<?page no="0"?> Portfolio Management 2. A. Ernst | Geisinger | Schurer Nach einer Einführung in die inhaltlichen und mathematischen Grundlagen demonstriert das Lehrbuch die wichtigsten quantitativen Modelle des aktiven und passiven Portfolio Managements mit ihren jeweiligen Stärken und Schwächen. Die praktische Umsetzung der Modelle wird anhand von Fallbeispielen in Excel und Matlab veranschaulicht. Fragestellungen am Ende jedes Kapitels sorgen für maximalen Lernerfolg. Die inhaltliche Konzeption des Lehrbuches, das komplett überarbeitet wurde, setzt keine besonderen Vorkenntnisse aus den Bereichen des Portfolio Managements voraus, sodass-das Lehrbuch als Rahmenwerk für die Einführung in-die Thematik des Portfolio Managements, aber auch im Rahmen einer Vertiefungsveranstaltung zum Thema Portfolio Management eingesetzt werden kann. utb+ Das Lehrwerk mit dem digitalen Plus Finance ISBN 978-3-8252-8793-1 Dies ist ein utb-Band aus dem UVK Verlag. utb ist eine Kooperation von Verlagen mit einem gemeinsamen Ziel: Lehr- und Lernmedien für das erfolgreiche Studium zu veröffentlichen. utb.de QR-Code für mehr Infos und Bewertungen zu diesem T itel Ernst | Geisinger | Schurer Portfolio Management Theorie und Praxis mit Excel und Matlab 2. Auflage 2025-04-24_8793-1_Ernst_Geisinger_Schurer_L_8562-PLUS_PRINT.indd Alle Seiten 2025-04-24_8793-1_Ernst_Geisinger_Schurer_L_8562-PLUS_PRINT.indd Alle Seiten 24.04.25 14: 15 24.04.25 14: 15 <?page no="1"?> utb 8562 Eine Arbeitsgemeinschaft der Verlage Brill | Schöningh - Fink · Paderborn Brill | Vandenhoeck & Ruprecht · Göttingen - Böhlau · Wien · Köln Verlag Barbara Budrich · Opladen · Toronto facultas · Wien Haupt Verlag · Bern Verlag Julius Klinkhardt · Bad Heilbrunn Mohr Siebeck · Tübingen Narr Francke Attempto Verlag - expert verlag · Tübingen Psychiatrie Verlag · Köln Psychosozial-Verlag · Gießen Ernst Reinhardt Verlag · München transcript Verlag · Bielefeld Verlag Eugen Ulmer · Stuttgart UVK Verlag · München Waxmann · Münster · New York wbv Publikation · Bielefeld Wochenschau Verlag · Frankfurt am Main UTB (L) Impressum_01_25.indd 1 UTB (L) Impressum_01_25.indd 1 13.01.2025 11: 25: 53 13.01.2025 11: 25: 53 <?page no="2"?> Prof. Dr. Dr. Dietmar Ernst lehrt Corporate Finance an der European School of Finance der Hochschule für Wirtschaft und Umwelt (HfWU) in Nürtingen. Prof. Dr. Leander Geisinger lehrt Quantitative Methoden an der Fakultät für Betriebswirtschaft und Internationale Finanzen der Hochschule für Wirtschaft und Umwelt (HfWU) in Nürtingen. Marc Schurer forscht zum Thema Portfolio Management an der Hochschule für Wirtschaft und Umwelt (HfWU) in Nürtingen. <?page no="3"?> Dietmar Ernst Leander Geisinger Marc Schurer Portfolio Management Theorie und Praxis mit Excel und Matlab 2., überarbeitete Auflage <?page no="4"?> Umschlagmotiv: © deli - Fotolia.com Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http: / / dnb.dnb.de abrufbar. 2., überarbeitete Auflage 2025 1. Auflage 2014 DOI: https: / / doi.org/ 10.36198/ 9783838587936 © UVK Verlag 2025 - Ein Unternehmen der Narr Francke Attempto Verlag GmbH + Co. KG Dischingerweg 5 · D-72070 Tübingen Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Alle Informationen in diesem Buch wurden mit großer Sorgfalt erstellt. Fehler können dennoch nicht völlig ausgeschlossen werden. Weder Verlag noch Autor: innen oder Herausgeber: innen übernehmen deshalb eine Gewährleistung für die Korrektheit des Inhaltes und haften nicht für fehlerhafte Angaben und deren Folgen. Diese Publikation enthält gegebenenfalls Links zu externen Inhalten Dritter, auf die weder Verlag noch Autor: innen oder Herausgeber: innen Einfluss haben. Für die Inhalte der verlinkten Seiten sind stets die jeweiligen Anbieter: innen oder Betreibenden der Seiten verantwortlich. Internet: www.narr.de eMail: info@narr.de Einbandgestaltung: siegel konzeption l gestaltung Druck: Elanders Waiblingen GmbH Utb-Nr. 8562 ISBN 978-3-8252-8793-1 (Print) ISBN 978-3-8385-8793-6 (ePDF) ISBN 978-3-8463-8793-1 (ePub) <?page no="5"?> Vorwort “An investment in knowledge pays the best interest.” Benjamin Franklin (*1706, †1790) Quelle: © Wikipedia „Portfolio Management“ gilt als das Kernfach in der Finanzwirtschaft. Portfolio Management beinhaltet die Zusammenstellung und Verwaltung eines Portfolios, d.h. eines Bestandes an Investitionen unter Berücksichtigung von Rendite und Risiko. Die dahinterstehende Kapitalmarkttheorie ist mit Namen wie M ARKOWITZ , T OBIN , B LACK und M ERTON sowie vielen weiteren bekannten Wissenschaftlern verbunden, welche die moderne Portfoliotheorie maßgeblich geprägt haben. Das Portfolio Management als solches ist nicht nur ein Fach innerhalb der Finanzwirtschaft, sondern bildet auch die theoretische Klammer um eine Vielzahl weiterer finanzwirtschaftlicher Fragestellungen, wie z.B. der Unternehmensbewertung oder des Einsatzes von Derivaten sowie der Umsetzung des Financial Engineerings. In der finanzwirtschaftlichen Praxis finden die Methoden des Portfolio Managements deshalb nicht nur im Asset Management Anwendung, sondern auch im Private Banking und Wealth Management, im Corporate Finance sowie im Treasury-Management von Unternehmen, aber auch im Risikomanagement. Die Idee des Buches besteht darin, ein Lehrbuch zu entwickeln, das den theoretischen Anforderungen an das Fach „Portfolio Management“ gerecht wird, gleichzeitig aber auch Kompetenzen in der Umsetzung von Portfoliomodellen mit Microsoft Excel, VBA und Matlab vermittelt. Wir haben in unserer Lehrtätigkeit erkannt, dass Studierende dann komplexe Modelle am besten erlernen und verstehen, wenn sie diese mit Fallstudien im Rahmen des Financial Modeling konkret anwenden und anschließend eigenständig umsetzen. Beim Ausprobieren und Modellieren wird eine Vielzahl von mathematischen und statistischen Fragestellungen aufgegriffen und in konkreten Anwendungsbeispielen angewendet. Dass gerade durch die praktische Umsetzung neben dem Lernerfolg auch die Freude am Studieren zunimmt, ist ein nicht zu unterschätzender Erfolgsfaktor. Neben Studierenden und Dozenten soll das vorliegende Buch aber auch für bereits im Portfolio Management tätige Praktiker einige interessante Inhalte bieten, die einerseits Anregungen und andererseits ein vertieftes Verständnis ihrer Tätigkeit geben sollen. In den ersten drei Kapiteln des Buches werden neben einer allgemeinen thematischen Einführung in das Portfolio Management die mathematischen Grundlagen für die spätere Anwendung der vorgestellten Konzepte aufgefrischt. Die nachfolgenden Kapitel 4 bis 7 bilden den Schwerpunkt des Buches und beinhalten die wichtigsten quantitativen Modelle des aktiven und passiven Portfolio Managements sowie eine Darstellung ihrer Stärken und Schwächen. Es wird dabei jeweils zwischen einem einführenden theoretischen Teil und einem sich anschließenden anwendungsbezogenen Teil unterschieden. Im anwendungsbezogenen Teil erfolgt die Umsetzung der Modelle durch Fallstudien in Microsoft Excel und Matlab. <?page no="6"?> 6 Vorwort Bei der Überarbeitung von Kapitel 1 wurde eine Beschreibung des Investment Management Prozesses als Wertschöpfungskette des Portfolio Managements ergänzt. Darüber hinaus wurde ein Überblick zum Risikomanagement im Portfolio Management hinzugefügt. Dadurch sollen diese zentralen Aspekte des Portfolio Managements in den Vordergrund treten. Die Darstellung quantitativer Modelle in den Kapiteln 2, 3 und 4 wurde grundlegend überarbeitet. Insbesondere zentrale Methoden, wie die Nutzung von Wiener Prozessen, der Value At Risk, das Capital Asset Pricing Model und die Portfoliooptimierung werden einheitlich hergeleitet, sodass für den Leser Zusammenhänge deutlich werden. Hier wurde auch die Aufteilung des Portfolio Risikos in systematisches und unsystematisches Risiko ergänzt und aus den quantitativen Darstellungen abgeleitet. In Kapitel 6 wird die Thematik der klassischen Portfoliooptimierung darüber hinaus mit der Vorstellung robuster Portfolioansätze vertieft. Als Beispiel sei das Black-Litterman-Modell genannt, das erlaubt, neben der Unsicherheit gleichermaßen Marktunvollkommenheiten im Portfolio Management zu berücksichtigen. Abschließend gibt Kapitel 7 einen Überblick über alle wichtigen Performancekennzahlen im Portfolio Management. Zur Überprüfung und Festigung des angeeigneten Wissens beinhaltet das Lehrbuch am Ende jedes Kapitels Testfragen. Die inhaltliche Konzeption des Lehrbuches setzt keine besonderen Vorkenntnisse aus den Bereichen des Portfolio Managements voraus, sodass das Lehrbuch als Rahmenwerk für die Einführung in die Thematik des Portfolio Managements, aber auch im Rahmen einer Vertiefungsveranstaltung zum Thema Portfolio Management eingesetzt werden kann. Aus diesem Grund sollte neben dem Interesse an Kapitalmärkten vor allem eine grundlegende statistische und mathematischen Ausbildung gegeben sein. Durch die Verbindung von Theorie und praktischer Anwendung wird ein Selbststudium ermöglicht. Im Rahmen dieses Buches wird zur Lösung der anwendungsbezogenen Fallstudien neben Microsoft Excel und der dazugehörigen Programmiersprache Visual Basic for Applications (VBA) ebenfalls das Softwarepaket Matlab in Verbindung mit dessen Financial Toolbox verwendet. Dadurch können in Abhängigkeit von den IT-Kenntnissen und -Interessen die in diesem Buch vorgestellten Fallstudien durch unterschiedliche Programme gelöst werden. Obwohl sich mit Microsoft Excel die meisten Problemstellungen im Portfolio Management auf einfache Weise lösen lassen, gelangt das Produkt bei zunehmender Komplexität der Fragestellungen an seine Grenzen. Der Vorteil von Microsoft Excel besteht darin, dass es sehr verbreitet ist und der Leser relativ einfach die vorgestellten Konzepte nachvollziehen kann. Matlab hingegen stellt eine Programmierumgebung für die Entwicklung und Implementierung von Algorithmen für effiziente und robuste Finanzanwendungen dar. Finanzexperten weltweit nutzen die interaktive Programmierumgebung von Matlab, um mit ihren vielfältigen vorgefertigten Bibliotheken auch in vergleichsweise kurzer Zeit komplexe quantitative Analysen und Anwendungen zu erstellen. Wir haben uns bewusst dafür entschieden, Matlab- Anwendungen in dieses Buch aufzunehmen, um einerseits dem Anspruch der Praxisnähe gerecht zu werden, andererseits aber auch aus der Notwendigkeit heraus, Studierende mit den Instrumenten der Finanzpraxis zu unterrichten und sie damit optimal auf das Berufsleben vorzube-reiten. Wer sich mit Matlab-Anwendungen nicht beschäftigen möchte, kann die Kapitel auslassen, ohne den roten Faden des Buches verlassen zu müssen. <?page no="7"?> Vorwort 7 Danken möchten wir dem UVK Verlag und seinen Mitarbeitern für die stets angenehme und konstruktive Zusammenarbeit. Unser besonderer Dank gilt Herrn Dr. Jürgen Schechler für seine Ideen und die Unterstützung bei der Umsetzung dieses Werks und nicht zuletzt für sein Vertrauen in das didaktische Konzept. Über Anmerkungen, Ergänzungen, Kritik und (vielleicht auch) Lob zu unserem Buch würden wir uns sehr freuen. Wir wünschen unseren Lesern eine interessante und erkenntnisreiche Lektüre. Dietmar Ernst Leander Geisinger Marc Schurer <?page no="9"?> Inhaltsübersicht 1 Grundlagen des Portfolio Managements...................................................................17 2 Mathematische Grundlagen im Portfolio Management.......................................137 3 Grundlagen der modernen Portfoliotheorie ...........................................................213 4 Die Anwendung des aktiven Portfolio Managements .........................................275 5 Anwendung des passiven Portfolio Managements...............................................381 6 Verfahren der robusten Portfolio-Optimierung ....................................................428 7 Performance-Messung.................................................................................................568 Zusatzmaterial Unter dem Link https: / / files.narr.digital/ 9783825287931/ Zusatzmaterial.zip finden Sie Arbeitsmaterial für Matlab, Beispiele in Excel sowie Lösungen zu den Aufgaben. <?page no="11"?> Inhaltsverzeichnis Vorwort....................................................................................................................................... 5 1 Grundlagen des Portfolio Managements ................................................... 17 1.1 Was ist unter Portfolio Management zu verstehen? ....................................... 18 1.1.1 Was ist ein Portfolio? ............................................................................................. 18 1.1.2 Festlegung der Portfolio-Anteile ......................................................................... 21 1.1.3 Das Portfolio Management und die Bedeutung quantitativer Methoden... 22 1.2 Der Investment Management Prozess ................................................................ 23 1.2.1 Überblick über Portfolioplanung und Portfoliokonstruktion........................ 23 1.2.2 Planung eines Portfolios und Festlegung von Portfoliorichtlinien .............. 24 1.2.3 Kapitalanlageklassen und Kapitalmarkterwartungen..................................... 26 1.2.4 Die Strategische Asset Allokation (SAA)........................................................... 30 1.2.5 Aktives und passives Kapitalanlagemanagement ............................................ 35 1.2.6 Monitoring, Performance-Messung und Feedback.......................................... 39 1.3 Überblick über das Risikomanagement .............................................................. 48 1.3.1 Ziele des Risikomanagement im Portfolio Management................................ 48 1.3.2 Finanzielle Risiken .................................................................................................. 49 1.3.3 Quantitative Risikomaße ....................................................................................... 51 1.4 Welche Assetklassen kennt das Portfolio Management? ............................... 53 1.4.1 Übersicht über die verschiedenen Anlageklassen............................................ 54 1.4.2 Traditionelle Assetklassen .................................................................................... 54 1.4.3 Alternative Assetklassen ....................................................................................... 57 1.4.4 Weitere Untergliederungsmöglichkeiten der Assetklassen........................... 61 1.4.5 Korrelationen aller wichtigen Anlageklassen................................................... 61 1.5 Methoden des aktiven und passiven Portfolio Management ........................ 62 1.5.1 Sind Kapitalmärkte effizient? ............................................................................... 63 1.5.2 Das aktive Portfolio Management ....................................................................... 66 1.5.3 Das passive Portfolio Management..................................................................... 78 1.6 Welche Bedeutung hat die Rendite für das Portfolio Management? ........... 82 1.6.1 Diskrete Rendite ...................................................................................................... 83 1.6.2 Geometrische Rendite ............................................................................................ 85 1.6.3 Kapitalgewichtete Rendite .................................................................................... 87 1.6.4 Stetige Rendite (logarithmische Rendite)........................................................... 89 1.7 Welche Bedeutung hat das Risiko für das Portfolio Management? ............. 95 <?page no="12"?> 12 Inhaltsverzeichnis 1.7.1 Der Risikobegriff ..................................................................................................... 96 1.7.2 Klassifikation der Risikomaße .............................................................................. 98 1.7.3 Die Quantifizierung von Risiken ......................................................................... 99 1.8 Schlussbetrachtung ............................................................................................... 121 1.9 Zusammenfassung ................................................................................................ 122 1.10 Fragen zu Kapitel 1 ............................................................................................... 124 1.11 Anlage...................................................................................................................... 129 Literaturverzeichnis zu Kapitel 1 ...................................................................................... 130 2 Mathematische Grundlagen im Portfolio Management ....................137 2.1 Grundlagen der Matrizenrechnung................................................................... 138 2.1.1 Matrizen .................................................................................................................. 139 2.1.2 Diagonal- und Einheitsmatrix ............................................................................ 140 2.1.3 Vektoren.................................................................................................................. 141 2.1.4 Transponieren von Matrizen und Vektoren ................................................... 142 2.1.5 Addition und Subtraktion von Matrizen und Vektoren ............................... 142 2.1.6 Multiplikation von Matrizen und Vektoren .................................................... 143 2.1.7 Inversion von Matrizen und Vektoren ............................................................. 146 2.2 Matrizenrechnung in Excel ................................................................................. 147 2.2.1 Allgemeine Darstellung in Excel ....................................................................... 148 2.2.2 Transponieren von Vektoren und Matrizen in Excel.................................... 148 2.2.3 Addition und Subtraktion von Matrizen in Excel .......................................... 150 2.2.4 Multiplikation eines Skalars mit einer Matrix in Excel ................................ 150 2.2.5 Multiplikation von Matrizen und Vektoren in Excel .................................... 151 2.2.6 Inversion und Einheitsmatrix in Excel ............................................................. 152 2.3 Grundlagen der mathematischen Optimierung.............................................. 152 2.3.1 Die Ziele des Operations Research und der Portfoliotheorie ...................... 153 2.3.2 Grundlagen der Entscheidungstheorie ............................................................. 154 2.3.3 Klassifikation der Optimierungsprobleme....................................................... 155 2.3.4 Übersicht über die Teilgebiete der Optimierung und des Operations Research .................................................................................................................. 156 2.3.5 Lineare Optimierungsprobleme ......................................................................... 161 2.3.6 Nicht-lineare Optimierungsprobleme............................................................... 164 2.3.7 Optimierungsprobleme unter Unsicherheit .................................................... 171 2.4 Einführung in den Excel Solver ......................................................................... 176 2.4.1 Installation des Solvers ........................................................................................ 176 2.4.2 Aufruf und Anwendung des Solvers................................................................. 177 2.5 Stochastische Prozesse im Portfolio Management......................................... 179 <?page no="13"?> Inhaltsverzeichnis 13 2.5.1 Geschichtlicher Hintergrund .............................................................................. 180 2.5.2 Stochastische Prozesse ......................................................................................... 181 2.5.3 Überleitung vom diskreten Random Walk zum stetigen Wiener-Prozess 183 2.5.4 Der allgemeine Wiener-Prozess......................................................................... 188 2.5.5 Der Wiener-Prozess für Aktienkurse und im Portfoliomanagement ........ 190 2.5.6 Die Integration lognormalverteilter Aktienkurse in das Modell ................ 193 2.5.7 Die Monte-Carlo-Simulation .............................................................................. 195 2.5.8 Die Modellierung stochastischer Prozesse in Excel....................................... 197 2.6 Schlussbetrachtung ............................................................................................... 199 2.7 Zusammenfassung ................................................................................................ 200 2.8 Fragen zu Kapitel 2 ............................................................................................... 202 Literaturverzeichnis zu Kapitel 2 ...................................................................................... 206 3 Grundlagen der modernen Portfoliotheorie...................................... 213 3.1 Die Grundlagen der modernen Portfoliotheorie ............................................ 214 3.1.1 Die Annahmen der modernen Portfoliotheorie ............................................. 216 3.1.2 Die Bestimmung des Portfoliorisikos im Zwei-Anlagen-Fall...................... 217 3.1.3 Der Diversifikationseffekt und die Effizienzkurve ........................................ 222 3.2 Die Bestimmung von effizienten Portfolios im N-Anlagen-Fall................. 227 3.3 Die Auswahl eines optimalen Portfolios.......................................................... 232 3.3.1 Der „rationale“ Investor....................................................................................... 232 3.3.2 Nutzenfunktionen und Indifferenzkurven ...................................................... 235 3.3.3 Auswahl eines optimalen Portfolios ................................................................. 238 3.4 Die Kapitalmarktlinie und die Auswahl eines Portfolios ............................. 239 3.5 Die Wertpapierlinie und das Kapitalmarktgleichgewicht............................ 245 3.6 Das Capital Asset Pricing Model ....................................................................... 248 3.6.1 Annahmen .............................................................................................................. 249 3.6.2 Das grundlegende Konzept ................................................................................. 250 3.6.3 Empirische Tests und Kritik ............................................................................... 252 3.7 Modellerweiterungen des CAPM ...................................................................... 254 3.7.1 Das Single-Index-Modell ..................................................................................... 256 3.7.2 Systematisches und unsystematisches Risiko................................................. 260 3.7.3 Das Multi-Index-Modell....................................................................................... 260 3.8 Schlussbetrachtung ............................................................................................... 262 3.9 Zusammenfassung ................................................................................................ 263 3.10 Fragen zu Kapitel 3 ............................................................................................... 265 Literaturverzeichnis zu Kapitel 3 ...................................................................................... 268 <?page no="14"?> 14 4 Die Anwendung des aktiven Portfolio Managements ........................275 4.1 Die absolute Optimierung im aktiven Portfolio Management.................... 276 4.1.1 Ermittlung des Minimum-Varianz-Portfolios ................................................. 281 4.1.2 Ermittlung des Maximum-Ertrags-Portfolios ................................................. 284 4.1.3 Bestimmung eines beliebig effizienten Portfolios.......................................... 284 4.1.4 Ermittlung des Tangentialportfolios................................................................. 285 4.2 Die relative Optimierung im aktiven Portfolio Management ..................... 287 4.2.1 Bestandteile der relativen Optimierung ........................................................... 290 4.2.2 Bestimmung der Alpha- und Beta-Faktoren ................................................... 292 4.2.3 Aktive Position, aktives Risiko und aktiver Beta-Faktor ............................. 295 4.2.4 Kennzahlen des aktiven Portfolio Managements........................................... 297 4.3 Die Umsetzung der absoluten Portfolio-Optimierung .................................. 300 4.3.1 Vorstellung des Ausgangsportfolios für die absolute Optimierung .......... 300 4.3.2 Die praktische Umsetzung in Excel .................................................................. 302 4.3.3 Die praktische Umsetzung in Matlab................................................................ 332 4.4 Die Umsetzung der relativen Portfolio-Optimierung ................................... 348 4.4.1 Vorstellung des Ausgangsportfolios für die relative Optimierung ............ 350 4.4.2 Die praktische Umsetzung in Excel .................................................................. 351 4.4.3 Die praktische Umsetzung in Matlab................................................................ 362 4.5 Schlussbetrachtung ............................................................................................... 368 4.6 Zusammenfassung ................................................................................................ 368 4.7 Fragen zu Kapitel 4 ............................................................................................... 370 Literaturverzeichnis zu Kapitel 4 ...................................................................................... 374 5 Anwendung des passiven Portfolio Managements ..............................381 5.1 Einführung.............................................................................................................. 382 5.2 Index Tracking und relative Optimierung....................................................... 385 5.3 Index Tracking nach Markowitz........................................................................ 388 5.4 Index Tracking mit Hilfe von Regression ........................................................ 390 5.5 Index Tracking auf Grundlage der linearen Optimierung ........................... 392 5.6 Praktische Umsetzung in Excel .......................................................................... 394 5.6.1 Index Tracking und relative Optimierung....................................................... 395 5.6.2 Index Tracking nach Markowitz........................................................................ 401 5.6.3 Index Tracking auf Grundlage der Regression unter Nebenbedingungen.. 405 5.6.4 Index Tracking und lineare Optimierung ........................................................ 409 5.7 Praktische Umsetzung in Matlab ....................................................................... 414 5.8 Schlussbetrachtung ............................................................................................... 415 5.9 Zusammenfassung ................................................................................................ 416 5.10 Fragen zu Kapitel 5 ............................................................................................... 417 Literaturverzeichnis zu Kapitel 5 ...................................................................................... 421 Inhaltsverzeichnis <?page no="15"?> Inhaltsverzeichnis 15 6 Verfahren der robusten Portfolio-Optimierung ...................................428 6.1 Grundlegende Problematik der klassischen Optimierung ........................... 429 6.1.1 Auswirkungen des Schätzfehlers auf die Zusammensetzung von Portfolios......................................................................................................................... 434 6.1.2 Die einzelnen Komponenten des Schätzfehlers und deren Auswirkungen.. 436 6.1.3 Größe der Schätzfehler für die verschiedenen Parameter ........................... 438 6.2 Übersicht über die Modelle und Methoden der robusten Optimierung.... 440 6.3 Modifikation der Input-Parameter .................................................................... 442 6.3.1 Robuste Schätzer ................................................................................................... 442 6.3.2 Geschrumpfte Schätzer ........................................................................................ 450 6.4 Modifikation des Modells .................................................................................... 502 6.4.1 Der Ansatz nach Black-Litterman ..................................................................... 502 6.4.2 Der Ansatz des Resamplings............................................................................... 548 6.5 Schlussbetrachtung ............................................................................................... 553 6.6 Zusammenfassung ................................................................................................ 554 6.7 Fragen zu Kapitel 6 ............................................................................................... 557 Literaturverzeichnis zu Kapitel 6 ...................................................................................... 561 7 Performance-Messung.....................................................................................568 7.1 Der Performance-Begriff ..................................................................................... 569 7.2 Absolute Performancemaße................................................................................ 572 7.2.1 Diskrete Renditen.................................................................................................. 572 7.2.2 Stetige Renditen..................................................................................................... 573 7.2.3 Arithmetische Rendite ......................................................................................... 574 7.2.4 Geometrische Rendite .......................................................................................... 575 7.2.5 Geldgewichtete Renditen .................................................................................... 575 7.2.6 Varianz und Standardabweichung .................................................................... 576 7.2.7 Volatilität ................................................................................................................ 576 7.3 Relative Performancemaße ................................................................................. 577 7.3.1 Aktive Performancemaße.................................................................................... 577 7.3.2 Passive Performancemaße................................................................................... 580 7.4 Schlussbetrachtung ............................................................................................... 582 7.5 Fragen zu Kapitel 7 ............................................................................................... 582 Literaturverzeichnis zu Kapitel 7 ...................................................................................... 584 Stichwortverzeichnis .......................................................................................................591 <?page no="16"?> Inhaltsübersicht Kapitel 1 1.1 Was ist unter Portfolio Management zu verstehen? ....................................... 18 1.2 Der Investment Management Prozess ................................................................ 23 1.3 Überblick über das Risikomanagement .............................................................. 48 1.4 Welche Assetklassen kennt das Portfolio Management? ............................... 53 1.5 Methoden des aktiven und passiven Portfolio Management ........................ 62 1.6 Welche Bedeutung hat die Rendite für das Portfolio Management? ........... 82 1.7 Welche Bedeutung hat das Risiko für das Portfolio Management? ............. 95 1.8 Schlussbetrachtung ............................................................................................... 121 1.9 Zusammenfassung ................................................................................................ 122 1.10 Fragen zu Kapitel 1 ............................................................................................... 124 1.11 Anlage...................................................................................................................... 129 Literaturverzeichnis zu Kapitel 1 ...................................................................................... 130 <?page no="17"?> 1 Grundlagen des Portfolio Managements In diesem Kapitel möchten wir die Grundlagen des Portfolio Managements umfassend erläutern, die der Leser für das Verständnis der weiteren Kapitel und Fallstudien benötigt. In Abschnitt 1.1.1 wird einleitend der Begriff des Portfolio Managements beleuchtet und damit ein erster Einblick in die Thematik gegeben. In Abschnitt 1.1.2 werden zunächst einige wichtige Begriffe voneinander abgegrenzt, um eine aufbauende Bearbeitung der Kapitel zu erleichtern. Im Rahmen von Abschnitt 1.1.3 beleuchten wir die Rolle quantitativer Methoden im Kontext des Portfolio Managements, die auch aus praktischer Sicht einen wertvollen Einblick in die Bedeutung des quantitativen Portfolio Managements geben. In Abschnitt 1.2 wird ein umfassender Überblick über den Investment Management-Prozess als Wertschöpfungskette des Portfolio Managements gegeben. Insbesondere werden in Abschnitt 1.2.1 und Abschnitt 1.2.2 die Portfolioplanung und Portfoliokonstruktion erklärt, bevor in Abschnitt 1.2.3 und Abschnitt 1.2.4 die Bedeutung von Kapitalanlageklassen und Strategischer Asset Allokation hervorgehoben wird. Abschnitt 1.2.5 enthält einen kurzen Einblick in aktives und passives Kapitalanlagemanagement, bevor in Abschnitt 1.2.6 die Performance Messung im Portfolio Management erläutert wird. Im Abschnitt 1.3 wird das Risikomanagement als Teil des Portfolio Managements eingeführt. Der darauffolgende Abschnitt 1.4 widmet sich den unterschiedlichen Anlageklassen am Kapitalmarkt und deren Eigenschaften. Auf Grundlage dieser Überlegungen folgt in Abschnitt 1.5 eine umfassende Abgrenzung zwischen dem aktiven und dem passiven Portfolio Management und den geläufigen Vorgehensweisen bei der Strukturierung und Verwaltung eines Portfolios. Im Rahmen dieses Abschnitts findet der Leser neben genauen Definitionen wertvolle Informationen zu den geläufigsten Investmentstilen und zum Aufbau von Exchange Traded Funds. Nach den umfassenden Erläuterungen zu den praktischen Vorgehensweisen und Ansätzen im Portfolio Management widmen sich die Abschnitte 1.6 und 1.7 den statistischen Kenngrößen zur Quantifizierung von Rendite und Risiko als integralen Bestandteilen des Portfolio Managements. Am Ende des Kapitels findet der interessierte Leser einen Fragenkatalog zu den Inhalten dieses Kapitels, um das Selbststudium der zugrundeliegenden Thematik ein wenig zu erleichtern. Im Rahmen des vorliegenden Kapitels werden zusammenfassend die folgenden zentralen Fragestellungen erläutert:  Was ist ein Portfolio?  Welchen grundlegenden Prinzpien folt ein Investment Management Prozess?  Welchen grundlegenden Prinzipien folgt das Risikomanagement im Portfoliomanagement?  In welche Anlageklassen kann ein Kapitalanleger investieren?  Was ist ein effizienter Markt?  Wie unterscheidet sich das aktive vom passiven Portfolio Management?  Was verbirgt sich hinter dem Begriff Asset Allocation?  Wie werden die Rendite und das Risiko im Portfolio Management quantifiziert? <?page no="18"?> 18 1 Grundlagen des Portfolio Managements 1.1 Was ist unter Portfolio Management zu verstehen? 1.1.1 Was ist ein Portfolio? “The road to success in investing is paved with independence of spirit, decisiveness and the courage of one’s conviction.” Peter L. Bernstein - Portfolio-Manager und Kommentator (* 1919) Quelle: © NY-Times In einem Portfolio von Wertpapieren und Kapitalanlagen, kurz Portfolio, werden verschiedene individuelle Wertpapiere oder Kapitalanlagen, wie zum Beispiel Aktien, Anleihen (Bonds) oder auch Immobilieninvestments kombiniert, um einen Kapitalbetrag zu investieren. Dieser Kapitalbetrag wird dazu auf die verschiedenen Kapitalanlagen aufgeteilt. Wertpapiere sowie ganze Anlageklassen und Portfolios lassen sich auf Grundlage ihrer unterschiedlichen Ausprägungen in Bezug auf Rendite, Risiko und Liquidität charakterisieren. Insbesondere die Beziehung zwischen Rendite und Risiko spielt in der modernen Portfoliotheorie bei der Bildung von Portfolios eine zentrale Rolle. Dabei ist die Kombination von Wertpapieren für die Bildung eines Portfolios entscheidend. Diese ruft den Diversifikationseffekt hervor, welcher später nochmals aufgegriffen und erläutert werden soll. Ein Portfolio entsteht durch die simultane (gleichzeitige) Betrachtung einzelner Kapitalanlagen und Wertpapiere aus einer einheitlichen Perspektive. Ein Portfolio stellt alle eigentümlichen Kapitalanlagen und Vermögensteile (engl. assets) einer Person, eines Haushaltes oder Institution in Form einer Zusammenstellung dar. Das Grundprinzip der Rendite-Risiko-Beziehung „there is no such thing as a free lunch“ 1 existiert nicht nur in der theoretischen Lehre der Ökonomie, sondern auch in der täglichen Praxis an den Kapitalmärkten. Die grundsätzliche Aussage hinter dem zitierten Prinzip besagt, dass ein Kapitalanleger zwangsläufig ein gewisses Risiko am Kapitalmarkt tragen muss, wenn er eine Rendite erzielen möchte, die oberhalb eines risikofreien Zinssatzes einer bspw. AAA-gerateten Staatsanleihe liegt. Die beiden Kenngrößen „Rendite“ und „Risiko“ unterliegen einem zentralen Zusammenhang. An den Kapitalmärkten kann ein Kapitalanleger nur eine höhere Rendite erwarten, wenn er bereit ist, auch ein erhöhtes Risiko zu tragen. Da die Kapitalanleger in Bezug auf die erwarteten Renditen ihrer Wertpapiere stets individuelle Vorstellungen vertreten, erlaubt die spezifische Zusammenstellung von 1 Vgl. Rasmussen (2003), S. 3 <?page no="19"?> 1.1 Was ist unter Portfolio Management zu verstehen? 19 Wertpapieren bei gleichzeitiger Abwägung der zugrundeliegenden Risikotragfähigkeit die Erfüllung ihres präferierten Rendite-Risiko-Profils. Die Kriterien „Rendite“ und „Risiko“ zur Beurteilung von Wertpapieren werden durch das Merkmal der Liquidität ergänzt. Die Liquidität (lat. liquidus, „flüssig“) eines Wertpapiers beschreibt im Rahmen des Portfolio Managements grundsätzlich die Fähigkeit eines Kapitalanlegers, einen schnellen Tausch der gehaltenen Wertpapiere in monetäre Geldmittel vornehmen zu können. Es wird hierbei deutlich, dass die unterschiedlichen Zielausprägungen eines Kapitalanlegers unweigerlich in Konkurrenz zueinander stehen und sich unter Umständen sogar gegenseitig ausschließen. Die unterschiedlichen Ziele eines Kapitalanlegers werden in der Fachliteratur häufig in Form eines „magischen Dreiecks“ dargestellt (vgl. Abb. 1). Da eine Steigerung der Rentabilität mit einem Anstieg an Unsicherheit einhergeht, ist eine gleichzeitige Erfüllung aller drei Anlageziele unmöglich. 2 Im Sinne des magischen Dreiecks erfasst der Begriff des Risikos eine Reihe an Verlustmöglichkeiten. Neben Kursschwankungen spielen ebenfalls Ausfallrisiken von Wertpapieren eine Rolle. Abb. 1: Magisches Dreieck, Quelle: In Anlehnung an Maier (2007), S. 4 Grundlegende Begriffe des Portfolio ManagementsDie Struktur eines Portfolios bildet die individuellen Präferenzen eines Kapitalanlegers in Bezug auf seine erwartete Rendite, das mögliche Risiko und die Liquidität ab. Bei Kapitalanlagen erlaubt der Blick auf die Zusammenstellung eines Portfolios häufig einen direkten Rückschluss auf die Markteinschätzung des Kapitalanlegers. Neben der übersichtlichen Darstellung und Kontrolle von Wertpapieren liefert die Zusammensetzung eines Portfolios eine solide Grundlage zur Berechnung weiterer Kriterien, wie z.B. der Portfoliorendite (engl. return) und des Portfoliorisikos (engl. risk). Allgemein wird zur Bildung eines Portfolios also ein Kapitalbetrag 𝑉𝑉 0 auf 𝑁𝑁 verschiedenen Kapitalanlagen aufgeteilt. Die verschiedenen Kapitalanlagen erhalten dazu ein Portfoliogewicht 𝑤𝑤 𝑖𝑖 , 𝑖𝑖 = 1, … , 𝑁𝑁 . Die Portfoliogewichte werden zu einem Vektor zusammengefasst: 2 Vgl. Schmidt-von Rhein (1999), S. 187 <?page no="20"?> 20 1 Grundlagen des Portfolio Managements 𝑤𝑤 = �𝑤𝑤 1 ⋮ 𝑤𝑤 𝑁𝑁 � ∈ ℝ N (1.1) Um den Kapitalbetrag zu investieren, wird also ein Betrag der Höhe 𝑤𝑤 1 ⋅ 𝑉𝑉 0 in die erste Kapitalanlage investiert, ein Betrag der Höhe 𝑤𝑤 2 ⋅ 𝑉𝑉 0 in die zweite Kapitalanlage und so weiter. Damit insgesamt das gesamte Kapital 𝑉𝑉 0 investiert wird, ist die Summe der Portfoliogewichte immer gleich 1: 𝑤𝑤 1 + 𝑤𝑤 2 + ⋯ + 𝑤𝑤 𝑁𝑁 = 1 (1.2) Aufgabe des Portfoliomanagements ist generell die Allokation des Kapitals auf verschiedene Kapitalanlagen, also die Festlegung der Portfolkogewichte unter Berücksichtigung der Investitionsziele des Kapitalanlegers. Das Portfolio Management dient im Allgemeinen der zielorientierten Erfüllung individueller Ertragsziele eines Kapitalanlegers. Hierbei wird durch die gezielte Auswahl und Allokation der Kapitalanlagen versucht, unter besonderer Berücksichtigung der Risikopräferenz und Anlagebeschränkungen eines jeden Kapitalanlegers dessen Renditeerwartung nachhaltig zu erwirtschaften. Betrachten wir zum Beispiel ein Portfolio, das ausschließlich in DAX-Aktien investiert. Es stehen also 𝑁𝑁 = 40 verschiedene Aktien zur Investition zur Verfügung. Hier werden exemplarisch drei häufig verwendete Strategien dargestellt, um dazu die Portfoliogewichte festzulegen: − Erstens das gleichgewichtete Portfolio: Der Kapitalbetrag wird gleichmäßig auf alle zur Verfügung stehenden Kapitalanlagen aufgeteilt. Es gilt also 𝑤𝑤 𝑖𝑖 = 1 𝑁𝑁 für alle 𝑖𝑖 = 1 … 𝑁𝑁 , in unserem Beispiel wird also jeweils ein Vierzigstel des Kapitalbetrags in jede Aktie im DAX investiert. − Zweitens das neutrale, marktwertgewichtete Portfolio: Der Kapitalbetrag wird gemäß der Marktkapitalisierung der einzelnen Aktien aufgeteilt. Jedes Portfoliogewicht ist also gleich der relativen Marktkapitalisierung der entsprechenden Aktie. − Drittens das optimierte Portfolio: Die Portfoliogewichte werden so festgelegt, dass eine bestimmte Zielgröße, zum Beispiel die später noch genauer betrachtete Portfoliovolatilität (das Portfoliorisiko), optimiert wird. Hierbei gibt es viele verschiedene Ansätze der Portfolio-Optimierung, die wir zum Teil in den folgenden Kapiteln genauer betrachten werden. Im Portfolio Management orientieren sich die individuellen Renditeansprüche vorrangig an der jeweiligen Risikopräferenz eines jeden Kapitalanlegers. Darüber hinaus spielen die individuellen Einschätzungen und Erwartungen der Anleger an den Kapitalmärkten eine erhebliche Rolle. Demnach erscheint es durchaus sinnvoll, negative Auswirkungen auf die Ertragslage eines Portfolios durch den gezielten Ausschluss bestimmter Märkte, Branchen oder Anlagetitel bei der Bildung des Portfolios zu minimieren. Die praktische Umsetzung dementsprechender Einschränkungen erfolgt häufig durch entsprechende Restriktionen bei der Auswahl relevanter Kapitalanlagen für ein Portfolio. <?page no="21"?> 1.1 Was ist unter Portfolio Management zu verstehen? 21 Schon in dieser kurzen Einführung können wir zentrale Fragen des Portfolio Managements erkennen: − In welche Klassen von Kapitalanlagen wird investiert? Man spricht vom Top Down Approach: Wird zum Beispiel nur in Aktien, oder auch in festverzinsliche Wertpapiere oder Immobilien oder altrernative Anlagen investiert? − In welche einzelnen Kapitalanlagen wird investiert? Man spricht vom Bottom Up Approach: Welche Wertpapiere werden ausgewählt und nach welchen Kriterien? − Wie und nach welcher Strategie werden die Portfoliogewichte festgelegt? Man unterscheidet insbesondere das passive Management bei dem zum Beispiel ein neutrales, martkwertgewichtetes Portfolio erstellt wird, vom aktiven Management bei dem nach bestimmten zum Teil subjektiven Kriterien opitmiert wird. 1.1.2 Festlegung der Portfolio-Anteile Die Bestimmung der unterschiedlichen Portfolio-Anteile und Portfoliogewichte ist sowohl von − subjektiven Kriterien als auch von − objektiven Kriterien abhängig. Im Gegensatz zu den subjektiven Kriterien, die sich bei der Ermittlung der Portfoliogewichte alleinig auf die Markteinschätzung des Kapitalanlegers stützen, kann die Aufteilung der unterschiedlichen Anlagetitel auch durch objektive Kriterien, wie z.B. die Abwägung der jeweiligen Rendite-Risiko-Profile von Anlagetiteln oder die Marktkapitalisierung eines Unternehmens, erfolgen. Die aktive Gewichtung befasst sich mit der individuellen Auswahl der Anlagetitel nach potenziellen Gewinnern. Die Identifikation ertragsträchtiger Anlagetitel kann auf Grundlage von unterschiedlichen Kriterien erfolgen. Eine Möglichkeit ist beispielsweise die Auswahl von Anlagetiteln aufgrund von hohen Erwartungen bezüglich großzügiger Jahresüberschüsse und damit vergleichsweise üppiger Dividendenausschüttungen. In einem anderen Fall wäre es denkbar, die Anlagetitel auszuwählen, welche durch die Entwicklung neuer Technologien im Vergleich zur Peergroup besondere Zukunftsaussichten besitzen. In diesem Fall untersucht der Kapitalanleger mögliche Investments, vergleicht diese mit anderen Anlagetiteln und zieht daraus Rückschlüsse für die Strukturierung seines eigenen Portfolios. Bei der neutralen Gewichtung orientiert sich ein Kapitalanleger bei der Allokation von Anlagetiteln an Marktwerten und somit an objektiven Kriterien. Die Portfoliogewichte richten sich dabei weitestgehend nach der Marktkapitalisierung der jeweiligen Aktiengesellschaften, also dem Produkt aus der jeweiligen <?page no="22"?> 22 1 Grundlagen des Portfolio Managements Anzahl an ausgegebenen Wertpapieren und dem jeweiligen aktuellen Kurswert 3 . Während die aktive Gewichtung meist von subjektiven Kriterien abhängig ist, bringt ein Kapitalanleger bei der gleichgewichteten und neutralen Aufteilung keine individuelle Erwartung an Kapitalanlageklassen und Wertpapiere ein. So versucht dieser bei der neutralen Gewichtung seiner Anlagetitel die jeweiligen Teilmärkte durch die Relation der Marktkapitalisierung korrekt abzubilden. Diese Vorgehensweise findet sich ebenfalls bei der Bestimmung eines Tracking Portfolios wieder. Da der traditionelle Erwartungswert-Varianz-Ansatz nach M ARKOWITZ die jeweiligen Rendite-Risiko- Profile der festgelegten Anlagetitel in das Optimierungsverfahren unmittelbar miteinbezieht, beruht dieser ebenfalls auf objektiven Kriterien. Sowohl die subjektiven als auch objektiven Kriterien spiegeln sich bei der Bestimmung der Portfoliogewichte auf Grundlage der jeweiligen Anlegerpräferenzen und den Zielen der Kapitalanleger wider, wobei im Asset Management als Kapitalanleger im Allgemeinen zwischen − privaten Anlegern und − institutionellen Anlegern unterschieden wird. Private Personen und Haushalte treten in der Regel als private Anleger am Kapitalmarkt auf, während vor allem Banken, Versicherungen, Unternehmen, Vermögensverwalter und andere Asset-Management-Gesellschaften als institutionelle Anleger am Kapitalmarkt agieren. Die Anlagepräferenzen der jeweiligen Kapitalanleger unterscheiden sich nach Anlagezielen, finanziellen Vorstellungen und Rahmenbedingungen unter Umständen sehr stark. Je nach Lebensphase eines Anlegers und dessen Risikotragfähigkeit unterscheiden sich die Vorstellungen über die Auswahl eines geeigneten Anlageuniversums sowie der angestrebten Anlagedauer erheblich. Ein privater Kapitalanleger jüngeren Alters mag den Vermögensaufbau durch die Übernahme größerer Risiken bevorzugen, wohingegen ein Pensionär eher auf eine Absicherung seines Vermögens bedacht ist. Ein im Wealth-Management tätiger Portfolio-Manager beschäftigt sich im Vergleich zu seinen Kollegen aus dem institutionellen Bereich aus diesem Grund nicht notwendigerweise mit einer Maximierung des Kundenvermögens, sondern befasst sich vielmehr mit der Verwaltung und Strukturierung von Kundenportfolios sowie der monatlichen Generierung von Cashflows aus Kapitalerträgen zur Befriedigung des Kundeninteresses 4 . 1.1.3 Das Portfolio Management und die Bedeutung quantitativer Methoden Die Erkenntnisse der klassischen Kapitalmarkttheorie und auch der modernen Portfoliotheorie lieferten eine solide Grundlage zur Entwicklung quantitativer Methoden, die in ihren heutigen Formen vor allem im quantitativen Portfolio Management eingesetzt werden. Neben den traditionellen und fundamentalen Ansätzen des Portfolio Managements stellt das quantitative Portfolio Management die populärste Form dar. Hier steht hauptsächlich die computergestützte Anwendung mathematischer Optimierungsmodelle im Vordergrund. 5 3 Vgl. Spremann (2006), Portfolio Management, S. 6 4 Vgl. Rasmussen (2003), S. 4 5 Vgl. Amenc/ Le Sourd (2003), S. 6 <?page no="23"?> 1.2 Der Investment Management Prozess 23 A MENC / L E S OURD (2003) stellten im Rahmen ihrer Studie fest, dass sich Mathematiker und Ökonomen trotz der anhaltenden Popularität quantitativer Methoden noch vor der Jahrtausendwende deutlich skeptischer gegenüber einer quantitativen Unterstützung im Portfolio Management äußerten als heute. Während der letzten Jahrzehnte etablierte sich jedoch die Anwendung quantitativer Verfahren im Asset Management maßgeblich, sowohl durch die enorme technologische Entwicklung als auch durch die Globalisierung der Märkte. Im Rahmen der genannten Studie wurde bereits um die Jahrtausendwende berichtet, dass etwa ein Drittel der Befragten über 75 % ihres Aktienengagements durch quantitative Methoden verwalten. Weiterhin haben etwa 58 % der Befragten zumindest einen Teil (kleiner als 25 % des gesamten verwalteten Vermögens) unter der Verwaltung quantitativer Methoden. Lediglich 13 % der Befragten gaben an, keine Engagements durch die Unterstützung quantitativer Methoden zu tätigen. In den folgenden Jahren hat sich der Vorsprung quantitativer Methoden weiter vergrößert. 6 Zunehmend spielen wegen der großen Menge an verfügbaren Daten über Wertpapiere, deren Kurse und Transaktionen, moderne Verfahren der Datenanalyse eine wesentliche Rolle. 1.2 Der Investment Management Prozess „Menschen, die ihre Emotionen nicht unter Kontrolle haben, sind schlecht dazu geeignet, vom Investment-Prozess zu profitieren.“ Benjamin Graham - Begründer des Value-Investings (*1894, †1976) Quelle: picture alliance / AP In diesem Abschnitt beschreiben wir die verschiedenen Schritte, die zum professionellen Management eines Portfolios gehören. Aus diesen Schritten ergibt sich eine Wertschöpfungskette, die Investment Management Value Chain, die die Bedeutung des modernen Portfolio und Investment Managements hervorhebt 7 . 1.2.1 Überblick über Portfolioplanung und Portfoliokonstruktion Der Investment Management Prozess gliedert sich grob in drei übergeordnete Schritte: Portfolio-Planung (Planning), Portfolio-Investition (Execution) und Portfolio-Überprüfung (Feedback). Wir geben hier zunächst einen Überblick über die einzelnen Schritte und gehen in den folgenden Abschnitten genauer auf die einzelnen Aspekte ein. In der Planungsphase geht es insbesondere darum die Bedürfnisse des Investors zu erfassen und in Portfoliorichtlinien, einem sogenannten Investment Policy Statement (IPS) festzuhalten. Dazu gehört auch die Herleitung von Kapitalmarkterwar- 6 Vgl. Dempster, Pflug & Mitra (2009), S. 5 7 Vgl. Pinto, McMillan, Pirie, Kochard & Van de Venter, 2011 <?page no="24"?> 24 1 Grundlagen des Portfolio Managements tungen, wie zum Beispiel die Festlegung von Kapitalanlageklassen oder Renditeerwartungen. Im Rahmen der Portfolio-Investition wird dann eine Strategische Asset Allokation (SAA) erarbeitet, die die langfristige Aufteilung des Kapitals auf die zuvor festgelegten Anlageklassen vorgibt. Diese Aufteilung wird in der Investment Strategie weiter verfeinert, indem die Taktische Asset Allokation (TAA) die tatsächlichen Portfoliogewichte für jede Kapitalanlageklasse festlegt und die Anlagestrategie innerhalb der einzelnen Kapitalanlageklassen vorgegeben wird. Hierbei wird pro Anlageklasse entschieden, zum Beispiel ob diese passiv oder aktiv gemanagt wird oder - im zweiten Fall - welcher Assetmanager für die entsprechende Anlageklasse mandatiert wird. Im Asset Management werden schließlich Wertpapiere gehandelt: es wird entsprechend der vorgegebenen Investment Strategie investiert, wobei typischerweise Entscheidungen zur Handelsstrategie und zur Wertpapierauswahl (Security Selection) selbstständig vom Asset Manager gefällt werden. Der letzte Schritt des Investment Management Prozesses umfasst die Portfolioüberprüfung: das Monitoring und das Feedback. Im Investment Monitoring werden zunächst Daten über das investierte Portfolio erfasst und aufbereitet, zum Beispiel Daten über die investierten Wertpapiere und deren Kurse, aber auch über Kosten, wie Asset Manager Gebühren oder Handelsgebühren. Diese Daten werden dem Investment Management zur Verfügung gestellt, um zu jedem Zeitpunkt die Asset Allokation überprüfen zu können und um die Performance von Assetklassen, einzelner Wertpapiere oder von Asset Managern messen zu können. Diese Daten werden verwendet, um im Feedback Anpassungen an der Asset Allokation oder der Investment Strategie vorzunehmen, das Portfolio einem Rebalancing zu unterziehen und um einzelne Asset Manager zu überprüfen. Im modernen, professionellen Portfolio Management, das von vielen verschiedenen Typen von Kapitalanlagen und Anlageklassen und von einer Vielzahl von Handelsstrategien geprägt ist, spielt das Investment Monitoring, insbesondere die Erhebung, Analyse und Aufbereitung von Investment Daten eine zunehmend wichtige Rolle. 1.2.2 Planung eines Portfolios und Festlegung von Portfoliorichtlinien Portfolio Management ist heutzutage insbesondere, was die Portfoliorichtlinien angeht, geprägt von verschiedenen rechtlichen Auflagen. Wir gehen hier nur oberflächlich auf die notwendigen Maßnahmen ein, wollen aber das Prinzip des „Know Your Client“ (KYC) hervorheben. Um ein Portfolio erfolgreich zu managen, ist es unabdingbar den Investor und dessen Ziele und Restriktionen genau zu verstehen und festzuhalten 8 . Im ersten Schritt muss dabei zwischen verschiedenen Typen von Investoren und Kapitalanlegern unterschieden werden. Bei individuellen privaten Investoren ist es wichtig, den Zeithorizont des Investments zu verstehen; handelt es sich um ein kurzfristiges, z.B. einjähriges, Investment um kurzfristige Investitionsziele zu erreichen oder handelt es sich um ein langfristiges Investment für langfristige Ziele, wie zum 8 Vgl. Pinto, McMillan, Pirie, Kochard & Van de Venter, 2011 <?page no="25"?> 1.2 Der Investment Management Prozess 25 Beispiel Altersvorsorge. Daraus ergeben sich Informationen über Bedürfnisse des Investors in Bezug auf Rendite, Risiko und Liquidität, die im Folgenden genauer analysiert werden müssen. Bei institutionellen Investoren, wie zum Beispiel Banken, Versicherungen, Pensionsfonds, Stiftungen und Investment Fonds, ist zur Ableitung von Rendite-, Risiko- und Liquiditätszielen oft eine detaillierte Analyse der Vermögensgegenstände und Verbindlichkeiten (Asset-Liability-Management) notwendig. Dies führt häufig zu einem komplexeren Zusammenhang von kurzfristigen und langfristigen Investitionszielen. Ein wichtiger Grundsatz der Portfolio Planung und allgemein des Portfolio Management ist die Regel: Manage Risiken, nicht die Rendite. Daher spielt das Risikomanagement, auf das in Abschnitt 1.3 detailliert eingegangen wird, eine zentrale Rolle. Auch im Planungsprozess ist ein zentraler Schritt die Festlegung von Risikozielen, sowohl für private als auch für institutionelle Anleger. Dazu wird zunächst die Fähigkeit und die Bereitschaft des Investors analysiert, Risiken zu tragen und daraus die Risikotoleranz abgeleitet. Die Fähigkeit Risiken zu tragen hängt vor allem von objektiven Größen, wie Einkommen, Ausgaben, Vermögen, Verbindlichkeiten, Liquiditätsbedürfnissen etc. ab. Die Bereitschaft Risiken zu tragen ist eher subjektiv geprägt und hängt von den Erfahrungen und Zielen des Investors ab. Wenn sowohl Fähigkeit und Bereitschaft hoch ausgeprägt sind, liegt eine hohe Risikotoleranz vor. Wenn beides gering ist, ist auch die Risikotoleranz gering. Wenn sich Fähigkeit und Bereitschaft Risiken zu übernehmen nicht entsprechen, wenn zum Beispiel eine geringe Fähigkeit aber eine hohe Bereitschaft vorliegt, muss im Rahmen eines Risikoassessment eine Lösung erarbeitet werden. Die Risikotoleranz wird schließlich anhand von Risikomaßen quantifiziert, daraus ergeben sich die Risikoziele. Hierbei können verschiedene absolute Risikoziele und relative Risikoziele festgelegt werden 9 , zum Beispiel „Mit 95%-Prozent Wahrscheinlichkeit ist der Verlust innerhalb von 6 Montagen nicht größer als 4%“ bzw. „Mit 90%-Prozent Wahrscheinlichkeit ist die Abweichung zwischen der Rendite des Portfolios und der Rendite des S&P500 innerhalb eines Jahres nicht größer als 25%.“ Da das erste Risikoziel auf den Verlust des Portfolios selbst abzielt, handelt es sich um ein absolutes Risikoziel. Das zweite Ziel ist über die Abweichung zwischen Portfolio und einer Vergleichsgröße, hier dem S&P500, formuliert. Daher handelt es sich um ein relatives Risikoziel. Auf verschiedene Risikomaße zur Quantifizierung von Risikozielen wird in späteren Abschnitten und Kapiteln noch im Detail eingegangen. Sind die Risikoziele festgelegt, werden diese durch Renditeziele ergänzt. Diese werden häufig über quantitative Renditemaße festgelegt, wobei auch hier zwischen absoluten und relativen Renditezielen unterschieden wird. Absolute Renditeziele sind zum Beispiel: „Generiere ein jährliches Portfolio-Einkommen von 30.000 EUR“ oder „Erreiche eine Rendite von mindestens 4% innerhalb der nächsten 12 Monate“ oder „Generiere eine jährliche, inflationsbereinigte Rendite von durchschnittlich 2% über die nächsten 10 Jahre.“ Relative Renditeziele werden im Gegensatz dazu im Vergleich zu einem Index oder einer Benchmark formuliert, zum Beispiel 9 Vgl. Pinto, McMillan, Pirie, Kochard & Van de Venter, 2011 <?page no="26"?> 26 1 Grundlagen des Portfolio Managements „Übertriff den S&P500 um 1%-Punkt innerhalb der nächsten 12 Monate“ oder „Generiere eine Rendite (nach Kosten), die den DAX in den nächsten 5 Jahren im Schnitt um 0.5%-Punkte übertrifft“ oder „Erziele ein Investment-Ergebnis, das innerhalb der Top 3 der deutschen Versicherungsunternehmen liegt.“ Bevor Risikoziele und Renditeziele endgültig in den Investment-Richtlinien festgelegt werden, muss überprüft werden, ob diese konsistent sind. Zum Beispiel kann ein sehr ambitioniertes Renditeziel nur formuliert werden, wenn auch eine entsprechend hohe Risikotoleranz vorliegt. Schließlich werden in den Investment Richtlinien weitere Rahmenbedingungen, Ziele und Anforderungen des Investors festgelegt: Für welchen Zeithorizont soll das Portfolio investiert sein? Welche Liquidität ist in welchem Zeitraum notwendig? Muss stets ein Teil des Kapitals in sehr liquiden Anlageklassen investiert sein, die sich jederzeit ohne Wertverlust auflösen lassen? Gibt es steuerliche oder regulatorische Rahmenbedingungen, die zum Beispiel die Investition in bestimmte Anlageklassen, wie Derivate, einschränken? Gibt es aufsichtsrechtliche Anforderungen, wie besipielsweise Kaptialanforderungen, die sich auf bestimmte Assetklassen beziehen. Diese Bedingungen werden im Zusammenhang mit den Risiko- und Renditezielen gesehen. Zusammen bestimmen diese Festlegungen die Kapitalanlagen, in die das Portfolio investiert sein kann und sind die Grundlage für die strategische, langfristige Festlegung der Asset Allokation. Im modernen Portfolio Management spielen neben diesen klassischen Investitionszielen neue, individuelle Gegebenheiten eine immer größere Rolle. So orientieren sich viele Investoren inzwischen auch an ESG-(Ökologisch, Sozial und Governance)-Kriterien bei der Auswahl von Kapitalanlagen 10 . Auch allgemeine ethische oder religiöse Haltungen können die Kapitalanlageentscheidungen beeinflussen. Zum Bespiel können auf Basis von ESG-Rankings Kapitalanlageklassen oder einzelne Wertpapiere bevorzugt oder komplett ausgeschlossen werden. Die zunehmende Bedeutung solcher Kriterien zeigt sich beispielsweise an den aktuellen Bestrebungen der EU, eine standardisierte Einteilung von Wertpapieren anhand von ESG-Kriterien, die sogenannte EU-Taxonomie, zu erreichen 11 . 1.2.3 Kapitalanlageklassen und Kapitalmarkterwartungen Im vorigen Abschnitt wurde beschrieben, dass aus den allgemeinen Zielen und Bedürfnissen eines Investors konkrete, quantitative Risiko- und Renditeziele abgeleitet werden. Um aus diesen Zielen eine strategische Kapitalanlageallokation und eine Investment Strategie abzuleiten, bedarf es zunächst einer klaren Definition von Kapitalanlageklassen und einer Einschätzung zu den erwarteten Risiken und Renditen dieser Kapitalanlageklassen. Damit kann schließlich analysiert werden, welche Kapitalanlageklassen in welchem Maße zu den Zielen und Bedürfnissen des Investors passen. Um eine gute Anpassung des Portfolios an die Ziele des Investors zur ermöglichen, müssen Kapitalanlageklassen zunächst breit gefasst werden, um möglichst viele verschiedene Typen von Wertpapieren in die Menge aller möglichen Anlagen einzuschließen. Diese breit gefassten Anlageklassen werden dann schrittweise granularer 10 Vgl. Gaganis, Pasiouras, Tasiou & Zopounidis (Eds.), 2023 11 Vgl. Baumüller & Grbenic, 2021 <?page no="27"?> 1.2 Der Investment Management Prozess 27 definiert, um ein effizientes Management des Portfolios zu erreichen. Die Definition der Kapitalanlageklassen soll dabei effiziente Kontrolle und Steuerung über Risiko und Rendite, über Liquidität und über die Vergabe von Asset Management Mandaten ermöglichen. Zunächst werden also Kapitalanlagen und Wertpapiere mit ähnlichen Eigenschaften zu einer Anlageklasse zusammengefasst, sodass homogene Assetklassen entstehen. Das wichtigste Kriterium zur Zusammenfassung von Wertpapieren zu einer Kapitalanlageklasse und zur Differenzierung zwischen Anlageklassen ist die paarweise Korrelation der Renditen von zwei Wertpapieren. Auf die mathematische Definition der Korrelation wird in Abschnitt 1.7.3 eingegangen. Anschaulich gilt: Bei starker Korrelation haben die Wertpapiere die Tendenz gemeinsam überdurchschnittliche (und unterdurchschnittliche) Renditen aufzuweisen. Bei schwacher Korrelation treten überdurchschnittliche (und unterdurchschnittliche) Renditen von zwei Wertpapieren unabhängig voneinander auf. Die Korrelation ist eine statistische Eigenschaft, die sich aus historischen Renditen ableitet. Kapitalanlageklassen werden also meist so definiert, dass Wertpapiere innerhalb einer Klasse alle paarweise eine möglichst hohe Korrelation aufweisen. Um eine möglichst gute Risikodiversifikation zwischen verschiedenen Kapitalanlageklassen zu erreichen, sollte darüber hinaus Wertpapiere aus verschiedenen Anlageklassen eine möglichst niedrige Korrelation aufweisen. Zur effizienten Definition von Kapitalanlageklassen werden neben der Korrelation weitere Eigenschaften betrachtet, um Homogenität innerhalb einer Assetklasse zu erreichen, beispielsweise bezüglich Hierarchie (Eigen- oder Fremdkapital), Liquidität, Volatilität, emittierendes Land/ Region, Ausfallrisiko oder Branche des Emittenten. Im folgenden Beispiel wird die Definition von granularen Kapitalanlageklassen anhand von Anleihen und alternativen Anlagen illustriert. Exemplarische Darstellung von Kapitalanlageklassen Festverzinsliche Anleihen (liquide) Staatsanleihen Deutsche Staatsanleihen Europäische Staatsanleihen Außereuropäische Staatsanleihen Unternehmensanleihen Unternehmensanleihen mit Investment Grade (geringes Ausfallrisiko) Unternehmensanleihen ohne Investment Grade (erhöhtes Ausfallrisiko) Alternative Anlagen (illiquid) Private Equity Private Equity U.S. Private Equity Europe Private Equity Asia Infrastrukturbeteiligungen Erneuerbare Energien Verkehr und Transport … <?page no="28"?> 28 1 Grundlagen des Portfolio Managements Eine solche Definition von Anlageklassen ermöglicht auch ein effizientes Management von Mandaten und Asset Managern. So kann im oben genannten Beispiel ein Asset Manager für die gesamte Kapitalanlageklasse Unternehmensanleihen mandatiert werden, während für die Kapitalanlageklassen PE U.S., PE Europe, PE Asia, Erneuerbare Energien und Verkehr und Transport jeweils unterschiedliche, spezialisierte Asset Manager beauftragt werden können. Die Definition von granularen Assetklassen ist zentral für die Herleitung von Kapitalmarkterwartungen an Rendite und Risiko. Nur wenn Kapitalanlageklassen hinreichend homogen sind, können diese Erwartungen mit hoher Qualität geschätzt werden. Diese Kapitalmarkterwartungen sind notwendig, um die Kapitalallokation an die Risiko- und Renditeziele des Investors anzupassen 12 . Kapitalmarkterwartungen werden häufig in Form des Erwartungswerts der absoluten Rendite, kurz erwartete Rendite, und des Erwartungswerts der Volatilität (Standardabweichung) der Rendite, kurz erwartete Volatilität, eines Wertpapiers gefasst. Zur Herleitung der erwarteten Volatilität wird meist die historische Volatilität, also die Standardabweichung historischer Renditen, verwendet. Zur Schätzung der erwarteten Rendite werden neben historischen Daten auch ökonomische Szenarien, Bewertungsmodelle und die Analyse von Risikoprämien herangezogen 13 . Im folgenden Beispiel werden für ein breit investiertes Portfolio eines institutionellen Investors exemplarisch Anlageklassen definiert und erwartete Renditen für breit gefasste und granulare Kapitalanlageklassen gezeigt. Dabei werden die erwarteten Renditen auf der granularen Ebene geschätzt und auf die breiteren Anlageklassen durch gewichtete Mittel hochgerechnet. Beispiel: Kapitalanlageklassen und erwartete Renditen 12 Vgl. Korn & Korn, Options Pricing and Portfolio Optimization, 2001 13 Vgl. Ruppert & Matteson, 2015 Anlageklasse granular breit Festverzinsliche Wertpapiere 2,7% Staatsanleihen 2,6% Industrieländer 1,0% Schwellenländer 4,5% Entwicklungsländer 8,0% Unternehmensanleihen 3,1% Investment Grade Financials 1,8% Investment Grade Non Financials 2,2% High Yield (Non Investment Grade) 7,5% Schwellenländer Anleihen 6,5% Infrastrukturanleihen 3,5% Besicherte Anlagen 3,0% Hypotheken 2,8% Schuldscheine 3,2% Asset Backed Securities 3,3% <?page no="29"?> 1.2 Der Investment Management Prozess 29 Um die Kapitalmarkterwartungen für jede Kapitalanlageklasse weiter zu verfeinern und um die Performance der Wertpapiere der Kapitalanlageklassen zu messen, wird jeder Kapitalanlageklasse eine Benchmark zugeordnet. Bei traditionellen Kapitalanlageklassen, wie Aktien, Anleihen oder Immobilien wird als Benchmark ein passender Vergleichsindex herangezogen; zum Beispiel der DAX für eine Kapitalanlageklasse, die deutsche Large-Cap Aktien enthält, oder der Bloomberg US Treasury Index für eine Kapitalanlageklasse, die in U.S. Staatsanleihen investiert. Für alternative Kapitalanlageklassen, wie Private Equity oder Infrastrukturbeteiligungen wird die Benchmark oft spezifisch zum Mandat des Asset Managers passend definiert und erstellt. Bei der Definition und Zuordnung von Benchmarks zu Kapitalanlageklassen ist es wichtig, dass die Kapitalanlageerwartungen zur Benchmark passen. So sollte die erwartete Rendite einer Kapitalanlageklasse mit der erwarteten Rendite der Benchmark übereinstimmen und die erwartete Volatilität der Kapitalanlageklasse mit der erwarteten Volatilität der Benchmark. Auf Basis der definierten Kapitalanlageklassen und der Kapitalmarktentwicklungen kann dann eine strategische Aufteilung des Kapitals auf die verschiedenen Anlageklassen erfolgen, sodass die Eigenschaften des Portfolios zu den Zielen des Investors passen. Cash 0,7% Kasse 0,0% Geldmarktfonds 1,0% Aktien 4,9% Europa 4,5% High-Cap 4,3% Mid-Cap 4,5% Low-Cap 4,7% Nordamerika 5,4% High-Cap 5,3% Mid-Cap 5,5% Low-Cap 5,7% Asien 3,7% Schwellenländer 6,5% Alternative Anlagen 7,5% Private Equity 9,0% Pirvate Debt 9,0% Infrastrukturbeteiligungen 6,0% Rohstoffe 7,2% Immobilien 3,9% Immobilienfonds 3,5% Direktinvestitionen 4,5% <?page no="30"?> 30 1 Grundlagen des Portfolio Managements 1.2.4 Die Strategische Asset Allokation (SAA) Quelle: Max Holzer „Die Asset Allocation gilt weithin als die Königsdisziplin des Asset Management, denn sie bestimmt etwa zu 80 % die Rendite und sogar zu 95 % das Risiko einer Anlagestrategie.“ Max Holzer - Leiter Portfolio Management Asset Allocation, Union Investment Die Strategische Asset Allokation, kurz SAA, legt fest, wie das verfügbare Kapital auf die zur Verfügung stehenden Kapitalanlageklassen aufgeteilt wird. Das bedeutet, zur Bildung der SAA werden Portfoliogewichte für die vorab definierten Kapitalanlageklassen festgelegt. Dabei geht es nicht um die Auswahl und den Kauf von speziellen Wertpapieren oder um die Festlegung einer Handelsstrategie 14 . Durch die Festlegung der SAA wird die strategische Ausrichtung des Portfolios gesteuert und sichergestellt, dass das Portfolio zu den vorab festgelegten Zielen des Investors passt. Zur Herleitung der SAA werden die Kapitalanlageklassen somit als homogene Klassen definiert, die das systematische Risiko einer Kapitalanlageklasse abbildet und individuelle Risiken einzelner Wertpapiere und deren Handelsrisiko vernachlässigt. Auf die Definition des systematischen Risikos wird in Absschnitt 3.7.2 im Detail eingegangen, wir können an dieser Stelle das systematische Risiko einer Kapitalanlageklasse anschaulich als das Marktrisiko eines effizienten Marktindex beschreiben. Die Strategische Asset Allokation steuert die Risikoexposition gegenüber den systematischen Risikofaktoren der Kapitalanlageklassen. Zu einer professionell definierten SAA gehört neben der Definition von Kapitalanlageklassen und der Festlegung von Portfoliogewichten auch die Zuordnung von Benchmarks zu den einzelnen Kapitalanlageklassen um die systematischen Risiken abbilden und simulieren zu können. Die Portfoliogewichte der SAA werden durch Optimierung oder Simulation so festgelegt, dass die Eigenschaften des Portfolios optimal zu den Zielen des Investors passen. Dabei spielen meist die Risiko- und Renditeziele eine zentrale Rolle. Zum Beispiel können die Portfoliogewichte so festgelegt werden, dass die Volatilität bei einer vorgegebenen Zielrendite minimal wird oder so, dass bei einem vorgegebenen Level des Risikos die Rendite maximal wird. Bei der Festlegung der SAA-Portfoliogewichte müssen auch mögliche Einschränkungen zum Beispiel bezüglich Liquidität oder ESG- Kriterien mitberücksichtigt werden. Dies erfolgt meist über Limits, d.h. über obere oder untere Schranken an die Portfoliogewichte einzelner Kapitalanlageklassen. 14 Pinto, McMillan, Pirie, Kochard, & Van de Venter, 2011 <?page no="31"?> 1.2 Der Investment Management Prozess 31 Eine wichtige Folgerung aus der SAA ist die erwartete Rendite des Portfolios, die sich aus den SAA-Portfoliogewichten und den erwarteten Renditen der Kapitalanlageklassen ergibt. Um diese erwartete Portfoliorendite zu berechnen, werden die SAA-Portfoliogewichte mit den erwarteten Renditen multipliziert und die Ergebnisse addiert. Dieses gewichtete Mittel wird Benchmark Asset Allokation Rendite (BAA-Rendite, BAA-Yield) genannt, da die erwarteten Renditen der Kapitalanlageklassen mit den erwarteten Renditen der entsprechenden Benchmarks übereinstimmen. Die BAA-Rendite kann also als erwartete Rendite des Portfolios interpretiert werden, wenn dies direkt in die Benchmark-Indices der Kapitalanlageklassen investiert würde. Berechnen Sie die BAA-Rendite des folgenden Portfolios, das in internationale Large-Cap Aktien investiert Gegeben sind die SAA und die erwarteten Renditen der Kapitalanlageklassen: Kapitalanlageklasse SAA Gewicht Benchmark erwartete Rendite Equity North America 35% S&P 500 5.0% Equity Europe 20% STOXX Europe 600 4.5% Equity Asia Pacific 25% MSCI EAFE 4.0% Equity Emerging Markets 15% MSCI Emerging Markets 7.0% Equity other 5% MSCI EAFE 4.0% Berechnung der BAA-Rendite: 0.35 ⋅ 5.0% + 0.20 ⋅ 4.5% + 0.25 ⋅ 4.0% + 0.15 ⋅ 7.0% + 0.05 ⋅ 4.0% = 4.9% Die BAA-Rendite des Portfolios beträgt 4.9%. Das folgende Beispiel zeigt die SAA und die Berechnung der BAA-Rendite für ein breit investiertes Portfolio eines institutionellen Investors. Dabei wird die erwartete Rendite für übergeordnete Assetklassen durch gewichtete Mittel aus den granularen Assetklassen berechnet. Beispiel: SAA und BAA-Rendite und erwartete Renditen Anlageklasse erwartete Rendite SAA- Gewicht Festverzinsliche Wertpapiere 2.70% 60.6% Staatsanleihen 2.64% 33.0% Industrieländer 1.00% 21.0% Schwellenländer 4.50% 8.5% Entwicklungsländer 8.00% 3.5% Unternehmensanleihen 3.10% 15.0% Investment Grade Financials 1.80% 2.8% <?page no="32"?> 32 1 Grundlagen des Portfolio Managements Investment Grade Non Financials 2.20% 7.3% High Yield (Non Investment Grade) 7.50% 0.8% Schwellenländer Anleihen 6.50% 1.7% Infrastrukturanleihen 3.50% 2.4% Besicherte Anlagen 3.00% 9.1% Hypotheken 2.80% 4.7% Schuldscheine 3.20% 3.8% Asset Backed Securities 3.30% 0.6% Cash 0.69% 3.5% Kasse 0.10% 1.2% Geldmarktfonds 1.00% 2.3% Aktien 4.90% 22.5% Europa 4.47% 7.5% High-Cap 4.30% 2.5% Mid-Cap 4.50% 3.7% Low-Cap 4.70% 1.3% Nordamerika 5.40% 5.2% High-Cap 5.30% 3.3% Mid-Cap 5.50% 1.2% Low-Cap 5.70% 0.7% Asien 3.70% 5.4% Schwellenländer 6.50% 4.4% Alternative Anlagen 7.51% 7.8% Private Equity 9.00% 1.8% Private Debt 9,00% 1,4% Infrastrukturbeteiligungen 6.00% 2.8% Rohstoffe 7.20% 1.8% Immobilien 3.86% 9.1% Immobilienfonds 3.50% 5.8% Direktinvestitionen 4.50% 3.3% Die Portfoliogewichte der SAA legen die strategische Ausrichtung des Portfolios fest und sind somit als Zielgrößen zu verstehen. In einem tatsächlich investierten Portfolio werden die Portfoliogewichte von den in der SAA vorgegebenen Gewichten abweichen. Dafür gibt es verschiedene Gründe, zum einen bewusste taktische Überlegungen, die im Abschnitt 1.2.5 beschrieben werden. Selbst wenn zunächst genau entsprechend der SAA-Gewichte investiert wird, werden die tatsächlichen Portfoliogewichte auf Grund von Marktwertschwankungen Abweichungen zeigen, dies wird in den folgenden Abschnitten genauer erläutert. Um die SAA praktisch investierbar zu machen, müssen die SAA-Gewichte also um Korridore und Limits ergänzt werden, die festlegen, wie weit die tatsächlichen Portfoliogewichte von den SAA-Gewichten abweichen dürfen. Diese Korridore und Limits können spezifisch für jede Kapitalanlageklasse vorgegeben werden und können durch <?page no="33"?> 1.2 Der Investment Management Prozess 33 übergreifende Konzetrationslimits ergänzt werden, die zum Beispiel regeln, dass gewisse Regionen oder Branchen (unabhängig von der Kapitalnlageklasse) kein zu starkes Gewicht erhalten. Diese Korridore und Limits werden schließlich durch sogenannte Rebalancing-Regeln ergänzt, die steuern, wann und wie Abweichungen von den SAA-Gewichten ausgeglichen werden. Zum Beispiel kann in der SAA ein monatliches Rebalancing auf die SAA-Gewichte festgeschrieben werden oder es wird nur ausgeglichen, wenn Limits überschritten werden, siehe Abschnitt 1.2.6. Im Rahmen der SAA wird auch festgelegt in welchem Maß Leerverkäufe und der Einsatz von Derivaten erwünscht und erlaubt ist. Beispiel: SAA eines Portfolios, das in internationale Large-Cap Aktien investiert Kapitalanlageklasse SAA Gewicht Korridor Benchmark erwartete Rendite Equity North America 35% +/ - 10%-Pkte S&P 500 5.0% Equity Europe 20% +/ - 10%-Pkte STOXX Europe 600 4.5% Equity Asia Pacific 25% +/ - 10%-Pkte MSCI EAFE 4.0% Equity Emerging Markets 15% +/ - 5%-Pkte MSCI Emerging Markets 7.0% Equity other 5% +/ - 2%-Pkte MSCI EAFE 4.0% Rebalancing Regeln: - Rebalancing nur, wenn ein Portfolio-Gewicht, den vorgegebenen Korridor verlässt (z.B., wenn das Gewicht von Equity North America über 45% beträgt oder das Gewicht von Equity Emerging Markets unter 10% fällt) - In einem solchen Fall wird das Portfoliogewicht der entsprechende Kapitalanlageklasse auf das SAA-Gewicht gesetzt und der Vermögensausgleich gleichmäßig auf die anderen Kapitalanlageklassen verteilt Beispiel: SAA und Limits eines breit investierten Portfolios Anlageklasse SAA- Gewicht Limits Festverzinsliche Wertpapiere 60.6% ≥50% Staatsanleihen 33.0% ≥25% Industrieländer 21.0% Schwellenländer 8.5% Entwicklungsländer 3.5% Unternehmensanleihen 15.0% +/ -5% <?page no="34"?> 34 1 Grundlagen des Portfolio Managements Investment Grade Financials 2.8% Investment Grade Non Financials 7.3% High Yield (Non Investment Grade) 0.8% Schwellenländer Anleihen 1.7% Infrastrukturanleihen 2.4% Besicherte Anlagen 9.1% ≤10% Hypotheken 4.7% Schuldscheine 3.8% Asset Backed Securities 0.6% Cash 3.5% ≥2% & ≤5% Kasse 1.2% Geldmarktfonds 2.3% Aktien 22.5% +/ -5% Europa 7.5% High-Cap 2.5% Mid-Cap 3.7% Low-Cap 1.3% Nordamerika 5.2% High-Cap 3.3% Mid-Cap 1.2% Low-Cap 0.7% Asien 5.4% Schwellenländer 4.4% Alternative Anlagen 7.8% +/ -3% Private Equity 1.8% Private Debt 1,4% Infrastrukturbeteiligungen 2.8% Rohstoffe 1.8% Immobilien 9.1% +/ -3% Immobilienfonds 5.8% Direktinvestitionen 3.3% Konzentrationslimits: - Kapitalanlagen aus Schwellen- und Entwicklungsländern (d.h. Staatsanleihen, Unternehmensanleihen und Aktien) in Summe nicht mehr als 20% - Kapitalanlagen mit hohem Ausfallrisiko und Kreditrisiko (d.h. High Yield, Schwellenländeranleihen und Infrastrukturbeteiligungen) in Summe nicht mehr als 7,5%. <?page no="35"?> 1.2 Der Investment Management Prozess 35 In der Praxis wird für große Portfolien mit langem Investitionszeitraum zu Beginn der Investition eine SAA festgelegt und im Folgenden nur noch Änderungen der SAA, also SAA-Schritte, und deren Auswirkungen analysiert. Um diese Analysen möglichst transparent zu gestalten, wird dabei die SAA fixiert und nur die Verschiebung von einer Kapitalanlageklassen in die andere betrachtet, z.B. wie sich eine Verschiebung von 3% Staatsanleihen zu 3% Aktien auswirkt. 1.2.5 Aktives und passives Kapitalanlagemanagement Die Herleitung und Festlegung einer SAA und der damit verbundene Abgleich mit den Investitionszielen ist für jedes Portfolio ein zentraler Schritt im Management des Portfolios. Die Festlegungen der SAA sind unabhängig von der Entscheidung zwischen verschiedenen Handels- und Investment Strategien, die die tatsächliche Auswahl von Kapitalanalgen betreffen. Das aktive Kapitalanlagemanagement spielt im Portfoliomanagement in zwei Bereichen eine zentrale Rolle. Zum einen bei der Festlegung der Taktischen Asset Allokation (TAA) und zum anderen bei der tatsächlichen Auswahl der Kapitalanalgen (Security Selection) innerhalb einer Kapitalanlageklasse 15 . Wie im vorigen Abschnitt beschrieben, legt die SAA die strategische Ausrichtung des Portfolios und die Gewichte der einzelnen Kapitalanlageklassen fest. Die SAA ist somit langfristig zu sehen. Die TAA stellt im Gegensatz dazu eine Kapitalanlageallokation dar, den Kapitalanlageklassen von der SAA abweichende Gewichte - im Rahmen der gegebenen Korridore und Limits - zuweist. Durch die Festlegung einer TAA wird bewusst von der SAA abgewichen, um kurzfristigen Markteinschätzungen Folge zu leisten. Die Taktische Asset Allokation stellt eine Form des aktiven Kapitalanlagemanagement zwischen den Kapitalanlageklassen der SAA dar. Zum Beispiel wird für ein Portfolio, das in internationale Large-Cap-Aktien investiert, die Kapitalanlageklasse Equity Asia Pacific zu Beginn eines Quartals übergewichtet, da dort die wirtschaftlichen Prognosen sehr gut sind . Beispiel: SAA und TAA eines Portfolios, das in internationale Large-Cap Aktien investiert Übergewichtung von Equity Asia Pacific in der TAA um 8%-Punkte. Der Vermögensausgleich erfolgt gleichmäßig über die anderen Kapitalanlageklassen. Kapitalanlageklasse SAA Gewicht Korridor TAA Gewicht Equity North America 35% +/ - 10%-Pkte 33% Equity Europe 20% +/ - 10%-Pkte 18% Equity Asia Pacific 25% +/ - 10%-Pkte 33% 15 Vgl. Pinto, McMillan, Pirie, Kochard & Van de Venter, 2011 <?page no="36"?> 36 1 Grundlagen des Portfolio Managements Equity Emerging Markets 15% +/ - 5%-Pkte 13% Equity other 5% +/ - 2%-Pkte 3% Im Rahmen der SAA werden Kapitalanlageklassen als homogen angesehen und die Eigenschaften und Risikofaktoren der einzelnen Wertpapiere außer Acht gelassen. Um das Portfolio tatsächlich zu investieren, werden innerhalb einer Assetklasse Wertpapiere gehandelt. Die Auswahl dieser Wertpapiere kann auf verschiedenen Handels- und Investmentstrategien basieren. Auch hier spielt das aktive Kapitalanlagemangement eine wesentliche Rolle. Die Auswahl von Wertpapieren (Security Selection) stellt eine Form des aktiven Kapitalanlagemanagements innerhalb der Kapitalanlageklassen der SAA dar. Das Ziel des aktiven Kapitalanlagemanagements bei der Auswahl der Wertpapiere liegt darin, eine höhere Rendite zu erzielen als die Benchmark der Kapitalanlageklasse. Nach Festlegung der SAA besteht ein wichtiger Schritt im Management eines Portfolios in der Formulierung einer Investment Strategie. In der Investment Strategie wird festgelegt, in welcher Form und in welchem Maß aktives Kapitalanlagemanagement eingesetzt wird. Dabei lassen sich zwei extreme Ansätze formulieren: − Rein passives Investment und Portfolio Management: Die Portfoliogewichte werden anhand der SAA festgelegt (die TAA entspricht der SAA) und verändern sich nur auf Grund von Marktwertschwankungen. Die Korridore der SAA-Gewichte sind für jede Kapitalanlageklasse eng. Es findet kein aktives Management bei der Auswahl der Wertpapiere pro Kapitalanlageklasse statt, d.h. für jede Assetklasse wird möglichst gemäß der Marktkapitalisierung der einzelnen Wertpapiere investiert, um Abweichungen von der Benchmark bzw. dem Marktindex möglichst gering zu halten. − Aktives Investment und Portfolio Management: Es erfolgt eine Festlegung einer TAA auf Basis von Markteinschätzungen. Die Korridore der SAA-Gewichte sind für jede Kapitalanlageklasse weit, um Abweichungen der TAA von der SAA zu ermöglichen. Innerhalb der Kapitalanlageklassen findet ein aktives Management der Wertpapierauswahl statt, die sich von der Benchmark bzw. dem Marktindex deutlich unterscheiden können. Bei der Festlegung der Investment Strategie für ein Portfolio kann zwischen diesen beiden Ansätzen ein Mittelweg formuliert werden: Die Investment Strategie regelt, wie stark sich TAA und SAA unterscheiden und legt für die einzelnen Kapitalanlageklassen fest, ob ein aktives oder passives Management zur Auswahl der Wertpapiere genutzt wird. Bei der Formulierung der Investment Strategie ist es wichtig, die Risikotoleranz für das Portfolio zu beachten. Wie im vorigen Abschnitt beschrieben, steuert die SAA die Risikoexposition des Portfolios gegenüber den systematischen Risikofaktoren der Kapitalanlageklassen und optimiert die Portfoliogewichte in Bezug auf die Risikoziele. Aktives Management, in Form einer TAA, die von der SAA abweicht, <?page no="37"?> 1.2 Der Investment Management Prozess 37 oder in Form einer aktiven Auswahl der Wertpapiere, die von der Benchmark einer Kapitalanlageklasse abweicht, erzeugen ein zusätzliches unsystematisches Risiko. Die Entscheidung über die Investment Strategie muss daher zusammen mit der Risikoexposition der SAA konsistent zu den Risikozielen des Investors getroffen werden. Die Entscheidung zwischen aktiver und passiver Auswahl der Wertpapiere ist auch vom Typ der Kapitalanlageklasse abhängig. So ist für spezifische Kapitalanlageklassen, insbesondere bei Alternativen Anlagen wie zum Beispiel Private Equity, ein passiver Ansatz schwierig umzusetzen, da es keine investierbare Benchmark und keinen allgemeinen Marktindex gibt. Daher wird hier oft ein aktiver Ansatz verfolgt und ein auf die Kapitalanlageklasse spezialisierter Asset Manager mandatiert. Hingegen ist für traditionelle Kapitalanlageklassen, insbesondere im Fall von breit definierten Kapitalanlageklassen, zu beachten, dass unsystematisches Risiko durch die aktive Auswahl von Wertpapieren langfristig nicht durch eine Überrendite belohnt wird. Je effizienter der Markt für eine Kapitalanlageklasse, desto schwieriger ist es durch aktives Kapitalanlagemanagement zusätzlichen Wert zu generieren. Da aktives Management höhere Kosten generiert, wird ein durchschnittlicher aktiver Asset Manager keine Überrendite gegenüber dem Markt generieren können. Auf diesen Punkt bezüglich Markteffizienz wird in Abschnitt 1.5.1 genauer eingegangen. Nach Festlegung der SAA und der Investment Strategie werden zur Portfolio Investition für jede Kapitalanlageklasse Asset Manager Mandate vergeben. Im Rahmen dieser Mandatierung wird ein Asset Manager ausgewählt und mit der Verwaltung der Wertpapiere aus einer oder mehreren Kapitalanlageklassen beauftragt. Dabei wird im Fall einer aktiven Wertpapierauswahl auch der Investitionsstil und das Investitionsziel festgelegt. Insbesondere im Bereich des aktiven Managements von Aktien haben sich verschiedene erfolgreich Investitions- und Handelsstrategien etabliert, zum Beispiel ein Value- oder ein Growth-Investitionsstil, die bei der Vergabe der Mandate mitberücksichtigt werden können. Die verschiedenen Investitionsstile werden in Abschnitt 1.5.2 genauer beleuchtet. Im folgenden Beispiel wird eine Herangehensweise an Investment Strategie und Portfolio Investition für ein breit investiertes Portfolio eines institutionellen Anlegers illustriert. Hier wird ein sogenannter Core-Satellite Ansatz verfolgt. Dabei werden die traditionellen Kapitalanlageklassen mit liquiden, effizienten Märkten zum Teil gemeinsam passiv gemanagt, um Kosten gering zu halten und unsystematische Risiken zu beschränken. Dies bildet den Großteil, also den Kern (engl. core) des Portfolios. Daneben werden spezifische, beispielsweise alternative Kapitalanlageklassen, sogenannte Satelliten, aktiv gemanagt mit aggressiven, risikoreichen Investmentstilen und spezialisiereten Asset Managern. Dieser Core-Satellite-Ansatz ermöglicht somit eine effiziente Allokation des Risikos in der Investment Strategie und eine kosteneffiziente Handelsstrategie. <?page no="38"?> 38 1 Grundlagen des Portfolio Managements Beispiel: SAA und Investment Strategie eines breit investierten Portfolios Anlageklasse SAA- Gewicht Investment- Strategie Festverzinsliche Wertpapiere 60.6% Staatsanleihen 33.0% Core-Mandat für festverzinsliche Wertpapiere (passiv) Industrieländer 21.0% Schwellenländer 8.5% Entwicklungsländer 3.5% Unternehmensanleihen 15.0% Investment Grade Financials 2.8% Investment Grade Non Financials 7.3% High Yield (Non Investment Grade) 0.8% Aktive Mandate mit ambitioniertem Investitionsziel Schwellenländer Anleihen 1.7% Infrastrukturanleihen 2.4% Besicherte Anlagen 9.1% Hypotheken 4.7% Aktive Mandate mit ambitioniertem Investitionsziel Schuldscheine 3.8% Asset Backed Securities 0.6% Cash 3.5% Aktives Mandat zum Liquiditätsmanagement Kasse 1.2% Geldmarktfonds 2.3% Aktien 22.5% Europa 7.5% Passive Mandate jeweils mit regional spezifischem Marktindex High-Cap 2.5% Mid-Cap 3.7% Low-Cap 1.3% Nordamerika 5.2% High-Cap 3.3% Mid-Cap 1.2% Low-Cap 0.7% Asien 5.4% Schwellenländer 4.4% Aktive Mandate jeweils mit spezialisierten Asset Managern Alternative Anlagen 7.8% Private Equity 1,8% Private Debt 1,4% Infrastrukturbeteiligungen 2.8% Rohstoffe 1.8% Immobilien 9.1% <?page no="39"?> 1.2 Der Investment Management Prozess 39 Immobilienfonds 5.8% Direktinvestitionen 3.3% Aus der Investment-Strategie ergibt sich folgende Übersicht über die Mandate: - Ein Core-Mandat für festverzinsliche Wertpapiere: kosteneffizientes, passives Management, umfasst 43.1% des Portfolios. - Passive Mandate jeweils mit regional spezifischem Marktindex für Aktien aus Industrieländern, umfassen zusammen 18.1% des Portfolios. - Aktive Mandate mit spziellen Investitionszielen umfassen zusammen 38,8% des Portfolios. 1.2.6 Monitoring, Performance-Messung und Feedback Nach der Investition des Portfolios in einzelne Wertpapiere erfahren diese Wertveränderungen auf Grund ihrer Volatilität, d.h. in Folge von Marktwertschwankungen. Dadurch ändert sich auch der Wert des Gesamtportfolios und der Wert der einzelnen Kapitalanlageklassen. Erhält dadurch eine Kapitalanlageklasse ein höheres Gewicht als in der SAA vorgesehen, spricht man von einer Übergewichtung, bei einem geringeren Gewicht als in der SAA von einer Untergewichtung der Kapitalanlageklasse. Im Monitoring werden diese Wertveränderungen erfasst und analysiert. Dies dient unter anderem zwei wichtigen Aufgaben: − Zum einen werden dadurch die Portfoliogewichte und deren Veränderungen überwacht. Zu bestimmten Zeitpunkten, bei bestimmten Abweichungen oder bei der Überschreitung von Limits werden diese im Rahmen eines Rebalancing des Portfolios durch Umschichtungen zwischen den Kapitalanlageklassen wieder an die SAA oder die TAA angeglichen. − Im Rahmen der Performance-Messung wird analysiert, welche Wertpapiere und insbesondere welche Kapitalanlageklassen erfolgreich waren und zu welchem Grad zur Portfoliorendite beigetragen haben. Zu diesem Zweck wird die zeitliche Veränderung der Portfoliogewichte analysiert. Zum Zeitpunkt 𝑡𝑡 > 0 wird der Wert des Portfolios mit 𝑉𝑉(𝑡𝑡) bezeichnet und entspricht der Summe aller Werte der einzelnen Wertpapiere. Entsprechend wird der Wert der 𝑁𝑁 Assetklassen mit 𝑉𝑉 𝑖𝑖 (𝑡𝑡) bezeichnet und entspricht der Summe aller Werte derjenigen Wertpapiere, die zu Kapitalanlageklasse 𝑖𝑖 gehören für 𝑖𝑖 = 1, … , 𝑁𝑁 . Es gilt also 𝑉𝑉(𝑡𝑡) = 𝑉𝑉 1 (𝑡𝑡) + ⋯ + 𝑉𝑉 𝑁𝑁 (𝑡𝑡) Die Portfoliogewichte der Kapitalanlageklassen 𝑤𝑤 𝑖𝑖 (𝑡𝑡) zum Zeitpunkt 𝑡𝑡 > 0 sind weiterhin als relativer Anteil am Portfolio definiert. Es gilt 𝑤𝑤 𝑖𝑖 (𝑡𝑡) = 𝑉𝑉 𝑖𝑖 (𝑡𝑡) 𝑉𝑉(𝑡𝑡) und somit wie zum Zeitpunkt der Investition 𝑉𝑉 𝑖𝑖 (𝑡𝑡) = 𝑤𝑤 𝑖𝑖 (𝑡𝑡) ⋅ 𝑉𝑉(𝑡𝑡) . Wichtig ist, dass zu jedem Zeitpunkt das gesamte Vermögen investiert ist. Dies zeigt Gleichung (1.3) und entsprechend 𝑤𝑤 1 (𝑡𝑡) + 𝑤𝑤 2 (𝑡𝑡) + ⋯ + 𝑤𝑤 𝑁𝑁 (𝑡𝑡) = 1 für alle 𝑡𝑡 > 0 . (1.3) (1.4) (1.5) <?page no="40"?> 40 1 Grundlagen des Portfolio Managements Eine Aufgabe des Monitorings ist die Überwachung der Portfoliogewichte und der Veränderung dieser Gewichte auf Grund von aktivem Management, Wertpapierhandel und Wertschwankungen. Diese führen zu Abweichungen zwischen den tatsächlichen Portfoliogewichten und den langfristig und strategisch in der SAA und TAA vorgegebenen Gewichten. Daher werden für das Monitoring Rebalancing Regeln vorgegeben, wann und wie in die Entwicklung des Portfolios durch Umschichtungen eingegriffen wird. Bei einem regelmäßigen Rebalancing werden zu festen Zeitpunkten, zum Beispiel am Ende jedes Quartals oder einmal jährlich, Überbzw. Untergewichtungen einzelner Kapitalanlageklassen gegenüber der SAA ausgeglichen. Bei einem reaktiven Rebalancing wird nur im Fall von Limit-Überschreitungen eingegriffen, zum Beispiel wenn eine Kapitalanlageklasse auf Grund von Marktwertveränderungen den in der SAA vorgegeben Korridor verlässt. Zusätzlich zum Zeitpunkt des Rebalancing muss das Vorgehen bestimmt werden. Es kann beispielsweise so umgeschichtet werden, dass nach dem Rebalancing die tatsächlichen Portfoliogewichte möglichst genau mit den SAA-Gewichten oder den TAA-Gewichten übereinstimmen. Oder es wird im Fall eines reaktiven Rebalancing lediglich sichergestellt, dass die Portfoliogewichte wieder innerhalb der vorgegebenen Korridore liegen. SAA und Rebalancing eines Portfolios, das in internationale Large-Cap- Aktien investiert Vorgegeben ist die SAA des Portfolios einschließlich zulässiger Korridore, in denen sich die Portfoliogewichte bewegen sollen: Kapitalanlageklasse SAA Gewicht Korridor Equity North America 35% +/ - 10%-Pkte Equity Europe 20% +/ - 10%-Pkte Equity Asia Pacific 25% +/ - 10%-Pkte Equity Emerging Markets 15% +/ - 5%-Pkte Equity other 5% +/ - 2%-Pkte Außerdem sind die folgenden Rebalancing Regeln gegeben: - Reaktives Rebalancing: Die Einhaltung der Korridore wird jedes Quartal überwacht und es wird nur eingegriffen, wenn Portfoliogewichte außerhalb des jeweils vorgegebenen Korridors liegen - In diesem Fall wird die betreffende Assetklasse auf das SAA-Gewicht gesetzt. Im Fall einer Übergewichtung wird das durch den Ausgleich freiwerdende Vermögen auf die untergewichteten Kapitalanlageklassen gleichmäßig verteilt. Im Fall einer Untergewichtung wird das zum Ausgleich notwendige Vermögen gleichmäßig von den übergewichteten Kapitalanlageklassen eingezogen. <?page no="41"?> 1.2 Der Investment Management Prozess 41 Das Portfolio wurde gemäß der SAA investiert. Nach einem Jahr ergeben sich durch Marktwertschwankungen die folgenden tatsächlichen Portfoliogewichte: Kapitalanlageklasse Portfoliogewicht Portfoliogewicht nach Rebalancing Equity North America 47.3% 35.0% Equity Europe 19.1% 23.2% Equity Asia Pacific 17.7% 21.8% Equity Emerging Markets 10.3% 14.4% Equity other 5.6% 5.6% Das Übergewicht von 12.3% bei Equity North America wird gleichmäßig auf die untergewichteten Kapitalanlageklassen ( Equtiy Eruope, Equity Asia Pacific, Equity Emerging Markets ) verteilt, die jeweils um 4.1%-Punkte erhöht werden. Bei der Festlegung der Rebalancing Regeln ist eine Abwägung zwischen häufigen, großen Umschichtungen und seltenen, möglichst geringen Umschichtungen wichtig: Die strategische Ausrichtung spricht für eine regelmäßige Anpassung an die SAA, die Reduktion von Kosten und Freiheiten für die Investment Strategie sprechen für seltene, möglichst geringe Anpassungen. Die zweite Hauptaufgabe des Monitoring-Prozesses ist die Performance-Messung. Zunächst ist die absolute Rendite des gesamten Portfolios die entscheidende Performance-Kennzahl, da diese den Wertzuwachs des investierten Kapitals misst. Um die Wertentwicklung des Portfolios genauer zu verstehen und um Rückschlüsse auf dessen strategische Ausrichtung zu ziehen, wird im professionellen Portfoliomanagement analysiert, wie sich die absolute Rendite des Portfolios aus den absoluten Renditen der einzelnen Kapitalanlageklassen zusammensetzt. Zudem wird bestimmt, wie die absoluten Renditen im Verhältnis zu den erwarteten Renditen und zur BAA-Rendite sehen, die bei der Festlegung der SAA eine wichtige Rolle spielen. Dies wird auch genutzt um im Rahmen der Performance-Zurechnung zu analysieren, welche Schritte des Portfolio-Management-Prozesses in welchem Maß zum Erfolg des Portfolios beigetragen haben. Dazu werden verschiedene Performance Kennzahlen des Portfolios definiert, die sich aus verschiedenen Renditen der einzelnen Kapitalanlageklassen ergeben. Für jede Kapitalanlageklasse werden die folgenden Renditen betrachtet: − erwartete Rendite (erwartete Rendite der Benchmark): 𝑅𝑅 𝑖𝑖 (𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑡𝑡𝑒𝑒𝑒𝑒) − Tatsächliche Rendite der Benchmark (Marktrendite): 𝑅𝑅 𝑖𝑖 (𝑏𝑏𝑒𝑒𝑏𝑏𝑒𝑒ℎ𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚) − Tatsächliche Rendite der Kapitalanlageklasse: 𝑅𝑅 𝑖𝑖 (𝑚𝑚𝑒𝑒𝑡𝑡𝑎𝑎𝑚𝑚𝑎𝑎) Dabei kennzeichnet der Index 𝑖𝑖 die Kapitalanlageklasse 𝑖𝑖 = 1, … , 𝑁𝑁 . Es ist zu beachten, dass nur die erwartete Rendite schon bei Investition des Portfolios feststeht. Die tatsächlichen Renditen sind Kennzahlen, die sich erst nach Ablauf einer betrachteten <?page no="42"?> 42 1 Grundlagen des Portfolio Managements Periode (z.B. einem Quartal oder einem Jahr) aus den Wertentwicklungen der Wertpapiere ergeben. Des Weiteren ist die tatsächliche Rendite der Benchmark von der tatsächlichen Rendite der Kapitalanlageklasse zu unterscheiden. Die erste ist unabhängig von den ausgewählten Wertpapieren und ergibt sich aus der Wertentwicklung der festgelegten Benchmark oder aus einem passenden Marktindex für die betrachtete Kapitalanlageklasse. Die tatsächliche Rendite der Kapitalanlageklasse ergibt sich hingegen aus den tatsächlich im Portfolio investierten Wertpapieren, die dieser Kapitalanlageklasse zugeordnet sind. Daraus ergeben sich verschiedene Performance Kennzahlen für das Portfolio, die sich jeweils als gewichtetes Mittel der Renditen der Kapitalanlageklassen berechnen lassen. − Die erwartete BAA-Rendite (expected BAA-yield): Rendite des Portfolios, wenn die SAA-Gewichte und die erwarteten Renditen der Kapitalanlageklassen (und deren Benchmarks) zugrunde gelegt werden (vgl. Abschnitt 1.2.4): 𝑅𝑅 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 = � 𝑤𝑤 𝑖𝑖 (𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆) ⋅ 𝑅𝑅 𝑖𝑖 (𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑡𝑡𝑒𝑒𝑒𝑒) 𝑁𝑁 𝑖𝑖=1 − Die tatsächliche BAA-Rendite (actual BAA-yield): Rendite des Portfolios, wenn die SAA-Gewichte und die tatsächlichen Renditen der Benchmarks (bzw. Marktindices) zugrunde gelegt werden: 𝑅𝑅 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = � 𝑤𝑤 𝑖𝑖 (𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆) ⋅ 𝑅𝑅 𝑖𝑖 (𝑏𝑏𝑒𝑒𝑏𝑏𝑒𝑒ℎ𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚) 𝑁𝑁 𝑖𝑖=1 − Die tatsächliche Portfolio-Rendite (actual performance): Rendite des Portfolios, wenn die tatsächlich investierten Gewichte (die TAA-Gewichte) und die tatsächlich realisierten Renditen der Kapitalanlageklassen zugrunde gelegt werden: 𝑅𝑅 𝑎𝑎𝑒𝑒𝑒𝑒𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 = � 𝑤𝑤 𝑖𝑖 (𝑇𝑇𝑆𝑆𝑆𝑆) ⋅ 𝑅𝑅 𝑖𝑖 (𝑚𝑚𝑒𝑒𝑡𝑡𝑎𝑎𝑚𝑚𝑎𝑎) 𝑁𝑁 𝑖𝑖=1 Auf Basis dieser Größen lässt sich die tatsächliche Rendite in die erwartete Rendite, den Prognosefehler und die Outperformance zerlegen. − Der Prognosefehler ist die Differenz zwischen tatsächlicher BAA-Rendite und erwarteter BAA-Rendite und misst, wie stark die Rendite des Portfolios am Ende einer Periode von der erwarteten Rendite zu Beginn der Periode abweicht. Hierbei wird die strategische Ausrichtung des Portfolios, also die SAA zugrunde gelegt. Prognosefehler = 𝑅𝑅 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 − 𝑅𝑅 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 − Die Outperformance misst den Beitrag des aktiven Managements zum Erfolg des Portfolios und berechnet sich als Differenz von tatsächlicher Portfolio-Rendite und tatsächlicher BAA-Rendite. Outperformance = 𝑅𝑅 𝑎𝑎𝑒𝑒𝑒𝑒𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 − 𝑅𝑅 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 − Wenn ein Portfolio rein passiv gemanagt wird, das heißt, wenn die TAA mit der SAA übereinstimmt und für jede Kapitalanlageklasse möglichst genau in die (1.6) (1.7) (1.8) (1.9) (1.10) <?page no="43"?> 1.2 Der Investment Management Prozess 43 Benchmark investiert wird, so ist eine Outperformance von Null zu erwarten. Bei einer positiven Outperformance hat das aktive Management positiv zum Erfolg des Portfolios beigetragen, bei einer negativen Outperformance hingegen, wäre ein rein passiver Ansatz erfolgreicher gewesen. − Die tatsächliche Rendite des Portfolios ergibt sich auf Basis dieser Performance- Kennzahlen als Summe der erwarteten BAA-Rendite, dem Prognosefehler und der Outperformance: 𝑅𝑅 𝑎𝑎𝑒𝑒𝑒𝑒𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑅𝑅 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 + Prognosefehler + Outperformance Das folgende Beispiel zeigt die Berechnung dieser Kennzahlen und macht deutlich, dass sich damit der Beitrag des aktiven Managements quantifizieren lässt. Performance-Messung für ein Portfolio, das in internationale Large-Cap Aktien investiert. Vorgegeben ist die SAA des Portfolios einschließlich der erwarteten Renditen der Kapitalanlageklassen: Kapitalanlageklasse SAA Gewicht erwartete Rendite Equity North America 35% 5.0% Equity Europe 20% 4.5% Equity Asia Pacific 25% 4.0% Equity Emerging Markets 15% 7.0% Equity other 5% 4.0% Berechnung der erwarteten BAA-Rendite: 𝑅𝑅 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 = 0.35 ⋅ 5.0% + 0.20 ⋅ 4.5% + 0.25 ⋅ 4.0% + 0.15 ⋅ 7.0% + 0.05 ⋅ 4.0% = 4.900% Die folgende Tabelle zeigt die TAA-Gewichte auf Basis derer das Portfolio investiert wurde. Außerdem sind die tatsächlichen Renditen der Benchmarks und die tatsächlichen Renditen der Kapitalanlageklassen nach einem Jahr dargestellt. Die zum Teil starke Abweichung dieser Renditen zeigt, dass hier bei der Auswahl der Wertpapiere aktives Management zum Einsatz kam. Kapitalanlageklasse TAA Gewicht Benchmark- Rendite tatsächliche Rendite Equity North America 40% 12.5% 22.5% Equity Europe 20% 3.5% 3.0% Equity Asia Pacific 22.5% 1.2% -4.5% (1.11) <?page no="44"?> 44 1 Grundlagen des Portfolio Managements Equity Emerging Markets 12.5% -8.3% -7.3% Equity other 5% 1.2% 10.0% Berechnung der tatsächlichen BAA-Rendite: 𝑅𝑅 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 = 0.35 ⋅ 12.5% + 0.20 ⋅ 3.5% + 0.25 ⋅ 1.2% + 0.15 ⋅ (−8.3%) + 0.05 ⋅ 1.2% = 4.190% Berechnung der tatsächlichen Rendite des Portfolios: 𝑅𝑅 𝑎𝑎𝑒𝑒𝑒𝑒𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 = 0.4 ⋅ 22.5% + 0.20 ⋅ 3% + 0.225 ⋅ (−4.5%) + 0.125 ⋅ (−7.3%) + 0.05 ⋅ 10% = 8.175% Somit ergibt sich ein Prognosefehler von 4.19% − 4.90% = −0.710% und eine Outperformance von 8.18% − 4.19% = 3.985% Die Zerlegung der tatsächlichen Performance in erwartete Rendite, Prognosefehler und Outperformance macht deutlich, dass in diesem Beispiel das aktive Management deutlich zum Erfolg des Portfolios beigetragen hat. Die Tatsache, dass das Portfolio eine deutlich höhere Rendite erbracht hat, als zu Beginn der Periode auf Basis der strategischen Überlegungen zu erwarten war, lag am aktiven Management und nicht an Marktbewegungen, die über den Erwartungen lagen. Im Abschnitt 1.2.5 wurde beschrieben, dass das aktive Management im PortfolioManagement im Rahmen der Investment Strategie an zwei Stellen eine zentrale Rolle einnimmt: Zum einen bei der Bestimmung einer TAA zum anderen bei der aktiven Auswahl von Wertpapieren. Ziel der Performance-Zuschreibung ist die Messung des Beitrags dieser beiden Prozesse und darüber hinaus die Messung des Erfolgs der einzelnen Kapitalanlageklassen und der mandatierten Asset Manager. Zur Performance-Zuschreibung wird die oben beschriebene Outperformance weiter in zwei Kennzahlen zerlegt: Der Beitrag der taktischen Positionierung und der Beitrag der Wertpapierauswahl: − Der Beitrag der taktischen Positionierung ergibt sich aus der Abweichung zwischen den Gewichten der TAA und den Gewichten der SAA. Die Differenzen dieser Gewichte werden mit den tatsächlichen Benchmark-Renditen multipliziert und schließlich addiert, um den Beitrag der TAA zur Rendite des Portfolios zu messen. 𝑅𝑅 𝑒𝑒𝑎𝑎𝑒𝑒𝑒𝑒𝑖𝑖𝑒𝑒𝑎𝑎𝑎𝑎 = ��𝑤𝑤 𝑖𝑖 (𝑇𝑇𝑆𝑆𝑆𝑆) − 𝑤𝑤 𝑖𝑖 (𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆)� ⋅ 𝑅𝑅 𝑖𝑖 (𝑏𝑏𝑒𝑒𝑏𝑏𝑒𝑒ℎ𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚) 𝑁𝑁 𝑖𝑖=1 − Zur Berechnung des Beitrags der Wertpapierauswahl wird zunächst für jede Kapitalanlageklasse die Outperformance, das heißt die Differenz zwischen tatsächlicher Rendite der Kapitalanlageklasse und tatsächlicher Rendite der Benchmark berechnet. Diese Differenzen werden mit den TAA-Gewichten multipliziert und (1.12) <?page no="45"?> 1.2 Der Investment Management Prozess 45 schließlich addiert, um den Beitrag der Wertpapierauswahl zur Rendite des Portfolios zu messen. 𝑅𝑅 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑎𝑎𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑖𝑖𝑠𝑠𝑠𝑠 = � 𝑤𝑤 𝑖𝑖 (𝑇𝑇𝑆𝑆𝑆𝑆) ⋅ (𝑅𝑅 𝑖𝑖 (𝑚𝑚𝑒𝑒𝑡𝑡𝑎𝑎𝑚𝑚𝑎𝑎) − 𝑅𝑅 𝑖𝑖 (𝑏𝑏𝑒𝑒𝑏𝑏𝑒𝑒ℎ𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚)) 𝑁𝑁 𝑖𝑖=1 Die beiden Kennzahlen sind so definiert, dass sich die Outperformance des Portfolios als Summe des Beitrags der taktischen Positionierung und des Beitrags der Wertpapierauswahl ergibt: Outperformance = 𝑅𝑅 𝑒𝑒𝑎𝑎𝑒𝑒𝑒𝑒𝑖𝑖𝑒𝑒𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑅𝑅 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑎𝑎𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑖𝑖𝑠𝑠𝑠𝑠 Insgesamt ergibt sich somit die folgende Performance-Zerlegung der Rendite des Portfolios: 𝑅𝑅 𝑎𝑎𝑒𝑒𝑒𝑒𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 = 𝑅𝑅 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝑅𝑅 𝑒𝑒𝑎𝑎𝑒𝑒𝑒𝑒𝑖𝑖𝑒𝑒𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑅𝑅 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑎𝑎𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑖𝑖𝑠𝑠𝑠𝑠 = 𝑅𝑅 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 + Prognosefehler + 𝑅𝑅 𝑒𝑒𝑎𝑎𝑒𝑒𝑒𝑒𝑖𝑖𝑒𝑒𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑅𝑅 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑎𝑎𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑖𝑖𝑠𝑠𝑠𝑠 Durch diese Zerlegung lässt sich also der Beitrag der verschiedenen Schritte im Investment Management Prozess (SAA, TAA, Asset Management) messen. Insbesondere lässt sich der Beitrag der TAA, die häufig zentral im Investment Management festgelegt wird, vom Beitrag der Wertpapierauswahl abgrenzen, die häufig dezentral von verschiedenen, pro Kapitalanlageklasse mandatierten, Asset Managern getroffen wird. Es ist zu beachten, dass der Beitrag der taktischen Positionierung nur auf Ebene des ganzen Portfolios definiert ist und für einzelne Kapitalanlageklassen wenig Sinn ergibt. Im Gegensatz dazu ist der Beitrag der Wertpapierauswahl auch auf der Ebene einzelner Kapitalanlageklassen definiert und kann dazu verwendet werden, die Performance einzelner Kapitalanlageklassen zu messen. Auch hier ist zunächst die absolute Performance eine wichtige Kennzahl. Zur Bewertung von mandatierten Asset Managern ist aber auch die relative Performance, also die Abweichung zwischen der Rendite der Kapitalanlageklasse und der Rendite der Benchmark, wichtig. So ist ein Asset Manager, der in einem verlustreichen Marktumfeld (d.h. bei stark negativer Benchmarkrendite) eine leicht positive Rendite erwirtschaftet, womöglich als erfolgreicher anzusehen als ein Asset Manager, der in einem sehr guten Marktumfeld (d.h. bei stark positiver Benchmark-Rendite) eine moderat positive Rendite erzielt. Diese Art der Performance-Messung und Performance-Zuschreibung wird am folgenden Beispiel illustriert. (1.13) (1.14) (1.15) <?page no="46"?> 46 1 Grundlagen des Portfolio Managements Performance-Zuschreibung für ein Portfolio, das in internationale Large-Cap-Aktien investiert Zu Beginn eines Jahres ist die SAA und die TAA des Portfolios einschließlich der erwarteten Renditen der Kapitalanlageklassen gegeben: Kapitalanlageklasse SAA Gewicht erwartete Rendite TAA Gewicht Equity North America 35% 5.0% 40% Equity Europe 20% 4.5% 20% Equity Asia Pacific 25% 4.0% 22.5% Equity Emerging Markets 15% 7.0% 12.5% Equity other 5% 4.0% 5% Am Jahresende haben sich die folgenden tatsächlichen Renditen der Benchmarks und der Kapitalanlageklassen realisiert: Kapitalanlageklasse Benchmark-Rendite tatsächliche Rendite Equity North America 12.5% 22.5% Equity Europe 3.5% 3.0% Equity Asia Pacific 1.2% -4.5% Equity Emerging Markets -8.3% -7.3% Equity other 1.2% 10.0% Im vorigen Beispiel wurden die folgenden Performance-Kennzahlen berechnet: - Erwartete BAA-Rendite: 4.900% - Tatsächliche BAA-Rendite: 4.190% - Tatsächliche Rendite des Portfolios: 8.175% - Prognosefehler: -0.710% - Outperformance: 3.985% Zur weiteren Zerlegung der Outperformance wird zunächst der Beitrag der taktischen Positionierung berechnet: 𝑅𝑅 𝑒𝑒𝑎𝑎𝑒𝑒𝑒𝑒𝑖𝑖𝑒𝑒𝑎𝑎𝑎𝑎 = (0.4 − 0.35) ⋅ 12.5% + (0.2 − 0.2) ⋅ 3.5% + (0.225 − 0.25) ⋅ 1.2% + (0.125 − 0.15) ⋅ (−8.3%) + (0.05 − 0.05) ⋅ 1.2% = 0.8025% Die Abweichungen der TAA von der SAA haben sich positiv ausgewirkt, insbesondere die Übergewichtung von Equity North America . Allerdings ist nur ein kleiner Teil der Outperformance auf die taktische Positionierung zurückzuführen. <?page no="47"?> 1.2 Der Investment Management Prozess 47 Die Berechnung des Beitrags der Wertpapierauswahl erfolgt zunächst für jede Kapitalanlageklasse. Kapitalanlageklasse Benchmark- Rendite tatsächliche Rendite Beitrag der Wertpapierauswahl Equity North America 12.5% 22.5% +10.0% Equity Europe 3.5% 3.0% -0.5% Equity Asia Pacific 1.2% -4.5% -5.7% Equity Emerging Markets -8.3% -7.3% +1.1% Equity other 1.2% 10.0% +8.8% Berechnung des Beitrags der Wertpapierauswahl zur Rendite des Portfolios: 𝑅𝑅 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑎𝑎𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑖𝑖𝑠𝑠𝑠𝑠 = 0.4 ⋅ 10% + 0.2 ⋅ (−0.5%) + 0.225 ⋅ (−5.7%) + 0.125 ⋅ 1.1% + 0.05 ⋅ 8.8% = 3.1825% Es lässt sich direkt ablesen, dass die tatsächliche Portfolio-Rendite aus der erwarteten BAA-Rendite, dem Prognosefehler, dem Beitrag der taktischen Positionierung und dem Beitrag der Wertpapierauswahl zusammengesetzt ist. Die erfolgreiche Arbeit der Assetmanager trägt dabei durch die aktive Wertpapierauswahl den wesentlichen Teil der Outperformance bei. Darüber hinaus lässt sich der Erfolg der einzelnen Kapitalanlageklassen bzw. Assetmanager bewerten. Equity North America hat mit Abstand die höchste absolute Rendite. Bezogen auf die relative Rendite, also den Beitrag zur Wertpapierauswahl ist diese Kapitalanlageklasse immer noch die erfolgreichste, allerdings dicht gefolgt von Equity other. Auffällig ist außerdem die Kapitalanlageklasse Equity Emerging Markets : Hier wurde durch aktives Management der Verlust gemindert und somit ein positiver Beitrag durch Wertpapierauswahl erzielt. Die Performance Messung spielt eine zentrale Rolle im Feedback-Prozess des Portfolio Managements: Auf Basis der genannten Performance-Kennzahlen können die Entscheidungen bezüglich Investment Strategie und Investment Style überprüft und gegebenenfalls verändert werden. Außerdem werden auf dieser Basis die Asset-Manager der einzelnen Kapitalanlageklassen überprüft. Zudem müssen im Feedback-Prozess regelmäßig die Kapitalmarkterwartungen überprüft und erneuert werden. Dadurch ergeben sich Änderungen an den einzelnen Kapitalanlageklassen und deren Benchmarks und erwarteten Renditen. Am Ende des Feedback-Prozesses steht eine regelmäßige Überprüfung der strategischen Ausrichtung des Portfolios, der SAA und gegebenenfalls der Investment Richtlinien. <?page no="48"?> 48 1 Grundlagen des Portfolio Managements 1.3 Überblick über das Risikomanagement 1.3.1 Ziele des Risikomanagement im Portfolio Management Risikomanagement ist insbesondere im Portfolio Management als offensives, vorausschauendes Werzeug zu verstehen. Es geht nicht darum auf adverse Entwicklungen zu reagieren, also auf die Realisierung von Risiken, sondern um Risiken einzuschätzen und das Portfolio vorausschauend so aufzustellen, dass positive und adverse Entwicklungen ausgehalten werden können. Ziel der Investition von Kapital und damit der Aufstellung eines Portfolios ist es primär, das Kapital bewusst auf bestimmte Risiken zu allokieren und dem Risiko entsprechende Renditen zu erwirtschaften. Praktisch geschieht dies durch Aufteilung des Kapitals auf verschiedenen Kapitalanlageklassen. Wie in Abschnitt 1.2 eingeführt, siehe auch Abschnitt 1.4 und Kapitel 3, können diese Kapitalanlageklassen als Abbild für systematische Kapitalmarktrisiken verstanden werden. Das Ziel und der Zweck des Risikomanagements sind also, zu steuern und aktiv zu kontrollieren, wie und in welchem Maße das Portfolio Unsicherheiten und damit Risikofaktoren ausgesetzt ist 16 . Dazu ist es notwendig − Risiken zu identifizieren und zu messen − Risikotoleranz und ein akzeptables Maß an Risiko zu definieren − Risiken bewusst einzugehen, um angemessene Renditen zu erwirtschaften − Risiken zu mitigieren und gewisse Risiken zu vermeiden Um dies zu erreichen, wird innerhalb des Portfolio Managements ein Risikomanagement-Prozess etabliert, der Regeln und Abläufe definiert, um Risiken in die Entscheidungsfindung zu integrieren (risk management framework). In den folgenden Abschnitten werden diese Punkte detailliert beschrieben. Dabei sollen die folgenden Leitfragen im Vordergrund stehen: − Welches sind die dominierenden Risikotypen und Risikotreiber? − Wie kann Risiko gemessen werden? Welche Risikomaße eignen sich, um bestimmte Investitionsziele sicherzustellen? − Wie viele Risiken können eingegangen werden? Welche Fähigkeit und Bereitschaft Risiken einzugehen ist vorhanden? Welches Risiko-Level ist notwendig, um die Investitionziele zu erreichen? − Wie kann das akzeptable Risiko-Level auf veschiedene Risikotypen allokiert werden? − Wie wird das Risiko-Level überwacht? Welche Risiko-Limits werden dazu definiert? Das Risikomanagement im Rahmen des Portfolio Managements dient nicht der Vermeidung von Verlusten, sondern ist ein vorausschauendes Werkzeug, um zu steuern und zu überwachen, welchen systematischen Risikofaktoren das Portfolio ausgesetzt ist, um entsprechende Renditen zu erwirtschaften. 16 Vgl. Pinto, McMillan, Pirie, Kochard, & Van de Venter, 2011 <?page no="49"?> 1.3 Überblick über das Risikomanagement 49 1.3.2 Finanzielle Risiken Die im vorigen Abschnitt angesprochenen systematischen Risikofaktoren, denen ein Portfolio ausgesetzt ist, betreffen hauptsächlich finanzielle Risken. Finanzielle Risiken sind Risiken, also Unsicherheiten, die im Zusammenhang mit Finanzmärkten und Finanztransaktionen bestehen und betreffen die Bewertung und den Ausfall von Finanzprodukten. Finanzielle Risiken lassen sich übergreifend in drei Kategorien einteilen 17 : − Das Marktrisiko entsteht durch Markt- und Preisschwankungen, zum Beispiel bei Aktienkursen, Zinsen, Wechselkursen, Rohstoffpreisen, Immobilienbewertungen etc. Die zugrunde liegenden Risikotreiber sind allgemeine wirtschaftliche Bedingungen, Zustände und Anlässe in bestimmten Wirtschafts- oder Industriezweigen oder Entwicklungen spezifischer Unternehmen. Beim Marktrisiko handelt es sich um einen kapitalanlagenübergreifenden, transparenten Risikofaktor. − Das Kredit- und Ausfallrisiko betrifft den Verlust, der entsteht, wenn eine Partei einer Finanztransaktion seine Verbindlichkeit nicht begleichen kann. Die zugrunde liegenden Risikotreiber sind allgemeine Bedingungen eines Wirtschaftszweigs oder einer Industriebranche und indviduelle Schwächen spezifischer Unternehmen. Beim Kredit- und Ausfallrisiko handelt es sich um einen Kapitalanlage- und Produkt-spezifischen Risikofaktor. − Das Liquiditätsrisiko betrifft die Möglichkeit der Abwertung oder des Ausfalls einer Kapitalanlage, wenn sie (kurzfristig) verkauft werden muss und stellt damit ein Transaktionsrisiko dar. Die zugrunde liegenden Risikotreiber sind die Liquidität und Größe des entsprechenden Marktes, die Marktnachfrage und die Größe und der Wert der individuell gehaltenen Kapitalanlage. Das Liquiditätsrisiko ist somit ein Kapitalanlagen-individueller Risikofaktor. Es ist zu beachten, dass die Einteilung und Unterscheidung von Risiken in diese Kategorien nicht immer eindeutig und überschneidungsfrei sind. Oft interagieren die Risikokategorien und können sich gegenseitig verstärken. Insbesondere in Krisenzeiten kann ein sich erhöhtes Marktrisiko, das Kredit- und Ausfallrisiko verstärken und erhöhte Handelsvolumina auf Grund von hohen Marktrisiken können Liquditätsengpasse verursachen und daher das Liquiditätsrisiko steigern. Die oben zusammengefassten Risikokategorien stellen systematische Risiken dar, die in eiffizienten Märkten durch Risikoprämien belohnt werden. Dies ist eine definierende Eigenschaft systematischer Risiken: Je höher das systemtsiche Risiko, desto höher der erwartete Gewinn aus der Exposition gegenüber dem Risikofaktor. Auf die formale Definition des systematsichen Risikos und auf die Abrgrenzung zu unsystematischen Risiken wird in Kapitel 3.7.2 eingegangen. Dieses Prinzip, das Modell der Riskoprämien, lässt sich anhand der drei Risikokategorien finanzieller Risiken illustrieren: 17 Vgl. Pinto, McMillan, Pirie, Kochard, & Van de Venter, 2011 <?page no="50"?> 50 1 Grundlagen des Portfolio Managements − Die Marktrisikopräme belohnt die Exposition gegenüber Marktrisiken. Je höhe das Marktrisiko eines Finanzprodukts, z.B. die Volatilität, desto höher sollte die erwartete Rendite sein. Dies zeigt sich beispielsweise beim Vergleich von Aktien- und Anleiheninvestments. Häufig sind Aktien eines Unternehmens volatiler aber auch renditesärker als Anleihen desselben Unternehmens. − Die Kreditrisikoprämie belohnt für das Eingehen von Kredit- und Ausfallrisiken. Je höher das Ausfallrisiko eines Finanzprodukts, desto höher sollte die erwartete Rendite sein. Dies zeigt sich beispielsweise beim Vergleich verschiedenenr Anleihen. So geben Staatanleihen oft niedrigere Zinsen als Unternehmensanleihen und Anleihen aus Industrieländern oft niedrigere Zinsen als Anleihen aus Schwellen- und Entwicklungsländern. Außerdem zeigt sich die Kreditrisikoprämie in der Tatsache, das Anleihen eines Unternehmens nach einer Herabstufung der Kreditwürdigkeit durch ein Ratingunternehmen oft höhere Zinsen bringen als davor. − Die Liquiditätsrisikoprämie belohnt für die Übernahme von Liquiditätsrisiken. So bringen illiquide Kapitalanlagen oft höhere Renditen als Kapitalanlagen, die sich schnell und ohne Wertverluste an liquiden Märkten verkaufen lassen. So sind Private Equity Investments oft renditestärker als Public Equity Investments, und Direktinvestition in Immobilien haben oft eine höhere erwartete Rendite als Investitionen in frei gehandelte Immobilienfonds. Bei der Betrachtung der Risikoprämein muss beachtet werden, dass innerhalb einer Kategorie zwischen hohem und niedrigem Risiko verglichen wird und dabei die anderen Riskofaktoren als gleichbleibend angenommen werden. In der Praxis ist ein Vergleich rein innerhalb einer Kategorie oft problematisch, da die Risiken interagieren. Dennoch wird das Modell der Risikoprämien verwendet, um erwartete Renditen für Kapitalanlagen und Kapitalanlageklassen herzuleiten. Dazu wird angenommen, dass sich Kaptialmarkterwartungen an Renditen aus vier verschienden Komponenten zusammensetzen: Dem risikofreien Zins und den drei Risikoprämien: 𝐸𝐸[𝑅𝑅] = 𝑚𝑚 𝑓𝑓 + 𝑅𝑅 𝑀𝑀 + 𝑅𝑅 𝐶𝐶 + 𝑅𝑅 𝐿𝐿 mit folgenden Bezeichnungen: 𝐸𝐸[𝑅𝑅] erwartete Rendite einer Kapitalanlage 𝑚𝑚 𝑓𝑓 risikofreier Zins im gegebenen Marktumfeld 𝑅𝑅 𝑀𝑀 Marktrisikoprämie 𝑅𝑅 𝐶𝐶 Kreditrisikoprämie 𝑅𝑅 𝐿𝐿 Liquditätsrisikoprämie Dieses Modell wird insbesondere zum Vergleich und zur Überprüfung des Konsistenz von erwarteten Renditen verwendet. Modell der Risikoprämien Gegeben sind die folgenden Kapitalmarkterwartungen an verschiedene Assetklassen. Anhand des Modells der Risikoprämien soll die Konsistenz der erwarteten Renditen geprüft werden. (1.16) <?page no="51"?> 1.3 Überblick über das Risikomanagement 51 Kapitalanlageklasse Liquidität Schwankungsrisiko (Volatilität) Rendite erwartete Rendite Equity North America hoch 20% 7.0% Equity International hoch 17% 6.5% U.S. Government Bonds hoch 4% 2.5% U.S. Corporate Bonds eher hoch 7% 4.5% Cash sehr hoch 0% 0.5% Private Equity gering 25% 9.0% Immobilien Investments eher gering 19% 7.5% Die Konsistenz ist in diesem Beispiel gewährleistet, da Kapitalanlageklassen mit höherem Schwankungsrisiko und geringerer Liquidität tendenziell höhere Renditen erwarten lassen. Die im Rahmen der Portfolio-Planung festgelegten Rendite- und Risikoziele geben vor, welche systematischen Risiken eingegangen werden, legen aber auch fest, welche Risiken vermieden oder ausgeschlossen werden. Dazu stehen verschiedene Methoden der Risikomodifikation zur Verfügung. Im einfachsten Fall können bestimmte Risiken komplett vermieden werden, zum Beispiel indem bestimmte Kapitalanlageklassen ausgeschlossen oder durch Limits begrenzt werden. In manchen Fällen wird auch der Einsatz von Derivaten beschränkt oder ein Leerverkaufsverbot vorgeschrieben. Um die Exposition gegenüber bestimmten Risiken zu beschränken, ohne diese komplett auszuschließen, kann ein Risikotransfer durchgeführt werden. Dies geschieht zum Beispiel durch den Kauf von Versicherungen gegenüber bestimmten adversen Entwicklungen oder durch Hedging mittels Derivaten. Eine wichtige Form der Risikomodifikation stellt darüber hinaus die Diversifikation dar. Indem Kapital zu verschiedenen, schwach korrelierten Risikofaktoren allokiert wird, verringert sich das Gesamtrisiko. Auf dieses Prinzip werden wir in Kapitel 1.7 und 3 im Detail eingehen. 1.3.3 Quantitative Risikomaße Im vorigen Abschnitt wurden verschiedene finanzielle Risiken und deren Einflussfaktoren beschrieben. Hier geben wir einen Überblick über verschiedene quantitative Methoden, die Höhe eines Risikofaktors zu messen. Wir konzentrieren uns dabei auf die Messung der Veränderung des Werts eines Wertpapiers, also auf die Bewertung. <?page no="52"?> 52 1 Grundlagen des Portfolio Managements In diesem Abschnitt geben wir einen Überblick über verschiedenen Risikomaße, ohne auf deren mathematische Definition einzugehen. Dies erfolgt in späteren Abschnitten insbesondere in Abschnitt 1.7 im Detail. Zunächst betrachten wir statistische Risikomaße, also Maße, die auf der Verteilung von historischen Renditen oder Preisen eines Wertpapiers beruhen. Dabei werden zwei Typen von statistischen Risikomaßen unterschieden: statistische Momente und statistische Quantile. Statistische Momente messen die Abweichung vom Mittelwert der betrachteten Renditen oder Preise. Ein wichtiges und häufig genutztes Risikomaß ist die Volatilität. Die Volatilität eines Wertpapiers ist die Standardabweichung der Renditen des Wertpapiers. Dieses Maß misst, wie stark die Werte um den Mittelwert streuen. Dabei ist wichtig, dass sowohl die Häufigkeit von Abweichungen vom Mittelwert als auch die Höhe der Abweichung die Standardabweichung beeinflussen: Je häufiger Abweichungen vom Mittelwert vorkommen und je stärker diese Abweichungen sind, desto höher die Standardabweichung 18 . Die Volatilität ist einfach zu berechnen und bietet eine klare Interpretation als Streuung der Renditen. Sie ist ein zweiseitiges Maß, da die Volatilität sowohl Gewinne (genauer positive Abweichungen vom Mittelwert) als auch Verluste (negative Abweichungen vom Mittelwert) einbezieht. Allerdings werden extreme Werte am Rand der Verteilung der Renditen unterschätzt, wenn ausschließlich die Volatilität als Risikomaß herangezogen wird. Daher kann die Volatilität durch weitere Risikmaße ergänzt werden, die auf statistischen Momenten basieren. Neben der Volatilität wird als weiteres Risikomaß die Kurtosis (Wölbung) der Verteilung der Renditen betrachtet. Diese misst wie stark die Ränder der Verteilung der Renditen gestreckt sind. Als Vergleichsmaßstab wird dabei die Normalverteilung herangezogen. Eine Normalverteilung weist - unabhängig von Mittelwert und Standardabweichung - immer eine Kurtosis von 3 auf. Renditen von Wertpapieren haben jedoch häufig eine höhere Kurtosis und es gilt, je höher die Kurtosis, desto stärker fallen extreme Renditen ins Gewicht 19 . Der zweite Typ statistischer Risikomaße, statistische Quantile, dienen der Quantifizierung von Verlustwahrscheinlichkeiten. Das bekannteste Verlustmaß ist der Value at Risk (VaR), der einen Minimalverlust in einem adversen Szenario angibt. Dazu enthält der Value at Risk drei Elemente: eine Verlusthöhe bzw. eine Rendite, eine Zeiteinheit und eine Eintrittswahrscheinlichkeit. So quantifiziert ein Value at Risk von -10% für tägliche Renditen bei 5% Wahrscheinlichkeit, dass bei der Betrachtung täglicher Renditen mit 5%-Wahrscheinlichkeit ein Verlust von -10% oder mehr eintritt. Dies lässt sich veranschaulichen durch einen erwarteten Verlust von mindestens -10% alle 20 Tage. Ein Value at Risk von -200 Millionen USD innerhalb eines Jahres mit 0.5% Wahrscheinlichkeit bedetet also, dass ein Mindestverlust von -200 Millionen USD innerhalb eines Jahres mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.5% eintritt oder anschaulich, dass alle 200 Jahre ein Verlsut von -200 Millionen USD oder mehr zu erwarten ist 20 . 18 Vgl. Ruppert & Matteson, 2015 19 Vgl. ebd. 20 Vgl. ebd. <?page no="53"?> 1.4 Welche Assetklassen kennt das Portfolio Management? 53 Der Value at Risk quantifziert als einseitiges, reines Verlustmaß extreme Verluste und gibt an wie häufig ein solcher extremer Verlust eintritt. Allerdings misst der Value at Risk lediglich den Minimalverlust, der mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit eintritt. Es wird nicht quantifziert, wie hoch der zu erwartende Verlust bei Eintritt tatsächlich ist. Daher wird der Value at Risk häufig durch ein zweites Quantil-basiertes Risikomaß ergänzt, den Expected Shortfall auch Conditional VaR genannt. Der Expected Shortfall misst den erwarteten Verlust in einem adversen Szenario. Genauso wie der Value at Risk enthält der Expected Shortfall drei Elemente: eine Verlusthöhe bzw. eine Rendite, eine Zeiteinheit und eine Eintrittswahrscheinlichkeit. Hier bedeutet ein Expected Shortfall von -10% für tägliche Renditen mit 5% Wahrscheinlichkeit, dass bei der Betrachtung von täglichen Renditen mit 5% Wahrscheinlichkeit ein mittlerer Verlust von -10% zu erwarten ist. Dies lässt sich veranschaulichen durch einen durchschnittlichen Verlust von -10% alle 20 Tage. Ein Expected Shortfall von -200 Millionen USD innerhalb eines Jahres mit 0,5% Wahrscheinlichkeit lässt sich entsprechend dadurch veranschaulichen, dass alle 200 Jahre ein Verlust eintritt mit einem Erwartungswert von -200 USD. Die Berechnung von Value at Risk und Exepcted Shortfall basiert auf statistischen Daten. Die Risikomaße werden als Quantile bzw. Mittelwerte der betrachteten Renditeverteilung berechnet. Dies erfolgt entweder dirket durch Betrachtung der Häufigkeit der Verluste in der Verteilung oder unter Annahme einer Normalverteilung durch die Bestimmung des entsprechenden Quantils der Wahrscheinlichkeitsverteilung, z.B. der Normalverteilung, siehe Abschnitt 1.7.3.5. 1.4 Welche Assetklassen kennt das Portfolio Management? “Investment decisions should focus first and foremost on markets or asset classes. Over time, that’s going to explain roughly ninety percent of investment returns.” Gary Brinson - Brinson Partners (*1943) Quelle: © Washington State Magazine Eine der einfachsten Methoden für die Gruppierung von einzelnen Wertpapieren und Kapitalanlagen, stellt die Bildung von übergreifenden Anlageklassen dar. Der Begriff Anlageklasse oder Assetklasse wird in der Praxis unterschiedlich definiert bzw. interpretiert. Ein möglicher Ansatz zur Bildung von Assetklassen spiegelt sich in der Zusammenfassung gemeinsamer Eigenschaften von unterschiedlichen Kapitalanlagen wider, die durch die verschiedenen Wertpapiere innerhalb einer Anlageklasse geteilt werden. Zu den wichtigsten Eigenschaften gehören die spezifischen Risiko- und Ertragseigenschaften der einzelnen Assetklassen sowie deren Liquidität. Die gemeinsamen Eigenschaften führen darüber hinaus dazu, dass die einzelnen Wertpapiere innerhalb der betroffenen Anlageklassen ähnlich auf exogene Einflüsse reagieren und die Renditen der Wertpapiere einer Anlageklasse damit vergleichsweise <?page no="54"?> 54 1 Grundlagen des Portfolio Managements hohe Korrelationen besitzen. Gemeinsame rechtliche oder regulatorische Strukturen stellen weitere wichtige Eigenschaften dar. 21 1.4.1 Übersicht über die verschiedenen Anlageklassen Im Allgemeinen werden Wertpapiere in − traditionelle Assetklassen und − alternative Assetklassen unterteilt. Abb. 2 gibt einen Überblick über die angesprochenen übergeordneten Gruppen und die enthaltenen Anlageklassen. Abb. 2: Übersicht der Anlageklassen im Portfolio Management. Quelle: Eigene Darstellung 1.4.2 Traditionelle Assetklassen 1.4.2.1 Aktien Eine Aktie (engl. stock, equity) stellt ein Anteils- oder Teilhaberpapier dar, das einen Eigentumsanteil an einer Aktiengesellschaft in Form einer Aktienurkunde verbrieft. Durch einen Aktienkauf wird der Aktionär Teilhaber am Eigenkapital und demnach Mitinhaber des Gesellschaftsvermögens. Die speziellen Rechte und Pflichten eines Aktionärs sind weitestgehend von der spezifischen Rechtsordnung des jeweiligen Landes abhängig, in dem die Unternehmensanteile ausgegeben wurden. 22 Mit einer Anlage in Aktien können verschiedene Ziele verfolgt werden: − dauerhafte, über Dividendenausschüttungen auf Ertrag ausgerichtete Kapitalanlage (Anlagemotiv), − Sachwertbeteiligung zur Vermeidung von Geldwertverlusten durch Inflation (Sachwertmotiv), − Gewinnerzielung über Kauf und Verkauf und Partizipation an Unternehmenswertsteigerungen (Spekulationsmotiv) und − (für Großanleger) Einflussnahme auf die Geschäftspolitik der Unternehmung bzw. Beherrschung des Unternehmens (Mitsprache- und Beherrschungsmotiv). 1.4.2.2 Verzinsliche Wertpapiere Bei verzinslichen Wertpapieren handelt es sich um anonym oder namentlich auf den Inhaber ausgestellte und dadurch verbriefte Schuldverschreibungen. In der Fach- 21 Vgl. Fabozzi/ Markowitz (2011), S. 16 22 Vgl. Bank-Verlag Medien (2008), S. 32 Traditionelle Assetklassen • Aktien • Verzinsliche Wertpapiere • Immobilien • Geldmarktinstrumente Alternative Assetklassen • Rohstoffe • Hedgefunds • Private Equity / Venture Capital • Private Debt <?page no="55"?> 1.4 Welche Assetklassen kennt das Portfolio Management? 55 literatur werden in der Regel die Bezeichnungen Anleihen, Bonds, Schuldscheine, Renten und Obligationen für verzinsliche Wertpapiere verwendet. Unterschiedliche Anleihen können nach folgenden Merkmalen unterschieden werden: − Verzinsung und Zinsmodalitäten, − vorgegebene Restlaufzeit, − Tilgungs- und Kündigungsmodalitäten, − Emittenten und deren Bonität sowie − Absicherung der ausstehenden Rückzahlung für das überlassene Kapital durch etwaige Sicherheiten in Form von Sachwerten. Aus dem Kauf einer Schuldverschreibung resultiert unmittelbar der rechtmäßige Anspruch eines Gläubigers gegenüber dem Emittenten auf Rückzahlung des überlassenen Kapitals inklusive der vereinbarten Zinszahlungen. 23 Im Allgemeinen werden verzinsliche Wertpapiere durch zahlreiche Institutionen emittiert. Im Fall von Anleihen wird dabei hauptsächlich zwischen der Ausgabe von − Unternehmensanleihen, − Staatsanleihen und − Kommunalanleihen unterschieden. Durch den Kauf von Unternehmensanleihen beteiligt sich der Käufer am Fremdkapital des Unternehmens. Da die Kursänderungen festverzinslicher Wertpapiere hauptsächlich von Zinsänderungen ausgehen, die jedoch auf kurze Sicht überwiegend gering ausfallen, besitzt diese Anlageform im Vergleich zu börsentäglichen Kursschwankungen des Aktienmarktes eine geringere Volatilität. 24 1.4.2.3 Immobilien Immobilien (engl. real estate) stellen eine eigenständige Anlageklasse dar. Dennoch werden in der Praxis Immobilien häufig den alternativen Anlageklassen zugeordnet. Bei der historischen Betrachtung dieser Kapitalanlage wird deutlich, dass Immobilien schon lange vor dem ausgeprägten Interesse an Aktien und Anleihen wichtige Investitionsobjekt waren. Diese Tatsache kann sogar den Rückschluss zulassen, dass damals Aktien und Anleihen eine alternative Anlageklasse zu den bisherig getätigten Immobilieninvestitionen darstellten. Nach den Erkenntnissen der modernen Portfoliotheorie stellen Immobilien eine eigenständige Anlageklasse, welche zur Diversifizierung eines Anlegerportfolios beitragen kann. 25 Investitionen in Immobilien lassen sich im Allgemeinen nach − den zur Verfügung stehenden Immobilienobjekten und − der Art des Beteiligungsverhältnisses unterscheiden. Einerseits untergliedert man in diesem Zusammenhang Immobilieninvestitionen in Wohn- und Gewerbeimmobilien, andererseits lassen sich Immobilienengagements in direkte und indirekte Immobilieninvestitionen unterteilen. Während 23 Vgl. Steinbrenner (2007), S. 375 24 Vgl. Spremann (2008), S. 5 25 Vgl. Fabozzi/ Markowitz (2010), S. 18 <?page no="56"?> 56 1 Grundlagen des Portfolio Managements es sich im Rahmen einer Direktinvestition um den unmittelbaren käuflichen Erwerb von Immobilienobjekten handelt, erfolgen indirekte Immobilieninvestitionen durch den Kauf von geschlossenen und offenen Immobilienfonds, Immobilienaktien und sogenannten Real-Estate-Investment-Trusts (Abk. REITS). Diesen indirekten Immobilieninvestitionen kommt aufgrund ihrer einfachen Handelbarkeit im Portfoliokontext eine herausragende Bedeutung zu. 26 Immobilieninvestitionen besitzen im Vergleich zu festverzinslichen Wertpapieren meist ein höheres Marktrisiko. Bei Immobilieninvestitionen zählen neben Zinsveränderungen (Finanzierung) auch Schwankungen des Immobilienangebots und der Immobiliennachfrage (Preis) zu den wichtigsten wertbeeinflussenden Faktoren. 27 1.4.2.4 Geldmarktinstrumente Geldmarktpapiere (auch Liquiditätstitel) sind spezielle Wertpapiere, in aller Regel abgezinste Schuldverschreibungen, die zur Beschaffung kurzfristiger Gelder ausgegeben (emittiert) werden. Damit sind sie Instrumente des Geldmarktes und besitzen eine hohe Liquidität. Der Begriff umfasst nach der Definition des deutschen Investmentgesetzes (§48 InvG) üblicherweise sämtliche verzinslichen Wertpapiere, die höchstens eine Restlaufzeit von 397 Tagen besitzen bzw. deren regelmäßige Zinsanpassung mindestens einmal in 397 Tagen stattfindet. 28 Der Verkaufspreis errechnet sich aus dem Nominalwert abzüglich der für die Laufzeit insgesamt anfallenden Zinsen. Zu den Geldmarktpapieren zählen: − unverzinsliche Schatzanweisungen („Bubills“, „U-Schätze“), die mit einer Mindeststückelung von 0,01 Euro von der Bundesrepublik Deutschland ausgegeben werden. − Treasury Bills, die mit einer Mindeststückelung von 1.000 US-Dollar und abgezinst durch die US-Regierung ausgegeben werden (Staatsanleihe). − Commercial Papers, auch CP genannt, die vornehmlich durch erstklassige Industrieadressen oder in Form forderungsbesicherter Wertpapiere (Asset-backed Commercial Papers kurz ABCP) durch spezielle Emissionsgesellschaften (Conduits) begeben werden. − Certificates of Deposits, auch CD oder Einlagenzertifikate genannt. Es handelt sich um von Banken emittierte Geldmarktpapiere in Form von Inhaberpapieren. − Bankakzepte, Kassenobligationen und Schatzwechsel. − Cash Bills, auch Bundeskassenscheine genannt, sind Zerobonds mit einer Laufzeit von einem Monat. In der Praxis werden Geldmarktinstrumente aufgrund ihrer geringen Laufzeit und Verzinsung sowie ihres geringen Risikos häufig auch als „Cashäquivalent“ bezeichnet. 26 Vgl. Maier (2007), S. 58 27 Vgl. Spremann (2008), S. 5 f. 28 Vgl. Gabler Wirtschaftslexikon <?page no="57"?> 1.4 Welche Assetklassen kennt das Portfolio Management? 57 1.4.3 Alternative Assetklassen Im Gegensatz zu der weit verbreiteten Meinung, dass Alternative Investments per Definition eine separate und selbstständige Anlageklasse bilden, wird im Nachfolgenden davon ausgegangen, dass alternative Anlagestrategien lediglich eine Teilmenge bzw. Kombination bereits existierender Anlageklassen darstellen. 29 Der Begriff Alternative Investments nimmt in einer Art Sammelbezeichnung die unterschiedlichsten Anlagestrategien auf, die jedoch nicht ohne Weiteres den traditionellen Anlageklassen zugeordnet werden können. Zu den wichtigsten Vertretern der alternativen Investments zählen − Hedgefonds, − Private Equity/ Venture Capital − Private Debt und − der Handel mit Rohstoffen. Abb. 3: Übersicht zu den Anlagestrategien von Hedge Funds Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Fabozzi/ Markowitz (2011), S. 24 1.4.3.1 Hedgefonds Obwohl der Begriff „Hedge“ in der Praxis häufig mit der Absicherung von Wertpapierpositionen gegen negative Marktentwicklungen assoziiert wird, sind heutige Hedgefonds-Manager keinesfalls auf die namensgebende Strategie beschränkt, sondern bedienen sich der vollen Bandbreite an Finanzinstrumenten. Hedgefonds setzen 29 Vgl. Fabozzi/ Markowitz (2010), S. 19 Hedge Fund Styles Market Directional Equity Long/ Short Emerging Markets Short Bias Acrivist Investors Corporate Restructuring Distressed Securities Merger Arbitrage Event Driven Regulation D Convergence Trading Fixed Income Arbitrage Convertible Bond Arbitrage Equity Market Neutral Fixed Income Yield Alternatives Relative Value Arbitrage Opportunistic Global Macro Fund of Funds Multi-Strategy <?page no="58"?> 58 1 Grundlagen des Portfolio Managements u.a. zahlreiche quantitative Anlagestrategien auf Grundlage der zur Verfügung stehenden Underlyings wie Wertpapiere, Währungen und Rohstoffe aus den unterschiedlichsten Anlageklassen sowie derivative Finanzinstrumente wie etwa Futures und Optionen ein. 30 Zu den populärsten Anlagestrategien von Hedgefonds gehören Konzepte wie − Market Directional, − Corporate Restructuring, − Convergence Trading und − Opportunistic. Abb. 3 liefert eine vertiefende Übersicht über die genannten alternativen Anlagestrategien von Hedgefonds. Es sei in diesem Zusammenhang darauf hingewiesen, dass die vergleichsweise hohen Renditen alternativer Anlagen unweigerlich mit der Übernahme hoher Risiken einhergehen. 1.4.3.2 Private Equity/ Venture Capital Eine andere alternative Anlagestrategie stellen private Unternehmensbeteiligungen zum Beispiel in Form von Private-Equity-Fonds dar. Ein Finanzanlageunternehmen gründet dabei einen Private-Equity-Fonds, durch welchen am Kapitalmarkt Kapital aufgenommen wird, um sich anschließend an unterschiedlichen Zielgesellschaften zu beteiligen. Da ein Private-Equity-Fonds grundsätzlich außerordentliche Jahresüberschüsse und dementsprechendes Wachstum erwirtschaften möchte, reicht die Bandbreite der ausgewählten Zielgesellschaften von sanierungsbedürftigen Unternehmen mit Zukunftsperspektive bis hin zu nicht börsennotierten Unternehmen mit Potenzial. Um die angestrebten Ziele eines Private-Equity-Fonds in die Tat umzusetzen, ist jedoch ein vergleichsweise starker Einfluss auf die Unternehmensführung der Zielgesellschaft erforderlich. 31 Aus diesem Grund ist der Erfolg einer Investition in eine Zielgesellschaft auch in hohem Maße von den eingebrachten Erfahrungen und den umgesetzten Maßnahmen im Unternehmen abhängig. Und deshalb wird diese Anlagestrategie bzw. Finanzierungsform im Bereich Private Equity und Venture Capital oftmals auch als Katalysator des Wachstums bezeichnet. 1.4.3.3 Rohstoffe Da lediglich die verarbeitende Industrie im Zuge ihres Produktionsprozesses die benötigten Rohstoffe in physischer Form erwirbt, sind Kapitalanleger gezwungen, in synthetischer Form durch den Kauf von derivativen Finanzinstrumenten in Rohstoffe zu investieren. Da der Markt für Rohstoffe durch Hedgefonds und andere Marktteilnehmer überwiegend spekulativ genutzt wird, kommen zusätzlich zu den langfristigen und fundamentalen Betrachtungen weitere wertbeeinflussende Faktoren, wie vor allem das kurzzeitige Angebot sowie die Nachfrage nach Rohstoffen, als Determinanten hinzu. Aus diesem Grund gelten Investitionen in Rohstoffe grundsätzlich als riskant. 32 Dem signifikanten Risiko stehen jedoch gleichermaßen erhebliche Chancen gegenüber, um an der bemerkenswerten Anzahl der handelbaren Rohstoffe und deren Wertentwicklungen profitieren zu können. 30 Vgl. Bank-Verlag Medien (2008), S. 80 ff. 31 Vgl. ebd., S. 81 32 Vgl. Spremann (2008), S. 6 <?page no="59"?> 1.4 Welche Assetklassen kennt das Portfolio Management? 59 Abb. 4 zeigt in diesem Zusammenhang eine Übersicht der handelbaren Rohstoffe. Abb. 4: Die handelbaren Rohstoffe. Quelle: Fabozzi/ Markowitz (2011), S. 30 Commodities Hard Commodities Energy Brewnt Oil Crude Oil Coal Gas Oil Heating Oil Natural Gas Unleaded Gasoline Metals Industrial Aluminium Chrome Copper Lead Mercury Nickel Selenium Tin Titanium Zinc Precious Gold Iridium Palladium Platinum Osmium Rhodium Ruthenium Silver Soft Commodities Food Feeder Cattle Live Cattle Live Hogs Pork Bellies Agricultural Softs Coffee Cocoa Cotton Orange Juice Rubber Sugar Silk Timber Wool Grains & Seeds Azuki Beans Barley Canola Corn Millet Oats Oilseeds Red Wheat Rice Rye Sorghum Soybeans Soybean Meal Wheat <?page no="60"?> 60 1 Grundlagen des Portfolio Managements 1.4.3.4 Private Debt Neben der Aufnahme von durch Banken gewährten Krediten, speziellen Finanzierungsformen oder der Begebung von Kapitalmarktinstrumenten steht Unternehmen eine alternative, externe Finanzierungsquelle zur Verfügung, die zunehmend an Bedeutung gewinnt: Private Debt. Private Debt meint dabei die Bereitstellung von Fremdkapital durch Kapitalsammelstellen („Fonds“ oder englisch „Fund“) außerhalb des öffentlichen Kapitalmarkts an Unternehmen, Immobilien- oder Projektgesellschaften. Teilweise wird dies auch bezeichnet als Private Credit, Alternative Lending, Non-Bank Lending oder es werden Teilbereiche des Private Debt wie Corporate Debt oder Direct Lending synonym genannt. Private Debt eröffnet Fixed Income Investoren eine alternative, renditestarke Anlagemöglichkeit, indem sie mittels eines Private Debt Fonds in Asset-Klassen und Unternehmen investieren, die eine entsprechende Kapitaldienstfähigkeit aufweisen, aber (noch) nicht kapitalmarktfähig sind 33 . In Abgrenzung zu Private Equity wird beim Private Debt nicht (Eigen-)Kapital gegen eine Unternehmensbeteiligung, sondern (Fremd-)Kapital gegen Zinszahlung zur Verfügung gestellt; auch Mezzanine (also nachrangige) Finanzierungsformen können durch Private Debt dargestellt werden. Charakteristisch bleibt aber die Fremdkapitaleigenschaft. Nachdem Private Debt für die Unternehmensfinanzierung in den USA bereits eine bedeutende Rolle spielt, ist Private Debt auch in Europa seit längerer Zeit in unterschiedlichen Ländern, Marktsegmenten und Erscheinungsformen auf dem Vormarsch. Inzwischen wird bspw. im Bereich der Akquisitionsfinanzierung der überwiegende Teil der Finanzierungen in Deutschland durch Private Debt Fonds gestellt. Einzelne Banken haben sich in den letzten Jahren aus dieser Finanzierungsform entsprechend zurückgezogen. Wenngleich die Anwendungsfelder einer Private Debt-Finanzierung nicht auf einzelne Branchen beschränkt sind, hat sie sich bisher schwerpunktmäßig in der durch Private Equity getriebenen Akquisitionsfinanzierung sowie in den kapitalintensiven und durch gleichbleibende Cashflows geprägten Bereichen Real Estate und Infrastruktur durchgesetzt. Im Real Estate werden Private Debt-Finanzierungen dazu eingesetzt, um die Entwicklung, den Erwerb oder die Refinanzierung von Immobilienprojekten zu unterstützen, sei es für Wohn-, Gewerbe- oder Industrieimmobilien. Im Infrastruktursektor können Projekte wie etwa der Bau und Betrieb von Straßen, Brücken, Energieerzeugungs- (z.B. Wind- und Solarparks) oder Telekommunikationsanlagen (z.B. 5G Netzausbau) finanziert werden. Daneben stammen Private Debt-Kreditnehmer häufig aus den Branchen Gesundheitswesen, Informationstechnologie, Konsumgüter sowie verarbeitendes Gewerbe. 33 Vgl. Pinto, McMillan, Pirie, Kochard, & Van de Venter, 2011 <?page no="61"?> 1.4 Welche Assetklassen kennt das Portfolio Management? 61 1.4.4 Weitere Untergliederungsmöglichkeiten der Assetklassen Die Wertpapiere innerhalb einer einzelnen Anlageklasse können aufgrund weiterer Kriterien nochmals detaillierter in Form von Sub-Assetklassen untergliedert werden. Dies soll anhand der Assetklasse Aktien näher aufgezeigt werden. Zu nennen sind hier − geographische Lage, − Branchen-Zugehörigkeit, − und die Marktkapitalisierung. − Aktien können nach der geographischen Lage bspw. in Aktien aus Europa, USA, Japan oder Emerging Markets untergliedert werden. Nach der Branchen-Zugehörigkeit können Aktien unterschiedlicher Industrien unterschieden werden, wie z.B. Industrie-, Pharma- oder Finanzaktien. Die jeweilige Marktkapitalisierung der ausgewählten Aktien stellt ein weiteres Kriterium für eine tiefergehende Abgrenzung von Anlageklassen dar. Die Marktkapitalisierung entspricht dem Produkt aus der Anzahl der ausgegebenen Aktien und dem aktuellen Kurs des Wertpapiers. Der Begriff Marktkapitalisierung wird häufig zur Einordnung der Größe eines Unternehmens am Kapitalmarkt herangezogen. Unternehmen lassen sich in Abhängigkeit ihrer Größe in − Large-Caps, − Mid-Caps und − Small-Caps unterteilen. In der Fachliteratur finden sich zur betragsmäßigen Abgrenzung unterschiedliche Unter- und Obergrenzen. Es erscheint in der Praxis jedoch durchaus üblich, bei einer Marktkapitalisierung ab $250 Millionen Dollar bis $1 Milliarde Dollar von einem Small-Cap-Unternehmen zu sprechen, weshalb auch oftmals unterhalb der aufgeführten Untergrenze die Rede von sogenannten Micro-Cap-Unternehmen ist. So genannte Mid-Cap-Unternehmen haben eine Marktkapitalisierung zwischen $1 Milliarde Dollar bis $5 Milliarden Dollar. Large-Cap-Unternehmen übertreffen bezüglich ihrer Marktkapitalisierung von über $5 Milliarden Dollar alle zuvor genannten Unternehmen. 34 1.4.5 Korrelationen aller wichtigen Anlageklassen Neben den gemeinsamen Charakteristika und Rendite-Risiko-Eigenschaften der jeweiligen Wertpapiere einer Anlageklasse wird von den Kapitalanlegern aufgrund des häufig angestrebten Diversifikationseffekts bei der Portfoliobildung eine geringe Korrelation mit anderen Anlageklassen bevorzugt. 35 Abb. 5 gibt vor diesem Hintergrund einen Überblick über die verschiedenen Korrelationen verschiedener Anlageklassen im Rahmen einer Momentaufnahme. 34 Vgl. Fabozzi/ Pachamanova (2010), S. 15 35 Vgl. Kaiser/ Vöcking (2003), S. 19 <?page no="62"?> 62 1 Grundlagen des Portfolio Managements Abb. 5: Korrelationen wichtiger Anlageklassen im Portfolio Management Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Bloomberg, Goldman Sachs International, Stand 01.10.2012 36 1.5 Methoden des aktiven und passiven Portfolio Management Im Rahmen einer Investment Strategie stellt sich, wie in Abschnitt 1.2 beschrieben, die Frage der Auswahl und Abgrenzung zwischen aktivem und passivem Portfolio Management. Dabei wird meist für einzelne Kapitalnlageklassen separat entschieden. Diese Entscheidung hängt maßgeblich von der Frage ab, ob von − unvollkommenen Kapitalmärkten oder von − vollkommenen und effizienten Kapitalmärkten ausgegangen wird. Im Falle effizienter Kapitalmärkte, zum Beispiel bei Kapitalanlageklassen, die von hoher Liquidität und hohem Handelsvolumen geprägt sind, ist oft das passive Portfolio-Management zu präferieren. Im Fall unvollkommener Kapitalmärkte, beispielsweise bei illiquiden, nicht öffentlich gehandelten Kapitalanlagen, findet häufig das aktive Porfoliomanagement Anwendung. 36 Im linken Dreieck finden Sie die 5-Jahres-Korrelationen, im rechten die 1-Jahres-Korrelationen (jeweils auf Basis wöchentlicher Renditen) <?page no="63"?> 1.5 Methoden des aktiven und passiven Portfolio Management 63 1.5.1 Sind Kapitalmärkte effizient? “A market in which prices at any time ‘fully reflect’ available information is called ‘efficient’, ... “ Eugene Fama - US-amerikanischer Wirtschaftswissenschaftler (*1939) Quelle: © The University of Chicago Booth School of Business In diesem Abschnitt soll der Begriff eines effizienten Kapitalmarktes und dessen Einflussfaktoren kurz dargestellt und erläutert werden. Das Konzept der Markteffizienz entstand maßgeblich durch die Forschungen von E UGENE F AMA während der Erstellung seiner Dissertation zur Erlangung des Doktorgrades im Jahr 1970. 37 Die durch ihn aufgestellte Hypothese effizienter Kapitalmärkte (engl. efficient market hypothesis) wurde seit ihrer Veröffentlichung durch die unterschiedlichsten Vertreter der Volks- und Wirtschaftswissenschaften untersucht, diskutiert und kritisiert. Einige der wichtigsten Studienergebnisse sollen in den nachfolgenden Abschnitten erläutert werden, um eine grundlegende Einführung in die Hypothese effizienter Märkte zu liefern. Bei der Hypothese effizienter Kapitalmärkte geht man davon aus, dass die Marktpreise von Anlagetiteln zu jeder Zeit alle verfügbaren Informationen beinhalten. 38 Die Hypothese effizienter Märkte versucht unter dieser Annahme vorrangig den zeitlichen Abstand zwischen der Bewertung eines Wertpapiers und der Aufnahme neuer Informationen zur Erreichung eines neuen Gleichgewichtskurses am Kapitalmarkt zu erklären. Da im Rahmen dieses Prozesses hauptsächlich Erkenntnisse gewonnen werden, wie schnell der Markt neue Informationen verarbeitet, ist es unerheblich, ob die Informationen bei deren Umsetzung korrekt sind oder nicht. 39 Liegen effiziente und vollkommene Kapitalmärkte vor, ist das passive Portfolio Management zu empfehlen. Beim passiven Portfolio Management wird versucht, den effizienten Markt so gut wie möglich zu replizieren. Eine Überrendite gegenüber dem effizienten Kapitalmarkt kann nicht erreicht werden. Bei unvollkommenen Kapitalmärkten ist das aktive Portfolio Management zu präferieren. Der Erfolg eines aktiven Portfolio Managements gegenüber der zugrundeliegenden Benchmark (meist ist dies der Markt) wird im Allgemeinen neben der Expertise des Portfolio- Managers hauptsächlich auf die Annahme eines unvollkommenen Marktes zurückgeführt. Unter dieser Hypothese können Überrenditen druch die Herleitung von nicht in den Marktpreisen enthaltenen Informationen, z. B. durch Research, erreicht 37 Vgl. Parrina/ Kidwell (2009), Fundamentals of Corporate Finance, S. 251 38 Vgl. Amenc/ Le Sourd (2003), S. 2 39 Vgl. Elton et al. (2003), S. 402 <?page no="64"?> 64 1 Grundlagen des Portfolio Managements werden. Durch den Vergleich der Leistung und Wertentwicklung eines aktiven Portfolio Managements mit dessen Benchmark wird versucht, die Hypothese effizienter Kapitalmärkte zu beweisen bzw. zu widerlegen. Abb. 6 zeigt in diesem Zusammenhang die Auswirkungen einer Nachrichtenveröffentlichung auf die Kursentwicklung des beobachteten Unternehmens. Liegen effiziente und vollkommene Kapitalmärkte vor, ist das passive Portfolio Management zu empfehlen. Beim passiven Portfolio Management wird versucht, den effizienten Markt so gut wie möglich zu replizieren. Eine Überrendite gegenüber dem effizienten Kapitalmarkt kann nicht erreicht werden. Bei unvollkommenen Kapitalmärkten ist das aktive Portfolio Management zu präferieren. Der Erfolg eines aktiven Portfolio Managements gegenüber der zugrundeliegenden Benchmark (meist ist dies der Markt) wird im Allgemeinen neben der Expertise des Portfolio- Managers hauptsächlich auf die Annahme eines unvollkommenen Marktes zurückgeführt. Unter dieser Hypothese können Überrenditen druch die Herleitung von nicht in den Marktpreisen enthaltenen Informationen, z. B. durch Research, erreicht werden. Durch den Vergleich der Leistung und Wertentwicklung eines aktiven Portfolio Managements mit dessen Benchmark wird versucht, die Hypothese effizienter Kapitalmärkte zu beweisen bzw. zu widerlegen. Abb. 6: Implikationen eines Events. Quelle: Eigene Darstellung Abb. 7: Abstufungen der Informationseffizienz. Quelle: Eigene Darstellung 75 80 85 90 95 100 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 Kurs des Wertpapiers Tage in Relation zum Veröffentlichungsdatum der Nachricht <?page no="65"?> 1.5 Methoden des aktiven und passiven Portfolio Management 65 F AMA (1970-1991) stützt seine Aussagen maßgeblich auf die abgelaufene Zeit, die ein Kapitalmarkt benötigt, um neue Informationen und Nachrichten aufzunehmen und zu verarbeiten. Aus seinen Beobachtungen folgen die drei nachfolgenden Abstufungen (vgl. Abb. 7) der Hypothese effizienter Kapitalmärkte:  Es liegt eine starke Ausprägung der Hypothese effizienter Märkte vor, wenn alle verfügbaren Informationen, also auch alle nicht-öffentlichen Informationen, sich in den Kursen der Wertpapiere widerspiegeln. Es wird hierbei auch vom „Einpreisen“ der Informationen in die Kurse gesprochen. Aufgrund dieser Annahme ist es grundsätzlich nicht möglich, den zugrundeliegenden Markt zu „schlagen“, also systematisch und nachhaltig eine bessere Wertentwicklung als die zu vergleichende Benchmark zu erzielen. 40  Werden am Kapitalmarkt lediglich öffentlich verfügbare Informationen über die Unternehmen in den Kursen umgesetzt, bezeichnet man diese Abstufung als mittelstarke Ausprägung der Hypothese effizienter Märkte.  Eine schwache Ausprägung der Hypothese effizienter Märkte liegt vor, wenn alle in den historischen Kursen enthaltenen Informationen sich im heutigen Kurs eines Wertpapiers widerspiegeln. Um während der zeitlichen Anpassung des Marktes an der Kursentwicklung partizipieren zu können, muss ein erheblicher Aufwand betrieben werden. Hierbei stellen die Aufbereitung der Informationen im Rahmen des Researchs sowie die Transaktionskosten beim Kauf und Verkauf der Wertpapiere wesentliche Determinanten der Kostenstruktur dar. Die Autoren E LTON , G RUBER , B ROWN und G OETZMANN (2003) beziehen im Gegensatz zu F AMA die anfallenden Kosten bei der Beschreibung der starken Ausprägung der Hypothese effizienter Märkte mit ein. Ihrer Meinung nach können sich die Informationen nur so lange in den Kursen widerspiegeln, wie die marginalen Kosten den marginalen Gewinn nicht überschreiten. 41 G ROSSMAN und S TIGLITZ entwickelten schon 1980 die Hypothese, dass die Kosten, die bei der Aufarbeitung von Informationen entstehen, zu einem unmittelbaren Anstieg der Erwartungen an zukünftige Gewinne führen. Mit anderen Worten erwarten Anleger die Kompensation der Aufwendungen des Researchs durch zukünftige Anlageerträge. G ROSSMAN und S TIGLITZ griffen hierbei maßgeblich die Gedanken von J ENSEN aus dem Jahr 1978 auf, welcher schon Informationseffizienz als die Nichtexistenz der Möglichkeit definierte, mit speziellen Investmentstrategien systematische, risiko- und transaktionskostenbereinigte Überrenditen zu erwirtschaften. G ROSSMAN und S TIGLITZ interpretierten die Hypothese effizienter Märkte in ähnlicher Weise wie J ENSEN und postulierten, dass jeder zusätzlich durch das aktive Portfolio Management erwirtschaftete Ertrag alleinig zur vollständigen Deckung der zugrundeliegenden Verwaltungskosten beitragen würde. Die Erwirtschaftung von Überschussrenditen wird somit ausgeschlossen. Während die Kapitalmarkttheorie die Hypothese effizienter Kapitalmärkte in ihrer mittelstarken Ausprägung stützt, zeigen sich in der Praxis Finanzmärkte weder vollständig effizient noch vollständig ineffizient. Der Grad der Markteffizienz hängt bei 40 Vgl. Amenc/ Le Sourd (2003), S. 12 41 Vgl. Elton et al. (2003), S. 402 <?page no="66"?> 66 1 Grundlagen des Portfolio Managements der Menge der verfügbaren Finanzdaten auch von effizienten Datenverarbeitungsprozessen ab. Daher gibt es gute Gründe, die sowohl für den Einsatz des − aktiven Portfolio Managements als auch des − passiven Portfolio Managements sprechen. 1.5.2 Das aktive Portfolio Management “Successful investing is anticipating the anticipations of others.” John Maynard Keynes - britischer Ökonom (*1883, †1946) Quelle: Public Domain Das aktive Portfolio Management zeichnet sich vor allem durch prognosegestützte Entscheidungen bei der Übernahme von Positionen im Markt aus. Ein aktiver Portfolio-Manager bildet sich in der Regel durch Berichte seiner Research-Abteilung seine eigene Meinung über den Kapitalmarkt und dessen möglichen zukünftigen Verlauf und setzt seine Einschätzung durch Zu- und Verkäufe in aktive Positionen im verwalteten Portfolio um. Eine aktive Position spiegelt entgegen einer neutralen Position die eindeutige Meinung des Portfolio-Managers wider. Beim aktiven Portfolio Management geht man davon aus, dass zukünftige Renditen und Risiken prognostizierbar sind, bzw. dass die Prognosen eine hinreichende Güte besitzen, um die damit verbundenen Kosten zu decken. Ziel im aktiven Verfahren ist es, systematisch Wertpapiere auszuwählen (Stockpikking), um eine Outperformance gegenüber dem Markt oder einer gegebenen Benchmark zu erreichen. Ein Beispiel soll den dargestellten Zusammenhang nochmals verdeutlichen. Die Konzernzentralen diverser Automobilhersteller wie Daimler, BMW und Volkswagen, erwarten aufgrund einer verstärkten Nachfrage aus Asien für das kommende Jahr Umsatzsteigerungen von bis zu 35 %. Vor diesem Hintergrund erwartet ein Portfolio-Manager möglicherweise für das kommende Quartal eine sehr positive Entwicklung innerhalb der gesamten Automobilbranche, sodass dieser den gesamten Bestand an Automobilwerten in seinem Portfolio signifikant erhöhen wird. Bei einer neutralen Position, wie in Abschnitt 1.1.2 beschrieben, spiegeln sich in den jeweiligen Portfolio-Gewichtungen der Anlagetitel die genaue Marktkapitalisierung der jeweiligen Unternehmen wider. Durch den Zukauf von Automobil-Werten verschieben sich beim aktiven Portfolio Management die Portfolio-Gewichte der einzelnen Anlagen und unterscheiden sich somit von der neutralen Position, solange der Markt die oben geannte Information noch nicht verarbeitet hat. <?page no="67"?> 1.5 Methoden des aktiven und passiven Portfolio Management 67 Es kann zusammenfassend festgestellt werden, dass ein Portfolio-Manager unter der Voraussetzung eines unvollkommenen Marktes grundsätzlich die Chance besitzt, durch geschickt getätigte Kauf- oder Verkaufsorders zusätzliche Anlageerträge in Form von Überschussrenditen zu erwirtschaften. Der Mittelpunkt des aktiven Portfolio Managements ist die Identifikation von über- oder unterbewerteten Einzeltiteln sowie die zeitliche Abstimmung der Kaufs- und Verkaufsaufträge. Der gesamte Prozess des aktiven Portfolio Managements verfolgt im Gegensatz zum passiven Portfolio Management das Ziel, die Rendite der zu vergleichenden Benchmark langfristig zu übertreffen. Die festgelegte Benchmark sollte deshalb, wie in Abschnitt 1.2.4 beschrieben, neben den im eigenen Portfolio enthaltenen Einzeltiteln weitere Unternehmen beinhalten. Im Folgenden werden anhand der Kapitalanlageklassen Aktien exemplarisch verschiedenen Investmentstile des aktiven Managements beschrieben. 1.5.2.1 Investmentstile im aktiven Portfolio Management Portfolio-Manager investieren das Vermögen ihrer verwalteten Assets auf ganz unterschiedliche Weise. Durch die unterschiedlichen Ansätze bei der Bildung von Portfolios haben sich im Laufe der Zeit in der Fachliteratur und auch in der Praxis ganz unterschiedliche Bezeichnungen entwickelt. Der Investment-Ansatz oder Investmentstil (engl. investment style) beschreibt im Allgemeinen, nach welchen Kriterien ein Portfolio-Manager seine Anlageentscheidungen trifft, um seine Ziele im Rahmen des aktiven Managements zu erreichen. Die Investmentphilosophie beschreibt eine Reihe von Prinzipien und Kriterien, die innerhalb eines Investment-Management-Prozesses beachtet werden sollten. Die Investmentphilosophie spiegelt im Grundsatz den Gedanken des Investmentstils wider und setzt diesen in einen Gesamtkontext. Beide Begriffe werden oftmals synonym verwendet. Abb. 8 zeigt eine Übersicht der gängigsten Investment-Ansätze sowie ihrer zugrundeliegenden Kriterien. Da sich im Lauf der Zeit eine außergewöhnliche Bandbreite an Anlagestrategien entwickelt hat, kann an dieser Stelle dem Anspruch auf Vollständigkeit nicht gerecht werden. Die nachfolgenden Abschnitte geben daher lediglich einen grundlegenden Einblick in die Thematik. Auf die populärsten Investment-Ansätze Value, Growth sowie Blend-Investing gehen wir etwas detaillierter ein. Abb. 8: Investment-Ansätze und deren Kriterien. Quelle: Allianz GI Kapitalmarktanalyse 05/ 2009 Es kann festgestellt werden, dass die gebräuchlichsten Investmentansätze auf Grundlage der unterschiedlichsten Kriterien abgegrenzt werden können. Da die Investmentansätze Value, Growth und Blend ebenfalls auf eine Bewertung von Einzeltiteln zurückgreifen, um anschließend eine Selektion von Einzelwerten für die Lebensphase • Value • Growth • Blend Marktkapitalisierung • Large-Cap • Mid-Cap • Small-Cap Asset Allocation • Branche • Währung • Land Methodik • Top-Down • Bottom-Up <?page no="68"?> 68 1 Grundlagen des Portfolio Managements Konstruktion eines Portfolios vorzunehmen, entsprechen die genannten Investmentansätze im Wesentlichen der Stock Selection. 42 Im nachfolgenden Abschnitt sollen zunächst die verbreitetsten Investmentansätze und Kriterien aufgezeigt und kurz erläutert werden, um anschließend die beiden populärsten Investmentansätze „Value-Investing“ und „Growth-Investing“ näher zu beschreiben und miteinander zu vergleichen. 1.5.2.2 Investmentansätze nach der Methodik Die in Abb. 8 dargestellten Investmentstile können bei der Entscheidungsfindung grundsätzlich nach der zugrundegelegten Methodik unterschieden werden. Bei der Strukturierung von Portfolios kann im Allgemeinen entweder nach dem sogenannten Bottom-Up-Ansatz oder nach dem Top-Down-Ansatz vorgegangen werden. Bottom-Up-Ansatz Beim genannten Bottom-Up-Ansatz werden die Einzeltitel anhand verschiedener Kriterien analysiert und anschließend für die Bildung eines Portfolios selektiert. Da im Rahmen des Bottom-Up-Ansatzes vorrangig einzelne Unternehmen und deren Entwicklungen im Vergleich zum Gesamtmarkt bewertet werden, erfolgt noch vor der Bildung eines entsprechenden Portfolios eine umfassende Analyse der relevanten mikro- und makroökonomischen Einflussfaktoren. Diese Vorgehensweise wird in der englischsprachigen Fachliteratur auch als „Stock Picking“ bezeichnet. Top-Down-Ansatz Beim Top-Down-Ansatz wird hingegen zunächst eine prozentuale Einteilung der Anlageklassen vorgenommen, um eine geeignete Auswahl an Anlagetiteln aus den festgelegten Anlageklassen ableiten zu können. Bei der praktischen Anwendung des Top-Down-Ansatzes spiegeln sich oftmals die makroökonomischen Erwartungen des Portfolio-Managers in der strukturellen Aufteilung des verwalteten Portfolios wider. Da jedoch der Top-Down-Ansatz maßgeblich auf das grundlegende Konzept der Diversifikation aus der modernen Portfoliotheorie zurückgreift, erfreut sich dieser Ansatz vor allem im professionellen Fondsmanagement und der Vermögensverwaltung großer Beliebtheit. Private Kapitalanleger neigen dagegen häufig zu einer gezielten Auswahl von den Medien empfohlener Einzelwerte. 43 In diesem Zusammenhang begegnen auch Anlageberater im Kundeninteresse dem Bottom-Up- Ansatz sehr offen und versuchen, diesen bei der Strukturierung ihrer Kunden-Portfolios oftmals im Rahmen eines gemischten Ansatzes, welcher die erläuterte „Stock Selection“ und die angesprochene „Allocation“ verbindet, sinnvoll umzusetzen. Hierbei spricht man oftmals von einem sogenannten „Blend-Ansatz“. 1.5.2.3 Investmentansätze nach der Marktkapitalisierung Vor dem Hintergrund der Marktkapitalisierung (engl. market capitalization) lassen sich Unternehmen in Abhängigkeit ihrer Größe in − Large-Caps, − Mid-Caps und − Small-Caps 42 Vgl. Heatter (2008), Investment Analytics and Consulting, J.P. Morgan S. 5 ff. 43 Vgl. Spremann (2006), S. 14 <?page no="69"?