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Elektrotechnische Grundlagen in ausgewählten Kapiteln

exakt – verständlich – praxisverbunden

0731
2014
978-3-8169-8176-3
978-3-8169-3176-8
expert verlag 
Siegfried Banda

Das Buch schlägt eine Brücke von elementaren, teilweise schon vorhandenen Grundkenntnissen der Elektrotechnik zu weiteren Qualifizierungsstufen. Es bietet eine wertvolle Ergänzung zum Unterricht in Berufsschulen und Weiterbildungseinrichtungen elektrotechnischer Berufe und eignet sich auch als Nachschlagewerk zur Festigung von Kenntnissen.

<?page no="1"?> Siegfried Banda Elektrotechnische Grundlagen <?page no="2"?> in memoriam Ingenieur Albert Rühling <?page no="3"?> Elektrotechnische Grundlagen in ausgewählten Kapiteln exakt - verständlich - praxisverbunden Dipl.-Ing. Siegfried Banda <?page no="4"?> Bei der Erstellung des Buches wurde mit großer Sorgfalt vorgegangen; trotzdem lassen sich Fehler nie vollständig ausschließen. Verlag und Autoren können für fehlerhafte Angaben und deren Folgen weder eine juristische Verantwortung noch irgendeine Haftung übernehmen. Für Verbesserungsvorschläge und Hinweise auf Fehler sind Verlag und Autoren dankbar. © 2014 by expert verlag, Wankelstr. 13, D -71272 Renningen Tel.: + 49 (0) 71 59 - 92 65 - 0, Fax: + 49 (0) 71 59 - 92 65 - 20 E-Mail: expert@expertverlag.de, Internet: www.expertverlag.de Alle Rechte vorbehalten Printed in Germany Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Dies gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. ISBN 978-3-8169-3176-8 Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http: / / www.dnb.de abrufbar. Bibliographic Information published by Die Deutsche Bibliothek Die Deutsche Bibliothek lists this publication in the Deutsche Nationalbibliografie; detailed bibliographic data are available on the internet at http: / / www.dnb.de <?page no="5"?> Vorwort Für den Lernenden ist es wünschenswert, technische Zusammenhänge mit Hilfe allgemeingültiger Grundlagen zu verstehen. Die Erarbeitung neuer Erkenntnisse durch Ableitung aus bekanntem Wissen fördert Lernfreude und führt zur bleibenden Aneignung des Stoffes. Technisches Wissen nur durch Auswendiglernen zu erwerben führt zu Unlust, flüchtiger Aneignung und geringer praktischer Anwendungsbereitschaft. Freude an neuen Erkenntnissen motiviert das Lerninteresse. Der Autor sammelte in über dreißigjähriger Tätigkeit in der Forschung und Entwicklung des Fachgebietes Elektrotechnik / Elektronik Erfahrungen, die er als methodische Hinweise vor allem Berufsschülern und allen auf diesem Gebiet Interessierten mitteilen möchte. Eine Erfahrung ist, möglichst tiefgründig in die stoffliche Materie einzudringen. Dazu gehören zur Beschreibung und Berechnung von Schaltungen eine genaue Kennzeichnung von Spannungen, Strömen und Magnetflüssen und deren eindeutige Zuordnung in Formeln und Diagrammen. Ein unentbehrliches Hilfsmittel sind Zählpfeile in Schaltbildern, die hier ausführlich behandelt werden. In der Literatur findet man oftmals Doppelpfeile zur Kennzeichnung einer Spannung zwischen zwei Anschlusspunkten. Diese ermöglichen jedoch keine Aussage zu Vorzeichen oder Phasenlage dieser Spannung. Zählpfeile sind ein untrennbarer Bestandteil bei der Berechnung elektrotechnischer Zusammenhänge. Wir benötigen Zählpfeile in Gleichstromkreisen, Wechselstromkreisen und auch zur Beschreibung nichtlinearer Vorgänge u.a. in Gleichrichterschaltungen. Mit exakt definierten Zählpfeileregeln werden Vorzeichenfehler vermieden. Auch genügen globale Erklärungen der Schaltung eines Gerätes oder einer Anlage nicht, um die Wirkungsweise gründlich zu verstehen. Erst genaue Schaltungsanalysen ermöglichen Maßnahmen zu Mängelbeseitigungen, Verbesserungen oder Weiterentwicklungen. Der gebotene Stoff ist eine wertvolle Ergänzung zu Lehrbüchern der Elektrotechnik. Es werden nur Grundlagen der Elementarmathematik vorausgesetzt. Dazu gehört auch die Anwendung imaginärer Zahlen. Alle mathematischen Abhandlungen werden ausführlich beschrieben. Ausgewählte praxisbezogene Kapitel der Elektrotechnik ermöglichen das selbstständige Einarbeiten in weitere Gebiete. Die hier dargestellten Zusammenhänge sollen Berufsschülern bei der Lösung elektrotechnischer Aufgaben Sicherheit vermitteln, sie können aber auch für Einsteiger in weiterführende Bildungsebenen und Beschäftigte in der Elektrotechnik / Elektronik hilfreich sein. Der Autor dankt Herrn Dr. Arnfried Richter für Anregungen, Hinweise und Korrekturen. Siegfried Banda <?page no="7"?> Inhaltsverzeichnis Vorwort 1 Zählpfeilarten 7 1.1 Allgemeines 7 1.2 Spannungspfeile 8 1.3 Strompfeile 9 1.4 Pfeile für Magnetfluss und magnetische Spannung 11 2 Der Zusammenhang von Zählpfeilen, Diagrammen und Formeln 13 3 Gleichstromkreise 15 3.1 Ohmsches Gesetz 15 3.2 Kirchhoffsche Gesetze 15 3.3 Berechnung von Gleichstromschaltungen mit Anwendung der Zählpfeilregeln 17 3.3.1 T - Schaltung mit zwei Gleichspannungsquellen 17 3.3.2 Die Wheatstonesche Messbrücke 21 3.3.3 Die Stern ↔ Dreieck - Transformation 26 3.3.4 Übungsaufgaben 34 4 Das Durchflutungsgesetz 36 4.1 Das Motorprinzip 40 5 Das Induktionsgesetz 43 5.1 Das Generatorprinzip 48 6 Wechselstromkreise 50 6.1 Darstellungsformen sinusförmiger Zeitverläufe 50 6.2 Komplexe Widerstände 55 6.2.1 Allgemeines 55 6.2.2 Ohmscher Widerstand 57 6.2.3 Induktiver Widerstand 58 6.2.4 Kapazitiver Widerstand 65 6.2.5 Widerstandskombinationen 68 6.2.6 Übungsaufgaben 89 <?page no="8"?> 6.3 Komplexe Leistungsberechnung 92 6.4 Das Induktionsgesetz für sinusförmige Wechselgrößen 98 7 Transformator 102 7.1 Der ideale Transformator ohne Last 102 7.2 Der ideale Transformator mit Last 105 7.3 Der reale Transformator 108 7.4 Messtechnische Ermittlung der Kenngrößen im Ersatzschaltbild 116 8 Spaltpolmotor 122 8.1 Aufbau des Spaltpolmotors 122 8.2 Wirkungsweise des Spaltpolmotors 124 9 Drehstrom 129 9.1 Grundlagen 129 9.2 Prinzip des Drehstromtransformators 135 9.3 Sternschaltung 142 9.4 Dreieckschaltung 144 9.5 Das Drehfeld 147 9.6 Die Leistung bei Drehstrom 151 9.6.1 Die Leistung in Drehstromnetzen mit Neutralleiter 151 9.6.2 Die Leistung in Drehstromnetzen ohne Neutralleiter 155 9.7 Scott - Transformator 164 9.8 Erdschlusslöschspule (Petersenspule) 168 9.9 Schaltgruppen von Drehstromtransformatoren 172 9.10 Statischer Drehfeldrichtungsanzeiger 188 10 Gleichrichterschaltungen 196 10.1 Allgemeines 196 10.2 Einweggleichrichterschaltung 198 10.3 Zweiweggleichrichterschaltung (Mittelpunktschaltung) 203 10.4 Brückengleichrichterschaltung (Graetzschaltung) 206 10.5 Gleichrichterschaltungen bei Drehstrom 209 10.6 Spannungsvervielfacher 219 11 Lösungen von Übungsaufgaben 224 Literatur 250 Bildverzeichnis 251 Tabellenverzeichnis 255 Stichwortverzeichnis 256 <?page no="9"?> 7 1 Zählpfeilarten 1.1 Allgemeines Über die Notwendigkeit von Zählpfeilen wird häufig gestritten. Im praktischen Umgang mit Schaltungsberechnungen treten aber oftmals Unsicherheiten auf, die sich vor allem auf das Vorzeichen von Spannungen und Strömen beziehen. Wir suchen dann nach einem „Werkzeug“, das uns Sicherheit bei Schaltungsberechnungen bringt. Dieses „Werkzeug“ wollen wir allgemein „Zählpfeile“ nennen. Diese könnten wir vielfältig definieren. Sie sind nichts Neues und werden verschiedendeutig angewendet. Die Erfahrung des Autors zeigt jedoch, dass es zweckmäßig ist, wenn wir eine Vereinbarung treffen, in der wir die Zählpfeile eindeutig definieren und dadurch Eindeutigkeit im Erkennen technischer Zusammenhänge sowie Sachverhalte gewährleisten. Bei einem so dargestellten Zählpfeil unterscheiden wir Pfeilspitze und Pfeilende für einen eindeutigen Sprachgebrauch. Zählpfeile können auch eine gebogene Form haben und z.B. so aussehen: In manchen Fällen ist es vorteilhaft, eine Darstellung von Zählpfeilen zu ermöglichen, die sich in Blickrichtung befinden. Deshalb vereinbaren wir: − Bei diesem liegenden Kreuz × blicken wir auf das Ende eines Zählpfeiles, der in die Papierebene hineinzeigt. − Bei diesem Punkt • blicken wir auf die Spitze eines Zählpfeiles, der aus der Papierebene herauszeigt. Zählpfeile befinden sich in einem Schaltbild an Bauelementen, an Leitungen, zwischen Knotenpunkten und an Zweigen eines Netzwerkes. Sie werden auch farbig dargestellt und bezeichnen folgende elektrische und magnetische Größen, deren Symbole neben dem Zählpfeil angegeben werden: − elektrische Spannungen − elektrische Ströme − Magnetflüsse − magnetische Spannungen Wenn keine Verwechslungsgefahr mit anderen Pfeilsymbolen besteht, kann die Silbe „Zähl..“ weggelassen werden, und man spricht z.B. nur von Strompfeilen und Spannungspfeilen. Pfeilende Pfeilspitze <?page no="10"?> 8 1.2 Spannungspfeile Wir versehen die Anschlüsse einer Monozelle mit einem grünen Spannungspfeil, wie in Bild 1 dargestellt. Bild 1 Monozelle mit Spannungs(zähl)pfeil: Pluspol am Pfeilende Der Spannungspfeil wird jedoch erst aussagekräftig in Verbindung mit der Gleichung U = + 1,5 V in Bild 1 , d.h. mit einem Bezug zur Polarität der vorgegebenen Spannungsquelle. Die Aussage lautet: Der Spannungspfeil U bezeichnet eine Spannung der Höhe 1,5 V mit dem Pluspol am Pfeilende. Jetzt drehen wir den Spannungspfeil an den Anschlüssen der Monozelle um, wie in Bild 2 dargestellt. Bild 2 Monozelle mit umgedrehtem Spannungspfeil: Pluspol an der Pfeilspitze U = + 1,5 V U = 1,5 V + U Monozelle Monozelle + U Monozelle <?page no="11"?> 9 Deshalb lautet die Aussage: Der Spannungspfeil U bezeichnet eine Spannung der Höhe 1,5 V mit dem Minuspol am Pfeilende. Wir definieren somit den Spannungspfeil mit folgender Vereinbarung: Der Spannungspfeil liegt zwischen zwei Punkten einer Schaltung. Das Vorzeichen der dem Pfeil zugeordneten Spannungsangabe bezeichnet die Polarität am Pfeilende. Dieser Definition folgen Bild 1 und 2 . Die Bedeutung dieser Definition wird bei Schaltungsberechnungen deutlich. Vor der Berechnung ordnen wir Spannungspfeile den Schaltungspunkten mit bekannter Polarität, z.B. an Spannungsquellen, so zu, dass die Pfeilenden am positiven Pol liegen. Die dazugehörigen Spannungsangaben sind dann ebenfalls positiv (siehe Bild 1). Den zu berechnenden noch unbekannten Spannungen in der Schaltung ordnen wir Spannungspfeile mit beliebigem Richtungssinn zu. Am Ende der Berechnung können uns sowohl positive als auch negative Spannungswerte vorliegen. Das Vorzeichen dieser Spannungswerte ordnen wir den Pfeilenden der vorher mit beliebigem Richtungssinn angebrachten Spannungspfeile zu. Drehen wir danach die Spannungspfeile mit negativer Polarität an ihren Enden um, liegen uns nur noch positive Spannungswerte vor, die eventuell ein besseres Verständnis der Schaltungsfunktion ermöglichen. Beispiele dazu werden in späteren Kapiteln behandelt. Die hier vereinbarte Definition der Spannungspfeile ist deshalb sinnvoll, weil eine positive Spannung einen Strom im Richtungssinn des Spannungspfeiles z.B. durch einen Widerstand antreiben würde. 1.3 Strompfeile Wir verbinden eine Glühlampe mit einer Batterie (siehe Bild 3) und versehen ein Leitungsstück mit dem Strompfeil I . Bild 3 Batteriestromkreis mit Strom(zähl)pfeil: Pfeilspitze zum Minuspol zeigend I = 0,2 A + I Batterie <?page no="12"?> 10 Der Strompfeil I bezeichnet einen Strom der Stärke 0,2 A , der in Pfeilrichtung durch die Leitung fließt. Jetzt drehen wir den Strompfeil um (siehe Bild 4). Bild 4 Batteriestromkreis mit umgedrehtem Strompfeil: Pfeilspitze zum Pluspol zeigend Wir definieren somit den Strompfeil mit folgender Vereinbarung: Der Strompfeil befindet sich an einer Leitung in der Schaltung. Das Vorzeichen der dem Pfeil zugeordneten Stromangabe bezeichnet die technische Stromrichtung. Bei positivem Vorzeichen fließt der Strom in Pfeilrichtung. Bei negativem Vorzeichen fließt der Strom entgegen der Pfeilrichtung. Die technische Stromrichtung ist für einen Strom definiert, der außerhalb einer Spannungsquelle vom Pluspol zum Minuspol fließt. In den folgenden Ausführungen stellen wir Spannungsquellen, Stromquellen, Verbraucher usw. mit Schaltzeichen dar. Für Spannungs- und Stromquellen verwenden wir folgende Symbole: Gleichspannungsquelle Wechselspannungsquelle Wechselstromquelle und und Gleichspannungsquelle Gleichstromquelle I = 0,2 A + I Batterie Ι U U + − Dieses Symbol wird für reine Gleichspannungsschaltungen bevorzugt. Dieses Symbol wird für Wechselspannungsquellen aber auch für Gleichspannungsquellen z.B. in gemischten Schaltungen verwendet. Dieses Symbol wird für Wechselstromquellen und für Gleichstromquellen verwendet. Stromquellen liefern einen konstanten (von angeschlossenen Verbrauchern unabhängigen) Strom. Ihre Anschlüsse dürfen nicht unbelastet sein. Spannungsquellen haben an ihren Anschlüssen eine konstante (von angeschlossenen Verbrauchern unabhängige) Spannung. Ihre Anschlüsse dürfen nicht kurzgeschlossen werden. <?page no="13"?> 11 1.4 Pfeile für Magnetfluss und magnetische Spannung Der Magnetfluss Φ (Phi) in einem magnetischen Kreis wird durch Feldlinien symbolisch veranschaulicht. Mit Analogiebetrachtungen zwischen dem magnetischen und dem elektrische Kreis erleichtern wir uns das Verständnis von magnetischen und elektrischen Größen. Der Magnetfluss Φ ist zum elektrischen Strom Ι und die magnetische Spannung V zur elektrischen Spannung U analog. Einen magnetischen Kreis zeigt Bild 5 . Bild 5 Magnetischer Kreis mit Luftspalt Der Pfeil für den Magnetfluss Φ bezeichnet einen Magnetfluss der Stärke 5 . 10 -6 Vs, der mit dem Richtungssinn der magnetischen Feldlinien übereinstimmt. Wir definieren den Magnetfluss-Pfeil mit folgender Vereinbarung: Der Magnetfluss-Pfeil befindet sich an einem magnetischen Kreis. Das Vorzeichen der dem Pfeil zugeordneten Magnetfluss-Stärke bezeichnet den Richtungssinn der magnetischen Feldlinien. Bei positivem Vorzeichen stimmt der Richtungssinn von Magnetfluss-Pfeil und magnetischen Feldlinien überein. Bei negativem Vorzeichen hat der Magnetfluss-Pfeil den entgegengesetzten Richtungssinn zum Magnetfluss. Erregerspule Φ Ι V L Feldlinien Stromquelle Eisenkern N S w Windungen Φ = 5 10 -6 Vs V L = 50 A 1 Vs = 1 Wb • Beispiel: <?page no="14"?> 12 Der Richtungssinn des Magnetflusses wird von der Stromrichtung und dem Wicklungssinn der Erregerspule des magnetischen Kreises in Bild 5 bestimmt. Im Internationalen Einheitensystem (SI) ist als Einheit für den Magnetfluss das Weber (Wb) festgelegt. Die Definition des Weber lautet 1 Wb = 1 Vs . Der Pfeil für die magnetische Spannung V L bezeichnet die magnetische Spannung der Stärke 50 A über dem Luftspalt des magnetischen Kreises, die mit dem Richtungssinn der magnetischen Feldlinien übereinstimmt. Wir definieren den Pfeil für die magnetische Spannung mit folgender Vereinbarung: Der Pfeil für die magnetische Spannung befindet sich zwischen zwei Punkten eines magnetischen Kreises. Ist der Pfeil mit einem positiven Wert bezeichnet, befindet sich das Pfeilende an einem Nordpol und die Pfeilspitze an einem Südpol. Ist der Pfeil mit einem negativen Wert bezeichnet, befindet sich das Pfeilende an einem Südpol und die Pfeilspitze an einem Nordpol. Eine Besonderheit müssen wir beim magnetischen Kreis gegenüber dem elektrischen Stromkreis beachten: Im elektrischen Stromkreis ist die Summe aller Teilspannungen gleich der „Quellenspannung“. Eine Spannungsquelle befindet sich z.B. in Form einer Batterie an einer bestimmten Stelle im Stromkreis (siehe Bild 1 bis 4). Im magnetischen Kreis ist ebenfalls die Summe aller magnetischen Teilspannungen gleich der magnetischen Quellenspannung, bezeichnet mit dem griechischen Buchstaben Θ (Theta). Eine magnetische Spannungsquelle ist jedoch in einem magnetischen Kreis nicht konzentriert darstellbar. Die Erregerspule in Bild 5 erzeugt nach dem Durchflutungsgesetz eine magnetische Quellenspannung mit der Beziehung Die magnetische Quellenspannung ist im gesamten magnetischen Kreis wirksam und nicht etwa nur an der Stelle, an der sich die Erregerspule befindet. Man sagt, der Erregerstrom Ι und die magnetische Quellenspannung Θ sind wirbelverkoppelt. Θ = Ι w . • <?page no="15"?> 13 2 Der Zusammenhang von Zählpfeilen, Diagrammen und Formeln Ein Zählpfeil beschreibt eine elektrische oder magnetische Größe nur dann vollständig, wenn dem Zählpfeil zu jedem Zeitpunkt ein Zahlenwert einschließlich Vorzeichen und eine Einheit zugeordnet sind. Diese Bedingung ist in den Bildern 1 bis 5 für jeweils eine Größe ohne Zeitbezug erfüllt. In elektrotechnischen Schaltungen sind Spannung, Strom und magnetische Größen in der Regel Zeitfunktionen. Zur eindeutigen beschreibung der Wirkungsweise einer Schaltung müssen deren Größen an Bauelementen, Knotenpunkten und Zweigen für jeden Zeitpunkt angebbar sein. Als Beispiel sei an einem Widerstand R in Bild 6 eine Spannungs-Zeitfunktion U(t) zwischen den Punkten A und B gegeben, die durch die Gleichung und das Diagramm in Bild 6 beschrieben ist. Bild 6 Spannungs - Zeitfunktion an einem Widerstand Jetzt wollen wir für zwei Zeitpunkte in Bild 6 die Spannungsgrößen ermitteln: - Für t = 3 ms lesen wir im Diagramm ab: U(3 ms) = 3 V . Das bedeutet: Die Höhe der Spannung zwischen den Punkten A und B (über dem Widerstand) beträgt 3 V. Gemäß der in Kapitel 1 beschriebenen Zählpfeilvereinbarungen befindet sich der Pluspol der ermittelten Spannung am Punkt A der Schaltung (Zählpfeilende). Folglich befindet sich der Minuspol am Punkt B. - Für t = 7 ms lesen wir im Diagramm ab: U(7 ms) = -3 V . Das bedeutet: Die Höhe der Spannung zwischen A und B beträgt ebenfalls 3 V . Am Punkt A befindet sich jedoch jetzt der Minuspol und am Punkt B der Pluspol. Die gleichen Ergebnisse errechnen wir mit den Formeln in Bild 6 . R A B U(t) 2 4 6 8 2 4 6 0 -2 -4 -6 t / ms U / V U = 3 t - 6V ; 0 ≤ t ≤ 4 ms V ms U = -3 (t - 4 ms) + 6V ; 4 ms ≤ t ≤ 8 ms V ms <?page no="16"?> 14 An diesem Beispiel erkennen wir: Für die eindeutige Beschreibung einer Größe sind ein Zählpfeil und ein Diagramm oder ein Zählpfeil und eine Formel erforderlich. Im Beispiel von Bild 6 können wir das Diagramm mit den Formeln errechnen. Es gibt aber auch Größen in der Elektrotechnik, deren Abhängigkeiten sich nicht mit einer Formel beschreiben lassen, wohl aber mit einem Diagramm, das durch Messungen entsteht. Beispiele dafür sind Magnetisierungskurven und Kennlinien nichtlinearer Bauelemente. Dann führen Zählpfeile mit dazugehörigen Diagrammen zu eindeutigen Aussagen. In der Literatur findet man häufig Berechnungen elektrischer und magnetischer Größen, denen in einer Schaltung keine Zählpfeile zugeordnet sind. Der Betrachter muss dann zusätzlich viel überlegen, um die Schaltung zu verstehen, falls ihm das überhaupt gelingt. Auch Doppelpfeile findet man mitunter zwischen Punkten und an Leitungen einer Schaltung. Diese kennzeichnen nur die Beträge einer Größe. Dann besteht besonders in Wechsel- und Drehstromschaltungen die Gefahr einer fehlerhaften Addition oder Subtraktion von Teilspannungen. Noch eine Bemerkung zum Ablesen von Werten eines Diagramms: In Bild 6 ist als Beschriftung der Abszisse t / ms und der Ordinate U / V gewählt. Der Schrägstrich hat die Bedeutung eines Bruchstriches. Wir lesen also z.B. für den Maximalwert des Spannungsverlaufs in Bild 6 in Gleichungsform ab: t / ms = 4 und U / V = 6 . Durch Multiplikation mit der jeweiligen Einheit erhalten wir die übliche Form als Größengleichung t = 4 ms und U = 6 V . <?page no="17"?> 15 3 Gleichstromkreise 3.1 Ohmsches Gesetz Die bekannte Definitionsgleichung für den Widerstand, , auch Ohmsches Gesetz genannt, beschreibt an einem konstanten Widerstand den Zusammenhang zwischen anliegender Spannung U und durchfließendem Strom Ι. Diese Formel allein ist jedoch für Berechnungen in elektrischen Schaltungen nicht hinreichend. Erst im Zusammenhang mit einem Spannungs - und Strompfeil sind eindeutige Schaltungsberechnungen möglich. Mit den vereinbarten Zählpfeildefinitionen gilt: Haben Spannungs - und Strompfeil an einem Widerstand gleichen Richtungssinn, gilt die Formel (Vorzeichen positiv) Haben Spannungs - und Strompfeil einen entgegengesetzten Richtungssinn, gilt (Vorzeichen negativ) Diese Regeln müssen beachtet werden, weil sich im Verlauf von Netzwerkberechnungen an Widerständen ein unterschiedlicher Richtungssinn von Spannungs - und Strompfeilen ergeben kann. Diese Tatsache wird in den folgenden Kapiteln gezeigt. 3.2 Kirchhoffsche Gesetze Die Formulierungen der bekannten Kirchhoffschen Gesetze sind in der Literatur nicht einheitlich, ohne dabei vom Kern der Aussage abzuweichen. Wir einigen uns hier auf folgende Aussagen: 1. Kirchhoffsches Gesetz (Knotenpunktsatz): Die Summe aller Umlaufströme eines Knotenpunktes ist gleich null. Der in Bild 7 dargestellte Knotenpunkt als Beispiel hat 5 Zweige mit dazugehörigen Strompfeilen. Die auf den Knotenpunkt zeigenden Strompfeile addieren wir mit positivem Vorzeichen und die vom Knotenpunkt wegzeigenden Strompfeile mit negativem Vorzeichen. R = U Ι R = U Ι R U Ι R U Ι R = - U Ι <?page no="18"?> 16 Ι 5 + Ι 1 - Ι 2 + Ι 3 - Ι 4 = 0 Bild 7 Stromknoten mit Stromzählpfeilen Mit dem für die Zählung willkürlich gewählten Umlaufsinn ergibt sich die Knotenpunktgleichung in Bild 7 . Die allgemeine mathematische Form des 1. Kirchhoffschen Gesetzes lautet somit n ist die Zahl der Stromzweige am Knotenpunkt (in Bild 7 ist n = 5). Die in der Literatur zu findende Formulierung des Knotenpunktsatzes „Die Summe der zufließenden ist gleich der Summe der wegfließenden Ströme“ ist zwar richtig, jedoch sind oft zu Beginn einer Schaltungsberechnung nicht alle Stromrichtungen bekannt. Die im Bild 7 eingezeichneten Strompfeile zeigen dann nicht in die wahre Stromrichtung, wenn für diese die Schaltungsberechnung negative Zahlenwerte ergibt. 2. Kirchhoffsches Gesetz (Maschensatz): Die Summe aller Umlaufspannungen einer Masche ist gleich null. Die in Bild 8 als Beispiel dargestellte Masche hat 6 Knoten mit dazugehörigen Spannungspfeilen. U 1 + U 2 + U 3 - U 4 - U 5 - U 6 = 0 Bild 8 Masche mit Spannungszählpfeilen ∑ Ι i = 0 . i =1 n U 3 U 4 U 6 U 2 U 1 U 5 R 1 R 2 R 3 R 4 Umlaufsinn Spannungsquelle Ι 1 Ι 2 Ι 3 Ι 4 Ι 5 Umlaufsinn <?page no="19"?> 17 Die in die Richtung des willkürlich gewählten Umlaufsinnes zeigenden Spannungspfeile addieren wir mit positivem Vorzeichen, und die in die entgegengesetzte Richtung zeigenden Spannungspfeile mit negativem Vorzeichen. So erhalten wir die Maschengleichung in Bild 8 . Die allgemeine mathematische Form des 2. Kirchhoffschen Gesetzes lautet somit . n ist die Zahl der in einem Umlauf zu addierenden Spannungen (in Bild 8 ist n = 6). In der Literatur werden häufig „Urspannungen“ von Spannungsquellen und Spannungsabfällen über Widerständen in Maschen unterschiedlich behandelt. Dort haben die „Urspannungs-Zählpfeile“ einen entgegengesetzten Richtungssinn gegenüber den Zählpfeilen für Spannungsabfälle. Dann lautet der Maschensatz „Bei einem Umlauf ist die Summe der Urspannungen gleich der Summe der Spannungsabfälle“. Die Unterscheidung von zwei verschiedenen Zählpfeilarten für „Urspannung“ und Spannungsabfall nehmen wir hier nicht vor. Die von uns in Kapitel 1 vereinbarte Definition von Spannungspfeilen gilt sowohl für Spannungen an Spannungsquellen als auch für Spannungsabfälle an Widerständen. Die in Bild 8 gezeigte Masche enthält die Spannungen U 1 und U 4 , die gleichberechtigt zu den Spannungsabfällen U 2 , U 3 , U 5 und U 6 behandelt werden. Dadurch erleichtern wir uns Schaltungsberechnungen. Der Begriff „Urspannung“ ist hier überflüssig. 3.3 Berechnung von Gleichstromschaltungen mit Anwendung der Zählpfeilregeln 3.3.1 T - Schaltung mit zwei Gleichspannungsquellen Die zu berechnende Schaltung zeigt Bild 9 . Bild 9 T - Schaltung mit zwei Gleichspannungsquellen ∑ U i = 0 n i=1 U 1 E 1 U 2 E 2 U 3 R 1 R 2 R 3 Ι 1 Ι 2 Ι 3 1. Masche 2. Masche Knoten <?page no="20"?> 18 Der Begriff „T - Schaltung“ bezieht sich auf die Anordnung der drei Widerstände in Bild 9 in Form eines T . Dort bezeichnen E 1 und E 2 je eine Gleichspannungsquelle, z.B. Batterie oder Akkumulator. Als Formelzeichen für diese verwenden wir hier „ E “. Auch andere Bezeichnungen, wie U q für Spannungsquelle, sind gebräuchlich. Das E unterscheidet jedoch optisch deutlich eine Spannungsquelle von den mit U bezeichneten Spannungsdifferenzen in Schaltbildern und Formeln. In Bild 9 setzen wir voraus, dass die Werte der Spannungsquellen E 1 und E 2 sowie der Widerstände R 1 , R 2 und R 3 bekannt sind. Mit diesen bekannten Werten wollen wir die Spannungen U 1 , U 2 , U 3 und die Ströme Ι 1 , Ι 2 , und Ι 3 berechnen. Die Berechnung erfolgt zunächst mit allgemeinen Größen, ohne bestimmte Zahlenwerte. In die errechneten Formeln setzen wir später Zahlenwerte ein. Mit Anwendung der Kirchhoffschen Gesetze lesen wir in Bild 9 folgende Gleichungen ab: Für die 1. Masche - E 1 + U 1 + U 3 = 0 , für die 2. Masche - U 3 + U 2 + E 2 = 0 und für den Knoten Ι 1 - Ι 2 - Ι 3 = 0 Für die Knotenströme errechnen wir mit dem Ohmschen Gesetz: ; und . Nach Einsetzen dieser Ströme in obige Knotengleichung erhalten wir zusammen mit obigen Maschengleichungen das Gleichungssystem - E 1 + U 1 + U 3 = 0 - U 3 + U 2 + E 2 = 0 Gleichungssystem (1) . Das ist ein Gleichungssystem mit den 3 Unbekannten U 1 , U 2 und U 3 . Zweckmäßig eliminieren wir zuerst U 1 und U 2 , indem wir die obere Gleichung nach U 1 und die mittlere Gleichung nach U 2 umstellen. Die umgestellten Gleichungen setzen wir in die untere Gleichung ein. Das Ergebnis stellen wir nach U 3 um und bringen es in die Form von Gl. (2) . Diese beschreibt die erste Lösung des Gleichungssystems. Damit können wir U 3 in Bild 9 numerisch berechnen. (2) Die Lösung für U 1 erhalten wir, wenn wir Gl. (2) in die obere Gleichung des Gleichungssystems (1) für U 3 einsetzen und die erhaltene Gleichung mit Umformungen Ι 1 = U 1 R 1 Ι 2 = U 2 R 2 Ι 3 = U 3 R 3 U 1 R 1 U 2 R 2 - U 3 R 3 - = 0 U 3 = E 1 + E 2 R 1 R 2 R 1 R 2 R 1 R 3 1 + + <?page no="21"?> 19 nach U 1 umstellen. Auf einzelne Rechenschritte wird hier verzichtet. Wir empfehlen dem Leser, dazu die 1. Übungsaufgabe in Kap. 3.3.4 durchzuführen. Das Ergebnis lautet: . (3) In gleicher Weise erhalten wir Die Lösung für U 2 , wenn wir in die zweite Gleichung des Gleichungssystems (1) für U 3 Gl. (2) einsetzen und die erhaltene Gleichung mit Umformungen nach U 2 umstellen. Das Ergebnis lautet: . (4) Die Gleichungen sind so geformt, dass ihre Nenner gleich sind und dass sie bevorzugt Widerstandsverhältnisse enthalten, die dimensionslos sind. Numerische Berechnungen sind dadurch leichter durchführbar. Die Gleichungen für die Knotenströme Ι 1 , Ι 2 und Ι 3 in Bild 9 errechnen wir einfach mit dem Ohmschen Gesetz, indem wir die Gleichungen für U 1 , U 2 und U 3 durch die Widerstände R 1 , R 2 und R 3 dividieren. Um die anfängliche Aufgabenstellung vollständig zu erfüllen, schreiben wir noch die errechneten Stromgleichungen auf. Sie lauten: , (5) (6) (1 + + ) U 1 = ( + ) E 1 - E 2 R 1 R 2 R 1 R 2 R 1 R 3 R 1 R 2 R 1 R 3 U 2 = E 1 - (1 + ) E 2 (1 + + ) R 1 R 2 R 1 R 3 R 1 R 3 Ι 1 = ( + ) E 1 - E 2 R 1 R 2 R 1 (1 + + ) R 1 R 2 R 1 R 3 R 1 R 2 R 1 R 3 R 2 (1 + + ) R 1 R 2 R 1 R 3 Ι 2 = E 1 - (1 + ) E 2 R 1 R 3 <?page no="22"?> 20 und . (7) Es folgen einige numerische Berechnungen. 1. Beispiel: Wir nehmen an, dass in Bild 9 folgende Größen gegeben sind: E 1 = 6 V R 1 = 1 kΩ E 2 = 4V R 2 = 2 kΩ R 3 = 6 kΩ Mit den Formeln im Gleichungssystem (1) errechnen wir als gesuchte Größen: U 1 = 1,2 V Ι 1 = 1,2 mA U 2 = 0,8 V Ι 2 = 0,4 mA U 3 = 4,8 V Ι 3 = 0,8 mA Mit diesen Ergebnissen betrachten wir Bild 9 . Wir erkennen: Dem Strompfeil Ι 1 ist ein positiver Wert (Ι 1 = 1,2 mA) zugeordnet. Der Strom fließt somit in Pfeilrichtung. Dem Spannungspfeil E 1 ist ebenfalls ein positiver Wert (E 1 = 6 V) zugeordnet. Der Pluspol befindet sich somit auf der oberen Seite des Symbols für E 1 . Die Spannungsquelle E 1 liefert also Energie in die Schaltung. Wäre E 1 ein Akku, würde dieser entladen. Dem Strompfeil Ι 2 und dem Spannungspfeil E 2 sind ebenfalls positive Werte zugeordnet. Deshalb fließt der Strom im Inneren der Spannungsquelle E 2 vom Pluspol zum Minuspol. E 2 wird deshalb Energie zugeführt. Wäre E 2 ein Akku, würde dieser geladen. 2. Beispiel: Jetzt ändern wir den Widerstand R 3 in Bild 9 von 6 kΩ in 1 kΩ und schreiben R 3 = 1 kΩ . Die übrigen Größen bleiben gleich. Mit Gleichungssystem (1) errechnen wir die gesuchten Größen: U 1 = 2,8 V Ι 1 = 2,8 mA U 2 = - 0,8 V Ι 2 = - 0,4 mA U 3 = 3,2 V Ι 3 = 3,2 mA . Ι 3 = R 3 (1 + + ) E 1 + E 2 R 1 R 2 R 1 R 2 R 1 R 3 <?page no="23"?> 21 Jetzt erkennen wir, dass Strompfeil Ι 2 und Spannungspfeil U 2 in Bild 9 negative Werte haben. Mit der Änderung des Widerstandswertes R 3 von 6 kΩ in 1 kΩ wird somit die Spannung U 2 am Widerstand R 2 umgepolt (der Minuspol liegt am Pfeilende), und der Strom Ι 2 fließt entgegen der Pfeilrichtung. In diesem Fall liefert die Spannungsquelle E 2 Energie in die Schaltung und würde als Akku entladen. In der 2. Übungsaufgabe von Kap. 3.3.4 wird eine Überprüfung der errechneten Größen des 1. und 2. Beispiels gefordert. 3.3.2 Die Wheatstonesche Messbrücke Die Schaltung der Wheatstoneschen Messbrücke zeigt Bild 10 . Bild 10 Wheatstonesche Messbrücke R 1 R 2 R 3 R 4 R 0 U 1 U 2 U 3 U 4 U 0 Ι 1 Ι 2 Ι 3 Ι 4 Ι 0 E 1. Masche 2. Masche 3. Masche 1. Knoten 2. Knoten 3. Knoten 4. Knoten Ι E <?page no="24"?> 22 Wie bekannt, wird sie zur genauen Widerstandsmessung mit Hilfe eines Nullabgleiches verwendet. Im abgeglichenen Zustand sind Berechnungen verhältnismäßig einfach. Schwieriger sind Berechnungen im unabgeglichenen Zustand, womit wir uns jetzt befassen wollen. In der Messtechnik hat der unabgeglichene Zustand ebenfalls Bedeutung. Unser Ziel ist, in Bild 10 die Spannungen U 0 bis U 4 und die Ströme Ι 0 bis Ι 4 sowie den Gesamtstrom Ι E in Abhängigkeit von den Widerständen R 0 bis R 4 und der Spannung E zu errechnen. Die roten Strompfeile Ι 1 bis Ι 4 und Ι E ordnen wir so an, dass sie in Stromrichtung zeigen; denn wir nehmen an, dass dem Spannungspfeil E ein positiver Wert zugeordnet ist und wissen dann, dass die von E angetriebenen Ströme von Plus nach Minus fließen. Dem Strompfeil Ι 0 im Zweig von R 0 geben wir einen willkürlichen Richtungssinn, da wir vor der Berechnung nicht wissen, in welche Richtung der Strom durch R 0 fließen wird. Wir werden erkennen, dass die Stromflussrichtung durch R 0 von den Widerstandswerten der Brückenschaltung abhängt. Den grünen Spannungspfeilen U 0 bis U 4 geben wir den Richtungssinn, für den in Verbindung mit den Strompfeilen Ι 0 bis Ι 4 das Ohmsche Gesetz mit positivem Vorzeichen an allen Widerständen gilt. Mit Hilfe der Kirchhoffschen Gesetze erstellen wir ein Gleichungssystem, dessen Lösung das Ziel der Schaltungsberechnung ist. Wir beginnen mit der Erstellung der Maschengleichungen. Die kreisförmigen Hilfspfeile in Bild 10 geben einen willkürlich gewählten Umlaufsinn an, der jeweils am Punkt des Hilfspfeils beginnt. Somit lesen wir in Bild 10 folgende Maschengleichungen ab: 1. Masche: U 1 + U 0 - U 3 = 0 2. Masche: - U 0 + U 2 - U 4 = 0 Gleichungsblock (8) 3. Masche: U 3 + U 4 - E = 0 . Jetzt erstellen wir die Knotenpunktgleichungen, für die wir in Bild 10 ablesen: 2. Knoten: Ι 3 + Ι 0 - Ι 4 = 0 3. Knoten: Ι E - Ι 1 - Ι 3 = 0 Gleichungsblock (9) 4. Knoten: - Ι E + Ι 4 + Ι 2 = 0 . Die Gleichung für den 1. Knoten: Ι 1 - Ι 2 - Ι 0 = 0 , benötigen wir nicht noch zusätzlich zur Lösung des Gleichungssystems. Sie könnte wahlweise gegen die Gleichung zum 2. Knoten ausgetauscht werden. Nach dem Lösungsweg würden wir erkennen, dass damit der Rechenaufwand etwas größer wäre. Die Gleichung zum 1. Knoten muss nach der Lösung des Gleichungssystems selbstverständlich auch erfüllt werden. Schließlich müssen wir noch in die Schaltungsberechnung die als bekannt angenommenen Widerstände R 0 bis R 4 einführen. Dazu hilft uns das Ohmsche Gesetz, das für jeden Widerstand den Zusammenhang von Strom und Spannung an diesem ausdrückt. Demnach gilt mit Bezug auf Bild 10 allgemein (10) Ι n = U n R n mit n = 0, 1, 2, 3, 4 . <?page no="25"?> 23 Um den Rechenweg etwas zu erleichtern, verwenden wir zur weiteren Berechnung statt der Widerstände R n deren Leitwerte G n mit der Umrechnung (11) Mit dem Ohmschen Gesetz in Leitwertform erhalten wir als Strom durch den jeweiligen Widerstand der Wheatstoneschen Brücke in Bild 10 die Gleichungen Ι 0 = U 0 G 0 ; Ι 1 = U 1 G 1 ; Ι 2 = U 2 G 2 ; Gleichungsblock (12) Ι 3 = U 3 G 3 ; Ι 4 = U 4 G 4 . Zählen wir die zu errechnenden unbekannten Größen in Bild 10 zusammen, erhalten wir die Zahl 11 . Diese ergibt sich aus 5 Spannungen (U 0 bis U 4 ) und 6 Strömen (Ι 0 bis Ι 4 und Ι E ). Die Gleichungsblöcke (8), (9) und (12) enthalten insgesamt 11 Gleichungen. Diese sind erforderlich, um die 11 Unbekannten zu errechnen. Das erscheint sehr kompliziert. Wir zeigen jetzt, wie einfach in diesem Falle das Gleichungssystem mit 11 Unbekannten auf ein Gleichungssystem mit nur noch 5 Unbekannten (U 0 bis U 4 ) reduziert werden kann. Zuerst eliminieren wir den Gesamtstrom Ι E , der die Wheatstonesche Brücke speist. Ι E erscheint nur im Gleichungsblock (9). Nach Addition der Gleichungen zum 3. und 4. Knoten erhalten wir die Gleichung - Ι 1 + Ι 2 - Ι 3 + Ι 4 = 0 . (9a) Ι E ist jetzt eliminiert, und das Gleichungssystem hat nur noch 10 Unbekannte. Im nächsten Rechenschritt eliminieren wir alle Ströme (Ι 0 bis Ι 4 ) durch Einsetzen der Gleichungen vom Gleichungsblock (12) in die Stromgleichung zum 2. Knoten im Gleichungsblock (9) und in Gl. (9a). In Verbindung mit den Maschengleichungen im Gleichungsblock (8) erhalten wir das zur weiteren Berechnung erforderliche Gleichungssystem mit 5 Unbekannten, eingetragen im Gleichungsblock (13). U 3 G 3 + U 0 G 0 - U 4 G 4 = 0 (a) - U 1 G 1 + U 2 G 2 - U 3 G 3 + U 4 G 4 = 0 (b) Gleichungsblock (13) U 1 + U 0 - U 3 = 0 (c) - U 0 + U 2 - U 4 = 0 (d) U 3 + U 4 - E = 0 (e) . Dieses Gleichungssystem enthält als Unbekannte nur noch die Spannungen U 0 bis U 4 über den Widerständen R 0 bis R 4 . Entsprechend unserer Zielstellung wollen wir jetzt dieses Gleichungssystem nach U 0 auflösen. Deshalb eliminieren wir im Folgenden die Unbekannten U 1 bis U 4 . Wir beginnen mit dem gleichzeitigen Eliminieren der Unbekannten U 1 und U 2 , indem wir im Gleichungsblock (13) Gl. (c) nach U 1 und Gl. (d) nach U 2 umstellen. Wir erhalten somit U 1 = U 3 - U 0 und U 2 = U 0 + U 4 . Diese beiden Gleichungen setzen wir in Gl. (b) ein und erhalten (U 0 - U 3 ) G 1 + (U 0 + U 4 ) G 2 - U 3 G 3 + U 4 G 4 = 0 . (f) G n = 1 R n mit n = 0, 1, 2, 3, 4 . <?page no="26"?> 24 Diese Gleichung formen wir noch so um, dass in ihr die Spannungen U 0 , U 3 und U 4 nur einmal vorkommen. Die umgeformte Gl. (f) ergibt zusammen mit den Gln. (a) und (e) im Gleichungsblock (13) das neue Gleichungssystem mit nur noch den 3 Unbekannten U 0 , U 3 und U 4 , eingetragen im Gleichungsblock (14). U 0 (G 1 + G 2 ) - U 3 (G 1 + G 3 ) + U 4 (G 2 + G 4 ) = 0 (g) U 3 G 3 + U 0 G 0 - U 4 G 4 = 0 (a) Gleichungsblock (14) U 3 + U 4 - E = 0 (e) Als nächste Unbekannte eliminieren wir U 3 . Dazu stellen wir Gl. (e) nach U 3 um, erhalten U 3 = E - U 4 und setzen diesen Ausdruck in die Gln. (g) und (a) ein. Damit erhalten wir die Gleichungen U 0 (G 1 + G 2 ) - (E - U 4 ) (G 1 + G 3 ) + U 4 (G 2 + G 4 ) = 0 und (E - U 4 ) G 3 + U 0 G 0 - U 4 G 4 = 0 . Nach Umformungen erhalten wir mit diesen beiden Gleichungen das letzte Gleichungssytem mit nur noch U 0 und U 4 als Unbekannte, eingetragen in Gleichungsblock (15). U 0 (G 1 + G 2 ) - E (G 1 + G 3 ) + U 4 (G 1 + G 2 + G 3 + G 4 ) = 0 (h) Gleichungsblock (15) E G 3 - U 4 (G 3 + G 4 ) + U 0 G 0 = 0 (i) Zum Eliminieren von U 4 stellen wir Gl. (i) nach U 4 um, erhalten danach den Ausdruck und setzen diesen in Gl. (h) ein. Das Ergebnis lautet (16) Diese Gleichung enthält nur noch U 0 als Unbekannte. Sie ist somit die Bestimmungsgleichung für U 0 . Um U 0 allein auf eine Gleichungsseite zu bringen, stellen wir Gl. (16) mit folgenden Schritten um: 1. Gleichung mit (G 3 + G 4 ) multiplizieren. Ergebnis: U 0 (G 1 + G 2 ) (G 3 + G 4 ) - E (G 1 + G 3 ) (G 3 + G 4 ) + (E G 3 + U 0 G 0 ) (G 1 + G 2 + G 3 + G 4 ) = 0 2. Gleichung so umformen, dass U 0 und E nur noch einmal in ihr vorkommen. Ergebnis: U 0 [(G 1 + G 2 ) (G 3 + G 4 ) + G 0 (G 1 + G 2 + G 3 + G 4 )] - E [(G 1 + G 3 ) (G 3 + G 4 ) - G 3 (G 1 + G 2 + G 3 + G 4 )] = 0 U 4 = E G 3 + U 0 G 0 (G 3 + G 4 ) U 0 (G 1 + G 2 ) - E (G 1 + G 3 ) + (E G 3 + U 0 G 0 ) (G 1 + G 2 + G 3 + G 4 ) (G 3 + G 4 ) = 0 <?page no="27"?> 25 3. Im zweiten Term runde Klammern durch Multiplizieren auflösen und gleichnamige Glieder durch Subtrahieren wegheben. Der untere Term lautet dann - E [G 1 G 4 - G 2 G 3 ] . 4. Gleichung (16) nach U 0 umstellen. Ergebnis: (17) Das ist die Lösung zur Errechnung der Brückenspannung U 0 in Abhängigkeit von den Leitwerten der Widerstände in allen 5 Brückenzweigen und der angelegten Betriebsspannung E mit Hilfe der Zählpfeile in Bild 10 . Die Bedingung für den Nullabgleich der Wheatstoneschen Messbrücke geht aus Gl. (17) als Sonderfall hervor. Der Zähler in Gl. (17) wird null, wenn G 1 G 4 = G 2 G 3 . Dann ist U 0 = 0 . Umgeformt lautet die Abgleichbedingung in Leitwertform: und in Widerstandsform: oder umgestellt . Die Errechnung der weiteren unbekannten Größen bereitet keine besonderen Probleme. Wir führen hier die Rechenwege nicht im Einzelnen auf und deuten nur die Lösungswege an. Die Lösungen zu den übrigen 4 unbekannten Spannungen formen wir so, dass sie alle einen gleichen Nenner haben. Dadurch entsteht bei numerischen Berechnungen ein geringerer Prorammierungsaufwand. Die bereits bekannte Lösung für U 0 in Form der Gl. (17) verwenden wir zur Errechnung der nächsten Unbekannten. Wir wählen dafür zweckmäßig U 4 . Wir stellen in Gleichungsblock (15) Gl. (i) nach U 4 um und setzen U 0 ein. Nach Umformungen errechnen wir als Lösung (18) Als nächste unbekannte Größe errechnen wir U 3 . Wir stellen im Gleichungsblock (13) Gl. (d) nach U 2 um und setze die bereits bekannten Größen U 0 und U 4 ein. Nach Umformungen errechnen wir als Lösung . (19) U 0 = G 1 G 4 - G 2 G 3 G 0 (G 1 + G 2 + G 3 + G 4 ) + (G 1 + G 2 ) (G 3 + G 4 ) E G 1 G 2 G 3 G 4 = R 2 R 1 R 4 R 3 = R 1 R 2 R 3 R 4 = U 4 = G 0 (G 1 + G 3 ) + G 3 (G 1 + G 2 ) G 0 (G 1 + G 2 + G 3 + G 4 ) + (G 1 + G 2 ) (G 3 + G 4 ) E U 3 = G 0 (G 2 + G 4 ) + G 4 (G 1 + G 2 ) G 0 (G 1 + G 2 + G 3 + G 4 ) + (G 1 + G 2 ) (G 3 + G 4 ) E <?page no="28"?