<?page no="2"?> Katrin Schmallowsky Analysis verstehen für Wirtschaftswissenschaftler UVK Verlagsgesellschaft mbH • Konstanz mit UVK/ Lucius • München <?page no="3"?> Prof. Dr. Katrin Schmallowsky, Unternehmensberaterin für den Mittelstand, ist Professorin für Mathematik an der NBS Northern Business School in Hamburg. Sie lehrt außerdem an verschiedenen Hochschulen, darunter die Hochschule Wismar, unter anderem Wirtschaftsmathematik, Statistik, Unternehmensbewertung und Mergers and Acquisitions. Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über <http: / / dnb.ddb.de> abrufbar. ISBN 978-3-86764-804-2 (Print) ISBN 978-3-7398-0344-9 (E-PUB) ISBN 978-3-7398-0345-6 (E-PDF) Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. © UVK Verlagsgesellschaft mbH, Konstanz und München 2017 Lektorat: Rainer Berger, München Abbildungen: erstellt mit GeoGebra (www.geogebra.org) Einbandgestaltung: Susanne Fuellhaas, Konstanz Printed in Germany UVK Verlagsgesellschaft mbH Schützenstr. 24 · 78462 Konstanz Tel. 07531-9053-0 · Fax 07531-9053-98 www.uvk.de <?page no="4"?> Vorwort F ¨ ur viele Studierende der Wirtschaftswissenschaften stellt das Erlernen mathematischer Inhalte und Methoden eine große Herausforderung dar. Dem gegen ¨ uber steht die aus der technologischen Entwicklung resultierende Notwendigkeit, gerade in den Wirtschaftswissenschaften die naturwissenschaftliche Methodenkompetenz der Studierenden immer st ¨ arker zu schulen. Das vorliegende Lehrbuch ist durch langj ¨ ahrige Dozentent ¨ atigkeiten in der Wirtschaftsmathematik an verschiedenen Hochschulen entstanden. Es behandelt die f ¨ ur Wirtschaftswissenschaftler wichtigsten Themenfelder der Analysis und verzichtet weitgehend auf Herleitungen und Beweise, um den Fokus auf die wirtschaftswissenschaftlichen Anwendungen der Analysis zu lenken. Die Themen umfassen zun ¨ achst eine Einf ¨ uhrung in Folgen und Reihen, wobei besonderer Wert auf die Anwendung der Inhalte in der Finanzmathematik in Form der Rentenrechnung gelegt wurde. In den folgenden Kapiteln werden h ¨ aufig vorkommende ( ¨ okonomische) Funktionen und ihre Eigenschaften betrachtet sowie die in den Wirtschaftswissenschaften h ¨ aufig auftretenden Anwendungen der Differentialrechnung, auch f ¨ ur mehrdimensionale Funktionen, vorgestellt. Die elementare Integralrechnung ist um die Bestimmung von Konsumenten- und Produzentenrente erg ¨ anzt. Zahlreiche Beispiele und ¨ Ubungsaufgaben, f ¨ ur welche die L ¨ osungen am Ende des Buches zusammengefasst sind, erleichtern dem Leser das Erlernen des Stoffes. Die Erstellung der Grafiken erfolgte mit der Software GeoGebra 1 . Die Erstellung eines Lehrbuches erfordert stets eine nicht unerhebliche Menge an Zeit und ich danke meinem Mann, Prof. Dr. Thomas Schmallowsky sowie meinen S ¨ ohnen Lasse und Theo f ¨ ur die Schaffung der entsprechenden Freir ¨ aume. Wismar, Juni 2017 Katrin Schmallowsky 1 c © International GeoGebra Institute, 2013, http: / / www.geogebra.org 5 <?page no="6"?> Inhaltsverzeichnis Symbolverzeichnis 9 1 Folgen und Reihen 13 1.1 Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.1.1 Eigenschaften von Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1.2 spezielle Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.2 Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 Funktionen mit einer Variablen 41 2.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.1.1 Darstellung von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.1.2 Elementare Eigenschaften von Funktionen . . . . . . . 44 2.1.3 Grenzwerte von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.1.4 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.2 Elementare Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.3 ¨ Okonomische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3 Differentialrechnung I 85 3.1 Differenzierbarkeit einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.1.1 Die erste Ableitung elementarer Funktionen . . . . . . 88 3.1.2 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3.1.3 H ¨ ohere Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.1.4 Ableitungen ¨ okonomischer Funktionen . . . . . . . . . 91 3.2 Anwendungen der Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . 97 3.2.1 Das Differential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.2.2 Die Wachstumsrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 3.2.3 Die Elastizit ¨ at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 3.2.4 Die Regel von de l’Hˆ opital . . . . . . . . . . . . . . . . 104 7 <?page no="7"?> 8 Inhaltsverzeichnis 3.2.5 Das Taylor-Polynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 3.2.6 Das Newton-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 3.3 Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 4 Integralrechnung 127 4.1 Das unbestimmte Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.2 Das bestimmte Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 4.3 Anwendungen der Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . 134 5 Differentialrechnung II 139 5.1 Definition von Funktionen im R n . . . . . . . . . . . . . . . . 139 5.1.1 ¨ Okonomische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 5.1.2 Homogenit ¨ at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 5.2 Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 5.2.1 Partielle Ableitungen erster Ordnung . . . . . . . . . . 149 5.2.2 Partielle Ableitungen h ¨ oherer Ordnung . . . . . . . . . 152 5.3 Anwendungen der Differentialrechnung II . . . . . . . . . . . . 156 5.3.1 Das Differential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 5.3.2 Die partielle Elastizit ¨ at . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 5.3.3 Extremwerte ohne Nebenbedingung . . . . . . . . . . . 164 5.3.4 Extremwerte mit Nebenbedingungen . . . . . . . . . . 172 6 L ¨ osungen 189 6.1 L ¨ osungen Kapitel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 6.2 L ¨ osungen Kapitel 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 6.3 L ¨ osungen Kapitel 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 6.4 L ¨ osungen Kapitel 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 6.5 L ¨ osungen Kapitel 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 Literaturhinweise 203 Stichwortverzeichnis 205 <?page no="8"?> Symbolverzeichnis N . . . . . . . . . . . . Nat ¨ urliche Zahlen R . . . . . . . . . . . . Reelle Zahlen R n . . . . . . . . . . . n-dimensionaler Raum der reellen Zahlen Z . . . . . . . . . . . . ganze Zahlen n ∈ N . . . . . . . . n ist Element der nat ¨ urlichen Zahlen a n . . . . . . . . . . . . n-tes Folgeglied bzw. Folgenvorschrift lim n→∞ a n . . . . . . . Grenzwert der Folge a n n ∑ k=1 a n . . . . . . . . Partialsumme s n K 0 . . . . . . . . . . . Kapital zum Zeitpunkt Null, auch Rentenbarwert K n . . . . . . . . . . . Kapital nach n Jahren, auch Rentenendwert R . . . . . . . . . . . . gleichbleibende Ratenzahlung p . . . . . . . . . . . . . Zinsfuß q . . . . . . . . . . . . . Aufzinsungsfaktor, q = 1 + p 100 D f . . . . . . . . . . . Definitionsbereich der Funktion f(x) W f . . . . . . . . . . . Wertebereich der Funktion f(x) U ε (x) . . . . . . . . ε− Umgebung von x 9 <?page no="9"?> 10 Symbolverzeichnis A ⊆ B . . . . . . . Die Menge A ist Teilmenge der Menge B. f ◦ g . . . . . . . . . Komposition der Funktionen f und g f −1 (y) . . . . . . . Umkehrfunktion lim x→x ∗ − f(x) . . . linksseitiger Grenzwert von f an der Stelle x ∗ lim x→x ∗ + f(x) . . . rechtsseitiger Grenzwert von f an der Stelle x ∗ f ′ (x) . . . . . . . . . erste Ableitung von f(x), auch Differentialquotient dy dx . . . . . . . . . . . . Differentialquotient, auch erste Ableitung von f(x) d dx f(x) . . . . . . . Differentialquotient, auch erste Ableitung von f(x) f ′′ (x) . . . . . . . . zweite Ableitung von f(x) d 2 y d 2 x . . . . . . . . . . . zweite Ableitung von f(x) Δx . . . . . . . . . . . ¨ Anderung von x Δy Δx . . . . . . . . . . . Differenzenquotient df(x) . . . . . . . . . Differential, auch dy w f (x) . . . . . . . . Wachstumsrate ε yx (x) . . . . . . . . Elastizit ¨ at von y in Bezug auf x F (x) . . . . . . . . . Stammfunktion von f(x), auch unbestimmtes Integral ∫ f(x)dx . . . . . unbestimmtes Integral, auch Stammfunktion von f(x) ∫ b a f(x)dx . . . . bestimmtes Integral f x i . . . . . . . . . . . partielle Ableitung erster Ordnung ∇f . . . . . . . . . . . Gradient f x i x j . . . . . . . . . partielle Ableitung zweiter Ordnung H f . . . . . . . . . . . Hessematrix ε x i p j . . . . . . . . . . Kreuzpreiselastizit ¨ at |A i | . . . . . . . . . . Hauptunterdeterminante i-ter Ordnung <?page no="10"?> Symbolverzeichnis 11 . . . . . . . . . . . . . . Verwendete Griechische Buchstaben α, A . . . . . . . . . Alpha β, B . . . . . . . . . Beta δ, Δ . . . . . . . . . Delta ε, ε . . . . . . . . . . Epsilon λ, Λ . . . . . . . . . . Lambda π, Π . . . . . . . . . Pi . . . . . . . . . . . . . . Verwendete Symbole . . . . . . . . . . Aufgabe . . . . . . . . . . Beispiel . . . . . . . . . . Definition . . . . . . . . . . Satz <?page no="12"?> 1 Folgen und Reihen Folgen und Reihen spielen in vielen ¨ okonomischen Fragestellungen eine wichtige Rolle. So lassen sich beispielsweise die Zinsrechnung, die Rentenrechnung und auch die Unternehmensbewertung auf Folgen und Reihen zur ¨ uckf ¨ uhren. In diesem Kapitel sollen zun ¨ achst Folgen sowie deren wesentliche Eigenschaften vorgestellt werden. Im zweiten Teil des Kapitels erfolgt die Erweiterung auf Reihen; dabei wird insbesondere auf die genannten Anwendungen eingegangen. 1.1 Folgen Betrachtet man f ¨ ur eine beliebige Abbildung nur jene Werte, die sich durch Einsetzen von Argumenten n aus den nat ¨ urlichen Zahlen ergeben, so erh ¨ alt man eine Punktmenge, die sogenannte Folge. Durch die Wahl der Argumente n aus den nat ¨ urlichen Zahlen ist in der Folge gleichzeitig eine Reihenfolge festgelegt. Ist die Indexmenge N unbegrenzt, so spricht man von einer unendlichen Folge, ansonsten von einer endlichen Folge. Definition 1.1.1 Eine Folge ist eine Abbildung f : N −→ R n +−→ f(n). Der Wert a n : = f(n), n = 1, 2, . . . heißt n-tes Folgeglied, a 1 ist der Startwert; ¨ ubliche Schreibweisen f ¨ ur Folgen sind f = (a n ) n∈N oder (a n ). 13 <?page no="13"?> 14 Kapitel 1. Folgen und Reihen Bemerkung 1.1.1 F ¨ ur Folgen sind verschiedene Darstellungsformen definiert: • explizite Darstellung (a n ) mit der Folgenvorschrift a n = f(n) • Aufz ¨ ahlung: (a n ) = {a 1 , a 2 , a 3 , . . .} • rekursive Darstellung (a n ) mit a n = f(a n−1 ), a 1 gegeben Die Aufz ¨ ahlung wird ¨ ublicherweise bei endlichen Folgen verwendet oder in F ¨ allen, in welchen zum Beispiel durch Messungen nur einzelne Werte bekannt sind. Aus diesen Messwerten soll dann die rekursive oder die explizite Darstellung abgeleitet werden. Die rekursive Darstellung birgt den Nachteil, dass f ¨ ur hohe Indizes zun ¨ achst alle vorherigen Folgeglieder bestimmt werden m ¨ ussen. Die h ¨ aufigste Verwendung findet daher die explizite Darstellung, da bei dieser die Berechnung eines Folgegliedes unabh ¨ angig von allen vorherigen Folgegliedern ist. Im folgenden Beispiel sind f ¨ ur vier Folgen die verschiedenen Darstellungsformen angegeben. Beispiel 1.1.1 1. Die Folge (a n ) mit a n = n kann wie folgt dargestellt werden: • explizite Darstellung: a n = n • Aufz ¨ ahlung: (a n ) = {1, 2, 3, . . .} • rekursive Darstellung: a n = a n−1 + 1, a 1 = 1. 2. Die Folge (a n ) mit a n = (−1) n kann wie folgt dargestellt werden: • explizite Darstellung: a n = (−1) n • Aufz ¨ ahlung: (a n ) = {−1, 1, −1, . . .} • rekursive Darstellung: a n = a n−1 · (−1), a 1 = −1. 3. Die Folge (a n ) mit a n = n 2 kann wie folgt dargestellt werden: • explizite Darstellung: a n = n 2 • Aufz ¨ ahlung: (a n ) = {1, 4, 9, 16, 25, . . .} • rekursive Darstellung: a n = ( √ a n−1 + 1) 2 , a 1 = 1. <?page no="14"?> 1.1. Folgen 15 1.1.1 Eigenschaften von Folgen Im Folgenden werden die wichtigsten Eigenschaften von Folgen vorgestellt. Monotonie und Beschr ¨ anktheit Eine wichtige Rolle bei der Auswertung von Folgen spielt die Frage, ob die Folge eine gleichm ¨ aßige Entwicklung beschreibt und ob der Entwicklung einer Folge Grenzen gesetzt sind. Definition 1.1.2 Eine Folge (a n ) heißt • monoton wachsend, wenn f ¨ ur alle n ∈ N gilt : a n−1 ≤ a n ; • monoton fallend, wenn f ¨ ur alle n ∈ N gilt : a n−1 ≥ a n ; • streng monoton wachsend, wenn f ¨ ur alle n ∈ N gilt : a n−1 < a n ; • streng monoton fallend, wenn f ¨ ur alle n ∈ N gilt : a n−1 > a n ; • Eine Folge heißt nach unten bzw. nach oben beschr ¨ ankt, wenn f ¨ ur alle n ∈ N gilt: a n ≥ u ∈ R bzw. a n ≤ o ∈ R, Der Wert u wird als untere Schranke, o als obere Schranke bezeichnet. • Eine Folge heißt beschr ¨ ankt falls sie nach unten und oben beschr ¨ ankt ist u ≤ a n ≤ o. <?page no="15"?> 16 Kapitel 1. Folgen und Reihen Beispiel 1.1.2 1. Gegeben sei die Folge (a n ) mit a n = 1 2 n . Es ist (a n ) = { 1 2 , 1 4 , 1 8 , . . .}; diese Folge ist streng monoton fallend und beschr ¨ ankt durch 0 ≤ a n ≤ 1 2 . 2. Gegeben sei die Folge (a n ) mit a n = √ n. Es ist (a n ) = {1, √ 2, √ 3, . . .}; diese Folge ist streng monoton wachsend und nach unten beschr ¨ ankt durch u = 1. 3. Gegeben sei die Folge (a n ) mit a n = n−1 n . Es ist (a n ) = {0, 1 2 , 2 3 , . . .}; diese Folge ist streng monoton wachsend und beschr ¨ ankt durch 0 ≤ a n ≤ 1. Da f ¨ ur Folgen die ¨ ublichen Rechenoperationen (Addition, skalare Multiplikation und Multiplikation von Folgen) definiert sind, setzen sich die soeben betrachteten Eigenschaften entsprechend der nachfolgenden S ¨ atze fort. Satz 1.1.1 Seien (a n ) und (b n ) gleichgerichtete monotone reelle Folgen und α ∈ R. Dann sind die Folgen 1. (a n + b n ); 2. α · (a n ); 3. (a n · b n ) ebenfalls monoton. F ¨ ur α > 0 bleibt die Richtung der Monotonie erhalten, f ¨ ur α < 0 kehrt sich die Richtung der Monotonie um. Satz 1.1.2 Seien (a n ) und (b n ) beschr ¨ ankte reelle Folgen und α ∈ R. Dann sind die Folgen 1. (a n + b n ); 2. α · (a n ); 3. (a n · b n ) ebenfalls beschr ¨ ankt. <?page no="16"?> 1.1. Folgen 17 Konvergenz H ¨ aufig soll untersucht werden, ob eine Folge ¨ uber einen langen Zeitraum gegen einen bestimmten Wert strebt. Zur Beantwortung dieser Frage wird eine Konvergenzuntersuchung durchgef ¨ uhrt. Kommen die Glieder a n der Folge mit wachsendem Index n einem Grenzwert a beliebig nahe, so nennt man die Zahlenfolge (a n ) konvergent. Definition 1.1.3 Eine Folge (a n ) heißt konvergent mit dem Grenzwert a, falls zu jedem ε > 0 eine Zahl n ε ∈ N existiert, so dass f ¨ ur alle n ≥ n ε gilt |a n − a| < ε. Man schreibt dann lim n→∞ a n = a oder a n → a f ¨ ur n → ∞. Eine Folge, die nicht konvergent ist, nennt man divergent. Obige Aussage muss dabei f ¨ ur jedes ε > 0 erf ¨ ullbar sein. Je kleiner ε gew ¨ ahlt wird, umso gr ¨ oßer wird der Index n ε , ab welchem die Bedingung erf ¨ ullt ist. Beispiel 1.1.3 Betrachtet werde die Folge (a n ) mit a n = 1 n . Es ist lim n→∞ 1 n = 0. Beweis: Sei ε > 0 sehr klein und n ε > 1 √ ε , dann folgt f ¨ ur alle n ≥ n ε > 1 ε gilt | 1 n − 0| = 1 n < 1 n ε < 1 ( 1 ε ) 2 = ε. Der Begriffder Divergenz wird h ¨ aufig zus ¨ atzlich unterschieden in echte Divergenz und uneigentliche Konvergenz. Definition 1.1.4 Sei (a n ) eine Folge. Dann ist • lim n→∞ a n = ∞, falls f ¨ ur alle M > 0 ein n M ∈ N existiert, sodass f ¨ ur alle n ≥ n M gilt a n > M . • lim n→∞ a n = −∞, falls f ¨ ur alle M > 0 ein n M ∈ N existiert, sodass f ¨ ur alle n ≥ n M gilt a n < −M . <?page no="17"?> 18 Kapitel 1. Folgen und Reihen Diese Aussagen m ¨ ussen f ¨ ur alle positiven Werte von M , insbesondere f ¨ ur sehr große Werte, erf ¨ ullt sein. Sie werden daher umgangssprachlich auch gesprochen als die Folge w ¨ achst ¨ uber bzw. f ¨ allt unter alle Schranken. Bei den meisten Folgen ist der Grenzwert anhand der expliziten Darstellung der Folge leicht ablesbar. Im folgenden Beispiel sind Grenzwerte h ¨ aufig verwendeter Folgen angegeben. Beispiel 1.1.4 • lim n→∞ 1 n a = 0 f ¨ ur a > 0. • lim n→∞ n a = ∞ f ¨ ur a > 0. Die Folge ist uneigentlich konvergent. • lim n→∞ n a a n = 0 f ¨ ur a > 1. • lim n→∞ ( 1 + 1 k ) k = e = 2, 7182818 . . . • Die Folge (a n ) mit a n = (−1) n ist divergent, sie oszilliert zwischen −1 und 1. • lim n→∞ (−1) n · 1 n = 0. Satz 1.1.3 Eine monotone und beschr ¨ ankte Folge ist konvergent. Beispiel 1.1.5 Gegeben sei die Folge (a n ) mit a n = 4 − 1 n . Es ist (a n ) = {3; 7 2 ; 11 3 ; 15 4 , . . .}. Diese Folge ist monoton wachsend, da 4 − 1 n + 1 ≥ 4 − 1 n . Sie ist ferner beschr ¨ ankt durch 3 ≤ a n ≤ 4 f ¨ ur n ∈ N. Es gilt lim n→∞ a n = 4. <?page no="18"?> 1.1. Folgen 19 Auch f ¨ ur zusammengesetzte Folgen werden Grenzwerte gesucht. Die folgenden Grenzwerts ¨ atze erleichtern die Bestimmung. Satz 1.1.4 Seien (a n ) und (b n ) konvergente Folgen mit den Grenzwerten a und b und sei α ∈ R. Dann gelten: 1. lim n→∞ (a n ± α) = a ± α; 2. lim n→∞ (α · a n ) = α · a; 3. lim n→∞ (a n ± b n ) = a ± b; 4. lim n→∞ (a n · b n ) = a · b; 5. lim n→∞ ( a n b n ) = a b , wobei b n == 0 f ¨ ur alle n ∈ N und b == 0 Beispiel 1.1.6 1. Gegeben sei die Folge (a n ) mit a n = 1 n · ( n−1 n ) . Es ist lim n→∞ n − 1 n = lim n→∞ 1 − 1 n = lim n→∞ 1 − lim n→∞ 1 n = 1 − 0 = 1. Damit gilt lim n→∞ a n = lim n→∞ 1 n · lim n→∞ n − 1 n = 0 · 1 = 0. 2. Gegeben sei die Folge (a n ) mit a n = n 2 −(n−1) 2 n . Dann ist a n = n 2 − (n − 1) 2 n = n 2 − (n 2 − 2n + 1) n = n 2 − n 2 + 2n − 1 n = n(2 − 1 n ) n = 2 − 1 n ; also ist lim n→∞ a n = lim n→∞ 2 − 1 n = lim n→∞ 2 − lim n→∞ 1 n = 2 − 0 = 2. <?page no="19"?> 20 Kapitel 1. Folgen und Reihen Ein Sonderfall liegt bei Folgen vor, welche in Z ¨ ahler und Nenner Polynome enthalten. Bemerkung 1.1.2 Besteht die Folge aus Polynomen in Z ¨ ahler und Nenner, so gilt • Ist die h ¨ ochste Potenz des Z ¨ ahlers gr ¨ oßer als die h ¨ ochste Potenz des Nenners, dann konvergiert die Folge uneigentlich gegen ± Unendlich. • Ist die h ¨ ochste Potenz des Z ¨ ahlers kleiner als die h ¨ ochste Potenz des Nenners, dann konvergiert die Folge gegen Null. • Stimmt die h ¨ ochste Potenz des Z ¨ ahlers mit der h ¨ ochsten Potenz des Nenners ¨ uberein, so konvergiert die Folge gegen den Quotienten der beiden f ¨ uhrenden Koeffizienten. Diese Vorgehensweise l ¨ asst sich auch auf Exponentialausdr ¨ ucke ¨ ubertragen. Beispiel 1.1.7 1. Betrachtet werde die Folge (a n ) mit a n = 2n 3 −n 2 +45 n 3 +4n 2 −6 . Es ist a n = n 3 (2 − 1 n + 45 n 3 ) n 3 (1 + 4 n − 6 n 3 ) = 2 − 1 n + 45 n 3 1 + 4 n − 6 n 3 . Da lim n→∞ 1 n = 0, lim n→∞ 45 n 3 = 0, lim n→∞ 4 n = 0 und lim n→∞ 6 n 3 = 0, folgt lim n→∞ a n = 2 1 . 2. Es ist a n = n+5 n 3 −n 2 +23 → 0. 3. Es ist a n = n 5 −n 3 +2n n 2 +4n−75 → ∞. 4. Gegeben sei die Folge (a n ) mit a n = n · ( n 3 −1 n 3 − n(n−1) n 2 ) . Dann ist a n = n· ( n 3 −1 n 3 − n 2 −n n 2 ) = n· ( n 3 −1 n 3 − n 3 −n 2 n 3 ) = n· ( n 3 −1−n 3 +n 2 n 3 ) = n · n 3 −1−n 3 +n 2 n 3 = n · n 2 −1 n 3 = n 3 −n n 3 und daher ist lim n→∞ a n = 1. <?page no="20"?> 1.1. Folgen 21 1.1.2 spezielle Folgen In diesem Abschnitt werden besondere Folgen vorgestellt und wesentliche Anwendungen erl ¨ autert. Definition 1.1.5 • Eine Folge, deren Glieder alle ¨ ubereinstimmen, wird konstante Folge genannt. a n = a 1 f ¨ ur alle n ∈ N. • Eine Folge, deren Werte abwechselnd positiv und negativ sind, heißt alternierende Folge. a n ·a n+1 < 0 bzw. a n = (−1) n b n f ¨ ur eine nicht alternierende Folge (b n ). • Eine Folge, die gegen 0 konvergiert, heißt Nullfolge. lim n→∞ a n = 0. F ¨ ur die oben genannten Folgen gelten folgende Zusammenh ¨ ange. Bemerkung 1.1.3 • Eine konstante Folge ist immer beschr ¨ ankt und konvergent. • Eine alternierende Folge ist nicht monoton. Beispiel 1.1.8 1. Die Folge (a n ) mit a n = 2 f ¨ ur alle n ∈ N ist konstant. 2. Die Folge (a n ) mit a n = 1 2 n ist eine Nullfolge. 3. Die Folge (a n ) mit a n = 1 3n ist eine Nullfolge. 4. Die Folge (a n ) mit a n = (−1) n 1 n 2 ist eine alternierende Folge mit dem Grenzwert 0. Die ¨ okonomischen Anwedungsgebiete der Folgen lassen sich in weiten Teilen auf zwei spezielle Folgen zur ¨ uckf ¨ uhren, welche im Folgenden vorgestellt werden. <?page no="21"?> 22 Kapitel 1. Folgen und Reihen Arithmetische Folgen Definition 1.1.6 Eine arithmetische Folge ist eine Zahlenfolge, bei der die Differenz zweier benachbarter Folgeglieder konstant ist, a n+1 = a n + d (rekursive Darstellung). Das k−te Glied dieser Folge berechnet sich aus a n = a 1 + (n − 1)d (explizite Darstellung). Der Name arithmetische Folge ergibt sich aus der Tatsache, dass ein Folgeglied stets dem arithmetischen Mittel aus Vor- und Folgeglied entspricht: a n = a n+1 + a n−1 2 . Eine arithmetische Folge ist durch das Anfangsglied a 1 und die Differenz d der Folgeglieder eindeutig bestimmt. Bemerkung 1.1.4 Jede arithmetische Folge a n = a 1 + (n − 1)d mit d == 0 ist uneigentlich konvergent und nicht beschr ¨ ankt. Beispiel 1.1.9 1. Die Folge der ungeraden nat ¨ urlichen Zahlen {1, 3, 5, . . . , 2n+ 1} ist eine arithmetische Folge mit Anfangsglied a 1 = 1 und Differenz d = 2. Die explizite Darstellung der Folge ergibt sich zu a n = 1 + (n − 1) · 2. 2. Die Folge {3, 7, 11, 15, . . .} ist eine arithmetische Folge mit Anfangsglied a 1 = 3 und Differenz d = 4. Die explizite Darstellung der Folge ergibt sich zu a n = 3 + (n − 1) · 4. 3. Die Folge {8, 5, 2, −1, −4, . . .} ist eine arithmetische Folge mit Anfangsglied a 1 = 8 und Differenz d = −3. Die explizite Darstellung der Folge ergibt sich zu a n = 8 + (n − 1) · (−3). <?page no="22"?> 1.1. Folgen 23 4. In einem Unternehmen wird ein Gut im Wert von 25.000 EUR angeschafft, welches eine Nutzungsdauer von 10 Jahren ausweist. Die Entwicklung des Restbuchwertes des angeschafften Gutes entspricht dann einer arithmetischen Folge mit Anfangsglied a 1 = 25.000 und Differenz d = − 25.000 10 = −2.500 EUR. Die explizite Darstellung der Folge ergibt sich zu a n = 25.000 + (n − 1) · (−2.500). Mithilfe der expliziten Darstellung kann nun der Restbuchwert nach sechs Jahren angegeben werden, ohne die vorherigen Folgeglieder zu berechnen: a 6 = 25.000 + (6 − 1) · (−2.500) = 25.000 − 12.500 = 12.500, der Restbuchwert nach sechs Jahren betr ¨ agt 12.500 EUR. Geometrische Folgen Definition 1.1.7 Eine geometrische Folge ist eine Zahlenfolge, bei der das Verh ¨ altnis (der Quotient) zweier benachbarter Folgeglieder konstant ist, a n = a 1 q n−1 , (explizite Form); bzw. a n+1 = a n q, (rekursive Form). Der Name geometrische Folge ergibt sich aus der Tatsache, dass ein Folgeglied stets dem geometrischen Mittel aus Vor- und Folgeglied entspricht: a n = √ a n−1 a n+1 . Eine geometrische Folge ist durch das Anfangsglied a 1 und den Vervielf ¨ altiger q der Folgeglieder eindeutig bestimmt. <?page no="23"?> 24 Kapitel 1. Folgen und Reihen Beispiel 1.1.10 1. Die Folge (a n ) = {3, 6, 12, 24, . . .} ist eine geometrische Folge mit dem Anfangsglied a 1 = 3 und Vervielf ¨ altiger q = 2. Die explizite Darstellung der Folge ergibt sich zu a n = 3 · 2 n−1 . 2. Ein Bankkunde legt 3.000 EUR bei seiner Bank an. Diese sichert ihm 3% Zinsen p.a. (mit Zinseszins) zu. Gem ¨ aß der Zinsformel K n = K 0 ( 1 + p 100 ) n gilt f ¨ ur das vorliegende Beispiel K n = 3.000 · 1, 03 n . Dies entspricht bereits einer geometrischen Folge. Allerdings entspricht der Anfangswert dieser geometrischen Folge a 0 = 3.000. Um eine einheitliche Notation zu erhalten, kann diese Folge an die bisher verwendete Notation angepasst werden: K n = 3.000 · 1, 03 n = 3.000 · 1, 03 · 1, 03 n−1 = 3.090 · 1, 03 n−1 . Die Entwicklung des Gesamtkapitals entspricht somit einer geometrischen Folge mit Anfangsglied a 1 = 3.090 EUR und Vervielf ¨ altiger q = 1, 03. Bemerkung 1.1.5 F ¨ ur eine geometrische Folge gilt lim n→∞ a n = lim n→∞ a 1 q n−1 = a 1 lim n→∞ q n−1 und damit folgt: 1. Eine geometrische Folge mit |q| < 1 konvergiert gegen 0. 2. F ¨ ur q = 1 erh ¨ alt man die konstante Folge {a 1 , a 1 , . . .}. 3. F ¨ ur q = −1 erh ¨ alt man die alternierende Folge {a 1 , −a 1 , a 1 , . . .}, diese ist divergent. 4. F ¨ ur |q| > 1 ist die geometrische Folge divergent. Sowohl bei der arithmetischen als auch bei der geometrischen Folge sollte der erste Schritt zu einer L ¨ osung stets die Bestimmung von a 1 und d im Falle der arithmetischen Folge bzw. a 1 und q im Falle der geometrischen Folge sein. <?page no="24"?> 1.1. Folgen 25 Aufgaben Aufgabe 1.1.1 Geben Sie zu den Folgen die jeweils fehlenden Darstellungsformen an: a) (a n ) = {0, 1 2 , 2 3 , . . .} b) a n = 3 · 2 n−1 c) a n = 2 · a n−1 , a 1 = 3 d) a n = {2, 3, 2, 3, . . .} Aufgabe 1.1.2 Untersuchen Sie die Folgen auf Monotonie und Beschr ¨ anktheit. a) a n = 1 + 1 n b) a n = n 2 − n c) a n = n−1 n − 1 Aufgabe 1.1.3 Untersuchen Sie die Folgen auf Konvergenz a) a n = 4n−6 2n b) a n = √ n n Aufgabe 1.1.4 Untersuchen Sie die Folgen mithilfe der Grenzwerts ¨ atze auf Konvergenz. a) a n = 6n(n 2 −25n)−15 2n 3 b) a n = 9n 2 −2n+16 3n 3 −5 c) a n = 7n 4 −2n 3 +5n−12 n(3n 2 +11)−2n 2 d) a n = n · ( n 2 −n n 2 − n+1 n ) <?page no="25"?> 26 Kapitel 1. Folgen und Reihen Aufgabe 1.1.5 Geben Sie f ¨ ur die Folgen an, ob es sich um eine arithmetische oder eine geometrische Folge handelt. Geben Sie ferner die explizite Darstellung der Folge an. a) (a n ) = {4, 7, 10, . . .} b) (a n ) = {2, 4, 8, 16, . . .} c) (a n ) = { 5 3 , 5 9 , 5 27 , . . .} d) (a n ) = {16, 8, 0, −8, . . .} e) (a n ) = {16, 4, 1, 1 4 , 1 16 , . . .} f) (a n ) = {27, 22, 17, 12, . . .} g) (a n ) = {1; 0, 7; 0, 49; . . .} Aufgabe 1.1.6 Ein Unternehmen produziert im ersten Jahr 12.000 St ¨ uck eines Gutes. Durch gezielte Marketing-Strategien soll die Produktion und somit auch die Absatzmenge j ¨ ahrlich um 5% gesteigert werden. a) Geben Sie die explizite Darstellung der Folge an. b) Welche St ¨ uckzahlen werden im vierten bzw. im achten Jahr produziert? Aufgabe 1.1.7 Ein Schwimmer legt am ersten Trainingstag 500 m zur ¨ uck. Diese Strecke soll pro Trainingstag um 150 m gesteigert werden. a) Geben Sie die explizite Darstellung der Folge an. b) Welche Strecke legt der Schwimmer am dritten bzw. am neunten Tag zur ¨ uck? Aufgabe 1.1.8 Wie lange dauert es, bis sich bei 2% Zinsen p.a. ein Kapital von 2.000 EUR verdoppelt hat bei a) einfacher Verzinsung? b) Verzinsung mit Zinseszins? <?page no="26"?> 1.2. Reihen 27 1.2 Reihen Aus jeder Zahlenfolge (a n ) kann eine Zahlenreihe gebildet werden. Definition 1.2.1 Sei (a n ) eine Folge. Dann heißt s n : = n ∑ k=1 a k = a 1 + a 2 + · · · + a n n−te Partialsumme von (a n ). ∞ ∑ n=1 a n = lim n→∞ s n heißt unendliche Reihe. Die Reihe ∞ ∑ n=1 a n heißt konvergent, wenn die Folge der Partialsummen (s n ) konvergent ist. Gilt lim n→∞ s n = s, so heißt s der Reihenwert und man schreibt s = ∞ ∑ n=1 a n . Die Reihe ∑ ∞ n=1 a n heißt divergent, wenn sie nicht konvergent ist. Besondere Anwendungen ergeben sich f ¨ ur die im letzten Abschnitt betrachteten speziellen Folgen. Arithmetische Reihe Definition 1.2.2 Eine arithmetische Reihe ergibt sich als Summe der Glieder einer arithmetischen Folge. Die Summe der ersten n Folgeglieder einer arithmetischen Folge s n = a 1 + (a 1 + d) + (a 1 + 2d) + · · · + (a 1 + (n − 1)d) = n ∑ k=1 (a 1 + (k − 1)d) wird als Partialsumme bezeichnet <?page no="27"?> 28 Kapitel 1. Folgen und Reihen Zumeist interessiert man sich in Anwendungen eher f ¨ ur den Wert der Partialsummen als f ¨ ur den Reihenwert, sodass deren Berechnung im folgenden Satz thematisiert wird. Satz 1.2.1 Zur Berechnung der Partialsummen s n einer arithmetischen Folge gilt folgende Formel: s n = n ∑ k=1 (a 1 + (k − 1)d) = n 2 (2a 1 + (n − 1)d) = n 2 (a 1 + a n ) . Beweis: mittels vollst ¨ andiger Induktion Induktionsanfang: Sei n = 1. Dann gilt s 1 = a 1 = 1 2 (a 1 + a 1 ) = a 1 √ . Induktionsvoraussetzung: s n = n ∑ k=1 a k = n 2 (a 1 + a n ) Induktionsschluss: n ↪→ n + 1, zu zeigen: s n+1 = n+1 2 (a 1 + a n+1 ). s n+1 = ∑ n+1 k=1 a k = a n+1 + ∑ n k=1 a k = a 1 + nd + n 2 (a 1 + a n ) = a 1 + nd + n 2 a 1 + n 2 (a 1 + (n − 1)d) = a 1 + nd + n 2 a 1 + n 2 a 1 + n 2 (n − 1)d = (n + 1)a 1 + d ( n(n−1)+2n 2 ) = (n + 1)a 1 + d ( n(n+1) 2 ) = n+1 2 (2a 1 + nd) = n+1 2 (a 1 + a 1 + nd) = n+1 2 (a 1 + a n+1 ) . <?page no="28"?> 1.2. Reihen 29 Bemerkung 1.2.1 Die arithmetische Reihe ∑ ∞ n=1 (a 1 + (n − 1)d) ist divergent. Die arithmetische Reihe l ¨ asst sich auf eine Vielzahl ¨ okonomischer Fragestellungen anwenden. Sie tritt immer dann auf, wenn eine regelm ¨ aßige lineare Entwicklung vorliegt. Beispiel 1.2.1 1. Gegeben sei mit (a n ) = {1, 2, 3, . . .} die arithmetische Folge der nat ¨ urlichen Zahlen. Dies ist eine arithmetische Folge mit a 1 = 1 und d = 1. Es ist mithin s n = n ∑ k=1 k = 1 + 2 + · · · + n = n(n + 1) 2 und damit lim n→∞ s n = ∞. 2. F ¨ ur die gr ¨ oßte Dosenpyramide der Welt stellen die Rekordj ¨ ager in der untersten Reihe 1.000 Dosen nebeneinander. In jeder weiteren Reihe steht eine Dose weniger. Wie viele Dosen werden verbaut? Auch hier liegt eine arithmetische Folge bzw. Reihe vor. Das Anfangsglied ist a 1 = 1.000, die Differenz betr ¨ agt d = −1. F ¨ ur die Anzahl der Reihen wird sofern sie nicht direkt erkannt wird untersucht, welche Reihe keine Dose mehr enth ¨ alt: a n = 0, also 1.000 + (n − 1)(−1) = 0 und somit n = 1.001. Die 1.001. Reihe enth ¨ alt also keine Dose mehr. Daraus folgt, dass die letzte Reihe mit genau einer Dose die 1.000. Reihe ist. F ¨ ur die Anzahl der Dosen gilt dann: Es werden s 1.000 = 1.000 2 (1.000 + 1) = 500.500 Dosen verbaut. 3. F ¨ ur eine zu installierende W ¨ armepumpe soll ein Loch mit einer Tiefe von 55 Metern gebohrt werden. Auf Grund der schwierigen Bodenverh ¨ altnisse kann der Bohrer in der ersten Stunde noch 15 Meter, in jeder weiteren Stunde jedoch zwei Meter weniger bohren. Der Sachverhalt entspricht einer arithmetischen Folge mit Anfangsglied a 1 = 15 und Differenz d = −2. Die explizite Darstellung der Folge ergibt sich zu a n = 15 + (n − 1) · (−2). <?page no="29"?> 30 Kapitel 1. Folgen und Reihen Die Folgeglieder geben an, wie tief der Bohrer an den einzelnen Tagen bohrt. Um die Gesamttiefe zu bestimmen, wird die Partialsumme ben ¨ otigt. Es ist s n = n 2 (a 1 + a n ) = n 2 (a 1 + a 1 + (n − 1)d) = 55. Diese Gleichung muss nun nach n aufgel ¨ ost werden: n 2 (2 · 15 + (n − 1)(−2)) = 55 n 2 (32 − 2n) = 55 16n − n 2 = 55 n 2 − 16n + 55 = 0 n 1,2 = 8 ± √ 64 − 55 = 8 ± √ 9 n = 5 ∨ n = 11. Es sind • a 5 = 15 + (5 − 1)(−2) = 5 und • a 11 = 15 + (11 − 1)(−2) = −5, sodass offensichtlich n = 5 die einzige ¨ okonomisch sinnvolle L ¨ osung ist. Der Bohrer ben ¨ otigt f ¨ ur die 55 Meter tiefe Bohrung also 5 Stunden. Geometrische Reihe Definition 1.2.3 Eine geometrische Reihe entsteht aus der Summe der Glieder einer geometrischen Folge, ∞ ∑ k=1 a 1 q k−1 , ( = a 1 + a 1 q + a 1 q 2 + · · · ). Die Summe der ersten n Glieder einer geometrischen Folge s n = n ∑ k=1 a 1 q k−1 wird als Partialsumme bezeichnet. <?page no="30"?> 1.2. Reihen 31 Satz 1.2.2 Die Partialsumme einer geometrischen Folge (a n ) mit a n = a 1 · q n−1 kann berechnet werden durch s n = { na 1 , falls q = 1, a 1 1−q n 1−q falls q == 1. Beweis: Zum Nachweis obiger Formel wird die Partialsumme sowie die mit q multiplizierte Partialsumme betrachtet s n = a 1 + a 1 q + a 1 q 2 + · · · + a 1 q n−1 s n q = a 1 q + a 1 q 2 + a 1 q 3 + · · · + a 1 q n Subtrahiert man beide Gleichungen voneinander, so ergibt sich s n − s n q = a 1 − a 1 q n und somit s n (1 − q) = a 1 (1 − q n ) und dies ergibt s n = a 1 1 − q n 1 − q . Bemerkung 1.2.2 Eine unendliche geometrische Reihe konvergiert genau dann, wenn |q| < 1: lim n→∞ s n = lim n→∞ a 1 − q n 1 − q = a 1 − q , da lim n→∞ q n = 0 f ¨ ur |q| < 1. Ist |q| ≥ 1, so divergiert die Reihe. Die geometrische Reihe bietet zahlreiche Anwendungen im Bereich der ¨ Okonomie, unter anderem auf dem Gebiet der Unternehmensbewertung und der Rentenrechnung. Letztere soll im Folgenden vorgestellt. <?page no="31"?> 32 Kapitel 1. Folgen und Reihen Rentenrechnung Der Begriffder Rentenrechnung umfasst alle Anwendungen der Finanzmathematik, in denen es um regelm ¨ aßige Geldein- oder -auszahlungen geht wie zum Beispiel die Annuit ¨ atenbzw. Darlehensrechnung oder den Geldaufbzw. abbau, jeweils bei vorsch ¨ ussiger oder nachsch ¨ ussiger Zahlung. Dazu werden zun ¨ achst einige Bezeichnungen eingef ¨ uhrt. Es sei K 0 das jeweilige Anfangskapital, K n das Kapital nach n Zeiteinheiten, wobei n die Gesamtlaufzeit angebe; p sei der Zinsfuß f ¨ ur Schulden bzw. Guthaben und R eine gleichbleibende Rate bzw. Rente. Gleichbleibend meint dabei, dass derselbe Wert R in gleichen Zeitabst ¨ anden gezahlt wird. Es wird unterschieden in • vorsch ¨ ussige Zahlung: Die Zahlung erfolgt hierbei stets zu Beginn der jeweiligen Zinsperiode. • nachsch ¨ ussige Zahlung: Die Zahlung erfolgt regelm ¨ aßig am Ende der jeweiligen Zinsperiode. Das Anfangskapital bleibe zun ¨ achst unber ¨ ucksichtigt, sodass nur die Ratenzahlung betrachtet wird. Dies entspricht dem Prinzip eines Rentensparvertrages, welcher dazu dient, Kapital f ¨ ur eine sp ¨ atere Rente aufzubauen bzw. dem Prinzip der Rente, bei der aus vorhandenem Kapital ein gleichbleibender Betrag ausgezahlt wird. Die Ratenzahlung R in der k−ten Zinsperiode (1 ≤ k ≤ n) wird • bei vorsch ¨ ussiger Zahlung n − k + 1 Jahre und • bei nachsch ¨ ussiger Zahlung n − k Jahre verzinst. Unter Ber ¨ ucksichtigung dieser Werte ergibt sich f ¨ ur die Ratenzahlung aus dem k−ten Jahr nach n Jahren also ein Wert in H ¨ ohe von • R · q n−k+1 = R · q · q n−k bei vorsch ¨ ussiger Zahlung und • R · q n−k bei nachsch ¨ ussiger Zahlung. Dabei entspricht q = 1 + p 100 dem aus der Zinsrechnung bekannten Aufzinsungsfaktor. Da die Ratenzahlung regelm ¨ aßig, also in jeder Zinsperiode anf ¨ allt, wird diese Berechnung f ¨ ur jedes Jahr der Laufzeit durchgef ¨ uhrt, wobei sich die Potenz des Aufzinsungsfaktors jeweils gem ¨ aß der jeweiligen Restlaufzeit ¨ andert. <?page no="32"?