Blatter | Bradbury | Bruhn | Ernst Risikomanagement bei Banken und Versicherungen Schritt für Schritt utb 6002 Eine Arbeitsgemeinschaft der Verlage Brill | Schöningh - Fink · Paderborn Brill | Vandenhoeck & Ruprecht · Göttingen - Böhlau · Wien · Köln Verlag Barbara Budrich · Opladen · Toronto facultas · Wien Haupt Verlag · Bern Verlag Julius Klinkhardt · Bad Heilbrunn Mohr Siebeck · Tübingen Narr Francke Attempto Verlag - expert verlag · Tübingen Psychiatrie Verlag · Köln Ernst Reinhardt Verlag · München transcript Verlag · Bielefeld Verlag Eugen Ulmer · Stuttgart UVK Verlag · München Waxmann · Münster · New York wbv Publikation · Bielefeld Wochenschau Verlag · Frankfurt am Main Anja Blatter / Sean Bradbury / Pascal Bruhn / Dietmar Ernst Risikomanagement bei Banken und Versicherungen Schritt für Schritt Arbeitsbuch UVK Verlag · München DOI: https: / / doi.org/ 10.36198/ 9783838560021 © UVK Verlag 2023 ‒ ein Unternehmen der Narr Francke Attempto Verlag GmbH + Co. KG Dischingerweg 5 · D-72070 Tübingen Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Alle Informationen in diesem Buch wurden mit großer Sorgfalt erstellt. Fehler können dennoch nicht völlig ausgeschlossen werden. Weder Verlag noch Autor: innen oder Herausgeber: innen übernehmen deshalb eine Gewährleistung für die Korrektheit des Inhaltes und haften nicht für fehlerhafte Angaben und deren Folgen. Diese Publikation enthält gegebenenfalls Links zu externen Inhalten Dritter, auf die weder Verlag noch Autor: innen oder Herausgeber: innen Einfluss haben. Für die Inhalte der verlinkten Seiten sind stets die jeweiligen Anbieter oder Betreibenden der Seiten verantwortlich. Internet: www.narr.de eMail: info@narr.de Einbandgestaltung: siegel konzeption | gestaltung CPI books GmbH, Leck utb-Nr. 6002 ISBN 978-3-8252-6002-6 (Print) ISBN 978-3-8385-6002-1 (ePDF) ISBN 978-3-8463-6002-6 (ePub) Umschlagmotiv: © iStock ismagilov Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http: / / dnb.dnb.de abrufbar. www.fsc.org MIX Papier aus verantwortungsvollen Quellen FSC ® C083411 ® 7 7 7 8 9 10 11 11 11 17 22 30 33 36 36 43 50 57 57 64 73 73 79 82 88 90 99 99 103 109 114 118 122 125 125 Inhalt EINLEITUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Risiken und Ihre Quellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Was ist Risiko? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufbau des Buches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Detaillierter Aufbau der Case Study . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Background-Informationen zur Case Study „Q UANTITATIV E S R I S IK OMANAG E ME NT IM B ANK E N - UND V E R S ICH E R UN G S B E R E ICH " . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . COURSE 1: MARKTRISIKEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Course Unit 1: Rendite und Volatilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Assignment 1: Renditeberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Assignment 2: Erstellung eines Histogramms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Assignment 3: Erstellung einer Dichtefunktion und einer Verteilungsfunktion . . . . . . . Assignment 4: Berechnung der Varianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Assignment 5: Berechnung der Standardabweichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Course Unit 2: Modellierung von Volatilitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Assignment 6: Berechnung der Volatilität mit dem EWMA-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . Assignment 7: Berechnung der Volatilität mit dem ARCH-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . Assignment 8: Berechnung der Volatilität mit dem GARCH-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . Course Unit 3: Modellierung von stochastischen Prozessen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Assignment 9: Geometrische Brownsche Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Assignment 10: Vasicek/ Ornstein-Uhlenbeck-Prozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Course Unit 4: Herleitung von Risikokennzahlen mit Hilfe von Black-Scholes . . . . . . Assignment 11: Von der Geometrischen Brownschen Bewegung zu Black-Scholes . . . Assignment 12: Exkurs: Put-Call Parität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Assignment 13: Risikokennzahlen: Die Griechen - Greeks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Assignment 14: Implizite Volatilität - ein zentraler Werttreiber in Black-Scholes . . . . . Assignment 15: Volatility-Smile/ -Surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . COURSE 2: KREDITRISIKEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Assignment 16: Rating-Migrationsmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Assignment 17: Mertons Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Assignment 18: Vasicek Modell - Berechnung der Worst Caste Default Rate . . . . . . . . Assignment 19: Vasicek Modell - Simulation der jährlichen Portfolioausfallrate . . . . . Assignment 20: Vasicek Modell - Schätzung der Parameter aus historischen Daten . . Assignment 21: Vasicek Modell - Berechnung des Portfolioverlusts . . . . . . . . . . . . . . . . COURSE 3: OPERATIONELLE RISIKEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Assignment 22: Kalibrierung der Schadenverteilung auf Basis einer Expertenschätzung 133 133 133 138 140 143 149 152 157 157 160 161 164 164 175 182 185 185 190 195 201 209 211 213 215 COURSE 4: RISIKOMAßE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Course Unit 1: Value at Risk-Risikomaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Assignment 23: Berechnung des Value at Risk bei einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Assignment 24: Berechnung des Mean Value at Risk bei einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Assignment 25: Berechnung des Conditional Value at Risk/ Expected Shortfall/ Tail Value at Risk bei einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Assignment 26: Berechnung des Value at Risk bei einer stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Assignment 27: Berechnung des Conditional Value at Risk bzw. Expected Shortfall bei einer stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Assignment 28: Backtesting: Wie gut ist der Value at Risk? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Course Unit 2: Lower-Partial-Moment-Risikomaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Assignment 29: Berechnung von Lower Partial Moments: Shortfall-Wahrscheinlichkeit Assignment 30: Berechnung von Lower Partial Moments: Shortfall-Erwartungswert . Assignment 31: Berechnung von Lower Partial Moments: Shortfall-Varianz . . . . . . . . . Course Unit 3: Risikomaße bei Bonds, Extremrisiken und Risikomaße im Vergleich . Assignment 32: Macaulay-Duration und Modified Duration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Assignment 33: Extremwerttheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Assignment 34: Risikomaße im Vergleich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . COURSE 5: AGGREGATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Assignment 35: Varianz-Kovarianz-Methode: Varianz-Kovarianz-Matrix und Portfoliorisiko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Assignment 36: Varianz-Kovarianz-Methode: Berechnung des Value at Risk und Conditional Value at Risk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Assignment 37: Erzeugung von Copulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Assignment 38: Modellierung des Gesamtrisikos mit Hilfe von Copulas . . . . . . . . . . . . Assignment 39: Risikokapital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stichwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Abbildungsverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Inhalt EINLEITUNG Risiken und Ihre Quellen Banken und Versicherungen benötigen angesichts komplexer Herausforderungen ein modernes, flexibles und effizientes Risikomanagement, das alle relevanten Risikobereiche abdeckt. Risiko ist eines der zentralen Themen im Finanzwesen. Jegliche Aktivität einer Bank oder Versicherung ist, wie auch jede unternehmerische Tätigkeit, mit einem gewissen Risiko behaftet. Risiken treten bspw. bei der Kreditvergabe, der Entnahme von Einlagen, der Beratung von Finanzierungen, insbesondere der Unternehmensfinanzierung oder der Geldanlage auf. Darüber hinaus muss das Management sicherstellen, dass Mitarbeiter die Regeln des Unternehmens einhalten, da aus Rechtsstreitigkeiten und Reputationsschäden finanzielle Risiken entstehen können. In diesem Buch lernen Sie finanzielle Risiken zu quantifizieren, zu simulieren und abzusichern. Denn jede Bank und Versicherung, die eine finanzielle Dienstleistung erbringt, muss - auch von Gesetzes wegen - die Risiken im Rahmen eines quantitativen Risikomanagements beherrschen und steuern. Es gibt mehrere Risiken, die ein Finanzdienstleister betrachten muss. Das erste Risiko ist das Marktrisiko. Zu den Marktrisiken zählen Fremdwährungsrisiken und Rohstoffrisiken eines Instituts sowie Positionsrisiken (zins- und aktienkursbezogene Risiken) des Handelsbuchs. Das Marktrisiko beschreibt das Risiko, dass der Marktwert des Portfolios von dem zu erwartenden Wert abweicht. Das zweite Risiko ist das Kreditrisiko. Es beschreibt das Risiko, dass ein Kreditnehmer den vertraglich vereinbarten Zins- und Tilgungszahlungen nicht nachkommt. Es beinhaltet aber auch Bonitätsverschlechterungen von Geschäftspartnern, beispielsweise in Form von Ratingabwertun‐ gen. Wichtig hierbei ist, dass bei Zahlungsausfall ein Teil des eingesetzten Kapitals entweder aus der Insolvenzmasse oder aus Garantien erstattet wird. Daher ist ein entscheidender Bestandteil des Kreditrisikos die Bestimmung dieses Betrags. Das operationelle Risiko stellt für Kreditinstitute die Gefahr von Verlusten dar, die infolge der Unangemessenheit oder des Versagens von internen Verfahren, Menschen und Systemen oder infolge von externen Ereignissen eintreten. Weitere Risiken sind Versicherungsrisiken und Liquiditätsrisiken. Auf diese werden wir nicht vertieft eingehen. Einige der in diesem Buch beschriebenen Methoden finden aber auch bei diesen Risiken Anwendung. Was ist Risiko? Jeder Mensch hat eine Vorstellung, was ein Risiko ist. Für die allermeisten ist es eine Form von existenzieller Bedrohung, etwa Extremwetter, Arbeitsplatzverlust oder eine gesundheitliche Verschlechterung. Da jeder Mensch eine andere Definition von Risiko hat bzw. auch eine unterschiedliche Risikotoleranz besitzt, ist es an dieser Stelle wichtig zu beschreiben, was wir in diesem Buch unter Risiko verstehen. Wir berufen uns auf die Definition des Risikobegriffs in der Finanzwirtschaft. Üblicherweise wird hier das Risiko als Abweichung von dem zu erwartenden Wert definiert. In der weitesten Definition beinhaltet das sowohl eine positive als auch eine negative Abweichung vom erwarteten Wert. Allerdings müssen positive Abweichungen nicht überwacht werden und werden daher in diesem Buch nicht als Risiko mit einbezogen. Somit ist ein Risiko im Sinne dieses Buches eine finanziell negative Abweichung vom erwarteten Wert. Aufbau des Buches Der Aufbau orientiert sich an den Hauptbestandteilen des finanziellen Risikos. In Course 1 lernen Sie die Grundlagen zur Analyse und Modellierung von Marktrisiken kennen. Viele der in Course 1 eingeführten Methoden und Konzepte finden später auch bei den Kreditrisiken Anwendung. Im ersten Abschnitt des Marktrisikos wird dabei die Berechnung der Rendite, der Verteilungsfunktion, der Varianz und der Standardabweichung beziehungsweise Volatilität behandelt. Danach werden Zinsen anhand von deterministischen Modellen berechnet. Das zentrale Modell dabei ist das GARCHsowie das ARCH-Modell, welche ein Volatilitätsclus‐ tering annehmen. In dem darauffolgenden Assignment werden Aktienkurse (mit stochastischen Modellen) modelliert. Zentral dabei ist die geometrische Brownsche Bewegung. Außerdem wird auf die Optionspreisberechnung eingegangen, da diese entscheidend ist zur Bestimmung der Impliziten Volatilität. Die entsprechenden Ergebnisse und Modelle können dann mit den Konzepten aus Course 3 zu Risikomaßen umgewandelt werden. In Course 2 wird in die Modellierung von Kreditrisiken eingeführt. Eine Möglichkeit das Kredit‐ risiko zu modellieren, basiert auf Rating-Migrationsmatrizen, in denen die Wahrscheinlichkeiten für Ratingübergänge enthalten sind. Im nächsten Assignment wird das Zinsänderungsrisiko mit Hilfe von Vasicek-Modellen betrachtet, da dieses einen entscheidenden Bestandteil des Kreditrisi‐ kos ausmachen. Das Kapitel wird abgerundet mit der Bestimmung der Ausfallwahrscheinlichkeit durch Mertons Modell. In Course 3 werden operationelle Risiken quantifiziert, indem Schadensverteilungen aufgrund von Expertenschätzungen kalibriert werden. In Course 4 werden einzelne Risikomaße näher beleuchtet. Risikomaße sind entscheidend, da diese das individuelle Risiko messen. Das zentrale Risikomaß aus regulatorischer Sicht ist der Value at Risk, da er das Risikokapital bestimmt, also die Höhe des Kapitals, welches ein Institut für seltene Ereignisse zurückhalten muss. Im Laufe dieser Unit werden weitere Risikomaße behandelt wie z.B. der Conditional Value at Risk und die Lower Partial Moments. Darüber hinaus werden diese Risikomaße bei der Extremwerttheorie angewendet. Des Weiteren wird das anleihenbzw. kreditspezifische Risikomaß Duration vorgestellt. Zur Berechnung eines Risikomaßes für ein Gesamtportfolio zur Bestimmung des Risikokapitals muss die Frage nach der Aggregationsmethode diskutiert werden. Hierfür gibt es verschiedene gängige Konzepte, die in Course 5 genauer betrachtet werden. So wird zuerst das Konzept der Varianz-Kovarianz Matrix erläutert. Die Umsetzung von Copulas wird dann im Anschluss behandelt. Copulas haben den Vorteil, dass sie auch Korrelationen in Extremsituationen abbilden 8 EINLEITUNG können - ein Phänomen, dass sich oft in der Praxis messen lässt und hohe Relevanz besitzt. Basierend auf diesen Abhängigkeiten wird anschließend ein neues aggregiertes Risikokapital bestimmt. Dieses Buch soll dazu befähigen, finanzielle Risiken eines Finanzdienstleisters in seiner Gesamt‐ heit zu erfassen, zu quantifizieren und das benötigte Risikokapital zu bestimmen. Es bildet die Grundlage des Zertifikatslehrgangs „Certified Financial Engineer (CFE)“ im Risikomanagement von Banken und Versicherungen. Mehr Informationen hierzu finden Sie unter www.certified-fin ancial-engineer.de. Sie können unter http: / / www.certified-financial-engineer.de/ risikomanagement die in diesem Buch behandelten Excel-Spreadsheets herunterladen. An dieser Stelle möchten wir auch sehr herzlich allen danken, die uns während der Erstellung des Buches fachlich unterstützt haben. Unser besonderer Dank gilt Frau Sarah Lang für deren Unterstützung bei der Manuskripterstellung. Unser Lektor, Herr Dr. Jürgen Schechler, hat uns wie bei allen bisherigen Buchprojekten verlagsseitig ganz hervorragend unterstützt. Vielen Dank für die Offenheit, neue didaktische Wege zu gehen. Über Fragen und Anregungen zu unserem Buch freuen wir uns sehr. Prof. Dr. Anja Blatter, Sean Bradbury, Pascal Bruhn und Prof. Dr. Dr. Dietmar Ernst Detaillierter Aufbau der Case Study Course 1: Marktrisiken Course Unit 1: Rendite und Volatilität ■ Sie lernen die unterschiedliche Berechnung von diskreten und stetigen Renditen kennen und können diese berechnen. ■ Sie sind in der Lage, diskrete und stetige Renditen graphisch darzustellen und die dahinterstehenden statistischen Konzepte zu erklären. ■ Sie lernen die unterschiedliche Berechnung von Standardabweichung und Varianz kennen und können diese berechnen. Course Unit 2: Modellierung von Zinsen ■ Sie lernen die Veränderung der Renditen mit dem ARCH-Modell zu modellieren. ■ Sie lernen die Veränderung der Renditen mit dem GARCH-Modell zu modellieren. Course Unit 3: Modellierung von Aktienkursen ■ Sie beherrschen und verstehen die verschiedenen Verfahren, um Aktienkurse zu simu‐ lieren. ■ Sie sind in der Lage, verschiedene stochastische Prozesse in Matlab zu modellieren. ■ Sie lernen die Annahmen und die Berechnung des Black-Scholes-Modells kennen. Detaillierter Aufbau der Case Study 9 ■ Sie können das Black-Scholes-Modell zur Berechnung von Optionspreisen sowie Impli‐ ziten Volatilitäten anwenden. ■ Sie verstehen die Modellierungsprobleme bei der Berechnung der Black-Scholes-Formel. Course 2: Kreditrisiken ■ Sie lernen die Ratingverschiebungen in bestimmten Zeiträumen anhand von Rating- Migrationsmatrizen zu bestimmen. ■ Sie wenden Mertons Modell an, um die Ausfallwahrscheinlichkeit eines Unternehmens zu bestimmen. Course 3: Operationale Risiken ■ Sie können eine Schadenverteilung auf Basis einer Expertenschätzung kalibrieren. Course 4: Risikomaße ■ Sie lernen verschiedene Risikomaße kennen. ■ Sie wenden im stetigen und im diskreten Fall den Value at Risk und Conditional Value at Risk an. ■ Sie können die Genauigkeit des Risikomaßes prüfen. ■ Sie lernen die spezifischen Risikomaße für Anleihen kennen. ■ Sie wissen, was die Vor- und Nachteile eines Risikomaßes sind, insbesondere ob ein Risikomaß kohärent ist oder nicht. Course 5: Aggregation ■ Sie lernen eine Varianz-Kovarianz Matrix zu erstellen. ■ Sie wissen, was eine Copula ist und wie man diese in Matlab modelliert. ■ Sie können ein Risikomaß für ein Portfolio mit verschiedenen Copulas erstellen. Background-Informationen zur Case Study „Q UANTITATIVES R ISIKOMANAGEMENT IM B ANKEN - UND V ERSICHERUNGSBEREICH " Financial Engineering im Risikomanagement Sie sind Trainee bei der IF-Bank und haben die Aufgabe, sich mit den regulatorisch vor‐ geschriebenen Modellen vertraut zu machen. Ihr Betreuer, Head of Risk Management, möchte moderne Konzepte wie beispielsweise Copulas in das Risikomanagement der IF-Bank intergieren. Da Sie bereits aus dem Studium erste Programmierkenntnisse haben, werden Sie mit dieser Aufgabe betraut. 10 EINLEITUNG COURSE 1: MARKTRISIKEN Course Unit 1: Rendite und Volatilität Assignment 1: Renditeberechnung Aufgabe Berechnen Sie die diskrete, tägliche Rendite und die stetige, tägliche Rendite für den MSCI WORLD Indexpreis ab dem 31.12.t(5) rückwirkend für die letzten 5 Jahre. Inhalt In diesem Buch werden Risiken, die aus Vermögenswerten wie Rohstoffe, Wechselkursen und Zinsen entstehen, betrachtet. Bei der Definition von Risiko wird sich an die Sichtweise des Risikomanagements angelehnt. Somit wird unter Risiko die Abweichung vom Erwartungs‐ wert verstanden. In der weitesten Definition beinhaltet das sowohl eine positive als auch eine negative Abweichung vom erwarteten Wert. Allerdings müssen positive Abweichungen nicht überwacht werden und werden daher in diesem Buch nicht als Risiko mit einbezogen. Somit ist ein Risiko im Sinne dieses Buches eine finanziell negative Abweichung vom erwarteten Wert. Risiken gehen aus den Veränderungen von Preisen oder Werten für Vermögensgegenstände hervor. Diese können absolut gemessen (der Wert der Aktie ist um 5,00 USD gestiegen) oder relativ gemessen werden (der Wert der Aktie ist um 5,0% gestiegen). Das Verwenden der relativen Veränderungen erlaubt es, Risiken unterschiedlicher Vermögensgegenstände zu vergleichen und zu einem Gesamtrisiko zu aggregieren. Die relativen Wertveränderungen werden bei verzinslichen Finanzprodukten als Zinsen und bei anderen Finanzprodukten als Rendite bezeichnet. Im Folgenden wird der einheitlichen Begriff der Rendite verwendet. Hier können wiederum ■ diskrete Renditen ■ stetige Renditen unterschieden werden. Die relative Wertveränderung oder diskrete Rendite r d betrachtet zwei einzelne Zeitpunkte (Anlagezeitpunkt und das Ende des Anlagezeitraumes) bzw. mehrere Anlagezeitpunkte innerhalb eines Anlagezeitraums. Bei einer stetigen Rendite r s wird davon ausgegangen, dass das eingesetzte Kapital kontinu‐ ierlich verzinst wird. Der Unterschied zur diskreten Rendite liegt in der Betrachtung der Zeiträume, in denen die Anlage verzinst wird. Es kann durchaus sein, dass eine Anlage nicht nur monatlich, sondern auch wöchentlich, täglich oder sogar stündlich oder auch in noch (1.1.1.1) (1.1.1.2) kürzeren Intervallen verzinst wird. Bei einer stetigen Rendite unterstellt man infinitesimal (unendlich) kleine Anlageperioden. Je kleiner die Verzinsungszeiträume sind, desto geringer ist der Unterschied zwischen der diskreten und der stetigen Rendite. Im Risikomanagement stellt sich stets die Frage, ob diskrete oder stetige Renditen als Grundlage für weiteren Berechnungen verwendet werden sollen. Die Entscheidung für die diskrete oder für die stetige Rendite ist im Folgenden von der vorhandenen Datenbasis abhängig. Arbeitet man mit empirischen Daten und empirischen Verteilungen, bietet es sich an, die relevanten Risikoparameter mit der intuitiv verständlichen diskreten Rendite zu berechnen. Sollen hingegen Risikoberechnungen auf Grundlage von Normalverteilungen vorgenommen werden, dann werden stetige Renditen bevorzugt, da Normalverteilungen mit Renditen besser modelliert werden können. Wichtige Formeln Arbeitsmappe: Case Study Risikomanagement ➲ Arbeitsblatt: Renditen Berechnung der diskreten, täglichen Rendite: r td = W t − W t − 1 W t − 1 = W t W t − 1 − 1 r td = Diskrete Rendite zum Zeitpunkt t, hier am Tag t W t = Wert zum Zeitpunkt t, hier am Tag t W t − 1 = Wert zum Zeitpunkt t − 1 Excel-Beispiel: D8=C8/ C7-1 Berechnung der stetigen täglichen Rendite: r s = ln W t W t − 1 r s = Stetige Rendite W t = Wert zum Zeitpunkt t, hier am Tag t W t − 1 = Wert zum Zeitpunkt t − 1 Excel-Beispiel: E8=LN(C8/ C7) 12 COURSE 1: MARKTRISIKEN Vorgehensweise in Excel ■ Erstellen Sie eine Spalte für den MSCI WORLD Indexpreis (Spalte C). Verlinken Sie die Zellen dieser Spalte mit den Werten aus dem Tabellenblatt Annahmen MSCI WORLD, so dass die MSCI WORLD Indexpreise für den angegebenen Zeitraum auf dem Tabellenblatt Renditen angezeigt werden. ■ Berechnen Sie die diskrete, tägliche Rendite gemäß der oben aufgeführten Formel D8=C8/ C7-1. ■ Berechnen Sie danach die stetige, tägliche Rendite gemäß der oben aufgeführten Formel E8=LN(C8/ C7). Excel Ergebnisse Abbildung 1: Diskrete und stetige Renditen Vorgehensweise in Matlab ■ Importieren Sie die Kurse des MSCI World sowie die zugehörigen Zeitpunkte. Wählen Sie dazu unter Current Folder den Ordner, in welchem Sie die Excel-Datei Matlab Daten gespeichert haben. Course Unit 1: Rendite und Volatilität 13 ■ Erstellen Sie ein neues Live Script. ■ Geben Sie in die Eingabezeile den unten aufgeführten Code ein. Dieser importiert die benötigten Daten aus der Excel-Datei Matlab Daten. Daten = readmatrix('Matlab Daten.xlsx'); MSCI = Daten(: ,3); Datum = Daten(: ,1); Kurs_MSCI = [Datum,MSCI]; ■ Alternativ dazu lassen sich in Matlab Daten auch manuell importieren. Drücken Sie dazu den Import Data Button auf dem Home-Reiter. ■ Wählen Sie dann das Excel Dokument aus, markieren Sie Spalten A und C und importieren Sie die Daten als Numeric Matrix. 14 COURSE 1: MARKTRISIKEN ■ Bestätigen Sie die Auswahl. ■ Berechnen Sie nun die diskreten sowie stetigen Renditen des MSCI World. Geben Sie dazu folgenden Code in die Eingabezeile ein: Diskrete_Rendite = price2ret(Kurs_MSCI(: ,2),[],'Periodic') Stetige_Rendite = price2ret(Kurs_MSCI(: ,2)) ■ Drücken Sie auf Run, um das Script zu starten. ■ Unter Workspace können Sie die importierten Daten, definierten Variablen sowie die berechneten Renditen einsehen. Course Unit 1: Rendite und Volatilität 15 ■ Unter Save können Sie das Live Script benennen und für einen späteren Gebrauch abspei‐ chern. Matlab Ergebnisse Abbildung 2: Diskrete und stetige Renditen in Matlab Verweise auf das Excel- und Matlab-Tool Siehe Excel-Datei: Case Study Risikomanagement, Excel-Arbeitsblatt Renditen. Siehe Matlab-Skript: A01_Rendite 16 COURSE 1: MARKTRISIKEN Assignment 2: Erstellung eines Histogramms Aufgabe Erstellen Sie ein Histogramm für die diskreten, täglichen Renditen des MSCI WORLD Indexpreises ab dem 31.12.t(5) rückwirkend für die letzten 5 Jahre, um die Häufigkeitsverteilung graphisch aufzuzeigen. Wählen Sie eine geeignete Einteilung der Daten in Klassen. Inhalt Ein Histogramm ist eine grafische Darstellung der diskreten Häufigkeitsverteilung statisti‐ scher Daten. Es ist eine spezielle Form des Säulendiagramms. Dabei werden die Merkmal‐ sausprägungen auf der X-Achse und die Häufigkeiten auf der Y-Achse eingetragen. Die Häufigkeit eines Messwertes in einem vorab definierten Intervall wird durch eine balkenför‐ mige Fläche über dem Intervall dargestellt - dies kann relativ (in Prozent) oder absolut geschehen. In der Statistik wird ein Histogramm als Häufigkeitsverteilung bezeichnet. Ein Histogramm vermittelt einen schnellen grafischen Überblick über die Verteilung von Renditen. Dadurch kann die Größe der Streuung und das Risiko des Vermögenswertes verdeutlicht werden. Ein Histogramm erlaubt, größere Datenmengen deutlich besser zu erfassen als mit einer Tabelle. Eine Ballung von Extremrisiken an den Rändern der Verteilung kann schnell erkannt werden. Wichtige Formeln Arbeitsmappe: Case Study Risikomanagement ➲ Arbeitsblatt: Histogramm Bestimmung des Minimums der Renditen: Excel-Beispiel: H8=MIN(D8: D1310) Bestimmung des Maximums der Renditen: Excel-Beispiel: H9=MAX(D8: D1310) Bestimmung des Mittelwerts der Renditen: Excel-Beispiel: H10=MITTELWERT(D8: D1310) Course Unit 1: Rendite und Volatilität 17 Bestimmung der Anzahl der Renditen: Excel-Beispiel: H11=ANZAHL(D8: D1310) Vorgehensweise in Excel ■ Für die Erstellung des Histogramms werden zunächst die diskreten, täglichen Renditen in Spalte D berechnet. ■ Dann werden □ das Minimum H8=MIN(D8: D1310), □ das Maximum H9=MAX(D8: D1310), □ der Mittelwert H10=MITTELWERT(D8: D1310) sowie □ die Anzahl der Renditen H11=ANZAHL(D8: D1310) mit den jeweiligen Excel-Funktionen berechnet. ■ Dies hilft, passende Intervalle (Klassenbereiche) für das Histogramm festzulegen. ■ Zur Erstellung des Histogramms wird hier der Klassenbereich in den Zellen F14: F40 festgelegt. Die Angaben stammen aus dem Arbeitsblatt Annahmen allgemein. ■ In unserem Excel-Beispiel reicht der Klassenbereich von -6,5% und erhöht sich jeweils in 0,5%-Schritten auf 6,5%. ■ Mittels der Analyse-Funktion HISTOGRAMM lässt sich die Verteilung sehr leicht ermitteln. ■ Zur Funktion kommt man in Excel über Daten ➲ Analyse ➲ Datenanalyse ➲ Histogramm. Für den Fall, dass in Ihrer Excel-Version Analyse nicht aktiviert ist, gehen sie über Datei ➲ Optionen ➲ Add-Ins ➲ Los … und setzen ein Häkchen bei Analysis ToolPak und am besten gleich auch bei Solver Add-In, das wir später auch benötigen. Bestätigen Sie Ihre Auswahl mit OK. 18 COURSE 1: MARKTRISIKEN Abbildung 3: Eingaben zur Erstellung eines Histogramms ■ Abbildung 3 zeigt den Eingabebereich zur Erstellung des Histogramms. ■ Als Eingabebereich werden die diskreten, täglichen Renditen D8: D1310 eingegeben, als Klassenbereich die vorher bestimmten Klassenobergrenzen in den Zellen F14: F40 und als Ausgabebereich die Zelle G13, ab der das Ergebnis angezeigt werden soll. ■ Des Weiteren wird das Feld Diagrammdarstellung angeklickt, um sofort ein Schaubild aus den Daten zu erhalten. ■ Es werden die Spalten Klasse und Häufigkeit automatisch eingefügt und berechnet. ■ Es empfiehlt sich aus optischen Gründen, das Schaubild in Excel nachträglich noch an das eigene Design anzupassen. Course Unit 1: Rendite und Volatilität 19 Excel Ergebnisse Abbildung 4: Erstellung eines Histogramms 20 COURSE 1: MARKTRISIKEN Vorgehensweise in Matlab ■ Importieren Sie die Kurse des MSCI World sowie die zugehörigen Zeitpunkte. Daten = readmatrix('Matlab Daten.xlsx'); MSCI = Daten(: ,3); Datum = Daten(: ,1); Kurs_MSCI = [Datum,MSCI]; ■ Berechnen Sie die diskreten Renditen des MSCI World. Diskrete_Rendite = price2ret(Kurs_MSCI(: ,2),[],'Periodic'); ■ Beschreiben Sie die diskreten Renditen. Minimum = min(Diskrete_Rendite) Maximum = max(Diskrete_Rendite) Mittelwert = mean(Diskrete_Rendite) Anzahl_Beobachtungen = numel(Diskrete_Rendite) ■ Stellen Sie die Renditen in einem Histogramm dar. histogram(Diskrete_Rendite) title 'MSCI World Returns'; Course Unit 1: Rendite und Volatilität 21 Matlab Ergebnisse Abbildung 5: Histogramm der MSCI World Renditen Verweise auf das Excel- und Matlab-Tool Siehe Excel-Datei Case Study Risikomanagement, Excel-Arbeitsblatt Histogramm. Siehe Matlab-Skript: A02_Histogramm Assignment 3: Erstellung einer Dichtefunktion und einer Verteilungsfunktion Aufgabe Erstellen Sie eine Dichtefunktion und eine Verteilungsfunktion für die stetigen, täglichen Rendi‐ ten des MSCI WORLD Indexpreises basierend auf der Annahme einer a) Normalverteilung bzw. b) einer t-Verteilung. 22 COURSE 1: MARKTRISIKEN Inhalt Bei einer diskreten Zufallsvariable gibt es endlich viele mögliche Beobachtungswerte, zu de‐ nen jeweils eine positive Wahrscheinlichkeit gehört. Daher können den Beobachtungswerten Wahrscheinlichkeiten zugeordnet werden. Diese Zuordnung wird für diskrete Zufallsvariab‐ len als Wahrscheinlichkeitsfunktion bezeichnet. Im stetigen Fall gibt es dagegen unendlich viele theoretisch mögliche Realisationen. Bei stetigen Zufallsvariablen ist die Wahrschein‐ lichkeit, dass ein bestimmter Zahlenwert angenommen wird, gleich 0. Der Grund ist, dass stetige Zufallsvariablen reelle Werte annehmen, also die Genauigkeit ständig weiter verfeinert werden kann. Daher tritt an die Stelle der Wahrscheinlichkeitsfunktion die Dichtefunktion. Je höher die Dichte an einer Stelle ist, desto höher ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Variable aus diesem Bereich realisiert wird. Eine Verteilungsfunktion beschreibt den Zusammenhang zwischen einer Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeiten. Sie gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine Zufallsvariable höchstens einen bestimmten Wert annimmt. Für diskrete Zufallsvariablen beschreibt die Verteilungsfunktion damit die kumulative (aufsummierte) Wahrscheinlichkeit. Bei stetigen Zufallsvariablen kann die Verteilungsfunktion als Flächeninhalt unter der Dichtefunktion interpretiert werden. Die Dichtefunktion ist also die erste Ableitung der Verteilungsfunktion. Eine der wichtigsten stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen, ist die Normalverteilung. Die Dichtefunktion der Normalverteilung hat ein glockenförmiges Aussehen. Das Aussehen und die Eigenschaften der Normalverteilung werden durch zwei Parameter bestimmt: ■ Erwartungswert μ: Er beschreibt die Zahl, die die Zufallsvariable im Mittel annimmt. ■ Standardabweichung σ : Sie zeigt die Streuung um den Erwartungswert. Die gesamte Fläche, die von der Kurve der Normalverteilung eingeschlossen wird (daher das Integral von -∞ bis ∞), hat stets einen Wert von eins. Die Standardnormalverteilung ist eine Normalverteilung, bei der der Erwartungswert = 0 und die Standardabweichung = 1 sind. Oft ist die Standardabweichung in der Realität nicht bekannt und muss geschätzt werden. In diesem Fall bietet sich der Einsatz der Student t-Verteilung an. Darüber hinaus hat diese schwerere Ränder als die Normalverteilung. Das bedeutet, dass weiter vom Erwartungswert entfernte Werte als wahrscheinlicher angenommen werden im Vergleich zur Normalver‐ teilung. Das Aussehen und die Eigenschaften der Student t-Verteilung wird durch einen Parameter bestimmt: ■ Die Anzahl der Freiheitsgrade n. Je größer die Anzahl der Freiheitsgrade, desto stärker nähert sich die Student t-Verteilung der Standardnormalverteilung an. Neben der Normalverteilung und der Student t-Verteilung gibt es eine Vielzahl anderer Verteilungsfunktionen. Um herauszufinden, welche Verteilungsfunktion die Häufigkeitsver‐ teilung am besten beschreibt, verwendet man das Instrument der Kalibrierung. Mit Hilfe einer Statistiksoftware oder einer Tabellenkalkulations-Software erfolgt die Kalibrierung der em‐ pirischen Daten an eine theoretische Verteilungsfunktion. Die Funktion passt die Verteilungen Course Unit 1: Rendite und Volatilität 23 (1.1.3.1) (1.1.3.2) an die empirischen Daten an und gibt die geschätzten Parameter für die Verteilungsfunktion wieder. Ferner werden die Ergebnisse von Anpassungstests (beispielsweise Chi-Quadrat- Anpassungstest, Box-Cox-Transformation, Kolmogorow-Smirnow-Anpassungstest, Shapiro- Wilk-Test oder Anderson-Darling-Anpassungstest) angegeben. Die geschätzten Verteilungs‐ parameter können anschließend für die Bewertung und Modellierung der Risiken verwendet werden, um beispielsweise Zufallszahlen aus den betreffenden Verteilungen zu generieren. Wichtige Formeln Arbeitsmappe: Case Study Risikomanagement ➲ Arbeitsblatt: Dichte- & Verteilungsfunktion Berechnung des Erwartungswert, der dem Mittelwert der stetigen, täglichen Renditen entspricht: μ = 1 m ∑ t = 1 m r t μ = Erwartungswert der Rendite m = Anzahl der Beobachtungen r t = Rendite zum Zeitpunkt t Excel-Beispiel: E7=MITTELWERT(Renditen! E8: E1310) Berechnung der Standardabweichung (ausgehend von einer Stichprobe) der stetigen täglichen Renditen: σ = 1 m − 1 t = 1 m r t − μ 2 σ = Standardabweichung der Rendite m = Anzahl der Beobachtungen r t = Rendite im Zeitpunkt t μ = Erwartungswert der Rendite Excel-Beispiel: E8=STABW.S(Renditen! E8: E1310) 24 COURSE 1: MARKTRISIKEN (1.1.3.3) (1.1.3.4) Berechnung der Perzentile der Normalverteilung: Excel-Beispiel: C12=NORM.INV(B12; $E$7; $E$8) Berechnung der Dichte der Normalverteilung: f t = 1 σ 2π ⋅ e − 1 2 ⋅ t − μ σ 2 σ = Standardabweichung der Rendite μ = Erwartungswert der Rendite Excel-Beispiel: D12=NORM.VERT(C12; $E$7; $E$8; FALSCH) Berechnung der Verteilungsfunktion der Normalverteilung: F t = n σ 2π ⋅ −∞ t e − 1 2 u − μ σ 2 du Excel-Beispiel: E12=NORM.VERT(C12; $E$7; $E$8; WAHR) Berechnung der Perzentile der t-Verteilung: Excel-Beispiel: F12=T.INV(B12; $E$9) Berechnung diskreter Werte der Dichte der t-Verteilung: Excel-Beispiel: G12=T.VERT(F12; $E$9; FALSCH) Berechnung der Verteilungsfunktion der t-Verteilung: Excel-Beispiel: H12=T.VERT(F12; $E$9; WAHR) Course Unit 1: Rendite und Volatilität 25 Vorgehensweise in Excel Hinweis: Um in Excel oder Matlab eine stetige Verteilung darstellen zu können, werden oftmals die Werte durch diskrete Werte substituiert. Grund hierfür ist, dass dies die Berechnung erleichtert und weniger Rechnungskapazitäten beansprucht werden. Diesen Vorgang nennt man Diskreti‐ sierung. Wir verwenden im Folgenden jedoch stetige Renditen. ■ Erstellen Sie eine Spalte für die Wahrscheinlichkeiten (Spalte B). Verlinken Sie die Zellen dieser Spalte mit den Werten aus dem Tabellenblatt Annahmen allgemein, so dass die Wahrscheinlichkeiten auf dem Tabellenblatt Dichte- & Verteilungsfunktion angezeigt werden B12='Annahmen allgemein'! C37. ■ Kalkulieren Sie den Mittelwerte der Renditen in Zelle E7=MITTELWERT(Renditen! E8: E1310)und die Standardabweichung in E8 =STABW.S(Renditen! E8: E1310). Nehmen Sie 2 Freiheitsgrade für die t-Verteilung an und geben Sie diese in Zelle E9 ein. ■ Berechnen Sie darauf basierend die Perzentile der Normalverteilung C12=NORM.INV (B12; $E$7; $E$8), die Dichte D12=NORM.VERT(C12; $E$7; $E$8; FALSCH) und die Verteilungsfunktion der Normalverteilung gemäß der oben aufgeführten Formeln und E12=NORM.VERT(C12; $E$7; $E$8; WAHR). ■ Bestimmen Sie im nächsten Schritt in den Spalten F, G und H die Perzentile der t-Verteilung, die Dichte und die Verteilungsfunktion der t-Verteilung. Nehmen Sie hierfür Freiheitsgrade in der Höhe von 2 an. Diese ergeben sich näherungsweise durch die Anpassung einer t- Verteilung an die empirischen Daten. Solch eine Anpassung kann zum Beispiel in Matlab mit dem Befehl fitdist vorgenommen werden. Excel Ergebnisse Abbildung 6: Bestimmung einer Normalverteilung und t-Verteilung in Excel 26 COURSE 1: MARKTRISIKEN Abbildung 7: Bestimmung einer Dichte- und Verteilungsfunktion der Normalverteilung in Excel Abbildung 8: Bestimmung einer Dichte- und Verteilungsfunktion der t-Verteilung in Excel Vorgehensweise in Matlab ■ Importieren Sie die Kurse des MSCI World, das zugehörige Datum sowie die Wahrscheinlich‐ keitsklassen. Daten = readmatrix('Matlab Daten.xlsx'); MSCI = Daten(: ,3); Datum = Daten(: ,1); Wahrscheinlichkeiten = Daten(: ,4); % Angenommene Wahrscheinlichkeitsklassen Kurs_MSCI = [Datum,MSCI]; ■ Berechnen Sie die stetigen Renditen des MSCI World. Stetige_Rendite = price2ret(Kurs_MSCI(: ,2)); ■ Beschreiben Sie die stetigen Renditen. Mittelwert = mean(Stetige_Rendite) Standardabweichung = std(Stetige_Rendite) Course Unit 1: Rendite und Volatilität 27 ■ Erstellen Sie eine Normalverteilung der Wahrscheinlichkeiten mit Mittelwert und Standard‐ abweichung der stetigen Renditen. Normalverteilung = norminv(Wahrscheinlichkeiten,Mittelwert,Standardabweichung); ■ Erstellen Sie eine Dichte- und Verteilungsfunktion basierend auf der Normalverteilung. Dichtefunktion = normpdf(Normalverteilung,Mittelwert,Standardabweichung); Verteilungsfunktion = normcdf(Normalverteilung,Mittelwert,Standardabweichung); ■ Stellen Sie diese grafisch dar. figure Standard = tiledlayout(1,2); Standard.TileSpacing = 'compact'; title(Standard,'Standardnormalverteilung') nexttile plot(Normalverteilung,Dichtefunktion,'LineWidth',2) title('Dichtefunktion') axis([-0.05 0.05 0 45]) nexttile plot(Normalverteilung,Verteilungsfunktion,'LineWidth',2) title('Verteilungsfunktion') axis([-0.05 0.05 0 1]) ■ Bestimmen Sie die Parameter der t-Verteilung. Die Anzahl der Freiheitsgrade kann mit dem Befehl fitdist bestimmt werden. Um mit Excel einheitliche Ergebnisse zu erhalten, nehmen Sie 2 Freiheitsgrade an. Parameter = fitdist(Stetige_Rendite,'tLocationScale'); Freiheitsgrade = 2; ■ Erstellen Sie eine t-Verteilung. Studentsche_t_Verteilung = icdf('t',Wahrscheinlichkeiten,Freiheitsgrade); ■ Erstellen Sie eine Dichte- und Verteilungsfunktion basierend auf der t-Verteilung. t_Dichtefunktion = pdf('t',Studentsche_t_Verteilung,Freiheitsgrade); t_Verteilungsfunktion = cdf('t',Studentsche_t_Verteilung,Freiheitsgrade); 28 COURSE 1: MARKTRISIKEN ■ Stellen Sie diese grafisch dar. figure tStudent = tiledlayout(1,2); tStudent.TileSpacing = 'compact'; title(tStudent,'Studentsche t-Verteilung') nexttile plot(Studentsche_t_Verteilung,t_Dichtefunktion,'LineWidth',2) title('Dichtefunktion') axis([-10 10 0 0.4]) nexttile plot(Studentsche_t_Verteilung,t_Verteilungsfunktion,'LineWidth',2) title('Verteilungsfunktion') axis([-10 10 0 1]) hold off Matlab Ergebnisse Abbildung 9: Erstellung der Dichte- und Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung Course Unit 1: Rendite und Volatilität 29 Abbildung 10: Erstellung der Dichte- und Verteilungsfunktion der t-Verteilung Verweise auf das Excel- und Matlab-Tool Siehe Excel-Datei Case Study Risikomanagement, Excel-Arbeitsblatt Dichte-& Verteilungsfunktion. Siehe Matlab-Skript: A03_Dichte_Verteilungsfunktion Siehe Matlab-Skript: A1_Renditen Assignment 4: Berechnung der Varianz Aufgabe Berechnen Sie die Varianz für die stetigen, täglichen Renditen des MSCI WORLD Indexpreises basierend auf der Annahme einer Stichprobe. Berechnen Sie ferner die annualisierte und monat‐ liche Varianz. 