> 26 In ähnlicher Weise errechnen wir als nächste Unbekannte U 2 . Wir stellen im Gleichungsblock (13) Gl. (d) nach U 2 um und setzen die bereits bekannten Größen U 0 und U 4 ein. Nach Umformungen errechnen wir als Lösung . (20) Schließlich errechnen wir als letzte unbekannte Spannungsgröße U 1 . Wir stellen im Gleichungsblock (13) Gl. (c) nach U 1 um und setzen die bereits errechneten Größen U 0 und U 3 ein. Nach Umformungen erhalten wir als Lösung . (21) Wir erkennen, dass alle 5 Gleichungen zu den Spannungsgrößen den gleichen Nenner haben. Die Gleichungen unterscheiden sich nur durch verschiedene Zähler. 3.3.3 Die Stern ↔ Dreieck - Transformation Eine Brückenschaltung wie in Bild 10 soll als Widerstandsnetzwerk gegeben sein. Besteht die Aufgabe, den Ersatzwiderstand zwischen den Knoten 3 und 4 zu berechnen, gibt es ein Problem: Es ist nicht möglich, die schaltungsinternen Widerstände durch Reihen- und Parallelschaltungen schrittweise zu ersetzen, bis nur noch ein Ersatzwiderstand vorliegt. Die Lösung des Problems ermöglicht die Stern ↔ Dreieck - Transformation. Dazu betrachten wir vorerst nur qualitativ die Brückenschaltung oben links in Bild 11a , deren Ersatzwiderstand an den Anschlüssen A und B gebildet werden soll. Auf dem ersten Lösungsweg beginnen wir mit der Dreieck - Stern - Transformation: Das linke Widerstandsdreieck zwischen den Knoten 1 , 2 und 3 ersetzen wir durch einen Widerstandsstern an den gleichen Knoten. Dieser Widerstandsstern muss so bemessen werden, dass sich die Brückeneigenschaften an den Anschlüssen A und B nicht verändern. Danach entsteht die Ersatzschaltung oben rechts in Bild 11a . Das Umzeichnen in eine übersichtlichere Form ergibt die Schaltung unten links. Diese enthält alle Knoten der Brückenschaltung. Der Knoten 0 ist neu entstanden. An den Knoten 1 und 2 liegen je zwei Widerstände in Reihe. Deren Summen bilden eine Parallelschaltung, die durch einen Widerstand zwischen den Knoten 0 und 4 ersetzt wird. Die Summe dieses Widerstandes mit dem Widerstand an den Knoten 3 und 0 ergibt den gesuchten Ersatzwiderstand der Brückenschaltung an den Anschlüssen A und B in Bild 11a unten rechts. Die Berechnung der Widerstandswerte für die äquivalente Sternschaltung mit den gegebenen Widerstandswerten der Dreieckschaltung erfolgt mit den Regeln der Dreieck - Stern - Transformation, die wir im Anschluss an die qualitativen Betrachtungen behandeln. U 2 = G 0 (G 1 + G 3 ) + G 1 (G 3 + G 4 ) G 0 (G 1 + G 2 + G 3 + G 4 ) + (G 1 + G 2 ) (G 3 + G 4 ) E U 1 = G 0 (G 2 + G 4 ) + G 2 (G 3 + G 4 ) G 0 (G 1 + G 2 + G 3 + G 4 ) + (G 1 + G 2 ) (G 3 + G 4 ) E <?page no="29"?> 27 Bild 11a Ersatzwiderstandsbildung durch Dreieck - Stern -Transformation Als zweiten Weg betrachten wir die Stern - Dreieck - Transformation: Die drei Widerstände der Brückenschaltung am Knoten 1 in Bild 10 bilden einen Stern. Zur besseren Veranschaulichung des Sterns stellen wir die Brückenschaltung in Bild 11b oben links verzerrt dar. Den Widerstandsstern an den Knoten 2 , 3 , und 4 ersetzen wir durch ein Widerstandsdreieck an den gleichen Knoten und erhalten die Ersatzschaltung mit unveränderten Eigenschaften oben rechts. Der Knoten 1 entfällt. Bild 11b Ersatzwiderstandsbildung durch Stern - Dreieck -Transformation 1 2 3 4 0 A B 1 2 4 3 A B 4 3 A B A B 3 1 2 0 4 B A 4 3 2 1 3 4 2 A B A B 3 2 4 4 3 A B <?page no="30"?> 28 Die umgezeichnete übersichtlichere Form zeigt die Schaltung unten links. Zwischen den Knoten 2 und 3 sowie 2 und 4 liegen je zwei parallele Widerstände. Diese ergeben einen Ersatzwiderstand parallel zu einem weiteren Widerstand zwischen den Knoten 3 und 4 . Aus der so errechneten Parallelschaltung ergibt sich der an den Anschlüssen A und B der Brückenschaltung gesuchte Ersatzwiderstand, dargestellt unten rechts. Zur folgenden quantitativen Behandlung der Stern ↔ Dreieck - Transformation verwenden wir die überlagerte Darstellung einer Dreieck- und einer Sternschaltung in Bild 12a . Bild 12a Überlagerte Darstellung einer Dreieck- und einer Sternschaltung Die Widerstände in den Dreieckseiten enthalten im Index ein Δ und die Widerstände in den Sternzweigen ein . Sind die Widerstandswerte der Dreieckschaltung gegeben, müssen mit diesen die Widerstandswerte einer äquivalenten Sternschaltung errechenbar sein (Dreieck- Stern-Transformation). Umgekehrt müssen mit gegebenen Werten der Sternschaltung die Widerstandswerte einer äquivalenten Dreieckschaltung errechenbar sein (Stern-Dreieck-Transformation). Das Gleiche gilt selbstverständlich auch für Leitwerte. Zur Vorbereitung der Berechnungen trennen wir die überlagerte Dreieck- und Sternschaltung in Bild 12a und stellen sie in drei verschiedenen Lagen in Bild 12b dar. Jede Schaltung in Bild 12b nennen wir einen „Vierpol“. Die Bezeichnungen der Widerstände und Anschlüsse in Bild 12a sind mit denen der Vierpole in Bild 12b identisch. Die Vierpole in der linken Bildhälfte ersetzen die Dreieckschaltung und die Vierpole in der rechten Bildhälfte die Sternschaltung. Die linken Anschlüsse des Vierpols nennen wir „Eingang“ und die rechten Anschlüsse „Ausgang“. Die gestrichelten Linien „K“ am Ausgang der Vierpole bilden einen wahlweise zuschaltbaren „Kurzschluss“. Zusätzlich sind die Widerstände „R“ mit ihrem zugehörigen Leitwert „G“ bezeichnet. So gilt z.B. G 3Δ = 1 / R 3Δ oder = 1 / . Die nächsten Bearbeitungsschritte mit Bild 12b sind: • Berechnung der Eingangswiderstände der sechs Vierpole bei offenem Ausgang (Leerlauf: Index L, Verbindung K entfällt). 1 2 3 R 3 R 1 R 2 R 2 R 3 R 1 0 G 1 R 1 <?page no="31"?> 29 Bild 12b Vierpol - Ersatzschaltungen zu Bild 12a R 2 G 2 R 1 G 1 R 3 G 3 1 2 2 3 R 12 L G 12 K K 1 2 2 3 K R 1 G 1 R 3 G 3 R 2 G 2 R 12 L G 12 K R 3Δ (R 1Δ + R 2Δ ) R 1Δ + R 2Δ + R 3Δ R 12ΔL = G 12ΔK = G 2Δ + G 3Δ R 12 L = + R 1 L R 2 L + + ( + ) G 1 G 12 K = G 2 G 3 G 1 G 2 G 3 = = R 1 G 1 R 3 G 3 R 2 G 2 3 1 1 2 R 31 L G 31 K K 3 1 1 2 K R 3 G 3 R 2 G 2 R 1 G 1 R 31 L G 31 K R 2Δ (R 3Δ + R 1Δ ) R 1Δ + R 2Δ + R 3Δ R 31ΔL = G 31ΔK = G 1Δ + G 2Δ R 31 L = + R 3 L R 1 L + + ( + ) G 3 G 31 K = G 1 G 2 G 1 G 2 G 3 = = R 3 G 3 R 2 G 2 R 1 G 1 2 3 3 1 R 23 L G 23 K K 2 3 3 1 K R 2 G 2 R 1 G 1 R 3 G 3 R 23 L G 23 K R 1Δ (R 2Δ + R 3Δ ) R 1Δ + R 2Δ + R 3Δ R 23ΔL = G 23ΔK = G 3Δ + G 1Δ R 23 L = + R 2 L R 3 L + + ( + ) G 2 G 23 K = G 3 G 1 G 1 G 2 G 3 = = <?page no="32"?> 30 • Berechnung der Eingangsleitwerte der sechs Vierpole bei kurzgeschlossenem Ausgang (Kurzschluss: Index K, Verbindung K ist vorhanden). Sowohl die Dreieckals auch die Sternschaltung in Bild 12a besitzen drei Anschlusspaare: 1-2, 2-3, und 3-1 . Die pro Anschlusspaar gemessenen Widerstände und Leitwerte müssen bei der Dreieckschaltung und der äquivalenten Sternschaltung gleich sein. Zu deren Berechnung dienen die Vierpol-Ersatzschaltungen in Bild 12b . Jedem Anschlusspaar ist ein Bildfeld zugeordnet. Zunächst betrachten wir das obere Bildfeld: In diesem ist der linke Vierpol eine anders gezeichnete Form der Dreieckschaltung von Bild 12a , auch Pi-Schaltung genannt. Im Vierpol erscheint Anschluss 2 doppelt. Er bildet den Bezugsanschluss für den Eingang und Ausgang des Vierpols. Der rechte Vierpol im oberen Bildfeld ist eine anders gezeichnete Form der Sternschaltung von Bild 12a , auch T-Schaltung genannt. Zusätzlich zu den Bezeichnungen der Widerstände sind die Leitwertbezeichnungen in Bild 12b eingetragen. Unter den Vierpolen befinden sich die aus den Vierpolschaltungen hervorgehenden Formeln für die Eingangswiderstände bei offenem Ausgang und für die Eingangsleitwerte bei kurzgeschlossenem Ausgang. Die geforderte Gleichheit dieser Eingangsgrößen drücken die hervorgehobenen Gleichheitszeichen aus. Es sind Ähnlichkeiten zwischen den Formeln für den „Leerlauf-Eingangswiderstand“ und den „Kurzschluss- Eingangsleitwert“ erkennbar. Mit den in Bild 12b erstellten Formeln sind anschließend die Transformationsgleichungen einfach ableitbar. Die Vierpole und Formeln im mittleren und unteren Feld von Bild 12b haben die gleiche Struktur wie im oberen Feld. Dreht man Bild 12a um 120° im Uhrzeigersinn, ergeben sich die Anschlussbezeichnungen der Vierpole im mittleren Feld. In diesem ist Anschluss 3 der Bezugsanschluss. Die Indizes der Widerstände und Leitwerte richten sich nach den Anschlussbezeichnungen. Dreht man Bild 12a um weitere 120°, bilden Anschluss 1 den Bezugsanschluss und Anschlusspaar 3-1 den Vierpoleingang. Mit den Gleichungen in Bild 12b leiten wir die Bestimmungsgleichungen zur Stern ↔ Dreieck - Transformation wie folgt ab: 1. Dreieck - Stern - Transformation Für die Dreieck - Stern - Transformation verwenden wir die Widerstandsformeln in Bild 12b . Aus dem oberen Bildfeld entnehmen wir die Gleichung . (22a) Aus dem mittleren Bildfeld entnehmen wir die Gleichung (22b) R 1Δ + R 2Δ + R 3Δ R 3Δ (R 1Δ + R 2Δ ) = R 1 + R 2 R 1Δ + R 2Δ + R 3Δ R 1Δ (R 2Δ + R 3Δ ) = R 2 + R 3 <?page no="33"?> 31 und aus dem unteren Bildfeld entnehmen wir die Gleichung . (22c) Die Gln. (22a) , (22b) und (22c) bilden ein Gleichungssystem mit den Unbekannten , und . Dieses lösen wir nach der Additionsmethode. Zunächst errechnen wir : Indem wir von Gl. (22a) Gl. (22b) subtrahieren, eliminieren wir und erhalten das Zwischenergebnis . Danach addieren wir Gl. (22c) und erhalten das Ergebnis . Nach Division durch 2 erhalten wir die Bestimmungsgleichung für den ersten Widerstand der äquivalenten Sternschaltung . (23a) Die weiteren Rechenschritte erläutern wir stichwortartig: Bestimmung von : Von Gl. (22b) Gl. (22c) subtrahieren und Gl. (22a) addieren. Danach durch 2 dividieren. Bestimmungsgleichung: . (23b) Bestimmung von : Von Gl. (22c) Gl. (22a) subtrahieren und Gl. (22b) addieren. Danach durch 2 dividieren. Bestimmungsgleichung: . (23c) 1. Merkhilfe: Der Widerstand eines Sternzweiges errechnet sich aus dem Produkt der Widerstände der Dreieckseiten am gleichen Anschluss geteilt durch die Widerstandssumme der Dreieckseiten. R 1 R 3 R 2 R 1 R 1Δ + R 2Δ + R 3Δ R 2Δ R 3Δ R 1 = R 1Δ + R 2Δ + R 3Δ R 2Δ (R 3Δ + R 1Δ ) = R 3 + R 1 R 2 R 1 R 3 − = R 2Δ R 3Δ − R 1Δ R 2Δ R 1Δ + R 2Δ + R 3Δ R 1Δ + R 2Δ + R 3Δ 2 R 2Δ R 3Δ 2 R 1 = R 1Δ + R 2Δ + R 3Δ R 1Δ R 2Δ R 3 = R 3 R 1Δ + R 2Δ + R 3Δ R 3Δ R 1Δ R 2 = R 2 <?page no="34"?> 32 2. Stern - Dreieck - Transformation Für die Stern - Dreieck - Transformation verwenden wir die Leitwertformeln in Bild 12b . Aus dem oberen Bildfeld entnehmen wir die Gleichung . (24a) Aus dem mittleren Bildfeld entnehmen wir die Gleichung , (24b) und aus dem unteren Bildfeld entnehmen wir die Gleichung . (24c) Die Gleichungen (24a) , (24b) und (24c) bilden ein Gleichungssystem mit den Unbekannten G 1Δ , G 2Δ und G 3Δ . Die Struktur dieses Gleichungssystems ist analog zu dem der Dreieck - Stern - Transformation. Die Bestimmungsgleichung für den Leitwert G 1Δ errechnen wir, indem wir zunächst von Gl. (24c) Gl. (24a) subtrahieren und dadurch G 2Δ eliminieren. Das Zwischenergebnis lautet . Zu diesem addieren wir Gl. (24b) , wodurch wir G 3Δ eliminieren, und erhalten die Gleichung , die nach Division durch 2 die Bestimmungsgleichung (25a) ergibt. Die weiteren Rechenschritte sind in Stichworten: Bestimmung von G 2Δ : Von Gl. (24a) Gl. (24b) subtrahieren und Gl. (24c) addieren. Danach Division durch 2 : G 2Δ + G 3Δ = G 1 + G 2 + G 3 G 1 (G 2 + G 3 ) G 3Δ + G 1Δ = G 1 + G 2 + G 3 G 2 (G 3 + G 1 ) G 1Δ + G 2Δ = G 1 + G 2 + G 3 G 3 (G 1 + G 2 ) G 1Δ − G 3Δ = G 2 G 3 − G 1 G 2 G 1 + G 2 + G 3 2 G 1Δ = 2 G 2 G 3 G 1 + G 2 + G 3 G 1Δ = G 2 G 3 G 1 + G 2 + G 3 <?page no="35"?> 33 Bestimmungsgleichung : . (25b) Bestimmung von G 3Δ : Von Gl. (24b) Gl. (24c) subtrahieren und Gl. (24a) addieren. Danach Division durch 2 : Bestimmungsgleichung : . (25c) 2. Merkhilfe: Der Leitwert einer Dreieckseite errechnet sich aus dem Produkt der Leitwerte der an den Anschlüssen der gleichen Dreieckseite liegenden Sternzweige geteilt durch die Leitwertsumme der Sternzweige. Da die Umrechnungsformeln zur Stern - Dreieck - Transformation auch in der Widerstandsform gewünscht werden, leiten wir diese durch Einsetzen reziproker Werte in die Leitwertformeln ab. Mit Gl. (25a) erhalten wir dadurch die Gleichung und deren Kehrwert . Jetzt multiplizieren wir Zähler und Nenner mit dem Ausdruck . Das Ergebnis bringen wir in die endgültige Form . (26a) Das ist die erste Gleichung zur Stern - Dreieck - Transformation in Widerstandsform. Die zwei weiteren Gleichungen für die Widerstände der Dreieckseiten werden in der gleichen Weise abgeleitet. Außerdem erhält man die Ergebnisse durch zyklische Vertauschung der Indizes, so dass wir sofort schreiben können: (26b) R 1 1 R 2 1 R 3 1 ( + + ) R 3 1 R 2 1 R 1Δ 1 = R 3 1 R 2 1 R 1Δ = R 1 1 R 2 1 R 3 1 ( + + ) R 1 R 2 R 3 R 1Δ = + + R 1 R 2 R 2 R 3 R 3 R 2Δ = + + R 2 R 3 R 3 R 1 R 1 G 2Δ = G 3 G 1 G 1 + G 2 + G 3 G 3Δ = G 1 G 2 G 1 + G 2 + G 3 <?page no="36"?> 34 und . (26c) Die Regeln der Stern ↔ Dreieck - Transformation gelten auch für komplexe Widerstände in der Wechsel- und Drehstromtechnik. Mit mehrfacher Anwendung der Stern ↔ Dreieck - Transformation lassen sich beliebige Widerstandsnetzwerke auf einen Ersatzwiderstand zurückführen. Ein Beispiel ist die Errechnung des Ersatzwiderstandes zwischen zwei diametralen Ecken eines Würfels, dessen Kanten durch Widerstände mit unterschiedlichen Werten gebildet werden. Die Berechnung ist mit einem hohen Aufwand verbunden und wird hier nicht durchgeführt. 3.3.4 Übungsaufgaben 1. Beweise die Richtigkeit der Gl. (3) zur T - Schaltung in Bild 9 durch Einsetzen von Gl. (2) in die obere Gleichung des Gleichungssystems (1) und Umformung nach U 1 . 2. Überprüfe, ob die errechneten Größen des 1. und 2. Beispiels zur T - Schaltung in Bild 9 die kirchhoffschen Knotenpunkt- und Maschengleichungen erfüllen. 3. In der Schaltung der Wheatstoneschen Messbrücke in Bild 10 sind folgende Größen gegeben: E = 6 V R 0 = 2 kΩ R 1 = 1 kΩ R 3 = 1 kΩ R 4 = 1 kΩ . Errechne mit Hilfe von Gl. (17) die Funktion U 0 = f (R 2 ) und zeichne das Bild der Funktion im Bereich 0 ≤ R 2 ≤ 5 kΩ . Hinweis: Empfohlene Widerstandswerte für R 2 in der Wertetabelle: R 2 / kΩ = 0; 0,25; 0,5; 0,75; 1; 1,5; 2; 2,5; 3; 3,5; 4; 4,5; 5 . Bei welchem Wert von R 2 ist die Brücke abgeglichen ? R 3Δ = + + R 3 R 1 R 1 R 2 R 2 <?page no="37"?> 35 4. Errechne den Ersatzwiderstand der Wheatstoneschen Brücke in Bild 10 zwischen dem 3. und 4. Knoten mit folgenden Widerständen: R 0 = 250 Ω R 1 = 100 Ω R 2 = 90 Ω R 3 = 150 Ω R 4 = 65 Ω Rechne dazu das Widerstandsdreieck an den Knoten 1 , 2 und 3 in einen Widerstandsstern um. 5. Errechne den Ersatzwiderstand in Aufgabe 4. durch Umwandlung des Widerstandssterns am 1. Knoten in ein Widerstandsdreieck. <?page no="38"?> 36 4 Das Durchflutungsgesetz Laut Durchflutungsgesetz wird der einen stromdurchflossenen Leiter umgebende Raum von einem Magnetfluss Φ durchflutet, wie Bild 13 zeigt. Den Magnetfluss veranschaulichen Feldlinien in Form konzentrischer Kreise um den Leiter. Eine einfache Form des Durchflutungsgesetzes beschreibt die Gleichung Θ = Ι . (27) Darin bezeichnen Ι den Strom, der durch den Leiter fließt und Θ die magnetische Urspannung als Ursache des Magnetflusses im umgebenden Raum. Bild 13 Stromdurchflossener Leiter erzeugt Magnetfluss Die Abhängigkeit des Richtungssinnes von Strom und Magnetfluss ergibt die bekannte „Korkenzieherregel“. Sie besagt: „Fließt der technische Strom in Vorschubrichtung des Korkenziehers, zeigen die magnetischen Feldlinien in Drehrichtung des Korkenziehers“. Da in diesem Fall der Drehsinn des Korkenziehers mit dem Drehsinn des Uhrzeigers übereinstimmt, spricht man auch von „Uhrzeigerregel“. Auch ist der Begriff „Rechtsschraubenregel“ üblich. In Bild 13 bezeichnet Ι einen Stromzählpfeil, der in die Bildebene hineinzeigt, dargestellt durch ein liegendes Kreuz. Θ bezeichnet einen Zählpfeil für die magnetische Urspannung. Er hat hier die Form eines Kreises. Somit liegen Pfeilspitze und Pfeilende auf einem Punkt. Gehorchen die Zählpfeile für Ι und Θ der Korkenzieherregel wie in Bild 13, haben beide Seiten der Gleichung zum Durchflutungsgesetz ein positives Vorzeichen (wird nicht mitgeschrieben). Der Richtungssinn der Feldlinien stimmt in diesem Fall mit dem Richtungssinn des Zählpfeiles für die magnetische Urspannung überein. Ohne physikalisch etwas zu ändern, betrachten wir jetzt die noch möglichen Darstellungsvarianten mit den Zählpfeilen für Strom und magnetischer Urspannung, wie in Bild 14 dargestellt: Durchflutungsgesetz: Θ = Ι Beispiel: Ι = 1 A Θ = 1 A Φ Θ Ι Feldlinien <?page no="39"?> 37 1. Variante 2. Variante 3. Variante Bild 14 Darstellungsvarianten zum Durchflutungsgesetz mit Zählpfeilen 1. Variante Zählpfeil Θ hat gegenüber Bild 13 einen entgegengesetzten Richtungssinn. Deshalb muss für die gleichen physikalischen Verhältnisse in der Formel zum Durchflutungsgesetz vor Θ das negative Vorzeichen stehen. 2. Variante Zählpfeil Ι hat gegenüber Bild 13 einen entgegengesetzten Richtungssinn. Deshalb muss in der Formel zum Durchflutungsgesetz vor Ι das negative Vorzeichen stehen. Φ Θ Ι Φ Θ Ι Θ = Ι Beispiel: Ι = 1 A Θ = 1 A Θ = Ι Beispiel: Ι = 1 A Θ = 1 A Θ = Ι Beispiel: Ι = 1 A Θ = 1 A Φ Θ Ι <?page no="40"?> 38 3. Variante Die Zählpeile Θ und Ι haben gegenüber Bild 13 einen entgegengesetzten Richtungssinn. Deshalb muss in der Formel zum Durchflutungsgesetz sowohl vor Θ als auch vor Ι das negative Vorzeichen stehen, um die gleichen physikalischen Verhältnisse wie in Bild 13 zu beschreiben. Drehen wir in allen drei Varianten jeweils die Zählpfeile um, denen negative Größen zugeordnet sind, erhalten wir die in Bild 13 dargestellten wahren physikalischen Zusammenhänge. Der Sinn dieser Betrachtungen wird deutlich, wenn wir später Berechnungen mit Wechselgrößen durchführen. In der Praxis wirkt das Durchflutungsgesetz z. B. in Elektromagneten und Transformatoren. Der stromdurchflossene Leiter besteht dann meistens aus mehreren Leitern, die Bestandteil einer Wicklung mit w Windungen sind, wie in Bild 15 dargestellt. In der Regel wird der Magnetfluss durch Eisen geleitet, das einen sehr geringen magnetischen Widerstand R m besitzt. Ein magnetischer Kreis aus Eisen muss kein geometrischer Kreis sein. Er kann auch andere Formen, z.B. eine rechteckige Form wie in Transformatoren haben. Die stromdurchflossenen Leiter müssen sich nicht in der Mitte eines magnetischen Kreises befinden. Ein Beispiel enthält Bild 5 . Die Zusammenhänge von elektrischen und magnetischen Größen in Verbindung mit dem Durchflutungsgesetz sind in Bild 15 an einem magnetischen Eisenkreis mit Luftspalt dargestellt. Bild 15 Magnetischer Kreis mit Zählpfeilen Θ = Ι w Θ = V Fe + V L V Fe = Φ R mFe V L = Φ R mL R m = R mFe + R mL Φ = Ι w R m Ι w Φ V L V Fe Θ R mFe R mL <?page no="41"?> 39 Bild 15 enthält Zählpfeile für den Strom Ι (als liegendes Kreuz dargestellt) , die magnetischen Spannungen Θ , V Fe , V L und den Magnetfluss Φ . Im Inneren des magnetischen Kreises befinden sich mehrere stromdurchflossene Leiter, deren Anzahl bezeichnen wir mit w . Diese Leiter können z.B. Teil einer Wicklung sein und werden somit vom gleichen Strom Ι durchflossen . Der für die Erzeugung des Magnetflusses wirksame Gesamtstrom errechnet sich demnach als Produkt von Ι mal w . Mit Bezug auf Bild 15 lautet somit die allgemeine Form des Durchflutungsgesetzes Θ = Ι w . (28) Deshalb spricht man auch von „Amperewindungen (Aw)“. Die korrekte Einheit für die magnetische Urspannung ist jedoch das Ampere (A). Nur damit sind elektrotechnische Berechnungen widerspruchsfrei durchführbar. Die Bezeichnung „Windung“ ist dimensionslos und wird als Zählgröße bei Wicklungen verwendet. In elektrischen Stromkreisen ist das Ampere die Einheit für den Strom. Der aus Eisen (lat. Ferrum) bestehende Teil des magnetischen Kreises ist grau gezeichnet. Dessen magnetischen Widerstand bezeichnen wir mit R mFe . Der restliche Teil des magnetischen Kreises besteht aus einer Luftstrecke. Deren magnetischen Widerstand bezeichnen wir mit R mL . Der Gesamtwiderstand des magnetischen Kreises errechnet sich daraus als die Summe R m = R mFe + R mL . (29) Allen Zählpfeilen in Bild 15 sollen positive Größen zugeordnet sein. Dann erfüllen die Zählpfeile für den Magnetfluss und die magnetischen Spannungen in Verbindung mit den Strompfeilen die Korkenzieherregel. Deshalb entspricht der Richtungssinn der magnetischen Feldlinien dem Drehsinn des Uhrzeigers. In Bild 15 bezeichnen V Fe die magnetische Spannung über der Eisenstrecke, V L die magnetische Spannung über der Luftstrecke und Θ die magnetische Urspannung. Als Zusammenhang dieser drei Größen liest man in Bild 15 ab Θ = V Fe + V L . (30) Die magnetischen Spannungen im magnetischen Kreis werden analog zu den elektrischen Spannungen im elektrischen Kreis addiert. Beim Zählpfeil für die magnetische Urspannung treffen sich Pfeilspitze und Pfeilende an der gleichen Stelle. Ein Messmittel für magnetische Spannungen ist die Rogowski - Spule 1 ) in Verbindung mit einem Kriechgalvanometer. Für die Zusammenhänge zwischen magnetischer 1 ) Walter Rogowski, 1881-1947, Professor an der TH Aachen. <?page no="42"?> 40 Spannung, magnetischem Widerstand und Magnetfluss gelten analog zum Ohmschen Gesetz folgende Beziehungen: Für die Eisenstrecke: V Fe = Φ R mFe Für die Luftstrecke: V L = Φ R mL Für den gesamten magnetischen Kreis: Θ = Φ (R mFe + R mL ) . Ein praktisches Beispiel einer Anordnung nach Bild 15 jedoch ohne Luftspalt ist im Fehlerstrom - Schutzschalter (FI) der Summenstromwandler. In diesem besteht der magnetische Kreis aus einer Wicklung aus ferromagnetischem Material. Durch diesen magnetischen Eisenkreis werden die Leitungen zu Verbrauchern eines Wechsel- oder Drehstromnetzes geführt. Im fehlerfreien Fall ist die Summe der momentanen Leitungsströme in jedem Zeitpunkt gleich null. Dann ist laut Durchflutungsgesetz auch die magnetische Urspannung gleich null. Das bedeutet, es fließt kein Fehlerstrom, und der FI - Schutzschalter wird nicht ausgelöst. Im Fehlerfall fließt ein Fehlerstrom über den Schutzleiter außerhalb des Summenstromwandlers, wodurch die Stromsumme ungleich null ist. Ein dadurch induzierter Sekundärstrom löst den FI- Schutzschalter aus, der die angeschlossenen Verbraucher allpolig abschaltet. 4.1 Das Motorprinzip Das Motorprinzip beruht auf der Kraftwirkung eines stromdurchflossenen Leiters im Magnetfeld. In Bild 15a wird gezeigt, wie sich die Magnetfelder eines stromdurchflossenen Leiters und ein äußeres Magnetfeld um den Leiter beeinflussen. Bild 15a Kraftwirkung eines stromdurchflossenen Leiters im Magnetfeld Die Feldlinien des vom Strom I durchflossenen Leiters in der linken Hälfte von Bild 15a umgeben diesen gemäß der Korkenzieherregel zum Durchflutungsgesetz im Uhrzeigersinn. Die Feldlinien des äußeren Magnetfeldes B verlaufen parallel von oben nach unten. Auf der rechten Leiterseite haben die Feldlinien des Leiters und des äußeren Magnetfeldes den gleichen Richtungssinn, wodurch sich dort die Feldliniendichte erhöht. Auf der linken Leiterseite sind die genannten Feldlinien entgegengesetzt gerichtet, wodurch sich dort die Feldliniendichte verringert. Den resultieren- I B F <?page no="43"?> 41 den Feldlinienverlauf zeigt die rechte Hälfte von Bild 15a . Parallel verlaufende magnetische Feldlinien streben umso stärker auseinander, je dichter sie sind. Deshalb wirkt auf den stromdurchflossenen Leiter eine nach links gerichtete Kraft F . Diesen physikalischen Zusammenhang beschreibt die Linke- Hand-Regel: Halte die linke Hand so, dass die magnetischen Feldlinien in den Handteller fallen und die Fingerspitzen in Stromrichtung zeigen. Dann zeigt der abgespreizte Daumen in Kraftrichtung des Leiters. Diese Kraft versucht also den Leiter nach links aus dem Magnetfeld zu bewegen. Zur quantitativen Bestimmung dieser Kraft führen wir einen Energievergleich mit Hilfe von Bild 15b durch: In einem homogenen Magnetfeld B befindet sich ein Leiter der Länge l . Durch diesen fließt ein konstanter Strom I im Stromkreis einer Stromquelle Q i . Dieser Stromkreis bildet eine Windung. Nach der Linke-Hand-Regel entsteht eine Kraft F , die den Leiter nach links bewegen will. Es soll möglich sein, dass sich der Leiter um den kleinen Weg Δs mit der Geschwindigkeit v in der Zeit Δt bewegt. Dazu wird eine kleine mechanische Energie ΔW m = F Δs benötigt, die als elektrische Energie ΔW e = E I Δt von der Stromquelle geliefert wird. Nach dem Gesetz von der Erhaltung der Energie ergibt ein Energievergleich ΔW m = ΔW e und somit F Δs = E I Δt . Nach Umstellung erhalten wir die Gleichung und mit der Geschwindigkeitsformel die Gleichung F v = E I . (31) In dieser Gleichung ist die Spannung E noch zu bestimmen, die auch mit Spannungspfeil in Bild 15b eingetragen ist. Wird der als widerstandslos angenommene Leiter im Magnetfeld festgehalten, entsteht keine Induktionsspannung (E = 0). Bewegt er sich jedoch mit der Geschwindigkeit v , entsteht nach dem Generatorprinzip (siehe nächstes Kapitel) eine Induktionsspannung der Größe E = B l v (siehe Gl. (34)) . Nach Einsetzen dieser Beziehung in Gl. (31) erhalten wir die Gleichung F v = B l v I und nach Kürzen von v das elektrodynamische Kraftgesetz F = B l I . (32) F = E I Δs Δt v = Δs Δt <?page no="44"?> 42 Zur Bestimmung der Kraftrichtung dient die Linke-Hand-Regel. Den Betrag der Kraft bildet das Produkt von magnetischer Kraftflussdichte B , Leiterlänge l und Stromstärke I im Leiter. Das elektrodynamische Kraftgesetz bildet die Grundlage für die Wirkungsweise von Elektromotoren. Bild 15b Zum elektrodynamischen Kraftgesetz S B N l Δs I E + − ΔA F v 1 Windung Q i <?page no="45"?> 43 5 Das Induktionsgesetz Laut Induktionsgesetz erzeugt ein sich ändernder Magnetfluss in einem den Magnetfluss umfassenden Stromkreis eine elektrische Spannung, die einen elektrischen Strom antreibt. Eine grundlegende Anordnung dazu zeigen die Bilder 16a und 16b . Bild 16a Magnetflussänderung erzeugt elektrische Spannung Bild 16b Erzeugte Spannung treibt elektrischen Strom an Induktionsgesetz: E = ΔΦ Δt Beispiel: ΔΦ = 10 - 5 Vs Δt = 10 - 3 s E = 10 mV Feldlinien Leiter + - Induktionsstrom: Ι = E R R = R i + R a Beispiel: E = 10 mV R = 10 Ω Ι = 1 mA Φ E R a R i Ι + - Φ E <?page no="46"?> 44 In Bild 16a umfasst ein ringförmiger Leiter den Magnetfluss Φ , dessen Zählpfeil in Form eines liegenden Kreuzes und auch die magnetischen Feldlinien in die Bildebene hineinzeigen. An der oberen Stelle im Bild ist der Leiter unterbrochen und hat dort zwei Kontakte zum Anschluss eines Spannungsmessers (nicht eingezeichnet). Nach dessen Anschluss umfasst der Leiterkreis vollständig den Magnetfluss. Der Spannungspfeil E kennzeichnet die induzierte Spannung. Solange sich der Magnetfluss nicht ändert, ist die Spannung E gleich null. Erst eine Änderung des Magnetflusses erzeugt (induziert) in der Leiterschleife eine elektrische Spannung. Laut Induktionsgesetz ergibt sich in Bezug auf Bild 16a und 16b folgender Zusammenhang von Magnetflussänderung und induzierter Spannung an den Kontakten der den Magnetfluss umfassenden Leiterschleife: Nimmt der Magnetfluss in der Leiterschleife zu, entsteht an deren Kontakten eine Spannung E proportional zur Änderungsgeschwindigkeit ΔΦ / Δt , die bei Anschluss eines Widerstandes einen Strom Ι im Gegenuhrzeigersinn durch die Leiterschleife treibt. Nimmt der Magnetfluss mit gleicher Änderungsgeschwindigkeit ab, ändern Spannung und Strom ihren Richtungssinn bei gleichem Betrag. Die mathematische Form des Induktionsgesetzes dazu lautet . (33) Besteht die Leiterschleife aus mehreren Windungen, addieren sich die Spannungen jeder Windung. Bezeichnen wir die Windungszahl mit w , lautet das Induktionsgesetz (33a) In Bild 16a und 16b zeigen Spannungs - und Strompfeil in den entgegengesetzten Drehsinn des Uhrzeigers. In Verbindung mit dem Magnetflusspfeil gilt zur Bestimmung der Spannungs - und Stromrichtung in Abhängigkeit von der Magnetflussänderung die „Gegenkorkenzieherregel“ oder auch „Gegenuhrzeigerregel“ bzw. „Linksschraubenregel“. Als Beispiel für die Anwendung des Induktionsgesetzes geben wir uns einen Zeitverlauf des Magnetflusses Φ nach Bild 17 vor. Dort ändert sich der Magnetfluss linear in mehreren Zeitintervallen. Im gleichen Diagramm sind die von der Magnetflussänderung in der Leiterschleife verursachten Induktionsspannungen E eingetragen. Im Zeitabschnitt 0 bis 1 ms ist Φ = 0 und auch keine Magnetflussänderung vorhanden. Somit ist auch die Induktionsspannung E = 0 . Im Zeitabschnitt 1 ms bis 2 ms steigt der Magnetfluss von Φ = 0 bis Φ = 10 μVs linear an. Die Magnetflussänderung beträgt demnach ΔΦ / Δt = 10 μVs / 1 ms . Mit dem Induktionsgesetz (Gl. (33)) errechnen wir als Induktionsspannung E = 10 mV . E = ΔΦ Δt E = w ΔΦ Δt <?page no="47"?> 45 Bild 17 Induzierte Spannung in Abhängigkeit von Magnetflussänderung Im Zeitabschnitt 2 ms bis 3 ms fällt der Magnetfluss von Φ = 10 μVs bis Φ = −10 μVs linear ab. Die Magnetflussänderung beträgt demnach ΔΦ / Δt = −20 μVs / 1 ms . Mit dem Induktionsgesetz (Gl. (33)) errechnen wir als Induktionsspannung E = −20 mV . Im Zeitabschnitt 3 ms bis 5 ms steigt der Magnetfluss von Φ = −10 μVs bis Φ = 0 linear an. Die Magnetflussänderung beträgt demnach ΔΦ / Δt = 10 μVs / 2 ms . Mit dem Induktionsgesetz errechnen wir als Induktionsspannung E = 5 mV . Im Zeitabschnitt 5 ms bis 6 ms besteht die gleiche Magnetflussänderung wie vorher, so dass sich auch die Induktionsspannung nicht ändert. In der Zeit nach 6 ms bleibt der Magnetfluss konstant auf Φ = 5 μVs . Demnach sind ΔΦ / Δt = 0 und somit E = 0 . Jetzt fragen wir nach Momentanwerten der Größen in Bild 16 zu verschiedenen Zeitpunkten in Bild 17. : −20 −15 −10 −5 5 10 15 −10 −8 −6 −4 −2 2 4 6 8 10 1 4 5 6 0 2 3 20 t / ms E / mV Φ / μVs <?page no="48"?> 46 Zum Zeitpunkt t = 0,5 ms lesen wir im Diagramm (Bild 17) Φ = 0 , ΔΦ / Δt = 0 und E = 0 ab. Daraus folgt: In Bild 16 sind kein Magnetfluss, keine Magnetflussänderung und keine Induktionsspannung vorhanden. Zum Zeitpunkt t = 1,5 ms lesen wir in Bild 17 Φ = 5 μVs , ΔΦ / Δt = 10 μVs / 1 ms und E = 10 mV ab. Daraus folgt: In Bild 16 zeigt der Zählpfeil für Φ in Richtung der Feldlinien; der Magnetfluss nimmt in Zählpfeilrichtung zu; der Spannungspfeil und der Strompfeil zeigen entgegen dem Drehsinn des Uhrzeigers (Gegenkorkenzieherregel); am Ende des Spannungspfeils liegt der positive Pol und an der Spitze des Spannungspfeils der negative Pol der Induktionsspannung. Diese Polarität ist an den Anschlüssen der Leiterschleife eingetragen. Zum Zeitpunkt t = 2,25 ms lesen wir in Bild 17 Φ = 5 μVs , ΔΦ / Δt = −10 μVs / 0,5 ms und E = −20 mV ab. Daraus folgt: In Bild 16 zeigt der Zählpfeil für Φ in Richtung der Feldlinien; jetzt nimmt der Magnetfluss jedoch in Zählpfeilrichtung ab; deshalb polt die Spannung am Spannungspfeil um. Am Ende des Spannungspfeils liegt jetzt der negative Pol und an der Spitze des Spannungspfeils der positive Pol der Induktionsspannung. Der Strom in der Leiterschleife fließt entgegen der Strompfeilrichtung. Zum Zeitpunkt t = 2,5 ms lesen wir in Bild 17 Φ = 0 , ΔΦ / Δt = −10 μVs / 0,5 ms und E = −20 mV ab. Daraus folgt in Bild 16 : Genau zu diesem Zeitpunkt ist kein Magnetfluss vorhanden, jedoch eine Magnetflussänderung. Diese ist die einzige Ursache für die Induktionsspannung. Beim Durchgang der Magnetflussfunktion zu diesem Zeitpunkt ändert der Magnetfluss seinen Richtungssinn. Vor diesem Zeitpunkt zeigen die Feldlinien in die Bildebene hinein und nach diesem Zeitpunkt aus der Bildebene heraus. Gegenüber dem vorherigen Zeitpunkt ändert sich am Betrag und dem Vorzeichen der Induktionsspannung nichts. Zum Zeitpunkt t = 2,75 ms lesen wir in Bild 17 Φ = −5 μVs , ΔΦ / Δt = −10 μVs / 0,5 ms und E = −20 mV ab. Daraus folgt: In Bild 16 zeigen die Feldlinien in die entgegengesetzte Richtung des Zählpfeils für Φ , also aus der Bildebene heraus. Die Magnetflussänderung und damit die Induktionsspannung sind gleich wie zu den vorherigen beiden Zeitpunkten (t = 2,25 ms und t = 2,5 ms). Zum Zeitpunkt t = 4 ms lesen wir in Bild 17 Φ = −5 μVs , ΔΦ / Δt = 10 μVs / 2 ms und E = 5 mV ab. Daraus folgt: In Bild 16 zeigen die Feldlinien in die entgegengesetzte Richtung des Zählpfeils für Φ . Die Magnetflussdifferenz ergibt sich als Differenz ΔΦ = 0 − (−10 μVs) = 10 μVs und ist somit positiv und damit auch die Magnetflussänderung. Obwohl der Betrag des Magnetflusses im negativen Bereich abnimmt, ergibt sich für den Spannungspfeil ein positiver Wert, für den die in Bild 16 eingetragenen Vorzeichen zutreffen. Ebenso fließt der Strom in Richtung des Strompfeils durch die Leiterschleife. Zum Zeitpunkt t = 5 ms hat die Magnetflusskurve wieder einen Nulldurchgang. Somit ist Φ = 0 , jedoch die Kurvensteigung ist wie vorher positiv und beträgt ΔΦ / Δt = 10 μVs / 2 ms . Deshalb bleibt auch für diesen Zeitpunkt die Induktionsspannung von E = 5 mV bis zum Zeitpunkt t = 6 ms erhalten. <?page no="49"?> 47 Zum Zeitpunkt t = 6 ms knickt die Magnetflusskurve und verläuft waagerecht weiter. Für den Magnetfluss lesen wir im Diagramm den konstanten Wert von Φ = 5 μVs ab. Die Feldlinien in der Leiterschleife von Bild 16 haben für die Zeit nach 6 ms den gleichen Richtungssinn wie der Zählpfeil für den Magnetfluss. Da sich der Magnetfluss in dieser Zeit nicht ändert (ΔΦ / Δt = 0), wird auch keine Spannung in der Leiterschleife induziert (E = 0). Zu den Zeitpunkten t = 1 ms , 2 ms , 3 ms und 6 ms ändern sich sprunghaft die Steigungen der Magnetflussfunktion. Dadurch entstehen Spannungssprünge (Unstetigkeiten) im Zeitverlauf der Induktionsspannung. Die bisherigen Betrachtungen verdeutlichen, dass nur mit klar definierten Zählpfeilen in Verbindung mit Diagrammen, Formeln und einzelnen Größenangaben die physikalischen Zustände in elektrischen und magnetischen Anordnungen zu jedem Zeitpunkt eindeutig interpretierbar sind. In der Literatur versieht man mitunter die Formel zum Induktionsgesetz (Gl. (33)) mit einem negativen Vorzeichen ohne Bezug auf ein dazu erforderliches physikalisches Modell. Das stößt beim Leser teilweise auf Unverständnis oder führt zu Irrtümern. Der Hintergrund könnte eine unterschiedliche Definition des Richtungssinnes von Zählpfeilen für „Urspannungen“ und Spannungsabfällen sein. Ein besseres Verständnis der physikalischen Zusammenhänge wird dadurch jedoch nicht erzielt. Mit den eingangs vereinbarten Zählpfeildefinitionen sind elektrotechnische Berechnungen mit weniger Problemen und hoher Sicherheit durchführbar. Bei Betrachtungen der schematischen Darstellungen zum Durchflutungs- und Induktionsgesetz (Bild 13 und 16) müssen wir gleichzeitig daran denken, dass der in Bild 13 dargestellte Strom Teil eines geschlossenen Stromkreises ist, der sich außerhalb der Darstellung schließt. Analog dazu bilden in Bild 16 die magnetischen Feldlinien in Verbindung mit dem die Darstellung umgebenden Raum in sich geschlossene Kreise. Der magnetische Kreis könnte z.B. vom lamellierten Eisenkern eines Transformators realisiert werden (siehe dazu auch Bild 5). Bei der mathematischen Form des Induktionsgesetzes (Gl. (33)) haben wir bewusst einen Differenzenquotienten statt eines Differentialquotienten gewählt. Wir wollen damit alle Ausbildungsebenen ab Berufsschule aufwärts ansprechen. Der hier behandelte Stoff soll auch in Ausbildungsbereichen verständlich sein, in denen keine Differentialrechnung vorausgesetzt wird. Für die Berechnungsmethoden mit Zählpfeilen ergeben sich dadurch keine Nachteile. Bei zeitlinearen Magnetflussänderungen wie in Bild 17 ist Gl. (33) exakt anwendbar. In der elektrotechnischen Praxis kommen meistens nichtlineare, z.B. sinusförmige Zeitfunktionen vor. Will man bei einer nichtlinearen zeitlichen Magnetflussänderung zu einem bestimmten Zeitpunkt die erzeugte Induktionsspannung graphisch grob ermitteln, legt man an den interessierenden Kurvenpunkt der gezeichneten Funktion Φ = f(t) eine Tangente an. Die Steigung dieser Tangente ergibt den Differenzenquotienten für Gl. (33), mit dem man die erzeugte Induktionsspannung errechnet. Wenden wir diese graphische Methode auf eine Sinusfunktion für den Magnetfluss an, erhalten wir für die Induktionsspannung eine Kosinusfunktion. Dabei müssen wir die eingangs vereinbarten Zählpfeilregeln beachten. Für die im Folgenden betrachteten Vorgänge in Wechselstromkreisen setzen wir sinusförmige Ströme und Spannungen voraus, wie sie in der Praxis meistens vorkommen. Dadurch ist es möglich, mit Anwendung komplexer Zahlen elektrotechni- <?page no="50"?> 48 sche Berechnungen ohne Differential- und Integralrechnung durchzuführen. Wir wenden also auch in den folgenden Kapiteln nur die Regeln der Elementarmathematik an. 5.1 Das Generatorprinzip Das Generatorprinzip beruht auf der Anwendung des Induktionsgesetzes auf einen bewegten Leiter im Magnetfeld. Die Anordnung dazu zeigt Bild 17a . Bild 17a Spannungserzeugung durch bewegten Leiter im Magnetfeld Sie ist ähnlich der Anordnung in Bild 15b zum Motorprinzip. Im Unterschied zu diesem entfällt beim Generatorprinzip die Stromeinspeisung am Leiter durch eine Konstantstromquelle. Statt dessen befindet sich am Leiter ein Stromkreis mit dem Widerstand R . Das Induktionsgesetz besagt, dass bei einer Magnetflussänderung innerhalb eines offenen Leiterkreises an dessen Trennstelle eine Spannung E entsteht (siehe Bild 16a). Dabei ist es gleichgültig, wie diese Magnetflussänderung erzeugt wird. ΔA S B N l Δs I E + − v 1 Windung R E = ΔΦ Δt <?page no="51"?