> 1.2. Reihen 33 Das gesamte Kapital nach n Jahren ist dann gegeben durch • K n = R · q · n ∑ k=1 q n−k bei vorsch ¨ ussiger Zahlung und • K n = R · n ∑ k=1 q n−k bei nachsch ¨ ussiger Zahlung. Die Summe n ∑ k=1 q n−k l ¨ asst sich schreiben als n ∑ k=1 q n−k = q n−1 + q n−2 + q n−3 + · · · + q 0 und daher, wenn die Summe in umgekehrter Reihenfolge geschrieben wird, auch als n ∑ k=1 q n−k = q 0 + q + q 2 + · · · + q n−1 = n ∑ k=1 q k−1 . F ¨ ur diese Summe ist die Partialsummenregel der geometrischen Reihe anwendbar: n ∑ k=1 q k−1 = 1 − q n 1 − q . Wird diese Formel in obige Gleichungen eingesetzt, ergibt sich der Rentenendwert gem ¨ aß der nachfolgenden Rechenregel. Satz 1.2.3 Betrachtet werde eine Rente mit gleichbleibender Rate R und Aufzinsungsfaktor q. Der Rentenendwert ergibt sich • bei vorsch ¨ ussiger Zahlung zu K n = R · q · 1 − q n 1 − q und • bei nachsch ¨ ussiger Zahlung zu K n = R · 1 − q n 1 − q . <?page no="33"?> 34 Kapitel 1. Folgen und Reihen Beispiel 1.2.2 1. Arik zahlt jeweils am Ende des Jahres 1.500 EUR auf ein Konto ein. Er erh ¨ alt auf das Guthaben 4% Zinseszinsen. Nach acht Jahren hat er K 8 = 1.500 · 1 − 1, 04 8 1 − 1, 04 = 13.821, 34 EUR erspart. 2. Nicholas zahlt stets zu Beginn des Jahres sein Weihnachtsgeld in H ¨ ohe von 100 EUR auf sein Sparbuch ein. er erh ¨ alt 1, 5% Zinseszinsen. Nach 10 Jahren hat er K 10 = 100 · 1, 015 · 1 − 1, 015 10 1 − 1, 015 = 1.086, 33 EUR erspart. Handelt es sich um einen Fall der Rentenrechnung, bei dem aus vorhandenem Guthaben eine Rente ausgezahlt werden soll, so wird nicht der Rentenendwert, sondern der Rentenbarwert ben ¨ otigt. Dieser Wert entspricht dem Geldbetrag, welcher zu Beginn der Auszahlungsphase der Rente zur Verf ¨ ugung stehen muss, damit die Rate R wie vorgegeben ¨ uber die Laufzeit gezahlt werden kann. Der Rentenbarwert l ¨ asst sich durch Abzinsen des Rentenendwertes auf den Rentenbeginn bestimmen. Satz 1.2.4 Betrachtet werde eine Rente mit gleichbleibender Rate R und Aufzinsungsfaktor q. Der Rentenbarwert ergibt sich • bei vorsch ¨ ussiger Zahlung zu K 0 = 1 q n · R · q · 1 − q n 1 − q = R q n−1 · 1 − q n 1 − q und • bei nachsch ¨ ussiger Zahlung zu K 0 = R q n · 1 − q n 1 − q . <?page no="34"?> 1.2. Reihen 35 Beispiel 1.2.3 1. Johann ist 55 Jahre alt und m ¨ ochte in den Ruhestand gehen. Damit er bis zum Regeleintritt, welcher f ¨ ur ihn bei 65 Jahren liegt, gut leben kann, m ¨ ochte er f ¨ ur die n ¨ achsten 10 Jahre jeweils zu Beginn des Jahres eine j ¨ ahrliche Rente von 24.000 EUR haben. Die Verzinsung liege bei 3%. Um sich diesen Wunsch zu erf ¨ ullen, muss er K 0 = 24.000 1, 03 9 · 1 − 1, 03 10 1 − 1, 03 = 210.866, 61 EUR angespart haben. 2. Johanna hat einen Rentenvertrag abgeschlossen. Sie hat Anspruch auf eine nachsch ¨ ussige j ¨ ahrliche Rente in H ¨ ohe von 12.000 EUR bei einer Rentendauer von 15 Jahren. Die Verzinsung betrage 3, 5%. Auf Grund eines guten Angebotes m ¨ ochte sie die Rente abl ¨ osen und sich eine Wohnung kaufen. Sie erh ¨ alt K 0 = 12.000 1, 035 10 · 1 − 1, 035 10 1 − 1, 035 = 99.799, 26 EUR. H ¨ aufig ist bekannt, welcher Betrag am Ende der Ansparphase zur Verf ¨ ugung stehen soll, beispielsweise bei Sparvorhaben zum Erwerb eines Gutes. Durch einfaches Umstellen obiger Formeln l ¨ asst sich dann der Wert der regelm ¨ aßigen Rate R bestimmen, welche ben ¨ otigt wird, um das vorgegebene Kapital anzusparen. Satz 1.2.5 Betrachtet werde eine Rente mit gleichbleibender Rate R und Aufzinsungsfaktor q. Um einen vorgegebenen Rentenendwert K n zu erhalten, muss die regelm ¨ aßige Rate R • bei vorsch ¨ ussiger Zahlung R = K n q · 1 − q 1 − q n und • bei nachsch ¨ ussiger Zahlung R = K n · 1 − q 1 − q n betragen. <?page no="35"?> 36 Kapitel 1. Folgen und Reihen Beispiel 1.2.4 1. Tom zahlt jeweils zu Beginn eines Jahres einen Betrag R auf ein Konto ein. Er erh ¨ alt daf ¨ ur 4, 8% Zinseszinsen. Am Ende des zehnten Jahres betr ¨ agt das Guthaben 31.342, 15 EUR. Tom hat j ¨ ahrlich R = 31.342, 15 1, 048 1 − 1, 048 1 − 1, 048 10 = 2.400 EUR eingezahlt. 2. Helena m ¨ ochte sich in f ¨ unf Jahren einen Roller kaufen. Daf ¨ ur legt sie jeweils am Jahresende einen Geldbetrag R auf einem Konto an. Der Roller soll 1.200 EUR kosten. Eine Bank bietet ihr 3, 75% Zinseszinsen f ¨ ur ihr Geld. Dann muss Helena j ¨ ahrlich R = 1.200 · 1 − 1, 0375 1 − 1, 0375 5 = 222, 66 EUR ansparen. Nun soll ein m ¨ oglicherweise zu Beginn vorhandenes Anfangskapital K 0 zus ¨ atzlich ber ¨ ucksichtigt werden. Dieses wird zum Zinssatz p angelegt, sodass nach n Jahren ein Betrag in H ¨ ohe von K n = K 0 · q n vorhanden ist, wobei q = 1 + p 100 wieder dem Aufzinsungsfaktor aus der Zinsrechnung entspricht. Der nachfolgende Satz gibt die Sparkassenformel f ¨ ur diesen Fall an. Satz 1.2.6 Sei ein Anfangskapital K 0 gegeben. Betrachtet werde eine Rente mit gleichbleibender Rate R und Aufzinsungsfaktor q. Das nach n Jahren insgesamt ersparte Kapital ergibt sich • bei vorsch ¨ ussiger Zahlung zu K n = K 0 · q n ± R · q · 1 − q n 1 − q und • bei nachsch ¨ ussiger Zahlung zu K n = K 0 · q n ± R · 1 − q n 1 − q . <?page no="36"?> 1.2. Reihen 37 Dabei wird die Addition bei Guthabenbzw. Darlehensaufbau; die Subtraktion bei Guthabenabbau bzw. Annuit ¨ atentilgung verwendet. Beispiel 1.2.5 1. Ein Unternehmen sichert seinen Mitarbeitern bei Eintritt in den Ruhestand (vorliegend mit 65 Jahren) eine nachsch ¨ ussige Jahresrente in H ¨ ohe von 15.000 EUR f ¨ ur die Dauer von 18 Jahren zu. Welchen Betrag muss das Unternehmen j ¨ ahrlich vorsch ¨ ussig einzahlen, wenn ein Mitarbeiter 35 Jahre alt ist und die Verzinsung 4, 5% betr ¨ agt? Zu bestimmen ist zun ¨ achst der Rentenbarwert. Dieser betr ¨ agt K 18 = 15.000 1, 045 18 · 1 − 1, 045 18 1 − 1, 045 = 182.399, 88 EUR. Diese Summe entspricht f ¨ ur den zweiten Teil dem Rentenendwert und muss ¨ uber 30 Jahre durch eine gleichm ¨ aßige vorsch ¨ ussige Rate R angespart werden. Diese betr ¨ agt R = 182.399, 88 1, 045 1 − 1, 045 1 − 1, 045 18 = 6.499, 53 EUR. Das Unternehmen muss also j ¨ ahrlich 6.499, 53 EUR einzahlen, um die Rente f ¨ ur den Mitarbeiter abzusichern. 2. Nolan gewinnt 20.000 EUR im Lotto. Angespornt durch dieses Guthaben beschließt er, ab sofort j ¨ ahrlich nachsch ¨ ussig 1.000 EUR anzulegen. Er erh ¨ alt von seiner Bank 2, 5% Zinseszinsen. Nach 15 Jahren hat er K 15 = 20.000·1, 025 15 +1.000· 1 − 1, 025 15 1 − 1, 025 = 46.897, 89 EUR angespart. 3. Fritz nimmt f ¨ ur sein Haus ein Darlehen in H ¨ ohe von 300.000 EUR auf. Die Zinsen betragen 1, 75%. Er kann vorsch ¨ ussig eine j ¨ ahrliche Rate in H ¨ ohe von 18.000 EUR leisten. Die Restschuld nach acht Jahren betr ¨ agt K 15 = 300.000·1, 0175 8 −18.000·1, 0175· 1 − 1, 0175 8 1 − 1, 0175 = 188.849, 11 EUR. <?page no="37"?> 38 Kapitel 1. Folgen und Reihen Aufgaben Aufgabe 1.2.1 Eine Reisegruppe bereist Europa mit einem Bus. Insgesamt legt die Gruppe 7.500 Km zur ¨ uck. Am ersten Tag fahren sie 525 Km, an jeden weiteren Tag fahren sie 50 Km mehr. a) Welche Strecke wird am achten Tag zur ¨ uckgelegt? b) Wie lange dauert die Reise? Aufgabe 1.2.2 a) Eine Raumf ¨ ahre legt nach dem Start in der ersten Sekunde 6 m, in der zweiten 12 m, in der dritten 18 m usw. zur ¨ uck. Die Beschleunigung h ¨ ort nach 25 Sekunden auf. Welche Strecke hat die Raumf ¨ ahre in dieser Zeit zur ¨ uckgelegt? b) Von einer arithmetischen Folge (a n ) ist a 1 = 6 sowie s n = 240 f ¨ ur n = 10 bekannt. Geben Sie die Folgenvorschrift an. Aufgabe 1.2.3 Karsten, der bereits ¨ uber ein Sparguthaben von 20.000 EUR verf ¨ ugt, welches mit 5% verzinst wird, zahlt jeweils am Jahresanfang 4.000 EUR zus ¨ atzlich auf sein Konto ein. Nach wie vielen Jahren ist sein Sparguthaben auf 50.000 EUR angewachsen? Aufgabe 1.2.4 Andrea zahlt j ¨ ahrlich nachsch ¨ ussig im Zeitraum 1998 bis 2003 3.500 EUR, 2004 bis 2009 5.000 EUR und 2010 bis 2015 7.000 EUR auf ein Konto ein. Bis 2025 ruht das angesparte Kapital auf diesem Konto. Im gesamten Zeitraum garantiert die Bank eine 4-prozentige zinseszinsliche Verzinsung. a) Welchen Betrag kann sich Andrea ab 2026 j ¨ ahrlich zu Beginn eines Jahres ¨ uber einen Zeitraum von 25 Jahren auszahlen lassen? b) Welche konstante j ¨ ahrliche Zahlung h ¨ atte sie statt der genannten Staffelung ¨ uber den Einzahlungszeitraum vorsch ¨ ussig zahlen m ¨ ussen, um die gleichen Rentenzahlungen wie in a) zu erreichen? Der Zinssatz soll auch in diesem Fall bei 4% liegen. <?page no="38"?> 1.2. Reihen 39 Aufgabe 1.2.5 Rudi gewinnt 10.000 EUR im Lotto und legt diese am 1.1.2011 bei 5% p.a. Zinseszins auf einem Konto an. Davon inspiriert, beschließt er, noch mehr Geld zu sparen und zahlt jeweils am Ende des Jahres ab 2011 6.000 EUR zus ¨ atzlich auf das Konto ein. Wie viel Geld hat Rudi am 31.12.2015 auf dem Konto? Wie viele Jahre m ¨ usste er die 10.000 EUR auf dem Konto mindestens verzinsen, um ohne zus ¨ atzliche Einzahlungen auf denselben Betrag zu kommen? Aufgabe 1.2.6 G ¨ unther zahlt am 01.01.2012 10.000 EUR bei 5% p.a. Zinseszins auf ein Konto ein. Jeweils zu Jahresbeginn beginnend am 01.01.2012 zahlt er weitere 500 EUR auf das Konto ein. Wie hoch ist das Guthaben nach 10 Jahren? Wie hoch m ¨ usste die Rate zu Jahresbeginn sein, um bei 12.000 EUR Startkapital auf denselben Endbetrag zu kommen? Aufgabe 1.2.7 Eine j ¨ ahrliche Rente in H ¨ ohe von 9.000 EUR ist bei einem Zinssatz von 3, 5% p.a. 15 Jahre lang nachsch ¨ ussig zu zahlen. Welche 20 Jahre lang vorsch ¨ ussig zu zahlende Rente hat denselben Endwert? Aufgabe 1.2.8 Ein Rentner erhalte im Jahr 2015 eine Rente in H ¨ ohe von 30.000 EUR j ¨ ahrlich. Die j ¨ ahrliche Steigerungsrate der Renten betrage 1%. a) Wie hoch ist die Rente im Jahr 2030? b) Ist es m ¨ oglich, dass der Rentner eine Rente in H ¨ ohe von 50.000 EUR j ¨ ahrlich erh ¨ alt? <?page no="40"?> 2 Funktionen mit einer unabh ¨ angigen Variablen 2.1 Einleitung Ziel ¨ okonomischer Untersuchungen ist es, Zusammenh ¨ ange und Abh ¨ angigkeiten zwischen ¨ okonomischen Gr ¨ oßen messbar zu machen. Dabei k ¨ onnen die betrachteten Gr ¨ oßen mehrere Werte annehmen, sie heißen daher Variable. Dabei ist mindestens eine Gr ¨ oße nicht eindeutig bestimmt, sondern frei (unabh ¨ angig) w ¨ ahlbar und wird als unabh ¨ angige Variable bezeichnet. Variablen werden ¨ ublicherweise mit Buchstaben bezeichnet (x, y, z, . . .). In der ¨ Okonomie ist es mitunter hilfreich, die Variablen gem ¨ aß ihrer Bedeutung zu bezeichnen, so steht h ¨ aufig p f ¨ ur den Preis oder r f ¨ ur die Menge an Rohstoffeinheiten. Eine Funktion ist eine Abbildung, welche jedem x aus dem Definitionsbereich eindeutig einen Funktionswert y aus dem Wertebereich zuordnet. ¨ Okonomische Gr ¨ oßen nehmen stets Werte aus den rellen Zahlen R an. Daher werden im Folgenden reelle Funktionen betrachtet, deren Definitions- und Wertebereich in den reellen Zahlen liegen. Mithilfe von reellen Funktionen lassen sich Gr ¨ oßen (Fl ¨ ache, Entfernung), Vorg ¨ ange (H ¨ ohe eines Weitspringers zum Zeitpunkt x nach dem Absprung) und Abh ¨ angigkeiten (Verbrauch eines Rohstoffes je produzierte Einheit) beschreiben. Dabei ist es bei ¨ okonomischen Funktionen wichtig, den Variablen entsprechende Dimensionen eindeutig zuzuordnen. So ist beispielsweise zu unterscheiden, ob die Variable G den Gewinn in Bezug auf eine Zeiteinheit oder in Bezug auf die produzierte St ¨ uckzahl angibt. Auch ist hier die St ¨ uckzahl je Einheit des Gewinns eindeutig zu definieren sowie die zu Grunde gelegte Einheit des Gewinns (1 EUR, 100 EUR,. . .) anzugeben. 41 <?page no="41"?> 42 Kapitel 2. Funktionen mit einer Variablen Definition 2.1.1 Eine reelle Funktion f : D f −→ W f , x +→ f(x), ist eine Abbildungsvorschrift, die jedem x ∈ D f ⊆ R eindeutig ein f(x) ∈ W f zuordnet. Die Menge D f wird als Definitionsbereich, die Menge W f als Wertebereich bezeichnet. Die Variable x heißt Argument der Funktion bzw. unabh ¨ angige Variable, y = f(x) heißt abh ¨ angige Variable oder Funktionswert. 2.1.1 Darstellung von Funktionen Durch Funktionen beschriebene Zusammenh ¨ ange lassen sich auf unterschiedliche Arten darstellen. Diese sollen im Folgenden kurz vorgestellt werden. 1. Wertetabelle Die einfachste Art der Darstellung ist die Wertetabelle. In ihr wird einzelnen Argumenten x der zugeh ¨ orige Funktionswert y zugeordnet. Beispiel 2.1.1 Die nachfolgende Wertetabelle gibt zu verschieden hohen Einkommen den Einkommensteuersatz an, welcher an die Finanzbeh ¨ orden zu entrichten ist. Einkommen in 1.000 EUR x 10 15 18 24 30 38 45 80 Steuersatz in % y = f(x) 0 9 12 16 19 22 24 32 Wertetabellen werden vor allem dann verwendet, wenn ein funktionaler Zusammenhang zwischen zwei Gr ¨ oßen nicht nachweisbar oder nicht vorhanden ist, sondern nur einzelne Datenpaare einander zugeordnet werden k ¨ onnen. Im Bereich der statistischen Methoden bilden Wertetabellen die Grundlage f ¨ ur die Entwicklung einer Funktionsvorschrift, sie entstehen dabei durch empirische Untersuchungen. <?page no="42"?> 2.1. Einleitung 43 2. grafische Darstellung Eine weitere M ¨ oglichkeit, Funktionen darzustellen ist die grafische Darstellung. Hierbei werden alle Wertepaare (x, y) einer Funktion ¨ ublicherweise im kartesischen Koordinatensystem abgebildet, wobei die Werte der unabh ¨ angigen Variablen x auf der horizontalen Achse (Abszisse) und die Werte der abh ¨ angigen Variablen y = f(x) auf der vertikalen Achse (Ordinate) abgebildet werden. Beispiel 2.1.2 3. analytische Darstellung Mithilfe der analytischen Darstellung lassen sich Funktionen auf bestimmte Eigenschaften untersuchen. Auch der Vergleich und die tiefergehende Analyse von verschiedenen Funktionen ist mit dieser Art der Darstellung m ¨ oglich. Hierbei wird die Funktion durch einen analytischen Ausdruck dargestellt. Beispiel 2.1.3 Die folgenden Gleichungen sind Beispiele f ¨ ur die analytische Darstellung von Funktionen. 1. y = f(x) = x 3 − 2x 2 + 4 2. √ x 2 + 5 3. e 3x−2 Mithilfe der analytischen Darstellung lassen sich auch notwendige Beschr ¨ ankungen des Definitionsbereiches und st ¨ uckweise definierte Funktionen beschreiben. Diese Art der Darstellung tritt h ¨ aufig bei Kostenfunktionen auf. <?page no="43"?> 44 Kapitel 2. Funktionen mit einer Variablen Beispiel 2.1.4 1. Die Funktion y = f(x) = {x 2 + 3|1 ≤ x ≤ 10} ist ein Beispiel f ¨ ur die Beschr ¨ ankung des Definitionsbereiches, eine solche Beschr ¨ ankung liegt bei den meisten ¨ okonomischen Funktionen vor. 2. Die Funktion f(x) =      5x − 1 f ¨ ur 0 ≤ x ≤ 3 2x 2 − 3x + 4 f ¨ ur 3 < x ≤ 10 x 3 + 2x − 6 f ¨ ur x > 10 ist ein Beispiel f ¨ ur eine st ¨ uckweise definierte Funktion. 2.1.2 Elementare Eigenschaften von Funktionen In diesem Abschnitt werden elementare Eigenschaften von Funktionen vorgestellt. Definition 2.1.2 Gegeben sei eine Funktion f : D f −→ W f . • Darf ein Wert x nicht eingesetzt werden, weil ein mathematisch nicht definierter Ausdruck entstehen w ¨ urde, so spricht man von einer Definitionsl ¨ ucke. • Der Wert a heißt Nullstelle der Funktion f(x), falls gilt f(a) = 0. Beispiel 2.1.5 1. F ¨ ur die Funktion f(x) = 2x+5 x−1 ist x = 1 eine Definitionsl ¨ ucke und x = −2, 5 eine Nullstelle. 2. F ¨ ur die Funktion f(x) = x 2 −6x+5 ergeben sich mithilfe der pq-Formel x 1,2 = − p 2 ± √ p 2 4 − q die Nullstellen x 1,2 = 3 ± √ 9 − 5 = 3 ± 2, also x 1 = 5 und x 2 = 1. <?page no="44"?> 2.1. Einleitung 45 F ¨ ur das Rechnen mit Funktionen gelten die folgenden Regeln. Satz 2.1.1 Seien f und g Funktionen mit gleichem Definitionsbereich D. Dann sind auch 1. f + g : D −→ R : x +→ f(x) + g(x) 2. f − g : D −→ R : x +→ f(x) − g(x) 3. f · g : D −→ R : x +→ f(x) · g(x) 4. f g : D −→ R : x +→ f(x) g(x) , g(x) == 0 f ¨ ur alle x ∈ D. Funktionen. Beispiel 2.1.6 1. Sei f(x) = x 3 − 2x + 5 und g(x) = x 2 − x + 1. Dann ist f(x) − g(x) = x 3 − x 2 − x + 4 und f(x) + g(x) = x 3 + x 2 − 3x + 6. 2. Sei f(x) = 2x 3 + x 2 − x und g(x) = x. Dann ist f(x) g(x) = 2x 2 + x − 1 f ¨ ur x == 0 und f(x) · g(x) = 2x 4 + x 3 − x 2 . Die Multiplikation und die Division von Funktionen spielen in der Differentialrechnung eine wichtige Rolle. <?page no="45"?> 46 Kapitel 2. Funktionen mit einer Variablen Symmetrie Die Untersuchung einer Funktion auf Symmetrie soll feststellen, ob eine Funktion bez ¨ uglich einer Achse oder eines Punktes spiegelbar ist. Diese Eigenschaft wird vor allem dann untersucht, wenn wenig charakteristische Punkte der Funktion vorliegen. Definition 2.1.3 Eine Funktion f : D f −→ W f heißt achsensymmetrisch, wenn ihr zugeh ¨ origer Graph symmetrisch zur y−Achse verl ¨ auft. F ¨ ur alle x ∈ D f gilt: f(x) = f(−x). Sie heißt achsensymmetrisch um a, falls f ¨ ur alle x ∈ D f gilt: f(a + x) = f(a − x). Eine Funktion f : D f −→ W f heißt punktsymmetrisch, wenn ihr zugeh ¨ origer Graph bzgl. des Koordinatenursprungs spiegelbar ist. F ¨ ur alle x ∈ D f gilt: f(x) = −f(−x). Grafisch ist die Punktsymmetrie ebenfalls ablesbar. Eine Funktion ist punktsymmetrisch, wenn eine Drehung um 180 ◦ wieder die urspr ¨ ungliche Funktion ergibt. Beispiel 2.1.7 1. Die Funktion y = x 4 ist achsensymmetrisch: f(−x) = (−x) 4 = x 4 = f(x). 2. Die Funktion y = 3 · x 3 ist punktsymmetrisch: f(−x) = 3 · (−x) 3 = −3 · x 3 = −f(x). 3. Die Funktion y = (x − 2) 2 ist achsensymmetrisch um x = 2: f(2 + x) = ((2 + x) − 2) 2 = x 2 = ((2 − x) − 2) 2 = f(2 − x). <?page no="46"?> 2.1. Einleitung 47 Beschr ¨ anktheit K ¨ onnen die Funktionswerte bestimmte Werte nicht unter- oder ¨ uberschreiten, so heißt die Funktion beschr ¨ ankt. Definition 2.1.4 Eine Funktion f : D f −→ W f heißt • nach unten beschr ¨ ankt, falls es ein U > 0 gibt, so dass f ¨ ur alle x ∈ D f gilt: f(x) ≥ U. Der Wert U heißt dann untere Schranke. • nach oben beschr ¨ ankt, falls es ein O > 0 gibt, so dass f ¨ ur alle x ∈ D f gilt: f(x) ≤ O. Der Wert O heißt dann obere Schranke. • beschr ¨ ankt, falls es ein M > 0 gibt, so dass f ¨ ur alle x ∈ D f gilt: |f(x)| ≤ M. Beispiel 2.1.8 1. Die Funktion f(x) = cos(x); D f = R ist beschr ¨ ankt durch M = 1. 2. Die Funktion f(x) = −x 2 + 1 ist nach oben beschr ¨ ankt durch O = 1. 3. Die Funktion f(x) = x 3 − x ist unbeschr ¨ ankt. <?page no="47"?> 48 Kapitel 2. Funktionen mit einer Variablen Monotonie Liegt bei einer Funktion eine gleichm ¨ aßige Entwicklung in dem Sinne vor, dass die Funktionswerte stets gr ¨ oßer oder stets kleiner werden, so heißt die Funktion monoton. Definition 2.1.5 Eine Funktion f : D f −→ W f heißt monoton wachsend (fallend), falls f ¨ ur alle x 1 , x 2 ∈ D f gilt: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1 ) ≤ f(x 2 ) (monoton wachsend); x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1 ) ≥ f(x 2 ) (monoton fallend). Sie heißt streng monoton wachsend (fallend), falls die Ungleichungen mit < (>) erf ¨ ullt sind. Beispiel 2.1.9 1. Die Funktion f(x) = x mit dem Definitionsbereich D f = R ist streng monoton wachsend. 2. Die Funktion f(x) = x 3 + x 2 − x ist • monoton wachsend f ¨ ur x ≤ −1 und x ≥ 1 3 . • monoton fallend f ¨ ur −1 < x < 1 3 . <?page no="48"?> 2.1. Einleitung 49 Kr ¨ ummung Die Kr ¨ ummung einer Funktion spielt eine wesentliche Rolle bei der Bestimmung von Extremwerten. Definition 2.1.6 Eine Funktion f : D f −→ W f heißt konvex (konkav), falls f ¨ ur x, y ∈ D f und 0 ≤ λ ≤ 1 gilt: f(λx + (1 − λ)y) ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y), (konvex); f(λx + (1 − λ)y) ≥ λf(x) + (1 − λ)f(y), (konkav). Die Funktion heißt streng konvex (streng konkav), wenn obige Ungleichungen mit < bzw. > erf ¨ ullt sind. Dabei stellt f ¨ ur λ ∈ [0, 1] der Term λx+(1−λ)y die Verbindungslinie zwischen x und y auf der x-Achse und λf(x) + (1 − λ)f(y) die Verbindungslinie der beiden Funktionswerte f(x) und f(y) dar. Anschaulich bedeutet dies f ¨ ur die Untersuchung einer Funktion auf ihr Kr ¨ ummungsverhalten, dass die Verbindungslinie zweier Punkte auf dem Graphen der Funktion stets unterhalb (konkav) bzw. oberhalb (konvex) der Funktion verl ¨ auft. Beispiel 2.1.10 1. Die Funktion y = x 2 mit dem Definitionsbereich D f = R ist streng konvex. <?page no="49"?> 50 Kapitel 2. Funktionen mit einer Variablen 2. Die Funktion y = x 3 + x 2 − x mit dem Definitionsbereich D f = R ist • streng konvex f ¨ ur x ≥ − 1 3 • streng konkav f ¨ ur x < 1 3 Im zweiten Beispiel ¨ andert sich die Kr ¨ ummung also an der Stelle x ∗ = 1 3 . Eine solche Stelle wird auch als Wendestelle bezeichnet. Definition 2.1.7 F ¨ ur eine Funktion f : D f −→ W f heißt eine Stelle x ∗ ∈ D f Wendestelle, wenn die Funktion f ¨ ur x < x ∗ eine andere Kr ¨ ummung besitzt als f ¨ ur x > x ∗ . Extremwerte In ¨ okonomischen Anwendungen geht es h ¨ aufig darum, Funktionen auf extreme Szenarien zu untersuchen. Beispiele sind die Gewinnmaximierung oder auch die Minimierung von Kosten. Gesucht sind also Extremwerte der Funktionen. Zur Definition von Extremwerten werden Umgebungen kritischer Punkte betrachtet, es heißt U ε (x ∗ ) = {x ∈ R| − ε < x − x ∗ < ε} ε-Umgebung von x ∗ und umfasst alle Werte f ¨ ur x, welche h ¨ ochstens um ε von x ∗ abweichen. <?page no="50"?> 2.1. Einleitung 51 Definition 2.1.8 Gegeben sei eine Funktion f : D f −→ W f . Sie besitzt in x = x ∗ ein • Maximum, wenn in U ε (x ∗ ) alle Funktionswerte kleiner sind als f(x ∗ ): f(x) < f(x ∗ ) f ¨ ur alle x ∈ U ε (x ∗ ). • Minimum, wenn in U ε (x ∗ ) alle Funktionswerte gr ¨ oßer sind als f(x ∗ ): f(x) > f(x ∗ ) f ¨ ur alle x ∈ U ε (x ∗ ). Der Extremwert heißt • relatives (lokales) Extremum, wenn die Bedingungen nur f ¨ ur x ∈ U ε (x ∗ ) gelten. • absolutes (globales) Extremum, wenn die Bedingungen f ¨ ur alle x ∈ D f gelten. Ist der Definitionsbereich D f beschr ¨ ankt, so kann der Extremwert auch am Rand angenommen werden, er heißt dann Randmaximum bzw. Randminimum. Beispiel 2.1.11 Die Funktion f(x) = 0, 2x 4 − x 2 besitzt in x 1 und x 3 lokale Minima. An der Stelle x 2 liegt ein lokales Maximum vor. F ¨ ur die Einschr ¨ ankung des Definitionsbereiches auf D f = [−2; 2, 5] liegt ein Randmaximum x 4 vor. <?page no="51"?> 52 Kapitel 2. Funktionen mit einer Variablen Wachstumsverhalten Das Wachstumsverhalten einer Funktion dr ¨ uckt aus, in welchem Maße sich die Funktionswerte im Verh ¨ altnis zur ¨ Anderung der unabh ¨ angigen Variablen ver ¨ andern. Definition 2.1.9 Gegeben sei eine Funktion f : D f −→ W f . Die Funktion heißt • progressiv ( ¨ uberproportional) wachsend, wenn f(x) monoton wachsend und konvex ist. • progressiv ( ¨ uberproportional) fallend, wenn f(x) monoton fallend und konkav ist. • degressiv (unterproportional) wachsend, wenn f(x) monoton wachsend und konkav ist. • degressiv (unterproportional) fallend, wenn f(x) monoton fallend und konvex ist. • proportional wachsend bzw. fallend, wenn f(x) eine lineare Funktion ist. Beispiel 2.1.12 • Die Grafiken zeigen Beispiele f ¨ ur progressives Wachstum bzw. progressive Abnahme. <?page no="52"?> 2.1. Einleitung 53 • Die Grafiken zeigen Beispiele f ¨ ur degressives Wachstum bzw. degressive Abnahme. Komposition von Funktionen Oft ist es sinnvoll, eine Funktion als Komposition zweier einfacherer Funktionen darzustellen. Voraussetzung hierf ¨ ur ist, dass der Wertebereich der inneren Funktion im Definitionsbereich der ¨ außeren Funktion enthalten ist. Definition 2.1.10 Seien f : D f −→ W f und g : D g −→ W g Funktionen mit W g ⊆ D f . Dann heißt f ◦ g : D g −→ W f , x +→ f(g(x)) Komposition der Funktionen f und g. Beispiel 2.1.13 1. Sei f(y) = −2y 2 + 4 eine Funktion mit D f = R und g(x) = x 2 + x mit D g = R und dem Wertebereich W g = R. Dann ist W g = D f und daher f ◦ g(x) = −2(x 2 + x) 2 + 4 = −2x 4 − 4x 3 − 2x 2 + 4 mit D f ◦g = R = W f ◦g . <?page no="53"?> 54 Kapitel 2. Funktionen mit einer Variablen 2. Sei z = (2x + 3) 2 mit dem Definitionsbereich D = R. Wird f(y) = y 2 mit D f = R und g(x) = 2x + 3 mit D g = R gew ¨ ahlt, so ist W g = R und damit gelten W g ⊆ D f und z = f ◦ g(x). Gerade das zweite Beispiel spielt in der Differentialrechnung eine wesentliche Rolle, wenn es um die Bestimmung der Ableitung von Funktionen geht. Umkehrfunktion In den Wirtschaftswissenschaften ist zumeist die Einordnung der Variablen in abh ¨ angige bzw. unabh ¨ angige Variable nicht fest gegeben. So ist es durchaus ¨ ublich, die abgesetzte Menge eines Gutes in Abh ¨ angigkeit des Preises zu bestimmen, andererseits kommt aber auch eine Bestimmung des Preises in Abh ¨ angigkeit der abgesetzten Menge in Frage. Die Darstellungsformen lassen sich durch Bilden der Umkehrfunktion ineinander ¨ uberf ¨ uhren. Die nachfolgende Eigenschaft ist Bedingung f ¨ ur die Existenz einer Umkehrfunktion. Definition 2.1.11 Eine Funktion f : D f −→ W f heißt eineindeutig, falls f ¨ ur alle x 1 , x 2 ∈ D f aus f(x 1 ) = f(x 2 ) folgt, dass x 1 = x 2 . Eine Funktion ist also eineindeutig, falls es zu jedem Funktionswert y ∈ W f genau einen Wert x ∈ D f gibt, f ¨ ur den gilt, dass f(x) = y. Satz 2.1.2 Eine Funktion f : D f −→ W f besitzt genau dann eine Umkehrfunktion f −1 , wenn f eineindeutig ist. Man schreibt f ¨ ur die Umkehrfunktion f −1 : W f −→ D f ; y +→ f −1 (y). <?page no="54"?> 2.1. Einleitung 55 Ist f als analytischer Ausdruck gegeben, so wird der Ausdruck f ¨ ur die Umkehrfunktion bestimmt, indem die Gleichung f(x) = y nach der Variablen x aufgel ¨ ost wird, sofern dies m ¨ oglich ist. Beispiel 2.1.14 1. F ¨ ur die Funktion f(x) = 3x + 4 mit D f = R und W f = R existiert die Umkehrfunktion, da f(x) eine eineindeutige Funktion ist. Die Umkehrfunktion ergibt sich aus y = 3x + 4 y − 4 = 3x x = y−4 3 . Somit gilt x = f −1 (y) = 1 3 y − 4 3 . In den Wirtschaftswissenschaften ist es nicht ¨ ublich, die Bezeichnung der Variablen in der Umkehrfunktion zu vertauschen, wie es in der elementaren Analysis der Fall ist. Da die Variablen in den Wirtschaftswissenschaften mit einem ¨ okonomischen Wert wie zum Beispiel dem Preis oder der Menge belegt sind, w ¨ urde eine Vertauschung die ¨ okonomische Bedeutung der Funktion aufheben. Grafisch l ¨ asst sich die Umkehrfunktion als Spiegelung der Funktion an der Geraden y = x bestimmen. <?page no="55"?> 56 Kapitel 2. Funktionen mit einer Variablen 2. Die Funktion f(x) = x 2 ist nur dann eineindeutig, wenn der Definitionsbereich eingeschr ¨ ankt wird, zum Beispiel auf D f = R + . Dann ist W f = R + und die Umkehrfunktion ergibt sich zu x = f −1 (y) = √ y mit D f −1 = R + und W f −1 = R + . F ¨ ur D f = R w ¨ are f −1 (y) keine Funktion, da jeweils zwei Werte x existieren, f ¨ ur die gilt, dass y = x 2 . Bemerkung 2.1.1 F ¨ ur eine Funktion f : D f −→ W f gelten stets D f = W f −1 und W f = D f −1 . 2.1.3 Grenzwerte von Funktionen Auch f ¨ ur Funktionen spielt der Begriffdes Grenzwertes eine große Rolle. Im Gegensatz zu den Folgen wird die Entwicklung von Funktionen nicht nur f ¨ ur sehr große Werte der unabh ¨ angigen Variablen untersucht, sondern auch das Verhalten der Funktion an beliebigen Stellen x. Definition 2.1.12 Sei f : D f −→ W f eine Funktion und x ∗ ∈ D f gegeben. Dann existiert der Grenzwert von f in x ∗ , wenn f ¨ ur jede Folge (x n ) mit x n → x ∗ die Folge (f(x n )) existiert und gegen y ∗ ∈ W f konvergiert, geschrieben lim x→x ∗ f(x) = y ∗ . Die Folge (x n ) muss sich dem Wert x ∗ dabei beliebig n ¨ ahern. Ferner definiert man die einseitigen Grenzwerte • rechtsseitiger Grenzwert: lim x→x ∗ + f(x) = y ∗ + • linksseitiger Grenzwert: lim x→x ∗ − f(x) = y ∗ − . Der Grenzwert von f in x ∗ existiert, wenn lim x→x ∗ + f(x) = lim x→x ∗ − f(x). <?page no="56"?> 2.1. Einleitung 57 Analog zu den Grenzwerts ¨ atzen f ¨ ur Folgen existieren auch f ¨ ur Grenzwerte von Funktionen Rechenregeln. Satz 2.1.3 Seien f und g reelle Funktionen mit a : = lim x→x ∗ f(x) und b : = lim x→x ∗ g(x). Sei ferner α ∈ R. Dann gelten f ¨ ur x → x ∗ : 1. f(x) ± g(x) → a ± b; 2. f(x) · g(x) → a · b; 3. α · f(x) → α · a; 4. f(x) g(x) → a b , falls g(x) == 0 in einer Umgebung von x ∗ und b == 0. Beispiel 2.1.15 1. Es ist lim x→3 x 2 +3x−1 2x+5 = 9+9−1 6+5 = 17 11 . 2. Gesucht sei lim x→2 5 2−x . Da der Nenner der Funktion f(x) = 5 2−x an der Stelle x = 2 den Wert 0 annimmt, ist die Funktion in x = 2 nicht definiert. F ¨ ur die Bestimmung des Grenzwertes werde eine beliebige Folge von x-Werten betrachtet, welche gegen 2 strebt. Der Nenner 2 − x nimmt in Abh ¨ angigkeit der Richtung, aus welcher sich die Folge der x-Werte der 2 ann ¨ ahert, unterschiedliche Vorzeichen an: • F ¨ ur x → 2, x > 2 gilt 2 − x < 0 und damit lim x→2 + 2 − x = 0 − . • F ¨ ur x → 2, x < 2 gilt 2 − x > 0 und damit lim x→2 − 2 − x = 0 + . Somit ergibt sich kein Grenzwert an der Stelle x = 2, es k ¨ onnen aber die einseitigen (uneigentlichen) Grenzwerte angegeben werden: lim x→2 + 5 2 − x = −∞ und lim x→2 − 5 2 − x = ∞. <?page no="57"?> 58 Kapitel 2. Funktionen mit einer Variablen 3. Gesucht sei lim x→3 x 2 −2x−3 x 2 −x−6 . Sowohl Z ¨ ahler als auch Nenner der Funktion nehmen f ¨ ur x = 3 den Wert 0 an. Dies bedeutet, das in Z ¨ ahler und Nenner der Linearfaktor x − 3 enthalten ist. Durch Polynomdivision oder das Hornerschema werden Z ¨ ahler und Nenner faktorisiert: (a) Faktorisierung des Z ¨ ahlers durch Polynomdivision: (x 2 − 2x − 3) : (x − 3) = x + 1 − (x 2 − 3x) (x − 3) − (x − 3) 0 Der Z ¨ ahler ergibt sich zu (x 2 − 2x − 3) = (x − 3)(x + 1). (b) Faktorisierung des Nenners durch das Hornerschema: In der Tabelle werden die Koeffizienten des Polynoms notiert. Der Koeffizient der f ¨ uhrenden Potenz wird in der dritten Zeile wiederholt. Dieser wird mit dem Wert der Nullstelle multipliziert und unter den Koeffizienten der n ¨ achstkleineren Potenz in die zweite Zeile geschrieben. In der dritten Zeile stehen stets die Spaltensummen. Diese werden wieder mit dem Wert der bekannten Nullstelle multipliziert und in die zweite Zeile geschrieben. Die Spaltensummen entsprechen den Koeffizienten des Ergebnisses. 1 −1 −6 x = 3 3 6 1 2 0 Der Nenner ergibt sich zu (x 2 − x − 6) = (x − 3)(x + 2). Der gesuchte Grenzwert ist nun gegeben durch lim x→3 x 2 − 2x − 3 x 2 − x − 6 = lim x→3 (x − 3)(x + 1) (x − 3)(x + 2) = lim x→3 x + 1 x + 2 = 4 5 . <?page no="58"?> 2.1. Einleitung 59 Die Bestimmung von Grenzwerten spielt f ¨ ur eine weitere Eigenschaft der Funktionen eine wesentliche Rolle. Diese wird im Folgenden vorgestellt. 2.1.4 Stetigkeit Definition 2.1.13 Eine Funktion f : D f −→ W f heißt stetig in x ∗ , wenn 1. die Funktion in x ∗ definiert ist, x ∗ ∈ D f , und 2. der Grenzwert von f(x) in x ∗ existiert, lim x→x ∗ f(x) = y ∗ , und 3. der Grenzwert mit dem Funktionswert ¨ ubereinstimmt, y ∗ = f(x ∗ ). Die Funktion heißt stetig, wenn sie in jedem x ∈ D f stetig ist. Eine Funktion kann also nur f ¨ ur Werte x stetig sein, f ¨ ur die sie auch definiert ist. Besitzt eine Funktion Definitionsl ¨ ucken, so ist zu untersuchen, wie sich die Funktion in einer Umgebung der Definitionsl ¨ ucke verh ¨ alt. Definition 2.1.14 • Ist eine Funktion f : D f −→ W f an der Stelle x ∗ nicht definiert, besitzt aber einen Grenzwert lim x→x ∗ f(x) = y ∗ , so heißt die Funktion stetig erg ¨ anzbar. Die Stelle x ∗ heißt auch hebbare Unstetigkeitsstelle. • Gilt in einer Umgebung der Definitionsl ¨ ucke x ∗ lim x→x ∗ f(x) = ∞ oder lim x→x ∗ f(x) = −∞, so nennt man die Stelle x ∗ Polstelle. <?page no="59"?> 60 Kapitel 2. Funktionen mit einer Variablen Beispiel 2.1.16 1. Gegeben sei die Funktion f(x) = { x 2 + 2, falls 0 ≤ x ≤ 1 2x 2 −18 3x−9 , falls 1 < x ≤ 4 Diese Funktion ist st ¨ uckweise definiert. Kritische Stellen befinden sich • an der ¨ Ubergangsstelle x = 1 und • an der Definitionsl ¨ ucke x = 3 der zweiten Teilfunktion. Gesucht ist also zun ¨ achst der Grenzwert der Funktion f(x) an der Stelle x = 1. Da die Teilfunktionen an dieser Stelle aufeinander treffen, ist eine Untersuchung der einseitigen Grenzwerte notwendig. Es ist f(1) = 3 der Funktionswert an der Stelle x = 1. F ¨ ur den rechtsseitigen Grenzwert gilt lim x→1 + f(x) = lim x→1 + 2x 2 − 18 3x − 9 = −16 −6 = 8 3 == 3 und daraus folgt, dass die Funktion f(x) an der Stelle x = 1 nicht stetig ist. Es ist ferner der Grenzwert an der Stelle x = 3 zu pr ¨ ufen. Es gilt lim x→3 f(x) = lim x→3 2x 2 − 18 3x − 9 = lim x→3 (x − 3)(x + 3) 3(x − 3) = lim x→3 x + 3 3 = 2, die Funktion ist somit stetig erg ¨ anzbar an der Stelle x = 3 durch den Wert y = f(3) = 2. Der Term x − 3 darf dabei gek ¨ urzt werden, da die Folge der x-Werte zwar gegen x = 3 konvergiert, diesen Wert aber nicht erreicht. Die nachfolgende Grafik zeigt die untersuchte Funktion. <?page no="60"?> 2.1. Einleitung 61 2. Gegeben sei die Funktion f(x) = { 6 3x+6 , falls x ≥ −3 −3 + 1 2 |x + 5|, falls x < −3 . Diese Funktion besitzt die kritischen Stellen • x = −3 als ¨ Ubergangsstelle der Teilfunktionen. • x = −2 als Definitionsl ¨ ucke der ersten Teilfunktion. An der ¨ Ubergangsstelle x = −3 besitzt die Funktion den Funktionswert f(−3) = 6 −9+6 = −2 = lim x→3 + f(x). Der linksseitige Grenzwert ist gegeben durch lim x→−3 − f(x) = lim x→−3 − −3 + 1 2 |x + 5| = −2 = f(−3), die Funktion ist also stetig in x = −3. F ¨ ur den Grenzwert an der Stelle x = −2 ergibt sich lim x→−2 + f(x) = lim x→−2 + 6 3x + 6 = ∞ bzw. lim x→−2 − f(x) = −∞, an der Stelle x = −2 liegt also eine Polstelle vor. Die Grafik zeigt die untersuchte Funktion. <?page no="61"?