30 COURSE 1: MARKTRISIKEN (1.1.4.1) (1.1.4.2) Inhalt Die Varianz ist ein Maß, welches die quadratische Abweichung von Werten um den Mittelwert kennzeichnet. Wichtige Formeln Arbeitsmappe: Case Study Risikomanagement ➲ Arbeitsblatt: Varianz und Standardabweichung Berechnung der Varianz (ausgehend von einer Stichprobe) der stetigen, täglichen Renditen: σ 2 = 1 m − 1 ∑ t = 1 m r t − μ 2 σ 2 = Varianz der Renditen m = Anzahl der Beobachtungen r t = Rendite zum Zeitpunkt t μ = Erwartungswert der Rendite Excel-Beispiel: I8=VAR.S(D8: D1310) Ist die Varianz für eine Periode mit der Länge t gegeben (z. B. die tägliche Varianz) gegeben, so gilt für die Varianz einer Periode, die m ⋅ t Zeiteinheiten (z. B. die annualisierte Varianz) umfasst: σ annualisiert 2 = σ t2 ⋅ m σ annualisiert 2 = Varianz der Rendite auf Jahresebene σ t2 = Unterjährige Varianz der Rendite t = Einzelne unterjährige Periode, z. B. Tag m = Anzahl der Perioden Excel-Beispiel: I9=I8*H9 Course Unit 1: Rendite und Volatilität 31 (1.1.4.3) Für die Umrechnung der Varianz der Rendite auf Jahresebene in eine unterjährige Varianz der Rendite gilt: σ t2 = σ annualisiert 2 ⋅ 1 m = σ annualisiert 2 m Excel-Beispiel: I10=I9/ H10 Vorgehensweise in Excel ■ Berechnen Sie die Varianz basierend auf den stetigen, täglichen Renditen in der Spalte D. ■ Berechnen Sie die annualisierte und monatliche Varianz basierend auf den obigen Formeln. Excel Ergebnisse Abbildung 11: Berechnung der Varianz Vorgehensweise in Matlab ■ Importieren Sie die Kurse des MSCI World sowie die zugehörigen Zeitpunkte. Daten = readmatrix('Matlab Daten.xlsx'); MSCI = Daten(: ,3); Datum = Daten(: ,1); Kurs_MSCI = [Datum,MSCI]; 32 COURSE 1: MARKTRISIKEN ■ Berechnen Sie die stetigen Renditen des MSCI World sowie deren Mittelwert. Stetige_Rendite = price2ret(Kurs_MSCI(: ,2)); Mittelwert = mean(Stetige_Rendite) ■ Berechnen Sie die Varianz der stetigen Renditen. Taegliche_Varianz = var(Stetige_Rendite) Annualisierte_Varianz = Taegliche_Varianz*250 Monatliche_Varianz = Annualisierte_Varianz/ 12 Matlab Ergebnisse Abbildung 12: Berechnung der Varianz in Matlab Verweise auf das Excel- und Matlab-Tool Siehe Excel-Datei Case Study Risikomanagement, Excel-Arbeitsblatt Varianz und Standardabweichung. Siehe Matlab-Skript: A04_05_Varianz_Standardabweichung Assignment 5: Berechnung der Standardabweichung Aufgabe Berechnen Sie die Standardabweichung für die stetigen, täglichen Renditen des MSCI WORLD Indexpreises basierend auf der Annahme einer Stichprobe. Berechnen Sie ferner die annualisierte und monatliche Standardabweichung. Course Unit 1: Rendite und Volatilität 33 (1.1.5.1) (1.1.5.2) (1.1.5.3) Inhalt Die Standardabweichung ist die durchschnittliche Entfernung aller gemessenen Ausprägun‐ gen eines Merkmals vom Durchschnitt. Die Standardabweichung ist die Wurzel der Varianz. Wichtige Formeln Arbeitsmappe: Case Study Risikomanagement ➲ Arbeitsblatt: Varianz und Standardabweichung Berechnung der Standardabweichung (ausgehend von einer Stichprobe) der stetigen, täglichen Renditen: σ = 1 m − 1 t = 1 m r t − μ 2 σ = Standardabweichung der Rendite m = Anzahl der Beobachtungen r t = Rendite im Zeitpunkt t μ = Erwartungswert der Rendite Excel-Beispiel: I11=STABW.S(D8: D1310) Berechnung der Standardabweichung (ausgehend von einer Stichprobe) als Wurzel der Varianz: σ = σ 2 = V ar[r] σ = Standardabweichung der Rendite σ 2 = Varianz Excel-Beispiel: I12=WURZEL(I8) Die Standardabweichung wird folgendermaßen annualisiert: σ annualisiert = σ t ⋅ m 34 COURSE 1: MARKTRISIKEN (1.1.5.4) σ annualisiert = Standardabweichung der Rendite auf Jahresebene σ t = Unterjährige Standardabweichung der Rendite t = Einzelne unterjährige Periode, z. B. Tag m = Anzahl der Perioden Excel-Beispiel: I13=I11*WURZEL(H13) Für die Umrechnung der Standardabweichung der Rendite auf Jahresebene in eine unterjährige Standardabweichung der Rendite gilt: σ t = σ annualisiert ⋅ 1 m = σ annualisiert m Excel-Beispiel: I14=I13/ WURZEL(H14) Vorgehensweise in Excel ■ Berechnen Sie die Standardabweichung direkt. ■ Berechnen Sie zunächst die Varianz und ziehen Sie dann die Wurzel. ■ Berechnen Sie die annualisierte und monatliche Standardabweichung basierend auf den obigen Formeln. Excel Ergebnisse Abbildung 13: Berechnung der Standardabweichung Vorgehensweise in Matlab ■ In Fortsetzung an das Matlab Assignment 4 kann die Standardabweichung berechnet werden. Sollten Sie Assignment 4 nicht durchgeführt haben, muss dies der Berechnung der Varianz vorangestellt werden. ■ Berechnen Sie die Standardabweichung der stetigen Renditen. Course Unit 1: Rendite und Volatilität 35 Standardabweichung = std(Stetige_Rendite) Annualisierte_Standardabweichung = Standardabweichung*sqrt(250) Monatliche_Standardabweichung = Annualisierte_Standardabweichung/ sqrt(12) Matlab Ergebnisse Abbildung 14: Berechnung der Standardabweichung in Matlab Verweise auf das Excel- und Matlab-Tool Siehe Excel-Datei Case Study Risikomanagement, Excel-Arbeitsblatt Varianz und Standardabweichung. Siehe Matlab-Skript: A04_05_Varianz_Standardabweichung Course Unit 2: Modellierung von Volatilitäten Assignment 6: Berechnung der Volatilität mit dem EWMA-Modell Aufgabe Berechnen Sie die Volatilität mit dem EWMA-Modell für die stetigen, täglichen Renditen des MSCI World. Inhalt Die Schätzwerte für die Volatilität schwanken stark, je nachdem, welche Zeiträume als Datenbasis gewählt werden. Um die Genauigkeit der Schätzung der Varianz bzw. der Standardabweichung zu verbessern, favorisiert man in der Statistik normalerweise möglichst viele Daten. Damit unterstellt man aber gleichzeitig eine konstante Streuung, d. h. eine 36 COURSE 1: MARKTRISIKEN (1.2.6.1) im Zeitablauf konstante Volatilität. Solche auf langen Zeiträumen basierende Volatilitäten geben demgemäß das Ausmaß an, indem sich ein Markt langfristig betrachtet typischerweise bewegt. Um die Stärke der laufenden Variabilität zu erfassen, ist es üblich, die Länge des Beobachtungszeitraumes zu verkürzen und die Standardabweichung rollierend für eine fixe Zeitspanne zu berechnen. Diese verkürzte historische Berechnungsbasis wird dann immer weiter zum aktuellen Rand hin verschoben. Daraus resultiert eine Zeitreihe, deren einzelne Elemente als gleitende Durchschnitte berechnet werden. Man spricht von der gleitenden Volatilität. Da bei der Schätzung der gegenwärtigen Volatilität die jüngeren Werte eine höhere Aussage‐ kraft besitzen als die Volatilitäten, die vor längerer Zeit beobachtet wurden, gewichten wir die aktuelleren Volatilitäten stärker. Hierzu verwenden wir exponentiell abnehmende Gewichte. Dies führt zum Modell der exponentiell gewichteten gleitenden Volatilität (EWMA-Modell = exponentially weighted moving volatility). Beim EWMA-Modell werden die historischen Werte exponentiell gewichtet, so dass in der nahen Vergangenheit liegende Werte ein höheres Gewicht gegenüber älteren Werten erhalten. Zu diesem Zwecke wird der Gewichtungsfaktor λ verwendet, welcher auch als Verzögerungsfaktor oder Senkungsfaktor bezeichnet wird. Sein Wert liegt stets zwischen 0 und 1. Im Rahmen des EWMA-Modells wird derjenige Wert des Gewichtungsfaktors λ geschätzt, der die historischen Daten der bedingten EWMA-Varianzen am besten erklärt. Hierzu verwenden wir die Maximum-Likelihood-Methode. Die Maximum-Likelihood-Methode berechnet den Wert des Parameters λ, der die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten der historischen Werte (hier EWMA-Varianz) maximiert. Es wird der Parameter λ so bestimmt, dass er die bisher eingetretenen Beobachtungen am besten beschreibt. In der Praxis haben sich bei der Berechnung der der exponentiell gewichteten gleitenden Volatilität zwei Vereinfachungen durchgesetzt, die wir hier bei den folgenden Berechnungen beibehalten wollen: 1. Das arithmetische Mittel wird bei der Berechnung der gleitenden Volatilität auf Tages‐ basis gleich null gesetzt. Diese Annahme wird dadurch gerechtfertigt, dass die erwartete Änderung des Marktpreises auf Tagesbasis keine praktische Relevanz besitzt. 2. m-1 wird durch m ersetzt. Diese Veränderung führt vom erwartungstreuen Schätzer zum Maximum-Likelihood-Schätzer, der für die folgenden Modelle noch eine wichtige Rolle spielen wird. Wichtige Formeln Arbeitsmappe: Case Study Risikomanagement ➲ Arbeitsblatt: EWMA Die Formel für den Schätzwert der Varianz nach dem EWMA-Modell lautet: σ n2 = λ ⋅ σ n − 1 2 + 1 − λ ⋅ r n − 1 2 Course Unit 2: Modellierung von Volatilitäten 37 (1.2.6.2) (1.2.6.3) (1.2.6.4) (1.2.6.5) λ = Senkungsrate σ n − 1 2 = Schätzwert für die Varianz des Vortags r n − 1 2 = Tatsächliche Veränderungsrate des Vortags Das EWMA-Modell zeigt, dass mit nur zwei Werten, dem Schätzwert für die Varianz des Vortags σ n − 1 2 und der tatsächlichen Veränderungsrate am Vortag r n − 1 2 , sich die Varianz für den nächsten Tag schätzen lässt. In dem Schätzwert für die Varianz des Vortags sind historische Werte der täglichen Veränderungen enthalten, die mit exponentiell sinkenden Gewichten berücksichtigt werden, je weiter sie in der Vergangenheit liegen. Zur Demonstration dieses Sachverhalts bietet sich die Auflösung der Rekursionsformel an. σ n2 = 1 − λ ⋅ ∑ λ i − 1 ⋅ r n − i 2 + λ n ⋅ σ 02 mit i = 1, …, n Der Summand λ n ⋅ σ 02 strebt gegen null, da λ regelmäßig kleiner eins ist und λ n mit wachsendem n gegen null strebt. Dies führt zur folgenden Vereinfachung: σ n2 = 1 − λ ⋅ ∑ λ i − 1 ⋅ r n − i 2 mit i = 1, …, n Der Gewichtungsfaktor λ i − 1 für die historischen Veränderungsraten r n − i 2 wird umso kleiner, je größer i ist, das heißt je weiter die Beobachtung in der Vergangenheit liegt. Wir überlegen uns nun, wie die Maximum-Likelihood-Methode zur Schätzung des Parameters λ eingesetzt werden kann. Es sei r i2 die beobachtete Varianz und σ i2 die geschätzte Varianz. Wir nehmen an, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung der beobachteten Varianzen einer Normalverteilung mit Erwartungswert null und Varianz σ i2 genügt. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Beobachtungen in der Reihenfolge auftreten, in der sie beobach‐ tet wurden, wird mit folgender Formel berechnet: i = 1 m 1 2πσ i2 ex p −r i2 2σ i2 Bei der Maximum-Likelihood-Methode ist der Wert von σ i2 , der den obigen Ausdruck maximiert, der beste Schätzer. Die Maximierung eines Ausdrucks ist äquivalent zur Maximierung des Logarithmus des Ausdrucks. Durch Logarithmierung können wir die obige Formel wie folgt vereinfachen: ∑ i = 1 m −ln σ i2 − r i2 σ i2 38 COURSE 1: MARKTRISIKEN Mit dem iterativen Suchverfahren (SOLVER in Excel) können wir nun den Parameter λ bestim‐ men, der die zuletzt aufgeführte Formel maximiert. Berechnung der täglichen Varianz: Excel-Beispiel: E12=D12^2 Berechnung der EWMA-Varianz (Startwert): Excel-Beispiel: F12=E12 Berechnung der EWMA-Varianz (Folgewerte): Excel-Beispiel: F13=F12*$D$7+(1-$D$7)*E12 Berechnung der EWMA-Volatilität: Excel-Beispiel: I12=WURZEL(F12) Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass der geschätzte Wert auftritt: Excel-Beispiel: G12=-LN(F12)-E12/ F12 Summe der Wahrscheinlichkeiten, die maximiert wird: Excel-Beispiel: G7=SUMME(G12: G1314) Ausgangswert für λ, über den im SOLVER die Optimierung erfolgt: Excel-Beispiel: C7='Annahmen allgemein'! C176 Vorgehensweise in Excel ■ Berechnen Sie in Spalte D die stetigen, täglichen Renditen. ■ Berechnen Sie in Spalte E basierend auf den stetigen, täglichen Renditen die tägliche Varianz. ■ Im nächsten Schritt wird die EWMA-Varianz berechnet. Dafür benötigen wir den Wert für λ, den wir zunächst aus den Annahmen allgemein erhalten. Er wird mit Zelle C7 verlinkt. Course Unit 2: Modellierung von Volatilitäten 39 Wir verlinken diese Zelle wiederum mit der Zelle D7, in der nach Optimierung mit dem Solver der aus der Optimierung hervorgehende Wert von λ stehen wird. ■ Für die Berechnung der EWMA-Varianz benötigen wir einen Ausgangswert. Hier setzen wir in Zelle F12 die Varianz aus Zelle E12 ein. ■ In F13 findet dann die eigentlichen Formel für die EWMA-Varianz Anwendung F13=F12*$D$7+(1-$D$7)*E12. ■ Die EWMA-Volatilität ist die Wurzel der EWMA-Varianz I12=WURZEL(F12). ■ In Spalte G befindet sich die Berechnung der Wahrscheinlichkeit für die Maximum-Likeli‐ hood-Methode. Die Excel Formel lautet G12=-LN(F12)-E12/ F12. ■ In Zelle G7 werden die Wahrscheinlichkeiten summiert G7=SUMME(G12: G1314), die dann bei der Optimierung maximiert werden. ■ Für die Optimierung mit Hilfe des SOLVER sind folgende Werte in den SOLVER einzugeben. Abbildung 15: Solver Parameter für das EWMA-Modell 40 COURSE 1: MARKTRISIKEN ■ Es ergibt sich ein Wert für λ in Höhe von 0,903918. Mit diesem λ werden die historischen Beobachtungen der EWMA-Varianz am besten beschrieben. ■ Setzt man diesen Wert bei der Berechnung der gleitenden Volatilität mit exponentiell fallenden Gewichten als λ ein, ergeben sich dort dieselben Werte für die gewichtete Varianz wie bei der EWMA-Varianz. Excel Ergebnisse Abbildung 16: Berechnung der Volatilität mit dem EWMA-Modell Vorgehensweise in Matlab ■ Definieren Sie zunächst eine Funktion, die den Schätzwert der Varianz berechnet, analog zu Formel 1.2.6.1. function [Summe_Likelihood] = EWMA_fun(Lambda) global Taegliche_Varianz; y(1) = Taegliche_Varianz(1); for k=2: length(Taegliche_Varianz) ----y(k) = y(k-1)* Lambda +(1- Lambda).*Taegliche_Varianz(k-1); end Course Unit 2: Modellierung von Volatilitäten 41 Summe_Likelihood = -(sum(-log(y.')-Taegliche_Varianz./ (y.'))); end ■ Speichern Sie die Funktion ab unter „EWMA_fun.m“. Diese muss im selben Ordner abgespei‐ chert werden wie der sich nun anschließende Code. ■ Importieren Sie die Kurse des MSCI World sowie die zugehörigen Zeitpunkte. Daten = readmatrix('Matlab Daten.xlsx'); MSCI = Daten(: ,3); Datum = Daten(: ,1); Kurs_MSCI = [Datum,MSCI]; ■ Definieren Sie die globalen Input Variablen. global Lambda; global Taegliche_Varianz; ■ Berechnen Sie die stetigen Renditen des MSCI World. Stetige_Rendite = price2ret(Kurs_MSCI(: ,2)); ■ Bestimmen Sie die EWMA-Varianz. format long Taegliche_Varianz = Stetige_Rendite.^2; % In Prozent Lambda = 0.95; y(1) = Taegliche_Varianz(1); for k=2: length(Taegliche_Varianz) y(k) = y(k-1)* Lambda +(1- Lambda).*Taegliche_Varianz(k-1); end 42 COURSE 1: MARKTRISIKEN EWMA_Varianz = y.'; Likelihood = -log(y.')-Taegliche_Varianz./ (y.'); EWMA_Vola = sqrt(EWMA_Varianz); format shortG Summe_Likelihood = sum(Likelihood) ■ Schätzen Sie den optimierten Gewichtungsfaktor anhand der Maximum-Likelihood-Me‐ thode. fun = @EWMA_fun; % Abrufen der EWMA-Funktion [Lambda_Opt, SummeLikelihood] = fminsearch(fun, Lambda); % Max-Likeli-Methode Likelihood_Opt = -(SummeLikelihood) Table = table(Lambda_Opt,Likelihood_Opt,'VariableNames',{'Lambda', 'Likelihood'},'RowNa‐ mes',{'Optimierte Werte'}) Matlab Ergebnisse Abbildung 17: Darstellung des optimierten Lambdas Verweise auf das Excel- und Matlab-Tool Siehe Excel-Datei Case Study Risikomanagement, Excel-Arbeitsblatt EWMA. Siehe Matlab-Skript: A06_EWMA Assignment 7: Berechnung der Volatilität mit dem ARCH-Modell Aufgabe Berechnen Sie die Volatilität mit dem ARCH-Modell für die stetigen, täglichen Renditen des MSCI World. Course Unit 2: Modellierung von Volatilitäten 43 (1.2.7.1) Inhalt Die meisten theoretischen Ansätze in der Kapitalmarkttheorie gehen davon aus, dass die Varianz von Renditen im Zeitablauf konstant ist. Betrachtet man jedoch die Preisverände‐ rungsraten auf spekulativen Märkten genauer, kann beobachtet werden, dass sie zwar um einen konstanten Mittelwert schwanken, ihre Variabilität im Zeitablauf jedoch nicht konstan‐ ten Schwankungen unterliegt. Es besteht vielmehr eine Tendenz zum Volatility Clustering (Volatilitätsclustering). Volatility Clustering beschreibt die zeitliche Konzentration absolut hoher und absolut niedriger Renditen. Dies bedeutet, dass die Entwicklung der Volatilität im Zeitablauf einem gewissen Muster folgt. Auf eine Phase hoher Volatilität folgt eine Phase niedriger Volatilität und umgekehrt. Es bilden sich also in jeder Phase Volatilitätscluster. Klassische Methoden wie die Regressionsanalyse oder Zeitreihenanalyse unterstellen eine im Zeitablauf konstante Varianz der Prognosefehler und sind ungeeignet, Phänomene wie Volatilitätsclustering zu erklären. Speziell Aktien- und Wechselkurse oder Zinssätze weisen derartige Verhaltensmuster auf, die einen nichtlinearen Modellierungsansatz erforderlich machen. Einen solchen Ansatz stammt von Robert F. Engle, der 2003 für seine Arbeiten zu ARCH-Modellen den Nobelpreis in Wirtschaftswissenschaften erhielt. Die Abkürzung ARCH steht für „Autoregressive Conditional Heteroscedasticity“, was ins Deutsche übersetzt „Autoregressive Bedingte Heteroskedastizität“ bedeutet. ARCH-Modelle versuchen zu berücksichtigen, dass Volatilitäten einem bestimmten Muster folgen. Diese Eigenschaft sich im Zeitablauf verändernder Volatilitäten wird als Heteroskedastizität bezeich‐ net. ARCH-Modelle sind ferner autoregressiv, d. h. dass die Volatilität in Abhängigkeit von ihrer Vorgängergröße gemessen wird, also bedingt (conditional) ist. ARCH-Modelle sind besonders gut für kurzfristige Prognosen geeignet, die auf aktuellen historischen Daten beruhen. Wir berücksichtigen hier für das ARCH-Modell die Daten der vergangenen fünf Tage. Wichtige Formeln Arbeitsmappe: Case Study Risikomanagement ➲ Arbeitsblatt: ARCH Die Formel für die Varianz σ 2 zum Zeitpunkt t im ARCH(m)-Modell lautet: σ t2 = γ ⋅ V L + ∑ i = 1 m α i ⋅ r n − 1 2 V L = Langfristige Varianz der Zeitreihe γ = Gewichtungsfaktor von V L r n − i 2 = Quadrierte Rendite (= Varianz) am Vortag α i = Gewichtungsfaktor am Tag i 44 COURSE 1: MARKTRISIKEN (1.2.7.2) (1.2.7.3) m = Anzahl der Beobachtungen n = Periode des Schätzers = m+1 Das ARCH(m)-Modell beinhaltet, dass die Varianz σ t2 mit Hilfe der durchschnittlichen, langfris‐ tigen Varianz und der gewichteten historischen Varianz aus m Beobachtungen erklärt werden kann. Da die Summe der Gewichte eins ergibt, gilt: γ + ∑ i = 1 m α i = 1 Im ARCH(m)-Modell werden jüngeren Beobachtungen höhere Gewichte und älteren Beobach‐ tungen niedrigere Gewichte zugewiesen. Mit ω = γ ⋅ V L kann die obige Formel auch wie folgt geschrieben werden: σ t2 = ω + ∑ i = 1 m α i ⋅ r n − 1 2 Berechnung der täglichen Varianz: Excel-Beispiel: E12=D12^2 Ausgangswert für ω, über den im SOLVER die Optimierung erfolgt: Excel-Beispiel: L3='Annahmen allgemein'! C181 Ausgangswert für α(1), über den im SOLVER die Optimierung erfolgt: Excel-Beispiel: L4='Annahmen allgemein'! C182 Berechnung der bedingten (conditional) Varianz: Excel-Beispiel: F17=$M$3+$M$4*E12+$M$5*E13+$M$6*E14+$M$7*E15+$M$8*E16 Berechnung der bedingten (conditional) Volatilität: Excel-Beispiel: I17=WURZEL(F17) Course Unit 2: Modellierung von Volatilitäten 45 Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass der geschätzte Wert auftritt: Excel-Beispiel: G17=-LN(F17)-E17/ F17 Summe der Wahrscheinlichkeiten, die maximiert wird: Excel-Beispiel: G8=SUMME(G12: G1314) Berechnung des Gewichtungsfaktors von γ L : Excel-Beispiel: I2=1-SUMME(M4: M8) Berechnung von der täglichen, langfristigen Varianz V L : Excel-Beispiel: I3=M3/ I2 Berechnung von der täglichen, langfristigen Volatilität: Excel-Beispiel: I4=WURZEL(I3) Berechnung von der jährlichen, langfristigen Volatilität: Excel-Beispiel: I5=I4*WURZEL('Annahmen allgemein'! C187) Vorgehensweise in Excel ■ Berechnen Sie in Spalte D die stetigen, täglichen Renditen. ■ Berechnen Sie in Spalte E basierend auf den stetigen, täglichen Renditen die tägliche Varianz. ■ Im nächsten Schritt wird die bedingte (conditional) Varianz berechnet. Dafür benötigen wir für die Variablen ω und α i Ausgangswerte, die wir aus den Annahmen allgemein erhalten. Sie werden mit den Zelle L3 und L4: L8 verlinkt. Wir verlinken diese Zelle wiederum mit den Zellen M3 und M4: M8, in der nach Optimierung mit dem Solver die aus der Optimierung hervorgehende Werte von λ und α i stehen werden. ■ In F17 befindet sich die eigentliche Formel für die Berechnung der bedingten Varianz, die sich aus der durchschnittlichen, langfristigen Varianz und 5 Beobachtungen zusammensetzt F17=$M$3+$M$4*E12+$M$5*E13+$M$6*E14+$M$7*E15+$M$8*E16. ■ Die bedingte Volatilität ist die Wurzel der bedingten Varianz I17=WURZEL(F17). 46 COURSE 1: MARKTRISIKEN ■ In Spalte G befindet sich die Berechnung der Wahrscheinlichkeit für die Maximum-Likeli‐ hood-Methode. Die Excel Formel lautet G17=-LN(F17)-E17/ F17. ■ In Zelle G8 werden die Wahrscheinlichkeiten summiert G8=SUMME(G12: G1314), die dann bei der Optimierung maximiert werden. ■ Für die Optimierung mit Hilfe des SOLVER sind folgende Werte in den SOLVER einzugeben. Abbildung 18: Solver Parameter für das ARCH-Modell ■ Es ergibt sich ein Wert für ω in Höhe von 0,000013 und Werte für α 1 in Höhe von 0,088174, für α 2 in Höhe von 0,225761, für α 3 in Höhe von 0,190161, für α 4 in Höhe von 0,178966 und für α 5 in Höhe von 0,252886. Mit diesen Werten werden die historischen Beobachtungen der bedingten Varianz am besten beschrieben. ■ Im nächsten Schritt können nun Berechnung des Gewichtungsfaktor γ L I2=1-SUMME(M4: M8), die tägliche, langfristige Varianz V L I3=M3/ I2 und die tägliche, langfristige Volatilität I4=WURZEL(I3) berechnet werden. Course Unit 2: Modellierung von Volatilitäten 47 ■ Das Ergebnis des hier verwendeten ARCH-Modells besagt, dass die langfristige Volatilität pro Jahr 22,15% beträgt. Dazu tragen zu 93,6% die Gewichte aus den letzten fünf Tagen tatsächlich gemessenen Varianzen und zu 6,4% die durchschnittliche, langfristige Varianz der Zeitreihe bei. Excel Ergebnisse Abbildung 19: Berechnung der Volatilität mit dem ARCH-Modell Vorgehensweise in Matlab ■ Importieren Sie die Kurse des MSCI World sowie die zugehörigen Zeitpunkte. Daten = readmatrix('Matlab Daten.xlsx'); MSCI = Daten(: ,3); Datum = Daten(: ,1); Kurs_MSCI = [Datum,MSCI]; Handelstage = 250; ■ Berechnen Sie die stetigen Renditen des MSCI World und stellen Sie diese grafisch dar. Stetige_Renditen = price2ret(Kurs_MSCI(: ,2)); T = length(Stetige_Renditen); figure plot(Stetige_Renditen) xlim([0, T]) title('MSCI World Renditen') ylabel('Renditen') xlabel('Tage') 48 COURSE 1: MARKTRISIKEN ■ Erstellen Sie ein ARCH-Modell mit undefinierten Parametern. Modell = garch('ARCHLags',[1 2 3 4 5]); % Berücksichtigt die letzten 5 Tage ■ Passen Sie das Modell an die stetigen Renditen an und schätzen Sie die Parameter. estMdl = estimate(Modell,Stetige_Renditen(6: end),'E0',Stetige_Renditen(1: 5)); % Schätzung der Param. mittels Max-Likelihood-Methode Omega = estMdl.Constant % sprintf('%f',omega) für Schreibweise ohne e Alpha5 = estMdl.ARCH{1} % Gewichtungsfaktor des Tages i-1 (Vortag) Alpha4 = estMdl.ARCH{2} % … Alpha3 = estMdl.ARCH{3} % … Alpha2 = estMdl.ARCH{4} % … Alpha1 = estMdl.ARCH{5} % Gewichtungsfaktor des Tages i-5 ■ Berechnen Sie die bedingte Varianz sowie die bedingte Volatilität basierend auf den ermittel‐ ten Parametern. Teagliche_Varianz = (Stetige_Renditen.^2)*100; % In Prozent -> darauf basierende Werte ebenso Bedingte_Varianz = zeros(T,1); Bedingte_Varianz(1: 5) = Teagliche_Varianz(1: 5); % Ausgangswerte for i = 6: T Bedingte_Varianz(i) = Omega + Alpha1*Teagliche_Varianz(i-5)+Alpha2*Teagliche_Varianz (i-4)+Alpha3*Teagliche_Varianz(i-3)+Alpha4*Teagliche_Varianz(i-2)+Alpha5*Teagliche_Va‐ rianz(i-1); end Bedingte_Vola = sqrt(Bedingte_Varianz); ■ Berechnen Sie die langfristige Varianz sowie Volatilität pro Tag und Jahr. Gamma = 1-(Alpha1+Alpha2+Alpha3+Alpha4+Alpha5) % Gewichtungsfaktor Varianz_Tag = Omega/ Gamma % Langfristige Varianz pro Tag Vola_Tag = sqrt(Varianz_Tag) % Langfristige Volatilität pro Tag Vola_Jahr = Vola_Tag*sqrt(Handelstage) % Langfristige Volatilität pro Jahr Table = table(Gamma,Varianz_Tag,Vola_Tag,Vola_Jahr,'VariableNames',{'Gamma', 'tägliche Varianz','tägliche Volatilität','jährliche Volatilität'}) Course Unit 2: Modellierung von Volatilitäten 49 Matlab Ergebnisse Abbildung 20: Darstellung des geschätzten ARCH-Modells Abbildung 21: Darstellung der berechneten langfristigen Varianz und Volatilität Verweise auf das Excel- und Matlab-Tool Siehe Excel-Datei Case Study Risikomanagement, Excel-Arbeitsblatt ARCH. Siehe Matlab-Skript: A07_ARCH Assignment 8: Berechnung der Volatilität mit dem GARCH-Modell Aufgabe Berechnen Sie die Volatilität mit dem GARCH-Modell für die stetigen, täglichen Renditen des MSCI World. Inhalt Die Idee des ARCH-Modells wurde in verschiedener Weise weiterentwickelt und zählt heute zu den fortgeschrittenen Methoden in der Ökonometrie. Eine Verallgemeinerung sind die GARCH-Modelle (generalized autoregressive conditional heteroscedasticity), die 1986 von Bollerslev entwickelt wurden. Im Gegensatz zum ARCH-Modell hängt bei GARCH- 50 COURSE 1: MARKTRISIKEN (1.2.8.1) Modellen die bedingte Varianz nicht nur von der langfristigen Varianz und der gewichteten historischen Varianz ab, sondern es wird zusätzlich auch noch die bedingte Varianz des Vortags berücksichtigt. GARCH-Modelle ermöglichen ebenfalls die Berücksichtigung von Volatilitätsclustern bei der Prognose von Volatilitäten. Dies beschreibt die Eigenschaft von Volatilitäten, im Zeitablauf einem bestimmten Muster zu folgen, was mit Heteroskedastizität bezeichnet wird. Ferner können bei Volatilitätsclustern autoregressive Eigenschaften beobachtet werden, d. h. dass die Volatilität wiederum von ihrer Vorgängergröße abhängig ist. Bei Vorliegen einer autoregres‐ siven Zeitreihe ist die Varianz bedingt (conditional), da ihre Höhe vom Wert der vorherigen Varianz abhängig ist. Bei den einfachen GARCH-Modellen wird ferner angenommen, dass die zugrundeliegenden Veränderungsraten (Renditen) normalverteilt sind (es gibt aber auch GARCH-Modelle, die keine Normalverteilung der Renditen annehmen, z. B. EGARCH, GJR, etc.). Ihre Varianz kann jedoch im Zeitablauf schwanken und hängt von der Volatilität der Vorperioden ab. Auf diese Weise kann sowohl die Clusterbildung von Volatilitäten als auch eine leptokurtische Verteilung modelliert werden. Leptokurtische Verteilungen weisen einerseits schwere Ränder (fat tails) auf, welche im Gegensatz zur Normalverteilung extreme Preisänderungen an den Flanken wahrscheinlicher machen, und andererseits verfügen sie über mehr Werte um den Erwartungswert, d. h. der Gipfel der Verteilung ist höher und schmaler (thin wastes) als bei einer Normalverteilung. Als Schwierigkeit bei der Verwendung von GARCH-Modellen wird in der Literatur die Schätzung der Parameter γ, α und β genannt. Die Schätzung der Parameter erfolgt mit Hilfe der Maximum-Likelihood-Methode. Hierbei werden auf Basis der historischen Werte die Parameter γ, α und β so geschätzt, dass sie die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der historischen Werte maximieren. Es werden also die Parameter so bestimmt, dass sie die bisher eingetretenen Beobachtungen am besten beschreiben. Bei geeigneter Wahl der Parameter kann das GARCH(1,1) in das einfachere ARCH-Modell überführt werden. Für den Fall γ = 0, α = 1 λ und β = λ ergibt sich aus dem GARCH-Modell das ARCH-Modell, so dass letzteres als Spezialfall von GARCH(1,1) angesehen werden kann. Wichtige Formeln Arbeitsmappe: Case Study Risikomanagement ➲ Arbeitsblatt: GARCH Die Formel für die Varianz σ 2 zum Zeitpunkt t im GARCH(1,1)-Modell lautet: σ n2 = γ ⋅ V L + α ⋅ r n − 1 2 + β ⋅ σ n − 1 2 σ n2 = Bedingte Varianz am aktuellen Tag n V L = Durchschnittliche, langfristige Varianz der Zeitreihe γ = Gewichtungsfaktor von V L r n − 1 2 = Die am Vortag tatsächlich gemessene quadrierte Rendite (= Varianz) Course Unit 2: Modellierung von Volatilitäten 51 α = Gewichtungsfaktor von r n − 1 2 σ n − 1 2 = Bedingte Varianz des Vortags β = Gewichtungsfaktor von σ n − 1 2 Die Summe der drei Gewichtungsfaktoren muss eins ergeben γ + α + β = 1 . Berechnung der täglichen Varianz: Excel-Beispiel: E12=D12^2 Ausgangswert für ω, über den im SOLVER die Optimierung erfolgt: Excel-Beispiel: L3='Annahmen allgemein'! C192 Ausgangswert für α, über den im SOLVER die Optimierung erfolgt: Excel-Beispiel: L4='Annahmen allgemein'! C193 Ausgangswert für β, über den im SOLVER die Optimierung erfolgt: Excel-Beispiel: L5='Annahmen allgemein'! C194 Berechnung der bedingten (conditional) Varianz (Startwert): Excel-Beispiel: F12=E12 Berechnung der bedingten (conditional) Varianz (Folgewerte): Excel-Beispiel: F13=$M$3+$M$4*E12+$M$5*F12 Berechnung der bedingten (conditional) Volatilität: Excel-Beispiel: I12=WURZEL(F12) Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass der geschätzte Wert auftritt: Excel-Beispiel: G12=-LN(F12)-E12/ F12 52 COURSE 1: MARKTRISIKEN Summe der Wahrscheinlichkeiten, die maximiert wird: Excel-Beispiel: G8=SUMME(G12: G1314) Berechnung des Gewichtungsfaktors von γ : Excel-Beispiel: I2=1-M4-M5 Berechnung von der täglichen, langfristigen Varianz V L : Excel-Beispiel: I3=M3/ I2 Berechnung von der täglichen, langfristigen Volatilität: Excel-Beispiel: I4=WURZEL(I3) Berechnung von der jährlichen, langfristigen Volatilität: Excel-Beispiel: I5=I4*WURZEL('Annahmen allgemein'! C195) Vorgehensweise in Excel ■ Berechnen Sie in Spalte D die stetigen, täglichen Renditen. ■ Berechnen Sie in Spalte E basierend auf den stetigen, täglichen Renditen die tägliche Varianz. ■ Im nächsten Schritt wird die bedingte (conditional) Varianz berechnet. Dafür benötigen wir für die Variablen ω, α und β Ausgangswerte, die wir zunächst aus den Annahmen allgemein erhalten. Sie werden mit den Zelle L3, L4 und L5 verlinkt. Diese Werte bilden auch die Ausgangswerte für die Zellen M3, M4 und M5. In den Zellen M3, M4 und M5 werden nach Optimierung mit dem Solver die aus der Optimierung hervorgehenden Werte von ω, α und β stehen. ■ Für die Berechnung der bedingten (conditional) Varianz benötigen wir einen Ausgangswert. Hier setzen wir in Zelle F12 die Varianz aus Zelle E12 ein. ■ In F13 findet dann die eigentliche Berechnung der bedingten Varianz statt, die nicht nur von der Varianz der Zeitreihe, sondern auch von ihrer eigenen Vergangenheit, d. h. der bedingten Varianz der Vorperiode abhängt F13=$M$3+$M$4*E12+$M$5*F12. ■ Die bedingte Volatilität ist die Wurzel der bedingten Varianz I12=WURZEL(F12). ■ In Spalte G befindet sich die Berechnung der Wahrscheinlichkeit für die Maximum-Likeli‐ hood-Methode. Die Excel Formel lautet G12=-LN(F12)-E12/ F12. Course Unit 2: Modellierung von Volatilitäten 53 ■ In Zelle G8 werden die Wahrscheinlichkeiten summiert G8=SUMME(G12: G1314), die dann bei der Optimierung maximiert werden. ■ Für die Optimierung mit Hilfe des SOLVER sind folgende Werte in den SOLVER einzugeben. Abbildung 22: Solver Parameter für das GARCH-Modell ■ Es ergeben sich Werte für ω in Höhe von 0,0000025, für α ein Wert in Höhe von 0,23 und für β ein Wert in Höhe von 0,75. ■ Im nächsten Schritt können nun der Gewichtungsfaktor von V L I2=1-M4-M5, die tägliche, langfristige Varianz V L I3=M3/ I2 und die tägliche, langfristige Volatilität I4=WURZEL(I3) berechnet werden. Die langfristige Volatilität pro Jahr beträgt 16,96%. ■ Das Ergebnis des hier verwendeten GARCH-Modells besagt, dass die langfristige Volatilität pro Jahr 16,96% beträgt. Dazu tragen zu 74,82% die bedingte Varianz des Vortages, zu 22,98% die Varianz des Vortages und zu 2,2% die durchschnittliche, langfristige Varianz der Zeitreihe bei. 54 COURSE 1: MARKTRISIKEN Excel Ergebnisse Abbildung 23: Berechnung der Volatilität mit dem GARCH-Modell Vorgehensweise in Matlab ■ Importieren Sie die Kurse des MSCI World sowie die zugehörigen Zeitpunkte. Daten = readmatrix('Matlab Daten.xlsx'); MSCI = Daten(: ,3); Datum = Daten(: ,1); Kurs_MSCI = [Datum,MSCI]; Handelstage = 250; ■ Berechnen Sie die stetigen Renditen des MSCI World und stellen Sie diese grafisch dar. Stetige_Renditen = price2ret(Kurs_MSCI(: ,2)); T = length(Stetige_Renditen); figure plot(Stetige_Renditen) xlim([0, T]) title('MSCI World Renditen') ylabel('Renditen') xlabel('Tage') ■ Erstellen Sie ein GARCH-Modell mit undefinierten Parametern. Modell = garch(1,1); Course Unit 2: Modellierung von Volatilitäten 55 ■ Passen Sie das Modell an die stetigen Renditen an und schätzen Sie die Parameter. estMdl = estimate(Modell,Stetige_Renditen(2: end),'E0',Stetige_Renditen(1)); % Schätzung der Param. mittels Max-Likelihood-Methode Omega = estMdl.Constant % sprintf('%f',omega) für Schreibweise ohne e Alpha = estMdl.ARCH{1} Beta = estMdl.GARCH{1} ■ Berechnen Sie die bedingte Varianz sowie die bedingte Volatilität basierend auf den ermittel‐ ten Parametern. Teagliche_Varianz = (Stetige_Renditen.