> 1.5 Methoden des aktiven und passiven Portfolio Management 69 unterteilen. Da die Fachliteratur hierzu keine verbindlichen Unter- und Obergrenzen liefert, sondern sich vielmehr auf die individuellen Erfahrungen aus der Praxis stützt, werden Large-Cap-Unternehmen auch häufig als Standardwerte, und Small- und Mid-Caps als Nebenwerte bezeichnet. Obwohl sich eine einheitliche Abgrenzung in der Praxis durchaus schwierig gestaltet, fassen beispielsweise die Börsenindizes DAX, MDAX und SDAX jeweils größere, mittlere und kleine deutsche Unternehmen in einem Marktindex als Segment zusammen. Durch die Abgrenzung von Unternehmen auf Grundlage ihrer Marktkapitalisierung besitzen Aktien innerhalb eines Segments häufig gemeinsame Charakteristiken, die ein Kapitalanleger bei der Auswahl geeigneter Anlagetitel als auch bei der Strukturierung seines Portfolios berücksichtigen kann. Das Small-Cap-Segment In diesem Zusammenhang erwarten Kapitalanleger von Unternehmen aus dem Small-Cap-Segment aufgrund ihres enormen Wachstumspotenzials eine überdurchschnittlich hohe Rendite. In diesem Zusammenhang spricht man auch häufig vom sogenannten Size-Effect. Den Chancen des Anlagesegments stehen jedoch mitunter erhebliche Risiken gegenüber, da sich Small-Cap-Unternehmen im Vergleich zu Large-Cap-Unternehmen in der Regel nicht allzu stabil entwickeln und daher sehr volatile Anlagetitel darstellen. Aufgrund der geringen Größe und Marktkapitalisierung schneiden Small-Cap-Unternehmen in Marktphasen langanhaltender Rezession im Vergleich zur größeren Konkurrenz deutlich schlechter ab. Ein weiterer Nachteil zeichnet sich ebenfalls in der geringen Marktliquidität vereinzelter Small- Cap-Anlagetitel ab, die bei heftigen Korrekturen zu massiven Kursverlusten führen kann. Das Mid-Cap-Segment Das Mid-Cap-Segment wird in Deutschland häufig mit dem Begriff Mittelstand assoziiert und umfasst annahmegemäß Unternehmen mittlerer Größe. Unternehmen aus dem Mid-Cap-Segment besitzen ähnliche Eigenschaften wie das zuvor genannte Small-Cap-Segment. Da dem Markt für Small- und Mid-Cap-Unternehmen im Vergleich zum Markt für Large-Caps aufgrund einer mangelnden Fokussierung von Banken und Investmentgesellschaften eine gewisse Informationsineffizienz (vgl. Abschnitt 1.5) zugesprochen wird, ergeben sich in beiden Anlagesegmenten deutliche Kurspotenziale. Unternehmen aus dem Mid-Cap-Segment wirken aufgrund ihrer erhöhten Marktkapitalisierung und der Möglichkeit der Eigenfinanzierung im Vergleich zu Small-Caps deutlich stabiler, weisen aber dennoch hohe Wachstumschancen auf. Das Large-Cap-Segment Unternehmen aus dem Large-Cap-Segment zeichnen sich im Gegensatz zu den vorherigen Nebenwerten im Idealfall durch ein stabileres Umsatzwachstum, eine ausgeprägte Eigenfinanzierungsfähigkeit sowie eine hohe Marktliquidität aus. Obwohl Large-Cap-Unternehmen ebenfalls Wachstum aufweisen, wachsen diese bei weitem nicht so schnell wie etwa Small- und Mid-Cap-Unternehmen. Obwohl sich Rezessionen und temporäre wirtschaftliche Abschwünge tendenziell auf alle Segmente auswirken, leiden Unternehmen aus dem Large-Cap-Segment im Vergleich zu den Small- und Mid-Cap-Segment bei Weitem nicht so stark. <?page no="70"?> 70 1 Grundlagen des Portfolio Managements 1.5.2.4 Investmentansätze nach der Asset Allokation Im Rahmen der Asset Allokation wird das Anlagekapital auf Grundlage verschiedener Kriterien unterschiedlich aufgeteilt. Aufgrund von volkswirtschaftlichen Rahmenbedingungen können bestimmte Länder, Regionen, Währungen bzw. Branchen bei der Strukturierung eines Portfolios unter- oder übergewichtet werden. Auf Grundlage der volkswirtschaftlichen Rahmenbedingungen einiger geographischer Regionen besteht für einen Kapitalanleger jederzeit die Möglichkeit, bestimmte Länder und Regionen bei der Strukturierung eines Portfolios unter oder über zu gewichten, um entweder an volkswirtschaftlichen Expansionen partizipieren zu können oder gezielt geographische sowie geopolitische Risiken zu vermeiden. Da Investitionen in fremde Volkswirtschaften unweigerlich mit Chancen und Risiken der zugrundeliegenden Währung verbunden sind, kann unter Umständen aufgrund von währungspolitischen Risiken die Auswahl attraktiver ausländischer Anlagetitel eingeschränkt sein. Je nach Marktumfeld und Prognosen könnten Währungsgewinne entweder die Rendite einer ausländischen Kapitalanlage zusätzlich steigern oder eventuelle Kursverluste einer ausländischen Kapitalanlage auffangen. Ein weiteres Kriterium bei der Auswahl geeigneter Anlagetitel stellt die zugehörige Branche dar. Je nach wirtschaftlichem Umfeld können hierbei durch die gezielte Auswahl von Branchen gleichermaßen Chancen als auch Risiken genutzt bzw. vermieden werden. 1.5.2.5 Investmentansätze nach der Lebensphase Quelle: © AFP „Frage nicht nach dem Preis, den du für ein Unternehmen zahlst, sondern nach dem Wert, den du für dein Geld bekommst.“ Warren Buffett - amerikanischer Value-Investor, Chairman von Berkshire Hathaway (*1930) Growth-Ansatz, Value-Ansatz und Blend-Ansatz Nach der Lebensphase lassen sich grundsätzlich − der Growth-Ansatz − der Value-Ansatz und − der Blend-Ansatz unterscheiden. Im Allgemeinen lassen sich der Value-Ansatz und der Growth-Ansatz wie folgt unterscheiden: Kapitalanleger, die ihre Anlageentscheidungen nach Value-Kriterien treffen, bevorzugen grundsätzlich etablierte Unternehmen, deren aktuelle Börsenwerte momentan unter deren Unternehmenswerten liegen, bei denen also eine eindeutige Unterbewertung der Unternehmen vorliegt. Kapitalanleger, die ihre Anlageentscheidungen dagegen auf Grundlage von Growth-Kriterien treffen, sind weniger am aktuellen Börsenwert eines Unternehmens interessiert, sondern bevorzugen <?page no="71"?> 1.5 Methoden des aktiven und passiven Portfolio Management 71 eher Unternehmen, welche sich im Vergleich zu ihrer Konkurrenz weitaus schneller entwickeln. Insgesamt zeigt sich also, dass Value-Kapitalanleger sich vorrangig auf die Betrachtung der Gegenwart konzentrieren, wobei Growth-Kapitalanleger auf den zukünftigen Eintritt von aktuellen Wachstumserwartungen spekulieren. Der Blend-Ansatz stellt eine Kombination dieser Ansätze dar, jedoch mit dem Unterschied, dass die zugrunde gelegten Kriterien sich nun auf das Value- und Growth-Investing auf Grundlage der Lebensphase eines Unternehmens beziehen. Ein Portfolio, das nach dem Blend-Ansatz strukturiert und verwaltet wird, erlaubt durch die Kombination des Value- und des Growth-Ansatzes sowohl an kurzfristigen Wachstumserwartungen der enthaltenen Growth-Titel als auch an längerfristigen Wertsteigerungen der Value-Titel zu partizipieren. Im Folgenden werden der Growth-Ansatz und der Value-Ansatz anhand der Kriterien − Auswahl nach fundamentalen Kennzahlen, − Auswahl nach dem Lebenszyklus eines Unternehmens, − Auswahl nach Value- und Growth-Strategien und − Auswahl nach Branchen vorgestellt. Auswahl nach fundamentalen Kennzahlen Beim Value- und beim Growth-Ansatz resultiert die Auswahl geeigneter Anlagetitel hauptsächlich auf der Grundlage fundamentaler Kennzahlen. Der Value-Ansatz beurteilt implizit das Verhältnis zwischen dem ermittelten „fairen Wert“ und der Marktkapitalsierung des zu beurteilenden Unternehmens am Kapitalmarkt. Bei der Bestimmung des „inneren Wertes“ eines Unternehmens interessieren sich Kapitalanleger nach dem Value-Ansatz hauptsächlich für den Nettobuchwert eines Unternehmens. Der Value-Ansatz geht hier der Frage nach, was ein Unternehmen bei einer heutigen Auflösung tatsächlich wert wäre. Es zeigt sich, dass sich der „innere Wert“ eines Unternehmens unter der Voraussetzung einer sofortigen Liquidation unmittelbar aus dem vorhandenen Vermögen abzüglich aller Verbindlichkeiten ergeben würde. In der Regel entspricht der gesuchte Wert der Eigenkapitalaustattung eines Unternehmens. Bei der Bildung der dementsprechenden relativen Kennzahlen wird häufig als Bezugsgröße auf die Marktkapitalisierung eines Unternehmens zurückgegriffen. Die Marktkapitalisierung ergibt sich aus dem Produkt des aktuellen Börsenkurses eines Anlagetitels und der entsprechenden Anzahl an emmitierten Aktien des untersuchten Unternehmens. In diesem Fall spricht man auch häufig vom aktuellen Marktwert eines Unternehmens am Kapitalmarkt. Befindet sich der Marktwert eines untersuchten Unternehmens unter dessen ermitteltem „fairen Wert“, wird von einem stabilen Umsatz- und Gewinnwachstum ausgegangen, wonach sich nach dem Value-Ansatz die Aufnahme der Aktie in das Portfolio empfiehlt. In diesem Fall liegt also eine eindeutige Unterbewertung des Unternehmens durch den Kapitalmarkt vor. Um das jeweilige Verhältnis adäquat einschätzen zu können, findet häufig die <?page no="72"?> 72 1 Grundlagen des Portfolio Managements bekannte Kennzahl des Kurs-Buchwert-Verhältnisses (engl. „Price-to-Book“) Anwendung. Das Kurs-Buchwert-Verhältnis vergleicht den heutigen Börsenwert einer Aktie mit dem jetzigen Unternehmenswert unter der Prämisse einer sofortigen Liquidation der Vermögenswerte. Im angloamerikanischen Raum präferieren einige Portfolio-Manager je nach zugrundeliegender Anlagestrategie und Investmentphilosophie dagegen ein niedriges Kurs-Gewinn-Verhältnis (engl. „Price-to-Earnings“) bei der Bewertung eines Unternehmens. 44 Der Growth-Ansatz bildet den Gegenpol zum Value-Ansatz, da sich die zugrundeliegenden Kriterien nun maßgeblich auf die Beurteilung des zukünftigen Wachstums eines Unternehmens konzentrieren. Im Rahmen des Growth-Ansatzes wird überprüft, ob ein Unternehmen in Relation zu dessen zukünftigem Wachstum durch den Markt unterbewertet ist oder nicht. 45 Es gilt diejenigen Unternehmen zu identifizieren, deren außerordentliches Wachstum bisher vom Markt signifikant unterschätzt wurde. Obwohl die Unterbzw. Überbewertung eines Unternehmens durch den Kapitalmarkt auf Grundlage unterschiedlicher Kennzahlen ermittelt werden kann, stellt das Kurs- Buchwert-Verhältnis eine der beliebtesten Kennzahlen dar. Im Gegensatz zum Value- Ansatz konzentrieren sich die Betrachtungen des Growth-Ansatzes auf Unternehmen mit hohen Kurs-Buchwert-Verhältnissen, da den Unternehmen aufgrund aussichtsreicher Wachstumsaussichten ein im Vergleich zu dessen Buchwerten erhöhter Börsenwert zugesprochen wird. Im Gegensatz zu Unternehmen, die unter das Value-Kriterium fallen, kann es aufgrund der Wachstumsphase von Growth-Unternehmen durchaus vorkommen, dass Dividenden nur in geringer Höhe oder gar nicht ausbezahlt, sondern ins Unternehmen direkt reinvestiert werden. Abb. 9: Kriterien für Value- und Growth-Investing. Quelle: Allianz GI Kapitalmarktanalyse 05/ 2009 Da sich die umfassende Analyse eines Unternehmens nicht alleinig auf die Interpretation einer Kennzahl beschränkt, haben sich im Laufe der Zeit unterschiedliche Kennzahlen und Merkmale zur Bewertung von Unternehmen etabliert. Abb. 9 zeigt eine Übersicht an Kriterien für eine tiefergreifende Unterscheidung der Value- und Growth-Investmentansätze. Bei der Selektion von Anlagetiteln konzentrieren 44 Vgl. Heatter (2008), Investment Analytics and Consulting, J.P. Morgan S. 5 ff. 45 Vgl. Paulus/ Sauer (2000), S. 3 ff. Value • Geringes Kurs-Gewinn-Verhältnis (KGV) • Geringes Kurs-Umsatz-Verhältnis (KUV) • Geringes Kurs-Cashflow-Verhältnis (KCV) • Geringes Kurs-Buchwert-Verhältnis (KBV) • Geringes o. stabiles Gewinnwachstum • Hohe Dividendenrendite • Stabiler Cashflow • Niedrige Verschuldungsquote • Gute Marktposition • Hohe Eigenkapitalrendite • Gewinnschätzungen (letzte 12 Monate) Growth • Hohes Kurs-Gewinn-Verhältnis (KGV) • Hohes Kurs-Umsatz-Verhältnis (KUV) • Hohes Kurs-Cashflow-Verhältnis (KCV) • Hohes Kurs-Buchwert-Verhältnis (KBV) • Langfristig hohes Gewinnwachstum • Keine oder geringe Dividendenrendite • Stark steigender Cashflow • Höhere Verschuldung • Hohes Umsatzwachstum • Geringe Eigenkapitalrendite • Gewinnschätzungen (nächste 12 Monate) <?page no="73"?> 1.5 Methoden des aktiven und passiven Portfolio Management 73 sich die Analysten und Portfolio-Manager nach dem Value-Ansatz vorrangig auf Unternehmen, die ein eher geringes Kurs-Gewinnbzw. Kurs-Umsatz-Verhältnis aufweisen. Unternehmen, die nach dem Growth-Ansatz ausgewählt werden, zeichnen sich durch ein hohes Kurs-Buchwert-Verhältnis, ein hohes Kurs- Gewinn-Verhältnis sowie ein hohes Kurs-Cashflow-Verhältnis aus. Auswahl nach dem Lebenszyklus eines Unternehmens “The very best way to make money in a market is in a small growth company that has been profitable for a couple of years and simply goes on growing.“ Peter Lynch - amerikanischer Value- und Growth-Investor und ehemaliger Portfolio-Manager des Magellan Fonds und Berater bei Fidelity Investments (*1944) Quelle: picture alliance / AP Abb. 10 zeigt den Lebenszyklus eines Unternehmens. Daraus ergibt sich ein eindeutiger Zusammenhang zwischen den verschiedenen Entwicklungsphasen und Investmentstilen des Value- und Growth-Investing. Abb. 10: Lebenszyklus eines Unternehmens. Quelle: Allianz GI Kapitalmarktanalyse 05/ 2009 Da innovative Branchen und Produkte im Rahmen ihrer Entwicklung unweigerlich verschiedene Entwicklungsphasen durchlaufen, besitzen insbesondere Unternehmen mit Produkten in der Reife-Phase ihres Entwicklungszyklus eine bevorzugte Struktur für den Value-Ansatz. Nach dem Ansatz des Value-Investings werden also gezielt Unternehmen in ein Portfolio aufgenommen, deren Produkte sich im Rahmen ihrer Reife-Phase schon am Markt etabliert haben. Obwohl Unternehmen in der Regel in dieser Entwicklungsphase ein eher sinkendes Gewinnwachstum besitzen, geht man beim Value-Investing grundsätzlich davon aus, dass Value-Unternehmen durch ein erfolgreiches Management immer noch über Jahre hinweg beachtliche Gewinne erwirtschaften können. Da sich die Wachstumsphase in Abb. 10 im Gegensatz zur Reife-Phase durch einen erheblichen Anstieg des Absatzes auszeichnet, versuchen die Portfolio-Manager Value Growth Entstehungsphase Wachstumsphase Reifephase Sättigungsphase <?page no="74"?> 74 1 Grundlagen des Portfolio Managements durch die Anwendung des Growth-Ansatzes an einem dementsprechend hohen Umsatz- und Gewinnwachstum teilzuhaben. Nach dem Growth-Ansatz bevorzugen Analysten und Portfolio-Manager also in erster Linie Unternehmen, deren Kernprodukte sich in der Wachstumsphase ihres Lebenszyklusses befinden. In dieser Phase zeichnen sich Unternehmen im Gegensatz zu der Reifephase vor allem durch ein hohes Kurs-Gewinn-, Kurs-Umsatz- und Kurs-Cashflow-Verhältnis aus. Obwohl sich Unternehmen entsprechend den Kriterien aus Abb. 9 eindeutig dem Value- oder Growth-Ansatz zuordnen lassen, wird es immer wieder Aktien geben, die einerseits unterbewertet sind und andererseits hohe Wachstumschancen in der Zukunft erwarten lassen. Aus diesem Grund ist eine strikte Trennung zwischen dem Value- und dem Growth-Ansatz nicht immer möglich, sodass die beiden Anlagestile Value und Growth in der Praxis oftmals kombiniert bzw. vermischt werden. Auswahl nach Value- und Growth-Strategien Weitere Kriterien zur Identifikation von Unternehmen nach der Lebensphase sind Value- und Growth-Strategien. Diese sind in Abb. 11 dargestellt. Abb. 11: Value- und Growth-Strategien Quelle: Andritoiu (2008), “It’s all about Style”, J.P.Morgan Investment Analytics and Consulting, S. 5 Der Value-Ansatz kann grundsätzlich durch verschiedene Anlagestrategien umgesetzt werden. Es wird jedoch hauptsächlich zwischen der „Low P/ E Strategy“, „Contrarian Strategy“ und der „Yield Strategy“ unterschieden.  Bei der „Low P/ E Strategy“ untersucht ein Kapitalanleger grundsätzlich defensive, zyklische und eher unbeliebte Branchen nach Unternehmen mit einem besonders niedrigen Kurs-Gewinn-Verhältnis anhand der gleichnamigen Kennzahl KGV.  Die „Contrarian Strategy“ beschränkt sich bei der Auswahl von geeigneten Anlagetiteln auf Unternehmen, die im Verhältnis zu ihren Buchwerten relativ stark unterbewertet sind.  Im Rahmen der „Yield Strategy“ wählt der Kapitalanleger vorrangig Anlagetitel von Unternehmen aus, die aktuell moderate bis hohe Dividendenauszahlungen besitzen sowie stabile und wachsende zukünftige Dividendenausschüttungen erwarten lassen. Der Growth-Ansatz beschränkt sich in seiner hauptsächlichen Umsetzung auf die „Consistent Growth Strategy“ und die „Earnings Momentum Strategy“. Value-Strategien •Niedriges-Kurs-Gewinn-Verhältnis- Strategie (Low P/ E Strategy) •Konträre Strategie (Contrarian Strategy) •Dividenden-Strategie (Yield Strategy) Growth-Strategien •Stetiges-Wachstum-Strategie (Consistent Growth Strategy) •Gewinn-Momentum-Strategie (Earnings Momentum Strategy) <?page no="75"?> 1.5 Methoden des aktiven und passiven Portfolio Management 75  Innerhalb der „Consistent Growth Strategy“ hält der Portfolio-Manager lediglich Unternehmen und Gesellschaften von höchster Qualität, welche gleichermaßen stetig wachsende Gewinnerwartungen für die Zukunft erwarten lassen.  Die „Earnings Momentum Strategy“ konzentriert sich dagegen auf den rechtzeitigen Kauf von gewinnträchtigen Unternehmen, um schon in naher Zukunft an einem beschleunigten Gewinnwachstum partizipieren zu können. Auswahl nach Branchen “Investing in a market sector simply because ‘it’s done so well’ is like choosing to plant corn in October because your neighbor’s corn has grown so well since April.“ Ronald H. „Ron“ Muhlenkamp - amerikanischer Investor, Fondsmanager und Autor, Gründer von Muhlenkamp & Company (*1944) Quelle: Muhlenkamp & Co. Die bisherigen Ausführungen lassen den Schluss zu, dass bestimmte Branchen in besonderem Maße die Kriterien der Investmentstile Value und Growth erfüllen und sich dementsprechend sehr gut für die Selektion geeigneter Anlagetitel eignen. Da das langfristige Wirtschaftswachstum einer Volkswirtschaft einen unmittelbaren Einfluss auf die Entwicklung von Unternehmen und gesamten Branchen ausübt, soll in diesem Zusammenhang zunächst kurz auf die Struktur des langfristigen Wirtschaftswachstums eingegangen werden. Durch die Entwicklung neuer Produkte und die Ausgliederung veralteter Produkte entstehen in den Zyklen des langfristigen Wirtschaftswachstums spürbare Schwankungen in Form von Auf- und Abschwüngen. Die im vorangegangenen Abschnitt beschriebenen Lebensphasen tragen in ihrer Gesamtheit zu der Entwicklung des langfristigen Wirtschaftswachstums bei. Da die Entwicklung des Aktienmarkts dem Verlauf des Konjunkturzyklusses in der Regel voraus ist, besteht zumindest in der Theorie die Möglichkeit, zwischen den Ab- und Aufschwungphasen eines Konjunkturzyklusses die höchsten Kursgewinne zu erwirtschaften. Nach dem Growth-Ansatz erfolgt die Selektion geeigneter Unternehmen maßgeblich aus der Betrachtung besonders wachstumsorientierter Branchen. Da ein wachstumsorientiertes Unternehmen mit hohen Gewinn- und Umsatzerwartungen jedoch unweigerlich von der gesamtwirtschaftlichen Produktion und dem Konsum aller Wirtschafteinheiten innerhalb einer Volkswirtschaft abhängig ist, sind wachstumsorientierte Branchen stark zyklisch geprägt. Abb. 12 zeigt in diesem Zusammenhang die Indexaufteilung des Euro Stoxx 50 auf Grundlage der wichtigsten Branchen sowie ausgewählter Value- und Growth- Kriterien. Aus Abb. 12 geht hervor, dass besonders Branchen wie der zyklische Konsum, die Versorger, die Industrie und die Informationstechnologie zu den klassischen wachstumsorientierten Branchen zählen. Aus Abb. 12 geht ebenfalls hervor, dass besonders die Finanz-, Energie- und Versorger-Branche, aber auch die Gesundheits-Branche überwiegend Unternehmen enthal- <?page no="76"?> 76 1 Grundlagen des Portfolio Managements ten, welche den Value-Kriterien entsprechen. Im Gegensatz zu wachstumsorientierten Branchen wie der Informationstechnologie weisen wertorientierte Branchen deutlich geringere Schwankungen im Zeitablauf auf. In Baisse-Phasen ändern deshalb Kapitalanleger oftmals ihren Investmentstil, um sich den geänderten Rahmenbedingungen des Marktes anzupassen. In einer Baisse-Phase schichten Kapitalanleger häufig ihre Wertpapiere zugunsten wertorientierter Branchen (Value-Werte) um. Abb. 12: Stoxx Limited, Stand Januar 2009. Quelle: Allianz GI Kapitalmarktanalyse 05/ 2009 Der Versorgungssektor, die Gesundheits- und Nahrungsmittelbranche sind im Gegensatz zu wachstumsorientierten Branchen nicht allzu zyklisch ausgeprägt, da die Nachfrage nach Nahrungsmitteln und Medikamenten auch in konjunkturellen Abschwüngen weitestgehend beständig bleibt. Die Bedeutung von Erwartungen im Growth-Ansatz und Value-Ansatz Obwohl die voranstehenden Ansätze durchaus wertvolle Vorteile besitzen, ist der langfristige Erfolg einer Anlagestrategie im Allgemeinen stets vom Eintritt der Erwartungen eines Kapitalanlegers abhängig. Ein Portfolio-Manager geht nach dem Value-Ansatz grundsätzlich davon aus, dass ungünstige Nachrichten zu einer eindeutigen Überreaktion der Marktteilnehmer in Form eines temporären Rückgangs des Kurs-Gewinn-Verhältnisses (KGV) eines stabilen Unternehmens führen werden. Sie eröffnen ihm somit die Möglichkeit, in dieses Unternehmen zu einem günstigen Kurs zu investieren, da der Aktienkurs zu diesem Zeitpunkt nicht den „fairen inneren Wert“ des Unternehmens darstellt. Auch hier ist die Verbindung zur Hypothese effizienter Märkte deutlich spürbar. Der Value-Ansatz beruht einerseits auf der Hypothese effizienter Märkte, andererseits auf der Annahme, dass sich durch die Überreaktion der Marktteilnehmer temporäre Unter- oder Überbewertungen in den Kursen der Aktien ergeben können. Obwohl der angesprochene Zusammenhang zumindest erfasst wurde, kann hierbei nicht von einer allgemeingültigen Regel oder gar Gesetzmäßigkeit gesprochen werden. Was wäre beispielsweise, wenn sich durch die Reaktionen der Markteilnehmer ein fairer Preis ergeben würde? Der klassische Value-Investor nimmt in 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% EURO STOXX TMI Growth EURO STOXX TMI VALUE <?page no="77"?> 1.5 Methoden des aktiven und passiven Portfolio Management 77 diesem Fall nach wie vor an, dass der Kurs des Wertpapiers aufgrund der Überreaktion des Marktes korrigieren wird. Als Beispiel wollen wir uns die ungeheuren Abwertungen großer Investmentbanken während der Sub-Prime-Krise 2008 und der nachfolgenden Finanzkrise 2009 ansehen. Ein Value-Investor hätte ohne Insider-Informationen die massiven Kursverluste der Investmentbanken aufgrund ihrer vergangenen vermeintlich starken Bilanzen als klare Buy-Signale gewertet. Die in Abb. 13 dargestellte Entwicklung untermauert diese Aussagen nochmals. Schlussendlich stellte sich keine Korrektur der Kurse ein, sondern ehemals ehrwürdige Investmentbanken wie Lehman Brothers und Bear Stearns wurden in Folge massiver Verluste aufgekauft, verstaatlicht oder gar liquidiert und verschwanden somit von der Wall- Street. Da wir uns in einem Kapitalmarkt mit vielen unterschiedlichen Marktteilnehmern befinden, zeigt dieses Beispiel die zentrale Problematik des Value-Investings: Obwohl alle am Markt befindlichen Investoren die Unternehmen auf der Basis gleicher Informationen analysieren, fallen die Beurteilungen bezüglich des inneren Wertes eines Unternehmens durchaus unterschiedlich aus. Abb. 13: Stoxx Limited Quelle: Allianz GI Kapitalmarktanalyse (05/ 2009), S. 10; Originalquelle: Datastream, MSCI Total Return Indizes; Stand Januar 2009 In ähnlicher Weise begegnet uns die vorangestellte Problematik auch beim Growth-Investing. Da ein Portfolio-Manager nach dem Growth-Ansatz die Selektion geeigneter Anlagetitel nach wachstumsorientierten Gewinnerwartungen trifft, ist auch der Erfolg des Growth-Ansatzes unmittelbar vom Eintritt dieser Erwartungen abhängig. In den letzten Jahrzehnten haben die Markteilnehmer die Bildung von Blasen, das anschließende mehrfache Platzen der entstandenen Blasen und die sich anschließenden schwerwiegenden Konsolidierungen ganzer Branchen erleben müssen. Beim Growth-Investing besteht also stets die Gefahr, dass sich Kapitalanleger in Boom-Phasen zu teuren Kursen eindecken, und die Unternehmen nach dem Platzen der Blasen die Gewinnerwartungen nicht erfüllen können. Je nach Marktumfeld kann es immer wieder trotz steigender Gewinne zu einem Rück- -6% -4% -2% 0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% 14% Value-Phasen Growth-Phasen <?page no="78"?> 78 1 Grundlagen des Portfolio Managements gang des Aktienkurses kommen. In diesem Fall versagt der Ansatz des Growth- Investings ebenfalls. Bei der Wahl eines geeigneten Ansatzes sollte also stets eine Abwägung der genannten Vor- und Nachteile stattfinden. 1.5.3 Das passive Portfolio Management “Properly measured, the average actively managed dollar must underperform the average passively managed dollar, net of costs. Empirical analyses that appear to refute this principle are guilty of improper measurement.” 46 William Sharpe - Ökonom und Wirtschaftswissenschaftler (*1934) Quelle: © Larry D. Moore, 2007 Die Grundannahme des passiven Portfolio Managements ist die Präsenz effizienter Kapitalmärkte (vgl. Abschnitt 1.5.1). Auf Grundlage dieser Annahme führen Informationen bereits unmittelbar nach ihrer Veröffentlichung zu einer Anpassung der Kurse der betreffenden Wertpapiere. In diesem Fall besteht keine Möglichkeit zur Erwirtschaftung systematischer (risikoadjustierter) Überrenditen durch aktives Management. Beim passiven Portfolio Management wird versucht, die Entwicklung eines Marktes, meist repräsentiert durch einen Index, durch die Bildung eines marktadäquaten Portfolios möglichst perfekt abzubilden. Aus einem derartig effizienten Kapitalmarktumfeld resultiert unweigerlich die Notwendigkeit, lediglich in das Marktportfolio sowie in eine risikolose Kapitalanlage zu investieren. 47 Man geht hier von effizienten Kapitalmärkten aus. Daher ist es das Ziel im passiven Ansatz, eine festgelegte Benchmark möglichst exakt und mit geringen Kosten nachzubilden. Beim passiven Portfolio Management vermeidet der Kapitalanleger vor allem hohe Transaktionskosten. Durch die indirekte Abbildung eines Index ist das Portfolio Management nicht mehr vom intensiven Research und der aufwändigen Aufbereitung von Prognosen abhängig. Die Selektion von Kapitalanlagen, welche sich mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit besser als der Kapitalmarkt entwickeln, entfällt im Rahmen des passiven Portfolio Managements. Diese Tatsache reduziert den zu betreibenden Aufwand innerhalb des Investmentprozesses erheblich, wodurch an den Kunden eine günstige Kostenstruktur (Verwaltungsgebühren) weitergegeben werden kann. 48 Die beliebten Kapitalanlagen des passiven Portfolio Managements 46 William Sharpe, „The Arithmetic of Active Management“, The Financial Analysts Journal Vol. 47 (1991) 47 Vgl. Amenc/ Le Sourd (2003), S. 6 ff. 48 Vgl. ebd. <?page no="79"?> 1.5 Methoden des aktiven und passiven Portfolio Management 79 zeigen sich aktuell vor allem im Produktangebot namhafter Banken und Investment- Gesellschaften in Form von ETFs, den sogenannten Exchange Traded Funds. Der Markt für Exchange Traded Funds verzeichnet seit ihrer erstmaligen Auflegung im Jahr 1993 in den USA und der europäischen Markteinführung im Jahr 2000 einen enormen Zuwachs an Popularität. Laut Branchenangaben sind derzeit über 2.200 ETFs mit einem gesamten Vermögen von über 1,1 Billionen US-Dollar am Kapitalmarkt platziert. 49 1.5.3.1 Struktur im passiven Portfolio Management Im Allgemeinen unterscheidet man bei der praktischen Umsetzung passiver Investmentfonds zwischen den Verfahren der physischen Replikation und den Methoden der synthetischen Replikation (vgl. Abb. 14). Im Rahmen der nachfolgenden Abschnitte soll eine kurze Erläuterung bzw. ein kurzer Vergleich der unterschiedlichen ETF-Strukturen vorgenommen werden. Abb. 14: Einordnung der Struktur und Methodik passiver Anlageinstrumente Quelle: Eigene Darstellung 1.5.3.1.1 Die physische Replikation Neben den niedrigen Kosten stellen die Transparenz und die effiziente Abbildung des zugrundeliegenden Marktindex einen der wichtigsten Vorteile der physischen Replikation von ETFs dar. Im Vergleich zu der synthetischen Nachbildung eines Index ist dieser allerdings durch die Aufnahme (nahezu) aller Indexbestandteile des zu replizierenden Index einem erheblich höheren Aufwand ausgesetzt. Die arbeits- und kostenintensive Anpassung an Veränderungen in der Indexzusammensetzung führen neben höheren Gebühren zu einer höheren Abweichung zwischen dem Tracking Portfolio und dem zugrundeliegenden Marktindex. Diese Abweichung wird im nachfolgenden häufig als „Tracking Error“ bezeichnet. Neben den bereits erläuterten Kostenfaktoren beeinflusst die Wahl des Sampling-Verfahrens maßgeblich die Höhe des Tracking Errors. Insbesondere die physische Replikation hat sich in der Praxis bei der Abbildung kleiner liquider Benchmarks bewährt. So können Märkte wie etwa der DAX, S&P 500 oder gar der FTSE 100 nahezu exakt in Form eines Tracking Portfolios abgebildet werden. Bei der Replizierung des MSCI World Index mit über 1.800 Indexbestandteilen stößt die physische Replizierung jedoch hinsichtlich ihrer Handhabung und Effizienz an ihre Grenzen. Je nach Zusammenset- 49 Vgl. Deutsche Bank-Research (2010) <?page no="80"?> 80 1 Grundlagen des Portfolio Managements zung des nachzubildenden Index führen die Methoden der direkten Replikation unter Umständen zu einer erheblichen Überschreitung des erwarteten Tracking Errors. 50 Im Gegensatz zur physischen Replikation liefert die synthetische Replikation durch Swaps einen deutlich günstigeren Ansatz, vor allem im Hinblick auf die steuerliche Behandlung der Dividenden. In diesem Fall verringert sich die durch die Quellensteuer induzierte Erhöhung des Tracking Errors. 51 Abb. 15: Vergleich der Ursachen für Kosten/ TE bei direkter und indirekter Replikation Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Deutsche Bank Research (2010), S. 6 1.5.3.1.2 Die synthetische Replikation Um einerseits ökonomisch sinnvolle Investments mit geringeren Einflussfaktoren auf den Tracking Error anbieten zu können, setzt der überwiegende Anteil der ETF- Anbieter vermehrt auf swapbasierte synthetische Strukturen bei der Abbildung von Indizes. Hierbei erfolgt die Nachbildung der Performance des zugrundeliegenden Index nicht durch die physische Aufnahme aller Bestandteile des zu replizierenden Index in ein Portfolio, sondern dadurch, dass die Wertentwicklung des Marktindex durch den Abschluss eines oder mehrerer Swaps mit einem oder mehreren Swap-Kontrahenten im Rahmen von Cash-Ausgleichszahlungen sichergestellt wird. Hierbei bietet die swapbasierte Replikation durch die Auslagerung verbundener Risiken und Tracking-Kosten an den Swap-Kontrahenten eine erheblich effizientere Alternative im Hinblick auf die Steuerung und Reduzierung induzierter Einflussfaktoren auf den Tracking Error. Bei einer Swap-Vereinbarung zwischen einem ETF- Anbieter und einer Investment-Bank garantiert der Swap-Kontrahent die gleichen Erträge, die aus einem physischen Investment in einen Index entstehen würden. Bei einem Swap-Geschäft mit einer Investmentbank erhält der ETF-Anbieter nicht nur die Erträge des zugrundeliegenden Indexes, sondern verpflichtet sich ebenfalls etwaig anfallende Verluste des replizierten Indexes durch die Übertragung seiner Vermögenswerte zu begleichen. 50 Vgl. Deutsche Bank (2010), S. 4 51 Vgl. ebd., S. 3 ff. <?page no="81"?> 1.5 Methoden des aktiven und passiven Portfolio Management 81 1.5.3.2 Methodik im passiven Portfolio Management Innerhalb der Wissenschaft wurden bereits 1991 drei mögliche Methoden zur Abbildung eines Marktindex beleuchtet, welche in der Praxis teilweise bis heute angewendet werden. Diese bestehen − aus der vollen Replizierung eines Index (engl. „full replication“), − aus einer Gruppenauswahl (engl. „stratified sampling“) sowie − aus einer optimierten Replikation (engl. „optimised sampling“). Diese Methoden können in ihrer ursprünglichen Form grundsätzlich unabhängig von den gebräuchlichen Verfahren ihrer praktischen Umsetzung angewendet werden. Die Full-Replication-Methode entspricht in ihrer Grundform der physischen Replikation und erlaubt die Aufnahme aller Aktien des abzubildenden Index gemäß ihrer Marktkapitalisierung in das Tracking Portfolio. Gleichermaßen kann diese Methode im Zusammenhang mit der synthetischen Replizierung des Marktportfolios verwendet werden. Aus der Marktkapitalisierung der jeweiligen Wertpapiere ergeben sich die Anteile des Tracking Portfolios. Demnach enthält ein Full Replication- ETF des EURO STOXX 50 ® tatsächlich alle 50 Bestandteile des EURO STOXX 50 ® im Verhältnis ihrer dementsprechenden Marktkapitalisierung. Beim Stratified Sampling wird durch die sinnvolle Bildung von verschiedenen Faktoren, wie z.B. Branchenzugehörigkeit, Unternehmensgrößen und Beta-Faktoren, grundsätzlich versucht, einen Zusammenhang zwischen der Entwicklung des Tracking Portfolios und dem Marktportfolio herzustellen. Durch die klare Identifikation aller relevanten Bestandteile innerhalb eines Tracking Portfolios reduziert sich der laufende Aufwand um ein Vielfaches. Das Optimised Sampling stellt eine dem Stratified Sampling ähnliche Methode dar, wobei die Vorgehensweise jedoch weitestgehend auf einer statistischen Analyse der Kursentwicklung basiert. Hierbei werden diejenigen Anlagetitel ausgewählt, welche bei der historischen Betrachtung einen signifikanten Anteil zur Entwicklung des Marktportfolios beigetragen haben. Durch die Anwendung von quadratischen Optimierungsalgorithmen kann dabei eine Abwägung der Transaktionskosten und des erwarteten Tracking Error stattfinden und anschließend ein optimales Tracking Portfolio (vgl. Kapitel 1) gebildet werden. 52 Die praxisnahe Replizierung von Indizes erfolgt aufgrund ihrer günstigeren Kostenstruktur überwiegend innerhalb einer synthetischen Replikation unter dem Einsatz von derivativen Finanzinstrumenten, wie z.B. Swaps. Die Anwendung der Full-Replication-Methode erfolgt dagegen aufgrund des hohen Aufwands und der erhöhten Transaktionskosten anteilig am Gesamtangebot der ETFs eher selten, wobei diese aufgrund ihrer Transparenz im angebotenen Produktspektrum der ETF-Anbieter ebenfalls anzutreffen sind. 53 52 Vgl. ETFlab (2011), S. 30 53 Vgl. Comstage ETF (2011) <?page no="82"?> 82 1 Grundlagen des Portfolio Managements 1.6 Welche Bedeutung hat die Rendite für das Portfolio Management? „Wer die gleichen Aktien kauft wie alle anderen, hat auch die gleiche Performance! “ John M. Templeton (*1912, †2008) Quelle: Picture Alliance / Photoshot Der Begriff „Rendite“ bezeichnet prinzipiell den mit einer Kapitalanlage über einen bestimmten Zeitraum erzielten Erlös im Verhältnis zu dessen ursprünglichen Anlagebetrag. 54 Im Rahmen des Portfolio Managements kommt dem Renditebegriff aufgrund der Erkenntnisse der Portfolio Selection Theory nach M ARKOWITZ eine weitaus größere Rolle zu, als man zunächst glauben möchte. Der Verwendungszweck der Rendite findet sich dabei einerseits in der rückblickenden Beurteilung einer historischen Wertentwicklung und andererseits in der Einschätzung und Prognose einer zukünftigen Wertentwicklung wieder. Die Bestimmung der Rendite eines Anlageobjektes kann also entweder ex post oder ex ante durchgeführt werden. Unabhängig vom Zeitbezug der Rendite drückt diese stets den Anlageerfolg relativ zum ursprünglichen Anlagebetrag aus. In der rückblickenden Betrachtung einer abgelaufenen Anlageperiode quantifiziert die Rendite, wie erfolgreich eine oder mehrere Kapitalanlagen das ursprüngliche zur Verfügung stehende Vermögen über einen vergangenen Zeitraum haben anwachsen lassen. Die vorausblickende Betrachtung einer zukünftigen Periode quantifiziert dagegen den zu erwarteten Anlageerfolg einer oder mehrerer Kapitalanlagen in den darauffolgenden Anlageperioden. 55 Die nachfolgenden Abschnitte geben einen Überblick über die verschiedenen Methoden der Rendite- und Zinsberechnung sowie Hinweise auf die dazugehörigen Anwendungsgebiete in der Praxis. Die nachfolgenden Berechnungen sollen auf Grundlage folgender mathematischer Notation dargestellt werden. Der Beginn einer Zeitperiode wird mit 0 angegeben, das Ende des gesamten Anlagezeitraums mit dem Großbuchstaben T . Die T Zeitabschnitte dazwischen (z.B. Tage, Monate oder Jahre) werden mit fortlaufenden Zahlen mit dem Kleinbuchstaben 𝑡𝑡 = 1,2, . . . , 𝑇𝑇 bezeichnet. 54 Vgl. Prexl/ Bloss/ Ernst/ Haas/ Häcker/ Röck (2009), S. 307 55 Vgl. Spremann (2008), S. 71 <?page no="83"?> 1.6 Welche Bedeutung hat die Rendite für das Portfolio Management? 83 1.6.1 Diskrete Rendite Die diskrete Rendite (engl. simple rate of return), im Nachfolgenden mit 𝑅𝑅 𝑇𝑇 bezeichnet, ergibt sich gemäß Formel (1.17) aus dem Kapital 𝑃𝑃 𝑇𝑇 abzüglich des ursprünglichen Anlagekapitals 𝑃𝑃 0 (also der Veränderung des Kapitals im Zeitablauf) im Verhältnis zum ursprünglichen Anlagekapital 𝑃𝑃 0 . Die diskrete Rendite definiert sich also formal wie folgt: 𝑅𝑅 𝑇𝑇 = 𝑃𝑃 𝑇𝑇 − 𝑃𝑃 0 𝑃𝑃 0 = 𝑃𝑃 𝑇𝑇 𝑃𝑃 0 − 1 (1.17) mit 𝑅𝑅 𝑇𝑇 : Diskrete Rendite für den angegebenen Zeitraum 𝑃𝑃 0 : Anlagekapital zu Beginn des betrachteten Anlagezeitraums 𝑃𝑃 𝑇𝑇 : Anlagekapital am Ende des betrachteten Anlagezeitraums d.h. 𝑃𝑃 𝑇𝑇 = (1 + 𝑅𝑅 𝑇𝑇 ) ⋅ 𝑃𝑃 0 . Bei der Berechnung der diskreten Rendite wird der untersuchte Anlagezeitraum als eine einzige Periode wahrgenommen. Es spielt keine Rolle, zu welchem Zeitpunkt sich Vermögensänderungen ergeben, da lediglich das Endergebnis für den Anlagezeitraum ermittelt wird. Die Bezeichnung „diskret“ resultiert maßgeblich aus dem Zeitabschnitt der betrachteten Anlageperiode, da diese unweigerlich auf zwei einzelnen „diskreten“ Zeitpunkten, dem Beginn und dem Ende des Anlagezeitraums, beruht. In diesem Zusammenhang wird auch häufig die Bezeichnung „einfache Rendite“ synonym verwendet oder von einer Gesamtrendite (engl. total return) gesprochen. Im angelsächsischen Sprachgebrauch bezeichnet man die diskrete Rendite häufig auch als holding period return. Am Kapitalmarkt kann es je nach Unternehmen und Gewinnsituation zur Ausschüttung einer Dividende kommen. Maßnahmen wie etwa Kapitalerhöhungen und Aktiensplits beeinflussen ebenfalls die Wertentwicklung eines Wertpapiers und sollten daher bei der Renditeberechnung unbedingt berücksichtigt werden. Unter Berücksichtigung einer Dividendenzahlung D in der Bewertungsperiode ergibt sich die Berechnung der diskreten Rendite wie folgt: 𝑅𝑅 𝑇𝑇 = 𝑃𝑃 𝑇𝑇 − 𝑃𝑃 0 + 𝐷𝐷 𝑃𝑃 0 (1.18) Es wird unterstellt, dass die Dividende des Kapitalanlegers nicht ausbezahlt, sondern thesauriert wird, um die kurzfristig liquiden Mittel in das zugrundeliegende Wertpapier zu reinvestieren. Die so adjustierte disrekte Rendite kann auf Grundlage von adjustierten Schlusskursen direkt ermittelt werden. Es wird dabei unterstellt, dass die Dividende des Kapitalanlegers nicht ausbezahlt, sondern thesauriert wird. Diese Annahme führt dazu, dass der Anleger nach der Ausschüttung der Dividende mehr Aktien als zuvor hält. Durch die Berücksichtigung von Dividendenzahlungen, Bezugsrechten und Aktiensplits beim Vergleich von unterschiedlichen Wertentwicklungen hat sich im angelsächsischen Raum die Bezeichnung „Total Return“ bzw. „Performance-Index“ ausgebildet, die mittlerweile auch im deutschen Sprachraum geläufig ist. Bei der Durchführung von Portfolioanalysen wird häufig auf diskrete Renditen zurückgegriffen, da die zugrundeliegende einfache Additivität der diskreten Rendi- <?page no="84"?> 84 1 Grundlagen des Portfolio Managements ten in einem Portfolio, die Portfolioadditivität, die unmittelbare Bestimmung der Portfoliorendite als wertgewichtete Summe der erwarteten Renditen der enthaltenen Wertpapiere erlaubt. Die Portfoliorendite 𝑅𝑅 𝑇𝑇(𝑃𝑃) ergibt sich aus den Renditen der einzelnen Kapitalanlagen 𝑅𝑅 𝑇𝑇(𝑖𝑖) und den Portfoliogewichten 𝑤𝑤 𝑖𝑖 , 𝑖𝑖 = 1, … , 𝑁𝑁 , vgl. (1.1) wie folgt: 𝑅𝑅 𝑇𝑇(𝑃𝑃) = � 𝑤𝑤 𝑖𝑖 ∙ 𝑅𝑅 𝑇𝑇(𝑖𝑖) 𝑁𝑁 𝑖𝑖=1 (1.19) Trotz des genannten Vorteils zieht die praktische Verwendung von diskreten Renditen im Portfolio Management auch einen entscheidenden Nachteil nach sich. Die diskreten Renditen weisen bei mehrperiodigen Betrachtungen nicht die Eigenschaft der Zeitadditivität auf, die im Abschnitt 1.6.4 erklärt wird. Berechnen Sie die diskrete Rendite 𝑹𝑹 𝑻𝑻 (engl. simple rate of return) für die vergangene Woche auf Grundlage der nachfolgenden historischen Kurse Heute ist Donnerstag, der 15.07. Folgende Schlusskurse eines in Frankfurt gelisteten Unternehmens ABC seien gegeben: Mittwoch, den 14.07. 129,00 € Dienstag, den 13.07. 121,00 € Montag, den 12.07. 119,00 € Freitag, den 09.07. 128,00 € Donnerstag, den 08.07. 131,00 € Mittwoch, den 07.07. 122,00 € Die diskrete Rendite für die letzte Woche (vom 07.07. bis 14.07.) wird wie folgt ermittelt: 𝑅𝑅 𝑇𝑇 = 129,00 122,00 − 1 = 0,057377 Abb. 16: Umsetzung der diskreten Rendite in Excel 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 A B C D E Diskrete Rendite Mittwoch, den 14.07 129,00 € Dienstag, den 13.07 121,00 € Montag, den 12.07 119,00 € Freitag, den 09.07 128,00 € Donnerstag, den 08.07 131,00 € Mittwoch, den 07.07 122,00 € Diskrete Rendite: 5,74% << =C9/ C14-1 <?page no="85"?> 1.6 Welche Bedeutung hat die Rendite für das Portfolio Management? 85 (1.20) (1.21) 1.6.2 Geometrische Rendite Bei mehrperiodigen Beobachtungszeiträumen wird häufig auf die Berechnung der geometrischen Rendite zurückgegriffen, da es diese erlaubt, die vergangene Wertentwicklung einer Kapitalanlage im Zeitablauf zu quantifizieren. 56 Es wird dabei angenommen, dass sich die historische Wertentwicklung infolge eines Prozesses ergibt, wobei in mehreren Teilperioden dieses Zeitraums unterschiedliche Wertänderungen eingetreten sind. Der Anlagezeitraum 𝑇𝑇 wird in diskrete Zeitperioden zerlegt, sodass 𝑃𝑃 0 , 𝑃𝑃 1 , … , 𝑃𝑃 𝑇𝑇 den Wert der Kapitalanlage zum Zeitpunkt 𝑡𝑡 = 0,1, … , 𝑇𝑇 darstellt und 𝑟𝑟 𝑡𝑡 = 𝑃𝑃 𝑡𝑡 𝑃𝑃 𝑡𝑡−1 − 1 die diskrete Rendite in Periode 𝑡𝑡 = 1, … 𝑇𝑇 . Dieser Zusammenhang kann wie folgt detailliert dargestellt werden: 𝑃𝑃 𝑇𝑇 = 𝑃𝑃 0 ⋅ (1 + 𝑟𝑟 1 ) ∙ (1 + 𝑟𝑟 2 ) ∙ (1 + 𝑟𝑟 3 ) ∙ … ⋅ (1 + 𝑟𝑟 𝑇𝑇 ) = 𝑃𝑃 0 ⋅ �(1 + 𝑟𝑟 𝑡𝑡 ) 𝑇𝑇 𝑡𝑡=1 = 𝑃𝑃 0 ⋅ (1 + 𝑅𝑅 𝑇𝑇 ) Nach Formel (1.7) resultiert die Gesamtrendite 𝑅𝑅 𝑇𝑇 aus den einzelnen diskreten Renditen 𝑟𝑟 𝑡𝑡 der einzelnen Teilperioden. Die durchschnittliche geometrische Rendite 𝒓𝒓 𝑻𝑻 der T Teilperioden ergibt sich demnach als geometrisches Mittel der Renditen der einzelnen Perioden: 𝑃𝑃 𝑇𝑇 = 𝑃𝑃 0 ⋅ (1 + 𝑟𝑟 𝑇𝑇 ) 𝑇𝑇 ↔ 𝑟𝑟 𝑇𝑇 = �𝑃𝑃 𝑇𝑇 𝑃𝑃 0 𝑇𝑇 − 1 (1.22) Die konstante Periodenrendite 𝑟𝑟 𝑇𝑇 wird als geometrische Durchschnittsrendite bezeichnet und beschreibt das durchschnittliche Kapitalwachstum pro Teilperiode. Die nachfolgende detaillierte Schreibweise zeigt, dass sich die durchschnittliche Rendite der einzelnen Teilperioden aus dem geometrischen Mittel der einzelnen Periodenrenditen ergibt. 𝑟𝑟 𝑇𝑇 = �𝑃𝑃 𝑇𝑇 𝑃𝑃 0 𝑇𝑇 − 𝑇𝑇 1 = �(1 + 𝑟𝑟 1 ) ∙ (1 + 𝑟𝑟 2 ) ∙ (1 + 𝑟𝑟 3 ) ∙ … (1 + 𝑟𝑟 𝑇𝑇 ) − 1 (1.23) Bei der Berechnung der geometrischen Rendite wird angenommen, dass eine Kapitalanlage zu Beginn des Betrachtungszeitraums einmalig getätigt wurde und anschließend im Zeitablauf den Wertschwankungen des Kapitalmarktes ausgesetzt ist. 57 Es wird also allein die Entwicklung einer einmalig getätigten Kapitalanlage betrachtet. Unter der Annahme einer konstanten Rendite 𝑟𝑟 𝑇𝑇 für den gesamten Anlagezeitraum unter der Annahme, dass die anfallenden Zahlungen jeweils zum Anfang einer Periode erfolgen, führt dies zur zeitgewichteten Rendite (engl. time- 56 Vgl. Steiner/ Bruns (2007), S. 51 57 Vgl. Poddig/ Brinkmann/ Seiler (2009), S. 33 (1.20) (1.21) <?page no="86"?> 58 Vgl. Schmidt-von Rhein (1996), S. 139 59 Vgl. Amenc/ Le Sourd (2003), S. 26 86 1 Grundlagen des Portfolio Managements weighted return). Die durchschnittliche zeitgewichtete Rendite entspricht demnach der geometrisch gemittelten Rendite aus Formel (1.23). 58 Berechnen Sie die zeitgewichtete Rendite für die vergangene Woche auf Grundlage der nachfolgenden historischen Kurse Heute ist Donnerstag, der 15.07. Folgende Schlusskurse eines in Frankfurt gelisteten Unternehmens ABC seien gegeben: Mittwoch, den 14.07. 129,00 € Dienstag, den 13.07. 121,00 € Montag, den 12.07. 119,00 € Freitag, den 09.07. 128,00 € Donnerstag, den 08.07. 131,00 € Mittwoch, den 07.07. 122,00 € Die zeitgewichtete Rendite für die letzte Woche (vom 07.07. bis 14.07.) wird wie folgt ermittelt: 𝑟𝑟 5 = �129,00 122,00 5 − 1 = 0,01122 Abb. 17: Umsetzung der zeitgewichteten Rendite in Excel Bei der mehrperiodischen Betrachtung zeigt sich, dass die diskreten Renditen nicht die Eigenschaft der Zeitadditivität aufweisen. Das bedeutet, dass die Summe der diskreten Renditen über die Teilperioden nicht der diskreten Rendite über den gesamten Zeitraum entspricht. 59 Das nachfolgende Beispiel soll diesen Zusammenhang kurz verdeutlichen. 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 A B C D E F Zeitgewichtete Rendite Mittwoch, den 14.07 129,00 € Dienstag, den 13.07 121,00 € Montag, den 12.07 119,00 € Freitag, den 09.07 128,00 € Donnerstag, den 08.07 131,00 € Mittwoch, den 07.07 122,00 € Zeitgewichtete Rendite: 1,12% << =(C21/ C26)^(1/ 5)-1 <?page no="87"?> 1.6 Welche Bedeutung hat die Rendite für das Portfolio Management? 87 Periode 0 1 2 Kurs 50,00 53,00 50,00 diskrete Rendite 6,00 % -5,66 % Tab. 1: Berechnung der diskreten Renditen Der Kurs eines Wertpapiers steigt in der ersten Zeitperiode von 50,00 € auf 53,00 €, was einer diskreten Rendite in Höhe von 6 % entspricht. Fällt der Kurs des Wertpapiers in der zweiten Zeitperiode um den gleichen absoluten Betrag auf 50,00 €, ergibt dies einen prozentualen Verlust von lediglich 5,66 %. Obwohl die Summe der einfachen Renditen der beiden Zeitperioden positiv ist, +0,34%, ergibt sich über die gesamte Zeitperiode eine einfache Rendite von 0%. Aus diesem Grund werden in der Praxis je nach Anwendungsgebiet häufig stetige Renditen, sogenannte logarithmische Renditen verwendet (vgl. Abschnitt 1.6.4). 1.6.3 Kapitalgewichtete Rendite Zuflüsse und Entnahmen beeinflussen die realisierte Rendite einer Kapitalanlage. Zur Darstellung der Rendite unter Berücksichtigung solcher Zahlungsströme ist es daher vorteilhaft, sich zunächst die jeweiligen Vermögensänderungen als separate positive oder negative Kapitalanlagen vorzustellen. In diesem Fall wird das Gesamtergebnis als Summe der einzelnen Investitionen ausgedrückt und anschließend eine einheitliche Rendite 𝑟𝑟 𝑔𝑔 für das Gesamtergebnis ermittelt. Unterstellt man vereinfachend Perioden gleicher Zeitlänge, lässt sich die Entwicklung der Kapitalanlage wie folgt darstellen: 𝑃𝑃 𝑇𝑇 = 𝑃𝑃 0 �1 + 𝑟𝑟 𝑔𝑔 � 𝑇𝑇 + 𝑍𝑍 1 �1 + 𝑟𝑟 𝑔𝑔 � 𝑇𝑇−1 + 𝑍𝑍 2 �1 + 𝑟𝑟 𝑔𝑔 � 𝑇𝑇−2 + ⋯ + 𝑍𝑍 𝑇𝑇−1 �1 + 𝑟𝑟 𝑔𝑔 � + 𝑍𝑍 𝑇𝑇 (1.24) Die Rendite 𝑟𝑟 𝑔𝑔 wird als geldgewichtete Rendite (engl. money weighted return) bezeichnet, wobei die zu- oder abfließenden, d.h. positiven oder negativen Zahlungsströme am jeweiligen Periodenende mit 𝑍𝑍 𝑖𝑖 (𝑖𝑖 = 1,2, … , 𝑇𝑇) angegeben sind. Die geldgewichtete Rendite 𝑟𝑟 𝑔𝑔 entspricht damit dem internen Zinssatz der Kapitalanlage (engl. internal rate of return, kurz IRR). Formel (1.24) lässt nur in Sonderfällen die Ermittlung einer unmittelbaren Lösung zu, ansonsten sind numerische Verfahren zu verwenden, mit denen das Ergebnis berechnet wird. Dazu eignet sich beispielsweise das Newton-Verfahren, z.B. der Einsatz der Excel-Funktion „Solver“. Liegen dagegen keine externen Kapitaländerungen vor, sind also alle 𝑍𝑍 𝑖𝑖 = 0 , so ergibt sich wieder die geometrische Durchschnittsrendite aus Formel (1.23). Sollen lediglich zwei Perioden mit nur einer Zahlung bewertet werden, ergibt sich eine quadratische Bestimmungsgleichung, die mit Hilfe der entsprechenden Lösungsformel einfach berechnet werden kann. Die geldgewichtete Rendite wird von zwei Größen beeinflusst: dem direkten Anlageerfolg und dem sogenannten Timing der zwischenzeitlichen Zahlungen. Wird vor und während einer positiven Entwicklung des Anlagesegments (beispielsweise Aktien oder Anleihen) Kapital aufgestockt und/ oder vor negativen Marktphasen Kapital entnommen (bzw. in risikolosere Anlagen umgeschichtet), so erhöht sich die <?page no="88"?> 88 1 Grundlagen des Portfolio Managements geldgewichtete Rendite und umgekehrt. Der Anlageerfolg eines Portfolios, die so genannte Performance, hängt nicht zuletzt davon ab, in welchen Zeiträumen die Investitionen erfolgten. Es kann zusammenfassend festgehalten werden, dass bei der Berechnung der kapitalgewichteten Rendite zweierlei Einflüsse berücksichtigt werden. Einerseits ist das Timing der stattfindenden Zahlungen zu nennen, andererseits ist die Entwicklung des Kapitalmarktes zu berücksichtigen. Im Gegensatz zu der kapitalgewichteten Rendite kommt bei der zeitgewichteten Rendite lediglich das Marktgeschehen zum Ausdruck. Kommt es zu einem Überhang der zeitgewichteten gegenüber der kapitalgewichteten Rendite, lässt der angesprochene Zusammenhang den Rückschluss zu, dass der verantwortliche Kapitalanleger ein ungünstiges Timing der Zahlungen zu verantworten hat. Umgekehrt deutet eine im Vergleich zu der zeitgewichteten Rendite höhere kapitalgewichtete Rendite auf ein günstiges Timing des Kapitalanlegers hin. 60 Das nachfolgende Beispiel erläutert den Unterschied bei der Berechnung der zeitgewichteten und der kapitalgewichteten Rendite. Hierbei werden für zwei gegebene Portfolios A und B zunächst die durchschnittliche zeitgewichtete und anschließend die durchschnittliche kapitalgewichtete monatliche Rendite ermittelt. Berechnen Sie die zeitgewichtete und die kapitalgewichtete Rendite für den Zeitraum 01.01.2011 bis 31.12.2012 auf Grundlage der nachfolgenden historischen Kurse bei einer Investition von 83,97€ zum 01.01.2011 Periode Kurs EZ A EZ B 01.01.2011 83,97 € 01.01.2012 93,02 € + 3,89 € - 4,19 € 31.12.2012 89,87 € Die kapitalgewichtete Rendite resultiert aus der Berechnung des internen Zinsfußes der zugrundeliegenden Zahlungsreihe: Periode Zahlungsreihe A Zahlungsreihe B 01.01.2011 - 83,97 € - 83,97 € 01.01.2012 - 3,89 € + 4,19 € 31.12.2012 + 89,87 € + 3,89 € * 89,87 € / 93,02 € = 93,62 € + 89,87 € - 4,19 € * 89,87 € / 93,02 € = 85,82 € Für die durchschnittliche kapitalgewichtete Rendite der Portfolios erhält man daher folgende Werte: Portfolio A: 0 = −83,97 + (1−+3𝑟𝑟,89) 𝐴𝐴 1 + 93,62 (1+𝑟𝑟 𝐴𝐴 ) 2 bzw. Portfolio B: 0 = −83,97 + 4,19 (1+𝑟𝑟 𝐵𝐵 ) 1 + 85,82 (1+𝑟𝑟 𝐵𝐵 ) 2 → 𝑟𝑟 𝐴𝐴 = 3,30 % → 𝑟𝑟 𝐵𝐵 = 3,62 % 60 Vgl. Spremann (2008), S. 345 <?page no="89"?> 1.6 Welche Bedeutung hat die Rendite für das Portfolio Management? 89 Im Anschluss werden zunächst gemäß Formel (1.17) die diskreten periodenspezifischen Renditen ermittelt: Portfolio A & B: 𝑟𝑟 1 = 93,02 83,97 − 1 = 10,78 % 𝑟𝑟 2 = 89,87 93,02 − 1 = −3,39 % gefolgt von der anschließenden Berechnung der durchschnittlichen zeitgewichteten Rendite: 𝑟𝑟 𝐴𝐴 = 2 �[(1 + 0,1078)(1 − 0,0339)] = 3,45 % 1.6.4 Stetige Rendite (logarithmische Rendite) Bei der Berechnung der diskreten Rendite in Abschnitt 1.6.1 wird das Endvermögen 𝑃𝑃 𝑇𝑇 mit dem Anfangsvermögen 𝑃𝑃 0 verglichen. Die Rendite 𝑅𝑅 𝑇𝑇 stellt die Wachstumsrate innerhalb des Anlagezeitraums der Länge 𝑇𝑇 dar. Dabei wird dieser Zeitraum als ein disrekter Zeitschritt angesehen. Betrachten wir zum Beispiel ein Jahr, wird 𝑇𝑇 = 1 gewählt und 𝑅𝑅 1 ist die Wachstumsrate des Vermögens innerhalb des Jahres. Sollen Zahlungen und Zinseszinseffekte innerhalb des Jahres, also unterjährig, berücksichtigt werden, wird dieser Zeitraum in 𝑛𝑛 gleichmäßige Teilabschnitte zerlegt. Die Anzahl 𝑛𝑛 der unterjährigen Teilabschnitte ergibt aus der Betrachtung von Quartalen (𝑛𝑛 = 4) , Monaten (𝑛𝑛 = 12) , Wochen (𝑛𝑛 = 52) , Handelstagen ( n = 250 oder 255 ) der Tagen ( n = 365 ). Für die Wertentwicklung gilt dann gemäß der mehrperiodischen Betrachtung aus Abschnitt 1.6.2 𝑃𝑃 1 = 𝑃𝑃 0 ⋅ (1 + 𝜌𝜌 𝑛𝑛 ) 𝑛𝑛 = 𝑃𝑃 0 ⋅ �1 + 1( 𝑅𝑅 𝑛𝑛) 𝑛𝑛 � 𝑛𝑛 (1.25) mit 𝜌𝜌 𝑛𝑛 : 1( 𝑅𝑅 𝑛𝑛) diskrete unterjährige Rendite nominelle einjährige Rendite Als effektive Rendite bezeichnet man diejenige diskrete Rendite, die für den betrachteten Zeitraum dieselbe Wertenwicklung beschreibt. Als effektive Rendite ergibt sich also 𝑅𝑅 1 = �1 + 1( 𝑅𝑅 𝑛𝑛) 𝑛𝑛 � 𝑛𝑛 − 1 Die unterjährige Betrachtung erlaubt die Abbildung unterjähriger Zinseszinseffekte, sodass die effektive Rendite größer oder gleich der nominellen einjährigen Rendite ist: 1 𝑅𝑅 1 ≥ 𝑅𝑅 (𝑛𝑛) Bei kontinuierlicher Betrachtung mit 𝑛𝑛 → ∞ ergibt sich aus (1.25) ein stetiger exponentieller Wachstumsprozess 𝑃𝑃 1 = 𝑃𝑃 0 ⋅ 𝑒𝑒 𝑅𝑅 (𝑠𝑠) (1.28) (1.26) (1.27) <?page no="90"?> 90 1 Grundlagen des Portfolio Managements Die Rendite 𝑅𝑅 (𝑠𝑠) wird als stetige Rendite bezeichnet und zeigt in Formel (1.28) diejenige Wachstumsquote, die das Anlagekapital 𝑃𝑃 0 nach einer Periode zum Endvermögen 𝑃𝑃 1 anwachsen lässt. Im Vergleich zur Bestimmung der diskreten Rendite wird bei der Berechnung der stetigen Rendite von einem kontinuierlichen bzw. stetigen Wachstum (engl. continuously compounded return) des eingesetzten Vermögens ausgegangen. 61 Die stetige Rendite ist als logarithmische Rendite (engl. logarithmic return) definiert: 𝑅𝑅 (𝑠𝑠) = ln �𝑃𝑃 1 𝑃𝑃 0 � = ln(𝑃𝑃 1 ) − ln (𝑃𝑃 0 ) (1.29) Für die effektitve Rendite ergibt sich der Zusammenhang (1.30) 𝑅𝑅 1 = 𝑒𝑒 𝑅𝑅 (𝑠𝑠) − 1 𝑅𝑅 (𝑠𝑠) = ln(𝑅𝑅 1 + 1) (1.31) Bei der Betrachtung mehrerer Perioden, d.h. eines Anlagezeitraums 𝑇𝑇 mit Perioden 𝑡𝑡 = 1, … , 𝑇𝑇 (z.B. T Jahre) und Vermögenswerten 𝑃𝑃 0 , 𝑃𝑃 1 , … 𝑃𝑃 𝑇𝑇 werden pro Periode stetige Renditen gemäß (1.29) berechnet 𝑟𝑟 𝑡𝑡(𝑠𝑠) = ln(𝑃𝑃 𝑡𝑡 ) − ln (𝑃𝑃 𝑡𝑡−1 ) Für die gesamte Wertentwicklung ergibt sich 𝑇𝑇 𝑇𝑇( 1 𝑇𝑇( 1 𝑇𝑇 𝑃𝑃 𝑇𝑇 = 𝑒𝑒 𝑟𝑟 (𝑠𝑠) ⋅ 𝑃𝑃 𝑇𝑇−1 = 𝑒𝑒 𝑟𝑟 𝑠𝑠) ⋅ … ⋅ 𝑒𝑒 𝑟𝑟 (𝑠𝑠) ⋅ 𝑃𝑃 0 = 𝑒𝑒 𝑟𝑟 𝑠𝑠) +⋯+𝑟𝑟 (𝑠𝑠) ⋅ 𝑃𝑃 0 = 𝑒𝑒 𝑅𝑅 (𝑠𝑠) 𝑇𝑇 Die gesamte stetige Rendite 𝑅𝑅 (𝑠𝑠) für den Anlagezeitraum 𝑇𝑇 lässt sich also als Summe der einzelnen stetigen Renditen berechnen: 𝑇𝑇 𝑅𝑅 (𝑠𝑠) = 𝑟𝑟 𝑇𝑇(𝑠𝑠) + ⋯ + 𝑟𝑟 1(𝑠𝑠) Dieser Zusammenhang wird, wie in Abschnitt 1.6.2 beschrieben, als Zeitadditivität bezeichnet. Dieser gilt für stetige (logarithmische) Renditen aber nicht für diskrete (geometrische) Renditen. Daher wird in der Finazmathematik häufig auf stetige Renditen zurückgegriffen. Die stetige Rendite über einen langen Zeitraum ergibt sich also als Summe der stetigen Renditen über die betrachteten Teilperioden ergibt. 62 Das folgende Beispiel in Tab. 3 greift diesen Zusammenhang nochmals auf. Periode 0 1 2 Kurs 50,00 53,00 50,00 stetige Rendite 5,83 % -5,83 % Tab. 2: Berechnung der stetigen Renditen 61 Vgl. Poddig/ Brinkmann/ Seiler (2009), S. 34 62 Vgl. Kempf Präsentation Seminar ABWL, S. 22 (1.32) (1.33) (1.34) <?page no="91"?> 1.6 Welche Bedeutung hat die Rendite für das Portfolio Management? 91 Der Kurs eines Wertpapiers steigt zunächst von 50,00 € auf 53,00 €, was einer stetigen Rendite von 5,83 % entspricht. Fällt der Kurs des Wertpapiers anschließend wieder um den gleichen absoluten Betrag auf 50,00 €, ergibt dies einen prozentualen Verlust von 5,83 %. Im Portfolio Management muss je nach Anwendungsgebiet differenziert werden, ob bei der Portfolioanalyse auf diskrete oder stetige Renditen zurückgegriffen werden sollte. Es zeigt sich, dass es je nach Anwendung durchaus sinnvoll oder hilfreich erscheint, diskrete in stetige Renditen (oder umgekehrt) umzuwandeln. 63 Dazu werden durch die Betrachtung des natürlichen Logarithmus der Vermögensentwicklung die multiplikativen in additive Zusammenhänge transformiert. 64 Die stetige Rendite des Portfolios ergibt sich wie folgt: 𝑅𝑅 𝑠𝑠(𝑃𝑃) = ln �𝑤𝑤 𝑖𝑖 ⋅ 𝑒𝑒 𝑅𝑅 𝑠𝑠(𝑖𝑖) � (1.35) Da die Eigenschaft der Zeitadditivität für einige Anwendungsgebiete zwingend notwendig ist, kommen diese zum Beispiel im Rahmen von Zeitreihenmodellen und der Optionspreistheorie nach B LACK und S CHOLES zur Anwendung. 65 Daher folgt eine kurze Übersicht der wichtigsten statistischen Eigenschaften stetiger Renditen, die sich aus der Zeitadditivität ergeben. Abb. 18 greift die unterschiedlichen Varianten für die Berechnung von mehrperiodigen Renditen auf und stellt diese in einem Diagramm dar. 63 Vgl. Poddig/ Brinkmann/ Seiler (2009), S. 38 64 Vgl. Spreeman (2008), S. 411 65 Vgl. Steiner/ Bruns (1993), S. 52 <?page no="92"?> 92 1 Grundlagen des Portfolio Managements Abb. 18: Transformation der Renditebasis bei Mehrperiodigkeit Quelle: Schmidt-von Rhein (1996), S. 138 Zunächst folgt aus der Zeitadditivität direkt, dass die mittlere stetige Rendite über mehrere Perioden, das arithmetische Mittel der stetigen Renditen der einzelnen Perioden ist 𝑚𝑚 (𝑠𝑠) = 1 𝑇𝑇 ⋅ �𝑚𝑚 𝑇𝑇(𝑠𝑠) + ⋯ + 𝑚𝑚 1(𝑠𝑠) � = 1 𝑇𝑇 ⋅ 𝑅𝑅 𝑇𝑇(𝑠𝑠) Bei der Durchführung von statistischen Analysen und Modellen wird oftmals auf die Annahme einer Normalverteilung zurückgegriffen, weshalb die zugrundeliegenden Daten zumindest näherungsweise einer Normalverteilung folgen sollten. 66 Diese statistische Voraussetzung wird am ehesten durch eine Datengrundlage mit stetigen Renditen erfüllt. Auf Basis des zentralen Grenzwertsatzes kann unter bestimmten Annahmen und Voraussetzungen eine Normalverteilung von Renditen gerechtfertigt werden, wenn sich diese wegen der Zeitadditivität als Summe bzw. arithmetisches Mittel von unkorrelierten Renditen modellieren lassen. 66 Vgl. Schmidt-von Rhein (1996), S. 138 (1.36) <?page no="93"?> 1.6 Welche Bedeutung hat die Rendite für das Portfolio Management? 93 Zeitraum diskrete Rendite stetige Rendite Differenz Jahr 30,0000 % 2,0000 % 26,2364 % 1,9802 % 3,7635 % 0,0197 % Halbjahr 14,0175 % 0,9950 % 13,1182 % 0,9901 % 0,8993 % 0,0049 % Monat 2,2104 % 0,1651 % 2,1863 % 0,1650 % 0,0240 % 0,0001 % Tag 0,0729 % 0,0055 % 0,0728 % 0,0055 % 0,0000 % 0,0000 % Tab. 3: Vergleich der Renditeberechnungen. Quelle: Poddig/ Brinkmann/ Seiler (2009), S. 40 Die Ergebnisse der unterschiedlichen Renditeberechnungen in Tab. 3 zeigen den Rückgang der Differenzen zwischen der stetigen und diskreten Rendite bei der Verkürzung des zugrundeliegenden Zeitraums bzw. bei einem grundsätzlich niedrigen Renditeniveau. Es zeigt sich, dass für einen kurzen Zeitraum die Unterschiede zwischen der diskreten und der stetigen Rendite lediglich marginal ausfallen, sodass bei der Wahl der verwendeten Renditeart in erster Linie die Anforderungen des Anwendungsgebietes berücksichtigt werden sollten. Im wissenschaftlichen Forschungsbereich dominiert die Anwendung der stetigen Rendite, wobei die diskreten Renditen vor allem in der Praxis aufgrund ihrer leichten Interpretierbarkeit eine häufige Verwendung finden. 67 Abb. 19 greift den zuvor dargestellten Zusammenhang nochmals grafisch auf. Unabhängig von der Wahl der Renditeart ist jedoch aus Tab. 3 unmittelbar der allgemeine Zusammenhang ersichtlich, sodass die effektive diskrete Rendite immer größer oder gleich der stetigen Rendite ist. Berechnen Sie die stetige tägliche Rendite für die vergangene Woche auf Grundlage der nachfolgenden historischen Kurse 67 Vgl. Poddig/ Brinkmann/ Seiler (2009), S. 40 stetige bzw . diskrete Rendite -50% -40% -30% -20% -10% 0% 10% 20% 30% 40% -40% -30% -20% -10% 0% 10% 20% 30% 40% diskrete Rendite Diskrete Rendite Stetige Rendite Abb. 1: Grafischer Vergleich der diskreten und der stetigen Rendite Quelle: Prexl/ Bloss/ Ernst/ Haas/ Häcker/ Röck (2009), S. 313 <?page no="94"?> 94 1 Grundlagen des Portfolio Managements Heute ist Donnerstag, der 15.07. Folgende Schlusskurse eines in Frankfurt gelisteten Unternehmens ABC seien gegeben (in €): Kurs 𝒓𝒓 𝒔𝒔 Mittwoch, den 14.07. 85,00 € 8,59 % Dienstag, den 13.07. 78,00 € -3,77 % Montag, den 12.07. 81,00 € 9,04 % Freitag, den 09.07. 74,00 € 2,74 % Donnerstag, den 08.07. 72,00 € 11,78 % Mittwoch, den 07.07. 64,00 € Die stetige Rendite für die letzte Woche (vom 07.07. bis 14.07.) wird wie folgt ermittelt: 𝑅𝑅 (𝑠𝑠) = ln(85) − ln(64) = 28,38% 𝑚𝑚 (𝑠𝑠) = 15 ⋅ (8,59% − 3,77% + 9,04% + 2,74% + 11,78%) = 5,68% Abb. 20: Umsetzung der stetigen Rendite in Excel 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 A B C D E F G Stetige Rendite Mittwoch, den 14.07 85,00 € 0,0859 << =LN(C33/ C34) Dienstag, den 13.07 78,00 € - 0,0377 Montag, den 12.07 81,00 € 0,0904 Freitag, den 09.07 74,00 € 0,0274 Donnerstag, den 08.07 72,00 € 0,1178 Mittwoch, den 07.07 64,00 € Stetige Rendite: 5,68% << =AVERAGE(D33: D37) <?page no="95"?> 1.7 Welche Bedeutung hat das Risiko für das Portfolio Management? 95 1.7 Welche Bedeutung hat das Risiko für das Portfolio Management? „Die Zukunft hat viele Namen. Für die Schwachen ist sie das Unerreichbare. Für die Furchtsamen ist sie das Unbekannte. Für die Mutigen ist sie die Chance.“ Victor Hugo - französischer Schriftsteller (*1802, †1885) Quelle: © Poesies.net Das vorliegende Zitat von V ICTOR H UGO beleuchtet neben den individuellen Eigenschaften eines Menschen und dessen Einstellung zu Risiken vor allem die unterschiedliche Wahrnehmung der Zukunft. Die bekannte und nahezu philosophisch anmutende Behauptung, alle Menschen besäßen in der Gegenwart die Möglichkeit, ihre Zukunft selbst zu gestalten, ist nur bedingt richtig. Obwohl der Verlauf der Zukunft durch Entscheidungen in der Gegenwart beeinflusst werden kann und somit durch den Menschen selbst gestaltbar ist, unterliegen nicht alle Merkmale eines zukünftigen Zustands unserem Einfluss. Zum Beispiel lässt sich die Zukunft durch die heutige Festlegung von Zielen und deren Umsetzung in Form von Entscheidungen und Handlungen gestalten. Es kann jedoch keine Aussage in der Gegenwart darüber getroffen werden, ob die Ziele in der Zukunft tatsächlich erreicht werden. Jegliche Ereignisse, Zustände oder Ergebnisse in der Zukunft sind also mit Unsicherheit behaftet. Der „gesunde Menschenverstand“ schließt daraus die Erkenntnis, dass unter dem Ausschluss von Insider-Informationen eine zuverlässige Prognose der zukünftigen Kurse von Wertpapieren in der Realität kaum möglich ist. Aus diesem Grund konzentriert man sich zum Zeitpunkt der Entscheidung besonders darauf, aus heutiger Sicht eine möglichst optimale Entscheidung für die Zukunft zu treffen. 68 Auf dieser Feststellung beruhen neben den „Entscheidungsregeln“ auch andere betriebswirtschaftliche Ansätze für den methodischen Umgang mit der Unsicherheit. Diese werden besonders in der modernen Portfoliotheorie und im Risikomanagement eingesetzt, wie im Abschnitt 1.3 beschrieben. Das wesentliche Ziel eines Portfolio-Managers richtet sich bei der Investition in diverse Anlagetitel maßgeblich auf die Erwirtschaftung von zukünftigen Erträgen. Da die jeweiligen Anlagetitel in einem Portfolio unterschiedlichen Risiken wie z.B. Markt-, Zins- und Liquiditätsrisiken ausgesetzt sind, übertragen sich diese Risiken durch den Kauf der Wertpapiere unmittelbar auf das gehaltene Portfolio. Ein Portfolio-Manager muss also zur Generierung von Erträgen unweigerlich ein gewisses Risiko in Kauf nehmen. Aus dieser Tatsache folgt das fundamentale Prinzip der Betriebs- und Finanzwirtschaft: Ohne Risiko kein Ertrag (engl. „there is no such thing as free lunch“). In diesem Fall stellen die übernommenen Risiken gewissermaßen den „Einsatz“ des Portfolio-Managers dar. Daher kann ein Portfolio-Manager getreu dem Motto „Wer jedes 68 Vgl. Deutsch (2005), S. 3 <?page no="96"?> 96 1 Grundlagen des Portfolio Managements Risiko ausschalten will, der zerstört auch alle Chancen“ 69 auch nur durch die Übernahme von Risiken zukünftige Erträge erwarten. Aus diesem Grund stellen Investitionen, die alleinig auf der Basis von zu erwartenden Renditen oder Erträgen getätigt werden, keine sinnvollen Anlageentscheidungen dar. Hierbei kennt der Entscheidende seinen Einsatz für die Erwirtschaftung neuer Erträge nicht, da er die übernommenen Risiken vollkommen außer Betracht lässt. 70 Die Konzepte der modernen Portfoliotheorie greifen vor diesem Hintergrund die zentralen Aussagen der Kapitalmarkttheorie auf und setzen diese in der Portfolio-Optimierung um. Demnach bringen Anlageformen mit überdurchschnittlich hohen Renditeerwartungen auch ein erhöhtes Risiko mit sich. Aus diesem Zusammenhang begründet die Kapitalmarkttheorie auch die Erkenntnis, dass ein Kapitalanleger durch eine adäquate Risikoprämie entschädigt werden sollte. Eine Grundlage für unsere Entscheidungen können historische Kurse bilden, dann beruht die Ermittlung der erwarteten Renditen und Risiken auf einer reinen Vergangenheitsbetrachtung. Auf Grundlage historischer Entwicklungen werden die Risiken einer Kapitalanlage oder gar eines ganzen Portfolios quantifiziert. Sie dienen somit als Anhaltspunkte für die zu erwartenden Risiken in der Zukunft. Bei jeder Anlageentscheidung wird geprüft, ob und in welcher Höhe neue Risiken übernommen werden können und inwieweit die Übernahme von Risiken sinnvoll ist. Anhand der uns zur Verfügung stehenden Informationen soll also eine zu diesem Zeitpunkt optimale Anlageentscheidung getroffen werden. 1.7.1 Der Risikobegriff Quelle: picture alliance / dpa “Investors should always keep in mind that the most important metric is not the returns achieved but the returns weighed against the risks incurred. Ultimately, nothing should be more important to investors than the ability to sleep soundly at night.” Seth Klarman - Autor, Gründer und Präsident der Baupost Group (*1957) Aus den vorangegangenen Abschnitten wird deutlich, dass dem Begriff „Risiko“ mehrere Bedeutungen zugesprochen werden können. Bisweilen treten Risiken als Unsicherheiten, Kursveränderungen und negative Abweichungen am Kapitalmarkt in Erscheinung. Aus diesem Grund sollen im Nachfolgenden die maßgeblichen und für uns relevanten Erklärungsansätze des Risikobegriffes erläutert werden. Die nachfolgenden Erklärungsansätze zum Begriff „Risiko“ unterscheiden sich maßgeblich durch die jeweilige Risikobereitschaft der Entscheidungsträger im Umgang mit einer Risikosituation. Die individuelle Risikobereitschaft bzw. Risikopräfe- 69 Hans-Olaf Henkel (*1940), dt. Topmanager, 1985-93 Deutschland-Chef IBM, 1993-94 Europa-Chef IBM, 1995-2000 Präsident Bundesverband der Deutschen Industrie (BDI) 70 Vgl. Deutsch (2005), S. 4 <?page no="97"?> 1.7 Welche Bedeutung hat das Risiko für das Portfolio Management? 97 renz spiegelt also die Einstellung eines Entscheidungsträgers gegenüber spezifischen Risikosituationen wider. Eine Risikosituation ergibt sich grundsätzlich sowohl in der Entscheidungstheorie 71 als auch in der modernen Portfoliotheorie bei der Auswahl verschiedener Anlagealternativen auf Grundlage von verschiedenen Erwartungen und Risiken. Der Risikobegriff wird innerhalb der deutschen und angloamerikanischen Fachliteratur unterschiedlich beschrieben. Zum Beispiel findet man Ansätze, welche das Risiko als Abweichung von geplanten oder erwarteten Größen definieren. Andere Autoren grenzen den Begriff des Risikos hingegen als negative Abweichungen von einem Erwartungswert noch enger ab. Weitere Ansätze zur Erklärung des Risikobegriffes beziehen neben negativen Abweichungen von der Erwartung (Verlustrisiko) auch positive Abweichungen (Gewinnchancen) in die Definition des Begriffes mit ein. In den unterschiedlichen Definitionen spiegelt sich auch die individuelle Risikobereitschaft der Entscheidungsträger in der Form von Risikoneutralität, Risikoaversion und Risikofreude in den unterschiedlichen Definitionen des Begriffes „Risiko“ wider. Die Darstellung des Risikobegriffes im vorherigen Abschnitt zeigte, dass ein unmittelbarer Zusammenhang zwischen den verschiedenen Definitionen und den individuellen Risikoeinstellungen von Kapitalanlegern besteht. Da uns die unterschiedlichen Risikobereitschaften von Entscheidungsträgern bei der Bearbeitung der weiteren Kapitel immer wieder begegnen werden, soll im folgenden Abschnitt kurz auf die verschiedenen Einstellungen eingegangen werden. Ein Kapitalanleger ist in diesem Sinne ebenfalls ein Entscheidungsträger, sodass die beiden Begriffe als Synonym füreinander verwendet werden. Ein Entscheidungsträger verhält sich risikoneutral, wenn sich dieser bei seiner Entscheidung in erster Linie von der zu erwartenden Rendite beeinflussen lässt und dadurch den Aspekt des Risikos ausblendet. Der Entscheidungsträger orientiert sich lediglich am Erwartungswert der Rendite und lässt dabei die Abgrenzung in sichere und unsichere Alternativen außer Acht und ist demnach gegenüber dem Risiko indifferent. Es liegt eine Risikoaversion bzw. Risikoscheu des Entscheidungsträgers vor, wenn ein Kapitalanleger bei seinen Anlageentscheidungen sichere Anlagen gegenüber risikobehafteten Anlagen bevorzugt. Ein Entscheidungsträger orientiert sich demnach bei der Auswahl von geeigneten Kapitalanlagen neben dem Erwartungswert der Rendite auch am Risiko, wobei Anlagen mit geringerem Risiko bei gleichem Erwartungswert bevorzugt werden. Ein Entscheidungsträger ist dagegen als risikofreudig zu bezeichnen, wenn dieser bei der Auswahl Anlagen mit hohem Risiko gegenüber Anlagen mit gerigem Risiko. Betrachten wir zum Beispiel eine Anlage, die eine sichere Rendite von +5% erwirtschaftet und als Alternative eine Anlage, die mit Wahrscheinlichkeit 50% eine Rendite von +15% erwirtschaftet und mit Wahrscheinlichkeit 50% einen Verlust von -5% erleidet. Auch die zweite Anlage hat also einen Erwartungswert für die Rendite von +5%. Diese steht aber unter Risiko. Während ein risikoneutraler Anleger beiden An- 71 Einen Überblick über die Entscheidungstheorie liefert etwa Vahs/ Schäfer-Kunz (2007), S. 68 ff. <?page no="98"?> 98 1 Grundlagen des Portfolio Managements lagen gegünber indifferent ist, würde ein risikoaverser Anlager die erste Anlage bevorzugen und ein risiofreudiger Anlelger die zweite Anlage. 1.7.2 Klassifikation der Risikomaße Der überwiegende Teil der im Portfolio Management verwendeten Risikomaße ist quantitativer Natur. Durch die Quantifizierung der Risiken werden diese den Portfolio- und Risikomodellen in Form von Eingangsgrößen zugänglich gemacht und stellen somit einen integralen Bestandteil der Portfolio-Optimierung dar. Im Gegensatz zu den quantifizierbaren Risiken werden im Prozess des Risikomanagements weitere Risiken in qualitativer Form genutzt. Obwohl sich qualitative Risiken, wie zum Beispiel das Bonitätsrisiko eines Unternehmens (engl. default risk) nur unzureichend quantifizieren lassen, besteht trotzdem die Notwendigkeit, derartige Risiken z.B. in der Form von Ratings in den Prozess des Risikomanagements miteinzubeziehen und durch subjektive Einschätzungen zu ergänzen. Dennoch widmen wir uns in den nachfolgenden Abschnitten durch die enge Verbindung zur Portfolio-Optimierung weitestgehend den quantitativen Risikomaßen. Die quantitativen Risikomaße lassen sich in drei wesentliche Gruppen unterteilen: − einseitige Risikomaße, − zweiseitige Risikomaße und − andere Risikomaße. Abb. 21 illustriert diese Abgrenzung der unterschiedlichen Risikomaße. Abb. 21: Klassifikation der Risikomaße Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Poddig (2009) S. 608 Die zweiseitigen Risikomaße beziehen entsprechend ihrer Namensgebung beide Seiten einer Renditeverteilung in Form von positiven und auch negativen Abweichungen vom Mittelbzw. Erwartungswert der Rendite in die Berechnung des Risikomaßes mit ein. In diesem Fall stellt der sich links vom Erwartungswert befindliche Teil der Renditeverteilung die Verluste (engl. downside risk) und der sich rechts vom Zweiseitig Mittlere Abweichung Varianz & Standardabweichung Schiefe (Skewness) & Wölbung (Kurtosis) Einseitig Value at Risk Conditional Value at Risk/ Expected Shortfall Semivarianz Andere Tracking Error Beta-Faktor Duration <?page no="99"?> 1.7 Welche Bedeutung hat das Risiko für das Portfolio Management? 99 Erwartungswert befindliche Teil der Renditeverteilung die Gewinne (engl. upside risk) dar. 72 Die Varianz und Standardabweichung stellen die am häufigsten eingesetzten Risikomaße dar. Als Finanzmarktrisiko bezeichnet man die Standardabweichung auch als Volatilität. Unter der Annahme normalverteilter Renditen beschreibt die Varianz bzw. die Standardabweichung die Streuung und damit das Schwankungsrisiko vollständig. Da am Kapitalmarkt jedoch häufig größere Abweichungen (engl. fat tails) zur Normalverteilung beobachtet werden, wird die Varianz und die Standardabweichung durch weitere zweiseitige Risikomaße, welche die Schiefe (engl. skewness) und Wölbung (engl. kurtosis) einer Verteilung berücksichtigen, ergänzt 73 . Die einseitigen Risikomaße betrachten im Gegensatz zu den beidseitigen Risikomaßen bei der Ermittlung des Risikos lediglich den linken Teil einer Renditeverteilung. Aus diesem Grund beschränken sich die einseitigen Risikomaße auf die möglichen Verluste am Kapitalmarkt und messen somit ein Verlustrisiko. Neben den ein- und zweiseitigen Risikomaßen existieren noch andere Risikomaße, die aufgrund der ihnen zugrunde liegenden statistischen Konzepte nicht eindeutig den vorangestellten Risikomaßen zugeordnet werden können. Zu diesen gehört beispielsweise die Kennzahl des Tracking Errors, welcher die tatsächlichen Abweichungen zwischen der Wertentwicklung eines Portfolios und einem Marktindex oder einer Benchmark quantifiziert und auch Asset-spezfisiche Risikomaße, wie der Beta- Faktor eines Aktien-Portfolios, welcher die Sensitivität gegenüber Marktschwankungen angibt oder die Duration, welche die Sensitivität eines Fixed-Income-Portfolios gegenüber Zinsänderungen angibt 74 . 1.7.3 Die Quantifizierung von Risiken In den nachfolgenden Abschnitten steht die Quantifizierung der Risiken einer Kapitalanlage im Vordergrund der Betrachtungen. Es wird dabei auf die gängigsten statistischen Konzepte zur Bewertung von Risiken zurückgegriffen, und es werden die grundlegenden Vorgehensweisen erläutert und durch kurze Beispiele ergänzt. Bevor wir uns jedoch den einzelnen Risikomaßen im Detail zuwenden, muss zunächst die Frage beantwortet werden, welche präferierten Eigenschaften ein monetäres Risikomaß grundsätzlich besitzen sollte. Mit anderen Worten gehen wir der Frage nach, wie ein Risikomaß ausgestaltet sein sollte, um die inhärenten Risiken an den Kapitalmärkten adäquat abbilden zu können. In diesem Sinne formulierten unter anderen A RTZNER et al. die nachfolgenden maßgeblichen Axiome. Um die betreffenden Axiome mathematisch zu formulieren, wird das Risikomaß 𝜌𝜌 eingeführt, das einem Portfolio X, das erwartete Risiko 𝜌𝜌(𝑋𝑋) zuordnet. Das Risikomaß 𝜌𝜌 sollte grundsätzlich den nachfolgenden 4 Axiomen entsprechen: 75 72 Siehe auch Abb. 25, Dichtefunktion der Standardnormalfunktion. 73 Vgl. Ruppert & Matteson, 2015 74 Vgl. Pinto, McMillan, Pirie, Kochard, & Van de Venter, 2011 75 Vgl. Artzner/ Delbaen/ Eber/ Heath (1998), S. 2 ff. <?page no="100"?> 100 1 Grundlagen des Portfolio Managements [1] Das Axiom der Subadditivität besagt, dass das Risiko eines Portfolios 𝑋𝑋 + 𝑌𝑌 , bestehend aus unterschiedlichen Bestandteilen 𝑋𝑋 und 𝑌𝑌 , nicht größer sein darf als die Summe der einzelnen Risiken: 𝜌𝜌(𝑋𝑋 + 𝑌𝑌) ≤ 𝜌𝜌(𝑋𝑋) + 𝜌𝜌(𝑌𝑌) (1.38) Die Eigenschaft der Subadditivität stellt eine der wichtigsten Charakterisierungen eines Risikomaßes dar. Wird die Eigenschaft der Subadditivität von einem Risikomaß tatsächlich erfüllt, führt die Diversifikation innerhalb eines Portfolios zu einer Reduzierung des Portfoliorisikos. [2] Das Axiom der positiven Homogenität besagt, dass das Risiko eines Portfolios proportional zu einem positiven Faktor t ist. Es gilt: 𝜌𝜌(𝑡𝑡 ∙ 𝑋𝑋) = 𝑡𝑡 ∙ 𝜌𝜌(𝑋𝑋) für 𝑡𝑡 > 0 (1.39) Da die Eigenschaft der Konvexität aus den ersten beiden Axiomen (1) Subadditivität und (2) positive Homogenität folgt, stellen die aufgeführten Axiome grundlegende Eigenschaften für die Lösung von Fragestellungen innerhalb der Portfolio-Optimierung dar. Vor diesem Hintergrund führt auch die Suche nach einem absoluten Minimum (vgl. Abschnitt 2.3) bei der Optimierung der Varianz eines Portfolios nur unter der Voraussetzung der Konvexität zu einem eindeutigen Ergebnis. [3] Das Axiom über die Monotonie besagt, dass das Risiko eines Portfolios ebenfalls durch eine monoton ansteigende Funktion dargestellt wird. 𝜌𝜌(𝑋𝑋) ≥ 𝜌𝜌(𝑌𝑌), 𝑤𝑤𝑒𝑒𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑋𝑋 ≥ 𝑌𝑌 (1.40) [4] Das Axiom der Translationsinvarianz, auch als „risk-free condition“ bekannt, bezieht sich auf die Investition eines zusätzlichen Betrages n in ein bestehendes Portfolio. Aus Formel (1.41) resultiert, dass sich dabei das Risiko stets um den Betrag n reduziert. 𝜌𝜌(𝑋𝑋 + 𝑚𝑚 ∙ 𝑏𝑏) = 𝜌𝜌(𝑋𝑋) − 𝑏𝑏 (1.41) Ein monetäres Risikomaß, das alle aufgeführten Eigenschaften der vier Axiome erfüllt, wird als kohärentes Risikomaß bezeichnet. Im Verlauf der weiteren Abschnitte wird gezeigt, dass die statistischen Konzepte zur Ermittlung von Risikomaßen die dargestellten Axiome nach A RTZNER et al. nur teilweise erfüllen. Alternativen zu der axiomatischen Charakterisierung von Risikomaßen nach A RTZ - NER / D ELBAEN / E BER / H EATH stellen das Axiomensystem von P EDERSEN / S ATCHELL sowie das Axiomensystem von R OCKAFELAR / U RYASEV / Z ABARANKIN dar. 76 76 Vgl. Albrecht (2003), Risk Measures, S. 1 ff. <?page no="101"?> 1.7 Welche Bedeutung hat das Risiko für das Portfolio Management? 101 1.7.3.1 Varianz „In order to succeed, you have to live dangerously. […] As long as the danger is rationally accepted and as long as the rewards far outweigh the risk.“ Sumner Redstone - US-amerikanischer Unternehmer und Milliardär (*1923) Quelle: © European Pressphoto Agency Die Quantifizierung von Risiken wird in der modernen Portfoliotheorie häufig durch das statistische Streuungsmaß Varianz vorgenommen aus dem direkt die Risikomaße Standardabweichung und folgen und das als Bestandteil einer Kovarianz- Varianz-Matrix in die Berechnung des Portfoliorisikos einfließt. Die Varianz ist als durchschnittliche quadrierte Abweichung der Beobachtungswerte von ihrem arithmetischen Mittel bzw. Erwartungswert definiert. Im Rahmen des Portfolio Managements beschreibt die Varianz die quadrierte Abweichung der diskreten oder stetigen Renditen von der arithmetischen Durchschnittsrendite. Die Varianz definiert sich formal wie folgt: 𝜎𝜎 2 = 1 𝑏𝑏 �(𝑅𝑅 𝑒𝑒 − 𝑅𝑅�) 2 𝑠𝑠 𝑒𝑒=1 (1.42) Der Mittelwert 𝑅𝑅� = ∑ 𝑅𝑅 𝑒𝑒 𝑠𝑠𝑒𝑒=1 repräsentiert das arithmetische Mittel der diskreten oder stetigen Renditen 𝑅𝑅 𝑒𝑒 und kann daher auch als Erwartungswert der zukünftigen Renditen interpretiert werden. Die Statistik bezeichnet die Varianz aufgrund der quadratischen Dimension der Merkmalsausprägungen auch als quadratisches Streuungsmaß. 77 Berechnen Sie für den heutigen Donnerstag, den 15.07., die Varianz des Wertpapiers ABC für die vergangene Woche auf Grundlage der nachfolgenden historischen Schlusskurse Kurs 𝑹𝑹 𝒕𝒕 �𝑹𝑹 𝒕𝒕 − 𝑹𝑹� 𝟐𝟐 Mittwoch, den 14.07. 85,00 € 8,97 % 0,000884 Dienstag, den 13.07. 78,00 € -3,70 % 0,009419 Montag, den 12.07. 81,00 € 9,46 % 0,001196 Freitag, den 09.07. 74,00 € 2,78 % 0,001039 Donnerstag, den 08.07. 72,00 € 12,50 % 0,004223 77 Vgl. Wewel (2006), S. 57 f. <?page no="102"?> 102 1 Grundlagen des Portfolio Managements Mittwoch, den 07.07. 64,00 € Summe 30,01% 0,016761 Mittelwert 6,00% 0,003352 Die Varianz des Wertpapiers ABC für die letzte Woche (vom 07.07. bis 14.07.) wird wie folgt ermittelt: 𝑅𝑅 = (0,0897 + (−0,0370) + 0,0946 + 0,0278 + 0,1250) 5 = 0,0600 Die historische Varianz beträgt: 0,003352 1.7.3.2 Standardabweichung Die Standardabweichung 𝜎𝜎 stellt ein weiteres Streuungsbzw. Risikomaß in der Statistik als auch im quantitativen Portfolio Management dar. Die Standardabweichung ergibt sich als Quadratwurzel der Varianz. Ihre Formel (1.43) lautet: 𝜎𝜎 = �𝜎𝜎 2 (1.43) Im Gegensatz zur Varianz bietet das statistische Maß der Standardabweichung den Vorteil, dass beide Kenngrößen „Erwartungswert“ und „Standardabweichung“ die gleiche Dimension aufweisen. Diese Eigenschaft ermöglicht einen sinnvollen Vergleich zwischen Erwartungswert und Standardabweichung unterschiedlicher Kapitalanlagen. Eine wichtige Voraussetzung für den sinnvollen Vergleich von Standardabweichung und Erwartungswert stellt die Kongruenz einer gemeinsamen Datengrundlage dar. Es ist notwendig, dass sich die Berechnung von Rendite und Standardabweichung einer Kapitalanlage stets auf den gleichen Beobachtungszeitraum bezieht. Möchte man die auf Basis des letzten Jahres ermittelte Rendite einer Kapitalanlage mit der abweichenden Varianz bzw. Standardabweichung vergleichbar machen, bedarf es unter Umständen der Annualisierung der Streuungsmaße. 78 Das statistische Maß einer annualisierten Standardabweichung wird in der Finanzwirtschaft häufig auch als Volatilität bezeichnet. Formel (1.44) ermöglicht die Angleichung von Standardabweichungen auf Grundlage von Tageskursen, Wochenkursen und monatlich festgestellten Kursen an eine gemeinsame jährliche Basis. Die annualisierte Volatilität ergibt sich durch das Produkt von Standardabweichung und der Quadratwurzel aus dem Anpassungsfaktor T. 𝜎𝜎 𝑎𝑎𝑠𝑠𝑠𝑠 = 𝜎𝜎 ∙ √𝑇𝑇 (1.44) Bezieht sich die Volatilität einer Kapitalanlage auf die Marktbewegung eines Tages, muss diese zum Vergleich mit der jährlichen Rendite dieses Wertpapiers mit Hilfe 78 Vgl. Maier (2007), S. 39 <?page no="103"?> 1.7 Welche Bedeutung hat das Risiko für das Portfolio Management? 103 des Faktors T angepasst werden. Obwohl ein Jahr in der Regel aus 365 Kalendertagen besteht, ist die Börse nach Abzug von Wochenenden und Feiertagen lediglich an ca. 250 Kalendertagen eines Jahres geöffnet. Aus diesem Grund werden im Portfoliokontext häufig 250 Börsenhandelstage als Anpassungsfaktor verwendet. 79 Die Annualisierung der Volatilität auf Grundlage unterschiedlicher Berechnungszeiträume ergibt sich wie folgt: 80 bei Tagesrenditen: bei Quartalsrenditen: bei Wochenrenditen: bei Monatsrenditen: √250 ∙ 𝜎𝜎 √4 ∙ 𝜎𝜎 √52 ∙ 𝜎𝜎 √12 ∙ 𝜎𝜎 (1.45) Neben der soeben erläuterten statistischen Methode zur Bestimmung der Volatilität auf Basis von historischen Renditen lassen sich die Volatilitäten von Kapitalanlagen ebenfalls durch das Black-Scholes-Modell implizit aus gehandelten Optionen ableiten. Diese werden in der Praxis auch häufig als implizite Volatilitäten bezeichnet. Die Werte dieser impliziten Größen spiegeln unmittelbar die Einschätzungen der Marktteilnehmer über die zukünftigen Schwankungen eines Wertpapiers wider, wobei sich die Anwendung dieser Kenngröße eher auf den professionellen Optionshandel an den Kapitalmärkten beschränkt. Berechnen Sie für den heutigen Donnerstag, den 15.07. die Standardabweichung des Wertpapiers ABC für die vergangene Woche auf Grundlage der Varianz σ = �0,003352 = 5,79 % Berechnen Sie nun die jährliche Volatilität des Wertpapiers ABC für das vergangene Jahr auf Grundlage der nachfolgenden Quartalsrenditen. 𝑹𝑹 𝒕𝒕 �𝑹𝑹 𝒕𝒕 − 𝑹𝑹� 𝟐𝟐 01.01. bis 31.03. 8,50 % 0,00116 01.04. bis 31.06. 3,25 % 0,00034 01.07. bis 31.09. 4,80 % 0,00001 01.10. bis 31.12. 3,85 % 0,00016 Summe 20,40 % 0,00166 Mittelwert 5,10 % 0,00042 Die jährliche Volatilität des Wertpapiers ABC für die letzte Woche (vom 07.07. bis 14.07.) wird wie folgt ermittelt: σ = �0,00042 ∙ √4 = 4,08 % Die annualisierte Volatilität für das Wertpapier ABC beträgt: 4,08 % 79 Vgl. Steiner/ Bruns (2002), S. 61 80 Vgl. Perridon/ Steiner (2002), S. 336 <?page no="104"?> 104 1 Grundlagen des Portfolio Managements 1.7.3.3 Semivarianz Da sowohl die Varianz als auch die Standardabweichung durch die Berücksichtigung von positiven und negativen Abweichungen von einem Mittelwert zweiseitige bzw. symmetrische Risikomaße darstellen, entsprechen diese nicht zwangsläufig dem Interesse der Kapitalanleger. Bei der Bewertung von Risiken fällt das Augenmerk auf die Betrachtung der negativen Abweichungen von einem beobachteten Mittelwert. Da bei dieser Methodik lediglich der linke Teil einer Wahrscheinlichkeitsverteilung betrachtet wird, bezeichnet man die nachfolgenden Risikomaße wie Semivarianz und Value at Risk häufig auch als einseitige Risikomaße oder Downside-Risikomaße. Die Semivarianz entspricht unter der Voraussetzung einer Normalverteilung ungefähr der halben Varianz der zugrundeliegenden Renditen. Die formale Definition der Semivarianz stellt sich wie folgt dar: 𝑆𝑆𝑉𝑉 = 1 𝑏𝑏 ��𝑅𝑅 𝑒𝑒 − 𝑅𝑅� −2 𝑠𝑠 𝑒𝑒=1 (1.46) Analog zur Standardabweichung ergibt sich die Semivolatilität gemäß: 𝑆𝑆𝑉𝑉𝑆𝑆𝑎𝑎 = √SV (1.47) Berechnen Sie für den heutigen Donnerstag, den 15.07., die Semivarianz des Wertpapiers ABC für die vergangene Woche auf Grundlage der nachfolgenden historischen Schlusskurse Kurs 𝑹𝑹 𝒕𝒕 �𝑹𝑹 𝒕𝒕− − 𝑹𝑹� −𝟐𝟐 Mittwoch, den 14.07. 74,00 € -5,13% 0,00000 Dienstag, den 13.07. 78,00 € 2,63% 0,00000 Montag, den 12.07. 76,00 € -10,59% 0,01121 Freitag, den 09.07. 85,00 € 18,06% 0,00000 Donnerstag, den 08.07. 72,00 € -12,20% 0,01487 Mittwoch, den 07.07. 82,00 € Summe -7,22% 0,02608 Mittelwert -1,44% 0,00522 Die Semvolatilität des Wertpapiers ABC für die letzte Woche (vom 07.07 bis 14.07) wird wie folgt ermittelt: SVol = �0,00522 = 0,0722 Die Semivarianz für das Wertpapier ABC beträgt: 7,22 % <?page no="105"?> 1.7 Welche Bedeutung hat das Risiko für das Portfolio Management? 105 1.7.3.4 Kovarianz und Korrelationskoeffizient Die Kovarianz stellt ein weiteres Risikomaß dar, das eng mit der Varianz verwandt ist. Es handelt sich um ein zweidimiensionales Risikomaß zur Bestimmung des Gleichlaufs zweier Zufallsvariablen bzw. Reihen von Beobachtungswerten und ermöglicht dadurch die Korrelationsanalyse zweier quantitativer Merkmale. In der Finanzwirtschaft beziehen sich die quantitativen Merkmale häufig auf Zeitreihen von Renditen von zwei Wertpapieren. Die Kovarianz ist eine Maßzahl für den (linearen) Zusammenhang zweier quantitativer Merkmale. Bei einer positiven Kovarianz gehen Werte eines Merkmals, die größer (kleiner) sind als der Mittelwert, überwiegend einher mit Werten des anderen Merkmals, die ebenfalls größer (kleiner) sind als der Mittelwert. Für eine negative Kovarianz ist das genau umgekehrt. Für zwei Merkmale 𝑋𝑋 und 𝑌𝑌 mit Beobachtungswerten 𝑒𝑒 𝑖𝑖 und 𝑦𝑦 𝑖𝑖 , 𝑖𝑖 = 1, … , 𝑏𝑏 lautet die Formel der Kovarianz wie folgt: 𝜎𝜎 𝑋𝑋𝑋𝑋 = 1 𝑏𝑏 ∙ �(𝑒𝑒 𝑖𝑖 − 𝑒𝑒) ⋅ (𝑦𝑦 𝑖𝑖 − 𝑦𝑦) 𝑠𝑠 𝑖𝑖=1 (1.48) Für zwei Wertpapiere mit Renditen 𝑅𝑅 1(1) , 𝑅𝑅 2(1) , … , 𝑅𝑅 𝑒𝑒(1) und 𝑅𝑅 1(2) , 𝑅𝑅 2(2) , … , 𝑅𝑅 𝑒𝑒(2) ergibt sich die Kovarianz entsprechend 𝜎𝜎 12 = 1𝑡𝑡 ∙ � �𝑅𝑅 𝑖𝑖(1) − 𝑅𝑅 (1) � ⋅ (𝑅𝑅 𝑖𝑖(2) − 𝑅𝑅 (2) ) 𝑒𝑒 𝑖𝑖=1 Bei genauerer Betrachtung stellt man eine formale Ähnlichkeit mit der Definition der Varianz fest. Insbesondere gilt für 𝑅𝑅 𝑖𝑖(1) = 𝑅𝑅 𝑖𝑖(2) , 𝑖𝑖 = 1 … , 𝑡𝑡 , die Gleichung 𝜎𝜎 12 = 𝜎𝜎 11 = 𝜎𝜎 22 , d.h. die Kovarianz stimmt mit der Varianz von Wertpapier 1 und Wertpapier 2 überein. Und für 𝑅𝑅 𝑖𝑖(1) = −𝑅𝑅 𝑖𝑖(2) , 𝑖𝑖 = 1 … , 𝑡𝑡 , gilt 𝜎𝜎 12 = −𝜎𝜎 11 = −𝜎𝜎 22 , d.h. die Kovarianz ist gleich der negativen Varianz von Wertpapier 1 und Wertpapier 2. Im Gegensatz zur Varianz besitzt die Kovarianz also die Eigenschaft, neben positiven auch negative Werte annehmen zu können. Diese Eigenschaft erlaubt es, wichtige Rückschlüsse über die Richtung des Gleichlaufs bzw. den Zusammenhang zweier quantitativer Merkmale zu ziehen, d.h. in welcher Richtung zwei Merkmale von ihren Mittelwerten abweichen. Daraus ergibt sich: 𝜎𝜎 12 < 0 → 𝑏𝑏𝑒𝑒𝑛𝑛𝑚𝑚𝑡𝑡𝑖𝑖𝑛𝑛𝑒𝑒𝑚𝑚 𝑍𝑍𝑎𝑎𝑍𝑍𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑒𝑒𝑏𝑏ℎ𝑚𝑚𝑏𝑏𝑛𝑛 𝜎𝜎 12 > 0 → 𝑒𝑒𝑆𝑆𝑍𝑍𝑖𝑖𝑡𝑡𝑖𝑖𝑛𝑛𝑒𝑒𝑚𝑚 𝑍𝑍𝑎𝑎𝑍𝑍𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑒𝑒𝑏𝑏ℎ𝑚𝑚𝑏𝑏𝑛𝑛 𝜎𝜎 12 = 0 → 𝑚𝑚𝑒𝑒𝑖𝑖𝑏𝑏 𝑍𝑍𝑎𝑎𝑍𝑍𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑒𝑒𝑏𝑏ℎ𝑚𝑚𝑏𝑏𝑛𝑛 (1.50) Durch die fehlende Normierung der Kennzahl ist es für den Anwender schwer, die Kovarianz sinnvoll auszulegen, weswegen sich die Aussage alleinig auf die Richtung des Zusammenhangs beschränkt. Um die Intensität des Gleichlaufs bzw. des Zusammenhangs der unterschiedlichen Kapitalanlagen zu messen, muss die Kovarianz geeigent normiert werden. Dabei wird der oben genannte Zusammenhang zur Varianz ausgenutzt. (1.49) <?page no="106"?> 106 1 Grundlagen des Portfolio Managements Die Formel des Korrelationskoeffizienten nach B RAVAIS / P EARSON lautet: 𝑚𝑚 = 𝜎𝜎 𝑒𝑒𝑥𝑥 𝜎𝜎 𝑒𝑒 𝜎𝜎 𝑥𝑥 (1.51) Der Korrelationskoeffizient (auch: Korrelationswert) ist ein dimensionsloses Maß für den Grad des linearen Zusammenhangs zwischen zwei quantitativen Merkmalen. Die Normierung führt zu einem Korrelationskoeffizienten innerhalb des nachfolgenden Intervalls: −1 ≤ 𝑚𝑚 ≤ 1 (1.52) Durch die Normierung stellt der Korrelationskoeffizient im Gegensatz zur Kovarianz eine relative Kenngröße dar und erlaubt neben der Quantifizierung der Richtung des Gleichlaufs auch eine Aussage über die Stärke des Zusammenhangs. Der Extremwert von -1 beschreibt die vollständige Gegenläufigkeit der beiden beobachteten Merkmale, d.h. 𝑅𝑅 𝑖𝑖(1) = 𝑚𝑚 ⋅ 𝑅𝑅 𝑖𝑖(2) , 𝑖𝑖 = 1 … , 𝑡𝑡 , für 𝑚𝑚 < 0 , und der andere Extremwert von +1 trifft die Aussage einer vollständig gleichförmigen Entwicklung beider Merkmale, d.h. 𝑅𝑅 𝑖𝑖(1) = 𝑚𝑚 ⋅ 𝑅𝑅 𝑖𝑖(2) , 𝑖𝑖 = 1 … , 𝑡𝑡 , für 𝑚𝑚 > 0 . Berechnen Sie für den heutigen Donnerstag, den 15.07., die Korrelation der Wertpapiere A und B für die vergangene Woche auf Grundlage der nachfolgenden historischen Schlusskurse Kurs A Kurs B 𝒓𝒓 𝒕𝒕𝑨𝑨 𝒓𝒓 𝒕𝒕𝑩𝑩 Mittwoch, den 14.07. 74,00 € 72,00 € -0,0513 -0,0769 Dienstag, den 13.07. 78,00 € 78,00 € 0,0263 -0,0250 Montag, den 12.07. 76,00 € 80,00 € -0,1059 -0,0588 Freitag, den 09.07. 85,00 € 85,00 € 0,1806 -0,0230 Donnerstag, den 08.07. 72,00 € 87,00 € -0,1220 -0,0543 Mittwoch, den 07.07. 82,00 € 92,00 € Standardabweichung 0,1104 0,0207 Kovarianz 0,0017 Die Korrelation von Wertpapier A und B für die letzte Woche (vom 07.07. bis 14.07.) wird wie folgt ermittelt: 𝑚𝑚 = σ AB σ A σ B = 0,0017 0,1104 ∙ 0,0207 = 0,7474 Die Korrelation für das Wertpapier ABC beträgt: 0,75 <?page no="107"?> 1.7 Welche Bedeutung hat das Risiko für das Portfolio Management? 107 Die Korrelation spielt im Portfolio Management insbesondere bei der Messung des Portfoliorisikos eine zentrale Rolle. Für ein Portfolio aus zwei Wertpapieren mit Varianz 𝜎𝜎 12 bzw. 𝜎𝜎 22 , Kovarianz 𝜎𝜎 12 , Korrelation 𝑚𝑚 und und Portfoliogewichten 𝑤𝑤 1 bzw. 𝑤𝑤 2 ist die Portfoliovarianz gegeben durch 𝜎𝜎 𝑃𝑃2 = 𝑤𝑤 12 ⋅ 𝜎𝜎 12 + 𝑤𝑤 22 ⋅ 𝜎𝜎 22 + 2 ⋅ 𝑤𝑤 1 ⋅ 𝑤𝑤 2 ⋅ 𝜎𝜎 12 = 𝑤𝑤 12 ⋅ 𝜎𝜎 12 + 𝑤𝑤 22 ⋅ 𝜎𝜎 22 + 2 ⋅ 𝑤𝑤 1 ⋅ 𝜎𝜎 1 ⋅ 𝑤𝑤 2 ⋅ 𝜎𝜎 2 ⋅ 𝑚𝑚 Daraus folgt die Subadditivität der Standardabweichung als Risikomaß (vgl 1.7.2) 𝜎𝜎 𝑋𝑋+𝑋𝑋 = �𝜎𝜎 𝑋𝑋2 + 𝜎𝜎 𝑋𝑋2 + 2 ⋅ 𝜎𝜎 𝑋𝑋 ⋅ 𝜎𝜎 𝑋𝑋 ⋅ 𝑚𝑚 ≤ �𝜎𝜎 𝑋𝑋2 + 𝜎𝜎 𝑋𝑋2 + 2 ⋅ 𝜎𝜎 𝑋𝑋 ⋅ 𝜎𝜎 𝑋𝑋 = 𝜎𝜎 𝑋𝑋 + 𝜎𝜎 𝑋𝑋 Für ein Portfolio mit 𝑁𝑁 Kapitalanlagen ist die Kovarianzmatrix �Σ 𝑖𝑖𝑖𝑖 � gegeben durch die Varianzen Σ 𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝜎𝜎 𝑖𝑖2 , 𝑖𝑖 = 1, … , 𝑁𝑁 auf der Diagonalen und durch die Kovarianzen Σ 𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝜎𝜎 𝑖𝑖𝑖𝑖 für 𝑖𝑖 ≠ 𝑗𝑗 . Entsprechend ist die Korrelationsmatrix (𝑅𝑅 𝑖𝑖𝑖𝑖 ) gegeben durch die Korrelationen 𝑚𝑚 𝑖𝑖𝑖𝑖 zwischen Wertpapier 𝑖𝑖 und 𝑗𝑗 für 𝑖𝑖 ≠ 𝑗𝑗 und durch 1 auf der Diagonalen. Auf Grund der Symmetrie der Definitionen von Kovarianz und Korrelation (vgl. (1.49) und (1.51)) sind beide Matrizen symmetrisch. Die Kovarianzbzw. Korrelationsmatrix erlaubt direkt die Berechnung der Portfoliovarianz für ein Portfolio aus 𝑁𝑁 Wertpapieren mit Gewichten 𝑤𝑤 1 , … , 𝑤𝑤 𝑁𝑁 . Die Verallgemeinerung von (1.53) ergibt 𝜎𝜎 𝑃𝑃2 = 𝑤𝑤 𝑇𝑇 ⋅ Σ ⋅ 𝑤𝑤 = �� 𝑤𝑤 𝑖𝑖 ⋅ 𝜎𝜎 𝑖𝑖 ⋅ 𝑤𝑤 𝑖𝑖 ⋅ 𝜎𝜎 𝑖𝑖 ⋅ 𝑚𝑚 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑁𝑁 𝑖𝑖=1 𝑁𝑁 𝑖𝑖=1 Möchte man bei der Bildung von Portfolios einen relativ hohen Diversifikationseffekt zur Streuung des Risikos erreichen, sollten bei der Aufnahme grundsätzlich Anlagetitel bevorzugt werden, die eine vergleichsweise niedrige Korrelation aufweisen. Hierzu wird unter Umständen bei der Auswahl auf unterschiedliche Assetklassen, Branchen und Länder zurückgegriffen (vgl. Abschnitt 1.4). 1.7.3.5 Value at Risk “The biggest risk is not taking any risk. In a world that is changing really quickly, the only strategy that is guaranteed to fail is not taking risks.” Mark Zuckerberg - Vorstandsvorsitzender des Sozialnetzwerks Facebook (*1984) Quelle: © Guillaume Paumier Die enge Verbindung von Rendite und Risiko erkannte bereits M ARKOWITZ (1952), als er im Rahmen der modernen Portfoliotheorie das statistische Maß der Standardabweichung zur Abbildung von Risiken einführte. Da die Standardabweichung als symmetrisches Risikomaß neben den negativen Abweichungen ebenfalls die positiven Abweichungen vom Mittelwert berücksichtigt, stellte sich im Laufe der Zeit heraus, dass dieses Konzept für die Anwendung im Asset Management nicht ausreicht, um Risiken zu messen. Um die asymmetrische Natur von Risiken bei der Strukturie- (1.53) (1.54) (1.55) <?page no="108"?> 108 1 Grundlagen des Portfolio Managements rung von Portfolios zu berücksichtigen, schlug M ARKOWITZ (1959) die Verwendung von Semi-Standardabweichungen vor. 81 Im Laufe der Zeit passten sich die statistischen und stochastischen Konzepte zur Bewertung von Risiken immer weiter an die volatilen Rahmenbedingungen der Kapitalmärkte an. Anfang der frühen 1990er Jahre entwickelte die Investment-Bank J.P. Morgan in Zusammenarbeit mit Reuters ein neuartiges Konzept, um mögliche Wertschwankungen eines Portfolios innerhalb eines bestimmten Beobachtungszeitraums in einem bestimmten Konfidenz-Niveau zu berechnen. Dieses Risikomaß wurde als Value at Risk (VaR) bekannt. 82 Der Begriff Wert im Risiko oder englisch Value at Risk (VaR) bezeichnet ein Risikomaß, das angibt, welchen Wert der Verlust einer bestimmten Risikoposition (z.B. eines Portfolios von Wertpapieren) mit einer gegebenen Wahrscheinlichkeit innerhalb eines gegebenen Zeithorizonts nicht überschreitet. Obwohl der VaR ursprünglich in J.P. Morgan‘s RiskMetrics™ Framework eingesetzt wurde, um das Risiko zukünftiger Änderungen im Portfoliowert von Anleihe-Portfolios zu bestimmen, wird das Konzept des VaR heute zur Bewertung von Risiken nahezu aller Anlageklassen (Aktien, Derivate und strukturierte Produkte usw.) verwendet. 83 Nach Abschluss der Entwicklungen ermöglichte das Team um J.P. Morgan auch anderen Banken und Finanzinstituten die Anwendung des VaR-Modells aus dem RiskMetrics™ Framework für ihre eigenen Zwecke. Der Basler Ausschuss für Bankenaufsicht (engl. Basel Committee on Banking Supervision) würdigte das Konzept des VaR und integrierte das Risikomaß in ein verbindliches Rahmenwerk für alle Finanzinstitutionen zur Eigenkapitalunterlegung von Marktrisiken. Die Risiken eines Finanzinstruments lassen sich am besten durch die Verteilung ihrer Renditen beschreiben. Varianz bzw. Standardabweichung bestimmen die Verteilung nur unter der Annahme einer Normalverteilung der Renditen vollständig. In der Realität folgen Renditen jedoch selten einer Normalverteilung. Wenn der untere Teil der Renditeverteilung stärker ausgeprägt ist als bei einer Normalverteilung, spricht man in diesem Zusammenhang häufig von „fat tails“. 84 Die tatsächlich zu beobachtenden Abweichungen von der Normalverteilung können durch eine geeignete Anwendung des VaR-Konzepts (vgl. statistische Methode unten) gemessen werden. Diese Abweichungen stellen eine verlässliche Anwendung des VaR-Konzeptes unter Verwendung der parametrischen Methode (siehe unten) in Frage. Die festgestellten Wahrscheinlichkeitsverteilungen in Abb. 22 und Abb. 23 bestätigen dies. Abb. 22 zeigt den detaillierten Vergleich einer aus empirischen Daten gewonnenen kumulierten Wahrscheinlichkeitsverteilung und einer kumulierten Normalverteilung. Es ist offensichtlich, dass an einigen Stellen deutlich sichtbare Abweichungen zwischen der empirisch festgestellten Verteilung und der Normalverteilung vorliegen. 81 Vgl. Fabozzi/ Stoyanov/ Rachez (2008), S. 181 82 Vgl. Rasmussen (2003), S. 392 83 Siehe J.P. Morgan/ Reuters (1996) 84 Vgl. Qian/ Hua/ Sorensen (2007), S. 72 <?page no="109"?> 1.7 Welche Bedeutung hat das Risiko für das Portfolio Management? 109 Abb. 22: Der Vergleich einer empirisch ermittelten kumulierten Wahrscheinlichkeitsverteilung mit der Normalverteilung. Quelle: Eigene Darstellung Abb. 23: Vergrößerter Ausschnitt von Abb. 22. Quelle: Eigene Darstellung Kumulierte Wahrscheinlichkeitsverteilung Kumulierte Wahrscheinlichkeitsverteilung <?page no="110"?> 110 1 Grundlagen des Portfolio Managements Einführung in das VaR-Maß Im modernen Risikomanagement ist ein Portfolio-Manager bei der Analyse des Value at Risk eines Portfolios neben der Quantifizierung des Risikos der einzelnen Finanzinstrumente vor allem an der konkreten ökonomischen Aussage dieser Kennzahl interessiert. Der VaR trifft deshalb folgende zentrale Aussage: „Wir sind zu x Prozent (also mit Wahrscheinlichkeit 𝛼𝛼 ) sicher, dass wir in den nächsten T Tagen nicht mehr als Z Dollar verlieren werden.“ 85 In anderen Worten gibt die Kennzahl VaR also den Verlust an, der in T Tagen nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 1- 𝛼𝛼 überschritten wird. Aus der vorherigen Aussage ergibt sich der VaR als eine Funktion in Abhängigkeit von den beiden Parametern des Zeithorizonts T und des Konfidenzniveaus 𝛼𝛼 : 𝑉𝑉𝑚𝑚𝑅𝑅 𝑇𝑇 (𝛼𝛼) = max{𝑍𝑍 ∶ 𝑃𝑃(Δ𝑉𝑉 𝑇𝑇 > 𝑍𝑍) ≥ 𝛼𝛼} (1.56) wobei Δ𝑉𝑉 𝑇𝑇 die Änderung des Portfoliowertes im Zeithorizont T angibt und P deren Wahrscheinlichkeitsverteilung. Der Zeithorizont wird gewöhnlich in Tagen angegeben, oft wird ein Tag, 𝑇𝑇 = 1 , oder ein Jahr, 𝑇𝑇 = 250 , betrachtet. Nach der formalen Definition entspricht der VaR mit einem Zeithorizont von T Tagen und einem Konfidenzniveau von 𝛼𝛼 , dem Verlust, der durch das (1- 𝛼𝛼 )-Quantil der Verteilung der Portfoliowertänderungen für die nächsten T Tage beschrieben wird. Soll zum Beispiel der VaR für ein Portfolio mit einem Zeithorizont von 8 Tagen und einem Konfidenzniveau von 98% bestimmt werden, stellt der VaR das 2%-Quantil der Verteilung über die Wertänderungen des Portfolios über die nächsten 8 Tage dar. 86 Die dazu notwendige Verteilung der Änderungen der Portfoliowerte ergibt sich entweder aus historischen Kurszeitreihen oder aus der simplen Annahme einer Wahrscheinlichkeitsverteilung. Um die Berechnung des VaR zu vereinfachen, wird im zweiten Fall häufig die Annahme getroffen, dass die Wertänderungen des Portfolios iner Normalverteilung entsprechen. Diese beiden Ansätze, der statistische Ansatz und der Modellbildungsansatz, werden unten detailliert beschrieben. Der VaR stellt für Portfolio- und Risikomanager eine einfach zu berechnende und zu interpretierende Kennzahl dar. Der VaR geht grundsätzlich der zentralen Frage nach, die sich jede am Kapitalmarkt agierende Führungskraft täglich aufs Neue stellen sollte: „Wie schlimm kann es kommen? “ Der statistische Ansatz zur Berechnung des VaR (non-parametric Method) Bei der statistischen Methode zur Berechnnung des VaR wird als Verteilung der Wertveränderungen die empirische Verteilungsfunktion der Renditen aus historischen Zeitreihen herangezogen. Soll der VaR eines Wertpapiers oder eines Portfolios mit der statistischen Methode zum Beispiel für einen Zeitraum von 𝑇𝑇 = 1 Tag berechnet werden, betrachtete man historischen Tagesrenditen 𝑅𝑅 1 , 𝑅𝑅 2 , … , 𝑅𝑅 𝑁𝑁 des Wertpapiers bzw. des Portfolios. Der 85 Siehe Hull (2007), S. 556 86 Vgl. Alexander (2008), S. 14 ff. <?page no="111"?> 1.7 Welche Bedeutung hat das Risiko für das Portfolio Management? 111 VaR ergibt sich dann als (1 − 𝛼𝛼) -Quantil der empirischen Verteilung dieser Renditen. Bezeichnen 𝑅𝑅 (1) ≤ 𝑅𝑅 (2) ≤ ⋯ ≤ 𝑅𝑅 (𝑁𝑁) die der Größe nach aufsteigend sortierten Renditen so gilt also 𝑉𝑉𝑚𝑚𝑅𝑅 1 (𝛼𝛼) = 𝑅𝑅 (⌈(1−𝛼𝛼)⋅𝑁𝑁⌉) wobei ⌈(1 − 𝛼𝛼) ⋅ 𝑁𝑁⌉ der aufgerundete gannzahlige Wert ist 87 . Soll also zum Beispiel der VaR zum Konfidenzniveau 𝛼𝛼 = 0,95 = 95% aus einer historischen Zeitreihe von 𝑁𝑁 = 250 Tagen bestimmt werden, so ist ⌈(1 − 𝛼𝛼) ⋅ 𝑁𝑁⌉ = ⌈0.05 ⋅ 250⌉ = 13 und 𝑉𝑉𝑚𝑚𝑅𝑅 1 (0,95) = 𝑅𝑅 (13) also der 13.-kleinste Wert der betrachteten historischen Renditen. Dies veranschaulicht die Interpretation des VaR als Verlustmaß. Von den 250 Renditen sind 12 (ein Anteil von rund 5%) kleiner als der VaR und 238 (ein Anteil von rund 95%) größer oder gleich dem VaR. Da beim statistischen Ansatz der VaR auf Basis der empirischen Verteilung ermittelt wird, werden die historischen Renditen als Stichprobe und somit Realisierungen der Zufallsvariablen der zukünfiten Rendite interpretiert. Daher wird diese Methode auch historische Simulation genannt. Da bei dieser Methode keine konkrete Annahme über die Verteilung der Portfolioänderungen getroffen wird, bezeichnet die englischsprachige Fachliteratur diese Vorgehensweise häufig als non-parametric method. Dabei ist zu beachten, dass der Stichprobenumfang 𝑁𝑁 , also die Anzahl der historischen Wertveränderungen, groß genug gewählt wird. Um eine zuverlässige Bestimmung des VaR für ein Portfolio zu gewährleisten, werden alle relevanten Kurszeitreihen der Risikofaktoren des Portfolios (Aktienkurse, Wechselkurse, Zinssätze) für einen ausreichend langen Zeitraum benötigt. Es wird angenommen, dass diese Beobachtungswerte die möglichen Ereignisse, die zukünftig passieren, schon enthalten und somit als verlässliche Grundlage für die Bestimmung des VaR dienen. Obwohl die statistische Methode ein sehr populärer Ansatz für die Bestimmung des VaR darstellt und darüber hinaus den Vorteil bietet, nicht von vorher festgelegten Annahmen abhängig zu sein, besitzt diese Methode die nachfolgenden Schwächen: 88 [1] Es wird unterstellt, dass sich vergangene Entwicklungen in der Zukunft fortsetzen werden. Es wird also angenommen, dass Aussagen über die Vergangenheit auch in Zukunft gelten werden. Die Entwicklungen an den Kapitalmärkten zeigten jedoch, dass unvorhersehbare extreme Ereignisse sich unregelmäßig wiederholen können. [2] Es wird angenommen, dass die Kurse zu verschiedenen Zeitpunkten unabhängig voneinander sind. Da jedoch zum Beispiel Autokorrelationen in den Daten täglicher Renditen nachzuweisen sind, stellt dies kein realistisches Vorgehen dar. 87 Vgl. Ruppert & Matteson (2015) 88 Vgl. Fabozzi/ Stoyanov/ Rachez (2008), S. 188 (1.57) (1.58) (1.59) <?page no="112"?> 112 1 Grundlagen des Portfolio Managements [3] Die statistische Methode erlaubtt keine zuverlässige Bestimmung des VaR für sehr hohe Konfidenzniveaus und längere Zeiträume. Obwohl eine Stichprobe von 250 Handelstagen die Entwicklung eines gesamten Handelsjahres beschreibt, stellen die Beobachtungswerte für die Bestimmung des VaR für das Konfidenzniveau von 99% eine vergleichsweise kleine Stichprobe dar. Auch bei der Betrachtung von z.B. Jahresrenditen (𝑇𝑇 = 250) stehen nicht genügtend historische Daten zur Verfügung, um einen VaR zu schätzen. Um ein tieferes Verständnis für den statistischen Ansatz zu erlangen, soll die zuvor erläuterte Vorgehensweise für die Bestimmung des VaR durch das nachfolgende Beispiel nochmals verdeutlicht werden. In diesem Beispiel soll der VaR der Daimler- Aktie mit einem Konfidenzniveau von 98% und einem Zeitraum von einem Tag berechnet werden. Die historischen Kurszeitreihen beziehen sich auf den Zeitraum vom 04.01.2021 bis 14.12.2022. Die Beobachtungswerte umfassen 501 Tage, woraus sich 500 Renditen für die Ermittlung des VaR ergeben. Es wird ein Investment in Daimler-Aktien getätigt, in Höhe von 10.000,00 €. Tab. 4 liefert hierzu eine Übersicht der historischen Zeitreihen. Tag 𝑡𝑡 Aktienkurs 𝑺𝑺 𝑒𝑒 in € Rendite 𝑅𝑅 𝑒𝑒 0 47,33 - 1 47,32 -0,00018 2 46,94 -0,00809 3 48,07 0,02410 … … … 499 64,61 0,00874 500 64,56 -0,00078 Tab. 4: Historische Zeitreihen eines Aktienkurses Ausgehend von den eintägigen Renditen 𝑅𝑅 𝑒𝑒 , 𝑡𝑡 = 1, … , 500 , wird nun VaR zum Konfidenzniveau 98% als 2%-Quantil betimmt. Dazu werden die Renditen der Größe nach aufsteigend sortiert, siehe Tab. 5. Rang 𝑖𝑖 Rendite 𝑅𝑅 (𝑖𝑖) 1 -0,07273 2 -0,06843 3 -0.06497 … … 499 0,07649 500 0,08907 Tab. 5: Sortierte historische Renditen der Aktie <?page no="113"?> 1.7 Welche Bedeutung hat das Risiko für das Portfolio Management? 113 Bei 𝑁𝑁 = 500 Renditen entspricht das 2%-Quantil dem 10.-kleinsten Wert, in diesem Fall einer Rendite von -0,04528 also -4,528%. Es gilt also 𝑉𝑉𝑚𝑚𝑅𝑅 1 (0,98) = −0,04528 = −4,528% Bei einer Investition von 10.000,00€ ergibt sich also ein Wertverlust von 452,80€. Abb. 24 zeigt die Wertänderungen aller historischen Renditen und den ermittelten VaR (schwarz) in einem Histogramm. Abb. 24: Histogramm der Daimler-Aktie (Wertänderungen) mit eingezeichnetem VaR Quelle: Eigene Darstellung Der Modellbildungsansatz (parametric method) Bei dieser Methode basiert die Verteilung der Renditen, die zur Bestimmung des VaR verwendet wird, nicht direkt auf historischen Daten. Stattdessen wird die zukünfitge Verteilung der Renditen als stetige Verteilung modelliert. Da dazu meist die Parameter eines gegebenen Verteilungstyps geschätzt werden, wird der Modellbildungsansatz auch parametric method genannt. Nach Modellierung der stetigen Verteilung der zukünftigen Renditen ist der VaR zum Konfidenzniveau 𝛼𝛼 auch bei diesem Ansatz als ( 1 − 𝛼𝛼 )-Quantil dieser Verteilung definiert. Beim Modellbildungsansatz stellt der VaR eine lineare Funktion der Portfoliovolatilität dar, wobei angenommen wird, dass sich die Normalverteilung im Zeitablauf stationär verhält 89 , dass sich also die Parameter im Zeitverlauf nicht ändern. Oft gehen in die Modellierung der Verteilung und in die Schätzung der Parameter wieder die historischen Renditen ein. Die Parameter können aber in Prinzip auch unabhängig von historischen Daten geschätzt werden. Im einfachsten Fall wird die Verteilung der zukünftigen Renditen als Normalverteilung modelliert. Diese ist eindeutig durch die beiden Parameter Erwartungswert 𝝁𝝁 und Varianz 𝝈𝝈 𝟐𝟐 bzw. Standardabweichung 𝝈𝝈 bestimmt. Das (1 − 𝛼𝛼) -Quantil einer Normalverteilung und damit der VaR zum Konfidenzniveau 𝛼𝛼 ist dann gleich 89 Vgl. Amenc/ Le Sourd (2003), S. 58 VaR = - (1.60) <?page no="114"?> 114 1 Grundlagen des Portfolio Managements 𝑉𝑉𝑚𝑚𝑅𝑅 𝑇𝑇 (𝛼𝛼) = 𝜇𝜇 + 𝑧𝑧 1−𝛼𝛼 ⋅ 𝜎𝜎 Hierbei ist 𝑧𝑧 1−𝛼𝛼 das (1 − 𝛼𝛼) -Quantil der Standardnormalverteilung und gibt den Wert an, den eine standardnormalverteilte Zufallsvariable (also mit Erwartungswert 𝜇𝜇 = 0 und Standardabweichung 𝜎𝜎 = 1 ) mit Wahrscheinlichkeit 1 − 𝛼𝛼 nicht überschreitet. Neben diesem Quantil hängt der VaR in diesem Fall also nur von den Parametern erwartete Rendite 𝜇𝜇 und erwartete Volatilität 𝜎𝜎 ab. Diese beiden Parameter können zum Beispiel aus historischen Zeitreihen durch den Mittelwert der Renditen und die historische Volatilität der Renditen geschätzt werden. Dabei ist zu beachten, dass die Renditen über den Zeitraum 𝑇𝑇 bestimmt werden. Betrachten wir zum Beispiel wieder die Daimler-Aktie und ermitteln einen VaR zum Konfidenzniveau von 98% und einem Zeitraum von einem Tag mit dem Modellbildungsansatz. Aus der Zeitreihen vom 04.01.2021 bis 14.12.2022 (vgl. Tab. 5) ergbit sich eine mittlere Tagesrendite von 0,000838 = 0,0838% und eine Volatilität der Tagesrenditen von 0,02086 = 2,086% . Das 2%-Quantil der Standardnormalverteilung beträgt 𝑧𝑧 0,02 = −2,05 . Verwenden wir die mittlere Tagesrendite als Schätzung für 𝜇𝜇 und die historische Volatilität als Schätzung für 𝜎𝜎 so ergibt sich 𝑉𝑉𝑚𝑚𝑅𝑅 1 (0,98) = 0,0838% − 2,05 ⋅ 2,0286% = −4,193% In diesem Beispiel eribt der Modellbildungsansatz also einen ähnlichen Wert für den VaR wie der statistische Ansatz. In der Praxis ist eine zuverlässige Modellierung der erwarteten Rendite 𝜇𝜇 häufig schwieriger als die der erwarteten Volatilität 𝜎𝜎 . Außerdem ist der Parameter 𝜇𝜇 oft um mindestens eine Größernordnung kleiner als der Parameter 𝜎𝜎 . Daher wird zur Betimmung des VaR durch die Normalverteilung bisweilen der Parameter 𝜇𝜇 vernächlässigt. Der VaR ist dann lediglich eine Funktion der erwarteten Volatilität 𝜎𝜎 𝑉𝑉𝑚𝑚𝑅𝑅 𝑇𝑇 (𝛼𝛼) = 𝑧𝑧 1−𝛼𝛼 ⋅ 𝜎𝜎 Mit anderen Worten wird häufig die Schätzung 𝜇𝜇 = 0 für die erwartete Rendite verwendet. Im Beispiel der Daimler-Aktie ergibt sich damti ein VaR von 𝑉𝑉𝑚𝑚𝑅𝑅 1 (0,98) = −2,05 ⋅ 2,0286% = −4,277% also ein sehr ähnlicher Wert. Das bedeutet, dass eine standardnormalverteilte Zufallsvariable mit einer Wahrscheinlichkeit von 2% um mehr als 2,05 Standardabweichungen im Wert sinken wird. Um die Hintergründe des Modellbildungsansatzes zur Bestimmung des VaR genauer zu erläutern, sollten wir uns näher mit der Dichtefunktion aus Abb. 25 beschäftigen. Die in Abb. 25 dargestellte Dichtefunktion beschreibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer stetigen Zufallsvariablen. Im Gegensatz zur Wahrscheinlichkeitsfunktion treffen die Funktionswerte der Dichtefunktion keine direkte Aussage in Bezug auf die Eintrittswahrscheinlichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine stetige Zufallsvariable einen bestimmten Wert nicht überschreitet, ergibt sich durch ein bestimmtes Integral der betrachteten Dichtefunktion. Die Abbildung zeigt die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung und liefert somit wichtige Informationen über die Eintrittswahrscheinlichkeiten von Beobachtungswerten. Die Beobachtungswerte, hier die Renditen eines Wertpapiers oder Portfolios, schwanken um den Erwartungswert. Durch die Annahme einer Standardnormalverteilung schwanken die Beobachtungswerte per Definition um den Erwartungswert von Null. Da- (1.61) (1.62) (1.63) (1.64) <?page no="115"?> 1.7 Welche Bedeutung hat das Risiko für das Portfolio Management? 115 bei stellt die Wahrscheinlichkeitsverteilung die Änderungen der Portfoliowerte dar, die Gewinne als positive und die Verluste als negative Werte. Die Intervall-Wahrscheinlichkeit für zwei Intervallgrenzen a und b lässt sich geometrisch aus der Fläche zwischen der Dichtefunktion und ihrer Abszisse sowie den angesprochenen Intervallgrenzen bestimmen. 90 Aus einer Intervallgrenze von einer Standardabweichung kann geschlossen werden, dass der zukünftige Wert einer stetigen Zufallsvariable mit einer Wahrscheinlichkeit von 68,27 % um deren Erwartungswert liegen wird. Im Umkehrschluss bedeutet das, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 31,73 % (1 - 0,6827) der Wert außerhalb der angeführten Intervallgrenzen liegt. Abb. 25: Dichtefunktion einer Standardnormalverteilung. Quelle: Eigene Darstellung Obwohl die Wahl des Konfidenzniveaus 𝜶𝜶 von der individuellen Einschätzung eines jeden Portfolio- und Risikomanagers abhängig ist, sieht der Basler Ausschuss für Bankenaufsicht für Banken und andere Finanzinstitutionen ein verbindliches Rahmenwerk für die Berechnung des VaR vor. Die Rahmenbedingungen geben ein Konfidenzniveau von 99 % bei einem zugrunde gelegten Zeithorizont von 10 Tagen vor. 91 Das bedeutet, dass es nur alle 1000 Tage (etwa 4 Jahre) zu einer Überschreibung des VaR innerhalb eines 10-Tages-Zeitraums kommen darf. Andernfalls sollte das für die Bewertung der Finanzinstrumente zugrunde gelegte VaR-Modell in Frage gestellt und überprüft werden. Durch die unmittelbare Vorgabe des Konfidenzniveaus sind Banken und Finanzinstitutionen nicht nur verpflichtet, die Bedingungen des Basler Ausschusses einzuhalten, sondern müssen ebenfalls eine regelmäßige Validierung des VaR-Modells im Sinne der vorangestellten Kriterien vornehmen. Die tägliche Überprüfung des Modells wird in der Praxis auch als Backtesting bezeichnet. Neben dem Konfidenzniveau 𝛼𝛼 ist die Berechnung des VaR ebenfalls vom betrachteten Zeithorizont T abhängig. Da in der Realität oftmals nicht genügend Daten für 90 Vgl. Wewel (2006), S. 175 91 Vgl. Alexander (2008), S. 14 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Wahrscheinlichkeit σ σ 68,27% 95,45% Downside-Risk Upside-Risk <?page no="116"?> 116 1 Grundlagen des Portfolio Managements eine direkte Schätzung des Verhaltens von Marktvariablen über einen längeren Zeitraum vorliegen, 92 wird der VaR zunächst für einen Zeitraum von einem Tag berechnet. Um den VaR für einen Zeitraum von beispielsweise 10 Tagen zu berechnen, wird vereinfachend auf einen Skalierungsfaktor zurückgegriffen. Die Formel lautet: 𝑉𝑉𝑚𝑚𝑅𝑅 𝑇𝑇 (α) = 𝑉𝑉𝑚𝑚𝑅𝑅 1 (α) ∙ √𝑇𝑇 (1.65) Die Skalierung folgt aus der entsprechenden Zeitskalierung der Volatilität, siehe Abschnitt 1.7.3.2 Formel (1.44) aus Formel (1.63). Diese Skalierung gilt also nur, falls die Renditen des Portfolios unabhängig und normalverteilt mit einem Erwartungswert von Null sind. Für ein Portfolio mit Portfoliowert V ergibt die Definition des parametrischen VaR (1.63) für ein Konfidenzniveau 𝛼𝛼 und einen Zeithorizont T 𝑉𝑉𝑚𝑚𝑅𝑅 𝑇𝑇 (α) = 𝑉𝑉 ∙ z 1−α ⋅ σ ⋅ √𝑇𝑇 (1.66) Dies ist der Verlust in Euro, der im Zeitraum T mit Wahrscheinlichkeit 𝛼𝛼 nicht überschritten wird. Abb. 26 fasst den Inhalt dieser allgemeinen Formel zur Berechnung des VaR nach dem Modellbildungsansatz zusammen. Abb. 26: Allgemeine Methodik zum VaR nach dem Modellbildungsansatz Quelle: Eigene Darstellung Abb. 27: Dichtefunktion der Daimler-Aktie mit eingezeichnetem Value at Risk Quelle: Eigene Darstellung 92 Vgl. Hull (2007), S. 558 Portfolio- Wert • 10 Mio. Volatilität • 0,001 Konfidenz- Niveau • 98% Zeitraum 𝑇𝑇 • 10 Tage VaR = -427.700€ <?page no="117"?> 1.7 Welche Bedeutung hat das Risiko für das Portfolio Management? 117 Es soll nachfolgend der VaR für die Daimler-Aktie berechnet werden für eine Position mit einem Wert von 10 Millionen Euro. Das Konfidenzniveau beträgt 98% und der Zeithorizont 10 Tage. Dazu wird zunächst der VaR für einen Zeithorizont von 1 Tag bestimmt, nach Formel (1.63). Als Parameter 𝜎𝜎 wird wie oben 0,02086 = 2,086% verwendet, die Volatilität, die sich aus der historischen Zeitreihe vom 04.01.2021 bis 14.12.2022 ergibt. Das 2%-Quantil der Standardnormalverteilung ist wie oben -2,05. Als 1-Tages-VaR für den Positionswert von 10 Mio. Euro ergibt sich 𝑉𝑉𝑚𝑚𝑅𝑅 1 (0,98) = −10 𝑀𝑀𝑖𝑖𝑆𝑆. 𝐸𝐸𝐸𝐸𝑅𝑅 ⋅ 2,05 ⋅ 0,02086 = −427.700 𝐸𝐸𝐸𝐸𝑅𝑅 Abb. 27 beschreibt die Dichtefunktion der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Daimler-Aktie aus dem vorherigen Beispiel, wobei das 2%-Quantil der Verteilungsfunktion (schwarz eingefärbt) den ermittelten VaR darstellt. Der 10-Tages-VaR wird gemäß Formel (1.66) wie folgt berechnet: 𝑉𝑉𝑚𝑚𝑅𝑅 10 (0.98) = −427.700 𝐸𝐸𝐸𝐸𝑅𝑅 ∙ √10 = −1.352.400 𝐸𝐸𝐸𝐸𝑅𝑅 (1.68) Berechnen Sie den Value at Risk für das Wertpapier ABC auf Grundlage der gegebenen Informationen Konfidenzniveau: 95 % 5%-Quantil der Standardnormalverteilung: -1,645 Volatilität für 250 Tage: 32,89 % Zeitfaktor für 10 Tage: √10 Portfoliovolumen: 100.000 Der Value at Risk des Wertpapiers ABC wird wie folgt ermittelt: Volatilität für 1 Tag: 32,89% √250 VaR ABC = −1,645 ∙ 32,89% √250 ∙ √10 ⋅ 100.000 = −10.820,81 € Der VaR für das Wertpapier ABC beträgt: -10.820,81 € Bisher bestand unser Portfolio lediglich aus einer Position. Da die in der Realität betrachteten Portfolios jedoch aus einer Vielzahl von Finanzinstrumenten bestehen, wird als nächstes ein Portfolio mit zwei Aktien betrachtet, um die Berechnung des VaR eines Portfolios mit mehreren Kapitalanlagen zu erläutern. Wir betrachten nun ein gleichgewichtetes Portfolio mit 2 Wertpapieranlagen. Unser erstes Investment, das Aktienpaket aus Daimler-Anteilen, übernehmen wir aus dem vorangegangenen Beispiel und ergänzen dieses um ein Paket aus IBM-Aktien. Für beide Investments steht uns eine Summe von 10 Mio. Euro zur Verfügung. Wir gehen von einem gleichgewichteten Portfolio aus, also von einem Investment von 5 Mio. Euro pro Aktie. Es wird erneut davon ausgegangen, dass die Renditen beider Kapitalanlagen jeweils einer Normalverteilung entsprechen. Das Konfidenz-Niveau bleibt bei 𝛼𝛼 = 0,98 bestehen. Die Standardabweichung eines Portfolios mit 2 Anlagen (vgl. Abschnitt 1.7.3.4) ergibt sich aus (1.53): (1.67) <?page no="118"?> 118 1 Grundlagen des Portfolio Managements (1.71) 𝜎𝜎 𝑒𝑒𝑥𝑥 = �0,5 2 ⋅ 𝜎𝜎 𝑒𝑒2 + 0,5 2 ⋅ 𝜎𝜎 𝑥𝑥2 + 2 ⋅ 𝑚𝑚 ⋅ 0,5 ⋅ 𝜎𝜎 𝑒𝑒 ⋅ 0,5 ⋅ 𝜎𝜎 𝑥𝑥 (1.69) Ausgehend von den historischen Kursen im Zeitraum vom 04.01.2021 bis zum 14.12.2022 ergeben sich für die Berechnung des VaR weiterhin folgende Ausgangsgrößen: 𝜎𝜎 𝑒𝑒 = 0,02086 𝜎𝜎 𝑥𝑥 = 0,01473 𝑚𝑚 = 0,163 (1.70) Für die Portfolio Standardabweichung ergibt sich 𝜎𝜎 𝑃𝑃 = 0,5 ⋅ �0,02086 2 + 0,01473 2 + 2 ⋅ 0,163 ⋅ 0,02086 ⋅ 0,01473 = 0,01371 Damit folgt für den VaR für einen Zeitraum von 1 Tag und einer Investition von 10 Mio. Euro 𝑉𝑉𝑚𝑚𝑅𝑅 1 (0,98) = − 10 𝑀𝑀𝑖𝑖𝑆𝑆. 𝐸𝐸𝐸𝐸𝑅𝑅 ⋅ 2,05 ⋅ 0,01371 = −281.200 𝐸𝐸𝐸𝐸𝑅𝑅 und für den VaR für einen Zeitraum von 10 Tagen 𝑉𝑉𝑚𝑚𝑅𝑅 10 (0,98) = −281.200 𝐸𝐸𝐸𝐸𝑅𝑅 ⋅ √10 = −889.200 𝐸𝐸𝐸𝐸𝑅𝑅 Da die Investments in Daimler und IBM eine geringe Korrelation von 0,163 aufweisen, ist ein Diversifikationseffekt spürbar. Näheres hierzu finden Sie im Kapitel 3 zur modernen Portfoliotheorie. Um das Modell zur Berechnung des parametrischen VaR auf N Aktien anzuwenden, greifen wir auf die Kovarianz Matrix, also den Varianz-Kovarianz-Ansatz aus der modernen Portfoliotheorie zurück. Es gilt bei der Berechnung des VaR nach wie vor der aus Formel (1.66) ersichtliche Zusammenhang zwischen Standardabweichung, Konfidenzniveau und Zeithorizont. Da wir gegenwärtig das Risiko eines Portfolios mit N Finanzinstrumenten bestimmen wollen, ergibt sich die Portfolio Standardabweichung aus Formel (1.55). Betrachten wir ein gleichgewichtetes Portfolio, d.h. 𝑤𝑤 = 1 𝑁𝑁 für alle Portfoliogewichte, so folgt: 𝜎𝜎 𝑃𝑃2 = 1 𝑁𝑁 2 � 𝜎𝜎 𝑖𝑖2 𝑁𝑁 𝑖𝑖=1 + 2 𝑁𝑁 2 � 𝜎𝜎 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖<𝑖𝑖 = 1 𝑁𝑁 2 � 𝜎𝜎 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑁𝑁 𝑖𝑖,𝑖𝑖=1 Als Beispiel möchten wir in unser ursprünglich gleichgewichtetes Portfolio zwei neue Aktien mitaufnehmen. Durch die Auswahl von SAP und RWE besteht unser Portfolio nunmehr aus 4 Aktien. Die Gewichtung des neuen Portfolios ergibt sich wie folgt: DAIMLER: BASF: SAP: RWE: 𝑤𝑤 1 = 1/ 4 𝑤𝑤 2 = 1/ 4 𝑤𝑤 3 = 1/ 4 𝑤𝑤 4 = 1/ 4 (1.75) (1.72) (1.73) (1.74) <?page no="119"?> 1.7 Welche Bedeutung hat das Risiko für das Portfolio Management? 119 Die Kovarianzmatrix ist gegeben durch Σ = �0,000435 0,000050 0,000253 0,000123 0,000050 0,000217 0,000062 0,000056 0,000253 0,000062 0,000344 0,000105 0,000123 0,000056 0,000105 0,000228� Inbesondere gilt für die Standardabweichungen 𝜎𝜎 1 = �0,000435 = 0,02086 𝜎𝜎 2 = �0,000217 = 0,01473 𝜎𝜎 3 = �0,00344 = 0,01855 𝜎𝜎 4 = �0,000228 = 0,01509 und für die Korrelationsmatrix 𝑅𝑅 = � 1 0,163 0,655 0,391 0,163 1 0,226 0,253 0,655 0,226 1 0,374 0,391 0,253 0,374 1 � Für die Portfoliovarianz folgt gemäß Formel (1.55) 𝜎𝜎 𝑃𝑃2 = [0,25 0,25 0,25 0,25] ⋅ Σ ⋅ �0,25 0,25 0,25 0,25� = 0,0001577 𝜎𝜎 𝑃𝑃 = �0,0001577 = 0,01256 Nachdem die Standardabweichung des Portfolios berechnet wurde, kann wie gewohnt die Berechnung des parametrischen VaR fortgesetzt werden. 𝑉𝑉𝑚𝑚𝑅𝑅 1 (0,98) = − 10 𝑀𝑀𝑖𝑖𝑆𝑆. 𝐸𝐸𝐸𝐸𝑅𝑅 ⋅ 2,05 ⋅ 0,01256 = 257.480 € (1.80) Der 10-Tages-VaR ergibt sich gemäß Formel (1.65) wie folgt: 𝑉𝑉𝑚𝑚𝑅𝑅 10 (0,98) = 257.480 € ∙ √10 = 814.223 € Der Vergleich der Ergebnisse für den 1-Tages-VaR bzw für den 10-Tages-VaR verdeutlicht den Diversifikationseffekt der Portfoliobildung. Der erläuterte Modellbildungsansatz wird am häufigsten zur Berechnung des Risikos von Finanzinstrumenten eingesetzt, die einen direkten linearen Zusammenhang zwischen den Wertänderungen des Portfolios und den prozentualen Wertänderungen der zugrundeliegenden Underlyings (Basiswerte) besitzen. Ein linearer Zusammenhang lässt sich vor allem bei Aktien, Anleihen, Rohstoffen und Währungen erkennen. Enthält ein Portfolio jedoch Optionen, stellt das lineare Modell, bedingt durch die konvexe Verlaufsstruktur einer Option, lediglich eine Approximation dar. Es sollte deshalb bei der Bestimmung des Risikos von Portfolios mit Optionen auf alternative Bewertungsmethoden zurückgegriffen werden. Die Monte-Carlo-Methode bietet zum Beispiel die Möglichkeit, eine annähernd adäquate Abbildung des konvexen Zusammenhangs in die Berechnung des VaR miteinzubeziehen. (1.76) (1.77) (1.78) (1.79) (1.81) <?page no="120"?> 120 1 Grundlagen des Portfolio Managements Die Monte-Carlo-Simulation Abb. 28: Monte-Carlo-Simulation einer Aktie mit 200 unterschiedlichen Verläufen Quelle: Eigene Darstellung in Matlab Eine praxisnahe Alternative zu den bereits erläuterten Methoden stellt die Monte- Carlo-Simulation dar. Bei dieser Methode wird zur Simulation der Aktienkursentwicklung maßgeblich auf die geometrische Brownsche Bewegung, die in Abschnitt 2.5 vorgestellt wird, zurückgegriffen. Die Entwicklung eines Aktienkurses kann in der Form eines Pfades dargestellt werden. Das Ende dieses Pfades im Zeithorizont T ergibt einen möglichen Kurs der beobachteten Aktie (Endwert). Um jedoch aus verschiedenen Pfaden eine Verteilungsfunktion ableiten zu können, sind mehrere Pfade, also Simulationsdurchläufe notwendig. Abb. 28 greift diesen Zusammenhang auf und zeigt 200 unterschiedliche Pfade bzw. Simulationen. In der Abbildung erkennt man die trichterförmige Entwicklung der Simulationen im Zeitablauf. Da aus den Endwerten der Kurse im Zeithorizont T entsprechend dem historischen Ansatz Szenarien gebildet werden können, erscheint es logisch, dass für eine verlässliche Schätzung des VaR eine ausreichende Anzahl an Simulationen verfügbar sein sollte. Aus den unterschiedlichen Endwerten der Kurse können, analog zur historischen Simulation, die erwarteten Wertänderungen des Portfolios abgeleitet werden. Abb. 29 verdeutlicht diesen Zusammenhang durch Darstellung des Value at Risk in Abhängigkeit der Anzahl an Simulationen. Es wird deutlich, dass mit steigender Anzahl an Pfaden bzw. Simulationen die Güte der Value-at-Risk-Schätzung zunimmt. Eine steigende Anzahl an Simulationen zieht jedoch den Nachteil nach sich, einen Anstieg in der Laufzeit bei der Berechnung des VaR in Kauf nehmen zu müssen. Die Berechnung des VaR für ein Portfolio mit vielen unterschiedlichen Finanzinstrumenten erfordert eine wiederholte Neubewertung jeglicher Finanzinstrumente eines Portfolios, was sich unweigerlich in der Laufzeit der Monte-Carlo-Simulation niederschlägt. 0 50 100 150 200 250 92 94 96 98 100 102 104 106 108 110 Tage Kurs der Aktie <?page no="121"?> 1.8 Schlussbetrachtung 121 Abb. 29: Güte des Value at Risk in Abhängigkeit von der Anzahl an Monte-Carlo-Simulationen Quelle: Eigene Darstellung in Matlab Das Verfahren der Monte-Carlo-Simulation zur Berechnung des 1-Tages-VaR für ein Portfolio mit einer Aktie ergibt sich in der Theorie wie folgt: [1] Ermittlung des gegenwärtigen Portfolio-Wertes zum aktuellen Kurs. [2] Simulation eines Pfades für den Zeithorizont 1 durch die geometrische Brownsche Bewegung und Bildung des Szenarios durch den Endwert des Aktienkurses in Zeithorizont 1 für alle Wertpapiere des Portfolios. [3] Neubewertung des Portfolios durch die Endwerte des zuvor gebildeten Szenarios. [4] Ermittlung der Differenz des ursprünglichen Portfolios aus Schritt 1 und dem gegenwärtigen „Szenario-Portfolio“. [5] N -malige Wiederholung der Schritte 2 bis 4 zur Erzeugung der Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Bestimmung des VaR. 1.8 Schlussbetrachtung Portfolio Management ist ein in Theorie wie Praxis sehr vielfältiger Themenbereich. Die primäre Aufgabenstellung, wie sie der typische, von Portfolio- und Kapitalmarkttheorie weitgehend unbelastete Kapitalanleger betrachtet, erscheint dagegen zunächst eher schlicht: Eine möglichst hohe Anlagerendite soll mit möglichst geringen Risiken erwirtschaftet werden. Obwohl auch die sachgerechte Renditemessung mathematische Feinheiten in sich birgt, ist diese im ersten Teil dieses Kapitels behandelte Größe zumindest im Nachhinein sehr genau bestimmbar. Wesentlich komplexer stellt sich dagegen die Schät- <?page no="122"?> 122 1 Grundlagen des Portfolio Managements zung von Einzelwert- und Portfoliorisiken dar, die demgemäß einen großen Teil des Kapitels beanspruchen. Risiken sind keine statischen und exakt erfassbaren Größen, sondern nur mit einer begrenzten Genauigkeit abbildbar und zeigen dazu im Zeitablauf charakteristische Veränderungen. Die adäquate Abschätzung der Risiken bildet einerseits und die Steuerung derselben andererseits den eigentlichen Kern des Portfolio Managements, obwohl meist die tatsächlich erzielten Renditen im Fokus der unmittelbaren Betrachtung liegen. Die dominierende Zielsetzung des Portfolio Managements ist es, möglichst hohe oder weitgehend konstante (Mehr-)Renditen oder eine vorab fixierte Rendite zu erzielen unter steter Berücksichtigung und Inkaufnahme von damit verbundenen Risiken. Die Wahrnehmung von Risiken durch die meisten Anleger ist eher zwiespältig. Werden eingegangene Risiken durch einen entsprechenden Anlageerfolg belohnt, wird das Risiko als vorwiegend positive Eigenschaft angesehen. Zeigt sich dagegen die latente Unsicherheit des Anlageerfolges in einer geringer als erwartet ausgefallenen Rendite oder sogar in einem Vermögensverlust, werden Anlagerisiken negativ erfahren und deshalb die Qualität des verantwortlichen Portfolio Managements häufig bezweifelt. Die Fähigkeit konkrete Risiken zu prognostizieren ist jedoch, ungeachtet des betriebenen Aufwands, stets begrenzt. Erfolg und Misserfolg einer Anlage liegen oft näher beieinander, als es optimistische Kapitalanleger in der Regel wahrhaben wollen. Risikoschätzungen können die potenziellen Bandbreiten erfassen, aber das letztlich resultierende Ergebnis nur mit begrenzter Genauigkeit bestimmen. Die Vermögensaufteilung auf die alternativen Anlageformen, die sogenannte Asset Allocation, stellt die Basis jeder Anlagestrategie dar. Wie M ARKOWITZ aufgezeigt hat, ist das Portfoliorisiko jedoch keine bloße Addition von Einzelwertrisiken, sondern hängt maßgeblich von der Zusammensetzung des Portfolios und den strukturellen Beziehungen zwischen den einzelnen Anlageformen ab. Die sachgerechte, d.h. risikooptimierte Komposition der Einzelanlagen ist die zentrale Aufgabe eines jeden Anlegers bzw. seines damit betrauten Vermögensverwalters. Dazu stehen dem Kapitalanleger zahlreiche Instrumente zur Verfügung. Neben originären Anlageformen wie Anleihen oder Aktien treten vielfältigste, von professionellen Portfolio-Managern und Investmentbankern betreute Produkte in den Fokus der Betrachtungen. So können etwa viele Kapitalmarktindizes in Form von passiven, d.h. nachbildenden, Fonds gekauft werden. Daneben treten sogenannte aktive Investmentfonds in Erscheinung, die das Ziel haben, diese Indizes mittelfristig zu übertreffen. Dabei bildet das in Abschnitt 1.5.3 beschriebene Konzept des Tracking Errors eine zentrale Steuerungsgröße. Zusätzlich erweitert wird die angebotene Produktpalette durch Anlagekonzepte, die in Abhängigkeit vom jeweiligen Konjunkturumfeld eine phasenweise überlegene Performance versprechen. Die Einschätzung der künftigen wirtschaftlichen Entwicklung verbleibt dabei jedoch dem Anleger bzw. seinem Berater oder Portfolio-Manager. 1.9 Zusammenfassung Am Ende dieses Kapitels möchten wir dem Leser durch die nachstehende Zusammenfassung nochmals die Gelegenheit geben, die Ansätze und Vorgehensweisen der letzten Abschnitte kurz zu wiederholen. Im Rahmen dieses Kapitels wurden dem Leser folgende Zusammenhänge vermittelt: <?page no="123"?> 1.9 Zusammenfassung 123  Ein Portfolio ist eine buchhalterische Zusammenfassung von Kapitalanlagen oder Vermögensteilen einer Person, eines Haushaltes oder einer Institution zum Zweck der rechnerischen Erfassung und Darstellung sowie der Kontrolle finanzieller Portfolioeigenschaften, wie Wert, Liquidität, Forderungen und Verbindlichkeiten.  Ein Portfolio stellt im Kontext des Portfolio Managements die Grundlage für daraus abgeleitete Berechnungen dar, mit denen Kriterien wie Anlageerfolg (Rendite) und Anlagerisiken ermittelt werden.  Portfolio Management kann eine Beratungsleistung oder eine unmittelbare Tätigkeit mit Vertretungsbefugnis darstellen. Portfolio Management erfolgt im Rahmen einer Vermögensverwaltung im Auftrag und im Kontakt mit dem Kunden sowie in Form institutionellen Fondsmanagements und von Eigengeschäften bei Banken und Finanzdienstleistungsgesellschaften.  Unter Portfolio Management ist die Zusammenstellung, Überwachung und Veränderung von Portfolios zu verstehen. Diese Aktivitäten beziehen sich sowohl auf Portfolios als auch auf die wichtigsten Portfoliocharakteristiken wie Rendite, Werterhalt und Liquidität.  Mit dem Begriff Rendite wird der mit einer Kapitalanlage über einen bestimmten Zeitraum erzielte Erlös im Verhältnis zum Anlagebetrag bezeichnet. Der Anlagebetrag wird entweder als dezimaler Zahlenwert oder üblicherweise als Prozentwert angegeben.  Bei Renditen lassen sich einfache Renditen, zeitgewichtete Renditen, diskrete und stetige Renditen sowie geldgewichtete Renditen unterscheiden.  Unter Volatilität ist die Streuung von Kursveränderungen von Wertpapieren und Portfolios zu verstehen.  Die Varianz ist als Mittel der Summe der quadratischen Abweichungen, mit positiven wie auch negativen Vorzeichen, um den Erwartungswert definiert. Die Semi-Varianz berücksichtigt dagegen bei ihrer Ermittlung lediglich die negativen Abweichungen um den Erwartungswert.  Die Kovarianz wird als Durchschnitt der Produkte der jeweiligen Abweichungen zweier Größen von ihren Erwartungswerten gebildet. Sie beschreibt, in welchem Maß zwei Größen parallel um ihren individuellen Erwartungswert streuen.  Der Korrelationskoeffizient ist ein normiertes und dimensionsloses Maß, das auf den Wertebereich zwischen -1 und +1 begrenzt ist.  Das Portfoliorisiko setzt sich aus einer gewichteten Summe aus den Einzelwertrisiken sowie den durch die wechselseitigen Korrelationen bedingten Risiken zusammen.  Der VaR (Value at Risk) ist ein häufig benutztes Maß der Risikoabschätzung. Der VaR ist eine durch einen Geldbetrag ausgedrückte Maßzahl, die den potenziellen Verlust in einem bestimmten Zeitraum für ein vorgegebenes Konfidenzniveau darstellt.  Im Mittelpunkt der modernen Portfoliotheorie stehen die quantitative Beschreibung des Zusammenhanges von Rendite und Risiko und Ansätze zur optimalen Diversifikation von Kapitalanlagen.  Diversifikation ist ein zentrales Instrument der Risikoreduktion. Der Diversifikationseffekt lässt sich ebenfalls durch die systematische Aufteilung des zur Verfügung stehenden Anlagekapitals auf mehrere Länder, Branchen und Anlageklassen <?page no="124"?> 124 1 Grundlagen des Portfolio Managements herbeiführen. Der vorgestellte Prozess ist allgemeinhin auch als Asset Allocation bekannt und nimmt eine tragende Rolle im Portfolio Management ein.  Im Asset Management werden zahlreiche Investmentstile praktiziert. Einen der populärsten Ansätze stellt das Value- und Growth-Investing dar. Obwohl sich die einzelnen Ansätze in signifikanten Punkten unterscheiden können, kommt es im praktischen Portfolio Management oftmals zur Vermischung mehrere Ansätze (Blend). 1.10 Fragen zu Kapitel 1 Frage (1) Mit dem Begriff Rendite wird der mit einer Kapitalanlage über einen bestimmten Zeitraum erzielte Erlös im Verhältnis zum Anlagebetrag bezeichnet. Die Rendite wird entweder als dezimaler Zahlenwert oder üblicherweise als Prozentwert angegeben.  wahr  falsch Frage (2) Die einfache Rendite R T (simple Rate of Return) ergibt sich aus dem gegenwärtigen Portfoliowert P T abzüglich des ursprünglichen Anlagekapitals P 0 (der Kapitalveränderung im Zeitablauf) im Verhältnis zum anfänglichen Kapitalbetrag P 0 .  wahr  falsch Frage (3) Heute ist Donnerstag, der 15.07. t(0). Folgende Schlusskurse eines in Frankfurt gelisteten Unternehmens ABC seien gegeben (in €): Mittwoch, den 14.07. 129,00 € Dienstag, den 13.07. 121,00 € Montag, den 12.07. 120,00 € Freitag, den 09.07. 128,00 € Donnerstag, den 08.07. 138,00 € Mittwoch, den 07.07. 122,00 € Die einfache Rendite für die letzte Woche (07.07. - 14.07.) entspricht: 5,7 %  wahr  falsch Frage (4) Die konstante Periodenrendite wird als geometrische Durchschnittsrendite (zeitgewichtete Rendite) bezeichnet und beschreibt das durchschnittliche Kapitalwachstum pro Periode.  wahr  falsch Frage (5) Heute ist Donnerstag, der 15.07. t(0). Folgende Schlusskurse eines in Frankfurt gelisteten Unternehmens ABC seien gegeben (in €): <?page no="125"?> 1.10 Fragen zu Kapitel 1 125 Mittwoch, den 14.07. 131,00 € Dienstag, den 13.07. 124,00 € Montag, den 12.07. 120,00 € Freitag, den 09.07. 124,00 € Donnerstag, den 08.07. 135,00 € Mittwoch, den 07.07. 123,00 € Die zeitgewichtete Rendite für die letzte Woche (07.07. - 14.07.) entspricht: 0,85 %  wahr  falsch Frage (6) Rentiert sich ein Investment in der ersten Periode mit einem Plus von 10 Prozent (+10 %) und in der zweiten Periode mit einem Minus von 10 Prozent (- 10 %), so folgt daraus eine arithmetische Durchschnittsrendite von 0 %. Tatsächlich hätte der Investor jedoch einen Gesamtverlust von -1 % erzielt; d.h. etwa -0,5 % pro Periode. Dieses Ergebnis wird von der geometrischen Durchschnittsrendite korrekt angegeben.  wahr  falsch Frage (7) Je größer der Renditeunterschied der Perioden (Streuung) ist, umso kleiner ist die geometrische Rendite im Vergleich zur arithmetischen Durchschnittsrendite.  wahr  falsch Frage (8) Eine diskrete Rendite beschreibt das prozentuale Wachstum über einen bestimmten Zeitraum.  wahr  falsch Frage (9) Heute ist Donnerstag, der 15.07. t(0). Folgende Schlusskurse eines in Frankfurt gelisteten Unternehmens ABC seien gegeben (in €): Mittwoch, den 14.07. 131,00 € Dienstag, den 13.07. 124,00 € Montag, den 12.07. 120,00 € Freitag, den 09.07. 124,00 € Donnerstag, den 08.07. 135,00 € Mittwoch, den 07.07. 123,00 € Die stetige tägliche Rendite für die letzte Woche (07.07. - 14.07.) entspricht: 1,3 %  wahr  falsch <?page no="126"?> 126 1 Grundlagen des Portfolio Managements Frage (10) Die geldgewichtete Rendite wird hauptsächlich von folgenden drei Größen beeinflusst: Dem direkten Anlageerfolg, der Höhe des Anlagebetrags und dem sogenannten Timing der zwischenzeitlichen Zahlungen.  wahr  falsch Frage (11) Die geldgewichtete Rendite wird auch als Time-Weighted Return bezeichnet und entspricht dem internen Zinssatz der Kapitalanlage.  wahr  falsch Frage (12) Die Varianz ist als Mittel der Summe der quadratischen Abweichungen um den Erwartungswert definiert.  wahr  falsch Frage (13) Bei einer Normalverteilung entspricht die Anzahl von Standardabweichungen einer theoretischen Wahrscheinlichkeit beliebiger Renditeintervalle wie folgt: − eine Standardabweichung entspricht 68,3 % der Renditen, − zwei Standardabweichungen entsprechen 95,5 % der Renditen, − drei Standardabweichungen entsprechen 99,7 % der Renditen.  wahr  falsch Frage (14) Bei der Berechnung von Varianz und Standardabweichung für begrenzte Datensätze (sogenannte Kleinstichproben) sollte im Nenner der Faktor n berücksichtigt werden.  wahr  falsch Frage (15) Heute ist Donnerstag, der 15.07. t(0). Folgende Schlusskurse eines in Frankfurt gelisteten Unternehmens ABC seien gegeben (in €): Mittwoch, den 14.07. 131,00 € Dienstag, den 13.07. 124,00 € Montag, den 12.07. 120,00 € Freitag, den 09.07. 124,00 € Donnerstag, den 08.07. 135,00 € Mittwoch, den 07.07. 123,00 € Die Varianz des Wertpapiers für die letzte Woche (07.07. - 14.07.) entspricht: 0,00510307  wahr  falsch <?page no="127"?> 1.10 Fragen zu Kapitel 1 127 Frage (16) Heute ist Donnerstag, der 15.07. Folgende Schlusskurse eines in Frankfurt gelisteten Unternehmens ABC seien gegeben (in €): Mittwoch, den 14.07. 131,00 € Dienstag, den 13.07. 124,00 € Montag, den 12.07. 120,00 € Freitag, den 09.07. 124,00 € Donnerstag, den 08.07. 135,00 € Mittwoch, den 07.07. 123,00 € Die Standardabweichung des Wertpapiers für die letzte Woche (07.07. - 14.07.) entspricht: 6,84 %  wahr  falsch Frage (17) Die Kovarianz wird als Durchschnitt der Produkte der jeweiligen Abweichungen zweier Größen von ihren Erwartungswerten gebildet. Sie beschreibt, in welchen Maß zwei Größen parallel um ihren individuellen Erwartungswert streuen.  wahr  falsch Frage (18) Folgende Renditen liegen für die zwei folgenden Wertpapiere vor: Daimler BASF 0,1039 0,1409 -0,01729 -0,0268 0,0385 0,0776 -0,0088 -0,0126 Die Kovarianz beträgt (Teiler 1/ n): 0,003248395  wahr  falsch Frage (19) Folgende Renditen liegen für die zwei folgenden Wertpapiere vor: Daimler BASF 0,1039 0,1409 -0,01729 -0,0268 0,0385 0,0776 -0,0088 -0,0126 Der Korrelationskoeffizient beträgt (Teiler 1/ n): 0,9392  wahr  falsch <?page no="128"?> Frage (20) Folgende Renditen liegen für die zwei folgenden Wertpapiere vor: Standardabweichung (für den Teiler (n)) der Renditen für Asset 1: 0,0481 Standardabweichung (für den Teiler (n)) der Renditen für Asset 2: 0,0684 Kovarianz (für den Teiler (n)) der Renditen für Asset 1 & Asset 2: 0,0032 Der Korrelationskoeffizient beträgt: 0,8860  wahr  falsch Frage (21) Der Value at Risk ist eine durch einen Geldbetrag ausgedrückte Maßzahl des potenziellen Verlusts in einem bestimmten Zeitraum bei einem vorgegeben Konfidenzniveau.  wahr  falsch Frage (22) Für die Berechnung des Value at Risk sind folgende Informationen gegeben (in €, wenn nicht anders angegeben): Faktor für Konfidenzniveau (95 %): 1,645 Volatilität für 250 Tage: 33,88 % Zeitfaktor für 10 Tage: 0,2 Portfoliovolumen: 100.000 Der Value at Risk beträgt: 11.289  wahr  falsch 128 1 Grundlagen des Portfolio Managements <?page no="129"?> 1.11 Anlage Wertetabelle für die Standardnormalverteilung −𝚽𝚽(𝒛𝒛) z .,.0 .,.1 .,.2 .,.3 .,.4 .,.5 .,.6 .,.7 .,.8 .,.9 0,0* 0,50000 0,50399 0,50798 0,51197 0,51595 0,51994 0,52392 0,52790 0,53188 0,53586 0,1* 0,53983 0,54380 0,54776 0,55172 0,55567 0,55962 0,56356 0,56749 0,57142 0,57535 0,2* 0,57926 0,58317 0,58706 0,59095 0,59483 0,59871 0,60257 0,60642 0,61026 0,61409 0,3* 0,61791 0,62172 0,62552 0,62930 0,63307 0,63683 0,64058 0,64431 0,64803 0,65173 0,4* 0,65542 0,65910 0,66276 0,66640 0,67003 0,67364 0,67724 0,68082 0,68439 0,68793 0,5* 0,69146 0,69497 0,69847 0,70194 0,70540 0,70884 0,71226 0,71566 0,71904 0,72240 0,6* 0,72575 0,72907 0,73237 0,73565 0,73891 0,74215 0,74537 0,74857 0,75175 0,75490 0,7* 0,75804 0,76115 0,76424 0,76730 0,77035 0,77337 0,77637 0,77935 0,78230 0,78524 0,8* 0,78814 0,79103 0,79389 0,79673 0,79955 0,80234 0,80511 0,80785 0,81057 0,81327 0,9* 0,81594 0,81859 0,82121 0,82381 0,82639 0,82894 0,83147 0,83398 0,83646 0,83891 1,0* 0,84134 0,84375 0,84614 0,84849 0,85083 0,85314 0,85543 0,85769 0,85993 0,86214 1,1* 0,86433 0,86650 0,86864 0,87076 0,87286 0,87493 0,87698 0,87900 0,88100 0,88298 1,2* 0,88493 0,88686 0,88877 0,89065 0,89251 0,89435 0,89617 0,89796 0,89973 0,90147 1,3* 0,90320 0,90490 0,90658 0,90824 0,90988 0,91149 0,91309 0,91466 0,91621 0,91774 1,4* 0,91924 0,92073 0,92220 0,92364 0,92507 0,92647 0,92785 0,92922 0,93056 0,93189 1,5* 0,93319 0,93448 0,93574 0,93699 0,93822 0,93943 0,94062 0,94179 0,94295 0,94408 1,6* 0,94520 0,94630 0,94738 0,94845 0,94950 0,95053 0,95154 0,95254 0,95352 0,95449 1,7* 0,95543 0,95637 0,95728 0,95818 0,95907 0,95994 0,96080 0,96164 0,96246 0,96327 1,8* 0,96407 0,96485 0,96562 0,96638 0,96712 0,96784 0,96856 0,96926 0,96995 0,97062 1,9* 0,97128 0,97193 0,97257 0,97320 0,97381 0,97441 0,97500 0,97558 0,97615 0,97670 2,0* 0,97725 0,97778 0,97831 0,97882 0,97932 0,97982 0,98030 0,98077 0,98124 0,98169 2,1* 0,98214 0,98257 0,98300 0,98341 0,98382 0,98422 0,98461 0,98500 0,98537 0,98574 2,2* 0,98610 0,98645 0,98679 0,98713 0,98745 0,98778 0,98809 0,98840 0,98870 0,98899 2,3* 0,98928 0,98956 0,98983 0,99010 0,99036 0,99061 0,99086 0,99111 0,99134 0,99158 2,4* 0,99180 0,99202 0,99224 0,99245 0,99266 0,99286 0,99305 0,99324 0,99343 0,99361 2,5* 0,99379 0,99396 0,99413 0,99430 0,99446 0,99461 0,99477 0,99492 0,99506 0,99520 2,6* 0,99534 0,99547 0,99560 0,99573 0,99585 0,99598 0,99609 0,99621 0,99632 0,99643 2,7* 0,99653 0,99664 0,99674 0,99683 0,99693 0,99702 0,99711 0,99720 0,99728 0,99736 2,8* 0,99744 0,99752 0,99760 0,99767 0,99774 0,99781 0,99788 0,99795 0,99801 0,99807 2,9* 0,99813 0,99819 0,99825 0,99831 0,99836 0,99841 0,99846 0,99851 0,99856 0,99861 3,0* 0,99865 0,99869 0,99874 0,99878 0,99882 0,99886 0,99889 0,99893 0,99896 0,99900 Quelle: Die negativen Werte der Standardnormalverteilung werden aus Gründen der Symmetrie nicht angegeben. Der Stern * in der ersten Spalte ist ein Platzhalter für die zweite Nachkommastelle, die in der jeweiligen Spaltenüberschrift angegeben ist. 1.11 Anlage 129 <?page no="130"?> Literaturverzeichnis zu Kapitel 1 Albrecht, P. (2003). Risk Measures. Mannheim. Amenc, N., & Le Sourd, V. (2003). Portfolio Theory and Performance Analysis. England: John Wiley & Sons Ltd. Arens, T., Hettlich, F., Karpfinger, C., Kockelkorn, U., Lichtenegger, K., & Stachel, H. (2008). Mathematik (1. Ausg.). Spektrum Akademischer-Verlag. Artzner, P., Delbaen, F., Eber, J.-M., & Heath, D. (1998). Cohrent Measures of Risk. Bankverlag Medien. (2008). Basisinformationen über Vermögensanlagen in Wertpapieren. München: Bankverlag Medien. Baumüller, J., & Grbenic, S. O. (18. 4 2021). Moving from non-financial to sustainability reporting: Analyzing the eu commission’s proposal for a corporate sustainability reporting directive. Facta Universitatis, Series: Economics and Organization, S. 369-381. 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Wittrock, C. (2002). Grundlagen und Status Quo der Performancemessung. In J. M. Kleeberg, & H. Rehkugler, Portfolio Management - Strukturierte Anästze für ein modernes Wertpapiermanagement. Uhlenbruch Verlag. Yu, L.-Y., Ji, X.-D., & Wang, S.-Y. (2003). Stochastic Programming Models in Financial Optimization: A Survey. Zanini, L. (2007). Optimierung der Asset Allokation unter Anwendung des Black- Litterman-Modells. Zankl, S. (2009). Real Estate Asset Allocation auf Basis des Black-Litterman-Ansatzes. Passau. <?page no="136"?> Inhaltsübersicht Kapitel 2 2.1 Grundlagen der Matrizenrechnung ............................................................... 138 2.2 Matrizenrechnung in Excel.............................................................................. 147 2.3 Grundlagen der mathematischen Optimierung .......................................... 152 2.4 Einführung in den Excel Solver ...................................................................... 176 2.5 Stochastische Prozesse im Portfolio Management ..................................... 179 2.6 Schlussbetrachtung............................................................................................ 199 2.7 Zusammenfassung ............................................................................................. 200 2.8 Fragen zu Kapitel 2 ............................................................................................ 202 Literaturverzeichnis zu Kapitel 2 ...................................................................................... 206 <?page no="137"?> 2 Mathematische Grundlagen im Portfolio Management “The object of pure Physic[s] is the unfolding of the laws of the intelligible world; the object of pure Mathematic[s] that of unfolding the laws of human intelligence.” James Joseph Sylvester - englischer Mathematiker (*1814, †1897) Quelle: Public Domain Nachdem in Kapitel 1 die theoretischen Grundlagen, Ansätze und Konzepte des modernen Portfolio Managements vorgestellt worden sind, möchten wir nun in Kapitel 2 hauptsächlich auf die mathematischen Hintergründe der Portfoliooptimierung und den angrenzenden Teilbereichen im Detail eingehen. Für ein tiefergehendes Verständnis der folgenden Kapitel in diesem Buch wird dem Leser empfohlen, zunächst die Grundlagen der Matrizenrechnung in Abschnitt 2.1 zu bearbeiten, da der überwiegende Teil der nachfolgend dargestellten quantitativen Ansätze den sicheren Umgang mit Matrizen und Vektoren voraussetzt. Im Anschluss daran werden die zuvor vermittelten fundamentalen Grundzüge der Matrizenrechnung nochmals aufgegriffen, um in Abschnitt 2.2 die detaillierte Vorgehensweise bei der praktischen Umsetzung in Excel darzustellen. In Abschnitt 2.3 liegt der Fokus der Betrachtungen auf den mathematischen Grundlagen der Portfoliooptimierung. Auf Grundlage der wissenschaftlichen Disziplin des Operations Research soll die Bedeutung quantitativer Methoden im Rahmen der modernen Portfoliotheorie herausgestellt werden. Im Verlauf des Abschnitts werden neben den Grundlagen der Entscheidungstheorie die unterschiedlichen Formen von Optimierungsproblemen einzeln dargestellt sowie voneinander abgegrenzt. Den Mittelpunkt dieses Abschnitts stellen die Erläuterungen zu den linearen und nichtlinearen Optimierungsproblemen dar, da diese dem aufmerksamen Leser in den folgenden Kapiteln, sei es bei der absoluten Portfoliooptimierung oder beim Index Tracking, immer wieder begegnen werden. Vor diesem Hintergrund werden spezifische Lösungsalgorithmen erwähnt, mit denen Optimierungsprobleme iterativ gelöst werden können. Die praktische Bearbeitung der nachfolgenden Kapitel setzt das Excel-Addin Solver zwingend voraus, Abschnitt 2.4 liefert hierfür grundlegende Hinweise zu Installation und Anwendung. In Abschnitt 2.5 werden die Grundlagen stochastischer Prozesse im Portfolio Management erläutert. Der Abschnitt geht maßgeblich einer zentralen Fragestellung nach: Wie kann die Entwicklung von Aktienkursen erklärt und modelliert werden? <?page no="138"?> 138 2 Mathematische Grundlagen im Portfolio Management Auf Grundlage der Überlegungen eines Random Walk soll hierzu ein diskreter Prozess verstetigt werden, um ihn anschließend in einen Wiener-Prozess zu überführen. In diesem Zusammenhang werden ebenfalls die Grundzüge von Monte-Carlo-Simulationen kurz erläutert. Hinweise zur praktischen Umsetzung und Anwendung schließen die Ausführungen des Abschnitts ab. Am Ende des Kapitels findet der interessierte Leser einen Fragenkatalog zu den Inhalten dieses Kapitels, um das Selbststudium der zugrundeliegenden Konzepte ein wenig zu erleichtern. Im Rahmen des vorliegenden Kapitels werden zusammenfassend die folgenden zentralen Fragestellungen erläutert:  Was ist eine Matrix oder ein Vektor?  Was muss beim Umgang mit Matrizen und Vektoren beachtet werden?  In welchen Zusammenhang stehen das Operations Research und die Portfoliooptimierung?  Welche Formen von Optimierungsproblemen gibt es und wie löst man sie?  Was ist ein stochastischer Prozess?  In welcher Relation stehen der Wiener-Prozess und die Entwicklung der Aktienkurse?  Was ist eine Monte-Carlo-Simulation und wie funktioniert sie? 2.1 Grundlagen der Matrizenrechnung “Every mathematician believes that he is ahead over all others. The reason why they don’t say this in public, is because they are intelligent people.” Andrey Kolmogorow - russischer Mathematiker (*1903, †1987) Quelle: © Konrad Jacobs Im Rahmen der nachfolgenden Abschnitte sollen dem Leser die mathematischen Grundlagen der Vektoren- und Matrizenrechnung vermittelt werden. Da die nachfolgenden Definitionen, Erläuterungen und Beispiele eine notwendige Grundlage zur Bildung eines umfassenden Verständnisses für die Modelle der modernen Portfoliotheorie liefern, wird vor allem dem Leser mit rein wirtschaftswissenschaftlichem Hintergrund die Bearbeitung der nachfolgenden Abschnitte mit Nachdruck empfohlen. Um sich jedoch ein wirklich tiefgreifendes und detailliertes Verständnis über die mathematischen Hintergründe zu erarbeiten, empfiehlt sich als fortsetzende Einführung etwa M AYER (2007). 93 Der Begriff „Matrix“ wurde erstmals durch J AMES J OSEPH S YLVESTER im Jahr 1850 eingeführt und stellt ein zentrales Element der linearen Algebra dar. Das Prinzip von 93 Weiterführende Literatur: Christoph Mayer, Carsten Weber, David Francas: Lineare Algebra für Wirtschaftswissenschaftler, Gabler-Verlag 2007 <?page no="139"?> 2.1 Grundlagen der Matrizenrechnung 139 Matrizen und Vektoren begegnet uns einerseits im ursprünglichen Gebiet der Mathematik, um lineare Zusammenhänge und Gleichungssysteme zu beschreiben, zu vereinfachen und zu lösen, andererseits werden Matrizen und Vektoren ebenfalls in angrenzenden wirtschaftswissenschaftlichen Gebieten interdisziplinär angewendet. Die Matrizen- und Vektorrechnung fand innerhalb der Finanzwirtschaft nicht zuletzt aufgrund der erfolgreichen Versuche, wirtschaftswissenschaftliche Vorgänge durch die Methodik der höheren Mathematik abzubilden, ernsthafte Beachtung. Hierbei bildet die Mathematik die fundamentale Grundlage zur übersichtlichen Darstellung und Lösung abstrakter portfoliotheoretischer Probleme und Sachverhalte. Harry M. Markowitz gilt durch die Publikation seiner Erkenntnisse über die Portfolio- Selection-Theorie nicht nur als Begründer der modernen Portfoliotheorie, sondern auch als Pionier bei der finanzwirtschaftlichen Anwendung von Vektoren und Matrizen als zentrales Element in Portfoliomodellen. Vektoren und Matrizen bieten im modernen Portfolio Management hauptsächlich den Vorteil, komplizierte Rechenoperationen zu vereinfachen und übersichtlich darzustellen. Der Einsatz von Vektoren ermöglicht Portfoliogewichte übersichtlich darzustellen und eine effiziente Verarbeitung der nachfolgend dargestellten Matrizen- Rechenoperationen. Die Anwendung von Matrizen dient insbesondere bei mehreren Anlagetiteln zur Darstellung wesentlicher statistischer Größen wie der Varianz-Kovarianz-Matrix und ermöglicht somit eine vereinfachende Berechnung der zentralen Risiko- und Renditemaße von einzelnen Anlagetiteln sowie des gesamten Portfolios. Die anschließend dargestellten mathematischen Grundlagen finden sich in ihren Grundzügen in nahezu allen Portfolio-Modellen wieder und besitzen demnach eine nicht zu unterschätzende Bedeutung für ein umfassendes Verständnis der modernen Portfoliotheorie. Im nachfolgenden Abschnitt werden zunächst die mathematischen Grundlagen theoretisch definiert, erläutert und anhand von einfachen Beispielen vertieft, um im Rahmen von einfachen Beispielen praktisch in Excel umgesetzt zu werden. 2.1.1 Matrizen Eine Matrix stellt grundsätzlich eine quadratische oder rechteckige Anordnung von Elementen dar. Die Elemente einer Matrix repräsentieren dabei Objekte im Sinne von Zahlen oder Symbolen. Eine Matrix entspricht im Allgemeinen der folgenden mathematischen Notation: Definition 1 Allgemeine Matrix-Schreibweise Tabelle 5 Ausführliche Schreibweise 𝑆𝑆 = ⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎛ 𝑚𝑚 11 𝑚𝑚 12 ⋯ 𝑚𝑚 1𝑖𝑖 ⋯ 𝑚𝑚 1𝑠𝑠 𝑚𝑚 21 𝑚𝑚 22 ⋯ 𝑚𝑚 2𝑖𝑖 ⋯ 𝑚𝑚 2𝑠𝑠 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 𝑚𝑚 𝑖𝑖1 𝑚𝑚 𝑖𝑖2 ⋯ 𝑚𝑚 𝑖𝑖𝑖𝑖 ⋯ 𝑚𝑚 𝑖𝑖𝑠𝑠 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝑚𝑚 𝑚𝑚1 𝑚𝑚 𝑚𝑚2 ⋯ 𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑖𝑖 ⋯ 𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑠𝑠 ⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎞ (2.1) <?page no="140"?> 140 2 Mathematische Grundlagen im Portfolio Management wobei 𝑚𝑚, 𝑏𝑏 ∈ ℕ und 𝑚𝑚 𝑖𝑖𝑖𝑖 ∈ ℝ für 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑚𝑚 und 1 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑏𝑏 . Kurze Schreibweise 𝑆𝑆 = (𝑚𝑚 𝑖𝑖𝑖𝑖 ) 𝑚𝑚,𝑠𝑠 𝑆𝑆 = (𝑚𝑚 𝑖𝑖𝑖𝑖 ) (2.2) Gemäß der eben vorgestellten mathematischen Schreibweise entspricht m der Anzahl der Zeilen, und n der Anzahl der Spalten innerhalb der Matrix. Demnach beschreiben m und n die Dimensionen einer Matrix, wodurch diese häufig auch als m x n -Matrix bezeichnet wird. Die 𝑚𝑚 ⋅ 𝑏𝑏 Elemente einer Matrix sind durch die Angabe von Zeile und Spalte in Form der zwei tiefergestellten Indizes i und j eindeutig zuzuordnen. Man spricht hierbei vom Element in der i -ten Zeile und der j -ten Spalte. Aufgrund der Anzahl der Zeilen und Spalten unterscheidet man grundsätzlich quadratische Matrizen ( 𝑚𝑚 = 𝑏𝑏 ) von rechteckigen Matrizen ( 𝑚𝑚 ≠ 𝑏𝑏 ). Beispiele Allgemeine Matrizen-Schreibweise 𝑆𝑆 = �2 3 5 12� 𝐵𝐵 = �2 3 4 3 5 4 5 12� 𝐶𝐶 = �33 −5 5 3 4 0 1 3 5� (2.3) 2.1.2 Diagonal- und Einheitsmatrix Definition 2 Diagonalmatrix 𝑆𝑆 = �𝑚𝑚 11 0 ⋯ 0 0 𝑚𝑚 22 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 𝑚𝑚 𝑠𝑠𝑠𝑠 � wobei 𝑏𝑏 ∈ ℕ und 𝑚𝑚 𝑖𝑖𝑖𝑖 ∈ ℝ für 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑏𝑏 . (2.4) Eine Diagonalmatrix beschreibt eine quadratische Matrix, auf welcher sich nur die Elemente der Matrix entlang ihrer Diagonalen (von links oben nach rechts unten) von Null unterscheiden, d.h. 𝑚𝑚 𝑖𝑖𝑖𝑖 = 0 gilt, falls i ≠ j ist. Beispiele 𝑆𝑆 = �1 0 0 0 5 0 0 0 12� 𝐵𝐵 = �1 0 0 0 0 5 0 0 0 0 12 0 0 0 0 −4� (2.5) Die Einheitsmatrix beschreibt eine Sonderform der Diagonalmatrix, wobei die Elemente entlang der Diagonalen lediglich aus Einsen bestehen, d.h. 𝑚𝑚 𝑖𝑖𝑖𝑖 = 1 für alle i = 1, ... , n und 𝑚𝑚 𝑖𝑖𝑖𝑖 = 0 für alle i ≠ j. <?page no="141"?> 2.1 Grundlagen der Matrizenrechnung 141 Definition 3 Einheitsmatrix 𝑆𝑆 = ⎝ ⎜⎜⎜⎜⎜⎛1 0 ⋯ 0 ⋯ 0 0 1 0 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 1 0 ⋮ ⋮ ⋱ 0 0 ⋯ 0 1 ⎠ ⎟⎟⎟⎟⎟⎞ (2.6) Aufgrund der Divergenz von Zeilen und Spalten besitzen rechteckige Matrizen keine Diagonale. Deshalb stellen die Diagonal- und die Einheitsmatrix Spezialfälle von Matrizen dar und kommen lediglich bei quadratischen Matrizen vor. Beispiele A = �1 0 0 0 1 0 0 0 1� (2.7) 2.1.3 Vektoren Definition 4 Vektoren Spaltenvektor 𝑍𝑍⃗ = � 𝑚𝑚 1 𝑚𝑚 2 ⋮ 𝑚𝑚 𝑚𝑚 � Zeilenvektor 𝑧𝑧⃗ = (𝑚𝑚 1 𝑚𝑚 2 ⋯ 𝑚𝑚 𝑠𝑠 ) (2.8) Vektoren stellen eine Sonderform von Matrizen dar und werden häufig auch als Spaltenvektor oder Zeilenvektor bezeichnet. Ein Spaltenvektor besteht nur aus einer Spalte einer Matrix, ein Zeilenvektor entsprechend nur aus einer Zeile einer Matrix. Demzufolge beschreibt eine m x 1 -Matrix mit m > 1 einen Spaltenvektor und eine 1 x n -Matrix mit n > 1 einen Zeilenvektor. Beispiele Spaltenvektor in der Form 3 x 1 𝑍𝑍⃗ = �123� Zeilenvektor in der Form 1 x 3 𝑧𝑧⃗ = (4 5 6) (2.9) Um im nachfolgenden Sprachgebrauch den Begriff des Vektors synonym für Spaltenvektor verwenden zu können, erfolgt zunächst eine Einführung in das Transponieren von Matrizen und Vektoren. Der transponierte Spaltenvektor stellt einen Zeilenvektor dar, und umgekehrt. <?page no="142"?> 142 2 Mathematische Grundlagen im Portfolio Management 2.1.4 Transponieren von Matrizen und Vektoren Definition 5 Transponieren von Matrizen und Vektoren 𝑆𝑆 = � 𝑒𝑒 11 𝑒𝑒 12 ⋯ 𝑒𝑒 1𝑠𝑠 𝑒𝑒 21 𝑒𝑒 22 ⋯ 𝑒𝑒 2𝑠𝑠 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝑒𝑒 𝑚𝑚1 𝑒𝑒 𝑚𝑚2 ⋯ 𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑠𝑠 � 𝑆𝑆 𝑇𝑇 = �𝑒𝑒 11 𝑒𝑒 21 ⋯ 𝑒𝑒 𝑚𝑚1 𝑒𝑒 12 𝑒𝑒 22 ⋯ 𝑒𝑒 𝑚𝑚2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝑒𝑒 1𝑠𝑠 𝑒𝑒 2𝑠𝑠 ⋯ 𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑠𝑠 � 𝑍𝑍⃗ = � 𝑚𝑚 1 𝑚𝑚 2 ⋮ 𝑚𝑚 𝑚𝑚 � → 𝑍𝑍⃗ 𝑇𝑇 = (𝑚𝑚 1 𝑚𝑚 2 ⋯ 𝑚𝑚 𝑚𝑚 ) 𝑧𝑧⃗ = (𝑚𝑚 1 𝑚𝑚 2 ⋯ 𝑚𝑚 𝑠𝑠 ) → 𝑧𝑧⃗ 𝑇𝑇 = �𝑚𝑚 1 𝑚𝑚 2 ⋮ 𝑚𝑚 𝑠𝑠 � (2.10) Eine transponierte Matrix (oder ein transponierter Vektor) wird als Transponierte zu A bezeichnet und mit dem hochgestellten T abgekürzt, in Form der mathematischen Notation A T . Beispiele 𝑆𝑆 = �1 3 5 2 4 6� → 𝑆𝑆 𝑇𝑇 = �1 2 3 4 5 6� 𝐵𝐵 = �𝑚𝑚 𝑏𝑏 𝑒𝑒 𝑒𝑒� → 𝐵𝐵 𝑇𝑇 = �𝑚𝑚 𝑒𝑒 𝑏𝑏 𝑒𝑒� 𝑚𝑚�⃗ = �132� → 𝑚𝑚�⃗ 𝑇𝑇 = (1 3 2) 𝑏𝑏�⃗ = (𝑚𝑚 𝑏𝑏) → 𝑏𝑏�⃗ 𝑇𝑇 = �𝑚𝑚𝑏𝑏� Bildlich gesprochen erfolgt beim Transponieren von Matrizen eine Drehung der Spalte(n) oder Zeile(n) im 90°-Winkel. Anders ausgedrückt werden beim Transponieren einer Matrix im Format (m,n) alle Zeilen mit allen Spalten vertauscht, um die Matrix im Format (n,m) darstellen zu können. Hierbei entsteht bei rechteckigen Matrizen (mit m ≠ n ) ein neues Format. Lediglich bei quadratischen Matrizen entsteht eine Matrix gleichen Formats. 2.1.5 Addition und Subtraktion von Matrizen und Vektoren Bei der einfachen Addition und Subtraktion von Matrizen besteht die grundlegende Beschränkung, lediglich Matrizen gleichen Formats addieren oder subtrahieren zu können. Definition 6 Addition und Subtraktion von Matrizen und Vektoren Sind 𝑆𝑆 = �𝑚𝑚 𝑖𝑖𝑖𝑖 � und 𝐵𝐵 = �𝑏𝑏 𝑖𝑖𝑖𝑖 � zwei m x n -Matrizen, so gilt: (2.11) <?page no="143"?> 2.1 Grundlagen der Matrizenrechnung 143 Addition: 𝑆𝑆 + 𝐵𝐵 = �𝑚𝑚 𝑖𝑖𝑖𝑖 � + � 𝑏𝑏 𝑖𝑖𝑖𝑖 � = �𝑚𝑚 𝑖𝑖𝑖𝑖 + 𝑏𝑏 𝑖𝑖𝑖𝑖 � 𝑆𝑆 = � 𝑒𝑒 11 𝑒𝑒 12 ⋯ 𝑒𝑒 1𝑠𝑠 𝑒𝑒 21 𝑒𝑒 22 ⋯ 𝑒𝑒 2𝑠𝑠 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝑒𝑒 𝑚𝑚1 𝑒𝑒 𝑚𝑚2 ⋯ 𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑠𝑠 � 𝐵𝐵 = � 𝑦𝑦 11 𝑦𝑦 12 ⋯ 𝑦𝑦 1𝑠𝑠 𝑦𝑦 21 𝑦𝑦 22 ⋯ 𝑦𝑦 2𝑠𝑠 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝑦𝑦 𝑚𝑚1 𝑦𝑦 𝑚𝑚2 ⋯ 𝑦𝑦 𝑚𝑚𝑠𝑠 � 𝑆𝑆 + 𝐵𝐵 = � 𝑒𝑒 11 + 𝑦𝑦 11 𝑒𝑒 12 + 𝑦𝑦 12 ⋯ 𝑒𝑒 1𝑠𝑠 + 𝑦𝑦 1𝑠𝑠 𝑒𝑒 21 + 𝑦𝑦 21 𝑒𝑒 22 + 𝑦𝑦 22 ⋯ 𝑒𝑒 2𝑠𝑠 + 𝑦𝑦 2𝑠𝑠 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝑒𝑒 𝑚𝑚1 + 𝑦𝑦 𝑚𝑚1 𝑒𝑒 𝑚𝑚2 + 𝑦𝑦 𝑚𝑚2 ⋯ 𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑠𝑠 +𝑦𝑦 𝑚𝑚𝑠𝑠 � Subtraktion: 𝑆𝑆 − 𝐵𝐵 = �𝑚𝑚 𝑖𝑖𝑖𝑖 � − � 𝑏𝑏 𝑖𝑖𝑖𝑖 � = �𝑚𝑚 𝑖𝑖𝑖𝑖 − 𝑏𝑏 𝑖𝑖𝑖𝑖 � (2.13) Die Addition bzw. Subtraktion von Matrizen gleichen Formats erfolgt durch die zeilenweise Bildung der Summen bzw. Differenzen der entsprechenden Elemente. Daher wird dieser Vorgang auch als komponentenweises Addieren oder komponentenweises Subtrahieren bezeichnet. Beispiele 𝑆𝑆 = �1 3 5 2 4 6� , 𝐵𝐵 = �1 8 5 5 4 6� 𝐶𝐶 = 𝑆𝑆 + 𝐵𝐵 = �1 + 1 3 + 8 5 + 5 2 + 5 4 + 4 6 + 6� 𝐶𝐶 = �2 11 10 7 8 12� 𝑆𝑆 = �1 3 5 2 4 6� , 𝐵𝐵 = �1 8 5 5 4 6� 𝐶𝐶 = 𝑆𝑆 − 𝐵𝐵 = �1 − 1 3 − 8 5 − 5 2 − 5 4 − 4 6 − 6� 𝐶𝐶 = � 0 −5 0 −3 0 0� (2.14) 2.1.6 Multiplikation von Matrizen und Vektoren Man unterscheidet beim Multiplizieren von Matrizen grundsätzlich zwei Arten von Rechenoperationen. Da sich die Vorgehensweisen bei der Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl und bei der Multiplikation von Matrizen unterscheiden, soll zunächst die Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl erläutert werden, um ein grundsätzliches Verständnis für den Umgang mit Matrizen zu erlangen. Danach folgen detaillierte Erläuterungen zur Multiplikation von Matrizen. Definition 7 Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl 𝛾𝛾 ∙ 𝑆𝑆 = 𝛾𝛾 ∙ �𝑚𝑚 𝑖𝑖𝑖𝑖 � = �𝛾𝛾 ∙ 𝑚𝑚 𝑖𝑖𝑖𝑖 � für 𝛾𝛾 ∈ ℝ (2.15) (2.12) <?page no="144"?> 144 2 Mathematische Grundlagen im Portfolio Management 𝑆𝑆 = � 𝑒𝑒 11 𝑒𝑒 12 ⋯ 𝑒𝑒 1𝑠𝑠 𝑒𝑒 21 𝑒𝑒 22 ⋯ 𝑒𝑒 2𝑠𝑠 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝑒𝑒 𝑚𝑚1 𝑒𝑒 𝑚𝑚2 ⋯ 𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑠𝑠 � → 𝛾𝛾 ∙ 𝑆𝑆 = � 𝑒𝑒 11 ∙ 𝛾𝛾 𝑒𝑒 12 ∙ 𝛾𝛾 ⋯ 𝑒𝑒 1𝑠𝑠 ∙ 𝛾𝛾 𝑒𝑒 21 ∙ 𝛾𝛾 𝑒𝑒 22 ∙ 𝛾𝛾 ⋯ 𝑒𝑒 2𝑠𝑠 ∙ 𝛾𝛾 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝑒𝑒 𝑚𝑚1 ∙ 𝛾𝛾 𝑒𝑒 𝑚𝑚2 ∙ 𝛾𝛾 ⋯ 𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑠𝑠 ∙ 𝛾𝛾� Die Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl erfolgt durch das Multiplizieren eines jeden Elementes mit dieser reellen Zahl. Man spricht hierbei auch von der Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar. Beispiele 𝛾𝛾 = 2 𝑆𝑆 = �2 3 5 4 1 2� → 𝛾𝛾 ∙ 𝑆𝑆 = �𝛾𝛾 ∙ 2 𝛾𝛾 ∙ 3 𝛾𝛾 ∙ 5 𝛾𝛾 ∙ 4 𝛾𝛾 ∙ 1 𝛾𝛾 ∙ 2� → �4 6 10 8 2 4 � (2.16) Nach Formel (2.14) ist auch umgekehrt ein Ausklammern des Faktors 𝛾𝛾 möglich. Hierbei zieht man aus Definition 7 den Faktor 𝛾𝛾 vor die Klammer der Matrix. Definition 8 Multiplikation von Matrizen und Vektoren Liegt eine (m,n) Matrix 𝑆𝑆 = �𝑚𝑚 𝑖𝑖𝑖𝑖 � vor und eine (n,r) Matrix 𝐵𝐵 = �𝑏𝑏 𝑖𝑖𝑖𝑖 � , so gilt: 𝑆𝑆 ∙ 𝐵𝐵 = (𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖 ) 𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖 = � 𝑚𝑚 𝑖𝑖𝑖𝑖 ∙ 𝑏𝑏 𝑖𝑖𝑖𝑖 für 𝑖𝑖 = 1, … , 𝑚𝑚 𝑚𝑚 = 1, … , 𝑚𝑚 𝑠𝑠 𝑖𝑖=1 (2.17) Bei der Multiplikation von Matrizen findet entgegen dem Kommutativgesetz (lat. commutare „vertauschen“) eine klare Unterscheidung der Reihenfolge bei der Multiplikation der einzelnen Elemente statt. Daher kann auch Matrix A nur mit Matrix B in der Reihenfolge AB multipliziert werden, falls die Anzahl der Spalten von Matrix A der Anzahl der Zeilen in Matrix B entspricht. Die daraus resultierende Matrix C besteht aus der gleichen Anzahl an Zeilen wie bei Matrix A und der gleichen Anzahl an Spalten wie bei Matrix B. Möchte man dagegen beide Matrizen in der anderen Reihenfolge miteinander multiplizieren, d.h. BA, muss umgekehrt die Anzahl der Spalten von Matrix B mit der Anzahl der Zeilen von Matrix A übereinstimmen. Die daraus resultierende Matrix D besteht aus der gleichen Anzahl an Zeilen wie Matrix B und der gleichen Anzahl an Spalten wie Matrix A. B ENNINGA (2006) beschreibt die Multiplikation von Vektoren und Matrizen anhand folgender Beispiele besonders ansprechend. Abb. 30 zeigt B ENNINGA s zugrundegelegtes Schema bei der Multiplikation von Vektoren. Zunächst soll ein Zeilenvektor mit einem Spaltenvektor multipliziert werden. Dabei wird jedes i -te Element innerhalb des Zeilenvektors mit dem j -ten Element innerhalb des Spaltenvektors multipliziert und aufsummiert. Hierbei wird deutlich, dass das Produkt einer 1 x n -Matrix und einer n x 1 -Matrix eine reelle Zahl ( 1 x 1 -Matrix) ergibt. <?page no="145"?> 2.1 Grundlagen der Matrizenrechnung 145 Abb. 30: Schema einer Vektor-Multiplikation Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Benninga (2006) Beispiele 𝑆𝑆 = (1 2 3), 𝐵𝐵 = �123� 𝐶𝐶 = 𝑆𝑆 ∙ 𝐵𝐵 = (1 2 3) ∙ �123� = 1 ∙ 1 + 2 ∙ 2 + 3 ∙ 3 = 14 (2.18) Dieses Schema zur Multiplikation zweier Vektoren stellt den ersten Schritt bei der Multiplikation von Matrizen dar. Um dies zu verdeutlichen, soll nachfolgend eine 3 x 3 -Matrix mit einem 3 x 1 -Vektor multipliziert werden. Hinsichtlich der Reihenfolge für die Multiplikation spiegelt das nachfolgende Beispiel die bereits erläuterte Reihenfolge C = AB wider. Beispiele Allgemeine Vorgehensweise: 𝑍𝑍𝑒𝑒𝑖𝑖𝑎𝑎𝑒𝑒 1 ∙ 𝑆𝑆𝑒𝑒𝑚𝑚𝑎𝑎𝑡𝑡𝑒𝑒 𝑍𝑍𝑒𝑒𝑖𝑖𝑎𝑎𝑒𝑒 2 ∙ 𝑆𝑆𝑒𝑒𝑚𝑚𝑎𝑎𝑡𝑡𝑒𝑒 𝑍𝑍𝑒𝑒𝑖𝑖𝑎𝑎𝑒𝑒 3 ∙ 𝑆𝑆𝑒𝑒𝑚𝑚𝑎𝑎𝑡𝑡𝑒𝑒 𝑆𝑆 = �1 2 3 4 5 6 7 8 9�, 𝐵𝐵 = �123� 𝐶𝐶 = 𝑆𝑆 ∙ 𝐵𝐵 = �1 2 3 4 5 6 7 8 9� ∙ �123� = �1 ∙ 1 + 2 ∙ 2 + 3 ∙ 3 4 ∙ 1 + 5 ∙ 2 + 6 ∙ 3 7 ∙ 1 + 8 ∙ 2 + 9 ∙ 3� = �14 32 50� (2.19) Die Multiplikation eines 1 x 3 -Zeilenvektors mit einer 3 x 3 -Matrix erfolgt in ähnlicher Weise, jedoch auf Grundlage einer unterschiedlichen Reihenfolge, C = BA. Hierbei muss der ursprüngliche Spaltenvektor aus Formel 2.17) in einen Zeilenvektor transponiert werden, da sonst die zu Beginn besprochenen Kriterien in Bezug auf die Zeilen und Spalten nicht eingehalten werden können. Spätestens jetzt wird deutlich, warum die Reihenfolge bei der Multiplikation von Matrizen so eine wichtige Rolle spielt. Aus den vorangegangenen Beispielen geht eindeutig hervor, dass die Wahl der Reihenfolge bei einer Multiplikation von Matrizen einerseits das Ergebnis selbst, andererseits aber auch die Form des Ergebnisses beeinflusst. <?page no="146"?> 146 2 Mathematische Grundlagen im Portfolio Management 𝑆𝑆 = �𝑚𝑚 11 𝑚𝑚 12 𝑚𝑚 21 𝑚𝑚 22 � , 𝐵𝐵 = �𝑏𝑏 11 𝑏𝑏 12 𝑏𝑏 21 𝑏𝑏 22 � 𝑆𝑆 ∙ 𝐵𝐵 = �𝑚𝑚 11 ∙ 𝑏𝑏 11 + 𝑚𝑚 12 ∙ 𝑏𝑏 21 ⋯ ⋯ ⋯� 𝐵𝐵 ∙ 𝑆𝑆 = �𝑏𝑏 11 ∙ 𝑚𝑚 11 + 𝑏𝑏 12 ∙ 𝑚𝑚 21 ⋯ ⋯ ⋯�  𝑆𝑆 ∙ 𝐵𝐵 ≠ 𝐵𝐵 ∙ 𝑆𝑆 (2.20) 2.1.7 Inversion von Matrizen und Vektoren Die nachfolgenden Erläuterungen zur Inversion von Matrizen erheben keinen Anspruch auf Vollständigkeit und sollen dem Leser lediglich einen gezielten Einblick in die mathematischen Grundlagen geben. Dem mathematisch interessierten Leser sei insbesondere der Hinweis auf die einschlägige Fachliteratur gegeben. 94 Eine inverse Matrix adressiert vorranging die Problemstellung einer nicht möglichen Division von Matrizen innerhalb einer Matrizengleichung. Dieser Mangel lässt sich durch die weitverbreiteten Unterschiede zwischen den Rechenoperationen einfacher Zahlen und Matrizen erklären. Obwohl eine Multiplikation von Matrizen erfolgen kann, sind diese Rechenoperationen an bestimmte Bedingungen geknüpft. Hierbei stellen uns die nachfolgend angewendeten Methoden für die Inversion von Matrizen ein geeignetes Werkzeug zur Lösung des beschriebenen Problems zur Verfügung. Die definierenden Eigenschaften einer inversen Matrix B zu einer gegebenen Basis-Matrix A sind einerseits die Existenz der Produkte BA und AB und andererseits die Identität dieser beider Produkte zur Einheitsmatrix. Hierbei beschränkt sowohl die Voraussetzung der Vertauschbarkeit als auch die Identiät der Produkte zur Einheitsmatrix das Anwendungsspektrum der Inversion auf quadratische Matrizen. Existiert eine Matrix B, die diese Kriterien erfüllt, bezeichnet man Matrix B auch inverse Matrix von Matrix A. Es kann jedoch vorkommen, dass eine quadratische Matrix keine Inverse aufweist und somit als singuläre Matrix bezeichnet wird. Die inverse Matrix in Definition 9 schreibt man gewöhnlich als A -1: B = A -1 . Definition 9 Inverse Matrizen � 𝐵𝐵𝑚𝑚𝑍𝑍𝑖𝑖𝑍𝑍𝑚𝑚𝑚𝑚𝑡𝑡𝑚𝑚𝑖𝑖𝑒𝑒 (𝑆𝑆) � ∙ � 𝐼𝐼𝑏𝑏𝑛𝑛𝑒𝑒𝑚𝑚𝑍𝑍𝑒𝑒 𝑀𝑀𝑚𝑚𝑡𝑡𝑚𝑚𝑖𝑖𝑒𝑒 (𝐵𝐵) � = � 𝐸𝐸𝑖𝑖𝑏𝑏ℎ𝑒𝑒𝑖𝑖𝑡𝑡𝑍𝑍𝑚𝑚𝑚𝑚𝑡𝑡𝑚𝑚𝑖𝑖𝑒𝑒 (𝐶𝐶) � (2.21) Nachfolgend sollen an einem Beispiel die mathematischen Voraussetzungen für die Inversion einer Matrix verdeutlicht werden. Besonders im Hinblick auf den erheblichen Umfang und die Komplexität wurde auf die Darstellung der formal-mathematischen Vorgehensweise bei der Bestimmung einer inversen Matrix gezielt verzichtet, da dies zur Bildung eines grundlegenden Verständnisses für die nachfolgend im Buch vorgestellten Modelle auch nicht zwingend notwendig ist. Es sei jedoch erwähnt, dass zur mathematischen Ermittlung einer inversen Matrix der Gauß-Jordan-Algorithmus herangezogen werden kann, da dieses nach C ARL F RIEDRICH 94 Hierbei ist insbesondere hervorzuheben T. Arens u.a. „Mathematik“, erschienen im Spektrum Akademischer Verlag, S. 515 ff., als ein grundlegendes Werk für die Einführung in die Mathematik. Als Nachschlage- und Einführungswerk mit Beispielen empfiehlt sich ebenfalls Merziger/ Wirth „Repetitorium der höheren Mathematik“, erschienen im Binomi-Verlag. <?page no="147"?