> 62 Kapitel 2. Funktionen mit einer Variablen Aufgaben Aufgabe 2.1.1 Stellen Sie die folgenden Funktionen grafisch dar. a) f(x) = 3x − 5. b) f(x) = x 3 − 1. Aufgabe 2.1.2 Geben Sie Definitions- und Wertebereich der Funktionen an. a) f(x) = √ 2x − 5. b) f(x) = −3x + 7. c) f(x) = 1 x+1 . d) f(x) = { 2 − x , falls −1 ≤ x ≤ 1 √ x , falls 1 < x ≤ 4 Aufgabe 2.1.3 Ein Transportunternehmen kann pro Tag 250 Lieferungen ausf ¨ uhren. Es entstehen feste Kosten in H ¨ ohe von 3.000 EUR/ Tag und Kosten in H ¨ ohe von 100 EUR/ Tag pro Lieferung. Stellen Sie die zugeh ¨ orige Funktion auf und bestimmen Sie den Definitionsbereich. Aufgabe 2.1.4 Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktionen. a) f(x) = 2x 2 − 6x + 4. b) f(x) = −2x + 5. Aufgabe 2.1.5 Sind die folgenden Funktionen symmetrisch? a) f(x) = x 3 − x + 1. b) f(x) = x 3 −x 2 x+1 . c) f(x) = x x 2 +1 . <?page no="62"?> 2.1. Einleitung 63 Aufgabe 2.1.6 Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Beschr ¨ anktheit. a) f(x) = 3x 4 − 9. b) f(x) = √ x. Aufgabe 2.1.7 Sind die Funktionen monoton? a) f(x) = x 3 . b) f(x) = √ x 2 − 1. c) f(x) = 1 x 2 . Aufgabe 2.1.8 Untersuchen Sie die folgenden Funktionen bez ¨ uglich ihrer Kr ¨ ummung. a) f(x) = x 3 . b) f(x) = x 4 . Aufgabe 2.1.9 Geben Sie eine Funktion an, welche a) degressiv zunimmt. b) proportional w ¨ achst. Aufgabe 2.1.10 Bestimmen Sie f ¨ ur die Funktionen die Komposition f(g(x)). a) f(x) = √ x 2 − 1, g(x) = −x + 2. b) f(x) = 2x + 5, g(x) = x 2 − 3. Aufgabe 2.1.11 Bestimmen Sie jeweils rechnerisch die Umkehrfunktion. a) f(x) = 2 3 x + 4. b) f(x) = −4x + 6. <?page no="63"?> 64 Kapitel 2. Funktionen mit einer Variablen Aufgabe 2.1.12 Bestimmen Sie die Grenzwerte a) lim x→∞ 3x 5 −2 x 3 . b) lim x→−2 x 2 +x−2 x 3 +5x 2 +8x+4 . c) lim x→4 3x−2 x 2 +2x−10 . d) lim x→−3 x 2 −9 x+3 . e) lim x→1 1 x−1 − 1 x 2 −1 . Aufgabe 2.1.13 Untersuchen Sie die Funktionen auf Stetigkeit. a) f(x) =      2 − x , falls x ≤ 2 x+3 x−4 , falls 2 < x ≤ 5 x 2 −9 x−3 , falls x > 5 . b) f(x) = { x−1 1+x 2 , falls 0 < x < 1 x 3 −1 6(2−x) , falls x ≥ 1 . c) f(x) = { 3x 2 −22 2x+1 , falls x ≤ 8 √ x 2 + 36 , falls x > 8 . Aufgabe 2.1.14 F ¨ ur welche Werte von a sind die Funktionen stetig? a) f(x) = { ax + 10 , falls x ≤ 3 2ax − 5 , falls x > 3. b) f(x) = { x 2 − a , falls x ≤ 4 ax+8 x+1 , falls x > 4. c) f(x) = { √ 5 2 x − 4a , falls x ≤ 2 ax + 5 , falls x > 2. <?page no="64"?> 2.2. Elementare Funktionen 65 2.2 Elementare Funktionen In diesem Abschnitt werden elementare Funktionen vorgestellt. Ganzrationale Funktionen Definition 2.2.1 Eine Funktion der Form y = a n x n + a n−1 x n−1 + · · · + a 1 x + a 0 = n ∑ i=0 a i x i , a i ∈ R, i = 0, . . . , n, heißt ganzrationale Funktion n−ten Grades. Ganzrationale Funktionen werden auch als Polynome bezeichnet. Satz 2.2.1 F ¨ ur ganzrationale Funktionen gelten die folgenden Aussagen: • F ¨ ur gerades n und a n > 0 ist die Funktion nach unten beschr ¨ ankt. • F ¨ ur gerades n und a n < 0 ist die Funktion nach oben beschr ¨ ankt. • F ¨ ur ungerades n ist die Funktion nicht beschr ¨ ankt. • Ein Polynom besitzt h ¨ ochstens n reelle Nullstellen x 1 , . . . , x n . • F ¨ ur ein Polynom mit den n reellen Nullstellen x 1 , . . . , x n gilt n ∑ i=0 a i x i = a n (x − x 1 )(x − x 2 ) · · · (x − x n ). Ist x = x 1 eine Nullstelle des Polynoms ∑ n i=0 a i x i , so ist das Polynom durch (x − x 1 ) teilbar und es gilt: n ∑ i=0 a i x i : (x − x 1 ) = n−1 ∑ i=0 b i x i . Es ergibt sich ein Polynom (n − 1)−ten Grades. <?page no="65"?> 66 Kapitel 2. Funktionen mit einer Variablen Beispiel 2.2.1 Die Funktion f(x) = x 3 − x 2 + 2 ist ein Polynom 3. Grades mit den Koeffizienten a 3 = 1, a 2 = −1, a 1 = 0 und a 0 = 1. Die Funktion besitzt eine Nullstelle in x = −1, es gilt f(x) = x 3 − x 2 + 2 = (x + 1)(x 2 − 2x + 2). Viele ¨ okonomische Funktionen lassen sich mithilfe von Polynomen darstellen. gebrochen-rationale Funktion Als gebrochen-rationale Funktion wird der Quotient zweier Polynome bezeichnet. Definition 2.2.2 Eine Funktion der Form y = a n x n + a n−1 x n−1 + · · · + a 1 x + a 0 b m x m + b m−1 x m−1 + · · · + b 1 x + b 0 = ∑ n i=0 a i x i ∑ m j=0 b j x j , mit a i , b j ∈ R, b m == 0, m ≥ 1, heißt gebrochen-rationale Funktion. <?page no="66"?> 2.2. Elementare Funktionen 67 Bemerkung 2.2.1 F ¨ ur gebrochen-rationale Funktionen gelten die folgenden Aussagen • Zur Nullstellenbestimmung bei einer gebrochen-rationalen Funktion werden die Nullstellen des Z ¨ ahlers bestimmt, wobei der Nenner von Null verschieden sein muss ∑ n i=0 a i x i ∑ m j=0 b j x j = 0 genau dann wenn n ∑ i=0 a i x i = 0 und m ∑ j=0 b j x j == 0. • Eine gebrochen-rationale Funktion besitzt an der Stelle x ∗ einen Pol, falls der Nenner f ¨ ur x = x ∗ den Wert Null annimmt n ∑ i=0 a i x ∗ i == 0 und m ∑ j=0 b j x ∗ j = 0. Die Funktion besitzt an der Stelle x ∗ eine Definitionsl ¨ ucke. • Besitzen Z ¨ ahler und Nenner eine Nullstelle x = x ∗ , n ∑ i=0 a i x ∗ i = 0 und m ∑ j=0 b j x ∗ j = 0, so besitzt die Funktion an der Stelle x ∗ eine hebbare Unstetigkeitsstelle. Z ¨ ahler und Nenner k ¨ onnen durch den Term x − x ∗ gek ¨ urzt werden. Die Unstetigkeit der urspr ¨ unglichen Funktion an der Stelle x = x ∗ kann behoben werden, indem der Funktionswert der gek ¨ urzten Funktion an der Stelle x ∗ bestimmt wird. Beispiel 2.2.2 Die Funktion f(x) = x 3 3x 2 −12 ist eine gebrochen-rationale Funktion mit der Nullstelle x = 0 und den Definitionsl ¨ ucken x = 2 und x = −2. <?page no="67"?> 68 Kapitel 2. Funktionen mit einer Variablen Potenzfunktion Definition 2.2.3 Durch einen Term y = x n mit n ∈ Z, wird eine Potenzfunktion definiert. Dabei muss x == 0 f ¨ ur n < 0 gelten. Beispiel 2.2.3 Die Funktion f(x) = x 7 ist eine Potenzfunktion. Bemerkung 2.2.2 F ¨ ur x, a, b ∈ R${0} gelten die folgenden Rechenregeln: • x a x b = x a+b • x a x b = x a−b • 1 x a = x −a • (x a ) b = x ab . Wurzelfunktion Definition 2.2.4 Als Wurzelfunktion wird jede Funktion bezeichnet, in der Wurzeln vorkommen. <?page no="68"?> 2.2. Elementare Funktionen 69 Beispiel 2.2.4 Die Grafik zeigt die Wurzelfunktion f(x) = √ x. Bemerkung 2.2.3 • Potenzfunktionen mit ungeradem Exponenten sind eineindeutig. Ihre Umkehrfunktion ist stets eine Wurzelfunktion. F ¨ ur Potenzfunktionen mit geradem Exponenten kann nur dann eine Umkehrfunktion bestimmt werden, wenn der Definitionsbereich beschr ¨ ankt wird. • Wurzeln aus negativen Zahlen sind nicht definiert, f ¨ ur den Definitionsbereich von Wurzelfunktionen gilt daher D f = R + ∪ {0}. • Wurzeln lassen sich stets durch Potenzen ausdr ¨ ucken. Es ist n √ x = x 1 n . • Potenzfunktionen werden zur Beschreibung ¨ okonomischer Prozesse verwendet, wenn der Vorgang, welcher beschrieben werden soll, ein progressives Wachstum aufweist. • Wurzelfunktionen werden zur Beschreibung ¨ okonomischer Prozesse verwendet, wenn der Vorgang, welcher beschrieben werden soll, ein degressives Wachstum aufweist. Beispiel 2.2.5 1. Die Funktion f(x) = x 3 ist eine Potenzfunktion mit der Umkehrfunktion f −1 (y) = 3 √ y, denn f −1 (f(x)) = 3 √ x 3 = x. 2. Die Funktion f(x) = x 2 ist f ¨ ur die Einschr ¨ ankung D f = R + eineindeutig. Dann besitzt sie die Umkehrfunktion f −1 (y) = √ y = y 1 2 . <?page no="69"?> 70 Kapitel 2. Funktionen mit einer Variablen Exponentialfunktion Definition 2.2.5 Die allgemeine Form einer Exponentialfunktion ist gegeben durch y = ∑ n i=1 k i a f i (x) i ∑ m j=1 l j b g j (x) j . Dabei seien a i , b j > 0. Exponentialfunktionen werden zur Beschreibung von Prozessen verwendet, welche einem besonders starken Wachstum unterliegen, beispielsweise um das Wachstum von Bakterienkulturen abzubilden. Auch die Entwicklung eines verzinslichen Kapitals wird mithilfe einer Exponentialfunktion K n = K 0 ( 1 + p 100 ) n beschrieben. Beispiel 2.2.6 Die Grafik zeigt die Exponentialfunktion f(x) = e x . Logarithmusfunktion Definition 2.2.6 Die Logarithmusfunktion zur Basis a ist definiert durch y = log a (x). Der Definitionsbereich ist gegeben durch D = R + . <?page no="70"?> 2.2. Elementare Funktionen 71 Beispiel 2.2.7 Die Grafik zeigt die Logarithmusfunktion f(x) = ln(x). Bemerkung 2.2.4 • Besonders h ¨ aufig werden die folgenden Logarithmen verwendet: 1. Bin ¨ arer Logarithmus: Basis a = 2. 2. Dekadischer Logarithmus: Basis a = 10. 3. Nat ¨ urlicher Logarithmus: Basis a = e. • Es gelten die folgenden Rechenregeln f ¨ ur Logarithmen: 1. log a (b · c) = log a (b) + log a (c) 2. log a (b k ) = k · log a (b) 3. log a ( b c ) = log a (b) − log a (c). • Als Umkehrfunktion zu y = a x ergibt sich x = f −1 (y) = log a (y) und zu y = e x die Funktion x = f −1 (y) = ln(y). Die Umkehrfunktion ergibt sich dabei durch Logarithmieren der Potenzfunktion: y = a x genau dann, wenn log a (y) = log a (a x ) = xlog a (a) = x. • Exponentialfunktionen werden zur Beschreibung ¨ okonomischer Prozesse verwendet, wenn der Vorgang, welcher beschrieben werden soll, ein progressives Wachstum aufweist. • Logarithmusfunktionen werden zur Beschreibung ¨ okonomischer Prozesse verwendet, wenn der Vorgang, welcher beschrieben werden soll, ein degressives Wachstum aufweist. <?page no="71"?> 72 Kapitel 2. Funktionen mit einer Variablen Trigonometrische Funktionen Definition 2.2.7 Als trigonometrische Funktionen werden die Funktionen f(x) = sin x, f(x) = cos x, f(x) = tan x und f(x) = cot x bezeichnet. Bemerkung 2.2.5 • Das Argument trigonometrischer Funktionen wird h ¨ aufig nicht im Winkelmaß, sondern im Bogenmaß angegeben. Dieses Maß beschreibt die L ¨ ange des zum Winkel α geh ¨ orenden Bogens auf dem Einheitskreis. Zur Umrechnung gilt: x 2π = α 360 ◦ . • Wird das Winkelmaß verwendet, so nehmen die trigonometrischen Funktionen sin α und cos α jeweils nach 360 ◦ wieder denselben Funktionswert an, sie sind somit periodische Funktionen: - sin(n · 360 ◦ + α) = sin(α); - cos(n · 360 ◦ + α) = cos(α), n ∈ Z. • Wird das Bogenmaß verwendet, so nehmen die trigonometrischen Funktionen sin x und cos x jeweils nach 2π wieder denselben Funktionswert an: - sin(n · 2 · π + x) = sin(x); - cos(n · 2 · π + x) = cos(x), n ∈ Z. • sin(x) und cos(x) sind beschr ¨ ankte Funktionen. <?page no="72"?> 2.2. Elementare Funktionen 73 Auch f ¨ ur die Funktionen tan x und cot x lassen sich allgemeing ¨ ultige Aussagen treffen. Bemerkung 2.2.6 • Wird das Winkelmaß verwendet, so nehmen die trigonometrischen Funktionen tan α und cot α jeweils nach 180 ◦ wieder denselben Funktionswert an, sie sind somit periodische Funktionen: - tan(n · 180 ◦ + α) = tan(α); - cot(n · 180 ◦ + α) = cot(α), n ∈ Z. • Wird das Bogenmaß verwendet, so nehmen die trigonometrischen Funktionen tan x und cot x jeweils nach π wieder denselben Funktionswert an: - tan(n · π + x) = tan(x); - cot(n · π + x) = cot(x), n ∈ Z. • tan(x) besitzt Pole bei x = (2n + 1) π 2 , n ∈ Z; • cot(x) besitzt Pole bei x = nπ, n ∈ Z. Die trigonometrischen Funktionen werden bei regelm ¨ aßigen Schwankungen zur Beschreibung ¨ okonomischer Prozesse verwendet. So finden sie beispielsweise in der Modellierung von Konjunktur- oder Saisonschwankungen in der Zeitreihenanalyse, einem Teilgebiet der Statistik, Anwendung. <?page no="73"?> 74 Kapitel 2. Funktionen mit einer Variablen Aufgaben Aufgabe 2.2.1 Bestimmen Sie die Nullstellen von a) f(x) = x 3 + 5x 2 + 2x − 8, erste Nullstelle x 1 = 1, b) f(x) = x 3 − 4x 2 − 5x, c) f(x) = x 3 + 6x 2 + 5x − 12, erste Nullstelle x 1 = −4. Aufgabe 2.2.2 Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktionen und untersuchen Sie die Funktionen an den Definitionsl ¨ ucken. a) f(x) = x 2 +7x−18 x 2 −9x+14 . b) f(x) = x 2 −16 x+1 . c) f(x) = x 2 +2x−15 x 2 −9 . Aufgabe 2.2.3 Bestimmen Sie die Umkehrfunktion von a) f(x) = x 5 , b) f(x) = 2 x , c) f(x) = e 3x−1 . Aufgabe 2.2.4 Bestimmen Sie sin( π 4 ) sowie cos( 3 2 π) und geben Sie zus ¨ atzlich die entsprechenden Winkel an. Aufgabe 2.2.5 Geben Sie den Wertebereich der Funktionen an. a) f(x) = ln x, b) f(x) = sin(x 2 + 3), c) f(x) = e x−5 . <?page no="74"?> 2.3. ¨ Okonomische Funktionen 75 2.3 ¨ Okonomische Funktionen Ziel der ¨ okonomischen Funktionen ist es, wirtschaftliche Beziehungen mithilfe einer Funktionsgleichung y = f(x) zu beschreiben. Eine Zuordnung der ¨ okonomischen Funktion zu den oben betrachteten Funktionenklassen gestaltet sich regelm ¨ aßig schwierig, da zum Einen aufw ¨ andige Untersuchungen notwendig w ¨ aren und zum Anderen der betrachtete Zusammenhang in unterschiedlichen Situationen oder zu verschiedenen Zeitpunkten nicht durch denselben Funktionstyp dargestellt werden kann. Dennoch k ¨ onnen meist zumindest einzelne Eigenschaften der Funktionen angegeben werden. Dabei ist zu beachten, dass f ¨ ur ¨ okonomische Funktionen unterschieden wird, ob eine makro ¨ okonomische oder eine mikro ¨ okonomische Untersuchung durchgef ¨ uhrt werden soll. Bei einer makro ¨ okonomischen Funktion werden Zusammenh ¨ ange f ¨ ur ganze Volkswirtschaften abgebildet, in die Funktion fließen Daten aller Haushalte einer Volkswirtschaft ein; bei einer mikro ¨ okonomischen Funktion werden dagegen Zusammenh ¨ ange f ¨ ur einzelne Wirtschaftssubjekte bzw. Haushalte abgebildet. Angebotsfunktion Mithilfe einer Angebotsfunktion wird abgebildet, inwieweit die angebotene Menge eines Gutes von bestimmten Faktoren abh ¨ angt. Die wichtigste Einflussgr ¨ oße ist ¨ ublicherweise der Preis eines Gutes. Die Angebotsfunktion ist also eine Funktion x = x(p), wobei p den Preis des Gutes und x die verkaufte Menge bezeichnet. Aus Sicht des Verk ¨ aufers ist die angebotene Menge im Allgemeinen umso h ¨ oher je h ¨ oher der Preis ist, da so mehr Gewinn erzielt werden kann. Eine Angebotsfunktion ist also im Allgemeinen streng monoton steigend. <?page no="75"?> 76 Kapitel 2. Funktionen mit einer Variablen Nachfragefunktion Die Nachfragefunktion x = x(p) beschreibt den Zusammenhang zwischen der am Markt vorhandenen Nachfrage nach einem Gut und dem Preis dieses Gutes. In den meisten F ¨ allen steigt die Nachfrage, je kleiner der Preis ist, daher ist die Nachfragefunktion ¨ ublicherweise streng monoton fallend. Preis-Absatz-Funktion Angebots- und Nachfragefunktionen werden h ¨ aufig auch als Preis-Absatz- Funktion bezeichnet. Zur Unterscheidung werden mit einem Index versehen, um anzuzeigen, welche Art der Preis-Absatz-Funktion betrachtet wird. Die Funktion x N (p) beschreibt eine Nachfragefunktion, die Funktion x A (p) beschreibt eine Angebotsfunktion. Werden diese gleichgesetzt, x N (p) = x A (p), so wird durch Aufl ¨ osen der Gleichung nach p der Gleichgewichtspreis p M bestimmt, welcher angibt, bei welchem Preis die angebotene Menge genau der nachgefragten Menge entspricht. Die Gleichgewichtsmenge x M ergibt sich durch Einsetzen in eine der oberen Funktionen. Durch Bilden der Umkehrfunktion kann auch der Preis in Abh ¨ angigkeit zur nachgefragten bzw. angebotenen Menge bestimmt werden, die Funktionen lauten dann p N (x) bzw. p A (x). Der Punkt (p M , x M ) wird auch als Marktgleichgewicht bezeichnet. <?page no="76"?> 2.3. ¨ Okonomische Funktionen 77 Beispiel 2.3.1 Seien f ¨ ur ein Gut die Angebotsfunktion p A (x) = 2x + 2 und die Nachfragefunktion p N (x) = 18 − 1 2 x 2 gegeben. Aus p A (x) = p N (x) folgt − 1 2 x 2 − 2x + 16 = 0 und diese Gleichung besitzt die L ¨ osungen x 1 = −8 und x 2 = 4. Negative Werte bleiben unber ¨ ucksichtigt, da der Definitionsbereich ¨ okonomischer Funktionen auf die positiven reellen Zahlen beschr ¨ ankt ist. Es ergibt sich also die Gleichgewichtsmenge x M = 4 und somit der Gleichgewichtspreis p M = p A (4) = 2 · 4 + 2 = 10. Produktionsfunktion Zur Herstellung eines Gutes werden unterschiedliche Produktionsfaktoren eingesetzt (Rohstoffe, Maschinen etc.). Mithilfe von Produktionsfunktionen x = x(r) k ¨ onnen Abh ¨ angigkeiten zwischen hergestellter Menge eines Gutes und der Einsatzmenge eines Produktionsfaktors abgebildet werden. Die nachstehenden Grafik gibt den typischen Verlauf einer ertragsgesetzlichen Produktionsfunktion wieder. Diese Beobachtung stammt von Turgot und bezieht sich beispielsweise auf den Einsatz von D ¨ unger in der Landwirtschaft. Zun ¨ achst steigt der Ertrag an, erreicht schließlich ein Maximum und f ¨ allt anschließend stetig ab. Es wird ferner in linear-limitationale Produktionsfunktionen, welche ein konstantes Verh ¨ altnis der Produktionsfaktoren zueinander und zur hergestellten Menge abbilden, und neoklassische Produktionsfunktionen wie die in der Grafik abgebildete Produktionsfunktion unterschieden. <?page no="77"?> 78 Kapitel 2. Funktionen mit einer Variablen Die neoklassischen Produktionsfunktionen zeichnen sich durch degressives Wachstum aus. Es wird mit zunehmender Einsatzmenge weniger Output durch den Mehreinsatz von Faktoreinheiten erzielt. Die Umkehrfunktion einer Produktionsfunktion beschreibt die Abh ¨ angigkeit der Einsatzmenge von Produktionsfaktoren von der Produktionsmenge und wird als Verbrauchsfunktion r = r(x) bezeichnet. Kostenfunktion Die Kostenfunktion K = K(x) eines Unternehmens bildet die in einem Zeitabschnitt hergestellte Menge eines Gutes auf die Gesamtkosten ab. Im Allgemeinen bestehen die Kosten aus Fixkosten K fix , welche von der Produktionsmenge unabh ¨ angig entstehen, und variablen Kosten K var = K var (x), welche sich mit der Produktionsmenge x ver ¨ andern, K(x) = K fix + K var (x). Die nachfolgend dargestellte Kostenfunktion verl ¨ auft ertragsgesetzlich. Die Kosten steigen zun ¨ achst degressiv an, da sich die Fixkosten auf eine gr ¨ oßer werdende Menge verteilen. <?page no="78"?> 2.3. ¨ Okonomische Funktionen 79 Zu einem bestimmten Zeitpunkt kehrt sich das Wachstum in progressives Wachstum um, da ab einer bestimmten Produktionsmenge mit erh ¨ ohtem Kostenaufwand f ¨ ur die Produktion zu rechnen ist, zum Beispiel auf Grund von zus ¨ atzlich anzuschaffenden Maschinen, um die Kapazit ¨ at entsprechend der gestiegenen Produktionsmenge zu erh ¨ ohen. Bemerkung 2.3.1 Eine Kostenfunktion kann folgendermaßen verlaufen: • proportional (linear): Die Kosten ¨ andern sich im selben Verh ¨ altnis wie die hergestellte Menge. (z. B. bei nicht vorhandenen Fixkosten und Herstellung z. B. von M ¨ obeln als Einzelgewerbetreibender) • degressiv (unterproportional): Die Kosten nehmen bei steigender Produktionsmenge langsamer zu. (z. B. bei erhaltenen Nachl ¨ assen auf Grund großer Bezugsmengen) • progressiv ( ¨ uberproportional): Die Kosten nehmen bei steigender Produktionsmenge st ¨ arker zu. (z. B. in Form von teuren ¨ Uberstunden) • regressiv: Die Kosten nehmen bei steigender Produktionsmenge ab (z. B. Heizkosten in H ¨ ors ¨ alen bei steigender Studierendenzahl) • sprungfix: Die Kosten bleiben auf bestimmten Intervallen der Produktionsmenge konstant. Zwischen diesen Intervallen steigen die Kosten auf ein anderes Niveau. Die Kostenfunktion nimmt einen treppenartigen Verlauf an. (z. B. Porto) • ertragsgesetzlich: Die Kosten steigen zun ¨ achst degressiv an, bis eine Wendestelle der Kostenfunktion erreicht ist, anschließend ist das Wachstum progressiv. Erl ¨ osfunktion Die Erl ¨ osfunktion E(x) bildet die verkaufte Menge auf den erzielten Umsatz bzw. Erl ¨ os ab. Der Umsatz ergibt sich, indem der Preis des Gutes mit der zu diesem Preis abgesetzten Menge multipliziert wird, E(x) = p · x. Da der Preis zumeist ebenfalls abh ¨ angig von der abgesetzten Menge ist, l ¨ asst sich die Erl ¨ osfunktion auch schreiben als E(x) = xp(x). <?page no="79"?> 80 Kapitel 2. Funktionen mit einer Variablen Gewinnfunktion Der Gewinn eines Unternehmens entspricht dem ¨ Uberschuß des Erl ¨ oses ¨ uber die Kosten und wird ermittelt, indem vom Erl ¨ os die Kosten abgezogen werden, G(x) = E(x) − K(x). Die Funktion G(x) heißt Gewinnfunktion und gibt den Gewinn in Abh ¨ angigkeit der Menge an. Die erste (positive) Nullstelle der Gewinnfunktion wird auch Gewinnschwelle genannt, die zweite (positive) Nullstelle der Gewinnfunktion heißt auch Gewinngrenze, das Intervall zwischen diesen beiden Nullstellen wird als Gewinnzone bezeichnet. Der Betrag, um den der Erl ¨ os die variablen Kosten ¨ ubersteigt, heißt Deckungsbeitrag G D = E(x) − K var (x). Beispiel 2.3.2 Gegeben sei eine Preis-Absatz-Funktion p(x) = 150 − 2x sowie eine Kostenfunktion K(x) = x 3 − 10x 2 + 35x + 50. Die Gewinnfunktion ergibt sich aus G(x) = E(x) − K(x) = x · p(x) − K(x) zu G(x) = x(150 − 2x) − (x 3 − 10x 2 + 35x + 50) = −x 3 + 8x 2 + 115x − 50. Die Nullstellen dieser Funktion sind x 1 = −7, 72, x 2 = 0, 42 und x 3 = 15, 3, die Gewinnzone ist also das Intervall (0, 42; 15, 3). Der Deckungsbeitrag ergibt sich zu E(x) − K var (x) = 150x − 2x 2 − (x 3 − 10x 2 + 35x) = −x 3 + 8x 2 − 115x. Konsumfunktion Die Funktion c(y), welche den Gesamtkonsum c eines Haushaltes in Abh ¨ angigkeit vom Einkommen y des Haushaltes beschreibt, heißt mikro ¨ okonomische Konsumfunktion. Je h ¨ oher das Einkommen eines Haushaltes ist, umso h ¨ oher sind ¨ ublicherweise auch die Ausgaben f ¨ ur Konsum, eine Konsumfunktion ist also zumindest monoton steigend. Werden die Konsumfunktionen aller Haushalte einer Volkswirtschaft aggregiert, so liegt eine makro ¨ okonomische Konsumfunktion C(Y ) vor. <?page no="80"?> 2.3. ¨ Okonomische Funktionen 81 Sparfunktion Es sei angenommen, dass der den Konsum ¨ ubersteigende Teil des Einkommens gespart wird. Dann kann aus der Konsumfunktion durch s(y) = y − c(y) bzw. S(Y ) = Y − C(Y ) die mikro ¨ okonomische Sparfunktion s(y) bzw. die makro ¨ okonomische Sparfunktion S(Y ) bestimmt werden, welche die Ersparnis in Abh ¨ angigkeit des Einkommens y bzw. Y angibt. Die Nullstelle y ∗ der Sparfunktion, ab welcher die Sparsumme positiv wird (s(y) > 0 f ¨ ur y > y ∗ ) heißt auch Sparschwelle. Beispiel 2.3.3 Gegeben sei die makro ¨ okonomische Konsumfunktion C(Y ) = 0, 4Y +400. Das Existenzminimum entspricht dem Konsum eines Haushaltes, welcher kein eigenes Einkommen erzielt (Y = 0). Hier betr ¨ agt das Existenzminimum C(0) = 400 EUR. Die Sparsumme ergibt sich aus S(Y ) = Y − C(Y ) = 0, 6Y − 400, die Sparschwelle liegt also bei Y = 400 0,6 = 666, 67 EUR, sobald das Einkommen eines Haushaltes diese Schwelle ¨ ubersteigt, ist dieser in der Lage zu sparen. Durchschnittsfunktion In den Wirtschaftswissenschaften interessiert man sich h ¨ aufig f ¨ ur Durchschnittswerte und somit auch Durchschnittsfunktionen. F ¨ ur die ¨ okonomische Funktion y = f(x) mit D = R + heißt die Funktion ¯ y = y x = f(x) x Durchschnittsfunktion zu y = f(x). Die Durchschnittsfunktion wird h ¨ aufig auch als St ¨ uck-. . .-funktion bezeichnet, also beispielsweise als St ¨ uckkostenfunktion. Beispiel 2.3.4 F ¨ ur die Kostenfunktion K(x) = x 3 − 2x 2 + 2x + 12 ergibt sich die St ¨ uckkostenfunktion k(x) = K(x) x = x 3 − 2x 2 + 2x + 12 x = x 2 − 2x + 2 + 12 x . <?page no="81"?> 82 Kapitel 2. Funktionen mit einer Variablen Aufgaben Aufgabe 2.3.1 Gegeben sei die Angebotsfunktion x A (p) = 50 + 10p und die Nachfragefunktion x N (p) = 250 − p 2 . a) Bestimmen Sie das Marktgleichgewicht. b) Berechnen Sie den Gesamtumsatz im Marktgleichgewicht. c) Bestimmen Sie die Angebotsfunktion p A (x). d) F ¨ ur welchen Preis ist die nachgefragte Menge doppelt so groß wie die angebotene Menge? Aufgabe 2.3.2 Gegeben sei die Kostenfunktion K(x) = x 3 − 9x 2 + 44x + 12 sowie eine Preis-Absatz-Funktion p(x) = −2x + 40. a) Bestimmen Sie die St ¨ uckkostenfunktion. b) Bestimmen Sie die Erl ¨ osfunktion und die Gewinnfunktion. c) Bestimmen Sie die Gewinnzone. Aufgabe 2.3.3 Ein Haushalt bekommt zwei Angebote f ¨ ur Telefonie: • Tarif 1: Grundkosten 20 EUR/ Monat, je Einheit 0,15 EUR • Tarif 2: Grundkosten 30 EUR/ Monat, je Einheit 0,10 EUR a) Geben Sie jeweils die Kostenfunktion an. b) Ab wie vielen Einheiten ist Tarif 2 g ¨ unstiger? Aufgabe 2.3.4 Bestimmen Sie die Faktorverbrauchsfunktion. a) x(r) = √ 3r − 60, b) x(r) = ln((2r − 1) 2 ). <?page no="82"?> 2.3. ¨ Okonomische Funktionen 83 Aufgabe 2.3.5 Die Konsumausgaben eines Haushaltes (in EUR/ Monat) seien gegeben durch c(y) = 60 √ 0, 3y + 49. Das Einkommen werde ausschließlich f ¨ ur Konsum- und Sparzwecke eingesetzt. a) Wie hoch ist das Existenzminimum? b) Ab welchem Einkommen wird Geld gespart? c) F ¨ ur welches Einkommen werden 30% des Einkommens gespart? d) F ¨ ur welches Einkommen stimmen Sparsumme und Konsumsumme ¨ uberein? Aufgabe 2.3.6 Gegeben sei eine Kostenfunktion K(x) = ln(2x + 5) + 100 a) Geben Sie die Fixkosten an. b) Bestimmen Sie die St ¨ uckkosten f ¨ ur x = 10 produzierte Einheiten. Aufgabe 2.3.7 Gegeben sei eine Produktionsfunktion x(r) = −0, 2r 3 +8r 2 . Der Einsatzfaktor R koste 20 EUR/ Mengeneinheit. Das Produkt werde zu einem Preis von 50 EUR/ Mengeneinheit verkauft. Weitere Geldfl ¨ usse seien nicht vorhanden. a) Bestimmen Sie die Kostenfunktion. b) Bestimmen Sie die Erl ¨ osfunktion. c) Bestimmen Sie die Gewinnfunktion. d) Bestimmen Sie den St ¨ uckerl ¨ os f ¨ ur eine Einsatzmenge von r = 10 Mengeneinheiten. Aufgabe 2.3.8 Gegeben sei die Preis-Absatz-Funktion x(p) = 80 − 2p sowie die Kostenfunktion K(x) = 20x + 150. a) Geben Sie die Gewinnfunktion an. b) Bestimmen Sie die Gewinnzone. <?page no="84"?> 3 Differentialrechnung f ¨ ur Funktionen mit einer unabh ¨ angigen Variablen 3.1 Differenzierbarkeit einer Funktion Ziel der Wirtschaftswissenschaften ist es, f ¨ ur Unternehmen nicht nur den Istzustand zu betrachten, sondern auch m ¨ ogliche ¨ Anderungen der Einsatzfaktoren zu ber ¨ ucksichtigen und die Auswirkungen dieser ¨ Anderungen auf den jeweiligen Funktionswert abzusch ¨ atzen. Ist beispielsweise eine Gewinnfunktion G(x) bekannt, so kann mithilfe der aktuell hergestellten Produktionsmenge x der derzeitige Gewinn bestimmt werden. Um Produktionsplanungen f ¨ ur die Zukunft aufstellen zu k ¨ onnen, soll im Weiteren abgesch ¨ atzt werden, wie sich der Gewinn ¨ andert, wenn die Produktionsmenge ver ¨ andert wird. Es soll also nicht mehr die Menge x, sondern nunmehr die Menge x + Δx hergestellt werden. Der Wert Δx ist dabei eine reelle Zahl, der Ausdruck Δ dr ¨ uckt dabei aus, dass die Variable x ver ¨ andert wird und nimmt selbst keinen Wert an. Der Gewinn ¨ andert sich zu G(x + Δx). Die Ver ¨ anderung des Gewinns betr ¨ agt dann ΔG = G(x + Δx) − G(x). Da sich der Wert von ΔG mit jedem x und jeder ¨ Anderung der Gr ¨ oße Δx ¨ andert, lassen sich verschiedene Situationen nicht miteinander vergleichen. Um die Vergleichbarkeit herzustellen, wird nicht die absolute ¨ Anderung ΔG betrachtet, sondern die durchschnittliche ¨ Anderung je Einheit. 85 <?page no="85"?> 86 Kapitel 3. Differentialrechnung I Diese durchschnittliche ¨ Anderung betr ¨ agt ΔG Δx = G(x + Δx) − G(x) Δx und heißt Differenzenquotient der Funktion G. Definition 3.1.1 Sei f : D f −→ W f eine stetige Funktion und Δx die ¨ Anderung der unabh ¨ angigen Variablen von x auf x + Δx, so ist Δy = f(x + Δx) − f(x) die zugeh ¨ orige ¨ Anderung des Funktionswertes und Δy Δx = f(x + Δx) − f(x) Δx heißt Differenzenquotient der Funktion. Der Differenzenquotient entspricht gerade der Steigung der Sekante durch die Punkte (x, f(x)) und (x + Δx, f(x + Δx)) und gibt an, wie sich der Funktionswert im Intervall [x, x + Δx] durchschnittlich ¨ andert. Um die Abh ¨ angigkeit des Differenzenquotienten von dem Wert Δx zu eliminieren, soll f ¨ ur Δx nun der Grenzwert gegen Null betrachtet werden. <?page no="86"?> 3.1. Differenzierbarkeit einer Funktion 87 Grafisch entspricht dies der Verschiebung von x + Δx zu dem Wert x. Die Sekante ver ¨ andert sich entsprechend und n ¨ ahert sich f ¨ ur Δx → 0 der Tangente an die Funktion f(x) im Punkt (x, f(x)) an. Mithilfe dieses Grenzwertes kann nun die erste Ableitung einer Funktion definiert werden. Definition 3.1.2 Sei f : D f −→ W f eine reelle Funktion. Die Funktion f(x) besitzt f ¨ ur x ∈ D f eine erste Ableitung f ′ (x), falls der Grenzwert lim Δx→0 Δy Δx = lim Δx→0 f(x + Δx) − f(x) Δx existiert. Es gilt dann f ′ (x) = lim Δx→0 Δy Δx . Die erste Ableitung wird auch als Differentialquotient bezeichnet, geschrieben dy dx ; d dx f(x) oder f ′ (x). Die Ableitung von f an der Stelle x ∗ wird geschrieben als dy dx | x=x ∗ ; d dx f(x)| x=x ∗ oder f ′ (x ∗ ). Existiert der Grenzwert f ¨ ur alle x ∈ D f , so heißt f differenzierbar. Beispiel 3.1.1 Gegeben sei die Funktion f(x) = x 3 . Dann ist Δy Δx = (x + Δx) 3 − x 3 Δx = x 3 + 3x 2 Δx + 3xΔx 2 + Δx 3 − x 3 Δx = Δx(3x 2 + 3xΔx + Δx 2 ) Δx = 3x 2 + 3xΔx + Δx 2 . Es folgt f ′ (x) = lim Δx→0 3x 2 + 3xΔx + Δx 2 = 3x 2 . H ¨ aufig gen ¨ ugt es, die erste Ableitung einiger elementarer Funktionen und einige Differentiationsregeln zu kennen, um auch schwierigere Funktionen ableiten zu k ¨ onnen. Diese werden in den n ¨ achsten Abschnitten vorgestellt. <?page no="87"?> 88 Kapitel 3. Differentialrechnung I 3.1.1 Die erste Ableitung elementarer Funktionen f(x) f ′ (x) c 0 ax + b a x n nx n−1 1 x − 1 x 2 1 x n − n x n+1 1 f(x) − f ′ (x) (f(x)) 2 √ x 1 2 √ x √ f(x) f ′ (x) 2 √ f(x) 1 √ x − 1 2 √ x 3 n √ x 1 n n √ x n−1 e x e x a x a x ln a f(x) f ′ (x) e f(x) f ′ (x)e f(x) a f(x) f ′ (x)a f(x) ln a x x x x (1 + ln x) ln x 1 x ln(x n ) n x log a x 1 x ln a ln f(x) f ′ (x) f(x) log a f(x) f ′ (x) f(x) ln a sin x cos x cos x − sin x tan x 1 cos 2 x cot x − 1 sin 2 x 3.1.2 Ableitungsregeln Satz 3.1.1 (Konstantenregel) Sei f : D f −→ W f eine differenzierbare Funktion. Dann ist f ¨ ur a ∈ R auch a · f(x) differenzierbar und es gilt: (a · f(x)) ′ = a · f ′ (x). Beispiel 3.1.2 1. Sei f(x) = 5x 3 gegeben. Dann ist f ′ (x) = 5 · 3x 2 = 15x 2 . 2. Sei f(x) = 10 sin x gegeben. Dann ist f ′ (x) = 10 · cos x. <?page no="88"?> 3.1. Differenzierbarkeit einer Funktion 89 Satz 3.1.2 (Summenregel) Seien f i : D −→ W , i = 1, . . . , n differenzierbare Funktionen und a i ∈ R, i = 1, . . . , n. Dann ist auch n ∑ i=1 a i f i (x) differenzierbar und es gilt: ( n ∑ i=1 a i f i (x) ) ′ = n ∑ i=1 a i f ′ i (x). Beispiel 3.1.3 1. Sei f(x) = 2x 3 − x 2 + 3x − 10 gegeben. Dann ist f ′ (x) = 6x 2 − 2x + 3. 2. Sei f(x) = 5 ln x − 2 √ x gegeben. Dann ist f ′ (x) = 5 x − 1 √ x . Satz 3.1.3 (Produktregel) Seien u, v : D −→ W differenzierbare Funktionen. Dann ist auch u(x) · v(x) differenzierbar und es gilt: (u(x) · v(x)) ′ = u ′ (x) · v(x) + u(x) · v ′ (x). Beispiel 3.1.4 1. Sei f(x) = x 2 · cos x gegeben. Dann sind u(x) = x 2 mit u ′ (x) = 2x und v(x) = cos x mit v ′ (x) = − sin x. Es folgt f ′ (x) = 2x · sin x − x 2 · cos x. 2. Sei f(x) = x · e x gegeben. Dann sind u(x) = x, also u ′ (x) = 1 und v(x) = e x , also v ′ (x) = e x . Es folgt f ′ (x) = 1 · e x + x · e x = e x (1 + x). Satz 3.1.4 (Quotientenregel) Seien u, v : D −→ W differenzierbare Funktionen mit v(x) == 0. Dann ist auch u(x) v(x) differenzierbar und es gilt: ( u(x) v(x) ) ′ = u ′ (x) · v(x) − u(x) · v ′ (x) (v(x)) 2 . <?page no="89"?> 90 Kapitel 3. Differentialrechnung I Beispiel 3.1.5 1. Sei f(x) = 2x+5 x 2 −4 gegeben. Dann sind u(x) = 2x + 5 mit u ′ (x) = 2 und v(x) = x 2 − 4 mit v ′ (x) = 2x. Es folgt f ′ (x) = 2 · x 2 − (2x − 5) · 2x (x 2 − 4) 2 = −2x 2 + 10x (x 2 − 4) 2 . 2. Sei f(x) = sin x cos x gegeben. Dann sind u(x) = sin x mit u ′ (x) = cos x und v(x) = cos x mit v ′ (x) = − sin x. Es folgt f ′ (x) = cos x · cos x + sin x · sin x cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x . Satz 3.1.5 (Kettenregel) Seien u, v : D −→ W differenzierbare Funktionen. Dann ist auch u(v(x)) differenzierbar und es gilt: (u(v(x))) ′ = u ′ (v(x)) · v ′ (x). Dabei werden u ′ (v(x)) auch ¨ außere Ableitung und v ′ (x) innere Ableitung genannt. Beispiel 3.1.6 1. Sei f(x) = √ 3x 2 + 6 gegeben. Dann sind u(y) = √ y mit u ′ (y) = 1 2 √ y und v(x) = 3x 2 + 6 mit v ′ (x) = 6x. Es folgt f ′ (x) = 1 2 √ 3x 2 + 6 · 6x = 3x √ 3x 2 + 6 . 2. Sei f(x) = e 2x 2 −x gegeben. Dann sind u(y) = e y mit u ′ (y) = e y und v(x) = 2x 2 − x mit v ′ (x) = 4x − 1. Es folgt f ′ (x) = e 2x 2 −x · (4x − 1). 3. Sei f(x) = cos(2x − 1) gegeben. Dann sind u(y) = cos y mit u ′ (y) = − sin y und v(x) = 2x−1 mit v ′ (x) = 2. Es folgt f ′ (x) = − sin(2x−1)·2. <?page no="90"?> 3.1. Differenzierbarkeit einer Funktion 91 3.1.3 H ¨ ohere Ableitungen Ist die erste Ableitung eine differenzierbare Funktion, so kann die zweite Ableitung gebildet werden. Definition 3.1.3 Gegeben sei eine Funktion f : D f −→ W f , deren erste Ableitung f ′ (x) wieder eine differenzierbare Funktion sei. Die erste Ableitung der Funktion f ′ (x) heißt zweite Ableitung von f(x) und wird mit d 2 y dx 2 oder f ′′ (x) bezeichnet. Durch weiteres Differenzieren k ¨ onnen auch h ¨ ohere Ableitungen bestimmt werden. F ¨ ur die n−te Ableitung wird h ¨ aufig auch f (n) (x) geschrieben. Beispiel 3.1.7 Sei f(x) = 6x 3 − 2x 2 + 3x − 1. Dann sind f ′ (x) = 18x 2 − 4x + 3, f ′′ (x) = 36x − 4, f ′′′ (x) = 36 und f (4) (x) = 0. Ist eine Ableitung stetig, so nennt man die Funktion auch stetig differenzierbar. 3.1.4 Ableitungen ¨ okonomischer Funktionen F ¨ ur ¨ okonomische Funktionen bietet die erste Ableitung eine M ¨ oglichkeit, ¨ Anderungen der Funktionswerte abzusch ¨ atzen, wodurch Rechenaufwand eingespart werden kann. Da f ′ (x ∗ ) = lim Δx→0 f(x ∗ + Δx) − f(x ∗ ) Δx und Δx bei dieser Grenzwertbetrachtung marginal ist, also vernachl ¨ assigbar klein, heißt die Ableitung f ′ (x) in den Wirtschaftswissenschaften auch Marginalfunktion oder Grenzfunktion. <?page no="91"?