^2)*100; % in Prozent -> darauf basierende Werte ebenso! Bedingte_Varianz = zeros(T,1); Bedingte_Varianz(1) = Teagliche_Varianz(1); % Ausgangswert for i = 2: T Bedingte_Varianz(i) = Omega + Alpha*Teagliche_Varianz(i-1)+Beta*Bedingte_Varianz(i-1); end Bedingte_Vola = sqrt(Bedingte_Varianz); ■ Berechnen Sie die langfristige Varianz sowie Volatilität pro Tag und Jahr. Gamma = 1-Alpha-Beta % Gewichtungsfaktor durchschnittl. langfristige Volatilität Varianz_Tag = Omega/ Gamma % Langfristige Varianz pro Tag Vola_Tag = sqrt(Varianz_Tag) % Langfristige Volatilität pro Tag Vola_Jahr = Vola_Tag*sqrt(Handelstage) % Langfristige Volatilität pro Jahr Table = table(Gamma,Varianz_Tag,Vola_Tag,Vola_Jahr,'VariableNames',{'Gamma', 'tägliche Varianz','tägliche Volatilität','jährliche Volatilität'}) Matlab Ergebnisse Abbildung 24: Darstellung des geschätzten GARCH-Modells 56 COURSE 1: MARKTRISIKEN Abbildung 25: Darstellung der berechneten langfristigen Varianz und Volatilität Verweise auf das Excel- und Matlab-Tool Siehe Excel-Datei Case Study Risikomanagement, Excel-Arbeitsblatt GARCH. Siehe Matlab-Skript: A08_GARCH Course Unit 3: Modellierung von stochastischen Prozessen Assignment 9: Geometrische Brownsche Bewegung Aufgabe Modellieren Sie die MSCI WORLD Indexpreise für die gegebene Datenreihe für ein Jahr mit Hilfe der Geometrischen Brownschen Bewegung. Inhalt GARCH-Modelle sind deterministische Prozesse, d.h. sie sind abhängig von vergangenen Werten. Dies ist vor allem bei sehr stationären Assets, wie z.B. bei Marktzinsen hilfreich. Bei der Prognose längerfristiger Preis- und Wertentwicklungen bieten sich stochastische Prozesse an, die sehr gut die Besonderheiten und Eigenschaften der historischen Preis- und Wertentwicklungen aufneh‐ men und auf die Zukunft übertragen können. Ein stochastischer Prozess (auch Zufallsprozess genannt) ist die mathematische Beschreibung von zeitlich geordneten, zufälligen Vorgängen. In Finanzmarktmodellen werden spezielle stochastische Prozesse herangezogen, die z. B. danach unterschieden werden können, ob sie stetig sind oder Sprünge aufweisen. Um beispielsweise einen Aktienindex zu simulieren, benötigen wir Modelle, die eine Extrapo‐ lation der Preisverläufe in die Zukunft ermöglichen und gut zu den historischen Daten und den allgemeinen Eigenschaften der Preisverläufe passen. Wir betrachten einen Prognosehorizont von 1 Jahr. Aus der Vielzahl stochastischer Prozesse wählen wir vier Prozesse aus, die in der Risikomana‐ gementpraxis von Bedeutung sind. Diese Prozesse haben unterschiedliche Eigenschaften, die Course Unit 3: Modellierung von stochastischen Prozessen 57 (1.3.9.1) sie für bestimmte Anwendungen mehr oder weniger geeignet machen. Nach diesen Kriterien kann der passende Prozess ausgewählt werden. Die Eigenschaft Mean Reversion (Rückkehr zum Mittelwert) besagt, dass die Volatilität von Vermögenswerten und die historischen Renditen irgendwann zum langfristigen Mittelwert oder Durchschnittsniveau des gesamten Datensatzes zurückkehren. Abbildung 26 zeigt vier stochastische Prozesstypen mit ihren Eigenschaften. Name Vorzeichen Mean-Reversion Langfristiges Steigungsverhalten der Quantile Wiener-Prozess Positives und negatives möglich Nein Quadratwurzel plus linear Brownsche Bewegung Positives und negatives möglich Nein Quadratwurzel Geometrische Brownsche Bewegung Nur positives möglich Nein Exponentiell Vasicek-Prozess Positives und negatives möglich Ja Stationär Abbildung 26: Prozesstypen und ihre Eigenschaften Wichtige Formeln Arbeitsmappe: Case Study Risikomanagement ➲ Arbeitsblatt: GeoB Wiener-Prozess Ein Wiener-Prozess ist ein zeitstetiger stochastischer Prozess, der normalverteilte, unabhängige Zuwächse hat. dW t = ε ⋅ dt dW t = Kleine Änderung des Wiener-Prozess im Zeitraum dt d = Differential ε = Zufallsvariable, die standardnormalverteilt ist t = Zeitverlauf dt = Kleine Änderung der Zeit 58 COURSE 1: MARKTRISIKEN (1.3.9.2) (1.3.9.3) Der Wiener-Prozess ist durch folgende Eigenschaften gekennzeichnet: ■ Eigenschaft 1: W 0 = 0 ■ Eigenschaft 2: Der Wiener Prozess W t t ≥ 0 besitzt unabhängige Zuwächse, d. h. für die Zeitpunkte t 1 < t 2 < t 3 < … < t n sind die Zuwächse W t n − W t n − 1 ; W t n − 1 − W t n − 2 ; …; W t 2 − W t 1 stochastisch unabhängig. ■ Eigenschaft 3: Für alle Zeitpunkte 0 ≤ s < t gilt W t − W s ∼ N 0, t − s . Die Zuwächse sind normalverteilt mit dem Erwartungswert E W t − W s = 0 und Varianz V ar W t − W s = t − s. ■ Eigenschaft 4: Alle (einzelnen) Pfade von W t t ≥ 0 sind stetig. Der Wiener-Prozess ist ein Prozess mit Markov-Eigenschaft. Die Variable besitzt „kein Gedächt‐ nis“, so dass vergangene Realisationen keinen Einfluss auf die zukünftige Entwicklung haben und auch nicht zur Prognose zukünftiger Entwicklungen geeignet sind. Brownsche Bewegung Die Brownsche Bewegung weist zusätzlich zum Wiener-Prozess einen Drift μ und eine Volatilität σ auf. Die Wertentwicklung bei einer Brownschen Bewegung kann mit folgender Formel wiedergegeben werden: S t = μ ⋅ t + σ ⋅ W t S t = Zufallsvariable zum Zeitpunkt t μ = Drift t = Zeitverlauf σ = Volatilität W t = Wiener-Prozess Die Brownsche Bewegung kann auch als Differentialgleichung dargestellt werden: dS t = μ ⋅ dt + σ ⋅ dW t dS t = Kleine Änderung der Zufallsvariable im Zeitraum dt dt = Kleine Änderung der Zeit Die Brownsche Bewegung wurde ursprünglich vom Botaniker Robert Brown entwickelt, um die Bewegung kleiner Teilchen in Flüssigkeiten oder Gasen zu beschreiben. Geometrische Brownsche Bewegung Die geometrische Brownsche Bewegung basiert genauso wie die Brownsche Bewegung auf einem Wiener Prozess. Es ist: Course Unit 3: Modellierung von stochastischen Prozessen 59 (1.3.9.4) (1.3.9.5) S t = S 0 ⋅ ex p μ S − σ S2 2 ⋅ t + σ S ⋅ dW t S t = Wert zum Zeitpunkt t S 0 = Startwert zum Zeitpunkt 0 μ S = Drift σ S = Volatilität W t = Wiener-Prozess t = Zeitverlauf Ein typischer Anwendungsbereich ist die Modellierung von Aktienkursen. Eine hilfreiche Ei‐ genschaft für die Modellierung von Aktienkursen ist dabei, dass die geometrische Brownsche Bewegung ausschließlich positive Werte annimmt. Grund hierfür ist, dass die Exponentialfunk‐ tion stets positiv ist. Die geometrisch Brownsche Bewegung kann analog auch mit folgender Differentialgleichung beschrieben werden: dS t = S t ⋅ μ S ⋅ dt + σ S ⋅ dW t S t = Wert zum Zeitpunkt t dS t = Kleine Änderung des Werts im Zeitraum dt d = Differential dt = Kleine Änderung der Zeit Die Größe dS t beschreibt eine kleine Änderung des Aktienkurses in einem kleinen Zeitintervall dt. Die Änderung ergibt sich aus dem Einfluss zweier Komponenten: der Driftrate μ s und der Volatilität der Aktie σ S . Die Driftrate μ S ist die durchschnittlich erwartete Rendite einer Aktie. Ist μ S > 0, so steigt der Wert des Aktienkurses in Erwartung, Ist μ s < 0 fällt der Aktienkurs in Erwartung. Die Volatilität der Aktie σ S steuert den Einfluss des Zufalls, der durch die kleine Änderung des Wiener Prozesses dW t abgebildet wird. Diese Differenzialgleichung 1.3.9.5 kann mit Hilfe von Itô’s Lemma gelöst werden (Merton, Robert C. (1976) Option pricing when underlying stock returns are discontinuous). Die Lösung ergibt die Darstellung in Gleichung 1.3.9.4. Der geometrischen Brownschen Bewegung liegen folgende Annahmen zu Grunde: ■ W o = 0 ■ Die Pfade sind stetig ■ Die Zuwächse des Wiener Prozesses sind stochastisch unabhängig und normalverteilt, d.h. W t − W s ∼ N 0, t − s im Bereich 0 ≤ s ≤ t In den bekanntesten finanzmathematischen Modellen wird die geometrische Brownsche Bewe‐ gung zur Modellierung der Assets eingesetzt. Vergleichen Sie hierzu das Black-Scholes-Modell zur Bewertung von Optionen (Assignment 11) und das Merton Modell zur Berechnung der Kreditausfallwahrscheinlichkeiten (Assignment 17). 60 COURSE 1: MARKTRISIKEN (1.3.9.6) (1.3.9.7) (1.3.9.8) Ein paar praktische Hinweise: ■ Die Pfade sind zwar stetig, werden aber aus Vereinfachungsgründen diskret modelliert. ■ Da die Brownsche Bewegung eine Zukunftsbetrachtung ist, verwendet man in der Regel die vom Markt erwartete Volatilität. Zur Modellierung der Brownschen Bewegung in Matlab/ Excel verwenden wir folgende einfache Darstellung: S t = S 0 ⋅ L 1 ⋅ L 2 … ⋅ L n mit L i = S t i S t i − 1 Dabei sind die Elemente unabhängig und lognormalverteilt mit dem Erwartungswert µ und Varianz σ 2 . Diese einfache Darstellung gilt, da: S t = S 0 ⋅ S t 1 S t 0 ⋅ S t 2 S t 1 ⋅ … . ⋅ S t n S t n − 1 , mit S 0 = S t 0 und S n = S t n Es ist: S t i = S 0 e X (t i ) , somit ist L i = S t i S t i − 1 = S 0 e X (ti) S 0 e X (ti − 1) = e X (t i ) − X (t i − 1 ) Da die Zuwächse X t i − X t i − 1 der Brownschen Bewegung unabhängig und normalverteilt sind, sind die L i unabhängig und lognormalverteilt. Mit Hilfe dieser Darstellung ist die Erstellung einer geometrischen Brownschen Bewegung in Excel und Matlab einfach umsetzbar. Vorgehensweise in Excel ■ Zuerst überträgt man die Variablen „MSCI World Kurs“, „durchschnittlicher Return“ und „Implizite tägl. Volatilität“. Abbildung 27: Annahmen der Geometrischen Brownschen Bewegung Course Unit 3: Modellierung von stochastischen Prozessen 61 ■ Dann generiert man Errorterme in B10: B260 (für 250 Handelstage). ■ Beispiel: =NORM.INV(ZUFALLSZAHL(); $D$6; $D$7). ■ In den Zellen C11: C260 kumuliert man die Werte in Spalte B. ■ In den Zellen D11: D260 wird der MSCI World Kurs mit dem exponierten Wert in Spalte C11: 260 multipliziert. ■ Diese MSCI World Kurse werden nun anschließend als Liniendiagramm dargestellt. Das Ergebnis ist ein möglicher Simulationspfad. Excel Ergebnisse 2000,00 2200,00 2400,00 2600,00 2800,00 3000,00 3200,00 3400,00 1 9 17 25 33 41 49 57 65 73 81 89 97 105 113 121 129 137 145 153 161 169 177 185 193 201 209 217 225 233 241 249 MSCI World Kurs (e1) Abbildung 28: Simulierter Kurs des MSCI World Vorgehensweise in Matlab ■ Importieren Sie die notwendigen Daten aus der Excel Datei. Daten = readmatrix('Matlab Daten.xlsx'); MSCI = Daten(: ,3); Datum = Daten(: ,1); Kurs_MSCI = [Datum,MSCI]; 62 COURSE 1: MARKTRISIKEN Daten2 = readmatrix('Matlab Daten.xlsx','Sheet','Black-Scholes'); Hist_teagliche_vola = Daten2(3); % Historische tägliche Volatilität der Renditen ■ Bestimmen Sie die für die Aufgabe notwendigen Parameter. Diskrete_Rendite = price2ret(Kurs_MSCI(: ,2),[],'Periodic'); Durchschnitt_Rendite = mean(Diskrete_Rendite) MSCI_aktuell = MSCI(end) % Aktueller Stand des MSCI Per = 240; % Anzahl der Perioden AnzPfad = 5; % Anzahl der zu simulierten Pfade rng(1); % Zur Wiedererzeugung der simulierten Werte T = ones(Per,1); ■ Anschließend simuliert man normalverteilte Zufallsvariablen. Diese normalverteilten Zu‐ fallsvariablen entsprechen den Variablen L 1 , L 2 … . Input für die Simulation ist die durch‐ schnittliche Rendite, die Volatilität und die Anzahl der zu simulierenden Pfade. Die Werte der geometrischen Brownschen Bewegung zum jeweiligen Zeitpunkt t werden mit dem Zusammenhang S t = S 0 L 1 L 2 … . L n kalkuliert. Das Ergebnis kann mit dem Matlab Befehl plot() grafisch dargestellt werden. X = normrnd(Durchschnitt_Rendite,Hist_teagliche_vola,[Per, AnzPfad]); MSCI_t = MSCI_aktuell * exp(cumsum(X)); % MSCI(t+n) = MSCI (t)* (e^(Err(t))) * (e^(Err(t+1)) * (e^(Err(t+2)) … (e^(Err(t+n)) plot (MSCI_t); title('Simulierter MSCI World Kurs'); ylabel('Kurs in USD'); xlabel('Zeitpunkt t'); Course Unit 3: Modellierung von stochastischen Prozessen 63 Matlab Ergebnisse Abbildung 29: Simulierte Pfade des MSCI World Verweise auf das Excel- und Matlab-Tool Siehe Excel-Datei Case Study Risikomanagement, Excel-Arbeitsblatt GeoB. Siehe Matlab-Skript: A09_Geometrische_Brownsche_Bewegung Assignment 10: Vasicek/ Ornstein-Uhlenbeck-Prozess Aufgabe Modellieren Sie die EURIBOR Yields für die gegebene Datenreihe für 3 Monate mit dem Vasicek/ Ornstein-Uhlenbeck Prozess. 64 COURSE 1: MARKTRISIKEN (1.3.10.1) Inhalt Eine weitere Klasse innerhalb der stochastischen Prozesse sind die sogenannten Mean Rever‐ sion Prozesse. Sie berücksichtigen neben einem Diffusionsparameter einen Drift-Parameter, der den Prozess auf ein langfristiges Mean Reversion Level (Trendniveau) führt. Mean Reversion bedeutet, dass beispielsweise Renditen und Zinssätze langfristig vom mittleren Wert angezogen werden und zu diesem zurückkehren. Im Vasicek Modell wird der Momentanzins (engl. Short-Rate) in Form eines Ornstein-Uhlen‐ beck-Prozesses modelliert. Somit hat der Momentanzins die Mean-Reversion-Eigenschaft, was bedeutet, dass der Momentanzins immer wieder von dem Mean-Reversion-Level ange‐ zogen wird. Befindet sich die Zufallsvariable X zu einem Zeitpunkt t über dem langfristigen Mittel μ, so ist der Driftterm negativ, d.h. es erfolgt eine Anziehung von oben gegen das Mean Reversion Level. Befindet er sich darunter, so ist der Driftterm entsprechend positiv und es findet eine Anziehung von unten gegen das Mean Reversion Level statt. Der Parameter α bestimmt die Geschwindigkeit der Rückkehr zum Mean Reversion Level. Der Parameter σ gibt den Zufallseinfluss durch den Wiener-Prozess an. Wichtige Formeln Arbeitsmappe: Case Study Risikomanagement ➲ Arbeitsblatt: VasicekOrnstein Das einfachste Beispiel für einen Mean Reversion Prozess ist der Ornstein-Uhlenbeck-Prozess: dX t = α ⋅ μ − X t ⋅ dt + σ ⋅ dW t dX t = Kleine Änderung der Zufallsvariable X im Zeitraum dt α = Mean Reversion Speed = (“Steifigkeit”) μ = Mean Reversion Level = Trendniveau σ = Diffusion = Volatilität dW t = Kleine Änderung des Wiener-Prozess dt = Kleine Änderung der Zeit Wäre die Diffusionσ gleich 0, so wäre die zufällige Störung der Anziehung an μ ausgeschaltet und der Prozess würde linear gegen das Mean Reversion Level konvergieren. Im Vasicek-Modell zur Zinssatzmodellierung wird der Ornstein-Uhlenbeck-Prozess verwendet. Daher wird dieser auch als Vasicek Prozess bezeichnet. Im Folgenden wird dargelegt, wie sich Parameter der Mean-Reversion Modelle mit Hilfe der linearen Regression schätzen und anschließend simulieren lassen. Course Unit 3: Modellierung von stochastischen Prozessen 65 Ein weiterer bekannter stochastischer Prozess, der ähnlich aufgebaut ist zum Vasciek-Prozess, ist der Black-Karasinski-Prozess. Die Umsetzung ist ähnlich, allerdings wird dem X t ein Logarithmus vorgeschalten. Berechnung der Wahrscheinlichkeitsverteilung von ε t : Excel-Beispiel: H18=NORM.VERT(F18; 0; $D$8; FALSCH) Generierung von W t basierend auf den optimierten Parametern: Excel-Beispiel: M17=NORM.INV(ZUFALLSZAHL(); 0; $E$8) Berechnung von dX t , basierend auf den simulierten Werten: Excel-Beispiel: P18=$E$7*($E$6-Q17)+$E$8*O18 Bestimmung der simulierten Zinssätze: Excel-Beispiel: Q17=D5+P17 66 COURSE 1: MARKTRISIKEN Vorgehensweise in Excel ■ Bestimmen Sie dX t in den Zellen D18: D1320, als die Differenz des aktuellen Zinssatzes und dem Zinssatz des Vortages D18=C18-C17. ■ Berechnen Sie den Term α μ − X t in den Zellen E18: E1320 anhand der Gleichung E18=$D$7*($D$6-C18). ■ Anschließend kann der Errorterm ε t aus dX t − α μ − X t F18=D18-E18 berechnet werden. Dies erfolgt in Spalte F. ■ Um die optimierten Parameterwerte zu finden, wird in Spalte H die Wahrscheinlichkeitsver‐ teilung des Errorterms bestimmt H18=NORM.VERT(F18; 0; $D$8; FALSCH). ■ Bilden Sie darauffolgend die Log-Likelihood I18=LN(H18) und berechnen Sie die Summe dieser Werte in Zelle J18=SUMME($I$18: $I$1320). ■ Nutzen Sie nun den Excel-Solver um die optimierten Werte der Parameter μ, α und σ zu finden. Wählen Sie dazu als Ziel die Summe der Log-Likelihood und maximieren Sie diesen Wert durch das Ändern der Variablenzellen E6: E8. ■ Ausgehend von den optimierten Werten können anschließend Zinssätze des 3M EURIBOR für eine Periode von 100 Tagen simuliert werden. Dazu wird zuerst W t als Zufallsvari‐ able mit einem Erwartungswert von 0 und der optimierten Standardverteilung generiert M17=NORM.INV(ZUFALLSZAHL(); 0; $E$8). Dies geschieht in den Zellen M17: M116. ■ Berechnen Sie in Spalte N das Differenzial von W t N18=M18-M17 und kumulieren Sie dieses O18=O17+N18. ■ In den Zellen P17: P116 kann dann anschließend dX t anhand der oben dargestellten Formel des Ornstein-Uhlenbeck Prozess berechnet werden P17=$E$7*($E$6-$D$5)+ $E$8*$O$17 und P18=$E$7*($E$6-Q17)+$E$8*O18. ■ Abschließend werden zukünftige Zinssätze des 3M EURIBOR simuliert Q17=D5+P17 und als Liniendiagramm dargestellt. Das Ergebnis ist ein möglicher Simulationspfad. ■ Zusätzlich kann in Zelle D10=$D$5*EXP(-$D$7*D9)+$D$6*(1-EXP(-$D$7*D9)) der Erwartungswert des 3M EURIBOR in 100 Tagen bestimmt werden. Course Unit 3: Modellierung von stochastischen Prozessen 67 Excel Ergebnisse Abbildung 30: Bestimmung der Parameter des Ornstein-Uhlenbeck Prozess 68 COURSE 1: MARKTRISIKEN Abbildung 31: Simulation eines möglichen Pfades der zukünftigen Zinssätze Abbildung 32: Simulierte Zinssätze für eine Periode von 100 Tagen Course Unit 3: Modellierung von stochastischen Prozessen 69 Vorgehensweise in Matlab ■ Importieren Sie die benötigten Daten. Daten = readmatrix('Matlab Daten.xlsx'); ThreeM_EURIBOR = Daten(: ,2); Datum = Daten(: ,1); EURIBOR = [Datum,ThreeM_EURIBOR]; Rendite = ThreeM_EURIBOR; ■ Definieren Sie die Anzahl der Perioden und Pfade für die spätere Simulation (zur Vereinfa‐ chung nutzen wir hier eine Diskretisierung). n = 100; % Anzahl der Perioden t = 20; % Anzahl der zu simulierten Pfade rng(1); % Zur Wiedererzeugung der simulierten Werte ■ Generieren Sie eine Matrix, bestehend aus Einsen und den importierten Renditen. Die Länge der Matrix bestimmt sich aus der Anzahl der Renditen - 1 (Grad der Freiheit). Regressoren = [ones(length(Rendite) - 1, 1) Rendite(1: end-1)]; ■ Nun können die Regressoren simuliert werden. Nutzen Sie hierfür die Funktion regress(Y,X). Verwenden Sie die Veränderung der Renditen diff() als Y-Wert und die Regressoren als X- Wert. Laden Sie das Ergebnis in eine Matrix bestehend aus Koeffizienten, Intervallen und Residuen. [Koeffizienten, Intervalle, Residuen] = regress(diff(Rendite), Regressoren); ■ Aus dieser Matrix können die Faktoren berechnen werden. Die Veränderung der Zeit soll 1 sein. dt = 1; % Zeitänderung=1 ■ Die Geschwindigkeit kann errechnet werden, indem man den Faktor dt entfernt analog zu α ⋅ μ ⋅ dt (hierfür muss man -Koeffizienten(2) durch dt teilen, da aber dt = 1 ist, kann dies weggelassen werden). Geschw = -Koeffizienten(2); % Estimierte Geschwindigkeit ■ Die Höhe kann errechnet werden, indem man -Koeffizienten(1) durch -Koeffizienten(2) teilt. 70 COURSE 1: MARKTRISIKEN Hoehe = -Koeffizienten(1)/ -Koeffizienten(2); % Estimierte Höhe ■ Das Sigma, welches hier den Errorterm repräsentiert, entspricht der Standardabweichung der Residuen. sigma = std(Residuen)/ sqrt(dt); % Estimierte Standardabweichung ■ Die berechneten Elemente können nun in ein Objekt geladen werden. In diesem Fall wählen wir ein Hull-White-Vasicek hmv() Objekt. Dieses Objekt ist Teil der Matlab „Financial Toolbox“ und muss zusätzlich heruntergeladen werden. Bitte folgen Sie hierfür der Matlab Dokumentation. obj = hwv(Geschw, Hoehe, sigma, 'StartState', Rendite(end)); ■ Wenn man das Objekt in das Command Window lädt, erhält man eine Übersicht des Modells und bekommt geeignete Simulationsmodelle vorgeschlagen: obj = Class HWV: Hull-White/ Vasicek ---------------------------------------- Dimensions: State = 1, Brownian = 1 ---------------------------------------- StartTime: 0 StartState: -0.543 Correlation: 1 Drift: drift rate function F(t,X(t)) Diffusion: diffusion rate function G(t,X(t)) Simulation: simulation method/ function simByEuler Sigma: 0.00505004 Level: -0.642526 Speed: 0.000781885 ■ Das Objekt schlägt uns die Simulationsmethode „simByEuler“ vor. Dementsprechend simu‐ lieren wir das Objekt mit dieser Methode und wandeln die resultierende 3D Matrix in eine 2D Matrix um. Stellen Sie zum Schluss das Ergebnis grafisch dar. [X,T] = simByEuler(obj,n,'nTrials', t); X =reshape(X,n+1,t); plot(X) title('Simulierter 3M EURIBOR Zinssatz'); ylabel('Zinssatz in %'); xlabel('Perioden n'); xlim([0 100]) Course Unit 3: Modellierung von stochastischen Prozessen 71 Matlab Ergebnisse Abbildung 33: Simulierte Zinssätze des 3M EURIBOR Weitere Modelle die ebenfalls als Objekt genutzt werden können: Brownian Motion (BM) Geometric Brownian Motion (GBM) Constant Elasticity of Variance (CEV) Cox-Ingersoll-Ross (CIR) Hull-White/ Vasicek (HWV) Heston Merton Bates Dabei können folgende Simulationsmethoden gewählt werden: ■ simulate = stark individualisierbare Simulationsmethode ■ simByEuler = Standard Euler Approximation ■ interpolate = Brownsche Brücke (Simulationen mit einem fixen Anfangs- und Endwert, für Anleihen sehr geeignet) 72 COURSE 1: MARKTRISIKEN Verweise auf das Excel- und Matlab-Tool Siehe Excel-Datei: Case Study Risikomanagement, Excel-Arbeitsblatt Vasicek Ornstein. Siehe Matlab-Skript: A10_Vasicek_Ornstein Course Unit 4: Herleitung von Risikokennzahlen mit Hilfe von Black-Scholes Assignment 11: Von der Geometrischen Brownschen Bewegung zu Black-Scholes Aufgabe Bestimmen Sie mit Hilfe der Black-Scholes-Formel den fairen Preis einer europäischen Call- Option mit einer Laufzeit von einem Jahr. Der aktuelle Preis der Aktie, die der Call-Option zu Grunde liegt, beträgt 2.976 USD. In den historischen Daten wurde eine tägliche Volatilität von 1,2% beobachtet. Als Ausübungspreis wurden 3.000 USD vertraglich vereinbart. Der EURIBOR liegt aktuell bei 0%. Inhalt Das Black-Scholes Modell ist ein finanzmathematisches Modell zur Optionspreisbewertung. Entwickelt wurde das Modell von den amerikanischen Wirtschaftswissenschaftlern Fischer Black, Robert C. Merton und Myron S. Scholes. Merton und Scholes erhielten für ihren Beitrag zur Bestimmung des Wertes einer Option im Jahr 1997 den Wirtschaftsnobelpreis. Fischer Black war zu diesem Zeitpunkt bereits verstorben und konnte den Preis nicht mehr entgegennehmen. Eine Option ist ein Kontrakt, der dem Käufer das Recht einräumt, einen Basistitel zu einem zukünftigen Termin zu einem festgesetzten Preis (Ausübungspreis / Strike price) zu kaufen bzw. zu verkaufen. Die Theorie im Black-Scholes Modell besagt, dass ein Anleger eine Option durch ein Portfolio aus einer Aktie und einem risikolosen Wertpapier nachbauen (replizieren) kann. Die Konstruktion eines solchen Portfolios ist nur möglich, wenn ein kontinuierlicher Handel und ein effizienter Markt ohne risikolose Arbitragemöglichkeiten angenommen werden. Dieser Zusammenhang kann als Heat Equation, auch bekannt als Wärmegleichung aus der Physik, modelliert werden. Die Lösung dieser Differentialgleichung ist die Black- Scholes-Formel für die Bewertung von europäischen Optionen. Course Unit 4: Herleitung von Risikokennzahlen mit Hilfe von Black-Scholes 73 (1.4.11.1) Die Inputvariablen im Black-Scholes Modell sind der aktuelle Aktienkurs, der risikofreie Zinssatz, die Volatilität, der Ausübungspreis und der Ausübungszeitpunkt der Option. Um die Black-Scholes Methode anwenden zu können, müssen folgende Annahmen getroffen werden: ■ Der Aktienpreis wird durch eine geometrische Brownsche Bewegung modelliert mit konstanten Drift und konstanter Volatilität ■ Es gibt keine Arbitragemöglichkeiten ■ Es besteht ein kontinuierlicher Handel ■ Es gibt einen risikofreien Zinssatz, der für die Laufzeit konstant ist ■ Es entstehen keine Transaktionskosten oder Steuern ■ Es gibt keine Dividendenzahlungen ■ Uneingeschränkte Leerverkaufsmöglichkeiten Das Black-Scholes Modell ist ein weit verbreitetes und eingesetztes finanzmathematisches Modell, wenn auch oft Anpassungen durchgeführt werden, die versuchen die Realität noch besser abzubilden. Wichtige Formeln Arbeitsmappe: Case Study Risikomanagement ➲ Arbeitsblatt: BlackScholes Bei einer Call-Option hat der Käufer das Recht, aber nicht die Pflicht, die Aktie zu einem bestimm‐ ten Ausübungspreis und Ausübungszeitpunkt zu kaufen. In unserem Beispiel liegt die Call-Option weit „aus dem Geld“, d.h. der Marktpreis der Aktie liegt weit unter dem Ausübungspreis der Call- Option. Der Käufer kann die Aktie günstiger als zum Ausübungspreis am Markt erwerben. Daher ist es nicht sehr wahrscheinlich, dass die Call-Option ausgeübt wird. Bei einer Put-Option hat der Käufer das Recht, aber nicht die Pflicht, die Aktie zu einem bestimmten Ausübungspreis und Ausübungszeitpunkt zu verkaufen. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Put-Option in unserem Fall ausgeübt wird, ist damit höher als die Wahrscheinlichkeit, dass die Call-Option ausgeübt wird. Daher ist der Put-Preis höher als der Call-Preis. Der Preis C der Call-Option zum Zeitpunkt t kann unter bestimmten Annahmen berechnet werden: C t = N d 1 ⋅ S t − N d 2 ⋅ K ⋅ e −r(T − t) S t = Aktienkurs zum aktuellen Zeitpunkt t K = Ausübungspreis (Strike) der Option r = Risikofreier Zinssatz T − t = Restlaufzeit der Option mit Gesamtlaufzeit T zum Zeitpunkt t N = Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung 74 COURSE 1: MARKTRISIKEN (1.4.11.2) (1.4.11.3) Der Preis der Call-Option C t zum Zeitpunkt t wird durch zwei separate Terme beschrieben. Der erste Teil der Formel, N d 1 S t ist der zu erwartende Wert, der beim Verkauf der Aktie zum Zeitpunkt der Fälligkeit der Call-Option erhalten wird. Der zweite Teil des Modelles, N d 2 K e −r(T − t) , gibt den Barwert der Zahlung des Ausübungspreises zum Ausübungszeitpunkt an, unter der Voraussetzung, dass die Option ausgeübt wird. N d 2 kann als die Wahrscheinlichkeit interpretiert werden, dass die Option ausgeübt wird. Der faire Marktwert der Kaufoption hängt also von der Differenz zwischen diesen beiden Ausdrücken ab. Der Wert d 1 ergibt sich aus folgender Gleichung: d 1 = ln S t K + r + σ 2 2 ⋅ T − t σ ⋅ T − t σ = Volatilität des zugrundeliegenden Vermögensgegenstands Excel-Beispiel: F4 = (LN(C4/ C5)+(C8+(C6^2)/ 2)*C7)/ (C6*WURZEL(C7)) Die Wahrscheinlichkeit, dass die Option ausgebübt wird, berechnet sich folgend: d 2 = d 1 − σ ⋅ T − t Excel-Beispiel: F5 = F4-C6*WURZEL(C7) Vorgehensweise in Excel ■ Definieren Sie zuerst die benötigten Annahmen zur Berechnung der Optionspreise. Den Preis des Underlying, den Strike Preis, die historische tägliche Volatilität, die Laufzeit in Jahren und den EURIBOR Zinssatz (den risikofreien Zinssatz) in den Zellen C4: C8. ■ Berechnen Sie anschließend d 1 in der Zelle F4 und d 2 in Zelle F5. ■ Im nächsten Schritt wird in Zelle F6 der kummulierte Wert der Normalverteilung an der Stelle d 1 mit NORM.VERT(F4; 0; 1; WAHR)bestimmt. ■ Der kummulierte Wert der Normalverteilung an der Stelle d 2 findet sich in F7=NORM.VERT(F5; 0; 1; WAHR). ■ Anschließend wird in Zelle F9 die entsprechenden Werte für N(d 1 ) und N(d 2 ) in die Black- Scholes-Formel eingesetzt: C4*F6-F7*C5*EXP(-C8*C7). Course Unit 4: Herleitung von Risikokennzahlen mit Hilfe von Black-Scholes 75 Excel Ergebnisse Abbildung 34: Berechnung des Call Preises anhand der Black-Scholes-Formel Vorgehensweise in Matlab ■ Importieren Sie die benötigten Daten und definieren Sie die Variablen S0, K, r, t, Sig. Daten = readmatrix('Matlab Daten.xlsx','Sheet','Black-Scholes'); S0 = Daten(1) % Preis des Underlyings in USD K = Daten(2) % Ausübungspreis in USD Sig = Daten(3) % Historische tägliche Volatilität r = Daten(4) % Risikofreier Zinssatz t = Daten(5) % Laufzeit in Jahren ■ Geben Sie anschließend die Formeln für d1 und d2 ein. d1 = ((log(S0/ K)+(r+((Sig^2)/ 2))*t)/ (Sig*sqrt(t))); d2 = d1-Sig*sqrt(t); ■ Bestimmen Sie den Preis der Call-Option mithilfe der Black-Scholes-Formel. CallPreis = S0.*normcdf(d1)-normcdf(d2).*K.*exp(-r*t) 76 COURSE 1: MARKTRISIKEN ■ Alternativ kann auch die Formel aus der Financial Toolbox verwendet werden. [Call,Put] = blsprice(S0,K,r,t,Sig) Des Weiteren ermöglicht Matlab das Wert/ Payout Profil einer Europäischen Option zu veran‐ schaulichen: ■ Dazu muss der Preis des Underlyings „S0“ im vorherigen Code durch einen Vektor ersetzt werden. Zum Beispiel: S0_range = [S0: K+(K-S0)]'; d1_range = ((log(S0_range/ K)+(r+((Sig^2)/ 2))*t)/ (Sig*sqrt(t))); d2_range = d1_range-Sig*sqrt(t); ■ Da die Assetpreise durch einen Vektor möglicher Werte beschrieben werden, muss in Matlab eine Elementmultiplikation durchgeführt werden. Diese wird durch den „.“ im Matlab Code eingegeben. CallPreis_range = S0_range.*normcdf(d1_range)-normcdf(d2_range).*K.*exp(-r*t); ■ Damit sind alle Preise für eine Call-Option abhängig vom Wert des Underlyings definiert. Definieren Sie nun die jeweiligen Auszahlungen zu den zugehörigen Zeitpunkten. Hierfür muss die Optionsprämie bekannt sein. Zur Vereinfachung nehmen wir hierfür 0,5 USD an. Optionspraemie = 0.5; ■ Demnach ist die Auszahlung „p“ der Call-Option definiert als: p = max (−0,5; S0 − K) In Matlab übersetzt ergibt sich: AuszahlungCall = max(-(Optionspraemie), S0_range-K-Optionspraemie); ■ Stellen Sie abschließend das Preis-/ Auszahlungsprofil im Vergleich graphisch dar. plot(CallPreis_range,'LineWidth',3) hold on plot(AuszahlungCall,'LineWidth',3) xlim([0 40]) ylim([-1 16]) title('Payout Profil Call-Option '); ylabel('Payout/ Optionspreis'); xlabel('Preis Underlying (2975USD (S0) + x)'); legend({'Call Preis' 'Auszahlung'},'FontSize',7,'Location','NorthWest'); hold off Course Unit 4: Herleitung von Risikokennzahlen mit Hilfe von Black-Scholes 77 Matlab Ergebnisse Abbildung 35: Preis eines Calls im Vergleich zu seiner Auszahlung Aus dieser Darstellung lassen sich einige Eigenschaften von Optionen ableiten. Die Begriffe eine Option ist „im Geld“ (engl: in the money), „am Geld“ (engl: at the money) und „aus dem Geld“ (engl: out of the money) werden dabei verwendet, um den Wert einer Option zu beschreiben. Liegt der Marktpreis der zugrundeliegenden Aktie über dem Ausübungspreis der Call-Option, wird der Käufer die Call-Option ausüben. Er macht damit einen Gewinn und man sagt die Option ist „im Geld“. Liegt der Marktpreis der zugrundeliegenden Aktie unter dem Ausübungspreis der Call-Option, wird der Käufer die Call-Option nicht ausüben, denn er kann die Aktie günstiger am Markt erwerben. Man sagt die Option ist „aus dem Geld“. Eine Option nennt man „am Geld“, wenn der Ausübungspreis dem Wert der Aktie entspricht. Verweise auf das Excel- und Matlab-Tool Siehe Excel-Datei Case Study Risikomanagement, Excel-Arbeitsblatt BlackScholes. Siehe Matlab-Skript: A11_12_BlackScholes_PutCallParitaet 78 COURSE 1: MARKTRISIKEN (1.4.12.1) (1.4.12.2) Assignment 12: Exkurs: Put-Call Parität Aufgabe Bestimmen Sie mit Hilfe der Put-Call Parität den fairen Preis einer europäischen Put-Option mit einer Laufzeit von einem Jahr. Die der Put-Option zu Grunde liegende Aktie entspricht der Aktie aus Assignment 11. Der EURIBOR liegt wie bisher angenommen bei 0%. Inhalt Die Put-Call Parität beschreibt den Zusammenhang zwischen dem Preis einer europäischen Call-Option und einer europäischen Put-Option. Daher kann der Preis einer Put-Option vom Preis einer Call-Option abgeleitet werden. Zu beachten ist dabei aber, dass beide Optionen dieselbe Fälligkeit, sowie denselben Ausübungs- und denselben Basispreis haben müssen. Die Preise der Put-Option und der Call-Option müssen die Gleichung der Put-Call Parität erfüllen, ansonsten besteht die Möglichkeit von Arbitrage. Wichtige Formeln Arbeitsmappe: Case Study Risikomanagement ➲ Arbeitsblatt: BlackScholes Der mathematische Zusammenhang zwischen einem Put und einem Call ist bekannt als Put-Call Parität und definiert als: C + K ⋅ e −r ⋅ T = P + S 0 S 0 = Aktienkurs zum Zeitpunkt 0 K = Ausübungspreis (Strike) der Option r = Risikofreier Zinssatz T = Gesamtlaufzeit der Option C = Preis der Call-Option P = Preis der Put-Option Somit kann der Put-Preis P berechnet werden durch: P = C + K ⋅ e −r ⋅ T − S 0 Excel-Beispiel: F13 = F9+(C5*EXP(-C8*C7))-C4 Course Unit 4: Herleitung von Risikokennzahlen mit Hilfe von Black-Scholes 79 Vorgehensweise in Excel ■ Berechnen Sie in Zelle F11 den Put-Preis F13=F9+C5*EXP(-C8*C7)-C4. Dieser sollte gleich dem bereits bestimmten Put-Preis, basierend auf der Black-Scholes-Formel, sein. Excel Ergebnisse Abbildung 36: Darstellung des Put-Preises Vorgehensweise in Matlab ■ Die Auszahlung eines Puts erfolgt analog zur Auszahlung einer Call-Option. AuszahlungPut = max(-(Optionspraemie), K-S0_range-Optionspraemie); ■ Ergänzen Sie diese Darstellung um einen Future. Future = K*exp(-r*t)-S0_range; ■ Abschließend kann die Put-Call Parität berechnet und grafisch dargestellt werden. plot(AuszahlungCall,'LineWidth',3) hold on plot(AuszahlungPut,'LineWidth',3) hold on plot(Future, '--','LineWidth',3) xlim([23.5 27.5]) ylim([-1.5 2.5]) 80 COURSE 1: MARKTRISIKEN title('Put-Call Parität'); ylabel('Payout Profil'); xlabel('Preis Underlying (2975USD (S0) + x)'); legend({'Auszahlung Call' 'Auszahlung Put' 'Future'},'FontSize',7,'Location','NorthWest'); hold off Matlab Ergebnisse Abbildung 37: Synthetische Replizierung einer Put-Option mithilfe eines Calls und eines Short Futures Verweise auf das Excel- und Matlab-Tool Siehe Excel-Datei Case Study Risikomanagement, Excel-Arbeitsblatt BlackScholes. Siehe Matlab-Skript: A11_12_BlackScholes_PutCallParitaet Course Unit 4: Herleitung von Risikokennzahlen mit Hilfe von Black-Scholes 81 Assignment 13: Risikokennzahlen: Die Griechen - Greeks Aufgabe Berechnen Sie „die Griechen“ der Call- und Put-Option aus Assignment 11. Interpretieren Sie die Ergebnisse. Inhalt Von hoher Bedeutung für das Risikomanagement sind die sogenannten „Greeks“. Sie be‐ schreiben, wie stark der Preis einer Option von den Inputfaktoren der Black-Scholes-Formel abhängt. Die wichtigsten Greeks heißen „Delta“, „Gamma“ „Vega“ „Theta“ und „Rho“. Die Risikokennzahl „Delta“ gibt an, wie stark sich der Preis der Option ändert, wenn sich der Basispreis um eine Währungseinheit ändert. Delta wird daher über die erste Ableitung der Black-Scholes-Formel nach dem Basispreis berechnet. Die Werte von Delta für Call-Optionen bewegen sich zwischen 0 und 1, für Put-Optionen zwischen 0 und -1. Ein Delta von 0 bedeutet, dass es keine Korrelation zwischen dem Optionspreis und dem Basispreis gibt, dagegen bedeutet 1 bzw. -1, dass sich der Optionspreis um eine Geldeinheit ändert, wenn sich der Basispreis um eine Geldeinheit ändert. „Gamma“ gibt an, wie stark sich das Delta ändert, wenn sich der Basispreis um eine Währungseinheit ändert. Gamma wird daher über die zweite Ableitung der Black-Scholes- Formel nach dem Basispreis berechnet. Die Risikokennzahl „Vega“ misst den Einfluss der Impliziten Volatilität auf den Optionspreis. „Theta“ beschreibt um wie viel sich der Optionspreis im Zeitverlauf verringert. „Rho“ gibt die Sensitivität des Optionspreises gegenüber einer Änderung des risikofreien Zinssatzes an. Wichtige Formeln Arbeitsmappe: Case Study Risikomanagement ➲ Arbeitsblatt: BlackScholes Delta: Das Delta ist die erste Ableitung der Black-Scholes-Formel nach dem Basispreis der Option. Es gibt an, wie stark sich der Preis einer Option verändert, wenn der Basispreis um eine Geldeinheit steigt / fällt. 82 COURSE 1: MARKTRISIKEN (1.4.13.1) (1.4.13.2) (1.4.13.3) (1.4.13.4) Es gilt für das Delta eines Calls C mit Aktienkurs S: Δ C = ∂C ∂S = N d 1 ≥ 0 und für das Delta eines Puts P: Δ P = ∂P ∂S = N d 1 − 1 ≥ 0 S = Aktienkurs N = Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung d 1 = Definition des Wertes siehe Assignment 11 Gamma: Das Gamma ist die zweite Ableitung nach dem Aktienkurs. Es ist der einzige „Greek zweiter Ordnung“, welches zu den klassischen Greeks gezählt wird. Es gilt für das Gamma eines Calls C und für das Gamma eines Puts P: Г C/ P = N ′ d 1 S 0 ⋅ σ ⋅ T ≥ 0 S 0 = Aktienkurs zu Beginn N ′ = Dichtefunktion der Standardnormalverteilung d 1 = Definition des Wertes siehe Assignment 11 σ = Volatilität T = Laufzeit der Option Vega: Ein weiter Einflussfaktor der Black-Scholes-Formel ist die Volatilität. Vega gibt die Stärke der Veränderung des Optionspreises bei Veränderung der Volatilität des Underlyings an. Es gilt für das Vega eines Calls C und für das Vega eines Puts P: V C/ P = S 0 ⋅ T ⋅ N ′ d 1 ≥ 0 S 0 = Aktienkurs zu Beginn N ′ = Dichtefunktion der Standardnormalverteilung d 1 = Definition des Wertes siehe Assignment 11 T = Laufzeit der Option Course Unit 4: Herleitung von Risikokennzahlen mit Hilfe von Black-Scholes 83 (1.4.13.5) (1.4.13.6) (1.4.13.7) (1.4.13.8) Theta: Das Theta gibt die Veränderung des Optionspreises im Zeitverlauf an. Dadurch, dass die Wahr‐ scheinlichkeit für starke Basispreisänderungen des Underlyings mit zunehmenden Zeitverlauf abnimmt, ist Theta stets negativ. Es gilt für das Theta eines Calls C: Θ C = ∂C ∂t = − S 0 N ′ d 1 σ 2 T − rK e −rT N d 2 und für das Theta eines Puts P: Θ P = ∂P ∂t = − S 0 N ′ d 1 σ 2 T + rK e −rT N − d 2 S 0 = Aktienkurs zu Beginn N ′ = Dichtefunktion der Standardnormalverteilung d 1 = Definition des Wertes siehe Assignment 11 σ = Volatilität T = Laufzeit der Option N = Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung d 2 = Definition des Wertes siehe Assignment 11 K = Ausübungspreis r = Zinssatz Rho: Rho repräsentiert den letzten Einflussfaktor auf die Black-Scholes-Formel, den Marktzinssatz. Es gibt die Optionspreissensitivität des Marktzinssatzes an, zeigt also, wie stark sich der Optionspreis mit steigenden/ sinkenden Marktzinssätzen verändert. Es gilt für das Rho eines Calls C: ρ c = ∂C ∂r = K T e −rT N d 2 und für das Rho eines Puts P: ρ P = ∂P ∂r = − K T e −rT N −d 2 T = Laufzeit der Option N = Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung d 2 = Definition des Wertes siehe Assignment 11 84 COURSE 1: MARKTRISIKEN K = Ausübungspreis r = Zinssatz Vorgehensweise in Excel ■ Bestimmen Sie zu Beginn die einzelnen Terme, die im Anschluss für die Berechnung aller Greeks verwendet werden können. ■ Berechnen Sie N d 1 in Zelle I4=NORM.VERT(F4; 0; 1; WAHR) und N d 2 in Zelle I5=NORM.VERT(F5; 0; 1; WAHR). ■ N −d 1 , N −d 2 und N ′ d 1 sollen anschließend anhand der Formeln I6=NORM.VERT((-F4); 0; 1; WAHR), I7=NORM.VERT((-F5); 0; 1; WAHR) und I8=NORM.VERT((-F4); 0; 1; FALSCH) bestimmt werden. ■ Kalkulieren Sie nun e −qT in Zelle L4=EXP(-L9*C7), S 0 e −qT in Zelle L5=C4*L4 sowie e −rT und K e −rT in den Zellen L6=EXP(-C8*C7) und L7=C5*L6. q repräsentiert die Dividendenrendite, welche in diesem Assignment gleich 0 angenommen wird. ■ Abschließend wird bestimmt L8=C6*WURZEL(C7). ■ Basierend auf den einzelnen Termen können nun die Greeks für eine Call- und Put-Option bestimmt werden. Das Delta einer Call-Option berechnet sich anhand I12=I4*L4 und das einer Put-Option mit L12=L4*(I4-1). ■ Gamma, Vega und Theta unterscheiden sich nicht für Call- und Put-Optionen. Gamma wird in Zelle I13 und L13=I8/ (C4*L8) berechnet. Vega in den Zellen I14 und L14 =(C4*WURZEL(C7)*I8) und Theta anhand von (-((C4*I8*C6)/ (2*WURZEL(C7)))-C8*L7*I5) in den zugehörigen Zellen I15 und L15. ■ Bestimmen Sie als letzten Greek das Rho einer Call-Option in Zelle I16 =C5*C7*L6*I5 und das einer Put-Option in L16 =-C5*C7*L6*I7. Course Unit 4: Herleitung von Risikokennzahlen mit Hilfe von Black-Scholes 85 Excel Ergebnisse Abbildung 38: Berechnung der Greeks in Excel Vorgehensweise in Matlab ■ Importieren Sie die grundlegenden Annahmen der Optionen. Daten = readmatrix('Matlab Daten.xlsx','Sheet','Black-Scholes'); S0 = Daten(: ,1) % Preis des Underlyings in USD K = Daten(: ,2) % Ausübungspreis in USD Sig = Daten(: ,3) % Historische tägliche Volatilität r = Daten(: ,4) % Risikofreier Zinssatz t = Daten(: ,5) % Laufzeit in Jahren ■ Berechnen Sie die Greeks der Optionen. [CallDelta, PutDelta] = blsdelta(S0,K,r,t,Sig) Gamma = blsgamma(S0,K,r,t,Sig) Vega = blsvega(S0,K,r,t,Sig) [CallTheta, PutTheta] = blstheta(S0,K,r,t,Sig) [CallRho, PutRho] = blsrho(S0,K,r,t,Sig) 86 COURSE 1: MARKTRISIKEN Matlab Ergebnisse Abbildung 39: Berechnung der Greeks in Matlab ■ Das Delta der Call-Option zeigt an, dass der Preis der Call-Option um 0,0091 USD ansteigt, wenn der Wert des Underlyings sich um einen USD erhöht. Im Gegensatz dazu fällt der Preis der Put-Option um 0,9909 USD. ■ Die Sensibilität des Deltas der Optionen auf eine Wertänderung des Underlyings spiegelt sich im Gamma wider. Pro einem USD Wertveränderung des Underlyings wird sich das Delta der Optionen um 0,0024 verändern. ■ Vega gibt die Sensibilität des Optionspreises zu einer Änderung der Volatilität an. Sollte die Volatilität um ein Prozent ansteigen, wird sich der Preis beider Optionen um 21,127 USD ändern. ■ Der Einfluss des Zeitverlaufs auf den Optionspreis wird durch Theta dargestellt. Pro vergangene Zeiteinheit reduziert sich der Preis beider Optionstypen um 1,5211 USD. ■ Die Optionspreissensitivität des Marktzinssatzes spiegelt sich in Rho wider. Bei steigenden Marktzinsen von einem Prozent wird der Preis der Call-Option um 2,2594 USD steigen und die Put-Option um den entsprechenden Betrag fallen. Verweise auf das Excel- und Matlab-Tool Siehe Excel-Datei Case Study Risikomanagement, Excel-Arbeitsblatt BlackScholes. Siehe Matlab-Skript: A13_Greeks Course Unit 4: Herleitung von Risikokennzahlen mit Hilfe von Black-Scholes 87 Assignment 14: Implizite Volatilität - ein zentraler Werttreiber in Black-Scholes Aufgabe Bestimmen Sie mit Hilfe der Black-Scholes-Formel die Implizite Volatilität des MSCI World. Inhalt Im vorherigen Assignment haben Sie eine Volatilität angenommen. Meist basiert diese Volatilität auf einem Durchschnittswert der Historie. Für eine Zukunftsbetrachtung ist diese „historische“ Volatilität nur bedingt geeignet. Deswegen verwendet man hierfür meist die Implizite Volatilität. Die Implizite Volatilität ist die vom Markt angenommene Volatilität. Sie wird Implizite Volatilität genannt, da sie die von Optionspreisen implizierte Volatilität beschreibt. Die Berechnung der Impliziten Volatilität ist relativ einfach. In der Praxis sind die Laufzeit, der Markzinssatz, der Ausübungspreis, der Preis des Underlyings sowie der Preis eines bör‐ sengehandelten Calls bekannt. Folglich ist nach der Black-Scholes-Formel nur eine Variable unbekannt: die Volatilität. Wird die Black-Scholes-Formel nach der Volatilität umgestellt, ergibt sich dementsprechend die Implizite Volatilität. Vorgehensweise in Excel Arbeitsmappe: Case Study Risikomanagement ➲ Arbeitsblatt: Implizite Volatilität ■ Nehmen Sie in Zelle C6 die historische Volatilität von 1,2% an, die bereits im vorherigen Assignment genutzt wurde. Diese wird als Ausgangswert genutzt und in den nächsten Schritten durch eine Zielwertanalyse optimiert. ■ Um die Implizite tägliche Volatilität zu berechnen, die vom Markt angenommen wird, soll eine „Zielwertsuche“ in Excel angewendet werden. Sie finden diese im Reiter „Daten“, „Prognose“ als Unterpunkt der „Was-wäre-wenn-Analyse“. 