> 2.2 Matrizenrechnung in Excel 147 G AUß und W ILHELM J ORDAN benannte mathematische Lösungsverfahren es erlaubt, ein entsprechendes lineares Gleichungssystem auf eine reduzierte Stufenform umzuformen und anschließend zu lösen. Beispiele mit Hilfe von Excel 𝑆𝑆 = �1 2 3 2 0 1 3 1 2�, 𝐵𝐵 = �−0,33 −0,5 0,67 −0,33 −2,33 1,67 0,67 1,67 −1,33� Prüfung ob 𝑆𝑆 ∙ 𝐵𝐵 = 𝐸𝐸 ? 𝐸𝐸 = �1 2 3 2 0 1 3 1 2� ∙ �−0,33 −0,5 0,67 −0,33 −2,33 1,67 0,67 1,67 −1,33� = �1 0 0 0 1 0 0 0 1� daher gilt: 𝐵𝐵 = 𝑆𝑆 −1 (2.22) 2.2 Matrizenrechnung in Excel Nachfolgend soll dem Leser ein detailliertes Verständnis für die Umsetzung des Theorie-Teils aus dem Abschnitt 2.1.1 in Excel vermittelt werden. Die nachfolgend beschriebenen Vorgehensweisen lehnen sich maßgeblich an die Microsoft Office Version 2010 an, können jedoch gleichermaßen in ähnlicher Weise bei vorherigen Softwareversionen angewendet werden. Obwohl Microsoft Excel dem Anwender eine einfache Verarbeitung von Vektoren- und Matrizen-Rechenoperationen bietet, sollen dennoch dem Anwender in den anschließenden Abschnitten einige spezifische Merkmale zur Gewährleistung eines effizienten Umganges mit Vektoren und Matrizen im Detail nähergebracht werden. Der Umgang mit sogenannten Array-Formeln in Excel stellt eine unabdingbare Notwendigkeit in der effizienten Umsetzung von Prozessen im Portfolio Management dar. Der Begriff Array kommt ursprünglich aus der Programmierung und stellt im Allgemeinen eine Sammlung von Elementen dar. Demnach lässt sich ein Array in seinen unterschiedlichen Ausprägungen vor allem mit Vektoren und Matrizen vergleichen. Daher entspricht auch ein eindimensionales horizontales Array einem Zeilenvektor, ein eindimensionales vertikales Array einem Spaltenvektor sowie ein zweidimensionales Array einer Matrix. Man unterscheidet aufgrund der Größe und Dimension ihrer Zeilen und Spalten grundsätzlich zweierlei Array-Typen: − die Einzelzellen-Arrayformel und − die Mehrzeilen-Arrayformel. Bei der Verarbeitung von Vektoren und Matrizen sollte beachtet werden, dass eine Arrayformel nicht nur ein einzelnes Ergebnis, sondern auch mehrere Ergebnisse als Rückgabewert liefern kann. Der Umgang mit Arrayformeln bietet den Vorteil, neben einer konsistenten Verarbeitung von Informationen und Daten die Anzahl der Rechenschritte drastisch reduzieren zu können. 95 95 Der interessierte Leser sei im Hinblick auf weiterführende Erläuterungen an den Support von Microsoft verwiesen: http: / / office.microsoft.com/ de-de/ Excel-help/ richtlinien-und-beispiele-fur-arrayformeln-HA010228458.aspx <?page no="148"?> 148 2 Mathematische Grundlagen im Portfolio Management Der Anwender muss bereits vor der Verarbeitung von Vektoren und Matrizen eine entsprechende Auswahl und Markierung des Zielbereichs vornehmen. Hierzu muss schon im Vorfeld die Größe des Ergebnisfeldes bekannt sein. Excel liefert im Falle einer unzureichenden Auswahl des Zielbereichs keinen Fehler, sondern ein unvollständiges Ergebnis. Ist die Eingabe einer Arrayformel durch die Tastenkombination STRG + UM- SCHALT + EINGABE abgeschlossen, kann der Inhalt dieser Arrayformel nicht unmittelbar geändert werden. Dies erfordert zunächst die komplette Löschung des Zielbereichs durch die Taste ENTF und eine anschließende Neueingabe in abgeänderter Fassung. Excel fügt nach Abschluss der Formeleingabe automatisch eine geschweifte Klammer { } der Formel hinzu und trägt somit zur Unterscheidung von Array-Formeln und gewöhnlichen Excel-Formeln bei. 2.2.1 Allgemeine Darstellung in Excel Abb. 31: Darstellung und Anwendung von Matrizen in Excel Jede Zelle in Excel stellt gemäß Abb. 31 ein einzelnes Element eines Vektors oder einer Matrix dar. Je nach Anordnung der Elemente innerhalb einer Zeile oder Spalte entsteht ein Zeilen- oder ein Spaltenvektor. Erfolgt eine rechteckige oder quadratische Anordnung dieser Zellen entsteht demzufolge eine m x n -Matrix. 2.2.2 Transponieren von Vektoren und Matrizen in Excel Excel Befehle und Funktionen = TRANSPOSE(Array) (englische Excel-Version) = MTRANS(Array) (deutsche Excel-Version) Beim Transponieren eines Vektors oder einer Matrix verwendet man in der deutschen Version von Excel die Funktion MTRANS() oder äquivalent TRANSPOSE() in der englischen Version. Da es sich hierbei, wie in Abschnitt 2.2 dargestellt, um eine Array-Formel handelt, müssen die nachfolgenden Hinweise bei der Eingabe unbedingt beachtet werden. Soll zum Beispiel ein Spaltenvektor aus Abschnitt 2.2.1 transponiert werden, geht man folgendermaßen vor. [1] Die Größe des Zielvektors oder der Zielmatrix bestimmen und nachfolgend den Bereich der Zielzellen markieren. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A B C D E F G H I J K L M Kapitel 3 Abschnitt 3.2 Mathematische Grundlagen im Portfoliomanagement 1 2 3 1 1 2 3 6 5 4 2 7 8 9 3 Darstellung einer 3 x 3 Matrix Darstellung eines Spaltenvektors Darstellung eines Zeilenvektors <?page no="149"?> 2.2 Matrizenrechnung in Excel 149 Abb. 32: Auswahl der Ergebniszellen [2] Formel eingeben: =MTRANS(Ursprungsvektor) Abb. 33: Eingabe der Formel [3] Eingabe mit STRG + SHIFT + EINGABE abschließen. Abb. 34: Abschluss Der in Abb. 32 bis Abb. 34 gezeigte Ablauf entspricht in seiner grundsätzlichen Vorgehensweise dem allgemeinen Transponieren von Vektoren und Matrizen, jedoch ist zu beachten, dass der zu Beginn der Eingabe ausgewählte und markierte Bereich nun dem eines Spaltenvektors oder einer Matrix entspricht. Abb. 35 zeigt das Ergebnis einer transponierten Matrix. Abb. 35: Transponieren von Vektoren und Matrizen 6789 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 A B C D E F G H 1 2 3 1 6 5 4 2 7 8 9 3 Transponieren einer 3 x 3 Matrix 1 6 7 << {=TRANSPOSE(B9: D11)} 2 5 8 3 4 9 Darstellung einer 3 x 3 Matrix Darstellung eines Spaltenvektors <?page no="150"?> 150 2 Mathematische Grundlagen im Portfolio Management 2.2.3 Addition und Subtraktion von Matrizen in Excel Excel Befehle und Funktionen einfache Addition: Element Matrix 1 + Element Matrix 2 einfache Subtraktion: Element Matrix 1 - Element Matrix 2 Die Addition und Subtraktion von Matrizen in Excel gestaltet sich, wie in Abb. 36 dargestellt, durch das direkte Addieren und Subtrahieren der einzelnen Elemente eines Vektors oder einer Matrix relativ einfach. Hierbei wird die erste Zeile der Ergebnismatrix durch Addition der beiden Matrizen elementweise Schritt für Schritt ergänzt. Nach Eingabe der Formel in Zelle J23 (siehe Abb. 37) wird diese sogleich markiert und mit Hilfe der „Ziehen und Ablegen“-Funktion mit einem Klick (gedrückte Maustaste) auf die rechte untere Ecke der Markierung und dem gleichzeitigen Zug in eine der vier Richtungen in die angewählte umliegende Zelle kopiert. Zellbezüge werden hierbei von Excel automatisch angepasst. Abb. 36: Addition und Subtraktion von Matrizen in Excel 2.2.4 Multiplikation eines Skalars mit einer Matrix in Excel Die Multiplikation eines Skalars mit einer Matrix gestaltet sich in der Umsetzung ähnlich der Addition und Subtraktion von Vektoren und Matrizen ebenfalls einfach. Hierbei wird jedes Element einer Matrix mit der gewünschten Konstante (auch Skalar genannt) multipliziert, was eine neue Matrix ergibt. Folgende Punkte sollten dabei berücksichtigt werden: [1] Die zu multiplizierende Konstante bei der erstmaligen Eingabe der Formelelemente muss fixiert werden. Diese Fixierung kann im Rahmen der Eingabe bzw. der Auswahl der Zelle dieser Konstanten durch Drücken der F4-Taste erfolgen. Die Angabe der fixierten Zelle wird nun in der Formel durch zwei Dollar-Zeichen ($) umschlossen. Nach Abschluss der Eingabe der Formel erscheint das Produkt der ersten beiden Elemente. [2] Um die anderen Elemente der gleichen Zeile miteinander zu multiplizieren, muss lediglich die soeben erstellte Zelle, welche die Formel enthält, nach rechts und unten kopiert werden. Dies erfolgt in gleicher Weise wie bereits in Abschnitt 2.2.3 beschrieben. Abb. 37 zeigt das Ergebnis der Operation. 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 A B C D E F G H I J K L M N 2 2 4 5 9 4 7 11 8 << {=B23: D25+F23: H25} 6 4 8 + 2 2 1 = 8 6 9 8 6 3 4 5 3 12 11 6 2 2 4 5 9 4 -3 -7 0 << {=B28: D30-F28: H30} 6 4 8 + 2 2 1 = 4 2 7 8 6 3 4 5 3 4 1 0 Addition und Subtraktion <?page no="151"?> 2.2 Matrizenrechnung in Excel 151 Abb. 37: Multiplikation eines Skalars mit einer Matrix in Excel 2.2.5 Multiplikation von Matrizen und Vektoren in Excel Excel Befehle und Funktionen = MMULT(Array1; Array2) = SUMMENPRODUKT(Array1; Array2) Die Multiplikation von Matrizen und Vektoren stellt die wichtigste Grundlage für das Verständnis von Portfoliomodellen dar. Nachfolgend wird einführend die Multiplikation von Vektoren beschrieben, um auf die verschiedenen Möglichkeiten der Matrizenmultiplikation einzugehen. Auch hier begegnen uns erneut die in den vorangegangenen Abschnitten erwähnten Array-Formeln. Um eine Matrix oder einen Vektor miteinander zu multiplizieren, können zwei verschiedene Methoden angewandt werden. Das Produkt zweier Vektoren kann entweder durch die Anwendung der Funktion − SUMMENPRODUKT () oder durch − MMULT () ermittelt werden. Beide Methoden erfüllen den gleichen Zweck, führen aber nur bei der Multiplikation von Vektoren zu einem gleichen Ergebnis. Sollen hingegen zwei Matrizen multipliziert werden, kommt lediglich die Anwendung der Funktion MMULT() in Frage. Um Verwirrung bei der Wahl der Funktion zu vermeiden, empfiehlt sich die generelle Anwendung von MMULT(). Im Allgemeinen ähnelt die Eingabe der Formel in Excel prinzipiell dem Ablauf aus Abschnitt 2.2.2. Vorgehensweise: [1] Bestimmung der Größe des Ergebnisvektors oder der Ergebnismatrix. Hierbei sollten vor allem die Merkmale eines Vektors bzw. einer Matrix, siehe insbesondere Abschnitt 2.1.6, beachtet werden. [2] Auswahl und Markierung der Ergebnismatrix. [3] Eingabe der Formel z.B. MMULT (Matrix/ Vektor 1; Matrix/ Vektor 2) oder SUM- MENPRODUKT(Vektor 1; Vektor 2) [4] Abschluss der Formel-Eingabe durch STRG + SHIFT + EINGABE. Abb. 38: Multiplikation von Vektoren 32 33 34 35 36 37 38 A B C D E F G H I J K L M 5 4 1 2 20 5 10 << {=B35*D35: F37} 5 3 1 25 15 5 6 5 3 30 25 15 Multiplikation Skalar 39 40 41 42 43 44 45 A B C D E F G H I J K L M N 1 1 2 3 14 << {=SUMPRODUCT(B42: B44,TRANSPOSE(D42: F42))} 23 14 << {=MMULT(D42: F42,B42: B44)} Multiplikation Vektoren <?page no="152"?> 152 2 Mathematische Grundlagen im Portfolio Management Sowohl die Multiplikation einer Matrix mit einem Spaltenvektor als auch das Multiplizieren eines Zeilenvektors mit einer Matrix erfolgt in ähnlicher Weise wie in den vorherigen Abschnitten detailliert beschrieben. Abb. 39 und Abb. 40 zeigen die praktische Umsetzung in Microsoft Excel. Abb. 39: Multiplikation einer Matrix mit einem Spaltenvektor Abb. 40: Multiplikation einer Matrix mit einem Zeilenvektor 2.2.6 Inversion und Einheitsmatrix in Excel Excel Befehle und Funktionen =MINV(Array1) Das Prinzip einer inversen Matrix wurde bereits in Abschnitt 2.1.7 dargestellt und soll nachfolgend durch die Umsetzung in Excel ergänzt werden. Zur Bildung einer inversen Matrix gilt die gleiche praktische Vorgehensweise, wie sie bereits in den vorherigen Abschnitten dargestellt wurde. Vorgehensweise: [1] Bestimmung der Größe der Ergebnismatrix (entspricht der Größe der zu invertierenden Matrix). Im Beispiel weist die Ergebnismatrix eine Größe von 3 Zeilen und 3 Spalten auf. [2] Nachfolgend wählt der Anwender die Ergebnismatrix aus und markiert sie. [3] Die Eingabe der Formel MINV(Matrix 1) erfolgt direkt über die Tastatur. [4] Die Formel-Eingabe wird durch STRG + SHIFT + EINGABE abgeschlossen. Abb. 41: Inversion einer Matrix 2.3 Grundlagen der mathematischen Optimierung Die Verfahren der mathematischen Optimierung können neben der modernen Portfoliotheorie auch den Methoden des wirtschaftswissenschaftlichen Teilgebietes 46 47 48 49 50 51 52 A B C D E F G H I J K L 4 1 2 1 12 << {=MMULT(B49: D51,F49: F51)} 5 3 1 2 14 6 5 3 3 25 Multiplikation Matrix 53 54 55 56 57 A B C D E F G H I J K L M N O 1 2 3 4 1 2 32 22 13 << {=MMULT(B54: D54,F54: H56)} 5 3 1 6 5 3 58 59 60 61 62 63 64 A B C D E F G H I J K L M N O 4 1 2 0,19 0,33 -0,24 1 0 0 - << {=MINVERSE(B61: D63)} 5 3 1 -0,43 0,00 0,29 0 1 0 6 5 3 0,33 -0,67 0,33 0 0 1 << {=MMULT(B61: D63,F61: H63)} Inversion Matrix <?page no="153"?> 2.3 Grundlagen der mathematischen Optimierung 153 des Operations Research zugeordnet werden. Obwohl das Operations Research eine recht junge wirtschaftswissenschaftliche Disziplin darstellt, findet die mathematische Optimierung heute in nahezu jedem wissenschaftlichen Bereich eine breite Anwendung. 96 Die Methoden der mathematischen Optimierung wurden später an die Anforderungen portfoliotheoretischer Fragestellungen angepasst und finden heute in der modernen Portfoliotheorie breite Anwendung. Neben der Anwendung der mathematischen Optimierung beschäftigt sich das Operations Research ebenfalls mit der Analyse von praxisnahen, komplexen Problemstellungen im Rahmen von Planungsprozessen und strebt durch die Entwicklung und Anwendung quantitativer Methoden eine optimale Entscheidung bei der Auswahl von Alternativen an. 97 Letzteres stellt neben der Verwendung ähnlicher Verfahren zur Lösung von Optimierungsmethoden eine weitere Schnittmenge zwischen den Verfahren des Operations Research und den quantitativen Methoden der modernen Portfoliotheorie dar. Die bereits angesprochenen Gemeinsamkeiten zwischen den Methoden des Operations Research und der modernen Portfoliotheorie sollen nachstehend noch einmal kurz aufgegriffen und erläutert werden. Im Rahmen des Operations Research trägt die erfolgreiche Abstrahierung eines betrachteten Problems nicht nur zu einer adäquaten Abbildung der komplexen Realität bei, sondern bildet gleichzeitig die Voraussetzung zur Lösung von Entscheidungsproblemen. Aus diesen Gründen werden die quantitativen Methoden des Operations Research in abgewandelter Form auch zur Lösung von Fragestellungen im Portfolio Management eingesetzt. Die Entscheidungen, die bei der Asset Allocation und der Auswahl effizienter Portfolios getroffen werden müssen, gestalten sich an den internationalen Kapitalmärkten zunehmend abstrakter und komplexer. Hieraus ergibt sich die Notwendigkeit, quantitative Methoden bei der Bildung von Portfolios einzusetzen. 98 2.3.1 Die Ziele des Operations Research und der Portfoliotheorie Aus der vorangegangenen Beschreibung der Merkmale kann ebenfalls eine Definition der Ziele des Operations Research abgeleitet werden. Das wesentliche Ziel des Operations Research besteht in der Ermittlung von Vorschlägen zur Lösung eines komplexen realen Problems. Hierbei steht die Erarbeitung einer „optimalen“ Lösung im Vordergrund. In diesem Sinne versteht man im Allgemeinen unter dem Begriff der Optimierung die Berechnung einer zulässigen Handlungsalternative, welche aus einer Auswahl anhandlungsalternativen am besten zur Zielerreichung des Entscheidenden führt. 99 In der modernen Portfoliotheorie spiegeln die ausgewählten Anlagetitel wie Aktien, Anleihen, Derivate u.a. die zulässigen Handlungsalternativen wider. Ferner sind in der modernen Portfoliotheorie die individuellen Präferenzen der Kapitalanleger bei der Abwägung der Rendite- und Risikogrößen ausgewählter Anlagetitel zu be- 96 Vgl. Gohout (2009), S. 2 ff. 97 Vgl. Domschke/ Drexl (2005), S. 1 ff. 98 Vgl. Werners (2006), S. 1 ff. 99 Vgl. ebd., S. 8 <?page no="154"?> 154 2 Mathematische Grundlagen im Portfolio Management rücksichtigen. Dies ist vergleichbar mit der Auswahl an Handlungsalternativen im Operations Research. In der Praxis unterscheiden sich unter Umständen die zulässigen Handlungsalternativen bezüglich der Rendite- und Risikoparameter erheblich. Analog zur Zielesetzung der Optimierung im Operations Research ist das primäre Ziel der modernen Portfoliotheorie die Ermittlung eines optimalen Portfolios. Ein Ergebnis bzw. eine Lösung wird in der Portfoliotheorie als optimal bezeichnet, wenn bei der Portfolio-Selektion, also bei der Auswahl an Anlagentiteln, diejenige Kombination ausgewählt wird, welche der Ziel- und Nutzenvorstellung eines Kapitalanlegers am besten entspricht. Aus der vorangegangenen Beschreibung der Merkmale und Ziele des Operations Research und des Portfolio Managements geht hervor, dass ein eindeutiger Zusammenhang zwischen den Verfahren des Operations Research und den Fragestellungen des Portfolio Managements besteht. Aus diesem Grund lassen sich die Methoden des Operations Research besonders gut auf die Fragestellungen der Portfoliotheorie übertragen. 2.3.2 Grundlagen der Entscheidungstheorie In der traditionellen wirtschaftswissenschaftlichen Disziplin beruht die Erklärung wirtschaftlicher Zusammenhänge auf der Annahme, dass die Akteure eines Marktes durch ihr rationales Verhalten eine allgemeine Steigerung bzw. Maximierung ihres Nutzens anstreben. 100 Gemäß den Zielvorstellungen der Akteure zeichnet sich ein nach dem Optimum ausgerichtetes Verhalten der Akteure bei der Lösung von Entscheidungsproblemen ab. Dies kann auch als Optimierungskalkül aller beteiligten Wirtschaftseinheiten empfunden werden. 101 Die Zielvorstellung eines Akteurs über die Maximierung seines Nutzens spiegelt in gewisser Weise schon eine Form der Optimierung wider. Neben den Methoden zur Quantifizierung einfacher Entscheidungsprobleme durch die Modelle der Entscheidungstheorie, wie u.a. Nutzenfunktionen und Entscheidungsregeln, verwendet man zur Lösung komplexerer Entscheidungsprobleme hauptsächlich die bereits angesprochenen Methoden der mathematischen Optimierung. Diese wird in der Fachliteratur oftmals auch als numerische Optimierung bezeichnet. Der Begriff der numerischen Optimierung, oder noch allgemeiner das mathematische Teilgebiet der Numerik, begegnet uns wiederkehrend in der fachübergreifenden mathematischen Literatur der Portfoliotheorie. Im Nachfolgenden verwenden wir die Bezeichnung der numerischen Optimierung synonym für die mathematische Optimierung. Die Numerik beschreibt grundsätzlich die Problematik, dass sich im Rahmen einer mathematischen Optimierung keine exakten, analytischen Lösungen angeben lassen. Vielmehr liefern numerische Lösungsverfahren die näherungsweise Angabe eines Funktionswertes an einem beobachtbaren Punkt im Kurvenverlauf einer Funktion. 102 Die schrittweise Vorgehensweise bei der Annäherung an eine Lösung wird in der Mathematik oftmals als iterativ bezeichnet, da erst die wiederholte Anwen- 100 Siehe 3.3.1 ff. 101 Vgl. Sperber/ Sprink (2007), S. 31 ff. 102 Vgl. Arens et al. (2008), S. 430 <?page no="155"?> 2.3 Grundlagen der mathematischen Optimierung 155 dung eines Lösungsverfahrens zu einer schrittweisen Annäherung an einen Funktionswert führt. Deshalb spricht man bei der Optimierung häufig vom Einsatz iterativer Lösungsverfahren. Dazu verwendet man in der praktischen Anwendung häufig Algorithmen, welche als Tools oder Toolboxen in den gängigen Tabellenverarbeitungsprogrammen und mathematischen Programmen wie zum Beispiel Microsoft Excel, Math- Works Matlab ® , Wolfram Mathematica, GNU Octave, Python und R bereitstehen. Vor diesem Hintergrund wird in der Optimierung häufig der Begriff Methodik verwendet. Durch den Einsatz von quantitativen Erklärungsmodellen bei der Entscheidungsfindung werden unter einer Methode hauptsächlich das Vorgehen, die Modellierung und die Problemlösung durch die Implementierung von Algorithmen verstanden. Die Verfahren zur numerischen Optimierung stellen also einen Bereich der angewandten Mathematik dar und beziehen sich in ihrer Grundform auf die Minimierung oder Maximierung einer Zielfunktion mit verschiedenen Variablen. Die Verfahren der Optimierung bieten vielseitige Anwendungsmöglichkeiten, welche durch die voranschreitende Entwicklung der Optimierungsverfahren stetig erweitert werden. Häufig unterliegt die Minimierung oder Maximierung einer Zielfunktion spezifischen Nebenbedingungen, welche durch den Entscheider selbst quantitativ festgelegt werden. Hierdurch kann ein mathematisches Modell an die komplexen Umweltbedingungen in der Realität angepasst werden. 2.3.3 Klassifikation der Optimierungsprobleme Im Allgemeinen lassen sich die verschiedenen numerischen Optimierungsmodelle hinsichtlich ihres Informationsgrades, der Anzahl an Zielfunktionen und abhängigen Variablen, den Effizienzkriterien, den Zusammenhängen und Strukturen innerhalb der Zielfunktion(en) und Nebenbedingungen und sowie deren Lösbarkeit unterscheiden. Sind die Parameter der Zielfunktion und der Nebenbedingungen schon vor Beginn der Optimierung bekannt, so wird auch von einem deterministischen Modell gesprochen, das der Entscheidungsfindung bei Sicherheit dient. Liegt hingegen mindestens ein Parameter in Form einer Zufallsvariable vor, erfolgt die Entscheidungsfindung bei Unsicherheit, genauer bei Risiko. In diesem Falle werden die zugrundeliegenden Modelle als stochastische Modelle bezeichnet. Weiterhin kann bei den Verfahren der Optimierung zwischen Modellen mit einer oder mehreren Zielfunktionen unterschieden werden. Im letzteren Fall empfiehlt sich die Verwendung von zusätzlichen Maßstäben für die Beurteilung des Ausmaßes auf die einzelnen Ziele. Diese werden als Effizienzkriterien bezeichnet. Abb. 42: Darstellung der Optimierungsprobleme. Quelle: Eigene Darstellung Optimierungsprobleme Lineare Optimierung Ganzahlige lineare Optimierung Reelle lineare Optimierung Nicht-lineare Optimierung Quadratische Optimierung Konvexe Optimierung Konische Optimierung Optimierung unter Unsicherheit Stochastische Optimierung Dynamische Optimierung Robuste Optimierung <?page no="156"?> 156 2 Mathematische Grundlagen im Portfolio Management Bezüglich der Zusammenhänge und Strukturen innerhalb einer Zielfunktion und der Nebenbedingungen unterscheidet man verschiedene Abstufungen von Optimierungsverfahren. Abb. 42 verdeutlicht diesen Zusammenhang. Demnach unterscheidet man einerseits zwischen linearen Optimierungsmodellen mit ganzzahligen und reellen Variablen und anderseits zwischen nicht-linearen Modellen mit quadratischen, konvexen und konischen Zielfunktionen. Stochastische, dynamische und robuste Optimierungsverfahren berücksichtigen in ihren Optimierungsmodellen die Unsicherheit der zugrundeliegenden Einflussgrößen und binden diese unmittelbar in den Optimierungsprozess ein. Die Lösbarkeit von Optimierungsproblemen stellt als solches ein weiteres Kriterium zu deren Abgrenzung dar. Hierbei unterscheidet man diejenigen Modelle, die in Relation zu ihrer Komplexität in polynomialem Zeit- und Rechenaufwand lösbar sind, und diejenigen Optimierungsprobleme, für die bisher noch keine adäquaten Verfahren zur Lösung bereitstehen. 103 2.3.4 Übersicht über die Teilgebiete der Optimierung und des Operations Research Wie bereits angesprochen, werden die Optimierungsprobleme aufgrund ihrer zugrundeliegenden Annahmen über die Unsicherheit der zugrundeliegenden Parameterschätzungen unterschieden. In den klassischen Ansätzen der modernen Portfoliotheorie wird vereinfachend angenommen, dass die Verwendung historischer Renditen eine hinreichend genaue Abbildung der zu erwartenden Renditen darstellen. Es finden demnach keine Entscheidungen unter unmittelbarer Unsicherheit statt. Die Erfahrungen aus der Praxis haben jedoch gezeigt, dass die Entscheidungen bei der Allokation von Portfolios durchaus unter Unsicherheit erfolgen und eine einfache Modellierung unter Sicherheit nicht ausreicht. Um diese Problematik zu lösen, finden die Methoden der dynamischen, stochastischen und robusten Optimierung Anwendung. Hierbei wird oftmals auf die Methoden der linearen und nichtlinearen Optimierung zurückgegriffen, welche um stochastische Elemente erweitert werden. 104 Abb. 42 aus dem vorherigen Abschnitt zeigt diesen Zusammenhang detailliert und gibt eine Übersicht über die verschiedenen Optimierungsmethoden. Bei allen aufgeführten Optimierungsmethoden ist der Zusammenhang der Problemstellung, Zielfunktion(en) und Variablen von Beginn an bekannt oder kann unter Umständen durch eine Abstrahierung in einzelne beschreibbare Probleme zerlegt werden. Im Falle von nur teilweiser Kenntnisnahme der Struktur des Problems oder zu komplexer Problemstellungen stoßen die genannten Methoden an ihre Grenzen und erfordern den teilweise aufwändigen Einsatz der Heuristik. Die Methoden der Heuristik zeichnen sich im Gegensatz zu gewöhnlichen Algorithmen, welche kontinuierlich versuchen, sich einer optimalen Lösung anzunähern, hauptsächlich durch deren systematische Bewertung bereits ermittelter Lösungen 103 Vgl. Domschke/ Drexl (2005), S. 6 ff. 104 Vgl. Reha/ Tütüncü (2003), S. 1 ff <?page no="157"?> 2.3 Grundlagen der mathematischen Optimierung 157 aus, um daraus neue Lösungen zu generieren. 105 Deshalb besitzen heuristische Verfahren durch die systematische Bewertung von lokalen Lösungen durchaus Gemeinsamkeiten mit den Methoden der stochastischen Optimierung. Vergleicht man die Anwendung der quadratischen Optimierung im klassischen Ansatz des Erwartungswert-Varianz-Ansatzes durch H ARRY M. M ARKOWITZ mit den heutigen Möglichkeiten bei der Lösung enorm komplexer Optimierungsprobleme, so erscheint der Fortschritt der Entwicklung der Optimierungsverfahren als sehr bemerkenswert. Nach der Abgrenzung und Einordnung der bereits genannten Optimierungsverfahren möchten wir dem Leser in den nachfolgenden Abschnitten den allgemeinen Ablauf eines Optimierungsalgorithmus näherbringen. Dies ermöglicht die intuitive Anwendung der gängigen Optimierungsverfahren im weiteren Verlauf dieses Buches. 2.3.4.1 Die grundsätzlichen Elemente eines Optimierungsproblems Aus dem vorangegangenen Abschnitt zu den Grundüberlegungen der numerischen Optimierung wurden bereits die wesentlichen Bestandteile eines Optimierungsproblems vorgestellt: [1] Eine oder mehrere Zielfunktion(en) (z.B. Portfoliovarianz, Sharpe Ratio, Tracking Error …) [2] Eine oder mehrere Variable(n) (z.B. Portfolio-Gewichte) [3] Keine, eine oder mehrere Nebenbedingung(en) (z.B. Beschränkungen der Portfolio-Gewichte) Im besonderen Hinblick auf die finanzwirtschaftliche Anwendung der Portfoliomodelle sollte bei der Bestimmung von Zielfunktionen und Nebenbedingungen vor allem darauf geachtet werden, dass diese stets ökonomisch sinnvoll formuliert und implementiert werden. Da sich durch die Entwicklung des globalen Handels in den vergangenen Jahrzehnten einerseits das mögliche Anlageuniversum zur Bildung eines Portfolios vergrößert hat und andererseits die Komplexität der einzuhaltenden Nebenbedingungen deutlich gestiegen ist, muss in bestimmten Fällen eine Anpassung der Optimierungsmodelle erfolgen. Daher kann es bei der Lösung von Optimierungsproblemen vorkommen, dass die Ausführung mehrerer Zielfunktionen unter Einhaltung umfassender Nebenbedingungen simultan stattfindet. Im Fall komplexer Problemstellungen wird ebenfalls regelmäßig geprüft, ob eine Abstrahierung oder Transformation eines Optimierungsproblems mit einer Vielzahl an Zielfunktionen auf eine einfacher ausgestaltete Zielfunktion möglich ist. 106 2.3.4.2 Die Unterscheidung von univariaten und multivariaten Optimierungsproblemen In der Mathematik, Statistik und Ökonometrie unterscheidet man im Allgemeinen zwischen univariaten und multivariaten Modellen, Verfahren oder Methoden. Obwohl den beiden Begriffen in der Statistik eine leicht abgewandelte Bedeutung 105 Vgl. Maringer (2010), S. 38 ff. 106 Vgl. Fabozzi/ Kolm/ Pachamanova/ Focardi (2007), S. 259 <?page no="158"?> 158 2 Mathematische Grundlagen im Portfolio Management zukommt, grenzt man in der Mathematik und in der Ökonometrie univariate Modelle und multivariate Verfahren ab. − Univariate Modelle enthalten eine unabhängige Variable (eindimensional), − multivariate Modelle enthalten mehrere unabhängige Variablen (mehrdimensional). 107 Dementsprechend kann auch im Rahmen der Optimierung von uni- und multivariaten Modellen gesprochen werden. Univariate Optimierungsprobleme zeichnen sich durch das Merkmal einer eindimensionalen abhängigen Variablen aus. Diesen stehen multivariate Optimierungsprobleme gegenüber, die durch mehrere abhängige Variablen gekennzeichnet sind. 2.3.4.3 Wie geht ein Optimierungsalgorithmus im Allgemeinen vor? Das grundlegende Ziel der Optimierung Abb. 43: Globale und lokale Maxima. Quelle: Eigene Darstellung, Matlab R2011b Das grundlegende Prinzip einer Vielzahl von Optimierungsmethoden besteht in der Ermittlung von Extremwerten einer Zielfunktion. Man unterscheidet hierbei zwischen der Minimierung und Maximierung einer Funktion, bei der also nach dem kleinsten oder größten Funktionswert einer Funktion gesucht wird. Abb. 43 zeigt ein weiteres Kriterium zur Beurteilung von Extremwerten. Je nach Verlauf einer Funktion kann es mehrere lokale Extremwerte geben, jedoch lediglich einen globalen Extremwert. Daher wird in der Optimierung zwischen lokalen und globalen Extrempunkten unterschieden. Wie in Abb. 44 dargestellt, sind in Sonderfällen (z.B. bei einer symmetrischen Funktion) ebenfalls mehrere globale Minima bzw. Maxima denkbar. Die Optimierung einer Funktion Betrachtet man eine Funktion 𝑓𝑓(𝑒𝑒) mit einer unabhängigen Variablen, entspricht die Ermittlung von Hoch- und Tiefpunkten der gängigen Vorgehensweise im Rahmen der Optimierung. Durch die Bestimmung von lokalen Hoch- und Tiefpunkten kann 107 Vgl. Cramer/ Kamps (2007), S. 14 ff. -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 -2000 -1500 -1000 -500 0 500 X W t Y-Werte f f` Extrempunkte <?page no="159"?> 2.3 Grundlagen der mathematischen Optimierung 159 mit Hilfe eines Algorithmus das globale Minimum oder Maximum einer Funktion sukzessive ermittelt werden. Hierbei stehen uns die in Formel (2.20) dargestellten Kriterien (1) und (2) aus der Differentialrechnung zur Identifikation von lokalen Extremwerten zur Verfügung. Ist ein lokaler Extremwert gefunden, fährt der Algorithmus mit der Suche nach neuen lokalen Extremwerten fort, um Schritt für Schritt einen globalen Extremwert zu finden. Abb. 44: Extremwerte im dreidimensionalen Raum Quelle: Eigene Darstellung, Matlab R2011b [1] 𝑓𝑓′(𝑒𝑒 0 ) = 0 und 𝑓𝑓 ′′ (𝑒𝑒 0 ) < 0 : an der Stelle 𝑒𝑒 0 ist ein lokales Maximum [2] 𝑓𝑓′(𝑒𝑒 0 ) = 0 und 𝑓𝑓 ′′ (𝑒𝑒 0 ) > 0 : an der Stelle 𝑒𝑒 0 ist ein lokales Minimum (2.23) Die Überprüfung der Funktion bzw. der Funktionswerte auf Erfüllung der Kriterien kann nur unter der Voraussetzung erfolgen, dass die zu untersuchende Funktion 𝑓𝑓(𝑒𝑒) zweimal differenzierbar ist. Ist dies der Fall, kann durch die Ableitungen einer Funktion bei Erfüllung des Kriteriums (1) ein lokales Maximum, oder bei Erfüllung des Kriteriums (2) ein lokales Minimum bestimmt werden. In der Regel erfolgt die Bestimmung von Extremwerten innerhalb eines vorab definierten Intervalls [a; b], das durch den Betrachter der Funktion bestimmt wird. Dementsprechend sollte die Bandbreite des Intervalls groß genug sein, um alle möglichen Extremwerte zu umfassen. Nach der vollständigen Bestimmung aller lokalen Extrempunkte einer Funktion innerhalb eines gegebenen Intervalls [a; b] kann durch die Auswahl der jeweils kleinsten bzw. größten Werte das globale Minimum oder Maximum einer Funktion schrittweise bestimmt werden, wobei auch die Funktionswerte an den Invervallgrenzen betrachtet werden müssen. Ein Intervall beschreibt denjenigen Bereich, in dem die beobachtete Funktion auf Extremwerte untersucht wird. Aufgrund der unterschiedlichen Ausgestaltungen und Verläufe von Funktionen stellt die Wahl eines geeigneten Intervalls eine kritische Voraussetzung bei der Optimierung von Funktionen dar. Die nachfolgenden Erläuterungen in Verbindung mit Abb. 43 verdeutlichen dieses Problem nochmals. -100 -10 -50 0 z 50 -5 y 0 -10 -5 5 x 0 5 10 10 <?page no="160"?> 160 2 Mathematische Grundlagen im Portfolio Management Die Wahl eines geeigneten Intervalls sollte neben der Betrachtung eines ökonomisch sinnvollen Bereichs möglichst die maximale Bandbreite des Verlaufs einer Funktion abdecken. Oftmals verhalten sich die zwei angeführten Kriterien divergent zueinander, sodass die alleinige Beobachtung eines ökonomisch sinnvollen Bereichs die Abdeckung der maximalen Bandbreite einer Funktion ausschließt. In diesem Fall sollte eine sinnvolle Abwägung der angeführten Kriterien erfolgen. Abb. 43 zeigt den Verlauf einer Funktion in Abhängigkeit von einer Variablen. Bei der Zunahme an unabhängigen Variablen nimmt neben der Komplexität bei der Lösung von Optimierungsproblemen auch der Aufwand bei der Darstellung der Funktion zu. Obwohl durch den Einsatz von modernen Optimierungsverfahren die Lösung von Optimierungsproblemen mit hunderten oder gar tausenden Variablen möglich ist, ist die Darstellung von Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen auf eine räumliche Darstellung in den drei Dimensionen (x,y,z) begrenzt. Abb. 44 beschreibt eine Funktion in Abhängigkeit von zwei Variablen. Die bisherig sehr allgemein gehaltenen Erläuterungen über die Schätzung von Intervallen sollen im Nachfolgenden durch die ökonomische Interpretation von Intervallen und Nebenbedingungen ergänzt werden. Vereinfachend kann behauptet werden, dass die Wahl eines geeigneten Untersuchungsintervalls in der ökonomischen Anwendung der Setzung von Nebenbedingungen entspricht, welche eingehalten werden müssen. Nimmt man beispielsweise eine Gewinnfunktion aus dem betrieblichen Controlling an, möchte man herausfinden, an welchem Punkt bzw. bei welcher Ausbringungsmenge 𝑒𝑒 𝑠𝑠 der Gewinn 𝐺𝐺(𝑒𝑒) maximal wird. Folglich wird in diesem Fall die Funktion 𝐺𝐺(𝑒𝑒) unter Berücksichtigung der Nebenbedingungen nach dem globalen Maximum untersucht. Da in der Praxis die Ausbringungsmengen einer Produktion in der Regel von betrieblichen Kapazitäten abhängig sind, muss die Formulierung der Nebenbedingungen im Rahmen der betrieblichen Leistungsfähigkeit erfolgen. Demnach kann es vorkommen, dass ein globales Maximum bei Einhaltung der Beschränkungen ausgeschlossen wird. Um dennoch die maximal erreichbare Ausbringungsmenge als globales Maximum der Funktion zu erreichen, müssten die Beschränkungen aufgehoben werden, sodass die zulässige Menge des Optimierungsproblems eine globale Lösung enthalten könnte. Eigenschaften eines Optimierungsalgorithmus Wie bereits zu Beginn von Abschnitt 2.3.3 erwähnt, gehen die verschiedenen Algorithmen bei der Ermittlung einer Lösung überwiegend iterativ vor. Dies bedeutet in der Regel eine näherungsweise Anpassung an eine Lösung. Hierzu generiert der Algorithmus, eine Abfolge an Näherungen x 0 , x 1 , x 2 , x 3 , … , x n , die dem gesuchten Minimum oder Maximum sukzessive immer näher kommen. Hierdurch zeigt sich schon eines der wesentlichen Merkmale eines numerischen Optimierungsmodells, die Lösung konvergiert gegen ein gesuchtes Minimum oder Maximum. Da wir jedoch den wahren Wert eines Extremwerts einer Funktion nicht explizit bestimmen können, benötigt der Algorithmus ein Kriterium, wonach er bei Erfüllung die weitere Suche nach einem Optimum abbricht. Falls der Algorithmus gegen das Optimum konvergiert, werden die absoluten Änderungen der schrittweisen Näherungen an den Funktionswert abnehmen. Andernfalls sollte bei keiner möglichen Lösung der Abbruch bzw. die Beendigung des Optimierungsalgorithmus erfolgen. 108 108 Vgl. Fabozzi/ Kolm/ Pachamanova/ Focardi (2007), S. 276 ff. <?page no="161"?> 2.3 Grundlagen der mathematischen Optimierung 161 2.3.5 Lineare Optimierungsprobleme Bei der Lösung von linearen Optimierungsproblemen unterscheidet man generell zwischen − den Methoden der reellen linearen Optimierung und − den Verfahren der ganzzahligen linearen Optimierung. Abb. 42 in Abschnitt 2.3.3 verdeutlicht den Zusammenhang durch die Abgrenzung der verschiedenen Optimierungsprobleme und Methoden. 2.3.5.1 Reelle lineare Optimierung Die lineare Optimierung findet in der Ökonomie bedingt durch die vergleichsweise einfache Handhabung ein vielfältiges Anwendungsgebiet. Dennoch gerät das Verfahren der linearen Optimierung relativ schnell an seine Grenzen, da bei ansteigender Komplexität der Umweltzustände und Einflussfaktoren der Entscheidungsvariablen oftmals kein linearer Zusammenhang mehr unterstellt werden kann. Trotz der genannten Schwäche finden sich die Verfahren der linearen Optimierung unter anderem auch bei der praktischen Lösung von Produktionsengpässen im Controlling wieder. Im Allgemeinen wird beim Verfahren der linearen Optimierung analog zu anderen Optimierungsproblemen eine Maximierung oder Minimierung einer linearen Funktion (auch als Zielfunktion bezeichnet) vorgenommen. Hierbei müssen die Variablen der Zielfunktion bestimmte Nebenbedingungen in Form von linearen Gleich- oder Ungleichungen erfüllen. Insbesondere bei ökonomischen Anwendungen unterliegen die einzelnen Variablen vordefinierten Nichtnegativitätsbedingungen, welche einen negativen Wertebereich gänzlich ausschließen. Die Nebenbedingungen müssen nicht notwendigerweise einen Ausschluss eines bestimmten Wertebereichs enthalten, sondern stellen vielmehr Ober- und Untergrenzen dar. In der Praxis begegnen uns Nebenbedingungen im Portfolio Management bei der Beschränkung von Portfolio-Gewichten oder im Controlling bei Auslastungskapazitäten. Obwohl die Maximierung oder Minimierung einer Funktion oftmals mit der Thematik der Kurvendiskussion aus der Differentialrechnung in Verbindung gebracht wird, ergeben sich durch die Nebenbedingungen Probleme bei der Anwendung von Analysis-Methoden auf lineare Funktionen. Die lineare Optimierung in Form des Simplex-Verfahren stellt dem Anwender eine geeignete Methode zur Lösung eines solchen Problems zur Verfügung. 109 110 Definition 10 Allgemeines lineares Optimierungsproblem 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑏𝑏 𝑒𝑒 𝑒𝑒 𝑇𝑇 ∙ 𝑒𝑒 wobei 𝑆𝑆 ∈ ℝ 𝑚𝑚×𝑠𝑠 , 𝑏𝑏 ∈ ℝ 𝑚𝑚 , 𝑒𝑒 ∈ ℝ 𝑠𝑠 , und 𝑒𝑒 ∈ ℝ 𝑠𝑠 𝑆𝑆𝑒𝑒 = 𝑏𝑏 (2.24) Neben der Lösung von Problemen der Portfoliooptimierung und der Produktions- 109 Vgl. Arens et al. (2008), S. 752 ff. 110 Neben weiteren Lösungsverfahren wie zum Beispiel dem Innere-Punkte-Verfahren und der Ellipsoid-Methode hat sich der Simplex-Algorithmus aufgrund seiner schnellen Laufzeit bewährt. Ist die Zielfunktion jedoch lediglich von einer einzigen Variablen abhängig, erlaubt die lineare Optimierung ebenfalls die einfache Darstellung und Lösung eines solchen Problems mit Hilfe eines Graphen. Siehe auch Tütüncü (2003). <?page no="162"?> 162 2 Mathematische Grundlagen im Portfolio Management planung erlaubt die lineare Optimierung ebenfalls die Lösung finanzmathematischer Probleme etwa bei der Bewertung von Derivaten, beim Asset-Pricing, bei der Aufdeckung von Arbitrage- und Hedging-Strategien sowie bei der Optimierung von Portfolios im Rahmen des Conditional VaR. 2.3.5.2 Ganzzahlige Optimierung Im Unterschied zur reellen linearen Optimierung bezieht sich die ganzzahlige lineare Optimierung nicht auf Variablen eines reellen Wertebereichs, sondern, wie aus der Bezeichnung abgeleitet werden kann, auf einen ganzzahligen Wertebereich. Aus diesem Grund sind die Methoden der ganzzahligen linearen Optimierung auch oftmals in der englischen Fachliteratur unter der Bezeichnung „Integer Programming“ bekannt. Die Voraussetzung der Eigenschaft „Ganzzahligkeit“ von Variablen bei der Optimierung stellt eines der wesentlichen Merkmale dieses Optimierungsproblems dar. Die Ganzzahligkeit bietet dem Anwender die Möglichkeit, logische Bedingungen in der Lösung von Optimierungsproblemen einzubinden. Oftmals kommt es im Portfolio Management jedoch vor, dass die Allokation eines linearen Optimierungsmodells den Kauf von 3004,58 Anteilen an der Aktie XYZ empfiehlt. Sicherlich hätten einige Portfolio-Manager keine Probleme, die Anzahl der Anteile einer bestimmten Aktie anzupassen, und anstatt 3004,58 Aktien 3004 Aktien oder 3000 Aktien zu kaufen. Dies würde aber unweigerlich zu Abweichungen von der optimalen Lösung führen. Deshalb empfiehlt sich bei derartigen Problemstellungen die Anwendung der ganzzahligen linearen Optimierung. Diese Problematik wird ebenfalls durch Beispiel 1 nochmals beschrieben und durch ein Verfahren der ganzzahligen linearen Optimierung anschaulich gelöst. Definition und Unterscheidung Weiterhin wird zwischen ganzzahligen linearen Problemen und kombinatorischen Optimierungsproblemen unterschieden. Erstere eignen sich neben der Lösung von Investitions- und Planungsproblemen auch für den Einsatz im Portfolio Management. In Beispiel 1 wird darauf geachtet, dass die Variablen lediglich binäre Werte im Sinne von 0 und 1 annehmen können. In diesem Fall bestimmt die Variable beispielsweise nicht, in welcher Höhe in bestimmte Güter, Anlagen oder Wertpapiere investiert wird, sondern gibt an, ob überhaupt eine Investition oder der Kauf eines Wertpapiers getätigt werden soll (1) oder nicht (0). Darüber hinaus existieren zur Lösung von Zuordnungs-, Reihenfolgen- und Gruppierungs- und Auswahlproblemen geeignete Methoden in Form der kombinatorischen Optimierung. Aus der Unterscheidung verschiedener Optimierungsmethoden und deren möglichen Anwendungen in der Praxis wird deutlich, wie komplex und unterschiedlich die Modellierung von Optimierungsproblemen sein kann. Demnach kann es je nach Umfang an Variablen und Nebenbedingungen vorkommen, dass Optimierungsprobleme nicht zufriedenstellend gelöst werden können. Die Evolution der Informationstechnologie hat in den letzten Jahrzehnten zu einer beschleunigten Entwicklung computergestützter Verfahren geführt. Die so entwikkelten Methoden trugen unmittelbar zur Lösung komplexer Optimierungsprobleme bei und ermöglichten die Lösung von ganzzahligen linearen Optimierungsproble- <?page no="163"?> 2.3 Grundlagen der mathematischen Optimierung 163 men. Obwohl nicht im Detail auf die einzelnen Lösungsansätze eingegangen werden kann, sollten jedoch die wichtigsten Vertreter kurz genannt werden. Hierbei wird maßgeblich zwischen dem Entscheidungsbaumverfahren und dem Schnittebenenverfahren unterschieden. Neben der vollständigen Enumeration stellen die Verfahren der unvollständigen (bzw. begrenzten) Enumeration mit dem „Branch and Bound“-Verfahren eine der bekanntesten Methoden dar. Das „Cutting Plane“-Verfahren hingegen stellt einen wichtigen Bestandteil der Schnittebenenverfahren dar und wird durch die Kombination aus den vorgestellten Methoden erweitert. Man spricht in diesem Fall von „branch and cut“. Im Folgenden soll die ganzzahlige bzw. kombinatorische Optimierung durch Beispiele näher beleuchtet werden. Zunächst soll anhand einer Fallstudie aus dem betrieblichen Controlling 111 die Grundidee und die Modellierung logischer Bedingungen erläutert werden. Dieses Beispiel vertieft die Problematik von Auswahlentscheidungen unter schlüssigen Bedingungen und gibt Hinweise zur Lösung. Fallstudie: Budget-Optimierungsproblem Es sollen aus fünf verschiedenen Investitionen drei Alternativen ausgewählt werden, die zusammen den größten Netto-Barwert (Net Present Value) bilden. Hierbei sind allen Investitionen neben abweichenden Nettobarwerten unterschiedlich hohe Kosten zugeordnet. Es steht ein Budget von insgesamt bis zu 25.000 € zur Verfügung. Solche Probleme werden auch oftmals als Budget-Probleme bezeichnet. Hieraus ergibt sich folgende Ausgangssituation: Investition 1 Investition 2 Investition 3 Investition 4 Investition 5 Variable X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 Kosten 6.000,00 8.000,00 4.000,00 4.500,00 11.000,00 NPV 1.500,00 6.500,00 8.000,00 2.500,00 18.000,00 Welche Alternativen können unter Berücksichtigung der ganzzahligen linearen Optimierung ausgewählt werden? ZF: max 1,5𝑒𝑒 1 + 6,5𝑒𝑒 2 + 8𝑒𝑒 3 + 2,5𝑒𝑒 4 + 18𝑒𝑒 5 𝑁𝑁𝐵𝐵: 6𝑒𝑒 1 + 8𝑒𝑒 2 + 4𝑒𝑒 3 + 4,5𝑒𝑒 4 + 11𝑒𝑒 5 ≤ 25.000 Ohne Beschränkung der Variablen auf binäre Werte liefert der SOLVER dabei folgende Ergebnisse: 𝑁𝑁𝐵𝐵 1 ≤ 3; 𝑁𝑁𝐵𝐵 2 ≤ 25.000; 𝑒𝑒 1 = 0 ; 𝑒𝑒 2 = 0; 𝑒𝑒 3 = 1,14; 𝑒𝑒 4 = 0; 𝑒𝑒 5 = 1,86 𝑍𝑍𝑍𝑍 = 42.571€ Hierbei liegt durch die gebrochene Darstellung der Variablen kein ganzzahliges lineares Optimierungsproblem vor. Nach Hinzufügen einer weiteren Nebenbedingung erfüllt die Gleichung jedoch die Kriterien eines ganzzahligen linearen Problems und der SOLVER gelangt zu folgendem Ergebnis: 111 In Anlehnung an Cornuejols/ Tütüncü (2007), S. 193 ff. <?page no="164"?> 164 2 Mathematische Grundlagen im Portfolio Management 𝑒𝑒 1 = 0 ; 𝑒𝑒 2 = 1; 𝑒𝑒 3 = 1; 𝑒𝑒 4 = 0; 𝑒𝑒 5 = 1 𝑍𝑍𝑍𝑍 = 32.500€ Die ganzzahlige Optimierung wird im quantitativen Portfolio Management vorrangig bei der Bildung eines Tracking Portfolios zur Replizierung einer Benchmark, häufig in der Form von Indizes verwendet. Durch die These effizienter Märkte wird im Gegensatz zum aktiven Portfolio Management nicht der Ansatz verfolgt, systematisch eine Überrendite zu erwirtschaften, sondern versucht, die Entwicklung eines zugrundeliegenden Index möglichst genau abzubilden. Aus diesem Grund zählen die Verfahren des Index Trackings zu den Methoden des passiven Portfolio Managements. Auf eine detaillierte Erläuterung eines Tracking Portfolios und dessen Einflussfaktoren anhand eines Beispiels wird an dieser Stelle bewusst verzichtet, da die Bildung und Umsetzung eines solchen Portfolios in den nachfolgenden Kapiteln, insbesondere Kapitel 1, umfassend dargestellt wird. 2.3.6 Nicht-lineare Optimierungsprobleme Nun werden wir uns mit der Problematik der nicht-linearen Optimierung befassen. Da nicht-lineare Optimierungsprobleme entgegen den in Abschnitt 2.3.5 vorgestellten Optimierungsproblemen eine nichtlineare Zielfunktion und mögliche nichtlineare Nebenbedingungen besitzen, versagen traditionelle Methoden wie z.B. der Simplexalgorithmus bei der Lösung derartiger Probleme. Es gibt hierfür keine universell anwendbaren Verfahren, sondern individuell auf einzelne Problemtypen zugeschnittene spezielle Methoden. Nachfolgend sollen neben einer kleinen Einführung in die nicht-lineare Optimierung hauptsächlich quadratische und konvexe Optimierungsprobleme aus dem Portfolio Management und Methoden zu deren Lösung beschrieben werden. Neben dem Portfolio Management finden sich die Methoden auch in der Produktionsprogrammplanung, bei der Untersuchung von Preis- Absatz-Funktionen oder im betrieblichen Controlling wieder. In Abschnitt 2.3.4.2 wurde bereits eine Abgrenzung zwischen univariaten und multivariaten linearen Optimierungsproblemen mit und ohne Nebenbedingungen vorgenommen. Diese Unterscheidung findet sich ebenfalls in der nichtlinearen Optimierung wieder. Da wir uns nach wie vor bei den Verfahren zur Optimierung befinden, gelten analog die in Abschnitt 2.3.5 vermittelten Grundlagen. Im Gegensatz zur linearen Optimierung hat sich lediglich die Struktur von Zielfunktion und Nebenbedingungen verändert. Optimierungsprobleme ohne Nebenbedingungen treten in vielen Verfahren als vereinfachtes Teilproblem auf. Obwohl im nachfolgenden Beispiel zur quadratischen Optimierung die Voraussetzung einer zweimalig stetigen Funktion gegeben ist, ist dies bei Funktionen höherer Ordnung bei aufwendigeren Optimierungsproblemen nicht immer der Fall, sodass die Nullstellen einer Ableitung oder eines Gradienten nicht immer explizit berechnet werden können. Insbesondere bei der Anwendung von Optimierungsverfahren in der Ökonomie begegnen uns immer wieder nicht differenzierbare Funktionen. Wie bereits erläutert, verwendet man in diesem Fall numerische Iterationsverfahren zur näherungsweisen Berechnung. Unter der Voraussetzung einer konvexen Funktion eignet sich bei univariaten Problemen beispielsweise die Anwendung der Methode des Goldenen Schnittes. Bei multivariaten <?page no="165"?> 2.3 Grundlagen der mathematischen Optimierung 165 Problemen, also Problemen mit mehreren Variablen, eignet sich dagegen unter der Voraussetzung der Differenzierbarkeit einer zu untersuchenden Funktion besonders das Gradienten-Verfahren, welches in der Fachliteratur auch als Methode des steilsten Abstiegs (engl. steepest descent) zu finden ist. 112 Da bei der praktischen Anwendung von Optimierungsverfahren in der Ökonomie wiederholt die Optimierungsmodelle an die Bedingungen in der Praxis angepasst werden müssen, um nicht nur optimale, sondern vielmehr ökonomisch korrekte Lösungen zu ermitteln, bezeichnet man diese im Allgemeinen als restringierte Optimierungsprobleme. Anpassungen an die Umwelt werden dabei durch die Einführung von Nebenbedingungen realisiert. Obwohl die nicht-lineare Optimierung aufgrund ihrer Anforderungen früher eine eher untergeordnete Rolle innerhalb der modernen Portfoliotheorie gespielt hat, zeichnet sich seit den 1990er Jahren ein Wendepunkt hin zu den Methoden der nichtlinearen Optimierung ab. Bisher bestand das allgemeine Problem, dass insbesondere nicht-lineare Verfahren oftmals gegen lokale optimale Lösungen konvergierten, obgleich es vielleicht eine globale optimale Lösung gegeben hätte. Bei schwierigen nicht-linearen Optimierungsproblemen wiesen die damaligen Methoden zudem des öfteren Probleme bei der Ermittlung einer zulässigen Lösung auf, obwohl eine solche (in einigen Fällen) sehr wohl existierte. Entgegen der linearen und quadratischen Optimierung wiesen nicht-lineare Optimierungsprobleme zusätzlich den erheblichen Nachteil auf, dass mit steigender Anzahl an Variablen und Nebenbedingungen die Laufzeit zur Auflösung nach einem global optimalen Punkt exponentiell ansteigt. 113 2.3.6.1 Quadratische Optimierung Zur Lösung eines quadratischen Optimierungsproblems stehen geeignete Verfahren aus der quadratischen Optimierung bereit. In diesem Zusammenhang werden die Algorithmen, die zur Lösung quadratischer Probleme verwendet werden, auch oftmals als Methoden der quadratischen Programmierung (QP) bezeichnet. Hierbei wird eine quadratische Zielfunktion unter Einhaltung von Nebenbedingungen in der Form von linearen Gleichungen oder Ungleichungen minimiert oder maximiert. Bei der Portfoliooptimierung wird angenommen, dass die verwendete Varianz-Kovarianz-Matrix Q einerseits symmetrisch 114 ist und andererseits keine negativen Eigenwerte 115 besitzt. Aus den vorliegenden Eigenschaften kann geschlossen werden, dass die Varianz-Kovarianz-Matrix Q als eine positive semidefinite Matrix vorliegt. Daraus folgt, dass das quadratische Optimierungsproblem als konvexe Zielfunktion formuliert und in polynominaler Zeit gelöst werden kann. 116 Definition 11 Allgemeines quadratisches Optimierungsproblem 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑏𝑏 𝑒𝑒 12 𝑒𝑒 𝑇𝑇 𝑄𝑄𝑒𝑒 + 𝑒𝑒 𝑇𝑇 ⋅ 𝑒𝑒 (2.25) 112 Vgl. Domschke/ Drexl (2005), S. 174 ff. 113 Daniel Fylstra, Introducing Convex and Conic Optimization for the Quantitative Finance Professional, Wilmott Magazine (2005), S. 19 114 Da 𝑒𝑒 𝑇𝑇 𝑄𝑄𝑒𝑒 = 12 𝑒𝑒 𝑇𝑇 (𝑄𝑄 + 𝑄𝑄 𝑇𝑇 )𝑒𝑒 115 Wenn 𝑦𝑦 𝑒𝑒 𝑄𝑄𝑦𝑦 ≥ 0 𝑓𝑓ü𝑚𝑚 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑎𝑎𝑒𝑒 𝑦𝑦 116 Vgl. Tütüncü (2003), S. 3 ff. <?page no="166"?> 166 2 Mathematische Grundlagen im Portfolio Management 𝑆𝑆𝑒𝑒 = 𝑏𝑏 wobei 𝑆𝑆 ∈ ℝ 𝑚𝑚∙𝑠𝑠 , 𝑏𝑏 ∈ ℝ 𝑚𝑚 , 𝑒𝑒 ∈ ℝ 𝑠𝑠 , 𝑄𝑄 ∈ ℝ 𝑠𝑠∙𝑠𝑠 𝑎𝑎𝑏𝑏𝑒𝑒 𝑒𝑒 ∈ ℝ 𝑠𝑠 Im Folgenden soll zunächst der univariate Fall einer quadratischen Optimierung vorgestellt und erläutert werden. Auf den multivariaten Fall der quadratischen Optimierung soll erst später ausführlich eingegangen werden. Die Portfoliovarianz ist eine quadratische Funktion der Portfoliogewichte. Im Fall von nur zwei Anlageoptionen ist die Portfoliovarianz eine Funktion der beiden Portfoliogewichte 𝑤𝑤 1 und 𝑤𝑤 2 . Die Vereinfachung zu einem univariaten Problem ergibt sich aus der Beziehung zwischen beiden Portfoliogewichten 𝑤𝑤 2 = (1 − 𝑤𝑤 1 ) . Fallstudie: Optimierung der Portfolio-Varianz im 2-Aktien-Fall Ein Portfolio-Manager möchte das Risiko in einem Portfolio mit 2 Aktien auf ein Minimum reduzieren. Durch die historischen Renditen der letzten 250 Handelstage konnte der Portfolio-Manager bereits die Parameter Varianz von Aktie 1 und Aktie 2 und den Korrelationskoeffizienten ermitteln. Diese sind demnach gegeben durch: 𝜎𝜎 12 = 0,035, 𝜎𝜎 22 = 0,082, 𝜌𝜌 = −0,45 . Wie in Kapitel 1 erläutert, ergibt sich die Portfolio-Varianz im 2-Aktien-Fall durch die Formel: 𝜎𝜎 𝑒𝑒2 = 𝑤𝑤 12 ∙ 𝜎𝜎 12 + 2 ∙ 𝑤𝑤 1 ∙ (1 − 𝑤𝑤 1 ) ∙ 𝜌𝜌 ∙ 𝜎𝜎 1 ∙ 𝜎𝜎 2 + (1 − 𝑤𝑤 1 ) 2 ∙ 𝜎𝜎 22 Daraus folgen die Funktion der Portfolio-Varianz und ihre Ableitungen: 𝑓𝑓(𝑒𝑒) = 𝑒𝑒 2 ∙ 𝜎𝜎 12 + 2 ∙ 𝑒𝑒 ∙ (1 − 𝑒𝑒) ∙ 𝜌𝜌 ∙ 𝜎𝜎 1 ∙ 𝜎𝜎 2 + (1 − 𝑒𝑒) 2 ∙ 𝜎𝜎 22 𝑓𝑓 ′ (𝑒𝑒) = 2𝑒𝑒𝜎𝜎 12 − 2𝜎𝜎 22 + 2𝑒𝑒𝜎𝜎 22 + 2(1 − 2𝑒𝑒)𝜌𝜌𝜎𝜎 1 𝜎𝜎 2 𝑓𝑓 ′′ (𝑒𝑒) = 2𝜎𝜎 12 − 2 𝜌𝜌𝜎𝜎 1 𝜎𝜎 2 + 2𝜎𝜎 22 Bestimmung der Nullstelle der ersten Ableitung durch 𝑓𝑓 ′ (𝑒𝑒) = 0 2𝑒𝑒𝜎𝜎 12 − 2𝜎𝜎 22 + 2𝑒𝑒𝜎𝜎 22 + 2(1 − 2𝑒𝑒)𝜌𝜌𝜎𝜎 1 𝜎𝜎 2 = 0 | ∙ 12 𝑒𝑒(𝜎𝜎 12 + 𝜎𝜎 22 − 2𝜌𝜌𝜎𝜎 1 𝜎𝜎 2 ) − 𝜎𝜎 22 + 𝜌𝜌𝜎𝜎 1 𝜎𝜎 2 = 0 | + (𝜎𝜎 22 − 𝜌𝜌𝜎𝜎 1 𝜎𝜎 2) 𝑒𝑒(𝜎𝜎 12 + 𝜎𝜎 22 − 2𝜌𝜌𝜎𝜎 1 𝜎𝜎 2 ) = 𝜎𝜎 22 − 𝜌𝜌𝜎𝜎 1 𝜎𝜎 2 | ∙ 1 �𝜎𝜎 12 +𝜎𝜎 22 −2𝜌𝜌𝜎𝜎 1 𝜎𝜎 2 � 𝑒𝑒 0 = 𝜎𝜎 22 − 𝜌𝜌𝜎𝜎 1 𝜎𝜎 2 𝜎𝜎 12 + 𝜎𝜎 22 − 2𝜌𝜌𝜎𝜎 1 𝜎𝜎 2 𝑒𝑒 0 = 0,035 + (−0,45) ∙ �0,035 ∙ √0,082 0,035 + 0,028 − 2(−0,45) ∙ �0,035 ∙ √0,082 = 0,64 Überprüfung von 𝑓𝑓 ′ ′(𝑒𝑒) > 0 𝑓𝑓 ′′ (0,64) = 2 ∙ 0,035 − 2 ∙ (−0,45) ∙ �0,035 ∙ �0,082 + 2 ⋅ 0,082 > 0 In unserem vorangegangenen Beispiel wurde eine Lösungsmethode für die quadratische Optimierung vorgestellt, welche sich jedoch lediglich auf eine univariate Abhängigkeit der zugrundeliegenden Funktion bezog. Alternative Lösungsmethoden werden unter der Voraussetzung einer univariaten Abhängigkeit durch die Verfah- <?page no="167"?> 2.3 Grundlagen der mathematischen Optimierung 167 ren der „binären Suche“, des „Newton-Näherungsverfahrens“, des „Approximate-Line-Search“ und auch durch die Methoden des „steilsten Abstiegs“ (engl. steepest descent) bereitgestellt. 117 Um jedoch das unsystematische Risiko eines Portfolios auf ein Minimum zu reduzieren, wird eine Vielzahl an Wertpapieren in einem Portfolio benötigt. Mit einem entsprechenden Anstieg der Zahl der Wertpapiere in einem Portfolio wird es zunehmend schwerer, ein Optimierungsproblem durch die bisher erläuterten Vorgehensweisen darzustellen und zu lösen. Eine grafische Darstellung von mehrdimensionalen Funktionen (N-Anlagen-Fall) ist durch die dreidimensionale Beschränkung bei deren Darstellung ebenfalls nicht möglich. Durch eine zunehmende Anzahl an Wertpapieren in einem Portfolio wird maßgeblich auf die Verfahren der multivariaten Optimierung zurückgegriffen. Die Definition des zugrundliegendem Erwartungswert-Varianz-Ansatzes entspricht der Definition 11 des allgemeinen quadratischen Optimierungsproblems und soll zunächst der Vollständigkeit halber nachfolgend lediglich vorgestellt und später detailliert erläutert werden. Definition 12 Erwartungswert-Varianz-Optimierung 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑏𝑏 𝑤𝑤 12 𝑤𝑤 𝑇𝑇 𝑄𝑄𝑤𝑤 = 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑏𝑏 𝑤𝑤 𝑤𝑤 𝑇𝑇 𝐶𝐶𝑤𝑤 𝑆𝑆𝑤𝑤 = 𝑏𝑏 (2.26) wobei 𝑤𝑤 ∈ ℝ 𝑠𝑠 den Vektor der Portfoliogewichte bezeichnet, 𝐶𝐶 ∈ ℝ 𝑠𝑠×𝑠𝑠 die Varianz- Kovarianz-Matrix der zugrunde liegenden Wertpapiere und die Matrix 𝑆𝑆 ∈ ℝ 𝑚𝑚∙𝑠𝑠 und der Vektor 𝑏𝑏 ∈ ℝ 𝑚𝑚 die Zielrendite und die Bedingung ∑𝑤𝑤 = 1 sicherstellen. Die Verfahren zur Anwendung der quadratischen Optimierung stellen einen Kernbereich der Portfoliooptimierung dar und finden sich im Portfolio Management z.B. in der absoluten Optimierung von Portfolios in Form der zuvor angesprochenen Erwartungswert-Varianz-Optimierung oder der Sharpe-Ratio-Optimierung wieder, welche ab Kapitel 1 ausführlich dargestellt und anhand von Beispielen erläutert werden. Die formalen Methoden der Statistik sowie des Operations Research stellen uns geeignete Algorithmen wie z.B. die Methode der kleinsten Quadrate (engl. ordinary least squares oder generalized least squares) zur Verfügung. Bei einer Zunahme an Komplexität in Optimierungsproblemen bietet das Operations Research eine sequentielle Ausführung der quadratischen Optimierung durch die Verfahren der sequentiellen quadratischen Programmierung (SQP) an. 2.3.6.2 Konische Optimierung Definition 13 Allgemeines konisches Problem 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑏𝑏 𝑒𝑒 𝑒𝑒 𝑇𝑇 𝑒𝑒 wobei 𝑒𝑒 ∈ ℝ 𝑠𝑠 𝑎𝑎𝑏𝑏𝑒𝑒 𝑒𝑒 ∈ ℝ +𝑠𝑠 𝑆𝑆𝑒𝑒 = 𝑏𝑏 𝑒𝑒 ∈ 𝐶𝐶. (2.27) 117 Im Unterschied zu Cornuejols/ Tütüncü (2007) stellt Jarre/ Stoer (2003) dem mathematisch interessierten Leser ein umfassendes Grundlagenwerk in deutscher Sprache zu Verfügung. <?page no="168"?> 168 2 Mathematische Grundlagen im Portfolio Management Bei der konischen Optimierung werden im allgemeinen lineare Zielfunktionen unter Einhaltung verschiedener linearer Gleichungen mit abhängigen konischen Nebenbedingungen minimiert oder maximiert. Innerhalb von Definition 13 stellt C einen geschlossenen konvexen Kegel in einem endlich-dimensionalen Vektorraum dar. Die Struktur des vorgestellten allgemeinen konischen Optimierungsproblems ein gewöhnliches lineares Optimierungsproblem dar. Daher ist die konische Optimierung eine Verallgemeinerung eines linearen Optimierungsproblems. Unter Beibehaltung der gängigen Eigenschaften linearer Optimierungsprobleme bietet die konische Optimierung somit den Vorteil, einen wesentlich größeren Teil an Optimierungsproblemen abdecken zu können. 118 Die so genannte Second Order Cone Programmierung (SOCP) bietet hierfür ein effizientes Werkzeug, um lineare Zielfunktionen mit konischen Nebenbedingungen zu lösen. Die Eigenschaft und die Struktur derartiger Nebenbedingungen ermöglichen durch den Einsatz linearer Algebra eine beliebige Darstellung quadratischer Nebenbedingungen in der Form von SOCP-Nebenbedingungen. 119 Die konische Optimierung wird im Portfolio Management hauptsächlich zur Optimierung des Tracking Errors bei der Replikation von Indizes bzw. Benchmarks verwendet. Wie bereits bei der ganzzahligen Optimierung erläutert wurde, befasst sich die Replizierung von Indizes mit der Auswahl eines geeigneten Index Tracking Portfolios. Da diese in der Regel die Entwicklung eines zugrundeliegenden Index möglichst genau abbilden sollen, zählen die Verfahren des Index Trackings zu den Methoden des passiven Portfolio Managements. Der Tracking Error gibt an, inwieweit die Rendite (Performance) des Tracking Portfolios im Vergleich zur Rendite des Marktindex im Durchschnitt abgewichen ist. Vor diesem Hintergrund streben Portfolio-Manager von ETFs (Exchange Traded Funds) möglichst eine Minimierung des Tracking Errors an, um eine bestmögliche Abbildung der Benchmark zu erreichen. Da in diesem Fall entgegen der Portfoliooptimierung durch den Ertragswert-Varianz-Ansatz keine quadratische Zielfunktion vorliegt, kann diese auch nicht durch die bisherig beschriebenen Verfahren der quadratischen Optimierung gelöst werden. Da der Tracking Error jedoch eine konvexe quadratische Nebenbedingung darstellt, kann durch die Umformulierung dieser Nebenbedingungen in eine konische Struktur dieses Problem dennoch gelöst werden. Hierfür bieten sich innerhalb rein konischer Strukturen eines Optimierungsproblems die Methoden der konischen Optimierung an. Liegen weitere Nebenbedingungen in Form von linearen Gleichungen oder Ungleichungen vor, empfiehlt sich die Anwendung der Second- Order-Cone-Optimierung. Diese Tatsache stellt gleichermaßen eine der größten Stärken von konischen Optimierungsmethoden dar, da es in der Regel keine Rolle spielt, in welchem Ausmaß Kombinationen von Nebenbedingen in der Form von linearen Gleichungen und Ungleichungen oder konvexen quadratischen Ungleichungen vorliegen 120 . 118 Vgl. Cornuejols/ Tütüncü (2007), S. 168 119 Vgl. Fylstra (2005), S. 19 120 Vgl. Cornuejols/ Tütüncü (2007), S. 180 <?page no="169"?> 2.3 Grundlagen der mathematischen Optimierung 169 Neben der Optimierung des Tracking Errors stellt die konische Optimierung weitere geeignete Methoden zur Lösung ausgedehnter Probleme innerhalb der Finanzwirtschaft bereit. Eine weitere Anwendung wäre die Bestimmung einer implizierten risikoneutralen Dichtefunktion für die Darstellung und Schätzung künftiger Preisentwicklungen von Anlagetiteln durch die Ableitung aus Optionen. 121 Darüber hinaus haben G OLDFARB und I YENGAR (2003) gezeigt, dass die Methoden der konischen Optimierung neben der Optimierung des Tracking Errors gleichermaßen einen möglichen Ansatz zur Beseitigung des „Sampling Errors“ bei der Portfoliooptimierung darstellen. 122 . 2.3.6.3 Konvexe Optimierung Wie bereits in der Einleitung zu den nichtlinearen Optimierungsverfahren angesprochen, besteht das wesentliche Problem bei der Entwicklung einer universellen Lösung für alle Optimierungsprobleme in einer fehlenden allgemeingültigen Struktur. Bisweilen erfüllen jedoch Optimierungsprobleme eine „Minimal-Struktur“, welche sich in der konvexen Optimierung wiederfindet. 123 Zunächst sollen jedoch die Grundlagen der Konvexität kurz aufgearbeitet werden, um anschließend durch Erläuterungen zur konvexen Optimierung ergänzt zu werden. Definition 14 Konvexe Funktion 𝑓𝑓(𝑒𝑒) heißt auf einem Intervall G konvex, falls für alle 𝑒𝑒, 𝑦𝑦 ∈ 𝐺𝐺 und alle 𝛼𝛼 ∈ (0,1) : 𝑓𝑓(𝛼𝛼𝑒𝑒 + (1 − 𝛼𝛼)𝑦𝑦) ≤ 𝛼𝛼𝑓𝑓(𝑒𝑒) + (1 − 𝛼𝛼)𝑓𝑓(𝑦𝑦) (2.28) Neben dem Begriff der konvexen Funktion soll nachfolgend ebenfalls die Bezeichnung einer konvexen Menge kurz definiert werden. Abb. 45 zeigt neben einer konvexen Funktion eine konvexe Menge. Diese bildet sich nämlich durch die Beschränkung einer konvexen Funktion oberhalb des Graphen. Die Konvexität beschreibt das Krümmungsverhalten einer Funktion beschreibt. Legt man, wie in Abb. 45 dargestellt, zwischen zwei beliebigen Punkten einer konvexen Funktion eine Gerade an, wird diese bei einer konvexen Funktion immer oberhalb der Funktion liegen. Eine Funktion heißt konkav, wenn sich die Gerade nur unterhalb der Funktion befindet. Bei der Untersuchung von Funktionen auf Minimalstellen greifen viele Lösungsverfahren der Optimierung auf die wesentlichen Merkmale konvexer Funktionen zurück, die kurz dargestellt werden sollen: − Jede lokale Minimalstelle einer konvexen Funktion ist auch eine globale Minimalstelle der Funktion. 121 Vgl. Cornuejols/ Tütüncü (2007) S. 185 122 Vgl. Fylstra (2005), S. 19 123 Vgl. Gohout (2009), S. 229 <?page no="170"?> 170 2 Mathematische Grundlagen im Portfolio Management − Eine streng konvexe Funktion besitzt höchstens eine Minimalstelle. 124 Abb. 45: Graph einer konvexen Funktion. Quelle: Eigene Darstellung Nachdem wir nun alle notwendigen Grundlagen angesprochen haben, wird im Folgenden ein konvexes Optimierungsproblem allgemein dargestellt und kurz erläutert. Definition 15 Allgemeines konvexes Problem 𝑍𝑍(𝑒𝑒) 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑏𝑏! 𝑓𝑓(𝑒𝑒) ≤ 0 , 𝑓𝑓(𝑒𝑒) ∈ ℝ 𝑠𝑠 𝑍𝑍, 𝑓𝑓 𝑚𝑚𝑆𝑆𝑏𝑏𝑛𝑛𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑏𝑏 ℝ (2.29) Bei einem konvexen Optimierungsproblem wird in der Regel eine gegebene konvexe Zielfunktion 𝑍𝑍 unter den Nebenbedingungen 𝑓𝑓(𝑒𝑒) ≤ 0 minimiert. Hierbei beschränken sich die Variablen x bzw. der Variablenvektor x auf eine Teilmenge Z des zulässigen Bereichs von ℝ 𝑠𝑠 . Einleitend wurde bereits auf den Wandel Mitte der 1990er Jahre beim Einsatz von nicht-linearen Optimierungsmethoden hingewiesen. Didaktisch scheint der Unterschied zwischen beiden Optimierungsproblemen eher trivial, betrachtet man jedoch die Eigenschaften der Konvexität und ihre Auswirkungen für die Optimierung im Detail, wird die tatsächliche Bedeutung für die Lösbarkeit von nicht-linearen Optimierungsproblemen deutlich. Aufgrund der bereits angesprochenenen Eigenschaften konvexer Optimierungsprobleme kann unter der Voraussetzung einer konvexen Struktur auf einfache Weise eine global optimale Lösung mit mehreren hunderten oder gar tausenden Variablen und Nebenbedingungen ermittelt werden. Im Gegenzug beschränkt sich die Anwendung moderner nicht-konvexer Optimierungsprobleme zur Ermittlung eines globalen Optimums auf einige hundert Variablen bzw. Nebenbedingungen. Letzt- 124 Vgl. Gohout (2009), S. 231 <?page no="171"?> 2.3 Grundlagen der mathematischen Optimierung 171 endlich können auch quadratische Optimierungsprobleme nahezu unmöglich lösbar sein, insofern die verwendete Varianz-Kovarianz-Matrix 𝐶𝐶 indefinit ist und demzufolge eine nicht-konvexe Struktur aufweist. Bei der Portfoliooptimierung hingegen ist eine gegegebene quadratische Funktion in der Regel konvex, da die verwendete Matrix durch die Bestimmung aus historischen Kursen meistens positiv definit ist. 125 Dementsprechend spielt es eher eine untergeordnete Rolle, ob ein allgemeines Optimierungsproblem eine lineare oder nicht-lineare Struktur aufweist, sondern vielmehr ob eine Zielfunktion und ihre Nebenbedingungen eine konvexe Struktur aufweisen oder nicht. 126 Für einen tiefergreifenderen Einblick in die spezifischen Abläufe konvexer Optimierungsverfahren sei an dieser Stelle auf das Studium weiterer Fachliteratur verwiesen. 127 2.3.7 Optimierungsprobleme unter Unsicherheit Die Verfahren zur Lösung von Optimierungsproblemen unter Unsicherheit stellen im Prinzip Erweiterungen der bereits beschriebenen Methoden zur Lösung von linearen oder nicht-linearen Optimierungsproblemen dar. Bisher erfolgten jegliche Ansätze zur Optimierung unter der Annahme, dass sich die ermittelten (geschätzten) Parameter, z.B. Renditen oder Volatilitäten, auch in Zukunft in gleicher Weise entwickeln werden. Betrachtet man jedoch das Verhalten von Renditen in der Praxis, zeigt sich, dass diese durch die ständigen Veränderungen der Kurse und deren Korrelationen im Zeitablauf stark variieren. Da der Verlauf zukünftiger Renditen einem Kapitalanleger in der Regel unbekannt ist, ergibt sich die Notwendigkeit, Ansätze zur Lösung von Optimierungsproblemen unter Unsicherheit zu entwickeln. Die daraus entstehende Problematik findet zunehmend bei der Optimierung von Portfolios Beachtung. Da dies jedoch einer der bedeutendsten Schwächen des Erwartungswert-Varianz-Ansatzes von M ARKOWITZ darstellt, bestehen in der Praxis weitere vom ursprünglichen Ansatz abgewandelte Modelle aus der modernen Portfoliotheorie. Neben der stochastischen und der dynamischen Optimierung stellen uns die Verfahren der robusten Optimierung einen geeigneten Ansatz zur Behandlung von unsicheren Parametern zur Verfügung. 2.3.7.1 Stochastische Optimierung Die stochastische Optimierung stellt neben der robusten Optimierung eines der am häufigsten verwendeten Optimierungsverfahren dar und berücksichtigt entgegen den bereits erläuterten Verfahren der linearen und nicht-linearen Optimierung die umfassende Modellierung unsicherer Parameter. Bisherige Ansätze zur Lösung von Optimierungsproblemen erfolgten unter der Annahme, dass sich die ermittelten (geschätzten) Parameter, z.B. Renditen, auch in Zukunft gleichförmig weiterentwickeln werden. Beobachtungen aus der Praxis zeigen, wie eingangs erwähnt, dass durch die ständigen Veränderungen der Kurse keine gleichförmige Entwicklung der Parameter gewährleistet ist. Vielmehr empfiehlt sich die Modellierung der Rendite im Zeitablauf als unsicherer Parameter. 125 Vgl. Fylstra (2005), S. 19 126 ebd. 127 Siehe hierzu auch Jarre/ Stoer (2003) <?page no="172"?> 172 2 Mathematische Grundlagen im Portfolio Management Die stochastische Optimierung stellt uns hierfür einen geeigneten Ansatz zur Verfügung. Die Berücksichtigung der Unsicherheit der beobachteten Parameter findet bei der stochastischen Optimierung durch die Zuweisung von Zufallsvariablen mit bekannten Wahrscheinlichkeitsverteilungen statt. Dies ermöglicht die notwendige Modellierung der im Zeitablauf veränderlichen Renditen in Form eines stochastischen Prozesses. 128 Die Darstellung der Veränderungen von unsicheren Parametern im Zeitablauf erfolgt in der Regel durch die Bildung von Szenarien, die bei der Optimierung berücksichtigt werden. Ein gängiges Portfolioproblem, das durch die stochastische Optimierung gelöst werden soll, kann folgendermaßen beschrieben werden: Ein Kapitalanleger steht bei einem gegebenen positiven Startkapital vor der Herausforderung, eine optimale Allokationsstrategie zu beschließen, welche sein Vermögen am Ende des beobachteten Zeitraums T maximiert. Hierbei muss der Kapitalanleger eine Reihe von Entscheidungen treffen, die zur Erfüllung seiner Zielvorstellungen führen. Diese finden sich üblicherweise zunächst in einer Allokationsstrategie bei der Quantifizierung der Anteile, Zuordnung der Wertpapiere und der Bestimmung der Haltedauer der jeweiligen Anlagen wieder. Neben der soeben dargestellten Allokationsstrategie wird ebenfalls eine Konsumstrategie formuliert. Diese beinhaltet hauptsächlich Entscheidungen, die sich mit der Aufteilung des Vermögens für Konsumzwecke und der Bestimmung der Zeitpunkte, an denen konsumiert werden darf, befassen. Beide Strategien setzen sich sowohl mit Entscheidungen über die Auswahl und Quantifizierung der Anlagen als auch der Bestimmung der Zeitpunkte für Handlungen, auseinander. 129 Die stochastische Optimierung befasst sich maßgeblich mit der Berücksichtigung zufälliger Ereignisse in den folgenden drei unterschiedlichen Problembereichen: − zwei- oder mehrstufige Optimierungsmodelle hinsichtlich des Erwartungswertes − Optimierungsmodelle unter Berücksichtigung von Risiken − restringierte Optimierungsmodelle in Bezug auf Chancen Im Allgemeinen unterscheidet man im Rahmen der stochastischen Optimierung einerseits zwischen zwei- und mehrstufigen Erwartungswertmodellen, wobei stochastische Modelle anderseits neben Risikomaßen ebenso Chancen in Form von Nebenbedingungen bei ihrer Lösung mit einbeziehen. Die Restriktion im Hinblick auf die Sicherung von Chancen erfordert, dass die zuvor festgelegten Nebenbedingungen mit hoher Wahrscheinlichkeit eingehalten werden müssen. 130 Die Rahmenbedingungen der stochastischen Optimierung grenzen sich von den restlichen Optimierungsmethoden neben der Berücksichtigung der Unsicherheit hauptsächlich durch zwei unterschiedliche Merkmale der Variablen ab. Es wird hierbei zwischen − antizipativen Variablen und − adaptiven Variablen unterschieden. Antizipative Variablen bilden in der Regel Entscheidungen ab, die unabhängig von zukünftigen Beobachtungen unsicherer Parameter getroffen wer- 128 Vgl. Cornuejols/ Tütüncü (2007), S. 255 129 Vgl. Korn (1999), S. 236 130 Vgl. Fabozzi/ Kolm/ Pachamanova/ Focardi (2007), S. 293 ff. <?page no="173"?> 2.3 Grundlagen der mathematischen Optimierung 173 den. Im Gegensatz dazu, entsprechen adaptive Variablen üblicherweise Entscheidungen, die nach der Beobachtung zufälliger Parameter gefällt werden. Sind jedoch beide Variablentypen in einem Optimierungsmodell unter Unsicherheit enthalten, liegt ein so genanntes Rekursionsmodell vor. Bei der Planung von Investitionen stellt jede Möglichkeit zum Kauf oder Verkauf von Wertpapieren eine neue Entscheidung dar. Deshalb eignen sich jene Zeitpunkte, an denen Portfolios „Rebalanced“, also an ihre ursprüngliche Allokation angepasst werden, besonders gut für die Wahl der Entscheidungsstufen. Auf Grundlage dieser Zeitpunkte können anschließend mehrstufige stochastische Rückwärtsrekursions-Optimierungsprobleme formuliert werden. 131 Bei nicht allzu komplexen stochastischen Optimierungsproblemen sind beispielsweise Szenario- oder Entscheidungsbäume zur Darstellung des zugrundeliegenden Problems im Zeitablauf empfehlenswert. Liegt hingegen ein komplexeres Optimierungsproblem vor, welches eine umfassende Abbildung im Rahmen eines Entscheidungsbaumes verlangt, kann es durch eine exponentielle Zunahme der Dimensionen neben der Darstellung auch zu Schwierigkeiten bei einer späteren Lösungsfindung kommen. Hierbei stellt hauptsächlich die direkte Abhängigkeit der Variablen und Nebenbedingungen von der Anzahl an Szenarien ein wesentliches Problem dar. Bei Annahme von lediglich zwei möglichen Ausprägungen der zufälligen Renditen von N Kapitalanlagen zu jedem Zeitpunkt ergibt dies nach 𝑇𝑇 Zeitpunten eine Gesamtanzahl von 2 NT Szenarien. Nimmt man ein Portfolio mit 5 Anlagen und einem monatlichen Ausgleich (Rebalancing) des Portfolios an, ergeben sich nach einem Jahr 2 60 , also 1.152.921.504.606.850.000,00 Szenarien. Allein diese kleine Demonstration zeigt, dass alltäglich zu lösende Probleme im Portfolio Management eine beachtliche Rechenleistung sowie einige Ressourcen benötigen. Üblicherweise kann der Aufbau eines Szenariobaums zur Abbildung unsicherer Parameter entweder durch das Bootstrapping historischer Daten oder durch die Annahme einer Verteilung über die unsicheren Größen in Form parametrischer Ansätze erfolgen. 132 Obwohl heutige EDV-Systeme ausreichende Kapazitäten für die Lösung umfangreicher Optimierungsalgorithmen zur Verfügung stellen, empfiehlt sich häufig die Zerlegung eines umfassenden Optimierungsproblems in einzelne Teilprobleme. 133 Die Berücksichtigung unsicherer Parameter im Zeitablauf bietet für eine Vielzahl von Anwendungen wesentliche Vorteile bei der Optimierung. Deshalb findet die stochastische Optimierung im Rahmen der Portfoliooptimierung neben der absoluten Optimierung von Portfolios unter VaR- und CVaR-Restriktionen ebenfalls beim Index Tracking, also bei der Replizierung von Indizes, praktische Anwendung. Die stochastische Optimierung eignet sich besonders für den Einsatz in der Finanzwirtschaft, da diese in der Regel eine Abfolge von Entscheidungen und Beobachtun- 131 Vgl. Cornuejols/ Tütüncü (2007), S. 255 ff. 132 Siehe auch Li-Young Yu, Xiao-Dong Ji, Shou-Yang Wang (2003), „Stochastic Programming Models in Financial Optimization: A Survey“ und Nalan Gulpinar, Berc Rustem, Reuben Settergren (2004), „Simulation and Optimization Approaches to Scenario Tree Generation“ 133 z.B. Nested Benders Decomposition & Importance Sampling <?page no="174"?> 174 2 Mathematische Grundlagen im Portfolio Management gen darstellen. Darüber hinaus eröffnet das breite Einsatzgebiet der stochastischen Optimierung die Verwendung im Asset-Liability-Management von Pensions-Fonds und Versicherungen sowie in der Verwaltung von Mortgage Backed Securities. 2.3.7.2 Dynamische Optimierung Das Verfahren der dynamischen Optimierung ähnelt den zuvor besprochenen Optimierungsmodellen der mehrstufigen stochastischen Optimierung. Deshalb kann auch das aus dem vorherigen Abschnitt eingeführte Beispiel eines allgemeinen stochastischen Entscheidungsproblems auf die Fragestellungen der dynamischen Optimierung übertragen werden. Obwohl bei dynamischen Optimierungsproblemen ebenfalls eine Folge ausstehender und voneinander abhängiger Entscheidungen vorliegt, die durch deren Realisierung zur Erzielung eines globalen Optimums führen sollen, unterscheidet sich die Vorgehensweise der dynamischen Optimierung von der stochastischen Optimierung prinzipiell. 134 Im Gegensatz zur stochastischen Optimierung vollzieht die dynamische Optimierung eine sequentielle, also schrittweise Lösung eines mehrstufigen Entscheidungsproblems, anstatt ein umfassendes Optimierungsproblem auf einmal lösen zu wollen. Da dies unter Umständen in abgewandelter Form auch bei komplexen Optimierungsproblemen der stochastischen Optimierung vorkommt, ist eine klare Abgrenzung jedoch nicht möglich. 135 Im Allgemeinen kann unter folgenden Aspekten eine Unterscheidung und Klassifizierung von dynamischen Optimierungsmodellen erfolgen: [1] Die Zeitabstände der Stufen oder Perioden erlauben die Unterscheidung zwischen diskreten und kontinuierlichen Modellen. Ereignen sich Entscheidungen zu diskreten Zeitpunkten oder Schritten (1, 2, 3, …, n) liegt ein diskretes Modell vor. Im Gegensatz dazu liegt ein kontinuierliches oder stetiges Modell vor, wenn Entscheidungen zu beliebigen Zeitpunkten in einem Interval erfolgen (1,0125..., 1,0215…, …). [2] Der Informationsgrad der Störgrößen erlaubt die Einteilung in deterministische und stochastische Modelle. Besteht für die Störgröße lediglich die Möglichkeit, den Zustand eines Wertes anzunehmen, spricht man von deterministischen Modellen. Geht man hingegen von mehreren möglichen Zuständen in Form einer zufälligen Verteilung der Störgrößen aus, handelt es sich um stochastische Modelle. [3] Entscheidungsvariablen können entweder einen oder mehrere Werte enthalten. [4] Der Möglichkeitsraum der Zustände bzw. Entscheidungen charakterisiert sich entweder durch die Endlichkeit oder durch die Unendlichkeit der zulässigen Mengen. 136 Neben dem Begriff der dynamischen Optimierung wird in der englischsprachigen Literatur in diesem Zusammenhang häufig auch der Begriff „Stochastische Steuerung“ (Stochastic Control) verwendet. Kurz nachdem H ARRY M. M ARKOWITZ (1952) seinen Ansatz zur Portfolio Selection veröffentlichte, schlug der amerikanische Mathematiker R ICHARD B ELLMAN (1957) 134 Vgl. Fabozzi/ Kolm/ Pachamanova/ Focardi (2007), S. 308 135 Vgl. Domschke/ Drexl (2005), S. 161 ff. 136 Punkt 1 bis 4 vgl. Domschke/ Drexl (2005), S. 161 ff <?page no="175"?> 2.3 Grundlagen der mathematischen Optimierung 175 erstmals die Methodik der dynamischen Optimierung bzw. Programmierung zur Abbildung und Lösung deterministischer dynamischer Modelle vor. 12 Jahre später griff M ERTON (1969) diese Thematik erneut auf, um sich mit der Konstruktion von Portfolios in einem zeitstetigen Modell und der Ableitung der Optimalitätsbedingungen für ein N -Anlagen-Problem zu befassen. M ERTON ging hierbei davon aus, dass sich das Verhalten der Renditen maßgeblich durch die Brownsche Bewegung (vgl. Abschnitt 2.5), auch unter dem Begriff des Wiener-Prozesses bekannt, ableiten ließe 137 . Ähnlich der mehrstufigen stochastischen Optimierung findet auch die dynamische Optimierung Anwendung bei der Bewertung von Optionen und der Lösung von Investitionsproblemen bei der Maximierung eines Vermögens im Zeithorizont T . 138 2.3.7.3 Robuste Optimierung In Kapitel 1 wurde bereits kurz auf die Problematik bei der Schätzung unsicherer Parameter eingegangen. Insbesondere die verlässliche Prognose zu erwartender Renditen stellt mitunter eine der wesentlichen Schwächen Ansatzes zur „klassischen“ Erwartungswert-Varianz-Optimierung dar. Da es sich bei den Input-Parametern für die Portfoliooptimierung lediglich um Prognosen handelt, können diese im Zeitablauf von ihren prognostizierten Werten erheblich abweichen. Dies spiegelt unmittelbar die Unsicherheit der Prognosewerte wider. Da die Portfoliooptimierung nach Markowitz eine hohe Sensitivität gegenüber der Veränderung von Renditen aufweist, führt die Unsicherheit über die Güte der Prognosen zu starken Ungleichgewichten in der Allokation von Portfolios. H EROLD (2004), K EMPF / M EMMEL (2002) als auch C HOPRA / Z IEMBA (1993) zeigen in diesem Zusammenhang an einer Reihe von Beispielen auf, dass bei der Portfoliooptimierung eine verlässliche Prognose der zu erwartenden Renditen eine weitaus größere Rolle spielt als beispielsweise die Schätzung der zu erwartenden Risiken, zum Beispiel durch die Varianz-Kovarianz-Matrix. 139 Die soeben aufgezeigte Problematik bei der Ermittlung der zu erwartenden Renditen stellt einen wichtigen Ansatzpunkt für die Methoden der robusten Optimierung dar. In der deutschen Sprache bezeichnet das Adjektiv „robust“ die Eigenschaft, besonders kräftig, stabil oder unempfindlich zu sein. 140 Dementsprechend gestaltet sich die Beschreibung der robusten Optimierung im Portfolio Management. Hierbei spiegelt das Adjektiv „robust“ einen angestrebten Idealzustand wider, der durch die Methoden der robusten Optimierung erreicht werden soll. Die Unsicherheit bei der Schätzung von Renditen vermittelt hingegen vielmehr einen gegenteiligen Eindruck, da die berechneten Anteilsgewichte eher empfindlich und instabil auf Schätzfehler in der Prognose der erwarteten Renditen reagieren. Die modernen Methoden der robusten Op-timierung und Asset Allocation stellen uns geeignete Verfahren zur 137 Vgl. Kemp (2011), S. 156 ff. 138 Fusai/ Roncoroni (2008), S. 77 ff. 139 Siehe auch Abschnitt 1.6 und 1.7 140 Siehe Duden <?page no="176"?> 176 2 Mathematische Grundlagen im Portfolio Management Lösung der Sensitivitätsproblematik der Input-Parameter bei der klassischen Portfoliooptimierung zur Verfügung. Im Vergleich zur klassischen Markowitz-Optimierung führen die Methoden der robusten Optimierung im Endeffekt zu deutlich ausgewogeneren Allokationsstrukturen bei der Bildung von Portfolios. Die verschiedenen Ansätze zur robusten Optimierung und auch ein Vergleich verschiedener Methoden werden detailliert im Rahmen des Kapitels 1 behandelt. 2.4 Einführung in den Excel Solver In den vorherigen Abschnitten wurden einige Typen von Optimierungsproblemen formal beschrieben und voneinander unterschieden. Beim Excel Solver handelt es sich nun um ein zusätzlich zu installierendes Add-In für Microsoft Excel, welches mehrere Algorithmen zur Verfügung stellt, um mathematische Optimierungsprobleme in Microsoft Excel lösen zu können. Das Add-In Solver ist grundsätzlich ein Teil einer Gruppe von Befehlen, die im Allgemeinen den „Was-Wäre-Wenn-Analyse-Tools“ zugeordnet werden können. Das Portfolio Management stellt in der praktischen Anwendung des Solvers lediglich ein mögliches Anwendungsgebiet dar. Im Allgemeinen kann die Optimierung als ein Prozess beschrieben werden, bei dem aus einer Vielzahl an möglichen Werten stets diejenigen Werte gefunden werden sollen, die ein zuvor festgelegtes Ziel im Sinne einer Minimierung oder Maximierung optimieren. Hierzu sollte zunächst das zugrundeliegende Optimierungsproblem einer Fragestellung identifiziert, formuliert und in ein Optimierungsmodell überführt werden. In diesem Zusammenhang spricht man auch häufig von der Modellierung eines Optimierungsproblems. Um das zugrundeliegende Optimierungsproblem der Lösung durch verschiedene einheitliche Algorithmen zugänglich zu machen, besitzt ein Optimierungsmodell grundsätzlich eine standardisierte Form. Aus diesem Grund besteht ein Optimierungsmodell in Excel hauptsächlich aus drei Komponenten: − der Zielzelle, − den veränderbaren Zellen und − den zu beachtenden Nebenbedingungen. 2.4.1 Installation des Solvers Noch vor dem Aufruf des Solvers sollte zunächst sichergestellt werden, dass das dazu benötigte Add-In in Excel installiert und aktiviert ist. Dazu sind in Microsoft Office 2010 zunächst folgende Schritte notwendig: [1] Klicken Sie auf die Schaltfläche  Microsoft Office bzw. Datei im linken oberen Bereich des Bildschirms und rufen Sie anschließend die  Excel-Optionen bzw. Optionen auf. [2] Klicken Sie auf der linken Seite des Bildschirms auf den Menüpunkt  Add-Ins, um darauffolgend im Auswahlfeld  Verwalten den Menüpunkt  Excel- Add-Ins auszuwählen und mit einem Klick auf  Gehe zu ... zu bestätigen. [3] Es öffnet sich nun eine Übersicht mit den aktuell verfügbaren Add-Ins. Zur Installation des Solvers wird nun ein Haken bei  Solver gesetzt, um mit einem Klick auf die Schaltfläche  OK abschließend bestätigt zu werden (vgl. Abb. 46). <?page no="177"?> 2.4 Einführung in den Excel Solver 177 TIPP: Insofern Sie schon im Menüband den Reiter  Entwicklertools freigeschaltet haben, können Sie im gleichnamigen Reitermenü ebenfalls  Entwicklertools  Add-Ins  Add-Ins aufrufen, um zur gleichen Übersicht der verfügbaren und installierten Add-Ins zu gelangen. Abb. 46 zeigt die Installation des Solvers im Detail. Abb. 46: Installation des Excel-Add-Ins Solver Bei anderen Produktversionen von Microsoft Office gestalten sich die grundlegenden Schritte bei der Installation des Solvers ähnlich. 2.4.2 Aufruf und Anwendung des Solvers Vor dem Aufruf des Solvers sollte das zu lösende Optimierungsproblem bereits in ein formales mathematisches Optimierungsmodell überführt worden sein, welches alle notwendigen Entscheidungsvariablen, Nebenbedingungen und Zielfunktionen definiert und voneinander abgrenzt. Das überführte Optimierungsmodell wird anschließend in Abhängigkeit von den zugrundeliegenden formalen Kriterien in einem Excel-Modell implementiert. Als Faustregel gilt, dass das Excel-Modell schon vor dem eigentlichen Aufruf des Excel-Add-Ins vorliegen muss. Der Solver kann anschließend im Menüband beim Register  Daten in der Gruppe  Analyse über die Schaltfläche  Solver aufgerufen werden. Nachdem das Excel- Add-In Solver erfolgreich aufgerufen wurde, zeigt sich dem Anwender eine Übersicht der noch festzulegenden Solver-Parameter. Der Aufbau der Dialogbox des Excel-Add- Ins Solver, der in Abb. 47 gezeigt ist, orientiert sich maßgeblich an den zuvor genannten drei Komponenten eines Optimierungsproblems: der Zielfunktion, den veränderbaren Zellen sowie der Berücksichtigung von etwaigen Nebenbedingungen. <?page no="178"?> 178 2 Mathematische Grundlagen im Portfolio Management Abb. 47: Aufruf des Excel-Add-Ins Solver Nachdem die Dialogbox der Solver-Parameter aufgerufen wurde, können alle notwendigen Einstellungen Schritt für Schritt manuell festgelegt werden. [1] Im Eingabefeld „Ziel festlegen“ sollte zunächst die zu optimierende Zielfunktion eingetragen werden. Hierzu wird auf eine zuvor definierte Zielfunktion in einer einzelnen Zelle des Excel-Modells Bezug genommen. [2] Im Auswahlfeld „ Bis: “ kann das gewünschte Optimierungskriterium festgelegt werden. Je nach Ausprägung des Optimierungsproblems kann hier die Maximierung oder auch Minimierung einer Zielfunktion angewiesen werden. [3] Im Anschluss werden die veränderlichen Variablenzellen ausgewählt und durch einen eindeutigen Zellbezug auf eine oder mehrere Zellen festgelegt. [4] Unterliegt ein Optimierungsproblem bei dessen Lösung einer oder mehreren Nebenbedingungen, können diese in Form von logischen Gleichungen bzw. Ungleichungen über die Schaltfläche  Hinzufügen berücksichtigt werden. Im Anschluss öffnet sich ein neues Fenster (vgl. Abb. 48), das die logische Verknüpfung von Zellbezügen erlaubt. [5] Je nach Form des zugrundeliegenden Optimierungsproblems sollte ein geeigneter Algorithmus zur Lösung des Optimierungsproblems im Auswahlfeld  Lösungsmethode definiert werden. Für die Lösung von linearen Optimierungsproblemen steht das  Simplex-Verfahren zur Verfügung. Liegt jedoch ein quadratisches Optimierungsproblem vor, empfiehlt sich die Verwendung des Gradientenverfahrens  GRG-Nichtlinear. <?page no="179"?> 2.5 Stochastische Prozesse im Portfolio Management 179 [6] Ein Klick auf die Schaltfläche  Lösen startet das Excel-Add-In Solver. Abb. 48: Hinzufügen einer Nebenbedingung Das Optionsmenü des Excel-Add-Ins Solver kann mit einem Klick auf  Optionen aufgerufen werden und erlaubt weitere individuelle Einstellungen in Bezug auf den verwendeten Lösungsalgorithmus. Dazu zählen die Festlegungen eines geeigneten Abbruchkriteriums, die Höchstzeit, die Anzahl der Iterationen, die Genauigkeit, Toleranz und Konvergenzrate des ausgewählten Optimierungsalgorithmus. Je nach Umfang des zu lösenden Optimierungsproblems empfiehlt sich die Anpassung der genannten Parameter, obgleich im Portfolio Management die Standardwerte der angesprochenen Parameter in der Regel ausreichen sollten. Falls die Komplexität des zu lösenden Optimierungsmodells durch einen Anstieg der verwendeten Entscheidungsvariablen zunehmen sollte, empfiehlt sich entweder die Installation weiterer externer Lösungsalgorithmen, wie etwa die Produkte von FrontlineSolvers oder die Verwendung mathematischer Skript- und Programmierumgebungen, wie etwa Matlab. Es sei im Allgemeinen darauf hingewiesen, dass eine erfolgreiche Lösung von Optimierungsproblemen auf Grundlage der verwendeten Verfahren unter Umständen von der zuvor festgelegten Startlösung abhängig ist. Die Verwendung spezifischer Startlösungen steht jedem Anwender grundsätzlich frei, obgleich dies jedoch beim Nachvollziehen der Beispiele in diesem Buch unter Umständen zu abweichenden Ergebnissen führen kann. 141 2.5 Stochastische Prozesse im Portfolio Management „Mehr als die Vergangenheit interessiert mich die Zukunft, denn in ihr gedenke ich zu leben.“ Albert Einstein - deutscher theoretischer Physiker (*1879, †1955) Quelle: Public Domain In den letzten Jahrzehnten erschienen in der wissenschaftlichen Literatur mehrere Ansätze und Theorien zur Beschreibung von Kursentwicklungen an den Finanz- 141 Vgl. Poddig/ Brinkmann/ Seiler (2009), S. 145 <?page no="180"?> 180 2 Mathematische Grundlagen im Portfolio Management märkten. Im Assetmanagement und im Risikomanagement hat sich der Wiener- Prozess als stochastisches Modell zur Abbildung von unsicheren Kursentwicklungen manifestiert. Darum stellt die Modellierung von Zufallsprozessen einen integralen Bestandteil für das Portfolio- und Risikomanagement in Unternehmen und Banken dar. Aus diesem Grund befassen sich die nachfolgenden Abschnitte mit der Beschreibung und Modellierung von diskreten und stetigen Zufallsprozessen in einem finanzwirtschaftlichen Kontext. Da dieses Buch sich jedoch vorrangig mit den ökonomischen Hintergründen der nachfolgend dargestellten Ansätze befasst, wurde bei den Erläuterungen zu den grundlegenden Begriffen wie Markov-Eigenschaft, Wiener-Prozess, geometrische Brownsche Bewegung und Ito-Prozesse besonderer Wert darauf gelegt, diese durch praxisrelevante Beispiele aus der Modellierung zu ergänzen. Da der Fokus auf die ökonomische Anwendung gerichtet ist, wird an dieser Stelle auf eine tiefere mathematische Herleitung der Thematik bewusst verzichtet. Im Portfolio Management begegnen uns stochastische Modelle vor allem bei der Modellierung und Implementierung von Monte-Carlo-Simulationen zur Aufbereitung von Risikokennzahlen, bei der Bewertung von Derivaten oder bei der Portfoliooptimierung unter Value-at-Risk-Nebenbedingungen. 2.5.1 Geschichtlicher Hintergrund “These motions were such as to satisfy me, after frequently repeated observation, that they arose neither from currents in the fluid, nor from its gradual evaporation, but belonged to the particle itself.” Robert Brown - schottischer Botaniker (*1773, †1858) Quelle: Public Domain Im frühen 19. Jahrhundert beobachtete der schottische Botaniker R OBERT B ROWN (1773-1858) erstmals ein ihm bis dahin unbekanntes naturwissenschaftliches Phänomen, dessen mögliche Erklärung den Grundstein zur Beschreibung von stochastischen Prozessen legte. Durch ein Mikroskop untersuchte Brown das Verhalten von Pflanzenpollen in einem Wassertropfen. Durch deren offensichtliche unregelmäßige Bewegungen konnte B ROWN kein eindeutiges Bewegungsmuster erkennen. Erst im späten 19. Jahrhundert konnte der dänische Mathematiker und Astronom T HORVALD N ICOLAI T HIELE (1838-1910) bei der Analyse von Residuen durch die statistische Methode der kleinsten Quadrate einen ähnlichen Prozess beschreiben. Obwohl bereits Anfang des 20. Jahrhunderts der französische Mathematiker L OUIS B ACHELIER (1870-1946) versuchte, die Beobachtungen von T HIELE zur Analyse von Kursbewegungen an der Pariser Börse heranzuziehen, erbrachte A LBERT E INSTEIN (1879-1955) fünf Jahre später, wohl unabhängig von den Erkenntnissen seiner vormaligen wissenschaftlichen Kollegen, den mathematischen Beweis zur Erklärung des Verhaltens von Brownschen Partikeln durch die molekulare Struktur des Wassers. Obwohl A LBERT E INSTEIN s Ansatz damalig als äußerst umstritten galt, begründete seine Arbeit den Anfang der molekularen Theorie und der stochastischen <?page no="181"?> 2.5 Stochastische Prozesse im Portfolio Management 181 Prozesse. Erst später wurde im Jahre 1923 der Beweis über die wahrscheinlichkeitstheoretische Existenz des Prozesses durch N ORBERT W IENER (1894-1964) erbracht, sodass der bis dahin beschriebene Prozess ihm zu Ehren als Wiener-Prozess benannt wurde. Letztendlich ebneten die Erkenntnisse des japanischen Mathematikers I TO K IYOSHI (1915-2008) beim Versuch, die Forschungen von Wiener nachzuvollziehen den Weg des ursprünglichen Wiener-Prozesses von der Physik in die Finanzwirtschaft und in andere Wissenschaften. I TO K IYOSHI gelang es durch das Aufstellen von stochastischen Differentialgleichungen den mathematischen Beweis W IENER s nachzuvollziehen die Geburtsstunde der geometrischen Brownschen Bewegung. Während der Entwicklung des ursprünglichen Wiener-Prozesses, auch als Brownian Motion bekannt, war eine Anwendung desselben in der Finanzmathematik zur Modellierung von Aktienkursen nahezu undenkbar, da es bei einem allgemeinen Wiener-Prozesses zu negativen Werten kommen kann. Da eine Aktie jedoch grundsätzlich keinen negativen Kurs annehmen kann, verhindert dieser Umstand bis zur Entdeckung der geometrischen Brownschen Bewegung (engl. Geometric Brownian Motion) eine sinnvolle Anwendung in der Finanzmathematik. Die durch I TO K IYOSHI aufgestellten stochastischen Differentialgleichungen ermöglichten die Anwendung der geometrischen Brownschen Bewegung zur Modellierung von Aktienkursen und legten damit den Grundstein für die Bewertung von Derivaten durch die Black-Scholes-Formel. 2.5.2 Stochastische Prozesse „Spekulation hat einen Ertragswert von Null, abzüglich der Kosten der Spekulation.“ Louis Bachelier - französischer Mathematiker (*1870, †1946) Quelle: Public Domain Die unmittelbare Abhängigkeit der am Kapitalmarkt gehandelten Finanzinstrumente von den unsicheren Entwicklungen ihrer Basiswerte (engl. underlying) spiegelt die in der Finanzwirtschaft grundsätzlich vorherrschende Unsicherheit wider, zum Beispiel die Abhängigkeit eines Aktienkurses von der unsicheren zukünftigen Entwicklung des Unternehmens. Diese Unsicherheit stellt für Kapitalanleger ein unmittelbares Risiko dar. Demnach werden Aktien, Zinsen und Währungen im Portfolio- und Risikomanagement auch häufig als Risikofaktoren bezeichnet. Aus diesem Grund erscheint es notwendig, geeignete Konzepte zur Beschreibung und Quantifizierung zufälliger Entwicklungen zu erforschen. Die Stochastik liefert somit die geeigneten statistischen Modelle zur Beschreibung von zufälligen Entwicklungen am Kapitalmarkt. Unter dieser Prämisse liefert die Stochastik durch die von P AUL L ÉVY und A NDREY K OLMOGOROW Anfang des 20. Jahrhunderts begründete formale Theorie eines Zufallsprozesses bzw. stochastischen Prozesses die Grundlage, um die zufälligen <?page no="182"?> 182 2 Mathematische Grundlagen im Portfolio Management Entwicklungen der Finanzmärkte im Zeitablauf mathematisch beschreiben zu können. Im Allgemeinen beschreibt ein Zufallsprozess das Verhalten einer oder mehrerer Zufallsvariablen in Abhängigkeit von einem oder mehreren Parametern, wie z.B. der Zeit. Bei der Wiederholung eines Zufallsprozesses treten im Gegensatz zu einem deterministischen Prozess unter identischen Bedingungen unterschiedliche Ergebnisse auf. 142 Bei der Modellierung eines Aktienkurses durch eines Zufallsprozesses gehen die einzelnen Risikofaktoren in Form von Zufallsvariablen in die Modellierung eines stochastischen Prozesses ein. Da die Entwicklung der Aktienkurse im Zeitablauf zufälligen Schwankungen unterliegt, lassen sich diese also durch stochastische Prozesse beschreiben. Die Entwicklung einer Aktie XY wird neben einer deterministischen Komponente durch eine zufällige Komponente beschrieben und kann im weiteren Sinne auch als stochastischer Prozess aufgefasst werden. Ein stochastischer Prozess kann einerseits durch dessen zeitliche Komponente und andererseits durch die Eigenschaften der zugrundeliegenden Zufallsvariablen in stochastische Prozesse in diskreter oder stetiger Zeit mit diskreten oder stetigen Zufallsvariablen eingeordnet werden. Liegt also ein stochastischer Prozess in diskreter Zeit vor, kann sich der Wert einer Zufallsvariable lediglich zu bestimmten Zeitpunkten ändern, wohingegen bei einem stochastischen Prozess in stetiger Zeit Änderungen zu jedem Zeitpunkt möglich sind. Der Wertebereich einer Zufallsvariable stellt ein weiteres Unterscheidungsmerkmal mit ähnlichen Bedingungen dar. Liegt eine diskrete Zufallsvariable vor, kann diese im Gegensatz zu stetigen Zufallsvariablen lediglich endlich (oder abzählbar) viele Werte annehmen. Bei stochastischen Prozessen mit stetigen Variablen hingegen ist es möglich, dass die zugrundeliegende Variable grundsätzlich jeden Wert innerhalb eines bestimmten Wertebereiches annehmen kann. 143 Da eine Aktie in der Regel zu vollen Cent-Beträgen gehandelt wird und die Bildung eines offiziellen Aktienkurses lediglich zu den Handelszeiten an den Börsen stattfindet, kann der Kurs einer Aktie als ein diskreter stochastischer Prozess in diskreter Zeit aufgefasst werden. Aufgrund zahlreicher nützlicher Eigenschaften eines stetigen Merkmals werden Aktienkurse dennoch in guter Näherung als stochastischer Prozess mit stetigen Variablen in stetiger Zeit modelliert. 142 Vgl. Wewel (2006), S. 142 143 Vgl. Hull (2009), S. 326 <?page no="183"?> 2.5 Stochastische Prozesse im Portfolio Management 183 2.5.3 Überleitung vom diskreten Random Walk zum stetigen Wiener- Prozess Quelle: Konrad Jacobs “The economists have developed the habit of dressing up their rather imprecise ideas in the language of the infinitesimal calculus. [...] any pretense of applying precise formulae to these loosely defined quantities is a sham and a waste of time.” Norbert Wiener - US-amerikanischer Mathematiker und Begründer der Kybernetik (*1894, †1964) Der Wiener-Prozess (auch Brownsche Bewegung genannt) wird durch einen stetigen stochastischen Prozess modelliert, der als Grenzwert eines Random Walk in diskreter Zeit hergeleitet werden kann. 144 Aus diesem Grund soll ein einfaches Beispiel eines Random Walk in diskreter Zeit mit diskreten Variablen vorgestellt werden. Es besteht beim Wurf einer Münze jeweils die gleiche Chance, „Kopf“ oder „Zahl“ zu erhalten. Es liegt also jeweils eine fünfzigprozentige Wahrscheinlichkeit für den Eintritt des Ereignisses „Zahl“ oder „Kopf“ vor. Die Regeln des Münzspiels besagen, dass bei jedem Münzwurf der Spieler bei Erscheinen von „Kopf“ genau 1 € gewinnt oder der Spieler bei Erscheinen von „Zahl“ genau 1 € verliert. Die einzelnen Würfe der Münze können dementsprechend durch eine Zufallsvariable 𝜀𝜀 𝑒𝑒 dargestellt werden und der Gewinn bzw. Verlust durch Zufallsvariablen 𝑒𝑒 𝑒𝑒 , 𝑡𝑡 = 0,1,2, … . Der Spieler beginnt mit dem Startwert 𝑒𝑒 0 = 0 € . Unter der Annahme, dass alle Würfe unabhängig voneinander stattfinden, kann die Entwicklung der Zufallsvariablen 𝑒𝑒 𝑒𝑒 durch folgende Gleichung beschrieben werden: 𝑒𝑒 𝑡𝑡 = 𝑒𝑒 𝑡𝑡−1 + 𝜀𝜀 𝑡𝑡 wobei 𝑃𝑃(𝜀𝜀 𝑒𝑒 = +1) = 12 ; 𝑃𝑃(𝜀𝜀 𝑒𝑒 = −1) = 12 . (2.30) Ein Zufallsprozess 𝑋𝑋 𝑒𝑒 gemäß dem vorgestellten Beispiel lässt sich mit Hilfe eines Binomialbaums (siehe Abb. 49) darstellen, wobei hier 𝑋𝑋 0 = 0, 𝑒𝑒 = 𝑞𝑞 = 12 und Δℎ = 1 ist. 144 Die Herleitung des Wiener-Prozesses orientiert sich erstrangig an Hull (2009) und Dixit/ Pindyk (1994), eine alternative Herleitung durch Hilbert-Raum-Methoden siehe Steele (2001). <?page no="184"?> 184 2 Mathematische Grundlagen im Portfolio Management Abb. 49: Binomialbaum. Quelle: Eigene Darstellung Um die Entwicklung über den Gewinn und Verlust mehrerer Münzwürfe eines Spielers abzubilden, möchten wir nachfolgend 20 Münzwürfe simulieren. Tab. 6 zeigt den Verlauf einer möglichen Simulation im Zeitablauf. Dabei erkennt man, dass ein Random Walk in seiner Grundform neben positiven Werten ebenfalls negative Werte annehmen kann. Da die Kurse von Aktien jedoch keine negativen Werte annehmen können, eignet sich diese diskrete Form nicht, um deren Entwicklung adäquat zu beschreiben. t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Kopf oder Zahl Zahl (-1) Kopf (+1) Kopf (+1) Kopf (+1) Zahl (-1) Zah l (- 1) Zahl (-1) Kopf (+1) Zahl (-1) Kopf (+1) GuV 0 -1 0 1 2 1 0 -1 0 -1 0 Tab. 6: Verlauf einer möglichen Simulation In der Simulation kann entsprechend Abb. 50 die Anzahl der Münzwürfe sowie die Anzahl der Random Walks beliebig verkleinert bzw. vergrößert werden. Wächst die Anzahl der simulierten Random Walks stark an, so erkennt man gemäß Abb. 50 rasch einen sich rekombinierenden Binomialbaum. T 2 T 1 T 0 X 0 +2 � h X 0 - � h X 0 X 0 + � h X 0 +2 � h P 3 q 3 P 2 p q q 2 2pq 3pq 2 3p 2 q <?page no="185"?> 2.5 Stochastische Prozesse im Portfolio Management 185 Abb. 50: Random Walk. Quelle: Eigene Darstellung, Matlab R2011b Um auf die Verteilungseigenschaften der Zufallsvariable 𝑒𝑒 𝑒𝑒 in unserem Münzspiel schließen zu können, ist es notwendig, dass wir die Eigenschaften der Differenzen von 𝑒𝑒 𝑒𝑒 an zwei unmittelbar aufeinanderfolgenden Zeitpunkten betrachten. Die Differenzen der Zufallszahlen ergeben sich aus Formel (2. 31) und werden in der Stochastik häufig als Inkremente bezeichnet. ∆𝑒𝑒 𝑒𝑒 = 𝑒𝑒 𝑒𝑒 − 𝑒𝑒 𝑒𝑒−1 = 𝜀𝜀 𝑒𝑒 (2. 31) Die Formel zur Berechnung der Inkremente erlaubt uns, Aussagen über den Erwartungswert und die Varianz der Zufallsvariablen ∆𝑒𝑒 𝑒𝑒 zu treffen. Da im Rahmen unseres Münzspiels die Größe der Inkremente bereits zu Beginn des Experiments durch ∆𝑒𝑒 = ±1 festgelegt wurde, ergeben sich der Erwartungswert und die Varianz dementsprechend aus: 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -1 0 1 2 3 4 5 Anzahl der Münzwürfe Gewinn und Verlust 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 -15 -10 -5 0 5 10 15 Anzahl der Münzwürfe Gewinn und Verlust <?page no="186"?> 186 2 Mathematische Grundlagen im Portfolio Management 𝐸𝐸(∆𝑒𝑒 𝑒𝑒 ) = 12 ∙ (+1) + 12 ∙ (−1) = 0 (2.32) 𝑉𝑉𝑚𝑚𝑚𝑚(∆𝑒𝑒 𝑒𝑒 ) = 12 ∙ (1 − 0) 2 + 12 ∙ (−1 − 0) 2 = 1 (2.33) Da das Experiment über das mehrmalige Werfen einer Münze einen diskreten Zufallsprozess (engl. discrete random walk) darstellt, möchten wir dieses Beispiel als Grundlage nutzen, um einen diskreten Random Walk durch einige Änderungen und Anpassungen in einen stetigen Prozess zu überführen, welcher die Eigenschaften einer Brownschen Bewegung bzw. eines Wiener-Prozesses aufweist. Dazu sind jedoch einige Schritte notwendig, die nachfolgend dargestellt werden sollen. Bisher gingen wir bei unserem Experiment davon aus, dass die Eintrittswahrscheinlichkeit über den Gewinn von einem Euro der Eintrittswahrscheinlichkeit eines Verlustes von einem Euro entspricht und somit eine diskrete Gleichverteilung (Bernoulli-Verteilung) vorliegt. Diese Annahme möchten wir nun verallgemeinern, indem wir zukünftig von einer stetigen Verteilung der Inkremente Δ𝑒𝑒 𝑒𝑒 ausgehen werden. Um einen diskreten Random Walk über den Grenzübergang in einen stetigen Prozess zu überführen, ist es außerdem notwendig, den betrachteten Zeithorizont [0, 𝑇𝑇] in 𝑏𝑏 gleich große Teile der Größe ∆𝑡𝑡 einzuteilen. Durch die sukzessive Verkleinerung der Schrittweiten ∆𝑡𝑡 verkleinert sich auch der Betrag der Inkremente ∆𝑒𝑒 𝑒𝑒 , sodass die Folge gegen Null konvergiert. Dies führt dazu, dass n beständig zunimmt und gegen unendlich strebt (𝑏𝑏 → ∞) . Dieser Vorgang überführt den diskreten Random Walk über den Grenzübergang (𝑏𝑏 → ∞) in einen stetigen Prozess. 𝑏𝑏 = 𝑇𝑇 ∆𝑡𝑡 , wobei ∆𝑡𝑡 → 0 und 𝑏𝑏 → ∞ (2.34) Der Grenzübergang ist definiert durch: 𝑏𝑏 → ∞, wobei ∆𝑡𝑡 → 0, ∆𝑒𝑒 → 0 (2.35) Dabei definieren wir Δ𝑒𝑒 𝑒𝑒 = 𝑒𝑒 𝑒𝑒 − 𝑒𝑒 𝑒𝑒−1 und 𝜎𝜎 2 als 𝜎𝜎 2 = ( ∆𝑒𝑒 ) 2 ∆𝑡𝑡 , 0 < 𝜎𝜎 2 < ∞ (2.37) was beim Grenzübergang konstant bleibt. Für den Erwartungswert und die Varianz von 𝑒𝑒 𝑇𝑇 soll gelten: 𝐸𝐸(𝑒𝑒 𝑇𝑇 ) = 0 𝑉𝑉𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑒𝑒 𝑇𝑇 ) = 𝑏𝑏 ⋅ 𝑉𝑉𝑚𝑚𝑚𝑚(Δ𝑒𝑒 𝑒𝑒 ) = 𝑏𝑏 ⋅ (Δ𝑒𝑒) 2 = 𝑇𝑇 (Δ𝑒𝑒) 2 𝛥𝛥𝑡𝑡 = 𝑇𝑇𝜎𝜎 2 Um am Grenzübergang die gewünschten Eigenschaften des Erwartungswertes und der Varianz für einen Übergang zu einem Wiener-Prozess zu gewährleisten, müssen die Inkremente Δ𝑡𝑡 und Δ𝑒𝑒 𝑒𝑒 die nachfolgenden zwei notwendigen Bedingungen (2.38) (2.36) <?page no="187"?> 2.5 Stochastische Prozesse im Portfolio Management 187 erfüllen. Insbesondere werden die Inkremente Δ𝑒𝑒 𝑒𝑒 über standardnormalverteilte Zufallsvariablen 𝜀𝜀 𝑒𝑒 definiert: Bedingung 1: ∆𝑒𝑒 𝑒𝑒 = 𝜀𝜀 𝑒𝑒 √∆𝑡𝑡 ⋅ 𝜎𝜎 Bedingung 2: 𝐸𝐸(𝜀𝜀 𝑒𝑒 𝜀𝜀 𝑠𝑠 ) = 0 für 𝑡𝑡 ≠ 𝑍𝑍 Aus Bedingung 1 folgt 𝐸𝐸(Δ𝑒𝑒 𝑒𝑒 ) = 0 und 𝑉𝑉𝑚𝑚𝑚𝑚(Δ𝑒𝑒 𝑒𝑒 ) = Δ𝑒𝑒 2 = Δ𝑡𝑡 ⋅ \sigma^2. Aus Bedingung 1 folgt auch, dass Δ𝑒𝑒 𝑒𝑒 mit diesen Parametern selbst normverteilt ist. Darüber hinaus zeigt Bedingung 2, dass die Zufallsvariablen 𝜀𝜀 𝑒𝑒 keine Korrelationen aufweisen und somit für Δ𝑒𝑒 𝑒𝑒 an zwei willkürlich ausgewählten Zeitabschnitten ebenfalls keine Korrelation besteht. Aus der Unkorreliertheit von Δ𝑒𝑒 𝑒𝑒 ergibt sich die Markov-Eigenschaft: 𝑒𝑒 𝑇𝑇 − 𝑒𝑒 0 = � 𝜖𝜖 𝑖𝑖 � ∆𝑡𝑡 ⋅ 𝜎𝜎 𝑏𝑏 𝑖𝑖=1 (2.40) Ist für die Modellierung eines Wiener-Prozesses die notwendige Bedingung 2 erfüllt, d.h. sind die Zufallszahlen 𝜀𝜀 𝑒𝑒 unkorreliert, kann gezeigt werden, dass die Änderungen 𝑒𝑒 𝑠𝑠+𝑇𝑇 − 𝑒𝑒 𝑠𝑠 normalverteilt sind, sodass: 𝐸𝐸(𝑒𝑒 𝑠𝑠+𝑇𝑇 − 𝑒𝑒 𝑠𝑠 ) = 0 und 𝑉𝑉𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑒𝑒 𝑠𝑠+𝑇𝑇 − 𝑒𝑒 𝑠𝑠 ) = 𝑏𝑏∆𝑡𝑡 ⋅ 𝜎𝜎 = 𝑇𝑇 ⋅ 𝜎𝜎 (2.41) Daraus kann eine weitere wichtige Eigenschaft eines Wiener-Prozesses geschlossen werden: Die Varianz über die Änderungen eines Wiener-Prozesses wächst proportional zum Zeithorizont T . Nimmt man an, dass der aktuelle Wert einer Zufallsvariablen z bei 100 liegt und die zukünftige Wertänderung in einem Jahr durch die Standard-Normalverteilung N (0,1) 145 beschrieben werden kann, ergibt sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Wertänderung der Zufallsvariablen z für T ganzzahlige Jahre aus der Summe von n Standard-Normalverteilungen mit dem Erwartungswert von 0 und einer Varianz von 1. Wenn die Zufallsvariable z einem Markov-Prozess folgt, sind die jeweiligen Wahrscheinlichkeitsverteilungen unabhängig voneinander. Da aus diesem Grund der Erwartungswert der Änderung der Variablen z über zwei Jahre immer noch 0 ist und die Varianz dieser Änderung 2, wird die Änderung der Variablen über zwei Jahre durch die Wahrscheinlichkeitsverteilung N (0,2) beschrieben. Dementsprechend beträgt die Standardabweichung für diesen Fall 𝜎𝜎 = √2 . Betrachtet man hingegen einen Zeitraum unter einem Jahr, zum Beispiel 3 Monate, ergibt sich analog aus dem soeben beschriebenen Zusammenhang eine Varianz von 𝜎𝜎 2 = 0,25 sowie eine Standardabweichung von 𝜎𝜎 = �0,25 = 0,5 , da sich die Varianz der Änderung eines Jahres aus der Summe der Varianzen der Änderung aller 4 Quartale ergibt. 146 Allgemein gilt, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Änderung für beliebige 𝑇𝑇 > 0 durch eine Normalverteilung N (0, T ) beschrieben werden kann. Es ist dabei zu beachten, dass lediglich die Varianzen, aber keinesfalls die Standardabweichungen additiv sind. 147 145 𝑁𝑁(𝜇𝜇, 𝜎𝜎 2 ) bezeichnet eine Normalverteilung mit Erwartungswert 𝜇𝜇 und Varianz 𝜎𝜎 2 146 Vgl. Hull (2009), S. 328 147 Vgl. Neftci (2008), S. 207 (2.39) <?page no="188"?> 188 2 Mathematische Grundlagen im Portfolio Management Aus der kontinuierlichen Verkleinerung der Schrittweiten aller relevanten Variablen ergibt sich ein stochastischer Prozess in Form einer Brownschen Bewegung als Grenzfall eines diskreten Random Walks. Der beschriebene Grenzübergang findet sich ebenfalls in der stochastischen Gleichung eines allgemeinen Wiener-Prozesses wieder. Abb. 51 zeigt mit der Erhöhung von n um den Faktor 100 eine zunehmende Verstetigung eines diskreten Zufallsprozesses. Abb. 51: Darstellung mehrerer Wiener-Prozesse W(t) durch unterschiedlich große N bzw. ∆t Quelle: Eigene Darstellung, Matlab R2011b 2.5.4 Der allgemeine Wiener-Prozess Ein allgemeiner Wiener-Prozess kann nun wie folgt definiert werden: ∆𝑒𝑒 = 𝑚𝑚 ∆𝑡𝑡 + 𝑏𝑏 ∆𝑧𝑧 ⇒ 𝑒𝑒𝑒𝑒 = 𝑚𝑚 𝑒𝑒𝑡𝑡 + 𝑏𝑏 𝑒𝑒𝑧𝑧 (2.42) wobei a und b Konstanten sind und 𝑒𝑒𝑧𝑧 ein wie im vorigen Abschnitt definierter Wiener-Prozess ist. Um ein tieferes Verständnis von Formel (2.42) und deren Zusammensetzung zu bekommen, werden wir uns zunächst mit den einzelnen Komponenten der Formel getrennt befassen. Wir betrachten zunächst alleinig den Term 𝑚𝑚 𝑒𝑒𝑡𝑡 . 𝑒𝑒𝑒𝑒 = 𝑚𝑚 𝑒𝑒𝑡𝑡 (2.43) Aus Formel (2.43) geht hervor, dass die zeitliche Änderung von x konstant ist, d.h. 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑡𝑡 = 𝑚𝑚 (2.44) Diese Differentialgleichung kann nach der Zeit integriert werden. Die analytische Lösung der Differentialgleichung ergibt sich wie folgt: � 𝑒𝑒 ̇ ( 𝜏𝜏 ) 𝑒𝑒𝜏𝜏 = � 𝑚𝑚 𝑒𝑒𝜏𝜏 𝑡𝑡 0 𝑡𝑡 0 ( 2 .45) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 t z N=10 N=100 N=1000 <?page no="189"?> 2.5 Stochastische Prozesse im Portfolio Management 189 𝑒𝑒(𝑡𝑡) − 𝑒𝑒(0) � 𝑒𝑒 0 = [𝑚𝑚𝜏𝜏] 0𝑒𝑒 ⟹ 𝑒𝑒(𝑡𝑡) = 𝑒𝑒 0 + 𝑚𝑚 ⋅ 𝑡𝑡 In diesem Fall stellt 𝑒𝑒 0 den Startwert zum Zeitpunkt 0 dar, welcher kontinuierlich um den Betrag 𝑚𝑚𝑡𝑡 anwächst, um in einem Zeitraum T auf einen Wert von 𝑚𝑚𝑇𝑇 anzuwachsen. 𝑚𝑚 stellt in diesem Zusammenhang die durchschnittliche Veränderung pro Zeiteinheit dar und wird häufig auch als erwartete Driftrate oder einfach als Drift bezeichnet. Abb. 52: Allgemeiner Wiener-Prozess mit a = 0,8 und b = 1,2∆t Quelle: Eigene Darstellung, Matlab R2011b Abb. 52 zeigt nochmals die lineare Abhängigkeit zwischen erwarteter Drift und Zeitintervall ∆𝑡𝑡 auf. Der in Abschnitt 2.5.3 dargestellte Grenzübergang von ∆𝑒𝑒 = 𝑚𝑚∆𝑡𝑡 für ∆ 𝑡𝑡 → 0 wird in Formel (2.42) und (2.43) durch die Notation 𝑒𝑒𝑒𝑒 = 𝑚𝑚 𝑒𝑒𝑡𝑡 beschrieben. In diesem Fall kann dz als Wiener-Prozess bezeichnet werden, da Δ𝑧𝑧 die Eigenschaften aus Formel (2.36) für den Gr ∆𝑡𝑡 enzübergang ∆𝑡𝑡 → 0 besitzt. 148 Abb. 52 veranschaulicht den Verlauf der Variablen z in Abhängigkeit von t . Obwohl alle drei Entwicklungen mögliche Realisationen eines Random Walks darstellen, erkennt man, inwiefern sich die Ausprägungen der einzelnen Kurse durch eine Veränderung von ∆𝑡𝑡 → 0 entwickeln. Besonders der zunehmende „gezackte“ Verlauf der stochastischen Prozesse ab einem Parameter von 𝑁𝑁 > 100 erscheint dabei auffällig. Der Grund für diesen außergewöhnlichen Verlauf findet sich in Formel (2.39) wieder, da die Größe der Veränderung im Zeitraum ∆𝑡𝑡 in einer proportionalen Abhängigkeit zu √∆𝑡𝑡 steht. Strebt nun ∆𝑡𝑡 gegen 0, ergeben sich aus der Eigenschaft der Wurzel deutlich größere Änderungen als ∆𝑡𝑡 . 149 Der Term 𝑏𝑏 𝑒𝑒𝑧𝑧 kann als Streuung um den Drift interpretiert werden, wobei 𝑏𝑏 2 die Varianz pro Zeiteinheit darstellt. Da 𝑒𝑒𝑧𝑧 eine Standardabweichung von Eins besitzt, 148 Vgl. Hull (2009), S. 329 149 Vgl. ebd" S. 328 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -2 -1 0 1 2 3 t z dz dx = a dt + b dz dx=a dt <?page no="190"?> 190 2 Mathematische Grundlagen im Portfolio Management ergibt sich die Standardabweichung des allgemeinen Wiener-Prozesses dementsprechend als ein Veilfaches von b . Die Änderungen der Werte von 𝑒𝑒 𝑇𝑇 in einem beliebigen Zeitintervall T folgen entsprechend einer Normalverteilung mit 𝐸𝐸(∆𝑒𝑒 𝑇𝑇 ) = 𝑚𝑚𝑇𝑇, 𝑆𝑆𝑡𝑡𝑚𝑚𝑏𝑏𝑤𝑤(∆𝑒𝑒 𝑇𝑇 ) = 𝑏𝑏√𝑇𝑇, 𝑉𝑉𝑚𝑚𝑚𝑚(∆𝑒𝑒 𝑇𝑇 ) = 𝑏𝑏 2 𝑇𝑇. (2.46) Zusammenfassung und wichtige Eigenschaften eines Wiener-Prozesses Ein stochastischer Prozess {𝑊𝑊 𝑒𝑒 : 0 ≤ 𝑡𝑡 ≤ ∞} stellt einen allgemeinen Wiener-Prozess (vgl. Brownsche Bewegung) dar, falls alle formalen Bedingungen der drei nachfolgenden Eigenschaften erfüllt sind: Eigenschaft 1 Der Startwert W 0 ist Null mit einer Wahrscheinlichkeit von Eins. Eigenschaft 2 Ein stochastischer Prozess folgt einem Wiener-Prozess 𝑊𝑊(𝑡𝑡) , sofern dieser stationäre und unabhängige Inkremente besitzt. „Stationär“ bedeutet in diesem Zusammenhang, dass 𝑊𝑊 𝑒𝑒2 − 𝑊𝑊 𝑒𝑒1 dieselbe Verteilung besitzt wie 𝑊𝑊 𝑒𝑒2+𝑎𝑎 − 𝑊𝑊 𝑒𝑒1+𝑎𝑎 , für alle 𝑚𝑚 > 0 . „Unabhängig“ bedeutet in diesem Fall, dass die Inkremente für sich nicht überschneidende Zeiträume unabhängige Zufallsvariablen sind; dies charakterisiert unter anderem einen Markov-Prozess. Eigenschaft 3 Die Inkremente eines stochastischen Prozesses folgen einer Normalverteilung mit einer Varianz, die proportional zur Differenz der Argumente ist, (𝑊𝑊 𝑒𝑒 − 𝑊𝑊 𝑠𝑠 ) ~𝑁𝑁(0, 𝑏𝑏 2 (𝑡𝑡 − 𝑍𝑍)) für 0 ≤ 𝑍𝑍 < 𝑡𝑡 . Es ist zu betonen, dass die Varianz der Inkremente nicht vom Zeitpunkt, sondern lediglich von der zeitlichen Differenz der Zuwächse abhängig ist. 150 Eine weitere Eigenschaft in Bezug auf die Differenzierbarkeit ist, dass ein Wiener- Prozess zwar an jeder beliebigen Stelle eine stetige Funktion darstellt, dennoch aber an keiner Stelle differenzierbar ist. Falls, hypothetisch gesprochen, eine Ableitung bestimmt werden könnte, wären risikolose Arbitrage-Gewinne möglich, da man durch die Ableitung die zukünftige Richtungsänderung einer Aktie bestimmen könnte. Darüber hinaus ist ein Wiener-Prozess ein Martingal, so dass der Erwartungswert eines zukünftigen Zeitpunkts alleinig vom aktuellen Wert abhängig ist. 2.5.5 Der Wiener-Prozess für Aktienkurse und im Portfoliomanagement Im nachfolgenden Abschnitt widmen wir uns nun einem stochastischen Prozess zur Beschreibung eines Kurses für eine dividendenlose Aktie. Auf Grund der ermittelten Eigenschaften eines Wiener-Prozesses liegt es nahe, den bereits vorgestellten Wiener-Prozess für die Modellierung von Aktienkursen heranzuziehen. Da ein Wiener- Prozess einen konstanten erwarteten Drift und konstante Varianz besitzt, müssen einige Änderungen an den Differentialgleichungen des Wiener-Prozesses vorgenommen werden. Man geht dabei davon aus, dass sich die Aktienkurse entlang einer erwarteten mittleren Rendite (engl. Drift oder Trend) bewegen, welche durch erratische Zufallsbewegungen (Volatilität) überlagert werden. 150 Vgl. Hassler (2007), S. 117 <?page no="191"?> 2.5 Stochastische Prozesse im Portfolio Management 191 Da am Kapitalmarkt die Renditeforderung der Kapitalanleger in Form einer Marktrisikoprämie grundsätzlich unabhängig vom aktuellen Preis einer Aktie ist, erscheint die Verwendung eines konstanten Drifts eher unpassend. So ist die erwartete Veränderungsrate konstant, nicht aber die erwartete Veränderung. Beispielsweise werden Kapitalanleger eines bestimmten Unternehmens vor allem aus ökonomischen Gründen wie Gewinnerwartungen, Risikoeinschätzungen usw. eine erwartete Rendite von 12 % p.a. fordern. Auf Grund dieser Problematik sollte die Annahme an die Rahmenbedingungen des Kapitalmarkts angepasst werden, so dass die erwartete Rendite, die durch den Quotienten aus erwartetem Drift und Aktienkurs beschrieben wird, im Zeitablauf konstant bleibt. In diesem Fall stellen die Inkremente entgegen einem allgemeinen Wiener-Prozess keine absoluten Größen, sondern relative Größen dar, die zum aktuellen Wert x t um die Driftrate µ schwanken. Dadurch entsteht die Formel der geometrischen Brownschen Bewegung in Form einer stochastischen Differentialgleichung: ∆𝑆𝑆 = 𝜇𝜇𝑆𝑆∆𝑡𝑡 + 𝜎𝜎𝑆𝑆∆𝑧𝑧 ⇒ 𝑒𝑒𝑆𝑆 𝑆𝑆 = 𝜇𝜇𝑒𝑒𝑡𝑡 + 𝜎𝜎𝑒𝑒𝑧𝑧 (2.47) Formel (2.47) beschreibt das Verhalten von relativen Kursänderungen einer Aktie, also der Rendite einer Aktie im Zeitablauf. Hierzu wird erneut auf die Notation aus den vorangegangenen Abschnitten zurückgegriffen (dz beschreibt einen Wiener- Prozess) und es werden die Input-Parameter 𝝁𝝁 als Drift und 𝝈𝝈 als Volatilität bezeichnet. H ULL (2009) führt ein abgewandeltes Modell zur Beschreibung von Aktienkursen für diskrete Zeitpunkte ein: ∆𝑆𝑆 𝑆𝑆 = 𝜇𝜇∆𝑡𝑡 + 𝜎𝜎𝜖𝜖√∆𝑡𝑡 ⇔ ∆𝑆𝑆 = 𝜇𝜇𝑆𝑆∆𝑡𝑡 + 𝜎𝜎𝑆𝑆𝜖𝜖√∆𝑡𝑡 (2.48) Soll im diskreten Modell der Aktienkurs S t zum Zeitpunkt t bestimmt werden, erfolgt dies also unter der Annahme, dass sich die Änderung des Aktienkurses innerhalb eines kleinen Zeitintervalls ∆𝑡𝑡 durch 𝜇𝜇𝑆𝑆 𝑒𝑒 ∆𝑡𝑡 ergibt, wobei 𝜇𝜇∆𝑡𝑡 den Erwartungswert der Rendite einer Aktie für ein Zeitintervall ∆𝑡𝑡 beschreibt. Da die Größe ∆𝑧𝑧 mit 𝜖𝜖~𝑁𝑁(0,1) standardnormalverteilt ist, unterliegt die Aktienrendite einer stochastischen Streuung, sodass 𝜎𝜎√Δ𝑡𝑡 die Standardabweichung der Aktienrendite im Zeit intervall Δ𝑡𝑡 charakterisiert. Die Varianz entwickelt sich also proportional zum Zeitraum Δ𝑡𝑡 und aus Formel (2.48) folgt, dass ∆𝑆𝑆/ 𝑆𝑆 mit dem Erwartungswert 𝜇𝜇∆𝑡𝑡 und der Standardabweichung 𝜎𝜎√∆𝑡𝑡 normalverteilt ist. Vor diesem Hintergrund gilt: ∆𝑆𝑆 𝑆𝑆 ~ 𝑁𝑁(𝜇𝜇∆𝑡𝑡, 𝜎𝜎 2 Δ𝑡𝑡) (2.49) Durch die mathematische Modellierung von Aktienrenditen durch die geometrische Brownsche Bewegung in Formel (2.48) bwz. (2.49) können negative Aktienkurse für kleine Zeitintervalle Δ𝑡𝑡 mit hoher Wahrscheinlichkeit ausgeschlossen werden: Für Δ𝑡𝑡 → 0 konvergiert die Wahrscheinlichkeit für Δ𝑆𝑆 𝑆𝑆 < −1 ebenfalls gegen Null. Durch diese Modellierung von relativen Größen wird also ein wesentlicher Vorteil für die Beschreibung von Finanzmarktdaten erzielt. Die geometrische Brownsche Bewe- <?page no="192"?> 192 2 Mathematische Grundlagen im Portfolio Management gung liefert ebenfalls die Grundlage für das Black-Scholes-Modell zur Bewertung von Derivaten. 151 Moderne mathematische Methoden der Portfoliooptimierung basieren häufig auf der Modellierung von Marktpreisen durch Brownsche Bewegungen und Wiener Prozesse. So wird in einem allgemeinen Finanzmarktmodell für 𝑒𝑒 ∈ ℕ Aktien deren Preis durch einen Vektor 𝑆𝑆(𝑡𝑡) = �𝑆𝑆 1 (𝑡𝑡), 𝑆𝑆 2 (𝑡𝑡), … , 𝑆𝑆 𝑒𝑒 (𝑡𝑡)� ∈ ℝ 𝑒𝑒 beschrieben. Die zeitliche Entwicklung wird druch die folgende stochastische Differentialgleichung modelliert: 𝑒𝑒𝑆𝑆 𝑖𝑖 (𝑡𝑡) = 𝑆𝑆 𝑖𝑖 (𝑡𝑡) �(𝑚𝑚 + 𝜇𝜇 𝑖𝑖 ) 𝑒𝑒𝑡𝑡 + � 𝜎𝜎 𝑖𝑖,𝑖𝑖 𝑒𝑒𝑊𝑊 𝑖𝑖 (𝑡𝑡) 𝑖𝑖 𝑖𝑖=1 � (2.50) Hierbei ist 𝑆𝑆 𝑖𝑖 (0) jeweils der Preis zu Beginn bei 𝑡𝑡 = 0 , 𝑚𝑚 ∈ ℝ + ist der risikofreie Zins, 𝜇𝜇 = (𝜇𝜇 1 , 𝜇𝜇 2 , … , 𝜇𝜇 𝑒𝑒 ) ∈ ℝ + 𝑒𝑒 beschreibt den Vektor der erwarteten Überrenditen der einzelnen Aktien und 𝑊𝑊 = (𝑊𝑊 1 , 𝑊𝑊 2 , … , 𝑊𝑊 𝑒𝑒 ) ist eine 𝑒𝑒 -dimensionale Brownsche Bewegung. Außerdem geht die Matrix 𝜎𝜎 ∈ ℝ 𝑒𝑒×𝑒𝑒 aus der Kovarianzmatrix der einzelnen Aktien durch Bildung der unteren Dreiecksmatrix hervor. Für 𝑒𝑒 = 1 , also für eine zu modellierende Aktie, finden wir das Standard-Black-Scholes-Modell wieder 152 . Dieses Finanzmarktmodell kann durch Anwendung der Ito-Formel 153 explizit gelöst werden: 𝑆𝑆 𝑖𝑖 (𝑡𝑡) = 𝑆𝑆 𝑖𝑖 (0) ⋅ exp ��𝑚𝑚 + 𝜇𝜇 𝑖𝑖 − 12 � 𝜎𝜎 𝑖𝑖𝑖𝑖 2 𝑖𝑖 𝑖𝑖=1 � ⋅ 𝑡𝑡 + � 𝜎𝜎 𝑖𝑖,𝑖𝑖 ⋅ 𝑊𝑊 𝑖𝑖 (𝑡𝑡) 𝑖𝑖 𝑖𝑖=1 � (2.51) Um dies in der Portfoliooptimierung anzuwenden, wird ein Vektor von Portfoliogewichten 𝑤𝑤(𝑡𝑡) = �𝑤𝑤 1 (𝑡𝑡), 𝑤𝑤 2 (𝑡𝑡), … 𝑤𝑤 𝑒𝑒 (𝑡𝑡)� ∈ ℝ 𝑒𝑒 betrachtet mit ∑ 𝑤𝑤 𝑒𝑒 (𝑡𝑡) 𝑒𝑒𝑖𝑖=1 = 1. Die Komponenten des Vektors beschreiben den Anteil des Portfoliovermögens, das zum Zeitpunkt 𝑡𝑡 in den einzelnen Aktien investiert ist (vgl. Kap 1). Die zeitiche Entwicklung 𝑋𝑋 𝑤𝑤 (𝑡𝑡) ∈ ℝ + eines anfänglichen Vermögens 𝑋𝑋 0 ∈ ℝ + das gemäß der Portfoliogewichte 𝑤𝑤(𝑡𝑡) investiert ist, wird dann durch die stochastische Differentialgleichung 𝑒𝑒𝑋𝑋 𝑤𝑤 (𝑡𝑡) = 𝑋𝑋 𝑤𝑤 (𝑡𝑡) ⋅ �(𝑚𝑚 + 𝑤𝑤(𝑡𝑡) ⋅ 𝜇𝜇) 𝑒𝑒𝑡𝑡 + 𝑤𝑤(𝑡𝑡) ⋅ 𝜎𝜎 ⋅ 𝑒𝑒𝑊𝑊(𝑡𝑡)� (2.52) beschrieben. Die explizite Lösung dieser stochastischen Differentialgleichung ist gegeben durch die Vermögensentwicklung 𝑋𝑋 𝑤𝑤 (𝑡𝑡) = 𝑋𝑋 0 ⋅ exp �𝑚𝑚𝑡𝑡 + � �𝑤𝑤(𝑎𝑎) ⋅ 𝜇𝜇 − 12 |𝑤𝑤(𝑎𝑎) ⋅ 𝜎𝜎| 2 � 𝑒𝑒𝑎𝑎 𝑒𝑒 0 + � 𝑤𝑤(𝑎𝑎) ⋅ 𝜎𝜎 ⋅ 𝑒𝑒𝑊𝑊(𝑎𝑎) 𝑒𝑒 0 � (2.53) 151 Vgl. Korn & Korn, Options Pricing and Portfolio Optimization, 2001 152 Vgl. ebd. 153 Vgl. Varadhan, 2007 <?page no="193"?> 2.5 Stochastische Prozesse im Portfolio Management 193 Dieses Modell ist der Ausgangspunkt für eine mathematische Portfoliooptimerung der Portfoliogewichte 𝑤𝑤(𝑡𝑡) in einer Vielzahl von Situationen 154 . 2.5.6 Die Integration lognormalverteilter Aktienkurse in das Modell Da es die Rahmenbedingungen an den Kapitalmärkten nicht zulassen, dass eine Aktie einen negativen Kurs annimmt, ist bei der Modellierung von Aktienkursen und Kursänderungen darauf zu achten, dass negative Aktienkurse ausgescholssen sind. Somit ist die einfache Annahme einer Normalverteilung der Kursänderungen zur Modellierung nicht sinnvoll, da negative Aktienkurse nicht mit Sicherheit (mit Wahrscheinlichkeit 1) ausgeschlossen sind. Aus diesem Grund wird bei der Bildung von Finanzmarktmodellen zumeist mit logarithmischen Renditen gearbeitet und somit angenommen, dass diese Renditen, also die Änderungen der logarithmierten Kurse normalverteilt ist. Somit wird angenommen, dass die Kurse selbst lognormalverteilt sind. 155 Im Allgemeinen ist eine Zufallsvariable lognormalverteilt, sofern der natürliche Logarithmus der Variablen normalverteilt ist. 156 Da die Lognormalverteilung einen nicht-negativen Wertebereich hat, ist bei dieser Modellierung sichergestellt, dass Kurse keine negativen Werte annehmen. Auf Grundlage dieser Überlegungen kann nun mit Hilfe von Itos Lemma aus den stochastischen Differentialgleichungen des Wiener-Prozesses ein stochastischer Prozess hergeleitet werden, welcher einerseits dem Verhalten eines Wiener-Prozesses folgt und andererseits die Eigenschaften eines natürlichen Logarithmus besitzt. Dieser stochastische Prozess ergibt sich wie folgt: 𝑒𝑒𝐺𝐺 = �𝜇𝜇 − 𝜎𝜎 2 2 � 𝑒𝑒𝑡𝑡 + 𝜎𝜎𝑒𝑒𝑧𝑧 (2.54) Im Vergleich zur stochastischen Differentialgleichung aus Formel (2.48) wurde 𝜇𝜇 durch �𝜇𝜇 − 𝜎𝜎 2 2 � ersetzt, so dass die Gleichung aus Formel (2.49) mit 𝐺𝐺 = ln 𝑆𝑆 einem allgemeinen Wiener-Prozess folgt. 𝑎𝑎𝑏𝑏 𝑆𝑆 𝑇𝑇 − 𝑎𝑎𝑏𝑏 𝑆𝑆 0 ~𝛷𝛷 ��𝜇𝜇 − 𝜎𝜎 2 2 � 𝑇𝑇, 𝜎𝜎 2 𝑇𝑇 � (2.55) Die Gleichung aus Formel (2.55) zeigt auf, dass die Änderung von 𝑎𝑎𝑏𝑏𝑆𝑆 zwischen zwei Zeitpunkten 𝑆𝑆 0 und 𝑆𝑆 𝑇𝑇 normalverteilt ist mit dem Erwartungswert �𝜇𝜇 − 𝜎𝜎 2 2 � T und einer Varianz von 𝜎𝜎 2 𝑇𝑇 . Fallstudie: Simulation Wiener-Prozess Nachfolgend soll der Kurs der Old Whiskey Corporation durch einen stochastischen Prozess, welcher dem Wiener-Prozess folgt, beschrieben werden. Für die letzten 250 Handelstage wurde eine Jahresendite der Aktie von 12 % p.a. ( 𝜇𝜇 = 0,12 ) und eine Varianz von 21 % p.a. ( 𝜎𝜎 2 = 0,21 ) bestimmt. Zum Zeitpunkt 𝑆𝑆 0 notierte die Aktie zu 100,00 €. 154 Vgl. z.B. Korn & Wilmott, 2002, Brendle, 2006, Beißer, Geisinger & Korn, 2022 155 Vgl. Dixit (1994), S. 64 156 Vgl. Hull (2009) S. 339 <?page no="194"?> 194 2 Mathematische Grundlagen im Portfolio Management t Kurs zum Zeitpunkt 𝑺𝑺 𝑻𝑻 zufälliger Wert von 𝝐𝝐 Änderung des Aktienkurses in % 𝑺𝑺 𝟎𝟎 100,00 € 1,1855 1,611 % 𝑺𝑺 𝟏𝟏 101,62 € -0,0955 -0,090 % 𝑺𝑺 𝟐𝟐 101,53 € 0,3410 0,489 % 𝑺𝑺 𝟑𝟑 102,03 € -0,2865 -0,344 % 𝑺𝑺 𝟒𝟒 101,68 € -0,5968 -0,756 % 𝑺𝑺 𝟓𝟓 100,91 € 0,1496 0,235 % 𝑺𝑺 𝟔𝟔 101,15 € 0,3735 0,533 % 𝑺𝑺 𝟕𝟕 101,69 € 1,4923 2,018 % 𝑺𝑺 𝟖𝟖 103,77 € -1,2668 -1,646 % 𝑺𝑺 𝟗𝟗 102,07 € -0,3674 -0,451 % 𝑺𝑺 𝟏𝟏𝟎𝟎 101,61 € -0,1435 -0,154 % 𝑺𝑺 𝒕𝒕 ⋯ ⋯ ⋯ Tab. 7: Methodik Tab. 7 ergibt sich wie folgt: Gegegeben sind 𝜇𝜇 = 0,12 und 𝜎𝜎 = 0,21 Bestimmung der mittleren täglichen logarithmisierten Rendite 𝜇𝜇 𝑠𝑠𝑖𝑖 und der täglichen Standardabweichung 𝜎𝜎 𝑠𝑠𝑖𝑖 : 𝜇𝜇 𝑠𝑠𝑖𝑖 = ln(1 + 𝜇𝜇) 𝑇𝑇 = ln(1 + 0,12) 250 = 0,00045; 𝜎𝜎 𝑠𝑠𝑖𝑖 = 𝜎𝜎 √𝑇𝑇 = 0,21 √250 = 0,01328 𝜇𝜇 𝑠𝑠𝑖𝑖 − 𝜎𝜎 𝑠𝑠𝑖𝑖 2 2 = 0,00037 Modellierung Änderungs des Aktienkurses durch die Formel 𝑒𝑒𝐺𝐺 𝑒𝑒 = �𝜇𝜇 𝑠𝑠𝑖𝑖 − 𝜎𝜎 𝑠𝑠𝑖𝑖 2 2 � 𝑒𝑒𝑡𝑡 + 𝜎𝜎𝑒𝑒𝑧𝑧 und Generierung der zufälligen Werte von 𝜖𝜖 für dz: 𝑒𝑒𝐺𝐺 1 = 0,00037 + 1,1855 ∙ 0,01328 = 0,01611 𝑒𝑒𝐺𝐺 2 = 0,00037 + (−0,01328) ∙ 0,01328 = −0,0090 𝑒𝑒𝐺𝐺 3 = 0,00037 + 0,3410 ∙ 0,01328 = 0,00489 𝑒𝑒𝐺𝐺 4 = 0,00037 + (−0,2865) ∙ 0,01328 = −0,00344 ⋯ Daraus ergeben sich die Aktienkurse durch 𝑆𝑆 𝑒𝑒 = 𝑆𝑆 𝑒𝑒−1 ∙ 𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑑𝑑 𝑡𝑡 also 𝑆𝑆 1 = 100 ∙ 𝑒𝑒 0,01611 = 101,62 𝑆𝑆 2 = 101,62 ∙ 𝑒𝑒 −0,0090 = 101,53 <?page no="195"?> 2.5 Stochastische Prozesse im Portfolio Management 195 𝑆𝑆 3 = 101,53 ∙ 𝑒𝑒 0,00489 = 102,03 𝑆𝑆 4 = 102,03 ∙ 𝑒𝑒 −0,00344 = 101,68 ⋯ Abb. 53 stellt aufgrund der Methodik aus Tab. 7 einen möglichen Simulationsverlauf der Old Whiskey Corporation dar. Abb. 53: Simulation der Old Whiskey Corporation über N = 25 Tage 2.5.7 Die Monte-Carlo-Simulation In diesem Abschnitt soll mit den Erläuterungen zur Monte-Carlo-Simulation die Aufmerksamkeit des Lesers auf ein wichtiges Anwendungsgebiet von stochastischen Prozessen gelenkt werden. Neben der Einführung in die allgemeine Methodik sollen ebenfalls die verschiedenen Anwendungsbereiche von Monte-Carlo-Simulationen dem Leser eine Einführung in das Thema geben. Der Begriff Monte-Carlo-Methode bezieht sich nicht auf einen spezifischen Algorithmus, sondern verkörpert vielmehr eine Gruppe numerischer Methoden, die durch die Erzeugung von Zufallszahlen sich einer Lösung approximativ annähern. 157 Im Prinzip dient die Monte-Carlo-Methode zur Schätzung statistischer Größen einer Zufallsvariablen X , wie z.B. Erwartungswert und Varianz. Dies geschieht in der Praxis häufig durch die Simulation voneinander unabhängiger Zufallsexperimente. 158 Besonders in der Finanzwirtschaft ist die Monte-Carlo-Simulation ein beliebtes Verfahren zur Beschreibung von stochastischen Prozessen in Abhängigkeit von der Zeit. 159 Da der Eintritt von Prognosen am Kapitalmarkt unweigerlich mit Unsicherheit behaftet ist, erlaubt uns die Monte-Carlo-Methode eine Aussage über die zukünftige Wahrscheinlichkeitsverteilung von Risikofaktoren zu treffen. 160 Diese Tat- 157 Vgl. Theis/ Kernbichler (2002), S. 2 ff. 158 Vgl. Grüne (2011), S. 37 159 Vgl. Hull (2009), S. 335 160 Vgl. Maier (2007), S. 283 <?page no="196"?> 196 2 Mathematische Grundlagen im Portfolio Management sache motiviert die Berechnung des zuvor erläuterten Value at Risk durch die Monte-Carlo-Methode. In Abschnitt 2.5.3 ff. haben wir bereits den Wiener-Prozess bzw. die geometrische Brownsche Bewegung zur Modellierung von möglichen Aktienkursentwicklungen kennengelernt. Da die bereits erläuterten Konzepte aus den vorangegangenen Abschnitten explizit die Modellierung von Unsicherheit zulassen, stellen stochastische Prozesse in Verbindung mit Monte-Carlo-Methoden die fundamentale Grundlage für die Bewertung von derivativen Finanzinstrumenten (engl. asset pricing) dar. Der grundsätzliche Ablauf von Monte-Carlo-Simulationen kann unabhängig vom zugrundeliegenden mathematischen bzw. stochastischen Modell durch folgende Schritte beschrieben werden. [1] Schritt: Festlegung des zugrundeliegenden deterministischen oder stochastischen Modells der Monte-Carlo-Simulation. Sollen zum Beispiel Aktienkurse analysiert werden, greift man auf die geometrische Brownsche Bewegung zurück (siehe Wiener-Prozess). [2] Schritt: Generierung von Zufallszahlen und Einspeisung in das stochastische Modell. Bei der Erzeugung von Zufallszahlen kann hier je nach Annahme und Einsatzzweck des verwendeten stochastischen Modells auf unterschiedliche Verteilungen (Normalverteilung, t-Verteilung) zurückgegriffen werden. [3] Schritt: Ermittlung der temporären Zustände im Zeitablauf Soll zum Beispiel eine mögliche Entwicklung einer Aktie über 25 Perioden (Tage, Monate, Jahre) berechnet werden, so setzt dies voraus, für jede Periode den Kurs der Aktie zu ermitteln. [4] Schritt: Wiederholung der Schritte 1 bis 3, bis eine ausreichende Anzahl an Simulationen vorhanden ist, um eine empirisch fundierte Aussage über die Wahrscheinlichkeitsverteilung bzw. Dichte zuzulassen. Siehe analog dazu Abb. 54. Abb. 54: Allgemeine Schritte einer Monte-Carlo-Simulation Quelle: Eigene Darstellung Die grundlegende praktische Vorgehensweise der Monte-Carlo-Simulation begegnete uns zuvor schon einmal. Aus diesem Grund wurde an dieser Stelle auf ein Beispiel aus der Praxis gezielt verzichtet, da dies schon in umfassender Weise zur Valueat-Risk-Berechnung erläutert wurde. <?page no="197"?> 2.5 Stochastische Prozesse im Portfolio Management 197 2.5.8 Die Modellierung stochastischer Prozesse in Excel Im Anschluss möchten wir nun die zuvor vermittelten theoretischen Grundlagen stochastischer Prozesse im Rahmen der praktischen Umsetzung in Excel vertiefen. Hierbei soll die Kursentwicklung einer Aktie auf Grundlage eines Wiener-Prozesses in Excel simuliert werden. Um einen stochastischen Prozess, der einer geometrischen Brownschen Bewegung folgt, unter der Annahme von lognormalverteilten Änderungen der Kurse zu simulieren, benötigt man folgende Informationen: − einen Startwert, − eine konstante Rendite, oftmals in der Fachliteratur auch als Driftrate oder Trendfaktor beschrieben, − eine historische Volatilität, − eine festgelegte Periodenlänge und − normalverteilte Zufallszahlen. Ausgehend von Formel (2.54) sind zur Bestimmung eines jeden neuen Wertes innerhalb des stochastischen Prozesses 𝑆𝑆 𝑇𝑇 drei grundlegende Elemente erforderlich: − der Logarithmus des Endwerts der Vorperiode − der konstante Trendfaktor − der Zufallseinfluss Dies soll anhand des folgenden, im Tabellenblatt Simulation Aktie dargestellten Beispiels veranschaulicht werden. Ziel des Beispiels ist es, ein Financial Model zu erstellen, welches die Entwicklung eines Aktienkurses für die nächsten 25 Tagen (Perioden) darstellt. Die Aktie im Beispiel notiert zu Beginn bei 100,00 € (Startwert). Abb. 55 zeigt den grundlegenden Aufbau des Financial Models. Abb. 55: Excel-Datei „Fallstudien_Kapitel_2_SimulationAktie“ Schritt 1: Festlegung der Ausgangsparameter Die Input-Parameter können stets den jeweiligen Rahmenbedingungen eines Finanzinstruments angepasst werden. Die Ausgangsparameter gelten jedoch als statisch <?page no="198"?> 198 2 Mathematische Grundlagen im Portfolio Management und sollten demnach nicht verändert werden, da diese lediglich in Abhängigkeit der Input-Parameter berechnet werden. Diese werden im Financial Model in „Orange“ dargestellt. Inhalt Excel-Umsetzung Startwert =C5 Drift p.a. =C6 Volatilität p.a. =C7 Skalierung in Tagen =C8 täglicher Drift =LN(1+C6)/ C8 tägliche Volatilität =C7/ (WURZEL(C8)) konstanter Drift =C9-0,5*(C10^2) Tab. 8: Festlegung der Ausgangsparameter in Excel Schritt 2: Ableitung des Aktienkurses Die Entwicklung des Aktienkurses über die betrachteten 25 Tage (Perioden) in den Zellen C16 bis C41 wird nachfolgend exemplarisch anhand einer Periode (C17) dargestellt. Tab. 9 gibt hierzu wichtige Hinweise. Positionen Inhalt Excel-Umsetzung D17 Zufallszahl in Periode 1 =NORMINV(ZUFALLSZAHL(); 0; 1) E17 Die Log-Rendite der Veränderung =$C$11+D17*$C$10 C17 Aktienkurs nach einer Periode =C16*(EXP(E16)) Tab. 9: Ableitung des Aktienkurses in Excel Da der stochastische Prozess als Entwicklung von Log-Preisen dargestellt wird, muss der vorzugebende Trendfaktor in eine stetige Rendite, d.h. in ln (1 + 𝑚𝑚 𝑒𝑒 ) umgeformt werden. Im Excel-Beispiel wurden als Periodenlänge 250 Handelstage unterstellt, da die zu Beginn des Beispiels gegebenen Parameter (𝜇𝜇, 𝜎𝜎) auf der Grundlage der letzten 250 Handelstage berechnet wurden. Aus diesem Grund wird die jährliche Rendite anschließend durch 250 geteilt, um einen adjustierten Tageswert zu erhalten. Ohne die Integration der Zufallseinflüsse in das Financial Model ergibt sich bei einem Anfangswert von 𝑆𝑆 0 nach 250 Perioden ein Endwert von 𝑆𝑆 𝑇𝑇 = 𝑆𝑆 0 ∙ 𝑒𝑒 250𝑒𝑒 , der genau der vorgegebenen Rendite entspricht. Auch die Zufallszahl 𝜖𝜖 𝑒𝑒 muss ähnlich skaliert werden, um aus der vorzugebenden Volatilität eine Größe auf Tagesbasis zu erhalten. Der multiplikative Skalierungsfaktor ist in Zelle C10 abgelegt. In Spalte E findet sich die Addition des adjustierten Trendfaktors mit der skalierten Zufallszahl. Die Summe der spezifizierten Bestandteile des stochastischen Prozesses ergibt den logarithmierten Kurs einer Periode. Um anstelle eines logarithmierten Preises einer Aktie einen absoluten Kurs zu erhalten, muss dieser noch durch die Anwendung der Umkehrfunktion ( e -Funktion) angepasst werden. Dadurch erhält man einen simulierten absoluten Kurs. <?page no="199"?> 2.6 Schlussbetrachtung 199 Durch Drücken der F9-Taste lassen sich immer wieder neue, zufallsbedingte Kursverläufe reproduzieren. Wie die Simulationen veranschaulichen, kann bei einer im Verhältnis zur konstanten Rendite hohen Volatilität der Zufallseinflüsse die Kursentwicklung erheblich vom vorgegebenen Trend abweichen. 2.6 Schlussbetrachtung Die Matrizenrechnung stellt mit ihren Rechenoperationen eine fundamentale Grundlage für die Portfoliooptimierung und die praktische Umsetzung des Portfolio Managements dar. Diese Tatsache spiegelt sich bei genauerer Betrachtung ebenfalls in den mathematischen Ausführungen der Portfolio-Selection-Theorie und anderen Portfoliomodellen wider. In diesem Kapitel wird deutlich, dass der Umgang mit Matrizen und Vektoren nahezu unabdingbar im heutigen quantitativen Portfolio Management ist. Die Mathematik fungiert in Form der Matrizen- und Vektorrechnung als Bindeglied innerhalb der Finanzwirtschaft, um komplexe wirtschaftswissenschaftliche Vorgänge mit Hilfe der höheren Mathematik abzubilden, übersichtlich darzustellen und abstrakte portfoliotheoretische Probleme und Sachverhalte zu lösen. Die Anwendung der Matrizenrechnung erlaubt mit der Berechnung der Varianz-Kovarianz-Matrix den Vergleich von einer beliebigen Anzahl an Anlagealternativen. Aus diesem Grund sollte die Bedeutung der dargestellten mathematischen Grundlagen keinesfalls unterschätzt werden. Aufgrund der einfachen Methodik des Erwartungswert-Varianz-Ansatzes geraten die zugrundeliegenden Konzepte der mathematischen Optimierung jedoch oftmals in Vergessenheit. Die Pioniere des Operations Research gelten in diesem Zusammenhang als Triebfeder für die Forschung und Entwicklung leistungsfähiger Algorithmen zur Lösung von zahlreichen Optimierungsproblemen, sodass aufgrund der Schnittmenge der zu lösenden Sachverhalte die Verfahren des Operations Research auch interdisziplinäre Anwendung im Portfolio Management fanden. Sowohl bei der Portfoliooptimierung als auch bei den Methoden des Operations Research steht die Erarbeitung einer „optimalen“ Lösung im Vordergrund. Im Rahmen von Optimierungsmodellen widmet man sich also grundsätzlich der Frage, wie ein Entscheidungsproblem durch die Auswahl von mehreren Handlungsalternativen optimal, d.h. nach der Vorstellung des Entscheidungsträgers, entschieden werden kann. Vor diesem Hintergrund zeigt sich die Verbindung zur verwandten Entscheidungstheorie. Die jeweilige Unterteilung der einzelnen Optimierungsprobleme gelangt zu einem weiteren kritischen Punkt im Portfolio Management, der Unsicherheit zugrunde gelegter Parameter. Diese Problematik wird vorrangig durch eine Anpassung der Parameter oder gar durch die Anpassung der verwendeten Verfahren gelöst. In diesem Zusammenhang entstand neben der stochastischen und robusten Optimierung auch die dynamische Optimierung. Einen weiteren Erklärungsansatz zur Berücksichtigung von Unsicherheit liefern uns die stochastischen Prozesse, die sich maßgeblich bei der Verwendung von Monte- Carlo-Simulationen wiederfinden. Die in diesem Kapitel erläuterten Methoden eröffnen dem interessierten Leser für die zugrundeliegenden Konzepte der Portfoliooptimierung ein tieferes mathematisches Verständnis. <?page no="200"?> 200 2 Mathematische Grundlagen im Portfolio Management 2.7 Zusammenfassung Am Ende dieses Kapitels soll dem Leser durch die nachstehende Zusammenfassung die Gelegenheit gegeben werden, die wesentlichen Ansätze und Vorgehensweisen der letzten Abschnitte nochmals kurz zu wiederholen. Im Rahmen dieses Kapitels wurden dem Leser folgende Zusammenhänge vermittelt:  Matrizen verkörpern eine quadratische oder rechteckige Anordnung von Elementen. Vektoren bilden eine Sonderform von Matrizen und begegnen uns häufig als Spalten- oder Zeilenvektoren. Im Rahmen des Portfolio Managements nehmen Matrizen und Vektoren beispielsweise erwartete Renditen, Varianzen, Volatilitäten oder Kovarianzen auf.  Neben der Addition und Subtraktion von Matrizen und Vektoren stellt die Multiplikation eine der gebräuchlichsten Rechenformen der Matrizenrechnung im Portfolio Management dar.  Bei der Multiplikation von Matrizen und Vektoren sollte die Reihenfolge der einzelnen Elemente zwingend beachtet werden. In diesem Zusammenhang ist es für die Multiplikation von zwei Matrizen in der Reihenfolge AB notwendig, dass die Anzahl der Spalten der ersten Matrix grundsätzlich der Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix entspricht. Bei der Multiplikation der beiden Matrizen in der Reihenfolge BA sollte umgekehrt die Anzahl der Zeilen der ersten Matrix der Anzahl der Spalten der zweiten Matrix entsprechen.  Eine Division von Matrizen ist grundsätzlich nicht möglich, da diese Rechenoperationen in der abgegrenzten Welt von Matrizen nicht erklärt und somit nicht durchführbar sind.  Die praktische Anwendung der Matrizenrechnung in Microsoft Excel erfolgt maßgeblich auf der Grundlage sogenannter Arrayformeln. Wichtige Bestandteile stellen die Excel-Funktionen =TRANSPOSE() und =MTRANS() beim Transponieren von Matrizen und Vektoren dar.  Die Multiplikation von Matrizen und Vektoren werden in Microsoft Excel mit Hilfe der Funktionen =MMULT() und =SUMMENPRODUKT() durchgeführt. Die Inversion einer Matrix kann in Microsoft Excel darüber hinaus durch die Funktion =MINV() umgesetzt werden.  Das Operations Research beschäftigt sich einerseits mit der Analyse von praxisnahen Problemstellungen, die im Rahmen von Planungsprozessen bei der Auswahl von Alternativen auftreten können, andererseits aber auch mit der Entwicklung und Anwendung quantitativer Methoden bei der Lösung der voranstehenden Optimierungsproblematik.  Das Operations Research stellt, obgleich es eine vergleichsweise junge wirtschaftswissenschaftliche Disziplin ist, dem Portfolio Management sowie angrenzenden Forschungsgebieten in ihrer jeweiligen Schnittmenge äquivalente Lösungsverfahren und -algorithmen zur Lösung von unterschiedlichen Optimierungsproblemen zur Verfügung.  Im Allgemeinen lassen sich die verschiedenen Optimierungsprobleme hinsichtlich ihres Informationsgrades, der Anzahl an Zielfunktionen und abhängigen Entscheidungsvariablen, der Effizienzkriterien, der Strukturen innerhalb der Zielfunktion(en) und Nebenbedingungen und deren Lösbarkeit unterscheiden. <?page no="201"?> 2.7 Zusammenfassung 201  Die gängigen Optimierungsprobleme, die dem Leser im Kontext des Portfolio Managements begegnen, können in lineare und nicht-lineare Optimierungsprobleme sowie Optimierungsprobleme unter Unsicherheit gegliedert werden.  Ein Algorithmus zur Lösung eines Optimierungsproblems versucht idealerweise, ein globales Minimum oder Maximum einer zugrundliegenden Funktion zu bestimmen. In der Regel beschränkt sich der Algorithmus jedoch aufgrund der Komplexität einiger Optimierungsprobleme auf die Ermittlung eines lokalen Minimums oder Maximums.  Die erfolgreiche Lösung eines Optimierungsproblems setzt generell eine hinreichende „Minimal-Struktur“ voraus, da die gängigen Lösungsalgorithmen auf die Eigenschaft der Konvexität zurückgreifen. Optimierungsprobleme mit einer konvexen zugrundeliegenden Funktion besitzen grundsätzlich höchstens eine Minimal- oder Maximalstelle.  Die Verfahren der stochastischen Optimierung stellen neben der robusten Optimierung in ihrer Grundform stochastische Erweiterungen der zuvor vorgestellten Optimierungsprobleme dar, mit denen die Unsicherheit unterschiedlicher Parameter berücksichtigt werden kann.  Die dynamische Optimierung erweitert die Modelle der mehrstufigen stochastischen Optimierung. Bei der dynamischen Optimierung wird die sequentielle, also schrittweise, Lösung eines mehrstufigen Entscheidungsproblems bevorzugt, anstatt das Optimierungsproblem auf einmal zu lösen.  Ein stochastischer Prozess stellt als Erweiterung der Wahrscheinlichkeitstheorie die mathematische Beschreibung von zeitlich geordneten und zugleich zufälligen Vorgängen dar.  Im Allgemeinen beschreibt ein Zufallsprozess das Verhalten einer oder mehrere Zufallsvariablen in Abhängigkeit von einem oder mehreren Parametern, wie z.B. Zeit, Rendite und Volatilität.  Ein stochastischer Prozess kann auf Grundlage seiner zeitlichen Komponente und der Eigenschaften der zugrundeliegenden Zufallsvariablen in stochastische Prozesse in diskreter oder stetiger Zeit mit diskreten oder stetigen Zufallsvariablen eingeordnet werden.  Es wird zwischen den Begriffen Random Walk, Wiener-Prozess und geometrische Bewegung unterschieden. Die Markov-Eigenschaft und die Ito-Prozesse stellen wichtige Bestandteile stochastischer Prozesse dar.  Die Monte-Carlo-Simulation bezieht sich nicht auf einen spezifischen Algorithmus, sondern verkörpert vielmehr eine Gruppe numerischer Methoden, die sich durch die Erzeugung von Zufallszahlen einer Lösung approximativ annähern. Insbesondere bei der Berechnung des VaR und beim Pricing von Optionen wird auf die Monte-Carlo-Simulation zurückgegriffen. <?page no="202"?> 202 2 Mathematische Grundlagen im Portfolio Management 2.8 Fragen zu Kapitel 2 Frage (1) Die Rechenoperationen der Matrizenrechnung stellen eine fundamentale Grundlage für das Verständnis von Portfoliomodellen dar.  wahr  falsch Frage (2) Folgende zwei Matrizen D und E sind gegeben: E: �4 5 8 4 −5 3� D: � 1 4 −2 −3 8 2 � Die Matrizenmultiplikation der Matrizen D und E ergibt folgende Matrix F: F: �58 29 34 43�  wahr  falsch Frage (3) Matrizen und Vektoren können in beliebiger Reihenfolge multipliziert werden.  wahr  falsch Frage (4) Folgende zwei Matrizen D und E sind gegeben: D: � 1 5 −2 −3 6 2 � E: �1 5 6 4 4 −5 3 −2� Die Matrizenmultiplikation der Matrix D und E ergibt folgende Matrix F: F: � 21 −20 21 −6 −14 5 −21 −2 14 20 42 20 �  wahr  falsch Frage (5) In der Welt der Matrizenrechnung tritt das Prinzip einer inversen Matrix an die Stelle der Division.  wahr  falsch Frage (6) Beim Transponieren von Matrizen und Vektoren wird das ursprüngliche Format grundsätzlich beibehalten.  wahr  falsch <?page no="203"?> 2.8 Fragen zu Kapitel 2 203 Frage (7) Unter Random Walk ist ein Verlauf zu verstehen, bei dem künftige Veränderungen oder Richtungen nicht auf der Grundlage bisheriger Abläufe prognostiziert werden können.  wahr  falsch Frage (8) Ein Random Walk kann nicht mithilfe von Zufallsvariablen simuliert werden.  wahr  falsch Frage (9) Zur Simulation eines Random Walk benötigt man: − einen Startwert, − eine konstante Rendite (Trendfaktor), − die Volatilität der Zufallsvariablen, − eine Festlegung der Periodenlänge und − Zufallszahlen  wahr  falsch Frage (10) Folgende Informationen sind gegeben. Berechnen Sie den skalierten Trend: Kursdrift p.a.: 0,05 Annualisierung: 12 Der skalierte Trend beträgt: 0,008066  wahr  falsch Frage (11) Folgende Informationen sind gegeben. Berechnen Sie die skalierte Volatilität: Volatilität Residuum p.a.: 0,25 Annualisierung: 12 Die skalierte Volatilität beträgt: 0,069830  wahr  falsch Frage (12) Folgende Informationen sind gegeben. Berechnen Sie den Kurs für die nächste Periode: Kurs Startwert: 100 skalierter Trend: 0,004066 skalierte Volatilität: 0,072169 Zufallszahl: 0,466379 <?page no="204"?> 204 2 Mathematische Grundlagen im Portfolio Management Der Kurs gemäß Random Walk beträgt in der nächsten Periode: 103,84  wahr  falsch Frage (13) Die Verwendung von Log-Renditen erleichtert Renditeberechnungen, weil dabei arithmetische Summen anstelle von Produktsummen benutzt werden können.  wahr  falsch Frage (14) In einem Random Walk schwankt die Rendite um ein (langfristiges) Mittel, wobei die Abweichungen εt zufällig sind. Je nach der Schwankungsbreite der zufälligen Abweichungen kann die realisierte Entwicklung im Zeitablauf deutlich vom zu erwartenden, durch das Mittel bestimmten Wachstumspfad abweichen.  wahr  falsch Frage (15) Die mathematische Optimierung kann im Allgemeinen als ein Prozess beschrieben werden, bei dem aus einer Vielzahl an berechneten Werten, stets diejenigen Werte gefunden werden sollen, die ein zuvor festgelegtes Ziel im Sinne einer Minimierung oder Maximierung optimieren.  wahr  falsch Frage (16) Im Allgemeinen kann die Optimierung als ein Prozess beschrieben werden, bei dem aus einer Vielzahl an berechneten Werten, stets diejenigen Werte gefunden werden sollen, die ein zuvor festgelegtes Ziel im Sinne einer Minimierung oder Maximierung optimieren.  wahr  falsch Frage (17) Ein Optimierungsproblem besteht grundsätzlich aus einer Zielfunktion, Entscheidungsvariablen und Nebenbedingungen.  wahr  falsch Frage (18) Der ursprüngliche Erwartungswert-Varianz-Ansatz nach Markowitz spiegelt ein lineares Optimierungsproblem wider.  wahr  falsch Frage (19) Quadratische Optimierungsprobleme finden sich vorrangig bei der Nachbildung von Marktindizes im Rahmen des Index Trackings wieder.  wahr  falsch <?page no="205"?> 2.8 Fragen zu Kapitel 2 205 Frage (20) Die unterschiedlichen Optimierungsprobleme klassifiziert man auf Grundlage ihrer dazugehörigen Lösungsalgorithmen.  wahr  falsch <?page no="206"?> Literaturverzeichnis zu Kapitel 2 Albrecht, P. 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Passau. <?page no="212"?> Inhaltsübersicht Kapitel 3 3.1 Die Grundlagen der modernen Portfoliotheorie ...................................................214 3.2 Die Bestimmung des Portfoliorisikos im N-Anlagen-Fall ...................................227 3.3 Die Auswahl eines optimalen Portfolios .................................................................232 3.4 Die Kapitalmarktlinie und die Auswahl eines Portfolios ....................................239 3.5 Die Wertpapierlinie und das Kapitalmarktgleichgewicht...................................245 3.6 Das Capital Asset Pricing Model ..............................................................................248 3.7 Modellerweiterungen des CAPM..............................................................................254 3.8 Schlussbetrachtung ......................................................................................................262 3.9 Zusammenfassung .......................................................................................................263 3.10 Fragen .............................................................................................................................265 Literaturverzeichnis zu Kapitel 3 ...................................................................................... 268 <?page no="213"?> 3 Grundlagen der modernen Portfoliotheorie In Abschnitt 3.1 möchten wir dem Leser zunächst die grundlegenden Konzepte der modernen Portfoliotheorie näherbringen. Dazu wird in Abschnitt 3.1.1 einleitend auf die zugrundeliegenden Annahmen der modernen Portfoliotheorie eingegangen, um anschließend in Abschnitt 3.1.2 die Vorgehensweise für die Bestimmung des Portfoliorisikos bei zwei Kapitalanlagen zu erläutern. Im darauffolgenden Abschnitt 3.1.3 möchten wir dem Leser auf Grundlage des Diversifikationseffektes und der Effizienzkurve eines Portfolios weitere relevante Konzepte der modernen Portfoliotheorie vermitteln. Da ein Portfolio in der Regel jedoch mehrere Kapitalanlagen umfasst, ist es notwendig, die Ansätze und Konzepte aus den vorherigen Abschnitten an den Mehr-Anlagen-Fall anzupassen. In Abschnitt 3.2 wird diese Problematik aufgegriffen und durch die Bestimmung des Portfoliorisikos für mehrere Kapitalanlagen ergänzt. Die unterschiedliche Gewichtung der einzelnen Portfolioanteile erlaubt die Bildung von verschiedenen Portfolios, welche sich alle im Hinblick auf die erwartete Rendite und das Risiko unterscheiden. Vor diesem Hintergrund möchten wir dem Leser in Abschnitt 3.3 alle notwendigen Grundlagen vermitteln, die für die Auswahl eines „optimalen“ Portfolios notwendig sind. Hierzu erfolgt zunächst in Abschnitt 3.3.1 eine Darstellung des Kalküls eines rationalen Kapitalanlegers und eine Einführung des Risikoaversionsparameters eines Kapitalanlegers. Die Überlegungen zu der Nutzenfunktion eines Kapitalanlegers und der Ableitung von Indifferenzkurven in Abschnitt 3.3.2 tragen zum Verständnis des Lesers für die weiteren Ausführungen in den nachfolgenden Abschnitten bei. In Abschnitt 3.4 sollen die Überlegungen über die optimale Auswahl eines Portfolios im Rahmen der Tobin-Separation und der zugrundeliegenden Kapitalmarktlinie sowie des Marktportfolios ausgedehnt werden. In Abschnitt 3.5 werden durch die Erläuterungen zur Wertpapierlinie und zum Kapitalmarktgleichgewicht weitere fundamentale Grundlagen für die folgenden Ausführungen der Kapitalmarktmodelle gelegt. Im Anschluss daran möchten wir in den Abschnitten 3.6 und 3.7 dem Leser das Konzept des Capital Asset Pricing Model sowie dessen Modellerweiterungen näherbringen. Die Annahmen des CAPM werden dazu zunächst in Abschnitt 3.6.1 vermittelt und nach der Erläuterung des grundlegenden Konzeptes einige Aussagen aus empirischen Tests aufgegriffen und beleuchtet. Abschnitt 3.8 rundet die Ausführungen des Kapitels mit einer kritischen Würdigung der modernen Portfoliotheorie ab. Am Ende des Kapitels findet der interessierte Leser wie gewohnt einen Fragenkatalog zu den Inhalten dieses Kapitels, um das Selbststudium der zugrundeliegenden Konzepte ein wenig zu erleichtern. Im Rahmen des vorliegenden Kapitels werden zusammenfassend die folgenden zentralen Fragestellungen erläutert:  Welchen Annahmen unterliegen die Modelle der modernen Portfoliotheorie?  Wie wird das Risiko eines Portfolios bestimmt? <?page no="214"?> 214 3 Grundlagen der modernen Portfoliotheorie  Welche Auswirkungen zieht die Aufnahme von Wertpapieren in ein Portfolio mit sich?  Wie verhalten sich Kapitalanleger am Kapitalmarkt?  Unter welchen Voraussetzungen lässt sich ein optimales Portfolio ermittteln?  Wie definiert sich ein effizientes Portfolio?  Inwiefern beeinflusst die Kapitalmarktlinie die Auswahl von effizienten Portfolios?  Wie lässt sich der Preis eines Wertpapiers im Kapitalmarktgleichgewicht bestimmen?  Welche Ansätze und Erweiterungen umfasst die moderne Portfoliotheorie? 3.1 Die Grundlagen der modernen Portfoliotheorie Quelle: © research affiliates “A good portfolio is more than a long list of good stocks and bonds. It is a balanced whole, providing the investor with protections and opportunities with respect to a wide range of contingencies.” Harry M. Markowitz - US-amerikanischer Ökonom und Nobelpreisträger Die wissenschaftliche Arbeit von M ARKOWITZ (1952) beschäftigte sich erstmalig mit dem Gedanken, dass die Rendite eines Portfolios unweigerlich eine Verbindung zu dessen Risiko besitzt. Aus den Erkenntnissen seiner Beobachtungen leitete M ARKO- WITZ eine zweidimensionale Sichtweise für die Bildung eines Portfolios aus risikobehafteten Kapitalanlagen ab. Seine wissenschaftliche Arbeit mit dem Titel „Portfolio Selection“ wurde in Form eines Artikels im finanzwirtschaftlichen Magazin „Journal of Finance“ der Öffentlichkeit zugänglich gemacht. Obwohl die Veröffentlichung des wissenschaftlichen Artikels zunächst wenig Aufmerksamkeit auf sich zog, gilt H ARRY M. M ARKOWITZ bis heute als Mitbegründer der modernen Portfoliotheorie und als Pionier des quantitativen Portfolio Managements. Der überwiegende Anteil der Wirtschaftswissenschaftler zweifelte jedoch damals aufgrund des hohen mathematischen Grades seiner Arbeit die Aussagekraft im Bereich der Wirtschaftswissenschaften stark an. Einige Zeit verging, bis H ARRY M. M ARKOWITZ , M ERTON H. M ILLER und W ILLIAM S HARPE im Jahre 1990 für ihren wegweisenden Beitrag zur modernen Portfoliotheorie mit dem Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften ausgezeichnet wurden. Die theoretischen Grundlagen der wissenschaftlichen Arbeit von H ARRY M. M ARKOWITZ werden an Universitäten und anderen Bildungseinrichtungen weltweit gelehrt. So sind etwa die Grundzüge der modernen Portfoliotheorie in der englischsprachigen Fachliteratur als „mean-variance analysis“ und „mean-variance optimization“ bekannt, wogegen in der deutschsprachigen Fachliteratur das theoretische Rahmenwerk als Erwartungswert-Varianz-Ansatz bezeichnet wird. Die damaligen Ansätze zur Auswahl von unterschiedlichen Anlagealternativen beschränkten sich bis zu Beginn der modernen Portfoliotheorie hauptsächlich auf eine vollkommen isolierte Betrachtung von Wertpapiererträgen. J OHN B URR W ILLIAMS <?page no="215"?> 3.1 Die Grundlagen der modernen Portfoliotheorie 215 sprach daher in seinem Buch „The Theory of Investment Value“ die Empfehlung aus, dass Kapitalanleger grundsätzlich diejenigen Wertpapiere in ihr Portfolio aufnehmen sollten, welche unter allen Anlagealternativen zuweilen den höchsten Ertrag versprechen. Die Lektüre dieses Buches veranlasste M ARKOWITZ , sich näher mit der sinnvollen Auswahl von Kapitalanlagen zu beschäftigen. Einige Jahrhunderte zuvor kam F RIEDRICH VON S CHILLER (1759-1805) schon zu der Erkenntnis: „Nur ein verzweifelter Spieler setzt alles auf einen Wurf. “ M ARKOWITZ erkannte, dass es für die erfolgreiche Bildung eines Portfolios notwendig sei, sich vorrangig um die Aufnahme mehrerer Anlagen in ein Portfolio zu bemühen, anstatt sich auf ein oder zwei ertragversprechende Anlagen zu beschränken. Im Rahmen seiner wissenschaftlichen Arbeit zeichnete sich jedoch das Problem ab, dass die Entwicklung der erwarteten Renditen eines Wertpapiers in der Zukunft Schwankungen unterworfen ist. Die Tatsache, dass bei der Erwirtschaftung von Erträgen am Kapitalmarkt unweigerlich Risiken eingegangen werden müssen, brachte M ARKOWITZ auf die Idee, den direkten Zusammenhang von Ertrag und Risiko bei der Bildung von Portfolios simultan zu berücksichtigen. Abb. 56: Übersicht und Einordnung der Modelle in der MPT Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an BWL-Seminar I, Rehkugler (2010) M ARKOWITZ begründete dadurch ein bis dahin vollkommen neues Konzept, bei dem ein Kapitalanleger durch die ganzheitliche Betrachtung mehrerer Wertpapiere sein Präskriptiv, Normativ Deskriptiv Die moderne Portfoliotheorie (MPT) Portfolio-Selection M ARKOWITZ (1952/ 1959) Single-Index-Modell M ARKOWITZ / S HARPE (1959/ 1963) Multi-Index-Modell C OHEN / P OGUE (1967) APT R OSS (1976/ 1977) CAPM S HARPE / L INTNER / M OSSIN (1964-1966) <?page no="216"?> 216 3 Grundlagen der modernen Portfoliotheorie Portfolio bildet, anstatt sich wie bisher lediglich auf ein einzelnes ertragsträchtiges Wertpapier zu beschränken. 161 Abb. 56 gibt einen detaillierten Überblick über die im Verlauf dieses Kapitels erläuterten Modelle zur modernen Portfoliotheorie und dient dem Leser zu Beginn als Orientierung. 3.1.1 Die Annahmen der modernen Portfoliotheorie Da es sich beim theoretischen Rahmenwerk der Portfolio Selection Theory um ein ökonomisches Modell handelt, liegen den nachfolgenden Betrachtungen einige wichtige Prämissen zugrunde. Die Ausführungen von M ARKOWITZ gehen grundsätzlich von einem rationalen Investor aus, der zum Zeitpunkt t die Entscheidung treffen muss, welche Wertpapiere zu welchem Anteil in sein Portfolio aufgenommen und über den Zeithorizont ∆𝑡𝑡 gehalten werden sollen. Ein rationaler Kapitalanleger zeichnet sich durch seine getroffenen Entscheidungen aus, wobei dieser stets eine Maximierung seines Nutzens anstrebt. Am Ende der Periode t + ∆𝑡𝑡 entscheidet der Investor neu über die Investition seines Kapitals. Aus diesem Grund bezieht sich das Modell nach Markowitz lediglich auf eine Ein-Perioden-Betrachtung zu Beginn eines jeden Investitionszeitraums. 162 Da der Ansatz nach Markowitz eher zu statischen Entscheidungen mit kurzfristigem Charakter führt, werden in der Fachliteratur oftmals Multi-Perioden-Ansätze empfohlen. M ARKOWITZ begründete in seiner Arbeit, dass ein Kapitalanleger bei der Auswahl eines Portfolios generell zwischen erwarteter Rendite und möglichem Risiko abwägen sollte. Ein Kapitalanleger bevorzugt bei der Auswahl eines geeigneten Portfolios grundsätzlich dasjenige Portfolio, das bei gegebenem Risiko die höchste erwartete Rendite bzw. bei gegebener Rendite das geringstmögliche Risiko besitzt. M ARKOWITZ belegt die aufgeführten Auswahlkriterien maßgeblich durch die Annahme eines rationalen und risikoaversen Kapitalanlegers. 163 Die beschriebene Einstellung des Kapitalanlegers wird im Rahmen des Modells nach Markowitz durch drei wesentliche Komponenten umgesetzt. Die wichtigsten Determinanten des Modells stellen dabei − die erwartete Rendite 𝜇𝜇 , − die Standardabweichung bzw. Volatilität 𝜎𝜎 − und die Korrelationen der einzelnen Wertpapiere dar. Da beim Ansatz nach Markowitz die erwartete Rendite bzw. das zu erwartende Risiko hauptsächlich aus historischen Kursen abgeleitet werden, folgt das Modell der Annahme, dass die zugrundeliegenden Daten aus der Vergangenheit eine verlässliche Prognose für den weiteren Verlauf in der Zukunft darstellen. 161 Vgl. Amenc/ Le Sourd (2003), S. 80 162 Vgl. Fabozzi et al. (2007), S. 21 163 Vgl. Brown/ Reilly (2009), S. 182 f. <?page no="217"?> 3.1 Die Grundlagen der modernen Portfoliotheorie 217 Die erwartete Rendite eines Portfolios wird entsprechend aus der einfachen durchschnittlichen Rendite (engl. mean return) bestimmt. Das Risiko eines Portfolios wird maßgeblich durch die Unsicherheit über den Eintritt der erwarteten Rendite charakterisiert und wird durch das statistische Maß der Varianz der Renditen bestimmt. Da die Varianz bei ihrer Berechnung gleichermaßen positive und negative Abweichungen vom Erwartungswert berücksichtigt, eignet sich die Varianz nur bedingt für die Auswahl von effizienten Portfolios. Kapitalanleger interessieren sich dagegen vorrangig für Risikomaße, welche lediglich die negativen Abweichungen vom Erwartungswert im Sinne von potenziellen Verlusten bei ihrer Berechnung berücksichtigen. Obwohl M ARKOWITZ aus diesem Grund in seinem Artikel die Semi- Varianz als geeignetes Risikomaß vorschlug, verwendete er aus praktischen Implementierungsgründen schließlich doch die Varianz. 164 Aufgrund des Umfangs an verfügbaren historischen Kursen werden die genannten statistischen Kenngrößen häufig auf Grundlage von Stichproben für repräsentative Zeiträume bestimmt. Aus diesem Grund handelt es sich bei den herangezogenen erwarteten Renditen und Standardabweichungen der Wertpapiere lediglich um Schätzungen. Weiterhin unterstellt das Modell nach Markowitz für den Zeithorizont t + ∆𝑡𝑡 durchweg eine konstante Korrelation der einzelnen Wertpapiere des Portfolios. 165 Nachfolgend soll eine kurze Zusammenfassung der durch Markowitz unterstellten Prämissen erfolgen, auf die schon teilweise eingegangen wurde. Das Rahmenwerk des Modells geht von folgenden Annahmen aus: − Die Kapitalanleger verhalten sich rational und risikoavers. − Die Eingangs- und Zielgrößen des Modells werden durch die erwartete Rendite 𝜇𝜇 und die Standardabweichung 𝜎𝜎 und die Korrelationen quantifiziert. − Die Wertpapiere des gebildeten Portfolios lassen sich beliebig teilen. − Das Modell berücksichtigt keine Transaktionskosten. − Das Modell bezieht sich auf eine Ein-Perioden-Betrachtung. Die genannten Annahmen stellen die theoretische Grundlage für die Anwendung des Modells nach Markowitz zur Auswahl und Darstellung von effizienten Portfolios dar. Im nachfolgenden Abschnitt soll vor diesem Hintergrund das grundlegende Rahmenwerk des Erwartungswert-Varianz-Ansatzes am Beispiel des Portfoliorisikos im 2-Anlagen-Fall erläutert werden. 3.1.2 Die Bestimmung des Portfoliorisikos im Zwei-Anlagen-Fall Nachdem alle relevanten Prämissen des Erwartungswert-Varianz-Ansatzes aufgelistet worden sind, soll nun exemplarisch aus zwei unterschiedlichen Wertpapieren ein Portfolio gebildet werden. Für die Bildung und Berechnung des Portfolios werden die Aktien der US-Unternehmen IBM und COSTCO (im nachfolgenden mit COST abgekürzt) herangezogen. Auf Grundlage von historischen Schätzungen geht man für die zukünftige Entwicklung des US-Unternehmens IBM von einer erwarteten Rendite 𝜇𝜇� 1 = 5,21 % und einer Standardabweichung von 𝜎𝜎 1 = 22,43 % aus. Bei der Ein- 164 Vgl. Amenc/ Le Sourd (2003), S. 81 165 Vgl. Bruns/ Meyer-Bullendiek (1996), S. 47 f. <?page no="218"?> 218 3 Grundlagen der modernen Portfoliotheorie zelhandelskette COST geht man mit einer erwarteten Rendite von 𝜇𝜇� 2 = 4,53 % und einer Standardabweichung von 𝜎𝜎 2 = 21,60 % im Vergleich zu IBM von einer ähnlichen Entwicklung in der Zukunft aus. Um jedoch einen Vergleich der verschiedenen Wertpapiere vornehmen zu können, werden die einzelnen Portfolios in einem Rendite-Risiko-Diagramm abgebildet, siehe Abb. 57. Es wird deutlich, dass die beiden Aktien ein leicht unterschiedliches Rendite-Risiko-Profil aufweisen: IBM zeigt eine höhere erwartete Rendite und ein höheres Risiko als COST . Trotz der moderaten Korrelation von 0,71 der beiden Aktien resultiert aus der gleichgewichteten Kombination der Wertpapiere eine Absenkung des Portfoliorisikos auf 𝜎𝜎 3 = 17,90 % . Es wird deutlich, dass das gleichgewichtete Portfolio ein geringeres Risiko aufweist als jedes einzelne Wertpapier im Portfolio selbst. Durch die Kombination unterschiedlicher Wertpapiere werden die Risiken der einzelnen Wertpapiere auf das gesamte Portfolio verteilt, so dass es zu einem Diversifikationseffekt kommt. Die Kombination von zwei unterschiedlichen Wertpapieren führt im Portfoliokontext zu einer Gewichtung der erwarteten Renditen gemäß ihrer jeweiligen Anteile am Portfolio, sodass der Diversifikationseffekt in Bezug auf die erwartete Rendite des Portfolios einen Kompromiss einfordert. Aus diesem Grund folgt aus der gleichgewichteten Kombination der beiden Wertpapiere eine Portfoliorendite in Höhe von 𝜇𝜇� 3 = 12 (𝜇𝜇� 1 + 𝜇𝜇� 2 ) = 4,87 % Das Rendite-Risiko-Diagramm in Abb. 57 erleichtert den Vergleich zwischen den dargestellten Wertpapieren und dem gleichgewichteten Portfolio. Die schwarzen Punkte in Abb. 57 repräsentieren die einzelnen Aktien und das Portfolio in Abhängigkeit von der erwarteten Rendite und der Standardabweichung der Wertpapiere und machen den erläuterten Diversifikationseffekt sichtbar. Abb. 57: Darstellung der Aktien von IBM und COSTCO und Fifty-Fifty-Portfolio Quelle: Eigene Darstellung in Matlab R2011b 0.17 0.18 0.19 0.2 0.21 0.22 0.23 0.045 0.046 0.047 0.048 0.049 0.05 0.051 0.052 0.053 COST IBM 50/ 50 Portf olio Erwartete Rendite (Annualisiert) Standardabw e ichung (Annualisie rt) Standardabweichung (annualisiert) COSTCO (3.1) <?page no="219"?> 3.1 Die Grundlagen der modernen Portfoliotheorie 219 Um nach der Zusammenführung der beiden Wertpapiere das Portfolio entsprechend seiner Rendite-Risiko-Ausprägung in einem Diagramm darstellen zu können, ist es erforderlich, die erwartete Portfoliorendite zu definieren, vgl. Abschnitt 1.2.6. Die erwartete Rendite eines Portfolios ergibt sich stets aus der Summe der gewichteten Renditen der einzelnen Wertpapiere: 𝜇𝜇 𝑒𝑒 = � 𝑤𝑤 𝑖𝑖 𝜇𝜇 𝑖𝑖 𝑠𝑠 𝑖𝑖=1 (3.2) mit 𝑤𝑤 𝑖𝑖 : Anteil des i -ten Wertpapiers am Portfolio 𝜇𝜇 𝑖𝑖 : Rendite des i -ten Wertpapiers. Das bedeutet im 2-Anlagen-Fall 𝜇𝜇 𝑒𝑒 = 𝑤𝑤 1 𝜇𝜇 1 + (1 − 𝑤𝑤 1 )𝜇𝜇 2 , da sich das Gewicht der zweiten Aktie aus der Identität 𝑤𝑤 1 + 𝑤𝑤 2 = 1 ergibt. Bei nicht negativen Anteilen (keine Leerverkäufe) liegt somit die erwartete Portfoliorendite zwischen der kleinsten Rendite 𝜇𝜇 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑠𝑠 und der größten Rendite 𝜇𝜇 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑒𝑒 der einzelnen Wertpapiere: 𝜇𝜇 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑠𝑠 ≤ 𝜇𝜇 𝑒𝑒 ≤ 𝜇𝜇 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑒𝑒 Um den Diversifikationseffekt quantifizieren zu können, soll nachfolgend die Formel zur Berechnung der Portfoliovarianz definiert werden. Die Formel zur Ermittlung des Portfoliorisikos für den vorgestellten Zwei-Anlagen-Fall lässt sich aus der allgemeinen Formel nach Markowitz für eine beliebige Anzahl an Wertpapieren ableiten, siehe Abschnitt 1.7.3. Die Berechnung des allgemeinen Portfoliorisikos ergibt sich dementsprechend 166 als: 𝜎𝜎 𝑒𝑒2 = �� 𝑤𝑤 𝑖𝑖 𝑤𝑤 𝑖𝑖 𝜌𝜌 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝜎𝜎 𝑖𝑖 𝜎𝜎 𝑖𝑖 𝑠𝑠 𝑖𝑖=1 𝑠𝑠 𝑖𝑖=1 (3.5) mit 𝑤𝑤 𝑖𝑖 , 𝑤𝑤 𝑖𝑖 : Anteil des i -ten und j -ten Wertpapiers 𝜌𝜌 𝑖𝑖𝑖𝑖 : Korrelation zwischen dem i -ten Wertpapier und dem j -ten Wertpapier 𝜎𝜎 𝑖𝑖 , 𝜎𝜎 𝑖𝑖 : Standardabweichung des i -ten und j -ten Wertpapiers bzw. speziell für den 2-Aktien-Fall als: 𝜎𝜎 𝑒𝑒2 = 𝑤𝑤 12 𝜎𝜎 12 + 2𝑤𝑤 1 (1 − 𝑤𝑤 1 )𝜎𝜎 1 𝜎𝜎 2 𝜌𝜌 12 + (1 − 𝑤𝑤 1 ) 2 𝜎𝜎 22 (3.6) Die erwartete Standardabweichung der jeweiligen Portfolios lässt sich aus der Quadratwurzel der Portfoliovarianz aus Formel (3.5) bzw. (3.6) bestimmen. Wegen −1 ≤ 𝜌𝜌 𝑖𝑖𝑖𝑖 ≤ 1 folgt allgemein 0 ≤ 𝜎𝜎 𝑒𝑒 ≤ � 𝑤𝑤 𝑖𝑖 𝜎𝜎 𝑖𝑖 𝑠𝑠 𝑖𝑖=1 ≤ 𝜎𝜎 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑒𝑒 166 Vgl. Bruns/ Meyer-Bullerdiek (2008), S. 48 (3.3) (3.4) (3.7) <?page no="220"?