> 49 Bewegen wir in Bild 17a den Leiter um den Weg Δs nach rechts, erhöht sich der Magnetfluss in dem mit „1 Windung“ bezeichneten Stromkreis um den Betrag ΔΦ . Die flächenbezogene Magnetflussdichte errechnen wir mit der Beziehung , wobei ΔA = l Δs das in Bild 17a eingezeichnete Flächenelement bezeichnet. Setzen wir jetzt im Induktionsgesetz ΔΦ = B ΔA ein, erhalten wir und nach Einsetzen der Seiten für das Flächenelement . Mit der Geschwindigkeitsformel errechnen wir das Ergebnis E = B l v . (34) Den Betrag der erzeugten Spannung E bildet das Produkt von magnetischer Kraftflussdichte B , Leiterlänge l und Geschwindigkeit v , mit der der Leiter die Feldlinien „schneidet“. Jede Magnetflussänderung in einem Leiterkreis muss mit einem Feldlinienschnitt verbunden sein, denn die Feldlinien sind immer in sich geschlossen und können deshalb nicht in einen Leiterkreis „eingefädelt“ werden. Somit ist Gl. (34) eine Modifikation des Induktionsgesetzes. Die Geschwindigkeit v bezeichnet stets die „Relativgeschwindigkeit“ zum Magnetfeld. Mit Bezug auf Bild 17a ist es gleichgültig, ob sich der Leiter in einem feststehenden Magnetfeld nach rechts bewegt, oder ob sich bei einem feststehenden Leiter das Magnetfeld nach links bewegt. Die Wirkung ist in beiden Fällen die gleiche. Zur Vorzeichenbestimmung der Spannung E in Verbindung mit Bild 17a eignet sich die Rechte-Hand-Regel: Halte die rechte Hand so, dass die magnetischen Feldlinien in den Handteller fallen und der abgespreizte Daumen in Bewegungsrichtung des Leiters zeigt. Dann zeigen die Fingerspitzen die Stromrichtung des von der Induktionsspannung verursachten Verbraucherstromes an. Die von der Anordnung abgegebene elektrische Energie wird als mechanische Energie bei der Bewegung des Leiters zugeführt. Um die Zuordnung der Handregeln zum Motorprinzip und Generatorprinzip nicht zu vertauschen, dient folgende Gedankenbrücke: Das Wort „Generator“ enthält gegenüber dem Wort „Motor“ ein „r“ mehr. Deshalb gilt: Generatorprinzip → Rechte-Hand-Regel. Das Generatorprinzip bildet die Grundlage für die Spannungserzeugung vom Fahrraddynamo bis zu den Generatoren in Kraftwerken. B = ΔΦ ΔA E = B ΔA Δt E = B l Δs Δt <?page no="52"?> 50 6 Wechselstromkreise 6.1 Darstellungsformen sinusförmiger Zeitverläufe In der Wechselstromtechnik sind Spannungs- und Stromverläufe meistens sinusförmig. Sinusförmige Zeitverläufe setzen wir für die weiteren Betrachtungen voraus, wenn wir allgemein von Wechselstrom und Wechselspannung sprechen. Die Spannungsfunktion an einer Steckdose des Wechselstromnetzes könnte also lauten oder auch , je nachdem, welcher Augenblickswert u(t) zum Zeitpunkt t = 0 gewählt wird. In diesen Gleichungen sind der Spitzenwert der Spannung, ω die Kreisfrequenz und t die Zeit. Die graphische Darstellung obiger Funktionen erfolgt mit den uns bekannten Liniendiagrammen in Bild 18 . Sinusfunktion Kosinusfunktion Bild 18 Liniendiagramme sinusförmiger Spannungsfunktionen Für Strom und Magnetfluss setzen wir ebenfalls die Sinusform voraus. Die Einheit für die Kreisfrequenz wird in der Literatur meistens mit „s -1 “ angegeben. Die exakte Einheit lautet jedoch (rad ist die Abkürzung für Radiant). Die Winkelfunktionen sind mit einer Winkelgröße im Argument definiert. Setzen wir in das Argument einer Winkelfunktion ω in rad / s und t in s ein, steht im Argument ein Winkel in rad, wie gefordert. Selbstverständlich kann ein in rad gegebener Winkel in das Gradmaß gemäß der Beziehung 360 ° = 2π rad umgerechnet werden. Daraus folgt und . u(t) = sinωt U^ u(t) = cosωt U^ U^ [ω ] = rad s 1 rad = 180 ° π 180 1 ° = rad π u(t) t U^ u(t) t U^ <?page no="53"?> 51 Der Winkel im Gradmaß ist sicherlich geläufiger als der Winkel im „Bogenmaß“ rad. Mit dem Begriff „Kreisfrequenz“ in Verbindung mit der Einheit „s -1 “ gibt es erfahrungsgemäß Vorstellungsschwierigkeiten, deren Ursache auf einen unkorrekten Umgang mit Winkeleinheiten zurückzuführen ist. Selbst das Internationale Einheitensystem (SI) enthält diesbezügliche Mängel [4]. Die Einheit rad / s beschreibt eine Winkelgeschwindigkeit. Stellen wir uns das bekannte Modell einer Leiterschleife vor, die sich in einem homogenen Magnetfeld dreht, ist deren Winkelgeschwindigkeit gleich der Kreisfrequenz der in der Leiterschleife induzierten Spannung. Der Begriff Winkelgeschwindigkeit führt uns zu einer anschaulichen Darstellung sinusförmiger Zeitverläufe mit Hilfe von rotierenden Zeigern in Zeigerdiagrammen. Als mathematische Grundlage dient dabei die komplexe Zahlenebene. Ein Punkt in dieser Ebene bezeichnet eine komplexe Zahl mit ihrem Realteil parallel zur Abszisse und ihrem Imaginärteil parallel zur Ordinate. Ein Zeiger mit dem Ende im Koordinatenursprung und mit der Spitze auf dem Punkt der komplexen Zahl beschreibt eine elektrische oder magnetische Größe. Wir schreiben deshalb für einen Spannungszeiger u(t) und für einen Stromzeiger i (t). Eine Unterstreichung kennzeichnet die Größen als komplex. Die Umwandlung von der reellen in die komplexe Form nehmen wir am Beispiel der Kosinusfunktion für die Spannung in Bild 18 wie folgt vor: Zum Realteil der Kosinusfunktion u(t) = cosωt addieren wir den Imaginärteil j sinωt . Dann erhalten wir als komplexe Spannungsfunktion u(t) = cosωt + j sinωt . (35) Darin ist j die imaginäre Einheit. Sie ist definiert mit j 2 = -1 . (36) Daraus folgt j = -1 . (36a) Dass Gl.(36a) nicht als Definitionsgleichung gilt, hat folgenden Grund: Quadrieren wir Gl. (36a), ist folgende Rechenoperation möglich: j 2 = -1 -1 = (-1) (-1) = 1 = ± 1 ! Dieses zweideutige Ergebnis ist jedoch nicht zulässig. Gültig ist nur das Ergebnis „-1“ , das Gl. (36) garantiert. Mit Beachtung von Gl. (36) ist Gl. (36a) ebenfalls richtig. In der Literatur wird für die imaginäre Einheit auch der Buchstabe „i“ verwendet. Aus der komplexen Spannungsfunktion gemäß Gl. (35), auch analytische Funktion genannt, erhalten wir rückwirkend die ursprüngliche Spannungs-Zeitfunktion als Realteil von Gl. (35), indem wir schreiben u(t) = Re {u(t)} = cosωt . (37) Bild 19a zeigt das Liniendiagramm gemäß Gl. (37) und Bild 19b das Zeigerdiagramm U^ U^ U^ U^ U^ <?page no="54"?> 52 gemäß Gl. (35). Als Größen für die graphische Darstellung wählen wir die Werte von einem Netztransformator: = 10 V und ω = 314 rad/ s , das sind f = 50 Hz entsprechend der Beziehung 1 Hz = 6,28 rad/ s . Bild 19a Liniendiagramm der Kosinusfunktion einer Spannung Bild 19b Zeigerdiagramm der Kosinusfunktion einer Spannung -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 t/ ms u(t)/ V U^ 2 10 8 6 4 -2 -10 -8 -6 -4 2 4 6 8 10 -2 -4 -6 -8 -10 2 4 6 8 18 16 14 12 j r t/ ms u(t)/ V u(t)/ V ωt U ^ <?page no="55"?> 53 Die reelle Achse im Zeigerdiagramm ist mit r und die imaginäre Achse mit j bezeichnet. Jedem der durch gestrichelte Linien gekennzeichneten Augenblickswerte im Liniendiagramm entspricht ein Zeiger im Zeigerdiagramm. Die Zeitpunkte auf der Zeitachse im Liniendiagramm befinden sich im Zeigerdiagramm auf dem Kreisumfang der Zeigerspitzen. Die Augenblickswerte im Liniendiagramm liest man im Zeigerdiagramm nach senkrechter Projektion des Zeigers auf der reellen Achse ab. Das Zeigerdiagramm ist für sinusförmige Vorgänge, mit denen wir uns hier befassen, eine einfachere Darstellungsform gegenüber dem Liniendiagramm. Im Zeigerdiagramm lesen wir zu der von uns betrachteten Kosinusfunktion ab: − Den Maximalwert als Zeigerlänge ( = 10 V), − die Zeitwerte auf dem Kreisumfang der Zeigerspitzen (t/ ms = 2; 4; 6; ...; 16; 18; 20), − die Augenblickswerte der Spannung als reelle Komponente des Zeigers, − den Winkel ωt zur Kosinusfunktion in Gl. (37) als Winkel zwischen Zeiger und positiver reeller Achse. Die Kosinusfunktion im Liniendiagramm widerspiegelt sich im Zeigerdiagramm als Zeiger, der mit der Winkelgeschwindigkeit ω entgegen dem Drehsinn des Uhrzeigers rotiert. Dieser Drehsinn wird als mathematischer Drehsinn bezeichnet. Einen rotierenden Zeiger können wir uns gut vorstellen. Deshalb vereinfachen wir unser Zeigerdiagramm in Bild 19b auf nur noch einen Zeiger, indem wir in Gl. (35) t = 0 setzen. Somit erhalten wir den Ausdruck u(0) = , (35a) der den Zeiger auf der positiven reellen Achse in Bild 19b beschreibt. Diesen definieren wir als Zeiger für die Kosinusfunktion. Jetzt fragen wir nach der komplexen Form der Sinusspannung u(t) = sinωt . (38) Das Liniendiagramm dazu zeigt qualitativ Bild 18 . Die Umwandlung in die komplexe Form erfordert jedoch eine Kosinusfunktion gemäß Gl.(35) . Diese erhalten wir durch eine Umrechnung der Sinusfunktion mit der Gleichung sinωt = cos(ωt rad) . (39) Die Gültigkeit dieser Gleichung ist durch Einsetzen von Zahlenwerten leicht nachprüfbar. Die Sinusfunktion lt. Gl. (39) ergibt nach Umwandlung in die komplexe Form mit Gl. (35) . (40) Für t = 0 errechnen wir mit dieser Gleichung und erhalten u(0) = j . (40a) Sie beschreibt einen Zeiger der Länge , der in der komplexen Ebene auf der negativen imaginären Achse liegt. Diesen definieren wir als Zeiger für die Sinusfunktion. U^ U^ U^ π 2 u(t) = cos(ωt rad) + j sin(ωt rad) U^ π 2 π 2 U^ U^ U^ u(0) = [cos( rad) + j sin( rad)] U^ π2 π 2 <?page no="56"?> 54 Bildlich gesehen können wir sagen: „Der Zeiger zur Sinusfunktion eilt dem Zeiger zur Kosinusfunktion im mathematischen Drehsinn um 90° nach“. Eine weitere übersichtliche mathematische Darstellungsform sinusförmiger Größen erhalten wir mit der Eulerschen Formel für komplexe Zahlen. In Nachschlagewerken der Mathematik finden wir die Gleichung e jx = cos(x rad) + j sin(x rad) . (41) e = 2,71828.... ist die Basis des natürlichen Logarithmus. Die Winkeleinheit rad wird meistens nicht mitgeschrieben. Im Argument einer Winkelfunktion muss jedoch ein Winkel stehen. Die Größe x ist hier nur der Zahlenwert eines Winkels in rad. Im Exponenten der e-Funktion muss dagegen ein reiner Zahlenwert stehen, deshalb entfällt dort die Einheit rad. Nach Umwandlung der Kosinusfunktion einer Spannung in die komplexe Form gemäß Gl. (35) und Anwendung der Eulerschen Formel gemäß Gl. (41) erhalten wir die Gleichung cosωt + j sinωt = e und somit die eulersche Gleichungsform u(t) = e . (42) Die eulersche Form wird auch Exponentialform genannt. Da der Ausdruck ωt die Einheit rad hat, bewirkt die Division durch rad im Exponenten der e-Funktion, dass der Exponent dimensionslos ist. Mit der eulerschen Gleichungsform können wir einen Zeiger besonders einfach ableiten. Der Faktor bezeichnet die Zeigerlänge und der Ausdruck ωt den Winkel zwischen Zeiger und positiver reeller Achse in der komplexen Ebene. In einem Zahlenbeispiel wählen wir die Netzfrequenz mit ω = 314 rad/ s . Zum Zeitpunkt t = 2 ms bildet der Spannungszeiger den Winkel ωt = 0,628 rad = 36° zur positiven reellen Achse mit einer Länge von = 10 V . Mit diesen Werten lautet Gl. (42) u(2 ms) = 10 V e j · 0,628 . (42a) Die rückwärtige Umformung von der eulerschen in die Komponentenform ergibt u(2 ms) = 10 V [(cos(0,628 rad) + j sin(0,628 rad)] . (42b) Der Realteil dieser Gleichung lautet u(2 ms) = 10 V cos(0,628 rad) = 8,1 V . (42c) U^ U^ U^ ωt rad j U^ ωt rad j U^ U^ <?page no="57"?> 55 Es ist der Augenblickswert zum Zeitpunkt t = 2 ms der Kosinusfunktion für die Spannung u(t) gemäß Gl. (34) . Dieser Wert ist im Liniendiagramm Bild 19a und im Zeigerdiagramm Bild 19b auf der reellen positiven Achse ablesbar. 6.2 Komplexe Widerstände 6.2.1 Allgemeines Leiten wir in einem Gleichstromkreis Strom aus einer Stromquelle durch einen ohmschen Widerstand, entsteht an dessen Anschlüssen, wie bekannt, ein Spannungsabfall. Legen wir die Spannung von einer Spannungsquelle an einen ohmschen Widerstand, fließt durch diesen selbstverständlich ein Strom. Den Zusammenhang von Strom, Spannung und Widerstand beschreibt das uns bekannte Ohmsche Gesetz (siehe Abschn. 3.1). In elektrotechnischen Schaltungen, die mit Wechselstrom betrieben werden, befinden sich jedoch außer ohmschen Widerständen noch Spulen und Kondensatoren. Leiten wir Gleichstrom durch eine Spule, die im Idealfall keinen ohmschen Widerstand hat, entsteht an deren Anschlüssen kein Spannungsabfall. Legen wir Gleichspannung an einen Kondensator, fließt durch diesen kein Strom. Anders verhalten sich Spule und Kondensator in Wechselstromkreisen. In diesen liegt an den Anschlüssen von Spulen und Kondensatoren eine Wechselspannung, und durch Spulen und Kondensatoren fließt ein Wechselstrom. Jetzt hilft die komplexe Darstellungsform von sinusförmigem Strom und sinusförmiger Spannung, einen komplexen Widerstand Z zu definieren, der das Verhalten von Spulen und Kondensatoren und zusätzlich auch von ohmschen Widerständen in Wechselstromkreisen beschreibt. Analog zum Ohmschen Gesetz schreiben wir lediglich in komplexer Form als Definitionsgleichung für den komplexen Widerstand . (43) Die komplexen Funktionen u(t) und i (t) sind beide sinusförmig, jedoch im Allgemeinen zueinander um einen Winkel ϕ phasenverschoben. Als Bezugsspannungsfunktion wählen wir in eulerscher Form gemäß Gl. (42) . Die Stromfunktion soll um den Winkel ϕ der Spannungsfunktion nacheilen. Deshalb schreiben wir für die Stromfunktion . Als komplexen Widerstand Z errechnen wir mit Gl. (43) u(t) i (t) Z = u(t) = e U^ ωt rad j (ωt ϕ ) rad i (t) = e I^ j <?page no="58"?> 56 und nach Umrechnung mit den Potenzgesetzen . Nach Wegheben von ωt lautet das Ergebnis in eulerscher Form (44) und in Komponentenform . (44a) Den Realteil nennen wir Wirkwiderstand R w und den Imaginärteil Blindwiderstand R b und schreiben und . Somit gilt allgemein . (44b) Der Betrag von Z heißt Scheinwiderstand R s , für den wir schreiben . (44c) Aus dem Wirk- und Blindwiderstand in Gl. (44b) errechnet man den Scheinwiderstand nach dem Lehrsatz des Pythagoras mit der Gleichung (44d) und den Tangens des Winkels ϕ mit der Gleichung . (44e) = e [ωt - (ωt ϕ )] rad j U^ I^ Z = e ϕ rad j U^ I^ Z Z = cosϕ + j sinϕ U^ I^ U^ I^ Re{Z} = R w = cosϕ U^ I^ Im{Z} = R b = sinϕ U^ I^ Z = R w + j R b ⏐Z⏐ = R s = U^ I^ R s = R w2 + R b2 R w tanϕ = R b Z = ωt rad j U^ e I^ (ωt ϕ ) rad j e = e ωt rad j U^ I^ e j rad (ωt ϕ ) <?page no="59"?> 57 So, wie sinusförmige Strom- und Spannungsfunktionen als Zeigerdiagramm in einer komplexen Zahlenebene darstellbar sind, trifft das auch auf komplexe Widerstände zu. Bild 20 zeigt den Widerstand Z gemäß Gln. (44), (44a) und (44b) als Zeiger in einer komplexen Widerstandsebene. Bild 20 Zeiger eines komplexen Widerstandes Aus den Gleichungen zu diesem Zeiger und Bild 20 geht hervor, dass der Widerstandszeiger ein ruhender Zeiger im Gegensatz zu Strom- und Spannungszeigern ist. Bei der Ableitung von Gl. (44) heben sich die zeitabhängigen Winkel ωt im Exponenten der e-Funktion weg. Die Strom- und Spannungszeiger hingegen rotieren mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit und bilden dabei zu jedem Zeitpunkt den zeitunabhängigen Phasenwinkel ϕ zueinander. Dieser erscheint in den Gln. (44) und (44a) und ist in Bild 20 eingezeichnet. Zusätzlich erkennt man, dass die Zeigerkomponenten R w und R b mit der Zeigerlänge R s ein rechtwinkliges Dreieck bilden. Dadurch gilt zur Berechnung von R s der Pythagoräische Lehrsatz gemäß Gl. (44d). 6.2.2 Ohmscher Widerstand Bild 21 Ohmscher Widerstand an einer Wechselspannungsquelle j r ϕ R b R b R w R w R s Z R u(t) i(t) ∼ <?page no="60"?> 58 Schließen wir einen ohmschen Widerstand an eine Wechselspannungsquelle, wie Bild 21 zeigt, folgen den Augenblickswerten der Spannung nach dem Ohmschen Gesetz auch die Augenblickswerte des Stromes. Dann gilt mit dem Richtungssinn der eingezeichneten Zählpfeile analog zum Ohmschen Gesetz die Beziehung . Da u(t) und i(t) phasengleich sind, ist der Phasenwinkel ϕ gleich null. Mit Gl. (43) folgt daraus als Sonderfall , denn e j 0 = 1 . Ersetzen wir die Spitzenwerte und durch die Effektivwerte U und I mit den bekannten Beziehungen und , können wir schreiben. In dieser Gleichung erkennen wir die Definitionsgleichung des ohmschen Widerstandes nur mit dem Unterschied, dass anstatt von Gleichgrößen die Effektivwerte von Wechselgrößen vorliegen. Der ohmsche Widerstand ist in Wechselstromkreisen eine reelle Größe. 6.2.3 Induktiver Widerstand Der induktive Widerstand ist eine Eigenschaft von Spulen bzw. Wicklungen in Wechselstromschaltungen. Spulen findet man als Bauelemente in elektrotechnischen Anordnungen von der Schwachstrombis zur Hochspannungstechnik. Spulen dienen z.B. − als Glättungsdrosselspulen in Gleichrichterschaltungen, − als Erdschluss-Spule (Petersenspule) zur Sternpunkterdung in Hochspannungsnetzen, − als Schwingkreisspule in elektronischen Schaltungen, − in Frequenzweichen der Rundfunk- und Fernsehtechnik, − zum Sperren hochfrequenter Störspannungen. Aber auch ohne ein konzentriertes Bauelement kann ein induktiver Widerstand von Leitungen, teils erwünscht, teils unerwünscht, wirksam sein. Die Kenngröße eines Bauelementes, das in Wechselstromschaltungen einen induktiven Widerstand bildet, ist die Induktivität mit der Einheit Henry (H). Mit den Einheiten Volt, Ampere und Sekunde definiert man das Henry mit der Beziehung = U^ I^ Z U^ I^ = 2 U U^ = 2 I I^ U I Z = R = R = u(t) i(t) <?page no="61"?> 59 . Die physikalischen Grundlagen zur Induktivität sind das Induktionsgesetz und das Durchflutungsgesetz (siehe auch Kap. 4 und 5). Zur Ableitung des induktiven Widerstandes gehen wir vom Induktionsgesetz in Form von Gl. (33a) aus, das für eine Wicklung mit w Windungen gilt. In dieser Gleichung betrachten wir den Magnetfluss Φ als komplexe sinusförmige Zeitfunktion und erhalten somit eine komplexe sinusförmige Spannungsfunktion u(t), indem wir schreiben . (45) Nach dem „Ohmschen Gesetz“ für den magnetischen Kreis (siehe Kap. 4), zugeschnitten auf komplexe sinusförmige Größen, setzen wir in Gl. (45) ein. (45a) R m ist der magnetische Widerstand des magnetischen Kreises der Spule. Die magnetische Urspannungsänderung ΔΘ (t) wird durch eine Stromänderung Δi(t) in der betrachteten Wicklung mit w Windungen laut Durchflutungsgesetz gemäß der Beziehung ΔΘ (t) = w Δ i (t) (45b) verursacht. Nach Einsetzen der Gln. (45a) und (45b) in Gl. (45) erhalten wir die Gleichung . (45c) Der Ausdruck in Gl. (45c) heißt Induktivität L und ist die Kenngröße einer Spule. Setzen wir definitionsgemäß = L in Gl. (45c) ein, erhalten wir die Gleichung . (46) Weil die durch Stromänderung hervorgerufene Magnetflussänderung in der gleichen Wicklung eine Spannung induziert, spricht man von Selbstinduktion. Gl. (46) beschreibt den Zusammenhang von der an den Anschlüssen einer idealen Spule hervorgerufenen Spannung in Abhängigkeit von Betrag und Geschwindigkeit der Stromstärkeänderung in der Spulenwicklung sowie deren Induktivität. Die Gleichung gilt für einen sinusförmigen Zeitverlauf der Stromfunktion. Die Stromfunktion beschreiben wir analog zu Gl. (42) in eulerscher Form durch die Gleichung . (47) Für jeden Zeitpunkt t interessiert gemäß Gl. (47) die Steilheit der Stromstärkeänderung. Um diese zu errechnen, bestimmen wir zunächst eine kleine Stromstärkedifferenz mit der Beziehung ΔΦ (t) Δt u(t) = w ΔΦ (t) = ΔΘ (t) R m w 2 R m u(t) = Δ i (t) Δt w 2 R m w 2 R m u(t) = L Δ i (t) Δt i (t) = e I^ ωt rad j 1 H = 1 Vs A <?page no="62"?> 60 Δ i (t) = i (t +Δt) - i (t) . Mit Anwendung von Gl. (47) erhalten wir die Beziehung . Nach Umformung mit den Regeln der Potenzrechnung schreiben wir und nach Ausklammern . Den Term vor der Klammer vereinfachen wir rückwirkend mit Gl. (47) und schreiben . Diesen Ausdruck setzen wir in Gl. (46) ein und erhalten danach die Gleichung . (48) Um einen genauen Wert für die Steilheit der Stromstärkeänderung zu erhalten, müssen wir den Grenzwert bilden, für den die Zeitdifferenz Δt gegen null geht. Das betrifft den Quotienten in Gl. (48), für den wir schreiben . Setzen wir in diesem Ausdruck Δt = 0 , erhalten wir den unbestimmten Wert null durch null, denn mit e 0 = 1 wird auch der Zähler gleich null. Einen Ausweg aus dieser Schwierigkeit finden wir, indem wir den Term als Potenzreihe darstellen. Nachschlagewerken der Mathematik entnehmen wir die Reihe . Setzen wir , lautet die Reihe . Die ersten drei Glieder dieser Reihe genügen schon zur Grenzwertbildung. Setzen wir diese in obigen Grenzwertausdruck ein, erhalten wir . Δ i (t) = e − e I^ ω (t + Δt) rad j I^ ωt rad j Δ i (t) = e e − e I^ ω t rad j I^ ωt rad j rad ω Δt j Δ i (t) = e ( e − 1) I^ ω t rad j rad ω Δt j Δ i (t) = i (t) ( e − 1) rad ω Δt j u(t) = L i (t) ( e − 1) Δt rad ω Δt j lim = ? Δt→0 ( e − 1) Δt rad ω Δt j e rad ω Δt j e x = 1 + + + + ... x 1! x 2 2! x 3 3! x = j e rad ω Δt j = 1 + j + ( j ) 2 + ... rad ω Δt 1 2 rad ω Δt Δt lim Δt→0 j + ( j ) 2 + ... rad ω Δt 1 2 rad ω Δt = lim [ j + ( j ) 2 Δt + ... ] = j ω / rad rad ω 1 2 rad ω Δt→0 rad ω Δt <?page no="63"?> 61 Nach Ersatz der e − Funktion durch die ersten drei Glieder ihrer Reihe wird, wie soeben gezeigt, die Grenzwertbildung möglich. Das erste Glied der Reihe, die „1“ , hebt sich mit der „−1“ in der Klammer weg. Im zweiten Glied der Reihe entfällt das „Δt “ durch Kürzen mit dem „Δt “ im Nenner. Im dritten und jedem weiteren Glied der Reihe verbleibt nach dem Kürzen eine Potenz von „Δt “ . Diese Glieder werden nach dem Nullsetzen von „Δt “ zu null. Somit lautet das Ergebnis der Grenzwertbestimmung . (48a) Nach Einsetzen dieses Grenzwertes in Gl. (48) erhalten wir die Bestimmungsgleichung für den induktiven Widerstand u(t) = j ω / rad L i (t) . (48b) In dieser Gleichung bezeichnen wir den Term j ω / rad L als komplexen induktiven Widerstand R L , ausgedrückt mit der Gleichung R L = j ω / rad L . (49) R L ist ein reiner Blindwiderstand. An dieser Stelle sei noch einmal daran erinnert, dass die Einheit der Kreisfrequenz „Radiant durch Sekunde“ lautet ( [ω ] = rad / s ). In den Gleichungen, in denen „ω / rad “ steht, lautet die Einheit demnach [ ω / rad ] = s -1 oder 1/ s , denn der Schrägstrich hat Bruchstrichfunktion, wodurch die Winkeleinheit „rad“ gekürzt wird. Wenn z.B. die Kreisfrequenz des Wechselstromnetzes ω = 314 rad / s beträgt, wird in der bekannten Literatur meistens „ ω = 314 s -1 ! “ geschrieben. Diese Inkonsequenz führt oft zu Unverständnis, Irrtümern oder Fehlern. Die richtigen Angaben dieses Beispiels müssen lauten ω = 314 rad / s und ω / rad = 314 s -1 . Bilden wir nach Gl. (48b) den Quotienten aus u(t) und i (t) , so ergibt sich im Vergleich mit Gl. (49) analog zum Ohmschen Gesetz die gut einprägsame Formel . (49a) Diese unterscheidet sich von der Definitionsgleichung für den Widerstand im Gleichstromkreis (siehe Kap. 3.1) nur dadurch, dass anstatt von Gleichgrößen komplexe Wechselgrößen in der Formel stehen. Bild 22 zeigt einen induktiven Widerstand an einer Wechselspannungsquelle. Die eingezeichneten Zählpfeile haben gleichen Richtungssinn, deshalb gilt Gl. (49a) mit positivem Vorzeichen. Bei entgegengesetztem Richtungssinn der Zählpfeile würde für Gl. (49a) ein negatives Vorzeichen gefordert. Bild 23 zeigt eine komplexe Ebene, in die qualitativ die Zeiger der Größen von Bild 22 eingetragen sind. Den Zeiger des induktiven Widerstandes beschreibt Gl. (49). Den Stromzeiger als Kosinusfunktion mit t = 0 beschreibt Gl. (47). Der mit lim = j ω / rad Δt→0 ( e − 1) Δt rad ω Δt j R L = u(t) i (t) <?page no="64"?> 62 Gl. (48b) errechnete Spannungszeiger eilt dem Stromzeiger bei t = 0 um 90° voraus. Dessen Gleichung errechnet man in folgenden Schritten: In die Spannungsgleichung (48b) setzen wir für i(t) Gl. (47) ein und erhalten . Bild 22 Bild 23 Induktiver Widerstand an einer Zeiger zu den Größen in Bild 22 Wechselspannungsquelle Die imaginäre Einheit formen wir um in , denn = cos 90° + j sin 90° = j . Entsprechend schreiben wir für die Spannungsgleichung und nach Zusammenfassen der e - Glieder . (50) An Gl. (50) ist ersichtlich, dass der Spitzenwert von u(t) beträgt, und dass der Zeiger von u(t) dem Zeiger von i(t) um 90° vorauseilt. Folgende Bemerkung zum Eintrag des Winkels im Gradmaß im Exponenten der e - Funktion erscheint hier angebracht: Die Schreibweise des Terms ist ebenso korrekt wie dessen Schreibweise u(t) = j ω / rad L e I^ ωt rad j j r R L = jω / rad L u (t) t = 0 i (t) t = 0 j = e 90° rad j 90° rad j e u(t) = ω / rad L e I^ ωt rad j 90° rad j e u(t) = ω / rad L e I^ ωt + 90° rad j U^ = ω / rad L I^ 90° rad j e u (t) i (t) ∼ R L = jω / rad L <?page no="65"?> 63 . Ersetzt man im ersten Term den Winkel im Gradmaß „90°“ durch den gleichen Winkel im Bogenmaß „ π/ 2 rad “ , wird die Winkeleinheit „rad “ gekürzt, und man erhält den zweiten Term mit dimensionslosem Exponenten, wie gefordert. Nicht korrekt wäre die Schreibweise des ersten Terms ohne „rad “. Die Komponentenform von Gl. (50) lautet u(t) = ω / rad L [cos(ωt + 90°) + j sin(ωt + 90°)] . (50a) und von Gl. (47) i(t) = [cos ωt + j sin ωt ] . (47a) Abschließend möchten wir aus der komplexen Spannungsfunktion und der komplexen Stromfunktion durch Rücktransformation die nichtkomplexen Zeitfunktionen für Spannung und Strom gewinnen. Das erreichen wir einfach durch Weglassen der Imaginärteile der Gln. (50a) und (47a), indem wir schreiben u(t) = ω / rad L cos(ωt + 90°) und i(t) = cos ωt . (47b) Für den Term cos(ωt + 90°) gilt durch Umrechnung cos(ωt + 90°) = − sin ωt , so dass wir für die Spannungsfunktion endgültig schreiben können u(t) = − ω / rad L sin ωt . (50b) Wie schon vorher erwähnt und aus Gl.(50b) ersichtlich, beträgt der Maximalwert der Spannungs - Zeitfunktion . Dividieren wir beide Seiten dieser Gleichung durch 2 , haben wir die Maximalwerte in Effektivwerte umgerechnet und erhalten die Beziehung U = ω / rad L I . (51) Die Struktur dieser Gleichung ist analog zum Ohmschen Gesetz, denn der Term ω / rad L ist der induktive Widerstand in Ohm, ohne vorgesetzte imaginäre Einheit „j“. Als Zahlenbeispiel sei gegeben: Die Induktivität der Primärwicklung eines Transformators L = 10 H = 10 die Kreisfrequenz des Wechselstromnetzes ω = 314 und der Effektivwert der Netzspannung U = 240 V . Gesucht ist der induktive Widerstand R L = ? und der Effektivwert des Leerlaufstromes I = ? 2 π j e rad I^ I^ I^ I^ I^ U^ = ω / rad L I^ Vs A s <?page no="66"?> 64 Zur Berechnung des induktiven Widerstandes benutzen wir Gl. (49) . Da nicht nach der komplexen Form gefragt wird, entfällt das „ j “ . Deshalb setzen wir in die Formel R L = ω / rad L die gegebenen Werte ein und erhalten R L = 314 s -1 10 Vs/ A R L = 3140 Ω . Zur Berechnung des Stromes stellen wir Gl. (51) nach I um und erhalten . Nach Einsetzen der gegebenen Werte errechnen wir . Die Einheiten V, s und rad entfallen in obiger Gleichung durch Kürzen. Es bleibt die richtige Einheit A für den Strom, die selbstverständlich in mA umgerechnet werden kann. Mitunter ist es zweckmäßig, den Widerstand in einen Leitwert umzurechnen (siehe Gl. (11)). Das erfolgt analog zu der uns bekannten Gleichstromtechnik durch Bildung des Kehrwertes vom komplexen Widerstand. Vom komplexen induktiven Widerstand R L = j ω / rad L errechnen wir als komplexen Leitwert . (52) Wollen wir, dass die imaginäre Einheit j nicht im Nenner, sondern als Vorfaktor in Gl. (52) steht, können wir folgende Umwandlung vornehmen: Den Ausdruck erweitern wir mit und erhalten , denn definitionsgemäß ist j 2 = − 1 . Damit haben wir bewiesen, dass gilt. (52a) Für Gl. (52) können wir deshalb auch schreiben (52b) In der Form von Gl. (52b) können wir den Zeiger zum komplexen induktiven Leitwert in eine komplexe Leitwertebene eintragen. Der Zeiger von G L liegt auf der negativen imaginären Achse, wie Bild 24 zeigt. Im Gegensatz dazu liegt der Zeiger zum induktiven Widerstand R L auf der positiven imaginären Achse (siehe Bild 23). I = U ω / rad L I = = 0,076 A 240 V A 314 10 Vs rad s rad I = 76 mA j ω / rad L G L = 1 j 1 j j 2 j 1 = = = − j j −1 j 1 = − j G L = − j ω / rad L 1 j j <?page no="67"?> 65 Wie in der Gleichstromtechnik gilt auch in der Wechselstromtechnik: In Reihenschaltungen werden Widerstände zur Bildung eines Gesamtwiderstandes addiert. In Parallelschaltungen werden Leitwerte zur Bildung eines Gesamtleiwertes addiert. Im Vergleich zur Gleichstromtechnik wird in der Wechselstromtechnik mit komlexen Größen gerechnet. Im nächsten Abschnitt wenden wir den komplexen Leitwert vorteilhaft an. Bild 24 Zeiger eines induktiven Leitwertes 6.2.4 Kapazitiver Widerstand Als kapazitiven Widerstand bezeichnet man den Wechselstromwiderstand von Kondensatoren. Das sind Bauelemente, die eine elektrische Ladung Q speichern. Kondensatoren dienen z.B. − zur Kompensation von induktiven Blindströmen in Verbrauchernetzen (Phasenschieberkondensatoren), − in Fernseh-Kabelnetzen zum Trennen der Gleichspannung für die Verstärkerspeisung von den Signalwechselspannungen auf einem Koax-Kabel, − zum Glätten der Gleichspannung in Gleichrichterschaltungen, − als Schwingkreiskondensator in elektronischen Schaltungen. Ohne Bezug auf ein bestimmtes Bauelement spricht man auch allgemein von „Kabelkapazitäten“, „Leitungskapazitäten“, „Koppelkapazitäten“. Manche davon sind unerwünscht. Die Kenngröße eines Kondensators ist die Kapazität C mit der Einheit Farad (F). Mit den Einheiten Volt, Ampere und Sekunde definiert man das Farad mit der Beziehung . Die Ladung Q eines Kondensators ist proportional zu seiner Kapazität C und seiner anliegenden Spannung U . Diesen Zusammenhang beschreibt die Gleichung j r G L = − j ω / rad L 1 1 F = 1 V As <?page no="68"?> 66 Q = C U . (53) Das einfachste Kondensatormodell ist der Plattenkondensator. Auf diesen deutet das Schaltzeichen eines Kondensators hin. Bild 25 zeigt das Schaltzeichen eines Kondensators mit Zählpfeilen für Strom und Spannung. Jede Ladungsänderung des Kondensators ist mit einem Strom in dessen Zuleitungen verbunden, den die Gleichung Bild 25 Kondensator mit Zählpfeilen beschreibt. (54) Wir setzen sinusförmige Vorgänge voraus und tragen deshalb in Gl. (54) komplexe Größen ein mit dem Ergebnis . (54a) In Gl. (53) tragen wir komplexe Differenzgrößen ein mit dem Ergebnis ΔQ(t) = C Δu(t) . (53a) Nach Einsetzen von ΔQ(t) in Gl. (54a) lautet diese . (54b) Zur Auflösung des Differenzenquotienten dieser Gleichung beziehen wir uns auf den vorherigen Abschnitt „Induktiver Widerstand“. Setzen wir dort die Spannungsgleichungen (46) und (48b) gleich, erhalten wir den Ausdruck und nach Division durch L . Analog zu diesem Ausdruck schreiben wir für den Differenzenquotienten in Gl. (54b) und setzen diesen Ausdruck in Gl. (54b) ein. Wir erhalten als Ergebnis i(t) = j ω / rad C u(t) . (55) Nach Division dieser Gleichung durch u(t) bilden wir den Quotienten ΔQ Δt I = C U Ι ΔQ(t) i(t) = Δt i(t) = C Δu(t) Δt L Δ i (t) Δt = j ω / rad L i(t) Δ i (t) Δt = j ω / rad i(t) Δ u (t) Δt = j ω / rad u(t) <?page no="69"?> 67 . (55a) In diesem erkennen wir den Kehrwert des Ohmschen Gesetzes, also einen Leitwert. Deshalb bezeichnen wir den Ausdruck j ω / rad C als komplexen kapazitiven Leitwert, für den wir schreiben G C = j ω / rad C . (56) Der Kehrwert von G C ergibt den komplexen kapazitiven Widerstand oder . (57) Bild 26 zeigt einen kapazitiven Widerstand an einer Wechselspannungsquelle. Die eingezeichneten Zählpfeile haben gleichen Richtungssinn, deshalb gelten Gln. (55) und (55a) mit positivem Vorzeichen. Bei entgegengesetztem Richtungssinn der Zählpfeile würde ein negatives Vorzeichen gefordert. Bild 26 Bild 27 Kapazitiver Widerstand an einer Zeiger zu den Größen in Bild 26 Wechselspannungsquelle Bild 27 zeigt eine komplexe Ebene, in die qualitativ die Zeiger der Größen von Bild 26 eingetragen sind. Den Zeiger des kapazitiven Widerstandes R C beschreibt Gl. (57). Für den eingezeichneten Stromzeiger ist i(t) eine Kosinusfunktion wie schon in Bild 23 angenommen. Den Spannungszeiger errechnen wir mit der nach u(t) umgestellten Gl. (55a) . Diese lautet oder . (55b) u(t) i(t) = j ω / rad C R C = j ω / rad C 1 R C = − j ω / rad C 1 1 j r u (t) t = 0 i (t) t = 0 R C = − j ω / rad C i (t) u (t) ∼ 1 jω / rad C R C = u(t) = − j i(t) ω / rad C 1 u(t) = j ω / rad C i(t) <?page no="70"?> 68 An der rechten Form von Gl. (55b) ist am Faktor „ − j “ erkennbar, dass der Spannungszeiger u(t) dem Stromzeiger i(t) im mathematischen Drehsinn um 90° nacheilt. Strom - und Spannungszeiger sind für den Zeitpunkt t = 0 dargestellt. Bei einem Vergleich der Widerstandszeiger in Bild 23 und 27 ist erkennbar, dass die Multiplikation eines Ausdrucks mit „ j “ eine Zeigerdrehung um 90 Grad und die Multiplikation eines Ausdrucks mit „ − j “ eine Zeigerdrehung um − 90 Grad im mathematischen Drehsinn bewirken. 6.2.5 Widerstandskombinationen Die Einführung komplexer Größen ermöglicht es, die Gesetze der Gleichstromtechnik formal in der Wechselstromtechnik anzuwenden. Das betrifft das Ohmsche Gesetz, die Kirchhoffschen Gesetze, die Umrechnungen zwischen Widerstand und Leitwert und auch die Zählpfeilregeln. Den bisher behandelten Stoff wenden wir jetzt an. Wir beginnen mit der Reihenschaltung eines ohmschen und eines induktiven Widerstandes, dargestellt in Bild 28 . Bild 28 Reihenschaltung eines ohmschen und induktiven Widerstandes Mit den Kontakten A und B der Reihenschaltung ist eine Wechselspannungsquelle verbunden. Wie aus der Gleichstromtechnik bekannt, ist bei einer Reihenschaltung der Gesamtwiderstand gleich der Summe der Einzelwiderstände. Diese Regel gilt auch in der Wechselstromtechnik für komplexe Widerstände. Deshalb schreiben wir für den Gesamtwiderstand R AB in Bild 28 R AB = R + j ω / rad L . (58) Diesen stellen wir mit Zeigern in einer komplexen Ebene gemäß Bild 29 qualitativ dar. Die Länge der Zeiger ist ein Maß für den Widerstandsbetrag. Die Zeiger in Bild 29 mit den Längen R , ω / rad L und R AB bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Für dieses gilt laut Pythagoras . (58a) i (t) ∼ u R (t) u L (t) R R L = jω / rad L u AB (t) A B R AB = R 2 + (ω / rad L) 2 <?page no="71"?> 69 Bild 29 Zeigerdiagramm der Widerstände in Bild 28 R AB ist der Betrag des Gesamtwiderstandes in Bild 28, auch Scheinwiderstand genannt. Der Zeiger R AB bildet mit der reellen Achse der komplexen Ebene den Winkel ϕ , auch Phasenwinkel genannt. Für diesen liest man in Bild 29 ab . (58b) Mit den errechneten Größen R AB und ϕ sind wir in der Lage, den in Gl. (58) beschriebenen komplexen Widerstand R AB mit der Gleichung (58c) in die eulersche Form zu bringen. Diese erleichtert uns die weiteren Berechnungen, in denen wir uns mit den Zusammenhängen aller Größen in Bild 28 befassen. Ziel dieser Berechnungen ist, mit gegebenen Größen des Stromkreises in Bild 28 die unbekannten Größen nach Betrag und Phasenwinkel zu berechnen. Dabei greifen wir auf die Grundlagen in den vorangegangenen Kapiteln zurück. Wir nehmen an, dass folgende Größen (zunächst ohne Zahlenwert) gegeben sind: − ohmscher Widerstand R , − Induktivität L , − Frequenz der Wechselspannung f , − Effektivwert der Wechselspannung U AB . Zahlenwerte zu diesen Größen geben wir erst am Ende der allgemeinen Berechnungen zu einem Beispiel und zu Übungsaufgaben. Allgemeingültige Umrechnungen, die oft vorkommen, halten wir schon hier mit folgenden Beziehungen fest: . (59) Sprich „Omega in Rad pro Sekunde ist gleich 2 π mal f in Hertz“, und „Spitzenwert ist gleich Wurzel aus zwei, mal Effektivwert“. (60) j r j ω / rad L R AB R ϕ ω / rad L ϕ = arctan R R AB = R AB e ϕ rad j ω / = 2 π f / Hz rad s <?page no="72"?> 70 Diese Zusammenhänge gelten für alle sinusfürmigen Zeitfunktionen, in unserem Fall für Spannungen und Ströme. Zu errechnen sind aus den gegebenen Größen − Kreisfrequenz ω , − induktiver Widerstand R L , − Scheinwiderstand R AB , − Effektivwert des Stromes I , − Effektivwerte der Spannungen U R und U L , − Zeitfunktion des Stromes i(t) , − Zeitfunktionen der Spannungen u R (t), u L (t) und u AB (t) , − Phasenwinkel ϕ zwischen der Spannung u AB (t) und dem Strom i(t) . Auf dem Weg zu den Ergebnissen befassen wir uns anfangs mit den Zusammenhängen der komplexen Größen in Bild 28 . Die Formel zur Berechnung des Scheinwiderstandes R AB liegt als Gl. (58a) vor. Zusätzlich kann der Phasenwinkel ϕ mit Gl. (58b) berechnet werden, sobald Zahlenwerte für ω , L und R gegeben sind. Mit dem Strom i (t) , der im Stromkreis von Bild 28 sowohl durch den ohmschen Widerstand R als auch durch den induktiven Widerstand j ω / rad L fließt, errechnen wir die Spannungen u R (t) und u L (t) analog zum Ohmschen Gesetz mit den Gleichungen u R (t) = R i (t) (61) und u L (t) = j ω / rad L i (t) (62) oder (62a) (Wie bereits im Kapitel „Induktiver Widerstand“ gezeigt wurde, gilt die Umrechnung ). Die Gesamtspannung u AB über der Reihenschaltung des ohmschen und induktiven Widerstandes ist auch mit komplexen Größen die Summe der Teilspannungen u R (t) und u L (t) . In Verbindung mit den Zählpfeilen in Bild 28 schreiben wir deshalb u AB (t) = u R (t) + u L (t) . (63) Nach Einsetzen der Gln. (61) und (62) erhalten wir u AB (t) = (R + j ω / rad L) i (t) . (63a) Den Klammerausdruck ersetzen wir durch R AB gemäß Gl. (58) . Die weitere Berechnung setzen wir mit der eulerschen Form von R AB lt. Gl. (58c) fort, die uns den Rechenweg wesentlich vereinfacht. Deshalb schreiben wir für die vorherige Gleichung . (63b) u L (t) = ω / rad L e i (t) 90° rad j j = e 90° rad j u AB (t) = R AB e i (t) ϕ rad j <?page no="73"?> 71 Für den weiteren Rechenweg benutzen wir die Gln. (61), (62a) und (63b) . Diese sind eine Funktion von i (t) . Wie wir später erkennen, ist es zweckmäßig, den komplexen Strom i (t) als Kosinusfunktion zu definieren, wobei wir die eulersche Form bevorzugen, indem wir schreiben . (64) (siehe auch Gl. (47)). Nach Einsetzen dieser Gleichung in die oben genannten, erhalten wir als Ergebnisse , (61a) (62b) und . (63c) In diesen drei Gleichungen lesen wir als Beträge die Maximalwerte der Spannungen , (61b) (62c) und (63d) ab. Das Zeigerdiagramm für die Spannungen und den Strom gilt in Verbindung mit den Zählpfeilen in Bild 28 und folgt aus den Gln. (61a), (62b), (63c) und (64). Es ist in Bild 30 qualitativ dargestellt. Bild 30 Zeigerdiagramm zu Bild 28 mit induktivem Verhalten: Strom und Spannungen Die Zeiger sind für t = 0 gezeichnet, deshalb schreiben wir an diesen das eingeklammerte „(t)“ nicht mit. Ihre Beträge und der Phasenwinkel ϕ können nach Vorgabe von Zahlenwerten maßstabsgerecht gezeichnet werden. Eine Betrachtung des Zeigerdiagramms in Bild 30 und der Widerstandszeiger in Bild 29 ergibt Folgendes: i (t) = e I^ ωt rad j u R (t) = R e I^ ωt rad j u L (t) = ω / rad L e I^ (ωt + 90°) rad j u AB (t) = R AB e I^ (ωt + ϕ ) rad j U R ^ = R I^ U L ^ = ω / rad L I^ U AB ^ = R AB I^ j r u L u AB u R ϕ i. <?page no="74"?