88 COURSE 1: MARKTRISIKEN ■ Die Zielwertsuche bestimmt die vom Markt angenommene Volatilität, welche eingesetzt in die Black-Scholes-Formel den aktuellen Preis einer am Markt gehandelten Call-Option ergibt. ■ Geben Sie als Zielzelle F9, den bestimmen Preis der Call-Option an. Dieser soll durch Änderungen der Volatilität C6 auf den Zielwert von 2,01 USD gebracht werden. ■ Das Durchführen der Zielwertsuche ergibt einen berechneten Preis der Call-Option von 2,01 USD, welcher sich mit dem aktuellen Marktpreis deckt. Die hierfür angenommene Implizite Volatilität beträgt 2,82%. Excel Ergebnisse Abbildung 40: Darstellung der impliziten Volatilität und der zugehörigen Call-Preise Course Unit 4: Herleitung von Risikokennzahlen mit Hilfe von Black-Scholes 89 Vorgehensweise in Matlab ■ Importieren Sie die grundlegenden Annahmen der Option. Daten = readmatrix('Matlab Daten.xlsx','Sheet','Black-Scholes'); S0 = Daten(: ,1) % Preis des Underlyings in USD K = Daten(: ,2) % Ausübungspreis in USD r = Daten(4) % Risikofreier Zinssatz t = Daten(5) % Laufzeit in Jahren CallPreis = Daten(8) % Marktpreis einer Call-Option auf oben genanntes Underlying ■ In Matlab lässt sich die Implizite Volatilität durch die Funktion blsimpv() berechnen. Geben Sie die Basisdaten ein. Implizite_Vola = blsimpv(S0,K,r,t,CallPreis) ■ Es ergibt sich eine Implizite Volatilität von 2,82%. Verweise auf das Excel- und Matlab-Tool Siehe Excel-Datei Case Study Risikomanagement, Excel-Arbeitsblatt Implizite Volatilität. Siehe Matlab-Skript: A14_Implizite_Vola Assignment 15: Volatility-Smile/ -Surface Aufgabe Erstellen Sie einen Volatility-Smile/ -Surface des MSCI World. Inhalt Die Berechnungsmethode der impliziten Volatilität führt dazu, dass die implizite Volatilität über alle Laufzeiten und Ausübungspreise konstant ist. Das ist aber in der Praxis selten der Fall. Seit dem Börsencrash von 1987 lässt sich auf Aktienoptionsmärkten ein Phänomen beobachten, das man zuvor nur aus FX-Optionsmärkten kannte: der Volatility-Smile (zu Deutsch „Lächeln“). Der Begriff kommt daher, dass die implizite Volatilität als Funktion in 90 COURSE 1: MARKTRISIKEN Abhängigkeit vom Ausübungspreis einen „U“-förmigen Kurvenverlauf ergibt, der an einen lächelnden Mund erinnert. Die Erklärungsversuche sind dabei vielfältig: Verhaltensökonomen argumentieren, dass „Ausdem-Geld-Optionen“ eine günstige Absicherungsmethode für extrem optimistische/ pessi‐ mistische Anleger sind und diese somit auf Ausschläge stärker reagieren (Shefrin 2008). Vertreter der Markteffizienzhypothese lehnen dies ab. Merton bspw. argumentiert, dass die Annahmen des Black-Scholes-Modells zu vereinfachend seien, insbesondere der Annahmen des zugrundeliegenden Wiener-Prozesses. Würde man den logarithmischen Verlauf durch ein Jump-Modell für starke Ausschläge ersetzen, könne man den Volatility-Smile erklären (Merton 1976). Volatility-Smiles lassen sich auch um die Dimension der Laufzeiten erweitern. Eine solche Darstellung nennt sich Volatility-Surface (zu Deutsch „Oberfläche“). Damit kann ein vom Markt antizipierter Anstieg oder ein Abflachen der Volatilitäten erkannt werden. Dabei werden die Volatility-Smiles verschiedener Laufzeiten hintereinander abgetragen und digital zu einer Fläche verbunden. Arbeitsmappe: Case Study Risikomanagement ➲ Arbeitsblatt: Volatility- Smile&-Surface Vorgehensweise in Excel ■ Beziehen Sie sich auf den Bloomberg-Datensatz in den Zellen B4: L26. Course Unit 4: Herleitung von Risikokennzahlen mit Hilfe von Black-Scholes 91 Abbildung 41: Implizite Volatilität über mehrere Ausübungspreise zu verschiedenen Ausübungsterminen; Daten: Bloomberg, erhalten am: 20.07.2021 92 COURSE 1: MARKTRISIKEN ■ Um den Volatility-Smile der Option mit Ausübungstermin am 23.08.21 zu erhalten müs‐ sen die entsprechenden Zellen D6: L6 markiert und unter Einfügen > Diagramme > Empfohlene Diagramme das Liniendiagramm ausgewählt und mit OK bestätigt werden. Anschließend kann noch die Beschriftung und die Überschrift anpasst werden. ■ Um die Volatility-Surface zu erhalten, markieren Sie zunächst die gesamte Tabellenfläche D6: L26. ■ Klicken Sie danach auf Einfügen > Diagramme > Alle Diagramme und wählen die 3D Oberfläche. ■ Excel gibt das Diagramm mit den Datenreihen als Z-Achse an. Üblicherweise werden Volatility-Surfaces mit dem ersten Smile vorne dargestellt. Daher müssen die Daten noch invertiert werden. Wählen Sie hierfür mit Rechtsklick, auf der Zeichenoberfläche > Daten auswählen > Zeile/ Spalte tauschen, aus. Hier kann ebenfalls die Beschriftung der Horizontalen Achse mit Bearbeiten, angepasst werden. Bestätigen Sie anschließend mit OK. Excel Ergebnisse Abbildung 42: Darstellung eines Impliziten Volatility-Smiles Course Unit 4: Herleitung von Risikokennzahlen mit Hilfe von Black-Scholes 93 Abbildung 43: Darstellung der Impliziten Volatility-Surface Vorgehensweise in Matlab Analog lässt sich der Volatility-Smile in Matlab umsetzen. ■ Laden Sie denselben Datensatz per Drag & Drop in den Workspace Bereich. Anschließend öffnet sich das Import Fenster. Markieren Sie den Datenbereich (siehe Abbildung) und wählen Sie als Output Type „Numeric Matrix“ aus. Bestätigen Sie dies mit „Import Selection“. 94 COURSE 1: MARKTRISIKEN Abbildung 44: Import Impliziter Volatilitäten in Matlab ■ Alternativ dazu kann der Datensatz auch per Code, ähnlich zu vorherigen Assignments importiert werden. Daten = readmatrix('Matlab Daten.xlsx','Sheet','Vola-Smile','RANGE','B4: J24'); ■ Wählen Sie nun die erste Zeile der Matrix aus und stellen Sie diese grafisch mit der plot- Funktion dar. Smile = Daten(1,: ); plot(Smile,'LineWidth',3) title('Volatility-Smile'); ylabel('Optionspreis'); xlabel('Volatilität'); xticklabels({'80.0%','90.0%','95.0%','97.5%','100.0%','102.5%','105.0%','110.0%','120.0%'}) legend('Implizite Volatilität','FontSize',7,'Location','NorthEast'); Course Unit 4: Herleitung von Risikokennzahlen mit Hilfe von Black-Scholes 95 ■ Die Darstellung der Volatility-Surface erfolgt in Matlab mit der surf(X,Y,Z) Funktion. Hierfür müssen zunächst die Daten vorbereiten werden. Erstellen Sie den Hilfsvektor T, der die Anzahl der Perioden darstellt und gleich lang wie der Datensatz sein soll, sowie einen Hilfsvektor D, mit der Länge der ersten Zeile des Datensatzes. T = 1: length(Daten); D = 1: length(Daten(1,: )); ■ Anschließend werden die Daten der Impliziten Volatilitäten in Z geladen. Z = Daten'; ■ Mit der Funktion meshgrid kann das Koordinatensystem vorbereitet werden. [X,Y] = meshgrid(T,D); ■ Stellen Sie abschließend die Fläche als surf() dar. S = surf(X,flip(Y),Z); direction = [0 0 1]; rotate(S,direction,0); zlim([0 40]) ylim([1 9]) yticks(1: 9) xticks(0: 2: 21) yticklabels({'120.0%','110.0%','105.0%','102.5%','100.0%','97.5%','95.0%','90.0%','80.0%'}) xticklabels({'23 Aug 2021','18 Oct 2021','21 Mar 2022','19 Sep 2022','20 Mar 2023','18 Sep 2023','24 Jun 2024','22 Dec 2025','31 Dec 2026','31 Dec 2028','31 Dec 2030'}) title('Volatility-Surface'); 96 COURSE 1: MARKTRISIKEN Matlab Ergebnisse Abbildung 45: Darstellung des Volatility-Smiles in Matlab Abbildung 46: Darstellung der Volatility-Surface in Matlab Course Unit 4: Herleitung von Risikokennzahlen mit Hilfe von Black-Scholes 97 Verweise auf das Excel- und Matlab-Tool Siehe Excel-Datei Case Study Risikomanagement, Excel-Arbeitsblatt Volatility- Smile&-Surface. Siehe Matlab-Skript: A15_Smile_Surface 98 COURSE 1: MARKTRISIKEN COURSE 2: KREDITRISIKEN Kreditrisiken beschreiben mögliche Wertverluste, die aus einer Verschlechterung der Bonität eines Schuldners, bis hin zu dessen Zahlungsunfähigkeit entstehen. Ein Risikoparameter für die Messung von Kreditrisiken ist die Ausfallwahrscheinlichkeit (Probability of Default (Abkürzung PD)). Diese beschreibt die Wahrscheinlichkeit eines Ausfalls innerhalb eines bestimmten Zeitraums (häufig innerhalb eines Jahres). Die Konvention besagt, dass eine Schuldverpflichtung als ausgefallen gilt, wenn der Schuldner mehr als 90 Tage mit der Kreditverpflichtung in Verzug ist und es unwahrscheinlich ist, dass der Schuldner die Schulden zurückzahlen wird. Zur Bestimmung von Ausfallwahrscheinlichkeiten gibt es verschiedene Ansätze. Ein Ansatz basiert auf externen und internen Ratings (vgl. Assignment 16), andere Ansätze basieren auf Merton‘s Modell, einem der bekanntesten Modelle in der Kreditrisikomodellierung (vgl. Assignment 17). Assignment 16: Rating-Migrationsmatrizen Aufgabe Bestimmen Sie die Rating-Migrationsmatrix nach 2 und nach 5 Jahren auf Basis der von Moody’s veröffentlichten Rating-Migrationsmatrix für ein Jahr. Abbildung 47: Rating-Migrationsmatrix nach Moody's (1970-2016) Inhalt Eine beliebte Darstellungsart für die Ausfallwahrscheinlichkeit in der Praxis ist ein Rating. Ratingagenturen berechnen unter anderem anhand von Bilanzkennzahlen, Finanzmarktdaten und Expertenmeinungen die Ausfallwahrscheinlichkeit eines Unternehmens. Die Ergebnisse werden in einer Matrix dargestellt, der sogenannten Rating-Migrationsmatrix. In der Rating-Migrationsmatrix wird in der Zeile das Rating zum Jahresbeginn dargestellt, während die Spalte das Rating zum Jahresende aufführt. Die Rating-Migrationsmatrix kann beispielhaft wie folgt gelesen werden: Ein Unternehmen, das aktuell ein Aaa-Rating besitzt, wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 90,94% sein Rating halten können, kann aber auch mit einer Wahrscheinlichkeit von 8,36% auf Aa abrutschen. Basierend auf einer Rating-Migrati‐ onsmatrix lassen sich auch zukünftige Ratings ableiten. Soll zum Beispiel bestimmt werden, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein Unternehmen mit Aaa-Rating nach 2 Jahren immer noch ein Aaa-Rating hat, so muss die Wahrscheinlichkeit einer Ratingverschlechterung (rot) mit der Wahrscheinlichkeit einer Rückanpassung auf ein Aaa-Rating (blau) multipliziert werden. Das bedeutet, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 90,94%⋅90,94% = 82,7% das Rating auch nach 2 Jahren bei Aaa bleibt. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 8,36% geht ein Aaa-Rating nach einem Jahr in ein Aa-Rating über. Die Wahrscheinlichkeit, nach einem weiteren Jahr wieder ein Aaa-Rating zu bekommen, beträgt 0,87%. Insgesamt beträgt die Wahrscheinlichkeit, von Aaa nach Aa und wieder zurück zu Aaa zu kommen, 8,36%⋅0,87% = 0,07%. Die Matrizenmultiplikation kann daher verwendet werden, um das Rating nach mehreren Jahren zu berechnen. Abbildung 48: Ratingmigrationsmatrix Wichtige Formeln Arbeitsmappe: Case Study Risikomanagement ➲ Arbeitsblatt: Rating- Migrationsmatrix Aus dieser Vorgehensweise kann abgeleitet werden, dass der Vektor der Zeile Aaa mit dem Vektor der Spalte Aaa multipliziert werden muss. Um die Werte für die weiteren Ratings zu erhalten, muss dieser Vorgang für das jeweilige Rating wiederholt werden. Folglich ist die Rating- Migrationsmatrix M n nach n-Jahren eine n-fache Multiplikation der Rating-Migrationsmatrix nach einem Jahr M 1 : 100 COURSE 2: KREDITRISIKEN (2.1.16.1) M n = M 1n n = Anzahl der Jahre M 1 = Rating-Migrationsmatrix nach einem Jahr Excel-Beispiel: C20 = MMULT(C6: K14; C6: K14) Vorgehensweise in Excel ■ Beziehen Sie sich auf die Rating-Migrationsmatrix in den Zellen B4: K14. ■ Geben Sie die Matrizenmultiplikation mit der Funktion MMULT ein: C20=MMULT(C6: K14; C6: K14) und bestätigt dies mit der Tastenkombination STRG+Shift+Enter. ■ Eine Potenzierung von Matrizen ist in Excel nicht umsetzbar. Daher muss sich bei längeren Laufzeiten mit einer Verlängerung der MMULT-Funktion beholfen werden. Um die Rating-Migrationsmatrix nach 5 Jahren in Excel darzustellen muss C34=MMULT(C6: K14; MMULT(C6: K14; MMULT(C6: K14; MMULT(C6: K14; C6: K14)))) eingeben und mit der Tastenkombination STRG+Shift+Enter bestätigt werden. Excel Ergebnisse Abbildung 49: Moody’s Rating-Migrationsmatrix nach zwei Jahren COURSE 2: KREDITRISIKEN 101 Abbildung 50: Moody’s Rating-Migrationsmatrix nach fünf Jahren Vorgehensweise in Matlab ■ Importieren Sie zuerst die Daten der Rating-Migrationsmatrix in Matlab. Öffnen Sie hierzu die Excel Datei „Matlab Daten“ und ziehen Sie die Rating-Migrationsmatrix per Drag and Drop in den „Workspace“ Bereich. ■ Es öffnet sich automatisch das Import Fenster. Um die Daten als Matrix verwenden zu können, markieren Sie die Zeilen mit numerischen Werten und wählen als „Outputtype“ „Numeric Matrix“ aus. Anschließend bestätigen Sie dies mit „Import Selection“. ■ Alternativ dazu kann der Datensatz auch per Code importiert werden. Matrix = readmatrix('Matlab Daten.xlsx','Sheet','Rating','RANGE','C6: K14') ■ Um die Rating-Migrationsmatrix M2 nach 2 Jahren zu erhalten, multiplizieren Sie M mit sich selbst. Geben Sie hierfür in den Editor ein: M2 = Matrix*Matrix ■ Da Matlab eine Matrizensprache ist, können Matrizen potenziert werden. Um die Rating- Migrationsmatrix M5 nach 5 Jahren zu erhalten, benötigt man die 5te Potenz von M. Geben Sie hierfür in den Editor ein: M5 = Matrix^5 102 COURSE 2: KREDITRISIKEN Matlab Ergebnisse Abbildung 51: Berechnete Rating-Migrationsmatrix nach fünf Jahren Aus der erhaltenen Rating-Migrationsmatrix kann abgelesen werden, dass ein Unternehmen mit einem ursprünglichen Aaa-Rating zu 62,75% (Zelle (1,1)) nach fünf Jahren auch weiterhin ein Aaa- Rating aufweisen wird. Ebenfalls liegt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Unternehmen mit einem ursprünglichen Rating von Ca-C nach fünf Jahren insolvent sein wird, bei 72,82% (Zelle (8,9)). Verweise auf das Excel- und Matlab-Tool Siehe Excel-Datei Case Study Risikomanagement, Excel-Arbeitsblatt Rating- Migrationsmatrix. Siehe Matlab-Skript: A16_Rating Assignment 17: Mertons Modell Aufgabe Berechnen Sie die Ausfallwahrscheinlichkeit eines Unternehmens, dessen Eigenkapital 3 Millio‐ nen USD beträgt. Die Volatilität des Eigenkapitals liegt bei 80%. Die Verbindlichkeiten des Unternehmens in Höhe von 10 Millionen USD werden in genau einem Jahr fällig. Nehmen Sie hierfür einen risikofreien Zinssatz von 5% an. COURSE 2: KREDITRISIKEN 103 (2.1.17.1) (2.1.17.2) Inhalt Mertons Modell ist eines der zentralen Risikomanagementmodelle im Banken- und Versiche‐ rungsbereich. Es wird verwendet, um die Ausfallwahrscheinlichkeit eines Unternehmens zu berechnen. Robert C. Merton entwickelte im Jahr 1974 zur Bewertung des Kreditrisikos eines Unternehmens die Idee, das Eigenkapital des Unternehmens als eine Call-Option auf dessen Vermögenswerte zu modellieren. Er nahm dabei an, dass die Aktiva des Unternehmens aus einem börsennotierten Wertpapier bestehen. Die Entwicklung des Wertpapiers wird mit der geometrischen Brownschen Bewegung modelliert. Darüber hinaus hat das Unternehmen Verbindlichkeiten. Ist zum Fälligkeitszeitpunkt der Verbindlichkeiten der Wert der Aktiva niedriger als die zu bedienenden Kredite, so ist das Unternehmen insolvent. Wichtige Formeln Wie bereits in Assignment 9 besprochen, kann die Veränderung des Werts der Aktiva eines Unternehmens S t mit einer geometrisch Brownschen Bewegung beschrieben werden. dS t = S t ⋅ μ S ⋅ dt + σ S ⋅ dW t , S o > 0 dS t = Wertänderung der Aktiva des Unternehmens im Zeitraum dt dW t = Änderung des Wiener Prozesses im Zeitraum dt μ S = durchschnittliche, konstante Rendite des Unternehmens σ S = durchschnittliche, konstante (Implizite) Volatilität des Unternehmens S o = Wert der Aktiva des Unternehmens zum Zeitpunkt 0 Um Mertons Modell anwenden zu können, wendet man einen Trick an: Man nimmt an, dass sich der Wert eines Unternehmens S t zum Zeitpunkt t aus dem Wert des Eigenkapitals E t und des Fremdkapitals B t zusammensetzt. S t = E t + B t , 0 ≤ t ≤ T S t = Wert der Aktiva des Unternehmens zum Zeitpunkt t E t = Wert des Eigenkapitals zum Zeitpunkt t B t = Wert des Fremdkapitals zum Zeitpunkt t Es wird angenommen, dass sowohl E t als auch B t friktionslose, handelbare Wertpapiere sind. Außerdem nimmt man an, dass das Unternehmen während des Betrachtungszeitraums keine Dividenden auszahlt und keine neuen Schulden aufnimmt. 104 COURSE 2: KREDITRISIKEN (2.1.17.3) (2.1.17.4) (2.1.17.5) (2.1.17.6) Der Wert des Fremdkapitals B t zum Zeitpunkt t wird dargestellt als eine Anleihe, mit dem Nennwert K, welche zum Zeitpunkt T fällig wird. Der Nennwert K entspricht der Höhe der Verbindlichkeiten des Unternehmens. Zum Rückzahlungszeitpunkt T können folgende Szenarien auftreten: ■ S T > K d.h. zur Fälligkeit T ist der Gesamtwert der Aktiva des Unternehmens größer als die Schulden in Höhe des Nennwerts K. In diesem Fall kann das Unternehmen den Schuldner bedienen. Der Restwert fließt an die Eigenkapitalgeber. Also B T = K und E T = S T − K . ■ S T < K d.h. der Gesamtwert der Aktiva des Unternehmens ist kleiner als die Höhe der Schulden. Folglich kann das Unternehmen seine Schulden nicht bedienen und ist zum Zeitpunkt T zahlungsunfähig. Somit ist auch der Wert des Eigenkapitals gleich 0. Also B T = S T und E T = 0. Die mathematische Darstellung dieser Gleichungen ist: E T = max S T − K , 0 = S T − K + B T = min S T , K = K − K − S T + Der Wert des Eigenkapitals eines Unternehmens kann daher als europäische Call-Option auf den Unternehmenswert, mit dem Ausübungspreis in Höhe der Rückzahlung dargestellt werden. Der Wert des Fremdkapitals ist die Rückzahlung abzüglich einer europäischen Put-Option auf den Wert des Unternehmens mit einem Ausübungspreis in Höhe der Rückzahlung. Daher kann die Methode der Black-Scholes-Formel verwendet werden, um den heutigen Preis des Eigenkapitals zu bestimmen (Gleichung I): E 0 = S 0 ⋅ N d 1 − K e −rT ⋅ N d 2 E o = Wert des Eigenkapitals zum Zeitpunkt 0 S o = Wert der Aktiva des Unternehmens zum Zeitpunkt 0 N d 1 = Wert der Standardnormalverteilung an der Stelle d 1 K = Höhe der Verbindlichkeiten mit Fälligkeit zum Zeitpunkt T T = Fälligkeit N d 2 = Wert der Standardnormalverteilung an der Stelle d 2 mit d 1 = log S 0 K + r + σ S2 2 T σ S ⋅ T COURSE 2: KREDITRISIKEN 105 (2.1.17.7) (2.1.17.8) (2.1.17.9) (2.1.17.10) (2.1.17.11) (2.1.17.12) und d 2 = d 1 − σ S T Die Ausfallwahrscheinlichkeit ist durch N −d 2 gegeben, wenn µ S = r, da: P S t < K = N log K S 0 − r − σ S2 2 T σ S ⋅ T = N − d 2 und −d 2 = − log S 0 K − r + σ s2 2 T + σ s2 T σ S ⋅ T = log K S 0 − r − σ s2 2 T σ s ⋅ T Im Einklang mit der ökonomischen Interpretation gilt für die Ausfallwahrscheinlichkeit N d 2 , dass diese: ■ mit zunehmender Höhe der Zahlungsverpflichtungen K zunimmt, ■ mit zunehmender Volatilität σ s und zunehmender Laufzeit T abnimmt, ■ mit zunehmendem Anfangswert des Unternehmens S 0 abnimmt, sofern der Anfangswert höher ist als der Wert der Verbindlichkeiten, S 0 > K . Da in der Praxis sowohl der Wert des Unternehmens S 0 als auch die Standardabweichung von S 0 , σ S unbekannt sind, müssen diese berechnet werden. Dafür behilft man sich mit Ito’s Lemma und erhält (Gleichung II): E 0 σ E = σ S ⋅ N d 1 ⋅ S 0 Dies ergibt zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Die Gleichung (2.1.17.5) nach Null aufgelöst, bezeichnen wir als Funktion F S 0 , σ s mit: F S 0 , σ s = S 0 ⋅ N d 1 − K ⋅ e −rT ⋅ N d 2 − E 0 = 0 Die Gleichung (2.1.17.10) nach Null aufgelöst, bezeichnen wir als Funktion G S 0 , σ S mit: G S 0 , σ S = σ S σ E ⋅ N d 1 ⋅ S 0 − E 0 = 0 106 COURSE 2: KREDITRISIKEN (2.1.17.13) Die Lösung dieser zwei Gleichungen mit den zwei Unbekannten S 0 und σ s ist analytisch nicht möglich. Daher wird die Methode der kleinsten Quadrate als Näherungsmethode für die Lösung verwendet. Hierfür muss das folgende Minimierungsproblem gelöst werden: min F S 0 , σ S 2 + G S 0 , σ S 2 Vorgehensweise in Matlab Schritt 1: Definition der Funktion „Merton“ ■ Im ersten Schritt wird mit dem Kommando „function“ eine Matlab Funktion definiert, welche abhängig vom Vektor „x0“ ist. Nennen Sie diese „Merton“. Matlab soll anhand der Funktion die Gleichung F 2 + G 2 berechnen. In einem späteren Schritt soll diese Funktion dann minimiert werden. function [min] = Merton (x0); global E0; global SigmaE; global r; global T; global K; S0=x0(: ,1); SigmaS=x0(: ,2); ■ An Matlab werden die Formeln für d 1 , d 2 , F und G übergeben, siehe obige Gleichungen. d1 =(log(S0/ K)+(r+((SigmaS^2)/ 2))/ (SigmaS*sqrt(T))); d2 = d1 - SigmaS*sqrt(T); F = S0*normcdf(d1)-K*(exp(-r*T))*normcdf(d2)-E0; G = (SigmaS/ SigmaE)*normcdf(d1)*S0-E0; ■ Für die Methode der kleinsten Quadrate muss die Funktion F 2 + G 2 später minimiert werden. Hier wird aber zunächst nur F 2 + G 2 berechnet. Anschließend kann die Eingabe der Funktion mit „end“ beendet werden. min = F^2+G^2; end COURSE 2: KREDITRISIKEN 107 ■ Die Funktion muss nun unter dem Namen „Merton“ in demselben Ordner wie der anschlie‐ ßende Code gespeichert werden. Schritt 2: Übergabe der vorhandenen Information an Matlab ■ Öffnen Sie ein weiteres Editorfeld. Zunächst definiert man die Input Variablen „E0“, „SigmaE“, „r“, „T“ und „K“ als „global“. Die Bezeichnung „global“ wird benötigt, da die Variablen nicht nur im Hauptprogramm bekannt sein müssen, sondern auch in der aufgerufenen Funktion „Merton“. global E0; global SigmaE; global r; global T; global K; ■ Anschließend wird den Variablen „E0“, „SigmaE“, „r“, „T“ und „K“ einen numerischen Wert zugeordnet. In diesem Fall ist „E0“ =3; „SigmaE“ = 0,5; „r“=0,05; „T“=1 und „K“=10. E0 = 3; SigmaE = 0.5; r = 0.05; T = 1; K = 10; ■ Den Variablen „S0“ und „SigmaS“ muss ebenfalls einen Startwert für die Optimierung zugeordnet werden. Dies ist nicht der finale Wert der Optimierung. Starten Sie mit „S0“ =13 und „SigmaS“ =0,5. S0 = 13; SigmaS = 0.5; Schritt 3: Berechnung ■ Abschließend muss die Funktion mit „fun=@Merton“ aufgerufen werden. Danach wird an den Vektor „x0“ die Werte von „S0“ und „SigmaS“ übergeben. Die Funktion kann nun mit dem Kommando „fminsearch“ minimiert werden und erhält unter „fun“ die dazugehörigen Werte von „S0“ und „SigmaS“. fun = @Merton; x0 = [S0 SigmaS]; fun = fminsearch(fun,x0); 108 COURSE 2: KREDITRISIKEN ■ Mit den erhaltenen Werten lässt sich nun eine Ausfallwahrscheinlichkeit berechnen. Lesen Sie hierzu die Werte von „S0“ und „SigmaS“ aus „fun“ aus. S0 = fun(: ,1); SigmaS = fun(: ,2); ■ Abschließend wird d2 basierend auf den vorher bestimmten Werten, gemäß Gleichung 2.1.17.7 berechnet und anschließend benutzt, um die Ausfallwahrscheinlichkeit zu berechnen. d1 = (log(S0/ K)+(r+((SigmaS^2)/ 2)*T)/ (SigmaS*sqrt(T))); d2 = d1 - SigmaS*sqrt(T); Ausfallwahrscheinlichkeit = normcdf((log(K/ S0)-(r-((SigmaS^2)/ 2)*T))/ SigmaS*sqrt(T)) Matlab Ergebnisse Abbildung 52: Die berechnete Ausfallwahrscheinlichkeit Verweise auf das Excel- und Matlab-Tool Siehe Matlab-Skript: A17_Merton Assignment 18: Vasicek Modell - Berechnung der Worst Caste Default Rate Aufgabe Die Ausfallwahrscheinlichkeiten (Probability of default = PD) der einzelnen Kredite beträgt durchschnittlich 1%. Alle Kredite im Portfolio haben untereinander die gleiche Korrelation. Berechnen Sie die "Worst-Case-Ausfallrate“ zum Konfidenzniveau 99% und nehmen Sie dabei einmal eine starke Korrelation von 0,5 und einmal eine etwas schwächere Korrelation von 0,15 an. Beachten Sie, dass die Korrelation Werte zwischen -1 und 1 annehmen kann. COURSE 2: KREDITRISIKEN 109 (2.1.18.1) Inhalt Die Worst Case Default Rate WCDR(α) ist der Anteil innerhalb eines Jahres ausgefallener Kredite, der mit der Wahrscheinlichkeit α nicht überschritten wird. Die Worst Case Default Rate beantwortet somit die Frage nach der Ausfallrate in einem Portfolio, die mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit (hier α) nicht überschritten wird. Liegt beispielsweise eine WCDR(99,9%) von 10% vor, bedeutet dies: die Bank kann zu 99,9% sicher sein, dass die Ausfallrate im Portfolio innerhalb eines Jahres nicht höher als 10% sein wird. Ist die Korrelation der Kredite innerhalb eines Portfolios null, so entspricht die Worst Case Default Rate, der Ausfallwahrscheinlichkeit. Zur Berechnung der Worst Case Default Rate wird angenommen, dass alle Kredite in einem Portfolio die gleiche einjährige Ausfallswahrscheinlichkeit haben. Diese wird wieder mit PD bezeichnet. In der Fachliteratur wird gezeigt, dass dies für große Portfolios näherungsweise gilt. Es soll die Auswirkung auf das gesamte Kreditportfolio analysiert werden, wenn ein Unter‐ nehmen in dem Kreditportfolio insolvent ist und den Kredit nicht mehr bedienen kann. Dazu wird angenommen, dass dieses Kreditportfolio aus 1.000 Unternehmenskrediten besteht. Die ökonomischen Auswirkungen betreffen oft mehrere Unternehmen gleichzeitig oder stehen zumindest in einem zeitlichen Zusammenhang. Daher müssen die Korrelationen zwischen den einzelnen Krediten modelliert werden. Das Vasicek Modell nimmt an, dass Darlehen in einem Portfolio die gleiche Korrelation unterein‐ ander haben. Dies ist eine starke Vereinfachung. Bestände ein Portfolio aus 1.000 Krediten, mit unterschiedlichen Korrelationen, wäre das Modell deutlich komplexer. Daher wird eine konstante Korrelation zwischen den Ausfallzeiten zweier Unternehmen verwendet und mit ϱ bezeichnet. Die Korrelationen zwischen den Zeitpunkten der Kreditausfälle kann mit Hilfe einer Gauß-Copula modelliert werden. Mehr Informationen zu Copulas sind in Kapitel 37 zu finden. Das Modell zur Berechnung der WCDR wurde 1987 von Vasicek entwickelt und wird aktuell zur Bestimmung der aufsichtsrechtlichen Mindestkapitalanforderung für das Kreditrisiko verwendet. Wichtige Formeln Arbeitsmappe: Case Study Risikomanagement ➲ Arbeitsblatt: Vasicek Die Formel für die Worst Case Default Rate, also der Anteil innerhalb eines Jahres ausgefallener Kredite, der mit der Wahrscheinlichkeit α nicht überschritten wird, ist: W CDR α = N N −1 P D + ϱ ⋅ N −1 α 1 − ϱ 110 COURSE 2: KREDITRISIKEN N = Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung N −1 = Inverse der Standardnormalverteilung P D = Probability of Default / Ausfallwahrscheinlichkeit ϱ = Ausfallkorrelation α = Wahrscheinlichkeit für Nicht-Überschreiten Bestimmung der Worst Case Default Rate für eine hohe Korrelation: Excel-Beispiel: C9=STANDNORMVERT((NORM.S.INV($C$6)+WURZEL($C$4)*NORM.S.INV($C$7)) / WURZEL(1-$C$4)) Bestimmung der Worst Case Default Rate für eine niedrige Korrelation: Excel-Beispiel: C10=STANDNORMVERT((NORM.S.INV($C$6)+WURZEL($C$5)*NORM.S.INV($C$7)) / WURZEL(1-$C$5)) Vorgehensweise in Excel ■ Berechnen Sie die Worst Case Default Rate für eine hohe Korrelation in Zelle C9, basierend auf den verlinkten Annahmen in den Zellen C4: C7. ■ Bestimmen Sie im nächsten Schritt die Worst Case Default Rate für eine niedrige Korrelation in Zelle C10. COURSE 2: KREDITRISIKEN 111 Excel Ergebnisse Abbildung 53: Die berechnete WCDR für eine niedrige sowie hohe Korrelation Vorgehensweise in Matlab ■ Bestimmen Sie die benötigten Parameter. PD = 0.01; % Jährliche Ausfallwahrscheinlichkeit Rho_niedrig = 0.15; % Assetkorrelation Rho_hoch = 0.5; x = [0.0000000001: 0.0001: 0.2]; Alpha = 0.999 ■ Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Ausfallrate und berechnen Sie die WCDR. pd = makedist('Normal'); % Wahrscheinlichkeitsverteilung pdf_niedrig = sqrt((1-Rho_niedrig)/ Rho_niedrig)*exp(0.5*((icdf(pd,x)).^2-((sqrt(1-Rho_nied‐ rig)*icdf(pd,x)-icdf(pd,PD))/ sqrt(Rho_niedrig)).^2)); % Dichtefunktion für PD pdf_hoch = sqrt((1-Rho_hoch)/ Rho_hoch)*exp(0.5*((icdf(pd,x)).^2-((sqrt(1-Rho_hoch)*icdf(pd,x)icdf(pd,PD))/ sqrt(Rho_hoch)).^2)); % Dichtefunktion für PD WCDR_niedrig = (cdf(pd,((icdf(pd,PD)+sqrt(Rho_niedrig)*icdf(pd,Alpha))/ sqrt(1-Rho_niedrig)))) WCDR_hoch = (cdf(pd,((icdf(pd,PD)+sqrt(Rho_hoch)*icdf(pd,Alpha))/ sqrt(1-Rho_hoch)))) Table1 = table(WCDR_niedrig,WCDR_hoch) ■ Stellen Sie die Dichte der Portfolio-Ausfallrate dar. 112 COURSE 2: KREDITRISIKEN figure h1 = line((x*100),pdf_niedrig,'LineWidth',3,'Color',"b"); h2 = line((x*100),pdf_hoch,'LineWidth',3,'Color',"k"); axis([0 4 0 120]) title(['Dichte Portfolio-Ausfallrate']); ylabel('Dichte'); xlabel('Default-Rate'); legend([h1 h2 ],{'Rho 0.15' 'Rho 0.5'},'FontSize',7,'Location','NorthEast'); Matlab Ergebnisse Abbildung 54: Die berechnete WCDR Abbildung 55: Dichte der Portfolio-Ausfallrate COURSE 2: KREDITRISIKEN 113 Verweise auf das Excel- und Matlab-Tool Siehe Excel-Datei Case Study Risikomanagement, Excel-Arbeitsblatt Vasicek. Siehe Matlab-Skript: A18_19_Vasicek Assignment 19: Vasicek Modell - Simulation der jährlichen Portfolioausfallrate Aufgabe Simulieren Sie die jährliche Portfolioausfallrate für ein Portfolio, das dem Mengengeschäft zugeordnet werden kann. Nehmen Sie hierfür eine jährliche Ausfallwahrscheinlichkeit (PD) von 1% an. Inhalt Beim Basisansatz der internen Modelle zur Bestimmung der aufsichtsrechtlichen Mindestka‐ pitalanforderung für das Kreditrisiko gibt die Bankenaufsicht die Formel zur Berechnung der Ausfallkorrelation je nach Risikopositionsklasse in Abhängigkeit von der Ausfallwahr‐ scheinlichkeit an. Für das Mengengeschäft ist beispielsweise die im Folgenden angegebene Formel für die Ausfallkorrelation gegeben. Die Formeln für die Ausfallkorrelation basieren auf empirischer Forschung. Die Ausfallwahrscheinlichkeit (PD) und die Ausfallkorrelation (ϱ) verhalten sich invers zueinander. Steigt die Ausfallwahrscheinlichkeit eines Unternehmens, wird die Ausfallwahrscheinlichkeit unternehmensspezifischer und wird weniger von den allgemeinen Marktbedingungen beeinflusst. Zur Simulation der jährlichen Portfolioausfallrate muss zunächst deren kumulative Wahr‐ scheinlichkeitsverteilung ermittelt werden. Die Gleichung der WCDR wird nach der Wahr‐ scheinlichkeit α aufgelöst. Eine kurze Bemerkung für die Statistik-Fans, die WCDR ist ein Quantil. Durch Ableitung der Wahrscheinlichkeitsverteilung erhalten wir die Wahrschein‐ lichkeitsdichte für die Ausfallrate. Wichtige Formeln Arbeitsmappe: Case Study Risikomanagement ➲ Arbeitsblatt: Vasicek Verwenden Sie für die Ausfallkorrelation die im Basisansatz der internen Modelle zur Bestimmung der aufsichtsrechtlichen Mindestkapitalanforderung angegebene Formel. Diese ist im Mengenge‐ schäft aktuell: 114 COURSE 2: KREDITRISIKEN (2.1.19.1) (2.1.19.2) (2.1.19.3) ϱ = 0, 03 ⋅ 1 − e −35 ⋅ P D 1 − e −35 + 0, 16 ⋅ 1 − 1 − e −35 ⋅ P D 1 − e −35 P D = Probability of Default / Ausfallwahrscheinlichkeit Excel-Beispiel: C17=0,03*((1-EXP(-35*$C$14))/ (1-EXP(-35)))+0,16*(1- ((1-EXP(-35*$C$14))/ (1-EXP(-35)))) Je nach Risikopositionsklasse ist die Ausfallkorrelation in Abhängigkeit von der Ausfallwahr‐ scheinlichkeit vorgegeben. Zur Simulation der jährlichen Portfolioausfallrate sind zwei Umformungen notwendig. Im ersten Schritt muss die kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilung der WCDR ermittelt werden. Hierzu wird die Gleichung der WCDR nach α (Wahrscheinlichkeit, dass die WCDR kleiner oder gleich x ist) umgestellt: G x = N 1 − ϱ N −1 x − N −1 P D ϱ G(x) = Wahrscheinlichkeit, dass die WCDR kleiner oder gleich x ist N = Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung N -1 = Inverse der Standardnormalverteilung PD = Probability of Default / Ausfallwahrscheinlichkeit ϱ = Ausfallkorrelation Durch Ableitung dieser Funktion erhalten wir die Wahrscheinlichkeitsdichte für die Ausfallrate: g x = 1 − ϱ ϱ e 1 2 N −1 x 2 − 1 − ϱN −1 x − N −1 P D ϱ 2 Excel-Beispiel: C21=WURZEL((1-$C$17)/ $C$17)*EXP(0,5*STANDNORMINV(B21)^2-((WURZEL(1-$C$17) *STANDNORMINV(B21)-STANDNORMINV($C$14))/ WURZEL($C$17))^2) Bestimmung der Worst Case Default Rate, anhand Gleichung 2.1.18.1: Excel-Beispiel: C18=STANDNORMVERT((NORM.S.INV($C$14)+WURZEL($C$17)*NORM.S.INV ($C$15))/ WURZEL(1-$C$17)) COURSE 2: KREDITRISIKEN 115 Vorgehensweise in Excel ■ Berechnen Sie Ausfallkorrelation in C17, basierend auf den verlinkten Annahmen in den Zellen C14: C15. ■ Bestimmen Sie im nächsten Schritt die Worst Case Default Rate in Zelle C18. ■ Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte der Ausfallrate in den Zellen C21: C155 für die vorgegebenen Wahrscheinlichkeiten. ■ Stellen Sie die berechnete Wahrscheinlichkeitsdichte grafisch dar. Excel Ergebnisse Abbildung 56: Simulation der jährlichen Portfolioausfallrate Abbildung 57: Dichte der jährlichen Portfolioausfallrate 116 COURSE 2: KREDITRISIKEN Vorgehensweise in Matlab ■ Bestimmen Sie die jährliche Portfolioausfallrate. Rho_Minkapital = 0.03*((1-exp(-35*PD))/ (1-exp(-35)))+0.16*(1-(1-exp(-35*PD))/ (1-exp(-35))) cdf_Mindeskapital = cdf(pd,((sqrt(1-Rho_Minkapital)*icdf(pd,x)-icdf(pd,PD))/ sqrt(Rho_Min‐ kapital))); % Wahrscheinlichkeitsverteilung pdf_Mindeskapital = sqrt((1-Rho_Minkapital)/ Rho_Minkapital)*exp(0.5*((icdf(pd,x)).^2-((sqrt(1-Rho_Minkapital)*icdf(pd,x)-icdf(pd,PD))/ sqrt(Rho_Minkapital)).^2)); % Dichtefunktion WCDR_Mindeskapital = (cdf(pd,((icdf(pd,PD)+sqrt(Rho_Minkapital)*icdf(pd,Alpha))/ sqrt(1- Rho_Minkapital)))) % In Prozent Table2 = table(Rho_Minkapital,WCDR_Mindeskapital) ■ Stellen Sie die Dichte der Portfolioausfallrate grafisch dar. figure h3 = line((x*100),pdf_Mindeskapital,'LineWidth',3,'Color',"b"); axis([0 4 0 100]) title(['Dichte Portfolio-Ausfallrate']); ylabel('Dichte'); xlabel('Default-Rate'); legend([h3],{'pdf'},'FontSize',7,'Location','NorthEast'); Matlab Ergebnisse Abbildung 58: Die berechnete Ausfallkorrelation und zugehörige WCDR COURSE 2: KREDITRISIKEN 117 Abbildung 59: Dichte der Portfolioausfallrate Verweise auf das Excel- und Matlab-Tool Siehe Excel-Datei Case Study Risikomanagement, Excel-Arbeitsblatt Vasicek. Siehe Matlab-Skript: A18_19_Vasicek Assignment 20: Vasicek Modell - Schätzung der Parameter aus historischen Daten Aufgabe Schätzen Sie die Ausfallwahrscheinlichkeit (PD) und die Ausfallkorrelation ϱ auf Basis historischer Ausfallraten. Beziehen Sie sich hierfür auf die Daten der jährlichen, globalen Studie zu Unterneh‐ mensausfällen und Ratingänderungen der Ratingagentur S&P Global Ratings. Nehmen Sie als Startwerte eine Ausfallkorrelation von 0,15 und eine Ausfallwahrscheinlichkeit von 1% an. 118 COURSE 2: KREDITRISIKEN (2.1.20.1) Inhalt In den vorangegangenen Assignments wurde die Ausfallwahrscheinlichkeit und die Aus‐ fallkorrelation fiktiv gewählt. Im nächsten Schritt werden diese Parameter auf Basis von historischen Daten mit Hilfe der Maximum-Likelihood-Methode geschätzt. Die Maximum- Likelihood-Methode berechnet den Wert der Parameter, der die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten der historischen Werte (hier Default Rates) maximiert. Es werden die Parameter P D und ϱ so bestimmt, dass diese die bisher eingetretenen Beobachtungen am besten beschreiben. Die Vorgehensweise ist wie folgt: 1. Auswahl der Startwerte für die Ausfallwahrscheinlichkeit und die Ausfallkorrelation. 2. Berechnung des Logarithmus der Wahrscheinlichkeitsdichte der Ausfallwahrscheinlich‐ keiten g(x) aus den historischen Daten. 3. Berechnung der Summe dieser Werte. 4. Maximierung der Summe aus Punkt 3 mit Hilfe des Solver in Excel bzw. des Befehls „fminsearch“ in Matlab um die zugehörigen Werte der Ausfallwahrscheinlichkeit und der Ausfallkorrelation zu finden. Wichtige Formeln Arbeitsmappe: Case Study Risikomanagement ➲ Arbeitsblatt: Vasicek Bestimmung der Log-Likelihood: g x = ln 1 − ϱ ϱ e 1 2 N −1 x 2 − 1 − ϱN −1 x − N −1 P D ϱ 2 N −1 = Inverse der Standardnormalverteilung P D = Probability of Default / Ausfallwahrscheinlichkeit ϱ = Ausfallkorrelation Excel-Beispiel: D166= LOG(WURZEL((1$D$160)/ $D$160)*EXP(0,5*STANDNORM- INV(C166)^2-((WURZEL(1-$D$160)*STANDNORMINV(C166)-STANDNORMINV ($D$161))/ WURZEL($D$160))^2)) Berechnung der Summe der Log-Likelihoods: Excel-Beispiel: D163= SUMME($D$166: $D$205) COURSE 2: KREDITRISIKEN 119 Vorgehensweise in Excel ■ Verlinken Sie die Zellen B166: C205 mit den Jahresangaben und zugehörigen jährlichen historischen Ausfallraten. Diese finden Sie im Arbeitsblatt "Annahmen allgemein" in den Zellen B281: C320. ■ Berechnen Sie die Log-Likelihood für die Wahrscheinlichkeitsdichte für die Ausfallwahr‐ scheinlichkeit g(x) aus den historischen Daten, in den Zellen D166: D205. ■ Anschließend berechnen Sie die Summe der Log-Likelihoods in Zelle D163. ■ Verlinken Sie die Zellen der optimierten Werte D160: D161 mit den Zellen der angenom‐ menen Ausgangswerten. ■ Maximieren Sie die Summe mit Hilfe des Solvers, um die Werte für die Ausfallwahrschein‐ lichkeit und die Ausfallkorrelation zu finden, die die Summe maximieren. Excel Ergebnisse Abbildung 60: Die aus historischen Daten geschätzten sowie optimierten Parameter Vorgehensweise in Matlab ■ Importieren Sie die benötigten Daten. Daten = readmatrix('Matlab Daten.xlsx','Sheet','Vasicek'); Default_rates = Daten(: ,2); Jahre = 1980+[1: numel(Default_rates)].'; PD_annualy = [ Jahre,Default_rates]; pd = makedist('Normal'); hat = [0.01 0.15]; PD_hat = hat(1) Rho_hat = hat(2) ■ Berechnen Sie Summe der logarithmischen Wahrscheinlichkeiten. 