> 92 Kapitel 3. Differentialrechnung I Da in ¨ okonomischen Anwendungen x ∗ h ¨ aufig eine große Zahl von Einheiten ist, kann eine Erh ¨ ohung um eine Einheit als entsprechend kleine ¨ Anderung angesehen werden. Daher wird die erste Ableitung in der ¨ Okonomie auch folgendermaßen interpretiert: Der Wert f ′ (x ∗ ) gibt ungef ¨ ahr die ¨ Anderung f(x ∗ + 1)−f(x ∗ ) der Funktionswerte an, welche durch eine Erh ¨ ohung der unabh ¨ angigen Variable um eine Einheit bewirkt wird. Beispiel 3.1.8 Gegeben sei die Gewinnfunktion G(x) = −x 2 + 300x − 100. Die erste Ableitung ist gegeben durch G ′ (x) = −2x + 300 und heißt Grenzgewinn. F ¨ ur die Menge x = 100 gilt: G(100) = 19.900, es werden also 19.900 Geldeinheiten Gewinn erzielt, wenn x = 100 Mengeneinheiten verkauft werden. Außerdem ist G ′ (100) = 100, wird also, ausgehend von x = 100, eine Einheit zus ¨ atzlich verkauft, so steigt der Gewinn um n ¨ aherungsweise 100 Geldeinheiten auf dann 20.000 Geldeinheiten. Zum Vergleich: Es ist G(101) = 19.999, der Fehler der N ¨ aherung mithilfe der ersten Ableitung betr ¨ agt nur eine Einheit, dies entspricht im vorliegenden Fall 1%. Die durch die erste Ableitung gesch ¨ atzte Funktionswert ¨ anderung ist nur dann eine gute N ¨ aherung, wenn die Ver ¨ anderung um eine Einheit in Bezug auf die Ausgangsgr ¨ oße klein genug ist, im vorliegenden Beispiel ist dies der Fall. Nachfolgend werden die wichtigsten ¨ okonomischen Funktionen im Hinblick auf die Bedeutung ihrer ersten Ableitung untersucht. Kostenfunktion F ¨ ur eine Kostenfunktion K(x) bezeichnet der Funktionswert die Gesamtkosten f ¨ ur x produzierte Einheiten. Die erste Ableitung K ′ (x) wird als Grenzkostenfunktion bezeichnet und gibt n ¨ aherungsweise die Ver ¨ anderung der Kosten K(x) bei Ver ¨ anderung der Produktionsmenge um eine Einheit an. Wird dagegen die St ¨ uckkostenfunktion k(x) = K(x) x betrachtet, welche die Kosten je St ¨ uck bei einer Produktionsmenge von x Einheiten angibt, so wird die erste Ableitung k ′ (x) als Grenzst ¨ uckkostenfunktion bezeichnet. Sie gibt die n ¨ aherungsweise Ver ¨ anderung der St ¨ uckkosten an, wenn von einer Menge x ausgehend, die Produktion um eine Einheit ver ¨ andert wird. <?page no="92"?> 3.1. Differenzierbarkeit einer Funktion 93 Erl ¨ os- und Gewinnfunktion Die Funktion E(x) gibt den Erl ¨ os f ¨ ur x am Markt abgesetzte Einheiten an, die erste Ableitung E ′ (x) wird als Grenzerl ¨ os bezeichnet und gibt die Erl ¨ os ¨ anderung bei ¨ Anderung der Menge x um eine Einheit an. Die Durchschnittsfunktion p(x) = E(x) x heißt St ¨ uckpreis und gibt den erzielten Preis pro St ¨ uck bei Absatz von x Einheiten an. Die erste Ableitung p ′ (x) wird auch als Grenzpreis bezeichnet und gibt die Marktpreis ¨ anderung bei ¨ Anderung der Menge x um eine Einheit an. Die Gewinnfunktion G(x) = E(x) − K(x) gibt den Gewinn f ¨ ur x produzierte und verkaufte Einheiten an, die erste Ableitung wird als Grenzgewinn bezeichnet und gibt an, wie sich der Gewinn ver ¨ andert, wenn sich die Produktionsmenge um eine Einheit ver ¨ andert. Die zugeh ¨ orige Durchschnittsfunktion g(x) = G(x) x heißt St ¨ uckgewinn und gibt den durchschnittlich erzielten Gewinn f ¨ ur eine Einheit an. Die erste Ableitung g ′ (x) heißt Grenzst ¨ uckgewinn und beschreibt die Ver ¨ anderung des St ¨ uckgewinns, wenn die Menge x um eine Einheit ver ¨ andert wird. Produktionsfunktion Die Produktionsfunktion x(r) gibt den Output in Abh ¨ angigkeit vom Produktionsfaktor r an, ihre erste Ableitung x ′ (r) wird als Grenzproduktivit ¨ at bezeichnet und beschreibt die Ver ¨ anderung des Outputs bei ¨ Anderung der Einsatzmenge um eine Faktoreinheit. Die Durchschnittsfunktion ¯ x(r) = x(r) r heißt durchschnittliche Produktivit ¨ at und beschreibt, wie viele Einheiten durchschnittlich je eingesetzter Faktoreinheit produziert werden. Die erste Ableitung ¯ x ′ (r) wird als Grenzdurchschnittsertrag bezeichnet und gibt die ¨ Anderung der durchschnittlichen Produktivit ¨ at bei ¨ Anderung der Einsatzmenge um eine Faktoreinheit an. Die Umkehrfunktion der Produktionsfunktion r(x), die Faktorverbrauchsfunktion, gibt den Faktorverbrauch bei Produktion von x Einheiten an, die erste Ableitung r ′ (x) heißt Grenzverbrauchsfunktion und gibt die Ver ¨ anderung des Faktorverbrauchs bei ¨ Anderung der Produktionsmenge um eine Einheit an. <?page no="93"?> 94 Kapitel 3. Differentialrechnung I Die Durchschnittsfunktion der Faktorverbrauchsfunktion, ¯ r(x) = r(x) x , heißt Produktionskoeffizient und beschreibt den Durchschnittsverbrauch des Einsatzfaktors je produzierter Mengeneinheit. Die zugeh ¨ orige erste Ableitung ¯ r ′ (x) heißt Grenzproduktionskoeffizient und beschreibt die ¨ Anderung des Durchschnittsverbrauchs f ¨ ur x produzierte Einheiten, wenn die Menge x um eine Einheit ver ¨ andert wird. Konsum- und Sparfunktion Die Konsumfunktion C(Y ) beschreibt, welcher Anteil des Einkommens Y f ¨ ur den Konsum verwendet wird. Die erste Ableitung C ′ (Y ) wird als marginale Konsumquote bzw. Grenzhang zum Konsum bezeichnet und beschreibt, wie sich der Konsum ¨ andert, wenn das vorhandene Einkommen um eine Einheit ver ¨ andert wird. Aus der Konsumfunktion entsteht durch S(Y ) = Y − C(Y ) die Sparfunktion. Sie beschreibt, welcher Teil des Einkommens Y zum Sparen verwendet wird. Die Ableitung S ′ (Y ) beschreibt daher die Ver ¨ anderung der Sparsumme, wenn das Einkommen um eine Einheit ver ¨ andert wird und wird als marginale Sparquote bezeichnet. Da Y = C(Y ) + S(Y ), folgt, dass 1 = C ′ (Y ) + S ′ (Y ), marginale Konsum- und Sparquote ergeben zusammen also immer 1. <?page no="94"?> 3.1. Differenzierbarkeit einer Funktion 95 Aufgaben Aufgabe 3.1.1 Bestimmen Sie die erste Ableitung der Funktionen. a) f(x) = x 3 + 12x 2 − 4x + 5 b) f(x) = sin x + 3x 2 − e x c) f(x) = x 5 − √ x + ln x d) f(x) = 2 x − cos x + 3x Aufgabe 3.1.2 Bestimmen Sie die erste Ableitung der Funktionen mit der Produktregel. a) f(x) = (x 2 − 1)(4x 3 − 2x + 8) b) f(x) = x 2 · sin x c) f(x) = x · ln x d) f(x) = sin x · cos x Aufgabe 3.1.3 Bestimmen Sie die erste Ableitung der Funktionen mit der Quotientenregel. a) f(x) = x 2 −3x 2x+1 b) f(x) = cos x 2x 2 −3 c) f(x) = e x x 2 +5 d) f(x) = ln x x Aufgabe 3.1.4 Bestimmen Sie die erste Ableitung der Funktionen mit der Kettenregel. a) f(x) = √ x 3 − 2x + 1 b) f(x) = sin(3x − 4) c) f(x) = ln(x 2 + 3) <?page no="95"?> 96 Kapitel 3. Differentialrechnung I Aufgabe 3.1.5 Bestimmen Sie die ersten vier Ableitungen der Funktionen. a) f(x) = 3x 4 − 5x 3 + 12x 2 − x + 8 b) f(x) = x 2 + ln x − e x c) f(x) = cos x + x 3 − 2 √ x d) f(x) = (2x 2 + 1) 3 Aufgabe 3.1.6 Bestimmen Sie die erste Ableitung der Funktionen. a) f(x) = sin(3x 2 +1) 2x+6 b) f(x) = e x 2 −3x c) f(x) = x 2 · ln(2x − 1) d) f(x) = √ e x · (3x 2 − 4x) Aufgabe 3.1.7 Gegeben sei eine Produktionsfunktion x(r) = 0, 8r 2 − 0, 02r 3 . a) Bestimmen und interpretieren Sie die erste Ableitung von x(r) f ¨ ur eine Einsatzmenge von r = 20 Faktoreinheiten. b) Bestimmen Sie den Grenzdurchschnittsertrag f ¨ ur r = 20 eingesetzte Faktoreinheiten. Aufgabe 3.1.8 Gegeben sei eine Konsumfunktion C(Y ) = 40 √ 0, 1Y + 100. a) Bestimmen und interpretieren Sie die marginale Konsumquote f ¨ ur ein Einkommen von Y = 2.000 EUR. b) Bestimmen und interpretieren Sie die marginale Sparquote f ¨ ur ein Einkommen von Y = 2.000 EUR. c) F ¨ ur welches Einkommen Y werden 60% des Einkommens f ¨ ur Konsum aufgewendet? <?page no="96"?> 3.2. Anwendungen der Differentialrechnung 97 3.2 Anwendungen der Differentialrechnung 3.2.1 Das Differential Betrachtet werde eine differenzierbare Funktion f : D f −→ W f . Die unabh ¨ angige Variable x werde um den Wert Δx ∈ R ver ¨ andert. Dann ¨ andert sich auch der Funktionswert zu f(x + Δx). Um den Rechenaufwand zur Berechnung des neuen Funktionswertes zu reduzieren, soll die ¨ Anderung des Funktionswertes Δf = f(x + Δx) − f(x) nicht exakt, sondern n ¨ aherungsweise bestimmt werden. Zur n ¨ aherungsweisen Bestimmung der Funktionswert ¨ anderung wird die Tangente an die Funktion in x verwendet. Die Steigung dieser Tangente ist gegeben durch f ′ (x). Soll nun die Funktion im Intervall [x, x + Δx] durch die Tangente angen ¨ ahert werden, so betr ¨ agt die ¨ Anderung auf der Tangenten gerade f ′ (x) · Δx Einheiten. Der Wert ε(Δx) entspricht dem Fehler, der bei der Approximation der Funktion durch die Tangente entsteht. Dieser Fehler nimmt mit gr ¨ oßer werdendem Δx in den meisten F ¨ allen zu, sodass eine n ¨ aherungsweise Bestimmung der Funktionswert ¨ anderung nur f ¨ ur relativ kleine ¨ Anderungen Δx verwendet werden sollte, in diesen F ¨ allen wird der Fehler auf Grund der Einsparung von Rechenaufwand in Kauf genommen. Definition 3.2.1 Sei f : D f −→ W f eine differenzierbare Funktion mit erster Ableitung f ′ (x). Sei ferner Δx eine endliche ¨ Anderung der unabh ¨ angigen Variablen. Dann ist das Differential der Funktion f gegeben durch df(x) = f ′ (x) · Δx. <?page no="97"?> 98 Kapitel 3. Differentialrechnung I Beispiel 3.2.1 1. Zu einem Gut sei eine Kostenfunktion K(x) = x 3 − 3x 2 + 3x + 100 gegeben. Dann ist K ′ (x) = 3x 2 − 6x + 3. Es werden derzeit x = 100 Mengeneinheiten des Gutes produziert. Wird f ¨ ur die n ¨ achste Produktionsperiode eine Erh ¨ ohung der Produktionmenge um Δx = 5 Einheiten geplant, so gilt f ¨ ur die zus ¨ atzlich entstehenden Kosten dK = K ′ (100) · 5 = (30.000 − 600 + 3) · 5 = 147.015 EUR. F ¨ ur die f ¨ unf zus ¨ atzlichen Einheiten entstehen also ungef ¨ ahr 147.015 EUR Mehrkosten. 2. Der Gesch ¨ aftsf ¨ uhrer eines mittelst ¨ andischen Unternehmens nimmt an, dass im n ¨ achsten Jahr 1.000 St ¨ uck eines Gutes verkauft werden k ¨ onnen. Er ist sich sicher, dass seine Sch ¨ atzung zu ±5% zutreffen wird. Die Gewinnfunktion des Unternehmens laute G(x) = −0, 04x 2 + 700x − 800, die Ableitung ist dann gegeben durch G ′ (x) = −0, 08x + 700. Die maximale Abweichung bezogen auf die St ¨ uckzahl betr ¨ agt 5% von 1.000, also Δx = 5 100 1.000 = 50. Damit gilt f ¨ ur x = 1.000 dG = G ′ (1.000)Δx = (−80 + 700)50 = 31.000 EUR. Der maximale Sch ¨ atzfehler im Gewinn betr ¨ agt also 31.000 EUR. Dies mag zun ¨ achst groß erscheinen, in Bezug auf den Gewinn f ¨ ur 1.000 verkaufte St ¨ uck G(1.000) = 659.200 EUR relativiert sich das Ergebnis. Das Differential sch ¨ atzt absolute ¨ Anderungen des Funktionswertes. Sollen Produkte oder auch Unternehmen miteinander verglichen werden, so f ¨ uhrt ein Vergleich absoluter Werte h ¨ aufig nicht zum Ziel, da die Datenbasis unterschiedlich ist. Um eine bessere Vergleichbarkeit zu erzielen, sollten f ¨ ur diese Zwecke relative ¨ Anderungen der zu untersuchenden Gr ¨ oßen betrachtet werden. <?page no="98"?> 3.2. Anwendungen der Differentialrechnung 99 3.2.2 Die Wachstumsrate Die erste Ableitung einer Funktion sch ¨ atzt die absolute Funktionswert ¨ anderung, wenn die unabh ¨ angige Variable um eine Einheit ver ¨ andert wird. Um diese absoluten Werte vergleichbar zu machen, ist eine relative Gr ¨ oße gesucht. Diese ist durch die Wachstumsrate definiert, welche die absolute ¨ Anderung in ein Verh ¨ altnis zum bisherigen Funktionswert setzt. Definition 3.2.2 Gegeben sei eine differenzierbare Funktion f : D f −→ W f . Der Quotient w f (x) = f ′ (x) f(x) [·100%] f ¨ ur f(x) == 0 heißt Wachstumsrate der Funktion f(x). Die Wachstumrate, angegeben in %, gibt also an, um wie viel Prozent sich der Funktionswert ¨ andert, wenn die Variable x um eine Einheit ver ¨ andert wird. Falls w f (x) < 0, so wird w f auch als Schrumpfungsrate bezeichnet. Beispiel 3.2.2 1. Gegeben sei eine Funktion f(x) = f 0 · 1, 03 x . Dann ist f ′ (x) = f 0 · 1, 03 x · ln(1, 03) und daher w f (x) = f 0 · 1, 03 x · ln(1, 03) f 0 · 1, 03 x = ln(1, 03) = 0, 0296. Die Wachstumsrate betr ¨ agt also n ¨ aherungsweise 2, 96%. Alle Sch ¨ atzungen, bei denen die erste Ableitung zur Anwendung kommt, stellen lediglich N ¨ aherungen an die tats ¨ achlichen Gr ¨ oßen dar. 2. Betrachtet werde die Temperaturentwicklung einer Tasse Tee. Die Zimmertemperatur betrage 20 ◦ C; der Tee sei nach 5 Minuten noch 40 ◦ C heiß. Die Temperatur nach t Minuten ist gegeben durch die Gleichung T (t) = 20 + 60 · e −λt . <?page no="99"?> 100 Kapitel 3. Differentialrechnung I Zun ¨ achst ist die Konstante λ zu berechnen. Es gilt T (5) = 20 + 60 · e −5λ = 40. Diese Gleichung ist aufzul ¨ osen: 20 = 60·e −5λ ⇔ 1 3 = e −5λ ⇔ ln ( 1 3 ) = −5λ ⇔ λ = − ln ( 1 3 ) 5 = 0, 2197. Die Temperaturgleichung lautet also T (t) = 20 + 60 · e −0,2197t . Es ist T ′ (t) = −0, 2197 · 60 · e −0,2197t = 13, 1833 · e −0,2197t und damit w T (t) = T ′ (t) T (t) = 13, 1833 · e −0,2197t 20 + 60 · e −0,2197t . Damit betr ¨ agt die Wachstumsrate nach beispielsweise f ¨ unf Minuten w T (5) = 13, 1833 · e −0,2197·5 20 + 60 · e −0,2197·5 = −0, 1049, Die Schrumpfungsrate betr ¨ agt also 10, 49%, der Tee k ¨ uhlt in der sechsten Minute um n ¨ aherungsweise 10, 49% ab. 3. Das Wachstum in einer Bakterienkultur verhalte sich gem ¨ aß B(t) = 100 · e 0,3·t , zu Beginn sind also B(0) = 100 · e 0 = 100 Bakterien vorhanden. Die Wachstumsrate ergibt sich zu w B (t) = B ′ (t) B(t) 100 · 0, 3 · e 0,3t 100 · e 0,3t = 0, 3 und betr ¨ agt prozentual 30%, die Bakterienkultur w ¨ achst also je Zeiteinheit um 30%. <?page no="100"?> 3.2. Anwendungen der Differentialrechnung 101 3.2.3 Die Elastizit ¨ at Um verschiedene Produkte zum Beispiel im Hinblick auf Preiserh ¨ ohungen miteinander vergleichen zu k ¨ onnen, sollten diese ¨ Anderungen nicht absolut, sondern vielmehr relativ betrachtet werden. Dazu wird das Verh ¨ altnis δ x = Δx x und δ y = Δy y untersucht, wobei Δy = f(x+Δx)−f(x) gilt. Die Werte δ x und δ y bezeichnen die relative ¨ Anderung von x sowie die durch sie verursachte relative ¨ Anderung von y, wenn die unabh ¨ angige Variable x um Δx ver ¨ andert wird. Werden diese relativen ¨ Anderungen durcheinander geteilt, so gibt das Ergebnis die durchschnittliche relative ¨ Anderung der abh ¨ angigen Variablen y = f(x) im Intervall [x, x + Δx] an, wenn x um 1% erh ¨ oht wird. Definition 3.2.3 Sei f : D f −→ W f eine stetige Funktion. Dann heißt δ y δ x = Δy Δx x y Bogenelastizit ¨ at von f(x). Beispiel 3.2.3 Gegeben sei die Preis-Absatz-Funktion p(x) = 400 − 1 2 x 2 eines Gutes. F ¨ ur x = 20 St ¨ uck betr ¨ agt der Preis p(20) = 200 EUR. Wird die Menge x nun um 2 Einheiten erh ¨ oht, so gilt p(22) = 158, also Δp = −42 und daher Δx x = 2 20 = 0, 1 sowie Δp p = − 42 200 = −0, 21. Die Bogenelastizit ¨ at betr ¨ agt somit Δp Δx x p = −0, 21 0, 1 = −2, 1. <?page no="101"?> 102 Kapitel 3. Differentialrechnung I Der Preis des Gutes sinkt also f ¨ ur Mengen im Intervall [20, 22] um durchschnittlich 2, 1%, wenn die nachgefragte Menge x um 1% erh ¨ oht wird. F ¨ ur ¨ okonomische Anwendungen, bei welchen die ¨ Anderungen der unabh ¨ angigen Variablen als infinitesimal angesehen werden k ¨ onnen, wird zumeist der Grenz ¨ ubergang Δx → 0 betrachtet lim Δx→0 Δy Δx x y = lim Δx→0 f(x + Δx) − f(x) Δx x f(x) = f ′ (x) x f(x) . Definition 3.2.4 Sei f : D f −→ W f eine differenzierbare Funktion mit x == 0 == f(x). Dann heißt ε yx = f ′ (x) x f(x) (Punkt-)Elastizit ¨ at von y in Bezug auf x . Man bezeichnet ε yx (x) auch als Elastizit ¨ atsfunktion und f ¨ ur eine Stelle x ∗ ∈ D f den Wert ε yx (x ∗ ) als Elastizit ¨ at an der Stelle x ∗ . Bemerkung 3.2.1 F ¨ ur Elastizit ¨ aten gelten die folgenden Aussagen. • Ist ε yx > 0, so f ¨ uhrt eine relative Erh ¨ ohung bzw. Reduktion der unabh ¨ angigen Variablen x zu einer relativen Erh ¨ ohung bzw. Reduktion der abh ¨ angigen Variablen y, die Ver ¨ anderungen erfolgen also gleichgerichtet. • Ist ε yx < 0, so f ¨ uhrt eine relative Erh ¨ ohung bzw. Reduktion der unabh ¨ angigen Variablen x zu einer relativen Reduktion bzw. Erh ¨ ohung der abh ¨ angigen Variablen y, die Ver ¨ anderungen erfolgen in gegens ¨ atzlicher Richtung. Beispiel 3.2.4 Zu bestimmen ist die Elastizit ¨ atsfunktion von f(x) = y = x 2 −4x+6. Die erste Ableitung von f(x) ist dann f ′ (x) = 2x−4. Also ist die Elastizit ¨ atsfunktion gegeben durch ε yx (x) = (2x − 4) x x 2 − 4x + 6 = 2x 2 − 4x x 2 − 4x + 6 . <?page no="102"?> 3.2. Anwendungen der Differentialrechnung 103 Die Elastizit ¨ at an der Stelle x = 1 betr ¨ agt ε yx (1) = 2−4 1−4+6 = −2 3 , der Funktionswert sinkt also um 2 3 %, wenn x von 1 ausgehend um 1% erh ¨ oht wird. F ¨ ur x = 4 betr ¨ agt die Elastizit ¨ at dagegen ε yx (4) = 32−16 16−16+6 = 16 6 = 8 3 , der Funktionswert steigt also um 8 3 %, wenn die unabh ¨ angige Variable x von 4 ausgehend um 1% erh ¨ oht wird. Der Wert der Elastizit ¨ at kann also f ¨ ur verschiedene x-Werte variieren. Bemerkung 3.2.2 F ¨ ur den Wert der Elastizit ¨ at von y = f(x) gelten folgende Aussagen. • Ist ε yx = 0, so wird die Funktion vollkommen unelastisch genannt. Wird hier die Variable x ver ¨ andert, so ¨ andert sich y nicht. Dies kommt beispielsweise bei Preis-Absatz-Funktionen f ¨ ur Luxusg ¨ uter vor, deren Nachfrage unabh ¨ angig von der Bepreisung ist. • Ist 0 < |ε yx | < 1, so wird die Funktion unelastisch genannt. Die Variable y ¨ andert sich relativ weniger stark als die Variable x. Dies trifft f ¨ ur Preis-Absatz-Funktionen f ¨ ur lebensnotwendige, aber nicht oder nur schlecht substituierbare G ¨ uter zu. Steigt der Preis solcher G ¨ uter, werden sie dennoch ben ¨ otigt und daher gekauft. • Ist ε yx = 1 oder ε yx = −1, so wird die Funktion auch als einheitselastisch bezeichnet. Die Variablen ¨ andern sich in gleichem Maße. • Gilt −∞ < ε yx < −1 oder 1 < ε yx < ∞, so heißt die Funktion elastisch. Die Variable y ¨ andert sich relativ st ¨ arker als die Variable x. Dies trifft f ¨ ur gut substituierbare G ¨ uter zu, bei welchen im Falle einer Preiserh ¨ ohung der Wechsel zu einem Konkurrenzprodukt leicht f ¨ allt. • Ist ε yx = ∞ oder ε yx = −∞, so heißt die Funktion vollkommen elastisch. Die ¨ Anderung der Variablen y ist unendlich hoch, auch wenn die Variable x nur wenig ver ¨ andert wird. Dies ist in der Wirtschaft ¨ ublicherweise nicht anzutreffen. Eine solche Elastizit ¨ at liegt vor, wenn ein Gut mit festgelegtem Preis (beispielsweise ein Geldst ¨ uck) g ¨ unstiger abgegeben wird. Die Anzahl der Nachfrager w ¨ are unendlich groß. Beispiel 3.2.5 Gegeben sei die Nachfragefunktion x(p) = 600 − 3p. Es ist x ′ (p) = −3 und daher ε xp = −3 p 600−3p . Die Elastizit ¨ at der Nachfragefunktion wird auch als Nachfrageelastizit ¨ at des Preises bezeichnet. <?page no="103"?> 104 Kapitel 3. Differentialrechnung I Wird f ¨ ur den Preis p = 50 angenommen, so ist ε xp (50) = −3 50 450 = − 1 3 . Die Nachfrage ist in Bezug auf den Preis also unelastisch. Wird dagegen die Umkehrfunktion der obigen Nachfragefunktion gebildet p(x) = 200 − 1 3 x, so gilt p ′ (x) = − 1 3 und ε px = − 1 3 x 200− 1 3 x und es gilt f ¨ ur die Menge x = 450, dass ε px (450) = − 1 3 450 50 = −3. Der Preis reagiert also elastisch auf eine Mengen ¨ anderung ausgehend von x = 450 Einheiten. Sollen 1% mehr Einheiten nachgefragt werden, muss der Preis um 3% sinken. Die Elastizit ¨ at wird in diesem Fall auch als Preiselastizit ¨ at der Nachfrage bezeichnet. 3.2.4 Die Regel von de l’Hˆ opital Bei der Grenzwertbestimmung kann es bei einigen Funktionen bei der Anwendung der Grenzwerts ¨ atze zu mathematisch nicht definierten Ausdr ¨ ucken kommen. Dies ist bei Funktionen der Fall, welche als Quotient zweier Funktionen definiert sind. Besitzen Z ¨ ahler und Nenner in einem Punkt x ∗ beide den Grenzwert 0 bzw. beide den Grenzwert ±∞, so ist der Quotient der Grenzwerte ein nicht definierter Ausdruck. Die Regel von de l’Hˆopital bietet die M ¨ oglichkeit, mithilfe der Differentialrechnung den Grenzwert solcher Funktionen dennoch zu bestimmen. Satz 3.2.1 Gegeben sei eine Funktion f(x) = u(x) v(x) mit den n−mal differenzierbaren Funktionen u(x) und v(x). Ferner gelte lim x→x ∗ u (k) (x) = lim x→x ∗ v (k) (x) = 0 f ¨ ur k = 0, . . . , n − 1 bzw. lim x→x ∗ u (k) (x) = lim x→x ∗ v (k) (x) = ±∞ f ¨ ur k = 0, . . . , n − 1. Existiert der Grenzwert lim x→x ∗ u (n) (x) v (n) (x) , so konvergiert auch f(x) und es gilt lim x→x ∗ f(x) = lim x→x ∗ u (n) (x) v (n) (x) . <?page no="104"?> 3.2. Anwendungen der Differentialrechnung 105 Beispiel 3.2.6 1. Gegeben sei die Funktion f(x) = x 2 −3x 2x−6 . An der Stelle x = 3 besitzen Z ¨ ahler u(x) = x 2 − 3x und Nenner v(x) = 2x − 6 den Grenzwert 0. Die Regel von de l’Hˆ opital ist anwendbar und es gilt u ′ (x) = 2x − 3 sowie v ′ (x) = 2 und daher gilt f ¨ ur den Grenzwert von f(x) an der Stelle x = 3 lim x→3 f(x) = lim x→3 2x − 3 2 = 3 2 . 2. Gegeben sei die Funktion f(x) = 1 x + 1 sin x An der Stelle x = 0 besitzt diese Funktion keinen Grenzwert, da die einseitigen Grenzwerte f ¨ ur den zweiten Term 1 sin x den Grenzwert ±∞ besitzen. Die Funktion ist zun ¨ achst umzuformen, indem die Terme auf denselben Nenner gebracht werden: f(x) = 1 x · sin x sin x + 1 sin x · x x = sin x − x x sin x . F ¨ ur diese Darstellung besitzen Z ¨ ahler u(x) = sin x − x und Nenner v(x) = x sin x f ¨ ur x → 0 den Grenzwert 0. Da u ′ (x) = cos x − 1 und v ′ (x) = sin x + x cos x, gilt folglich lim x→0 f(x) = lim x→0 cos x − 1 sin x + x cos x . Auch f ¨ ur diesen Term besitzen Z ¨ ahler u(x) = cos x − 1 und Nenner v(x) = sin x + x cos x den Grenzwert 0, weshalb die Regel von de l’Hˆ opital ein zweites Mal zum Einsatz kommt. Es ist u ′ (x) = − sin x und v ′ (x) = cos x + cos x − x sin x, daher gilt lim x→0 f(x) = lim x→0 − sin x cos x + cos x − x sin x = 0 1 + 1 − 0 = 0. <?page no="105"?> 106 Kapitel 3. Differentialrechnung I 3.2.5 Das Taylor-Polynom H ¨ aufig ist die Untersuchung einer Funktion mit hohem Aufwand verbunden. Sollen beispielsweise Sensitivit ¨ atsanalysen durchgef ¨ uhrt werden, ist in den meisten F ¨ allen mit zahlreichen Auswertungen der Funktion zu rechnen, um Einfl ¨ usse einzelner Parameter identifizieren zu k ¨ onnen. Um den Aufwand der Asuwertungen zu reduzieren, soll die Funktion durch eine einfachere Funktion approximiert werden. Der Satz von Taylor macht die Approximation einer Funktion durch ein Polynom m ¨ oglich. Satz 3.2.2 Gegeben sei eine Funktion f : D f −→ W f . Ist die Funktion im Intervall I ⊆ D f (n + 1)-mal stetig differenzierbar und gilt x ∗ ∈ I, so gilt f ¨ ur f(x) = f(x ∗ )+ f ′ (x ∗ ) 1! (x−x ∗ )+ · · · + f (n) (x ∗ ) n! (x−x ∗ ) n + f (n+1) (ξ (n + 1)! (x−x ∗ ) n+1 , wobei ξ ∈ [x ∗ , x], falls x ∗ < x und ξ ∈ [x, x ∗ ], falls x ≤ x ∗ . Dabei heißt die Funktion ˆ f(x) = f(x ∗ ) + f ′ (x ∗ ) 1! (x − x ∗ ) + f ′′ (x ∗ ) 2! (x − x ∗ ) 2 + · · · + f (n) (x ∗ ) n! (x − x ∗ ) n Taylor-Polynom vom Grad n und R n (x, x ∗ ) = f (n+1) (ξ) (n + 1)! (x − x ∗ ) n+1 Restglied der Taylor-Approximation. F ¨ ur wachsendes n besitzt das Restglied R n (x, x ∗ ) den Grenzwert 0. Daraus folgt, dass die Approximation einer Funktion durch das Taylor-Polynom umso genauer ist, je gr ¨ oßer der Grad des Taylor-Polynoms gew ¨ ahlt wird. Ein hoher Grad des Taylor-Polynoms erh ¨ oht dabei aber den Aufwand zur Bestimmung des Taylor-Polynoms stark, da alle Ableitungen bis zur gew ¨ unschten Ordnung bestimmt werden m ¨ ussen. <?page no="106"?> 3.2. Anwendungen der Differentialrechnung 107 Es ist daher stets abzusch ¨ atzen, ob durch den gew ¨ ahlten Grad des Taylor- Polynoms tats ¨ achlich eine Reduktion des Gesamtaufwandes erreichbar bleibt. Die Ann ¨ aherung einer Funktion durch das Taylor-Polynom ist nur in einer Umgebung des Entwicklungspunktes x ∗ nutzbar, je gr ¨ oßer der Abstand zum Entwicklungspunkt ist, umso gr ¨ oßer wird auch die Differenz zwischen dem Wert des Taylor-Polynoms ˆ f(x) und dem Funktionswert f(x). Beispiel 3.2.7 1. Gesucht sei das Taylor-Polynom 2. Grades f ¨ ur die Funktion f(x) = x · sin(x) + x f ¨ ur den Entwicklungspunkt x ∗ = 0. Es sind f(x) = x · sin(x) + x f(0) = 0 f ′ (x) = sin(x) + x · cos(x) + 1 f ′ (0) = 1 f ′′ (x) = cos(x) + cos(x) − x · sin(x) f ′′ (0) = 2 Einsetzen f ¨ uhrt auf f(x) ≈ 0 + 1 1 (x − 0) + 2 2 (x − 0) 2 = x + x 2 . <?page no="107"?> 108 Kapitel 3. Differentialrechnung I 2. F ¨ ur die Funktion f(x) = x · ln(x) sei das Taylor-Polynom zweiten Grades f ¨ ur den Entwicklungspunkt x ∗ = 2 gesucht.Es sind f(x) = x · ln(x) f(2) = 1, 3863 f ′ (x) = ln(x) + 1 f ′ (2) = 1, 6931 f ′′ (x) = 1 x f ′′ (2) = 1 2 Einsetzen f ¨ uhrt auf f(x) ≈ 1, 3863 + 1, 6931 1 (x − 2) + 1 2 2 (x − 2) 2 = −1 + ln(2)x + 1 4 x 2 . 3.2.6 Das Newton-Verfahren Nicht immer ist es m ¨ oglich, die Nullstellen einer Funktion analytisch zu bestimmen. Mithilfe des Newton-Verfahrens ist es m ¨ oglich, die Nullstellen einer Funktion bis auf eine vorgegebene Genauigkeit zu bestimmen. Die Grafik veranschaulicht das Vorgehen. <?page no="108"?> 3.2. Anwendungen der Differentialrechnung 109 Es wird zun ¨ achst ein Startwert x ∗ in der N ¨ ahe der Nullstelle gew ¨ ahlt. Um die N ¨ ahe zur Nullstelle sicherzustellen, kann ein Intervall bestimmt werden, in welchem ein Vorzeichenwechsel der Funktion vorliegt. In diesem Startwert x ∗ wird die Tangente an die Funktion bestimmt. Deren Schnittpunkt mit der x-Achse ist die neue N ¨ aherung x 1 an die Nullstelle x ∗ . Dieser Schritt wird solange ausgef ¨ uhrt, bis der Funktionswert f(x n ) hinreichend nahe bei Null liegt. Die Konvergenz des Verfahrens kann vor Durchf ¨ uhrung der Iteration mithilfe einer Konvergenzbedingung abgesichert werden. Satz 3.2.3 Sei f : D f −→ W f eine zweimal stetig differenzierbare Funktion mit der Nullstelle x ∗ . Ist die Konvergenzbedingung |f(x 0 ) · f ′′ (x 0 )| (f ′ (x 0 )) 2 < 1 f ¨ ur den Startwert x 0 erf ¨ ullt, so konvergiert die Folge (x n ), welche sich aus der Iterationsvorschrift x n+1 = x n − f(x n ) f ′ (x n ) ergibt, gegen die Nullstelle x ∗ . Bemerkung 3.2.3 Die Durchf ¨ uhrung der Iteration f ¨ ur das Newton-Verfahren mit der vorgegebenen Genauigkeit ε > 0 entspricht dem folgenden Algorithmus: 1. Erstelle eine Skizze oder Wertetabelle und w ¨ ahle einen Startwert x 0 . 2. Pr ¨ ufe den Startwert auf Konvergenz: |f(x 0 )·f ′′ (x 0 )| (f ′ (x 0 )) 2 =< 1. 3. F ¨ uhre die Iteration durch: x n+1 = x n − f(x n ) f ′ (x n ) . 4. Pr ¨ ufe die aktuelle N ¨ aherung auf Genauigkeit: Ist |x n+1 −x n | < ε, beende das Verfahren und verwende die aktuelle Iteration als N ¨ aherung an die gesuchte Nullstelle, sonst gehe zu Schritt 3. <?page no="109"?> 110 Kapitel 3. Differentialrechnung I Beispiel 3.2.8 Gesucht ist eine Nullstelle der Funktion f(x) = −3x 2 + 2x + 7. Die pq-Formel liefert die Nullstellen x ∗ 1 = −1, 2301 und x ∗ 2 = 1, 8968. Hier soll die Nullstelle x ∗ 2 mithilfe des Newton-Verfahrens mit der Genauigkeit ε = 10 −5 = 0, 00001 bestimmt werden. 1. Im ersten Schritt wird eine Wertetabelle erstellt, um festzustellen, wo die Funktion einen Vorzeichenwechsel besitzt. x 1 2 3 y 7 −1 −14 , eine Nullstelle befindet sich also im Intervall [1; 2]. Als Startwert wird x 0 = 2 gew ¨ ahlt. 2. Nun ist die Konvergenz des Verfahrens zu pr ¨ ufen. Es sind f ′ (x) = −6x + 2 und f ′′ (x) = −6. Somit ist |f(x 0 ) · f ′′ (x 0 )| (f ′ (x 0 )) 2 = −1 · (−6) (−10) 2 = 0, 06 < 1. Das Verfahren konvergiert also f ¨ ur den Startwert x 0 = 2. 3. Nachdem die Konvergenz gesichert ist, wird die Iteration durchgef ¨ uhrt. • x 1 = x 0 − f(x 0 ) f ′ (x 0 ) = 2 − −1 −10 = 1, 9 Die Genauigkeit betr ¨ agt |x 1 − x 0 | = 0, 1 > ε. • x 2 = x 1 − f(x 1 ) f ′ (x 1 ) = 1, 9 − −0,03 −9,4 = 1, 8968085 Die Genauigkeit betr ¨ agt |x 2 − x 1 | = 0, 0032 > ε. • x 3 = x 2 − f(x 2 ) f ′ (x 2 ) = 1, 8968085 − −0,000030578 −9,380851 = 1, 89680524 Die Genauigkeit betr ¨ agt |x 3 − x 2 | = 0, 00000326 < ε. Die gesuchte Nullstelle ist also x ∗ = x 3 = 1, 8968, es ist f(x 3 ) = 1, 25 ∗ 10 −7 . <?page no="110"?> 3.2. Anwendungen der Differentialrechnung 111 Aufgaben Aufgabe 3.2.1 Gegeben sei eine Produktionsfunktion x(r) = 1, 2r 2 − 0, 01r 3 . Wie viele Einheiten werden n ¨ aherungsweise zus ¨ atzlich produziert, wenn die Einsatzmenge von r = 20 ausgehend um 5 Einheiten erh ¨ oht wird? Aufgabe 3.2.2 Die Temperatur in einem Heißgetr ¨ ank verhalte sich nach f(t) = 20 + 40 · 0, 9 t , wobei t in 10-Sekunden-Einheiten gegeben sei. a) Wie warm ist das Getr ¨ ank zu Beginn? b) Bestimmen Sie die Wachstumsrate nach 10 Sekunden. c) Wie lange dauert es, bis das Getr ¨ ank auf 40 ◦ C abgek ¨ uhlt ist? Aufgabe 3.2.3 Seien die Preis-Absatz-Funktionen p N (x) = 240 − 1 2 x und p A (x) = 100 + 2x gegeben. a) Wie groß ist die Nachfrageelastizit ¨ at des Preises f ¨ ur x = 200 Einheiten? b) Wie groß ist die Angebotselastizit ¨ at des Preises im Marktgleichgewicht? c) Bestimmen Sie die Preiselastizit ¨ at der Nachfrage f ¨ ur p = 200. d) F ¨ ur welchen Preis ergibt eine 2%-ige Preissenkung eine 8%-ige Nachfragesteigerung? Aufgabe 3.2.4 Bestimmen Sie die Grenzwerte a) lim x→1 x 2 +x−2 x 2 −1 b) lim x→4 x 2 −16 sin(2x−8) Aufgabe 3.2.5 Bestimmen Sie f ¨ ur die Funktion f(x) = x · e x das Taylorpolynom 2. Grades f ¨ ur den Entwicklungspunkt x ∗ = 1. Aufgabe 3.2.6 Bestimmen Sie die Nullstelle der Funktion f(x) = e x − x − 2 im Intervall [1, 0; 1, 2] mithilfe des Newtonverfahrens f ¨ ur ε = 10 −5 . <?page no="111"?> 112 Kapitel 3. Differentialrechnung I 3.3 Kurvendiskussion mithilfe der Differentialrechnung Zun ¨ achst soll die klassische Kurvendiskussion kurz wiederholt werden, bevor der Fokus auf die Untersuchung ¨ okonomischer Funktionen gerichtet wird. Mathematische Anwendungen der Differentialrechnung Monotonie Eine Funktion ist monoton in einem Intervall I, wenn ihre Funktionswerte in diesem Intervall stets zu- oder abnehmen. Bei steigenden Funktionswerten heißt die Funktion monoton wachsend, bei fallenden Funktionswerten heißt sie monoton fallend. Nehmen aber die Funktionswerte stets zu, so muss die erste Ableitung der Funktion gr ¨ oßer oder gleich Null sein, da sie die Steigung der Funktion angibt. Die Umkehrung gilt f ¨ ur abnehmende Funktionswerte. Es ist daher m ¨ oglich, eine Funktion mithilfe ihrer ersten Ableitung auf Monotonie zu untersuchen. Satz 3.3.1 Gegeben sei eine differenzierbare Funktion f : D f −→ W f und ein Intervall I ⊂ D f . Falls 1. f ′ (x) ≥ 0 f ¨ ur alle x ∈ I, so ist die Funktion auf I monoton steigend. 2. f ′ (x) ≤ 0 f ¨ ur alle x ∈ I, so ist die Funktion auf I monoton fallend. Gilt f ′ (x) = 0 nur f ¨ ur h ¨ ochstens abz ¨ ahlbar viele x ∈ I, so ist die Funktion streng monoton. Beispiel 3.3.1 1. Gegeben sei die Funktion f(x) = x 3 . Dann ist f ′ (x) = 3x 2 und es gilt 3x 2 ≥ 0 f ¨ ur alle x ∈ D f = R. Die Funktion f ist streng monoton wachsend, da f ′ (x) = 0 nur f ¨ ur x = 0 gilt. <?page no="112"?> 3.3. Kurvendiskussion 113 2. Gegeben sei die Funktion f(x) = x · e x . Dann ist f ′ (x) = 1 · e x + x · e x = e x (1 + x). Da e x > 0 f ¨ ur alle x ∈ R, ist f ′ (x) < 0, falls x < −1 und f ′ (x) > 0, falls x > −1. Die Funktion f(x) ist also • streng monoton wachsend f ¨ ur x > −1, • streng monoton fallend f ¨ ur x < −1. 3. Gegeben sei die Funktion f(x) = 1 3 x 3 − 2x 2 + 3x − 4. Es ist f ′ (x) = x 2 − 4x + 3. Die erste Ableitung ist eine nach oben ge ¨ offnete Parabel, da der Koeffizient vor der f ¨ uhrenden Potenz positiv ist. Die erste Ableitung ist also positiv links von ihrer kleineren und rechts von ihrer gr ¨ oßeren Nullstelle. Sie ist negativ f ¨ ur alle Werte zwischen den beiden Nullstellen. Es ist f ′ (x) = 0 f ¨ ur x = 1 und x = 3. Die Funktion f(x) ist also • streng monoton wachsend f ¨ ur x ∈ (−∞, 1] ∪ [3, ∞), • streng monoton fallend f ¨ ur x ∈ (1, 3). Kr ¨ ummungsverhalten Das Kr ¨ ummungsverhalten spielt nicht nur bei der Bestimmung von Extremwerten, sondern auch bei der Untersuchung des Wachstumsverhaltens von Funktionen eine große Rolle. Mithilfe der zweiten Ableitung kann f ¨ ur eine Funktion untersucht werden, ob sie an einer Stelle bzw. in einem Intervall konvex oder konkav ist. Satz 3.3.2 Gegeben sei eine zweimal stetig differenzierbare Funktion f : D f −→ W f . Dann ist f in x ∗ ∈ D f • konvex, wenn f ′′ (x ∗ ) > 0, • konkav, wenn f ′′ (x ∗ ) < 0. F ¨ ur ein Intervall I ⊂ D f heißt f(x) konvex bzw. konkav auf I, falls f ′′ (x) > 0 bzw. f ′′ (x) < 0 f ¨ ur alle x ∈ I. <?page no="113"?> 114 Kapitel 3. Differentialrechnung I Beispiel 3.3.2 1. Gegeben sei die Funktion f(x) = x 3 − 4x 2 + 2x − 10. Es sind f ′ (x) = 3x 2 − 8x + 2 und f ′′ (x) = 6x − 8. Dann ist f ′′ (x) > 0 f ¨ ur x > 4 3 und f ′′ (x) < 0 f ¨ ur x < 4 3 . Daher ist f(x) • konvex f ¨ ur x > 4 3 , • konkav f ¨ ur x < 4 3 . 2. Gegeben sei die Funktion f(x) = x 2 · e x . Mithilfe der Produktregel ergeben sich • f ′ (x) = 2xe x + x 2 e x = e x (2x + x 2 ) • f ′′ (x) = (2 + 2x)e x + (2x + x 2 )e x = e x (x 2 + 4x + 2). Es ist, da e x > 0 f ¨ ur alle x ∈ D f = R, f ′′ (x) > 0, wenn x 2 + 4x + 2 > 0 und f ′′ (x) < 0, falls x 2 + 4x + 2 < 0. Da f ′′ (x) eine nach oben ge ¨ offnete Parabel mit den Nullstellen x 1 = −2 + √ 2 und x 2 = −2 − √ 2 ist, ist die Funktion f(x) • konvex f ¨ ur x < −2 − √ 2 und f ¨ ur x > −2 + √ 2, • konkav f ¨ ur −2 − √ 2 < x < −2 + √ 2. Extremwerte Die erste Ableitung gibt die Steigung der Funktion an der Stelle x an. In einem Extrempunkt liegen links und rechts von dem Extremwert entgegengesetzte Steigungen vor. Bei einem Maximum steigt die Funktion zun ¨ achst an und f ¨ allt nach dem Maximum wieder ab, im Falle eines Minimums verh ¨ alt sich die Steigung umgekehrt. Im Extrempunkt selbst betr ¨ agt die Steigung Null, eine weitere Zunahme im Falle eines Maximum bzw. Abnahme im Falle eines Minimums ist nicht m ¨ oglich. Diese Bedingung ist also notwendig f ¨ ur die Existenz eines Extremwertes. Satz 3.3.3 Gegeben sei eine differenzierbare Funktion f : D f −→ W f . Notwendig f ¨ ur die Existenz eines Extremwertes in x ∗ ∈ D f ist f ′ (x ∗ ) = 0. <?page no="114"?