> 72 − Der Strom im Stromkreis von Bild 28 eilt der in die Schaltung eingespeisten Wechselspannung um den Phasenwinkel ϕ nach. − Der Strom durch den Widerstand R und die Spannung über dem Widerstand sind phasengleich. − Der Strom durch die Induktivität L eilt der Spannung über dieser um 90° nach. − Die Widerstandszeiger in Bild 29 und die dazugehörigen Spannungszeiger in Bild 30 haben gleichen Richtungssinn. Mit diesen Betrachtungen wird der Vorteil sichtbar, den die Wahl des Stromzeigers in Verbindung mit Gl. (64) bedingt. Dadurch liegt der Stromzeiger als Bezugszeiger mit dem Phasenwinkel null auf der positiven reellen Achse der komplexen Ebene, und es entsteht ein übersichtliches Zeigerbild. Definiert man unzweckmäßig den Zeiger für die in die Schaltung von Bild 28 eingespeiste Wechselspannung u AB (t) zum Bezugszeiger, müssten sämtliche Zeiger in Bild 28 um den Winkel ϕ im Uhrzeigersinn gedreht werden. Das wäre zwar kein Fehler, jedoch ginge die gute Vergleichsmöglichkeit und Übersicht zu den Widerstandszeigern verloren. Nach Division der drei Gln. (61b), (62c) und (63d) durch 2 ergeben sich gemäß dem Satz (60) deren Effektivwerte mit den Gleichungen U R = R I (61c) U L = ω / rad L I (62d) und U AB = R AB I . (63e) Jetzt wollen wir die komplexe Ebene als wertvolles Hilfsmittel unserer Berechnungen zur Schaltung von Bild 28 wieder verlassen und kehren zu den anfänglichen Zeitfunktionen zurück. Dazu benutzen wir als „Rücktransformation“ der komplexen Gleichungen von Strom und Spannung nur noch deren Realteil und erhalten für die Zeitfunktion − des Stromes aus Gl. (64) (65) − der Spannung über dem Widerstand aus Gl. (61a) und (61b) (66) − der Spannung über der Induktivität (67) aus Gl. (62b) und (62c) oder (67a) − der Gesamtspannung aus Gl. (63c) und (63d) (68) Mit den in diesem Abschnitt erarbeiteten Gleichungen haben wir das „Rüstzeug“, um numerische Aufgaben zu lösen. In folgendem Beispiel sind mit Bezug auf Bild 28 gegeben: i(t) = cosωt I^ u R (t) = cosωt U R ^ u L (t) = cos(ωt + 90°) U L ^ u L (t) = − sinωt U L ^ U AB ^ u AB (t) = cos(ωt + ϕ ) <?page no="75"?> 73 − Ohmscher Widerstand R = 20 Ω − Induktivität L = 0,11 H − Frequenz der Wechselspannung f = 50 Hz − Effektivwert der Wechselspannung U AB = 10 V Zu errechnen sind: − Kreisfrequenz ω − Induktiver Widerstand R L − Scheinwiderstand (Gesamtwiderstand) R AB − Phasenwinkel ϕ − Effektivwert des Stromes I − Effektivwerte der Spannungen U R und U L − Zeitfunktion des Stromes i(t) − Zeitfunktion der Spannung am Widerstand u R (t) − Zeitfunktion der Spannung an der Induktivität u L (t) − Zeitfunktion der Spannung über R und L u AB (t) − Liniendiagramme der Zeitfunktionen i(t) und u AB (t) Die Lösungen mit Angaben zum Lösungsweg enthält Tabelle 1 . In der zweiten Tabellenspalte befinden sich zusätzlich die Nummern der im Text abgeleiteten Gleichungen, die zur Lösung angewendet werden. Winkel in den Ergebnissen der vierten Tabellenspalte sind in rad oder Grad angegeben. Beide Winkelmaße sind gleichberechtigt und wechselseitig umrechenbar. Die Ergebnisse der Zeitfunktionen sind aus Platzgründen zweizeilig geschrieben. Die Winkelfunktionen in der jeweils zweiten Zeile sind mit der ersten Zeile multiplikativ verknüpft. Die Liniendiagramme der Zeitfunktionen i(t) und u AB (t) zeigt Bild 31 . Zusätzlich enthält das Liniendiagramm die Effektivwerte des Stromes I und der Spannung U AB . Die Stromkurve (rot) und die Spannungskurve (grün) im Liniendiagramm wurden mit den dazugehörigen Gleichungen in der Ergebnisspalte von Tabelle 1 errechnet. Im Liniendiagramm erkennt man, dass der Strom der Spannung um 3,33 ms nacheilt. Multipliziert man diese Zeit mit der gegebenen Kreisfrequenz, erhält man den Phasenverschiebungswinkel ϕ von 1,047 rad, das sind 60°. Dieser Winkel ist auch im Zeigerdiagramm von Bild 30 eingezeichnet. Ein weiteres Kriterium ist mit den Zeitfunktionen in der Ergebnisspalte von Tabelle 1 überprüfbar: Zu jedem Zeitpunkt t ist die Summe der Augenblickswerte u R (t) und u L (t) gleich dem Augenblickswert der Gesamtspannung u AB (t) . Für die Augenblickswerte im Wechselstromkreis gilt der Kirchhoffsche Maschensatz ebenso wie im Gleichstromkreis. Die Zählpfeile in Bild 28 erfüllen dann ebenfalls ihren Zweck. Sie haben eine Doppelfunktion, indem sie sowohl zur Kennzeichnung komplexer Größen als auch zur Kennzeichnung der Augenblickswerte von Zeitfunktionen dienen. Sollen Zählpfeile Augenblickswerten zugeordnet werden, entfallen die Unterstreichungen als Merkmal für komplexe Größen. In Tabelle 2 sind einige Zeitpunkte gewählt, mit denen Augenblickswerte der Spannungen über dem Widerstand R, der Induktivität L, der Spannung der Wechselspannungsquelle und des Stromes in Bild 28 errechnet wurden. <?page no="76"?> 74 Bild 31 Strom - und Spannungsfunktion des Zahlenbeispiels zu Bild 28 Zur Berechnung der Spannungen und des Stromes wurden die Gleichungen in Tabelle 1 , Ergebnisspalte, letzte vier Zeilen verwendet. Wir können nachprüfen, dass in Tabelle 2 die Summe der Spannung über R und über L für alle Zeitpunkte gleich der Gesamtspannung ist. Zusätzlich erkennen wir, dass sich für jeden Zeitpunkt die Vorzeichenkonstellation der Spannungen und des Stromes unterscheidet. Nur mit den Zählpfeilen in Bild 28 ist es möglich, zu jedem Zeitpunkt die Spannungspolarität über den Bauelementen und die Stromrichtung im Stromkreis der Schaltung zu bestimmen. Bei positiven Spannungswerten ist das Potential an den Enden der grünen Spannungspfeile positiv gegenüber den Pfeilspitzen. Bei negativen Spannungswerten ist das Potential an den Enden der grünen Spannungspfeile negativ gegenüber den Pfeilspitzen. Bei positiven Stromwerten fließt der technische Strom in Richtung des roten Strompfeils. Bei negativen Stromwerten fließt der technische Strom entgegen der Strompfeilrichtung. Da die Spannung über R und der Strom im Stromkreis phasengleich sind, stimmen auch zu jedem Zeitpunkt die Vorzeichen beider Größen in Tabelle 2 überein. An diesem Zahlenbeispiel wird deutlich, dass Größenangaben in Formeln, Tabellen oder Diagrammen nur in Verbindung mit Zählpfeilen in der Schaltung eindeutige Ergebnisse in Schaltungsanalysen ermöglichen. Die eingangs vereinbarten Festlegungen für Zählpfeile wurden hierbei berücksichtigt. 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 4 8 12 −4 −8 −12 −16 16 −0,2 −0,4 −0,6 0,2 0,4 0,6 0,8 −0,8 u AB (t)/ V i(t)/ A t/ ms U AB = 10 V I = 0,25 A 3,33 ms ϕ = 60° <?page no="77"?> 75 Tabelle 1: Numerische Berechnungen zur Schaltung in Bild 28 Zu errechnende Größe Benötigte Gleichungen Gl. mit eingesetzten Größen Ergebnis (gerundet) Kreisfrequenz ω (59) ω = 2 π 50 rad/ s ω = 0,1 π rad/ ms oder ω = 18° / ms Induktiver Widerstand R L R L = ω / rad L (49) R L = 100 π s −1 0,11 H R L = 34,56 Ω Scheinwiderstand R AB Gl. (58a) R AB = 40 Ω Phasenwinkel ϕ Gl. (58b) ϕ = π / 3 rad oder ϕ = 60° Effektivwert des Stromes I (63e) I = 0,25 A Effektivwert der Spannung U R U R = R I (61c) U R = 20 Ω 0,25 A U R = 5 V Effektivwert der Spannung U L U L = ω / rad L I (62d) U L = 100 π s −1 0,11H 0,25A U L = 8,64 V Zeitfunktion des Stromes i(t) (65) i(t) = 2 0,25 A cos(100 π rad t / s) i(t) = 0,3536 A cos(0,1 π rad t / ms) Zeitfunktion der Spannung u R (t) (66) u R (t) = 2 5 V cos(100 π rad t / s) u R (t) = 7,071 V cos(0,1 π rad t / ms) Zeitfunktion der Spannung u L (t) (67a) u L (t) = − 2 8,64 V sin(100 π rad t / s) u L (t) = − 12,247 V sin(0,1 π rad t / ms) Zeitfunktion der Spannung u AB (t) Gl. (68) u AB (t) = 2 10 V cos(100 π rad t/ s + π/ 3 rad) u AB (t) = 14,142 V cos(18° t / ms + 60°) rad ω / = 2 π f / Hz s R AB = R 2 + (ω / rad L) 2 R AB = 20 2 + 34,56 2 Ω ω / rad L ϕ = arctan R 100 π s −1 0,11 H ϕ = arctan 20 Ω I = U AB R AB I = 10 V 40 Ω i(t) = cosωt I^ u R (t) = cosωt U R ^ u L (t) = − sinωt U L ^ u AB (t) = cos(ωt + ϕ ) U AB ^ <?page no="78"?> 76 Tabelle 2: Errechnete Augenblickswerte für die Spannungen in Bild 28 Zeitpunkt t / ms Spannung über R u R (t) / V Spannung über L u L (t) / V Gesamtspannung u AB (t) / V Strom im Stromkreis i(t) / mA 1 6,725 −3,785 2,94 336,25 2,5 5 −8,66 −3,66 250 7,5 −5 −8,66 −13,66 −250 11 −6,725 3,785 −2,94 −336,25 12,5 −5 8,66 3,66 −250 17,5 5 8,66 13,66 250 Im nächsten Abschnitt befassen wir uns mit der Parallelschaltung eines ohmschen und eines induktiven Widerstandes, dargestellt in Bild 32 . Bild 32 Parallelschaltung eines ohmschen und induktiven Widerstandes In dieser Schaltung liegt die Spannung u AB (t) der Wechselspannungsquelle sowohl am ohmschen als auch am induktiven Widerstand. Mit den Zählpfeilen in Bild 32 gilt laut Ohmschem Gesetz für den Strom durch den Widerstand R (69a) und für den Strom durch die Induktivität L . (69b) Als Gesamtstrom errechnen wir nach dem Kirchhoffschen Knotenpunktsatz i L (t) u AB (t) R R L = jω / rad L i (t) ∼ A B i R (t) u AB (t) R i R (t) = u AB (t) jω / rad L i L (t) = <?page no="79"?> 77 . (70a) Nach Einsetzen der Gln. (69a) und (69b) erhalten wir die Gleichung (70b) und nach Division durch u AB (t) den Gesamtleitwert an den Anschlüssen A und B der Schaltung in Bild 32 . (71) In dieser Gleichung machen wir von der uns bekannten Regel Gebrauch (siehe Gl. (52a)). Somit ist der komplexe Leitwert G AB getrennt nach Realteil (1 / R ) und Imaginärteil ( −1 / ω / rad L ) , also in kartesischer Form, dargestellt. Praktisch interessiert jedoch meistens der komplexe Widerstand. Wir errechnen ihn, wie bekannt, als Kehrwert des komplexen Leitwertes mit der Formel . (72a) In dieser Formel stört uns die noch nicht vorhandene klare Trennung von Real- und Imaginärteil. Die Trennung erreichen wir mit Hilfe der bekannten binomischen Formel (a + b) (a − b) = a 2 − b 2 . Dazu erweitern wir Gl. (72a) mit dem Ausdruck . Das ist der konjugiert komplexe Nenner in Gl. (72a). Für diese erhalten wir damit . Nach Anwendung obiger binomischer Formel auf deren Nenner errechnen wir . (72b) i (t) = i R (t) + i L (t) ω / rad L 1 R 1 − j ) G AB = ( R i (t) = u AB (t) ( 1 + jω / rad L 1 ) j 1 = − j G AB R AB = = 1 1 R ( − j ) 1 1 ω / rad L R ( + j ) 1 1 ω / rad L R AB = R ( − j ) 1 1 ω / rad L R ( + j ) 1 1 ω / rad L R ( + j ) 1 1 ω / rad L R AB = [ + ] R 2 1 1 (ω / rad L) 2 R ( + j ) 1 1 ω / rad L <?page no="80"?> 78 Jetzt ist der Nenner reell, und Real- und Imaginärteil sind klar getrennt. Sie haben den gleichen reellen Nenner. Das positive Vorzeichen im Nenner ergibt sich mit der einfach errechenbaren Beziehung ( − j ) ( j ) = − j 2 = 1 . Zur Erleichterung numerischer Berechnungen und Verringerung der Fehlergefahr formen wir Gl. (72b) so um, dass möglichst wenig dimensionsbehaftete Terme in ihr vorkommen. Das erreichen wir, indem wir diese Gleichung mit R 2 erweitern und danach R ausklammern. Als Ergebnis in zweckmäßiger Gleichungsform mit möglichst viel dimensionslosen Termen erhalten wir . (72c) Die Terme sind dimensionslos, denn die gleichen Einheiten Ω von R und ω / rad L werden gekürzt. Damit ist der gesamte Ausdruck in der eckigen Klammer dimensionslos. Die Einheit Ω für R AB folgt aus R vor der eckigen Klammer. Als Beispiele zur Anwendung von Gl. (72c) dienen Übungsaufgaben. Das Zeigerdiagramm der Größen in Bild 32 zeigt Bild 33 . Bild 33 Zeigerdiagramm zur R - L - Parallelschaltung: Spannung und Ströme Da bei der Parallelschaltung von R und L an beiden Zweigen die Spannung u AB liegt, wählen wir diese als Bezugsgröße und zeichnen deren Zeiger auf die reelle Achse (Im Liniendiagramm würde u AB einer Kosinusfunktion entsprechen). Der Strom i R hat gemäß Gl. (69a) die gleiche Phasenlage wie u AB . Der Zeiger zu i R liegt deshalb ebenfalls auf der reellen Achse. Der Strom i L eilt gemäß Gl. (69b) der Spannung u AB um 90° nach, denn mit 1/ j = − j können wir für Gl. (69b) auch schreiben . (69c) Der Gesamtstrom i ergibt sich durch geometrische Addition von i R und i L , wie in Bild 33 dargestellt und mit Gl. (70b) beschrieben ist. Sowohl bei der R - L - Parallelschaltung als auch bei der R - L - Reihenschaltung eilt der Strom i der Spannung u AB nach. R AB = R [ ] 1 + ( ) 2 R ω / rad L 1 + j R ω / rad L R ω / rad L −ϕ j r u AB i. i R i L u AB (t) ω / rad L i L (t) = − j <?page no="81"?> 79 Vom Ersatzwiderstand bzw. Ersatzleitwert der R - L - Parallelschaltung in Bild 32 wählen wir zweckmäßig das Zeigerdiagramm zu den Leitwerten, wie Bild 34 zeigt. Der Realteil von Gl. (71) beschreibt den Leitwert - Zeiger 1 / R auf der reellen Achse, und ihr Imaginärteil beschreibt den Leitwert - Zeiger ( −1 / ω / rad L ) auf der negativen imaginären Achse. Nach geometrischer Addition dieser beiden Zeiger (analog zu einem Kräfte - Parallelogramm) erhalten wir den Zeiger, der den Ersatzleitwert beschreibt. Bild 34 Zeigerdiagramm der Leitwerte zur R - L - Parallelschaltung Jetzt betrachten wir den Ersatzwiderstand der R - L - Parallelschaltung. Diesen beschreibt, getrennt nach Real- und Imaginärteil, Gl. (72c). Wir entnehmen dieser Gleichung als Realteil und als Imaginärteil . Mit diesen Ergebnissen können wir zur R - L - Parallelschaltung eine äquivalente R - L - Reihenschaltung herstellen. Ihre Komponenten bezeichnen wir hier mit Re { R AB } = R R und Im { R AB } = ω / rad L R . Der Index „R“ weist auf „Reihenschaltung“ hin. Den äquivalenten ohmschen Reihenwiderstand errechnen wir demnach mit der Gleichung (73a) und den induktiven Reihenwiderstand mit der Gleichung −ϕ j r R 1 ω / rad L − j 1 G AB Re { R AB } = 1 + ( ) 2 R ω / rad L R Im { R AB } = 1 + ( ) 2 R ω / rad L R 2 ω / rad L R R = 1 + ( ) 2 R ω / rad L R <?page no="82"?> 80 . Eine zweckmäßige Form dieser Gleichung erhalten wir durch Multiplikation von Zähler und Nenner mit dem Term und anschließender Umformung. Das Ergebnis lautet und nach Kürzen durch ω / rad . (73b) Mit den Werten für R R und L R können wir eine L - R - Reihenschaltung zeichnen, die sich genauso verhält wie die L - R - Parallelschaltung in Bild 32 . Diese Äquivalenz der Reihenzur Parallelschaltung besteht jedoch nur, wenn beide Schaltungen mit der gleichen Frequenz betrieben werden. Wie aus den Gln. (73a) und (73b) hervorgeht, ändern sich die Werte der äquivalenten Bauelemente R R und L R mit der Kreisfrequenz ω / rad . Selbstverständlich lässt sich auch zu einer vorgegebenen L - R - Reihenschaltung eine äquivalente L - R - Parallelschaltung errechnen. Zahlenbeispiele dazu enthalten Übungsaufgaben. Im nächsten Abschnitt behandeln wir die Parallelschaltung eines ohmschen und eines kapazitiven Widerstandes, kurz R - C - Parallelschaltung genannt. Bild 35 Parallelschaltung eines ohmschen und kapazitiven Widerstandes ω / rad L R = 1 + ( ) 2 R ω / rad L R 2 ω / rad L R ω / rad L ( ) 2 ω / rad L R = 1 + ω / rad L R ω / rad L ( ) 2 L R = 1 + L R ω / rad L ( ) 2 i (t) i C (t) u AB (t) R ∼ A B i R (t) 1 jω / rad C R C = <?page no="83"?> 81 In Bild 35 liegt diese an einer Wechselspannungsquelle. Mit Zählpfeilen angegeben sind die Spannung u AB (t) zwischen den Anschlussklemmen A und B , der Zweigstrom i C (t) durch den Kondensator C , der Zweigstrom i R (t) durch den Widerstand R und der Gesamtstrom i (t) . Analog zur R - L - Parallelschaltung in Bild 32 schreiben wir hier für den Strom durch R , (74a) für den Strom durch C (74b) (Beachte: „ jω / rad C “ ist der kapazitive Leitwert ! ) und für den Gesamtstrom i (t) = i R (t) + i C (t) . (75a) Nach Einsetzen der Gln. (74a) und (74b) erhalten wir die Gleichung (75b) und nach Division durch u AB (t) den Gesamtleitwert an den Klemmen A und B der Schaltung in Bild 35 . (76) Das Zeigerdiagramm zu der Spannung und den Strömen der R - C - Parallelschaltung zeigt Bild 36a und zu den Leitwerten gemäß Gl. (76) Bild 36b . a b Spannung und Ströme Leitwerte Bild 36 Zeigerdiagramme zur R - C - Parallelschaltung In Bild 36a erkennen wir: Bei der R - C - Parallelschaltung eilt der Strom i der Spannung u AB um den Winkel ϕ voraus. u AB (t) R i R (t) = i C (t) = u AB (t) jω / rad C i (t) = u AB (t) ( + jω / rad C ) 1 R i (t) u AB (t) ( + jω / rad C ) 1 R G AB = = j r i C i R ϕ u AB i a j r ϕ jω / rad C G AB 1 R <?page no="84"?> 82 Im nächsten Abschnitt behandeln wir die Reihenschaltung eines ohmschen und eines kapazitiven Widerstandes, kurz R - C -Reihenschaltung genannt, dargestellt in Bild 37 . Bild 37 Reihenschaltung eines ohmschen und kapazitiven Widerstandes Als Ersatzwiderstand liest man in Bild 37 ab . (77) Den Strom errechnen wir mit der Gleichung . (78a) Nach Erweitern mit dem konjugiert komplexen Nenner und Umformung ergibt sich die Gleichung . (78b) Das Zeigerdiagramm für den komplexen Ersatzwiderstand R AB leiten wir aus Gl. (77) ab . Es ist in Bild 38 dargestellt. Bild 38 Widerstands - Zeigerdiagramm zur R - C - Reihenschaltung R AB = R + = R − j 1 jω / rad C 1 ω / rad C u AB (t) i (t) = = R AB R − j 1 ω / rad C u AB (t) u AB (t) i (t) = [ ] R 1 ω / rad CR (ω / rad CR ) 2 1 1 + j 1 + −ϕ j r R ω / rad C − j 1 R AB i (t) ∼ u R (t) u C (t) R u AB (t) A B 1 jω / rad C R C = <?page no="85"?> 83 Für das Zeigerdiagramm der Spannungen und des Stromes der R - C - Reihenschaltung in Bild 37 gilt stets ein Strom und damit dieser als Bezugsgröße. Durch Umformen von Gl. (78a) nach u AB (t) erhalten wir die Gleichung . (78c) Der Realteil dieser Gleichung ergibt in Bild 37 die Spannung (79a) und der Imaginärteil . (79b) Mit dem gemeinsamen Strom i (t) als Bezugszeiger auf der reellen Achse liegt in Bild 39 der Zeiger u R ebenfalls auf der reellen Achse (Gl. (79a)). Der Zeiger u C liegt auf der negativen imaginären Achse (Gl. (79b)). Bild 39 Zeigerdiagramm zur R - C - Reihenschaltung: Strom und Spannungen Wie Bild 39 zeigt, eilt auch bei der R - C - Reihenschaltung die Spannung u AB dem Strom i (t) um den Winkel ϕ nach. Dabei müssen wir daran denken, dass Phasen- und Vorzeichenbeziehungen stets in Verbindung mit Zählpfeilen in dazugehörigen Schaltungen gelten. Im Folgenden behandeln wir Widerstandskombinationen, die auch als Schwingkreis bezeichnet und hauptsächlich in der Elektronik angewendet werden. Der Reihenschwingkreis besteht aus der Reihenschaltung eines ohmschen, induktiven und kapazitiven Widerstandes, kurz R - L - C - Reihenschaltung genannt. Diese ist in Bild 40 an eine Wechselspannungsquelle angeschlossen. Zur Berechnung des Ersatzwiderstandes an den Klemmen A und B lesen wir in Bild 40 die Beziehung ab. (80a) u AB (t) = i (t) ( R − j ) 1 ω / rad C u R (t) = i (t) R u C (t) = − j i (t) ω / rad C −ϕ j r i . u R u C u AB R AB = R + j ω / rad L + 1 j ω / rad C <?page no="86"?> 84 Bild 40 R - L - C - Reihenschaltung (Reihenschwingkreis) Nach einfacher Umformung und Zusammenfassen der Imaginärteile erhalten wir die Formel . (80b) An dieser Formel erkennen wir folgende Besonderheit: Die runde Klammer enthält den Imaginärteil obiger Formel für den komplexen Widerstand R AB . Der Ausdruck ω / rad L bezeichnet den Betrag des induktiven Widerstandes und der Ausdruck 1 / ω / rad C bezeichnet den Betrag des kapazitiven Widerstandes in Bild 40 . In dem Fall, in dem die Beträge des induktiven und des kapazitiven Widerstandes gleich sind, ist der Imaginärteil in Gl. (80b) gleich null. Diesen Zustand bezeichnen wir mit Resonanz . Sind Induktivität L und Kapazität C in der Schaltung vorgegeben, lässt sich eine Kreisfrequenz ω errechnen, mit der Gl. (80b) die Resonanzbedingung erfüllt. Diese bezeichnen wir mit Resonanzkreisfrequenz oder kürzer mit Resonanzfrequenz ω 0 . Sie wird errechnet durch Gleichsetzen der Beträge des induktiven und kapazitiven Widerstandes, indem wir schreiben und nach Umstellung . (81a) Soll die Resonanzfrequenz in Hz angegeben werden, lautet die Umrechnung (siehe auch Gl. (59) . (81b) Für die Teilspannungen in Abhängigkeit vom Strom lesen wir in Bild 40 folgende Beziehungen ab: (82a) (82b) R AB = R + j ( ω / rad L − ) 1 ω / rad C ω 0 / rad L = ω 0 / rad C 1 ω 0 / rad = L C 1 f 0 / Hz = 2 π ω 0 / rad s u R (t) = R i (t) u L (t) = j ω / rad L i (t) i (t) u R (t) u L (t) R R L = jω / rad L ∼ u AB (t) A u C (t) B 1 jω / rad C R C = <?page no="87"?> 85 und . (82c) Die Summe der drei Teilspannungen ergibt die Gesamtspannung . (82d) Für R AB gilt Gl. (80b) . Ein Zeigerdiagramm zur R - L - C - Reihenschaltung enthält Bild 41a . Bild 41a Zeigerdiagramm zur R - L - C - Reihenschaltung mit induktivem Verhalten: Strom und Spannungen Die Spannungszeiger entsprechen gleichzeitig den Zeigern eines hier nicht gezeichneten Diagramms der Widerstandszeiger. Sie unterscheiden sich nur um den Strombetrag als Faktor. Der Gesamtstrom i dient als reelle Bezugsgröße. Im gezeichneten Zeigerdiagramm ist die Spannung u L über der Induktivität L größer als die Spannung u C über der Kapazität C . Die Differenz u L − u C ist in Bild 41a eingezeichnet. Sie bildet den Imaginärteil der Gesamtspannung u AB . Ihr Realteil ist die Spannung u R über dem Widerstand R . Eine R - L - C - Reihenschaltung zum Bild 41a verhält sich wie eine R - L - Reihenschaltung. Dieses Verhalten zeigt auch das Zeigerdiagramm in Bild 30 . Ein weiteres Zeigerdiagramm zur R - L - C - Reihenschaltung zeigt Bild 41b . In diesem ist die Spannung u C größer als die Spannung u L . Dann verhält sich die Schaltung wie eine R - C - Reihenschaltung, dargestellt in den Bildern 37 und 39 . Wie wir aus den Zeigerdiagrammen erkennen, ist die zugehörige R - L - C - Reihenschaltung so bemessen, dass die Beträge der Spannungen u L und u C größer als die angelegte Spannung u AB sind. Diese Eigenschaft nennen wir „Spannungsüberhöhung“ . Sie nimmt mit abnehmendem Widerstand R zu. Besonders interessiert uns der bereits erwähnte Resonanzfall. In diesem sind die u C (t) = − j i (t) ω / rad C u AB (t) = R AB i (t) r i . u AB ϕ j u R u C u L u L − u C <?page no="88"?> 86 Bild 41b Zeigerdiagramm zur R - L - C - Reihenschaltung mit kapazitivem Verhalten: Strom und Spannungen Beträge der Spannungen u L und u C gleich groß. Wie uns die Zeigerdiagramme veranschaulichen, ist dann die Spannung u AB gleich u R und der Phasenwinkel ϕ wird zu null. Die Schaltung verhält sich nur noch wie ein ohmscher Widerstand R . Im Resonanzfall haben bei konstanter angelegter Spannung der Strom i ein Maximum, ebenso die Beträge der Spannungen u L und u C . Gleichzeitig können u L und u C viel größer als u AB sein. Allgemein ausgedrückt ist der Reihenschwingkreis umso „idealer“, je kleiner der ohmsche Widerstand gegenüber dem induktiven und kapazitiven Widerstand ist. Zahlenbeispiele dazu enthalten Übungsaufgaben. Von ebenso großer Bedeutung wie die R - L - C - Reihenschaltung ist die R - L - C - Parallelschaltung. Sie wird häufig als Parallelschwingkreis angewendet. Die Parallelschaltung besteht aus einem ohmschen, induktiven und kapazitiven Widerstand, kurz R - L - C -Parallelschaltung genannt. Diese ist in Bild 42 zwecks praxisnaher Beschreibung an eine Wechselstromquelle angeschlossen. Zur Berechnung beginnen wir mit dem Ersatzleitwert an den Klemmen A und B. Er errechnet sich als Summe der Einzelleitwerte. In Bild 42 lesen wir die Beziehung (83a) ab. G AB = + + j ω / rad C = + j ( ω / rad C − ) 1 R 1 j ω / rad L 1 R ω / rad L 1 j r u C − u L u C u L u AB i . −ϕ u R <?page no="89"?> 87 Bild 42 R - L - C -Parallelschaltung (Parallelschwingkreis) Für verschiedene Berechnungen benötigen wir zusätzlich den Ersatzwiderstand R AB der Schaltung. Den errechnen wir als reziproken Wert von G AB mit der Beziehung . (83b) In der aus vorherigen Umformungen bekannten Weise erhalten wir nach Erweiterung dieser Gleichung mit dem konjugiert komplexen Nenner zwecks Trennung von Real- und Imaginärteil und einigen elementaren Umformungen die für weitere Berechnungen zweckmäßige Gleichung . (83c) Als Zusammenhang von Gesamtstrom i (t) und Gesamtspannung u AB (t) errechnen wir für die R - L - C - Parallelschaltung nach dem Ohmschen Gesetz in Verbindung mit Gl. (83a) . (84) Die Zweigströme durch R, L und C errechnen wir mit den Beziehungen R AB = R 1 + j ( − ω / rad C R ) ω / rad L R 1 + ( − ω / rad C R ) 2 ω / rad L R i (t) = u AB (t) G AB = u AB (t) [ + j ( ω / rad C − ) ] 1 R ω / rad L 1 u AB (t) R R L = jω / rad L i (t) A B i L (t) i R (t) i C (t) Wechselstromquelle 1 jω / rad C R C = R AB = = 1 G AB + j ( ω / rad C − ) 1 R ω / rad L 1 1 <?page no="90"?> 88 ; und . (85 a, b, c) Mit Hilfe der Gln. (84) und (85) entwickeln wir das Zeigerdiagramm für die Spannung und die Ströme der R - L - C -Parallelschaltung in Bild 43 . Bild 43 Zeigerdiagramm zur R - L - C - Parallelschaltung mit kapazitivem Verhalten: Spannung und Ströme Die Stromzeiger widerspiegeln zugleich die Leitwertzeiger eines hier nicht gezeichneten Leitwertzeigerdiagramms, denn die Leitwerte sind in Bild 42 den Strömen proportional. In Bild 43 ist die allen Zweigen der R - L - C - Parallelschaltung gemeinsame Spannung u AB auf der reellen Achse dargestellt. Weiter sehen wir, dass der Strom i C größer als der Strom i L ist. Der Gesamtstrom i . eilt deshalb der Spannung u AB um den Winkel ϕ voraus, d.h. die Schaltung verhält sich in diesem Fall wie eine R - C - Schaltung (siehe dazu Bild 36). Wäre hingegen der Strom durch die Induktivität größer als durch die Kapazität, würde der Gesamtstrom der angelegten Spannung gegenüber nacheilen. Dann würde sich die Schaltung wie eine R - L - Schaltung verhalten (siehe dazu Bild 33). Von besonderem Interesse ist der Resonanzfall. Er tritt ein, wenn die Beträge des induktiven und kapazitiven Widerstandes gleich sind. Natürlich sind dann auch der induktive und kapazitive Leitwert gleich. Bei vorgegebenen Werten von Induktivität und Kapazität errechnet man die Resonanzfrequenz mit Gl. (81a), die bereits für den Reihenresonanzkreis abgeleitet wurde. Im Zeigerdiagramm heben sich i L und i C gegenseitig auf, da diese Ströme im Resonanzfall mit gleichen Beträgen um 180° phasenverschoben sind. Dann sind i .und i R gleich und liegen mit u AB auf der reellen Achse. Die Schaltung verhält sich nur noch wie ein ohmscher Widerstand R . Im Vergleich zum Reihenresonanzkreis ist beim „idealen“ Parallelresonanzkreis ein großer Wert für den Parallelwiderstand R erwünscht. Ein von der Konstantstromquelle u AB (t) i R (t) = R jω / rad L u AB (t) i L (t) = i C (t) = u AB (t) j ω / rad C r i R . i . ϕ j u AB i L i C i C − i L <?page no="91"?> 89 in Bild 42 in die Schaltung eingespeister Strom bewirkt einen hohen Wert der Klemmenspannung u AB , der bei der Resonanzfrequenz ein Maximum hat. Zur Veranschaulichung dieser Resonanzüberhöhung betrachten wir Bild 42 und nehmen an, die Frequenz des eingespeisten Stromes sei gleich null, d.h. es wird Gleichstrom eingespeist. In diesem Fall wirkt die Induktivität L als Kurzschluss, wodurch die Spannung u AB gleich null ist. Hingegen wird bei einer sehr hohen Frequenz der kapazitive Widerstand des Kondensators sehr klein. Das bewirkt ebenfalls einen sehr kleinen Wert nahe null von u AB . Erst bei der Resonanzfrequenz können wir L und C außer Acht lassen, so dass über R die Spannung u AB ein Maximum erreicht. Zahlenbeispiele dazu enthalten Übungsaufgaben. R - L - C - Resonanzkreise sind in der Elektronik zur frequenzselektiven Signaltrennung von großer Bedeutung. Ein umfangreiches Einsatzgebiet sind Tuner in Rundfunk- und Fernsehgeräten. 6.2.6 Übungsaufgaben 1. Für die Reihenschaltung eines ohmschen und induktiven Widerstandes in Bild 28 sind gegeben: Widerstand R = 10 Ω Induktivität L = 10 mH Angelegte Wechselspannung u AB = 115 V (ohne imaginäre Komponente) Frequenz von u AB f = 400 Hz Errechne: a) Die Kreisfrequenz ω (in rad / s) b) Den induktiven Widerstand R L c) Den komplexen Widerstand R AB (in kartesischer und eulerscher Form) d) Den komplexen Leitwert G AB (in kartesischer und eulerscher Form) e) Die komplexe Stromaufnahme i (in eulerscher Form) 2. Durch eine als „Siebglied“ verwendete Reihenschaltung eines ohmschen Widerstandes und eines „Siebkondensators“ in Bild 37 soll die angelegte Wechselspannung von u AB = 10 V (ohne imaginäre Komponente) mit einer Frequenz von f = 100 Hz stark verringert werden. Der dem Siebkondensator C vorgeschaltete Widerstand beträgt R = 50 Ω a) Welche Kapazität muss der Kondensator C mindestens haben, damit der Betrag der Kondensatorwechselspannung ⏐u C ⏐ nicht größer als 1 V ist ? b) Wie groß ist der Phasenwinkel ϕ von u C gegenüber u AB ? <?page no="92"?> 90 3. Das Ersatzschaltbild eines Induktionsmotors besteht aus einer R - L - Reihenschaltung mit L = 10 H und R = 1 kΩ . Dem Motor steht eine Wechselspannung von U AB = 110 V mit einer Frequenz von f = 50 Hz zur Verfügung. Er benötigt jedoch eine doppelt so große Betriebswechselspannung von U M = 220 V . Die Verdoppelung der benötigten Spannung soll durch einen in Reihe geschalteten Vorschaltkondensator C erfolgen. Mit diesem entsteht ein Reihenschwingkreis gemäß Bild 40 , an dem die Motorspannung U M über der R - L - Reihenschaltung liegt. Welche Kapazität muss der Kondensator C haben? Lösungshinweis: Wende die aus der Gleichstromtechnik bekannte Spannungsteilerregel mit den komplexen Größen des Reihenschwingkreises an und bilde anschließend den Betrag des Spannungsverhältnisses U M / U AB . Danach erfolgt mit Formelumstellung die numerische Berechnung der Kapazität von C . Beachte die Zweideutigkeit der Quadratwurzel. Es gibt zwei Lösungen für C . Zusatzfrage: Wie groß ist C für die Resonanz des Reihenschwingkreises? 4. Der Schwingkreis eines Rundfunk-Bandfilters wird näherungsweise durch eine R - L - C - Parallelschaltung in Bild 42 dargestellt. Die Wechselstromquelle liefert den konstanten Strom I = 10 μA mit einer Frequenz f 0 = 455 kHz . (Das ist die Zwischenfrequenz in Radios für Kurz-, Mittel- und Langwelle.) Der Kondensator hat eine Kapazität von C = 150 pF und der Parallelwiderstand einen Wert von R = 120 kΩ . a) Welchen Wert muss die Induktivität für den Resonanzfall haben? b) Wie hoch ist die Spannung U AB0 im Resonanzfall? c) Auf welche Werte unterhalb und oberhalb der Resonanzfrequenz f 0 muss sich die Frequenz der Wechselstromquelle ändern, damit die Spannung U AB nur noch das 0,7-fache (genau das 1/ 2 fache) der Maximalspannung beträgt.? Wie hoch ist die Differenz zwischen den gesuchten Frequenzen ? Lösungshinweis: − Errechne die gesuchten „Grenzfrequenzen“ mit dem Betrag des Widerstandsverhältnisses ⏐R AB ⏐/ R . − Bei Konstantstromeinspeisung ist die Eingangsspannung proportional zum Eingangswiderstand . − Die Errechnung der Grenzfrequenzen erfordert die Lösung einer quadratischen Gleichung. − Diese liefert für ω / rad zwei Ergebnisse, die nach Umrechnung in f die gesuchten Grenzfrequenzen ergeben. <?page no="93"?> 91 5. Es wird angestrebt, den Leistungsfaktor cosϕ in Energienetzen zu verbessern. Der Phasenwinkel ϕ zwischen Netzwechselspannung und Netzwechselstrom ist eine Kenngröße für den Blindstromanteil, der möglichst klein bleiben soll. Im Idealfall ist cosϕ = 1 . Auch Leuchtstofflampen mit Vorschaltdrosselspule tragen zur Erhöhung des Blindstromanteils bei. Die R - L - Reihenschaltung in Bild 44 stellt die vereinfachte Ersatzschaltung einer Leuchtstofflampe dar. Bild 44 Induktiver Verbraucher mit Phasenschieberkondensator Der Strom i RL (t) und die Spannung u AB (t) sind um den Winkel ϕ phasenverschoben. Der Kondensator C soll diese Phasenverschiebung kompensieren. a) Errechne mit den Werten f = 50 Hz , C = 0 (keine Kompensation) , R = 500 Ω und L = 2 H den Phasenwinkel ϕ = ? und den Leistungsfaktor cosϕ = ? b) Wie groß muss die Kapazität von C sein, damit die Phasenverschiebung zwischen i (t) und u AB (t) gleich null ist? Lösungshinweis: Erstelle die Leitwertformel für G AB , setze deren Imaginärteil gleich null und errechne danach die Kapazität C 0 . i RL (t) u R (t) u L (t) R L ∼ u AB (t) A B i (t) i C (t) C <?page no="94"?> 92 6.3 Komplexe Leistungsberechnung Die elektrische Leistung P in Gleichstromkreisen ist, wie bekannt, das Produkt von Spannung mal Strom. Da in Wechselstromkreisen Spannung und Strom sinusförmige Zeitfunktionen sind, ergibt das Produkt ihrer Augenblickswerte wieder eine sinusförmige Zeitfunktion, wenn auch von doppelter Frequenz und einem Gleichanteil. Es wird jedoch ein gleichbleibender Wert gefordert, der einer Leistung bei Gleichstrom äquivalent ist. Zur Veranschaulichung legen wir eine sinusförmige Wechselspannung an einen ohmschen Widerstand, z.B. an einen Wärmestrahler. Wir wissen, dass in diesem Fall ein sinusförmiger Wechselstrom durch den Widerstand fließt, der die gleiche Phasenlage zur Wechselspannung hat, wie in Bild 45 dargestellt. Bild 45 Zeitfunktion der Leistung P(t) als Produkt von u(t) mal i(t) Das Produkt der Augenblickswerte von Spannung u(t) mal Strom i(t) ergibt die Zeitfunktion der Leistung . (86) Der an die Wechselspannung angeschlossene Widerstand setzt die zugeführte elektrische Leistung P(t) in Wärmeleistung um, die er an die Umgebung abstrahlt. Die Wärmeträgheit des Widerstandes bewirkt jedoch, dass die abgestrahlte Wärmeleistung nicht den Augenblickswerten von P(t) folgt, sondern einem konstanten Mittelwert P W gleich ist, den wir Wirkleistung nennen. Diese ist in Bild 45 als gestrichelte Linie eingezeichnet. Ohne höhere mathematische Beweisführung überzeugt uns der optische Eindruck, dass die Höhe der gestrichelten Linie den Mittelwert aller Augenblickswerte der Funktion P(t) darstellt, wenn die Halbwellen oberhalb dieser Linie den gleichen Flächeninhalt wie die Halbwellen unterhalb der Linie haben und wenn die Minimalwerte die Zeitachse berühren. (Bei der Spannungs- und Stromfunktion sind die Mittelwerte gleich null.) In Bild 45 erkennen wir also, dass die Wirkleistung P W gleich dem halben Maximalwert der Leistungsfunktion P(t) ist. Da der Maximalwert der Leistungsfunktion gleich dem Produkt der Maximalwerte von Spannung und Strom ist, gilt die einfache Formel u(t) i(t) t P(t) P W P(t) = u(t) i(t) = sin 2 ωt U^ I^ <?page no="95"?> 93 . Zerlegen wir die „2“ in dieser Formel in das Produkt „2 mal Wurzel aus 2“, erhalten wir die Beziehung . (87) Den Term bezeichnen wir als Effektivwert der Wechselspannung (88a) und den Term als Effektivwert des Wechselstromes (88b) Als Gleichung für die Wirkleistung können wir also schreiben . (89) Diese Gleichung gilt nur, wenn Spannungs- und Stromfunktion nicht phasenverschoben sind. Jetzt legen wir eine sinusförmige Wechselspannung an einen induktiven Widerstand ohne ohmschen Anteil. Wir wissen, dass in diesem Fall ein sinusförmiger Wechselstrom durch die Induktivität fließt, der zur Wechselspannung um 90° nacheilt, wie in Bild 46 dargestellt. Das Produkt der Augenblickswerte von Spannungs- und Stromfunktion ergibt die Leistungsfunktion. Bild 46 Zeitfunktion der Leistung P(t) bei 90° Phasenverschiebung zwischen u(t) und i(t) P W = 1 2 U^ I^ P W = U^ 2 2 I^ 2 I^ P W = U I U = U^ 2 I = 2 I^ u(t) i(t) t P(t) U^ 2 <?page no="96"?> 94 Wir erkennen in Bild 46, dass die Anzahl der positiven und negativen Augenblickswerte der Leistungs-Zeitfunktion P(t) gleich ist. Folglich ist ihr Mittelwert gleich null. Während der positiven Halbwelle von P(t) liefert die Wechselspannungsquelle Energie an die angeschlossene Induktivität. Sie wird dort als magnetische Energie gespeichert. Während der negativen Halbwelle von P(t) gibt die Induktivität ihre Energie an die Wechselspannungsquelle zurück. Eine reine Induktivität verbraucht also keine Wirkleistung. Deshalb erhält das Produkt der Effektivwerte von Spannung und Strom in diesem Fall den Namen Blindleistung P B = U I . (90) Diese Gleichung gilt nur, wenn Spannungs- und Stromfunktion um 90° phasenverschoben sind. Die Elektrizitätszähler in unseren Haushalten registrieren nur die Arbeit von Wirkleistung. Dennoch ist in Energienetzen Blindleistung unerwünscht, da diese Leitungsverluste durch hohe Ströme verursacht. In Energieanlagen treten in Abhängigkeit von Verbrauchern unterschiedliche Phasenwinkel zwischen Spannung und Strom auf. Die Beträge der Phasenwinkel variieren von 0 bis 90°. Daraus ergeben sich Anteile sowohl von Wirkleistung als auch von Blindleistung, wobei die Blindleistung positiv oder negativ sein kann. Bei positiver Blindleistung überwiegen induktive Verbraucher und bei negativer Blindleistung kapazitive Verbraucher. Um Wirk- und Blindleistung zusammenhängend zu berechnen, bietet uns die komplexe Rechnung eine gute Grundlage. In Gleichstromkreisen berechnen wir die elektrische Leistung, wie bekannt, als Produkt von Spannung mal Strom mit der Formel P = U I . (91) Für Wechselstromkreise definieren wir ähnlich dieser Formel die komplexe Leistung mit der Gleichung . (92) Diese enthält das Produkt der bereits bekannten komplexen Wechselspannung u(t) und der komplexen Größe i ∗ (t) , die wir konjugiert komplexe Wechselstromfunktion nennen. Der Faktor ½ wird später verständlich. Zur Erklärung des Begriffs „konjugiert komplex“ gilt allgemein: Zu einer komplexen Zahl z = x + j y lautet die konjugiert komplexe Zahl z ∗ = x − j y . Folglich gilt auch: Wenn z = x − j y , ist z ∗ = x + j y . In Worten ausgedrückt: Die zu einer komplexen Zahl gehörende konjugiert komplexe Zahl hat vor ihrem Imaginärteil ein entgegengesetztes Vorzeichen. Durch die Multiplikation der komplexen Spannung u(t) mit dem konjugiert komplexen Strom i ∗ (t) entfallen im Ergebnis die Kreisfrequenz ω und die Zeit t als Produkt des zeitabhängigen Winkels ωt . Das ist erwünscht, denn wir wollen keine zeitabhängigen Momentanwerte sondern zeitunabhängige Mittelwerte der Leistung errechnen. In der Formel erscheinen danach nur noch die Spitzenwerte und von Spannung und Strom sowie der Phasenwinkel ϕ . Das Produkt von und mit dem Faktor ½ multipliziert ergibt das Produkt der Effektivwerte von Spannung und Strom U I . Wie die P = u(t) i ∗ (t) 2 1 U^ I^ U^ I^ <?page no="97"?> 95 folgenden Rechenschritte zeigen, folgt mit Anwendung der Gl. (92) eine einfache Berechnung der komplexen zeitunabhängigen Leistung P . In der Formel für P sind Wirk-, Blind- und Scheinleistung unmittelbar ablesbar. Zur Berechnung der komplexen Leistung P mit Gl. (92) geben wir eine um den Winkel ϕ phasenverschobenen Wechselspannung (93a) und einen nicht phasenverschobenen komplexen Wechselstrom vor. (93b) Die konjugiert komplexe Wechselstromfunktion lautet . (93c) Für die Bildung des Produktes von u(t) mal i ∗ (t) in Gl. (92) ist es zweckmäßig, die Gln. (93a) und (93c) von ihrer kartesischen Form in die eulersche Form umzuwandeln. Nach der Umwandlung lautet Gl. (93a) (93d) und Gl. (93c) . (93e) Als Produkt dieser beiden Gleichungen errechnen wir . In diesem Ergebnis heben sich die Glieder ωt im Exponenten der e-Funktion weg. Nach Einsetzen dieses Produktes in Gl. (92) erhalten wir für die komplexe Leistung die zeitunabhängige Formel (94a) und nach Einführen der Effektivwerte gemäß der Gln. (88a) und (88b) . (94b) Für eine praxisbezogene Anwendung der komplexen Leistungsformel wandeln wir diese in die kartesische Form um und schreiben nach der Umwandlung . (94c) In dieser Formel bezeichnet ihr Realteil die Wirkleistung und somit , (95a) ihr Imaginärteil bezeichnet die Blindleistung u(t) = cos(ωt + ϕ ) + j sin(ωt + ϕ ) U^ U^ i (t) = cosωt + j sinωt I^ I^ i ∗ (t) = cosωt − j sinωt I^ I^ u(t) i ∗ (t) = e e = e j(ωt +ϕ) / rad U^ −jωt / rad I^ I^ U^ j(ωt +ϕ −ωt ) / rad 2 P = e 1 U^ I^ j ϕ / rad P = U I e j ϕ / rad P = U I cosϕ + j U I sinϕ u(t) = e j(ωt +ϕ) / rad U^ i ∗ (t) = e −jωt / rad I^ Re{ P } = P W P W = U I cosϕ <?page no="98"?