f 1 , f 2 , so folgt 4 : ■ lim x → x 0 ( f 1 ( x ) ± f 2 ( x )) = y 1 ± y 2 , (7.3) ■ lim x → x 0 ( f 1 ( x ) f 2 ( x )) = y 1 y 2 . (7.4) ■ lim x → x 0 ( f 1 ( x ) / f 2 ( x )) = y 1 / y 2 , sofern y 2 ̸ = 0. (7.5) ■ lim x → x 0 h ( f 1 ( x )) = h ( y 1 ) für stetige Funktion h mit W f 1 ⊆ D h ˙ (7.6) Spezielle Funktionsgrenzwerte Für Polynome p ( x ) = ( x − x 0 ) n p ˜ p ( x ) mit Leitkoeffizient a , n p = n p ( x 0 ), q ( x ) = ( x − x 0 ) n q ˜ q ( x ) mit Leitkoeffizient b , n q = n q ( x 0 ): lim x →∞ f ( x ) f ( x ) = p ( x ) / q ( x ) grad ( p ) < grad ( q ) 0 (7.7) grad ( p ) = grad ( q ) a/ b (7.8) grad ( p ) > grad ( q ) divergent (7.9) f ( x ) = p ( x ) / e x 0 (7.10) f ( x ) = x k ln( x ) L’Hospital-Regel, wenn Grenzwerte im f ( x ) = g ( x ) h ( x ) lim x →∞ f ′ ( x ) g ′ ( x ) (7.11) lim x → x 0 f ( x ) n p > n q 0 (7.12) n p = n q ˜ p ( x 0 ) / ˜ q ( x 0 ) (7.13) n p < n q divergent (7.14) für x 0 = 0 0 (7.15) Zähler/ Nenner beide 0 (beide ±∞ ) sind: lim x → x 0 f ′ ( x ) g ′ ( x ) (7.16) 1 Sinngemäß auch uneigentliche Grenzwerte lim x → x 0 f ( x ) = ∞ bzw. = −∞ (bestimmte Divergenz). 2 Sinngemäß auch für Funktionen mehrerer Variablen, dann werden Zahlenfolgen durch Punktfolgen ersetzt. 3 Sinngemäß auch Grenzwerte lim x →∞ f ( x ) = ∞ bzw. = −∞ (bestimmte Divergenz). 4 Alle Aussagen gelten sinngemäß auch für uneigentliche Grenzwerte, d.h. bei Übergängen x → ∞ , x → −∞ 46 7 Differentialrechnung Stetigkeit f : D → R heißt stetig in x (0) ∈ D, wenn lim x → x (0) f ( x ) = f ( x (0) ). (7.17) Innerhalb ihrer Definitionsbereiche 5,6 D jeweils stetig sind ■ Polynomfunktionen, Exponential- und Logarithmusfunktion, Potenzfunktionen, alle trigonometrischen Funktionen, ■ Koordinatenfunktionen ( x 1 , . . . , x n ) → x j , j ∈ { 1 , . . . , n } , ■ die Terme f ± g , f · g , f/ g zu stetigen Funktionen f, g : D → R, ■ Verkettungen f ◦ g in x (0) , wenn g in x (0) und f in g ( x (0) ) stetig ist. 7.2 Ableitungen bei Funktionen einer Variable Eine Funktion f : ] a ; b [ → R heißt differenzierbar in x ∈ ] a ; b [, wenn die Ableitung von f in x existiert, d.h. der Grenzwert f ′ ( x ) = lim h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h (7.18) Ableitungsregeln Für f, g : D → R differenzierbar und c ∈ R gilt: Faktorregel ( cf ) ′ ( x ) = cf ′ ( x ) (7.19) Summenregel ( f + g ) ′ ( x ) = f ′ ( x ) + g ′ ( x ) (7.20) Produktregel ( f g ) ′ ( x ) = f ′ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′ ( x ) (7.21) Quotientenregel ( f g ) ′ ( x ) = f ′ ( x ) g ( x ) − f ( x ) g ′ ( x ) g ( x ) 2 (7.22) Kettenregel ( h ◦ f ) ′ ( x ) = h ′ ( f ( x )) f ′ ( x ) für h : f (D) → R differenzierbar (7.23) Regeln übertragen sich sinngemäß auf partielle Ableitungen. Häufige Ableitungen und Stammfunktionen f ( x ) f ′ ( x ) ∫ f ( x ) dx f ( x ) f ′ ( x ) ∫ f ( x ) dx x a ax a − 1 x a +1 / ( a + 1) ln( x ) 1 x x ln( x ) − x a x a x ln( a ) a x / ln( a ) sin( x ) cos( x ) − cos( x ) e x e x e x cos( x ) − sin( x ) sin( x ) log a ( x ) 1 x ln( a ) x ln( x ) − x ln( a ) tan( x ) 1 cos 2 ( x ) − ln | cos( x ) | Weitere Ableitungen und Stammfunktionen vgl. Abschnitte 6.2, 6.3 und 6.4. Stammfunktionen sind eindeutig bis auf eine additive Konstante c ∈ R, siehe (8.2). 7.3 Partielle Ableitung und Differential Gegeben eine Funktion f : D ⊆ R n → R 5 Dabei jeweils D ⊆ R oder D ⊆ R n 6 d.h. mit Ausnahme von Definitionslücken Mathematik 7.5 Ableitungsbegriffe auf Grundlage des Differentials 47 Partielle Ableitung ∂f ∂x j ( x 1 , . . . , x n ) = lim h → 0 f ( x 1 ,...,x j + h,...,x n ) − f ( x 1 ,...,x j ,...,x n ) h (7.24) (falls Grenzwert existiert). Andere Schreibweisen: D j f ( x 1 , . . . , x n ) bzw. ∂f ∂x j bzw. ∂f/ ∂x j Gradient ∇ f ( x ) = ∇ f ( x 1 , . . . , x n ) = ∂f ∂x 1 , . . . , ∂f ∂x n T (7.25) f heißt partiell differenzierbar in D, wenn ∇ f ( x ) für alle x ∈ D existiert Differential von f : D → R in innerem Punkt x ∈ D ist ein Vektor D f ( x ) ∈ R n mit lim h → ¯0 f ( x + h ) − f ( x ) − ⟨ Df ( x ) , h ⟩ ∥ h ∥ = 0 (7.26) f heißt (total) differenzierbar in D, wenn (7.26) für alle x ∈ D gilt. Jacobi-Matrix einer mehrwertigen Funktion f = ( f 1 , . . . , f m ) T : D → R m ist die Matrix J f ( x ) : = ∂f ∂x : = ∂f 1 / ∂x 1 · · · ∂f 1 / ∂x n ... ... ∂f m / ∂x 1 · · · ∂f m / ∂x n (7.27) Zusammenhänge ■ Ist f in D total differenzierbar, dann auch partiell differenzierbar, und ∀ x ∈ D gilt Df ( x ) = ∇ f ( x ) (7.28) ■ Ist f in D partiell differenzierbar mit stetigen partiellen Ableitungen ∂f/ ∂x j , dann ist f in D total differenzierbar. 7.4 Mehrdimensionale Kettenregeln Für f : D ⊆ R n → R und h : f (D) → R, bzw. g 1 , . . . , g n : [ a ; b ] → R differenzierbar mit ( g 1 ( t ) , . . . , g n ( t )) T ∈ D gilt: ∂ ( h ◦ f ) ∂x j ( x 1 , . . . , x n ) = h ′ ( f ( x 1 , . . . , x n )) · ∂f ∂x j ( x 1 , . . . , x n ) (7.29) ∂ ( f ◦ ( h 1 , . . . , h n )) ∂t ( t ) = n k =1 ∂f ∂x k h 1 ( t ) , . . . , h n ( t ) · h ′ k ( t ) (7.30) 7.5 Ableitungsbegriffe auf Grundlage des Differentials f : D → R sei in x (0) = ( x (0) 1 , . . . , x (0) n ) T ∈ D differenzierbar, y 0 = f ( x (0) ). 48 7 Differentialrechnung Richtungsableitung von f in x (0) in Richtung d ∈ R n ist Df ( x (0) , d ) : = lim h → 0 f ( x (0) + h · d ) − f ( x (0) ) h (7.31) = 〈 ∇ f ( x (0) ) , d 〉 = D 1 f ( x (0) ) · d 1 + · · · + D n f ( x (0) ) · d n (7.32) ■ Der steilste Anstieg Df ( x (0) , d ) unter ∥ d ∥ = 1 ist ∥∇ f ( x (0) ) ∥ . Die Richtung des steilsten Anstiegs 7 von f in x (0) ist d = ∇ f ( x (0) ) (7.33) ■ Für jede Richtung d mit ⟨∇ f ( x (0) ) , d ⟩ = 0 ist { x (0) + td : t ∈ R } eine Tangente an die Niveaumenge (Iso-Quante) N f ( y 0 ) : = f − 1 ( { y 0 } ) = { x ∈ D : f ( x ) = y 0 } (7.34) (Partielle) Elastizität von f nach x j in x (0) im Fall von f ( x (0) ) ̸ = 0 ist ϵ f,j ( x (0) ) : = x (0) j · D j f ( x (0) ) f ( x (0) ) (7.35) Hat f nur eine Variable x , so schreibt man ϵ f ( x ) = x · f ′ ( x ) f ( x ) (7.36) Elastizitätsgradient von f in x (0) ist ϵ f ( x (0) ) : = ( ϵ f, 1 ( x (0) ) , . . . , ϵ f,n ( x (0) )) T (7.37) Richtungselastizität von f in x (0) in Richtung d = ( d 1 , . . . , d n ) T ∈ R n ist ϵ f ( x (0) , d ) : = 〈 ϵ f ( x (0) ) , d 〉 = ϵ f, 1 ( x (0) ) · d 1 + · · · + ϵ f,n ( x (0) ) · d n (7.38) Ändern sich die Inputs x (0) j jeweils um d j Prozent (mit d j ≈ 0), so ändert sich der Output f ( x (0) ) um etwa ϵ f ( x (0) , d ) Prozent. Implizite Ableitungen Für ∂f ∂x k ( x (0) ) ̸ = 0 und y 0 = f ( x (0) ) wird die Variable x k auf der Niveaumenge N f ( y 0 ) (lokal) zu einer differenzierbaren Funktion (implizite Funktion) x k = y ( x 1 , . . . , x k − 1 , x k +1 , . . . , x n ) mit partiellen (impliziten) Ableitungen ∂x k ∂x j ( x (0) ) = − ∂f ∂x j ( x (0) ) / ∂f ∂x k ( x (0) ) (7.39) Substitutionsgrenzrate (GRS) von f zwischen x k und x j z = GRS ( x k | x j ) : = ∂x k ∂x j ( x (0) ) = − ∂f ∂x j ( x (0) ) / ∂f ∂x k ( x (0) ) (7.40) sie beschreibt die Änderungsrate für x k , wenn f ( x ) = y 0 bei Änderung von x j konstant bleiben soll, es gilt 8,9 für ∆ ≈ 0 f ( . . . , x j + ∆ , . . . , x k + z · ∆ , . . . ) ≈ y 0 (7.41) 7 jeder andere Vektor ˜ d = αd mit α > 0 zeigt ebenfalls in die Richtung des steilsten Anstiegs bzw. mit α < 0 in die Richtung des steilsten Abstiegs. 8 hier für j < k , sinngemäß auch für j > k 9 d.h. ändert sich x j zu x j + ∆, so muss x k zu x k + ∆ · GRS ( x k | x j ) geändert werden, um den Wert y 0 näherungsweise zu halten. Mathematik 7.7 Ableitungen zweiter Ordnung 49 Substitutionselastizität zwischen x k und x j ist die Elastizität von t = x k / x j als Funktion von z = GRS ( x k | x j ), d.h. SEL ( x k | x j ) : = ϵ x k / x j ( GRS ( x k | x j )) (7.42) = − ∂f ∂x j · ∂f ∂x k · ( x j · ∂f ∂x j + x k · ∂f ∂x k )/ ( x j · x k ) ∂ 2 f ∂x 2 j · ( ∂f ∂x k ) 2 − 2 · ∂ 2 f ∂x j x k · ∂f ∂x j · ∂f ∂x k + ∂ 2 f ∂x 2 k · ( ∂f ∂x j ) 2 (7.43) Ableitungskonzepte für Funktionen f ( x, y ) von zwei Variablen Konzept Berechnung Linearisierungen (für ∆ x , ∆ y , ∆ ≈ 0) Gradient ∇ f ( x, y ) = ( a 1 | a 2 ) f ( x + ∆ x , y ) ≈ f ( x, y ) + a 1 ∆ x (7.44) f ( x , y + ∆ y ) ≈ f ( x, y ) + a 2 ∆ y (7.45) Differential Df ( x, y ) = ( a 1 | a 2 ) f ( x +∆ x , y +∆ y ) ≈ f ( x, y )+ a 1 ∆ x + a 2 ∆ y (7.46) Richtungsableitung Df (x , d) = a 1 d 1 + a 2 d 2 mit x = ( x | y ), d = ( d 1 | d 2 ) f ( x + ∆ d 1 , y + ∆ d 2 ) ≈ f ( x, y ) + ∆ · ( a 1 d 1 + a 2 d 2 ) (7.47) Elastiziϵ f ( x, y ) = ( e 1 | e 2 ) f ( x +∆ x ,y +∆ y ) − f ( x,y ) f ( x,y ) ≈ e 1 ∆ x x + e 2 ∆ y y (7.48) tätsgradient = ( a 1 x f ( x,y ) | a 2 y f ( x,y ) ) Richtungselastizität ϵ f (x , d) = e 1 d 1 + e 2 d 2 mit x = ( x | y ), d = ( d 1 | d 2 ) f ((1 + ∆ d 1 ) x, (1 + ∆ d 2 ) y ) ≈ (1 + ∆( e 1 d 1 + e 2 d 2 )) · f ( x, y ) (7.49) Substitutionsgrenzrate GRS ( y | x ) = y ′ ( x ) = − a 1 a 2 y ( x + ∆) ≈ y ( x ) + GRS ( y | x ) · ∆ (7.50) 7.6 Homogene Funktionen Eine Funktion f : D ⊆ R n → R heißt homogen vom Grad 10 r , wenn für alle x ∈ R n und λ ∈ R mit λx ∈ D gilt f ( λx ) = λ r f ( x ) (7.51) Ist f : D → R differenzierbar und r -homogen, so gilt: ■ x → Df ( x, d ) ist homogen vom Grad r − 1 ∀ d ∈ R n . (7.52) ■ Df ( x, x ) = rf ( x ) für alle x ∈ D (Euler-Formel). (7.53) ■ ϵ f, 1 ( x ) + · · · + ϵ f,n ( x ) = r für alle x ∈ D. (7.54) CD-Funktionen f : ]0; ∞ [ n → R , f ( x 1 , . . . , x n ) = c · x a 1 1 · · · x a n n mit 11 c, a 1 , . . . , a n ∈ R ■ sind homogen vom Grad r = a 1 + · · · + a n , (7.55) ■ GRS ( x k | x j ) = − a j a k · x k x j und SEL ( x k | x j ) = 1. (7.56) CES-Funktionen f ( x 1 , . . . , x n ) = q √ c 0 + c 1 x q 1 + · · · + c n x qn mit c i ≥ 0, q ̸ = 0 ■ sind 1-homogen für c 0 = 0, (7.57) ■ GRS ( x k | x j ) = − a j a k ( x k x j ) 1 − q und SEL ( x k | x j ) = 1 1 − q für q ̸ = 1. (7.58) 10 linear homogen: homogen vom Grad r = 1. 11 Definitionsbereich [0; ∞ [ n falls a i > 0 ∀ i . 50 7 Differentialrechnung 7.7 Ableitungen zweiter Ordnung Wird die partielle Ableitung ∂f/ ∂x i einer Funktion f : D → R noch einmal nach einer Variablen x j abgeleitet, so erhält man eine partielle Ableitung 2. Ordnung und schreibt 12 D ij f ( x ) bzw. ∂ 2 f ∂x i ∂x j (7.59) Bei einer Variablen ist f ′′ die zweite Ableitung von f und Ableitung von f ′ , f ′′′ die Ableitung von f ′′ usw. Allgemein ist die n -te Ableitung f ( n ) erklärt durch f (0) ( x ) = f ( x ) , f ( n +1) ( x ) = ( f ( n ) ) ′ ( x ) , n ∈ N 0 , x ∈ D (7.60) Hesse-Matrix und Richtungskrümmung Bei zweimal stetig partiell differenzierbaren 13 Funktionen ist die Hesse-Matrix symmetrisch: H f ( x ) : = D 11 f ( x ) · · · D 1 n f ( x ) ... ... D n 1 f ( x ) · · · D nn f ( x ) = ∂ 2 f ∂x 1 ∂x 1 · · · ∂ 2 f ∂x 1 ∂x n ... ... ∂ 2 f ∂x n ∂x 1 · · · ∂ 2 f ∂x n ∂x n (7.61) Taylor-Entwicklung zweiter Ordnung: lim d → ¯0 f ( x + d ) − f ( x ) − ⟨∇ f ( x ) , d ⟩ − 12 ⟨ d, H f ( x ) d ⟩ ∥ d ∥ 2 = 0. (7.62) Richtungskrümmung von f in x in Richtung d Matrixschreibweise: ⟨ d, H f ( x ) d ⟩ (7.63) ausgeschrieben: n i =1 n j =1 d i d j · D ij f ( x ) (7.64) speziell für zwei Variablen: d 21 · ∂ 2 f ∂x 21 + 2 d 1 d 2 · ∂ 2 f ∂x 1 ∂x 2 + d 22 · ∂ 2 f ∂x 22 (7.65) Konvexe und konkave Funktionen Falls D ⊆ R n konvex ist und gilt f ( λx + (1 − λ ) y ) ≤ λf ( x ) + (1 − λ ) f ( y ) ∀ x, y ∈ D , λ ∈ ]0; 1[ (bzw. ≥ ) (7.66) so heißt f : D → R konvex (bzw.) konkav. Eine 2-mal stetig partiell differenzierbare Funktion ist genau konvex (konkav), wenn H f ( x ) positiv (negativ) semidefinit ist ∀ x ∈ D. Eine hinreichende Bedingung für Konvexität (bzw. Konkavität) von f lautet: H f ( x ) ist positiv definit (bzw. negativ definit) ∀ x ∈ D. Spezialfall Funktion f ( x, y ) von zwei Variablen Gilt jeweils für alle ( x, y ) ∈ D ■ ∂ 2 f ∂x 2 > 0 (bzw. < 0) (7.67) ■ ∂ 2 f ∂x 2 · ∂ 2 f ∂y 2 − ∂ 2 f ∂x∂y 2 ≥ 0 (7.68) so ist f konvex (bzw. konkav). 12 sinngemäß: ∂ 2 f/ ∂x 2 j beschreibt zweimaliges Ableiten nach x j . 13 d.h. die partiellen Ableitungen 2. Ordnung sind stetig. Mathematik 8 Integralrechnung 8.1 Stammfunktionen und unbestimmte Integrale F : D ⊆ R → R heißt Stammfunktion von f : D → R, wenn F differenzierbar ist mit F ′ ( x ) = f ( x ) (8.1) für alle x ∈ D. Man nennt F auch das unbestimmte Integral von f und schreibt 1 F ( x ) = ∫ f ( x ) dx bzw. F ( x ) = ∫ f ( x ) dx + c (8.2) Integrationsregeln Für f, g, h : D → R mit Stammfunktionen F, G, H und c ∈ R gilt 2 : Faktorregel: ∫ cf ( x ) dx = c ∫ f ( x ) dx (8.3) Summenregel: ∫ ( f ( x ) + g ( x )) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx (8.4) Partielle Integration: ∫ f ( x ) G ( x ) dx = F ( x ) G ( x ) − ∫ F ( x ) g ( x ) dx (8.5) Substitutionsregel ∫ h ( F ( x )) F ′ ( x ) dx = H ( F ( x )) (8.6) Tabellenmethode zur partiellen Integration ∫ u ( x ) v ( x ) dx = k − 1 ∑ j =0 ( − 1) j · u ( j ) ( x ) v ( − j − 1) ( x ) dx + ( − 1) k · ∫ u ( k ) ( x ) v ( − k ) ( x ) dx (8.7) gemäß folgendem Schema: D × I + u (0) ( x ) = u ( x ) v (0) ( x ) = v ( x ) − u (1) ( x ) = ∂ ∂x u (0) ( x ) v ( − 1) ( x ) = ∫ v (0) ( x ) dx + u (2) ( x ) = ∂ ∂x u (1) ( x ) v ( − 2) ( x ) = ∫ v ( − 1) ( x ) dx ... ... ... ± u ( k ) ( x ) = ∂ ∂x u ( k − 1) ( x ) v ( − k ) ( x ) = ∫ v ( − k − 1) ( x ) dx 1 Letzteres drückt aus, dass die Stammfunktion nur bis auf eine additive Konstante c ∈ R eindeutig bestimmt ist. In diesem Sinne können alle in Kapitel 6 und 7 aufgeführten Stammfunktionen durch Addition einer beliebigen Konstanten variiert werden. 2 Substitutionsregel, falls die Verkettung h ◦ F möglich ist 52 8 Integralrechnung 8.2 Bestimmte Integrale Das bestimmte Integral einer (meist stetigen) Funktion f : [ a ; b ] → R ist erklärt als ∫ b a f ( x ) dx : = lim m →∞ m ∑ i =1 f ( x mi )( b mi − a mi ) (8.8) mit Zerlegungsfolge ([ a m 1 ; b m 1 ] , . . . , [ a m 1 ; b m 1 ]) m ∈ N und x mi ∈ [ a mi ; b mi ], d.h. ■ a = a m 1 , b = b mm ■ a mi ≤ b mi = a m,i +1 ■ lim m →∞ F m = 0, vgl. Schaubild 3 : f heißt (Riemann-)integrierbar, wenn der Grenzwert in (8.8) für jede mögliche Zerlegungsfolge existiert und stets den gleichen Wert annimmt (z.B. für stetiges f ). Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Jede stetige Funktion f : [ a ; b ] → R besitzt eine Stammfunktion F : [ a ; b ] → R und für jede Stammfunktion gilt ∫ b a f ( x ) dx = [ F ( x ) ] b a : = F ( b ) − F ( a ) (8.9) Eine kleinere Übersicht von Stammfunktionen befindet sich auf S. 46. Einige weitere Stammfunktionen sind in den Abschnitten 6.2, 6.3 und 6.4 beschrieben. Integrationsregeln Für Funktionen f, g, h mit Stammfunktionen F, G, H und c ∈ R gilt: Faktorregel: ∫ b a cf ( x ) dx = c ∫ b a f ( x ) dx (8.10) Summenregel: ∫ b a ( f ( x ) + g ( x )) dx = ∫ b a f ( x ) dx + ∫ b a g ( x ) dx (8.11) Partielle Integration: ∫ b a f ( x ) G ( x ) dx = [ F ( x ) G ( x )] ba − ∫ b a F ( x ) g ( x ) dx (8.12) Substitutionsregel: ∫ b a h ( F ( x )) F ′ ( x ) dx = ∫ F ( b ) F ( a ) H ( z ) dz (8.13) Uneigentliche Integrale sind erklärt als Grenzwerte ∫ b −∞ f ( x ) dx : = lim a →−∞ ∫ b a f ( x ) dx (8.14) ∫ ∞ a f ( x ) dx : = lim b →∞ ∫ b a f ( x ) dx (8.15) ∫ ∞ −∞ f ( x ) dx : = ∫ x 0 −∞ f ( x ) dx + ∫ ∞ x 0 f ( x ) dx (8.16) mit beliebigem 4 x 0 ∈ R. Es gelten sinngemäß 5 die Regeln (8.10) bis (8.13). 3 Dabei heißt F m = F m (( a 1 , . . . , a m ) , ( b 1 , . . . , b m )) = max( b 1 − a 1 , . . . , b m − a m ) die Feinheit der Zerlegung von [ a ; b ] in Teilintervalle [ a 1 , b 1 ] , . . . , [ a m , b m ]. 4 d.h. falls der Wert für ein x 0 ∈ R existiert, so ergibt sich der selbe Wert auch für jedes andere x 0 ∈ R. 5 d.h. bei Existenz der Grenzwerte Mathematik 8.3 Mehrfachintegrale 53 Numerische Integration ∫ b a f ( x ) dx ist mit g ( x ) = f ( a + ( b − a ) x ) näherungsweise Trapezregel 1 2 n · ( g (0) + 2 ∑ n − 1 i =2 g ( i − 1 n ) + g (1) ) (8.17) Kepler’sche Fassregel 16 · ( g (0) + 4 g ( 12 ) + g (1) ) (8.18) Simpson-Regel 1 6 n · ( g (0) + 4 ∑ n i =1 g ( 2 i − 1 2 n ) + 2 ∑ n − 1 i =1 g ( i 2 n ) + g (1) ) (8.19) 8.3 Mehrfachintegrale Für eine (meist stetige) Funktion f : D ⊆ R n → R mit Quader D = [ a 1 , b 1 ] × · · · × [ a n , b n ] ist das Mehrfachintegral erklärt als Grenzwert 6 ∫ D f ( x ) dx = ∫ D f ( x 1 , . . . , x n ) dx 1 . . . dx n = lim m →∞ ∑ m i =1 f ( x mi ) V ( Q mi ) (8.20) mit Quader-Zerlegungsfolge ( Q m 1 , . . . , Q mm ) m ∈ N ∀ m, i und x mi ∈ Q mi , d.h. 7 ■ ∀ m ist D = Q m 1 ∪ · · · ∪ Q mm ■ ∀ m, i ̸ = j ist Q mi ∩ Q mj = ∅ ■ lim m →∞ F ( Q m 1 , . . . , Q mm )) = 0 . 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 2 4 6 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 2 4 6 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 2 4 6 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 2 4 6 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 f heißt (Riemann)-integrierbar, wenn der o.g. Grenzwert für jede mögliche Zerlegungsfolge existiert und stets den gleichen Wert annimmt (z.B. bei stetigem f ). Uneigentliche Mehrfachintegrale Die Berechnung kann oft 8 auf unbeschränkte Quader bis hin zu D = R n übertragen werden, dazu notwendig: Grenzwertübergänge, z.B. ∫ R n f ( x ) dx = lim K →∞ ∫ [ − K ; K ] n f ( x ) dx, ∫ [0; ∞ [ n f ( x ) dx = lim K →∞ ∫ [0; K ] n f ( x ) dx (8.21) Berechnung durch iterierte Einfachintegrale bei stetigem f : ∫ D f ( x ) dx 1 . . . dx n = ∫ b 1 a 1 (∫ [ a 2 ; b 2 ] ×···× [ a n ; b n ] f ( x 1 , . . . , x n ) dx 2 . . . dx n ) dx 1 (8.22) gilt auch bei anderer Integrationsreihenfolge und für f ≥ 0 sinngemäß auch bei Quadern mit (teilweise) uneigentlichen Integrationsgrenzen. Substitutionsregel D , E ⊆ R n seien offen, f : D → R eine stetige Funktion und ■ g : E → D sei injektiv und differenzierbar mit Jacobi-Matrix J g ( x ). ■ det( J g ( x )) sei auf E stets positiv oder stets negativ. Für jede kompakte Menge T ⊆ E, deren Indikatorfunktion 1 T integrierbar ist 9 , gilt ∫ g (T) f ( x ) dx = ∫ T f ( g ( t )) | det J g ( t ) | dt (8.23) 6 Dabei ist V ( Q mi ) das Volumen des Quaders Q mi . 7 Dabei heißt F ( Q 1 , . . . , Q m ) = max( D ∞ ( Q 1 ) , . . . , D ∞ ( Q m )) Feinheit der Zerlegung von D in die Quader Q 1 , . . . , Q m mit Maximum-Durchmessern D ∞ ( Q 1 ) , . . . , D ∞ ( Q n ). 8 z.B. für f ≥ 0. 9 Beispiele solcher Jordan-Mengen T sind beschränkte Quader und Kugeln. 54 8 Integralrechnung Doppelintegral über Rechteck D = [ a 1 ; b 1 ] × [ a 2 ; b 2 ] bei stetiger Funktionen ∫ D f ( x 1 , x 2 ) dx 1 dx 2 = ∫ b 1 a 1 (∫ b 2 a 2 f ( x 1 , x 2 ) dx 2 ) dx 1 = ∫ b 2 a 2 (∫ b 1 a 1 f ( x 1 , x 2 ) dx 1 ) dx 2 (8.24) F : D → R heißt unbestimmtes Integral von f , wenn F zweimal stetig partiell differenzierbar ist mit D 12 F ( x, y ) = D 21 F ( x, y ) = f ( x, y ) ∀ ( x, y ) T ∈ D (8.25) Es gilt dann ∫ D f ( x ) dx = F ( b 1 , b 2 ) − F ( a 1 , b 2 ) − F ( b 1 , a 2 ) + F ( a 1 , a 2 ) (8.26) Normalgebiet mit vertikalen Schnitt-Intervallen 10 : D = { ( x, y ) T ∈ R 2 : a 1 ≤ x ≤ b 1 , a 2 ( x ) ≤ y ≤ b 2 ( x ) } (8.27) mit a 1 , b 1 ∈ R und stetigen Funktionen a 2 , b 2 : [ a ; b ] → R mit a 2 ( x ) ≤ b 2 ( x ): ∫ D f ( x, y ) dxdy = ∫ b 1 a 1 ( ∫ b 2 ( x ) a 2 ( x ) f ( x, y ) dy ) dx (8.28) Normalgebiet mit horizontalen Schnitt-Intervallen 10 : D = { ( x, y ) T ∈ R 2 : a 2 ≤ y ≤ b 2 , a 1 ( y ) ≤ x ≤ b 1 ( y ) } (8.29) mit a 2 , b 2 ∈ R und stetigen Funktionen a 1 , b 1 : [ a ; b ] → R mit a 1 ( y ) ≤ b 1 ( y ): ∫ D f ( x, y ) dxdy = ∫ b 2 a 2 ( ∫ b 1 ( y ) a 1 ( y ) f ( x, y ) dx ) dy (8.30) Kreisringsektor K = { ( r cos( ϕ ) , r sin( ϕ )) T ∈ R 2 : r 1 ≤ r ≤ r 2 , ϕ 1 ≤ ϕ ≤ ϕ 2 } (8.31) wobei 0 ≤ r 1 ≤ r 2 , 0 ≤ ϕ 1 ≤ ϕ 2 < 2 π und f : K → R stetig. ∫ K f ( x, y ) dxdy = ∫ ϕ 2 ϕ 1 ∫ r 2 r 1 f ( r cos ϕ, r sin ϕ ) · r drdϕ (8.32) 10 sinngemäß bei unbeschränkten Normalgebieten mittels uneigentlichen Integralen, z.B. im Spezialfall f ( x, y ) ≥ 0 ∀ x, y . Mathematik 9 Optimierung differenzierbarer Funktionen Viele quantitative Fragestellungen der Ökonomie lassen sich als Optimierungsaufgaben mit Funktionen f, g 1 , . . . , g m , h 1 , . . . , h k : D ⊆ R n → R (9.1) in n Variablen formulieren. Im Folgenden seien alle auftretenden Funktionen differenzierbar. 9.1 Optimierung ohne Nebenbedingungen Man sagt, f hat in x (0) ein globales Minimum (bzw. Maximum), wenn f ( x (0) ) ≤ f ( x ) ∀ x ∈ D (bzw. f ( x (0) ) ≥ f ( x ) ∀ x ∈ D). Gilt dies nur für alle x in einer Umgebung B r ( x (0) ) ⊆ D mit r > 0, so spricht man von einem lokalen Minimum (bzw. Maximum). Notwendige Bedingung für lokales Extremum Wenn f in einem inneren Punkt x (0) ∈ D ein lokales Extremum hat, so sind dort alle partiellen Ableitungen Null: ∇ f ( x (0) ) = ¯0 (9.2) Ein solcher Punkt x (0) ∈ D heißt kritischer Punkt. Spezialfälle 1 : ■ 2 Variablen: ∂f ∂x = ∂f ∂y = 0 (9.3) ■ 3 Variablen: ∂f ∂x = ∂f ∂y = ∂f ∂z = 0 (9.4) Hinreichende Bedingung für lokales Extremum Ist H f ( x (0) ) in einem kritischen Punkt x (0) positiv (negativ) definit 2 , dann hat f in x (0) ein lokales Minimum (Maximum). Spezialfall 2 Variablen: In einem kritischen Punkt mit ∂ 2 f ∂x 2 > 0 (bzw. < 0) und ∂ 2 f ∂x 2 · ∂ 2 f ∂y 2 − ( ∂ 2 f ∂xy ) 2 > 0 (9.5) hat f ein lokales Minimum (bzw. ein lokales Maximum). Konvexe Optimierung Eine konvexe (konkave) Funktion hat im kritischen Punkt ein globales Minimum (Maximum). 1 Angenommen wird, dass f eine Funktion der zwei Variablen x, y bzw. der drei Variablen x, y, z ist. 2 vgl. Abschnitt 4.7 56 9 Optimierung differenzierbarer Funktionen 9.2 Optimierung mit Nebenbedingungen Vorgegeben: m Nebenbedingungen (NB) g 1 ( x ) = 0 , . . . , g m ( x ) = 0 in =-Form und k Nebenbedingungen h 1 ( x ) ≤ 0 , . . . , h k ( x ) ≤ 0 in ≤ -Form ■ Ein Punkt x ∈ D heißt zulässig, wenn er alle NB erfüllt. 3 ■ Eine Ungleichungs-NB h ℓ ( x ) ≤ 0 heißt aktiv in x (0) , wenn h ℓ ( x (0) ) = 0 und inaktiv in x (0) , wenn h ℓ ( x (0) ) < 0. f hat im x (0) ∈ D ein globales Minimum (Maximum) unter den Nebenbedingungen, wenn für alle zulässigen x ∈ D gilt: f ( x (0) ) ≤ f ( x ) ( f ( x (0) ) ≥ f ( x )) (9.6) Gilt (9.2) nur für alle zulässigen x in einer Umgebung B r ( x (0) ) ⊆ D mit r > 0, so spricht man von einem lokalen Minimum (Maximum) unter den Nebenbedingungen. Lagrange-Funktion L ( x, λ, µ ) : = f ( x ) + ∑ m j =1 λ j g j ( x ) + ∑ k ℓ =1 µ ℓ h ℓ ( x ) (9.7) mit λ = ( λ 1 , . . . , λ m ) T ∈ R m und µ = ( µ 1 , . . . , µ k ) T ∈ R k heißt Lagrange-Funktion mit den Lagrange-Multiplikatoren (LM) 4 λ 1 , . . . , λ m und µ 1 , . . . , µ k . Kuhn-Tucker-Bedingungen Die KT-Bedingungen lauten 5,6 mit LM λ 1 , . . . , λ m ∈ R, µ 1 , . . . , µ k ≥ 0, und x ∈ D ∂L ∂x j ( x, λ, µ ) = ∂f ∂x j ( x ) + m ∑ i =1 λ i · ∂g i ∂x j ( x ) + k ∑ ℓ =1 µ ℓ · ∂h ℓ ∂x j ( x ) = 0 , j = 1 , . . . , n (9.8) µ r h r ( x ) = 0, d.h. µ r = 0 oder h r ( x ) ≤ 0 ist aktiv in x , r = 1 , . . . , k (9.9) (9.9) sind die Bedingungen vom komplementären Schlupf (BKS). Ein zulässiges x ∈ D mit (9.8) und (9.9) heißt kritischer Punkt. Notwendige Bedingung für lokales Minimum Hat f in x (0) ein lokales Minimum unter NB mit l.u. NB-Gradienten, so gelten in x = x (0) die KT-Bedingungen (9.8) und (9.9). Bei einem lokalem Maximum gelten die KT-Bedingungen sinngemäß mit µ 1 , . . . , µ k ≤ 0. Spezialfälle der Kuhn-Tucker-Bedingungen 7 : ■ n = 2 , m = 1 , k = 0: ∂f ∂x + λ 1 ∂g 1 ∂x = ∂f ∂y + λ 1 ∂g 1 ∂y = 0 (9.10) ■ n = 3 , m = 1 , k = 0: ∂f ∂x + λ 1 ∂g 1 ∂x = ∂f ∂y + λ 1 ∂g 1 ∂y = ∂f ∂z + λ 1 ∂g 1 ∂z = 0 (9.11) ■ n = 3 , m = 2 , k = 0: ∂f ∂x + λ 1 ∂g 1 ∂x + λ 2 ∂g 2 ∂x = ∂f ∂y + λ 1 ∂g 1 ∂y + λ 2 ∂g 2 ∂y = ∂f ∂z + λ 1 ∂g 1 ∂z + λ 2 ∂g 2 ∂z = 0 (9.12) ■ n = 2 , m = 0 , k = 1: ∂f ∂x + µ 1 ∂h 1 ∂x = ∂f ∂y + µ 1 ∂h 1 ∂y = 0, µ 1 = 0 ∨ h 1 ( x, y ) = 0 (9.13) 3 Im Folgenden werden nur zulässige Punkte x, x (0) , x (1) , . . . ∈ D betrachtet. 4 Im engeren Sinne werden spricht man nur dann von Lagrange-Multiplikatoren, wenn die Kuhn-Tucker-Bedingungen erfüllt sind. 5 Bei NB ausschließlich in =-Form entfallen (9.9) und in (9.8) die Summanden zu µ ℓ . bei NB ausschließlich in ≤ -Form entfallen in (9.8) die Summanden zu λ j . 6 Bei NB ausschließlich in Gleichungsform lauten die KT-Bedingungen dann ∇ L ( x, λ ) = ¯0. 7 Angenommen wird, dass f, g 1 , g 2 Funktionen der zwei Variablen x, y bzw. der drei Variablen x, y, z sind. Mathematik 9.3 Optimierung bei exogenen Parametern 57 Hinreichende Bedingung für lokales Minimum f hat in x (0) ein lokales Minimum unter den NB, wenn gilt: ■ Die KT-Bedingungen (9.8) und (9.9) sind in x = x (0) erfüllt, x = x (0) ist zulässig. ■ Die Matrix H f ( x (0) ) + ∑ m i =1 λ i H g i ( x (0) ) + ∑ ℓ ∈L µ ℓ H h ℓ ( x (0) ) (9.14) ist positiv definit 8 unter Gx = ¯0, wobei sich G zeilenweise aus den transponierten Gradienten ∇ g 1 ( x (0) ) . . . , ∇ g m ( x (0) ), und ∇ h ℓ ( x (0) ), ℓ ∈ L , zusammensetzt. Dabei ist L die Menge der in x (0) aktiven NB 9 mit µ ℓ > 0. Spezialfall n = 2 , m = 1 Gilt mit L ( x, y, λ 1 ) = f ( x, y ) + λ 1 g 1 ( x, y ) im kritischen Punkt ∂ 2 L ∂x 2 · ( ∂g 1 ∂y ) 2 − 2 · ∂ 2 L ∂x∂y · ∂g 1 ∂x · ∂g 1 ∂y + ∂ 2 L ∂y 2 · ( ∂g 1 ∂x ) 2 > 0 (9.15) (bzw. < 0), dann hat f unter der Nebenbedingung g 1 ( x, y ) = 0 ein lokales Minimum (bzw. ein lokales Maximum). Randwertvergleich für globale Extrema Auf D = [ a 1 ; b 1 ] × · · · × [ a n ; b n ] hat f ein globales Minimum und ein globales Maximum unter den NB. Jedes globale Extremum x von f ist (zulässiger) Randpunkt von D ( x j ∈ { a j , b j } für ein j ) oder erfüllt die Bedingungen 10 in (9.8) und (9.9). Satz von Kuhn-Tucker, Konvexe Optimierung f hat in x (0) ein globales Minimum unter den NB, wenn gleichzeitig gilt: ■ Es liegen nur Ungleichungs-NB vor, f, h 1 , . . . , h k sind konvex. ■ Slater-Bedingung: ∃ x (1) ∈ D, in dem alle NB inaktiv sind. ■ Die KT-Bedingungen (9.8) und (9.9) sind erfüllt. 