> 3.3. Kurvendiskussion 115 Mit der Erf ¨ ullung der notwendigen Bedingung ist jedoch die Existenz eines Extremwertes nicht abgesichert. So verschwindet f ¨ ur die Funktion f(x) = x 3 die erste Ableitung f ′ (x) = 3x 2 zwar f ¨ ur x ∗ = 0, jedoch gilt auch f ¨ ur die zweite Ableitung f ′′ (x) = 6x, dass f ′′ (0) = 0. Diese Funktion besitzt an der Stelle x = 0 einen Sattelpunkt. Wie bereits zuvor betrachtet, besitzt die Funktion f(x) = 0, 2x 4 − x 2 ein Maximum in x = 0 sowie Minima in x = ±1, 5811. Aus der Grafik wird deutlich, dass die Funktion in einer Umgebung eines Minimums konvex und in der Umgebung eines Maximums konkav ist. Somit kann die hinreichende Bedingung formuliert werden. Satz 3.3.4 Gegeben sei eine in x = x ∗ zweimal differenzierbare Funktion f : D f −→ W f . F ¨ ur die Existenz eines Extremwertes an der Stelle x = x ∗ sind die folgenden Bedingungen hinreichend 1. f ′ (x ∗ ) = 0 und 2. f ′′ (x ∗ ) == 0. Dann gilt: (a) f ¨ ur f ′′ (x ∗ ) > 0 besitzt f(x) in x ∗ ein Minimum. (b) f ¨ ur f ′′ (x ∗ ) < 0 besitzt f(x) in x ∗ ein Maximum. F ¨ ur die meisten Funktionen gen ¨ ugt es, nach diesem Schema vorzugehen, um die Extremwerte zu bestimmen. Es gibt jedoch auch Beispiele, in denen f ′′ (x ∗ ) = 0 gilt. <?page no="115"?> 116 Kapitel 3. Differentialrechnung I In diesem Fall m ¨ ussen weitere Untersuchungen in der Form angestellt werden, dass die h ¨ oheren Ableitungen der Funktion bestimmt werden, um herauszufinden, ob an der Stelle x ∗ ein Extrem- oder ein Sattelpunkt vorliegt. Allgemein ist f ¨ ur eine n−mal differenzierbare Funktion f : D f −→ W f das folgende Vorgehen zur Bestimmung von Extremwerten zielf ¨ uhrend. 1 1. Bestimme die erste Ableitung f ′ (x). 2. L ¨ ose die Gleichung f ′ (x) = 0. • Besitzt diese Gleichung keine L ¨ osung, so existieren keine Extremwerte im Inneren des Definitionsbereichs von f(x). • Anderenfalls existieren die L ¨ osungen x i , i = 1, . . . , k. 3. Bestimme die zweite Ableitung f ′′ (x). 4. Setze die Werte x i , i = 1, . . . , k aus Schritt 2 in f ′′ (x) ein • Gilt f ′′ (x i ) > 0, so besitzt f(x) in x i ein Minimum. • Gilt f ′′ (x i ) < 0, so besitzt f(x) in x i ein Maximum. • Gilt f ′′ (x i ) = 0, so muss f(x) weiter untersucht werden. 5. Falls f ′′ (x i ) = 0, so bestimme die weiteren Ableitungen von f(x), bis f ¨ ur ein m ∈ N gilt f (m) (x i ) == 0. • Gilt f (m) (x i ) > 0 und ist m gerade, so besitzt f(x) in x i ein Minimum. • Gilt f (m) (x i ) < 0 und ist m gerade, so besitzt f(x) in x i ein Maximum. • Ist m ungerade, so besitzt f(x) keinen Extremwert in x i , sondern einen Sattelpunkt. Abschließend ist die Funktion auf Randextremwerte zu untersuchen. Dazu werden gegebenenfalls die Grenzen des Definitionsbereiches in die Funktion eingesetzt und mit den durch obiges Schema berechneten Extremwerten verglichen. 1 Vgl. Schwarze, J., Mathematik f ¨ ur Wirtschaftswissenschaftler, Bd. 2 Differential- und Integralrechnung, 12. Auflage, 2005, nwb, Herne/ Berlin. <?page no="116"?> 3.3. Kurvendiskussion 117 Beispiel 3.3.3 1. Gegeben sei die Funktion f(x) = −3x 2 + 2x + 5. Es ist • f ′ (x) = −6x + 2 = 0, wenn x = 1 3 . • f ′′ (x) = −6 < 0. Es liegt somit an der Stelle x = 3 ein Maximum der Funktion vor. 2. Gegeben sei die Funktion f(x) = x · e x . Es gilt • f ′ (x) = e x + x · e x = e x (1 + x) = 0, wenn x = −1. • f ′′ (x) = e x (1 + x) + e x = e x (2 + x), also f ′′ (−1) = e > 0. Die Funktion besitzt an der Stelle x = −1 ein Minimum. 3. Gegeben sei die Funktion f(x) = x 4 − 2x 3 + 4. Dann ist • f ′ (x) = 4x 3 − 6x 2 = 2x 2 (2x − 3) = 0, falls x 1 = 0 oder x 2 = 3 2 . • f ′′ (x) = 12x 2 − 12x = 12x(x − 1), also - f ′′ ( 3 2 ) = 9 > 0. An der Stelle x = 3 2 liegt ein Minimum vor. - f ′′ (0) = 0, es sind die weiteren Ableitungen zu bestimmen. Es gilt f ′′′ (x) = 24x − 12, also f ′′′ (0) = −12 == 0. Die dritte Ableitung ist die erste, welche f ¨ ur x = 0 nicht verschwindet, somit liegt in x = 0 ein Sattelpunkt vor. 4. Gegeben sei die Funktion f(x) = x 6 − x 4 + 5. Dann ist • f ′ (x) = 6x 5 −4x 3 = x 3 (6x 2 −4) = 0, falls x 1 = 0 oder x 2,3 = ± √ 2 3 . • f ′′ (x) = 30x 4 − 12x 2 , also - f ′′ (± √ 2 3 ) = 16 3 > 0. An den Stellen x = ± √ 2 3 liegen Minima vor. - f ′′ (0) = 0, es sind die weiteren Ableitungen zu bestimmen. Es gilt f ′′′ (x) = 120x 3 − 24x, also f ′′′ (0) = 0. Es gilt f (4) (x) = 360x 2 −24, also f (4) (0) = −24 < 0. Die vierte Ableitung ist die erste, welche f ¨ ur x = 0 nicht verschwindet, somit liegt in x = 0 ein Maximum vor. <?page no="117"?> 118 Kapitel 3. Differentialrechnung I Wendestellen Besonderes Augenmerk wird oft auf die Stellen gelegt, an welchen die Kr ¨ ummung einer Funktion wechselt, da f ¨ ur ¨ okonomische Funktionen hier h ¨ aufig kritische Werte erreicht werden. Die Bestimmung von Wendestellen erfolgt nach folgendem Satz. Satz 3.3.5 Sei f : D f −→ W f eine mindestens dreimal differenzierbare Funktion. Gelten • f ′′ (x ∗ ) = 0 und • f ′′′ (x ∗ ) == 0, so besitzt f(x) in x ∗ eine Wendestelle. Gilt ferner f ′ (x ∗ ) = 0, so besitzt f(x) in x ∗ einen Sattelpunkt. Gilt f ¨ ur die dritte Ableitung f ′′′ (x ∗ ) > 0, so liegt links von der Wendestelle Konkavit ¨ at und rechts von der Wendestelle Konvexit ¨ at vor. Gilt dagegen f ¨ ur die dritte Ableitung f ′′′ (x ∗ ) < 0, so liegt links von der Wendestelle Konvexit ¨ at und rechts von der Wendestelle Konkavit ¨ at vor. F ¨ ur den Fall dass die dritte Ableitung verschwindet (f ′′′ (x ∗ ) = 0), sind wie bei der Extremwertuntersuchung die h ¨ oheren Ableitungen an der Stelle x = x ∗ zu bestimmen. Besitzt die Ableitung f (m) (x), welche an der Stelle x = x ∗ verschwindet, eine ungerade Ordnung, so liegt ein Sattelpunkt vor, anderenfalls ein Extrempunkt. Beispiel 3.3.4 1. Gegeben sei die Funktion f(x) = x 3 + 12x 2 − 1. Es sind • f ′ (x) = 3x 2 + 24x • f ′′ (x) = 6x + 24 = 0 f ¨ ur x = −4, • f ′′′ (x) = 6 = = 0, es liegt also eine Wendestelle an der Stelle x = −4 vor. <?page no="118"?> 3.3. Kurvendiskussion 119 2. Gegeben sei die Funktion f(x) = x 7 − 21x 5 + 15. Es sind • f ′ (x) = 7x 6 − 105x 4 • f ′′ (x) = 42x 5 − 420x 3 = 0 f ¨ ur x 1 = 0 oder x 2,3 = ± √ 10, • f ′′′ (x) = 210x 4 − 1.260x 2 - f ′′′ (± √ 10) = 8.400 == 0, f ¨ ur x = ± √ 10 liegen Wendestellen vor. - f ′′′ (0) = 0 also m ¨ ussen die weiteren Ableitungen gebildet werden. ∗ f (4) (x) = 840x 3 − 2.520x, also f (4) (0) = 0 ∗ f (5) (x) = 2.520x 2 − 2.520, also f (5) (0) = −2.520 < 0, an der Stelle x = 0 liegt also eine Wendestelle vor. es liegt also eine Wendestelle an der Stelle x = −4 vor. Kurvendiskussion Bei einer vollst ¨ andigen Kurvendiskussion wird die Funktion auf bestimmte Eigenschaften untersucht. Dazu geh ¨ oren: • Die Bestimmung des Definitions- und Wertebereiches. • Das Verhalten der Funktion f ¨ ur x → ∞ bzw. x → −∞. • Stetigkeit, stetige Erg ¨ anzbarkeit • Symmetrie • Monotonie • Kr ¨ ummungsverhalten • Nullstellen • Extremwerte • Wendestellen • Zeichnen des Graphen <?page no="119"?> 120 Kapitel 3. Differentialrechnung I Dabei werden Eigenschaften wie Monotonie und Kr ¨ ummungsverhalten nur dann einzeln untersucht, wenn keine Extremwerte oder Wendestellen feststellbar sind, anderenfalls ergeben sich diese Eigenschaften aus den charakteristischen Punkten. Beispiel 3.3.5 F ¨ ur die Funktion f(x) = e x + e −x sei eine Kurvendiskussion durchzuf ¨ uhren. 1. Es sind D f = R und W f = R + , da e x > 0 f ¨ ur alle x ∈ R. 2. Es gilt lim x→∞ e x + e −x = ∞ und lim x→−∞ e x + e −x = ∞ 3. Die Funktion ist stetig, es liegen keine kritischen Stellen vor. 4. Es ist weiter f(−x) = e −x + e x = f(x), die Funktion ist also achsensymmetrisch. 5. Da e x > 0 f ¨ ur alle x ∈ R, besitzt die Funktion keine Nullstellen. 6. Es sind f ′ (x) = e x − e −x und f ′′ (x) = e x + e −x . Daher gilt f ′ (x) = 0 nur f ¨ ur x = 0. F ¨ ur x = 0 gilt aber f ′′ (0) = 2, somit liegt an der Stelle x = 0 ein Minimum vor, f ¨ ur welches f(0) = 2 gilt. Der Wertebereich kann daher weiter eingeschr ¨ ankt werden auf W f = [2, ∞). 7. Da f ′′ (x) == 0 f ¨ ur alle x ∈ R, liegen keine Wendestellen vor. 8. Der Graph der Funktion l ¨ asst sich nun zeichnen. <?page no="120"?> 3.3. Kurvendiskussion 121 ¨ Okonomische Anwendungen der Differentialrechnung Bei der Untersuchung ¨ okonomischer Funktionen sind zumeist je nach Fragestellung nur einzelne Elemente einer Kurvendiskussion durchzuf ¨ uhren. Im Folgenden werden ausgew ¨ ahlte Beispiele vorgestellt. Definitionsbereich Der Definitionsbereich aller ¨ okonomischen Funktionen ist auf die positiven reellen Zahlen R + beschr ¨ ankt. Liegen Kapazit ¨ atsbeschr ¨ ankungen vor, so ist der Definitionsbereich zus ¨ atzlich nach oben beschr ¨ ankt. Beispiel 3.3.6 Gegeben sei die Nachfragefunktion x N (p) = 250 − 2p. Der Definitionsbereich ist nach unten durch 0 beschr ¨ ankt. Da jedoch nur positive Werte f ¨ ur die nachgefragte Menge x in Frage kommen, muss gelten 250 − 2p > 0. Hieraus ergibt sich der Definitionsbereich D x N = (0, 125). Extremwerte Die Bestimmung von Extremwerten ist die wohl h ¨ aufigste Aufgabe im Rahmen der Kurvendiskussion ¨ okonomischer Funktionen. Dabei wird f ¨ ur Gewinnfunktionen oder Erl ¨ osfunktionen die Menge x gesucht, f ¨ ur welche die jeweilige ¨ okonomische Gr ¨ oße Gewinn bzw. Erl ¨ os maximal wird, die Untersuchung entspricht also der Bestimmung eines Maximums. F ¨ ur Produktionsfunktionen ist die Einsatzmenge r des Einsatzfaktors zu bestimmen, f ¨ ur welche sich der gr ¨ oßte Ertrag x ergibt. Bei Preis-Absatz-Funktionen ist dagegen der Preis p gesucht, f ¨ ur welchen die Absatzmenge x maximal wird. Die Bestimmung eines Minimums spielt vor allem f ¨ ur Kostenfunktionen eine große Rolle; das Ziel ist es dabei, die St ¨ uckkosten zu minimieren und so das Betriebsoptimum zu bestimmen. Dieses gibt die langfristige Preisuntergrenze wieder, f ¨ ur diesen Preis werden die Kosten gedeckt, jedoch noch kein Gewinn erzielt. Die kurzfristige Preisuntergrenze ist dagegen das Minimum der variablen Kosten, wird dieses als Preis gew ¨ ahlt, so werden die variablen Kosten gedeckt, es liegt auf Grund der Fixkosten aber noch ein Verlust vor. <?page no="121"?> 122 Kapitel 3. Differentialrechnung I Beispiel 3.3.7 Gegeben sei die Preis-Absatz-Funktion x(p) = 500 − 2p sowie die Kostenfunktion K(x) = x 3 − 10x 2 + 34x + 350. Zur Bestimmung des maximalen Gewinns ist zun ¨ achst die Erl ¨ osfunktion E(x) = p · x in Abh ¨ angigkeit von x zu bestimmen, da die Kostenfunktion ebenfalls von x abh ¨ angig ist. Dazu wird die Umkehrfunktion der Preis-Absatz-Funktion gebildet, es ist p(x) = 250 − 1 2 x. Die Erl ¨ osfunktion lautet dann E(x) = (250 − 1 2 x) · x und daher ergibt sich die Gewinnfunktion zu G(x) = 250x − 1 2 x 2 − (x 3 − 10x 2 + 34x + 350) = −x 3 + 19 2 x 2 + 216x − 350. Zur Bestimmung des Maximum werden die ersten beiden Ableitungen gebildet. • G ′ (x) = −3x 2 + 19x + 216 = 0, falls x 1 = −5, 89 oder x 2 = 12, 22 • G ′′ (x) = −6x + 19, also G ′′ (12, 22) = −54, 32. Der maximale Gewinn wird demnach f ¨ ur x = 12, 22 Mengeneinheiten erzielt und betr ¨ agt G(12, 22) = 1.883, 35 EUR. ¨ Anderungsverhalten Das ¨ Anderungsverhalten ¨ okonomischer Funktionen wird f ¨ ur absolute Werte mithilfe der ersten Ableitung und f ¨ ur relative Werte mithilfe der Elastizit ¨ at untersucht. Beispiel 3.3.8 Gegeben sei die Kostenfunktion K(x) = 0, 5x 3 − 10x 2 + 70x + 100, wobei x in 500-St ¨ uck-Einheiten gegeben sei. Die Grenzkosten ergeben sich zu K ′ (x) = 1, 5x 2 − 20x + 70. F ¨ ur eine Produktionsmenge von 10.000 St ¨ uck gilt x = 20. Es ergeben sich • K ′ (20) = 270, wird also die Produktionsmenge, ausgehend von x = 20, um eine Einheit auf x = 21 erh ¨ oht, so erh ¨ ohen sich die Kosten um n ¨ aherungsweise 270 Geldeinheiten. • ε Kx = (1, 5x 2 − 20x + 70) x 0,5x 3 −10x 2 +70x+100 . Eingesetzt ergibt sich dann ε Kx (20) = 270 · 20 1.700 = 3, 18, wird die Produktionsmenge also von x = 20 ausgehend um 1% erh ¨ oht, so steigen die Kosten um 3, 18%. <?page no="122"?> 3.3. Kurvendiskussion 123 Monotonie und Kr ¨ ummung Das Wachstumsverhalten ¨ okonomischer Funktionen wird mithilfe der Eigenschaften Monotonie und Kr ¨ ummung untersucht. Dabei sind diese Eigenschaften zumeist nat ¨ urlich gegeben. Sinnvoll gebildete Angebotsfunktionen sollten stets monoton steigen, wohingegen Nachfragefunktionen als monoton fallend anzunehmen sind. Eine Kostenfunktion steigt grunds ¨ atzlich streng monoton, selbiges gilt f ¨ ur die Konsum- und Sparfunktion. Wendestellen Die Wendestelle einer ¨ okonomischen Funktion entspricht dem Minimum bzw. Maximum der jeweiligen Grenzfunktion. Bedeutung hat dieses vor allem bei ertragsgesetzlichen Kostenfunktionen, hier wird die Wendestelle auch als Schwelle des Ertragsgesetzes bezeichnet. Sie gibt das Minimum der Grenzkosten an, an dieser Stelle ist somit die Kosten ¨ anderung am geringsten. F ¨ ur ertragsgesetzliche Produktionsfunktionen ist die Zunahme der Ertr ¨ age in der Wendestelle am gr ¨ oßten, die Wendestelle entspricht dem Maximum der Grenzertr ¨ age. Beispiel 3.3.9 Gegeben sei die Kostenfunktion K(x) = x 3 420 − x 2 4 +10x+200. Die Ableitungen ergeben sich zu • K ′ (x) = 1 140 x 2 − 1 2 x + 10, • K ′′ (x) = 1 70 x − 1 2 = 0, wenn x = 35 und • K ′′′ (x) = 2 70 > 0. Die Kostenfunktion besitzt also eine Wendestelle in x = 35. Die Grenzkosten f ¨ ur x = 35 Mengeneinheiten betragen K ′ (35) = 1, 25 EUR und stellen das Minimum der Grenzkostenfunktion dar. Wird, ausgehend von x = 35 Mengeneinheiten, eine zus ¨ atzliche Einheit produziert, so betragen die auf diese zus ¨ atzliche Einheit entfallenden Mehrkosten n ¨ aherungsweise 1, 25 EUR. Bevor dieser Wert erreicht wird, sinken die Grenzkosten, rechts von diesem Wert steigen sie wieder an. <?page no="123"?> 124 Kapitel 3. Differentialrechnung I asymptotisches Verhalten Schließlich spielen auch Grenzwerte, vor allem das Verhalten von Konsum- und Sparfunktion f ¨ ur sehr große Einkommen, eine große Rolle. Der Grenzwert der Konsumfunktion f ¨ ur Y → ∞, lim Y →∞ C(Y ) wird auch als S ¨ attigungswert des Konsums bezeichnet. Die marginale Konsumbzw. Sparquote entspricht der ersten Ableitung der Konsumbzw. Sparfunktion. F ¨ ur ¨ okonomisch sinnvoll gew ¨ ahlte Konsum- und Sparfunktionen sollte f ¨ ur Y → ∞ stets gelten lim Y →∞ C ′ (Y ) = 0 bzw. lim Y →∞ S ′ (Y ) = 1. F ¨ ur sehr hohe Einkommen wird eine zus ¨ atzliche Einkommenseinheit nicht mehr f ¨ ur Konsum verwendet, sondern vollst ¨ andig gespart. Beispiel 3.3.10 Gegeben sei die Konsumfunktion C(Y ) = 250 · 20 + 6, 5Y 2 + 0, 5Y . Der S ¨ attigungswert des Konsums ist dann gegeben durch lim Y →∞ C(Y ) = 250 · 6, 5 0, 9 = 3.250 EUR. Die Ableitung der Konsumfunktion lautet C ′ (Y ) = 6, 5(2 + 0, 5Y ) − (20 + 6, 5Y )0, 5 2 + 0, 5Y = 3 2 + 0, 5Y , es ist dann tats ¨ achlich lim Y →∞ C ′ (Y ) = 0. F ¨ ur die Sparsumme gilt S(Y ) = Y −C(Y ) und daher auch S ′ (Y ) = 1−C ′ (Y ). Die marginale Sparquote ergibt sich dann zu lim Y →∞ S ′ (Y ) = 1. <?page no="124"?> 3.3. Kurvendiskussion 125 Aufgaben Aufgabe 3.3.1 Untersuchen Sie die Funktionen mithilfe der ersten Ableitung auf Monotonie. a) f(x) = 3x 2 − 6x + 9, b) f(x) = x e x . Aufgabe 3.3.2 Untersuchen Sie die Funktionen mithilfe der zweiten Ableitung hinsichtlich ihrer Kr ¨ ummung. a) f(x) = x 3 − 2x 2 + 4x + 6, b) f(x) = e x−x 2 . Aufgabe 3.3.3 Bestimmen Sie die Extremwerte der Funktionen. a) f(x) = 1 4 x 4 − 2 3 x 3 + x 2 − x + 1, b) f(x) = x · e x 2 −3x . Aufgabe 3.3.4 Bestimmen Sie die Wendestellen der Funktionen. a) f(x) = 3 4 x 4 − 18x 2 + 2x − 1, b) f(x) = x 2 · ln(x). Aufgabe 3.3.5 F ¨ uhren Sie eine Kurvendiskussion f ¨ ur die Funktion f(x) = x · e 4−2x 2 durch. Aufgabe 3.3.6 Gegeben sei die Preis-Absatz-Funktion x(p) = 925 − 1 4 p sowie die Kostenfunktion K(x) = x 3 − 4x 2 + 25x + 150. a) Bestimmen Sie den maximalen Gewinn. b) Bestimmen Sie die minimalen St ¨ uckkosten. c) Bestimmen Sie die Schwelle des Ertragsgesetzes. <?page no="125"?> 126 Kapitel 3. Differentialrechnung I Aufgabe 3.3.7 Gegeben sei eine Kostenfunktion K(x) = 20x 2 − 2x + 320, eine Preis-Absatz- Funktion p(x) = 148 + 15x und eine Produktionsfunktion x(r) = 6r − 2r 2 . a) Bestimmen Sie die Gewinnzone. b) Bestimmen Sie den maximalen Gewinn. c) Bestimmen Sie die Bestellmenge r f ¨ ur minimale St ¨ uckkosten. Aufgabe 3.3.8 Gegeben sei die Sparfunktion S(Y ) = Y 2 −20Y −5 Y +5.000 . a) Bestimmen Sie die marginale Spar- und Konsumquote. b) Wie hoch ist der S ¨ attigungswert des Konsums? c) Sind die S ¨ attigungswerte von marginaler Spar- und Konsumquote ¨ okonomisch sinnvoll? Aufgabe 3.3.9 Gegeben sei die Produktionsfunktion x(r) = − 1 360 r 3 + 7 8 r 2 + 2r a) Bestimmen Sie den Bereich steigender, konstanter und abnehmender Grenzertr ¨ age. b) Bestimmen Sie den maximalen Ertrag. <?page no="126"?> 4 Integralrechnung 4.1 Das unbestimmte Integral In vielen Anwendungen sollen von in der Praxis vorgefundenen Zusammenh ¨ angen R ¨ uckschl ¨ usse auf die Struktur des Unternehmens gezogen werden. Beispielsweise kann durch Messungen herausgefunden werden, dass sich die Kosten gem ¨ aß einer Funktion f(x) ¨ andern, wenn die Produktionsmengen entsprechend variiert werden. Die Grenzkosten sind also bekannt bzw. mithilfe von statistischen Methoden ermittelt; die zugeh ¨ orige Kostenfunktion soll bestimmt werden. Die Integralrechnung kann daher als Umkehrung zur Differentialrechnung betrachtet werden. Zun ¨ achst werden unbestimmte Integrale eingef ¨ uhrt. Definition 4.1.1 Gegeben sei eine differenzierbare Funktion F (x) : R −→ R. Gilt F ′ (x) = f(x), so heißt F (x) Stammfunktion von f(x), geschrieben F (x) = ∫ f(x)dx. Die Funktion f(x) heißt dabei Integrand, die Variable x Integrationsvariable. Beispiel 4.1.1 F ¨ ur die Funktion f(x) = x ist F (x) = 1 2 x 2 , da F ′ (x) = ( 1 2 x 2 ) = f(x). Da Konstanten durch das Differenzieren verschwinden, ist in obigem Beispiel auch ˆ F (x) = 1 2 x 2 + 5 eine Stammfunktion von f(x) = x. Die Stammfunktion ist also nicht eindeutig. 127 <?page no="127"?> 128 Kapitel 4. Integralrechnung Satz 4.1.1 Sei F (x) eine Stammfunktion von f(x). Dann ist f ¨ ur jedes c ∈ R auch F (x) + c eine Stammfunktion von f(x). Die Menge aller Stammfunktionen heißt unbestimmtes Integral, geschrieben ∫ f(x)dx = F (x) + c. Die Tabelle fasst die unbestimmten Integrale h ¨ aufig verwendeter Funktionen zusammen, wobei stets c ∈ R gilt. f(x) ∫ f(x)dx a ax + c ax + b 1 2 ax 2 + bx + c x n 1 n+1 x n+1 + c, n ∈ R\{−1}, x > 0 1 x ln |x| + c √ x 2 3 √ x 3 + c a x a x lna + c e x e x + c sin x − cos x + c cos x sin x + c Beispiel 4.1.2 Gegeben sei die Funktion f(x) = x 3 √ x 4 . Umformen des Terms f ¨ uhrt auf f(x) = x (x 4 ) 1 3 = x x 4 3 = x 1− 4 3 = x − 1 3 , also ist ∫ f(x)dx = ∫ x − 1 3 dx = 1 − 1 3 + 1 x − 1 3 +1 + c = 1 2 3 x 2 3 + c = 3 2 x 2 3 + c. <?page no="128"?> 4.1. Das unbestimmte Integral 129 Rechenregeln f ¨ ur unbestimmte Integrale Analog zu den Differentiationsregeln existieren auch f ¨ ur Integrale allgemeing ¨ ultige Rechenregeln. Satz 4.1.2 F ¨ ur das Integral ∫ f(x)dx gelten die folgenden Rechenregeln. 1. F ¨ ur jede Konstante a ∈ R gilt ∫ af(x)dx = a ∫ f(x)dx. 2. F ¨ ur das Integral einer Summe von Funktionen gilt ∫ n ∑ i=1 a i f i (x)dx = n ∑ i=1 a i ∫ f i (x)dx. Beispiel 4.1.3 1. Gegeben sei die Funktion f(x) = 3x 3 − 4x 2 + x. Dann ist ∫ f(x)dx = 3 ∫ x 3 dx − 4 ∫ x 2 dx + ∫ xdx = 3 4 x 4 − 4 3 x 3 + 1 2 x 2 + c. 2. Gegeben sei die Funktion f(x) = 2x 2 + cos x + 2 x . Dann ist ∫ f(x)dx = 2 ∫ x 2 dx+ ∫ cos xdx+2 ∫ 1 x dx = 2 3 x 3 +sin x+2 ln |x|+c. Partielle Integration F ¨ ur ein Produkt aus zwei Funktionen entsteht mithilfe der Produktregel (u(x)v(x)) ′ = u ′ (x)v(x) + u(x)v ′ (x) ↔ u(x)v ′ (x) = (u(x)v(x)) ′ − u ′ (x)v(x) die M ¨ oglichkeit, das Integral mithilfe der partiellen Integration zu bestimmen, indem obige Gleichung integriert wird. <?page no="129"?> 130 Kapitel 4. Integralrechnung Satz 4.1.3 F ¨ ur differenzierbare Funktionen u : R −→ R und v : R −→ R gilt ∫ u(x)v ′ (x)dx = u(x)v(x) − ∫ u ′ (x)v(x)dx. Beispiel 4.1.4 Gegeben sei die Funktion f(x) = x sin x. Es sind u(x) = x u ′ (x) = 1 v ′ (x) = sin x v(x) = − cos x Damit gilt ∫ f(x)dx = −x cos x − ∫ 1 · (− cos x)dx = −x cos x + sin x. Substitution Sei U (x) eine Stammfunktion von u(x). Die Differentiation einer Komposition von Funktionen erfolgt mit der Kettenregel (U (v(x))) ′ = dU (v(x)) dx = dU (v(x)) dv(x) · v ′ (x) = u(v(x))v ′ (x). Daher gilt dU (v(x)) = u(v(x))v ′ (x)dx. Es ist aber auch dU (v(x)) dv(x) = u(v(x)), also auch dU (v(x)) = u(v(x))dv(x), zusammengesetzt ergibt sich u(v(x))v ′ (x)dx = u(v(x))dv(x). <?page no="130"?> 4.2. Das bestimmte Integral 131 F ¨ ur z = v(x) gilt außerdem dz dx = v ′ (x), also auch dz = v ′ (x)dx. Eingesetzt ergibt sich die Substitutionsregel. Satz 4.1.4 Sei u : R −→ R eine integrierbare Funktion und z = v(x) mit dz = v ′ (x)dx. Dann gilt ∫ u(v(x))v ′ (x)dx = ∫ u(z)dz. Die Substitutionsregel wird eingesetzt, wenn der Integrand eine Komposition von Funktionen ist, welche durch die Substitution in eine elementare Funktion ¨ uberf ¨ uhrt werden kann. Beispiel 4.1.5 Gegeben sei die Funktion f(x) = x · sin(x 2 ). Es ist z = x 2 bzw. x = √ z, daher ist dx = 1 2 √ z dz. Eingesetzt ergibt sich ∫ f(x)dx = ∫ √ z sin z 1 2 √ z dz = ∫ sin z 2 dz = − 1 2 cos z + c = − 1 2 cos(x 2 )+ c. 4.2 Das bestimmte Integral In den meisten Anwendungen zur Integralrechnung geht es nicht nur um die Umkehrung der Differentialrechnung, sondern darum, f ¨ ur Fl ¨ achen zwischen Kurven bzw. f ¨ ur zwischen Funktionen und Koordinatenachsen verlaufende Fl ¨ achen den Fl ¨ acheninhalt zu bestimmen. Dazu ist anzugeben, f ¨ ur welchen Bereich der Abszisse der Fl ¨ acheninhalt berechnet werden soll, dieser Bereich ergibt sich aus dem ¨ okonomischen Sachverhalt. Bevor ¨ okonomische Anwendungen betrachtet werden, wird zun ¨ achst das bestimmte Integral definiert. Dabei wird aus Vereinfachungsgr ¨ unden auf eine Darstellung mithilfe von Grenzwerten verzichtet und der Zusammenhang zwischen bestimmtem und unbestimmten Integral direkt angegeben. <?page no="131"?> 132 Kapitel 4. Integralrechnung Satz 4.2.1 Gegeben sei die Funktion f : R −→ R sowie eine zugeh ¨ orige Stammfunktion F (x). Dann gilt: ∫ b a f(x)dx = F (x)| b a = F (b) − F (a). Dabei heißt ∫ b a f(x)dx bestimmtes Integral, a untere Integrationsgrenze und b obere Integrationsgrenze. Da die Integrationskonstante f ¨ ur die obere Grenze addiert und f ¨ ur die untere Grenze subtrahiert wird, muss sie f ¨ ur das bestimmte Integral nicht mehr angegeben werden. Als Schreibweise wird auch ∫ b a f(x)dx = [F (x)] b a verwendet. Rechenregeln f ¨ ur bestimmte Integrale Auch f ¨ ur bestimmte Integrale gelten verschiedene Rechenregeln. Satz 4.2.2 F ¨ ur bestimmte Integrale gelten die folgenden Rechenregeln. 1. ∫ a a f(x)dx = 0 2. ∫ b a f(x)dx = − ∫ a b f(x)dx 3. ∫ b a cf(x)dx = c ∫ b a f(x)dx 4. ∫ b a n ∑ i=1 a i f i (x)dx = n ∑ i=1 a i ∫ b a f i (x)dx 5. ∫ b a f(x)dx = ∫ c a f(x)dx + ∫ b c f(x)dx 6. ∫ b a f(x)g ′ (x)dx = f(x)g(x)| b a − ∫ b a f ′ (x)g(x)dx 7. ∫ b a f(g(x))g ′ (x)dx = ∫ β α f(z)dz mit z = g(x), α = g(a) und β = g(b). <?page no="132"?> 4.2. Das bestimmte Integral 133 Beispiel 4.2.1 1. Gegeben sei die Funktion f(x) = √ x auf dem Intervall (4, 9). Es ist ∫ 9 4 √ xdx = 2 3 x 3 2 | 9 4 = 2 3 3 − 2 3 2 = 2 3 . 2. Gegeben sei die Funktion f(x) = 3 √ x 2 auf dem Intervall (1, 3). Dann ist ∫ 3 1 f(x)dx = ∫ 3 1 x 2 3 dx = 3 5 x 5 3 | 3 1 = 3, 744 − 0, 6 = 3, 144 3. Gegeben sei die Funktion f(x) = 1 (3x−5) 2 auf dem Intervall (2, 3). Es ist z = 3x−5 bzw. x = 5 3 + z 3 , also auch dx = 1 3 dz. Ferner ist α = 3·2−5 = 1 und β = 3 · 3 − 5 = 4 Einsetzen liefert ∫ 3 2 f(x)dx = ∫ 4 1 1 z 2 1 3 dz = 1 3 ∫ 4 1 z −2 dz = − 1 3 z −1 | 4 1 = 0, 25. Nicht immer sind beide Grenzen als Konstante gegeben. H ¨ aufig ist die obere Grenze variabel, das Integral lautet dann ∫ x a f(r)dr = F (x) − F (a). Damit kann der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung formuliert werden. Er sagt aus, dass die Integralrechnung gerade die Umkehrung der Differentialrechnung ist. Satz 4.2.3 F ¨ ur eine stetige Funktion f : R −→ R gilt d dx ∫ x a f(r)dr = f(x). Beispiel 4.2.2 Gegeben sei die Funktion f(r) = r 3 + 3r 2 − r. Die untere Integrationsgrenze sei gegeben durch a = 1. Das Integral mit variabler oberer Grenze ist dann gegeben durch ∫ x a f(r)dr = 1 4 r 4 + r 3 − 1 2 r 2 | x 1 = 1 4 x 4 + x 3 − 1 2 x 2 − 3 4 . Durch Bilden der Ableitung kann der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung f ¨ ur dieses Beispiel verifiziert werden. <?page no="133"?> 134 Kapitel 4. Integralrechnung 4.3 Anwendungen der Integralrechnung Anwendungen f ¨ ur ¨ okonomische Funktionen Wie eingangs bereits beschrieben, wird die Integralrechnung f ¨ ur ¨ okonomische Funktionen dazu verwendet, aus gegebenen Grenzfunktionen die urspr ¨ ungliche Funktion abzuleiten. Dabei spielt auch die Bestimmung der Integrationskonstanten eine Rolle. Diese kann f ¨ ur ¨ okonomische Funktionen auch aus dem Zusammenhang abgeleitet werden. Bemerkung 4.3.1 1. F ¨ ur gegebene Grenzkosten K ′ (x) gilt ∫ K ′ (x)dx = K(x) + c, in den meisten F ¨ allen entspricht die Konstante c dabei den Fixkosten. 2. F ¨ ur gegebenen Grenzerl ¨ os E ′ (x) gilt ∫ E ′ (x)dx = E(x) + c. Da der Erl ¨ os f ¨ ur 0 abgesetzte Mengeneinheiten keinen anderen Wert als 0 annehmen kann, gilt f ¨ ur die Konstante c in diesem Fall stets c = 0. Beispiel 4.3.1 1. Gegeben seien die Grenzkostenfunktion K ′ (x) = x 2 − 2x + 3 sowie Fixkosten in H ¨ ohe von K fix = 5. Dann ist K(x) = ∫ x 2 − 2x + 3dx = 1 3 x 3 − x 2 + 3x + K fix = 1 3 x 3 − x 2 + 3x + 5. 2. Die Grenzkostenfunktion eines Unternehmens laute K ′ (x) = 1 8 x 2 + 3 x+e , die Fixkosten betragen K fix = 1.000 EUR. Dann ist K(x) = ∫ 1 8 x 2 + 3 x + e dx = 1 24 x 3 + 3 ln |x + e| + c. Es ist dann K(0) = ln(e) + c = 1.000 und daher c = 1.000 − 1 = 999. 3. Gegeben sei die Grenzerl ¨ osfunktion E ′ (x) = 4x − 1. Die Erl ¨ osfunktion ergibt sich zu E(x) = ∫ 4x − 1dx = 2x 2 − x. <?page no="134"?> 4.3. Anwendungen der Integralrechnung 135 Konsumenten- und Produzentenrente Eine wesentliche Anwendung der Integralrechnung in der ¨ Okonomie besteht in der Betrachtung von Angebots- und Nachfragefunktionen. Das Marktgleichgewicht ist durch den Schnittpunkt beider Preis-Absatz-Funktionen gegeben. In dem Bereich bis zum Marktgleichgewicht befindet sich stets ein Marktteilnehmer im Vorteil. Wird das Marktgleichgewicht als Preis gew ¨ ahlt, so wird die Fl ¨ ache zwischen der Nachfragefunktion und der konstanten Funktion f(x) = p M , dem Wert des Gleichgewichtspreises, auch als Konsumentenrente bezeichnet. Der Konsument w ¨ are in diesem Bereich bereit, mehr f ¨ ur das Produkt zu zahlen, erzielt also einen Vorteil. Die Fl ¨ ache zwischen der Angebotsfunktion und der konstanten Funktion f(x) = p M , dem Wert des Gleichgewichtspreises, wird als Produzentenrente bezeichnet. Der Anbieter w ¨ are bereit, dass Produkt zu einem geringeren Preis abzusetzen, erzielt also im Marktgleichgewicht ebenfalls einen Vorteil. Definition 4.3.1 Die Konsumentenrente ist gegeben durch KR = ∫ x M 0 p N (x) − p M dx. Die Produzentenrente ist gegeben durch P R = ∫ x M 0 p M − p A (x)dx. F ¨ ur jeden Konsumenten ergibt sich eine pers ¨ onliche Konsumentenrente und f ¨ ur jeden Produzenten eine spezielle Produzentenrente. Durch die Berechnung der Integrale werden zum Einen die Konsumentenrenten aller Konsumenten und zum Anderen die Produzentenrenten aller Produzenten aggregiert. Die Summe aus Konsumentenrente und Produzentenrente wird auch als Wohlfahrt bezeichnet. In den nachstehenden Grafiken entspricht jeweils die schraffierte Fl ¨ ache der Konsumentenrente, die Wabenfl ¨ ache entspricht der Produzentenrente. <?page no="135"?> 136 Kapitel 4. Integralrechnung Sind Angebots- und Nachfragefunktion in umgekehrter Beziehung gegeben, so sind zun ¨ achst die Nullstellen der Angebots- und Nachfragefunktion aus x A (p) = 0 und p N (x) = 0 zu bestimmen, hier bezeichnet als p 0 A und p 0 N . Es gilt dann die folgende Beziehung. Definition 4.3.2 Die Konsumentenrente ist gegeben durch KR = ∫ p 0 N p M x N (p)dp. Die Produzentenrente ist gegeben durch P R = ∫ p M p 0 A x A (p)dp. <?page no="136"?> 4.3. Anwendungen der Integralrechnung 137 Beispiel 4.3.2 1. Gegeben seien die Angebotsfunktion x A (p) = 10p−100 sowie die Nachfragefunktion x N (p) = 242 − 1 2 p 2 . Die Nullstellen der Preis-Absatz- Funktionen betragen p 0 A = 10 und p 0 N = 22. Das Marktgleichgewicht ist gegeben durch x A (p) = x N (p) und ergibt sich zu (p M , x M ) = (18, 80). Es gilt also KR = ∫ 22 18 242 − 1 2 p 2 dp = 242p − 1 6 p 3 | 22 18 = 165, 33 und P R = ∫ 18 10 10p − 100dp = 5p 2 − 100p| 18 10 = 320. 2. Gegeben seien die Angebotsfunktion p A (x) = 20 + 1 4 x 2 sowie die Nachfragefunktion p N (x) = 200 − 4x. Das Marktgleichgewicht ist gegeben durch p A (x) = p N (x) und ergibt sich zu (p M , x M ) = (120, 20). Es gilt also KR = ∫ 20 0 200 − 4x − 20dx = 180x − 2x 2 | 20 0 = 2.800 und P R = ∫ 20 0 20 − 20 + 1 4 x 2 dx = 1 12 x 3 | 20 0 = 666, 67. <?page no="137"?> 138 Kapitel 4. Integralrechnung Aufgaben Aufgabe 4.3.1 Bestimmen Sie die unbestimmten Integrale a) ∫ x 2 − 1 2 xdx, b) ∫ sin x − e x + 1 x dx, c) ∫ √ x − 1 x 2 dx. Aufgabe 4.3.2 Bestimmen Sie die bestimmten Integrale a) ∫ 5 0 x 3 − 2 3 x 2 + xdx, b) ∫ 2π π cos x − xdx, c) ∫ 64 4 e x − √ xdx. Aufgabe 4.3.3 Bestimmen Sie die Integrale a) ∫ xe x dx, b) ∫ (3x − 2) 3 dx, c) ∫ 15 5 √ 2x + 6dx, d) ∫ π 0 x 2 cos xdx, e) ∫ x 2 e r − r 2 dr. Aufgabe 4.3.4 Gegeben sei eine Grenzkostenfunktion K ′ (x) = 15x 2 − 60x + 61 sowie Fixkosten in H ¨ ohe von K fix = 200. Bestimmen Sie die Kostenfunktion. Aufgabe 4.3.5 Gegeben seien die Angebotsfunktion p A (x) = 60 + 2x sowie die Nachfragefunktion p N (x) = 300 − 1 10 x 2 . Bestimmen Sie die Konsumenten- und Produzentenrente. Aufgabe 4.3.6 Gegeben seien die Angebotsfunktion x A (p) = 1 2 p 2 − 50 sowie die Nachfragefunktion x N (p) = 400 − 16p. Bestimmen Sie die Konsumenten- und Produzentenrente. <?page no="138"?> 5 Differentialrechnung f ¨ ur Funktionen mit mehreren unabh ¨ angigen Variablen 5.1 Definition von Funktionen im R n Beziehungen zwischen ¨ okonomischen Gr ¨ oßen bestehen in der Regel nicht nur zwischen zwei, sondern zwischen mehreren Gr ¨ oßen. Daher werden in diesem Kapitel Funktionen mit mehreren unabh ¨ angigen Variablen betrachtet, welche zur Modellierung dieser Zusammenh ¨ ange verwendet werden. Definition 5.1.1 Eine Funktion mit n unabh ¨ angigen Variablen bildet geordnete Paare (x 1 , . . . , x n ) mit x 1 , . . . , x n ∈ R eindeutig auf Werte z ∈ R ab, geschrieben f : R n −→ R. Funktionen mit mehreren Variablen werden entweder in expliziter oder in impliziter Form angegeben. Beispiel 5.1.1 1. Der Term f(x, y) = x 2 + y 2 − xy ist die explizite Darstellung einer Funktion mit zwei unabh ¨ angigen Variablen. 2. Der Term 0 = √ x 2 + y 2 + z 2 ist die implizite Darstellung einer Funktion mit zwei unabh ¨ angigen Variablen. 139 <?page no="139"?> 140 Kapitel 5. Differentialrechnung II Die grafische Darstellung von Funktionen mit mehreren Variablen kann f ¨ ur Funktionen mit zwei unabh ¨ angigen Variablen in einem 3D-Koordinatensystem erfolgen. Die Grafik zeigt die Funktion f(x, y) = x 2 + y 2 . F ¨ ur Funktionen mit mehr als zwei unabh ¨ angigen Variablen ist dies nicht mehr m ¨ oglich. Hier und auch zur besseren Interpretation bei Funktionen mit zwei Variablen werden dagegen Schnittkurvendiagramme zur grafischen Darstellung verwendet. Zur Erstellung von Schnittkurvendiagrammen f ¨ ur Funktionen mit zwei Variablen wird der Schnitt der Funktion f(x, y) mit Ebenen gebildet, welche parallel zu einer der Koordinatenebenen sind. Anders ausgedr ¨ uckt wird eine Variable konstant gehalten, w ¨ ahrend alle anderen weiterhin variabel bleiben. Dabei werden f ¨ ur Funktionen mit zwei Variablen Schnittebenen unterschieden, welche 1. parallel zur (x, y)− Ebene sind. Dazu wird z = c = f(x, y) gesetzt. Diese Kurven werden auch H ¨ ohenlinien genannt. F ¨ ur die Funktion f(x, y) = x 2 +y 2 sind die H ¨ ohenlinien in der nachfolgenden Grafik abgebildet. <?page no="140"?> 5.1. Definition von Funktionen im R n 141 Auf einer H ¨ ohenlinie liegen alle Punkte, welche denselben Funktionswert c ergeben. Dies hat vor allem bei der Betrachtung von Produktionsfunktionen eine Bedeutung. 2. parallel zur (x, z)− Ebene sind. Es wird y = c ∈ R gesetzt, es gilt dann z = f(x, c). F ¨ ur die Funktion f(x, y) = x 2 + y 2 sind die entsprechenden Schnittkurven in der nachfolgenden Grafik abgebildet. 3. parallel zur (y, z)− Ebene sind. Es wird x = c ∈ R gesetzt, es gilt dann z = f(c, y). F ¨ ur die Funktion f(x, y) = x 2 + y 2 sind die entsprechenden Schnittkurven in der nachfolgenden Grafik abgebildet. <?page no="141"?> 142 Kapitel 5. Differentialrechnung II 5.1.1 ¨ Okonomische Funktionen In Abschnitt 2.3 wurden bereits ¨ okonomische Funktionen mit einer Variablen vorgestellt. Diese h ¨ angen tats ¨ achlich von mehr als einer Variablen ab. Im Wesentlichen werden die folgenden ¨ okonomischen Funktionen untersucht. Kostenfunktion Die Funktion K(x 1 , . . . , x n ) gibt die Kosten der Produktion an, wenn von dem i-ten Gut x i Einheiten hergestellt werden. Preis-Absatzfunktion Die Funktionen p i (x 1 , . . . , x n ), i = 1, . . . , n geben an, wie sich der Preis des iten Gutes ver ¨ andert, wenn die Produktionsmengen der verschiedenen G ¨ uter ver ¨ andert wird. Hierbei h ¨ angt der Preis nicht mehr nur von der Produktionsmenge des Gutes, sondern zumeist auch von den Produktionsmengen der Konkurenzg ¨ uter ab. Auch f ¨ ur Funktionen mit mehreren Variablen kann die Preis-Absatz-Funktion in umgekehrter Beziehung formuliert werden, sie lautet dann x i (p 1 , . . . , p n ), i = 1, . . . , n und setzt die Produktionsmenge des i-ten Gutes in Abh ¨ angigkeit zu den Preisen der G ¨ uter. Erl ¨ osfunktion Die Erl ¨ osfunktion E(x 1 , . . . , x n ) = ∑ n i=1 p i (x 1 , . . . , x n ) · x i ergibt sich wieder als Produkt aus Preis und Menge und gibt den Erl ¨ os an, der f ¨ ur die angenommenen Produktionsmengen erzielt wird. Gewinnfunktion Die Differenz aus Erl ¨ os- und Kostenfunktion ergibt wiederum die Gewinnfunktion G(x 1 , . . . , x n ) = E(x 1 , . . . , x n ) − K(x 1 , . . . , x n ), diese gibt den Gewinn an, welcher f ¨ ur die gegebenen Produktionsmengen erzielt wird. Produktionsfunktionen F ¨ ur Funktionen mit mehr als einer Variablen ist es nunmehr m ¨ oglich, Produktionsfunktionen durch spezielle Eigenschaften zu unterscheiden. Im Wesentlichen werden die folgenden Typen unterschieden. <?page no="142"?