> 96 und somit (95b) und ihr Betrag bezeichnet die Scheinleistung und somit . (95c) Die eingerahmte Formel für die Wirkleistung ist von besonderer Bedeutung, da sie die Drehgeschwindigkeit der Elektrizitätszähler bestimmt, die unseren kostenpflichtigen Energieverbrauch anzeigen. Die Blindleistung interessiert Stromerzeuger und Großverbraucher zwecks Herabsetzung von Leistungsverlusten auf Leitungen. Mit Hilfe von Blindleistungszählern werden z.B. Großbetrieben Kosten für Blindenergie angerechnet. Wie wir sehen, sind die - von Gl. (92) ausgehend - errechneten Leistungsformeln zeitunabhängig. Somit errechnen wir aus den Effektivwerten von Spannung und Strom sowie ihrem Phasenwinkel einen zeitlichen Mittelwert der Leistung. Die Augenblickswerte einer Leistungs-Zeitfunktion wie z.B. in den Bildern 45 und 46 betrachten wir deshalb nicht weiter. Die Wirkleistung P W wird in Watt (W), die Blindleistung P B und die Scheinleistung P S in Voltampere (VA) gemessen. Die komplexe Leistung P ist ebenso wie Spannung, Strom, Widerstand und Leitwert als Zeigerdiagramm darstellbar. Bild 47 zeigt qualitativ die Zeiger einer komplexen Leistung mit zugeordneten Zeigern für Spannung und Strom. Bild 47 Zeigerdiagramm zur komplexen Leistung Aus den Gleichungen für P geht hervor, dass P wegen seiner Unabhängigkeit von der Zeit ein ruhender Zeiger ist. Die Zeiger für u(t) und i (t) rotieren mit der Winkelgeschwindigkeit ω im mathematischen Drehsinn. Sie sind in Bild 47 für den Augenblick t = 0 dargestellt. Als Sonderfälle gehen aus den Gln. (95a) und (95b) hervor: Für den Phasenwinkel ϕ = 0 ist die Wirkleistung P W = U I und die Blindleistung P B = 0 . Für den Phasenwinkel ϕ = 90° ist die Wirkleistung P W = 0 und die Blindleistung P B = U I . Diese Sonderfälle wurden bereits mit den Gln. (89) und (90) sowie den Bildern 45 und 46 erklärt. Aus den bisherigen Darlegungen folgt: Im{ P } = P B P B = U I sinϕ ⏐P⏐= P S P S = U I j r P u i . P W P B P S ϕ <?page no="99"?> 97 • Bei einem positiven Phasenwinkel ϕ eilt die Spannung dem Strom voraus. Das trifft bei induktiver Last zu und ist in Stromnetzen mit angeschlossenen Motoren, Transformatoren und Drosselspulen die Regel. Die Blindleistung P B hat in diesem Fall gemäß Gl. (95b) ein positives Vorzeichen. Eine einfache Schaltung dazu zeigt Bild 28 . • Bei einem negativen Phasenwinkel ϕ eilt die Spannung dem Strom nach. Das trifft bei kapazitiver Last zu. Die Blindleistung P B hat in diesem Fall gemäß Gl. (95b) ein negatives Vorzeichen. Eine einfache Schaltung dazu zeigt Bild 35 . • Schaltet man eine kapazitive Last einer induktiven Last parallel, wobei der Betrag des Blindanteils der kapazitiven Last kleiner ist als der Betrag des Blindanteils der induktiven Last, hat dadurch die Gesamtlast einen kleineren induktiven Blindlastanteil. Dieser ist gleich der Differenz der beiden Blindlastanteile vor der Parallelschaltung. Im Sprachgebrauch sagt man: „Der cosϕ des Netzzweiges wurde durch Kompensation verbessert“, z.B. von cosϕ = 0,6 auf cosϕ = 0,8 . Der cosϕ wird verbessert, indem er sich von einem kleineren Wert dem Wert „1“ nähert. D.h. der Phasenverschiebungswinkel ϕ geht gegen null. Die Wirkleistungsanteile von parallelgeschalteten Verbrauchern mit induktiven und kapazitiven Blindleistungsanteilen addieren sich, da das Vorzeichen des Phasenwinkels ϕ auf die Wirkleistung keinen Einfluss hat. Mit einem Taschenrechner ist leicht nachprüfbar, dass cos( −ϕ ) = cosϕ ist. Die Anteile von induktiver und kapazitiver Blindlast hingegen verringern als Differenz die Gesamtblindlast. Der cosϕ wird auch „Leistungsfaktor“ genannt. Praktische Maßnahmen zu dessen Verbesserung erfolgen durch Zuschaltung von Kondensatorbatterien an die Zuleitung von Produktionsstätten. In Umspannwerken schließt man Synchronmotoren an das Energienetz, die im Leerlauf bei bestimmter Erregung mit kapazitiver Blindleistung den Leistungsfaktor cosϕ verbessern. <?page no="100"?> 98 6.4 Das Induktionsgesetz für sinusförmige Wechselgrößen Das im Kapitel 5 behandelte allgemeingültige Induktionsgesetz wollen wir jetzt für sinusförmige Wechselgrößen anwenden. Unser Ziel ist die Errechnung einer Wechselspannung an den Enden einer Wicklung, die von einem sinusförmigen magnetischen Wechselfluss durchsetzt wird, dargestellt in Bild 48 . Bild 48 Zählpfeile zum Induktionsgesetz für sinusförmige Wechselgrößen Die Zählpfeile in Bild 48 entsprechen der Gegenkorkenzieherregel wie schon in Bild 16 , nur in einer anderen Ansicht. Somit gilt das Induktionsgesetz mit positivem Vorzeichen gemäß Gl. (33a). In diese Gleichung setzen wir für Φ → Φ(t) und für E → u(t) ein. Danach lautet Gl. (33a) . (96) Der Magnetfluss soll einer Kosinusfuktion folgen, die nach Umwandlung in die komplexe Form in eulerscher Schreibweise lautet. (97) Die Magnetflussdifferenz bilden wir mit ΔΦ(t) = Φ(t + Δt) − Φ(t) . Diese ergibt mit Gl. (97) und . (98) Gl. (98) formen wir in folgenden Schritten um: • Summe im Exponenten der ersten e-Funktion auflösen: • Ergebnis in Gl. (98) einsetzen: • Gleiche Ausdrücke ausklammern: • Ausdruck vor Klammer mit Gl. (97) vereinfachen: Φ(t) u(t) u(t) = w ΔΦ(t) Δt Φ(t) = e Φ^ j ωt / rad Φ(t +Δt) = e Φ^ j ω (t+Δt) / rad ΔΦ(t) = e − e Φ^ j ω (t+Δt) / rad Φ^ j ωt / rad e = e e j ω (t+Δt) / rad j ωt / rad j ωΔt / rad ΔΦ(t) = e e − e Φ^ j ωt / rad Φ^ j ωt / rad j ωΔt / rad ΔΦ(t) = e ( e − 1) Φ^ j ωt / rad j ωΔt / rad ΔΦ(t) = Φ(t) ( e − 1) j ωΔt / rad <?page no="101"?> 99 Die Gleichung im letzten Umformschritt setzen wir in Gl. (96) ein und erhalten für die komplexe Wechselspannung . (99) Abschließend müssen wir den Grenzwert ermitteln, wenn Δt gegen null geht. Den Rechenweg hierzu haben wir bereits im Abschnitt 6.2.3 bei der Ableitung des induktiven Widerstandes beschrieben. Wir übernehmen Gl. (48a) und schreiben . (100) Nach Einsetzen dieses Grenzwertes in Gl. (99) erhalten wir das Induktionsgesetz für komplexe sinusförmige Wechselgrößen u(t) = w j ω / rad Φ(t) . (101) Aus diesem geht hervor: Verläuft der Magnetfluss nach einer Kosinusfunktion, liegt dessen Zeiger für t = 0 auf der reellen Achse der komplexen Ebene. Durch Multiplikation mit der imaginären Einheit j erfolgt eine Drehung des errechneten Zeigers um 90° im mathematischen Drehsinn, was wir bereits nachgewiesen haben. Somit liegt der mit Gl. (101) errechnete Spannungszeiger auf der positiven imaginären Achse, wie in Bild 49a dargestellt. Zur Ermittlung der reellen Zeitfunktionen aus Gl. (101) wandeln wir Φ(t) in Gl. (97) in die kartesische Form um und erhalten die Gleichung . (97a) Als Realteil folgt daraus die Zeitfunktion . (101a) Bild 49 Diagramme zum Induktionsgesetz für sinusförmige Wechselgrößen Gl. (97a) in Gl. (101) eingesetzt ergibt die komplexe Spannungsfunktion u(t) = w Φ(t) ( e − 1) j ω Δt / rad Δt lim = j ω / rad Δt→0 ( e − 1) Δt j ω Δt / rad j r u Φ u(t) Φ(t) a Zeigerdiagramm b Liniendiagramm Φ(t) = cosωt + j sinωt Φ^ Φ^ Φ(t) = cosωt Φ^ <?page no="102"?> 100 und nach Umformung . Als Realteil folgt daraus die Zeitfunktion der Spannung . (101b) Die Liniendiagramme der Zeitfunktion des Magnetflusses (Gl. (101a)) und der nach dem Induktionsgesetz von diesem induzierten Spannung (Gl. (101b)) zeigt Bild 49b . Zur Berechnung von Transformatoren bildet das Induktionsgesetz die physikalische Grundlage. Für praxisgerechte Berechnungen verwenden wir den positiven Spitzenwert von Gl. (101b). Dessen Gleichung lautet , (102) denn die Grenzwerte des Ausdrucks „ sinωt “ betragen ±1 . Währen bei Trafoberechnungen der Spitzenwert des Magnetflusses verwendet wird, will man den Effektivwert U der induzierten Wechselspannung errechnen. Deshalb setzen wir in Gl. (102) die bekannte Umrechnung ein, dividieren beide Seiten der Gleichung durch und erhalten somit die gewünschte Gleichungsform . (102a) Um diese Gleichung anwendungsgerechter zu gestalten, wollen wir statt der Kreisfrequenz ω die Frequenz f einführen. Dazu formen wir die Gleichung wie folgt um: 1. Gl. (59) lautet . Zur besseren Übersicht bringen wir sie in die Form . Danach dividieren wir durch „ s “ : → . 2. Diesen Ausdruck setzen wir in Gl. (102a) ein und erhalten die Gleichung . (102b) 3. Jetzt dividieren wir obige Gleichung durch die Einheit „ V “ : → . (102c) 4. Für die Zahlenwerte in obiger Gleichung errechnen wir mit guter Näherung . ≈ 4,44 2 π 2 u(t) = w j ω / rad cosωt + w j 2 ω / rad sinωt Φ^ Φ^ u(t) = − w ω / rad sinωt Φ^ = w ω / rad U^ Φ^ Φ^ = U U^ 2 2 U = w ω / rad 1 2 Φ^ u(t) = − w ω / rad sinωt + w j ω / rad cosωt Φ^ Φ^ ω / = 2 π f / Hz rad s U = w 2 π f / Hz 1 2 Φ^ 1 s U / V = w 2 π f / Hz 1 2 Φ^ 1 Vs ω s rad = 2 π f / Hz 1 s ω / rad = 2 π f / Hz <?page no="103"?> 101 5. Diesen Zahlenwert setzen wir in Gl. (102c) ein und erhalten als Ergebnis die zugeschnittene Größengleichung . (103) In Worten: Der Effektivwert der induzierten Spannung U in Volt ist nahezu gleich 4,44 mal Windungszahl w mal Frequenz f in Hertz mal Spitzenwert des Magnetflusses in Voltsekunden. Der Faktor „4,44“ in Gl. (103) lässt sich gut merken. Diese aus dem Induktionsgesetz abgeleitete Gleichung wird Transformatorengleichung genannt. Folgende Bemerkungen zu den Begriffen „Frequenz“ und „Kreisfrequenz“ sind hier nützlich: Beide Begriffe bezeichnen die physikalische Größe „Winkelgeschwindigkeit“. Die Winkelgeschwindigkeit hat die Einheit [Winkel] durch [Zeit]. Sowohl dem Winkel als auch der Zeit können mehrere gleichberechtigte Einheiten zugeordnet werden, die untereinander umrechenbar sind. Ordnen wir der Winkelgeschwindigkeit die Einheit Radiant durch Sekunde (rad/ s) zu, nennen wir sie „Kreisfrequenz“. Ordnen wir der Winkelgeschwindigkeit die Einheit Periode durch Sekunde (Per/ s = Hz) zu, nennen wir sie „Frequenz“. Ordnen wir der Winkelgeschwindigkeit die Einheit Umdrehungen durch Minute (Umdr/ min) zu, nennen wir sie etwas unkorrekt „Drehzahl“. Korrekt müsste sie „Drehgeschwindigkeit“ heißen. Dabei gelten immer die Umrechnungen für den Winkel: 1 Umdr = 1 Per = 360° = 2 π rad und für die Zeit: 1 h = 60 min = 3600 s . Beträgt die Drehgeschwindigkeit eines Turbogenerators in einem Kraftwerk n = 3000 Umdr/ min, hat die Drehspannung eines angeschlossenen Verbrauchernetzes eine Frequenz von f = 50 Hz . Der Zeiger in einem Zeigerdiagramm, der diese Spannung beschreibt, rotiert mit einer Kreisfrequenz ω = 314 rad/ s . Sowohl Turbogenerator als auch Zeiger haben die gleiche Winkelgeschwindigkeit. U / V ≈ 4,44 w f / Hz / Vs Φ^ Φ^ <?page no="104"?> 102 7 Transformator 7.1 Der ideale Transformator ohne Last Zur Erklärung der Wirkungsweise des Transformators dienen das Durchflutungsgesetz und das Induktionsgesetz, angewendet auf sinusförmige Wechselgrößen. Zunächst veranschaulichen wir einen „idealen Transformator“ ohne Last in Bild 50 und das zugehörige Zeigerdiagramm in Bild 51. Der Transformator besteht aus einem lamellierten Eisenkern, auf dem sich isoliert die „Primärwicklung“ w 1 und die „Sekundärwicklung“ w 2 befinden. Die Primärwicklung des in Bild 50 dargestellten Transformators besteht aus einer hohen Windungszahl von Kupferdraht mit kleinem Querschnitt und die Sekundärwicklung aus einer geringeren Windungszahl von Kupferdraht mit größerem Querschnitt. An w 1 ist eine Wechselspannungsquelle u 1 angeschlossen. Sie verursacht den Magnetisierungsstrom i 1m und dieser den Magnetisierungsfluss Φ 1m . Wie wir erkennen werden, transformiert dieser Transformator eine hohe Spannung u 1 in eine niedrigere Spannung u 2 . Dazu benötigt er einen Magnetisierungsstrom i 1m , der laut Durchflutungsgesetz einen Magnetfluss Φ 1m erzeugt. Er durchdringt die beiden Wicklung w 1 und w 2 . Auf seinem Weg überwindet er den magnetischen Widerstand R mk des Eisenkernes (Der Index k steht für Koppel...). Bei dieser magnetischen Kopplung von Primär- und Sekundärkreis bleiben beide Kreise elektrisch (galvanisch) getrennt. Das ist eine markante Eigenschaft des Transformators. Dadurch ist eine Schutzisolation zwischen einer hohen Netzspannung und einer Kleinspannung zum Schutz des Menschen vor gefährlichen Berührungsspannungen möglich. Auch in der Elektronik ist die galvanische Trenneigenschaft von Transformatoren, auch Übertrager genannt, erwünscht. Bild 50 Idealer Transformator w 1 w 2 i 1m u 2 Φ 1m u 1 Primärseite Sekundärseite R mk lamellierter Eisenkern <?page no="105"?> 103 Bild 51 Zeigerdiagramm zum idealen Transformator Im Folgenden werden primärseitige Größen mit dem Index „1“ und sekundärseitige Größen mit dem Index „2“ versehen. Das Durchflutungsgesetz Gl. (28) gilt für sinusförmige Wechselgrößen in der Form Θ = w i . (104) Darin sind i und Θ komplexe sinusförmige Zeitfunktionen für Strom und magnetische Urspannung. Bezogen auf Bild 50 lautet das Durchflutungsgesetz Θ 1m = w 1 i 1m . (104a) Mit dem „ohmschen Gesetz“ für den magnetischen Kreis errechnen wir daraus den Magnetisierungsfluss , (104b) der in Bild 50 eingezeichnet ist. Der Richtungssinn der Feldlinie von Φ 1m ist identisch mit dem Richtungssinn eines nicht extra eingezeichneten Zählpfeiles für Φ 1m . Somit gehorchen die Zählpfeile für i 1m und Φ 1m der Korkenzieherregel gemäß Bild 13 und Bild 15 . Die Zeitfunktionen für Magnetisierungsstrom i 1m und Magnetisierungsfluss Φ 1m haben laut Gl. (104b) die gleiche Phasenlage. In den Wicklungen w 1 und w 2 induziert Φ 1m je eine Induktionsspannung, bezeichnet mit u 1 und u 2 , laut Induktionsgesetz in Form von Gl. (101). Dabei ist zu bedenken, dass u 1 gleich der angelegten Spannung in Bild 50 ist. Mit den Bezeichnungen in Bild 50 errechnen wir als Primärspannung u 1 = w 1 j ω / rad Φ 1m (105a) und als Sekundärspannung u 2 = w 2 j ω / rad Φ 1m . (105b) j r u 1 i 1m u 2 Φ 1m R mk Φ 1m = = i 1m Θ 1m R mk w 1 <?page no="106"?> 104 Ersetzen wir in diesen Gleichungen Φ 1m durch den rechten Ausdruck in Gl. (104b), erhalten wir die Gleichungen und . Mit den Bemessungsgleichungen und werden die Induktivität L 1k der Primärwicklung und die sogenannte „Gegeninduktivität“ M für den gegenseitigen Einfluss von Primär- und Sekundärwicklung ausgedrückt. L 1k und M sind definitionsgemäß von den Windungszahlen w 1 und w 2 sowie vom magnetischen Widerstand R mk des Trafokerns abhängig. Mit diesen „Trafodaten“ schreiben wir für die Primär- und Sekundärspannung die Gleichungen u 1 = j ω / rad L 1k i 1m (105c) und u 2 = j ω / rad M i 1m . (105d) Gleichung (105c) beschreibt den Zusammenhang von Magnetisierungsstrom i 1m und Primärspannung u 1 . Eine Änderung des Primärstromes in der Wicklung w 1 verursacht in derselben Wicklung die Induktionsspannung u 1 . Diesen Vorgang nennt man Selbstinduktion. Gleichung (105d) beschreibt den Zusammenhang von Magnetisierungsstrom i 1m und Sekundärspannung u 2 . Eine Änderung des Primärstromes in der Wicklung w 1 verursacht in der Sekundärwicklung w 2 die Induktionsspannung u 2 . Diesen Vorgang nennt man Gegeninduktion. Ein Vergleich mit Bild 50 ergibt, dass die Zählpfeile von Φ 1m und u 1 sowie von Φ 1m und u 2 der Gegenkorkenzieherregel gemäß Bild 16a gehorchen. Eine Division von Gl. (105a) durch Gl. (105b) ergibt das Übersetzungsverhältnis des Transformators . (106) In dieser Gleichung unterscheiden wir das Übersetzungsverhältnis der Windungszahlen (106a) und das Übersetzungsverhältnis der Spannungen (106b) Gl. (106) gilt nur beim idealen Transformator exakt. Beim realen Transformator gilt im Leerlauffall mit guter Näherung , (106c) wobei U 1 und U 2 Effektivwerte bezeichnen. Aus den Gln. (105a) und (105b) geht hervor, dass infolge der Multiplikation mit der imaginären Einheit „j“ die induzierten Spannungen u 1 und u 2 dem Magnetfluss Φ 1m um 90° vorauseilen. Legt man an die Anschlüsse der Primärwicklung die Spannung u 1 an, stellen sich Magnetisierungsstrom i 1m und Magnetfluss Φ 1m so ein, dass in der Primärwicklung eine Spannung R mk u 1 = j ω / rad i 1m w 12 R mk u 2 = j ω / rad i 1m w 1 w 2 L 1k = R mk w 12 M = R mk w 1 w 2 u 2 u 1 = w 2 w 1 ü w = w 2 w 1 ü u = u 2 u 1 U 2 ≈ w 2 w 1 U 1 <?page no="107"?> 105 induziert wird, die der angelegten Spannung gleich ist. Da diese sinusförmig ist, muss laut Induktionsgesetz auch der Magnetfluss sinusförmig verlaufen. Der Magnetisierungsstrom hingegen ist mit dem Magnetfluss über die Hysteresefunktion des Eisenkernes verknüpft. Der Magnetisierungsstrom ist deshalb „verzerrt“, wie oszillographisch nachweisbar. Sein Verlauf entspricht nur mit grober Näherung einer Sinusform. In Berechnungen wird er wegen eines sonst zu hohen Aufwandes als Sinusfunktion behandelt. 7.2 Der ideale Transformator mit Last Dieses und das vorherige Kapitel dienen als Vorstufen zum besseren Verständnis des realen Transformators. Vor der Vertiefung in Einzelheiten nehmen wir folgende Überlegung mit einem idealen Transformator vor: Bis jetzt haben wir nachgewiesen, dass die induzierten Spannungen in der Primär- und Sekundärwicklung vom Magnetfluss Φ 1m verursacht werden. Wenn jetzt an die Sekundärwicklung eine Last, z.B. ein Widerstand, angeschlossen wird, fließt in der Wicklung w 2 ein Strom i 2 , der laut Durchflutungsgesetz einen Magnetfluss Φ 2 im Eisenkern verursacht. Die dadurch sekundärseitig entnommene Energie muss selbstverständlich primärseitig dem Transformator zugeführt werden. Das bewirkt ein zusätzlicher Strom i 1k in der Wicklung w 1 , der wiederum einen Magnetfluss Φ 1k verursacht. Von einem idealen Transformator wird erwartet, dass eine angeschlossene Last bei konstanter Primärspannung die Sekundärspannung nicht verändert. Das setzt aber voraus, dass sich laut Induktionsgesetz auch der ursprüngliche Magnetfluss Φ 1m nicht ändert. Das heißt, die lastbedingten zusätzlichen Magnetflüsse Φ 1k und Φ 2 müssen sich gegenseitig aufheben. Das ist tatsächlich der Fall. Eizelheiten hierzu betrachten wir mit Bild 52 . Im Vergleich zum idealen Transformator ohne Last in Bild 50 befindet sich jetzt ein Lastwiderstand R L an den Anschlüssen der Sekundärwicklung. Dadurch fließt ein Sekundärstrom i 2 durch die Wicklung w 2 und erzeugt lt. Durchflutungsgesetz den Magnetfluss Φ 2 , dargestellt durch eine grüne Feldlinie im Kern von Bild 52 . Die im Widerstand R L in Wärme umgesetzte elektrische Leistung muss durch einen höheren Primärstrom dem Transformator zugeführt werden. Der in Bild 52 eingezeichnete Strompfeil für i 1 bezeichnet jetzt die Summe des Magnetisierungsstromes i 1m und des lastabhängigen Stromes i 1k . Es gilt also i 1 = i 1m + i 1k (107) Diese beiden Stromkomponenten (in Bild 52 nicht getrennt eingezeichnet) erzeugen die Magnetflusskomponenten Φ 1m und Φ 1k . Diese ergeben als Summe den in Bild 52 eingezeichneten Magnetfluss Φ 1 = Φ 1m + Φ 1k . (108) <?page no="108"?> 106 Bild 52 Idealer Transformator mit Last Der Laststrom i 2 erzeugt im Kern den Magnetfluss Φ 2 , der in Bild 52 grün eingezeichnet ist. Lt. Korkenzieherregel sind Φ 1 und Φ 2 entgegengesetzt gerichtet. Den gesamten die Primärwicklung w 1 durchdringenden Magnetfluss bezeichnen wir mit Φ w1 und den gesamten die Sekundärwicklung durchdringenden Magnetfluss mit Φ w2 . Diese Magnetflüsse sind mit einem Zählpfeil versehen, so dass wir in Bild 52 die Beziehungen primärseitig Φ w1 = Φ 1 − Φ 2 und sekundärseitig Φ w2 = Φ 1 − Φ 2 ablesen. Die Magnetflüsse durch die Primärwicklung und Sekundärwicklung sind also gleich. Setzen wir für Φ 1 die Magnetflusskomponenten Φ 1m und Φ 1k gemäß Gl. (108) ein, erhalten wir primärseitig Φ w1 = Φ 1m + Φ 1k − Φ 2 und sekundärseitig Φ w2 = Φ 1m + Φ 1k − Φ 2 . Die lastbedingten Magnetflüsse Φ 1k und Φ 2 sind gleich, denn beim idealen Transformator ist die abgegebene gleich der zugeführten elektrischen Leistung. Dann gilt Φ 1k − Φ 2 = 0 , und wir können für die Magnetflüsse in den Wicklungen primärseitig Φ w1 = Φ 1m und sekundärseitig Φ w2 = Φ 1m schreiben. Damit ist der Magnetisierungsfluss im Kern des belasteten idealen Transformators gleich dem im Kern des unbelasteten idealen Transformators in Bild 50 . Lt. Induktionsgesetz sind dann auch Primärspannung u 1 und Sekundärspannung u 2 des belasteten im Vergleich zum unbelasteten idealen Transformator gleich. Somit gelten auch hier die im vorherigen Kapitel abgeleiteten Gleichungen (105a) bis (105d). u 1 i 2 R mk w 1 w 2 i 1 = i 1m + i 1k u 2 Φ 1 = Φ 1m + Φ 1k Φ 2 Φ w1 Φ w2 R L <?page no="109"?> 107 Den Zusammenhang zwischen der lastbedingten Primärstromkomponente i 1k und dem sekundärseitigen Laststrom i 2 leiten wir aus den bereits erwähnten gleichgroßen Magnetflüssen Φ 1k und Φ 2 ab. Mit dem „ohmschen Gesetz“ für den magnetischen Kreis errechnen wir und . Die magnetischen Urspannungen in obigen Gleichungen und die lastbedingten Ströme sind über das Durchflutungsgesetz mit den Beziehungen Θ 1k = w 1 i 1k und Θ 2 = w 2 i 2 verknüpft. Nach Einsetzen in obige Gleichungen und Gleichsetzen derselben erhalten wir und nach Multiplikation mit R mk w 1 i 1k = w 2 i 2 . Diese Gleichung ergibt nach Umstellung . (109) Der Quotient von sekundärseitigem Laststrom i 2 und primärseitiger Laststromkomponente i 1k ist gleich dem Windungszahlübersetzungsverhältnis ü w gemäß Gl. (106a). Zusammengefasst gelten für den idealen Transformator die Verhältnisse . (109a) Einen qualitativen Überblick zu den elektrischen Größen und zum Magnetisierungsstrom gibt das Zeigerdiagramm des belasteten idealen Transformators in Bild 53 . Bei der Diskussion des Zeigerdiagramms beginnen wir mit dem Magnetisierungsfluss Φ 1m . Für diesen nehmen wir eine Kosinusfunktion an, deren Zeiger in der komplexen Ebene auf der positiven reellen Achse liegt. Der Magnetisierungsstrom i 1m , eine Komponente des Primärstromes i 1 , hat lt. Gl. (104b) die gleiche Phasenlage wie Φ 1m . Deshalb befindet sich der Zeiger von i 1m ebenfalls auf der reellen Achse. Die vom Magnetisierungsfluss Φ 1m induzierten Spannungen u 1 und u 2 eilen diesem um 90° voraus. Deren Zeiger befinden sich gemäß der Gln. (105a) und (105b) auf der positiven imaginären Achse. Die bis jetzt diskutierten Größen sind mit denen des unbelasteten Transformators entsprechend der Bilder 50 und 51 identisch. An dem belasteten Transformator besteht die Last in Bild 52 aus dem ohmschen Widerstand R L . Nach dem ohmschen Gesetz Φ 1k = Θ 1k R mk Φ 2 = Θ 2 R mk w 1 R mk i 1k = i 2 w 2 R mk w 1 w 2 = i 2 i 1k w 1 w 2 = u 1 u 2 i 2 i 1k = R L i 2 = u 2 <?page no="110"?> 108 hat i 2 die gleiche Phasenlage wie u 2 . Folglich befindet sich der Zeiger für i 2 auch auf der positiven imaginären Achse. Bild 53 Zeigerdiagramm des belasteten idealen Transformators Die vom sekundärseitigen Laststrom i 2 bedingte primärseitige Laststromkomponente i 1k erhalten wir lt. Gl. (109) nach Division von i 2 durch das Windungszahlenübersetzungsverhältnis ü w . Danach besteht zwischen i 1k und i 2 keine Phasenverschiebung. Der Zeiger von i 1k liegt deshalb wie der Zeiger zu i 2 auf der positiven imaginären Achse. Der gesamte Primärstrom i 1 ergibt sich gemäß Gl. (107) durch geometrische Addition der Zeiger von i 1m und i 1k in Bild 53 . Dort lesen wir ab, dass der Primärstrom i 1 der Primärspannung u 1 um den Winkel ϕ nacheilt. Der cosϕ dieses Winkels wird zur Errechnung der aufgenommenen Wirkleistung P W des Transformators mit Gl. (95a) benötigt. 7.3 Der reale Transformator Der reale Transformator hat gegenüber dem idealen Transformator zusätzlich • einen magnetischen Streufluss • Wärmeverluste in den Wicklungen • Eisenverluste im Kern durch Hysterese und Wirbelströme Wir befassen uns zuerst mit dem magnetischen Streufluss. Dieser wird primärseitig vom Eingangsstrom i 1 und sekundärseitig vom Laststrom i 2 erzeugt. Der Streufluss verläuft durch die jeweilige Wicklung im Eisenkern und im umgebenden Luftraum außerhalb des Eisenkerns. Den Verlauf des primärseitigen Streuflusses kennzeichnet die Feldlinie Φ 1σ (Im Index steht der griechische Buchstabe „Sigma“.) und des sekundärseitigen Streuflusses die grüne Feldlinie Φ 2σ in Bild 54 . Durch diese zwei j r u 1 i 1m u 2 Φ 1m i 2 i 1k i 1 ϕ <?page no="111"?> 109 zusätzlichen Feldlinien unterscheidet sich Bild 54 gegenüber Bild 52 . Bild 54 Realer Transformator mit Last Zur besseren Übersicht sind die sekundärseitig erzeugten Magnetflüsse grün gezeichnet. Den magnetischen Widerstand für den Streufluss bezeichnen wir mit R mσ . Er setzt sich auf dem Weg des Streuflusses als Summe der magnetischen Widerstände der Eisenstrecke und der Luftstrecke zusammen. Bei einem in der Regel symmetrischen Aufbau des Transformators können wir den gleichen magnetischen Widerstand für den Streufluss primär- und sekundärseitig annehmen. Der Zählpfeil Φ w1 bezeichnet den gesamten Magnetfluss in der Primärwicklung w 1 , und der Zählpfeil Φ w2 bezeichnet den gesamten Magnetfluss in der Sekundärwicklung w 2 . Für diese beiden Magnetflüsse lesen wir in Bild 54 ab: Primärseitig: Φ w1 = Φ 1 − Φ 2 + Φ 1σ (110a) und sekundärseitig: Φ w2 = Φ 1 − Φ 2 − Φ 2σ . (110b) Mit dem Durchflutungsgesetz in Verbindung mit dem „Ohmschen Gesetz“ für den magnetischen Kreis errechnen wir für die Magnetflusskomponenten in den obigen Gleichungen die Beziehungen , , und . (beachte dabei die Korkzieherregel mit den Zählpfeilen in Bild 54 ! ) i 1 = i 1m + i 1k u 1 i 2 R mk w 1 w 2 u 2 Φ 1 = Φ 1m + Φ 1k Φ 2 Φ w1 Φ w2 R L Φ 1σ Φ 2σ R mσ R mσ Φ 1 = i 1 w 1 R mk Φ 2 = i 2 w 2 R mk i 1 w 1 R mσ Φ 1σ = i 2 w 2 R mσ Φ 2σ = <?page no="112"?> 110 Nach Einsetzen dieser Beziehungen in die Gln. (110a) und (110b) erhalten wir die Gleichungen primärseitig: (110c) und sekundärseitig: . (110d) Diese beiden Gleichungen lassen sich wesentlich vereinfachen. Dazu betrachten wir den in beiden Gleichungen identischen Term i 1 w 1 − i 2 w 2 . Wie wir bereits wissen, besteht der Primärstrom i 1 aus dem Magnetisierungsstrom i 1m und dem lastabhängigen Strom i 1k gemäß Gl. (107) . Diese setzen wir in den genannten Term ein und erhalten den Zusammenhang i 1 w 1 − i 2 w 2 = i 1m w 1 + i 1k w 1 − i 2 w 2 . Bereits bei der Beschreibung des idealen belasteten Transformators im vorherigen Kapitel haben wir abgeleitet, dass das Produkt der Primärstromkomponente i 1k und der Primärwindungszahl w 1 gleich dem Produkt des Sekundärstromes i 2 und der Sekundärwindungszahl w 2 ist (vgl. Gl. (109)). Folglich ist in obiger Gleichung i 1k w 1 − i 2 w 2 = 0 und der Term in den Gln. (110c) und (110d) i 1 w 1 − i 2 w 2 = i 1m w 1 . Mit den in Bild 54 skizzierten Windungszahlen ist als Anschauungshilfe gut vorstellbar, dass eine kleine Primärstromkomponente mal einer hohen Windungszahl gleich ist einem hohen Sekundärstrom mal einer kleine Windungszahl. Nach Einsetzen dieser vereinfachten Beziehung in die Gln. (110c) und (110d) errechnen wir als Gesamtmagnetfluss in den Wicklungen die Gleichungen (110e) und . (110f) Um die Beziehungen aller elektrischen Größen des realen Transformators untereinander beschreiben zu können, berechnen wir jetzt die Primärspannung u 1 und die Sekundärspannung u 2 mit Hilfe des Induktionsgesetzes für sinusförmige Wechselgrößen (siehe Kap. 6.4). Dieses wenden wir auf die Magnetflüsse Φ w1 und Φ w2 gemäß Gln. (110e) und (110f) wie folgt an: Mit Gl. (101) erhalten wir für die Primärspannung u 1 die Beziehung u 1 = w 1 j ω / rad Φ w1 (111a) Φ w1 = + i 1 w 1 − i 2 w 2 R mk i 1 w 1 R mσ Φ w2 = − i 1 w 1 − i 2 w 2 R mk i 2 w 2 R mσ i 1m w 1 Φ w1 = + R mk i 1 w 1 R mσ i 1m w 1 Φ w2 = − R mk i 2 w 2 R mσ <?page no="113"?> 111 und für die Sekundärspannung u 2 = w 2 j ω / rad Φ w2 . (111b) Für Φ w1 in Gl. (111a) setzen wir Gl. (110e) ein und erhalten nach Multiplikation mit w 1 j ω / rad die Gleichung . (111c) Für die Bestimmung der Sekundärspannung verfahren wir analog und erhalten die Gleichung . (111d) In diesen beiden Gleichungen führen wir folgende Definitionen ein: • Induktivitätskomponente der Primärwicklung (ohne Streuinduktivität) , (112a) • Streuinduktivität der Primärwicklung , (112b) • Gegeninduktivität , (112c) • Streuinduktivität der Sekundärwicklung . (112d) Diese Definitionen in die Gln. (111c) und (111d) eingesetzt ergeben die Gleichungen u 1 = j ω / rad L 1k i 1m + j ω / rad L 1σ i 1 (113a) und u 2 = j ω / rad M i 1m − j ω / rad L 2σ i 2 . (113b) Die Terme in diesen beiden Gleichungen bezeichnen komplexe Wechselspannungen, die wir wie folgt definieren: • Vom Magnetisierungsfluss Φ 1m erzeugte Primärspannung u 1m = j ω / rad L 1k i 1m , (113c) • Spannungsverlust über der Streuinduktivität L 1σ u 1σ = j ω / rad L 1σ i 1 , (113d) • Vom Magnetisierungsfluss Φ 1m erzeugte Sekundärspannung u 2m = j ω / rad M i 1m , (113e) • Spannungsverlust über der Streuinduktivität L 2σ u 2σ = j ω / rad L 2σ i 2 , (113f) u 1 = j ω / rad i 1m + j ω / rad i 1 w 12 R mk w 12 R mσ u 2 = j ω / rad i 1m − j ω / rad i 2 w 1 w 2 R mk w 22 R mσ w 12 R mk = L 1k w 12 R mσ = L 1σ w 1 w 2 R mk = M w 22 R mσ = L 2σ <?page no="114"?> 112 Setzen wir die obigen vier definierten Spannungen in die Gln. (113a) und (113b) ein, erhalten wir die Gleichungen (113a) und (113b) in der Form u 1 = u 1m + u 1σ (113g) und u 2 = u 2m − u 2σ . (113h) Diese beiden Gleichungen sind die Maschengleichungen für ein elektrisches Ersatzschaltbild, dargestellt in Bild 55 , wobei zunächst nur die magnetischen Streuverluste des realen Transformators berücksichtigt werden. Bild 55 Ersatzschaltbild des Transformators mit Streuverlusten Die beiden Spannungsquellen im Ersatzschaltbild symbolisieren die nur vom Magnetisierungsstrom i 1m und somit vom Magnetfluss Φ 1m erzeugten Spannungen u 1m und u 2m gemäß Gln. (113c) und (113e). Sie sind unabhängig von den lastbedingten Strömen i 2 und i 1k . Dividieren wir u 1m durch u 2m , erhalten wir als Ergebnis . Die übrigen Größen entfallen durch Kürzen. Mit den Gln. (112a) und (112c) folgt daraus . Diese Verhältnisgleichungen sind mit denen eines idealen Transformators identisch (vgl. Kap. 7.2). Wie beim idealen Transformator gelten auch hier die Beziehungen gemäß Gl. (107): i 1 = i 1m + i 1k und Gl. (109): . In Bild 55 können die Ströme i 1m und i 1k nicht gesondert eingezeichnet werden, da sie als Komponenten im Primärstrom i 1 enthalten sind. Ohne Streuinduktivitäten L 1σ und L 2σ wäre Bild 55 das bisher nicht gezeichnete Ersatzschaltbild des idealen Transformators. Die Wärmeverluste in den Wicklungen und können wir jetzt auf einfache Weise im Ersatz-schaltbild wie folgt berücksichtigen: Die Wärmeverluste in den Wicklungen entstehen durch die vom Primärbzw. Sekundärstrom durchflossenen ohmschen Wicklungswiderstände. Diese bezeichnen wir primärseitig mit R 1 und sekundärseitig mit R 2 . Im Ersatzschaltbild zeichnen wir R 1 in die vom Strom i 1 durchflossene Eingangsleitung und R 2 in die vom Strom i 2 durchflossene Ausgangsleitung des Transformators. M u 1 u 1σ u 1m u 2m u 2 i 1 i 2 u 2σ L 1σ L 2σ u 1m u 2m = L 1k = = ü M L 1k w 1 w 2 w 1 w 2 = i 2 i 1k <?page no="115"?> 113 Eisenverluste im Kern durch Hysterese und Wirbelströme sind unabhängig von den Lastströmen. Sie entstehen gleichermaßen sowohl im unbelasteten als auch im belasteten Betrieb des Transformators. Im Ersatzschaltbild sehen wir dafür einen mit R Fe bezeichneten Widerstand parallel zur Magnetisierungsspannungsquelle u 1m vor (Der Index Fe steht für Eisen). Mit diesen drei Widerständen ergänzen wir das Ersatzschaltbild und erhalten das vollständige Ersatzschaltbild des Transformators in Bild 56 . Die strichpunktiert umrandeten Spannungsquellen bilden das Ersatzschaltbild eines idealen Transformators. Bild 56 Vollständiges Ersatzschaltbild des Transformators Für die zusätzlichen Spannungsverluste u 1R und u 2R über den Wicklungswiderständen R 1 und R 2 erhalten wir mit dem Ohmschen Gesetz die Beziehungen u 1R = R 1 i 1 (114a) und u 2R = R 2 i 2 . (114b) Für die übrigen Spannungen in Bild 56 gelten wie in Bild 55 die Gln. (113c) bis (113f). In Bild 56 lesen wir folgende Maschengleichungen ab: primärseitig u 1 = u 1R + u 1σ + u 1m (114c) und sekundärseitig u 2 = u 2m − u 2σ − u 2R . (114d) Bedarfsweise fassen wir die Spannungsverluste in Form einer komplexen Spannungssumme zusammen, indem wir schreiben: Spannungsverlust auf der Primärseite u 1v = u 1R + u 1σ (114e) und Spannungsverlust auf der Sekundärseite u 2v = u 2R + u 2σ . (114f) Die Eisenverluste im Kern erscheinen in Bild 56 als im Ersatzwiderstand R Fe vom Strom (114g) erzeugten Wärme. u 1 u 1m u 2m u 2 i 2 u 2σ L 2σ R 2 u 2R u 1σ i 1 L 1σ R 1 R Fe u 1R i Fe i 1m + i 1k idealer Transformator i Fe = u 1m R Fe <?page no="116"?> 114 Der gesamte Primärstrom i 1 ergibt sich somit als komplexe Summe des Magnetisierungsstromes i 1m , der primärseitigen Laststromkomponente i 1k gemäß Gl. (107) und des die Eisenverluste kennzeichnenden Stromes i Fe mit der Beziehung i 1 = i 1m + i 1k + i Fe . (114h) Die Teilsumme des Magnetisierungsstromes und Eisenverluststromes bezeichnen wir als Leerlaufstrom i 0 = i 1m + i Fe (114i) Jetzt sind die Voraussetzungen gegeben, um Zeigerdiagramme des realen Transformators zu zeichnen. Primärseite Sekundärseite Bild 57 Zeigerdiagramm des realen Transformators In Bild 57 sind die Zeigerdiagramme eines realen Transformators mit induktiver Lastkomponente getrennt für Primär- und Sekundärseite qualitativ dargestellt. Die Zeigerlängen sind nicht maßstabsgerecht. Ihre Längen sind so gewählt, dass die Zeigerdiagramme eine gute Übersicht zu den Beziehungen zwischen den Größen und ihren Phasenverhältnissen ermöglichen. Die Zeiger zu den Spannungsverlusten u 1R , u 1σ und u 1v primärseitig sowie u 2R , u 2σ und u 2v sekundärseitig bilden je ein Dreieck. Diese werden „Kappsches Dreieck“ genannt. Einige Zeiger in Bild 57 beginnen nicht im Ursprung der komplexen Ebene. So sind die Zeiger des Kappschen Dreieckes und u 2 u 2m u 2R u 2v Φ 1m i 2 i 1m Kappsches Dreieck ϕ 2 j r u 2σ u 1 u 1m u 1R u 1v Φ 1m i 1k i 1 (i 1m + i Fe ) = i 0 i Fe i 1m Kappsches Dreieck ϕ 1 u 1σ j r <?page no="117"?> 115 des Stromes i Fe parallelverschoben. Diese Verschiebung dient einer besseren Übersicht bei der Summen- und Differenzbildung von Zeigern. Ihre Kenngrößen, Betrag und Phasenwinkel, bleiben trotz Verschiebung erhalten. Bei der Erstellung der Zeigerdiagramme gehen wir vom Magnetisierungsfluss Φ 1m aus. Für diesen setzen wir eine Kosinusfunktion voraus, deren Zeiger auf der positiven reellen Achse der komplexen Ebene liegt. Der Magnetisierungsfluss wird gemäß Gl. (104b) in Verbindung mit dem Durchflutungsgesetz vom Magnetisierungsstrom i 1m erzeugt. Der Zeiger für i 1m hat die gleiche Phasenlage wie Φ 1m und liegt ebenfalls auf der positiven reellen Achse. Für die vom Magnetisierungsfluss erzeugten Induktionsspannungen errechnet man mit Anwendung des Induktionsgesetzes gemäß Gl. (101) primärseitig u 1m = j ω / rad w 1 Φ 1m (115a) und sekundärseitig u 2m = j ω / rad w 2 Φ 1m . (115b) Die Zeiger für u 1m und u 2m befinden sich demnach auf der positiven imaginären Achse. Sie eilen dem Magnetisierungsfluss Φ 1m um 90° voraus. Den Strom i Fe für die Eisenverluste bestimmen wir mit Gl. (114g). Er hat die gleiche Phasenlage wie die Induktionsspannung u 1m . Der Zeiger für i Fe liegt deshalb parallel zur positiven imaginären Achse. Zusätzlich ist der Zeiger für den Leerlaufstrom i 0 als Summe i 1m + i Fe in das Diagramm zur Primärseite eingetragen. Die weiteren Zeiger in Bild 57 hängen von der Last des Transformators ab. Wir nehmen an, die sekundärseitig angeschlossene Last habe eine induktive Komponente. Der in das sekundärseitige Diagramm eingetragene Zeiger i 2 bezeichnet den Laststrom. Wie wir in Bild 56 ablesen, verursacht i 2 den Spannungsverlust u 2R . Der Zeiger für u 2R liegt parallel zum Zeiger für i 2 , da die Phasenlagen beider Zeiger identisch sind. Weiter folgt aus Bild 56, dass der Spannungsverlust u 2σ über der Streuinduktivität L 2σ gemäß Gl. (113f) dem Laststrom i 2 um 90° vorauseilt. Mit diesem Vorlaufwinkel ist der Zeiger für u 2σ in das Zeigerdiagramm zur Sekundärseite eingezeichnet. Die Zeigersumme ergibt gemäß Gl. (114f) den gesamten sekundärseitigen Spannungsverlust u 2v mit dem zugehörigen Zeiger in Bild 57 (Kappsches Dreieck). Jetzt ist die Voraussetzung zur Bestimmung der Sekundärspannung u 2 gegeben: Der Zeiger für u 2 ist das Ergebnis der geometrischen Subtraktion des Spannungsverlustes u 2v von der sekundärseitigen Induktionsspannung u 2m mit der Beziehung u 2 = u 2m − u 2v (115c) (siehe Gln. (114d) und (114f)). Die primärseitige Laststromkomponente i 1k unterscheidet sich vom sekundärseitigen Laststrom i 2 wie schon beim idealen Transformator nur durch das Windungszahlenübersetzungsverhältnis entsprechend Gl. (109). Der Zeiger i 1k hat demnach auf der Primärseite des Zeigerdiagramms den gleichen Phasenwinkel wie der Zeiger i 2 auf der Sekundärseite. Den primärseitigen Gesamtstrom i 1 berechnen wir durch geometrische Addition der Zeiger der Laststromkomponente i 1k , des Magnetisierungsstromes i 1m und des Eisenverluststromes i Fe gemäß Gl. (114h). Die Ermittlung der Zeiger für die Spannungsverluste u 1R , u 1σ und u 1v zum Kappschen Dreieck auf der Primärseite erfolgt mit Bezug auf den Gesamtstrom i 1 analog zur <?page no="118"?> 116 Ermittlung der Spannungsverluste u 2R , u 2σ und u 2v auf der Sekundärseite mit Bezug auf den Laststrom i 2 . Der Zeiger für die Primärspannung u 1 wird durch geometrische Addition der Zeiger für die Induktionsspannung u 1m und des Spannungsverlustes u 1v gemäß Gl. (114c) in Verbindung mit Gl. (114e) ermittelt. Im Zeigerdiagramm Bild 57 liest man zusätzlich die Phasenverschiebungswinkel ϕ 1 zwischen Primärspannung und Primärstrom und ϕ 2 zwischen Sekundärspannung und Sekundärstrom der an den Transformator angeschlossenen Last ab. 7.4 Messtechnische Ermittlung der Kenngrößen im Ersatzschaltbild Berechnungen mit Hilfe des Ersatzschaltbildes zum Transformator und den dazugehörigen Gleichungen sind nur dann durchführbar, wenn die Kenngrößen R 1 , L 1σ , R 2 , L 2σ , R Fe sowie die zu den Spannungsquellen u 1m und u 2m im Ersatzschaltbild Bild 56 gehörenden Kenngößen L 1k und M (siehe Gln. (113c) und (113e)) bekannt sind. Praktisch messen an einem Transformator können wir nur die Eingangs- und Ausgangsspannung sowie den Eingangs- und Ausgangsstrom. Unbekannt bleiben dagegen die im Ersatzschaltbild vorhandenen Induktionsspannungen u 1m und u 2m sowie der Magnetisierungsstrom i 1m und der Eisenverluststrom i Fe . Um wenigstens die unbekannten Kenngrößen näherungsweise zu bestimmen, bedienen wir uns folgender zwei Hilfsmaßnahmen: 1. der Leerlaufmessung und 2. der Kurzschlussmessung. 