9.3 Optimierung bei exogenen Parametern Im Rahmen der komparativen Statik werden Optimierungsprobleme unter Gleichungs- NB in Abhängigkeit von exogenen Variablen α = ( α 1 , . . . , α r ) T behandelt. Zu diesen exogenen Variablen zählen z.B. die Sollwerte y i von NB g i ( x ) = y i ⇔ g i ( x ) − y i = 0. Optimalwert bzw. die zugehörigen Entscheidungsvariablen bzw. LM der NB 11 V ( α ) : = inf { f ( x, α ) : g i ( x, α ) = y i ∀ i } (9.16) bzw. x j ( α ) bzw. λ i ( α ). Envelope-Theorem ■ ∂V ∂α s ( α ) = ∂f ∂α s ( x ( α )) + m ∑ i =1 λ i ( α ) ∂g i ∂α s ( x ( α )). (9.17) ■ Schattenpreis-Eigenschaft des LM: ∂V ∂y i = − λ i ( α ). (9.18) 8 vgl. Abschnitt 4.7 9 d.h. die Menge der zuhörigen Indizes ℓ aus { 1 , . . . , k } 10 unter der Annahme, dass die Gradienten der NB l.u. sind. 11 Annahme dabei: f ( x ) = f ( x, α ), g i ( x ) = g i ( x, α ) hängen differenzierbar von x und α ab. Statistik 10 Deskriptive Statistik 10.1 Univariate Stichprobe x 1 , . . . , x n ∈ R Empirische Verteilung Kategorielle Daten aus K Kategorien A 1 , . . . , A K werden beschrieben durch absolute Häufigkeiten: H ( A k ) = |{ i : x i = A k }| , 1 ≤ k ≤ K (10.1) relative Häufigkeiten: h ( A k ) = H ( A k ) / n, 1 ≤ k ≤ K (10.2) empirische Verteilungsfunktion metrischer Daten ˆ F n ( x ) = |{ i : x i ≤ x }| n (10.3) Kennzahlen bei nominalen Attrituten Modus: mode ( x ) = A i 0 mit h ( A i 0 ) = max i h ( A i ) (10.4) Entropie: H( x ) = − log( k i =1 h ( A i )(1 − h ( A i ))) (10.5) Kennzahlen für Lage/ Zentrum bei metrischen Attributen 1 Arithmetisches Mittel ¯ x = x 1 + · · · + x n n (10.6) Geometrisches Mittel ¯ x g = n √ x 1 · · · x n = exp(log( x )), x i > 0 (10.7) Harmonisches Mittel ¯ x h = n n i =1 1 x i = 1 / (1 / ¯ x ), x i > 0 (10.8) (Stichproben-)Quantil q α ( x ) ∗ = 12 ( x nα + x nα +1 ) nα ∈ N 0 x ⌈ nα ⌉ nα / ∈ N 0 (10.9) falls nα ∈ N 0 , kommt prinzipiell jeder Wert im Intervall [ x nα ; x nα +1 ] in Frage. Unteres (Stichproben-)Quartil q 0 . 25 ( x ) (10.10) (Stichproben-)Median med ( x ) = q 0 . 5 ( x ) (10.11) Oberes (Stichproben-)Quartil q 0 . 75 ( x ) (10.12) Sprechweisen: Terzil ( α = k 3 ), Quintil ( α = k 5 ), Dezil ( α = k 10 ), Perzentil ( α = k 100 ) Quartilmitte ( q 0 . 25 ( x ) + q 0 . 75 ( x )) / 2 (10.13) Für die pythagoreischen Mittel (arithmetisches, geometrisches, harmonisches Mittel) gilt ¯ x ≥ ¯ x g ≥ ¯ x h (10.14) 1 Gleichungen mit ∗ = setzen x 1 ≤ x 2 ≤ · · · ≤ x n voraus. 60 10 Deskriptive Statistik Kennzahlen für Skala/ Streuung metrischer Attribute 2 Stichprobenvarianz: σ 2 ( x ) = 1 n − 1 n ∑ i =1 ( x i − ¯ x ) 2 = 1 n − 1 ( n ∑ i =1 x 2 i − n ¯ x 2 ) (10.15) Stichprobenstreuung σ ( x ) (10.16) Grundgesamtheitsvarianz: var ( x ) = σ n ( x ) = 1 n n ∑ i =1 ( x i − ¯ x ) 2 (10.17) Medianabweichung M A ( x ) = 1 n ∑ n i =1 | x i − med ( x ) | (10.18) Gini-Differenz: GD ( x ) = 1 n 2 ∑ i,j | x i − x j | (10.19) Konzentrationsmaße 3 Mit v i ∗ = ∑ i j =1 x j / ∑ n j =1 x j Lorenzkurve Lineare Interpolation der ( 1 i , v i ), i = 1 , . . . , n . (10.20) Gini-Koeffizient G ( x ) = GD ( x ) / 2¯ x = 1 n 2 ¯ x ∑ n i =2 ∑ i − 1 j =1 ( x i − x j ) (10.21) Lorenz-Konzentration L ( x ) ∗ = 1 − 2 n ∑ n i =1 ( v i − v i − 1 2 + v i − 1 ) (10.22) L ( x ) gibt den Inhalt der Fläche unter der Lorenzkurve an, L ( x ) ∗ = G ( x ) (10.23) 10.2 Bivariate Stichprobe x 1 , . . . , x n , y 1 , . . . , y n ∈ R Empirische Verteilung für kategorielle Attribute mit Klassen A 1 , . . . , A K , B 1 , . . . , B L und Kontingenztafel 4 B 1 · · · B L A 1 H 11 · · · H 1 L H 1 · ... ... ... ... A K H K 1 · · · H KL H K · H · 1 · · · H · L n B 1 · · · B L A 1 h 11 · · · h 1 L h 1 · ... ... ... ... A K h K 1 · · · h KL h K · h · 1 · · · h · L n (10.24) ■ absolute Zellhäufigkeiten H kℓ = |{ i : x i = A k , y i = B ℓ }| , (10.25) ■ relative Zellhäufigkeiten h kℓ = H kℓ / n , (10.26) Ordinale Attribute (Klassen gemäß Indizierung geordnet 5 ) x -Ränge R xi = R i ( x 1 , . . . , x n ) = |{ j ∈ { 1 , . . . , n } : x j ⪯ x i } (10.27) y -Ränge R yi = R i ( y 1 , . . . , y n ) = |{ j ∈ { 1 , . . . , n } : y j ⪯ y i }| (10.28) Konkordanzen C = |{ i < j : x i ≺ x j , y i ≺ y j }| = ∑ kℓ H kℓ H + kℓ (10.29) Diskordanzen D = |{ i < j : x i ≺ x j , y j ≺ y i }| = ∑ kℓ H kℓ H − kℓ (10.30) Dabei sind H + kℓ = ∑ k ′ >k,ℓ ′ >ℓ H k ′ ℓ ′ , H − kℓ = ∑ k ′ >k,ℓ ′ <ℓ H k ′ ℓ ′ Empirische Verteilungsfunktion für metrische Attribute ˆ F n ( x, y ) = |{ i ∈ { 1 , . . . , n } : x i ≤ x, y i ≤ y }| n (10.31) 2 Andere Bezeichnung für Stichprobenbzw. Grundgesamtheitsvarianz: σ 2 n − 1 ( x )) bzw. σ 2 n ( x ) 3 Gleichungen mit ∗ = setzen x 1 ≤ x 2 ≤ · · · ≤ x n voraus. 4 mit Zeilen- und Spaltensummen H k · , H · ℓ h k · = H k · / n , h · ℓ = H · ℓ / n 5 d.h. z.B. den Klassen A 1 , . . . , A K sind Rangzahlen r i = r ( A i ) zugeordnet mit r 1 ≤ · · · ≤ r K . Es gelte x i ⪯ x j ⇔ r i ≤ r j und x i ≺ x j ⇔ r ( x i ) < r ( x j ) (sinngemäß für das andere Merkmal). Statistik 10.3 Multivariate Stichproben 61 Zusammenhangskennzahlen bei nominalen Attributen Chi-Quadrat-Statistik χ 2 = K k =1 L ℓ =1 ( H kℓ − E kℓ ) 2 E kℓ = n K k =1 L ℓ =1 H 2 kℓ H k · H · ℓ − 1 (10.32) wobei E kℓ = n · h k · · h · ℓ = H k · H · ℓ / n Cramér’s V K C = χ 2 / ( n (min( K, L ) − 1)) (10.33) Kontingenzindex K P = χ 2 χ 2 + n , K ∗ P = K P √ (min( K,L ) − 1) / min ( K,L ) (10.34) Zusammenhangskennzahlen bei ordinalen Attributen Kendall’s tau-a 2( C − D ) ( n ( n − 1)) (10.35) Kendall’s tau-b 2( C − D ) ( n 2 − k H 2 k · )( n 2 − ℓ H · ℓ ) (10.36) Kendall’s tau-c 2( C − D ) ( n 2 · (min( K, L ) − 1) / min( K, L )) (10.37) Spearman-Korrelation: ■ ρ S ( x, y ) = ρ P ( r, s ) = ( 1 n n i =1 R xi R yi − ¯ R x ¯ R y ) var ( R x ) var ( R y ). (10.38) ■ Ohne Bindungen: ρ S ( x, y ) = 1 − 6 n i =1 ( R xi − R yi ) 2 ( n ( n 2 − 1)) (10.39) Zusammenhangskennzahlen bei metrischen Attributen Stichprobenkovarianz cov ( x, y ) : = 1 n − 1 n i =1 ( x i − ¯ x )( y i − ¯ y ) (10.40) Bravais-Pearson-Korrelation ρ P ( x, y ) : = cov ( x,y ) σ n − 1 ( x ) σ n − 1 ( y ) = 1 n n i =1 x i y i − ¯ x ¯ y var ( x ) var ( y ) (10.41) 10.3 Multivariate Stichproben Gegeben ein multivariater Datensatz x 11 · · · x 1 k ... ... x n 1 · · · x nk mit n Fällen mit Werten x i · = ( x i 1 , . . . , x ik ) und k Merkmalen bzw. Attributen mit Werten x · ℓ = ( x 1 ℓ , . . . , x nℓ ) Zentroid der Merkmalsmenge E ⊆ { 1 , . . . , n } ¯ x E : = i ∈ E x i · / | E | (10.42) für durchweg metrische Merkmale. Kennzahlen für Unähnlichkeit (metrische Attribute) , i, j ∈ { 1 , . . . , k } ■ Minkowski ( p > 0) D ij = k ℓ =1 | x iℓ − x jℓ | p 1 / p (10.43) Spezialfälle: Euklid ( p = 2), (City-)Block/ Manhattan ( p = 1) ■ Tschebyscheff max {| x iℓ − x jℓ | : l = 1 , . . . , k } (10.44) 62 10 Deskriptive Statistik Kennzahlen für Ähnlichkeit (binäre Attribute) Gemeinsames Auftreten: x iℓ x jℓ 1 0 1 a b 0 c d (10.45) Damit dann sim( x i · , x j · ) = ( a + d ) / ( a + b + c + d ) M(atching) a/ ( a + b + c ) S(imilarity) (10.46) 10.4 Agglomeratives Clustern von n Objekten Grundalgorithmus [1] Start: Gegeben Partition C n = {{ 1 } , { 2 } , . . . , { n }} und Distanzmatrix dist( C n ) = ( D ij ) i,j . Setze m = n − 1 und lege eine Linkage-Option fest gemäß (10.4) [2] Für eine gegebene Partition C m +1 = { C 1 , . . . C m +1 } mit Cluster-Distanzmatrix dist( C m +1 ) = ( d ( m +1) ij ) i,j ∈{ 1 ,...,m +1 } : [a] Bestimme den Homogenitätsgrad der Partition h m = min ij d ( m +1) ij = d ( m +1) rs (10.47) mit geeigneten r, s . [b] Neue Partition: C m = C m +1 ∪ { C r ∪ C s } \ { C r , C s } [c] Falls m > 0: Bestimme dist( C m ) = ( d ( m ) ij ) i,j ∈{ 1 ,...,m } gemäß der Linkage-Option für dist( E, F ). [d] Ersetze m durch m − 1 und gehe zu [2] falls m > 0, sonst zu [3]. [3] Lege „plausible“ Partition auf Grundlage von h 1 , . . . , h n − 1 fest. Linkage-Optionen für Cluster-Distanzmatrix d ( A, B ) d ( A ∪ B, C ) single min i ∈ A,j ∈ B D ij min( d ( A, C ) , d ( B, C )) (10.48) complete max i ∈ A,j ∈ B D ij max( d ( A, C ) , d ( B, C )) (10.49) average i ∈ A,j ∈ B D ij | A || B | | A | d ( A, C ) + | B | d ( B, C ) | A | + | B | (10.50) centroid ∥ ¯ x A − ¯ x B ∥ 2 | A | d ( A, C ) + | B | d ( B, C ) | A | + | B | − | A || B | d ( A, B ) ( | A | + | B | ) 2 (10.51) Ward ∥ ¯ x A − ¯ x B ∥ 2 1 / | A | + 1 / | B | ( | A | + | C | ) d ( A, C ) + ( | B | + | C | ) d ( B, C ) | A | + | B | + | C | (10.52) − | C | d ( B, C ) ( | A | + | B | ) 2 Statistik 11 Wahrscheinlichkeitsrechnung 11.1 Kombinatorik Fakultät 0! = 1 und für n ∈ N n ! = 1 × 2 × · · · × n (11.1) Stirling-Formel n ! ∼ √ 2 πn ( n e ) n , d.h. lim n →∞ n ! / √ 2 πn ( n e ) n = 1 (11.2) Binomialkoeffizient Für n, k ∈ N 0 : ( n k ) = { n ! k ! ( n − k )! k ≤ n 0 k > n (11.3) Additivität des Binomialkoeffizienten ( n k ) + ( n k +1 ) = ( n +1 k +1 ) (11.4) Ziehung von k Kugeln aus Urne mit n unterscheidbaren Kugeln Permutationen (m. Reihenfolge) Kombinationen (o. Reihenfolge) o. Wiederholung n ! ( n − k )! (11.5) ( n k ) (11.6) m. Wiederholung n k (11.7) ( k + n − 1 n − 1 ) (11.8) Regeln für endliche Mengen A, B : ■ Siebformel: | A ∪ B | = | A | + | B | − | A ∩ B | (11.9) ■ Bijektion: | A | = | B | , wenn es eine bijektive Abbildung f : A → B gibt. (11.10) ■ Partitionen von n Elementen A 1 , . . . , A k ( | A i | = n i ): n ! n 1 ! · · · n k ! (11.11) 11.2 Regeln für allgemeine Wahrscheinlichkeiten Kolmogoroff-Axiome Ein Wahrscheinlichkeitsmodell (Ω , S , P ) besteht aus ■ einem Grundraum Ω ̸ = ∅ ■ einer σ -Algebra S ⊆ P (Ω),d.h. mit Ω ∈ S und A ∈ S ⇒ A c ∈ S A 1 , A 2 , · · · ∈ S ⇒ ⋃ ∞ i =1 A i ∈ S , (Ω , S ) heißt messbarer Raum, A ∈ S heißt Ereignis. ■ einem Wahrscheinlichkeitsmaß P : S → [0; 1] mit P (Ω) = 1 P ( ⋃ ∞ i =1 A i ) = ∑ ∞ i =1 P ( A i ), falls A i ∈ S und paarweise disjunkt sind. Beispiele für σ -Algebren ■ Borelσ -Algebra B (Ω = R): kleinste σ -Algebra, die alle Intervalle enthält. ■ Potenzmenge P (Ω): Menge aller Teilmengen von Ω 64 11 Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundformeln für Ereignisse A, B, A 1 , A 2 , . . . : unmögliches Ereignis P ( ∅ ) = 0 (11.12) Gegenereignis P ( A c ) = 1 − P ( A ) (11.13) Siebformel P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) (11.14) P ( A 1 ∪ · · · ∪ A n ) = P ( A 1 ) + · · · + P ( A n ), wenn A 1 , . . . , A n paarweise disjunkt sind. (11.15) relatives Komplement P ( B \ A ) = P ( B ) − P ( A ∩ B ) (11.16) Monotonie A ⊆ B ⇒ P ( A ) ≤ P ( B ) (11.17) 11.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit Zwei (stochastisch) unabhängige Ereignisse A, B : P ( A ∩ B ) = P ( A ) P ( B ). (11.18) stoch. unabhängige Ereignisse A 1 , . . . , A n Für alle k ≤ n und je k verschiedene Ereignisse A i 1 , . . . , A i k gilt P ( A i 1 ∩ · · · ∩ A i k ) = P ( A i 1 ) · · · P ( A i k ). (11.19) Bedingte Wahrscheinlichkeit P B ( A ) = P ( A | B ) = P ( A ∩ B ) P ( B ) für P ( B ) > 0. (11.20) Pfadregel P ( A ∩ B ) = P ( A ) P A ( B ), falls P ( A ) > 0. (11.21) P ( A 1 ∩· · ·∩ A n ) = P ( A 1 ) n ∏ i =2 P A 1 ∩···∩ A i − 1 ( A i ), sofern P ( A 1 ∩ · · · ∩ A n − 1 ) > 0 (11.22) jeweils für Ω = ⋃ i ∈ I B i , I ⊆ N, B i paarweise disjunkt, P ( B i ) > 0: Totale P ( A ) = ∑ i ∈ I P ( B i ) P B i ( A ) (11.23) Wahrscheinlichkeit Bayes-Formel P A ( B i ) = P ( B i ) P B i ( A ) / ∑ j ∈ I P ( B j ) P B j ( A ) (11.24) 11.4 Zufallsvariablen Zufallsvariable (ZV): Eine messbare 1 Abbildung X eines Wahrscheinlichkeitsraumes (Ω , S , P ) in einen messbaren Raum ( X , T ). Univariate bzw. multivariate ZV 2 für X = R bzw. X = R k , k ∈ N. Verteilung L ( X ) einer Zufallsvariablen 3 : erklärt durch P ( X ∈ B ) = P ( X − 1 ( B )), B ∈ T . Andere Schreibweise: X ∼ P für L ( X ) = P . Verteilungsfunktion (VF) einer univariaten ZV: F X ( x ) = P ( X ≤ x ). Spezialfälle ■ Eine diskrete (univariate/ multivariate) Zufallsvariable X hat diskreten (d.h. nur aus isolierten 4 Werten bestehenden) Träger X = { x i : i ∈ I } ⊂ R k , ( I = { 1 , . . . , n } oder I = N) und P ( X ∈ B ) = ∑ i ∈ I P ( X = x i )1 B ( x i ) (11.25) 1 d.h. X − 1 ( B ) ∈ S für alle B ∈ T 2 Multivariat: Zufallsvektor 3 L rührt vom englischen Begriff „law“ für Verteilung. 4 Ein Punkt x ∈ D ⊂ R k heißt isoliert innerhalb D, wenn es ein ϵ > 0 gibt mit B ϵ ( x ) ∩ D = { x } Statistik 11.6 Transformation stetiger Verteilungen 65 Speziell: L (1 A ) ist eine Bernoulli-Verteilung B (1 , p ), p = P ( A ). ■ Eine stetige Zufallsvariable X hat ein Trägerintervall X =] a ; b [ (ggf. a = −∞ und/ oder b = ∞ ) und eine (bis auf isolierte Punkte) stetige Dichte f X ( x ) und P ( X ∈ [ r ; s ]) = ∫ s r f X ( x ) dx (11.26) Ihre Verteilungsfunktion ist F X ( x ) = P ( X ≤ x ) = ∫ x −∞ f X ( t ) dt , F ′ X ( x ) = f X ( x ). (Stochastisch) Unabhängige Zufallsvariablen X 1 , . . . , X n : P ( X 1 ∈ B 1 , . . . , X n ∈ B n ) = P ( X 1 ∈ B 1 ) · · · P ( X n ∈ B n ) ∀ Ereignisse B i (11.27) ■ St.u. diskrete ZV: P ( X 1 = x 1 , . . . , X n = x n ) = ∏ n i =1 P ( X i = x i ) ∀ x i ∈ R (11.28) ■ St.u. stetige ZV: f ( x 1 , . . . , x n ) = ∏ n i =1 f i ( x i ) (11.29) mit der gemeinsamen Dichte f und den Randdichten f i von L ( X i ). Zufallsvariablen X 1 , X 2 , . . . sind eine u.i.v.-Folge, wenn ∀ n ∈ N X 1 , X 2 , . . . , X n st.u. sind und alle X i dieselbe Verteilung haben. 11.5 Multivariate Verteilungen Eine multivariate Verteilung L ( X 1 , . . . , X k ) ist die Verteilung eines Zufallsvektors X = ( X 1 , . . . , X k ). Spezialfälle: ■ Diskrete Dichte f ( x 1 , . . . , x k ) = P (X = ( x 1 , . . . , x k )), wobei P (X ∈ X ) = 1 mit einer Menge X = { x (1) , x (2) , . . . , } isolierter 4 Punkte des R k . ■ Stetige Dichte : eine Funktion f ( x 1 , . . . , x k ) ≥ 0 so dass ∀ a i ≤ b i : P (X ∈ [ a 1 ; b 1 ] × · · · × [ a k ; b k ]) = b 1 ∫ a 1 · · · b k ∫ a k f ( x 1 , . . . , x k ) dx 1 . . . , dx k . Randverteilung von X 1 , . . . , X k ist die gemeinsame Verteilung eines Teils X I = ( X i ) i ∈ I der ZV, wobei I ⊆ { 1 , . . . , k } . Es gilt P (X I ∈ B ) = E (1 B (X I )) (11.30) Dichte der bedingten Verteilung L ( X | Y = y ) eines (bivariaten) Zufallsvektors ( X, Y ) mit Dichte f X,Y und Randdichten f X , f Y : f X | Y = y ( x ) = { f X,Y ( x, y ) / f Y ( y ) wenn f Y ( y ) > 0 f X ( x ) wenn f Y ( y ) = 0 (11.31) Formeln sinngemäß auch für allgemeine (höherdimensionale) Zufallsvektoren X, Y 66 11 Wahrscheinlichkeitsrechnung 11.6 Transformation stetiger Verteilungen Dichtetransformation bei bijektiver, differenzierbarer Funktion g und h = g − 1 : Univariat f g ( X ) ( y ) = ∣∣∣ ∂ ∂y h ( y ) ∣∣∣ f X ( h ( y )) · 1 g ( X ) ( y ) (11.32) Bivariat f g ( X,Y ) ( u, v ) = f X,Y ( h ( u, v )) · | det( J h ( u, v )) | · 1 g ( X ) ( u, v ) (11.33) Algebraische Operationen auf st.u. stetigen ZV X, Y Summe f X + Y ( z ) = ∫ ∞ −∞ f X ( x ) f Y ( z − x ) dx (Faltung L ( X ) ∗ L ( Y )) (11.34) Produkt f XY ( z ) = ∫ ∞ −∞ 1 / | x | · f X ( x ) f Y ( z/ x ) dx (11.35) Quotient f X/ Y ( z ) = ∫ ∞ −∞ | x | · f X ( zx ) f Y ( x ) dx (11.36) Faltung L ( X ) ∗ L ( Y ) st.u. diskreter ZV X, Y mit Träger N 0 P ( X + Y = n ) = n ∑ k =0 P ( X = k ) P ( Y = n − k ) , n ∈ N 0 (11.37) 11.7 Erwartungswert 5 Definition - Transformationsformel, h meßbar ■ Diskret: E ( h ( X 1 , . . . , X k )) ( ∗ ) = ∞ ∑ i =1 h ( x ( i ) 1 , . . . , x ( i ) k ) · f X ( x ( i ) 1 , . . . , x ( i ) k ) (11.38) ■ Stetig: E ( h ( X 1 , . . . , X k )) ( ∗ ) = ∞ ∫ −∞ · · · ∞ ∫ −∞ h ( x 1 , . . . , x k ) · f X ( x 1 , . . . , x k ) dx 1 . . . , dx k (11.39) 5 Regeln ( ∗ ) gelten auch f.s. für E ( · · · | Y = y) unter Verwendung der bedingten Dichte f X | Y=y . Statistik 11.9 Grenzwertsätze für u.i.v. ZV X 1 , X 2 , . . . 67 Integral- E ( X ) = ∫ ∞ 0 (1 − F X ( x )) dx für X ≥ 0 (11.40) darstellungen E ( X ) = ∫ 1 0 F − 1 X ( u ) du (11.41) Linearität E ( aX + bY + c ) ( ∗ ) = aE ( X ) + bE ( Y ) + c ∀ a, b, c ∈ R (11.42) Multiplikativität E ( XY ) = E ( X ) E ( Y ) für st.u. X, Y (11.43) Anordnung X ≥ Y ⇒ E ( X ) ( ∗ ) ≥ E ( Y ) (11.44) Markoff-Ungleichung P ( X ≥ c ) ≤ E ( X ) c ∀ c > 0 für X ≥ 0 (11.45) Jensen-Ungleichung h ( E ( X )) ( ∗ ) ≤ E ( h ( X )) für konvexes g (11.46) Totale WS E ( E ( h ( X ) | Y )) = E ( h ( X )) (11.47) Faktorisierung E ( X · h ( Y ) | Y = y ) = h ( y ) E ( X | Y = y ) f.s. (11.48) Substitution E ( h ( X, Y ) | Y = y ) = E ( h ( X, y )) f.s. für st.u. X, Y (11.49) 11.8 Verteilungskennzahlen für univariate ZV X Momentenbasierte Kennzahlen ■ k -tes nichtzentrales Moment: E ( X k ) ■ k -tes zentrales Moment: µ k = E (( X − E ( X )) k ). Varianz var ( X ) = µ 2 = E (( X − E ( X )) 2 ) (11.50) = E ( X 2 ) − ( E ( X )) 2 (11.51) Standardabweichung σ ( X ) = √ µ 2 (11.52) ■ k -tes standardisiertes Moment: ˆ µ k = µ k / ( σ ( X )) k ). Schiefe ˆ µ 3 = E (( X − E ( X )) 3 ) / σ ( X ) 3 (11.53) Kurtosis ˆ µ 4 = E (( X − E ( X )) 4 ) / var ( X ) 2 (11.54) Regeln für Varianzen ■ var ( aX + bY + c ) = a 2 var ( X ) + b 2 var ( Y ) + ab · cov ( X, Y ) ∀ a, b, c ∈ R. (11.55) ■ Tschebyscheff-Ungleichung: P ( | X − E ( X ) | > ϵ ) ≤ var ( X ) ϵ 2 für ϵ > 0. (11.56) Quantilfunktion F − 1 X ( t ) : = ξ t ( X ) = inf { x ∈ R : F X ( x ) ≥ t } (11.57) 11.9 Grenzwertsätze für u.i.v. ZV X 1 , X 2 , . . . Satz von Glivenko-Cantelli P ( lim n →∞ sup x ∈ R | ˆ F n ( x ) − F X 1 ( x ) | = 0) = 1 (11.58) Existiert µ = E ( X 1 ) bzw. σ 2 = var ( X 1 ) > 0, so gilt ∀ ϵ > 0 , x ∈ R: 68 11 Wahrscheinlichkeitsrechnung Schwaches Gesetz gr. Zahlen lim n →∞ P ( | ¯ X n − µ | > ϵ ) = 0 (11.59) Starkes Gesetz gr. Zahlen P ( lim n →∞ ¯ X n = µ ) = 1 (11.60) Zentraler Grenzwertsatz (ZGS) lim n →∞ P ( √ n ¯ X n − µ σ ≤ x ) = Φ( x ) (11.61) Ist zudem D ⊆ R mit ¯ X n ∈ D und f : D → R differenzierbar, so gilt: Delta-Methode im ZGS lim n →∞ P ( √ n · f ( ¯ X n ) − f ( µ ) f ′ ( µ ) · σ ≤ x ) = Φ( x ) (11.62) 11.10 Kennzahlen multivariater Verteilungen Für ZV X, Y mit existierenden Varianzen: ■ Kovarianz cov ( X, Y ) = E (( X − E ( X ))( Y − E ( Y ))) (11.63) = E ( XY ) − E ( X ) E ( Y ) (11.64) ■ Korrelation cor ( X, Y ) = cov ( X, Y ) / var ( X ) var ( Y ) ∈ [ − 1; 1] (11.65) X, Y heißen unkorreliert, wenn cov ( X, Y ) = 0. St.u. ZV X, Y mit existierenden Varianzen sind unkorreliert. Kovarianzmatrix Für einen Zufallsvektor X = ( X 1 , . . . , X n ) heißt (falls existent) cov (X) = cov ( X 1 , X 1 ) cov ( X 1 , X 2 ) . . . cov ( X 1 , X n ) cov ( X 2 , X 1 ) cov ( X 2 , X 2 ) . . . cov ( X 2 , X n ) ... ... ... cov ( X n , X 1 ) cov ( X n , X 2 ) . . . cov ( X n , X n ) (11.66) Kovarianzmatrix von X. Eigenschaften: ■ cov (X) ist positiv semidefinit. ■ cov ( A X + b ) = A T cov (X) A für alle A ∈ R k × n , b ∈ R k Statistik 12 Verteilungen Formeln mit Bezug auf eine ZV X mit Werten x ∈ X ⊆ R bzw. eine u.i.v.-Stichprobe X 1 , . . . , X n (geordnet: min( X i ) = X (1) ≤ X (2) ≤ · · · ≤ X ( n ) = max( X i )) bzw. eine u.i.v.-Folge ( X n ) n ∈ N . In 12.1 ist X abzählbar, diskret mit isolierten Trägerpunkten x i ∈ R, in 12.2 ist der Träger X = R oder Intervall der Form [ a ; b ],] − ∞ ; a ], [ b ; ∞ [ mit a, b ∈ R. Angegeben werden, falls (in geschlossener Form) verfügbar: ■ Dichte f ( x ) = f X ( x ) ■ Verteilungsfunktion F ( x ) = P ( X ≤ x ) = t ∈X ,t ≤ x f ( t ) diskreter Fall x −∞ f X ( t )1 X ( t ) dt stetiger Fall ■ Erwartungswert E ( X ) = x ∈X x · f ( x ) diskreter Fall ∞ −∞ x · f X ( x )1 X ( x ) dx stetiger Fall ■ Varianz var ( X ) = x ∈X ( x − E ( X )) 2 f ( x ) diskreter Fall ∞ −∞ ( x − E ( X )) 2 f ( x )1 X ( x ) dx stetiger Fall ■ Median med ( X ) : = ξ 0 . 5 ( X ) ■ Quantil: ξ t = ξ t ( X ) = F − 1 X ( t ) ■ Faltung L ( X ) ∗ L ( Y ) = L ( X + Y ) zweier st.u. ZV aus der Verteilungsfamilie ■ Maximum-Likelihood-Schätzer ˆ θ = ˆ θ ML zur Dichte f ( x ) = f θ ( x ), d.h. L ( θ, x 1 , . . . , x N ) = N i =1 f θ ( x i ) (12.1) ˆ θ = ˆ θ ML ( x 1 , . . . , x N ) = arg max θ ∈ Θ L ( θ, x 1 , . . . , x N ) (12.2) mit Standardfehler SE (ˆ θ ) = var (ˆ θ ) 1 / 2 und Schätzer 1 ˆ σ ( θ ) des Standardfehlers. ■ (1 − α )-Konfidenzintervalle 2,3 (KI) I n für θ ∈ R: linksseitig rechtsseitig zweiseitig I =] − ∞ ; G U ] I = [ G O ; ∞ [ I = [ G L ; G R ] (12.3) ■ Zusammenhänge mit anderen Verteilungen 1 Auch der Schätzer wird als Standardfehler bezeichnet. 2 d.h. P ( θ ∈ I n | θ ) = 1 − α bzw. (approximativ) lim n →∞ P ( θ ∈ I n ) = 1 − α für alle θ ∈ R 3 der Standardfehler ˆ σ ( θ ) bei approximativen Konfidenzintervallen wurde mit der δ -Methode ermittelt. 70 12 Verteilungen ■ R-Befehle (<xxx> steht für eine Verteilung) Dichte f ( x ) d<xxx>(x,...) (12.4) Verteilungsfunktion F ( x ) p<xxx>(q=x,...) Option lower.tail=TRUE ergibt P ( X ≤ x ) Option lower.tail=FALSE ergibt P ( X > x ) (12.5) Quantile ξ t q<xxx>(p=t,...) Option lower.tail=TRUE ergibt ξ t Option lower.tail=FALSE ergibt ξ 1 − t (12.6) n Zufallszahlen r<xxx>(n,...) (12.7) 12.1 Diskrete univariate Verteilungen Gleichverteilung, Laplace-Experiment X = { x 1 , . . . , x n } x 1 < x 2 < · · · < x n Dichte P ( X = x i ) = f ( x i ) = 1 / n (12.8) Verteilungsfunktion F ( x ) = 1 n n i =1 1 [ x i ; ∞ [ ( x ) (12.9) Erwartungswert E ( X ) = ¯ x = 1 n n i =1 x i (12.10) Varianz var ( X ) = 1 n n i =1 ( x i − ¯ x ) 2 (12.11) Median med ( X ) = x n/ 2 + x n/ 2+1 2 n gerade x ( n +1) / 2 n ungerade (12.12) Quantil ξ α = x ⌈ nα ⌉ (12.13) R-Befehle vgl. R-Befehle zur deskriptiven Statistik Bernoulliverteilung Bin (1 , p ) X = { 0 , 1 } p ∈ [0; 1] Dichte f ( x ) = p x (1 − p ) 1 − x (12.14) Verteilungsfunktion F ( x ) = (1 − p ) · 1 [0; ∞ [ ( x ) + p · 1 [1; ∞ [ ( x ) (12.15) Erwartungswert E ( X ) = p (12.16) Statistik 12.1 Diskrete univariate Verteilungen 71 Varianz var ( X ) = p (1 − p ) (12.17) Median med ( X ) ∈ [0 , 1] ( p = 1 2 ), = 1 ( p > 12 ), = 0 ( p < 12 ) (12.18) Quantil ξ α = 1 für p > 1 − α , = 0 für p ≤ 1 − α (12.19) ML-Schätzung vgl. Binomialverteilung für n = 1 KI vgl. Binomialverteilung für n = 1 Zusammenhänge Ist Y eine Zufallsvariable, B ein Ereignis und Z = 1 B ( Y ), dann ist Z ∼ Bin (1 , p ) mit p = P ( Y ∈ B ) (12.20) X 1 + · · · + X n ∼ Bin ( n, p ) (12.21) inf { n : X 1 + · · · + X n ≥ r } ∼ N Bin ( r, p ) für r ∈ N (12.22) siehe Exponentialverteilung (12.23) R-Befehle vgl. Binomialverteilung für n = 1 Binomialverteilung Bin ( n, p ) X = { 0 , . . . , n } n ∈ N, p ∈ [0; 1] Dichte f ( x ) = ( n x ) p x (1 − p ) n − x (12.24) f ( x ) ≈ λ x x ! e − λ , n groß, np ≈ λ (Poisson-GWS) (12.25) Verteilungsfunktion F ( x ) n − x = 1 − p ∫ 0 ( n k ) t n − k − 1 (1 − t ) k dt für x < n , k = ⌊ x ⌋ . (12.26) Moivre-Laplace P ( √ n X/ n − p √ p (1 − p ) ≤ t ) ≈ Φ( t ) für np (1 − p ) > 9 (12.27) Erwartungswert E ( X ) = np (12.28) Varianz var ( X ) = np (1 − p ) (12.29) Median med ( X ) ∈ [ ⌊ np ⌋ ; ⌊ ( n + 1) p ⌋ ] (12.30) ML-Schätzung ˆ p = ˆ p ML = ¯ x , ˆ σ 2 = ˆ σ ( p ) 2 = ˆ p (1 − ˆ p ) / n (12.31) KI (approx.) G U = ˆ p + u α · ˆ σ , G O = ˆ p − u 1 − α · ˆ σ , G L = ˆ p − u 1 − α 2 · ˆ σ , G R = ˆ p + u 1 − α 2 · ˆ σ (12.32) Zusammenhänge Bin ( n 1 , p ) ∗ Bin ( n 2 , p ) = Bin ( n 1 + n 2 , p ) (Faltung) (12.33) 72 12 Verteilungen R-Befehle dbinom, pbinom, qbinom, rbinom mit Optionen size=n, prob=p (12.34) Geometrische Verteilung Geo ( p ) X = N p ∈ ]0; 1] Dichte f ( x ) = p (1 − p ) x − 1 (12.35) Verteilungsfunktion F ( x ) = 1 − (1 − p ) ⌊ x ⌋ for x ≥ 1. (12.36) Erwartungswert E ( X ) = 1 / p (12.37) Varianz var ( X ) = (1 − p ) / p 2 (12.38) Median med ( X ) = ⌈− 1 / log 2 (1 − p ) ⌉ (12.39) Quantil ξ α = ⌈ ln(1 − α ) / ln(1 − p ) ⌉ (12.40) ML-Schätzung ˆ p ML = 1 / ¯ x , ˆ σ 2 = ˆ σ ( p ) 2 = ˆ p 2 (1 − ˆ p ) / n (12.41) KI (approx.) G U = ˆ p − u α · ˆ σ , G O = ˆ p + u 1 − α · ˆ σ , G L = ˆ p − u 1 − α 2 · ˆ σ , G R = ˆ p + u 1 − α 2 · ˆ σ (12.42) Zusammenhänge siehe Exponentialverteilung (12.43) R-Befehle dgeom,pgeom,qgeom,rgeom mit Option prob=p (12.44) Negativ-Binomialverteilung N Bin ( r, p ) X = N 0 r ∈ N, p ∈ [0; 1] Dichte f ( x ) = ( r + x − 1 x ) p r (1 − p ) x = ( − 1) x ( − r x ) p r (1 − p ) x (12.45) Verteilungsfunktion F ( x ) = 1 − r · ( r + x x ) · 1 − p ∫ 0 t x (1 − t ) r − 1 dt (12.46) Erwartungswert E ( X ) = rp/ (1 − p ) (12.47) Varianz var ( X ) = rp/ (1 − p ) 2 (12.48) ML-Schätzung ˆ p = ˆ p ML = r/ ( r + ¯ x ), ˆ σ 2 = ˆ σ ( p ) 2 = ˆ p 2 (1 − ˆ p ) / ( rn ) (12.49) KI (approx.) G U = ˆ p − u α · ˆ σ , G O = ˆ p + u 1 − α · ˆ σ , G L = ˆ p − u 1 − α 2 · ˆ σ , G R = ˆ p + u 1 − α 2 · ˆ σ (12.50) Statistik 12.2 Stetige univariate Verteilungen 73 Zusammenhänge N Bin ( r 1 , p ) ∗ N Bin ( r 2 , p ) = N Bin ( r 1 + r 2 , p ) (12.51) R-Befehle dnbinom, pnbinom,qnbinom,rnbinom mit Optionen size=r,prob=p (12.52) Hypergeometrische Verteilung Hyp ( M, K, n ) 0 ≤ n, K ≤ M X = { max(0 , n − ( M − K )) , . . . , min( K, n ) }} Dichte f ( x ) = ( K x ) · ( M − K n − x )/ ( M n ) (12.53) Erwartungswert E ( X ) = n · K/ M (12.54) Varianz var ( X ) = n · K M M − K M M − n M − 1 (12.55) R-Befehle dhyper,phyper,qhyper,rhyper(nn,...) mit Optionen m=K, n=M-K und k=n (12.56) Poissonverteilung P oi ( λ ) X = N 0 λ > 0 Dichte f ( x ) = λ x x ! · e − λ (12.57) Verteilungsfunktion F ( x ) = ∞ ∫ 1 λ x +1 x ! t x e − λt dt (12.58) Erwartungswert E ( X ) = λ (12.59) Varianz var ( X ) = λ (12.60) ML-Schätzung ˆ λ ML = ¯ x , ˆ σ 2 = ˆ σ ( λ ) 2 = ˆ λ/ n (12.61) KI (approx.) G U = ˆ λ − u α · ˆ σ , G O = ˆ λ + u 1 − α · ˆ σ , G L = ˆ λ − u 1 − α 2 · ˆ σ , G R = ˆ λ + u 1 − α 2 · ˆ σ (12.62) Zusammenhänge P oi ( λ ) ∗ P oi ( µ ) = P oi ( λ + µ ) (Faltung) (12.63) siehe Exponentialverteilung (12.64) R-Befehle dpois,ppois,qpois,rpois mit Option lambda= λ (12.65) 74 12 Verteilungen 12.2 Stetige univariate Verteilungen (Stetige) Gleichverteilung, Rechteckverteilung Re ( a, b ) X = [ a ; b ] a < b Dichte f X ( x ) = 1 / ( b − a ) (12.66) Verteilungsfunktion F X ( x ) = x − a b − a · 1 [ a ; b [ ( x ) (12.67) Erwartungswert E ( X ) = ( a + b ) 2 (12.68) Varianz var ( X ) = ( b − a ) 2 / 12 (12.69) Median med ( X ) = a + b 2 (12.70) Quantil ξ α = a + ( b − a ) α (12.71) ML-Schätzungen ˆ a = ˆ a ML = min( x i ) und ˆ b = ˆ b ML = max( x i ) (12.72) KI für a : G U = ˆ a − c α (ˆ b − ˆ a ), für b : G O = ˆ b + c α (ˆ b − ˆ a ) mit c α = α − 1 / ( n − 1) − 1 (12.73) Zusammenhänge c + dX ∼ Re ( c + da, c + db ) für d > 0 (12.74) X − a b − a ∼ Re (0 , 1) für d > 0 (12.75) − ln(1 − X − a b − a ) ∼ Exp (1) (12.76) mit a = 0 , b = 1: X ( j ) ∼ Be ( j, n + 1 − j ) (12.77) R-Befehle dunif,punif,qunif,runif mit Optionen with min=a,max=b (Default 0,1) (12.78) Exponentialverteilung Exp ( λ ) X = [0 , ∞ [ λ > 0 Dichte f X ( x ) = λe − λx (12.79) Verteilungsfunktion F X ( x ) = 1 − e − λx (12.80) Erwartungswert E ( X ) = 1 / λ (12.81) Varianz var ( X ) = 1 / λ 2 (12.82) Statistik 12.2 Stetige univariate Verteilungen 75 Median med ( X ) = ln(2) / λ (12.83) Quantil ξ α = − ln(1 − α ) / λ (12.84) ML-Schätzung ˆ λ = ˆ λ ML = 1 / ¯ x (12.85) KI G U = ˆ λ · χ α (2 n ) / (2 n ), G O = ˆ λ · χ 1 − α (2 n ) / (2 n ), G L = ˆ λ · χ α/ 2 (2 n ) / (2 n ), G R = ˆ λ · χ 1 − α/ 2 (2 n ) / (2 n ) (12.86) Zusammenhänge ⌊ X 1 ⌋ ∼ Geo (1 − e − λ ) (12.87) inf { n : ∑ n i =1 X i ≥ t } ∼ P oi ( λt ), t > 0 (12.88) X/ c ∼ Exp ( cλ ), c > 0 (12.89) e X ∼ P ar (1 , λ ) (12.90) X 1 / c ∼ W ei ( λ 1 / c , c ), c > 0 (12.91) X 1 + · · · + X n ∼ Γ( λ, n ) (12.92) X 1 − X 2 ∼ DE (0 , λ ) (12.93) min( X 1 / c 1 , X 2 / c 2 ) ∼ Exp (( c 1 + c 2 ) λ ) (12.94) siehe Rechteckverteilung, Chi-Quadrat-Verteilung (12.95) R-Befehle dexp,pexp,qexp,rexp mit Option rate= λ (Default 1) (12.96) Doppelexponentialverteilung DE ( µ, λ ), Laplace-Verteilung) X = R µ ∈ R, λ > 0 Dichte f X ( x ) = 1 2 λ exp( − | x − µ | λ ) (12.97) Verteilungsfunktion F X ( x ) = 12 + 12 sgn( x − µ )(1 − exp( − | x − µ | λ )) (12.98) Erwartungswert E ( X ) = µ (12.99) Varianz var ( X ) = 2 λ 2 (12.100) Median med ( X ) = µ (12.101) Quantil ξ α = − µ − b sgn( α − 0 . 