> 5.1. Definition von Funktionen im R n 143 1. linear-limitationale Produktionsfunktion F ¨ ur diese Funktionen wird ein festes Verh ¨ altnis der Produktionsfaktoren zueinander angenommen. Eine Substitution der Produktionsfaktoren durcheinander ist nicht m ¨ oglich. Ein Beispiel f ¨ ur eine linearlimitationale Produktionsfunktion ist die Leontief-Funktion x(r 1 , . . . , r n ) = min{ r i m i , m i > 0, i = 1, . . . , n}, wobei r i die eingesetzten Faktormengen des jeweiligen Einsatzfaktors und m i den durchschnittlichen Verbrauch des jeweiligen Einsatzfaktors f ¨ ur eine Mengeneinheit angibt. Beispiel 5.1.2 F ¨ ur ein Kleidungsst ¨ uck werden 2, 5 m 2 Stoff und 10 m Garn ben ¨ otigt. Die Einsatzfaktoren sind nur in begrenzter H ¨ ohe r 1 = 100 m 2 Stoff und r 2 = 280 m Garn vorhanden. Es ergibt sich die Produktionsfunktion x(r 1 , r 2 ) = min{ r i m i |i = 1, 2}. hier also x = min{ 100 2.5 , 280 10 } = 28, es k ¨ onnen also bis zu 28 Kleidungsst ¨ ucke hergestellt werden mit festem Verh ¨ altnis der Einsatzfaktoren. Die H ¨ ohenlinien dieser Funktion sind der nachstehenden Grafik zu entnehmen. Es k ¨ onnen nur die Kombinationen (2, 5; 10), (5; 20) usw. eingesetzt werden, wird nur einer der Faktoren Stoff oder Garn erh ¨ oht, so erh ¨ oht sich der Output nicht. <?page no="143"?> 144 Kapitel 5. Differentialrechnung II 2. ertragsgesetzliche Produktionsfunktion Bei dieser Produktionsfunktion sind Substitutionen in begrenzter Menge m ¨ oglich. Ein Beispiel f ¨ ur diesen Typ ist die Sato-Funktion, ein Beispiel daf ¨ ur ist die Funktion x(r 1 , r 2 ) = r 2 1 r 2 2 r 3 1 + r 3 2 . Die Grafik zeigt die oben angegebene Sato-Funktion. Dieser Typ von Produktionsfunktion tritt beispielsweise auf, wenn Arbeitnehmer unterschiedlicher Qualifikation besch ¨ aftigt werden. In begrenzter Form k ¨ onnen kostenintensive Arbeitnehmer durch Hilfskr ¨ afte ersetzt werden. Um den Produktionsprozess nicht zu gef ¨ ahrden, muss diese Substitution jedoch begrenzt werden. 3. neoklassische Produktionsfunktion Hier sind Substitutionen unbegrenzt m ¨ oglich. F ¨ ur diesen Typ werden die folgenden Annahmen getroffen: • x(0, 0) = 0, werden keine Faktoren eingesetzt, so wird auch kein Ertrag erzielt. • x(r 1 , r 2 ) ist monoton wachsend, die Produktionsmenge nimmt zu, wenn die Einsatzmenge der Faktoren gesteigert wird. • x(r 1 , r 2 ) ist konkav, mit zunehmender Einsatzmenge nehmen die Grenzertr ¨ age ab, der durch zus ¨ atzliche Mengeneinheiten erzielte Mehrerfolg nimmt demnach mit zunehmenden Betr ¨ agen ab. <?page no="144"?> 5.1. Definition von Funktionen im R n 145 Ein Beispiel dieser Form von Produktionsfunktionen ist die Cobb- Douglas-Funktion x(r 1 , . . . , r n ) = cr α 1 1 · · · r α n n , α 1 , . . . , α n , c > 0. Beispiele zu diesem Funktionstyp werden im anschließenden Abschnitt 5.1.2 gezeigt. Nutzenfunktionen Nutzenfunktionen U (x 1 , . . . , x n ) beschreiben den Zusammenhang zwischen dem Erwerb bzw. dem Verbrauch von G ¨ utern und dem daraus resultierenden Nutzen. Beispiel 5.1.3 Der Nutzen eines Haushaltes aus dem Konsum zweier G ¨ uter sei durch die Nutzenfunktion U (x 1 , x 2 ) = 2 √ x 1 + x 2 + 5 √ x 1 gegeben. F ¨ ur den Konsum von 100 Mengeneinheiten des ersten Gutes und 69 Einheiten des zweiten Gutes ergeben sich U (100, 69) = 76 Nutzeneinheiten. Wird der Konsum von x 1 um 9 Einheiten gesenkt, ohne dass der Haushalt Einschr ¨ ankungen hinnehmen m ¨ ochte, so muss gelten U (81, x 2 ) = 76 ⇔ 31 = 2 √ 81 + x 2 ⇔ x 2 = 159, 25, der Konsum des zweiten Gutes muss also um 90, 25 Einheiten auf x 2 = 159, 25 Einheiten erh ¨ oht werden. Die Kombinationen (100; 69) und (81; 159, 25) liegen auf derselben H ¨ ohenlinie der Nutzenfunktion. 5.1.2 Homogenit ¨ at F ¨ ur ¨ okonomische Funktionen mit mehreren Variablen ist die Homogenit ¨ at eine wichtige Eigenschaft. Sie untersucht, ob eine gleichm ¨ aßige Ver ¨ anderung der Variablen eine gleichm ¨ aßige ¨ Anderung des Funktionswertes zur Folge hat. Definition 5.1.2 Eine Funktion f : R n −→ R heißt homogen vom Grad m ∈ R, wenn f ¨ ur jedes a ∈ R gilt f(ax 1 , . . . , ax n ) = a m f(x 1 , . . . , x n ). <?page no="145"?> 146 Kapitel 5. Differentialrechnung II Beispiel 5.1.4 1. Gegeben sei die Funktion x(r 1 , r 2 ) = r 1 r 2 + r 2 1 + r 2 2 . Dann ist x(ar 1 , ar 2 ) = (ar 1 )(ar 2 ) + (ar 1 ) 2 + (ar 2 ) 2 == a 2 x(r 1 , r 2 ). Die Funktion ist also homogen vom Grad 2. Werden die Einsatzmengen der Faktoren um das a-fache erh ¨ oht, so erh ¨ oht sich die Produktionsmenge um das a 2 -fache. 2. Gegeben sei die Funktion x(r 1 , r 2 , r 3 ) = r 1 r 2 3 + r 2 1 + r 2 r 3 . Dann ist x(ar 1 , ar 2 , ar 3 ) = a 3 r 1 r 2 3 + a 2 r 2 1 + a 2 r 2 r 3 = a 2 (ar 1 r 2 3 + r 2 1 + r 2 r 3 ), diese Funktion ist nicht homogen, da a nicht separiert werden kann. 3. Gegeben sei eine Cobb-Douglas-Funktion x(r 1 , . . . , r n ) = cr α 1 1 · · · r α n n . Dann ist x(ar 1 , . . . , ar n ) = c(ar 1 ) α 1 · · · (ar n ) α n = a α 1 +α 2 +···+α n cr α 1 1 · · · r α n n . Jede Cobb-Douglas-Funktion ist homogen, der Homogenit ¨ atsgrad ergibt sich als Summe der Exponenten, m = α 1 + α 2 + · · · + α n . F ¨ ur homogene Produktionsfunktionen geben Skalenertr ¨ age an, wie sich die Zunahme des Outputs ver ¨ andert, wenn eine gleichm ¨ aßige Erh ¨ ohung s ¨ amtlicher Produktionsfaktoren erfolgt. Es wird unterschieden in: • konstante Skalenertr ¨ age, diese ergeben sich bei einem Homogenit ¨ atsgrad von m = 1. Die Cobb-Douglas-Funktion x(r 1 , r 2 ) = r 0.5 1 r 0.5 2 ist homogen vom Grad 1, der Output steigt f ¨ ur alle a ∈ R porportional zur Erh ¨ ohung der Einsatzfaktoren. Die Kammlinie verl ¨ auft linear. Die Grafik zeigt die Cobb-Douglas-Funktion x(r 1 , r 2 ) = r 0.5 1 r 0.5 2 . <?page no="146"?> 5.1. Definition von Funktionen im R n 147 • steigende Skalenertr ¨ age, diese ergeben sich bei einem Homogenit ¨ atsgrad von m > 1. Die Cobb-Douglas-Funktion x(r 1 , r 2 ) = r 0.75 1 r 0.75 2 ist homogen vom Grad 1, 5, die Erh ¨ ohung des Outputs ist gr ¨ oßer als die Erh ¨ ohung der Einsatzfaktoren, diese Entwicklung nimmt mit wachsendem a zu. Die Kammlinie verl ¨ auft progressiv. Die Grafik zeigt die Cobb-Douglas-Funktion x(r 1 , r 2 ) = r 0.75 1 r 0.75 2 . • sinkende Skalenertr ¨ age, diese ergeben sich f ¨ ur einen Homogenit ¨ atsgrad von m < 1. Die Cobb-Douglas-Funktion x(r 1 , r 2 ) = r 0.25 1 r 0.25 2 ist homogen vom Grad 0, 5, die Erh ¨ ohung des Outputs ist geringer als die Erh ¨ ohung der Einsatzfaktoren, mit wachsendem a nimmt der Zuwachs des Outputs immer weiter ab. Die Kammlinie verl ¨ auft in diesem Fall degressiv. Die Grafik zeigt die Cobb-Douglas-Funktion x(r 1 , r 2 ) = r 0.25 1 r 0.25 2 . <?page no="147"?> 148 Kapitel 5. Differentialrechnung II Aufgaben Aufgabe 5.1.1 Skizzieren Sie f ¨ ur die Funktion z = f(x, y) = −2x + 4y die H ¨ ohenlinien f ¨ ur z = 1 und z = −3. Aufgabe 5.1.2 Peter mag Videospiele (V) und Gummib ¨ archen (G). Der Nutzen, den er durch den Konsum beider G ¨ uter hat, sei gegeben durch x(V, G) = √ 16V G − 2. a) Welchen Nutzen hat Peter, wenn er 5 Videospiele spielt und 20 Gummib ¨ archen isst? b) Wie viel mehr Gummib ¨ archen m ¨ usste Peter essen, um denselben Nutzen zu erzielen, wenn er ein Videospiel weniger spielt? Aufgabe 5.1.3 Die Produktionsmenge eines Gutes h ¨ angt vom Einsatz der Produktionsfaktoren Kapital (K) und Rohstoffe (R) ab x(K, R) = 15K 1 4 R 3 4 . Der Rohstoffeinsatz soll verdoppelt werden. Um wie viel muss der Kapitaleinsatz erh ¨ oht werden, damit die vierfache Menge produziert wird? Aufgabe 5.1.4 Gegeben sei die vom Grad 3 homogene Produktionsfunktion x = 5r 1,2 1 r k 2 . a) Bestimmen Sie k. b) Wie ver ¨ andert sich die Produktionsmenge x, wenn die Einsatzmengen beider Faktoren verdoppelt werden? Aufgabe 5.1.5 Sind die folgenden Funktionen homogen und falls ja, von welchem Grad? a) f(x 1 , x 2 , x 3 ) = x 2 1 x 3 + x 3 2 + x 2 1 x 2 x 3 b) g(x 1 , x 2 ) = 5 √ x 2 1 x 3 2 + x 1 x 4 2 + x 5 2 c) h(x 1 , x 2 ) = x 3 1 x 2 +x 1 x 3 2 √ x 2 1 +x 1 x 2 <?page no="148"?> 5.2. Differenzierbarkeit 149 5.2 Differenzierbarkeit 5.2.1 Partielle Ableitungen erster Ordnung F ¨ ur Funktionen mit einer Variablen gibt die erste Ableitung die Steigung der Funktion in einem Punkt an. Bei Funktionen mit mehreren unabh ¨ angigen Variablen ist diese Steigung nicht mehr eindeutig gegeben, sondern abh ¨ angig von der betrachteten Richtung. Dennoch k ¨ onnen die Erkenntnisse f ¨ ur Funktionen mit einer Variablen auf Funktionen mit mehreren Variablen ¨ ubertragen werden. Durch die bereits bekannte Grenzwertbildung des Differenzenquotienten k ¨ onnen analog die partiellen Ableitungen f ¨ ur Funktionen mit mehreren unabh ¨ angigen Variablen bestimmt werden. Definition 5.2.1 Gegeben sei eine Funktion f : R n −→ R. Die Ableitung von f(x 1 , . . . , x n ) an der Stelle (x ∗ 1 , . . . , x ∗ n ) bez ¨ uglich x i ist definiert als f x i (x ∗ 1 , . . . , x ∗ n ) = lim Δx i →0 f(x ∗ 1 , . . . , x ∗ i + Δx i , . . . , x ∗ n ) − f(x ∗ 1 , . . . , x ∗ n ) Δx i und wird als partielle Ableitung erster Ordnung von f(x 1 , . . . , x n ) nach x i an der Stelle (x ∗ 1 , . . . , x ∗ n ) bezeichnet. Existieren die partiellen Ableitungen f ¨ ur alle (x 1 , . . . , x n ), so heißt die Funktion partiell differenzierbar. Der Vektor grad f(x 1 , . . . , x n ) = ∇f(x 1 , . . . , x n ) =      f x 1 (x 1 , . . . , x n ) . . . f x n (x 1 , . . . , x n )      heißt Gradient der Funktion f(x 1 , . . . , x n ). Der Gradient gibt die Richtung des steilsten Anstiegs an. Werden die Variablen entsprechend des Gradienten ver ¨ andert, so steigt der Funktionswert st ¨ arker an als f ¨ ur jede andere Richtungs ¨ anderung. <?page no="149"?> 150 Kapitel 5. Differentialrechnung II ¨ Okonomisch wird der Wert der partiellen Ableitung erster Ordnung in einem Punkt analog zu den Funktionen mit einer Variablen als Funktionswert ¨ anderung f ¨ ur eine ¨ Anderung der betrachteten unabh ¨ angigen Variablen um eine Einheit interpretiert. Auch f ¨ ur Funktionen mit mehreren unabh ¨ angigen Variablen existieren Ableitungsregeln, um die partiellen Ableitungen zusammengesetzter Funktionen bestimmen zu k ¨ onnen. Vereinfachend werden die n unabh ¨ angigen Variablen in dem Vektor x = (x 1 , . . . , x n ) T zusammengefasst. Satz 5.2.1 F ¨ ur Funktionen f, g : R n −→ R und Skalare r ∈ R gelten: 1. Summenregel: (f(x) ± g(x)) x i = f x i (x) ± g x i (x) 2. Faktorregel: (r · f(x)) x i = r · f x i (x) 3. Produktregel: (f(x) · g(x)) x i = f x i (x) · g(x) + f(x) · g x i (x) 4. Quotientenregel: ( f(x) g(x) ) x i = f x i (x) · g(x) − f(x) · g x i (x) (g(x)) 2 5. Kettenregel: (f(g(x))) x i = f x i (g(x)) · g x i (x) Die Verwendung der Bezeichnung x i f ¨ ur die unabh ¨ angigen Variablen wird ¨ ublicherweise f ¨ ur Funktionen mit mehr als drei Variablen verwendet, bei zwei bzw. drei unabh ¨ angigen Variablen werden diese h ¨ aufig mit x, y und z bezeichnet. <?page no="150"?> 5.2. Differenzierbarkeit 151 Um die partielle Ableitung bez ¨ uglich einer Variablen zu bestimmen, werden die ¨ ubrigen Variablen jeweils konstant gehalten. Beispiel 5.2.1 1. Gegeben sei die Funktion f(x, y) = 4x 3 +y 2 . Die partiellen Ableitungen erster Ordnung sind gegeben durch ∇f(x, y) =   f x (x, y) f y (x, y)   =   4 · 3x 3−1 2y 2−1   =   12x 2 2y   . 2. Gegeben sei die Funktion f(x, y) = 3x 2 + xy + 5x 2 y 3 . mithilfe der Summen- und der Faktorregel ergibt sich der Gradient zu ∇f(x, y) =   3 · 2x 2−1 + y + 5 · 2x 2−1 y 3 x + 5 · 3x 2 y 3−1   =   6x + y + 10xy 3 x + 15x 2 y 2   . 3. Gegeben sei die Funktion f(x, y) = y · e x 2 +y . Die Produkt- und die Kettenregel f ¨ uhren auf ∇f(x, y) =   y · 2x · e x 2 +y 1 · e x 2 +y + y · 1 · e x 2 +y   =   2xy · e x 2 +y (1 + y) · e x 2 +y   . 4. Gegeben sei die Funktion f(x, y, z) = x·sin(yz)+ln(xyz). Die Produkt-, die Summen- und die Kettenregel f ¨ uhren auf ∇f(x, y, z) =      sin(yz) + 1 xyz · yz x · cos(yz) · z + 1 xyz · xz x · cos(yz) · y + 1 xyz · xy      =      sin(yz) + 1 x xz · cos(yz) + 1 y xy · cos(yz) + 1 z      . 5. Gegeben sei die Cobb-Douglas-Funktion x(r 1 , r 2 ) = c · r α 1 r β 2 . Die partiellen Ableitungen erster Ordnung sind gegeben durch x r 1 (r 1 , r 2 ) = α · c · r α−1 1 r β 2 und x r 2 (r 1 , r 2 ) = β · c · r α 1 r β−1 2 . <?page no="151"?> 152 Kapitel 5. Differentialrechnung II 5.2.2 Partielle Ableitungen h ¨ oherer Ordnung Die partiellen Ableitungen erster Ordnung sind abermals Funktionen in n Variablen. Sie k ¨ onnen somit partiell nach den unabh ¨ angigen Variablen differenziert werden. Auf diese Weise werden Ableitungen h ¨ oherer Ordnung bestimmt. Definition 5.2.2 Gegeben sei eine Funktion f : R n −→ R mit den partiellen Ableitungen f x i (x 1 , . . . , x n ), i = 1, . . . , n. Die partiellen Ableitungen von f x i nach x j f ¨ ur j = 1, . . . , n heißen partielle Ableitungen zweiter Ordnung und werden mit f x i x j (x 1 , . . . , x n ) (kurz f x i x j ) bezeichnet. Die Matrix H f (x 1 , . . . , x n ) =         f x 1 x 1 f x 1 x 2 · · · f x 1 x n f x 2 x 1 f x 2 x 2 · · · f x 2 x n . . . . . . . . . . . . f x n x 1 f x n x 2 · · · f x n x n         wird als Hessematrix der Funktion f(x 1 , . . . , x n ) bezeichnet. Der nachfolgende Satz von Schwarz erleichtert die Bestimmung der Hessematrix. Die Voraussetzungen sind bei ¨ okonomischen Fragestellungen in der Regel erf ¨ ullt. Satz 5.2.2 Sind f ¨ ur eine zweimal differenzierbare Funktion f : R n −→ R die partiellen Ableitungen f x i , i = 1, . . . , n, stetig, so ist die Reihenfolge der partiellen Ableitungen beliebig und es gilt f x i ,x j = f x j x i . <?page no="152"?> 5.2. Differenzierbarkeit 153 F ¨ ur das nachfolgende Beispiel Nr. 1-5 beachte die partiellen Ableitungen erster Ordnung aus Beispiel 5.2.1. Beispiel 5.2.2 1. Gegeben sei die Funktion f(x, y) = 4x 3 +y 2 . Die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung sind gegeben durch H f (x, y) =   f xx f xy f yx f yy   =   24x 0 0 2   . 2. Gegeben sei die Funktion f(x, y) = 3x 2 + xy + 5x 2 y 3 . Die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung sind gegeben durch H f (x, y) =   6x + 10y 3 1 + 30xy 2 1 + 30xy 2 30x 2 y   . 3. Gegeben sei die Funktion f(x, y) = y · e x 2 +y . Die Hessematrix ist gegeben durch H f (x, y) =   (2y + 4x 2 y) · e x 2 +y (2x + 2xy) · e x 2 +y 2x(1 + y) · e x 2 +y (2 + y) · e x 2 +y   . 4. Gegeben sei die Funktion f(x, y, z) = x·cos(yz)+ln(xyz). Die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung sind gegeben durch H f (x, y, z) =      f xx f xy f xz f yx f yy f yz f zx f zy f zz      =      − 1 x 2 −z sin(yz) −y sin(yz) −z sin(yz) −xz 2 cos(yz) − 1 y 2 −x sin(yz) − xz 2 cos(yz) −y sin(yz) −x sin(yz) − xyz cos(yz) −xy 2 cos(yz) − 1 z 2      . <?page no="153"?> 154 Kapitel 5. Differentialrechnung II 5. Gegeben sei die Cobb-Douglas-Funktion x(r 1 , r 2 ) = c · r α 1 r β 2 . Die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung sind gegeben durch • x r 1 r 1 = α · (α − 1) · c · r α−2 1 r β 2 , • x r 1 r 2 = α · β · c · r α−1 1 r β−1 2 = x r 2 r 1 und • x r 2 r 2 = β · (β − 1) · c · r α 1 r β−2 2 6. Gegeben sei die Funktion f(x, y) = ln(2x + y 2 ). Die partiellen Ableitungen erster Ordnung ergeben sich mithilfe der Kettenregel zu f x (x, y) = 2 2x + y 2 und f y (x, y) = 2y 2x + y 2 . Weiteres Differenzieren mithilfe der Quotientenregel f ¨ uhrt auf die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung. Es ist • f xx (x, y) = 0·(2x+y 2 )−2·2 (2x+y 2 ) 2 = − 4 (2x+y 2 ) 2 , • f xy (x, y) = 0·(2x+y 2 )−2·2y (2x+y 2 ) 2 = − 4y (2x+y 2 ) 2 = f yx (x, y) und • f yy (x, y) = 2·(2x+y 2 )−2y·2y (2x+y 2 ) 2 = 4x−2y 2 (2x+y 2 ) 2 . Partielle Ableitungen h ¨ oherer als zweiter Ordnung werden durch weiteres partielles Ableiten gebildet. In den Wirtschaftswissenschaften sind zumeist nur die partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung von Interesse. <?page no="154"?> 5.2. Differenzierbarkeit 155 Aufgaben Aufgabe 5.2.1 Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen erster Ordnung der Funktionen. a) f(x, y) = 3x 2 − xy + xy 2 − y 3 . b) f(x, y, z) = cos(xz) + x 2 y 3 z 2 . c) f(x, y) = x 2 e 2x−2y . d) f(x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = x 2 1 x 3 x 4 + √ x 1 x 2 2 x 4 + x 2 x 3 3 . Aufgabe 5.2.2 Bestimmen Sie den Gradienten der Funktionen. a) f(x, y) = xy + ln(x 2 y). b) f(x, y, z) = xy 2 + sin(xy 2 z 3 ). c) f(x, y) = x 2 +y 2 x+y . c) x(r 1 , r 2 ) = 4r 0.7 1 r 0.5 2 . Aufgabe 5.2.3 Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung der Funktionen. a) f(x, y) = x 3 − 2x 2 y + x 2 y 2 + 2y 2 . b) f(x, y, z) = √ x 2 y 3 z. c) f(x, y) = (x + y)e x 2 +3y . d) f(x, y) = xy x+y . Aufgabe 5.2.4 Bestimmen Sie die Hessematrix der Funktionen. a) f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ). b) f(x, y, z) = √ xyz + xyz. c) x(r 1 , r 2 ) = 8r 1.2 1 r 0.8 2 . <?page no="155"?> 156 Kapitel 5. Differentialrechnung II 5.3 Anwendungen der Differentialrechnung II 5.3.1 Das Differential Auch f ¨ ur Funktionen mit mehreren unabh ¨ angigen Variablen soll die ¨ Anderung des Funktionswertes, welcher sich f ¨ ur eine Ver ¨ anderung der unabh ¨ angigen Variablen ergibt, gesch ¨ atzt werden. F ¨ ur eine Funktion mit zwei unabh ¨ angigen Variablen stellen die partiellen Ableitungen Tangenten an die Funktion dar. Das partielle Differential sch ¨ atzt die Ver ¨ anderung des Funktionswertes f ¨ ur den Fall, dass eine einzelne Variable x i um Δx i ver ¨ andert wird. Dies ist das ¨ Aquivalent zum Differential der Funktionen mit einer unabh ¨ angigen Variablen. F ¨ ur Funktionen mit zwei unabh ¨ angigen Variablen spannen die beiden Tangenten eine Tangentialebene auf. Die Sch ¨ atzung der Funktionswert ¨ anderung mithilfe des totalen Differentials entspricht f ¨ ur Funktionen mit zwei unabh ¨ angigen Variablen der N ¨ aherung der Funktion durch die Tangentialebene. Das totale Differential sch ¨ atzt f ¨ ur mehrdimensionale Funktionen die Funktionswert ¨ anderung bei gleichzeitiger ¨ Anderung aller unabh ¨ angigen Variablen x i um Werte Δx i , i = 1, . . . , n. Die Werte Δx i k ¨ onnen sich dabei voneinander unterscheiden. Definition 5.3.1 Gegeben sei die Funktion f(x 1 , . . . , x n ) mit den partiellen Ableitungen f x i , i = 1, . . . , n. Das partielle Differential bez ¨ uglich x i ist gegeben durch f x i (x 1 . . . , x n ) · Δx i . Das totale Differential ist gegeben durch df = f x 1 (x 1 , . . . , x n ) · Δx 1 + · · · + f x n (x 1 , . . . , x n ) · Δx n . <?page no="156"?> 5.3. Anwendungen der Differentialrechnung II 157 Beispiel 5.3.1 1. F ¨ ur die Funktion f(x, y) = −2x 2 +xy 3 −e x y sei die ¨ Anderung des Funktionswertes an der Stelle x = 1, y = −1 f ¨ ur die geplanten ¨ Anderungen in H ¨ ohe von Δx = 0, 2 und Δy = −0, 1 gesucht. Die genaue ¨ Anderung des Funktionswertes betr ¨ agt f(1, 2; −1, 1) − f(1, −1) ≈ −0, 54. Wird diese ¨ Anderung mithilfe des totalen Differentials gesch ¨ atzt, so werden zun ¨ achst die partiellen Ableitungen erster Ordnung ben ¨ otigt: f x (x, y) = −4x + y 3 − e x y und f y (x, y) = 3xy 2 − e x . Sodann ergibt sich eine n ¨ aherungsweise ¨ Anderung in H ¨ ohe von df = f x (1, −1) · 0, 2 + f y (1, −1) · (−0, 1) ≈ −0, 484. Der entstehende Fehler resultiert daraus, dass die Tangentialebene als N ¨ aherung an die Funktion betrachtet wird. Je gr ¨ oßer die Werte Δx i betraglich sind, umso schlechter wird die Sch ¨ atzung mithilfe des totalen Differentials die tats ¨ achliche Funktionswert ¨ anderung widerspiegeln, da die Tangentialebene nur in einer kleinen Umgebung des betrachteten Punktes eine gute N ¨ aherung an die Funktion ist. 2. Gegeben sei die Produktionsfunktion x = x(r 1 , r 2 ) = 3r 3 1 r 0,5 2 . Die partiellen Grenzproduktivit ¨ aten sind gegeben durch x r 1 = 9r 2 1 r 0,5 2 und x r 2 = 1, 5r 3 1 r −0,5 2 . • Wird die Faktoreinsatzmenge des Rohstoffs 1, ausgehend von 10 Einheiten, um eine Einheit erh ¨ oht, so ergibt sich f ¨ ur r 2 = 121 eine n ¨ aherungsweise Outputerh ¨ ohung von dx = x r 1 (10, 121) · 1 = 9 · 100 · 11 = 9.900 Einheiten. • Wird die Faktoreinsatzmenge des Rohstoffs 2, ausgehend von 121 Einheiten, um eine Einheit erh ¨ oht, so ergibt sich f ¨ ur r 1 = 10 eine n ¨ aherungsweise Outputerh ¨ ohung von dx = x r 2 (10, 121) · 1 = 1, 5 · 1000 · 1 11 = 136, ¯ 36 Einheiten. • Werden die Faktoreinsatzmengen von Rohstoff 1 um 5 Einheiten sowie f ¨ ur Rohstoff 2 um 10 Einheiten, ausgehend von r 1 = 10 und r 2 = 121, erh ¨ oht, so erh ¨ oht sich das Produktionsvolumen um n ¨ aherungsweise dx = x r 1 (10, 121) · 5 + x r 2 (10, 121) · 10 ≈ 50.863, 63 Einheiten. <?page no="157"?> 158 Kapitel 5. Differentialrechnung II Grenzrate der Substitution Das Differential Δf sch ¨ atzt die Funktionswert ¨ anderung, falls die unabh ¨ angigen Variablen ver ¨ andert werden. Regelm ¨ aßig besteht ein Interesse daran, ein Substitutionsverh ¨ altnis der Einsatzfaktoren zu bestimmen. Dabei soll sich der Funktionswert, also beispielsweise die Produktionsmenge, nicht ver ¨ andern. Dies entspricht der Gleichung df = 0 ↔ f x 1 Δx 1 + · · · + f x n Δx n = 0, f ¨ ur zwei unabh ¨ angige Variablen also der Gleichung f x (x, y)Δx + f y (x, y)Δy = 0. Umstellen dieser Gleichung f ¨ uhrt auf Δx Δy = − f y (x, y) f x (x, y) bzw. Δy Δx = − f x (x, y) f y (x, y) . Dieses Verh ¨ altnis wird als Grenzrate der Substitution bezeichnet. Es beschreibt das Substitutionsverh ¨ altnis der Einsatzfaktoren, also wie viele Einheiten des einen Einsatzfaktors eingespart werden k ¨ onnen, wenn eine Einheit des anderen Einsatzfaktors zus ¨ atzlich eingesetzt wird, ohne, dass sich der Funktionswert ¨ andert. Auf diese Weise ergibt sich eine M ¨ oglichkeit zur Kosteneinsparung. Beispiel 5.3.2 1. Gegeben sei die Produktionsfunktion x(r 1 , r 2 ) = √ r 1 r 0,7 2 + r 1 r 2 . Die partiellen Grenzproduktivit ¨ aten ergeben sich zu x r 1 = r 0,7 2 2 √ r 1 + r 2 und x r 2 = 0, 7 √ r 1 r −0,3 2 + r 1 . Somit ergibt sich die Grenzrate der Substitution zu Δr 1 Δr 2 = − 0, 7 √ r 1 r −0,3 2 + r 1 r 0,7 2 2 √ r 1 + r 2 bzw. Δr 2 Δr 1 = − r 0,7 2 2 √ r 1 + r 2 0, 7 √ r 1 r −0,3 2 + r 1 . Werden derzeit beispielsweise r 1 = 9 und r 2 = 1 Einheiten eingesetzt, so ergibt sich Δr 1 Δr 2 ≈ −9, 51 bzw. Δr 2 Δr 1 ≈ −0, 11. <?page no="158"?> 5.3. Anwendungen der Differentialrechnung II 159 Somit k ¨ onnen von Einsatzfaktor 1 ca. 9, 5 Einheiten eingespart werden, wenn eine zus ¨ atzliche Einheit von Einsatzfaktor 2 eingesetzt wird, ohne dass sich die Produktionsmenge ¨ andert. Zu beachten ist hier, dass derzeit nur 9 Einheiten von Faktor 1 eingesetzt werden, somit kann das Substitutionsverh ¨ altnis nur begrenzt ausgenutzt werden. Umgekehrt kann von Einsatzfaktor 2 ca. eine Zehnteleinheit eingespart werden, wenn von Faktor 1 eine zus ¨ atzliche Einheit eingesetzt w ¨ urde, ohne dass sich die Produktionsmenge ¨ andert. Ist Faktor 2 hochpreisig, Faktor 1 dagegen g ¨ unstig im Einkauf, so lohnt sich eine solche Substitution. 2. Gegeben sei die Cobb-Douglas-Funktion x(r 1 , r 2 ) = cr α 1 r β 2 . Die partiellen Ableitungen erster Ordnung sind gegeben durch x r 1 = αcr α−1 1 r β 2 und x r 2 = βcr α 1 r β−1 2 . Daher ergibt sich die Grenzrate der Substitution f ¨ ur Cobb-Douglas- Funktionen zu Δr 1 Δr 2 = − βcr α 1 r β−1 2 αcr α−1 1 r β 2 = − β α r 1 r −1 2 bzw. Δr 2 Δr 1 = − αcr α−1 1 r β 2 βcr α 1 r β−1 2 = − α β r −1 1 r 2 . 3. Gegeben sei die Cobb-Douglas-Funktion x(r 1 , r 2 ) = 5r 2 1 √ r 2 . Nach dem vorhergehenden Beispiel ergibt sich die Grenzrate der Substitution zu Δr 1 Δr 2 = − 0, 5 2 r 1 r −1 2 = − 1 4 r 1 r −1 2 bzw. Δr 2 Δr 1 = − 2 0, 5 r −1 1 r 2 = −4r −1 1 r 2 . Werden derzeit beispielsweise r 1 = 10 und r 2 = 36 Einheiten der Einsatzfaktoren eingesetzt, so ergibt sich zum Einen ein Nutzenniveau in H ¨ ohe von x(10, 36) = 3.000 Mengeneinheiten und zum Anderen eine Grenzrate der Substitution in H ¨ ohe von Δr 1 Δr 2 = − 5 12 bzw. Δr 2 Δr 1 = −2, 4. Von Rohstoff 1 k ¨ onnen also 5 12 Mengeneinheiten eingespart werden, falls von Rohstoff 2 eine Mengeneinheit mehr eingesetzt wird. Von Rohstoff 2 sind dagegen 2, 4 Mengeneinheiten durch eine Mengeneinheit von Rohstoff 1 ersetzbar. <?page no="159"?> 160 Kapitel 5. Differentialrechnung II 5.3.2 Die partielle Elastizit ¨ at Die partielle Elastizit ¨ at wird analog zur Elastizit ¨ at einer Funktion mit einer unabh ¨ angigen Variablen definiert. Definition 5.3.2 Gegeben sei eine Funktion f : R n −→ R mit den partiellen Ableitungen f x i . Die partielle Elastizit ¨ at von f(x 1 , . . . , x n ) in Bezug auf x i , i = 1, . . . , n, ist gegeben durch ε fx i = f x i (x 1 , . . . , x n ) x i f(x 1 , . . . , x n ) . Der Wert der partiellen Elastizit ¨ at dr ¨ uckt aus, wie sich der Funktionswert f(x 1 , . . . , x n ) prozentual n ¨ aherungsweise ¨ andert, wenn die unabh ¨ angige Variable x i um 1% erh ¨ oht wird und alle x j mit j == i unver ¨ andert bleiben. Wie in Bemerkung 3.2.2 beschrieben, werden auch die partiellen Elastizit ¨ aten in (vollkommen) elastisch bzw. unelastisch unterschieden. Beispiel 5.3.3 1. Gegeben sei die Funktion f(x, y) = x 2 − 3x 2 y 2 + 2y 2 . Die partiellen Ableitungen sind gegeben durch f x (x, y) = 2x − 6xy 2 und f y (x, y) = −6x 2 y + 4y, daher sind die partiellen Elastizit ¨ atsfunktionen gegeben durch ε fx (x, y) = 2x 2 − 6x 2 y 2 x 2 − 3x 2 y 2 + 2y 2 bzw. ε fy (x, y) = −6x 2 y 2 + 4y 2 x 2 − 3x 2 y 2 + 2y 2 . 2. Gegeben sei die Cobb-Douglas-Funktion x(r 1 , r 2 ) = cr α 1 r β 2 . Die partiellen Ableitungen sind bereits bekannt als x r 1 = αcr α−1 1 r β 2 und x r 2 = βcr α 1 r β−1 2 . Die partiellen Elastizit ¨ aten sind daher gegeben durch ε xr 1 = αcr α−1 1 r β 2 r 1 cr α 1 r β 2 = α bzw. ε xr 2 = βcr α 1 r β−1 2 r 2 cr α 1 r β 2 = β. F ¨ ur Cobb-Douglas-Funktionen sind die partiellen Elastizit ¨ aten unabh ¨ angig von der betrachteten Stelle konstant. <?page no="160"?> 5.3. Anwendungen der Differentialrechnung II 161 Kreuzpreiselastizit ¨ aten Die partielle Elastizit ¨ at hat f ¨ ur Preis-Absatz-Funktionen eine besondere Bedeutung. Um Wechselbeziehungen zwischen Preis und Nachfrage verschiedener Produkte bewerten zu k ¨ onnen, werden Kreuzpreiselastizit ¨ aten betrachtet. Definition 5.3.3 F ¨ ur Nachfragefunktionen x i : R n −→ R, i = 1, . . . , n sind • Kreuzpreiselastizit ¨ aten definiert als ε x i p j = x i p j · p j x i (p 1 , . . . , p n ) , i == j und • direkte Elastizit ¨ aten definiert als ε x i p i = x i p i · p i x i (p 1 , . . . , p n ) . Die direkten Elastizit ¨ aten untersuchen die direkte Beziehung zwischen Preiserh ¨ ohung und Nachfrage, bezogen auf dasselbe Gut. Die Kreuzpreiselastizit ¨ aten beschreiben, in welchem Maße der Konsument bei Preis ¨ anderungen zwischen Produkten zu wechseln bereit ist, sie werden gem ¨ aß der nachfolgenden Definition weiter differenziert. Definition 5.3.4 Gegeben seien Nachfragefunktionen x i : R n −→ R, i = 1, . . . , n mit den Kreuzpreiselastizit ¨ aten ε x i p j . Die Produkte heißen • substitutiv, wenn ε x i p j > 0 f ¨ ur alle i == j, • komplement ¨ ar, wenn ε x i p j < 0 f ¨ ur alle i == j, • unabh ¨ angig, wenn ε x i p j = 0 f ¨ ur alle i == j. <?page no="161"?> 162 Kapitel 5. Differentialrechnung II F ¨ ur Produkte mit positiven Kreuzpreiselastizit ¨ aten steigt die Nachfrage nach einem Gut, wenn der Preis eines anderen Gutes erh ¨ oht wird. Der Konsument weicht bei einer Preiserh ¨ ohung auf ein ¨ ahnliches Produkt aus, er substituiert das teuerere Produkt. Ein Beispiel f ¨ ur substitutive Produkte sind beispielsweise Butter und Margarine oder verschiedene Kosmetikprodukte wie beispielsweise Duschgel verschiedener Marken. F ¨ ur Produkte mit negativen Kreuzpreiselastizit ¨ aten sinkt die Nachfrage nach einem Gut, wenn der Preis eines anderen Gutes erh ¨ oht wird. Der Konsument kann die Produkte nicht durcheinander substituieren, da sie entweder gemeinsam oder gar nicht gekauft werden. Ein Beispiel f ¨ ur komplement ¨ are Produkte sind beispielsweise Autos und Felgen. Diese Zusammenh ¨ ange sind stets zu plausibilisieren; mathematisch kann sich bei Betrachtung der entsprechenden Funktionen ein Zusammenhang zwischen Butter und Autos ergeben, tats ¨ achlich sind diese G ¨ uter nat ¨ urlich unabh ¨ angig voneinander. Beispiel 5.3.4 1. Gegeben seien Nachfragefunktionen • x 1 (p 1 , p 2 ) = 2.000 − 3p 1 + 4p 2 f ¨ ur die Nachfrage nach Plasma-TV- Ger ¨ aten und • x 2 (p 1 , p 2 ) = 2.500 + 5p 1 − 2p 2 f ¨ ur die Nachfrage nach LCD-TV- Ger ¨ aten. Der derzeitige Preis betrage p 1 = 1.000 EUR f ¨ ur ein Plasma-TV-Ger ¨ at und p 2 = 1.500 EUR f ¨ ur ein LCD-TV-Ger ¨ at. Die Kreuzpreiselastizit ¨ aten sind gegeben durch • ε x 1 p 2 = 4 p 2 2.000−3p 1 +4p 2 , also ε x 1 p 2 (1.000, 1.500) = 1, 2 und • ε x 2 p 1 = 5 p 1 2.500+5p 1 −2p 2 , also ε x 2 p 1 (1.000, 1.500) ≈ 1, 1. Die Produkte sind somit substitutiv, wird ein Ger ¨ at zu teuer, weicht der Konsument auf das andere Ger ¨ at aus. Dabei steigt die Nachfrage nach Plasma-TV-Ger ¨ aten um 1,2%, falls der derzeitige Preis f ¨ ur LCD-TV-Ger ¨ ate um 1% erh ¨ oht wird. Steigt dagegen der aktuelle Preis f ¨ ur LCD-TV-Ger ¨ ate um 1%, so steigt die Nachfrage nach Plasma-TV-Ger ¨ aten um 1,1%. <?page no="162"?> 5.3. Anwendungen der Differentialrechnung II 163 Die direkten Elastizit ¨ aten sind gegeben durch • ε x 1 p 1 = −3 p 1 2.000−3p 1 +4p 2 , also ε x 1 p 1 (1.000, 1.500) = −0, 6 und • ε x 2 p 2 = −2 p 2 2.500+5p 1 −2p 2 , also ε x 2 p 2 (1.000, 1.500) ≈ −0, 67. Wird der aktuelle Preis f ¨ ur Plasma-TV-Ger ¨ ate um 1% erh ¨ oht, so sinkt die Nachfrage nach selbigen um 0,6%. Steigt dagegen der derzeitige Preis f ¨ ur LCD-TV-Ger ¨ ate um 1%, so sinkt die Nachfrage nach LCD- TV-Ger ¨ aten um 0,67%. 2. Gegeben seien Nachfragefunktionen • x 1 (p 1 , p 2 ) = 1.000 − 2p 1 − 4p 2 f ¨ ur die Nachfrage nach Fahrr ¨ adern und • x 2 (p 1 , p 2 ) = 1.500 − 3p 1 − p 2 f ¨ ur die Nachfrage nach Fahrradreifen. Derzeit betrage der Preis p 1 = 250 EUR f ¨ ur ein Fahrrad und p 2 = 15 EUR f ¨ ur einen Fahrradreifen. Die Kreuzpreiselastizit ¨ aten sind gegeben durch • ε x 1 p 2 = −2 p 2 1.000−2p 1 −4p 2 , also ε x 1 p 2 (250, 15) ≈ −0, 136 und • ε x 2 p 1 = −3 p 1 1.500−3p 1 −p 2 , also ε x 2 p 1 (250, 15) ≈ −1, 02. Die Produkte sind somit komplement ¨ ar. Die Nachfrage nach Fahrr ¨ adern sinkt um 0,136%, falls der derzeitige Preis f ¨ ur Fahrradreifen um 1% erh ¨ oht wird. Steigt dagegen der aktuelle Preis f ¨ ur Fahrr ¨ ader um 1%, so sinkt die Nachfrage nach Fahrradreifen um 1,02%. Die direkten Elastizit ¨ aten sind gegeben durch • ε x 1 p 1 = −2 p 1 1.000−2p 1 −4p 2 , also ε x 1 p 1 (250, 15) = −1, 136 und • ε x 2 p 2 = −1 p 2 1.500−3p 1 −p 2 , also ε x 2 p 2 (250, 15) ≈ −0, 02. Wird der aktuelle Preis f ¨ ur Fahrr ¨ ader um 1% erh ¨ oht, so sinkt die Nachfrage nach selbigen um 1,136%. Steigt dagegen der derzeitige Preis f ¨ ur Fahrradreifen um 1%, so sinkt die Nachfrage nach Fahrradreifen um 0,02%. Unabh ¨ angige Produkte ergeben sich mathematisch nur dann, wenn jeweils die ¨ ubrigen Variablen nicht in der Nachfragefunktion vorkommen und daher die entsprechende partielle Ableitung Null wird. <?page no="163"?> 164 Kapitel 5. Differentialrechnung II 5.3.3 Extremwerte ohne Nebenbedingung Ein besonderes Interesse besteht auch f ¨ ur mehrdimensionale Funktionen an der Bestimmung von Extremwerten. Zun ¨ achst werden Extremwerte ohne Nebenbedingungen betrachtet. Im n ¨ achsten Abschnitt werden Verfahren zur Bestimmung von Extremwerten unter Nebenbedingungen vorgestellt. Definition 5.3.5 Gegeben sei eine Funktion f : D f ⊂ R n −→ R. Die Funktion f(x 1 , . . . , x n ) besitzt an der Stelle (x ∗ 1 , . . . , x ∗ n ) ein • lokales Minimum, wenn f ¨ ur alle (x 1 , . . . , x n ) in einer Umgebung von (x ∗ 1 , . . . , x ∗ n ) gilt f(x 1 , . . . , x n ) > f(x ∗ 1 , . . . , x ∗ n ). • lokales Maximum, wenn f ¨ ur alle (x 1 , . . . , x n ) in einer Umgebung von (x ∗ 1 , . . . , x ∗ n ) gilt f(x 1 , . . . , x n ) < f(x ∗ 1 , . . . , x ∗ n ). Gelten diese Bedingungen auf ganz D f , so besitzt die Funktion in (x ∗ 1 , . . . , x ∗ n ) ein globales Minimum bzw. globales Maximum. Auch f ¨ ur mehrdimensionale Funktionen gliedert sich die Untersuchung auf Extremwerte in die notwendige und die hinreichende Bedingung. Satz 5.3.1 Gegeben sei eine Funktion f : R n −→ R mit den stetigen partiellen Ableitungen f x 1 , . . . , f x n . Notwendig f ¨ ur die Existenz eines Extremwertes an der Stelle (x ∗ 1 , . . . , x ∗ n ) ist die folgende Bedingung: ∇f(x ∗ 1 , . . . , x ∗ n ) =      f x 1 (x 1 , . . . , x n ) . . . f x n (x 1 , . . . , x n )      =      0 . . . 0      . <?page no="164"?> 5.3. Anwendungen der Differentialrechnung II 165 F ¨ ur die hinreichende Bedingung ist noch ein wenig Vorarbeit n ¨ otig. Definition 5.3.6 F ¨ ur eine quadratische Matrix A ∈ R n×n heißen |A i | = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a 11 · · · a 1i . . . . . . . . . a i1 · · · a ii ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ , i = 1, . . . , n Hauptunterdeterminanten von A. Beispiel 5.3.5 Die Matrix A =      1 3 −1 2 1 −2 0 1 2      besitzt die Hauptunterdeterminanten • |A 1 | = |1| = 1, • |A 2 | = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 3 2 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = −5 und • |A 3 | = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 3 −1 2 1 −2 0 1 2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = −10. Das nachfolgende Hurwitz-Kriterium gilt f ¨ ur symmetrische Matrizen. Da nach dem Satz von Schwarz die Hessematrix f ¨ ur Funktionen mit stetigen partiellen Ableitungen symmetrisch ist, kann das Hurwitz-Kriterium in den meisten F ¨ allen auf die Hessematrix angewandt werden. <?page no="165"?