1. Leerlaufmessung Im Leerlauf des Transformators ist an dessen Ausgang keine Last angeschlossen. Es entfallen der Laststrom i 2 und die primärseitige Laststromkomponente i 1k . Der Transformator wirkt nur noch als Drosselspule mit dem Eingangsstrom i 0 . Dieser ist gegenüber dem Betriebsstrom bei Belastung sehr klein. Dadurch ist der Spannungsverlust u 1v vernachlässigbar. Im Ersatzschaltbild entfallen somit der Widerstand R 1 und die Streuinduktivität L 1σ . Die Eingangsspannung stellt jetzt u 1m näherungsweise dar, denn Messpunkte zur direkten Messung von u 1m sind am Transformator nicht vorhanden. Die Messschaltung zur Bestimmung der unbekannten Größen zeigt Bild 58 . Der leerlaufende Transformator besteht nur noch aus der Parallelschaltung der Induktivität L 1k der Primärwicklung und des Eisenverlustwiderstandes R Fe . Streuinduktivität L 1σ und Verlustwiderstand R 1 werden vernachlässigt. Die Parallelschaltung eines Ohmschen und induktiven Widerstandes behandelten wir bereits in Kapitel 6.2.5 (siehe Bild 32). Die Messschaltung enthält einen Spannungsmesser zur Messung von U 1m , einen Wirkleistungsmesser zur Messung von P w und einen Strommesser zur Messung von I 0 . Der Wirkleistungsmesser misst bereits direkt die Eisenverluste im Eisenkern des Transformators, die symbolisch im Widerstand R Fe in Wärme umgesetzt werden. Da der Spannungsmesser den Effektivwert der Spannung U 1m über R Fe misst, kann mit der Leistungsformel (116a) I Fe = P w U 1m <?page no="119"?> 117 der Eisenverluststrom I Fe berechnet werden. Schließlich erhalten wir mit dem Ohmschen Gesetz (116b) den Wert des Eisenverlustwiderstandes R Fe . Bild 58 Messschaltung zur Bestimmung der Eisenverluste in Bild 54 Um auch die Induktivität L 1k bestimmen zu können, benötigen wir noch den Strom i 1m . Dazu betrachten wir in Bild 57 , Zeigerdiagramm Primärseite, das Dreieck der Stromzeiger i 1m , i Fe , i 0 . Den Effektivwert I Fe zum Zeiger i Fe haben wir mit Gl. (116a) bereits berechnet. Den Effektivwert I 0 zum Zeiger i 0 misst der Strommesser in Bild 58 . Den noch unbekannten Effektivwert I 1m zum Zeiger i 1m errechnen wir mit dem Lehrsatz des Pythagoras, den wir für das rechtwinklige Dreieck der Stromzeiger anwenden und erhalten den Ausdruck . (116c) Mit dem Ohmschen Gesetz errechnen wir für die noch unbekannte Induktivität . (116d) Wie aus den Bemessungsgleichungen für die Induktivitätskomponente der Primärwicklung und für die Gegeninduktivität hervorgeht, unterscheiden sich L 1k und M nur durch das Übersetzungsverhältnis ü w (siehe Gln. (112a) und (112c)). Für die Berechnung der Gegeninduktivität M gilt deshalb der einfache Zusammenhang . (116e) I 1m = I 02 − I Fe2 L 1k = U 1m ω / rad I 1m i 0 i Fe i 1m u 1m A W V P w R Fe L 1k I 0 U 1m U 1m I Fe R Fe = M = L 1k w 2 w 1 <?page no="120"?> 118 2. Kurzschlussmessung Die Bestimmung der Verlustwiderstände R 1 und R 2 sowie der Streuinduktivitäten L 1σ und L 2σ in den Längszweigen des Ersatzschaltbildes ist durch eine direkte Messung nicht möglich, denn die dazu erforderlichen Messpunkte sind am Transformator nicht vorhanden. Die näherungsweise Bestimmung dieser Schaltelemente ermöglicht eine sogenannte Kurzschlussmessung. Für diese schließen wir zunächst ohne Eingangsspannung den Ausgang kurz und erhalten eine Ersatzschaltung nach Bild 59 . Bild 59 Ersatzschaltung zur Kurzschlussmessung An den Eingang legen wir eine Wechselspannung, die von null beginnend langsam gesteigert wird, bis mit einem Strommesser in der Eingangsleitung der Nennstrom (Bemessungsstrom) gemessen wird. Dann liegt am Eingang die sogenannte „Kurzschlussspannung u K “, die wir mit einem Spannungsmesser messen. Die Kurzschlussspannung eines Transformators ist diejenige Eingangsspannung, die bei kurzgeschlossenem Ausgang den eingangsseitigen Nennstrom erzeugt. Als Nenngrößen (auch Bemessungsgrößen genannt) werden diejenigen Größen bezeichnet, für die der Transformator hauptsächlich ausgelegt (bemessen) ist. Bei Nennspannung am Eingang und Nennlast am Ausgang fließen also Nennströme im Primär- und Sekundärkreis. Die gleichen Nennströme fließen aber auch bei Kurzschlussspannung am Eingang und kurzgeschlossenem Ausgang. Dieser Kurzschlussbetrieb ergibt folgende Besonderheiten: • Die Kurzschlussspannung u K ist viel kleiner als die Nennspannung. • Dadurch ist der Magnetisierungsstrom i 1m viel kleiner als der Nennstrom i 1k . • Der Magnetisierungsfluss Φ 1m ist viel kleiner als bei angelegter Nennspannung. • Dementsprechend sind die Induktionsspannungen u 1m und u 2m viel kleiner. • Das bedingt wiederum einen viel kleineren Eisenverluststrom i Fe . Diese Besonderheiten im Kurzschlussbetrieb ermöglichen eine näherungsweise Ermittlung der Verlustwiderstände und Streuinduktivitäten in den Längszweigen des Ersatzschaltbildes. Infolge der genannten Besonderheiten können wir • den Magnetisierungsstrom i 1m und • den Eisenverluststrom i Fe vernachlässigen, u K u 1m u 2m i 2 u 2σ L 2σ R 2 u 2R u 1σ i 1 L 1σ R 1 R Fe u 1R i Fe i 1m + i 1k idealer Transformator Kurzschluss Kurzschlussspannung vernachlässigen vernachlässigen <?page no="121"?> 119 wie in Bild 59 vermerkt. Für die folgende Ermittlung der noch unbekannten Schaltelemente fassen wir zur Verringerung des Schreibaufwandes die ohmschen und induktiven Widerstände in den Längszweigen von Bild 59 als komplexe Verlustwiderstände zusammen, indem wir schreiben: R 1v = R 1 + j ω / rad L 1σ und R 2v = R 2 + j ω / rad L 2σ . (117a), (117b) Im kurzgeschlossenen Sekundärkreis lesen wir die Beziehung u 2m = R 2v i 2 (117c) ab. Die Übertragung der Induktionsspannung u 2m vom Sekundärkreis auf den Primärkreis im umrandeten „ idealen Transformators “ in Bild 57 ergibt die Beziehung u 1m = ü u 2m = ü R 2v i 2 , (117d) und die Übertragung des Sekundärstromes i 2 auf den Primärkreis ergibt mit i 2 = ü i 1k u 1m = ü 2 R 2v i 1k . (117e) Im Primärkreis des Ersatzschaltbildes lesen wir die Maschengleichung u K = u 1v + u 1m mit u 1v = u 1R + u 1σ (117f) ab. Für die Verlustspannung u 1v im Primärkreis gilt in Verbindung mit Gl. (117a) die Beziehung u 1v = R 1v i 1k . Nach Einsetzen dieser Beziehung und Gl. (117d) in Gl. (117e) erhalten wir die Gleichung u K = ( R 1v + ü 2 R 2v ) i 1k . (117g) In einem optimal ausgelegten Transformator sind Primär- und Sekundärwicklung auf gleiche Wickelräume verteilt. Dann entspricht das Verhältnis der Verlustwiderstände mit guter Näherung dem Quadrat des Übersetzungsverhältnisses Setzen wir diese Beziehung in Gl. (117g) ein, erhalten wir das Ergebnis u K = 2 R 1v i 1k . (117h) Für den komplexen Verlustwiderstand R 1v übernehmen wir mit Gl. (117a) wieder die ausführliche Form als Summe von ohmschem und induktivem Widerstand. Damit lautet Gl. (117h) u K = ( 2 R 1 + j ω / rad 2 L 1σ ) i 1k . (117i) Diese Gleichung bildet die Grundlage für eine Messschaltung nach Bild 60 . R 2v R 1v ü 2 = <?page no="122"?> 120 Bild 60 Messschaltung zur Bestimmung von R 1 und L 2σ An den Eingang der Messschaltung wird die Kurzschlussspannung u K angelegt. Deren Effektivwert U K misst der Spannungsmesser in Bild 60 . Die Schaltelemente 2R 1 und 2L 1σ werden vom Nennstrom (= Kurzschlussstrom) i 1k durchflossen, deren Effektivwert I 1k misst der Strommesser. Der Leistungsmesser misst die Wirkleistung, die im Widerstand 2R 1 in Wärme umgesetzt wird. In der Messschaltung lesen wir für die im Widerstand 2R 1 umgesetzte Wirkleistung P W die bekannte Beziehung P W = 2R 1 I 1k2 ab. Nach Umstellung lautet diese Gleichung . (118a) P W und I 1k werden mit dem Leistungsmesser und Strommesser gemessen und der Widerstand R 1 für die Wärmeverluste der Primärwicklung des Transformators mit Gl. (118a) errechnet. Zur Ermittlung der Streuinduktivität errechnen wir zunächst den Scheinwiderstand R S der Reihenschaltung von 2R 1 und 2L 1σ in Bild 60 . Dessen Gleichung lautet nach Pythagoras . (118b) Mit Anwendung des Ohmschen Gesetzes erhalten wir für den Scheinwiderstand die Beziehung . (118c) Diese setzen wir in Gl. (118b) ein. Danach stellen wir Gl. (118b) nach L 1σ um und erhalten als Ergebnis die Gleichung . (118d) i 1k A W V P w 2L 1σ 2R 1 u K I 1k U K u K i 1k R 1 = P W 2 I 1k2 R S = (2 R 1 ) 2 + (ω / rad 2 L 1σ ) 2 R S = U K I 1k 2 ω / rad L 1σ = ( ) 2 − (2 R 1 ) 2 1 U K I 1k <?page no="123"?> 121 U K und I 1k werden mit dem Spannungsmesser und Strommesser in Bild 60 gemessen. R 1 wurde bereits mit Gl. (118a) errechnet. Somit können wir die Streuinduktivität L 1σ im Primärkreis des Transformators mit Gl. (118d) errechnen. Die Verlustschaltelemente im Sekundärkreis ermitteln wir jetzt einfach mit dem Quadrat des Übersetzungsverhältnisses als Umrechnungsfaktor. Dazu setzen wir in die Gleichung R 1v = ü 2 R 2v die Gln. (117a) und (117b) ein. Das Ergebnis lautet R 1 + j ω / rad L 1σ = ü 2 R 2 + j ω / rad ü 2 L 2σ . (118e) Mit dem Gesetz: „ Sind zwei komplexe Zahlen gleich, sind auch ihre Real- und Imaginärteile gleich “, gilt bezüglich Gl. (118e) : und (118f) , (118g) Durch die vorherigen Berechnungen sind R 1 und L 1σ bereits bekannt. Die Angaben zum Windungszahlen-Übersetzungsverhältnis ü sind der Bauvorschrift des Transformators zu entnehmen. Somit haben wir durch Leerlauf- und Kurzschlussmessungen mit den beschriebenen Berechnungen die im Ersatzschaltbild des Transformators angegebenen Kenngrößen ermittelt. Aus den bisherigen Betrachtungen geht hervor, dass zur Bestimmung der Kenngrößen des Transformators Näherungen erforderlich sind, die Fehler hervorrufen. Vor allem bei Kleintransformatoren mit mehreren Wicklungen sind Bestimmungsfehler zu erwarten, die zusätzlich von Hysterese- und Temperatureinflüssen sowie Messfehlern abhängen. Durch Messungen und Korrekturen an Funktionsmustern werden die gewünschten Übertragungseigenschaften des Transformators für eine Serienfertigung abgesichert. ü 2 R 2 = R 1 1 L 2σ = L 1σ ü 2 1 <?page no="124"?> 122 8 Spaltpolmotor 8.1 Aufbau des Spaltpolmotors Spaltpolmotoren sind Kleinmotoren geringer Leistung, die mit Einphasenwechselstrom betrieben werden und von selbst anlaufen. Durch das Spaltpolprinzip mit Kurzschlussringen entsteht ein magnetisches Wanderfeld vom Hauptpol zum Spaltpol, das einen Kurzschlussanker antreibt und dessen Drehsinn bestimmt. Der schematische Aufbau des Spaltpolmotors geht aus Bild 61 hervor. Bild 61 Schematische Darstellung des Spaltpolmotors i 1 u 1 2 Φ 2k Φ 2k Φ 1k Φ 1k Φ 20 Φ 20 R m w 1 1 H S S H Φ 1 Φ H i 2K i 2K Φ S Φ S Φ H K K M A w 2 w 2 R m <?page no="125"?> 123 Der Spaltpolmotor besteht aus dem magnetischen Eisenkreis M , dessen Polschuhe in die Hauptpole H und die Spaltpole S aufgeteilt sind. Zwischen den Polschuhen ist der Kurzschlussanker A drehbar gelagert. Auf dem magnetischen Eisenkreis befindet sich die Erregerwicklung w 1 und auf den Spaltpolen je ein Kurzschlussring K aus Kupfer oder Aluminium, zusätzlich mit w 2 bezeichnet. In Bild 61 sind folgende elektrische und magnetische Größen eingetragen (alle Größen sind in komplexer Form dargestellte sinusförmige Zeitfunktionen): u 1 An Erregerwicklung w 1 gelegte Betriebsspannung. i 1 Durch Erregerwicklung w 1 fließender Strom. i 2K Kurzschlussstrom in einem Kurzschlussring K (Wicklung w 2 ). Φ 1k Von i 1 erzeugter magnetischer Koppelfluss, der jeweils durch Zweig 1 oder Zweig 2 des magnetischen Kreises über einen Hauptpol H, den Anker A und einen Spaltpol S verläuft. Φ 2k Vom Kurzschlussstrom i 2K erzeugter magnetischer Koppelfluss, der im magnetischen Kreis wie Φ 1k verläuft, jedoch im entgegengesetzten Richtungssinn. Φ 1 Gesamter Magnetfluss im Eisenkreis M. Φ 1 = 2 Φ 1k − 2 Φ 2k Φ 20 Vom Kurzschlussstrom i 2K erzeugter magnetischer Fluss, der durch den zugeordneten Spaltpol, den benachbarten Hauptpol und den zwischen diesen Polen vorhandenen Anker verläuft. Φ H Gesamter Magnetfluss in einem Hauptpol H. Φ H = Φ 1k − Φ 2k + Φ 20 Φ S Gesamter Magnetfluss in einem Spaltpol S. Φ S = Φ 1k − Φ 2k − Φ 20 R m Magnetischer Widerstand eines Luftspaltes zwischen Hauptpol H und Anker A bzw. zwischen Spaltpol S und Anker. Elektrische Größen, die nicht in Bild 61 erscheinen sind: u 2K In einem Kurzschlussring K erzeugte Induktionsspannung. R 2K Ohmscher Widerstand eines Kurzschlussringes. <?page no="126"?> 124 8.2 Wirkungsweise des Spaltpolmotors Ziel dieses Kapitels ist, die prinzipielle Wirkungsweise des Spaltpolmotors mit Hilfe des bisher behandelten Stoffs zu verstehen. Die im vorherigen Gliederungspunkt 8.1 beschriebenen magnetischen Flüsse Φ 1k sind als Flusslinien in Bild 61 mit der Farbe Blau eingetragen. Sie werden vom Eingangsstrom i 1 erzeugt. Die magnetischen Flüsse Φ 2k und Φ 20 sind als Flusslinien zur besseren Unterscheidung mit der Farbe Grün eingetragen. Sie werden vom Kurzschlussstrom i 2K erzeugt, der in den Kurzschlussringen K fließt. Den gesamten Magnetfluss innerhalb der Erregerwicklung w 1 bezeichnet der Zählpfeil Φ 1 . Für diesen lesen wir in Verbindung mit dem Richtungssinn der Magnetflusslinien die Beziehung Φ 1 = 2 Φ 1k − 2 Φ 2k (119a) in Bild 61 ab. Den gesamten Magnetfluss in den Hauptpolen H bezeichnen die Zählpfeile Φ H . Für jeden Hauptpol lesen wir gleichermaßen die Beziehung Φ H = Φ 1k − Φ 2k + Φ 20 (119b) in Bild 61 ab. Den gesamten Magnetfluss in den Spaltpolen S bezeichnen die Zählpfeile Φ S . Für jeden Spaltpol lesen wir gleichermaßen die Beziehung Φ S = Φ 1k − Φ 2k − Φ 20 (119c) in Bild 61 ab. Der Richtungssinn der Zählpfeile für Ströme und Magnetflüsse entspricht der Korkenzieherregel zum Durchflutungsgesetz (siehe Kap. 4). Zum Verständnis der Wirkungsweise des Spaltpolmotors genügt bereits die Bestimmung der Phasenverschiebung des Magnetflusses Φ S im Spaltpol mit Bezug auf den Magnetfluss Φ H im Hauptpol. Dabei wählen wir Φ H als Bezugsgröße. Stellen wir uns Bild 61 ohne Kurzschlussringe vor, entfallen die von den Kurzschlussströmen i 2K erzeugten Magnetflüsse Φ 2k und Φ 20 (grüne Flusslinien). Sowohl Hauptals auch Spaltpole würden gleiche Magnetflüsse Φ 1k führen. Ein Anlaufdrehmoment wäre dann nicht vorhanden. Für eine einfachere Erklärung setzen wir gleiche Querschnitte der Haupt- und Spaltpole voraus. Sind die Kurzschlussringe K vorhanden, induziert in diesen der Magnetfluss Φ S eine Kurzschlussspannung u 2K entsprechend dem Induktionsgesetz für sinusförmige Wechselgrößen (siehe Kap. 6.4 , Gl. (101)). Infolge des kurzgeschlossenen Stromkreises, den die Kurzschlussringe bilden, ist u 2K in Bild 61 nicht darstellbar. u 2K treibt jedoch den Kurzschlussstrom i 2K gemäß dem Ohmschen Gesetz an und ist deshalb eine wichtige Rechengröße. Für die Kurzschlussspannung u 2K errechnen wir mit Gl. (101) die Beziehung u 2K = j ω / rad Φ S . (120a) Den ohmschen Widerstand der Kurzschlussringe bezeichnen wir mit R 2K . Für i 2K errechnen wir mit dem Ohmschen Gesetz . (120b) i 2K = u 2K R 2K <?page no="127"?> 125 Für die durch Induktion von den Magnetflüssen Φ S erzeugten Kurzschlussströme i 2K mit den dazugehörigen in Bild 61 eingezeichneten Zählpfeilen gilt in Verbindung mit den Gln. (120a) und (120b) die Gegenkorkenzieherregel. Die Kurzschlussströme i 2K erzeugen gemäß Durchflutungsgesetz die Magnetflüsse Φ 2k und Φ 20 . Für den Richtungssinn ihrer Flusslinien gilt in Verbindung mit dem Zählpfeil für i 2K die Korkenzieherregel. Beide in Bild 61 eingezeichneten Flusslinien verlaufen auf unterschiedlichen Wegen jeweils über zwei Luftspalte mit dem magnetischen Widerstand R m . Deshalb beträgt der magnetische Gesamtwiderstand „2 R m “ sowohl des magnetischen Kreises für Φ 2k als auch des magnetischen Kreises für Φ 20 . Laut Durchflutungsgesetz Gl. (28) erzeugen die Kurzschlussströme i 2K eine magnetische Urspannung Θ 2K = i 2K w 2 . Daraus errechnen wir mit dem „ohmschen Gesetz für magnetische Kreise“ den Magnetfluss und . Da die „Sekundärwicklung“ w 2 nur aus einer Windung in Form des Kurzschlussringes K besteht, setzen wir w 2 = 1 . Für obige Magnetflussgleichungen schreiben wir damit und . (120c), (120d) An diesen zwei Gleichungen erkennen wir, dass die Magnetflüsse Φ 2k und Φ 20 gleich sind, so dass Φ 20 = Φ 2k gilt. (120e) Jetzt können wir den Zusammenhang der Magnetflüsse Φ H und Φ S im Hauptpol und Spaltpol mit folgenden Schritten ermitteln: Gl. (120e) in Gl. (119b) einsetzen. Ergebnis: Φ H = Φ 1k (121a) Gln. (120e) und (121a) in Gl. (119c) einsetzen. Ergebnis: Φ S = Φ H − 2 Φ 2k (121b) Gl. (120c) in Gl.(121b) einsetzen. Ergebnis: (121c) Gl. (120a) in Gl. (120b) einsetzen. Ergebnis: (121d) Gl. (121d) in Gl. (121c) einsetzen. Ergebnis: (121e) Gl. (121e) nach Φ S umstellen. Ergebnis: (121f) Φ 2k = Θ 2K 2 R m Φ 20 = Θ 2K 2 R m Φ 2k = i 2K 2 R m Φ 20 = i 2K 2 R m i 2K = j Φ S R 2K ω / rad Φ S = Φ H − i 2K R m Φ S = Φ H − j Φ S ω / rad R m R 2K 1 + j ω / rad R m R 2K Φ S = Φ H 1 <?page no="128"?> 126 Um Gl. (121f) übersichtlicher auswerten zu können, führen wir die Induktivität L 2 eines Kurzschlussringes ein, indem wir mit Anwendung der Bemessungsgleichung für die Induktivität schreiben . Da der Kurzschlussring des Spaltpolmotors nur aus einer Windung besteht, ist w 2 = 1 . Somit können wir für obige Gleichung schreiben. R m bezeichnet den magnetischen Widerstand für den Verlauf des Magnetflusses, den der Strom im Kurzschlussring erzeugt (siehe Bild 61). Der reziproke Wert des magnetischen Widerstandes R m ist also die Induktivität L 2 des Kurzschlussringes. Führen wir L 2 in den Ausdruck der Gl. (121f) ein, erhalten wir die Beziehung . (122a) Der Quotient in der vorherigen Gleichung bezeichnet die Zeitkonstante τ K (Tau K) des Kurzschlussringes. Sie hat die Einheit s (Sekunde). Die Zeitkonstante wird mit der Gleichung (122b) definiert. Setzen wir Gl. (122a) in Verbindung mit Gl. (122b) in Gl. (121f) ein, erhalten wir die für weitere Betrachtungen einfachere Gleichungsform . (123a) Das Produkt ω / rad τ K in dieser Gleichung ist dimensionslos. Zur Darstellung der komplexen Magnetflüsse im Zeigerdiagramm trennen wir in Gl. (123a) Real- und Imaginärteil, indem wir Zähler und Nenner mit dem konjugiert komplexen Nenner multiplizieren. Diese Rechenoperation führten wir bereits im Kapitel „Komplexe Widerstände“ durch. Als Ergebnis der Umformung von Gl. (123a) erhalten wir die Gleichung . (123b) Sie enthält den Realteil (123c) und den Imaginärteil . (123d) w 22 R m L 2 = ω / rad R m R 2K 1 R m L 2 = ω / rad R m R 2K = ω / rad L 2 R 2K L 2 R 2K τ K = L 2 R 2K Φ S = Φ H 1 + j ω / rad τ K 1 Φ S = [ − j ] Φ H 1 1 + (ω / rad τ K ) 2 ω / rad τ K 1 + (ω / rad τ K ) 2 Re{Φ S } = Φ H 1 1 + (ω / rad τ K ) 2 Im{Φ S } = − Φ H ω / rad τ K 1 + (ω / rad τ K ) 2 <?page no="129"?> 127 Nehmen wir für den Ausdruck „ω / rad τ K “ in den Gln. (123c) und (123d) den Wert „1“ an, errechnen wir als Realteil Re{Φ S } = 0,5 Φ H und als Imaginärteil Im{Φ S } = − 0,5 Φ H . Mit diesen Ergebnissen erhalten wir für die Magnetflüsse in den Haupt- und Spaltpolen das Zeigerdiagramm in Bild 62 . Bild 62 Zeigerdiagramm der Magnetflüsse in Haupt- und Spaltpolen Im Zeigerdiagramm erkennen wir, dass der Magnetfluss Φ S des Spaltpoles dem Magnetfluss Φ H des Hauptpoles um den Winkel −ϕ nacheilt. Wir erinnern daran, dass die Zeiger in der komplexen Ebene sinusförmige Zeitfunktionen symbolisieren und dass sich die Zeiger mit der Winkelgeschwindigkeit ω (=Kreisfrequenz) im mathematisch positiven Drehsinn, d.h. im Gegenuhrzeigersinn drehen. Bei dieser Drehbewegung passiert zuerst der Zeiger von Φ H und danach der Zeiger von Φ S die reelle Achse in Bild 62 . Dementsprechend erreicht der Magnetfluss im Spaltpol erst seinen Spitzenwert, nachdem der Magnetfluss im Hauptpol seinen Spitzenwert bereits überschritten hat. Man sagt: „Das Magnetfeld ´wandert´ vom Hauptpol zum Spaltpol“. Dabei erhält nach dem „Lenzschen Gesetz“ ein Kurzschlussanker in Form eines Metallzylinders ein Drehmoment. Der Kurzschlussanker dreht sich somit vom Hauptpol zum Spaltpol. Rechnen wir mit verschiedenen Zahlenwerten für den Ausdruck „ω / rad τ K “ in den Gln. (123c) und (123d), stellen wir fest, dass sich die Zeigerspitze von Φ S auf dem Halbkreis in Bild 62 bewegt. Bei konstanter Kreisfrequenz ω hängt der Zahlenwert des genannten Ausdrucks nur von der Zeitkonstanten τ K des Kurzschlussringes ab. Ein konstruktives Merkmal des Kurzschlussringes ist dessen Ringwiderstand R 2K . Je dünner der Kurzschlussring, umso höher der Wert von R 2K , und umso kleiner wird gemäß Gl. (122b) der Wert von τ K . Geht im Grenzfall R 2K gegen unendlich, ist kein Kurzschlussring mehr vorhanden. Dann ist τ K = 0 , und der Zeiger für Φ S liegt auf der reellen Achse von Bild 62 . Dann besteht zwischen den Magnetflüssen von Haupt- und Spaltpol keine Phasenverschiebung, wodurch der Spaltpolmotor nicht anläuft. Im entgegengesetzten Grenzfall geht R 2K gegen null und τ K gegen unendlich. Diesen Fall betrachten wir nur theoretisch, denn der Kurzschlussring müsste „supraleitend“ werden. Bei einer Näherung an diesen Fall erkennen wir in Bild 62 , dass sich die Phasenverschiebung von Φ S dem idealen Winkel von 90° nacheilend nähert, aber der Betrag von Φ S gegen null geht. Dann ergibt sich natürlich für den Spaltpolmotor ebenfalls kein Anlaufdrehmoment. Es muss also konstruktiv ein Optimum für Betrag j r −ϕ Φ H Φ S Re{Φ S } Im{Φ S } τ K 0 ∞ 0,5 -0,5 <?page no="130"?> 128 und Phase von Φ S gefunden werden, das gute Anlaufeigenschaften des Spaltpolmotors gewährleistet. Da mit den bisherigen Ableitungen die Entstehung eines „Wanderfeldes“ zur Erzeugung eines Anlaufdrehmomentes im Spaltpolmotor erklärt wird, können wir den Drehsinn des Läufers angeben und verzichten auf weitere Berechnungen elektrischer und Magnetischer Größen in Bild 61 . Spaltpolmotoren werden z.B. zum asynchronen Antrieb von Plattenspielern verwendet. Bei gleichem hier beschriebenen Wirkungsprinzip unterscheiden sich Spaltpolmotoren durch unterschiedliche Konstruktionsformen. Beachtenswert ist ein kleiner Spaltpolmotor, den Energieversorger in Elektrizitätszählern als Uhrenmotor zur Umschaltung zwischen Tag- und Nachttarif einsetzen. Mit acht Polpaaren hat er eine Drehgeschwindigkeit von 375 Umdr. / min . Jeder Pol besteht aus Haupt- und Spaltpol. Der Läufer besteht aus einer Eisenblechtrommel, auf deren Umfang Fenster ausgespart sind. Dadurch entstehen Stege, die im Betrieb als Magnetpole wirksam werden. Nach dem asynchronen Anlauf erzeugt das Wanderfeld auf den Stegen des Läufers remanenten Magnetismus. Somit entsteht ein Polrad wie bei einem Synchronmotor, in diesem Beispiel mit acht Polpaaren. Danach läuft der Spaltpolmotor synchron zur Netzfrequenz weiter. Die Netzfrequenz dient als Zeitnormal bei der Festlegung der Tarifumschaltzeiten. Übungsaufgabe Überprüfe graphisch an Hand der Gln. (123c) und (123d) , dass sich die Spitze des Zeigers Φ S in Bild 62 auf einem Halbkreis bewegt. Verwende dazu für den Ausdruck ω / rad τ K die Zahlenwerte ω / rad τ K = 0 ; 0,13 ; 0,27 ; 0,41 ; 0,58 ; 0,76 ; 1 ; 1,32 ; 1,72 ; 2,44 ; 3,7 ; 7,6 ; ∞ . Sowohl in diesem als auch im Kapitel „Transformator“ wird besonders deutlich, dass eine exakte Einhaltung der Zählpfeildefinitionen und eine richtige Anwendungen von Zählpfeilen erforderlich sind, um Vorzeichenfehler in Berechnungen, Bildern und Diagrammen zu vermeiden. <?page no="131"?> 129 9 Drehstrom 9.1 Grundlagen Auf die Frage „Was ist Drehstrom“? gibt es die einfache Antwort: Drehstrom sind drei sinusförmige Wechselströme mit gleichhohem Spitzenwert und gleicher Frequenz, deren Phasenlagen gegenseitig jeweils um 120° verschoben sind und die zusammengeschaltet (verkettet) sind. Der Begriff „Drehstrom“, auch „Dreiphasenwechselstrom“ genannt, umfasst im erweiterten Sinn ein Gebiet der Elektrotechnik, das sich sowohl auf „Ströme“ als auch auf „Spannungen“ bezieht. Das trifft auch auf den Begriff „Wechselstrom“ zu. Zur Beschreibung des „Drehstromes“ beginnen wir mit der „Drehspannung“. Dazu betrachten wir drei gleiche Wechselspannungsgeneratoren in Bild 63 , deren Antriebswellen so zusammengekoppelt sind (Doppellinien), dass ihre Ausgangsspannungen untereinander um 120° phasenverschoben sind (unterschiedliche Farben beziehen sich nur auf unterschiedliche Phasenlagen). Bild 63 Drehspannungserzeugung mit drei Wechselspannungsgeneratoren Die drei Generatoren sind einpolig zusammengeschaltet. Den Punkt ihrer Zusammenschaltung bezeichnen wir mit „Anschluss 0“ . Die drei freien Pole der Generatoren in Bild 63 bezeichnen wir mit „Anschluss 1“, „Anschluss 2“ und „Anschluss 3“ . ∼ ∼ ∼ 0 1 2 3 u 10 u 30 u 20 u 12 u 23 u 31 <?page no="132"?> 130 Wir gehen von den in Kapitel 6.1 behandelten Darstellungsformen von Wechselstrom aus, und beschreiben die drei Wechselspannungen jeweils zwischen einem äußeren Anschluss (1, 2, 3) und dem gemeinsamen Anschluss 0 mit folgenden Funktionen: u 10 (ωt) = cosωt , (124a) u 20 (ωt) = cos(ωt −120°) , (124b) und u 30 (ωt) = cos(ωt +120°) . (124c) Die Liniendiagramme zu den Gln. (124a) bis (124c) zeigt Bild 64 . In ihrer Gesamtheit bilden sie das Liniendiagramm für Drehspannung. Bild 64 Liniendiagramm für Drehspannung Zur besseren Übersicht sind die Spannungsverläufe mit unterschiedlichen Farben gezeichnet. Die Gleichungen zu den Spannungsverläufen sind Winkelfunktionen. Deshalb enthält die Abszisse in Bild 64 Winkeleinheiten in Form des Produktes „Kreisfrequenz ω mal Zeit t “ , wobei die geläufigere Einheit „Grad“ gegenüber der Einheit „rad“ bevorzugt wird. Die genannten Winkeleinheiten sind jederzeit ineinander umrechenbar. Bei bekannter Kreisfrequenz kann für jeden Winkel auf der Abszisse ein Zeitwert errechnet werden. In Bild 64 errechnen wir Kurve u 10 mit Gl. (124a) , Kurve u 20 mit Gl. (124b) und Kurve u 30 mit Gl. (124c) . In Bild 64 erkennen wir bei Betrachtung der Spitzenwerte: Kurve u 20 eilt Kurve u 10 um 120° nach und Kurve u 30 eilt Kurve u 10 um 240° nach. Gleichbedeutend kann man auch sagen: Kurve u 30 eilt Kurve u 10 um 120° voraus. Das erkennen wir bei Betrachtung der Spitzenwerte in Bild 64 . Diese Aussage ist U^ U^ 60° 120° 180° 240° 300° 360° 420° ω t u(ω t) U^ u 10 u 20 u 30 U^ <?page no="133"?> 131 auch mit einem Taschenrechner leicht nachprüfbar. Auch hier sind Formeln und Diagramme in Verbindung mit den Zählpfeilen in Bild 63 eindeutig interpretierbar. Die Vorteile von Berechnungen mit „analytischen Größen“ im komplexen Zahlenbereich nutzen wir auch bei Drehstrom (siehe Kap. 6.1). Zur Umwandlung der Zeitfunktionen in die komplexe Form fügen wir jeder Zeitfunktion den Imaginärteil zu und erhalten für Gl. (124a) , (125a) Gl. (124b) (125b) und Gl. (124c) . (125c) Zusätzlich verwandeln wir die Gln. (125a) bis (125c) mit Hilfe der Eulerschen Formel für komplexe Zahlen in die für Zeigerdiagramme vorteilhafte Exponentialform (Eulersche Form), indem wir schreiben für Gl. (125a) , (126a) Gl. (125b) (126b) und Gl. (125c) . (126c) Mit den Gln. (126a) bis (126c) erhalten wir die drei kurzen Zeiger u 10 , u 20 und u 30 für Drehspannung, die im Zeigerdiagramm Bild 65 für den Zeitpunkt t = 0 eingezeichnet sind. Die Farben der Zeiger sind mit den Farben der dazugehörigen Kurven im Liniendiagramm Bild 64 identisch. Bild 65 Zeigerdiagramm für Drehspannung u 10 (ωt) = cosωt + j sinωt U^ U^ u 20 (ωt) = cos(ωt −120°) + j sin(ωt −120°) U^ U^ u 30 (ωt) = cos(ωt +120°) + j sin(ωt +120°) U^ U^ u 10 (ωt) = e U^ ωt rad j u 20 (ωt) = e U^ ωt −120° rad j u 30 (ωt) = e U^ ωt +120° rad j 30° j r u 10 u 20 u 30 u 12 u 23 u 31 • • • <?page no="134"?> 132 Die Art der Zusammenschaltung der drei Wechselspannungsgeneratoren in Bild 63 nennen wir „Sternschaltung“. Sie hat rein optisch eine Ähnlichkeit mit dem sternförmigen Zeigerdiagramm in Bild 65 . Die Zählpfeile über den Wechselspannungsquellen in Bild 63 zeigen zum Sternpunkt der Schaltung. Sie dürfen keinesfalls mit den Zeigern in Bild 65 verwechselt werden, die vom Koordinatenursprung weg zeigen. Auch muss eine Sternschaltung der Drehstromtechnik in Schaltbildern nicht sternförmig gezeichnet sein. In Schaltbildern mit Drehstromtransformatoren sind in Stern geschaltete Wicklungen meistens parallel gezeichnet. Fehlinterpretationen der genannten Art führen mitunter zu Streitfragen bezüglich Addition oder Subtraktion von Teilspannungen in Drehstromschaltungen. Die Anordnung der Wechselspannungsquellen in Bild 63 lässt erkennen, dass jeweils zwei Wechselspannungsquellen durch ihre einpolige Verknüpfung im Sternpunkt in Reihe geschaltet sind. Dadurch ergeben sich drei weitere Wechselspannungen zwischen den Anschlüssen 1-2 , 2-3 und 3-1 . Diese wollen wir mit den bisher bekannten Regeln wie folgt berechnen. Wir betrachten in Bild 63 die von den Anschlüssen 0-1-2-0 gebildete Masche. An dieser lesen wir mit Hilfe der Zählpfeile und des Kirchhoffschen Maschensatzes bei einem von null im Uhrzeigersinn beginnenden Umlauf ab: − u 10 + u 12 + u 20 = 0 . (127a) Nach Umstellung auf die zu errechnende unbekannte Spannung u 12 erhalten wir u 12 = u 10 − u 20 . (127b) In diese Gleichung setzen wir die Gln. (126a) und (126b) ein mit dem Ergebnis . (127c) Nach Umwandlung der rechten e-Funktion gemäß der Potenzgesetze lautet Gl. (127c) (127d) und nach Ausklammern der e-Funktion mit ωt im Exponenten . (127e) Um die Differenzrechnung in dem Klammerausdruck durchführen zu können, wandeln wir in der Klammer die e-Funktion mit Hilfe der Eulerschen Gleichung in die kartesische Form um und schreiben . (127f) u 12 = ( e − e ) U^ ωt rad j ωt −120° rad j u 12 = ( e − e e ) U^ ωt rad j −120° rad j ωt rad j u 12 = e ( 1 − e ) U^ ωt rad j −120° rad j u 12 = e {1 − [(cos(-120°) + j sin(-120°)]} U^ ωt rad j <?page no="135"?> 133 Die Winkelfunktionen in der eckigen Klammer rechnen wir aus und erhalten . (127g) Die Vereinfachung des Ausdruckes in der geschweiften Klammer ergibt . (127h) Zur Darstellung der Spannung u 12 im Zeigerdiagramm ist es zweckmäßig, die komplexe Zahl in der eckigen Klammer in die Exponentialform umzuwandeln. Der Betrag einer komplexen Zahl ist die Wurzel aus der Quadratsumme von Real- und Imaginärteil. Für den Betrag der komplexen Zahl in Gl. (127h) errechnen wir demnach . Den Tangens des Winkels ϕ der komplexen Zahl erhalten wir als Quotient von Imaginärteil zu Realteil. In Gl. (127h) errechnen wir somit . Mit diesen Werten erhält Gl. (127h) die endgültige Form . (128a) Die rückwärtige Umwandlung von der komplexen Gleichung (128a) in die reelle Spannungsfunktion (siehe Kap. 6.1) ergibt die Gleichung . (128b) Gl. (128a) beschreibt für den Zeitpunkt t = 0 den Zeiger u 12 in Bild 65 . Aus Gl. (128a) geht hervor, dass der Spitzenwert der Spannung u 10 mit dem Faktor „Wurzel aus drei“ multipliziert den Spitzenwert der Spannung u 12 ergibt. Außerdem geht aus der Gleichung hervor, dass der Winkel zwischen reeller Achse und dem Zeiger u 12 30° beträgt. Den errechneten Spannungszeiger u 12 findet man auch einfach auf graphischem Weg durch geometrische Subtraktion der Spannungszeiger u 10 und u 20 gemäß der Maschengleichung (127b). Die reelle Spannungsfunktion gemäß Gl. (128b) und weitere Spannungsfunktionen sind im Liniendiagramm Bild 64 nicht eingetragen. Nach der soeben durchgeführten ausführlichen Ableitung der in Reihe geschalteten Spannungen u 10 und u 20 in Bild 63 , werden die zwei weiteren aus einer Reihenschaltung hervorgehenden Spannungen u 23 und u 31 errechnet. Wir geben dafür als Rechenansatz nur die Maschengleichungen an. Der weitere Rechenweg ist analog zur Errechnung von u 12 . Mit einem „Umlauf“ der Masche 0-2-3-0 in Bild 63 erhalten wir für die Spannung zwischen den Anschlüssen 2 und 3 die Gleichung u 23 = u 20 − u 30 , (129a) und mit einem „Umlauf“ der Masche 0-3-1-0 erhalten wir für die Spannung zwischen den Anschlüssen 3 und 1 die Gleichung u 12 = e [ 1,5 + j ( 0,5 ) ] U^ ωt rad j 3 u 12 = e {1 − [ − 0,5 + j ( − 0,5 ) ] } U^ ωt rad j 3 1,5 2 + (0,5 ) 2 = 3 3 ϕ = arctan = 30° 0,5 3 1,5 u 12 = e U^ 3 ωt +30° rad j u 12 = cos(ωt+30°) U^ 3 <?page no="136"?> 134 u 31 = u 30 − u 10 . (129b) Nach Durchführung der ausführlichen Ableitungen erhalten wir als komplexe Spannungsfunktionen in Exponentialform (130a) und . (130b) Durch rückwärtige Umwandlung der Gln. (130a) und (130b) erhalten wir die reellen Spannungsfunktionen (130c) und . (130d) Die Zeiger zu den Spannungen u 23 und u 31 sind, wie bereits der Zeiger zur Spannung u 12 , im Zeigerdiagramm Bild 65 eingetragen. Wir erkennen in diesem Zeigerdiagramm folgende Merkmale: • Die drei Spannungen zwischen den äußeren Anschlüssen in Bild 63 sind um den Faktor „Wurzel drei“ mal größer als die drei Spannungen zwischen einem äußeren Anschluss und dem inneren „Sternpunkt“. • Die drei „äußeren Spannungen“ in ihrer Gesamtheit eilen den drei „inneren Spannungen“ um 30° voraus. • Sowohl die „äußeren“ als auch die „inneren“ Spannungen sind untereinander um 120° phasenverschoben. • Die geometrische Summe der drei Zeiger sowohl der „inneren“ Spannungen als auch der „äußeren“ Spannungen ist gleich null. • Die Zeiger der Spannungen u 23 mit u 10 , u 31 mit u 20 und u 12 mit u 30 bilden einen rechten Winkel. Das weckt den Gedanken, aus Drehstrom nach transformatorischer Angleichung von Spannungsunterschieden „Zweiphasenwechselstrom“ mit 90° Phasenverschiebung zu erzeugen. • Die geometrische Addition von zwei um 120° phasenverschobenen Zeigern ergibt einen gleichgroßen Zeiger als Winkelhalbierende (60° Phasenverschiebung). Das weckt den Gedanken, aus Drehstrom transformatorisch „Mehrphasenwechselstrom“ zu erzeugen. Die praktische Bedeutung einiger Merkmale behandeln wir später. u 23 = e U^ 3 ωt −90° rad j u 31 = e U^ 3 ωt +150° rad j u 23 = cos(ωt−90°) U^ 3 u 31 = cos(ωt+150°) U^ 3 <?page no="137"?> 135 Übungsaufgabe 1. Leite die Gleichungen (130c) und (130d) analog zu der ausführlich behandelten Gleichung (128b) ab. Anmerkung: Bei Ableitung von Gl. (130d) ist die Zweideutigkeit der arctan-Funktion zu beachten. 2. Kontrolliere graphisch die Ergebnisse durch geometrische Subtraktion der Zeiger. 9.2 Prinzip des Drehstromtransformators Die Drehstromerzeugung durch Zusammenschaltung von drei Wechselspannungsgeneratoren in Bild 63 ist keine wirtschaftliche Lösung. In einem Kraftwerk wird selbstverständlich der Drehstrom in einem dafür konstruierten Generator erzeugt. An diesem ist ein Maschinentransformator angeschlossen, der den Drehstrom auf eine zur Weiterleitung in einem Freileitungsnetz geeignete Höhe umspannt. Der Drehstromtransformator hat in Energienetzen zentrale Bedeutung. Zunächst betrachten wir die Vorstufe zum Drehstromtransformator mit Bild 66 . Bild 66 Vorstufe zum Drehstromtransformator Wir versehen drei gleiche Trafokerne wie z.B. in Bild 50 mit jeweils nur einer Primärwicklung w. Die drei Wicklungen sind untereinander gleich. Die bewickelten Trafou 10 i 10 Φ 1 Φ 1 u 30 u 20 i 30 i 20 Φ 2 Φ 3 Φ 2 Φ 3 w w w <?page no="138"?> 136 kerne stellen wir sternförmig so nebeneinander, dass sich die unbewickelten Schenkel in der „Sternmitte“ befinden, dargestellt in Bild 66 . Sie sind nicht miteinander verkoppelt und bilden drei selbständige Induktivitäten (siehe Kap. 6.2.3). An die Anschlüsse der Wicklungen legen wir die Drehspannung der drei Generatoren in Bild 63 . Das Zeigerdiagramm der Drehspannung enthält Bild 67 (grüne Zeiger). Bild 67 Zeigerdiagramm zur Vorstufe zum Drehstromtransformator Das Zeigerdiagramm muss im Zusammenhang mit den Zählpfeilen in Bild 66 betrachtet werden! Zeiger und Zählpfeile dürfen nicht verwechselt oder gar gleichgesetzt werden! Wie bekannt, eilt bei einer Induktivität der Strom der Spannung um 90° nach (siehe Bild 23). Das trifft auch auf die drei bewickelten Trafokerne zu. Deren Stromzeiger (rote Zeiger) eilen dem jeweiligen Spannungszeiger mit gleichem Index um 90° nach (als rechte Winkel in Bild 67 eingezeichnet). Nach dem Durchflutungsgesetz (siehe Kap. 4) erzeugen die Ströme i 10 , i 20 und i 30 in den Wicklungen der Trafokerne die Magnetflüsse Φ 1 , Φ 2 und Φ 3 (blaue Zeiger). Die Magnetflüsse haben zu den sie erzeugenden Strömen die gleiche Phasenlage. Die Zählpfeile der Magnetflüsse und der Ströme in Bild 66 in Verbindung mit dem Wickelsinn gehorchen der Korkenzieherregel. Sowohl die Ströme als auch die Magnetflüsse sind, wie die vorgegebenen Spannungen, gegeneinander jeweils um 120° phasenverschoben. Jetzt betrachten wir in Bild 66 die Magnetflüsse Φ 1 , Φ 2 und Φ 3 in den unbewickelten Schenkeln der Trafokerne im Sternzentrum. Wir bilden ihre Summe Φ = Φ 1 + Φ 2 + Φ 3 , (131) indem wir die Magnetflusszeiger in Bild 67 geometrisch addieren. Als Ergebnis erhalten wir Φ = 0 . j r u 10 u 20 u 30 i 10 i 20 i 30 Φ 3 Φ 2 Φ 1 • • • <?page no="139"?> 137 Daraus folgt: Zu jedem Zeitpunkt ist die Summe der Magnetflüsse im Sternzentrum gleich null. Deshalb vereinen wir jetzt die drei unbewickelten Trafoschenkel im Sternpunktzentrum zu einem „Sternpunktschenkel“. Durch diese „Verkopplung“ entsteht die „Tempeltype“ eines Drehstromtransformators. In dessen Sternpunktschenkel ist der Magnetfluss gleich null. Deshalb liegt auch über diesem Schenkel keine magnetische Spannung. Das bedeutet: Wir können den Sternpunktschenkel weglassen und erhalten die Tempeltype ohne Sternpunktschenkel, dargestellt in Bild 68 . Übungsaufgabe Beweise mathematisch mit Bezug auf Bild 67 , dass die Summe der Magnetflüsse im Sternzentrum gleich null ist. Bild 68 „Tempeltype“ des Drehstromtransformators Der magnetische Gesamtwiderstand für den Magnetfluss in jedem Zweig besteht dann nur noch aus der Summe der in Bild 68 bezeichneten Schenkelwiderstände R ma und zweimal 0,5 R mb . Der magnetische Gesamtwiderstand R m der drei Schenkel eines Zweiges beträgt somit u 10 i 10 Φ 1 u 30 i 30 Φ 3 u 20 i 20 Φ 2 0,5 R mb 0,5 R mb R ma <?page no="140"?