5) ln(1 − 2 | α − 12 | ) (12.102) 76 12 Verteilungen ML-Schätzungen ˆ µ ML = med ( x 1 , . . . , x N ) (Stichprobenmedian) ˆ λ ML = M A ( x 1 , . . . , x N ) (12.103) Zusammenhänge siehe Exponentialverteilung (12.104) R-Befehle rmutil: : dlaplace,plaplace,qlaplace, rlaplace, Optionen m= µ , s= σ (Default 0,1) (12.105) Paretoverteilung P ar ( λ, c ) X = [ λ, ∞ [ λ, c > 0 Dichte f X ( x ) = c/ λ · ( λ/ x ) c +1 (12.106) Verteilungsfunktion F X ( x ) = (1 − ( λ/ x ) c ) (12.107) Erwartungswert E ( X ) = λc/ ( c − 1) (f ür c > 1) (12.108) Varianz var ( X ) = λ 2 c/ (( c − 1) 2 ( c − 2)) (für c > 2) (12.109) Median med ( x ) = λ · c √ 2 (12.110) Quantil ξ α = λ/ c √ 1 − α (12.111) ML-Schätzungen ˆ λ = ˆ λ ML = min( x i ), ˆ c = ˆ c ML = n / N ∑ i =1 log( x i / ˆ λ ) (12.112) KI für c G U = ˆ c 2 n · χ α (2( n − 1)), G O = ˆ c 2 n · χ 1 − α (2( n − 1)) G L = ˆ c 2 n · χ α/ 2 (2( n − 1)), G R = ˆ c 2 n · χ 1 − α/ 2 (2( n − 1)), (12.113) Zusammenhänge siehe Exponentialverteilung (12.114) R-Befehle VGAM: : dpareto,ppareto,qpareto,rpareto mit Optionen shape= c (Default: 1) scale= λ (Default: 1) (12.115) Normalverteilung N ( µ, σ 2 ) X = R µ ∈ R, σ > 0 Dichte f X ( x ) = 1 √ 2 πσ 2 exp( − ( x − µ ) 2 2 σ 2 ) (12.116) Verteilungsfunktion F X ( x ) = Φ( x − µ σ ) mit Φ( x ) = ∫ x −∞ 1 √ 2 π · e − t 2 2 dt vertafelt bzw. numerisch (R) (12.117) Erwartungswert E ( X ) = med ( X ) = µ (12.118) Varianz var ( X ) = σ 2 (12.119) Statistik 12.2 Stetige univariate Verteilungen 77 Median med ( X ) = µ (12.120) Quantil u α : vertafelt bzw. numerisch (R). (12.121) ML-Schätzungen ˆ µ = ˆ µ ML = ¯ x , ˆ σ 2 = ˆ σ 2 ML = σ 2 n ( x ) (vgl. (10.17)) (12.122) KI für µ ( σ bek.) G U = ˆ µ − u 1 − α · σ √ n , G O = ˆ µ + u 1 − α · σ √ n , G L = ˆ µ − u 1 − α/ 2 · σ √ n , G R = ˆ µ + u 1 − α/ 2 · σ √ n (12.123) KI für µ ( σ unbek.) G U = ˆ µ − t 1 − α · S √ n , G O = ˆ µ + t 1 − α · S √ n , G L = ˆ µ − t 1 − α/ 2 · S √ n , G R = ˆ µ + t 1 − α/ 2 · S √ n mit S 2 = 1 n − 1 ∑ n i =1 ( X i − ¯ X ) 2 und t = t ( n − 1) (12.124) KI für σ ( µ bek.) G U = ( n − 1) · S 2 χ 1 − α , G O = ( n − 1) · S 2 χ α , G L = ( n − 1) · S 2 χ 1 − α/ 2 , G U = ( n − 1) · S 2 χ α/ 2 mit S 2 = 1 n − 1 ∑ n i =1 ( X i − µ ) 2 und χ = χ ( n ) (12.125) KI für σ ( µ unbek.) G U = ( n − 1) · S 2 χ 1 − α , G O = ( n − 1) · S 2 χ α , G L = ( n − 1) · S 2 χ 1 − α/ 2 , G U = ( n − 1) · S 2 χ α/ 2 mit S 2 = 1 n − 1 ∑ n i =1 ( X i − ¯ X ) 2 und χ = χ ( n − 1) (12.126) Zusammenhänge aX + b ∼ N ( aµ + b, a 2 σ 2 ), a > 0 , b ∈ R (12.127) X − µ σ ∼ N (0 , 1) (12.128) N ( µ, σ 2 ) ∗ N ( ν, τ 2 ) = N ( µ + ν, σ 2 + τ 2 ) (Faltung) (12.129) e X ∼ LN ( µ, σ 2 ) (12.130) ( X 1 − µ σ ) 2 + · · · + ( X n − µ σ ) 2 ∼ χ 2 ( n ) (12.131) X n +1 / √ ( X 1 + · · · + X n ) / n ∼ t ( n ) (12.132) ¯ X n − µ S/ √ n ∼ t ( n − 1) mit S 2 = 1 n − 1 n ∑ i =1 ( X i − ¯ X n ) 2 (12.133) R-Befehle dnorm,pnorm,qnorm,rnorm mit Optionen mu= µ , sd= σ (Default: 0,1) (12.134) Lognormalverteilung LN ( µ, σ 2 ) X = [0; ∞ [ µ ∈ R, σ > 0 Dichte f X ( x ) = 1 √ 2 π · σ · 1 x · exp ( − 12 · ( ln( x ) − µ σ ) 2 ) (12.135) 78 12 Verteilungen Verteilungsfunktion F X ( x ) = Φ((ln( x ) − µ ) / σ ) (12.136) Erwartungswert E ( X ) = exp( µ + σ 2 / 2) (12.137) Varianz var ( X ) = exp(2 µ + σ 2 ) · (exp( σ 2 ) − 1) (12.138) Median med ( X ) = exp( µ ) (12.139) Quantil ξ α = exp( µ + u α · σ ) (12.140) Zusammenhänge siehe Normalverteilung (12.141) ML-Schätzungen ˆ µ ML = 1 N N ∑ i =1 ln( x i ), ˆ σ 2 ML = 1 N N ∑ i =1 (ln( x i ) − ˆ µ ML ) 2 (12.142) R-Befehle dlnorm,plnorm,qlnorm,rlnorm mit Optionen meanlog= µ ,sdlog= σ (Default 0,1) (12.143) (Zentrale) Chi-Quadrat-Verteilung χ 2 ( n ) = Γ( 12 , n 2 ) X = [0; ∞ [ n ∈ N Dichte f X ( x ) = x n/ 2 − 1 e − x/ 2 2 n/ 2 Γ( n/ 2) (12.144) Erwartungswert E ( X ) = n (12.145) Varianz var ( X ) = 2 n (12.146) Quantil χ α ( n ): vertafelt, numerisch (R) (12.147) Zusammenhänge χ 2 (2) = Exp (1) (12.148) χ 2 ( n ) = Γ( 12 , n 2 ) (12.149) Sind X ∼ χ 2 ( m ) , Y ∼ χ 2 ( n ) st.u. dann ist X/ m Y / n ∼ F m,n (12.150) siehe Normalverteilung (12.151) R-Befehle dchisq,pchisq,qchisq,rchisq mit Option df= n (12.152) (Zentrale) Student-t-Verteilung t ( n ) X = R n ∈ N Dichte f X ( x ) = Γ(( n + 1) / 2) √ nπ · Γ( n/ 2) · ( 1 + x 2 / n ) − ( n +1) / 2 (12.153) Statistik 12.2 Stetige univariate Verteilungen 79 Erwartungswert/ Median E ( X ) = 0 für n > 1, med ( X ) = 0 (12.154) Varianz var ( X ) = n n − 2 für n > 2 (12.155) Quantil t α ( n ): vertafelt, numerisch (R) (12.156) Zusammenhänge X 2 ∼ F (1 , n ) (12.157) siehe Normalverteilung (12.158) R-Befehle dt,pt,qt,rt mit Option df= n (12.159) (Zentrale) F ( m, n )-Verteilung X = [0; ∞ [ m, n ∈ N Dichte f X ( x ) = m m/ 2 n n/ 2 Γ(( m + n ) / 2) Γ( m/ 2)Γ( n/ 2) x m/ 2 − 1 ( mx + n ) ( m + n ) / 2 (12.160) Erwartungswert E ( X ) = n/ ( n − 2) ( n > 2) (12.161) Varianz var ( X ) = 2 n 2 ( m + n − 2) m ( n − 2) 2 ( n − 4) ( n > 4) (12.162) Quantil F α ( m, n ); vertafelt, numerisch (R) (12.163) Zusammenhänge siehe Chi-Quadrat-Verteilung, t-Verteilung (12.164) R-Befehle df,pf,qf,rf mit Optionen df1=m,df2=n (12.165) Gammaverteilung Γ( λ, c ) X = [0 , ∞ [ λ, c > 0 Dichte f X ( x ) = λ c Γ( c ) x c − 1 e − λx (12.166) Erwartungswert E ( X ) = c/ λ (12.167) Varianz var ( X ) = c/ λ 2 (12.168) Zusammenhänge Γ( λ, c ) ∗ Γ( λ, d ) = Γ( λ, c + d ) (Faltung) (12.169) X ∼ Γ( λ, α ), Y ∼ Γ( λ, β ) st.u. ⇒ X X + Y ∼ Be ( α, β ) (12.170) siehe Exponentialverteilung, Chi-Quadratverteilung (12.171) 80 12 Verteilungen R-Befehle dgamma,pgamma,qgamma,rgamma mit Optionen rate= λ (Default 1), shape= c (Default 1) (12.172) Betaverteilung Be ( α, β ) X =]0 , 1[ α, β > 0 Dichte f X ( x ) = Γ( α + β ) Γ( α )Γ( β ) x α − 1 (1 − x ) β − 1 (12.173) Erwartungswert E ( X ) = α/ ( α + β ) (12.174) Varianz var ( X ) = αβ/ ( α + β + 1)( α + β ) 2 (12.175) Zusammenhänge Be (1 , 1) = Re (0 , 1) (12.176) siehe Gammaverteilung, Rechteckverteilung (12.177) R-Befehle dbeta,pbeta,qbeta,rbeta mit Optionen shape1= α , shape1= β , ncp (Default 0) (12.178) Weibullverteilung W ei ( λ, c ) X = [0 , ∞ [ λ, c > 0 Dichte f X ( x ) = c/ λ · ( x/ λ ) c − 1 (12.179) Verteilungsfunktion F X ( x ) = (1 − exp( − ( x/ λ ) c )) (12.180) Erwartungswert E ( X ) = λ Γ(1 + 1 / c ) (12.181) Varianz var ( X ) = λ 2 (Γ(1 + 2 / c ) − Γ(1 + 1 / c ) 2 ) (12.182) Median med ( X ) = λ c √ ln(2) (12.183) Quantil ξ α = λ c √ − ln(1 − α ) (12.184) Zusammenhänge siehe Exponentialverteilung (12.185) R-Befehle dweibull,pweibull,qweibull,rweibull mit Optionen shape= c , scale= λ (Default: jeweils 1) (12.186) Statistik 13 Statistische Tests ■ Statistisches Modell und Notationen: Für ein θ ∈ Θ ⊂ R k sei angenommen: Einstichprobenmodell X 1 , . . . , X n sind u.i.v. ZUV mit L ( X j ) = P θ Zweistichprobenmodell X ij sind st.u. ZV, L ( X ij ) = P i,θ , i = 1 , 2, j = 1 , . . . , n i ■ Teststatistik: Beobachtet werde V = v ∈ R mit Einstichprobenmodell V = V ( X ) = V ( X 1 , . . . , X n ) Zweistichprobenmodell V = V ( X ) = V ( X 11 , . . . , X 1 n 1 , X 21 , . . . , X 2 n 2 ) ■ Hypothesen: Nullhypothese 1 H 0 : Eine Aussage über den Parameterraum, meist umgesetzt in eine Teilmenge Θ 0 ⊂ Θ. Speziell für Θ ⊆ R und geeignetes θ 0 ∈ Θ: linksseitig H 0 : θ ≤ θ 0 (13.1) rechtsseitig H 0 : θ ≥ θ 0 (13.2) zweiseitig H 0 : θ = θ 0 (13.3) Alternative 2 H 1 : die zu Θ 1 = Θ \ Θ 0 gehörige Aussage über den Parameterraum. Speziell für Θ ⊆ R und geeignetes θ 0 ∈ H 0 : rechtsseitig H 1 : θ > θ 0 (13.4) linksseitig H 1 : θ < θ 0 (13.5) zweiseitig H 1 : θ ̸ = θ 0 (13.6) ■ Nullverteilung F : Die Verteilung von V für ein geeignetes θ 0 ∈ Θ 0 . ■ Schwellenwert(e): zu vorgegebenem α ∈ ]0; 1[ festgelegt durch geeignete der Quantile q α = F − 1 ( α ), q 1 − α , q α/ 2 bzw. q 1 − α/ 2 . ■ statistischer Test: Eine Entscheidungsregel der Form d ( X ) = { 1 ( H 0 wird abgelehnt/ verworfen) wenn V ( X ) ∈ K 0 ( H 0 wird nicht abgelehnt) wenn V ( X ) ̸∈ K Dabei ist K ⊆ R der kritische bzw. Ablehnungs-Bereich, d.h. die Menge derjenigen Werte von v , für die H 0 abgelehnt wird; K wird erklärt mit Hilfe der o.a. Schwellenwerte. 1 oft einfach als Hypothese bezeichnet. 2 Zu einer linksseitigen (Null-)Hypothese gehört eine rechtsseitige Alternative. Zu einer rechsseitigen (Null-)Hypothese gehört eine linksseitige Alternative. 82 13 Statistische Tests ■ Test zum Niveau α ∈ ]0; 1[: Ein Test mit Ablehnungsbereich K und P θ ( V ∈ K ) ≤ α für alle θ ∈ Θ 0 ■ Gütefunktion eines statistischen Tests: θ → g ( θ ) = P θ ( V ∈ K ), θ ∈ Θ. ■ R-Befehle erzeugen eine Liste u.a. mit folgenden Attributen: statistic Wert V = v der Teststatistik (13.7) p.value p -Wert der Teststatistik (13.8) parameter(s) spezifische Parameter der Nullverteilung (13.9) 13.1 Einstichprobentests 13.1.1 Tests für ein- und zweiseitige Hypothesen Abhängig von H 0 haben die α -Niveau-Tests ( α ∈ ]0; 1[) folgende Struktur: Hypothese H 0 Ablehnungsbereich p -Wert, Signifikanz R: alternative= (1) zweiseitig V / ∈ [ q α 2 ; q 1 − α 2 ] 2 min( F ( V ) , 1 − F ( V )) "two.sided" ( F symm.) | V | > q 1 − α/ 2 2(1 − F ( | V | ) (2) rechtsseitig V < q α F ( V ) "less" (3) linksseitig V > q 1 − α 1 − F ( V ) "greater" Die Formeln für p -Werte sind nur in stetigen Verteilungsmodellen gültig. Binomialtest Modell für L ( X i ) B (1 , p ) (13.10) Spez. Parameterwert p 0 ∈ ]0; 1[ (13.11) Nullhypothese H 0 (1) p = p 0 bzw. (2) p ≥ p 0 bzwl (3) p ≤ p 0 (13.12) Teststatistik V X 1 + · · · + X n (13.13) Nullverteilung F B ( n, p 0 ) für p = p 0 (13.14) p -Wert (1) 2 min( F ( V ) , 1 − F ( V − 1)) (2) F ( V ) (3) 1 − F ( V − 1) (13.15) Approximation für np 0 (1 − p 0 ) ≥ 9: Gaußtest mit σ 2 = p 0 (1 − p 0 ) R-Befehl binom.test, Optionen x = v , n = n , p = p 0 (13.16) Gaußtest Modell für L ( X i ) N ( µ, σ 2 ), σ bekannt (13.17) Statistik 13.1 Einstichprobentests 83 Spez. Parameterwert µ 0 ∈ R (13.18) Nullhypothese H 0 (1) µ = µ 0 bzw. (2) µ ≥ µ 0 bzw. (3) µ ≤ µ 0 (13.19) Teststatistik V √ n ( ¯ X − µ 0 ) / σ (13.20) Nullverteilung F N (0 , 1) für µ = µ 0 (Quantile u α auf S. 94) (13.21) Anwendung Exakt für P θ = N ( µ, σ 2 ), approximativ ( n > 30). Student-t-Test Modell für L ( X i ) N ( µ, σ 2 ), σ unbekannt (13.22) Spez. Parameterwert µ 0 ∈ R (13.23) Nullhypothese H 0 (1) µ = µ 0 bzw. (2) µ ≥ µ 0 bzw. (3) µ ≤ µ 0 (13.24) Teststatistik V √ n ( ¯ X − µ 0 ) / ˆ σ , mit ˆ σ 2 = 1 n − 1 ∑ n i =1 ( X i − ¯ X ) 2 (13.25) Nullverteilung F t ( n − 1) für µ = µ 0 (Quantile t α ( n ) auf S. 94) (13.26) Approximation ( n > 30) Gaußtest, V = √ n ( ¯ X − µ 0 ) / ˆ σ , auch ohne (13.22) R-Befehl t.test(x,y=NULL) (13.27) χ 2 -Varianztest Modell für L ( X i ) N ( µ, σ 2 ), µ bekannt (13.28) Spez. Parameterwert σ 0 > 0 (13.29) Nullhypothese H 0 (1) σ = σ 0 bzw. (2) σ ≥ σ 0 bzw. (3) σ ≤ σ 0 (13.30) Teststatistik V ∑ n i =1 ( X i − µ ) 2 / σ 2 0 (13.31) Nullverteilung F χ 2 ( n ) für σ = σ 0 (Quantile χ α ( n ) auf S. 96) (13.32) µ unbekannt V = ∑ n i =1 ( X i − ¯ X ) 2 / σ 2 0 , Nullverteilung χ 2 ( n − 1) 13.1.2 Tests mit einseitigem Ablehnungsbereich Tests haben zur gegebenen Nullhypothese H 0 , Nullverteilung F und Signifikanzniveau α den Ablehnungsbereich v > q 1 − α und den p -Wert 1 − F ( v ) (stetiger Fall). χ 2 -Anpassungstest 84 13 Statistische Tests Modell für L ( X i ) X i ∈ { A 1 , . . . , A k } (13.33) Nullhypothese H 0 P ( X i = A j ) = p j , j = 1 , . . . , k ( p j > 0 vorgegeben) (13.34) Teststatistik V ∑ k j =1 ( H ( A j ) − np j ) 2 / ( np j ), vgl. (10.1) (13.35) Nullverteilung F ca. χ 2 ( k − 1) wenn np j ≥ 5 ∀ j (Quantile χ α ( n ) auf S. 96) (13.36) R-Befehl chisq.test(x,y=NULL), Optionen x= ( p 1 , . . . , p k ) (13.37) Kolmogoroff-Smirnoff-Test Modell für L ( X i ) Die VF x → F ( x ) = P ( X i ≤ x ) ist stetig. (13.38) Nullhypothese H 0 F = F 0 für eine spezifische VF F 0 (13.39) Teststatistik V V = √ n · sup x ∈ R | ˆ F n ( x ) − F 0 ( x ) | (13.40) = max i ∈{ 0 , 1 } ,j ∈{ 1 ,...,n } | F 0 ( x j ) − j − i n | mit x 1 ≤ · · · ≤ x n (13.41) Nullverteilung F Kolmogorov-Verteilung mit approximativer VF G ( x ) = 1 + 2 ∑ ∞ j =1 ( − 1) j e − 2 j 2 x 2 (Quantile d α ( n ) auf S. 116). Ablehnungsbereich V > d n, 1 − α , appr. p -Wert 1 − G ( v ). (13.42) R-Befehl ks.test(x,y), Optionen x= ( x 1 , . . . , x n ), y=Bezeichnung einer (stetigen) VF, z.B. y="pnorm" (13.43) 13.2 Zweistichprobentests 13.2.1 Tests für ein- und zweiseitige Hypothesen Abhängig von H 0 haben die α -Niveau-Tests ( α ∈ ]0; 1[) wieder die eingangs von 13.1.1 angegebene Struktur. Gaußtest Modell für L ( X ij ) N ( µ i , σ 2 i ), (a) σ 2 i bekannt (b) σ 2 i unbekannt (13.44) Spez. Parameterwert δ 0 ∈ R (13.45) Nullhypothese H 0 (1) µ 1 − µ 2 = δ 0 , (2) · · · ≥ δ 0 , (3) · · · ≤ δ 0 (13.46) (a) Teststatistik V ( ¯ X 1 − ¯ X 2 − δ 0 ) / √ σ 2 1 / n 1 + σ 2 2 / n 2 (13.47) (b) Teststatistik V ( ¯ X 1 − ¯ X 2 − δ 0 ) / √ S 2 1 / n 1 + S 2 2 / n 2 (13.48) mit S 2 i = 1 n i − 1 ∑ n i j =1 ( X ij − ¯ X i ) 2 (13.49) Statistik 13.2 Zweistichprobentests 85 Nullverteilung F N (0 , 1) für µ 1 − µ 2 = δ 0 (Quantile u α auf S. 94) (13.50) (b): Approximation, hinreichend für n 1 , n 2 ≥ 30 Student-t-Test (gleiche Varianzen) Modell für L ( X ij ) N ( µ i , σ 2 ), σ unbekannt (13.51) Spez. Parameterwert δ 0 ∈ R (13.52) Nullhypothese H 0 (1) µ 1 − µ 2 = δ 0 , (2) · · · ≥ δ 0 , (3) · · · ≤ δ 0 (13.53) Teststatistik V ¯ X 1 − ¯ X 2 − δ 0 √ n 1 + n 2 n 1 n 2 (( n 1 − 1) S 2 1 + ( n 2 − 1) S 2 2 ) / ( n 1 + n 2 − 2) mit S 2 i = 1 n i − 1 ∑ n i j =1 ( X ij − ¯ X i ) 2 (13.54) Nullverteilung F t ( n 1 + n 2 − 2) (Quantile t α ( n ) auf S. 94) (13.55) R-Befehl t.test(x,y,mu,var.equal=TRUE), x= ( x 11 , . . . , x 1 n 1 ), y= ( x 21 , . . . , x 2 n 2 ), mu= δ 0 (13.56) Welch-t-Test Modell für L ( X ij ) N ( µ i , σ 2 i ), σ i unbekannt (13.57) Spez. Parameterwert δ 0 ∈ R (13.58) Nullhypothese H 0 (1) µ 1 − µ 2 = δ 0 , (2) · · · ≥ δ 0 ,(3) · · · ≤ δ 0 (13.59) Teststatistik V ( ¯ X 1 − ¯ X 2 − δ 0 ) / √ S 2 1 n 1 + S 2 2 n 2 (13.60) Nullverteilung F approximativ t ( k ) (Quantile t α ( k ) auf S. 94), wobei k = ⌊ ( S 2 1 / n 1 + S 2 2 / n 2 ) 2 1 n 1 − 1 ( S 2 1 / n 1 ) 2 + 1 n 2 − 1 ( S 2 2 / n 2 ) 2 ⌋ (13.61) R-Befehl t.test(x,y,mu,var.equal=FALSE), x= ( x 11 , . . . , x 1 n 1 ), y= ( x 21 , . . . , x 2 n 2 ), mu= δ 0 (13.62) Wilcoxon-Rangsummentest Modell für L ( X ij ) Stetige VF, F X 2 ( x ) = F X 1 ( x − a ), a unbekannt (13.63) Nullhypothese H 0 (1) med ( X 1 j ) − med ( X 2 j ) = 0, (2) · · · ≥ 0 , (3) · · · ≤ 0 (13.64) Teststatistik V ∑ n 1 i =1 R i ( X 11 , . . . , X 1 n 1 , X 21 , . . . , X 2 n 2 ) (vgl. (10.27)) (13.65) Nullverteilung F exakt: Wilcoxonverteilung, Quantile w α ( n 1 , n 2 ) auf S.114 (13.66) approx. ( n i > 25): N ( n 1 ( n 1 + n 2 +1) 2 , n 1 n 2 ( n 1 + n 2 +1) 12 ) p -Wert exakt (1) 2 min( F ( V ) , 1 − F ( V − 1)) (2) F ( V ) (3) 1 − F ( V − 1) (13.67) 86 13 Statistische Tests R-Befehl wilcox.test(x,y), x= ( x 11 , . . . , x 1 n 1 ), y= ( x 21 , . . . , x 2 n 2 ) (13.68) 13.2.2 Tests mit einseitigem Ablehnungsbereich Tests haben zur gegebenen Nullhypothese H 0 , Nullverteilung F und Signifikanzniveau α den Ablehnungsbereich v > q 1 − α und den p -Wert 1 − F ( v ) (stetiger Fall). χ 2 -Unabhängigkeitstest Modell für L ( X ij ) Zweifachstichprobe mit u.i.v. ZV ( X 1 j , X 2 j ) ∈ { A 1 , . . . , A K } × { B 1 , . . . , B L } (13.69) Nullhypothese H 0 X 1 j und X 2 j sind st.u.. (13.70) Teststatistik V K ∑ k =1 L ∑ ℓ =1 ( H kℓ − E kℓ ) 2 E kℓ (vgl. (10.32)) (13.71) Nullverteilung F approx. χ 2 (( K − 1)( L − 1)) für min k,ℓ E kℓ ≥ 5. Ablehnung für V > q 1 − α . p -value ist 1 − F ( v ). (13.72) R-Befehl chisq.test(x,y=NULL) mit einer Matrix x, welche die Kontingenztafel ( H kℓ ) enthält. (13.73) 13.3 Regressionsanalyse 13.3.1 Statistisches Modell der Regression Gegeben eine u.i.v.-Stichprobe ( X j 1 , . . . , X jk , Y j ), j = 1 , . . . , n , mit folgenden Eigenschaften: ■ Y j = f ( X j 1 , . . . , X jk ) + ϵ j , und einer (unbekannten) Funktion f ∈ F . (13.74) ■ E ( ϵ j ) = 0, var ( ϵ j ) = σ 2 (unbekannt). (13.75) ■ ϵ j , ( X j 1 , . . . , X jk ) sind st.u., j = 1 , . . . , n (13.76) Ohne weitere Annahmen an f : Für j = 1 , . . . , n µ j = µ j ( x 1 , . . . , x k ) = E ( Y j | X j 1 = x 1 , . . . , X jk = x k ) = f ( x 1 , . . . , x k ) (13.77) Setze µ = ( µ 1 , . . . , µ n ) T Normalverteilungsannahme L ( ϵ i ) = N (0 , σ 2 ). (13.78) Multiple lineare Regression: f ∈ F hat die Form f ( x 1 , . . . , x k ) = β 0 + β 1 x 1 + · · · + β k x k (13.79) mit unbekannten β = ( β 0 , . . . , β k ) T ∈ R k +1 . Statistik 13.3 Regressionsanalyse 87 Datensatz: x • 1 x • 2 . . . x • k y x 1 • x 11 x 12 . . . x 1 k y 1 x 2 • x 21 x 22 . . . x 2 k y 2 ... ... ... ... ... x n • x n 1 x n 2 . . . x nk y n Spalten-Kennzahlen: ■ Mittelwerte: ¯ x • i , ¯ y ■ Varianzen 3 : σ 2 i = σ 2 n (x • i ) σ 2 y = σ 2 n (y) ■ Korrelationen: ρ rs = ρ P (x • r , x • s ), ρ ry = ρ P (x • r , y) Modellmatrix X = ( 1 x 11 · · · x 1 k ... ... ... 1 x n 1 · · · x nk ) , q = Rg (X) , µ = X β (13.80) Spezialfall polynomiale Regression: f ∈ F ist Polynom vorgegebenen Grades k ∈ N f ( x ) = β 0 + β 1 x + · · · + β k x k (13.81) mit unbekannten β 0 , β 1 , . . . , β k ∈ R. ■ k = 1: einfache lineare Regression: f ( x ) = β 0 + β 1 x (13.82) ■ k = 2: quadratische Regression f ( x ) = β 0 + β 1 x + β 2 x 2 (13.83) Die Modellmatrix X hat die Einträge x ji = x ij 1 (13.84) 13.3.2 Parameterschätzung und Prognose Kleinste-Quadrate-Schätzung für β, σ 2 ˆ β = ˆ β KQ = argmin β ∈ R k +1 ∥ y − X β ∥ 2 (13.85) ˆ y = (ˆ y 1 , ˆ y 2 , . . . , ˆ y n ) T = X ˆ β (13.86) ˆ σ 2 = 1 n − q ∥ y − ˆ y ∥ 2 = 1 n − 1 ( ∥ y ∥ 2 − ˆ β T X T y) (13.87) Unter der Voraussetzung, dass C = ( c ij ) i,j =0 ,...,k = (X T X) − 1 existiert, gilt 4,5 ˆ β KQ = CX T y = (X T X) − 1 X T y (13.88) cov ( ˆ β KQ ) = σ 2 C (13.89) σ ( ˆ β i ) = √ c ii · ˆ σ (Standardfehler) (13.90) (1 − α )-Konfidenzintervall | β i − ˆ β i | ≤ t 1 − α/ 2 ( n − q )ˆ σ i (13.91) 3 zu σ 2 n vgl. (10.17) 4 unter NV-Annahme (13.78) werden die Konfidenz- und Prognoseintervalle gebildet und sind die KQ-Schätzer auch ML-Schätzer. 5 dabei sind ˜ x j • = (1 , x j 1 , . . . , x jk ), ˜ x = (1 , x 1 , . . . , x k ). 88 13 Statistische Tests KQ-Schätzung von µ j : ˆ µ j = ˆ y j = ¯ y + ∑ k i =1 ˆ β i ( x ji − ¯ x • i ) (13.92) (1 − α )-Konfidenzintervall | µ j − ˆ µ j | ≤ t 1 − α/ 2 ( n − q ) · ˆ σ · √˜ x j • C ˜ x T j • (13.93) KQ-Prognose von y bei gegebenen x = ( x 1 , . . . , x k ) ˆ y(x) = ˜ x T ˆ β (13.94) (1 − α )-Prognoseintervall | y − ˆ y(x) | ≤ t 1 − α/ 2 ( n − q ) · ˆ σ · √ 1 + ˜ xC ˜ x T (13.95) Spezialfälle der multiplen linearen Regression ■ ein Regressor ( k = 1): f ( x ) = β 0 + β 1 x 1 ˆ β 1 = σ y σ 1 · ρ 1y = n ∑ i =1 ( x i 1 − ¯ x • 1 )( y i − ¯ y) / n ∑ i =1 ( x i 1 − ¯ x • 1 ) 2 (13.96) ˆ β 0 = ¯ y − ˆ β 1 ¯ x • 1 (13.97) ˆ σ 2 = n n − 2 σ 2 y (1 − ρ 21y ) (13.98) Standardfehler der Parameterschätzer: ˆ σ 1 = σ y σ 1 · √ 1 n − 2 (1 − ρ 21y ) (13.99) ˆ σ 0 = σ y σ 1 · √ 1 n − 2 (1 − ρ 21y )( σ 2 1 + ¯ x 2 • 1 ) (13.100) (1 − α )-Konfidenz- und Prognoseintervalle: | µ j − ˆ µ j (x) | ≤ t 1 − α/ 2 ( n − q ) · ˆ σ · √ 1 n + ( x j − ¯ x ) 2 nσ 2 1 (13.101) | y − ˆ y(x) | ≤ t 1 − α/ 2 ( n − q ) · ˆ σ · √ 1 + 1 n + ( x − ¯ x ) 2 nσ 2 1 (13.102) ■ zwei Regressoren ( k = 2): f ( x ) = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 ˆ β 2 = σ y σ 2 · ρ 2y − ρ 12 ρ 1y 1 − ρ 212 (13.103) ˆ β 1 = σ y σ 1 · ρ 1y − ρ 12 ρ 2y 1 − ρ 212 (13.104) ˆ β 0 = ¯ y − ˆ β 1 ¯ x • 1 − ˆ β 2 ¯ x • 2 (13.105) ˆ σ 2 = n n − 3 σ 2 y ( 1 − ρ 21y − 2 ρ 1y ρ 2y ρ 12 + ρ 22y 1 − ρ 212 ) (13.106) Standardfehler der Parameterschätzer: Statistik 13.3 Regressionsanalyse 89 ˆ σ 2 = ˆ σ σ 1 · √ 1 n (1 − ρ 212 ) (13.107) ˆ σ 1 = ˆ σ σ 2 √ 1 n (1 − ρ 212 ) (13.108) ˆ σ 0 = ˆ σ · √ ( σ 2 1 +¯ x 2 • 1 )( σ 2 2 +¯ x 2 • 2 ) − ( σ 1 σ 2 ρ 12 +¯ x • 1 ¯ x • 2 ) 2 nσ 2 1 σ 2 2 (1 − ρ 212 ) (13.109) 13.3.3 Streuungszerlegung und Varianzschätzung Residuen : Res (y) = ˆ y − y = nσ 2 y (13.110) Streuungszerlegung SS T = SS R + SS Res (13.111) SS T = ∥ y − ¯ y¯1 ∥ 2 = n ∑ i =1 ( y i − ¯ y) 2 = nσ 2 y (13.112) SS Res = ∥ Res (y) ∥ 2 = ∥ ˆ y − y ∥ 2 = ( n − q )ˆ σ 2 (13.113) SS R = ∥ ˆ y − ¯ y¯1 ∥ 2 (13.114) Bestimmtheitsmaß R 2 = SS R / SS T = 1 − SS Res / SS T (13.115) R 2 a = 1 − SS Res / n − q SS T / n − 1 = 1 − (1 − R 2 ) n − 1 n − q = R 2 − (1 − R 2 ) q − 1 n − q (13.116) Spezialfälle der multiplen linearen Regression: ■ Ein Regressor ( k = 1) SS Res = nσ 2 y (1 − ρ 21 y ) (13.117) SS R = nσ 2 y ρ 21y = nσ 2 1 ˆ β 2 1 (13.118) R 2 = ρ 21y (13.119) ■ Zwei Regressoren ( k = 2) SS Res = nσ 2 y ( 1 − ρ 21y − 2 ρ 1y ρ 2y ρ 12 + ρ 22y 1 − ρ 212 ) (13.120) SS R = nσ 2 y ρ 21y − 2 ρ 1y ρ 2y ρ 12 + ρ 22y 1 − ρ 212 = n ( σ 2 1 ˆ β 2 1 + σ 2 2 ˆ β 2 2 + 2 σ 1 σ 2 ˆ β 1 ˆ β 2 ρ 12 ) (13.121) R 2 = ρ 21y − 2 ρ 1y ρ 2y ρ 12 + ρ 22y 1 − ρ 212 (13.122) 13.3.4 Hypothesentests im linearen Regressionsmodell Alle Tests werden unter Normalverteilungsannahme (13.78) angewendet. 