120 COURSE 2: KREDITRISIKEN LogLikelihood_hat = log10(sqrt((1-hat(2))/ hat(2))*exp(0.5*norminv(Default_rates).^2-((sqrt (1-hat(2))*norminv(Default_rates)-norminv(hat(1)))/ sqrt(hat(2))).^2)); Summe_Likelihood_hat = sum(LogLikelihood_hat) Table1 = table(PD_hat,Rho_hat,Summe_Likelihood_hat) ■ Maximieren Sie die Summe der Log-Likelihood, um die optimalen Parameter zu finden. % Abrufen der Vasicek-Funktion fun = @(hat)sum(-log10(sqrt((1-hat(2))/ hat(2))*exp(0.5*norminv(Default_rates).^2-((sqrt(1hat(2))*norminv(Default_rates)-norminv(hat(1)))/ sqrt(hat(2))).^2))); [Opt,SummeLogLikelihood,exitflag] = fminsearch(fun,[PD_hat Rho_hat]); % Max-Likeli-Me‐ thode Likelihood_Opt = -(SummeLogLikelihood) PD_opt = Opt(1) Rho_opt = Opt(2) Table2 = table(PD_opt,Rho_opt,Likelihood_Opt) Matlab Ergebnisse Abbildung 61: Summe der Log-Likelihood, basierend auf den geschätzten Parametern Abbildung 62: Summe der Log-Likelihood, basierend auf den optimierten Parametern Verweise auf das Excel- und Matlab-Tool Siehe Excel-Datei Case Study Risikomanagement, Excel-Arbeitsblatt Vasicek. Siehe Matlab-Skript: A20_Vasicek COURSE 2: KREDITRISIKEN 121 (2.1.21.1) Assignment 21: Vasicek Modell - Berechnung des Portfolioverlusts Aufgabe Die Aktiva bestehen aus Krediten in Höhe von 100 Mio. USD an Unternehmen mit A-Rating. Berechnen Sie den Portfolioverlust (Value at Risk), der mit einer Wahrscheinlichkeit von 99,9% nicht überschritten wird. Verwenden Sie hierfür die Annahmen und die WCDR aus Assignment 20. Darüber hinaus nehmen Sie eine Verlustquote (LGD) von 100% an und dem Exposure at Default von 10 Mio. USD. Inhalt Für die Berechnung des Portfolioverlustes werden neben der Information zur in Assignment 20 berechneten Worst Case Default Rate weitere Informationen benötigt. Zum einem die Höhe der Forderungen, die wahrscheinlich im Zeitpunkt des Ausfalls noch aussteht. Dieses Volumen bei Ausfall wird als Exposure at Default (EAD) bezeichnet und ist ein absoluter Geldbetrag. Zum anderen fließt die Verlustquote in die Berechnung mit ein. Diese wird als Loss Given Default bezeichnet (LGD). Die LGD ist komplementär zur Recovery Rate und ist der Anteil der Forderungen, der im Falle eines Ausfalls nicht zurückbezahlt wird. Die Verlustquote (LGD) wird anhand historischer, vergleichbarer Verlustdaten pro Ratingstufe geschätzt. Verwenden Kreditinstitute einen Standardansatz oder den Basisansatz der internen Modelle zur Bestimmung der aufsichtsrechtlichen Mindestkapitalanforderung für das Kredit‐ risiko dann gibt die Bankenaufsicht die Werte für das Exposure at Default und den Loss Given Default als Standardwerte vor. Der Portfolioverlust (PL) ist der Geldbetrag, welcher mit einer hohen Wahrscheinlichkeit (α) nicht überschritten wird. Der Portfolioverlust berechnet sich aus dem Exposure at Default, dem Loss Given Default und der Worst Case Default Rate. Der Portfolioverlust entspricht näherungsweise dem Value at Risk. Wichtige Formeln Arbeitsmappe: Case Study Risikomanagement ➲ Arbeitsblatt: Vasicek P L(α) = EAD ⋅ LGD ⋅ W CDR(α) EAD = Exposure at Default LGD = Loss Given Default 122 COURSE 2: KREDITRISIKEN W CDR(α) = Anteil innerhalb eines Jahres ausgefallener Kredite, der mit der Wahrschein‐ lichkeit α nicht überschritten wird. Bestimmung der Worst Case Default Rate: Excel-Beispiel: D216=STANDNORMVERT((NORM.S.INV($C$211)+WURZEL($C$210)*NORM.S. INV($C$212))/ WURZEL(1-$C$210)) Berechnung des Portfolioverlust (Value at Risk), welcher mit einer Wahrscheinlichkeit von 99,9% nicht überschritten wird: Excel-Beispiel: D163 =$C$213*$C$214*$C$216 Vorgehensweise in Excel ■ Verlinken Sie die Annahmen aus den vorherigen Assignments sowie die angenommene Verlustquote und Exposure at Default mit den Zellen C209: C214. ■ Berechnen Sie die Worst Case Default Rate in der Zelle C216. ■ Bestimmen Sie den Portfolioverlust (Value at Risk), der mit einer Wahrscheinlichkeit von 99,9% nicht überschritten wird, in Zelle C217. Excel Ergebnisse Abbildung 63: Die bestimme WCDR und der zugehörige Portfolioverlust COURSE 2: KREDITRISIKEN 123 Vorgehensweise in Matlab ■ Definieren Sie die benötigten Annahmen. PD = 0.01; % Jährliche Ausfallwahrscheinlichkeit Rho = 0.15; % Assetkorrelation Alpha = 0.999; LGD = 1; % Verlustquote (Loss Given Default) EAD = 10000000; % Exposure at default Portfolio = 100000000; % $100 Million x = [0.0000000001: 0.0001: 0.2]; ■ Bestimmen Sie die Worst Case Default Rate. pd = makedist('Normal'); % Wahrscheinlichkeitsverteilung WCDR = (cdf(pd,((icdf(pd,PD)+sqrt(Rho)*icdf(pd,Alpha))/ sqrt(1-Rho)))) ■ Berechnen Sie den Portfolioverlust. PL = EAD*LGD*WCDR % Portfolioverlust der zu 99,9% nicht überschritten wird Matlab Ergebnisse Abbildung 64: Die bestimme WCDR und der zugehörige Portfolioverlust Verweise auf das Excel- und Matlab-Tool Siehe Excel-Datei Case Study Risikomanagement, Excel-Arbeitsblatt Vasicek. Siehe Matlab-Skript: A21_Vasicek 124 COURSE 2: KREDITRISIKEN COURSE 3: OPERATIONELLE RISIKEN Assignment 22: Kalibrierung der Schadenverteilung auf Basis einer Expertenschätzung Aufgabe Sie haben Experten zu potentiellen operationellen Risiken befragt, die sich für das Unternehmen realisieren könnten. Nach mehreren Runden auf Basis der Delphi Methode, haben sich die Experten auf durchschnittlich 2 Schäden pro Jahr geeinigt und schätzen den am häufigsten vorkommenden Wert der Schadenhöhe auf 1 Mio. USD. Ein Wert über 10 Mio. USD wird als extrem angesehen, allerdings übersteigen nur 5% aller Ereignisse diesen Wert. Kalibrieren Sie auf Basis dieser Expertenschätzungen eine Verteilung für das operationelle Risiko. Inhalt “Operationelles Risiko ist die Gefahr von Verlusten, die infolge einer Unzulänglichkeit oder des Versagens von internen Verfahren, Menschen und Systemen oder infolge externer Ereignisse eintreten. Diese Definition schließt Rechtsrisiken ein, nicht jedoch strategische Risiken oder Reputationsrisiken.” (Basler Ausschuss für Bankenaufsicht (2004)) Operationelle Verluste können in zweifacher Ausprägung auftreten. Einerseits gibt es opera‐ tionelle Risiken, die häufig auftreten, aber nur zu kleinen Verlusten führen. Andererseits gibt es aber auch operationelle Risiken, die äußerst selten auftreten, deren Konsequenzen jedoch so gravierend sein können, dass sie eine Bank oder Versicherung in ihrer Existenz gefährden. Für die erste Ausprägung operationeller Risiken liegen in der Regel ausreichend Daten vor, um sie über Vergangenheitswerte zu modellieren. Für letztere ist es umgekehrt. Aufgrund ihres seltenen Auftretens ist über diese Art operationeller Risiken nur eine geringe Datenmenge vorhanden. Stehen für einzelne operationelle Risiken Zeitreihen von historischen Schadenfällen zur Ver‐ fügung, können für diese, ähnlich wie bei den Markt- und Kreditrisiken, zur Kalibrierung eine Verlustverteilung herangezogen werden. Mit Hilfe der Monte-Carlo Simulation wird dann eine große Zahl an Verlustszenarien erzeugt, um die Gesamtverlustverteilung und die daraus abgeleiteten Risikomaße zu berechnen. Diese Vorgehensweise allein ist für operationelle Risiken nicht optimal. Oft wird an dieser Stelle das Argument angebracht, dass insbesondere bei operationellen Risiken nach Eintreten eines Schadenfalls entsprechende Kontrollen implementiert werden. Diese sollen verhindern, dass in der Zukunft ähnliche Schadenfälle auftreten. Damit wäre das Vorliegen historischer Schadenfälle wenig aussagekräftig für die Zukunft. (3.1.22.1) Im Bereich der operationellen Risiken steht häufig aber auch keine ausreichend belastbare Datenhistorie zur Verfügung, um mathematische Modelle zu kalibrieren. An dieser Stelle ist es oft sinnvoll und notwendig auf Expertenschätzungen zurückzugreifen. Ein ganzer Wissenschaftsbereich beschäftigt sich mit der Frage, wie Verzerrungen bei der Wahrnehmung von Risiken minimiert werden können, um die Güte der Schätzungen verbessern zu können. Es wurden zahlreiche Verfahren entwickelt, die psychologischen Erkenntnisse zur Reduktion von Verzerrungen berücksichtigen. Ein bekanntes Verfahren ist die sogenannten Delphi- Methode. Das Ziel der Expertenbefragung ist es relevante Risiken zu identifizieren (man spricht von Szenarien) und die einzelnen Szenarien bezüglich der Schadenhäufigkeit (frequency) und der Schadenhöhe (severity) zu bewerten. Auf Basis dieser Schätzungen werden dann Verlustver‐ teilungen kalibriert. Bei der Bewertung der Schadenhäufigkeit operationeller Risiken wird die Poisson-Verteilung in der Praxis verwendet. Es wird nur ein Parameter benötigt, die durchschnittliche Schadenhäufigkeit innerhalb eines Jahres. Dieser Parameter könnte mit folgenden Fragen eruiert werden: ■ In welchen Zeitraum erwarten Sie den Eintritt des Schadens? 1 mal in 1000 Jahren, 1 mal in 100 Jahren, 1 mal in 10 Jahren… ■ Oder wie viele Ereignisse erwarten Sie durchschnittlich pro Jahr / in 10 Jahren… ■ Wie oft, in welchem Zeitraum kann der Schaden eintreten? Antwort: x mal in y Jahren Hier gibt es Untersuchungen, dass die erste Frage häufig zu einer Überschätzung und die Frage 2 zu einer Unterschätzung des Risikos führt. Neben der Schadenhäufigkeit ist auch noch die Schadenhöhenverteilung relevant. Für die Schadenhöhenverteilung wird in der Praxis häufig die Lognormal-Verteilung eingesetzt. Zur Kalibrierung der Lognormal-Verteilung wird in der Literatur empfohlen, nach dem „am häufigsten vorkommenden“ Wert zu fragen. Darüber hinaus, nach einem Wert, der als extrem angesehen wird und nach der prozentualen Anzahl der Ereignisse, die diesen Wert übersteigen. Wichtige Formeln Die Schadenhäufigkeit (frequency) wird mit einer Poisson-Verteilung modelliert. Die Poisson- Verteilung eignet sich zur Modellierung einer Anzahl von Ereignissen. Der Parameter λ der Poissonverteilung beschreibt die erwartete Häufigkeit der Ereignisse. p λ y = λ y e −λ y! p λ (y) = Wahrscheinlichkeit, dass x Schäden pro Jahr auftreten λ = Erwartete Anzahl Schäden pro Jahr 126 COURSE 3: OPERATIONELLE RISIKEN (3.1.22.2) (3.1.22.3) (3.1.22.4) (3.1.22.5) Die Schadenhöhenverteilung wird durch die Lognormal-Verteilung modelliert. Diese hat zwei Parameter μ und σ 2 . Die Zufallsvariable X ist genau dann lognormalverteilt mit den Parameternμ und σ 2 , wenn lnX normalverteilt ist mit den Parametern μ und σ 2 . Die Frage nach dem am häufigsten vorkommenden Wert beschreibt näherungsweise den Modus. Für den Modus M einer Lognormalverteilung gilt folgende Formel: M = e μ − σ 2 μ = Parameter der Lognormalverteilung, Erwartungswert von ln(X ) σ 2 = Parameter der Lognormalverteilung, Varianz von ln(X ) Die Frage nach einem Wert, der als extrem angesehen wird, beschreibt ein Quantil. In Course 4 werden wir dieses als Value at Risk (VaR) bezeichnen. Ein Quantil ist nur aussagekräftig, wenn hierfür noch ein Konfidenzniveau αangegeben ist. Das Konfidenzniveau α wird mit Hilfe der Frage nach der prozentualen Anzahl der Ereignisse, die diesen Wert übersteigen, beantwortet. Für das Quantil / Value at Risk der Lognormal-Verteilung zum Konfidenzniveau α gilt folgende Formel: Q α = e (μ + N −1 (α) ⋅ σ ) N −1 (α) = Inverse der Standardnormalverteilung mit Konfidenzniveau α Auf diese Weise erhält man ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten μ und σ 2 : (I )M = e μ − σ 2 I I Q α = e (μ + N −1 (α) ⋅ σ ) Zur Lösung des Linearen Gleichungssystems nimmt man bei beiden Gleichungen den Logarith‐ mus und zieht die Gleichung II von Gleichung I ab. Dies ergibt: 0 = σ 2 + σ ⋅ N −1 (α) + ln(M) − ln Q α Dies ist eine quadratische Gleichung in σ und kann mit der Mitternachtsformel gelöst werden. Ist σ berechnet, erhält man mit Gleichung I den Parameter μ . Basierend auf den ermittelten Parametern, kann die Schadenhöhenverteilung geschätzt werden. Zu beachten ist, dass eine negative Standardabweichung σ ausgeschlossen wird. Ergeben sich aus der Mitternachtsformel zwei mögliche σ , muss die Schadenverteilung für jedes σ erstellt werden. Sofern nicht eine Verteilung durch simple Ausschlusskriterien ausgeschlossen werden kann, muss im nächsten Schritt erneut das Gespräch mit Experten gesucht werden. COURSE 3: OPERATIONELLE RISIKEN 127 Vorgehensweise in Matlab ■ Definieren Sie die, durch das Experteninterview, gewonnenen Annahmen. lambda = 2; % Durchschnittliche Schäden pro Jahr M = 1000000; % Erwarteter Schadenswert (1 Mio.) Q = 3000000; % Extremer Schaden (3 Mio.) alpha = 0.95; % Konfidenzintervall rng default - ■ Modellieren Sie die Schadenhäufigkeit basierend auf der Poisson-Verteilung und stellen Sie die Ergebnisse grafisch dar. % Modellierung durch Poisson-Verteilung x= 0: 100; Freq = poisspdf(x,lambda); % Schadenshäufigkeit bar(x,Freq) xlim([-0.5,15]) title('Modelierte Schadenshäufigkeit pro Jahr') xlabel('Häufigkeit') ylabel('Eintrittswahrscheinlichkeit') ■ Bilden Sie die Mitternachtsformel in einer manuell erstellten Funktion ab. Speichern Sie diese entweder im selben Ordner ab, oder hängen Sie die Funktion an das Ende des Skripts an. function [sigma1,sigma2] = Mitternachtsformel(a,b,c) D = b^2-4*a*c; % Diskriminante >0 -> 2 Lösungen; =0 -> 1L; <0 -> keine L - if D>0 - - sigma1 = (-b+sqrt(D))/ (2*a); % Lösung x1 - - sigma2 = (-b-sqrt(D))/ (2*a); % Lösung x2 - end - if D == 0 - sigma1 = (-b+sqrt(D))/ (2*a); % Lösung x1 - sigma2 = 0; % Keine zweite Lösung - end end ■ Modellieren Sie die Schadenhöhenverteilung. Bestimmen Sie dazu zuerst σ und μ aus Gleichung 3.1.22.5, mithilfe der oben definierten Mitternachtsformel. 128 COURSE 3: OPERATIONELLE RISIKEN % Modellierung durch Lognormal-Verteilung % Lösung lineares Gleichungssystem mit Mitternachtsformel % Koeffizienten - a = 1; % Faktor vor x^2 b = norminv(alpha); % Faktor vor x c = log(M)-log(Q); % Restliche Summanden [sigma1,sigma2] = Mitternachtsformel(a,b,c); % Lösungen der Mitternachtsformel (x1,x2) % Alternativ "roots([a b c])" p-q-Formel sigma = [sigma1,sigma2] mu = log(M)+sigma.^2 ■ Bestimmen Sie anschließend die Schadenverteilungen für die zwei möglichen Ergebnisse und berechnen Sie den entsprechenden Erwartungswert und das Quantil. % Zusammengesetzter Poisson-Prozess - n = 1000; % Anzahl simulierte Schaden pois = @(m)poissrnd(lambda,m,1); % Poisson sample, der Länge m logs = @(m)exp(mu(1)+sigma(1)*randn(m,1)); % Log-normal sample, der Länge m (x1) logs2 = @(m)exp(mu(2)+sigma(2)*randn(m,1)); % Log-normal sample, der Länge m (x2) y = zeros(n,1); % Für x1 y2 = zeros(n,1); % Für x2 --- for i = 1: length(y) - nr = pois(1); - for j = 1: nr - - y(i) = y(i)+logs(1); - - y2(i)=y2(i)+logs2(1); - end end --- M_x1 = mean(y); % Erwarteter Verlust durch operationelle Risiken pro Jahr Q_x1 = quantile(y,alpha); M_x2 = mean(y2); % Für x2 Q_x2 = quantile(y2,alpha); format bank comparison= table(M_x1,Q_x1,'VariableNames',{'Erwarteter Verlust' 'Quantil'},'RowNames', {'x1'}) COURSE 3: OPERATIONELLE RISIKEN 129 ■ Stellen Sie abschließend die Ergebnisse grafisch dar und führen Sie weitere Experteninter‐ views durch, um die zutreffende Schadenverteilung zu bestimmen. histogram(y) title('Operationelle Schäden für x1') xlim([0,15*10e5]) ylabel('Häufigkeit') xlabel('Schäden in USD') Matlab Ergebnisse Abbildung 65: Die modellierte Schadenhäufigkeit pro Jahr 130 COURSE 3: OPERATIONELLE RISIKEN Abbildung 66: Mögliche Fehler der operativen Schäden Abbildung 67: Die zugehörigen Modi und die Quantile Verweise auf das Excel- und Matlab-Tool Siehe Matlab-Skript: A22_Operationelle_Risiken COURSE 3: OPERATIONELLE RISIKEN 131 COURSE 4: RISIKOMAßE Course Unit 1: Value at Risk-Risikomaße Assignment 23: Berechnung des Value at Risk bei einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung Aufgabe ■ Berechnen Sie den Value at Risk für den MSCI WORLD Indexpreis ab dem 31.12.t(5) rückwirkend für die letzten 5 Jahre. Gehen Sie dabei in folgenden Schritten vor: □ Berechnen Sie zunächst den Value at Risk für ein Konfidenzniveau von 95% für einen Tag basierend auf den diskreten Renditen des MSCI WORLD Indexpreises. □ Berechnen Sie dann den Value at Risk für ein Konfidenzniveau von 95% für einen Tag basierend auf dem MSCI WORLD Indexpreis. □ Berechnen Sie den Value at Risk für ein Konfidenzniveau von 95% für einen Tag basierend auf dem MSCI WORLD Indexpreis und einer Stückzahl von 5. ■ Führen Sie dieselben Berechnungen für ein Konfidenzniveau von 99% durch. ■ Erklären Sie die Unterschiede der Ergebnisse und begründen Sie Ihre Aussagen. ■ Erstellen Sie ein Diagramm und zeigen Sie, wie der Value at Risk grafisch ermittelt werden kann. ■ Berechnen Sie den Value at Risk für ein Konfidenzniveau von 95% für einen Tag basierend auf dem MSCI WORLD Indexpreis und einer Stückzahl von 5. Inhalt Der Value at Risk (VaR) ist eines der wichtigsten Risikomaße in der Finanzpraxis. Er beschreibt den Betrag, der mit einer vorgegebenen Wahrscheinlichkeit innerhalb eines bestimmten Zeitraums nicht überschritten wird. Mathematisch ausgedrückt ist der Value at Risk ein Quantil einer Wahrscheinlichkeitsverteilung oder der Verteilung einer Stichprobe. Ein 99% VaR von 2,5 USD bedeutet, dass innerhalb eines Tages mit einer Wahrscheinlichkeit von 99% ein Verlust von 2,5 USD nicht überschritten wird. Das bedeutet auch, dass innerhalb eines Tages in maximal 1% der Fälle der Verlust größer als 2,5 USD ist. Im Finanzbereich versteht man unter Risiko die Abweichung vom Erwartungswert. Daher wird oft der Mean Value at Risk (MVaR) betrachtet. Der Mean Value at Risk ist von der Höhe des Erwartungswerts unabhängig. Man erhält ihn, indem man vom VaR den Erwartungswert abzieht. In der Praxis wird zwischen den Begriffen Value at Risk und Mean Value at Risk oft nicht unterschieden, so dass an der Stelle Vorsicht geboten ist. (4.1.23.1) Bei der Ermittlung des Value at Risks unter Verwendung historischer Daten eignen sich Renditen (relative Größen) besser als in Geldeinheiten gemessene Größen (absolute Größen). Grund dafür ist, dass Renditen im Vergleich zu absoluten Größen eher einen konstanten Erwartungswert und eine konstante Varianz aufweisen. Nehmen wir an, der Aktienmarkt hatte zum Zeitpunkt t(1) einen Preis von 107,26 USD und zum Zeitpunkt t(3) einen Preis von 26,21 USD. Es ist ersichtlich, dass Preisschwankungen bei einem Preis von 100 USD höher ausfallen werden als bei einem Preis von 25 USD. Für die prozentualen Veränderungen der Renditen kann eher ein einheitliches Niveau unterstellt werden. Bei der Ermittlung des 95%-Value at Risk bei Vorliegen einer diskreten Wahrscheinlichkeits‐ verteilung kann der Fall eintreten, dass 95% der betrachteten Werte keinen runden Wert, sondern einen Dezimalwert ergeben. Beispielsweise sind wie in folgendem Beispiel 95% von 1.303 Werten 1237,85 Werte. Das bedeutet, dass der Value at Risk zwischen dem 1237. und dem 1238. Wert liegt. Es wird der 1238. Wert verwendet. Mindestens 95% der Werte (hier 95,01%) sind besser für uns und maximal 5% der Werte sind schlechter für uns (hier 4,99%). Beachten Sie, dass negative Renditen aus Risikomanagementsicht schlecht sind, positive Renditen gut. Oft werden die Werte bei diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen aber interpoliert, siehe auch Excel und Matlab. Wird der Value at Risk bei einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung berechnet, so gilt dieser für die Zeiteinheit der Rendite. Handelt es sich bei der Rendite wie im vorliegenden Beispiel um eine diskrete, tägliche Rendite, dann gilt der berechnete Value at Risk für einen Tag. Eine Hochskalierung auf Wochen-, Monats-, Quartals- oder Jahreswerte für den Value at Risk ist bei Vorliegen einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung nicht möglich. Dies ist, wie wir sehen werden, nur bei einer stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung möglich. Wichtige Formeln Arbeitsmappe: Case Study Risikomanagement ➲ Arbeitsblatt: VaR diskr. Rendite Der Value at Risk entspricht dem mathematischen Konzept des Quantils. Die Formel für die Berechnung des Value at Risk bei einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung lautet: V aR diskr, 1 − α (X ) = Q 1 − α (X ) = inf x : P X > x ≤ α = inf x : P (X ≤ x) ≥ 1 − α V aR diskr, 1 − α = Value at Risk zum Konfidenzniveau 1-α für diskrete Verteilungen X = Zufallsvariable X beschreibt die Verlustfunktion Q 1 − α = 1α -Quantil der Verteilung inf x : P X ≤ x ≥ 1 − α = Mindestens (1-α) % der Werte von X sind kleiner gleich x inf x : P X > x ≤ α = Maximal α% der Werte von X sind größer als x Zu beachten ist, dass bei einer Verlustfunktion ein Verlust positiv und ein Gewinn negativ ist. Die Verlustfunktion der Renditen erhält man also, in dem man die Renditen mit -1 multipliziert. 134 COURSE 4: RISIKOMAßE Der Value at Risk einer Verlustfunktion ist der Wert, für den mindestens (1 − α )% der Werte kleiner sind, also einen niedrigeren Verlust aufweisen und maximal α % der Werte größer sind, also einen höheren Verlust zeigen. Berechnung des Quantils der Verteilung zum Konfidenzniveau 1 − α in Excel: Excel-Beispiel: K10=SVERWEIS(K9; F5: H1307; 3; 0) Dieses entspricht dem Value at Risk als Rendite bei einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung. Vorgehensweise in Excel ■ Zunächst werden aus den MSCI WORLD Indexpreisen die diskreten, täglichen Renditen berechnet (Spalte D). ■ Diese werden dann mit -1 multipliziert, da wir zur Berechnung des Value at Risk eine Verlustfunktion benötigen (Spalte D). ■ Die negativen Renditen werden dann in Spalte H der Größe nach aufsteigend sortiert. ■ Markieren Sie hierzu zunächst die Zellen G5: H1307, in denen das Datum und die Werte vermerkt sind. ■ Klicken Sie dann Daten ➲ Sortieren und Filtern ➲ Sortieren und geben Sie dort als "Spalte" H "Sortieren nach" Werte bei "Reihenfolge" Nach Größe aufsteigend ein. Beachten Sie, wir haben eine Verlustfunktion, ein negativer Verlust ist ein Gewinn, ein positiver Verlust ein Verlust. Daher sortieren wir die für uns schlechten Renditen ans Ende. ■ Danach wird das Konfidenzniveau 1 − α (Zellen K6 und N6) und α (Zellen K7 und N7) berechnet. Das Konfidenzniveau 1 − α ist die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Verlust nicht überschritten wird und α ist die Wahrscheinlichkeit, mit der die Werte den Value at Risk überschreiten. ■ Als nächster Schritt wird der Wert gesucht, für den mindestens 95% der Werte kleiner sind, also einen niedrigeren Verlust aufweisen und maximal 5% der Werte größer sind, also einen höheren Verlust zeigen. Bei 1.303 vorliegenden Renditen ist 95 % ⋅ 1 . 303 = 1237, 85. In diesem Fall liegt der Value at Risk zwischen dem 1237. und 1238. Wert. Daher ist der entsprechende 1238-zigste Wert der geordneten Liste in Spalte H zu wählen. Dies erfolgt für das 95%-Quantil mit der Funktion K9=AUFRUNDEN((K6)*ANZAHL(H5: H1307); 0). ■ Darauffolgend wird die Rendite des 1238. Wertes bestimmt (aufsteigend sortiert, begin‐ nend mit der größten Rendite). Dies erfolgt für das 95%-Quantil mit der Funktion K10=SVERWEIS(K9; F5: H1307; 3; 0)Der ermittelte Wert beträgt 1,34%. Das heißt, dass mindestens 95% der Renditen der gegebenen Verlustfunktion Werte aufweisen, die kleiner oder gleich 1,34% sind und maximal 5% der Renditen der gegebenen Verteilungsfunktion Werte größer als 1,34% aufweisen. Zu einer Wahrscheinlichkeit von 95% wird innerhalb eines Tages der Verlust nicht größer als 1,34% sein. ■ Zum Abschluss wird noch der Value at Risk in Geldeinheiten berechnet K15=K13*K10. Er beträgt 40,27 USD. Ferner wird auch noch der Value at Risk für die Stückzahl ermittelt K19=K15*K17. Dieser beträgt 201 USD. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% wird der Verlust aus dem Investment innerhalb des nächsten Tages den Wert von 201 USD nicht überschreiten. Course Unit 1: Value at Risk-Risikomaße 135 Excel Ergebnisse Abbildung 68: Ermittlung des VaR bei einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung 136 COURSE 4: RISIKOMAßE Vorgehensweise in Matlab ■ Importieren Sie die benötigten Daten aus der Excel Datei. Daten = readmatrix('Matlab Daten.xlsx'); MSCI = Daten(: ,3); Datum = Daten(: ,1); Kurs_MSCI = [Datum,MSCI]; Stueckzahl = 5; ■ Berechnen Sie die negativen diskreten Renditen des MSCI World. Zur Erinnerung: Für die Berechnung des VaR benötigen wir eine Verlustfunktion. Bei einer Verlustfunktion ist ein Verlust positiv und ein Gewinn negativ, daher ändern wir das Vorzeichen der Renditen. Renditen = -(price2ret(MSCI,[],'Periodic')); ■ Sortieren Sie die Werte absteigend. Renditen = sort(Renditen); ■ Identifizieren Sie die Stelle an der das 95% Quantil überschritten wird und runden Sie dieses auf mit ceil(). Position = ceil(length(Renditen)*0.95); ■ Lesen Sie den Wert an dieser Stelle aus. Das Ergebnis ist 1,34%. VaRd1 = Renditen(Position) ■ Alternativ können Sie näherungsweise das Quantil berechnen. Das Ergebnis der Quantilsbe‐ rechnung lautet dann 1,35%. Der Grund für die Abweichung der beiden Ergebnisse liegt in der Interpolation bei der Berechnung des Quantils. VaRd2 = quantile(Renditen,0.95) ■ Bestimmen Sie abschließend den Value at Risk in Geldeinheiten und für die Stückzahl. VaR_Geld = VaRd1*MSCI(end); VaR_Geld_Stueck = VaR_Geld*Stueckzahl; Course Unit 1: Value at Risk-Risikomaße 137 (4.1.24.1) Matlab Ergebnisse Abbildung 69: Ermittelter VaR einer diskreten Verteilung in Matlab Verweise auf das Excel- und Matlab-Tool Siehe Excel-Datei Case Study Risikomanagement, Excel-Arbeitsblatt VaR diskr. Rendite. Siehe Matlab-Skript: A23_24_25_VaR_diskret Assignment 24: Berechnung des Mean Value at Risk bei einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung Aufgabe ■ Berechnen Sie den Mean Value at Risk für den MSCI WORLD Indexpreis ab dem 31.12.t(5) rückwirkend für die letzten 5 Jahre. Gehen Sie dabei in folgenden Schritten vor: □ Berechnen Sie zunächst den Mean Value at Risk für ein Konfidenzniveau von 95% für einen Tag basierend auf den diskreten Renditen des MSCI WORLD Indexpreises. □ Berechnen Sie dann den Mean Value at Risk für ein Konfidenzniveau von 95% für einen Tag basierend auf dem MSCI WORLD Indexpreis. □ Berechnen Sie den Mean Value at Risk für ein Konfidenzniveau von 95% für einen Tag basierend auf dem MSCI WORLD Indexpreis und einer Stückzahl von 5. Wichtige Formeln Arbeitsmappe: Case Study Risikomanagement ➲ Arbeitsblatt: VaR diskr. Rendite Die Formel für die Berechnung des Mean Value at Risk bei einer diskreten Wahrscheinlichkeits‐ verteilung lautet: MV aR 1 − α (X ) = V aR 1 − α (X ) − E(X ) 138 COURSE 4: RISIKOMAßE MV aR 1−α = Mean Value at Risk zum Konfidenzniveau 1 − α E = Erwartungswert Berechnung des Mean Value at Risk als Rendite bei einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung in Excel: Excel-Beispiel: K24=K10-MITTELWERT(H5: H1307) Vorgehensweise in Excel ■ Basierend auf dem bereits berechneten 95%-Quantil in Höhe von 1,34% wird der Mean Value at Risk berechnet, indem vom Value at Risk der Erwartungswert (Mittelwert) der täglichen, diskreten Renditen des MSCI WORLD Indexpreises abgezogen und daraus die Abweichung vom Erwartungswert berechnet wird. Da der Erwartungswert mit 0,05% beträgt, ist der Mean Value at Risk 1,39% K24=ABS(K10-MITTELWERT(H5: H1307)). ■ Im nächsten Schritt wird der Mean Value at Risk in Geldeinheiten berechnet, in dem der Mean Value at Risk für diskrete Renditen mit dem Investitionsvolumen multipliziert wird. Der Mean Value at Risk in Geldeinheiten beträgt 41,74 K26=K24*K13 und für das Investitionsvolumen 209 USD K30=K26*K28. Excel Ergebnisse Abbildung 70: Ermittlung des Mean VaR bei einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung Vorgehensweise in Matlab ■ Ausgehend von den Ergebnissen des vorherigen Assignments muss der Mittelwert abgezogen werden, um den Mean VaR (MVaR) zu erhalten. Berechnen Sie ebenfalls den MVaR in Geldeinheiten und für die Stückzahl. Gehen Sie hierfür wie im vorherigen Assignment vor. Course Unit 1: Value at Risk-Risikomaße 139 MVaR = VaRd1-mean(Renditen) MVaR_Geld = MVaR*MSCI(end) MVaR_Geld_Stueck = MVaR_Geld*Stueckzahl Matlab Ergebnisse Abbildung 71: Ermittlung des Mean VaR bei einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung in Matlab Verweise auf das Excel- und Matlab-Tool Siehe Excel-Datei Case Study Risikomanagement, Excel-Arbeitsblatt VaR diskr. Rendite. Siehe Matlab-Skript: A23_24_25_VaR_diskret Assignment 25: Berechnung des Conditional Value at Risk/ Expected Shortfall/ Tail Value at Risk bei einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung Aufgabe ■ Berechnen Sie den Conditional Value at Risk für den MSCI WORLD Indexpreis ab dem 31.12.t(5) rückwirkend für die letzten 5 Jahre. Gehen Sie dabei in folgenden Schritten vor: □ Berechnen Sie zunächst den Conditional Value at Risk für ein Konfidenzniveau von 95% für einen Tag basierend auf den diskreten Renditen des MSCI WORLD Indexpreises. □ Berechnen Sie dann den Conditional Value at Risk für ein Konfidenzniveau von 95% für einen Tag basierend auf dem MSCI WORLD Indexpreis. □ Berechnen Sie den Conditional Value at Risk für ein Konfidenzniveau von 95% für einen Tag basierend auf dem MSCI World Indexpreis und einer Stückzahl von 5. ■ Führen Sie dieselben Berechnungen für ein Konfidenzniveau von 99% durch. ■ Erklären Sie die Unterschiede der Ergebnisse und begründen Sie Ihre Aussagen. ■ Erstellen Sie ein Diagramm und zeigen Sie, wie der Conditional Value at Risk grafisch ermittelt werden kann. 140 COURSE 4: RISIKOMAßE (4.1.25.1) Inhalt Der Conditional Value at Risk (CVaR) bzw. der Expected Shortfall bestimmt die durchschnitt‐ liche Höhe der Verluste, die den Value at Risk überschreiten. Der Conditional Value at Risk wird auch als Conditional Tail Expectation oder Expected Tail Loss bezeichnet. Der Value at Risk liefert keine Aussagen darüber, wie hoch die Verluste sind jenseits der durch den Value at Risk angegebenen Schranke. Diesen Nachteil hebt der Conditional Value at Risk auf, indem er auch die Informationen (Verluste) oberhalb des Value at Risks miteinbezieht. Mathematisch gesehen handelt es sich beim Conditional Value at Risk um einen bedingten Erwartungswert. Ferner erfüllt der Conditional Value at Risk im Gegensatz zum Value at Risk alle Bedingungen an ein kohärentes Risikomaß. Insbesondere ist der Conditional Value at Risk subadditiv, eine Bedingung, die der VaR nicht erfüllt. Value at Risk und Conditional Value at Risk stehen in einem engen Zusammenhang. Während der Value at Risk die Frage beantwortet, welcher Verlust nur in höchstens (100⋅α) % überschritten wird, zeigt der Conditional Value at Risk auf, wie hoch der erwartete Verlust in (100⋅α)% der verlustreichsten Fälle ist. Der CVaR sagt damit aus, falls der unerwartete Fall der Überschreitung des Value at Risk eintritt, wie hoch dann der zu erwartende Verlust ist. Wichtige Formeln Arbeitsmappe: Case Study Risikomanagement ➲ Arbeitsblatt: VaR diskr. Rendite Die Formel für die Berechnung des Conditional Value at Risk als Rendite bei einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung lautet: CV aR 1 − α X = E X X ≥ V aR 1 − α CV aR 1 − α = Conditional Value at Risk zum Konfidenzniveau1 − α E X X ≥ V aR 1 − α = Erwarteter Verlust, wenn der Value at Risk überschritten ist Berechnung des Conditional Value at Risk (Expected Shortfall) als Rendite bei einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung in Excel: Excel-Beispiel: K35=MITTELWERT(INDIREKT("H"&K9+4&": H1308")) Berechnung des Conditional Value at Risk (Expected Shortfall) in Geldeinheiten bei einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung in Excel: Course Unit 1: Value at Risk-Risikomaße 141 Excel-Beispiel: K37=K35*K13 Vorgehensweise in Excel ■ Basierend auf den in Spalte H aufwärts sortierten diskreten Renditen wer‐ den Renditen ausgewählt, die größer gleich dem 95%-Value at Risk sind. Für diese Werte wird der Mittelwert errechnet. Der Conditional Value at Risk zeigt, dass der erwartete Verlust in 5% der verlustreichsten Fälle 2,53% beträgt K35=MITTELWERT(INDIREKT("H"&K9+4&": H1308")). ■ Im nächsten Schritt wird der Conditional Value at Risk (Expected Shortfall) in Geldeinheiten berechnet. Dieser beträgt 75,87 USD K37=K35*K13. Bei einer Stückzahl von 5 MSCI WORLD Anteilen ergibt sich ein Conditional Value at Risk in Zelle K41=K37*K39 von 379 USD. Excel Ergebnisse Abbildung 72: Ermittlung des Conditional VaR (Expected Shortfall) bei einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung Vorgehensweise in Matlab ■ Der Conditional VaR beschreibt den Mittelwert der Renditen die den VaR (1,34%) überschrei‐ ten. CVaR = mean(Renditen(Position: end)) CVaR_Geld = CVaR*MSCI(end) CVaR_Geld_Stueck = CVaR_Geld*Stueckzahl 142 COURSE 4: RISIKOMAßE Matlab Ergebnisse Abbildung 73: Ermittelter Conditional VaR einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung in Matlab Verweise auf das Excel- und Matlab-Tool Siehe Excel-Datei Case Study Risikomanagement, Excel-Arbeitsblatt VaR diskr. Rendite. Siehe Matlab-Skript: A23_24_25_VaR_diskret Assignment 26: Berechnung des Value at Risk bei einer stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung Aufgabe ■ Berechnen Sie den Value at Risk für den MSCI WORLD Indexpreis ab dem 31.12.t(5) rückwirkend für die letzten 5 Jahre. Gehen Sie dabei in folgenden Schritten vor: □ Berechnen Sie zunächst den Value at Risk für ein Konfidenzniveau von 95% für einen Tag basierend auf den stetigen Renditen des MSCI WORLD Indexpreises. □ Berechnen Sie dann den Value at Risk für ein Konfidenzniveau von 95% für einen Tag basierend auf dem MSCI WORLD Indexpreis 3.001,83 USD. □ Berechnen Sie den Value at Risk für ein Konfidenzniveau von 99% für einen Tag basierend auf den stetigen Renditen des MSCI WORLD Indexpreises. □ Berechnen Sie dann den Value at Risk für ein Konfidenzniveau von 99% für einen Tag basierend auf dem MSCI WORLD Indexpreis. ■ Berechnen Sie die obigen Value at Risk Werte auch für einen Zeitraum von 30 Tagen. ■ Erklären Sie die Unterschiede der Ergebnisse und begründen Sie Ihre Aussagen. Inhalt Bei Vorliegen einer stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung ändert sich bei der Bestimmung des Value at Risk im Vergleich zum Vorliegen einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung nur wenig. Auch hier bestimmt man das (1 − α)-Quantil der Verteilung, d. h. den Wert, unter Course Unit 1: Value at Risk-Risikomaße 143 (4.1.26.1) (4.1.26.2) dem mindestens (1 − α) % der Ausprägungen liegen. Im Gegensatz zur diskreten Wahrschein‐ lichkeitsverteilung verwendet man als Grundlage der Verteilung keine historischen Daten, sondern unterstellt eine stetige Verteilung. Die bekannteste stetige Verteilung ist die Normalverteilung. Die Bestimmung der Quantile und damit die Berechnung des Value at Risk ist bei Vorliegen einer Normalverteilung besonders einfach. Die Normalverteilung wird durch den Erwartungswert μ und die Stan‐ dardabweichung σ vollständig bestimmt, so dass bei Kenntnis dieser Parameter der Value at Risk für das relevante Quantil problemlos berechnet werden kann. Als Renditen verwenden wir hier stetige Renditen. Es gilt bei der Berechnung des Value at Risk zu beachten, dass der Zeithorizont des Value at Risk und die zeitliche Dimension der Parameter μ und σ identisch sein müssen. Wird der Value at Risk wie in unserem Beispiel für einen Tag berechnet, so sind auch μ und σ als Erwartungswert und Standardabweichung der täglichen Rendite anzugeben. Stimmen der Zeithorizont des Value at Risk und der Parameter nicht überein, müssen Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ auf den Zeithorizont des Value at Risk umskaliert werden. Es wird dabei angenommen, dass die Parameter μ und σ über die Zeit konstant sind. Eine Umskalierung ist nur bei stetigen Renditen als Datengrundlage möglich. Bei diskreten Renditen ist dies nicht möglich. Wichtige Formeln Arbeitsmappe: Case Study Risikomanagement ➲ Arbeitsblatt: VaR stetige Rendite Wird die Verlustfunktion durch eine Normalverteilung modelliert mit Erwartungswert μ und Varianz σ 2 , dann gilt folgende Formel für den Value at Risk zum Konfidenzniveau (1 − α): V aR 1 − ∝ (X ) = μ + σ ⋅ N (1 − α) −1 V aR 1 − ∝ (X ) = Value at Risk zum Konfidenzniveau 1 − α für stetige Renditen σ = Standardabweichung N (1 − α) −1 = 1α-Quantil der Standardnormalverteilung μ = Erwartungswert Beweis für die Richtigkeit dieser Formel: P X ≤ V aR 1 − ∝ (X ) = P X − μ 0 ≤ N 1 − α −1 = N N 1 − α −1 = 1 − α Soll der Value at Risk für einen anderen Zeitraum als einen Tag berechnet werden, z. B. für dreißig Tage, müssen Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ auf den neuen Zeithorizont des 144 COURSE 4: RISIKOMAßE (4.1.26.3) Value at Risk umskaliert werden. Wir gehen davon aus, dass sich die Parameter auf eine Periode, in unserem Beispiel einen Tag beziehen. Nun soll der Value at Risk für eine Periode mit der Länge T, z. B. dreißig Tage berechnet werden. Die Formel lautet dann: V aR 1 − ∝ X = T ⋅ μ + T ⋅ σ ⋅ N 1 − α −1 Berechnung des Quantils der Verteilung zum Konfidenzniveau (1 − α) bei Annahme einer Normalverteilung in Excel: Excel-Beispiel: H7=NORM.INV(H5; 0; 1) Berechnung der stetigen, täglichen Volatilität in Excel: Excel-Beispiel: H9=STABW.N(D5: D1307) Der Erwartungswert der stetigen Renditen wird in Excel über die MITTELWERT-Funktion berechnet: Excel-Beispiel: H11=MITTELWERT(D5: D1307) Der Value at Risk berechnet sich in Excel mit: Excel-Beispiel: H13=H11+H9*H7 Diese Formel transformiert eine standardnormalverteilte Zufallsvariable in eine Zufallsvariable mitμ und Standardabweichungσ . Dies kann auch direkt über folgenden Excel-Befehl ausgeführt werden: Excel-Beispiel: H13=NORM.INV(H5; H11; H9) Unter Berücksichtigung der Zeitdimension lautet die Excel-Formel für den Value at Risk: Excel-Beispiel: H22=H20*H7*H9+H19*H11 Unter Berücksichtigung der Zeitdimension, des Preises und der Stückzahl lautet die Excel-Formel für den Value at Risk: Excel-Beispiel: H27=H23*H25 Course Unit 1: Value at Risk-Risikomaße 145 Vorgehensweise in Excel ■ Zunächst wird in Zelle H7=NORM.INV(H5; 0; 1)der Wert der Standardnormalverteilung für das 5%-Quantil berechnet. Er beträgt 1,645. ■ Im Anschluss daran wird die tägliche Volatilität ermittelt H9=STABW.N(D5: D1307). Sie beträgt 1%. ■ Zur Berechnung des Value at Risk wird der Mittelwert der negativen, stetigen, täglichen Renditen benötigt H11=MITTELWERT(D5: D1307). Dieser hat einen Wert von -0,04%. ■ Der Value at Risk für einen Tag beträgt 1,61% und wird mit der Excel-Formel: H13=H11+H9*H7 berechnet. Alternativ über H13=NORM.INV(H5; H11; H9). ■ Bei einem Stückpreis von 3.001,83 USD beträgt der Value at Risk in Geldeinheiten für einen Tag 48,23 USD. Die Excel-Formel H17=H13*H15 wird verwendet. ■ Unter Hinzunahme des Zeitfaktors beträgt der Value at Risk 7,72% gemäß Excel-Formel H22=H20*H7*H9+H19*H11. ■ Der Value at Risk in Geldeinheiten beträgt unter Berücksichtigung des Gesamtinvestitionsvo‐ lumens von 5 Anteilen 1.158 USD. Es findet die Excel-Formel H27=H23*H25 Anwendung. ■ Der Value at Risk besagt, dass in 95% der Fälle der tägliche Verlust eines Investments in 5 MSCI WORLD Index Anteilen 1.158 USD nicht überschreitet. 