> 138 R m = R ma + R mb . (132) Mit den Bezeichnungen und Zählpfeilen in Bild 68 gelten folgende Beziehungen: • Mit dem Induktionsgesetz für sinusförmige Wechselgrößen (siehe Kap. 6.3) ; ; . (133a), (133b), (133c) • Mit dem Ohmschen Gesetz für magnetische Kreise ; ; . (134a), (134b), (134c) • Mit dem Durchflutungsgesetz ; ; . (135a, (135b), (135c) Die mit Θ bezeichneten magnetischen Urspannungen sind in Bild 68 nicht eingezeichnet. Durch Zusammenfassen obiger Beziehungen und Eliminieren der magnetischen Größen Θ und Φ erhalten wir für die elektrischen Größen die Gleichungen ; ; . (136a, (136b), (136c) Übungsaufgabe Leite die Gleichungen (136a) bis (136c) für die elektrischen Größen aus den vorherigen Beziehungen ab. Am Trafo in Bild 68 sind nur die Primärwicklungen dargestellt. Die nicht eingezeichneten Sekundärwicklungen befinden sich auf den gleichen Schenkeln entweder als „Zylinderwicklung“ über oder unter der Primärwicklung oder als „Scheibenwicklung“ neben der Primärwicklung. Die Tempeltype dient hier nur zur Erklärung des Überganges vom Einphasentransformator zum Dreiphasentransformator. Ihre magnetischen Kreise sind für alle drei Phasen völlig symmetrisch. Aus technologischen Gründen wird die Tempeltype nicht verwendet. Die heute häufigste Kernform ist die des Dreischenkeltransformators für Drehstrom, dargestellt in Bild 69 (ohne Sekundärwicklungen). Bei dieser liegen alle Schenkel und Wicklungen in einer Ebene. Im Unterschied zur Tempeltype entfallen die Sternpunkte des Trafokerns. An ihre Stelle treten die magnetischen Abzweige an den Enden des mittleren Kernschenkels in Bild 69 . Dieser hat nur noch den magnetischen Widerstand R ma , der deshalb kleiner ist als die magnetischen Widerstände der beiden Außenzweige mit dem Wert R m . Das wirkt sich nicht auf die Symmetrie der Magnetflüsse Φ 1 , Φ 2 und Φ 3 aus. Diese sind durch das Induktionsgesetz fest mit der symmetrisch anliegenden Drehspannung verknüpft (siehe Gl. (101)). Um einen gleichbleibenden Magnetisierungsfluss Φ 2 zu erzeugen, hat der kleinere magnetische u 1 = j ω / rad w Φ 1 u 2 = j ω / rad w Φ 2 u 3 = j ω / rad w Φ 3 Θ 1 = Φ 1 R m Θ 2 = Φ 2 R m Θ 3 = Φ 3 R m Θ 1 = i 1 w Θ 2 = i 2 w Θ 3 = i 3 w w 2 R m u 1 = j ω / rad i 1 w 2 R m u 2 = j ω / rad i 2 w 2 R m u 3 = j ω / rad i 3 <?page no="141"?> 139 Bild 69 Dreischenkel - Drehstromtransformator Widerstand R ma einen kleineren Magnetisierungsstrom i 2 zur Folge. Die in den Dreischenkel - Drehstromtransformator in Bild 69 eingespeisten Magnetisierungsströme sind dadurch unsymmetrisch und bewirken nach dem Kirchhoffschen Knotenpunktsatz einen Strom i 0 im Nullleiter. Mit den Zählpfeilen in Bild 69 liest man dazu ab i 0 = i 1 + i 2 + i 3 . (137) Würde durch konstruktive Maßnahmen, z.B. Querschnittsverringerung des Mittelschenkels, dessen magnetischer Widerstand auf den Wert R m erhöht, wäre im Nullleiter der Strom i 0 = 0 . Das Zeigerdiagramm zum Dreischenkel - Drehstromtransformator stellt Bild 71 dar. Die Gleichungen zu den Größen in Bild 69 enthält Tabelle 3 . Die linke Spalte bezeichnet die elektrischen und magnetischen Größen des Transformators. Die mittlere Spalte beschreibt die komplexen Funktionen dieser Größen in Potentialform (Eulersche Form). Die komplexen Funktionen werden für den Zeitpunkt t = 0 als Zeiger in Bild 71 graphisch dargestellt. Die rechte Spalte enthält die reellen Zeitfunktionen der Größen des Transformators, die durch „Rücktransformation“ der komplexen Funktionen gebildet werden (siehe Kap. 6.1). Mit den reellen Zeitfunktionen können die Liniendiagramme der Größen des Transformators gezeichnet werden. Φ 1 Φ 2 Φ 3 w w w 0,5 R mb 0,5 R mb R ma i 2 i 3 i 1 i 1 i 2 i 3 u 3 u 2 u 1 i 0 <?page no="142"?> 140 Tabelle 3: Gleichungen der Größen zum Dreischenkel - Drehstromtransformator Größe Komplexe Funktion Reelle Funktion Gegebene Drehspannung Magnetisierungsstrom Magnetfluss Übungsaufgabe Überprüfe mit den in Tabelle 3 gegebenen komplexen Funktionen der Drehspannungen die komplexen Funktionen der Magnetflüsse und Magnetisierungsströme in Tabelle 3 mit Bezug auf Bild 69 . Berechnungsgrundlagen bilden die Gln. (133a) bis (135c). Dabei ist in Gl. (134b) R m durch R ma zu ersetzen. In den folgenden Kapiteln stellen wir den Drehstromtransformator als Schaltzeichen wie in Bild 70 dar. Bild 70 Schaltzeichen des Drehstromtransformators u 1 = U e ω t j rad ∧ u 2 = U e (ω t − 120°) j rad ∧ u 2 = U cos(ω t − 120°) ∧ u 3 = U cos(ω t + 120°) ∧ R m ω / rad w 2 U e (ω t − 90°) j rad ∧ i 1 = u 3 = U e (ω t + 120°) j rad ∧ R ma ω / rad w 2 U e (ω t +150°) j rad ∧ i 2 = R m ω / rad w 2 U e (ω t +30°) j rad ∧ i 3 = i 2 = R ma ω / rad w 2 U cos(ω t + 150°) ∧ i 3 = R m ω / rad w 2 U cos(ω t + 30°) ∧ ω / rad w Φ 2 = ω / rad w U ∧ e (ω t + 150°) j rad Φ 3 = ω / rad w U ∧ e (ω t + 30°) j rad cos(ω t + 150°) Φ 2 = ω / rad w U ∧ cos(ω t + 30°) Φ 3 = ω / rad w U ∧ R m − R ma ω / rad w 2 U e (ω t −30°) j rad ∧ i 0 = R m − R ma ω / rad w 2 U ∧ i 0 = cos(ω t − 30°) Φ 1 = U ∧ e (ω t − 90°) j rad i 1 = R m ω / rad w 2 U cos(ω t − 90°) ∧ u 1 = U cos ω t ∧ cos(ω t − 90°) Φ 1 = ω / rad w U ∧ 1U1 1V1 1W1 2W1 2V1 2U1 1U2 1V2 1W2 2U2 2V2 2W2 Primärseite Sekundärseite <?page no="143"?> 141 Bild 71 Zeigerdiagramm zum Dreischenkel - Drehstromtransformator Das Schaltzeichen enthält symbolisch die Wicklungen auf der Primär- und Sekundärseite und die Anschlüsse mit Bezeichnungen. Der Eisenkern erscheint nicht im Schaltzeichen. Die Bezeichnungen der Anschlüsse haben folgende Bedeutung: • Die Buchstaben U, V, W sind den drei Phasen zugeordnet. (Die alte Bezeichnung lautet R, S, T .) • Die Ziffer 1 vor einem Buchstaben bezeichnet einen Anschluss der Primärseite. • Die Ziffer 2 vor einem Buchstaben bezeichnet einen Anschluss der Sekundärseite. • Die Ziffer 1 nach einem Buchstaben bezeichnet einen Wicklungsanfang. • Die Ziffer 2 nach einem Buchstaben bezeichnet ein Wicklungsende. Bild 72 Schema eines Drehstromtransformators mit Anschlussbezeichnungen 30° j r u 1 u 2 u 3 Φ 3 Φ 1 Φ 2 i 3 i 1 i 2 i 0 1V1 1W1 1W2 2W1 2W2 1U1 2U1 1U2 1V2 2V1 2U2 2V2 <?page no="144"?> 142 Eine ausführliche Übersicht zu den Wicklungsanschlüssen der Primär- und Sekundärwicklungen auf dem Eisenkern eines Drehstromtransformators mit erkennbarem Wickelsinn enthält Bild 72 . Für die Wicklungen des Drehstromtransformators gibt es verschiedene Schaltungskombinationen, die in genormten Schaltgruppen zusammengefasst werden (siehe Kap. 9.9). In Drehstromanlagen und -netzen sind die Grundschaltungen für Erzeuger, Verbraucher und Transformatoren die „Sternschaltung“ und die „Dreieckschaltung“. In Transformatoren ist zusätzlich die „Zick-Zack-Schaltung“ gebräuchlich. Diese Schaltungen werden in den folgenden Kapiteln behandelt. 9.3 Sternschaltung Die Sternschaltung von drei mechanisch gekoppelten Wechselstromgeneratoren zur Erzeugung von Drehstrom lernten wir bereits in Kap 9.1, Bild 63 kennen. Der optische Eindruck der Zusammenschaltung ähnelt dem eines Sterns. Praktisch wird Drehstrom natürlich in einem Generator erzeugt, dessen Ständerwicklung eine Sternschaltung bilden kann. So wie auf der Erzeugerseite wird auch auf der Verbraucherseite in Drehstromnetzen die Sternschaltung angewendet. Ein wesentliches Merkmal der Sternschaltung ist, dass mit dem Knotenpunkt in Sternmitte, dem „Sternpunkt“, eine vierte Leitung verbunden ist. Bild 73 zeigt einen Drehstromgenerator, der über vier Leitungen Verbraucher speist, die als Sternschaltung mit komplexen Widerständen symbolisch dargestellt sind. Bild 73 Sternschaltung von Drehstromverbrauchern Die Leitungen des Drehstromes werden mit L1, L2 und L3 bezeichnet. Im Sprachgebrauch sind das die „Phasen“ des Drehstromnetzes. Die ältere Bezeichnung für 3 ∼ L1 L2 L3 N R 1N R 3N R 2N i 1 i 2 i 3 u 12 u 31 u 23 u 3N u 2N u 1N i N <?page no="145"?> 143 die Phasen ist R, S und T, die teilweise heute noch anzutreffen ist. Mit N wird der Neutralleiter bezeichnet, auch Null-Leiter genannt. Eine ältere Bezeichnung für den Neutralleiter ist Mp für „Mittelpunktsleiter“. Zu den in Bild 73 eingetragenen Spannungen interessieren vorrangig die Beträge. Diese sind gemäß der Gln. (128a), (130a) und (130b) gleich groß. Aus den genannten Gleichungen folgt . Die drei Spannungsbeträge in obiger Gleichung bezeichnen den Spitzenwert der Spannungen zwischen den Leitern L1, L2 und L3 . Der Spitzenwert in obiger Gleichung bezeichnet den Spannungsbetrag eines Leiters gegen den Neutralleiter und damit eine Strangspannung mit der Beziehung . Da in der Praxis die Effektivwerte relevant sind, dividieren wir die obigen beiden Gleichungen durch die Wurzel aus zwei und bezeichnen ● den Effektivwert der Spannung zwischen zwei Leitungen mit Leiterspannung U L ● den Effektivwert der Spannung zwischen Leiter und Neutralleiter mit Strangspannung U N . Mit diesen Vereinbarungen folgt aus den obigen beiden Gleichungen die Beziehung . (138) Die Drehspannung im deutschen Niederspannungsnetz beträgt ● U L = 400 V und die daraus mit Gl. (138) errechnete Spannung U N = 230 V . Die genauen Werte bei der Umrechnung sind gerundet. Wie bekannt, haben wir in den Haushalten eine Netzspannung von 230 V mit einer Frequenz von 50 Hz. Das ist der o.g. Effektivwert U N . In der Regel werden die drei Phasen L1, L2 und L3 auf die Haushalte eines Gebäudes gleichmäßig verteilt. Einen Zweig des Neutralleiters N erhalten alle Haushalte. Zu jedem Haushalt gehört ein Wechselstromzähler, und die Bewohner merken nicht, dass sie ihre Elektroenergie aus einem Drehstromnetz beziehen. Erst die Gesamtheit aller Verbraucher ergibt im Ersatzschaltbild eine Sternschaltung, wie in Bild 73 dargestellt. Durch den zunehmend hohen Bedarf an Elektroenergie in den Haushalten werden diese jetzt häufig mit allen drei Phasen eines Drehstromnetzes versorgt, erkennbar an einem der Wohneinheit zugeordneten Drehstromzähler. Moderne leistungsstarke Elektroherde haben einen Drehstromanschluss, mit dem die Heizelemente der Kochplatten und des Backraumes in Sternschaltung verbunden sind. In Handwerks- und Industriebetrieben ist Drehstrom unentbehrlich. Die zum Antrieb von Werkzeugmaschinen technisch und wirtschaftlich vorteilhaften Drehstrommotoren mit Wicklungen teilweise in Sternschaltung belasten die drei Phasen des Drehstromnetzes symmetrisch. Dann ist die Summe der Momentanwerte der zum Sternpunkt fließenden Leiterströme gleich null, und der Anschluss des Neutralleiters an den Sternpunkt des Drehstrommotors kann entfallen. |u 12 | = U ^ 3 |u 31 | = |u 23 | = |u 1N | = U ^ |u 3N | = |u 2N | = U L = U N 3 U ^ <?page no="146"?> 144 Der Neutralleiter in Niederspannungs-Drehstromnetzen ist geerdet, somit hat er Nullpotential. Die Verbindung mit Erdern erfolgt an mehreren Stellen des Drehstromnetzes. An den geerdeten Neutralleiter wird an zentral liegenden Abzweigungen in Verbrauchernähe der Schutzleiter angeschlossen, der u.a. nach Verteilung zu Steckdosen mit deren Schutzkontakt verbunden ist. 9.4 Dreieckschaltung Unabhängig von der geometrisch sternförmigen Darstellung besteht allgemein gesehen die Sternschaltung aus drei Spannungsquellen, die einpolig miteinander verbunden sind. Selbst bei der einpoligen Verbindung von drei oder mehreren beliebigen Spannungsquellen würde keine dieser Spannungsquellen beeinflusst. Als Gedankenexperiment schalten wir vier Monozellen von je 1,5 V so hintereinander, dass sich ihre Spannungen addieren. Verbinden wir danach die äußeren Anschlüsse dieser Reihenschaltung, entsteht ein Kurzschluss! Schalten wir die vier Monozellen jedoch so hintereinander, dass ihre Summenspannung null ergibt und verbinden dann die äußeren Anschlüsse, passiert nichts. Eine diesbezügliche Reihenschaltung nehmen wir jetzt mit den drei Wechselspannungsgeneratoren in Bild 63 vor, dargestellt in Bild 74 . (139a) (139b) (139c) Bild 74 Reihenschaltung von drei Wechselspannungsgeneratoren Die Gleichungen (139a) bis (139c) beschreiben die Zeitfunktionen der drei Generator-Wechselspannungen in Bild 74 . Die drei im gleichen Bild eingezeichneten Zählpfeile beziehen sich auf die Augenblickswerte dieser Spannungs-Zeitfunktionen, deshalb sind die Zählpfeilbezeichnungen u 12 , u 23 , u 31 und u 11 nicht unterstrichen. Die „Faszination“ des Drehstromes besteht darin, dass nach Verbinden der Anschlüsse 1 - 1 ebenfalls nichts passiert. Mit dieser Verbindung ist die „Dreieckschalu 23 ∼ u 31 u 12 1 2 3 ∼ ∼ 1 u 11 u 12 = cos(ωt + 30°) U ∧ u 23 = cos(ωt - 90°) U ∧ u 31 = cos(ωt + 150°) U ∧ <?page no="147"?> 145 Bild 75 Dreieckschaltung zur Drehspannungserzeugung tung“ der drei zur Drehspannungserzeugung mechanisch gekoppelten Wechselspannungsgeneratoren entstanden, die Bild 75 zeigt. Im Vergleich zum Gedankenexperiment mit Monozellen darf auch bei der Reihenschaltung der Wechselspannungsgeneratoren in Bild 75 keine Verpolung erfolgen. Die richtige Polung ergibt sich aus den Gln. (139a) bis (139c) in Verbindung mit den Zählpfeilen. Die Zählpfeile in Bild 75 bezeichnen die komplexen Wechselspannungen, die zusammen die Drehspannung der Leitungen L1 bis L3 bilden. Den Beweis, dass mit der Verbindung der Anschlüsse 1 - 1 in Bild 74 kein Kurzschluss entsteht, führen wir mit der folgenden Übungsaufgabe. Übungsaufgabe Errechne mit den Angaben in Bild 74 die Spannung u 11 . Hinweis: Die gesuchte Spannung ist zweckmäßig nach Umformung der Gln. (139a) bis (139c) in die komplexe Form zu errechnen. Selbstverständlich kann die gesuchte Spannung auch direkt ohne diese Umformung berechnet werden. Analog zur Sternschaltung in Bild 73 zeigt Bild 76 die Dreieckschaltung von Drehstromverbrauchern. Im Vergleich zur Sternschaltung gibt es bei erzeugerseitiger Dreieckschaltung keinen Neutralleiter, und bei einem Verbraucher in Dreieckschaltung gibt es ebenfalls keinen Anschlusspunkt für einen Neutralleiter. In Drehstromnetzen ohne Neutralleiter werden drei in ihrer Phasenlage um 120° versetzte Wechselspannungen gleicher Höhe (z.B. U L = 400 V) übertragen. Drehstromnetze mit Neutralleiter übertragen zusätzlich zwischen Leiter und Neutralleiter drei ebenfalls um 120° versetzte Wechselspannungen geringerer Höhe (z.B. U N = 230 V) . Siehe dazu Gl. (138). u 23 ∼ ∼ ∼ u 31 u 12 1 2 3 L1 L2 L3 <?page no="148"?> 146 Bild 76 Dreieckschaltung von Drehstromverbrauchern Die Leitungsströme in Bild 76 errechnet man als Differenz der Zweigströme gemäß Kirchhoffschem Knotenpunktsatz mit den Beziehungen und . Werden an ein Drehstromnetz ohne Neutralleiter drei gleiche Verbraucher in Sternschaltung angeschlossen, z.B. drei ohmsche Widerstände mit gleichen Werten, entstehen zwischen den Außenleitern und dem Sternpunkt die gleichen Spannungen wie zwischen den Außenleitern und einem im Drehstromnetz vorhandenen Neutralleiter. Man sagt: „Diese Sternschaltung erzeugt einen `künstlichen Nullpunkt´.“ Bei ungleichen Werten in den Zweigen der Sternschaltung entsteht ein „verschobener Sternpunkt“. Ein künstlicher Nullpunkt hat z.B. in der Messtechnik praktische Bedeutung. Die Sternschaltung an einem Drehstromnetz in Form komplexer Widerstände kann nach den Regeln der Stern - Dreieck - Transformation in eine äquivalente Dreieckschaltung umgerechnet werden. Dabei entfällt der Sternpunkt. Umgekehrt kann auch eine gegebene Dreieckschaltung in eine äquivalente Sternschaltung umgerechnet werden. Dabei entsteht ein Sternpunkt. Die in Kap. 3.3.3 für ohmsche Widerstände und Leitwerte abgeleiteten Regeln der Stern - Dreieck -Transformation gelten auch für komplexe Widerstände. Wird z.B. an ein Drehstromnetz ohne Neutralleiter eine „unsymmetrische“ Sternschaltung mit bekannten komplexen Widerständen angeschlossen, sind die auftretenden Leitungsströme nicht einfach zu errechnen, weil die Spannungen zwischen Leitung und Sternpunkt unbekannt sind. In diesem Fall errechnet man zweckmäßig mit der Stern - Dreieck -Transformation die äquivalente Dreieckschaltung, danach mit den bekannten Leiterspannungen die Ströme in den Zweigen der Dreieckschaltung und anschließend mit dem Kirchhoffschen Knotenpunktsatz die gesuchten Leitungsströme. Alle Berechnungen werden in der bekannten komplexen Form durchgeführt. Mit den errechneten Leitungsströmen sind die Spannungen über den Zweigen der i 1 = i 12 i 31 i 2 = i 23 i 12 i 3 = i 31 i 23 3 ∼ L1 L2 L3 R 12 R 31 R 23 i 1 i 2 i 3 u 12 u 31 u 23 i 12 i 23 i 31 <?page no="149"?> 147 gegebenen Sternschaltung errechenbar. Mit den ermittelten Daten sowohl der Sternschaltung als auch der äquivalenten Dreieckschaltung sind Leistungsberechnungen durchführbar. 9.5 Das Drehfeld Der Begriff „Drehstrom“ ist eine treffende Bezeichnung für seine Eigenschaft, den Rotor eines Motors auf einfache Weise in eine Drehbewegung zu versetzen. Dazu erzeugt der Drehstrom im Stator des Motors ein magnetisches „Drehfeld“, das diese Drehbewegung verursacht. Die Wirkungsweise eines Drehstrommotors zeigt Bild 77 . Bild 77 Wirkungsweise eines Drehstrommotors L1 L2 L3 i 1 i 3 i 2 i 12 i 12 i 23 i 23 i 31 i 31 Rotor Stator Φ 12 Φ 12 Φ 23 Φ 23 Φ 31 Φ 31 i 12 i 23 i 31 <?page no="150"?> 148 Der Stator enthält die nach innen gerichteten Polschenkel. Auf den Polschenkeln befinden sich die isolierten Drehstromwicklungen (Statorwicklungen). Die Wicklungsanschlüsse sind mit den Leitungen L1, L2 und L3 eines Drehstromnetzes verbunden. Der Rotor ist im einfachsten Fall ein „Kurzschlussanker“. Auf dessen Umfang befinden sich nichtisolierte Leiterstäbe, die durch den Rotorkörper aus Metall kurzgeschlossen sind. Zu Demonstrationszwecken kann der Kurzschlussanker aus einer Blechtrommel bestehen. Die Statorwicklungen bilden in Bild 77 eine Dreieckschaltung. Den Strom durch das erste Statorwicklungspaar kennzeichnen die Stromzählpfeile i 12 . Der Strom fließt vom Anschluss L1 durch die Wicklung des oberen Polschenkels in Bild 77 und weiter durch die Wicklung des unteren Polschenkels zum Anschluss L2 . Der Strom i 12 erzeugt gemäß Durchflutungsgesetz einen durch die Zählpfeile Φ 12 gekennzeichneten Magnetfluss. Der Richtungssinn der Zählpfeile und der Wicklungssinn gehorchen dem Durchflutungsgesetz. Demnach haben die in Bild 77 gegenüberliegenden Polschenkel eine entgegengesetzte magnetische Polarität. Wie man in Bild 77 ablesen kann, fließt der Strom i 23 durch das zweite um 120° versetzte Statorwicklungspaar vom Anschluss L2 zum Anschluss L3 . Der Strom i 23 erzeugt den Magnetfluss Φ 23 . Schließlich fließt durch das dritte wiederum um 120° versetzte Statorwicklungspaar der Strom i 31 vom Anschluss L3 zum Anschluss L1 und erzeugt den Magnetfluss Φ 31 . Die Leitungsströme i 1 , i 2 und i 3 in Bild 77 errechnet man mit Bezug auf Bild 76 als Differenz der Zweigströme gemäß Kirchhoffschem Knotenpunktsatz. Zur Erklärung der Drehfeldentstehung in einem Drehstrommotor dient Bild 78 mit den Bildabschnitten a, b und c . Die Zeigerdiagramme beziehen sich auf die durch die Zählpfeile Φ 12 , Φ 23 und Φ 31 in Bild 77 in komplexer Form bezeichneten Magnetflüsse. Neben jedem Zeigerdiagramm befindet sich in vereinfachter Form die schematische Darstellung des Drehstrommotors in Bild 77 . Zeiger für die Erregerströme i 12 , i 23 und i 31 würden laut Durchflutungsgesetz auf den Zeigern der Magnetflüsse liegen und sind einer besseren Übersicht wegen in Bild 78 nicht mit eingezeichnet. Jetzt wollen wir drei Augenblickswerte des resultierenden Magnetflusses im Stator des Drehstrommotors auf graphischem Wege mit Bild 78 ermitteln: Zuerst betrachten wir Bildabschnitt a . Das Zeigerdiagramm ist für den Winkel ωt = 0 des vom Strom i 12 erzeugten Magnetflusses Φ 12 gezeichnet. Wie wir wissen, entspricht die reelle Komponente eines Zeigers dem Augenblickswert der Kosinusfunktion der zugeordneten Größe (siehe Kap. 6.1). Der Augenblickswert ist für Zeiger Φ 12 die Zeigerlänge selbst, bezeichnet mit Φ 12 (ohne Unterstreichung! ). In Verbindung mit den Zählpfeilen in Bild 77 verläuft der im nebenstehenden Stator eingezeichnete Magnetfluss, dargestellt durch Magnetflusslinien, von oben nach unten. Im dargestellten Fall entspricht der Augenblickswert von Φ 12 dem Spitzenwert. An den dazugehörigen Polschenkeln ist der Nordpol durch ein großes N und der gegenüberliegende Südpol durch ein großes S gekennzeichnet. Wie in Bildabschnitt a ersichtlich, haben die Zeiger für Φ 23 und Φ 31 einen Winkel von 30° zur imaginären Achse. Die reellen Komponenten dieser Zeiger, dargestellt durch gestrichelte Linien, sind negativ mit halber Zeigerlänge. Die Momentanwerte der Magnetflüsse Φ 23 und Φ 31 haben deshalb mit Bezug auf die zugehörigen Zählpfeile in Bild 77 einen entgegengesetzten Richtungssinn. Das Feldbild dieser Momentanwerte und die dadurch entstehende Polarität ist in die Statorskizze rechts neben dem Zeigerdiagramm eingezeichnet. <?page no="151"?> 149 Bild 78 Drei Augenblickszustände zur Drehfeldentstehung N S N N S S Φ 23 Φ 23 Φ 12 Φ 12 Φ 31 Φ 31 N S N S Φ 12 Φ 12 Φ 31 Φ 31 Φ 23 Φ 23 N S S N N S Φ 12 Φ 12 Φ 23 Φ 23 Φ 31 Φ 31 a b c Φ 31 Φ 12 Φ 23 j r 0° Φ 31 Φ 12 Φ 23 Φ 12 Φ 31 Φ 23 = 0 j r 30° Φ 31 Φ 23 Φ 12 r Φ 12 Φ 31 Φ 23 j 60° Φ 31 Φ 23 Φ 12 <?page no="152"?> 150 Wegen des nur halb so großen Magnetflusses haben die Polaritätsbezeichnungen eine kleinere Schrift. Die Eigenschaften von Magnetfeldern lassen keine Kreuzung von Feldlinien zu. Deshalb treten die Feldlinien am Nordpol des Polschenkels für Φ 31 aus und am Südpol des benachbarten Polschenkels für Φ 23 ein. Ebenfalls treten die Feldlinien am Nordpol des Polschenkels für Φ 23 aus und am Südpol des benachbarten Polschenkels für Φ 31 ein. Magnetische Feldlinien sind immer in sich geschlossen. Der nicht eingezeichnete Rückschluss erfolgt in Bild 78 kreuzungsfrei über das Statorgehäuse. In Bildabschnitt a erkennt man für den betrachteten Augenblickswert einen resultierenden Magnetfeldverlauf vom oberen Nordpol zum unteren Südpol, gekennzeichnet durch einen dicken Pfeil. Jetzt betrachten wir Bildabschnitt b . Die Zeiger des zugeordneten Zeigerdiagramms sind für diesen Augenblickswert um ωt = 30° gedreht. Die gestrichelt gezeichnete reelle Komponente Φ 12 des Zeigers Φ 12 ist positiv und hat eine Länge von 0,866 mal der Zeigerlänge. Um diesen Faktor ist der Magnetfluss in den Polschenkeln zu Φ 12 gegenüber dem vorherigen Augenblickswert kleiner bei gleichem Richtungssinn. Die reelle Komponente Φ 23 des Zeigers Φ 23 ist gleich null. Damit sind die zugeordneten Polschenkel feldfrei. Die reelle Komponente Φ 31 des Zeigers Φ 31 ist negativ und hat eine Länge von 0,866 mal der Zeigerlänge. Der Magnetfluss Φ 31 in den zugeordneten Polschenkeln hat mit Bezug auf die Zählpfeile in Bild 77 den entgegengesetzten Richtungssinn und den gleichen Betrag wie in den Polschenkeln zu Φ 12 . Das Feldbild zu dem betrachteten Augenblickswert mit angegebenen Polaritätsbezeichnungen veranschaulichen die Feldlinien in der Statorskizze neben dem Zeigerdiagramm. Der dicke Pfeil zum resultierenden Magnetfeld hat sich gegenüber dem vorhergehenden Augenblickswert um 30° im Uhrzeigersinn gedreht. Im Bildabschnitt c sind die Zeiger um weitere 30° gedreht, so dass wir einen Augenblickswert von ωt = 60° betrachten. Der Realteil des Zeigers Φ 31 entspricht wegen der gesamten Zeigerlänge dem Spitzenwert des Magnetflusses Φ 31 . Dieser erhält jedoch ein negatives Vorzeichen, denn der Zeiger liegt auf der negativen reellen Achse. Deshalb haben die Feldlinien im Stator den entgegengesetzten Richtungssinn zu den Zählpfeilen für Φ 31 in Bild 77 . Im Zeigerdiagramm lesen wir ab, dass die reellen Komponenten Φ 12 und Φ 23 der Zeiger Φ 12 und Φ 23 halb so lang wie die Zeiger und positiv sind. Die Feldlinien im Stator haben somit den gleichen Richtungssinn wie die dazugehörigen Zählpfeile in Bild 77 . Damit ergibt sich das Feldbild in der Statorskizze rechts neben dem Zeigerdiagramm. Der dicke Pfeil zum resultierenden Magnetfeld hat sich um weitere 30° im Uhrzeigersinn gedreht. Die Schriftgrößen der Polaritätsbezeichnungen differieren sinngemäß mit den Beträgen der Momentanwerte. Diese Betrachtungen können wir beliebig fortsetzen. Zusammenfassend stellen wir fest: Mit dem in Bild 77 dargestellten und an ein Drehstromnetz angeschlossenes Modell eines Drehstrommotors erzeugen wir im Stator ein magnetisches Drehfeld. Die Winkelgeschwindigkeit ω der Zeiger im Zeigerdiagramm ist gleich der Kreisfrequenz des Drehstromnetzes und im betrachteten Beispiel gleich der Winkelgeschwindigkeit des <?page no="153"?> 151 Drehstrommotors in Bild 77. Das Drehfeld erzeugt nach dem Lentzschen Gesetz ein Drehmoment, das den Anker in eine Drehbewegung versetzt, die den gleichen Drehsinn wie das Drehfeld hat. Die übliche Netzfrequenz des Drehstromnetzes beträgt, wie bekannt, 50 Hz . Daraus ergibt sich eine Kreisfrequenz von ω = 2π 50 rad/ s (≈ 314 rad/ s). Der Winkel beträgt 2π rad = 360° = 1 Umdrehung (Umdr). Somit können wir schreiben ω = 50 Umdr / s . Da 1 s = 1 / 60 min , gilt ω = 3000 Umdr / min . Das ist die synchrone Drehgeschwindigkeit des Drehfeldes im betrachteten Beispiel. Die Drehgeschwindigkeit des Kurzschlussankers liegt darunter, um den funktionsbedingten Kraftlinienschnitt zu gewährleisten. Eine Kompassnadel und das Polrad eines Synchronmotors müssen in diesem Drehfeld die synchrone Drehgeschwindigkeit annehmen. Die Frage, wie wir die Drehrichtung eines Drehfeldes umkehren, ist einfach zu beantworten: Wir vertauschen am Drehstrommotor in Bild 77 zwei beliebige Anschlüsse. In der Praxis kommt es manchmal vor, dass sich ein Drehstrommotor in der falschen Richtung dreht. Dann fördert z.B. ein Förderband anstatt von unten nach oben von oben nach unten! Durch Umpolen (Vertauschen) von zwei der drei Drehstromzuleitungen ist der Schaden behoben. Bei fachgerechter Installation darf sich kein Drehstrommotor falsch herum drehen! Das kann bei einer Drehmaschine zu Schäden und Unfällen führen, wenn sich beim Anlauf der Maschine in der falschen Richtung das Spannfutter löst und herabfällt. Übungsaufgabe Erkläre an Hand der bisherigen Abhandlungen die Behauptung, dass durch Vertauschen von zwei beliebigen Zuleitungen die Drehrichtung eines Drehstrommotors umgekehrt wird. Der Neutralleiter wird nicht mit angeschlossen. Hinweis: An den drei Anschlussklemmen des Drehstrommotors gibt es sechs Anschlussmöglichkeiten für die Leiter L1 , L2 und L3 des Drehstromnetzes. 9.6 Die Leistung bei Drehstrom Wie wir wissen, besteht Drehstrom aus drei in bestimmter Weise verketteten Wechselströmen. Die Leistungsberechnung bei Wechselstrom ist in Kap. 6.3 behandelt. Für jeden dieser drei Wechselströme, also für jede Phase des Drehstromes, gelten die gleichen Gesetze wie für Einphasenwechselstrom. Besonderheiten der Leistungsberechnung und -messung in Drehstromnetzen mit Neutralleiter und in Drehstromnetzen ohne Neutralleiter behandeln wir in den folgenden Kapiteln. 9.6.1 Die Leistung in Drehstromnetzen mit Neutralleiter In einem Drehstromnetz für Endverbraucher mit den Leitern L1, L2, L3 und Neutralleiter N sind die Verbraucher in allen möglichen Kombinationen angeschlossen. An L1, L2 oder L3 und N liegen die meisten Haushaltgeräte und Leuchten. An L1, L2 und L3 liegen die Drehstrommotoren zum Antrieb von Maschinen. Die Gesamtleistung der Verbraucher an einem Drehstromnetz kann natürlich nicht als Summe aller Einzelleistungen ermittelt werden. Es besteht die Aufgabe, die in ein Verbraucher- <?page no="154"?> 152 netz fließende Leistung mit Hilfe der an den vier Zuleitungen verfügbaren elektrischen Größen zu ermitteln, ohne dass die verschiedenen Verbraucherschaltungen im Einzelnen bekannt sind. In den bisherigen Kapiteln sind die sinusförmigen elektrischen Größen in komplexer Form graphisch als rotierende Zeiger dargestellt. Die mathematische Beschreibung eines Spannungszeigers lautet somit in kartesischer Schreibweise: und in Exponentialschreibweise: . Bei Widerstands- und Leistungsberechnungen entfällt der Ausdruck „ ωt “ (siehe Kap. 6.2 und 6.3 ). Deshalb verwandeln wir in den weiteren Ausführungen die rotierenden Zeiger in ruhende Zeiger, indem wir t = 0 setzen, wodurch „ ωt “ nicht mehr erscheint. Das vereinfacht die weiteren Berechnungen. Die Gleichungen am Beispiel eines Spannungszeigers erhalten dadurch die einfachere Form in kartesischer Schreibweise: und in Exponentialschreibweise: . Die kleinen Buchstaben zur Kennzeichnung rotierender Zeiger werden durch große Buchstaben zur Kennzeichnung ruhender Zeiger ersetzt. Diese Festlegung gilt selbstverständlich auch für Stromzeiger. Mit dieser Festlegung sind an einem Drehstromnetz mit Neutralleiter in Bild 79 folgende Größen verfügbar: ● Leiterspannungen U L : ; ; (140) ● Strangspannungen U N : ; ; (141) ● Leiterströme I L : ; ; (142) Der Neutralleiter ist in den meisten Fällen geerdet, wie in Bild 79 eingezeichnet. Die Leistungsberechnung erfolgt hier wie bei drei getrennten Wechselspannungsquellen mit den Strangspannungen in den Gln. (141) und den Leiterströmen in den Gln. (142). Die Leiterspannungen in den Gln. (140) werden erst in späteren Berechnungen benötigt. Die Zählpfeile der genannten Größen enthält Bild 79. Die Zeiger zu diesen Größen veranschaulicht qualitativ das Zeigerdiagramm Bild 80 . Die Phasenlage der Spannungen ist so gewählt, dass die Leiterspannung U 12 als reelle Größe mit ihrem Zeiger auf der positiven reellen Achse der komplexen Ebene erscheint. Entsprechend sind die zur Leistungsberechnung benötigten Strangspannungen um minus 30° phasenverschoben. Die Leistungsmesser P 1 bis P 3 in Bild 79 bilden aus u = U [ cos(ωt+ϕ) + j sin(ωt+ϕ) ] ^ u = U e j(ωt+ϕ) / rad ^ U = U [ cos(ϕ) + j sin(ϕ) ] ^ U = U e j ϕ / rad ^ U 23 = U 23 ^ e -j120° / rad U 31 = U 31 ^ e j120° / rad U 12 = U 12 ^ U 1N = U 1N ^ e -j30° / rad U 2N = U 2N ^ e -j150° / rad U 3N = U 3N ^ e j90° / rad I 1 = I 1 e ^ -j(ϕ 1 +30°) / rad I 2 = I 2 e ^ -j(ϕ 2 +150°) / rad I 3 = I 3 e ^ -j(ϕ 3 - 90°) / rad <?page no="155"?> 153 Bild 79 Leistungsmessung im Drehstromnetz mit Neutralleiter Bild 80 Zeigerdiagramm zu den Spannungen und Strömen in Bild 79 den Strangspannungen und den Leiterströmen die Wirkleistung P W bzw. die Blindleistung P B je nach Wahl der Messgeräte. Aus dem Zeigerdiagramm geht hervor, dass die von den Strangspannungen U 1N , U 2N und U 3N verursachten Leiterströme I 1 , I 2 und I 3 den Strangspannungen jeweils um den Winkel ϕ 1 , ϕ 2 und ϕ 3 nacheilen. Die an das Drehstromnetz angeschlossenen Verbraucher belasten demnach jede Phase mit einer induktiven Blindlastkomponente. Das ist in der Praxis die Regel. Definitionsgemäß erhält der Phasenwinkel bei induktiver Blindlast ein positives Vorzeichen. Bei kapazitiver Blindlast erhalten Phasenwinkel und die Blindlast selbst ein negatives Vorzeichen (siehe auch Kap. 6.3). Für die Ströme in Bild 79 gilt mit dem Kirchhoffschen Knotenpunktsatz: „Die Summe der in das Verbrauchernetz hineinfließenden Ströme muss gleich der Summe der herausfließenden Ströme sein.“ Mit den Be- Trafostation Verbraucher VA VA VA P 3 P 2 P 1 L2 L3 L1 N U 3N U 1N U 2N U 12 U 23 U 31 I 3 I N I 1 I 2 -30° j r u 3N u 2N u 1N u 31 u 23 u 12 I 1 I 2 I 3 I N ϕ 1 ϕ 2 ϕ 3 <?page no="156"?> 154 zeichnungen und Zählpfeilen in Bild 79 liest man demnach die Gleichung ab: . (143) I N bezeichnet den Strom im Neutralleiter. Die geometrische Addition der entsprechenden Zeiger in Bild 80 bestätigt dieses Ergebnis. Die komplexe Leistungsformel (Gl. (92)) lautet auf ruhende Zeiger zugeschnitten: . (144) Mit Anwendung auf die Einzelleistungen P 1 , P 2 und P 3 erhalten wir mit den Gleichungen (141) und den zu den Gleichungen (142) konjugiert komplexen Gleichungen die Leistungsformeln , und . (145) Bei der Ableitung dieser Leistungsformeln wird berücksichtigt, dass das halbe Produkt der Spitzenwerte das Produkt der Effektivwerte ergibt, die in den Gln. (145) für Spannung und Strom erscheinen. Bei der Multiplikation der Exponentialfunktionen der Spannungsmit den konjugiert komplexen Stromfunktionen entfallen im Exponenten die Richtungswinkel zu den Strangspannungszeigern in den Gln. (141) und (142). In den Leistungsformeln (145) stehen nur noch die Phasenverschiebungswinkel von Strangspannung und zugehörigem Leiterstrom. Die in den komplexen Leistungsformeln (Gl. (144)) benötigten konjugiert komplexen Leiterstromfunktionen lauten: , und . (146) Die in den Leistungsformeln (Gln. (145)) eingetragenen Effektivwerte der Strangspannungen sind mit einem Ziffernindex dem jeweiligen Strang zugeordnet. Da die Beträge der Strangspannungen für alle drei Phasen gleich sind, können diese Ziffernindizes entfallen. Für den Effektivwert einer beliebigen Strangspannung steht dann das Formelzeichen „U N “. Auch die Beträge der Leiterspannungen U L sind zwischen den Leitern gleich und stehen in einem festen Verhältnis zu den Strangspannungen mit der bekannten Beziehung , (147) die in die Leistungsformeln eingesetzt werden kann. Die Ziffernindizes der Spannungen verwenden wir weiterhin zur Zuordnung der Leiter, die für den Anschluss von Leistungsmessern erforderlich ist. Den komplexen Einzelleistungen der drei Phasen (Gln. (145)) entnehmen wir nach Wandlung in die kartesische Form den Real- und Imaginärteil. Die Realteile bezeichnen die Wirkleistungen , und , (145a) und die Imaginärteile bezeichnen die Blindleistungen , und . (145b) I 1 + I 2 + I 3 = I N P = U I * 1 2 I 1 * = I 1 e ^ +j(ϕ 1 +30°) / rad P 1 = U 1N I 1 e j ϕ 1 / rad P 2 = U 2N I 2 e j ϕ 2 / rad P 3 = U 3N I 3 e j ϕ 3 / rad I 2 * = I 2 e ^ +j(ϕ 2 +150°) / rad I 3 * = I 3 e ^ +j(ϕ 3 -90°) / rad U N = U L 3 1 P 1W = U 1N I 1 cosϕ 1 P 2W = U 2N I 2 cosϕ 2 P 3W = U 3N I 3 cosϕ 3 P 1B = U 1N I 1 sinϕ 1 P 2B = U 2N I 2 sinϕ 2 P 3B = U 3N I 3 sinϕ 3 <?page no="157"?> 155 Die an die Verbraucher abgegebene Gesamtleistung ergibt sich als Summe der Wirkleistungen (148a) und als Summe der Blindleistungen . (148b) Die Einheit für große Wirkleistungen ist das Kilowatt (kW) und für große Blindleistungen das Kilovoltamper (kVA). Der Sonderfall einer symmetrischen Belastung des Drehstromnetzes liegt vor, wenn die drei Leiterströme und deren Phasenwinkel gleich sind. Dann erhält man mit den Gln. (148a) und (148b) die Wirkleistung und die Blindleistung . Ersetzen wir in diesen Gleichungen die Strangspannung U N durch die Leiterspannung U L mit der in Gl. (147) ausgedrückten Beziehung, ergeben sich die in Berufsschulen behandelten bekannten Gleichungen für die Wirkleistung und die Blindleistung . (149a, b) Kleinabnehmer von Elektroenergie in Haushalten interessiert hauptsächlich die Wirkleistung gemäß Gl. (148a), die als Produkt mit der Zeit die vom Elektrizitätszähler in Kilowattstunden (kWh) angezeigte elektrische Arbeit ergibt. Durch Zählen der Umdrehungen des Zählers und stoppen der dazu verstrichenen Zeit kann in Verbindung mit der Zählerkonstanten die Wirkleistung errechnet werden. Viele Haushalte haben einen Drehstromanschluss mit Drehstromzähler, der drei Messwerke enthält. Dieser Zähler misst die Summe der elektrischen Arbeit für alle drei Phasen. Großabnehmer von Elektroenergie sind bestrebt, die Blindleistung durch Kompensationsmaßnahmen zu reduzieren, da für die mit speziellen Zählern ermittelte Blindenergie zusätzliche Kosten berechnet werden. 9.6.2 Die Leistung in Drehstromnetzen ohne Neutralleiter In einem Drehstromnetz ohne Neutralleiter sind die Verbraucher an die Leiter L1 - L2 , L2 - L3 und L3 - L1 angeschlossen. Somit bilden die Verbraucher in ihrer Gesamtheit als Ersatzschaltbild eine Dreieckschaltung. Um die Verbraucherleistungen bestimmen zu können, müssten außer den bekannten Leiterspannungen auch die Zweigströme in den Dreieckseiten messbar sein. Das ist jedoch nicht möglich, denn die Dreieckseiten existieren in konzentrierter Form nur im Ersatzschaltbild, aber nicht im praktisch verzweigten Verbrauchernetz. Den Ausweg aus dieser Schwierigkeit ermöglicht folgende Aussage: Für jeden beliebigen Belastungsfall eines Drehstromnetzes ohne Neutralleiter existiert eine Sternschaltung als Verbrauchernetznachbildung mit einem Sternpunkt, der das Potential eines Neutralleiters ersetzt. P W = U N (I 1 cosϕ 1 + I 2 cosϕ 2 + I 3 cosϕ 3 ) P B = U N (I 1 sinϕ 1 + I 2 sinϕ 2 + I 3 sinϕ 3 ) P W = 3 U N I L cosϕ P B = 3 U N I L sinϕ P W = U L I L cosϕ 3 P B = U L I L sinϕ 3 <?page no="158"?> 156 Die einzelnen komplexen Leistungen in den Zweigen der Sternschaltung unterscheiden sich zwar von den Leistungen in den Zweigen einer Dreieckschaltung als Netznachbildung, jedoch die Summe der Wirk- und Blindleistungen ist für beide Ersatzschaltungen gleich. Die im Verbrauchernetz umgesetzte Gesamtleistung ist demnach mit einer Verbrauchernetznachbildung in Sternschaltung berechenbar. Wie aus Bild 81 hervorgeht, sind die Ströme in den Zweigen der Sternschaltung gleich den im Drehstromnetz messbaren Leiterströmen. Zwischen den Leitern und dem künstlichen Nullpunkt liegen die gleichen Strangspannungen wie in einem Drehstromnetz mit Neutralleiter. Da dieser künstliche Nullpunkt praktisch nicht verfügbar ist, wird er an der Mess-Stelle des Drehstromnetzes mit drei gleichen reellen Widerständen in Sternschaltung nachgebildet. Diese Widerstände können von den Spannungspfaden drei gleicher Leistungsmesser wie in Bild 81 realisiert werden. Die künstlichen Null- Bild 81 Leistungsmessung im Drehstromnetz ohne Neutralleiter punkte an den Leistungsmessern und an der Ersatz-Sternschaltung des Verbrauchernetzes haben das gleiche Potential wie der Neutralleiter in Bild 79. Insofern unterscheidet sich das Leistungsmessprinzip in Bild 81 nicht von dem in Bild 79. Ein wesentlicher Unterschied besteht jedoch im Dreileiter- Drehstromnetz gegenüber dem Vierleiter-Drehstromnetz: Im Dreileiternetz ist nach dem Knotenpunktsatz die Summe der Leiterströme gleich null. In Bild 81 lesen wir somit die Beziehung (150) ab, während im Vierleiternetz die Summe der Leiterströme gleich dem Strom im Neutralleiter ist (siehe Gl. (143)). Aus Gl. (150) geht hervor, dass mit der Messung von nur zwei Strömen der dritte Strom bestimmt ist. Das Gleiche gilt für die Strang- und Leiterspannungen, deren Summe ebenfalls gleich null ist, wie aus dem Zeigerdiagramm Bild 80 hervorgeht. Für die Leistungsmessung in Drehstromnetzen ohne Neutralleiter sind demnach nur zwei Leistungsmesser erforderlich. Eine Schaltung dazu hat Hermann Aron angegeben. Trafostation VA P 3 P 1 L2 L3 L1 U 12 U 23 U 31 I 3 I 1 P 2 VA I 2 Verbraucher R 10 R 30 R 20 0 0 U 10 U 20 U 30 VA I 1 + I 2 + I 3 = 0 <?page no="159"?> 157 Mit der Aronschaltung für Wirkleistungsmessung wollen wir uns jetzt befassen: Die komplexe Gesamtleistung P , die wir vorerst mit drei Leistungsmessern P 1 , P 2 und P 3 in Bild 81 ermitteln, ergibt sich mit Bezug auf den künstlichen Nullpunkt „0“ als Summe der drei Einzelleistungen . (151) Um nur noch mit zwei Strömen weiterzurechnen, eliminieren wir mit Hilfe von Gl. (150), die auch für die konjugiert komplexe Form gilt, den Strom I 2 * . Dazu stellen wir Gl. (150) nach I 2 * um und setzen das Ergebnis in Gl. (151) ein. Nach Umstellung erhalten wir die Gleichung . (152a) Die Strangspannungsdifferenzen in den runden Klammern von Gl. (152a) ersetzen wir durch Leiterspannungen. Mit Hilfe der Zählpfeile in Bild 81 und Orientierung an Bild 82 Zeigerdiagramm zu den Spannungen und Strömen in Bild 81 P = U 10 I 1 * + U 20 I 2 * + U 30 I 3 * 1 2 1 2 1 2 P = [ ( U 10 - U 20 ) I 1 * + ( U 30 - U 20 ) I 3 * ] 1 2 -30° j r u 30 u 20 u 10 u 31 u 23 u 12 I 1 I 2 I 3 ϕ 1 ϕ 2 ϕ 3 I 1 * I 3 * −u 23 −u 30 <?page no="160"?