> 166 Kapitel 5. Differentialrechnung II Satz 5.3.2 F ¨ ur eine symmetrische Matrix A ∈ R n×n gilt • A ist positiv definit (A ) 0) genau dann, wenn |A i | > 0 f ¨ ur alle i = 1, . . . , n. • A ist negativ definit (A ≺ 0) genau dann, wenn |A i | < 0 f ¨ ur ungerades i und |A i | > 0 f ¨ ur gerades i. • A ist indefinit, falls weder |A i | ≥ 0 f ¨ ur alle i noch |A i | ≤ 0 f ¨ ur ungerades i, |A i | ≥ 0 f ¨ ur gerades i. Die Definitheit von Matrizen kann auch mithilfe der Bestimmung der Eigenwerte nach der Gleichung |A−λI| = 0 ¨ uberpr ¨ uft werden. Sind alle Eigenwerte positiv, so ist die Matrix A positiv definit (A ) 0), sind alle Eigenwerte negativ, so ist A negativ definit (A ≺ 0). Existieren sowohl positive als auch negative Eigenwerte, so ist die Matrix indefinit. Da f ¨ ur ¨ okonomische Fragestellungen die Hessematrix ¨ ublicherweise symmetrisch ist, beschr ¨ ankt sich die Betrachtung hier auf die ¨ Uberpr ¨ ufung des Hurwitz-Kriteriums. Satz 5.3.3 F ¨ ur eine Funktion f : R n −→ R sind folgende Bedingungen hinreichend f ¨ ur einen Extremwert an der Stelle (x ∗ 1 , . . . , x ∗ n ): 1. notwendige Bedingung: ∇f(x ∗ 1 , . . . , x ∗ n ) = O 2. hinreichende Bedingung: • Falls H f (x ∗ 1 , . . . , x ∗ n ) ) 0, so liegt ein Minimum vor. • Falls H f (x ∗ 1 , . . . , x ∗ n ) ≺ 0, so liegt ein Maximum vor. Bemerkung 5.3.1 Falls H f (x ∗ 1 , . . . , x ∗ n ) indefinit ist, so liegt ein Sattelpunkt vor. <?page no="166"?> 5.3. Anwendungen der Differentialrechnung II 167 Bemerkung 5.3.2 F ¨ ur Funktionen f : R 2 −→ R entsprechen die notwendige und hinreichende Bedingung f ¨ ur einen Extremwert an der Stelle (x ∗ , y ∗ ) den folgenden. • notwendige Bedingung: f x (, x, y) = 0 und f y (x, y) = 0. • hinreichende Bedingung: |H f (x ∗ , y ∗ )| = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ f xx f xy f yx f yy ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = f xx (x ∗ , y ∗ ) · f yy (x ∗ , y ∗ ) − f 2 xy (x ∗ , y ∗ ) > 0 - Gilt f xx (x ∗ , y ∗ ) > 0, so liegt ein Minimum vor. - Gilt f xx (x ∗ , y ∗ ) < 0, so liegt ein Maximum vor. Beispiel 5.3.6 1. Gegeben sei die Funktion f(x, y) = − 1 3 x 3 + x + x 2 y − xy 2 + y 3 + y 2 − 5y. Die notwendige Bedingung ist gegeben durch ∇f(x, y) =   −x 2 + 2xy − y 2 + 1 x 2 − 2xy + 3y 2 + 2y − 5   =   0 0   . Dieses nichtlineare Gleichungssystem besteht aus zwei Gleichungen. Werden diese addiert, so ergibt sich 2y 2 + 2y − 4 = 0, die pq-Formel f ¨ uhrt f ¨ ur y auf die L ¨ osungen y 1,2 = − 1 2 ± √ 1 2 + 8 4 , also y 1 = −2 und y 2 = 1. Wird y = −2 in die erste Gleichung eingesetzt, so ergibt sich −x 2 − 4x − 3 = 0, also x 11 = −3 und x 12 = −1. Wird y = 1 in die erste Gleichung eingesetzt, so ergibt sich −x 2 + 2x = 0, also die L ¨ osungen x 21 = 0 und x 22 = 2. M ¨ ogliche Extremstellen sind daher (a) (x 1 , y 1 ) = (−3, −2), (b) (x 2 , y 2 ) = (−1, −2), (c) (x 3 , y 3 ) = (0, 1) und (d) (x 4 , y 4 ) = (2, 1). <?page no="167"?> 168 Kapitel 5. Differentialrechnung II Die Hessematrix ergibt sich zu H f (x, y) =   −2x + 2y 2x − 2y 2x − 2y −2x + 6y + 2   . Einsetzen der m ¨ oglichen Extremstellen f ¨ uhrt auf (a) |H f (−3, −2)| = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 2 −2 −2 −4 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = −12 < 0, die Funktion besitzt an der Stelle (−3, −2) einen Sattelpunkt. (b) |H f (−1, −2)| = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ −2 2 2 −8 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 12 > 0, da f xx (−1, −2) = −2 < 0, besitzt die Funktion an der Stelle (−1, −2) ein Maximum. (c) |H f (0, 1)| = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 2 −2 −2 8 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 12 < 0, da f xx (0, 1) = 2 > 0, besitzt die Funktion an der Stelle (0, 1) ein Minimum. (d) |H f (2, 1)| = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ −2 2 2 4 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = −12 < 0, die Funktion besitzt an der Stelle (2, 1) einen Sattelpunkt. Die nachfolgende Grafik zeigt die betrachtete Funktion. <?page no="168"?> 5.3. Anwendungen der Differentialrechnung II 169 2. Sei die Funktion f(x, y, z) = x 2 − 5x + xy + xz + y 2 − 2y + yz + z 2 − z gegeben. Die notwendige Bedingung ist gegeben durch f x = 2x−5+y+z = 0, f y = x+2y−2+z = 0 und f z = x+y+2z−1 = 0. Dieses lineare Gleichungssystem kann mit dem Gauß-Algorithmus bzw. mit der Basistransformation gel ¨ ost werden. Das Start- und Endtableau des Gauß-Algorithmus werden abk ¨ urzend dargestellt.      2 1 1 5 1 2 1 2 1 1 2 1      ↪→      2 1 1 5 0 −3 −1 1 0 0 8 −8      , es ergibt sich die L ¨ osung (x, y, z) = (3, 0, −1) als m ¨ ogliche Extremstelle. Die Hessematrix ergibt sich zu H f (x, y, z) =      2 1 1 1 2 1 1 1 2      . Die Hauptunterdeterminanten sind gegeben durch |A 1 | = |2| = 2, |A 2 | = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 2 1 1 2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 3 und |A 3 | = |H f (x, y, z)| = 4. Da alle Hauptunterdeterminanten positiv sind, gilt H f (x, y, z) ) 0, es liegt also ein Minimum an der Stelle (x, y, z) = (3, 0, −1) vor. 3. Gegeben seien f ¨ ur ein Zweiproduktunternehmen die Preis-Absatzfunktionen p 1 (x 1 ) = 120 − 2x 1 und p 2 (x 2 ) = 200 − 0, 5x 2 sowie die Gesamtkostenfunktion K(x 1 , x 2 ) = x 2 1 + x 2 2 − 2x 1 x 2 + 30x 1 + 50x 2 + 1.000. Die Gesamterl ¨ osfunktion ist gegeben durch E(x 1 , x 2 ) = p 1 (x 1 ) · x 1 + p 2 (x 2 ) · x 2 = 120x 1 − 2x 2 1 + 200x 2 − 0, 5x 2 2 . Die Gewinnfunktion G(x 1 , x 2 ) = E(x 1 , x 2 ) − K(x 1 , x 2 ) lautet somit G(x 1 , x 2 ) = 90x 1 − 3x 2 1 + 2x 1 x 2 + 250x 2 − 1, 5x 2 2 − 1.000. <?page no="169"?> 170 Kapitel 5. Differentialrechnung II Die notwendige Bedingung ist gegeben durch G x 1 = 90 − 6x 1 + 2x 2 = 0 und G x 2 = 2x 1 + 250 − 3x 2 = 0. Die L ¨ osung dieses Systems ergibt sich zu x 1 = 55 und x 2 = 120 als m ¨ ogliche Extremstelle. F ¨ ur die hinreichende Bedingung gilt |H G (x 1 , x 2 )| = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ −6 2 2 −3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 14 > 0, es liegt also eine Extremstelle vor. Da G x 1 x 1 = −6 < 0 ist, liegt an der Stelle (x 1 , x 2 ) = (55, 120) ein Maximum vor. F ¨ ur 55 Mengeneinheiten des ersten Produktes und 120 Mengeneinheiten des zweiten Produktes ergibt sich das Gewinnmaximum des Unternehmens. 4. F ¨ ur ein Produkt sei die Cobb-Douglas-Funktion x(r 1 , r 2 ) = cr α 1 r β 2 gegeben. Das Produkt werde zu einem Preis von p EUR je Mengeneinheit verkauft, die Einsatzfaktoren verursachen Kosten in H ¨ ohe von k 1 EUR je Mengeneinheit f ¨ ur R 1 und k 2 EUR je Mengeneinheit f ¨ ur R 2 . Erl ¨ os- und Kostenfunktion ergeben sich zu E(r 1 , r 2 ) = p · cr α 1 r β 2 und K(r 1 , r 2 ) = k 1 r 1 + k 2 r 2 . Somit lautet die Gewinnfunktion G(r 1 , r 2 ) = p · cr α 1 r β 2 − k 1 r 1 − k 2 r 2 . Die notwendige Bedingung ist gegeben durch G r 1 = αpcr α−1 1 r β 2 − k 1 = 0 und G r 2 = βpcr α 1 r β−1 2 − k 2 = 0. Werden k 1 und k 2 auf die rechte Seite gebracht und anschließend die Quotienten der beiden Gleichungen gebildet, so ergibt sich αpcr α−1 1 r β 2 βpcr α 1 r β−1 2 = k 1 k 2 , also r 2 = β α k 1 k 2 r 1 . Dieses Verh ¨ altnis wird im n ¨ achsten Abschnitt als Expansionspfad n ¨ aher erl ¨ autert. F ¨ ur die hinreichende Bedingung wird die Hessematrix bestimmt: H G (r 1 , r 2 ) =   α(α − 1)pcr α−2 1 r β 2 αβpcr α−1 1 r β−1 2 αβpcr α−1 1 r β−1 2 β(β − 1)pcr α 1 r β−2 2   . <?page no="170"?> 5.3. Anwendungen der Differentialrechnung II 171 Die Determinante der Hessematrix ergibt sich zu |H G (r 1 , r 2 )| = α(α − 1)β(β − 1)p 2 c 2 r 2α−2 1 r 2β−2 2 − α 2 β 2 p 2 c 2 r 2α−2 1 r 2β−2 2 = αβp 2 c 2 r 2α−2 1 r 2β−2 2 [(α − 1)(β − 1) − αβ]. Der Term vor der Klammer ist in jedem Fall positiv. Der Term in der Klammer ergibt sich zu (α−1)(β−1)−αβ = αβ−α−β+1−αβ = −α−β+1 > 0, falls α+β < 1. Falls also α + β < 1 gilt, so gilt auch G r 1 r 1 < 0 (durch den Term α − 1), es liegt also genau dann ein Maximum vor, wenn α + β < 1 gilt, anderenfalls liegt ein Sattelpunkt vor. 5. F ¨ ur ein Produkt sei die Cobb-Douglas-Funktion x(r 1 , r 2 ) = 20r 0,25 1 r 0,5 2 gegeben. Das Produkt werde zu einem Preis von 5 EUR je Mengeneinheit verkauft, die Einsatzfaktoren verursachen Kosten in H ¨ ohe von 2 EUR je Mengeneinheit f ¨ ur R 1 und 1 EUR je Mengeneinheit f ¨ ur R 2 . Die Gewinnfunktion lautet G(r 1 , r 2 ) = 5 · 20r 0,25 1 r 0,5 2 − 2r 1 − r 2 = 100r 0,25 1 r 0,5 2 − 2r 1 − r 2 . Die notwendige Bedingung aus dem vorhergehenden Beispiel f ¨ uhrt auf r 2 = 0, 5 0, 25 2 1 r 1 = 4r 1 . Aus G r 1 = αpcr α−1 1 r β 2 − k 1 = 0 folgt weiter 0, 25 · 5 · 20r −0,75 1 (4r 1 ) 0,5 − 2 = 0, also 50 · r −0,25 1 = 2 und damit r 1 = 390.625 und daher auch r 2 = 1.562.500. Da außerdem α + β = 0, 75 < 1 gilt, liegt ebenfalls nach dem vorhergehenden Beispiel ein Maximum vor. F ¨ ur 390.625 Mengeneinheiten von R 1 und 1.562.500 Mengeneinheiten von R 2 ergibt sich das Gewinnmaximum f ¨ ur das betrachtete Produkt. <?page no="171"?> 172 Kapitel 5. Differentialrechnung II 5.3.4 Extremwerte mit Nebenbedingungen In den Wirtschaftswissenschaften gilt es regelm ¨ aßig, bei der Bestimmung vo Extremwerten bestimmte Restriktionen, die sogenannten Nebenbedingungen, zu ber ¨ ucksichtigen. Diese k ¨ onnen sich beispielsweise aus einer Beschr ¨ ankung der Liquidit ¨ at, der zur Verf ¨ ugung stehenden Rohstoffe oder auch einer vorgegebenen Produktionsmenge ergeben. Auch ein einzuhaltendes festes Verh ¨ altnis der Einsatzfaktoren kann zu einer beschr ¨ ankenden Nebenbedingung f ¨ uhren. Allgemein l ¨ asst sich das Problem der Extremwertbestimmung unter Nebenbedingungen schreiben als min u. d. NBen g j (x 1 , . . . , x n ) ≡ 0 j = 1, . . . , m (max) f(x 1 , . . . , x n ) Die Funktion f(x 1 , . . . , x n ) wird dabei auch als Zielfunktion bezeichnet. Zur L ¨ osung solcher Extremwertprobleme existieren verschiedene Verfahren, von welchen im Folgenden zwei Verfahren n ¨ aher betrachtet werden sollen, zun ¨ achst die Variablensubstitution sowie im Anschluß die Multiplikatormethode nach Lagrange. Variablensubstitution Wie der Name des Verfahrens bereits andeutet, wird bei der Variablensubstitution durch Aufl ¨ osen einer Nebenbedingung nach einer Variablen diese Variable in der Zielfunktion substituiert. Es ergibt sich sodann eine Zielfunktion in n − 1 Variablen. Wird das System von m Nebenbedingungen auf diese Weise nach m Variablen aufgel ¨ ost, so ergibt sich eine Zielfunktion in n − m Variablen, welche nach den bekannten Methoden auf Extremwerte untersucht werden kann. Das Vorgehen l ¨ asst sich in folgende Schritte gliedern. 1. L ¨ ose die m Nebenbedingungen nach m Variablen auf. 2. Substituiere diese m Variablen in der Zielfunktion. Es resultiert eine Zielfunktion ˆ f in n − m Variablen. 3. Bestimme die Extremwerte der Funktion ˆ f ohne Nebenbedingungen. 4. Bestimme die L ¨ osung der m substituierten Variablen durch Einsetzen. <?page no="172"?> 5.3. Anwendungen der Differentialrechnung II 173 Beispiel 5.3.7 1. Gegeben sei das Extremwertproblem min u. d. NB 2x + y = 2 (max) x 2 + xy Die Standardform des Extremwertproblems ergibt sich durch Umformen der Nebenbedingung zu g(x, y) = 2x + y − 2 ≡ 0. Die Grafik zeigt das Problem. 1) Aufl ¨ osen der Nebenbedingung nach y f ¨ uhrt auf y = 2 − 2x. 2) In die Zielfunktion eingesetzt ergibt sich f ¨ ur diese ˆ f(x) = x 2 + x(2 − 2x) = x 2 + 2x − 2x 2 = 2x − x 2 . 3) Um die Extremwerte dieser Funktion zu bestimmen, werden notwendige und hinreichende Bedingung f ¨ ur ˆ f(x) ¨ uberpr ¨ uft: • notwendige Bedingung: Es gilt ˆ f ′ (x) = 2 − 2x = 0, falls x = 1. • hinreichende Bedingung: Es ist ˆ f ′′ (x) = −2 < 0, es liegt also ein Maximum vor. 4) Einsetzen in die Nebenbedingung f ¨ uhrt auf y = 2 − 2 · 1 = 0. Die Funktion besitzt somit ein Maximum f ¨ ur x = 1 und y = 0. <?page no="173"?> 174 Kapitel 5. Differentialrechnung II 2. Zur Produktion von St ¨ uhlen f ¨ ur Puppenstuben seien Holz (in lfM) und Stahl (f ¨ ur Schrauben, in Kg) notwendig, die Produktion gen ¨ uge x(H, S) = 600H + 400S + 2HS − H 2 − 2S 2 . Der laufende Meter Holz koste 10 EUR, 1 Kg Stahl 5 EUR, es stehen insgesamt 1.000 EUR zur Verf ¨ ugung, welche auch vollst ¨ andig verwendet werden sollen. Das Extremwertproblem lautet demnach max u. d. NB 10H + 5S = 1.000 1.940H + 800S + 2HS − H 2 − 2S 2 Die Standardform des Extremwertproblems ergibt sich durch Umformen der Nebenbedingung zu g(x, y) = 10H + 5S − 1.000 ≡ 0. 1) Aufl ¨ osen der Nebenbedingung nach S f ¨ uhrt auf S = 200 − 2H. 2) In die Zielfunktion eingesetzt ergibt sich f ¨ ur diese ˆ x(H) = 80.000 + 2.340H − 13H 2 . 3) Um die Extremwerte dieser Funktion zu bestimmen, werden notwendige und hinreichende Bedingung f ¨ ur ˆ x(H) ¨ uberpr ¨ uft: • notwendige Bedingung: Es gilt ˆ x ′ (H) = 2.340 − 26H = 0, falls H = 90. • hinreichende Bedingung: Es ist ˆ x ′′ (H) = −26 < 0, es liegt also ein Maximum vor. 4) Einsetzen in die Nebenbedingung f ¨ uhrt auf S = 200 − 2 · 90 = 20. Aus 90 Laufmetern Holz und 20 Kg Stahl k ¨ onnen somit f ¨ ur 1.000 EUR insgesamt 185.300 Puppenst ¨ uhle hergestellt werden. Sobald einzelne oder mehrere Nebenbedingungen gegeben sind, welche nicht leicht nach einzelnen Variablen aufgel ¨ ost werden k ¨ onnen, wird die Variablensubstitution schnell zu aufw ¨ andig als L ¨ osungsverfahren. Im n ¨ achsten Abschnitt wird daher die Multiplikatormethode nach Lagrange vorgestellt. <?page no="174"?> 5.3. Anwendungen der Differentialrechnung II 175 Multiplikatormethode nach Lagrange Um das Problem min u. d. NBen g j (x 1 , . . . , x n ) ≡ 0 j = 1, . . . , m (max) f(x 1 , . . . , x n ) mit der Multiplikatormethode nach Lagrange zu l ¨ osen, werden die Nebenbedingungen mit einem Lagrangeschen Multiplikator multipliziert und als Strafterm zu f(x 1 , . . . , x n ) hinzuaddiert: L(x 1 , . . . , x n , λ 1 , . . . , λ m ) = f(x 1 , . . . , x n ) + m ∑ i=1 λ i g i (x 1 , . . . , x n ). F ¨ ur λ = (λ 1 , . . . , λ m ) heißt die Funktion L(x 1 , . . . , x n , λ) Lagrangefunktion, sie besitzt die unabh ¨ angigen Variablen x 1 , . . . , x n und λ = (λ 1 , . . . , λ m ). Die Terme λ i g i (x 1 , . . . , x n ), i = 1, . . . , m sichern die Erf ¨ ullung der Nebenbedingungen ab, nehmen diese nicht den Wert Null an, so ist der Wert von L(x 1 , . . . , x n , λ) gr ¨ oßer als der Wert von f(x 1 , . . . , x n ) und somit die Stelle (x 1 , . . . , x n ) nicht optimal. Auch das Lagrangeverfahren zur L ¨ osung des Extremwertproblems gliedert sich in notwendige und hinreichende Bedingung. Satz 5.3.4 F ¨ ur die Existenz eines Extremwertes einer Funktion f(x 1 , . . . , x n ) unter den Nebenbedingungen g i (x 1 , . . . , x n ) = 0, i = 1, . . . , m ist notwendige Bedingung, dass f ¨ ur die partiellen Ableitungen der Funktion L(x 1 , . . . , x n , λ) = f(x 1 , . . . , x n ) + m ∑ i=1 λ i g i (x 1 , . . . , x n ) gilt L x i (x 1 , . . . , x n , λ) = 0, i = 1, . . . , n; und L λ i (x 1 , . . . , x n , λ) = 0, i = 1, . . . , m. Die hinreichende Bedingung ist f ¨ ur wirtschaftswissenschaftliche Fragestellungen in der Regel erf ¨ ullt und wird daher h ¨ aufig nicht explizit untersucht. Es <?page no="175"?> 176 Kapitel 5. Differentialrechnung II wird daher an dieser Stelle auf die allgemeine Darstellung verzichtet und lediglich die hinreichende Bedingung bei zwei unabh ¨ angigen Variablen und einer Nebenbedingung angegeben. 1 Satz 5.3.5 F ¨ ur die Existenz eines Extremwertes einer Funktion f(x 1 , x 2 ) unter der Nebenbedingung g(x 1 , x 2 ) = 0 ist hinreichende Bedingung, dass f ¨ ur die Determinante der ger ¨ anderten Hessematrix der Funktion L(x 1 , x 2 , λ) = f(x 1 , x 2 ) + λg(x 1 , x 2 ) ungleich Null ist: |H L (x 1 , x 2 , λ| = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ L x 1 x 1 L x 1 x 2 L x 1 λ L x 2 x 1 L x 2 x 2 L x 2 λ L λx 1 L λx 2 L λλ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ f x 1 x 1 + λg x 1 x 1 f x 1 x 2 + λg x 1 x 2 g x 1 f x 2 x 1 + λg x 2 x 1 f x 2 x 2 + λg x 2 x 2 g x 2 g x 1 g x 2 0 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ == 0. Gilt |H L (x 1 , x 2 , λ)| > 0, so liegt ein Maximum vor. Gilt |H L (x 1 , x 2 , λ)| < 0, so liegt ein Minimum vor. Bedeutung des Langrangeschen Multiplikators Es sei die Funktion f(x 1 , . . . , x n ) unter der Nebenbedingung g(x 1 , . . . , x n ) = c zu optimieren. Um die Multiplikatormethode anwenden zu k ¨ onnen, wird die Nebenbedingung in die Form c − g(x 1 , . . . , x n ) ≡ 0 gebracht; die zugeh ¨ orige Langrangefunktion lautet L(x 1 , . . . , x n , λ) = f(x 1 , . . . , x n ) + λ(c − g(x 1 , . . . , x n )). Fasst man c als Variable auf, so gilt L c (x 1 , . . . , x n , λ) = λ. 1 F ¨ ur die allgemeine Version vgl. Schwenkert, R.; Stry, Y.; Operations Research kompakt, SpringerGabler, Berlin Heidelberg, 2015, S. 191-193. <?page no="176"?> 5.3. Anwendungen der Differentialrechnung II 177 Das bedeutet, λ gibt an, wie sich der Funktionswert f(x 1 , . . . , x n ) n ¨ aherungsweise ¨ andert, wenn die Nebenbedingung im Wert c um eine Einheit ver ¨ andert wird. Beispiel 5.3.8 1. Gegeben sei das Extremwertproblem min u. d. NB 2x + y = 2 (max) x 2 + xy Die Standardform des Problems ergibt sich wieder durch Umformen der Nebenbedingung in 2 − 2x − y ≡ 0. Die Lagrangefunktion lautet L(x, y, λ) = x 2 + xy + λ(2 − 2x − y). Es ist L x (x, y, λ) = 2x + y − 2λ = 0 L y (x, y, λ) = x − λ = 0 L λ (x, y, λ) = 2 − 2x − y = 0 Aus I − 2 · II folgt y = 0, daraus folgt aus der dritten Gleichung x = 1 und deshalb auch aus der zweiten Gleichung λ = 1. Die Determinante der ger ¨ anderten Hessematrix ist gegeben durch |H L (x, y, λ)| = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 2 1 −2 1 0 −1 −2 −1 0 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 2 > 0, es liegt also f ¨ ur (x, y) = (1, 0) ein Minimum vor. 2. Der Student Paul Ehrlich muss seine Leistungen in den F ¨ achern ABWL (Fach 1) und VWL (Fach 2) verbessern, was ihm leider erst am Tag vor den jeweiligen Klausuren einf ¨ allt. Der Lernerfolg h ¨ angt von der eingesetzten Zeit (in t i Minuten) zum Lernen ab und gen ¨ ugt der Funktion f(t 1 , t 2 ) = 2 ln(t 1 + 1) + 5 ln(t 2 + 1). <?page no="177"?> 178 Kapitel 5. Differentialrechnung II Paul hat zum Lernen nur noch 3 Stunden Zeit. Wie sollte er diese aufteilen, damit der Lernerfolg maximal ist? Das Extremwertproblem lautet max u. d. NB 2t 1 + t 2 = 180 2 ln(t 1 + 1) + 5 ln(t 2 + 1) Die Lagrangefunktion ist nach Umformung der Nebenbedingung zu g(t 1 , t 2 ) = 180 − t 1 − t 2 ≡ 0 gegeben durch L(t 1 , t 2 , λ) = 2 ln(t 1 + 1) + 5 ln(t 2 + 1) + λ(180 − t 1 − t 2 ). Es ist L x (x, y, λ) = 2 t 1 +1 − λ = 0 L y (x, y, λ) = 5 t 2 +1 − λ = 0 L λ (x, y, λ) = 180 − t 1 − t 2 = 0 Aus den ersten beiden Gleichungen folgt 2 t 1 +1 = 5 t 2 +1 und daher auch t 2 = 5 2 t 1 + 3 2 . Eingesetzt in die dritte Gleichung ergibt sich t 1 = 51 und daher t 2 = 129. Aus der zweiten Gleichung folgt dann λ = 5 130 = 0, 038. Die hinreichende Bedingung lautet |H L (x, y, λ)| = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ − 2 (t 1 +1) 2 0 −1 0 − 5 (t 2 +1) 2 −1 −1 −1 0 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 5 (t 1 + 1) 2 + 2 (t 1 + 1) 2 > 0, es liegt also f ¨ ur (t 1 , t 2 ) = (51, 129) ein Maximum vor. Paul sollte also 51 Minuten f ¨ ur ABWL und 129 Minuten f ¨ ur VWL lernen. Der Wert von λ bedeutet, dass Paul, w ¨ urde er eine Minute mehr Zeit investieren, seinen Lernerfolg um 0, 038 Erfolgseinheiten verbessern w ¨ urde. 3. Gegeben sei die Cobb-Douglas-Funktion x(r 1 , r 2 ) = cr α 1 r β 2 sowie die Kosten der Einsatzfaktoren k 1 je Mengeneinheit R 1 und k 2 je Mengeneinheit R 2 . Das Ziel ist die Kostenminimierung bei vorgegebener Produktionsmenge x 0 . Das Problem ergibt sich zu min u. d. NB cr α 1 r β 2 = x 0 k 1 r 1 + k 2 r 2 <?page no="178"?> 5.3. Anwendungen der Differentialrechnung II 179 Die Lagrangefunktion des Problems lautet L(r 1 , r 2 , λ) = k 1 r 1 + k 2 r 2 + λ(x 0 − cr α 1 r β 2 ). Die notwendige Bedingung dieses Extremwertproblems f ¨ uhrt auf die Gleichungen L r 1 = k 1 − αλcr α−1 1 r β 2 = 0 L r 2 = k 2 − βλcr α 1 r β−1 2 = 0 L λ = x 0 − cr α 1 r β 2 = 0 Werden f ¨ ur die ersten beiden Gleichungen die Kosten k 1 und k 2 jeweils auf die rechte Seite der Gleichung gebracht und anschließend die Quotienten gebildet, so folgt k 1 k 2 = αλcr α−1 1 r β 2 βλcr α 1 r β−1 2 und damit r 2 = k 1 k 2 β α r 1 . Diese Beziehung stellt eine lineare Funktion dar, den sogenannten Expansionspfad, abgebildet in der nachfolgenden Grafik. Durch Einsetzen dieser Beziehung in die Nebenbedingung lassen sich r 1 und r 2 bestimmen. Der Lagrangesche Multiplikator ergibt sich aus der ersten Gleichung zu λ = k 1 cα r 1−α 1 r −β 2 . <?page no="179"?> 180 Kapitel 5. Differentialrechnung II Die Determinante der ger ¨ anderten Hessematrix ist gegeben durch |H L (r 1 , r 2 , λ)| = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ −α(α − 1)λcr α−2 1 r β 2 −αβλcr α−1 1 r β−1 2 −αcr α−1 1 r β 2 −αβλcr α−1 1 r β−1 2 −β(β − 1)λcr α 1 r β−2 2 −βcr α 1 r β−1 2 −αcr α−1 1 r β 2 −βcr α 1 r β−1 2 0 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = α 2 β 2 c 3 λr 3α−2 1 r 3β−2 2 + α 2 β 2 c 3 λr 3α−2 1 r 3β−2 2 + α(α − 1)β 2 c 3 λr 3α−2 1 r 3β−2 2 + α 2 β(β − 1)c 3 λr 3α−2 1 r 3β−2 2 = c 3 λr 3α−2 1 r 3β−2 2 (−2α 2 β 2 + α 2 β 2 − αβ 2 + α 2 β 2 − α 2 β) = (−αβ 2 − α 2 β)c 3 λr 3α−2 1 r 3β−2 2 = (−α − β)c 3 αβλr 3α−2 1 r 3β−2 2 < 0 Die hinreichende Bedingung ist demnach wie auch aus der Grafik ersichtlich f ¨ ur jedes entsprechende Problem erf ¨ ullt und muss nicht ¨ uberpr ¨ uft werden. 4. Die Produktion eines Gutes gen ¨ uge der Produktionsfunktion x(r 1 , r 2 ) = 30r 2 1 r 2 . Die Kosten der Produktionsfaktoren seien k 1 = 4 EUR je Mengeneinheit R 1 und k 2 = 2 EUR je Mengeneinheit R 2 . Es sollen 240.000 Mengeneinheiten des Gutes hergestellt werden. Das Extremwertproblem lautet min u. d. NB 30r 2 1 r 2 = 240.000 4r 1 + 2r 2 Zur Bestimmung der Einsatzmengen wird zun ¨ achst das Verh ¨ altnis r 2 = k 1 k 2 β α r 1 = 4 2 · 1 2 r 1 = r 1 gebildet. Einsetzen in die Nebenbedingung f ¨ uhrt auf 30r 3 1 = 240.000, also r 1 = 3 √ 8.000 = 20. Daher gilt auch r 2 = 20. Der Lagrangesche Multiplikator ergibt sich zu λ = k 1 cα r 1−α 1 r −β 2 = 4 30·2 20 1−2 20 −1 = 0, 00167. Die hinreichende Bedingung ist nach dem vorhergehenden Beispiel stets erf ¨ ullt. <?page no="180"?> 5.3. Anwendungen der Differentialrechnung II 181 Die Kostenminimalkombination ergibt sich zu r 1 = 20 Mengeneinheiten von R 1 und r 2 = 20 Mengeneinheiten von R 2 . Der Lagrangesche Multiplikator λ = 0, 00167 bedeutet, dass die Kosten um 0, 00167 Kosteneinheiten steigen, falls die Produktionsmenge von 240.000 auf 240.001 Mengeneinheiten erh ¨ oht w ¨ urde. 5. Gegeben sei die Cobb-Douglas-Funktion x(r 1 , r 2 ) = cr α 1 r β 2 sowie die Kosten der Einsatzfaktoren k 1 je Mengeneinheit R 1 und k 2 je Mengeneinheit R 2 . Das Ziel ist die Maximierung der Produktionsmenge bei vorgegebenem Kapital K 0 . Das Problem ergibt sich zu min u. d. NB k 1 r 1 + k 2 r 2 = K 0 cr α 1 r β 2 Die Lagrangefunktion des Problems lautet L(r 1 , r 2 , λ) = cr α 1 r β 2 + λ(K 0 − k 1 r 1 − k 2 r 2 ). Die notwendige Bedingung dieses Extremwertproblems f ¨ uhrt auf die Gleichungen L r 1 = αcr α−1 1 r β 2 − λk 1 = 0 L r 2 = βcr α 1 r β−1 2 − λk 2 = 0 L λ = K 0 − k 1 r 1 − k 2 r 2 = 0 Werden f ¨ ur die ersten beiden Gleichungen die Werte λk 1 und λk 2 jeweils auf die rechte Seite der Gleichung gebracht und anschließend die Quotienten gebildet, so folgt k 1 k 2 = αcr α−1 1 r β 2 βcr α 1 r β−1 2 und damit r 2 = k 1 k 2 β α r 1 . Diese Beziehung stellt abermals den bereits aus dem dritten Beispiel bekannten Expansionspfad dar. Durch Einsetzen dieser Beziehung in die Nebenbedingung lassen sich r 1 und r 2 bestimmen. Der Lagrangesche Multiplikator ergibt sich aus der ersten Gleichung zu λ = cα k 1 r α−1 1 r β 2 . <?page no="181"?> 182 Kapitel 5. Differentialrechnung II Die Determinante der ger ¨ anderten Hessematrix ist gegeben durch |H L (r 1 , r 2 , λ)| = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ cα(α − 1)r α−2 1 r β 2 cαβr α−1 1 r β−1 2 −k 1 cαβr α−1 1 r β−1 2 cβ(β − 1)r α 1 r β−2 2 −k 2 −k 1 −k 2 0 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = k 1 k 2 cαβr α−1 1 r β−1 2 + k 1 k 2 cαβr α−1 1 r β−1 2 − k 2 2 cα(α − 1)r α−2 1 r β 2 − k 2 1 cβ(β − 1)r α 1 r β−2 2 = 2k 1 k 2 cαβr α−1 1 r β−1 2 − k 2 2 cα(α − 1)r α−2 1 r β 2 − k 2 1 cβ(β − 1)r α 1 r β−2 2 Wird in dieser Determinanten die Beziehung r 2 = k 1 k 2 β α r 1 im zweiten Term und r 1 = k 2 k 1 α β r 2 im dritten Term eingesetzt, so ergibt sich |H L (r 1 , r 2 , λ)| = 2k 1 k 2 cαβr α−1 1 r β−1 2 − k 2 2 cα(α − 1)r α−2 1 r β−1 2 k 1 k 2 β α r 1 − k 2 1 cβ(β − 1)r α−1 1 k 2 k 1 α β r 2 r β−2 2 = 2k 1 k 2 cαβr α−1 1 r β−1 2 − k 1 k 2 cβ(α − 1)r α−1 1 r β−1 2 −k 1 k 2 cα(β − 1)r α−1 1 r β−1 2 = k 1 k 2 cr α−1 1 r β−1 2 (2αβ − β(α − 1) − α(β − 1)) = k 1 k 2 cr α−1 1 r β−1 2 (−α − β) < 0 Die hinreichende Bedingung ist demnach wie auch hier aus der urspr ¨ unglichen Grafik ersichtlich f ¨ ur jedes entsprechende Problem erf ¨ ullt und muss nicht in jedem Fall neu ¨ uberpr ¨ uft werden. 6. Die Produktion eines Gutes gen ¨ uge der Produktionsfunktion x(r 1 , r 2 ) = 50r 0,3 1 r 0,6 2 . Die Kosten der Produktionsfaktoren seien k 1 = 2 EUR je Mengeneinheit R 1 und k 2 = 6 EUR je Mengeneinheit R 2 . Es steht insgesamt Kapital in H ¨ ohe von 12.600 EUR zur Verf ¨ ugung. Das Extremwertproblem lautet max u. d. NB 2r 1 + 6r 2 = 12.600 50r 0,3 1 r 0,6 2 <?page no="182"?> 5.3. Anwendungen der Differentialrechnung II 183 Zur Bestimmung der Einsatzmengen wird zun ¨ achst das Verh ¨ altnis r 2 = k 1 k 2 β α r 1 = 2 6 · 0, 3 0, 6 r 1 = 1 6 r 1 gebildet. Einsetzen in die Nebenbedingung f ¨ uhrt zu 2r 1 +6 1 6 r 1 = 12.600, also r 1 = 4.200 und damit zu r 2 = 700. Der Lagrangesche Multiplikator ist gegeben durch λ = cα k 1 r α−1 1 r β 2 = 50·0,3 2 4.200 −0,7 700 0,6 = Die hinreichende Bedingung ist nach dem vorhergehenden Beispiel stets erf ¨ ullt. Das Produktionsmaximum ergibt sich zu r 1 = 4.200 Mengeneinheiten von R 1 und r 2 = 700 Mengeneinheiten von R 2 . Der Lagrangesche Multiplikator λ = 0, 00167 bedeutet, dass die Produktion um 0, 00167 Mengeneinheiten steigt, falls statt 12.600 EUR nunmehr 12.601 EUR zur Verf ¨ ugung stehen. <?page no="183"?> 184 Kapitel 5. Differentialrechnung II Aufgaben Aufgabe 5.3.1 Wie h ¨ angen der Homogenit ¨ atsgrad und die partiellen Elastizit ¨ aten der Funktion f(x, y) = 5 4 √ x √ y zusammen? Aufgabe 5.3.2 Gegeben sei die Nutzenfunktion u(x 1 , x 2 ) = x 1 + 14x 2 1 x 2 − 0, 2x 2 . Geben Sie den Grenznutzen von x 1 an, wenn von x 1 30 Einheiten und von x 2 25 Einheiten konsumiert werden. Interpretieren Sie diese Gr ¨ oße. Aufgabe 5.3.3 Ein Unternehmen stellt ein Produkt aus zwei Rohstoffen R 1 und R 2 her. Die Produktion erfolgt gem ¨ aß x(r 1 , r 2 ) = 4r 2 1 − r 2 2 + 2r 1 r 2 . Wie ver ¨ andert sich die Produktionsmenge n ¨ aherungsweise, wenn a) ausgehend von (r 1 , r 2 ) = (15, 40) die Einsatzmenge von Rohstoff R 1 um 2, 5 Einheiten erh ¨ oht wird bzw. b) ausgehend von (r 1 , r 2 ) = (15, 40) die Einsatzmenge von Rohstoff R 2 um 1, 5 Einheiten gesenkt wird bzw. c) ausgehend von (r 1 , r 2 ) = (15, 40) die Einsatzmenge von Rohstoff R 1 um 5 Einheiten gesenkt und die Einsatzmenge von R 2 um 3 Einheiten erh ¨ oht wird? Aufgabe 5.3.4 Gegeben sei eine Produktionsfunktion der Form x(r 1 , r 2 ) = √ r 1 · r 2 2 . a) Berechnen und interpretieren Sie die Grenzrate der Substitution f ¨ ur die Faktorkombination r 1 = 625, r 2 = 2. b) Um welchen Faktor ¨ andert sich die Produktionsmenge x, wenn sich beide Faktoreinsatzmengen verdoppeln? c) Nennen und interpretieren Sie die partiellen Elastizit ¨ aten von x. <?page no="184"?> 5.3. Anwendungen der Differentialrechnung II 185 Aufgabe 5.3.5 Jemand konsumiert bei einem Preis von je 3 EUR 12 ME des Gutes G 1 und 4 ME des Gutes G 2 . Nachdem der Preis von Gut 1 um 1, 20 EUR erh ¨ oht wurde, werden nur noch 6 ME von Gut 1 und daf ¨ ur 18 von Gut 2 konsumiert. Wie groß ist die Kreuzpreiselastizit ¨ at der Nachfrage? Aufgabe 5.3.6 a) Nachdem im letzten Jahr 10 Kreuzfahrtschiffe in der Hansestadt Wismar angelegt haben, sind die Preise in der Gastronomie auf einen Mittelwert von p = 16 EUR pro Hauptgericht gestiegen. Der Zusammenhang zwischen der touristischen Nachfrage nach Hauptgerichten X, dem Preis f ¨ ur Hauptgerichte p und den Schiffsanl ¨ aufen s wird durch folgende Gleichung gesch ¨ atzt: X(p, s) = −4.000 + 3 4 p + 600s. Ermitteln Sie die Kreuzfahrtelastizit ¨ at der Hauptgerichtsnachfrage. Ist der Zusammenhang elastisch oder unelastisch? b) Frischhaltefolie kostet heute 1 EUR pro Packung. Um wie viel Prozent muss der Preis von Frischhaltefolie steigen, damit sich bei einer Kreuzpreiselastizit ¨ at von ε = 2 die verkaufte Menge von Alufolie vervierfacht? Aufgabe 5.3.7 Gegeben seien f ¨ ur zwei G ¨ uter X und Y mit den Preisen p 1 = 10 EUR und p 2 = 5 EUR die Nachfragefunktionen x(p 1 , p 2 ) = 5p 2 p 1 und y(p 1 , p 2 ) = 250 + 2p 1 − 4p 2 . a) Bestimmen und interpretieren Sie die Kreuzpreiselastizit ¨ aten. b) Berechnen Sie die partiellen Grenzerl ¨ ose. Wie ver ¨ andert sich der Erl ¨ os n ¨ aherungsweise, wenn der Preis f ¨ ur X von 30 EUR auf 35 EUR erh ¨ oht und der Preis f ¨ ur Y von 10 EUR auf 8 EUR verringert wird? Aufgabe 5.3.8 Gegeben sei die Funktion f(x, y, z) = −x 2 −2y 2 −2z 2 +2xy+2yz+2x+2y−4z. Berechnen Sie die Extremwerte von f. <?page no="185"?> 186 Kapitel 5. Differentialrechnung II Aufgabe 5.3.9 Gegeben sei die Produktionsfunktion x(r 1 , r 2 ) = 10r 0,2 1 r 0,6 2 . Der Output x kann zu einem Preis von 3 GE/ ME abgesetzt werden. Die Faktorpreise seien k 1 = 2 GE und k 2 = 6 GE. Bestimmen Sie die Faktormengen r 1 und r 2 f ¨ ur maximalen Gewinn. Aufgabe 5.3.10 Ein Ein-Produkt-Unternehmen, welches sein Produkt in ganz Deutschland absetzt, arbeitet mit einer Kostenfunktion K(x) = 100 + 20x. Das K ¨ auferverhalten in den alten und in den neuen Bundesl ¨ andern ist unterschiedlich, es gelten (auf den beiden Teilm ¨ arkten) die Preis-Absatz-Funktionen p 1 = 36 − 0, 2x 1 ; p 2 = 60 − x 2 . Welche Preise muss das Unternehmen auf den beiden M ¨ arkten verlangen (welche Mengen kann es dort absetzen), um einen maximalen Gewinn zu erzielen? Aufgabe 5.3.11 Bestimmen Sie die Extremwerte der Funktion f(x, y) = x 2 + 2xy + 3y 2 unter der Nebenbedingung 2x + 4y = 10. Aufgabe 5.3.12 Eine Bank besch ¨ aftigt Bankfachangestellte (B) und Auszubildende (A). Der monatliche Erl ¨ os (in 1.000 EUR) berechnet sich erfahrungsgem ¨ aß nach der Funktion E(A, B) = −15A 2 + 101A + 60B 2 + 290B − 3(A − 5B) 2 . F ¨ ur einen Bankfachangestellten muss die Bank monatlich 4.000 EUR Bruttolohnkosten rechnen, f ¨ ur einen Auszubildenden monatlich 1.000 EUR. Die Lohnkosten insgesamt sollen pro Monat 200.000 EUR betragen. Wie viele Fachangestellte und Auszubildende muss die Bank besch ¨ aftigen, damit der Erl ¨ os maximal wird? <?page no="186"?> 5.3. Anwendungen der Differentialrechnung II 187 Aufgabe 5.3.13 Gegeben sei die Produktionsfunktion x(r 1 , r 2 ) = 2r 0.25 1 r 0.5 2 . Die Einsatzfaktoren kosten 2 EUR je Mengeneinheit R 1 und 4 EUR je Mengeneinheit R 2 , insgesamt stehen 60 EUR zur Verf ¨ ugung. L ¨ osen Sie das Extremwertproblem. Aufgabe 5.3.14 Ein Ein-Produkt-Unternehmen produziert nach der Produktionsfunktion x(A, K) = 100 · A 0,8 K 0,2 . Eine Mengeneinheit K verursacht 10 EUR Zinskosten, eine Mengeneinheit A verursacht 20 EUR Lohnkosten. a) Ermitteln Sie die Kostenminimalkombination f ¨ ur den vorgegebenen Output von 10.000 Mengeneinheiten. b) Bestimmen Sie maximalen Output und notwendige Inputwerte f ¨ ur das vorgegebene Kostenbudget 40.000 EUR. c) Interpretieren Sie die in a) und b) berechneten Lagrange-Multiplikatoren. Aufgabe 5.3.15 Der Student Moritz Schlaubier muss dringend seine Leistungen in Statistik verbessern. Sein Wissen W (gemessen in Wissenseinheiten WE) ist durch eine Funktion vorgegeben mit den Faktoren t (= Anzahl der bis zur Pr ¨ ufung aufgewendeten Lerntage zu je 4 Lernstunden) und z (= Menge an Traubenzucker): W (t, z) = 320 + 26t + 9z − t 2 − 0, 5z 2 , mit t, z ≥ 0. Jeder Lerntag verursacht Moritz 50 EUR an Kosten f ¨ ur Nachhilfe, der Traubenzucker kostet 10 EUR/ Pfund. a) Wie lange sollte Moritz lernen und wie viel vom Traubenzucker konsumieren, damit sein Wissensstand in Statistik maximal ist? b) Wie soll Moritz Lernzeit und Traubenzucker kombinieren, wenn er insgesamt 200 EUR investieren m ¨ ochte. <?page no="188"?> 6 L ¨ osungen 6.1 L ¨ osungen Kapitel 1 1.1.1 a) a n = n−1 n . b) (a n ) = {3, 6, 12, . . .} c) (a n ) = {3, 6, 12, . . .} d) a n = 5 2 + (−1) n 1 2 1.1.2 a) (a n ) = {2, 3 2 , 4 3 , . . .}, 1 < a n ≤ 2, beschr ¨ ankt; streng monoton wachsend. b) (a n ) = {0, 2, 6, 12, . . .}, streng monoton wachsend, nach unten beschr ¨ ankt durch 0. c) a n = − 1 n , (a n ) = {−1, − 1 2 , − 1 3 , . . .},−1 ≤ a n < 0, beschr ¨ ankt, streng monoton wachsend. 