90 13 Statistische Tests (Mehr-)Parameter-Hypothese Mit vorgegebenen 1 ≤ i 1 < · · · < i m ≤ k H 0 : β i 1 = · · · = β i m = 0 (13.123) Unter H 0 ist Y = X H β H + ϵ (13.124) X H ( β H ) entsteht aus X ( β ) durch Streichen der Spalten (Einträge) i 1 + 1 , . . . , i m + 1. KQ-Schätzer bei Gültigkeit von H mit C H = (X T H X H ) − 1 und p = Rg (X H ) < q ˆ β H = C H X T H Y (13.125) ˆ y H = X H ˆ β H (13.126) F -Test der Hypothese H 0 : β i 1 = · · · = β i m = 0 Teststatistik V = 1 q − p · ∥ ˆ y − ˆ y H ∥ 2 / ˆ σ 2 = ∥ ˆ y − ˆ y H ∥ 2 / ( q − p ) ∥ ˆ y − y ∥ 2 / ( n − q ) (13.127) Nullverteilung F = F ( q − p, n − q ) (13.128) Ablehnungsbereich v > F 1 − α ( q − p, n − q ) (13.129) p -Wert 1 − F ( v ) (13.130) F -Test des Gesamtmodells, Hypothese H 0 : β 1 = · · · = β k = 0 Teststatistik V = SS R / k SS Res / ( n − q ) = n − q k R 2 1 − R 2 (13.131) Nullverteilung F = F ( k, n − q ) (13.132) Ablehnungsbereich v > F 1 − α ( k, n − q ) (13.133) p -Wert 1 − F ( v ) (13.134) t -Test der Hypothese H 0 : β j = 0: Teststatistik V = ˆ β j / √ c jj ˆ σ 2 (13.135) Nullverteilung F = t ( n − q ) (13.136) Ablehnungsbereich | v | > t 1 − α/ 2 ( n − q ) (13.137) p -Wert 2(1 − F ( | v | )) (13.138) 13.4 Varianzanalyse mit einem Faktor Gegeben eine u.i.v.-Stichprobe ( U 1 , Y 1 ) , . . . , ( U n , Y n ) mit folgenden Eigenschaften: Statistik 13.5 Kovarianzanalyse 91 ■ U j = u j ∈ { 1 , . . . , p } , dabei ist p ∈ N (Faktor mit p Stufen) sowie Dummy-Variablen X ji = { 1 U j = i 0 U j ̸ = i (13.139) ■ Y j = y j = β 0 + ∑ p − 1 i =1 β i X ji + ϵ j mit β 0 , . . . , β p − 1 ∈ R (unbekannt) (13.140) ■ E ( ϵ j ) = 0, var ( ϵ j ) = σ 2 (unbekannt). (13.141) ■ ϵ j , U j sind st.u., j = 1 , . . . , n (13.142) Regressionsfunktion 6 für j = 1 , . . . , n und x j ∈ { 0 , 1 } , ∑ x j ≤ 1 E ( Y j | X j 1 = x 1 , . . . , X jp − 1 = x p − 1 ) = β 0 + β 1 x 1 + · · · + β p − 1 x p − 1 (13.143) Setze ¯ y •• = 1 n n ∑ j =1 y j und für i ∈ { 1 , . . . , p } : ■ n i = # { j : u j = i } (13.144) ■ ¯ y i • = 1 n i ∑ j : u j = i y j (13.145) KQ-Schätzer 7 ˆ β 0 = ¯ y p • , ˆ β i = ¯ y i • − ¯ y p • , für i = 1 , . . . , p − 1 (13.146) ˆ σ 2 = 1 n − p SS Res = 1 n − p ∑ ij ( y j − ¯ y i • ) 2 (13.147) F -Test der Hypothese H 0 : β 1 = · · · = β p − 1 = 0 unter NV-Annahme (13.78) Teststatistik V = 1 p − 1 ∑ p i =1 n i (¯ y i • − ¯ y •• ) 2 / ˆ σ 2 (13.148) Nullverteilung F = F ( p − 1 , n − p ) (13.149) Ablehnungsbereich v > F 1 − α ( p − 1 , n − p ) (13.150) p -Wert 1 − F ( v ) (13.151) 13.5 Kovarianzanalyse Gegeben eine u.i.v.-Stichprobe ( U 1 , V 1 , Y 1 ) , . . . , ( U n , V n , Y n ) mit folgenden Eigenschaften: ■ U j = u j ∈ { 1 , . . . , p } , dabei ist p ∈ N (Faktor mit p Stufen) sowie Dummy-Variablen X ji = { 1 U j = i 0 U j ̸ = i (13.152) ■ V j = v j ∈ R ■ Y j = y j = β 0 + ∑ p − 1 i =1 β i X ji + γV j + ϵ j mit β 0 , . . . , β p − 1 , γ ∈ R (unbekannt) (13.153) 6 d.h. Faktorstufe p entspricht dem mittleren Effekt β 0 , die Parameter β 1 , . . . , β p − 1 beschreiben Abweichungen der übrigen Faktorstufen vom mittleren Effekt. In R sind die Faktorstufen (lexikografisch) sortiert und die kleinste Stufe entspricht dem mittleren Effekt. 7 Hier und im folgenden ist mit Σ ij . . . die Doppelsumme Σ p i =1 Σ j : u j = i . . . gemeint. 92 13 Statistische Tests ■ E ( ϵ j ) = 0, var ( ϵ j ) = σ 2 (unbekannt). (13.154) ■ ϵ j , U j sind st.u., j = 1 , . . . , n (13.155) Regressionsfunktion 6 für j = 1 , . . . , n und x j ∈ { 0 , 1 } , ∑ x j ≤ 1 , v ∈ R E ( Y j | X j 1 = x 1 , . . . , X jp − 1 = x p − 1 , V j = v ) = β 0 + β 1 x 1 + · · · + β p − 1 x p − 1 + γv (13.156) Setze ¯ y •• = 1 n ∑ n j =1 y j , ¯ v •• = 1 n ∑ n j =1 v j und für i ∈ { 1 , . . . , p } : ■ n i = # { j : u j = i } (13.157) ■ ¯ y i • = 1 n i ∑ j : u j = i y j , ¯ v i • = 1 n i ∑ j : u j = i v j (13.158) KQ-Schätzer 7 ˆ β 0 = ¯ y p • − ˆ γ ¯ v p • (13.159) ˆ β i = ¯ y i • − ¯ y p • − ˆ γ ( ¯ v i • − ¯ v p • ) für i = 1 , . . . , p − 1 (13.160) ˆ γ = ∑ ij ( v j − ¯ v i • )( y j − ¯ y i • ) / ∑ ij ( v j − ¯ v i • ) 2 (13.161) ˆ σ 2 = SS Res / ( n − p − 1) (13.162) SS Res = ∑ ij ( y j − ¯ y i • ) 2 − (∑ ij ( v j − ¯ v i • )( y j − ¯ y i • ) ) 2 ∑ ij ( v j − ¯ v i • ) 2 (13.163) F -Test der Hypothese H 0 : γ = 0 unter NV-Annahme (13.78) Teststatistik V = (∑ ij ( v j − ¯ v i • )( y j − ¯ y i • ) ) 2 / ˆ σ 2 ∑ ij ( v j − ¯ v i • ) 2 (13.164) Nullverteilung F = F (1 , n − p − 1) (13.165) Ablehnungsbereich v > F 1 − α (1 , n − p − 1) (13.166) F -Test der Hypothese H 0 : β 1 = · · · = β p − 1 = 0 unter NV-Annahme (13.78) Teststatistik V = ∑ ij (y i • − y •• + ˆ γ ( v j − v i • ) − ˆˆ γ ( v j − v •• )) 2 ( p − 1)ˆ σ 2 (13.167) mit ˆˆ γ = ∑ n j =1 ( v j − ¯ v •• )( y j − ¯ y •• ) / ∑ n j =1 ( v j − ¯ v •• ) 2 (13.168) Nullverteilung F = F ( p − 1 , n − p ) (13.169) Ablehnungsbereich v > F 1 − α ( p − 1 , n − p ) (13.170) p -Wert ist jeweils 1 − F ( v ). Statistik 14 Verteilungstabellen Alle Werte wurden mit R berechnet (Skripten online verfügbar) und gerundet. 14.1 Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung 000 005 010 015 020 025 030 035 040 045 050 055 060 065 070 075 080 085 090 095 0.0 500 502 504 506 508 510 512 514 516 518 520 522 524 526 528 530 532 534 536 538 0.1 540 542 544 546 548 550 552 554 556 558 560 562 564 566 567 569 571 573 575 577 0.2 579 581 583 585 587 589 591 593 595 597 599 601 603 604 606 608 610 612 614 616 0.3 618 620 622 624 626 627 629 631 633 635 637 639 641 642 644 646 648 650 652 654 0.4 655 657 659 661 663 665 666 668 670 672 674 675 677 679 681 683 684 686 688 690 0.5 691 693 695 697 698 700 702 704 705 707 709 711 712 714 716 717 719 721 722 724 0.6 726 727 729 731 732 734 736 737 739 741 742 744 745 747 749 750 752 753 755 756 0.7 758 760 761 763 764 766 767 769 770 772 773 775 776 778 779 781 782 784 785 787 0.8 788 790 791 792 794 795 797 798 800 801 802 804 805 806 808 809 811 812 813 815 0.9 816 817 819 820 821 823 824 825 826 828 829 830 831 833 834 835 836 838 839 840 1.0 841 843 844 845 846 847 848 850 851 852 853 854 855 857 858 859 860 861 862 863 1.1 864 865 867 868 869 870 871 872 873 874 875 876 877 878 879 880 881 882 883 884 1.2 885 886 887 888 889 890 891 892 893 893 894 895 896 897 898 899 900 901 901 902 1.3 903 904 905 906 907 907 908 909 910 911 911 912 913 914 915 915 916 917 918 918 1.4 919 920 921 921 922 923 924 924 925 926 926 927 928 929 929 930 931 931 932 933 1.5 933 934 934 935 936 936 937 938 938 939 939 940 941 941 942 942 943 944 944 945 1.6 945 946 946 947 947 948 948 949 949 950 951 951 952 952 953 953 954 954 954 955 1.7 955 956 956 957 957 958 958 959 959 960 960 960 961 961 962 962 962 963 963 964 1.8 964 964 965 965 966 966 966 967 967 967 968 968 969 969 969 970 970 970 971 971 1.9 971 972 972 972 973 973 973 974 974 974 974 975 975 975 976 976 976 976 977 977 2.0 977 978 978 978 978 979 979 979 979 980 980 980 980 981 981 981 981 981 982 982 2.1 982 982 983 983 983 983 983 984 984 984 984 984 985 985 985 985 985 986 986 986 2.2 986 986 986 987 987 987 987 987 987 988 988 988 988 988 988 989 989 989 989 989 2.3 989 989 990 990 990 990 990 990 990 990 991 991 991 991 991 991 991 991 992 992 2.4 992 992 992 992 992 992 992 993 993 993 993 993 993 993 993 993 993 994 994 994 2.5 994 994 994 994 994 994 994 994 994 995 995 995 995 995 995 995 995 995 995 995 2.6 995 995 995 996 996 996 996 996 996 996 996 996 996 996 996 996 996 996 996 996 2.7 997 997 997 997 997 997 997 997 997 997 997 997 997 997 997 997 997 997 997 997 2.8 997 997 998 998 998 998 998 998 998 998 998 998 998 998 998 998 998 998 998 998 94 14 Verteilungstabellen 000 005 010 015 020 025 030 035 040 045 050 055 060 065 070 075 080 085 090 095 2.9 998 998 998 998 998 998 998 998 998 998 998 998 998 998 999 999 999 999 999 999 3.0 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 3.1 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 3.2 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 1 Beispiel 1 : Φ(1 . 240) = Φ(1 . 2 + . 040) ≈ 0 . 893. Für nicht aufgeführte x : ■ x ≥ 3 . 2: Φ( x ) ≈ 1 für x ≥ 3 . 2. Für x < 0: Φ( x ) = 1 − Φ( − x ) ■ Interpolation: Φ( λx + (1 − λ ) y ) ≈ λ Φ( x ) + (1 − λ )Φ( y ) 14.2 Quantile der Standardnormal- und t ( n )-Verteilung n = α =.900 .950 .975 .990 .995 .999 .9995 ∞ 1.28 1.64 1.96 2.33 2.58 3.09 3.29 1 3.08 6.31 12.71 31.82 63.66 318.31 636.62 2 1.89 2.92 4.30 6.96 9.92 22.33 31.60 3 1.64 2.35 3.18 4.54 5.84 1.21 12.92 4 1.53 2.13 2.78 3.75 4.60 7.17 8.61 5 1.48 2.02 2.57 3.36 4.03 5.89 6.87 6 1.44 1.94 2.45 3.14 3.71 5.21 5.96 7 1.41 1.89 2.36 3.00 3.50 4.79 5.41 8 1.40 1.86 2.31 2.90 3.36 4.50 5.04 9 1.38 1.83 2.26 2.82 3.25 4.30 4.78 10 1.37 1.81 2.23 2.76 3.17 4.14 4.59 11 1.36 1.80 2.20 2.72 3.11 4.02 4.44 12 1.36 1.78 2.18 2.68 3.05 3.93 4.32 13 1.35 1.77 2.16 2.65 3.01 3.85 4.22 14 1.35 1.76 2.14 2.62 2.98 3.79 4.14 15 1.34 1.75 2.13 2.60 2.95 3.73 4.07 16 1.34 1.75 2.12 2.58 2.92 3.69 4.01 17 1.33 1.74 2.11 2.57 2.90 3.65 3.97 18 1.33 1.73 2.10 2.55 2.88 3.61 3.92 19 1.33 1.73 2.09 2.54 2.86 3.58 3.88 20 1.33 1.72 2.09 2.53 2.85 3.55 3.85 21 1.32 1.72 2.08 2.52 2.83 3.53 3.82 22 1.32 1.72 2.07 2.51 2.82 3.50 3.79 23 1.32 1.71 2.07 2.50 2.81 3.48 3.77 24 1.32 1.71 2.06 2.49 2.80 3.47 3.75 25 1.32 1.71 2.06 2.49 2.79 3.45 3.73 26 1.31 1.71 2.06 2.48 2.78 3.43 3.71 27 1.31 1.70 2.05 2.47 2.77 3.42 3.69 28 1.31 1.70 2.05 2.47 2.76 3.41 3.67 29 1.31 1.70 2.05 2.46 2.76 3.40 3.66 30 1.31 1.70 2.04 2.46 2.75 3.39 3.65 31 1.31 1.70 2.04 2.45 2.74 3.37 3.63 32 1.31 1.69 2.04 2.45 2.74 3.37 3.62 33 1.31 1.69 2.03 2.44 2.73 3.36 3.61 34 1.31 1.69 2.03 2.44 2.73 3.35 3.60 35 1.31 1.69 2.03 2.44 2.72 3.34 3.59 36 1.31 1.69 2.03 2.43 2.72 3.33 3.58 1 in Tabelle weiß hervorgehoben Statistik 14.2 Quantile der Standardnormal- und t ( n )-Verteilung 95 n = α =.900 .950 .975 .990 .995 .999 .9995 37 1.30 1.69 2.03 2.43 2.72 3.33 3.57 38 1.30 1.69 2.02 2.43 2.71 3.32 3.57 39 1.30 1.68 2.02 2.43 2.71 3.31 3.56 40 1.30 1.68 2.02 2.42 2.70 3.31 3.55 41 1.30 1.68 2.02 2.42 2.70 3.30 3.54 43 1.30 1.68 2.02 2.42 2.70 3.29 3.53 44 1.30 1.68 2.02 2.41 2.69 3.29 3.53 45 1.30 1.68 2.01 2.41 2.69 3.28 3.52 46 1.30 1.68 2.01 2.41 2.69 3.28 3.51 47 1.30 1.68 2.01 2.41 2.68 3.27 3.51 49 1.30 1.68 2.01 2.40 2.68 3.27 3.50 50 1.30 1.68 2.01 2.40 2.68 3.26 3.50 51 1.30 1.68 2.01 2.40 2.68 3.26 3.49 52 1.30 1.67 2.01 2.40 2.67 3.25 3.49 53 1.30 1.67 2.01 2.40 2.67 3.25 3.48 54 1.30 1.67 2.00 2.40 2.67 3.25 3.48 56 1.30 1.67 2.00 2.39 2.67 3.24 3.47 57 1.30 1.67 2.00 2.39 2.66 3.24 3.47 59 1.30 1.67 2.00 2.39 2.66 3.23 3.46 62 1.30 1.67 2.00 2.39 2.66 3.23 3.45 63 1.30 1.67 2.00 2.39 2.66 3.22 3.45 64 1.29 1.67 2.00 2.39 2.65 3.22 3.45 66 1.29 1.67 2.00 2.38 2.65 3.22 3.44 68 1.29 1.67 2.00 2.38 2.65 3.21 3.44 69 1.29 1.67 1.99 2.38 2.65 3.21 3.44 71 1.29 1.67 1.99 2.38 2.65 3.21 3.43 73 1.29 1.67 1.99 2.38 2.64 3.21 3.43 74 1.29 1.67 1.99 2.38 2.64 3.20 3.43 76 1.29 1.67 1.99 2.38 2.64 3.20 3.42 77 1.29 1.66 1.99 2.38 2.64 3.20 3.42 79 1.29 1.66 1.99 2.37 2.64 3.20 3.42 81 1.29 1.66 1.99 2.37 2.64 3.19 3.41 85 1.29 1.66 1.99 2.37 2.63 3.19 3.41 88 1.29 1.66 1.99 2.37 2.63 3.19 3.40 89 1.29 1.66 1.99 2.37 2.63 3.18 3.40 96 1.29 1.66 1.98 2.37 2.63 3.18 3.39 99 1.29 1.66 1.98 2.36 2.63 3.17 3.39 102 1.29 1.66 1.98 2.36 2.62 3.17 3.39 106 1.29 1.66 1.98 2.36 2.62 3.17 3.38 112 1.29 1.66 1.98 2.36 2.62 3.16 3.38 118 1.29 1.66 1.98 2.36 2.62 3.16 3.37 128 1.29 1.66 1.98 2.36 2.61 3.16 3.37 129 1.29 1.66 1.98 2.36 2.61 3.15 3.37 132 1.29 1.66 1.98 2.35 2.61 3.15 3.37 134 1.29 1.66 1.98 2.35 2.61 3.15 3.36 152 1.29 1.65 1.98 2.35 2.61 3.14 3.36 154 1.29 1.65 1.98 2.35 2.61 3.14 3.35 159 1.29 1.65 1.97 2.35 2.61 3.14 3.35 171 1.29 1.65 1.97 2.35 2.60 3.14 3.35 182 1.29 1.65 1.97 2.35 2.60 3.14 3.34 185 1.29 1.65 1.97 2.35 2.60 3.13 3.34 202 1.29 1.65 1.97 2.34 2.60 3.13 3.34 222 1.29 1.65 1.97 2.34 2.60 3.13 3.33 237 1.29 1.65 1.97 2.34 2.60 3.12 3.33 247 1.28 1.65 1.97 2.34 2.60 3.12 3.33 259 1.28 1.65 1.97 2.34 2.59 3.12 3.33 285 1.28 1.65 1.97 2.34 2.59 3.12 3.32 332 1.28 1.65 1.97 2.34 2.59 3.11 3.32 96 14 Verteilungstabellen n = α =.900 .950 .975 .990 .995 .999 .9995 401 1.28 1.65 1.97 2.34 2.59 3.11 3.31 433 1.28 1.65 1.97 2.33 2.59 3.11 3.31 473 1.28 1.65 1.96 2.33 2.59 3.11 3.31 538 1.28 1.65 1.96 2.33 2.58 3.11 3.31 555 1.28 1.65 1.96 2.33 2.58 3.10 3.31 675 1.28 1.65 1.96 2.33 2.58 3.10 3.30 1712 1.28 1.65 1.96 2.33 2.58 3.09 3.30 ∞ 1.28 1.64 1.96 2.33 2.58 3.09 3.29 Beispiele 2 : ■ t 0 . 95 (15) ≈ 1 . 75 und u 0 . 95 = t 0 . 95 ( ∞ ) ≈ 1 , 64 ■ Fehlendes n : nächstkleineres n in Tabelle nutzen, z.B. t 0 . 9 (250) ≈ t 0 . 9 (247) ≈ 1 , 28 ■ α ≤ 0 , 1: t α ( n ) = − t 1 − α ( n ), u α = − u 1 − α ■ n > 2000: t α ( n ) ≈ t α ( ∞ ) 14.3 Quantile der χ 2 ( n )-Verteilung, n ≤ 100 n = α =0.0005 0.001 0.0025 0.005 0.01 0.025 0.05 0.1 1 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.001 0.004 0.016 2 0.001 0.002 0.005 0.010 0.020 0.051 0.103 0.211 3 0.015 0.024 0.045 0.072 0.115 0.216 0.352 0.584 4 0.064 0.091 0.145 0.207 0.297 0.484 0.711 1.064 5 0.158 0.210 0.307 0.412 0.554 0.831 1.145 1.610 6 0.299 0.381 0.527 0.676 0.872 1.237 1.635 2.204 7 0.485 0.598 0.794 0.989 1.239 1.690 2.167 2.833 8 0.710 0.857 1.104 1.344 1.646 2.180 2.733 3.490 9 0.972 1.152 1.450 1.735 2.088 2.700 3.325 4.168 10 1.265 1.479 1.827 2.156 2.558 3.247 3.940 4.865 11 1.587 1.834 2.232 2.603 3.053 3.816 4.575 5.578 12 1.934 2.214 2.661 3.074 3.571 4.404 5.226 6.304 13 2.305 2.617 3.112 3.565 4.107 5.009 5.892 7.042 14 2.697 3.041 3.582 4.075 4.660 5.629 6.571 7.790 15 3.108 3.483 4.070 4.601 5.229 6.262 7.261 8.547 16 3.536 3.942 4.573 5.142 5.812 6.908 7.962 9.312 17 3.980 4.416 5.092 5.697 6.408 7.564 8.672 10.085 18 4.439 4.905 5.623 6.265 7.015 8.231 9.390 10.865 19 4.912 5.407 6.167 6.844 7.633 8.907 10.117 11.651 20 5.398 5.921 6.723 7.434 8.260 9.591 10.851 12.443 21 5.896 6.447 7.289 8.034 8.897 10.283 11.591 13.240 22 6.404 6.983 7.865 8.643 9.542 10.982 12.338 14.041 23 6.924 7.529 8.450 9.260 10.196 11.689 13.091 14.848 24 7.453 8.085 9.044 9.886 10.856 12.401 13.848 15.659 25 7.991 8.649 9.646 10.520 11.524 13.120 14.611 16.473 26 8.538 9.222 10.256 11.160 12.198 13.844 15.379 17.292 27 9.093 9.803 10.873 11.808 12.879 14.573 16.151 18.114 28 9.656 10.391 11.497 12.461 13.565 15.308 16.928 18.939 29 10.227 10.986 12.128 13.121 14.256 16.047 17.708 19.768 30 10.804 11.588 12.765 13.787 14.953 16.791 18.493 20.599 31 11.389 12.196 13.407 14.458 15.655 17.539 19.281 21.434 32 11.979 12.811 14.056 15.134 16.362 18.291 20.072 22.271 33 12.576 13.431 14.709 15.815 17.074 19.047 20.867 23.110 34 13.179 14.057 15.368 16.501 17.789 19.806 21.664 23.952 35 13.787 14.688 16.032 17.192 18.509 20.569 22.465 24.797 36 14.401 15.324 16.700 17.887 19.233 21.336 23.269 25.643 37 15.020 15.965 17.373 18.586 19.960 22.106 24.075 26.492 2 in Tabelle weiß hervorgehoben Statistik 14.3 Quantile der χ 2 ( n )-Verteilung, n ≤ 100 97 n = α =0.0005 0.001 0.0025 0.005 0.01 0.025 0.05 0.1 38 15.644 16.611 18.050 19.289 20.691 22.878 24.884 27.343 39 16.273 17.262 18.732 19.996 21.426 23.654 25.695 28.196 40 16.906 17.916 19.417 20.707 22.164 24.433 26.509 29.051 41 17.544 18.575 20.106 21.421 22.906 25.215 27.326 29.907 42 18.186 19.239 20.799 22.138 23.650 25.999 28.144 30.765 43 18.832 19.906 21.496 22.859 24.398 26.785 28.965 31.625 44 19.483 20.576 22.196 23.584 25.148 27.575 29.787 32.487 45 20.137 21.251 22.900 24.311 25.901 28.366 30.612 33.350 46 20.794 21.929 23.606 25.041 26.657 29.160 31.439 34.215 47 21.456 22.610 24.316 25.775 27.416 29.956 32.268 35.081 48 22.121 23.295 25.029 26.511 28.177 30.755 33.098 35.949 49 22.789 23.983 25.745 27.249 28.941 31.555 33.930 36.818 50 23.461 24.674 26.464 27.991 29.707 32.357 34.764 37.689 51 24.136 25.368 27.185 28.735 30.475 33.162 35.600 38.560 52 24.814 26.065 27.909 29.481 31.246 33.968 36.437 39.433 53 25.495 26.765 28.636 30.230 32.018 34.776 37.276 40.308 54 26.179 27.468 29.365 30.981 32.793 35.586 38.116 41.183 55 26.866 28.173 30.097 31.735 33.570 36.398 38.958 42.060 56 27.555 28.881 30.831 32.490 34.350 37.212 39.801 42.937 57 28.248 29.592 31.568 33.248 35.131 38.027 40.646 43.816 58 28.943 30.305 32.307 34.008 35.913 38.844 41.492 44.696 59 29.640 31.020 33.048 34.770 36.698 39.662 42.339 45.577 60 30.340 31.738 33.791 35.534 37.485 40.482 43.188 46.459 61 31.043 32.459 34.537 36.301 38.273 41.303 44.038 47.342 62 31.748 33.181 35.284 37.068 39.063 42.126 44.889 48.226 63 32.455 33.906 36.033 37.838 39.855 42.950 45.741 49.111 64 33.165 34.633 36.785 38.610 40.649 43.776 46.595 49.996 65 33.877 35.362 37.538 39.383 41.444 44.603 47.450 50.883 66 34.591 36.093 38.293 40.158 42.240 45.431 48.305 51.770 67 35.307 36.826 39.050 40.935 43.038 46.261 49.162 52.659 68 36.025 37.561 39.809 41.713 43.838 47.092 50.020 53.548 69 36.745 38.298 40.570 42.494 44.639 47.924 50.879 54.438 70 37.467 39.036 41.332 43.275 45.442 48.758 51.739 55.329 71 38.192 39.777 42.096 44.058 46.246 49.592 52.600 56.221 72 38.918 40.519 42.862 44.843 47.051 50.428 53.462 57.113 73 39.646 41.264 43.629 45.629 47.858 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62.428 65.476 68.383 72.055 74.725 40 51.805 55.758 59.342 63.691 66.766 69.699 73.402 76.095 41 52.949 56.942 60.561 64.950 68.053 71.011 74.745 77.459 42 54.090 58.124 61.777 66.206 69.336 72.320 76.084 78.820 43 55.230 59.304 62.990 67.459 70.616 73.624 77.419 80.176 44 56.369 60.481 64.201 68.710 71.893 74.925 78.750 81.528 45 57.505 61.656 65.410 69.957 73.166 76.223 80.077 82.876 46 58.641 62.830 66.617 71.201 74.437 77.517 81.400 84.220 47 59.774 64.001 67.821 72.443 75.704 78.809 82.720 85.560 48 60.907 65.171 69.023 73.683 76.969 80.097 84.037 86.897 49 62.038 66.339 70.222 74.919 78.231 81.382 85.351 88.231 50 63.167 67.505 71.420 76.154 79.490 82.664 86.661 89.561 51 64.295 68.669 72.616 77.386 80.747 83.943 87.968 90.887 52 65.422 69.832 73.810 78.616 82.001 85.220 89.272 92.211 53 66.548 70.993 75.002 79.843 83.253 86.494 90.573 93.531 54 67.673 72.153 76.192 81.069 84.502 87.766 91.872 94.849 55 68.796 73.311 77.380 82.292 85.749 89.035 93.168 96.163 56 69.919 74.468 78.567 83.513 86.994 90.301 94.461 97.475 57 71.040 75.624 79.752 84.733 88.236 91.565 95.751 98.784 58 72.160 76.778 80.936 85.950 89.477 92.827 97.039 100.090 59 73.279 77.931 82.117 87.166 90.715 94.087 98.324 101.394 60 74.397 79.082 83.298 88.379 91.952 95.344 99.607 102.695 61 75.514 80.232 84.476 89.591 93.186 96.599 100.888 103.993 62 76.630 81.381 85.654 90.802 94.419 97.852 102.166 105.289 63 77.745 82.529 86.830 92.010 95.649 99.104 103.442 106.583 64 78.860 83.675 88.004 93.217 96.878 100.353 104.716 107.875 65 79.973 84.821 89.177 94.422 98.105 101.600 105.988 109.164 66 81.085 85.965 90.349 95.626 99.330 102.845 107.258 110.451 67 82.197 87.108 91.519 96.828 100.554 104.089 108.526 111.736 68 83.308 88.250 92.689 98.028 101.776 105.330 109.791 113.018 69 84.418 89.391 93.856 99.228 102.996 106.570 111.055 114.299 70 85.527 90.531 95.023 100.425 104.215 107.808 112.317 115.578 71 86.635 91.670 96.189 101.621 105.432 109.045 113.577 116.854 72 87.743 92.808 97.353 102.816 106.648 110.279 114.835 118.129 73 88.850 93.945 98.516 104.010 107.862 111.513 116.092 119.402 Statistik 14.4 Quantile der F ( m, n )-Verteilung, n ≤ 500, m ≤ 20 99 n = α =0.9 0.95 0.975 0.99 0.995 0.9975 0.999 0.9995 74 89.956 95.081 99.678 105.202 109.074 112.744 117.346 120.673 75 91.061 96.217 100.839 106.393 110.286 113.974 118.599 121.942 76 92.166 97.351 101.999 107.583 111.495 115.203 119.850 123.209 77 93.270 98.484 103.158 108.771 112.704 116.430 121.100 124.475 78 94.374 99.617 104.316 109.958 113.911 117.655 122.348 125.739 79 95.476 100.749 105.473 111.144 115.117 118.879 123.594 127.001 80 96.578 101.879 106.629 112.329 116.321 120.102 124.839 128.261 81 97.680 103.010 107.783 113.512 117.524 121.323 126.083 129.520 82 98.780 104.139 108.937 114.695 118.726 122.543 127.324 130.778 83 99.880 105.267 110.090 115.876 119.927 123.761 128.565 132.033 84 100.980 106.395 111.242 117.057 121.126 124.979 129.804 133.288 85 102.079 107.522 112.393 118.236 122.325 126.195 131.041 134.540 86 103.177 108.648 113.544 119.414 123.522 127.409 132.277 135.792 87 104.275 109.773 114.693 120.591 124.718 128.623 133.512 137.041 88 105.372 110.898 115.841 121.767 125.913 129.835 134.745 138.290 89 106.469 112.022 116.989 122.942 127.106 131.046 135.978 139.537 90 107.565 113.145 118.136 124.116 128.299 132.256 137.208 140.782 91 108.661 114.268 119.282 125.289 129.491 133.464 138.438 142.027 92 109.756 115.390 120.427 126.462 130.681 134.672 139.666 143.269 93 110.850 116.511 121.571 127.633 131.871 135.878 140.893 144.511 94 111.944 117.632 122.715 128.803 133.059 137.083 142.119 145.751 95 113.038 118.752 123.858 129.973 134.247 138.288 143.344 146.990 96 114.131 119.871 125.000 131.141 135.433 139.491 144.567 148.228 97 115.223 120.990 126.141 132.309 136.619 140.693 145.789 149.465 98 116.315 122.108 127.282 133.476 137.803 141.894 147.010 150.700 99 117.407 123.225 128.422 134.642 138.987 143.094 148.230 151.934 100 118.498 124.342 129.561 135.807 140.169 144.293 149.449 153.167 14.4 Quantile der F ( m, n )-Verteilung, n ≤ 500, m ≤ 20 Bei nicht aufgeführtem n : nächstkleineres n in der Tabelle verwenden. Quantile für α = 0 , 9 n = m =1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 39.86 49.50 53.59 55.83 57.24 58.20 58.91 59.44 59.86 60.19 2 8.53 9.00 9.16 9.24 9.29 9.33 9.35 9.37 9.38 9.39 3 5.54 5.46 5.39 5.34 5.31 5.28 5.27 5.25 5.24 5.23 4 4.54 4.32 4.19 4.11 4.05 4.01 3.98 3.95 3.94 3.92 5 4.06 3.78 3.62 3.52 3.45 3.40 3.37 3.34 3.32 3.30 6 3.78 3.46 3.29 3.18 3.11 3.05 3.01 2.98 2.96 2.94 7 3.59 3.26 3.07 2.96 2.88 2.83 2.78 2.75 2.72 2.70 8 3.46 3.11 2.92 2.81 2.73 2.67 2.62 2.59 2.56 2.54 9 3.36 3.01 2.81 2.69 2.61 2.55 2.51 2.47 2.44 2.42 10 3.29 2.92 2.73 2.61 2.52 2.46 2.41 2.38 2.35 2.32 11 3.23 2.86 2.66 2.54 2.45 2.39 2.34 2.30 2.27 2.25 12 3.18 2.81 2.61 2.48 2.39 2.33 2.28 2.24 2.21 2.19 13 3.14 2.76 2.56 2.43 2.35 2.28 2.23 2.20 2.16 2.14 14 3.10 2.73 2.52 2.39 2.31 2.24 2.19 2.15 2.12 2.10 15 3.07 2.70 2.49 2.36 2.27 2.21 2.16 2.12 2.09 2.06 16 3.05 2.67 2.46 2.33 2.24 2.18 2.13 2.09 2.06 2.03 17 3.03 2.64 2.44 2.31 2.22 2.15 2.10 2.06 2.03 2.00 18 3.01 2.62 2.42 2.29 2.20 2.13 2.08 2.04 2.00 1.98 19 2.99 2.61 2.40 2.27 2.18 2.11 2.06 2.02 1.98 1.96 20 2.97 2.59 2.38 2.25 2.16 2.09 2.04 2.00 1.96 1.94 21 2.96 2.57 2.36 2.23 2.14 2.08 2.02 1.98 1.95 1.92 22 2.95 2.56 2.35 2.22 2.13 2.06 2.01 1.97 1.93 1.90 23 2.94 2.55 2.34 2.21 2.11 2.05 1.99 1.95 1.92 1.89 24 2.93 2.54 2.33 2.19 2.10 2.04 1.98 1.94 1.91 1.88 25 2.92 2.53 2.32 2.18 2.09 2.02 1.97 1.93 1.89 1.87 26 2.91 2.52 2.31 2.17 2.08 2.01 1.96 1.92 1.88 1.86 27 2.90 2.51 2.30 2.17 2.07 2.00 1.95 1.91 1.87 1.85 28 2.89 2.50 2.29 2.16 2.06 2.00 1.94 1.90 1.87 1.84 29 2.89 2.50 2.28 2.15 2.06 1.99 1.93 1.89 1.86 1.83 30 2.88 2.49 2.28 2.14 2.05 1.98 1.93 1.88 1.85 1.82 31 2.87 2.48 2.27 2.14 2.04 1.97 1.92 1.88 1.84 1.81 100 14 Verteilungstabellen n = m =1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 32 2.87 2.48 2.26 2.13 2.04 1.97 1.91 1.87 1.83 1.81 33 2.86 2.47 2.26 2.12 2.03 1.96 1.91 1.86 1.83 1.80 34 2.86 2.47 2.25 2.12 2.02 1.96 1.90 1.86 1.82 1.79 35 2.85 2.46 2.25 2.11 2.02 1.95 1.90 1.85 1.82 1.79 36 2.85 2.46 2.24 2.11 2.01 1.94 1.89 1.85 1.81 1.78 37 2.85 2.45 2.24 2.10 2.01 1.94 1.89 1.84 1.81 1.78 38 2.84 2.45 2.23 2.10 2.01 1.94 1.88 1.84 1.80 1.77 39 2.84 2.44 2.23 2.09 2.00 1.93 1.88 1.83 1.80 1.77 40 2.84 2.44 2.23 2.09 2.00 1.93 1.87 1.83 1.79 1.76 41 2.83 2.44 2.22 2.09 1.99 1.92 1.87 1.82 1.79 1.76 42 2.83 2.43 2.22 2.08 1.99 1.92 1.86 1.82 1.78 1.75 44 2.82 2.43 2.21 2.08 1.98 1.91 1.86 1.81 1.78 1.75 45 2.82 2.42 2.21 2.07 1.98 1.91 1.85 1.81 1.77 1.74 47 2.82 2.42 2.20 2.07 1.97 1.90 1.85 1.80 1.77 1.74 48 2.81 2.42 2.20 2.07 1.97 1.90 1.85 1.80 1.77 1.73 49 2.81 2.41 2.20 2.06 1.97 1.90 1.84 1.80 1.76 1.73 51 2.81 2.41 2.19 2.06 1.96 1.89 1.84 1.79 1.76 1.73 52 2.80 2.41 2.19 2.06 1.96 1.89 1.84 1.79 1.75 1.72 53 2.80 2.41 2.19 2.05 1.96 1.89 1.83 1.79 1.75 1.72 54 2.80 2.40 2.19 2.05 1.96 1.89 1.83 1.79 1.75 1.72 55 2.80 2.40 2.19 2.05 1.95 1.88 1.83 1.78 1.75 1.72 56 2.80 2.40 2.18 2.05 1.95 1.88 1.83 1.78 1.75 1.71 57 2.80 2.40 2.18 2.05 1.95 1.88 1.82 1.78 1.74 1.71 58 2.79 2.40 2.18 2.04 1.95 1.88 1.82 1.78 1.74 1.71 59 2.79 2.39 2.18 2.04 1.95 1.88 1.82 1.78 1.74 1.71 60 2.79 2.39 2.18 2.04 1.95 1.87 1.82 1.77 1.74 1.71 61 2.79 2.39 2.18 2.04 1.94 1.87 1.82 1.77 1.74 1.71 62 2.79 2.39 2.17 2.04 1.94 1.87 1.82 1.77 1.73 1.70 63 2.79 2.39 2.17 2.04 1.94 1.87 1.81 1.77 1.73 1.70 64 2.79 2.39 2.17 2.03 1.94 1.87 1.81 1.77 1.73 1.70 65 2.78 2.39 2.17 2.03 1.94 1.87 1.81 1.77 1.73 1.70 66 2.78 2.38 2.17 2.03 1.94 1.87 1.81 1.77 1.73 1.70 67 2.78 2.38 2.17 2.03 1.94 1.86 1.81 1.76 1.73 1.70 68 2.78 2.38 2.17 2.03 1.93 1.86 1.81 1.76 1.73 1.69 69 2.78 2.38 2.16 2.03 1.93 1.86 1.81 1.76 1.72 1.69 70 2.78 2.38 2.16 2.03 1.93 1.86 1.80 1.76 1.72 1.69 72 2.78 2.38 2.16 2.02 1.93 1.86 1.80 1.76 1.72 1.69 74 2.77 2.38 2.16 2.02 1.93 1.86 1.80 1.75 1.72 1.69 75 2.77 2.37 2.16 2.02 1.93 1.85 1.80 1.75 1.72 1.69 76 2.77 2.37 2.16 2.02 1.92 1.85 1.80 1.75 1.72 1.68 77 2.77 2.37 2.16 2.02 1.92 