146 COURSE 4: RISIKOMAßE Excel Ergebnisse Abbildung 74: Ermittlung des Value at Risk bei einer stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung Course Unit 1: Value at Risk-Risikomaße 147 Vorgehensweise in Matlab ■ Importieren Sie die Kurse des MSCI World sowie die zugehörigen Zeitpunkte. Daten = readmatrix('Matlab Daten.xlsx'); MSCI = Daten(: ,3); Datum = Daten(: ,1); Kurs_MSCI = [Datum,MSCI]; ■ Berechnen Sie die stetigen Renditen des MSCI World. Renditen = -(price2ret(MSCI,[ ],'Continuous')); ■ Identifizieren Sie eine passende Normalverteilung. pd = fitdist(Renditen,'Normal'); ■ Lesen Sie den entsprechenden Wert an der Stelle ab (er lautet 1,61%). Alternativ dazu kann der VaR auch manuell laut Gleichung 4.1.26.1 berechnet werden. Alpha = 0.05 VaR = icdf(pd,(1-Alpha)) % Alternative Berechnung Erwartungswert = mean(Renditen); % Mittelwert der Renditen Std = std(Renditen); % Standardabweichung der Renditen Norm_Verteilung = norminv((1-Alpha)); % 95%-Quantil der Standardnormalverteilung VaR_alternativ = Erwartungswert + Std*Norm_Verteilung ■ Bestimmen Sie den VaR in Geldeinheiten. Marktpreis = MSCI(end); VaR_Geldeinheiten = VaR*Marktpreis ■ Bestimmen Sie den VaR unter Hinzunahme des Zeitfaktors. T = 30; % In Tagen Zeitfaktor = sqrt(T); VaR_Zeitfaktor = T*Erwartungswert+Zeitfaktor*Std*Norm_Verteilung VaR_Zeitfaktor_Geldeinheiten = VaR_Zeitfaktor*Marktpreis 148 COURSE 4: RISIKOMAßE Stueckzahl = 5; VaR_Zeit_Geld_Stueck = VaR_Zeitfaktor_Geldeinheiten*Stueckzahl Matlab Ergebnisse Abbildung 75: Berechnung des VaR bei einer stetigen Verteilung in Matlab Verweise auf das Excel- und Matlab-Tool Siehe Excel-Datei Case Study Risikomanagement, Excel-Arbeitsblatt VaR stetige Rendite. Siehe Matlab-Skript: A26_27_VaR_stetig Assignment 27: Berechnung des Conditional Value at Risk bzw. Expected Shortfall bei einer stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung Aufgabe ■ Berechnen Sie den Conditional Value at Risk für den MSCI WORLD Indexpreis ab dem 31.12.t(5) rückwirkend für die letzten 5 Jahre. Gehen Sie dabei in folgenden Schritten vor: □ Berechnen Sie zunächst den Conditional Value at Risk für ein Konfidenzniveau von 95% für einen Tag basierend auf den stetigen Renditen des MSCI WORLD Indexpreises. □ Berechnen Sie dann den Conditional Value at Risk für ein Konfidenzniveau von 95% für einen Tag basierend auf dem MSCI WORLD Indexpreis. □ Berechnen Sie den Conditional Value at Risk für ein Konfidenzniveau von 95% für 30 Tage basierend auf dem MSCI WORLD Index. □ Berechnen Sie den Conditional Value at Risk für ein Konfidenzniveau von 99% für einen Tag basierend auf den stetigen Renditen des MSCI WORLD Indexpreises. □ Berechnen Sie dann den Conditional Value at Risk für ein Konfidenzniveau von 99% für einen Tag basierend auf dem MSCI WORLD Indexpreis. □ Berechnen Sie den Conditional Value at Risk für ein Konfidenzniveau von 99% für 30 Tage basierend auf dem MSCI WORLD Indexpreis. ■ Erklären Sie die Unterschiede der Ergebnisse und begründen Sie Ihre Aussagen. Course Unit 1: Value at Risk-Risikomaße 149 (4.1.27.1) (4.1.27.2) (4.1.27.3) Inhalt Bei einer stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung wird der Conditional Value at Risk bzw. der Expected Shortfall als Erwartungswert aller Verluste gebildet, die größer als der Value at Risk sind. Er misst den durchschnittlichen Verlust für den Fall, dass der Value at Risk überschritten wird. Wichtige Formeln Arbeitsmappe: Case Study Risikomanagement ➲ Arbeitsblatt: VaR stetige Rendite Der Conditional Value at Risk kann über den bedingten Erwartungswert berechnet werden. Es wird der Mittelwert der Werte berechnet, bedingt dass die Werte den Value at Risk übersteigen. Der bedingte Erwartungswert entspricht der Berechnung eines Integrals: CV aR 1 − ∝ X = E X X ≥ V aR 1 − α Für eine normalverteilte Zufallsvariable X ∼ N μ, σ 2 ergibt sich: CV aR 1 − α (X ) = σ ⋅ φ N (1 − α) −1 α + μ φ( ⋅ ) = Dichte der Standardnormalverteilung N (1 − α) −1 = 1α-Quantil der Standardnormalverteilung μ = Erwartungswert σ = Standardabweichung Soll der Conditional Value at Risk für einen anderen Zeitraum als einen Tag berechnet werden, z. B. für dreißig Tage, müssen Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ wieder auf den neuen Zeitraum umskaliert werden. Durch Einsetzen der umskalierten Parameter in die Conditional Value at Risk Formel ergibt sich folgende Gleichung des umskalierten Conditional Value at Risk: CV aR 1 − α X = T ⋅ σ ⋅ φ N 1 − α −1 α + T ⋅ μ Der Wert der Dichtefunktion an der Stelle des (1-α)-Quantils der Standardnormalverteilung wird in Excel wie folgt berechnet: 150 COURSE 4: RISIKOMAßE Excel-Beispiel: H32=NORM.VERT(H7; 0; 1; FALSCH) Berechnung des Conditional Value at Risk (Expected Shortfall) als Rendite bei einer stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung in Excel: Excel-Beispiel: H33=H11+H9*H32/ H6 Berechnung des Conditional Value at Risk (Expected Shortfall) als Rendite für einen Zeitraum von 30 Tagen bei einer stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung in Excel: Excel-Beispiel: H35=$H$20*$H$9*($H$32/ $H$6)+$H$19*$H$11 Unter Berücksichtigung des Investitionsvolumens, Zeitfaktors und in Geldeinheiten lautet die Excel-Formel für den Conditional Value at Risk: Excel-Beispiel: H37=H36*H25 Vorgehensweise in Excel ■ Im ersten Schritt wird Dichtefunktion ausgewertet an der Stelle des 95%-Quantils H32=NORM.VERT(H7; 0; 1; FALSCH). Sie beträgt 0,1031. ■ Danach wird der Conditional Value at Risk für einen Tag berechnet H33=H11+H9*H32/ H6. Der Conditional Value at Risk für einen Tag beträgt 2,03%. Der CVAR in Geldeinheiten beträgt 60,82 USD H34=H15*H33. ■ Der Conditional Value at Risk für einen Zeitraum von 30 Tagen wird in Zelle H35 berechnet H35=$H$20*$H$9*($H$32/ $H$6)+$H$19*$H$11. Er beträgt 10,02%. Der CVAR in Geldeinheiten für 30 Tage beträgt 300,64 USD H36=$H$35*$H$15. Für 5 Aktien beläuft er sich dementsprechend auf 1.503 USD H37=H36*H25. Excel Ergebnisse Abbildung 76: Ermittlung des Conditional VaR (Expected Shortfall) bei einer stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung Course Unit 1: Value at Risk-Risikomaße 151 Vorgehensweise in Matlab ■ Ausgehend von Assignment 27 muss die Gleichung 4.1.27.2 angewendet werden. Multipli‐ zieren Sie dazu die Standardabweichung mit der Dichte der Standardnormalverteilung an der Position des 95%-Quantils. Dividieren Sie das Ergebnis durch Alpha und addieren Sie den Erwartungswert dazu. Sie erhalten einen Conditional VaR von 2,03%. Dichte = normpdf(Norm_Verteilung); CVaR_Rendite = Std*(Dichte/ Alpha)+Erwartungswert CVaR_Zeitfaktor = Zeitfaktor*Std*(Dichte/ Alpha)+T*Erwartungswert CVaR_Zeitfaktor_Geldeinheiten = CVaR_Zeitfaktor*Marktpreis CVaR_Geld_Zeit_Stueck = CVaR_Zeitfaktor_Geldeinheiten*Stueckzahl Matlab Ergebnisse Abbildung 77: Ermittelte Conditional VaRs einer stetigen Verteilung in Matlab Verweise auf das Excel- und Matlab-Tool Siehe Excel-Datei Case Study Risikomanagement, Excel-Arbeitsblatt VaR stetige Rendite. Siehe Matlab-Skript: A26_27_VaR_stetig Assignment 28: Backtesting: Wie gut ist der Value at Risk? Aufgabe Wir nehmen an, dass ein Datensatz bestehend aus 1.000 Tagen vorliegt. Das Konfidenzniveau des VaR ist 99%. Es ist somit zu erwarten, dass in dem vorliegenden Datensatz an 1% von 1.000 Tagen, also an 1 % ⋅ 1000 = 10 Tagen eine Überschreitung des Value at Risk beobachtet werden kann. Die Überschreitungen des Value at Risks werden als „Ausnahmen“ bezeichnet. Die 152 COURSE 4: RISIKOMAßE (4.1.28.1) erwarteten Ausnahmen werden nun mit den beobachteten Ausnahmen verglichen. Analysieren Sie die folgenden vier Fälle: a) Es werden 13 Ausnahmen beobachtet. b) Es werden 16 Ausnahmen beobachtet. Sie vermuten daher, dass der Value at Risk das Risiko unterschätzt. Prüfen Sie jeweils, ob Sie das Value at Risk Modell widerlegen müssen. Das Signifikanzniveau soll 5% betragen. c) Es werden 6 Ausnahmen beobachtet. d) Es werden 4 Ausnahmen beobachtet. Sie vermuten, dass der Value at Risk das Risiko überschätzt. Prüfen Sie jeweils, ob Sie das Value at Risk Modell widerlegen müssen. Das Signifikanzniveau soll 5% betragen. Inhalt Die oben beschriebenen Risikomodelle und -maße basieren auf Annahmen. Diese Annahmen stellen eventuell die Realität nicht korrekt dar. Umso wichtiger ist es, das verwendete Risikomaß und die Modelle auf deren (historische) Richtigkeit zu überprüfen. Ein Ansatz hierfür ist das Backtesting. Beim Backtesting wird überprüft, wie gut der Value at Risk das tatsächliche, historische Risiko prognostiziert hat. Wenn wir einen 1-Tages V aR 99 % und einen Datensatz von 1.000 Tagen haben, würden wir vermuten, dass wir maximal an 10 Tagen eine Überschreitung des VaR beobachten können. Diese Überschreitungen werden als „Ausnahmen“ bezeichnet. Es könnte sich bei der historischen Betrachtung herausstellen, dass dieser Wert an mehr als 10 Tagen überschritten wurde, also die Anzahl der Ausnahmen höher als prognostiziert ist. Fraglich ist aber, ab welcher Überschreitung der prognostizierten Anzahl an Ausnahmen das VaR-Modell nicht verwendet werden kann. Daher muss geprüft werden, ob die Anzahl der Ausnahmen für eine Widerlegung der Annahmen für den V aR 99 % ausreicht. Hierfür kann der aus der Statistik bekannten Signifikanztest eingesetzt werden. Wichtige Formeln Arbeitsmappe: Case Study Risikomanagement ➲ Arbeitsblatt: Backtesting Zunächst werden die vorliegenden Daten analysiert. Der Datensatz enthält die Daten aus n betrachteten Tagen. Im obigen Beispiel ist n = 1 . 000 . Es wird die Anzahl der Überschreitungen des Value at Risk, die sogenannten Ausnahmen c, aus den historischen Daten bestimmt. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine solche Ausnahme eintritt, ist p und kann berechnet werden durch: p = c n Course Unit 1: Value at Risk-Risikomaße 153 (4.1.28.2) (4.1.28.3) (4.1.28.4) c = Anzahl der Überschreitungen des Value at Risk, sogenannte Ausnahmen n = Anzahl der Daten im Datensatz Folglich sollte, falls der V aR 1 − α zutrifft, die Wahrscheinlichkeit, dass eine Ausnahme in dem Datensatz eintrifft, gleich α sein. Folglich sollte gelten: p = α p = Wahrscheinlichkeit für eine Ausnahme im Datensatz α = Wahrscheinlichkeit für eine Ausnahme im VaR Modell Diese Aussage kann mit einem Signifikanztest überprüft werden. Um einen Signifikanztest durchführen zu können muss ein Signifikanzniveau gewählt werden. In der Praxis verwendet man hierfür in der Regel 5%. Das Signifikanzniveau bedeutet, dann man eine Fehlerwahrscheinlichkeit von 5% akzeptiert. Zu beachten ist, dass bei statistischen Tests eine Aussage nur widerlegt werden kann und nicht bestätigt werden kann. Ist die Anzahl der beobachteten Ausnahmen c , größer als die Anzahl der erwarteten Ausnahmen α ⋅ n, muss geprüft werden, ob der Value at Risk das Risiko unterschätzt. Die Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl der Ausnahmen. Zu prüfen ist, ob: P X ≥ c p = α = 1 − P X < c p = α = 1 − P X ≤ c − 1 p = α < 5% Ist die Wahrscheinlichkeit, dass c oder mehr Ausnahmen eintreten, kleiner als das Signifikanzni‐ veau (hier 5%), gilt das Modell als widerlegt. Das bedeutet, dass es unwahrscheinlich ist, dass c oder mehr Ausnahmen beobachtet werden können. Ist die Anzahl der beobachteten Ausnahmen c kleiner als die Anzahl der erwarteten Ausnahmen α ⋅ n, muss geprüft werden, ob der Value at Risk das Risiko überschätzt. Zu prüfen ist, ob: P X ≤ c p = α < 5% Ist die Wahrscheinlichkeit, dass c oder weniger Ausnahmen eintreten kleiner als das Signifikanz‐ niveau, gilt das Modell als widerlegt. Die zugrundeliegende Verteilung ist die Binomialverteilung, da es nur zwei mögliche Ereignisse gibt: der Verlust liegt über dem Value at Risk oder darunter. Die Parameter der Binomialverteilung sind n, die Anzahl der beobachteten Tage und α, die Wahrscheinlichkeit für eine Ausnahme im Value at Risk Modell. Vorgehensweise in Excel In Excel lässt sich der Wert einer Binomialverteilung mit BINOM.VERT(Anzahl der Fehler, Anzahl der Züge, Alpha, Kumuliert) darstellen. 154 COURSE 4: RISIKOMAßE ■ Zuerst importiert man die Anzahl der Versuche, das Alpha und das Signifikanzniveau in die Zellen B4: E6. ■ Anschließend gibt man in Zelle E11 die Anzahl der Fehler 13 ein. ■ In Zelle E12 errechnet man nun den Wert der Verteilung mit E12=1-BINOM.VERT (E11-1; $E$4; $E$5; WAHR). ■ In Zelle E13 wird nun geprüft, ob der VaR widerlegt wird oder nicht. Dies erfolgt mit E13=WENN(E12>=E6; "NEIN"; "JA"). ■ In den Zellen darunter wiederholt man dies für 16 Fehler. ■ Um nun zu analysieren, ob der Value at Risk das Risiko überschätzt, gibt man in Zelle E22 die Anzahl der Fehler 6 ein. ■ In Zelle E23 errechnet man nun den Wert der Verteilung mit BINOM.VERT(E22; $E$4; $E$5; WAHR). ■ In Zelle E24 wird nun geprüft, ob der VaR widerlegt wird. Dies erfolgt E24=WENN (E23>=E6; "NEIN"; "JA"). ■ In den Zellen darunter wiederholt man dies für 4 Fehler. Excel Ergebnisse Abbildung 78: Backtesting des VaR bei einer Unterschätzung Abbildung 79: Backtesting des VaR bei einer Überschätzung Course Unit 1: Value at Risk-Risikomaße 155 Vorgehensweise in Matlab Für Matlab kann man die Funktion binocdf() verwenden. Hierbei muss beachtet werden, ob eine Über- oder Unterschätzung analysiert wird. 1) Vermutung: Der VaR unterschätzt das Risiko - a) Wir verwenden für die Anzahl die Funktion 1-binocdf(). Die Parameter der Binomi‐ alverteilung sind c − 1 = 12, die Datenmenge 1.000 und der Alpha-Wert 1-0,99=0,01. Das Ergebnis ist ≥ 5%. Entsprechend wird das Modell nicht widerlegt. % Mit 13 beobachteten Ausnahmen Y1= 1binocdf(12,1000,0.01) - b) Wir verwenden für die Anzahl die Funktion 1-binocdf(). Als Anzahl der Ausnahmen wählen wir 16, als Datenmenge 1.000 und als Alpha-Wert 1-0,99=0,01. Der Wert wird in X geladen. Das Ergebnis ist ≤ 5%. Entsprechend wird das Modell widerlegt. % Mit 16 beobachteten Ausnahmen Y2= 1binocdf(15,1000,0.01) % < 0.05 wird widerlegt 2) Vermutung: Der VaR überschätzt das Risiko - a) Wir verwenden für die Anzahl die Funktion binocdf(). Als Anzahl der Ausnahmen wählen wir 6, als Datenmenge 1.000 und als Alpha-Wert 1-0,99=0,01. Das Ergebnis ist ≥ 5%. Entsprechend wird das Modell nicht widerlegt. % Mit 6 beobachteten Ausnahmen X1= binocdf(6,1000,0.01) - b) Wir verwenden für die Anzahl die Funktion binocdf(). Als Anzahl der Ausnahmen wählen wir 4 als Datenmenge 1.000 und als Alpha-Wert 1-0,99=0,01. Der Wert wird in X geladen. Das Ergebnis ist ≤ 5%. Entsprechend wird das Modell widerlegt. % Mit 4 beobachteten Ausnahmen X2= binocdf(4,1000,0.01) % < 0.05 wird widerlegt 156 COURSE 4: RISIKOMAßE Matlab Ergebnisse Abbildung 80: Backtesting des VaR bei einer Unterschätzung Abbildung 81: Backtesting des VaR bei einer Überschätzung Verweise auf das Excel- und Matlab-Tool Siehe Excel-Datei Case Study Risikomanagement, Excel-Arbeitsblatt Backtesting. Siehe Matlab-Skript: A28_Backtesting Course Unit 2: Lower-Partial-Moment-Risikomaße Assignment 29: Berechnung von Lower Partial Moments: Shortfall-Wahrscheinlichkeit Aufgabe Berechnen Sie die Shortfall-Wahrscheinlichkeit (Lower Partial Moments nullter Ordnung bzw. LPM 0 ), für den MSCI WORLD Indexpreis ab dem 31.12.t(5) rückwirkend für die letzten 5 Jahre. Inhalt Lower Partial Moments (untere partielle Momente; LPM m -Maße) sind Risikomaße, die sich als Downside-Risikomaß nur auf einen Teil der gesamten Wahrscheinlichkeitsdichte beziehen. Sie erfassen nur die negativen Abweichungen von einer Schranke τ (Zielgröße), werten aber in diesem Bereich die gesamten Informationen der Wahrscheinlichkeitsverteilung aus (bis zum theoretisch möglichen Maximalschaden). Course Unit 2: Lower-Partial-Moment-Risikomaße 157 (4.2.29.1) Üblicherweise werden in der Praxis drei Spezialfälle betrachtet: ■ Shortfall-Wahrscheinlichkeit (Lower Partial Moments nullter Ordnung bzw. LPM 0 ), ■ Shortfall-Erwartungswert (Lower Partial Moments erster Ordnung bzw. LPM 1 ) und ■ Shortfall-Varianz (Lower Partial Moments zweiter Ordnung bzw. LPM 2 ). Das Ausmaß der Gefahr der Unterschreitung der Zielgröße τ wird dabei in verschiedener Weise berücksichtigt. Bei der Shortfall-Wahrscheinlichkeit spielt nur die Wahrscheinlichkeit p der Unterschreitung eine Rolle. Beim Shortfall-Erwartungswert wird dagegen die mittlere Unterschreitungshöhe berücksichtigt. Die Shortfall-Wahrscheinlichkeit (Lower Partial Moments nullter Ordnung bzw. LPM 0 ), auch Downside-Wahrscheinlichkeit genannt, erfasst die Wahrscheinlichkeit, mit der das Mindest‐ anspruchsniveau eine vorab definierte Schwelle τ unterschreiten wird. Allerdings wird die absolute Höhe der Zielwertunterschreitungen nicht erfasst. Die Shortfall-Wahrscheinlichkeit oder Ausfallwahrscheinlichkeit ermittelt sich z. B. als Anzahl der Renditen, die den Zielwert unterschreiten, im Verhältnis zur Gesamtzahl der Renditen. Somit stellt die Shortfall-Wahr‐ scheinlichkeit die relative Häufigkeit der Zielwertunterschreitungen dar. Für die Ermittlung der Shortfall-Wahrscheinlichkeit wird das Mindestanspruchsniveau fest‐ gelegt und die Wahrscheinlichkeit der Unterschreitung festgestellt. Im Gegensatz dazu steht beim VaR als α-Quantil die Shortfall-Wahrscheinlichkeit über das gewählte Konfidenzniveau fest und der dazu passende Zielwert wird bestimmt. Die Shortfall-Wahrscheinlichkeit und der VaR stehen somit in einem inversen Verhältnis. Wichtige Formeln Arbeitsmappe: Case Study Risikomanagement ➲ Arbeitsblatt: Lower Partial Moments Die allgemeine Formel der Lower Partial Moments lautet: LP M m τ , r s = 1 T ∑ t = 1 X < τ T τ − r s m LPM = Lower Partial Moments m = Ordnung τ = Geforderter Zielwert m = Ordnung, auch „Target“, z. B. die Mindestrendite r s = Stetige Rendite t = Index für die Zeit T = Zeitspanne Bei der Shortfall-Wahrscheinlichkeit spielt nur die Wahrscheinlichkeit P der Unterschreitung eine Rolle. Die Shortfall-Wahrscheinlichkeit (LPM 0 ) berechnet sich basierend auf obiger Formel wie folgt: 158 COURSE 4: RISIKOMAßE (4.2.29.2) LP M 0 τ , r s = P r s < τ Die Berechnung der Shortfall-Wahrscheinlichkeit in Excel erfolgt gemäß: Excel-Beispiel: K7=ANZAHL(E5: E1307)/ ANZAHL(D5: D1307) Vorgehensweise in Excel ■ Ausgehend von den stetigen Renditen in Spalte D werden die Renditen X ermittelt, die unter dem Zielwert τ liegen (der Zielwert ist in Zelle K5 abgebildet und beträgt -3,5%). Dies erfolgt durch die Excel-Formel E5=WENN(D5<$K$5; D5; ""). ■ Im nächsten Schritt wird die Shortfall-Wahrscheinlichkeit (LPM 0 ) berechnet, indem die An‐ zahl der Werte, die sich unterhalt der Zielgröße befinden, durch die Anzahl der beobachtbaren Renditen geteilt werden K7=ANZAHL(E5: E1307)/ ANZAHL(D5: D1307). Excel Ergebnisse Abbildung 82: Berechnung der Shortfall-Wahrscheinlichkeit (Lower Partial Moments nullter Ordnung bzw. LPM 0 ) Die Vorgehensweise in Matlab finden Sie in Assignment 31. Verweise auf das Excel- und Matlab-Tool Siehe Excel-Datei Case Study Risikomanagement, Excel-Arbeitsblatt Lower Partial Moments. Siehe Matlab-Skript: A29_30_31_Lower_Partial_Moments Course Unit 2: Lower-Partial-Moment-Risikomaße 159 (4.2.30.1) Assignment 30: Berechnung von Lower Partial Moments: Shortfall-Erwartungswert Aufgabe Berechnen Sie den Shortfall-Erwartungswert (Lower Partial Moments erster Ordnung bzw. LPM 1 ) für den MSCI WORLD Indexpreis ab dem 31.12.t(5) rückwirkend für die letzten 5 Jahre. Inhalt Der Shortfall-Erwartungswert (LPM erster Ordnung bzw. LPM 1 ), berücksichtigt das Ausmaß der Unterschreitung des festgelegten Targets. Er wird auch „erwarteter Ausfall“, „mittleres Ausfallrisiko“, „Expected Shortfall Magnitude“ oder „Target Shortfall“ genannt. Gleichzeitig kann man den Expected Shortfall als Sonderfall der LPM 1 verstehen, bei dem ein beweglicher Schwellenwert in Höhe des α-Quantils verwendet wird. Auch die Semistandardabweichung gilt als Spezialfall der LPM 1 . Der Downside-Erwartungswert errechnet sich als Summe der beobachteten Differenzen zwischen dem Zielwert und den einzelnen Renditen, die einen Wert größer null aufweisen, dividiert durch die Gesamtzahl der über der Schranke liegenden Renditen. Somit gibt das LPM 1 Auskunft über die erwartete Höhe der Verfehlungen des Zielwerts. Zusammen mit der Downside-Wahrscheinlichkeit ergibt sich ein aussagekräftiges Bild, da so nicht nur die Wahrscheinlichkeit, sondern auch das Ausmaß der möglichen Zielverfehlungen dargestellt wird. Wichtige Formeln Arbeitsmappe: Case Study Risikomanagement ➲ Arbeitsblatt: Lower Partial Moments Beim Shortfall-Erwartungswert wird die mittlere Unterschreitungshöhe berechnet. Die Berech‐ nung des Shortfall-Erwartungswerts in Excel erfolgt gemäß: LP M 1 τ , r s = 1 T ∑ t = 1 X < τ T τ − r s Der Shortfall-Erwartungswert (LPM 1 ) berechnet sich basierend auf obiger Formel wie folgt: Excel-Beispiel: K9=MITTELWERT(G5: G1307) 160 COURSE 4: RISIKOMAßE Vorgehensweise in Excel ■ Ausgehend von dem Zielwert τ in Höhe von -3,5% wird die Differenz zwischen Rendite und Zielwert gemessen. Dies erfolgt durch die Excel-Formel F5=$K$5-D5. ■ Danach werden diejenigen Werte ermittelt, die kleiner Null sind G5=MAX(F5; 0). Nur diese Werte werden dann ausgewiesen H5=MAX((G5^2); 0). ■ Im letzten Schritt wird der Shortfall-Erwartungswert (LPM 1 ) als Mittelwert der Abweichun‐ gen von der Schranke ermittelt K9=MITTELWERT(G5: G1307). ■ Der Mittelwert beträgt 0,0179% und besagt, dass in 0,7% der Fälle die Verluste durchschnittlich um 0,0179% höher als die vorgegebene Schranke von -3,5% sind bzw. dass in 0,7% der Fälle die Verluste -3,5179% betragen. Excel Ergebnisse Abbildung 83: Berechnung des Shortfall-Erwartungswerts (LPM erster Ordnung bzw. LPM 1 ) Verweise auf das Excel- und Matlab-Tool Siehe Excel-Datei Case Study Risikomanagement, Excel-Arbeitsblatt Lower Partial Moments. Siehe Matlab-Skript: A29_30_31_Lower_Partial_Moments Assignment 31: Berechnung von Lower Partial Moments: Shortfall-Varianz Aufgabe Berechnen Sie die Shortfall-Varianz (Lower Partial Moments zweiter Ordnung bzw. LPM 2 ) für den MSCI WORLD Indexpreis ab dem 31.12.t(5) rückwirkend für die letzten 5 Jahre. Course Unit 2: Lower-Partial-Moment-Risikomaße 161 (4.2.31.1) Inhalt Die Shortfall-Varianz als LPM zweiter Ordnung (LPM 2 ) erfasst die Streuung der Unterschrei‐ tungen des Zielwerts. Mit Hilfe der Shortfall-Varianz werden größere Verluste stärker gewichtet als geringere, indem die Zielunterschreitungen quadriert werden. Die Downside- Varianz misst somit die durchschnittliche quadrierte negative Abweichung vom Zielwert. Die Shortfall-Varianz weist Ähnlichkeiten zur Semivarianz auf, weswegen sie teilweise auch als Target-Semivarianz bezeichnet wird. Daneben hat sie Ähnlichkeiten zur Varianz, wobei hier die Abweichungen unter Berücksichtigung des Zielwerts und nicht um den Mittelwert der Verteilung berechnet werden. Mit der Shortfall-Varianz werden die hohen Unterschreitungen des Zielwerts besonders stark gewichtet, wohingegen die Varianz starke Abweichungen vom Mittelwert in beide Richtungen bestraft. Da aber Investoren keine überdurchschnittlich hohen Erträge bestrafen wollen, passt die Shortfall-Varianz besser zu den Risikopräferenzen von Investoren. Wichtige Formeln Arbeitsmappe: Case Study Risikomanagement ➲ Arbeitsblatt: Lower Partial Moments Bei der Shortfall-Varianz wird die Streuung der Unterschreitungen des Zielwerts berechnet. Die Berechnung der Shortfall-Varianz in Excel erfolgt gemäß: LP M 2 τ , r s = 1 T ∑ t = 1 X < τ T τ − r s 2 Die Shortfall-Varianz (LPM 2 ) berechnet sich basierend auf obiger Formel wie folgt: Excel-Beispiel: K11=MITTELWERT(H5: H1307) Vorgehensweise in Excel ■ Ausgehend von dem Zielwert τ in Höhe von -3,5% Zelle wird die Differenz zwischen Rendite und Zielwert gemessen und quadriert. Dies erfolgt durch die Excel-Formel F5=$K$5-D5. ■ Danach werden diejenigen Werte ermittelt, die kleiner Null sind G5=MAX(F5; 0) und quadriert H5=MAX((G5^2); 0). 162 COURSE 4: RISIKOMAßE ■ Im letzten Schritt wird die Shortfall-Varianz (LPM 2 ) als Mittelwert der quadrierten Abwei‐ chungen von der Schranke ermittelt K11=MITTELWERT(H5: H1307). Excel Ergebnisse Abbildung 84: Berechnung der Shortfall-Varianz als LPM zweiter Ordnung (LPM 2 ) Vorgehensweise in Matlab ■ Importieren Sie die Kurse des MSCI World sowie die zugehörigen Zeitpunkte. Daten = readmatrix('Matlab Daten.xlsx'); MSCI = Daten(: ,3); Datum = Daten(: ,1); Kurs_MSCI = [Datum,MSCI]; ■ Berechnen Sie die stetigen Renditen des MSCI World. Stetige_Rendite = tick2ret(MSCI,[ ],'continuous'); ■ Bestimmen Sie den Zielwert der stetigen Renditen des MSCI World. Zielwert = -0.035 ■ Berechnen Sie die Lower Partial Moments in % (Nullter, Erster und Zweiter Ordnung). LowerPartialMoments = lpm(Stetige_Rendite,Zielwert, [0 1 2])*100 Course Unit 2: Lower-Partial-Moment-Risikomaße 163 Matlab Ergebnisse Abbildung 85: Berechnete Lower Partial Moments in Prozent Verweise auf das Excel- und Matlab-Tool Siehe Excel-Datei Case Study Risikomanagement, Excel-Arbeitsblatt Lower Partial Moments. Siehe Matlab-Skript: A29_30_31_Lower_Partial_Moments Course Unit 3: Risikomaße bei Bonds, Extremrisiken und Risikomaße im Vergleich Assignment 32: Macaulay-Duration und Modified Duration Aufgabe Sie besitzen eine Anleihe mit einer Restlaufzeit von sechs Jahren. Der Nominalzins beträgt 4,5%. Am Ende der Laufzeit bekommen Sie den Nennwert der Anleihe in Höhe von 1.000 USD zurück. ■ Berechnen Sie den Barwert der Zahlungen bei einem Marktzins in Höhe von 4%. ■ Berechnen Sie die Macaulay Duration. ■ Berechnen Sie die Modified Duration. ■ Schätzen Sie den Preis der Anleihe auf Grund der Zinsänderung des Marktzinssatzes auf 5% mit Hilfe des Konzepts der Modified Duration. Wie groß ist der Unterschied zum tatsächlichen neuen Preis? ■ Berechnen Sie die Konvexität (Convexity). 164 COURSE 4: RISIKOMAßE Inhalt Anleihen sind Forderungspapiere, durch die ein Kredit am Kapitalmarkt aufgenommen wird. Wir gehen davon aus, dass Sie die Grundlagen von Anleihen beherrschen (siehe Literaturhinweise). Folgende Grundbegriffe sind relevant: Anleihe/ Bond Meist längerfristige Schuldverschreibung. Der Aussteller zahlt dem Käufer der Anleihe für die vereinbarte Laufzeit Zinsen (Kupons), am Ende der Laufzeit erhält der Käufer zusätzlich die geliehene Summe zurück. - Kupon oder Zinsschein - Berechtigung zum Erhalt der fälligen Zinsen. - Nennwert oder Nominalwert - Geldbetrag, den der Emittent der Anleihe dem Halter der Anleihe am Ende der Laufzeit zurückzahlen muss. - Nominalzinssatz - Vertraglich vereinbarter Zinssatz, mit dem die Anleihe ver‐ zinst wird. - Festverzinsliche Anleihe - Anleihe mit im Voraus festgelegter Verzinsung. Die Zinszah‐ lung erfolgt in der Regel jährlich oder halbjährlich. - Die Duration oder auch Macaulay Duration gibt den Zeitpunkt an, zu dem der Wert des festverzinslichen Wertpapiers unabhängig davon ist, wie sich der Marktzinssatz verändert hat. Möglich ist dies dadurch, dass Zinsänderungen entgegengesetzte Effekte auf den Endwert eines festverzinslichen Wertpapiers haben. Einerseits folgt aus einem Zinsanstieg ein gerin‐ gerer Barwert des Wertpapiers, andererseits können Kuponzahlungen bei einer Wiederanlage höher verzinst werden. Das Konzept der Duration wurde von Frederick R. Macaulay eingeführt. Die Macaulay Dura‐ tion kann auch als mittlere Kapitalbindungsdauer einer Geldanlage in einem festverzinslichen Wertpapier interpretiert werden. Es ist der gewichtete Mittelwert der Zeitpunkte, zu denen der Anleger Zahlungen aus einem Wertpapier erhält. Die Macaulay Duration gibt also an, nach welcher Zeit der Investor sein eingesetztes Kapital wiedererhält und beschreibt somit das Wiederanlagerisiko. Die Modified Duration ist ein Risikomaß für das Zinsänderungsrisiko und kann aus der Duration abgeleitet werden (daher Modified (Modifizierte) Duration). Während die Duration in der Einheit Jahre gemessen wird, beantwortet die Modified Duration die in der Praxis häufig gestellte Frage, wie hoch die relative Änderung des Anleihekurses in Abhängigkeit einer Änderung des Marktzinsniveaus ist. Die Modified Duration besagt, um wie viel Prozent sich der Anleihekurs ändert, wenn sich das Marktzinsniveau um einen Prozentpunkt ändert. Die Modified Duration gibt also an, wie stark sich der Gesamtertrag einer Anleihe (bestehend aus den Tilgungen, Kuponzahlungen und dem Zinseszinseffekt bei der Wiederanlage der Course Unit 3: Risikomaße bei Bonds, Extremrisiken und Risikomaße im Vergleich 165 (4.3.32.1) (4.3.32.2) Rückzahlungen) ändert, wenn sich der Zinssatz am Markt ändert. Damit misst sie den durch eine marginale Zinssatzänderung ausgelösten Kurseffekt und kann als Elastizität des Anleihekurses in Abhängigkeit vom Marktzinssatz verstanden werden. Der Barwert von Anleihen weist bei Zinsänderungen einen konvexen Verlauf auf. Da die Modified Duration lediglich die erste Ableitung - also die Steigung - berücksichtigt, liefert sie nur für kleine Zinsänderungen nutzbare Werte. Die Modified Duration ist ein sehr vorsichtiges Risikomaß, da Risiken überschätzt und Chancen unterschätzt werden. Daher wird als etwas genaueres Risikomaß die Konvexität (Convexity) eingesetzt. Bei der Konvexität wird nicht nur die erste Ableitung betrachtet, sondern zusätzlich auch die zweite Ableitung. Die Konvexität ist ein Risikomaß zur Beschreibung des Verhaltens einer Anleihe bei Zinsän‐ derungen. Sie ist eine Erweiterung bzw. Verbesserung der Modified Duration. Eine positive Konvexität beschreibt Anleihen, die bei steigenden Zinssätzen eine geringe Kurssensitivität und bei sinkenden Zinssätzen eine hohe Kurssensitivität besitzen. Bei steigenden Zinsen sind niedrige Kursverluste zu erwarten, bei sinkenden Zinsen hingegen hohe Kurssteigerungen. Ferner gilt: Je größer die Konvexität, desto stärker ist dieses Verhalten der Anleihe ausgeprägt. Wichtige Formeln Arbeitsmappe: Case Study Risikomanagement ➲ Arbeitsblatt: Duration Die Macaulay-Duration kann mit Hilfe folgender Formel berechnet werden. Aus Vereinfachungs‐ gründen wird eine flache Zinsstrukturkurve mit einem jährlich konstanten Marktzins angenom‐ men. D = ∑ t = 1 T t ⋅ Zt 1 + r t P = ∑ t = 1 T t ⋅ Zt 1 + r t ∑ t = 1 T Zt 1 + r t D = Macaulay Duration Z t = Zahlung am Ende der Periode t, r = Marktzinssatz P = Preis der Anleihe t = Zeitperiode T = Laufzeit der Anleihe Möchte man untersuchen, welche Auswirkung die Änderung des Marktzinssatzes auf den Preis einer Anleihe hat, kann man die Preisfunktion der Anleihe nach dem Marktzinssatz ableiten und erhält folgenden Zusammenhang: dP (r) dr = − 1 1 + r ⋅ D ⋅ P (r) 166 COURSE 4: RISIKOMAßE (4.3.32.3) (4.3.32.4) (4.3.32.5) (4.3.32.6) (4.3.32.7) dP (r) dr = Erste Ableitung der Preisfunktion nach dem Marktzinssatz dP (r) = Änderung des Preises bei einer kleinen Änderung des Marktzinses dr = Kleine Änderung des Marktzinssatzes Formt man diese Gleichung um, erhält man: dP P = − 1 1 + r ⋅ D ⋅ dr = − MD ⋅ dr Vereinfacht wurde hier P (r) = P gesetzt. Die modified Macaulay Duration ist der Proportionali‐ tätsfaktor: MD = − 1 1 + r ⋅ D Die Modified Duration ist also nichts anderes als die erste Ableitung der Barwertfunktion nach dem Zins, geteilt durch den Preis (Barwert) der Anleihe. Das Konzept der Konvexität verbessert die Ergebnisse der Duration. Dies gelingt indem in der Taylorentwicklung die zweite Ableitung hinzugenommen wird. Es ergibt sich folgender Zusammenhang: P r + Δr ≈ P (r) + dP dr ⋅ Δr + 1 2! ⋅ d 2 P dr 2 Δr 2 Δr = Änderung des Marktzinssatzes. d 2 P dr 2 = Zweite Ableitung der Preisfunktion nach dem Marktzinssatz. und somit: P r + Δr − P (r) P (r) = ΔP P ≈ − MD ⋅ Δr + 12 ⋅ C ⋅ Δr 2 wobei C die Konvexität beschreibt: C = Δ 2 P dΔr 2 ⋅ 1 P = ∑ t = 1 T t ⋅ t + 1 Zt 1 + r t + 2 P = ∑ t = 1 T t ⋅ t + 1 Zt 1 + r t + 2 ∑ t = 1 T Zt 1 + r t Die Konvexität ist als nichts anderes als die zweite Ableitung der Barwertfunktion nach dem Zins, geteilt durch den Preis (Barwert) der Anleihe. Die Formel für die Preisänderung nach der exakten Berechnung lautet: Course Unit 3: Risikomaße bei Bonds, Extremrisiken und Risikomaße im Vergleich 167 (4.3.32.8) (4.3.32.9) (4.3.32.10) ΔP = P r + Δr − P (r) Nach einer Zinsänderung muss der neue Anleihepreis über eine Barwertberechnung neu ermittelt werden. Näherungsweise kann die Preisänderung allerdings mit dem Konzept der Modified Duration berechnet werden. Die Formel für die Preisänderung nach der näherungsweisen Berechnung über die die Modified Duration lautet: P (r + Δr) − P (r) = 1/ (1 + r) ⋅ D ⋅ P (r) ⋅ Δr = MD ⋅ P (r) ⋅ Δr Die Formel für die Preisänderung nach der näherungsweisen Berechnung über die Konvexität lautet: P (r + Δr) − P (r) = MD ⋅ Δr ⋅ P (r) + 12 ⋅ C ⋅ Δr 2 ⋅ P (r) Vorgehensweise in Excel Die Zahlungsreihe (C16 bis H16) der Anleihe besteht aus Kuponzahlungen (berechnet über den Nennwert der Anleihe (C4) und den Nominalzins (C8)). Am Ende der Laufzeit wird der Nennwert zurückbezahlt (C4). Bitte beachten Sie, mit dem vorangestellten Zeichen „$“ lässt sich die Formel nach rechts kopieren, ohne dass sich der Zellen, auf die verwiesen wird, ändern. Excel-Beispiel: C16=$C$4*$C$8 D16=$C$4*$C$8 E16=$C$4*$C$8 F16=$C$4*$C$8 G16=$C$4*$C$8 H16=$C$4*$C$8+C4 Mit dieser Zahlungsreihe lässt sich nun der Barwert einfach berechnen, in dem die einzelnen Werte abdiskontiert werden und anschließend aufsummiert werden: Excel-Beispiel: C19=C$16*(1+$C$9)^(-C$15) … H19=H$16*(1+$C$9)^(-H$15) I19=SUMME(C19: H19) 168 COURSE 4: RISIKOMAßE Die Summe entspricht dem Barwert der Zahlungen. Der Barwert der Zahlungen ist gleichzeitig der Preis der Anleihe. Der Zähler der Durationsformel ist ein gewichteter Barwert. Zunächst werden die einzelnen Barwerte mit dem Zeitpunkt t gewichtet und dann aufsummiert: Excel-Beispiel: C21=C$15*C19 … H21=H$15*H19 I21=SUMME(C21: H21) Die Macaulay Duration ergibt sich nun aus der Division von gewichtetem Barwert und dem Barwert: Excel-Beispiel: C28=I21/ I19 Zur Berechnung der Modified Duration muss die Macaulay Duration noch durch den Zinsfaktor geteilt werden: Excel-Beispiel: C32=-C28/ (1+C9) Für die Berechnung der Macaulay Duration und der Modified Duration bietet Excel vordefinierte Funktionen an: Die Berechnung der Duration erfolgt mit der Excel-Funktion DURATION gemäß: Excel-Beispiel: C51=DURATION(C43; C44; C45; C46; C48; C49) Die Berechnung der Modified Duration erfolgt mit der Excel-Funktion MDURATION gemäß: Excel-Beispiel: C52=-MDURATION(C43; C44; C45; C46; C48; C49) Die Berechnung des für die Konvexität relevanten gewichteten Barwerts im Zähler erfolgt in Excel gemäß: Excel-Beispiel: C23 =C15*(1+C15)*C16/ ((1+$C$9)^(C15+2)) … Course Unit 3: Risikomaße bei Bonds, Extremrisiken und Risikomaße im Vergleich 169 H23 =H15*(1+H15)*H16/ ((1+$C$9)^(H15+2)) I23 =SUMME(C23: H23) Der gewichtete Barwert für die Konvexität wird dann anschließend mit der Zelle C36 verlinkt. Zur Berechnung der Konvexität soll dieser noch durch den Barwert geteilt werden, welchen wir mit Zelle C37 verknüpft haben. Die Berechnung der Konvexität erfolgt in Excel gemäß: Excel-Beispiel: C39=C36/ C37 Die Berechnung des Gesamtbarwerts aller Zahlungen nach Erhöhung des Marktzinssatzes erfolgt in Excel analog zur obigen Barwertberechnung, nur muss der Barwert mit dem neuen Marktzins berechnet werden: Excel-Beispiel: C55=C$16*(1+$C$11)^(-C$15) … H55=H$16*(1+$C$11)^(-H$15) I55=SUMME(C55: H55) Die exakte Berechnung der Preisänderung erfolgt in Excel gemäß: Excel-Beispiel: C62=C58-I19 Die näherungsweise Berechnung der Preisänderung mit Hilfe der Modifizierten Duration erfolgt in Excel gemäß: Excel-Beispiel: C66=C32*C10*I19 Die näherungsweise Berechnung der Preisänderung mit Hilfe der Konvexität erfolgt in Excel gemäß: Excel-Beispiel: C67=C66+1/ 2*C39*C10^2*I19 170 COURSE 4: RISIKOMAßE Vorgehensweise in Excel ■ In den