> 220 3 Grundlagen der modernen Portfoliotheorie Das heißt, bei minimaler Korrelation verschwindet das Portfoliorisiko komplett. Bei maximaler Korrelation ist das Portfoliorisiko durch die gewichtete Summe der Risiken der einzelnen Wertpapiere gegeben. Die Möglichkeit der variablen Gewichtung einzelner Wertpapiere führt zur Bildung von zahlreichen Portfolios mit unterschiedlichen Rendite-Risiko-Profilen. Die Darstellung der daraus resultierenden Portfolios im angesprochenen Rendite-Risiko-Diagramm bildet die Effizienzkurve. Im Anschluss an die Definitionen soll nun die genaue Vorgehensweise bei der Berechnung des Portfoliorisikos am Beispiel der Effizienzkurve der beiden Wertpapiere IBM und COST erläutert werden. Bestimmung der Effizienzkurve bei 2 Wertpapieren Ein unbeholfener Kapitalanleger möchte sein gegenwärtiges Vermögen von 50.000,00 € in Aktien gewinnbringend anlegen. Da die Kenntnis des Kapitalanlegers in Bezug auf die Beurteilung von Unternehmen und Kapitalmärkten eher beschränkt ist, verlässt sich dieser auf sein Bauchgefühl und nimmt nur die zwei zuvor genannten Unternehmen, IBM und COSTCO, in sein Portfolio auf. Da der Kapitalanleger jedoch keine genaue Meinung zu den Ertragschancen und Risiken beider Unternehmen besitzt, nimmt er eine Gleichgewichtung beider Wertpapiere in seinem Portfolio vor. Um bei seiner Kapitalanlage sicher zu gehen, möchte der Kapitalanleger jedoch zuvor sowohl die erwartete Rendite als auch das Risiko seines Portfolios von einem unabhängigen und erfahrenen Dritten berechnen lassen. Ein befreundeter Portfolio-Manager nimmt sich des Anliegens des Kapitalanlegers an. Die erwartete Rendite und die Standardabweichung der beiden Wertpapiere ermittelt dieser aus der historischen Schätzung auf der Grundlage der monatlichen Renditen der letzten 5 Jahre sowie der anschließenden Annualisierung der Kenngrößen. Für das Unternehmen IBM ergaben sich folgende Kennzahlen: 𝜇𝜇� 𝐼𝐼𝐵𝐵𝑀𝑀 = 5,21 % bzw. 𝜎𝜎 𝐼𝐼𝐵𝐵𝑀𝑀 = 22,43 % Die Kennzahlen der Einzelhandelskette COSTCO liefern im Vergleich zu IBM ein ähnliches Bild. 𝜇𝜇� 2 = 4,53 % bzw. 𝜎𝜎 2 = 21,60 % Die Korrelation der beiden Wertpapiere ergibt 𝜌𝜌� 12 = 0,71 Auf Wunsch des Kapitalanlegers wurden die Anteile der beiden Wertpapiere in seinem Portfolio gleich gewichtet. Die Risikoanalyse seines Portfolios ergab: 𝜎𝜎 𝑒𝑒2 = 𝑤𝑤 12 𝜎𝜎 12 + 2𝑤𝑤 1 (1 − 𝑤𝑤 1 )𝜎𝜎 1 𝜎𝜎 2 𝜌𝜌 12 + (1 − 𝑤𝑤 1 ) 2 𝜎𝜎 22 𝜇𝜇 𝑒𝑒 = 𝑤𝑤 1 𝜇𝜇 1 + (1 − 𝑤𝑤 1 )𝜇𝜇 2 𝜎𝜎 𝑒𝑒2 = 0,5 2 ∙ 0,2243 2 + 2 ∙ 0,5 ∙ (1 − 0,5) ∙ 0,2243 ∙ 0,2160 ∙ 0,71 + (1 − 0,5) 2 ∙ 0,2160 𝜎𝜎 𝑒𝑒2 = 17,90 % , 𝜇𝜇 𝑒𝑒 = 4,87 % Zum Vergleich mit dem gleichgewichteten Portfolio wurden in Tab. 10 durch die Variation der Portfolioanteile weitere Portfolios berechnet. Die Berechnung ergibt <?page no="221"?> 3.1 Die Grundlagen der modernen Portfoliotheorie 221 durch die voneinander abweichenden Portfoliogewichte 10 unterschiedliche Portfolios mit verschiedenen Portfoliorenditen und -risiken. Portfolio Portfolio-Anteil w 1 Portfolio-Rendite Portfolio-Risiko 1 0,47 0,0485 0,1788 2 0,53 0,0489 0,1794 3 0,58 0,0493 0,1813 4 0,64 0,0497 0,1844 5 0,70 0,0501 0,1886 6 0,76 0,0505 0,1939 7 0,82 0,0509 0,2003 8 0,88 0,0513 0,2075 9 0,94 0,0517 0,2155 10 1 0,0521 0,2243 Tab. 10: Rechnerische Ermittlung der Effizienzkurve Die Darstellung der Rendite und des Risikos der unterschiedlichen Portfolios aus Tab. 10 und die Verbindung der unterschiedlichen Rendite-Risiko-Profile spannt die Effizienzkurve für die verschiedenen Wertpapierkombinationen auf. Der Begriff der Effizienzkurve wird im nachfolgenden Abschnitt nochmals aufgegriffen und in Verbindung mit dem zuvor angesprochenen Diversifikationseffekt im Detail erläutert. Aus Abb. 58 ist ersichtlich, dass es eine Vielzahl an effizienten Portfolios entlang der Effizienzkurve gibt. Es stellt sich nun die Frage, welches effiziente Portfolio nun „optimal“ für einen Kapitalanleger ist. Da sich das Fifity-Fifty-Portfolio relativ nahe am Minimum-Varianz-Portfolio (vgl. Abschnitt 4.1.1) befindet, stellt die Bildung eines Portfolios mit einer Rendite von 4,87 % p.a. und einem Risiko von 17,90 % p.a. im Vergleich zu den einzelnen Wertpapieren eine risiko-averse Wahl dar. Da die Beantwortung dieser zentralen Fragestellung in hohem Maße von den individuellen Rahmenbedinungen eines Kapitalanlegers abhängig ist, versuchen die nachfolgenden Abschnitte die Bemühungen bei der Auswahl eines optimalen Portfolios im Detail zu beleuchten. Zunächst wird jedoch die Thematik des Diversifikationseffektes in Verbindung mit der Effizienzkurve noch weiter vertieft. <?page no="222"?> 222 3 Grundlagen der modernen Portfoliotheorie Abb. 58: Effizienzkurve für ein Portfolio mit Aktien von IBM und COSTCO Quelle: Eigene Darstellung in Matlab R2011b 3.1.3 Der Diversifikationseffekt und die Effizienzkurve Quelle: picture alliance / photoshot “Diversification should be the corner stone of your investment program. If you have your wealth in one company, unexpected troubles may cause a serious loss; but if you own the stocks of 12 companies in different industries, the one which turns out badly will probably be offset by some other which turn out better than expected.” Sir John M. Templeton (*1912, †2008) Neben der Korrelation zwischen den unterschiedlichen Wertpapieren besitzt die Anzahl der Wertpapiere innerhalb eines Portfolios einen unmittelbaren Einfluss auf den Diversifikationseffekt des Portfoliorisikos. Abb. 59 verdeutlicht, dass eine steigende Anzahl an Wertpapieren in einem Portfolio unmittelbar zu einer Absenkung des Risikos führt. Das Gesamtrisiko eines Portfolios lässt sich grundsätzlich in zwei unterschiedliche Komponenten unterteilen: − das systematische − und das unsystematische Risiko. 0.17 0.18 0.19 0.2 0.21 0.22 0.23 0.045 0.046 0.047 0.048 0.049 0.05 0.051 0.052 0.053 COST IBM 50/ 50 Portfolio Erwartete Rendite (Annualisiert) Standardabweichung (Annualisiert) Standardabweichung (annualisiert) COSTCO <?page no="223"?> 3.1 Die Grundlagen der modernen Portfoliotheorie 223 Die systematische Komponente des Gesamtrisikos ergibt sich unmittelbar aus den aktuellen und prognostizierten makroökonomischen Einflussfaktoren. Dabei üben besonders Veränderungen in der Konjunktur einer Volkswirtschaft sowie Schwankungen der Marktzinsen und der Wechselkurse einen erheblichen Einfluss auf das systematische Risiko aus. Im Gegensatz zur systematischen Komponente beschränken sich die Einflussfaktoren des unsystematischen Risikos auf mikroökonomische und titelspezifische Veränderungen. Die einzelnen Risiken des unsystematischen Risikos liegen vorrangig bei den unterschiedlichen Unternehmen selbst. Dazu zählen unter anderem das spezifische Bonitäts- und Insolvenzrisiko eines Unternehmens sowie die Gefahr eines Rückgangs des Absatzes und damit verbundene Gewinneinbrüche. Da sich das unsystematische Risiko in der Regel immer auf einzelne Unternehmen bezieht und sowohl privaten als auch institutionellen Anlegern häufig nur begrenzte Informationen über den aktuellen Stand eines Unternehmens vorliegen, ist eine Prognose und Quantifizierung unsystematischer Risiken nur schwer möglich. Das unsystematische Risiko, die einzelnen objekt- und titelspezifischen Risiken, kann jedoch durch die Aufnahme zusätzlicher Titel in ein Portfolio auf ein Mindestmaß gesenkt werden, im Idealfall auf das verbleibende systematische Risiko. 167 Obwohl eine steigende Anzahl an Wertpapieren offensichtlich zu einer Absenkung des Portfoliorisikos führt, hat die Diversifikation eines Portfolios lediglich Auswirkungen auf das unsystematische Risiko. Tatsache ist also, dass durch Diversifikation innerhalb einer Anlageklasse das Gesamtrisiko eines Portfolios üblicherweise nicht vollständig eliminiert werden kann, da Renditen oft positiv korreliert sind. Abb. 59 stellt den erläuterten Zusammenhang nochmals in einer Grafik dar. Abb. 59: Diversifikationseffekt durch steigende Anzahl an Wertpapieren Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Poddig et al. (2009) 167 Vgl. Maier (2007), S. 12 <?page no="224"?> 224 3 Grundlagen der modernen Portfoliotheorie Das Ausmaß des Diversifikationseffektes auf das Portfoliorisiko hängt neben der Anzahl der Wertpapiere im Portfolio von den Korrelationskoeffizienten zwischen den verschiedenen Wertpapieren ab. Je geringer die Korrelation der unterschiedlichen Wertpapiere in einem Portfolio ausfällt, desto größer wirkt sich der Diversifikationseffekt auf das Risiko eines Portfolios aus. Die in Abschnitt 3.1.1 dargestellten Prämissen stellen das verbale Rahmenwerk für die mathematische Formulierung und Umsetzung des späteren Portfoliomodells dar. Formel (3.5) aus Abschnitt 3.1.2 liefert die Grundlage zur Bildung der Effizienzkurve. Hierzu werden ausgehend von Formel (3.5) aus Abschnitt 3.1.2 für sämtliche Kombinationen der Portfolioanteile die dazugehörigen Rendite- und Risiko-Profile erstellt und in einem Rendite-Risiko-Diagramm dargestellt. Die in Abb. 58 dargestellte Effizienzkurve liefert anschließend die Grundlage, um festgelegte Portfolios mit anderen Portfolios zu vergleichen und ein optimales Portfolio zu bestimmen, welches den individuellen Vorstellungen eines Kapitalanlegers gerecht wird. Ein Portfolio wird als „effizient“ bezeichnet, wenn ausgehend von einer festgelegten Rendite kein anderes Portfolio ein niedrigeres Risiko aufweist bzw. bei gleichem Risiko kein anderes Portfolio mit einer höheren Rendite existiert. Die Menge aller Portfolios, die dem Effizienzkriterium entsprechen, bildet im Rendite-Risiko-Diagramm die Effizienzkurve. Im englischen Sprachgebrauch und der anglo-amerikanischen Fachliteratur bezeichnet man diese Menge aller effizienten Portfolios als „Efficient Frontier“. Beim Vergleich der Portfolios auf den beiden zusammengeführten gestrichelten und durchgezogenen Kurven aus Abb. 58 wird deutlich, dass es für Portfolios unterhalb der Effizienzkurve stets Portfolios gibt, die bei gleichem Risiko einen höheren Ertrag versprechen. Aus diesem Grund werden diejenigen Portfolios unterhalb der Effizienzkurve auch als ineffizient bezeichnet und sollten deshalb von den Kapitalanlegern grundsätzlich gemieden werden. Die Effizienzkurve stellt gemäß Abb. 60 eine nach rechts geöffnete Kurve dar (im Zwei-Anlagen-Fall eine Parabel), bei der sich auf der oberen Hälfte der Kurve die effizienten Portfolios und unterhalb der Kurve die ineffizienten Portfolios befinden. Im Scheitel der Effizienzkurve liegt das Minimum-Varianz-Portfolio. 168 Unter der Voraussetzung, dass der Kapitalanleger keinen Leerverkaufsrestriktionen unterliegt, ergibt sich die mögliche Menge aus der Berechnung und Darstellung aller denkbaren Wertpapierkombinationen eines Portfolios. Es gilt festzuhalten, dass die Wahl der Anteilsgewichte die Position des Portfolios im Rendite-Risiko-Diagramm und in Verbindung mit dem Effizienzkriterium auf der Effizienzkurve bestimmt. 168 Vgl. Spremann (2008), S. 177 ff. <?page no="225"?> 3.1 Die Grundlagen der modernen Portfoliotheorie 225 Abb. 60 greift diesen Zusammenhang nochmals auf. Soll ein individuelles Portfolio auf der Effizienzkurve bestimmt werden und die Formulierung der Zielfunktion keinen zusätzlichen Bedingungen unterliegen, kann dieses Optimierungsproblem beispielsweise einfach durch die von M ERTON (1972) entwickelte Lagrange-Multiplikator-Methode gelöst werden. 169 Abb. 60: Effizienzkurve in Zusammensetzung des Portfolios entlang der Effizienzkurve Quelle: Eigene Darstellung in Matlab R2011b Die Bildung von unterschiedlich gewichteten Portfolios und die anschließende Berechnung der verschiedenen Rendite-Risiko-Profile ermöglichen den Vergleich und die Einordnung einer Vielzahl an Portfolios. Diese Vorgehensweise erlaubt eine Aussage über die Effizienz der ermittelten Portfolios, insbesondere im Hinblick auf die beiden Dimensionen Rendite und Risiko. Die Frage, welches der effizienten Portfolios das „optimale“ Portfolio für den jeweiligen Kapitalanleger darstellt, ist in hohem Maße von der individuellen Risikoneigung bzw. vom erwarteten Nutzen des Investors abhängig. Ein sehr risikoavers eingestellter Kapitalanleger wird dabei grundsätzlich ein Portfolio im linken unteren Teil der Effizienzkurve auswählen. Im Gegensatz dazu wird ein eher risikofreudiger Kapitalanleger ein Portfolio im rechten Teil der Effizienzkurve bevorzugen, da dieses Portfolio ihn im Vergleich zum linken Teil der Effizienzkurve durch die Übernahme eines höheren Risikos durchaus mit einer höheren Rendite entlohnen kann. 170 Eine Aussage über „das optimale Portfolio“ kann daher auch nicht pauschalisiert werden, sondern muss auf Grundlage der Einstellung des Investors durchweg individuell getroffen werden. Die vorherigen Abschnitte zeigen, dass die Effizienzkurve maßgeblich auf Grundlage von Portfolios mit unterschiedlichen Rendite-Risiko-Profilen aufgespannt wird. Bei der Berechnung der Effizienzkurve stellt die Korrelation zwischen den einzelnen Kapitalanlagen, im Fall von zwei Anlagen der Korrelationskoeffizient, einen wichtigen Einflussfaktor dar. Aus der unterschiedlichen Ausprägung des Korrelationskoeffizienten ergeben sich im Fall von zwei Anlagen drei spezielle Szenarien, in denen die Effizienzkurve exemplarisch hergeleitet werden kann. Die drei Szenarien 169 Vgl. Amenc/ Le Sourd (2003), S. 82 170 Vgl. Bruns/ Meyer-Bullendiek (1996), S. 49 <?page no="226"?> 226 3 Grundlagen der modernen Portfoliotheorie stehen jeweils für den Extremfall keine Korrelation, maximale Korrelation und minimale Korrelation: 171 − Szenario 1: Korrelationskoeffizient von 0 − Szenario 2: Korrelationskoeffizient von +1 − Szenario 3: Korrelationskoeffizient von -1 Im Nachfolgenden soll nun in den drei zuvor aufgeführten Szenarien die Effizienzkurve explizit hergeleitet werden. Szenario 1: Bei einem Korrelationskoeffizient von 𝜌𝜌 = 0 ergibt sich die Formel zur Berechnung des Portfoliorisikos nach (3.6): 𝜎𝜎 𝑒𝑒2 = 𝑤𝑤 12 𝜎𝜎 12 + (1 − 𝑤𝑤 1 ) 2 𝜎𝜎 22 (3.8) Daraus folgt die entsprechende Standardabweichung mit: 𝜎𝜎 𝑒𝑒 = �𝑤𝑤 12 𝜎𝜎 12 + (1 − 𝑤𝑤 1 ) 2 𝜎𝜎 22 (3.9) In diesem Fall entsteht im Vergleich zum nachfolgenden Szenario 2 für jegliche Wertpapiermischung ein geringeres Portfoliorisiko. Durch geeigente Wahl der Portfoliogewichte kann die in Formel (3.9) dargestellte Portfoliostandardabweichung unter die Standardabweichung der einzelnen Wertpapiere gesenkt werden. 172 Szenario 2: Bei einem Korrelationskoeffizient von 𝜌𝜌 = 1 ergibt sich die Formel zur Berechnung des Portfoliorisikos nach (3.6): 𝜎𝜎 𝑒𝑒2 = 𝑤𝑤 12 𝜎𝜎 12 + 2𝑤𝑤 1 (1 − 𝑤𝑤 1 )𝜎𝜎 1 𝜎𝜎 2 + (1 − 𝑤𝑤 1 ) 2 𝜎𝜎 22 = (𝑤𝑤 1 𝜎𝜎 1 + (1 − 𝑤𝑤 1 )𝜎𝜎 2 ) 2 (3.10) Daraus folgt die Formel für die Standardabweichung als gewichtete Summe der einzelnen Risiken der jeweiligen Wertpapiere: 𝜎𝜎 𝑒𝑒 = 𝑤𝑤 1 𝜎𝜎 1 + (1 − 𝑤𝑤 1 )𝜎𝜎 2 (3.11) Unter diesen Umständen ist im Portfolio kein Diversifikationseffekt mehr feststellbar. Die gestrichelte Gerade in Abb. 61 macht den linearen Zusammenhang sichtbar. Szenario 3: Bei einem Korrelationskoeffizient von 𝜌𝜌 = −1 ergibt sich die Formel zur Berechnung des Portfoliorisikos entsprechend (3.6): 𝜎𝜎 𝑒𝑒2 = 𝑤𝑤 12 𝜎𝜎 12 − 2𝑤𝑤 1 (1 − 𝑤𝑤 1 )𝜎𝜎 1 𝜎𝜎 2 + (1 − 𝑤𝑤 1 ) 2 𝜎𝜎 22 = (𝑤𝑤 1 𝜎𝜎 1 − (1 − 𝑤𝑤 1 )𝜎𝜎 2 ) 2 (3.12) Daraus folgt die Formel für die Standardabweichung als Betrag der gewichteten Differenz der einzelnen Risiken der jeweiligen Wertpapiere: 𝜎𝜎 𝑒𝑒 = |𝑤𝑤 1 𝜎𝜎 1 − (1 − 𝑤𝑤 1 )𝜎𝜎 2 | (3.13) Im Unterschied zum vorherigen Szenario bewirkt eine perfekt negative Korrelation von 𝜌𝜌 = −1 eine erhebliche Reduzierung des Risikos bis hin zum vollständigen Verschwinden des Risikos. Bei einem Korrelationskoeffizienten von 𝜌𝜌 = −1 entsteht also bei geeigneter Kombination der einzelnen Wertpapiere ein Portfolio mit einer Volatilität von Null. Allerdings weisen reale Wertpaieren nie eine perfekt 171 Vgl. Poddig/ Brinkmann/ Seiler (2009), S. 57 f. sowie Spremann (2008), S. 198 172 Vgl. Poddig/ Brinkmann/ Seiler (2009), S. 57 f., entsprechender Beweis S. 73 <?page no="227"?> 3.2 Die Bestimmung von effizienten Portfolios im N-Anlagen-Fall 227 negative Korrelation auf, sodass die vollständige Eliminierung des Risikos nur theoretisch relevant ist. Abb. 61 führt alle drei Szenarien zusammen und stellt die jeweiligen Effizienzkurven grafisch in einem Rendite-Risiko-Diagramm dar. Dabei werden für die drei Szenarien jeweils alle möglichen Kombinationen von zwei Kapitalanalgen dargestellt. Die durchgezogene Kurve zeigt den Fall 𝜌𝜌 = 0 aus Szenario 1 und Formel (3.9). Die gestrichelte Gerade verdeutlicht in Anlehnung an Formel (3.11) folglich Szenario 2 sowie die punkt-gestrichelten Geraden entsprechend Szenario 3. Abb. 61: Darstellung der Effizienzkurve in Abhängigkeit von unterschiedlichen Korrelationen Quelle: Eigene Darstellung in Matlab R2011b 3.2 Die Bestimmung von effizienten Portfolios im N-Anlagen- Fall „Das große Unglück bei uns alten Spekulanten ist, daß wir zwar viele Erfahrungen gesammelt, unsere Waghalsigkeit jedoch verloren haben.“ André Kostolany - Börsen- und Finanzexperte (*1906, †1999) Quelle: picture alliance / Sven Simon Die vorherigen Abschnitte beschäftigten sich vorrangig mit der Erläuterung des Portfoliorisikos für den Zwei-Anlagen-Fall. In der Realität wird häufig auf ein weitaus größeres Anlageuniversum zurückgegriffen. Vor diesem Hintergrund werden die bisherigen Formeln (3.2) und (3.5) bei einer ansteigenden Anzahl an Wertpapieren in ihrer Umsetzung zunehmend komplexer und umfangreicher. Da der Umgang <?page no="228"?> 228 3 Grundlagen der modernen Portfoliotheorie mit Matrizen eine deutlich intuitivere Vorgehensweise bietet, wird im Folgenden auf einen formaleren mathematischen Ansatz zur Bestimmung des Portfoliorisikos zurückgegriffen. Der erste Schritt in der Ermittlung des Portfoliorisikos besteht in der Auswahl von N risikobehafteten Wertpapieren, die ein Kapitalanleger in sein Portfolio mitaufnehmen möchte. Danach trifft der Kapitalanleger die Entscheidung, zu welchen Anteilen die einzelnen Wertpapiere am besten auf das Portfolio aufgeteilt werden sollen. Dieser Ansatz wird auch als Allokation bezeichnet und kann nach unterschiedlichen Investmentansätzen (vgl. Kapitel 1) geschehen. Die Allokation, d.h. die Anteilsgewichte der einzelnen Wertpapiere wird in einem N x 1 -Spaltenvektor 𝑤𝑤 = (𝑤𝑤 1 , 𝑤𝑤 2 , … , 𝑤𝑤 𝑁𝑁 ) ′ festgehalten, bei dem jedes Gewicht 173 𝑤𝑤 𝑖𝑖 den Anteil des i -ten Wertpapiers am Portfolio angibt. Dabei kann der Kapitalanleger bei seiner Entscheidung etwaigen Beschränkungen bzw. Restriktionen in Form von Nebenbedingungen unterliegen, die bei der Berechnung des Portfoliorisikos zu berücksichtigen sind. Neben der Beschränkung einzelner Assetklassen und Wertpapiere sollte der Kapitalanleger zunächst entscheiden, ob dieser Leerverkäufe, also Short-Positionen, in Wertpapieren zulassen möchte. Eine Short-Position stellt die Verpflichtung des Portfolioinhabers bzw. Portfolio- Managers dar, ein durch Wertpapierleihe (engl. securities lending) geliehenes Wertpapier zu einem zukünftigen Zeitpunkt an dessen ursprünglichen Eigentümer zurückzugeben. Da der Portfolio-Manager einen Kursrückgang des geliehenen Wertpapiers erwartet, entscheidet sich dieser jedoch zum sofortigen Verkauf des Wertpapiers. Durch die Wertpapierleihe spricht man beim Verkauf eines geliehenen Wertpapiers von einem Leerverkauf. Der Portfolio-Manager ist jedoch durch die Wertpapierleihe vertraglich zur Rückgabe des soeben verkauften Wertpapiers verpflichtet. Bei Eintritt des prognostizierten Kursverfalls kann das zuvor verkaufte Wertpapier nun zu einem niedrigeren Kurs zurückgekauft werden. In diesem Fall entsteht ein Spekulationsgewinn. 174 Die betroffenen Leerverkaufspositionen werden als negative Gewichte im soeben eingeführten Spaltenvektor 𝑤𝑤 dargestellt und dementsprechend bei der Portfoliooptimierung berücksichtigt. Unterliegt die Optimierung des Portfolios jedoch einer Leerverkaufsrestriktion, sollte die Nebenbedingung 𝑤𝑤 𝑖𝑖 ≥ 0 , 𝑖𝑖 = 1, … , 𝑁𝑁 , bei der Berechnung des Portfoliorisikos erfüllt sein. 175 In jedem Fall muss sichergestellt werden, dass das gesamte Vermögen auf die 𝑁𝑁 Wertpapiere allokiert wird, d.h. dass folgende Nebenbedingung immer erfüllt ist: � 𝑤𝑤 𝑖𝑖 = 1 𝑁𝑁 𝑖𝑖=1 (3.14) Im zweiten Schritt werden die historischen Renditen der einzelnen Wertpapiere des Portfolios bestimmt, um anschließend die erwartete Rendite der einzelnen Wertpapiere 𝜇𝜇 = (𝜇𝜇 1 , 𝜇𝜇 2 , … , 𝜇𝜇 𝑁𝑁 ) ′ daraus abzuleiten. Auf Grundlage der historischen Ren- 173 Im Folgenden verwenden wir dazu die Begriffe Portfolio-Gewichte, Anteilsgewichte der einzelnen Wertpapiere und Wertpapiergewichte synonym. In allen Fällen ist damit die prozentuale Verteilung der einzelnen Wertpapiere im Portfolio gemeint. 174 Vgl. Spreeman (2008), S. 51 175 Vgl. Fabozzi et al. (2007), S. 24 <?page no="229"?> 3.2 Die Bestimmung von effizienten Portfolios im N-Anlagen-Fall 229 diten der einzelnen Wertpapiere wird im dritten Schritt die dazugehörige N x N - Varianz-Kovarianz-Matrix wie folgt ermittelt: � = �𝜎𝜎 11 ⋯ 𝜎𝜎 1𝑁𝑁 ⋮ ⋱ ⋮ 𝜎𝜎 𝑁𝑁1 ⋯ 𝜎𝜎 𝑁𝑁𝑁𝑁 � (3.15) mit 𝜎𝜎 𝑖𝑖𝑖𝑖 : Kovarianz zwischen Wertpapier i und j, sodass 𝜎𝜎 𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝜎𝜎 𝑖𝑖2 und 𝜎𝜎 𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝜌𝜌 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝜎𝜎 𝑖𝑖 𝜎𝜎 𝑖𝑖 ∑: N x N- Varianz-Kovarianz-Matrix Damit ergibt sich die Rendite und Varianz eines Portfolios als Äquivalent zu Formel (3.5) entsprechend der Matrizenschreibweise wie folgt (siehe auch Abschnitt 1.7.3): 𝜎𝜎 𝑒𝑒2 = 𝑤𝑤 𝑇𝑇 Σw (3.16) mit 𝑤𝑤: N x 1- Spaltenvektor der Anteilsgewichte der einzelnen Assets 𝑤𝑤 𝑇𝑇 : transponierter Spaltenvektor der Anteilsgewichte (Zeilenvektor) ∑: N x N- Varianz-Kovarianz-Matrix Die erwartete Rendite eines Portfolios ergibt sich gemäß Matrizenschreibweise wie folgt: 𝜇𝜇 𝑒𝑒 = 𝑤𝑤 𝑇𝑇 𝜇𝜇 (3.17) mit 𝑤𝑤: N x 1- Spaltenvektor der Anteilsgewichte der einzelnen Assets 𝑤𝑤 𝑇𝑇 : transponierter Vektor der Anteilsgewichte (Zeilenvektor) 𝜇𝜇: N x 1- Spaltenvektor der erwarteten Renditen der einzelnen Wertpapiere Die Darstellung der Effizienzkurve in Abb. 58 und Abb. 60 wird nun durch die Aufnahme der Aktie ABT ins Portfolio erweitert. Das Rendite-Risiko-Diagramm greift dabei drei Unternehmen aus unterschiedlichen Branchen auf. Die unterschiedlichen Anteilsgewichte der Wertpapiere eines Portfolios bilden im Gegensatz zum erläuterten 2-Aktien-Fall nun nicht mehr die Effizienzkurve ab, sondern verkörpern nun den Möglichkeitsraum der verschiedenen Wertpapierkombinationen. Anschaulich gesprochen, ergibt sich die Effizienzkurve als oberste Grenze des Möglichkeitsraumes. In Abb. 62 repräsentieren die grauen Kreuze die unterschiedlichen Portfolios aller denkbaren Kombinationen an Wertpapieren. Die gestrichelte Kurve in Abb. 62 stellt nun die Effizienzkurve als oberen Rand des Möglichkeitsraumes dar. Zur Berechnung der Effizienzkurve werden für jede mögliche erwartete Rendite 𝜇𝜇 𝑒𝑒 Portfoliogewichte 𝑤𝑤 bestimmt, sodass die Portfoliovarianz minimal wird. Es wird also das quadratische Optimierungsproblem gelöst, das sich aus der Minimierung der Portfoliovarianz (3.16) unter den Nebenbedingungen (3.14) und (3.17) ergibt. <?page no="230"?> 230 3 Grundlagen der modernen Portfoliotheorie Abb. 62: Darstellung möglicher Portfolios Quelle: Eigene Darstellung in Matlab R2011b Nachdem im ersten Beispiel die Effizienzkurve im 2-Anlagen-Fall bestimmt worden ist, soll im Nachfolgenden die Berechnung des Portfoliorisikos im N-Anlagen-Fall in Form eines Beispiels erläutert werden. Erweiterung des Beispiels 1 Das ursprüngliche Portfolio aus Beispiel 1 wird nun durch die Aufnahme von Aktien der Unternehmen ABT und MSFT exemplarisch um zwei Wertpapiere erweitert. Der Erwartungswert-Varianz-Ansatz nach Markowitz erlaubt die Aufnahme von beliebig vielen Wertpapieren in ein Portfolio, wobei im Rahmen dieses Beispiels aufgrund der vereinfachten Darstellung auf ein umfangreiches Portfolio verzichtet wurde. Im folgenden Abschnitt soll erneut ein Vergleich zwischen dem gleichgewichteten Portfolio 𝑤𝑤 = (0,25, 0,25, 0,25, 0,25) ′ und anderen effizienten Portfolios getroffen werden. Über einen Zeitraum von 5 Jahren wurden entsprechend Beispiel 1 die durchschnittlichen monatlichen Renditen aller vier Wertpapiere ermittelt und annualisiert. Dadurch ergeben sich die erwarteten Renditen der vier Wertpapiere als ein N x 1 -Spaltenvektor 𝜇𝜇 : 𝜇𝜇 = � 𝜇𝜇 𝐵𝐵𝐵𝐵𝑇𝑇 𝜇𝜇 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑆𝑆𝑇𝑇 𝜇𝜇 𝐼𝐼𝐵𝐵𝑀𝑀 𝜇𝜇 𝑀𝑀𝑆𝑆𝑀𝑀𝑇𝑇 � = �0,0310 0,0453 0,0521 0,0232� Auf Grundlage der monatlichen Renditen der Wertpapiere ABT, COST, IBM und MSFT ergibt sich die Kovarianz-Varianz-Matrix dementsprechend als: <?page no="231"?> 3.2 Die Bestimmung von effizienten Portfolios im N-Anlagen-Fall 231 � = � 0,0326 −0,0006 −0,0026 0,0059 −0,0006 0,0459 0,0153 0,0266 −0,0026 0,0153 0,0495 0,0157 0,0059 0,0266 0,0157 0,0632� Die Berechnung des Portfolio-Risikos für das gleichgewichtete Portfolio ergibt sich wie folgt: 𝜎𝜎 𝑒𝑒2 = 𝑤𝑤 𝑇𝑇 ∙ �∙ 𝑤𝑤 𝜎𝜎 𝑒𝑒2 = [0,25 0,25 0,25 0,25] ∙ � 0,0326 −0,0006 −0,0026 0,0059 −0,0006 0,0459 0,0153 0,0266 −0,0026 0,0153 0,0495 0,0157 0,0059 0,0266 0,0157 0,0632� ∙ �0,25 0,25 0,25 0,25� 𝜎𝜎 𝑒𝑒2 = 0,1396 Die Berechnung der Portfolio-Rendite für das gleichgewichtete Portfolio ergibt sich demnach als: 𝜇𝜇 𝑒𝑒 = 𝑤𝑤 𝑇𝑇 ∙ 𝑚𝑚 𝜇𝜇 𝑒𝑒 = [0,25 0,25 0,25 0,25] ∙ �0,0310 0,0453 0,0521 0,0232� = 𝜇𝜇 𝑒𝑒 = 0,0379 Abb. 63 stellt die Ergebnisse aus Beispiel 2 zusammen mit der daraus resultierenden Effizienzkurve in einem Rendite-Risiko-Diagramm dar. Da sich die Zusammensetzung der Portfolios entlang der Effizienzkurve grundsätzlich unterscheidet, trägt Abb. 63 den Verlauf der Portfolioanteile entlang der Effizienzkurve ab. Abb. 63: Effizienzkurve des Portfolios aus Beispiel 2 Quelle: Eigene Darstellung in Matlab R2011b Wir sehen, dass in diesem Fall das gleichgewichtete Portfolio nicht eiffizient ist, da es nicht auf der Effizientkurve liegt, d.h. es lässt sich ein Portfolio bestimmen, das bei gleicher Standardabweichung eine höhere erwartete Rendite zeigt. 0.15 0.2 0.25 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05 0.055 ABT COST IBM MSFT Equal Portfolio Erwartete Rendite (Annualisiert) Standardabweichung (Annualisiert) 0.04 0.042 0.044 0.046 0.048 0.05 0.052 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Portfoliorendite Portfolio-Gewicht ABT COST IBM MSFT <?page no="232"?> 232 3 Grundlagen der modernen Portfoliotheorie 3.3 Die Auswahl eines optimalen Portfolios “To beat the market you’ll have to invest serious bucks to dig up information no one else has yet.” Merton H. Miller - US-amerikanischer Ökonom und Nobelpreisträger (*1923, †2000) Quelle: Public Domain In den nachfolgenden Abschnitten wird der zentralen Frage des Portfolio Managements nachgegangen, wie gemäß den Vorstellungen eines Kapitalanlegers ein für ihn „optimales“ Portfolio auf der Effizienzkurve bestimmt werden kann. Die verschiedenen Kapitalanleger am Kapitalmarkt besitzen in der Regel genaue Präferenzen und Toleranzgrenzen für die Übernahme von Risiken. Dieses „Regelwerk“ kommt bei jeder Investitionsentscheidung zum Einsatz und dient grundsätzlich zur Orientierung. Da am Kapitalmarkt unterschiedliche Typen von Kapitalanlegern existieren, soll zunächst der Begriff des „rationalen“ Kapitalanlegers eingeführt werden, um anschließend auf die Darstellung der individuellen Präferenzen eines Kapitalanlegers am Beispiel von Nutzenfunktionen und Indifferenzkurven eingehen zu können. Die Erläuterungen zu den angegebenen Punkten liefern die Grundlage für die Auswahl eines optimalen Portfolios. 3.3.1 Der „rationale“ Investor “There is nothing so disastrous as a rational investment policy in an irrational world.” John Manyard Keynes - britischer Ökonom, Politiker und Mathematiker (*1883, †1946) Quelle: © Getty Images/ Walter Stoneman and Samuel Bourne Als D ANIEL B ERNOULLI sich im Jahr 1738 mit der Bewertung von Glücksspielen beschäftigte, ahnte er bei der erstmaligen Formulierung des später nach ihm benannten Bernoulli-Prinzips noch nicht, welche zentrale Rolle seine Entdeckung bei der Lösung von Entscheidungsproblemen einmal einnehmen würde. 176 Im Jahr 1947 griffen VON N EUMANN und M ORGENSTERN die Überlegungen von B ERNOULLI auf, um die Bildung rationaler Entscheidungen unter Unsicherheit in der Form von Axiomen zu charakterisieren. Eine detaillierte Formulierung der unterschiedlichen Axiome zeigen etwa K RUSCHWITZ (2007) sowie F AMA und M ILLER (1972). Es zeigte sich, dass die einzelnen Kapitalanleger 176 Vgl. Kruschwitz (2007), S. 81 <?page no="233"?> 3.3 Die Auswahl eines optimalen Portfolios 233 sich beim Vergleich unterschiedlicher Alternativen hauptsächlich an diesen Axiomen orientieren, um anschließend nach individuellen Präferenzen eine Reihenfolge zu bilden. Dabei wurde deutlich, dass Kapitalanleger im Allgemeinen eindeutig einen Zuwachs vor einem Rückgang des monetären Vermögens bevorzugen. 177 Die Entscheidungstheorie verwendet Nutzenfunktionen, um Entscheidungen bei der Auswahl von unterschiedlichen Alternativen einordnen und abbilden zu können. In der modernen Portfoliotheorie werden Nutzenfunktionen in ähnlicher Weise bei der Veranschaulichung von unterschiedlichen Risikoeinstellungen eines Kapitalanlegers herangezogen. Dabei bildet die Nutzenfunktion grundsätzlich das Nutzenempfinden ( U ) in Abhängigkeit vom Vermögen ( W ) ab. Im Kontext des Portfolio Managements ziehen der mögliche Verlauf einer solchen Nutzenfunktion und deren Wechselwirkung auf die individuelle Einstellung zum Risiko das Interesse des Kapitalanlegers auf sich. 178 Die Nutzenfunktion bezieht sich in diesem Fall auf den Endwert des Vermögens. Die angesprochene Eigenschaft einer Nutzenfunktion, dass ein Kapitalanleger ein wachsendes einem rückläufigen Vermögen vorzieht. spiegelt sich im Nichtsättigungsprinzip wider, aus dem bei jedem monetären Zugewinn eine anschließende Zunahme des Nutzens resultiert. Diese Eigenschaft charakterisiert den positiven Grenznutzen des Vermögens, der stets als positive Steigung der Nutzenfunktion definiert ist. 179 Aus diesem Grund zieht jeder Zuwachs des Vermögens ebenfalls einen positiven Zusatznutzen nach sich. Ein Kapitalanleger entscheidet sich bei der Auswahl von zwei Kapitalanlagen stets für diejenige Alternative mit dem höchsten Endvermögen. Die zweite wichtige Eigenschaft einer Nutzenfunktion bezieht sich auf die Einstellung eines Kapitalanlegers, inwiefern dieser bereit ist, Risiken einzugehen und zu tragen. Dazu wird häufig auf ein faires Spiel mit zwei möglichen Ergebnissen und Wahrscheinlichkeiten zurückgegriffen. Aus den empirischen Beobachtungen des fairen Spiels lassen sich drei grundsätzliche Annahmen in Bezug auf die Einstellung eines Kapitalanlegers ableiten (vgl. Kapitel 1): Der Investor zeigt sich − risikoscheu, − risikoneutral − oder risikofreudig. Abb. 64 geht auf die aufgezählten Einstellungen eines Kapitalanlegers für die Übernahme von Risiken ein und stellt deren Verlauf in einem Diagramm dar. Abb. 64: Unterschiedliche Risikoeinstellungen. Quelle: Eigene Darstellung 177 Vgl. Amenc/ Le Sourd (2003), S. 78 178 Vgl. Garz/ Günther/ Moriabadi (2006), S. 48 179 Vgl. Elton et al. (2003), S. 214 Risikoneutralität Risikovorliebe Risikoaversion <?page no="234"?> 234 3 Grundlagen der modernen Portfoliotheorie Die Betonung der Risiken im Vergleich zu einer sicheren Anlage beschreibt das risikoaverse bzw. risikoscheue Verhalten eines Kapitalanlegers, da bei einer konkaven Nutzenfunktion ein Vermögensverlust den Nutzen stärker mindert als ein Vermögensgewinn den Nutzen steigert. Der beschriebene Kapitalanleger besitzt also eine pessimistische Einstellung gegenüber dem Risiko und bevorzugt demnach ein sicheres Ergebnis. Im Gegensatz zu einem risikoscheuen Verhalten ist ein Kapitalanleger als risikofreudig zu bezeichnen, wenn dieser durch eine kovexe Risikofunktion charakterisiert ist, da hier ein Vermögensverlust den Nutzen weniger mindert als ein Vermögensgewinn den Nutzen steigert. Die Einstellung dieses Kapitalanlegers ist hierbei also als optimistisch zu bezeichnen. Ein Kapitalanleger kann sich bei seinen Entscheidungen auch nur von der zu erwartenden Rendite beeinflussen lassen und somit den Aspekt des Risikos vollständig ausblenden. Der Investor verhält sich in diesem Fall risikoneutral und orientiert sich lediglich am Erwartungswert der Renditen und lässt dabei die Differenzierung in sichere und unsichere Alternativen außer Acht. Die Einstellung eines Kapitalanlegers zur Übernahme von Risiken ist grundsätzlich vom Verhältnis des Erwartungsnutzen E[U(V)] und dem Nutzen des Erwartungswertes U[E(V)] abhängig. In Abb. 64 verdeutlicht die Nutzenfunktion des risikofreudigen Kapitalanlegers, dass der Nutzen des Erwartungswerts stets kleiner als der Erwartungsnutzen ist. Im Gegensatz dazu verhalten sich beide Parameter bei einem risikoneutralen Kapitalanleger linear zueinander. Abb. 64 lässt deshalb folgende Rückschlüsse zu: − Falls U[E(V)] > E[U(V)] , beschreibt die Nutzenfunktion mit ihrer konkaven Form einen risikoscheuen Kapitalanleger. − Falls U[E(V)] = E[U(V)] , verläuft die Nutzenfunktion linear und beschreibt einen risikoneutralen Kapitalanleger. − Falls U[E(V)] < E[U(V)] , beschreibt die Nutzenfunktion mit ihrer konvexen Form einen risikofreudigen Kapitalanleger. Die moderne Portfoliotheorie geht grundsätzlich von einem risikoscheuen Kapitalanleger aus, der durch eine konkave (Risiko-)Nutzenfunktion mit positiver Steigung beschrieben wird. Die Verwendung einer solchen Nutzenfunktion erfüllt neben der Prämisse der Nichtsättigung auch die Annahme eines risikoscheuen Verhaltens seitens der Kapitalanleger. 180 Ein Kapitalanleger handelt in diesem Sinne also „rational“, wenn dieser sich bei der Auswahl unterschiedlicher Alternativen auf effiziente Portfolios beschränkt und diejenige Alternative auswählt, die seinen individuellen Nutzen maximiert. Aus Abb. 62 geht unmittelbar hervor, dass unter der Effizienzkurve weitere Portfolios existieren, die hinsichtlich ihres Rendite- und Risikoprofil nicht effizient sind. Die Auswahl eines solchen Portfolios widerspricht der Annahme eines risikoscheuen Verhal- -tens, da diese Portfolios im Vergleich zur ihrer effizienten Alternative bei gleicher 180 Vgl. Amenc/ Le Sourd (2003), S. 78 f. <?page no="235"?> 3.3 Die Auswahl eines optimalen Portfolios 235 Rendite ein höheres Risiko aufweisen. Die Auswahl eines Portfolios entlang der Effizienzkurve ist vom Grad der Risikoaversion eines Kapitalanlegers abhängig. 181 Mit anderen Worten ergibt sich der erzielte Nutzen aus der Zusammensetzung der einzelnen Rendite-Risiko-Profile effizienter Portfolios. Die Nutzenfunktion gibt in diesem Sinn eindeutig die Präferenz eines Kapitalanlegers in Bezug auf die wahrgenommenen Risiken und die erwartete Rendite an. Um jedoch bei der Portfoliooptimierung eine konkrete Lösung bestimmen zu können, muss zunächst die Risiko-Nutzen-Funktion des Kapitalanlegers in das Rendite-Risiko-Rahmenwerk der modernen Portfoliotheorie überführt werden. 182 3.3.2 Nutzenfunktionen und Indifferenzkurven Quelle: Public Domain “The determination of the value of an item must not be based on its price, but rather on the utility it yields. The price of the item is dependent only on the thing itself and is equal for everyone; the utility, however, is dependent on the particular circumstances of the person making the estimate. Thus there is no doubt that a gain of one thousand ducats is more significant to a pauper than to a rich man though both gain the same amount.“ Daniel Bernoulli - Schweizer Mathematiker und Physiker (*1700, †1782) Den im vorherigen Abschnitt vorgestellten Nutzenfunktionen begegnet man im Portfolio Management in den unterschiedlichsten Formen. Im nachfolgenden Abschnitt wird meist von einer exponentiellen oder quadratischen Nutzenfunktion ausgegangen. Die Annahme einer normalverteilten Rendite ermöglicht die Transferierung der Nutzenfunktion in sogenannte Iso-Nutzenkurven, d.h. Kurven gleichen Nutzens. Die überführten Kurven werden auch oftmals als Indifferenzkurven bezeichnet und lassen sich direkt aus der (Risiko-)Nutzenfunktion ableiten. Neben der quadratischen Form existieren noch weitere Nutzenfunktionen, so zum Beispiel − die lineare, − die logarithmische − und die exponentielle Nutzenfunktion. Auf letzterer Nutzenfunktion mit 𝐸𝐸(𝑉𝑉) = −𝑒𝑒 −𝜆𝜆⋅𝑉𝑉 basiert beispielsweise folgende Indifferenzkurve 183 : 𝜇𝜇 𝑒𝑒 = 𝐸𝐸 + 12 𝜆𝜆 𝜎𝜎 𝑒𝑒2 (3.18) mit 𝜆𝜆: Parameter zum Ausdruck der Risikoaversion eines Investors 𝐸𝐸 (Erwartungs-)Nutzenniveau 181 Vgl. Garz/ Günther/ Moriabadi (2006), S. 50 182 Vgl. Fabozzi et al. (2007), S. 42 183 Vgl. Garz/ Günther/ Moriabadi (2006), S. 52 <?page no="236"?> 236 3 Grundlagen der modernen Portfoliotheorie Eine Nutzenfunktion kann auch als eine Menge von Indifferenzkurven wie in Abb. 65 grafisch dargestellt werden. Die Abbildung zeigt verschiedene Indifferenzkurven mit der Bezeichnung U 1 bis U 3 . Jede Kurve stellt die Menge aller Kombinationen von Rendite- und Risiko-Profilen mit konstantem (Erwartungs-)Nutzenniveau dar und spiegelt deshalb genau ein (Erwartungs-)Nutzenniveau U i wider. Abb. 65: Unterschiedliche Indifferenzkurven. Quelle: Eigene Darstellung Obwohl alle Punkte entlang der Indifferenzkurve unterschiedliche Kombinationen von Risiko und erwarteter Rendite darstellen, stellt jeder Punkt den gleichen Nutzen für den jeweiligen Investor dar. Bei der Betrachtung der ersten Indifferenzkurve wird deutlich, dass die beiden Punkte u und u‘ unterschiedliche Rendite-Risiko-Profile besitzen, da der Punkt u eindeutig eine höhere erwartete Rendite und Risiko als Punkt u‘ aufweist. Da sich beide Punkte auf der gleichen Indifferenzkurve befinden, ist der Investor jedoch bei der Auswahl eines Portfolios aus beiden Punkten indifferent, d.h. ein Kapitalanleger bevorzugt keinen Punkt entlang der Indifferenzkurve vor einem anderen Punkt. Der Nutzen eines Kapitalanlegers nimmt nur dann zu, wenn sich das Rendite- Risiko-Profil von einer Indifferenzkurve weg nach oben entfernt. Aus diesem Grund weist die Kurve U 3 in Abb. 65 auch im Vergleich zu den anderen Indifferenzkurven den höchsten Nutzen auf. 184 184 Vgl. Fabozzi et al. (2007), S. 43 <?page no="237"?> 3.3 Die Auswahl eines optimalen Portfolios 237 Abb. 66: Steigung der Indifferenzkurve. Quelle: Eigene Darstellung Die Indifferenzkurve aus dem vorherigen Abschnitt erfordert bei einem „sehr kleinen“ Anstieg des Portfolio-Risikos 𝜎𝜎 𝑒𝑒 eine an den Risikoaversionsparameter angepasste Erhöhung der erwarteten Portfoliorendite. Diese Anpassung erfolgt um den Faktor 𝜆𝜆 ∙ 𝜎𝜎 𝑒𝑒 , um das Nutzenniveau 𝐸𝐸 𝑖𝑖 zu erhalten. Dabei handelt es sich um die Steigung der Indifferenzkurve an der Stelle 𝜎𝜎 𝑒𝑒 . In Abb. 66 soll dementsprechend zum Ausdruck kommen, dass die Steigung der Indifferenzkurve nicht konstant ist. 185 Um den Einfluss des Parameters zur Quantifizierung der Risikoaversion sichtbar zu machen, wurde nachfolgend auf Grundlage der Formel aus dem vorherigen Abschnitt ein einfaches Zahlenbeispiel konstruiert. 𝜇𝜇 𝑒𝑒 = 𝐸𝐸 𝑖𝑖 + 12 𝜆𝜆 𝜎𝜎 𝑒𝑒2 mit 𝐸𝐸 𝑖𝑖 = 1 𝝀𝝀 = 𝟎𝟎, 𝟓𝟓 𝝀𝝀 = 𝟏𝟏 𝝀𝝀 = 𝟏𝟏, 𝟓𝟓 𝝈𝝈 𝒑𝒑 𝜇𝜇 𝑒𝑒 𝜇𝜇 𝑒𝑒 𝜇𝜇 𝑒𝑒 1 1,25 1,50 1,75 2 2,00 3,00 4,00 3 3,25 5,50 7,75 4 5,00 9,00 13,00 Tab. 11: Ermittlung der Indifferenzkurve 185 Vgl. Garz/ Günther/ Moriabadi (2006), S. 54 (3.19) <?page no="238"?> 238 3 Grundlagen der modernen Portfoliotheorie Die unterschiedlichen Punkte der Indifferenzkurve ergeben sich entsprechend Tabelle 11. Je größer der Risikoaversionsparameter 𝜆𝜆 , desto größer die Anpassung der erwarteten Rendite, um bei einer Erhöhung der Standardabweichung das Nutzenniveau zu erhalten. Abb. 67: Indifferenzkurven bei unterschiedlicher Risikoaversion Quelle: Eigene Darstellung 3.3.3 Auswahl eines optimalen Portfolios Das Portfolio-Selection-Modell besitzt bei der Auswahl von Portfolios grundsätzlich zwei konkurrierende Zielausprägungen. Ein risikoaverser Kapitalanleger kann einerseits das Ziel verfolgen, die Rendite seines Portfolios zu maximieren, zum anderen möchte dieser auch das Risiko seines Portfolios minimieren. Soll die Auswahl eines Portfolios nach den individuellen Vorstellungen eines Kapitalanlegers erfolgen, steht die Maximierung der erwarteten Rendite des Portfolios in Abhängigkeit von der Risikotoleranz des Kapitalanlegers im Vordergrund. Im Rahmen des Portfolio Managements kommt es dabei unweigerlich zu einer Abwägung der beiden oben genannten divergenten Zielausprägungen. Da ein optimales Portfolio grundsätzlich von den spezifischen Präferenzen des Kapitalanlegers abhängig ist, wird hierzu ein Portfolio auf der Effizienzkurve gesucht, das diesen Anforderungen in höchstem Maß gerecht wird. Das optimale Portfolio eines Kapitalanlegers ergibt sich in Relation zu dessen Nutzenfunktion als ein effizientes Portfolio mit maximalem Nutzen. <?page no="239"?> 3.4 Die Kapitalmarktlinie und die Auswahl eines Portfolios 239 Da sich die Auswahl eines optimalen Portfolios vorrangig am Nutzen eines Kapitalanlegers orientiert, resultiert das optimale Portfolio aus dem Tangentialpunkt zwischen Effizienzkurve und der höchstmöglichen Indifferenzkurve. Durch die kontinuierliche Verschiebung der Indifferenzkurve zur Effizienzkurve hin wird die Maximierung des Nutzens umgesetzt. Abb. 68: Bestimmung eines optimalen Portfolios. Quelle: Eigene Darstellung Abb. 68 erweitert Abb. 65 um eine spezifische Effizienzkurve und erlaubt die Darstellung aller möglichen Portfoliokombinationen auf Grundlage der Indifferenzkurven in einem Diagramm. Abb. 68 zeigt die Bestimmung eines optimalen Portfolios durch die konstante Verschiebung der individuellen Nutzenkurve eines Kapitalanlegers. 3.4 Die Kapitalmarktlinie und die Auswahl eines Portfolios In Abschnitt 3.1.1 wurden die relevanten Annahmen der Portfolio-Selection-Theory genannt zur Auswahl von effizienten Portfolios aus risikobehafteten Anlagen (d.h. mit Standardabweichung größer Null). Aus dieser Theorie geht die Effizienzkurve als Menge aller effizienten risikobehafteten Anlagen hervor. Durch die Ergänzung der Prämissen der modernen Portfoliotheorie um die Existenz eines risikolosen Zinssatzes 𝒓𝒓 𝒇𝒇 (engl. risk-free rate) erschließt sich eine grundlegende Aussage des Capital Asset Pricing Model (CAPM), siehe Abschnitt 3.6. In diesem Zusammenhang wird auch häufig von einer risikolosen Kapitalanlage gesprochen, d.h. mit Volatlität 0. Die Existenz eines risikolosen Zinssatzes impliziert zum einen, dass ein Kapitalanleger in beliebiger Höhe in eine risikolose Kapitalanlage investieren kann. Zum <?page no="240"?> 240 3 Grundlagen der modernen Portfoliotheorie anderen wird angenommen, dass ein Kapitalanleger einen Kredit in beliebiger Höhe zum risikofreien Zins aufnehmen kann, um anschließend das geliehene Kapital in beliebige Wertpapiere zu investieren. Dabei liegt dem CAPM die Annahme zugrunde, dass grundsätzlich homogene Erwartungen unter allen Kapitalanlegern in Bezug auf die erwarteten Renditen und die Risiken von Wertpapieren bestehen. 186 Abb. 69: Portfolio-Auswahl unter Verwendung der Kapitalmarktlinie Quelle: Eigene Darstellung in Matlab R2011b Da die risikolose Kapitalanlage eine sichere deterministische Rendite hat, nimmt das diesbezügliche Risiko, die Standardabweichung der Rendite, einen Wert von Null an. Aus diesem Grund findet man die risikolose Kapitalanlage gemäß Abb. 69 auch als Punkt auf der Ordinate des Rendite-Risiko-Diagramms. Durch das Hinzufügen einer risikolosen Kapitalanlage zu den bisherigen effizienten Portfolios kommt es zu einer Kombination bzw. Mischung zwischen der risikolosen Kapitalanlage zum Zinssatz 𝑚𝑚 𝑓𝑓 und den effizienten risikobehafteten Portfolios. Die Kombinationen eines effizienten Portfolios auf der Effizienzkurve (mit erwarteter Rendite 𝜇𝜇 und Standardabweichung 𝜎𝜎 ) mit der risikolosen Kapitalanlage liegen auf einer Geraden im Rendite-Risiko Diagramm: Wird das effiziente Portfolio mit 𝑤𝑤 und die risikolose Anlage entsprechend mit 1 − 𝑤𝑤 gewichtet, ergibt sich für die erwartete Rendite 𝐸𝐸[𝑅𝑅 𝑃𝑃 ] = 𝑤𝑤 ⋅ 𝜇𝜇 + (1 − 𝑤𝑤) ⋅ 𝑚𝑚 𝑓𝑓 und für die Standardabweichung 𝜎𝜎 𝑒𝑒 = 𝑤𝑤 ⋅ 𝜎𝜎 . Durch Einsetzen von 𝑤𝑤 = 𝜎𝜎 𝑒𝑒 / 𝜎𝜎 ergibt sich der lineare Zusammenhang 186 Vgl. Bruns/ Meyer-Bullendiek (1996), S. 50 <?page no="241"?> 3.4 Die Kapitalmarktlinie und die Auswahl eines Portfolios 241 𝐸𝐸�𝑅𝑅 𝑒𝑒 � = 𝜎𝜎 𝑒𝑒 ⋅ �𝜇𝜇−𝑟𝑟 𝑓𝑓 � 𝜎𝜎 + 𝑚𝑚 𝑓𝑓 . Für jedes Portfolio auf der Effizienzkurve ergibt sich eine solche Gerade aus Kombinationen mit der risikolosen Anlage. Alle diese Geraden haben den Ordinatenabschnitt 𝑚𝑚 𝑓𝑓 , siehe Abb. 70. Lediglich die Steigung der Geraden hängt von der Wahl des Portfolios auf der Effizienzkurve ab. Die größte Steigung ergibt sich für die Gerade, die die Effizienzkurve tangiert. Diese Tangente wird Kapitalmarktlinie genannt und das risikobehaftete Portfolio im Tangentialpunkt wird als Marktportfolio M bezeichnet. Abb. 70: Annäherung der einzelnen Geraden an das Marktportfolio Quelle: Eigene Darstellung in Matlab R2011b Die Kapitalmarktlinie zeigt den generellen, linearen Zusammenhang zwischen zunehmender Renditeerwartung und steigendem Portfoliorisiko. Aus Abb. 70 wird deutlich, dass alle Kombinationen des Markportfolios mit der risikolosen Anlage, also alle Portfolios auf der Kaptialmarktlinie, allen anderen Portfolios überlegen sind. Dies folgt auch daraus, dass die Kapitalmarktlinie, die Gerade mit der höchsten Steigung ist: Das Marktportfolio ist das Portfolio auf der Effizienzkurve mit dem höchsten Sharpe Ratio 𝛾𝛾 = max 𝑆𝑆 𝑒𝑒 = max �𝜇𝜇 − 𝑚𝑚 𝑓𝑓 � 𝜎𝜎 (3.20) (3.21) <?page no="242"?> 242 3 Grundlagen der modernen Portfoliotheorie In diesem Punkt wird aufgrund der Annahme von homogenen Erwartungen der Marktteilnehmer grundsätzlich davon ausgegangen, dass es sich hierbei um die optimale Kombination risikobehafteter Wertpapiere handelt. Aus diesem Grund wird der Tangentialpunkt auch häufig als Marktportfolio bezeichnet. 187 Die in Abb. 70 dargestellte Kapitalmarktlinie ergibt sich also, wie oben hergeleitet, aus dem Ordinatenabschnitt des risikolosen Zinssatzes 𝑚𝑚 𝑓𝑓 und der Steigung der Kapitalmarktlinie: 𝐸𝐸�𝑅𝑅 𝑒𝑒 � = 𝑚𝑚 𝑓𝑓 + 𝐸𝐸(𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) − 𝑚𝑚 𝑓𝑓 𝜎𝜎 𝑚𝑚 ������� 𝛾𝛾 ∙ 𝜎𝜎 𝑒𝑒 (3.22) mit 𝑚𝑚 𝑓𝑓 : risikolose Anlage 𝐸𝐸�𝑅𝑅 𝑒𝑒 �: Erwartungswert der Rendite des Portfolios p 𝐸𝐸(𝑅𝑅 𝑚𝑚 ): Erwartungswert der Rendite des Marktportfolios m 𝜎𝜎 𝑒𝑒 : Standardabweichung des Portfolios p 𝜎𝜎 𝑚𝑚 : Standardabweichung des Marktportfolios m Die Steigung der Kapitalmarktlinie wird nach Formel (3.22) durch den Term 𝛾𝛾 angegeben, der auch als Marktpreis des Risikos oder Sharpe Ratio bezeichnet wird. Vor diesem Hintergrund wird die Überrendite des Marktes in das Verhältnis zum Marktrisiko gesetzt. Mit anderen Worten resultiert aus obiger Formel die Erwartung eines Kapitalanlegers, für die Übernahme von Risiken durch eine Risikoprämie in Höhe von 𝛾𝛾 entschädigt zu werden. 188 Die Rendite eines Portfolios setzt sich entsprechend der Kapitalmarktlinie aus drei Komponenten zusammen:  Der Zeitprämie 𝑚𝑚 𝑓𝑓 für die zeitweise Überlassung von Kapital (risikofrei)  Der Risikoprämie, gemessen als Überrendite (𝑅𝑅 𝑀𝑀 − 𝑚𝑚 𝑓𝑓 ) pro Risikoeinheit 𝜎𝜎 𝑚𝑚 eines effizienten Risikoportfolios multipliziert  mit dem übernommenen Portfoliorisiko 𝜎𝜎 𝑒𝑒 Unter der oben genannten Voraussetzung von homogenen Erwartungen aller Marktteilnehmer an Rendite und Risiko und der Wahl der Standardabweichung als Risikomaß ergibt sich also ein optimales risikobehaftetes Portfolio: Die Annahme homogener Erwartungen aller Marktteilnehmer führt dazu, dass alle Kapitalanleger ein identisches risikobehaftetes Portfolio besitzen, das Tangentialbzw. Marktportfolio. Lediglich die Allokation zwischen der risikolosen Kapitalanlage und dem Marktportfolio ist individuell und hängt von der Risikoaversion des Investors ab. Dieses Ergebnis ist in der einschlägigen Fachliteratur auch als Tobin-Separation bekannt. 189 Das nachfolgende Fallbeispiel verdeutlicht den zuvor beschriebenen Zusammenhang nochmals. 187 Vgl. Garz/ Günther/ Moriabadi (2006), S. 69 188 Vgl. ebd., S. 60 189 Vgl. Steiner/ Bruns (2002), S. 24 <?page no="243"?> 3.4 Die Kapitalmarktlinie und die Auswahl eines Portfolios 243 Beispiel 3 in Anlehnung an Garz/ Günther/ Moriabadi (2006), S. 61 ff. Es sollen die Rendite- und Risikoparameter der optimalen Portfolios für zwei Kapitalanleger A und B unter der Annahme einer risikolosen Kapitalanlage bestimmt werden. Die einzelnen Präferenzen der beiden Kapitalanleger ergeben sich aus zwei Nutzenkurven der Form: 𝜇𝜇 𝑒𝑒 = 𝐸𝐸 + 12 𝜆𝜆 𝜎𝜎 𝑒𝑒2 Die Risikoeinstellungen der einzelnen Kapitalanleger unterscheiden sich in diesem Beispiel jedoch erheblich voneinander. Auf Grundlage der vorangestellten Annahmen ergab die Quantifizierung der zugrundeliegenden individuellen Risikoeinstellungen der Kapitalanleger für den Risikoparameter 𝜆𝜆 folgende Werte: 𝜆𝜆 𝐵𝐵 = 0,7 𝜆𝜆 𝐵𝐵 = 0,2 wonach Kapitalanleger A eindeutig risikoaverser handelt als Investor B . Zum Zeitpunkt der Allokation der Portfolios finden sich am Kapitalmarkt folgende Rahmenbedingungen vor: 𝜇𝜇 𝑀𝑀 = 7 % 𝑚𝑚 𝑓𝑓 = 5 % 𝜎𝜎 𝑀𝑀 = 23 % Aus dem vorherigen Abschnitt geht hervor, dass das optimale Portfolio eines einzelnen Kapitalanlegers als Tangentialpunkt der Kapitalmarktlinie mit dessen Indifferenzkurve bestimmt werden kann. Daher müssen die Steigungen der Kapitalmarktlinie und der Indifferenzkurve übereinstimmen. Aus diesem Grund müssen zunächst beide Steigungen ermittelt werden. [1] Die Steigung der Kapitalmarktlinie stellt den Marktpreis des Risikos dar und ergibt sich als Term γ in Formel (3.22): 𝐸𝐸(𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) − 𝑚𝑚 𝑓𝑓 𝜎𝜎 𝑚𝑚 [2] Die Steigung der Indifferenzkurve ergibt sich aus der ersten Ableitung ihrer Funktion. Sie lautet wie folgt: 𝜕𝜕𝜇𝜇 𝑒𝑒 𝜕𝜕𝜎𝜎 𝑒𝑒 = 𝜆𝜆 ∙ 𝜎𝜎 𝑒𝑒 Unter dem zuvor beschriebenen Kriterium für das gesuchte Optimum folgt die Gleichsetzung der beiden Gleichungen, sodass: 𝐸𝐸(𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) − 𝑚𝑚 𝑓𝑓 𝜎𝜎 𝑚𝑚 = 𝜆𝜆 ∙ 𝜎𝜎 𝑒𝑒 Nach dem Einsetzen der Daten aus den angenommenen Rahmenbedingungen ergibt sich für Kapitalanleger A mit 𝜆𝜆 = 0,7 0,07 − 0,05 0,23 = 0,7 ∙ 𝜎𝜎 𝑒𝑒 𝜎𝜎 𝑒𝑒 = 0,1242 <?page no="244"?> 244 3 Grundlagen der modernen Portfoliotheorie Das optimale Portfolio von Kapitalanleger A besitzt also eine Portfoliovolatilität von 12,42 %. Nach Einsetzen in die Gleichung der Kapitalmarktlinie ergibt sich die Rendite des optimalen Portfolios von 6,08 % wie folgt: 𝜇𝜇 𝑒𝑒 = 0,05 + 0,07 − 0,05 0,23 ∙ 0,1242 = 0,0608 Für Kapitalanleger B ergibt sich entsprechend eine optimale Portfoliovolatilität von 43,47 % sowie eine optimale Portfolio-Rendite von 8,78 %. Um die Zusammensetzung des optimalen Portfolios für die beiden Kapitalanleger A und B zu ermitteln, greift man auf die Tatsache zurück, dass die erwartete Rendite des jeweiligen Portfolios als gewichtete Summe der einzelnen Erwartungswerte berechnen lässt. Es resultiert folgende Gleichung: 𝜇𝜇 𝑒𝑒 = 𝑤𝑤 ∙ 𝑚𝑚 𝑓𝑓 + (1 − 𝑤𝑤) ∙ 𝜇𝜇 𝑚𝑚 ⇔ 𝜇𝜇 𝑒𝑒 − 𝜇𝜇 𝑚𝑚 𝑚𝑚 𝑓𝑓 − 𝜇𝜇 𝑚𝑚 = 𝑤𝑤 1 𝑏𝑏𝑧𝑧𝑤𝑤. 𝑤𝑤 2 = 1 − 𝑤𝑤 1 Nach Einsetzen der bekannten Parameter folgt für Kapitalanleger A ein optimaler Portfolio-Anteil der risikolosen Anlage 𝑤𝑤 1 = 46 % und einen Portfolio-Anteil von 𝑤𝑤 2 = 54 % für das Marktportfolio. Kapitalanleger B präferiert dagegen eine Allokation der risikolosen Anlage mit einem Portfolio-Anteil von 𝑤𝑤 1 = −89 % sowie folglich einen Portfolio-Anteil von 𝑤𝑤 1 = 189 % für das Marktportfolio. Abb. 71 zeigt eine approximative Darstellung der zwei Portfolios im Vergleich zum Marktportfolio. Abb. 71: Näherungsweise Darstellung der Investoren-Portfolios im Vergleich zum Markt Quelle: Eigene Darstellung in Matlab R2011b <?page no="245"?> 3.5 Die Wertpapierlinie und das Kapitalmarktgleichgewicht 245 Die vorangegangenen Berechnungen zu den einzelnen Portfolio-Parametern lassen folgende Rückschlüsse auf die Eigenschaften der zwei Kapitalanleger A und B zu. Da sich das Portfolio von Kapitalanleger A am unteren Teil der Kapitalmarktlinie befindet, liegt dessen Portfolio unterhalb des Marktportfolios. Durch den positiven Anteil der risikolosen Kapitalanlage am Portfolio, legt Kapitalanleger A sein Vermögen zum Teil zum risikolosen Zinssatz an. Aus diesem Grund charakterisiert sich Kapitalanleger A eindeutig als Gläubiger. Da sich das optimale Portfolio seines Konkurrenten B hingegen im oberen Teil der Kapitalmarktlinie, rechts vom Marktportfolio befindet, gibt sich Kapitalanleger B durch seine getätigten Leerverkaufspositionen in der risikolosen Anlage als Schuldner. Da das optimale Portfolio für Kapitalanleger B einen negativen Anteil von -89 % in der risikolosen Anlage besitzt, nimmt dieser durch das Eingehen von Short-Positionen in der risikolosen Anlage ein zusätzliches Kapital in Höhe von 89 % seines ursprünglichen Vermögens auf, um das erhaltene Kapital anschließend in das Marktportfolio zu investieren. 190 Ein solches Portfolio ist auch als „leveraged portfolio“ bekannt. 3.5 Die Wertpapierlinie und das Kapitalmarktgleichgewicht Da sich das mathematische Modell der zuvor beschriebenen Kapitalmarktlinie lediglich auf die Bestimmung der erwarteten Rendite eines Portfolios bezieht, wird nun auf der Grundlage der Kapitalmarktlinie und des Marktportfolios die Quantifizierung von Preisen einzelner Wertpapiere innerhalb des Marktportfolios im Marktgleichgewicht untersucht. Die Erkenntnisse aus diesem Abschnitt liefern die Grundlage für die spätere Darstellung der mathematischen Standardgleichung des Capital Asset Pricing Model im anschließenden Abschnitt 3.6. Das Marktportfolio M stellt den zentralen Ausgangspunkt für die Ermittlung des Gleichgewichtspreises der einzelnen Wertpapiere dar. Da jedes einzelne Wertpapier im Marktportfolio gemäß dem Verhältnis der jeweiligen Marktkapitalisierung und der Kapitalisierung des Gesamtmarkts enthalten ist, kann der Wert eines Wertpapiers ebenfalls in Relation zum Marktportfolio M ausgedrückt werden. 191 Zur Untersuchung der erwarteten Rendite eines Wertpapiers i wird daher ein Portfolio gebildet, das zu einem prozentualen Anteil von 𝑒𝑒 𝑖𝑖 das Wertpapier i sowie zu einem Anteil von (1 − 𝑒𝑒 𝑖𝑖 ) das Marktportfolio M enthält. Die Bildung eines solchen Portfolios entspricht der grundsätzlichen Vorgehensweise des 2-Anlagen-Falls aus Abschnitt 3.1.2. Per Definition entspricht somit dieses Portfolio nur bei einem Anteil von 𝑒𝑒 𝑖𝑖 = 0 dem Marktportfolio. Die erwartete Rendite dieses Portfolios ergibt sich äquivalent zu Abschnitt 3.1.2 als lineare Kombination der erwarteten Renditen: 𝐸𝐸�𝑅𝑅 𝑒𝑒 � = 𝑒𝑒 𝑖𝑖 ∙ 𝐸𝐸(𝑅𝑅 𝑖𝑖 ) + (1 − 𝑒𝑒 𝑖𝑖 ) ∙ 𝐸𝐸(𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) (3.23) mit 𝑅𝑅 𝑒𝑒 : Erwartungswert der Rendite des Portfolios 𝑒𝑒 𝑖𝑖 : Portfolio-Anteil des Wertpapiers i 𝐸𝐸(𝑅𝑅 𝑖𝑖 ): Erwartungswert der Rendite des Wertpapiers i 190 Vgl. Garz/ Günther/ Moriabadi (2006), S. 63 191 Vgl. Steiner/ Bruns (2002), S. 25 <?page no="246"?> 246 3 Grundlagen der modernen Portfoliotheorie 𝐸𝐸(𝑅𝑅 𝑀𝑀 ): Erwartungswert der Rendite des Marktportfolios M Auf Grundlage der Ausführungen aus Abschnitt 3.1 ergibt sich das Portfoliorisiko entsprechend durch: 𝜎𝜎 𝑒𝑒 = �𝑒𝑒 𝑖𝑖2 𝜎𝜎 𝑖𝑖2 + (1 − 𝑒𝑒 𝑖𝑖 ) 2 𝜎𝜎 𝑀𝑀2 + 2𝑒𝑒 𝑖𝑖 (1 − 𝑒𝑒 𝑖𝑖 )𝜌𝜌 𝑖𝑖𝑀𝑀 𝜎𝜎 𝑖𝑖 𝜎𝜎 𝑀𝑀 (3.24) mit 𝜎𝜎 𝑒𝑒2 : Varianz der Rendite des Portfolios 𝑒𝑒 𝑖𝑖 : Portfolio-Anteil des Wertpapiers i 𝜎𝜎 𝑀𝑀2 : Varianz der Rendite des Marktportfolios M 𝜎𝜎 𝑖𝑖2 : Varianz der Rendite des Wertpapiers i 𝜌𝜌 𝑖𝑖𝑀𝑀 : Korrelation zwischen Wertpapier i und Marktportfolio M Die nachfolgende Ableitung der Wertpapierlinie orientiert sich hauptsächlich an den ursprünglichen Ausführungen von Sharpe in Prigent (2007) und Steiner/ Bruns (2002). Um eine Formel für die erwartete Rendite 𝐸𝐸(𝑅𝑅 𝑖𝑖 ) abzuleiten, betrachten wir den Verlauf der Kurve �𝐸𝐸 �𝑅𝑅 𝑒𝑒 (𝑒𝑒 𝑖𝑖 )� , 𝜎𝜎 𝑒𝑒 (𝑒𝑒 𝑖𝑖 )� im Rendite-Risiko-Diagramm. Wie oben beschrieben, entspricht das betrachtete Portfolio für 𝑒𝑒 𝑖𝑖 = 0 dem Marktportfolio. Für 𝑒𝑒 𝑖𝑖 = 0 geht die Kurve also durch den Punkt (𝐸𝐸(𝑅𝑅 𝑀𝑀 ), 𝜎𝜎 𝑀𝑀 ) auf der Effizienzkurve. Da die Effizienzkurve den oberen Rand der Menge aller möglichen Portfolien im Rendite-Risiko-Diagramm markiert, liegt die Kurve �𝐸𝐸 �𝑅𝑅 𝑒𝑒 (𝑒𝑒 𝑖𝑖 )� , 𝜎𝜎 𝑒𝑒 (𝑒𝑒 𝑖𝑖 )� unterhalb der Effizienzkurve. Daher stellt der Punkt (𝐸𝐸(𝑅𝑅 𝑀𝑀 ), 𝜎𝜎 𝑀𝑀 ) einen Tangentialpuntk dar und die Steigungen der beiden Kurven stimmen in diesem Punkt überein. Wie im vorigen Kapitel hergeleitet. beträgt die Steigung der Effizienzkurve in diesem Punkt 𝐸𝐸(𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) − 𝑚𝑚 𝑓𝑓 𝜎𝜎 𝑀𝑀 ⁄ . Für die Steigung 𝑒𝑒𝑑𝑑(𝑅𝑅 𝑝𝑝 ) 𝑒𝑒𝜎𝜎 𝑝𝑝 gilt also an der Stelle 𝜎𝜎 = 𝜎𝜎 𝑀𝑀 : 𝑒𝑒𝐸𝐸(𝑅𝑅 𝑒𝑒 ) 𝑒𝑒𝜎𝜎 𝑒𝑒 | 𝜎𝜎=𝜎𝜎 𝑀𝑀 = �𝐸𝐸(𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) − 𝑚𝑚 𝑓𝑓 � 𝜎𝜎 𝑀𝑀 Zur Berechnung der Steigung auf der linken Seite dieser Gleichung bestimmen wir die partiellen Ableitungen 𝜕𝜕𝑑𝑑�𝑅𝑅 𝑝𝑝 � 𝜕𝜕𝑒𝑒 𝑖𝑖 und 𝜕𝜕𝜎𝜎 𝑝𝑝 𝜕𝜕𝑒𝑒 𝑖𝑖 am Punkt 𝑒𝑒 𝑖𝑖 = 0 , der wie oben beschrieben mit dem Punkt 𝜎𝜎 = 𝜎𝜎 𝑀𝑀 übereinstimmt. Auf Formel (3.23) folgt 𝜕𝜕𝑑𝑑(𝑅𝑅 𝑝𝑝 ) 𝜕𝜕𝑒𝑒 𝑖𝑖 = 𝐸𝐸(𝑅𝑅 𝑖𝑖 ) − 𝐸𝐸(𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) Und aus Formel (3.24) ergibt sich 𝜕𝜕𝜎𝜎 𝑒𝑒 𝜕𝜕𝑒𝑒 𝑖𝑖 = 𝑒𝑒 𝑖𝑖 𝜎𝜎 𝑖𝑖2 − 𝜎𝜎 𝑀𝑀2 + 𝑒𝑒 𝑖𝑖 𝜎𝜎 𝑀𝑀2 + 𝜌𝜌 𝑖𝑖𝑀𝑀 𝜎𝜎 𝑖𝑖 𝜎𝜎 𝑀𝑀 − 2𝑒𝑒 𝑖𝑖 𝜌𝜌 𝑖𝑖𝑀𝑀 𝜎𝜎 𝑖𝑖 𝜎𝜎 𝑀𝑀 �𝑒𝑒 𝑖𝑖2 𝜎𝜎 𝑖𝑖2 + (1 − 𝑒𝑒 𝑖𝑖 ) 2 𝜎𝜎 𝑚𝑚2 + 2𝑒𝑒 𝑖𝑖 (1 − 𝑒𝑒 𝑖𝑖 )ρ i,m 𝜎𝜎 𝑖𝑖 𝜎𝜎 𝑚𝑚 Am Punkt 𝑒𝑒 𝑖𝑖 = 0 gilt also 𝜕𝜕𝜎𝜎 𝑒𝑒 𝜕𝜕𝑒𝑒 𝑖𝑖 | 𝑒𝑒 𝑖𝑖 =0 = 𝜌𝜌 𝑖𝑖𝑀𝑀 𝜎𝜎 𝑖𝑖 − 𝜎𝜎 𝑀𝑀 Da die Steigungen im Rendite-Risiko-Diagramm am Punkt 𝑒𝑒 𝑖𝑖 = 0 gleich sind, folgt also: (3.25) (3.26) (3.27) <?page no="247"?> 3.5 Die Wertpapierlinie und das Kapitalmarktgleichgewicht 247 𝑒𝑒𝐸𝐸 𝑒𝑒𝜎𝜎 𝑒𝑒 | 𝜎𝜎=𝜎𝜎 𝑀𝑀 = 𝜕𝜕𝐸𝐸(𝑅𝑅 𝑒𝑒 ) 𝜕𝜕𝑒𝑒 𝑖𝑖 𝜕𝜕𝜎𝜎 𝑒𝑒 𝜕𝜕𝑒𝑒 𝑖𝑖 | 𝑒𝑒 𝑖𝑖 =0 = 𝐸𝐸(𝑅𝑅 𝑖𝑖 ) − 𝐸𝐸(𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) 𝜌𝜌 𝑖𝑖𝑀𝑀 𝜎𝜎 𝑖𝑖 − 𝜎𝜎 𝑀𝑀 = 𝐸𝐸(𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) − 𝑚𝑚 𝑓𝑓 𝜎𝜎 𝑀𝑀 (3.28) Nach Auflösen dieser Gleichung nach 𝐸𝐸(𝑅𝑅 𝑖𝑖 ) erhält man die Wertpapierlinie (engl. security market line), die die erwartete Rendite des Wertpapiers i mit dem Marktportfolio in Zusammenahng bringt: 𝐸𝐸(𝑅𝑅 𝑖𝑖 ) = 𝑚𝑚 𝑓𝑓 + �𝐸𝐸(𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) − 𝑚𝑚 𝑓𝑓 � 𝜎𝜎 𝑀𝑀 ∙ 𝜌𝜌 𝑖𝑖𝑀𝑀 ⋅ 𝜎𝜎 𝑖𝑖 (3.29) mit 𝐸𝐸(𝑅𝑅 𝑖𝑖 ) : Erwartungswert der Rendite des Wertpapiers i 𝐸𝐸(𝑅𝑅 𝑀𝑀 ): Erwartungswert der Rendite des Marktportfolios M 𝑚𝑚 𝑓𝑓 : Rendite der risikolosen Anlage 𝜎𝜎 𝑀𝑀2 : Varianz der Rendite des Marktportfolios M 𝜎𝜎 𝑖𝑖2 : Varianz der Rendite des Wertpapiers i 𝜌𝜌 𝑖𝑖𝑀𝑀 : Korrelation zwischen Wertpapier i und Marktportfolio M Abb. 72 zeigt die grafische Darstellung der erläuterten Wertpapierlinie. Abb. 72: Darstellung der Wertpapierlinie. Quelle: Eigene Darstellung <?page no="248"?> 248 3 Grundlagen der modernen Portfoliotheorie Aus der Wertpapierlinie folgt die Erkenntnis, dass sich die erwartete Rendite im Kapitalmarktgewicht aus einem risikolosen Zinssatz und einer entsprechend gewichteten Marktrisikoprämie zusammensetzt. Die Steigung der Wertpapierlinie entspricht dabei der Steigung der Kapitalmarktlinie multipliziert mit der Korrelation des Wertpapiers mit dem Marktportfolio. Die Gleichung der Wertpapierlinie liefert die Grundlage für die anschließende Darstellung der mathematischen Standardgleichung des CAPM. Spremann (2006) beschreibt das CAPM in diesem Zusammenhang als eine logische Folge der Definition und Konstruktion des Marktportfolios. 192 Die Ableitung der mathematischen Standardformel des CAPM aus der Wertpapierlinie stellt ebenfalls die erstmalige Vorgehensweise von S HARPE dar. Neben dem Ansatz nach Sharpe existieren weitere Methoden zur Ableitung des CAPM. Es sei jedoch darauf hingewiesen, dass sich der überwiegende Teil der Fachliteratur didaktisch an den Ausführungen von S HARPE orientiert. Vor dem Hintergrund des vorliegenden Lehrbuchs lag es nahe, den bewährten Ansatz von Sharpe auch in unseren Ausführungen umzusetzen. Eine didaktische Alternative bieten etwa Kruschwitz (2007) oder Grinold/ Kahn (1999). 3.6 Das Capital Asset Pricing Model Quelle: © Harvard Business School “It turns out, however, that the ‘market price of risk’ involved in determing the market values of individual securities within a portfolio of risk assets is not equal to the ratio of the expected return on the optimal portfolio of risk assets to the standard deviation of this portfolio return.” 193 John Lintner - Professor an der Harvard Business School (*1916, †1983) Das Capital Asset Pricing Model (CAPM) befasst sich im Allgemeinen mit der Bewertung von Wertpapieren im Kapitalmarktgleichgewicht. Das Modell wurde in den 1960er Jahren durch die wissenschaftlichen Arbeiten von W ILLIAM F. S HARPE , J OHN L INTNER , J AN M OSSIN und J ACK . L. T REYNOR relativ zeitnah, jedoch nahezu unabhängig voneinander entwickelt. Die Theorie der Portfolioauswahl nach M ARKO- WITZ aus den 1950er Jahren diente zeitlich wie auch inhaltlich als solide Grundlage für die Entwicklung der Kapitalmarkttheorie und des CAPM. 194 Aus diesem Grund wurden für das Rahmenwerk des CAPM auch zahlreiche Prämissen aus der wissenschaftlichen Arbeit von M ARKOWITZ übernommen und durch weitere bedeutsame Annahmen erweitert. Da es sich beim CAPM um ein so genanntes Ein-Faktor- Modell handelt, geht man bei der Erklärung der erwarteten Rendite eines Wert- 192 Vgl. Spremann (2006), S. 308 193 Siehe John Lintner (1965), Security Prices, Risk, and Maximal Gains from Diversification, S. 587 194 Vgl. Kruschwitz (2007), S. 161 <?page no="249"?> 3.6 Das Capital Asset Pricing Model 249 papiers grundsätzlich davon aus, dass die erwartete Rendite sich auf den Faktor des systematischen Risikos zurückführen lässt. Das CAPM verfolgt das Ziel, eine Aussage über die erwartete Rendite eines Wertpapiers im Marktgleichgewicht zu treffen, die das Wertpapier nach Maßgabe des Risikos in Zukunft erbringen sollte. 195 Das CAPM greift dabei den zentralen Zusammenhang zwischen der erwarteten Rendite eines Wertpapiers und den Risiken des Marktes auf und bindet diese grundlegende Relation in Form einer Prämisse in das Modell ein. Dieses Prinzip findet sich auch in den zentralen Annahmen des CAPM wieder. 3.6.1 Annahmen Das CAPM geht grundsätzlich davon aus, dass sich Kapitalanleger bei der Allokation ihres Vermögens einerseits rational und risikoscheu verhalten und sich stets an den erwarteten Renditen und Risiken der jeweiligen Wertpapiere orientieren. Das CAPM verzichtet neben der Integration der zugrundeliegenden Transaktionskosten für den Erwerb bzw. den Verkauf der einzelnen Wertpapiere in das Modell auch auf die Berücksichtigung von Steuern. Letztere Annahme führt dazu, dass sich ein Kapitalanleger vollkommen indifferent gegenüber der Herkunft der Rendite gibt, sei es durch Dividenden oder Wertsteigerungen. Das CAPM geht von einer beliebigen Teilbarkeit der Wertpapiere aus, sodass ein Kapitalanleger ungeachtet der Höhe seines Vermögens grundsätzlich in jede Position eines Wertpapiers in beliebiger Höhe investieren kann. Das CAPM folgt der Annahme, dass ein einzelner Kapitalanleger durch den Erwerb bzw. den Verkauf von Wertpapieren keinen Einfluss auf den Kurs eines Wertpapiers ausüben kann. Das CAPM erlaubt darüber hinaus den unbegrenzten Aufbau von Short-Positionen, also den gezielten Leerverkauf von Wertpapieren. Dafür kann ein Marktteilnehmer im Rahmen der Annahmen des CAPM unbegrenzt zum risikolosen Zinssatz weiteres Kapital aufnehmen und anlegen. Um die erwartete Rendite eines Wertpapiers im Marktgleichgewicht ermitteln zu können, geht das CAPM vereinfachend davon aus, dass alle Kapitalanleger ihr Kapital auf Grund homogener Erwartungen im gleichen Zeitraum anlegen möchten. Das CAPM setzt voraus, dass alle Anlagen grundsätzlich handelbar sind und somit zum Erwerb bzw. zum Verkauf stehen. 196 Einige dieser Annahmen wurden maßgeblich aus der Theorie über die Portfolioauswahl von M ARKOWITZ übernommen. Im nachfolgenden Abschnitt soll das zugrundeliegende Konzept des CAPM vertieft werden. 195 Vgl. Bruns/ Meyer-Bullerdiek (1996), S. 53 196 Vgl. Elton et al. (2003), S. 293 <?page no="250"?> 250 3 Grundlagen der modernen Portfoliotheorie 3.6.2 Das grundlegende Konzept Abb. 73: Das grundlegende Schema des CAPM. Quelle: Eigene Darstellung Das grundlegende Konzept des Capital Asset Pricing Model lässt sich durch folgende Situation am Kapitalmarkt erklären: Es wird angenommen, dass ein Kapitalanleger die Wahl zwischen der risikolosen Anlage seines Kapitals zu einem risikolosen Zins von lediglich 2 % oder der Investition in einen Exchange Traded Fund (ETF) hat. Letzteres Anlageinstrumentarium spiegelt durch die Aufnahme aller handelbaren Wertpapiere das systematische Risiko des Marktes wider. Da das CAPM auf der Grundlage einer simultanen Betrachtung von Rendite- und Risikogrößen die Bewertung von Wertpapieren im Marktgleichgewicht vornimmt, kommt dieses Prinzip nun zur Anwendung. Durch das systematische Risiko des ETFs trägt der Kapitalanleger bei seiner Investition in den Markt im Vergleich zur alleinigen Investition in die risikolose Anlagemöglichkeit ein erhöhtes Risiko. Für die Übernahme weiterer Risiken über den risikolosen Zins hinaus fordern die Kapitalanleger eine entsprechende „Vergütung“. Die Höhe der Entlohnung für die gezielte Übernahme von Risiken regelt das CAPM durch die so genannte Risikoprämie 𝑚𝑚 𝑒𝑒 . Diese definiert sich wie folgt: 𝑚𝑚 𝑒𝑒 = 𝐸𝐸(𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) − 𝑚𝑚 𝑓𝑓 (3.30) Die Risikoprämie 𝑚𝑚 𝑒𝑒 ergibt sich gemäß Formel (3.30) aus der Differenz der erwarteten Rendite des Marktes und des risikolosen Zinssatzes. Es wird dabei angenommen, dass der Markt die Investition in den ETF, d.h. das zusätzlich übernommene Risiko mit einer Rendite von 6 % p.a. vergütet. Je nach Risikoeinstellung des Kapitalanlegers entspricht das Verhältnis zwischen angegebener Risikovergütung und Risikohöhe den Vorstellungen des Kapitalanlegers, sodass dieser bereit ist, in den ETF zu inves-tieren. Um dem Ziel, die Rendite eines beliebigen Wertpapiers im Marktgleichgewicht bestimmen zu können, näher zu kommen, erweitern wir unsere Überlegungen um eine dritte Anlagemöglichkeit. Der Kapitalanleger kann nun zwischen der risikolosen Anlagemöglichkeit, der Investition in einen ETF oder einer direkten Investition in ein Small-Cap-Unternehmen wählen. Die Investition in das Small-Cap-Unternehmen birgt neben dem systematischen Risiko ebenfalls das unsystematische Risiko (vgl. Abschnitt 3.1.3), welches per Definition die individuellen ? 8% 𝒓𝒓 𝒎 − 𝒓𝒓 𝒇𝒇 𝜷 𝑷𝑷 𝑬(𝒓𝒓 𝑷𝑷 ) 𝟐𝟐% 𝒓𝒓 𝒇𝒇 𝟐𝟐% 𝒓𝒓 𝒎 Anlage ohne Risiko risikoloser Zins ETF systematisches Risiko Risikoprämie 6% risikoloser Zins Small Cap unsystematisches Risiko <?page no="251"?> 3.6 Das Capital Asset Pricing Model 251 Risiken eines Un-ternehmens abbildet. Um unter diesen Rahmenbedingungen eine angemessene Vergütung für das Small-Cap-Unternehmen im Marktgleichgewicht fordern zu können, wird nun der Beta-Faktor eingeführt. Der Beta-Faktor lässt sich entsprechend den Überlegungen aus dem vorigen Abschnitt aus der Wertpapierlinie ableiten und definiert sich wie folgt: 𝛽𝛽 𝑖𝑖 = 𝐶𝐶𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑖𝑖𝑀𝑀 𝜎𝜎 𝑀𝑀2 bzw. 𝛽𝛽 𝑖𝑖 = 𝜌𝜌 𝑖𝑖𝑀𝑀 ∙ 𝜎𝜎 𝑖𝑖 𝜎𝜎 𝑀𝑀 (3.31) mit 𝐶𝐶𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑖𝑖𝑀𝑀 : Kovarianz zwischen der Rendite des Wertpapiers i und des Marktes M 𝜌𝜌 𝑖𝑖𝑀𝑀 : Korrelation Kovarianz zwischen der Rendite des Wertpapiers i und des Marktes M 𝜎𝜎 𝑖𝑖 : Standardabweichung der Rendite des Wertpapiers i 𝜎𝜎 𝑀𝑀 : Standardabweichung der Rendite des Marktes M Da der Beta-Faktor die Sensitivität eines einzelnen Wertpapiers gegenüber den Veränderungen der Rendite des Gesamtmarktes darstellt, 197 kann auf der Grundlage des Beta-Faktors das Risiko eines Wertpapiers im Verhältnis zum Markt beurteilt werden. Die Risikoprämie eines Wertpapiers wird durch den Beta-Faktor in den Gesamtkontext zum Markt gesetzt. Die Interpretation des Beta-Faktors lässt dabei folgende Aussagen zu: Bei einem Beta-Faktor > 1 ist das jeweilige Wertpapier im Vergleich zum Markt einem höheren Risiko ausgesetzt. Ein Beta-Faktor < 1 dagegen symbolisiert im Vergleich zum Markt ein geringeres Risiko. Vor diesem Hintergrund ergibt sich die mathematische Standardgleichung des CAPM direkt aus der Wertpapierlinie, vgl. (3.29): 𝐸𝐸(𝑅𝑅 𝑖𝑖 ) = 𝑚𝑚 𝑓𝑓 + �𝐸𝐸(𝑅𝑅 𝑚𝑚 ) − 𝑚𝑚 𝑓𝑓 � ∙ 𝛽𝛽 𝑖𝑖 = 𝑚𝑚 𝑒𝑒 ⋅ 𝛽𝛽 𝑖𝑖 + 𝑚𝑚 𝑓𝑓 (3.32) In der mathematischen Standardgleichung des CAPM aus Formel (3.32) kommt zum Ausdruck, dass für ein einzelnes risikobehaftetes Wertpapier im Kapitalmarktgleichgewicht eine Rendite erwartet werden kann, die sich aus dem risikolosen Zinssatz und einer mit der Sensitivität gegenüber dem Markt gewichteten Risikoprämie zusammensetzt. 198 Mit dem CAPM wird für alle Anlageformen eine theoretische Beziehung zwischen deren erwarteter Rendite und dem jeweiligen Assetrisiko begründet. Die Renditeerwartung jeder Anlagemöglichkeit entspricht dem Zinssatz für die sichere Anlagealternative zuzüglich einer Risikoprämie. Die Risikoprämie ist proportional zum Beta-Faktor des Assets. 197 Vgl. Steiner/ Bruns (2007), S. 15 f. 198 Vgl. Bruns/ Meyer-Bullerdiek (1996), S. 53 <?page no="252"?> 252 3 Grundlagen der modernen Portfoliotheorie Berechnung der erwarteten Rendite Auf Grundlage des CAPM und der nachfolgenden Informationen soll anschließend die erwartete Rendite eines Unternehmens bestimmt werden. Rendite einer risikolosen Anlage: 2 % Rendite des Marktportfolios: 8 % Beta-Faktor: 0,7 Die erwartete Rendite des Unternehmens lässt sich gemäß Formel (3.36) wie folgt bestimmen: 𝑚𝑚 𝑖𝑖 = 3 % + (8 % − 2 %) ∙ 0,7 = 7,2 % Die erwartete Rendite für das Unternehmen beträgt: 7,2 % 3.6.3 Empirische Tests und Kritik “The world is our laboratory.” Myron S. Scholes - kanadischer Wirtschaftswissenschaftler (*1941) Quelle: © Markus Prantl Das CAPM ist seit seiner Entwicklung in den 1960er Jahren hauptsächlich im angloamerikanischen Raum zahlreichen Tests unterzogen worden, die maßgeblich auf die Validierung des CAPM abzielten. D OUGLAS (1969) veröffentlichte Ende der 1960er Jahre die erste empirische Studie zum CAPM. In dieser versuchte er, durch eine Regressionsanalyse von 500 Aktien in einem Beobachtungszeitraum von lediglich 5 Jahren einen Nachweis über den Zusammenhang von Rendite, Beta-Faktor und residualer Varianz zu erbringen. Die empirischen Ergebnisse seiner Forschungen bestätigten, dass die residualen Varianzen nicht, wie vermutet, zum Beta-Faktor eine positive Korrelation aufweisen, sondern vielmehr zu den historischen Renditen selbst. M ILLER und S CHOLES (1972) fanden jedoch wenig später in der empirischen Arbeit von D OUGLAS einige Fehler. Die beiden waren damals unter anderem der Ansicht, dass der durch D OUGLAS festgestellte Effekt hauptsächlich durch die Behandlung von diversen Faktoren abgeschwächt wurde. Der erste wegweisende empirische Beweis des CAPM wurde hingegen durch B LACK / J ENSEN / S CHOLES (1972), B LUME / F RIEND (1973) und F AMA / M AC B ETH (1973) 199 erbracht. Nach Korrektur der durch D OUGLAS und M ILLER / S CHOLES (1972) festgestellten Schwächen der zuvor ausgeführten empirischen Tests kam man zu dem Ergebnis, dass ein Anstieg des Beta-Faktors unweigerlich mit einem Anstieg der Renditen einhergeht. Abb. 74 greift diesen Zusammenhang in einer Grafik erneut auf. 200 199 Vgl. Elton et al. (2003), S. 345 ff. 200 Vgl. Falkenstein (2009), S. 50 f. <?page no="253"?> 3.6 Das Capital Asset Pricing Model 253 Abb. 74: Renditen und Beta-Faktoren. Quelle: Vgl. Black, Jensen und Scholes (1972) 201 Durch den Beweis eines positiven Zusammenhangs von Beta-Faktor und der Rendite eines Wertpapiers in Verbindung mit einer positiven Steigung galten die empirischen Tests der Mathematiker und Ökonomen lange Zeit als das Maß aller Dinge. Einige Zeit später untersuchte jedoch R EINGANUM (1982) erstmals die Abhängigkeit des Beta-Faktors von der Größe des Unternehmens. Dieser Zusammenhang ist in der Fachliteratur auch als size effect bekannt. F AMA und F RENCH (1992) belegten in den frühen 1990er Jahren erstmals Anomalien in den Aussagen des CAPM, was zu einer baldigen Ablehnung der Modellannahmen führte. 202 Der Vergleich der Renditen und Beta-Faktoren aus den Ergebnissen von B LACK , J ENSEN und S CHOLES (1972) und F AMA und F RENCH (1992) zeigten nach der Adjustierung des zuvor angesprochenen Kleinfirmeneffekts (engl. size effect) statt einer wie bisher gewohnt positiven Steigung eine vielmehr flachere Gerade, die nahezu eine negative Steigung annimmt (siehe Abb. 75). Abb. 75: Rendite und Risiko in Theorie und Praxis. Quelle: Vgl. Falkenstein (2009), S. 8 Andere Kritiker des CAPM sind davon überzeugt, dass sich das CAPM einer empirischen Überprüfung entzieht. R OLL (1977) bemerkte, dass sich das Marktportfolio aller risikobehafteten Wertpapiere nicht rekonstruieren lässt und der Rückgriff auf Teilportfolios keinen Rückschluss auf das Marktportfolio zulassen würde, sondern sich die Ergebnisse in diesem Fall lediglich auf das Teilportfolio selbst beziehen wür- 201 Vgl. Falkenstein (2009), S. 42 202 Vgl. Fama/ French (1992), S. 427 ff. 0% 20% 40% 60% 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,5 1,7 1,9 Annualisierte Rendite Beta-Faktor <?page no="254"?> 254 3 Grundlagen der modernen Portfoliotheorie den. 203 R OLL gilt durch die Veröffentlichung seiner Kritik gegenüber dem CAPM als Begründer einer Gegenbewegung. Zu dieser zählen unter anderem auch G IBBONS / R OSS / S HANKEN (1989), die einige Ergebnisse der populären Roll-Kritik in ihre Untersuchungen mitaufnahmen und als Grundlage für ihre Studien verwendeten. 204 Die Studie nach S TAMBAUGH (1982) zeigt hingegen ein anderes Bild, bei dem die Ergebnisse des CAPM nicht allzu sensitiv auf die Wahl des Marktindex reagieren und demnach auch die Wahl des Marktportfolios nicht zwingend entscheidend ist. 205 Obwohl in der Fachliteratur bis heute kein eindeutiger Konsens über einen allgemeingültigen Beweis des CAPM feststellbar ist, kann zusammenfassend gesagt werden, dass zumindest der überwiegende Teil der Fachliteratur einige Aussagen des CAPM stark anzweifelt. Eine noch tiefere inhaltliche und historische Darstellung der CAPM-Thematik liefert etwa S PREMANN (2006), S. 327 ff. 3.7 Modellerweiterungen des CAPM In den vorangegangen Abschnitten wurde bei der Einführung des Markowitz-Modells zunächst bewusst auf eventuelle Beschränkungen bei der Zusammensetzung des Portfolios verzichtet. Nun wird das zentrale Modell Schritt für Schritt erweitert. Obwohl bei der Einführung in die theoretischen Grundlagen zum Zweck einer geeigneten didaktischen Herleitung nicht zwingend etwaige Restriktionen bestehen müssen, erfordert die Praxis mit einem nahezu unbegrenzten Anlageuniversum und unterschiedlichen Anlagezielen die Einführung von Nebenbedingungen bei der Strukturierung, Bildung und Optimierung von Portfolios. In der Praxis kann es zum Beispiel durchaus vorkommen, dass die regulatorischen Rahmenbedingungen instituioneller Kapitalanlagegesellschaften die Durchführung von Leerverkäufen strikt untersagen. Da negative Werte im Modell des Erwartungswert-Varianz-Ansatzes nach Markowitz unweigerlich Leerverkaufspositionen im Portfolio widerspiegeln, sollten in diesem Fall entsprechende Nebenbedingungen für die Portfoliooptimierung festgelegt werden. Durch diese Maßnahme soll verhindert werden, dass die einzelnen Portfoliogewichte der Wertpapiere negative Werte annehmen. Eine weitere Anwendung von Restriktionen liegt in der gezielten Begrenzung von einzelnen Portfolioanteilen zur Sicherstellung eines gewissen Diversifikationseffekts im Portfolio. Im Allgemeinen wird eine dementsprechende Begrenzung von einzelnen Wertpapieren im Portfolio in Form von Nebenbedingungen in das mathematische Modell integriert: 𝑚𝑚 𝑖𝑖 ≤ 𝑒𝑒 𝑖𝑖 ≤ 𝑏𝑏 𝑖𝑖 wobei 𝑖𝑖 = 1, … , 𝑏𝑏 (3.33) mit 𝑚𝑚 𝑖𝑖 : vorgegebener minimaler Portfolio-Anteil des iten Wertpapiers 𝑒𝑒 𝑖𝑖 : tatsächlicher Portfolio-Anteil des iten Wertpapiers 𝑏𝑏 𝑖𝑖 : vorgegebener maximaler Portfolio-Anteil des iten Wertpapiers Ein eventuelles Verbot von Leerverkäufen kann durch die Anpassung der soeben eingeführten Nebenbedingung umgesetzt werden. 203 Vgl. Roll (1977), S. 129 ff. 204 Vgl. Falkenstein (2009), S. 50 f. 205 Vgl. Stambaugh (1982), S. 238 <?page no="255"?> 3.7 Modellerweiterungen des CAPM 255 𝑚𝑚 𝑖𝑖 = 0 und 𝑏𝑏 𝑖𝑖 = 1 wobei 𝑖𝑖 = 1, … , 𝑏𝑏 (3.34) Die Hinzunahme von Nebenbedingungen zieht aus mathematischer Sicht einen unmittelbaren Anstieg im Umfang und in der Komplexität der Optimierungsprobleme nach sich. Dabei erschwert die zunehmende Komplexität die Ermittlung einer mathematisch korrekten Lösung des Optimierungsproblems. Der exponentielle Anstieg der Laufzeit, die zur Lösung des Optimierungsproblems benötigt wird, stellt dabei einen weiteren kritischen Faktor dar. Obwohl gegenwärtig nahezu alle aktuell erhältlichen Personal-Computer die Leistungsanforderung zur Lösung komplexer Optimierungsprobleme erfüllen, stellte bei der erstmaligen Veröffentlichung von M ARKOWITZ ’ Arbeit im Jahr 1952 der enorm hohe Aufwand an Rechenoperationen ein erhebliches Problem für die Lösung des zugrundeliegenden Optimierungsproblems dar. Dies lag maßgeblich an der Notwendigkeit sehr große Datenmengen zur Schätzung der Input-Parameter des Modells zu verarbeiten. 206 Die nachfolgende Tabelle verdeutlicht die damalige Problematik bei der Behandlung von großen Datenmengen für die Berechnung der Input-Parameter. Variablen Anzahl Varianzen 𝜎𝜎 𝑖𝑖2 … 𝜎𝜎 𝑠𝑠2 10 n Kovarianzen 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑉𝑉 𝑎𝑎𝑎𝑎 45 n(n-1)/ 2 Renditen 𝜇𝜇 𝑖𝑖 … 𝜇𝜇 𝑠𝑠 10 n Summe 65 n(n+3)/ 2 Tab. 12: Inputmatrix. Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Steiner/ Bruns (2002) Tab. 12 zeigt, dass bereits bei einem Portfolio mit 10 Wertpapieren 10 Varianzen und Renditen sowie 45 Kovarianzen geschätzt werden müssen. Kommen nun 40 weitere Wertpapiere zum bisherigen Portfolio hinzu, müssen insgesamt 50 Varianzen und Renditen ermittelt sowie 1225 Kovarianzen geschätzt werden. Es wird deutlich, dass die praktische Anwendbarkeit des „klassischen“ Erwartungswert-Varianz-Ansatzes damalig lediglich Kapitalanlegern mit entsprechenden Ressourcen vorbehalten war. 207 M ARKOWITZ war sich damals schon bewusst, dass die aus der mathematischen Formulierung des Modells abgeleitete Vorgehensweise aus praktischer Sicht höchst ineffizient war. Aus diesem Anlass entwickelte M ARKOWITZ im Rahmen seiner Arbeit über die Portfolio-Selection-Theorie einen ausgeklügelten Algorithmus für eine effizientere Bestimmung der Effizienzkurve, die Kritische-Linien-Methode (engl. critical line algorithm). Da die Erläuterung des Algorithmus sehr umfangreich und auch für ein tiefergehendes Verständnis des Lesers nicht zwingend notwendig ist, wird auf die Darstellung des Algorithmus verzichtet. 208 Bei Interesse kann auf Amenc/ Le Sourd (2003), S. 84 zurückgegriffen werden. 206 Vgl. Schierenbeck (1991), S. 640 ff. 207 Vgl. Markowitz (1991), S. 205 208 Die Erläuterung des Algorithmus finden Sie in Markowitz (1998), S. 316 ff. Ein Artikel zur praktischen Anwendung der Kritische-Linien-Methode finden Sie in Guerard (2010) S. 383 ff. <?page no="256"?> 256 3 Grundlagen der modernen Portfoliotheorie Obwohl die gängigen Ansätze zur Lösung von Optimierungsproblemen in Kapitel 2.3 ausführlich erläutert worden sind, sei der interessierte Leser jedoch mit der Wolfe-Methode (1959) auf einen besonderen Lösungsansatz hingewiesen. Diese Methode zur Lösung von Optimierungsproblemen mit linearen Nebenbedingungen reduziert das ursprüngliche quadratische Optimierungsproblem auf ein vollkommen lineares Optimierungsproblem und erlaubt dadurch die Anwendung des Simplex- Algorithmus für eine zeitlich effizientere Ermittlung einer Lösung. 209 3.7.1 Das Single-Index-Modell “Some investments do have higher expected returns than others. Which ones? Well, by and large they’re the ones that will do the worst in bad times.” William F. Sharpe - US-amerikanischer Wirtschaftswissenschaftler (*1934) Quelle: © Anne Knudsen Eine Alternative zur Herleitung des CAPM liefert das Single-Index-Modell von S HARPE (1963). Bei der Entwicklung des Modells verfolgte S HARPE aufgrund der angesprochenen Datenproblematik das grundlegende Ziel, die zur Berechnung der Effizienzkurve geschätzten Daten auf ein Mindestmaß zu reduzieren. S HARPE war davon überzeugt, durch eine Vereinfachung des Modells die Laufzeit des „klassischen“ Erwartungswert-Varianz-Ansatzes nach Markowitz drastisch reduzieren zu können. Bei der Formulierung des Single-Index-Modells nahm S HARPE an, dass die Rendite und dadurch die Korrelation eines Wertpapiers von unterschiedlichen Faktoren beeinflusst werden. 210 Die Annahme eines linearen Zusammenhangs zwischen der Rendite eines Wertpapiers und der Rendite des Marktes erlaubte die Substitution der zur Ermittlung des Risikos erforderlichen Kovarianzen durch die Korrelation der Marktrendite. 211 Die Rendite eines Wertpapiers ergibt sich entsprechend S HARPE s Vorstellungen aus einem systematischen Faktor und einer individuellen Komponente. S HARPE geht davon aus, dass fundamentale Ursachen, wie z.B. die Änderung der Leitzinsen, der Ausbruch von Krisen und Kriegen, aber auch der Eintritt vollkommen unerwarteter politischer Ereignisse und der daraus resultierenden wirtschaftlichen Auswirkungen einen gemeinsamen Einfluss auf alle Wertpapiere ausüben. Das Single-Index-Modell folgt deshalb der Annahme, dass derartige fundamentale Einflüsse sich gleichermaßen auf einen Markt bzw. Index auswirken können und somit die Unsicherheit über den Eintritt der erwarteten Rendite einer Aktie erklärt werden 209 Vgl. Amenc/ Le Sourd (2003), S. 85 210 Vgl. Sharpe (1963), S. 277 ff. 211 Vgl. Bruns/ Meyer-Bullendiek (1996), S. 55 <?page no="257"?> 3.7 Modellerweiterungen des CAPM 257 kann. Unter der Voraussetzung der genannten Annahmen kann die Entstehung der Rendite eines Wertpapiers folgendermaßen modelliert werden: 𝑅𝑅 𝑖𝑖 = 𝛼𝛼 𝑖𝑖 + 𝛽𝛽 𝑖𝑖 ∙ 𝑅𝑅 𝐼𝐼 für alle 𝑖𝑖 = 1, … , 𝑁𝑁 (3.35) mit 𝑅𝑅 𝑖𝑖 : Rendite des iten Wertpapiers 𝛼𝛼 𝑖𝑖 : unternehmensspezifische Überrendite 𝛽𝛽 𝑖𝑖 : Sensitivität des iten Wertpapiers gegenüber Veränderungen der Rendite eines Index 𝑅𝑅 𝐼𝐼 : Rendite des Index, der alle fundamentalen Einflüsse erfasst Als repräsentativer Index eignet sich hierzu der jeweilige Marktindex, welcher die Auswahl des Anlageuniversums enthält. Allerdings besteht neben der systematischen Komponente eine unternehmensspezifische Komponente, die einen signifikanten Einfluss auf die Rendite eines Wertpapiers ausübt. Aus diesem Grund nehmen auch Ereignisse, die lediglich ein einzelnes Unternehmen betreffen, unweigerlich Einfluss auf die Rendite des jeweiligen Wertpapiers. Ein mögliches Beispiel dafür ist der Brand in einer wichtigen Produktionsstätte eines Automobilkonzerns. In diesem Fall wird sich der Brand möglicherweise auf den Kurs der Aktie des betroffenen Unternehmens auswirken. Diese Annahme ermöglichte es S HARPE , eine vereinfachte Struktur zur Bestimmung von Korrelationen unterschiedlicher Wertpapiere einzuführen, das empirische Marktmodell. Damit erweiterte S HARPE die ursprüngliche Gleichung des CAPM um einen titelspezifischen Störfaktor 𝜀𝜀 𝑖𝑖 : 𝑅𝑅 𝑖𝑖 = 𝛼𝛼 𝑖𝑖 + 𝛽𝛽 𝑖𝑖 ∙ 𝑅𝑅 𝑀𝑀 + 𝜀𝜀 𝑖𝑖 für alle 𝑖𝑖 = 1, … , 𝑁𝑁 (3.36) Die beiden Faktoren 𝛼𝛼 𝑖𝑖 und 𝛽𝛽 𝑖𝑖 werden im Rahmen einer linearen Regression aus den Renditen des Marktes und den Renditen der Wertpapiere der gleichen Periode geschätzt. Die Methode der kleinsten Quadrate liefert hier für den Beta-Faktor die gleiche Formel wie die Herleitung im CAPM; vgl. (3.31): 𝛽𝛽 𝑖𝑖 = 𝑒𝑒𝑠𝑠𝑐𝑐(𝑅𝑅 𝑖𝑖 ,𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) 𝜎𝜎 𝑀𝑀2 (3.37) 𝛼𝛼 𝑖𝑖 = 𝑅𝑅 𝑖𝑖 − 𝛽𝛽 𝑖𝑖 ⋅ 𝑅𝑅 𝑀𝑀 Die Schätzung der beiden Faktoren Alpha 𝛼𝛼 𝑖𝑖 und Beta 𝛽𝛽 𝑖𝑖 wird in der nachfolgenden Abb. 76 noch einmal grafisch verdeutlicht. S HARPE s Single-Index-Modell wird aufgrund der zugrundeliegenden Methodik auch als Diagonalmodell bezeichnet. Aus statistischer Sicht kann das Single-Index-Modell insbesondere durch die Anordnung der Terme in der mathematischen Formulierung des Modells auch als lineares Regressionsmodell bezeichnet werden. Damit ergibt sich der Beta-Faktor auch unmittelbar aus der Steigung der approximierten Geraden. Der Beta-Faktor gibt im Allgemeinen an, wie sensibel die Rendite eines Wertpapiers auf die Veränderungen des Marktes reagiert. 212 212 Vgl. Garz/ Günther/ Moriabadi (2006), S. 63 <?page no="258"?> 258 3 Grundlagen der modernen Portfoliotheorie Abb. 76: Lineare Regression der Faktoren Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Steiner/ Bruns (2002) Berechnung von Alpha Auf Grundlage des Single-Index-Modells und den nachfolgenden Informationen soll anschließend der Achsenabschnitt Alpha bestimmt werden. Mittelwert der Log-Renditen der Aktie: 6,8 % Beta-Faktor der Aktie: 0,65 Mittelwert der Log-Renditen des Index: 3,5 % Die Grundgleichung des Single-Index-Modells ergibt sich wie folgt: 𝑅𝑅 𝑖𝑖 = 𝛼𝛼 𝑖𝑖 + 𝛽𝛽 𝑖𝑖 ∙ 𝑅𝑅 𝑀𝑀 + 𝜀𝜀 𝑖𝑖 für alle 𝑖𝑖 = 1, … , 𝑁𝑁 Der Achsenabschnitt Alpha lässt sich nach Vernachlässigung des Störfaktors 𝜀𝜀 𝑖𝑖 wie folgt bestimmen: 𝛼𝛼 𝑖𝑖 = 𝑅𝑅 𝑖𝑖 − 𝛽𝛽 𝑖𝑖 ∙ 𝑅𝑅 𝑀𝑀 𝛼𝛼 𝑖𝑖 = 6,8 % − 0,65 ∙ 3,5 % = 4,5 % Der Achsenabschnitt Alpha beträgt schlussendlich 4,5 %. Um jedoch eine tatsächliche Reduzierung der Rechenoperationen zur Bestimmung der Effizienzkurve zu ermöglichen, müssen in Bezug auf die in Abb. 76 dargestellten Störfaktoren 𝜀𝜀 𝑖𝑖 die nachfolgenden Prämissen erfüllt sein: 213 213 Vgl. Steiner/ Bruns (2002), S. 18 Ermittlung der Faktoren α i und β i α i <?page no="259"?> 3.7 Modellerweiterungen des CAPM 259 [1] Die zufälligen Schwankungen des Störfaktors 𝜀𝜀 𝑖𝑖 unterliegen einer Normalverteilung mit einem Erwartungswert von Null und einer Varianz von: 𝜎𝜎 𝜀𝜀 𝑖𝑖 2 = 𝐸𝐸(𝜀𝜀 𝑖𝑖 2 ) für alle 𝑖𝑖 = 1, … , 𝑁𝑁 (3.38) [2] Die zufälligen Schwankungen des Störfaktors 𝜀𝜀 𝑖𝑖 korrelieren nicht mit der Rendite des Index. Demnach gilt: 𝐸𝐸(𝜀𝜀 𝑖𝑖 ∙ 𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) = 0 für alle 𝑖𝑖 = 1, … , 𝑁𝑁 (3.39) [3] Die Störfaktoren 𝜀𝜀 𝑖𝑖 unterliegen keiner Korrelation untereinander. Es ergibt sich: 𝐸𝐸(𝜀𝜀 𝑖𝑖 ∙ 𝜀𝜀 𝑒𝑒 ) = 0 für alle 𝑖𝑖 = 1, … , 𝑁𝑁 (3.40) Aufgrund der Substitution der erforderlichen Kovarianzen durch die Korrelation der Marktrendite in Verbindung mit den Störfaktoren 𝜀𝜀 𝑖𝑖 bewirkt das Sharpe-Modell tatsächlich einen Rückgang in der zu schätzenden Anzahl an Input-Parametern. Der Aufwand der zu schätzenden Parameter lässt sich durch das Sharpe-Modell um mehr als die Hälfte reduzieren. Die nachfolgende Tab. 13 verdeutlicht den Rückgang der Input-Parameter im Vergleich zu Tab. 12. Variablen Allgemein Beta-Faktoren 𝛽𝛽 𝑖𝑖 … 𝛽𝛽 𝑠𝑠 10 n titelspezifische Renditen 𝑚𝑚 𝑖𝑖 … 𝑚𝑚 𝑠𝑠 10 n Varianzen der Störfaktoren 𝜎𝜎 𝜀𝜀𝑖𝑖 2 … 𝜎𝜎 𝜀𝜀𝑠𝑠 2 10 n Rendite des Marktindex 𝐸𝐸(𝑅𝑅 𝑀𝑀 ) 1 1 Varianz des Marktindex 𝜎𝜎 𝑀𝑀2 1 1 Summe 32 3n+2 Tab. 13: Entwicklung der Inputmatrix beim Single-Index-Modell Quelle: Eigene Darstellung, in Anlehnung an Steiner/ Bruns (2002) Gemäß Tab. 13 müssen beispielsweise bei einem Portfolio mit zehn Wertpapieren lediglich 32 anstatt von 65 Inputfaktoren geschätzt werden, was zu einer signifikanten Reduzierung des zu betreibenden Aufwands führt. Aus der Aufwandsreduzierung bei der Berechnung der Effizienzkurve resultiert jedoch ein Informationsverlust gegenüber dem „klassischen“ Portfolio-Selection- Modell. Ein kritischer Faktor scheint dabei die Annahme korrelierter Störfaktoren zu sein. 214 Da im Rahmen des Single-Index-Modells die Rendite lediglich von einem renditebestimmenden Faktor abhängig ist, besteht beim empirischen Marktmodell die ernstzunehmende Gefahr einer zu starken Vereinfachung. Dadurch werden systematisch wichtige Beziehungen zwischen den einzelnen Renditen der Wertpapiere vernachlässigt, die jedoch im Portfolio-Selection-Modell nach Markowitz durch die Schätzung der Kovarianzen durchaus berücksichtigt werden. Dieser Fall tritt zum Beispiel dann auf, wenn eine zu geringe Korrelation zwischen den Wertpapierrenditen und dem repräsentativen Marktindex vorliegt und daraus eine 214 Vgl. Steiner/ Bruns (2002), S. 20 <?page no="260"?> 260 3 Grundlagen der modernen Portfoliotheorie vergleichsweise hohe Korrelation zwischen den Störgrößen resultiert. 215 Da das empirische Marktmodell per Definition lediglich von einem Faktor beeinflusst wird, kann das Single-Index-Modell keine weiteren Variablen zur Erklärung der Rendite berücksichtigen. Diese Kritik gab schließlich den Anlass zur Entwicklung der nachfolgend kurz dargestellten Mehr-Faktoren-Modelle bzw. Multi-Index-Modelle. Zu einem späteren Zeitpunkt werden wir bei der Prognose relativer Renditen bzw. relativer Risiken noch einmal auf das Single-Index-Modell zurückgreifen, um den benchmarkunabhängigen Bestandteil von Ertragsprognosen zu ermitteln. 3.7.2 Systematisches und unsystematisches Risiko Das CAPM vorgestellt in Abschnitt 3.6 und insbesondere das in Abschnitt 3.7.1 beschrieben Sing-Index-Modell erlauben eine Zerlegung der Varianz eines Wertpapiers in einen systematischen und einen unsystematischen Teil und damit eine Interpretation von systematischem Risiko (marktspezfisch) und unsystematischem Risiko (wertpapierspezfisich) 216 . Ausgangspunkt der Überleung ist Formel (3.32) bzw. 𝑅𝑅 𝑖𝑖 = 𝑅𝑅 𝑓𝑓 + 𝛽𝛽 𝑖𝑖 ∙ �𝑅𝑅 𝑀𝑀 − 𝑅𝑅 𝑓𝑓 � + 𝜀𝜀 𝑖𝑖 mit eine Residualterm 𝜀𝜀 𝑖𝑖 = 𝑅𝑅 𝑖𝑖 − 𝐸𝐸[𝑅𝑅 𝑖𝑖 ] , der unkorreliert zum Markt ist. Wegen 𝐸𝐸[𝜀𝜀 𝑖𝑖 ] = 0 folgt 𝐸𝐸[𝑅𝑅 𝑖𝑖 ] = 𝑅𝑅 𝑓𝑓 + 𝛽𝛽 𝑖𝑖 ∙ 𝐸𝐸[𝑅𝑅 𝑀𝑀 ] − 𝑅𝑅 𝑓𝑓 und 𝑅𝑅 𝑖𝑖 − 𝐸𝐸[𝑅𝑅 𝑖𝑖 ] = 𝛽𝛽 𝑖𝑖 ∙ (𝑅𝑅 𝑀𝑀 − 𝐸𝐸[𝑅𝑅 𝑀𝑀 ]) + 𝜀𝜀 𝑖𝑖 Da 𝜀𝜀 𝑖𝑖 und 𝑅𝑅 𝑀𝑀 unkorreliert sind, folgt daraus für die Varianz 𝜎𝜎 𝑖𝑖2 = 𝐸𝐸[(𝑅𝑅 𝑖𝑖 − 𝐸𝐸[𝑅𝑅 𝑖𝑖 ]) 2 ] = 𝛽𝛽 𝑖𝑖2 ⋅ 𝐸𝐸[(𝑅𝑅 𝑀𝑀 − 𝐸𝐸[𝑅𝑅 𝑀𝑀 ]) 2 ] + 𝐸𝐸[𝜀𝜀 𝑖𝑖2 ] = 𝛽𝛽 𝑖𝑖2 ⋅ 𝜎𝜎 𝑀𝑀2 + 𝜎𝜎 𝜀𝜀2 Diese Herleitung zeigt das sich das Risiko eines Wertpapiers, also die Varianz 𝜎𝜎 𝑖𝑖2 als Summe von zwei nicht negativen Komponenten ergibt: − das systematische Risiko 𝛽𝛽 𝑖𝑖2 ⋅ 𝜎𝜎 𝑀𝑀2 , das durch das Marktrisiko mulitpliziert mit dem quadratischen Beta-Faktor des Wertpapiers gegeben ist, − das unsystematische Risiko 𝜎𝜎 𝜀𝜀2 , das sich durch die Varianz des Residualterms ergibt. Dies erlaubt eine weitergehende Interpretation des Beta-Faktors eines Wertpapiers. Da nur für das systematische Risiko in einem effizienten Markt durch eine Marktrisikoprämie zu erwarten ist, lassen Wertpapiere mit einem Beta-Faktor größer 1 (im Betrag) ein höheres Risiko, aber auch eine höhere Rendite als der Markt erwarten, während Wertpapiere mit einem Beta-Faktor kleiner 1 (im Betrag) ein geringeres Risiko, aber auch eine geringere Rendite als der Markt erwarten lassen. 3.7.3 Das Multi-Index-Modell Das Multi-Index-Modell erschließt sich durch die aus der Kritik des Single-Index- Modells abgeleitete Notwendigkeit, die Rendite durch weitere Faktoren zu erklären. Aus diesem Grund berücksichtigt das Multi-Index-Modell weitere Einflussfakto- 215 Vgl. Bruns/ Meyer-Bullerdiek (1996), S. 56 216 Vgl. Pinto, McMillan, Pirie, Kochard, & Van de Venter, 2011 (3.41) (3.42) (3.43) <?page no="261"?> 3.7 Modellerweiterungen des CAPM 261 ren. Die Entwicklung der Rendite eines Wertpapiers kann nach diesem Modell nicht alleinig auf die Veränderungen eines Marktindex zurückgeführt werden. Im Rahmen des Multi-Index-Modells wird versucht, das gegebene Marktrisiko weiter in seine einzelnen Komponenten zu unterteilen und dadurch den überwiegenden Anteil des Gesamtrisikos von Aktien zu erklären. Durch die Unterteilung des Marktrisikos können weitere Einflussfaktoren, wie z.B. makroökonomische Einflussfaktoren, in das Modell mitaufgenommen werden. 217 Die Rendite eines Wertpapiers i ergibt sich aus einem unabhängigen Return zuzüglich der Summe aus den Faktorsensitivitäten β it mal dem jeweiligen Faktor-Return plus der unerklärten spezifischen Komponente ε i . Die weiteren Faktoren verfolgen das Ziel, den Zusammenhang zwischen den einzelnen Störgrößen 𝜀𝜀 𝑖𝑖 zu beschreiben. Die Existenz von Kovarianzen der einzelnen Störgrößen wird durch empirische Beobachtungen ebenfalls bestätigt. 218 Aus diesem Grund wird das Single-Index-Modell um folgende systematischen Einflussfaktoren erweitert: 𝑅𝑅 𝑖𝑖𝑒𝑒 = 𝑚𝑚 𝑖𝑖 + ∑ 𝛽𝛽 𝑖𝑖𝑒𝑒 𝐼𝐼 𝑖𝑖𝑒𝑒 𝐾𝐾𝑖𝑖=1 + 𝜀𝜀 𝑖𝑖𝑒𝑒 für alle 𝑖𝑖 = 1, … , 𝑁𝑁 (3.44) mit 𝑅𝑅 𝑖𝑖 : Rendite des i -ten Wertpapiers zum Zeitpunkt t 𝑚𝑚 𝑖𝑖 : konstante, unternehmensspezifische Rendite 𝛽𝛽 𝑖𝑖𝑒𝑒 : Sensitivität der Rendite des iten Wertpapiers vom k -ten Einflussfaktor 𝐼𝐼 𝑖𝑖 𝐼𝐼 𝑖𝑖𝑒𝑒 : kter systematischer Einflussfaktor (Index) zum Zeitpunkt t . 𝜀𝜀 𝑖𝑖 : zufälliger Störfaktor, Residualrendite zum Zeitpunkt t . Die Prämissen des Multi-Index-Modells erweitern die Annahmen des Single-Index- Modells um folgende Punkte: 219 [1] Die Varianz eines Faktors 𝐼𝐼 𝑖𝑖 mit 𝑚𝑚 = 1, … , 𝐾𝐾 ist wie die Varianz des zufälligen Störeinflusses bzw. der Residualrendite gleichermaßen endlich und konstant. 𝑉𝑉𝑚𝑚𝑚𝑚(𝐼𝐼 𝑖𝑖 ) = 𝜎𝜎 𝑖𝑖 𝑘𝑘 2 für alle 𝑚𝑚 = 1, … , 𝐾𝐾 (3.45) [2] Die Kovarianz zwischen den zufälligen Störfaktoren des i -ten Wertpapiers und des k -ten Index ist annahmegemäß Null. 𝐶𝐶𝑆𝑆𝑛𝑛(𝜀𝜀 𝑖𝑖 , 𝐼𝐼 𝑖𝑖 ) = 0 für alle 𝑚𝑚 = 1, … , 𝑁𝑁 (3.46) [3] Dadurch korrelieren die einzelnen Faktoren, wie folgt, nicht untereinander. Es gilt: 𝐶𝐶𝑆𝑆𝑛𝑛(𝐼𝐼 𝑖𝑖 , 𝐼𝐼 𝑚𝑚 ) = 0 für alle 𝑚𝑚 = 1, … , 𝑁𝑁 und 𝑚𝑚 = 1, … , 𝑁𝑁 mit 𝑚𝑚 ≠ 𝑚𝑚. (3.47) 217 Vgl. Bruns/ Meyer-Bullerdiek (1996), S. 57 218 Vgl. Poddig/ Brinkmann/ Seiler (2009), S. 427 219 Vgl. ebd., S. 428 f. <?page no="262"?> 262 3 Grundlagen der modernen Portfoliotheorie 3.8 Schlussbetrachtung “If the facts don’t fit the theory, change the facts.” Albert Einstein - theoretischer Physiker und Nobelpreisträger (*1879, †1955) Quelle: Public Domain Die zentralen Kritikpunkte der modernen Portfoliotheorie finden sich einerseits in den Schwächen des Modells selbst und ergeben sich andererseits aus den Konsequenzen der Optimierung von Portfolios auf Grundlage des Erwartungswert- Varianz-Ansatzes. In diesem Abschnitt wird jedoch lediglich auf ersteren Kritikpunkt detailliert eingegangen, um die zentralen Probleme bei der Optimierung von Portfolios als Motivation für die spätere Einführung der robusten Optimierung zu Beginn von Kapitel 1 vorzubehalten. Die hauptsächlichen Kritikpunkte des Erwartungswert-Varianz-Ansatzes liegen neben der Verwendung zukünftiger Rendite- und Risikodaten hauptsächlich in der praktischen Umsetzung der individuellen Nutzenvorstellungen der Klienten und Kapitalanleger. Da die zukünftigen Rendite- und Risikoparameter des Modells lediglich aus der Vergangenheit auf Grundlage historischer Schätzungen gewonnen werden können, ist die Qualität und somit Aussagekraft dieser Parameter als durchaus mangelhaft anzusehen. 220 Die inhärente Unsicherheit bei der Schätzung der erwarteten Renditen führt dabei unweigerlich zu eklatanten Fehlern, die sich anschließend auf die Allokation von Portfolios unter Umständen negativ auswirken. 221 Der Umgang mit dem Problem von Schätzfehlern stellt den Mittelpunkt der Bemühungen zur Entwicklung von robusten Methoden dar. Einen alternativen Ansatz zur Bestimmung der ersten beiden Momente einer Verteilung beschrieb S HARPE (1990) mit der szenariobasierten Gewichtung von Umweltzuständen und deren Eintrittswahrscheinlichkeiten. Obwohl der Ansatz nach Sharpe die korrekte Vorgehensweise darstellt, unterliegt diese Methodik in der Praxis erheblichen Schwächen. 222 Ein weiteres Problem stellt sich bei der Quantifizierung der individuellen Nutzenvorstellung der Kapitalanleger und deren praktischer Umsetzung. In der Fachliteratur wird zu diesem Zweck häufig auf Indifferenzbzw. Iso-Nutzenkurven zurückgegriffen, was in der Praxis jedoch kaum umsetzbar ist. Aus der Annahme einer Normalverteilung der Renditen kann es in einem turbulenten Marktumfeld zur Über- oder Unterschätzung des Risikos kommen, da die Verteilung der Wertpapierrenditen je nach Marktsituation sogenannte „fat tails“, also Anomalien im unteren Teil der Verteilungsfunktion, aufweisen. Weitere Schwächen des Portfolio-Selection-Modells fallen im Vergleich zu den bisherigen dargestellten Schwächen eher geringfügig aus, sollen aber dennoch kurz angesprochen werden. Obwohl das Portfolio-Selection- 220 Vgl. Steiner/ Bruns (2002), S. 21 221 Vgl. Reinschmidt (2006), S. 21 222 Vgl. Sharpe (1990), S. 7 ff. bzw. Reinschmidt (2006), S. 20 <?page no="263"?> 3.9 Zusammenfassung 263 Modell eine eindeutige Aussage über die Allokation des zur Verfügung stehenden Kapitals trifft, vernachlässigt der Erwartungswert-Varianz-Ansatz die Frage des richtigen Zeitpunkts für den Kauf und Verkauf von Wertpapieren gänzlich. Das richtige Timing überlässt das Modell in diesem Fall den Ansätzen der fundamentalen oder technischen Analyse. 223 Die benötigte Anzahl an Schätzungen, die als Input für das Portfolio-Selection-Modell dienen, stellt ein weiteres Problem bei der praktischen Umsetzung des Portfolio-Selection-Modells dar. 224 Schon bei der Veröffentlichung des Artikels von H ARRY M ARKOWITZ überstieg der zu betreibende Aufwand die damaligen Rechenkapazitäten um ein Vielfaches. Obwohl sich der Personal- Computer mittlerweile zu einem enorm leistungsfähigen Rechner entwickelt hat, ist auch heute noch die Lösung sehr umfangreicher und komplexer Optimierungsprobleme bei Berücksichtigung aller relevanten Schwächen der modernen Portfoliotheorie nur unter hohem Aufwand möglich. Diese Einschränkung motivierte S HARPE schließlich zur Entwicklung des Single-Index-Modells, welches den tatsächlichen Rechenaufwand bis auf die Hälfte der ursprünglichen notwendigen Schätzungen reduziert und so zu Kosten- und Zeitersparnissen führt. Obwohl die Schlussbetrachtung des Kapitels einige fundamentale Schwächen anspricht, erfreuen sich die modifizierten Ansätze der modernen Portfoliotheorie auch heute noch in Theorie und Praxis einer großen Beliebtheit. 3.9 Zusammenfassung  Die Portfolio Selection Theory umfasst die ganzheitliche Betrachtung mehrerer Wertpapiere, anstatt sich auf ein einzelnes ertragsträchtiges Wertpapier zu beschränken.  Ein Kapitalanleger bevorzugt bei der Auswahl eines geeigneten Portfolios grundsätzlich dasjenige Portfolio, das bei gegebenem Risiko die höchste erwartete Rendite bzw. bei gegebener Rendite das geringstmögliche Risiko besitzt.  Die wichtigsten Determinanten des Portfolio-Selection-Modells nach Markowitz stellen die erwartete Rendite 𝜇𝜇 , die Standardabweichung 𝜎𝜎 bzw. Volatilität sowie die Korrelation der einzelnen Wertpapiere dar.  Bei der Ermittlung der erwarteten Renditen und Standardabweichungen der Wertpapiere werden die zugrundeliegenden statistischen Parameter auf Grundlage historischen Daten geschätzt. Weiterhin unterstellt das Portfoliomodell zukünftig konstante Korrelationen.  Das theoretische Rahmenwerk der Portfolio Selection Theory umfasst folgende Prämissen: − Die Kapitalanleger verhalten sich rational und risikoavers. − Die Eingangs- und Zielgrößen des Modells werden durch die Standardabweichung 𝜎𝜎 und dem Erwartungswert 𝜇𝜇 quantifiziert. − Die Wertpapiere des gebildeten Portfolios lassen sich beliebig teilen. − Das Modell berücksichtigt keine Transaktionskosten. − Das Modell bezieht sich auf eine Ein-Perioden-Betrachtung. 223 Vgl. Perridon/ Steiner (2003), S. 265 f. 224 Vgl. Schierenbeck (1991), S. 641 <?page no="264"?> 264 3 Grundlagen der modernen Portfoliotheorie  Jedes einzelne Portfolio besitzt ein individuelles Rendite-Risiko-Profil. Die grafische Darstellung mehrerer Portfolios in einem Rendite-Risiko-Diagramm erlaubt die Unterscheidung und Auswahl eines geeigneten Portfolios nach dem Effizienzkriterium.  Ein Portfolio kann als „effizient“ bezeichnet werden, wenn ausgehend von einer festgelegten Rendite kein anderes Portfolio ein niedrigeres Risiko aufweist bzw. bei gleichem Risiko kein anderes Portfolio mit einer höheren Rendite existiert.  Die Wahl der Anteilsgewichte bestimmt die Position des Portfolios im Rendite- Risiko-Diagramm und in Verbindung mit dem Effizienzkriterium die Position auf der Effizienzkurve.  Durch die Kombination der unterschiedlichen Wertpapiere werden die Risiken der einzelnen Wertpapiere auf das gesamte Portfolio verteilt, so dass es zu einem Diversifikationseffekt kommt.  Neben dem Korrelationskoeffizienten der einzelnen Wertpapiere nimmt die Anzahl der aufgenommenen Wertpapiere in einem Portfolio Einfluss auf das Portfoliorisiko. Hierbei lässt sich das gesamte Portfoliorisiko durch Diversifikation jedoch lediglich auf das inhärente systematische Risiko absenken.  Je geringer die Korrelation der unterschiedlichen Wertpapiere in einem Portfolio ausfällt, desto größer wirkt sich der Diversifikationseffekt auf das Risiko eines Portfolios aus.  Anschaulich gesprochen, ergibt sich die Effizienzkurve als oberste Grenze des Möglichkeitsraumes.  Eine Nutzenfunktion bildet im Kontext des Portfolio Managements grundsätzlich das Nutzenempfinden ( U ) in Abhängigkeit des Vermögens ( W ) eines Kapitalanlegers ab. Nutzenfunktionen werden maßgeblich durch das Nichtsättigungsprinzip sowie den Grenznutzen eines Vermögens charakterisiert.  Die Einstellung eines Kapitalanlegers zum Risiko kann drei unterschiedlichen Risikoeinstellungen zugeordnet werden: risikoscheu, risikoneutral oder risikofreudig.  Ein Kapitalanleger handelt in diesem Sinne also „rational“, wenn dieser sich bei der Auswahl unterschiedlicher Alternativen auf effiziente Portfolios beschränkt und diejenige Alternative auswählt, die seinen individuellen Nutzen maximiert.  Der Nutzen eines Kapitalanlegers nimmt zu, je weiter sich die Indifferenzkurve von der horizontalen Achse nach oben entfernt.  Da sich die Auswahl eines optimalen und effizienten Portfolios vorrangig an der Risikopräferenz eines Kapitalanlegers orientiert, resultiert das optimale Portfolio aus dem Tangentialpunkt zwischen der Indifferenzkurve und der Effizienzkurve.  Die Existenz eines risikolosen Zinssatzes impliziert, dass ein Kapitalanleger jederzeit einen Kredit in beliebiger Höhe aufnehmen kann, um anschließend das geliehene Kapital in beliebige Wertpapiere zu investieren. Durch die Kombination einer risikolosen Kapitalanlage zum risikolosen Zinssatz 𝑚𝑚 𝑓𝑓 und dem Marktportfolio M sind nahezu alle Portfolios entlang der Kapitalmarktlinie den Portfolios entlang der Effizienzkurve überlegen. Die Allokation zwischen einer risikolosen Kapitalanlage und dem Marktportfolio ist in der einschlägigen Fachliteratur auch als Tobin-Separation bekannt.  Die Rendite eines Portfolios setzt sich entsprechend der Kapitalmarktlinie aus drei Komponenten zusammen: Der Zeitprämie 𝑚𝑚 𝑓𝑓 für die zeitweise Überlassung von <?page no="265"?> 3.10 Fragen zu Kapitel 3 265 Kapital, der Risikoprämie, multipliziert mit dem übernommenen Portfoliorisiko σ rP .  Die Kapitalmarktlinie definiert den generellen Zusammenhang zwischen zunehmender Renditeerwartung und steigendem Portfoliorisiko.  Die Rendite eines individuellen Wertpapiers hängt von der Höhe des jeweiligen Beta-Faktors ab. Je größer der Beta-Faktor, umso größer ist die Rendite, aber auch das Risiko eines Wertpapiers im CAPM.  Mit dem CAPM wird für alle Anlageformen eine theoretische Beziehung zwischen deren erwarteter Rendite und dem jeweiligen Wertpapierrisiko begründet. Die Renditeerwartung jeder Anlagemöglichkeit entspricht dem Zinssatz für die sichere Anlagealternative zuzüglich einer Risikoprämie. Die Risikoprämie ist proportional zum Beta-Faktor des Wertpapiers. 3.10 Fragen zu Kapitel 3 Frage (1) Der ökonomische Ausgangspunkt der Portfoliotheorie nimmt an, dass Investoren möglichst hohe Renditen mit möglichst geringem Risiko erzielen wollen.  wahr  falsch Frage (2) In der Portfoliotheorie wird das verbundene Risiko eines Investments mit der Standardabweichung beschrieben.  wahr  falsch Frage (3) In der Portfoliotheorie ist Diversifikation ein zentrales Instrument der Risikoreduktion.  wahr  falsch Frage (4) In einem optimal gebildeten Portfolio lassen die zufälligen Renditestreuungen über einen längeren Zeitablauf hinweg die größte Streuung erwarten.  wahr  falsch Frage (5) Im Mittelpunkt der modernen Portfoliotheorie steht die quantitative Beschreibung des Zusammenhangs von Rendite und Risiko und Ansätze zur optimalen Diversifikation von Kapitalanlagen.  wahr  falsch Frage (6) Portfolios werden als effizient bezeichnet, wenn sie unterhalb auf der Effizienzkurve (Efficient Frontier) liegen.  wahr  falsch <?page no="266"?> 266 3 Grundlagen der modernen Portfoliotheorie Frage (7) Mögliche Nebenbedingungen für die Risikominimierung im Rahmen der modernen Portfoliotheorie sind: − Das Portfolio wird vollständig in die vorgegebenen Assets investiert. − Leerverkäufe sind nicht zulässig (positive Portfoliogewichte). − Die Rendite soll maximiert werden.  wahr  falsch Frage (8) Die Korrelation zwischen einer vorgegebenen sicheren Anlage und einem Risikoportfolio ist gleich Null.  wahr  falsch Frage (9) Die Rendite eines Portfolios setzt sich entsprechend der Kapitalmarktlinie aus drei Komponenten zusammen: − der Zeitprämie für die zeitweise Überlassung von Kapital, − der Risikoprämie, gemessen als Mehrrendite pro Risikoeinheit eines effizienten Risikoportfolios multipliziert − mit dem übernommenen Portfoliorisiko.  wahr  falsch Frage (10) Die Kapitalmarkttheorie von Tobin (1958) enthält die Annahme, dass die Zahl der Anlagealternativen unbegrenzt ist und für alle Anlagen, die beliebig teilbar sind, mitunter keine Marktpreise existieren.  wahr  falsch Frage (11) Die Kapitalmarkttheorie von Tobin (1958) enthält die Annahme homogener Erwartungen, d.h. alle Investoren verfügen über einen vergleichbaren Informationsstand auf Basis öffentlich verfügbarer Nachrichten und haben daher vergleichbare Erwartungen in Bezug auf die Renditen der verfügbaren Wertpapiere.  wahr  falsch Frage (12) Die Kapitalmarktlinie definiert den generellen Zusammenhang zwischen zunehmender Renditeerwartung und steigendem Portfoliorisiko.  wahr  falsch Frage (13) Mit steigender Renditeerwartung nehmen auch die Risiken zu, definiert als Unsicherheit über die am Ende tatsächlich realisierte Rendite.  wahr  falsch <?page no="267"?> 3.10 Fragen zu Kapitel 3 267 Frage (14) Die minimal zu erzielende Prämie pro Einheit Risiko ist durch das Marktportfolio bzw. die Steigung der Kapitalmarktlinie gegeben.  wahr  falsch Frage (15) Das Verhältnis der Kovarianz eines Assets ( i ) mit dem Portfolio ( M ) zur Varianz dieses Portfolios ( M ) wird als Beta-Faktor bezeichnet.  wahr  falsch Frage (16) Je kleiner der Beta-Faktor, umso größer ist die Rendite, aber auch das Risiko eines Wertpapiers im CAPM.  wahr  falsch Frage (17) Für ein Unternehmen sind folgende Informationen zur Bestimmung der Rendite mithilfe des CAPM gegeben: Rendite einer risikolosen Anlage: 4 % Rendite des Marktportfolios: 6 % Beta-Faktor: 0,8 Die Rendite für das Unternehmen beträgt: 5,6 %  wahr  falsch Frage (18) Im CAPM entspricht die Renditeerwartung einer Anlagemöglichkeit dem Zinssatz für die sichere Anlagealternative zuzüglich einer Risikoprämie, wobei die Risikoprämie sich proportional zum Beta-Faktor des Assets verhält.  wahr  falsch Frage (19) Für die Berechnung des Alpha (Niveauparameter) einer Aktie liegen folgende Informationen vor: Mittelwert der Log-Renditen der Aktie: 4 % Beta-Faktor der Aktie: 0,9 Mittelwert der Log-Renditen des Index: 3 % Der Achsenabschnitt Alpha beträgt: 6,3 %  wahr  falsch Frage (20) Vergleicht man die Beta-Faktoren verschiedener Aktien und deren Renditen, ist gemäß dem CAPM ein Rückschluss über die relative Unterbzw. Überbewertung der einzelnen Aktien möglich.  wahr  falsch <?page no="268"?> Literaturverzeichnis zu Kapitel 3 Albrecht, P. (2003). Risk Measures. Mannheim. Amenc, N., & Le Sourd, V. (2003). Portfolio Theory and Performance Analysis. England: John Wiley & Sons Ltd. Arens, T., Hettlich, F., Karpfinger, C., Kockelkorn, U., Lichtenegger, K., & Stachel, H. (2008). Mathematik (1. Ausg.). Spektrum Akademischer-Verlag. Artzner, P., Delbaen, F., Eber, J.-M., & Heath, D. (1998). Cohrent Measures of Risk. Bankverlag Medien. (2008). Basisinformationen über Vermögensanlagen in Wertpapieren. München: Bankverlag Medien. Baumüller, J., & Grbenic, S. O. (18. 4 2021). Moving from non-financial to sustainability reporting: Analyzing the eu commission’s proposal for a corporate sustainability reporting directive. Facta Universitatis, Series: Economics and Organization, S. 369-381. Beißer, M., Geisinger, L., & Korn, R. (2022). A worst-case approach for interest rate stresses and stock crashes. 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Literaturverzeichnis zu Kapitel 3 <?page no="274"?> Inhaltsübersicht Kapitel 4 4.1 Die absolute Optimierung im aktiven Portfolio Management ........................276 4.2 Die relative Optimierung im aktiven Portfolio Management .........................287 4.3 Die Umsetzung der absoluten Portfoliooptimierung ........................................300 4.4 Die Umsetzung der relativen Portfoliooptimierung ..........................................348 4.5 Schlussbetrachtung ...................................................................................................368 4.6 Zusammenfassung ....................................................................................................368 4.7 Fragen zu Kapitel 4 ...................................................................................................370 Literaturverzeichnis zu Kapitel 4 .......................................................................................374 <?page no="275"?> 4 Die Anwendung des aktiven Portfolio Managements In den vorigen Kapiteln wurden Grundlagen des aktiven und des passiven Portfolio Managements im Detail beschrieben. Im folgenden Kapitel stellen wir die unterschiedlichen Portfoliomodelle nach Markowitz und auch einige Modellerweiterungen vor. Die in diesem Kapitel dargestellten und erläuterten Portfoliomodelle knüpfen an die theoretischen Grundlagen der vorherigen Kapitel an und erweitern die Thematik des aktiven Portfolio Managements um zwei weitere relevante Punkte. In diesem Zusammenhang unterscheidet man im aktiven Portfolio Management generell die Methoden der absoluten und der relativen Portfoliooptimierung. In Kapitel 4 werden zunächst in den zwei getrennten Abschnitten 4.1 und 4.2 die theoretischen Grundlagen der absoluten und der relativen Portfoliooptimierung aufgearbeitet und vertieft, um im Rahmen der anschließenden Abschnitte wichtige Hinweise für die praktische Umsetzung in Microsoft Excel und MathWorks Matlab zu geben. In Abschnitt 4.1 stehen die Methoden zur Berechnung des Minimum-Varianz-Portfolios, des Maximum-Ertrags-Portfolios, eines beliebigen effizienten Portfolios und des Tangentialportfolios im Mittelpunkt der Ausführungen. In Abschnitt 4.2 werden die integralen Bestandteile der relativen Portfoliooptimierung erläutert, um anschließend darauf aufbauend die Alpha- und Beta-Faktoren für die einzelnen Wertpapiere eines Portfolios zu berechnen. Die Erläuterungen zu den aktiven Positionen und Risiken eines Portfolios und zu dem zu erzielenden Portfolio- Alpha bilden die Grundlage für die spätere Darstellung spezifischer Kennzahlen wie z.B. des Information Coefficient oder der Information Ratio. In den Abschnitten 4.3 und 4.4 werden abschließend die theoretischen Grundlagen der vorherigen Kapitel aufgegriffen und praktisch in Microsoft Excel und Math- Works Matlab umgesetzt. Im Rahmen des vorliegenden Kapitels werden zusammenfassend die folgenden zentralen Fragestellungen erläutert:  Welche Rolle spielt die absolute Optimierung im aktiven Portfolio Management?  Wie werden das Minimum-Varianz-Portfolio und das Maximum-Ertrags-Portfolio ermittelt?  Unter welchen Voraussetzungen kann die Sharpe Ratio eines Portfolios maximiert werden?  Wie funktioniert die relative Portfoliooptimierung und welche Bestandteile umfasst diese?  Lassen sich die Begriffe aktive Position sowie aktives Risiko und aktiver Beta- Faktor voneinander abgrenzen?  Mit welchen Kennzahlen lässt sich die Qualität eines aktiven Portfolio Managements messen?  Wie werden die erläuterten theoretischen Grundlagen praktisch in Microsoft Excel und MathWorks Matlab umgesetzt? <?page no="276"?> 276 4 Die Anwendung des aktiven Portfolio Managements 4.1 Die absolute Optimierung im aktiven Portfolio Management “The financial markets generally are unpredictable. So that one has to have different scenarios ... The idea that you can actually predict what's going to happen contradicts my way of looking at the market.” George Soros - US-amerikanischer Investor und Fondsmanager (*1930) Quelle: © World Economic Forum / Sebastian Derungs Im vorherigen Kapitel wurden die allgemeinen Vorteile bei der Bildung eines Portfolios aus mehreren unterschiedlichen Wertpapieren umfassend erläutert und dargestellt. Es gilt nun, sich der zentralen Frage zu widmen, wie das optimale Portfolio nach bestimmten Kriterien oder Kennzahlen bestimmt werden kann. Die Bestimmung eines optimalen Portfolios erfolgt dabei grundsätzlich in zwei Schritten. Zunächst sollte die Menge aller zulässigen und verfügbaren Portfolios auf Grundlage des Effizienzkriteriums überprüft und zugeordnet werden. M ARKOWITZ folgt dabei dem allgemeinen Ansatz, diejenigen Portfolios auszuschließen, welche in Bezug auf die Abwägung von Rendite und Risiko schlechter als andere Portfolios abschneiden 225 . Vor diesem Hintergrund ergeben sich die effizienten Portfolios aus der Auswahl derjenigen Portfolios, welche bei gegebener Rendite das minimale Risiko oder bei gegebenem Risiko die maximale Rendite erwarten lassen. 226 M ARKO- WITZ unterstellt dabei implizit einen risikoaversen Anleger und geht davon aus, dass ein Kapitalanleger grundsätzlich bei der Auswahl seiner Wertpapiere und Portfolios mehr Rendite gegenüber weniger Rendite bevorzugt. Stellt sich jedoch im Vergleich von zwei Portfolios heraus, dass beide Portfolios dieselbe erwartete Rendite besitzen, entscheidet sich der risikoaverse Kapitalanleger für dasjenige Portfolio mit dem geringeren Risiko. Da ein effizientes Portfolio die bestmögliche Abwägung zwischen der erwarteten Rendite und dem Risiko darstellt 227 , spricht man in diesem Zusammenhang gegenüber den anderen Portfolios auch von Dominanz. Nach dem Effizienzkriterium dominiert eine Kapitalanlage bzw. ein Portfolio eine andere Kapitalanlage bzw. Portfolio, falls es bei gleicher Rendite ein geringeres Risiko, oder bei gleichem Risiko eine höhere Rendite aufweist. Ein Portfolio ist im Vergleich zu allen möglichen und zulässigen Portfolios effizient, wenn sich darunter kein anderes Portfolio befindet, welches bei gleicher erwarteter Rendite ein geringeres Risiko bzw. bei gleichem Risiko eine höhere erwartete Rendite aufweist. Ein Portfolio ist genau dann effizient, wenn es durch kein anderes Portfolio dominiert wird. 228 . Abb. 77 zeigt den ersten Schritt in der Bestimmung eines 225 Vgl. Poddig (2009), S. 78 226 Vgl. Markowitz (1952), S. 82 227 Vgl. Fabozzi et al. (2007), S. 22 228 Vgl. Poddig (2009), S. 79 <?page no="277"?> 4.1 Die absolute Optimierung im aktiven Portfolio Management 277 optimalen Portfolios. Die Abbildung greift durch die Darstellung der ineffizienten Portfolios (Kreuze) und effizienten Portfolios (gestrichelte Linie) die strikte Trennung zwischen effizienten und ineffizienten Portfolios nochmals grafisch auf. Die Menge aller effizienten Portfolios (gestrichelte Linie) bildet in Form der Effizienzkurve den Rand aller zulässigen Portfolios ab. Die Effizienzkurve ergibt sich zusammenfassend als Menge aller effizienten Portfolios aus dem Möglichkeitsraum. Aus einem ökonomischen Blickwinkel betrachtet, demonstriert die Effizienzkurve, in welchem Ausmaß eine Reduktion des Risikos eine potenzielle Renditeminderung mit sich bringt. 229 Abb. 77: Ineffiziente und effiziente Portfolios im Rendite-Risiko-Diagramm Quelle: Eigene Darstellung in Matlab R2011b Eine Effizienzkurve kann rechnerisch unter verschiedenen Voraussetzungen gebildet werden. Zum Beispiel erlaubt der Kapitalanleger grundsätzlich Leerverkäufe (engl. short-sales) und die unbegrenzte risikolose Aufnahme und Anlage von Kapital. In diesem Fall ist es bei der Portfoliooptimierung erlaubt, in beliebiger Höhe gewisse Wertpapiere zu kaufen oder zu verkaufen. Oder der Kapitalanleger erlaubt zwar das Tätigen von Leerverkäufen, untersagt aber zugleich die unbegrenzte risikolose Aufnahme und Anlage von Kapital. In diesem Fall unterliegt der Kapitalanleger einem zuvor festgelegten Budget. Da es per Gesetz und Vorschriften nicht jeder Kapitalanlagegesellschaft erlaubt ist, im Rahmen des aktiven Portfolio Managements ihrer Fonds und Mandate den Kauf und Verkauf von derivativen Finanzinstrumenten zu tätigen, ergeben sich aus diesem Umstand weitere Bedingungen. Dabei mag vielleicht die unbegrenzte Aufnahme und Anlage von Fremdkapital möglich sein, die notwendige Einhaltung der vorherrschenden Gesetze und Vorschriften verbietet jedoch die Umsetzung von Leerverkäufen im optimierten Portfolio. Insgesamt lässt 229 Vgl. Prexl et al (2010), S. 373 0.16 0.17 0.18 0.19 0.2 0.21 0.22 0.23 -0.17 -0.16 -0.15 -0.14 -0.13 -0.12 -0.11 -0.1 -0.09 -0.08 IBM COST ABT Erwartete Rendite (Annualisiert) Standardabw e ichung (Annualisie rt) <?page no="278"?> 278 4 Die Anwendung des aktiven Portfolio Managements sich die Effizienzkurve auf Grundlage von vier unterschiedlichen Voraussetzungen ableiten, die nachfolgend kurz zusammengefasst werden:  Leerverkäufe sowie die Aufnahme und die Vergabe von Krediten zum risikolosen Zinssatz sind erlaubt.  Leerverkäufe sind zwar erlaubt, aber Aufnahme und Vergabe von Krediten zum risikolosen Zinssatz sind untersagt.  Leerverkäufe sind im Portfolio untersagt, wobei Aufnahme und Vergabe von Krediten zum risikolosen Zinssatz erlaubt sind.  Weder die Tätigung von Leerverkäufen noch die Aufnahme oder die Vergabe von Krediten zum risikolosen Zinssatz sind erlaubt. Die genannten Voraussetzungen werden in der Regel in unterschiedlichster Form bei der Portfoliooptimierung durch Nebenbedingungen oder Restriktionen berücksichtigt. Nach der anschaulichen Beschreibung der Effizienzkurve soll diese mathematisch abgeleitet und im Anschluss rechnerisch bestimmt werden. Auf Grundlage des Effizienz- und Dominanzkriteriums ist das Portfoliorisiko für eine gegebene Portfoliorendite zu minimieren und somit folgendes quadratisches Optimierungsproblem zu lösen, vgl. Abschnitt 1.7 und Kapitel 3: σ P2 = �� w i w j σ ij → min ! N j=1 N i=1 (4.1) mit 𝜎𝜎 𝑃𝑃2 : Risiko des gesamten Portfolios 𝑤𝑤 𝑖𝑖 : Portfolioanteil bzw. -gewicht des iten Wertpapiers 𝑤𝑤 𝑖𝑖 : Portfolioanteil bzw. -gewicht des jten Wertpapiers 𝜎𝜎 𝑖𝑖𝑖𝑖 : Kovarianz zwischen dem iten und jten Wertpapier Die nachfolgende Matrizenschreibweise lässt eine äquivalente, aber vereinfachte Darstellung von Formel (4.1) zu: σ P2 = w T Σw → min ! (4.2) mit 𝜎𝜎 𝑃𝑃2 : Risiko des gesamten Portfolios 𝑤𝑤: N x 1- Vektor mit den Portfolioanteilen bzw. -gewichten der jeweiligen Wertpapiere 𝑤𝑤 𝑇𝑇 : 1 x N- Vektor mit den Portfolioanteilen bzw. -gewichten der jeweiligen Wertpapiere (transponiert) 𝛴𝛴: N x N- Kovarianz-Matrix auf Basis der historischen Renditen Bei der Lösung des dargestellten Optimierungsproblems wird für eine beliebige, aber fest vorgegebene Portfoliorendite das Portfoliorisiko minimiert. Zu diesem Zweck wird nachfolgend die entsprechende Nebenbedingung mathematisch formuliert. Nebenbedingungen lassen sich in der Form von linearen Ungleichungen und Gleichungen in den Prozess der Portfoliooptimierung integrieren. � w i μ i N i=1 = r ∗ (4.3) <?page no="279"?> 4.1 Die absolute Optimierung im aktiven Portfolio Management 279 mit 𝑤𝑤 𝑖𝑖 : Anteil des iten Wertpapiers am gesamten Portfolio 𝜇𝜇 𝑖𝑖 : erwartete Rendite des iten Wertpapiers 𝑚𝑚 ∗ : beliebige, festgelegte Portfoliorendite Analog zu Formel (4.2) lässt sich die soeben formulierte Nebenbedingung in Matrizenschreibweise darstellen: w T μ = r ∗ (4.4) mit 𝑤𝑤 𝑇𝑇 : 1 x N- Vektor mit den Portfoliogewichten der jeweiligen Wertpapiere (transponiert) 𝜇𝜇: N x 1 -Vektor mit den erwarteten Renditen der jeweiligen Wertpapiere 𝑚𝑚 ∗ : beliebige, festgelegte Portfoliorendite Die Formeln (4.3) und (4.4) verdeutlichen, dass bei der Lösung des Optimierungsproblems die Rendite des optimierten Portfolios der geforderten erwarteten Portfoliorendite entsprechen muss. Zusätzlich wird als weitere Nebenbedingung gefordert, dass das gesamte Vermögen investiert wird: � w i N i=1 = 1 (4.5) mit 𝑤𝑤 𝑖𝑖 : Anteil des iten Wertpapiers am gesamten Portfolio oder alternativ in Matrizenschreibweise: 1 T w = 1 (4.6) mit 𝑤𝑤: N x 1- Vektor mit den Portfolioanteilen bzw. -gewichten der jeweiligen Wertpapiere 1 𝑇𝑇 : 1 x N- Vektor, dessen Elemente alle 1 sind In der Praxis besteht häufig außerdem ein umfassendes Leerverkaufsverbot. Dazu wird während der Portfoliooptimierung stets vorausgesetzt, dass die einzelnen Portfoliogewichte der Wertpapiere durchweg positiv sind: w i ≥ 0 für alle i = 1, … , N (4.7) Aus dem einmaligen Optimierungsprozess resultiert unter Einhaltung der entsprechenden Nebenbedingungen ein effizientes Portfolio in Form eines Punktes im Rendite-Risiko-Diagramm (𝑚𝑚 ∗ , 𝜎𝜎 ∗ ) . Da das Optimierungsproblem unter der Nebenbedingung einer beliebigen Portfoliorendite gelöst wird, lässt sich die Möglichkeitskurve durch die mehrmalige Minimierung des Portfoliorisikos für eine Reihe verschiedener Portfoliorenditen bestimmen. Die Effizienzkurve ergibt sich somit anschließend aus der Spanne der optimierten Portfolios zwischen dem Minimum-Varianz-Portfolio (MVP) und dem Maximum-Ertrags-Portfolio (MEP). Das MVP und das MEP stellen die untere und die obere Begrenzung der Effizienzkurve dar. Diejenigen Portfolios, die auf der Möglichkeitskurve unterhalb des MVP liegen, gelten als ineffizient, da Portfolios existieren, die bei gleichem Risiko eine höhere erwartete Rendite aufweisen. <?page no="280"?> 280 4 Die Anwendung des aktiven Portfolio Managements Aus praktischer Sicht erscheint die dargestellte Vorgehensweise äußerst ineffizient, da für jede beliebige Zielrendite erneut ein Optimierungsproblem gelöst werden muss. Liegen dem Portfolio-Manager jedoch keinerlei Restriktionen oder Nebenbedingungen vor, kann das Optimierungsproblem einfach mit Hilfe des Lagrange-Multiplikator-Ansatzes nach M ERTON (1972) gelöst werden. 230 Eine weitere Alternative zur Bestimmung der Effizienzkurve stellt die von M ARKO- WITZ und S HARPE entwickelte Kritische-Linien-Methode (engl. critical line method) dar. 231 Die Darstellung dieser Methode würde jedoch aufgrund ihres Umfangs den Rahmen dieses Buches übersteigen, sodass dem interessierten Leser zu dieser Thematik die Lektüre von M ARKOWITZ (1959) und insbesondere B ROQUET und VAN DEN B ERG (1992) empfohlen sei. Unabhängig von der verwendeten Methodik greift jeder Kapitalanleger bei der Berechnung der Effizienzkurve auf seine eigenen individuellen Prognosen zurück. In der Praxis ist die Voraussetzung der Homogenität der Erwartetungen nicht gegeben. Aus diesem Grund werden zwei unterschiedliche Kapitalanleger aufgrund der Divergenz ihrer Prognosen jeweils eine unterschiedliche Effizienzkurve aus ihrer Datengrundlage ableiten. 232 Demnach ist die Güte der individuellen Prognosen ausschlaggebend für die Aussagekraft der so ermittelten Effizienzkurven. 233 Tab. 14 zeigt in diesem Zusammenhang eine Übersicht über die verschiedenen Ansätze der Portfoliooptimierung im aktiven und passiven Portfolio Management. Zentrale Annahme Managementansatz Optimierungsverfahren Finanzmarktprognosen (erwartete Rendite und zukünftige Varianzen/ Kovarianzen) sind mit hinreichender Prognosegüte möglich Aktives Portfolio Management Absolute Optimierung Relative Optimierung Finanzmarktprognosen sind unmöglich oder decken nicht die mit ihnen verbundenen Kosten. Passives Portfolio Management Replizierung von Indizes Tab. 14: Überblick der Ansätze zur Portfoliooptimierung Quelle: Vgl. Poddig/ Brinkmann/ Seiler (2009), S. 115 In den nachfolgenden Abschnitten sollen nun die gängigen Methoden der absoluten Optimierung im Detail dargestellt werden. Dazu zählen das Minimum-Varianz-Portfolio, das Maximum-Ertrags-Portfolio sowie das Tangentialportfolio. Die genannten Vorgehensweisen lassen sich unmittelbar vom Grundgedanken der Portfolio Selection Theory nach Markowitz ableiten und unterliegen der zentralen Annahme, dass Finanzmarktprognosen grundsätzlich mit hinreichender Prognosegüte möglich sind. Es wird hierbei von inhärenten Ineffizienzen des Marktes 230 Vgl. Amenc/ Le Sourd (2003), S. 82 bzw. Darstellung des Lagrange-Ansatzes siehe bspw. Rasmussen (2003), S. 128 ff. 231 Vgl. Markowitz (1959), S. 310 ff. 232 Vgl. Amenc/ Le Sourd (2003), S. 80 233 Vgl. Quast (2006), S. 35 <?page no="281"?> 4.1 Die absolute Optimierung im aktiven Portfolio Management 281 ausgegangen, welche zu systematischen Überschussgewinnen führen können. Die langfristigen Rendite- und Risikoerwartungen eines Kapitalanlegers gegenüber den bevorzugten Wertpapieren und Anlageklassen stellen eine wichtige Voraussetzung für die langfristige Ausrichtung sowie den Anlageerfolg eines Portfolios dar. Auf Grundlage dieser Eingangsgrößen erfolgt im Rahmen der absoluten Optimierung die Bildung eines strategischen Portfolios. 234 Im Gegensatz zur relativen Optimierung erfolgt bei der absoluten Optimierung jedoch keine relative Betrachtung zu einer Benchmark, sondern eine absolute Betrachtung der Eingangsgrößen. Aus diesem Grund werden bei der absoluten Optimierung absolute Renditen verwendet. Die Durchführung der absoluten Optimierung erfordert die Bestimmung folgender Eingangsgrößen: − die erwartete (absolute) Rendite 𝜇𝜇 𝑖𝑖 sowie Standardabweichung 𝜎𝜎 𝑖𝑖 der bevorzugten risikobehafteten Wertpapiere und Anlageklassen − die erwarteten Varianzen und Kovarianzen der Renditen der bevorzugten Wertpapiere und Anlageklassen − die zuvor festgelegten Nebenbedingungen − die Nutzenfunktion des Investors/ Kapitalanlegers bzw. dessen Risikoneigung Nach der erfolgreichen Bestimmung der aufgezählten Eingangsgrößen ergibt sich aus der absoluten Portfoliooptimierung ein für den Kapitalanleger individuelles „optimales“ Portfolio. 4.1.1 Ermittlung des Minimum-Varianz-Portfolios Das Minimum-Varianz-Portfolio (MVP) in Abb. 78 stellt den Ursprung der dargestellten Effizienzkurve dar, weshalb man die untere Begrenzung der Effizienzkurve in Zusammenhang mit dem MVP bringt. Der Vergleich aller zulässigen Portfolios zeigt, dass kein anderes Wertpapier bzw. Portfolio existiert, das eine geringere Varianz aufweist. 235 In Abb. 78 wurde die Effizienzkurve im Rahmen der Portfoliooptimierung analog zu M ARKOWITZ unter der Einhaltung eines Leerverkaufsverbots berechnet. Unter der Voraussetzung eines Leerverkaufsverbots wird die dargestellte Effizienzkurve am oberen Ende durch das Portfolio mit der maximalen Rendite, dem Maximum-Ertrags-Portfolio (MEP), begrenzt. Liegt hingegen keine Einschränkung über den Leerverkauf von Wertpapieren vor, entfällt die obere Begrenzung der Effizienzkurve. 236 Die Darstellung der Kurve in Abb. 78 lässt eine weitere anschauliche Ableitung des Minimum-Varianz-Portfolios zu. Es wird deutlich, dass das MVP den Scheitelpunkt zwischen dem effizienten und dem ineffizienten Rand der Kurve darstellt. Der effiziente Rand der riskanten Portfolios dominiert dabei den ineffizienten Rand der riskanten Portfolios, da dieser bei einer gegebenen Standardabweichung eine höhere Rendite erwarten lässt. 237 234 Vgl. Enkirch (2010), S. 33 235 Vgl. Kleeberg (2002), S. 363 236 Vgl. Schmidt-von Rhein (1996), S. 240 f. 237 Vgl. Rudolph (2003), S. 9 <?page no="282"?> 282 4 Die Anwendung des aktiven Portfolio Managements Abb. 78: Ineffiziente und effiziente Portfolios im Rendite-Risiko-Diagramm Quelle: Eigene Darstellung, Tabellenblatt Maximum-Ertrags-Portfolio, Kapitel4_Beispiele.xlsm Im Rahmen der modernen Portfoliotheorie stellt neben der erwarteten Rendite eines Portfolios die Varianz der erwarteten Renditen einen wichtigen Bestandteil dar. Die Varianz stellt das statistische Äquivalent des Risikobegriffes dar, da sich mit Hilfe der Varianz sehr leicht die historische Streuung der Wertpapier- und Portfoliorenditen um ihren Mittelwert quantifizieren lässt. Die Varianz bildet damit auch die grundlegende Maßzahl für die Messung der historischen Volatilität. Die Varianz besitzt eine sehr wichtige statistische Eigenschaft, die den Kernpunkt der modernen Portfoliotheorie begründet. Die Kombination unterschiedlicher Wertpapiere, deren erwartete Renditen nicht vollständig positiv miteinander korreliert sind, führt zu einer unmittelbaren Reduktion der Varianz. Obwohl die Bezeichnung des Minimum-Varianz-Portfolios bei einer isolierten Betrachtung vermuten lässt, dass dieses Portfolio lediglich das Wertpapier mit der geringsten Varianz beinhaltet, umfasst das Minimum-Varianz-Portfolio im Gegensatz zum Maximum-Ertrags-Portfolio die Kombination mehrerer Wertpapiere. An dieser Stelle kommt die Portfoliooptimierung ins Spiel. Im Rahmen der Optimierung werden die einzelnen Wertpapiere so miteinander kombiniert, dass das entstehende Portfolio die geringstmögliche Varianz aufweist. 238 Der Extremfall zeigt, dass ein risikoloses Anlageobjekt oder zwei Wertpapiere i, j mit Korrelation −1 bei entsprechender Kombination dazu führen können, dass das Minimum-Varianz-Portfolio keinem Risiko ( 𝜎𝜎 𝑀𝑀𝑉𝑉𝑃𝑃 = 0 ) ausgesetzt ist, vgl. (3.13) und (4.13). 239 Die Bestimmung des Minimum-Varianz-Portfolios läuft auf ein quadratisches Optimierungsproblem mit linearen Nebenbedingungen hinaus. Im Allgemeinen ergibt sich die Minimierung der folgenden Zielfunktion: 238 Vgl. Kleeberg (2002), S. 363 239 Vgl. Schmidt-von Rhein (1996), S. 240 0% 2% 4% 6% 8% 10% 10% 12% 14% 16% 18% 20% erwartete Rendite Standardabweichung Effizienzkurve MVP MEP <?page no="283"?> 4.1 Die absolute Optimierung im aktiven Portfolio Management 283 ZF(w 1 , … , w N ) = σ P2 = �� w i w j σ ij → min ! N j=1 N i=1 (4.8) bzw. ZF(w) = σ P2 = w T Σw → min ! (4.9) unter der Einhaltung der Nebenbedingung � w i N i=1 = 1 bzw. 1 T w = 1 (Budgetrestriktion) (4.10) Und ggf. unter Einhaltung der zusätzlichen Nebenbdingung w i ≥ 0 für alle i = 1, … , N (Leerverkaufsverbot) (4.11) Das Minimum-Varianz-Portfolio besitzt neben der statistischen Eigenschaft der Varianz eine weitere charakteristische Besonderheit. Um das MVP zu ermitteln, bedarf es nicht notwendigerweise eines Optimierungsalgorithmus, da es das einzige Portfolio auf der Effizienzkurve ist, welches sich unabhängig von den prognostizierten erwarteten Renditen der enthaltenen Wertpapiere bestimmen lässt. 240 Die Zusammensetzung des Minimum-Varianz-Portfolios (ohne Leerverkaufsverbot) ergibt sich wie folgt: 241 w MVP = 1Σ −1 1Σ −1 1′ (4.12) Das dargestellte quadratische Optimierungsproblem ist also unter der Voraussetzung lösbar, dass die Varianz-Kovarianz-Matrix Σ invertierbar ist. 242 Aus ökonomischer Sicht spiegelt diese mathematische Voraussetzung die Aussage wider, dass es im Rahmen des Optimierungsproblems keine zwei verschiedenen Linearkombinationen von Wertpapieren gibt, die zueinander eine vollständige Korrelation aufweisen. 243 Aus mathematischer Sicht erfolgt die Bestimmung des Minimum-Varianz-Portfolios durch die Ableitung der Funktion der Portfoliovarianz nach den relativen Anteilen der enthaltenen Wertpapiere und der anschließenden Nullsetzung der daraus entstandenen neuen Gleichung. 244 Die angesprochene allgemeine mathematische Methodik zur Bestimmung des Minimums der Portfoliovarianz und Ableitung des Portfoliorisikos wird nachfolgend für den Zwei-Anlagen-Fall vereinfachend dargestellt. 245 σ p2 = w 12 ∙ σ 12 + (1 − w 1 ) 2 ∙ σ 22 + 2 ∙ w 1 ∙ (1 − w 1 ) ∙ σ 1 ∙ σ 2 ∙ ρ 1,2 (4.13) 240 Vgl. Braun (2009), S. 138 241 Vgl. Benninga (2008), S. 310 242 Vgl. Erläuterungen zur Bestimmung einer inversen Matrix, siehe Abschnitt 2.1.7 243 Vgl. Rudolph (2003), S. 10 244 Vgl. Kleeberg (2003), S. 363 245 Vgl. Spremann (2008), S. 180 <?page no="284"?> 284 4 Die Anwendung des aktiven Portfolio Managements Die Bestimmung des MVP erfordert zunächst die partielle Ableitung nach w 1 , dem Anteil des ersten Wertpapiers am Portfolio und anschließend die Nullsetzung. Es ergibt sich: dσ p2 (w 1 ) dw 1 = 2 ∙ w 1 ∙ σ 12 + 2 ∙ w 1 ∙ σ 22 − 2 ∙ σ 22 + 2 ∙ σ 1 ∙ σ 2 ∙ ρ 1,2 − 4 ∙ w 1 ∙ σ 1 ∙ σ 2 ∙ ρ 1,2 Nach dem Nullsetzen der Formel (4.14) folgt: w 1 = σ 22 − ρ 1,2 σ 1 σ 2 σ 12 + σ 22 − 2ρ 1,2 σ 1 σ 2 und w 2 = 1 − w 1 = σ 12 − ρ 1,2 σ 1 σ 2 σ 12 + σ 22 − 2ρσ 1 σ 2 wenn ρ 1,2 ≠ 𝜎𝜎 12 +𝜎𝜎 22 2𝜎𝜎 1 𝜎𝜎 2 . Im Zwei-Anlagen-Fall gilt Σ = � 𝜎𝜎 12 𝜌𝜌 1,2 𝜎𝜎 1 𝜎𝜎 2 𝜌𝜌 1,2 𝜎𝜎 1 𝜎𝜎 2 𝜎𝜎 22 � sodass die Gewichte (4.15) und (4.16) mit dem allgemeinen Fall (4.12) übereinstimmen. 4.1.2 Ermittlung des Maximum-Ertrags-Portfolios Das Maximum-Ertrags-Portfolio (MEP) stellt neben dem Minimum-Varianz-Portfolio eine weitere extreme Ausprägung bei der Portfoliooptimierung dar. Im Gegensatz zur Bestimmung des MVP soll nun die Portfoliorendite in Form der nachfolgenden Zielfunktion maximiert werden. Bei der Ermittlung des MEP im Rahmen der Portfoliooptimierung wird aus diesem Grund lediglich das Wertpapier ausgewählt, welches im Vergleich zu den verbleibenden Wertpapieren im Portfolio die höchste erwartete Rendite besitzt. In einem Sonderfall ist es möglich, dass sich mehrere Wertpapiere den Rang der höchsten erwarteten Rendite teilen. Hierbei wird bei der Optimierung des Portfolios dasjenige Wertpapier ausgewählt, welches die anderen Wertpapiere bei gegebener Rendite dominiert. 246 Es ergibt sich das folgende Optimierungsproblem: ZF(w) = w T μ → max! (4.18) 4.1.3 Bestimmung eines beliebig effizienten Portfolios Bei der Berechnung eines beliebig effizienten Portfolios, das sich per Definition auf der Effizienzkurve befindet, wird die nachfolgende Zielfunktion für eine beliebig geforderte Zielrendite minimiert. Die Ermittlung eines effizienten Portfolios erfolgt demnach durch die Lösung des folgenden quadratischen Optimierungsproblems: 246 Vgl. Poddig/ Brinkmann/ Seiler (2009), S. 110 <?page no="285"?> 4.1 Die absolute Optimierung im aktiven Portfolio Management 285 ZF(w) = σ p2 = w T Σw → min! (4.19) unter der Nebenbedingung: NB = w T μ = μ ∗ (4.20) mit 𝜇𝜇 ∗ : Zielrendite, wobei 𝜇𝜇 𝑀𝑀𝑉𝑉𝑃𝑃 ≤ 𝜇𝜇 ∗ ≤ 𝜇𝜇 𝑀𝑀𝑑𝑑𝑃𝑃 und der Nebenbedingung � w i N i=1 = 1 bzw. 1 T w = 1 (Budgetrestriktion) (4.21) Je nach den Bedürfnissen des Kapitalanlegers kann das dargestellte Optimierungsproblem unter Einhaltung weiterer Nebenbedingungen gelöst werden. 4.1.4 Ermittlung des Tangentialportfolios In Kapitel 3 wurden die theoretischen Grundlagen der Kapitalmarktlinie und der damit in Verbindung stehenden Tobin-Separation gelegt, wobei diese nun im Rahmen des folgenden Abschnitts um einige praktische Hinweise für deren Anwendung ergänzt werden sollen. Die Portfolio-Selection-Theorie nach M ARKOWITZ kommt zu der Schlussfolgerung, dass die Auswahl eines Portfolios auf der Effizienzkurve maßgeblich von der Risikoaversion des Kapitalanlegers abhängig ist, da die Zusammensetzung der Portfolios auf der Effizienzkurve grundsätzlich unterschiedlich ist und zu verschiedenen Risiko- und Renditeprofilen führt. Die Möglichkeit, bei der Auswahl eines effizienten Portfolios eine risikolose Anlage zu berücksichtigen, führt zur Bildung einer neuen Effizienzkurve, der Kapitalmarktlinie (engl. capital market line). Jedes neue effiziente Portfolio auf der Kapitalmarktlinie resultiert aus der Kombination der sicheren Anlagemöglichkeit und dem Marktportfolio, dem sogenannten Tangentialportfolio bzw. Maximum Sharpe Portfolio. 247 Dasjenige Portfolio, welches sich im Tangentialpunkt der Effizienzkurve und der Kapitalmarktlinie befindet, wird als Tangentialportfolio oder allgemeinhin auch als Marktportfolio bezeichnet. S HARPE , T OBIN und L INTNER zeigten in diesem Zusammenhang auf, dass mit Ausnahme des Tangentialportfolios selbst alle Portfolios auf der Kapitalmarktlinie die Portfolios auf der Effizienzkurve der risikobehafteten Anlagen in Bezug auf die Risikoeffizienz dominieren, 248 da diese bei gegebenem Risiko eine höhere Rendite erwarten lassen. Die durch T OBIN maßgeblich begründete Tobin-Separation besagt nun, dass sich das Portfolio Management auf die Lösung von zwei Aufgaben reduzieren lässt, welche grundsätzlich separat zu lösen sind. Die erste Aufgabe des Portfolio Managements besteht in der einmaligen Bestim- 247 Vgl. Spremann (2008), S. 226 248 Vgl. Fabozzi et al. (2007), S. 38 <?page no="286"?> 286 4 Die Anwendung des aktiven Portfolio Managements mung des Marktportfolios, wenn für alle Kapitalanleger homogene Erwartungen zu Grund gelegt werden. Die zweite Aufgabe beschäftigt sich mit der Spezifikation der individuellen Risikoaversion des Kapitalanlegers und der davon abhängigen prozentualen Aufteilung des zu investierenden Kapitals in das Marktportfolio und die risikolose Anlagemöglichkeit. 249 Die Zusammensetzung des Marktportfolios lässt sich entweder auf Grundlage der Marktkapitalisierung der einzelnen risikobehafteten Wertpapiere oder mathematisch aus den entsprechenden Formeln der Kapitalmarktlinie ableiten. Es gilt nun, die Ermittlung des Tangentialportfolios mit Hilfe der mathematischen Optimierung darzustellen. ZF = μ P − r f σ P → max! (4.22) bzw. in Matrizenschreibweise: ZF = w T μ − r f √w T Σw → max! (4.23) Die Formeln (4.22) und (4.23) entsprechen der Maximierung der Steigung der Tangente, welche vom Ursprung des Punktes 𝑚𝑚 𝑓𝑓 durch ein beliebiges effizientes Portfolio auf der Effizienzkurve führt, vgl. Kapitel 3.4. Die mathematische Berechnung des Tangentialportfolios ist daher gleichbedeutend mit der anschaulichen Verschiebung einer Geraden durch den Punkt 𝐫𝐫 𝐟𝐟 entlang der Effizienzkurve. 250 Die Zusammensetzung des Tangentialportfolios (ohne Leerverkaufsverbot) ergibt sich als Lösung von (4.23) wie folgt w MSP = (μ − r f )Σ −1 (μ − r f )Σ −1 1′ (4.24) Das dargestellte quadratische Optimierungsproblem ist also unter der Voraussetzung lösbar, dass die Varianz-Kovarianz-Matrix Σ invertierbar ist. Für den Zwei- Anlagen-Fall lässt sich die Formel (4.26) durch elementare Differentialrechnung verifizieren, genauso wie für das Minimum-Varianz-Portfolio (vgl. Abschnitt 4.1.1). Die mathematische Ermittlung des Tangentialportfolios TP beleuchtet auf Grundlage der Formeln (4.22) und (4.23), welche Kombination der Portfolioanteile zu einer Maximierung der Überschussrendite in Relation zum Portfoliorisiko führt. Aus diesem Grund stellt das Tangentialportfolio auch dasjenige Portfolio mit der maximalen Sharpe Ratio dar (vgl. Kapitel 3.4) 251 . SR P = μ P − r f σ P (4.25) Die Sharpe Ratio in Formel (4.25) stellt im Rahmen des Portfolio Managements eine Kennzahl der Performanceanalyse zur Beurteilung des Anlageerfolgs einer Strategie dar. Der Kernpunkt bei der Bewertung des Anlageerfolgs von unterschiedlichen Portfolios spiegelt sich in der Frage wider, ob die erzielte Rendite eines Portfolios der Übernahme größerer Risiken geschuldet ist. 252 249 Vgl. Spremann (2008), S. 227 250 Vgl. Brinkmann (2007), S. 40 251 Vgl. Poddig/ Brinkmann/ Seiler (2009), S. 148 252 Vgl. Krempf/ Memmel (2002), S. 914 <?page no="287"?> 4.2 Die relative Optimierung im aktiven Portfolio Management 287 Aus einem ökonomischen Blickwinkel betrachtet, trifft die Sharpe Ratio eines Portfolios eine Aussage über die realisierte Risikoprämie (Überschussrendite) je Einheit des übernommenen Gesamtrisikos (Volatilität). Da die Beurteilung des Anlageerfolgs maßgeblich auf historischen Zeitreihen beruht, handelt es sich bei der Sharpe Ratio um eine Ex-post-Kenngröße. 253 Da die Parameter aus Formel (4.25) bei einer zukünftige Betrachtung Schätzfehlern ausgesetzt sind, muss diejenige Anlagestrategie mit der höchsten empirischen Sharpe Ratio nicht notwendigerweise die beste Anlagestrategie für einen Kapitalanleger darstellen. 254 4.2 Die relative Optimierung im aktiven Portfolio Management “The key issue in investments is estimating returns.” 255 Fischer Black - US-amerikanischer Ökonom (*1938, †1995) Quelle: Public Domain Im nachfolgenden Abschnitt orientieren sich die Betrachtungen zur relativen Optimierung maßgeblich an den Ausführungen von G RINOLD / K AHN (2000), P ODDIG et al. (2009), K LEEBERG / S CHLENGER (1998) sowie S CHLENGER (1998). Obwohl sich im Laufe der Zeit unterschiedliche Denk- und Handlungsansätze im Portfolio Management herausgebildet haben, zeigen alle Methoden in einem Punkt eine wesentliche Übereinstimmung: Der Investmentprozess im Portfolio Management wird unabhängig von der Wahl des zugrundeliegenden Ansatzes prinzipiell ex ante ausgerichtet. Die zukunftsorientierte Ausrichtung des Investmentprozesses lässt sich hauptsächlich auf die Betrachtung von Prognosen zurückführen. Die in diesem Buch dargestellten Investmentansätze unterscheiden sich maßgeblich im Umgang mit Prognosen bzw. in der Verarbeitung der getätigten Prognosen. Die Verbindung von Rendite- und Risikoprognosen stellt den zentralen Ausgangspunkt für das aktive Portfolio Management dar. Vor diesem Hintergrund ist der langfristige Erfolg einer aktiven Kapitalanlage in hohem Maße von der Qualität der ausgesprochenen Prognosen abhängig. Unter der Voraussetzung eines Informations- und Analysevorsprungs sowie der konsistenten Umsetzung der ausgesprochenen Prognosen besitzen Marktteilnehmer gegenüber der Konkurrenz einen relativen Vorteil, wodurch nicht eingepreiste Informationen im Kurs eines Wertpapiers am Kapitalmarkt antizipiert werden können. 253 Vgl. Garz/ Günther/ Moriabadi (2006), S. 352 254 Vgl. Krempf/ Memmel (2002), S. 914 255 Siehe Black (1993), S. 36 ff. <?page no="288"?> 288 4 Die Anwendung des aktiven Portfolio Managements Der angesprochene relative Vorteil bezieht sich jedoch lediglich auf die antizipative Entwicklung der Renditeprognosen, nicht jedoch auf den Umgang mit den Risikoprognosen selbst, was zu einer Differenzierung der angeführten Begriffe führt. 256 Aus dem Umgang mit Prognosen resultieren jedoch nicht nur Vorteile, sondern gleichermaßen auch Nachteile, da der Eintritt von Prognosen unweigerlich mit Unsicherheit behaftet ist. Dieser Umstand führt bei der absoluten Optimierung zu erheblichen Problemen, da die Ergebnisse relativ sensitiv auf kleine Veränderungen der prognostizierten Input-Parameter reagieren. Eine Veränderung der Ausgangsparameter führt im Rahmen der absoluten Portfoliooptimierung zu Verschiebungen der „optimalen“ Portfoliostruktur, weshalb anschließend müßige Umschichtungen notwendig sind. Neben der Prognoseproblematik erschwert die Identifikationsproblematik der zugrundeliegenden Nutzenfunktion darüber hinaus die Anwendung der absoluten Portfoliooptimierung in der Praxis. Sofern die Nutzenfunktion eines Kapitalanlegers nicht hinreichend genau quantifiziert werden kann, ist die Bestimmung eines optimalen Portfolios auf Grundlage der Erwartungsnutzentheorie unmöglich. In diesem Zusammenhang sei darauf hingewiesen, dass die absolute Optimierung von Portfolios auf Grundlage von Nutzenfunktionen nicht notwendigerweise zu Ergebnissen führt, die mit dem praktischen Portfolio Management übereinstimmen. Ein Grund dafür besteht darin, dass Nutzenfunktionen sich maßgeblich auf eine eher allgemeinere Definition von Risiko berufen und somit nicht die unterschiedlichen Komponenten des Risikos in den Prozess der Portfoliooptimierung integrieren. 257 Aus diesem Grund erfordert eine erfolgsorientierte Umsetzung der zugrundeliegenden Prognosen im Portfolio Management den Einsatz eines alternativen Optimierungsverfahrens, in dem die Schätzfehler- und Identifikationsproblematik berücksichtigt wird. 258 Vor dem Hintergrund der Asset Allocation findet sich ein weiterer Grund für den Einsatz eines alternativen Optimierungsverfahrens wieder. Bei einer ansteigenden Komplexität des Anlageuniversums scheint eine hierarchische Strukturierung von Anlageentscheidungen im praktischen Portfolio Management durchaus sinnvoll zu sein. 259 Aus diesem Grund wird im Rahmen der Asset Allocation auch von einem Entscheidungsprozess gesprochen, welcher sich mit der zielgerichteten Aufteilung des verwalteten Vermögens befasst. Die strategische und auch die taktische Asset Allocation stellen hierfür geeignete Maßnahmen zur Verfügung. Im Rahmen einer strategischen Asset Allocation wird ein langfristiger Anlagehorizont (weit mehr als 5 Jahre) des Kapitalanlegers unterstellt. Im Gegensatz dazu berücksichtigt die taktische Asset Allocation aktuelle Marktsituationen und besitzt daher einen eher kurzfristigen Charakter. Schleißlich werden in der tatsächlichen Anlage (security selection) spezifische Informationen einzelner Anlagen berücksichtigt. Kapitel 1 stellte diesen Zusammenhang bereits ausführlich dar. 256 Vgl. Kleeberg/ Schlenger (1998), S. 254 257 Vgl. Grinold/ Kahn (2000), S. 103 258 Eine ausführliche Darstellung der angesprochenen Kritikpunkte und adäquater Lösungsansätze findet sich in Kapitel 6 wieder. 259 Vgl. Poddig et al. (2009), S. 200 <?page no="289"?> 4.2 Die relative Optimierung im aktiven Portfolio Management 289 Die Ebenen der Asset Allocation bilden im Sinne einer systematischen Aufteilung des verwalteten Vermögens einen mehrstufigen Entscheidungsprozess, in dem die strategische Asset Allocation der taktischen Asset Allocation vorgeschaltet ist und erst dann einzelne Anlagetitel ausgewählt werden. Aus der stufenweisen Ableitung der Asset Allocation ergibt sich in der ersten Stufe die Bildung eines strategischen Portfolios, in dem sich die langfristigen Erwartungen des Kapitalanlegers wesentlich in der strategischen Ausrichtung des gebildeten Portfolios widerspiegeln. In einem zweiten Schritt sollte aufgrund von temporären ökonomischen Entwicklungen am Kapitalmarkt und der Voraussetzung einer weiterhin gültigen langfristigen Markterwartung eine temporäre und zugleich taktische Anpassung des strategischen Portfolios erfolgen. 260 Einige empirische Tests fassen die folgenden fünf Einflussfaktoren zusammen, die maßgeblich zu einer kurzfristigen Veränderung der Markterwartungen führen können: 261 − Veränderungen des Risikoprämienspreads von Staats- und Unternehmensanleihen − Änderungen der Renditestrukturkurve bei Anleihen − unerwartete Änderungen der Inflationsdaten − Änderungen der Gewinnwachstumsrate beteiligter Volkswirtschaften − Residualrisiko Um an einer Veränderung der Markterwartungen der Marktteilnehmer partizipieren zu können, ist eine relative Anpassung des verwalteten Portfolios im Vergleich zu dem zuvor gebildeten strategischen Portfolio (Benchmark) notwendig. Hierzu eignet sich beispielsweise der Einsatz der relativen Optimierung. Da im aktiven Portfolio Management die Performance eines Portfolio-Managers häufig in Relation zu einer Benchmark in Form eines Marktindex beurteilt wird, kommt es oftmals zu einer Aufspaltung der Ergebnisverantwortlichkeit des Portfolio-Managers. Die Wahl einer entsprechenden Benchmark stellt unter der Voraussetzung der Fremdverwaltung einen der wichtigsten Aspekte der Anlageentscheidung dar, da der Kapitalanleger durch die getroffene Auswahl sowohl die Rendite als auch das Risiko der Benchmark akzeptiert. Im Rahmen der taktischen Asset Allocation kann es auf Grundlage temporärer Marktentwicklungen gelingen, bedeutsame Mehrerträge gegenüber der Benchmark zu erwirtschaften. 262 Da der Kapitalanleger grundsätzlich die Rendite und das Risiko der Benchmark akzeptiert, erscheint es nur logisch, dass der Portfolio-Manager lediglich die Verantwortung für die zusätzliche Rendite in Verbindung mit dem zusätzlichen Risiko tragen muss. In diesem Zusammenhang spricht man auch häufig von der aktiven Rendite bzw. dem aktiven Risiko eines Portfolios. Das optimale „relative“ Portfolio ergibt sich aus der bestmöglichen Abwägung zwischen aktiver Rendite und aktivem Risiko in Relation zur ausgewählten Benchmark. 263 Es wird deutlich, dass die relative Portfoliooptimierung maßgeblich auf die langfristigen Erwartungen des Kapitalanlegers in 260 Vgl. Poddig et al. (2009), S. 200 261 Vgl. Steiner/ Bruns (2007), S. 311 262 Vgl. Garz et al. (2006), S. 197 263 Vgl. Poddig et al. (2009), S. 201; Grinold/ Kahn (2000), S. 89 <?page no="290"?> 290 4 Die Anwendung des aktiven Portfolio Managements Form einer Benchmark zurückgreift. Je nach Ergebnisverantwortlichkeit lässt sich die Benchmark entweder durch die Bildung eines strategischen Portfolios aus den individuellen Präferenzen des Kapitalanlegers selbst ableiten oder orientiert sich dabei an einem entsprechenden Marktindex. Vor diesem Hintergrund empfiehlt sich der Einsatz der relativen Optimierung. Dabei gehen die prognostizierten Erwartungswerte der einzelnen Wertpapiere in Relation zu einer festgelegten Benchmark in die Optimierung des betrachteten Portfolios ein, wodurch letztlich das optimale Portfolio an die Benchmark gebunden bleibt und zu einer stabilen Portfoliostruktur führt. 264 Unter der Annahme vollkommen effizienter Kapitalmärkte eignet sich die relative Optimierung in abgewandelter Form zur Durchführung eines passiven Portfolio Managements in Folge der Replizierung von Indizes. Unter der Voraussetzung eines teilweise ineffizienten Kapitalmarktes stellt die Festlegung von verschiedenen Nebenbedingungen im Vergleich zur relativen Optimierung eine andere anwendungsbezogene Möglichkeit für den Umgang mit der angesprochenen Prognoseunsicherheit bei der Portfoliooptimierung dar. Weitere Lösungsansätze finden sich in den Verfahren der robusten Schätzer und der Optimierung, dem Portfolio-Resampling sowie dem Black-Litterman-Modell wieder. 4.2.1 Bestandteile der relativen Optimierung Im folgenden Abschnitt wird auf die wesentlichen Bestandteile der relativen Optimierung im Detail eingegangen. Dazu zählen die Bestimmung der aktiven Rendite und des aktiven Risikos, die Ermittlung des Portfolio-Alpha- und des Portfolio-Beta- Faktors, die Berechnung des aktiven Beta-Faktors sowie die Formulierung der korrespondierenden Zielfunktion. Dabei wird die grundsätzliche Notation der vorangegangenen Abschnitte zur absoluten Optimierung weitestgehend beibehalten bzw. nur an einigen Stellen angepasst. Im Gegensatz zur absoluten Optimierung, welche alleinig auf absolute Renditeprognosen zurückgreift, orientiert sich die relative Optimierung maßgeblich an relativen Renditeprognosen. Im Rahmen der relativen Optimierung werden aus diesem Grund in der Regel hauptsächlich Überschussrenditen zugrunde gelegt, die sich aus der Differenz zwischen der absoluten Rendite des Wertpapiers, Portfolios bzw. der Benchmark und dem risikofreien Zins ergeben. 𝑚𝑚 𝑖𝑖∗ = 𝑚𝑚 𝑖𝑖 − 𝑚𝑚 𝑓𝑓 (4.26) mit 𝑚𝑚 𝑖𝑖∗ : Überschussrendite des i -ten Wertpapiers 𝑚𝑚 𝑖𝑖 : absolute Rendite des i -ten Wertpapiers 𝑚𝑚 𝑓𝑓 : risikoloser Zinssatz Bei der Beobachtung von Wertpapierkursen verdeutlicht sich, dass die meisten Wertpapiere bei einer positiven Wertentwicklung des Marktes ebenfalls zu Kurssteigerungen neigen. Im Gegensatz dazu reagieren die meisten Wertpapiere bei einer negativen Marktentwicklung mit Kursverlusten. Es erscheint daher naheliegend, dass die gemeinsame Reaktion auf Marktveränderungen eine mögliche Ursache 264 Vgl. Schopf (2009), S. 38 <?page no="291"?> 4.2 Die relative Optimierung im aktiven Portfolio Management 291 für die Korrelation von Wertpapierrenditen untereinander darstellt. Um den dargestellten Zusammenhang der Renditen in Bezug auf die Wertpapiere und den Markt zu quantifizieren, erscheint es daher zweckmäßig, diese in Relation zueinander zu setzen. 265 Da es in der Praxis jedoch schwer möglich ist, das gesamte Anlageuniversum bzw. den Markt selbst adäquat abzubilden und dies oftmals nur teilweise gelingt, wird in der Praxis eher die Bezeichnung einer Benchmark herangezogen, die durch einen Marktindex repräsentiert wird. 266 Der zuvor dargestellte Zusammenhang dient weiterhin als mögliche Erklärungsgrundlage, weshalb die Rendite eines Wertpapiers zum Teil auf die Entwicklung der korrespondierenden Benchmark zurückgeführt werden kann. Unter der Annahme, dass die Rendite eines einzelnen Wertpapiers durch das zuvor ausgewählte Benchmark-Portfolio erklärt werden kann, definiert sich die Überschussrendite auf Grundlage des Single-Index-Modells (vgl. Abschnitt 3.7.1) wie folgt: 𝑚𝑚 𝑖𝑖∗ = 𝛼𝛼 𝑖𝑖 + 𝛽𝛽 𝑖𝑖 𝑚𝑚 𝐵𝐵∗ + 𝜀𝜀 𝑖𝑖 (4.27) mit 𝑚𝑚 𝑖𝑖∗ : Überschussrendite des i -ten Wertpapiers 𝛼𝛼 𝑖𝑖 : unabhängige, konstante Eigenrendite des i -ten Wertpapiers 𝛽𝛽 𝑖𝑖 : Beta-Faktor des i -ten Wertpapiers gegenüber der Benchmark B 𝑚𝑚 𝐵𝐵∗ : Überschussrendite der Benchmark B 𝜀𝜀 𝑖𝑖 : unsystematische, zufällige Restgröße (residuale Rendite) Die in Formel (4.27) dargestellten Komponenten 𝛽𝛽 𝑖𝑖 und 𝑚𝑚 𝐵𝐵∗ sind diejenigen Teile der Rendite eines Wertpapiers, die maßgeblich von der Entwicklung des Marktes bzw. der Benchmark abhängig sind. Die Komponenten 𝛼𝛼 𝑖𝑖 und 𝜀𝜀 𝑖𝑖 der Formel (4.27) stellen die Teile der Rendite eines Wertpapiers dar, welche unabhängig von der Entwicklung des Marktes bzw. der Benchmark sind. Die Summe der einzelnen Komponenten sollte der Gesamtrendite des Wertpapiers entsprechen. Beispiel: Berechnung der erwarteten Rendite eines Wertpapiers nach dem SIM Es soll die erwartete Jahresrendite der Aktie des Unternehmens Google ermittelt werden. Die Research-Abteilung ist der Meinung, dass die Aktie ein Alpha von 1 % besitzt. Bei einem momentanen Geldmarktzinssatz von 2 % und einer erwarteten Rendite des S&P 500 (Benchmark) von 5 % ergibt sich in Verbindung mit einem Beta-Faktor von 0,65 gemäß Formel (4.27) eine erwartete jährliche Rendite von: 2 % + 0,65 ∙ (5 % − 2 %) + 1 % = 4,95 % Auf Grundlage des Single-Index-Modells wurden nachfolgend einige vereinfachende Annahmen getroffen, die zusammenfassend dargestellt werden sollen. 267 Die residualen Renditen 𝜀𝜀 𝑖𝑖 besitzt einen Erwartungswert von Null. 265 Vgl. Elton et al. (2003), S. 133 ff. 266 Vgl. Grinold/ Kahn (2000), S. 88 f. 267 Vgl. Poddig et al. (2009), S. 157; Elton et al. (2003), S. 133 ff. <?page no="292"?> 292 4 Die Anwendung des aktiven Portfolio Managements [1] A(1) 𝜀𝜀 𝑖𝑖 = 𝐸𝐸(𝜀𝜀 𝑖𝑖 ) = 0 (4.28) Die unsystematische Restgröße bzw. residuale Rendite weist keine Korrelation mit der Überschussrendite der Benchmark auf. [2] A(2) 𝑒𝑒𝑆𝑆𝑛𝑛(𝜀𝜀 𝑖𝑖 , 𝑚𝑚 𝐵𝐵∗ ) = 𝐸𝐸[(𝜀𝜀 𝑖𝑖 − 0)(𝑚𝑚 𝐵𝐵′ − 𝜇𝜇 𝐵𝐵′ )] = 0 (4.29) Eine der wichtigsten Annahmen des Single-Index-Modells stellt die paarweise Unabhängigkeit von 𝜀𝜀 𝑖𝑖 und 𝜀𝜀 𝑖𝑖 für alle paarweisen Wertpapiere dar. Die formale Darstellung dieses Zusammenhangs impliziert, dass die Wertpapiere sich lediglich durch die gemeinsame Reaktion auf etwaige Marktänderungen ähneln. Es ergibt sich: [3] A(3) E�𝜀𝜀 𝑖𝑖 , 𝜀𝜀 𝑖𝑖 � = 0 (4.30) Auf Grundlage der dargestellten formalen Annahmen lassen sich im Anschluss leicht die Erwartungswerte der unterschiedlichen Wertpapierrenditen und deren dazugehörige Varianzen und Kovarianzen zwischen den einzelnen Wertpapierrenditen ermitteln. 𝐸𝐸(𝑚𝑚 𝑖𝑖′ ) = 𝜇𝜇 𝑖𝑖′ = 𝛼𝛼 𝑖𝑖 + 𝛽𝛽 𝑖𝑖 ∙ 𝜇𝜇 𝐵𝐵′ 𝜎𝜎 𝑖𝑖2 = 𝛽𝛽 𝑖𝑖2 ∙ 𝜎𝜎 𝐵𝐵2 + 𝜎𝜎 𝜀𝜀𝑖𝑖 2 (4.31) 𝜎𝜎 𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝛽𝛽 𝑖𝑖 ∙ 𝛽𝛽 𝑖𝑖 ∙ 𝜎𝜎 𝐵𝐵2 Die Varianz des i -ten Wertpapiers aus Formel (4.31) lässt sich grundsätzlich in zwei Komponenten zerlegen, wobei die Benchmark mit 𝛽𝛽 𝑖𝑖2 ∙ 𝜎𝜎 𝐵𝐵2 den ersten Teil des Risikos erklärt und das residuale Risiko mit 𝜎𝜎 𝜀𝜀𝑖𝑖 2 den zweiten Teil des Risikos definiert. Auf den genannten Annahmen und Definitionen beruhen anschließend alle weiteren relevanten Formeln für die relative Portfoliooptimierung. 4.2.2 Bestimmung der Alpha- und Beta-Faktoren Die Alpha- und Beta-Faktoren der einzelnen Wertpapiere dienen als zentrale Eingangsgrößen für die relative Optimierung und stellen zugleich eine wichtige Voraussetzung für die spätere Berechnung des Portfolio-Alphabzw. -Beta-Faktors dar. Der Faktor Alpha bezeichnet die Überschussrendite eines Portfolios in Relation zu einer zuvor festgelegten Benchmark und gibt Aufschluss, inwieweit die Selektion gewinnträchtiger Wertpapiere erfolgreich war. Der hohe Stellenwert der Alpha- und Beta-Faktoren resultiert aus der Tatsache, dass die betrachteten Überschussrenditen der einzelnen Wertpapiere sich aus der Summe der unabhängigen Eigenrendite des jeweiligen Wertpapiers und einem benchmarkabhängigen Renditeanteil erklären lassen 268 . Im Beta-Faktor eines Portfolios kommt vorrangig die Sensitivität des Portfolios gegenüber der Benchmark zum Ausdruck, weshalb diese Kennzahl auch das Timing eines Portfolio-Managers beschreibt. 269 Das Timing eines Portfolio-Managers beschreibt dessen Fähigkeit, an einer Aufwärtsbewegung des 268 Vgl. Poddig et al. (2009), S. 220 f. 269 Vgl. Spremann (2008), S. 358 <?page no="293"?> 4.2 Die relative Optimierung im aktiven Portfolio Management 293 Marktes durch die gezielte Steuerung des systematischen Marktrisikos (Beta- Faktor) teilhaben zu können. Ziel ist es, an Aufwärtsbewegungen des Marktes überproportional zu partizipieren, jedoch an Abwärtsbewegungen lediglich unterproportional teilzunehmen. 270 Die Alpha- und Beta-Faktoren der einzelnen Wertpapiere werden häufig durch eine univariate bzw. multivariate lineare Regression 271 , d.h. der statistischen Methode der kleinsten (Fehler-)Quadrate auf Grundlage historischer Kurszeitreihen, bestimmt 272 . Es sei in diesem Zusammenhang darauf hingewiesen, dass es sich hierbei lediglich um eine Schätzung der Parameter handelt. Obwohl noch zahlreiche andere Varianten der Parameter-Schätzung existieren, 273 wird im Rahmen dieses Kapitels auf den anwendungsbezogenen Ansatz der linearen Regression aufgrund der einfachen Umsetzung zurückgegriffen. Abb. 79 stellt die statische Methode der linearen Regression nochmals grafisch dar. Abb. 79: Lineare Regression Quelle: Eigene Darstellung, Tabellenblatt Alpha-Beta, Kapitel4_Beispiele.xlsm Nachdem alle notwendigen Alpha- und Beta-Faktoren der einzelnen Wertpapiere ermittelt wurden, kann die Berechnung des Portfolio-Alphabzw. -Beta-Faktors durch die Gewichtung der anteiligen Wertpapiere im Portfolio mit deren individuellen Alpha- und Beta-Faktoren erfolgen. Die Werte für die Portfolio-Alpha- und - Beta-Faktoren definieren sich wie folgt: 𝛼𝛼 𝑃𝑃 = 𝑤𝑤 𝑃𝑃𝑇𝑇 ∙ 𝛼𝛼 (4.32) 𝛽𝛽 𝑃𝑃 = 𝑤𝑤 𝑃𝑃𝑇𝑇 ∙ 𝛽𝛽 (4.33) mit 𝛼𝛼 𝑃𝑃 : Alpha-Faktor des gesamten Portfolios P 𝑤𝑤 𝑃𝑃𝑇𝑇 : Portfoliogewichte der einzelnen Wertpapiere im Portfolio P 𝛼𝛼 Vektor der unabhängigen Eigenrenditen der Wertpapiere 270 Vgl. Vogels (2010), S. 17 271 Das lineare Regressionsmodell beschreibt beispielsweise Fahrmeir (2007), S. 379 ff. 272 Vgl. Elton et al. (2003), S. 133 273 Eine detaillierte Übersicht liefert etwa Poddig et al. (2009), S. 225 -20% -10% 0% 10% 20% -20% -15% -10% -5% 0% 5% 10% 15% Diskrete-Rendite Cisco Diskrete-Rendite S&P 500 <?page no="294"?> 294 4 Die Anwendung des aktiven Portfolio Managements 𝛽𝛽 𝑃𝑃 : Beta-Faktor des gesamten Portfolios P 𝛽𝛽: Vektor der Betas der einzelnen Wertpapiere gegenüber der Benchmark. Das bei der Portfoliobildung insgesamt zu tragende Risiko lässt sich analog zu Formel (4.31) in das Benchmarkrisiko und das residuale Risiko unterteilen: 𝜎𝜎 𝑃𝑃2 = 𝛽𝛽 𝑃𝑃2 ∙ 𝜎𝜎 𝐵𝐵2 + 𝜎𝜎 𝜀𝜀𝑃𝑃 2 (4.34) wobei sich durch Umformung von Formel (4.34) nach dem residualen Risiko die unsystematische Komponente des Portfolios wie folgt definiert: 𝜎𝜎 𝜀𝜀𝑃𝑃 2 = 𝜎𝜎 𝑃𝑃2 − 𝛽𝛽 𝑃𝑃2 ∙ 𝜎𝜎 𝐵𝐵2 (4.35) Das Risiko des Portfolios P und das Risiko der Benchmark B ergeben sich aus: 𝜎𝜎 𝑃𝑃2 = 𝑤𝑤 𝑃𝑃𝑇𝑇 𝛴𝛴𝑤𝑤 𝑃𝑃 (4.36) 𝜎𝜎 𝐵𝐵2 = 𝑤𝑤 𝐵𝐵𝑇𝑇 𝛴𝛴𝑤𝑤 𝐵𝐵 (4. 37 ) Durch Einsetzen von Formel (4.36) und (4.14) in Formel (4.35) ergibt sich die anwendungsbezogene Formel zur Berechnung des residualen Risikos wie folgt: 𝜎𝜎 𝜀𝜀𝑃𝑃 2 = [𝑤𝑤 𝑃𝑃𝑇𝑇 ∙ 𝛴𝛴 ∙ 𝑤𝑤 𝑃𝑃 ] − �(𝑤𝑤 𝑃𝑃𝑇𝑇 ∙ 𝛽𝛽) 2 ∙ [𝑤𝑤 𝐵𝐵𝑇𝑇 ∙ 𝛴𝛴 ∙ 𝑤𝑤 𝐵𝐵 ]� (4.38) Zu Beginn dieses Abschnitts wurde einführend auf die Problematik der Schätzfehler in den Eingangsgrößen der absoluten Optimierung eingegangen. Da die Ermittlung der Alpha- und Beta-Faktoren gleichermaßen einer Schätzung auf Grundlage historischer Zeitreihen unterliegt, sollte bei der Bestimmung der Alpha- und Beta- Faktoren grundsätzlich die doch recht ähnliche Problematik berücksichtigt werden. Die Werte der Alpha- und Beta-Faktoren stellen grundsätzlich Ex-ante-Größen dar. Es gilt zu beachten, dass die Güte der Alpha- und Beta-Prognosen unweigerlich den Grad des späteren Anlageerfolgs des aktiven Portfolios beeinflusst. 274 Aus diesem Grund kommt durch die Prognose der Alpha- und Beta-Faktoren ein entscheidender wertgenerierender Prozess zum Ausdruck. Die Durchführung einer gleitenden Regression der Alpha- und Beta-Faktoren zeigt, dass unter Umständen auch diese Faktoren im Zeitablauf erhebliche Abweichungen aufweisen können. Um dies zu verdeutlichen, wurde eine lineare Regression für die jeweils 60 diskreten Überschussrenditen des Wertpapiers Cisco sowie die korrespondierenden Überschussrenditen der Benchmark des S&P 500 durchgeführt. In einem gleitenden Verfahren wurde für den Zeitraum von 01.12.2004 bis 01.12.2009 mit der Ermittlung der dazugehörigen Alpha- und Beta-Faktoren begonnen. Nach einem Monat wurden auf Grundlage einer neuen linearen Regression die neuen Alpha- und Beta-Faktoren berechnet. Wie in Abb. 80 dargestellt, ergibt sich aus der sukzessiven Verschiebung des Zeitraums eine vollständig neue Zeitreihe mit entsprechenden Alpha- und Beta- Prognosen. Die gleitenden Prognosen der Alpha-Werte liegen in einem absoluten Bereich von 0,004 bis 0,009, was einer prozentualen Abweichung von ca. 123 % zwischen dem minimalen und maximalen Wert der Zeitreihe gleicht. Der absolute Be- 274 Eine detaillierte Abhandlung bzgl. der Aufbereitung von Alpha-Prognosen für die relative Optimierung gibt etwa Kleeberg/ Schlenger (2002), S. 253 ff. <?page no="295"?> 4.2 Die relative Optimierung im aktiven Portfolio Management 295 reich der Beta-Prognosen zeigt mit Werten von 0,58 bis 0,79 und einer prozentualen Abweichung von in Höhe von ca. 37 % dagegen ein stabileres Bild. 275 Der direkte Vergleich der Alpha- und Beta-Prämien lässt den Rückschluss zu, dass aufgrund ihrer betragsmäßigen Größe und Instabilität eine verlässliche Alpha- Prognose sich tendenziell schwieriger gestaltet. 