1.1.3 a) lim n→∞ a n = 2 b) lim n→∞ a n = 0 1.1.4 a) lim n→∞ a n = lim n→∞ 6n 3 − 150n 2 − 152n 3 = 3 b) lim n→∞ a n = 0 c) lim n→∞ a n = lim n→∞ 7n 4 −2n 3 +5n−12 3n 3 +11n−2n 2 = ∞ d) lim n→∞ a n = lim n→∞ −2n 2 n 2 = −2 1.1.5 a) arithmetische Folge, a n = 4 + (n − 1) · 3 b) geometrische Folge, a n = 2 · 2 n−1 c) geometrische Folge, a n = 5 3 · ( 1 3 ) n−1 d) arithmetische Folge, a n = 16 + (n − 1) · (−8) e) geometrische Folge, a n = 16 · ( 1 4 ) n−1 f) arithmetische Folge, a n = 27 + (n − 1) · (−5) g) geometrische Folge, a n = 1 · 0, 7 n−1 1.1.6 a) a n = 12.000 · 1, 05 n−1 b) a 4 = 12.000 · 1, 05 3 = 13.891, 50, 13.891 St ¨ uck; a 8 = 12.000 · 1, 05 7 = 16.885, 21, 16.885 St ¨ uck. 1.1.7 a) a n = 500 + (n − 1) · 150 b) a 3 = 500 + 2 · 150 = 800; a 9 = 500 + 8 · 150 = 1.700 189 <?page no="189"?> 190 Kapitel 6. L ¨ osungen 1.1.8 a) K 0 = 2.000, K n = K 0 + n · p · K 0 = 2K 0 ↔ K 0 = n · p · K 0 ↔ n = 1 p = 50 Jahre. b) K n = K 0 ( 1 + p 100 ) n = 2K 0 ↔ ln 2 = n ln ( 1 + p 100 ) ↔ n = ln 2 ln 1,02 = 35 Jahre. 1.2.1 a) a n = 525 + (n − 1) · 50, a 8 = 525 + 7 · 50 = 875 Km. b) s n = n 2 (a 1 + a n ) = 7.500 ↔ n 2 (525 + 525 + (n − 1) · 50) = 7.500 ↔ 50n 2 + 1.000n − 15.000 = 0 ↔ (n 1 = −30) ∨ n 2 = 10 Tage. 1.2.2 a) a n = 6 · 2 n−1 , n = 25, s 25 = 6 · 1−2 25 1−2 = 201.326.586 m. b) s n = 10 2 (6 + 6 + 9 · d) = 240 ↔ 60 + 45d = 240 ↔ d = 4. 1.2.3 Guthabenaufbau vorsch ¨ ussig, 50.000 = 20.000 · 1, 05 n + 4.000 · 1, 05 · 1−1,05 n 1−1,05 ↔ 50.000 + 4.000·1,05 0,05 = 1, 05 n · ( 20.000 + 4.000·1,05 0,05 ) ↔ n = ln 134.000 104.000 ln 1,05 = 5, 19; nach 6 Jahren. 1.2.4 Guthabenaufbau nachsch ¨ ussig, K n = 3.500 · 1−1,04 6 1−1,04 · 1, 04 22 + 5.000 · 1−1,04 6 1−1,04 · 1, 04 16 + 7.000 · 1−1,04 6 1−1,04 · 1, 04 10 = 185.864, 81 EUR. a) Guthabenabbau vorsch ¨ ussig, 0 = 185.864, 81 · 1, 04 25 − R · 1, 04 · 1−1,04 25 1−1,04 ↔ R = 185.864,81·1,04 25 1,04· 1−1,04 25 1−1,04 = 11.439, 97 EUR. b) K 18 = 185.864,81 1.04 10 = 125.563, 60 → R · 1, 04 · 1−1,04 28 1−1,04 = 125.563, 60 ↔ R = 4.707, 83 EUR. 1.2.5 Guthabenaufbau nachsch ¨ ussig, K 5 = 10.00 · 1, 05 5 + 6.000 · 1−1,05 5 1−1,05 = 45.916, 60 EUR. 45.916, 6 = 10.000 · 1, 05 n ↔ n = ln( 45.916,6 10.000 1,05 = 31, 24, es dauert mindestens 32 Jahre. 1.2.6 Guthabenaufbau vorsch ¨ ussig, K 10 = 10.000 · 1, 05 10 + 500 · 1, 05 · 1−1,05 10 1−1,05 = 22.892, 34 EUR. 22.892, 34 = 12.000 · 1, 05 10 + R · 1, 05 · 1−1,05 10 1−1,05 ↔ R = 253, 32 EUR. 1.2.7 9.000 · 1−1,035 15 1−1,035 = R · 1, 035 · 1−1,035 20 1−1,035 ↔ R = 5.933, 18 EUR. <?page no="190"?> 6.2. L ¨ osungen Kapitel 2 191 1.2.8 a) R 2038 = 30.000 · 1, 01 15 = 34.829, 07 b) 50.000 = 30.000 · 1, 01 n ↔ n = ln(1, ¯ 6) ln 1,01 = 51, 34 Jahre. 6.2 L ¨ osungen Kapitel 2 2.1.1 a) f(x) = 3x − 5 b) f(x) = x 3 − 1 2.1.2 a) D f = [ 5 2 , ∞), W f = [0, ∞) b) D f = W f = R c) D f = R \ {−1}, W f = R \ {0} d) D f = [−1, 4], W f = [1, 3] 2.1.3 K(x) = 3.000 + 100x, D K = {x|x ∈ N 0 ∧ x ≤ 250} = [0, 250] ∩ N 2.1.4 a) x 1 = 2, x 2 = 1 b) x = 2, 5 2.1.5 a) f(−x) = −x 3 + x + 1, nicht symmetrisch. b) f(−x) = −x 3 −x 2 −x+1 , nicht symmetrisch. c) f(−x) = −x x 2 +1 = −f(x), achsensymmetrisch. 2.1.6 a) −9 ≤ f(x), nach unten beschr ¨ ankt. b) 0 ≤ f(x), nach unten beschr ¨ ankt. 2.1.7 a) f(x) ist streng monoton wachsend. b) f(x) ist streng monoton wachsend. c) f(x) ist streng monoton fallend. 2.1.8 a) f(x) ist konvex f ¨ ur x ≥ 0, konkav f ¨ ur x < 0. b) f(x) ist konvex. 2.1.9 a) f(x) = √ x b) f(x) = 2x + 1 2.1.10 a) f(g(x)) = √ x 2 − 4x + 3 b) f(g(x)) = 2x 2 − 1 2.1.11 a) x = 3 2 y − 6 b) x = − 1 4 y + 3 2 2.1.12 a) lim x→∞ f(x) = ∞ b) lim x→−2 f(x) = lim x→−2 (x−1)(x+2) (x+2) 2 (x+1) , lim x→−2 + f(x) = ∞, lim x→−2 − f(x) = −∞ c) lim x→4 f(x) = 5 7 d) lim x→−3 f(x) = −6 e) lim x→1 f(x) = lim x→1 x x 2 −1 = lim x→1 x (x+1)(x−1) , lim x→1 + f(x) = ∞, lim x→1 − f(x) = −∞ <?page no="191"?> 192 Kapitel 6. L ¨ osungen 2.1.13 a) lim x→2 − f(x) = f(2) = 0, lim x→2 + f(x) = − 5 2 == f(2), die Funktion ist nicht stetig in x = 2. lim x→5 − f(x) = f(5) = 8, lim x→5 + f(x) = lim x→5 + x 2 −9 x−3 = 8, die Funktion ist stetig in x = 8. lim x→4 + f(x) = ∞, lim x→4 − f(x) = −∞ b) lim x→1 − f(x) = lim x→1 − x−1 1+x 2 = 0, lim x→1 + f(x) = f(1) = 0, die Funktion ist stetig in x = 1. lim x→2 + f(x) = −∞, lim x→2 − f(x) = ∞ c) lim x→8 − f(x) = f(8) = 10, lim x→8 + f(x) = √ 64 + 36 = 10, die Funktion ist stetig in x = 10. lim x→− 1 2 + f(x) = −∞, lim x→− 1 2 − f(x) = ∞. 2.1.14 a) lim x→3 − f(x) = lim x→3 + f(x) ↔ 3a + 10 = 6a − 5 ↔ a = 5 b) 16 − 5 = 4a + 8 ↔ a = 8 c) √ 5 − 4a = 2a + 5 ↔ 5 − 4a = 4a 2 + 20a + 25 ↔ a 1 = −1 ∨ a 2 = −5 2.2.1 a) f(x) = (x − 1)(x 2 + 6x + 8), x 2 = −4, x 3 = −2 b) f(x) = x(x 2 − 4x − 5), x 2 = 5, x 3 = −1 c) f(x) = (x + 4)(x 2 + 2x − 3), x 2 = −3, x 3 = 1 2.2.2 a) Nullstellen des Z ¨ ahlers: x 1 = −9, x 2 = 2, Nullstellen des Nenners x 1 = 7, x 2 = 2, die Nullstelle lautet x = −9, f ¨ ur x = 2 und x = 7 liegen Definitionsl ¨ ucken vor. lim x→2 f(x) = lim x→2 x+9 x−7 = − 11 5 , die Unstetigkeitsstelle ist hebbar. lim x→7 + f(x) = ∞, lim x→7 − f(x) = −∞, es liegt eine Polstelle vor. b) Nullstellen des Z ¨ ahlers x = ±4 sind Nullstellen von f(x), Definitionsl ¨ ucke x = −1. lim x→−1 + f(x) = −∞, lim x→−1 − f(x) = ∞, Polstelle. c) Nullstellen des Z ¨ ahlers bei x 1 = 3, x 2 = −5, Nullstellen des Nenners bei x = ±3; Nullstelle x = −5, Definitionsl ¨ ucken x = ±3. lim x→3 f(x) = lim x→3 x+5 x+3 = 4 3 . lim x→−3 + f(x) = ∞, lim x→−3 − f(x) = −∞, Polstelle. 2.2.3 a) x = 5 √ x b) x = log 2 y c) x = 1 3 ln y + 1 3 2.2.4 sin( π 4 ) = 0, 707, π 4 2π = α 360 ↔ α = 45 ◦ , cos( 3 2 π) = 0, 3 2 π 2π = α 360 ↔ α = 270 ◦ . 2.2.5 a) W f = R b) W f = [−1, 1] c) W f = R + 2.3.1 a) 50p + 10p = 250 − p 2 ↔ (p 1 = −20), p 2 = 10 = p M → x M = 150 b) p M x M = 150. c) p A (x) = 1 10 x − 5 d) 250 − p 2 = 100 + 20p ↔ (p 1 = −25, 81), p 2 = 5, 81 2.3.2 a) k(x) = x 2 − 9x + 44x + 12 x b) E(x) = −2x 2 + 40x, G(x) = −x 3 + 7x 2 − 4x − 12 c) G(x) = (x + 1)(−x 2 + 8x − 12) = 0 noindent f ¨ ur x 1 = −1, x 2 = 6, x 3 = 2, Gewinnzone [2, 6]. <?page no="192"?> 6.3. L ¨ osungen Kapitel 3 193 2.3.3 a) K 1 (x) = 20+0, 15x, K 2 (x) = 30+0, 1x b) K 1 (x) = K 2 (x) ↔ x = 200 2.3.4 a) r(x) = 1 3 x 2 + 20 b) r(x) = 1 2 √ e x + 1 2 2.3.5 a) c(0) = 420 b) S = Y − c(Y ) = 0 ↔ Y 2 − 1.080Y − 176.400 = 0 ↔ (Y 1 < 0), Y 2 = 1.224, 11 EUR. c) c(Y ) = 0, 7Y ↔ 0, 49Y 2 − 2.204, 08Y − 360.000 = 0 ↔ (Y 1 < 0), Y 2 = 2.356, 83 EUR. d) S = C ↔ Y − c(Y ) = c(Y ) ↔ Y 2 − 4.320Y − 705.600 = 0 ↔ (Y 1 < 0), Y 2 = 4.477, 58 EUR. 2.3.6 a) K(0) = 101, 61 b) k(x) = ln(2x+5)+100 x , k(10) = 10, 32 2.3.7 a) K(r) = 20r b) E(r) = 50x = −10r 3 + 400r 2 c) G(r) = −10r 3 + 400r 2 − 20r d) E(10) = 30.000, x(10) = 600 → E(10) x(10) = 50 2.3.8 a) p(x) = − 1 2 x + 40, G(x) = − 1 2 x 2 + 20x − 150 b) G(x) = 0 f ¨ ur x 1 = 10, x 2 = 30, Gewinnzone [10, 30]. 6.3 L ¨ osungen Kapitel 3 3.1.1 a) f ′ (x) = 3x 2 +24x−4 b) f ′ (x) = cos x+6x−e x c) f ′ (x) = 5x 4 − 1 2 √ x + 1 x d) f ′ (x) = 2 x · ln x + sin x + 3 3.1.2 a) f ′ (x) = 2x · (4x 3 −2x+8)+(x 2 −1)(12x 2 −2) = 20x 4 −18x 2 +16x+2 b) f ′ (x) = 2x · sin x + x 2 cos x c) f ′ (x) = ln x + 1 d) f ′ (x) = cos 2 x − sin 2 x 3.1.3 a) f ′ (x) = (2x−3)·(2x+1)−(x 2 −3x)·2 (2x+1) 2 = 2x 2 +2x−3 (2x+1) 2 b) f ′ (x) = − sin x·(2x 2 −3)−cos(x)·4x (2x 2 −3) 2 c) f ′ (x) = e x (x 2 −2x+5) (x 2 +5) 2 d) f ′ (x) = 1−ln x x 2 3.1.4 a) f ′ (x) = 1 2 (x 3 − 2x + 1) − 1 2 · (3x 2 − 2) b) f ′ (x) = cos(3x − 4) · 3 c) f ′ (x) = 2x x 2 +3 3.1.5 a) f ′ (x) = 12x 3 − 15x 2 + 24x − 1, f ′′ (x) = 36x 2 − 30x + 24, f ′′′ (x) = 72x − 30, f IV (x) = 72 b) f ′ (x) = 2x + 1 x − e x , f ′′ (x) = 2 − 1 x 2 − e x , f ′′′ (x) = 2 x 3 − e x , f IV (x) = − 6 x 4 − e x c) f ′ (x) = − sin x + 3x 2 − x − 1 2 , f ′′ (x) = − cos x + 6x − 1 2 x − 3 2 , f ′′′ (x) = sin x + 6 + 3 4 x − 5 2 , f IV (x) = cos x − 15 8 x − 7 2 d) f ′ (x) = 12x · (2x 2 + 1) 2 , f ′′ (x) = (2x 2 + 1)(120x 2 + 12), f ′′′ (x) = 960x 3 + 288x, f IV (x) = 2.880x 2 + 288 3.1.6 a) f ′ (x) = cos(3x 2 +1)·(12x 2 +36x)−sin(3x 2 +1)·2 (2x+6) 2 b) f ′ (x) = (2x − 3)e x 2 −3x c) f ′ (x) = 2x ln(2x − 1) + 2x 2 2x−1 d) f ′ (x) = e x (3x 2 +2x−4) 2 √ e x (3x 2 −4x <?page no="193"?> 194 Kapitel 6. L ¨ osungen 3.1.7 a) x ′ (r) = 1, 6r−0, 06r 2 Grenzertrag, x ′ (20) = 8, wird also eine Einheit mehr Rohstoffeingesetzt, steigt der Ertrag um n ¨ aherungsweise acht Einheiten. b) ¯ x(r) = x(r) r = 0, 8r − 0, 02r 2 . ¯ x ′ (r) = 0, 8 − 0, 04r, ¯ x ′ (20) = 0, der durchschnittliche Ertrag ¨ andert sich f ¨ ur zus ¨ atzlich eingesetzte Rohstoffmengen nicht. 3.1.8 a) C ′ (Y ) = 20 √ 0,1Y +100 · 0, 1, C ′ (2.000) = 0, 115, vom n ¨ achsten verdienten EUR werden ca. 12 Ct. f ¨ ur Konsum eingesetzt. b) S ′ (Y ) = 1 − C ′ (Y ), also S ′ (2.000) = 1 − 0, 115 = 0, 885, es werden ca. 88 Ct. vom n ¨ achsten verdienten EUR gespart. c) C(Y ) = 0, 6Y ↔ 1.600(0, 1Y + 100) = 0, 36Y 2 ↔ (Y 1 < 0), Y 2 = 924, 95 EUR. 3.2.1 dx = x ′ (100) · 5 = (2, 4 · 100 − 0, 03 · 100 2 ) · 5 = 180, die Produktionsmenge nimmt um 180 Einheiten zu. 3.2.2 a) f(0) = 60 b) w f = f ′ (x) f(x) = 40·0,9 t ·ln 0,9 20+40·0,9 t , w f (1) = −0, 0677, die Temperatur nimmt um ca. 6, 77% ab. c) f(t) = 40 ↔ 20 = 40 · 0, 9 t ↔ t = ln 0,5 ln 0,9 = 6, 58, nach ca. 66 Sekunden ist das Getr ¨ ank auf 40 ◦ C abgek ¨ uhlt. 3.2.3 a) ε p N x = −0, 5 x 240−0,5x , ε p N x (200) = −0, 71 b) p N = p A ↔ x = 56, ε p a x = 2 x 100+2x , ε p a x (56) = 0, 528 c) x N (p) = −2p + 480, ε x N p = −2 p −2p+480 , ε x N p (200) = −5 d) 4 p −2p+480 = 8 ↔ 4p = −16p + 3.840 ↔ p = 192 3.2.4 a) lim x→1 f(x) = lim x→1 2x+1 2x = 3 2 b) lim x→4 f(x) = lim x→4 2x cos(2x−8)·2 = 4 1 = 4 3.2.5 f(1) = e, f ′ (x) = e x (1 + x), f ′ (1) = 2e, f ′′ (x) = e x (2 + x), f ′′ (1) = 3e, f(x) ≈ e + 2e(x − 1) + 3 2 e(x − 1) 2 = 3 2 ex 2 − e · x + 1 2 e 3.2.6 f(1) = e − 3, f ′ = e x − 1, f ′ (1) = e − 1, f ′′ (x) = e x , f ′′ (1) = e, | (e−3)·e (e−1) 2 | = 0, 259 < 1, das Verfahren konvergiert. x 1 = 1− e−3 e−1 = 1, 16395, x 2 = 1, 146426926, x 3 = 1, 14619326, x 4 = 1, 14619322, |x 4 − x 3 | = 3, 961 · 10 −8 , x 4 ist N ¨ aherung der gesuchten Nullstelle. 3.3.1 a) f ′ (x) = 6x − 6 > 0 ↔ x > 1 → monoton wachsend f ′ (x) = 6x − 6 < 0 ↔ x < 1 → monoton fallend b) f ′ (x) = e x (1−x) (e x ) 2 > 0 ↔ 1 − x > 0 ↔ x < 1 → monoton wachsend f ′ (x) = e x (1−x) (e x ) 2 < 0 ↔ 1 − x < 0 ↔ x > 1 → monoton fallend <?page no="194"?> 6.3. L ¨ osungen Kapitel 3 195 3.3.2 a) f ′ (x) = 3x 2 − 4x + 4, f ′′ (x) = 6x − 4 > 0 ↔ x > 2 3 → konvex f ′ (x) = 3x 2 − 4x + 4, f ′′ (x) = 6x − 4 < 0 ↔ x < 2 3 → konkav b) f ′ (x) = (1 − 2x)e x−x 2 , f ′′ (x) = e x−x 2 (4x 2 − 4x − 1), 4x 2 − 4x − 1 = 0 f ¨ ur x 1 = 0, 5 + √ 0, 5, x 2 = 0, 5 − √ 0, 5, da eine nach oben ge ¨ offnete Parabel vorliegt, gilt f ′′ (x) > 0 ↔ x > 0, 5 + √ 0, 5 und x < 0, 5 − √ 0, 5, dort konvex f ′′ (x) < 0 ↔ x ∈ [0, 5 − √ 0, 5; 0, 5 + √ 0, 5], dort konkav 3.3.3 a) f ′ (x) = x 3 − 2x 2 + 2x − 1 = (x − 1)(x 2 − x + 1) = 0 nur f ¨ ur x = 1. f ′′ (x) = 3x 2 − 4x + 2, f ′′ (1) = 1 > 0 → Minimum, f(1) = 7 12 b) f ′ (x) = e x 2 −3x (2x 2 − 3x + 1) = 0 f ¨ ur x 1 = 1, x 2 = 0, 5, f ′′ (x) = e x 2 −3x (4x 3 −12x 2 +15x−6), f ′′ (1) = 1 e 2 > 0 → Minimum, f(1) = e −2 , f ′′ (0, 5) = −e −1,25 < 0 → Maximum, f(0, 5) = 0, 5e −1,25 . 3.3.4 a) f ′ (x) = 3x 3 −36x+2, f ′′ (x) = 9x 2 −36 = 0 ↔ x = ±2, f ′′′ (x) = 18x, f ′′′ (2) = 36 > 0, Wechsel von konkav zu konvex, f ′′′ (−2) = −36 < 0, Wechsel von konvex zu konkav. b) f ′ (x) = 2x ln x + x, f ′′ (x) = 2 ln x + 3) = 0 ↔ x = e −1,5 , f ′′′ (x) = 2 x , f ′′′ (e −1,5 = 2e 1,5 > 0, Wechsel von konkav zu konvex. 3.3.5 1) Nullstelle x = 0 2) Extremwerte: f ′ (x) = (−4x 2 + 1)e 4−2x 2 = 0 ↔ x = ±0, 5 f ′′ (x) = (16x 3 − 12x)e 4−2x 2 , f ′′ (0, 5) = −4e 3,5 < 0 → Maximum, f(0, 5) = 0, 5e 3,5 f ′′ (−0, 5) = 4e 3,5 > 0 → Minimum, f(−0, 5) = −0, 5e 3,5 3) Wendestellen: f ′′ (x) = 0 ↔ x 1 = 0, x 2,3 = ± √ 0, 75, f ′′′ (x) = (−64x 4 + 96x 2 − 12)e 4−2x 2 f ′′′ (0) = −12e 4 < 0, Wechsel von konvex zu konkav, f ′′′ ( √ 0, 75) = 24e 2,5 > 0, Wechsel von konkav zu konvex, f ′′′ (− √ 0, 75) = 24e 2,5 > 0, Wechsel von konkav zu konvex 4) Grenzwertverhalten: lim x→∞ f(x) = 0 = lim x→−∞ f(x) 5) Grafik: <?page no="195"?> 196 Kapitel 6. L ¨ osungen 3.3.6 a) p(x) = 3.700 − 4x, G(x) = E(x) − K(x) = −x 3 + 3.675x − 150, G ′ (x) = −3x 2 + 3.675 = 0 ↔ (x 1 = −35), x 2 = 35, G ′′ (x) = −6x, G ′′ (35) = −210 < 0 → Maximum, G(35) = 85.600. b) k(x) = x 2 − 4x + 25 + 150 x , k ′ (x) = 2x − 4 − 150 x 2 = 0 ↔ 2x 3 − 4x 2 − 150 = (x − 5)(2x 2 + 6x + 30) = 0 ↔ x = 5, k ′′ (x) = 2 + 300 x 3 , k ′′ (5) = 4, 4 > 0 → Minimum c) K ′ (x) = 3x 2 − 8x + 25, K ′′ (x) = 6x − 8 = 0 ↔ x = 4 3 , K ′′′ (x) = 6. 3.3.7 a) G(x) = −5x 2 + 150x − 320 = 0 ↔ x 1 = 2, 31; x 2 = 27, 69, Gewinnzone [2, 31; 27, 69] b) G ′ (x) = −10x + 150 = 0 ↔ x = 15, G ′′ (x) = −10 < 0 → Maximum, G(15) = 805. c) k(x) = 20x − 2 + 320 x , k ′ (x) = 20 − 320 x 2 = 0 ↔ (x 1 = −4), x 2 = 4 k ′′ (x) = 640 x 3 , k ′′ (4) = 10 > 0 → Minimum, k(4) = 158. x(r) = 6r − 2r 2 = 4 ↔ r 1 = 1, r 2 = 2. 3.3.8 a) S ′ (Y ) = Y 2 +10.000Y −99.995 (Y +5.000) 2 , C ′ (Y ) = 1 − S ′ (Y ) b) lim Y →∞ C(Y ) = lim Y →∞ Y − S(Y ) = lim Y →∞ 5.020Y +5 Y +5.000 = 5.020 EUR. c) lim Y →∞ S ′ (Y ) = 1, lim Y →∞ C ′ (Y ) = lim Y →∞ 1 − S ′ (Y ) = 0, sinnvoll. 3.3.9 a) x ′ (r) = − 1 120 r 2 + 7 4 r + 2 Grenzertr ¨ age, x ′′ (r) = − 1 60 r + 7 4 > 0 ↔ r < 105 → steigende Grenzertr ¨ age x ′′ (r) < 0 ↔ r > 105 → sinkende Grenzertr ¨ age x ′′ (r) = 0 ↔ r = 105 → konstante Grenzertr ¨ age b) x ′ (r) = 0 ↔ r 2 − 210r − 240 = 0 ↔ (r 1 = −1, 14), r 2 = 211, 14, x ′′ (211, 14) = −1, 77 < 0 → Maximum, x(211, 14) = 13.283, 64 6.4 L ¨ osungen Kapitel 4 4.3.1 a) ∫ x 2 − 1 2 xdx = 1 3 x 3 − 1 4 x 2 + c, c ∈ R b) ∫ sin x − e x + 1 x dx = − cos x − e x + ln |x| + c, c ∈ R c) ∫ √ x − 1 x 2 dx = 2 3 √ x 3 + 1 x + c, c ∈ R 4.3.2 a) ∫ 5 0 x 3 − 2 3 x 2 + xdx = 1 4 x 4 − 2 9 x 3 + x| 5 0 = 140, 97 ¯ 2 b) ∫ 2π π cos x − xdx = sin x − 1 2 x 2 | 2π π = − 3 2 π 2 c) ∫ 64 4 e x − √ xdx = e x − 2 3 √ x 3 | 64 4 = e 64 − e 4 − 336 4.3.3 a) u(x) = x, u ′ (x) = 1, v ′ (x) = e x , v(x) = e x → ∫ x · e x dx = x · e x − ∫ e x dx = x · e x − e x + c, c ∈ R b) z = 3x − 2 ↔ x = 1 3 z + 2 3 → dx = 1 3 dz <?page no="196"?> 6.5. L ¨ osungen Kapitel 5 197 → ∫ (3x − 2) 3 dx = ∫ z 3 1 3 dz = 1 12 z 4 + c = 1 12 (3x − 2) 4 + c, c ∈ R c) z = 2x + 6, x = 1 2 z − 3 → dx = 1 2 dz, α = 2 · 5 + 6 = 16, β = 36 → ∫ 15 5 √ 2x + 6dx = ∫ 36 16 √ z 1 2 dz = 1 3 √ z 3 | 36 16 = 152 3 d) u(x) = x 2 , u ′ (x) = 2x, v ′ (x) = cos x, v(x) = sin x → ∫ π 0 x 2 cos xdx = x 2 sin x| π 0 − ∫ π 0 2x sin xdx, u(x) = 2x, u ′ (x) = 2, v ′ (x) = sin x, v(x) = − cos x → ∫ π 0 x 2 cos xdx = x 2 sin x| π 0 − (−2x cos x| π 0 − ∫ π 0 −2 cos xdx) = x 2 sin x + 2x cos x − 2 sin x| π 0 = 2π e ) ∫ x 2 e r − r 2 dr = e r − 1 3 r 3 | x 2 = e x − 1 3 x 3 − e 2 + 8 3 4.3.4 ∫ K ′ (x)dx = 5x 3 − 30x 2 + 61x + c, K(0) = c = 200 4.3.5 p A = p N ↔ −0, 1x 2 − 2x + 240 = 0 ↔ (x 1 = −60), x 2 = 40 = x M → p M = 140, KR = ∫ 40 0 300 − 0, 1x 2 − 140dx = 4.266, 67 EUR P R = ∫ 40 0 140 − 60 − 2xdx = 1.600 EUR 4.3.6 x A = x N ↔ 0, 5p 2 + 16p − 450 = 0 ↔ (p 1 = −50), p 2 = 18 = p M → x M = 112, p 0 N = 25, p 0 A = 10, KR = ∫ 25 18 400 − 16pdp = 392 EUR, P R = ∫ 18 10 0, 5p 2 − 50dp = 405, 33 EUR 6.5 L ¨ osungen Kapitel 5 5.1.1 5.1.2 a) x(5, 20) = 38 b) x(4, G) = √ 16 · 4 · G = 38 ↔ 1.600 = 64G ↔ G = 25, 5 Gummib ¨ archen mehr. 5.1.3 4x = 15(αK) 0,25 (2R) 0,75 ↔ 4 = α 0,25 2 0,75 ↔ α = ( 4 2 0,75 ) 4 = 32, auf das 32− fache. 5.1.4 a) 1, 2 + k = 3 ↔ k = 1, 8 b) Die Menge ¨ andert sich auf das 2 3 = 8-fache. <?page no="197"?> 198 Kapitel 6. L ¨ osungen 5.1.5 a) nicht homogen, da f(λx 1 , λx 2 , λx 3 ) = λ 3 x 2 1 x 3 + λ 3 x 3 2 + λ 4 x 2 1 x 2 x 3 b) homogen vom Grad 1, da f(λx 1 , λx 2 ) = 5 √ λ 5 (x 2 1 + x 1 x 4 2 ) = λf(x) c) f(λx 1 , λx 2 ) = λ 4 (x 3 1 x 2 +x 1 x 3 2 ) √ λ 2 (x 2 1 +x 1 x 2 = λ 4 λ f(x) = λ 3 f(x) 5.2.1 a) f x = 6x − y + y 2 , f y = −x + 2xy − 3y 2 b) f x = −z sin(xz) + 2xy 3 z 2 , f y = 3x 2 y 2 z 2 , f z = −x sin(xz) + 2x 2 y 3 z c) f x = (2x + 2)e 2x−2y , f y = −2x 2 e 2x−2y d) f x 1 = 2x 1 x 3 x 4 + x 2 2 x 4 2 √ x 1 x 2 2 x 4 , f x 2 = x 1 x 2 x 4 √ x 1 x 2 2 x 4 + x 3 3 , f x 3 = x 2 1 x 4 + 3x 2 x 2 3 , f x 4 = x 2 1 x 3 + x 1 x 2 2 2 √ x 1 x 2 2 x 4 5.2.2 a) ∇f(x, y) =   y + 2 x x + 1 y   b) ∇f(x, y, z) =      y 2 + y 2 z 3 cos(xy 2 z 3 ) 2xy + 2xyz 3 cos(xy 2 z 3 ) 3xy 2 z 3 cos(xy 2 z 3 )      c) ∇f(x, y) =   x 2 +2xy−y 2 (x+y) 2 −x 2 +2xy+y 2 (x+y) 2   d) ∇f(r 1 , r 2 ) =   2, 8r −0,3 1 r 0,5 2 2r 0,7 1 r −0,5 2   5.2.3 a) f x = 3x 2 − 4xy + 2xy 2 , f y = −2x 2 + 2x 2 y + 4y f xx = 6x − 4y + 2y 2 , f xy = −4x + 4xy = f yx , f yy = 2x 2 + 4 b) f x = 2xy 3 z 2 √ x 2 y 3 z = y 1,5 z 0,5 , f y = 3x 2 y 2 z 2 √ x 2 y 3 z = 1, 5xy 0,5 z 0,5 , f z = x 2 y 3 2 √ x 2 y 3 z = 0, 5xy 1,5 z −0,5 , f xx = 0, f xy = 1, 5y 0,5 z 0,5 = f yx , f xz = 0, 5y 1,5 z −0,5 = f zx , f yy = 0, 75xy −0,5 z 0,5 , f yz = 0, 75xy 0,5 z −0,5 = f zy , f zz = −0, 25xy 1,5 z −1,5 c) f x = e x 2 +3y (2x 2 + 2xy + 1), f y = e x 2 +3y (3x + 3y + 1) f xx = e x 2 +3y (4x 3 + 4x 2 y + 6x + 2y), f xy = e x 2 +3y (6x 2 + 6xy + 2x + 3) = f yx , f yy = e x 2 +3y (9x + 9y + 6) d) f x = y 2 (x+y) 2 , f y = x 2 (x+y) 2 , f xx = − 2y 2 (x+y) 3 , f xy = 2xy (x+y) 3 , f yy = − 2x 2 (x+y) 3 5.2.4 a) f x = 2x (x 2 +y 2 , f y = 2y x 2 +y 2 , H f =   −2x 2 +2y 2 (x 2 +y 2 ) 2 − 4xy (x 2 +y 2 ) 2 − 4xy (x 2 +y 2 ) 2 2x 2 −2y 2 (x 2 +y 2 ) 2   b) ∇f(x, y, z) =      yz 2 √ xyz + yz xz 2 √ xyz + xz xy √ xyz + xy      =      0, 5x −0,5 y 0,5 z 0,5 + xz 0, 5x 0,5 y −0,5 z 0,5 + xz 0, 5x 0,5 y 0,5 z −0,5 + xy      <?page no="198"?> 6.5. L ¨ osungen Kapitel 5 199 H f =      − 1 4 x −1,5 y 0,5 z 0,5 1 4 x −0,5 y −0,5 z 0,5 + z 1 4 x −0,5 y 0,5 z −0,5 + y 1 4 x −0,5 y −0,5 z 0,5 + z − 1 4 x 0,5 y −1,5 z 0,5 1 4 x 0,5 y −0,5 z −0,5 + x 1 4 x −0,5 y 0,5 z −0,5 + y 1 4 x 0,5 y −0,5 z −0,5 + x − 1 4 x 0,5 y 0,5 z −1,5      c) x r 1 = 9, 6r 0,2 1 r 0,8 2 , x r 2 = 6, 4r 1,2 1 r −0,2 2 , H x =   1, 92r −0,8 1 r 0,8 2 7, 68r 0,2 1 r −0,2 2 7, 68r 0,2 1 r −0,2 2 −1, 28r 1,2 1 r −1,2 2   5.3.1 Da eine Cobb-Douglas-Funktion gegeben ist, ist λ = 1 4 + 1 2 = 3 4 der Homogenit ¨ atsgrad, dieser entspricht der Summe der partiellen Elastizit ¨ aten ε fx = 1 4 , ε fy = 1 2 . 5.3.2 u x 1 = 1+14 √ x 2 , u x 1 (30, 25) = 71, u x 2 = 7 x 1 √ x 2 −0, 2, u x 2 (30, 25) = 41, 8. Wird von X 1 (X 2 ) eine Einheit mehr konsumiert, steigt der Nutzen um 71 (41, 8) Nutzeneinheiten. 5.3.3 x r 1 = 8r 1 − 2r 2 , x r 1 (15, 40) = 40, x r 2 = −2r 2 + 2r 1 , x r 2 (15, 40) = −50 a) dx = x r 1 (15, 40) · 2, 5 = 100, Output steigt um 100 Einheiten. b) dx = x r 2 (15, 40) · (−1, 5) = 75, Output steigt um 75 Einheiten. c) dx = x r 1 (15, 40) · (−5) + x r 2 (15, 40) · 3 = −350, Output sinkt um 350 Einheiten. 5.3.4 x r 1 = r 2 2 2 √ r 1 , x r 1 (625, 2) = 0, 08, x r 2 = 2 √ r 1 r 2 , x r 2 (625, 2) = 100 a) α = 0, 5, β = 2, dr 1 dr 2 = − 100 0,08 = −1.250, f ¨ ur eine zus ¨ atzliche Einheit von R 2 k ¨ onnen 1.250 Einheiten von R 1 eingespart werden, ohne dass sich das Produktionsniveau ¨ andert. b) Die Funktion ist homogen vom Grad λ = 2, 5 (Cobb-Douglas-Funktion). Die Produktionsmenge w ¨ urde sich auf das 2 2,5 -fache erh ¨ ohen. c) ε xr 1 = 0, 5, ε xr 2 = 2, w ¨ urde von R 1 (R 2 ) 1% mehr eingesetzt, so steigt die Produktionsmenge um 0, 5 (2) %. 5.3.5 Die Preiserh ¨ ohung entspricht 1,20 3 = 0, 4, also 40 %. Die Erh ¨ ohung der Nachfrage entspricht 14 4 = 3, 5, also 350 %. Es ist ε x 2 p 1 = 350 40 = 8, 75. 5.3.6 a) ε Xs = 600s −4.000+0,75p+600s , ε Xs (16, 10) = 1500 503 = 2, 982, die Reaktion ist elastisch. b) Die Vervierfachung entspricht einer Erh ¨ ohung um 300 %, Der Preis m ¨ usste um 300 2 = 150 % steigen, also auf 2, 50 EUR. <?page no="199"?> 200 Kapitel 6. L ¨ osungen 5.3.7 a) ε xp 2 = 1 p 2 , ε xp 2 (10, 5) = 0, 2, ε yp 1 = 2p 1 250+2p 1 −4p 2 , ε yp 1 (10, 5) = 0, 08. b) E(p 1 , p 2 ) = p 1 · x + p 2 · y = 5p 2 1 p 2 + 250p 2 + 2p 1 p 2 − 4p 2 2 , E p 1 = 10p 1 p 2 + 2p 2 , E p 2 = 5p 2 1 + 250 + 2p 1 − 8p 2 , ΔE = E p 1 (10, 5) · 5 + E p 2 (10, 5) · (−2) = 5.640, der Erl ¨ os steigt um 5.640 EUR. 5.3.8 ∇f =      −2x + 2y + 2 −4y + 2x + 2z + 2 −4z + 2y − 4      =      0 0 0      , L ¨ osung: x = 3, y = 2, z = 0. |H f | = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ −2 2 0 2 −4 2 0 2 −4 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = −8, |A 1 | = −2, |A 2 | = 4 → H f ≺ 0 → Maximum. f(3, 2, 0) = 5. 5.3.9 r 2 = 2 6 18 6 r 1 = r 1 → 6r −0,2 1 = 2 ↔ r 1 = 243 = r 2 . Es ist H G ≺ 0, da α + β = 0, 8 < 1. 5.3.10 G(x) = p 1 x 1 + p 2 x 2 − K(x 1 + x 2 ) = −0, 2x 2 1 + 16x 1 − x 2 2 + 40x 2 − 100. ∇G =   −0, 4x 1 + 16 −2x 2 + 40   =   0 0   , x 1 = 40, x 2 = 20. |H G | = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ −0, 4 0 0 −2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 0, 8, |A 1 | = −0, 4 → H G ) 0 → Maximum. F ¨ ur den maximalen Gewinn k ¨ onnen 40 ME auf Markt 1 zum Preis von p 1 = 36 − 8 = 28 EUR je ME und 20 ME auf Markt 2 zum Preis von p 2 = 60 − 20 = 40 EUR je ME abgesetzt werden. 5.3.11 x = 5 − 2y, ˆ f(y) = 3y 2 − 10y + 25, ˆ f ′ (y) = 6y − 10 = 0 ↔ y = 5 3 , ˆ f ′′ (y) = 6 > 0 → Minimum, x = 5 3 , f( 5 3 , 5 3 ) = 50 3 . 5.3.12 A = 200 − 4B, ˆ E(B) = −423B 2 + 34.686B − 699.800, ˆ E ′ (B) = −846B + 34.686 = 0 ↔ B = 41 → A = 36, ˆ E ′′ (B) = −846 < 0 → Maximum. 5.3.13 α = 0, 25, β = 0, 5, c = 2, k 1 = 2, k 2 = 4, r 2 = 2 4 0,5 0,25 r 1 = r 1 → 6r 1 = 60 ↔ r 1 = 10 = r 2 , λ = 2·0,25 2 10 −0,75 10 0,5 = 0, 14059. Die hinreichende Bedingung ist stets erf ¨ ullt. Es ist x(10, 10) ≈ 11, 25. <?page no="200"?> 6.5. L ¨ osungen Kapitel 5 201 5.3.14 α = 0, 8, β = 0, 2, k A = 20, k K = 10, c = 100, K = 20 10 0,2 0,8 A = 0, 5A a) x 0 = 10.000 → 100A 0,8 (0, 5A) 0,2 = 10.000 ↔ A = 114, 87 → K = 57, 43, λ = 20 100·0,8 A 0,2 K −0,2 = 0, 2872 b) 20A + 10K = 40.000 ↔ 25A = 40.000 ↔ A = 1.600 → K = 800, λ = 100·0,8 20 1.600 −0,2 800 0,2 = 3, 4822, x(1.600, 800) = 139.288, 09. c) λ a) : Mehrproduktion einer Einheit → Kostensteigerung ca. 0, 29 GE λ b) : Mehreinsatz einer Geldeinheit → Produktionsmengensteigerung ca. 3, 48 ME. 5.3.15 a) W t = 26 − 2t = 0, W z = 9 − z = 0 → t = 13, z = 9, |H W | = 2, |A 1 | = −2 → H W ≺ 0, das Maximum ergibt sich f ¨ ur 13 Tage Nachhilfe und 9 Pfund Traubenzucker. b) 50t + 10z = 200 ↔ z = 20 − 5t → ˆ E(t) = 300 + 81t − 13, 5t 2 , ˆ E ′ (t) = 81 − 27t = 0 ↔ t = 3 → z = 5, ˆ E ′′ (t) = −27 < 0 → Maximum. <?page no="202"?> Literaturhinweise D ¨ orsam, Peter; Mathematik anschaulich dargestellt f ¨ ur Studierende der Wirtschaftswissenschaften; 16. Auflage; 2014; PD-Verlag. Eichholz, W.; Vilkner, E.; Taschenbuch der Wirtschaftsmathematik; 6. Auflage; 2013; Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag. GeoGebra; Software zur Erstellung der Grafiken, International GeoGebra Institute, http: / / www.geogebra.org, 2017. Larek, E.; Analytische Methoden in der Wirtschaft: Analysis, Finanzmathematik; 6. Auflage; 2011; Peter Lang Verlag; Frankfurt. Schwarze, J.; Mathematik f ¨ ur Wirtschaftswissenschaftler, Band 2: Differential- und Integralrechnung; 13. Auflage; 2010; NWB-Verlag; Herne/ Berlin. Schwenkert, R.; Stry, Y.; Operations Research kompakt; 2015; Springer Gabler; Berlin/ Heidelberg. Timmann, S.; Repetitorium der Analysis, Teil 1; 3. Auflage; 2006; Binomi Verlag. Timmann, S.; Repetitorium der Analysis, Teil 2; 2. Auflage; 2006; Binomi Verlag. 203 <?page no="204"?> Stichwortverzeichnis ¨ außere Ableitung, 90 ¨ konomische Funktionen Kostenfunktion, 142 ¨ okonomische Funktionen, 75 Angebotsfunktion, 75 Deckungsbeitrag, 80 Durchschnittsfunktion, 81 Erl ¨ osfunktion, 79, 121, 142 Gewinnfunktion, 80, 121, 142 Gewinngrenze, 80 Gewinnschwelle, 80 Gewinnzone, 80 Gleichgewichtsmenge, 76 Gleichgewichtspreis, 76 Konsumfunktion, 124 Kostenfunktion, 78 makro ¨ ok. Konsumfkt., 80 makro ¨ ok. Sparfkt., 81 Marktgleichgewicht, 76 mikro ¨ ok. Konsumfkt., 80 mikro ¨ ok. Sparfkt., 81 Nachfragefunktion, 76, 121 Preis-Absatz-Funktion, 76 Preis-Absatz-Funktion, 121, 142 Produktionsfunktion, 77, 121, 141 Sparschwelle, 81 Verbrauchsfunktion, 78 makro ¨ ok. Sparfkt., 81 mikro ¨ ok. Sparfkt., 81 Zielfunktion, 172 Abl. elementarer Funktionen, 88 absolute ¨ Anderung, 98 absolutes Maximum, 51 absolutes Minimum, 51 Abszisse, 43 Achsensymmetrie, 46 achsensymmetrisch, 120 alternierende Folge, 21 analytische Darstellung, 43 Anfangskapital, 32 Angebotsfunktion, 75, 135 arithmetische Folge, 22-23 arithmetische Reihe, 27 Aufzinsungsfaktor, 32, 36 Beschr ¨ anktheit, 47 Beschr ¨ anktheit von Folgen, 15 bestimmtes Integral, 131 Betriebsoptimum, 121 bin ¨ arer Logarithmus, 71 Bogenelastizit ¨ at, 101 Bogenmaß, 72 Cobb-Douglas-Funktion, 145-147, 151, 154, 159, 160, 170, 179 Cosinus, 72 Cotangens, 72 Deckungsbeitrag, 80 205 <?page no="205"?> 206 Stichwortverzeichnis Definitionsbereich, 41, 120, 121 Definitionsl ¨ ucke, 44 degressive Abnahme, 52 degressives Wachstum, 52 dekadischer Logarithmus, 71 Differential, 97 Differentialquotient, 87 Differenzenquotient, 86 differenzierbar, 87 Divergenz, 17 durchschn. Produktivit ¨ at, 93 Durchschnittsfunktion, 81 Eigenwert, 166 eineindeutige Funktion, 54 Elastizit ¨ at, 101, 102, 122 einheitselastisch, 103 elastisch, 103 unelastisch, 103 vollkommen elastisch, 103 vollkommen unelastisch, 103 Erl ¨ osfunktion, 79, 93, 121, 142, 170 erste Ableitung, 87 ertragsges. Produktionsfkt., 144 Expansionspfad, 170, 179, 181 explizite Darstellung, 14, 139 Exponentialfunktion, 70 Extremwert, 50, 114, 120, 121 Extremwerte ohne NB, 164 Faktorregel, 129, 150 Faktorverbrauchsfunktion, 93 Finanzmathematik, 32 Fixkosten, 134 Folgen, 13-24 alternierende Folge, 21 arithmetische Folge, 22 Beschr ¨ anktheit, 15 Divergenz, 17 endliche Folge, 13 explizite Darstellung, 14 geometrische Folge, 23 Grenzwerts ¨ atze, 19 konstante Folge, 21 Konvergenz, 17 Monotonie, 15 Nullfolge, 21 rekursive Darstellung, 14 uneigentlicher Grenzwert, 17 unendliche Folge, 13 Funktion achsensymmetrische Funktion, 46 analytische Darstellung, 43 beschr ¨ ankte Funktion, 47 bin ¨ arer Logarithmus, 71 Bogenmaß, 72 Definitionsbereich, 41 Definitionsl ¨ ucke, 44 degressive Abnahme, 52 degressives Wachstum, 52 dekadischer Logarithmus, 71 eineindeutige Funktion, 54 Exponentialfunktion, 70 Funktionswert, 42 ganzrationale Funktion, 65 gebrochen-rationale Funktion, 66 grafische Darstellung, 43 Grenzwert, 56 hebbare Unstetigkeitsstelle, 59 Komposition, 53 konkave Funktion, 49 konvexe Funktion, 49 linksseitiger Grenzwert, 56 Logarithmusfunktion, 70 monotone Funktion, 48 nat ¨ urlicher Logarithmus, 71 <?page no="206"?> Stichwortverzeichnis 207 Nullstelle, 44, 67 Polstelle, 59, 67, 73 Polynom, 65 Potenzfunktion, 68 progressive Abnahme, 52 progressives Wachstum, 52 proportionales Wachstum, 52 punktsymmetrische Funktion, 46 rechtseitiger Grenzwert, 56 st ¨ uckweise definierte Funktion, 43 stetig erg ¨ anzbar, 59 stetige Funktion, 59 Symmetrie, 46 trigonometrische Funktion, 72 Umkehrfunktion, 54, 69, 71, 76 unabh ¨ angige Variable, 41 Variable, 41 Wachstumsverhalten, 52 Wertebereich, 41 Wertetabelle, 42 Winkelmaß, 72 Wurzelfunktion, 68 Funktionswert, 42 ganzrationale Funktion, 65, 106 gebrochen-rationale Funktion, 66 geometrische Folge, 23-24 geometrische Reihe, 30, 33 ger ¨ anderte Hessematrix, 176 Gewinnfunktion, 80, 93, 121, 142, 170 Gewinngrenze, 80 Gewinnschwelle, 80 Gewinnzone, 80 Gleichgewichtsmenge, 76 Gleichgewichtspreis, 76 globales Maximum, 51 globales Minimum, 51 Gradient, 149 grafische Darstellung, 43 Grenzdurchschnittsertrag, 93 Grenzerl ¨ os, 93 Grenzfunktion, 91 Grenzgewinn, 93 Grenzkostenfunktion, 92 Grenzpreis, 93 Grenzproduktionskoeffizient, 94 Grenzproduktivit ¨ at, 93 Grenzrate der Substitution, 158 Grenzst ¨ uckgewinn, 93 Grenzst ¨ uckkostenfunktion, 92 Grenzverbrauchsfunktion, 93 Grenzwert, 120 Grenzwert von Funktionen, 56 Grenzwerts ¨ atze, 19 h ¨ ohere Ableitungen, 91 Hauptunterdeterminanten, 165 hebbare Unstetigkeitsstelle, 59 Hessematrix, 152 hinr. Bed. Extremwert, 115 Homogenit ¨ at, 145 Hornerschema, 58 Hurwitz-Kriterium, 165 implizite Darstellung, 139 innere Ableitung, 90 Integrale el. Fkten, 128 Kammlinie, 146 Kettenregel, 90, 150 komplement ¨ are G ¨ uter, 161 Komposition, 53 konkave Funktion, 49, 113, 115, 118 konstante Folge, 21 Konstantenregel, 88 Konsumentenrente, 135 Konsumfunktion, 94, 124 <?page no="207"?> 208 Stichwortverzeichnis Konvergenz, 17-20 konvexe Funktion, 49, 113, 115, 118 Koordinatensystem, 43 Kostenfunktion, 43, 78, 92, 142, 170 Kostenminimalkombination, 181 Kr ¨ ummung, 112, 123 Kr ¨ ummungsverhalten, 113, 120 Kreuzpreiselastizit ¨ aten, 161 Kurvendiskussion, 112, 119 kurzfristige Preisuntergrenze, 121 Lagrangefunktion, 175 Lagrangescher Multiplikator, 175 Lagrangeverfahren, 172 langfristige Preisuntergrenze, 121 Leontief-Funktion, 143 linksseitiger Grenzwert, 56 Logarithmusfunktion, 70 lokales Maximum, 51 lokales Minimum, 51, 164 makro ¨ okon. Konsumfkt., 80 Makro ¨ okonomie, 75 marginale Konsumquote, 94, 124 marginale Sparquote, 94, 124 Marginalfunktion, 91 Marktgleichgewicht, 76, 135 Maximum, 50, 114, 121 mikro ¨ ok. Konsumfkt., 80 Mikro ¨ okonomie, 75 Minimum, 50, 114, 121 Monotonie, 15, 48, 112, 120, 123 Monotonie von Folgen, 15 Nachfragefunktion, 76, 121, 135 nachsch ¨ ussige Zahlung, 32-36 nat ¨ urlicher Logarithmus, 71 Nebenbedingungen, 172 neoklassische Produktionsfkt., 144 Newton-Verfahren, 108-110 notw. Bed. Extremwert, 114 Nullfolge, 21 Nullstelle, 44, 67, 120 Ordinate, 43 Partialsumme, 27, 30, 33 partiell differenzierbar, 149 partielle Ableitung, 149 partielle Elastizit ¨ at, 160 partielle Integration, 129 partielles Differential, 156 Polstelle, 59, 67, 73 Polynom, 65, 106 Polynomdivision, 58 Potenzfunktion, 68 Preis-Absatz-Funktion, 76, 121, 142 Produktionsfunktion, 77, 93, 121, 141 Produktionskoeffizient, 94 Produktionsmaximum, 183 Produktregel, 89, 150 Produzentenrente, 135 progressive Abnahme, 52 progressives Wachstum, 52 proportionales Wachstum, 52 Punktelastizit ¨ at, 102 Punktsymmetrie, 46 Quotientenregel, 89, 150 Randmaximum, 51, 116 Randminimum, 51, 116 Rate, 32-36 Rechenregeln f. Integrale, 129 rechtsseitiger Grenzwert, 56 Regel von de l’Hˆ opital, 104-105 Reihe, 27 Reihen, 13 <?page no="208"?> Stichwortverzeichnis 209 rekursive Darstellung, 14 relatives Maximum, 51 relatives Minimum, 51 Rentenbarwert, 34 Rentenendwert, 33-35 Rentenrechnung, 13, 32 Aufzinsungsfaktor, 32 nachsch ¨ ussige Zahlung, 32-36 Rate, 32-36 Rentenbarwert, 34 Rentenendwert, 33-35 vorsch ¨ ussige Zahlung, 32-36 Zinsfuß, 32 S ¨ attigungswert des Konsums, 124 Sato-Funktion, 144 Sattelpunkt, 115, 118 Satz von Schwarz, 152 Satz von Taylor, 106 Schnittkurvendiagramm, 140 Schrumpfungsrate, 99 Sinus, 72 Skalenertr ¨ age, 146 Sparfunktion, 94 Sparschwelle, 81 St ¨ uckgewinn, 93 St ¨ uckkosten, 92 St ¨ uckpreis, 93 st ¨ uckweise definierte Funktion, 43 Stammfunktion, 127 stetig differenzierbar, 91 stetig erg ¨ anzbar, 59 stetige Funktion, 59 Stetigkeit, 120 Substitutionsregel, 131 substitutive G ¨ uter, 161 Summenregel, 89, 129, 150 Symmetrie, 46, 120 Tangens, 72 Tangentialebene, 156 Taylor-Polynom, 106 totales Differential, 156 trigonometrische Funktion, 72 Umkehrfunktion, 54, 69, 71, 76 unabh ¨ angige G ¨ uter, 161 unabh ¨ angige Variable, 41 unbest. Integral, 128 uneigentlicher Grenzwert, 17 Variable, 41 Variablensubstitution, 172 Verbrauchsfunktion, 78 vorsch ¨ ussige Zahlung, 32-36 Wachstumsrate, 99 Wachstumsverhalten, 52, 123 Wendestelle, 50, 118, 120, 123 Wertebereich, 41, 120 Wertetabelle, 42 Winkelmaß, 72 Wurzelfunktion, 68 Zinsfuß, 32 <?page no="209"?> www.geogebra.org GeoGebra Der Grafikrechner für Funktionen, Geometrie, Algebra, Analysis, Statistik und 3D. S t u d i e r e n d e n u t z e n G e o G e b r a k o s t e n f r e i ! <?page no="210"?> Moderne Die Epoche der Moderne wurde inzwischen durch das digitale Zeitalter abgelöst. Nun ist es an der Zeit Bilanz zu ziehen: Wie kann die Moderne in ihrer Gesamtheit dargelegt werden? Welche Errungenschaften hat sie hervorgebracht? Sind die Werte, Ziele und Normen der Moderne im digitalen Zeitalter nun obsolet? Werner Heinrichs liefert die Antworten. Er beleuchtet alle kulturellen, sozialen, wirtschaftlichen und naturwissenschaftlichen Aspekte der Epoche auf spannende Weise. Damit unterscheidet sich der Ansatz dieses Buches deutlich von einschlägigen Kulturgeschichten des 20. Jahrhunderts, die die Moderne nur als eine Zeit der Entwicklung der Künste und gesellschaftspolitischer Veränderungen wahrnehmen. Es beinhaltet außerdem viele originelle und spannende Zitate berühmter Persönlichkeiten. Dieses Buch richtet sich an Studierende wirtschafts- und sozialwissenschaftlicher Studiengänge und eignet sich ebenfalls als Nachschlagewerk für Leser mit kulturellem und geschichtlichem Interesse. Werner Heinrichs Die Moderne Bilanz einer Epoche 2017, 510 Seiten, Hardcover ISBN 978-3-86764-808-0 Bilanz einer Epoche www.uvk.de <?page no="211"?> www.uvk.de Das Vorstellungsgespräch ist geschafft und der erste Arbeitsvertrag unterschrieben. Nun müssen sich Berufseinsteiger im Arbeitsalltag behaupten. Das ist nicht nur fachlich eine Herausforderung, denn auch die Kommunikation in einem Unternehmen unterscheidet sich ganz wesentlich von der in Schule oder Studium. Im Gespräch mit Vorgesetzten, dem Umgang mit fairen und unfairen Kollegen oder aber in Verhandlungssituationen mit Dienstleistern und Kunden gibt es Spielregeln und Kniffe, die jeder Berufseinsteiger kennen sollte. Zu Beginn stellen die Autoren die unterschiedlichen Rednertypen im Profil vor und gehen auf deren Stärken und Schwächen ein. Darauf aufbauend geben sie dem Leser das rhetorische Rüstzeug für wichtige Kommunikationssituationen, wie zum Beispiel einen Vortrag, das direkte Gespräch, das Kundengespräch, das Verkaufsgespräch und eine Verhandlung an die Hand mit Tipps und Checklisten. Harald Schäfer, Burkhard Schäfer Business-Rhetorik für Berufseinsteiger 2017, 230 Seiten, Broschur ISBN 978-3-86764-552-2 Für den perfekten Berufseinstieg