Zahlungen (Zellen C16: H16), die aus der Anleihe resultieren, können Sie den Kupon-/ Nominalzinssatz erkennen. In unserem Beispiel wurden 1.000 USD investiert. Die Zinszahlungen betragen 45 USD pro Jahr, d. h. der Kupon-/ Nominalzinssatz beträgt 4,5% (Zelle C8). ■ Ausgehend von den Zahlungen werden mit dem aktuellen Marktzinssatz (C9) und dem Marktzinssatz nach Zinserhöhung (C11) die Barwerte der Zahlungen berechnet (Zellen C19 bis I19 sowie C55 bis I55). Der Barwert der mit dem aktuellen Zinssatz diskontierten Zahlungen (I19) entspricht dem Preis/ Kurs der Anleihe. ■ Im nächsten Schritt werden die Duration, die Modified Duration und die Konvexität der Anleihe ohne und mit Excel-Funktionen berechnet. ■ Zur Berechnung der Macaulay Duration wird im Zähler der gewichtete Barwert der Duration (Zellen C21: H21) berechnet. Die bereits berechneten Barwerte (C19: H19) werden mit den entsprechenden Zeitperioden (C15: H15) gewichtet. In Zelle I21 wird der gewichtete Barwert der Duration als Summe der einzelnen gewichteten Werte bestimmt. Dieser Barwert wird durch den Preis der Anleihe (I19) geteilt, woraus die Macaulay Duration erfolgt (Zelle C28). Zum gleichen Ergebnis kommt die Excel-Funktion DURATION (Zelle C51), welche die Inputs aus den Zellen C43: C49 (außer C57) benötigt. Beide Berechnungen ergeben eine Macaulay Duration in Höhe von 5,399, was besagt, dass der Investor nach 5,399 Jahren sein investiertes Geld wiedererhalten wird. ■ Die Modified Duration der Anleihe wird in Zelle C32 berechnet. Sie ergibt sich aus dem negativen Wert der Macaulay Duration, dividiert durch die Marktrendite plus 1 (Zelle C9 +1). Zum gleichen Ergebnis kommt die Excel-Funktion MDURATION (Zelle C52). Beide Berechnungen ergeben eine Modified Duration in Höhe von -5,1914, was besagt, dass sich der Preis der Anleihe um 5,1914 USD verringert, wenn sich der Marktzinssatz um 1% erhöht (unter der Annahme, dass der Anleihepreis linear vom Zinssatz abhängig wäre). Diese Annahme ist aber nur eine Näherung, da Zins und Anleihepreis sich konvex verhalten. ■ Daher benutzen wir im nächsten Schritt die Konvexität. Zur Berechnung wird im Zähler der gewichtete Barwert der Konvexität (Zellen C23: H23) berechnet. Dieser Barwert (I23) wird durch den Preis der Anleihe (I19) geteilt, woraus sich die Konvexität ergibt (Zelle C39). Eine Excel-Funktion zur Berechnung der Konvexität steht nicht zur Verfügung. Die Berechnung der Konvexität ergibt einen Wert von 33,6791. Die Konvexität steht für die Krümmung der Kurve des Anleihepreises. Sie zeigt, wie sich eine Zinsänderung auf die Duration auswirkt. Da wir hier eine positive Konvexität vorliegen haben, können wir für diese Anleihe folgern, dass sie bei steigenden Zinssätzen eine geringe Kurssensitivität und bei sinkenden Zinssätzen eine hohe Kurssensitivität aufweist. Dies ist eine wichtige Zusatzinformation, wenn wir Anleihen mit gleicher oder ähnlicher Modified Duration vergleichen. ■ Im nächsten Schritt soll die Preisänderung ermittelt werden, also der Verlust, wenn der Zins‐ satz steigt. Dies kann über eine exakte Berechnung oder eine näherungsweise Berechnung erfolgen. ■ Bei der exakten Berechnung wird die Differenz zwischen dem Barwert vor und nach Zinserhöhung berechnet (Zelle C62). Course Unit 3: Risikomaße bei Bonds, Extremrisiken und Risikomaße im Vergleich 171 ■ Die näherungsweise Berechnung der Preisänderung mit Hilfe der Modified Duration erfolgt in C66=C32*C10*I19. Es ergibt eine Preisänderung in Höhe von -53,27 USD. Dies zeigt, dass bei Verwendung der Modified Duration das Risiko überschätzt wird. ■ Ein besseres Ergebnis erhalten wir bei Verwendung der Konvexität C67=C66+1/ 2*C39*C10^2*I19. Hier beträgt die Preisänderung -51,55 USD und kommt damit dem exakten Wert in Höhe von -51,59 USD sehr nahe. ■ Sie werden sich sicherlich fragen, warum wir näherweise Berechnungen für die Preisän‐ derung vornehmen, wenn wir doch gleich mit der einfacheren, exakten Berechnung das gewünschte Ergebnis erhalten. Insbesondere wenn wir mehrere Wertpapiere mit nichtlinearen Funktionen im Portfolio haben, sind wir auf die näherungsweise Berechnung angewiesen. Excel Ergebnisse Abbildung 86: Berechnung der Zinssätze und Barwerte 172 COURSE 4: RISIKOMAßE Abbildung 87: Berechnung der Duration, Modified Duration und Convexity Abbildung 88: Berechnung der Duration und Modified Duration mit Excel-Funktionen und Berechnung der Preisän‐ derung Course Unit 3: Risikomaße bei Bonds, Extremrisiken und Risikomaße im Vergleich 173 Vorgehensweise in Matlab ■ Definieren Sie folgende Annahmen zur Anleihe. Nominalwert = 1000; Nominalzinssatz = 0.045; Marktzinssatz = 0.04; Kupon = Nominalwert*Nominalzinssatz; Zinserhoehung = 0.01; Zins_Neu = Marktzinssatz + Zinserhoehung; ■ Bestimmen Sie die Zahlungsreihe der Anleihe. Zahlungen = [0 Kupon Kupon Kupon Kupon Kupon (Kupon+Nominalwert)].'; ■ Berechnen Sie die Barwerte der Anleihe bei aktuellem Marktzins sowie nach der Zinserhö‐ hung. Barwert_Marktzins = pvvar([Zahlungen],Marktzinssatz) Barwert_Zinserhohung = pvvar([Zahlungen],Zins_Neu) ■ Berechnen Sie die Macaulay- und die Modified Duration. [MacaulayDuration, ModifiedDuration] = cfdur(Zahlungen(2: end),Marktzinssatz) ■ Berechnen Sie die Konvexität der Anleihe. Convexity = cfconv(Zahlungen(2: end),Marktzinssatz) Matlab Ergebnisse Abbildung 89: Berechnung des Barwerts Marktzins, des Barwerts Zinserhöhung, der Duration, der Modified Duration und der Konvexität in Matlab 174 COURSE 4: RISIKOMAßE Verweise auf das Excel- und Matlab-Tool Siehe Excel-Datei Case Study Risikomanagement, Excel-Arbeitsblatt Duration. Siehe Matlab-Skript: A32_Duration Assignment 33: Extremwerttheorie Aufgabe ■ Berechnen Sie mit Hilfe der Extremwerttheorie den Value at Risk und den Conditional Value at Risk (Expected Shortfall) für einen Tag bei einem Konfidenzniveau von 95% für den MSCI WORLD Indexpreis ab dem 31.12. rückwirkend für die letzten 5 Jahre. ■ Führen Sie eine Sensitivitätsanalyse durch und ermitteln Sie den Value at Risk und den Conditional Value at Risk für folgende Konfidenzniveaus: 99,0%; 99,1%; 99,2%; 99,3%; 99,4%; 99,5%; 99,6%; 99,7%; 99,8%; 99,9%. Inhalt Das Konzept extremer Ereignisse (z. B. disruptive Technologien, Finanzmarktkrisen u. ä.), wie sie beispielsweise Taleb mit seinen „Black Swans“ beschreibt, trägt dem Problem Rechnung, dass es im realen Leben nicht (oder nur schwer) vorhersehbare Ereignisse geben kann, die schwerwiegende ökonomische Auswirkungen haben können. Dieses Phänomen findet im traditionellen Risikomanagement in der Regel keine Berücksichtigung. Für die Praxis des Risikomanagements und den Umgang mit der Unsicherheit der Zukunft erscheint es sinnvoll, auf der Grundlage von bekannten Vergangenheitsinformationen auch auf Extremwerte in der Zukunft zu schließen. Hier sind Techniken erforderlich, die die Verwendung einer Normalverteilung vermeiden und stattdessen berücksichtigen, dass Extremereignisse wesent‐ lich häufiger auftreten als durch eine Normalverteilung impliziert. Die hier notwendigen Verfahren stützen sich wesentlich auf sogenannte skalierbare Verteilungen, wie die Pareto- Verteilung. Daraus ist die Extremwerttheorie entstanden, die wir im Folgenden anwenden. Die Extremwerttheorie, die auch Extreme Value Theory (EVT) oder Peaks-over-Treshold- Methode (PoT) genannt wird, geht über den Expected Shortfall hinaus, der auf Basis der vorliegenden historischen Daten berechnet wird. Die Extremwerttheorie wird bei potenziell katastrophalen Ereignissen eingesetzt, die zwar sehr selten eintreten, dafür aber extrem hohe Schadenssummen produzieren. Die Extremwerttheorie liefert einen wissenschaftlichen Ansatz zur Vorhersage dieser seltenen Ereignisse. Sie ist eine mathematische Disziplin, die sich mit Ausreißern beschäftigt. Course Unit 3: Risikomaße bei Bonds, Extremrisiken und Risikomaße im Vergleich 175 (4.3.33.1) Ähnlich wie beim Expected Shortfall beschäftigt sich die Extremwerttheorie mit den Rändern von Verteilungen. Sie berücksichtigt die empirischen Beobachtungen, dass extreme Renditen in der Realität eine höhere Wahrscheinlichkeit (so genannte Fat Tails) und mittlere Renditen eine niedrigere Wahrscheinlichkeit haben als durch eine Normalverteilung beschrieben. Mit Hilfe der Extremwerttheorie können Werte für hohe Konfidenzniveaus genau berechnet werden. Extreme Ereignisse treten selten auf und können beschrieben werden als Ereignisse, die einen Schwellenwert überschreiten. Die Extremwerttheorie kann sowohl den linken als auch den rechten Rand einer Verteilung erklären. Wir beschäftigen uns hier mit dem linken Rand der Verteilung. Bei Verwendung der Extremwerttheorie ist zu beachten, dass die Pareto-Verteilung nur gültig ist für „extreme“ Fälle, also für die Fälle oberhalb einer vom Anwender zu bestimmenden Schwelle. Die Schwelle sollte so hoch gesetzt werden, dass damit auch wirklich der Rand der Verteilung untersucht wird, andererseits muss sie so niedrig gesetzt sein, dass die Zahl der in die Maximum-Likelihood-Berechnungen eingehenden Datensätze nicht zu gering ist und damit die Qualität der Berechnung des Randes gefährdet wird. Wichtige Formeln Arbeitsmappe: Case Study Risikomanagement ➲ Arbeitsblatt: Extremwerttheorie Die (kumulierte) verallgemeinerte Pareto-Verteilung wird mit folgender Gleichung berechnet: G ξ , β (y) = 1 − 1 + ξ y β −1/ ξ G ξ,β = Verteilungsfunktion der Pareto-Verteilung ξ = Formparameter der Pareto-Verteilung, (ξ ≠ 0) β = Skalierungsparameter der Pareto-Verteilung Die Verteilung besitzt zwei Parameter, nämlich ξ (mitξ ≠ 0 und β. Diese müssen geschätzt werden. Der Parameter ξ ist ein Formparameter, der die Schwere des Rands der Verteilung bestimmt. Der Parameter β ist ein Skalierungsparameter. Die Parameter ξ und β können mit der Maximum-Likelihood-Methode geschätzt werden. Hierfür werden die Renditen der Größe nach sortiert. Es sei r die kritische Schwelle. Für die Wahl der kritischen Schwelle ist ein Wert in der Nähe des 95%-Quantils empfehlenswert. Es werden nur Renditen betrachtet die oberhalb der kritischen Schwelle liegen, d.h. r i > r. Die zu maximierende Likelihood-Funktion lautet: 176 COURSE 4: RISIKOMAßE (4.3.33.2) (4.3.33.3) (4.3.33.4) (4.3.33.5) ∏ i = 1 n r 1 β 1 + ξ r i − r β − 1 ξ − 1 r = Kritische Schwelle r i = Werte oberhalb der kritischen Schwelle n r = Anzahl der Werte oberhalb der kritischen Schwelle Die Maximierung der Funktion dieser Funktion entspricht der Maximierung ihres Logarithmus. Die folgende Darstellung folgt aus den Rechenregeln des Logarithmus: ∑ i n r ln 1 β 1 + ξ r i − r β − 1 ξ − 1 Berechnung der Log-Likelihood-Funktion in Excel: Excel-Beispiel: J12=WENN(H12>$G$5; LN((1/ $N$4)*((1+($N$5*($H12-$G$5)/ $N$4)))^(-1/ $N$5-1)); 0) Mit dem iterativen Suchverfahren (SOLVER in Excel) können wir nun die Parameter ξ und β bestimmen, die die zuletzt aufgeführte Formel maximieren. Nach der Bestimmung der Parameter ξ und β kann der Value at Risk berechnet werden. Die Formel lautet: V aR = r + β ξ n n r 1 − p −ξ − 1 n ist die Anzahl der Beobachtungen, n r bezeichnet hierbei die Anzahl der Werte, die unter der Schwelle liegen und p ist das Konfidenzniveau. Berechnung des Value at Risk in Excel: Excel-Beispiel: J5=G5+(N4/ N5)*(((J2/ J3)*(1-J4))^(-N5)-1) Der Conditional Value at Risk wird mit folgender Formel berechnet: CV aR = V aR + β − ξ r 1 − ξ Berechnung des Conditional Value at Risk in Excel: Course Unit 3: Risikomaße bei Bonds, Extremrisiken und Risikomaße im Vergleich 177 Excel-Beispiel: J6=(J5+$N$4-$G$5*$N$5)/ (1-$N$5) Vorgehensweise in Excel ■ Zunächst werden die stetigen Renditen, als Verlustfunktion, in Spalte D berechnet. ■ Die stetigen, täglichen Renditen werden dann in Spalte H mit der Funktion Sortieren der Größe nach absteigend sortiert. ■ Danach wird das Konfidenzniveau p zur Bestimmung des Schwellenwerts r festgelegt (Zelle G2) und das Alpha α berechnet (Zelle G3) G3=1-G2 festgelegt. ■ Im nächsten Schritt wird die Anzahl der α-% kleinsten Werte ermittelt. In unserem Beispiel sind es die 5% kleinsten Werte. Das sind bei 1.303 vorliegenden Renditen 65 Werte. Hierbei findet die Funktion G4=ABRUNDEN((G3)*ANZAHL(D12: D1314); 0) Anwendung. ■ Darauffolgend wird die Rendite des 65-kleinsten Werts bestimmt. Dies erfolgt für das 5%-Quantil mit der Funktion G5=MAX(SVERWEIS(G4; G12: H1314; 2; 0); 0). Die er‐ mittelte Rendite beträgt 1,379%. Der Schwellenwert r beträgt 1,379%. ■ In Spalte J befindet sich die Berechnung der Wahrscheinlichkeit für die Maximum-Likeli‐ hood-Methode. Die Excel Formel lautet: J12=WENN(H12>$G$5; LN((1/ $N$4)*((1+ ($N$5*($H12-$G$5)/ $N$4)))^(-1/ $N$5-1)); 0) ■ Um die Wahrscheinlichkeit für die Maximum-Likelihood-Methode zu berechnen, benötigen wir neben dem Schwellenwerts r die Werte der Parameter ξ und β. Die Ausgangswerte zur Bestimmung von ξ und β erhalten wir zunächst aus den Annahmen allgemein und werden mit M4 und M5 verlinkt. Wir verlinken diese Zelle wiederum mit den Zellen N4 und N5, in denen nach Optimierung mit dem Solver die aus der Optimierung hervorgehende Werte von β und ξ stehen werden. ■ In Zelle J8 werden die Wahrscheinlichkeiten summiert J8=SUMME(J12: J1314), die dann bei der Optimierung maximiert werden. ■ Für die Optimierung mit Hilfe des SOLVER sind folgende Werte in den SOLVER einzugeben. 178 COURSE 4: RISIKOMAßE Abbildung 90: Solver Parameter für Extremwerttheorie ■ Es ergeben sich Werte für β in Höhe von 0,008442 und für ξ in Höhe von 0,3212. ■ Im nächsten Schritt kann nun mit der Extremwerttheorie der Value at Risk berechnet werden. Dazu benötigt man als Variablen neben β und ξ auch die Anzahl der Beobach‐ tungen n J2=ANZAHL(J12: J1314), die Anzahl der Werte n r , die über der Schwelle liegen J3=ZÄHLENWENN(J12: J1314; "<>0"), sowie das Konfidenzniveau p und den Schwellenwert r (Zelle G5). Der VaR berechnet sich mit J5=G5+(N4/ N5)*(((J2/ J3)*(1-J4))^(-N5)-1). Er beträgt 1,36% und beschriebt im Gegensatz zu den vorigen Berechnungen des Value at Risk den genauen Wert beim 5%-Quantil. ■ Ferner kann mit der Extremwerttheorie der Expected Shortfall berechnet werden J6=(J5+ $N$4-$G$5*$N$5)/ (1-$N$5). Er beträgt 2,60%. Course Unit 3: Risikomaße bei Bonds, Extremrisiken und Risikomaße im Vergleich 179 Excel Ergebnisse Abbildung 91: Berechnung des VaR und des Conditional Value at Risk mit der Extremwerttheorie 0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% 14% 16% 99,0% 99,1% 99,2% 99,3% 99,4% 99,5% 99,6% 99,7% 99,8% 99,9% VaR ES Abbildung 92: VaR und der Conditional Value at Risk bei unterschiedlichen Konfidenzniveaus Vorgehensweise in Matlab ■ Importieren Sie die Kurse des MSCI World sowie die zugehörigen Zeitpunkte. Daten = readmatrix('Matlab Daten.xlsx'); MSCI = Daten(: ,3); Datum = Daten(: ,1); Kurs_MSCI = [Datum,MSCI]; 180 COURSE 4: RISIKOMAßE ■ Berechnen und sortieren Sie die stetigen Renditen des MSCI World in %. Stetige_Rendite = -price2ret(MSCI,[],'Continuous'); Sortierte_Renditen = sort(Stetige_Rendite,'descend'); ■ Definieren Sie folgende angenommene Parameter. Konfidenzniveau = 0.95; Alpha = 1-Konfidenzniveau; hat = [0.2 0.001]; Xi_hat = hat(1) Beta_hat = hat(2) ■ Bestimmen Sie den Schwellenwert α = r. Anzahl_Renditen_Alpha = floor(Alpha* length(Stetige_Rendite)); Quantil_Alpha = Sortierte_Renditen(Anzahl_Renditen_Alpha) % Zielwert ■ Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten für die Maximum-Likelihood-Methode. Renditen_Zielwert = Sortierte_Renditen(Sortierte_Renditen > Quantil_Alpha); Likelihood_Hat = log((1/ Beta_hat)*((1+(Xi_hat* (Renditen_Zielwert-Quantil_Alpha)/ Beta_hat))).^(-1/ Xi_hat-1)); LogLikelihood_Hat = sum(Likelihood_Hat) ■ Optimieren Sie die angenommen Parameter mithilfe eines Solvers. fun = @(hat)sum(-log((1/ hat(2))*((1+(hat(1) *(Renditen_Zielwert-Quantil_Alpha)/ hat(2)))).^(-1/ hat(1)-1))); [Opt,SummeLogLikelihood,exitflag] = fminsearch(fun,[Xi_hat Beta_hat]); % Max-Likeli-Me‐ thode Likelihood_Opt = -(SummeLogLikelihood) Xi_opt = Opt(1) Beta_opt = Opt(2) ■ Berechnen Sie den Value at Risk und den Expected Shortfall. Anzahl_Renditen_Gesamt = length(Sortierte_Renditen); Anzahl_Renditen_Zielwert = length(Renditen_Zielwert(Renditen_Zielwert > Quantil_Al‐ pha)); Value_at_Risk = (Quantil_Alpha+(Beta_opt/ Xi_opt)*(((Anzahl_Renditen_Gesamt/ Anzahl_ Renditen_Zielwert) *Alpha).^(-Xi_opt)-1)) Course Unit 3: Risikomaße bei Bonds, Extremrisiken und Risikomaße im Vergleich 181 Expected_Shortfall = (Value_at_Risk+Beta_opt-Quantil_Alpha*Xi_opt)/ (1-Xi_opt) table(Value_at_Risk,Expected_Shortfall,'VariableNames',{'Value at Risk','Expected Shortfall'}) Ergebnisse Matlab Abbildung 93: Berechnung des VaR und des Conditional Value at Risk mit der Extremwerttheorie Verweise auf das Excel- und Matlab-Tool Siehe Excel-Datei Case Study Risikomanagement, Excel-Arbeitsblatt Extremwerttheorie. Siehe Matlab-Skript: A33_ Extremwerttheorie Assignment 34: Risikomaße im Vergleich Aufgabe ■ Prüfen Sie die in der folgenden Tabelle aufgelisteten Anforderungen an die Risikomaße. ■ Füllen Sie die Tabelle aus. ■ Begründen Sie Ihre Entscheidung. Anforde‐ rung Vari‐ anz Stan‐ dardab‐ wei‐ chung Semi-Vari‐ anz/ Semi- Standardab‐ weichung Abso‐ luter Value at Risk Mean Value at Risk Condi‐ tional Value at Risk LPM 0 LPM 1 LPM 2 Leichte Inter‐ pretierbarkeit - - - - - - - - - Möglichkeit zur direkten Messung des ökonomischen Risikos - - - - - - - - - 182 COURSE 4: RISIKOMAßE Verwendung als Zielgröße für Optimie‐ rungspro‐ bleme Möglichkeit der integrier‐ ten Risikomes‐ sung unter‐ schiedlicher Risikoarten - - - - - - - - - Verwendung zur Risikosteu‐ erung eines Portfolios - - - - - - - - - Kohärenz - - - - - - - - - - Abbildung 94: Risikomaße im Vergleich Inhalt Im Allgemeinen werden Risikokennzahlen bzw. Risikomaße verwendet, um Risiken zu quantifizieren und darauf aufbauend Steuerungsmaßnahmen vornehmen zu können. Mit der Risikoquantifizierung durch Risikomaße wird das Ziel verfolgt, existenzgefährdende Risiken zu erkennen und diesen entgegenzuwirken. Zur Quantifizierung des Risikos muss ein Risikomaß verwendet werden, welches die Höhe des Risikos adäquat wiedergibt. Allgemein kann das Risiko, wie wir es schon behandelt haben, in Form einer Verteilungsfunktion eine Zufallsvariable dargestellt werden. Diese Form der Darstellung eines Risikos ist jedoch für Nichtexperten häufig wenig aussagekräftig und nachvollziehbar, so dass eine Verdichtung der Informationen wünschenswert ist. Wie wir schon bei den von uns verwendeten Risikokennzahlen gesehen haben, wird die Höhe des Risikos durch das Ausmaß der Abweichung vom Erwartungswert beschrieben. Für die Risikosteuerung sollten Risikomaße einerseits Aussagen über die Eintrittswahrscheinlichkei‐ ten und andererseits Aussagen über die Schadenshöhe ermöglichen. Zusätzlich sollte das gewählte Risikomaß gut verständlich und leicht zu interpretieren sein. Daher empfiehlt es sich, das Risiko in Geldeinheiten auszudrücken. Der Value at Risk erfüllt, dem ersten Anschein nach, diese Anforderungen. Zusammenfassend kann gesagt werden, dass ein Risikomaß die folgenden Anforderungen erfüllen sollte: ■ leichte Interpretierbarkeit, ■ Möglichkeit zur direkten Messung des ökonomischen Risikos, Course Unit 3: Risikomaße bei Bonds, Extremrisiken und Risikomaße im Vergleich 183 ■ Verwendung als Zielgröße für Optimierungsprobleme, ■ Möglichkeit der integrierten Risikomessung unterschiedlicher Risikoarten, ■ Verwendung zur Risikosteuerung eines Portfolios sowie ■ Kohärenz. Kohärente Risikomaße - Mathematische Bedingung Finanzwirtschaftliche Interpretation Monotonie Wenn Z 1 , Z 2 in L und Z 1 ≤ Z 2 dann gilt p(Z 1 ) ≤ p(Z 2 ) (L = Menge aller Risiken) Mit steigendem Risiko wird die Kapitalan‐ forderung größer Subadditivität Wenn Z 1 , Z 2 in L dann gilt p(Z 1 +Z 2 ) ≤ p(Z 1 ) + p(Z 2 ) Das Risiko der Summe der Teilportfolios ist kleiner oder gleich der Summe ihrer indivi‐ duellen Risiken. Risiken zusammenzulegen, diversifiziert das Portfolio Positive Homoge‐ nität Wenn α ≥ 0 und Z in L, dann gilt p(α Z) = α p(Z) Wenn man eine risikohafte Position verviel‐ facht, so vervielfacht sich auch das Risiko Transalationsinva‐ rianz Wenn α in R und Z in L, dann gilt p(Z+ α)= p(Z) α Wenn man zu einem Portfolio einen risiko‐ losen Wert hinzufügt, verringert sich das Risiko des Portfolios um diesen Wert Abbildung 95: Kohärente Risikomaße nach Artzner, Delbaen, Eber and Heath (1999) --- 184 COURSE 4: RISIKOMAßE COURSE 5: AGGREGATION Assignment 35: Varianz-Kovarianz-Methode: Varianz-Kovarianz-Matrix und Portfoliorisiko Aufgabe Erstellen Sie ein Portfolio bestehend aus Aktien des MSCI World Indexes und Anleihen mit Kuponzahlungen in Höhe des drei Monats EURIBOR +1%. Die Assets des Portfolios bestehen zu 80% aus MSCI World und zu 20% aus Anleihen. ■ Berechnen Sie die tägliche stetige Rendite für die gegebenen Kursdaten der Portfolio-Assets. ■ Berechnen Sie die Durchschnittsrenditen für die einzelnen Portfolio-Assets. ■ Berechnen Sie die Kovarianzen für die Assets des Portfolios und erstellen Sie ein Varianz- Kovarianz-Matrix. ■ Berechnen Sie die Portfoliorendite basierend auf den historischen Renditen der Portfolio- Assets und der Portfoliogewichte. ■ Berechnen Sie die Portfoliovarianz und Portfoliostandardabweichung basierend auf der Varianz-Kovarianz-Matrix und den Portfoliogewichten. Inhalt Die Varianz-Kovarianz-Methode zählt zu den analytischen bzw. parametrischen Verfahren. Die Bezeichnung „parametrische Verfahren“ leitet sich davon ab, dass Parameter wie die Stan‐ dardabweichung zur Berechnung verwendet werden. Unter den vereinfachenden Annahmen des parametrischen Ansatzes genügen der Erwartungswert und die Standardabweichung zur Bestimmung des Value at Risk. Bei der Varianz-Kovarianz-Methode wird für die Renditen der verschiedenen Assets des Portfolios eine gemeinsame Normalverteilung angenommen. Da aufgrund der vorliegenden empirischen Daten die Erwartungswerte der einzelnen Renditen bekannt sind, kann pro‐ blemlos die Portfoliorendite berechnet werden. Auch können die Standardabweichungen der einzelnen Renditen sowie die Kovarianzen bestimmt werden, so dass mit der Varianz- Kovarianz-Matrix das Portfoliorisiko berechnet werden kann. Mit Hilfe der Portfoliorendite und der Portfoliostandardabweichung lassen sich nun der Value at Risk, der Mean Value at Risk und der Conditional Value at Risk für normalverteilte Daten ableiten. (5.1.35.1) (5.1.35.2) (2.2.12.2) (5.1.35.3) (2.2.12.3) Wichtige Formeln Arbeitsmappe: Case Study Risikomanagement ➲ Arbeitsblatt: Varianz-Kovarianz- Methode Die erwartete Rendite des Portfolios errechnet sich als: μ P = ∑ i = 1 m w i ⋅ μ i μ i = Erwartungswert von r i w i = Gewicht des Assets i m = Anzahl der Assets Die Formel für die Berechnung des Mittelwerts der historischen Rendite, die dem Erwartungswert der Rendite entspricht, lautet: Excel-Beispiel: J15=MITTELWERT(D16: D1318) Die Formel der Kovarianz einer Stichprobe lautet: Cov r i, j = σ i, j = 1 n − 1 ∑ t = 1 n r i, t −μ i ⋅ r j, t − μ j μ i = Erwartete Rendite von Asset i, Erwartungswert von r i r i, t = Rendite zum Zeitpunkt t, von Asset i Die Kovarianz in der Varianz-Kovarianz-Matrix berechnet sich wie folgt: Excel-Beispiel: J19=KOVARIANZ.S(G16: G1318; D16: D1318) Das Portfoliorisiko gemessen als Portfoliovarianz errechnet sich mit folgender Formel: σ P2 = ∑ i, j = 1 m w i ⋅ w j ⋅ σ i ⋅ σ j ⋅ ρ i, j = ∑ i, j = 1 m w i ⋅ w j ⋅ σ i, j w i = Gewicht des Assets i σ i = Volatilität des Assets i ρ i, j = Korrelationskoeffizient zwischen Asset i und Asset j σ i, j = Kovarianz zwischen Asset i und Asset j 186 COURSE 5: AGGREGATION Die Portfoliovarianz ergibt sich wie folgt: Excel-Beispiel: J28{=MMULT(MMULT(MTRANS(J22: J23); J18: K19); J22: J23) } Die Portfoliostandardabweichung ist die Wurzel der Portfoliovarianz: Excel-Beispiel: J29=WURZEL(J28) Vorgehensweise in Excel Ausgangssituation ist der MSCI WORLD Indexpreis (Spalte C) und der Bond (Spalte F). Der MSCI World repräsentiert das Marktrisiko, die Anleihe das Kreditrisiko. ■ Im nächsten Schritt werden die Mittelwerte der historischen Renditen berechnet, die als Erwartungswerte dienen J15=MITTELWERT(D16: D1318). ■ Grundlage für die Berechnung der Portfoliovarianz ist die Varianz-Kovarianz-Matrix, die darauf folgend erstellt wird J19=KOVARIANZ.S(G16: G1318; D16: D1318). Diese wird für eine Stichprobe berechnet. ■ Des Weiteren sind die Gewichte der einzelnen Assets im Portfolio 0,8 MSCI WORLD und 0,2 Anleihe. Abschließend wird die Portfoliorendite, die Portfoli‐ ovarianz und die Portfoliostandardabweichung berechnet. Die Portfoliorendite be‐ rechnet sich als J27{=MMULT(J15: K15; J22: J23)}, die Portfoliovarianz als J28{=MMULT(MMULT(MTRANS(J22: J23); J18: K19); J22: J23) und die Portfoli‐ ostandardabweichung als J29=WURZEL(J28). COURSE 5: AGGREGATION 187 Excel Ergebnisse Abbildung 96: Erstellung der Varianz-Kovarianz-Matrix und Berechnung des Portfoliorisikos mit Hilfe der Varianz- Kovarianz-Methode 188 COURSE 5: AGGREGATION Vorgehensweise in Matlab ■ Importieren Sie die benötigten des MSCI World sowie des 3M EURIBOR. Daten = readmatrix('Matlab Daten.xlsx'); MSCI = Daten(: ,3); ThreeM_EURIBOR = Daten(: ,2); Koupon = ThreeM_EURIBOR+1; Datum = Daten(: ,1); EURIBOR = [Datum,ThreeM_EURIBOR]; Kurs_MSCI = [Datum,MSCI]; ■ Berechnen Sie die stetigen Renditen der Kouponszahlungen sowie des MSCI World. Rendite_Koupon = log(Koupon(1: end-1)./ (Koupon(2: end))); Rendite_MSCI = -price2ret(MSCI); ■ Erstellen Sie ein gewichtetes Portfolio aus beiden Assets. Gewichtung = [.8 .2]'; % 80% MSCI 20% Kupon Portfolio = [Rendite_MSCI Rendite_Koupon]; Portfolio_Rendite = (Portfolio*Gewichtung); Mittelwert_Rendite = mean(Portfolio_Rendite); ■ Berechnen Sie die Varianz, Kovarianz und Standardabweichung. Kovarianz = cov(Portfolio) Portfolio_Varianz = (Gewichtung'*Kovarianz)*Gewichtung Portfolio_std = sqrt(Portfolio_Varianz) Matlab Ergebnisse Abbildung 97: Die berechnete Kovarianzmatrix COURSE 5: AGGREGATION 189 Abbildung 98: Die berechnete Portfoliovarianz sowie Standardabweichung Verweise auf das Excel- und Matlab-Tool Siehe Excel-Datei Case Study Risikomanagement, Excel-Arbeitsblatt Varianz- Kovarianz-Methode. Siehe Matlab-Skript: A35_36_Var_Kovarianz Assignment 36: Varianz-Kovarianz-Methode: Berechnung des Value at Risk und Conditional Value at Risk Aufgabe ■ Erstellen Sie mit der ermittelten Portfoliorendite und Portfoliostandardabweichung eine Dichtefunktion basierend auf der Annahme einer Normalverteilung. ■ Berechnen Sie den Portfolio-Value at Risk für ein Konfidenzniveau von 95% und für eine Laufzeit von einem 1 Tag und von 30 Tagen basierend auf dem Portfoliovolumen in USD. ■ Berechnen Sie den Portfolio-Mean-Value at Risk (Deviation Portfolio-Value at Risk) für eine Laufzeit von 30 Tagen basierend auf dem Portfoliovolumen in USD. ■ Berechnen Sie den Conditional Portfolio-Value at Risk (Expected Portfolio Shortfall) für eine Laufzeit von 1 Tag und von 30 Tagen basierend auf dem Portfoliovolumen in USD. ■ Zeichnen Sie den Portfolio-Value at Risk, den Mean Portfolio-Value at Risk und Conditional Portfolio-Value at Risk in das Schaubild der Dichtefunktion ein. Inhalt Da bei der Varianz-Kovarianz-Methode für die stetigen Renditen der verschiedenen Assets des Portfolios eine gemeinsame Normalverteilung angenommen wird, kann über die Port‐ foliorendite und die Portfoliostandardabweichung der Value at Risk und der Conditional Value at Risk für normalverteilte Daten berechnet werden. Die Vorgehensweise unterscheidet sich nicht von der Berechnung des Value at Risk und Conditional Value at Risk bei einer Normalverteilung. 190 COURSE 5: AGGREGATION (5.1.36.1) (5.1.36.2) Wichtige Formeln Arbeitsmappe: Case Study Risikomanagement ➲ Arbeitsblatt: Varianz-Kovarianz- Methode Die Formel des Value at Risk lautet: V aR 1 − ∝ X = T ⋅ σ t ⋅ N 1 − α −1 + T ⋅ μ t V aR 1 − ∝ (X ) = Value at Risk zum Konfidenzniveau 1 − α σ t = Standardabweichung N (1 − α) −1 = 1α-Quantil der Standardnormalverteilung μ t = Erwartungswert des Portfolioverlustes T = Dauer Berechnung des Quantils der Verteilung zum Konfidenzniveau 1 − α bei Annahme einer Normal‐ verteilung in Excel: Excel-Beispiel: J34=NORM.INV(J31; 0; 1) Der Value at Risk berechnet sich in Excel mit: Excel-Beispiel: J37=J27+J29*J34 Bei einem gegebenen Portfoliovolumen lautet die Formel des Value at Risk in Geldeinheiten für einen Tag: Excel-Beispiel: J41=J37*J39 Unter Hinzunahme des Zeitfaktors ergibt sich der Value at Risk von 1,33% gemäß Excel-Formel: Excel-Beispiel: J46=J29*J34*J44+J27*J43 Der Conditional Value at Risk berechnet sich als: CV aR 1 − ∝ = T ⋅ σ t ⋅ φ N 1 − α −1 α + T ⋅ μ t φ( ⋅ ) = Dichte der Standardnormalverteilung σ t = Standardabweichung COURSE 5: AGGREGATION 191 N (1 − α) ( − 1) = 1α-Quantil der Standardnormalverteilung μ t = Erwartungswert des Portfolioverlustes T = Dauer φ( ⋅ ) ist die Dichte der Standardnormalverteilung. Sie wird am (1-α)-Quantil der Standardnormal‐ verteilung ausgewertet. Für den Conditional Value at Risk wird die Dichte in Excel wie folgt berechnet: Excel-Beispiel: J52=NORMVERT(J34; 0; 1; FALSCH) Berechnung des Conditional Value at Risk unter Berücksichtigung des Zeitfaktors bei einer stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung in Excel: Excel-Beispiel: J53=J44*J29*J52/ J32+J43*J27 Berechnung des Conditional Value at Risk unter Berücksichtigung des Zeitfaktors in Geldeinhei‐ ten bei einer stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung in Excel: Excel-Beispiel: J54=J39*J53 Vorgehensweise in Excel ■ Bei der Berechnung des Value at Risk wird zunächst in Zelle J34 =NORM.INV(J31; 0; 1) der Wert der Standardnormalverteilung für das 5%-Quantil berechnet. Er beträgt 1,645. ■ Der Value at Risk für einen Tag beträgt 1,33% und wird mit der Excel-Formel J37=J27+J29*J34 berechnet. ■ Bei einem Portfoliovolumen von 10.000 USD beträgt der Value at Risk in Geldeinheiten für einen Tag 133 USD. Die Excel-Formel J41 =J37*J39 wird verwendet. ■ Unter Hinzunahme des Zeitfaktors beträgt der Value at Risk 6,6% gemäß Excel-Formel K46= K29*K34*K44+K27*K43. ■ Der Value at Risk in Geldeinheiten beträgt 660 USD. Es findet die Excel-Formel K47 =K39*K46 Anwendung. ■ Der Value at Risk besagt, dass in 95% der Fälle innerhalb der nächsten 30 Tage der Verlust aus einem Investment in das Portfolio 660 USD nicht überschreitet. ■ Bei der Berechnung des Conditional Value at Risk wird im ersten Schritt die Dichte für das 95%-Quantil berechnet K52=NORMVERT(K34; 0; 1; FALSCH). Sie beträgt 0,1031. ■ Danach wird der Conditional Value at Risk für 30 Tage berechnet K53=K44*K29*K52/ K32+K43*K27. Der Conditional Value at Risk für 30 Tage beträgt 8,49%. ■ Die Umrechnung des Conditional Value at Risk in Geldeinheiten erfolgt durch Multiplikation des Conditional Value at Risk für 30 Tage mit dem Portfoliovolumen K54=K39*K53. Der Conditional Value at Risk in Geldeinheiten beträgt 849 USD. 192 COURSE 5: AGGREGATION ■ Sollte der Value at Risk überschritten werden, besagt der Conditional Value at Risk, dass der zu erwartende Verlust 849 USD beträgt. Excel Ergebnisse Abbildung 99: Berechnung des Value at Risk und des Conditional Value at Risk mit Hilfe der Varianz-Kovarianz- Methode COURSE 5: AGGREGATION 193 Vorgehensweise in Matlab ■ Bestimmen Sie den VaR des Portfolios, basierend auf dem vorherigen Assignment. Alpha = 0.05; pd = fitdist(Portfolio_Rendite,'Normal'); Norm_Verteilung = norminv((1-Alpha)); Portfoliovolumen = 10000; T = 1; Zeitfaktor =sqrt(T); VaR = Mittelwert_Rendite+Portfolio_std*Norm_Verteilung % Alternativ: icdf(pd,(1-Alpha)) VaR_Geldeinheiten =VaR*Portfoliovolumen VaR_Zeitfaktor = Zeitfaktor*Portfolio_std*Norm_Verteilung+T*Mittelwert_Rendite VaR_Zeitfaktor_Geldeinheiten = VaR_Zeitfaktor*Portfoliovolumen ■ Bestimmen Sie den CVaR des Portfolios. Dichte = normpdf(Norm_Verteilung) CVaR_Zeitfaktor = Zeitfaktor*Portfolio_std*(Dichte/ Alpha)+T*Mittelwert_Rendite CVaR_Zeitfakor_Geldeinheiten = CVaR_Zeitfaktor*Portfoliovolumen Matlab Ergebnisse Abbildung 100: Die berechneten VaR in Matlab Abbildung 101: Die berechneten CVaR in Matlab 194 COURSE 5: AGGREGATION Verweise auf das Excel- und Matlab-Tool Siehe Excel-Datei Case Study Risikomanagement, Excel-Arbeitsblatt Varianz- Kovarianz-Methode. Siehe Matlab-Skript: A35_36_Var_Kovarianz Assignment 37: Erzeugung von Copulas Aufgabe Für die Aggregation von verschiedenen Verlustverteilungen planen Sie den Einsatz einer Copula. Generieren Sie zunächst als Entscheidungshilfe für die Auswahl einer geeigneten Copula folgende Copulas: 1. Gaussian Copula mit ρ = 0 1. Gaussian Copula mit ρ = 0 . 9 2. Gumbel Copula mit λ = 1 3. Gumbel Copula mit λ = 4 4. t-Copula mit 3 Freiheitsgraden 5. t-Copula mit 100 Freiheitsgaden In welchen Situationen würden Sie welche Copula einsetzen? Inhalt Copulas erfreuen sich in der Finanzwirtschaft wachsender Beliebtheit. Mit Copulas können Randverteilungen separat von ihrer Abhängigkeitsstruktur modelliert und geschätzt werden. So bieten sie die Möglichkeit, verbesserte Schätzverfahren für Randverteilungen zu verwen‐ den, da etwaige Annahmen über Abhängigkeiten zwischen den Assets bereits über die Copula abgedeckt sind. Mathematisch ausgedrückt ist eine Copula eine Funktion, die einen Zusammenhang zwischen den Randverteilungsfunktionen verschiedener Zufallsvariablen und ihrer gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsverteilung angeben kann. Mittels Copula-Funktionen können beliebig verteilte Zufallsvariablen mit beliebigen Abhängigkeitsstrukturen zu einer neuen gemeinsa‐ men Verteilungsfunktion verknüpft werden. Es gibt unterschiedliche Copula-Funktionen. Die bekanntesten sind die Gauß-Copula (Normal-Copula), die Student-t-Copula, die Clayton- Copula oder die Gumbel Copula. Als Ausgangssituation stellen wir uns d Risiken vor, die jeweils als Zufallsvariable modelliert werden oder durch historische Daten repräsentiert werden. Durch Kalibrierung können wir für jedes Risiko die univariate Verteilungsfunktion ermitteln. Dieses Wissen allein reicht aber COURSE 5: AGGREGATION 195 nicht aus, um die gemeinsame Verteilungsfunktion der Risiken zu bestimmen, da uns noch alle Informationen über die Abhängigkeit zwischen den Einzelgrößen fehlen. Wichtige Struktur für die Ermittlung der Abhängigkeit liefert uns das Theorem von Sklar. Dieses besagt, dass jede multivariate Verteilungsfunktion F ■ in eine Copula C sowie ■ die Randverteilungen aufgespalten werden kann. Die Randverteilungen werden dabei als Argumente in die Copula eingesetzt und man erhält so die gemeinsame Verteilung. Formal wird wie folgt vorgegangen: ■ In einem ersten Schritt werden die Randverteilungen der d Risiken auf gleichverteilte [0, 1]-Verteilungen abgebildet. Typischerweise erfolgt dies über die entsprechenden Quantile der Randverteilungen (Quantil-Mapping). ■ Im zweiten Schritt wird die Abhängigkeitsstruktur gewählt. Die Haupteigenschaft einer Copula ist die Bewahrung der Randverteilungen der Variablen, während eine Abhängigkeitsstruktur zwischen den Variablen definiert wird. Dies ist in vielen Situationen sehr angenehm, da es die oft sehr komplizierte Untersuchung der gemeinsamen Verteilungsfunktion in eine Untersuchung der Randverteilungen einerseits und der Copula andererseits separiert; in letzterer sind alle Informationen über die Abhängigkeit kodiert. Umgekehrt lässt sich aus beliebigen Randverteilungen und einer beliebigen Copula stets eine (mathematisch korrekte) multivariate Verteilungsfunktion konstruieren. Dieser Zusammen‐ hang ist sehr beliebt in der Modellbildung und daher weit verbreitet, da er ein einfaches Baukastenprinzip zur Verknüpfung von Einzelrisiken darstellt. Auch lässt sich mittels dieses Baukastenprinzips leicht eine multivariate Verteilung simulieren. Dazu muss lediglich eine Stichprobe gemäß der Copula simuliert werden. Trotz der zahlreichen Möglichkeiten der Risikoaggregation mittels Copula-Funktionen möchten wir auf folgenden kritischen Sachverhalt hinweisen. Wenn die Copula-Funktion unpassend zum entsprechenden Problem (und den typischerweise vorab spezifizierten Randverteilungen) ausgesucht wird, kann zwar eine mathematisch korrekte gemeinsame Verteilung generiert werden, diese muss aber nicht zwangsläufig ökonomisch sinnvoll oder problemadäquat sein. Oft werden schlichtweg die bekanntesten Copulas (z. B. die Gauß-Copula) herangezogen, ohne deren Eigenschaften und Auswirkungen für das aktuelle Problem genau zu hinterfragen. Wichtige Formeln Aufgrund der Vielschichtigkeit von Copula-Funktionen können wir dieses spannende Thema hier nicht umfassend behandeln. Wir wollen jedoch die Grundidee von Copulas und deren Bedeutung für das Risikomanagement vermitteln. 