276 In Abb. 80 kommt weiterhin zum Ausdruck, dass die prognostizierten Alpha- und Beta-Faktoren im Zeitablauf teilweise massiv voneinander abweichen können und demnach einer hohen Schwankung unterliegen. Abb. 80: Alpha- und Beta-Werte im Zeitablauf Quelle: Eigene Darstellung, Tabellenblatt Alpha-Beta, Kapitel4_Beispiele.xlsm 4.2.3 Aktive Position, aktives Risiko und aktiver Beta-Faktor Im Rahmen der relativen Optimierung kommt es aufgrund des direkten Bezuges zur Benchmark zu Abweichungen zwischen den Anteilen des Portfolios und den Anteilen der Benchmark selbst. Die aktive Position des Portfolios resultiert aus der Differenz zwischen dem jeweiligen Anteil der Wertpapiere des Portfolios P und dem jeweiligen Anteil der Benchmark B. 𝑤𝑤 𝐵𝐵 = 𝑤𝑤 𝑃𝑃 − 𝑤𝑤 𝐵𝐵 (4.39) Durch die Abweichung zur Benchmark ist die aktive Position aufgrund zusätzlicher Unsicherheit ebenfalls einem Risiko ausgesetzt, welches in der aktiven Varianz wie folgt zum Ausdruck kommt: 𝜎𝜎 𝐵𝐵𝑃𝑃 2 = 𝑤𝑤 𝐵𝐵𝑇𝑇 ∙ 𝛴𝛴 ∙ 𝑤𝑤 𝐵𝐵 (4.40) Zur Differenzierung des aktiven und des residualen Risikos werden abschließend zwei neue Symbole in die Darstellungen eingebracht: 𝜔𝜔 𝑃𝑃2 = 𝜎𝜎 𝜀𝜀𝑃𝑃 2 (4.41) 𝜓𝜓 𝑃𝑃2 = 𝜎𝜎 𝐵𝐵𝑃𝑃 2 (4.42) Bei der Beurteilung des Erfolgs einer Kapitalanlage in Abhängigkeit von einer Benchmark kommt der Differenz der Rendite des Portfolios 𝑚𝑚 𝑃𝑃 und der Rendite der 275 Vgl. Poddig et al. (2009), S. 222 276 Vgl. Allianz Global Investors, Wissen: Von Alpha bis Vola, S. 1 0,0000 0,0020 0,0040 0,0060 0,0080 0,0100 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 Alpha Beta Zeitpunkt t Beta <?page no="296"?> 296 4 Die Anwendung des aktiven Portfolio Managements Benchmark 𝑚𝑚 𝐵𝐵 eine große Bedeutung zu. Die Differenz wird häufig auch als aktive Rendite bezeichnet: 𝑚𝑚 𝐵𝐵𝑃𝑃 = 𝑚𝑚 𝑃𝑃 − 𝑚𝑚 𝐵𝐵 . In diesem Zusammenhang lässt sich das aktive Risiko eines Portfolios ebenfalls aus der Standardabweichung der aktiven Rendite ermitteln: 277 𝜓𝜓 𝑃𝑃 = 𝜎𝜎{𝑚𝑚 𝐵𝐵𝐵𝐵 } = 𝜎𝜎{𝑚𝑚 𝑃𝑃 − 𝑚𝑚 𝐵𝐵 } (4.43) In diesem Zusammenhang sollte auch das residuale Risiko 𝝎𝝎 𝑷𝑷 genannt werden. Das residuale Risiko stellt analog zum aktiven Risiko ein relatives Risikomaß dar, welches das verbleibende Restrisiko bzw. Selektionsrisiko ausdrückt. Das residuale Risiko 𝜔𝜔 𝑃𝑃 lässt sich wie folgt berechnen (vgl. 4.39): 278 𝜔𝜔 𝑃𝑃2 = 𝜎𝜎 𝑃𝑃2 − 𝛽𝛽 𝑃𝑃2 ∙ 𝜎𝜎 𝐵𝐵2 ↔ 𝜔𝜔 𝑃𝑃 = �𝜎𝜎 𝑃𝑃2 − 𝛽𝛽 𝑃𝑃2 ∙ 𝜎𝜎 𝐵𝐵2 (4.44) Der aktive Beta-Faktor wird in ähnlicher Weise bestimmt wie das aktive Risiko aus Formel (4.39). Die Kennzahl beschreibt die Differenz zwischen dem Portfolio- Beta und dem Benchmark-Beta. Da der Beta-Faktor der Benchmark per Definition Eins ergibt, resultiert das aktive Beta aus der Differenz von Portfolio- und Benchmark-Beta: 𝛽𝛽 𝐵𝐵𝑃𝑃 = 𝛽𝛽 𝑃𝑃 − 𝛽𝛽 𝐵𝐵 = 𝛽𝛽 𝑃𝑃 − 1 (4. 45 ) Nach der Bestimmung der aktiven Varianz lässt sich die aktive Varianz erneut formal definieren: 𝜎𝜎 𝐵𝐵𝑃𝑃 2 = 𝜓𝜓 𝑃𝑃2 = 𝛽𝛽 𝐵𝐵𝑃𝑃 2 ∙ 𝜎𝜎 𝐵𝐵2 + 𝜔𝜔 𝑃𝑃2 (4.46) Die Einführung der vorherigen Formel lässt sich durch das Verständnis von zwei weiteren Risikobegriffen deutlich leichter interpretieren. Das sogenannte Selektionsrisiko beschreibt die Fähigkeit eines Portfolio-Managers, die Portfoliorendite durch eine sinnvolle Auswahl an renditesteigernden Anlageobjekten zu erhöhen. Es wird dann von einer Selektionsfähigkeit gesprochen, wenn ein Portfolio-Manager in der Lage ist, mit seinem Portfolio ein vergleichsweise hohes Alpha zu erzielen. Als weiterer Risikobegriff existiert noch das sogenannte Timingrisiko. Das Timingrisiko beschreibt, wie geschickt der Portfolio-Manager den Beta- Faktor eines Portfolios im Vergleich zum Benchmark-Beta-Faktor anpasst. Im Zeitablauf der Investition gilt es, eine positive Überschussrendite der Benchmark durch aktive Veränderung des Beta-Faktors des Portfolios zu übertreffen. Auf der anderen Seite kann die Timingfähigkeit eines Portfolio-Managers dazu genutzt werden, bei negativer Marktentwicklung im Vergleich zur Benchmark eine weniger stark fallende Überschussrendite zu erzielen. Vor diesem Hintergrund lässt sich das 277 Vgl. Grinold/ Kahn (2000), S. 49 278 Vgl. ebd., S. 50 <?page no="297"?> 4.2 Die relative Optimierung im aktiven Portfolio Management 297 aktive Risiko mit β 𝐵𝐵𝑃𝑃 2 ∙ 𝜎𝜎 𝐵𝐵2 in das Timing- und mit 𝜎𝜎 𝜀𝜀𝑃𝑃 2 in das Selektionsrisiko unterteilen. 279 Es ist demnach möglich, sofern ausreichende Timingqualitäten vorliegen, eine korrespondierende Benchmark outzuperformen, da die Benchmark per Definition stets im Markt investiert ist. 280 Abb. 81 verdeutlicht die Intention der Timingfähigkeit nochmals grafisch. Abb. 81: Vergleich der Timingfähigkeiten Quelle: Eigene Darstellung, vgl. Steiner/ Bruns (2007), S. 612 Unter Ausschluss der Timing-Komponente ist die aktive Varianz aus Formel (4.43) mit dem residualen Risiko des Portfolios identisch: 𝜓𝜓 𝑃𝑃2 = 𝜔𝜔 𝑃𝑃2 wobei 𝛽𝛽 𝑃𝑃 = 𝛽𝛽 𝐵𝐵 = 1 ⇔ 𝛽𝛽 𝐵𝐵𝑃𝑃 = 0 (4.47) Solange ein Portfolio-Manager das Benchmark-Timing vernachlässigt und die in Formel (4.47) dargestellte Timing-Komponente vollständig von der relativen Portfoliooptimierung ausschließt, entsprechen sich die aktiven und die residualen Renditen. 281 4.2.4 Kennzahlen des aktiven Portfolio Managements Im Nachfolgenden soll der zentralen Frage nachgegangen werden, ob das angesprochene Timing oder die Selektion von gewinnträchtigen Wertpapieren oder gar die Kombination aus beiden Fähigkeiten zielorientierte Maßnahmen für das aktive Portfolio Management darstellen. Aus dem „fundamentalen Gesetz des aktiven Managements“ erschließt sich eine signifikante Beziehung zwischen den unterschiedlichen Komponenten der Information Ratio (IR), womit versucht wird, die eingangs gestellte Frage zu beantworten. 282 Zu Beginn der Betrachtungen soll kurz die Information Ratio zur Beurteilung der 279 Vgl. Schlegel (2012), S. 59; Poddig et al. (2009), S. 209 f. 280 Vgl. Steiner/ Bruns (2007), S. 611 281 Vgl. Grinold/ Kahn (2000), S. 103 282 Vgl. ebd., S. 147 ff. Ohne Timing-Fähigkeit Mit Timing-Fähigkeit <?page no="298"?> 298 4 Die Anwendung des aktiven Portfolio Managements Fähigkeiten des aktiven Managements und des Erfolgs der taktischen Asset Allocation eingeführt werden. Die Information Ratio besteht aus zwei wesentlichen Komponenten: − der Güte der zugrundeliegenden Prognosen (engl. information coefficent) und − der Häufigkeit der getätigten Prognosen (engl. breadth). Die Information Ratio definiert sich demnach wie folgt: 𝐼𝐼𝑅𝑅 = 𝐼𝐼𝐶𝐶 ∙ √𝐵𝐵𝑅𝑅 (4.48) mit 𝐼𝐼𝑅𝑅: Information Ratio 𝐼𝐼𝐶𝐶: Information Coefficient (Prognosegüte) 𝐵𝐵𝑅𝑅: Breadth (Prognosehäufigkeit) Die Interpretation der Information Ratio lässt die Aussage zu, dass eine höhere Information Ratio auf eine bessere risikoadjustierte Outperformance der zugrundeliegenden Anlagestrategie schließen lässt. Vor diesem Hintergrund basiert das aktive Portfolio Management auf der Zielsetzung, die Information Ratio einer Anlagestrategie zu maximieren. 283 Da die Kennzahl des Information Coefficients eine Aussage über die Prognosegüte treffen soll, wird sie aus dem Korrelationskoeffizienten zwischen dem prognostizierten und tatsächlichen realisierten Ertrag des Portfolios berechnet. 284 Die theoretische Bandbreite des Information Coefficient liegt analog zum Korrelationskoeffizienten bei -1 bis +1. In der Praxis nehmen die Werte des Information Coefficient vergleichsweise geringe Werte von 0 bis 0,15 an. Die Prognosehäufigkeit (Breadth) dagegen stellt lediglich die Anzahl der Prognosen in der untersuchten Periode dar. Um die Information Ratio des Portfolios zu verdoppeln, ist entweder eine Erhöhung der Prognosefähigkeit (engl. skill) um den Faktor 2 oder ein Anstieg der Prognosehäufigkeit um den Faktor 4 erforderlich. Eine Kombination beider Komponenten ist ebenfalls möglich. 285 Die beiden Einflussfaktoren der Information Ratio wirken in die gleiche Richtung. Ein Defizit in der Prognosegüte kann durch eine ansteigende Anzahl von Prognosen ausgeglichen werden, bzw. umgekehrt, ein Defizit in der Häufigkeit der Prognosen kann durch eine Verbesserung der Prognosegüte wieder ausgeglichen werden. 286 Diese elementare Beziehung wird auch als das „fundamentale Gesetz des aktiven Portfolio Managements“ bezeichnet. Auf Grundlage der dargestellten Beziehung lässt sich auch die zu Beginn gestellte Frage, inwiefern die angesprochenen Fähig- 283 Vgl. Sauer (2002), S. 168 284 Vgl. Garz et al. (2006), S. 199 285 Vgl. Grinold/ Kahn (1989), S. 146 286 Vgl. Kleeberg/ Schlenger (2002), S. 264 <?page no="299"?> 4.2 Die relative Optimierung im aktiven Portfolio Management 299 keiten im Rahmen der Portfoliooptimierung zu einer zielorientierten Umsetzung beitragen, beantworten. Das nachfolgende Beispiel soll den Sachverhalt verdeutlichen. Beispiel: Das fundamentale Gesetz des aktiven Portfolio Managements Bei der Auswahl einer geeigneten Anlagestrategie greift Portfolio-Manager A auf eine Timing-Strategie zurück. Um den Portfolio-Beta-Faktor entsprechend seiner Prognosen anpassen zu können, prognostiziert der Portfolio-Manager die Marktrendite quartalsweise. Im Gegensatz zu Portfolio-Manager A verfolgt Portfolio- Manager B eine Selektionsstrategie. Die Umsetzung dieser Anlagestrategie erfordert jedoch die Prognose der erwarteten Renditen für 100 einzelne Wertpapiere. Unter der Voraussetzung, dass die Prognosen gleichermaßen in quartalsweisen Abständen erfolgen, resultieren 400 Prognosen pro Jahr. 287 𝐼𝐼𝐶𝐶 𝑆𝑆 ∙ √400 = 𝐼𝐼𝐶𝐶 𝑇𝑇 ∙ √4 ⇒ 10𝐼𝐼𝐶𝐶 𝑆𝑆 = 𝐼𝐼𝐶𝐶 𝑇𝑇 Der Vergleich der beiden Portfoliostrategien zeigt, dass die Erzielung einer gleichwertigen Information Ratio eine Steigerung der Prognosegüte der zugrundeliegenden Timing-Strategie um den Faktor 10 erfordert. Eine aggressivere Anlagestrategie mit deutlichen Abweichungen von der Benchmark besitzt also lediglich unter der Voraussetzung ein langfristiges Potenzial, dass die prognostizierte Überschussrendite das übernommene aktive Risiko überkompensiert. 288 Aus der Überlegung, die Selektions-Strategie aufgrund ihrer Prognosehäufigkeit zu bevorzugen sowie die Timing-Strategie zu vernachlässigen, resultieren zwei mögliche Zielfunktionen für die Optimierung (Minimierung): 𝑍𝑍𝑍𝑍 = 𝛼𝛼 𝑃𝑃 − 𝜆𝜆 ∙ 𝜔𝜔 𝑃𝑃2 (ohne Timing) (4.49) 𝑍𝑍𝑍𝑍 = 𝛼𝛼 𝑃𝑃 − 𝜆𝜆 1 ∙ 𝜔𝜔 𝑃𝑃2 − 𝜆𝜆 2 ∙ 𝛽𝛽 𝐵𝐵𝑃𝑃 2 ∙ 𝜎𝜎 𝐵𝐵2 (mit Timing) Bei der Umsetzung der relativen Optimierung unterscheidet man die − außerordentliche Form und − die residuale Form. Die außerordentliche Optimierung stellt grundsätzlich das allgemeinere, die residuale Optimierung das speziellere Verfahren dar. Während die außerordentliche Optimierung die Selektions- und Timing-Strategie beinhaltet, beschränkt sich die residuale Optimierung auf die Selektion von Wertpapieren und Anlagenklassen. Der verfahrenstechnische Vergleich zeigt, dass bei der außerordentlichen Optimierung prinzipiell die außerordentlichen Renditen gegen die dazugehörigen aktiven Risiken (engl. tracking error) auf Grundlage der individuellen Risikopräferenzen des Anlegers abgewägt werden. Die residuale Optimierung dagegen beschränkt sich auf Ex-ante-Alphas und aktive Risiken. 289 287 Vgl. Poddig et al. (2009), S. 216 288 Vgl. Garz et al. (2006), S. 199 289 Vgl. Kleeberg/ Schlenger (2002), S. 257 f. <?page no="300"?> 300 4 Die Anwendung des aktiven Portfolio Managements 4.3 Die Umsetzung der absoluten Portfoliooptimierung 4.3.1 Vorstellung des Ausgangsportfolios für die absolute Optimierung “Get inside information from the president and you will probably lose half your money. If you get it from the chairman of the board, you will lose all of your money.” Jim Rogers - US-amerikanischer Hedgefondsmanager (*1942) Quelle: © FDV Im Rahmen der nachfolgenden Abschnitte wird für die Dokumentation und Erläuterung der Excel-Beispiele ein Ausgangsportfolio mit folgenden Eckdaten zugrundegelegt: Wertpapier-Kürzel erwartete Rendite Standardabweichung Portfoliogewicht ABT 3,10 % 18,21 % 10 % BA 0,74 % 30,14 % 10 % COST 4,53 % 21,60 % 10 % CSCO 4,27 % 27,28 % 10 % IBM 5,21 % 22,43 % 10 % INTC -3,47 % 28,26 % 10 % MRK 2,75 % 28,63 % 10 % MSFT 2,32 % 25,36 % 10 % T 1,07 % 20,08 % 10 % XOM 7,89 % 19,40 % 10 % Tab. 15: Ausgangsportfolio Das Ausgangsportfolio nimmt entsprechend Tab. 15 unterschiedliche Unternehmen aus der Technologie-Branche, der Gesundheits- und Nahrungsmittel-Branche, der Pharma-Branche, der Energie-Branche sowie der Luft-und-Raumfahrt-Branche auf. Es beinhaltet Unternehmen wie Abbott Laboratories (ABT), Boeing Industries (BA), Costco Wholesale (COST), Cisco Systems (CSCO), IBM (IBM), Intel (INTC), Merk (MRK), Microsoft (MSFT), AT&T (T) und der Exxon Mobil Corporation (XOM). Die Auswahl der genannten Wertpapiere ergab sich einerseits aus der geeigneten Branchenzugehörigkeit und andererseits aus der Korrelation der einzelnen Wertpapiere untereinander, um nach dem Gedanken von M ARKOWITZ eine ausreichende Diversifikation des Portfolios zu erreichen. <?page no="301"?> 4.3 Die Umsetzung der absoluten Portfoliooptimierung 301 Tab. 16 greift die unterschiedliche Korrelationsstruktur des Portfolios auf. Die historische Datengrundlage für die Berechnung der Korrelationskoeffizienten bezieht sich, wie auch bei allen anderen relevanten Berechnungen der Excel-Modelle, maßgeblich auf einen 5-Jahres-Zeitraum vom 01.12.2004 bis zum 01.12.2009 , wodurch sich aufgrund der monatlichen Periodizität der Kurse eine Stichprobe von 60 Beobachtungswerten ergibt. 290 Bei den ermittelten erwarteten Renditen handelt es sich um stetige monatliche Durchschnittsrenditen. Da es sich um monatliche Daten handelt, wird die Volatilität zwischen den einzelnen Stichtagen nicht erfasst. Die Standardabweichungen, Varianzen sowie Kovarianzen wurden entsprechend auf Basis der historischen Renditen ermittelt und für die späteren Berechnungen annualisiert. In den nachfolgend dargestellten Excel- und Matlab-Beispielen wird zum Großteil auf die Annahmen der modernen Kapitalmarkttheorie abgestellt. Das dargestellte Portfolio findet in angepasster Form in Verbindung mit der entsprechenden Benchmark auch in den Kapiteln 5 und 6 weitere Verwendung. In den nachfolgenden Abschnitten können die dargestellten Beispiele gleichermaßen in Excel und Matlab nachempfunden und umgesetzt werden. Die Praxisbeispiele in Verbindung mit dem anschließend dargestellten Quellcode und den dazugehörigen Erläuterungen sollen das Selbststudium erleichtern. ABT BA COST CSCO IBM INTC MRK MSFT T XOM ABT 1,00 0,17 0,02 0,05 0,06 0,10 0,39 0,13 0,16 0,05 BA 0,17 1,00 0,39 0,47 0,31 0,38 0,47 0,25 0,29 0,31 COST 0,02 0,39 1,00 0,46 0,32 0,47 0,35 0,49 0,40 0,08 CSCO 0,05 0,47 0,46 1,00 0,54 0,58 0,26 0,47 0,47 0,16 IBM 0,06 0,31 0,32 0,54 1,00 0,46 0,17 0,28 0,20 0,14 INTC 0,10 0,38 0,47 0,58 0,46 1,00 0,44 0,49 0,41 0,16 MRK 0,39 0,47 0,35 0,26 0,17 0,44 1,00 0,40 0,35 0,38 MSFT 0,13 0,25 0,49 0,47 0,28 0,49 0,40 1,00 0,45 0,21 T 0,16 0,29 0,40 0,47 0,20 0,41 0,35 0,45 1,00 0,34 XOM 0,05 0,31 0,08 0,16 0,14 0,16 0,38 0,21 0,34 1,00 Tab. 16: Korrelationen der einzelnen Wertpapiere im Ausgangsportfolio Quelle: Eigene Darstellung, Matlab R2011b Um die relative Wertentwicklung der einzelnen Wertpapiere vergleichen und darstellen zu können, wurden in Abb. 82 die historischen Zeitreihen normiert. 290 Anmerkung: Der Umfang der Stichprobe wurde auf Empfehlung von Walters (2011), S. 17, auf 60 Stichprobenwerte festgelegt. <?page no="302"?> 302 4 Die Anwendung des aktiven Portfolio Managements Abb. 82: Normalisierte Wertentwicklung ausgewählter Wertpapiere des Ausgangsportfolios Quelle: Eigene Darstellung, Tabellenblatt Normierung, Fallstudien_Kapitel_4.xlsm 4.3.2 Die praktische Umsetzung in Excel Quelle: picture alliance / Photoshot “Bull markets are born on pessimism, grow on skepticism, mature on optimism, and die on euphoria. The time of maximum pessimism is the best time to buy, and the time of maximum optimism is the best time to sell. If you want to have a better performance than the crowd, you must do things differently from the crowd.” John M. Templeton (*1912, †2008) 4.3.2.1 Bildung der Effizienzkurve in Excel mit einem VBA-Makro Das nachfolgende Beispiel demonstriert die intuitive Bestimmung der Effizienzkurve durch die Lösung des folgenden quadratischen Optimierungsproblems in Verbindung mit linearen Nebenbedingungen. Um die gezeigten Schritte im Detail nachvollziehen zu können, kann das Excel-Modell in der Datei » Kapitel_4_Beispiele.xlsm « im Tabellenblatt » Effizienzkurve VBA « aufgerufen werden. Es empfiehlt sich, die Bearbeitung dieses Abschnitts in Verbindung mit der geöffneten Excel-Datei durchzuführen. 𝜎𝜎 𝑃𝑃2 = 𝑤𝑤 𝑇𝑇 𝛴𝛴𝑤𝑤 → 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑏𝑏 ! 𝑍𝑍. 𝑡𝑡. 𝑤𝑤 𝑇𝑇 𝜇𝜇 = 𝑚𝑚 ∗ (4.50) 60 € 70 € 80 € 90 € 100 € 110 € 120 € 130 € 140 € 150 € November 04 März 06 August 07 Dezember 08 Mai 10 COST IBM S&P 500 <?page no="303"?> 4.3 Die Umsetzung der absoluten Portfoliooptimierung 303 �𝑤𝑤 𝑖𝑖 𝑁𝑁 𝑖𝑖=1 = 1 𝑤𝑤 𝑖𝑖 ≥ 0 für alle 𝑖𝑖 = 1, … , 𝑁𝑁 Es gilt als Zielfunktion, die Portfoliovarianz für eine gegebene Zielrendite unter Einhaltung der Budgetrestriktion und des Leerverkaufsverbotes zu minimieren. Die Lösung des dargestellten Optimierungsproblems ergibt die Rendite und das Risiko eines effizienten Portfolios. Um jedoch aus diesen Punkten die Effizienzkurve aufspannen zu können, muss das beschriebene Optimierungsproblem zunächst für verschiedene Zielrenditen gelöst werden. Aus diesem Grund wird nach der Vorbereitung des Excel-Modells für die umfassende Lösung des dargestellten quadratischen Optimierungsproblems ein VBA-Makro verwendet. Abb. 83: Bestimmung der Input-Parameter Um die Effizienzkurve ermitteln zu können, sind einige Input-Parameter erforderlich, die zunächst berechnet werden müssen. Dazu zählen neben den − erwarteten Renditen der Wertpapiere, − die historischen Standardabweichungen − und die Varianz-Kovarianz-Matrix. Um die genannten Eingangsgrößen ermitteln zu können, ist es zunächst notwendig, die Kurse der einzelnen Wertpapiere des Portfolios aus den Datenbanken des Finanzdatenanbieters zu beziehen. Im Anschluss daran lassen sich auf Grundlage der bezogenen Kurse die periodenabhängigen logarithmierten Renditen bestimmen. Die erwartete Rendite eines Wertpapiers ergibt sich aus dem historischen Mittelwert der zuvor ermittelten logarithmierten Renditen. Bei der Implementierung im Excel-Modell wird dabei auf die Excel-Funktion »Mittelwert()« zurückgegriffen. Die Berechnung der historischen Standardabweichung der einzelnen Wertpapiere und die Bestimmung der Varianz-Kovarianz-Matrix ergeben sich analog zu den erwarteten Renditen ebenfalls auf der Grundlage der zuvor ermittelten stetigen Renditen. Da die Datengrundlage zur Berechnung der historischen Standardabweichung lediglich eine Stichprobe darstellt, wird im Rahmen der Umsetzung des Modells in Excel die Funktion »STABW.S()« verwendet. Bei der Berechnung der Varianz-Kovarianz-Matrix wurde dagegen auf die zuvor implementierte VBA-Funktion VarCov() zurückgegriffen. Alle relevanten Eingangsgrößen wurden anschließend in Abhängigkeit der Periodizität der bezogenen Kurse mit dem entsprechenden Skalierungsfaktor annualisiert. <?page no="304"?> 304 4 Die Anwendung des aktiven Portfolio Managements Die allgemeine Vorgehensweise bei der Bestimmung der Eingangsgrößen für das Excel-Modell lässt sich im Detail mit Hilfe von Tab. 17 nachvollziehen. Im Anschluss daran wird der Bereich AA52 bis AM53 zur Vorbereitung der Input- Parameter für die Bestimmung des MVP und MEP vorbereitet. Dazu werden zunächst in den Zellen AA52 und AA53 die Portfoliorendite und in den Zellen AB52 und AB53 das Portfoliorisiko auf Grundlage von Formel (4.50) bestimmt. Die Zellen AC52 bis AL53 müssen ebenfalls vorbereitend für die Portfoliooptimierung des MVP und MEP mit individuellen Portfoliogewichten gefüllt werden, da diese als Startwert für den Excel-Solver dienen. In den Zellen AM52 und AM53 dient die Bestimmung der Summe der einzelnen Portfoliogewichte als Verknüpfungspunkt bei der späteren Einhaltung der formulierten Budgetrestriktion. Position Inhalt Excel-Umsetzung AC36 bis AL36 erwartete Rendite =MITTELWERT(O10: O69)*12 AC37 bis AL37 Standardabweichung =STABW.S(O10: O69)*WURZEL(12) AC40 bis AL49 Varianz-Kovarianz- Matrix =VarCovar(O10: X69)*12 AA52, AA53 Portfoliorendite =MMULT(AC52: AL52; MTRANS(AC36: AL36)) AB52, AB53 Portfoliorisiko =WURZEL(MMULT(MMULT(AC52: AL52; AC40: AL49); MTRANS(AC52: AL52))) AC52 bis AL52 Portfoliogewichte MVP individueller Wert, z.B. 0,1 AC53 bis AL53 Portfoliogewichte MEP individueller Wert, z.B. 0,1 O52, O53 Summe der Portfoliogewichte =SUMME(AC52: AL52) Tab. 17: Übersicht Nach Abschluss der allgemeinen Vorbereitungen und nach Festlegung der zu berücksichtigenden Nebenbedingungen folgt die Berechnung und Darstellung der Effizienzkurve. Abb. 84: Berechnung der Effizienzkurve Da das MVP und MEP unmittelbar die extremsten Portfolios auf der Effizienzkurve darstellen, dienen diese entsprechend als Start- und Endpunkte zur Bestimmung der verschiedenen Zielrenditen. Im Rahmen des Excel-Modells sollen 45 unterschiedlich effiziente Portfolios ermittelt werden, um die Effizienzkurve im Detail darstellen zu können. Selbstverständlich ist ebenfalls eine geringere oder weitaus höhere Anzahl an effizienten Portfolios denkbar und praktisch durchführbar. Die Festlegung 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 Z AA AB AC AD AE AF AG AH AI AJ AK AL AM AN Intervall 0,073% Investition 100% Leerverkauf 0 Ziel-Rendite Portfolio-Rendite Portfolio-RisABT BA COST CSCO IBM INTC MRK MSFT T XOM Summe 4,66% 4,66% 11,01% 36,17% 0,00% 16,52% 0,00% 16,21% 1,37% 0,00% 0,00% 5,23% 24,49% 100% 4,73% 4,73% 11,01% 35,98% 0,00% 16,85% 0,00% 16,45% 0,85% 0,00% 0,00% 4,91% 24,96% 100% 4,80% 4,80% 11,01% 35,80% 0,00% 17,17% 0,00% 16,69% 0,32% 0,00% 0,00% 4,59% 25,44% 100% 4,88% 4,88% 11,02% 35,60% 0,00% 17,48% 0,00% 16,85% 0,00% 0,00% 0,00% 3,97% 26,10% 100% Optimierung auf Grundlage der historischen Renditen Optimierung Clear <?page no="305"?> 4.3 Die Umsetzung der absoluten Portfoliooptimierung 305 einer geeigneten Anzahl an effizienten Portfolios orientiert sich maßgeblich an der gewünschten Detailtreue der zukünftigen Effizienzkurve. Aus diesem Grund ergibt sich nach der Bestimmung des MVP und MEP durch das VBA-Makro das Intervall der Zielrenditen in Zelle AA55 aus dem Quotienten in Relation zu der gesamten Anzahl der Portfolios. Im Anschluss lassen sich die gesamten Zielrenditen ausgehend von der Portfoliorendite des MVP in Zelle AA61 bestimmen. Die Zellen AD55 und AG55 dienen als Bezugszellen für die spätere Einhaltung der Nebenbedingungen während der Portfoliooptimierung. Nach Formel (4.50) ist hierzu das Budget auf einhundert Prozent des zur Verfügung stehenden Kapitals zu begrenzen und ein Leerverkaufsverbot zu fordern. Für den Prozess der Portfoliooptimierung gilt es analog dem Bereich AA52 bis AM53 die Formeln für die Portfoliorendite, das Portfoliorisiko und auch die individuellen Werte der einzelnen Portfoliogewichte zu implementieren. Nachdem alle notwendigen Vorbereitungen getroffen worden sind, kann mit einem Rechts-Klick auf den Button „Optimierung“ im Kontextmenü unter dem Punkt „Makro zuweisen“ das entsprechende VBA-Makro dem Steuerelement zugeordnet werden. Mit einem Klick auf den Button „Optimierung“ wird das zugewiesene Makro ausgeführt. Der Button „Clear“ links neben dem Button „Optimierung“ vollzieht die Löschung aller relevanten Zellen für eine wiederholte Optimierung mit neuen Parametern. Position Inhalt Excel-Umsetzung AA55 Intervall der Zielrendite =(AA53-AA52)/ 44 AD55 Budgetrestriktion individueller Wert, z.B. 1 AG55 Leerverkauf individueller Wert, z.B. 0 AA61 Zielrendite (Startwert) =AA52 AA62 bis AA105 Zielrendite (Forts.) =AA61+$AA$55 AB52 bis AB105 Portfoliorendite =MMULT(AD61: AM61; MTRANS($AC$36: $AL$36)) AC52 bis AC105 Portfoliorisiko =WURZEL(MMULT(MMULT(AD61: AM61; $AC$40: $AL$49); MTRANS(AD61: AM61))) AD61 bis AM105 Portfoliogewichte individueller Wert, z.B. 0,1 AN61 bis AN105 Summe der Portfoliogewichte =SUMME(AD61: AM61) Tab. 18: Übersicht Als Ergebnis der Portfoliooptimierung resultieren die für die Darstellung relevanten Rendite- und Risikoparameter in Verbindung mit den dazugehörigen Portfoliogewichten. Nach dem vollständigen Abschluss des gesamten Portfoliooptimierungsprozesses kann die Effizienzkurve in einem Punktdiagramm dargestellt werden. Auf Grundlage der soeben ermittelten Parameter lässt sich auch die Portfolioallokation der unterschiedlichen effizienten Portfolios entlang der Effizienzkurve abbilden. <?page no="306"?> 306 4 Die Anwendung des aktiven Portfolio Managements Abb. 85: Darstellung der Effizienzkurve im Rendite-Risiko-Diagramm Zunächst soll jedoch die Effizienzkurve in einem Punktdiagramm mit interpolierten Linien dargestellt werden. Dazu wird unter dem Reiter  Einfügen der entsprechende Diagrammtyp, in diesem Fall ein Punktdiagramm mit Interpolation ausgewählt. Im Anschluss werden die abzubildenden Werte der X- und Y-Achse markiert und ausgewählt. Mit der Bestätigung des Auswahldialogs werden die Eingabewerte anschließend abgespeichert. Es sei darauf hingewiesen, dass das Einfügen eines Diagramms nur einmalig erfolgen muss, da die Anzahl der Zeilen im Eingabebereich unverändert bleibt. Abb. 86 zeigt in diesem Zusammenhang die Auswahl und die Bearbeitung der Datenreihen. Abb. 86: Auswahl der Datengrundlage für die Darstellung der Effizienzkurve Abb. 87: Auswahl der Datenquellen für das Balkendiagramm <?page no="307"?> 4.3 Die Umsetzung der absoluten Portfoliooptimierung 307 Zur Darstellung der unterschiedlichen Portfolioallokationen entlang der Effizienzkurve sollte zunächst ein gestapeltes Flächendiagramm in das Tabellenblatt eingefügt werden. Dazu wird im Reiter  Einfügen das entsprechende Flächendiagramm ausgewählt. Der Datenbereich des Flächendiagramms umfasst neben der Spalte für die Portfoliorendite auch die gesamten Portfoliogewichte der einzelnen effizienten Portfolios. Die Legendeneinträge orientieren sich an den Bezeichnungen der einzelnen Wertpapiere, wobei die einzelnen Portfoliorenditen der horizontalen Achsenbeschriftung zugeordnet werden. Abb. 87 zeigt die Auswahl der beschriebenen Datenquellen. Nach Abschluss der Vorbereitungen für das Excel-Modell soll die Implementierung des VBA-Makros für die schrittweise Lösung des quadratischen Optimierungsproblems zur Darstellung der Effizienzkurve erläutert werden. Um auf die einzelnen logischen Komponenten in den einzelnen Zeilen des VBA-Codes im Detail eingehen zu können, wird der relevante VBA-Code in Abschnitte unterteilt. In Verbindung mit Code 1 folgt die Beschreibung des Moduls 1 und der Sub-Routine »OptimierungMW()« aus der Excel-Datei Kapitel_4_Beispiele.xlsx . Tipp: Durch die Tastenkombination ALT + F11 gelangt man zur Programmierumgebung von Visual Basic, bzw. alternativ über den Reiter  Entwicklertools und die Schaltfläche  Visual Basic . Code 1 VBA-Makro-Modul zur Berechnung der Effizienzkurve 1 Sub OptimierungMW(ws As Worksheet) 23 'Deklaration aller Variablen 4 Dim AktZeile As Double 5 Dim EndZeile As Double 6 Dim SetCell As String 7 Dim TarCell As String 8 Dim SumCell As String 9 Dim RetCell As String 10 Dim ChangeCell As String 11 12 'Aktivierung des aktuellen Tabellenblattes 13 Sheets(ws.Name).Activate 14 Cells(46, "AN").Activate 15 AktZeile = ActiveCell.Row 16 EndZeile = ActiveCell.End(xlDown).Row In den Zeilen 4 bis 10 erfolgt zunächst die Deklaration aller Variablen, die für die spätere Ausführung des Excel-Solvers notwendig sind. Dabei wird den Variablen » AktZeile « und » EndZeile « in Zeile 4 und 5 der Datentyp » Double « sowie den verbleibenden Variablen in Zeile 6 bis 10 der Datentyp » String « zugewiesen. Im Anschluss wird in Zeile 13 mit dem Befehl » Sheets(ws.Name).Activate « das aktive Tabellenblatt aktiviert und für die spätere Bearbeitung freigegeben. In Zeile 14 wird <?page no="308"?> 308 4 Die Anwendung des aktiven Portfolio Managements die Startzelle festgelegt, von der später die Optimierung beginnen soll. In der nachfolgenden Zeile 15 folgen die Bestimmung der aktuellen aktiven Zeilennummer des geöffneten Tabellenblattes und die Zuordnung des Wertes an die Variable » Akt- Zeile «. Da es für den Prozess der Portfoliooptimierung von Bedeutung ist, für wie viele Zielrenditen das quadratische Optimierungsproblem zu lösen ist, wird in Zeile 16 das Ende des Bereiches der Zielrenditen ermittelt und der Variablen » EndZeile « zugewiesen. 17 'Bestimmung MVP und MEP 18 19 'MVP 20 SolverReset 21 SolverOptions MaxTime: =120, Iterations: =150, Precision: =0.001, AssumeLinear: =False, StepThru: =False, Estimates: =2, Derivatives: =2, SearchOption: =1, IntTolerance: =5, Scaling: =False, Convergence: =0.001, AssumeNonNeg: =False 22 'Festlegung des Solver-Modells 23 SolverOK SetCell: ="AP38", MaxMinVal: =2, ValueOf: ="", By- Change: ="AQ38: AZ38" 24 'Nebenbedingung 25 SolverAdd CellRef: ="BA38", Relation: =2, FormulaText: ="AR35" 26 SolverAdd CellRef: ="AQ38: AZ38", Relation: =3, FormulaText: ="AU35" 27 'Solver starten 28 SolverSolve UserFinish: =True 29 30 'MEP 31 SolverReset 32 SolverOptions MaxTime: =120, Iterations: =150, Precision: =0.001, AssumeLinear: =False, StepThru: =False, Estimates: =2, Derivatives: =2, SearchOption: =1, IntTolerance: =5, Scaling: =False, Convergence: =0.001, AssumeNonNeg: =False 33 'Festlegung des Solver-Modells 34 SolverOK SetCell: ="AO39", MaxMinVal: =1, ValueOf: ="", By- Change: ="AQ39: AZ39" 35 'Nebenbedingung 36 SolverAdd CellRef: ="BA39", Relation: =2, FormulaText: ="AR35" 37 SolverAdd CellRef: ="AQ39: AZ39", Relation: =3, FormulaText: ="AU35" 38 'Solver starten 39 SolverSolve UserFinish: =True <?page no="309"?> 4.3 Die Umsetzung der absoluten Portfoliooptimierung 309 Noch vor Beginn der Optimierungsprozedur sollten vorbereitend MVP und MEP mit den dazugehörigen Parametern ermittelt werden. Vor jedem Aufruf des Solvers durch VBA werden in den Zeilen 20 und 31 die Einstellungen des Solvers zurückgesetzt. Dadurch wird vermieden, dass verbliebene Eingaben die zukünftigen Ergebnisse des Solvers verfälschen. In Zeile 21 werden mit Hilfe der Funktion » SolverOptions « die geeigneten Einstellungen getroffen. Die Funktion enthält einige wichtige Parameter, die bei der späteren Ermittlung des quadratischen Optimierungsproblems berücksichtigt werden sollten. Nachfolgend soll auf die wichtigsten Parameter kurz eingegangen werden, eine ausführliche Beschreibung aller notwendigen Parameter kann jedoch lediglich die Excel-Hilfe bzw. MSDN-Library geben. Dem Parameter » MaxTime « wird der maximale Zeitaufwand in Sekunden zugeordnet, den der Solver zur Lösung des Optimierungsproblems aufwenden darf. Der Wert des Parameters » Iterations « gibt die maximale Anzahl an Iterationen an, mit denen der Solver sich der Lösung nähert. Der Parameter » Precision « gibt im Rahmen der Dezimalstellen die Genauigkeit an, mit der die Nebenbedingungen erfüllt werden müssen. Eine weitere wichtige Einstellung ist die Zuordnung des Suchalgorithmus in Form eines numerischen Wertes für den Parameter » SearchOption «. In unserem Beispiel wurde zur Bestimmung der Suchrichtung das Gradienten-Suchverfahren herangezogen. 291 Der Parameter » Convergence « regelt die Konvergenztoleranz des Suchalgorithmus und besitzt einen Wert von 0 bis 1. In Zeile 23 wird die Funktion » SolverOK « aufgerufen und dem Parameter » SetCell « die Zielzelle mit der Zielfunktion übergeben. Dabei gibt der numerische Wert des Parameters » MaxMinVal « an, ob die zuvor angegebene Zielzelle bzw. Zielfunktion maximiert, minimiert oder mit einem anderen Wert verglichen werden soll. Im vorliegenden Fall gibt der numerische Wert 1 an, dass die verknüpfte Zielfunktion im Rahmen der Optimierung minimiert wird. In der darauffolgenden Zeile 25 werden die in Formel (4.50) formulierten Nebenbedingungen (Budgetrestriktion und Leerverkaufsverbot) als gültige Nebenbedingungen für den Solver und das zu lösende Optimierungsproblem definiert. Die Funktion » SolverAdd « fügt zu diesem Zweck die angesprochenen linearen Nebenbedingungen dem Solver hinzu. Der Parameter » CellRef « enthält den Bezug auf die entsprechende Summenformel in Zelle BA39, wobei diese gemäß dem numerischen Wert des Parameters » Relation «, dem Wert aus dem Zellbezug des Parameters » FormulaText « entsprechen sollte. Der Parameter » Relation « gibt in diesem Fall also den Operator der linearen Nebenbedingung mit den Bestandteilen der Parameter » CellRef « und » FormulaText « an. Mit der Funktion » SolverSolve « wird anschließend der Solver gestartet. Die Zeilen 30 bis 39 erfolgen analog zu der Vorgehensweise der vorherigen Zeilen, jedoch mit dem Unterschied, dass bei der Ermittlung des MEP nun die Zielfunktion maximiert anstatt minimiert wird. Nachdem alle relevanten Eingangsgrößen ermittelt worden sind, kann die Effizienzkurve berechnet werden. 40 While AktZeile <= EndZeile 41 42 'Bestimmung der Zielzelle 291 Die Zuordnung des numerischen Wertes 1 repräsentiert das Newton-Suchverfahren und 2 das Gradient-Suchverfahren. <?page no="310"?> 310 4 Die Anwendung des aktiven Portfolio Managements 43 SetCell = "AP" & AktZeile 44 TarCell = "AN" & AktZeile 45 SumCell = "BA" & AktZeile 46 RetCell = "AO" & AktZeile 47 48 49 'Bestimmung des Eingabebereichs 50 ChangeCell = "AQ" & AktZeile & ": AZ" & AktZeile 51 52 'Solver zurücksetzen und initialisieren 53 SolverReset 54 SolverOptions MaxTime: =120, Iterations: =150, Precision: =0.0000000001, AssumeLinear: =False, StepThru: =False, Estimates: =2, Derivatives: =2, SearchOption: =1, IntTolerance: =5, Scaling: =False, Convergence: =0.0000000001, AssumeNonNeg: =False 55 'Festlegung des Solver-Modells 56 SolverOK SetCell: =SetCell, MaxMinVal: =2, ValueOf: ="", ByChange: =ChangeCell 57 'Nebenbedingungen 58 SolverAdd CellRef: =SumCell, Relation: =2, Formula Text: ="AR35" 59 SolverAdd CellRef: =ChangeCell, Relation: =3, FormulaText: ="AU35" 60 SolverAdd CellRef: =TarCell, Relation: =2, Formula Text: =RetCell 61 'Solver starten 62 SolverSolve UserFinish: =True 63 64 AktZeile = AktZeile + 1 65 66 Wend 67 68 End Sub Zu Beginn des Beispiels wurde die Problematik angesprochen, dass zur vollständigen Bestimmung der Effizienzkurve das Optimierungsproblem für eine beliebige Anzahl an Zielrenditen gelöst werden muss. Aus diesem Grund sollte für die mehrmalige Optimierung die Implementierung einer Schleife herangezogen werden. In Zeile 40 beginnt der Abschnitt mit dem Schleifenkopf einer While-Schleife. Im Körper der Schleife erfolgt in den Zeilen 43 bis 46 die erstmalige Zuordnung der einzelnen Bezugszellen, sowie in Zeile 50 die Bestimmung des veränderbaren Eingabebereiches (Portfoliogewichte) für den Solver. Ab Zeile 55 bis 62 erfolgen die Einstellung, Bearbeitung und der Start des Solvers analog zu den Zeilen 20 bis 28. In Zeile 64 <?page no="311"?> 4.3 Die Umsetzung der absoluten Portfoliooptimierung 311 erfolgt nach jeder erfolgreichen Lösung des Optimierungsproblems die Erhöhung des Zählerindex der Variable » AktZeile «, sodass beim nächsten Schleifendurchlauf das Optimierungsproblem für die Zielrendite der nächsten Zeile gelöst werden kann. Die Schleife wird bis zum Ende des Bearbeitungsbereiches, der durch den Wert der Variable » EndZeile « angegeben wird, ausgeführt. Nach der erfolgreichen Bestimmung aller effizienten Portfolios, lässt sich auf dieser Grundlage die Effizienzkurve in einem Diagramm darstellen. 4.3.2.2 Bildung der Effizienzkurve in Excel nach Merton Die Darstellung des nachfolgenden Beispiels folgt maßgeblich den Ausführungen von B ENNINGA (2008) und zeigt eine alternative Vorgehensweise bei der Bildung der Effizienzkurve nach M ERTON / B LACK (1972). Um die gezeigten Schritte im Detail nachvollziehen zu können, kann das Excel-Modell in der Datei » Kapitel_4_Beispiele.xlsm « im Tabellenblatt » Effizienzkurve Black « aufgerufen werden. Es empfiehlt sich, die Bearbeitung dieses Abschnitts in Verbindung mit der geöffneten Excel-Datei durchzuführen. M ERTON / B LACK gelang es auf Grundlage des CAPM und der Tobin-Separation zu zeigen, dass die Kenntnis von zwei auf der Möglichkeitskurve liegenden Portfolios ausreicht, um daraus jedes beliebige andere Portfolio auf der Möglichkeitskurve zu berechnen. Vor diesem Hintergrund ergibt sich die Möglichkeitskurve aus der konvexen Kombination der zwei angesprochenen Portfolios. Noch vor der Berechnung der Möglichkeitskurve sollten einige relevante vorbereitende Maßnahmen getroffen werden. Der erste logische Schritt befasst sich mit der Ermittlung und Darstellung der Eingangsgrößen. Abb. 88: Darstellung der Input-Parameter Da die Darstellung der Möglichkeitskurve die mehrfache Lösung eines Optimierungsproblems mit unterschiedlichen Eingangsgrößen voraussetzt, sollten diese vor Beginn des Optimierungsprozesses festgelegt werden. Obwohl es dem Anwender grundsätzlich freisteht, ob dieser die notwendigen Input-Parameter auf Grundlage einer historischen Zeitreihe statistisch bestimmt oder beispielhaft festlegt, ist bei der praktischen Anwendung anzuraten, eine statistisch fundierte Prognose zu bevorzugen. Im gegebenen Fall werden aus Übersichtlichkeitsgründen alle notwendigen Parameter auf Grundlage fundierter statistischer Methoden ermittelt und im Nachfolgenden als gegeben angenommen. Dazu zählen neben den erwarteten Renditen der Wertpapiere die historische Standardabweichung und die Varianz-Kovarianz- Matrix. 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 Z AA AB AC AD AE AF AG AH AI AJ AK AL Inputs ABT BA COST CSCO IBM INTC MRK MSFT T XOM Erwartete Rendite (annualisiert) 3,10% 0,74% 4,53% 4,27% 5,21% -3,47% 2,75% 2,32% 1,07% 7,89% Standardabweichung (annualisiert) 18,21% 30,14% 21,60% 27,28% 22,43% 28,26% 28,63% 25,36% 20,08% 19,40% ABT BA COST CSCO IBM INTC MRK MSFT T XOM ABT 0,0332 0,0093 -0,0006 -0,0025 -0,0026 -0,0052 0,0202 0,0060 0,0058 0,0017 BA 0,0093 0,0908 0,0253 0,0386 0,0210 0,0322 0,0405 0,0188 0,0177 0,0179 COST -0,0006 0,0253 0,0466 0,0272 0,0156 0,0289 0,0216 0,0271 0,0176 0,0032 CSCO -0,0025 0,0386 0,0272 0,0744 0,0333 0,0447 0,0201 0,0328 0,0257 0,0086 IBM -0,0026 0,0210 0,0156 0,0333 0,0503 0,0294 0,0106 0,0160 0,0091 0,0059 INTC -0,0052 0,0322 0,0289 0,0447 0,0294 0,0799 0,0359 0,0350 0,0234 0,0087 MRK 0,0202 0,0405 0,0216 0,0201 0,0106 0,0359 0,0820 0,0292 0,0201 0,0213 MSFT 0,0060 0,0188 0,0271 0,0328 0,0160 0,0350 0,0292 0,0643 0,0231 0,0103 T 0,0058 0,0177 0,0176 0,0257 0,0091 0,0234 0,0201 0,0231 0,0403 0,0131 XOM 0,0017 0,0179 0,0032 0,0086 0,0059 0,0087 0,0213 0,0103 0,0131 0,0376 <?page no="312"?> 312 4 Die Anwendung des aktiven Portfolio Managements Die Bestimmung aller relevanten Eingangsgrößen wurde auf Grundlage der folgenden statistischen Schätzverfahren in Excel umgesetzt. Tab. 19 zeigt in einer Übersicht die zur Umsetzung in Excel benötigten Funktionen und Befehle. Position Inhalt Excel-Umsetzung AC36 bis AL36 erwartete Rendite =MITTELWERT(O10: O69)*12 AC37 bis AL37 Standardabweichung =STABW.S(O10: O69)*WURZEL(12) AC40 bis AL49 Varianz-Kovarianz-Matrix =VarCovar(O10: X69)*12 AA52, AA53 Portfoliorendite =MMULT(AC52: AL52; MTRANS(AC36: AL36)) AB52, AB53 Portfoliorisiko =WURZEL(MMULT(MMULT(AC52: AL52; AC40: AL49); MTRANS(AC52: AL52))) AC52 bis AL52 Portfoliogewichte MVP individueller Wert, z.B. 0,1 AC53 bis AL53 Portfoliogewichte MEP individueller Wert, z.B. 0,1 O52, O53 Summe der Portfoliogewichte =SUMME(AC52: AL52) Tab. 19: Übersicht Im Anschluss an die Vorbereitungen erfolgt die Ermittlung von zwei beliebigen Portfolios auf der Möglichkeitskurve. Schritt 1: Ermittlung zwei beliebiger Portfolios Abb. 89: Bestimmung von zwei beliebigen Portfolios Um nach Formel (4.19) und (4.20) ein beliebiges Portfolio auf der Möglichkeitskurve bestimmen zu können, sollte zunächst eine Konstante festgelegt werden. Eine mögliche ökonomische Interpretation dieser Konstante wäre zum Beispiel ein risikoloser Zinssatz. Im Rahmen des dargestellten Beispiels wurden Konstanten von 0,02 und 0,03 gewählt. Im Anschluss an die Auswahl der Konstante können im Bereich AD52 bis AM52 bzw. AD53 bis AM53 auf Grundlage von Formel (4.19) die Portfoliogewichte des gesuchten Portfolios berechnet werden. In den Zellen AN52 und AN53 wird das Ergebnis der Formel nochmals überprüft und errechnet, ob die Summe der einzelnen Portfoliogewichte prozentual dem zur Verfügung stehenden Kapital (100 %) entspricht. Da in diesem Fall analog zum vorherigen Beispiel eine Budgetrestriktion auf 100 Prozent des zur Verfügung stehenden Kapitals vorliegt, ergibt die Summe aller Portfoliogewichte ebenfalls 100 Prozent. Nachdem zwei beliebige Portfolios auf der Möglichkeitskurve ermittelt worden sind, werden in den Zellen AB52 und AC52 die Portfoliorendite und die Portfoliovarianz ermittelt. Die 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 Z AA AB AC AD AE AF AG AH AI AJ AK AL AM AN AO Konstante Portfolio-Rendite Portfolio-Varianz ABT BA COST CSCO IBM INTC MRK MSFT T XOM Summe Portfolio 1 0,02 15,7% 5,7% 24% -37,47% 62,13% 42,46% 33,16% -63,62% 4,43% -10,49% -47,38% 92,64% 100% Portfolio 2 0,04 51,5% 82,8% -39% -144,66% 195,13% 183,25% 94,56% -297,57% 65,44% -36,59% -214,31% 293,25% 100% Kovarianz 0,204413255 Test-Portfolio Portfolio-Gewicht des 1. Wertpapiers 50% Erwartete Rendite 33,6% Standardabweichung 56,9% <?page no="313"?> 4.3 Die Umsetzung der absoluten Portfoliooptimierung 313 Bestimmung der zwei Portfolios gilt nun als abgeschlossen. In Zelle AA55 wird in Vorbereitung für die spätere Berechnung der Möglichkeitskurve die Kovarianz zwischen den zuvor ermittelten Portfolios bestimmt. Abb. 89 zeigt die Bestimmung der angesprochenen Portfolios und deren gemeinsame Kovarianz. Für die Berechnung und Darstellung der Möglichkeitskurve ist es notwendig, die zwei Portfolios in Form von zwei fiktiven Wertpapieren in ein Testportfolio zu überführen. Für dieses wird auf Basis einer festgelegten Portfoliostruktur die dazugehörige erwartete Portfoliorendite und die Standardabweichung bestimmt. Hierzu wird bei der Berechnung der Portfoliorendite und der Portfoliovarianz in den Zellen AC59 und AC60 auf die Formeln des 2-Anlagen-Falls zurückgegriffen. Position Inhalt Excel-Umsetzung AA52, AA53 Konstante individueller Wert, z.B. 0,02 AB52, AB53 Portfoliorendite =MMULT(AD52: AM52; MTRANS(AC36: AL36)) AC52 bis AC53 Portfolio-Varianz =MMULT(MMULT(AD52: AM52; AC40: AL49); MTRANS(AD52: AM52)) AD52 bis AM52 Portfoliogewichte =MTRANS(MMULT(MINV($AC$40: $AL$49); MTRANS($AC$36: $AL$36)-AA52)/ SUMME(MMULT(MINV($AC$40: $AL$49); MTRANS($AC$36: $AL$36)-AA52))) AN52, AN53 Summe =SUMME(AD52: AM52) AA55 Kovarianz =MMULT(MMULT(AD52: AM52; AC40: AL49); MTRANS(AD53: AM53)) AC58 Portfolioanteile WP1 individueller Wert, z.B. 0,5 AC59 erwartete Rendite =AC58*AB52+(1-AC58)*AB53 AC60 Standardabweichung =WURZEL(AC58^2*AC52+(1- AC58)^2*AC53+ 2*AC58*(1-AC58)*AA55) Tab. 20: Übersicht Nachdem die Berechnungen zum Testportfolio abgeschlossen sind, kann die Möglichkeitskurve mit Hilfe der Excel-Funktion » Datentabelle « ermittelt werden. Schritt 2: Berechnung und Darstellung der Möglichkeitskurve Dazu sollte zunächst im Bereich AA67 und AC67 ein Verweis auf die Portfoliorendite und das Portfoliorisiko und in den Zellen AA68 bis AA88 die Portfoliogewichte des ersten Wertpapiers (Portfolio 1) abgetragen und implementiert werden. Im Anschluss sollte der Bereich AA67 bis AC88 ausgewählt und markiert werden. Im Reiter  Daten lässt sich nun in Excel die Funktion » Datentabelle « auswählen. Im Eingabebereich wird auf den Portfolioanteil des ersten Wertpapiers des Testportfolios in Zelle AC58 Bezug genommen. Die Excel-Funktion » Datentabelle « nimmt jedes einzelne Portfoliogewicht des ersten Wertpapiers in Spalte AA und setzt dieses in das zuvor abgebildete Testportfolio ein. Der Bezug auf das Portfoliorisiko und <?page no="314"?> 314 4 Die Anwendung des aktiven Portfolio Managements die Portfoliorendite des Testportfolios erlaubt es, für jede beliebige Portfoliostruktur die entsprechenden Rendite- und Risikoparameter zu ermitteln. Abb. 90 zeigt das Resultat der Excel-Funktion » Datentabelle «. Abb. 90: Berechnung der Effizienzkurve via Datentabelle 4.3.2.3 Berechnung des Minimum-Varianz-Portfolios in Excel Das nachfolgende Beispiel demonstriert die Bestimmung des Minimum-Varianz- Portfolios. Um die gezeigten Schritte im Detail nachvollziehen zu können, kann das Excel-Modell in der Datei » Kapitel_4_Beispiele.xlsm « im Tabellenblatt » Minimum- Varianz-Portfolio « aufgerufen werden. Es empfiehlt sich, die Bearbeitung dieses Abschnitts in Verbindung mit der geöffneten Excel-Datei durchzuführen. Das Optimierungsproblem bei der Bestimmung des MVP entspricht im Prinzip der Minimierung der Portfoliovarianz, sodass sich folgende Zielfunktion ergibt: 𝑍𝑍𝑍𝑍(𝑤𝑤) = 𝜎𝜎 𝑃𝑃2 = 𝑤𝑤 𝑇𝑇 𝛴𝛴𝑤𝑤 → 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑏𝑏 ! (4.51) unter Einhaltung der folgenden Nebenbedingungen ∑ 𝑤𝑤 𝑖𝑖 𝑁𝑁𝑖𝑖=1 = 1 bzw. 1 𝑇𝑇 𝑤𝑤 = 1 (Budgetrestriktion) (4.52) 𝑤𝑤 𝑖𝑖 ≥ 0 für alle 𝑖𝑖 = 1, … , 𝑁𝑁 (Leerverkaufsverbot) Bei der Bestimmung des Minimum-Varianz-Portfolios wird die angegebene Zielfunktion minimiert, was unbedingt bei der späteren Einstellung des Solvers beachtet werden sollte. Die Vorbereitungen für die Ermittlung des Minimum-Varianz-Portfolios beschränken sich hauptsächlich auf das Laden und Speichern der historischen Zeitreihen der risikobehafteten Wertpapiere für das festgelegte Portfolio und die anschließende Berechnung der logarithmierten Renditen, der historischen Standardabweichungen und der Varianz-Kovarianz-Matrix. Hierzu wird auf die Datenbanken des 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 Z AA AB AC Berechnung der Datentabelle (X-Achse) (Y-Achse) Portfolio-Gewicht w Portfoliorisiko Portfoliorendite 56,9% 33,6% 0,0% 91,0% 51,5% 7,5% 85,9% 48,8% 15,0% 80,7% 46,1% 22,5% 75,6% 43,4% 30,0% 70,5% 40,8% 37,5% 65,4% 38,1% 45,0% 60,3% 35,4% 52,5% 55,2% 32,7% 60,0% 50,1% 30,0% 67,5% 45,1% 27,3% 75,0% 40,0% 24,7% 82,5% 35,1% 22,0% 90,0% 30,2% 19,3% 97,5% 25,4% 16,6% 105,0% 20,8% 13,9% 112,5% 16,5% 11,3% 120,0% 12,9% 8,6% 127,5% 10,7% 5,9% 135,0% 10,8% 3,2% 142,5% 13,1% 0,5% 150,0% 16,7% -2,2% <?page no="315"?> 4.3 Die Umsetzung der absoluten Portfoliooptimierung 315 Finanzdatenanbieters » Yahoo Finance « zurückgegriffen, um die historischen Kurse aus dem Internet zu beziehen. Je nach gewählter Periodizität der historischen Kurse (jährlich, monatlich, wöchentlich oder täglich) sollten zum Abschluss der Vorbereitungen alle zuvor ermittelten Eingangsgrößen anschließend mit dem entsprechenden Skalierungsfaktor annualisiert werden. Da sich die grundlegenden Vorbereitungen im Rahmen der erläuterten Excel-Beispiele wiederholen, soll an dieser Stelle lediglich ein kurzer Überblick über die Bestimmung der Eingangsgrößen für die spätere Optimierung gegeben werden. Tab. 21 gibt in diesem Zusammenhang wichtige Hinweise für die Umsetzung der zugrundeliegenden Vorbereitungen in Excel. Position Inhalt Excel-Umsetzung C9 bis L69 historische Kurse individuelle Werte O10 bis O69 logarithmierte Renditen =LN(C10/ C9) AC36 bis AL36 erwartete Rendite =MITTELWERT(O10: O69)*12 AC37 bis AL37 Standardabweichung =STABW.S(O10: O69)*WURZEL(12) AC40 bis AL49 Varianz-Kovarianz-Matrix =VarCovar(O10: X69)*12 Tab. 21: Übersicht Um im späteren Verlauf dieses Beispiels die Ergebnisse der unterschiedlichen Optimierungen miteinander vergleichen zu können, wurde im Excel-Modell auf Grundlage der naiven Diversifizierung exemplarisch ein gleichgewichtetes Ausgangsportfolio gebildet. Das naiv diversifizierte Portfolio weist eine Portfoliorendite von 2,84 % sowie ein Portfoliorisiko von 15,11 % auf. Nach dem Rendite-Risiko-Profil von MVP1 zu urteilen, befindet sich das gleichgewichtete Portfolio jedoch nicht mehr auf der Effizienzkurve, sondern bereits auf dem ineffizienten Rand der Möglichkeitskurve. Im Anschluss an die Vorbereitungen erfolgt die Durchführung der Optimierung unter Berücksichtigung einer Budgetrestriktion und eines Leerverkaufsverbotes wie folgt dargestellt: Abb. 91: Bestimmung des MVP1 mit Begrenzung der Portfoliogewichte 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 Z AA AB AC AD AE MVP 1 Nebenbedingungen Wertpapier Portfolio-Gewicht Budgetrestriktion 100% ABT 36,17% Leerverkäufe 0 BA 0,00% COST 16,52% Zielfunktion CSCO 0,00% Portfoliovarianz (ZF) 0,0121 IBM 16,21% INTC 1,37% Weitere Kennzahlen MRK 0,00% Portfoliorendite 4,66% MSFT 0,00% Portfoliorisiko (Stabw) 11,01% T 5,23% XOM 24,49% Summe 100,00% <?page no="316"?> 316 4 Die Anwendung des aktiven Portfolio Managements Bevor die Einstellung des Excel-Add-Ins » Solver « erfolgen kann, sollten gemäß Abb. 91 die Formel der Zielfunktion, die dazugehörigen Kennzahlen sowie weiterer Nebenbedingungen in die dafür vorgesehenen Zellen implementiert werden. Die praktische Umsetzung der Zielfunktion mit Hilfe des Solvers setzt darüber hinaus einen Vektor mit Portfoliogewichten als Startlösung voraus. In diesem Beispiel wird als Startlösung bzw. als Ausgangsportfolio ein naives Portfolio gewählt, also eine Gleichgewichtung aller risikobehafteten Wertpapiere des Portfolios. Die Startlösung entspricht den Portfoliogewichten des Ausgangsportfolios im Bereich AE 57 bis AE66. Abb. 91 zeigt die Portfoliogewichte des Minimum- Varianz-Portfolios nach Abschluss der Optimierung. Nachdem die Startlösung festgelegt worden ist, sollten für die spätere Berücksichtigung der Nebenbedingungen alle relevanten Einschränkungen implementiert werden. Da in diesem Beispiel bei der Optimierung des Portfolios das Budget auf 100 % der verfügbaren Summe beschränkt ist, wird der Zelle AB77 vorbereitend ein absoluter Wert von 1 zugewiesen. Für die spätere Umsetzung des Leerverkaufsverbotes wird darüber hinaus der Zelle AB78 ein absoluter Wert von 0 zugeordnet. Nach Formel (4.51) wird in Zelle AB81 vorbereitend für die spätere Portfoliooptimierung mit Hilfe der Zielfunktion: 𝑤𝑤′𝛴𝛴𝑤𝑤 die Portfoliovarianz ermittelt. Im Bereich der weiteren Kennzahlen in Zelle AB85 ergibt sich das Portfoliorisiko als Wurzel aus Zelle AB81. Die Rendite des Portfolios ergibt sich abschließend in Zelle AB84 entsprechend der Formel: 𝑤𝑤 𝑇𝑇 𝜇𝜇 . Nach der Festlegung und Implementierung der Nebenbedingungen sowie der individuellen Startlösung kann das Excel-Add-In » Solver « gestartet werden. Tab. 22 zeigt alle relevanten Formeln und Funktionen für die Implementierung der Zielfunktion und der Nebenbedingungen. Position Inhalt Excel-Umsetzung AB72 Budgetrestriktion individueller Wert, z.B. 1 AB73 Leerverkaufsverbot individueller Wert, z.B. 0 AB76 Portfoliovarianz =MMULT(MMULT(AE72: AN72; AC40: AL49); MTRANS(AE72: AN72)) AB79 Portfoliorendite =MMULT(AE72: AN72; MTRANS(AC36: AL36)) AB80 Portfoliorisiko =WURZEL(AB76) Tab. 22: Übersicht An dieser Stelle soll noch kurz auf einige Besonderheiten bei der Umsetzung der Matrizenmultiplikation in Excel eingegangen werden. Da die Funktion » MMULT (Array1; Array2)« lediglich zwei Parameter bzw. Argumente aufnehmen kann, aber die Formel zur Berechnung des Portfoliorisikos die Multiplikation von drei Komponenten erfordert, muss die Funktion » MMULT()« zur Berechnung des Portfoliorisikos zweimal ausgeführt werden. Dabei ist es notwendig, die Funktion » MMULT()« in der Form MMULT(MMULT( 𝑤𝑤 𝑇𝑇 ; 𝛴𝛴 ); w) zweifach ineinander zu verschachteln. Es sollte ebenfalls beachtet werden, dass Excel bei der Abarbeitung der geschachtelten Funktion grundsätzlich von innen nach außen vorgeht. Da die gezeigte Matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist, gilt es, auf die Reihenfolge der zu übergebenden Argumente zu achten. 292 292 Vgl. Poddig/ Brinkmann/ Seiler (2009), S. 142 <?page no="317"?> 4.3 Die Umsetzung der absoluten Portfoliooptimierung 317 Abb. 92: Installation eines Excel-Add-Ins Noch vor dem Start des Solvers sollte sichergestellt werden, dass das dazu benötigte Add-In »Solver « in Excel installiert und aktiviert ist. Sollte dies nicht der Fall sein, kann im Reiter  Entwicklertools  Add-Ins  Add-In s ausgewählt werden, um zur Übersicht der verfügbaren Add-Ins zu gelangen. Ein Klick auf die Funktion erlaubt anschließend die Aktivierung der gewünschten Funktion »Solver « . Die durch Häkchen gekennzeichneten Funktionen sind bereits aktiviert. Im Anschluss daran wird der Solver im Reiter  Daten  Analyse  Solver über ein Zusatzprogramm (Add- In) in Excel bereitgestellt. Abb. 93 gibt zur Installation und Aktivierung des Excel- Add-Ins wichtige Hinweise. Abb. 93: Hinzufügen einer Nebenbedingung Nachdem der Solver aufgerufen worden ist, erfolgt die Festlegung der Zelle, die die Zielfunktion enthält. Da bei der Bestimmung des Minimum-Varianz-Portfolios die Zielfunktion zu minimieren ist, wird diese Voraussetzung unterhalb der festgelegten Zielzelle mit der Auswahl des Solver-Parameters » Min « bei der späteren Optimierung berücksichtigt. Die Optimierung der angegebenen Zielfunktion erfolgt durch die Veränderung der einzelnen Portfoliogewichte der risikobehafteten Wertpapiere. <?page no="318"?> 318 4 Die Anwendung des aktiven Portfolio Managements Es ist erforderlich, dass der zu verändernde Bereich der Portfolioanteile an den Solver übergeben wird (siehe Abb. 93). Im Anschluss erfolgt die manuelle Eingabe der Budgetrestriktion und des Leerverkaufsverbotes in Form weiterer Solver-Parameter. Die manuelle Eingabe der angesprochenen Nebenbedingungen erfolgt im Solver durch den Aufruf der Schaltfläche  Hinzufügen . Im Anschluss öffnet sich ein neues Fenster (vgl. Abb. 93), das die logische Verknüpfung von Zellbezügen erlaubt. Die angeführten Nebenbedingungen werden, wie in Abb. 93 dargestellt, in Form von linearen Gleichungen und Ungleichungen an den Solver übergeben. Die Budgetrestriktion wird mit Hilfe der Summe der Anteilsgewichte in Zelle AE87 in Form der linearen Nebenbedingung $AE$87 = $AB$77 im Solver umgesetzt. Die Bestätigung der durchgeführten Eingabe erfolgt durch Klick auf die Schaltfläche  OK , wonach Excel zur ursprünglichen Einstellung der Solver-Parameter zurückkehrt. Die Schaltfläche  Hinzufügen erlaubt die direkte Aufnahme weiterer Nebenbedingungen, ohne in das ursprüngliche Fenster zur manuellen Solver-Parameter-Eingabe zurückkehren zu müssen. Das zuvor festgelegte Verbot an Leerverkäufen erfordert weiterhin, dass die Optimierung des Portfolios keinesfalls zu negativen Werten der einzelnen Anteilsgewichte führt. Die Einhaltung des Leerverkaufsverbotes wurde deshalb im Rahmen der Nebenbedingung $AE$77: $AE$86 >= $AB$78 dem Solver hinzugefügt. Abb. 94: Einstellung der Solver-Parameter für die Optimierung von MVP1 Abb. 94 zeigt die manuelle Eingabe der Solver-Parameter. Je nach Umfang des Optimierungsproblems erlaubt der Solver die Verwendung unterschiedlicher Algorithmen zur Lösung des Optimierungsproblems. Da es sich hierbei um ein quadratisches Optimierungsproblem mit linearen Nebenbedingungen handelt, wurde in diesem Beispiel auf die Lösungsmethode » GRG-Nichtlinear « zurückgegriffen. Es sei in diesem Zusammenhang darauf hingewiesen, dass die Lösung des verwendeten Verfahrens unter Umständen von der zuvor festgelegten Startlösung (Portfolioanteile) ab- <?page no="319"?> 4.3 Die Umsetzung der absoluten Portfoliooptimierung 319 hängig ist. Die Verwendung spezifischer Startlösungen steht jedem Anleger frei, kann jedoch beim Nachvollziehen der Beispiele unter Umständen zu abweichenden Ergebnissen führen. 293 Die Optimierung des Portfolios kann abschließend mit einem Klick auf die Schaltfläche  Lösen gestartet werden. Nach Abschluss der Optimierung ergibt sich das Minimum-Varianz-Portfolio mit einer zu erwartenden Portfoliorendite von 4,66 % sowie einem Portfoliorisiko in Form einer Standardabweichung von 11,01 %. Abb. 91 zeigt die Ergebnisse der Portfoliooptimierung. Die Zusammensetzung des MVP1 besteht zu ca. 36 % aus dem Wertpapier ABT, zu 24 % aus dem Wertpapier XOM, zu ca. 16 % aus den Wertpapieren COST und IBM sowie zu einem kleineren Teil aus den Wertpapieren AT&T und IN- TEL. Die Ergebnisse in Abb. 91 zeigen jedoch, dass das MVP1 lediglich 6 von den ursprünglichen 10 Wertpapieren beinhaltet und somit im MVP nicht über die gesamte Bandbreite des Portfolios diversifiziert ist. Abb. 95: Bestimmung des MVP2 ohne Leerverkaufsverbot Um eine höhere Diversifikation des Portfolios im MVP zu ermöglichen, soll nun das zu Beginn eingeführte Leerverkaufsverbot aufgehoben werden. In diesem Fall ist es erforderlich, den ersten Eintrag der Nebenbedingungen in Abb. 94 über die Schaltfläche  Löschen zu entfernen. Im Anschluss daran ist es notwendig, mit der Auswahl der Zelle $AB$98 einen neuen Bezug der Zielzelle festzulegen, den Bereich der Variablenzellen in $AE$94: $AN$103 abzuändern sowie die verbleibende Budgetrestriktion entsprechend in $AE$104=$AB$94 zu überarbeiten. Abschließend sollte der Solver erneut gestartet werden. Während der Optimierung wird nun berücksichtigt, dass Kapitalanleger grundsätzlich Leerverkäufe tätigen dürfen. Nach Abschluss der erneuten Optimierung ergibt sich die in Tab. 23 dargestellte Zusammensetzung des neuen MVP2. Es fällt zunächst auf, dass die Portfoliostruktur nun teilweise Wertpapiere mit negativen Vorzeichen enthält. Die Wertpapiere ABT sowie XOM besitzen wie schon in MVP1 die höchsten prozentualen Anteile im Portfolio. Der Vergleich des ersten und des zweiten MVP zeigt, dass lediglich diejenigen Wertpapiere negative Portfoliogewichte aufweisen, die bei der Optimierung des ersten MVP mit 0 % von der Portfoliostruktur ausgeschlossen wurden. Die Portfoliostruktur des zweiten MVP zeigt eine leichte Absenkung der Portfoliorendite sowie des Portfoliorisikos. Es sei nochmals kurz darauf hingewiesen, dass die positiven 293 Vgl. Poddig/ Brinkmann/ Seiler (2009), S. 145 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 Z AA AB AC AD AE AF MVP 2 Nebenbedingungen Wertpapier Portfolio-Gewicht Budgetrestriktion 100% ABT 43,59% BA -4,18% COST 20,81% Zielfunktion CSCO -1,26% Portfoliovarianz (ZF) 0,0108 IBM 14,10% INTC 9,04% Weitere Kennzahlen MRK -14,52% Portfoliorendite 4,62% MSFT -2,39% Portfoliorisiko (Stabw) 10,41% T 4,45% XOM 30,36% Summe 100,00% <?page no="320"?> 320 4 Die Anwendung des aktiven Portfolio Managements Portfoliogewichte Longbzw. Kauf-Positionen darstellen, wobei die negativen Portfoliogewichte Shortbzw. Verkaufs-Positionen im Portfolio abbilden. Wertpapier Ausgang MVP1 MVP2 MVP3 ABT 10,00 % 36,17 % 43,59 % 33,14 % BA 10,00 % 0,00 % -4,18 % 5,00 % COST 10,00 % 16,52 % 20,81 % 6,89 % CSCO 10,00 % 0,00 % -1,26 % 5,00 % IBM 10,00 % 16,21 % 14,10 % 10,63 % INTC 10,00 % 1,37 % 9,04 % 5,00 % MRK 10,00 % 0,00 % -14,52 % 5,00 % MSFT 10,00 % 0,00 % -2,39 % 5,00 % T 10,00 % 5,23 % 4,45 % 5,00 % XOM 10,00 % 24,49 % 30,36 % 19,35 % Tab. 23: Übersicht der Optimierungsdurchläufe Da die Umsetzung der beschriebenen Short-Positionen aufgrund regulatorischer Bestimmungen nur individuellen Kapitalanlegern vorbehalten ist, soll in den nachfolgenden Betrachtungen das Leerverkaufsverbot wieder eingeführt werden. Um dennoch ein diversifiziertes Portfolio realisieren zu können, erscheint es zweckmäßig, untere und obere Begrenzungen für das Portfolio festzulegen. Die einzelnen Wertpapiere sollen mindestens zu 5 %, jedoch maximal zu 35 % im Portfolio enthalten sein. Die angesprochene Einschränkung der einzelnen Wertpapiere könnte auch für jedes einzelne Wertpapier individuell getroffen werden. Die manuelle Eingabe der genannten Nebenbedingung kann entweder einzeln für jedes Portfoliogewicht festgelegt werden, oder stattdessen der Zellbezug auf die gesamten Portfoliogewichte eingegeben werden. Abb. 96: Bestimmung des MVP mit Begrenzung der Portfoliogewichte Im vorliegenden Fall werden zunächst die definierten Unter- und Obergrenzen der einzelnen Wertpapiere unterhalb der Portfoliogewichte des Portfolios in das Excel- Modell übertragen. Abgesehen von dieser Erweiterung entspricht das Excel-Modell weitestgehend den Vorgängern. Im Anschluss werden, wie gewohnt, die Ziel-zelle, 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 Z AA AB AC AD AE AF AG MVP 3 Nebenbedingungen Wertpapier Portfolio-Gewicht Min Max Budgetrestriktion 100% ABT 33,14% 0,05 0,35 Leerverkäufe 0 BA 5,00% 0,05 0,35 COST 6,89% 0,05 0,35 Zielfunktion CSCO 5,00% 0,05 0,35 Portfoliovarianz (ZF) 0,0146 IBM 10,63% 0,05 0,35 INTC 5,00% 0,05 0,35 Weitere Kennzahlen MRK 5,00% 0,05 0,35 Portfoliorendite 3,80% MSFT 5,00% 0,05 0,35 Portfoliorisiko (Stabw) 12,09% T 5,00% 0,05 0,35 XOM 19,35% 0,05 0,35 Summe 100,00% <?page no="321"?> 4.3 Die Umsetzung der absoluten Portfoliooptimierung 321 der Zielwert und die zu verändernden Variablenzellen abgeändert sowie eine weitere Nebenbedingung hinzugefügt. Abb. 97 stellt die getätigten Einstellungen für die Solver-Parameter umfassend dar. Zum Abschluss der manuellen Eingabe der Solver- Parameter kann der Solver erneut gestartet werden. Abb. 97: Einstellung des Solvers für die Optimierung von MVP3 Nach dem Abschluss der Optimierung ergibt sich im Vergleich zum MVP2 ein ähnliches Bild, jedoch mit dem Unterschied, dass nun das MVP3 keine negativen Portfoliogewichte mehr beinhaltet. Nach Tab. 23 ist jedes Wertpapier mindestens zu 5 % und maximal zu 35 % im Portfolio enthalten. Im Vergleich zum MVP2 geht nun das Wertpapier ABT durch die obere Begrenzung mit einem geringeren Anteil in die Portfoliostruktur des MVP3 ein. Es ergibt sich für das dritte MVP eine Portfoliorendite von 3,90 %, sowie ein Portfoliorisiko von 12,09 %. Die in Abb. 97 dargestellte Übersicht der Solver-Parameter wurde jeweils in der Spalte AJ abgespeichert und kann alternativ über  Laden/ Speichern  Laden erneut aufgerufen werden. 4.3.2.4 Ermittlung des Maximum-Ertrags-Portfolios in Excel Das nachfolgende Beispiel demonstriert die Bestimmung des Maximum-Ertrags- Portfolios. Um die gezeigten Schritte im Detail nachvollziehen zu können, sollte das Excel-Modell in der Datei » Kapitel_4_Beispiele.xlsm« im Tabellenblatt » Maximum- Ertrags-Portfolio « aufgerufen werden. Es empfiehlt sich wiederum, die Bearbeitung dieses Abschnitts in Verbindung mit der geöffneten Excel-Datei durchzuführen. Das Optimierungsproblem bei der Bestimmung des MEP entspricht prinzipiell der Maximierung der erwarteten Rendite des zu optimierenden Portfolios, sodass <?page no="322"?> 322 4 Die Anwendung des aktiven Portfolio Managements sich folgende Zielfunktion ergibt: 𝑍𝑍𝑍𝑍(𝑤𝑤) = 𝑤𝑤 𝑇𝑇 𝜇𝜇 → 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑒𝑒! (4.53) unter der Einhaltung der folgenden Nebenbedingungen ∑ 𝑤𝑤 𝑖𝑖 𝑁𝑁𝑖𝑖=1 = 1 bzw. 1 𝑇𝑇 𝑤𝑤 = 1 (Budgetrestriktion) (4.54) 𝑤𝑤 𝑖𝑖 ≥ 0 für alle 𝑖𝑖 = 1, … , 𝑁𝑁 (Leerverkaufsverbot) Bei der Bestimmung des Maximum-Ertrags-Portfolios wird gemäß Formel (4.53) die angegebene Zielfunktion minimiert, was unbedingt bei der späteren Einstellung der Solver-Parameter beachtet werden sollte. Die Vorbereitungen für die Ermittlung des Maximum-Ertrags-Portfolios beschränken sich hauptsächlich auf das Laden und Speichern der historischen Zeitreihen der risikobehafteten Wertpapiere für das festgelegte Portfolio und die anschließende Berechnung der logarithmierten Renditen, der historischen Standardabweichungen und der Varianz-Kovarianz-Matrix. Hierzu wird auf die Datenbanken des Finanzdatenanbieters » Yahoo Finance « zurückgegriffen, um die historischen Kurse aus dem Internet zu beziehen. Je nach gewählter Periodizität der historischen Kurse (jährlich, monatlich, wöchentlich oder täglich) sollten zum Abschluss der Vorbereitungen alle zuvor ermittelten Eingangsgrößen mit dem entsprechenden Skalierungsfaktor annualisiert werden. Da sich die Vorbereitungen einiger Excel-Beispiele weitestgehend entsprechen, soll Tab. 24 an dieser Stelle lediglich einen kurzen Überblick über die Bestimmung der Eingangsgrößen für die spätere Portfoliooptimierung geben. Position Inhalt Excel-Umsetzung C9 bis L69 historische Kurse individuelle Werte O10 bis O69 diskrete Renditen =(C10/ C9)-1 AC36 bis AL36 erwartete Rendite =MITTELWERT(O10: O69)*12 AC37 bis AL37 Standardabweichung =STABW.S(O10: O69)*WURZEL(12) AC40 bis AL49 Varianz-Kovarianz-Matrix =VarCovar(O10: X69)*12 Tab. 24: Übersicht Um im späteren Verlauf dieses Beispiels die Ergebnisse der unterschiedlichen Portfoliooptimierungen miteinander vergleichen zu können, wird im Excel-Modell auf Grundlage der naiven Diversifizierung exemplarisch ein gleichgewichtetes Ausgangsportfolio gebildet. Das naiv diversifizierte Portfolio weist eine Portfoliorendite von 2,84 % sowie ein Portfoliorisiko von 15,11 % auf. Nach diesem Rendite-Risiko-Profil zu urteilen, befindet sich das gleichgewichtete Portfolio nicht mehr auf der Effizienzkurve, sondern bereits auf dem ineffizienten Rand der Möglichkeitskurve. <?page no="323"?> 4.3 Die Umsetzung der absoluten Portfoliooptimierung 323 Durchführung der Optimierung Abb. 98: Bestimmung des MEP Die Vorgehensweise bei der Ermittlung des Maximum-Ertrags-Portfolios orientiert sich weitestgehend an den vorherigen Abschnitten. Vor der endgültigen Bestimmung des MEP ist es nötig, die zuvor festgelegten Nebenbedingungen manuell mit Hilfe eines Zwischenschritts an die Solver-Parameter zu übertragen. Dazu wird für die spätere Berücksichtigung der festgelegten Budgetrestriktion und des Leerverkaufsverbots in den Solver-Parametern der Zelle AB78 der Wert 1 sowie der Zelle AB79 der Wert 0 zugewiesen. Im nächsten Schritt ist es für die späteren Zellbezüge der Solver-Parameter notwendig, vor der Optimierung des Portfolios die zuvor festgelegte Zielfunktion aus Formel (4.53) in Zelle AB82 einzufügen. Die Rendite des optimierten Portfolios in Zelle AB82 ergibt sich aus der Multiplikation der Anteile des optimierten Portfolios und der erwarteten Renditen der Wertpapiere. In den Zellen AB85 und AB86 erfolgt die Auswertung weiterer Kennzahlen in Bezug auf die Rendite bzw. das Risiko des optimierten Portfolios. Dazu wird in Zelle AB85 zunächst die Portfoliovarianz des MEP ermittelt und anschließend das Risiko des optimierten Portfolios in Zelle AB86 in Form der Standardabweichung aus der Wurzel der Portfoliovarianz. Es sei darauf hingewiesen, dass die Startlösung vor Beginn der Optimierung der Zusammensetzung des gleichgewichteten Ausgangsportfolios (vgl. Zellbereich AE59 bis AE68) entspricht. Abb. 98 zeigt im Bereich AE78 bis AE87 die Zusammensetzung des Maximum-Ertrags-Portfolios nach der erfolgreichen Lösung des zuvor in Formel (4.53) dargestellten Optimierungsproblems. Position Inhalt Excel-Umsetzung AB78 Budgetrestriktion individueller Wert, z.B. 1 AB79 Leerverkaufsverbot individueller Wert, z.B. 0 AB85 Zielfunktion / Portfoliorendite =MMULT(AC36: AL36; AE78: AE87) AB85 Portfoliovarianz =MMULT(MMULT(MTRANS(AE78: AE87); AC40: AL49); AE78: AE87) AB86 Portfoliorisiko =WURZEL(AB85) AE78 bis AE87 Portfolio-Gewichte Startlösung siehe Ausgangsportfolio Tab. 25: Übersicht 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 Z AA AB AC AD AE Nebenbedingungen Wertpapier Portfolio-Gewicht Budgetrestriktion 100% ABT 0,00% Leerverkäufe 0 BA 0,00% COST 0,00% Zielfunktion CSCO 0,00% Portfoliorendite 7,89% IBM 0,00% INTC 0,00% Weitere Kennzahlen MRK 0,00% Portfoliovarianz 0,037634074 MSFT 0,00% Portfoliorisiko (Standardabweichung) 19,40% T 0,00% XOM 100,00% Summe 100,00% <?page no="324"?> 324 4 Die Anwendung des aktiven Portfolio Managements Nach der Implementierung der Zielfunktion und der dazugehörigen Nebenbedingungen kann das Excel-Add-In » Solver « über den Reiter  Daten  Analyse  Solver aufgerufen werden. Die zuvor vorbereitete Budgetrestriktion sowie das Leerverkaufsverbot werden anschließend, wie in der Formel (4.54) dargestellt, in Form von linearen Gleichungen bzw. Ungleichungen an den Solver weitergegeben. Auf der linken Seite der Nebenbedingung wird der Zellbezug auf eine variable Zelle bzw. einen Zellbereich festgelegt. Die Summe der einzelnen Portfoliogewichte stellt beispielsweise eine variable Zelle dar, da diese sich während der Optimierung mehrmals ändern kann. Auf der rechten Seite der Nebenbedingung steht meistens die Zielvorgabe bzw. der Zielwert in Form eines absoluten Wertes oder einer Zelle bzw. Zellbereichs. Ein logischer Operator verknüpft dabei die beiden Komponenten der Nebenbedingung. Die Budgetrestriktion wird mit Hilfe der Summe der Anteilsgewichte in Zelle AE87 in Form der linearen Nebenbedingung $AE$88 = $AB$78 in den Parametern des Solvers umgesetzt. Die Einhaltung des Leerverkaufsverbotes wurde im Rahmen der Nebenbedingung $AE$78: $AN$87 >= $AB$79 den Solver-Parametern hinzugefügt. Abb. 99 greift die manuelle Eingabe der Solver-Parameter auf. Bei der Berechnung des Maximum-Ertrags-Portfolios wird aufgrund des quadratischen Optimierungsproblems der zugrundeliegenden Zielfunktion auf die Lösungsmethode » GRG-Nichtlinear « zurückgegriffen. Die Bestimmung des Tangentialportfolios kann anschließend mit einem Klick auf die Schaltfläche  Lösen gestartet werden. Abb. 99: Einstellung der Solver-Parameter zur Ermittlung des MEP Das Ergebnis der Portfoliooptimierung ergab die vollständige Investition des zur Verfügung stehenden Kapitals in das Wertpapier XOM, da das Wertpapier mit einer erwarteten Rendite von 7,89 % im Vergleich zu den anderen Wertpapieren im Portfolio die höchste erwartete Rendite besitzt. Die in Abb. 99 dargestellte Übersicht der Solver-Parameter wurde im Zellbereich AE94 bis AE99 abgespeichert und kann alternativ über die Schaltfläche  Laden/ Speichern und die Auswahl  Laden erneut aufgerufen werden. <?page no="325"?> 4.3 Die Umsetzung der absoluten Portfoliooptimierung 325 Bestimmung eines beliebig effizienten Portfolios in Excel Das nachfolgende Beispiel demonstriert die Bestimmung eines beliebig effizienten Portfolios. Um die gezeigten Schritte im Detail nachvollziehen zu können, sollte das Excel-Modell in der Datei » Kapitel_4_Beispiele.xlsm « im Tabellenblatt » Beliebiges- Portfolio « aufgerufen werden. Es empfiehlt sich wiederum, die Bearbeitung dieses Abschnitts in Verbindung mit der geöffneten Excel-Datei durchzuführen. Das Optimierungsproblem bei der Bestimmung eines beliebig effizienten Portfolios umfasst prinzipiell die Minimierung des Portfoliorisikos für eine gegebene Zielrendite, sodass folgende Zielfunktion im angesprochenen Excel-Modell wie folgt formal umgesetzt wurde: 𝑍𝑍𝑍𝑍(𝑤𝑤) = 𝜎𝜎 𝑒𝑒2 = 𝑤𝑤 𝑇𝑇 𝛴𝛴𝑤𝑤 → 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑏𝑏! (4.55) unter der primären Nebenbedingung 𝑁𝑁𝐵𝐵 = 𝑤𝑤 𝑇𝑇 𝜇𝜇 = 𝜇𝜇 ∗ (4.56) mit 𝜇𝜇 ∗ : variierende Zielrendite, wobei 𝜇𝜇 𝑀𝑀𝑉𝑉𝑃𝑃 ≤ 𝜇𝜇 ∗ ≤ 𝜇𝜇 𝑀𝑀𝑉𝑉𝑃𝑃 sowie unter den sekundären Nebenbedingungen einer bestehenden Budgetrestriktion und eines geforderten Leerverkaufsverbots. Im Gegensatz zu der Zielfunktion des Maximum-Ertrags-Portfolios wird die Zielfunktion zur Berechnung eines beliebig effizienten Portfolios minimiert, sodass diese Tatsache bei der späteren Einstellung des Zielwerts in den Solver-Parametern beachtet werden sollte. Die Vorbereitungen für die Berechnung eines beliebig effizienten Portfolios stimmen weitestgehend mit den vorherigen Erläuterungen der einzelnen Excel-Modelle überein, sodass an dieser Stelle nur kurz auf die grundsätzlichen Vorbereitungen eingegangen werden soll. Im vorliegenden Falle beschränken sich die Vorbereitungen hauptsächlich auf das Laden und Speichern der historischen Zeitreihen der risikobehafteten Wertpapiere für das festgelegte Portfolio und auf die anschließende Berechnung der logarithmierten Renditen, der historischen Standardabweichungen und der Varianz-Kovarianz-Matrix. Um die historischen Kurse aus dem Internet zu beziehen, wird auf die Datenbanken des Finanzdatenanbieters » Yahoo Finance « zurückgegriffen, welche im Internet frei zugänglich sind. Je nach gewählter Periodizität der historischen Kurse (jährlich, monatlich, wöchentlich oder täglich) sollten zum Abschluss der Vorbereitungen alle zuvor ermittelten Eingangsgrößen mit dem entsprechenden Skalierungsfaktor annualisiert werden. Da sich die Vorbereitungen einiger Excel-Beispiele weitestgehend entsprechen, soll an dieser Stelle lediglich ein kurzer Überblick über die Bestimmung der Eingangsgrößen für die spätere Optimierung gegeben werden. Position Inhalt Excel-Umsetzung C9 bis L69 historische Kurse individuelle Werte O10 bis O69 logarithmierte Renditen =LN(C10/ C9) AC36 bis AL36 erwartete Rendite =MITTELWERT(O10: O69)*12 AC37 bis AL37 Standardabweichung =STABW.S(O10: O69)*WURZEL(12) AC40 bis AL49 Varianz-Kovarianz-Matrix =VarCovar(O10: X69)*12 Tab. 26: Übersicht <?page no="326"?> 326 4 Die Anwendung des aktiven Portfolio Managements Um im späteren Verlauf dieses Beispiels die Ergebnisse der unterschiedlichen Optimierungen miteinander vergleichen zu können, wurde im Excel-Modell auf Grundlage der naiven Diversifizierung exemplarisch ein gleichgewichtetes Ausgangsportfolio gebildet, welches eine Portfoliorendite von 2,84 % sowie ein Portfoliorisiko in Form einer Standardabweichung von 15,11 % aufweist. Bei der Betrachtung des Rendite-Risiko-Profils zeigt sich, dass sich das gleichgewichtete Portfolio nicht mehr auf der Effizienzkurve, sondern bereits auf dem ineffizienten Rand der Möglichkeitskurve befindet, und somit für einen Kapitalanleger nicht tragbar ist. Abb. 100: Übersicht Excel-Modell Abb. 100 zeigt den grundlegenden Aufbau des Excel-Modells. Noch vor dem Aufruf des Excel-Add-Ins » Solver « ist es notwendig, den in Abb. 100 dargestellten Aufbau des Excel-Modells praktisch umzusetzen. Dazu wird für die spätere Berücksichtigung der festgelegten primären Nebenbedingungen in den Solver-Parametern der Zelle AB77 eine Zielrendite von 6 % zugeordnet. Für die Einhaltung der sekundären Nebenbedingungen, wie Budgetrestriktion und Leerverkaufsverbot, wird den Zellen AB78 und AB79 jeweils ein Wert von 1 und 0 zugewiesen. Während die bestehenden sekundären Nebenbedingungen an die Bedürfnisse des Kapitalanlegers angepasst werden können, ist für die Bestimmung eines beliebig effizienten Portfolios die Einhaltung der primären Nebenbedingungen unerlässlich. Im nächsten Schritt ist es für die Auswahl der späteren Zellbezüge in den Solver- Parametern notwendig, noch vor dem Start der Portfoliooptimierung die zuvor festgelegte Zielfunktion (Portfoliovarianz) aus Formel (4.55) in Zelle AB82 einzufügen. Im Anschluss daran folgt in den Zellen AB85 und AB86 die Auswertung weiterer Kennzahlen in Bezug auf die Rendite bzw. das Risiko des optimierten Portfolios. Die Portfoliorendite des optimierten und effizienten Portfolios in Zelle AB85 entspricht nach der erfolgreichen Durchführung der Portfoliooptimierung der geforderten Zielrendite. Aus mathematischer Sicht ergibt sich die Kennzahl aus der Multiplikation der Anteile des optimierten Portfolios mit den erwarteten Renditen der Wertpapiere. Das Risiko des optimierten Portfolios in Zelle AB86 ergibt sich in Form der Standardabweichung aus der Wurzel der Portfoliovarianz aus Zelle AB82. Es sei darauf hingewiesen, dass die Startlösung vor Beginn der Optimierung der Zusammensetzung des gleichgewichteten Ausgangsportfolios entspricht. Abb. 100 zeigt im Bereich AE77 bis AE86 die Zusammensetzung des Tangentialportfolios nach dem erfolgreichen Abschluss der Optimierung. Tab. 27 gibt wichtige Hinweise für die praktische Umsetzung des Modells in Excel. 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 Z AA AB AC AD AE Nebenbedingungen Wertpapier Portfolio-Gewicht Zielrendite 6% ABT 20,01% Budgetrestriktion 100% BA 0,00% Leerverkäufe 0 COST 14,90% CSCO 0,00% Zielfunktion IBM 16,09% Portfoliovarianz 0,0150 INTC 0,00% MRK 0,00% Weitere Kennzahlen MSFT 0,00% Portfoliorendite 6,00% T 0,00% Portfoliorisiko (Standardabweichung 12,24% XOM 49,00% Summe 100,00% <?page no="327"?> 4.3 Die Umsetzung der absoluten Portfoliooptimierung 327 Position Inhalt Excel-Umsetzung AB77 beliebige Zielrendite individueller Wert, z.B. 0,06 AB78 Budgetrestriktion individueller Wert, z.B. 1 AB79 Leerverkaufsverbot individueller Wert, z.B. 0 AB85 Portfoliorendite / Zielfunktion =MMULT(AC36: AL36; AE77: AE86) AB82 Portfoliovarianz =MMULT(MMULT(MTRANS(AE77: AE86); AC40: AL49); AE77: AE86) AB86 Portfoliorisiko =WURZEL(AB82) AE77 bis AE86 Portfolio-Gewichte Startlösung siehe Ausgangsportfolio AE87 Summe der Anteile =SUMME(AE77: AE86) Tab. 27: Übersicht Nach der Implementierung der Zielfunktion und der dazugehörigen Nebenbedingungen kann das Excel-Add-In » Solver « über den Reiter  Daten  Analyse  Solver aufgerufen werden. Abb. 101: Übersicht Solver-Parameter Die zuvor vorbereitete Budgetrestriktion sowie das Leerverkaufsverbot werden anschließend, wie in Abb. 101 dargestellt, in Form von linearen Gleichungen bzw. Ungleichungen manuell in die Einstellungen des Solvers übertragen. Auf der linken Seite der Nebenbedingung wird der Zellbezug auf eine variable Zelle bzw. einen Zellbereich festgelegt. Die Summe der einzelnen Portfoliogewichte stellt beispielsweise <?page no="328"?> 328 4 Die Anwendung des aktiven Portfolio Managements eine variable Zelle dar, da diese sich während der Optimierung mehrmals ändern kann. Auf der rechten Seite der Nebenbedingung steht meistens die Zielvorgabe bzw. der Zielwert in Form eines absoluten Wertes oder einer Zelle bzw. eines Zellbereichs. Ein logischer Operator verknüpft die beiden Komponenten der Nebenbedingung. Abb. 101 greift die manuelle Eingabe der Solver-Parameter auf und gibt einen Überblick über die berücksichtigten Nebenbedingungen. Die Berechnung eines beliebig effizienten Portfolios unter Einhaltung einer geforderten Zielrendite stellt ein quadratisches Optimierungsproblem dar, sodass bei der Lösung der zugrundeliegenden Zielfunktion auf die Lösungsmethode » GRG-Nichtlinear « zurückgegriffen wird. Die Bestimmung des gesuchten Portfolios kann anschließend mit einem Klick auf die Schaltfläche  Lösen gestartet werden. Aus der Portfoliooptimierung resultiert das in Abb. 100 dargestellte Ergebnis. Vor dem dargestellten Hintergrund ist es durchaus denkbar, dass ein Kunde der Private- Banking-Abteilung einer Bank eine bestimmte Zielrendite vorgibt. Um die geforderte Zielrendite von z.B. 6 % zu erreichen, ist es notwendig, dass der Portfolio-Manager der Bank das zur Verfügung stehende Kapital des Kunden zu 49 % in das Wertpapier XOM, zu 20 % in das Wertpapier ABT, zu 16 % in das Wertpapier IBM sowie zu 15 % in das Wertpapier COST investiert. Es ergibt sich dementsprechend ein Portfoliorisiko in Höhe von 12,24 %. Es sei im Rahmen dieser Überlegung darauf hingewiesen, dass sich die Portfoliostruktur maßgeblich auf Grundlage einer Ex-post-Betrachtung der Eingangsgrößen ergibt und somit aufgrund der Schätzfehlerproblematik (siehe Kapitel 1) nicht unbedingt optimal ist. Die in Abb. 101 dargestellte Übersicht der Solver-Parameter wurde im Zellbereich AA92 bis AA98 abgespeichert und kann alternativ über  Laden/ Speichern  Laden erneut aufgerufen werden. Bestimmung des Tangentialportfolios in Excel Das nachfolgende Beispiel befasst sich hauptsächlich mit der Bestimmung des Tangentialportfolios. Um die nachfolgenden Erläuterungen und Schritte im Detail nachvollziehen zu können, empfiehlt es sich, das Excel-Modell in der Datei » Kapitel_4_Beispiele.xlsm « im Tabellenblatt » Tangentialportfolio « parallel zur Bearbeitung dieses Abschnitts aufzurufen. Das Optimierungsproblem bei der Bestimmung des Tangentialportfolios entspricht im Prinzip der Maximierung der Sharpe Ratio des Portfolios, sodass folgende Zielfunktion maximiert werden soll: 𝑍𝑍𝑍𝑍 = 𝜇𝜇 𝑃𝑃 − 𝑚𝑚 𝑓𝑓 𝜎𝜎 𝑃𝑃 → 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑒𝑒! (4.57) 𝑍𝑍𝑍𝑍 = 𝑤𝑤 𝑇𝑇 𝜇𝜇 − 𝑚𝑚 𝑓𝑓 √𝑤𝑤 𝑇𝑇 𝛴𝛴𝑤𝑤 → 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑒𝑒! (4.58) Im Gegensatz zu der Zielfunktion des Minimum-Varianz-Portfolios in Abschnitt 4.1.1 wird die Zielfunktion zur Bestimmung des Tangentialportfolios maximiert, was bei der späteren Einstellung des Excel-Add-Ins » Solver « beachtet werden sollte. Die Vorbereitungen für die Berechnung des Tangentialportfolios beschränken sich hauptsächlich auf das Laden und Speichern der historischen Zeitreihen der risikobe- <?page no="329"?> 4.3 Die Umsetzung der absoluten Portfoliooptimierung 329 hafteten Wertpapiere für das festgelegte Portfolio und die anschließende Berechnung der logarithmierten Renditen, der historischen Standardabweichungen und der Varianz-Kovarianz-Matrix. Hierzu wird grundsätzlich auf die Datenbanken des Finanzdatenanbieters » Yahoo Finance « zurückgegriffen, um die historischen Kurse aus dem Internet zu beziehen. Je nach gewählter Periodizität der historischen Kurse (jährlich, monatlich, wöchentlich oder täglich) sollten zum Abschluss der Vorbereitungen alle zuvor ermittelten Eingangsgrößen mit dem entsprechenden Skalierungsfaktor annualisiert werden. Da sich die Vorbereitungen einiger Excel-Beispiele weitestgehend entsprechen, soll an dieser Stelle lediglich ein kurzer Überblick über die Bestimmung der Eingangsgrößen für die spätere Optimierung gegeben werden. Position Inhalt Excel-Umsetzung C9 bis L69 historische Kurse individuelle Werte O10 bis O69 logarithmierte Renditen =LN(C10/ C9) AC36 bis AL36 erwartete Rendite =MITTELWERT(O10: O69)*12 AC37 bis AL37 Standardabweichung =STABW.S(O10: O69)*WURZEL(12) AC40 bis AL49 Varianz-Kovarianz-Matrix =VarCovar(O10: X69)*12 Tab. 28: Übersicht Um im späteren Verlauf dieses Beispiels die Ergebnisse der unterschiedlichen Optimierungen miteinander vergleichen zu können, wurde im Excel-Modell auf Grundlage der naiven Diversifizierung exemplarisch ein gleichgewichtetes Ausgangsportfolio gebildet, welches eine Portfoliorendite von 2,84 % sowie ein Portfoliorisiko in Form einer Standardabweichung von 15,11 % aufweist. Bei der Betrachtung des Rendite-Risiko-Profils zeigt sich, dass sich das gleichgewichtete Portfolio nicht mehr auf der Effizienzkurve, sondern auf dem ineffizienten Rand der Möglichkeitskurve befindet. Bestimmung des Tangentialportfolios Abb. 102: Übersicht Excel-Modell Tangentialportfolio Vor der endgültigen Bestimmung des Tangentialportfolios ist es zunächst notwendig, manuell mit Hilfe eines Zwischenschritts alle zuvor festgelegten Nebenbe- 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 Z AA AB AC AD AE Nebenbedingungen Wertpapier Portfolio-Gewicht Budgetrestriktion 100% ABT 0,00% Leerverkäufe 0 BA 0,00% Risikoloser Zins 3% COST 9,79% CSCO 0,00% Zielfunktion IBM 14,74% Sharpe-Ratio 26,2% INTC 0,00% MRK 0,00% Weitere Kennzahlen MSFT 0,00% Portfoliorendite 7,16% T 0,00% Portfoliorisiko (Standardabweichung 15,88% XOM 75,47% Summe 100,00% <?page no="330"?> 330 4 Die Anwendung des aktiven Portfolio Managements dingungen in die Einstellungen der Solver-Parameter zu übertragen. Dazu werden für die spätere Berücksichtigung der festgelegten Budgetrestriktion und des Leerverkaufsverbots in den Solver-Parametern der Zelle AB77 der Wert 1 sowie der Zelle AB78 der Wert 0 zugewiesen. Die Quantifizierung des risikolosen Zinssatzes stellt eine wichtige Voraussetzung für die Berechnung des Tangentialportfolios dar. Im gegebenen Fall wurde der Zelle AB79 ein risikoloser Zinssatz in Höhe von 3 % zugeordnet. Im nächsten Schritt ist es für die späteren Zellbezüge der Solver-Parameter notwendig, die zuvor festgelegte Zielfunktion aus Formel (4.57) in Zelle AB82 einzufügen. Die Zielfunktion wurde mit Hilfe eines Zwischenschrittes implementiert, sodass nach der Berechnung des Tangentialportfolios dessen erwartete Rendite und und dessen Risiko getrennt ausgewiesen werden können. Im Gegensatz zu Abschnitt 4.1 findet sich die Formel zur Bestimmung der Portfoliorendite bzw. des Portfoliorisikos nur indirekt in Zelle AB82 wieder. In den Zellen AB85 und AB86 folgt die Auswertung weiterer Kennzahlen in Bezug auf die Rendite und das Risiko des optimierten Portfolios. Die Rendite des optimierten Portfolios in Zelle AB85 ergibt sich aus der Multiplikation der Anteile des optimierten Portfolios mit den erwarteten Renditen der einzelnen Wertpapiere. Das Risiko des optimierten Portfolios in der Zelle AB86 ergibt sich in Form der Standardabweichung aus der Wurzel der Portfoliovarianz. Es sei darauf hingewiesen, dass die Startlösung vor Beginn der Optimierung der Zusammensetzung des gleichgewichteten Ausgangsportfolios entspricht. Abb. 102 zeigt im Bereich AE77 bis AE86 die Zusammensetzung des Tangentialportfolios nach dem erfolgreichen Abschluss der Optimierung. Position Inhalt Excel-Umsetzung AB77 Budgetrestriktion individueller Wert, z.B. 1 AB78 Leerverkaufsverbot individueller Wert, z.B. 0 AB79 risikoloser Zins individueller Wert, z.B. 0,03 AB82 Zielfunktion / Sharpe Ratio =(AB85-AB79)/ AB86 AB85 Portfoliorendite =MMULT(AC36: AL36; AE77: AE86) AB86 Portfoliorisiko =WURZEL(MMULT(MMULT(MTRANS (AE77: AE86); AC40: AL49); AE77: AE86)) AE77 bis AE86 Portfolio-Gewichte Startlösung siehe Ausgangsportfolio Tab. 29: Übersicht Nach Einsetzen der Zielfunktion und der dazugehörigen Nebenbedingungen kann das Excel-Add-In Solver über den Reiter  Daten  Analyse  Solver aufgerufen werden. Die zuvor vorbereitete Budgetrestriktion sowie das Leerverkaufsverbot werden anschließend in Form von linearen Gleichungen bzw. Ungleichungen in den Solver eingegeben. Auf der linken Seite der Nebenbedingung wird der Zellbezug auf eine <?page no="331"?> 4.3 Die Umsetzung der absoluten Portfoliooptimierung 331 variable Zelle bzw. einen Zellbereich festgelegt. Die Summe der einzelnen Portfoliogewichte stellt beispielsweise eine variable Zelle dar, da diese sich während der Optimierung mehrmals ändern kann. Auf der rechten Seite der Nebenbedingung steht meistens die Zielvorgabe bzw. der Zielwert in Form eines absoluten Wertes oder einer Zelle bzw. eines Zellbereichs. Ein logischer Operator verknüpft die beiden Komponenten der Nebenbedingung. Die Budgetrestriktion wird mit Hilfe der Summe der Anteilsgewichte in Zelle AE87 in Form der linearen Nebenbedingung $AE$87 = $AB$77 in den Parametern des Solvers umgesetzt. Die Einhaltung des Leerverkaufsverbotes wurde anschließend im Rahmen der Nebenbedingung $AE$77: $AN$86 >= $AB$78 den Solver-Parametern hinzugefügt. Abb. 103 greift die manuelle Eingabe der Solver-Parameter auf. Bei der Berechnung des Tangentialportfolios wurde aufgrund des quadratischen Optimierungsproblems der zugrundeliegenden Zielfunktion auf die Lösungsmethode » GRG-Nichtlinear « zurückgegriffen. Die Bestimmung des Tangentialportfolios kann anschließend mit einem Klick auf die Schaltfläche  Lösen gestartet werden. Abb. 103: Übersicht der Solver-Parameter des Tangentialportfolios Die Portfoliooptimierung ergab für das Tangentialportfolio mit einem risikolosen Zins von 3 % eine zu erwartende Rendite von 7,16 % sowie eine Standardabweichung von 15,88 %. Abb. 102 zeigt die Zusammensetzung des Tangentialportfolios nach der Optimierung, wobei sich die Portfoliostruktur auf die Wertpapiere COST, IBM und XOM konzentriert. Die verbleibenden Wertpapiere wurden von der Zusammensetzung des Tangentialportfolios ausgeschlossen. Die in Abb. 103 dargestellte Übersicht der Solver-Parameter wurde im Zellbereich AE92 bis AE97 abgespeichert und kann alternativ über  Laden/ Speichern  Laden erneut aufgerufen werden. <?page no="332"?> 332 4 Die Anwendung des aktiven Portfolio Managements 4.3.3 Die praktische Umsetzung in Matlab 4.3.3.1 Berechnung des Minimum-Varianz-Portfolios in Matlab Das nachfolgende Beispiel demonstriert die Bestimmung des Minium-Varianz-Portfolios mit Matlab. Um die gezeigten Schritte im Detail nachvollziehen zu können, kann das Matlab-Skript in der Datei » Beispiel_MVP.m « aufgerufen werden. Es empfiehlt sich, die Bearbeitung dieses Abschnitts in Verbindung mit der geöffneten Datei durchzuführen. 1 % Beispiel: Bestimmung MVP 2 % Datum: 07.11.2012 3 % Verfasser: Marc Schurer 45 % Verbindung zum Finanzdatenanbieter aufbauen 6 close all; 7 clear all; 8 connection = yahoo; 910 %Extrahieren der Ticker-Codes und Ermittlung der Anzahl an Wertpapieren 11 ticker ={'ABT','BA','COST','CSCO','IBM','INTC','MRK','MSFT','T', 'XOM'} 12 assets = length(ticker); 13 14 %Festlegen des Zeithorizonts der Datengrundlage 15 datum_von = '2004-12-01'; 16 datum_bis = '2009-12-01'; In den Zeilen 6 bis 7 werden zu Beginn mit den Befehlen »close all« und »clear all« alle zuvor erstellten Grafiken und Fenster geschlossen sowie der Workspace mit allen verfügbaren Variablen gelöscht. Diese Maßnahme sollte zu Beginn jedes Matlab- Skriptes durchgeführt werden, um eventuelle Fehler im späteren Programmablauf zu vermeiden. In Zeile 8 wird der Variablen » connection « die Bezeichnung des Finanzdatenanbieters zugewiesen, von dem man alle notwendigen historischen Kurszeitreihen bezieht. Anstatt des Dienstes » Yahoo Finance « können die historischen Zeitreihen auch alternativ, entsprechende Lizenzen vorausgesetzt, gleichermaßen von weiteren Finanzdatenanbietern wie z.B. Thomson Reuters oder Bloomberg bezogen werden. In Zeile 11 werden nach den Vorstellungen des Investors diejenigen Wertpapiere festgelegt, die das zukünftige Portfolio bilden sollen. Die Variable » tikker « bildet durch die Aufnahme der angeführten Unternehmen einen Zeilenvektor. Der Zeilenvektor nimmt jedoch nicht die genauen Bezeichnungen der einzelnen Wertpapiere auf, sondern bezieht sich auf sogenannte Kürzel (Ticker-Codes) der Wertpapiere, die individuell durch den Finanzdatenanbieter vorgegeben werden. Mit Hilfe des Ticker-Codes des jeweiligen Wertpapiers und dem später festgelegten Zeit- <?page no="333"?> 4.3 Die Umsetzung der absoluten Portfoliooptimierung 333 raum erfolgt der Zugriff auf die Datenbank des Finanzdatenanbieters, sodass die historischen Zeitreihen der zuvor festgelegten Wertpapiere aus dem Internet geladen werden können. In Zeile 12 wird mit Hilfe der Matlab-Funktion » length(Variable) « durch die Bestimmung der Anzahl der Elemente des Zeilenvektors » ticker « die Anzahl der Wertpapiere im Portfolio ermittelt. In diesem Fall wurde im Hinblick auf die Anzahl der Elemente des Zeilenvektors » ticker « der Variable » assets « ein Wert von 10 Wertpapieren zugewiesen. In den Zeilen 15 und 16 wird der präferierte Zeithorizont festgelegt, für den die historischen Zeitreihen der einzelnen Wertpapiere im weiteren Verlauf des Skriptes aus dem Internet geladen werden sollen. Für den angegebenen Zeitraum vom 01.12.2004 bis 01.12.2009 wird abhängig von der Periodizität der Kurse die entsprechende Anzahl an Stichprobenwerten (Samples) aus der historischen Zeitreihe entnommen. 17 % % Kurse aller Wertpapiere im Portfolio ermitteln und importieren 18 %-------------------------------------------------------- ------------- 19 20 data = fetch(connection,ticker(1),'Close',datum_von,dtum_bis, 'm'); 21 histprices_fts = fints(data(: ,1),data(: ,2),ticker(1)); 22 23 for i=2: assets 24 security = ticker(i); 25 data = fetch(connection,security,'Close',datum_von,datum_bis,'m') ; 26 fts = fints(data(: ,1),data(: ,2),ticker(i)); 27 histprices_fts = merge(histprices_fts,fts) 28 29 End 30 31 % Interpoliert Divergenzen in den Zeitreihen 32 histprices_fts = fillts(histprices_fts,'linear'); 33 34 % Zeitreihen zur weiteren Verarbeitung in Matrix abspeichern 35 histkurse = fts2mat (histprices_fts) 36 dates = histprices_fts.dates; 37 38 % Zeitreihen normalisieren 39 histkurse_norm = bsxfun(@rdivide,histkurse,histkurse(1,: )); 40 <?page no="334"?> 334 4 Die Anwendung des aktiven Portfolio Managements 41 % Ermittlung der durchschnittlichen t‰glichen Rendite der Assets 42 renditen = price2ret(histkurse,[],'continuous'); 43 CovMatrix = cov(renditen)*12; 44 MittelwerteRenditen = mean(renditen)'*12; 45 Standardabweichung = std(renditen)*sqrt(12); 46 Um die historischen Kurse entsprechend ihrer auf- und absteigenden Datumsangaben in der richtigen Reihenfolge einzulesen, zu verarbeiten und darstellen zu können, sollten, nach dem Bezug und Speichern der historischen Zeitreihe durch den Befehl » fetch(Parameter) « in Zeile 20 und 25, die Rohdaten der einzelnen historischen Zeitreihen in ein Financial-Time-Series-Objekt überführt werden. In den Zeilen 21 und 26 wird mit Hilfe der Funktion » fints(Parameter) « die historische Datengrundlage in das Financial-Time-Series-Objekt » fts « übertragen. Voraussetzung dafür ist, dass neben der Spalte mit den historischen Kursen die Spalte mit den dazugehörigen Datumsangaben sowie die Ticker-Bezeichnung der zu übertragenden Daten als Argumente der Funktion übergeben werden. Da der Finanzdatenanbieter jedoch lediglich die Abfrage eines einzelnen Wertpapiers pro Anfrage zulässt, werden die einzelnen historischen Kurse nacheinander in Form einer for-Schleife in den Zeilen 23 bis 29 abgefragt und geladen. Da während jedes neuen Schleifen-Durchlaufs ein neues Financial-Time-Series-Objekt erstellt und der gleichen Variablen zugewiesen wird, besteht die Gefahr, die Daten aus dem vorherigen Schleifen-Durchlauf zu überschreiben. Aus diesem Grund wurde in Zeile 27 die Funktion » merge(Parameter)« implementiert, die jedes neue Financial-Time-Series-Objekt im neuen Objekt » histprices_fts « zusammenführt. Beim Bezug der historischen Kurszeitreihen kommt es gelegentlich vor, dass einige Kurse durch den Finanzdatenanbieter nicht vollständig bereitgestellt werden. Da derartige Lücken in der Datengrundlage unweigerlich einen negativen Einfluss auf die Qualität der daraus ermittelten Ergebnisse ausüben, sollten Diskrepanzen innerhalb der historischen Kurse schon vor Beginn aller relevanten Berechnungen grundsätzlich beglichen werden. Im gegebenen Fall wird auf die Methodik der Interpolation zurückgegriffen. Diese Vorgehensweise erlaubt die approximative Wiederherstellung fehlender Kurse mit Hilfe unterschiedlicher statistischer Methoden. In Zeile 32 wird auf die Funktion » fillts(Parameter) « zurückgegriffen. Nachdem die historischen Zeitreihen in ein gemeinsames Financial-Time-Series-Objekt überführt und interpoliert wurden, kann aufgrund der Eigenschaften dieses Objektes jedoch keine weitere Verarbeitung der Daten mehr vorgenommen werden. Deshalb wird in Zeile 35 und 36 durch die Funktion » fts2mat « das ursprüngliche Financial-Time- Series-Objekt der historischen Kurse in die gleichartige Matrix » histkurse « übertragen, sowie die dazugehörigen Datumsangaben extrahiert und dem Vektor » dates « zugewiesen. Um zu einem späteren Zeitpunkt einen Performancevergleich der einzelnen Wertpapiere in einem Diagramm darstellen zu können, werden die zur weiteren Verarbeitung freigegebenen historischen Kurse mit der Funktion » bsxfun (Parameter) « in Zeile 39 normalisiert. In Zeile 42 bis 48 werden alle wichtigen Eingangsgrößen für die spätere Portfoliooptimierung ermittelt. Auf Grundlage der zu Beginn bezogenen historischen Kur- <?page no="335"?> 4.3 Die Umsetzung der absoluten Portfoliooptimierung 335 se werden in Zeile 42 mit der Funktion » price2ret(Parameter) « die dazu gehörigen stetigen Renditen (log-Renditen) bestimmt. Auf Grundlage der stetigen Renditen erfolgen in Zeile 43 mit der Funktion » cov(Parameter) « die Berechnung der Varianz- Kovarianz-Matrix und die anschließende Annualisierung mit dem entsprechenden Skalierungsfaktor. In Zeile 44 und 45 erfolgt mit der Funktion » mean(Parameter) « und » std(Parameter) « die Bestimmung der erwarteten Rendite und Standardabweichung einschließlich äquivalenter Annualisierung. Im Anschluss an die getroffenen Vorbereitungen kann nun das Minimum-Varianz- Portfolio (MVP) ermittelt werden. Matlab stellt in Verbindung mit der Optimization Toolbox eine Reihe an unterschiedlichen Funktionen zur Lösung verschiedener Optimierungsprobleme zur Verfügung. Im Gegensatz zur Bestimmung des MVP in Excel erfordert die Umsetzung in Matlab die Überführung des Minimum-Varianz-Problems in eine standardisierte Form eines Optimierungsproblems, die durch Matlab unterstützt wird. Bei der Bestimmung des MVP liegt im Prinzip ein quadratisches Optimierungsproblem mit linearen Nebenbedingungen vor. Für die Lösung eines derartigen Optimierungsproblems wird in Matlab die Anwendung der Funktion » quadprog « empfohlen. Die Funktion » quadprog « orientiert sich maßgeblich an der folgenden Form des zugrundeliegenden Optimierungsproblems: 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑏𝑏 𝑒𝑒 12 𝑒𝑒 𝑇𝑇 𝑄𝑄𝑒𝑒 + 𝑒𝑒 𝑇𝑇 𝑍𝑍. 𝑡𝑡. 𝑆𝑆𝑒𝑒 ≤ 𝑏𝑏 𝑆𝑆𝑒𝑒𝑞𝑞 ∙ 𝑒𝑒 = 𝑏𝑏𝑒𝑒𝑞𝑞 𝑎𝑎𝑏𝑏 ≤ 𝑒𝑒 ≤ 𝑎𝑎𝑏𝑏 (4.59) Die Syntax der Funktion » quadprog « entspricht weitestgehend dem zuvor dargestellten standardisierten Optimierungsproblem. Syntax x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) Die Funktion » quadprog « in Matlab stellt das Gegenstück zum Excel-Add-In » Solver « dar. Im Gegensatz zu der manuellen Eingabe der Solver-Parameter in Excel werden nun die Nebenbedingungen in Form von Argumenten an die Funktion bzw. den Solver » quadprog « übergeben. 49 % % Berechnung des Minimum-Varianz-Portfolio 50 %------------------------------------------------------ --------------- 51 52 V0 = zeros(assets,1); 53 V1 = ones(1,assets); 54 55 %Untere- und obere Begrenzungen der Portfoliogewichte 56 lb = [0.05; 0.05; 0.05; 0.05; 0.05; 0.05; 0.05; 0.05; 0.05; 0.05; ]; <?page no="336"?> 336 4 Die Anwendung des aktiven Portfolio Managements 57 ub = [0.35; 0.35; 0.35; 0.35; 0.35; 0.35; 0.35; 0.35; 0.35; 0.35; ]; 58 59 %Auswahl eines geeigneten Optimierungsverfahrens 60 options=optimset('Algorithm','interior-point-convex'); In den Zeilen 52 und 53 wird vorbereitend für die anschließende Bestimmung der drei Minimum-Varianz-Portfolios entsprechend der Anzahl der Wertpapiere im Portfolio zunächst ein 10 x 1 -Spaltenvektor mit Nullen gefüllt sowie ein 1 x 10 -Zeilenvektor mit Einsen. In Zeile 60 erfolgt die Auswahl eines geeigneten Algorithmus für die spätere Lösung des Optimierungsproblems. 61 %Berechnung MVP1 62 [w]=quadprog(CovMatrix,V0,[],[],V1,1,V0,[],[],options); 63 PortRet=w'*MittelwerteRenditen; 64 Stabw=sqrt(w'*CovMatrix*w); 65 fprintf('Portfoliogewichte MVP1 \n--------------------- --\n'); 66 disp(w); 67 fprintf('erwartete Rendite MVP1 \t %f \n',PortRet); 68 fprintf('Standardabweichung MVP1 \t %f \n',Stabw); Die Berechnung des ersten MVP erfolgt unter Einhaltung der Budgetrestriktion und des Leerverkaufsverbots durch den Aufruf der Funktion » quadprog « in Zeile 62. Die Budgetrestriktion wurde gemäß Formel (4.59) durch die Übergabe einer Eins an der Stelle des 6. Input-Arguments in Matlab umgesetzt. Die Berücksichtigung des Leerverkaufsverbots erfolgt an der Stelle des 7. Input-Arguments gleichermaßen durch die Übergabe eines Arguments, jedoch mit dem Unterschied, dass nun kein einzelner Wert, sondern ein ganzer Spaltenvektor mit Nullen an die Funktion » quadprog « übergeben wird. Nach Abschluss der Optimierung gibt die Funktion die Portfoliogewichte des MVP an die Variable » w « zurück, sodass anschließend in Zeile 63 sowie Zeile 64 die erwartete Rendite als auch die Standardabweichung des ersten MVP berechnet werden kann. In den Zeilen 65 bis 68 werden die Portfoliogewichte, die Portfoliorendite und das Portfoliorisiko abschließend im Kommandofenster ausgegeben. 69 %Berechnung MVP2 70 [w]=quadprog(CovMatrix,V0,[],[],V1,1,[],[],[],options); 71 PortRet=w'*MittelwerteRenditen; 72 Stabw=sqrt(w'*CovMatrix*w); 73 fprintf('Portfoliogewichte MVP2 \n---------------------- -\n'); 74 disp(w); 75 fprintf('erwartete Rendite MVP2 \t %f \n',PortRet); 76 fprintf('Standardabweichung MVP2 \t %f \n',Stabw); Die Berechnung des zweiten MVP erfolgt in ähnlicher Weise wie die Bestimmung des ersten MVP. Da jedoch das Leerverkaufsverbot nun für die Ermittlung des zweiten <?page no="337"?> 4.3 Die Umsetzung der absoluten Portfoliooptimierung 337 MVP vollständig aufgehoben wurde und lediglich noch eine Budgetrestriktion besteht, ergibt sich im Vergleich zum vorherigen MVP1 eine unterschiedliche Übergabe der Inputargumente an die Funktion » quadprog « in Zeile 70. Da das Leerverkaufsverbot aufgehoben worden ist, ist es lediglich notwendig, gemäß Syntax, die 7. Stelle der Input-Argumente mit dem Übergabeparameter [] zu ersetzen. Nach Abschluss der Optimierung gibt die Funktion analog zum vorherigen Beispiel die Portfoliogewichte des MVP an die Variable » w « zurück, sodass anschließend in Zeile 79 sowie Zeile 80 die erwartete Rendite als auch die Standardabweichung des ersten MVP berechnet werden kann. In den Zeilen 81 bis 84 werden abschließend die Portfoliogewichte, die Portfoliorendite und das Portfoliorisiko des zweiten MVP im Kommandofenster ausgegeben. 77 %Berechnung MVP3 78 [w]=quadprog(CovMatrix,V0,[],[],V1,1,lb,ub,[],options); 79 PortRet=w'*MittelwerteRenditen; 80 Stabw=sqrt(w'*CovMatrix*w); 81 fprintf('Portfoliogewichte MVP3 \n---------------------- \n'); 82 disp(w); 83 fprintf('erwartete Rendite MVP3 \t %f \n',PortRet); 84 fprintf('Standardabweichung MVP3 \t %f \n',Stabw); Im Rahmen der Umsetzung des dritten MVP sollen untere und obere Begrenzungen der einzelnen Portfoliogewichte des MVP eingeführt werden. Die Bestimmung des dritten MVP soll in diesem Fall maßgeblich unter Einhaltung eines Leerverkaufsverbotes, einer Budgetrestriktion und auch individueller Begrenzungen der Portfoliogewichte erfolgen. Die untere und obere Begrenzung der einzelnen Portfoliogewichte wurde zu Beginn des Matlab-Skriptes in den Zeilen 56 und 57 initialisiert. Aus Vereinfachungsgründen wurden für alle Wertpapiere eine untere Begrenzung von 5 % sowie eine obere Begrenzung von 35 % gewählt. Es ist jedoch gleichermaßen auf einfache Art und Weise möglich, für jedes einzelne Wertpapier individuelle Begrenzungen festzulegen. Die Begrenzungen der Portfoliogewichte werden gemäß Formel (4.59) durch die Übergabe an der 7. und 8. Stelle der Input-Argumente in Zeile 78 bei der Portfoliooptimierung berücksichtigt. Die Ergebnisse der Portfoliooptimierung sind in Abb. 104 dargestellt. Abb. 104: Darstellung der Ergebnisse <?page no="338"?> 338 4 Die Anwendung des aktiven Portfolio Managements 4.3.3.2 Ermittlung des Maximum-Ertrags-Portfolios in Matlab Das nachfolgende Beispiel demonstriert die Bestimmung des Maximum-Ertrags- Portfolios in Matlab. Um die gezeigten Schritte im Detail nachvollziehen zu können, kann das Matlab-Skript in der Datei » Beispiel_MEP.m « aufgerufen werden. Es empfiehlt sich, die Bearbeitung dieses Abschnitts in Verbindung mit der geöffneten Datei durchzuführen. 1 % Beispiel: Bestimmung MEP 2 % Datum: 08.11.2012 3 % Verfasser: Marc Schurer 45 % Verbindung zum Finanzdatenanbieter aufbauen 6 close all; 7 clear all; 8 connection = yahoo; 910 %Extrahieren der Ticker-Codes und Ermittlung der Anzahl an Wertpapieren 11 ticker ={'ABT','BA','CO- ST','CSCO','IBM','INTC','MRK','MSFT','T','XOM'} 12 assets = length(ticker); 13 14 %Festlegen des Zeithorizonts der Datengrundlage 15 datum_von = '2004-12-01'; 16 datum_bis = '2009-12-01'; 17 18 % % Kurse aller Wertpapiere im Portfolio ermitteln und importieren 19 %------------------------------------------------------- ------------- 20 21 data = fetch(connection,ticker(1),'Close',datum_von,datum_bis, 'm'); 22 histprices_fts = fints(data(: ,1),data(: ,2),ticker(1)); 23 24 for i=2: assets 25 security = ticker(i); 26 data = fetch(connection,security,'Close',datum_von,datum_bis, 'm'); 27 fts = fints(data(: ,1),data(: ,2),ticker(i)); 28 histprices_fts = merge(histprices_fts,fts) 29 <?page no="339"?> 4.3 Die Umsetzung der absoluten Portfoliooptimierung 339 30 End 31 32 % Interpoliert Divergenzen in den Zeitreihen 33 histprices_fts = fillts(histprices_fts,'linear'); 34 35 % Zeitreihen in Matrix zur weiteren Verarbeitung abspeichern 36 histkurse = fts2mat (histprices_fts) 37 dates = histprices_fts.dates; 38 39 % Zeitreihen normalisieren 40 histkurse_norm = bsxfun(@rdivide,histkurse,histkurse(1,: )); 41 42 % Ermittlung der durchschnittlichen t‰glichen Rendite der Assets 43 renditen = price2ret(histkurse,[],'continuous'); 44 CovMatrix = cov(renditen)*12; 45 MittelwerteRenditen = mean(renditen)'*12; 46 Standardabweichung = std(renditen)*sqrt(12); Da die dargestellten Zeilen 1 bis 46 weitestgehend dem vorgestellten Matlab-Skript im vorherigen Abschnitt entsprechen, wird für die dazugehörigen Erläuterungen auf die vorherigen Abschnitte verwiesen. 47 % % Berechnung des Maximum-Ertrag-Portfolios 48 %-------------------------------------------------------- ------------ 49 50 V0 = zeros(assets,1); 51 V1 = ones(1,assets); 52 53 options=optimset('Algorithm','interior-point-convex'); 54 55 %Berechnung MEP 56 [w,output,lambda]=linprog(-MittelwerteRenditen,[],[],V1, 1,V0); 57 PortRet=w'*MittelwerteRenditen; 58 Stabw=sqrt(w'*CovMatrix*w); 59 fprintf('Portfoliogewichte MEP \n----------------------- \n'); 60 disp(w); 61 fprintf('erwartete Rendite MEP \t %f \n',PortRet); 62 fprintf('Standardabweichung MEP \t %f \n',Stabw); <?page no="340"?> 340 4 Die Anwendung des aktiven Portfolio Managements Bei der Berechnung des Maximum-Ertrags-Portfolios wird auf die Funktion » linprog « aus der Optimization Toolbox von Matlab zurückgegriffen. 294 Syntax x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) Die Funktion » linprog « ermöglicht die Lösung des folgenden Optimierungsproblems: 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑏𝑏 𝑒𝑒 𝑓𝑓 𝑇𝑇 ∙ 𝑒𝑒 𝑍𝑍. 𝑡𝑡. 𝑆𝑆𝑒𝑒 ≤ 𝑏𝑏 𝑆𝑆𝑒𝑒𝑞𝑞 ∙ 𝑒𝑒 = 𝑏𝑏𝑒𝑒𝑞𝑞 𝑎𝑎𝑏𝑏 ≤ 𝑒𝑒 ≤ 𝑎𝑎𝑏𝑏 (4.60) Die mathematische Formulierung des Optimierungsproblems verdeutlicht, dass die Funktion » linprog « in ihrer Grundform lediglich eine Minimierung des Optimierungsproblems ermöglichen kann. Die Ermittlung des MEP setzt jedoch einen Optimierungsalgorithmus für die Maximierung der Portfoliorendite voraus. Aus diesem Grund wird bei der Übergabe der erwarteten Renditen der einzelnen Wertpapiere ein negatives Vorzeichen vorangestellt. Falls das dargestellte Optimierungsproblem eine konvexe Form besitzt, ermöglicht diese Maßnahme die Ermittlung eines globalen Maximums. Das Maximum-Ertrags-Portfolio wird vor diesem Hintergrund unter Einhaltung des gewohnten Leerverkaufsverbots sowie der Budgetrestriktion bestimmt. In Zeile 56 erfolgt mit den Vektoren » V0 « und » V1 « zunächst die Übergabe aller relevanten Inputargumente zur Einhaltung der angesprochenen Nebenbedingungen. Nach Ende der Portfoliooptimierung werden die endgültigen Portfolioanteile des Maximum-Ertragsportfolios an die Variable » w « übergeben. In der darauffolgenden Zeile 57 werden die Portfoliorendite und das Portfoliorisiko des MEP berechnet und in den sich anschließenden Zeilen ausgegeben. Die Ergebnisse der Portfoliooptimierung sind in Abb. 105 dargestellt. Abb. 105: Darstellung der Ergebnisse 294 Anmerkung: Eine Übersicht über die verschiedenen Input- und Output-Argumente der Funktion liefert die Eingabe von »help linprog« bzw. »doc linprog« im Eingabefenster. <?page no="341"?> 4.3 Die Umsetzung der absoluten Portfoliooptimierung 341 4.3.3.3 Bestimmung des Tangentialportfolios in Matlab Das nachfolgende Beispiel demonstriert die Bestimmung des Tangentialportfolios in Matlab. Um die gezeigten Schritte im Detail nachvollziehen zu können, kann das Matlab-Skript in der Datei » Beispiel_Tangentialportfolio.m « aufgerufen werden. Es empfiehlt sich, die Bearbeitung dieses Abschnitts in Verbindung mit der geöffneten Datei durchzuführen. Das in den Zeilen 1 bis 46 dargestellte Matlab-Skript entspricht weitestgehend der zuvor erläuterten Vorgehensweise in Abschnitt 4.3.3.1 und 4.3.3.2. Aus diesem Grund wird für die dazugehörigen Erläuterungen ausdrücklich auf die vorherigen Abschnitte verwiesen. 1 % Beispiel: Bestimmung Tangentialportfolio 2 % Datum: 07.12.2012 3 % Verfasser: Marc Schurer 45 % Verbindung zum Finanzdatenanbieter aufbauen 6 close all; 7 clear all; 8 connection = yahoo; 910 %Extrahieren der Ticker-Codes und Ermittlung der Anzahl an Wertpapieren 11 ticker = {'ABT','BA','COST','CSCO','IBM','INTC','MRK','MSFT','T', 'XOM'} 12 assets = length(ticker); 13 14 %Festlegen des Zeithorizonts der Datengrundlage 15 datum_von = '2004-12-01'; 16 datum_bis = '2009-12-01'; 17 18 % % Kurse aller Wertpapiere im Portfolio ermitteln und importieren 19 %------------------------------------------------------ -------------- 20 21 data = fetch(connection,ticker(1),'Close',datum_von,datum_bis, 'm'); 22 histprices_fts = fints(data(: ,1),data(: ,2),ticker(1)); 23 24 for i=2: assets 25 security = ticker(i); 26 data = fetch(connection,security,'Close',datum_von,datum_bis, <?page no="342"?> 342 4 Die Anwendung des aktiven Portfolio Managements 'm'); 27 fts = fints(data(: ,1),data(: ,2),ticker(i)); 28 histprices_fts = merge(histprices_fts,fts) 29 30 end 31 32 % Interpoliert Divergenzen in den Zeitreihen 33 histprices_fts = fillts(histprices_fts,'linear'); 34 35 % Zeitreihen in Matrix zur weiteren Verarbeitung abspeichern 36 histkurse = fts2mat (histprices_fts) 37 dates = histprices_fts.dates; 38 39 % Zeitreihen normalisieren 40 histkurse_norm = bsxfun(@rdivide,histkurse,histkurse(1,: )); 41 42 % Ermittlung der durchschnittlichen täglichen Rendite der Assets 43 renditen = price2ret(histkurse,[],'continuous'); 44 CovMatrix = cov(renditen)*12; 45 MittelwerteRenditen = mean(renditen)'*12; 46 Standardabweichung = std(renditen)*sqrt(12); Da die Matlab-Funktion » fmincon « die Lösung von nichtlinearen nichtvariablen Zielfunktionen ermöglicht, lässt sich mit Hilfe dieser Funktion das Tangentialportfolio bestimmen. Das Optimierungsproblem ergibt sich in allgemeiner Form wie folgt: 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑏𝑏 𝑒𝑒 f(x) 𝑍𝑍. 𝑡𝑡. ⎩ ⎪⎨⎪⎧ 𝑒𝑒(𝑒𝑒 ≤ 0 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑞𝑞(𝑒𝑒) = 0 𝑆𝑆𝑒𝑒 ≤ 𝑏𝑏 𝑆𝑆𝑒𝑒𝑞𝑞 ∙ 𝑒𝑒 = 𝑏𝑏𝑒𝑒𝑞𝑞 𝑎𝑎𝑏𝑏 ≤ 𝑒𝑒 ≤ 𝑎𝑎𝑏𝑏 (4.61) Im Matlab-Skript lässt sich das dargestellte Optimierungsproblem auf Grundlage folgender Syntax darstellen. Es sollte dabei darauf geachtet werden, dass die Parameterübergabe von Startlösung, Nebenbedingungen usw. in der richtigen Reihenfolge erfolgt, da ansonsten bei der Ausführung Probleme auftreten können. Syntax x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options) Da der Lösungsalgorithmus von » fmincon «, ähnlich dem Excel-Solver, eine gewisse Startlösung vorrausetzt, wurde der Berechnung des Tangentialportfolios die Bestimmung des MVP zur Quantifizierung der Startlösung vorgeschoben. <?page no="343"?> 4.3 Die Umsetzung der absoluten Portfoliooptimierung 343 Dazu wird auf die Matlab-Funktion » quadprog « zurückgegriffen. Beim zugrundeliegenden Optimierungsproblem (vgl. 4.69) wird in den Zeilen 51 bis 53 vorbereitend für die anschließende Bestimmung des Minimum-Varianz-Portfolios entsprechend der Anzahl der Wertpapiere des Portfolios zunächst ein 10 x 1 -Spaltenvektor mit Nullen gefüllt sowie ein 1 x 10 -Zeilenvektor mit Einsen. In den Zeilen 56 und 57 werden anschließend die unteren und auch die oberen Begrenzungen der Portfoliogewichte des MVP festgelegt. In Zeile 62 erfolgt mit » quadprog « die Lösung des Optimierungsproblems. 47 % % Berechnung des Minimum-Varianz-Portfolio 48 %-------------------------------------------------------- -------------- 49 options=optimset('Algorithm','interior-point-convex'); 50 51 V0 = zeros(assets,1); 52 V1 = ones(1,assets); 53 w=[0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1,0.1]; 54 55 %Untere- und obere Begrenzungen der Portfoliogewichte 56 lb = [0.05; 0.05; 0.05; 0.05; 0.05; 0.05; 0.05; 0.05; 0.05; 0.05; ]; 57 ub = [0.35; 0.35; 0.35; 0.35; 0.35; 0.35; 0.35; 0.35; 0.35; 0.35; ]; 58 59 options=optimset('Algorithm','interior-point-convex'); 60 61 %Berechnung MVP 62 [w_mvp,output]=quadprog(CovMatrix,V0,[],[],V1,1,V0,[],[],options); 63 PortRet=w_mvp'*MittelwerteRenditen; 64 Stabw=sqrt(w_mvp'*CovMatrix*w_mvp); 65 fprintf('Portfoliogewichte MVP1 \n----------------------- \n'); 66 disp(w_mvp); 67 fprintf('erwartete Rendite MVP1 \t %f \n',PortRet); 68 fprintf('Standardabweichung MVP1 \t %f \n',Stabw); Bei der Berechnung des Tangentialportfolios wird auf die Funktion » fmincon « aus der Matlab Optimization Toolbox zurückgegriffen. In Zeile 70 wird vorbereitend für die Durchführung der Optimierung ein geeigneter Lösungsalgorithmus ausgewählt. Im Anschluss daran kann in Zeile 71 die Lösung des Optimierungsproblems mit Hilfe von » fmincon « erfolgen. Als Ergebnis der Optimierung finden sich die Portfoliogewichte des Tangentialportfolios in der Variablen »x« wieder. 69 %Berechnung des Tangentialportfolios 70 options=optimset('Algorithm','interior-point'); 71 x=fmincon(@(w)(rf-MittelwerteRenditen'*w)/ sqrt(w'*CovMatrix*w), <?page no="344"?> 344 4 Die Anwendung des aktiven Portfolio Managements w_mvp,[],[],V1,1,V0,[],[],options); 72 fprintf('Portfoliogewichte Tangentialportfolio \n-------- --------\n'); 73 disp(x); Die Ergebnisse der Portfoliooptimierung sind in Abb. 106 dargestellt. Abb. 106: Darstellung der Ergebnisse 4.3.3.4 Bildung der Effizienzkurve in Matlab Nachdem die Berechnung der Effizienzkurve in Microsoft Excel bereits auf Grundlage von zwei unterschiedlichen Methoden dargestellt und erläutert wurde, möchten wir dem Leser eine mögliche Vorgehensweise zur Berechnung und Darstellung der Effizienzkurve in Matlab vorstellen. Um die gezeigten Schritte im Detail nachvollziehen zu können, kann das Matlab-Skript in der Datei » Beispiel_Effizienzkurve.m « aufgerufen werden. Es empfiehlt sich, die Bearbeitung dieses Abschnitts in Verbindung mit der geöffneten Datei durchzuführen. 1 % Beispiel: Bestimmung MEP 2 % Datum: 08.11.2012 3 % Verfasser: Marc Schurer 45 % Verbindung zum Finanzdatenanbieter aufbauen 6 close all; 7 clear all; 8 connection = yahoo; 910 %Extrahieren der Ticker-Codes und Ermittlung der Anzahl an Wertpapieren 11 ticker ={ 'ABT','BA','COST','CSCO','IBM','INTC','MRK','MSFT','T', 'XOM'} <?page no="345"?> 4.3 Die Umsetzung der absoluten Portfoliooptimierung 345 12 assets = length(ticker); 13 14 %Festlegen des Zeithorizonts der Datengrundlage 15 datum_von = '2004-12-01'; 16 datum_bis = '2009-12-01'; 17 18 % % Kurse aller Wertpapiere im Portfolio ermitteln und importieren 19 %-------------------------------------------------------- ------ 20 21 data = fetch(connection,ticker(1),'Close',datum_von,datum_bis, 'm'); 22 histprices_fts = fints(data(: ,1),data(: ,2),ticker(1)); 23 24 for i=2: assets 25 security = ticker(i); 26 data = fetch(connection,security,'Close',datum_von,datum_bis,'m') ; 27 fts = fints(data(: ,1),data(: ,2),ticker(i)); 28 histprices_fts = merge(histprices_fts,fts) 29 30 End 31 32 % Interpoliert Divergenzen in den Zeitreihen 33 histprices_fts = fillts(histprices_fts,'linear'); 34 35 % Zeitreihen in Matrix zur weiteren Verarbeitung abspeichern 36 histkurse = fts2mat (histprices_fts) 37 dates = histprices_fts.dates; 38 39 % Zeitreihen normalisieren 40 histkurse_norm = bsxfun(@rdivide,histkurse,histkurse(1,: )); 41 42 % Ermittlung der durchschnittlichen t‰glichen Rendite der Assets 43 renditen = price2ret(histkurse,[],'continuous'); 44 CovMatrix = cov(renditen)*12; 45 MittelwerteRenditen = mean(renditen)'*12; 46 Standardabweichung = std(renditen)*sqrt(12); <?page no="346"?> 346 4 Die Anwendung des aktiven Portfolio Managements Da die dargestellten Zeilen 1 bis 46 weitestgehend dem vorgestellten Matlab-Skript im vorherigen Abschnitt entsprechen, wird auf die bereits getätigten Erläuterungen verwiesen. 47 % % Berechnung der Effizienzkurve 48 %-------------------------------------------------------- ------------ 49 50 % Deklaration und Initialisierung weiterer Variablen 51 V0 = zeros(assets,1); 52 V1 = ones(1,assets); 53 H=zeros(assets,1); 54 A=-eye(assets); % Keine Leerverk‰ufe 55 b=zeros(assets,1); % Keine Leerverk‰ufe 56 port=50; 57 58 %Festlegung des Optimierungsalgorithmus 59 options=optimset('Algorithm','interior-point-convex'); 60 61 %Berechnung MVP 62 [w,output]=quadprog(CovMatrix,V0,[],[],V1,1,V0,[],[],options); 63 PortRetMVP=w'*MittelwerteRenditen; 64 65 %Berechnung MEP 66 [w,output,lambda]=linprog(-MittelwerteRenditen,[],[],V1,1, V0); 67 PortRetMEP=w'*MittelwerteRenditen; 68 69 % Bestimmung der Zielrenditen 70 Zielrenditen=PortRetMVP + [0: port]'*(PortRetMEP-PortRet- MVP)/ (port); 71 Der Algorithmus für die Berechnung der Effizienzkurve in Matlab entspricht weitestgehend dem Ablauf des VBA-Makros aus dem dazugehörigen Excel-Beispiel. Zunächst werden in den Zeilen 51 bis 56 noch einige notwendige Variablen bzw. Arrays deklariert und initialisiert sowie in Zeile 59 der zu verwendende Optimierungsalgorithmus festgelegt. Die Effizienzkurve des zugrundeliegenden Portfolios ergibt sich durch die sukzessive Minimierung des Portfoliorisikos für variierende Zielrenditen. Die Bandbreite der variierenden Zielrenditen ergibt sich unmittelbar aus der unteren und oberen Begrenzung der Effizienzkurve, mit anderen Worten also aus der Differenz der höchsten und geringsten möglichen erwarteten Rendite eines Portfolios entlang der Effizienzkurve. Vor dem Beginn der eigentlichen Ermittlung der Effizienzkurve sollte die erwartete Rendite des Minimum-Varianz-Portfolios und die des Maximum-Ertrags- Portfolios bestimmt werden, da diese die soeben angesprochene untere bzw. obere Begrenzung der zukünftigen Effizienzkurve darstellen. In den Zeilen 61 bis 67 wurden <?page no="347"?> 4.3 Die Umsetzung der absoluten Portfoliooptimierung 347 das Minimum-Varianz-Portfolio und das Maximum-Ertrags-Portfolio mit den dazugehörigen erwarteten Renditen bestimmt. Im Anschluss können in Zeile 70 die Zielrenditen in Abhängigkeit von der zuvor ermittelten Bandbreite berechnet werden. 72 % Berechnung der Effizienzkurve 73 for i=1: port 74 75 % Minimierung des Portfoliorisikos für eine geg. Portfoliorendite 76 AEq=[ones(1,assets); MittelwerteRenditen']; 77 bEq=[1; Zielrenditen(i)]; 78 w = quadprog(CovMatrix,H,A,b,AEq,bEq,[],[],[],options); 79 80 % Berechnung der Portfoliorendite bzw. des Portfoliorisikos für 81 % das soeben ermittelte effiziente Portfolio 82 PortRetEF(i,1)=w'*MittelwerteRenditen; 83 StabwEF(i,1)=sqrt(w'*CovMatrix*w); 84 85 End 86 87 % Ausgabe der Effizienzkurve 1 88 plot(StabwEF,PortRetEF,'.r'); 89 90 % Berechnung und Ausgabe der Effizienzkurve 2 91 frontcon(MittelwerteRenditen,CovMatrix,50); In den darauffolgenden Zeilen 73 bis 85 wird mit Hilfe einer for-Schleife im Rahmen der Portfoliooptimierung mit der Funktion » quadprog « für jede beliebige Zielrendite aus dem gleichnamigen Array das Portfoliorisiko minimiert und die dazugehörigen Portfoliogewichte werden ermittelt. In den Zeilen 82 und 83 folgen auf Grundlage der soeben optimierten Portfoliogewichte des risikominimalen Portfolios die Berechnung der erwarteten Rendite und des Portfoliorisikos sowie die Zuordnung der Werte in die Arrays » PortRetEF « und » StabwEF «. Zum Abschluss des Matlab-Skriptes erfolgt in Zeile 88 die Ausgabe der Effizienzkurve (Abb. 107). Bei der Betrachtung der Zeilen 47 bis 91 wird deutlich, dass die Berechnung und Darstellung der Effizienzkurve einen erheblichen Aufwand nach sich ziehen. Aus diesem Grund würde sich die Einbettung des gezeigten Algorithmus in eine Funktion anbieten, sodass diese mit den notwendigen Input-Argumenten aufgerufen werden kann, um die dazugehörige Effizienzkurve darzustellen. Die Financial Toolbox in Matlab stellt eine solche Funktion dem Anwender bereit. Es handelt sich hierbei um die Funktion » frontcon «. <?page no="348"?> 348 4 Die Anwendung des aktiven Portfolio Managements Abb. 107: Darstellung der Ergebnisse. Quelle: Eigene Darstellung, Matlab R2011b Syntax [PortRisk, PortReturn, PortWts] = frontcon(ExpReturn, ExpCovariance, NumPorts, PortReturn, AssetBounds, Groups, GroupBounds, varargin) 4.4 Die Umsetzung der relativen Portfoliooptimierung Quelle: © Raimond Spekking / CC-BY- SA-3.0 (via Wikimedia Commons) “I recognized that information was, in many respects, like a public good, and it was this insight that made it clear to me that it was unlikely that the private market would provide efficient resource allocations whenever information was endogenous.” Joseph E. Stiglitz - US-amerikanischer Wirtschaftswissenschaftler (*1943) Das nachfolgende Beispiel demonstriert die Umsetzung der relativen Optimierung in Excel. Um die gezeigten Schritte im Detail nachvollziehen zu können, sollte das <?page no="349"?> 4.4 Die Umsetzung der relativen Portfoliooptimierung 349 Excel-Modell in der Datei » Kapitel_4_Beispiele.xlsm « im Tabellenblatt » Relative Optimierung (1) « aufgerufen werden. Es empfiehlt sich, die Bearbeitung dieses Abschnitts in Verbindung mit der geöffneten Excel-Datei durchzuführen. Das nachfolgend dargestellte Optimierungsproblem entspricht aus formaler Sicht der Zielfunktion eines risikoscheuen Anlegers. Dieser Anleger verfolgt das Ziel, die Differenz zwischen Portfolio-Alpha 𝛼𝛼 𝑃𝑃 und dem Produkt aus Selektionsrisiko bzw. Residual-Risiko 𝜎𝜎 𝜀𝜀𝑃𝑃 2 und dem Risikoaversionsparameter 𝜆𝜆 zu maximieren. Da eine ausführliche Herleitung der Zielfunktion für ein anwendungsbezogenes Verständnis der zuvor erläuterten theoretischen Grundlagen nicht zwingend notwendig ist, sei an dieser Stelle auf die Darstellungen der Fachliteratur verwiesen. 295 Im Rahmen der relativen Optimierung ergibt sich die formale Definition der Zielfunktion ohne Berücksichtigung von Timingfähigkeiten wie folgt: 𝑍𝑍𝑍𝑍(𝑤𝑤) = 𝛼𝛼 𝑃𝑃 − 𝜆𝜆 ∙ 𝜎𝜎 𝜀𝜀𝑃𝑃 2 → 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑒𝑒! (4.62) bzw. unter der Voraussetzung 𝛽𝛽 𝑃𝑃 = 1 bzw. 𝛽𝛽 𝐵𝐵𝑃𝑃 = 0 in anwendungsbezogener Matrizenschreibweise 𝑍𝑍𝑍𝑍(𝑤𝑤) = 𝑤𝑤 𝑃𝑃𝑇𝑇 ∙ 𝛼𝛼 − 𝜆𝜆 ∙ (𝑤𝑤 𝐵𝐵𝑇𝑇 ∙ 𝛴𝛴 ∙ 𝑤𝑤 𝐵𝐵 ) → 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑒𝑒! (4.63) unter Einhaltung der folgenden Nebenbedingungen: (Budgetrestriktion) �𝑤𝑤 𝑃𝑃𝑖𝑖 𝑁𝑁 𝑖𝑖=1 = 1 bzw. �𝑤𝑤 𝐵𝐵𝑃𝑃𝑖𝑖 𝑁𝑁 𝑖𝑖=1 = 0 mit 𝑤𝑤 𝑃𝑃𝑖𝑖 : Portfoliogewicht des iten Wertpapiers im Portfolio 𝑤𝑤 𝐵𝐵𝑃𝑃𝑖𝑖 : aktives Gewicht des iten Wertpapiers im Portfolio bzw. in Matrizenschreibweise: 1 𝑇𝑇 ∙ 𝑤𝑤 𝑃𝑃 = 1 bzw. 1 𝑇𝑇 ∙ 𝑤𝑤 𝐵𝐵𝑃𝑃 = 0 (4.64) (Leerverkaufsverbot) 𝑤𝑤 𝑖𝑖 ≥ 0 für alle 𝑖𝑖 = 1, … , 𝑁𝑁 (4.65) (Bestandsrestriktion) mind. 5 %; max. 50 % je Wertpapier (4.66) (Timing-Restriktion) 𝛽𝛽 𝑃𝑃 = 1 ↔ 𝛽𝛽 𝐵𝐵𝑃𝑃 = 0 , d.h. kein Timing mit 𝛽𝛽 𝑃𝑃 : Beta-Faktor des Portfolios gegenüber der Benchmark 𝛽𝛽 𝐵𝐵𝑃𝑃 : aktiver Beta-Faktor des Portfolios gegenüber der Benchmark (4.67) 295 Eine detaillierte Ableitung der Zielfunktion liefert etwa Poddig et al. (2009), S. 211 ff. <?page no="350"?> 350 4 Die Anwendung des aktiven Portfolio Managements 4.4.1 Vorstellung des Ausgangsportfolios für die relative Optimierung Im Vergleich zur absoluten Optimierung enthält das Portfolio für die relative Optimierung aus Übersichtsgründen weniger Wertpapiere, sodass lediglich acht der ursprünglichen zehn Wertpapiere in das aktive Portfolio aufgenommen werden. Ungeachtet von der vorliegenden Beschränkung der Wertpapiere kann im Rahmen des nachfolgend dargestellten Konzeptes selbstverständlich auch eine Optimierung mit mehreren hunderten Anlagetiteln durchgeführt werden. Auch die Rendite-Risiko- Profile der einzelnen Wertpapiere unterscheiden sich aufgrund der gewählten diskreten Datengrundlage geringfügig, weshalb sich nachfolgende Rahmenbedingungen ergeben. Wertpapier-Kürzel erwartete Rendite p.a. Standardabweichung p.a. Portfoliogewicht COST 2,90 % 21,43 % 12,50 % CSCO 4,02 % 27,44 % 12,50 % IBM 3,73 % 21,87 % 12,50 % INTC -3,53 % 27,74 % 12,50 % MRK 2,82 % 28,32 % 12,50 % MSFT 1,56 % 25,45 % 12,50 % T -0,91 % 19,64 % 12,50 % XOM 5,86 % 19,85 % 12,50 % (S&P 500) -4,39 % 16,04 % 0,00 % Tab. 30: Darstellung des Ausgangsportfolios Das Ausgangsportfolio nimmt entsprechend Tab. 30 unterschiedliche Unternehmen aus der Technologie-Branche, der Gesundheits- und Nahrungsmittel-Branche, der Pharma-Branche, der Energie-Branche sowie der Luft-und-Raumfahrt-Branche auf. Das Portfolio beinhaltet Unternehmen wie Costco Wholesale (COST), Cisco Systems (CSCO), IBM (IBM), Intel (INTC), Merk (MRK), Microsoft (MSFT), AT&T (T) und Exxon Mobil Corporation (XOM). Die Auswahl der genannten Wertpapiere ergab sich einerseits aus der geeigneten Branchenzugehörigkeit und andererseits aus der Korrelation der einzelnen Wertpapiere untereinander, um nach dem Gedanken von M ARKOWITZ eine ausreichende Diversifikation des Portfolios zu erreichen. Die historische Datengrundlage für die Berechnung der Input-Parameter bezieht sich, wie auch bei allen anderen relevanten Berechnungen, maßgeblich auf einen 5- Jahres-Zeitraum vom 01.12.2004 bis zum 01.12.2009 . Aufgrund der monatlichen Periodizität der Kurse ergibt sich eine Stichprobe von 60 Beobachtungswerten. 296 Im Unterschied zur vorherigen absoluten Optimierung werden die erwarteten Renditen und Standardabweichungen nun auf der Grundlage von diskreten monatlichen 296 Anmerkung: Der Umfang der Stichprobe wurde auf Empfehlung von Walters (2011), S. 17 auf 60 Stichprobenwerte festgelegt. <?page no="351"?> 4.4 Die Umsetzung der relativen Portfoliooptimierung 351 Renditen berechnet. Da es sich dabei um monatliche Daten handelt, wird die Volatilität zwischen den einzelnen Stichtagen nicht erfasst. Die Standardabweichungen, Varianzen und Kovarianzen werden entsprechend auf Basis der historischen Renditen ermittelt und für die späteren Berechnungen annualisiert. In den nachfolgenden Abschnitten können die dargestellten Beispiele gleichermaßen in Excel und Matlab nachempfunden und umgesetzt werden. Die Praxisbeispiele in Verbindung mit dem anschließend dargestellten Quellcode und den dazugehörigen Erläuterungen sollen das Selbststudium erleichtern. 4.4.2 Die praktische Umsetzung in Excel 4.4.2.1 Vorbereitende Maßnahmen für die relative Optimierung Um die relative Optimierung durchführen zu können, ist zunächst die Ermittlung einiger wichtiger Eingangsgrößen und die Festlegung von Annahmen notwendig. Dazu zählen die erwarteten Renditen der Wertpapiere, die historischen Standardabweichungen, die Varianz-Kovarianz-Matrix sowie die Angabe eines risikolosen monatlichen Zinssatzes. Da der größte Teil der Input-Parameter auf der Grundlage von Überschussrenditen berechnet wird, sollte zu Beginn der mit 4 % festgelegte jährliche risikolose Zinssatz (Geldmarktsatz) angepasst werden. Um eine Konformität zwischen der Periodizität der Wertpapierkurse und dem risikolosen Zinssatz zu erreichen, wird der jährliche risikolose Zinssatz aus Zelle Z12 in einen monatlichen risikolosen Zinssatz in Zelle Z13 transformiert. Abb. 108 gibt einen Überblick über alle relevanten Parameter der Annahmen. Abb. 108: Annahmen Nachdem alle relevanten Annahmen getroffen worden sind, beinhaltet die nächste Aufgabe die Bestimmung der Überschussrenditen als Differenz zwischen den absoluten (Monats-)Renditen und dem zuvor ermittelten risikolosen (Monats-)Zinssatz. Um die Überschussrenditen ermitteln zu können, ist es notwendig, die Kurse der einzelnen Wertpapiere des betrachteten Portfolios aus den Datenbanken des Finanzdatenanbieters zu beziehen und in das Excel-Modell zu übertragen. Abb. 109 zeigt den Anfang der verfügbaren Datengrundlage inklusive des Beginns der Wertentwicklung des dazugehörigen Marktindex. Abb. 109: Berechnung der diskreten Überschussrenditen 9 10 11 12 13 14 X Y Z AA Annahmen Risikofreier Zinsatz p.a.: 4% = risikofreier Monatszinssatz: 0,00327 67 8 9 10 11 12 L M N O P Q R S T U V Diskrete Überschussrenditen vom 01.12.2004 bis 01.12.2009 COST CSCO IBM INTC MRK MSFT T XOM Benchmark 01.12.2004 03.01.2005 -2,68% -6,95% -5,56% -4,35% -13,05% -1,97% -8,13% 0,34% -5,30% 01.02.2005 -1,77% -3,76% -1,23% 6,53% 12,69% -4,59% 0,94% 22,37% 3,90% 01.03.2005 -5,50% 2,37% -1,62% -3,50% 1,79% -4,26% -1,87% -6,19% -2,35% <?page no="352"?> 352 4 Die Anwendung des aktiven Portfolio Managements Auf Grundlage der zuvor ermittelten Überschussrenditen werden im Anschluss alle weiteren Eingangsgrößen bestimmt. Die erwartete Rendite der jeweiligen Wertpapiere in Zeile Z21 bis AH21 ergibt sich aus dem historischen Mittelwert der zuvor ermittelten diskreten Überschussrenditen aus den Spalten N bis V. Bei der Implementierung der Eingangsgrößen im Excel-Modell wird hauptsächlich auf die Excel-Funktion » Mittelwert() « zurückgegriffen. Die Berechnung der historischen Standardabweichung der einzelnen Wertpapiere in Zeile Z22 bis AH22 und die Bestimmung der Varianz-Kovarianz-Matrix ergibt sich analog zu den erwarteten Renditen ebenfalls auf der Grundlage der zuvor ermittelten diskreten Überschussrenditen. Da die Datengrundlage zur Berechnung der historischen Standardabweichung lediglich eine Stichprobe darstellt, wird bei der Umsetzung des Modells in Excel die Funktion » STABW.S() « verwendet. Bei der Berechnung der Varianz-Kovarianz-Matrix im Bereich Z28 bis AG35 wird auf die VBA-Funktion » VarCov() « zurückgegriffen. Alle relevanten Eingangsgrößen werden anschließend in Abhängigkeit von der Periodizität der bezogenen Kurse mit dem entsprechenden Skalierungsfaktor annualisiert. Die allgemeine Vorgehensweise bei der Bestimmung der Eingangsgrößen lässt sich im Detail durch Tab. 31 nachvollziehen. Abb. 110 zeigt zuvor noch die Werte der unterschiedlichen Input-Parameter. Abb. 110: Ermittlung der erwarteten Renditen und Standardabweichungen Tab. 31 gibt wichtige Hinweise für die praktische Umsetzung des Excel-Modells. Position Inhalt Excel-Umsetzung Z12 risikoloser jährlicher Zinssatz individueller Wert Z13 risikoloser monatlicher Zinssatz =(1+Z12)^(1/ 12) - 1 N10 Überschussrenditen =((C10/ C9)-1) - $Z$13 Z21 bis AH21 erwartete Renditen der Wertpapiere =MITTELWERT(N10: N69)*12 Z22 bis AH22 Standardabweichung der Wertpapiere =STABW.S(N10: N69)*WURZEL(12) Z28 bis AG35 Varianz-Kovarianz-Matrix =WURZEL(MMULT(MMULT(AC52: AL52; AC40: AL49); MTRANS(AC52: AL52))) Z43 bis AA51 Alpha- und Beta-Faktoren =RGP(N10: N69; $V$10: $V$69; WAHR; FALSCH) Tab. 31: Übersicht 19 20 21 22 23 X Y Z AA AB AC AD AE AF AG AH COST CSCO IBM INTC MRK MSFT T XOM Benchmark Erwartete Rendite (ann.) 2,90% 4,02% 3,73% -3,53% 2,82% 1,56% -0,91% 5,86% 2,06% Standardabweichung (ann.) 21,43% 27,44% 21,87% 27,74% 28,32% 25,45% 19,64% 19,85% 15,89% <?page no="353"?> 4.4 Die Umsetzung der relativen Portfoliooptimierung 353 4.4.2.2 Bestimmung der Alpha- und Beta-Faktoren Die Durchführung der relativen Optimierung erfordert weiterhin die Berechnung der Alpha- und Beta-Faktoren der jeweiligen Wertpapiere. Die genannten Faktoren geben Aufschluss über die tatsächliche Beziehung zwischen dem von der Benchmark abhängigen und dem unabhängigen Anteil der Rendite. Unter der Voraussetzung eines zugrundeliegenden linearen Renditegenerierungsprozesses kann mit Hilfe einer linearen Regression eine historische Schätzung der Alpha- und Beta-Faktoren erfolgen. 297 Zur Schätzung der Alpha- und Beta-Faktoren wird im Excel-Modell auf die interne Excel-Funktion » RGP(Argumente) « zurückgegriffen. Die Anwendung dieser Funktion erfordert die Berücksichtigung und Eingabe von insgesamt vier Argumenten. Bei der Übergabe des ersten Arguments wird im Rahmen der linearen Regression zunächst der Wertebereich der X-Achse festgelegt. Im Anschluss erfolgt die Übergabe des Wertebereichs der Y-Achse. Der angegebene Wertebereich der Y-Werte bezieht sich auf die Zeitreihe der Wertpapierrenditen in den Spalten N bis U, der Wertebereich der X-Werte auf die Zeitreihe der Benchmarkrenditen in Spalte V. Die nachfolgenden Argumente eignen sich zur Übergabe von Strings. Es empfiehlt sich, beim dritten Argument den Parameter » WAHR « einzugeben, da ansonsten bei der Berechnung des Parameters » 𝛼𝛼 « der Wert Null gesetzt wird. Das vierte Argument sollte dagegen mit dem Parameter » FALSCH « an die Funktion übergeben werden. Die Eingabe der Formel ist mit der Tastenkombination STRG+SHIFT+EINGABE abzuschließen, weshalb es auch notwendig ist, die Berechnung für alle Wertpapiere einzeln durchzuführen. 298 Vor Beginn der jeweiligen Formel-Eingabe wird der spätere Ausgabebereich der Alpha- und Beta-Faktoren ausgewählt bzw. markiert und anschließend die entsprechende Formel mit den dazugehörigen Argumenten eingegeben. Als Ergebnis erhält man in dieser Konfiguration grundsätzlich zwei Zellen. In der linken Zelle befindet sich der Beta-Faktor des zugrundeliegenden Wertpapiers und in der rechten Zelle das korrespondierende Alpha des jeweiligen Wertpapiers. Die Ergebnisse der historischen Schätzung sind Abb. 111 zu entnehmen. Es sei darauf hingewiesen, dass sich für die letzte Position in Zelle Z51 per Definition ein Beta-Faktor von 1 und in Zelle AA51 ein Alpha-Faktor von 0 ergeben muss. Abb. 111: Bestimmung der Alpha- und Beta-Faktoren 297 Vgl. Poddig et al. (2009), S. 220 ff. 298 Eine vertiefte Behandlung der Thematik in Bezug auf die Aufbereitung von Alpha-Prognosen im Rahmen der relativen Optimierung liefert etwa Kleeberg/ Schlenger (2002), S. 253 ff. 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 X Y Z AA AB Wertpapier Beta Alpha COST 0,90061 0,00087 CSCO 1,28588 0,00115 IBM 0,79883 0,00174 INTC 1,36652 0,00528 - MRK 1,15874 0,00037 MSFT 1,14696 0,00066 - T 0,81205 0,00215 - XOM 0,53040 0,00398 Benchmark 1,00000 0,00000 - <?page no="354"?> 354 4 Die Anwendung des aktiven Portfolio Managements 4.4.2.3 Durchführung der relativen Optimierung Noch vor der Durchführung der relativen Optimierung sollten gemäß Abb. 112 die Startgewichte in Spalte Z, die Portfoliogewichte in Spalte AA, die minimalen und maximalen Bestandsgrenzen der einzelnen Wertpapiere in Spalte AB und AC, die Benchmark in Spalte AD sowie die aktiven Portfoliogewichte in Spalte AE im Excel-Modell implementiert werden. Im Rahmen der Startgewichte wird ein beliebiges Portfolio als Ausgangslösung für die spätere Optimierung festgelegt. Die Bestandsgrenzen der jeweiligen Wertpapiere im Portfolio werden auf mindestens 5 % sowie auf maximal 40 % des Portfolios beschränkt. Die aktiven Gewichte ergeben sich als Differenz zwischen den Portfoliogewichten in Spalte AA und der gleichgewichteten Benchmark in Spalte AD. Die Summe der jeweiligen Portfoliogewichte ergibt mit Ausnahme von Zelle AE67 stets einhundert Prozent. Abb. 112 gibt einen Überblick über die Ausgangslage für die spätere relative Optimierung. Abb. 112: Ausgangslage für die relative Optimierung Im Anschluss daran sollten die in Abb. 111 dargestellten Kennzahlen, die Zielfunktion sowie die zahlreichen Nebenbedingungen im Excel-Modell implementiert werden. Der Beta-Faktor des Portfolios in Zelle Z71 lässt sich auf Grundlage der Formel 𝛽𝛽 𝐵𝐵 = 𝑤𝑤 𝑃𝑃𝑇𝑇 ∙ 𝛽𝛽 (4.68) mit Hilfe der Matrizenmultiplikation in Excel wie folgt umsetzen: Z71 = MMULT(MTRANS(AA59: AA67); Z43: Z51) Der Beta-Faktor der korrespondierenden Benchmark in Zelle AC71 wird in ähnlicher Weise wie das Portfolio-Beta umgesetzt, jedoch mit dem Unterschied, dass sich der Bezug der transponierten Portfoliogewichte nun auf die gleichgewichteten Portfolioanteile der Benchmark selbst bezieht. Das Benchmark-Beta ergibt per Definition einen Wert von Eins. AC71 = MMULT(MTRANS(AD59: AD66); Z43: Z50) Die Berechnung des Portfolio-Alphas in Zelle Z72 erfolgt nach Formel: 𝛼𝛼 𝑃𝑃 = 𝑤𝑤 𝑃𝑃𝑇𝑇 ∙ 𝛼𝛼 (4.69) und wird demnach in Excel analog zur Bestimmung des Portfolio-Beta-Faktors (vgl. Formel (4.68)) durch die Eingabe folgender Formel umgesetzt: Z72 = MMULT(MTRANS(AA59: AA67); AA43: AA51) 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 X Y Z AA AB AC AD AE Wertpapier Startgewichte Portfoliogewicht Minimal Maximal Benchmark Aktive-Gewichte COST 12,50% 5,00% 5% 40% 12,50% -7,50% CSCO 12,50% 40,00% 5% 40% 12,50% 27,50% IBM 12,50% 5,00% 5% 40% 12,50% -7,50% INTC 12,50% 5,00% 5% 40% 12,50% -7,50% MRK 12,50% 7,76% 5% 40% 12,50% -4,74% MSFT 12,50% 5,00% 5% 40% 12,50% -7,50% T 12,50% 5,00% 5% 40% 12,50% -7,50% XOM 12,50% 27,24% 5% 40% 12,50% 14,74% Summe 100,00% 100,00% 100,00% 0,00% <?page no="355"?> 4.4 Die Umsetzung der relativen Portfoliooptimierung 355 Das Alpha des Benchmark-Portfolios entspricht per Definition dem Wert Null. Das aktive Alpha des Portfolios in Zelle AD72 ergibt sich aus der Gewichtung der aktiven Positionen aus Spalte AE mit dem Vektor der jeweiligen Alpha-Werte in Spalte AA. In der Regel entspricht das ermittelte aktive Alpha in Zelle AD72 dem Portfolio-Alpha in Zelle Z72. AD72 = MMULT(MTRANS(AE59: AE66); AA43: AA50) Die Varianz des optimierten Portfolios in Zelle Z73 lässt sich auf Grundlage der nachfolgenden Formel bestimmen: 𝜎𝜎 𝑃𝑃2 = 𝑤𝑤 𝑃𝑃𝑇𝑇 ∙ 𝛴𝛴 ∙ 𝑤𝑤 𝑃𝑃 (4.70) und kann im Excel-Modell mit der Eingabe von Z73 = MMULT(MMULT(MTRANS(AA59: AA66); Z28: AG35); AA59: AA66) in Zelle Z73 umgesetzt werden. Die Varianz der Benchmark in Zelle AC73 sowie die aktive Varianz in Zelle AD73 ergibt sich analog zu Formel (4.74) durch die Eingabe folgender Formel: AC73 = MMULT(MMULT(MTRANS(AD59: AD66); Z28: AG35); AD59: AD66) AD73 = MMULT(MMULT(MTRANS(AE59: AE66); Z28: AG35); AE59: AE66) Im Anschluss daran wird in Zelle Z74 die residuale Varianz wie folgt ermittelt: 𝜔𝜔 𝑃𝑃2 = 𝜎𝜎 𝑃𝑃2 − 𝛽𝛽 𝑃𝑃2 ∙ 𝜎𝜎 𝐵𝐵2 bzw. 𝜔𝜔 𝑃𝑃2 = 𝑤𝑤 𝑃𝑃𝑇𝑇 ∙ 𝛴𝛴 ∙ 𝑤𝑤 𝑃𝑃 − (𝑤𝑤 𝑃𝑃𝑇𝑇 ∙ 𝛽𝛽) 2 ∙ 𝑤𝑤 𝐵𝐵𝑇𝑇 ∙ 𝛴𝛴 ∙ 𝑤𝑤 𝐵𝐵 (4.71) und durch die Eingabe nachfolgender Excel-Formel praktisch umgesetzt: AD73 = MMULT(MMULT(MTRANS(AE59: AE66); Z28: AG35); AE59: AE66) Die Standardabweichung der residualen Varianz ergibt sich aus der Wurzel der residualen Varianz. In Zelle Z76 wird der Risikoaversionsparameter 𝜆𝜆 auf Grundlage der Benchmark nach folgender Formel ermittelt: 𝜆𝜆 = 𝜇𝜇 𝐵𝐵 − 𝑚𝑚 𝑓𝑓 2 ∙ 𝜎𝜎 𝐵𝐵2 (4.72) um durch die Eingabe folgender Excel-Formel umgesetzt zu werden: Z76 = AH21 / (2 *AH22^ 2) Der Wert des Risikoaversionsparameters 𝜆𝜆 ergibt sich wie folgt: 𝜆𝜆 = 0,00206 − 0,00327 2 ∙ 0,1589 2 ≈ −0,044 (4.73) Die Information Ratio des Portfolios in Zelle Z77 ergibt sich nach der Durchführung der relativen Optimierung aus der Relation zwischen Portfolio-Alpha und der residualen Standardabweichung des Portfolios. Zum Abschluss der Kennzahlen werden in Zelle Z78 und Z79 noch die Rendite und das Risiko des zu optimierenden Portfolios bestimmt. Die Ergebnisse der relativen Optimierung können Abb. 113 entnommen werden. <?page no="356"?> 356 4 Die Anwendung des aktiven Portfolio Managements Abb. 113: Darstellung der Kennzahlen Die relative Optimierung setzt die Implementierung einer dem Optimierungsproblem entsprechenden Zielfunktion voraus. Dabei wird maßgeblich auf die zu Beginn dieses Abschnitts eingeführte Formel zurückgegriffen. Vor diesem Hintergrund definiert sich die Zielfunktion wie folgt: 𝑍𝑍𝑍𝑍(𝑤𝑤) = 𝛼𝛼 𝑃𝑃 − 𝜆𝜆 ∙ 𝜎𝜎 𝜀𝜀𝑃𝑃 2 → 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑒𝑒! bzw. 𝑍𝑍𝑍𝑍(𝑤𝑤) = 𝑤𝑤 𝑃𝑃𝑇𝑇 ∙ 𝛼𝛼 − 𝜆𝜆 ∙ (𝑤𝑤 𝐵𝐵𝑇𝑇 ∙ 𝛴𝛴 ∙ 𝑤𝑤 𝐵𝐵 ) → 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑒𝑒! (4.74) Die Umsetzung der Zielfunktion in Zelle Z82 entspricht der Maximierung der Differenz zwischen dem Portfolio-Alpha und dem residualen Risiko gewichtet mit dem Risikoaversionsparameter. Die Eingabe in Excel lautet wie folgt: Z82 =Z72-Z76*Z74 In den Zellen Z85 und Z86 werden zusätzlich zu den schon im Bereich AB59 bis AC66 festgesetzten Bestandsgrenzen weitere Nebenbedingungen, wie etwa eine Budget- und Timingrestriktion umgesetzt. Abb. 114 zeigt die Umsetzung der Zielfunktion in Verbindung mit den dazugehörigen Nebenbedingungen. Abb. 114: Darstellung der Zielfunktion mit den dazugehörigen Nebenbedingungen Nach Abschluss der Vorbereitungen kann mit Hilfe des Solvers die relative Optimierung erfolgen. Noch vor dem Start des Solvers sollte zunächst sichergestellt werden, dass das dazu benötigte Add-In Solver in Excel installiert und aktiviert ist. Sollte dies nicht der Fall sein, kann im Reiter  Entwicklertools  Add-Ins  Add-Ins ausgewählt werden, um zur Übersicht der verfügbaren Add-Ins zu gelangen. Ein Klick auf die Funktion erlaubt die Aktivierung der gewünschten Funktion Solver. Die durch Häkchen gekennzeichneten Funktionen sind bereits aktiviert. Im Anschluss daran wird der Solver im Reiter  Daten  Analyse  Solver über ein Zusatzprogramm (Add-In) in Excel bereitgestellt. 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 X Y Z AA AB AC AD Kennzahlen Beta: 1,00000 1,00000 0,00000 Alpha: 0,00130 0,00000 0,00130 Varianz: 0,0024359 0,00210 0,00033 rVar: 0,0003319 rStdAbw(P) 0,0182190 Lambda l: -0,3705867 Information Ratio: 0,0711508 Portfoliorendite p.a. 3,61% Portfoliorisiko p.a. 17,10% 80 81 82 83 84 85 86 87 88 X Y Z AA Zielfunktion Zielfunktionswert: 0,0013110 Nebenbedingungen Budgetrestriktion: 1,0000000 Timingrestriktion: 0,0000000 <?page no="357"?> 4.4 Die Umsetzung der relativen Portfoliooptimierung 357 Nach Aufruf des Solvers sollte zunächst der Zellbezug zur gewünschten Zielfunktion festgelegt werden. In Abhängigkeit von der formalen Darstellung der zugrundeliegenden Zielfunktion sollte die Auswahl eines geeigneten Zielwerts getroffen werden. Weitere festzulegende Parameter umfassen den variablen Wertebereich der Portfoliogewichte sowie die angeführten Nebenbedingungen. Abb. 115 zeigt eine Übersicht aller relevanten Input-Parameter für die bevorstehende relative Optimierung. Durch die Betätigung der Schaltfläche  Lösen beginnt der Solver mit der Lösung des eigentlichen Optimierungsproblems. Abb. 115: Einstellung der Solver-Parameter für die relative Optimierung Eine kurze Übersicht über die einzelnen Positionen des Excel-Modells liefert nochmals Tab. 32. Position Inhalt Excel-Umsetzung Spalte AA Portfoliogewichte individuelle Werte, z.B. 0,1 Spalte AB,AC Bestandsgrenzen individuelle Werte, z.B. min.=0,05 max.=0,4 Spalte AD Benchmark-Gewichte = Z59 Spalte AE aktive Gewichte = AA59-AD59 Zeile 65 Summe der Portfolioanteile = SUMME(Z59: Z66) Z71 Portfolio-Beta-Faktor = MMULT(MTRANS(AA59: AA67); Z43: Z51) Z72 Portfolio-Alpha-Faktor = MMULT(MTRANS(AA59: AA66); AA43: AA50) Z73 Portfolio-Varianz =MMULT(MMULT(MTRANS(AA59: AA66); Z28: AG35); AA59: AA66) Z74 residuale Varianz = AD73 - AD71^2 * AC73 <?page no="358"?> 358 4 Die Anwendung des aktiven Portfolio Managements Z75 residuale Standardabweichung = WURZEL(Z74) Z76 Lambda = AH21 / (2 *AH22^ 2) Z77 Information Ratio = Z72/ Z75 Z78 Portfolio-Rendite = MMULT(Z21: AG21; AA59: AA66) Z79 Portfolio-Risiko = WURZEL(Z73) Z82 Zielfunktion = Z72-Z76*Z74 Z85 Budget-Restriktion = AA67 Z86 Timing-Restriktion = AD71 Tab. 32: Übersicht Die Ergebnisse der relativen Portfoliooptimierung sind in Abb. 116 dargestellt. Abb. 116: Ergebnisse der relativen Optimierung (1) Quelle: Eigene Darstellung, Tabellenblatt Relative Optimierung (1), Kapitel4_Beispiele.xlsm 4.4.2.4 Berücksichtigung von unterschiedlichen Anlageuniversen Das vorherige Beispiel beruht auf der Annahme, dass das Anlageuniversum für das aktive Portfolio und die Benchmark grundsätzlich identisch sind. Diese Annahme stellt lediglich den bestmöglichen Fall in der Praxis dar, der jedoch in dieser Weise nicht immer anzutreffen ist. Obwohl ein identisches Anlageuniversum des aktiven Portfolios und der Benchmark eine idealtypische Anforderung an die Praxis ist, ergibt sich oftmals die Problematik unterschiedlicher Anlageuniversen. In wenigen Fällen kommt es sogar vor, dass die Benchmark aus einem synthetischen Index besteht, welcher zur relativen Optimierung eines aktiven Portfolios herangezogen wird. In diesem Fall gilt es, ein gemeinsames Anlageuniversum Z aus den korrespondierenden Anlageuniversen X und Y zweier gegebener Portfolios P und B zu bilden. Vor diesem Hintergrund stellt das 12% 12% 12% 12% 13% 13% 13% 13% Portfoliostruktur vor der Optimierung 5% 40% 5% 5% 8% 5% 5% 27% Portfoliostruktur nach Optimierung <?page no="359"?> 4.4 Die Umsetzung der relativen Portfoliooptimierung 359 Anlageuniversum Z die Vereinigungsmenge von X und Y dar. 299 Das Anlageuniversum in dieser Fallstudie ergibt sich aus den Wertpapieren COST, CSCO, IBM, INTC, MRK, MSFT, T und XOM sowie der Benchmark in Form des S&P 500. Das nachfolgende Beispiel demonstriert die Umsetzung der relativen Optimierung unter Berücksichtigung von unterschiedlichen Anlageuniversen in Excel. Im Vergleich zu den vorherigen Abschnitten dient nun der Marktindex S&P 500 als Benchmark. Es wird von einem Kapitalanleger ausgegangen, welcher ausschließlich seine Anlagestrategie in Nordamerika umsetzen möchte. Um die gezeigten Schritte im Detail nachvollziehen zu können, sollte hierzu das Excel-Modell in der Datei » Kapitel_4_Beispiele.xlsm « im Tabellenblatt » Relative Optimierung (2) « aufgerufen werden. Es empfiehlt sich, die Bearbeitung dieses Abschnitts in Verbindung mit der geöffneten Excel-Datei durchzuführen. Das maßgebliche Ziel dieser fortgesetzten Fallstudie ist es, die praktische Umsetzung der relativen Optimierung unter Verwendung eines synthetischen Index darzustellen. Die grundsätzliche Vorbereitung für die Berücksichtigung eines synthetischen Index lehnt sich an die prinzipielle Vorgehensweise der vorangegangenen Fallstudien an. Im ersten Schritt werden alle relevanten Kursverläufe inklusive des festgelegten Index auf monatlicher Basis vom Finanzdatenanbieter aus dem Internet bezogen und in das Excel-Modell übertragen. Im zweiten Schritt erfolgt in Verbindung mit dem risikolosen monatlichen Zinssatz die Berechnung der Überschussrenditen der einzelnen Wertpapiere und des zugrundeliegenden Marktindex. Im dritten Schritt liefern die ermittelten Überschussrenditen die Grundlage für die historische Schätzung der Alpha- und Beta-Faktoren mit Hilfe einer linearen Regression in Bezug auf die Rendite der festgelegten Benchmark. In einem finalen vierten Schritt wird der Input-Parameter die Varianz-Kovarianz-Matrix der aufgeführten Einzeltitel in Verbindung mit der festgelegten Benchmark bestimmt. Abb. 117 zeigt vor diesem Hintergrund das Hinzufügen einer synthetischen Benchmark. Abb. 117: Hinzufügen einer synthetischen Benchmark Den Ausgangspunkt für die sich anschließende relative Optimierung stellen zunächst die beliebig festgelegten Startgewichte der Einzeltitel des aktiven Portfolios dar. Die zu maximierende Zielfunktion entspricht weitestgehend der Formulierung der vorherigen Zielfunktion aus den letzten Abschnitten. Im Rahmen der relativen Optimierung ergibt sich die formale Definition der Zielfunktion demnach wie folgt: 299 Vgl. Poddig et al. (2009), S. 231 f. 6 7 8 9 10 11 12 L M N O P Q R S T U V Diskrete Überschussrenditen vom 01.12.2004 bis 01.12.2009 COST CSCO IBM INTC MRK MSFT T XOM S&P500 01.12.2004 03.01.2005 -2,68% -6,95% -5,56% -4,35% -13,05% -1,97% -8,13% 0,34% -2,86% 01.02.2005 -1,77% -3,76% -1,23% 6,53% 12,69% -4,59% 0,94% 22,37% 1,56% 01.03.2005 -5,50% 2,37% -1,62% -3,50% 1,79% -4,26% -1,87% -6,19% -2,24% <?page no="360"?> 360 4 Die Anwendung des aktiven Portfolio Managements 𝑍𝑍𝑍𝑍(𝑤𝑤) = 𝛼𝛼 𝑃𝑃 − 𝜆𝜆 ∙ 𝜎𝜎 𝜀𝜀𝑃𝑃 2 → 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑒𝑒! (4.75) bzw. unter der Voraussetzung 𝛽𝛽 𝑃𝑃 = 1 bzw. 𝛽𝛽 𝐵𝐵𝑃𝑃 = 0 in anwendungsbezogener Matrizenschreibweise 𝑍𝑍𝑍𝑍(𝑤𝑤) = 𝑤𝑤 𝑃𝑃𝑇𝑇 ∙ 𝛼𝛼 − 𝜆𝜆 ∙ (𝑤𝑤 𝐵𝐵𝑇𝑇 ∙ 𝛴𝛴 ∙ 𝑤𝑤 𝐵𝐵 ) → 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑒𝑒! (4.76) unter der Einhaltung der folgenden Nebenbedingungen: (Budgetrestriktion) �𝑤𝑤 𝑃𝑃𝑖𝑖 𝑁𝑁 𝑖𝑖=1 = 1 bzw. �𝑤𝑤 𝐵𝐵𝑃𝑃𝑖𝑖 𝑁𝑁 𝑖𝑖=1 = 0 mit 𝑤𝑤 𝑃𝑃𝑖𝑖 : Portfoliogewicht des i -ten Wertpapiers im Portfolio 𝑤𝑤 𝐵𝐵𝑃𝑃𝑖𝑖 : aktives Gewicht des iten Wertpapiers im Portfolio bzw. in Matrizenschreibweise: 1 T ∙ w P = 1 bzw. 1 T ∙ w AP = 0 (4.77) (Leerverkaufsverbot) w i ≥ 0 für alle i = 1, … , N (4.78) (Bestandsrestriktion) mind. 5 %; max. 50 % je Wertpapier (4.79) (Timing-Restriktion) β P = 1 ↔ β AP = 0 , d.h. kein Timing mit 𝛽𝛽 𝑃𝑃 : Beta-Faktor des Portfolios gegenüber der Benchmark 𝛽𝛽 𝐵𝐵𝑃𝑃 : aktiver Beta-Faktor des Portfolios gegenüber der Benchmark (4.80) Abb. 118: Berücksichtigung einer synthetischen Benchmark 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 X Y Z AA AB AC AD AE Wertpapier Startgewichte Portfoliogewicht Minimal Maximal Benchmark Aktive-Gewichte COST 12,50% 5,00% 5% 40% 0,00% 5,00% CSCO 12,50% 40,00% 5% 40% 0,00% 40,00% IBM 12,50% 5,00% 5% 40% 0,00% 5,00% INTC 12,50% 5,00% 5% 40% 0,00% 5,00% MRK 12,50% 29,60% 5% 40% 0,00% 29,60% MSFT 12,50% 5,00% 5% 40% 0,00% 5,00% T 12,50% 5,00% 5% 40% 0,00% 5,00% XOM 12,50% 5,40% 5% 40% 0,00% 5,40% S&P 500 0,00% 100% -100,00% Summe 100,00% 100,00% 100,00% 0,00% Kennzahlen Beta: 1,00000 1,00000 0,00000 Alpha: 0,00612 0,00000 0,00612 Varianzen: 0,0030259 0,0021430 0,0008829 rVar: 0,0008829 a(P): 0,0061165 rVar(P): 0,0008829 rStdAbw(P) 0,0297128 Lambda l: -0,1075445 Information Ratio: 0,2058534 Zielfunktion Zielfunktionswert: 0,0062114 Nebenbedingungen Budgetrestriktion: 1,0000000 Timingrestriktion: 0,0000000 <?page no="361"?> 4.4 Die Umsetzung der relativen Portfoliooptimierung 361 Im Vergleich zur vorherigen Fallstudie unterscheidet sich der Wert des Risikoaversionsparameters 𝜆𝜆 unter Umständen signifikant. In beiden Fällen wird auf Formel (4.75) zurückgegriffen, mit dem Unterschied, dass sich die Formel zwar immer noch auf eine Benchmark bezieht, sich durch die Auswahl einer anderen Benchmark jedoch nun aus anderen Bestandteilen zusammensetzt. Nach der Festlegung des S&P 500 ergibt sich ein anderer Wert für den Risikoaversionsparameter 𝜆𝜆 : 𝜆𝜆 = −0,0439 − 0,00327 2 ∙ 0,1604 2 ≈ −0,10 (4.81) Grundsätzlich müssen in der fortgesetzten Fallstudie nur wenige Parameter abgeändert werden. Die hauptsächliche Anpassung des Excel-Modells beschränkt sich auf das Hinzufügen eines synthetischen Marktindex. Abb. 118 zeigt vor diesem Hintergrund eine Übersicht der Ausgangslage des Excel-Modells. Während die ersten acht einzelnen Positionen des aktiven Portfolios variabel ausgelegt sind, ist die Benchmark stets auf Null fixiert und somit von der Optimierung ausgeschlossen. Die fixierten Positionen in P weisen alle diese Beschränkung auf, da die dazugehörigen Wertpapiere nicht notwendigerweise Elemente des Anlageuniversums von P sind. 300 Es gilt darüber hinaus zu beachten, dass die Benchmark-Gewichte sich nun im Gegensatz zur vorherigen Fallstudie aus den Bezügen auf leere Zellen ergeben. Da die relative Optimierung unter Berücksichtigung unterschiedlicher Anlageuniversen ebenfalls durch 𝛽𝛽 𝑃𝑃 = 1 bzw. 𝛽𝛽 𝐵𝐵𝑃𝑃 = 0 die Timing-Komponente ausschließt, entspricht nach Abschluss der relativen Optimierung das aktive Risiko dem residualen Risiko. Nach Abschluss der relativen Optimierung ergeben sich unter der Berücksichtigung unterschiedlicher Anlageuniversen die in Abb. 119 dargestellten Portfoliostrukturen. Abb. 119: Ergebnisse der relativen Optimierung (2) Quelle: Eigene Darstellung, Tabellenblatt Relative Optimierung (2), Kapitel4_Beispiele.xlsm 300 Vgl. Poddig et al. (2009), S. 236 <?page no="362"?> 362 4 Die Anwendung des aktiven Portfolio Managements 4.4.3 Die praktische Umsetzung in Matlab Das nachfolgende Beispiel demonstriert die Umsetzung der relativen Portfoliooptimierung in Matlab. Um die gezeigten Schritte im Detail nachvollziehen zu können, kann das Matlab-Skript in der Datei » Beispiel_RelativeOptimierung.m « aufgerufen werden. Es empfiehlt sich, die Bearbeitung dieses Abschnitts in Verbindung mit der geöffneten Excel-Datei durchzuführen. Das kommende Beispiel beruht auf der grundlegenden Annahme, dass das Anlageuniversum für das aktive Portfolio und die Benchmark identisch sind. 1 % Beispiel: Relative Optimierung (1) 2 % Datum: 26.11.2012 3 % Verfasser: Marc Schurer 45 % Verbindung zum Finanzdatenanbieter aufbauen 6 close all; 7 clear all; 8 connection = yahoo; 910 %Extrahieren der Ticker-Codes und Ermittlung der Anzahl an Wertpap. 11 ticker ={'COST','CSCO','IBM','INTC','MRK','MSFT','T','XOM'} 12 names ={'COSTCO','CISCO','IBM','IN- TEL','MERK','MSFT','ATT','XOM'} 13 assets = length(ticker); 14 15 %Festlegen des Zeithorizonts der Datengrundlage 16 datum_von = '2004-12-01'; 17 datum_bis = '2009-12-01'; 18 In den Zeilen 6 bis 7 werden zu Beginn mit den Befehlen » close all « und » clear all « alle zuvor erstellten Grafiken und Fenster geschlossen, sowie der Workspace mit allen verfügbaren Variablen gelöscht. Diese Maßnahme sollte zu Beginn jedes Matlab- Skriptes durchgeführt werden, um eventuelle Fehler im späteren Programmablauf zu vermeiden. In Zeile 8 wird anschließend der Variablen » connection « die Bezeichnung des Finanzdatenanbieters zugewiesen, von dem man alle notwendigen historischen Kurszeitreihen bezieht. Anstatt des Dienstes » Yahoo Finance « können die historischen Zeitreihen auch alternativ, entsprechende Lizenzen vorausgesetzt, gleichermaßen von weiteren Finanzdatenanbietern wie z.B. Thomson Reuters oder Bloomberg bezogen werden. In Zeile 11 werden nach den Vorstellungen des Investors diejenigen Wertpapiere festgelegt, die das zukünftige Portfolio bilden sollen. Die Variable » tikker « bildet durch die Aufnahme der angeführten Unternehmen einen Zeilenvektor. Der Zeilenvektor nimmt jedoch nicht die genauen Bezeichnungen der einzelnen <?page no="363"?> 4.4 Die Umsetzung der relativen Portfoliooptimierung 363 Wertpapiere auf, sondern bezieht sich auf sogenannte Kürzel (Ticker-Codes) der Wertpapiere, die individuell durch den Finanzdatenanbieter vorgegeben werden. Mit Hilfe des Ticker-Codes der jeweiligen Wertpapiere und dem später fest-gelegten Zeitraum erfolgt der Zugriff auf die Datenbank des Finanzdatenanbieters, sodass die historischen Zeitreihen der zuvor festgelegten Wertpapiere aus dem Internet geladen werden können. In Zeile 13 wird mit Hilfe der Matlab-Funktion » length(Variable) « durch die Bestimmung der Anzahl der Elemente des Zeilenvektors » ticker « entsprechend die Anzahl der Wertpapiere im Portfolio ermittelt. Im vorliegenden Fall wurde bezüglich der Anzahl der Elemente des Zeilenvektors » ticker « der Variablen » assets « ein Wert von 10 Wertpapieren zugewiesen. In den Zeilen 16 und 17 wird der präferierte Zeithorizont festgelegt, für den die historischen Zeitreihen der einzelnen Wertpapiere im weiteren Verlauf des Skriptes aus dem Internet geladen werden sollen. Für den angegebenen Zeitraum vom 01.12.2004 bis 01.12.2009 wird anschließend, abhängig von der Periodizität der Kurse, die entsprechende Anzahl an Stichprobenwerten (Samples) aus der historischen Zeitreihe entnommen. 19 % % Kurse aller Wertpapiere im Portfolio ermitteln und importieren 20 %------------------------------------------------------- ------------- 21 22 data = fetch(connection,ticker(1),'Close',datum_von,datum_bis, 'm'); 23 histprices_fts = fints(data(: ,1),data(: ,2),ticker(1)); 24 25 for i=2: assets 26 security = ticker(i); 27 data = fetch(connection,security,'Close',datum_von, datum_bis,'m'); 28 fts = fints(data(: ,1),data(: ,2),ticker(i)); 29 histprices_fts = merge(histprices_fts,fts) 30 31 End 32 33 % Interpoliert Divergenzen in den Zeitreihen 34 histprices_fts = fillts(histprices_fts,'linear'); 35 36 % Zeitreihen in Matrix zur weiteren Verarbeitung abspeichern 37 histkurse = fts2mat (histprices_fts) 38 dates = histprices_fts.dates; 39 40 % Zeitreihen normalisieren 41 histkurse_norm = bsxfun(@rdivide,histkurse,histkurse(1,: )); <?page no="364"?> 364 4 Die Anwendung des aktiven Portfolio Managements 42 43 % Ermittlung der durchschnittlichen monatlichen Wertpapierrenditen 44 riskfreerate=0.04; 45 monatl_rfr=(1+riskfreerate)^(1/ 12)-1; 46 renditen = price2ret(histkurse,[],'Periodic')-monatl_rfr; 47 CovMatrix = cov(renditen); Um die historischen Kurse entsprechend ihrer auf- und absteigenden Datumsangaben in der richtigen Reihenfolge einzulesen, zu verarbeiten und darstellen zu können, sollten nach dem Bezug und Speichern der historischen Zeitreihe durch den Befehl » fetch(Parameter) « in den Zeilen 22 und 27 die Rohdaten der einzelnen historischen Zeitreihen in ein Financial-Time-Series-Objekt überführt werden. In Zeile 23 und in Zeile 28 wird mit Hilfe der Funktion » fints(Parameter) « die historische Datengrundlage in das Financial-Time-Series-Objekt » fts « übertragen. Voraussetzung dafür ist, dass neben der Spalte mit den historischen Kursen auch die Spalte mit den dazugehörigen Datumsangaben sowie die Ticker-Bezeichnung der zu übertragenden Daten als Argumente der Funktion übergeben werden. Da der Finanzdatenanbieter lediglich die Abfrage eines einzelnen Wertpapiers pro Anfrage zulässt, werden die einzelnen historischen Kurse nacheinander in Form einer for-Schleife in den Zeilen 25 bis 31 abgefragt und geladen. Da während jedes neuen Schleifen- Durchlaufs ein neues Financial-Time-Series-Objekt erstellt und der gleichen Variable zugewiesen wird, besteht die Gefahr, die Daten aus dem vorherigen Schleifen- Durchlauf zu überschreiben. Aus diesem Grund wurde in Zeile 29 die Funktion » merge(Parameter)« implementiert, die entsprechend jedes neue Financial-Time-Series-Objekt im neuen Objekt » histprices_fts « zusammenführt. Beim Bezug der historischen Kurszeitreihen kommt es leider gelegentlich vor, dass einige Kurse durch den Finanzdatenanbieter nicht vollständig bereitgestellt werden können. Da derartige Lücken in der Datengrundlage unweigerlich einen negativen Einfluss auf die Qualität der daraus ermittelten Ergebnisse ausüben, sollten Diskrepanzen innerhalb der historischen Kurse schon vor Beginn aller relevanten Berechnungen grundsätzlich beglichen werden. Im vorliegenden Fall wurde auf die Methodik der Interpolation zurückgegriffen. Diese Vorgehensweise erlaubt die approximative Wiederherstellung fehlender Kurse mit Hilfe unterschiedlicher statistischer Methoden. In Zeile 34 wird aus diesem Grund auf die Funktion » fillts(Parameter) « zurückgegriffen. Nachdem die historischen Zeitreihen in ein gemeinsames Financial-Time-Series-Objekt überführt und interpoliert worden sind, erlauben die Eigenschaften dieses Objektes jedoch keine weitere Verarbeitung der Daten. Deshalb wird in den Zeilen 37 und 38 durch die Funktion » fts2mat « das ursprüngliche Financial- Time-Series-Objekt der historischen Kurse an die gleichartige Matrix » histkurse « übertragen, die dazugehörigen Datumsangaben extrahiert und dem Vektor » dates « zugewiesen. Um zu einem späteren Zeitpunkt einen Performancevergleich der einzelnen Wertpapiere in einem Diagramm darstellen zu können, werden die zur weiteren Verarbeitung freigegebenen historischen Kurse mit der Funktion » bsxfun(Parameter) « in Zeile 41 normalisiert. In den Zeilen 44 bis 47 werden alle wichtigen Eingangsgrößen für die spätere Portfoliooptimierung ermittelt. Auf Grundlage der zu Beginn bezogenen historischen <?page no="365"?> 4.4 Die Umsetzung der relativen Portfoliooptimierung 365 Kurse werden in Zeile 42 mit der Funktion » price2ret(Parameter) « die dazu gehörigen stetigen Renditen (log-Renditen) bestimmt. Auf Grundlage der stetigen Renditen erfolgt in Zeile 43 mit der Funktion » cov(Parameter) « die Berechnung der Varianz- Kovarianz-Matrix und die anschließende Annualisierung mit dem entsprechenden Skalierungsfaktor. 48 % % Beginn relative Portfoliooptimierung 49 %------------------------------------------------------ -------------- 50 51 %Untere- und obere Begrenzungen der Portfoliogewichte 52 lb = [0.05; 0.05; 0.05; 0.05; 0.05; 0.05; 0.05; 0.05; ]; 53 ub = [0.4; 0.4; 0.4; 0.4; 0.4; 0.4; 0.4; 0.4; ]; 54 55 %Aktive Portfoliogewichte, Benchmark-Gewichte sowie aktive Gewichte 56 PortfG = [0.05; 0.44; 0.125; 0.125; 0.25; 0.125; 0.125; 0.125; ]; 57 BenchM = [0.125; 0.125; 0.125; 0.125; 0.125; 0.125; 0.125; 0.125; ]; 58 AktiveG = PortfG-BenchM; 59 60 %Berechnung der Benchmarkrenditen 61 for i=1: length(renditen) 62 Benchmark(i,1)=renditen(i,: )*BenchM; 63 End 64 65 %Aufbereitung der Alpha- und Beta-Faktoren 66 for i=1: assets 67 B=[ones(length(Benchmark),1) Benchmark]\renditen(: ,i); 68 Alpha(i,1)=B(1,1); 69 Beta(i,1)=B(2,1); 70 End 71 72 %Definition der Zielfunktion 73 Lambda=(mean(Benchmark)-monatl_rfr)/ (2*std(Benchmark)^2); 74 ZF=(@(PortfG) PortfG'*(-Alpha)+Lambda*(-(AktiveG'*CovMatrix*AktiveG))); 75 76 %Vorbereitung der Nebenbedingungen 77 Aeq=[ones(1,assets); -Beta']; 78 beq=[1; -1]; <?page no="366"?> 366 4 Die Anwendung des aktiven Portfolio Managements In Zeile 51 und 52 werden vorbereitend für die spätere Durchführung der Portfoliooptimierung geeignete Ober- und Untergrenzen für die einzelnen Portfolioanteile in den Arrays » lb « (Abk. lower bound) und » ub « (Abk. upper bound) bestimmt. Noch vor der eigentlichen Portfoliooptimierung ist es wichtig, eine geeignete Startlösung sowie Benchmarkgewichte zu definieren. In den Zeilen 56 und 57 wird dieser Voraussetzung nachgekommen und die Startlösung im Array » PortfG « und die Benchmarkgewichte im Array » BenchM « zugewiesen. In den Zeilen 60 bis 63 werden die Benchmarkrenditen und darauffolgend die Alpha- und Beta-Faktoren der einzelnen Wertpapiere berechnet. In Zeile 73 folgt die Berechnung des Risikoaversionsparameters » Lambda «, mit dem anschließend die Zielfunktion in Zeile 74 definiert und für die spätere Portfoliooptimierung zugewiesen wird. Die Matlab-Funktion » fmincon « benötigt die standardisierte Form des zugrundeliegenden Optimierungsproblems (vgl. 4.3.3.3), sodass in Zeile 77 und in Zeile 78 die Nebenbedingungen » Aeq « und » beq « festgelegt werden. 79 % % Durchführung der relativen Optimierung 80 PortfG=fmincon(ZF,PortfG,[],[],Aeq,beq,lb,ub); 81 AktiveG = PortfG-BenchM; 82 83 %Kennzahlen 84 PortfBeta=PortfG'*Beta; 85 PortfAlpha=PortfG'*Alpha; 86 PortfVarianz=PortfG'*CovMatrix*PortfG; 87 BenchBeta=BenchM'*Beta; 88 BenchAlpha=BenchM'*Alpha; 89 BenchVarianz=BenchM'*CovMatrix*BenchM; 90 AktivesBeta=AktiveG'*Beta; 91 AktivesAlpha=AktiveG'*Alpha; 92 AktiveVarianz=AktiveG'*CovMatrix*AktiveG; 93 rVarianz=AktiveVarianz-AktivesBeta^2*BenchVarianz; 94 rStabw=sqrt(rVarianz); 95 InformationRatio=PortfAlpha/ rStabw; 96 PortfRisiko=sqrt(PortfVarianz); 97 PortfRendite=mean(renditen)*PortfG; In Zeile 80 erfolgt durch den Aufruf der Funktion » fmincon « die tatsächliche Durchführung der Portfoliooptimierung. Da sich während des Optimierungsprozesses die Portfoliogewichte geändert haben, ergeben sich in Zeile 81 nun neue Werte für die aktiven Gewichte des relativen Portfolios. In den Zeilen 84 bis 97 werden auf Grundlage der soeben ermittelten Portfoliogewichte abschließend weitere Kennzahlen, wie PortfolioBeta-Faktor, Portfolio-Alpha-Faktor, Portfoliorisiko usw. gemäß den Formeln aus Abschnitt 4.2.1 ff. berechnet. <?page no="367"?> 4.4 Die Umsetzung der relativen Portfoliooptimierung 367 98 % % Ausgabe 99 fprintf('\n------------------------------------------ \n'); 100 fprintf('Ergebnisse der relativen Optimierung (1) '); 101 fprintf('\n------------------------------------------ \n'); 102 fprintf('\n Portfoliogewichte: \n\n',PortfG) 103 for i=1: length(ticker) 104 fprintf('\t\t\t\t %s \t %.2f\t % % \n',names{1,i} ,PortfG(i,1)*100); 105 End 106 fprintf('\nRendite des Portfolios\t %.2f \t % %\n',PortfRendite*12*100); 107 fprintf('Risiko des Portfolios \t %.2f \t % %\n',PortfRisiko*sqrt(12)*100); 108 fprintf('IR des Portfolios \t %.2f \t \n',InformationRatio); In den Zeilen 98 bis 108 erfolgt zum Abschluss des Matlab-Skriptes die Ausgabe des optimierten Portfolios. Abb. 120 zeigt die Ausgabe der Ergebnisse im Matlab- Kommandofenster. Abb. 120: Ergebnisse der relativen Optimierung (1) <?page no="368"?