1.85 1.80 1.75 1.71 1.68 79 2.77 2.37 2.15 2.02 1.92 1.85 1.79 1.75 1.71 1.68 82 2.77 2.37 2.15 2.01 1.92 1.85 1.79 1.75 1.71 1.68 84 2.77 2.37 2.15 2.01 1.92 1.85 1.79 1.74 1.71 1.68 85 2.77 2.37 2.15 2.01 1.92 1.84 1.79 1.74 1.71 1.67 86 2.76 2.37 2.15 2.01 1.92 1.84 1.79 1.74 1.71 1.67 87 2.76 2.36 2.15 2.01 1.91 1.84 1.79 1.74 1.70 1.67 90 2.76 2.36 2.15 2.01 1.91 1.84 1.78 1.74 1.70 1.67 91 2.76 2.36 2.14 2.01 1.91 1.84 1.78 1.74 1.70 1.67 95 2.76 2.36 2.14 2.00 1.91 1.84 1.78 1.74 1.70 1.67 97 2.76 2.36 2.14 2.00 1.91 1.84 1.78 1.73 1.70 1.67 98 2.76 2.36 2.14 2.00 1.91 1.84 1.78 1.73 1.70 1.66 99 2.76 2.36 2.14 2.00 1.91 1.83 1.78 1.73 1.70 1.66 100 2.76 2.36 2.14 2.00 1.91 1.83 1.78 1.73 1.69 1.66 102 2.76 2.36 2.14 2.00 1.90 1.83 1.78 1.73 1.69 1.66 103 2.75 2.35 2.14 2.00 1.90 1.83 1.78 1.73 1.69 1.66 105 2.75 2.35 2.14 2.00 1.90 1.83 1.77 1.73 1.69 1.66 109 2.75 2.35 2.13 2.00 1.90 1.83 1.77 1.73 1.69 1.66 114 2.75 2.35 2.13 1.99 1.90 1.83 1.77 1.72 1.69 1.66 115 2.75 2.35 2.13 1.99 1.90 1.83 1.77 1.72 1.69 1.65 118 2.75 2.35 2.13 1.99 1.90 1.82 1.77 1.72 1.69 1.65 119 2.75 2.35 2.13 1.99 1.90 1.82 1.77 1.72 1.68 1.65 123 2.75 2.35 2.13 1.99 1.89 1.82 1.77 1.72 1.68 1.65 127 2.75 2.34 2.13 1.99 1.89 1.82 1.76 1.72 1.68 1.65 129 2.74 2.34 2.13 1.99 1.89 1.82 1.76 1.72 1.68 1.65 135 2.74 2.34 2.12 1.99 1.89 1.82 1.76 1.72 1.68 1.65 139 2.74 2.34 2.12 1.99 1.89 1.82 1.76 1.71 1.68 1.64 142 2.74 2.34 2.12 1.98 1.89 1.82 1.76 1.71 1.68 1.64 146 2.74 2.34 2.12 1.98 1.89 1.81 1.76 1.71 1.67 1.64 155 2.74 2.34 2.12 1.98 1.88 1.81 1.76 1.71 1.67 1.64 Statistik 14.4 Quantile der F ( m, n )-Verteilung, n ≤ 500, m ≤ 20 101 n = m =1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 159 2.74 2.34 2.12 1.98 1.88 1.81 1.75 1.71 1.67 1.64 166 2.74 2.33 2.12 1.98 1.88 1.81 1.75 1.71 1.67 1.64 172 2.73 2.33 2.12 1.98 1.88 1.81 1.75 1.71 1.67 1.64 177 2.73 2.33 2.11 1.98 1.88 1.81 1.75 1.71 1.67 1.63 178 2.73 2.33 2.11 1.98 1.88 1.81 1.75 1.70 1.67 1.63 189 2.73 2.33 2.11 1.97 1.88 1.81 1.75 1.70 1.66 1.63 193 2.73 2.33 2.11 1.97 1.88 1.80 1.75 1.70 1.66 1.63 210 2.73 2.33 2.11 1.97 1.87 1.80 1.75 1.70 1.66 1.63 215 2.73 2.33 2.11 1.97 1.87 1.80 1.74 1.70 1.66 1.63 239 2.73 2.32 2.11 1.97 1.87 1.80 1.74 1.70 1.66 1.63 244 2.73 2.32 2.11 1.97 1.87 1.80 1.74 1.70 1.66 1.62 250 2.73 2.32 2.11 1.97 1.87 1.80 1.74 1.69 1.66 1.62 260 2.72 2.32 2.10 1.97 1.87 1.80 1.74 1.69 1.66 1.62 269 2.72 2.32 2.10 1.97 1.87 1.80 1.74 1.69 1.65 1.62 281 2.72 2.32 2.10 1.96 1.87 1.80 1.74 1.69 1.65 1.62 284 2.72 2.32 2.10 1.96 1.87 1.79 1.74 1.69 1.65 1.62 327 2.72 2.32 2.10 1.96 1.86 1.79 1.74 1.69 1.65 1.62 331 2.72 2.32 2.10 1.96 1.86 1.79 1.73 1.69 1.65 1.62 394 2.72 2.32 2.10 1.96 1.86 1.79 1.73 1.69 1.65 1.61 417 2.72 2.32 2.10 1.96 1.86 1.79 1.73 1.68 1.65 1.61 429 2.72 2.31 2.10 1.96 1.86 1.79 1.73 1.68 1.65 1.61 467 2.72 2.31 2.10 1.96 1.86 1.79 1.73 1.68 1.64 1.61 490 2.72 2.31 2.09 1.96 1.86 1.79 1.73 1.68 1.64 1.61 n = m =11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 60.47 60.71 60.90 61.07 61.22 61.35 61.46 61.57 61.66 61.74 2 9.40 9.41 9.41 9.42 9.42 9.43 9.43 9.44 9.44 9.44 3 5.22 5.22 5.21 5.20 5.20 5.20 5.19 5.19 5.19 5.18 4 3.91 3.90 3.89 3.88 3.87 3.86 3.86 3.85 3.85 3.84 5 3.28 3.27 3.26 3.25 3.24 3.23 3.22 3.22 3.21 3.21 6 2.92 2.90 2.89 2.88 2.87 2.86 2.85 2.85 2.84 2.84 7 2.68 2.67 2.65 2.64 2.63 2.62 2.61 2.61 2.60 2.59 8 2.52 2.50 2.49 2.48 2.46 2.45 2.45 2.44 2.43 2.42 9 2.40 2.38 2.36 2.35 2.34 2.33 2.32 2.31 2.30 2.30 10 2.30 2.28 2.27 2.26 2.24 2.23 2.22 2.22 2.21 2.20 11 2.23 2.21 2.19 2.18 2.17 2.16 2.15 2.14 2.13 2.12 12 2.17 2.15 2.13 2.12 2.10 2.09 2.08 2.08 2.07 2.06 13 2.12 2.10 2.08 2.07 2.05 2.04 2.03 2.02 2.01 2.01 14 2.07 2.05 2.04 2.02 2.01 2.00 1.99 1.98 1.97 1.96 15 2.04 2.02 2.00 1.99 1.97 1.96 1.95 1.94 1.93 1.92 16 2.01 1.99 1.97 1.95 1.94 1.93 1.92 1.91 1.90 1.89 17 1.98 1.96 1.94 1.93 1.91 1.90 1.89 1.88 1.87 1.86 18 1.95 1.93 1.92 1.90 1.89 1.87 1.86 1.85 1.84 1.84 19 1.93 1.91 1.89 1.88 1.86 1.85 1.84 1.83 1.82 1.81 20 1.91 1.89 1.87 1.86 1.84 1.83 1.82 1.81 1.80 1.79 21 1.90 1.87 1.86 1.84 1.83 1.81 1.80 1.79 1.78 1.78 22 1.88 1.86 1.84 1.83 1.81 1.80 1.79 1.78 1.77 1.76 23 1.87 1.84 1.83 1.81 1.80 1.78 1.77 1.76 1.75 1.74 24 1.85 1.83 1.81 1.80 1.78 1.77 1.76 1.75 1.74 1.73 25 1.84 1.82 1.80 1.79 1.77 1.76 1.75 1.74 1.73 1.72 26 1.83 1.81 1.79 1.77 1.76 1.75 1.73 1.72 1.71 1.71 27 1.82 1.80 1.78 1.76 1.75 1.74 1.72 1.71 1.70 1.70 28 1.81 1.79 1.77 1.75 1.74 1.73 1.71 1.70 1.69 1.69 29 1.80 1.78 1.76 1.75 1.73 1.72 1.71 1.69 1.68 1.68 30 1.79 1.77 1.75 1.74 1.72 1.71 1.70 1.69 1.68 1.67 31 1.79 1.77 1.75 1.73 1.71 1.70 1.69 1.68 1.67 1.66 32 1.78 1.76 1.74 1.72 1.71 1.69 1.68 1.67 1.66 1.65 33 1.77 1.75 1.73 1.72 1.70 1.69 1.67 1.66 1.65 1.64 34 1.77 1.75 1.73 1.71 1.69 1.68 1.67 1.66 1.65 1.64 35 1.76 1.74 1.72 1.70 1.69 1.67 1.66 1.65 1.64 1.63 36 1.76 1.73 1.71 1.70 1.68 1.67 1.66 1.65 1.64 1.63 37 1.75 1.73 1.71 1.69 1.68 1.66 1.65 1.64 1.63 1.62 38 1.75 1.72 1.70 1.69 1.67 1.66 1.65 1.63 1.62 1.61 39 1.74 1.72 1.70 1.68 1.67 1.65 1.64 1.63 1.62 1.61 40 1.74 1.71 1.70 1.68 1.66 1.65 1.64 1.62 1.61 1.61 41 1.73 1.71 1.69 1.67 1.66 1.64 1.63 1.62 1.61 1.60 42 1.73 1.71 1.69 1.67 1.65 1.64 1.63 1.62 1.61 1.60 43 1.72 1.70 1.68 1.67 1.65 1.64 1.62 1.61 1.60 1.59 44 1.72 1.70 1.68 1.66 1.65 1.63 1.62 1.61 1.60 1.59 45 1.72 1.70 1.68 1.66 1.64 1.63 1.62 1.60 1.59 1.58 102 14 Verteilungstabellen n = m =11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 46 1.71 1.69 1.67 1.65 1.64 1.63 1.61 1.60 1.59 1.58 47 1.71 1.69 1.67 1.65 1.64 1.62 1.61 1.60 1.59 1.58 48 1.71 1.69 1.67 1.65 1.63 1.62 1.61 1.59 1.58 1.57 49 1.71 1.68 1.66 1.65 1.63 1.62 1.60 1.59 1.58 1.57 50 1.70 1.68 1.66 1.64 1.63 1.61 1.60 1.59 1.58 1.57 51 1.70 1.68 1.66 1.64 1.62 1.61 1.60 1.59 1.57 1.57 52 1.70 1.67 1.65 1.64 1.62 1.61 1.59 1.58 1.57 1.56 53 1.70 1.67 1.65 1.63 1.62 1.60 1.59 1.58 1.57 1.56 54 1.69 1.67 1.65 1.63 1.62 1.60 1.59 1.58 1.57 1.56 55 1.69 1.67 1.65 1.63 1.61 1.60 1.59 1.58 1.56 1.55 56 1.69 1.67 1.65 1.63 1.61 1.60 1.58 1.57 1.56 1.55 57 1.69 1.66 1.64 1.63 1.61 1.60 1.58 1.57 1.56 1.55 58 1.68 1.66 1.64 1.62 1.61 1.59 1.58 1.57 1.56 1.55 60 1.68 1.66 1.64 1.62 1.60 1.59 1.58 1.56 1.55 1.54 61 1.68 1.66 1.64 1.62 1.60 1.59 1.57 1.56 1.55 1.54 62 1.68 1.65 1.63 1.62 1.60 1.59 1.57 1.56 1.55 1.54 63 1.68 1.65 1.63 1.61 1.60 1.58 1.57 1.56 1.55 1.54 64 1.67 1.65 1.63 1.61 1.60 1.58 1.57 1.56 1.55 1.54 65 1.67 1.65 1.63 1.61 1.59 1.58 1.57 1.55 1.54 1.53 67 1.67 1.65 1.63 1.61 1.59 1.58 1.56 1.55 1.54 1.53 68 1.67 1.64 1.62 1.61 1.59 1.58 1.56 1.55 1.54 1.53 69 1.67 1.64 1.62 1.60 1.59 1.57 1.56 1.55 1.54 1.53 70 1.66 1.64 1.62 1.60 1.59 1.57 1.56 1.55 1.54 1.53 71 1.66 1.64 1.62 1.60 1.59 1.57 1.56 1.55 1.53 1.52 72 1.66 1.64 1.62 1.60 1.58 1.57 1.56 1.54 1.53 1.52 73 1.66 1.64 1.62 1.60 1.58 1.57 1.55 1.54 1.53 1.52 75 1.66 1.63 1.61 1.60 1.58 1.57 1.55 1.54 1.53 1.52 76 1.66 1.63 1.61 1.59 1.58 1.56 1.55 1.54 1.53 1.52 78 1.65 1.63 1.61 1.59 1.58 1.56 1.55 1.54 1.53 1.52 79 1.65 1.63 1.61 1.59 1.58 1.56 1.55 1.54 1.52 1.51 80 1.65 1.63 1.61 1.59 1.57 1.56 1.55 1.53 1.52 1.51 82 1.65 1.63 1.61 1.59 1.57 1.56 1.54 1.53 1.52 1.51 84 1.65 1.63 1.60 1.59 1.57 1.56 1.54 1.53 1.52 1.51 85 1.65 1.62 1.60 1.59 1.57 1.55 1.54 1.53 1.52 1.51 86 1.65 1.62 1.60 1.58 1.57 1.55 1.54 1.53 1.52 1.51 88 1.65 1.62 1.60 1.58 1.57 1.55 1.54 1.53 1.51 1.50 89 1.64 1.62 1.60 1.58 1.57 1.55 1.54 1.52 1.51 1.50 90 1.64 1.62 1.60 1.58 1.56 1.55 1.54 1.52 1.51 1.50 92 1.64 1.62 1.60 1.58 1.56 1.55 1.53 1.52 1.51 1.50 96 1.64 1.62 1.59 1.58 1.56 1.54 1.53 1.52 1.51 1.50 97 1.64 1.61 1.59 1.58 1.56 1.54 1.53 1.52 1.51 1.50 98 1.64 1.61 1.59 1.57 1.56 1.54 1.53 1.52 1.51 1.50 100 1.64 1.61 1.59 1.57 1.56 1.54 1.53 1.52 1.50 1.49 102 1.63 1.61 1.59 1.57 1.56 1.54 1.53 1.51 1.50 1.49 103 1.63 1.61 1.59 1.57 1.55 1.54 1.53 1.51 1.50 1.49 105 1.63 1.61 1.59 1.57 1.55 1.54 1.52 1.51 1.50 1.49 111 1.63 1.61 1.58 1.57 1.55 1.53 1.52 1.51 1.50 1.49 113 1.63 1.60 1.58 1.57 1.55 1.53 1.52 1.51 1.50 1.49 114 1.63 1.60 1.58 1.56 1.55 1.53 1.52 1.51 1.50 1.49 115 1.63 1.60 1.58 1.56 1.55 1.53 1.52 1.51 1.50 1.48 116 1.63 1.60 1.58 1.56 1.55 1.53 1.52 1.51 1.49 1.48 118 1.63 1.60 1.58 1.56 1.55 1.53 1.52 1.50 1.49 1.48 121 1.62 1.60 1.58 1.56 1.54 1.53 1.52 1.50 1.49 1.48 123 1.62 1.60 1.58 1.56 1.54 1.53 1.51 1.50 1.49 1.48 132 1.62 1.60 1.58 1.56 1.54 1.52 1.51 1.50 1.49 1.48 133 1.62 1.60 1.57 1.56 1.54 1.52 1.51 1.50 1.49 1.48 136 1.62 1.59 1.57 1.55 1.54 1.52 1.51 1.50 1.49 1.47 138 1.62 1.59 1.57 1.55 1.54 1.52 1.51 1.50 1.48 1.47 141 1.62 1.59 1.57 1.55 1.54 1.52 1.51 1.49 1.48 1.47 145 1.62 1.59 1.57 1.55 1.53 1.52 1.51 1.49 1.48 1.47 147 1.61 1.59 1.57 1.55 1.53 1.52 1.51 1.49 1.48 1.47 149 1.61 1.59 1.57 1.55 1.53 1.52 1.50 1.49 1.48 1.47 162 1.61 1.59 1.57 1.55 1.53 1.51 1.50 1.49 1.48 1.47 165 1.61 1.59 1.56 1.55 1.53 1.51 1.50 1.49 1.48 1.47 167 1.61 1.59 1.56 1.55 1.53 1.51 1.50 1.49 1.48 1.46 169 1.61 1.59 1.56 1.55 1.53 1.51 1.50 1.49 1.47 1.46 170 1.61 1.58 1.56 1.54 1.53 1.51 1.50 1.49 1.47 1.46 176 1.61 1.58 1.56 1.54 1.53 1.51 1.50 1.48 1.47 1.46 184 1.61 1.58 1.56 1.54 1.52 1.51 1.50 1.48 1.47 1.46 188 1.61 1.58 1.56 1.54 1.52 1.51 1.49 1.48 1.47 1.46 Statistik 14.4 Quantile der F ( m, n )-Verteilung, n ≤ 500, m ≤ 20 103 n = m =11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 189 1.60 1.58 1.56 1.54 1.52 1.51 1.49 1.48 1.47 1.46 209 1.60 1.58 1.56 1.54 1.52 1.50 1.49 1.48 1.47 1.46 215 1.60 1.58 1.56 1.54 1.52 1.50 1.49 1.48 1.47 1.45 218 1.60 1.58 1.55 1.54 1.52 1.50 1.49 1.48 1.47 1.45 220 1.60 1.58 1.55 1.54 1.52 1.50 1.49 1.48 1.46 1.45 225 1.60 1.58 1.55 1.53 1.52 1.50 1.49 1.48 1.46 1.45 227 1.60 1.57 1.55 1.53 1.52 1.50 1.49 1.48 1.46 1.45 232 1.60 1.57 1.55 1.53 1.52 1.50 1.49 1.47 1.46 1.45 249 1.60 1.57 1.55 1.53 1.51 1.50 1.49 1.47 1.46 1.45 255 1.60 1.57 1.55 1.53 1.51 1.50 1.48 1.47 1.46 1.45 266 1.59 1.57 1.55 1.53 1.51 1.50 1.48 1.47 1.46 1.45 298 1.59 1.57 1.55 1.53 1.51 1.49 1.48 1.47 1.46 1.45 303 1.59 1.57 1.55 1.53 1.51 1.49 1.48 1.47 1.46 1.44 315 1.59 1.57 1.55 1.53 1.51 1.49 1.48 1.47 1.45 1.44 321 1.59 1.57 1.54 1.53 1.51 1.49 1.48 1.47 1.45 1.44 335 1.59 1.57 1.54 1.52 1.51 1.49 1.48 1.47 1.45 1.44 341 1.59 1.57 1.54 1.52 1.51 1.49 1.48 1.46 1.45 1.44 345 1.59 1.56 1.54 1.52 1.51 1.49 1.48 1.46 1.45 1.44 388 1.59 1.56 1.54 1.52 1.50 1.49 1.48 1.46 1.45 1.44 396 1.59 1.56 1.54 1.52 1.50 1.49 1.47 1.46 1.45 1.44 448 1.58 1.56 1.54 1.52 1.50 1.49 1.47 1.46 1.45 1.44 Quantile für α = 0 , 95 n = m =1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 161.5 199.5 215.7 224.6 230.2 234.0 236.8 238.9 240.5 241.8 2 18.51 19.00 19.16 19.25 19.30 19.33 19.35 19.37 19.38 19.40 3 10.13 9.55 9.28 9.12 9.01 8.94 8.89 8.85 8.81 8.79 4 7.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.04 6.00 5.96 5 6.61 5.79 5.41 5.19 5.05 4.95 4.88 4.82 4.77 4.74 6 5.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.15 4.10 4.06 7 5.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.73 3.68 3.64 8 5.32 4.46 4.07 3.84 3.69 3.58 3.50 3.44 3.39 3.35 9 5.12 4.26 3.86 3.63 3.48 3.37 3.29 3.23 3.18 3.14 10 4.96 4.10 3.71 3.48 3.33 3.22 3.14 3.07 3.02 2.98 11 4.84 3.98 3.59 3.36 3.20 3.09 3.01 2.95 2.90 2.85 12 4.75 3.89 3.49 3.26 3.11 3.00 2.91 2.85 2.80 2.75 13 4.67 3.81 3.41 3.18 3.03 2.92 2.83 2.77 2.71 2.67 14 4.60 3.74 3.34 3.11 2.96 2.85 2.76 2.70 2.65 2.60 15 4.54 3.68 3.29 3.06 2.90 2.79 2.71 2.64 2.59 2.54 16 4.49 3.63 3.24 3.01 2.85 2.74 2.66 2.59 2.54 2.49 17 4.45 3.59 3.20 2.96 2.81 2.70 2.61 2.55 2.49 2.45 18 4.41 3.55 3.16 2.93 2.77 2.66 2.58 2.51 2.46 2.41 19 4.38 3.52 3.13 2.90 2.74 2.63 2.54 2.48 2.42 2.38 20 4.35 3.49 3.10 2.87 2.71 2.60 2.51 2.45 2.39 2.35 21 4.32 3.47 3.07 2.84 2.68 2.57 2.49 2.42 2.37 2.32 22 4.30 3.44 3.05 2.82 2.66 2.55 2.46 2.40 2.34 2.30 23 4.28 3.42 3.03 2.80 2.64 2.53 2.44 2.37 2.32 2.27 24 4.26 3.40 3.01 2.78 2.62 2.51 2.42 2.36 2.30 2.25 25 4.24 3.39 2.99 2.76 2.60 2.49 2.40 2.34 2.28 2.24 26 4.23 3.37 2.98 2.74 2.59 2.47 2.39 2.32 2.27 2.22 27 4.21 3.35 2.96 2.73 2.57 2.46 2.37 2.31 2.25 2.20 28 4.20 3.34 2.95 2.71 2.56 2.45 2.36 2.29 2.24 2.19 29 4.18 3.33 2.93 2.70 2.55 2.43 2.35 2.28 2.22 2.18 30 4.17 3.32 2.92 2.69 2.53 2.42 2.33 2.27 2.21 2.16 31 4.16 3.30 2.91 2.68 2.52 2.41 2.32 2.25 2.20 2.15 32 4.15 3.29 2.90 2.67 2.51 2.40 2.31 2.24 2.19 2.14 33 4.14 3.28 2.89 2.66 2.50 2.39 2.30 2.23 2.18 2.13 34 4.13 3.28 2.88 2.65 2.49 2.38 2.29 2.23 2.17 2.12 35 4.12 3.27 2.87 2.64 2.49 2.37 2.29 2.22 2.16 2.11 36 4.11 3.26 2.87 2.63 2.48 2.36 2.28 2.21 2.15 2.11 37 4.11 3.25 2.86 2.63 2.47 2.36 2.27 2.20 2.14 2.10 38 4.10 3.24 2.85 2.62 2.46 2.35 2.26 2.19 2.14 2.09 39 4.09 3.24 2.85 2.61 2.46 2.34 2.26 2.19 2.13 2.08 40 4.08 3.23 2.84 2.61 2.45 2.34 2.25 2.18 2.12 2.08 41 4.08 3.23 2.83 2.60 2.44 2.33 2.24 2.17 2.12 2.07 42 4.07 3.22 2.83 2.59 2.44 2.32 2.24 2.17 2.11 2.06 43 4.07 3.21 2.82 2.59 2.43 2.32 2.23 2.16 2.11 2.06 44 4.06 3.21 2.82 2.58 2.43 2.31 2.23 2.16 2.10 2.05 45 4.06 3.20 2.81 2.58 2.42 2.31 2.22 2.15 2.10 2.05 104 14 Verteilungstabellen n = m =1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 46 4.05 3.20 2.81 2.57 2.42 2.30 2.22 2.15 2.09 2.04 47 4.05 3.20 2.80 2.57 2.41 2.30 2.21 2.14 2.09 2.04 48 4.04 3.19 2.80 2.57 2.41 2.29 2.21 2.14 2.08 2.03 49 4.04 3.19 2.79 2.56 2.40 2.29 2.20 2.13 2.08 2.03 50 4.03 3.18 2.79 2.56 2.40 2.29 2.20 2.13 2.07 2.03 51 4.03 3.18 2.79 2.55 2.40 2.28 2.20 2.13 2.07 2.02 52 4.03 3.18 2.78 2.55 2.39 2.28 2.19 2.12 2.07 2.02 53 4.02 3.17 2.78 2.55 2.39 2.28 2.19 2.12 2.06 2.01 54 4.02 3.17 2.78 2.54 2.39 2.27 2.18 2.12 2.06 2.01 55 4.02 3.16 2.77 2.54 2.38 2.27 2.18 2.11 2.06 2.01 56 4.01 3.16 2.77 2.54 2.38 2.27 2.18 2.11 2.05 2.00 57 4.01 3.16 2.77 2.53 2.38 2.26 2.18 2.11 2.05 2.00 58 4.01 3.16 2.76 2.53 2.37 2.26 2.17 2.10 2.05 2.00 59 4.00 3.15 2.76 2.53 2.37 2.26 2.17 2.10 2.04 2.00 60 4.00 3.15 2.76 2.53 2.37 2.25 2.17 2.10 2.04 1.99 61 4.00 3.15 2.76 2.52 2.37 2.25 2.16 2.09 2.04 1.99 62 4.00 3.15 2.75 2.52 2.36 2.25 2.16 2.09 2.03 1.99 63 3.99 3.14 2.75 2.52 2.36 2.25 2.16 2.09 2.03 1.98 64 3.99 3.14 2.75 2.52 2.36 2.24 2.16 2.09 2.03 1.98 65 3.99 3.14 2.75 2.51 2.36 2.24 2.15 2.08 2.03 1.98 66 3.99 3.14 2.74 2.51 2.35 2.24 2.15 2.08 2.03 1.98 67 3.98 3.13 2.74 2.51 2.35 2.24 2.15 2.08 2.02 1.98 68 3.98 3.13 2.74 2.51 2.35 2.24 2.15 2.08 2.02 1.97 69 3.98 3.13 2.74 2.50 2.35 2.23 2.15 2.08 2.02 1.97 70 3.98 3.13 2.74 2.50 2.35 2.23 2.14 2.07 2.02 1.97 71 3.98 3.13 2.73 2.50 2.34 2.23 2.14 2.07 2.01 1.97 72 3.97 3.12 2.73 2.50 2.34 2.23 2.14 2.07 2.01 1.96 74 3.97 3.12 2.73 2.50 2.34 2.22 2.14 2.07 2.01 1.96 75 3.97 3.12 2.73 2.49 2.34 2.22 2.13 2.06 2.01 1.96 76 3.97 3.12 2.72 2.49 2.33 2.22 2.13 2.06 2.01 1.96 77 3.97 3.12 2.72 2.49 2.33 2.22 2.13 2.06 2.00 1.96 78 3.96 3.11 2.72 2.49 2.33 2.22 2.13 2.06 2.00 1.95 80 3.96 3.11 2.72 2.49 2.33 2.21 2.13 2.06 2.00 1.95 81 3.96 3.11 2.72 2.48 2.33 2.21 2.12 2.05 2.00 1.95 83 3.96 3.11 2.71 2.48 2.32 2.21 2.12 2.05 1.99 1.95 84 3.95 3.11 2.71 2.48 2.32 2.21 2.12 2.05 1.99 1.95 85 3.95 3.10 2.71 2.48 2.32 2.21 2.12 2.05 1.99 1.94 87 3.95 3.10 2.71 2.48 2.32 2.20 2.12 2.05 1.99 1.94 89 3.95 3.10 2.71 2.47 2.32 2.20 2.11 2.04 1.99 1.94 91 3.95 3.10 2.70 2.47 2.31 2.20 2.11 2.04 1.98 1.94 92 3.94 3.10 2.70 2.47 2.31 2.20 2.11 2.04 1.98 1.94 93 3.94 3.09 2.70 2.47 2.31 2.20 2.11 2.04 1.98 1.93 96 3.94 3.09 2.70 2.47 2.31 2.19 2.11 2.04 1.98 1.93 98 3.94 3.09 2.70 2.46 2.31 2.19 2.10 2.03 1.98 1.93 100 3.94 3.09 2.70 2.46 2.31 2.19 2.10 2.03 1.97 1.93 101 3.94 3.09 2.69 2.46 2.30 2.19 2.10 2.03 1.97 1.93 102 3.93 3.09 2.69 2.46 2.30 2.19 2.10 2.03 1.97 1.92 103 3.93 3.08 2.69 2.46 2.30 2.19 2.10 2.03 1.97 1.92 107 3.93 3.08 2.69 2.46 2.30 2.18 2.10 2.03 1.97 1.92 109 3.93 3.08 2.69 2.45 2.30 2.18 2.09 2.02 1.97 1.92 112 3.93 3.08 2.69 2.45 2.30 2.18 2.09 2.02 1.96 1.92 113 3.93 3.08 2.68 2.45 2.29 2.18 2.09 2.02 1.96 1.92 114 3.92 3.08 2.68 2.45 2.29 2.18 2.09 2.02 1.96 1.91 116 3.92 3.07 2.68 2.45 2.29 2.18 2.09 2.02 1.96 1.91 121 3.92 3.07 2.68 2.45 2.29 2.17 2.09 2.02 1.96 1.91 123 3.92 3.07 2.68 2.45 2.29 2.17 2.08 2.01 1.96 1.91 124 3.92 3.07 2.68 2.44 2.29 2.17 2.08 2.01 1.96 1.91 126 3.92 3.07 2.68 2.44 2.29 2.17 2.08 2.01 1.95 1.91 129 3.91 3.07 2.67 2.44 2.28 2.17 2.08 2.01 1.95 1.90 132 3.91 3.06 2.67 2.44 2.28 2.17 2.08 2.01 1.95 1.90 138 3.91 3.06 2.67 2.44 2.28 2.16 2.08 2.01 1.95 1.90 141 3.91 3.06 2.67 2.44 2.28 2.16 2.08 2.00 1.95 1.90 142 3.91 3.06 2.67 2.44 2.28 2.16 2.07 2.00 1.95 1.90 143 3.91 3.06 2.67 2.43 2.28 2.16 2.07 2.00 1.95 1.90 145 3.91 3.06 2.67 2.43 2.28 2.16 2.07 2.00 1.94 1.90 149 3.90 3.06 2.67 2.43 2.27 2.16 2.07 2.00 1.94 1.89 150 3.90 3.06 2.66 2.43 2.27 2.16 2.07 2.00 1.94 1.89 154 3.90 3.05 2.66 2.43 2.27 2.16 2.07 2.00 1.94 1.89 162 3.90 3.05 2.66 2.43 2.27 2.15 2.07 2.00 1.94 1.89 165 3.90 3.05 2.66 2.43 2.27 2.15 2.07 1.99 1.94 1.89 Statistik 14.4 Quantile der F ( m, n )-Verteilung, n ≤ 500, m ≤ 20 105 n = m =1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 167 3.90 3.05 2.66 2.43 2.27 2.15 2.06 1.99 1.94 1.89 170 3.90 3.05 2.66 2.42 2.27 2.15 2.06 1.99 1.94 1.89 171 3.90 3.05 2.66 2.42 2.27 2.15 2.06 1.99 1.93 1.89 176 3.89 3.05 2.66 2.42 2.27 2.15 2.06 1.99 1.93 1.88 178 3.89 3.05 2.66 2.42 2.26 2.15 2.06 1.99 1.93 1.88 180 3.89 3.05 2.65 2.42 2.26 2.15 2.06 1.99 1.93 1.88 185 3.89 3.04 2.65 2.42 2.26 2.15 2.06 1.99 1.93 1.88 197 3.89 3.04 2.65 2.42 2.26 2.14 2.06 1.99 1.93 1.88 200 3.89 3.04 2.65 2.42 2.26 2.14 2.06 1.98 1.93 1.88 203 3.89 3.04 2.65 2.42 2.26 2.14 2.05 1.98 1.93 1.88 209 3.89 3.04 2.65 2.41 2.26 2.14 2.05 1.98 1.92 1.88 215 3.89 3.04 2.65 2.41 2.26 2.14 2.05 1.98 1.92 1.87 216 3.88 3.04 2.65 2.41 2.26 2.14 2.05 1.98 1.92 1.87 221 3.88 3.04 2.65 2.41 2.25 2.14 2.05 1.98 1.92 1.87 224 3.88 3.04 2.64 2.41 2.25 2.14 2.05 1.98 1.92 1.87 231 3.88 3.03 2.64 2.41 2.25 2.14 2.05 1.98 1.92 1.87 250 3.88 3.03 2.64 2.41 2.25 2.13 2.05 1.98 1.92 1.87 254 3.88 3.03 2.64 2.41 2.25 2.13 2.05 1.97 1.92 1.87 260 3.88 3.03 2.64 2.41 2.25 2.13 2.04 1.97 1.92 1.87 268 3.88 3.03 2.64 2.41 2.25 2.13 2.04 1.97 1.91 1.87 271 3.88 3.03 2.64 2.40 2.25 2.13 2.04 1.97 1.91 1.87 277 3.88 3.03 2.64 2.40 2.25 2.13 2.04 1.97 1.91 1.86 280 3.87 3.03 2.64 2.40 2.25 2.13 2.04 1.97 1.91 1.86 292 3.87 3.03 2.64 2.40 2.24 2.13 2.04 1.97 1.91 1.86 298 3.87 3.03 2.63 2.40 2.24 2.13 2.04 1.97 1.91 1.86 309 3.87 3.02 2.63 2.40 2.24 2.13 2.04 1.97 1.91 1.86 344 3.87 3.02 2.63 2.40 2.24 2.12 2.04 1.97 1.91 1.86 349 3.87 3.02 2.63 2.40 2.24 2.12 2.04 1.96 1.91 1.86 361 3.87 3.02 2.63 2.40 2.24 2.12 2.03 1.96 1.91 1.86 374 3.87 3.02 2.63 2.40 2.24 2.12 2.03 1.96 1.90 1.86 388 3.87 3.02 2.63 2.39 2.24 2.12 2.03 1.96 1.90 1.86 391 3.87 3.02 2.63 2.39 2.24 2.12 2.03 1.96 1.90 1.85 397 3.86 3.02 2.63 2.39 2.24 2.12 2.03 1.96 1.90 1.85 430 3.86 3.02 2.63 2.39 2.23 2.12 2.03 1.96 1.90 1.85 444 3.86 3.02 2.62 2.39 2.23 2.12 2.03 1.96 1.90 1.85 468 3.86 3.01 2.62 2.39 2.23 2.12 2.03 1.96 1.90 1.85 n = m =11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 243.0 243.9 244.7 245.4 246.0 246.4 246.9 247.3 247.7 248 2 19.40 19.41 19.42 19.42 19.43 19.43 19.44 19.44 19.44 19.45 3 8.76 8.74 8.73 8.71 8.70 8.69 8.68 8.67 8.67 8.66 4 5.94 5.91 5.89 5.87 5.86 5.84 5.83 5.82 5.81 5.80 5 4.70 4.68 4.66 4.64 4.62 4.60 4.59 4.58 4.57 4.56 6 4.03 4.00 3.98 3.96 3.94 3.92 3.91 3.90 3.88 3.87 7 3.60 3.57 3.55 3.53 3.51 3.49 3.48 3.47 3.46 3.44 8 3.31 3.28 3.26 3.24 3.22 3.20 3.19 3.17 3.16 3.15 9 3.10 3.07 3.05 3.03 3.01 2.99 2.97 2.96 2.95 2.94 10 2.94 2.91 2.89 2.86 2.85 2.83 2.81 2.80 2.79 2.77 11 2.82 2.79 2.76 2.74 2.72 2.70 2.69 2.67 2.66 2.65 12 2.72 2.69 2.66 2.64 2.62 2.60 2.58 2.57 2.56 2.54 13 2.63 2.60 2.58 2.55 2.53 2.51 2.50 2.48 2.47 2.46 14 2.57 2.53 2.51 2.48 2.46 2.44 2.43 2.41 2.40 2.39 15 2.51 2.48 2.45 2.42 2.40 2.38 2.37 2.35 2.34 2.33 16 2.46 2.42 2.40 2.37 2.35 2.33 2.32 2.30 2.29 2.28 17 2.41 2.38 2.35 2.33 2.31 2.29 2.27 2.26 2.24 2.23 18 2.37 2.34 2.31 2.29 2.27 2.25 2.23 2.22 2.20 2.19 19 2.34 2.31 2.28 2.26 2.23 2.21 2.20 2.18 2.17 2.16 20 2.31 2.28 2.25 2.22 2.20 2.18 2.17 2.15 2.14 2.12 21 2.28 2.25 2.22 2.20 2.18 2.16 2.14 2.12 2.11 2.10 22 2.26 2.23 2.20 2.17 2.15 2.13 2.11 2.10 2.08 2.07 23 2.24 2.20 2.18 2.15 2.13 2.11 2.09 2.08 2.06 2.05 24 2.22 2.18 2.15 2.13 2.11 2.09 2.07 2.05 2.04 2.03 25 2.20 2.16 2.14 2.11 2.09 2.07 2.05 2.04 2.02 2.01 26 2.18 2.15 2.12 2.09 2.07 2.05 2.03 2.02 2.00 1.99 27 2.17 2.13 2.10 2.08 2.06 2.04 2.02 2.00 1.99 1.97 28 2.15 2.12 2.09 2.06 2.04 2.02 2.00 1.99 1.97 1.96 29 2.14 2.10 2.08 2.05 2.03 2.01 1.99 1.97 1.96 1.94 30 2.13 2.09 2.06 2.04 2.01 1.99 1.98 1.96 1.95 1.93 31 2.11 2.08 2.05 2.03 2.00 1.98 1.96 1.95 1.93 1.92 32 2.10 2.07 2.04 2.01 1.99 1.97 1.95 1.94 1.92 1.91 106 14 Verteilungstabellen n = m =11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 33 2.09 2.06 2.03 2.00 1.98 1.96 1.94 1.93 1.91 1.90 34 2.08 2.05 2.02 1.99 1.97 1.95 1.93 1.92 1.90 1.89 35 2.07 2.04 2.01 1.99 1.96 1.94 1.92 1.91 1.89 1.88 36 2.07 2.03 2.00 1.98 1.95 1.93 1.92 1.90 1.88 1.87 37 2.06 2.02 2.00 1.97 1.95 1.93 1.91 1.89 1.88 1.86 38 2.05 2.02 1.99 1.96 1.94 1.92 1.90 1.88 1.87 1.85 39 2.04 2.01 1.98 1.95 1.93 1.91 1.89 1.88 1.86 1.85 40 2.04 2.00 1.97 1.95 1.92 1.90 1.89 1.87 1.85 1.84 41 2.03 2.00 1.97 1.94 1.92 1.90 1.88 1.86 1.85 1.83 42 2.03 1.99 1.96 1.94 1.91 1.89 1.87 1.86 1.84 1.83 43 2.02 1.99 1.96 1.93 1.91 1.89 1.87 1.85 1.83 1.82 44 2.01 1.98 1.95 1.92 1.90 1.88 1.86 1.84 1.83 1.81 45 2.01 1.97 1.94 1.92 1.89 1.87 1.86 1.84 1.82 1.81 46 2.00 1.97 1.94 1.91 1.89 1.87 1.85 1.83 1.82 1.80 47 2.00 1.96 1.93 1.91 1.88 1.86 1.84 1.83 1.81 1.80 48 1.99 1.96 1.93 1.90 1.88 1.86 1.84 1.82 1.81 1.79 49 1.99 1.96 1.93 1.90 1.88 1.85 1.84 1.82 1.80 1.79 50 1.99 1.95 1.92 1.89 1.87 1.85 1.83 1.81 1.80 1.78 51 1.98 1.95 1.92 1.89 1.87 1.85 1.83 1.81 1.79 1.78 52 1.98 1.94 1.91 1.89 1.86 1.84 1.82 1.81 1.79 1.78 53 1.97 1.94 1.91 1.88 1.86 1.84 1.82 1.80 1.79 1.77 54 1.97 1.94 1.91 1.88 1.86 1.83 1.82 1.80 1.78 1.77 55 1.97 1.93 1.90 1.88 1.85 1.83 1.81 1.79 1.78 1.76 56 1.96 1.93 1.90 1.87 1.85 1.83 1.81 1.79 1.78 1.76 57 1.96 1.93 1.90 1.87 1.85 1.82 1.81 1.79 1.77 1.76 58 1.96 1.92 1.89 1.87 1.84 1.82 1.80 1.78 1.77 1.75 59 1.96 1.92 1.89 1.86 1.84 1.82 1.80 1.78 1.77 1.75 60 1.95 1.92 1.89 1.86 1.84 1.82 1.80 1.78 1.76 1.75 61 1.95 1.91 1.88 1.86 1.83 1.81 1.79 1.78 1.76 1.75 62 1.95 1.91 1.88 1.85 1.83 1.81 1.79 1.77 1.76 1.74 63 1.94 1.91 1.88 1.85 1.83 1.81 1.79 1.77 1.75 1.74 64 1.94 1.91 1.88 1.85 1.83 1.80 1.78 1.77 1.75 1.74 65 1.94 1.90 1.87 1.85 1.82 1.80 1.78 1.76 1.75 1.73 66 1.94 1.90 1.87 1.84 1.82 1.80 1.78 1.76 1.75 1.73 67 1.93 1.90 1.87 1.84 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.73 68 1.93 1.90 1.87 1.84 1.82 1.79 1.78 1.76 1.74 1.73 69 1.93 1.90 1.86 1.84 1.81 1.79 1.77 1.76 1.74 1.72 70 1.93 1.89 1.86 1.84 1.81 1.79 1.77 1.75 1.74 1.72 71 1.93 1.89 1.86 1.83 1.81 1.79 1.77 1.75 1.73 1.72 72 1.92 1.89 1.86 1.83 1.81 1.79 1.77 1.75 1.73 1.72 73 1.92 1.89 1.86 1.83 1.81 1.78 1.76 1.75 1.73 1.72 74 1.92 1.89 1.85 1.83 1.80 1.78 1.76 1.74 1.73 1.71 75 1.92 1.88 1.85 1.83 1.80 1.78 1.76 1.74 1.73 1.71 76 1.92 1.88 1.85 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.73 1.71 77 1.92 1.88 1.85 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.71 78 1.91 1.88 1.85 1.82 1.80 1.77 1.76 1.74 1.72 1.71 79 1.91 1.88 1.85 1.82 1.79 1.77 1.75 1.74 1.72 1.70 80 1.91 1.88 1.84 1.82 1.79 1.77 1.75 1.73 1.72 1.70 81 1.91 1.87 1.84 1.82 1.79 1.77 1.75 1.73 1.72 1.70 82 1.91 1.87 1.84 1.81 1.79 1.77 1.75 1.73 1.71 1.70 84 1.90 1.87 1.84 1.81 1.79 1.77 1.75 1.73 1.71 1.70 85 1.90 1.87 1.84 1.81 1.79 1.76 1.74 1.73 1.71 1.70 86 1.90 1.87 1.84 1.81 1.78 1.76 1.74 1.73 1.71 1.69 87 1.90 1.87 1.83 1.81 1.78 1.76 1.74 1.72 1.71 1.69 88 1.90 1.86 1.83 1.81 1.78 1.76 1.74 1.72 1.71 1.69 89 1.90 1.86 1.83 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.70 1.69 92 1.89 1.86 1.83 1.80 1.78 1.75 1.73 1.72 1.70 1.69 93 1.89 1.86 1.83 1.80 1.78 1.75 1.73 1.72 1.70 1.68 94 1.89 1.86 1.83 1.80 1.77 1.75 1.73 1.71 1.70 1.68 95 1.89 1.86 1.82 1.80 1.77 1.75 1.73 1.71 1.70 1.68 96 1.89 1.85 1.82 1.80 1.77 1.75 1.73 1.71 1.70 1.68 97 1.89 1.85 1.82 1.80 1.77 1.75 1.73 1.71 1.69 1.68 98 1.89 1.85 1.82 1.79 1.77 1.75 1.73 1.71 1.69 1.68 101 1.88 1.85 1.82 1.79 1.77 1.74 1.72 1.71 1.69 1.68 102 1.88 1.85 1.82 1.79 1.77 1.74 1.72 1.71 1.69 1.67 103 1.88 1.85 1.82 1.79 1.76 1.74 1.72 1.70 1.69 1.67 105 1.88 1.85 1.81 1.79 1.76 1.74 1.72 1.70 1.69 1.67 106 1.88 1.84 1.81 1.79 1.76 1.74 1.72 1.70 1.69 1.67 107 1.88 1.84 1.81 1.79 1.76 1.74 1.72 1.70 1.68 1.67 108 1.88 1.84 1.81 1.78 1.76 1.74 1.72 1.70 1.68 1.67 Statistik 14.4 Quantile der F ( m, n )-Verteilung, n ≤ 500, m ≤ 20 107 n = m =11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 112 1.88 1.84 1.81 1.78 1.76 1.73 1.71 1.70 1.68 1.67 113 1.87 1.84 1.81 1.78 1.76 1.73 1.71 1.70 1.68 1.66 114 1.87 1.84 1.81 1.78 1.75 1.73 1.71 1.70 1.68 1.66 115 1.87 1.84 1.81 1.78 1.75 1.73 1.71 1.69 1.68 1.66 117 1.87 1.84 1.80 1.78 1.75 1.73 1.71 1.69 1.68 1.66 119 1.87 1.83 1.80 1.78 1.75 1.73 1.71 1.69 1.67 1.66 121 1.87 1.83 1.80 1.77 1.75 1.73 1.71 1.69 1.67 1.66 126 1.87 1.83 1.80 1.77 1.75 1.72 1.70 1.69 1.67 1.65 127 1.86 1.83 1.80 1.77 1.75 1.72 1.70 1.69 1.67 1.65 128 1.86 1.83 1.80 1.77 1.75 1.72 1.70 1.68 1.67 1.65 129 1.86 1.83 1.80 1.77 1.74 1.72 1.70 1.68 1.67 1.65 132 1.86 1.83 1.79 1.77 1.74 1.72 1.70 1.68 1.67 1.65 134 1.86 1.83 1.79 1.77 1.74 1.72 1.70 1.68 1.66 1.65 135 1.86 1.82 1.79 1.77 1.74 1.72 1.70 1.68 1.66 1.65 137 1.86 1.82 1.79 1.76 1.74 1.72 1.70 1.68 1.66 1.65 142 1.86 1.82 1.79 1.76 1.74 1.72 1.70 1.68 1.66 1.64 143 1.86 1.82 1.79 1.76 1.74 1.71 1.69 1.68 1.66 1.64 146 1.85 1.82 1.79 1.76 1.74 1.71 1.69 1.67 1.66 1.64 147 1.85 1.82 1.79 1.76 1.73 1.71 1.69 1.67 1.66 1.64 153 1.85 1.82 1.78 1.76 1.73 1.71 1.69 1.67 1.65 1.64 156 1.85 1.81 1.78 1.76 1.73 1.71 1.69 1.67 1.65 1.64 158 1.85 1.81 1.78 1.75 1.73 1.71 1.69 1.67 1.65 1.64 164 1.85 1.81 1.78 1.75 1.73 1.71 1.69 1.67 1.65 1.63 166 1.85 1.81 1.78 1.75 1.73 1.70 1.68 1.67 1.65 1.63 170 1.85 1.81 1.78 1.75 1.73 1.70 1.68 1.66 1.65 1.63 172 1.84 1.81 1.78 1.75 1.72 1.70 1.68 1.66 1.65 1.63 179 1.84 1.81 1.78 1.75 1.72 1.70 1.68 1.66 1.64 1.63 180 1.84 1.81 1.77 1.75 1.72 1.70 1.68 1.66 1.64 1.63 185 1.84 1.80 1.77 1.75 1.72 1.70 1.68 1.66 1.64 1.63 187 1.84 1.80 1.77 1.74 1.72 1.70 1.68 1.66 1.64 1.63 194 1.84 1.80 1.77 1.74 1.72 1.70 1.68 1.66 1.64 1.62 197 1.84 1.80 1.77 1.74 1.72 1.70 1.67 1.66 1.64 1.62 198 1.84 1.80 1.77 1.74 1.72 1.69 1.67 1.66 1.64 1.62 203 1.84 1.80 1.77 1.74 1.72 1.69 1.67 1.65 1.64 1.62 207 1.84 1.80 1.77 1.74 1.71 1.69 1.67 1.65 1.64 1.62 208 1.83 1.80 1.77 1.74 1.71 1.69 1.67 1.65 1.64 1.62 216 1.83 1.80 1.77 1.74 1.71 1.69 1.67 1.65 1.63 1.62 220 1.83 1.80 1.76 1.74 1.71 1.69 1.67 1.65 1.63 1.62 228 1.83 1.79 1.76 1.74 1.71 1.69 1.67 1.65 1.63 1.62 230 1.83 1.79 1.76 1.73 1.71 1.69 1.67 1.65 1.63 1.62 238 1.83 1.79 1.76 1.73 1.71 1.69 1.67 1.65 1.63 1.61 243 1.83 1.79 1.76 1.73 1.71 1.69 1.66 1.65 1.63 1.61 245 1.83 1.79 1.76 1.73 1.71 1.68 1.66 1.65 1.63 1.61 252 1.83 1.79 1.76 1.73 1.71 1.68 1.66 1.64 1.63 1.61 260 1.83 1.79 1.76 1.73 1.70 1.68 1.66 1.64 1.63 1.61 265 1.82 1.79 1.76 1.73 1.70 1.68 1.66 1.64 1.63 1.61 272 1.82 1.79 1.76 1.73 1.70 1.68 1.66 1.64 1.62 1.61 282 1.82 1.79 1.75 1.73 1.70 1.68 1.66 1.64 1.62 1.61 296 1.82 1.78 1.75 1.73 1.70 1.68 1.66 1.64 1.62 1.61 299 1.82 1.78 1.75 1.72 1.70 1.68 1.66 1.64 1.62 1.61 306 1.82 1.78 1.75 1.72 1.70 1.68 1.66 1.64 1.62 1.60 318 1.82 1.78 1.75 1.72 1.70 1.68 1.65 1.64 1.62 1.60 322 1.82 1.78 1.75 1.72 1.70 1.67 1.65 1.64 1.62 1.60 333 1.82 1.78 1.75 1.72 1.70 1.67 1.65 1.63 1.62 1.60 351 1.82 1.78 1.75 1.72 1.69 1.67 1.65 1.63 1.62 1.60 364 1.81 1.78 1.75 1.72 1.69 1.67 1.65 1.63 1.62 1.60 367 1.81 1.78 1.75 1.72 1.69 1.67 1.65 1.63 1.61 1.60 395 1.81 1.78 1.74 1.72 1.69 1.67 1.65 1.63 1.61 1.60 425 1.81 1.77 1.74 1.72 1.69 1.67 1.65 1.63 1.61 1.60 427 1.81 1.77 1.74 1.71 1.69 1.67 1.65 1.63 1.61 1.60 431 1.81 1.77 1.74 1.71 1.69 1.67 1.65 1.63 1.61 1.59 461 1.81 1.77 1.74 1.71 1.69 1.67 1.64 1.63 1.61 1.59 472 1.81 1.77 1.74 1.71 1.69 1.66 1.64 1.63 1.61 1.59 489 1.81 1.77 1.74 1.71 1.69 1.66 1.64 1.62 1.61 1.59 Quantile für α = 0 , 99 n = m =1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 4052 5000 5403 5625 5764 5859 5928 5981 6022 6056 2 98.50 99.00 99.17 99.25 99.30 99.33 99.36 99.37 99.39 99.40 108 14 Verteilungstabellen n = m =1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 34.12 30.82 29.46 28.71 28.24 27.91 27.67 27.49 27.35 27.23 4 21.20 18.00 16.69 15.98 15.52 15.21 14.98 14.80 14.66 14.55 5 16.26 13.27 12.06 11.39 10.97 10.67 10.46 10.29 10.16 10.05 6 13.75 10.92 9.78 9.15 8.75 8.47 8.26 8.10 7.98 7.87 7 12.25 9.55 8.45 7.85 7.46 7.19 6.99 6.84 6.72 6.62 8 11.26 8.65 7.59 7.01 6.63 6.37 6.18 6.03 5.91 5.81 9 10.56 8.02 6.99 6.42 6.06 5.80 5.61 5.47 5.35 5.26 10 10.04 7.56 6.55 5.99 5.64 5.39 5.20 5.06 4.94 4.85 11 9.65 7.21 6.22 5.67 5.32 5.07 4.89 4.74 4.63 4.54 12 9.33 6.93 5.95 5.41 5.06 4.82 4.64 4.50 4.39 4.30 13 9.07 6.70 5.74 5.21 4.86 4.62 4.44 4.30 4.19 4.10 14 8.86 6.51 5.56 5.04 4.69 4.46 4.28 4.14 4.03 3.94 15 8.68 6.36 5.42 4.89 4.56 4.32 4.14 4.00 3.89 3.80 16 8.53 6.23 5.29 4.77 4.44 4.20 4.03 3.89 3.78 3.69 17 8.40 6.11 5.18 4.67 4.34 4.10 3.93 3.79 3.68 3.59 18 8.29 6.01 5.09 4.58 4.25 4.01 3.84 3.71 3.60 3.51 19 8.18 5.93 5.01 4.50 4.17 3.94 3.77 3.63 3.52 3.43 20 8.10 5.85 4.94 4.43 4.10 3.87 3.70 3.56 3.46 3.37 21 8.02 5.78 4.87 4.37 4.04 3.81 3.64 3.51 3.40 3.31 22 7.95 5.72 4.82 4.31 3.99 3.76 3.59 3.45 3.35 3.26 23 7.88 5.66 4.76 4.26 3.94 3.71 3.54 3.41 3.30 3.21 24 7.82 5.61 4.72 4.22 3.90 3.67 3.50 3.36 3.26 3.17 25 7.77 5.57 4.68 4.18 3.85 3.63 3.46 3.32 3.22 3.13 26 7.72 5.53 4.64 4.14 3.82 3.59 3.42 3.29 3.18 3.09 27 7.68 5.49 4.60 4.11 3.78 3.56 3.39 3.26 3.15 3.06 28 7.64 5.45 4.57 4.07 3.75 3.53 3.36 3.23 3.12 3.03 29 7.60 5.42 4.54 4.04 3.73 3.50 3.33 3.20 3.09 3.00 30 7.56 5.39 4.51 4.02 3.70 3.47 3.30 3.17 3.07 2.98 31 7.53 5.36 4.48 3.99 3.67 3.45 3.28 3.15 3.04 2.96 32 7.50 5.34 4.46 3.97 3.65 3.43 3.26 3.13 3.02 2.93 33 7.47 5.31 4.44 3.95 3.63 3.41 3.24 3.11 3.00 2.91 34 7.44 5.29 4.42 3.93 3.61 3.39 3.22 3.09 2.98 2.89 35 7.42 5.27 4.40 3.91 3.59 3.37 3.20 3.07 2.96 2.88 36 7.40 5.25 4.38 3.89 3.57 3.35 3.18 3.05 2.95 2.86 37 7.37 5.23 4.36 3.87 3.56 3.33 3.17 3.04 2.93 2.84 38 7.35 5.21 4.34 3.86 3.54 3.32 3.15 3.02 2.92 2.83 39 7.33 5.19 4.33 3.84 3.53 3.30 3.14 3.01 2.90 2.81 40 7.31 5.18 4.31 3.83 3.51 3.29 3.12 2.99 2.89 2.80 41 7.30 5.16 4.30 3.81 3.50 3.28 3.11 2.98 2.87 2.79 42 7.28 5.15 4.29 3.80 3.49 3.27 3.10 2.97 2.86 2.78 43 7.26 5.14 4.27 3.79 3.48 3.25 3.09 2.96 2.85 2.76 44 7.25 5.12 4.26 3.78 3.47 3.24 3.08 2.95 2.84 2.75 45 7.23 5.11 4.25 3.77 3.45 3.23 3.07 2.94 2.83 2.74 46 7.22 5.10 4.24 3.76 3.44 3.22 3.06 2.93 2.82 2.73 47 7.21 5.09 4.23 3.75 3.43 3.21 3.05 2.92 2.81 2.72 48 7.19 5.08 4.22 3.74 3.43 3.20 3.04 2.91 2.80 2.71 49 7.18 5.07 4.21 3.73 3.42 3.19 3.03 2.90 2.79 2.71 50 7.17 5.06 4.20 3.72 3.41 3.19 3.02 2.89 2.78 2.70 51 7.16 5.05 4.19 3.71 3.40 3.18 3.01 2.88 2.78 2.69 52 7.15 5.04 4.18 3.70 3.39 3.17 3.00 2.87 2.77 2.68 53 7.14 5.03 4.17 3.70 3.38 3.16 3.00 2.87 2.76 2.68 54 7.13 5.02 4.17 3.69 3.38 3.16 2.99 2.86 2.76 2.67 55 7.12 5.01 4.16 3.68 3.37 3.15 2.98 2.85 2.75 2.66 56 7.11 5.01 4.15 3.67 3.36 3.14 2.98 2.85 2.74 2.66 57 7.10 5.00 4.15 3.67 3.36 3.14 2.97 2.84 2.74 2.65 58 7.09 4.99 4.14 3.66 3.35 3.13 2.96 2.83 2.73 2.64 59 7.08 4.98 4.13 3.65 3.34 3.12 2.96 2.83 2.72 2.64 60 7.08 4.98 4.13 3.65 3.34 3.12 2.95 2.82 2.72 2.63 61 7.07 4.97 4.12 3.64 3.33 3.11 2.95 2.82 2.71 2.63 62 7.06 4.96 4.11 3.64 3.33 3.11 2.94 2.81 2.71 2.62 63 7.06 4.96 4.11 3.63 3.32 3.10 2.94 2.81 2.70 2.62 64 7.05 4.95 4.10 3.63 3.32 3.10 2.93 2.80 2.70 2.61 65 7.04 4.95 4.10 3.62 3.31 3.09 2.93 2.80 2.69 2.61 66 7.04 4.94 4.09 3.62 3.31 3.09 2.92 2.79 2.69 2.60 67 7.03 4.94 4.09 3.61 3.30 3.08 2.92 2.79 2.68 2.60 68 7.02 4.93 4.08 3.61 3.30 3.08 2.91 2.78 2.68 2.59 69 7.02 4.93 4.08 3.60 3.29 3.08 2.91 2.78 2.68 2.59 70 7.01 4.92 4.07 3.60 3.29 3.07 2.91 2.78 2.67 2.59 71 7.01 4.92 4.07 3.60 3.29 3.07 2.90 2.77 2.67 2.58 72 7.00 4.91 4.07 3.59 3.28 3.06 2.90 2.77 2.66 2.58 Statistik 14.4 Quantile der F ( m, n )-Verteilung, n ≤ 500, m ≤ 20 109 n = m =1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 73 7.00 4.91 4.06 3.59 3.28 3.06 2.89 2.77 2.66 2.57 74 6.99 4.90 4.06 3.58 3.28 3.06 2.89 2.76 2.66 2.57 75 6.99 4.90 4.05 3.58 3.27 3.05 2.89 2.76 2.65 2.57 76 6.98 4.90 4.05 3.58 3.27 3.05 2.88 2.75 2.65 2.56 77 6.98 4.89 4.05 3.57 3.26 3.05 2.88 2.75 2.65 2.56 78 6.97 4.89 4.04 3.57 3.26 3.04 2.88 2.75 2.64 2.56 79 6.97 4.88 4.04 3.57 3.26 3.04 2.87 2.75 2.64 2.55 80 6.96 4.88 4.04 3.56 3.26 3.04 2.87 2.74 2.64 2.55 81 6.96 4.88 4.03 3.56 3.25 3.03 2.87 2.74 2.63 2.55 82 6.95 4.87 4.03 3.56 3.25 3.03 2.87 2.74 2.63 2.54 83 6.95 4.87 4.03 3.55 3.25 3.03 2.86 2.73 2.63 2.54 84 6.95 4.87 4.02 3.55 3.24 3.02 2.86 2.73 2.63 2.54 85 6.94 4.86 4.02 3.55 3.24 3.02 2.86 2.73 2.62 2.54 86 6.94 4.86 4.02 3.55 3.24 3.02 2.85 2.73 2.62 2.53 87 6.94 4.86 4.02 3.54 3.24 3.02 2.85 2.72 2.62 2.53 88 6.93 4.85 4.01 3.54 3.23 3.01 2.85 2.72 2.62 2.53 89 6.93 4.85 4.01 3.54 3.23 3.01 2.85 2.72 2.61 2.53 90 6.93 4.85 4.01 3.53 3.23 3.01 2.84 2.72 2.61 2.52 91 6.92 4.85 4.00 3.53 3.23 3.01 2.84 2.71 2.61 2.52 92 6.92 4.84 4.00 3.53 3.22 3.00 2.84 2.71 2.61 2.52 93 6.92 4.84 4.00 3.53 3.22 3.00 2.84 2.71 2.60 2.52 94 6.91 4.84 4.00 3.53 3.22 3.00 2.84 2.71 2.60 2.52 95 6.91 4.84 3.99 3.52 3.22 3.00 2.83 2.70 2.60 2.51 96 6.91 4.83 3.99 3.52 3.21 3.00 2.83 2.70 2.60 2.51 97 6.90 4.83 3.99 3.52 3.21 2.99 2.83 2.70 2.60 2.51 98 6.90 4.83 3.99 3.52 3.21 2.99 2.83 2.70 2.59 2.51 99 6.90 4.83 3.99 3.51 3.21 2.99 2.83 2.70 2.59 2.51 100 6.90 4.82 3.98 3.51 3.21 2.99 2.82 2.69 2.59 2.50 101 6.89 4.82 3.98 3.51 3.20 2.99 2.82 2.69 2.59 2.50 102 6.89 4.82 3.98 3.51 3.20 2.98 2.82 2.69 2.59 2.50 103 6.89 4.82 3.98 3.51 3.20 2.98 2.82 2.69 2.58 2.50 105 6.88 4.81 3.97 3.50 3.20 2.98 2.81 2.69 2.58 2.49 106 6.88 4.81 3.97 3.50 3.19 2.98 2.81 2.68 2.58 2.49 108 6.88 4.81 3.97 3.50 3.19 2.97 2.81 2.68 2.58 2.49 109 6.87 4.81 3.97 3.50 3.19 2.97 2.81 2.68 2.57 2.49 110 6.87 4.80 3.96 3.49 3.19 2.97 2.81 2.68 2.57 2.49 111 6.87 4.80 3.96 3.49 3.19 2.97 2.80 2.68 2.57 2.48 112 6.87 4.80 3.96 3.49 3.19 2.97 2.80 2.67 2.57 2.48 113 6.86 4.80 3.96 3.49 3.18 2.97 2.80 2.67 2.57 2.48 114 6.86 4.80 3.96 3.49 3.18 2.96 2.80 2.67 2.57 2.48 115 6.86 4.79 3.96 3.49 3.18 2.96 2.80 2.67 2.57 2.48 116 6.86 4.79 3.96 3.49 3.18 2.96 2.80 2.67 2.56 2.48 117 6.86 4.79 3.95 3.48 3.18 2.96 2.80 2.67 2.56 2.48 118 6.85 4.79 3.95 3.48 3.18 2.96 2.79 2.67 2.56 2.47 119 6.85 4.79 3.95 3.48 3.17 2.96 2.79 2.66 2.56 2.47 121 6.85 4.78 3.95 3.48 3.17 2.95 2.79 2.66 2.56 2.47 123 6.85 4.78 3.94 3.48 3.17 2.95 2.79 2.66 2.55 2.47 124 6.84 4.78 3.94 3.47 3.17 2.95 2.79 2.66 2.55 2.47 126 6.84 4.78 3.94 3.47 3.17 2.95 2.78 2.66 2.55 2.46 127 6.84 4.78 3.94 3.47 3.16 2.95 2.78 2.65 2.55 2.46 128 6.84 4.77 3.94 3.47 3.16 2.95 2.78 2.65 2.55 2.46 129 6.84 4.77 3.94 3.47 3.16 2.94 2.78 2.65 2.55 2.46 130 6.83 4.77 3.94 3.47 3.16 2.94 2.78 2.65 2.55 2.46 131 6.83 4.77 3.93 3.47 3.16 2.94 2.78 2.65 2.55 2.46 132 6.83 4.77 3.93 3.46 3.16 2.94 2.78 2.65 2.54 2.46 135 6.83 4.77 3.93 3.46 3.16 2.94 2.77 2.65 2.54 2.45 136 6.82 4.76 3.93 3.46 3.15 2.94 2.77 2.64 2.54 2.45 139 6.82 4.76 3.93 3.46 3.15 2.93 2.77 2.64 2.54 2.45 140 6.82 4.76 3.92 3.46 3.15 2.93 2.77 2.64 2.54 2.45 142 6.82 4.76 3.92 3.45 3.15 2.93 2.77 2.64 2.53 2.45 144 6.81 4.76 3.92 3.45 3.15 2.93 2.77 2.64 2.53 2.45 145 6.81 4.75 3.92 3.45 3.15 2.93 2.76 2.64 2.53 2.45 146 6.81 4.75 3.92 3.45 3.15 2.93 2.76 2.64 2.53 2.44 147 6.81 4.75 3.92 3.45 3.14 2.93 2.76 2.63 2.53 2.44 150 6.81 4.75 3.91 3.45 3.14 2.92 2.76 2.63 2.53 2.44 152 6.80 4.75 3.91 3.45 3.14 2.92 2.76 2.63 2.53 2.44 153 6.80 4.75 3.91 3.44 3.14 2.92 2.76 2.63 2.53 2.44 154 6.80 4.75 3.91 3.44 3.14 2.92 2.76 2.63 2.52 2.44 155 6.80 4.74 3.91 3.44 3.14 2.92 2.76 2.63 2.52 2.44 158 6.80 4.74 3.91 3.44 3.14 2.92 2.75 2.63 2.52 2.43 110 14 Verteilungstabellen n = m =1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 159 6.80 4.74 3.91 3.44 3.13 2.92 2.75 2.62 2.52 2.43 161 6.79 4.74 3.91 3.44 3.13 2.92 2.75 2.62 2.52 2.43 162 6.79 4.74 3.90 3.44 3.13 2.92 2.75 2.62 2.52 2.43 163 6.79 4.74 3.90 3.44 3.13 2.91 2.75 2.62 2.52 2.43 165 6.79 4.74 3.90 3.43 3.13 2.91 2.75 2.62 2.52 2.43 167 6.79 4.73 3.90 3.43 3.13 2.91 2.75 2.62 2.52 2.43 168 6.79 4.73 3.90 3.43 3.13 2.91 2.75 2.62 2.51 2.43 172 6.78 4.73 3.90 3.43 3.13 2.91 2.74 2.62 2.51 2.43 173 6.78 4.73 3.90 3.43 3.12 2.91 2.74 2.62 2.51 2.42 174 6.78 4.73 3.90 3.43 3.12 2.91 2.74 2.61 2.51 2.42 176 6.78 4.73 3.89 3.43 3.12 2.91 2.74 2.61 2.51 2.42 178 6.78 4.73 3.89 3.43 3.12 2.90 2.74 2.61 2.51 2.42 181 6.78 4.72 3.89 3.42 3.12 2.90 2.74 2.61 2.51 2.42 184 6.77 4.72 3.89 3.42 3.12 2.90 2.74 2.61 2.51 2.42 185 6.77 4.72 3.89 3.42 3.12 2.90 2.74 2.61 2.50 2.42 190 6.77 4.72 3.89 3.42 3.11 2.90 2.73 2.61 2.50 2.42 191 6.77 4.72 3.89 3.42 3.11 2.90 2.73 2.61 2.50 2.41 193 6.77 4.72 3.88 3.42 3.11 2.90 2.73 2.60 2.50 2.41 197 6.77 4.71 3.88 3.42 3.11 2.89 2.73 2.60 2.50 2.41 198 6.76 4.71 3.88 3.42 3.11 2.89 2.73 2.60 2.50 2.41 199 6.76 4.71 3.88 3.41 3.11 2.89 2.73 2.60 2.50 2.41 205 6.76 4.71 3.88 3.41 3.11 2.89 2.73 2.60 2.49 2.41 211 6.76 4.71 3.88 3.41 3.11 2.89 2.72 2.60 2.49 2.41 212 6.76 4.71 3.88 3.41 3.10 2.89 2.72 2.60 2.49 2.41 213 6.76 4.71 3.87 3.41 3.10 2.89 2.72 2.60 2.49 2.41 214 6.75 4.71 3.87 3.41 3.10 2.89 2.72 2.60 2.49 2.40 215 6.75 4.71 3.87 3.41 3.10 2.89 2.72 2.59 2.49 2.40 216 6.75 4.70 3.87 3.41 3.10 2.89 2.72 2.59 2.49 2.40 220 6.75 4.70 3.87 3.41 3.10 2.88 2.72 2.59 2.49 2.40 222 6.75 4.70 3.87 3.40 3.10 2.88 2.72 2.59 2.49 2.40 231 6.75 4.70 3.87 3.40 3.10 2.88 2.72 2.59 2.48 2.40 233 6.74 4.70 3.87 3.40 3.10 2.88 2.72 2.59 2.48 2.40 238 6.74 4.70 3.86 3.40 3.09 2.88 2.72 2.59 2.48 2.40 239 6.74 4.70 3.86 3.40 3.09 2.88 2.71 2.59 2.48 2.40 240 6.74 4.69 3.86 3.40 3.09 2.88 2.71 2.59 2.48 2.40 242 6.74 4.69 3.86 3.40 3.09 2.88 2.71 2.59 2.48 2.39 244 6.74 4.69 3.86 3.40 3.09 2.88 2.71 2.58 2.48 2.39 250 6.74 4.69 3.86 3.40 3.09 2.87 2.71 2.58 2.48 2.39 251 6.74 4.69 3.86 3.39 3.09 2.87 2.71 2.58 2.48 2.39 256 6.73 4.69 3.86 3.39 3.09 2.87 2.71 2.58 2.48 2.39 265 6.73 4.69 3.86 3.39 3.09 2.87 2.71 2.58 2.47 2.39 269 6.73 4.68 3.86 3.39 3.09 2.87 2.71 2.58 2.47 2.39 270 6.73 4.68 3.85 3.39 3.09 2.87 2.71 2.58 2.47 2.39 273 6.73 4.68 3.85 3.39 3.08 2.87 2.71 2.58 2.47 2.39 275 6.73 4.68 3.85 3.39 3.08 2.87 2.70 2.58 2.47 2.39 279 6.73 4.68 3.85 3.39 3.08 2.87 2.70 2.58 2.47 2.38 281 6.73 4.68 3.85 3.39 3.08 2.87 2.70 2.57 2.47 2.38 284 6.72 4.68 3.85 3.39 3.08 2.87 2.70 2.57 2.47 2.38 288 6.72 4.68 3.85 3.38 3.08 2.87 2.70 2.57 2.47 2.38 289 6.72 4.68 3.85 3.38 3.08 2.86 2.70 2.57 2.47 2.38 307 6.72 4.67 3.85 3.38 3.08 2.86 2.70 2.57 2.47 2.38 310 6.72 4.67 3.85 3.38 3.08 2.86 2.70 2.57 2.46 2.38 312 6.72 4.67 3.84 3.38 3.08 2.86 2.70 2.57 2.46 2.38 319 6.71 4.67 3.84 3.38 3.08 2.86 2.70 2.57 2.46 2.38 320 6.71 4.67 3.84 3.38 3.07 2.86 2.70 2.57 2.46 2.38 323 6.71 4.67 3.84 3.38 3.07 2.86 2.69 2.57 2.46 2.38 330 6.71 4.67 3.84 3.38 3.07 2.86 2.69 2.57 2.46 2.37 333 6.71 4.67 3.84 3.38 3.07 2.86 2.69 2.56 2.46 2.37 339 6.71 4.67 3.84 3.37 3.07 2.86 2.69 2.56 2.46 2.37 342 6.71 4.67 3.84 3.37 3.07 2.85 2.69 2.56 2.46 2.37 358 6.71 4.66 3.84 3.37 3.07 2.85 2.69 2.56 2.46 2.37 365 6.70 4.66 3.84 3.37 3.07 2.85 2.69 2.56 2.46 2.37 370 6.70 4.66 3.83 3.37 3.07 2.85 2.69 2.56 2.46 2.37 374 6.70 4.66 3.83 3.37 3.07 2.85 2.69 2.56 2.45 2.37 386 6.70 4.66 3.83 3.37 3.06 2.85 2.69 2.56 2.45 2.37 393 6.70 4.66 3.83 3.37 3.06 2.85 2.68 2.56 2.45 2.37 404 6.70 4.66 3.83 3.37 3.06 2.85 2.68 2.56 2.45 2.36 408 6.70 4.66 3.83 3.37 3.06 2.85 2.68 2.55 2.45 2.36 412 6.70 4.66 3.83 3.36 3.06 2.85 2.68 2.55 2.45 2.36 421 6.70 4.66 3.83 3.36 3.06 2.84 2.68 2.55 2.45 2.36 Statistik 14.4 Quantile der F ( m, n )-Verteilung, n ≤ 500, m ≤ 20 111 n = m =1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 425 6.69 4.66 3.83 3.36 3.06 2.84 2.68 2.55 2.45 2.36 429 6.69 4.65 3.83 3.36 3.06 2.84 2.68 2.55 2.45 2.36 455 6.69 4.65 3.82 3.36 3.06 2.84 2.68 2.55 2.45 2.36 472 6.69 4.65 3.82 3.36 3.06 2.84 2.68 2.55 2.44 2.36 487 6.69 4.65 3.82 3.36 3.05 2.84 2.68 2.55 2.44 2.36 n = m =11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 6083 6106 6126 6143 6157 6170 6181 6192 6201 6209 2 99.41 99.42 99.42 99.43 99.43 99.44 99.44 99.44 99.45 99.45 3 27.13 27.05 26.98 26.92 26.87 26.83 26.79 26.75 26.72 26.69 4 14.45 14.37 14.31 14.25 14.20 14.15 14.11 14.08 14.05 14.02 5 9.96 9.89 9.82 9.77 9.72 9.68 9.64 9.61 9.58 9.55 6 7.79 7.72 7.66 7.60 7.56 7.52 7.48 7.45 7.42 7.40 7 6.54 6.47 6.41 6.36 6.31 6.28 6.24 6.21 6.18 6.16 8 5.73 5.67 5.61 5.56 5.52 5.48 5.44 5.41 5.38 5.36 9 5.18 5.11 5.05 5.01 4.96 4.92 4.89 4.86 4.83 4.81 10 4.77 4.71 4.65 4.60 4.56 4.52 4.49 4.46 4.43 4.41 11 4.46 4.40 4.34 4.29 4.25 4.21 4.18 4.15 4.12 4.10 12 4.22 4.16 4.10 4.05 4.01 3.97 3.94 3.91 3.88 3.86 13 4.02 3.96 3.91 3.86 3.82 3.78 3.75 3.72 3.69 3.66 14 3.86 3.80 3.75 3.70 3.66 3.62 3.59 3.56 3.53 3.51 15 3.73 3.67 3.61 3.56 3.52 3.49 3.45 3.42 3.40 3.37 16 3.62 3.55 3.50 3.45 3.41 3.37 3.34 3.31 3.28 3.26 17 3.52 3.46 3.40 3.35 3.31 3.27 3.24 3.21 3.19 3.16 18 3.43 3.37 3.32 3.27 3.23 3.19 3.16 3.13 3.10 3.08 19 3.36 3.30 3.24 3.19 3.15 3.12 3.08 3.05 3.03 3.00 20 3.29 3.23 3.18 3.13 3.09 3.05 3.02 2.99 2.96 2.94 21 3.24 3.17 3.12 3.07 3.03 2.99 2.96 2.93 2.90 2.88 22 3.18 3.12 3.07 3.02 2.98 2.94 2.91 2.88 2.85 2.83 23 3.14 3.07 3.02 2.97 2.93 2.89 2.86 2.83 2.80 2.78 24 3.09 3.03 2.98 2.93 2.89 2.85 2.82 2.79 2.76 2.74 25 3.06 2.99 2.94 2.89 2.85 2.81 2.78 2.75 2.72 2.70 26 3.02 2.96 2.90 2.86 2.81 2.78 2.75 2.72 2.69 2.66 27 2.99 2.93 2.87 2.82 2.78 2.75 2.71 2.68 2.66 2.63 28 2.96 2.90 2.84 2.79 2.75 2.72 2.68 2.65 2.63 2.60 29 2.93 2.87 2.81 2.77 2.73 2.69 2.66 2.63 2.60 2.57 30 2.91 2.84 2.79 2.74 2.70 2.66 2.63 2.60 2.57 2.55 31 2.88 2.82 2.77 2.72 2.68 2.64 2.61 2.58 2.55 2.52 32 2.86 2.80 2.74 2.70 2.65 2.62 2.58 2.55 2.53 2.50 33 2.84 2.78 2.72 2.68 2.63 2.60 2.56 2.53 2.51 2.48 34 2.82 2.76 2.70 2.66 2.61 2.58 2.54 2.51 2.49 2.46 35 2.80 2.74 2.69 2.64 2.60 2.56 2.53 2.50 2.47 2.44 36 2.79 2.72 2.67 2.62 2.58 2.54 2.51 2.48 2.45 2.43 37 2.77 2.71 2.65 2.61 2.56 2.53 2.49 2.46 2.44 2.41 38 2.75 2.69 2.64 2.59 2.55 2.51 2.48 2.45 2.42 2.40 39 2.74 2.68 2.62 2.58 2.54 2.50 2.46 2.43 2.41 2.38 40 2.73 2.66 2.61 2.56 2.52 2.48 2.45 2.42 2.39 2.37 41 2.71 2.65 2.60 2.55 2.51 2.47 2.44 2.41 2.38 2.36 42 2.70 2.64 2.59 2.54 2.50 2.46 2.43 2.40 2.37 2.34 43 2.69 2.63 2.57 2.53 2.49 2.45 2.41 2.38 2.36 2.33 44 2.68 2.62 2.56 2.52 2.47 2.44 2.40 2.37 2.35 2.32 45 2.67 2.61 2.55 2.51 2.46 2.43 2.39 2.36 2.34 2.31 46 2.66 2.60 2.54 2.50 2.45 2.42 2.38 2.35 2.33 2.30 47 2.65 2.59 2.53 2.49 2.44 2.41 2.37 2.34 2.32 2.29 48 2.64 2.58 2.53 2.48 2.44 2.40 2.37 2.33 2.31 2.28 49 2.63 2.57 2.52 2.47 2.43 2.39 2.36 2.33 2.30 2.27 50 2.63 2.56 2.51 2.46 2.42 2.38 2.35 2.32 2.29 2.27 51 2.62 2.55 2.50 2.45 2.41 2.37 2.34 2.31 2.28 2.26 52 2.61 2.55 2.49 2.45 2.40 2.37 2.33 2.30 2.27 2.25 53 2.60 2.54 2.49 2.44 2.40 2.36 2.33 2.29 2.27 2.24 54 2.60 2.53 2.48 2.43 2.39 2.35 2.32 2.29 2.26 2.24 55 2.59 2.53 2.47 2.42 2.38 2.34 2.31 2.28 2.25 2.23 56 2.58 2.52 2.47 2.42 2.38 2.34 2.30 2.27 2.25 2.22 57 2.58 2.51 2.46 2.41 2.37 2.33 2.30 2.27 2.24 2.22 58 2.57 2.51 2.45 2.41 2.36 2.33 2.29 2.26 2.23 2.21 59 2.56 2.50 2.45 2.40 2.36 2.32 2.29 2.26 2.23 2.20 60 2.56 2.50 2.44 2.39 2.35 2.31 2.28 2.25 2.22 2.20 61 2.55 2.49 2.44 2.39 2.35 2.31 2.28 2.25 2.22 2.19 62 2.55 2.49 2.43 2.38 2.34 2.30 2.27 2.24 2.21 2.19 63 2.54 2.48 2.43 2.38 2.34 2.30 2.27 2.23 2.21 2.18 112 14 Verteilungstabellen n = m =11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 64 2.54 2.48 2.42 2.37 2.33 2.29 2.26 2.23 2.20 2.18 65 2.53 2.47 2.42 2.37 2.33 2.29 2.26 2.23 2.20 2.17 66 2.53 2.47 2.41 2.36 2.32 2.28 2.25 2.22 2.19 2.17 67 2.52 2.46 2.41 2.36 2.32 2.28 2.25 2.22 2.19 2.16 68 2.52 2.46 2.40 2.36 2.31 2.28 2.24 2.21 2.18 2.16 69 2.52 2.45 2.40 2.35 2.31 2.27 2.24 2.21 2.18 2.15 70 2.51 2.45 2.40 2.35 2.31 2.27 2.23 2.20 2.18 2.15 71 2.51 2.45 2.39 2.34 2.30 2.26 2.23 2.20 2.17 2.15 72 2.50 2.44 2.39 2.34 2.30 2.26 2.23 2.20 2.17 2.14 73 2.50 2.44 2.38 2.34 2.29 2.26 2.22 2.19 2.16 2.14 74 2.50 2.43 2.38 2.33 2.29 2.25 2.22 2.19 2.16 2.14 75 2.49 2.43 2.38 2.33 2.29 2.25 2.22 2.18 2.16 2.13 76 2.49 2.43 2.37 2.33 2.28 2.25 2.21 2.18 2.15 2.13 77 2.49 2.42 2.37 2.32 2.28 2.24 2.21 2.18 2.15 2.12 78 2.48 2.42 2.37 2.32 2.28 2.24 2.21 2.17 2.15 2.12 79 2.48 2.42 2.36 2.32 2.27 2.24 2.20 2.17 2.14 2.12 80 2.48 2.42 2.36 2.31 2.27 2.23 2.20 2.17 2.14 2.12 81 2.47 2.41 2.36 2.31 2.27 2.23 2.20 2.17 2.14 2.11 82 2.47 2.41 2.35 2.31 2.27 2.23 2.19 2.16 2.13 2.11 83 2.47 2.41 2.35 2.30 2.26 2.22 2.19 2.16 2.13 2.11 84 2.47 2.40 2.35 2.30 2.26 2.22 2.19 2.16 2.13 2.10 85 2.46 2.40 2.35 2.30 2.26 2.22 2.19 2.15 2.13 2.10 86 2.46 2.40 2.34 2.30 2.25 2.22 2.18 2.15 2.12 2.10 87 2.46 2.40 2.34 2.29 2.25 2.21 2.18 2.15 2.12 2.10 88 2.46 2.39 2.34 2.29 2.25 2.21 2.18 2.15 2.12 2.09 89 2.45 2.39 2.34 2.29 2.25 2.21 2.17 2.14 2.12 2.09 90 2.45 2.39 2.33 2.29 2.24 2.21 2.17 2.14 2.11 2.09 91 2.45 2.39 2.33 2.28 2.24 2.20 2.17 2.14 2.11 2.09 92 2.45 2.38 2.33 2.28 2.24 2.20 2.17 2.14 2.11 2.08 93 2.44 2.38 2.33 2.28 2.24 2.20 2.17 2.13 2.11 2.08 94 2.44 2.38 2.33 2.28 2.24 2.20 2.16 2.13 2.10 2.08 95 2.44 2.38 2.32 2.28 2.23 2.20 2.16 2.13 2.10 2.08 96 2.44 2.38 2.32 2.27 2.23 2.19 2.16 2.13 2.10 2.07 97 2.44 2.37 2.32 2.27 2.23 2.19 2.16 2.13 2.10 2.07 98 2.43 2.37 2.32 2.27 2.23 2.19 2.16 2.12 2.10 2.07 99 2.43 2.37 2.32 2.27 2.22 2.19 2.15 2.12 2.09 2.07 100 2.43 2.37 2.31 2.27 2.22 2.19 2.15 2.12 2.09 2.07 101 2.43 2.37 2.31 2.26 2.22 2.18 2.15 2.12 2.09 2.06 102 2.43 2.36 2.31 2.26 2.22 2.18 2.15 2.12 2.09 2.06 103 2.42 2.36 2.31 2.26 2.22 2.18 2.15 2.11 2.09 2.06 104 2.42 2.36 2.31 2.26 2.22 2.18 2.14 2.11 2.08 2.06 105 2.42 2.36 2.30 2.26 2.21 2.18 2.14 2.11 2.08 2.06 106 2.42 2.36 2.30 2.25 2.21 2.17 2.14 2.11 2.08 2.06 107 2.42 2.36 2.30 2.25 2.21 2.17 2.14 2.11 2.08 2.05 108 2.42 2.35 2.30 2.25 2.21 2.17 2.14 2.11 2.08 2.05 109 2.41 2.35 2.30 2.25 2.21 2.17 2.14 2.10 2.08 2.05 110 2.41 2.35 2.30 2.25 2.21 2.17 2.13 2.10 2.07 2.05 111 2.41 2.35 2.29 2.25 2.20 2.17 2.13 2.10 2.07 2.05 112 2.41 2.35 2.29 2.25 2.20 2.16 2.13 2.10 2.07 2.05 113 2.41 2.35 2.29 2.24 2.20 2.16 2.13 2.10 2.07 2.04 114 2.41 2.34 2.29 2.24 2.20 2.16 2.13 2.10 2.07 2.04 116 2.40 2.34 2.29 2.24 2.20 2.16 2.12 2.09 2.07 2.04 117 2.40 2.34 2.29 2.24 2.20 2.16 2.12 2.09 2.06 2.04 118 2.40 2.34 2.28 2.24 2.19 2.16 2.12 2.09 2.06 2.04 119 2.40 2.34 2.28 2.24 2.19 2.15 2.12 2.09 2.06 2.04 120 2.40 2.34 2.28 2.23 2.19 2.15 2.12 2.09 2.06 2.03 122 2.40 2.33 2.28 2.23 2.19 2.15 2.12 2.09 2.06 2.03 123 2.40 2.33 2.28 2.23 2.19 2.15 2.12 2.08 2.06 2.03 124 2.39 2.33 2.28 2.23 2.19 2.15 2.11 2.08 2.06 2.03 125 2.39 2.33 2.28 2.23 2.19 2.15 2.11 2.08 2.05 2.03 126 2.39 2.33 2.27 2.23 2.18 2.15 2.11 2.08 2.05 2.03 127 2.39 2.33 2.27 2.23 2.18 2.14 2.11 2.08 2.05 2.03 128 2.39 2.33 2.27 2.22 2.18 2.14 2.11 2.08 2.05 2.02 130 2.39 2.32 2.27 2.22 2.18 2.14 2.11 2.08 2.05 2.02 132 2.38 2.32 2.27 2.22 2.18 2.14 2.11 2.07 2.05 2.02 133 2.38 2.32 2.27 2.22 2.18 2.14 2.10 2.07 2.04 2.02 135 2.38 2.32 2.26 2.22 2.17 2.14 2.10 2.07 2.04 2.02 137 2.38 2.32 2.26 2.21 2.17 2.13 2.10 2.07 2.04 2.01 140 2.38 2.31 2.26 2.21 2.17 2.13 2.10 2.07 2.04 2.01 141 2.38 2.31 2.26 2.21 2.17 2.13 2.10 2.06 2.04 2.01 Statistik 14.4 Quantile der F ( m, n )-Verteilung, n ≤ 500, m ≤ 20 113 n = m =11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 143 2.37 2.31 2.26 2.21 2.17 2.13 2.09 2.06 2.03 2.01 145 2.37 2.31 2.26 2.21 2.16 2.13 2.09 2.06 2.03 2.01 146 2.37 2.31 2.25 2.21 2.16 2.13 2.09 2.06 2.03 2.01 147 2.37 2.31 2.25 2.21 2.16 2.12 2.09 2.06 2.03 2.01 148 2.37 2.31 2.25 2.20 2.16 2.12 2.09 2.06 2.03 2.00 151 2.37 2.30 2.25 2.20 2.16 2.12 2.09 2.06 2.03 2.00 153 2.37 2.30 2.25 2.20 2.16 2.12 2.09 2.05 2.03 2.00 154 2.36 2.30 2.25 2.20 2.16 2.12 2.08 2.05 2.03 2.00 155 2.36 2.30 2.25 2.20 2.16 2.12 2.08 2.05 2.02 2.00 157 2.36 2.30 2.25 2.20 2.15 2.12 2.08 2.05 2.02 2.00 158 2.36 2.30 2.24 2.20 2.15 2.12 2.08 2.05 2.02 2.00 160 2.36 2.30 2.24 2.20 2.15 2.11 2.08 2.05 2.02 1.99 161 2.36 2.30 2.24 2.19 2.15 2.11 2.08 2.05 2.02 1.99 164 2.36 2.29 2.24 2.19 2.15 2.11 2.08 2.05 2.02 1.99 166 2.36 2.29 2.24 2.19 2.15 2.11 2.08 2.04 2.02 1.99 168 2.35 2.29 2.24 2.19 2.15 2.11 2.07 2.04 2.02 1.99 169 2.35 2.29 2.24 2.19 2.15 2.11 2.07 2.04 2.01 1.99 172 2.35 2.29 2.24 2.19 2.14 2.11 2.07 2.04 2.01 1.99 173 2.35 2.29 2.23 2.19 2.14 2.11 2.07 2.04 2.01 1.99 175 2.35 2.29 2.23 2.19 2.14 2.10 2.07 2.04 2.01 1.98 176 2.35 2.29 2.23 2.18 2.14 2.10 2.07 2.04 2.01 1.98 180 2.35 2.28 2.23 2.18 2.14 2.10 2.07 2.04 2.01 1.98 182 2.35 2.28 2.23 2.18 2.14 2.10 2.07 2.03 2.01 1.98 184 2.35 2.28 2.23 2.18 2.14 2.10 2.06 2.03 2.01 1.98 185 2.34 2.28 2.23 2.18 2.14 2.10 2.06 2.03 2.00 1.98 189 2.34 2.28 2.23 2.18 2.13 2.10 2.06 2.03 2.00 1.98 190 2.34 2.28 2.22 2.18 2.13 2.10 2.06 2.03 2.00 1.98 193 2.34 2.28 2.22 2.18 2.13 2.09 2.06 2.03 2.00 1.97 194 2.34 2.28 2.22 2.17 2.13 2.09 2.06 2.03 2.00 1.97 200 2.34 2.27 2.22 2.17 2.13 2.09 2.06 2.03 2.00 1.97 202 2.34 2.27 2.22 2.17 2.13 2.09 2.06 2.02 2.00 1.97 205 2.34 2.27 2.22 2.17 2.13 2.09 2.05 2.02 2.00 1.97 206 2.33 2.27 2.22 2.17 2.13 2.09 2.05 2.02 1.99 1.97 211 2.33 2.27 2.22 2.17 2.12 2.09 2.05 2.02 1.99 1.97 212 2.33 2.27 2.21 2.17 2.12 2.09 2.05 2.02 1.99 1.97 215 2.33 2.27 2.21 2.17 2.12 2.08 2.05 2.02 1.99 1.96 217 2.33 2.27 2.21 2.16 2.12 2.08 2.05 2.02 1.99 1.96 224 2.33 2.26 2.21 2.16 2.12 2.08 2.05 2.02 1.99 1.96 227 2.33 2.26 2.21 2.16 2.12 2.08 2.05 2.01 1.99 1.96 230 2.33 2.26 2.21 2.16 2.12 2.08 2.04 2.01 1.99 1.96 231 2.33 2.26 2.21 2.16 2.12 2.08 2.04 2.01 1.98 1.96 232 2.32 2.26 2.21 2.16 2.12 2.08 2.04 2.01 1.98 1.96 238 2.32 2.26 2.21 2.16 2.11 2.08 2.04 2.01 1.98 1.96 240 2.32 2.26 2.20 2.16 2.11 2.08 2.04 2.01 1.98 1.96 242 2.32 2.26 2.20 2.16 2.11 2.08 2.04 2.01 1.98 1.95 243 2.32 2.26 2.20 2.16 2.11 2.07 2.04 2.01 1.98 1.95 246 2.32 2.26 2.20 2.15 2.11 2.07 2.04 2.01 1.98 1.95 256 2.32 2.25 2.20 2.15 2.11 2.07 2.04 2.01 1.98 1.95 258 2.32 2.25 2.20 2.15 2.11 2.07 2.04 2.00 1.98 1.95 262 2.32 2.25 2.20 2.15 2.11 2.07 2.03 2.00 1.98 1.95 263 2.32 2.25 2.20 2.15 2.11 2.07 2.03 2.00 1.97 1.95 266 2.31 2.25 2.20 2.15 2.11 2.07 2.03 2.00 1.97 1.95 273 2.31 2.25 2.20 2.15 2.10 2.07 2.03 2.00 1.97 1.95 276 2.31 2.25 2.19 2.15 2.10 2.07 2.03 2.00 1.97 1.95 278 2.31 2.25 2.19 2.15 2.10 2.07 2.03 2.00 1.97 1.94 280 2.31 2.25 2.19 2.15 2.10 2.06 2.03 2.00 1.97 1.94 284 2.31 2.25 2.19 2.14 2.10 2.06 2.03 2.00 1.97 1.94 298 2.31 2.24 2.19 2.14 2.10 2.06 2.03 2.00 1.97 1.94 299 2.31 2.24 2.19 2.14 2.10 2.06 2.03 1.99 1.97 1.94 306 2.31 2.24 2.19 2.14 2.10 2.06 2.02 1.99 1.96 1.94 312 2.30 2.24 2.19 2.14 2.10 2.06 2.02 1.99 1.96 1.94 321 2.30 2.24 2.19 2.14 2.09 2.06 2.02 1.99 1.96 1.94 326 2.30 2.24 2.18 2.14 2.09 2.06 2.02 1.99 1.96 1.94 327 2.30 2.24 2.18 2.14 2.09 2.06 2.02 1.99 1.96 1.93 331 2.30 2.24 2.18 2.14 2.09 2.05 2.02 1.99 1.96 1.93 337 2.30 2.24 2.18 2.13 2.09 2.05 2.02 1.99 1.96 1.93 356 2.30 2.23 2.18 2.13 2.09 2.05 2.02 1.99 1.96 1.93 357 2.30 2.23 2.18 2.13 2.09 2.05 2.02 1.98 1.96 1.93 367 2.30 2.23 2.18 2.13 2.09 2.05 2.01 1.98 1.95 1.93 378 2.29 2.23 2.18 2.13 2.09 2.05 2.01 1.98 1.95 1.93 114 14 Verteilungstabellen n = m =11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 389 2.29 2.23 2.18 2.13 2.08 2.05 2.01 1.98 1.95 1.93 396 2.29 2.23 2.18 2.13 2.08 2.05 2.01 1.98 1.95 1.92 397 2.29 2.23 2.17 2.13 2.08 2.05 2.01 1.98 1.95 1.92 403 2.29 2.23 2.17 2.13 2.08 2.04 2.01 1.98 1.95 1.92 414 2.29 2.23 2.17 2.12 2.08 2.04 2.01 1.98 1.95 1.92 443 2.29 2.23 2.17 2.12 2.08 2.04 2.01 1.97 1.95 1.92 444 2.29 2.22 2.17 2.12 2.08 2.04 2.01 1.97 1.95 1.92 457 2.29 2.22 2.17 2.12 2.08 2.04 2.01 1.97 1.94 1.92 458 2.29 2.22 2.17 2.12 2.08 2.04 2.00 1.97 1.94 1.92 478 2.28 2.22 2.17 2.12 2.08 2.04 2.00 1.97 1.94 1.92 495 2.28 2.22 2.17 2.12 2.07 2.04 2.00 1.97 1.94 1.92 14.5 Quantile w α ( n 1 , n 2 ) der Wilcoxon-Verteilung Anwendungsbeispiele: ■ w 0 . 