196 COURSE 5: AGGREGATION (5.1.37.1) (5.1.37.2) (5.1.37.3) (5.1.37.4) (5.1.37.5) Das Haupttheorem der Copula ist der Satz von Sklar. Nehmen wir an, wir haben Verteilungsfunk‐ tionen F 1 , F 2 , …, F n . Dann kann die gemeinsame Verteilungsfunktion F x 1 , x 2 , …, x n als Copula dieser Verteilungsfunktionen beschrieben werden: F x 1 , x 2 , …, x n = C F 1 x 1 , F 2 x 2 , …, F n x n F 1 , F 2 , …, F n = Verteilungsfunktionen der Randverteilungen F = Gemeinsame Verteilungsfunktion C = Copula-Funktion Der Satz von Sklar besagt also, dass eine Copula die Zerlegung einer multivariaten Verteilungs‐ funktion in eine Abhängigkeitsstruktur und in die Randverteilungen erlaubt. Für die Randverteilungen gilt: u 1 = F 1 x 1 , u 2 = F 2 x 2 , …, u n = F n x n F 1 , F 2 , …, F n = Verteilungsfunktionen der Randverteilungen Sind die Randverteilungen stetig, können die Inversen F 1−1 u 1 = x 1 , …, F n−1 u n = x n berechnet werden. In diesem Fall ergibt sich die bekannte Darstellung für die Copula als: C u 1 , u 2 , …, u n = F F 1−1 u 1 , …, F n−1 u n F 1−1 ( ⋅ ), …, F n−1 ( ⋅ ) = Inverse der Randverteilungen Im Folgenden betrachten wir zweidimensionale Copulas. Bei stochastischer Unabhängigkeit ergibt sich folgende Copula: C u 1 , u 2 = u 1 ·u 2 u 1 , u 2 = Randverteilungen Die Normal- oder auch Gauß-Copula wird mit Hilfe der Verteilungsfunktion der Normalverteilung N ( ⋅ ) definiert: C ρ u 1 , u 2 = N 2, ρ N −1 u 1 , N −1 u 2 , ρ N 2 ⋅ , ⋅ , ρ = Bivariate Verteilungsfunktion zweier standardnormalverteilter Zufallsvariablen ρ = Korrelationskoeffizienten COURSE 5: AGGREGATION 197 (5.1.37.6) (5.1.37.7) N 2 ⋅ , ⋅ , ρ die bivariate Verteilungsfunktion zweier standardnormalverteilter Zufallsvariablen mit dem Korrelationskoeffizienten ρ ist. Erzeugt man Punkte, die gemäß der Normal-Copula mit Parameter ρ = 0, 5 verteilt sind, ergibt sich bereits eine leichte Konzentration der Punkte entlang der Winkelhalbierenden. Für ρ = 0 sind die Punkte linear unabhängig. Die Gauss-Copula und der Varianz-Kovarianz Ansatz basieren auf der Normalverteilung. Die Normalverteilung greift auf einen Mittelwert und eine Streuung um den Mittelwert zurück (Kovarianzmatrix). Bei einer Normalverteilung treten Werte weit weg vom Erwartungswert nur mit einer sehr kleinen Wahrscheinlichkeit auf. Das heißt Extremereignisse, bei denen mehrere Schäden gleichzeitig eintreten, können mit dem Varianz-Kovarianz Ansatz und der Gauss-Copula nicht modelliert werden, da die Eintrittswahrscheinlichkeit unterschätzt wird. Die Annahmen der Normalverteilung und die linearen Abhängigkeiten sind bei der Modellierung von Marktpreisen ansatzweise noch erfüllt. Bei anderen Risikoarten wie dem Kreditrisiko oder dem operationellen Risiko gilt das nicht. Für diese Risikoarten sollte es möglich sein Extremereignisse zu modellieren. Bei den Copula- Modellen können durch den Satz von Sklar beliebige univariate Verteilungen mit einer Abhängigkeitsstruktur zu einer multivariaten Gesamtverteilung aggregiert werden. Eine bekannte Copula zur Modellierung von Extremereignissen ist die Gumbel-Copula. Die Gumbel-Copula erlaubt Abhängigkeiten in den oberen Tails der Verteilungen. Man erkennt in der Abbildung eine Häufung von Punkten oben rechts (obere Tail Dependence). Die Gumbel-Copula kann wie folgt beschrieben werden: C λ u 1 , u 2 = ex p − −lnu 1 λ + −lnu 2 λ 1 λ , λ ≥ 1 λ = Parameter der Gumbel Copula Wählt man den Parameter λ = 1 hat man Unabhängigkeit. Je größer λ gewählt wird, desto größer wird die Abhängigkeit modelliert. Mit Hilfe der Gumbel Copula kann die Abhängigkeit im oberen Tail modelliert werden. Die Student’s t Copula dagegen erlaubt die Modellierung von Abhängigkeiten sowohl im Zentrum der Verteilung als auch im oberen und unteren Tail. C ν u 1 , u 2 = t ρ, ν t ν−1 u 1 , t ν−1 u 2 , ρ t ρ, ν = t-Verteilung mit Korrelationsmatrix ρ und Freiheitsgrade ν t ν−1 = Die Inverse der univariaten t-Verteilung mit ν Freiheitsgrade ρ = Korrelationsmatrix Copulas können mit Excel nicht ohne Weiteres modelliert werden. Daher muss diese Anwendung in einer Programmiersprache wie Matlab erfolgen. 198 COURSE 5: AGGREGATION Vorgehensweise in Matlab ■ Definieren Sie die in der Aufgabenstellung gegebenen Annahmen. n = 500 % Anzahl Zufallsvariablen rho_niedrig = 0 % Korrelationsfaktor rho_hoch = 0.9 - lambda_niedrig = 1 % Abhängigkeitsparameter lambda_hoch = 4 - nu_niedrig = 3 % Freiheitsgrade nu_hoch = 100 - ■ Modellieren Sie die Gaussian, Gumbel und t-Student Copula für hohe und niedrige Abhän‐ gigkeiten. U_Gaus_h=copularnd('Gaussian',rho_hoch,n); U_Gaus_n=copularnd('Gaussian',rho_niedrig,n); U_Gum_h=copularnd('Gumbel',lambda_hoch,n); U_Gum_n=copularnd('Gumbel',lambda_niedrig,n); U_t_h=copularnd('t',rho_hoch,nu_hoch,n); U_t_n=copularnd('t',rho_niedrig,nu_niedrig,n); ■ Stellen Sie die modellierten Copulas grafisch dar. t = tiledlayout(3,2,"TileSpacing","compact"); %Gaussian hoch nexttile plot(U_Gaus_h(: ,1),U_Gaus_h(: ,2),'.') title('Gaussian {\it\rho} = 0.9') %Gaussian niedrig nexttile plot(U_Gaus_n(: ,1),U_Gaus_n(: ,2),'.') title('Gaussian {\it\rho} = 0') %Gumbel hoch nexttile plot(U_Gum_h(: ,1),U_Gum_h(: ,2),'.') title('Gumbel {\it\alpha} = 4') %Gumbel niedrig nexttile plot(U_Gum_n(: ,1),U_Gum_n(: ,2),'.') title('Gumbel {\it\alpha} = 1') %t-Student hoch nexttile COURSE 5: AGGREGATION 199 plot(U_t_h(: ,1),U_t_h(: ,2),'.') title('t-Student {\it\nu} = 100') %t-Student niedrig nexttile plot(U_t_n(: ,1),U_t_n(: ,2),'.') title('t-Student {\it\nu} = 3') title(t,'Copula Vergleich') xlabel(t,'X') ylabel(t,'Y') Matlab Ergebnisse Abbildung 102: Die Gaussian, Gumbel und t-Student Copula für hohe und niedrige Abhängigkeiten Interpretation für den Einsatz der Copulas. Mit der Gauss-Copula mit Parameter ρ = 0 und der Gumbel Copula mit Parameter λ = 1 lassen sich unabhängige Risiken modellieren. Die t-Copula mit ν = 100 Freiheitsgraden nähert sich der Gauss-Copula an. Die Gauß-Copula, die traditionelle Methode zur Modellierung der Abhängigkeit, erfasst hauptsächlich die Abhängigkeit in der Mitte 200 COURSE 5: AGGREGATION der Verteilung und impliziert die Unabhängigkeit in den Tails d.h. sowohl bei sehr großen als auch sehr kleinen Werten am Rand der Verteilung. Die Gumbel-Copula erfasst hauptsächlich die Abhängigkeit am Rand der Verteilung, im rechten Tail. Diese Copula hat eine starke Konzentration der Wahrscheinlichkeit in der Nähe von (0,0), so dass sie kleine Verluste korreliert. Die Student's t-Copula kann sowohl die Abhängigkeit in der Mitte als auch in den Tails der Verteilung erfassen. Verweise auf das Excel- und Matlab-Tool Siehe Matlab-Skript: A37_Copulas Assignment 38: Modellierung des Gesamtrisikos mit Hilfe von Copulas Aufgabe Betrachten Sie ein Portfolio bestehend aus Markt- und Kreditrisiken. Die Assets des Marktportfolios bestehen zu 80% aus Aktien des MSCI World Indexes und zu 20% aus Anleihen mit Kuponzahlungen in Höhe des 3-Monates EURIBOR +1%. Sie haben insgesamt 1 Mio. USD investiert. Das Exposure für das Kreditrisiko liegt ebenfalls bei 1 Mio. USD. Entnehmen Sie die Ausfallwahr‐ scheinlichkeit, die Ausfallkorrelation sowie die Verlustquote (LGD) aus Assignment 21. Die Aufteilung zwischen dem Exposure für das Marktrisiko und das Kreditrisiko liegt bei 50% zu 50%. Hinweis: Gehen Sie bei der Aggregation schrittweise vor: 1. Aggregieren Sie zunächst die Verlustverteilungen des Marktrisikos mit Hilfe einer Gauss- Copula. 2. Aggregieren Sie im Anschluss die Verlustverteilung des Marktrisikos mit der des Kreditrisi‐ kos. Verwenden Sie hierfür eine t-Copula. Berechnen Sie den Value at Risk und den Expected Shortfall. Bestimmen Sie auch den Diversifi‐ kationseffekt, indem Sie dieses Ergebnis mit einer Situation vergleichen, in der die Risiken alle voneinander unabhängig sind. Inhalt Die Risiken von Banken und Versicherungen sind in Markt-, Kredit-, Versicherungs- und operationelle Risiken unterteilt. Die Änderung von Marktparametern wie beispielsweise Zinssätze oder Aktienkurse führt zu einer Wertänderung der Assets. Bei der Kreditvergabe besteht die Gefahr, dass der Schuldner das geliehene Geld nicht zurückzahlen kann. Weitere Risiken sind operativer Art und resultieren beispielsweise aus Betrugshandlungen. In den vor‐ COURSE 5: AGGREGATION 201 angegangenen Assignments haben wir uns auf die Modellierung der Einzelrisiken fokussiert. Im Idealfall realisieren sich die einzelnen Risiken nicht gleichzeitig, sondern entwickeln sich gegenläufig, so dass der Gewinn aus einem Risiko für den Verlust aus einem anderen Risiko aufkommen kann. Oft ist also das Gesamtrisiko kleiner als die Summe der Einzelrisiken. Neben der Addition der Einzelrisiken, gibt es auch Modelle, die bei der Aggregation der Risiken die Risikoreduktion durch Diversifikation berücksichtigen. Da die Modelle zur Risikoaggregation auf den Abhängigkeiten der einzelnen Risikoarten zueinander beruhen, können hierfür neben der Varinz-Kovarianz-Methode auch Copula-Modelle eingesetzt werden. An dieser Stelle ist zu beachten, dass die Gumbel-Copula wegen der asymmetrischen Randabhängigkeiten eine realitätsnahe Eigenschaft zur Aggregation darstellt. Für die Aggre‐ gation von mehr als zwei Einzelrisiken ist diese Copula aber nicht geeignet. Da es nur einen Parameter gibt, der die Abhängigkeit zwischen den Risikofaktoren beschreibt, können Unterschiede in den paarweisen Abhängigkeiten nicht berücksichtigt werden. Auch die t- Copula verfügt über Eigenschaften, die eine realitätsnahe Modellierung ermöglichen. Bei einer t-Copula können mehr als zwei Einzelrisiken aggregiert werden. Hier ist allerdings zu beachten, dass die Randabhängigkeiten nur symmetrisch modelliert werden können. In der Risikoaggregation werden daher oft nicht alle Einzelrisiken über eine einzige Copula aggregiert, sondern die Einzelrisiken in Teilgruppen aggregiert und auf der nächsthöheren Ebene mit weiteren Risiken zusammengefasst. Für jede Aggregation kann die in diesem Schritt passende Copula verwendet werden. Sind alle Risiken zu einem Gesamtrisiko aggregiert, kann ein Unternehmen daraus das Risikokapital bestimmen. Das Risikokapital beschreibt den Betrag, den ein Unternehmen vor‐ halten muss, um die eingegangenen Risiken mit sehr großer Wahrscheinlichkeit absichern zu können. Man könnten diesen Betrag auch umschreiben als das Kapital, das ein Unternehmen benötigt um mit sehr großer Wahrscheinlichkeit, oft 99%, die Verluste ausgleichen zu können, die sich innerhalb eines Jahres realisieren können. Diese Beschreibung kann mathematisch durch den (Mean) Value at Risk ausgedrückt werden. Vorgehensweise in Matlab ■ Importieren Sie die benötigten Daten und legen Sie oben genannte Annahmen fest. Daten = readmatrix('Matlab Daten.xlsx'); MSCI = Daten(: ,3); ThreeM_EURIBOR = Daten(: ,2); Kupon = ThreeM_EURIBOR+1; % Kuponzahlungen EURIBOR + 1% Exposure_Markt = 1000000; % 1 Mio USD Exposure_Kredit = 1000000; % 1 Mio USD Gewichtung = [0.8 0.2]; % Gewichtung Aktien und Anleihen im Portfolio PD = 0.01; % Jährliche Ausfallwahrscheinlichkeit LGD = 1; % Verlustquote (Loss Given Default) 202 COURSE 5: AGGREGATION rho_Kredit = 0.15; % Assetkorrelation Risikoaufteilung = [0.5 0.5]; % Verteilung Exposure Marktrisiko und Kreditrisiko ■ Berechnen Sie zur Bestimmung des Marktrisikos die stetigen Renditen des MSCI World sowie der Anleihen. Rendite_Anleihen = -price2ret(Kupon); % Verluste als positive Werte Rendite_MSCI = -price2ret(MSCI); % Verluste als positive Werte ■ Stellen Sie die Häufigkeiten der Renditen sowie deren Zusammenhang grafisch dar. t = tiledlayout(1,2,"TileSpacing","compact"); nexttile histogram(Rendite_Anleihen) title('Renditen Anleihen') nexttile histogram(Rendite_MSCI) title('Renditen MSCI World') title(t,'Häufigkeiten Renditen') xlabel(t,'Renditen') ylabel(t,'Häufigkeit') figure scatterhist(Rendite_Anleihen,Rendite_MSCI) xlabel('Renditen Anleihen') ylabel('Renditen MSCI World') title('Zusammenhang Renditen') COURSE 5: AGGREGATION 203 Abbildung 103: Häufigkeiten der Renditen Abbildung 104: Zusammenhang der Renditen 204 COURSE 5: AGGREGATION ■ Schätzen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichten basierend auf der Kernel-Funktion. k = ksdensity(Rendite_Anleihen,Rendite_Anleihen,'function','cdf'); % Kumulierte Wahrscheinlichkeitensdichte(x,pts) der Daten x, evaluiert an den Stellen pts m = ksdensity(Rendite_MSCI,Rendite_MSCI,'function','cdf'); M = [k m]; ■ Entscheidend für die Bestimmung von Copulas sind die Parameter der Copula. In Matlab lassen sich diese Parameter entweder mit der Funktion copulafit() anhand von Realdaten bestimmen oder mit Hilfe der Funktion copulaparam() generieren. rng default Rho_hat = copulafit('Gaussian',M) % Anpassung Gauss-Copula an Renditen ■ Generieren Sie eine Stichprobe durch die Gauss-Copula und stellen Sie diese grafisch dar. G = copularnd('Gaussian',Rho_hat,length(Rendite_MSCI)); % Durch Gauss-Copula simulierte Dichten k1 = ksdensity(Rendite_Anleihen,G(: ,1),'function','icdf'); % Simulierte Renditen Anleihen in USD m1 = ksdensity(Rendite_MSCI,G(: ,2),'function','icdf'); % Simulierte Renditen MSCI World in USD M1 = [k1 m1]; % Anleihen- und MSCI World Renditen figure scatterhist(k1,m1) xlabel('Simulierte Renditen Anleihen') ylabel('Simulierte Renditen MSCI World') title('Zusammenhang simulierte Renditen') COURSE 5: AGGREGATION 205 Abbildung 105: Zusammenhang der simulierten Renditen ■ Berechnen Sie die simulierten Portfoliorenditen. % Gewichtetes Exposure zu Marktrisiken in USD Markt_Exposure = (M1(: ,1)*Gewichtung(2)+M1(: ,2)*Gewichtung(1))*Exposure_Markt; ■ Berechnen Sie zur Ermittlung der Kreditrisiken die WCDR für ein Alpha von 0 bis 1. x = [0.0000000001: ((0.2-0.0000000001)/ (length(Markt_Exposure)-1)): 0.2]; pd = makedist('Normal'); % Wahrscheinlichkeitsverteilung Alpha = [0: 1/ 1302: 1]; % Mögliche Alpha Werte von 0 bis 1 WCDR = (cdf(pd,((icdf(pd,PD)+sqrt(rho_Kredit)*icdf(pd,Alpha))/ sqrt(1-rho_Kredit)))); % Worst-Case-Default-Rate Kredit_Exposure = (Exposure_Kredit*LGD*WCDR).'; % Exposure zu Kreditrisiken in USD ■ Zur Aggregation der Risiken, stellen Sie zuerst den Zusammenhang der Markt- und Kredit‐ risiken grafisch dar. Schätzen Sie anschließend die Wahrscheinlichkeitsdichten des Markt- und Kreditexposures mit Hilfe der Kernel-Funktion und passen Sie eine t-Student-Copula an die Dichten an. figure scatterhist(Markt_Exposure,Kredit_Exposure) xlabel('Exposure Marktrisiko') ylabel('Exposure Kreditrisiko') title('Zusammenhang Markt- und Kreditrisiken') 206 COURSE 5: AGGREGATION mr = ksdensity(Markt_Exposure,Markt_Exposure,'function','cdf'); % Kernel-Dichte der Marktrisi‐ ken kr = ksdensity(Kredit_Exposure,Kredit_Exposure,'function','cdf'); % Kernel-Dichte der Kre‐ ditrisiken R = [mr kr]; [Rho_hat2, nu_hat] = copulafit('t',R) % Anpassung t-Student-Copula an Risiken Abbildung 106: Zusammenhang der Markt- und Kreditrisiken ■ Generieren Sie eine Stichprobe durch die t-Student-Copula und stellen Sie diese grafisch dar. T = copularnd('t',Rho_hat2,nu_hat,length(Rendite_MSCI)); % Durch t-Student-Copula simu‐ lierte Dichten mr1 = ksdensity(Markt_Exposure,T(: ,1),'function','icdf'); % Portfolio-Marktrisiken in USD kr1 = ksdensity(Kredit_Exposure,T(: ,2),'function','icdf'); % Portfolio-Kreditrisiken in USD figure scatterhist(mr1,kr1) xlabel('Simulierte Marktrisiken') ylabel('Simulierte Kreditrisken') title('Zusammenhang', 'simulierte Markt- und Kreditrisiken') COURSE 5: AGGREGATION 207 Abbildung 107: Zusammenhang der simulierten Markt- und Kreditrisiken ■ Berechnen Sie die simulierten Risikoexposures. Gesamtrisiko = mr1*Risikoaufteilung(1)+kr1*Risikoaufteilung(2); % 50: 50 Aufteilung Risi‐ koexposure in USD ■ Berechnen Sie den Mean VaR und Expected Shortfall der Gesamtschadenverteilung für ein Alpha von 1%. VaR = quantile(Gesamtrisiko,0.99)-mean(Gesamtrisiko); % Mean VaR in USD mit alpha = 0.01 ES = mean(Gesamtrisiko(Gesamtrisiko>VaR)); % Expected Shortfall in USD ■ Berechnen Sie den Diversifikationseffekt als die Differenz des Risikoexposures der Aggre‐ gierten Risiken und der Summe der Einzelrisiken. Nutzen Sie hierfür die bereits bestimmeten Mean VaRs für ein Alpha von 1%. Gesamtrisiko_un = (Rendite_Anleihen*Gewichtung(2)+Rendite_MSCI*Gewichtung(1))*Ex‐ posure_Kredit+WCDR.'*Exposure_Kredit; % Summe der Einzelrisiken VaR_un = quantile(Gesamtrisiko_un,0.99)-mean(Gesamtrisiko_un); % Mean VaR ES_un = mean(Gesamtrisiko_un(Gesamtrisiko_un>VaR_un)); % Expected Shortfall Diversifikationseffekt = VaR_un-VaR; % + = geringere extreme Verluste table([VaR; VaR_un],[ES; ES_un],'VariableNames',{'Mean Value at Risk (99%)', 'Expected Short‐ fall (99%)'},'RowNames',{'Aggregierte Risiken', 'Summe der Einzelrisiken'}) table([Diversifikationseffekt],'VariableNames',{'Diversifikationseffekt in USD pro Tag'}) 208 COURSE 5: AGGREGATION Matlab Ergebnisse Abbildung 108: Übersicht der Risikomaße für die aggregierten Risiken und die Summe der Einzelrisiken Abbildung 109: Der Diversifikationseffekt der aggregierten Risiken Verweise auf das Excel- und Matlab-Tool Siehe Matlab-Skript: A38_39_Copulas Assignment 39: Risikokapital Aufgabe Berechnen Sie das Risikokapital für ein Unternehmen mit den in Assignment 38 beschriebenen Risiken. Inhalt Die Risiken von Banken und Versicherungen sind in Markt-, Kredit-, Versicherungs- und Operationelle Risiken unterteilt. In den vorangegangenen Assignments haben wir uns auf die Modellierung der Markt- und Kreditrisiken fokussiert. Darüber hinaus haben wir im letzten Assignment eine Möglichkeit zur Aggregation der Einzelrisiken zur Bestimmung des Gesamtrisikos eines Banken- oder Versicherungsportfolios eingeführt. Dies ist die entschei‐ dende Kenngröße zur Bestimmung des Risikokapitals einer Bank sowie des RAROC-Faktors (risk adjusted return on capital). COURSE 5: AGGREGATION 209 Das Risikokapital soll alle Risiken absichern, denen eine Bank oder ein Versicherungsunter‐ nehmen ausgesetzt ist. Hierfür müssen Eigenmittel bereitgehalten werden. Das Risikokapital muss unerwartete Verluste mit einem bestimmten Sicherheitsniveau abdecken können. Das europäische Aufsichtsregime fordert von Versicherungsunternehmen Eigenkapital in Höhe des Mean Value at Risk zu einem Sicherheitsniveau (Konfidenzniveau) von 99,5% über den Zeitraum eines Jahres. Das bedeutet, dass die Überlebenswahrscheinlichkeit des Finanzinstituts für das kommende Jahr rechnerisch 99,5% beträgt. Die Eigenkapitalvorschriften im Bankwesen (Basel) geben als Mindestkapitalanforderung bei den auf internen Verfahren zur Risikomessung basierenden Ansätzen ein Sicherheitsniveau von 99,9 % vor. Dieses Sicherheitsniveau entsprach zum Zeitpunkt des Entstehens der Basel II Regularien einem BBB Rating. Die Bank kann dann ihr Risikoniveau so einstellen, dass die Überlebenswahrscheinlichkeit gerade ihrem Zielrating (vgl. Ratingagentur) entspricht. Beispielsweise wird aktuell ein Sicherheitsniveau von 99,97% für ein AA Rating benötigt (vgl. Hull, S. 545). Für ein BBB Rating ist das Sicherheitsniveau niedriger und beträgt aktuell 99,8% (vgl. Hull, S. 546). Vorgehensweise in Matlab ■ Berechnen Sie das Risikokapital als Mean VaR zum Konfidenzniveau von 99,5% für eine Periode von einem Jahr. Beziehen Sie sich hierfür auf die im vorherigen Assignment bestimmten aggregierten Risiken und nehmen Sie an, dass ein Jahr 252 Handelstage umfasst. Risikokapital = (quantile(Gesamtrisiko,0.995)-mean(Gesamtrisiko))*sqrt(252); Matlab Ergebnisse Abbildung 110: Risikokapital in USD Verweise auf das Excel- und Matlab-Tool Siehe Matlab-Skript: A38_39_Copulas 210 COURSE 5: AGGREGATION Literaturverzeichnis A R T Z N E R , P H I L I P P E ; D E L B A E N , F R E D D Y ; E B E R , J E A N -M A R C ; H E A T H , D A V I D (1999): Coherent Measures of Risk. In: Mathematical Finance 9 (3), S. 203-228. DOI: 10.1111/ 1467-9965.00068. B L A C K , F I S C H E R ; S C H O L E S , M Y R O N (1973): The Pricing of Options and Corporate Liabilities. In: Journal of Political Economy 81 (3), S. 637-654. Online verfügbar unter http: / / www.jstor.org/ stable/ 1831029. 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München: Pearson Studium (wi -wirtschaft). 212 Literaturverzeichnis Stichwortverzeichnis Aggregation-185 ARCH-Modell-43, 50 Ausfallkorrelation-118 Ausfallwahrscheinlichkeit-109, 118 Ausübungspreis-73 autoregressiv-44, 51 Backtesting-152 Black-Scholes-Modell-73 Black Swans-175 Brownsche Bewegung-59 Clayton-Copula-195 Conditional Tail Expectation-141 Conditional Value at Risk-140, 149 Copula-195, 201 Clayton-195 Gauß-195 Normal-195 Student-t-195 Delta-82 Dichte-25 Dichtefunktion-22 Diffusionsparameter-65 Downside-Risikomaß-157 Drift-Parameter-65 Elastizität-166 Erwarteter Ausfall-160 EWMA-Modell-36, 51 Expected Shortfall-140, 149, 176 Expected Shortfall Magnitude-160 Expected Tail Loss-141 Expertenbefragung-126 Exposure at Default (EAD)-122 Extreme Value Theory-175 Extremwerte-175 Extremwerttheorie-175 Fat Tails-51, 176 Forderungspapiere-165 Gamma-83 GARCH-Modell-50, 57 Gauß-Copula-110, 195 Geometrische Brownsche Bewegung-57, 59 Gesamtrisiko-201 Greeks-82 Griechen-82 Häufigkeitsverteilung-17 Heteroskedastizität-44, 51 Histogramm-17 implizite Volatilität-88 Itô’s Lemma-60 Kalibrierung-126 kohärente Risikomaße-184 Konvexität-166 Kreditrisiken-99 Kreditrisiko-7 Liquiditätsrisiken-7 Lognormal-Verteilung-126 Loss Given Default (LGD)-122 Lower Partial Moments-157 erster Ordnung-158 nullter Ordnung-158 zweiter Ordnung-158, 161 Macaulay-Duration-164 Markov-Eigenschaft-59 Marktrisiken-11 Marktrisiko-7 Maximum-Likelihood-Methode-37, 51, 119, 176 Maximum-Likelihood-Schätzer-37 Mean Reversion-58 Mean Reversion Level-65 Mean Reversion Prozess-65 Mean Value at Risk (MVaR)-133, 138 Mertons Modell-103 Mindestkapitalanforderung-110 Mittleres Ausfallrisiko-160 Modified Duration-164f Momentanzins-65 Normal-Copula-195 Normalverteilung-23, 144, 176, 185 operationelle Risiken-125 operationelles Risiko-7 Option-73 Optionspreismodell-73 Ornstein-Uhlenbeck-Prozess-65 Pareto-Verteilung-175 Peaks-over-Treshold-Methode (PoT)-175 Poisson-Verteilung-126 Portfolioausfallrate-114 Portfoliorisiko-185 Portfolioverlust-122 Probability of default-109 Probability of Default-99 Put-Call Parität-79 Quantil-133 Quantil-Mapping-196 RAROC-Faktor-209 Rating-99 Ratingagentiren-99 Rating Migrationsmatrizen-99 Rendite-11 diskrete-11f stetige-11f Renditeberechnung-11 Rho-84 Risiko-7, 11 Risikokapital-209 Risikokennzahlen-73 Risikomaße-133, 182 Säulendiagramm-17 Schadenshäufigkeit-126 Schadenshöhe-126 Schadenshöhenverteilung-126 Schranke-157 Schwellenwert-160 Senkungsfaktor-37 Shortfall-Erwartungswert-158 Shortfall-Varianz-158, 161 Shortfall-Wahrscheinlichkeit-157f Sklar-196 Standardabweichung-33 stochastische Prozesse-57 Strike price-73 Student-t-Copula-195 Student t-Verteilung-23 Tail VaR-140 Target Shortfall-160 Theta-84 Trendniveau-65 Value at Risk-133, 152 bei einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung-133, 140 bei einer stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung-143 Varianz-30 bedingte-51 langfristige-51 Varianz-Kovarianz-Matrix-185 Varianz-Kovarianz-Methode-185, 190 Vasicek/ Ornstein-Uhlenbeck-Prozess-64 Vasicek Modell-65, 109f, 114, 118, 122 Vega-83 Verfahren- analytische-185 parametrische-185 Verlustquote-122 Versicherungsrisiken-7 Verteilung- leptokurtische-51 Verteilungsfunktion-22 univariate-195 Verzögerungsfaktor-37 Volatilität-11, 36 Volatilitätscluster-44, 51 Volatilitäts-Smile/ -Surface-90 Volatility Clustering-44 Wiener Prozess-58 Worst-Case-Ausfallrate-109 Worst Caste Default Rate-109 Zufallsprozess-57 214 Stichwortverzeichnis Abbildungsverzeichnis Abbildung 1: Diskrete und stetige Renditen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Abbildung 2: Diskrete und stetige Renditen in Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Abbildung 3: Eingaben zur Erstellung eines Histogramms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Abbildung 4: Erstellung eines Histogramms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Abbildung 5: Histogramm der MSCI World Renditen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Abbildung 6: Bestimmung einer Normalverteilung und t-Verteilung in Excel . . . . . . . . . 26 Abbildung 7: Bestimmung einer Dichte- und Verteilungsfunktion der Normalverteilung in Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Abbildung 8: Bestimmung einer Dichte- und Verteilungsfunktion der t-Verteilung in Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Abbildung 9: Erstellung der Dichte- und Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Abbildung 10: Erstellung der Dichte- und Verteilungsfunktion der t-Verteilung . . . . . . . . 30 Abbildung 11: Berechnung der Varianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Abbildung 12: Berechnung der Varianz in Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Abbildung 13: Berechnung der Standardabweichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Abbildung 14: Berechnung der Standardabweichung in Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Abbildung 15: Solver Parameter für das EWMA-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Abbildung 16: Berechnung der Volatilität mit dem EWMA-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Abbildung 17: Darstellung des optimierten Lambdas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Abbildung 18: Solver Parameter für das ARCH-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Abbildung 19: Berechnung der Volatilität mit dem ARCH-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Abbildung 20: Darstellung des geschätzten ARCH-Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Abbildung 21: Darstellung der berechneten langfristigen Varianz und Volatilität . . . . . . . 50 Abbildung 22: Solver Parameter für das GARCH-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Abbildung 23: Berechnung der Volatilität mit dem GARCH-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Abbildung 24: Darstellung des geschätzten GARCH-Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Abbildung 25: Darstellung der berechneten langfristigen Varianz und Volatilität . . . . . . . 57 Abbildung 26: Prozesstypen und ihre Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Abbildung 27: Annahmen der Geometrischen Brownschen Bewegung . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Abbildung 28: Simulierter Kurs des MSCI World . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Abbildung 29: Simulierte Pfade des MSCI World . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Abbildung 30: Bestimmung der Parameter des Ornstein-Uhlenbeck Prozess . . . . . . . . . . . 68 Abbildung 31: Simulation eines möglichen Pfades der zukünftigen Zinssätze . . . . . . . . . . 69 Abbildung 32: Simulierte Zinssätze für eine Periode von 100 Tagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Abbildung 33: Simulierte Zinssätze des 3M EURIBOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Abbildung 34: Berechnung des Call Preises anhand der Black-Scholes-Formel . . . . . . . . . 76 Abbildung 35: Preis eines Calls im Vergleich zu seiner Auszahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Abbildung 36: Darstellung des Put-Preises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Abbildung 37: Synthetische Replizierung einer Put-Option mithilfe eines Calls und eines Short Futures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Abbildung 38: Berechnung der Greeks in Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Abbildung 39: Berechnung der Greeks in Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Abbildung 40: Darstellung der impliziten Volatilität und der zugehörigen Call-Preise . . . 89 Abbildung 41: Implizite Volatilität über mehrere Ausübungspreise zu verschiedenen Ausübungsterminen; Daten: Bloomberg, erhalten am: 20.07.2021 . . . . . . . . 92 Abbildung 42: Darstellung eines Impliziten Volatility-Smiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Abbildung 43: Darstellung der Impliziten Volatility-Surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Abbildung 44: Import Impliziter Volatilitäten in Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Abbildung 45: Darstellung des Volatility-Smiles in Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Abbildung 46: Darstellung der Volatility-Surface in Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Abbildung 47: Rating-Migrationsmatrix nach Moody's (1970-2016) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Abbildung 48: Ratingmigrationsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Abbildung 49: Moody’s Rating-Migrationsmatrix nach zwei Jahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Abbildung 50: Moody’s Rating-Migrationsmatrix nach fünf Jahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Abbildung 51: Berechnete Rating-Migrationsmatrix nach fünf Jahren . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Abbildung 52: Die berechnete Ausfallwahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Abbildung 53: Die berechnete WCDR für eine niedrige sowie hohe Korrelation . . . . . . . . 112 Abbildung 54: Die berechnete WCDR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Abbildung 55: Dichte der Portfolio-Ausfallrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Abbildung 56: Simulation der jährlichen Portfolioausfallrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Abbildung 57: Dichte der jährlichen Portfolioausfallrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Abbildung 58: Die berechnete Ausfallkorrelation und zugehörige WCDR . . . . . . . . . . . . . 117 Abbildung 59: Dichte der Portfolioausfallrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Abbildung 60: Die aus historischen Daten geschätzten sowie optimierten Parameter . . . . 120 Abbildung 61: Summe der Log-Likelihood, basierend auf den geschätzten Parametern . . 121 Abbildung 62: Summe der Log-Likelihood, basierend auf den optimierten Parametern . . 121 Abbildung 63: Die bestimme WCDR und der zugehörige Portfolioverlust . . . . . . . . . . . . . 123 Abbildung 64: Die bestimme WCDR und der zugehörige Portfolioverlust . . . . . . . . . . . . . 124 Abbildung 65: Die modellierte Schadenhäufigkeit pro Jahr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Abbildung 66: Mögliche Fehler der operativen Schäden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 Abbildung 67: Die zugehörigen Modi und die Quantile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 Abbildung 68: Ermittlung des VaR bei einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung . . . 136 Abbildung 69: Ermittelter VaR einer diskreten Verteilung in Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Abbildung 70: Ermittlung des Mean VaR bei einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Abbildung 71: Ermittlung des Mean VaR bei einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung in Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Abbildung 72: Ermittlung des Conditional VaR (Expected Shortfall) bei einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Abbildung 73: Ermittelter Conditional VaR einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung in Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Abbildung 74: Ermittlung des Value at Risk bei einer stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 Abbildung 75: Berechnung des VaR bei einer stetigen Verteilung in Matlab . . . . . . . . . . . . 149 Abbildung 76: Ermittlung des Conditional VaR (Expected Shortfall) bei einer stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 Abbildung 77: Ermittelte Conditional VaRs einer stetigen Verteilung in Matlab . . . . . . . . 152 216 Abbildungsverzeichnis Abbildung 78: Backtesting des VaR bei einer Unterschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 Abbildung 79: Backtesting des VaR bei einer Überschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 Abbildung 80: Backtesting des VaR bei einer Unterschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 Abbildung 81: Backtesting des VaR bei einer Überschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 Abbildung 82: Berechnung der Shortfall-Wahrscheinlichkeit (Lower Partial Moments nullter Ordnung bzw. LPM 0 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 Abbildung 83: Berechnung des Shortfall-Erwartungswerts (LPM erster Ordnung bzw. LPM 1 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 Abbildung 84: Berechnung der Shortfall-Varianz als LPM zweiter Ordnung (LPM 2 ) . . . . . 163 Abbildung 85: Berechnete Lower Partial Moments in Prozent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Abbildung 86: Berechnung der Zinssätze und Barwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Abbildung 87: Berechnung der Duration, Modified Duration und Convexity . . . . . . . . . . . 173 Abbildung 88: Berechnung der Duration und Modified Duration mit Excel-Funktionen und Berechnung der Preisänderung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Abbildung 89: Berechnung des Barwerts Marktzins, des Barwerts Zinserhöhung, der Duration, der Modified Duration und der Konvexität in Matlab . . . . . . . . . 174 Abbildung 90: Solver Parameter für Extremwerttheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 Abbildung 91: Berechnung des VaR und des Conditional Value at Risk mit der Extremwerttheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 Abbildung 92: VaR und der Conditional Value at Risk bei unterschiedlichen Konfidenzniveaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 Abbildung 93: Berechnung des VaR und des Conditional Value at Risk mit der Extremwerttheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 Abbildung 94: Risikomaße im Vergleich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 Abbildung 95: Kohärente Risikomaße nach Artzner, Delbaen, Eber and Heath (1999) . . . . 184 Abbildung 96: Erstellung der Varianz-Kovarianz-Matrix und Berechnung des Portfoliorisikos mit Hilfe der Varianz-Kovarianz-Methode . . . . . . . . . . . . . 188 Abbildung 97: Die berechnete Kovarianzmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 Abbildung 98: Die berechnete Portfoliovarianz sowie Standardabweichung . . . . . . . . . . . . 190 Abbildung 99: Berechnung des Value at Risk und des Conditional Value at Risk mit Hilfe der Varianz-Kovarianz-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 Abbildung 100: Die berechneten VaR in Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 Abbildung 101: Die berechneten CVaR in Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 Abbildung 102: Die Gaussian, Gumbel und t-Student Copula für hohe und niedrige Abhängigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 Abbildung 103: Häufigkeiten der Renditen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 Abbildung 104: Zusammenhang der Renditen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 Abbildung 105: Zusammenhang der simulierten Renditen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 Abbildung 106: Zusammenhang der Markt- und Kreditrisiken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 Abbildung 107: Zusammenhang der simulierten Markt- und Kreditrisiken . . . . . . . . . . . . . 208 Abbildung 108: Übersicht der Risikomaße für die aggregierten Risiken und die Summe der Einzelrisiken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 Abbildung 109: Der Diversifikationseffekt der aggregierten Risiken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 Abbildung 110: Risikokapital in USD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 Abbildungsverzeichnis 217 BUCHTIPP Dietmar Ernst, Joachim Häcker Risikomanagement im Unternehmen Schritt für Schritt Professionelle Excelmodelle leicht erklärt 1. Auflage 2021, 224 Seiten €[D] 26,90 ISBN 978-3-8252-5692-0 eISBN 978-3-8385-5692-5 Risikomanagement ist in Krisenzeiten wichtiger denn je. Hinzu kommt, dass Unternehmen im Rahmen eines Risikomanagements verpflichtet sind, Risiken zu identifizieren, quantifizieren und aggregieren. Der IDW PS 340 hat hierzu die Rahmenbedingungen gesetzt. In diesem Buch wird Ihnen anhand einer Case Study „Schritt für Schritt“ mit Hilfe von Excel gezeigt, wie Sie Risiken analysieren und quantifizieren können. Das Buch beginnt mit der grafischen Darstellung von Risiken und der Berechnung von Risikoparametern wie den Value at Risk. Danach werden unterschiedliche Risiken mit der Monte-Carlo- Simulation zu einem Gesamtrisiko aggregiert. Es wird auch das Absichern von Risiken erklärt und wie nicht absicherbare Risiken in einen Business Plan eingebaut werden. Das Thema der Bewertung von Extremrisiken wird ebenso aufgegriffen wie die die Modellierung von Volatilitäten. Und das Beste daran ist: Sie brauchen so gut wie keine mathematischen Vorkenntnisse. Sie lernen alles Schritt für Schritt. UVK Verlag. Ein Unternehmen der Narr Francke Attempto Verlag GmbH + Co. KG Dischingerweg 5 \ 72070 Tübingen \ Germany Tel. +49 (0)7071 97 97 0 \ Fax +49 (0)7071 97 97 11 \ info@narr.de \ www.narr.de Das Buch zeigt, wie modernes Risikomanagement bei Banken und Versicherungen in Excel und Matlab modelliert werden kann. Die Leser: innen werden systematisch und strukturiert Schritt für Schritt mit allen notwendigen Kenntnissen und Kompetenzen versorgt. Außer grundlegenden Excel-Kenntnissen sind keine Vorkenntnisse erforderlich. Das Werk ist in 4 Teile gegliedert: In Course 1 lernt man die Grundlagen zur Analyse und Modellierung von Marktrisiken kennen. In Course 2 wird die Modellierung von Kreditrisiken eingeführt. In Course 3 werden operationelle Risiken quantifiziert, indem Schadensverteilungen aufgrund von Expertenschätzungen kalibriert werden. Danach werden in Course 4 einzelne Risikomaße näher beleuchtet. Zur Berechnung eines Risikomaßes für ein Gesamtportfolio zur Bestimmung des Risikokapitals muss die Frage nach der Aggregationsmethode diskutiert werden. Hierfür gibt es verschiedene gängige Konzepte, die in Course 5 genauer betrachtet werden. Das Buch richtet sich an Studierende betriebswirtschaftslicher Studiengänge mit Schwerpunkt Finanzdienstleister. utb+ Das Lehrbuch mit dem digitalen Plus Betriebswirtschaftslehre | Finance ISBN 978-3-8252-6002-6 Dies ist ein utb-Band aus dem UVK Verlag. utb ist eine Kooperation von Verlagen mit einem gemeinsamen Ziel: Lehr- und Lernmedien für das erfolgreiche Studium zu veröffentlichen. utb.de QR-Code für mehr Infos und Bewertungen zu diesem Titel