> 368 4 Die Anwendung des aktiven Portfolio Managements 4.5 Schlussbetrachtung Seit der Jahrtausendwende sehen sich institutionelle und private Kapitalanleger im Börsenzyklus mit abwechselnden turbulenten Börsenphasen und Erholungsphasen konfrontiert. Im Zeitraum von 2008 bis 2009 verlor beispielsweise der MSCI-Weltaktienindex über 55 % gegenüber seinem letzten Allzeithoch. Nach den Entwicklungen an den Kapitalmärkten im letzten Jahrzehnt hinterfragen viele Kapitalanleger zunehmend aktive Anlagestrategien kritisch im Hinblick auf deren zu erwartende Rentabilität. Die Finanzkrise und ihre Folgen führten jedoch vor allem bei Privatanlegern zu einer gewissen Skepsis gegenüber Kapitalmarktprodukten im Allgemeinen und aktiv verwalteten Investmentfonds im Speziellen. Da es für die Mehrzahl aktiver Anlagestrategien ohnehin schon schwer genug ist, den Markt langfristig zu schlagen, tragen die erhöhten Verwaltungskosten nicht gerade zum Erfolg dieser Anlageklasse bei. Nichtsdestotrotz stellt das aktive Portfolio Management getreu dem Motto: „Stillstand ist Rückschritt“ 301 einen integralen Bestandteil eines langfristigen Vermögensaufbaus bzw. -erhalts dar. Obwohl die in diesem Kapitel dargestellten und erläuterten Ansätze und Konzepte in der Realität nicht immer identisch umgesetzt werden können, spiegelt sich der Kerngedanke der vorgestellten Modelle, wie etwa die Diversifikation, in vielen Investmentansätzen deutlich wider. Die aktive Verwaltung von Vermögen integriert gleichermaßen die unabdingbare Messung, Kontrolle und Steuerung von politischen, volkswirtschaftlichen und finanzwirtschaftlichen Risiken in einem sich ständig wiederholenden Prozess. Nur ein erfolgreiches Risikomanagement als integraler Bestandteil eines aktiven Portfolio Managements kann in Zeiten großer Unsicherheit das verwaltete Vermögen erhalten und Risiken reduzieren. 4.6 Zusammenfassung  Nach dem Effizienzkriterium dominiert eine Wertpapieranlage bzw. ein Portfolio eine andere Wertpapieranlage bzw. Portfolio, falls sie bei gleicher Rendite ein geringeres Risiko, oder bei gleichem Risiko eine höhere Rendite aufweist.  Aus ökonomischer Sicht demonstriert die Effizienzkurve, in welchem Ausmaß eine Reduktion des Risikos eine potenzielle Renditeminderung mit sich bringt, und, ausgehend davon, welche Chancen-Risiko-Profile ein Kapitalanleger in Zukunft auf mittlere Sicht erwarten kann.  Eine Effizienzkurve kann rechnerisch unter folgenden Voraussetzungen gebildet werden: − Leerverkäufe sowie die Aufnahme und die Vergabe von Krediten zum risikolosen Zinssatz sind erlaubt. − Leerverkäufe sind zwar erlaubt, aber die Aufnahme und die Vergabe von Krediten zum risikolosen Zinssatz sind untersagt. − Leerverkäufe sind im Portfolio untersagt, die Aufnahme und die Vergabe von Krediten zum risikolosen Zinssatz sind jedoch erlaubt. − Weder die Tätigung von Leerverkäufen noch die Aufnahme oder die Vergabe von Krediten zum risikolosen Zinssatz sind erlaubt. 301 Zitat von Rudolf von Bennigsen-Foerder <?page no="369"?> 4.6 Zusammenfassung 369  Die genannten Voraussetzungen werden in der Regel in unterschiedlichster Form bei der Portfoliooptimierung durch Nebenbedingungen oder Restriktionen berücksichtigt.  Die konvexe Möglichkeitskurve (engl. envelope) nimmt gleichermaßen ineffiziente und effiziente Portfolios auf.  Die von M ARKOWITZ entwickelte Kritische-Linien-Methode (engl. critical line method) und die durch M ERTON / B LACK eingeführte „Two-Fund-Separation“ stellen alternative Verfahren zur Bestimmung der Effizienzkurve dar.  Die Kombination unterschiedlicher Wertpapiere, deren erwartete Renditen nicht vollständig positiv miteinander korreliert sind, führt zu einer unmittelbaren Reduktion der Portfoliovarianz.  Dasjenige Portfolio, welches sich im Tangentialpunkt der Effizienzkurve und der Kapitalmarktlinie befindet, wird als Tangentialportfolio oder allgemeinhin auch als Marktportfolio bezeichnet. In diesem Zusammenhang wird auch von der Tobin-Separation gesprochen.  Aus einem ökonomischen Blickwinkel betrachtet, trifft die Sharpe Ratio eines Portfolios eine Aussage über die realisierte Risikoprämie (Überschussrendite) je Einheit des übernommenen Gesamtrisikos (Volatilität).  Die aktive Rendite, das aktive Risiko sowie die aktive Position eines Portfolios stellen integrale Bestandteile der relativen Optimierung dar.  Der Parameter Alpha bezeichnet die Überschussrendite eines Portfolios in Relation zu einer zuvor festgelegten Benchmark und gibt demnach Aufschluss darüber, inwiefern die Selektion gewinnträchtiger Wertpapiere erfolgreich war.  Im Beta-Faktor eines Portfolios kommt vorrangig die Sensitivität des Portfolios gegenüber der Benchmark zum Ausdruck, weshalb diese Kennzahl gleichermaßen das Timing eines Portfolio-Managers beschreibt.  Das sogenannte Selektionsrisiko beschreibt die Fähigkeit eines Portfolio-Managers, die Portfoliorendite durch eine sinnvolle Auswahl an renditesteigernden Anlageobjekten zu erhöhen.  Das Timingrisiko beschreibt, wie geschickt der Portfolio-Manager den Beta-Faktor eines Portfolios im Vergleich zum Benchmark-Beta anpasst.  Die Interpretation der Information Ratio lässt die Aussage zu, dass eine höhere Information Ratio auf eine bessere risikoadjustierte Outperformance der zugrundeliegenden Anlagestrategie schließen lässt.  Die Ausführungen dieses Kapitels zeigen, dass die beiden Einflussfaktoren der Information Ratio in dieselbe Richtung wirken, wodurch ein Defizit in der Prognosegüte stets durch eine ansteigende Anzahl von Prognosen, bzw. umgekehrt, ein Defizit in der Häufigkeit der Prognosen durch eine Verbesserung der Prognosegüte wieder ausgeglichen werden kann. <?page no="370"?> 370 4 Die Anwendung des aktiven Portfolio Managements 4.7 Fragen zu Kapitel 4 Frage (1) Es soll das Minimum-Varianz-Portfolio bestimmt werden. Investiert werden kann in die drei Aktien X, Y und Z. Die Zielfunktion lautet: ZF(w) = σ P2 = w T Σw → min ! Folgende Nebenbedingungen und Ausgangsdaten sind gegeben: − Leerverkäufe sind nicht gestattet − Summe der Gewichte des Portfolios ergibt 1 (Budgetrestriktion) Die Varianz-Kovarianz-Matrix der drei Aktien X, Y und Z lautet: Aktie X Aktie Y Aktie Z Aktie X 0,002362 0,001908 0,002257 Aktie Y 0,001908 0,001653 0,001971 Aktie Z 0,002257 0,001971 0,002373 Der Erwartungswert der Rendite der drei Aktien lautet: Rendite Aktie X: 17,17 % Rendite Aktie Y: 15,06 % Rendite Aktie Z: 19,50 % Als Ausgangsportfolio für die Optimierung wird ein naives Portfolio unterstellt. Die Ergebnisse der Optimierung lauten: Gewichtung Aktie X: 0 % Gewichtung Aktie Y: 100 % Gewichtung Aktie Z: 0 % Die Portfoliorendite beträgt: 0,1506 Die Portfoliovarianz beträgt: 0,0017 Die Portfoliostandardabweichung beträgt: 0,0407 Der Zielfunktionswert beträgt: 0,0017  wahr  falsch Frage (2) Auf Grundlage des Portfolios aus Frage (1) soll nun das Minimum-Varianz- Portfolio unter geänderten Nebenbedingungen ermittelt werden. Folgende Nebenbedingungen und Ausgangsdaten sind gegeben: − Leerverkäufe sind gestattet − Summe der Gewichte des Portfolios ergibt 1 (Budgetrestriktion) Als Ausgangsportfolio für die Optimierung wird ein naives Portfolio unterstellt. Die Ergebnisse der Optimierung lauten: Gewichtung Aktie X: -81 % <?page no="371"?> 4.7 Fragen zu Kapitel 4 371 Gewichtung Aktie Y: 456 % Gewichtung Aktie Z: -275 % Die Portfoliorendite beträgt: -0,0207 Die Portfoliovarianz beträgt: 0,0004 Die Portfoliostandardabweichung beträgt: 0,0188 Der Zielfunktionswert beträgt: 0,0004  wahr  falsch Frage (3) Auf Grundlage des Portfolios aus Frage (1) soll nun das Minimum-Varianz- Portfolio mit individuellen Ober- und Untergrenzen für die einzelnen Wertpapiere ermittelt werden. Folgende Nebenbedingungen und Ausgangsdaten sind gegeben: − Leerverkäufe sind nicht gestattet − Summe der Gewichte des Portfolios ergibt 1 (Budgetrestriktion) Als Ausgangsportfolio für die Optimierung wird ein naives Portfolio unterstellt. Folgende Ober- und Untergrenzen der Bestände werden festgelegt: minimal maximal Gewichtung Aktie X: 5 % 40 % Gewichtung Aktie Y: 5 % 40 % Gewichtung Aktie Z: 5 % 40 % Die Ergebnisse der Optimierung lauten: Gewichtung Aktie X: 40 % Gewichtung Aktie Y: 40 % Gewichtung Aktie Z: 20 % Summe der Gewichte (Budgetrestriktion): 100 % Die Portfoliorendite beträgt: 0,16792 Die Portfoliovarianz beträgt: 0,00202 Die Portfoliostandardabweichung beträgt: 0,04499 Der Zielfunktionswert beträgt: 0,00202  wahr  falsch Frage (4) Auf Grundlage des Portfolios aus Frage (1) soll nun ein beliebiges Portfolio auf der Effizienzkurve bestimmt werden. Folgende Nebenbedingungen und Ausgangsdaten sind gegeben: − Leerverkäufe sind nicht gestattet − Summe der Gewichte des Portfolios ergibt 1 (Budgetrestriktion) Die geforderte Mindestrendite des Portfolios beträgt 17,00 %. <?page no="372"?> 372 4 Die Anwendung des aktiven Portfolio Managements Als Ausgangsportfolio für die Optimierung wird ein naives Portfolio unterstellt. Folgende Ober- und Untergrenzen der Bestände werden festgelegt: minimal maximal Gewichtung Aktie X: 5 % 40 % Gewichtung Aktie Y: 5 % 40 % Gewichtung Aktie Z: 5 % 40 % Die Ergebnisse der Optimierung lauten: Gewichtung Aktie X: 31 % Gewichtung Aktie Y: 40 % Gewichtung Aktie Z: 29 % Summe der Gewichte (Budgetrestriktion): 100 % Die Portfoliorendite beträgt: 0,17 Die Portfoliovarianz beträgt: 0,00203 Die Portfoliostandardabweichung beträgt: 0,04503 Der Zielfunktionswert beträgt: 0,00203  wahr  falsch Frage (5) Auf Grundlage des Portfolios aus Frage (1) soll nun ein beliebiges Portfolio auf der Effizienzkurve bestimmt werden. Folgende Nebenbedingungen und Ausgangsdaten sind gegeben: − Leerverkäufe sind nicht gestattet − Summe der Gewichte des Portfolios ergibt 1 (Budgetrestriktion) Als Ausgangsportfolio für die Optimierung wird ein naives Portfolio unterstellt. Die Ergebnisse der Optimierung lauten: Gewichtung Aktie X: 0 % Gewichtung Aktie Y: 0 % Gewichtung Aktie Z: 100 % Summe der Gewichte (Budgetrestriktion): 100 % Die Portfoliorendite beträgt: 0,19500 Die Portfoliovarianz beträgt: 0,00237 Die Portfoliostandardabweichung beträgt: 0,04871 Der Zielfunktionswert beträgt: 0,19500  wahr  falsch <?page no="373"?> 4.7 Fragen zu Kapitel 4 373 Frage (6) Auf Grundlage des Portfolios aus Frage (1) soll nun ein Portfolio mit einer maximalen Sharpe Ratio bestimmt werden. Folgende Nebenbedingungen und Ausgangsdaten sind gegeben: − Leerverkäufe sind nicht gestattet − Summe der Gewichte des Portfolios ergibt 1 (Budgetrestriktion) Als Ausgangsportfolio für die Optimierung wird ein naives Portfolio unterstellt. Die Ergebnisse der Optimierung lauten: Gewichtung Aktie X: 0 % Gewichtung Aktie Y: 0 % Gewichtung Aktie Z: 100 % Summe der Gewichte (Budgetrestriktion): 100 % Die Portfoliorendite beträgt: 0,14741 Die Portfoliovarianz beträgt: 0,00237 Die Portfoliostandardabweichung beträgt: 0,04871 Die Sharpe Ratio beträgt: 0,75  wahr  falsch Frage (7) Im Rahmen der relativen Optimierung sollen die Alpha- und Beta-Faktoren geschätzt werden. Folgende Überschussrenditen über den risikofreien Zinssatz sind für die Aktien X, Y und Z gegeben: Aktie X Aktie Y Aktie Z Benchmark 0,010490812 0,020933184 0,037044155 0,022822717 0,036815064 0,032601193 0,040255765 0,036557341 -0,00298865 0,005368882 0,013004111 0,005128114 -0,002391576 -0,000399841 0,00634473 0,001184438 Die Alpha- und Beta-Faktoren für die beiden Wertpapiere und das Benchmark- Portfolio betragen: Beta Alpha Aktie X 1,089864769 -0,007417603 Aktie Y 0,912765213 -0,000364628 Aktie Z 0,997370017 0,00778223 Benchmark 1 3,46945 E-18  wahr  falsch <?page no="374"?> Literaturverzeichnis zu Kapitel 4 Albrecht, P. (2003). Risk Measures. Mannheim. Amenc, N., & Le Sourd, V. (2003). Portfolio Theory and Performance Analysis. England: John Wiley & Sons Ltd. Arens, T., Hettlich, F., Karpfinger, C., Kockelkorn, U., Lichtenegger, K., & Stachel, H. (2008). Mathematik (1. Ausg.). Spektrum Akademischer-Verlag. Artzner, P., Delbaen, F., Eber, J.-M., & Heath, D. (1998). 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Da sich ein Tracking Portfolio auf Grundlage unterschiedlicher Ansätze ermitteln lässt, versuchen die nachfolgenden Abschnitte einen Überblick über die wichtigsten Verfahren zu liefern. Kapitel 1 ist ähnlich dem vorherigen Kapitel in einen Theorie- und einen Praxisteil gegliedert. Nach einer kurzen Wiederholung der zugrundeliegenden Annahmen des passiven Portfolio Managements und einer Übersicht zu den empirischen, theoretischen und praktischen Erfolgsfaktoren von Indexfonds, möchten wir dem Leser in Abschnitt 5.2 durch eine Erweiterung der relativen Portfoliooptimierung die wesentlichen Grundlagen des Index Trackings näherbringen. Es folgen Erläuterungen zu den wichtigsten Begriffen wie Tracking Error und Target Portfolio. Die Minimierung des aktiven Risikos tritt im Rahmen dieses Abschnitts in den Vordergrund der Betrachtungen. In Abschnitt 5.3 folgt eine weitere Interpretation des Index Trackings auf Grundlage von M ARKOWITZ . Als Voraussetzung hierfür gelten eine aktive Rendite sowie ein aktives Risiko von Null. Es werden darüber hinaus ebenfalls Aussagen über das Timing- und das Selektionsrisiko des Tracking Portfolios im Rahmen des passiven Portfolio Managements getroffen und evaluiert. Der Abschnitt geht ebenfalls auf die gleichermaßen vorherrschende Schätzfehlerproblematik ein. Die lineare Regression stellt ein Instrumentarium für die Bildung eines Tracking Portfolios dar. In Abschnitt 5.4 möchten wir dem Leser deshalb einen möglichen Ansatz des Index Trackings mit Hilfe der linearen Regression vorstellen. Der zugrundeliegende Ansatz zielt auf die Minimierung der quadrierten aktiven Rendite. Durch die notwendige Einführung zusätzlicher Nebenbedingungen und der zugrundeliegenden multivariaten linearen Regressionsanalyse spricht man auch häufig von einer Regression unter Nebenbedingungen. Zum Abschluss des Theorieteils des Kapitels wird in Abschnitt 5.5 das Index Tracking auf Grundlage der linearen Optimierung vorgestellt, um dem interessierten Leser einen umfassenden Einblick in die Methoden des Index Trackings zu ermöglichen. Im Rahmen dieses Ansatzes werden maßgeblich Risiken vermieden, wobei man Chancen grundsätzlich offen gegenübersteht. In Abschnitt 5.6 sollen die zuvor vermittelten theoretischen Grundlagen der einzelnen Ansätze und Konzepte aufgegriffen werden, um diese praktisch in Microsoft Excel umzusetzen. Abschnitt 5.7 und 5.8 runden die Ausführungen im Rahmen einer Schlussbetrachtung und einer kurzen Zusammenfassung des Kapitels ab. Am Ende des Kapitels findet der interessierte Leser wie gewohnt einen Fragenkatalog zu den Inhalten dieses Kapitels, um das Selbststudium der zugrundeliegenden Konzepte ein wenig zu erleichtern. Im Rahmen des vorliegenden Kapitels werden zusammenfassend die folgenden zentralen Fragestellungen erläutert: <?page no="382"?> 382 5 Anwendung des passiven Portfolio Managements  Was ist Index Tracking und welches Ziel verfolgt die Bildung eines Tracking Portfolios?  Welche Möglichkeiten gibt es, um einen Marktindex möglichst genau abzubilden?  Lassen sich die Ansätze des passiven Portfolio Managements aus der relativen Portfoliooptimierung ableiten?  Was ist ein Alphabzw. ein Beta-Faktor?  Welche Rolle spielt die lineare Regression beim Index Tracking?  Welches Optimierungsproblem liegt dem Index Tracking tatsächlich zugrunde? 5.1 Einführung “There are three classes of people who do not believe that markets work: the Cubans, the North Koreans, and active managers.” Rex Sinquefield - Philanthrop und Pionier auf dem Gebiet der Indexfunds (*1944) Quelle: picture alliance / Newscom Die Umsetzung von passiven Anlagestrategien im Portfolio Management verfolgt das grundlegende Ziel, durch Bildung eines Tracking Portfolios die Wertentwicklung einer zugrundeliegenden Benchmark kontinuierlich abzubilden. Im Gegensatz zum aktiven Portfolio Management wird bei einer passiven Anlagestrategie auf die Antizipation der Marktentwicklung grundsätzlich verzichtet. 302 Die Umsetzung des passiven Portfolio Managements ist einerseits mit der Prognoseproblematik (vgl. Kapitel 0 bzw. 1) und andererseits mit der Akzeptanz der Markteffizienzhypothese begründet. Vor dem Hintergrund der Prognoseproblematik folgt das passive Portfolio Management der Annahme, dass Finanzmarktprognosen aufgrund ihrer inhärenten Schätzfehler nur eingeschränkt möglich sind. Da die Prognosen der Input-Parameter keine ausreichende Güte besitzen und die Prognosen unmittelbar mit hohen Kosten verbunden sind, unterliegt die Umsetzung des passiven Portfolio Managements dem Ziel, eine möglichst exakte und zugleich kostengünstige Abbildung des Benchmark-Portfolios zu gewährleisten. 303 Unter der Voraussetzung effizienter Kapitalmärkte können ein Informationsvorsprung und die Antizipation von Marktbewegungen langfristig zu keinen Überschussrenditen (engl. out-performance) im Vergleich zum zugrundeliegenden Index oder der Benchmark führen. 304 In anderen Worten: Die Kosten zur Erlangung eines Informationsvorsprungs gegenüber anderen Marktteilnehmern durch Prognosen sind aufgrund der zu erzielenden Güte vergleichsweise hoch. Es erscheint vor diesem Hintergrund als sinnvoll, passive Anlagestrategien in der Praxis umzusetzen. 302 Vgl. Amenc/ Le Sourd (2003), S. 6 303 Vgl. Brinkmann/ Poddig/ Seiler (2009), S. 114 304 Vgl. Specht/ Gohout (2009), S. 4 ff. <?page no="383"?> 5.1 Einführung 383 Im Laufe der Zeit wurden den Kapitalanlegern passive Anlagestrategien in Form von börsengehandelten Indexfonds wie z.B. Exchange Traded Funds (Abk. ETF) zugänglich gemacht. Seit Beginn der ersten Auflage des Standard & Poor’s Depositary Receipt im Jahr 1993 nahm das Interesse der Kapitalanleger an der Anlageform ETF stetig zu, sodass man heute von einem regelrechten Boom dieses Anlageproduktes sprechen kann. Nach Angaben der Deutschen Börse hatte sich schon im Jahr 2010 das durchschnittliche monatliche Handelsvolumen an ETFs für den Zeitraum der vergangenen zehn Jahre mit rund elf Milliarden Euro verfünfzigfacht. 305 Abb. 121 greift diesen Zusammenhang auf und stellt die Entwicklung des weltweit in ETFs verwalteten Vermögens grafisch dar. Abb. 121: Entwicklung des weltweit in ETFs verwalteten Vermögens in Mrd. US-Dollar Quelle: BlackRock; Bloomberg; Zeitraum: 1997 bis zum 1. Halbjahr 2012 Nach der Betrachtung von Abb. 121 stellt sich die zentrale Frage, welche Gründe zum stetigen Erfolg von ETFs beigetragen haben. Die Erfolgsfaktoren des passiven Portfolio Managements untergliedern sich in − empirische, − theoretische und − praktische Gründe. Ein wesentlicher empirischer Grund wurde mit der Hypothese effizienter Kapitalmärkte bereits genannt. Wenn in der Realität tatsächlich eine strenge Markteffizienz vorliegen sollte, erschwert die Geschwindigkeit und Genauigkeit der Informationsverarbeitung durch die Kapitalmärkte zunehmend die langfristige Erwirtschaftung von Überschussrenditen durch die eigene Beschaffung und Verarbeitung von Informationen im Rahmen eines aktiven Portfolio Managements. Unter der Annahme einer strengen Markteffizienz ist die Erlangung eines prognoseabhängigen Informationsvorsprungs per Definition nicht möglich. Aus der zuvor angesprochenen empirischen Annahme lässt sich nun ein weiterer theoretischer Grund für den Erfolg des passiven Portfolio Managements ableiten. Die empirische Forschung unterstützt die Existenz der Markteffizienz mit der Aussage, dass es zwar immer wieder einigen Portfolio-Managern gelingt, im Vergleich zu einer zugrundeliegenden Benchmark mit dem aktiven Portfolio Management besser abzuschneiden. Jedoch hat der überwiegende Anteil der aktiven Portfolio-Manager im Durchschnitt eine schlechtere Wertentwicklung als der Index zu verantworten. 306 Einen weiteren praktischen Grund für die Investition in passive Anlagestrategien stellt eine reduzierte Kostenstruktur dar. Da sich passive Anlagestrategien auf die 305 Vgl. Schwarzer (2010), Handelsblatt-Online 306 Vgl. Spremann (2008), S. 44 0 1.000 2.000 <?page no="384"?> 384 5 Anwendung des passiven Portfolio Managements Abbildung des Marktportfolios beschränken, entfällt die kostenintensive Prognose von Erwartungen im Rahmen des aktiven Portfolio Managements vollständig. Der Verzicht auf ein aktives Portfolio Management schlägt sich ebenfalls positiv in niedrigeren Personal- und Betriebskosten nieder. Insgesamt ist also im Rahmen des passiven Portfolio Managements eine Absenkung der Transaktionskosten zu verzeichnen. 307 Die genannten Gründe tragen allesamt zum Erfolg von passiven Anlagestrategien bei. Die möglichst exakte Nachbildung eines Zielportfolios (Targetportfolio) durch ein tatsächlich realisierbares Portfolio (Tracking Portfolio) wird in der Fachliteratur auch als Index Tracking bezeichnet. Die Replikation eines Marktindex oder einer Benchmark kann in der Praxis auf unterschiedliche Art und Weise erfolgen. Es wird dabei prinzipiell zwischen der vollständigen Nachbildung auf Grundlage der jeweiligen Marktkapitalisierung (engl. full replication) und der approximativen Nachbildung (engl. sampling) unterschieden. Im ersten Teil des Buches (vgl. Abschnitt 1.5.3.15) wurde die angesprochene Thematik im Rahmen der Vorstellung des passiven Portfolio Managements schon im Detail erläutert. Bei der vollständigen Nachbildung werden die in der Benchmark enthaltenen Wertpapiere im Verhältnis ihrer dort zugrunde gelegten Marktkapitalisierung in das Tracking Portfolio aufgenommen. Die Durchführung dieser Methode führt zu einer exakten Nachbildung des Targetportfolios bzw. der Benchmark und somit zwangsläufig zu einem Tracking Error von Null. Aufgrund der kostenintensiven Umsetzung ist eine praktische Umsetzung dieses Ansatzes jedoch nur schwer möglich. Aus diesem Grund greift die Praxis notwendigerweise auf die approximative Nachbildung zurück. 308 Im Gegensatz zur vollständigen Replikation weicht das Tracking Portfolio durch die näherungsweise Nachbildung modellbedingt von der strukturellen Zusammensetzung des Target Portfolios ab. Da das Tracking Portfolio im Vergleich zum Target Portfolio deutlich weniger Wertpapiere aufnimmt, kommt es bei der Replikation der Wertentwicklung des zugrundeliegenden Target Portfolios mitunter zu signifikanten Abweichungen, die mit Hilfe des Tracking Errors quantifiziert werden können. Der Tracking Error beschreibt im Allgemeinen die Standardabweichung der Renditedifferenz zwischen dem Portfolio und der Benchmark. Die Kennzahl quantifiziert, inwieweit die Rendite des Portfolios systematisch von der Benchmark abweichen kann. Für die Replikation einer Benchmark erscheint es zweckmäßig, eine Zielfunktion mit entsprechenden Nebenbedingungen zu definieren, welche die angesprochenen Abweichungen minimiert. 309 Die nachfolgenden Abschnitte beschäftigen sich mit der 307 Vgl. Prigent (2007), S. 103 308 Vgl. Poddig et al. (2009), S. 249 f. 309 Vgl. Prigent (2007), S. 104 <?page no="385"?> 5.2 Index Tracking und relative Optimierung 385 genannten Problematik und der Erläuterung zahlreicher Formen des Index Trackings zur Lösung des zugrundeliegenden Optimierungsproblems. 5.2 Index Tracking und relative Optimierung “So investors shouldn’t delude themselves about beating the market? They’re just not going to do it. It's just not going to happen.” Daniel Kahneman - israelisch-US-amerikanischer Psychologe und Nobelpreisträger in Wirtschaftswissenschaften (*1934) Quelle: © Daniel Kahneman, Princeton University Auf Grundlage der zuvor erläuterten Überlegungen zum Index Tracking lassen sich die Rahmenbedingungen für die Replizierung einer Benchmark wie folgt kurz zusammenfassen: − Die Methodik des Index Tracking verfolgt grundsätzlich das Ziel, ein Target Portfolio im Sinne einer Benchmark oder eines Referenzindex durch ein Tracking Portfolio so präzise wie möglich zu replizieren. Die dazu benötigte Struktur des Tracking Portfolios resultiert aus dem Ergebnis der relativen Optimierung. − Bei der Durchführung des Index Trackings ist es durchaus möglich, dass das Tracking Portfolio aus Wertpapieren zu bilden ist, die nicht notwendigerweise dem Target Portfolio zugeordnet werden können. Darüber hinaus gilt es zu beachten, dass bei der Bildung des Tracking Portfolios nicht unbedingt das gesamte Anlageuniversum der Target Portfolios für die Replizierung zur Verfügung steht. Aus diesem Grund unterscheiden sich die Anlageuniversen und Anlagerestriktionen von Target Portfolio und Tracking Portfolio teilweise erheblich. Der zuletzt genannte Punkt erinnert stark an die Problemstruktur der relativen Optimierung bezüglich einer möglichen Divergenz unterschiedlicher Anlageuniversen (vgl. Kapitel 0). Es zeigt sich, dass sich die Rahmenbedingungen des Index Trackings und der relativen Optimierung sehr ähneln. Im Gegensatz zur relativen Optimierung des vorherigen Kapitels soll im Folgenden nicht das Alpha des Tracking Portfolios gegenüber dem residualen Risiko maximiert werden, sondern es soll der Rückgriff auf eine andere Zielfunktion erfolgen, welche die strukturellen Eigenschaften des Index Trackings berücksichtigt. Das aus dem Index Tracking resultierende Optimierungsproblem und die zu erfüllenden Eigenschaften erschließen sich auf Grundlage folgender intuitiver Betrachtung: − Der Alpha-Faktor des Tracking Portfolios sollte dem Wert „Null“ entsprechen, da das Alpha der Benchmark ebenfalls „Null“ ist. − Der Beta-Faktor des Tracking Portfolios sollte, wie das Beta der Benchmark, ebenfalls „Eins“ sein. − Das residuale Risiko des Tracking Portfolios sollte minimal sein. Die Zielfunktion leitet sich aus der Überlegung ab, die Entwicklung des Target Portfolios so genau wie möglich durch das Tracking Portfolio nachzuvollziehen bzw. zu <?page no="386"?> 386 5 Anwendung des passiven Portfolio Managements verfolgen (engl. tracking). Diese Zielsetzung entspricht der Minimierung des residualen Risikos des Tracking Portfolios. Auf Grundlage der zuvor aufgezählten Eigenschaften und durch Ausschluss der Timing-Komponente ergibt sich die Zielfunktion aus der Minimierung des residualen Risikos des Tracking Portfolios. Die Zielfunktion lautet wie folgt: 𝑍𝑍𝑍𝑍 = 𝜎𝜎 𝜀𝜀𝑃𝑃 2 → min ! (5.1) bzw. in anwendungsbezogener Matrizenschreibweise: 𝑍𝑍𝑍𝑍 = [𝑤𝑤 𝑃𝑃𝑇𝑇 ∙ Σ ∙ 𝑤𝑤 𝑃𝑃 ] − �(𝑤𝑤 𝑃𝑃𝑇𝑇 ∙ 𝛽𝛽) 2 ∙ [𝑤𝑤 𝐵𝐵𝑇𝑇 ∙ Σ ∙ 𝑤𝑤 𝐵𝐵 ]� → min ! (5.2) mit 𝑤𝑤 𝑃𝑃 : Vektor der Portfolioanteile des Tracking Portfolios Σ: N x N- Kovarianz-Matrix auf Basis der historischen Renditen 𝑤𝑤 𝐵𝐵 : Vektor der Portfolioanteile des Benchmark-Portfolios β: Vektor der Beta-Faktoren der Wertpapiere gegenüber der Benchmark unter der Einhaltung der folgenden Nebenbedingungen: (Budgetrestriktion) �𝑤𝑤 𝑃𝑃𝑖𝑖 𝑁𝑁 𝑖𝑖=1 = 1 mit 𝑤𝑤 𝑃𝑃𝑖𝑖 : Portfoliogewicht des iten Wertpapiers im Portfolio bzw. in Matrizenschreibweise: 1 𝑇𝑇 ∙ 𝑤𝑤 𝑃𝑃 = 1 (5.3) (Leerverkaufsverbot) 𝑤𝑤 𝑖𝑖 ≥ 0 für alle 𝑖𝑖 = 1, … , 𝑁𝑁 (5.4) (Bestandsrestriktion) mind. 5 %; max. 50 % je Wertpapier (5.5) (Timing-Restriktion) 𝛽𝛽 𝑃𝑃 = 1 ↔ 𝛽𝛽 𝐵𝐵𝑃𝑃 = 0 , d.h. kein Timing mit 𝛽𝛽 𝑃𝑃 : Beta-Faktor des Portfolios gegenüber der Benchmark 𝛽𝛽 𝐵𝐵𝑃𝑃 : aktiver Beta-Faktor des Portfolios gegenüber der Benchmark (5.6) (Selektions-Restriktion) 𝛼𝛼 𝑃𝑃 = 0 mit𝛼𝛼 𝑃𝑃 : Alpha-Faktor des Tracking Portfolios (gg. der Benchmark) (5.7) Es sei darauf hingewiesen, dass die Festlegung von Mindest- und Höchstgrenzen für die einzelnen Wertpapiere im Tracking Portfolio je nach Anzahl der aufgenommenen Wertpapiere unter Umständen dazu führen kann, dass die Lösung des Optimierungsproblems zu keiner zulässigen Lösung führt. Diese Problematik ist nicht <?page no="387"?> 5.2 Index Tracking und relative Optimierung 387 der enorm aufwändigen Umsetzung des Optimierungsansatzes zuzuschreiben, sondern ist vielmehr in der geringen Menge an verfügbaren Wertpapieren für die Nachbildung des Target Portfolios begründet. 310 Die Methodik des verwendeten Optimierungsansatzes leitet sich unmittelbar aus den vorangestellten Überlegungen zu den Rahmenbedingungen und gewünschten Eigenschaften des Index Trackings ab. Da das Tracking Portfolio die Entwicklung der zugrunde gelegten Benchmark so präzise wie möglich nachempfinden soll, ist die Einhaltung der Timing-Restriktion bei der Lösung des Optimierungsproblems zwingend notwendig. Es sei an dieser Stelle darauf hingewiesen, dass es aufgrund von Abweichungen bei der Zusammensetzung des Tracking- und Benchmark-Portfolios zu temporären, jedoch unsystematischen Abweichungen der Rendite kommen kann. Aus diesem Grund lässt sich der Selektionseffekt im Rahmen der Optimierung nicht vollständig eliminieren, sodass es zu einem unvermeidbaren Selektionsrisiko kommt. Beim Index Tracking wird versucht, das Selektionsrisiko so gering wie möglich zu halten. Die angesprochene Renditedifferenz zwischen Tracking- und Benchmark-Portfolio ist im Zusammenhang mit der relativen Optimierung auch als aktive Rendite bekannt und ergibt sich im Kontext des Index Trackings wie folgt: 𝑚𝑚 𝐵𝐵 = 𝑚𝑚 𝑃𝑃 − 𝑚𝑚 𝐵𝐵 (5.8) mit 𝑚𝑚 𝐵𝐵 : aktive Rendite 𝑚𝑚 𝑃𝑃 : Rendite des Tracking Portfolios 𝑚𝑚 𝐵𝐵 : Rendite des Benchmark-Portfolios Die Varianz der dargestellten aktiven Rendite 𝒓𝒓 𝑨𝑨 , die sich aus der Differenz zwischen der Rendite des Tracking Portfolios und des Benchmark-Portfolios ergibt, wird in diesem Zusammenhang auch häufig als Tracking Error (Abk. TE) bezeichnet. 311 Der Tracking Error eines Portfolios ergibt sich demnach wie folgt: 𝑇𝑇𝐸𝐸 = 𝑉𝑉𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑚𝑚 𝐵𝐵 ) 𝑏𝑏𝑧𝑧𝑤𝑤. 𝑇𝑇𝐸𝐸 = 𝑉𝑉𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑚𝑚 𝑃𝑃 − 𝑚𝑚 𝐵𝐵 ) (5.9) Die Kennzahl des Tracking Errors kann ebenfalls in Form der Volatilität quantifiziert werden. 𝑇𝑇𝐸𝐸 = �𝑉𝑉𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑚𝑚 𝐵𝐵 ) 𝑏𝑏𝑧𝑧𝑤𝑤. 𝑇𝑇𝐸𝐸 = �𝑉𝑉𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑚𝑚 𝑃𝑃 − 𝑚𝑚 𝐵𝐵 ) (5.10) Aus den dargestellten Formeln ergibt sich der nachfolgende Zusammenhang: Je niedriger der Tracking Error ausfällt, desto mehr entspricht das Risiko des Tracking Portfolios dem Risiko der ausgewählten Benchmark. 312 Je höher der Tracking Error dagegen ausfällt, desto größere Abweichungen sind bei der Ent- 310 Vgl. Brinkmann/ Poddig/ Seiler (2009), S. 261 311 Vgl. Günther (2002), S. 234 312 Vgl. Amenc/ Le Sourd (2003), S. 114 <?page no="388"?> 388 5 Anwendung des passiven Portfolio Managements wicklung des Tracking Portfolios und der Benchmark festzustellen bzw. zu erwarten. In der Fachliteratur konnte man sich bei der Definition des Tracking Errors auf keine einheitliche Kennzahl einigen. Der überwiegende Teil der Fachliteratur verwendet bei der Definition des Tracking Errors die Standardabweichung der aktiven Rendite. 313 Im Rahmen des Index Trackings spricht man beim Tracking Error auch vom aktiven Risiko, das auf die aktive Position zurückzuführen ist. Demnach lässt sich der Tracking Error gleichermaßen auf Grundlage der aktiven Gewichte des Tracking Portfolios bestimmen. 𝑇𝑇𝐸𝐸 = 𝜎𝜎 𝐵𝐵𝑃𝑃 2 = 𝑤𝑤 𝐵𝐵𝑇𝑇 Σ𝑤𝑤 𝐵𝐵 (5.11) mit 𝑤𝑤 𝐵𝐵 : Vektor der aktiven Gewichte des Tracking Portfolios Der dargestellte Ansatz des Index Trackings stellt also eigentlich eine abgewandelte Form der relativen Optimierung aus dem vorherigen Kapitel dar, bei dem jedoch die Zielfunktion an die abweichenden Rahmenbedingungen des Index Trackings angepasst sowie zusätzliche Nebenbedingungen eingeführt wurden. 5.3 Index Tracking nach Markowitz “And the world is a better place (prices are more rational) when misinformed investors admit their ignorance and switch to a passive market portfolio strategy.” Eugene Fama, US-amerikanischer Wirtschaftswissenschaftler (*1939) Quelle: © The University of Chicago Booth School of Business Im Gegensatz zu den Darstellungen im vorherigen Abschnitt lässt sich der Ansatz des Index Trackings auch aus der grundsätzlichen Methodik nach M ARKOWITZ ableiten. Die nachfolgenden Darstellungen orientieren sich maßgeblich an den Erläuterungen von M ARKOWITZ (1987) selbst sowie an den Ausführungen der deutschsprachigen Literatur in P ODDIG (2009) und W AGNER (2002). Die zentralen Bemühungen in der Umsetzung des Index Trackings beziehen sich aufgrund der zwangsläufig unterschiedlichen Zusammensetzungen des Tracking Portfolios und des Target Portfolios hauptsächlich auf den Umgang mit der divergenten Entwicklung der beiden Portfolios. In der Praxis unterscheiden sich die Anlageuniversen von Benchmark-Portfolio und Tracking Portfolio oftmals sehr stark, da das Tracking Portfolio aus Kostengründen im Vergleich zum Benchmark-Portfolio weitaus weniger Wertpapiere enthält. 313 Vgl. Brinkmann/ Poddig/ Seiler (2009), S. 258 <?page no="389"?> 5.3 Index Tracking nach Markowitz 389 Aus dem vorherigen Abschnitt wurde deutlich, dass bei der relativen Optimierung das Tracking Portfolio als ein aktives Portfolio anzusehen ist, das eine aktive Rendite und ein aktives Risiko besitzt. Im Gegensatz zur relativen Optimierung aus Kapitel 0 handelt es sich beim Index Tracking nicht um eine schlichte Abwägung zwischen der aktiven Rendite und dem aktiven Risiko, sondern um eine bestmögliche Replizierung der zugrundeliegenden Benchmark. 314 Die optimale Umsetzung eines Tracking Portfolios setzt eine aktive Rendite als auch ein aktives Risiko von Null voraus. Die vorangestellten Überlegungen zur Umsetzung des Index Trackings auf Grundlage von M ARKOWITZ sollen im Folgenden konkretisiert und formuliert werden. Eine optimale Umsetzung des Index Trackings erfordert die Einführung von Nebenbedingungen bezüglich der Behandlung der aktiven Rendite und des aktiven Risikos. Hierzu greifen wir auf die Definition der aktiven Position zurück (vgl. Kapitel 0). 𝑤𝑤 𝐵𝐵 = 𝑤𝑤 𝑃𝑃 − 𝑤𝑤 𝐵𝐵 (5.12) Die aktive Rendite eines Portfolios ergibt sich als Differenz der Rendite des Tracking Portfolios und der Benchmark. Es gilt folgender Zusammenhang: 𝑚𝑚 𝐵𝐵 = 𝑚𝑚 𝑃𝑃 − 𝑚𝑚 𝐵𝐵 = 𝑤𝑤 𝑃𝑃𝑇𝑇 ∙ 𝑚𝑚 − 𝑤𝑤 𝐵𝐵𝑇𝑇 ∙ 𝑚𝑚 = (𝑤𝑤 𝑃𝑃𝑇𝑇 − 𝑤𝑤 𝐵𝐵𝑇𝑇 ) ∙ 𝑚𝑚 = 𝑤𝑤 𝐵𝐵𝑇𝑇 ∙ 𝑚𝑚 (5.13) mit 𝑚𝑚: Vektor der erwarteten Renditen der enthaltenen Wertpapiere Das aktive Risiko im Sinne der aktiven Varianz des Tracking Portfolios ergibt sich wie folgt (vgl. (5.11)): 𝑇𝑇𝐸𝐸 = 𝜎𝜎 𝐵𝐵𝑃𝑃 2 = 𝑤𝑤 𝐵𝐵𝑇𝑇 ∙ Σ ∙ 𝑤𝑤 𝐵𝐵 (5.14) Um eine möglichst präzise Verfolgung bzw. Abbildung der Benchmark durch das Tracking Portfolio zu gewährleisten, gilt es im Rahmen des Index Trackings auf Grundlage von M ARKOWITZ den Tracking Error unter Einhaltung zahlreicher Nebenbedingungen zu minimieren. Die Zielfunktion ergibt sich aus den vorangestellten Überlegungen wie folgt: 𝑍𝑍𝑍𝑍 = 𝜎𝜎 𝐵𝐵𝑃𝑃 2 = 𝑤𝑤 𝐵𝐵𝑇𝑇 ∙ Σ ∙ 𝑤𝑤 𝐵𝐵 → min ! (5.15) Wie zu Beginn dieses Abschnitts erläutert wurde, sollte für eine präzise Umsetzung des Ansatzes der Wert der aktiven Rendite null betragen. Dies wird in Form einer Nebenbedingung berücksichtigt. (Rendite-Restriktion) 𝑚𝑚 𝐵𝐵 = 𝑤𝑤 𝐵𝐵𝑇𝑇 ∙ r = 0 (5.16) Neben der Restriktion der aktiven Rendite ist es notwendig, weitere Nebenbedingungen bei der Lösung des Optimierungsproblems miteinzubeziehen. Diese beziehen sich auf mögliche Budgetrestriktionen, etwaige Leerverkaufsverbote sowie unterschiedliche Anteilsgrenzen der jeweiligen Wertpapiere. Da schon im vorherigen Abschnitt eine ausführliche Darstellung der genannten Nebenbedingungen erfolgte, wird an dieser Stelle von einer erneuten Definition abgesehen. 314 Vgl. Brinkmann/ Poddig/ Seiler (2009), S. 262 <?page no="390"?> 390 5 Anwendung des passiven Portfolio Managements Das Index Tracking auf Grundlage von M ARKOWITZ weist im Vergleich zum Index Tracking auf Grundlage der relativen Optimierung nur geringe Unterschiede auf. Das Index Tracking auf Grundlage von M ARKOWITZ besitzt bei Vernachlässigung der Rendite-Restriktion aus Formel (5.16) den Vorteil, dass der Optimierungsansatz nur noch auf der Schätzung der Varianz-Kovarianz-Matrix beruht. Die Schätzung der Varianz-Kovarianz-Matrix ist vor dem Hintergrund der Schätzfehlerproblematik entgegen der Schätzung der erwarteten Renditen weitestgehend unproblematisch. In der praktischen Umsetzung kommt es daher häufiger zu einer bewussten Missachtung der Rendite-Restriktion. Unabhängig von der Berücksichtigung der Nebenbedingung aus Formel (5.16) zeigt sich ein weiterer Vorteil des Index Trackings nach M ARKOWITZ im Wegfall der aufwändigen und zugleich kritischen Schätzungen der Alpha- und Beta-Faktoren für die einzelnen Wertpapiere im Tracking Portfolio. 315 Durch den Ausschluss der Rendite-Restriktion kann es vorkommen, dass das Tracking Portfolio eine negative Rendite sowie einen abweichenden Beta-Faktor besitzt und dadurch eine unbeabsichtigte Timing-Komponente enthält. Daher ist dringend zu empfehlen, die Rendite-Restriktion aus Formel (5.16) bei der Lösung des Optimierungsproblems zu berücksichtigen. Grundsätzlich gilt zu beachten, dass dem Index Tracking nach M ARKOWITZ die gleiche Schätzfehlerproblematik zugrunde liegt wie der relativen Optimierung. 316 5.4 Index Tracking mit Hilfe von Regression Quelle: picture alliance / AP “Why does indexing outmaneuver the best minds on Wall Street? Paradoxically, it is because the best and brightest in the financial community have made the stock market very efficient. When information arises about individual stocks or the market as a whole, it gets reflected in stock prices without delay, making one stock as reasonably priced as another. Active managers who frequently shift from security to security actually detract from performance compared to an index fund by incurring transaction costs.” Burton G. Malkiel - US-amerikanischer Ökonom und Schriftsteller (*1932) In den bislang aufgezeigten Ansätzen des Index Trackings wurde primär auf die risikobehaftete Seite bei der Minimierung der Zielfunktion abgestellt. Bei der Regression unter Nebenbedingungen rückt jedoch die Minimierung der quadrierten aktiven Rendite in den Mittelpunkt der Betrachtung. Es gilt weiterhin die grundlegende Überlegung, dass das Tracking Portfolio in der Realität (Out-of- Sample) so präzise wie möglich die Wertentwicklung der zugrundeliegenden Benchmark nachempfinden soll. Das Index Tracking auf Grundlage einer Regression verfolgt im Rahmen der Optimierung das Ziel, die mittlere quadratische Abweichung zwischen der Rendite des Portfolios und der Benchmark auf ein Min- 315 Vgl. Brinkmann/ Poddig/ Seiler (2009), S. 265 316 Vgl. ebd., S. 266 <?page no="391"?> 5.4 Index Tracking mit Hilfe von Regression 391 destmaß zu minimieren, was im Idealfall dem Wert Null entspricht. Die Zielfunktion definiert sich wie folgt: 𝑍𝑍𝑍𝑍 = 𝐸𝐸(𝑚𝑚 𝐵𝐵2 ) = �(𝑚𝑚 𝐵𝐵 − 𝑚𝑚 𝑃𝑃 ) 2 𝑇𝑇 𝑒𝑒=1 = � 𝑚𝑚 𝐵𝐵2 𝑇𝑇 𝑒𝑒=1 → min ! (5.17) Bei der Lösung des Optimierungsproblems ist, je nach Anforderung, die Einhaltung der üblichen Nebenbedingungen, wie z.B. Budgetrestriktion, Leerverkaufsverbot und Mindest- und Höchstbestandsgrenzen, für die einzelnen Wertpapiere des Tracking Portfolios zu berücksichtigen. Die in der Zielfunktion definierte Differenz zwischen der Rendite des Tracking Portfolios und der Benchmark ergibt im Vergleich zu Formel (5.13) ein umgekehrtes Vorzeichen. Eine genauere Betrachtung der Zielfunktion zeigt, dass diese im Prinzip der Minimierung des Erwartungswerts der quadrierten Renditedifferenzen entspricht, was genau genommen analog der Minimierung des erwarteten Mean Squared Error ist. 317 Der Ansatz des Index Trackings auf Grundlage der Regression unterliegt durch die Bestimmung von Ex-ante-Parametern gleichermaßen der Schätzfehlerproblematik aus den vorherigen Abschnitten. In diesem Fall wird der Erwartungswert der quadrierten Renditedifferenzen unmittelbar auf Grundlage von historischen Beobachtungen der Renditen für die einzelnen Wertpapiere des Tracking Portfolio und der Benchmark geschätzt. Der Schätzer 𝐸𝐸� (𝑚𝑚 𝐵𝐵2 ) ist definiert als historischer Mittelwert der quadrierten Differenz zwischen den Renditen des Tracking Portfolios und der Benchmark. 𝐸𝐸� (𝑚𝑚 𝐵𝐵2 ) = 1 𝑇𝑇 �(𝑚𝑚 𝐵𝐵𝑒𝑒 − 𝑚𝑚 𝑃𝑃𝑒𝑒 ) 2 𝑇𝑇 𝑒𝑒=1 (5.18) Das Symbol T stellt die Anzahl der beobachteten Rendite-Perioden dar. Die Berechnung des historischen Mittelwerts bezieht sich stets auf den Zeitraum, der jeweils durch die Anzahl der Perioden T begrenzt wird. Obwohl die Renditen des Target Portfolios entweder in Form eines vom Anleger festgelegten Benchmark-Portfolios oder einer synthetischen Benchmark vorliegen, resultieren die Renditen des Tracking Portfolios maßgeblich aus der endgültigen Portfoliostruktur nach Abschluss der Optimierung. Die Zusammensetzung des Tracking Portfolios stellt in diesem Zusammenhang die variable Komponente bei der Lösung des Optimierungsproblems dar. Im Umkehrschluss führt das zu der Annahme, dass die Renditen des Tracking Portfolios dem Verlauf der Portfoliooptimierung unterliegen und damit nicht direkt zu beobachten sind. Es gilt demnach: 𝑚𝑚 𝑃𝑃𝑒𝑒 = �𝑤𝑤 𝑃𝑃𝑖𝑖 ∙ 𝑚𝑚 𝑖𝑖𝑒𝑒 𝑁𝑁 𝑒𝑒=1 bzw. 𝑚𝑚 𝑃𝑃𝑒𝑒 = 𝑤𝑤 𝑇𝑇 ∙ 𝑚𝑚 𝑇𝑇𝑅𝑅 (5.19) Im Verlauf der Optimierung sind diejenigen Werte gesucht, für welche der Wert der zuvor vorgestellten Zielfunktion (vgl. Formel (5.17)) minimal wird. Die Berücksich- 317 Vgl. Brinkmann/ Poddig/ Seiler (2009), S. 267 <?page no="392"?> 392 5 Anwendung des passiven Portfolio Managements tigung der gewichteten Renditen der einzelnen Wertpapiere führt zu nachfolgender Formel: 𝑍𝑍𝑍𝑍 = 𝐸𝐸� (𝑚𝑚 𝐵𝐵2 ) = 1 𝑇𝑇 �(𝑚𝑚 𝐵𝐵𝑒𝑒 − �𝑤𝑤 𝑃𝑃𝑖𝑖 ∙ 𝑚𝑚 𝑖𝑖𝑒𝑒 𝑁𝑁 𝑒𝑒=1 ) 2 𝑇𝑇 𝑒𝑒=1 (5.20) Aus Formel (5.20) resultiert eine Funktion, die von der Struktur her identisch zur Zielfunktion der Kleinste-Quadrate-Schätzung bei einer multivariaten linearen Regressionsanalyse ist. In dem hier erläuterten Ansatz kommen zusätzlich noch weitere Nebenbedingungen hinzu. Aus diesem Grund wird das hier vorgestellte Verfahren auch Regression unter Nebenbedingungen genannt. 5.5 Index Tracking auf Grundlage der linearen Optimierung Quelle: © Innovation & Business Architectures, Inc. “The most efficient way to diversify a stock portfolio is with a low fee index fund. Statistically, a broad based stock index fund will outperform most actively managed equity portfolios. Hardly ten of one thousand [money managers who pick stocks and time markets] perform in a way that convinces a jury of experts that a long term edge over indexing is likely.” Paul A. Samuelson - US-amerikanischer Wirtschaftswissenschaftler und Nobelpreisträger in Wirtschaftswissenschaften (*1915, †2009) Die lineare Optimierung stellt einen weiteren Ansatz bei der Durchführung des Index Trackings dar, bei dem die Wertentwicklung des Target Portfolios (Benchmark) durch die Aufnahme von beliebigen Wertpapieren im Tracking Portfolio nachgebildet wird. Der Nachteil bei diesem Ansatz des Index Trackings besteht darin, dass aufgrund des zugrundeliegenden Regressionsansatzes während des Optimierungsprozesses unweigerlich ein gewisser Restfehler 𝜺𝜺 𝒕𝒕 auftritt. Da sich die Rendite der Benchmark zum Zeitpunkt t aus den gewichteten Renditen der einzelnen Wertpapiere des Tracking Portfolios zuzüglich eines unvermeidbaren Restfehlers 𝜀𝜀 𝑒𝑒 ergibt, werden im Rahmen des nachfolgenden Optimierungsansatzes die zunächst noch unbekannten Anteilsgewichte 𝒘𝒘 𝑷𝑷𝑷𝑷 des Tracking Portfolios bestimmt. 318 Die modellgestützte Zusammensetzung der Benchmark-Rendite lässt sich auf Grundlage des zuvor dargestellten Zusammenhangs wie folgt formulieren: 𝑚𝑚 𝐵𝐵𝑒𝑒 = 𝑤𝑤 𝑃𝑃1 𝑚𝑚 1𝑒𝑒 + 𝑤𝑤 𝑃𝑃2 𝑚𝑚 2𝑒𝑒 + ⋯ 𝑤𝑤 𝑃𝑃𝑁𝑁 𝑚𝑚 𝑁𝑁𝑒𝑒 + 𝜀𝜀 𝑒𝑒 (5.21) mit 𝑚𝑚 𝐵𝐵 : Rendite der Benchmark 𝑤𝑤 𝑃𝑃𝑠𝑠 : Anteil des nten Wertpapiers am Tracking Portfolio 𝑚𝑚 𝑠𝑠 : Rendite des nten Wertpapiers im Tracking Portfolio 𝜀𝜀 𝑒𝑒 : Restfehler 318 Vgl. Brinkmann/ Poddig/ Seiler (2009), S. 271 f. <?page no="393"?> 5.5 Index Tracking auf Grundlage der linearen Optimierung 393 In den vorherigen Abschnitten verfolgten die dargestellten Optimierungsansätze grundsätzlich das Ziel, den unvermeidbaren Restfehler 𝜺𝜺 𝒕𝒕 zu minimieren und im Idealfall sogar den Wert Null anzustreben. Das Index Tracking auf Grundlage der linearen Optimierung folgt jedoch einem anderen Ansatz. Es wird nun bei der Umsetzung der linearen Optimierung davon ausgegangen, dass einerseits ein Kapitalanleger die Rendite der zugrundeliegenden Benchmark unter keinen Umständen unterschreiten möchte und andererseits der zuständige Portfolio-Manager positive Abweichungen von der Benchmark als durchaus angenehm empfindet. Diese Annahme spiegelt in hohem Maße ein einseitiges Risikoverständnis des Kapitalanlegers wider, bei dem lediglich Verluste bzw. Unterschreitungen der Zielvorgabe (in diesem Fall die Benchmarkrendite) von Bedeutung sind und durch den Kapitalanleger als tatsächliches Risiko empfunden werden. Nach dieser Auffassung wird die ideale Umsetzung des Tracking Portfolios hauptsächlich durch die Minimierung der erwarteten Verluste des Kapitalanlegers bei gleichzeitiger Erhaltung von Chancen etwaig auftretender Überschüsse geprägt. 319 Auf Grundlage des dargelegten Zusammenhangs definiert sich die Zielfunktion zur Bestimmung des Tracking Portfolios wie folgt: 𝑍𝑍𝑍𝑍 = � |𝑚𝑚 𝑃𝑃𝑒𝑒 − 𝑚𝑚 𝐵𝐵𝑒𝑒 | 𝑇𝑇 𝑒𝑒=1 𝑟𝑟 𝑃𝑃𝑡𝑡 <𝑟𝑟 𝐵𝐵𝑡𝑡 → min ! (5.22) Nach Abschluss der linearen Optimierung ergeben sich die Anteilsgewichte des Tracking Portfolios, welche die Summe der absoluten Beträge der zukünftigen negativen Renditeabweichungen (aktiven Rendite) gegenüber der Benchmark minimieren. Aus der vorangestellten Beobachtung folgt eine Ex-ante -Betrachtung der Zielfunktion, weshalb für die Bestimmung des Tracking Portfolios wiederum eine historische Schätzung auf Grundlage der vergangenen Wertpapier- und Benchmarkrenditen vorgenommen werden sollte. In diesem Zusammenhang erlaubt die strukturelle Übereinstimmung der Ex-post- und Ex-ante- Varianten von Gleichung (5.29) die synonyme Verwendung der Ex-post- Variante. Die Einführung der zwei Parameter 𝑫𝑫 𝒕𝒕+ und 𝑫𝑫 𝒕𝒕− erleichtert die Vereinfachung des zugrundeliegenden Optimierungsproblems. Der Wert der Hilfsvariablen 𝐷𝐷 𝑒𝑒+ ergibt sich aus der positiven Differenz der Renditen des Portfolios und der Benchmark. Im Gegensatz zu dem Parameter 𝐷𝐷 𝑒𝑒+ resultiert der Wert der anderen Hilfsvariablen 𝐷𝐷 𝑒𝑒− aus der negativen Differenz zwischen Portfolio- und Benchmark-Rendite. 320 Die zwei Parameter berechnen sich wie folgt: 𝐷𝐷 𝑒𝑒+ = 𝑚𝑚 𝑃𝑃𝑒𝑒 − 𝑚𝑚 𝐵𝐵𝑒𝑒 falls 𝑚𝑚 𝑃𝑃𝑒𝑒 > 𝑚𝑚 𝐵𝐵𝑒𝑒 ansonsten 𝐷𝐷 𝑒𝑒+ = 0 (5.23) 𝐷𝐷 𝑒𝑒− = 𝑚𝑚 𝐵𝐵𝑒𝑒 − 𝑚𝑚 𝑃𝑃𝑒𝑒 falls 𝑚𝑚 𝑃𝑃𝑒𝑒 < 𝑚𝑚 𝐵𝐵𝑒𝑒 ansonsten 𝐷𝐷 𝑒𝑒− = 0 (5.24) Vor dieser Betrachtung ergibt sich die Differenz der Portfolio- und Benchmark-Renditen für jeden Zeitpunkt t als 𝑚𝑚 𝑃𝑃𝑒𝑒 − 𝑚𝑚 𝐵𝐵𝑒𝑒 = 𝐷𝐷 𝑒𝑒+ − 𝐷𝐷 𝑒𝑒− . (5.25) 319 Vgl. Brinkmann/ Poddig/ Seiler (2009), S. 272 f. 320 Vgl. ebd., S. 273 <?page no="394"?> 394 5 Anwendung des passiven Portfolio Managements Da jedoch lediglich die negativen Abweichungen des Tracking Portfolios von der Benchmark-Rendite den Anlageerfolg des Kapitalanlegers mindern, während die positiven Abweichungen dem Kapitalanleger eine Überschussrendite erwirtschaften, lässt sich die Zielfunktion aus Formel (5.29) nach der Einführung der aufgeführten Hilfsvariablen 𝐷𝐷 𝑒𝑒+ und 𝐷𝐷 𝑒𝑒− wie folgt darstellen: 𝑍𝑍𝑍𝑍 = �𝐷𝐷 𝑒𝑒− 𝑇𝑇 𝑒𝑒=1 → min ! (5.26) Als Erweiterung zu den bisherigen üblichen Nebenbedingungen begründet die lineare Optimierung die Einhaltung einer weiteren zusätzlichen Restriktion 321 : � 𝑤𝑤 𝑃𝑃𝑖𝑖 𝑚𝑚 𝑖𝑖𝑒𝑒 − 𝑇𝑇 𝑒𝑒=1 𝐷𝐷 𝑒𝑒+ + 𝐷𝐷 𝑒𝑒− = 𝑚𝑚 𝐵𝐵𝑒𝑒 (5.27) Neben der zuvor dargestellten Restriktion gelten für die Lösung des Optimierungsproblems, je nach Anwendung, die in Abschnitt 5.2 definierten Nebenbedingungen. 5.6 Praktische Umsetzung in Excel Im Rahmen der nachfolgenden Abschnitte wird für die Dokumentation und Erläuterung der Excel-Beispiele ein Ausgangsportfolio 322 mit folgenden Eckdaten zugrunde gelegt: Wertpapier erwartete Rendite p.a. Standardabweichung p.a. Portfoliogewicht Danone 10,33 % 15,51 % 10 % Siemens 18,56 % 23,04 % 10 % BASF 18,48 % 18,01 % 10 % L’Oréal 3,87 % 19,02 % 10 % Allianz 15,01 % 39,38 % 10 % Telecom Italia -1,92 % 16,43 % 10 % Banco Santander 14,33 % 19,47 % 10 % Total 7,71 % 14,79 % 10 % BWM 5,86 % 21,06 % 10 % Vivendi 12,47 % 20,74 % 10 % Euro Stoxx 50 9,10 % 12,33 % -100 % Tab. 33: Ausgangsportfolio Das Ausgangsportfolio zur Nachbildung des Euro Stoxx 50 bildet sich aus den in Tab. 33 aufgelisteten Wertpapieren. Es befinden sich darunter Unternehmen aus der Nahrungsmittel-, Technologie-, Telekommunikations- und Automobilbranche. Alle aus- 321 Vgl. Brinkmann/ Poddig/ Seiler (2009), S. 274 322 Die Datengrundlage (adjustierte Schlusskurse) der einzelnen Wertpapiere wurde aus Bloomberg Terminal bezogen. Alternativ bietet sich diesbezüglich auch der Dienst von Yahoo Finance an. <?page no="395"?> 5.6 Praktische Umsetzung in Excel 395 gewählten Wertpapiere sind dementsprechend im Zielindex enthalten. Die einzelnen Wertpapiere gehen jeweils zu zehn Prozent in das Ausgangsportfolio für das Index Tracking mit ein. 5.6.1 Index Tracking und relative Optimierung Das nachfolgende Beispiel demonstriert die Bestimmung des Tracking Portfolios auf Grundlage der relativen Optimierung. Um die gezeigten Schritte im Detail nachvollziehen zu können, sollte das Excel-Modell in der Datei » Kapitel_5_Beispiele.xlsm « im Tabellenblatt » Index Tracking(1) « aufgerufen werden. Es empfiehlt sich, die Bearbeitung dieses Abschnitts in Verbindung mit der geöffneten Excel-Datei durchzuführen. Das Optimierungsproblem bei der Bestimmung des Tracking Portfolios auf Grundlage der relativen Optimierung entspricht prinzipiell der Minimierung des residualen bzw. aktiven Risikos, weshalb sich folgende Zielfunktion ergibt: 𝑍𝑍𝑍𝑍 = [𝑤𝑤 𝑃𝑃𝑇𝑇 ∙ Σ ∙ 𝑤𝑤 𝑃𝑃 ] − �(𝑤𝑤 𝑃𝑃𝑇𝑇 ∙ 𝛽𝛽) 2 ∙ [𝑤𝑤 𝑃𝑃𝑇𝑇 ∙ Σ ∙ 𝑤𝑤 𝐵𝐵 ]� → min ! (5.28) unter der Einhaltung der folgenden Nebenbedingungen: (Budgetrestriktion) �𝑤𝑤 𝑃𝑃𝑖𝑖 𝑁𝑁 𝑖𝑖=1 = 1 𝑏𝑏𝑧𝑧𝑤𝑤. �𝑤𝑤 𝐵𝐵𝑃𝑃𝑖𝑖 𝑁𝑁 𝑖𝑖=1 = 0 mit 𝑤𝑤 𝑃𝑃𝑖𝑖 : Portfoliogewicht des iten Wertpapiers im Portfolio 𝑤𝑤 𝐵𝐵𝑃𝑃𝑖𝑖 : aktives Gewicht des iten Wertpapiers im Portfolio bzw. in Matrizenschreibweise: 1 𝑇𝑇 ∙ 𝑤𝑤 𝑃𝑃 = 1 bzw. 1 𝑇𝑇 ∙ 𝑤𝑤 𝐵𝐵𝑃𝑃 = 0 (5.29) (Leerverkaufsverbot) 𝑤𝑤 𝑖𝑖 ≥ 0 für alle 𝑖𝑖 = 1, … , 𝑁𝑁 (5.30) (Bestandsrestriktion) mind. 5 %; max. 50 % je Wertpapier (5.31) (Timing-Restriktion) 𝛽𝛽 𝑃𝑃 = 1 ↔ 𝛽𝛽 𝐵𝐵𝑃𝑃 = 0 , d.h. kein Timing mit 𝛽𝛽 𝑃𝑃 : Beta-Faktor des Portfolios gegenüber der Benchmark 𝛽𝛽 𝐵𝐵𝑃𝑃 : aktiver Beta-Faktor des Portfolios gegenüber der Benchmark (5.32) (Selektions-Restriktion) 𝛼𝛼 𝑃𝑃 = 0 mit 𝛼𝛼 𝑃𝑃 : Alpha-Faktor des Tracking Portfolios (gegenüber der Benchmark) (5.33) Bei der Bestimmung des Tracking Portfolios wird gemäß Formel (5.28) die angegebene Zielfunktion minimiert, was unbedingt bei der späteren Einstellung der Solver-Parameter beachtet werden sollte. Weiterhin wird im Folgenden der Begriff Benchmark synonym für die zuvor eingeführte Bezeichnung des Target Portfolios verwendet. <?page no="396"?> 396 5 Anwendung des passiven Portfolio Managements Um die relative Optimierung durchführen zu können, ist zunächst die Ermittlung einiger wichtiger Eingangsgrößen und die Festlegung von Annahmen notwendig. Dazu zählen: − die erwarteten Renditen der Wertpapiere, − die historischen Standardabweichungen, − die Varianz-Kovarianz-Matrix − sowie die Angabe eines risikolosen monatlichen Zinssatzes. Da der größte Teil der Input-Parameter auf der Grundlage von Überschussrenditen berechnet wird, sollte zu Beginn der mit 4 % festgelegte jährliche risikolose Zinssatz (Geldmarktsatz) angepasst werden. Um eine Konformität zwischen der Periodizität der Wertpapierkurse und dem risikolosen Zinssatz zu erreichen, wird der jährliche risikolose Zinssatz aus Zelle AD12 in einen monatlichen risikolosen Zinssatz in Zelle AD13 transformiert. Abb. 122 gibt einen Überblick über alle relevanten Parameter der zugrundeliegenden Annahmen. 5.6.1.1 Vorbereitende Maßnahmen für das Index Tracking Die Vorbereitungen für die Nachbildung des Benchmark-Portfolios beschränken sich hauptsächlich auf das Laden und Speichern der historischen Zeitreihen der risikobehafteten Wertpapiere für das Tracking Portfolio sowie die anschließende Berechnung der diskreten Renditen, der historischen Standardabweichungen und der Varianz-Kovarianz-Matrix. Hierzu wird grundsätzlich auf die Datenbanken des Finanzdatenanbieters Yahoo Finance zurückgegriffen, um die historischen Kurse aus dem Internet zu beziehen und in das Excel-Modell zu übertragen. Im Anschluss daran erfolgt die Bestimmung der Überschussrenditen als Differenz zwischen den absoluten (Monats-)Renditen und dem zuvor ermittelten risikolosen (Monats-)Zinssatz. Die erwartete Rendite der jeweiligen Wertpapiere in Zeile AD21 bis AN21 ergibt sich aus dem historischen Mittelwert der zuvor ermittelten diskreten Überschussrenditen aus den Spalten P bis Z. Bei der Implementierung der Eingangsgrößen im Excel-Modell wird hauptsächlich auf die Excel-Funktion » Mittelwert() « zurückgegriffen. Die Berechnung der historischen Standardabweichung der einzelnen Wertpapiere in Zeile AD22 bis AN22 und auch die Bestimmung der Varianz-Kovarianz-Matrix erfolgen analog zu den erwarteten Renditen auf der Grundlage der zuvor berechneten diskreten Überschussrenditen. Da die Datengrundlage zur Berechnung der historischen Standardabweichung lediglich eine Stichprobe darstellt, wird bei der Umsetzung des Modells in Excel die Funktion » STABW.S() « verwendet. Bei der Berechnung der Varianz-Kovarianz-Matrix im Bereich Z28 bis AG35 wird auf die VBA-Funktion » VarCov()« zurückgegriffen. Je nach gewählter Periodizität der historischen Kurse (jährlich, monatlich, wöchentlich oder täglich) sollten zum Abschluss der Vorbereitungen alle zuvor ermittelten Eingangsgrößen mit dem entsprechenden Skalierungsfaktor annualisiert werden. Da sich die Vorbereitungen der Excel-Beispiele weitestgehend entsprechen (vgl. Kapitel 0), soll an dieser Stelle lediglich ein kurzer Überblick über die Bestimmung der Eingangsgrößen für die spätere Bestimmung des Tracking Portfolios gegeben werden. <?page no="397"?> 5.6 Praktische Umsetzung in Excel 397 Position Inhalt Excel-Umsetzung AD12 risikoloser jährlicher Zinssatz individueller Wert AD13 risikoloser monatlicher Zinssatz =(1+AD12)^(1/ 12)-1 C9 bis L119 historische Kurse der Wertpapiere individuelle Werte M9 bis M119 historische Kurse der Benchmark (Euro Stoxx 50) individuelle Werte P10 bis Z69 diskrete monatliche Überschussrenditen =((C10/ C9)-1)-$AD$13 AD21 bis AN21 erwartete Rendite =MITTELWERT(P10: P69)*12 AD22 bis AN22 Standardabweichung =STABW.S(P10: P69)*WURZEL(12) AD28 bis AN38 Varianz-Kovarianz-Matrix =VarCovar(P10: Z69) Tab. 34: Übersicht über die Datengrundlage und die Input-Parameter Abb. 122 zeigt den Anfang der verfügbaren Datengrundlage inklusive dem Beginn der Wertentwicklung des dazugehörigen Index Euro Stoxx 50. Abb. 122: Übersicht monatliche Überschussrenditen 5.6.1.2 Bestimmung der Alpha- und Beta-Faktoren Die Durchführung des Index Trackings erfordert die Berechnung der Alpha- und Beta-Faktoren für die einzelnen Wertpapiere des Tracking Portfolios. Unter der Annahme eines zugrundeliegenden linearen Renditegenerierungsprozesses (vgl. Kapitel 0) kann mit Hilfe einer linearen Regression die Schätzung der Alpha- und Beta-Faktoren auf Grundlage der dazugehörigen historischen Zeitreihen erfolgen. 323 Bei der Schätzung der Alpha- und Beta-Faktoren wird im Rahmen der relativen Portfoliooptimierung und des Index Trackings auf die interne Excel-Funktion » RGP (Argumente) « zurückgegriffen. Die Eingabe der Formel ist mit der Tastenkombination STRG+SHIFT+EINGABE abzuschließen, weshalb es auch notwendig ist, die Berechnung für alle Wertpapiere einzeln durchzuführen. 324 Obwohl die Anwendung dieser Excel-Funktion im vorherigen Kapitel umfassend erläutert wurde, 325 sei der 323 Vgl. Brinkmann/ Poddig/ Seiler (2009), S. 220 ff. 324 Eine vertiefte Behandlung der Thematik in Bezug auf die Aufbereitung von Alpha-Prognosen im Rahmen der relativen Optimierung liefert etwa Kleeberg/ Schlenger (2002), S. 253 ff. 325 Eine detaillierte Erläuterung zur Verwendung der Excel-Funktion RGP() findet sich in Kapitel 4 in Abschnitt 4.4.2.2. 67 8 9 10 11 12 13 14 N O P Q R S T U V W X Y Z Diskrete Überschussrenditen vom 01.12.2004 bis 01.12.2009 Danone Siemens BASF L'Oreal Allianz Telecom Italia Banco Santander Total BMW Vivendi EuroStoxx 50 31.12.2002 31.01.2003 -8,91% -6,13% -4,65% -11,70% -18,82% -2,07% -12,41% -8,04% -6,07% 1,30% -6,12% 28.02.2003 -6,64% -3,92% -2,36% -7,17% -10,38% -6,62% 3,15% -2,72% -4,95% -17,08% -5,11% 31.03.2003 5,05% 2,45% 0,53% -7,67% -32,02% 5,73% -2,01% -5,71% -2,48% -6,78% -5,18% 30.04.2003 9,27% 17,85% 16,85% 15,08% 53,88% 7,32% 20,01% 0,97% 17,09% 19,54% 13,78% 30.05.2003 -8,14% -10,11% -8,13% -4,00% 1,33% 5,17% -2,60% 5,63% -2,00% 6,52% -0,08% <?page no="398"?> 398 5 Anwendung des passiven Portfolio Managements Leser darauf hingewiesen, dass sich für die letzte Position des Euro Stoxx 50 per Definition in Zelle AD53 ein Beta-Faktor von 1 und in AE53 ein Alpha-Faktor von 0 ergeben muss. 5.6.1.3 Durchführung des Index Trackings Noch vor der Durchführung des Index Trackings sollten gemäß Abb. 123 die Startgewichte in Spalte AD, die Portfoliogewichte in Spalte AE, die minimalen und maximalen Bestandsgrenzen der einzelnen Wertpapiere in den Spalten AF und AG, die Benchmark in Spalte AH sowie die aktiven Portfoliogewichte in Spalte AI im Excel-Modell implementiert werden. Tab. 34 gibt wichtige Hinweise im Hinblick auf etwaige Zellverknüpfungen. Abb. 123: Ausgangslage für das Index Tracking Abb. 124: Übersicht über die Kennzahlen und die Zielfunktion Durch die Auswahl der Startgewichte wird ein beliebiges Portfolio als Ausgangslösung für die spätere Optimierung festgelegt. Die Bestandsgrenzen der jeweiligen Wertpapiere im Portfolio werden gemäß den zuvor definierten Nebenbedingungen auf mindestens 5 % sowie auf maximal 40 % des Portfolios beschränkt. Die aktiven Gewichte ergeben sich entsprechend als Differenz (vgl. Formel (5.12)) zwischen den Portfoliogewichten in Spalte AE und der gleichgewichteten Benchmark in Spalte AH. Die Summe der jeweiligen Portfoliogewichte ergibt (mit Ausnahme von Zelle AF70 und Zelle AG70) stets einhundert Prozent. Abb. 123 gibt einen Überblick über die Ausgangslage für die spätere relative Optimierung. Im Anschluss daran sollten die in Abb. 124 dargestellten Kennzahlen, die Zielfunktion sowie die zahlreichen Nebenbedingungen im Excel-Modell eingegeben werden. Das Beta des Tracking Portfolios in Zelle AD73 lässt sich auf Grundlage der Formel: 𝛽𝛽 𝐵𝐵 = 𝑤𝑤 𝑃𝑃𝑇𝑇 ∙ 𝛽𝛽 (5.34) 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 AB AC AD AE AF AG AH AI Wertpapier Startgewichte Portfoliogewicht Min Max Benchmark Aktive-Gewichte Danone 10,00% 5,00% 5,00% 40,00% 0,00% 5,00% Siemens 10,00% 5,00% 5,00% 40,00% 0,00% 5,00% BASF 10,00% 9,16% 5,00% 40,00% 0,00% 9,16% L'Oreal 10,00% 15,88% 5,00% 40,00% 0,00% 15,88% Allianz 10,00% 5,00% 5,00% 40,00% 0,00% 5,00% Telecom Italia 10,00% 12,03% 5,00% 40,00% 0,00% 12,03% Banco Santander 10,00% 9,86% 5,00% 40,00% 0,00% 9,86% Total 10,00% 19,69% 5,00% 40,00% 0,00% 19,69% BMW 10,00% 5,85% 5,00% 40,00% 0,00% 5,85% Vivendi 10,00% 12,54% 5,00% 40,00% 0,00% 12,54% EuroStoxx 50 0,00% 0,00% 100% -100,00% Summe 100,00% 100,00% 100,00% 0,00% 71 72 73 74 75 76 77 78 79 AB AC AD AE AF Kennzahlen Tracking-Portfolio Benchmark Aktives Portfolio Beta: 1,00000 1,00000 0,00000 Alpha: 0,00000 0,00000 0,00000 Varianz: 0,0013996 0,0012665 0,0001331 Zielfunktion residuale Varianz: 0,0001331 <?page no="399"?> 5.6 Praktische Umsetzung in Excel 399 mit Hilfe der Matrizenmultiplikation in Excel wie folgt umsetzen: Z71 = MMULT(MTRANS(AE59: AE69); AD43: AD53) Das Beta der zugeordneten Benchmark in Zelle AE73 wird in ähnlicher Weise wie das Beta des Tracking Portfolio umgesetzt, jedoch mit dem Unterschied, dass sich der Bezug der transponierten Portfoliogewichte nun auf die gleichgewichteten Portfolioanteile der Benchmark selbst bezieht. Das Beta der Benchmark besitzt nach der Durchführung des Index Trackings per Definition einen Wert von eins. AE73 = MMULT(MTRANS(AH59: AH69); AD43: AD53) Das Beta des aktiven Portfolios in Zelle AF73 ergibt sich analog zu den vorherigen Betrachtungen und sollte nach Abschluss der Optimierung den Wert eins annehmen. AF73 = MMULT(MTRANS(AI59: AI69); AD43: AD53) Die Berechnung des Portfolio-Alphas in Zelle AD74 erfolgt nach Formel 𝛼𝛼 𝑃𝑃 = 𝑤𝑤 𝑃𝑃𝑇𝑇 ∙ 𝛼𝛼 (5.35) und wird in Excel analog zur Bestimmung des Betas für das Tracking Portfolio, das Benchmark-Portfolio und das aktive Portfolio implementiert. Die Berechnung des Betas wird im Excel-Modell durch die Eingabe folgender Formel umgesetzt: AD74 = MMULT(MTRANS(AE59: AE69); AE43: AE53) Das Alpha des Tracking Portfolios entspricht im Gegensatz zum Beta des Tracking Portfolios per Definition dem Wert null. Das aktive Alpha des Tracking Portfolios in Zelle AF74 ergibt sich aus der Gewichtung der aktiven Positionen aus Spalte AI mit dem Vektor der jeweiligen Alpha-Werte in Spalte AE. In der Regel entspricht das ermittelte aktive Alpha in Zelle AF74 dem Alpha des Tracking Portfolios in Zelle AD74. AF74 = MMULT(MTRANS(AI59: AI69); AE43: AE53) Die Varianz des Tracking Portfolios in Zelle AD75 lässt sich auf Grundlage der nachfolgenden Formel bestimmen: 𝜎𝜎 𝑃𝑃2 = 𝑤𝑤 𝑃𝑃𝑇𝑇 ∙ Σ ∙ 𝑤𝑤 𝑃𝑃 (5.36) und kann im Excel-Modell mit der Eingabe von AD75 = MMULT(MMULT(MTRANS(AE59: AE69); AD28: AN38); AE59: AE69) in Zelle AD75 umgesetzt werden. Die Varianz des Benchmark-Portfolios in Zelle AE75 und die aktive Varianz in Zelle AF75 ergeben sich analog zu Formel (5.36) durch die Eingabe folgender Formel: AE75 = MMULT(MMULT(MTRANS(AH59: AH69); AD28: AN38); AH59: AH69) AF75 = MMULT(MMULT(MTRANS(AI59: AI69); AD28: AN38); AI59: AI69) Im Anschluss daran wird auf Grundlage der residualen Varianz in Zelle AD78 die Zielfunktion wie folgt ermittelt: 𝜔𝜔 𝑃𝑃2 = 𝜎𝜎 𝑃𝑃2 − 𝛽𝛽 𝑃𝑃2 ∙ 𝜎𝜎 𝐵𝐵2 bzw. 𝜔𝜔 𝑃𝑃2 = 𝑤𝑤 𝑃𝑃𝑇𝑇 ∙ Σ ∙ 𝑤𝑤 𝑃𝑃 − (𝑤𝑤 𝑃𝑃𝑇𝑇 ∙ 𝛽𝛽) 2 ∙ 𝑤𝑤 𝐵𝐵𝑇𝑇 ∙ Σ ∙ 𝑤𝑤 𝐵𝐵 (5.37) und durch die Eingabe nachfolgender Excel-Formel praktisch umgesetzt: AD73 =AF75-AF73^2*AE75 <?page no="400"?> 400 5 Anwendung des passiven Portfolio Managements Die Standardabweichung der residualen Varianz lässt sich bei Bedarf aus der Wurzel der residualen Varianz bestimmen. Nach den abschließenden Vorbereitungen der Ausgangslage aus Abb. 123 und Abb. 124 kann mit Hilfe des Solvers die Bestimmung des Tracking-Portfolios erfolgen. Noch vor dem Start des Solvers sollte zunächst sichergestellt werden, dass das dazu benötigte Add-In Solver in Excel installiert und aktiviert ist. Sollte dies nicht der Fall sein, kann im Reiter  Entwicklertools  Add-Ins  Add-Ins ausgewählt werden, um zur Übersicht der verfügbaren Add-Ins zu gelangen. Ein Klick auf die Funktion erlaubt die Aktivierung der gewünschten Funktion Solver . Die mit Häkchen gekennzeichneten Funktionen sind bereits aktiviert. Im Anschluss daran wird der Solver im Reiter  Daten  Analyse  Solver über ein Zusatzprogramm (Add-In) in Excel bereitgestellt. Nach dem Aufruf des Solvers sollte zunächst der Zellbezug zur gewünschten Zielfunktion festgelegt werden. In Abhängigkeit von der formalen Darstellung der zugrundeliegenden Zielfunktion sollte die Auswahl eines geeigneten Zielwerts getroffen werden. Im Allgemeinen können verschiedene Optimierungsprobleme minimiert oder maximiert werden. In diesem Fall wird bei der Auswahl des Zielwerts auf die Minimierung zurückgegriffen. Weitere festzulegende Parameter umfassen den variablen Wertebereich der Gewichte des Tracking Portfolios sowie die zu Beginn dargestellten Nebenbedingungen. Abb. 125 zeigt eine Übersicht aller relevanten Input-Parameter für die bevorstehende Bestimmung des Tracking Portfolios. Durch die Betätigung der Schaltfläche  Lösen beginnt der Solver mit der Lösung des zugrundeliegenden Optimierungsproblems. Abb. 125: Einstellung der Solver-Parameter für das Index Tracking <?page no="401"?> 5.6 Praktische Umsetzung in Excel 401 Die in Abb. 125 dargestellte Übersicht der Solver-Parameter wurde im Zellbereich AC83 bis AC91 abgespeichert und kann über  Laden/ Speichern  Laden erneut aufgerufen werden. Nach Abschluss der Optimierung können die Ergebnisse des Index Trackings aus Abb. 126 entnommen werden. Abb. 126: Ergebnisse des Index Trackings auf Grundlage der relativen Optimierung 5.6.2 Index Tracking nach Markowitz Das nachfolgende Beispiel demonstriert die Bestimmung des Index Trackings nach Markowitz. Um die gezeigten Schritte im Detail nachvollziehen zu können, sollte das Excel-Modell in der Datei » Kapitel_5_Beispiele.xlsm « im Tabellenblatt » Index Tracking(2) « aufgerufen werden. Es empfiehlt sich, die Bearbeitung dieses Abschnitts in Verbindung mit der geöffneten Excel-Datei durchzuführen. Das Optimierungsproblem bei der Bestimmung des Tracking Portfolios nach Markowitz entspricht prinzipiell der Minimierung des Tracking Errors des Tracking Portfolios, weshalb sich folgende Zielfunktion ergibt: 𝑍𝑍𝑍𝑍 = 𝑤𝑤 𝐵𝐵𝑇𝑇 Σ𝑤𝑤 𝐵𝐵 → min ! (5.38) unter Einhaltung der in Abschnitt 5.2 formulierten Nebenbedingungen. Dazu zählen Budgetrestriktionen, Leerverkaufsverbote sowie Mindest- und Höchstbestandsgrenzen. Bei der Bestimmung des Tracking Portfolios wird gemäß Formel (5.38) die angegebene Zielfunktion minimiert, was unbedingt bei der späteren Einstellung der Solver- Parameter beachtet werden sollte. Um die relative Optimierung durchführen zu können, ist zunächst die Bestimmung einiger wichtiger Eingangsgrößen sowie die Festlegung von Annahmen notwendig. Dazu zählen die erwarteten Renditen der Wertpapiere, die historischen Standardabweichungen, die Varianz-Kovarianz-Matrix sowie die Angabe eines risikolosen monatlichen Zinssatzes. Da die Vorgehensweise bei der Ermittlung der Datengrundlage grundsätzlich der verwendeten Methodik aus dem vorherigen Abschnitt entspricht, <?page no="402"?> 402 5 Anwendung des passiven Portfolio Managements wird nachfolgend auf eine umfassende Erläuterung der notwendigen Schritte bewusst verzichtet. Die genaue Vorgehensweise zur Vorbereitung des Index Trackings ist aus Abschnitt 5.6.1.1 zu entnehmen. Im Rahmen dieses Beispiels wird ebenfalls der jährliche risikolose Zinssatz (Geldmarktsatz) mit 4 % festgelegt. Noch vor der Durchführung des Index Trackings nach Markowitz sollten gemäß Abb. 127 die Startgewichte in Spalte AD, die Portfoliogewichte in Spalte AE, die minimalen und die maximalen Bestandsgrenzen der einzelnen Wertpapiere in den Spalten AF und AG, die Benchmark in Spalte AH sowie die aktiven Portfoliogewichte in Spalte AI im Excel-Modell implementiert werden. Abb. 127 zeigt den grundsätzlichen Aufbau des Optimierungsproblems, das dem Index Tracking zugrunde liegt. Abb. 127: Ausgangslage für das Index Tracking Durch die Auswahl der Startgewichte wird ein naiv diversifiziertes Portfolio als Ausgangslösung für das spätere Index Tracking zugrundegelegt. Die Bestandsgrenzen der jeweiligen Wertpapiere im Portfolio werden gemäß den zuvor definierten Nebenbedingungen auf mindestens 5 % sowie auf maximal 40 % des Portfolios beschränkt. Die aktiven Gewichte in den Zellen AI43 bis AI53 ergeben sich aus der Differenz (vgl. Formel (5.12)) der Anteile des Tracking Portfolios in Spalte AE und der Benchmark in Spalte AH. Die Summe der jeweiligen Portfoliogewichte ergibt mit Ausnahme der Zellen AF54 und AG54 stets einhundert Prozent. Das Anlageuniversum der nachfolgenden Optimierung setzt sich aus dem Tracking Portfolio und der Benchmark zusammen. Da jedoch der Index (Euro Stoxx 50) nicht im Portfolio enthalten sein soll, wird der Benchmark ein Wert von Null zugewiesen. Im Umkehrschluss werden bei der Lösung des Optimierungsproblems lediglich diejenigen Wertpapiere berücksichtigt, welche nicht mit dem Wert „Null“ fixiert wurden. Die Eingangsgrößen sind für alle Wertpapiere des gesamten Anlageuniversums inklusive der Benchmark zur Lösung des Optimierungsproblems zu schätzen. Im Rahmen des Index Trackings geht die Portfoliostruktur der Benchmark nicht im Detail in die Berechnungen ein, sondern wird lediglich in Form eines synthetischen Index in das Optimierungsproblem integriert. 326 Nachdem die Ausgangslage des Index Trackings festgelegt wurde, kann die Zielfunktion in Verbindung mit den Nebenbedingungen in Excel umgesetzt werden. Abb. 128 zeigt eine Übersicht aller relevanten Kenngrößen für das spätere Index Tracking. 326 Vgl. Brinkmann/ Poddig/ Seiler (2009), S. 282 <?page no="403"?> 5.6 Praktische Umsetzung in Excel 403 Abb. 128: Übersicht über die Kennzahlen und Zielfunktion (Tracking Error) Im Anschluss daran werden die in Abb. 128 dargestellten Kennzahlen, die Zielfunktion sowie die zahlreichen Nebenbedingungen im Excel-Modell berechnet. Der Tracking Error des Tracking Portfolios in Zelle AD57 definiert sich wie folgt 𝑇𝑇𝐸𝐸 = 𝑤𝑤 𝐵𝐵𝑇𝑇 ∙ Σ ∙ 𝑤𝑤 𝐵𝐵 (5.39) und wird mit Hilfe der Matrizenmultiplikation im Excel-Modell folgendermaßen umgesetzt: AD57 = MMULT(MMULT(MTRANS(AI43: AI53); AD28: AN38); AI43: AI53) Die aktive Rendite des Tracking Portfolios stellt sich wie folgt dar 𝑚𝑚 𝐵𝐵 = 𝑤𝑤 𝐵𝐵𝑇𝑇 ∙ 𝑚𝑚 (5.40) und lässt sich im Gegensatz zum Tracking Error im Rahmen einer einfachen Matrizenmultiplikation in Zelle AD58 leicht umsetzen: AD58 = MMULT(AD21: AN21; AI43: AI53) Abb. 129: Einstellung der Solver-Parameter für das Index Tracking <?page no="404"?> 404 5 Anwendung des passiven Portfolio Managements Im Anschluss kann nun die Durchführung des Index Trackings mit Hilfe des Solvers erfolgen. Über den Reiter  Daten  Analyse  Solver lässt sich die Excel-Funktion Solver aufrufen und erlaubt die manuelle Eingabe aller notwendigen Parameter. Abb. 129 zeigt in diesem Zusammenhang eine Übersicht aller relevanten Input-Parameter und definierten Nebenbedingungen für die bevorstehende Bestimmung des Tracking Portfolios. Durch die Betätigung der Schaltfläche  Lösen beginnt der Solver mit der Lösung des zugrundeliegenden Optimierungsproblems. Die in Abb. 129 dargestellte Übersicht der Solver-Parameter wurde im Zellbereich AC70 bis AC77 abgespeichert und kann im Solver über  Laden/ Speichern  Laden erneut aufgerufen werden. Nach Abschluss der Optimierung können die Ergebnisse des Index Trackings aus den Abb. 127, 140, 142 und Abb. 131 entnommen werden. Zur verfahrenstechnischen Beurteilung der Güte des Index Trackings können jeweils für den Schätz- und Validierungszeitraum der Tracking Error und die aktive Rendite bestimmt werden. Die Ergebnisse sind in Abb. 130 ersichtlich. Abb. 130: Vergleich der Güte der Index-Tracking-Ergebnisse Aus Abb. 130 geht hervor, dass sich der Tracking Error und auch die aktive Rendite für den Validierungszeitraum im Vergleich zum Schätzzeitraum durchaus ausdehnen bzw. in hohem Maße voneinander abweichen. Die teilweise doch recht unterschiedlichen Ergebnisse lassen keinesfalls den Rückschluss zu, dass der Ansatz des Index Trackings für eine praktische Anwendung untauglich erscheint, sondern bestätigen lediglich die vorangestellte Vermutung, dass auch hier eine nicht zu unterschätzende Abb. 2: Ergebnisse des Index Trackings auf Grundlage der relativen Optimierung <?page no="405"?> 5.6 Praktische Umsetzung in Excel 405 Schätzfehlerproblematik dem zu lösenden Optimierungsproblem zugrunde liegt. 327 Abb. 131 fasst die Ergebnisse des Index Trackings nochmals zusammen und stellt sie in einem Kuchendiagramm dar. 5.6.3 Index Tracking auf Grundlage der Regression unter Nebenbedingungen Das nachfolgende Beispiel demonstriert die Bestimmung des Index Trackings auf Grundlage der Regression unter Nebenbedingungen. Um die gezeigten Schritte im Detail nachvollziehen zu können, sollte das Excel-Modell in der Datei » Kapitel_5_ Beispiele.xlsm « im Tabellenblatt » Index Tracking(3) « aufgerufen werden. Es empfiehlt sich, die Bearbeitung dieses Abschnitts in Verbindung mit der geöffneten Excel-Datei durchzuführen. Im Gegensatz zu den Ausführungen des vorherigen Abschnitts konzentriert sich der folgende Ansatz auf die Minimierung der Renditedifferenz zwischen dem Benchmark Portfolio und dem Tracking Portfolio, weshalb sich folgende Zielfunktion ergibt 𝑍𝑍𝑍𝑍 = 𝐸𝐸(𝑚𝑚 𝐵𝐵2 ) = �(𝑚𝑚 𝐵𝐵 − 𝑚𝑚 𝑃𝑃 ) 2 𝑇𝑇 𝑒𝑒=1 = � 𝑚𝑚 𝐵𝐵2 𝑇𝑇 𝑒𝑒=1 → min ! (5.41) unter Einhaltung der in Abschnitt 5.2 formulierten Nebenbedingungen. Dazu zählen Budgetrestriktionen, Leerverkaufsverbote sowie Mindest- und Höchstbestandsgrenzen. Bei der Bestimmung des Tracking Portfolios wird gemäß Formel (5.41) die angegebene Zielfunktion minimiert, was unbedingt bei der späteren Einstellung der Solver- Parameter beachtet werden sollte. Um das Index Tracking durchführen zu können, ist zunächst die Bestimmung einiger wichtiger Eingangsgrößen sowie die Festlegung eines risikolosen Zinssatzes notwendig. Dazu zählen die erwarteten Renditen der Wertpapiere, die historischen Standardabweichungen, die Varianz-Kovarianz-Matrix sowie die Angabe eines risikolosen monatlichen Zinssatzes. Da die Vorgehensweise bei der Ermittlung der Datengrundlage grundsätzlich der verwendeten Methodik aus den vorherigen Abschnitten entspricht, wird im Folgenden auf eine umfassende Erläuterung der notwendigen Schritte bewusst verzichtet. Die genaue Vorgehensweise zur Vorbereitung des Index Trackings ist aus Abschnitt 5.6.1.1 zu entnehmen. Im Rahmen dieses Beispiels wird ebenfalls der jährliche risikolose Zinssatz (Geldmarktsatz) mit 4 % festgelegt. Noch vor der Durchführung des Index Trackings auf Grundlage der Regression unter Nebenbedingungen sollten gemäß Abb. 132 die Startgewichte in Spalte AF, die Portfoliogewichte in Spalte AG, die minimalen und die maximalen Bestandsgrenzen der einzelnen Wertpapiere in den Spalten AH und AI, die Benchmark in Spalte AJ sowie die aktiven Portfoliogewichte in Spalte AK im Excel-Modell gemäß der nachfolgenden Abbildung eingefügt werden. Abb. 132 zeigt den Aufbau des dem Index Tracking zugrundeliegenden Optimierungsproblems. 327 Vgl. Brinkmann/ Poddig/ Seiler (2009), S. 285 <?page no="406"?> 406 5 Anwendung des passiven Portfolio Managements Abb. 132: Ausgangslage für das Index Tracking Bei der Auswahl der Startgewichte wird ein naiv diversifiziertes Portfolio als Ausgangslösung für das spätere Index Tracking zugrundegelegt. Die Bestandsgrenzen der jeweiligen Wertpapiere im Portfolio werden gemäß den zuvor definierten Nebenbedingungen auf mindestens 5 % sowie auf maximal 40 % des Portfolios festgesetzt. Die aktiven Gewichte in den Zellen AK29 bis AK38 ergeben sich aus der Differenz (vgl. Formel (5.12)) der Anteile des Tracking Portfolios in Spalte AG und der Benchmark in Spalte AJ. Die Summe der jeweiligen Portfoliogewichte ergibt mit Ausnahme der Zellen AH40 und AI40 stets einhundert Prozent. Das Anlageuniversum der nachfolgenden Optimierung setzt sich aus der Vereinigungsmenge des Tracking Portfolios und der Benchmark zusammen. Da der Index (Euro Stoxx 50) nicht im Portfolio enthalten sein soll, wird der Benchmark ein Wert von null zugewiesen und bei der Durchführung des Index Trackings wie ein synthetischer Index behandelt. Im Umkehrschluss werden bei der Lösung des Optimierungsproblems lediglich diejenigen Wertpapiere berücksichtigt, welche nicht mit dem Wert null fixiert wurden. Die Eingangsgrößen sind für alle Wertpapiere des gesamten Anlageuniversums, also inklusive der Benchmark zur Lösung des Optimierungsproblems zu schätzen. 328 Da die Benchmark in diesem Fall fixiert ist, werden die jeweiligen Anteile der Benchmark im Gegensatz zum Tracking Portfolio nicht dem variablen Anteil des Optimierungsproblems zugeordnet. Da die Portfoliostruktur der Benchmark grundsätzlich exogenen Einflüssen unterliegt und diese sich im Laufe des Optimierungsprozesses nicht mehr ändert, stehen die Renditen der Benchmark schon vor der Durchführung des Index Tracking fest. Die Zusammensetzung des Tracking Portfolios stellt die variable Komponente bei der Lösung des Optimierungsproblems dar. Im Umkehrschluss führt das jedoch zu der Annahme, dass die Renditen des Tracking Portfolios dem Verlauf der Optimierung unterliegen und damit im Gegensatz zu den Renditen der Benchmark nicht direkt zu beobachten sind. Im Verlauf der Optimierung sind diejenigen Werte gesucht, für welche der Wert der zuvor vorgestellten Zielfunktion (vgl. Formel (5.41)) minimal wird. Es gilt folgender Zusammenhang: 𝑍𝑍𝑍𝑍 = 𝐸𝐸� (𝑚𝑚 𝐵𝐵2 ) = 1 𝑇𝑇 �(𝑚𝑚 𝐵𝐵𝑒𝑒 − � 𝑤𝑤 𝑃𝑃𝑖𝑖 ∙ 𝑚𝑚 𝑖𝑖𝑒𝑒 𝑁𝑁 𝑒𝑒=1 ) 2 𝑇𝑇 𝑒𝑒=1 (5.42) 328 Vgl. Brinkmann/ Poddig/ Seiler (2009), S. 282 <?page no="407"?> 5.6 Praktische Umsetzung in Excel 407 Aufgrund des zuvor erläuterten Zusammenhangs wird die in Abb. 132 dargestellte Ausgangslage um die Spalten AA und AB erweitert, um die aktiven Renditen sowie die quadrierten aktiven Renditen bestimmen zu können. Abb. 133 nimmt Bezug auf die erläuterte Erweiterung der Ausgangslage. Abb. 133: Erweiterung der Ausgangslage Nachdem die Ausgangslage des Index Trackings festgelegt worden ist, kann die Zielfunktion in Verbindung mit den Nebenbedingungen in Excel umgesetzt werden. Abb. 134 zeigt eine Übersicht aller relevanten Kenngrößen für das spätere Index Tracking. Abb. 134: Übersicht über die Kennzahlen und die Zielfunktion Die Zielfunktion wird entgegen den vorherigen Beispielen nicht direkt in einer Zelle eingesetzt, sondern setzt sich aus mehreren verschachtelten Komponenten zusammen. In der Zelle der Zielfunktion wird zunächst einmal die Summe der aktiven quadrierten Renditen ermittelt. Der Wert der Summe ist gemäß Formel (5.42) unmittelbar von den Renditen der gewichteten Anteile des Tracking Portfolios abhängig. Durch die kontinuierliche Veränderung der Struktur des Tracking Portfolios im Rahmen des Index-Tracking-Prozesses kommt es demnach zu unterschiedlichen Summen der aktiven quadrierten Renditen. Durch die Festlegung eines gesuchten Minimums in den Solver-Parametern wird diejenige Portfoliozusammensetzung gesucht, welche die Summe der aktiven quadrierten Renditen minimiert. Im Anschluss wird die Zielfunktion um die Kennzahl des Tracking Errors in Zelle AF46 ergänzt. Im nächsten Schritt kann mit Hilfe des Solvers die manuelle Eingabe der zuvor definierten Nebenbedingungen erfolgen. Über den Reiter  Daten  Analyse  Solver lässt sich die Excel-Funktion Solver aufrufen und erlaubt die Auswahl und Festlegung aller notwendigen Parameter. Abb. 135 zeigt eine Übersicht aller relevanten Input-Parameter und definierten Nebenbedingungen für die bevorstehende Bestimmung des Tracking Portfolios. Durch die Betätigung der Schaltfläche  Lösen beginnt der Solver mit der Lösung des zugrundeliegenden Optimierungsproblems. <?page no="408"?> 408 5 Anwendung des passiven Portfolio Managements Abb. 135: Einstellung der Solver-Parameter für das Index Tracking Die in Abb. 135 dargestellte Übersicht der Solver-Parameter wurde im Zellbereich AE58 bis AE64 abgespeichert und kann alternativ im Solver über  Laden/ Speichern  Laden aufgerufen werden. Nach Abschluss der Optimierung können die Ergebnisse des Index Trackings aus den Abb. 132 und Abb. 134 entnommen werden. Zur Beurteilung der Güte des Index Trackings können für den Schätz- und Validierungszeitraum der Tracking Error und die aktive Rendite bestimmt werden. Die Ergebnisse sind in Abb. 136 ersichtlich. Abb. 136: Vergleich der Güte der Index Tracking-Ergebnisse Aus Abb. 136 geht hervor, dass sich der Tracking Error und auch die aktive Rendite für den Validierungszeitraum im Vergleich zum Schätzzeitraum ausdehnen bzw. diese in hohem Maße voneinander abweichen. Im Vergleich zu den vorherigen Bei- <?page no="409"?> 5.6 Praktische Umsetzung in Excel 409 spielen liefert das Index Tracking auf Grundlage der Regression unter Nebenbedingungen ähnliche Ergebnisse. An dieser Stelle sollte darauf hingewiesen werden, dass der dargestellte Ansatz analog zum vorherigen Beispiel durch die Integration der erwarteten Renditen der Wertpapiere des Tracking Portfolios und der Benchmark gleichermaßen der erläuterten Schätzfehlerproblematik unterliegt. Abb. 137 fasst die Ergebnisse des Index Trackings nochmals zusammen und stellt sie in einem Kuchendiagramm dar. Abb. 137: Ergebnisse des Index Trackings auf Grundlage der Regression 5.6.4 Index Tracking und lineare Optimierung Das nachfolgende Beispiel demonstriert die Bestimmung des Index Trackings auf Grundlage der linearen Optimierung. Um die gezeigten Schritte im Detail nachvollziehen zu können, sollte das Excel-Modell in der Datei » Kapitel_5_Beispiele.xlsm « im Tabellenblatt » Index Tracking(4) « aufgerufen werden. Es empfiehlt sich, die Bearbeitung dieses Abschnitts in Verbindung mit der geöffneten Excel-Datei durchzuführen. Im Verlauf der linearen Optimierung sind insgesamt Werte von N+T+T Problemvariablen zu bestimmen. Dazu gehören die Werte der N Portfolioanteile 𝑤𝑤 𝑃𝑃𝑖𝑖 des Tracking Portfolios, die T Werte für die positiven Renditeabweichungen 𝐷𝐷 𝑒𝑒+ sowie die T Werte für die negativen Renditeabweichungen 𝐷𝐷 𝑒𝑒− . Der Grundgedanke des linearen Optimierungsansatzes besteht darin, die Werte der Anteile des Tracking Portfolios in Verbindung mit dem Restfehler gemeinsam zu ermitteln, sodass im Beobachtungszeitraum 𝑡𝑡 = 1, . . . , 𝑇𝑇 einerseits die Rendite des Tracking Portfolios unter Berücksichtigung des Restfehlers der Rendite des Benchmark-Portfolios entspricht und andererseits die Summe der negativen Restfehler 𝐷𝐷 𝑒𝑒− minimiert wird. 329 Die Zielfunktion des erläuterten Optimierungsansatzes lautet wie folgt 329 Vgl. Brinkmann/ Poddig/ Seiler (2009), S. 275 <?page no="410"?> 410 5 Anwendung des passiven Portfolio Managements 𝑍𝑍𝑍𝑍 = � 𝐷𝐷 𝑒𝑒− 𝑇𝑇 𝑒𝑒=1 → min ! (5.43) unter Einhaltung folgender Nebenbedingungen: �𝑤𝑤 𝑃𝑃𝑖𝑖 𝑚𝑚 𝑖𝑖𝑒𝑒 − 𝑇𝑇 𝑒𝑒=1 𝐷𝐷 𝑒𝑒+ + 𝐷𝐷 𝑒𝑒− = 𝑚𝑚 𝐵𝐵𝑒𝑒 für alle Zeitpunkte 𝑡𝑡 = 1, . . . , 𝑇𝑇 (5.44) �𝑤𝑤 𝑃𝑃𝑖𝑖 𝑇𝑇 𝑒𝑒=1 = 1 (Budgetrestriktion) (5.45) 𝑤𝑤 𝑃𝑃𝑖𝑖 ≥ 0 (Leerverkaufsverbot) für alle Wertpapiere 𝑖𝑖 = 1, . . . , 𝑇𝑇 (5.46) 𝐷𝐷 𝑒𝑒+ ≥ 0 für alle Zeitpunkte 𝑡𝑡 = 1, . . . , 𝑇𝑇 (5.47) 𝐷𝐷 𝑒𝑒− ≥ 0 für alle Zeitpunkte 𝑡𝑡 = 1, . . . , 𝑇𝑇 (5.48) 𝑤𝑤 𝑃𝑃𝑖𝑖 ≥ 0,05 bzw. 𝑤𝑤 𝑃𝑃𝑖𝑖 ≤ 0,4 (Bestandsgrenzen) für alle Wertpapiere 𝑖𝑖 = 1, . . . , 𝑇𝑇 (5.49) Bei der Bestimmung des Tracking Portfolios wird gemäß Formel (5.43) die angegebene Zielfunktion minimiert, was unbedingt bei der späteren Einstellung der Solver- Parameter beachtet werden sollte. Da sich die eigentlich zu minimierende Zielfunktion auf eine Ex-ante -Betrachtung der Kenngrößen bezieht, wird das Tracking Portfolio aufgrund der strukturellen Konformität anhand der ex post formulierten Zielfunktion ermittelt. Der Ansatz der linearen Optimierung unterliegt ebenfalls einer Schätzfehlerproblematik. Der spätere Erfolg des Tracking Portfolios ist in hohem Maße von der Güte der Ex-post - Schätzung abhängig. Ein weiterer Aspekt, der bei der Anwendung des Index Trackings berücksichtigt werden sollte, spiegelt sich im erhöhten Aufwand im Umgang mit den dargestellten Problemvariablen wider. Da es sich um ein lineares Optimierungsproblem handelt, kann mit dem Simplexalgorithmus auf einen leistungsfähigen Algorithmus zur Lösung des Optimierungsproblems zurückgegriffen werden. 330 Um das Index Tracking auf Grundlage der linearen Optimierung durchführen zu können, ist zunächst die Bestimmung und Festlegung einiger wichtiger Eingangsgrößen notwendig. Da die Zielfunktion vor dem Hintergrund einer Ex-post -Betrachtung minimiert werden soll, sind zunächst die erwarteten Renditen der Wertpapiere des Tracking Portfolios zu bestimmen. Obwohl im Excel-Modell die Standardabweichung für die Wertpapiere des Tracking Portfolios ausgewiesen wird, ist eine explizite Berechnung dieser Kenngröße nicht unbedingt notwendig. Auf die Bestimmung der Varianz-Kovarianz-Matrix kann an dieser Stelle vollständig verzichtet werden. Da die Vorgehensweise bei der Ermittlung der Datengrundlage grundsätzlich der verwendeten Methodik aus den vorherigen Abschnitten ähnelt, wird nachfolgend nur noch auf bemerkenswerte Erweiterungen und Änderungen im Detail eingegangen. Die Überschussrenditen der Wertpapiere des Tracking Portfolios werden entsprechend den Erläuterungen aus den vorherigen Abschnitten bestimmt. Die Über- 330 Vgl. Brinkmann/ Poddig/ Seiler (2009), S. 276 <?page no="411"?> 5.6 Praktische Umsetzung in Excel 411 sicht über die Umsetzung des Excel-Modells gibt in diesem Zusammenhang wichtige Hinweise. Die Umsetzung der Excel-Fallstudie lässt sich auf Grundlage der vorherigen Abschnitte nachvollziehen. Die genaue Vorgehensweise zur Vorbereitung des Index Trackings ist aus Abschnitt 5.6.1.1 ff. zu entnehmen. Nach Abschluss der Berechnungen der Überschussrenditen wird für die spätere Durchführung des Index Trackings die bisherige Datengrundlage um vier neue Spalten erweitert. Abb. 138 gibt einen Überblick über die erweiterten Spalten der Ausgangslage. In Spalte AA wird mit Hilfe der Matrizenmultiplikation für jeden Zeitpunkt t die Rendite des Tracking Portfolios ermittelt. Die Werte der Spalten AB und AC enthalten die Differenzen der positiven und negativen Abweichungen und sollten noch vor Beginn der linearen Optimierung auf den Wert null festgelegt werden. Im Rahmen des Index Trackings verändern sich während des Optimierungsprozesses die Werte der Spalten AB und AC. Um die in Formel (5.44) dargestellte Nebenbedingung im Excel-Modell umsetzen zu können, wird in Spalte AD von der Rendite des Tracking Portfolios die positive Abweichung abgezogen sowie die negative Abweichung hinzugefügt. Die Zielrendite in Spalte AE resultiert aus der Rendite der Benchmark. Abb. 138: Erweiterung der bisherigen Datengrundlage Der Vergleich verschiedener Kennzahlen, wie Tracking Error, sowie die aktive Rendite des Tracking Portfolios im Schätz- und Validierungszeitraum erfordert die Umsetzung einer Nebenrechnung, in der die positive und auch negative Differenz bzw. aktive Rendite des Tracking Portfolios berechnet werden. Tab. 35 stellt die Erweiterung der Ausgangslage und Umsetzung der Nebenrechnung in den Spalten AG bis AI dar. Position Inhalt Excel-Umsetzung AM12 risikoloser jährlicher Zinssatz individueller Wert AM13 risikoloser monatlicher Zinssatz =(1+AD12)^(1/ 12)-1 C9 bis M119 historische Kurse der Wertpapiere und der Benchmark individuelle Werte P10 bis Z69 diskrete monatliche Überschussrenditen =((C10/ C9)-1)-$AD$13 Spalte AA Rendite des Tracking Portfolios =MMULT(P10: Y10; $AN$29: $AN$38) Spalte AB D + individuelle Werte z.B. 0 Spalte AC D - individuelle Werte z.B. 0 Spalte AD R - (D + ) + (D - ) =AA10-AB10+AC10 <?page no="412"?> 412 5 Anwendung des passiven Portfolio Managements Spalte AE Zielrendite =Z10 Spalte AG Nebenrechnung D + =WENN(AA10-AE10>0; AA10-AE10; 0) Spalte AH Nebenrechnung D - =WENN(AA10-AE10<0; AE10-AA10; 0) Spalte AI aktive Rendite des Tracking Portfolios =AA10-AE10 AD21 bis AN21 erwartete Rendite =MITTELWERT(P10: P69)*12 AD22 bis AN22 Standardabweichung =STABW.S(P10: P69)*WURZEL(12) Tab. 35: Umsetzung der erweiterten Datengrundlage im Excel-Modell Noch vor der Durchführung des Index Trackings auf Grundlage der linearen Optimierung sollten gemäß Abb. 139 die Startgewichte in Spalte AM für die Lösung des Optimierungsproblems, die Anteilsgewichte des Tracking Portfolios in Spalte AN, die minimalen und maximalen Bestandsgrenzen der einzelnen Wertpapiere in den Spalten AO und AP im Excel-Modell eingefügt werden. Abb. 139 zeigt hierzu den grundsätzlichen Aufbau des Index Trackings. Abb. 139: Aufbau und Ergebnisse des Index Trackings Nachdem die Ausgangslage des Index Trackings festgelegt worden ist, kann die Zielfunktion in Verbindung mit den Nebenbedingungen in Excel umgesetzt werden. Position Inhalt Excel-Umsetzung AM29 bis AM38 Startgewichte individuelle Werte z.B. 10 % AN29 bis AN 39 Anteilsgewicht des Tracking Portfolios individuelle Werte AO29 bis AO 39 Bestandsgrenze Minimum individuelle Werte AP29 bis AP 39 Bestandsgrenze Maximum individuelle Werte AM43 Summe D + =SUMME(AB10: AB69) AM44 Zielfunktion Summe D - =SUMME(AC10: AC69) <?page no="413"?> 5.6 Praktische Umsetzung in Excel 413 AM45 Summe D + und D - =SUMME(AD10: AD69) AM48 Tracking Error =VARIANZEN(AI9: AI69) AM49 aktive Rendite =MITTELWERT(AI9: AI69) AM50 positive Differenz D + =SUMME(AG10: AG69) AM51 negative Differenz D - =SUMME(AH9: AH69) AM51 Summe D + und D - =AM50+AM51 Tab. 36: Umsetzung des Excel-Modells Danach kann für die spätere Durchführung des Index Trackings mit Hilfe des Solvers die manuelle Eingabe der zuvor definierten Nebenbedingungen erfolgen. Über den Reiter  Daten  Analyse  Solver lässt sich die Excel-Funktion Solver aufrufen und erlaubt die Auswahl und Festlegung aller notwendigen Parameter. Die Zielfunktion des linearen Optimierungsproblems bezieht sich auf die Summe D - in Zelle AM44. Neben den Anteilsgewichten des Tracking Portfolios in den Zellen AN29 bis AN38 gehören die positiven und auch die negativen Differenzen in den Spalten AB und AC ebenfalls zur veränderlichen Komponente des Optimierungsproblems. Eine detaillierte Übersicht der zugrundeliegenden Nebenbedingungen ist Abb. 140 zu entnehmen. Weiterhin gilt es zu beachten, dass es sich bei dem vorliegenden Optimierungsansatz um ein lineares Optimierungsproblem handelt. Aus diesem Grund sollte dieser Umstand in den Optionen des Solvers durch die Auswahl des Simplex- LP-Algorithmus berücksichtigt werden. Abb. 140: Übersicht der Nebenbedingungen <?page no="414"?> 414 5 Anwendung des passiven Portfolio Managements Die in Abb. 140 dargestellte Übersicht der Solver-Parameter wurde im Zellbereich AO43 bis AO50 abgespeichert und kann alternativ im Solver über  Laden/ Speichern  Laden erneut aufgerufen werden. Durch die Betätigung der Schaltfläche  Lösen beginnt der Solver mit der Lösung des zugrundeliegenden Optimierungsproblems. Nach Abschluss der linearen Optimierung ergibt sich die in Abb. 141 dargestellte Portfoliostruktur für das Tracking Portfolio. Im Vergleich zu den Ergebnissen der vorherigen Optimierungsansätze grenzt sich die Zusammensetzung des Tracking Portfolios auf Grundlage der linearen Optimierung von den verbleibenden Tracking Portfolios sichtlich ab (vgl. Tab. 37). relative Opt Markowitz Regression lineare Opt Danone 5,00 % 5,00 % 5,00 % 6,44 % Siemens 5,00 % 5,00 % 5,00 % 8,97 % BASF 9,06 % 8,96 % 11,76 % 15,57 % L'Oréal 16,02 % 16,30 % 14,83 % 5,73 % Allianz 5,00 % 5,00 % 5,00 % 5,00 % Telecom Italia 11,96 % 11,75 % 8,71 % 5,00 % Banco Santander 9,99 % 10,09 % 11,44 % 12,68 % Total 19,58 % 19,10 % 18,74 % 18,25 % BMW 5,88 % 6,25 % 5,13 % 5,00 % Vivendi 12,51 % 12,54 % 14,38 % 17,36 % Tab. 37: Die Zusammensetzung der Tracking Portfolios im Vergleich Abb. 141: Die Zusammensetzung der Tracking Portfolios im Vergleich 5.7 Praktische Umsetzung in Matlab Eine Umsetzung der in diesem Kapitel vorgestellten Ansätze zum Index Tracking in Matlab ist zwar grundsätzlich möglich, stellt jedoch durch die dazu notwendige Einbindung umfangreicher Optimierungsalgorithmen in Form von externen Skrip-ten und Bibliotheken einen erheblichen Aufwand dar. In diesem Zusammenhang sei beispielsweise die Einbindung genetischer Algorithmen in Matlab genannt. Aus diesem 0% 20% 40% 60% 80% 100% Relative Opt Markowitz Regression Lineare Opt Danone Siemens BASF L'Oreal Allianz Telecom Italia Banco Santander Total <?page no="415"?> 5.8 Schlussbetrachtung 415 Grund möchten wir von einer detaillierten Erläuterung einer praktischen Umsetzung in Matlab absehen, da eine umfassende Darstellung der dazu benötigten Kenntnisse die Bandbreite dieses Buches bei weitem übersteigen würde. In diesem Fall ist Microsoft Excel das Mittel der Wahl. 5.8 Schlussbetrachtung Indexfonds in Form von Exchange Traded Funds und die zugrundeliegenden Ansätze zur Bildung eines Tracking Portfolios bieten dem Kapitalanleger viele Vorteile. Der wichtigste Vorteil sollte jedoch vorweggenommen werden: die kostengünstige Diversifikation auf Indexebene. Durch die Beimischung eines Indexfonds auf den Dow Jones Industrial Average können beispielsweise ohne aktives Portfolio Management etwa 70 Prozent der US-amerikanischen und etwa 35 Prozent der weltweiten Marktkapitalisierung in einem Wertpapierportfolio abgedeckt werden. Ein weiterer Pluspunkt von ETFs spiegelt sich in der einfachen Art und Weise wider, durch Branchen-ETFs gezielt bestimmte Branchen einfach und kostengünstig im Rahmen der Asset Allocation überzugewichten. Weitere Vorteile finden ihren Ausdruck in der niedrigen Gesamtkostenquote (Abk. TER), da der überwiegende Anteil an ETFs einerseits keinem Ausgabeaufschlag bzw. keinen Rücknahmegebühren unterliegt und andererseits niedrige Verwaltungsgebühren bietet. Durch den fortlaufenden Börsenhandel und die hohe Liquidität von ETFs bieten Indexfonds eine geringe Handelspanne (Spread). Da Indexfonds grundsätzlich auch keinen Fälligkeitstermin besitzen, unterliegt der Kapitalanleger auch keinem direkten Wiederanlagerisiko. Den dargestellten Chancen stehen natürlich in gleicher Weise Risiken gegenüber, die dem Kapitalanleger jederzeit bewusst sein sollten. In erster Linie trägt der Kapitalanleger wirtschaftliche Risiken, die vorrangig makroökonomischer Natur in Verbindung mit politischen Einflüssen sind. Durch die Kapitalgewichtung innerhalb des Indexfonds besitzen Branchen und einzelne Aktien einen umso größeren Einfluss auf die übergeordnete Wertentwicklung des Marktindex, je höher die Marktbewertung der Branchen oder des Unternehmens ist. Aus diesem Grund unterliegt ein Indexfonds dem grundlegenden Prinzip des prozyklischen Investierens. Es liegt also ein Anlegerverhalten zugrunde, das dem übergeordneten Trend des Marktes unentwegt folgt. Hierbei gehen steigende Kurse unmittelbar mit Kaufaufträgen und fallende Kurse unweigerlich mit Verkaufsaufträgen einher. Im Rahmen von kapitalgewichteten Indexfonds zeigt eine Anfang der 1990er-Jahre getätigte Investition in den MSCI World, der das globale Anlagespektrum im Aktienbereich abdeckt, ein gegenteiliges Bild. Zu diesem Zeitpunkt trugen japanische Aktien bis zu 40 Prozent zu der Indexzusammensetzung des MSCI World bei. Im Verlauf der 1990er Jahre verzeichneten japanische Aktien jedoch massive Kursverluste, was sich auch im übergeordneten Marktindex widerspiegelte. Die Kostenstruktur eines Indexfonds wird vorrangig durch den Einsatz von Derivaten erreicht, die mitunter ein präsentes Kontrahentenrisiko beherbergen, da ein Ausfallrisiko seitens der Vertragspartner im derzeitigen Marktumfeld nicht auszuschließen ist. Vor diesem Hintergrund kann zusammenfassend festgestellt werden, dass Indexfonds einerseits einfach durchführbar sind und andererseits durch deren transparente und günstige Kostenstruktur eine echte Anlagealternative zu aktiv verwalteten Investmentfonds darstellen. Ein Kapitalanleger sollte sich dem zugrundeliegenden prozyklischen Investieren, einem etwaigen Kontrahentenrisiko und den mit der gewichteten Marktkapitalisierung verbundenen Risiken bewusst sein. <?page no="416"?> 416 5 Anwendung des passiven Portfolio Managements 5.9 Zusammenfassung  Die Umsetzung von passiven Anlagestrategien im Portfolio Management verfolgt das grundlegende Ziel, durch Bildung eines Tracking Portfolios die Wertentwicklung einer zugrundeliegenden Benchmark detailliert und kontinuierlich abzubilden.  Die Umsetzung des passiven Portfolio Managements erscheint aufgrund der Prognoseproblematik und bei Ablehnung der Markteffizienzhypothese als äußert vorteilhaft.  Bei Vorlage effizienter Kapitalmärkte kann auf Grundlage eines Informationsvorsprungs und der anschließenden Antizipation von Marktbewegungen langfristig keine Überschussrendite (engl. out-performance) im Vergleich zum zugrundeliegenden Index oder der Benchmark erzielt werden.  Durch die Annahme einer strengen Markteffizienz, eines vergleichsweise schlechten aktiven Portfolio Managements und einer günstigeren Kostenstruktur stellen Investmentfonds eine interessante Anlagemöglichkeit dar.  Die möglichst exakte Nachbildung eines Zielportfolios (Target Portfolio) durch ein tatsächlich realisierbares Portfolio (Tracking Portfolio) wird in der Fachliteratur auch als Index Tracking bezeichnet.  Die Replikation eines Marktindex oder einer Benchmark kann in der Praxis entweder auf Grundlage der jeweiligen Marktkapitalisierung (engl. full replication) vollständig abgebildet oder approximativ mit derivativen Finanzinstrumenten nachgebildet (engl. sampling) werden.  Der Tracking Error beschreibt im Allgemeinen die Standardabweichung der Renditedifferenz zwischen dem Portfolio und der Benchmark. Die Kennzahl quantifiziert, inwieweit die Rendite des Portfolios systematisch von der Benchmark abweichen kann.  Je niedriger der Tracking Error ausfällt, umso mehr entspricht das Risiko des Tracking Portfolios dem Risiko der ausgewählten Benchmark. Je höher der Tracking Error ausfällt, desto größere Abweichungen sind bei der Entwicklung des Tracking Portfolios und der Benchmark festzustellen bzw. zu erwarten.  Das Index Tracking auf Grundlage der relativen Portfoliooptimierung widmet sich maßgeblich der Minimierung des aktiven Risikos des Tracking Portfolios. Die Timing-Komponente wird dabei komplett ausgeblendet.  Eine hinreichend genaue Bestimmung der Alpha- und Beta-Faktoren stellt eine tragende Rolle im Index Tracking dar.  Im Rahmen des Index Trackings kann es aufgrund der verschiedenen Zusammensetzungen des Tracking- und Benchmark-Portfolios zu temporären, jedoch unsystematischen Abweichungen der Rendite kommen. Es kommt zu einem unvermeidbaren Selektionsrisiko. Beim Index Tracking wird deshalb versucht, das angesprochene Selektionsrisiko so gering wie möglich zu halten.  Die Anlage-Universen von Benchmark-Portfolio und Tracking Portfolio unterscheiden sich oftmals sehr stark, da das Tracking Portfolio aus Kostengründen im Vergleich zum Benchmark-Portfolio weitaus weniger Wertpapiere enthält. <?page no="417"?> 5.10 Fragen zu Kapitel 5 417  Die optimale Umsetzung eines Tracking Portfolios nach M ARKOWITZ setzt eine aktive Rendite und auch ein aktives Risiko von null voraus. Die zugrundeliegende Zielfunktion beschreibt die Minimierung des aktiven Risikos des Tracking Portfolios.  Das Tracking Portfolio besitzt unter Umständen eine negative Rendite sowie einen abweichenden Beta-Faktor und enthält dadurch eine unbeabsichtigte Timing- Komponente sowie eine erhebliche Schätzfehlerproblematik.  Das Index Tracking auf Grundlage der linearen Regression konzentriert sich bei der Minimierung der zugrundeliegenden Zielfunktion vorrangig auf die Minimierung der quadrierten aktiven Rendite. Das Index Tracking auf Grundlage einer Regression verfolgt im Rahmen der Optimierung das Ziel, die mittlere quadratische Abweichung zwischen der Rendite des Portfolios und der Benchmark auf ein Mindestmaß zu minimieren.  Die Zielfunktion ist von der Struktur her identisch mit der Funktion der Kleinste- Quadrate-Schätzung bei einer multivariaten linearen Regressionsanalyse. Aus diesem Grund spricht man auch oftmals von einer Regression unter Nebenbedingungen.  Bei der Umsetzung der linearen Optimierung wird einerseits davon ausgegangen, dass ein Kapitalanleger die Rendite der zugrundeliegenden Benchmark unter keinen Umständen unterschreiten möchte, und andererseits, dass der zuständige Portfolio-Manager positive Abweichungen von der Benchmark als durchaus angenehm empfindet. Es liegt also ein einseitiges Risikoverständnis des Kapitalanlegers vor.  Die ideale Umsetzung des Tracking Portfolios auf Grundlage der linearen Optimierung wird hauptsächlich durch die Minimierung der erwarteten Verluste des Kapitalanlegers bei gleichzeitiger Erhaltung von Chancen etwaig auftretender Überschüsse bestimmt. 5.10 Fragen zu Kapitel 5 Frage (1) Im Rahmen des passiven Portfolio Managements wird kontinuierlich versucht, die Wertentwicklung eines Marktindex zu übertreffen.  wahr  falsch Frage (2) Die Methoden des passiven Portfolio Managements unterliegen nicht der Schätzfehlerproblematik.  wahr  falsch Frage (3) Eine wichtige Voraussetzung für die Durchführung des Index Trackings stellt die Annahme einer strengen Markteffizienz dar.  wahr  falsch <?page no="418"?> 418 5 Anwendung des passiven Portfolio Managements Frage (4) Die durch das Index Tracking verwalteten Indexfonds (ETF) zeichnen sich vor allem durch deren günstige Kostenstruktur aus.  wahr  falsch Frage (5) Der Tracking Error beschreibt die Standardabweichung der Renditedifferenz zwischen dem Tracking Portfolio und dem Target Portfolio.  wahr  falsch Frage (6) Je niedriger der Tracking Error ausfällt, umso weniger entspricht das Risiko des Tracking Portfolios dem Risiko der ausgewählten Benchmark. Je höher der Tracking Error dagegen ausfällt, desto größere Abweichungen sind bei der Entwicklung des Tracking Portfolios und der Benchmark festzustellen bzw. zu erwarten.  wahr  falsch Frage (7) Das Index Tracking auf Grundlage der relativen Portfoliooptimierung widmet sich maßgeblich der Minimierung des aktiven Risikos des Tracking Portfolios. Die Timing-Komponente wird dabei berücksichtigt.  wahr  falsch Frage (8) Beim Optimierungsprozess des Index Trackings tritt kein Selektionsrisiko auf.  wahr  falsch Frage (9) Die optimale Umsetzung eines Tracking Portfolios nach M ARKOWITZ setzt demnach eine aktive Rendite als auch ein aktives Risiko von null voraus.  wahr  falsch Frage (10) Die ideale Umsetzung des Tracking Portfolios auf Grundlage der linearen Optimierung wird hauptsächlich durch die Minimierung der erwarteten Verluste des Kapitalanlegers bei gleichzeitiger Erhaltung von Chancen etwaig auftretender Überschüsse bestimmt.  wahr  falsch Frage (11) Es soll ein Tracking Portfolio durch die Minimierung des Tracking Errors bestimmt werden. Investiert werden kann in die drei Aktien A, B und C. Folgende Nebenbedingungen und Ausgangsdaten sind gegeben: <?page no="419"?> 5.10 Fragen zu Kapitel 5 419 − Leerverkäufe sind nicht gestattet − Summe der Gewichte des Portfolios ergibt 1 (Budgetrestriktion) − Die aktive Rendite soll null betragen Die Kovarianzmatrix der drei Aktien A, B und C lautet: Kovarianzmatrix Aktie A Aktie B Aktie C Benchmark Aktie A 0,0023618 0,0019079 0,0022574 0,0016537 Aktie B 0,0019079 0,0016532 0,0019709 0,0011452 Aktie C 0,0022574 0,0019709 0,0023725 0,0024298 Benchmark 0,0016537 0,0011452 0,0024298 0,0018049 Der Erwartungswert der Rendite der drei Aktien und Benchmark lautet: Rendite Aktie A: 16,89 % Rendite Aktie B: 17,45 % Rendite Aktie C: 18,34 % Rendite der Benchmark: 17,87 % Als Ausgangsportfolio für die Optimierung wird ein naives Portfolio mit folgenden Gewichtungen der Märkte A, B und C unterstellt: Gewichtung Aktie A: 33,33 % Gewichtung Aktie B: 33,33 % Gewichtung Aktie C: 33,33 % Folgende Ober- und Untergrenzen der Bestände werden festgelegt: minimal maximal Gewichtung Aktie A: 5 % 50 % Gewichtung Aktie B: 5 % 50 % Gewichtung Aktie C: 5 % 50 % Die Ergebnisse der Optimierung lauten: Gewichte Benchmarkgewichte aktive Gewichte Aktie A: 5 % 0 % 5 % Aktie B: 45 % 0 % 45 % Aktie C: 50 % 0 % 50 % Benchmark: 0 % 100 % -100 % Summe: 100 % 100 % 0 % Der Tracking Error beträgt: 0,00040 Die aktive Rendite beträgt: -0,00013  wahr  falsch Frage (12) Es soll ein Tracking Portfolio durch die Minimierung des Tracking Errors bestimmt werden. Investiert werden kann in die drei Aktien A, B und C. Folgende Nebenbedingungen und Ausgangsdaten sind gegeben: − Leerverkäufe sind nicht gestattet − Summe der Gewichte des Portfolios ergibt 1 (Budgetrestriktion) <?page no="420"?> 420 5 Anwendung des passiven Portfolio Managements − Die aktive Rendite soll null betragen Die Kovarianzmatrix der drei Aktien A, B und C lautet: Kovarianzmatrix Aktie A Aktie B Aktie C Benchmark Aktie A 0,0023618 0,0019079 0,0022574 0,0016537 Aktie B 0,0019079 0,0016532 0,0019709 0,0011452 Aktie C 0,0022574 0,0019709 0,0023725 0,0024298 Benchmark 0,0016537 0,0011452 0,0024298 0,0018049 Der Erwartungswert der Rendite der drei Aktien und der Benchmark lautet: Rendite Aktie A: 16,89 % Rendite Aktie B: 17,45 % Rendite Aktie C: 18,34 % Rendite der Benchmark: 17,87 % Als Ausgangsportfolio für die Optimierung wird ein naives Portfolio mit folgenden Gewichtungen von A, B und C unterstellt: Gewichtung Aktie A: 33,33 % Gewichtung Aktie B: 33,33 % Gewichtung Aktie C: 33,33 % Folgende Ober- und Untergrenzen der Bestände werden festgelegt: minimal maximal Gewichtung Aktie A: 5 % 50 % Gewichtung Aktie B: 5 % 50 % Gewichtung Aktie C: 5 % 50 % Die Ergebnisse der Optimierung lauten: Gewichte Benchmarkgewichte aktive Gewichte Aktie A: 5 % 0 % 5 % Aktie B: 45 % 0 % 45 % Aktie C: 50 % 0 % 50 % Benchmark: 0 % 100 % -100 % Summe: 100 % 100 % 0 % Der Tracking Error beträgt: 0,00020 Die aktive Rendite beträgt: -0,00003  wahr  falsch <?page no="421"?> Literaturverzeichnis zu Kapitel 5 Albrecht, P. 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Passau. <?page no="427"?> Inhaltsübersicht Kapitel 6 6.1 Grundlegende Problematik der klassischen Optimierung ..................................429 6.2 Übersicht über die Modelle und Methoden der robusten Optimierung ...........440 6.3 Modifikation der Input-Parameter ...........................................................................442 6.4 Modifikation des Modells ...........................................................................................502 6.5 Schlussbetrachtung ......................................................................................................553 6.6 Zusammenfassung .......................................................................................................554 6.7 Fragen zu Kapitel 6 ......................................................................................................557 Literaturverzeichnis zu Kapitel 6 ...................................................................................... 561 <?page no="428"?> 6 Verfahren der robusten Portfoliooptimierung Nachdem die vorherigen Kapitel sich mit den theoretischen Grundlagen sowie der praktischen Anwendung des aktiven und des passiven Portfolio Managements befasst haben, möchten wir in diesem Kapitel an die Schwächen der modernen Portfoliotheorie anknüpfen, um darauf aufbauend geeignete Ansätze und Konzepte zu erläutern, die die zugrundeliegende Prognoseproblematik bei der Portfoliooptimierung berücksichtigen. In Abschnitt 6.1 wird zunächst die grundlegende Problematik der Portfoliooptimierung im Umgang mit der Prognoseunsicherheit erläutert. Da der Eintritt von Prognosen unweigerlich mit Unsicherheit behaftet ist, unterliegen die Prognosen der zu erwarteten Renditen, Risiken, Kovarianzen und Korrelationen unter Umständen erheblichen Schätzfehlern. Die in diesem Abschnitt enthaltenen Teilabschnitte 6.1.1 bis 6.1.3 untersuchen die einzelnen Komponenten des Schätzfehlers und beschäftigen sich anschließend mit der Größe der Schätzfehler und ihren Auswirkungen. Nach der Darstellung der Ausgangsproblematik definiert Abschnitt 6.2 den Begriff der robusten Optimierung und liefert darauf aufbauend eine Übersicht geeigneter Ansätze, Konzepte und Modelle zur robusten Portfoliooptimierung. Die dargestellte Übersicht liefert die Grundlage für alle weiteren Ausführungen des vorliegenden Kapitels. Abschnitt 6.3 befasst sich zunächst mit der Modifizierung der in der Portfoliooptimierung zugrunde gelegten Input-Parameter und Eingangsgrößen. In diesem Abschnitt werden einerseits die Ansätze von robusten Schätzverfahren und andererseits die Konzepte der geschrumpften Schätzer beschrieben. In Abschnitt 6.3.1.1 wird einleitend auf die allgemeine Schätzung von Parametern nach der Maximum-Likelihood-Methode eingegangen. Darauf aufbauend wird in Abschnitt 6.3.1.2 die Schätzung von Mittelwerten unter Annahme einer Normalverteilung erläutert. Die Ausführungen zu M-Schätzern und Huber-k-Schätzern in den darauffolgenden Abschnitten 6.3.1.3 und 6.3.1.4 schließen die Darstellungen zu den robusten Schätzern ab. Im Anschluss werden in Abschnitt 6.3.2 zur Erläuterung der geschrumpften Schätzer die Ansätze von J AMES / S TEIN und B AYES / S TEIN sowie L EDOIT / W OLF herangezogen. In Abschnitt 6.3.2.4 werden die zuvor theoretisch formulierten Ansätze und Konzepte abschließend praktisch in Microsoft Excel und MathWorks Matlab umgesetzt und die schrittweise Vorgehensweise umfassend erläutert. In Abschnitt 6.4 wird die klassische Portfoliooptimierung modifiziert, um die angesprochene Prognoseproblematik im Optimierungsprozess unmittelbar zu berücksichtigen. Auf Grundlage dieser Überlegung erfolgt die Vorstellung des B LACK -L IT- TERMAN -Modells in Abschnitt 6.4.1.1. Zu Beginn dieses Abschnitts wird zunächst die Motivation und Zielsetzung des zugrunde gelegten Modells beschrieben, um anschließend in Abschnitt 6.4.1.2 den grundlegenden Aufbau des B LACK -L ITTERMAN - Modells darzustellen und zu erläutern. In Abschnitt 6.4.1.3 wird das theoretische Rahmenwerk des Modells durch dessen mathematische Konzeption und die damit verbundenen Hintergründe ergänzt. Abschnitt 6.4.1.4 befasst sich darauf aufbauend mit der praktischen Anwendung des B LACK -L ITTERMAN -Modells und dessen praktischer Umsetzung in Microsoft Excel und MathWorks Matlab. Die Erläuterungen zum <?page no="429"?> 6.1 Grundlegende Problematik der klassischen Optimierung 429 Ansatz des Portfolio Resamplings schließen die Ausführungen über die Modifizierung der klassischen Portfoliooptimierung ab. Abschnitt 6.5 schließt das vorliegende Kapitel mit einer Schlussbetrachtung ab. Es folgt anschließend eine kurze Zusammenfassung über die wichtigsten Inhalte des Kapitels. Am Ende des Kapitels findet der interessierte Leser in Abschnitt 6.7 einen Fragenkatalog zu den Inhalten dieses Kapitels, um das Selbststudium der dargestellten Themen ein wenig zu erleichtern. Im Rahmen des vorliegenden Kapitels werden zusammenfassend die folgenden zentralen Fragestellungen erläutert:  Welchen Schwächen unterliegt die klassische Portfoliooptimierung nach M ARKO- WITZ ?  Wie wirken sich Schätzfehler auf die Eigenschaften eines Portfolios aus?  Welche Komponenten eines Optimierungsproblems unterliegen einer Schätzfehlerproblematik?  Was ist die robuste Portfoliooptimierung und welche Ansätze und Konzepte liegen ihr zugrunde?  Wie definiert sich die Maximum-Likelihood-Methode?  Was ist der Unterschied zwischen robusten und geschrumpften Schätzern?  Welche Rolle spielen J AMES -S TEIN -, B AYES -S TEIN - und L EDOIT -W OLF -Schätzer im modernen Portfolio Management?  Wie definiert sich das B LACK -L ITTERMAN -Modell, und wie kann es angewendet werden?  In welchem Zusammenhang stehen die Methode des Portfolio Resamplings und die Monte-Carlo-Simulation? 6.1 Grundlegende Problematik der klassischen Optimierung “The unintuitive character of many ‘optimized’ portfolios can be traced to the fact that MV optimizers are, in a fundamental sense, ‘estimation-error maximizers’.” 331 Richard O. Michaud - Präsident und Chief Investment Officer von New Frontier Quelle: © National Association for Business Economics Die Umsetzung des theoretischen Rahmenwerks des „Portfolio-Selection-Modells“ ist in der Praxis häufig mit Problemen verbunden, deren Lösung oftmals einen erheblichen Aufwand erfordert. Obwohl die moderne Portfoliotheorie als theoretische Grundlage für die Bildung und Auswahl von optimalen Portfolios unweigerlich eine Monopolstellung in der Fachliteratur einnimmt, ist die praktische Anwendung je- 331 Vgl. Michaud (1989), S. 33 <?page no="430"?> 430 6 Verfahren der robusten Portfoliooptimierung doch nicht allzu verbreitet: 332 Aus diesem Grund motiviert die zu Beginn dieses Kapitels dargestellte Problematik im Umgang mit dem Modell die Darstellung möglicher Lösungsansätze in Form alternativer Modelle im nachfolgenden Teil des Kapitels. Auf diesem Weg finden zunächst die einzelnen Stufen des Portfolio-Selection- Modells Beachtung. Abb. 142 zeigt den Ablauf des Portfolio-Selection-Prozesses in einem Diagramm. Abb. 142: Der Prozess der Portfoliooptimierung Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Fabozzi et al. (2007), S. 205 Das praktische Verfahren für die Auswahl eines optimalen Portfolios unterteilt sich nach den Ausführungen von M ARKOWITZ (1952) und Abb. 142 in drei hauptsächliche Stufen: [1] Bestimmung aller relevanten Inputfaktoren (Schätzung) [2] Ermittlung der effizienten Portfolios [3] Optimierung und Selektion eines optimalen Portfolios Da die dargestellten Stufen bei ihrer Ausführung den Abschluss der unmittelbar vorangehenden Stufe voraussetzen, ist die erfolgreiche Ausführung der aufgelisteten Stufen unweigerlich voneinander abhängig. Der wissenschaftliche Kern des 1952 durch M ARKOWITZ veröffentlichten Aufsatzes beschränkte sich jedoch bei dessen Veröffentlichung lediglich auf die Darstellung der letzten beiden Stufen. Da sich M ARKOWITZ zu diesem Zeitpunkt noch nicht mit der Ableitung der Inputfaktoren aus Beobachtungen gezielt befasst hatte, ging er bei der Formulierung des „Portfolio-Selection-Modells“ zunächst grundsätzlich davon aus, dass alle benötigten Kenngrößen dem Investor bekannt sein würden. Durch die Festlegung dieser Annahme war es damalig nicht zwingend notwendig; sich mit der ersten Stufe des „Portfolio-Selection-Modells“ genauer auseinanderzusetzen. Obwohl M ARKOWITZ eigentlich überzeugt war, dass es für die Bestimmung der Inputfaktoren eine Möglichkeit geben musste, blieb er der Finanzwelt bis zur Verleihung 332 Vgl. Ceria/ Stubbs (2006), S. 1 Schätzungen der erwarteten Renditen Schätzungen der Volatilitäten und Korrelationen Nebenbedingungen bei der Portfolioauswahl Portfoliooptimierung Rendite-Risiko-Effizienzkurve Optimales Portfolio Ziele des Kapitalanlegers <?page no="431"?> 6.1 Grundlegende Problematik der klassischen Optimierung 431 des Nobelpreises 1990 die Antwort auf diese Frage schuldig. 333 Um eine praktische Anwendung des Portfolio-Selection-Modells zu ermöglichen, musste eine geeignete Vorgehensweise entwickelt werden. Da jedoch die zur Auswahl eines effizienten Portfolios benötigten Kenngrößen; wie etwa die zu erwartenden Renditen, Varianzen und Korrelationen, dem Investor zum Zeitpunkt der Entscheidung unbekannt sind, müssen diese Werte folglich prognostiziert werden. 334 Vor diesem Hintergrund etablierte sich die Verwendung von historischen Mittelwerten als Schätzer für die jeweiligen Erwartungswerte der einzelnen Wertpapiere. Dabei steht die Beschreibung von historischen Kursentwicklungen durch statistische Kennzahlen nicht im Vordergrund der Bemühungen bei der Optimierung von Portfolios, sondern es geht vielmehr um die Bildung von Erwartungen über die zukünftigen Renditen der einzelnen Wertpapiere eines Portfolios. Die Grundlage hierfür liefert die Annahme, dass die zukünftige Rendite eines Wertpapiers eine Zufallsgröße darstellt und aus diesem Grund der Erwartungswert bzw. die Standardabweichung dieser Zufallsvariable geschätzt werden muss. Es wird dabei versucht; aus historischen Ereignissen zukünftige Entwicklungen abzuleiten. 335 Eine realitätsfremde, aber dennoch notwendige Annahme. Aufgrund der Unsicherheit zukünftiger Entwicklungen entspricht die erwartete Rendite eines Wertpapiers einer Zufallsvariablen, die auf Grundlage von vergangenen Ereignissen aus historischen Schlusskursen geschätzt werden muss. Obwohl sich die Methodik der historischen Schätzung durchgesetzt hat, ist der zukünftige Eintritt der Prognosen dennoch mit Unsicherheit behaftet. Schätzbzw. Prognosefehler können somit unter Umständen dazu führen, dass die erwarteten Rückflüsse eines Portfolios nicht wie angenommen eintreten. J OBSON und K ORKIE (1981), B EST und G RAUER (1991), B ROADIE (1993), B RITTEN -J ONES (1999) und D E M I- GUEL et al. (2009) belegen in unterschiedlichen empirischen Studien, dass die erläuterte Grundproblematik der historischen Schätzer unweigerlich zu Mittelwert-Varianz-Portfolios führt, deren Performance in Out-of-Sample-Studien äußerst schlecht ist. 336 Da das Portfolio-Selection-Modell besonders empfindlich auf die Abweichungen zwischen prognostizierten und tatsächlich eingetroffenen Kenngrößen reagiert, kommt es bei der Auswahl von Portfolios häufig dazu, dass die theoretische Auswahl eines Portfolios zum Planungszeitpunkt noch ideal ist, sich aber zu einem späteren Zeitpunkt durch die Schätzfehler in der Praxis weit von der Eigenschaft eines optimalen Portfolios entfernt. Deshalb führen bereits geringste Abweichungen in den Prognosen zu völlig anderen Portfolio-Strukturen. Die Sensitivität des Portfolio- Selection-Modells hat von einer zu niedrigen Rendite bis hin zu einer Überschreitung der Risikovorgaben sehr weitreichende Auswirkungen. 337 Es ist zum Beispiel zu beobachten, dass die Schätzfehler unnötige Turnover im Portfolio und damit einher- 333 Vgl. Schimmel, W. (2009), S. 3 334 Vgl. Hirsch/ Kleeberg (2006), S. 20 335 Vgl. Spremann (2006), S. 139 336 Vgl. DeMiguel et al. (2011), S. 2 337 Vgl. Depcynski, U. (2004a), S. 814 <?page no="432"?> 432 6 Verfahren der robusten Portfoliooptimierung gehende erhöhte Transaktionskosten aufweisen. 338 Investoren und auch Anleger wünschen sich jedoch, dass die zu Beginn der strategischen Asset Allocation festgelegte Portfolio-Struktur auch zukünftig in einem volatilen Marktumfeld nahezu optimal bleibt und keine unnötigen Umschichtungen sowie Transaktionskosten entstehen. 339 Aus diesem Grund verhält sich die Umsetzung der strategischen Asset Allocation im Rahmen des Portfolio-Selection-Modells auch vollkommen entgegengesetzt zu dessen Zielsetzung und gibt Anlass für eine Anpassung der modernen Portfoliotheorie. Da sich zukünftige Entwicklungen unter Umständen von vergangenen Abläufen wesentlich unterscheiden, unterliegt die Schätzung der erwarteten Rendite einer Schätzfehlerproblematik, die unweigerlich dazu führt, dass sich die Struktur eines Portfolios im Zeitablauf von der Zusammensetzung des ursprünglichen optimalen Portfolios entfernen kann. Durch die unregelmäßigen Abweichungen des realen Marktes von der prognostizierten Entwicklung der Wertpapiere existieren über die geschätzte Rendite und Volatilität hinaus noch weitere Szenarien der beiden Parameter, die am Markt eintreten können. Die Anzahl aller möglichen Marktszenarien strebt dabei gegen unendlich. Tab. 38 zeigt sechs mögliche Szenarien, wie sich der Markt in Bezug auf die erwartete Rendite des Wertpapiers und auch die Volatilität entwickeln könnte. Szenario 1 2 3 4 5 6 … ∞ E(r) 2,24 % 2,65 % 3,12 % 1,14 % 1,98 % 3,48 % … -100 % ≤ r i ≤ ∞ Var 4,52 % 8,34 % 3,99 % 5,20 % 4,25 % 10,36 % … Tab. 38: Mögliche Marktszenarien für ein beliebiges Wertpapier Aus Tab. 38 erschließt sich unmittelbar ein weiteres Problem der modernen Portfoliotheorie, das im Portfolio-Selection-Modell keine direkte Beachtung findet. Das Modell beschränkt sich bei der Optimierung eines Portfolios allein auf die prognostizierten Parameter eines denkbaren Szenarios und vernachlässigt dabei alle anderen möglichen Szenarien für die weitere Entwicklung des Marktes. Aus diesem Grund ergibt sich die Notwendigkeit, Ansätze zu entwickeln, die einerseits die unterschiedlichen Marktszenarien mit in die Optimierung integrieren und andererseits vollkommen unabhängig von der Schätzung der zugrundliegenden Variablen sind. Die Fachliteratur spricht in diesem Fall häufig von robuster Optimierung im Portfolio Management. Obwohl der Begriff „robust“ bzw. „Robustheit“ in der Fachliteratur unterschiedlich definiert und ausgelegt wird, 340 erkennt man bei näherer Betrachtung der einzelnen Definitionen, dass sich alle Ausführungen im Grunde auf ein und dasselbe Problem beziehen. Einen Überblick über die verschiedenen Interpretationen des Begriffes „robust“ bzw. „Robustheit“ in Bezug auf unterschiedliche Kontexte gibt etwa J EN (2001). 338 Vgl. Fabozzi (2007), S. 207 339 Vgl. Depcynski, U. (2004b), S. 1076 340 Vgl. Tütüncü/ König (2003), S. 2 <?page no="433"?> 6.1 Grundlegende Problematik der klassischen Optimierung 433 Die Bezeichnung „robust“ beschreibt im Allgemeinen eine wichtige Eigenschaft, die mit den Begriffen stabil, unempfindlich und widerstandsfähig beschrieben werden kann. Um die Interpretationen auf weitere Bereiche auszuweiten, bezeichnet der Begriff „robust“ im mathematischen Kontext einen Ansatz, um die Sensitivität der Ergebnisse durch Ausreißer in den zugrundeliegenden Daten zu verringern. 341 Außergewöhnliche Marktentwicklungen in den historischen Zeitreihen führen zu Verzerrungen in den anschließenden Schätzungen der Input-Parameter, die später in die Optimierung von Portfolios eingehen und so letztlich die Struktur eines Portfolios positiv als auch negativ beeinflussen können. Im Rahmen des Portfolio Managements hängt die Allokation des Kapitals unweigerlich von der prognostizierten Marktentwicklung ab. Da die herkömmlichen Schätzer der klassischen Statistik in der Regel aber sehr sensitiv auf Ausreißer in Form von extremen Marktentwicklungen reagieren, wird im Portfolio Management häufig auf die Methoden der robusten Statistik zurückgegriffen. Die robuste Statistik stellt jedoch lediglich einen möglichen Ansatzpunkt zur Behandlung der Unsicherheit dar. M ULVEY , V ANDERBEI und Z ENIOS (1995) bezeichnen die robuste Optimierung in ähnlicher Weise als eine Variante der mathematischen Programmierung unter Unsicherheit, die zur Lösung von Optimierungsproblemen unter Unsicherheit benötigt wird. Die robuste Portfoliooptimierung bietet im Gegensatz zu den klassischen Portfolio-Selection-Modellen den Vorteil, deutlich weniger sensitiv auf Abweichungen der prognostizierten erwarteten Renditen zu reagieren. Es sei darauf hingewiesen, dass trotz der unterschiedlichen Auslegungen des Begriffes „robust“ in nahezu allen Definitionen auf eine gemeinsame Problematik verwiesen wird. Diese Erkenntnis motivierte eine unabhängige Entwicklung von unterschiedlichen Ansätzen zur Lösung der erläuterten Problematik. Unter den unzähligen Interpretationen kristallisierten sich zwei wesentliche Definitionen heraus, die als Grundlage für die Entwicklung weiterer Ansätze dienten. Der erste Ansatz folgt einer eher allgemeineren Definition des Begriffes „robust“. Demnach kann ein Modell bzw. ein Verfahren in der Regel als besonders „robust“ bezeichnet werden, wenn es die Eigenschaft besitzt, wiederkehrenden Veränderungen grundsätzlich standzuhalten, ohne weitreichende Auswirkungen auf die Ergebnisse befürchten zu müssen. Anders ausgedrückt, wird im Rahmen dieses Ansatzes das Ziel verfolgt, für nahezu alle Realisationen der unsicheren Input-Parameter ausreichend gute Werte zu erzielen. Der zweite Ansatz ist eher pessimistisch geprägt. L OBO und B OYD (2000) als auch T ÜTÜNCÜ und K ÖNIG (2003) greifen in ihren Ausführungen die Grundproblematik erneut auf, verfolgen jedoch mit der Optimierung des „Worst-Case“ einen weitaus pessimistischeren Ansatz. Dabei wird bei der Optimierung eines Portfolios grundsätzlich nach einer Lösung gesucht, welche bei Eintritt des „Worst-Case“ im Ver- 341 Vgl. Kemp (2011), S. 190 <?page no="434"?> 434 6 Verfahren der robusten Portfoliooptimierung gleich zu den Alternativen immer noch das beste Ergebnis liefert. Es wird deutlich, dass beide Interpretationen zu unterschiedlichen Ansätzen mit abweichenden Zielausprägungen führen. In der Fachliteratur existieren unterschiedliche Ansätze, um den Schwächen des Portfolio-Selection-Modells in der praktischen Umsetzung zu begegnen. Die unterschiedlichen Ansätze untergliedern sich hauptsächlich in drei Bereiche: − Ansätze zur robusten Mittelwert-Varianz-Optimierung − Modifikation der Input-Parameter durch robuste Schätzer − Modifikation des klassischen Modells In der Fachliteratur werden einige mögliche Gründe diskutiert, die für die mangelnde Akzeptanz der modernen Portfoliotheorie in der Praxis sprechen. C ERRIA und S TUBBS (2006) liefern dazu das maßgebliche Argument, dass sich die Struktur eines durch den Mittelwert-Varianz-Ansatz ermittelten „optimalen“ Portfolios oftmals dem gesunden Menschenverstand verschließt, da die letztendliche Allokation des Kapitals nahezu unerklärlich und äußerst sensitiv auf die Input-Parameter reagiert. T ÜTÜNCÜ und K ÖNIG (2003) zeigen weiter auf, dass nach dem Ansatz von M ARKOWITZ „optimale“ Portfolios oftmals zu außergewöhnlichen Portfolio-Strukturen entlang der Effizienzkurve neigen. Die Struktur eines optimierten Portfolios konzentriert sich dabei häufig auf einige wenige Titel aus dem verfügbaren Anlageuniversum, wodurch der Erwartungswert-Varianz-Ansatz den Grundgedanken der Diversifikation weit mehr verfehlt als in die Praxis umsetzt. F ABOZZI et. al. (2007) untergliedern die grundlegende Problematik der Mittelwert-Varianz-Optimierung in die folgenden Bestandteile: [1] Sensitivität des Modells in Bezug auf Schätzfehler [2] Die Auswirkungen der Unsicherheit in den Input-Parametern [3] Hoher Aufwand bei der Schätzung von Parametern aus den Stichproben Die dargestellten Schwächen der praktischen Umsetzung lenkten die Aufmerksamkeit führender Mathematiker und Ökonomen auf die Erarbeitung neuer Lösungen. Zunächst werden die angeführten Schwächen in den folgenden Abschnitten im Detail erläutert, um die spätere Darstellung der wichtigsten Ansätze zur Lösung der angesprochenen Kritikpunkte zu motivieren. 6.1.1 Auswirkungen des Schätzfehlers auf die Zusammensetzung von Portfolios Die maßgebliche Problematik des Mittelwert-Varianz-Ansatzes, dass „optimale“ Portfolios bereits auf sehr kleine Veränderungen in den Input-Parametern sehr sensitiv reagieren, ist in der Fachliteratur ausführlich diskutiert und durch Studien belegt worden. C HOPRA und Z IEMBA (1993) zeigen im Rahmen ihrer empirischen Studie auf, dass die Auswirkungen von Schätzrisiken neben den Inputfaktoren auch von der Risikoeinstellung des Investors selbst abhängig sind. Aus den Ergebnissen in Tab. 39 geht hervor, dass sich die Schätzfehler der Renditen bzw. Kovarianzen bei einem Rückgang der Risikoaversion umso stärker auf den durchschnittlichen monetären Verlust auswirken und demnach die Risikoaversion eines Investors in die Diskussion um die Schätzfehler integriert werden sollte. Aus den Ergebnissen von C HOPRA und Z IEMBA (1993) resultiert eine weitere wichtige Erkenntnis über den Um- <?page no="435"?> 6.1 Grundlegende Problematik der klassischen Optimierung 435 gang mit Schätzfehlern. Es besteht kein Zweifel, dass der durch die Portfolio-Allokation implizierte durchschnittliche monetäre Verlust maßgeblich von der erwarteten Rendite der einzelnen Wertpapiere eines Portfolios abhängig ist und demnach den wichtigsten Ansatzpunkt im Umgang mit Schätzrisiken darstellt. Risikoaversion Fehler Renditen vs. Varianzen Fehler Renditen vs. Kovarianzen Fehler Varianzen vs. Kovarianzen hoch ( 𝜆𝜆 = 4) 3,22 5,38 1,67 mittel ( 𝜆𝜆 = 2) 10,98 22,50 2,05 niedrig ( 𝜆𝜆 = 1,33) 21,42 56,84 2,68 Tab. 39: Durchschnittlicher monetärer Verlust im Vergleich. Quelle: Chopra/ Ziemba (1993) Um den Einfluss der Schätzfehler auf die Zusammensetzung eines Portfolios im Detail zu untersuchen, simulierten K EMPF und M EMMEL (2002) im Rahmen ihrer Studie unabhängig vier Aktien unter der Annahme einer Normalverteilung mit den Parametern Φ(μ, σ) . Der Erwartungswert μ und die Standardabweichung σ wurden im Rahmen der Annahmen definiert und als „wahre“ erwartete Rendite bzw. Standardabweichung angenommen. K EMPF und M EMMEL (2002) arbeiteten exemplarisch mit einer erwarteten Rendite von 11,00 % und einer Standardabweichung von 25,00 % aller Kapitalanlagen. Anschließend wurde für einen Zeitraum von 250 Tagen unter der Berücksichtigung einer paarweisen Korrelation von 0,3 die Entwicklung der einzelnen Wertpapiere simuliert. Wie bereits C HOPRA und Z IEMBA (1993) aufzeigten, ist das Ausmaß der Schätzfehler auf die Zusammensetzung eines Portfolios maßgeblich von der Risikoaversion eines Investors abhängig. Das Ausmaß der Schätzfehler auf die Bestandteile eines Portfolios und damit die Performanceattribution ist maßgeblich von der Risikoaversion eines Kapitalanlegers abhängig. Um dennoch unabhängig von der Risikoaversion eines Investors ein Portfolio bilden zu können, berücksichtigen K EMPF und M EMMEL in ihrer Studie eine risikolose Anlage von r f = 6 % , um daraus das Tangentialportfolio im Rahmen der Tobin-Separation (vgl. Kapitel 1) bilden zu können. Tab. 40 zeigt eine exemplarische Darstellung der Ergebnisse von K EMPF und M EMMEL (2002). Aktie erwartete Rendite p.a. Standardabweichung p.a. optimales Gewicht wahr geschätzt wahr geschätzt wahr geschätzt 1 11,00 % 2,39 % 25,00 % 22,85 % 25,00 % -73,19 % 2 11,00 % 8,66 % 25,00 % 22,96 % 25,00 % -13,45 % 3 11,00 % 20,04 % 25,00 % 25,48 % 25,00 % 89,27 % 4 11,00 % 19,31 % 25,00 % 23,13 % 25,00 % 97,37 % Tab. 40: Unterschied „optimaler“ Portfolio-Gewichte. Quelle: Kempf/ Memmel (2002), S. 898 <?page no="436"?> 436 6 Verfahren der robusten Portfoliooptimierung Es ist offensichtlich, dass eine sehr große Diskrepanz in der optimalen Zusammensetzung des Portfolios zwischen den angenommenen „wahren“ Parametern und deren Schätzung vorliegt. In Tab. 40 wird deutlich, dass die Schätzung der erwarteten Rendite sehr stark von dem „wahren“ Wert abweicht, also entweder über- oder unterschätzt wird. J ORION (1985), S HARPE (1987) und H EPP (1990) belegen ebenfalls durch unabhängige empirische Studien, dass die Schätzung der erwarteten Rendite aus historischen Mittelwerten schlechte Prognosen für zukünftige Erträge liefert. Es konnte gezeigt werden, dass die Schätzung von Parametern ebenfalls Risiken unterliegt. Diese werden in der Fachliteratur auch als Schätzrisiken bzw. Schätzfehler bezeichnet. Die Ergebnisse in Tab. 40 spiegeln eine zentrale Schwäche des Markowitz- Ansatzes wider. Es ist offensichtlich, dass bereits geringe Schätzfehler erhebliche Auswirkungen auf die Allokation des Vermögens in einem Portfolio haben. B EST und G RAUER (1991) belegen durch ihre theoretisch und empirisch fundierte Studie die Sensitivität von optimalen Portfolios auf Abweichungen des arithmetischen Mittels, der Varianzen und Kovarianzen. C HOPRA (1993) bestätigt in seiner Studie, dass selbst kleine Abweichungen in den Schätzungen der erwarteten Renditen oder Risiken zu erheblichen Unterschieden in der Allokation (Struktur) „optimaler“ Portfolios führen können. C HOPRA und Z IEMBA (1993) geben den entscheidenden Hinweis, dass sich die Schätzfehler des arithmetischen Mittels, der Varianz und den Kovarianzen jeweils auf die Allokation des Kapitals unterschiedlich stark auswirken und demnach grundsätzlich zu unterscheiden sind. Die Schätzung der erwarteten Rendite weicht oftmals sehr stark von ihrem tatsächlichen Wert ab und wird dementsprechend über- oder unterschätzt. Es steht fest, dass selbst kleine Abweichungen in den Schätzungen der erwarteten Renditen oder Risiken zu erheblichen Unterschieden in der Allokation (Struktur) „optimaler“ Portfolios führen können. Durch die Abweichungen der erwarteten Rendite resultieren Veränderungen in der Struktur des ursprünglichen „optimalen“ Portfolios. Die Divergenz zwischen der Struktur eines Portfolios auf Grundlage einer Schätzung und tatsächlich realisierten Daten kann nur durch regelmäßige Umschichtungen angeglichen werden. Aus ökonomischen Gründen sind Portfolio-Manager bei ihren Entscheidungen jedoch dazu angehalten, eine möglichst geringe Umschichtung des Portfolios zu verfolgen. Die Abweichungen in den erwarteten Renditen stellen deshalb eine mögliche Ursache für eine ineffiziente Anlagestrategie in Verbindung mit hohen Transaktionskosten dar. Im Vergleich der geschätzten und wahren Parameter zwischen der erwarteten Rendite und der Standardabweichung wird darüber hinaus deutlich, dass die Schätzung der Standardabweichung sich wesentlich näher am „wahren“ Wert befindet und eindeutig stabiler ist. 6.1.2 Die einzelnen Komponenten des Schätzfehlers und deren Auswirkungen In den bisherigen Ausführungen bezog sich der Schätzfehler auf die allgemeine Abweichung von geschätzten Werten in einem einheitlichen Kontext. Der Schätzfehler als solches setzt sich jedoch aus unterschiedlichen Komponenten zusammen. Der Ansatz der Portfolioauswahl nach Markowitz setzt neben der Kenntnis <?page no="437"?> 6.1 Grundlegende Problematik der klassischen Optimierung 437 über die erwartete Rendite auch die Kenntnis über die Standardabweichungen und Kovarianzen der Wertpapiere eines Portfolios voraus. Da Investoren jedoch keine Aussagen über den Verlauf der Zukunft mit Sicherheit treffen können, greift man auf die jeweiligen Schätzungen der erwarteten Rendite, Standardabweichungen und Kovarianzen zurück und leitet die Input-Parameter des Markowitz-Ansatzes implizit daraus ab. Aus diesem Grund unterteilt sich der allgemeine Schätzfehler in die jeweiligen Schätzfehler der einzelnen Input-Parameter. Diese Tatsache legt die Vermutung nahe, dass die einzelnen Schätzfehler der erwarteten Renditen, der Kovarianzen und Varianzen unterschiedliche Implikationen auf die Allokation eines Portfolios ausüben. C HOPRA und Z IEMBA (1993) greifen diesen Zusammenhang im Rahmen ihrer empirischen Studie auf. Tab. 40 fasst ihre Ergebnisse zusammen und stellt die Auswirkungen der einzelnen Schätzfehler in Abhängigkeit der Risikoaversion eines Investors dar. Unter der Annahme einer Risikotoleranz von λ = 2 wirken sich demnach die Schätzfehler der erwarteten Rendite im direkten Vergleich ungefähr 11-mal stärker als die Schätzfehler der Kovarianzen auf die Allokation des Portfolios aus. Die Schätzfehler in den Kovarianzen haben im Vergleich zu den Schätzfehlern in den Varianzen eine nahezu um die Hälfte geringere Auswirkung. Aus diesem Grund können die Schätzfehler der Kovarianzen bei der Erarbeitung von robusten Lösungsansätzen vernachlässigt werden. K ALLBERG und Z IEMBA (1984), die bei der Ausarbeitung ihrer Studie grundsätzlich nicht zwischen Varianzen und Kovarianzen unterschieden haben, sowie B EST und G RAUER (1991) kamen zu ähnlichen Ergebnissen. Die nachfolgende Abb. 143 stellt den erläuterten Zusammenhang in Anlehnung an die Ergebnisse von C HOPRA und Z IEMBA (1993) nochmals grafisch dar. Abb. 143: Durchschnittlicher monetärer Verlust in Abhängigkeit vom Schätzfehler Quelle: Chopra/ Ziemba (1993), S. 9 In den bisherigen Erläuterungen wurden entweder die Implikationen des allgemeinen Schätzfehlers auf die Zusammensetzung des Portfolios oder die einzelnen Einflussfaktoren auf den durchschnittlichen monetären Verlust eines Portfolios bezogen. K EMPF und M EMMEL (2002) erweitern die Beispiele und analysieren die Sensitivität des optimalen Portfolios in Abhängigkeit von der erwarteten Rendite, der Standardabweichung und dem Korrelationskoeffizienten. Die Grundlage für die Analyse liefern erneut vier Aktien mit denselben Parametern aus Tab. 40. Das prin- 0 5 10 15 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 äquivalenter monetärer Verlust Ausmaß der Schätzfehler erwartete Renditen Varianzen Kovarianzen <?page no="438"?> 438 6 Verfahren der robusten Portfoliooptimierung zipielle Vorgehen gleicht einer komparativ-statistischen Analyse. Hierbei werden die beobachteten Parameter ausgehend vom „wahren“ Wert mit einer Schrittweite von 0,2 % variiert. Ein Vergleich der optimalen Zusammensetzung eines Portfolios für Aktie 1 wird in Abhängigkeit der verschiedenen Parametervariationen in einem Diagramm in Abb. 144 dargestellt. Abb. 144: Implikationen von Schätzfehlern auf die optimalen Gewichte in Aktie 1 Quelle: Ernst/ Gleißner (2012) bzw. Kempf/ Memmel (2002), S. 900 Abb. 144 bestätigt, dass die ursprünglichen Ergebnisse von C HOPRA und Z IEMBA (1993) durch die Analysen von K EMPF und M EMMEL (2003) belegt werden können. Nach den bisherigen Erläuterungen zu den Schätzfehlern und deren Auswirkungen auf die Portfolio-Gewichte in einem Portfolio resultieren drei zentrale Fragen in Bezug auf das Portfolio Management: − Wie groß sind die Schätzfehler? − Wie können die Auswirkungen der Schätzfehler reduziert werden? − Welche Verfahren eignen sich dazu? 6.1.3 Größe der Schätzfehler für die verschiedenen Parameter Das Ziel, aus historischen Zeitreihen verlässliche Schätzer für die erwartete annualisierte Rendite und die Standardabweichung bestimmen zu können, stellt kein leichtes Unterfangen dar. Bei der Schätzung eines Parameters übernimmt ein Investor durch auftretende Schätzfehler grundsätzlich Schätzrisiken bei der Optimierung seines Portfolios. Eine Möglichkeit, die Güte eines Schätzers zu erhöhen, besteht in der Erhöhung der Qualität der Beobachtungen. Eine Verbesserung kann entweder durch − die Verlängerung des gesamten Schätzzeitraums − oder durch die Unterteilung des Schätzzeitraums in kürzere Intervalle 100% 50% 0% -50% -100% -150% -200% -10% -5% 5% 10% Fehler in der erwarteten Rendite Fehler in der Standardabweichung Fehler im Korrelationskoeffizienten Ausmaß der Fehlschätzung Fehlgewichtung in Aktie 1 100% 50% 0% -50% -100% -150% -200% -10% -5% 5% 10% Fehler in der erwarteten Rendite Fehler in der Standardabweichung Fehler im Korrelationskoeffizienten Ausmaß der Fehlschätzung Fehlgewichtung in Aktie 1 <?page no="439"?> 6.1 Grundlegende Problematik der klassischen Optimierung 439 erfolgen. Es sei jedoch darauf hingewiesen, dass diese Vorgehensweise in der Praxis nicht immer durchführbar ist, da sehr junge Unternehmen meistens noch nicht lange am Kapitalmarkt gehandelt werden und dadurch keine bzw. nur sehr kurze Kurshistorien zu erhalten sind. F RENCH , S CHWERT und S TAMBAUGH (1987) kamen während ihrer empirischen Studie zu der Erkenntnis, dass sich selbst innerhalb relativ kurzer Zeiträume die erwarteten Renditen und Standardabweichungen verändern. Aus diesem Grund erscheint es nicht sinnvoll, als Datengrundlage auf eine sehr lange Kurshistorie zurückzugreifen, da die Parameter sich im Zeitablauf nicht konstant verhalten, sondern ständigen Veränderungen unterworfen sind. Im Gegensatz dazu steht dem Anleger die Wahl der Intervalle des Beobachtungszeitraums nahezu frei. Die Schätzung von Parametern bei der Portfoliooptimierung kann auf der Grundlage von Kurszeitreihen auf Quartals-, Monats-, Wochen- und Tagesbasis erfolgen. Je nachdem für welche Grundlage sich ein Anleger entscheidet, erhöht sich die Anzahl der Beobachtungen entsprechend. Schätzzeitraum T Breite des Konfidenzintervalls 1 Jahr 98,00 % 5 Jahre 43,83 % 10 Jahre 30,99 % 20 Jahre 21,91 % 50 Jahre 13,86 % Tab. 41: Breite des Konfidenzintervalls für den Schätzer der erwarteten Rendite Quelle: Ernst/ Gleißner (2012) bzw. Kempf und Memmel (2002), S. 903 Die Analyse des Konfidenzintervalls bezieht sich stets auf eine zuvor festgelegte Konfidenzwahrscheinlichkeit bzw. ein Konfidenzniveau und erlaubt dadurch eine Aussage über die Höhe des Schätzfehlers zu treffen. Die Breite des Konfidenzintervalls gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Stichprobe für die Schätzung eines Parameters den wahren Parameter enthält. Bei einem Beobachtungszeitraum von einem Jahr enthält die Stichprobe mit einer Wahrscheinlichkeit von 98 % den „wahren“ Parameter. Eine kontinuierliche Verlängerung des Schätzzeitraums auf bis zu 50 Jahre wirkt sich eher kontraproduktiv auf die Häufigkeit der Schätzfehler aus. 342 Die erläuterten Schätzfehler führen im Rahmen der Portfoliooptimierung dazu, dass Wertpapiere mit höheren erwarteten Renditen und niedrigeren Standardabweichungen übergewichtet und umgekehrt Wertpapiere mit niedrigen erwarteten Renditen und hohen Standardabweichungen im Optimierungsprozess untergewichtet werden. Dadurch werden Abweichungen in der Allokation des optimierten Portfolios hervorgerufen. Aus diesem Grund wird der klassische Mittelwert-Varianz-Ansatz von Kritikern in der Fachliteratur auch als „Fehlermaximierer“ bezeichnet. 343 So etwa M ICHAUD (1989, 1998) und B ROADIE (1993). 342 Eine detaillierte Herleitung der grundlegenden Schätzfehlerproblematik in Verbindung mit der Beurteilung des Konfidenzintervalls liefert etwa Spremann (2006), S. 130 ff. 343 Vgl. Fabozzi et al. (2007), S. 211 <?page no="440"?> 440 6 Verfahren der robusten Portfoliooptimierung Einige Kritiker, wie z.B. J OBSON und K ORKIE (1981) und auch J ORION (1985) belegten durch empirische Studien, dass aufgrund der Schätzfehler ein Portfolio mit einer naiven Diversifizierung (vgl. Kapitel 1) einem nach dem Mittelwert-Varianz-Ansatz bzw. der Tobin-Separation (vgl. Kapitel 1) gebildeten und hinsichtlich des Sharpe Ratios optimierten Portfolios überlegen ist. 6.2 Übersicht über die Modelle und Methoden der robusten Optimierung “Economic theory needs to be fundamentally reconsidered. There is an element of uncertainty in economic processes that has been largely unaccounted for.” George Soros - US-amerikanischer Investor (*1930) Quelle: © World Economic Forum Photo by Sebastian Derungs Im Lauf der Zeit sind in der Fachliteratur einige Maßnahmen und geeignete Verfahren zur Reduktion von Schätzfehlern entwickelt worden. Es bestehen in diesem Zusammenhang zwei wichtige Ansatzpunkte für die Entwicklung robuster Methoden in der Portfoliooptimierung. Auf der einen Seite ergibt sich durch die Schätzfehler selbst ein Ausgangspunkt zur Beseitigung von Prognosefehlern in den unterschiedlichen Parametern. Hierbei wird grundsätzlich versucht, besonders robuste Schätzer zu bestimmen, um durch geeignete Verfahren die Güte der Schätzungen zu verbessern. Es wird dabei auf Schätzer zurückgegriffen, die weniger sensitiv auf Ausreißer in den Stichproben reagieren. Zu diesen Verfahren gehören zum einen die Bayes-Schätzer (engl. bayesian estimators) und zum anderen die geschrumpften Schätzer (engl. shrinkage estimators). Auf der anderen Seite stellen die Optimierungsmodelle selbst einen weiteren Ansatzpunkt zur Integration von Unsicherheit in den Prozess der Portfoliooptimierung dar. In diesem Fall greifen die Fachliteratur und die Praxis auf robuste Optimierungsmodelle im Allgemeinen und auf das Black-Litterman-Modell sowie auf das „Portfolio Resampling“ im Speziellen zurück. 344 Abb. 145 untergliedert die einzelnen Verfahren der robusten Statistik nach den zugrundeliegenden Ansatzpunkten und gibt einen kurzen Überblick über die weiteren Inhalte der nachfolgenden Abschnitte. 345 Im Rahmen des vorliegenden Kapitels wurde auf eine detaillierte Darstellung der abgebildeten Verfahren der robusten Erwartungswert-Varianz-Optimierung sowie der Methoden der Portfoliooptimierung auf Grundlage des Value at Risk und 344 Vgl. Fabozzi et al. (2007), S. 207 345 Zum Verständnis der nachfolgenden Abschnitte ist ein grundlegendes Verständnis der induktiven Statistik notwendig. Eine geeignete Einführung in dieses Themengebiet liefert etwa Benjamin Auer / Horst Rottmann (2011), „Statistik und Ökonometrie für Wirtschaftswissenschaftler“, S. 307 ff. <?page no="441"?> 6.2 Übersicht über die Modelle und Methoden der robusten Optimierung 441 Conditional Value at Risk verzichtet. Dem interessierten Leser empfiehlt sich jedoch die Lektüre von F ABOZZI et al. (2007) bzw. R OCKAFELLAR / U RYASEV (1999). Abb. 145: Überblick über die Verfahren der robusten Statistik Quelle: Eigene Darstellung Einen Überblick über die wichtigsten literarischen Vertreter der robusten Statistik und Optimierung gibt Tab. 42, die dem interessierten Leser einen Ausgangspunkt zur Vertiefung der Thematik unterbreiten soll. Methode Vertreter Bayesian-Methoden Barry (1974), Bawa et al. (1979) Bayesian-Methoden i.Verb.m. Asset Pricing Models MacKinley/ Pastor (2000), Pastor (2000), Pastor/ Stambaugh (2000) Robuste Optimierung Cornuejols und Tütüncü (2007), Goldfarb and Iyengar (2003), Garlappi et al. (2007), Rustem et al. (2000), Tütüncü und König (2004) Robuste Bayesian-Optimierung Wang (2005) Robuste Schätzung DeMiguel et al. (2009) Shrinkage DeMiguel et al. (2011) Constraints Best und Grauer (1992), Jagannathan und Ma (2003), DeMiguel et al. (2009) Tab. 42: Überblick über die Vertreter der robusten Statistik Verfahren der robusten Statistik Einführung von Restriktionen Modifikation der Input-Parameter Robuste Schätzer M-Schätzer L-Schätzer Geschrumpfte Schätzer James-Stein- Schätzer Bayes-Stein- Schätzer Modifikation des Modells Black-Litterman Portfolio- Resampling Robuste EVO Alternativen Portfoliooptimierung nach VaR Portfoliooptimierung nach CVaR <?page no="442"?> 442 6 Verfahren der robusten Portfoliooptimierung 6.3 Modifikation der Input-Parameter 6.3.1 Robuste Schätzer Quelle: © WSJ, Donna Alberico “The evidence reveals repeated patterns of irrationality, inconsistency, and incompetence in the ways human beings arrive at decisions and choices when faced with uncertainty.” Peter L. Bernstein - US-amerikanischer Investor und Autor (*1919, †2009) Die Auswirkungen der erläuterten Schätzfehlerproblematik auf die Allokation von Portfolios begründeten die Anwendung alternativer Rendite- und Risikomaße. Auf Grund der beschriebenen Schwächen der klassischen Schätzer wird in den nachfolgenden Abschnitten näher auf robuste Schätzer und deren Einsatz im Portfolio Management eingegangen. Die induktive Statistik unterteilt die Schätzung von unbekannten Parametern grundsätzlich in die zwei Bereiche: − die Punktschätzer und die − Intervallschätzer Die grundlegende Problematik bei der Schätzung von Parametern spiegelt sich in der Erkenntnis wider, dass die Verteilung der Grundgesamtheit und dadurch auch die gemeinsame Verteilung der Stichprobenvariablen X unbekannt ist. Aus diesem Grund beschreibt bei einer Punktschätzung ein numerischer Schätzwert 𝜗𝜗� aufgrund des Ergebnisses einer betrachteten Stichprobe mit 𝑒𝑒 1 , 𝑒𝑒 2 , … , 𝑒𝑒 𝑠𝑠 den unbekannten Parameter 𝜗𝜗 346 der Verteilung einer Grundgesamtheit. Ein solcher Schätzwert resultiert aus der Verarbeitung der beobachteten Stichprobenergebnisse in Form einer sogenannten Stichprobenfunktion. 347 Diese Funktion Θ� = 𝑛𝑛(𝑋𝑋 1 , 𝑋𝑋 2 , … , 𝑋𝑋 𝑠𝑠 ) (6.1) wird im Allgemeinen auch als Schätzer bzw. Schätzfunktion bezeichnet. Da der Eintritt der Stichprobenvariablen 𝑒𝑒 1 , 𝑒𝑒 2 , … , 𝑒𝑒 𝑠𝑠 mit Unsicherheit behaftet ist, stellen diese Zufallsvariablen dar, weshalb auch Θ� als eine Funktion der n Zufallsvariablen eine Zufallsvariable verkörpert. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Θ� wird in diesem Zusammenhang auch als Stichprobenverteilung von Θ� bezeichnet. In diesem Fall liefert der Schätzer Θ� die Schätzung 𝜗𝜗 � = 𝑛𝑛(𝑋𝑋 1 , 𝑋𝑋 2 , … , 𝑋𝑋 𝑠𝑠 ) , wobei 𝜗𝜗� die konkrete Realisation der Zufallsvariable Θ� ist. Die Schätzfunktion stellt eine mathematische Darstellung der formalen Vorgehensweise für die Bestimmung eines Schätzwertes 346 Hinweis: 𝜗𝜗 ist der Kleinbuchstabe von Θ im griechischen Alphabet 347 Vgl. Auer/ Rottmann (2011), S. 331 <?page no="443"?> 6.3 Modifikation der Input-Parameter 443 aus den Stichprobenergebnissen dar. 348 Es verbleibt der Hinweis, dass die Notationen einer allgemeinen Schätzung in der Fachliteratur, wie auch im nachfolgenden, mit „Dächern“ gekennzeichnet sind. Die bisherigen Bemühungen bei der Ermittlung der erwarteten Rendite und der Standardabweichung konzentrierten sich ausschließlich auf das Stichprobenmittel bzw. das arithmetische Mittel und die Stichprobenvarianz. Parameter Schätzer arithmetisches Mittel 𝜇𝜇 Stichprobenmittel 𝜇𝜇� 𝑒𝑒� = 1 𝑏𝑏 � 𝑋𝑋 𝑖𝑖 𝑠𝑠 𝑖𝑖=1 Varianz 𝜎𝜎 2 Stichprobenvarianz 𝜎𝜎� 2 𝜎𝜎� 2 = 𝑏𝑏 𝑏𝑏 − 1 �(𝑋𝑋 𝑖𝑖 − 𝑋𝑋�) 2 𝑠𝑠 𝑖𝑖=1 Tab. 43: Übersicht „klassische“ Schätzer Am nachfolgenden Beispiel soll die Notwendigkeit einer Anpassung des klassischen Schätzers gezeigt werden. Beispiel: Die durchschnittliche Schrittlänge eines Menschen Es soll nachfolgend die durchschnittliche Schrittlänge eines Menschen aus einer Stichprobe von 8 Probanden ermittelt werden. Obwohl eine Stichprobe von 8 Personen aus empirischer Sicht keinesfalls die Grundgesamtheit widerspiegeln kann, möchten wir das nachfolgende Beispiel trotzdem nutzen. Nr. 1 2 3 4 5 6 7 8 Schrittlänge 112 cm 108 cm 103 cm 114 cm 106 cm 139 cm 102 cm 107 cm Auf Grundlage der Daten ergibt sich nun eine durchschnittliche Schrittlänge von 111,375 cm. Bei der Betrachtung der Schrittlängen der einzelnen Probanden bemerkt man, dass der 6. Proband offensichtlich aus dem Rahmen der Stichprobe fällt, da er eine unverhältnismäßig hohe Schrittlänge von 139 cm besitzt. Bei einer Reduzierung der verfügbaren Probanden auf letztlich 7 Personen ergibt sich ohne Berücksichtigung des 6. Probanden eine durchschnittliche Schrittlänge von 107,43 cm. Die Analyse erwägt den Anschein, dass die durchschnittliche Schrittlänge durch den Ausreißer in Form von Proband Nr. 6 hätte unterschätzt werden können, falls Proband Nr. 6 zufällig nicht in die Stichprobe mit aufgenommen worden wäre. In diesem Fall liegt der repräsentative Anteil in Wirklichkeit wesentlich hö-her. Das Beispiel zeigt trotz statistischer Schwächen auf, dass es beim arithmetischen Mittel schon bei einem bzw. einigen wenigen Ausreißern zu unerwünschten Verzerrungen des Lagemaßes kommen kann. 348 Vgl. Auer/ Rottmann (2011), S. 332 <?page no="444"?> 444 6 Verfahren der robusten Portfoliooptimierung Eine intuitive Erklärung für diese Beobachtung liefert die Tatsache, dass bei der Auswahl der Stichprobe oftmals nicht alle Werte der Grundgesamtheit zur Verfügung stehen, oder ausgewählt werden, und somit lediglich eine Stichprobe der Daten vorliegt. 349 Eine weitere Ursache für die Existenz von Verzerrungen in den Schätzwerten zeichnet sich in der methodischen Gleichgewichtung der Stichprobenvariablen bei der Bestimmung des arithmetischen Mittels ab. Diese maßgebliche Schwäche der klassischen Schätzer motivierte die Entwicklung robuster Schätzverfahren und deren Anwendung im Portfolio Management. Der Begriff „robust“ wurde erstmals in der statistischen Fachliteratur durch B OX (1953), T UKEY (1960) und H ODGES und L EHMAN (1963) eingeführt und im Rahmen ihrer einzelnen Arbeiten in unterschiedlichen Kontexten diskutiert. Als Grundlage für die spätere Darstellung robuster Schätzer soll zunächst das Prinzip der Maximum-Likelihood-Methode kurz eingeführt und dargestellt werden 350 . 6.3.1.1 Allgemeine Schätzung des Mittelwerts durch die Maximum-Likelihood-Methode Der sogenannten Maximum-Likelihood-Methode (engl. maximum likelihood estimation) liegt ein einfaches mathematisches Prinzip zugrunde und die Methode wird in der ökonometrischen Fachliteratur allgemeinhin auch als ML-Schätzer bezeichnet. Bei der Schätzung eines unbekannten Parameters 𝜗𝜗 wird dieser so gewählt, dass die beobachtete Stichprobe für deren Verteilung mit diesem Parameter am wahrscheinlichsten ist. 351 Mit anderen Worten wird der Parameter von 𝜗𝜗 gesucht, bei dem die Stichprobenvariablen 𝑒𝑒 1 , 𝑒𝑒 2 , … , 𝑒𝑒 𝑠𝑠 den größten Wert der Dichtefunktion besitzen. Die Maximum-Likelihood-Methode verfolgt als parametrisches Schätzverfahren grundsätzlich das Ziel, genau denjenigen Parameter zu finden, der die Wahrscheinlichkeit maximiert, mit welcher der gesuchte Parameter in der untersuchten Stichprobenverteilung enthalten ist. Um den Parameter 𝜗𝜗 zu bestimmen, greifen wir auf die „Likelihood-Funktion“ zurück: 𝑓𝑓 𝑒𝑒 𝑖𝑖 ,…,𝑒𝑒 𝑛𝑛 (𝑒𝑒 𝑖𝑖 , … , 𝑒𝑒 𝑠𝑠 |𝜗𝜗) = 𝑓𝑓 𝑒𝑒 (𝑒𝑒 1 |𝜗𝜗) ∙ … ∙ 𝑓𝑓 𝑒𝑒 (𝑒𝑒 𝑠𝑠 |𝜗𝜗) bzw. � 𝑓𝑓 𝑒𝑒 (𝑒𝑒 𝑖𝑖 |𝜗𝜗) 𝑠𝑠 𝑖𝑖=1 (6.2) Die beiden dargestellten Gleichungen charakterisieren die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion bzw. -dichte der n Stichprobenvariablen 𝑒𝑒 1 , 𝑒𝑒 2 , … , 𝑒𝑒 𝑠𝑠 unter der Voraussetzung, dass diese unabhängig und identisch verteilt sind und einen unbekannten Parameter 𝜗𝜗 besitzen. Die Likelihood-Funktion beschreibt für jeden festen Wert 349 Vgl. Brosius (1998), S. 375 350 Vgl. Neubauer (1994), S. 392 351 Vgl. Beucher (2007), S. 195 <?page no="445"?> 6.3 Modifikation der Input-Parameter 445 von 𝜗𝜗 eine n-dimensionale Wahrscheinlichkeitsfunktion bzw. -dichte. 352 Stattdessen lässt sich auch umgekehrt für feste Realisationen 𝑒𝑒 1 , 𝑒𝑒 2 , … , 𝑒𝑒 𝑠𝑠 die Dichte als Funktion von 𝜗𝜗 darstellen. 353 Es ergibt sich demnach diese Funktion: 𝐿𝐿(𝜗𝜗|𝑒𝑒 1 , … , 𝑒𝑒 𝑠𝑠 ) = � 𝑓𝑓 𝑒𝑒 (𝑒𝑒 𝑖𝑖 |𝜗𝜗) 𝑠𝑠 𝑖𝑖=1 bzw. 𝐿𝐿(𝜗𝜗) = 𝑓𝑓(𝑒𝑒 1 , … , 𝑒𝑒 𝑠𝑠 |𝜗𝜗) (6.3) Das grundlegende Prinzip der Maximum-Likelihood-Methode zur Konstruktion einer entsprechenden Schätzfunktion besteht in der Maximierung der soeben dargestellten Likelihood-Funktion. Der Grundsatz der ML-Schätzung eines unbekannten Parameters 𝜗𝜗 besagt, dass der Parameter 𝜗𝜗 für die Stichprobe 𝑒𝑒 1 , 𝑒𝑒 2 , … , 𝑒𝑒 𝑠𝑠 so zu wählen ist, dass dessen Wahrscheinlichkeit (engl. likelihood) maximal ist, d.h. 𝐿𝐿(𝜗𝜗) = max 𝜗𝜗 𝐿𝐿(𝜗𝜗) bzw. 𝑓𝑓�𝑒𝑒 1 , 𝑒𝑒 2 , … , 𝑒𝑒 𝑠𝑠 �𝜗𝜗�� = max 𝜗𝜗 𝑓𝑓(𝑒𝑒 1 , 𝑒𝑒 2 , … , 𝑒𝑒 𝑠𝑠 |ϑ) (6.4) Das bedeutet, dass der ML-Schätzer für eine konkrete Stichprobe 𝑒𝑒 1 , 𝑒𝑒 2 , … , 𝑒𝑒 𝑠𝑠 einen Schätzwert 𝜗𝜗 liefert. Aus rechnerischen Gründen erscheint es zweckmäßig, den Logarithmus der Schätzfunktion zu verwenden, da in diesem Fall mit Summen anstatt mit Produkten gerechnet werden kann. 354 Ein weiterer Grund für die Verwendung des Logarithmus findet sich in der Maximierung der Funktion durch das Ableiten und Nullsetzen der Schätzfunktion, da es dabei meist zu ungewöhnlichen Ausdrükken kommen kann. 355 Aus diesem Grund wird für die weiteren Betrachtungen der ML-Schätzer unter Beachtung der Log-Likelihood-Funktion definiert als: ln 𝐿𝐿(𝜗𝜗) = �ln (𝑓𝑓(𝑒𝑒 𝑖𝑖 |𝜗𝜗)) 𝑠𝑠 𝑖𝑖=1 (6.5) sodass für die Bestimmung des Maximums der Funktion die Lösungen von: 𝑒𝑒 𝑒𝑒𝜗𝜗 𝐿𝐿(𝜗𝜗) = 0 bzw. 𝑒𝑒 𝑒𝑒𝜗𝜗 𝑳𝑳(𝜗𝜗) = 0 (6.6) zu ermitteln sind. 6.3.1.2 Schätzung des Mittelwerts unter der Annahme einer Normalverteilung Soll der Mittelwert einer Stichprobe 𝑒𝑒 1 , 𝑒𝑒 2 , … , 𝑒𝑒 𝑠𝑠 unter der Annahme einer Normalverteilung mit den Parametern Φ(𝜇𝜇, 𝜎𝜎 2 ) unter Anwendung der Maximum-Likelihood-Methode geschätzt werden, muss die Verteilung der Stichprobenvariablen in die Konstruktion des Schätzers für den Mittelwert 𝜇𝜇 miteinfließen. Die Dichte ergibt sich in diesem Sinne bei stetigen Variablen wie folgt: 352 Vgl. Auer / Rottmann (2011), S. 331 353 Vgl. Fahrmeir et al. (2006), S. 376 354 Vgl. Beucher (2006), S. 197 355 Vgl. Fahrmeier et al. (2006), S. 377 <?page no="446"?> 446 6 Verfahren der robusten Portfoliooptimierung 𝑓𝑓(𝑒𝑒 𝑖𝑖 |𝜇𝜇, 𝜎𝜎) = 1 𝜎𝜎√2𝜋𝜋 𝑒𝑒 − (𝑒𝑒 𝑖𝑖 −𝜇𝜇) 2 2𝜎𝜎 2 ∙ 1 𝜎𝜎√2𝜋𝜋 𝑒𝑒 − (𝑒𝑒 𝑖𝑖 −𝜇𝜇) 2 2𝜎𝜎 2 ∙∙∙ 1 𝜎𝜎√2𝜋𝜋 𝑒𝑒 − (𝑒𝑒 𝑖𝑖 −𝜇𝜇) 2 2𝜎𝜎 2 𝑓𝑓(𝑒𝑒 𝑖𝑖 |𝜇𝜇, 𝜎𝜎) = � 1 𝜎𝜎√2𝜋𝜋� 𝑠𝑠 𝑒𝑒 − 1 2𝜎𝜎 2 ∑ (𝑒𝑒 𝑖𝑖 −𝜇𝜇) 2 𝑛𝑛𝑖𝑖=1 (6.7) In Bezug auf die soeben dargestellte Dichtefunktion ergibt sich die Log-Likelihood- Funktion gemäß: ln � 1 𝜎𝜎√2𝜋𝜋� 𝑠𝑠 − 1 2𝜎𝜎 2 �(𝑒𝑒 𝑖𝑖 − 𝜇𝜇) 2 𝑠𝑠 𝑖𝑖=1 (6.8) Nach dem Differenzieren dieser Gleichung nach 𝜇𝜇 und Nullsetzen der Ableitung und anschließender Auflösung erhält man die ursprüngliche Gleichung für die Schätzung des Mittelwerts auf Grundlage des arithmetischen Mittels (siehe Tab. 43). 356 6.3.1.3 M-Schätzer Die Gruppe der M-Schätzer stellt eine Verallgemeinerung der populären Maximum-Likelihood-Methode, der sogenannten ML-Schätzer, dar. � 𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜗𝜗 (−log (𝑓𝑓(𝑒𝑒 𝑖𝑖 | 𝑠𝑠 𝑖𝑖=1 𝜗𝜗))) = 0 (6.9) Am Ende von Abschnitt 6.3.1 wurde deutlich, dass man unter Annahme einer Normalverteilung mit unbekanntem Erwartungswert 𝜇𝜇 erneut durch eine entsprechende Differenzierung der Funktion bzw. Ableitung mit anschließender Auflösung zum arithmetischen Mittel gelangt. Aufgrund der dargestellten Schwächen dieses Ansatzes verfolgen wir das Ziel, ein robustes Verfahren zu entwickeln, das nicht allzu sensitiv auf Ausreißer in einer Stichprobe reagiert. Es wird dabei versucht, den Einfluss extremer Werte bei der Bestimmung eines Lagemaßes zu verringern. Obwohl die Methodik bei der Berechnung von M-Schätzern der allgemeinen Vorgehensweise nahezu entspricht, finden sich trotzdem einige wichtige Unterschiede. Im Gegensatz zum arithmetischen Mittel, welches bei der Berechnung eine Gleichgewichtung der Stichprobenvariablen 𝑒𝑒 1 , 𝑒𝑒 2 , … , 𝑒𝑒 𝑠𝑠 vornimmt, werden die einzelnen Stichprobenvariablen 𝑒𝑒 1 , 𝑒𝑒 2 , … , 𝑒𝑒 𝑠𝑠 bei der Berechnung des M-Schätzers unterschiedlich gewichtet. Als Faustregel gilt: Je stärker eine Stichprobe von den übrigen Werten positiv als auch negativ abweicht, desto geringer ist das Gewicht dieser Stichprobe, das in die Berechnung des M-Schätzers miteinfließt. 357 Da die Bestimmung der anteiligen Gewichte einer Stichprobe grundsätzlich vom Grad der Entfernung zu den verbleibenden Stichproben abhängig ist, stellt diese Eigenschaft ein maßgebliches Kriterium zur Unterscheidung der verschiedenen M-Schätzer dar. Die M-Schätzer berücksichtigen bei ihrer Berechnung eventuelle Schätzfehler durch die gezielte Untergewichtung von Stichprobenelementen, die von ihren übrigen Stichprobenwerten positiv wie auch negativ abweichen. Je stärker die 356 Vgl. Genschel/ Becker (2005), S. 124 bzw. Beucher (2006), S. 199 357 Vgl. Brosius (1998), S. 375 <?page no="447"?> 6.3 Modifikation der Input-Parameter 447 Abweichungen ausfallen, umso geringer geht der Stichprobenwert in die Berechnung des M-Schätzers mit ein. Um den Einfluss von Ausreißern auf Schätzwerte angemessen verringern zu können, wird die Funktion − log�𝑓𝑓(𝑒𝑒|𝜗𝜗)� durch die Funktion 𝑒𝑒(𝑒𝑒|𝜗𝜗) ersetzt, da diese weniger sensitiv auf Ausreißer reagiert. Durch das Auflösen der nachfolgenden Gleichung resultiert ein M-Schätzer für eine Stichprobe der Größe n : 𝜗𝜗� = 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑏𝑏 𝜗𝜗 � 𝜌𝜌(𝑒𝑒 𝑒𝑒 |𝜗𝜗) 𝑠𝑠 𝑖𝑖=1 wobei 𝜌𝜌(𝑒𝑒 𝑒𝑒 |𝜗𝜗) (6.10) In Formel (6.10) stellt 𝑒𝑒(𝑒𝑒 𝑒𝑒 |𝜗𝜗) eine beliebige Funktion dar. Ist die Funktion p stetig, kann die erste Ableitung der Funktion 𝜌𝜌 nach dem gewählten Parameter 𝜗𝜗 auch einfacher ermittelt werden, indem die nachfolgende Gleichung aufgelöst wird: �𝜓𝜓(𝑒𝑒 𝑖𝑖 |𝜗𝜗) 𝑠𝑠 𝑖𝑖=1 = 0 mit 𝜓𝜓(𝑒𝑒 𝑖𝑖 |𝜗𝜗) = 𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜗𝜗 𝜌𝜌(𝑒𝑒 𝑖𝑖 |𝜗𝜗) (6.11) Aus der ersten Ableitung resultiert die sogenannte Einflussfunktion (IF), die in der Fachliteratur im Allgemeinen auch als 𝜓𝜓 -Funktion (Psi-Funktion) bekannt ist. Die Einflussfunktion IF beschreibt die Sensitivität eines Schätzers, da die Definition einer Einflussfunktion je nach Formulierung bewirkt, dass Ausreißer nur in begrenztem Maße Implikationen auf den Schätzwert ausüben können. Die Einflussfunktion verdeutlicht im Allgemeinen den Einfluss einer zusätzlichen Beobachtung zu einer bestehenden Stichprobe in Form einer Kurve. Aus diesem Grund stellt die Sensitivität eine beliebte Kennzahl zur Beschreibung der Eigenschaften eines Schätzers auf. 358 𝐼𝐼𝑍𝑍(𝑒𝑒|𝑍𝑍, 𝑇𝑇) = 𝜓𝜓(𝑒𝑒|𝑇𝑇(𝑍𝑍 0 )) − ∫ 𝜓𝜓 ′ �𝑒𝑒�𝑇𝑇(𝑍𝑍 0 )�𝑍𝑍 0 (𝑒𝑒𝑒𝑒) (6.12) Die Einflusskurve eines M-Schätzers verhält sich dabei grundsätzlich proportional zu 𝜓𝜓 (Psi). 359 Der Bruchpunkt eines Schätzverfahrens ist eine weitere wichtige Eigenschaft bei der Beurteilung eines robusten Schätzers. Bei der Ermittlung des Bruchpunkts wird eine beliebige Auswahl an Beobachtungen manipuliert, von denen jedoch einige Elemente mit den ursprünglichen Beobachtungen übereinstimmen. Nach der Bestimmung des Maximums über alle adjustierten Stichproben über mehrere Durchgänge lässt sich der „Zusammenbruch“ (engl. breakdown) der Schätzung ermitteln. 360 358 Vgl. Ruckstuhl (2008), S. 4 ff. 359 Vgl. Huber (1963), S. 14 360 Vgl. Ruckstuhl (2008), S. 4 ff. <?page no="448"?> 448 6 Verfahren der robusten Portfoliooptimierung 6.3.1.4 Huber-k-Schätzer Die unterschiedlichen Typen an M-Schätzern unterscheiden sich maßgeblich durch die Definition der zugeordneten Schätzfunktion 𝜌𝜌 . Die Kleinste-Quadrate-Methode, der Huber-k-Schätzer, der Hampel-Schätzer, der Andrews-Wave-Schätzer und Tukey’s Biweight-Schätzer gehören zu den geläufigsten Schätzfunktionen im Rahmen der M-Schätzer-Familie. Die nachfolgende Tab. 44 gibt einen kurzen Überblick über die wichtigsten Parameter. Durch die Berücksichtigung der Schätzung des Skalenparameters werden die unterschiedlichen Skalenwerte der jeweiligen Stichprobe in den Schätzwert miteinbezogen, um eine Skaleninvarianz zu erreichen. Eine Skaleninvarianz liegt bei einer Schätzfunktion vor, wenn sich selbst bei einer Veränderung der Betrachtungsgrößen in Form einer Reskalierung die wesentlichen Eigenschaften dieser Funktion nicht ändern. 361 Methode 𝝆𝝆(𝒛𝒛) 𝛙𝛙(𝒛𝒛) kleinste Quadrate 𝜌𝜌 𝐾𝐾𝐾𝐾 (𝑧𝑧) = 𝑧𝑧 2 2 ψ 𝐾𝐾𝐾𝐾 (𝑧𝑧) = 𝑧𝑧 Huber-k-Schätzer 𝜌𝜌 𝐻𝐻 (𝑧𝑧) = ⎩ ⎨⎧ 𝑧𝑧 2 2 𝑚𝑚|𝑧𝑧| − 𝑒𝑒 2 2 𝑓𝑓ü𝑚𝑚 |𝑧𝑧| ≤ 𝑚𝑚 𝑓𝑓ü𝑚𝑚 |𝑧𝑧| > 𝑚𝑚 ψ 𝐻𝐻 (𝑧𝑧) = � 𝑧𝑧 𝑚𝑚 𝑍𝑍𝑛𝑛𝑏𝑏 (𝑧𝑧) 𝑓𝑓ü𝑚𝑚 |𝑧𝑧| ≤ 𝑚𝑚 𝑓𝑓ü𝑚𝑚 |𝑧𝑧| > 𝑚𝑚 Tab. 44: Übersicht Schätzfunktionen Quelle: Andere siehe http: / / de.wikipedia.org/ wiki/ M-Schätzer Abb. 146: Übersicht M-Schätzer. Quelle: Zhang (1995), S. 36 361 Vgl. Klein (2001), S. 53 <?page no="449"?> 6.3 Modifikation der Input-Parameter 449 In der ursprünglichen Definition des M-Schätzers wurde die Standardabweichung als Skalenparameter verwendet. Es stellte sich jedoch heraus, dass die Standardabweichung nicht robust genug ist und dadurch kein allzu hoher Bruchpunkt erreicht werden kann. Bei der Verwendung eines robusten Skalenschätzers hingegen werden häufig höhere Bruchpunkte erreicht. Hierzu bezeichnen wir 𝑍𝑍 𝑠𝑠 als einen robusten Schätzer des Skalenparameters. In diesem Fall wird häufig auf den Median Absolute Deviation (MAD) zurückgegriffen. 362 𝑍𝑍 𝑠𝑠 = 𝑀𝑀𝑆𝑆𝐷𝐷 = 𝑚𝑚𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑖𝑖 | 𝑒𝑒 𝑖𝑖 − 𝑚𝑚𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑖𝑖 𝑒𝑒 𝑖𝑖 | (6.13) Daraus ergibt sich eine mögliche Schätzfunktion 𝜌𝜌 des M-Schätzers, welche skaleninvariant ist, gemäß der nachfolgenden Form: 𝑧𝑧 𝑖𝑖 = 𝑒𝑒 𝑖𝑖 − 𝜗𝜗 𝑍𝑍 𝑠𝑠 (6.14) R UCKSTUHL (2008) empfiehlt eine Korrektur des Skalenparameters vorzunehmen, um eine noch konsistentere Schätzung für die Standardabweichung bei einer Normalverteilung zu erhalten. Es ergibt sich der sogenannte 𝑆𝑆 𝑀𝑀𝐵𝐵𝑀𝑀 , der den Skalenparameter 𝑍𝑍 𝑠𝑠 ersetzen soll. 𝑆𝑆 𝑀𝑀𝐵𝐵𝑀𝑀 = 𝑚𝑚𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑖𝑖 | 𝑒𝑒 𝑖𝑖 − 𝑚𝑚𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑖𝑖 𝑒𝑒 𝑖𝑖 | 0.6745 (6.15) Die Wendepunkte der 𝜓𝜓 − 𝑍𝑍𝑎𝑎𝑏𝑏𝑚𝑚𝑡𝑡𝑖𝑖𝑆𝑆𝑏𝑏 werden anschließend durch die Wahl einer geeigneten Konstante k bestimmt. In der Regel wird die Konstante in Abhängigkeit der Verteilung festgelegt, sodass der jeweilige Schätzer eine relative Effizienz von 95 % besitzt. 363 Die 𝜓𝜓 − 𝑍𝑍𝑎𝑎𝑏𝑏𝑚𝑚𝑡𝑡𝑖𝑖𝑆𝑆𝑏𝑏 nach H UBER besitzt eine Konstante von k = 1,345. Abb. 147 verdeutlicht nochmals die Wahl einer geeigneten Konstante in Verbindung mit dem dazugehörigen Verlauf der Einflusskurve. Abb. 147: Auswirkungen der Konstante k auf die Einflussfunktion (Phi-Funktion) Quelle: Eigene Darstellung 362 Vgl. Ruckstuhl (2008), S. 9 363 Vgl. ebd. k=0,5 k=1,5 k=2,5 <?page no="450"?> 450 6 Verfahren der robusten Portfoliooptimierung Obwohl der Median und auch die Mittlere Absolute Abweichung (MAD) klassische Vertreter der Gruppe robuster Schätzer darstellen, greift man im Portfolio Management aufgrund der besseren Eigenschaften hauptsächlich auf M-Schätzer zurück. 364 Es lässt sich für viele Schätzfunktionen 𝜌𝜌 leider keine explizite mathematische Lösung angeben, sodass die Lösung numerisch bestimmt werden muss. Die Berechnung des M-Schätzers lässt grundsätzlich zwei unterschiedliche Methoden zu. Einerseits kann der M-Schätzer nach der Newton-Methode ermittelt werden, andererseits kann der Schätzwert auch durch eine iterative Neugewichtung der kleinsten Quadrate (engl. iterated reweighted least squares) bestimmt werden. In beiden Fällen wird die Lösung näherungsweise bestimmt. Als Alternative zu den M-Schätzern gibt H UBER (2004) den Hinweis auf die L- und R-Schätzer, die eine weitere Möglichkeit der robusten Schätzung darstellen. Obwohl die robuste Schätzung von Parametern und die robuste Portfoliooptimierung in der finanzwirtschaftlichen Fachliteratur und Praxis im Allgemeinen auf unterschiedliche Art und Weise angewendet und umgesetzt werden, kann offensichtlich ein grundsätzlicher positiver Einfluss robuster Schätzer auf die Zusammensetzung von Portfolios im Zeitablauf aus unterschiedlichen Quellen empirisch nachgewiesen werden. In der Fachliteratur werden dabei maßgeblich drei unterschiedliche Forschungsgebiete im Umgang mit robusten Methoden im Portfolio Management unterschieden. Eine Reihe an empirischen Studien, so etwa C AVADINI et al. (2001), V AZ - DE M ELO und C AMARA (2003), P ERRET -G ENTIL und V ICTORIA -F ESER (2004) sowie W ELSCH und Z HOU (2007) ersetzen die ursprüngliche Kovarianz-Matrix der jeweiligen Wertpapierrenditen durch eine entsprechende robuste Schätzung dieser Kovarianz-Matrix, während D E M IGUEL und N OGALES (2009) M- und S-Schätzer direkt in den Prozess der Portfoliooptimierung integrieren. Im Rahmen dieser Studie belegten D E M IGUEL und N OGALES auf der Grundlage von simulierten und empirischen Renditen die stabilisierende Wirkung der M- und S-Schätzer auf die Allokation eines Portfolios im Zeitablauf. In beiden Fällen handelt es sich um robuste Schätzungen von Parametern. Eine weitere Alternative stellen die Studien zur robusten Portfoliooptimierung dar, auf die in den nachfolgenden Kapiteln noch detaillierter eingegangen wird. 6.3.2 Geschrumpfte Schätzer “Forecasts can be injurious to your wealth.” Dean LeBaron - Investmentmanager und Antizykliker (*1933) Quelle: © Dean LeBaron Im vorigen Abschnitt konnten durch die Modellierung einer geeigneten Schätzfunktion die Güte und Stabilität der Schätzwerte verbessert werden. Dabei spielte vor allem die Gewichtung der einzelnen Stichprobenergebnisse bei der Implementierung eine entscheidende Rolle. In den nachfolgenden Abschnitten steht im Umgang 364 Vgl. DeMiguel/ Nogales (2009), S. 2 <?page no="451"?