005 (7 , 5) = 30, w 1 − α ( n 1 , n 2 ) = n 1 ( n 1 + n 2 + 1) − w α ( n 1 , n 2 ) ■ F ü r max( n 1 , n 2 ) > 25 ist w α ( n 1 , n 2 ) ≈ u α · √ n 1 n 2 ( n 1 + n 2 + 1) / 12+ n 1 ( n 1 + n 2 + 1) / 2 Quantile für α = 0 , 005 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 3 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 8 8 8 9 9 9 9 10 10 10 11 11 11 12 4 10 10 10 10 11 11 12 12 13 13 14 14 15 16 16 17 17 18 19 19 20 20 21 21 5 15 15 15 16 17 17 18 19 20 21 22 23 23 24 25 26 27 28 29 30 30 31 32 33 6 21 21 22 23 24 25 26 27 28 29 31 32 33 34 35 37 38 39 40 41 43 44 45 46 7 28 28 29 30 32 33 35 36 38 39 41 42 44 45 47 48 50 51 53 54 56 58 59 61 8 36 36 38 39 41 43 44 46 48 50 52 54 55 57 59 61 63 65 67 69 71 72 74 76 9 45 46 47 49 51 53 55 57 59 62 64 66 68 70 73 75 77 79 82 84 86 89 91 93 10 55 56 58 60 62 65 67 69 72 74 77 80 82 85 87 90 93 95 98 100 103 106 108 111 11 66 67 69 72 74 77 80 83 85 88 91 94 97 100 103 106 109 112 115 118 121 124 127 130 12 78 80 82 85 88 91 94 97 100 103 106 110 113 116 120 123 126 130 133 137 140 143 147 150 13 91 93 95 99 102 105 109 112 116 119 123 126 130 134 137 141 145 149 152 156 160 164 167 171 14 105 107 110 113 117 121 124 128 132 136 140 144 148 152 156 160 164 169 173 177 181 185 189 193 15 120 123 126 129 133 137 141 145 150 154 158 163 167 172 176 181 185 190 194 199 203 208 212 217 16 136 139 142 146 150 155 159 164 168 173 178 182 187 192 197 202 207 211 216 221 226 231 236 241 17 153 156 160 164 169 173 178 183 188 193 198 203 208 214 219 224 229 235 240 245 250 256 261 266 18 171 174 178 183 188 193 198 203 209 214 219 225 230 236 242 247 253 259 264 270 276 281 287 293 19 191 194 198 203 208 213 219 224 230 236 242 248 254 260 265 272 278 284 290 296 302 308 314 320 20 211 214 219 224 229 235 241 247 253 259 265 271 278 284 290 297 303 310 316 323 329 336 342 349 21 232 235 240 246 251 257 264 270 276 283 290 296 303 310 316 323 330 337 344 350 357 364 371 378 22 254 258 263 268 275 281 288 294 301 308 315 322 329 336 343 350 358 365 372 379 387 394 401 409 23 277 281 286 292 299 306 312 320 327 334 341 349 356 364 371 379 386 394 402 409 417 425 432 440 24 301 305 311 317 324 331 338 346 353 361 369 376 384 392 400 408 416 424 432 440 448 456 465 473 25 326 331 336 343 350 358 365 373 381 389 397 405 413 422 430 438 447 455 464 472 481 489 498 506 Quantile für α = 0 , 01 2 3 4 5 6 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21 235 240 247 254 261 268 275 282 290 297 305 312 320 328 335 343 351 358 366 374 382 389 397 405 22 257 263 270 277 284 292 299 307 315 323 331 339 347 355 363 371 379 387 395 404 412 420 428 436 23 280 286 294 301 309 317 325 333 341 350 358 366 375 383 392 400 409 417 426 434 443 452 460 469 24 304 311 318 326 334 343 351 360 368 377 386 395 403 412 421 430 439 448 457 466 475 484 493 502 25 329 336 344 353 361 370 379 388 397 406 415 424 433 443 452 461 471 480 489 499 508 518 527 537 Quantile für α = 0 , 05 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 7 7 7 8 8 8 9 9 9 10 10 3 6 6 7 8 9 9 10 10 11 12 12 13 14 14 15 16 16 17 18 18 19 20 20 21 4 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 5 16 17 18 20 21 22 24 25 27 28 29 31 32 34 35 36 38 39 41 42 44 45 46 48 6 22 24 25 27 29 30 32 34 36 38 39 41 43 45 47 48 50 52 54 56 58 59 61 63 7 29 31 33 35 37 40 42 44 46 48 50 53 55 57 59 62 64 66 68 70 73 75 77 79 8 38 40 42 45 47 50 52 55 57 60 63 65 68 70 73 76 78 81 84 86 89 91 94 97 9 47 49 52 55 58 61 64 67 70 73 76 79 82 85 88 91 94 97 100 103 106 109 112 115 10 57 60 63 67 70 73 76 80 83 87 90 93 97 100 104 107 111 114 118 121 124 128 131 135 11 68 72 75 79 83 86 90 94 98 101 105 109 113 117 121 124 128 132 136 140 144 148 152 156 12 81 84 88 92 96 100 105 109 113 117 121 126 130 134 139 143 147 151 156 160 164 169 173 177 13 94 98 102 107 111 116 120 125 129 134 139 143 148 153 157 162 167 172 176 181 186 190 195 200 116 14 Verteilungstabellen 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 14 108 113 117 122 127 132 137 142 147 152 157 162 167 172 177 183 188 193 198 203 208 213 219 224 15 124 128 133 139 144 149 154 160 165 171 176 182 187 193 198 204 209 215 221 226 232 237 243 249 16 140 145 151 156 162 167 173 179 185 191 197 202 208 214 220 226 232 238 244 250 256 262 268 274 17 157 163 169 174 180 187 193 199 205 211 218 224 231 237 243 250 256 263 269 275 282 288 295 301 18 176 181 188 194 200 207 213 220 227 233 240 247 254 260 267 274 281 288 295 302 308 315 322 329 19 195 201 208 214 221 228 235 242 249 256 263 271 278 285 292 300 307 314 321 329 336 343 351 358 20 215 222 229 236 243 250 258 265 273 280 288 295 303 311 318 326 334 341 349 357 365 372 380 388 21 237 243 251 258 266 273 281 289 297 305 313 321 329 337 345 353 362 370 378 386 394 402 411 419 22 259 266 274 282 290 298 306 314 322 331 339 348 356 365 373 382 390 399 408 416 425 433 442 451 23 282 290 298 306 314 323 331 340 349 358 367 375 384 393 402 411 420 429 438 447 456 466 475 484 24 307 314 323 331 340 349 358 367 376 386 395 404 414 423 432 442 451 461 470 480 489 499 508 518 25 332 340 349 358 367 376 386 395 405 415 424 434 444 454 463 473 483 493 503 513 523 533 543 553 Quantile für α = 0 , 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2 3 3 4 5 5 5 6 6 7 7 8 8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 12 13 13 3 6 7 8 9 10 11 12 12 13 14 15 16 17 17 18 19 20 21 22 22 23 24 25 26 4 11 12 13 15 16 17 18 20 21 22 23 24 26 27 28 29 31 32 33 34 36 37 38 39 5 17 18 20 21 23 24 26 28 29 31 33 34 36 38 39 41 43 44 46 47 49 51 52 54 6 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 56 58 60 62 64 66 68 70 7 30 33 35 37 40 42 45 47 50 52 55 57 60 62 65 67 70 72 75 77 80 82 85 87 8 39 42 44 47 50 53 56 59 61 64 67 70 73 76 79 82 85 88 91 93 96 99 102 105 9 48 51 55 58 61 64 68 71 74 77 81 84 87 91 94 98 101 104 108 111 114 118 121 124 10 59 62 66 69 73 77 80 84 88 92 95 99 103 107 110 114 118 122 126 129 133 137 141 145 11 70 74 78 82 86 90 94 98 103 107 111 115 119 124 128 132 136 140 145 149 153 157 162 166 12 83 87 91 96 100 105 109 114 118 123 128 132 137 142 146 151 156 160 165 170 174 179 184 188 13 96 101 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 155 160 166 171 176 181 186 191 196 201 206 212 14 110 116 121 126 131 137 142 147 153 158 164 169 175 180 186 191 197 203 208 214 219 225 230 236 15 126 131 137 143 148 154 160 166 172 178 184 189 195 201 207 213 219 225 231 237 243 249 255 261 16 142 148 154 160 166 173 179 185 191 198 204 211 217 223 230 236 243 249 256 262 268 275 281 288 17 160 166 172 179 185 192 199 206 212 219 226 233 239 246 253 260 267 274 281 288 295 301 308 315 18 178 185 192 199 206 213 220 227 234 241 249 256 263 270 278 285 292 300 307 314 322 329 336 344 19 198 205 212 219 227 234 242 249 257 264 272 280 288 295 303 311 319 326 334 342 350 358 365 373 20 218 226 233 241 249 257 265 273 281 289 297 305 313 321 330 338 346 354 362 371 379 387 395 404 21 240 247 255 263 272 280 288 297 305 314 323 331 340 348 357 366 374 383 392 400 409 418 426 435 22 262 270 279 287 296 305 313 322 331 340 349 358 367 376 385 395 404 413 422 431 440 449 458 468 23 285 294 303 312 321 330 339 349 358 367 377 386 396 405 415 424 434 444 453 463 472 482 492 501 24 310 319 328 337 347 357 366 376 386 396 406 415 425 435 445 455 465 475 485 495 505 516 526 536 25 335 345 354 364 374 384 394 404 415 425 435 446 456 466 477 487 498 508 519 529 540 550 561 571 14.6 Quantile d α ( n ) der Kolmogoroff-Verteilung Für fehlende n wird der nächstkleinere, in der Tabelle aufgeführte Wert ˜ n verwendet. n = α =0.9 0.95 0.99 0.995 0 .999 1 0.95 0.97 0.99 1.00 1.00 2 1.10 1.19 1.31 1.34 1.38 3 1.10 1.23 1.44 1.50 1.59 4 1.13 1.25 1.47 1.55 1.70 5 1.14 1.26 1.49 1.58 1.75 6 1.15 1.27 1.51 1.60 1.78 7 1.15 1.28 1.52 1.61 1.80 8 1.16 1.28 1.53 1.62 1.81 9 1.16 1.29 1.54 1.63 1.83 10 1.17 1.29 1.55 1.64 1.84 11 1.17 1.30 1.55 1.65 1.84 12 1.17 1.30 1.56 1.65 1.85 13 1.17 1.30 1.56 1.66 1.86 14 1.18 1.31 1.56 1.66 1.86 15 1.18 1.31 1.57 1.66 1.87 n = α =0.9 0.95 0.99 0.995 0 .999 16 1.18 1.31 1.57 1.67 1.87 17 1.18 1.31 1.57 1.67 1.87 18 1.18 1.31 1.57 1.67 1.88 19 1.18 1.31 1.57 1.67 1.88 20 1.18 1.32 1.58 1.67 1.88 21 1.18 1.32 1.58 1.68 1.88 22 1.19 1.32 1.58 1.68 1.89 27 1.19 1.32 1.58 1.68 1.90 28 1.19 1.32 1.59 1.69 1.90 32 1.19 1.33 1.59 1.69 1.90 36 1.19 1.33 1.59 1.69 1.91 38 1.20 1.33 1.59 1.69 1.91 40 1.20 1.33 1.59 1.70 1.91 41 1.20 1.33 1.59 1.70 1.91 > 41 1.22 1.36 1.63 1.73 1.95 R-Befehle 15 R-Befehle Die Erläuterungen wurden - soweit verfügbar und ggf. gekürzt - der R-Dokumentation entnommen. 15.1 Objekte und Objekteigenschaften m o d e (x ) # G et/ set ty p e / stora g e m o d e of an o bje ct le n gth (x) # G et/ set the le n gth of a R o bje ct cla s s (x) # retrie v e s th e cla ss of o bje ct x attrib ute s ( o bj) # a c c e s s an o bject ’ s attrib ute s . s u m m ary ( o bjekt ,...) # pro d u c e s re s ult s u m m arie s for v ario u s m o d el fittin g fu n ctio n s . plot(x ,y ,...) # plottin g of R o bje cts . as . < Class >( o bje ct) # c o ercin g an o bje ct to a giv e n < Class > , e . g . as . n u m eric , ... is . < Class >( o bje ct) # te sts w h eth er o bje ct ca n be tre ate d as fro m < Class > 15.2 Vektoren, Matrizen und Arrays le n gth (x) # G et or set the le n gth of v e ctors (in clu din g lists ) a n d fa ctors c (...) # c o m bin e s its arg u m e nts to for m a v e ctor. c bin d (...) # C o m bin e arg u m e nts by c olu m n s rbin d (...) # C o m bin e arg u m e nts by ro w s x: y # G e n erate re g ular s e q u e n c e s , e . g . 1: 4 2 a : b # for factors , e q uiv ale nt to intera ctio n (a , b ) se q (fro m = 1 , to = 1 , by = ((to fro m )/ (le n gth . o ut - 1)), ...) # G e n erate re g ular s e q u e n c e s . re p (x , ...) # re p re plic ate s th e v alu e s in x. n a m e s (x) # g et or set th e n a m e s of an o bje ct fa ctor (x ,...) # e n c o d e a v e ctor as a fa ctor arra y ( d ata = NA , dim = le n gth ( d ata ), di m n a m e s = N U L L ) # C re ate s or te sts for arra y s . dim (x) # R etrie v e / set di m e n sio n of an o bje ct. m atrix ( d ata = NA , nro w = 1 , n c ol = 1 , b yro w = F A L S E , di m n a m e s = N U L L ) # cre ate s a m atrix . 118 15 R-Befehle 15.3 Mathematische Funktionen sin (x), cos (x), ta n (x) # trig . fu n ctio n s , in v ers e a < xxx > exp (x) # c o m p ute s th e e x p o n e ntial fu n ctio n log (x , b a s e = exp (1)) # lo g arith m s qrt(x) # c o m p ute s the s q u are ro ot of x a bs (x) # c o m p ute s th e a b s olute v alu e of x fa ctorial(x) # x! for non n e g ativ e inte g er x g a m m a (x) # G a m m a - F u n ctio n + x # return s a n u m eric or c o m ple x v e ctor x # return s a n u m eric or c o m ple x v e ctor x + -*/ ^ y # ele m e nt w is e o p eratio n s x % / % y # inte g er divisio n of x by y c o n d 1 & & c o n d 2 # lo gic al A N D . || for O R . ! ( c o n d ) # lo gic al n e g atio n xor ( cond1 , c o n d 2 ) # lo gic al X O R 15.4 Matrixoperationen x % * % y # m ultiplie s c o nfor m a ble m atric e s d et(x) # c alc ulate s th e d eter m in a nt of a m atrix s olv e (a , b ) # s olv e s th e e q u atio n a % * % x = b . s olv e ( a ) # in v ers e of m atrix a eig e n (x , sy m m etric , o nly . v alu e s = F A L S E , EIS P A C K = F A L S E ) # a list with eig e n v alu e s ... $ v alu e s an d eig e n v e ctors ... $ v e ctors svd (x , nu = min (n , p ), nv = min (n , p ), LI N P A C K = F A L S E ) # sin g ular v alu e d e c o m p o sitio n of a re cta n g ular m atrix 15.5 Numerische Integration inte grate (f, lo w er , upper , ..., s u b divisio n s = 10 0 L , rel. tol = . M a c hin e $ d o u ble . e ps ^0.2 5 , a bs .tol = rel.tol , sto p . on . error = T R U E , k e e p . xy = F A L S E , a ux = N U L L ) # A d a ptiv e n u m eric inte gratio n fu n ctio n s of o n e v aria ble 15.6 Lineare Optimierung b o ot: : si m ple x (a , A1 = N U LL , b1 = N U LL , A2 = N U LL , b2 = N U LL , A3 = N U LL , b3 = N U LL , ...) # o pti m iz e s a % * % x s u bje ct to A1 % * % x <= b1 , A2 % * % x >= b2 , A3 % * % x = b3 , x >= 0. lp S olv e : : lp ( dire ctio n = " min ", o bje ctiv e .in , c o n st. mat , c o n st. dir , c o n st.rhs , ...) # Interfa c e to lp \ _ s olv e lin e ar/ inte g er pro gra m m in g s y ste m R-Befehle 15.8 Deskriptive Statistik 119 15.7 Datenerzeugung, -import und -export list (...) # c o n stru cts a list; arg u m e nts are of th e for m < value > or < ta g n a m e > = < value >. a [i] # e xtra cts / re pla c e s ith p art of list/ v e ctor a [[i]] # e xtra cts / re pla c e s ith p art of list/ v e ctor w hile dro p pin g its n a m e a $ < ta g n a m e > # e xtra ct/ re pla c e v alu e of <tn > in list d ata .fra m e (...) # cre ate s d ata fra m e s ; arg u m e nts are of th e for m < value > or <tag > = < value > a $ <tn > # V e ctor of attrib ute v alu e s w .r.t. <tn > a [ < b o olv e ctor > ,] # s ele cts ro w s in d ata fra m e a c orre s p o n din g to < b o olv e ctor >. atta c h ( < na m e >) # < na m e > is atta c h e d to th e R s e arc h p ath d eta c h ( < na m e >) # < na m e > is re m o v e d fro m th e R s e arc h p ath re a d .ta ble (file , ...) # cre ate s a d ata fra m e fro m fro m a file in ta ble for m at. re a d . csv (file ,...) # R e a d s a file in csv -for m at. re a d . csv 2 if a c o m m a is u s e d as d e ci m al p oint a n d a s e m ic olo n as field s e p arator . w rite .ta ble (x , file = "", ...) # prints d ata fra m e x to a file or c o n n e ctio n . w rite . csv (x ,file = "" ,...) # prints d ata fra m e x to a csv file . w rite . csv 2 : see re a d . csv 15.8 Deskriptive Statistik ta ble (...) # u s e s th e cross cla s sifyin g fa ctors to b uild a c o ntin g e n c y ta ble of th e c o u nts at e a c h c o m bin atio n of fa ctor le v els . fta ble (...) # C re ate ’flat ’ c o ntin g e n c y ta ble s . s u m m ary ( o bject , ...) # g e n eric fu n ctio n u s e d to pro d u c e re s ult s u m m arie s of the re s ults of v ario u s m o d el fittin g fu n ctio n s . cut(x , breaks , la b els = N U LL ,...) # divid e s th e ra n g e of x into interv als a nd c o d e s it a c c ordin gly . m ax (..., na .rm = F A L S E ) # R eturn s th e m a xi m a of th e in p ut v alu e s . min (..., na .rm = F A L S E ) # R eturn s th e m ini m a of th e in p ut v alu e s . m e a n (x , tri m = 0 , na .rm = F A L S E , ...) # G e n eric fu n ctio n for th e ( tri m m e d ) arith m etic m e a n . m e dia n (x , na .rm = F A L S E ) # C o m p ute th e s a m ple m e dia n . q u a ntile (x , pro b s = se q (0 , 1, 0.2 5) , na .rm = F A L S E , n a m e s = T R U E , ty p e = 7 , ...) # ro d u c e s s a m ple q u a ntile s c orre s p o n din g to th e giv e n pro b a bilitie s . sd (x , na .rm = F A L S E ) # c o m p ute s the sta n d ard d e viatio n of th e v alu e s in x. 120 15 R-Befehle var (x , y = N U LL , na .rm = F A L S E , use ) # c o m p ute th e s a m ple v aria n c e of x. if y is a vector , cov (x ,y) is c o m p ute d . e c df(x) # C o m p ute an e m piric al c u m ulativ e distrib utio n fu n ctio n of n u m eric v e ctor. in e q : : Lc (x , n = rep (1 ,le n gth (x)), plot = F A L S E ) # C o m p ute s th e ( e m piric al) ordin ary a n d g e n eraliz e d L ore n z c urv e of a v e ctor x in e q : : Gini(x , c orr = F A L S E , na .rm = T R U E ) # c o m p ute s th e Gini c o efficie nt. cov (x , y = N U LL , use = " e v erythin g ", m eth o d = c(" p e ars o n ", " k e n d all", " s p e ar m a n ")) # c o m p ute s s a m plin g c o v aria n c e follo w in g th e giv e n m eth o d cor (x , y = N U LL , use = " e v erythin g ", m eth o d = c(" p e ars o n ", " k e n d all", " s p e ar m a n ")) # c o m p ute s c o v aria n c e follo w in g the giv e n m eth o d 15.9 Explorative Statistik, Grafische Illustration plot(x , y , ...) # G e n eric plottin g of R o bje cts . b arplot ( h eig ht , h oriz = F A L S E ...) # C re ate s a b ar plot with v ertic al or h oriz o ntal b ars . pie (x , la b els = n a m e s (x), ...) # D ra w pie c h art hist(x ,...) # c o m p ute s histo gra m of d ata v alu e s x b o x plot (x , ...) # P ro d u c e box and w his k er plot(s) of th e giv e n ( gro u p e d ) v alu e s . V aria nt: b o x plot (y ~ x ,...) c o m p ute s b o x plots of y gro u p e d by fa ctor x. jitter (x , fa ctor = 1 , a m o u nt = N U L L ) # A d d a s m all a m o u nt of n ois e to a n u m eric v e ctor. M A S S : : p arc o ord (x , col = 1 , lty = 1 , var.la b el = F A L S E , ...) # a p arallel c o ordin ate s plots of m atrix / d ata fra m e x is dra w n . dist(x ,...) # c o m p ute s the dista n c e m atrix of x h clu st(d , m eth o d = " c o m plete ", m e m b ers = N U L L ) # H ierarc hic al clu ster a n aly sis on a set of dis si m ilaritie s a n d m eth o d s for a n aly zin g it. c utre e (tree , k = N U LL , h = N U L L ) # C uts a tree , e . g., as re s ultin g fro m hclust , into s e v eral gro u p s eith er by s p e cifyin g th e d e sire d n u m b er (s) of gro u p s or th e cut h eig ht(s ). k m e a n s (x , ce nters , iter. m ax = 10 , n start = 1 , alg orith m = c (" H artig a n - W o n g ", " Llo y d ", " F org y ", " M a c Q u e e n "), tra c e = F A L S E ) # P erfor m k m e a n s clu sterin g on a d ata m atrix . c m d s c ale (d , k = 2 , eig = F A L S E , ad d = F A L S E , x.ret = F A L S E , list. = eig || a dd || x.ret) # C la s sic al m ultidi m e n sio n al s c alin g ( M D S ) of a d ata m atrix . Als o k n o w n as prin cip al c o ordin ate s a n aly sis ( G o w er , 1 9 6 6). rp art: : rp art(for m ula , data ,...) # c o n stru cts a C A R T follo w in g B rei m a n ( C la s sific atio n a n d R e gre s sio n Tre e s (1 9 8 4) , W a d s w orth ). R-Befehle 15.11 Grafikfunktionen 121 tre e : : tre e (for m ula , data ,...) # c o n stru cts a C A R T , r ei m ple m e ntatio n of S fu n ctio n tre e . 15.10 Schließende Statistik d e n sity (x ,...) # c o m p ute s k ern el d e n sity e sti m ate s . q q plot(x ,y ,...) # pro d u c e s a Q Q plot of tw o d ata s ets q q n or m (y ,...) # pro d u c e s a n or m al Q Q plot of th e v alu e s in y stats 4 : : mle ( m in u slo gl , start = for m als ( m in u slo gl), m eth o d = " B F G S ", fix e d = list (), nobs , ...) # E sti m ate p ara m eters by th e m eth o d of m a xi m u m lik elih o o d . lm (for m ula , data , ...) # is u s e d to fit lin e ar m o d els . F or g e n eraliz e d lin e ar m o d els , e . g . lo gistic re gre ssio n , use glm (...) 