> 6.3 Modifikation der Input-Parameter 451 mit der Prognoseunsicherheit im Rahmen der Portfoliooptimierung die direkte Anpassung der Schätzwerte im Mittelpunkt der Bemühungen. Bei der Entwicklung der geschrumpften Schätzer wurde auf den populären Ansatz der Bayes’schen Statistik zurückgegriffen. Der Bayes’sche Ansatz verfolgt die grundlegende Idee, dass durch die Anpassung der mit Unsicherheit behafteten Input- Parameter an einen festgelegten Wert oder Prior 365 eine Verbesserung des Schätzverfahrens erreicht werden kann. Der Prior spiegelt entweder einen zufälligen Wert oder eine wohlbegründete Vermutung über den zukünftigen Wert eines Parameters auf der Grundlage historischer Entwicklungen wider. Im Rahmen dieser Annahmen können die Erwartungen der langfristigen Renditen oder Volatilitäten der betrachteten Assetklassen zum Ausdruck kommen. Im Allgemeinen erfordert die Anwendung von Bayes-Prioren ein Maß an intuitiver Struktur als auch die Kenntnis der langfristigen Erwartungen der Modellinputs. 366 Die geschrumpften Schätzer verfolgen mit der Einführung eines Priors maßgeblich die Grundsätze der Bayes’schen Statistik. Es wird dabei grundsätzlich eine Verbesserung des Schätzverfahrens angestrebt, indem die mit Unsicherheit behafteten Schätzungen an einen festgelegten Prior angepasst werden. Im Rahmen einer Studie belegte C HARLES S TEIN (1955) schon vor einem halben Jahrhundert, dass selbst unter sehr allgemeinen Bedingungen die Schätzung des Mittelwerts einer Stichprobe keine verlässlichen Aussagen über eine multivariate Grundgesamtheit zulässt. F ABOZZI et al. (2007) kommen vor diesem Hintergrund ebenfalls zu der Erkenntnis, dass das arithmetische Mittel einer N-dimensionalen multivariat verteilten Zufallsvariablen im Hinblick auf deren quadratischen Verlustfunktion: 𝐿𝐿(𝜇𝜇, 𝜇𝜇�) = (𝜇𝜇 − 𝜇𝜇�) ′ Σ −1 (𝜇𝜇 − 𝜇𝜇�) (6.16) nicht unbedingt den besten Schätzer darstellt. Eine Statistik gilt nach M ICHAUD (2008) im Allgemeinen erst als anerkannt, falls keine andere Statistik existiert, welche bessere Ergebnisse liefert. Obwohl S TEIN s Ergebnisse unmittelbar den Rückschluss zulassen, dass es durchaus gleichmäßigere statistische Ansätze zur Schätzung von unbekannten Parametern gibt, verwundert es umso mehr, dass die Investment-Branche in der Vergangenheit oftmals die Potenziale alternativer Ansätze gänzlich ignoriert hat. 367 R ASMUSSEN (2003) gibt als mögliche Ursache von S TEIN s Schlussfolgerungen an, dass Informationen in einer multivariaten Verteilung enthalten sind, die bei der individuellen Betrachtung nicht sichtbar und demnach bei der Berechnung des Mittelwerts einer Stichprobe nicht berücksichtigt werden können. Im Rahmen der Ermittlung der erwarteten Rendite eines Wertpapiers und der Schätzung des dazugehörigen Stichprobenmittelwerts werden durch die individuelle und getrennte Betrachtung der historischen Kurse eines einzelnen Wertpapiers andere wichtige (potenzielle) Informationen ausgeblendet und nicht berücksichtigt, die wo- 365 Der Begriff Prior kommt ursprünglich aus der Statistik und gibt im Rahmen der Bayes’schen Regel die A-Priori-Wahrscheinlichkeit an. In diesem Fall bezieht sich die Bedeutung des Begriffes auf einen abgeänderten Kontext. 366 Vgl. Rasmussen (2003), S. 240 367 Vgl. Michaud (2008), S. 69 <?page no="452"?> 452 6 Verfahren der robusten Portfoliooptimierung möglich in den verschiedenen historischen Zeitreihen der verbleibenden Wertpapiere enthalten sein könnten. 368 R ASMUSSEN ist aus diesem Grund davon überzeugt, dass die Berücksichtigung aller relevanten Informationen eine multivariate Schätzung der Wertpapierrenditen erforderlich macht. Die gleichzeitige Schätzung von Wertpapierrenditen, Volatilitäten und Korrelationen kann unter bestimmten Bedingungen Informationen enthalten, die bei einer univariaten Schätzung nicht berücksichtigt werden können. Diese zusätzlichen Informationen können in Form der angegebenen Priore in die Schätzung der erwarteten Rendite miteinfließen. 369 Vor diesem Hintergrund geht die Entwicklung der nachfolgend dargestellten Stein- Schätzer auf die Erkenntnisse von S TEIN (1955) zurück. Einige Zeit später führten J AMES und S TEIN (1961) den James-Stein-Schätzer ein, der als Grundlage für die Entwicklung weiterer Schätzer diente. In Verbindung mit den nachfolgenden Abwandlungen des ursprünglichen James-Stein-Schätzers wird dieser in der Fachliteratur auch häufig nur als Stein-Schätzer bezeichnet. Es kann also gegenwärtig auf mehrere robuste Schätzer auf der Grundlage des ursprünglichen Stein-Schätzers für die Anwendung in der Mittelwert-Varianz-Optimierung zurückgegriffen werden. Abb. 148: Entwicklung in der Schätzung unbekannter Parameter In der gegenwärtigen Fachliteratur existieren neben den drei Hauptvertretern der Schrumpfungs-Schätzer auch noch weitere Abwandlungen für die Auswahl von Portfolios. 370 Der wesentliche Teil beschränkt sich jedoch auf die aufgeführten Schätzer: [1] Schätzer auf der Grundlage der Schrumpfung des Mittelwerts der Wertpapierrenditen [2] Schätzer auf der Grundlage der Schrumpfung der Kovarianz-Matrix der Wertpapierrenditen [3] Schätzer auf der Grundlage der direkten Schrumpfung der Portfolio-Gewichte Ein kurzer historischer Abriss gibt einen Überblick über die wichtigsten Schrumpfungs-Schätzer und Aufschluss über deren Einordnung. Neben J AMES und S TEIN (1961) und der Einführung des klassischen James-Stein-- 368 Vgl. Stähle (2005), S. 52 369 Vgl. Rasmussen (2003), S. 240 370 Vgl. Ledoit und Wolf (2003), S. 3 <?page no="453"?> 6.3 Modifikation der Input-Parameter 453 Schätzers beziehen sich weitere Ansätze alleinig auf die Schätzung der Wertpapierrenditen. J ORION (1986) führte in diesem Zusammenhang einige Zeit später auf dem grundlegenden Prinzip des ursprünglichen James-Stein-Schätzers den Bayes-Stein- Ansatz ein. F ROST und S AVARINO (1986) übertrugen das Prinzip der James-Stein- Schätzung auch auf die Varianz, sodass neben der erwarteten Rendite auch die Kovarianzen unterschiedlicher Wertpapiere geschätzt werden konnten. L EDOIT und W OLF (2003) griffen die vorangegangenen Erkenntnisse auf und entwickelten auf der Grundlage der Kovarianz-Matrix aus einer Stichprobe und dem Single-Index-Modell nach S HARPE (1963) einen weiteren Schrumpfungs-Schätzer. Schon ein Jahr später vereinfachten L EDOIT und W OLF (2004) die Implementation ihres geschrumpften Schätzers durch die Annahme konstanter Korrelationen. K AN und Z HOU (2007) dagegen verfolgen einen ganz anderen Ansatz. Im Rahmen ihrer Studie entdeckten beide eine Möglichkeit, die Portfolio-Gewichte auf direktem Wege zu schrumpfen. In den nachfolgenden Abschnitten erfolgt eine kurze Darstellung der wichtigsten Vertreter der Schrumpfungs-Schätzer. 6.3.2.1 James-Stein-Schätzer Der James-Stein-Schätzer verfolgt das grundlegende Ziel, durch die Anwendung von Bayes’schen Prioren die Auswirkungen von Schätzfehlern signifikant zu reduzieren. Die Methodik des James-Stein-Schätzers veranlasst eine Anpassung der einzelnen Stichprobenwerte an den durchschnittlichen Mittelwert der Renditen über alle Wertpapiere (engl. grand mean) hinweg. Die Berichtigung der einzelnen Stichprobenwerte in Richtung eines durchschnittlichen Mittelwerts aller Wertpapiere wird auch als Schrumpfung (engl. shrinkage) bezeichnet. Aus diesem Grund spricht man in diesem Zusammenhang auch oftmals von Schrumpfungs-Schätzern. Die Methodik der Schrumpfung zeichnet sich in Form einer Glättung der einzelnen Stichprobenwerte ab und verhindert dadurch extreme Werte in einer Stichprobe. 371 In diesem Fall dient die durchschnittliche Rendite aller Wertpapiere als Prior für die anschließende Bestimmung der erwarteten Rendite aller Wertpapiere. Der Grad der Schrumpfung der einzelnen Renditen wird typischerweise durch deren Abstand zu der durchschnittlichen Rendite aller Wertpapiere bestimmt. Je größer der Abstand zwischen den einzelnen Renditen und der durchschnittlichen Rendite aller Wertpapiere ist, umso mehr werden die einzelnen Stichprobenwerte der einzelnen Renditen in Richtung der durchschnittlichen Rendite aller Wertpapiere geschrumpft. 372 Der James-Stein-Schätzer ist wie folgt definiert: 𝜇𝜇� 𝐽𝐽𝑆𝑆 = (1 − 𝜑𝜑)𝜇𝜇� + 𝜑𝜑 𝜇𝜇 𝑑𝑑 𝜏𝜏 mit 𝜇𝜇� = [𝑚𝑚̅ 𝑖𝑖 … 𝑚𝑚̅ 𝑁𝑁 ] (6.17) als Vektor von N historischen Mittelwerten der Rendite eines jeden Wertpapiers, sodass: 371 Vgl. Stähle (2005), S. 53 372 Vgl. Rasmussen (2003), S. 242 <?page no="454"?> 454 6 Verfahren der robusten Portfoliooptimierung 𝑚𝑚̅ 𝑖𝑖 = 1 𝑚𝑚 � 𝑚𝑚 𝑖𝑖,𝑟𝑟 𝑒𝑒−1 𝑟𝑟=𝑒𝑒−𝑖𝑖 (6.18) mit k als Anzahl der Beobachtungen in der Stichprobe (Schätzzeitraum) für Wertpapier bzw. Assetklasse i . Die durchschnittliche Rendite aller Wertpapiere bzw. über alle Assetklassen hinweg (engl. grand mean) ergibt sich durch folgende Gleichung: 𝜇𝜇 𝑑𝑑 = 1 𝑏𝑏 � 𝑚𝑚̅ 𝑖𝑖 𝑁𝑁𝑖𝑖 (6.19) Das Gewicht bzw. der Schrumpfungsfaktor ergibt sich gemäß: 𝜑𝜑 = min �1, 𝑁𝑁 − 2 𝑇𝑇(𝜇𝜇� − 𝜇𝜇 𝑑𝑑 𝑒𝑒)′Σ −1 (𝜇𝜇� − 𝜇𝜇 𝑑𝑑 𝑒𝑒)� (6.20) c stellt in diesem Fall einen Vektor mit Einsen 𝜏𝜏 = [1,1, … ,1]′ dar. Die Auflösung von Gleichung (6.17) in Verbindung mit Formel (6.20) bewirkt eine Schrumpfung der einzelnen historischen Renditen in Richtung der durchschnittlichen Rendite aller Wertpapiere (engl. grand mean). Der Schrumpfungsfaktor w umfasst einen Bereich von 0 bis 1. Es gilt: Je mehr sich der Wert des Gewichts w an den Wert 1 annähert, umso mehr werden die Stichprobenmittelwerte in Richtung der durchschnittlichen Rendite aller Wertpapiere bzw. Assetklassen geschrumpft. Im Gegensatz zum Stichprobenmittelwert besitzt der James-Stein-Schätzer einen geringeren quadratischen Verlust. N stellt dabei die Dimension der Zufallsvariablen X und enthält die Anzahl der Wertpapiere in einem Portfolio. T begründet in diesem Fall die Anzahl der Beobachtungen in der Stichprobe. Obwohl sicherlich eine Auswahl der Komponente 𝜇𝜇 𝑑𝑑 existiert, ist es erstaunlich, dass die Annahme nahezu jeden Wertes möglich ist. In der Fachliteratur wird in diesem Zusammenhang vom Stein-Paradox gesprochen. Der Vektor 𝜇𝜇 𝑑𝑑 𝑒𝑒 in den vorangegangenen Gleichungen bezeichnet das Ziel der Schrumpfung und das Gewicht 𝜑𝜑 beschreibt die Intensität bzw. den Faktor der Schrumpfung. 373 Der James-Stein-Schätzer passt die einzelnen Stichprobenwerte auf Grundlage des langfristigen Mittels über alle Assetklassen und Wertpapiere eines Portfolios hinweg an. Der Grad der Anpassung wird maßgeblich durch den Faktor φ bestimmt. Die Auffassung einer optimalen Schrumpfung von historischen Renditen in Richtung eines Priors ist ein wenig irreführend, da die angestrebte Optimalität einer Schrumpfung der eines „optimalen“ Portfolios ähnelt. Ob und inwieweit eine Schrumpfung optimal ist, kann nur ex post festgestellt werden, wobei das Ergebnis unweigerlich vom ausgewählten Prior abhängig ist. Der James-Stein-Schätzer und auch die nachfolgend dargestellten robusten Schätzverfahren behalten aus statistischer Sicht ein gewisses Maß an Optimalität. 374 Nachdem die Frage der Optimalität beantwortet ist, sollen anschließend die Eigenschaften und Einflussfaktoren des Schrumpfungs-Faktors bzw. Gewichts w untersucht werden. 373 Vgl. Fabozzi et al. (2007), S. 216 374 Vgl. Rasmussen (2003), S. 243 <?page no="455"?> 6.3 Modifikation der Input-Parameter 455 Die Betrachtung der Gleichung (6.20) gibt Aufschluss über die einzelnen Einflussfaktoren des Schrumpfungsfaktors. Es wird deutlich, dass der Schrumpfungsfaktor hauptsächlich von der gesamten Anzahl an Beobachtungen im Schätzzeitraum, der Anzahl der Wertpapiere bzw. Assetklassen, der Varianz-Kovarianz-Matrix Σ sowie dem Abstand zwischen den individuellen durchschnittlichen historischen Renditen der einzelnen Wertpapiere bzw. Assetklassen und der durchschnittlichen Rendite aller Wertpapiere bzw. Assetklassen abhängig ist. Abb. 149 bestätigt die Erkenntnisse aus der Betrachtung der Formel (6.20). Schon ab einer Anzahl von 50 Beobachtungswerten in einer Stichprobe reduziert sich die Schrumpfung der Stichprobenmittelwerte auf nunmehr 60 %. Bei einer Anzahl von 100 Beobachtungswerten sinkt der Anteil der geschrumpften Stichprobenmittelwerte bereits auf 30 % und nimmt bei einer Anzahl von 500 Beobachtungswerten im Schätzzeitraum nur noch einen verschwindend geringen Anteil an. Die Höhe des Schrumpfungsfaktors und somit die Schrumpfungsintensität ist von der gesamten Anzahl an Beobachtungen im Schätzzeitraum, der Anzahl der Wertpapiere bzw. Assetklassen, der Varianz-Kovarianz-Matrix sowie dem Abstand zwischen den individuellen durchschnittlichen historischen Renditen der einzelnen Wertpapiere bzw. Assetklassen und der durchschnittlichen Rendite aller Wertpapiere bzw. Assetklassen abhängig. Abb. 149: Schrumpfungs-Faktor des JS-Schätzers in Abhängigkeit von den Beobachtungen Quelle: Rasmussen (2003), S. 244 Es kann beobachtet werden, dass der Grad der Schrumpfung bei einer geringen Anzahl an Beobachtungswerten im Schätzzeitraum einer Stichprobe ansteigt und sich bei einer Erhöhung der Beobachtungswerte gegenteilig entwickelt. Abb. 149 greift diesen Zusammenhang nochmals auf. Der Umfang der in einem Portfolio enthaltenen Assetklassen übt ebenfalls einen großen Einfluss auf den Schrumpfungsfaktor aus. Darüber hinaus beeinflussen der Abstand der einzelnen Stichprobenmittelwerte vom durchschnittlichen Mittelwert über alle Wertpapiere und ein höheres Niveau an Kovarianz den Schrumpfungsfaktor positiv, sodass dieser ansteigt. 0% 20% 40% 60% 80% 100% 120% 1 25 50 100 200 500 1,000 10,000 Shrinkage Anzahl Beobachtungswerte <?page no="456"?> 456 6 Verfahren der robusten Portfoliooptimierung Die Intensität der Schrumpfung steigt bei einer geringen Anzahl an Beobachtungswerten im Schätzzeitraum einer Stichprobe an und nimmt bei einer Erhöhung der Beobachtungswerte ab. Eine intuitive Erklärung für die Auswirkungen der einzelnen Komponenten des Schrumpfungsfaktors ist, dass ein hohes Risiko einen hohen Schrumpfungsfaktor erfordert. Ein hohes Risiko besitzt jedoch unterschiedliche Ursachen. Eine verhältnismäßig geringe Anzahl an Beobachtungswerten lässt unter Umständen das Risiko von erheblichen individuellen Schätzfehlern ansteigen. In diesem Fall muss der Schrumpfungsfaktor in gleichem Maße ansteigen, um die entstehenden Schätzfehler zu kompensieren. In einem anderen Fall zieht ein signifikanter Anstieg der Wertpapiere oder Assetklassen in einem Portfolio eine Erhöhung der Mittelwerte nach sich. Da die Zunahme an Wertpapieren in einem Portfolio unmittelbar zu einer linearen Erhöhung der Stichprobenwerte (Renditen) und linear einem quadratischen Anstieg der Kovarianz-Terme führt, besteht die Schätzfehlerproblematik bei großen Portfolios im besonderen Maße. Aus diesem Grund gewinnt die Reduzierung von Schätzfehlern für Portfolios mit einer ansteigenden Anzahl an Wertpapieren und Assetklassen an Bedeutung. Eine weitere kritische Determinante des Schrumpfungsfaktors stellt ein Anstieg der Kovarianzen dar. Ein damit einhergehender Anstieg der Volatilitäten und Korrelationen zwischen den einzelnen Wertpapieren und Assetklassen erfordert in Verbindung mit einer entsprechenden Erhöhung der numerischen Werte und der absoluten Schätzfehler einen höheren Schrumpfungsfaktor. Alle erläuterten Faktoren beeinflussen das Ausmaß des Schrumpfungsfaktors. 375 Beispiel: Die Anwendung des James-Stein-Schätzers Im Rahmen dieses Beispiels folgt der Vergleich des James-Stein-Schätzers zu den herkömmlich geschätzten erwarteten Renditen. Hierbei wurde maßgeblich auf die adjustierten Schlusskurse der Wertpapiere aus dem bereits zuvor vorgestellten Ausgangsportfolio zurückgegriffen. Aus der vorliegenden Datengrundlage ergab sich entsprechend Formel (6.20) ein Schrumpfungsfaktor in Höhe von 𝜑𝜑 = 0,44 . Auf Basis des ermittelten Schrumpfungsfaktors konnten anschließend die erwarteten Renditen der einzelnen Wertpapiere des Portfolios mit Hilfe des James-Stein-Schätzers bestimmt werden. Aus der Schätzung ergaben sich die in Tab. 45 dargestellten Ergebnisse. 𝝋𝝋 = 𝟎𝟎, 𝟒𝟒𝟒𝟒 ABT BA COST CSCO IBM INTC MRK MSFT T XOM erwart. Rendite 3,10 % 0,74 % 4,53 % 4,27 % 5,21 % -3,47 % 2,75 % 2,32 % 1,07 % 7,89 % J-S- Schätzer 2,99 % 1,67 % 3,79 % 3,64 % 4,17 % -0,68 % 2,79 % 2,55 % 1,85 % 5,66 % Tab. 45: Logarithmierte Rendite im Vergleich zum James-Stein-Schätzer 375 Vgl. Rasmussen (2003), S. 244 <?page no="457"?> 6.3 Modifikation der Input-Parameter 457 Im Anschluss an die tabellarische Darstellung der Prognoseergebnisse können die Schätzungen ebenfalls gemäß Abb. 150 in Form eines Balkendiagramms visualisiert werden. Es zeigt sich, dass zwischen der herkömmlichen Schätzung der erwarteten Rendite und der Prognosen mit Hilfe des James-Stein-Schätzers nur geringfügige Unterschiede bestehen. Zieht man jedoch in Betracht, dass die klassiche Portfoliooptimierung bereits auf sehr geringe Abweichungen in den erwarteten Renditen sehr sensitiv reagiert, sollte der Einfluss des James-Stein-Schätzers im Kontext der Portfoliooptimierung nicht unterschätzt werden. Abb. 150: Geschätzte und geschrumpfte Renditen im Vergleich Nachdem die erwarteten Renditen auf Grundlage des James-Stein-Schätzers erfolgreich ermittelt wurden, können diese als Input-Parameter in die Portfoliooptimierung einfließen. Wird die Portfoliooptimierung für verschiedene Zielrenditen durchgeführt, ergibt sich dementsprechend eine Effizienzkurve. Abb. 151 zeigt zwei unterschiedliche Effizienzkurven, die einerseits auf der Grundlage herkömmlicher erwarteter Renditen und andererseits mit James-Stein-Schätzungen ermittelt wurden. Abb. 151: Effizienzkurven und Portfolio-Gewichte im Vergleich Quelle: Eigene Darstellung, Matlab Es wird deutlich, dass die Effizienzkurve der James-Stein-Schätzer deutlich unter der herkömmlichen Effizienzkurve liegt, obwohl die absoluten Abweichungen der dargestellten Schätzverfahren nur geringfügig voneinander abweichen. Werden -10% 0% 10% James-Stein-Schätzer historische Renditen <?page no="458"?> 458 6 Verfahren der robusten Portfoliooptimierung jedoch die einzelnen Portfoliogewichte entlang der gesamten Effizienzkurve gemeinsam in einem Flächendiagramm dargestellt, erscheint auf den ersten Blick auffällig, dass die Portfoliogewichte beim Vergleich offensichtlich nur geringfügig abweichen. Bei genauerer Betrachtung stellt man jedoch fest, dass sich die Portfoliogewichte auf der horizontalen Achse verschoben haben. Man stellt in diesem Zusammenhang auch fest, dass sich währenddessen die Zuordnung der erwarteten Rendite respektive verändert hat. Abb. 152 stellt diesen Zusammenhang in einem Flächendiagramm ausführlich dar. Abb. 152: Effizienzkurven und Portfolio-Gewichte im Vergleich Quelle: Eigene Darstellung, Matlab 6.3.2.2 Bayes-Stein-Schätzer Der zweite Ansatz zur Schrumpfung von Stichprobenwerten geht auf J ORION (1986) zurück. Im Gegensatz zum soeben dargestellten James-Stein-Schätzer stellt die Bayes’-sche Statistik letztlich den entscheidenden methodischen Zugang zum Bayes- Stein-Schätzer dar. Obwohl das grundlegende Prinzip des Bayes-Stein-Schätzers sich von den ursprünglichen Methoden unterscheidet, verfolgt auch J ORION eine Schrumpfung der Stichprobenmittelwerte in Richtung eines geglätteten Wertes. Aus diesem Grund zählt der Bayes-Stein-Schätzer ebenfalls zur Gruppe der Schrumpfungs-Schätzer. 376 J ORION zeigt auf, dass die durchschnittliche Rendite aller 376 Vgl. Stähle (2005), S. 55 <?page no="459"?> 6.3 Modifikation der Input-Parameter 459 Wertpapiere (engl. grand mean) in etwa der durchschnittlichen Rendite des Minimum-Varianz-Portfolios entspricht. Im Gegensatz zu James-Stein greift J ORION auf Grundlage dieser Erkenntnis auf die durchschnittliche Rendite des Minimum-Varianz-Portfolios zurück. Der Ersatz der durchschnittlichen Rendite aller Wertpapiere lässt sich auf die Beobachtung zurückführen, dass die Zusammensetzung des Minimum-Varianz-Portfolios grundsätzlich nahezu unabhängig von der erwarteten Rendite und Risikoaversion eines Investors ist, und demnach eine geringere Anzahl an Schätzfehlern aufzeigt. 377 Die Parameter zur Beschreibung der Verteilung des Priors werden für gewöhnlich unabhängig von der Stichprobe festgelegt. J ORION dagegen leitet alle notwendigen Parameter im Rahmen des Bayes’schen Ansatzes unmittelbar empirisch ab, was den Bayes-Stein-Schätzer im Vergleich zu seinen Konkurrenten überlegen erscheinen lässt. Der Bayes-Stein-Schätzer wird demnach wie folgt definiert: 𝜇𝜇� 𝐵𝐵𝑆𝑆 = (1 − 𝜗𝜗)𝜇𝜇� + 𝜗𝜗 𝜇𝜇� 𝑀𝑀𝑉𝑉𝑃𝑃 𝜏𝜏 𝜇𝜇 𝑔𝑔 = 𝜏𝜏′ Σ −1 𝜇𝜇� 𝜏𝜏′ Σ −1 𝜏𝜏 mit 𝜗𝜗 = 𝑁𝑁+2 (𝑁𝑁+2)+𝑇𝑇(�𝜇𝜇�−𝜇𝜇 𝑔𝑔 𝜏𝜏� ′ Σ −1 �𝜇𝜇�−𝜇𝜇 𝑔𝑔 𝜏𝜏�) und 𝜏𝜏 = [1,1, … ,1]′ (6.21) Obwohl der ein oder andere Wert von 𝜇𝜇 𝑔𝑔 zu besseren oder schlechteren Schätzwerten führt, ist es erstaunlich, dass 𝜇𝜇 𝑔𝑔 tatsächlich jeden beliebigen Wert annehmen könnte. Die Fachliteratur bezieht sich in diesem Zusammenhang auf das sogenannte Stein-Paradox. 378 Z ELLNER und C HETTY (1965) schlagen zur Schätzung der Kovarianz-Matrix folgende Anpassung vor: Σ� = 𝑇𝑇 − 1 𝑇𝑇 − 𝑁𝑁 − 2 𝑆𝑆 (6.22) Abb. 151 zeigt, dass sich die Effizienzkurve nach der Schrumpfung mit dem Bayes- Stein-Schätzer dem Minimum-Varianz-Portfolio annähert, wobei der Abstand zwischen der ursprünglichen Effizienzkurve und der geschrumpften Effizienzkurve unter anderem durch die Intensität der Schrumpfung bestimmt wird. Beispiel: Die Anwendung des Bayes-Stein-Schätzers Im Rahmen dieses Beispiels folgt der Vergleich des Bayes-Stein-Schätzers zu den herkömmlich geschätzten erwarteten Renditen. Aus der vorliegenden Datengrundlage ergab sich entsprechend Formel (6.21) ein Schrumpfungsfaktor in Höhe von 𝜗𝜗 = 0,47. Auf Basis des ermittelten Schrumpfungsfaktors konnten anschließend die erwarteten Renditen der einzelnen Wertpapiere des Portfolios mit Hilfe des Bayes-Stein-Schätzers bestimmt werden. Nachdem die erwarteten Renditen auf Grundlage des Bayes-Stein-Schätzers erfolgreich ermittelt wurden, können diese als Input-Parameter in die eigentliche Portfoliooptimierung einfließen. Wird die Portfoliooptimierung jeweils für ver- 377 Vgl. Wagner (2010), S. 25 378 Vgl: Fabozzi (2007), S. 216 <?page no="460"?> 460 6 Verfahren der robusten Portfoliooptimierung schiedene Zielrenditen durchgeführt, ergibt sich dementsprechend eine Effizienzkurve (vgl. Kapitel 1). Abb. 153 zeigt aufgrund der unterschiedlichen Schätzverfahren und Input-Parameter zwei verschiedene Effizienzkurven. Abb. 153: Effizienzkurven und Portfolio-Gewichte im Vergleich Quelle: Eigene Darstellung, Matlab Es wird deutlich, dass die Effizienzkurve des Bayes-Stein-Schätzers deutlich unter der herkömmlichen Effizienzkurve liegt. Werden jedoch die einzelnen Portfoliogewichte entlang der gesamten Effizienzkurve gemeinsam in einem Flächendiagramm dargestellt, erscheint es ähnlich den Ergebnissen des James-Stein-Schätzers auf den ersten Blick eher auffällig, dass die Portfoliogewichte beim Vergleich offensichtlich nur geringfügig abweichen. Bei genauerer Betrachtung stellt man jedoch fest, dass sich die Portfoliogewichte tatsächlich auf der horizontalen Achse verschoben haben. Man stellt in diesem Zusammenhang auch fest, dass sich währenddessen die Zuordnung der erwarteten Rendite respektive verändert hat. Abb. 153 stellt diesen Zusammenhang in einem Flächendiagramm ausführlich dar. Im Vergleich zu Abb. 152 aus dem vorherigen Abschnitt sind in der Zusammensetzung des Portfolios nach dem Bayes-Stein-Schätzer also zusammenfassend nur geringfügige Änderungen erkennbar. Diese Erkenntnis ist maßgeblich auf die Tatsache zurückzuführen, dass bei der Berechnung der beiden Effizienzkurven und dementsprechenden Portfolio-Allokationen entlang der Effizienzkurve die klassische Varianz-Kovarianz-Matrix verwendet wurde, die nach wie vor die identische Struktur wie zuvor aufweist. Der einzige Unterschied besteht in den abweichenden Schätzungen der erwarteten Rendite. 379 379 Vgl. Rasmussen (2003), S. 254 <?page no="461"?> 6.3 Modifikation der Input-Parameter 461 Abb. 154: Portfolio-Allokation entlang der Effizienzkurve Quelle: Eigene Darstellung, Matlab Im Rahmen einer von J ORION (1991) selbst durchgeführten empirischen Studie wurde die Vorteilhaftigkeit von Portfolios, die mit dem Bayes-Stein-Schätzer optimiert wurden, in Out-of-Sample-Tests belegt. Es zeigte sich, dass diese Portfolios signifikant besser abschnitten. 380 Die Anzahl der Stichprobenwerte beeinflusst die Intensität der Schrumpfung im Vergleich zum James-Stein-Schätzer in ähnlicher Weise, wobei darauf hinzuweisen ist, dass der Bayes-Stein-Schätzer bereits bei einem geringen Stichprobenumfang an Einfluss verliert. Der James-Stein-Schätzer und der Bayes-Stein-Schätzer besitzen gleichermaßen drei wesentliche Nachteile. Erstens führt eine zu geringe Anzahl von Variablen (Wertpapiere) im Vergleich zu den Beobachtungen zum Zusammenbruch des selbigen Schätzverfahrens, was die Inversion der Kovarianz-Matrix in hohem Maße beeinträchtigen kann. Zweitens treffen die beiden Ansätze keinerlei A-priori-Aussagen über beständig positive Korrelationen der Wertpapiere, um diese als Prior zu nutzen. Drittens bleibt eine gewisse logische Inkonsequenz in den meisten geschrumpften Schätzern bestehen, die den Schätzwert der beiden Schätzverfahren unweigerlich beeinträchtigt. Diese soeben beschriebene logische Inkonsequenz wird 380 Vgl. Stähle (2005), S. 55 <?page no="462"?> 462 6 Verfahren der robusten Portfoliooptimierung vor allem durch die Tatsache begründet, dass trotz der angenommenen Unabhängigkeit des Priors von der Stichprobe dieser häufig aus einer verfügbaren Stichprobe geschätzt wird. 381 Eine Alternative zu den bisher erläuterten Methoden stellt die Schrumpfung der Varianz-Kovarianz-Matrix nach L EDOIT und W OLF dar. 6.3.2.3 Ledoit-Wolf-Schätzer L EDOIT und W OLF (2003) greifen die zentrale Problematik bei der Anwendung von Kovarianz-Matrizen aus einer Stichprobe auf und schlagen eine Schrumpfung der Kovarianz-Matrix vor, um durch die Anpassung der außerordentlichen Stichprobenwerte in Richtung des zentralen Wertes einer Stichprobe eine systematische Reduzierung der Schätzfehler zu bewirken. Da sich im Gegensatz zu den erwarteten Renditen die Anzahl der Kovarianzen in Abhängigkeit von der Anzahl der Wertpapiere quadratisch verhält, gewinnt die Bestimmung der Kovarianz-Matrix signifikant an Bedeutung. 382 Den zentralen Knackpunkt der klassischen Schätzung stellen aus diesem Grund hauptsächlich die geschätzten Koeffizienten in der Kovarianz-Matrix dar, die charakteristisch eine Menge größerer positiver Schätzfehler enthalten und aus diesem Grund durch ein „Herunterziehen“ korrigiert werden müssen. Im gleichen Schritt bewirkt die Schrumpfung ebenfalls eine Kompensation negativer Schätzfehler durch das „Heraufziehen“ von zu gering eingeschätzten Stichprobenwerten. L EDOIT und W OLF (2003) behaupten in diesem Zusammenhang, dass bei einer richtigen Anwendung und Implementierung dieser Methode die Schätzfehlerproblematik vollständig zu beheben ist. Das grundlegende Prinzip bei der Schrumpfung der Kovarianz-Matrix und der Schrumpfung der erwarteten Renditen in Richtung eines zentralen Wertes greift auf drei zentrale Komponenten zurück, die je nach Schätzverfahren eine unterschiedliche Anwendung finden (siehe Abschnitt 6.3.2): [1] Kovarianz-Matrix aus der Stichprobe ohne feste Struktur [2] Schrumpfungsfaktor [3] Kovarianz-Matrix mit einer festen Struktur Obwohl sich die Kovarianz-Matrix aus der Stichprobe Σ� mit heutigen EDV-Systemen sehr einfach berechnen lässt und sich ebenfalls vollkommen erwartungstreu verhält, d.h. der Erwartungswert entspricht in diesem Fall der wahren Kovarianz-Matrix, ist das erhebliche Ausmaß an Schätzfehlern der größte Nachteil bei der „klassischen“ Schätzung der Kovarianz-Matrix. Die Kovarianz-Matrix tendiert in diesem Zusammenhang besonders zu hohen Schätzfehlern, wenn im Vergleich zu der Anzahl der einzelnen Wertpapiere die Anzahl der Stichproben in etwa äquivalent oder sogar kleiner ausfällt. Der Ledoit-Wolf-Schätzer kompensiert die positiven Abweichungen der Varianz-Kovarianz-Matrix durch eine nach unten gerichtete Korrektur der Matrixelemente, sowie bei negativen Abweichungen durch eine entsprechend nach oben gerichtete Anpassung der Varianz-Kovarianz-Matrix. 381 Vgl. Rasmussen (2003), S. 260 382 Vgl. ebd. <?page no="463"?> 6.3 Modifikation der Input-Parameter 463 Der Schrumpfungsfaktor w umfasst Werte von 0 bis 1 und bestimmt das Ausmaß bzw. die Intensität der Schrumpfung. L EDOIT und W OLF beziehen den Begriff auf eine Schrumpfungs-Konstante. Durch die konvex lineare Kombination der beiden Matrizen entsteht ein Kompromiss zwischen der Kovarianz-Matrix aus der Stichprobe Σ� und einer vorgegebenen festen Struktur Σ� C , dem Schrumpfungsziel (engl. shrinkage target). Dabei sollte das Schrumpfungsziel zwei wesentliche Kriterien gleichermaßen erfüllen: Einerseits sollte es nur eine geringe Anzahl an freien Parameter besitzen, sodass eine feste Struktur des Schätzers entsteht, und andererseits sollte es wichtige Merkmale des unbekannten zu schätzenden Parameters enthalten. L EDOIT und W OLF (2003) schlagen in diesem Zusammenhang entweder das Ein-Faktor-Modell nach S HARPE (1963) oder die Annahme von konstanten paarweisen Korrelationen bei der Berechnung der Kovarianz-Matrix vor. Letzterer Vorschlag ist jedoch bei vergleichbaren Ergebnissen wesentlich einfacher umzusetzen und zu implementieren. Die durchschnittliche Korrelation aus allen paarweisen Korrelationen der Wertpapiere stellt die Grundlage für die anschließende Ermittlung der konstanten Korrelations-Matrix dar. Die zuvor angesprochene konvex-lineare Kombination der beiden Matrizen ergibt sich wie folgt: Σ� 𝐿𝐿𝐿𝐿 = 𝑤𝑤Σ� 𝐶𝐶 + (1 − 𝑤𝑤)Σ�, (6.23) wobei Σ� die Kovarianz-Matrix der Stichprobe darstellt und Σ� 𝐶𝐶 die Kovarianz-Matrix der Stichprobe unter der Annahme einer konstanten Korrelation beschreibt. Die Berechnung der zuletzt genannten Kovarianz-Matrix unterteilt sich in einige Schritte. Zunächst wird die Kovarianz-Matrix wie folgt ermittelt: Σ� = Λ𝐶𝐶 Λ ′ (6.24) wobei Λ eine Diagonal-Matrix der Volatilitäten und C die Korrelations-Matrix der Stichprobe verkörpert, sodass: 𝑒𝑒 = � 1 𝜌𝜌� 12 ⋯ 𝜌𝜌� 1𝑁𝑁 𝜌𝜌� 21 ⋱ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ 𝜌𝜌� 𝑁𝑁−1𝑁𝑁 𝜌𝜌� 𝑁𝑁1 ⋯ 𝜌𝜌� 𝑁𝑁𝑁𝑁−1 1 � (6.25) Anschließend wird die Korrelations-Matrix aus der Stichprobe mit einer konstanten Korrelations-Matrix ersetzt. 𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐶𝐶 = �1 𝜌𝜌� ⋯ 𝜌𝜌� 𝜌𝜌� ⋱ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ 𝜌𝜌� 𝜌𝜌� ⋯ 𝜌𝜌� 1� (6.26) wobei 𝜌𝜌� den Durchschnitt aller Korrelationen aus der Stichprobe umfasst. Es gilt: 𝜌𝜌� = 2 (𝑁𝑁 − 1)𝑁𝑁 � � 𝜌𝜌� 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑁𝑁 𝑖𝑖=𝑖𝑖+1 𝑁𝑁 𝑖𝑖=1 (6.27) Die Wahl eines optimalen Schrumpfungsfaktors, fällt nach L EDOIT und W OLF (2003) auf diejenige Konstante, die den erwarteten Abstand zwischen dem geschrumpften Schätzer und der wahren Kovarianz-Matrix minimiert. Es kann gezeigt werden, dass sich die optimale Intensität der Schrumpfung proportional zu einer <?page no="464"?> 464 6 Verfahren der robusten Portfoliooptimierung Konstanten k� dividiert durch den Stichprobenumfang T verhält. Der optimale Schrumpfungsfaktor ergibt sich demnach wie folgt: 𝛿𝛿̂ ∗ = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑒𝑒 �0, 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑏𝑏 �𝑚𝑚� 𝑇𝑇 , 1�� (6.28) Obwohl sich die Umsetzung des optimalen Schrumpfungsfaktors relativ einfach gestaltet, ist die korrekte mathematische Darstellung dennoch um einiges umfangreicher, sodass alle weiteren mathematischen Definitionen und Parameter dem Anhang B von L EDOIT und W OLF (2003), S. 15 zu entnehmen sind. L EDOIT und W OLF veröffentlichten über die Schrumpfung von Kovarianz-Matrizen in der Vergangenheit eine Reihe an wissenschaftlichen Studien, so etwa L EDOIT und W OLF (2003, 2004). Dabei stellten sie die Out-of-Sample-Performance der geschrumpften Kovarianz-Matrix-Schätzung anderen statistischen Schätzern gegenüber und kamen zu der Erkenntnis, dass die Schrumpfung von Kovarianz-Matrizen hauptsächlich bei der Berechnung des globalen Minimum-Varianz-Portfolios (Abk. GMVP) einen überragenden Vorteil gegenüber den anderen Schätzern liefert. Es sei darauf hingewiesen, dass sich im Rahmen der empirischen Studie die Schrumpfungsfaktoren im Zeitablauf kaum verändert haben, was den Rückschluss erlaubt, dass die Kovarianz-Matrix etwa 4-mal häufiger mit Schätzfehlern belastet ist als die vergleichbare Kovarianz-Matrix auf Grundlage des Ein-Faktor-Modells nach S HARPE . 383 Beispiel: Die Anwendung des Ledoit-Wolf-Schätzers Im Rahmen dieses Beispiels folgt der Vergleich des James-Stein-Schätzers zu den herkömmlich geschätzten erwarteten Renditen. Hierbei wurde maßgeblich auf die adjustierten Schlusskurse der Wertpapiere aus dem in Abschnitt 4.3.1 vorgestellten Portfolio zurückgegriffen. Aus der vorliegenden Datengrundlage ergab sich entsprechend Formel (6.24) ein Schrumpfungsfaktor in Höhe von 𝜑𝜑 = 0,45 . Auf Basis des zuvor festgelegten Schrumpfungsfaktors konnte anschließend die angepasste Varianz-Kovarianz-Matrix der einzelnen Wertpapiere des Portfolios mit Hilfe der Prozedur des Ledoit-Wolf-Schätzers bestimmt werden. Nachdem die Varianz-Kovarianz-Matrix erfolgreich ermittelt wurde, kann diese als modifizierter Input-Parameter in die Portfoliooptimierung einfließen. Wird die Portfoliooptimierung vor diesem Hintergrund für verschiedene Zielrenditen durchgeführt, ergibt sich dementsprechend eine von der normalen Effizienzkurve abweichende Kurve. Abb. 155 zeigt deshalb zwei unterschiedliche Effizienzkurven, die einerseits auf der Grundlage herkömmlicher erwarteter Renditen und andererseits mit dem Ledoit-Wolf-Schätzer ermittelt wurden. Abb. 155 greift mit dem Vergleich der Verläufe der beiden Effizienzkurven die generelle Methodik der Schrumpfung nochmals auf. Es wird deutlich, wie die geschrumpfte Effizienzkurve im vorderen Teil in Richtung Minimum-Varianz- Portfolio „gedrückt“ wird, während die geschrumpfte Effizienzkurve im Vergleich zum hinteren Teil der klassischen Effizienzkurve zu einer leichten Überschneidung tendiert, jedoch aber vergleichsweise konstant bleibt. 383 Vgl. Fabozzi et al. (2007), S. 220 <?page no="465"?> 6.3 Modifikation der Input-Parameter 465 Abb. 155: Effizienzkurven und Portfolio-Gewichte im Vergleich Quelle: Eigene Darstellung, Matlab Abb. 156: Portfolio-Gewichte im Vergleich. Quelle: Eigene Darstellung, Matlab Im Vergleich zum James-Stein- und Bayes-Stein-Schätzer (Abb. 149 ff.) ist eine eindeutige Veränderung der Portfolio-Gewichte entlang der Effizienzkurve im Vergleich zur klassischen Schätzung in Abb. 154 erkennbar. Nach der Schrumpfung der geschätzten Kovarianz-Matrix ergibt sich eine weitaus stabilere Zusammensetzung des Portfolios. 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 Standardabweichung (Annualisiert) Erwartete Rendite (Annualisiert) ABT BA COST CSCO IBM INTC MRK MSFT T XOM Normal Ledoit-Wolf <?page no="466"?> 466 6 Verfahren der robusten Portfoliooptimierung 6.3.2.4 Die Anwendung der geschrumpften Schätzer in der Praxis Die wichtigsten Vertreter der geschrumpften Schätzer finden sich im − James-Stein-Schätzer, − dem Bayes-Stein-Schätzer − und dem Ledoit-Wolf-Schätzer. Da die genannten Schätzer ein gemeinsames Prinzip verfolgen, wird in den folgenden Abschnitten zur Darstellung und Anwendung der geschrumpften Schätzer in der Praxis das Ausgangsportfolio mit den folgenden Eckdaten zugrunde gelegt: erwartete Rendite Standardabweichung Varianz ABT 3,10 % 18,21 % 3,32 % BA 0,74 % 30,14 % 9,08 % COST 4,53 % 21,60 % 4,66 % CSCO 4,27 % 27,28 % 7,44 % IBM 5,21 % 22,43 % 5,03 % INTC -3,47 % 28,26 % 7,99 % MRK 2,75 % 28,63 % 8,20 % MSFT 2,32 % 25,36 % 6,43 % T 1,07 % 20,08 % 4,03 % XOM 7,89 % 19,40 % 3,76 % Tab. 46: Ausgangsportfolio Das Ausgangsportfolio enthält entsprechend Tab. 46 unterschiedliche Unternehmen aus der Technologie-Branche, der Gesundheits-Branche, der Nahrungsmittel-Branche, der Pharma-Branche, der Energie-Branche sowie der Luft-und-Raumfahrt-Branche. Das Portfolio der nachfolgenden Abschnitte beinhaltet Unternehmen wie Abbott Laboratories, Boeing Industries, Costco Wholesale, Cisco Systems, IBM, Intel, Merk, Microsoft, AT&T und Exxon Mobil Corporation. Abb. 157 greift in diesem Zusammenhang die unterschiedliche Korrelationsstruktur des Portfolios auf und stellt diese in einem Matrix-Diagramm in Graustufen dar. Abb. 157: Korrelationen der einzelnen Wertpapiere im Ausgangsportfolio <?page no="467"?> 6.3 Modifikation der Input-Parameter 467 Die historische Datengrundlage bezieht sich maßgeblich auf einen 5-Jahres-Zeitraum vom 01.12.2004 bis zum 01.12.2009, wodurch sich eine Stichprobe von 60 Beobachtungswerten ergibt. 384 Abb. 158: Wertentwicklung der Wertpapiere des Ausgangsportfolios Bei den ermittelten erwarteten Renditen handelt es sich um stetige monatliche Durchschnittsrenditen. Da es sich um monatliche Daten handelt, wird die Volatilität zwischen den einzelnen Stichtagen nicht erfasst. Die Standardabweichungen, Varianzen sowie Kovarianzen wurden entsprechend auf Basis der historischen Renditen ermittelt und für die späteren Berechnungen annualisiert. Im nachfolgend dargestellten Praxisbeispiel wird zum Großteil auf die Annahmen der modernen Kapitalmarkttheorie abgestellt. In den nachfolgenden Abschnitten kann das Praxisbeispiel gleichermaßen in Excel und Matlab nachempfunden und umgesetzt werden. Die Praxisbeispiele in Verbindung mit dem anschließend dargestellten Quellcode und den dazugehörigen Erläuterungen sollen dabei das Selbststudium erleichtern. 384 Anmerkung: Der Umfang der Stichprobe wurde auf Empfehlung von Walters (2011), S. 17, auf 60 Stichprobenwerte festgelegt. <?page no="468"?> 468 6 Verfahren der robusten Portfoliooptimierung 6.3.2.4.1 Umsetzung des James-Stein-Schätzers in Excel Schritt 1: Laden der historischen Zeitreihen und Bestimmung der stetigen Renditen Abb. 159: Festlegen der Datengrundlage In den Spalten C bis L dienen die historischen Zeitreihen der ausgewählten Wertpapiere im Zeitraum von 5 Jahren (61 monatliche Kurse je Wertpapier im Zeitraum vom 01.12.2004 bis 01.12.2009) als Grundlage für die anschließende Berechnung der stetigen Monatsrenditen sowie aller weiteren Input-Parameter für die Berechnung und Anwendung des geschrumpften James-Stein-Schätzers. Jeder Spalte werden die historischen Kurse für ein individuelles Wertpapier zugeordnet. Die historischen Daten wurden für den angegebenen Zeitraum von Yahoo Finance bezogen. 385 Abb. 160: Ermittlung der stetigen Monatsrenditen (Log-Renditen) Die stetigen Monatsrenditen in den Spalten O bis X bilden die Grundlage für die spätere Schätzung der erwarteten Renditen und Standardabweichungen der zuvor ausgewählten Wertpapiere. Da sich die stetige Rendite im Vergleich zur diskreten Rendite besser der Standardnormalverteilung annähert, wird im Excel-Beispiel maßgeblich auf Log-Renditen (vgl. Kapitel 1, Abschnitt 1.6) als Datengrundlage abgestellt. Position Inhalt Excel-Umsetzung Spalten C bis L historische Kurse individuelle Werte Spalten O bis X Log-Rendite =LN(C10/ C9) Tab. 47: Umsetzung in Excel Schritt 2: Spezifikation der Input-Parameter Abb. 161: Festlegung der Eingangsgrößen 385 Siehe http: / / de.finance.yahoo.com/ q/ hp? s=AA bzw. http: / / de.finance.yahoo.com/ q/ hp? s= [Ticker-Code z.B. AA oder IBM] 6 7 8 9 10 11 A B C D E F G H I J K L M Historische Kurse vom 01.12.2004 bis 01.12.2009 ABT BA COST CSCO IBM INTC MRK MSFT T XOM 01.12.2004 46,65 51,77 48,41 19,32 98,58 23,39 32,14 26,72 25,77 51,26 03.01.2005 45,02 50,60 47,27 18,04 93,42 22,45 28,05 26,28 23,76 51,60 01.02.2005 45,99 54,97 46,59 17,42 92,58 23,99 31,70 25,16 24,06 63,31 6 7 8 9 10 11 M N O P Q R S T U V W X Y Stetige Monatsrenditen vom 01.12.2004 bis 01.12.2009 ABT BA COST CSCO IBM INTC MRK MSFT T XOM 01.12.2004 03.01.2005 -3,56% -2,29% -2,38% -6,85% -5,38% -4,10% -13,61% -1,66% -8,12% 0,66% 01.02.2005 2,13% 8,28% -1,45% -3,50% -0,90% 6,63% 12,23% -4,36% 1,25% 20,45% 32 33 34 35 36 37 38 39 Y Z AA AB AC AD AE AF AG AH AI AJ AK AL 60 Assets 10 0,35 Tau 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Skalierung 12 Input Perioden Shrinkage-Konstante <?page no="469"?> 6.3 Modifikation der Input-Parameter 469 Um die erwartete Rendite der einzelnen Wertpapiere des Portfolios auf Grundlage des James-Steins-Schätzers berechnen zu können, müssen zunächst einige wichtige Parameter festgelegt werden. Dazu zählt neben der Anzahl der Wertpapiere im Portfolio in Zelle AB35 ebenfalls die Anzahl der Stichprobenbzw. Beobachtungswerte der unterschiedlichen Renditen in Zelle AB34 sowie die von der historischen Datengrundlage abhängige Skalierung in Zelle AB38. Abschließend wird in Zeile AB37 bis AK37 der Zeilenvektor Tau definiert, der lediglich aus Einsen besteht. Abb. 162: Berechnungen der Ausgangsparameter auf Grundlage der monatlichen Renditen Um die geschrumpften erwarteten Renditen nach James-Stein ermitteln zu können, müssen Eingangsgrößen (Inputs) bestimmt werden, die für weitere Berechnungen benötigt werden. Die erwartete Rendite der einzelnen Wertpapiere in den Zellen AB43 bis AK43 wird durch den historischen Mittelwert der stetigen monatlichen Renditen aus den Spalten O bis X bestimmt und dient als maßgebliche Datengrundlage für die spätere Schrumpfung dieses Parameters. Aus diesem Grund wird auf die Excel-Funktion MITTELWERT() zurückgegriffen. Einen weiteren wichtigen Parameter stellt die Standardabweichung dar. Diese wird in den Zellen AB44 bis AK44 analog zu den erwarteten Renditen aus der gleichen historischen Datengrundlage ermittelt. Da die Standardabweichung lediglich auf Grundlage einer Stichprobe ermittelt werden kann, sollte zur Bestimmung dieses Parameters auf die Excel-Funktion STABW.S() zurückgegriffen werden. Aus Gründen einer einheitlichen Darstellung werden die soeben ermittelten Parameter anschließend mit einem zuvor festgelegten Skalierungsfaktor multipliziert. Dieser Vorgang wird im Allgemeinen auch als Annualisierung eines oder mehrerer Parameter bezeichnet. Die Varianz wird an dieser Stelle nicht notwendigerweise benötigt; es sei dennoch darauf hingewiesen, dass die Berechnung der Varianz aufgrund der Stichprobengrundlage mit Hilfe der Excel-Funktion VARIANZA() durchgeführt wird. Abschließend wird in Zelle AB55 entsprechend Formel (6.17) (siehe Abschnitt 6.3.2.1) der Grand Mean als globaler Durchschnitt berechnet. Abb. 163: Berechnung der Varianz-Kovarianz-Matrix 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 Y Z AA AB AC AD AE AF AG AH AI AJ AK AL ABT BA COST CSCO IBM INTC MRK MSFT T XOM Mittelwert 0,26% 0,06% 0,38% 0,36% 0,43% -0,29% 0,23% 0,19% 0,09% 0,66% Standardabweichung 5,26% 8,70% 6,23% 7,88% 6,48% 8,16% 8,27% 7,32% 5,80% 5,60% Varianz 0,002763402 0,007567906 0,003886298 0,006203511 0,004193053 0,006654521 0,006832495 0,005357692 0,003359919 0,0031362 Annualisierung der Datengrundlage ABT BA COST CSCO IBM INTC MRK MSFT T XOM Mittelwert 3,10% 0,74% 4,53% 4,27% 5,21% -3,47% 2,75% 2,32% 1,07% 7,89% Standardabweichung 18,21% 30,14% 21,60% 27,28% 22,43% 28,26% 28,63% 25,36% 20,08% 19,40% Varianz 0,033160824 0,090814877 0,046635573 0,074442137 0,05031663 0,079854257 0,081989945 0,064292303 0,040319031 0,0376341 Grand Mean 2,84% Berechnungen auf Grundlage der täglichen Renditen 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 Y Z AA AB AC AD AE AF AG AH AI AJ AK AL Berechnung der Kovarianz-Matrix auf Grundlage der Stichprobe ABT BA COST CSCO IBM INTC MRK MSFT T XOM ABT 0,0327 0,0092 -0,0006 -0,0024 -0,0026 -0,0051 0,0199 0,0059 0,0058 0,0016 BA 0,0092 0,0897 0,0250 0,0381 0,0207 0,0318 0,0400 0,0186 0,0175 0,0177 COST -0,0006 0,0250 0,0460 0,0269 0,0154 0,0285 0,0213 0,0268 0,0173 0,0032 CSCO -0,0024 0,0381 0,0269 0,0735 0,0329 0,0441 0,0199 0,0324 0,0253 0,0085 IBM -0,0026 0,0207 0,0154 0,0329 0,0497 0,0290 0,0105 0,0158 0,0089 0,0058 INTC -0,0051 0,0318 0,0285 0,0441 0,0290 0,0788 0,0355 0,0345 0,0231 0,0086 MRK 0,0199 0,0400 0,0213 0,0199 0,0105 0,0355 0,0809 0,0288 0,0198 0,0210 MSFT 0,0059 0,0186 0,0268 0,0324 0,0158 0,0345 0,0288 0,0635 0,0228 0,0101 T 0,0058 0,0175 0,0173 0,0253 0,0089 0,0231 0,0198 0,0228 0,0398 0,0129 XOM 0,0016 0,0177 0,0032 0,0085 0,0058 0,0086 0,0210 0,0101 0,0129 0,0372 <?page no="470"?> 470 6 Verfahren der robusten Portfoliooptimierung Bei der Bestimmung der Varianz-Kovarianz-Matrix in den Zellen AB60 bis AK69 wird die VBA-Funktion VaRCovar() verwendet. Es gilt bei der Eingabe der Formel zu beachten, dass es sich hierbei um eine Array-Formel handelt. Daher muss schon vor der Eingabe der Formel der spätere Zielbereich, indem die Ergebnisse dargestellt werden sollen, ausgewählt und markiert werden. Nach der Eingabe der Formel wird die Prozedur mit der Tastenkombination STRG+SHIFT+ENTER bestätigt. Abschließend wird die Varianz-Kovarianz-Matrix ebenfalls mit dem Faktor 12 annualisiert. Position Inhalt Excel-Umsetzung AB43 bis AK43 erwartete Rendite =MITTELWERT(O10: O69) AB44 bis AK44 Standardabweichung =STABW.S(O10: O69) AB45 bis AK45 Varianz =VARIANZ(O10: O69) AB52 bis AK52 erwartete Rendite (annualisiert) =AB43*$AB$38 AB53 bis AK53 Standardabweichung (annualisiert) =AB44*WURZEL($AB$38) AB54 bis AK54 Varianz (annualisiert) =AB45*$AB$38 AB55 Grand Mean =MITTELWERT(AB52: AK52) AB60 bis AK69 Varianz-Kovarianz-Matrix Tab. 48: Umsetzung in Excel Nachdem nun alle notwendigen Parameter ermittelt wurden, kann mit der Berechnung des Schrumpfungsfaktors und der geschrumpften erwarteten Renditen fortgefahren werden. Abb. 164: Berechnung des Schrumpfungsfaktors und der geschrumpften erwarteten Renditen Bei der Bestimmung des Schrumpfungsfaktors in Zelle AA74 wurde maßgeblich auf Formel (6.18) (siehe Abschnitt 6.3.2.1) zurückgegriffen. Da es in Excel nicht einfach ist, eine derart komplexe Formel zu implementieren, wird der Schrumpfungsfaktor Phi in drei Schritten ermittelt. Die Formel wurde daher in mehrere Bereiche (Zellen AB77 bis AK77 und Zellen AB78 bis AK78) unterteilt und später in Zelle AA74 erneut zusammengeführt. Im Anschluss können die erwarteten Renditen der einzelnen Wertpapiere auf Grundlage des James-Stein-Schätzers in den Zellen AB84 bis AK84 geschätzt und ermittelt werden. 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 Y Z AA AB AC AD AE AF AG AH AI AJ AK AL Phi 0,44 Temp 1 0,00261781 -0,021019429 0,016931944 0,014300483 0,023724264 -0,06315883 -0,000900729 -0,005190675 -0,01776026 0,0504554 Temp 2 0,2487 -0,8856 1,3592 1,0508 0,7020 -1,6307 0,2228 -0,2384 -1,1966 2,0323 ABT BA COST CSCO IBM INTC MRK MSFT T XOM 2,99% 1,67% 3,79% 3,64% 4,17% -0,68% 2,79% 2,55% 1,85% 5,66% Berechnung des Shrinkage-Faktors James-Stein mit Phi 0,44 <?page no="471"?> 6.3 Modifikation der Input-Parameter 471 Position Inhalt Excel-Umsetzung AA74 Schrumpfungsfaktor Phi =(AB35-2)/ (AB34*MMULT(AB78: AK78; MTRANS(AB77: AK77))) AB77 bis AK77 Teil 1 des Schrumpfungsfaktors =MTRANS(MMULT(MTRANS(AB52: AK52)- AB55; AB37: AK37)) AB78 bis AK78 Teil 2 des Schrumpfungsfaktors =MMULT(AB77: AK77; MINV(AB60: AK69)) AB84 bis AK84 James-Stein-Schätzer =MMULT(1-AA74; AB52: AK52)+ MMULT($AA$74*AB55; AB37: AK37) Tab. 49: Umsetzung in Excel 6.3.2.4.2 Umsetzung des James-Stein-Schätzers in Matlab 1 % Beispiel: James-Stein-Schätzer NEU BUGFIX 2 % Datum: 20.08.2012 3 % Verfasser: Marc Schurer 45 % Verbindung zum Finanzdatenanbieter aufbauen 6 close all 7 clear all 8 connection = yahoo; 910 %Extrahieren der Ticker-Codes und Ermittlung der Anzahl an Wertpapieren 11 ticker ={'ABT','BA','COST','CSCO','IBM','INTC','MRK','MSFT','T','XOM'} 12 assets = length(ticker); In den Zeilen 6 bis 7 werden zu Beginn mit den Befehlen » close all « und » clear all « alle zuvor erstellten Grafiken und Fenster geschlossen, sowie der Workspace mit allen verfügbaren Variablen gelöscht. Diese Maßnahme sollte zu Beginn jedes Matlab- Skriptes durchgeführt werden, um eventuelle Fehler im späteren Programmablauf zu vermeiden. In Zeile 8 wird anschließend der Variable »connection« die Bezeichnung des Finanzdatenanbieters zugewiesen, von dem man alle notwendigen historischen Kurszeitreihen bezieht. Anstatt des Dienstes » yahoo « können die historischen Zeitreihen auch alternativ, entsprechende Lizenzen vorausgesetzt, gleichermaßen von weiteren Finanzdatenanbietern wie z.B. Thomson Reuters oder Bloomberg bezogen werden. In Zeile 11 werden nach den Vorstellungen des Investors diejenigen Wertpapiere festgelegt, die das zukünftige Portfolio bilden sollen. Die Variable »tikker« bildet durch die Aufnahme der angeführten Unternehmen einen Zeilenvektor. Der Zeilenvektor nimmt jedoch nicht die genauen Bezeichnungen der einzelnen Wertpapiere auf, sondern bezieht sich auf so genannte Kürzel (Ticker-Codes) der Wertpapiere, die individuell durch den Finanzdatenanbieter vorgegeben werden. Mit Hilfe des Ticker-Codes der jeweiligen Wertpapiere und dem später festgelegten Zeitraum erfolgt der Zugriff auf die Datenbank des Finanzdatenanbieters, sodass die historischen Zeitreihen der zuvor festgelegten Wertpapiere aus dem Internet geladen <?page no="472"?> 472 6 Verfahren der robusten Portfoliooptimierung werden können. In Zeile 12 wird mit Hilfe der Matlab-Funktion » length(Variable) « durch die Bestimmung der Anzahl der Elemente des Zeilenvektors »ticker« entsprechend die Anzahl der Wertpapiere im Portfolio ermittelt. Das Matlab-Skript wird durch die unmittelbar nachfolgenden Zeilen fortgesetzt. In diesem Fall wurde im Hinblick auf die Anzahl der Elemente des Zeilenvektors »ticker« der Variable »assets« ein Wert von 10 Wertpapieren zugewiesen. 13 %Festlegen des Zeithorizonts der Datengrundlage 14 datum_von = '2004-12-01'; 15 datum_bis = '2009-12-01'; 16 17 % %Kurse aller Wertpapiere im Portfolio ermitteln und importieren 18 data = fetch(connection,ticker(1),'Close',datum_von,datum_bis,'m'); 19 histprices_fts = fints(data(: ,1),data(: ,2),ticker(1)); 20 21 for i=2: assets 22 security = ticker(i); 23 data = fetch(connection,security,'Close',datum_von,datum_bis,'m'); 24 fts = fints(data(: ,1),data(: ,2),ticker(i)); 25 histprices_fts = merge(histprices_fts,fts) 26 end In den Zeilen 14 und 15 wird zunächst der Zeithorizont festgelegt, für den die historischen Zeitreihen der einzelnen Wertpapiere im weiteren Verlauf des Skriptes aus dem Internet geladen werden sollen. Für den angegebenen Zeitraum vom 01.12.2004 bis 01.12.2009 werden anschließend, abhängig von der Länge des ausgewählten Zeitraums, die entsprechenden Stichprobenwerte (Samples) aus der historischen Zeitreihe entnommen. Um die historischen Kurse jedoch entsprechend ihrer auf- und absteigenden Datumsangaben in der richtigen Reihenfolge einzulesen, zu verarbeiten und darstellen zu können, sollten nach dem Bezug der historischen Zeitreihe durch den Befehl » fetch(Parameter) « in den Zeilen 18 und 23 die Rohdaten der einzelnen historischen Zeitreihen in ein Financial-Time-Series-Objekt überführt werden. In den Zeilen 19 und 24 wird mit Hilfe der Funktion » fints(Parameter) « die historische Datengrundlage in das Financial-Time-Series-Objekt »fts« übertragen. Voraussetzung dafür ist, dass neben der Spalte mit den historischen Kursen die Spalte mit den dazugehörigen Datumsangaben sowie die Ticker-Bezeichnung der zu übertragenden Daten als Argumente der Funktion übergeben werden. Da der Finanzdatenanbieter jedoch lediglich die Abfrage eines einzelnen Wertpapiers pro Anfrage zulässt, werden die einzelnen historischen Kurse nacheinander in Form einer for-Schleife in den Zeilen 21 bis 26 abgefragt und geladen. Da während jedes neuen Schleifen-Durchlaufs ein neues Financial-Time-Series-Objekt erstellt und der gleichen Variable zugewiesen wird, besteht die Gefahr, die Daten aus dem vorherigen <?page no="473"?> 6.3 Modifikation der Input-Parameter 473 Schleifen-Durchlauf zu überscheiben. Aus diesem Grund wird in Zeile 25 mit der Funktion » merge(Parameter) « jedes neue Financial-Time-Series-Objekt im Objekt »histprices_fts« zusammengeführt. 27 %Interpoliert Divergenzen in den Zeitreihen 28 histprices_fts = fillts(histprices_fts,'linear'); 29 30 %Zeitreihen in Matrix zur weiteren Verarbeitung abspeichern 31 histkurse = fts2mat (histprices_fts) 32 dates = histprices_fts.dates; 33 34 %Zeitreihen normalisieren 35 histkurse_norm = bsxfun(@rdivide,histkurse,histkurse(1,: )); Beim Bezug der historischen Kurszeitreihen kommt es gelegentlich vor, dass aus unterschiedlichen Gründen einige Kurse nicht vollständig geladen werden können. Da sich derartige Lücken in der Datengrundlage negativ auf die Qualität der daraus ermittelten Ergebnisse auswirken, sollten Diskrepanzen innerhalb der historischen Kurse vor Beginn aller relevanten Berechnungen grundsätzlich beglichen werden. In diesem Fall wurde auf die Methodik der Interpolation zurückgegriffen, welche fehlende Kurse mit Hilfe unterschiedlicher statistischer Methoden approximativ wiederherstellen kann. In Zeile 28 wird aus diesem Grund auf die Funktion » fillts(Parameter) « zurückgegriffen. Nachdem die historischen Zeitreihen in ein gemeinsames Financial-Time-Series-Objekt überführt und interpoliert wurden, erlauben die Eigenschaften dieses Objektes jedoch keine weitere Verarbeitung der Daten. Deshalb wird in den Zeilen 31 und 32 durch die Funktion »fts2mat« das ursprüngliche Financial-Time-Series-Objekt der historischen Kurse an die gleichartige Matrix »histkurse« übertragen und die dazugehörigen Datumsangaben werden extrahiert und dem Vektor »dates« zugewiesen. Um zu einem späteren Zeitpunkt einen Performancevergleich der einzelnen Wertpapiere in einem Diagramm darstellen zu können, werden die zur weiteren Verarbeitung freigegebenen historischen Kurse mit der Funktion » bsxfun(Parameter) « in Zeile 35 normalisiert. 36 %Bestimmung der Parameter Tau und c 37 for i=1: length(ticker) 38 tau(i,1)=1; 39 End 40 41 % Ermittlung der durchschnittlichen täglichen Rendite der Assets 42 renditen = price2ret(histkurse,[],'continuous'); 43 T=length(renditen); 44 CovMatrix = cov(renditen)*12; 45 MittelwerteRenditen = mean(renditen)'*12; <?page no="474"?> 474 6 Verfahren der robusten Portfoliooptimierung 46 47 GrandMean = mean(MittelwerteRenditen); 48 Standardabweichung = std(renditen)*sqrt(12); In den Zeilen 36 bis 48 werden nun alle wichtigen Eingangsgrößen zur Bestimmung des Schrumpfungsfaktors Phi und des James-Stein-Schätzers bestimmt. Zu Beginn wird in den Zeilen 37 bis 39 mit Hilfe einer for-Schleife der Spaltenvektor »tau« mit Einsen gefüllt. Anschließend werden die zu Beginn ermittelten historischen Kurse in Zeile 42 mit der Funktion » price2ret(Parameter) « in die dazu gehörigen stetigen Renditen (log-Renditen) überführt. Auf Grundlage der stetigen Renditen erfolgt in Zeile 44 mit der Funktion » cov(Parameter) « die Berechnung der Varianz-Kovarianz- Matrix und der anschließenden Annualisierung mit dem entsprechenden Skalierungsfaktor. In den Zeilen 45 und 48 erfolgt mit den Funktionen » mean(Parameter) « und » std(Parameter) « die Bestimmung der erwarteten Rendite und der Standardabweichung einschließlich äquivalenter Annualisierung. In Zeile 47 wird gemäß Formel (6.17) (siehe Abschnitt 6.3.2.1) der Grand Mean berechnet, welcher später in die Berechnung des Schrumpfungsfaktors Phi und des James-Stein-Schätzers eingeht. Im Anschluss erfolgt unmittelbar die Bestimmung des Schrumpfungsfaktors Phi. 49 % % Bestimmung Shrinkage-Faktor phi 50 %--------------------------------------------------------- ----------- 51 52 temp=(assets-2)/ (T*(MittelwerteRenditen-Grand- Mean*tau)'*inv(CovMatrix)*(MittelwerteRenditen-Grand- Mean*tau)); 53 54 if(temp >= 1) 55 phi = 1; 56 Else 57 phi = temp; 58 End 59 60 js=(1-phi)*MittelwerteRenditen+phi*GrandMean*tau; Die Ermittlung des Schrumpfungsfaktors stellt für die anschließende Berechnung des James-Stein-Schätzers eine wichtige Determinante dar. In Zeile 52 wird zunächst gemäß Formel (6.18) (siehe Abschnitt 6.3.2.1) den Variablen » temp « ein vorläufiger Wert zugeordnet. Da Formel (6.20) unweigerlich den Wertebereich von 0 ≤ 𝑒𝑒ℎ𝑖𝑖 ≤ 1 eingrenzt, wird in den Zeilen 54 bis 58 bei einem phi größer als eins dem Wert von phi der maximale Wert von eins zugeordnet und somit das Ausmaß des Schrumpfungsfaktor begrenzt. Andernfalls wird der zuvor ermittelte temporäre Wert der Variablen » phi « zugewiesen. Im direkten Anschluss erfolgt in Zeile 60 auf Grundlage der zuvor ermittelten Parameter die Berechnung des James-Stein-Schätzers in Abhängigkeit von Formel (6.17) (siehe Abschnitt 6.3.2.1). Es ergibt sich der 10 x 1 -Vektor » js «, der die nach dem James-Stein-Schätzer geschätzten erwarteten Ren- <?page no="475"?> 6.3 Modifikation der Input-Parameter 475 diten der einzelnen Wertpapiere des Portfolios enthält. Nachdem alle relevanten Eingangsgrößen berechnet wurden, können diese anschließend in die klassische Erwartungswert-Varianz-Optimierung überführt und integriert werden. Dadurch lässt sich ein direkter Vergleich zwischen den Auswirkungen der historischen und geschrumpften Renditen numerisch und grafisch ableiten. 61 % % Darstellung der Effizienzkurven in einem Diagramm 62 %------------------------------------------------------- ------------- 63 64 % Berechnung des Rendite/ Risiko-Profils für das Portfolio 65 [Risk,Return,Weight]=frontcon(MittelwerteRenditen, CovMatrix, 50); 66 67 68 % Berechnung des Rendite/ Risiko-Profils für das Portfolio 69 [jsRisk,jsReturn,jsWeight]=frontcon(js, CovMatrix, 50); 70 71 hold all; 72 figure; 73 set(gcf,'Color','w'); 74 hold on; 75 plot(Risk,Return,'-','LineWidth',2) 76 hold on; 77 plot(jsRisk,jsReturn,'r','LineWidth',2) 78 legend('Normal','James-Stein'); 79 80 scatter(Standardabweichung,MittelwerteRenditen,'filled'); 81 text(Standardabweichung,MittelwerteRenditen,ticker,'horizontal','left','vertical','bottom'); 82 83 ylabel('erwartete Rendite (Annualisiert)'); 84 xlabel('Standardabweichung (Annualisiert)'); 85 title('Effizienzkurve im Vergleich','Fontsize',10,'Font- Weight','bold'); 86 hold off; Dazu erfolgt für 50 unterschiedliche Portfolios die Berechnung der dazugehörigen Rendite-Risiko-Profile auf Grundlage der historischen Renditen, um die Effizienzkurve abbilden zu können. In Zeile 65 wird auf die Funktion » frontcon(Parameter) « zurückgegriffen, welche als Rückgabewert das Risiko und die Rendite als auch die unterschiedlichen Gewichtungen der einzelnen Wertpapiere für das jeweilige Portfolio liefert. Anschließend wird in Zeile 69 die soeben beschriebene Prozedur auf <?page no="476"?> 476 6 Verfahren der robusten Portfoliooptimierung Grundlage der geschrumpften Renditen wiederholt. Nachdem alle notwendigen Berechnungen erfolgreich abgeschlossen wurden, erfolgt in den Zeilen 71 bis 86 die grafische Ausgabe der ermittelten Ergebnisse. Mit dem Befehl » plot(Parameter) « können die Ergebnisse in einer zweidimensionalen Darstellung (x- und y-Achse), ähnlich dem Punktdiagramm mit interpolierten Linien in Excel, dargestellt werden. Da bei jedem Aufruf der Funktion » plot() « ein neues Grafikfenster geöffnet wird, bewirken der Befehl » hold all « in Zeile 71 bzw. der Befehl » hold on « in den Zeilen 74 und 76, dass das bestehende Grafikfenster geöffnet bleibt und eine beliebige Anzahl an Grafiken in das Grafikfenster eingezeichnet werden kann. Um die verschiedenen Effizienzkurven voneinander unterscheiden zu können, kann gemäß Zeile 78 mit der Funktion » legend(Parameter) « eine entsprechende Legende im Grafikfenster aufgenommen werden, was eine Zuordnung der Kurven ungemein erleichtert. In den Zeilen 80 und 81 werden anschließend die einzelnen Rendite-Risiko-Profile der verschiedenen Wertpapiere des Portfolios im Grafikfenster eingezeichnet und entsprechend ihrer dazugehörigen Unternehmen bezeichnet. In den Zeilen 83 bis 85 erfolgt mit den Befehlen » ylabel() «, » xlabel() « als auch » title() « die Bezeichnung der y- und x-Achse und des übergeordneten Titels. Der Befehl » hold off « beendet die Aufnahme weiterer Grafiken, sodass im Falle eines erneuten Aufrufs des Plot-Befehls ein neues Grafikfenster geöffnet wird. 87 % % Darstellung der Portfolio Gewichte in einem Diagramm 88 %------------------------------------------------------- ------------- 89 90 figure; 91 set(gcf,'Color','w') 92 colormap('jet'); 93 subplot(2,1,1) 94 area(Return, Weight) 95 xlabel('erwartete Rendite','Fontsize',10); 96 ylabel('Gewicht','Fontsize',10); 97 title('Portfolio-Gewichte auf Grundlage einfacher Renditen','Fontsize',10,'FontWeight','bold') 98 legend('',ticker,'Location','BestOutside','Orientation','vertical','EdgeColor', 'w'); 99 axis tight; 100 subplot(2,1,2) 101 area(jsReturn, jsWeight) 102 xlabel('erwartete Rendite','Fontsize',10); 103 ylabel('Gewicht','Fontsize',10); 104 title('Portfolio-Gewichte auf Grundlage des James- Stein-Schätzers','Fontsize',10,'FontWeight','bold') 105 legend('',ticker,'Location','BestOutside','Orientation','vertical','EdgeColor', 'w'); <?page no="477"?> 6.3 Modifikation der Input-Parameter 477 106 axis tight; Um die Unterschiede der Portfoliozusammensetzung entlang der verschiedenen Effizienzkurven miteinander vergleichen zu können, werden nachfolgend die unterschiedlichen Portfolio-Allokationen entlang der zwei Effizienzkurven in zwei unabhängigen Grafiken in einem Grafikfenster dargestellt. Dazu wird der Befehl » subplot() « in den Zeilen 93 und 100 verwendet. Anschließend lassen sich die unterschiedlichen Zusammensetzungen der Portfolios entlang der Effizienzkurve mit der Funktion » area() « in der ersten und zweiten Grafik gemeinsam im Grafikfenster darstellen. Die Bezeichnung der einzelnen Grafiken folgt dabei der Funktions- und Befehlsabfolge in den Zeilen 83 bis 85. Der Befehl » axis tight « bewirkt, dass die Skalierung des Diagramms an die minimalen und maximalen Werte der Eingangsgrößen angepasst wird. Der Befehl » set() « in Zeile 91 setzt die Hintergrundfarbe des Grafikfensters auf die Farbe Weiss. 107 % % Vergleich der historischen und J-S-Renditen 108 %-------------------------------------------------------- ------------ 109 110 figure; 111 set(gcf,'Color','w'); 112 CompRet(: ,1) = MittelwerteRenditen; 113 CompRet(: ,2) = js; 114 bar(CompRet); 115 legend('Historische Renditen','Renditen des J-S- Schätzers','EdgeColor', 'w','Location','SouthOutside','Orientation','horizontal'); 116 set(gca,'XTickLabel',ticker,'FontWeight','bold'); 117 set(gca,'Box','off'); Im Anschluss an die Darstellung der unterschiedlichen Effizienzkurven soll ein direkter Vergleich der historischen und geschrumpften Renditen in einem Balkendiagramm erfolgen. Mit dem Befehl » figure « in Zeile 110 wird ein neues Grafikfenster geöffnet, um die unterschiedlichen Renditen dort abtragen zu können. Um jedoch eine ordnungsgemäße Darstellung der historischen und geschrumpften Renditen in Zeile 114 mit dem Befehl » bar() « in einem Balkendiagramm zu ermöglichen, sollten zunächst beide Vektoren in den Zeilen 112 bis 113 zusammengeführt werden. Der abschließende Befehl in Zeile 117 schaltet bei der Darstellung der Balkendiagramme den oberen und rechten Rahmen des Grafikfensters ab. Zum Abschluss erfolgt eine Darstellung der historischen absoluten und relativen Wertentwicklung der einzelnen Wertpapiere. Dazu wird maßgeblich auf das Financial-Time-Series-Objekt und auf die normierte historische Zeitreihe zurückgegriffen. Die Befehle und Funktionen orientieren sich dabei hauptsächlich an den bisherig erläuterten Abschnitten und Zeilen. 118 % % Ausgabe der historischen absoluten und relativen Wertentwicklung <?page no="478"?> 478 6 Verfahren der robusten Portfoliooptimierung 119 %--------------------------------------------------------- ----------- 120 121 figure; 122 123 set(gcf,'Color','w'); 124 subplot(2,1,1) 125 126 plot(histprices_fts); 127 legend(ticker,'Location','BestOutside','EdgeColor','w'); 128 title(['Kursentwicklung der Wertpapiere im Zeitraum vom: ',datum_von,' bis: ',datum_bis,''],'FontSize',11); 129 set(gca,'Box','off'); 130 subplot(2,1,2) 131 132 plot(histkurse_norm); 133 legend(ticker,'Location','BestOutside','EdgeColor','w'); 134 title(['Performance der Wertpapiere im Zeitraum vom: ',datum_von,' bis: ',datum_bis,''],'FontSize',11); 135 axis tight; 136 set(gca,'Box','off'); 6.3.2.4.3 Umsetzung des Bayes-Stein-Schätzers in Excel Die ersten zwei Schritte entsprechen hauptsächlich der in Abschnitt 6.3.2.1 dargestellten Vorgehensweise bei der Berechnung des James-Stein-Schätzers. Schritt 3 und 4 in der nachfolgenden Darstellung beziehen sich jedoch auf die individuelle Umsetzung des Bayes-Stein-Schätzers in Excel, sodass der fortgeschrittene Leser sogleich die ersten beiden Schritte überspringen kann, um bei Schritt 3 zu beginnen. Schritt 1: Laden der historischen Zeitreihen und Bestimmung der stetigen Renditen Abb. 165: Festlegen der Datengrundlage In den Spalten C bis L dienen die historischen Zeitreihen der ausgewählten Wertpapiere im Zeitraum von 5 Jahren (61 monatliche Kurse je Wertpapier im Zeitraum vom 01.12.2004 bis 01.12.2009), analog zum Anwendungsbeispiel des James-Stein- Schätzers, als Grundlage für die Berechnung der stetigen Monatsrenditen sowie aller weiteren Input-Parameter für die Bestimmung und Anwendung des geschrumpften Bayes-Stein-Schätzers. Jeder Spalte wurden die historischen Kurse für ein individu- 67 8 9 10 11 A B C D E F G H I J K L Historische Kurse vom 01.12.2004 bis 01.12.2009 ABT BA COST CSCO IBM INTC MRK MSFT T XOM 01.12.2004 46,65 51,77 48,41 19,32 98,58 23,39 32,14 26,72 25,77 51,26 03.01.2005 45,02 50,60 47,27 18,04 93,42 22,45 28,05 26,28 23,76 51,60 01.02.2005 45,99 54,97 46,59 17,42 92,58 23,99 31,70 25,16 24,06 63,31 <?page no="479"?> 6.3 Modifikation der Input-Parameter 479 elles Wertpapier zugeordnet. Die historischen Daten wurden in diesem Fall für den angegebenen Zeitraum von der Website Yahoo Finance bezogen. 386 Abb. 166: Ermittlung der stetigen Monatsrenditen (Log-Renditen) Für die Berechnung der stetigen Monatsrenditen in den Spalten O bis X wird maßgeblich auf die zuvor bezogenen historischen Kurse zurückgegriffen. Aus diesem Grund bilden die Spalten O bis X die Grundlage für die spätere Schätzung der erwarteten Renditen und der Standardabweichungen der zuvor ausgewählten Wertpapiere. Da sich die stetigen Renditen im Vergleich zu den diskreten Renditen besser an die Standardnormalverteilung annähern, wird im Excel-Beispiel maßgeblich auf Log-Renditen (vgl. Kapitel 1, Abschnitt 1.6) als Datengrundlage abgestellt. Position Inhalt Excel-Umsetzung Spalten C bis L historische Kurse individuelle Werte Spalten O bis X Log-Rendite =LN(C10/ C9) Tab. 50: Umsetzung in Excel Schritt 2: Spezifikation der Input-Parameter Abb. 167: Festlegung der Eingangsgrößen Abb. 168: Berechnungen der Ausgangsparameter auf Grundlage der monatlichen Renditen Um die erwartete Rendite der einzelnen Wertpapiere des Portfolios auf Grundlage des Bayes-Stein-Schätzers berechnen zu können, müssen zunächst einige wichtige Parameter festgelegt werden. Dazu zählen neben der Anzahl der Wertpapiere im 386 Siehe http: / / de.finance.yahoo.com/ q/ hp? s=AA bzw. http: / / de.finance.yahoo.com/ q/ hp? s= [Ticker-Code z.B. AA oder IBM] 67 8 9 10 11 M N O P Q R S T U V W X Stetige Monatsrenditen vom 01.12.2004 bis 01.12.2009 ABT BA COST CSCO IBM INTC MRK MSFT T XOM 06.07.2011 07.07.2011 -3,56% -2,29% -2,38% -6,85% -5,38% -4,10% -13,61% -1,66% -8,12% 0,66% 08.07.2011 2,13% 8,28% -1,45% -3,50% -0,90% 6,63% 12,23% -4,36% 1,25% 20,45% 32 33 34 35 36 37 38 Y Z AA AB AC AD AE AF AG AH AI AJ AK 60 Assets 10 Tau 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Skalierung 12 Input Perioden Shrinkage-Konstante 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 Y Z AA AB AC AD AE AF AG AH AI AJ AK ABT BA COST CSCO IBM INTC MRK MSFT T XOM Mittelwert 0,26% 0,06% 0,38% 0,36% 0,43% -0,29% 0,23% 0,19% 0,09% 0,66% Standardabweichung 5,26% 8,70% 6,23% 7,88% 6,48% 8,16% 8,27% 7,32% 5,80% 5,60% Varianz 0,002763402 0,007567906 0,003886298 0,006203511 0,004193053 0,006654521 0,006832495 0,005357692 0,003359919 0,0031362 Durchschnittliche Korrelation 0,0378 Annualisierung der Datengrundlage ABT BA COST CSCO IBM INTC MRK MSFT T XOM Mittelwert 3,10% 0,74% 4,53% 4,27% 5,21% -3,47% 2,75% 2,32% 1,07% 7,89% Standardabweichung 18,21% 30,14% 21,60% 27,28% 22,43% 28,26% 28,63% 25,36% 20,08% 19,40% Varianz 0,033160824 0,090814877 0,046635573 0,074442137 0,05031663 0,079854257 0,081989945 0,064292303 0,040319031 0,0376341 Berechnungen auf Grundlage der täglichen Renditen <?page no="480"?> 480 6 Verfahren der robusten Portfoliooptimierung Portfolio in Zelle AB35 ebenfalls die Anzahl der Stichprobenbzw. Beobachtungswerte der unterschiedlichen Renditen in Zelle AB34 sowie die von der historischen Datengrundlage abhängige Skalierung in Zelle AB38. Abschließend wird in Zeile AB37 bis AK37 der Zeilenvektor Tau definiert, der lediglich aus Einsen besteht. Um die geschrumpften erwarteten Renditen nach der Methodik von Bayes-Stein ermitteln zu können, müssen zuvor alle relevanten Eingangsgrößen (Inputs) bestimmt werden, die für die weiteren Berechnungen benötigt werden. Die erwartete Rendite der einzelnen Wertpapiere in den Zellen AB43 bis AK43 wird deshalb durch den historischen Mittelwert der stetigen monatlichen Renditen aus den Spalten O bis X bestimmt und dient als maßgebliche Datengrundlage für die spätere Schrumpfung dieses Parameters. Dazu wird auf die Excel-Funktion MITTELWERT() zurückgegriffen. Einen weiteren wichtigen Parameter stellt die Standardabweichung dar. Diese wird in den Zellen AB44 bis AK44 analog zu den erwarteten Renditen aus der gleichen historischen Datengrundlage ermittelt. Da die Standardabweichung lediglich auf Grundlage einer Stichprobe ermittelt werden kann, sollte zur Bestimmung dieses Parameters die Excel-Funktion STABW.S() angewendet werden. Aus Gründen einer einheitlichen Darstellung werden die soeben ermittelten Parameter anschließend mit einem zuvor festgelegten Skalierungsfaktor multipliziert. Dieser Vorgang wird im Allgemeinen auch als Annualisierung eines oder mehrerer Parameter bezeichnet. Die Varianz wird an dieser Stelle nicht notwendigerweise benötigt, es sei dennoch darauf hingewiesen, dass die Berechnung der Varianz aufgrund der Stichprobengrundlage mit Hilfe der Excel-Funktion VARIANZA() durchgeführt wurde. Abb. 169: Berechnung der Varianz-Kovarianz-Matrix Bei der Bestimmung der Varianz-Kovarianz-Matrix in den Zellen AB60 bis AK69 wurde zur Berechnung maßgeblich auf die VBA-Funktion » VaRCovar() « zurückgegriffen. Es gilt bei der Eingabe der Formel zu beachten, dass es sich hierbei um eine Array-Formel handelt, und daher schon vor der Eingabe der Formel der spätere Zielbereich, in dem die Ergebnisse dargestellt werden sollen, ausgewählt und markiert werden muss, und nach der Eingabe der Formel die Prozedur mit der Tastenkombination STRG+SHIFT+ENTER bestätigt werden muss. Abschließend wird die Varianz-Kovarianz-Matrix aufgrund der logarithmierten Renditen auf Monatsbasis ebenfalls mit dem Faktor 12 annualisiert. Position Inhalt Excel-Umsetzung AB43 bis AK43 erwartete Rendite =MITTELWERT(O10: O69) AB44 bis AK44 Standardabweichung =STABW.S(O10: O69) 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 Y Z AA AB AC AD AE AF AG AH AI AJ AK Berechnung der Kovarianz-Matrix auf Grundlage der Stichprobe ABT BA COST CSCO IBM INTC MRK MSFT T XOM ABT 0,0327 0,0092 -0,0006 -0,0024 -0,0026 -0,0051 0,0199 0,0059 0,0058 0,0016 BA 0,0092 0,0897 0,0250 0,0381 0,0207 0,0318 0,0400 0,0186 0,0175 0,0177 COST -0,0006 0,0250 0,0460 0,0269 0,0154 0,0285 0,0213 0,0268 0,0173 0,0032 CSCO -0,0024 0,0381 0,0269 0,0735 0,0329 0,0441 0,0199 0,0324 0,0253 0,0085 IBM -0,0026 0,0207 0,0154 0,0329 0,0497 0,0290 0,0105 0,0158 0,0089 0,0058 INTC -0,0051 0,0318 0,0285 0,0441 0,0290 0,0788 0,0355 0,0345 0,0231 0,0086 MRK 0,0199 0,0400 0,0213 0,0199 0,0105 0,0355 0,0809 0,0288 0,0198 0,0210 MSFT 0,0059 0,0186 0,0268 0,0324 0,0158 0,0345 0,0288 0,0635 0,0228 0,0101 T 0,0058 0,0175 0,0173 0,0253 0,0089 0,0231 0,0198 0,0228 0,0398 0,0129 XOM 0,0016 0,0177 0,0032 0,0085 0,0058 0,0086 0,0210 0,0101 0,0129 0,0372 <?page no="481"?> 6.3 Modifikation der Input-Parameter 481 AB45 bis AK45 Varianz =VARIANZ(O10: O69) AB52 bis AK52 erwartete Rendite (annualisiert) =AB43*$AB$38 AB53 bis AK53 Standardabweichung (annualisiert) =AB44*WURZEL($AB$38) AB54 bis AK54 Varianz (annualisiert) =AB45*$AB$38 AB55 Grand Mean =MITTELWERT(AB52: AK52) AB60 bis AK69 Varianz-Kovarianz-Matrix =VarCovar($O$10: $X$259)*$AB$38 Tab. 51: Umsetzung in Excel Schritt 3: Anpassung der Eingangsgrößen (Input-Parameter) Abb. 170: Schätzung der Kovarianz-Matrix nach Zellner und Chetty (1965) Im Anschluss an die klassische Bestimmung der Varianz-Kovarianz-Matrix auf Grundlage der historischen Beobachtungswerte schlagen Z ELLNER und C HETTY (1965) aufgrund der Schätzfehlerproblematik eine Anpassung der Varianz-Kovarianz-Matrix vor (Formel (6.22) siehe Abschnitt 6.3.2.2). Nachdem nun alle notwendigen Parameter ermittelt worden sind, kann mit der Berechnung des Schrumpfungsfaktors und der geschrumpften erwarteten Renditen fortgefahren werden. Position Inhalt Excel-Umsetzung AB75 bis AK84 angepasste Varianz- Kovarianz-Matrix =(($AB$34-1) / ($AB$34-$AB$35-2)) *(AB60: AK69) Tab. 52: Umsetzung in Excel Schritt 4: Bestimmung des Schrumpfungsfaktors und der geschrumpften erwarteten Renditen Abb. 171: Bestimmung des Schrumpfungsfaktors Phi 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 Y Z AA AB AC AD AE AF AG AH AI AJ AK Schätzung der Kovarianz-Matrix auf Grundlage der Stichprobe nach Zellner und Chetty (1965) ABT BA COST CSCO IBM INTC MRK MSFT T XOM ABT 0,0402 0,0113 -0,0007 -0,0030 -0,0032 -0,0063 0,0245 0,0072 0,0071 0,0020 BA 0,0113 0,1102 0,0307 0,0468 0,0255 0,0391 0,0492 0,0229 0,0215 0,0217 COST -0,0007 0,0307 0,0566 0,0330 0,0189 0,0350 0,0262 0,0329 0,0213 0,0039 CSCO -0,0030 0,0468 0,0330 0,0903 0,0404 0,0542 0,0244 0,0399 0,0312 0,0104 IBM -0,0032 0,0255 0,0189 0,0404 0,0611 0,0357 0,0129 0,0194 0,0110 0,0072 INTC -0,0063 0,0391 0,0350 0,0542 0,0357 0,0969 0,0436 0,0424 0,0284 0,0105 MRK 0,0245 0,0492 0,0262 0,0244 0,0129 0,0436 0,0995 0,0354 0,0243 0,0258 MSFT 0,0072 0,0229 0,0329 0,0399 0,0194 0,0424 0,0354 0,0780 0,0280 0,0125 T 0,0071 0,0215 0,0213 0,0312 0,0110 0,0284 0,0243 0,0280 0,0489 0,0159 XOM 0,0020 0,0217 0,0039 0,0104 0,0072 0,0105 0,0258 0,0125 0,0159 0,0457 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 Y Z AA AB AC AD AE AF AG AH AI AJ AK Bestimmng des Shrinkage Faktors ABT BA COST CSCO IBM INTC MRK MSFT T XOM Gewichte des MVP 43,59% -4,18% 20,83% -1,25% 14,10% 9,02% -14,51% -2,39% 4,45% 30,35% Erwartete Rendite des MVP 4,62% 0,0462 Rho 0,2214 Phi 0,47459 Bayes-Stein 3,82% 2,58% 4,58% 4,44% 4,93% 0,37% 3,64% 3,41% 2,75% 6,34% <?page no="482"?> 482 6 Verfahren der robusten Portfoliooptimierung Bei der Bestimmung des Schrumpfungsfaktors in Zelle AB94 wurde auf Formel (6.21) (siehe Abschnitt 6.3.2.2). zurückgegriffen. Da es in Excel jedoch nicht einfach ist, eine derart komplexe Formel zu implementieren, wurde der Schrumpfungsfaktor Phi in mehreren Schritten ermittelt. Die Formel wurde dazu in mehrere Zellen (Zellen AB92 und AB93 sowie Zelle AB94) unterteilt und später die einzelnen Teilergebnisse in Zelle AB94 zusammengeführt. Die erwartete Rendite des Minimum- Varianz-Portfolios (MVP) in den Zellen AB92 und AC92 lässt sich auf unterschiedliche Art und Weise ermitteln. Die erste Möglichkeit ist in Zelle AB92 dargestellt. Dazu sollte die individuelle Portfoliozusammensetzung des Minimum-Varianz-Portfolios (siehe Zellen AB90 bis AK90) bestimmt werden. Anschließend lässt sich die erwartete Rendite des MVP auf Grundlage der ermittelten Portfoliozusammensetzung ermitteln. Eine weitere Möglichkeit besteht in der direkten Ermittlung der erwarteten Renditen durch die in Zelle AC92 implementierte Formel. Im Anschluss daran können die erwarteten Renditen der einzelnen Wertpapiere auf Grundlage der historischen Zeitreihen in Höhe des Schrumpfungsfaktors Phi geschrumpft werden. Als Resultat ergibt sich in den Zellen AB96 bis AK96 der Bayes-Stein-Schätzer der erwarteten Renditen der einzelnen Wertpapiere des Portfolios. Position Inhalt Excel-Umsetzung AB75 bis AK84 angepasste Varianz-Kovarianz-Matrix =(($AB$34-1) / ($AB$34-$AB$35-2)) *(AB60: AK69) AB90 bis AK90 Portfoliogewichte des MVP =MMULT(AB37: AK37; MINV(AB75: AK84)) / MMULT(MMULT(AB37: AK37; MINV(AB75: AK84)); MTRANS(AB37: AK37)) AB92 erwartete Rendite des MVP - Option 1 =SUMMENPRODUKT(AB90: AK90; AB52: AK52) AC92 erwartete Rendite des MVP - Option 2 =MMULT(MMULT(AB37: AK37; MINV(AB60: AK69)); MTRANS(AB52: AK52))/ MMULT(MMULT(AB37: AK37; MINV(AB60: AK69)); MTRANS(AB37: AK37)) AB93 Teil 1 zur Bestimmung von Phi =MMULT(MMULT(MTRANS(MTRANS(AB52: AK52)- MMULT(AC92; AB37: AK37)); MINV(AB75: AK84)); MTRANS(AB52: AK52)-MMULT(AC92; AB37: AK37)) AB94 Teil 2 zur Bestimmung von Phi =(AB35+2)/ ((AB35+2)+AB34*AB93) AB96 bis AK96 erwartete Renditen nach Bayes-Stein =MMULT((1-AB94); AB52: AK52)+ MMULT(AB94*AB92; AB37: AK37) Tab. 53: Umsetzung in Excel 6.3.2.4.4 Umsetzung des Bayes-Stein-Schätzers in Matlab Die ersten 50 Zeilen des Matlab-Skripts stimmen hauptsächlich mit dem ersten Teil des in Abschnitt 6.3.2.4.2 dargestellten Matlab-Skriptes überein. Dem fortgeschrittenen Leser wird daher bei der Lektüre des folgenden Abschnitts empfohlen, unmittelbar bei den Erläuterungen ab Zeile 51 zu beginnen. 1 % Beispiel: Bayes-Stein-Schätzer NEU 2 % Letzte Aktualisierung: 05.10.2012 3 % Verfasser: Marc Schurer <?page no="483"?> 6.3 Modifikation der Input-Parameter 483 45 % Verbindung zum Finanzdatenanbieter aufbauen 6 close all; 7 clear all; 8 connection = yahoo; 910 % Extrahieren der Ticker-Codes und Ermittlung der Anzahl an Wertpapieren 11 ticker ={'ABT','BA','COST','CSCO','IBM','INTC','MRK','MSFT','T', 'XOM'} 12 assets = length(ticker); In den Zeilen 6 bis 7 werden zu Beginn mit den Befehlen » close all « und » clear all « alle zuvor erstellten Grafiken und Fenster geschlossen sowie der Workspace mit allen verfügbaren Variablen gelöscht. Diese Maßnahme sollte zu Beginn jedes Matlab- Skriptes durchgeführt werden, um eventuelle Fehler im späteren Programmablauf zu vermeiden. In Zeile 8 wird der Variablen » connection « die Bezeichnung des Finanzdatenanbieters zugewiesen, von dem man alle notwendigen historischen Kurszeitreihen bezieht. Anstatt des Dienstes » yahoo « können die historischen Zeitreihen auch alternativ, entsprechende Lizenzen vorausgesetzt, von weiteren Finanzdatenanbietern wie z.B. Thomson Reuters oder Bloomberg bezogen werden. In Zeile 11 werden nach den Vorstellungen des Investors diejenigen Wertpapiere festgelegt, die das zukünftige Portfolio bilden sollen. Die Variable » ticker « bildet durch die Aufnahme der angeführten Unternehmen einen Zeilenvektor. Der Zeilenvektor nimmt jedoch nicht die genauen Bezeichnungen der einzelnen Wertpapiere auf, sondern bezieht sich auf sogenannte Kürzel (Ticker-Codes) der Wertpapiere, die individuell durch den Finanzdatenanbieter vorgegeben werden. Mit Hilfe des Ticker-Codes der jeweiligen Wertpapiere und dem später festgelegten Zeitraum erfolgt der Zugriff auf die Datenbank des Finanzdatenanbieters, sodass die historischen Zeitreihen der zuvor festgelegten Wertpapiere aus dem Internet geladen werden können. In Zeile 12 wird mit Hilfe der Matlab-Funktion » length(Variable) « die Anzahl der Wertpapiere im Portfolio durch die Bestimmung der Anzahl der Elemente des Zeilenvektors » ticker « ermittelt. Das Matlab-Skript wird durch die unmittelbar nachfolgenden Zeilen fortgesetzt. In diesem Fall wurde im Hinblick auf die Anzahl der Elemente des Zeilenvektors » ticker « der Variable » assets « ein Wert von 10 Wertpapieren zugewiesen. 13 %Festlegen des Zeithorizonts der Datengrundlage 14 datum_von = '2004-12-01'; 15 datum_bis = '2009-12-01'; 16 17 % %Kurse aller Wertpapiere im Portfolio ermitteln und importieren 18 data = fetch(connection,ticker(1),'Close',datum_von,datum_bis,'m'); 19 histprices_fts = fints(data(: ,1),data(: ,2),ticker(1)); <?page no="484"?> 484 6 Verfahren der robusten Portfoliooptimierung 20 21 for i=2: assets 22 security = ticker(i); 23 data = fetch(connection,security,'Close',datum_von,datum_bis,'m'); 24 fts = fints(data(: ,1),data(: ,2),ticker(i)); 25 histprices_fts = merge(histprices_fts,fts) 26 end In den Zeilen 14 und 15 wird zunächst der Zeithorizont festgelegt, für den die historischen Zeitreihen der einzelnen Wertpapiere im weiteren Verlauf des Skriptes aus dem Internet geladen werden sollen. Für den angegebenen Zeitraum vom 01.12.2004 bis 01.12.2009 werden, abhängig von der Länge des ausgewählten Zeitraums, die entsprechenden Stichprobenwerte (Samples) aus der historischen Zeitreihe entnommen. Um die historischen Kurse jedoch entsprechend ihrer auf- und absteigenden Datumsangaben in der richtigen Reihenfolge einlesen, verarbeiten und darstellen zu können, sollten nach dem Bezug der historischen Zeitreihe durch den Befehl » fetch(Parameter) « in den Zeilen 18 und 23 die Rohdaten der einzelnen historischen Zeitreihen in ein Financial-Time-Series-Objekt überführt werden. In den Zeilen 19 und 24 wird mit Hilfe der Funktion » fints(Parameter) « die historische Datengrundlage in das Financial-Time-Series-Objekt » fts « übertragen. Voraussetzung dafür ist, dass neben der Spalte mit den historischen Kursen die Spalte mit den dazugehörigen Datumsangaben sowie die Ticker-Bezeichnung der zu übertragenden Daten als Argumente der Funktion übergeben werden. Da der Finanzdatenanbieter jedoch lediglich die Abfrage eines einzelnen Wertpapiers pro Anfrage zulässt, werden die einzelnen historischen Kurse nacheinander in Form einer for-Schleife in den Zeilen 21 bis 26 abgefragt und geladen. Da während jedes neuen Schleifen-Durchlaufs ein neues Financial-Time-Series-Objekt erstellt und der gleichen Variable zugewiesen wird, besteht die Gefahr, die Daten aus dem vorherigen Schleifen-Durchlauf zu überscheiben. Aus diesem Grund wird in Zeile 25 mit der Funktion » merge(Parameter) « jedes neue Financial-Time-Series-Objekt im Objekt » histprices_fts « zusammengeführt. 27 %Interpoliert Divergenzen in den Zeitreihen 28 histprices_fts = fillts(histprices_fts,'linear'); 29 30 %Zeitreihen in Matrix zur weiteren Verarbeitung abspeichern 31 histkurse = fts2mat (histprices_fts) 32 dates = histprices_fts.dates; 33 34 %Zeitreihen normalisieren 35 histkurse_norm = bsxfun(@rdivide,histkurse,histkurse(1,: )); <?page no="485"?> 6.3 Modifikation der Input-Parameter 485 Beim Bezug der historischen Kurszeitreihen kommt es gelegentlich vor, dass aus unterschiedlichen Gründen einige Kurse nicht vollständig geladen werden können. Da sich jedoch derartige Lücken in der Datengrundlage negativ auf die Qualität der daraus ermittelten Ergebnisse auswirken, sollten Diskrepanzen innerhalb der historischen Kurse vor Beginn aller relevanten Berechnungen grundsätzlich beglichen werden. In diesem Fall wurde auf die Methodik der Interpolation zurückgegriffen, welche fehlende Kurse mit Hilfe unterschiedlicher statistischer Methoden approximativ wiederherstellen kann. In Zeile 28 wird aus auf die Funktion » fillts(Parameter) « zurückgegriffen. Nachdem die historischen Zeitreihen in ein gemeinsames Financial- Time-Series-Objekt überführt und interpoliert wurden, erlauben die Eigenschaften dieses Objektes jedoch keine weitere Verarbeitung der Daten. Deshalb wird in den Zeilen 31 und 32 durch die Funktion » fts2mat « das ursprüngliche Financial-Time- Series-Objekt der historischen Kurse an die gleichartige Matrix » histkurse « übertragen und die dazugehörigen Datumsangaben extrahiert und dem Vektor » dates « zugewiesen. Um zu einem späteren Zeitpunkt einen Performancevergleich der einzelnen Wertpapiere in einem Diagramm darstellen zu können, werden die zur weiteren Verarbeitung freigegebenen historischen Kurse mit der Funktion » bsxfun(Parameter) « in Zeile 35 normalisiert. 36 %Bestimmung der Parameter Tau und c 37 for i=1: length(ticker) 38 tau(i,1)=1; 39 End 40 41 % Ermittlung der durchschnittlichen täglichen Rendite der Assets 42 renditen = price2ret(histkurse,[],'continuous'); 43 T=length(renditen); 44 CovMatrix = cov(renditen)*12; 45 MittelwerteRenditen = mean(renditen)'*12; 46 47 GrandMean = mean(MittelwerteRenditen); 48 Standardabweichung = std(renditen)*sqrt(12); In den Zeilen 36 bis 48 werden nun alle wichtigen Eingangsgrößen zur Bestimmung des Schrumpfungsfaktors Phi sowie des James-Stein-Schätzers bestimmt. Zu Beginn wird in den Zeilen 37 bis 39 mit Hilfe einer for-Schleife der Spaltenvektor » tau « mit Einsen gefüllt. Anschließend werden die zu Beginn ermittelten historischen Kurse in Zeile 42 mit der Funktion » price2ret(Parameter) « und die dazu gehörigen stetigen Renditen (log-Renditen) bestimmt. Auf Grundlage der stetigen Renditen erfolgt in Zeile 44 mit der Funktion » cov(Parameter) « die Berechnung der Varianz- Kovarianz-Matrix und der anschließenden Annualisierung mit dem entsprechenden Skalierungsfaktor. In den Zeilen 45 und 48 erfolgt mit der Funktion » mean(Parameter) « und » std(Parameter) « die Bestimmung der erwarteten Rendite und der Standardabweichung einschließlich äquivalenter Annualisierung. In Zeile 47 wird gemäß Formel (6.19) (siehe Abschnitt 6.3.2.1) der Grand Mean berechnet, welcher spä- <?page no="486"?> 486 6 Verfahren der robusten Portfoliooptimierung ter in die Berechnung des Schrumpfungsfaktors Phi und des James-Stein-Schätzers eingeht. Im Anschluss erfolgt unmittelbar die Bestimmung des Schrumpfungsfaktors Phi. 49 % % Schätzer der Kovarianz-Matrix, vgl. (Zellner und Chetty, 1965) 50 %--------------------------------------------------------- --------------- 51 WCovMatrix = ( ( T-1 ) / (T assets - 2 ) ) * CovMatrix; 52 53 % Bestimmung Shrinkage-Faktor 54 RenditeMVP=(tau'*inv(CovMatrix)*MittelwerteRenditen)/ (tau'*inv(CovMatrix)*tau); 55 phi = (assets+2)/ ((assets+2)+T*(MittelwerteRenditen-Rendite MVP*tau)'*inv(WCovMatrix)*(MittelwerteRenditen-Rendite MVP*tau)); 56 57 % Bestimmung des Bayes-Stein-Schätzers 58 bs=(1-phi)*MittelwerteRenditen+phi*RenditeMVP*tau; 59 60 Noch vor Beginn der Bestimmung des Schrumpfungsfaktors wird der Empfehlung von Z ELLNER und C HETTY (1965) gefolgt und eine Anpassung der Varianz-Kovarianz- Matrix vorgenommen. Dazu wird Formel (6.21) aus Abschnitt 6.3.2.2 in Zeile 51 implementiert. Anschließend kann die erwartete Rendite des Minimum-Varianz-Portfolios (MVP) in Zeile 54 ermittelt und in der Variable » RenditeMVP « abgespeichert werden. Die erwartete Rendite stellt die letzte fehlende Eingangsgröße zur Berechnung des Schrumpfungsfaktor Phi in Zeile 55 dar. Nach Ermittlung des Ergebnisses wird dieses für die weitere Bearbeitung in Zeile 58 der Variablen » phi « zugeordnet. Im direkten Anschluss erfolgt in Zeile 58 auf Grundlage der zuvor ermittelten Parameter die Berechnung des Bayes-Stein-Schätzers in Abhängigkeit von Formel (6.20) (siehe Abschnitt 6.3.2.2). Als Ergebnis ergibt sich ein 10 x 1 -Vektor, welcher anschließend der Variablen » bs « zugewiesen wird. Dieser enthält die durch den Bayes-Stein- Schätzer geschätzten erwarteten Renditen der einzelnen Wertpapiere des Portfolios. Nachdem nun alle relevanten Eingangsgrößen berechnet worden sind, können diese anschließend in die klassische Erwartungswert-Varianz-Optimierung überführt und integriert werden. Dieser Prozess ermöglicht einen direkten Vergleich zwischen den Auswirkungen der historischen und geschrumpften Renditen und die anschließende Darstellung der unterschiedlichen Effizienzkurven. 61 % % Darstellung der Effizienzkurven in einem Diagramm 62 %------------------------------------------------------- ------------- 63 <?page no="487"?> 6.3 Modifikation der Input-Parameter 487 64 % Berechnung des Rendite/ Risiko-Profils für das Markowitz Portfolio 65 [Risk,Return,Weight]=frontcon(MittelwerteRenditen, WCovMatrix, 50); 66 67 figure; 68 % Berechnung des Rendite/ Risiko-Profils für das Bayes- Stein Portfolio 69 [bsRisk,bsReturn,bsWeight]=frontcon(bs, WCovMatrix, 50); 70 71 hold all; 72 set(gcf,'Color','w'); 73 74 hold on; 75 plot(Risk,Return,'-','LineWidth',2) 76 hold on; 77 plot(bsRisk,bsReturn,'r','LineWidth',2) 78 legend('Markowitz','Bayes-Stein','Location','SouthOutside','Orientation','Horizontal','EdgeColor','w'); 79 80 scatter(Standardabweichung,MittelwerteRenditen,'filled'); 81 text(Standardabweichung,MittelwerteRenditen,ticker,'horizontal','left','vertical','bottom'); 82 83 ylabel('erwartete Rendite (Annualisiert)','Fontsize',10); 84 xlabel('Standardabweichung (Annualisiert)','Fontsize',10); 85 title('Effizienzkurven im Vergleich','Fontsize',10,'Font- Weight','bold'); 86 hold off; Um die Effizienzkurve darstellen zu können, werden zunächst 50 unterschiedlich gewichtete Portfolios mit den dazugehörigen Rendite-Risiko-Profilen auf Grundlage der historischen Renditen berechnet. Dazu wird in Zeile 65 auf die Funktion » frontcon(Parameter) « zurückgegriffen, welche als Rückgabewert neben der Rendite und dem Risiko auch die unterschiedlichen Zusammensetzungen des jeweiligen Portfolios liefert. Die entsprechenden Ergebnisse werden dabei den Arrays » Risk «, » Return « und » Weight « zugewiesen. Analog zur soeben beschriebenen Prozedur wird anschließend in Zeile 69 auf Grundlage der geschrumpften Renditen die Effizienzkurve erneut berechnet und die entsprechenden Ergebnisse werden in den Arrays » bsRisk «, » bsReturn « und » bsWeight « abgespeichert. Nachdem nun alle notwendigen Berechnungen erfolgreich abgeschlossen worden sind, erfolgt in den Zeilen 71 bis 86 die grafische Ausgabe der ermittelten Ergebnisse. Mit dem Befehl » plot(Parameter) « können die Ergebnisse in einer zweidimensionalen Darstellung (x- und y-Achse), ähnlich <?page no="488"?> 488 6 Verfahren der robusten Portfoliooptimierung dem Punktdiagramm mit interpolierten Linien in Excel, dargestellt werden. Es sei jedoch darauf hingewiesen, dass bei jedem Aufruf der Funktion » plot() « durch Matlab unweigerlich ein neues Grafikfenster geöffnet wird. Um dem entgegenzuwirken, werden der Befehl » hold all « in Zeile 71 bzw. der Befehl » hold on « in den Zeilen 74 und 76 entweder vor oder nach der Funktion » plot() « aufgerufen, sodass das bestehende Grafikfenster geöffnet bleibt und eine beliebige Anzahl an Grafiken in das Grafikfenster eingezeichnet werden kann. Um die verschiedenen Effizienzkurven voneinander unterscheiden zu können, kann gemäß Zeile 78 mit der Funktion » legend(Parameter) « eine der Grafik entsprechende Legende im Grafikfenster aufgenommen werden, was eine Zuordnung der Kurven ungemein erleichtert. In den Zeilen 80 und 81 werden anschließend die einzelnen Rendite-Risiko-Profile der verschiedenen Wertpapiere des Portfolios im Grafikfenster eingezeichnet und entsprechend ihrer dazugehörigen Unternehmen bezeichnet. In den Zeilen 83 bis 85 erfolgt mit den Befehlen » ylabel() «, » xlabel() « und auch » title() « die Bezeichnung der y- und x-Achse und des übergeordneten Titels der zuvor erstellten Grafik. Der Befehl » hold off « beendet die Aufnahme weiterer Grafiken, sodass im Falle eines erneuten Aufrufs des Plot-Befehls wiederum ein neues Grafikfenster geöffnet wird. 87 % % Darstellung der Portfolio Gewichte in einem Diagramm 88 %------------------------------------------------------- ------------- 89 90 figure; 91 set(gcf,'Color','w') 92 colormap('jet'); 93 94 subplot(2,1,1) 95 area(Return, Weight) 96 xlabel('erwartete Rendite','Fontsize',10); 97 ylabel('Gewicht','Fontsize',10); 98 title('Portfolio-Gewichte auf Grundlage einfacher Renditen','Fontsize',10,'FontWeight','bold') 99 legend('',ticker,'Location','BestOutside','Orientation','vertical','EdgeColor', 'w'); 100 axis tight; 101 102 subplot(2,1,2) 103 area(bsReturn, bsWeight) 104 xlabel('erwartete Rendite','Fontsize',10); 105 ylabel('Gewicht','Fontsize',10); 106 title('Portfolio-Gewichte auf Grundlage des Bayes- Stein-Schätzers','Fontsize',10,'FontWeight','bold') 107 legend('',ticker,'Location','BestOutside','Orientation', 'vertical','EdgeColor', 'w'); 108 axis tight; <?page no="489"?> 6.3 Modifikation der Input-Parameter 489 Um eine Beurteilung der unterschiedlichen Effizienzkurven vornehmen zu können, gilt es, die beliebigen Portfoliozusammensetzungen entlang der verschiedenen Effizienzkurven jeweils in einem dazugehörigen Diagramm abzubilden. Die Darstellung der zwei separaten Effizienzkurven in einem gemeinsamen Grafikfenster ermöglicht den direkten Vergleich der beiden Effizienzkurven. Dazu wird der Befehl » subplot() « in den Zeilen 94 und 102 verwendet. Im Anschluss daran lassen sich mit der Funktion » area() « die unterschiedlichen Zusammensetzungen der Portfolios entlang der jeweiligen Effizienzkurve darstellen. Die Bezeichnung der einzelnen Grafiken folgt der Funktions- und Befehlsabfolge aus den Zeilen 83 bis 85. Der Befehl » axis tight « bewirkt, dass die Skalierung des Diagramms an die minimalen und maximalen Werte der Eingangsgrößen angepasst wird. Der Befehl » set() « in Zeile 91 hingegen setzt die Hintergrundfarbe des Grafikfensters auf die Farbe Weiss. Zum Abschluss erfolgt eine Darstellung der historischen absoluten und relativen Wertentwicklung der einzelnen Wertpapiere. Dazu wird auf das Financial-Time-Series-Objekt und die normierte historische Zeitreihe zurückgegriffen. Die Befehle und Funktionen orientieren sich dabei hauptsächlich an den bisherig erläuterten Abschnitten und Zeilen. 109 % % Ausgabe der historischen absoluten und relativen Wertentwicklung 110 %------------------------------------------------------- ------------- 111 112 figure; 113 114 set(gcf,'Color','w'); 115 subplot(2,1,1) 116 117 plot(histprices_fts); 118 legend(ticker,'Location','BestOutside','EdgeColor','w'); 119 title(['Kursentwicklung der Wertpapiere im Zeitraum vom: ',datum_von,' bis: ',datum_bis,''],'FontSize',11); 120 set(gca,'Box','off'); 121 subplot(2,1,2) 122 123 plot(histkurse_norm); 124 legend(ticker,'Location','BestOutside','EdgeColor','w'); 125 title(['Performance der Wertpapiere im Zeitraum vom: ',datum_von,' bis: ',datum_bis,''],'FontSize',11); 126 axis tight; 136 set(gca,'Box','off'); <?page no="490"?> 490 6 Verfahren der robusten Portfoliooptimierung 6.3.2.4.5 Umsetzung des Ledoit-Wolf-Schätzers in Excel Der erste Schritt der nachfolgenden Erläuterungen entspricht hauptsächlich der in Abschnitt 6.3.2.4.1 und 6.3.2.4.3 dargestellten Vorgehensweise bei der Berechnung des James-Stein-Schätzers und des Bayes-Stein-Schätzers. Der zweite Schritt bei der Anwendung des Ledoit-Wolf-Schätzers bezieht sich jedoch auf die individuelle Umsetzung in Excel, sodass der fortgeschrittene Leser den ersten Schritt überspringen kann, um mit Schritt 2 zu beginnen. Schritt 1: Laden der historischen Zeitreihen und Bestimmung der stetigen Renditen Abb. 172: Festlegen der Datengrundlage In den Spalten C bis L dienen die historischen Zeitreihen der ausgewählten Wertpapiere im Zeitraum von 5 Jahren (61 monatliche Kurse je Wertpapier im Zeitraum vom 01.12.2004 bis 01.12.2009) , analog zum Anwendungsbeispiel des James-Stein- Schätzers, als Grundlage für die Berechnung der stetigen Monatsrenditen sowie aller weiteren Input-Parameter für die Bestimmung und Anwendung der geschrumpften Varianz-Kovarianz-Matrix nach Ledoit und Wolf. Jeder Spalte wurden die historischen Kurse für ein individuelles Wertpapier zugeordnet. Die historischen Daten wurden in diesem Fall für den angegebenen Zeitraum von der Website Yahoo Finance bezogen. 387 Abb. 173: Ermittlung der stetigen Monatsrenditen (Log-Renditen) Für die Berechnung der stetigen Monatsrenditen in den Spalten O bis X wird auf die zuvor bezogenen historischen Kurse zurückgegriffen. Die Spalten O bis X bilden die Grundlage für die spätere Schätzung der erwarteten Renditen und der Standardabweichungen der zuvor ausgewählten Wertpapiere. Da sich die stetige Rendite im Vergleich zur diskreten Rendite besser der Standardnormalverteilung annähert, wird im Excel-Beispiel auf Log-Renditen (vgl. Kapitel 1, Abschnitt 1.6) als Datengrundlage abgestellt. Position Inhalt Excel-Umsetzung Spalten C bis L historische Kurse individuelle Werte Spalten O bis X Log-Rendite =LN(C10/ C9) Tab. 54: Umsetzung in Excel 387 Siehe http: / / de.finance.yahoo.com/ q/ hp? s=AA bzw. http: / / de.finance.yahoo.com/ q/ hp? s= [Ticker-Code z.B. AA oder IBM] 67 8 9 10 11 A B C D E F G H I J K L Historische Kurse vom 01.12.2004 bis 01.12.2009 ABT BA COST CSCO IBM INTC MRK MSFT T XOM 01.12.2004 46,65 51,77 48,41 19,32 98,58 23,39 32,14 26,72 25,77 51,26 03.01.2005 45,02 50,60 47,27 18,04 93,42 22,45 28,05 26,28 23,76 51,60 01.02.2005 45,99 54,97 46,59 17,42 92,58 23,99 31,70 25,16 24,06 63,31 67 8 9 10 11 M N O P Q R S T U V W X Y Stetige Monatsrenditen vom 01.12.2004 bis 01.12.2009 ABT BA COST CSCO IBM INTC MRK MSFT T XOM 06.07.2011 07.07.2011 -3,56% -2,29% -2,38% -6,85% -5,38% -4,10% -13,61% -1,66% -8,12% 0,66% 08.07.2011 2,13% 8,28% -1,45% -3,50% -0,90% 6,63% 12,23% -4,36% 1,25% 20,45% <?page no="491"?> 6.3 Modifikation der Input-Parameter 491 Schritt 2: Spezifikation der Input-Parameter Abb. 174: Ermittlung der Input-Parameter Noch vor Beginn der Berechnungen des Ledoit-Wolf-Schätzers sollten eine Auswahl und Festlegung aller notwendigen Eingangsgrößen (Input-Parameter) getroffen werden. Dazu zählen die Anzahl der Stichprobenwerte, die Shrinkage-Konstante und auch die Skalierung aller relevanten Parameter. Die Anzahl der Beobachtungswerte in Zelle AB34 wird durch den gewählten historischen Zeitraum und die Länge der daraus unmittelbar resultierenden Rendite-Szenarien bestimmt. In Zelle AB35 sollte zunächst ein geeigneter Schrumpfungsfaktor festgelegt werden. Da nahezu alle gängigen geschrumpften Schätzer aufgrund der Bestimmung der inversen Kovarianz- Matrix bei 𝑁𝑁 ≥ 𝑇𝑇 einen Zusammenbruch erleiden, greifen L EDOIT und W OLF (2003) bei der Bestimmung der optimalen Schrumpfungsintensität auf eine Verlustfunktion zurück, die grundsätzlich keine Ermittlung einer inversen Kovarianz-Matrix erfordert. 388 Da der Schwerpunkt der nachfolgenden Darstellungen unmittelbar auf dem Ledoit-Wolf-Schätzer selbst liegt, wird aus Gründen der Vereinfachung auf die Implementation der optimalen Schrumpfungsintensität verzichtet. 389 In Zelle AB35 wird in diesem Fall ein individueller Wert von 0,45 gewählt. Neben der Wahl des Zeitraums der verwendeten Datengrundlage beeinflusst ebenfalls die Periodizität der zugrundeliegenden Daten die Quantifizierung der erwarteten Renditen und der Standardabweichung. Die Periodizität der Datengrundlage wird dabei maßgeblich in tägliche, wöchentliche, monatliche und jährliche Kurse unterteilt. 390 Die Skalierung in Zelle AB36 ergibt sich aus der Verwendung der stetigen monatlichen Renditen aus den Spalten O bis X. In diesem Fall ergeben sich die erwarteten Renditen, Standardabweichungen und Varianzen auf der Grundlage einer monatlichen Rendite. Um jedoch im Laufe der weiteren Berechnungen einen Vergleich der unterschiedlichen Kennzahlen vornehmen zu können, sollten diese mit Hilfe des Skalierungsfaktors aneinander angeglichen werden. Durch die monatliche Periodizität der Datengrundlage wird für die spätere Annualisierung der Kennzahlen ein Faktor mit dem Wert 12 verwendet. Position Inhalt Excel-Umsetzung AB34 Perioden =ANZAHL(X10: X1048576) AB35 Schrumpfungs-Konstante individueller Wert, z.B. 0,45 AB36 Skalierungsfaktor individueller Wert, z.B. 52, 12, 250 … Tab. 55: Umsetzung in Excel 388 Vgl. Ledoit und Wolf (2003), S. 12 389 Anmerkung: Eine detaillierte mathematische Ableitung dazu geben Ledoit und Wolf (2003) im Anhang B ihres Arbeitspapiers. 390 Vgl. Prexl et al. (2010), S. 354 32 33 34 35 36 37 Y Z AA AB AC AD AE AF 60 0,45 Skalierung 12 Input Perioden Shrinkage-Konstante <?page no="492"?> 492 6 Verfahren der robusten Portfoliooptimierung Abb. 175: Berechnungen der Ausgangsparameter auf Grundlage der monatlichen Renditen Um die geschrumpfte Varianz-Kovarianz-Matrix nach der Methodik von L EDOIT und W OLF ermitteln zu können, müssen zuvor noch weitere Eingangsgrößen (Input-Parameter) bestimmt werden. Die erwartete Rendite der einzelnen Wertpapiere in den Zellen AB41 bis AK41 wird durch den historischen Mittelwert der stetigen monatlichen Renditen aus den Spalten O bis X bestimmt und dient als Datengrundlage für die weiteren Berechnungen. Aus diesem Grund wird auf die Excel-Funktion MIT- TELWERT() zurückgegriffen. Einen weiteren wichtigen Parameter stellt die Standardabweichung dar. Diese wird in den Zellen AB42 bis AK42 analog zu den erwarteten Renditen aus der gleichen historischen Datengrundlage ermittelt. Da die Standardabweichung auf Grundlage einer Stichprobe ermittelt werden kann, sollte zur Bestimmung dieses Parameters auf die Excel-Funktion STABW.S() zurückgegriffen werden. Aus den oben genannten Gründen werden die soeben ermittelten Parameter anschließend mit dem zuvor festgelegten Skalierungsfaktor aus Zelle AB36 multipliziert. Dieser Vorgang wird im Allgemeinen auch als Annualisierung einer oder mehrerer Parameter bezeichnet. Die Varianz wird an dieser Stelle nicht notwendigerweise benötigt. Es sei dennoch darauf hingewiesen, dass die Berechnung der Varianz aufgrund der Stichprobengrundlage mit Hilfe der Excel-Funktion VARI- ANZA() durchgeführt wurde. Die durchschnittliche Korrelation in Zelle AB44 stellt den letzten zu berechnenden Parameter in diesem Abschnitt dar und wird vorbereitend für die spätere Bestimmung der Korrelations-Matrix unter der Annahme konstanter Korrelationen ermittelt. Position Inhalt Excel-Umsetzung AB41 bis AK41 erwartete Rendite =MITTELWERT(O10: O69) AB42 bis AK42 Standardabweichung =STABW.S(O10: O69) AB43 bis AK43 Varianz =VARIANZ(O10: O69) AB44 durchschnittliche Korrelation =MITTELWERTWENN(AB58: AK67; "<1") AB50 bis AK50 erwartete Rendite (annualisiert) =AB41*$AB$36 AB51 bis AK51 Standardabweichung (annualisiert) =AB42*WURZEL($AB$36) Tab. 56: Umsetzung in Excel 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 Y Z AA AB AC AD AE AF AG AH AI AJ AK ABT BA COST CSCO IBM INTC MRK MSFT T XOM Erwartete Rendite 0,26% 0,06% 0,38% 0,36% 0,43% -0,29% 0,23% 0,19% 0,09% 0,66% Standardabweichung 5,26% 8,70% 6,23% 7,88% 6,48% 8,16% 8,27% 7,32% 5,80% 5,60% Varianz 0,002763402 0,007567906 0,003886298 0,006203511 0,004193053 0,006654521 0,006832495 0,005357692 0,003359919 0,0031362 Durchschnittliche Korrelation 0,2995 ABT BA COST CSCO IBM INTC MRK MSFT T XOM Erwartete Rendite 3,10% 0,74% 4,53% 4,27% 5,21% -3,47% 2,75% 2,32% 1,07% 7,89% Standardabweichung 18,21% 30,14% 21,60% 27,28% 22,43% 28,26% 28,63% 25,36% 20,08% 19,40% Varianz 0,033160824 0,090814877 0,046635573 0,074442137 0,05031663 0,079854257 0,081989945 0,064292303 0,040319031 0,0376341 Annualisierung der Datengrundlage Berechnungen auf Grundlage der täglichen Renditen <?page no="493"?> 6.3 Modifikation der Input-Parameter 493 Schritt 3: Bestimmung der geschrumpften Varianz-Kovarianz-Matrix Die Bestimmung der geschrumpften Varianz-Kovarianz-Matrix nach L EDOIT und W OLF (2003) unterteilt sich in mehrere Teilschritte, die im Rahmen des folgenden Abschnitts im Detail erläutert werden sollen. Das grundlegende Prinzip der Schrumpfung der Varianz-Kovarianz-Matrix in Richtung eines zentralen Wertes spiegelt sich dabei unweigerlich in den einzelnen Schritten bei der Bestimmung der geschrumpften Varianz-Kovarianz-Matrix wider. Die Methodik von L EDOIT und W OLF (2003) greift in diesem Zusammenhang auf die folgenden drei zentralen Komponenten zurück: [1] Kovarianz-Matrix aus der Stichprobe ohne feste Struktur [2] Schrumpfungsfaktor bzw. -konstante [3] Kovarianz-Matrix mit einer festen Struktur Abb. 176: Berechnung der Korrelations-Matrix Nachdem alle relevanten Eingangsgrößen für die Bestimmung der geschrumpften Varianz-Kovarianz-Matrix ermittelt wurden, kann mit der Berechnung der Korrelations-Matrix auf Grundlage der historischen Stichprobenwerte (stetige Renditen) im Bereich AB58 bis AK67 fortgefahren werden. In diesem Fall wird zur Bestimmung der Korrelations-Matrix die ursprüngliche VBA-Funktion VarCovar() verwendet, die auf die Berechnungen von Korrelationen zweier Wertpapiere inhaltlich angepasst und erweitert wurde. Die Korrelation-Matrix liefert die Grundlage für die sich anschließende Bestimmung der Korrelations-Matrix unter der Annahme konstanter Korrelationen im Bereich AB73 bis AK82. Abb. 177: Ermittlung der Korrelations-Matrix unter der Annahme konstanter Korrelationen L EDOIT und W OLF (2003) empfehlen die Verwendung der Kovarianz-Matrix entweder auf Grundlage des Single-Faktor-Modells nach S HARPE (1963) oder unter der Annahme konstanter Korrelationen nach E LTON und G RUBER (1978). 391 Die Bestimmung 391 Vgl. Fabozzi et al (2007), S. 217 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 Y Z AA AB AC AD AE AF AG AH AI AJ AK ABT BA COST CSCO IBM INTC MRK MSFT T XOM ABT 1,0000 0,1702 -0,0155 -0,0495 -0,0638 -0,1007 0,3866 0,1291 0,1596 0,0470 BA 0,1702 1,0000 0,3892 0,4689 0,3107 0,3786 0,4694 0,2465 0,2930 0,3062 COST -0,0155 0,3892 1,0000 0,4621 0,3215 0,4731 0,3489 0,4949 0,4048 0,0769 CSCO -0,0495 0,4689 0,4621 1,0000 0,5444 0,5791 0,2575 0,4748 0,4686 0,1627 IBM -0,0638 0,3107 0,3215 0,5444 1,0000 0,4640 0,1658 0,2814 0,2011 0,1359 INTC -0,1007 0,3786 0,4731 0,5791 0,4640 1,0000 0,4438 0,4881 0,4131 0,1585 MRK 0,3866 0,4694 0,3489 0,2575 0,1658 0,4438 1,0000 0,4017 0,3487 0,3830 MSFT 0,1291 0,2465 0,4949 0,4748 0,2814 0,4881 0,4017 1,0000 0,4537 0,2086 T 0,1596 0,2930 0,4048 0,4686 0,2011 0,4131 0,3487 0,4537 1,0000 0,3357 XOM 0,0470 0,3062 0,0769 0,1627 0,1359 0,1585 0,3830 0,2086 0,3357 1,0000 Berechnung der Korrelations-Matrix 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 Y Z AA AB AC AD AE AF AG AH AI AJ AK Berechnung der Korrelations-Matrix unter der Annahme konstanter Korrelationen ABT BA COST CSCO IBM INTC MRK MSFT T XOM ABT 0,0332 0,0164 0,0118 0,0149 0,0122 0,0154 0,0156 0,0138 0,0110 0,0106 BA 0,0164 0,0908 0,0195 0,0246 0,0202 0,0255 0,0258 0,0229 0,0181 0,0175 COST 0,0118 0,0195 0,0466 0,0176 0,0145 0,0183 0,0185 0,0164 0,0130 0,0125 CSCO 0,0149 0,0246 0,0176 0,0744 0,0183 0,0231 0,0234 0,0207 0,0164 0,0159 IBM 0,0122 0,0202 0,0145 0,0183 0,0503 0,0190 0,0192 0,0170 0,0135 0,0130 INTC 0,0154 0,0255 0,0183 0,0231 0,0190 0,0799 0,0242 0,0215 0,0170 0,0164 MRK 0,0156 0,0258 0,0185 0,0234 0,0192 0,0242 0,0820 0,0217 0,0172 0,0166 MSFT 0,0138 0,0229 0,0164 0,0207 0,0170 0,0215 0,0217 0,0643 0,0152 0,0147 T 0,0110 0,0181 0,0130 0,0164 0,0135 0,0170 0,0172 0,0152 0,0403 0,0117 XOM 0,0106 0,0175 0,0125 0,0159 0,0130 0,0164 0,0166 0,0147 0,0117 0,0376 <?page no="494"?> 494 6 Verfahren der robusten Portfoliooptimierung der geschrumpften Varianz-Kovarianz-Matrix im Excel-Modell erfolgt unter der Annahme konstanter Korrelationen. In diesem Fall wird bei der Berechnung der Varianz-Kovarianz-Matrix im Bereich AB73 bis AK82 angenommen, dass die Varianzen der Wertpapierrenditen, unter der Voraussetzung eines gemeinsamen Korrelationskoeffizienten, grundsätzlich den Varianzen der Stichprobenrenditen entsprechen. Bei der Auswahl eines gemeinsamen Korrelationskoeffizienten wird in diesem Zusammenhang häufig auf die durchschnittliche Korrelation der einzelnen Wertpapiere zurückgegriffen. Die Varianz-Kovarianz-Matrix unter Annahme konstanter Korrelationen der Wertpapiere besitzt dabei folgende Eigenschaften 392 : 𝜎𝜎 𝑖𝑖𝑖𝑖 = � 𝜎𝜎 𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝜎𝜎 𝑖𝑖2 𝜎𝜎 𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝜌𝜌𝜎𝜎 𝑖𝑖 𝜎𝜎 𝑖𝑖 𝑤𝑤𝑒𝑒𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑖𝑖 = 𝑗𝑗 𝑤𝑤𝑒𝑒𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑖𝑖 ≠ 𝑗𝑗 (6.29) Die genannten Eigenschaften finden bei der Bestimmung und Implementierung der Varianz-Kovarianz-Matrix unter der Annahme konstanter Korrelationen entsprechende Berücksichtigung. Abb. 178: Berechnung der Varianz-Kovarianz-Matrix Bei der Bestimmung der Varianz-Kovarianz-Matrix in den Zellen AB88 bis AK97 wird bei der Berechnung durch die VBA-Funktion VaRCovar() maßgeblich auf die historische Datengrundlage in den Spalten O bis X zurückgegriffen. Es gilt bei der Eingabe der Formel zu beachten, dass es sich um eine Array-Formel handelt und daher schon vor der Eingabe der Formel der spätere Zielbereich, in dem die Ergebnisse dargestellt werden sollen, ausgewählt und markiert werden muss. Nach Eingabe der Formel muss die Prozedur mit der Tastenkombination STRG+SHIFT+EN- TER bestätigt werden. Abschließend wird die Varianz-Kovarianz-Matrix aufgrund der logarithmierten Renditen auf Monatsbasis ebenfalls mit dem Faktor 12 annualisiert. Abb. 179: Bestimmung der geschrumpften Varianz-Kovarianz-Matrix 392 Vgl. Benninga (2008), S. 307 f. 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 Y Z AA AB AC AD AE AF AG AH AI AJ AK Berechnung der Kovarianz-Matrix auf Grundlage der Stichprobe ABT BA COST CSCO IBM INTC MRK MSFT T XOM ABT 0,0327 0,0092 -0,0006 -0,0024 -0,0026 -0,0051 0,0199 0,0059 0,0058 0,0016 BA 0,0092 0,0897 0,0250 0,0381 0,0207 0,0318 0,0400 0,0186 0,0175 0,0177 COST -0,0006 0,0250 0,0460 0,0269 0,0154 0,0285 0,0213 0,0268 0,0173 0,0032 CSCO -0,0024 0,0381 0,0269 0,0735 0,0329 0,0441 0,0199 0,0324 0,0253 0,0085 IBM -0,0026 0,0207 0,0154 0,0329 0,0497 0,0290 0,0105 0,0158 0,0089 0,0058 INTC -0,0051 0,0318 0,0285 0,0441 0,0290 0,0788 0,0355 0,0345 0,0231 0,0086 MRK 0,0199 0,0400 0,0213 0,0199 0,0105 0,0355 0,0809 0,0288 0,0198 0,0210 MSFT 0,0059 0,0186 0,0268 0,0324 0,0158 0,0345 0,0288 0,0635 0,0228 0,0101 T 0,0058 0,0175 0,0173 0,0253 0,0089 0,0231 0,0198 0,0228 0,0398 0,0129 XOM 0,0016 0,0177 0,0032 0,0085 0,0058 0,0086 0,0210 0,0101 0,0129 0,0372 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 Y Z AA AB AC AD AE AF AG AH AI AJ AK Berechnung der geschrumpften Korrelations-Matrix nach Ledoit und Wolf (2003) ABT BA COST CSCO IBM INTC MRK MSFT T XOM ABT 0,0329 0,0125 0,0050 0,0054 0,0041 0,0041 0,0180 0,0095 0,0081 0,0057 BA 0,0125 0,0902 0,0225 0,0320 0,0205 0,0290 0,0336 0,0205 0,0178 0,0176 COST 0,0050 0,0225 0,0463 0,0227 0,0150 0,0239 0,0200 0,0221 0,0154 0,0074 CSCO 0,0054 0,0320 0,0227 0,0739 0,0263 0,0346 0,0215 0,0272 0,0213 0,0118 IBM 0,0041 0,0205 0,0150 0,0263 0,0500 0,0245 0,0144 0,0164 0,0110 0,0091 INTC 0,0041 0,0290 0,0239 0,0346 0,0245 0,0793 0,0304 0,0286 0,0204 0,0121 MRK 0,0180 0,0336 0,0200 0,0215 0,0144 0,0304 0,0814 0,0256 0,0186 0,0190 MSFT 0,0095 0,0205 0,0221 0,0272 0,0164 0,0286 0,0256 0,0638 0,0194 0,0122 T 0,0081 0,0178 0,0154 0,0213 0,0110 0,0204 0,0186 0,0194 0,0400 0,0124 XOM 0,0057 0,0176 0,0074 0,0118 0,0091 0,0121 0,0190 0,0122 0,0124 0,0374 <?page no="495"?> 6.3 Modifikation der Input-Parameter 495 Nachdem alle für die Berechnung der geschrumpften Varianz-Kovarianz-Matrix nach L EDOIT und W OLF notwendigen Matrizen vorliegen, wird diese im Bereich AB103 bis AK112 gemäß Formel (6.23) aus Abschnitt 6.3.2.3 implementiert. Es ergibt sich eine geschrumpfte Varianz-Kovarianz-Matrix, welche in Verbindung mit den historischen erwarteten Renditen gemeinsam an die klassische Erwartungswert- Varianz-Optimierung und andere Optimierungsverfahren übergeben werden kann. Der Bereich AN8 bis BB30 zeigt den Vergleich der beiden Effizienzkurven auf der Grundlage der historischen erwarteten Renditen und der geschrumpften Varianz- Kovarianz-Matrix (siehe Financial Model). Position Inhalt Excel-Umsetzung AB58 bis AK67 Korrelations-Matrix =KorrelMatrix($O$9: $X$259) AB73 bis AK82 Korrelations-Matrix unter der Annahme konstanter Korrelationen =WENN(AA73: AA82=AB72: AK72; $AB$ 52: $AK$52; MMULT(MTRANS($AB$51: $ AK$51); $AB$51: $AK$51)*$AB$44) AB88 bis AB97 Kovarianz-Matrix =VarCovar($O$9: $X$259)*$AB$36 AB103 bis AK112 geschrumpfte Kovarianz- Matrix nach Ledoit und Wolf =$AB$35*AB73+(1-$AB$35)*AB88 Tab. 57: Umsetzung in Excel 6.3.2.4.6 Umsetzung des Ledoit-Wolf-Schätzers in Matlab Die ersten 44 Zeilen des Matlab-Skripts stimmen hauptsächlich jeweils mit dem ersten Teil der in den Abschnitten 6.3.2.4.2 und 6.3.2.4.4 dargestellten Matlab-Skripten überein. Dem fortgeschrittenen Leser wird bei der Lektüre des folgenden Abschnitts empfohlen, unmittelbar bei den Erläuterungen ab Zeile 45 zu beginnen. 1 % Beispiel: Ledoit-Wolf-Schätzer 2 % Datum: 20.09.2012 3 % Verfasser: Marc Schurer 45 % Verbindung zum Finanzdatenanbieter aufbauen 6 close all; 7 clear all; 8 connection = yahoo; 910 %Extrahieren der Ticker-Codes und Ermittlung der Anzahl an Wertpapieren 11 ticker={'ABT','BA','COST','CSCO','IBM','INTC','MRK','MSFT', 'T','XOM'} 12 assets = length(ticker); 13 w=0.35; <?page no="496"?> 496 6 Verfahren der robusten Portfoliooptimierung In den Zeilen 6 bis 7 werden zu Beginn mit den Befehlen » close all « und » clear all « alle zuvor erstellten Grafiken und Fenster geschlossen sowie der Workspace mit allen verfügbaren Variablen gelöscht. Diese Maßnahme sollte zu Beginn jedes Matlab- Skriptes durchgeführt werden, um eventuelle Fehler im späteren Programmablauf zu vermeiden. In Zeile 8 wird anschließend der Variable » connection « die Bezeichnung des Finanzdatenanbieters zugewiesen, von dem man alle notwendigen historischen Kurszeitreihen bezieht. Anstatt des Dienstes » yahoo « können die historischen Zeitreihen auch alternativ, entsprechende Lizenzen vorausgesetzt, von weiteren Finanzdatenanbietern wie z.B. Thomson Reuters oder Bloomberg bezogen werden. In Zeile 11 werden nach den Vorstellungen des Investors diejenigen Wertpapiere festgelegt, die das zukünftige Portfolio bilden sollen. Die Variable » ticker « bildet durch die Aufnahme der angeführten Unternehmen einen Zeilenvektor. Der Zeilenvektor nimmt jedoch nicht die genauen Bezeichnungen der einzelnen Wertpapiere auf, sondern bezieht sich auf sogenannte Kürzel (Ticker-Codes) der Wertpapiere, die individuell durch den Finanzdatenanbieter vorgegeben werden. Mit Hilfe des Ticker- Codes der jeweiligen Wertpapiere und dem später festgelegten Zeitraum erfolgt der Zugriff auf die Datenbank des Finanzdatenanbieters, sodass die historischen Zeitreihen der zuvor festgelegten Wertpapiere aus dem Internet geladen werden können. In Zeile 12 wird mit Hilfe der Matlab-Funktion » length(Variable) « durch die Bestimmung der Anzahl der Elemente des Zeilenvektors » ticker « entsprechend die Anzahl der Wertpapiere im Portfolio ermittelt. Das Matlab-Skript wird durch die unmittelbar nachfolgenden Zeilen fortgesetzt. In diesem Fall wurde im Hinblick auf die Anzahl der Elemente des Zeilenvektors » ticker « der Variable » assets « ein Wert von 10 Wertpapieren zugewiesen. 14 %Festlegen des Zeithorizonts der Datengrundlage 15 datum_von = '2004-12-01'; 16 datum_bis = '2009-12-01'; 17 18 % %Kurse aller Wertpapiere im Portfolio ermitteln und importieren 19 data = fetch(connection,ticker(1),'Close',datum_von,datum_bis,'m'); 20 histprices_fts = fints(data(: ,1),data(: ,2),ticker(1)); 21 22 for i=2: assets 23 security = ticker(i); 24 data = fetch(connection,security,'Close',datum_von,datum_bis,'m'); 25 fts = fints(data(: ,1),data(: ,2),ticker(i)); 26 histprices_fts = merge(histprices_fts,fts) 27 End In den Zeilen 15 und 16 wird zunächst der Zeithorizont festgelegt, für den die historischen Zeitreihen der einzelnen Wertpapiere im weiteren Verlauf des Skriptes aus dem Internet geladen werden sollen. Für den angegebenen Zeitraum vom <?page no="497"?> 6.3 Modifikation der Input-Parameter 497 01.12.2004 bis 01.12.2009 werden, abhängig von der Länge des ausgewählten Zeitraums, die entsprechenden Stichprobenwerte (Samples) aus der historischen Zeitreihe entnommen. Um die historischen Kurse entsprechend ihrer auf- und absteigenden Datumsangaben in der richtigen Reihenfolge einlesen, verarbeiten und darstellen zu können, sollten nach dem Bezug der historischen Zeitreihe durch den Befehl » fetch(Parameter) « in den Zeilen 19 und 24 die Rohdaten der einzelnen historischen Zeitreihen in ein Financial-Time-Series-Objekt überführt werden. In den Zeilen 20 und 25 wird mit Hilfe der Funktion » fints(Parameter) « die historische Datengrundlage in das Financial-Time-Series-Objekt » fts « übertragen. Voraussetzung dafür ist, dass neben der Spalte mit den historischen Kursen die Spalte mit den dazugehörigen Datumsangaben sowie die Ticker-Bezeichnung der zu übertragenden Daten als Argumente der Funktion übergeben werden. Da der Finanzdatenanbieter lediglich die Abfrage eines einzelnen Wertpapiers pro Anfrage zulässt, werden die einzelnen historischen Kurse nacheinander in Form einer for-Schleife in den Zeilen 22 bis 27 abgefragt und geladen. Da während jedes neuen Schleifen-Durchlaufes ein neues Financial-Time-Series-Objekt erstellt und der gleichen Variable zugewiesen wird, besteht die Gefahr die Daten aus dem vorherigen Schleifen-Durchlauf zu überscheiben. Aus diesem Grund wird in Zeile 26 mit der Funktion » merge(Parameter) « jedes neue Financial-Time-Series-Objekt im Objekt » histprices_fts « zusammengeführt. 28 %Interpoliert Divergenzen in den Zeitreihen 29 histprices_fts = fillts(histprices_fts,'linear'); 30 31 %Zeitreihen in Matrix zur weiteren Verarbeitung abspeichern 32 histkurse = fts2mat (histprices_fts) 33 dates = histprices_fts.dates; 34 35 %Zeitreihen normalisieren 36 histkurse_norm = bsxfun(@rdivide,histkurse,histkurse(1,: )); Beim Bezug der historischen Kurszeitreihen kommt es gelegentlich vor, dass aus unterschiedlichen Gründen einige Kurse nicht vollständig geladen werden können. Da sich jedoch derartige Lücken in der Datengrundlage negativ auf die Qualität der daraus ermittelten Ergebnisse auswirken, sollten Diskrepanzen innerhalb der historischen Kurse vor Beginn aller relevanten Berechnungen grundsätzlich beglichen werden. In diesem Fall wurde auf die Methodik der Interpolation zurückgegriffen, welche fehlende Kurse mit Hilfe unterschiedlicher statistischer Methoden approximativ wiederherstellen kann. In Zeile 29 wird aus diesem Grund auf die Funktion » fillts(Parameter) « zurückgegriffen. Nachdem die historischen Zeitreihen in ein gemeinsames Financial-Time-Series-Objekt überführt und interpoliert worden sind, erlauben die Eigenschaften dieses Objektes jedoch keine weitere Verarbeitung der Daten. Deshalb wird in den Zeilen 32 und 33 durch die Funktion » fts2mat « das ursprüngliche Financial-Time-Series-Objekt der historischen Kurse an die gleichartige Matrix » histkurse « übertragen und die dazugehörigen Datumsangaben werden ex- <?page no="498"?> 498 6 Verfahren der robusten Portfoliooptimierung trahiert und dem Vektor » dates « zugewiesen. Um zu einem späteren Zeitpunkt einen Performancevergleich der einzelnen Wertpapiere in einem Diagramm darstellen zu können, werden die zur weiteren Verarbeitung freigegebenen historischen Kurse mit der Funktion » bsxfun(Parameter) « in Zeile 36 normalisiert. 37 % Ermittlung der durchschnittlichen täglichen Rendite der Assets 38 renditen = price2ret(histkurse,[],'continuous'); 39 T=length(renditen); 40 CovMatrix = cov(renditen)*12; 41 MittelwerteRenditen = mean(renditen)'*12; 42 Standardabweichung = std(renditen)*sqrt(12); 43 KorrelMatrix=corr(renditen); 44 Varianz=var(renditen)*12; In den Zeilen 38 bis 48 werden nun alle wichtigen Eingangsgrößen zur Bestimmung der geschrumpften Varianz-Kovarianz-Matrix nach L EDOIT und W OLF berechnet. Dazu werden zunächst in Zeile 42 auf der Grundlage der zuvor ermittelten historischen Kurse mit der Funktion » price2ret(Parameter) « die dazu gehörigen stetigen Renditen (log-Renditen) bestimmt. Auf Basis der stetigen Renditen erfolgt in Zeile 40 mit der Funktion » cov(Parameter) « die Berechnung der Varianz-Kovarianz-Matrix. Aufgrund der Periodizität der Datengrundlage erfolgt noch vor der Zuordnung der Varianz-Kovarianz-Matrix zur Variablen » CovMatrix « die Annualisierung der Matrix mit dem entsprechenden Skalierungsfaktor. In den Zeilen 41 und 42 erfolgt mit den Funktionen » mean(Parameter) « und » std(Parameter) « die Bestimmung der erwarteten Rendite und der Standardabweichung einschließlich äquivalenter Annualisierung. Im Anschluss erfolgt unmittelbar die Bestimmung der durchschnittlichen Korrelation der einzelnen Wertpapiere. 45 % % Bestimmung der durchschnittlichen Korrelation 46 %------------------------------------------------------- ------------- 47 x=1; 48 for i=1: length(ticker) 49 for j=1: length(ticker) 50 if (i ~= j) 51 AddUp(x)=KorrelMatrix(i,j); 52 x=x+1; 53 end 54 End 55 End 56 57 %Berechnung der durchschnittlichen Korrelation 58 AvgKorrel = mean(AddUp); 59 <?page no="499"?> 6.3 Modifikation der Input-Parameter 499 60 % Bestimmung der Kovarianz-Matrix unter Annahme konstanter Korrelationen 61 for i=1: length(ticker) 62 for j=1: length(ticker) 63 if (i == j) 64 ConstCorrelMatrix (i,j)=Varianz(: ,i); 65 Else 66 ConstCorrelMatrix (i,j)=Standardabweichung(i)*Standardabweichung(j)*AvgKorrel; 67 End 68 End 69 End 70 71 % Bestimmung der Ledoit-Wolf-Kovarianz-Schätzung durch Schrumpfung 72 LWCovMatrix = w * ConstCorrelMatrix + (1-w)* CovMatrix; Die Erläuterungen der Zeilen 45 bis 72 stellen den Mittelpunkt des Matlab-Modells bei der Schrumpfung der Varianz-Kovarianz-Matrix dar. In den Zeilen 45 bis 55 werden die einzelnen Elemente der zuvor in Zeile 43 erstellten Korrelations-Matrix im Array » AddUp « der Reihe nach gespeichert. In Zeile 58 wird auf Grundlage dieses Arrays der gemeinsame durchschnittliche Korrelationskoeffizient der einzelnen Wertpapiere bestimmt. Im Anschluss daran kann in den Zeilen 61 bis 69 die Berechnung der Varianz-Kovarianz-Matrix unter der Annahme konstanter Korrelationen erfolgen. Dazu ist es notwendig, jedes Element der Matrix » ConstCorrelMatrix « einzeln zu ermitteln. Es ist erforderlich, der Diagonalen grundsätzlich die Varianzen der Wertpapiere zuzuordnen, wobei sich die restlichen Elemente aus dem Produkt aus der durchschnittlichen Korrelation und den einzelnen Standardabweichungen ergeben. Nachdem alle notwendigen Parameter bestimmt worden sind, lässt sich nun in Zeile 72 die ursprüngliche historische Varianz-Kovarianz-Matrix in Richtung Kovarianz-Matrix unter Annahme konstanter Korrelationen mit der zu Beginn des Matlab- Modells in Zeile 13 festgelegten Schrumpfungsintensität schrumpfen. Nachdem alle relevanten Eingangsgrößen berechnet worden sind, können diese in die klassische Erwartungswert-Varianz-Optimierung überführt und integriert werden. Dieser Prozess ermöglicht einen direkten Vergleich zwischen den Auswirkungen der historischen Renditen und der geschrumpften Varianz-Kovarianz-Matrix und die anschließende Darstellung der unterschiedlichen Effizienzkurven. 73 % % Darstellung der Effizienzkurven in einem Diagramm 74 %------------------------------------------------------- ------------- 75 76 % Berechnung des Rendite/ Risiko-Profils für das "normale" Portfolio <?page no="500"?> 500 6 Verfahren der robusten Portfoliooptimierung 77 [Risk,Return,Weight]=frontcon(MittelwerteRenditen, CovMatrix, 50); 78 79 % Darstellung der Effizienzkurvein einem Diagramm 80 figure; 81 [lwRisk,lwReturn,lwWeight]=frontcon(MittelwerteRenditen, LWCovMatrix, 50); 82 83 hold all; 84 85 set(gcf,'Color','w'); 86 87 hold on; 88 plot(Risk,Return,'-','LineWidth',2) 89 hold on; 90 plot(lwRisk,lwReturn,'r','LineWidth',2) 91 legend('Normal','Ledoit-Wolf'); 92 93 scatter(Standardabweichung,MittelwerteRenditen,'filled'); 94 text(Standardabweichung,MittelwerteRenditen,ticker,'horizontal','left','vertical','bottom'); 95 96 Ylabel('erwartete Rendite (Annualisiert)','Font- Weight','bold'); 97 xlabel('Standardabweichung (Annualisiert)','Font- Weight','bold'); 98 title('Effizienzkurven im Vergleich','Fontsize',12,'FontWeight','bold'); 99 hold off; Um die erste Effizienzkurve darstellen zu können, werden zunächst 50 unterschiedlich gewichtete Portfolios mit den dazugehörigen Rendite-Risiko-Profilen auf Grundlage der historischen Renditen berechnet. Dazu wird in Zeile 77 auf die Funktion » frontcon(Parameter) « zurückgegriffen, welche als Rückgabewert neben der Rendite und dem Risiko auch die unterschiedlichen Zusammensetzungen des jeweiligen Portfolios liefert. Die entsprechenden Ergebnisse werden den Arrays » Risk «, » Return « und » Weight « zugewiesen. Analog zur soeben beschriebenen Prozedur wird anschließend in Zeile 81 auf Grundlage der geschrumpften Varianz-Kovarianz- Matrix und den historischen Renditen die zweite Effizienzkurve bestimmt und die entsprechenden Ergebnisse ebenfalls in den Arrays » lwRisk «, » lwReturn « und » lwWeight « abgespeichert. Nachdem nun alle notwendigen Berechnungen erfolgreich abgeschlossen worden sind, erfolgt ab Zeile 83 bis 99 die grafische Ausgabe der ermittelten Ergebnisse. Mit dem Befehl » plot(Parameter) « können die Ergebnisse <?page no="501"?> 6.3 Modifikation der Input-Parameter 501 in einer zweidimensionalen Darstellung (x- und y-Achse), ähnlich dem Punktdiagramm mit interpolierten Linien in Excel, dargestellt werden. Es sei darauf hingewiesen, dass bei jedem Aufruf der Funktion » plot() « durch Matlab unweigerlich ein neues Grafikfenster geöffnet wird. Um dem entgegenzuwirken, werden der Befehl » hold all « in Zeile 83 bzw. der Befehl » hold on « in Zeile 87 und 89 entweder vor oder nach der Funktion » plot() « aufgerufen, sodass das bestehende Grafikfenster geöffnet bleibt und eine beliebige Anzahl an Grafiken in das Grafikfenster eingezeichnet werden kann. Um dennoch die verschiedenen Effizienzkurven voneinander unterscheiden zu können, kann gemäß Zeile 91 mit der Funktion » legend (Parameter) « eine der Grafik entsprechende Legende im Grafikfenster aufgenommen werden, die eine spätere Zuordnung der Kurven innerhalb des Grafikfensters ungemein erleichtert. In den Zeilen 80 und 81 werden die einzelnen Rendite-Risiko-Profile der verschiedenen Wertpapiere des Portfolios im Grafikfenster eingezeichnet und entsprechend ihrer dazugehörigen Unternehmen bezeichnet. In den Zeilen 88 bis 90 erfolgt mit den Befehlen » ylabel() «, » xlabel() « als auch » title() « die Bezeichnung der y- und x-Achse und des übergeordneten Titels der zuvor erstellten Grafik. Der Befehl » hold off « beendet die Aufnahme weiterer Grafiken, sodass im Falle eines erneuten Aufrufs des Plot-Befehls wiederum ein neues Grafikfenster geöffnet wird. 100 % % Darstellung der Portfolio Gewichte in einem Diagramm 101 %------------------------------------------------------- ------------- 102 figure; 103 set(gcf,'Color','w') 104 colormap('jet'); 105 subplot(2,1,1) 106 area(Return, Weight) 107 xlabel('erwartete Rendite','Fontsize',10,'Font- Weight','bold'); 108 ylabel('Gewicht','Fontsize',12,'FontWeight','bold'); 109 title('Portfolio-Gewichte auf Grundlage einfacher Renditen','Fontsize',12,'FontWeight','bold') 110 legend('',ticker,'Location','BestOutside','Orientation','vertical','EdgeColor', 'w'); 111 axis tight; 112 subplot(2,1,2) 113 area(lwReturn, lwWeight) 114 xlabel('erwartete Rendite','Fontsize',10,'Font- Weight','bold'); 115 ylabel('Gewicht','Fontsize',12,'FontWeight','bold'); 116 title('Portfolio-Gewichte auf Grundlage des Ledoit- Wolf-Schätzers','Fontsize',12,'FontWeight','bold') 117 legend('',ticker,'Location','BestOutside','Orientation','vertical','EdgeColor', 'w'); 118 axis tight; <?page no="502"?> 502 6 Verfahren der robusten Portfoliooptimierung Um eine Beurteilung der unterschiedlichen Effizienzkurven vornehmen zu können, gilt es, die beliebigen Portfoliozusammensetzungen entlang der verschiedenen Effizienzkurven jeweils in einem dazugehörigen Diagramm abzubilden. Die Darstellung der zwei separaten Effizienzkurven in einem gemeinsamen Grafikfenster ermöglicht dadurch den direkten Vergleich der beiden Effizienzkurven. Dazu wird der Befehl » subplot() « in den Zeilen 105 und 112 verwendet. Im Anschluss daran, lassen sich mit der Funktion » area() « die unterschiedlichen Zusammensetzungen der Portfolios entlang der jeweiligen Effizienzkurve darstellen. Die Bezeichnung der einzelnen Grafiken folgt der Funktions- und Befehlsabfolge aus den Zeilen 85 bis 99. Der Befehl » axis tight « bewirkt, dass die Skalierung des Diagramms an die minimalen und maximalen Werte der Eingangsgrößen angepasst wird. Der Befehl » set() « in Zeile 85 verändert die Hintergrundfarbe des Grafikfensters in die Farbe Weiss. 6.4 Modifikation des Modells 6.4.1 Der Ansatz nach Black-Litterman “When it comes to forecasting, there are only two kinds of economists, those who don’t know and those who don’t know that they don’t know.” Ray Marshall - US Secretary of Labor (*1928) Quelle: picture alliance / AP Die mangelnde Akzeptanz des Erwartungswert-Varianz-Ansatzes in der Praxis kann unmittelbar auf die einschneidende Problematik nicht intuitiver und hoch konzentrierter Portfolios, hoher Sensitivität der Eingangsgrößen sowie der Präsenz von Schätzfehlern bei der Optimierung von Portfolios nach den Ansätzen der modernen Portfoliotheorie zurückgeführt werden. Da eine ökonomisch sinnvolle und intuitive Auswahl der in einem Portfolio enthaltenen Wertpapiere im Rahmen des Erwartungswert-Varianz-Ansatzes im Prozess der mathematischen Optimierung keine tragende Rolle spielt, verfolgt man in der Praxis eine zur modernen Portfoliotheorie gegensätzliche Methodik. Dort treten vor allem ökonomisch sinnvolle Allokationen in den Vordergrund der Bemühungen. Bei der Optimierung von Portfolios wird deshalb in der Praxis häufig auf Zielportfoliogewichte in Form einer Benchmark zurückgegriffen, die einerseits langfristig plausibel erscheinen und andererseits aber auch geeignet sind, die gesetzten Anlageziele zu erreichen. Aus diesem Grund ist ein Unterschied in der grundsätzlichen Methodik der klassischen Portfoliotheorie und der praktischen Umsetzung im Asset Management feststellbar. 393 H AHN und T HIEßEN (2007) formulierten vor dem Hintergrund der dargestellten Schätzproblematik die nachfolgenden Anforderungen, die Investoren auf Grundlage ihrer praktischen Erfahrungen im Portfolio Management an ein Optimierungsmodell stellen. 393 Vgl. Drobetz (2004), S. 205 <?page no="503"?> 6.4 Modifikation des Modells 503 Ein erfolgreicher Investor sollte im Interesse seiner vermögenden Klienten grundsätzlich das Ziel verfolgen, eine hohe Umschichtung der einzelnen Wertpapiere in einem Portfolio zu vermeiden, um die Transaktionskosten nicht unnötig ansteigen zu lassen. Dabei sollten, wenn nicht explizit gewünscht, Engagements in Short-Positionen und illiquiden Vermögensgegenständen bzw. Wertpapieren gleichermaßen vermieden werden. Ein Portfolio sollte weiterhin stets ausreichend diversifiziert sein, um entsprechende Einzelrisiken reduzieren zu können. Obwohl das Portfolio nicht laufend umgeschichtet werden sollte, stellt eine nahezu bestmögliche Anpassung an neue Parameterschätzungen eine wichtige Anforderung an ein ausgeklügeltes Optimierungsmodell dar. 394 Der im Folgenden vorgestellte Black-Litterman-Ansatz erfüllt einen Großteil der soeben aufgezählten Anforderungen und wird aus diesem Grund den robusten Optimierungsverfahren bzw. der robusten Asset Allocation zugeordnet. Das Black-Litterman-Modell stellt neben der robusten Mittelwert-Varianz-Optimierung, der Resampling-Methode und den robusten und geschrumpften Schätzern eine weitere Alternative zur Lösung der angesprochenen Schätzfehlerproblematik dar. Für eine ausführliche Erläuterung zu den angesprochenen Schwierigkeiten bei der Portfoliooptimierung wird in diesem Zusammenhang auf den ersten Teil dieses Kapitels verwiesen. Im Rahmen des Investment-Prozesses sammeln und aggregieren Analysten alle relevanten Informationen, um daraus Einschätzungen und Meinungen über die zukünftige Entwicklung von Unternehmen abzuleiten. Die angesprochenen Einschätzungen in den Analysen müssen nicht notwendigerweise unmittelbare Prognosen über die zukünftige Entwicklung eines Wertpapiers widerspiegeln, sondern können lediglich Beurteilungen der relativen Performance eines Wertpapiers sowie spezifische Portfolio-Strategien umfassen. Diese Analysen dienen dem Portfolio-Manager als Grundlage für die Auswahl geeigneter Titel für ein Portfolio. Dabei wird im Allgemeinen der Versuch unternommen, die Einschätzungen des Marktes in optimale Portfolio-Anteile zu überführen. Der Erwartungswert-Varianz-Ansatz verarbeitet jedoch bei der praktischen Umsetzung keine direkten Einschätzungen oder Meinungen über Unternehmen, sondern erfordert vielmehr eine konsistente Prognose der erwarteten Rendite der jeweiligen Wertpapiere eines zu optimierenden Portfolios. Um den jeweiligen Einschätzungen und Meinungen dennoch den Zugang zu einem Optimierungsverfahren zu ermöglichen, müssen die Einschätzungen in die expliziten Renditeprognosen überführt bzw. integriert werden. 395 Im Mittelpunkt eines aktiven Portfolio Managements steht das Research, bei dem Analysten alle wertbeeinflussenden Informationen aufbereiten und zu einer Prognoseeinschätzung in absoluter oder relativer Form aggregieren. Dieser aufwändige und zeitintensive Prozess bildet die Grundlage für die Identifikation und Auswahl geeigneter Anlagetitel. Die konsistente Integration unterschiedlicher Einschätzungen und Prognosen der erwarteten Rendite der jeweiligen Wertpapiere bilden deshalb maßgeblich die zen- 394 Vgl. Hahn und Thießen (2007a), S. 1 395 Vgl. Cheung (2009), S. 3 <?page no="504"?> 504 6 Verfahren der robusten Portfoliooptimierung tralen Bemühungen des Black-Litterman-Modells und motivierten dessen Entwicklung. Die Veröffentlichung der wissenschaftlichen Studie mit dem Titel „Global Portfolio Optimization“ durch F ISCHER B LACK und R OBERT L ITTERMAN im Jahr 1990 begründete den Beginn des Black-Litterman-Modells. Einige Jahre später arbeiteten B EVAN und W INKELMANN (1998) als auch H E und L ITTERMAN (1998) das grundlegende Modell des Black-Litterman-Ansatzes nochmals im Detail auf. 6.4.1.1 Motivation und Hintergründe des Black-Litterman-Modells Als Ausgangspunkt für die anschließende Darstellung und Anwendung des Black- Litterman-Modells soll zunächst auf die Motivation und die Hintergründe bei der Entwicklung dieses Ansatzes eingegangen werden, um die Konzeption des Modells von Grund auf zu erläutern. Abb. 180: Der traditionelle Ansatz des Portfolio Managements nach der MPT Quelle: Nomura Asset Management in Cheung (2009), S. 5 Da sich die Einschätzungen eines Analysten einerseits aus öffentlich verfügbaren Informationen und andererseits zum Teil aus exklusiven privaten Informationen ergeben, kann lediglich ein Informationsvorsprung des Portfolio-Managers zu einer Generierung von Alpha in Form einer Überrendite führen. In diesem Zusammenhang ist es jedoch fragwürdig, inwieweit die Analyse öffentlich verfügbarer Informationen zu einem Informationsvorsprung gegenüber anderen Marktteilnehmern beitragen kann, da offensichtlich jede Person unmittelbaren Zugang zu diesen Informationen besitzt, und diese dadurch bereits implizit in den Kursen enthalten sind. Öffentliche Informationen Private Informationen Views Explizite Rendite Prognosen Portfoliooptimierung Allokation Portfoliooptimierung Bildung von Views Wie können Meinungen (Views) in explizite Renditeprognosen überführt werden? Explizite Renditeprognosen <?page no="505"?> 6.4 Modifikation des Modells 505 Die Investmentindustrie schreibt daher dem Umgang mit Informationen und deren adäquater Verarbeitung eine besondere Stellung zu, indem unter hohen Aufwand an der Entwicklung und Implementierung von entsprechenden Prognoseverfahren gearbeitet wird. Es wird unweigerlich deutlich, dass die Einschätzungen eines Analysten sich einerseits aus unterschiedlichen Quellen herausbilden und andererseits verschiedenen Formen zugeordnet werden können. Bei der Betrachtung des traditionellen Ansatzes der modernen Portfoliotheorie kommt man daher im Rahmen der Portfoliooptimierung erneut auf die zuvor angesprochene Frage zurück, wie die einzelnen Einschätzungen des Analysten aus den unterschiedlichsten Quellen in den Prozess der Portfoliooptimierung konsistent integriert werden können. Abb. 180 greift diesen Zusammenhang nochmals auf. Spätestens an dieser Stelle sei darauf hingewiesen, dass das Black-Litterman-Modell mit der zuvor angesprochenen Integration von Prognosen eindeutig Bezug auf die Lehre der Behavioral Finance nimmt 396 , welche jedoch nicht Gegenstand der nachfolgenden Abschnitte sein soll. Vor dem Hintergrund, dass jedoch alle öffentlichen Informationen grundsätzlich allen Marktteilnehmern gleichermaßen zur Verfügung stehen, erscheint es außerordentlich schwer, eine entsprechende Benchmark schlagen zu können. F AMA (1970) bezieht sich in diesem Zusammenhang auf die mittelstarke Form der Markteffizienz. Aus diesem Grund erscheint es zweckmäßig bei der Optimierung von Portfolios statt der erwarteten Rendite auf Basis von historischen Zeitreihen auf die jeweilige Einschätzung des Marktes selbst zurückzugreifen. B LACK und L ITTERMAN (1990) schlagen bei alleiniger Kenntnis von öffentlich zugänglichen Informationen, die Verwendung neutraler Werte vor, die aus dem Capital Asset Pricing Model abgeleitet werden können. Es erscheint daher zweckmäßig, die aus dem CAPM ermittelten Gleichgewichtsrenditen als Eingangsgrößen bei der Bildung eines Portfolios zu verwenden. In diesem Fall hält der Investor einen Teil des Marktportfolios. 397 Besitzt der Analyst jedoch über die öffentlichen Informationen hinweg zusätzliche private und exklusive Einschätzungen über einzelne Unternehmen, erlaubt das Black-Litterman-Modell ebenfalls die Verarbeitung und Einbindung dieser Informationen in den Investmentprozess. Dabei greift das Black-Litterman-Modell auf den aus der induktiven Statistik bekannten Bayes’schen Ansatz zurück, um die subjektiven Einschätzungen eines Analysten in Form von Renditeprognosen der Wertpapiere mit den dazugehörigen Gleichgewichtbzw. Referenzrenditen kombinieren zu können. Diese Methodik führt zur Bildung von intuitiven und ausgewogenen Eingangsgrößen für die anschließende Optimierung von effizienten Portfolios. 398 Das Black-Litterman-Modell erlaubt die Berücksichtigung individueller Prognosen und Einschätzungen bei der Durchführung der Portfoliooptimierung bzw. Asset Allocation. Im Rahmen dieses Abschnittes wird deutlich, dass das CAPM, die Markteffizienz als auch die Bayes’sche Regel die zentralen Komponenten des Black-Litterman-Modells darstellen und somit unweigerlich miteinander verknüpft sind. Abb. 181 gibt 396 Vgl. Mankert (2006), S. 50 ff. 397 Vgl. Cheung (2009), S. 4 ff. 398 Vgl. Idzorek (2004), S. 1 f. <?page no="506"?> 506 6 Verfahren der robusten Portfoliooptimierung eine Übersicht über die wichtigsten Säulen des Black-Litterman-Konzepts. Die drei Säulen des Black-Litterman-Modells spiegeln deshalb unmittelbar die Intuition von B LACK und L ITTERMAN (1990) wider, ein anspruchsvolles Modell für die Anwendung in der Praxis zu schaffen. M ANKERT (2006) bezieht unter anderem auch deshalb den Ansatz nach B LACK und L ITTERMAN durch die Berücksichtigung der zahlreichen anwendungsbezogenen Ad-hoc-Annahmen des Modells weniger auf einen theoretisch fundierten Ansatz sondern vielmehr auf einen eher pragmatisch orientierten Ansatz. 399 In der Praxis findet das Black-Litterman-Modell vorrangig in den Schmieden des quantitativen Asset Managements wie etwa Goldman Sachs eine breite Anwendung, wird aber auch bei anderen führenden institutionellen Asset-Managern wie z.B. der Commerzbank und der Allianz erfolgreich eingesetzt. 400 Abb. 181: Die drei Säulen des Black-Litterman-Modells Das Black-Litterman-Modell lässt sich als solches grundsätzlich aus zwei unterschiedlichen Konzepten ableiten. Der erste Ansatz basiert auf der Ableitung des Black-Litterman-Modells aus dem Satz von Bayes (engl. bayesian approach), der zweite Ansatz bezieht sich auf das Prinzip der statistischen Stichprobe (engl. sampling theory approach). Die nachfolgende Darstellung des Black-Litterman-Modells beschränkt sich auf den ursprünglichen Ansatz nach B LACK und L ITTERMAN auf Grundlage des Satzes von Bayes. Obwohl B LACK und L ITTERMAN (1990) im Vergleich der Ergebnisse von etwaigen Differenzen der beiden Ansätze grundsätzlich Abstand nehmen, zeigt M ANKERT (2006) in einem unmittelbaren Vergleich, dass sich die jeweiligen Methoden im Ergebnis sehr wohl, wenn auch nur marginal, unterscheiden. Das Black-Litterman-Modell greift bei dessen Berechnung auf den Satz von Bayes, das Prinzip der statistischen Stichprobe und die zentrale Annahme einer mittelstarken Markteffizienz zurück. Im Rahmen der nachfolgenden Abschnitte liegt der Schwerpunkt unserer Bemühungen weniger auf einer strikt formalen mathematischen Darstellung des Black-Litterman-Ansatzes. Es wird vielmehr das Ziel verfolgt, auf Grundlage der mathematischen Definitionen die methodischen Grundlagen und die anschließende praktische Umsetzung des Black-Litterman-Modells umfassend darzustellen. 399 Vgl. Mankert (2006), S. 23 400 Vgl. Hahn und Thießen (2007a), S. 1-3 <?page no="507"?> 6.4 Modifikation des Modells 507 6.4.1.2 Aufbau des Black-Litterman-Modells Abb. 182: Die Intuition des Black-Litterman-Ansatzes Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Drobetz (2004), S. 218 Die Bestimmung eines optimalen Portfolios erfolgt nach dem Black-Litterman- Modell grundsätzlich in vier wesentlichen Schritten: [1] Berechnung der impliziten Renditen für ein Ausgangsportfolio [2] Quantifizierung der subjektiven Renditeprognosen [3] Ermittlung der Black-Litterman-Renditen [4] Berechnung der optimalen Wertpapiergewichtungen Im ersten Schritt werden zunächst auf Grundlage des Referenzbzw. Ausgangsportfolios die Referenzrenditen bestimmt. Bezieht sich das Ausgangsportfolio auf den Spezialfall eines Marktportfolios, resultieren aus der „Umkehroptimierung“ die entsprechenden Gleichgewichtsrenditen. Liegt jedoch das Ausgangsportfolio in Form einer Benchmark vor, spricht man von impliziten Renditen. 401 Es kann im engeren Sinn lediglich ein Stellvertreter des Marktportfolios festgelegt werden, da das 401 Vgl. Drobetz (2003), S. 217 <?page no="508"?> 508 6 Verfahren der robusten Portfoliooptimierung Marktportfolio selbst nicht unmittelbar nachgebildet werden kann. 402 Steht als Grundlage weder ein Marktportfolio noch eine Benchmark zur Verfügung, lassen sich alternativ aus der zuvor durch den Investor festgelegten strategischen Asset Allocation des Portfolios die langfristig erwarteten Renditen der jeweiligen Wertpapiere ableiten, die anschließend als Eingangsgrößen in die weiteren Berechnungen des Black-Litterman-Modells mit eingehen. 403 B LACK und L ITTERMAN (1990) sprechen in diesem Fall die Empfehlung aus, als Grundlage für alle weiteren Berechnungen des Black-Litterman-Modells auf die zuvor angesprochenen Gleichgewichtsrenditen zurückzugreifen. 404 Ein wesentliches Merkmal dieser beschriebenen Renditen ergibt sich aus der angewandten Methodik bei der Ermittlung der jeweiligen Gleichgewichtsrenditen. Es lassen sich die Renditen für ein beliebiges Portfolio aus der ursprünglichen Gleichung des CAPM mit Hilfe der Umkehroptimierung implizit ableiten bzw. extrahieren. Mit anderen Worten: Es wird gemäß des CAPM kein vollständig neues Portfolio ermittelt, sondern auf Grundlage eines bereits existierenden Portfolios, des sogenannten Ausgangsportfolios, werden diejenigen impliziten Renditen aus der Gleichung des CAPM extrahiert, welche ein effizientes Portfolio bilden. Vor diesem Hintergrund wird davon ausgegangen, dass das kapitalisierungsgewichtete Portfolio (Marktportfolio) sich unmittelbar jenem Portfolio anpasst, in dem tatsächlich auch alle Kapitalanleger investiert sein möchten. 405 Diese Bedingung führt zu einer entscheidenden Annahme des CAPM. Es wird davon ausgegangen, dass Investoren grundsätzlich das Marktportfolio auf lange Sicht halten möchten und dadurch den Markt räumen. 406 Das Black-Litterman-Modell setzt keinesfalls voraus, dass das CAPM grundsätzlich gilt. Es bezieht sich vielmehr auf die zentrale Annahme, dass die jeweiligen erwarteten Renditen der einzelnen Wertpapiere eines Portfolios nicht allzu lange vom Marktgleichgewicht abweichen. Auf Grundlage dieser Annahme lassen sich im Rahmen der taktischen Asset Allocation für einen kurzfristigen Zeithorizont entsprechende Überrenditen erwirtschaften. 407 Aus ökonomischer Sicht bilden die impliziten Gleichgewichtsrenditen die allgemeine Marktmeinung ab. Die Bezugnahme des Black-Litterman-Modells auf ein Ausgangsportfolio wurde maßgeblich durch Erfahrungen aus der Praxis motiviert. Es ist allgemein bekannt, dass sich eine Vielzahl von Kapitalanlegern bei der Zusammenstellung ihrer Portfolios oftmals an Indizes, sogenannten Benchmarks, orientieren. Sofern das Portfolio eines Kapitalanlegers nicht allzu stark von der Zusammensetzung des korrespondierenden Index abweicht, gibt sich der Kapitalanleger oftmals zufrieden. Im Mittelpunkt der Bemühungen eines Portfolio-Managers steht es, den Markt zu „schlagen“. In diesem Fall wird der Versuch unternommen, die Rendite einer korrespondierenden Benchmark durch geringfügige bis erhebliche Abweichungen in der Zusammensetzung des eigenen Portfolios zu übertreffen. Man spricht dabei von einer soge- 402 Vgl. Feilke/ Gürtler (2008), S. 5 bzw. Roll (1977) 403 Vgl. Zankl (2009), S. 38 404 Vgl. Black/ Litterman (1990), S. 32 405 Vgl. Drobetz (2003), S. 213 406 Vgl. Best/ Grauer (1985) 407 Vgl. Drobetz (2003), S. 214 <?page no="509"?> 6.4 Modifikation des Modells 509 nannten „Out-Performance“ der Benchmark. Die Kapitalanleger wählen im Rahmen des Black-Litterman-Modells häufig entweder ein Ausgangsportfolio, dessen Gewichtung sich aus der Marktkapitalisierung der einzelnen Wertpapiere ableiten lässt oder vereinfacht das aktuelle Ist-Portfolio darstellt. 408 Ein weiterer Grund für die Verwendung eines Referenzbzw. Ausgangsportfolios stellt die Vermeidung von sogenannten „Corner-Portfolios“ dar. Da es im Rahmen der klassischen Portfoliooptimierung häufig zu konzentrierten und unausgewogenen Portfolios zu Beginn und am Ende der jeweiligen Effizienzkurve kommt, stößt die klassische Portfoliooptimierung mit der Einführung von realitätsfremden Nebenbedingungen in der praktischen Anwendung an ihre Grenzen. Der Black-Litterman-Ansatz hingegen versucht, durch die Verwendung eines Referenzbzw. Ausgangsportfolios derartige Portfoliozusammensetzungen zu vermeiden. 409 Im ersten Schritt des Black-Litterman-Modells werden die impliziten Gleichgewichtsrenditen in Form eines Referenzportfolios aus der „Umkehroptimierung“ ermittelt. Die Grundlage zur Bildung des Referenzportfolios stellt entweder eine Benchmark oder alternativ eine durch den Investor festgelegte strategische Asset Allocation dar. Im zweiten Schritt erfolgt die Quantifizierung der subjektiven Renditeprognosen eines Analysten bzw. Portfolio-Managers. Das ursprüngliche Referenzbzw. Ausgangsportfolio dient hierbei als Grundlage bei der Formulierung eigener Renditeschätzungen. Da die zuvor ermittelten impliziten Renditen in der Regel nicht den zukünftig erwarteten Renditen entsprechen, ist es durchaus möglich, dass die impliziten Renditen von den Gleichgewichtsrenditen der unmittelbar folgenden Periode abweichen können. 410 Aus diesem Grund erscheint es zweckmäßig, einzelne Einschätzungen und Prognosen eines Portfolio-Managers, die maßgeblich aus öffentlichen und privaten Informationen gebildet werden, in den Investmentprozess zu integrieren. Da die Prognosen und Einschätzungen lediglich subjektiver Natur sind und damit lediglich die Meinung einer individuellen Person widerspiegeln, bezeichnet die Fachliteratur diese häufig auch als „Views“. Die jeweiligen Einschätzungen eines Investors spiegeln in diesem Zusammenhang maßgeblich dessen Meinung in absoluter und in relativer Form über die weitere Entwicklung einzelner Anlagetitel wider. 411 Da jedoch der Eintritt der formulierten Prognosen unweigerlich mit Unsicherheit behaftet ist, berücksichtigt das Black-Litterman-Modell durch den Rückgriff auf die Bayes-Regel aus der induktiven Statistik den stochastischen Einfluss auf die Prognosegüte der individuellen Einschätzungen im Modell. 412 Die beschriebene Unsicherheit bei der Formulierung einzelner Prognosen wird im Rahmen des Black- Litterman-Modells durch die Integration einer Diagonalmatrix, welche die einzelnen Schätzfehler (Varianzen) der jeweiligen Prognosen enthält, berücksichtigt. Besitzt ein Portfolio-Manager jedoch keinerlei Meinung über den weiteren Verlauf der einzelnen Wertpapiere, so empfehlen H E und L ITTERMAN (1999), auf die Formulierung 408 Vgl. Hockmann/ Thießen (2007), S. 99 409 Vgl. Zankl (2009), S. 42 ff. 410 Vgl. Drobetz (2003), S. 217 411 Vgl. Black/ Litterman (1992), S. 29 412 Vgl. Idzorek (2004), S. 1 f. <?page no="510"?> 510 6 Verfahren der robusten Portfoliooptimierung der Views einzelner Wertpapiere zu verzichten und in diesem Fall auf die impliziten Renditen, also die Meinung des Marktes selbst, zurückzugreifen. Das zuvor gebildete Referenzportfolio stellt die Ausgangslage für die Durchführung des zweiten Schritts des Black-Litterman-Modells dar. Hierbei werden die einzelnen subjektiven Prognosen zunächst quantifiziert. Im Rahmen des Bayes-Ansatzes werden die Schätzfehler und damit die Prognosegüte der individuellen Einschätzungen in Form einer Diagonalmatrix berücksichtigt. Nachdem nun alle relevanten Renditeprognosen quantifiziert wurden, sollen diese im dritten Schritt in das Black-Litterman-Modell integriert werden. In diesem Prozess erfolgt unter Berücksichtigung der Korrelationen der einzelnen Wertpapiere die letztendliche Kombination bzw. „Vermischung“ der einzelnen Renditeprognosen mit den ermittelten impliziten Renditen des Referenzbzw. Ausgangsportfolios 413 , sodass einerseits die Meinung des Marktes in Form der implizierten Renditen und andererseits die subjektiven Einschätzungen des Portfolio-Managers in Form von absoluten und relativen Views enthalten sind. Die Unsicherheit, die ein Portfolio- Manager seinen individuellen Prognosen (Views) zuteilt, bestimmt, mit welcher Gewichtung die impliziten Renditen und subjektiven Prognosen in die Bestimmung der Black-Litterman-Renditen eingehen sollen und damit auch das endgültige Ausmaß der Abweichung des Portfolios nach dem Black-Litterman-Ansatz vom ursprünglich Referenzportfolio. Je sicherer (unsicherer) ein Portfolio-Manager hinsichtlich seiner Prognosefähigkeit ist, desto stärker (schwächer) wird das nach B LACK und L ITTERMAN bestimmte Portfolio vom Referenzportfolio abweichen. Durch die Formulierung und Integration der einzelnen Views trägt das Black-Litterman- Modell der taktischen Asset Allocation und wie bereits angesprochen der Lehre der Behavioral Finance Rechnung. 414 Im dritten Schritt des Black-Litterman-Modells kommt es zur Kombination bzw. „Vermischung“ der einzelnen subjektiven Einschätzungen mit den ermittelten impliziten Renditen des Referenzbzw. Ausgangsportfolios. Aus diesem Prozess resultieren die Black-Litterman-Renditen. Im letzten, vierten Schritt wird auf der Grundlage der ursprünglichen (historischen) Kovarianz-Matrix und den zuvor ermittelten Black-Litterman-Renditen mit Hilfe des Erwartungswert-Varianz-Ansatzes ein im Sinne einer maximalen Sharpe Ratio optimales effizientes Portfolio bestimmt. 415 Da das daraus resultierende Portfolio auf Grundlage der kombinierten Renditen gebildet wurde, weicht die Zusammensetzung des Portfolios aufgrund der Integration der subjektiven Renditemeinung des Portfolio-Managers vom Ausgangsportfolio je nach Grad der Unsicherheit des Portfolio-Managers bezüglich seiner Prognosefähigkeit mehr oder weniger stark ab. Es entsteht ein Portfolio, das sich einerseits intuitiv an den jeweiligen Referenzrenditen des Marktes orientiert und andererseits dennoch den notwendigen Spiel- 413 Vgl. Benninga (2008), S. 357 414 Vgl. Zankl (2009), S. 40 415 Vgl. Hockmann/ Thießen (2007), S. 99 <?page no="511"?> 6.4 Modifikation des Modells 511 raum bietet, um die individuellen subjektiven Einschätzungen eines Portfolio-Managers in den Investment-Prozess integrieren zu können. Im vierten Schritt des Black-Litterman-Modells wird abschließend mit Hilfe des Erwartungswert-Varianz-Ansatzes und der Black-Litterman-Renditen die Portfoliooptimierung durchgeführt. 6.4.1.3 Die mathematische Konzeption des Black-Litterman-Modells Die Hintergründe aus dem vorherigen Abschnitt lassen bereits einige Rückschlüsse auf die Schwerpunkte der Konzeption des Black-Litterman-Ansatzes zu, bilden jedoch noch nicht vollständig das Modell ab. In diesem Abschnitt soll nun die Konzeption des Modells umfassend dargestellt werden. Im Rahmen des Black-Litterman-Ansatzes ergibt sich der Renditevektor r für N betrachtete Wertpapiere als ein normalverteilter Renditevektor 𝐸𝐸(𝑚𝑚) mit N x 1 -Vektor der Erwartungswerte 𝜇𝜇 und einer N x N -Varianz-Kovarianz-Matrix Σ . Eine der zentralen Bemühungen des Black-Litterman-Modells gilt der Modellierung der nachfolgend dargestellten erwarteten Renditen. 416 Es gilt demnach: 𝐸𝐸(𝑚𝑚)~𝑁𝑁(𝜇𝜇, Σ ) (6.30) B LACK und L ITTERMAN (1992) empfehlen für die Bestimmung der Varianz-Kovarianz- Matrix Σ die Schätzung auf Grundlage historischer Renditen, wobei W ALTERS (2011) diese Empfehlung weiter spezifiziert und angibt, dass in diesem Fall eine Stichprobe im Umfang von 60 Stichprobenwerten auf Grundlage eines Zeithorizontes von 5 Jahren und Monatsrenditen erstrebenswert ist. Die durchschnittliche erwartete Rendite 𝜇𝜇 bezeichnet dabei eine Zufallsvariable, die einer Normalverteilung mit den bekannten Parametern Π , 𝜏𝜏 und Σ folgt: 𝜇𝜇~𝑁𝑁( Π , 𝜏𝜏 Σ ) (6.31) mit 𝛱𝛱: N x 1 -Vektor des Marktportfolios (neutraler Referenzpunkt) 𝜏𝜏: Proportionalitätsfaktor 𝛴𝛴: N x N -Kovarianz-Matrix der historischen Überschussrenditen Der N x 1 -Vektor des Marktportfolios dient als neutraler Referenzpunkt für alle weiteren Berechnungen. Da die Varianz-Kovarianz-Matrix von 𝜇𝜇 per Definition ein Vielfaches der Varianz-Kovarianz-Matrix der Renditen 𝐸𝐸(𝑚𝑚) darstellt, wird 𝜏𝜏 häufig auch als Proportionalitätsfaktor bezeichnet und fungiert in den nachfolgenden Berechnungen als Skalar. 417 Der Proportionalitätsfaktor 𝝉𝝉 beschreibt das Vertrauen, das ein Portfolio-Manager dem Marktbzw. Referenzportfolio entgegenbringt, und sollte als 𝜏𝜏 > 0 gewählt werden. In diesem Fall spiegelt ein niedriges Tau (τ ) ein hohes Vertrauen des Portfolio-Managers bzw. ein hohes Tau ein niedriges Vertrauen gegenüber dem Referenzportfolio wider. 416 Vgl. Walters (2011), S. 3 417 Vgl. ebd., S. 2 ff. <?page no="512"?> 512 6 Verfahren der robusten Portfoliooptimierung Unter der Voraussetzung, dass zuvor ein durchweg plausibles Ausgangsportfolio festgelegt wurde, erscheint es zweckmäßig ein möglichst geringes 𝜏𝜏 für die weiteren Berechnungen auszuwählen. 418 Eines der zentralen Merkmale des Black-Litterman-Modellsstellt, wie zu Beginn dieses Abschnitts ausführlich dargestellt, die konsistente Verbindung der Referenzrenditen mit den subjektiven Renditeprognosen des Analysten dar. B LACK und L IT- TERMAN (1990) schlagen in diesem Fall vor, die aus dem Capital-Asset-Pricing-Modell abgeleiteten Gleichgewichtsrenditen zu verwenden. Ist die jeweilige aktuelle Marktkapitalisierung der einzelnen Anlageklassen und Wertpapiere bekannt, lassen sich dadurch unmittelbar die jeweiligen Gleichgewichtsrenditen der einzelnen Wertpapiere durch das Verfahren der sogenannten Umkehroptimierung (engl. reverse optimization) bestimmen. Wird zu Beginn der Portfoliooptimierung eine strategische Asset Allocation festgelegt, so schlägt D ROBETZ (2004) die Verwendung der langfristigen Renditeerwartungen der einzelnen Wertpapiere vor. 419 In den nachfolgenden Abschnitten wird aufgrund der besseren Darstellung und Verständlichkeit der Formeln und Gleichungen vollständig auf die Matrizenschreibweise abgestellt. 6.4.1.3.1 Die Berechnung der implizierten Renditen Um die Gleichgewichtsrenditen aus dem CAPM ermitteln zu können, soll zunächst das Verfahren der Umkehroptimierung kurz erläutert werden. In der Fachliteratur, so etwa B EVAN und W INKELMANN (1998), H E und L ITTERMAN (1999), D ROBETZ (2001), I DZOREK (2004) und J ONES , L IM , Z ANGARI (2007), geht man bei der Ableitung der Gleichgewichtsrenditen davon aus, dass das Referenzportfolio bzw. das Portfolio der Benchmark ein Mittelwert-Varianz-effizientes Portfolio im Sinne der modernen Portfoliotheorie darstellt 420 . Vor diesem Hintergrund lässt sich die Gleichung der implizierten Referenzbzw. Gleichgewichtsrenditen durch die Lösung der quadratischen Nutzenfunktion des Mittelwert-Varianz-Ansatzes mathematisch ableiten. Es gilt: 𝐸𝐸 =(𝑤𝑤) 𝑇𝑇 Π − 𝛾𝛾2 (𝑤𝑤) 𝑇𝑇 Σ𝑤𝑤 (6.32) mit 𝐸𝐸: Nutzen des Investors (Zielfunktion während der Portfoliooptimierung) 𝛱𝛱: N x 1 -Vektor der implizierten Referenzbzw. Gleichgewichtsrenditen 𝛾𝛾: 1 x 1 -Zahl, die die Risikoaversion eines Investors widerspiegelt. 𝛴𝛴: N x N -Varianz-Kovarianz-Matrix der Überschussrenditen 𝑤𝑤: Gewichte der Benchmark in Abhängigkeit von der jeweiligen Marktkapitalisierung Da U in obiger Formel eine konkave Funktion darstellt, besitzt diese lediglich ein globales Maximum. Durch die Wahl der geeigneten Portfolio-Gewichte 𝑤𝑤 wird die angegebene Funktion maximiert, um eine genaue Lösung des Problems zu bestimmen und anschließend die Gleichung zur Bestimmung der impliziten Gleichgewichtsrenditen daraus ableiten zu können. Diese ergibt sich als: 418 Vgl. Drobetz (2003), S. 219 419 Vgl. Drobetz (2004), S. 213 420 Vgl. Schutel Da Silva et al. (2009), S. 4 f. <?page no="513"?> 6.4 Modifikation des Modells 513 Π = 𝛾𝛾Σ𝑤𝑤 𝑎𝑎 (6.33) mit 𝛱𝛱: N x 1-Vektor der implizierten Referenzbzw. Gleichgewichtsrenditen 𝛾𝛾: 1 x 1-Zahl, die die Risikoaversion eines Investors widerspiegelt 𝛴𝛴: N x N-Kovarianz-Matrix der Überschussrenditen 𝑤𝑤 𝑎𝑎 : Gewichte der Benchmark in Abhängigkeit von der jeweiligen Marktkapitalisierung Aus der Umkehroptimierung resultiert nun ein Vektor mit den gesuchten implizierten Referenzbzw. Gleichgewichtsrenditen in der Dimension N x 1 . Die impliziten Renditen aus dem CAPM ergeben sich aus der gegebenen Kovarianz-Matrix Σ und der Portfolio-Gewichtung 𝑤𝑤 𝑎𝑎 der Benchmark. Da der Faktor 𝛾𝛾 jedoch frei wählbar ist, kann keine eindeutige Zuordnung getroffen werden. Aus mathematischer Sicht wird deutlich, dass, obwohl die Proportionen der impliziten Renditen zwischen den Wertpapieren bekannt sind, keine eindeutige Aussage über deren Größe getroffen werden kann. 421 Da sich diese Gleichung auf einfache Art und Weise durch Umformungen der ursprünglichen Gleichung der Portfoliooptimierung nach M ARKO- WITZ ermitteln lässt und anstatt der üblichen Portfolio-Gewichte des optimierten Portfolios sich nun die entsprechenden impliziten Gleichgewichtsrenditen ergeben, wird dieses Verfahren in der Fachliteratur häufig auch als das Prinzip der Umkehroptimierung bezeichnet. 422 Der Risikoaversionsparameter 𝛄𝛄 in der vorherigen Gleichung spiegelt im Allgemeinen die Abwägung der erwarteten Rendite und des Risikos wider. In der Regel quantifiziert der Risikoaversionsparameter das Maß, bei welchem ein Investor bereit ist, für eine Verringerung des Risikos auf eine gegebene erwartete Rendite zu verzichten. Im Verfahren der Umkehroptimierung hingegen dient γ als Skalierungsfaktor. Dabei führt eine Zunahme der Überschussrenditen pro Einheit Risiko, also ein größeres Lambda, zu einem Anstieg der geschätzten Überschussrenditen. 423 S ATCHELL und S COWCROFT (2000) definieren die Risikoaversion eines Investors als eine positive Konstante, die durch 𝛾𝛾 = (𝜇𝜇 𝑚𝑚 − 𝑚𝑚 𝑓𝑓 )/ 𝜎𝜎 𝑚𝑚2 (6.34) gegeben ist. In diesem Fall ergibt sich der Risikoaversionsparameter γ aus der Relation zwischen der Risikoprämie des Marktes und der dazugehörigen Varianz. H E und L ITTERMAN (1999) gehen im Rahmen ihrer Studie davon aus, dass der Parameter γ = 2,5 die durchschnittliche Risikotoleranz umfassend abbildet. S CHUTEL DA S ILVA et al. (2009) hingegen legen den Risikoaversionsparameter so fest, dass die aus dem Modell resultierenden Gleichgewichtsrenditen zu einem zuvor festgelegten Sharpe Ratio des Portfolio führen. Andernfalls bleibt es dem jeweiligen Portfolio-Manager selbst überlassen, wie dieser γ einschätzt und quantifiziert. 421 Vgl. Hockmann/ Thießen (2007), S. 101 422 Anmerkung: Eine ausführliche Ableitung der Gleichgewichtsrenditen gibt etwa Drobetz (2004), S. 214 423 Vgl. Idzorek (2004), S. 3 <?page no="514"?> 514 6 Verfahren der robusten Portfoliooptimierung Nach B LACK und L ITTERMAN (1990) ergeben sich die entsprechenden Portfoliogewichte der Gleichung (6.33) als Vektor der relativen Marktkapitalisierung der einzelnen Wertpapiere und Anlageklassen. In diesem Fall wird der eindeutige Bezug zum Marktportfolio deutlich. Die Gleichgewichtsrenditen stellen für die weiteren Berechnungen im Rahmen des Black-Litterman-Modells einen neutralen Ausgangspunkt dar, von dem, je nach Güte der jeweiligen Einschätzungen des Analysten, in Richtung dieser subjektiven Renditeprognosen abgewichen werden kann. 424 Abb. 183 zeigt in einem Balkendiagramm den Vergleich der historischen Renditen und der impliziten Gleichgewichtsrenditen aus dem CAPM. 425 Im Gegensatz zu den historischen Renditen besitzen die impliziten Referenzrenditen dabei stets positive Vorzeichen und wirken insgesamt weitaus ausgeglichener und stabiler. Abb. 183: Historische Renditen vs. Gleichgewichtsrenditen Auf Grundlage der ermittelten Referenzrenditen lässt sich anschließend das sogenannte Referenzportfolio (Marktportfolio) bestimmen, welches den Ausgangspunkt für die weiteren Berechnungen im Black-Litterman-Modell darstellt. Die Zusammensetzung des Referenzportfolios ergibt sich aus einer Optimierung ohne Restriktion von Leerverkäufen gemäß der nachfolgenden Gleichung: 𝑤𝑤 = (𝛾𝛾 Ω ) −1 Π (6.35) mit 𝑤𝑤: N x 1-Vektor der optimalen Portfoliogewichte 𝛾𝛾: Parameter zum Ausdruck der Risikoaversion 𝛺𝛺: Diagonale K x K-Kovarianz-Matrix der Fehler, welche die Unsicherheit in jeder Einschätzung widerspiegelt. 