15.11 Grafikfunktionen p ar (..., no . re a d o nly = F A L S E ) # u s e d to set or q u ery gra p hic al p ara m eters . plot(x , y , ...) # G e n eric fu n ctio n for plottin g of R o bje cts . c urv e ( expr , fro m = N U LL , to = N U LL , n = 101 , ...) # D ra w s a c urv e c orre s p o n din g to a fu n ctio n o v er th e interv al [ fro m , to ]. c urv e can plot als o an e x pre s sio n in th e v aria ble xna m e , d efa ult x. p ers p (x , ...) # dra w s p ers p e ctiv e plots of a s urfa c e o v er th e x -y pla n e . p ers p is a g e n eric fu n ctio n . c o nto ur (x ,...) # C re ate a c o nto ur plot , or a d d c o nto ur lin e s to an e xistin g plot. a blin e ( a = N U LL , b = N U LL , ...) # a d d s o n e or m ore straig ht lin e s thro u g h th e c urre nt plot. grid ( nx = N U LL , ny = nx , ...) # a d d s an nx by ny re cta n g ular grid to an e xistin g plot. p oints (x , y = N U LL , ty p e = " p ", ...) # dra w s a s e q u e n c e of p oints . lin e s (x , y = N U LL , ty p e = "l", ...) # A g e n eric fu n ctio n ta kin g c o ordin ate s giv e n in v ario u s w a ys a nd joinin g th e c orre s p o n din g p oints with lin e s e g m e nts . ru g (x , tic k siz e = 0.03 , sid e = 1 , lw d = 0.5 , col = p ar("fg " ), q uiet = g et O ptio n (" w arn ") < 0 , ...) # A d d s a ru g re pre s e ntatio n (1 d plot) of the d ata to th e plot. rgl: : plot3 d (x , y , z ,...) # D ra w s a 3 D s c atterplot. ste pfu n (x , y , f = as . n u m eric ( rig ht), tie s = " ord ere d ", rig ht = F A L S E ) # return s an interp olatin g ste p fu n ctio n w .r.t. x ,y 122 15 R-Befehle 15.12 Programmierung F U N <-fu n ctio n ( arglist ) e x pr # d efin e s a fu n ctio n F U N if ( < cond >) < e x pre s sio n > # c o n ditio nin g if ( < cond >) < e x pre s sio n > els e < alt. expr > # c o n ditio nin g with altern ativ e ifels e (test , yes , no ) # c o n ditio nin g with altern ativ e s witc h ( E X P R , ...) # e v alu ate s E X P R a nd a c c ordin gly c h o o s e s o n e of th e furth er arg u m e nts (in ...). for ( < var > in < seq >) < e x pre s sio n > # lo o p with c o u nter < var > w hile ( < cond >) < e x pre ssio n > # w hile -lo o p with c o n ditio n re p e at < e x pre s sio n > # rep e at -lo o p bre a k # bre a k s a o ut of a for , w hile or re p e at lo o p n e xt # h alts the pro c e s sin g of the c urre nt iteratio n a n d a d v a n c e s th e lo o pin g in d e x V e ctoriz e ( FU N , v e ctoriz e . arg s = arg . na m es , S I M P LIF Y = T R U E , U S E . N A M E S = T R U E ) # cre ate s a fu n ctio n w ra p p er th at v e ctoriz e s th e a ctio n of its arg u m e nt F U N . a p ply (X , M A R GIN , FU N , ...) # R eturn s v e ctor/ arra y / list by a p plyin g F U N to m argin s of arra y / m atrix X . la p ply (X , FU N , ...) # return s a list of th e s a m e le n gth as X , e a c h ele m e nt of w hic h is the re s ult of a p plyin g F U N to the c orre s p o n din g ele m e nt of X . s a p ply (X , FU N , ...) # user frie n dly v ersio n / w ra p p er of la p ply by d efa ult returnin g a v e ctor or m atrix m a p ply ( FU N , ...) # a p plie s F U N to first/ s e c o n d etc . ele m e nts of e a c h ... arg u m e nt ta p ply (X , IN D E X , F U N = N U LL , ...) # A p ply a fu n ctio n to e a c h c ell of a ra g g e d arra y . by ( data , IN DIC E S , FU N , ...) # w ra p p er for ta p ply a p plie d to d ata fra m e s . o uter (X , Y , F U N = "*", ...) # O uter pro d u ct of arra y s X , Y w .r.t. fu n ctio n F U N s o urc e (file ,...) # c a u s e s R to a c c e pt its in p ut ( R - C o d e ) fro m n a m e d file or U R L or c o n n e ctio n 15.13 Arbeiten mit Paketen, Hilfefunktionen h elp (topic ,...) # (? to pic ) interfa c e to h elp s y ste m s . h elp . s e arc h ( p attern , ..) # ( or ? ? p attern ) S e arc hin g th e h elp s y ste m for d o c u m e ntatio n m atc hin g a giv e n c h ara cter strin g in the (file ) na m e , alias , title , c o n c e pt or k e y w ord e ntrie s ( or a ny c o m bin atio n th ere of library ( p a c k a g e ) # ( a n d re q uire ( p a c k a g e )) lo a d a n d atta c h add on p a c k a g e s . d ata (...) # L o a d s s p e cifie d d ata sets , or list the a v aila ble d ata s ets . s o urc e (file ,...) # e v alu ate R c o d e fro m file Symbole und Abkürzungen Symbole und Abkürzungen f ′ ( x ) Ableitung der Funktion f an der Stelle x vgl. S. 46 f ′′ ( x ) zweite Ableitung der Funktion f an der Stelle x vgl. S. 50 f ( n ) ( x ) n -te Ableitung der Funktion f an der Stelle x | x | Absolutbetrag der reellen Zahl x vgl. S. 44 ∀ Allquantor: für alle x . . . bzw. ∀ x . . . A ⇔ B Äquivalenz: A ist genau dann wahr, wenn B wahr ist. arg max x ∈ D f ( x ) Argument des Maximums, Stelle x ∈ D, an der die Funktion f ihr Maximum annimmt. Sinngemäß: arg min x ∈ D f ( x ) B r ( x ) (auch B ( x, r )) offener Ball/ offene Kugel um x mit Radius r vgl. S. 23 BKS Bedingungen vom komplementären Schlupf vgl. S. 56 Be ( α, β ) Beta-Verteilung vgl. S. 80 Bild ( f ) Bild der Funktion f vgl. S. 15 ( n k ) Binomialkoeffizient vgl. S. 42 Bin ( n, p ) Binomialverteilung vgl. S. 71 B Borel’sche σ -Algebra, kleinste σ -Algebra über R, die alle Intervalle enthält vgl. S. 63 χ 2 ( n ) (Zentrale) Chi-Quadrat-Verteilung mit n Freiheitsgraden vgl. S. 78 CD Cobb-Douglas vgl. S. 49 CES Constant elasticity of substitution vgl. S. 49 D f Definitionsbereich der Funktion f vgl. S. 15 diag( . . . ) Diagonalmatrix vgl. S. 25 Df ( x ) Differential der Funktion f im Punkt x vgl. S. 47 dim(L) Dimension des UVR L vgl. S. 22 DE ( µ, λ ) Doppelexponentialverteilung, Laplace-Verteilung vgl. S. 75 I n Einheitsmatrix vgl. S. 25 e ( i ) Einheitsvektor vgl. S. 21 ¯1, ¯1 n Einsvektor vgl. S. 21 124 Symbole und Abkürzungen ∈ , ̸∈ x ist Element der Menge A bzw. x ∈ A e eulersche Zahl, e = 2 , 71828 . . . vgl. S. 41 ∃ Existenzquantor: es gibt x . . . bzw. ∃ x . . . exp( x ) bzw. e x Exponentialfunktion vgl. S. 41 Exp ( λ ) Exponentialverteilung vgl. S. 74 F ( m, n ) (zentrale) F -Verteilung vgl. S. 79 n ! Fakultät der Zahl n vgl. S. 63 L ( X ) ∗ L ( Y ) Faltung der beiden Verteilungen, Summenverteilung der st.u. ZV X, Y vgl. S. 69 Z Menge der ganzen Zahlen vgl. S. 9 Γ( x ) Gamma-Funktion vgl. S. 43 Γ( λ, c ) Gamma-Verteilung vgl. S. 79 g.d.w. genau dann, wenn Geo ( p ) geometrische Verteilung vgl. S. 72 ∇ f ( x ) Gradient der Funktion f im Punkt x vgl. S. 47 ∗ = Gleichung setzt geordnete Daten, d.h. x 1 ≤ · · · ≤ x n voraus vgl. S. 59 G f Graph der Funktion f vgl. S. 35 lim n →∞ a n Grenzwert der Folge ( a n ) n ∈ N vgl. S. 30 lim x → x 0 f ( x ) Grenzwert der Funktion f ( x ) mit x → x 0 . Auch uneigentlich, d.h. für x 0 = ∞ verwendet vgl. S. 45 ⌊ x ⌋ größte ganze Zahl kleiner oder gleich x H f ( x ) Hesse-Matrix der Funktion f in x vgl. S. 50 Hyp ( M, K, n )Hypergeometrische Verteilung vgl. S. 73 id Identität vgl. S. ? ? A ⇒ B Implikation: Aus A folgt B, d.h. wenn A wahr ist, dann ist auch B wahr. i.d.R. in der Regel 1 S ( x ) Indikatorfunktion der Menge S . Nimmt den Wert Eins an, wenn x ∈ S und Null sonst vgl. S. 44 inf Infimum vgl. S. 10 [ a ; b ] abgeschlossenes Intervall mit den Grenzen a und b vgl. S. 9 ] a ; b [ offenes Intervall mit den Grenzen a , b [ a ; b [, ] a ; b ] halbabgeschlossenes bzw. halboffenes Intervall mit den Grenzen a und b ∫ b a f ( x ) dx bestimmtes Integral von f in den Grenzen von a bis b vgl. S. 52 ∫ f ( x ) dx unbestimmtes Integral (Stammfunktion) der Funktion f vgl. S. 51 Symbole und Abkürzungen Symbole und Abkürzungen 125 A − 1 Inverse der Matrix A vgl. S. 25 J f ( x ) Jacobi-Matrix der partiellen Ableitungen des Funktionsvektors f nach den Variablen des Vektors x , vgl. auch partielle Ableitung vgl. S. 47 A × B kartesisches Produkt der Mengen A , B ; Menge aller Vektoren ( x, y ) T ∈ R 2 bzw. Paare ( x, y ) mit x ∈ A und y ∈ B vgl. S. 13 M n n -faches kartesisches Produkt der Menge M ; Menge aller (Spalten- )Vektoren, deren Komponenten in M liegen vgl. S. 13 Kern ( A ) Kern der Matrix A : Lösungsmenge des homogenen LGS Ax = ¯0 vgl. S. 17 ⌈ x ⌉ kleinste ganze Zahl größer oder gleich x KI Konfidenzintervall cor theoretische, empirische (Bravais-)Pearson-Korrelation oder Korrelationsmatrix„ auch mit ρ oder ρ P bezeichnet cos( x ) Kosinus der reellen Zahl x vgl. S. 42 A c Komplement der Menge A mit Bezug auf eine Obermenge M (meist R oder R n ). Alle Punkte, die nicht in A enthalten sind vgl. S. 10 cot( x ) Kotangens der reellen Zahl x vgl. S. 42 cov theoretische, empirische Kovarianz, oder Kovarianzmatrix ∅ bzw. {} leere Menge; Menge, die kein Element enthält vgl. S. 10 l.a. linear abhängig vgl. S. 21 l.u. linear unabhängig vgl. S. 21 LGS Lineares Gleichungssystem vgl. S. 17 LK Linearkombination vgl. S. 21 LM Lagrange-Multiplikator vgl. S. 56 log( x ),ln( x ) Logarithmus von x zur Basis e . Der Logarithmus zur Basis a ∈ R wird mit log a ( x ) bezeichnet vgl. S. 41 LN ( µ, σ 2 ) Lognormalverteilung vgl. S. 77 ( a (1) , . . . , a ( m ) ) Die aus den Spalten(-vektoren) a (1) , . . . , a ( m ) zusammengesetzte Matrix A . vgl. S. 21 A n Matrixpotenz, n -faches Produkt der Matrix A mit sich selbst vgl. S. 14 R m × n Menge der m × n -Matrizen vgl. S. 13 max Maximum vgl. S. 10 x ∨ y max( x, y ) vgl. S. 10 min Minimum vgl. S. 10 x ∧ y min( x, y ) vgl. S. 10 AB , A · B Produkt der Matrizen A , B . vgl. S. 14 126 Symbole und Abkürzungen N Menge der natürlichen Zahlen (ohne Null). N 0 bezeichnet Menge der natürlichen Zahlen inklusive Null, N k Menge der ganzen Zahlen ab k ∈ Z. vgl. S. 9 NB Nebenbedingung vgl. S. 56 N Bin ( r, p ) Negativ-Binomialverteilung vgl. S. 72 ∥ x ∥ euklidische Norm des Vektors x . vgl. S. 23 ∥ x ∥ ∞ Maximum-Norm des Vektors x . vgl. S. 23 ∥ x ∥ p p -Norm bzw. Minkowski-Norm des Vektors x . vgl. S. 23 N ( µ, σ 2 ) Normalverteilung vgl. S. 76 n f ( x 0 ) Nullstellenordnung von f in x 0 vgl. S. 39 ¯0, ¯0 n Nullvektor. Eine m × n -Matrix mit Nulleinträgen wird mit ¯0 m × n bezeichnet. vgl. S. 21 x ⊥ y Die Vektoren x und y sind orthogonal vgl. S. 23 P ar ( λ, c ) Pareto-Verteilung vgl. S. 76 ∂f ∂x , D i f ( x ) partielle Ableitung der Funktion f nach der ( i -ten) Variablen x , vgl. auch Jacobi-Matrix vgl. S. 46 ∂f ∂x ∣∣ x = x (0) Einsetzen von x = x (0) in den Ausdruck ∂f ∂x π Kreiskonstante „Pi“, π = 3 , 1415926 . . . vgl. S. 42 P oi ( λ ) Poisson-Verteilung vgl. S. 73 P (Ω) Potenzmenge, Menge aller Teilmengen von Ω vgl. S. 63 ∂A Rand der Menge A vgl. S. 24 Q Menge der rationalen Zahlen vgl. S. 9 Re ( a, b ) Rechteckverteilung, stetige Gleichverteilung vgl. S. 74 R Menge der reellen Zahlen vgl. S. 9 A \ B relatives Komplement vgl. S. 10 Df ( x, d ) Richtungsableitung von f im Punkt x in Richtung d vgl. S. 48 ≈ Runden einer Zahl auf eine bestimmte Anzahl von Nachkommastellen. Im Zusammenhang mit Grenzwerten bedeutet x ≈ x 0 , dass x im Sinne des Grenzwertes „beliebig nahe“ bei x 0 liegt. A ∩ B Schnitt(menge) der Mengen A und B vgl. S. 10 sgn( x ) Signum der reellen Zahl x , gibt das Vorzeichen von x an bzw. 0, wenn x = 0. vgl. S. 44 sin( x ) Sinus der reellen Zahl x vgl. S. 42 ⟨ x, y ⟩ Skalarprodukt der Vektoren x und y vgl. S. 23 R n Menge d. Spaltenvektoren über R vgl. S. 12 SEL ( y | x ) Substitutionselastizität zwischen y und x vgl. S. 49 Symbole und Abkürzungen Symbole und Abkürzungen 127 GRS ( y | x ) Substitutionsgrenzrate zwischen y und x vgl. S. 48 n ∑ i =1 a i Summe der Folgenglieder a 1 ,. . . , a n vgl. S. 29 ∑ i ̸ = k a i Summe der Folgenglieder a i mit Folgenindex ungleich k . Statt i ̸ = k kann auch ein anderer logischer Ausdruck verwendet werden, z.B. i ∈ M mit M ⊆ N. sup Supremum vgl. S. 10 A ∆ B symmetrische Differenz der Mengen A, B vgl. S. 10 t ( n ) (zentrale) t -Verteilung vgl. S. 78 tan( x ) Tangens der reellen Zahl x vgl. S. 42 ⊆ , ⊇ A ist Teilmenge von B bzw. A ⊆ B (alternativ B ist Obermenge von A bzw. B ⊇ A ) vgl. S. 10 ⊂ , ⊃ A ist echte Teilmenge von B bzw. A ⊂ B (alternativ B ist echte Obermenge von A bzw. B ⊃ A ) vgl. S. 10 A T Transponierte der Matrix A vgl. S. ? ? ∞ Unendlich ∞ ∑ i =1 a i unendliche Reihe der a i vgl. S. 31 ≤ , < , ≥ , > Ungleichungsbeziehungen zwischen reellen Zahlen vgl. S. 9 UVR Untervektorraum vgl. S. 22 A ∪ B Vereinigung(smenge) der Mengen A und B vgl. S. 10 f ◦ g Verkettung der Funktionen f und g vgl. S. 16 L ( X ) Verteilung der ZV X („Law“) vgl. S. 64 X ∼ P X hat Verteilung P vgl. S. 64 Φ( x ) Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung vgl. S. 76 P ( A ) Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A , mit ZV X ist P ( X ∈ B ) = P ( X − 1 ( B )) vgl. S. 63 W ei ( λ, c ) Weibull-Verteilung vgl. S. 80 W f Wertebereich der Funktion f vgl. S. 15 ZSF Zeilenstufenform vgl. S. 17 R n Menge d. Zeilenvektoren über R. Auch: geordnete n -Tupel vgl. S. 12 ZUF Zeilenumformung(en) vgl. S. 17 ZA Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile vgl. S. 17 ZM Multiplikation einer Zeile mit einer Konstanten ungleich Null vgl. S. 17 ZV Zeilenvertauschung vgl. S. 17 ZV Zufallsvariable vgl. S. 64 128 Symbole und Abkürzungen Das griechische Alphabet 1 Kleinbuchstabe Großbuchstabe Aussprache α ( A ) Alpha β ( B ) Beta γ Γ Gamma δ ∆ Delta ϵ , ε ( E ) Epsilon ζ ( Z ) Zeta η ( H ) Eta θ , ϑ Θ Theta ι ( I ) Iota κ ( K ) Kappa λ Λ Lambda µ ( M ) Mü ν ( N ) Nü ξ Ξ Xi ( o ) ( O ) Omikron π Π Pi ρ , ϱ P Rho σ Σ Sigma τ ( T ) Tau υ Υ Ypsilon ϕ , φ Φ Phi χ ( X ) Chi ψ Ψ Psi ω Ω Omega 1 Einige Buchstaben entsprechen der lateinischen Schreibweise (teilweise auch anderer Buchstaben) und werden daher in Formeln nicht verwendet, was durch Klammerung gekennzeichnet wird. Index abbrechende Dezimalzahl, 9 Ablehnungsbereich, 81 Ableitung, 46 implizite, 48 partielle, 47 2. Ordnung, 50 Richtungs-, 48 zweite, 50 Absolutbetrag, 44 absolute Häufigkeit, 59 Abstand City-Block-, 23 euklidischer, 23 Maximum-, 23 Abszisse, 35 Addition von Matrizen, 14 von Vektoren, 14 Additionstheoreme, 43 aktive Nebenbedingung, 56 Alternative, 81 Assoziativgesetz der Matrixalgebra, 25 der Mengenalgebra, 10 Attribut, 61 Aufspannen eines UVR, 22 Barwert, 34 Basis der Exponentialfunktion, 40 eines UVR, 22 vom Kern einer Matrix, 22 Basisform, 19 Basislösung, 18 Basisspalte, 19 einer Zeilenstufenform, 17 Basisvariable, 17, 19 Bayes-Formel, 64 bedingte Verteilung, 65 Bernoulli-Verteilung, 70 beschränkt, 30 nach oben, 30 nach unten, 30 bestimmte Divergenz, 45 bestimmtes Integral, 52 Bestimmtheitsmaß, 89 Beta-Verteilung, 80 Betrag, 44 Bild einer Funktion, 15 einer Matrix, 22 Binomialkoeffizient, 42, 63 verallgemeinert, 33 Binomialtest, 82 Binomialverteilung, 71 Binomische Formel, 42 Binomische Reihe, 33 Bland-Regel, 20 Blockmatrix, 13 Bogenmaß, 42 Borelσ -Algebra, 63 Bravais-Pearson-Korrelation, 61 Cauchy-Schwarz-Ungleichung, 23 CES-Funktion, 49 charakteristisches Polynom, 27 Chi-Quadrat-Anpassungstest, 83 Chi-Quadrat-Statistik, 61 Chi-Quadrat-Test auf Unabhängigkeit, 86 Chi-Quadrat-Varianztest, 83 Chi-Quadrat-Verteilung, 78 Cluster-Distanzmatrix, 62 Cobb-Douglas-Funktion, 42, 49 Cosinusreihe, 33 Cramér’s V , 61 Datenmatrix, 13 de Morgan’sches Gesetz, 10 Deckungsbeitragsfunktion, 16 Definitheit, 28 Determinantenkriterium für, 28 Eigenwertkriterium, 28 unter Nebenbedingungen, 28 Determinantenkriterium, 28 Reduktionskriterium, 28 Definitionsbereich einer Funktion, 15 Definitionslücke einer gebrochen-rationalen Funktion, 38 hebbare, 39 130 Index Dekadischer Logarithmus, 41 Delta-Methode im ZGS, 68 Determinantenkriterium für Definitheit, 28 für eingeschränkte Definitheit, 28 spezielles für n = 2, 28 Dezimaldarstellung einer reellen Zahl, 9 Diagonalmatrix, 25 Dichtetransformation, 66 Differenzenfolge, 29 Dimension, 22 disjunkt, 10 Diskordanz, 60 Diskriminante, 38 Distanz (City-)Block-, 61 average-lingage, 62 centroid-linkage, 62 complete-linkage, 62 euklidische, 61 Manhattan-, 61 Minkowski-, 61 single-linkage, 62 Tschebyscheff-, 61 Ward-, 62 Distributivgesetz der Matrixalgebra, 25 der Mengenalgebra, 10 divergent, 30 Doppelexponentialverteilung, 75 Dreieck, 11 Dreiecksmatrix, 26 Dreiecksungleichung, 23, 44 Dummy-Variable, 91 Durchmesser einer Menge, 23 eines Quaders, 13 Maximum-, 23, 53 Dyadischer Logarithmus , 41 e-Funktion, 41 Ebene, 22 Eigenraum, 27 Eigenvektor, 27 Eigenwert, 27 Eigenwertkriterium, 28 Einheitsmatrix, 25 Einheitsspalte, 19 Einheitsvektor, 21 Einheitswürfel, 13 Einstichprobenmodell, 81 Einsvektor, 21 Elastizität partielle, 48 Elastizitätsgradient, 48 Empirische Verteilungsfunktion, 60 empirische Verteilungsfunktion, 59 Endwert, 34 Entropie, 59 Envelope-Theorem, 57 Ereignis, 63 Gegen-, 64 Komplementär-, 64 relatives, 64 unmögliches, 64 ertragsgesetzliche Funktion, 38 Erwartungswert, 69 erzeugende Funktion, 32 Erzeugendensystem, 22 Euler-Formel, 49 eulersche Exponentialfunkion, 41 eulersche Zahl, 33, 41 ewige Rente, 34 exogene Variablen, 57 explizite Folge, 29 Exponentialfunktion, 40 Exponentialreihe, 33 Exponentialverteilung, 74 Extremum, 36 F-Test, 90 Kovarianzanalyse, 92 Varianzanalyse, 91 F-Verteilung, 79 Faktorisierung eines Polynoms, 37 Faktorregel, 46 bestimmte Integrale, 52 unbestimmte Integrale, 51 Fakultät, 63 Fall, 61 Faltung, 69 Faltung L ( X ) ∗ L ( Y ), 66 fast alle, 30 Feinheit einer Intervallzerlegung, 52 einer Quaderzerlegung, 53 Folge, 29 divergente, 30 explizite, 29 ganzrationale, 31 gebrochen-rationale, 32 implizite, 29 konvergente, 30 monoton fallende, 29 monoton wachsende, 29 Index 131 rekursive, 29 streng monoton fallende, 29 streng monoton wachsende, 29 Folgenglied, 29 Folgenindex, 29 Folgenterm, 29 Funktion, 15 antitone, 35 bijektive, 16 differenzierbare, 46 einwertige, 15 ertragsgesetzliche, 38 homogene, 49 implizite, 48 injektive, 16 isotone, 35 konkave, 36, 50 konvexe, 36, 50 kubische, 38 linear homogene, 49 mehrwertige, 15 monoton fallende, 35 monoton wachsende, 35 Riemann-integrierbare, 52, 53 stetige, 46 streng antitone, 35 streng isotone, 35 streng konkave, 36 streng konvexe, 36 surjektive, 16 umkehrbare, 16 vektorwertige, 15 Funktionsterm, 15 Gütefunktion, 82 Gamma-Funktion, 43 Gamma-Verteilung, 79 Ganze Zahlen, 9 Ganzzahlteil, 9 Gaußtest Einstichprobentest, 82 Zweistichprobentest, 84 gebrochen-rationale Funktion, 38 Geometrische Reihe, 33 Geometrische Summe, 32 geometrische Verteilung, 72 geordnetes Paar, 12 Gerade, 22 Gesetz großer Zahlen schwaches, 68 starkes, 68 Gewinnfunktion, 16 Gini-Differenz, 60 Gini-Koeffizient, 60 gleichseitiges Dreieck, 11 Gleichungsmatrix, 17 Glivenko-Cantelli Satz von, 67 Grad einer ganzrationalen Folge, 31 eines Polynoms, 37 Gradient, 47 Gradmaß, 43 Graph, 35 Grenzwert einer Folge, 30 einer Funktion, 45 Grenzwertsätze für Folgen, 30 für Funktionen, 45 Grundraum, 63 Häufigkeit absolut, 59 relativ, 59 Hauptachsentransformation, 27 Hauptdiagonale, 25 Hauptminor, 28 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, 52 Hauptuntermatrix, 28 Hesse-Matrix, 50 Hinreichende Bedingung für lokales Extremum, 36 homogenes LGS, 17 Homogenitätsgrad, 62 Horner-Schema, 39 hypergeometrische Verteilung, 73 Hypothese, 81 Identität, 16 implizite Ableitung, 48 Folge, 29 Form der Kapitalentwicklung, 33 Funktion, 48 inaktive Nebenbedingung, 56 indefinit, 28 Indexverschiebung, 29 Indikatorfunktion, 44 inhomogenes LGS, 17 innerer Punkt, 24 Input-Output-Matrix, 13 Integral bestimmtes, 52 Doppel-, 54 Mehrfach-, 53 unbestimmtes, 51 132 Index uneigentliches, 52 interner Zinsfuß, 34 Inverse Matrix, 25 Invertierbare Matrix, 25 irrationale Zahl, 9 isoliert, 64 Jacobi-Matrix, 47 Jensen-Ungleichung, 67 Jordan-Menge, 53 künstliche Variable, 20 Kapitalwert, 34 kartesisches Produkt, 13 Kendall’s tau-a, 61 Kendall’s tau-b, 61 Kendall’s tau-c, 61 Kepler’sche Fassregel, 53 Kern einer Matrix, 17 Kettenregel, 46, 47 Koeffizient Matching, 62 Similarity, 62 Koeffizient einer LK, 21 Koeffizientenmatrix, 17 Koeffizientenvergleich bei Polynomen, 38 Kolmogoroff-Smirnoff-Test, 84 Kombination, 63 Kommutativgesetz der Matrixalgebra, 25 der Mengenalgebra, 10 komparative Statik, 57 Komplement, 10 relatives, 10 komplementärer Schlupf, 56 Komponente eines Tupels, 12 Konfidenzintervalle, 69 konkave Funktion, 50 Konkordanz, 60 Kontingenzindex, 61 Kontingenztafel, 60 konvergent, 30 konvexe Funktion, 50 Menge, 21 Koordinaten einer Linearkombination, 21 eines Tupels, 12 Koordinatenfolgen, 29 Koordinatenfunktion, 46 Koordinatensystem, 35 Korrelation, 68 Kostenfunktion, 16 Kovarianz, 68 Kovarianzanalyse, 91 Kovarianzmatrix, 68 Kreis, 12 Kreisringsektor, 54 Kreissektor, 12 kritischer Bereich, 81 kritischer Punkt, 55, 56 kubische Funktion, 38 Kugeloffene, 23 Kuhn-Tucker-Bedingungen, 56 Kurtosis, 67 L’Hospital-Regel, 45 Lösungsmenge eines LGS, 17 Lagrange-Funktion, 56 Lagrange-Multiplikatoren, 56 Laplace-Verteilung, 75 leere Menge, 10 Leitkoeffizient eines Polynoms, 37 Leontief-Modell, 13 linear abhängig, 21 linear unabhängig, 21 Lineare Differenzengleichung erster Ordnung, 32 lineare Funktion einer Variablen, 38 lineare Hülle, 22 lineares Optimierungsproblem, 19 Linearform, 38 eines Polynoms, 37 Linearkombination, 21 konvexe, 21 Logarithmus, 41 Logarithmusreihe, 33 Lognormalverteilung, 77 lokales Minimum, 55 unter NB, 56 LOP, 19 Lorenz-Konzentration, 60 Lorenzkurve, 60 Majorantenkriterium, 31 Markoff-Ungleichung, 67 Matching-Koeffizient, 62 Matrix, 13 indefinite, 28 invertierbare, 25 negativ definite, 28 Index 133 negativ semidefinite, 28 positiv definite, 28 positiv semidefinite, 28 reguläre, 25 singuläre, 25 symmetrische, 27 Matrixaddition, 14 Matrixpotenz, 14 Matrixprodukt, 14 Maximum einer Menge, 10 globales, 36 lokales , 36 Maximum-Likelihood-Schätzer, 69 Median, 69 Mehrfachintegral, 53 Menge abgeschlossene, 24 beschränkte, 24 kompakte, 24 offene, 24 Merkmal, 61 messbarer Raum, 63 Minimum einer Funktion, 55 unter NB, 56 einer Menge, 10 globales, 36 lokales, 36 Mittel arithmetisches, 59 geometrisches, 59 harmonisches, 59 Mittlere absolute Medianabweichung, 60 Modus, 59 Moment nichtzentrales, 67 standardisiertes, 67 zentrales, 67 Monom, 37 n -Tupel, 12 Nachfragefunktion, 16 nachschüssige Rechnung, 33 Natürliche Zahlen, 9 Natürlicher Logarithmus, 41 Negativbinomialverteilung, 72 negative Zahl, 9 Newton-Verfahren, 35 Nichtbasisvariable, 19 Niveaumenge, 48 Norm, 23 p -Norm, 23 City-Block-, 23 Maximum-, 23 Minkowski-, 23 Normalform einer kub. Funktion, 38 einer linearen Funktion, 38 einer quadr. Funktion, 38 eines Polynoms, 37 Normalgebiet, 54 Normalgleichungen, 24 Normalverteilung, 76 Notwendige Bedingung für lokales Extremum, 36 Nullfolge, 30 Nullhypothese, 81 Nullstelle, 35 Nullvektor, 21 Nullverteilung, 81 Oberes Stichprobenquartil, 59 ökonom. Definitionsbereich, 9 Optimalwertfunktion, 57 Ordinate, 35 Ordinatenabschnitt, 35 orthogonal, 23 orthonormal, 23 paarweise disjunkt, 10 Parallelogramm, 11 Paretoverteilung, 76 Partialbruchzerlegung, 40 Partialsummenfolge, 31 partiell differenzierbar, 47 Partielle Integration bestimmte Integrale, 52 unbestimmte Integrale, 51 Partition, 62, 63 periodische Dezimalzahl, 9 Permutation, 63 Pfadregel, 64 Phasenverschiebung, 43 Pivotelement, 18 Pivotspalte einer Basisform, 19 einer Zeilenstufenform, 17 Pivotstelle, 17 Pivotstellen, 18 Pivotvariable, 17 Poisson-Verteilung, 73 Polstelle mit Vorzeichenwechsel, 39 ohne Vorzeichenwechsel, 39 Polygon, 12 Polynom charakteristisches, 27 134 Index normiert, 37 positiv definit, 28 unter Nebenbedingung, 28 positiv semidefinit, 28 positive Zahl, 9 Potenzfunktion, 42 Potenzmenge, 63 Potenzreihe, 32 Produktionsfunktion, 16 Produktregel, 46 Projektion, 24 Punkt-Steigungs-Form, 38 Punktfolge, 29 pythagoreische Mittel, 59 Quader, 13 quadratische Funktion einer Variablen, 38 Quantil, 69 Quantilfunktion, 67 Quartilmitte, 59 Quotientengrenzwertkriterium, 31 Quotientenkriterium, 31 Quotientenregel, 46 Rand, 24 Randverteilung, 65 Rang, 17, 60 Rationale Zahlen, 9 Rechteck, 11 Rechteckverteilung, 74 Rechter Winkel, 10 rechtwinkliges Dreieck, 11 Reduktionskriterium, 28 reduzierte, 38 Reelle Zahlen, 9 Regression einfache lineare, 87 KQ-Schätzung, 87 polynomial, 87 quadratische, 87 Reihe, 31 Relation, 15 relative Häufigkeit, 59 Rente n -malig, 34 ewige, 34 Rentenbarwert, 34 Rentenendwert, 34 Residuum, 89 Richtung des steilsten Anstiegs, 48 Richtungsableitung, 48 Richtungselastizität, 48 Richtungskrümmung, 50 Sarrus-Regel, 26 Satz von Kuhn-Tucker, 57 Schattenpreis, 57 Scheitelpunkt, 38 Scheitelpunktform, 38 Schiefe, 67 Schlupfvariable, 19 Schnittmenge, 10 Schwellenwert, 81 Siebformel, 63, 64 Sigma-Algebra, 63 Similarity-Koeffizient, 62 Simpson-Regel, 53 singulär, 25 Sinusreihe, 33 Skalar, 14 skalare Multiplikation von Matrizen, 14 Skalarprodukt, 23 Slater-Bedingung, 57 Spaltenraum, 22 Spaltenvektor, 12 Spearman-Korrelation, 61 stabile Verteilung, 15 Stammfunktion, 51 Standardabweichung empirisch, 60 theoretische, 67 Standardfehler, 69, 87 Standardform eines LOP, 19 Startkapital, 33 stationäre Verteilung, 15 statistischer Test, 81 Stelle, 9 Stetige Gleichverteilung, 74 stetige Verzinsung, 34 Stichprobenkovarianz, 61 Stichprobenmedian, 59 Stichprobenquantil, 59 Stichprobenstreuung, 60 Stirling-Formel, 63 stochastischer Vektor, 15 Strahlensätze, 11 Streuungszerlegung, 89 strikt negative Zahl, 9 strikt positive Zahl, 9 Substitutionselastizität, 49 Substitutionsgrenzrate, 48 Substitutionsregel bestimmte Integrale, 52 mehrdimensionale, 53 unbestimmte Integrale, 51 Index 135 Summenfolge, 29 Summenregel, 46 bestimmte Integrale, 52 unbestimmte Integrale, 51 symmetrisch, 27 symmetrische Differenz, 10 t-TestEinstichprobentest, 83 für Regressionsparameter, 90 Zweistichprobengleiche Varianzen, 85 Welch-, 85 t-Verteilung, 78 Tangente, 48 Taylor-Entwicklung, 50 Teilmenge, 10 Test zum Niveau α ∈ ]0; 1[, 82 Teststatistik, 81 Träger, 64 Transposition, 14 Trapez, 11 Trapezregel, 53 Trigonometrischer Pythagoras, 43 Tripel, 12 Tschebyscheff-Ungleichung, 67 u.i.v.-Folge, 65 Übergangsmatrix, 13 Umkehrfunktion, 16 Umsatzfunktion, 16 unabhängig stochastisch, 64 unbestimmtes Integral, 51 in zwei Variablen, 54 uneigentliches Integral, 52 unkorreliert, 68 Unteres Stichprobenquartil, 59 Unterjährige Verzinsung, 34 Untervektorraum, 22 Urbild, 15 Ursprung, 35 Varianz, 69 Grundgesamtheits-, 60 Stichproben-, 60 theoretische, 67 Varianzanalyse, 90 Vektoraddition, 14 Vereinigungsmenge, 10 Verflechtungsmatrix, 13 Verkettung, 16 Verteilung, 15 multivariate, 65 Verteilungsfunktion, 64, 69 Vielfachheit der Nullstelle eines Polynoms, 39 Vollkreis, 12 Volumen einer Kugel, 23 Volumen (Quader), 13 Vorzeichenfunktion, 44 Würfel, 13 Wahrscheinlichkeit bedingte, 64 totale, 64, 67 Wahrscheinlichkeitsmaß, 63 Weibull-Verteilung, 80 Wendestelle, 37 Wertebereich, 15 Wilcoxon-Test, 85 Wurzel einer positiven Zahl, 41 eines Polynoms, 38 Zeilenstufenform, 17 Zeilenumformungen, 17 Zeilenvektor, 12 Zellhäufigkeit absolut, 60 relativ, 60 Zentraler Grenzwertsatz (ZGS), 68 Zentroid, 61 Zinsfaktor, 33 Zinsfuß, 33 interner, 34 ZUF, 17 Zufallsvariable, 64 diskrete, 64 multivariate, 64 stetig, 65 univariate, 64 Verteilung einer, 64 Zufallsvektor, 64 zulässiger Punkt, 56 Zweistichprobenmodell, 81 Die Formeln für das Wirtschaftsstudium immer griffbereit Die 4., überarbeitete und erweiterte Auflage bietet genau die mathematischen und statistischen Formeln der Wirtschaftswissenschaften, die Sie in der Mathe- und Statistikprüfung benötigen. Zahlreiche Verteilungen und ihre Eigenschaften sind zudem in Tabellenform dargestellt, ebenso statistische Tests in Ein- und Zweistichprobenmodellen sowie Verfahren der Regressionsanalyse. Neu in dieser Formelsammlung sind in der Mathematik die Formeln zur Analysis explizit für zwei Variablen. In der Statistik kamen Formeln bei Konfidenzintervallen für Verteilungsparameter hinzu. Ein wichtiges Nachschlagewerk, das Studierende der Betriebs- und Volkswirtschaftslehre sowie der Wirtschaftsinformatik stets griffbereit haben sollten. Betriebs- und Volkswirtschaftslehre Wirtschaftsinformatik ISBN 978-3-8252-5955-6 Dies ist ein utb-Band aus dem UVK Verlag. utb ist eine Kooperation von Verlagen mit einem gemeinsamen Ziel: Lehr- und Lernmedien für das erfolgreiche Studium zu veröffentlichen. utb.de QR-Code für mehr Infos und Bewertungen zu diesem Titel die Prüfung meistern