𝛱𝛱: N x 1-Vektor der implizierten Referenzbzw. Gleichgewichtsrenditen Aufgrund der allgemeinen Methodik des Black-Litterman-Ansatzes entsprechen die optimalen Portfoliogewichte nun den ursprünglichen Portfolio-Gewichten der jeweiligen Marktkapitalisierung der Anlageklassen bzw. Wertpapieren. Abb. 184 zeigt 424 Vgl. Drobetz (2004), S. 215 425 Die impliziten Gleichgewichtsrenditen wurden in diesem Fall unter der Annahme des Risikoaversionsparameters 𝛾𝛾 = 1 ermittelt. -35% -30% -25% -20% -15% -10% -5% 0% 5% 10% 15% 20% Historische Renditen Implizite Renditen <?page no="515"?> 6.4 Modifikation des Modells 515 die optimalen Portfolio-Gewichte auf Grundlage historischer und Gleichgewichtsrenditen. Es wird deutlich, dass das optimale Portfolio auf Grundlage der impliziten Gleichgewichtsrenditen grundsätzlich positive Portfolio-Gewichte und somit keine Leerverkaufspositionen aufweist. Im Gegensatz zum Portfolio, welches auf Grundlage historischer Renditen optimiert wurde, besitzt das optimale Portfolio der Gleichgewichtsrenditen keinerlei extreme Portfolio-Gewichte. Abb. 184 lässt den Rückschluss zu, dass eine derart extreme Portfolio-Allokation in der Praxis nicht umsetzbar ist. Abb. 184: Optimale Portfolio-Gewichte auf Basis unterschiedlicher Renditen 6.4.1.3.2 Die Formulierung von Prognosemeinungen Die impliziten Gleichgewichtsrenditen spiegeln in erster Linie die Einschätzung des Marktes selbst wider, wobei Analysten, Portfolio-Manager und Investoren jedoch häufig eigene Meinungen über den weiteren Verlauf der jeweiligen Unternehmen besitzen und diese gerne auch in den Investmentprozess integrieren möchten. B LACK und L ITTERMAN greifen aus diesem Grund in ihren Ausführungen auf die Bayessche Statistik zurück. Das Black-Litterman-Modell erlaubt vor diesem Hintergrund die gewichtete Kombination des Marktportfolios mit den subjektiven Einschätzungen der Analysten. Dadurch ermöglicht es die Korrektur der zu Beginn ermittelten Gleichgewichtsrenditen durch die einzelnen Einschätzungen (Views) eines Portfolio- Managers. 426 Obwohl im Folgenden auf Details des Bayes-Theorems verzichtet wird, soll dennoch kurz das Prinzip der Bayes‘schen Statistik erläutert werden. Eine sogenannte A-prioi-Verteilung einer Zufallsvariablen, in unserem Fall die Wahrscheinlichkeitsverteilung der impliziten Renditen, stellt den Ausgangspunkt des Bayes-Theorems dar. Es wird vorausgesetzt, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung der impliziten Renditen subjektiv bekannt ist. Es wird ferner angenommen, dass neue Informationen veröffentlicht wurden und sich dadurch eine neue Datengrundlage erschlossen hat. Mit Hilfe des Satzes von Bayes lässt sich eine revidierte bzw. 426 Vgl. Zanini (2007), S. 27 f. -200% -150% -100% -50% 0% 50% 100% 150% 200% 250% optimales Portfolio auf Basis der impliziten Renditen optimales Portfolio auf Basis von Markowitz <?page no="516"?> 516 6 Verfahren der robusten Portfoliooptimierung bedingte Verteilung bestimmen, die sowohl alte als auch neue Informationen miteinbezieht. Diese Wahrscheinlichkeitsverteilung wird auch als A-posteriori-Verteilung bezeichnet. 427 Der Kernpunkt des Bayes-Theorems beschäftigt sich also mit der Bestimmung von bedingten Wahrscheinlichkeiten. Der Satz von Bayes ergibt sich für zwei Ereignisse formal wie folgt 428 : 𝑃𝑃(𝑆𝑆|𝐵𝐵) = 𝑃𝑃(𝐵𝐵|𝑆𝑆)𝑃𝑃(𝑆𝑆) 𝑃𝑃(𝐵𝐵) (6.36) wobei P(A|B): Bedingte Wahrscheinlichkeit von A in Abhängigkeit von der gegebenen Wahrscheinlichkeit von B, auch bekannt als die A-posteriori-Verteilung. P(B|A): Bedingte Wahrscheinlichkeit von B in Abhängigkeit von der gegebenen Wahrscheinlichkeit von A. P(A): Wahrscheinlichkeit von Ereignis A, auch bekannt als die A-priori- Verteilung. P(B): Wahrscheinlichkeit von Ereignis B, auch bekannt als Norm-Konstante Im Rahmen des Black-Litterman-Modells ergibt sich die A-priori-Verteilung maßgeblich aus den dazugehörigen Gleichgewichtsrenditen bzw. impliziten Renditen. Nach der Veröffentlichung neuer Informationen, hier in Form von Einschätzungen und Prognosen (Views) eines einzelnen Portfolio-Managers, wird auf Grundlage des Satzes von Bayes die A-priori-Verteilung der jeweiligen Referenzrenditen revidiert. Als Ergebnis ergibt sich so in Form der Black-Litterman-Renditen eine dementsprechend bedingte neue A-posteriori-Verteilung, die wiederum normalverteilt ist. 429 Die Zusammensetzung der Black-Litterman-Renditen wird zu einem späteren Zeitpunkt noch näher erläutert. Zunächst sollen jedoch die Formulierung und Quantifizierung der unterschiedlichen subjektiven Prognosen eines Portfolio-Managers und die Integration in das Black- Litterman-Modell erläutert werden. Eine subjektive Einschätzung kann dabei unterschiedliche Formen annehmen. Die Rahmenbedingungen des Black-Litterman-Ansatzes geben zwei verschiedene Formen an Prognosen vor: Die absoluten und die relativen Prognosen. Die absoluten Prognosen und die relativen Prognosen unterscheiden sich dabei maßgeblich durch einen absoluten oder relativen Bezug der einzelnen Wertpapiere in einem Portfolio. Mit anderen Worten: Es trifft ein Investor entweder absolute oder relative Aussagen über die erwartete Entwicklung einzelner Werte, Branchen, Länder und Volkswirtschaften. Im Rahmen einer absoluten Einschätzung macht ein Investor in der Regel folgende Aussage: „Ich erwarte innerhalb des nächsten Jahres, dass Unternehmen A eine Rendite von X % erwirtschaften wird.“ Im Gegensatz dazu bezieht die relative Einschätzung weitere Werte mit in die Betrachtung ein, sodass häufig Aussagen getroffen werden, wie zum Beispiel: „Ich glaube, dass die Rendite von Aktie A im nächsten Jahr Aktie B um Y % übertreffen wird.“ Das Black-Litterman-Modell unter- 427 Vgl. Drobetz (2003), S. 223 428 Vgl. Walters (2011), S. 51 429 Vgl. Drobetz (2003), S. 223 <?page no="517"?> 6.4 Modifikation des Modells 517 stützt dabei die Aufnahme der absoluten und relativen Einschätzungen in den Prozess der Portfoliooptimierung gleichermaßen. Da der traditionelle Mittelwert-Varianz-Ansatz keine unmittelbare quantitative Integration absoluter und relativer Aussagen zulässt, zeigt sich an dieser Stelle ein erster Vorteil des Black-Litterman-Modells. Ein weiterer Kernpunkt des Black-Litterman-Modells im Gegensatz zur traditionellen Portfoliooptimierung nach M ARKOWITZ zeigt sich in der Zuordnung von Unsicherheit zu jeder Einschätzung. Durch den jeweiligen Grad an Unsicherheit, der einer einzelnen Einschätzung zugeordnet wird, quantifiziert sich so die spätere Intensität der jeweiligen Abweichungen vom Marktgleichgewicht. 430 Im Allgemeinen integriert das Black-Litterman-Modell die einzelnen Prognosen des Analysten, des Portfolio-Managers oder des Investors maßgeblich in Form unterschiedlicher Linearkombinationen der unterschiedlichen Wertpapiere, Branchen und Anlageklassen. 431 Die einzelnen absoluten und relativen k Einschätzungen des Investors werden im Rahmen der nachfolgenden Gleichung in die Kombination mit der Gleichgewichtsrenditen einbezogen: 𝑃𝑃 ∙ 𝐸𝐸(𝑅𝑅) = 𝑄𝑄 + 𝜀𝜀, wobei 𝜀𝜀~𝑁𝑁(0, Ω ) (6.37) mit 𝑃𝑃: k x N-Matrix zur Spezifikation der Einschätzungen 𝐸𝐸(𝑅𝑅): Vektor mit den individuellen Renditeerwartungen des Portfolio- Managers für einzelne Wertpapiere. 𝑄𝑄: k x 1-Erwartungsvektor mit quantifizierten subjektiven Einschätzungen 𝜀𝜀: k x 1-Störgrößenvektor, welcher die individuellen Schätzfehler der einzelnen Views umfasst. In Matrix P wird maßgeblich eine Unterscheidung von absoluten, relativen oder kapitalisierungsgewichteten Einschätzungen vorgenommen, um anschließend die einzelnen Einschätzungen als lineare Kombinationen der erwarteten Renditen der einzelnen Wertpapiere vornehmen zu können. Genauer gesagt können die verschiedenen Views eines Portfolio-Managers als k unterschiedliche Linearkombinationen der n Wertpapiere bzw. Assetklassen formuliert werden. 432 Die Prognosen eines Portfolio-Managers werden wie folgt anhand der Filtermatrix P spezifiziert. Gemäß (6.37) bildet die multiplikative Verknüpfung der individuell erwarteten Renditen 𝐸𝐸(𝑅𝑅) mit der nachfolgend dargestellten k x n -Filtermatrix P den Vektor Q , welcher die Views eines Portfolio-Managers und deren Erwartungswert enthält. In der Filtermatrix P werden in der Regel die festgelegten Prognosen eines Portfolio-Managers spezifiziert und gehen in Form von absoluten oder relativen Renditemeinungen in die spätere Berechnung der Black-Litterman-Renditen mit ein. Die Rahmenbedingungen des Black-Litterman-Modells erlauben sogar bei Erfüllung des Transitivitätsaxioms 433 die mehrfache Einbindung einzelner Wertpapiere in unterschiedliche Renditeprognosen, obwohl diese oftmals in Konflikt zueinander stehen können. 434 Die Filter- Matrix ergibt sich wie folgt: 430 Vgl. Cheung (2009), S. 6 431 Vgl. Drobetz (2004), S. 220 432 Vgl. Zanini (2007), S. 29 433 Vgl. Zankl (2009), S. 46 f. 434 Vgl. Walters (2011), S. 6 <?page no="518"?> 518 6 Verfahren der robusten Portfoliooptimierung 𝑃𝑃 = �𝑒𝑒 1,1 ⋯ 𝑒𝑒 1,𝑠𝑠 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑒𝑒 𝑖𝑖,1 ⋯ 𝑒𝑒 𝑖𝑖,𝑠𝑠 � (6.38) Der Vektor Q stellt also im Rahmen dieser Gleichung denjenigen Vektor dar, der die individuellen Einschätzungen eines einzelnen Investors quantifiziert. Da die Einschätzungen des Investors jedoch grundsätzlich mit Unsicherheit behaftet sind, wird der ursprüngliche Quantifizierungsvektor mit dem Vektor 𝜀𝜀 additiv überlagert, da dieser für die einzelnen Views die dazugehörigen Schätzfehler enthält. Aus der Unsicherheit der einzelnen Einschätzungen folgen sowohl positive als auch negative Abweichungen vom Erwartungswertvektor Q . 435 Das bedeutet, dass die erwarteten Renditen aus dem Black-Litterman-Ansatz nicht notwendigerweise exakt den Prognosen (Views) des Portfolio-Managers entsprechen müssen. In diesem Fall liegen die individuellen erwarteten Renditen vielmehr in einer „Epsilon-Umgebung“ um die zuvor festgelegten Views. 436 Es wird aus diesem Grund vereinfachend angenommen, dass der Störgrößenvektor gemäß 𝜀𝜀~ℕ(0, Ω) normalverteilt ist und die einzelnen Einschätzungen einerseits jeweils unabhängig von den Gleichgewichtsrenditen und anderseits unabhängig voneinander selbst sind. 437 Der Vektor 𝜀𝜀 spiegelt dabei die sogenannte Fehlertoleranzgrenze wider. Die Unsicherheit der Einschätzungen im Störgrößenvektor 𝜀𝜀 unterliegt dem stochastischen Einfluss der zugrundeliegenden Streuungsmatrix Ω , die sich aus einer Diagonalmatrix zusammensetzt, deren Elemente lediglich die Streuungen der einzelnen Einschätzungen in Form von Varianzen umfassen. Es wird dabei angenommen, dass der Störgrößenvektor 𝜀𝜀 mit der entsprechenden Diagonalmatrix Ω multivariat normalverteilt ist, sodass die einzelnen formulierten Prognosen eines Portfolio-Managers im Rahmen des Black-Litterman-Modells ebenfalls einer multivariaten Normalverteilung folgen 438 . Ω = �𝜔𝜔 1 0 0 0 ⋱ 0 0 0 𝜔𝜔 𝑖𝑖 � (6.39) I DZOREK (2004) bezeichnet die Bestimmung der individuellen Varianzen der einzelnen Schätzfehler als einen der kompliziertesten Aspekte des Black-Litterman- Modells. Die Diagonalmatrix Ω lässt eine Aussage über die Prognosegüte des Investors zu. Aus Formel (6.37) mit der Kovarianz-Matrix Ω erschließt sich, dass je kleiner (größer) die Varianz 𝜔𝜔 𝑖𝑖 eines individuellen Schätzfehlers ist, umso besser (schlechter) ist die dazugehörige Einschätzung des Analysten. 439 Der Schätzfehler spiegelt dabei unmittelbar den Grad der Unsicherheit der jeweiligen Einschätzung wider. 440 B LACK und L ITTERMAN (1992) folgen in ihren Ausführungen zum Black-Litterman- Modell der Annahme, dass die einzelnen Views grundsätzlich voneinander unabhän- 435 Vgl. Zankl (2009), S. 47 436 Vgl. Hahn (2007), S. 102 437 Vgl. He/ Litterman (1999), S. 17 438 Vgl. Zankl (2009), S. 47 439 Vgl. ebd., S. 48 440 Vgl. Zimmerman/ Drobetz/ Oertmann (2003), S. 274 <?page no="519"?> 6.4 Modifikation des Modells 519 gig sind. Im Rahmen dieser Aussage unterstellen B LACK und L ITTERMAN aus einem statistischen Standpunkt heraus, dass keine Korrelation der individuellen Schätzfehler vorliegt. 441 Formel (6.39) nimmt diesen Zusammenhang maßgeblich durch die formale Darstellung der Matrix Ω auf. Die Annahme einer grundsätzlichen Unabhängigkeit der einzelnen Views untereinander kommt unweigerlich durch die einzelnen Terme entlang der Diagonalen der Varianz-Kovarianz-Matrix Ω zum Ausdruck. In diesem Fall nimmt die Varianz-Kovarianz-Matrix lediglich die Varianzen entlang der Diagonalen auf und ersetzt die verbleibenden Kovarianzen durch Nullen. Die Varianz-Kovarianz-Matrix Ω stellt in diesem Zusammenhang eine Diagonalmatrix dar. 442 Die genaue Vorgehensweise bei der konkreten Formulierung und Implementation der einzelnen Prognosen soll im Rahmen des nachfolgenden Abschnitts ausführlich dargestellt werden. Beispiel: Formulierung und Integration der Renditeprognosen Es wird angenommen, dass ein Portfolio-Manager für ein Portfolio mit 5 Wertpapieren die folgenden Meinungen über den weiteren Verlauf der Wertpapiere vertritt. Prognose (1) Die Überschussrendite von Google Inc. wird nach der Meinung des Portfolio-Managers im nächsten Jahr 4 % p.a. betragen. Prognose (2) Das Wertpapier der Kraft Foods Inc. wird eine 3 % p.a. höhere Überschussrendite als das Wertpapier der ATT Inc. erzielen. Prognose (3) Der Portfolio-Manager nimmt an, dass die Wertpapiere J.P. Morgan und AT&T die Wertpapiere der Unternehmen Kraft Foods und Costco mit einer Überschussrendite in Höhe von 1,5 % p.a. übertreffen werden. Dabei spiegelt Prognose 1 eine absolute Einschätzung und die Prognosen 2 bis 3 spiegeln relative Einschätzungen wider. Vor dem Hintergrund von Formel (6.37) ergeben sich die Einschätzungen des Portfolio-Managers in Vektor Q wie folgt: 𝑄𝑄 = � 4 % 3 % 1,5 %� (6. 40 ) Da der Portfolio-Manager zu Beginn drei unterschiedliche Prognosen (Views) über die weitere Entwicklung der Wertpapiere abgegeben hat, handelt es sich bei Q um einen 3 x 1 -Spaltenvektor. Da nur diejenigen Prognosen in die Bestimmung der Black-Litterman-Renditen eingehen, welche auch tatsächlich durch den Portfolio-Manager formuliert wurden, impliziert diese Tatsache, dass es nicht zwingend notwendig ist, die Entwicklungen aller Wertpapiere zu prognostizieren. Ein Portfolio-Manager kann sich vielmehr im Rahmen des Black-Litterman-Ansatzes auf Wertpapiere aus bestimmten Branchen spezialisieren. Die anderen Wert- 𝒙𝒙 𝟏𝟏 𝒙𝒙 𝟐𝟐 𝒙𝒙 𝟑𝟑 𝒙𝒙 𝟒𝟒 𝒙𝒙 𝟓𝟓 Google Kraft Foods ATT J.P. Morgan Costco 441 Vgl. Black/ Litterman (1992), S. 35 442 Vgl. Hahn (2007), S. 103 <?page no="520"?> 520 6 Verfahren der robusten Portfoliooptimierung papiere, denen keinerlei Views zugeordnet werden konnten, gehen lediglich in Höhe der zuvor ermittelten Gleichgewichtsrenditen in die Bestimmung der Portfoliozusammensetzung ein. In Bezug auf die Ermittlung der Black-Litterman-Renditen ist jedoch aufgrund der Korrelation der einzelnen Wertpapiere untereinander von grundsätzlichen Abweichungen von der impliziten Rendite auszugehen. 443 Die Berücksichtigung der einzelnen Views der Wertpapiere kommt in der Filter-Matrix P zum Ausdruck, wobei die Stellen für diejenigen Wertpapiere, denen keine Prognosen (Views) zugeordneten wurden, mit einer Null belegt sind. Die Filter-Matrix P des zuvor dargestellten Portfolios ergibt sich als: 𝑃𝑃 = �1 0 0 0 0 0 1 −1 0 0 0 −0,5 0,5 0,5 −0,5� = �𝑃𝑃𝑚𝑚𝑆𝑆𝑛𝑛𝑏𝑏𝑆𝑆𝑍𝑍𝑒𝑒 1 𝑃𝑃𝑚𝑚𝑆𝑆𝑛𝑛𝑏𝑏𝑆𝑆𝑍𝑍𝑒𝑒 2 𝑃𝑃𝑚𝑚𝑆𝑆𝑛𝑛𝑏𝑏𝑆𝑆𝑍𝑍𝑒𝑒 3� (6.41) Die n Zeilen der Filter-Matrix P repräsentieren n Views des Portfolio-Managers. In diesem Fall korrespondiert die erste Zeile der Filter-Matrix P mit der zuvor formulierten Prognose (1). Die Stelle der Filter-Matrix gibt an, welches Wertpapier der ersten Prognose zugeordnet wird. Da Prognose (1) offensichtlich eine absolute Einschätzung der zukünftigen Entwicklung von Google widerspiegelt und das Wertpapier das erste Element des Portfolios darstellt, wird in der Filter-Matrix in der ersten Zeile an erster Stelle eine Eins notiert. Da Prognose (1) sich alleinig auf das Wertpapier des Unternehmens Google bezieht, werden den restlichen Stellen in Zeile 1 dementsprechend Nullen zugeordnet. Die beiden relativen Prognosen werden in der zweiten und in der dritten Zeile der Filter-Matrix P spezifiziert. Prognose (2) impliziert mit der Aussage, dass die erwartete Rendite von Kraft Foods die von AT&T übertreffen wird, eine im Vergleich unterdurchschnittliche Wertentwicklung des Wertpapiers AT&T. Aus diesem Grund wird in der zweiten Zeile der Filter-Matrix P dem Wertpapier AT&T an dritter Stelle eine negative Eins zugeordnet und dem renditestärkeren Wertpapier Kraft Foods dementsprechend eine positive Eins. Es kann also festgehalten werden, dass bei relativen Prognosen diejenigen Wertpapiere, die im Vergleich zu anderen Wertpapieren eine schwächere erwartete Rendite besitzen, in der Filter-Matrix P eine negative Gewichtung erhalten. Im Gegensatz dazu erhalten renditestärkere Wertpapiere und Anlageklassen eine positive Gewichtung. 444 Es muss dabei beachtet werden, dass die Spezifikation der einzelnen Views immer einer vollständigen Investition entsprechen sollte. 445 Aus diesem Grund gleichen sich bei der Spezifikation von relativen Prognosen die einzelnen Terme einer Zeile grundsätzlich aus, wogegen die Zeilensumme bei der Festlegung eines absoluten Views grundsätzlich 1 ergibt. Für die Implementierung eines absoluten Views gibt es lediglich eine mögliche Darstellung in der Filter-Matrix P . Bei der Spezifikation eines relativen Views mit mehreren Wertpapieren (siehe bspw. Prognose 3) in der Filter-Matrix P unterschei- 443 Vgl. Idzorek (2004), S. 17 444 Vgl. Zanini (2007), S. 30 445 Vgl. Walters (2011), S. 6 <?page no="521"?> 6.4 Modifikation des Modells 521 det die Fachliteratur aufgrund der unterschiedlichen Gewichtung der einzelnen Wertpapiere eines Views die zwei folgenden Methoden:  Die Gleichgewichtung der in einem View enthaltenen Wertpapiere.  Die Gewichtung der in einem View enthaltenen Wertpapiere entsprechend ihrer jeweiligen Marktkapitalisierung. Das Prinzip der Gleichgewichtung der einzelnen Wertpapiere eines Views vollzieht in Abhängigkeit von der Anzahl der beteiligten Wertpapiere an der Prognose eine proportionale Gleichgewichtung der renditeschwächeren bzw. renditestärkeren Wertpapiere. Auf Grundlage der Gleichgewichtung wird deshalb in Zeile 2 der Filter- Matrix P dem jeweiligen renditestärkeren Wertpapier ein Wert von 1 und dem renditeschwächeren Wertpapier dementsprechend ein Wert von -1 zugeordnet. Im Gegensatz zur unabhängigen Spezifikation der einzelnen Views im Rahmen des Prinzips der Gleichgewichtung orientiert sich die alternative Methode vorrangig an den jeweiligen Marktkapitalsierungen der entsprechenden Wertpapiere. Dazu bildet der Portfolio-Manager zunächst zwei voneinander abgetrennte Long- und Short- Portfolios, welche sowohl die renditestärkeren als auch renditeschwächeren Wertpapiere aufnehmen. In Abhängigkeit von der jeweiligen Marktkapitalisierung der einzelnen Wertpapiere des Long- und Short-Portfolios werden die relativen Gewichtsanteile der Wertpapiere ermittelt. Durch die anschließende Verknüpfung der relativen Marktkapitalisierungen mit den impliziten Renditen der dazugehörigen Wertpapiere ergeben sich die gewichteten Marktgleichgewichtsrenditen. Tab. 58 greift die beschriebene Methodik nochmals auf. Die Wertpapiere von J.P. Morgan und AT&T stellen das renditestärkere Long-Portfolio dar und gehen deshalb mit +0,4 und +0,6 entsprechend ihrer jeweiligen Marktkapitalisierung mit positiven Vorzeichen in die Filter-Matrix P ein. Die Gewichte der relativen Marktkapitalisierungen der Wertpapiere Costco und Kraft Foods im renditeschwächeren Short-Portfolio fließen hingegen mit negativen Vorzeichen mit den Werten -0,36 und -0,64 in die Filter-Matrix P ein. Bei der Spezifikation eines kapitalisierungsgewichteten Views ergibt sich die Filter-Matrix P als: 𝑃𝑃 = �1 0 0 0 0 0 1 −1 0 0 0 −0,64 +0,6 +0,4 −0,36� = �𝑉𝑉𝑖𝑖𝑒𝑒𝑤𝑤 1 𝑉𝑉𝑖𝑖𝑒𝑒𝑤𝑤 2 𝑉𝑉𝑖𝑖𝑒𝑒𝑤𝑤 3� (6.42) Tab. 58 gibt einen Überblick über das zur Ermittlung der kapitalisierungsgewichteten Views (Prognose 3) gebildete Long- und Short-Portfolio. Renditestärkeres Miniportfolio (Long-Portfolio) Unternehmen Marktkapitalisierung (in Mrd.) relative Gewichtsanteile implizite Renditen gewichtete Marktgleichgewichtsrenditen J.P. Morgan 141,58 40 % 7,36 % 2,94 % AT&T 213,16 60 % 4,68 % 2,81 % Total 354,74 100 % - 5,75 % <?page no="522"?> 522 6 Verfahren der robusten Portfoliooptimierung Renditeschwächeres Miniportfolio (Short-Portfolio) Assetklassen Marktkapitalisierung (in Mrd.) relative Gewichtsanteile Implizite Renditen gewichtete Marktgleichgewichtsrenditen Costco 41,6 36 % 4,77 % 1,71 % Kraft Foods 74,3 64 % 3,06 % 1,96 % Total 116 100 % - 3,67 % Tab. 58: Berechnung der Long- und Short-Portfolios für View 3 Nachdem die Filter-Matrix P erfolgreich bestimmt worden ist, kann im Anschluss der Vektor ε der individuellen Schätzfehler der Views bestimmt werden. Obwohl die Schätzfehler der einzelnen Prognosen unweigerlich die Prognosegüte des Portfolio- Managers widerspiegeln, gehen diese nicht direkt in die Berechnung der Black-Litterman-Renditen ein, sondern werden zunächst in Form der Varianzen ω n in die Kovarianzbzw. Diagonalmatrix des zuvor erläuterten Fehlerterms Ω integriert. 446 Die Berechnung der Varianzen ω n stellt im Rahmen des Black-Litterman-Modells nahezu den am schwierigsten zu bestimmenden Parameter dar. 447 Da der Black-Litterman-Ansatz keine intuitive Methodik zur Bestimmung der Diagonalmatrix Ω anbietet, gibt W ALTERS (2011) einen Überblick über nahezu alle gängigen Ansätze zur Ermittlung der Diagonalmatrix Ω in der Fachliteratur. Die Möglichkeiten bei der Ermittlung der Streuungsmatrix der Fehlerterme ergeben sich wie folgt: [1] Die Verwendung eines Konfidenzintervalls, vgl. D ROBETZ (2004) [2] Annahme, dass die Varianz der Einschätzungen proportional zur Varianz der Wertpapiere ist. Vgl. H E und L ITTERMAN (1999) bzw. in abgewandelter Form M EUCCI (2006) [3] Die Verwendung der Varianz der Residuen in einem Faktor-Modell [4] Die Verwendung einer prozentualen Gewichtung, vgl. I DZOREK (2004) In diesem Zusammenhang sollen anschließend beispielhaft die ersten beiden Alternativen exemplarisch dargestellt und erläutert werden. D ROBETZ (2004) schlägt für die Ermittlung der Prognoseschätzfehler die Verwendung eines Konfidenzintervalls vor. 448 Vor dem Hintergrund eines durch den Portfolio- Manager festgelegten Konfidenzintervalls kann eine Aussage getroffen werden, inwieweit die erwartete Rendite im Folgejahr schwanken wird. Zu diesem Zweck wird die absolute Einschätzung des Portfolio-Managers aus Prognose (1) um die Eintrittswahrscheinlichkeit des Views ergänzt, welche der Portfolio-Manager seiner Einschätzung zuordnet. 446 Vgl. Zanini (2007), S. 30 447 Vgl. Idzorek (2004), S. 11 bzw. S. 20 448 Die Bestimmung der Varianz auf Grundlage eines zuvor festgelegten Konfidenzintervalls erfreut sich in der Fachliteratur einer großen Popularität, da neben Drobetz (2004) auch z.B. Feilke und Gürtler (2008), Hahn (2008) und Zanini (2007) die Anwendung des Konfidenzintervalls im Rahmen des Black-Litterman-Modells ausführlich erläutern. <?page no="523"?> 6.4 Modifikation des Modells 523 Prognose (1) Die Überschussrendite von Google Inc. wird nach der Meinung des Portfolio-Managers mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % im nächsten Jahr 4 % p.a. betragen. Der Portfolio-Manager ist sich in diesem Fall über die weitere Wertentwicklung des Wertpapiers relativ sicher. Dennoch erscheint die Bandbreite, in der die erwarteten Renditen zukünftig liegen könnten, als äußerst interessant. Unter der Annahme eines symmetrischen Konfidenzintervalls von 90 % ergibt sich eine respektive Bandbreite von 3 % p.a. bis 5 % p.a. um die erwartete Rendite von 4 % p.a. herum. Die untere und auch die obere Grenze der erwarteten Renditen ergibt sich aus dem Produkt der historischen Standardabweichung σ = 0,61 % des betrachteten Wertpapiers und des jeweiligen Multiplikators des zuvor festgelegten Konfidenzintervalls. Der Multiplikator lässt sich für beliebige Konfidenzintervalle aus der Tabelle der Normalverteilung (siehe Anhang) ableiten. Bei einem Konfidenzintervall von 90 % sieht die Normalverteilung einen Multiplikator von 1,645 vor. Zur Berechnung der einzelnen Varianzen ω n wird zunächst das 95%-Quantil der Standardnormalverteilung aus der entsprechenden Quantils-Tabelle bestimmt, da der rechte Rand des zuvor festgelegten Konfidenzbereiches dem 95%-Quantilwert der Standardnormalverteilung entspricht. Der Quantilwert des 95%-Quantils liegt bei 1,6449. Auf Grundlage des Quantilwertes lassen sich nun die oberen und unteren Begrenzungsstellen 𝑚𝑚 und 𝑏𝑏 der standardnormalverteilten Zufallsvariable 𝑍𝑍 berechnen. Es gilt: 𝑃𝑃(𝑚𝑚 ≤ 𝑍𝑍 ≤ 𝑏𝑏) = 90 % 𝑃𝑃(−1,6449 ≤ 𝑍𝑍 ≤ 1,6449) = 90 % (6.43) Die Prognose der erwarteten Rendite des Investors lässt sich wie folgt formalisieren: 𝑃𝑃(0,03 ≤ 𝑍𝑍 ≤ 0,05) = 90 % (6.44) Um anschließend die Varianz des prognostizierten Wertpapiers endgültig bestimmen zu können, ist es erforderlich, die soeben eingeführte Zufallsvariable mit der standardnormalverteilten 𝑍𝑍 zu kombinieren. Die Standardabweichung ergibt sich wie folgt: 𝑍𝑍 = 𝑋𝑋 − 𝐸𝐸(𝑅𝑅) 𝜎𝜎 ~𝑁𝑁(0,1) bzw. 𝜎𝜎 = 𝑋𝑋 − 𝐸𝐸(𝑅𝑅) 𝑍𝑍 (6.45) mit 𝑍𝑍: standardisierte Zufallsvariable 𝑍𝑍 mit 𝑍𝑍~𝑁𝑁(0,1) 𝐸𝐸(𝑅𝑅): Überschussrendite des Wertpapiers im View 𝑋𝑋: Zufallsvariable 𝑋𝑋 mit 𝑋𝑋~𝑁𝑁(0, 𝜎𝜎) Die Standardabweichung in Höhe von 0,61 % im Konfidenzintervall ergibt sich aus: 𝜎𝜎 = 5 % − 4 % 1.6449 = 0,006079 𝜎𝜎 2 = 0,00036959 (6.46) Es wird deutlich: Je größer das Vertrauen des Portfolio-Managers in seine eigenen Prognosen ist, desto kleiner fällt das Konfidenzintervall um die erwartete Rendite und die dazugehörige Varianz aus. Je geringer das Vertrauen des Portfolio-Managers dagegen ausfällt, umso größer ist die Schwankungsbreite des Konfidenzintervalls der <?page no="524"?> 524 6 Verfahren der robusten Portfoliooptimierung erwarteten Renditen. 449 Abb. 185 greift diesen Zusammenhang nochmals grafisch auf. Abb. 185: Konfidenzintervall Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Drobetz (2002), S. 222 Abschließend sind die soeben bestimmten Varianzen der einzelnen Schätzfehler 𝜀𝜀 der ersten Prognose in die Diagonalmatrix Ω zu integrieren. Es ergibt sich: Ω = �0,00036959 0 0 0 ⋱ 0 0 0 𝜔𝜔 𝑖𝑖 � (6.47) H E und L ITTERMAN (1999) greifen dagegen bei der Ermittlung von Ω auf die Annahme zurück, dass sich die Varianzen der Einschätzungen proportional zu den Varianzen der Wertpapiere entwickeln und demnach der Varianz der Verteilung der Gleichgewichtsrenditen (A-Priori-Verteilung) entsprechen. In diesem Fall ergibt sich die Diagonalmatrix Ω wie folgt 450 : 𝜔𝜔 𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝑒𝑒(𝜏𝜏𝛴𝛴)𝑒𝑒 𝑇𝑇 ∀ 𝑖𝑖 = 𝑗𝑗 mit 𝜔𝜔 𝑖𝑖𝑖𝑖 = 0 ∀𝑖𝑖 ≠ 𝑗𝑗 bzw. Ω = 𝑒𝑒𝑖𝑖𝑚𝑚𝑛𝑛(𝑃𝑃(𝜏𝜏Σ)𝑃𝑃 𝑇𝑇 ) (6.48) Diese Methode bezieht den Proportionalitätsfaktor τ direkt in die Bestimmung der Diagonalmatrix mit ein. W ALTERS (2011) führt die Methode nach H E und L ITTERMAN als eine der häufigsten verwendeten Methoden in der Fachliteratur an. Im Gegensatz zum zuvor beschriebenen Konfidenzintervall legt der Portfolio-Manager nun zu Beginn einen Wert für 𝜏𝜏 fest. I DZOREK (2004) gibt in diesem Zusammenhang den Hinweis, dass der Proportionalitätsfaktor 𝜏𝜏 neben der Varianz 𝜔𝜔 𝑠𝑠 der am schwierigsten zu bestimmende Parameter darstellt. Wird vereinfachend ein Proportionalitätsfaktor 𝜏𝜏 = 0,2 angenommen, ergibt sich die Diagonalmatrix der Schätzfehler wie folgt: 449 Vgl. Drobetz (2003), S. 221 450 Vgl. Walters (2011), S. 8 <?page no="525"?> 6.4 Modifikation des Modells 525 Ω = �0,0554 0 0 0 0,0122 0 0 0 0,0067� (6.49) 6.4.1.3.3 Die Berechnung der Black-Litterman-Renditen Nachdem die Referenzrenditen und die einzelnen Prognosen bestimmt worden sind, kann die Kombination bzw. Vermischung der beiden Komponenten auf Grundlage des Bayes-Theorems analog zu der nachfolgenden Gleichung erfolgen. Abb. 185 zeigt in diesem Zusammenhang die Transformation der A-priori- und A-posteriori-Verteilung zu der neuen bedingten Verteilung der kombinierten Black-Litterman-Renditen. Die erwarteten kombinierten Renditen des Black-Litterman-Ansatzes ergeben sich wie folgt: 𝐸𝐸[𝑅𝑅] = [(𝜏𝜏Σ) −1 + 𝑃𝑃′Ω −1 𝑃𝑃] −1 [(𝜏𝜏Σ) −1 Π + 𝑃𝑃′Ω −1 𝑄𝑄] (6.50) mit 𝐸𝐸[𝑅𝑅]: N x 1 -Vektor der kombinierten Renditen (posterior) 𝜏𝜏: Skalar zur Kalibrierung des Modells; der Proportionalitätsfaktor 𝛴𝛴: N x N -Kovarianz-Matrix der Überschussrenditen 𝑃𝑃: K x N -Matrix oder 1 x N -Zeilenvektor mit den Einschätzungen, Views 𝛺𝛺: diagonale K x K -Kovarianz-Matrix der Fehler, welche die Unsicherheit in jeder Einschätzung widerspiegelt. 𝛱𝛱: N x 1 -Vektor der implizierten Referenzbzw. Gleichgewichtsrenditen 𝑄𝑄: K x 1 -Vektor der Einschätzungen Auf den ersten Blick erscheint die Formel der Black-Litterman-Renditen sehr komplex und in der Anwendung sehr anspruchsvoll. Da die Formulierung und Spezifikation eines Views aufgrund der Korrelation des betreffenden Wertpapiers zu den anderen Wertpapieren im Portfolio sich unweigerlich auf die erwarteten Renditen der anderen Bestandteile des Portfolios auswirken, muss die Korrelation der einzelnen Wertpapiere bei der Kombination der Referenz-Renditen und der impliziten Renditen berücksichtigt werden. 451 Diese Anforderung wird durch die mathematische Konzeption der Black-Litterman-Formel erfüllt. In der Fachliteratur ergibt sich eine alternative Darstellung durch die Umformung von Formel (6.50). Es ergibt sich 452 : 𝐸𝐸[𝑚𝑚|𝑄𝑄] = 𝜇𝜇 𝐵𝐵𝐿𝐿 = Π + (𝜏𝜏Σ)P�𝑃𝑃 ′(𝜏𝜏Σ) 𝑃𝑃 + Ω� −1 (𝑄𝑄 − 𝑃𝑃′Π) (6.51) Die Varianz-Kovarianz-Matrix der bedingten Verteilung ergibt sich aus: 𝑉𝑉𝑚𝑚𝑚𝑚(𝑚𝑚|𝑄𝑄) = Σ + 𝜏𝜏Σ − 𝜏𝜏 2 Σ𝑃𝑃(𝑃𝑃 ′ Σ𝑃𝑃𝜏𝜏 + Ω) −1 𝑃𝑃′Σ (6.52) Wie in Formel (6.50) dargestellt, ergeben sich die Black-Litterman-Renditen aus dem gewichteten Durchschnitt des Vektors der Referenzrenditen Π und dem Vektor der einzelnen Views 𝑄𝑄 . Der Grad der Gewichtung wird dabei einerseits durch den Proportionalitätsfaktor 𝜏𝜏 und andererseits durch die Unsicherheit der Views in der Diagonalmatrix Ω bestimmt. 453 Es wird vorausgesetzt, dass eine Quantifizierung der Views im Spaltenvektor 𝑄𝑄 zuvor durch den Portfolio-Manager vorgenommen wor-den ist. 451 Vgl. Hahn (2007), S. 103 452 Vgl. Herold (2004), S. 289 bzw. Memmel (2004), S. 119 453 Vgl. Idzorek (2004), S. 13 <?page no="526"?> 526 6 Verfahren der robusten Portfoliooptimierung Andernfalls besteht die Filter-Matrix 𝑃𝑃 aus Nullen. In diesem Fall entsprechen sich die Referenzrenditen und die erwarteten Renditen aus dem Black-Litterman-Modell. Im Gegensatz dazu bewirkt eine große Unsicherheit des Portfolio-Managers in Bezug auf seine abgegebenen Views, dass die Schätzfehler der Views und dadurch die einzelnen Varianzen entlang der Diagonalmatrix sehr stark ansteigen. Als Folge reduziert sich der Wert des Ausdrucks relativ stark, sodass die Black-Litterman-Renditen annähernd den Referenzrenditen entsprechen. 454 Mit anderen Worten: Je mehr ein Portfolio-Manager seinen Einschätzungen vertraut, umso mehr wird das nach dem Black-Litterman-Ansatz optimierte Portfolio vom Marktportfolio abweichen. 455 Abb. 186 zeigt das Schema der Kombination der beiden Komponenten nochmals grafisch auf. Abb. 186: Verbindung der impliziten Referenzrenditen und subjektiven Einschätzungen Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Idzorek (2004), S. 16 454 Vgl. Zankl (2009), S. 53 455 Vgl. ebd., S. 40 𝛾𝛾 = 𝐸𝐸(𝑚𝑚) − 𝑚𝑚 𝑓𝑓 𝜎𝜎 2 Risikoaversionsparameter Σ Varianz- Kovarianz- Matrix 𝑤𝑤 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑡𝑡 Gewichtung nach Markt. Kap. 𝑄𝑄 Prognosen (Views) des Investors Ω Unsicherheit des Investors bzgl. Views Π = 𝛾𝛾Σ𝑤𝑤 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑡𝑡 Vektor der Referenzrenditen Häufigkeitsverteilung der Prognosen (Views) Häufigkeitsverteilung der Referenzrenditen Häufigkeitsverteilung der Black-Litterman- Renditen <?page no="527"?> 6.4 Modifikation des Modells 527 6.4.1.3.4 Portfoliooptimierung mit Black-Litterman-Renditen Auf Grundlage der zuvor ermittelten Parameter und der ursprünglichen historischen Varianz-Kovarianz-Matrix kann nun mit Hilfe des klassischen Erwartungswert- Varianz-Ansatzes das Portfolio nach dem Black-Litterman-Modell bestimmt werden. Dazu werden im Rahmen der klassischen Portfoliotheorie nach Markowitz die erwarteten Renditen der einzelnen Wertpapiere durch die Black-Litterman-Renditen ersetzt. Die Zusammensetzung des optimalen Black-Litterman-Portfolios ergibt sich so aus: 𝑤𝑤 𝐵𝐵𝐿𝐿 = (𝛾𝛾Σ) −1 𝜇𝜇 𝐵𝐵𝐿𝐿 (6.53) 𝜇𝜇 𝐵𝐵𝐿𝐿 kann dabei durch die Formel der Black-Litterman-Renditen direkt ersetzt werden, sodass sich die Allokation des optimalen Black-Litterman-Portfolios unmittelbar ermitteln lässt 456 . Das optimale Portfolio auf Grundlage des Black-Litterman-Ansatzes ergibt sich aus: 𝑤𝑤 𝐵𝐵𝐿𝐿 = (𝛾𝛾Σ) −1 [(𝜏𝜏Σ) −1 + 𝑃𝑃′Ω −1 𝑃𝑃] −1 [(𝜏𝜏Σ) −1 Π + 𝑃𝑃′Ω −1 𝑄𝑄] (6.54) Durch die Verknüpfung der Gleichgewichtsrenditen und Prognosen des Portfolio- Managers ändert sich hauptsächlich der Umfang der eingegangenen Positionen im optimierten Portfolio für diejenigen Einzelwerte, für die explizit Einschätzungen ausgesprochen wurden. Das Ausmaß der Positionen in Richtung der subjektiven Einschätzungen der Einzelwerte wird maßgeblich durch die Einschätzungen selbst sowie die daraus abgeleiteten Faktoren beeinflusst. Zu den angesprochenen Faktoren zählen die Einschätzungen selbst, das Niveau der Unsicherheit, welches jeder Einschätzung zugesprochen wird und die Sicherheit, welche den einzelnen Einschätzungen zukommt. In diesem Zusammenhang beeinflusst vor allem der Unterschied der einzelnen Einschätzungen von den dazugehörigen Gleichgewichtsrenditen das tatsächliche Ausmaß des Exposure der jeweiligen Einzelwerte in einem Portfolio. 457 6.4.1.4 Die Anwendung des Black-Litterman-Modells in der Praxis Im Rahmen dieses Abschnitts wird die praktische Anwendung des Black-Litterman- Modells eingehend dargestellt. Eingangs werden die verwendeten Daten sowie die restliche Vorgehensweise erläutert. Im Anschluss daran werden die einzelnen und zuvor erläuterten Schritte zur Berechnung des Black-Litterman-Portfolios durchgeführt. Abschließend erfolgt ein kurzer Vergleich des Black-Litterman-Portfolios zum Markowitz-Portfolio, um die Vorteile des Black-Litterman-Ansatzes herauszustellen. 6.4.1.4.1 Vorstellung des Praxisbeispiels Das Ausgangsportfolio im Praxisbeispiel besteht aus folgenden Wertpapieren: Wertpapiere Marktkapitalisierung (in Mrd.) relative Marktkapitalisierung historische Rendite (annualisiert) historische Standardabw. (annualisiert) Alcoa 9,21 0,74 % -13,12 % 48,75 % IBM 226 18,08 % 5,92 % 22,51 % Intel 124,62 9,97 % -2,55 % 28,42 % 456 Vgl. Zankl (2009), S. 55 f. 457 Vgl. Mankert (2010), S. 34 <?page no="528"?> 528 6 Verfahren der robusten Portfoliooptimierung J.P. Morgan 141,58 11,33 % 1,25 % 32,06 % Microsoft 256,2 20,50 % 2,95 % 25,44 % AT&T 213,16 17,06 % 1,89 % 20,20 % Cisco 102,37 8,19 % 4,49 % 27,30 % Ebay 60,7 4,86 % -31,74 % 51,26 % Costco 41,61 3,33 % 4,31 % 21,59 % Kraft Foods 74,30 5,95 % -5,18 % 20,80 % Gesamt 1249,75 Tab. 59: Darstellung des Ausgangsportfolios Die historischen Renditen beziehen sich auf einen 5-Jahres-Zeitraum vom 01.01.2004 bis zum 01.12.2009. Hierbei handelt es sich um stetige monatliche Durchschnittsrenditen, wodurch sich eine Stichprobe von 60 Beobachtungswerten ergibt. 458 Da es sich um monatliche Daten handelt, wird die Volatilität zwischen den einzelnen Stichtagen nicht erfasst. Die Standardabweichungen, Varianzen sowie Kovarianzen werden auf Basis der historischen Renditen ermittelt und für die späteren Berechnungen annualisiert. Die Marktkapitalisierung der einzelnen Unternehmen wurde zum Stichtag 01.09. 2012 ermittelt. 459 Im nachfolgend dargestellten Praxisbeispiel wird zum Großteil auf die Annahmen der modernen Kapitalmarkttheorie abgestellt (vgl. Kapitel 1). Weiterhin wird der Empfehlung von H AHN (2007) gefolgt, für 𝛾𝛾 einen konstanten Wert festzulegen. Da es sich um einen risikoaversen Investor handelt, wird für 𝛾𝛾 ein Wert in Höhe von 2,0 gewählt. 460 Da es sich in diesem Buch um die Darstellung des originären Black-Litterman-Modells handelt, wird einfachheitshalber für den Proportionalitätsfaktor 𝜏𝜏 ein konstanter Wert angenommen. In diesem Praxisbeispiel beträgt der Wert 0,2. Als risikoloser Zinssatz eignet sich ein Wert in Höhe von 2,25 %. Grundsätzlich wurden alle Berechnungen mit dem Programm Matlab vollzogen. Einige Tabellen und Grafiken wurden aber zur besseren Darstellung in Excel erneut aufbereitet. 461 6.4.1.4.2 Berechnung der Black-Litterman-Renditen Wie zuvor erläutert, sind die ersten Schritte bei der Ermittlung des optimalen Portfolios nach B LACK und L ITTERMAN die Berechnung der impliziten Renditen und die anschließende Mischung dieser mit den Views der Portfolio-Manager, die dann im Ergebnis die Black-Litterman-Renditen darstellen. 458 Anmerkung: Der Umfang der Stichprobe wurde auf Empfehlung von Walters (2011), S. 17 auf 60 Stichprobenwerte festgelegt. 459 Anmerkung: Die monatlichen Renditen wurden auf Grundlage von Performance-Daten (adjustierte Kurse) des Finanzdienstleisters Yahoo-Finance berechnet. 460 Vgl. Hahn (2007), S. 102 461 Der Matlab-Code zu den einzelnen Berechnungen ist in Abschnitt 6.4.1.4.6 unter Punkt 4 zu finden. <?page no="529"?> 6.4 Modifikation des Modells 529 Ausgehend vom Maximierungsproblem bei der Portfoliooptimierung nach Markowitz ergeben sich die impliziten Renditen durch die zuvor dargestellte Umkehroptimierung aus: ∏ = 𝛾𝛾𝛴𝛴𝑤𝑤 𝑚𝑚𝑖𝑖𝑒𝑒 (6.55) Der Vektor der impliziten Renditen, der das Ausgangsportfolio zu einem effizienten Portfolio macht, ist in Abb. 187 dargestellt: Abb. 187: Der Vergleich zwischen historischen und impliziten Renditen Generell sind in Abb. 187 erhebliche Unterschiede zu erkennen. Die deutlichsten relativen Abweichungen der historischen Renditen von den impliziten Renditen befinden sich bei J.P. Morgan mit über 485 % sowie bei Intel mit ca. 406 %. Dahingegen weichen bei IBM die impliziten Renditen relativ mit ca. 2,43 % und bei Costco mit relativ ca. 16 % nur geringfügig von den historischen Renditen ab. Weiterhin ist zu erkennen, dass die Umkehroptimierung stets positive implizite Renditen liefert, obwohl die historischen Renditen überwiegend negativ sind. 462 Nach der Berechnung der impliziten Renditen sind nun die individuellen Views des Asset-Managers zu implementieren. Die impliziten Renditen fungieren dabei als Ausgangspunkt für die weiteren Berechnungen und stabilisieren zugleich als zentraler „Anker“ die Allokation des Portfolios. Die Ankerfunktion der impliziten Renditen trägt zur Vermeidung einer extremen Portfolioallokation und einer hohen Sensitivität des Portfolios bei, die bei der Portfoliooptimierung nach Markowitz oftmals auftritt. Hier zeigt sich bereits einer der genannten Vorteile des Black-Litterman- Modells gegenüber dem Erwartungswert-Varianz-Ansatz. Da die Asset-Manager häufig eine von den impliziten Renditen abweichende Meinung über die zukünftige Renditeentwicklung besitzen, ist es notwendig die subjektiven Einschätzungen der jeweiligen Portfolio-Manager zu integrieren. Im Rahmen des Praxisbeispiels wird von folgenden Wertpapierentwicklungen ausgegangen: 462 Die genannten Werte der Abweichungen lassen sich in der Datei Kapitel_6_Beispiele aus dem Excel-Sheet » BlackLitterman« entnehmen. -35% -30% -25% -20% -15% -10% -5% 0% 5% 10% 15% 20% Historische Renditen <?page no="530"?> 530 6 Verfahren der robusten Portfoliooptimierung View 1 Für das Unternehmen Ebay rechnet das Portfolio Management im nächsten Jahr mit einer Rendite in Höhe von 13,0 %. View 2 Es wird angenommen, dass die Wertpapierrendite von AT&T eine um 2,0 % höhere Rendite als Microsoft erzielen wird. View 3 Die Wertpapierrenditen von Cisco und IBM werden die Wertpapierrenditen von Costco und Kraft Foods in Höhe von 3,0 % übertreffen. Als Vektor 𝑄𝑄 ergibt sich aufgrund der festgelegten Views der Asset Manager: 𝑄𝑄 = �13 % 2 % 3 % � (6.56) Die relativen und absoluten Views werden in folgender Filtermatrix spezifiziert: 𝑃𝑃 = � 0 00 0 0 0,69 0 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 1 0 0 0 0,31 1 0 0 0 0 0 0 −0,36 −0,64 � (6.57) Die absolute View (View 1) wird in der ersten Zeile der 𝑃𝑃 -Matrix spezifiziert. Zeile zwei repräsentiert View 2, der eine einfache relative Renditemeinung darstellt. View 3 stellt einen mehrfachen relativen View dar und ist dementsprechend in Zeile drei der Filtermatrix 𝑃𝑃 vorzufinden. Da den Empfehlungen von I DZOREK (2004) gefolgt wird, sind die Wertpapiere der Outperformer und Underperformer (des dritten Views) mit ihren relativen Marktgewichtungen im Longbzw. Short-Portfolio in der 𝑃𝑃 -Matrix berücksichtigt. Die Berechnungen der entsprechenden relativen Marktgewichtungen der einzelnen Wertpapiere sind in Tab. 60 dargestellt. Renditestärkeres Miniportfolio (Long-Portfolio) Unternehmen Marktkapitalisierung (in Mrd.) relative Gewichtsanteile implizite Renditen gewichtete Marktgleichgewichtsrenditen Cisco 102,4 31 % 7,90 % 2,46 % IBM 226,0 69 % 5,78 % 3,98 % Total 328 100 % - 6,44 % Renditeschwächeres Miniportfolio (Short-Portfolio) Assetklassen Marktkapitalisierung (in Mrd.) relative Gewichtsanteile implizite Renditen gewichtete Marktgleichgewichtsrenditen Costco 41,6 36 % 5,00 % 1,79 % Kraft Foods 74,3 64 % 3,21 % 2,06 % Total 116 100 % - 3,85 % Tab. 60: Berechnung der Long- und Short-Portfolios für View 3 Im weiteren Verlauf sind die Black-Litterman-Renditen zu berechnen. Da jedoch der Eintritt der einzelnen Views mit Unsicherheit behaftet ist, ist noch der individuelle Schätzfehler jedes Views zu quantifizieren. Hierbei wird der Methode, die Diagonalmatrix der Schätzfehler Ω proportional zur historischen Varianz-Kovarianz-Matrix <?page no="531"?> 6.4 Modifikation des Modells 531 zu berechnen, gefolgt, da diese laut W ALTERS (2011) „…the most common method used in the literature “ ist. 463 Daraus ergibt sich für Ω folgende Matrix: Ω = � (𝑒𝑒 1 ∑𝑒𝑒 1′ ) ∗ 𝜏𝜏 0 0 0 ⋱ 0 0 0 (𝑒𝑒 𝑖𝑖 ∑𝑒𝑒 𝑖𝑖′ ) ∗ 𝜏𝜏 � = �0,0554 0 0 0 0,0012 0 0 0 0,0067� (6.58) Nun sind die implementierten Views der Portfolio-Manager mit den impliziten Renditen analog der bereits vorgestellten Gleichung zu mischen: 464 𝐸𝐸(𝑚𝑚 𝐵𝐵𝐿𝐿 ) = [(𝜏𝜏∑ ) −1 + 𝑃𝑃′Ω −1 𝑃𝑃] −1 [(𝜏𝜏∑) −1 ∏ + 𝑃𝑃′Ω −1 𝑄𝑄] (6.59) Als Ergebnis resultieren die Black-Litterman-Renditen. Inwieweit die impliziten Renditen durch die Views der Portfolio-Manager abweichen, ist in Abb. 188 ersichtlich: Abb. 188: Darstellung der Black-Litterman-Renditen im Vergleich zu den impliziten Renditen Auffällig ist zunächst, dass sich prinzipiell die erwarteten Renditen aller Wertpapiere verändern, obwohl lediglich für bestimmte Wertpapiere Views formuliert wurden. Der Grund für diese Veränderung aller Wertpapierrenditen liegt maßgeblich in der Korrelation der einzelnen Wertpapieranlagen untereinander, welche, wie bereits mehrfach erwähnt, in Formel (6.59) Berücksichtigung findet. Die implizite Rendite für Ebay wurde durch den abgegebenen View von ca. 13,7 % auf ca. 13 % reduziert. Der zweite View des Portfolio Managements führte zu einer Reduzierung der Renditeerwartung für Microsoft um absolut 1,55 %, wobei sich die Renditeerwartung für AT&T um absolut 0,71 % erhöhte. Dieses Ergebnis ist auch intuitiv nachvollziehbar, da der vom Portfolio Management prognostizierte Renditeunterschied mit 2,0 % geringer ausfiel als der Renditeunterschied der impliziten Renditen der beiden Wertpapiere in Höhe von 2,52 % (7,20 % - 4,68 %). Dieser Umstand wirkte sich unvorteilhaft auf die erwartete Wertpapierrendite von Microsoft aus. Die Beurteilung der Auswirkungen des mehrfachen relativen dritten Views erfordert im Gegensatz zu 463 Walters (2011), S. 8 464 Für eine ausführliche Herleitung siehe Walters (2011), S. 51 f., Zankl (2009), S. 48 ff. oder Hahn (2007), S. 103 f. 0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% 14% 16% Black-Litterman Renditen Implizite Renditen <?page no="532"?> 532 6 Verfahren der robusten Portfoliooptimierung den bisher betrachteten Views die Betrachtung der Long- und Short-Portfolios. Hierbei wird die Differenz der gewichteten impliziten Wertpapierrenditen des Long- und des Short-Portfolios (+2,59 %) mit dem View (3,0 %) verglichen. Auch in diesem Fall ist die Richtung der Renditeveränderung intuitiv nachvollziehbar. Da die erwartete Renditedifferenz zwischen Long- und Short-Portfolio geringer als der View ist, wird eine Erhöhung der Differenz erwartet. Aufgrund der relativ ähnlichen Korrelationen und der relativen Marktkapitalisierungen werden die Renditeerwartungen so erhöht, dass sich die Renditedifferenz der Long- und Short-Portfolios vergrößert. Konkret schlägt sich dies nahezu unverändert auf die erwartete Wertpapierrendite des Long- Portfolios nieder. (IBM reduziert sich um absolut 0,07 % mit einer relativen Abweichung in Höhe von ca. 1,17 %. Cisco reduziert sich um absolut 0,1 % und relativ um 1,24 %.) Die erwartete Wertpapierrendite des Short-Portfolios erfährt hingegen eine deutlichere Reduzierung. Die Black-Litterman-Rendite für Costco ist absolut um 0,35 % und relativ um 7,5 % geringer. Die Reduzierung für Kraft Foods fällt ähnlich aus (relativ um 6,66 %). Wie eingangs erwähnt, haben sich die Renditeerwartungen über alle Wertpapiere hinweg deutlich verändert. Die nicht in den Views angesprochenen Wertpapiere Alcoa, Intel und J.P. Morgan haben sich jeweils absolut um 0,26 %, 0,34 % und 0,68 % reduziert. Es kann also festgehalten werden, dass jeder View eines Wertpapiers implizit auch eine Prognose für jedes andere Wertpapier enthält. Dieser Effekt erklärt sich vorrangig durch die Multiplikation der einzelnen Matrizen 𝑃𝑃, 𝜏𝜏Ω und Σ in der Black-Litterman-Formel (6.59). Die mathematische Multiplikation führt zu einer Streuung der individuellen Schätzfehler der Views über die komplette Stichprobe. 465 implizite Renditen B-L- Renditen absolute Abweichungen relative Abweichungen Alcoa 12,31 % 12,05 % -0,26 % 2,18 % IBM 5,78 % 5,71 % -0,07 % 1,17 % Intel 7,82 % 7,48 % -0,34 % 4,59 % J.P. Morgan 7,36 % 6,69 % -0,68 % 10,12 % Microsoft 7,20 % 5,66 % -1,55 % 27,32 % AT&T 4,68 % 5,39 % 0,71 % -13,16 % Cisco 7,90 % 7,81 % -0,10 % 1,24 % Ebay 13,67 % 13,04 % -0,63 % 4,84 % Costco 5,00 % 4,65 % -0,35 % 7,50 % Kraft Foods 3,21 % 3,01 % -0,20 % 6,66 % Tab. 61: Darstellung der Black-Litterman-Renditen im absoluten und relativen Vergleich 6.4.1.4.3 Portfoliooptimierung nach Black-Litterman Die Portfoliooptimierung, basierend auf den zuvor ermittelten impliziten bzw. Black- Litterman-Renditen, resultiert in folgender Portfolioallokation: 465 Vgl. Drobetz (2003), S. 226 <?page no="533"?> 6.4 Modifikation des Modells 533 Abb. 189: Vergleich der optimalen Portfoliogewichte auf Basis der impliziten bzw. der Black- Litterman-Renditen Wie erwartet, wurden lediglich die Portfoliogewichte der in den Views angesprochenen Unternehmensaktien verändert. Die Wertpapiere Alcoa, Intel und J.P. Morgan, für die keine subjektiven Renditeeinschätzungen abgegeben wurden, gehen unverändert entsprechend der Höhe ihrer jeweiligen relativen Marktkapitalisierungen im Ausgangsportfolio in die Portfolioallokation ein. Bei den Wertpapieren IBM, Microsoft, AT&T, Cisco, Ebay, Costco und Kraft Foods, für die Prognosen abgegeben wurden, sind sichtbare Abweichungen zu beobachten. Der Anteil von Microsoft am Referenzportfolio mit 20,5 % reduzierte sich auf 1,97 % um absolut 18,5 %. Der Portfolioanteil von AT&T erhöhte sich um absolut 18,5 % und beträgt nun 35,59 % im B- L-Portfolio. Dieser Zusammenhang wird im Rahmen des mehrfachen relativen Views (View 3) noch deutlicher. Auch hier gleichen sich das Long-Portfolio mit absolut +3,6 % und das Short-Portfolio mit absolut -3,6 % aus. Die absoluten Abweichungen der kapitalisierungsgewichteten Kaufpositionen (Long-Portfolio) mit den Wertpapieren IBM und Cisco entsprechen exakt den absoluten Abweichungen der kapitalisierungsgewichteten Leerverkaufspositionen (Short-Portfolio) mit den Wertpapieren Costco und Kraft Foods. Tab. 62 stellt diesen Zusammenhang anschaulich dar: Portfolio auf Basis der impliziten Renditen B-L-Portfolio absolute Abweichung Anmerkung Microsoft 20,50 % 1,97 % -18,5 % Short-Position AT&T 17,06 % 35,59 % 18,5 % Long-Position IBM 18,08 % 20,56 % 2,5 % Bestandteil im Long-Portfolio Cisco 8,19 % 9,31 % 1,1 % Costco 3,33 % 2,04 % -1,3 % Bestandteil im Short-Portfolio Kraft Foods 5,95 % 3,64 % -2,3 % Tab. 62: Darstellung der kapitalisierungsgewichteten Portfolios 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% optimales Portfolio auf Basis der Black-Litterman Renditen optimales Portfolio auf Basis der impliziten Renditen - <?page no="534"?> 534 6 Verfahren der robusten Portfoliooptimierung -200% -150% -100% -50% 0% 50% 100% 150% 200% 250% optimales Portfolio auf Basis der Black-Litterman Renditen optimales Portfolio auf Basis von Markowitz 6.4.1.4.4 Portfoliooptimierung nach Black-Litterman und Markowitz im Vergleich Abb. 190 vergleicht die Allokation des Black-Litterman-Portfolios und des Portfolios nach Markowitz: Abb. 190: Vergleich der optimalen Portfoliogewichte nach Black-Litterman und Markowitz Zunächst fällt auf, dass die Portfoliogewichte nach dem Black-Litterman-Modell im Vergleich zur Zusammensetzung des Portfolios nach Markowitz weitaus ausgewogener sind. Hierbei zeigt sich der bereits angesprochene Vorteil des Black-Litterman- Ansatzes gegenüber der Portfoliooptimierung nach Markowitz. Das Black-Litterman-Portfolio orientiert sich in seiner Allokation an der dem Asset Management vorschwebenden Diversifikation. Das Black-Litterman-Portfolio erfüllt damit die Forderungen der Praxis, ein hinreichend diversifiziertes Portfolio zu bilden, keine extremen Portfoliogewichtungen oder gar Short-Positionen zu enthalten und sich eventuell an einer Benchmark zu orientieren. Die in Abb. 190 dargestellte Portfolioallokation nach Markowitz stellt in der Praxis eine oft nicht realisierbare Portfoliokonstruktion dar - im Gegensatz zur Portfolioallokation nach Black und Litterman. Für den Fall einer Portfoliooptimierung nach Markowitz stellt die Einführung von Nebenbedingungen einen denkbaren Lösungsansatz dar. 466 Einerseits könnten für Wertpapiere individuelle Ober- und Untergrenzen gesetzt werden. Andererseits könnte grundsätzlich ein Leerverkaufsverbot aus firmenpolitischen Gründen oder externen Restriktionen in den Nebenbedingungen festgelegt werden. 467 Aus diesem Grund wurde in der folgenden Abb. 191 eine Leerverkaufsrestriktion eingeführt. Dieses Leerverkaufsverbot hat in diesem Praxisbeispiel allerdings nur Auswirkungen auf die Portfoliokonstruktion nach Markowitz, da die Gewichte im Black-Litterman-Portfolio ohnehin positiv sind. Wie zuvor bei den Schwächen des Markowitz-Ansatzes genannt, resultieren aus einer Leerverkaufsrestriktion häufig die so genannten Corner-Portfolios. Wie sich die Portfoliogewichte eines solchen unzureichend diversifizierten Corner-Portfolios zusammensetzen, ist in Abb. 191 ersichtlich. 466 Vgl. Drobetz (2003), S. 209 ff. sowie He/ Litterman (1999), S. 3 467 Vgl. He/ Litterman (1999), S. 3 - <?page no="535"?> 6.4 Modifikation des Modells 535 Abb. 191: Vergleich der Portfolios nach Markowitz und Black-Litterman entlang der Effizienzkurve Abb. 192: Effizienzkurven im Vergleich <?page no="536"?> 536 6 Verfahren der robusten Portfoliooptimierung Abb. 191 zeigt deutlich, dass sich die Gewichte des Black-Litterman-Portfolios im Vergleich hierzu deutlich ausgewogener entlang der Effizienzkurve verhalten und damit ein breiter diversifiziertes Portfolio bilden. Die zugehörigen Effizienzkurven der beiden Portfolios sind in Abb. 192 dargestellt. Es ist erkennbar, dass die Effizienzkurve des Portfolios nach Markowitz wesentlich steiler verläuft als die des Black-Litterman-Portfolios. Das Black-Litterman-Portfolio ist breiter diversifiziert und dominiert in unserem Beispiel das Portfolio nach Markowitz in jedem Punkt, wodurch es stets ein besseres Rendite-Risiko-Verhältnis liefert. 6.4.1.4.5 Umsetzung des Anwendungsbeispiels in Excel Es folgt nun die Umsetzung des zuvor dargestellten und erläuterten Anwendungsbeispiels in Excel. Schritt 1: Laden der historischen Zeitreihen Abb. 193: Laden der historischen Zeitreihen In den Spalten B bis L dienen die historischen Zeitreihen der einzelnen Wertpapiere im Zeitraum von 5 Jahren (61 monatliche Kurse je Wertpapier im Zeitraum vom 01.12.2004 bis 01.12.2009) als Grundlage für die anschließende Berechnung der stetigen Monatsrenditen und Überschussrenditen sowie aller weiteren Input-Parameter des Black-Litterman-Modells. Jeder Spalte werden die historischen Kurse für ein individuelles Wertpapier zugeordnet. Die historischen Daten im Excel-Beispiel wurden für den angegebenen Zeitraum von Yahoo Finance bezogen. 468 Schritt 2: Bestimmung der stetigen Monatsrenditen Abb. 194: Bestimmung der stetigen Monatsrenditen Die stetigen Monatsrenditen in den Spalten O bis X bilden die Grundlage für die spätere Schätzung der erwarteten Renditen und der Standardabweichungen der zuvor festgelegten Wertpapiere. Da sich die stetige Rendite im Vergleich zu diskreten Renditen besser der Standardnormalverteilung annähert, wird im Excel-Beispiel maßgeblich auf Log-Renditen (vgl. Kapitel 1, Abschnitt 1.6) als Datengrundlage abgestellt. Position Inhalt Excel-Umsetzung Spalten O bis X Log-Rendite =LN(C10/ C9) Tab. 63: Umsetzung in Excel 468 Siehe http: / / de.finance.yahoo.com/ q/ hp? s=AA bzw. http: / / de.finance.yahoo.com/ q/ hp? s= [Ticker-Code z.B. AA oder IBM] 67 8 9 10 11 A B C D E F G H I J K L Historische Kurse vom 01.12.2004 bis 01.12.2009 AA IBM INTC JPM MSFT T CSCO EBAY COST KFT 01.12.2004 31,41 98,58 23,39 39,01 26,72 25,77 19,32 116,34 48,41 35,61 03.01.2005 29,51 93,42 22,45 37,33 26,28 23,76 18,04 81,50 47,27 33,98 01.02.2005 32,12 92,58 23,99 36,55 25,16 24,06 17,42 42,84 46,59 33,45 67 8 9 10 11 M N O P Q R S T U V W X Stetige Monatsrenditen vom 01.12.2004 bis 01.12.2009 AA IBM INTC JPM MSFT T CSCO EBAY COST KFT 01.12.2004 03.01.2005 -6,24% -5,38% -4,10% -4,40% -1,66% -8,12% -6,85% -35,59% -2,38% -4,69% 01.02.2005 8,47% -0,90% 6,63% -2,11% -4,36% 1,25% -3,50% -64,31% -1,45% -1,57% <?page no="537"?> 6.4 Modifikation des Modells 537 Schritt 3: Berechnung der Überschussrenditen Abb. 195: Berechnung der Überschussrenditen Da sich die spätere Bestimmung der Varianz-Kovarianz-Matrix unmittelbar auf die Überschussrenditen der einzelnen Wertpapiere bezieht, werden diese in den Spalten AA bis AJ berechnet. Dabei wird unter Berücksichtigung des risikolosen Zinssatzes analog zu der Ermittlung der Log-Renditen aus dem vorherigen Schritt vorgegangen. Position Inhalt Excel-Umsetzung Spalten AA bis AJ Überschussrendite =LN(C10/ C9-$AN$47) Tab. 64: Umsetzung in Excel S chritt 4: Spezifikation und Ermittlung der Input-Parameter Abb. 196: Spezifikation und Ermittlung der Input-Parameter Um die Black-Litterman-Renditen ermitteln zu können, müssen zunächst alle dafür notwendigen Eingangsgrößen (Inputs) bestimmt werden. Die Spezifikation der Marktkapitalisierung stellt dabei den Ausgangspunkt für alle weiteren Bemühungen dar. Aus diesem Grund wird in Position AN38 bis AW38 einmalig den Wertpapieren die dazugehörige Marktkapitalisierung 469 zugewiesen, um anschließend daraus in Position AN39 bis AW39 den prozentualen Anteil der einzelnen Marktkapitalisierungen der Wertpapiere an der gesamten Marktkapitalisierung zu berechnen. Weitere wichtige Eingangsgrößen stellen die historischen Renditen und Standardabweichungen der einzelnen Wertpapiere dar, die jedoch zunächst ermittelt werden müssen. In Position AN41 bis AW41 wird hierzu der Mittelwert der zuvor bestimmten Log-Renditen ermittelt, um anschließend in Position AN44 bis AW44 annualisiert zu werden. In Position AN42 bis AW42 und AN45 bis AW45 wird analog zu der Bestimmung der historischen Renditen die historische Standardabweichung ermittelt. Als weitere Eingangsgrößen gehen in Position AN47 bis AN49 der risikolose Zins, der Risikoaversionsparameter Delta als auch der Proportionalitätsfaktor Tau in die Berechnung der Black-Litterman-Renditen mit ein. Dabei spielt in besonderem Maße die historische Varianz-Kovarianz-Matrix eine zentrale Rolle. 469 Anmerkung: Der Wert der jeweiligen Marktkapitalisierung eines Wertpapiers wurde mit Hilfe von Yahoo Finance ermittelt. 6 7 8 9 10 11 Y Z AA AB AC AD AE AF AG AH AI AJ Stetige Überschussrenditen vom 01.12.2004 bis 01.12.2009 AA IBM INTC JPM MSFT T CSCO EBAY COST KFT 01.12.2004 03.01.2005 -8,66% -7,78% -6,47% -6,78% -3,97% -10,59% -9,29% -38,86% -4,71% -7,07% 01.02.2005 6,39% -3,20% 4,51% -4,44% -6,73% -0,99% -5,85% -68,69% -3,76% -3,88% 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 AK AL AM AN AO AP AQ AR AS AT AU AV AW AA IBM INTC JPM MSFT T CSCO EBAY COST KFT Marktkapitalisierung in Mrd. 9,21 226 124,62 141,58 256,2 213,16 102,37 60,7 41,61 74,3 Gewichtung nach Marktkapitalisierung 0,74% 18,08% 9,97% 11,33% 20,50% 17,06% 8,19% 4,86% 3,33% 5,95% historische Renditen -1,09% 0,49% -0,21% 0,10% 0,25% 0,16% 0,37% -2,64% 0,36% -0,43% historische Standardabweichung 14,07% 6,50% 8,20% 9,26% 7,34% 5,83% 7,88% 14,80% 6,23% 6,00% historische Renditen (Annualisiert) -13,12% 5,92% -2,55% 1,25% 2,95% 1,89% 4,49% -31,74% 4,31% -5,18% historische Standardabweichung (Annualisiert) 48,75% 22,51% 28,42% 32,06% 25,44% 20,20% 27,30% 51,26% 21,59% 20,80% Risikoloser Zins 2,25% Delta 2 Tau 0,2 , Inputs <?page no="538"?> 538 6 Verfahren der robusten Portfoliooptimierung Bei der Bestimmung der Varianz-Kovarianz-Matrix in Position AA9 bis AJ69 wird dabei maßgeblich auf die VBA-Funktion VaRCovar() zurückgegriffen. Es gilt bei der Eingabe der Formel zu beachten, dass es sich hierbei um eine Array-Formel handelt und diese daher nach der Eingabe der Formel mit STRG+SHIFT+ENTER bestätigt werden muss. Abschließend wird ebenfalls die Varianz-Kovarianz-Matrix mit dem Faktor 12 annualisiert. Position Inhalt Excel-Umsetzung AN38 bis AW38 Marktkapitalisierung in Mrd. individueller Wert AN39 bis AW39 relative Marktkapitalisierung =AN38/ SUMME($AN$38: $AW$38) AN41 bis AW41 historische Renditen =MITTELWERT(O10: O80) AN42 bis AW42 historische Standardabweichung =STABW.S(O10: O128) AN44 bis AW44 historische Renditen (annualisiert) =AN41*12 AN45 bis AW45 historische Standardabweichung (anrualisiert) =AN42*WURZEL(12) AN47 risikoloser Zins individueller Wert, z.B. 2,25 % AN48 Delta individueller Wert, z.B. 2 AN49 Tau individueller Wert, z.B. 0,2 AA9 bis AJ69 Varianz-Kovarianz-Matrix =VarCovar(AA9: AJ69)*12 Tab. 65: Umsetzung in Excel Schritt 5: Bestimmung der impliziten Renditen Abb. 197: Implizite Renditen Die Gleichgewichtsrenditen bzw. impliziten Renditen stellen einen weiteren Input- Parameter der „Black-Litterman-Formel“ dar. In Position AN69 bis AW69 wird für jedes Wertpapier im Portfolio die dazugehörige implizite Rendite bestimmt. Da es sich dabei um die Multiplikation eines Vektors und einer Matrix handelt, wird in Excel auf den Befehl MMULT() zurückgegriffen. In diesem Fall erfolgt die unmittelbare Implementation von Formel (6.33) (siehe Abschnitt 6.4.1.3.1). Um zu einem späteren Zeitpunkt einen Vergleich der unterschiedlichen Renditen und Portfolio-Gewichtungen in Form von Balkendiagrammen zu ermöglichen, wird in Position AN70 bis AW70 und AN71 bis AW71 gemäß Formel (6.35) (siehe Abschnitt 6.4.1.3.1) das optimale Portfolio auf Grundlage der historischen und impliziten Renditen bestimmt. Position Inhalt Excel-Umsetzung AN69 bis AW69 implizite Referenzrenditen =MMULT(AN39: AW39; AN54: AW63)*AN48 AN70 bis AW70 optimales Portfolio auf Basis von Referenzrenditen =MTRANS(MMULT(MINV(AN48*AN54: AW63); MTRANS(AN69: AW69))) AN71 bis AW71 optimales Portfolio auf Basis von historischen Renditen =MTRANS(MMULT(MINV(AN48*AN54: AW63); MTRANS(AN44: AW44))) Tab. 66: Umsetzung in Excel 65 66 67 68 69 70 71 72 AL AM AN AO AP AQ AR AS AT AU AV AW Pi - Implizite Referenzrenditen AA IBM INTC JPM MSFT T CSCO EBAY COST KFT Implizite Referenzrenditen 12,31% 5,78% 7,82% 7,36% 7,20% 4,68% 7,90% 13,67% 5,00% 3,21% Optimales Portfolio auf Basis von Referenzrenditen 0,74% 18,08% 9,97% 11,33% 20,50% 17,06% 8,19% 4,86% 3,33% 5,95% Optimales Portfolio auf Basis von hist. Renditen -74,24% 201,32% -45,61% -0,61% 57,97% 44,38% 125,30% -137,17% 107,72% -38,39% <?page no="539"?> 6.4 Modifikation des Modells 539 Schritt 6: Spezifikation und Quantifizierung der Prognosen Abb. 198: Spezifikation und Quantifizierung der Prognosen In Position AN69 bis AW71 werden die absoluten und relativen Prognosen des Portfolio-Managers gemäß Abschnitt 6.4.1.3.2 spezifiziert. In Excel ergibt sich daraus eine 3 x 10 -Matrix mit 10 Spalten und 3 Zeilen. Position AN69 bis AW69 spiegelt dabei eine absolute Einschätzung, Position AN70 bis AW70 eine relative Prognose und Position AN71 bis AW71 eine kapitalmarktgewichtete Meinung wider. In den Positionen AN82 bis AN84 werden die subjektiven Einschätzungen der Investoren über die weitere Wertentwicklung der Wertpapiere quantifiziert. In Excel werden die subjektiven Einschätzungen Q in einem Spaltenvektor dargestellt. Position Inhalt Excel-Umsetzung AN69 bis AW69 Gewicht Prognose 1 individueller Wert AN70 bis AW70 Gewicht Prognose 2 individueller Wert AN71 bis AW71 Gewicht Prognose 3 individueller Wert AN82 Prognose 1 individueller Wert, z.B. 13 % AN83 Prognose 2 individueller Wert, z.B. 2 % AN84 Prognose 3 individueller Wert, z.B. 3 % Tab. 67: Umsetzung in Excel Schritt 7: Bestimmung der Varianzen der Schätzfehler Abb. 199: Bestimmung der Varianzen der Schätzfehler Da der Eintritt der festgelegten Prognosen unweigerlich mit Unsicherheit behaftet ist, sollten die Schätzfehler quantifiziert werden, um in die spätere Berechnung der Black-Litterman-Renditen einfließen zu können. Das Excel-Modell implementiert vor diesem Hintergrund die Annahme von H E und L ITTERMAN (1999), die von einer grundsätzlichen Proportionalität der Varianzen der Prognosen und der Varianzen der Wertpapiere ausgehen. Die Berechnung der Omega-Matrix greift aus diesem Grund auf Formel (6.48) aus Abschnitt 6.4.1.3.2 zurück. Hierzu wird in Position AN90 bis AP92 zunächst gemäß dieser Formel eine Matrix mit den entsprechenden Varianzen der einzelnen Wertpapierprognosen erstellt, welche als Grundlage für die anschließende Bestimmung der Omega-Matrix dient. Die Annahme der Proportio- 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 AL AM AN AO AP AQ AR AS AT AU AV AW P - Spezifikation der Einschätzungen Einschätzung 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 Einschätzung 2 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 Einschätzung 3 0 0,69 0 0 0 0 0,31 0 -0,36 -0,64 Q - Subjektive Einschätzungen Einschätzung 1 13,00% Einschätzung 2 2,00% Einschätzung 3 3,00% 86 87 88 89 90 91 92 93 AL AM AN AO AP AQ AR AS AT AU AV Omega - Varianzen der Schätzfehler E1 E2 E3 E1 E2 E3 Varianzen E1 0,05538 0,00452 - 0,00678 Omega E1 0,055378 - - E2 0,00452 - 0,01222 0,00031 - E2 - 0,012217 - E3 0,00678 0,00031 - 0,00667 E3 - - 0,006668 <?page no="540"?> 540 6 Verfahren der robusten Portfoliooptimierung nalität der Varianzen sieht vor, dass lediglich die Elemente entlang der Diagonalen der Omega-Matrix die tatsächlichen Varianzen der Wertpapiere enthalten dürfen. Die Positionen AT90 bis AV92 berücksichtigen die genannte Bedingung, da lediglich die diagonalen Elemente der zuvor ermittelten Varianz-Matrix in die neue Omega-Matrix übertragen werden dürfen. Position Inhalt Excel-Umsetzung AN90 bis AP92 Varianzen der Prognosen =AN49*MMULT(AN75: AW77; MMULT(AN54: AW63; MTRANS(AN75: AW77))) AT90 Omega-Matrix =AN90 AU91 Omega-Matrix =AO91 AV92 Omega-Matrix =AP92 Tab. 68: Umsetzung in Excel Schritt 8: Berechnung der kombinierten Black-Litterman-Renditen Abb. 200: Berechnung der kombinierten Black-Litterman-Renditen Nachdem nun alle Parameter zur Bestimmung der Black-Litterman-Renditen vorliegen, können diese in Position AN97 bis AN106 gemäß Formel (6.50) (siehe Abschnitt 6.4.1.3.3) berechnet werden. Die mathematische Verknüpfung der einzelnen Matrizen und Vektoren erfordert im Gegensatz zu der Implementation in Matlab eine mehrfache Verschachtelung an MMULT()-Funktionen. Im Anschluss an die Berechnung der Black-Litterman-Renditen wird in Position AN111 bis AW120 die optimale Portfoliozusammensetzung auf Grundlage der soeben bestimmten Black-Litterman-Renditen ermittelt. Es wird dabei maßgeblich auf Formel (6.35) (siehe Ab- <?page no="541"?> 6.4 Modifikation des Modells 541 schnitt 6.4.1.3.1) zurückgegriffen und an die erwarteten Renditen des Black-Litterman-Modells angepasst. Position Inhalt Excel-Umsetzung AN97 bis AN106 Black-Litterman-Renditen =AN49*MMULT(MMULT(MMULT(AN54: AW63; MTRAN S(AN75: AW77)); MINV(AN49*MMULT(AN75: AW77; M MULT(AN54: AW63; MTRANS(AN75: AW77)))+AT90: A V92)); (AN82: AN84-MMULT(AN75: AW77; MTRANS (AN69: AW69))))+MTRANS(AN69: AW69) AN111 bis AW120 optimales Portfolio nach Black-Litterman =MMULT(MINV(AN48*AN54: AW63); AN97: AN106) Tab. 69: Umsetzung in Excel Ergänzung: Weitere Berechnungen und Darstellung der Diagramme Abb. 201: Korrelationen der einzelnen Wertpapiere Um die Hintergründe des Black-Litterman-Modells zu verstehen, ist es hilfreich, die Korrelationsstruktur der einzelnen Wertpapiere im Portfolio zu kennen. Aus diesem Grund wurden in Position AN143 bis AW152 die Korrelationen der einzelnen Wertpapiere untereinander ermittelt. Dabei wurde auf eine selbst definierte VBA- Funktion, KorrelMatrix(), zurückgegriffen. Es gilt bei der Eingabe der Formel zu beachten, dass es sich hierbei um eine Array-Formel handelt und diese daher nach der Eingabe der Formel mit STRG+SHIFT+ENTER bestätigt werden muss. Abb. 202: Bedingte Formatierung mit Farbskala <?page no="542"?> 542 6 Verfahren der robusten Portfoliooptimierung Die farbliche Abstimmung lässt sich anschließend im Reiter  Start mit der Excel- Funktion  Bedingte Formatierung realisieren. Dazu wird zunächst der gesamte Bereich AN143 bis AN152 markiert, die Funktion  Bedingte Formatierung aufgerufen und unter dem Menüpunkt  Farbskalen die » Rot-Gelb-Grün-Farbskala « ausgewählt. Position Inhalt Excel-Umsetzung AN143 bis AN152 Korrelations-Matrix =KorrelMatrix(O10: X69) AZ11 bis BL106 Balken-Diagramme siehe Beschreibung Tab. 70: Umsetzung in Excel Abb. 203: Auswahl eines Balkendiagramms Die zuvor ermittelten Parameter können grundsätzlich auf unterschiedliche Art und Weise dargestellt werden. In diesem Fall bietet sich durch die prozentualen Werte der Eingangsgrößen eine Darstellung im Rahmen eines Balkendiagramms an. Das grundsätzliche Vorgehen beschränkt sich dabei hauptsächlich auf die Auswahl und Markierung der darzustellenden Daten und die anschließende Auswahl des entsprechenden Diagramms im Reiter  Einfügen unter  Balken . 6.4.1.4.6 Umsetzung des Anwendungsbeispiels in Matlab 1 % Beispiel: Black-Litterman 2 % Datum: 01.09.2012 3 % Verfasser: Marc Schurer 45 % Verbindung zum Finanzdatenanbieter aufbauen 6 close all 7 clear all 8 connection = yahoo; 910 % Festlegen der Inputs 11 Tau = 0.2; 12 Delta = 2; 13 riskfree = 0.0225; <?page no="543"?> 6.4 Modifikation des Modells 543 In den Zeilen 6 bis 7 werden zunächst alle zuvor erstellten Grafiken und Fenster geschlossen und der Workspace mit allen verfügbaren Variablen gelöscht. Diese Maßnahme sollte zu Beginn jedes Matlab-Skriptes durchgeführt werden, um spätere Fehler im Programmablauf zu vermeiden. In Zeile 8 wird der Variable » connection « die Bezeichnung des Finanzdatenanbieters zugewiesen. Anstatt des Dienstes » yahoo « können die historischen Zeitreihen auch alternativ, entsprechende Lizenzen vorausgesetzt, von weiteren Finanzdatenanbietern wie z.B. Thomson Reuters oder Bloomberg gleichermaßen bezogen werden. Im Anschluss werden in den Zeilen 11 bis 13 die Eingangsgrößen (Inputs) für das Black-Litterman-Modell definiert. In diesem Fall wird der Variable » Tau « des Proportionalitätsfaktors 𝜏𝜏 ein Wert von 0,2 und der Variablen » Delta « des Risikoaversionsparameters 𝛾𝛾 ein Wert von 2 zugeordnet. In Zeile 13 wird zum Abschluss der Eingangsgrößen für den risikolosen Zins ein Wert von 2,25 % angenommen und der Variablen » riskfree « zugewiesen. Das Matlab-Skript wird durch die nachfolgenden Zeilen unmittelbar fortgesetzt. 14 % Festlegen der Wertpapiere des Portfolios sowie des Zeithorizonts 15 datum_von = '2004-01-03'; 16 datum_bis = '2009-12-30'; 17 T=61; 18 19 % Festlegen der Wertpapiere im Portfolio 20 ticker ={'AA','IBM','INTC','JPM','MSFT','T','CSCO','EBAY','COST', 'KFT'} 21 Market- Cap=[9.21; 226; 124.62; 141.58; 256.2; 213.16; 102.37; 60.7; 41.61; 74.30]; 22 Assets = length(ticker); In den Zeilen 15 und 16 wird der Zeithorizont festgelegt, für den die historischen Zeitreihen der einzelnen Wertpapiere im weiteren Verlauf des Skriptes bezogen werden sollen. Im angegebenen Zeitraum vom 03.01.2004 bis 30.12.2009 wird zu einem späteren Zeitpunkt die in Zeile 17 zuvor festgelegte Anzahl an Stichprobenwerten (Samples) aus der historischen Zeitreihe entnommen. In diesem Skript wird hierfür der Variable » T « ein Wert von 61 Stichprobenwerten zugewiesen. In Zeile 20 werden nach den Vorstellungen des Investors diejenigen Wertpapiere festgelegt, die das zukünftige Portfolio bilden. Die Variable » ticker « bildet durch die Aufnahme der angeführten Unternehmen einen Zeilenvektor. Der Zeilenvektor beinhaltet jedoch nicht die genauen Bezeichnungen der einzelnen Wertpapiere, sondern bezieht sich auf sogenannte Kürzel (Ticker-Codes) der Wertpapiere, die individuell durch den Finanzdatenanbieter vorgegeben werden. Mit Hilfe des Ticker-Codes der jeweiligen Wertpapiere und dem angegebenen Zeitraum kann anschließend die historische Zeitreihe für die zuvor festgelegten Wertpapiere aus dem Internet geladen werden. Da das Black-Litterman-Modell die impliziten Renditen auf Grundlage der aktuellen relativen Marktgewichtungen ermittelt, muss im Anschluss die tatsächliche Marktkapitalisierung der einzelnen Wertpapiere des Portfolios in das Modell integriert <?page no="544"?> 544 6 Verfahren der robusten Portfoliooptimierung werden. Die Variable » MarketCap « in Zeile 21 nimmt die jeweilige Marktkapitalisierung der einzelnen Wertpapiere in Form eines Zeilenvektors auf und steht somit für die anschließende Berechnung der relativen Marktkapitalisierungen bereit. Zum Abschluss dieses Abschnitts wird nun in Zeile 22 vorbereitend die Größe der Variable » ticker « bzw. die Anzahl der Wertpapiere im Portfolio bestimmt. In diesem Fall wurde in Abhängigkeit der Elemente von Variable » ticker « der Variable » Assets « ein Wert von 10 Wertpapieren zugewiesen. 23 % Ermittlung Marktgewichte auf Grundlage der Marktkapitalisierung 24 for i=1: length(ticker) 25 CapWeights(i,1)=MarketCap(i)/ sum(MarketCap) 26 End Auf Grundlage der in Zeile 21 festgelegten Marktkapitalisierung der einzelnen Wertpapiere des Portfolios und der in Zeile 22 ermittelten Anzahl der Wertpapiere wird nun in den Zeilen 24 bis 26 im Rahmen einer for-Schleife für jedes einzelne Wertpapier das dazugehörige relative Marktgewicht ermittelt und im Spaltenvektor der Variable » CapWeights « abgespeichert. 27 % Ermittlung der historischen Zeitreihen 28 price=[]; 29 for i=1: length(ticker) 30 data = fetch(connection,ticker(i),'Close',datum_von,datum_bis,'m'); 31 price(: ,i)= data(1: T,2); 32 clear data; 33 End In den Zeilen 28 bis 33 werden die Schlusskurse der einzelnen Wertpapiere nun mit Hilfe einer for-Schleife für den zuvor festgelegten Zeitraum mit dem » fetch «-Befehl vom Finanzdatenanbieter Yahoo Finance bezogen und anschließend in den Workspace von Matlab übertragen. Die Variable » price « dient dabei lediglich als Zwischenspeicher, da in Zeile 31 lediglich die 2. Spalte der Variable » data « in die i-te Spalte der Variable » price « übernommen wird. Am Ende der for-Schleife wird die Variable » data « gelöscht, um beim nächsten Durchlauf der Schleife für das nächste Wertpapier erneut verwendet werden zu können. Es ergibt sich eine 10 x 61 -Matrix mit 10 Wertpapieren und jeweils 61 gestellten monatlichen „Close“-Kursen. 34 % Ermittlung der durchschnittlichen täglichen Rendite der Assets 35 for i=2: length(price) 36 for j=1: length(ticker) 37 38 Renditen(i-1,j)=log(( price(i-1,j)/ price(i,j))); 39 <?page no="545"?> 6.4 Modifikation des Modells 545 40 End 41 End Bei der Ermittlung der täglichen logarithmierten Renditen für die einzelnen Wertpapiere in den Zeilen 34 bis 41 wurde auf zweifach-verschachtelte for-Schleifen zurückgegriffen, da die Anordnung der zuvor ermittelten historischen Kurse von Matlab in umgekehrter Reihenfolge berücksichtigt wurde. In diesem Fall wurde aufgrund der umgekehrten Anordnungen der Kurse die ursprüngliche Formel zur Berechnung der log-Renditen angepasst, sodass 𝑚𝑚 𝑠𝑠 = ln ( 𝑃𝑃 𝑒𝑒 𝑃𝑃 𝑒𝑒−1 ) → ln (𝑃𝑃 𝑒𝑒−1 𝑃𝑃 𝑒𝑒 ) (6.60) Die durch Formel (6.55) bestimmte logarithmierte Rendite wird anschließend der i ten Zeile und j -ten Spalte der Variable » Renditen « zugewiesen. Es ergibt sich analog zur Variable » price « eine 10 x 61 -Matrix. Unter der Voraussetzung einer geeigneten Anordnung der einzelnen Kurse eines Wertpapiers kann auch auf die Matlab-Funktion » price2ret() « zurückgegriffen werden. 42 % Überschussrenditen 43 for i=2: length(price) 44 for j=1: length(ticker) 45 46 Ue_Renditen(i-1,j)=log(( price(i-1,j)/ price(i,j))riskfree); 47 48 End 49 End 50 CovMatrix = cov(Ue_Renditen); Da sich das Black-Litterman-Modell in der Ermittlung der unterschiedlichen Parameter maßgeblich auf die Varianz-Kovarianz-Matrix der Überschussrenditen bezieht, werden diese nun im Anschluss an die Berechnung der logarithmierten Rendite in den Zeilen 43 bis 49 berechnet. Es wird analog zu den Zeilen 35 bis 41 vorgegangen, jedoch der risikolose Zins in Form der Variable » riskfree « bei der Berechnung der Überschussrenditen berücksichtigt. Dabei werden die einzelnen Überschussrenditen jeweils der i -ten Zeile und j -ten Spalte der Variable » Ue_Renditen « zugewiesen. In Zeile 50 wird abschließend in diesem Abschnitt die Varianz-Kovarianz-Matrix mit der Matlab-Funktion » cov() « bestimmt. 51 % historischer Erwartungswert und Standardabweichung 52 MittelwerteRenditen = mean(Renditen)'; 53 Standardabweichung = std(Renditen); 54 55 % Annualisierung 56 MittelwerteRenditen = MittelwerteRenditen*12; 57 Standardabweichung = Standardabweichung*sqrt(12); 58 CovMatrix = CovMatrix*12; <?page no="546"?> 546 6 Verfahren der robusten Portfoliooptimierung In den Zeilen 52 und 53 werden auf Grundlage der zuvor bestimmten logarithmierten Renditen mit Hilfe der Matlab-Funktionen » mean() « und » std() « die erwartete Rendite und die Standardabweichung für jedes einzelne Wertpapier berechnet. Die erwartete Rendite und auch die Standardabweichung werden anschließend den Variablen » MittelwerteRendite « und » Standardabweichung «, welche einen Spaltenvektor bilden, zugewiesen. In den Zeilen 56 bis 58 werden die erwartete Rendite und die Standardabweichung eines jeden Wertpapiers und die Varianz-Kovarianz-Matrix der Überschussrenditen für die weiteren Berechnungen annualisiert und erneut ihren ursprünglichen Variablen zugewiesen. 59 % Bestimmung der Gleichgewichtsrenditen Psi 60 Psi = Delta*CovMatrix*CapWeights; In Zeile 60 werden nun die impliziten Renditen bzw. Gleichgewichtsrenditen Π der jeweiligen Wertpapiere ermittelt. Die Berechnung der impliziten Renditen und deren Implementierung folgt dabei maßgeblich Formel (6.33). 61 % Optimale Portfolio-Gewichte auf Basis von Gleichgewichtsrenditen 62 OptPort_Psi = inv(Delta*CovMatrix)*Psi; 63 64 % Optimale Portfolio-Gewichte auf Basis von historischen Renditen 65 OptPort_Hist = inv(Delta*CovMatrix)*MittelwerteRenditen; Um für einen späteren Vergleich die optimalen Portfolio-Gewichtungen auf Basis der historischen und impliziten Renditen berechnen zu können, wird in Zeile 62 Formel (6.35) zur Berechnung des optimalen Portfolios auf Grundlage der impliziten Renditen implementiert. Bei der Bestimmung des optimalen Portfolios auf Basis der historischen Renditen wird analog zu Formel (6.35) vorgegangen, jedoch anstatt der implizierten Renditen auf die historischen Renditen zurückgegriffen. 66 % Spezifikation der Einschätzungen 67 P=[0,0,0,0,0,0,0,1,0,0; 68 0,0,0,0,-1,1,0,0,0,0; 69 0,.69,0,0,0,0,.31,0,-.36,-.64]; 70 71 % Definition der subjektiven Einschätzungen (Views) 72 Q = [0.13; 0.02; 0.03]; In den Zeilen 66 bis 69 werden die absoluten und relativen Prognosen des Portfolio- Managers gemäß Abschnitt 6.4.1.3.2 spezifiziert und in Form einer 3 x 10 -Matrix der Variable » P « zugeordnet. Zeile 67 spiegelt dabei eine absolute Einschätzung, Zeile 68 eine relative Prognose und Zeile 69 eine kapitalmarktgewichtete Meinung wider. In Zeile 72 werden die subjektiven Einschätzungen der Investoren über die weitere <?page no="547"?> 6.4 Modifikation des Modells 547 Wertentwicklung der Wertpapiere quantifiziert und der Variable » Q « zugewiesen. Die Variable » Q « stellt in diesem Zusammenhang einen Spaltenvektor dar. 73 % Bestimmung von Omega mit den Varianzen der Schätzfehler 74 Pre_Omega= P*(Tau*CovMatrix)*P'; 75 76 for i=1: length(Q) 77 for j=1: length(Q) 78 if (i == j) 79 Omega (i,j)= Pre_Omega (i,j); 80 Else 81 Omega (i,j)= 0; 82 End 83 End 84 End Bei der Bestimmung der Matrix für die Schätzfehler der abgegebenen Prognosen wird in den Zeilen 74 bis 84 der Annahme von H E und L ITTERMAN (1999) gefolgt, dass sich die Varianz der Einschätzungen proportional zur Varianz der Wertpapiere verhält. Die Berechnung der Omega-Matrix greift aus diesem Grund auf Formel (6.48) aus Abschnitt 6.4.1.3.2 zurück. In Zeile 79 wird berücksichtigt, dass die Varianzen der einzelnen Prognosen lediglich entlang der Diagonalen in Form eines Elements der Matrix zugeordnet werden. In Zeile 80 wird dagegen jedem anderen Element der Matrix eine Null zugewiesen. Die Berechnungen ergeben so die 3 x 3 -Matrix Omega mit zu den Einschätzungen dazugehörigen Prognosefehlern. 85 % Bestimmung der erwarteten Renditen nach dem Black- Litterman-Modell 86 Ewr_BL = inv(inv(Tau*CovMatrix)+P'*inv(Omega)*P)*(inv(Tau*CovMatrix)*Psi+P'*inv(Omega)*Q); Nachdem nun alle Parameter zur Bestimmung der Black-Litterman-Renditen vorliegen, können in Zeile 86 gemäß Formel (6.50) aus Abschnitt 6.4.1.3.3 die erwarteten Renditen nach dem Black-Litterman-Modell berechnet werden. 87 % Berechnungen des "optimalen Portfolios" nach Black- Litterman 88 OptPort_BL = inv(Delta*CovMatrix)*Ewr_BL; Im Anschluss an die Berechnung der Black-Litterman-Renditen wird in Zeile 88 das dazugehörige optimale Portfolio ermittelt. Es wird dabei maßgeblich die Formel (6.35) aus Abschnitt 6.4.1.3.1 angewendet und an die erwarteten Renditen des Black- Litterman-Modells angepasst. <?page no="548"?> 548 6 Verfahren der robusten Portfoliooptimierung 6.4.2 Der Ansatz des Resamplings “All speculations, and even the most conservative investments, have some slight element of risk. All lines of business are more or less a gamble; marriage is a gamble; political preferment is a gamble; in fact nearly everything in life, including our very existence, is an uncertainty; yet people are not thereby discouraged from entering into any and all of these ventures. Those who look only for certainties have far to search and little to find in this world.” Henry Howard Harper aus “The Psychology of Speculation” Die in den vorangegangen Abschnitten beschriebenen Schwächen der klassischen Portfoliotheorie nach Markowitz führen zu inakzeptablen Problemen bei der praktischen Anwendung im Asset Management. Obwohl die Software-Industrie dem Asset Management inzwischen durchaus technisch ausgeklügelte Softwarelösungen für die Optimierung von Portfolios zur Verfügung stellt, zweifeln viele Portfolio-Manager häufig an deren Praxistauglichkeit. Die ausschlaggebenden Gründe hierfür spiegeln sich vorrangig in den angesprochenen Schwächen der klassischen Portfoliotheorie wider. Zu Beginn dieses Kapitels wurde festgestellt, dass optimierte Portfolios in der praktischen Anwendung oftmals äußerst sensitiv auf Veränderungen der Eingangsgrößen reagieren. Ein Hauptgrund dafür findet sich in der Behandlung der Eingangsgrößen im Rahmen des Markowitz-Algorithmus wieder. Obwohl die weitere Entwicklung der Eingangsgrößen unweigerlich einer gewissen Unsicherheit ausgesetzt ist, gehen die Eingangsgrößen als Punktschätzungen in die Portfoliooptimierung ein. Diese Tatsache führt unweigerlich dazu, dass das zuvor optimierte Portfolio bei Veränderungen der erwarteten Rendite wesentlich von dessen optimaler Zusammensetzung abweicht und sogar in gewissen Fällen äußerst außergewöhnliche Portfoliozusammensetzungen entstehen. In diesem Fall kann die Struktur des Portfolios die bevorzugte Investmentphilosophie im Hinblick auf eine angestrebte Diversifikation des Portfolios nicht nachhaltig umsetzen. Wobei gerade das Ziel der Portfoliooptimierung in der intuitiven Umsetzung der Anlagestrategie bestehen sollte. Es zeigt sich eine nahezu negative Spirale, die sich durch den kompletten Prozess der Portfoliooptimierung zieht. Die zentralen Bemühungen bei der Portfoliooptimierung sollten sich also der Frage widmen, wie die inhärente Unsicherheit in den Eingangsgrößen bei der Optimierung von Portfolios adäquat berücksichtigt und integriert werden könnte? Einige Möglichkeiten wurden bereits im Rahmen dieses Kapitels berücksichtigt, zu diesen zählten: die robusten und geschrumpften Schätzer, das Black-Litterman-Verfahren sowie das Portfolio-Resampling. Einen weiteren Ansatz zur Berücksichtigung von Unsicherheit in den Eingangsgrößen bieten die Verfahren der robusten Optimierung. Da diese Ansätze eine nicht zu unterschätzende mathematische Komplexität besitzen, wurde auf eine umfassende Darstellung im Rahmen dieses Buches verzichtet. 470 Eine weitaus einfachere und praxisorientierte Möglichkeit stellt die Einführung von Restriktionen und Nebenbedingungen dar. Hierbei begrenzt der Praktiker bei der 470 Fabozzi et al. (2007) liefert einen umfassenden Überblick über die Verfahren der robusten Optimierung. <?page no="549"?> 6.4 Modifikation des Modells 549 Portfoliooptimierung einzelne Wertpapiere oder Assetklassen auf einen zuvor festgelegten prozentualen Bereich, der entweder positive oder negative Werte annehmen kann. Je nach definierter Grenze (engl. constraint) werden Nebenbedingungen in Form von linearen Ungleichungen bzw. Gleichungen in den Prozess der Portfoliooptimierung integriert. Um die Nachhaltigkeit und Auswirkungen von Nebenbedingungen in der Portfoliooptimierung nachvollziehen zu können, soll im Folgenden ein Beispiel von M I- CHAUD (2008) aufgegriffen werden, indem es maßgeblich um den Vergleich zwischen einem optimalen Portfolio mit und ohne Nebenbedingungen geht. Die Zusammensetzung des optimalen Portfolios ohne Nebenbedingungen zeigt dabei äußerst extreme Portfolio-Anteile. Das angesprochene Portfolio enthält teilweise Positionen in Aktien und Wertpapieren, welche das zur Verfügung stehende Kapital bei weitem übersteigen und dadurch über Leerverkäufe einiger Wertpapiere finanziert werden müssen, was bei einigen Positionen im Portfolio zu negativen Portfolio-Gewichten führt. Daraus folgt, dass neben dem ökonomischen Sinn des gezeigten Portfolios auch dessen praktische Umsetzbarkeit angezweifelt werden sollte. Dennoch führte die Portfoliooptimierung ohne Nebenbedingungen zu einer maximalen monatlichen Sharpe Ratio von 0,253 und zu einer annualisierten Sharpe Ratio von 0,876. 471 Das auf der Grundlage von Nebenbedingungen optimierte Portfolio hingegen zeigte im Vergleich zum optimalen Portfolio ohne Nebenbedingungen ein weitaus diversifizierteres Portfolio mit durchweg positiven Portfolioanteilen. Die Einführung von Nebenbedingungen führte jedoch unmittelbar zu einer leicht niedrigeren maximalen monatlichen Sharpe Ratio von 0,216 bzw. annualisiert von 0,75. Mit anderen Worten bewirkt ein Investor durch die Einführung von Nebenbedingungen zwar eine Verbesserung der Portfoliozusammensetzung, muss dabei jedoch auch gleichermaßen geringe Einbußen im Hinblick auf die zu erzielende Rendite hinnehmen. Auf den ersten Blick erscheint die Einführung von Nebenbedingungen eher kontraproduktiv, auf den zweiten Blick nimmt jedoch das beschriebene Paradox eine tragende Rolle in der Optimierung von Portfolios ein. Wie in den vorherigen Abschnitten erläutert wurde, führt die klassische Optimierung eines Portfolios ohne Nebenbedingungen zu einer signifikanten Übergewichtung (Untergewichtung) der Wertpapiere und Anlageklassen, die niedrige (hohe) erwartete Renditen, negative (positive) Korrelationskoeffizienten und geringe (hohe) Varianzen aufweisen. Die Einführung von Nebenbedingungen verhindert im Allgemeinen also die systematische Über- und Unterschätzung der unterschiedlichen Wertpapiere. 472 Tab. 71 belegt die soeben erläuterten Ergebnisse nochmals im Detail. Optimales Portfolio ohne Nebenbedingungen US Bonds Euro Bonds Kanada Frankreich Deutschland Japan UK USA max. Sharpe Ratio -86,5 % 163,8 % -20,6 % 4,2 % -4,5 % 8,6 % 6,9 % 28,1 % min. Varianz -66,2 % 168,8 % -1,1 % -1,3 % 0,2 % 1,8 % 0,1 % -2,3 % 471 Vgl. Michaud (2003), S. 30 472 Vgl. ebd., S. 36 <?page no="550"?> 550 6 Verfahren der robusten Portfoliooptimierung Optimales Portfolio mit linearen Nebenbedingungen US Bonds Euro Bonds Kanada Frankreich Deutschl and Japan UK USA max. Sharpe Ratio 0,0 % 67,8 % 0,0 % 2,6 % 0,0 % 9,7 % 1,7 % 18,2 % min. Varanz 0,0 % 98,7 % 0,0 % 0,0 % 0,0 % 1,3 % 0,0 % 0,0 % Tab. 71: Vergleich optimaler Portfolios. Quelle: Vgl. Michaud (2003), S. 30 & S. 36 Der Kernpunkt der Portfolio-Resampling-Methode geht der zentralen Frage nach, ob die Effizienzkurve als solches eine Varianz besitzt? M ICHAUD (2008) stellt fest, dass die durch die Mittelwert-Varianz-Optimierung gebildete Effizienzkurve maßgeblich auf Grundlage statistisch geschätzter Parameter gebildet wird. Da es durchaus andere Schätzungen gibt, die gleichermaßen statistisch äquivalent sind, argumentiert M ICH - AUD (2008), dass die Effizienzkurve also eine Varianz besitzen muss. Um Schätzfehler und Unsicherheit der Eingangsgrößen im Prozess der Portfolioallokation zu berücksichtigen, werden auf Grundlage von Monte-Carlo-Simulationen die jeweiligen statistisch äquivalenten Effizienzkurven generiert und entsprechend der Portfolio- Resampling-Methode weiterverarbeitet. Die Portfolio-Resampling-Methode greift hierbei auf die populäre Bootstrapping-Methode zurück, bei der alle simulierten Effizienzkurven in Relation zu den ursprünglichen historischen Input-Parametern (erwartete Rendite und Varianz-Kovarianz-Matrix) stehen. Die Existenz des Bereichs einer „statistischen Äquivalenz“ begründet letztendlich die mangelnde Stabilität und Eindeutigkeit der klassischen Erwartungswert-Varianz-Optimierung. 473 Abb. 204: Monte-Carlo-Simulation der Effizienzkurven 473 Vgl. Delcourt/ Petitjean (2010), S. 2 <?page no="551"?> 6.4 Modifikation des Modells 551 Der Kernpunkt der Portfolio-Resampling-Methode liegt in der Annahme begründet, dass die Effizienzkurve eine Varianz besitzt, da die dazu notwendigen Parameter statistisch geschätzt werden. Die Methode des Portfolio-Resamplings verfolgt das Ziel, die angesprochenen Schwächen der klassischen Portfoliotheorie, zu beheben. Die Portfolio-Resampling- Methode basiert maßgeblich auf den Arbeiten von J OBSON und K ORKIE (1981) und wurde später durch M ICHAUD (2008) aufgegriffen und erweitert. Die nachfolgenden Erläuterungen orientieren sich deshalb an den Erläuterungen von M ICHAUD (2008) und F ABOZZI et. al. (2007), wobei die Prozedur des Portfolio-Resamplings zunächst Schritt für Schritt dargestellt und erläutert werden soll. Voraus- Bestimmung der erwarteten Renditen (𝜇𝜇�) und der Varianz-Kovarianzsetzungen Matrix (Σ�) auf Grundlage der gewählten historischen Datengrundlage. Schritt 1 Ziehung von T zufälligen Stichprobenwerten aus einer multivariaten Verteilung 𝑁𝑁(𝜇𝜇�, Σ � ) . Auf Grundlage der gesamten Stichprobe lassen sich im Anschluss daran, die erwartete Rendite 𝜇𝜇� 𝑖𝑖 als auch die Varianz-Kovarianz-Matrix Σ� 𝑖𝑖 individuell bestimmen. Schritt 2 Die erwartete Rendite 𝜇𝜇� 𝑖𝑖 geht anschließend zusammen mit der Varianz-Kovarianz-Matrix Σ� 𝑖𝑖 als Eingangsgrößen in die Portfoliooptimierung ein. Das gängige Optimierungsproblem nach M ARKOWITZ wird dabei zunächst nach dem globalen Minimum-Varianz-Portfolio und anschließend nach dem Maximum-Ertrags-Portfolio aufgelöst. Als Ergebnis resultieren die Standardabweichungen der einzelnen Portfolios 𝜎𝜎 𝑀𝑀𝑉𝑉𝑃𝑃 𝑖𝑖 und 𝜎𝜎 𝑀𝑀𝑑𝑑𝑃𝑃 𝑖𝑖 . Aus den beiden Standardabweichungen der Portfolios ergibt sich so eine Spanne auf der Effizienzkurve, welche anschließend gleichmäßig in M Punkte (𝑚𝑚 = 1, … , 𝑀𝑀) unterteilt wird. Um die gesamte Effizienzkurve abbilden zu können, wird anschließend für jede Standardabweichung das entsprechende Maximum-Ertrag-Portfolio in Verbindung mit den einzelnen Portfolio-Gewichten ermittelt. Schritt 3 Die Portfolio-Gewichte entlang der Effizienzkurve sollten für die weitere Verwendung abgespeichert werden. Schritt 4 N Wiederholungen der Schritte 1 bis 3 Schritt 5 Nachdem für jede zufällige Stichprobe mit T Beobachtungswerten eine entsprechende Effizienzkurve mit den dazugehörigen Portfolio-Gewichten bestimmt wurde, ergibt sich die Zusammensetzung der Resampled-Effizienzkurve aus dem jeweiligen Durchschnitt aller ranggleichen Portfolio-Gewichte entlang der unterschiedlichen Effizienzkurven. Demnach ergeben sich die einzelnen Portfolios auf der Resampled-Effizienzkurve jeweils aus den durchschnittlichen ranggleichen Portfolio-Gewichten der verschiedenen simulierten Effizienzkurven für ein jeweils gegebenes Niveau an Portfoliorendite. Die Methodik bei der Bestimmung der Resampled-Effizienzkurve garantiert auf diese Weise, dass nach Bildung der durchschnittlichen Portfolio-Gewichte der Resampled-Effizienzkurve die jeweils unterschiedlichen Portfolio-Gewichte stets <?page no="552"?> 552 6 Verfahren der robusten Portfoliooptimierung einhundert Prozent ergeben. Es folgt die Erkenntnis, dass die Methode des Portfolio- Resamplings zwar mathematisch fundiert ist, jedoch ohne jegliche ökonomische Begründung auskommt. 474 Nachdem die erläuterten Schritte durchgeführt wurden, kann die Resampled-Effizienzkurve in Verbindung mit der Markowitz-Effizienzkurve in Abb. 205 dargestellt werden. Die Resampled-Effizienzkurve resultiert aus der Durchführung mehrerer Durchläufe einer Monte-Carlo-Simulation und der anschließenden Bildung eines Durchschnitts über alle ranggleichen Portfolios. Abb. 205: Markowitz- und Resampled-Effizienzkurve im Vergleich Durch die Bildung der durchschnittlichen Portfolio-Gewichte aller ranggleichen Portfolios entlang der unterschiedlichen simulierten Effizienzkurven und der ursprünglichen historischen Eingangsgrößen (𝜇𝜇�) und (Σ�) erscheint die neue Resampled-Effizienzkurve rechts unterhalb der klassischen Effizienzkurve nach Markowitz. Der Grund hierfür liegt darin, dass die einzelnen Portfolio-Gewichte 𝑤𝑤 1,𝑖𝑖 , … , 𝑤𝑤 𝑀𝑀,𝑖𝑖 einer simulierten Effizienzkurve zwar effizient gegenüber der entsprechenden Schätzung 𝜇𝜇� 𝑖𝑖 bzw. Σ� 𝑖𝑖 sind, jedoch ineffizient gegenüber der ursprünglichen historischen Schätzung 𝜇𝜇� bzw. Σ� . 475 Vor diesem Hintergrund zeigt sich, dass ein auf der Grundlage des Portfolio-Resamplings ermitteltes optimales Portfolio per Definition nicht mehr effizient ist. 476 474 Vgl. Jiao (2003), S. 38 475 Vgl. Fabozzi et al. (2007), S. 365 476 Vgl. Jiao (2003), S. 38 <?page no="553"?> 6.5 Schlussbetrachtung 553 Der maßgebende Vorteil der Portfolio-Resampling-Methode findet sich hauptsächlich in der intuitiven Umsetzung der Portfolio-Allokation, welche insgesamt eindeutig weniger sensitiv auf die Schätzfehler der Eingangsgrößen reagiert. 477 Da im Rahmen des Portfolio-Resamplings eindeutig eine höhere Anzahl an Wertpapieren in die Portfoliooptimierung aufgenommen wird, lässt sich eine wesentlich höhere Diversifikation der Portfolios erreichen. Abb. 206 nimmt diesen Zusammenhang auf und zeigt im Vergleich zur klassischen Portfoliooptimierung eindeutig weniger plötzliche Verschiebungen in der Portfoliostruktur der einzelnen Wertpapiere. 478 Die Portfoliozusammensetzung der Resampled-Effizienzkurve zeigt sich insgesamt diversifizierter und weniger riskant. Die stabilen Portfolioallokationen ergeben sich als Folge der Bildung der durchschnittlichen Portfoliogewichte, sodass geringe Veränderungen in den Eingangsgrößen nunmehr lediglich zu geringen Veränderungen der optimierten Portfolios führen können. 479 Abb. 206: Zusammensetzung des Portfolios 6.5 Schlussbetrachtung Nachdem in den vorherigen Kapiteln die modellgestützte effiziente Abwägung von Chancen und Risiken ausführlich behandelt wurde, widmete sich dieses Kapitel dagegen schwerpunktmäßig der zentralen Problematik des Portfolio Managements im Umgang mit der Unsicherheit und stellte dementsprechende Lösungsansätze vor. Zu 477 Vgl. Delcourt/ Petitjean (2010), S. 11 478 Vgl. Jiao (2003), S. 43 479 Vgl. Raj (2005), S. 10 <?page no="554"?> 554 6 Verfahren der robusten Portfoliooptimierung Beginn dieses Kapitels wurde gezielt auf die Schwächen der modernen Portfoliotheorie hingewiesen. Es zeigte sich beispielsweise, dass der Eintritt der erwarteten Rendite eines Wertpapiers unweigerlich einer gewissen Unsicherheit ausgesetzt ist und deshalb in Form einer Zufallsvariable als statistische Schätzung in die Portfoliooptimierung einfließt. Da die erläuterten Schwächen jedoch erhebliche Auswirkungen auf die Zusammensetzung von Portfolios und deren Rendite-Risiko-Profile haben, wurden diese als Motivationsgrundlage für die Darstellung und Erläuterung von robusten Portfoliooptimierungsmodellen herangezogen. Das maßgebliche Ziel robuster Portfolioansätze ist es im Allgemeinen den unsicheren Ausgang zukünftiger Entwicklungen schon bei deren Berechnung unmittelbar zu berücksichtigen. Die Verbesserung der Prognosegüte stellt deshalb einen möglichen Ansatzpunkt zahlreicher Konzepte dar. Allgemeinhin versuchen die in diesem Kapitel dargestellten Schätzverfahren, durch die anteilige Glättung, gezielte Untergewichtung oder idealerweise vollständige Eliminierung extremer Ausreißer in den Stichproben eine weitaus realistischere und intuitivere Prognose zu ermöglichen. Mehrere empirische Studien bestätigten den Vorteil dementsprechender Schätzverfahren. Je nach Anwendungsfall und vorliegender Datengrundlage bieten die erläuterten Prognoseverfahren einen Vorteil bzw. Mehrwert, wenn dieser unter Umständen auch gering ausfallen mag. Eine Alternative zu der unmittelbaren Verbesserung der Prognoseverfahren stellt die direkte Berücksichtigung der Unsicherheit bei der Berechnung von Portfoliomodellen dar. Die Portfolio-Resampling-Methode liefert in diesem Zusammenhang dem Portfolio-Manager eine intuitive Methodik zur Strukturierung stabiler Portfolioallokationen. Die größten Vorteile dieser Methode zeigen sich einerseits in der ausgewogenen Portfoliostruktur über die gesamte Effizienzkurve hinweg und andererseits durch die Gewährleistung einer ausreichenden Diversifikation im risikoreicheren Teil der Effizienzkurve. Kommt ein Portfolio-Manager jedoch zu einer anderen Einschätzung, was die zukünftige Wertentwicklung eines Wertpapiers betrifft als dessen statistische Prognose, erlaubt das Black-Litterman-Modell die Einbindung und Berücksichtigung subjektiver Informationen und Einschätzungen in die Portfoliooptimierung und Strukturierung eines Portfolios. Aus diesem Grund besitzt das Black-Litterman-Modell eine signifikante praktische Relevanz im heutigen quantitativen Asset-Management. 6.6 Zusammenfassung  Aufgrund der Unsicherheit zukünftiger Entwicklungen entspricht die erwartete Rendite eines Wertpapiers einer Zufallsvariable, die auf Grundlage von vergangenen Ereignissen aus historischen Schlusskursen geschätzt werden muss.  Da sich die zukünftigen Entwicklungen unter Umständen von vergangenen Abläufen wesentlich unterscheiden, unterliegt die Schätzung der erwarteten Rendite einer Schätzfehlerproblematik, die unweigerlich dazu führt, dass sich die Struktur eines Portfolios im Zeitablauf von der Zusammensetzung des ursprünglichen optimalen Portfolios entfernen kann.  Die Bezeichnung „robust“ beschreibt im Allgemeinen eine wichtige Eigenschaft, die mit den Begriffen stabil, unempfindlich und widerstandsfähig beschrieben werden kann. <?page no="555"?> 6.6 Zusammenfassung 555  Die robuste Portfoliooptimierung bietet im Gegensatz zu den klassischen Portfolio-Selection-Modellen den Vorteil deutlich weniger sensitiv auf Abweichungen der prognostizierten erwarteten Renditen zu reagieren.  Das Ausmaß der Schätzfehler auf die Bestandteile eines Portfolios und damit die Performanceattribution ist maßgeblich von der Risikoaversion eines Kapitalanlegers abhängig.  Die Schätzung der erwarteten Rendite weicht oftmals sehr stark von ihrem tatsächlichen Wert ab und diese wird dementsprechend über- oder unterschätzt. Es steht fest, dass selbst kleine Abweichungen in den Schätzungen der erwarteten Renditen oder Risiken zu erheblichen Unterschieden in der Allokation (Struktur) „optimaler“ Portfolios führen können.  Die Schätzfehler in den Kovarianzen haben im Vergleich zu den Schätzfehlern in den Varianzen eine nahezu um die Hälfte geringere Auswirkung.  Die erläuterten Schätzfehler führen im Rahmen der Portfoliooptimierung dazu, dass Wertpapiere mit höheren erwarteten Renditen und niedrigeren Standardabweichungen übergewichtet, und umgekehrt Wertpapiere mit niedrigen erwarteten Renditen und hohen Standardabweichungen im Optimierungsprozess untergewichtet werden.  Die Maximum-Likelihood-Methode verfolgt als parametrisches Schätzverfahren grundsätzlich das Ziel, genau denjenigen Parameter zu finden, der die Wahrscheinlichkeit maximiert, mit welcher der gesuchte Parameter in der untersuchten Stichprobenverteilung enthalten ist.  Die M-Schätzer berücksichtigen bei ihrer Berechnung eventuelle Schätzfehler durch die gezielte Untergewichtung von Stichprobenelementen, die von ihren übrigen Stichprobenwerten positiv wie auch negativ abweichen. Je stärker die Abweichungen ausfallen, umso geringer geht der Stichprobenwert in die Berechnung des M-Schätzers mit ein.  Die geschrumpften Schätzer verfolgen mit der Einführung eines Priors maßgeblich die Grundsätze der Bayes’schen Statistik. Es wird dabei grundsätzlich eine Verbesserung des Schätzverfahrens angestrebt, indem die mit Unsicherheit behafteten Schätzungen an einen festgelegten Prior angepasst werden.  Je größer der Abstand zwischen den einzelnen Renditen und der durchschnittlichen Rendite aller Wertpapiere ist, umso mehr werden die einzelnen Stichprobenwerte der einzelnen Renditen in Richtung der durchschnittlichen Rendite aller Wertpapiere geschrumpft.  Der James-Stein-Schätzer passt die einzelnen Stichprobenwerte auf Grundlage des langfristigen Mittels über alle Assetklassen und Wertpapiere eines Portfolios hinweg an. Der Grad der Anpassung wird maßgeblich durch den Faktor φ bestimmt.  Die Höhe des Schrumpfungsfaktors und somit die Schrumpfungsintensität ist von der gesamten Anzahl an Beobachtungen im Schätzzeitraum, der Anzahl der Wertpapiere bzw. Assetklassen, der Varianz-Kovarianz-Matrix sowie dem Abstand zwischen den individuellen durchschnittlichen historischen Renditen der einzelnen Wertpapiere bzw. Assetklassen und der durchschnittlichen Rendite aller Wertpapiere bzw. Assetklassen abhängig.  Die Intensität der Schrumpfung steigt bei einer geringen Anzahl an Beobachtungswerten im Schätzzeitraum einer Stichprobe an und nimmt bei einer Erhöhung der Beobachtungswerte ab. <?page no="556"?> 556 6 Verfahren der robusten Portfoliooptimierung  Der Ledoit-Wolf-Schätzer kompensiert die positiven Abweichungen der Varianz- Kovarianz-Matrix durch eine nach unten gerichtete Korrektur der Matrixelemente, sowie bei negativen Abweichungen durch eine entsprechend nach oben gerichtete Anpassung der Varianz-Kovarianz-Matrix.  Im Mittelpunkt eines aktiven Portfolio Managements steht das Research, bei dem Analysten alle wertbeeinflussenden Informationen aufbereiten und zu einer Prognoseeinschätzung in absoluter oder relativer Form aggregieren. Dieser aufwändige und zeitintensive Prozess bildet die Grundlage für die Identifikation und Auswahl geeigneter Anlagetitel.  Das Black-Litterman-Modell erlaubt die Berücksichtigung individueller Prognosen und Einschätzungen bei der Durchführung der Portfoliooptimierung bzw. Asset Allocation.  Das Black-Litterman-Modell greift bei dessen Berechnung auf den Satz von Bayes, das Prinzip der statistischen Stichprobe und die zentrale Annahme einer mittelstarken Markteffizienz zurück.  Aus ökonomischer Sicht bilden die impliziten Gleichgewichtsrenditen die allgemeine Marktmeinung ab.  Im ersten Schritt des Black-Litterman-Modells werden die impliziten Gleichgewichtsrenditen in Form eines Referenzportfolios aus der „Umkehroptimierung“ ermittelt. Die Grundlage zur Bildung des Referenzportfolios stellt entweder eine Benchmark oder alternativ eine durch den Investor festgelegte strategische Asset Allocation dar.  Das zuvor gebildete Referenzportfolio stellt die Ausgangslage für die Durchführung des zweiten Schritts des Black-Litterman-Modells dar. Hierbei werden die einzelnen subjektiven Prognosen zunächst quantifiziert. Im Rahmen des Bayes- Ansatzes werden die Schätzfehler und damit die Prognosegüte der individuellen Einschätzungen in Form einer Diagonalmatrix berücksichtigt.  Im dritten Schritt des Black-Litterman-Modells kommt es zur Kombination bzw. „Vermischung“ der einzelnen subjektiven Einschätzungen mit den ermittelten impliziten Renditen des Referenzbzw. Ausgangsportfolios. Aus diesem Prozess resultieren die Black-Litterman-Renditen.  Im vierten Schritt des Black-Litterman-Modells wird abschließend mit Hilfe des Erwartungswert-Varianz-Ansatzes und der Black-Litterman-Renditen die Portfoliooptimierung erneut durchgeführt.  In diesem Fall spiegelt ein niedriges Tau τ ein hohes Vertrauen des Portfolio-Managers bzw. ein hohes Tau ein niedriges Vertrauen gegenüber dem Referenzportfolio wider.  In der Regel quantifiziert der Parameter γ das Maß, bei welchem ein Investor bereit ist, für eine Verringerung des Risikos auf eine gegebene erwartete Rendite zu verzichten.  Der Kernpunkt der Portfolio-Resampling-Methode liegt in der Annahme, dass die Effizienzkurve eine Varianz besitzt, da die dazu notwendigen Parameter statistisch geschätzt werden.  Die Resampled-Effizienzkurve resultiert aus der Durchführung mehrerer Durchläufe einer Monte-Carlo-Simulation und der anschließenden Bildung eines Durchschnitts über alle ranggleichen Portfolios. <?page no="557"?> 6.7 Fragen zu Kapitel 6 557 6.7 Fragen zu Kapitel 6 Frage (1) Das Portfolio Management unterliegt der grundlegenden Problematik, dass der Eintritt von Prognosen jederzeit mit Unsicherheit behaftet ist, und deshalb unweigerlich mit Schätz- und Prognosefehlern umgegangen werden muss.  wahr  falsch Frage (2) Da das Portfolio-Selection-Modell nicht besonders empfindlich auf die Abweichungen zwischen prognostizierten und tatsächlich eingetroffenen Kenngrößen reagiert, kommt es stets zur Auswahl von optimalen Portfolios.  wahr  falsch Frage (3) Die Sensitivität des Portfolio-Selection-Modells hat von einer zu niedrigen Rendite bis hin zu einer Überschreitung der Risikovorgaben sehr weitreichende Auswirkungen.  wahr  falsch Frage (4) Die Methoden der robusten Portfoliooptimierung ergeben sich aus Ansätzen, die die zugrundeliegende Unsicherheit in unterschiedlicher Art und Weise schon vor oder während der Portfoliooptimierung berücksichtigen.  wahr  falsch Frage (5) Die Schätzfehler in den Kovarianzen haben im Vergleich zu den Schätzfehlern in den Varianzen eine nahezu um die Hälfte größere Auswirkung.  wahr  falsch Frage (6) Eine Möglichkeit, die Güte eines Schätzers zu erhöhen, besteht in der Erhöhung der Qualität der Beobachtungen. Eine Verbesserung kann entweder durch  die Verkürzung des gesamten Schätzzeitraums  oder durch die Unterteilung des Schätzzeitraums in kürzere Intervalle erreicht werden.  wahr  falsch Frage (7) Eine Schätzfunktion stellt eine mathematische Darstellung der formalen Vorgehensweise für die Bestimmung eines Schätzwertes aus den Stichprobenergebnissen dar.  wahr  falsch <?page no="558"?> 558 6 Verfahren der robusten Portfoliooptimierung Frage (8) Bei der Schätzung eines unbekannten Parameters ϑ mit Hilfe des Maximum- Likelihood-Schätzers, wird dieser so gewählt, dass die beobachtete Stichprobe für deren Verteilung mit diesem Parameter am unwahrscheinlichsten ist.  wahr  falsch Frage (9) Der Ansatz des M-Schätzers verfolgt das grundlegende Ziel, den Einfluss extremer Werte bei der Bestimmung eines Lagemaßes zu verringern. Die Einflussfunktion IF beschreibt in diesem Zusammenhang die Sensitivität eines M- Schätzers, da die Definition einer Einflussfunktion je nach Formulierung bewirkt, dass Ausreißer nur in begrenztem Maße Implikationen auf den Schätzwert ausüben können.  wahr  falsch Frage (10) Die geschrumpften Schätzer berücksichtigen die Prognoseunsicherheit im Rahmen der Portfoliooptimierung durch die direkte Anpassung der Schätzwerte auf Grundlage der Bayes’schen Statistik.  wahr  falsch Frage (11) Die geschrumpften Schätzer untergliedern sich wie folgt: [1] Schätzer auf der Grundlage der Schrumpfung des Erwartungswerts der Wertpapierrenditen [2] Schätzer auf der Grundlage der Schrumpfung der Kovarianz-Matrix der Wertpapierrenditen [3] Schätzer auf der Grundlage der direkten Schrumpfung der Portfolio-Gewichte  wahr  falsch Frage (12) Die Methodik des James-Stein-Schätzers veranlasst eine Anpassung der einzelnen Stichprobenwerte an den durchschnittlichen Mittelwert der Renditen über alle Wertpapiere (engl. grand mean) hinweg. Diese Methodik der Schrumpfung zeichnet sich in Form einer Glättung der einzelnen Stichprobenwerte ab und verhindert dadurch extreme Werte in einer Stichprobe.  wahr  falsch Frage (13) Der James-Stein-Schätzer ist wie folgt definiert: 𝜇𝜇� 𝐽𝐽𝑆𝑆 = (1 − 𝜑𝜑)𝜇𝜇� + 𝜑𝜑 − ( 𝜇𝜇 𝑑𝑑 𝜏𝜏) mit 𝜇𝜇� = [𝑚𝑚̅ 𝑖𝑖 … 𝑚𝑚̅ 𝑁𝑁 ]  wahr  falsch <?page no="559"?> 6.7 Fragen zu Kapitel 6 559 Frage (14) Im Gegensatz zum Stichprobenmittelwert besitzt der James-Stein-Schätzer einen weitaus größeren quadratischen Verlust.  wahr  falsch Frage (15) Bei der Anwendung des JS-Schätzers kann beobachtet werden, dass der Grad der Schrumpfung bei einer geringen Anzahl an Beobachtungswerten im Schätzzeitraum einer Stichprobe ansteigt und sich bei einer Erhöhung der Beobachtungswerte gegenteilig entwickelt.  wahr  falsch Frage (16) Eine zu geringe Anzahl der Variablen (Wertpapiere) im Vergleich zu den Beobachtungen führt zum Zusammenbruch des James-Stein-Schätzers.  wahr  falsch Frage (17) Der Ledoit-Wolf-Schätzer bewirkt durch die Anpassung der außerordentlichen Stichprobenwerte der Varianz-Kovarianz-Matrix in Richtung des zentralen Wertes einer Stichprobe eine systematische Reduzierung der Schätzfehler. Da sich im Gegensatz zu den erwarteten Renditen die Anzahl der Kovarianzen in Abhängigkeit von der Anzahl der Wertpapiere quadratisch verhält, gewinnt die Bestimmung der Kovarianz-Matrix signifikant an Bedeutung.  wahr  falsch Frage (18) Die drei zentralen Komponenten des Ledoit-Wolf-Verfahrens sind: [1] Varianz-Kovarianz-Matrix aus der Stichprobe ohne feste Struktur [2] Proportionalitätsfaktor Gamma [3] Kovarianz-Matrix mit einer festen Struktur  wahr  falsch Frage (19) Das Black-Litterman-Modell erlaubt die Berücksichtigung individueller Prognosemeinungen in Abhängigkeit von impliziten Gleichgewichtsrenditen bei der Allokation eines Portfolios.  wahr  falsch Frage (20) Das Black-Litterman-Modell besteht aus drei Säulen: [1] der Annahme einer gültigen Markteffizienz [2] der Arbitrage Price Theory [3] dem Satz von Bayes  wahr  falsch <?page no="560"?> 560 6 Verfahren der robusten Portfoliooptimierung Frage (21) Die Bestimmung eines optimalen Portfolios erfolgt nach dem Black-Litterman- Modell grundsätzlich in vier wesentlichen Schritten: [1] Berechnung der impliziten Renditen für ein Ausgangsportfolio [2] Quantifizierung der subjektiven Renditeprognosen [3] Ermittlung der Black-Litterman-Renditen [4] Berechnung der optimalen Asset-Gewichtung  wahr  falsch Frage (22) Die im Black-Litterman-Modell enthaltenen implizierten Referenzbzw. Gleichgewichtsrenditen der einzelnen Wertpapiere werden auf Grundlage der einzelnen Marktkapitalisierung durch das Verfahren der sogenannten Umkehroptimierung (engl. reverse optimization) bestimmt.  wahr  falsch Frage (23) Der Risikoaversionsparameter γ quantifiziert im Rahmen des Black-Litterman- Modells die Höhe, bei welcher ein Investor bereit ist, für eine Verringerung des Risikos auf eine gegebene erwartete Rendite, zu verzichten.  wahr  falsch Frage (24) Die Methode des Portfolio-Resamplings basiert maßgeblich auf der Durchführung mehrfacher Monte-Carlo-Simlationen.  wahr  falsch Frage (25) Der maßgebende Nachteil der Portfolio-Resampling-Methode findet sich in der aufwändigen Umsetzung der Portfolio-Allokation, welche insgesamt nur teilweise weniger sensitiv auf die Schätzfehler der Eingangsgrößen reagiert.  wahr  falsch <?page no="561"?> Literaturverzeichnis zu Kapitel 6 Albrecht, P. (2003). Risk Measures. Mannheim. Amenc, N., & Le Sourd, V. (2003). 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Passau. <?page no="567"?> Inhaltsübersicht Kapitel 7 7.1 Der Performance-Begriff ............................................................................................569 7.2 Absolute Performancemaße .......................................................................................572 7.3 Relative Performancemaße ........................................................................................577 7.4 Schlussbetrachtung ......................................................................................................582 7.5 Fragen zu Kapitel 7 ......................................................................................................582 Literaturverzeichnis zu Kapitel 7 ...................................................................................... 584 <?page no="568"?> 7 Performance-Messung Im letzten Kapitel dieses Buches sollen abschließend einige Kennzahlen, die in den vorherigen Kapiteln schon vorgestellt wurden, im Rahmen der Performance-Messung kurz wiederholt und zusammengefasst werden. Im ersten Abschnitt dieses Kapitels möchten wir dem Leser zunächst einleitend das Bewusstsein für den angelsächsischen bzw. angloamerikanischen Performancebegriff als solchen schärfen. Was verbirgt sich hinter den Begriffen Performance-Messung und Performanceanalyse? In den zwei Abschnitten 7.2 und 7.3 möchten wir dem Leser die absoluten und relativen Performancemaße des Portfolio Managements noch einmal kurz vorstellen, definieren sowie zielführende Verweise auf die einzelnen Kapitel geben, in denen der Leser die kurz definierten Performancemaße in einem vollständigen Kontext erneut nachvollziehen kann. Abschnitt 7.4 rundet die Ausführungen zu Kapitel 1 mit einer Schlussbetrachtung der Performancemaße ab. Am Ende des Kapitels findet der interessierte Leser wie gewohnt einen Fragenkatalog zu den Inhalten dieses Kapitels, um das Selbststudium der zugrundeliegenden Kennzahlen ein wenig zu erleichtern. Im Rahmen des vorliegenden Kapitels werden zusammenfassend die folgenden zentralen Fragestellungen erläutert:  Was ist eine Performance-Analyse und wie unterscheidet diese sich von der Performance-Messung?  Was ist ein absolutes Performance-Maß und wo kommt es im Portfolio Management zum Einsatz?  Wie definieren sich relative Performance-Maße und in welchen Teilbereichen werden diese eingesetzt? <?page no="569"?> 7.1 Der Performance-Begriff 569 7.1 Der Performance-Begriff “You can’t manage what you can’t measure.“ William R. Hewlett - Mitbegründer des US-amerikanischen Technologiekonzerns Hewlett-Packard (*1913, †2001) Quelle: picture alliance / AP Die Performanceanalyse gliedert sich in den letzten Schritt des Investmentprozesses ein und umfasst die Messung, Analyse und Kontrolle des Anlageerfolgs von einzelnen Wertpapieren und gesamten Portfolios. Eine regelmäßig durchgeführte Performanceanalyse trägt unmittelbar zu einer funktionsfähigen Steuerung und Optimierung des gesamten Investmentprozesses bei. 480 Im Rahmen von Performanceanalysen wird grundsätzlich die Leistungsfähigkeit des Portfolio Managements durch die Bildung von absoluten und relativen Kennzahlen beurteilt. Die Erwirtschaftung überragender Anlageergebnisse durch die Übernahme kalkulierbarer Risiken ist das höchste Ziel der professionellen Vermögensverwaltung und des Portfolio Managements. Dieses Ziel gilt für Portfolio-Manager privater wie auch institutioneller Vermögen gleichermaßen. 481 Doch auf welche Art und Weise lässt sich der Anlageerfolg eines Portfolio-Managers am besten quantifizieren? Zimmermann (1992) führt in diesem Zusammenhang sechs Gründe für die notwendige Durchführung der Performanceanalyse an 482 :  Wachstum des verwalteten Vermögens  Institutionalisierung des Investmentmanagements  Zunahme der leistungsorientierten Vergütungen (engl. performance-fees) für Leistungen des Portfolio Managements  Ansteigende Komplexität der zur Verfügung stehenden Anlageinstrumente  Verfügbarkeit indexierter Anlageformen trägt zur zunehmenden Unterscheidung von aktiv und passiv erzielten Anlageergebnissen bei  Wissenschaftliches Interesse, um Rückschlüsse über die tatsächliche Effizienz von Kapitalmärkten zu ziehen. Bis zum Beginn der 1990er Jahre gab es keine einheitlichen Standards, an denen sich Investmentgesellschaften, Vermögensverwaltungen und Banken orientieren hätten können. Im Laufe der Zeit erkannte die Finanzbranche jedoch die Bedeutung und 480 Vgl. Poddig et al. (2009), S. 597 481 Vgl. Garz/ Günther/ Moriabadi (2006), S. 325 482 Vgl. Steiner/ Bruns (2007), S. 584 <?page no="570"?> 570 7 Performance-Messung Notwendigkeit einer zielgerichteten Performance-Analyse, wonach sich mehrere Gesellschaften und Institute zunehmend für die Entwicklung, qualitative Verbesserung und Durchsetzung von standardisierten Performance-Messungen einsetzten. Zum einen ist hierbei die Assocation for Investment Management und Research (AIMR) und zum anderen das Institut des Chartered Financial Analyst (CFA) zu nennen. Im Jahr 1993 hat die AIMR erstmals entsprechende Richtlinien veröffentlicht, die an die Vermögensverwalter jedoch nur minimale Anforderungen stellten, die Performance Presentation Standards (PPS). Einige Jahre später wurden die PPS um weitere ethische Anforderungen ergänzt, sodass diese mit verbindlichen Zusagen über die Einhaltung der Global Investment Performance Standards (GIPS) globale Anerkennung fanden. 483 Der Begriff der Performance-Analyse umfasst grundsätzlich unterschiedliche Aufgaben. Die Performanceanalyse verfolgt das grundlegende Ziel,  den Anlageerfolg zu messen und in den angestrebten Zielen zu vergleichen (Performance-Messung) und  die erreichte Performance nach ihren Ursachen aufzuschlüsseln (Performance- Attribution), beispielsweise also zu unterscheiden zwischen der Timing- und der Selektionsfähigkeit des Managements. 484 Die aufgelisteten Aufgaben motivieren die Untergliederung der Performance-Analyse in zwei Teilbereiche:  die Performance-Messung und  die Performance-Attribution. Abb. 207 zeigt die grafische Unterteilung der Performanceanalyse in Form eines Diagramms. Abb. 207: Aufgaben der Performanceanalyse Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Bruns/ Meyer-Bullerdiek (2008), S. 363 483 Vgl. Spremann (2008), S. 338 484 Siehe hierzu Kleeberg/ Schlenger (1999) Performanceanalyse Performancemessung Performanceattribution Absolute Kennzahlen Relative Kennzahlen Timing Selektion <?page no="571"?> 7.1 Der Performance-Begriff 571 Die Verwendung des Begriffes Performanceanalyse unterscheidet sich in der Fachliteratur und der Anlagepraxis. Der im angelsächsischen Sprachgebrauch verwendete Begriff „Performance“ wird oftmals mit der Bezeichnung Leistung bzw. Leistungsfähigkeit übersetzt, was im weiteren Sinne dem Renditebegriff bzw. Vermögenszuwachs entspricht. Da für eine aussagekräftige Beurteilung der erzielten Portfolioleistung neben der realisierten Rendite weitere Kriterien in die Beurteilung miteinfließen sollten, ist es nicht zweckmäßig, die Auswahl geeigneter Anlagetitel alleinig aufgrund ihrer historischen Rendite bzw. der erwarteten Rendite vorzunehmen. Es ist daher durchaus sinnvoll, die Performance eines Portfolios als risikoadjustierte Rendite zu bestimmen. In diesem Sinne kann die Performance eines Wertpapiers oder Portfolios als Überschuss der realisierten Portfoliorendite über die Benchmarkrendite interpretiert werden, wobei das resultierende Ergebnis durch Division eines vergleichbaren Risikomaßes standardisiert wird. 485 In der Praxis greifen Portfolio-Manager, je nach Asset Allocation ihrer verwalteten Portfolios, häufig auf die in Tab. 72 dargestellten Börsenindizes als Benchmarks zurück. Bezeichnung Index Aktien Global Morgan Stanley Capital International (MSCI) World Aktien USA Dow Jones Industrial Average, S&P, Russel 2000 Aktien Europa MSCI Europe, DJ STOXX, DJ EUROSTOXX Aktien Asien MSCI Asia, Nikkei 225, HengSeng Aktien Deutschland DAX 30, MDAX, SDAX, TECDAX Anleihen Global J.P. Morgan Government Bond Index World Anleihen USA J.P. Morgan Government Bond Index US Anleihen Europa J.P. Morgan Government Bond Index EMU Anleihen Asien J.P. Morgan Government Bond Index ASIA Anleihen Deutschland Deutscher Rentenindex (REXP), Deutscher Pfandbriefindex (PEX) Rohstoffe Commodity Research Bureau Index (CRB), Goldman Sachs Commodity Index (GSCI) Tab. 72: Benchmark-Indizes Quelle: Eigene Darstellung in Anlehnung an Steiner/ Bruns (2007), S. 363 Je nach zugrunde gelegter Anlagestrategie empfiehlt es sich, für eine aussagekräftige Performancebeurteilung eine geeignete Benchmark festzulegen. Die Benchmark sollte stets so gewählt sein, dass diese idealerweise denselben quantitativen und qualitativen Anlagerestriktionen entspricht wie die zu analysierenden Portfolio-Manager. In diesem Fall zeichnet sich eine geeignete Benchmark als eine real erwerbbare als auch hinreichend diversifizierte Anlagealternative zur Abbildung des zugrunde gelegten Anlageuniversums aus. In der Praxis werden in der Regel beliebte Börsenindizes als Benchmarks herangezogen (vgl. Tab. 72), die aufgrund einer angestrebten aussagekräftigen Performance-Messung auch als Performanceindizes vorliegen müssen. 486 Für eine fundierte Performancebeurteilung von Wertpapieren und 485 Vgl. Steiner/ Bruns (2007), S. 586 486 Vgl. Wittrock (2002) bzw. Sharpe (1992) sowie Wittrock (2000), S. 55 ff. <?page no="572"?> 572 7 Performance-Messung Portfolios muss die festgelegte Benchmark einer Reihe von Anforderungen genügen, wie z.B.  Risikoäquivalenz,  Restriktionsäquivalenz,  Liquiditätsäquivalenz,  Transaktionskostenäquivalenz, sowie  Beobachtbarkeit. 487 Aus dem eindimensionalen Vergleich auf Grundlage der historischen bzw. der erwarteten Renditen resultieren keine ausreichenden Informationen, die eine aussagekräftige Beurteilung der Wertentwicklung einer Anlagestrategie zulassen. Aus diesem Grund tritt die simultane Betrachtung der beiden Kennzahlen Rendite und Risiko in den Mittelpunkt der Bemühungen bei der Performanceanalyse von Wertpapierportfolios. 488 7.2 Absolute Performancemaße “I care not what others think of what I do, but I care very much about what I think of what I do: That is character! ” Theodore Roosevelt - 26. Präsident der Vereinigten Staaten von Amerika (*1858, †1919) Quelle: Public Domain Bei den absoluten oder einfachen Performancemaßen handelt es sich um Kennzahlen, die die Bewertung eines Portfolios in Bezug auf das zu tragende Risiko oder die zu erzielende Rendite ohne Berücksichtigung eines gegebenen Referenzwertes ermöglichen. Die dargestellten absoluten Performancemaße lassen sich entweder auf der Grundlage absoluter oder überschüssiger Renditen ermitteln. 489 Die nachfolgenden Definitionen stellen kurze Zusammenfassungen der im Laufe dieses Buches vorgestellten Kennzahlen dar. Es wird daher maßgeblich auf die schon in den vorherigen Kapiteln und Abschnitten verwendete mathematische Notation zurückgegriffen. Der Beginn einer Zeitperiode wird dementsprechend mit 0 angegeben, das Ende des gesamten Anlagezeitraums mit dem Großbuchstaben T . Die n Zeitabschnitte dazwischen werden ebenfalls mit fortlaufenden Zahlen mit dem Kleinbuchstaben 𝑡𝑡 = 1,2, . . . , 𝑇𝑇 als Platzhalter bezeichnet. 7.2.1 Diskrete Renditen Die diskrete Rendite (engl. simple rate of return), im nachfolgenden mit 𝑅𝑅 𝑇𝑇 bezeichnet, ergibt sich gemäß Formel (1.17) aus dem gegenwärtigen Anlagekapital 𝑃𝑃 𝑇𝑇 abzüglich des ursprünglichen Anlagekapitals 𝑃𝑃 0 (also der Veränderung des Kapitals 487 Siehe Ebertz/ Scherer (2002), S. 196 488 Vgl. Steiner/ Bruns (2007), S. 586 489 Vgl. Poddig et al. (2009), S. 80 <?page no="573"?> 7.2 Absolute Performancemaße 573 im Zeitablauf) im Verhältnis zum anfänglichen Kapitalbetrag 𝑃𝑃 0 . Die diskrete Rendite definiert sich formal wie folgt: 𝑅𝑅 𝑇𝑇 = 𝑃𝑃 𝑇𝑇 − 𝑃𝑃 0 𝑃𝑃 0 = 𝑃𝑃 𝑇𝑇 𝑃𝑃 0 − 1 (7.1) mit 𝑅𝑅 𝑇𝑇 : diskrete Rendite für den angegebenen Zeitraum 𝑃𝑃 0 : Anlagekapital zu Beginn des betrachteten Anlagezeitraums 𝑃𝑃 𝑇𝑇 : Anlagekapital am Ende des betrachteten Anlagezeitraums Bei der Berechnung der diskreten Rendite wird der untersuchte Anlagezeitraum als eine einzige Periode wahrgenommen, sodass unterjährige Zahlungen bei der Berechnung keine Beachtung finden. Weiterhin spielt es keine Rolle, zu welchem Zeitpunkt die jeweiligen Vermögensänderungen in der Vergangenheit erfolgten, da lediglich das prozentuale Endergebnis für den Anlagezeitraum ermittelt wird. Im angelsächsischen Sprachgebrauch wird die diskrete Rendite auch als holding period return bezeichnet. Es zeigt sich weiterhin, dass die diskrete Rendite die Eigenschaft der einfachen Additivät besitzt, ihr es jedoch an der Eigenschaft der Zeitadditivität mangelt. Eine detaillierte formale Beschreibung der diskreten Rendite findet der interessierte Leser in Kapitel 1 in Abschnitt 1.6.1. Die praktische Vorgehensweise kann in Kapitel 4 anhand von Abschnitt 4.3.2.4 bzw. in der Excel-Datei » Kapitel_4_Beispiele.xlsm « im Tabellenblatt » Maximum-Ertrags-Portfolio « nachvollzogen werden. 7.2.2 Stetige Renditen Im Gegensatz zur Berechnung der diskreten Rendite kann ein Anlagezeitraum ebenfalls aus mehreren gleichmäßigen Perioden bestehen. Die jeweilige Periodenlänge ist in diesem Fall unmittelbar von der verwendeten Datengrundlage abhängig. Je nach Auswahl der historischen Zeitreihen ergibt sich die Länge der unterjährigen Perioden aus den täglich, wöchentlich, monatlich oder jährlich festgestellten Kursen der betrachteten Wertpapiere, weshalb in der nachfolgenden Formel von einem Parameter von N = 365, N = 52 oder N = 12 ausgegangen wird. Eine Ausnahme bilden börsentägliche Berechnungen, die lediglich 250 bzw. 260 Handelstage zugrunde legen. Das Endvermögen nach N Perioden ergibt sich demnach aus: 𝑃𝑃 𝑇𝑇 = 𝑃𝑃 0 (1 + 𝑚𝑚 𝑒𝑒 ) 𝑇𝑇 𝑁𝑁 (7.2) mit 𝑃𝑃 𝑇𝑇 : Anlagekapital am Ende des betrachteten Anlagezeitraums 𝑃𝑃 0 : Anlagekapital zu Beginn des betrachteten Anlagezeitraums 𝑚𝑚 𝑒𝑒 : diskrete Rendite für einen festen Zeitabschnitt Da die Entwicklung des Vermögens nach Formel (1.) einem kontinuierlichen bzw. stetigen Wachstum (engl. continously compounded return) folgt, kann die Wertentwicklung eines Wertpapiers alternativ auch durch eine Exponentialfunktion auf Grundlage einer kontinuierlichen Rendite 𝑚𝑚 𝑠𝑠 beschrieben werden. Formel (1.) greift diesen Zusammenhang formal auf. 𝑃𝑃 𝑇𝑇 = 𝑃𝑃 0 𝑒𝑒 𝑟𝑟 𝑠𝑠 𝑁𝑁 (7.3) mit 𝑃𝑃 𝑇𝑇 : Anlagekapital am Ende des betrachteten Anlagezeitraums 𝑃𝑃 0 : Anlagekapital zu Beginn des betrachteten Anlagezeitraums <?page no="574"?> 574 7 Performance-Messung 𝑒𝑒: Exponentialfunktion 𝑚𝑚 𝑠𝑠 : stetige Rendite Die stetige Rendite 𝑚𝑚 𝑠𝑠 zeigt in Formel (1.) diejenige Wachstumsquote, die das Anlagekapital 𝑃𝑃 0 nach N Perioden zum Endvermögen 𝑃𝑃 𝑇𝑇 anwachsen lässt. Die stetige Rendite 𝑚𝑚 𝑠𝑠 einer Periode definiert sich wie folgt: 𝑚𝑚 𝑠𝑠 = ln � 𝑃𝑃 𝑒𝑒 𝑃𝑃 𝑒𝑒−1 � = ln(𝑃𝑃 𝑒𝑒 ) − ln (𝑃𝑃 𝑒𝑒−1 ) (7.4) mit 𝑃𝑃 𝑒𝑒 : Anlagekapital im betrachteten Anlagezeitraum 𝑒𝑒: diskrete Rendite für einen festen Zeitabschnitt 𝑚𝑚 𝑠𝑠 : stetige Rendite Im Gegensatz zur diskreten Rendite ist die stetige Rendite zeitadditiv, sodass sich die stetige Rendite über einen längeren Zeitraum auch als Summe der stetigen Renditen über die betrachteten Teilperioden darstellen lässt. 490 Kapitel 1 liefert dem interessierten Leser in Abschnitt 1.6.4 eine umfassende Erläuterung zu den stetigen Renditen. Die praktische Vorgehensweise bei der Umsetzung der stetigen Rendite kann beispielsweise in Kapitel 4 anhand von Abschnitt 4.3.2.3 bzw. in der Excel-Datei » Kapitel_4_Beispiele.xlsm « im Tabellenblatt » Minimum-Varianz-Portfolio « nachvollzogen werden. 7.2.3 Arithmetische Rendite Die arithmetische Verzinsung umfasst die gleichmäßige Verteilung der Rendite über einen längeren Zeitraum auf sämtliche zugrundeliegenden Teilperioden. 491 Durch die Bildung des arithmetischen Durchschnitts aus den unmittelbar vorangegangenen historischen Renditen einer Periode wird die erwartete Rendite eines Wertpapiers oder Portfolios für die sich direkt anschließende (zukünftige) Periode geschätzt. 492 Es handelt sich also bei der arithmetischen Rendite schlussendlich um eine Prognose. Der Fokus der Berechnungen liegt also auf der Betrachtung der Zukunft. Die arithmetische Durchschnittsrendite 𝑅𝑅� bzw. die erwartete Rendite 𝜇𝜇� eines Wertpapiers ergibt sich wie folgt: 𝑅𝑅� = 𝜇𝜇� = 1 𝑇𝑇 � 𝑅𝑅 𝑒𝑒 𝑇𝑇 𝑒𝑒=1 (7.5) mit 𝑅𝑅 𝑒𝑒 : historische Rendite der einzelnen Perioden 𝑇𝑇: Anzahl der historischen Renditen Kapitel 1 liefert dem interessierten Leser in Abschnitt 1.5.3 zur arithmetischen Rendite weitere Hinweise. Die praktische Vorgehensweise bei der Umsetzung der stetigen Rendite lässt sich in Kapitel 4 anhand von Abschnitt 4.3.2.2 bzw. in der Excel- Datei » Kapitel_4_Beispiele.xlsm « im Tabellenblatt » Effizienzkurve Black « nachvollziehen. 490 Vgl. Kempf Präsentation Seminar ABWL, S. 22 491 Vgl. Garz/ Günther/ Moriabadi (2006), S. 330 492 Vgl. Spremann (2008), S. 78 <?page no="575"?> 7.2 Absolute Performancemaße 575 7.2.4 Geometrische Rendite Liegt ein mehrperiodiger Beobachtungszeitraum vor, wird häufig auf die Berechnung der geometrischen Rendite zurückgegriffen, da diese die vergangene Wertentwicklung einer Kapitalanlage im Zeitablauf adäquat quantifiziert. 493 Der Fokus der Berechnungen liegt auf der Betrachtung der Vergangenheit. Es wird dabei angenommen, dass sich die historische Wertentwicklung in Folge eines Prozesses ergibt, wobei in mehreren Teilperioden dieses Zeitraums unterschiedliche Wertänderungen eingetreten sind. Mit anderen Worten unterstellt man die unmittelbare Wiederanlage zwischenzeitlicher Rückflüsse zum geometrischen Zins. 494 Die konstante Periodenrendite 𝑚𝑚 𝑇𝑇 wi rd al s ge ometrische Du rchschnittsrendite be zeichnet und beschreibt das durchschnittliche Kapitalwachstum pro Teilperiode: 𝑚𝑚 𝑇𝑇 = �𝑃𝑃 𝑇𝑇 𝑃𝑃 0 𝑛𝑛 − 1 = ��(1 + 𝑚𝑚 𝑒𝑒 ) 𝑇𝑇 𝑒𝑒=1 𝑛𝑛 − 1 (7.6) mit 𝑃𝑃 𝑇𝑇 : Anlagekapital am Ende des betrachteten Anlagezeitraums 𝑃𝑃 0 : Anlagekapital zu Beginn des betrachteten Anlagezeitraums 𝑚𝑚 𝑒𝑒 : Rendite einer einzelnen Periode Liegen der Berechnung der geometrischen Rendite jedoch die stetigen Renditen zugrunde, entspricht die arithmetische Rendite inhaltlich der geometrischen Rendite. Eine umfassende Darstellung zu den geometrischen Renditen findet der interessierte Leser in Kapitel 1 in Abschnitt 1.5.3. 7.2.5 Geldgewichtete Renditen Da die vorherigen Kennzahlen bei unterjährigen Zu- und Abflüssen sich für eine adäquate Quantifizierung nicht eignen, wird auf die geldgewichtete Rendite (engl. money-weighted-return) zurückgegriffen. Die Rendite 𝑚𝑚 𝑔𝑔 wird als geldgewichtete Rendite bezeichnet, wobei die zu- oder abfließenden, d.h. positiven oder negativen Zahlungsströme am jeweiligen Periodenende mit 𝑍𝑍 𝑖𝑖 (𝑖𝑖 = 1,2, … , 𝑁𝑁) angegeben sind. Die geldgewichtete Rendite 𝑚𝑚 𝑔𝑔 entspricht damit dem internen Zinssatz der Kapitalanlage (engl. internal rate of return, kurz IRR). Die wertgewichtete Rendite definiert sich wie folgt: 𝑃𝑃 𝑇𝑇 = 𝑃𝑃 0 �1 + 𝑚𝑚 𝑔𝑔 � 𝑁𝑁 + 𝑍𝑍 1 �1 + 𝑚𝑚 𝑔𝑔 � 𝑁𝑁−1 + 𝑍𝑍 2 �1 + 𝑚𝑚 𝑔𝑔 � 𝑁𝑁−2 + ⋯ + 𝑍𝑍 𝑖𝑖−1 �1 + 𝑚𝑚 𝑔𝑔 � + 𝑍𝑍 𝑖𝑖 (7.7) Bei der Anwendung sollte jedoch grundsätzlich beachtet werden, dass die geldgewichtete Rendite von zwei Größen beeinflusst wird: dem direkten Anlageerfolg und dem sogenannten Timing der zwischenzeitlichen Zahlungen. Der interessierte Leser findet in Kapitel 1 in Abschnitt 1.5.4 umfassende Erläuterungen zur geldgewichteten Rendite und ihrer Berechnung. 493 Vgl. Steiner/ Bruns (2007), S. 51 494 Vgl. Garz/ Günther/ Moriabadi (2006), S. 331 <?page no="576"?> 576 7 Performance-Messung 7.2.6 Varianz und Standardabweichung Die Varianz stellt die durchschnittliche quadrierte Abweichung der Beobachtungswerte von ihrem arithmetischen Mittel dar. Im Rahmen des Portfolio Managements beschreibt die Varianz in ähnlicher Weise die quadrierte Abweichung jeglicher Renditeformen 𝑅𝑅 𝑒𝑒 von der arithmetischen Rendite 𝑅𝑅� . Es wird bei der Berechnung der Varianz grundsätzlich zwischen der Grundgesamtheit und einer Stichprobe unterschieden: Ziehung aus einer Grundgesamtheit 𝜎𝜎 2 = 1 𝑏𝑏 �(𝑅𝑅 𝑒𝑒 − 𝑅𝑅�) 2 𝑠𝑠 𝑒𝑒=1 (7.8) Ziehung aus einer Stichprobe 𝜎𝜎 2 = 1 𝑏𝑏 − 1 �(𝑅𝑅 𝑒𝑒 − 𝑅𝑅�) 2 𝑠𝑠 𝑒𝑒=1 (7.9) Die Standardabweichung ergibt sich als Quadratwurzel der Varianz. 𝜎𝜎 = �𝜎𝜎 2 (7.10) Abschnitt 1.7.3.1 in Kapitel 1 beschreibt die Berechnung der Varianz und der Standardabweichung im Detail und gibt wichtige Hinweise für die praktische Umsetzung. Darüber hinaus kann die Vorgehensweise für die Ermittlung mit Hilfe der Excel-Datei » Kapitel_4_Beispiele.xlsm « im Tabellenblatt » Beliebiges Portfolio « nachempfunden werden. 7.2.7 Volatilität Da es bei Vergleichen in der Finanzwirtschaft üblich ist, diese auf Jahresbasis vorzunehmen, erscheint es nur zweckmäßig, auch die Risikokennzahlen wie Varianz und Standardabweichung mit einem entsprechenden Skalierungsfaktor zu annualisieren. Das statistische Maß einer annualisierten Standardabweichung wird häufig auch als Volatilität bezeichnet. Volatilität 𝜎𝜎 𝑎𝑎𝑠𝑠𝑠𝑠 = 𝜎𝜎 ∙ √𝑡𝑡 (7.11) Die Auswahl eines geeigneten Skalierungsfaktors t orientiert sich dabei grundsätzlich an der zugrundeliegenden Periodizität der zur Berechnung der Risikokennzahl verwendeten historischen Kurse. Die Angleichung von Standardabweichungen auf Grundlage von Tageskursen, wöchentlichen und monatlichen Kursen ermöglicht die Transformation in eine gemeinsame jährliche Basis. In Abschnitt 1.7.3.2 wird die Berechnung der Volatilität umfassend erläutert. Darüber hinaus kann die Vorgehensweise für die Ermittlung mit Hilfe der Excel-Datei » Kapitel_4_Beispiele.xlsm « im Tabellenblatt » Beliebiges Portfolio « nachempfunden werden. <?page no="577"?> 7.3 Relative Performancemaße 577 7.3 Relative Performancemaße “Money is a stupid measure of achievement but unfortunately it is the only universal measure we have.” Charles P. Steinmetz - Mathematiker und Ingenieur (*1865, †1923) Quelle: Public Domain Die relativen Performancemaße unterscheiden sich von den absoluten Performancekennzahlen maßgeblich durch die Berücksichtigung einer zuvor festgelegten Referenzgröße (z.B. ein Benchmarkportfolio oder Targetportfolio). Aus diesem Grund eignen sich die relativen Performancemaße auch besonders gut für die Bewertung von Portfolios, die aus der relativen Portfoliooptimierung oder dem Index Tracking resultieren. 495 In den nachfolgenden Abschnitten wird deshalb zwischen aktiven und passiven Performancemaßen unterschieden. 7.3.1 Aktive Performancemaße 7.3.1.1 aktive Rendite Beim Vergleich einer Anlagestrategie mit einem korrespondierenden Marktindex kommt der Differenz zwischen der Wertentwicklung der zugrundegelegten Benchmark und der Wertentwicklung der betrachteten Anlagestrategie eine außerordentliche Bedeutung zu. 496 Die angesprochene Renditedifferenz zwischen der Benchmark und dem zu beurteilenden Portfolio wird auch häufig als aktive Rendite bezeichnet. 𝑚𝑚 𝑎𝑎𝑒𝑒 = 𝑚𝑚 𝑃𝑃𝑒𝑒 − 𝑚𝑚 𝐵𝐵𝑒𝑒 (7.12) mit 𝑚𝑚 𝑎𝑎 : aktive Rendite zum Zeitpunkt 𝑡𝑡 𝑚𝑚 𝑃𝑃 : Rendite des Portfolios zum Zeitpunkt 𝑡𝑡 𝑚𝑚 𝐵𝐵 : Rendite der Benchmark zum Zeitpunkt 𝑡𝑡 Die mittlere aktive Rendite ermittelt sich als Mittelwert der aktiven Rendite über 𝑏𝑏 Perioden und beschreibt den durchschnittlichen realisierten Überschuss gegenüber der Rendite des Benchmark-Portfolios. 𝑚𝑚̅ 𝐵𝐵 = 1 𝑏𝑏 �(𝑚𝑚 𝑃𝑃𝑒𝑒 − 𝑚𝑚 𝐵𝐵𝑒𝑒 ) 𝑠𝑠 𝑒𝑒=1 (7.13) Eine umfassende Darstellung der aktiven Rendite eines Portfolios findet der interessierte Leser in Kapitel 4 in Abschnitt 4.2.3. Die praktische Vorgehensweise bei der Umsetzung der aktiven Rendite lässt sich in der Excel-Datei » Kapitel_4_Beispiele. xlsm « im Tabellenblatt » Relative Optimierung (1) « nachvollziehen. 495 Vgl. Poddig et al. (2009), S. 601 496 Vgl. Grinold/ Kahn (1999), S. 49 <?page no="578"?> 578 7 Performance-Messung 7.3.1.2 Aktives Risiko Das aktive Risiko entspricht grundsätzlich der Varianz der aktiven Renditen. Im Zusammenhang des Index Trackings wird die aktive Varianz auch als Tracking Error bezeichnet. 𝜎𝜎 𝐵𝐵2 = 1 𝑏𝑏 �(𝑚𝑚 𝑃𝑃𝑒𝑒 − 𝑚𝑚 𝐵𝐵𝑒𝑒 ) 2 𝑠𝑠 𝑒𝑒=1 (7.14) mit 𝜎𝜎 𝐵𝐵2 : Varianz der aktiven Renditen zum Zeitpunkt 𝑡𝑡 𝑚𝑚 𝑃𝑃 : Rendite des Portfolios zum Zeitpunkt 𝑡𝑡 𝑚𝑚 𝐵𝐵 : Rendite der Benchmark zum Zeitpunkt 𝑡𝑡 Die Berechnung des aktiven Risikos kann der interessierte Leser nochmals in Abschnitt 4.2.3 nachvollziehen. Die praktische Vorgehensweise bei der Umsetzung des aktiven Risikos zeigt die Excel-Datei » Kapitel_4_Beispiele.xlsm « im Tabellenblatt » Relative Optimierung (1) «. 7.3.1.3 Die residuale Rendite Die residualen Renditen werden in der Regel als Residuen eines zugrunde gelegten Regressionsmodells quantifiziert und bilden die Voraussetzung für die Berechnung des residualen Risikos. Die residuale Rendite definiert sich wie folgt: 𝜀𝜀 𝑒𝑒 = 𝑚𝑚 𝑃𝑃𝑒𝑒 ′ − (𝛼𝛼 + 𝛽𝛽 ∙ 𝑚𝑚 𝐵𝐵𝑒𝑒 ′ ) (7.15) mit 𝜎𝜎 𝐵𝐵2 : geschätzte Residualrendite zum Zeitpunkt 𝑡𝑡 𝑚𝑚 𝑒𝑒𝑒𝑒 ′ : Überschussrendite des Portfolios zum Zeitpunkt 𝑡𝑡 𝛼𝛼: geschätzte unabhängige Rendite 𝛽𝛽: geschätzte Sensitivität 𝑚𝑚 𝐵𝐵𝑒𝑒 ′ : Überschussrendite der Benchmark zum Zeitpunkt 𝑡𝑡 Die residuale Rendite und ihre Zusammenhänge lassen sich in Kapitel 4 anhand von Abschnitt 4.2.1 ff. im Detail nachvollziehen Die praktische Vorgehensweise bei der Ermittlung der residualen Rendite lässt sich anhand der Excel-Datei » Kapitel_4_Beispiele.xlsm « im Tabellenblatt » Relative Optimierung (1) « ebenfalls Schritt für Schritt nachvollziehen. 7.3.1.4 Das residuale Risiko Das residuale Risiko eines Portfolios wird häufig auch als residuale Varianz bezeichnet. Die Kennzahl ergibt sich wie folgt: 𝜎𝜎 𝜀𝜀2 = 1 𝑏𝑏 − 1 �(𝜀𝜀 𝑒𝑒 − 𝜀𝜀 ̅ ) 2 𝑠𝑠 𝑒𝑒=1 (7.16) mit 𝜎𝜎 𝜀𝜀𝑒𝑒 2 : residuale Varianz 𝜀𝜀 𝑒𝑒 : geschätzte Residualrendite zum Zeitpunkt 𝑡𝑡 𝜀𝜀 ̅ : die mittlere Residualrendite zum Zeitpunkt 𝑡𝑡 Das residuale Risiko quantifiziert im Allgemeinen das Selektionsrisiko im Rahmen der relativen Portfoliooptimierung. Das sogenannte Selektionsrisiko beschreibt die Fähigkeit eines Portfolio-Managers, die Portfoliorendite durch eine sinnvolle Auswahl an renditesteigernden Anlageobjekten zu erhöhen. <?page no="579"?> 7.3 Relative Performancemaße 579 Der interessierte Leser findet weitere Informationen zum Selektionsrisiko in Kapitel 0 Abschnitt 4.2.2 f. Die praktische Vorgehensweise bzgl. des Selektionsrisikos lässt sich anhand der Excel-Datei » Kapitel_4_Beispiele.xlsm « im Tabellenblatt » Relative Optimierung (1) « Schritt für Schritt nachvollziehen. 7.3.1.5 Jensen-Alpha In der Finanzwirtschaft bezeichnet die Kennzahl Alpha denjenigen Teil der Wertentwicklung eines Portfolios, der ausschließlich auf den individuellen wertgenerierenden Prozess des Portfolio-Managers oder Vermögensverwalters und nicht auf die eigentliche Wertentwicklung des zugrundeliegenden Marktes zurückzuführen ist. 497 Mit anderen Worten gibt Alpha an, ob und inwieweit ein Portfolio-Manager einer Überschussrendite erzielen konnte, die jedoch nicht durch die tatsächliche Wertentwicklung der zugrundliegenden Benchmark erklärbar ist. Das Jensen-Alpha wird gemäß des CAPM aus der Differenz zwischen tatsächlich realisierter und prognostizierter Überschussrendite bestimmt 498 und lässt sich gemäß des CAPM auf Grundlage einer multivariaten linearen Regression wie folgt bestimmen: (𝑚𝑚 𝑃𝑃𝑒𝑒 − 𝑚𝑚 𝑀𝑀𝑒𝑒 ) = 𝛼𝛼 + 𝛽𝛽(𝑚𝑚 𝐵𝐵𝑒𝑒 − 𝑚𝑚 𝑀𝑀𝑒𝑒 ) + 𝜀𝜀 𝑒𝑒 (7.17) Die Messung der Performance eines Portfolios anhand des Jensen-Alphas erfolgt lediglich relativ zum Markt, weshalb ein aussagekräftiges Ranking nur bei Vorliegen identischer systematischer Risiken sinnvoll erscheint. Aus diesem Grunde eignet sich das Jensen-Alpha eher für eine absolute Performancebeurteilung. 499 Die Berechnung des Jensen-Alphas wird in Kapitel 4 in Abschnitt 4.2.2 exemplarisch am Beispiel des Portfolioalphas gezeigt. 7.3.1.6 Beta-Faktor Der Beta-Faktor eines Wertpapiers drückt aus, wie sensitiv er sich im Vergleich zum Marktportfolio verhält. 𝛽𝛽 𝑖𝑖 = 𝐶𝐶𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑖𝑖𝑚𝑚 𝜎𝜎 𝑚𝑚2 (7.18) Die Interpretation des Beta-Faktors lässt dabei folgende Aussagen zu. Bei einem Beta-Faktor > 1 ist das jeweilige Wertpapier im Vergleich zum Markt einem höheren Risiko ausgesetzt. Ein Beta-Faktor < 1 dagegen symbolisiert im Vergleich zum Markt ein geringeres Risiko. Die Berechnung des Beta-Faktors kann in Kapitel 3 in Abschnitt 3.6.2 nochmals nachvollzogen werden. Die praktische Vorgehensweise bei der Umsetzung des Beta- Faktors findet sich beispielsweise in der Excel-Datei » Kapitel_4_Beispiele.xlsm « im Tabellenblatt » Relative Optimierung (1) « wieder. 497 Vgl. Garz/ Günther/ Moriabadi (2006), S. 346 498 Vgl. Gondring (2004), S. 683 499 Vgl. Perridon/ Steiner (2003), S. 303 ff. <?page no="580"?> 580 7 Performance-Messung 7.3.2 Passive Performancemaße 7.3.2.1 Tracking Error Der Tracking Error trifft eine Aussage über den Grad und die Qualität des Abweichungsrisikos des Portfolio Managements und bezeichnet das Risiko einer möglichen Abweichung der Portfoliorendite zu einer korrespondierenden Benchmark. 500 Die Berechnung des Tracking Errors greift auf die (empirische) Standardabweichung der Differenz der Renditen des Tracking Portfolios und der Benchmark zurück. Der Tracking Error definiert sich wie folgt: 𝑇𝑇𝐸𝐸 = 1 𝑏𝑏 ��(𝑚𝑚 𝑃𝑃𝑒𝑒 − 𝑚𝑚 𝐵𝐵𝑒𝑒 ) 2 𝑠𝑠 𝑒𝑒=1 (7.19) mit 𝑇𝑇𝐸𝐸: Tracking Error 𝑚𝑚 𝑃𝑃 : Rendite des Portfolios zum Zeitpunkt 𝑡𝑡 𝑚𝑚 𝐵𝐵 : Rendite der Benchmark zum Zeitpunkt 𝑡𝑡 Die Berechnung des Tracking Errors sowie hilfreiche Hinweise findet der interessierte Leser in Abschnitt 5.1. Die praktische Vorgehensweise bei der Umsetzung des Tracking Errors zeigt die Excel-Datei » Kapitel_5_Beispiele.xlsm « im Tabellenblatt » Index Tracking (1) «. 7.3.2.2 Information Ratio Als Erfolgsmaßstab für den durch ein aktives Portfolio Management erzielten (Mehr- ) Ertrag wird insbesondere die Information Ratio (IR) verwendet: 501 Die im Zähler stehende aktive Rendite beschreibt dabei die vom Portfolio-Manager prognostizierte Differenz zwischen Portfolio- und Benchmark-Ertrag: 𝐼𝐼𝑅𝑅 = 𝑚𝑚 𝐵𝐵 𝑇𝑇𝐸𝐸 (7.20) Häufig wird als Benchmark ein geeigneter Marktindex festgelegt. Die Interpretation der Information Ratio lässt die Aussage zu, dass eine höhere Information Ratio auf eine bessere risikoadjustierte Outperformance der zugrundeliegenden Anlagestrategie schließen lässt. Aus diesem Grund verfolgt das aktive Portfolio Management das Ziel, die Information Ratio einer Anlagestrategie zu maximieren. 502 Die Information Ratio (IR) kann man nach dem „Fundamental Law of Active Management“ 503 alternativ als Produkt der Qualität und der Anzahl der Prognosen erklären, also: 𝐼𝐼𝑅𝑅 = 𝐼𝐼𝐶𝐶 ∙ √𝐵𝐵𝑅𝑅 (7.21) mit 𝐼𝐼𝑅𝑅: Information Ratio 𝐼𝐼𝐶𝐶: Information Coefficient (Prognosegüte) 𝐵𝐵𝑅𝑅: Breadth (Prognosehäufigkeit) 500 Vgl. Garz/ Günther/ Moriabadi (2006), S. 346 501 Vgl. auch Modigliani/ Modigliani (1997) zu aussagefähigen Performancemaßen und den Problemen mit dem Sharpe Ratio. 502 Vgl. Sauer (2002), S. 168 503 Vgl. Grinold/ Kahn (1999) <?page no="581"?> 7.3 Relative Performancemaße 581 Breadth (BR) steht dabei für die Anzahl der erstellten Prognosen in einer Betrachtungsperiode, und der Informationskoeffizient (IC) erfasst die Güte der Prognose, also die Korrelation zwischen den prognostizierten und den eingetretenen Renditen. 504 Der interessierte Leser findet zur Information Ratio in Kapitel 4 in Abschnitt 4.2.4 weitere Informationen. Darüber hinaus gibt das Excel-Modell in der Excel-Datei » Kapitel_4_Beispiele.xlsm « im Tabellenblatt » Relative Optimierung (1) « eine detaillierte Hilfestellung für die praktische Umsetzung des Information Ratios. 7.3.2.3 Sharpe-Maß Das Sharpe-Maß setzt die Marktrisikoprämie in Form der erwirtschafteten Überschussrendite ins Verhältnis zu dem hierfür zu tragenden Risiko. In diesem Zusammenhang wird auch oftmals von der sogenannten Reward-to-Variability-Ratio gesprochen. Das Sharpe-Maß stellt aus diesem Grund eine relative Kenngröße dar, die das Gesamtrisiko eines Portfolios berücksichtigt. 505 Das Sharpe-Maß definiert sich wie folgt: 𝑆𝑆𝑀𝑀 = 𝑚𝑚̅ 𝑃𝑃 − 𝑚𝑚 𝑓𝑓 𝜎𝜎 𝑃𝑃 (7.22) mit 𝑚𝑚̅ 𝑃𝑃 : durchschnittliche Rendite des Portfolios 𝑚𝑚 𝑓𝑓 : risikoloser Zins 𝜎𝜎 𝑃𝑃 : Volatilität der Portfoliorendite Es wird deutlich, dass ein Portfolio mit einem höheren Sharpe-Maß ein Portfolio mit einem niedrigeren Sharpe-Maß dominiert. 506 Es gilt dabei jedoch zu berücksichtigen, dass aufgrund möglicher Schätzfehler in den Parametern, nicht diejenige Anlagestrategie mit dem höchsten empirischen Sharpe-Maß notwendigerweise die beste ist. 507 Eine umfassende Erläuterung zum Sharpe-Maß findet der interessierte Leser in Kapitel 3 in Abschnitt 3.4. Darüber hinaus gibt das Excel-Modell in der Excel-Datei » Kapitel_4_Beispiele.xlsm « im Tabellenblatt » Tangentialportfolio « eine detaillierte Hilfestellung für die praktische Umsetzung des Sharpe-Maßes. 7.3.2.4 Treynor-Maß Das Treynor-Maß unterscheidet sich nur unwesentlich vom zuvor dargestellten Sharpe-Maß. Im Gegensatz zum Sharpe-Maß greift das Treynor-Maß zur Berücksichtigung des systematischen Risikos auf den Beta-Faktor anstatt auf die dementsprechende Standardabweichung eines Wertpapiers zurück. Da jedes Wertpapier bzw. jede Anlagestrategie jedoch unterschiedlich sensitiv auf Änderungen des Marktes reagiert, geht im Rahmen des Treynor-Maßes auch nur derjenige Teil des systematischen Risikos anteilig in die Berechnung der Kennzahl ein, welcher auch tatsächlich übernommen wird. 𝑅𝑅𝑀𝑀 = 𝑚𝑚̅ 𝑃𝑃 − 𝑚𝑚 𝑓𝑓 𝛽𝛽 𝑃𝑃 (7.23) 504 Siehe Garz/ Günther/ Moriabadi (2006), S. 199 505 Vgl. Steiner/ Bruns (2007), S. 593 bzw. Sharpe (1966), S. 119 ff. 506 Vgl. Maier (2007), S. 50 507 Vgl. Kempf/ Memmel (2002), S. 914 <?page no="582"?> 582 7 Performance-Messung Es sollte jedoch beachtet werden, dass eine Beurteilung auf Grundlage des Treynor- Maßes nur dann sinnvoll ist, wenn das analysierende Portfolio lediglich ein Teil eines diversifizierten Portfolios ist. Das Treynor-Maß sollte darüber hinaus keinesfalls allein, sondern stets komplementär in Verbindung mit dem Sharpe-Maß beurteilt werden. 508 7.4 Schlussbetrachtung Die Performance-Messung stellt im Rahmen der übergeordneten Performanceanalyse einen integralen Bestandteil des Portfolio Managements dar. Aus diesem Grund steigt die Nachfrage nach aussagekräftigen Performancekennzahlen beständig an. Als Teil der Performanceanalyse übernimmt die Performance-Messung mit der regelmäßigen Messung, Analyse und Kontrolle des Anlageerfolgs eine tragende Rolle im Portfolio Management und im Portfoliocontrollingprozess. Unterjährig stattfindende Kapitalbewegungen stellen jedoch bei der Performance-Messung ein kritisches Problem dar, da jede Situation ein adäquates Messverfahren erfordert. Demnach gibt es nicht eine allgemeine Performancekennzahl, sondern viele unterschiedliche Performancemaße, die situationsbedingt zum Einsatz kommen. Aus diesem Grund machte auch eine Untergliederung dieses Kapitels in absolute bzw. relative Performancemaße und aktive als auch passive Performancemaße durchaus Sinn. Im Rahmen dieses Kapitels zeigte sich weiterhin, dass ohne die Berücksichtigung der Risikoparameter keine zwingend aussagekräftige Performancebeurteilung möglich ist. Diese Tatsache formt den Ansatz- und den Bezugspunkt der relativen Performancemaße, indem eine Verdichtung von Rendite- und Risikokennziffern stattfindet. Dadurch bieten zum Beispiel das Sharpe-Maß bzw. das Treynor-Maß die Möglichkeit auch Portfolios mit unterschiedlichen Anlagestrategien und Benchmarks miteinander adäquat zu vergleichen. 509 7.5 Fragen zu Kapitel 7 Frage (1) Diskrete Renditen besitzen die Eigenschaft der Zeitadditivität.  wahr  falsch Frage (2) Beim Vergleich stetiger Renditen spielt die Periodizität der zugrundeliegenden Schlusskurse keine Rolle.  wahr  falsch Frage (3) Die arithmetische Rendite wird unter anderem zur Schätzung der erwarteten Rendite herangezogen.  wahr  falsch 508 Vgl. Garz/ Günther/ Moriabadi (2006), S. 358 509 Vgl. ebd., S. 359 ff. <?page no="583"?> 7.5 Fragen zu Kapitel 7 583 Frage (4) Bei einem mehrperiodigen Beobachtungszeitraum trifft die geometrische Rendite eine Aussage über die vergangene Wertentwicklung einer Kapitalanlage.  wahr  falsch Frage (5) Die geldgewichtete Rendite wird maßgeblich auf Grundlage einer multivariaten Regression bestimmt.  wahr  falsch Frage (6) Bei der Ermittlung der Varianz und der Standardabweichung unterscheidet man bei der Datengrundlage zwischen Stichprobe und Grundgesamtheit.  wahr  falsch Frage (7) Das residuale Risiko drückt die Timingfähigkeit eines Portfolio-Managers aus.  wahr  falsch Frage (8) Das Jensen-Alpha ergibt sich aus einer multivariaten Regression.  wahr  falsch Frage (9) Berechnen Sie das Sharpe-Maß des folgenden Portfolios: 𝑚𝑚̅ 𝑃𝑃 = 0,07 𝛽𝛽 𝑃𝑃 = 0,75 𝑚𝑚 𝑓𝑓 = 0,03 𝜎𝜎 𝑃𝑃 = 0,23 Das Sharpe-Maß beträgt: 0,48  wahr  falsch Frage (10) Berechnen Sie das Treynor-Maß des folgenden Portfolios: 𝑚𝑚̅ 𝑃𝑃 = 0,14 𝛽𝛽 𝑃𝑃 = 0,64 𝑚𝑚 𝑓𝑓 = 0,03 𝜎𝜎 𝑃𝑃 = 0,23 Das Treynor-Maß beträgt: 0,17  wahr  falsch <?page no="584"?> Literaturverzeichnis zu Kapitel 7 Albrecht, P. 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Passau. <?page no="591"?> Stichwortverzeichnis absolute Rendite 41 Addieren, komponentenweises 143 Add-In 176 Additivität, einfache 83 Aktien 54 Aktienkurse 182 lognormalverteilte 193 aktive Gewichtung 21 aktive Position 295 aktives Management 21 aktives Portfolio Management 62 Allokationsstrategie 172 Alpha 257, 258, 292, 294, 353, 385, 397, 579 alternative Assetklassen 57 Anlagemotiv 54 Anlagestrategien 57, 382 passive 382 Anlageuniversum 157, 358, 571 Anlageziele 254 Anleger, risikoaverser 276 Anleihen 55 annualisierte Standardabweichung 102 Approximate-Line-Search 167 Array 147 eindimensionales horizontales 147 eindimensionales vertikales 147 Array-Formeln 147 Asset Allokation strategische 288 taktische 288 Asset Manager Mandate 37 Assetklassen 53 Ausmaß der Schätzfehler 435 Axiom der positiven Homogenität 100 Axiom der Subadditivität 100 Axiom der Translationsinvarianz 100 Axiom über die Monotonie 100 BAA-Rendite erwartet 42 tatsächlich 42 Bankakzepte 56 Bayes’sche Statistik 458, 515 Bayes’scher Ansatz 451, 505 Bayes-Prioren 451 Bayes-Schätzer 440 Bayes-Stein-Ansatz 453 Bayes-Stein-Schätzer 458, 466, 478 beliebig effizientes Portfolio 284, 325 Benchmark 29, 63, 64, 79, 292, 571 Benchmark Asset Allokation Rendite 31 Benchmark-Beta 296 Benchmark-Indizes 571 Benchmark-Portfolio 391 Beta 257, 292, 294, 295, 353, 385, 397, 579 aktives 296 Beta-Faktor 251 Binomialbaum 184 Black-Litterman 502 Black-Litterman-Ansatz 503 Intuition 507 <?page no="592"?> 592 Stichwortverzeichnis Black-Litterman-Modell 440, 504 Anwendung 527 Hintergründe 504 mathematische Konzeption 511 Motivation 504 Schritte 507 Black-Litterman-Renditen 525, 527, 528, 531 Blend-Ansatz 68, 70 Bonds 55 Boot-Strapping 173 Bottom Up Approach 21 Bottom-Up-Ansatz 68 Branch and Bound-Verfahren 163 Branche 75 Branchen-Zugehörigkeit 61 Breadth 581 Brownsche Bewegung 175, 183 Capital Asset Pricing Model 239, 245, 248 CAPM 239, 248, 251, 256, 260, 505 Annahmen 249 Kritik 252 Modellerweiterungen 254 Tests 252 Cash Bills 56 Certificates of Deposits 56 Commercial Papers 56 Conditional VaR 53 Consistent Growth Strategy 75 Contrarian Strategy 74 Cutting Plane-Verfahren 163 Diagonalmatrix 140 Diagonalmodell 257 Dichtefunktion 114 Differentialgleichungen, stochastische 181 Dimensionen 140 Diversifikation 51 Diversifikationseffekt 18, 218, 219, 222 Dividende 83 Dividendenausschüttung 21 Dominanz 276 Downside-Risikomaße 104 Drift 190 Earnings Momentum Strategy 75 Effizienzkurve 220, 222, 239, 277, 302, 344 nach Merton 311 resampled 552 Ein-Faktor-Modell 248 Einheitsmatrix 140, 152 Einzelzellen-Arrayformel 147 Entscheidungsbäume 173 Entscheidungsbaumverfahren 163 Entscheidungsregeln 95 Entscheidungstheorie 154 Ertragseigenschaften 53 erwartete Rendite 50 Erwartungen 20, 76 homogene 242, 249 Erwartungswert 28, 114 Rendite 28 Volatilität 28 Erwartungswert-Varianz-Ansatz 22, 157, 217, 255, 434 Erwartungswert-Varianz-Optimierung 175 robuste 440 ESG-(Ökologisch, Sozial und Governance)-Kriterien 26 Excel 147, 148, 150, 152, 197, 302, 314, 321, 328, 351, 394, 468, 478, 490, 536 Excel Solver 176 Exchange Traded Fund 79, 250, 383 Expected Shortfall 53 <?page no="593"?> Stichwortverzeichnis 593 Extremwert globaler 158 lokaler 158 fairer Wert 71 Faktorsensitivitäten 261 Fat Tails 99, 108, 262 Fehlermaximierer 439 Filter-Matrix 517 Financial Model 197 Fremdverwaltung 289 fundamentale Kennzahlen 71 fundamentales Gesetz des aktiven Portfolio Managements 298 Ganzzahligkeit 162 Gauß-Jordan-Algorithmus 146 Geldmarktinstrumente 56 Geldmarktpapiere 56 geographische Lage 61 Geometrische Brownsche Bewegung 120, 181 Gesamtrendite 83 Gesamtrisiko 223 Geschrumpfter Schätzer 440 geschweifte Klammer 148 Gewerbeimmobilien 55 Gewichte, aktive 388 Gleichgewichtsrenditen 509, 513 Gradienten-Verfahren 165 Growth-Ansatz 70, 76 Growth-Strategien 74 Hedgefonds 57 Heuristik 156 Historische Simulation 111 Holding Period Return 83, 573 Huber-k-Schätzer 448 Hypothese effizienter Kapitalmärkte 63, 383 Hypothese effizienter Märkte 76 Immobilien 55 implizite Volatilitäten 103 Index, synthetischer 358 Index Tracking 164, 384, 392, 395, 396, 398, 409 Index Tracking auf Grundlage der Regression unter Nebenbedingungen 405 Index Tracking mit Hilfe von Regression 390 Index Tracking nach Markowitz 388, 401 Indexfonds 383 Indifferenzkurven 235 Information Ratio 297, 580 Informationseffizienz 64 Informationskoeffizient 581 Informationsvorsprung 504 inhärente Risiken 99 Inkremente 185 innerer Wert 71 institutionelle Anleger 22 Internal Rate of Return (IRR) 87 interner Zinssatz 87 Intervall 159 Inversion 146, 152 Investment Management Prozess 23 Investment Monitoring 24 Investment Policy Statement 23 Investment Strategie 36 Investment-Ansatz 67 Investmentansätze nach der Methodik 68, 70 Investmentphilosophie 67 Investmentprozess 287 Investmentstile 67, 68, 70 Ito-Formel 192 <?page no="594"?> 594 Stichwortverzeichnis Itos Lemma 193 James-Stein-Schätzer 452, 453, 454, 466, 468 Jensen-Alpha 579 Kapitalanlageklassen 27 Kapitalanlagemanagement, aktives 35 Kapitalanleger 22 rationaler 216 risikoaverser 216 risikoscheuer 234 kapitalgewichtete Rendite 87 Kapitalmarkt effizienter 62, 63 unvollkommener 62 Kapitalmärkte 383 Kapitalmarkterwartungen 28 Kapitalmarktgleichgewicht 245 Kapitalmarktlinie 239, 241, 242, 285 Kapitalmarkttheorie 248 Kassenobligationen 56 Kennzahlen 297 Kleinste-Quadrate-Schätzung 392 Know Your Client 24 Kommunalanleihen 55 Konfidenzniveau 115 Kongruenz 102 Konstante, positive 513 Konvexität 169 Korrelation 27, 61, 106, 216, 225 Korrelationskoeffizient 105, 224 Korridore, SAA-~ 32 Kovarianz 105 Kovarianz-Varianz-Matrix 101 Kritische-Linien-Methode 255, 280 Kurs-Buchwert-Verhältnis 72 Kurs-Cashflow-Verhältnis 73 Kurs-Gewinn-Verhältnis 73 Kurs-Umsatz-Verhältnis 73 Kurtosis 52 Lagrange-Multiplikator-Ansatz 280 Lagrange-Multiplikator-Methode 225 Large-Caps 61, 68 Large-Cap-Segment 69 Lebenszyklus 73 Ledoit-Wolf-Schätzer 462, 466, 490 Leerverkäufe 228, 249, 277 Leerverkaufsposition 245, 254 Leerverkaufsverbot 279, 389 Leveraged Portfolio 245 Limits, SAA-~ 32 lineare Regression 257 Liquidität 19 Long-Portfolio 522, 530 Lösung schrittweise 174 sequentielle 174 Low P/ E Strategy 74 Magisches Dreieck 19 Markov-Prozess 187 Markowitz-Ansatz 436 Markowitz-Modell 254 Markteffizienzhypothese 382 Markteinschätzung 19 Marktindex 257 synthetischer 361 Marktkapitalisierung 21, 61, 384 Marktportfolio 241, 242, 514 mathematische Grundlagen 137 mathematische Optimierung 152 Matlab 332, 338, 341, 344, 362, 414 Matrix 138, 139, 150 inverse 146 singuläre 146 <?page no="595"?> Stichwortverzeichnis 595 Matrizen 138, 139, 142, 143, 146, 148, 150 quadratische 140 rechteckige 140 Matrizenrechnung 138, 147 Maximum-Ertrags-Portfolio 279, 284, 321, 338 Maximum-Likelihood-Methode 444 Mean Return 217 Mean Squared Error 391 Median Absolute Deviation 449 mehrperiodige Renditen 91 Mehrzeilen-Arrayformel 147 Methode des goldenen Schnittes 164 Methoden der robusten Optimierung 440 numerische 195 Mid-Caps 61, 68 Mid-Cap-Segment 69 Minimum-Varianz-Portfolio 221, 279, 281, 314, 332, 459 Mitsprache- und Beherrschungsmotiv 54 Mittelwert-Varianz-Ansatz 434 Mittelwert-Varianz-Optimierung 434 Mittlere Absolute Abweichung 450 ML-Schätzer 444 Modelle der robusten Optimierung 440 deterministische 155 stochastische 155 Möglichkeitskurve 311 Monitoring 39 Monte-Carlo-Simulation 120, 195 M-Schätzer 446 Übersicht 448 Multi-Index-Modell 260 N-Anlagen-Fall 227 Nebenbedingungen 156, 157, 164 neutrale Gewichtung 21 Newton-Methode 450 Newton-Näherungsverfahren 167 Newton-Verfahren 87 Nichtnegativitätsbedingungen 161 Nichtsättigungsprinzip 233 Normalverteilung 92, 110, 435, 445 numerische Optimierung 154 Nutzen 154, 225, 236 Nutzenfunktion 235 Nutzenniveau 236 objektive Kriterien 21 Obligationen 55 Operations Research 153, 156 optimales Portfolio 232 Optimierung 156, 158 absolute 276 außerordentliche 299 dynamische 156, 174, 175 ganzzahlige 162 ganzzahlige lineare 162 klassische 429 kombinatorische 162 konische 167 konvexe 169 lineare 156, 392, 409 nichtlineare 156 quadratische 165 reelle lineare 161 relative 287, 290, 350, 351, 354, 385, 395 residuale 299 robuste 175 stochastische 156, 171 Optimierungsalgorithmus 158, 160 Optimierungskalkül 154 Optimierungsprobleme 155, 157, 171 konvexe 164 lineare 161 <?page no="596"?> 596 Stichwortverzeichnis multivariate 157, 164 nicht-lineare 164 quadratische 164 restringierte 165 univariate 157, 164 Optionspreistheorie 91 Out-of-Sample-Performance 464 Outperformance 42 passives Management 21 Passives Portfolio Management 62, 78 Performance Messung 39 Performanceanalyse 570 Performancebegriff 569 Performance-Index 83 Performancemaße absolute 572 aktive 577 einfache 572 passive 580 relative 577 Performance-Messung 41, 43, 568 Performance-Zurechnung 41 Performance-Zuschreibung 44, 46 physische Replikation 79 Portfolio aktives 389 Begriff 18 effizientes 224, 277 gleichgewichtet 20 ineffizientes 277 neutral, marktwertgewichtet 20 optimales 238 optimiert 20 strategisches 289 Struktur 19 Portfolio Investition 37 Portfolio Management 18, 20, 137, 179, 381 aktiv 36 aktives 66, 275, 287, 297 Begriff 19 passiv 36 passives 381 Portfolio Resampling 440 Portfolio Selection 174 Portfolio Selection Theory 216 Portfolioadditivität 84 Portfolio-Anteile 21 Portfoliogewichte 19, 39 Portfolio-Investition 23 Portfoliooptimierung 428, 511, 527, 532 absolute 300 relative 348 robuste 428, 433 Portfoliooptimierung nach Black- Litterman 532, 534 Portfoliooptimierung nach Markowitz 534 Portfolio-Planung 23 Portfolio-Rendite 19, 42 Portfolio-Resampling 551 Portfolio-Resampling-Methode 550 Portfoliorisiko 19, 217, 226, 227, 278 Portfolio-Selection-Modell 431 Portfoliotheorie 213, 214, 216 Annahmen 216 Grundlagen 214 moderne 214 Portfolio-Überprüfung, Feedback 23 Position, aktive 295, 388, 389 Prämisse der Nichtsättigung 234 Prämissen 248 Price-to-Book 72 Priors 451 private Anleger 22 Private Debt 60 Private Equity 58 <?page no="597"?> Stichwortverzeichnis 597 Prognosefehler 42 Prognosemeinungen 515 Prognosen, subjektive 510 Proportionalitätsfaktor 511 Psi-Funktion 447 quadratisches Streuungsmaß 101 Quantil, statistisches 52 quantitative Anlagestrategien 58 quantitative Methoden 22 Random Walk 183, 186 Rationaler Investor 232 Rebalancing 24, 33, 39 Referenzportfolio 514 Referenzrenditen 513 implizite 526 Regression, lineare 293 Regressionsanalyse 252 multivariate lineare 392 Regressionsmodell, lineares 257 REITS 56 Rendite 82, 256 absolute 572 aktive 289, 296, 387, 389, 577 arithmetische 574 direkte 572 diskrete 83 einfache 83 einfache, durchschnittliche 217 erwartete 156, 216, 219, 229, 240 geldgewichtete 575 geometrische 85, 575 historische 156 implizierte 512 implizite 531 logarithmische 89, 90 mittlere 190 periodenabhängige logarithmierte 303 residuale 578 risikoadjustierte 571 stetige 89, 90, 92, 573 überschüssige 572 Renditeprognose, relative 290 Rendite-Risiko-Beziehung 18 Rendite-Risiko-Diagramm 218, 231 Rendite-Risiko-Profil 19, 218, 220, 225 Renditeziele 25 Renten 55 Replikation 79 Replizierung 389 Resampling 548 Research 78, 503 Reskalierung 448 Return, unabhängiger 261 Reward-to-Variability-Ratio 581 Risiko 95, 295 aktives 289, 386, 578 finanzielles 49 Kredit 49 Liquidität 49 Markt 49 residuales 292, 296, 578 systematisches 30, 36, 222, 249, 260 unsystematisches 37, 222, 260 Risiko- und Renditeprofile 285 Risikoaversion 97, 233, 235 Risikoaversionsparameter 513 Risikobegriff 96 Risikobereitschaft 96 Risikoeigenschaften 53 Risikofreude 97, 233 Risikomanagement 48 Risikomaß 99 kohärent 100 statistisches 52 Risikomaße 25, 98 andere 98 <?page no="598"?> 598 Stichwortverzeichnis einseitige 98 qualitativer Natur 98 quantitativer Natur 98 symmetrische 104 zweiseitige 98 Risikomodifikation 51 Risikoneutralität 97, 233 Risikoprämie 49, 242, 248 Risikoscheu 97 Risikotoleranz 25 Risikotransfer 51 Risikoziele 25 robust 432, 444 Robuste Schätzer 440 Robuste Statistik, Überblick über die Vertreter 441 Robustheit 432 Rohstoffe 58 SAA, Schritte 35 Sachwertmotiv 54 Sampling 384 Schätzer Bayes‘scher 440 geschrumpfter 440, 450, 466 klassischer 443 robuster 440, 442 Schätzfehler 294, 438, 439 Ausmaß der ~ 435 Komponenten 436 Schätzfehlerproblematik 432 Schätzfunktionen, Übersicht 448 Schätzungen 217 Schätzverfahren, parametrisches 444 Schatzwechsel 56 Schnittebenenverfahren 163 Schrumpfung, optimale 454 Schrumpfungsfaktor 455, 456, 463 Schrumpfungsintensität 455 Schrumpfungsziel 463 Second Order Cone Programmierung 168 Securities Lending 228 Security Market Line 247 Selektion 297 Selektionsrisiko 296, 387, 578 Semi-Standardabweichung 108 Semivarianz 104 Sensitivität des optimalen Portfolios 437 Sharpe Ratio 241, 286, 328 Sharpe-Maß 581 Sharpe-Modell 259 Short-Portfolio 522, 530 Simulation 120 Single-Index-Modell 256, 291, 453 Size Effect 253 Skalar 144, 150 Skaleninvarianz 448 Skalierungsfaktor 303, 513 Small-Caps 61, 68 Small-Cap-Segment 69 Spalten 140 Spaltenvektor 141 Spekulationsmotiv 54 Staatsanleihen 55 Standardabweichung 52, 99, 101, 102, 216, 576 Statistik, robuste 440 Stein-Paradox 454 Stein-Schätzer 452 Steuern 249 Stichprobe 217 Stichprobenfunktion 442 Stichprobenmittelwert, geschrumpfter 455 <?page no="599"?> Stichwortverzeichnis 599 Stochastic Control 174 stochastische Prozesse 179, 181, 197 stochastische Steuerung 174 Stock Picking 68 Störfaktoren 259 Strategische Asset Allokation 30 SAA 24 subjektive Kriterien 21 Subtrahieren, komponentenweises 143 swapbasierte Replikation 80 synthetische Replikation 79, 80 Szenariobäume 173 Taktische Asset Allokation, TAA 24, 35 Tangentialportfolio 285, 286, 328, 341 Target Portfolio 384, 392 Teilbarkeit 249 Time-Weighted-Return 86 Timing 87, 292, 297 Timingfähigkeiten 349 Timingrisiko 296 Tobin-Separation 242, 285, 435 Top Down Approach 21 Top-Down-Ansatz 68 Total Return 83 Tracking Error 79, 384, 387, 580 Tracking Portfolio 22, 164, 384, 388 traditionelle Assetklassen 54 Transaktionskosten 78, 249 Transponieren 142, 148 transponierter Spaltenvektor 141 Treasury Bills 56 Trend 190 Treynor-Maß 581 Überschussrenditen 290, 292, 382 Umkehroptimierung 512 Verfahren der ~ 512 unbegrenztes Anlageuniversum 254 Unsicherheit 171, 181, 196, 431, 451 Unternehmensanleihen 55 unverzinsliche Schatzanweisungen 56 Value at Risk (VaR) 52, 107, 196 Value-Ansatz 70, 71, 74, 76 Value-Strategien 74 Variable 157 Varianz 101, 217, 576 aktive 295 Zerlegung 260 VBA-Makro 302 Vektoren 138, 141, 142, 143, 146, 148 Venture Capital 58 verbriefte Schuldverschreibungen 54 Vertrauen 511 verzinsliche Wertpapiere 54 Volatilität 52, 99, 102, 216, 576 annualisiert 102 Wertpapierleihe 228 Wertpapierlinie 245, 248 Wiener-Prozess 175, 180, 181, 183, 188 für Aktienkurse 190 Wohnimmobilien 55 Yield Strategy 74 Zeilen 140 Zeilenvektor 141 Zeitadditivität 84, 90 zeitgewichtete Rendite 85 zentraler Grenzwertsatz 92 Zielbereich 148 Zielfunktion 156, 157, 164 Zinssatz, risikoloser 239, 245, 248 Zufallsprozess 182 Zwei-Anlagen-Fall 217 <?page no="601"?> Portfolio Management 2. A. Ernst | Geisinger | Schurer Nach einer Einführung in die inhaltlichen und mathematischen Grundlagen demonstriert das Lehrbuch die wichtigsten quantitativen Modelle des aktiven und passiven Portfolio Managements mit ihren jeweiligen Stärken und Schwächen. Die praktische Umsetzung der Modelle wird anhand von Fallbeispielen in Excel und Matlab veranschaulicht. Fragestellungen am Ende jedes Kapitels sorgen für maximalen Lernerfolg. Die inhaltliche Konzeption des Lehrbuches, das komplett überarbeitet wurde, setzt keine besonderen Vorkenntnisse aus den Bereichen des Portfolio Managements voraus, sodass-das Lehrbuch als Rahmenwerk für die Einführung in-die Thematik des Portfolio Managements, aber auch im Rahmen einer Vertiefungsveranstaltung zum Thema Portfolio Management eingesetzt werden kann. utb+ Das Lehrwerk mit dem digitalen Plus Finance ISBN 978-3-8252-8793-1 Dies ist ein utb-Band aus dem UVK Verlag. utb ist eine Kooperation von Verlagen mit einem gemeinsamen Ziel: Lehr- und Lernmedien für das erfolgreiche Studium zu veröffentlichen. utb.de QR-Code für mehr Infos und Bewertungen zu diesem T itel Ernst | Geisinger | Schurer Portfolio Management Theorie und Praxis mit Excel und Matlab 2. Auflage 2025-04-24_8793-1_Ernst_Geisinger_Schurer_L_8562-PLUS_PRINT.indd Alle Seiten 2025-04-24_8793-1_Ernst_Geisinger_Schurer_L_8562-PLUS_PRINT.indd Alle Seiten 24.04.25 14: 15 24.04.25 14: 15