> 158 Spannungszeigern im Zeigerdiagramm Bild 82 errechnen wir für die Strangspannungsdifferenzen in Gl. (152a) die Leiterspannungen . Zur Fortsetzung des Rechenweges ist es vorteilhaft, die negative Leiterspannung mit der Beziehung umzurechnen. Dann lautet die Leistungsgleichung . (152b) Die getauschte Ziffernfolge im Index von U 32 weist gleichzeitig auf einen umgepolten Anschluss des Spannungspfades am entsprechenden Leistungsmesser hin. Die komplexen Spannungen und konjugiert komplexen Ströme in Gl. (152b) sind in Bild 82 als Zeiger dargestellt. Ihre bereits bekannten Gleichungen lauten: ; ; ; . Nach Einsetzen obiger Gleichungen in Gl. (152b) und Umrechnungen erhalten wir das Ergebnis . (152c) Bei der Umrechnung wurden statt Spitzenwerte von Strom und Spannung Effektivwerte eingeführt, wodurch der Faktor ½ entfällt. Wir betrachten vorerst nur die Wirkleistung P W . Die Gleichung dafür bildet der Realteil von Gl. (152c). Nach Umwandlung in die kartesische Form erhalten wir für den Realteil das Ergebnis . (153) Die Aronschaltung zur Messung der Wirkleistung zeigt Bild 83. Bild 83 Aronschaltung zur Messung der Wirkleistung Der mit P W1 bezeichnete Leistungsmesser (Wattmeter) misst die im ersten Term von Gl. (153) ausgedrückte Teilleistung nach der Beziehung , (153a) ( U 10 - U 20 ) = U 12 und (U 30 - U 20 ) = - U 23 - U 23 = U 32 P = ( U 12 I 1 * + U 32 I 3 * ) 1 2 U 12 = U 12 ^ I 1 * = I 1 e ^ +j(ϕ 1 +30°) / rad U 32 = U 32 ^ e +j60° / rad I 3 * = I 3 e ^ +j(ϕ 3 -90°) / rad P = U 12 I 1 e + U 32 I 3 e j(ϕ 1 + 30°) / rad j(ϕ 3 - 30°) / rad P W = U 12 I 1 cos(ϕ 1 + 30°) + U 32 I 3 cos(ϕ 3 - 30°) P W1 = U 12 I 1 cos(ϕ 1 + 30°) Trafostation W P W3 P W1 L2 L3 L1 U 12 U 23 U 31 I 3 I 1 I 2 Verbraucher R 10 R 30 R 20 0 W U 10 U 30 <?page no="161"?> 159 und der mit P W3 bezeichnete Leistungsmesser misst die im zweiten Term von Gl. (153) ausgedrückte Teilleistung nach der Beziehung . (153b) Der Phasenwinkel ϕ 1 bezeichnet die Phasenverschiebung zwischen dem Leiterstrom I 1 und der Strangspannung U 10 in der als Sternschaltung dargestellten Verbrauchernetznachbildung in Bild 83. Dementsprechend bezeichnet der Phasenwinkel ϕ 3 die Phasenverschiebung zwischen dem Leiterstrom I 3 und der Strangspannung U 30 . Die genannten Phasenwinkel sind im Zeigerdiagramm Bild 82 eingetragen. An dieser Stelle sind einige Bemerkungen zu Wirkleistungsmessern angebracht: Wirkleistungsmesser zeigen nur dann einen positiven Wert an, wenn der Phasenwinkel zwischen der an ihren Spannungspfad angelegten Spannung und dem durch ihren Strompfad fließenden Strom einen Betrag von kleiner als 90° hat. Der o.g. Phasenwinkel ist der Gesamtwinkel im Argument der Kosinusfunktionen von Gl. (153). Zur Veranschaulichung betrachten wir einige Beispiele: 1. Beispiel Im Verbrauchernetz sind nur Widerstände ohne induktive und kapazitive Komponenten angeschlossen. Die Phasenwinkel ϕ 1 und ϕ 3 sind in diesem Fall gleich null. Mit Gl. (153) errechnen wir die Wirkleistung . Der Kosinus von 30° beträgt unabhängig vom Vorzeichen . Obige Gleichung lautet somit . Das ist die Summe der Leistungen, die von den Leistungsmessern in Bild 83 in diesem Beispiel angezeigt wird. Die Beträge der Spannungseffektivwerte U 12 und U 32 in obiger Gleichung sind immer gleich U L . Setzen wir eine symmetrische Last des Drehstromnetzes voraus, sind auch die Leiterströme I 1 und I 3 gleich I L . Mit diesen Größen erhält die obige Gleichung die Form der bekannten Wirkleistungsgleichung (149a) für symmetrisch belastete Drehstromnetze. 2. Beispiel Im Verbrauchernetz sind nur Induktivitäten wirksam. Die Phasenwinkel ϕ 1 und ϕ 3 sind in diesem Fall gleich 90°. Mit Gl. (153) errechnen wir die Wirkleistung . Der Kosinus von 120° ist gleich minus 0,5 ! Der Kosinus von 60° ist dagegen gleich plus 0,5 . Der Wirkleistungsmesser P W1 in Bild 81 muss also einen negativen Wert anzeigen. Das ist mit einem nicht immer verfügbaren Wirkleistungsmesser möglich, dessen Nullpunkt in Skalenmitte liegt. Der Zeiger eines Wirkleistungsmessers mit dem Nullpunkt am Skalenanfang würde zum linken Anschlag auswandern. Dann P W3 = U 32 I 3 cos(ϕ 3 - 30°) P W = U 12 I 1 cos(+ 30°) + U 32 I 3 cos( - 30°) 3 0,866 = ½ P W = ½ (U 12 I 1 + U 32 I 3 ) 3 P W = U 12 I 1 cos(120°) + U 32 I 3 cos( 60°) <?page no="162"?> 160 muss der Spannungspfad des Leistungsmessers umgepolt und dessen Anzeigewert mit einem negativen Vorzeichen versehen werden. Durch die Umpolung beträgt der Phasenwinkel von Spannung und Strom im Messwerk von P W1 nur noch 60°. Obige Gleichung lautet dann . Die vertauschten Ziffern im Index von U 21 weisen auf die Umpolung des Spannungspfades hin. Bei gleichen Beträgen der Leiterströme I 1 und I 3 wird . Mit diesen Voraussetzungen ist das Verbrauchernetz nicht mit Wirkleistung belastet. Die Wirkleistung ist bei rein kapazitiver Last des Verbrauchernetzes ebenfalls gleich null. Die Phasenwinkel ϕ 1 und ϕ 3 in Gl. (153) sind in diesem Fall gleich minus 90°. Führe den Nachweis für diesen Fall als Übungsaufgabe durch! 3. Beispiel Mit Bezug auf Bild 83 nehmen wir in diesem Beispiel an, dass sich im Zweig zu I 1 des Verbrauchernetzes nur ein kapazitiver Widerstand, also ein Kondensator, befindet. Die Spannung U 10 eilt somit dem Strom I 1 um 90° nach. Das bedeutet in Gl. (153): ϕ 1 = - 90°. Im Zweig zu I 3 dagegen befindet sich nur ein induktiver Widerstand, also eine Spule. Die Spannung U 30 eilt somit dem Strom I 3 um 90° voraus. Das bedeutet: ϕ 3 = + 90°. Nach Einsetzen dieser Winkel in Gl. (153) erhalten wir den Ausdruck . Beide Kosinus-Ausdrücke obiger Gleichung ergeben den Wert ½ . Zusätzlich setzen wir gleiche Effektivwerte der Leiterströme I 1 = I 3 = I L voraus. Die Effektivwerte der Leiterspannungen sind ohnehin gleich U L . Mit diesen Voraussetzungen erhalten wir als Ergebnis dieses Beispiels die Wirkleistung P W = U L I L . Das ist die Summe der von den Wirkleistungsmessern P W1 und P W3 in Bild 83 je zur Hälfte angezeigten Werte. Diese Wirkleistung wird im reellen Widerstand des Zweiges zu I 2 in Wärme umgesetzt. Im nächsten Abschnitt behandeln wir die Aronschaltung für Blindleistungsmessung. P W = - U 21 I 1 cos( 60°) + U 32 I 3 cos( 60°) P W = 0 P W = U 12 I 1 cos(- 90° + 30°) + U 32 I 3 cos(+ 90° - 30°) <?page no="163"?> 161 Mit der Aronschaltung für Wirkleistungsmessung ist selbstverständlich bei Einsatz von Blindleistungsmessern eine Blindleistungsmessung möglich. Liegt z.B. eine rein induktive Last vor, eilt die Spannung an der Last gegenüber dem Strom durch die Last um 90° voraus. Ein Blindleistungsmesser muss deshalb intern eine Phasenverschiebung von minus 90° im Mess-Spannungspfad erzeugen. Erst dann befinden sich im Messwerk Spannung und Strom in gleicher Phasenlage, die für eine Anzeige erforderlich ist. Nun bieten Drehstromnetze den großen Vorteil, dass in diesen um 90° phasenverschobene Spannungen bereits vorkommen. Auf diese Eigenschaft weisen wir bereits im Grundlagenkapitel 9.1 hin (siehe 5. Punkt der Drehstrommerkmale und Bild 65). Diese Eigenschaft wird genutzt, um die Blindleistung in Drehstromnetzen ohne Neutralleiter mit zwei Wirkleistungsmessern zu messen. Zur Erklärung der Zusammenhänge gehen wir aus von der allgemeingültigen komplexen Leistungsgleichung (152b): . Für die erforderliche Phasenverschiebung von minus 90° der Mess-Spannungen multiplizieren wir in obiger Gleichung die Spannungen U 12 und U 32 mit dem Faktor und schreiben für die auf Blindleistungen Q zugeschnittene Gleichung . (154) Im Zeigerdiagramm Bild 82 erkennen wir, dass zwar kein Leiterspannungszeiger der Leiterspannung U 12 um 90° nacheilt, wohl aber der Strangspannungszeiger U 03 (gestrichelt gezeichnet). Dieser hat jedoch einen um den Faktor kleineren Betrag als ein Leiterspannungszeiger. Deshalb multiplizieren wir die Strangspannung U 03 mit diesem Faktor. Dann gilt die Beziehung . Zusätzlich erkennen wir in Bild 82 , dass dem Leiterspannungszeiger U 32 (gestrichelt gezeichnet) der Strangspannungszeiger U 10 um 90° nacheilt. Mit den gleichen Überlegungen wie vorher gilt deshalb die Beziehung . Setzen wir die letzten beiden Beziehungen in Gl. (154) ein, erhalten wir die Gleichung . (154a) Die bekannten Gleichungen für die Spannungs- und Stromzeiger in obiger Gleichung (auch im Zeigerdiagramm Bild 82 ablesbar) lauten: ; ; ; . Nach Einsetzen dieser Beziehungen in Gl. (154a) erhalten wir als Lösung P = ( U 12 I 1 * + U 32 I 3 * ) 1 2 e -j90° / rad Q = ( U 12 I 1 * + U 32 I 3 * ) 1 2 e -j90° / rad e -j90° / rad 3 U 12 = U 03 e -j90° / rad 3 U 32 = U 10 e -j90° / rad 3 Q = ( U 03 I 1 * + U 10 I 3 * ) 1 2 3 3 U 10 = U 10 ^ e -j30° / rad U 03 = U 03 ^ e -j90° / rad I 1 * = I 1 e ^ +j(ϕ 1 +30°) / rad I 3 * = I 3 e ^ +j(ϕ 3 -90°) / rad <?page no="164"?> 162 . (154b) Den zweiten Term obiger Gleichung mit dem Winkel von 120° im Exponenten formen wir identisch so um, dass im Exponenten ein Winkelbetrag von kleiner als 90° steht. Dazu drehen wir den Zeiger von U 10 um 180° und bezeichnen den gedrehten Zeiger mit U 01 = - U 10 . Für diesen gilt die Beziehung . Damit lautet Gl. (154b) . (154c) Der Realteil dieser komplexen Gleichung ergibt die reelle Gleichung für die Blindleistung P B . Nach Umwandlung von Gl. (154c) in die kartesische Form und Einführung von Effektivwerten für Spannung und Strom erhalten wir die Formel für die Blindleistung . (155) Der Faktor muss bei der Kalibrierung des Messbereiches der Spannungspfade berücksichtigt werden. Die Aronschaltung zur Messung der Blindleistung zeigt Bild 84. Bild 84 Aronschaltung zur Messung der Blindleistung Der mit P B1 bezeichnete Leistungsmesser misst die im ersten Term von Gl. (155) ausgedrückte Teilleistung, und der mit P B3 bezeichnete Leistungsmesser misst die im zweiten Term ausgedrückte Teilleistung. Die Phasenwinkel ϕ 1 und ϕ 3 haben die gleiche Bedeutung wie bei Wirkleistungsmessung. Wie aus Gl. (155) hervorgeht, erfordern die Leistungsmesser einen künstlichen Nullpunkt. Zu dessen Erzeugung müssen die Spannungspfade von P B1 und P B3 den gleichen ohmschen Widerstand haben. Zusätzlich enthält die Messanordnung in Bild 84 einen Widerstand R, mit dem Q = ( U 03 I 1 + U 10 I 3 ) 1 2 3 ^ ^ e j(ϕ 1 -60°) / rad e j(ϕ 3 -120°) / rad ^ ^ U 01 = U 01 ^ e j150° / rad Q = ( U 03 I 1 - U 01 I 3 ) 1 2 3 ^ ^ e j(ϕ 1 -60°) / rad e j(ϕ 3 +60°) / rad ^ ^ P B = [ U 03 I 1 cos(ϕ 1 - 60° ) - U 01 I 3 cos(ϕ 3 + 60° ) ] 3 3 Trafostation L 2 L 3 L 1 U 12 U 23 U 31 I 3 I 1 I 2 Verbraucher R 10 R 30 R 20 0 VA P B3 P B1 VA 0 R U 10 U 20 U 30 <?page no="165"?> 163 gleichen Wert der Spannungspfade. Der Widerstand R bildet mit den Widerständen der Spannungspfade eine symmetrische Sternschaltung, deren hier mit „0“ bezeichneter Sternpunkt das gleiche Potential besitzt wie der Neutralleiter eines Vierleiter- Drehstromnetzes. Eine den Messkomfort einschränkende Eigenschaft der Aronschaltung erfordert ein Umpolen der Spannungspfade, wenn bei den Leistungsmessern der Nullpunkt nicht in Skalenmitte liegt. Je nach Phasenlage im Verbrauchernetz ergeben sich auch negative Anzeigewerte. Die Ziffernfolge im Index der Spannungsgrößen kann einer Polung des Spannungspfades zugeordnet werden. In Gl. (155) ist die erste Ziffer im Index der Spannungsgrößen eine Null. Deshalb liegen die Spannungseingänge beider Leistungsmesser am künstlichen Nullpunkt. Die zweite Ziffer im Index von U 03 ist eine drei. Deshalb liegt der Spannungsausgang von P B1 an L3 . Entsprechend der zweiten Ziffer im Index von U 01 liegt der Spannungsausgang von P B3 an L1 . Die in Bild 84 dargestellte Polung der Spannungsanschlüsse ist gültig, wenn z.B. die Winkel ϕ 1 und ϕ 3 im Intervall von minus 30° bis plus 30° liegen. Die gesamte Blindleistung P B errechnet man dann als Differenz P B = P B1 - P B3 . Tabelle 4: Phasenwinkelabhängigkeit der Leistungsgleichungen Phasenwinkel Wirkleistung Blindleistung Umpolen erforderlich ϕ 1 ϕ 3 P W = P B = P W1 P W2 P B1 P B2 0 0 ½ (U 12 I 1 + U 32 I 3 ) ½ (U 03 I 1 - U 01 I 3 ) 30° 30° ½ U 12 I 1 + U 32 I 3 3 / 2 U 03 I 1 - 0 - 30° - 30° U 12 I 1 + ½ U 32 I 3 0 - 3 / 2 U 01 I 3 - 30° 30° U 12 I 1 + U 32 I 3 0 - 0 30° - 30° ½ (U 12 I 1 + U 32 I 3 ) 3 / 2 (U 03 I 1 - U 01 I 3 ) 60° 60° 0 + ½ U 32 I 3 (U 03 I 1 + ½ U 10 I 3 ) x - 60° - 60° ½ U 12 I 1 + 0 - ( ½ U 30 I 1 + U 01 I 3 ) x - 60° 60° ½ (U 12 I 1 + U 32 I 3 ) ½ (- U 30 I 1 + U 10 I 3 ) x x 60° - 60° 0 + 0 (U 03 I 1 - U 01 I 3 ) 90° 90° ½ (-U 21 I 1 + U 32 I 3 ) 3 / 2 (U 03 I 1 + U 10 I 3 ) x x - 90° - 90° ½ (U 12 I 1 - U 23 I 3 ) - 3 / 2 (U 30 I 1 + U 01 I 3 ) x x - 90° 90° ½ (U 12 I 1 + U 32 I 3 ) 3 / 2 (- U 30 I 1 + U 10 I 3 ) x x 90° - 90° - ½ (U 21 I 1 + U 23 I 3 ) 3 / 2 (U 03 I 1 - U 01 I 3 ) x x 3 3 3 3 3 3 3 3 3 <?page no="166"?> 164 Einige ausgewählte Beispiele zur Anwendung sowohl der Wirkleistungsgleichung (153) als auch der Blindleistungsgleichung (155) und zur Polung der Leistungsmesser enthält Tabelle 4 . Werden negative Werte zur Wirkleistung errechnet, fließt Energie in Richtung zum Erzeuger. Übungsaufgabe Errechne Wirk- und Blindleistung in Tabelle 4 für ein Drehstromnetz ohne Neutralleiter mit einer Leiterspannung U L = 400 V, einem Leiterstrom I 1 = 20 A im Leiter L1 und einem Leiterstrom I 3 = 10 A im Leiter L3 (Spannungs- und Stromangaben sind Effektivwerte). Überprüfe die Ergebnisse mit den Gln. (153) und (155). 9.7 Scott - Transformator Noch heute befinden sich ältere Wasserkraftgeneratoren in Betrieb, die Zweiphasen- Wechselstrom anstatt Drehstrom erzeugen, z.B. im Wasserkraftwerk Rabenauer Grund bei Dresden. Um deren Energie in ein Drehstromnetz einzuspeisen, muss der Zweiphasen-Wechselstrom in Drehstrom umgeformt werden. Diese Aufgabe erfüllt der Scott-Transformator, benannt nach dem amerikanischen Elektroingenieur Charles F. Scott. Wie für alle Transformatoren gilt auch für Scott-Transformatoren das „Reziprozitätsprinzip“, d.h. die Richtung der Energieübertragung ist umtauschbar. Der Scott-Transformator kann also auch Drehstrom in Zweiphasen- Wechselstrom umwandeln. Wir betrachten hierbei zwei Schaltungsvarianten: Bei der ersten Variante übernehmen zwei getrennte Einphasen-Transformatoren die Umwandlung von Zweiphasen-Wechselstrom in Drehstrom und umgekehrt. Bei der zweiten Variante erfolgt die Umwandlung in einem Drehstromtransformator. 1. Schaltungsvariante Ein Zweiphasen-Wechselstromgenerator erzeugt zwei Wechselspannungen gleicher Höhe mit einer Phasenverschiebung von 90°. Diese beiden Wechselspannungen werden über drei Leitungen zwei Transformatoren primärseitig zugeführt, die mit einer speziellen Zusammenschaltung einen Scott-Transformator bilden. Die Gesamtanordnung zeigt Bild 85 . Die eingangsseitigen Anschlüsse sind mit V, W und 0 bezeichnet. Am Anschluss 0 liegt die gemeinsame Leitung für beide Wechselspannungen. Die Windungszahlen sind mit w bezeichnet. Sekundärseitig hat Trafo T 1 eine Mittelanzapfung, die eine Leitung über Hilfsklemme X mit der Sekundärseite von Trafo T 2 verbindet. Die Sekundärwicklung von Trafo T 2 hat eine um den Faktor ½√ 3 kleinere Windungszahl gegenüber den anderen Wicklungen. Der Scott- Transformator ist so ausgelegt, dass alle ein- und ausgangsseitigen Spannungsbeträge gleich groß sind. Ausgangsseitig wird die Drehspannung an den Anschlüssen L 1 , L 2 und L 3 abgenommen und in das Drehstromnetz eingespeist. Die Zählpfeile mit den Spannungsbezeichnungen in Bild 85 sind den gleichnamigen Zeigern im Zeigerdiagramm Bild 85a zugeordnet. Die vom Zweiphasen - Wechselstromgenerator dem Scott-Transformator zugeführten Spannungen beschreiben die komplexen Gleichungen und . U V0 = U L ^ U W0 = - j U L ^ <?page no="167"?> 165 Bild 85 Scott-Transformator, 1. Variante Bild 85a Zeigerdiagramm zu Bild 85 2 ∼ V 0 W X w w ½ w ½ w √ 3 2 w L 1 L 3 L 2 U V0 U W0 U X1 U X2 U X3 U 12 U 23 U 31 T 1 T 2 j r u 31 u 23 u 12 u V0 u W0 u X2 u X3 u X3 u X1 <?page no="168"?> 166 Die Spannung U W0 eilt also der Spannung U V0 um 90° nach. U L steht für den Spitzenwert (Zeigerlänge) der Leiterspannungen. Für die Sekundärspannungen der Transformatoren T 1 und T 2 liest man mit Berücksichtigung der Windungszahlen in Bild 85 folgende Beziehungen ab: ; und . Für die Ausgangsspannungen der Scott-Schaltung lesen wir durch Maschenumläufe längs der Zählpfeile in Bild 85 folgende Maschengleichungen ab: Zwischen L 1 und L 2 : L 2 und L 3 : L 3 und L 1 : . Die eingerahmten Gleichungen beschreiben in Übereinstimmung mit den zugehörigen Zeigern in Bild 85a den durch Umformung im Scott-Transformator aus Zweiphasen-Wechselstrom gewonnenen Drehstrom. Ein inverser Betrieb ist selbstverständlich möglich. 2. Schaltungsvariante In dieser Schaltungsvariante betrachten wir einen Drehstromtransformator, dessen Wicklungsanordnung auf einem Dreischenkelkern die Scott-Schaltung realisiert. Zur Erklärung der Wirkungsweise speisen wir primärseitig Drehstrom ein, der in Zweiphasen-Wechselstrom umgewandelt wird. Die Schaltungsanordnung zeigt Bild 85b . Die Primärwicklungen des Drehstromtransformators bilden eine Dreieckschaltung mit je w Windungen. Der primäre Wicklungszweig zwischen den Leitern L 1 und L 2 überträgt die Leiterspannung U 12 phasengleich im Verhältnis eins zu eins auf die Sekundärwicklung, die an die Ausgangsleitungen V und 0 des Zweiphasen- Wechselstromnetzes angeschlossen ist. Somit gilt und mit Bezug auf das Zeigerdiagramm Bild 85a . Obige einfache Beziehung beschreibt bereits die erste Phase des mit dem Scott- Transformator gewonnenen Zweiphasen-Wechselstromes. Die zweite Phase errechnen wir mit den Spannungen über den beiden Wicklungen mit den um den Faktor 1/ verringerten Windungszahlen, die über die Hilfsklemme Z in Bild 85b verbunden sind. Dort lesen wir folgende Beziehungen ab: und . Für die Ausgangsspannung errechnen wir mit einem Maschenumlauf die Gleichung . ^ U X1 = ½ U V0 = ½ U L ^ U X2 = ½ U V0 = ½ U L ^ U X3 = ½ U W0 = - j ½ U L ^ √ 3 √ 3 U 12 = U X1 + U X2 U 12 = ^ U L U 23 = - U X2 + U X3 = ½ (- 1- j ) ^ U L √ 3 U 23 = ^ U L e -j(120°) / rad U 31 = - U X3 - U X1 = ½ (- 1+ j ) ^ U L √ 3 U 31 = ^ U L e j(120°) / rad U 12 = U V0 U V0 = ^ U L √ 3 U W0 = - U ZW + U Z0 U Z0 = U 23 = (- ½ - j ½ ) 1 √ 3 ^ U L 1 √ 3 √ 3 U ZW = U 31 = (- ½ + j ½ ) 1 √ 3 ^ U L 1 √ 3 √ 3 <?page no="169"?> 167 Bild 85b Scott-Transformator, 2. Variante Nach Einsetzen der vorherigen Beziehungen in diese Gleichung erhalten wir das Ergebnis als Beschreibung der zweiten Phase. Die Spannung U W0 der zweiten Phase eilt somit der Spannung U V0 der ersten Phase um 90° nach. Die entsprechenden Zeiger in Bild 85a zur ersten Schaltungsvariante treffen also auch auf die zweite Variante zu. Besonders in diesem Kapitel wird deutlich, dass nur die Beachtung des Zusammenhanges von Zählpfeilen, Zeigern und Formeln eine exakte und fehlerfreie Ableitung der Wirkungsweise elektrotechnischer Anordnungen ermöglicht. Die Anwendung des Kirchhoffschen Maschensatzes in den Bildern 85 und 85b erfordert erhöhte Aufmerksamkeit, um Vorzeichenfehler zu vermeiden. Häufig ist der Weg für einen Maschenumlauf längs der Spannungszählpfeile optisch nicht als Masche erkennbar. Ein Anwendungsbeispiel für den Scott-Transformator an einem Drehstromnetz ist der Anschluss von zwei Schweißumspannern an je eine Ausgangsphase. Dadurch wird die Schweißleistung auf die drei Phasen des Drehstromnetzes verteilt. U W0 = - j ^ U L L 1 L 3 L 2 0 V W Z w w w w w √ 3 w √ 3 U 12 U 31 U 23 U V0 U ZW U Z0 U 12 U 23 U 31 U V0 U W0 <?page no="170"?> 168 9.8 Erdschlusslöschspule (Petersenspule) Die Petersenspule dient zur Kompensation von Erdschluss-Strömen, die in Kabel- und Freileitungsnetzen zerstörende Auswirkungen haben können. Ein Großteil aller Störungen des Netzbetriebes der Energieversorger entsteht durch einpolige Fehler (Erdschluss, beispielsweise hervorgerufen durch das Hineinwachsen eines Baumes in eine Freileitung oder durch fehlerhaft gewordene Isolation der Anlagen nach Blitzschlägen) . Die Erdschlusslöschspule, auch Petersenspule genannt, wurde im Jahr 1917 von Waldemar Petersen, Professor für Elektrotechnik an der TH Darmstadt, erfunden. Ein Anschluss der Petersenspule liegt am Sternpunkt einer in Sternschaltung angeordneten Sekundärwicklung eines Transformators im Mittelspannungs- und Hochspannungsnetz bis 230 kV. Der andere Anschluss liegt an Erde. Die Schaltung der Petersenspule zeigt Bild 86 . Bild 86 Erdung mit Petersenspule Der Transformator befindet sich z.B. in einer Umspannstation eines Freileitungsnetzes und transformiert die Hochspannung von 110 kV in eine Mittelspannung von 20 kV. Die Kondensatoren C 1E , C 2E und C 3E in Bild 86 symbolisieren die Leitungskapazitäten des Mittelspannungsnetzes gegen Erde, die annähernd gleich groß angenommen werden. Die Erdung des Sternpunktes über eine Petersenspule mit der Induktivität L verhindert gegenüber einer starren Sternpunkterdung, dass hohe Kurzschluss-Ströme infolge Erdschluss einer Leitung fließen. L1 L2 L3 S C 3E C 2E C 1E L U 3E U 2E U 1E U ES U 1S U 2S U 3S I 1E I 3E I 2E I P Transformator Petersenspule Erdschluss E I 3E Im Störungsfall fließt I 3E über den Erdschluss. <?page no="171"?> 169 Zur Erklärung der Wirkungsweise der Kompensation des Erdschluss-Stromes mittels Petersenspule wenden wir die in Kap. 9.1 behandelten Grundlagen an. Anfangs betrachten wir ein ungestörtes Netz und danach ein gestörtes Netz anhand von Bild 86 . Ungestörtes Netz: Beim ungestörten Netz ist der Erdschluss von Leiter L1 nicht vorhanden. Die gestrichelte Linie in Bild 86 entfällt. Es wirken aber die drei gleichgroßen Leiterkapazitäten C 1E , C 2E und C 3E gegen Erde. Sie sind über den Erdwiderstand elektrisch leitend verbunden und bilden eine symmetrische Sternschaltung mit den drei gleichen kapazitiven Widerständen . Der dadurch entstandene künstliche Sternpunkt ist die Erde E , die das gleiche Potential wie der Sternpunkt S im Transformator hat. Demnach ist die Spannung über der Petersenspule sowie der Strom durch die Petersenspule U ES = 0 und I P = 0 . Bild 86a Zeigerdiagramm zum ungestörten Fall in Bild 86 Zusätzlich folgt aus der Potentialgleichheit von Sternpunkt S und Erde E , dass die Spannungen über den Erdkapazitäten gleich den Strangspannungen im Transformator sind. Also gilt mit den Spannungszählpfeilen in Bild 86 U 1E = U 1S , U 2E = U 2S und U 3E = U 3S . j ω / rad C 3E j ω / rad C 2E j ω / rad C 1E R C = = = 1 1 1 j r u 1S = u 1E u 3S = u 3E u 2S = u 2E I 1E I 3E I 2E I P = 0 <?page no="172"?> 170 Für die kapazitiven Ströme erhält man mit dem Ohmschen Gesetz und den vorherigen Beziehungen I 1E = U 1S j ω / rad C 1E , I 2E = U 2S j ω / rad C 2E und I 3E = U 3S j ω / rad C 3E . Das Zeigerdiagramm zu den Spannungen und Strömen des ungestörten Netzes zeigt Bild 86a . Aus diesem geht hervor, dass die Ströme durch die Erdkapazitäten den jeweiligen Strangspannungen um 90° vorauseilen und dass die Summe dieser komplexen Ströme I 1E + I 2E + I 3E = 0 ist. Gestörtes Netz: Der betrachtete Störfall besteht aus einem Erdschluss des Leiters L3, in Bild 86 dargestellt durch eine gestrichelte Linie als Kurzschlussverbindung. Der Leiter L3 erhält somit Erdpotential, und die Leiter L1 und L2 haben Leiterspannung gegen Erde, die um den Faktor Wurzel drei höher ist als die Strangspannungen vor dem Störfall. Das Zeigerdiagramm zum Störfall zeigt Bild 86b. Zusätzlich ist die Leiterkapazität C 3E kurzgeschlossen und wird nicht weiter betrachtet. Die Spannung U 3E = 0 . Durch den Erdschluss liegt an der Petersenspule die Spannung U ES , die gleich der Strangspannung U 3S ist, was mit den zugehörigen Zählpfeilen aus Bild 86 hervorgeht. Jetzt fließt ein Strom I P durch die Petersenspule gemäß dem Ohmschen Gesetz . Aus dieser Gleichung geht hervor, dass der Strom I P der Spannung U 3S um 90° nacheilt, wie es eine Induktivität bewirkt. Dementsprechend bilden der Stromzeiger zu I P und der Spannungszeiger zur Strangspannung U 3S im nebenstehenden Zeigerdiagramm einen rechten Winkel. Durch den Erdschluss erhält der Leiter L3 Erdpotential. An den Erdkapazitäten C 1E und C 2E liegen deshalb die Leiter- Spannungen U 1E = U 1S - U 3S und U 2E = U 2S - U 3S , Bild 86b Zeigerdiagramm zum gestörten Fall in Bild 86 j ω / rad L I P = U 3S j r u 1S u 3S u 2S I 2E u 1E u 2E I 1E I P I 3E = 0 • u 3S u 3S <?page no="173"?> 171 errechnet aus den Strangspannungen des Transformators, wie durch Maschenumläufe längs der Zählpfeile in Bild 86 hervorgeht. Ohne Rechenaufwand können die Zeiger U 1E und U 2E in Bild 86b graphisch ermittelt und ihre Gleichungen abgelesen werden. Der im ungestörten Fall durch C 3E fließende Strom I 3E fließt im gestörten Fall als unerwünschter Erdschluss-Strom vom Leiter L3 direkt zur Erde. Für die zur Erde fließenden Ströme lesen wir mit dem Knotenpunktsatz in Bild 86 ab: I 1E + I 2E + I 3E = I P und nach Umstellung I 3E = I P - ( I 1E + I 2E ) . Als Knotenpunkt betrachten wir hierbei die Erde. Für die Stromsumme I 1E + I 2E folgt mit dem Ohmschen Gesetz aus Bild 86 I 1E + I 2E = U 1E j ω / rad C 1E + U 2E j ω / rad C 2E . Wegen der gleichen Werte der Erdkapazitäten schreiben wir C 1E = C 2E = C E mit C E für die Erdkapazität pro Leiter. Obige Stromgleichung erhält damit die Form I 3E = I P - ( U 1E + U 2E ) j ω / rad C E . Die Leiterspannungssumme dieser Gleichung ersetzen wir durch Strangspannungen des Transformators mit den neben Bild 86b aufgeschriebenen Beziehungen und erhalten U 1E + U 2E = U 1S + U 2S - 2 U 3S . Da die komplexe Summe der Strangspannungen U 1S + U 2S + U 3S = 0 ist, können wir U 1S + U 2S = - U 3S schreiben und dieses Ergebnis in die vorherige Gleichung einsetzen. Als Gleichung für I 3E errechnen wir damit I 3E = I P + 3 U 3S j ω / rad C E . Die Spannung U 3S über der Petersenspule in obiger Gleichung ersetzen wir laut Ohmschem Gesetz durch das Produkt von induktivem Widerstand und Strom durch die Spule mit der Beziehung U 3S = I P j ω / rad L . Als Ergebnis erhalten wir für den Erdschluss-Strom des Leiters L3 I 3E = I P [ 1 - 3 (ω / rad ) 2 L C E ] , der durch die Petersenspule kompensiert werden soll und im Idealfall gleich null ist. Der Idealfall liegt vor, wenn die Induktivität der Petersenspule so eingestellt wird, dass in obiger Gleichung der Ausdruck 1 - 3 (ω / rad ) 2 L 0 C E = 0 ist. Nach Umstellung erhalten wir die Bestimmungsgleichung zur vollständigen Kompensation . L 0 = 3 (ω / rad ) 2 C E 1 für I 3E = 0 <?page no="174"?> 172 Die Induktivität der Petersenspule wird durch einen Tauchkern im magnetischen Kreis mit einem mechanischen Antrieb auf L 0 eingestellt. Man spricht auch von „Resonanz“ im abgeglichenen Zustand. Das Zeigerdiagramm für den Resonanzfall zeigt Bild 86b . Durch die Erdschluss- Stromkompensation werden auch gefährlich hohe Schrittspannungen vermieden. Übungsaufgabe Gegeben ist mit Bezug auf Bild 86 ein Mittelspannungs-Drehstromnetz mit einem Effektivwert der drei Strangspannungen von U S = 20 kV und einer Frequenz von f = 50 Hz . Die Erdkapazität einer Leitung soll C E = 1μF . betragen . 1. Errechne im ungestörten Netz die Effektivwerte der kapazitiven Ströme gegen Erde I 1E , I 2E und I 3E . 2. Errechne im gestörten Netz durch Erdschluss des Leiters L3 die Effektivwerte der Ströme I 1E und I 2E . 3. Errechne den Wert L 0 der Petersenspule für die vollständige Kompensation des Erdschluss-Stromes I 3E . 4. Errechne den Effektivwert des Stromes I P , der durch die Petersenspule fließt. 9.9 Schaltgruppen von Drehstromtransformatoren Wenn wir zwei Einphasentransformatoren parallel schalten wollen, müssen diese für gleiche Primär- und Sekundärspannungen ausgelegt sein. Im ungünstigen Fall könnte beim Zusammenschalten der Sekundärseiten eine Falschpolung als Fehler auftreten. Dieser ist nach Umpolung behoben. Andere Verhältnisse liegen bei Drehstromtransformatoren vor: Beim Aufbau von Energienetzen sind Parallelschaltungen von Drehstromtransformatoren erforderlich. Bei parallelzuschaltenden Drehstromtransformatoren müssen deren Ausgangsspannungen gleiche Phasenlagen haben. Gleiche Phasenlagen sind nicht durch einfaches Umpolen zu erreichen. Die Phasenlagen zwischen Eingangs- und Ausgangsspannung werden von der inneren Schaltung bestimmt. Deshalb ist die Schaltgruppe des Drehstromtransformators eine wichtige Kenngröße. Die Schaltgruppen sind nach VDE und IEC genormt. Bei der folgenden Behandlung der Schaltgruppen tragen Zählpfeile und Zeiger wesentlich zum Verständnis bei. Die innere Schaltung von Drehstromtransformatoren besteht aus verschiedenen Kombinationen von Stern- und Dreieckschaltungen. <?page no="175"?> 173 Eine zusätzliche bisher noch nicht erwähnte Schaltungsvariante ist die Zickzackschaltung, die wir einleitend betrachten: Bild 87 Drehstromtransformator mit Zickzackschaltung U 31P 3U1 Φ 3 Φ 2 Φ 1 1W1 1V1 1U1 2W1 1W2 2W2 1V2 2V1 2V2 1U2 2U1 2U2 w 1 w 1 w 1 w 2 w 2 w 2 3W1 3W2 w 3 3V1 3V2 w 3 3U2 w 3 N S L 1S L 2S L 2P L 3P L 1P U 12P U 23P U 1U U 1V U 1W U 2U U 2V U 2W U 3U U 3V U 3W U 12S U 23S U 31S L 3S U 1NS U 2NS U 3NS <?page no="176"?> 174 Bild 87 zeigt die innere Schaltung eines Drehstromtransformators auf einem Dreischenkelkern. Die Wicklungen w 1 auf der Primärseite bilden eine Dreieckschaltung mit den äußeren Anschlüssen L 1P , L 2P und L 3P (Index P steht für Primärseite). Die Wicklungen w 2 und w 3 auf der Sekundärseite haben gleiche Windungszahlen. Sie bilden eine Zickzackschaltung mit den äußeren Anschlüssen L 1S , L 2S , L 3S und N S (Index S steht für Sekundärseite). Die Bezeichnungen der inneren Wicklungsanschlüsse sind im Zusammenhang mit Bild 72 erklärt. Da die Zickzackschaltung aus zwei Sekundärwicklungen pro Trafoschenkel besteht, ist die führende Ziffer der zweiten Sekundärwicklung eine Drei. Insgesamt bildet die Zickzackschaltung eine Sternschaltung, deren Zweige aus zwei in Reihe geschalteten Teilwicklungen w 2 und w 3 auf unterschiedlichen Trafoschenkeln besteht. In Bild 87 ist der Sternpunkt herausgeführt und liegt am äußeren Anschluss N S . Zur Erklärung der Zusammenhänge zwischen den Eingangs- und Ausgangsspannungen dienen die in Bild 87 eingetragenen Zählpfeile. In den weiteren Betrachtungen beziehen wir uns auf die Magnetflüsse Φ 1 , Φ 2 und Φ 3 in den Trafoschenkeln. Diese verlaufen ebenso wie die Spannungen sinusförmig und folgen somit den Gesetzen der komplexen Rechnung. Die drei genannten Magnetflüsse sind gegenseitig um 120° phasenverschoben. Ihre geometrische Summe ist gleich null. Sie sind in Bild 87 als Zählpfeile eingezeichnet und bilden den Ausgangspunkt zur Erklärung aller Schaltgruppen. Die Zeiger zu den Magnetflüssen und den von diesen induzierten Spannungen enthält Bild 87a . Die Zeiger sind wegen einer besseren Übersicht auf zwei Diagramme verteilt. Bild 87a Zeigerdiagramm: Magnetflüsse und Spannungen in Bild 87 j r Φ 3 Φ 1 Φ 2 U 2U U 2NS U 3NS ● ● ● U 3W U 2V U 3U U 2W U 3V U 1NS j r Φ 3 Φ 1 Φ 2 U 12P U 23P U 31P U 1NS U 2NS U 3NS U 12S U 23S U 31S ● ● ● U 2NS U 3NS U 1NS <?page no="177"?> 175 Die Magnetflüsse induzieren nach dem Induktionsgesetz für Sinusgrößen Wechselspannungen in den jeweiligen Wicklungen (Siehe Kap. 6.4). Mit Bezug auf Bild 48, 49a und Gl. (101) haben die Spannungen an den Wicklungen w 1 , w 2 und w 3 eines Trafoschenkels eine Phasenverschiebung von 90° voreilend gegenüber ihrem Magnetfluss. Diese Phasenverschiebungswinkel sind in Bild 87a mit dem Symbol eines rechten Winkels gekennzeichnet. Im Einzelnen ergeben sich folgende Vorgänge: Der Magnetfluss Φ 1 im rechten Trafoschenkel in Bild 87 induziert in den Wicklungen auf dem gleichen Schenkel folgende Spannungen: ● In der Primärwicklung w 1 die Spannung U 1U , ● in der Sekundärwicklung w 2 die Spannung U 2U , ● in der Sekundärwicklung w 3 die Spannung U 3U . Wie aus den Zählpfeilen in Bild 87 hervorgeht, ist U 1U gleichzeitig die angelegte Primärspannung U 12P . Der Zeiger von U 12P befindet sich im rechten Zeigerdiagramm von Bild 87a . Die Zeiger der Sekundärspannungen U 2U und U 3U befinden sich im linken Zeigerdiagramm. Der Zeiger von U 3U ist aus später ersichtlichen Gründen parallel verschoben. Ohne Verschiebung würde er den Zeiger von U 2U überlagern. Die hier beschriebenen Vorgänge gelten analog für den mittleren und linken Trafoschenkel. Die Spannungsbezeichnungen im mittleren Schenkel haben im Index ein „V“ und im linken Schenkel ein „W“ . Jetzt ermitteln wir die sekundärseitigen Strangspannungen, die sich aus der Reihenschaltung je einer Wicklung w 2 und w 3 , genannt „Zickzackschaltung“, ergeben: In Bild 87 liegen die Zählpfeile für die Strangspannung U 1NS und die Wicklungsspannungen U 2U und U 3W auf dem Weg einer Masche. Nach dem Maschensatz erhalten wir bei einem Umlauf längs der Zählpfeile auf diesem Weg die Beziehung U 1NS = U 2U - U 3W . Die geometrische Subtraktion in obiger Gleichung zur Ermittlung von U 1NS lösen wir auf einfache Weise graphisch mit Hilfe der zu den Zählpfeilen gehörenden Zeiger in Bild 87a . Dazu verschieben wir den Zeiger U 3W , ohne Veränderung seiner Phasenlage, bis dessen Spitze die Spitze des Zeigers U 2U berührt. Danach zeichnen wir einen Zeiger vom Koordinatenursprung bis zum Ende des Zeigers U 3W in das Diagramm. Dieser neue Zeiger bezeichnet die Strangspannung U 1NS . In gleicher Weise werden die Strangspannungen U 2NS = U 2V - U 3U und U 3NS = U 2W - U 3V graphisch ermittelt. Die drei Strangspannungen sind im linken Zeigerdiagramm eingezeichnet und zur Ermittlung der sekundären Leiterspannungen in das rechte Zeigerdiagramm kopiert. In Bild 87 lesen wir im Bereich der Zählpfeile für Strang- und Leiterspannungen die nach den Leiterspannungen umgestellten Maschengleichungen U 12S = U 1NS - U 2NS , U 23S = U 2NS - U 3NS und U 31S = U 3NS - U 1NS ab. Die graphischen Subtraktionen in obigen Gleichungen sind im rechten Zeigerdia- <?page no="178"?> 176 gramm mit Hilfe der nochmals kopierten und parallel verschobenen Strangspannungszeiger ausgeführt. Im Ergebnis überlagern die Zeiger der sekundären Leiterspannungen U 12S , U 23S und U 31S die Zeiger der primären Leiterspannungen U 12P , U 23P und U 31P . Somit erhalten wir als Erkenntnis: Ein Drehstromtransformator mit Dreieck - Zickzack - Schaltung wie in Bild 87 überträgt die Leiterspannungen mit unveränderter Phasenlage. Ist die Primärseite in Bild 87 die Oberspannungsseite und die Sekundärseite die Unterspannungsseite, lautet die Schaltgruppenbezeichnung nach IEC Dzn0 . ● Der große Buchstabe „D“ steht für Dreieckschaltung auf der Oberspannungsseite. ● Der kleine Buchstabe „z“ steht für Zickzack-Schaltung auf der Unterspannungsseite. ● Der kleine Buchstabe „n“ steht für herausgeführten Neutralleiter auf der Unterspannungsseite. ● Die Ziffer „0“ steht für unveränderte Phasenlage zwischen Ober- und Unterspannungsseite. ● Für die noch nicht erwähnte Sternschaltung steht der große Buchstabe „Y“ für die Oberspannungsseite und der kleine Buchstabe „y“ für die Unterspannungsseite. Die bisherigen Ermittlungen der Strang- und Leiterspannungen in diesem Kapitel erfolgten graphisch mit Hilfe von Zählpfeilen und Zeigern ohne Verwendung komplexer Gleichungen für die Magnetflüsse und Spannungen. Die graphische Ermittlung ist einfach und übersichtlich, auch dadurch, weil alle Zeiger auf einem 30°-Raster liegen. Deshalb werden wir die weiteren Schaltgruppen auf graphischem Wege mit Tabelle 5 erklären. Dazu verwenden wir zur Darstellung der Drehstromtransformatoren vereinfachte Schaltsymbole, die sich sinngemäß an Bild 87 orientieren. Zur besseren Übersicht sind die Zeiger der Magnetflüsse in Bild 87a in die Zeigerdiagramme sämtlicher Schaltgruppen kopiert. Die Zählpfeile der Magnetflüsse in Bild 87 erscheinen in den vereinfachten Schaltsymbolen von Tabelle 5 nicht mehr. Für die Spannungszählpfeile an den Wicklungen der Schaltsymbole gilt: Zeigen die Spannungszählpfeile an den Trafowicklungen wie in Bild 87 nach unten, eilen die zugeordneten Spannungszeiger den Magnetflusszeigern um 90° voraus (z.B. eilen in der Schaltgruppe A 3 die Spannungszeiger U 2U , U 3U und U 12P dem Magnetflusszeiger Φ 1 um 90° voraus). Zeigen aber die Spannungszählpfeile nach oben, müssen auch die zugeordneten Spannungszeiger um 180° gedreht werden. Sie eilen dadurch den Magnetflusszeigern um 90° nach (z.B. eilen in der Schaltgruppe B 1 die Spannungszeiger U 12S , U 23S und U 31S den Magnetflusszeigern Φ 1 , Φ 2 und Φ 3 um 90° nach). Eine Drehung von Zählpfeilen mit zugehörigen Zeigern führt mitunter zu einfacheren weiteren Betrachtungen. Die physikalischen Zusammenhänge werden dadurch nicht beeinflusst. Was in Kap. 1.2 für Gleichgrößen gilt, gilt auch für Wechselgrößen. <?page no="179"?> 177 Tabelle 5: Schaltgruppen von Drehstromtransformatoren Schaltgruppe Schaltbild Zeigerdiagramm VDE IEC A 1 Dd0 Unveränderte Phasenlage A 2 Yyn0 Unveränderte Phasenlage w 2 1W1 1W2 w 1 U 31P 2W1 2W2 U 31S w 2 1V1 1V2 w 1 U 23P 2V1 2V2 U 23S w 2 1U1 1U2 w 1 U 12P 2U1 2U2 U 12S L 1S L 2S L 3S L 1P L 2P L 3P Φ 3 Φ 1 Φ 2 j U 12P U 23P U 31P U 12S U 23S U 31S r Φ 3 Φ 1 Φ 2 j U 12P U 12S U 23P U 23S U 31P U 31S r U 2NP U 2NS U 3NP U 3NS U 1NP U 1NS U 2NP U 2NS U 3NP U 3NS U 1NP U 1NS 2U2 2V2 w 2 1W1 1W2 w 1 U 3NP 2W1 2W2 U 3NS w 2 1V1 1V2 w 1 U 2NP 2V1 U 2NS w 2 1U1 1U2 w 1 U 1NP 2U1 U 1NS L 1S L 2S L 3S N S L 1P L 2P L 3P U 12S U 23P U 31P N P U 12P U 23S U 31S <?page no="180"?> 178 Schaltgruppe Schaltbild Zeigerdiagramm VDE IEC A 3 Dzn0 Unveränderte Phasenlage B 1 Dd6 Phasendrehung um 180° w 3 3W1 3W2 U 3W w 3 3V1 3V2 U 3V w 3 3U1 3U2 U 3U w 2 2W1 2W2 U 2W w 2 2V1 2V2 U 2V w 2 2U1 2U2 U 2U 1W1 1W2 w 1 U 31P 1V1 1V2 w 1 U 23P 1U1 1U2 w 1 U 12P L 1P L 2P L 3P L 1S L 2S L 3S N S U 12S U 23S U 31S U 1NS U 2NS U 3NS U 2U U 3U U 2V U 3V U 2W U 3W U 1NS U 2NS U 3NS Φ 3 Φ 1 Φ 2 j U 12P U 12S U 23P U 23S U 31P U 31S r U 1NS U 2NS U 2NS U 3NS U 3NS U 1NS 1W1 1W2 w 1 U 31P 1V1 1V2 w 1 U 23P 1U1 1U2 w 1 L 1P L 2P L 3P L 1S w 2 2W1 2W2 U 31S w 2 2V1 2V2 U 23S w 2 2U1 2U2 L 2S L 3S U 12P U 12S ±180° Φ 1 j U 12P U 23P U 31P U 12S U 23S U 31S r Φ 2 Φ 3 <?page no="181"?> 179 Schaltgruppe Schaltbild Zeigerdiagramm VDE IEC B 2 Yyn6 Phasendrehung um 180° B 3 Dzn6 Phasendrehung um 180° L 1S w 2 2W1 2W2 U 3NS w 2 2V1 2V2 U 2NS w 2 2U1 2U2 U 1NS L 2S L 3S 1W1 1W2 w 1 U 3NP 1V1 1V2 w 1 U 2NP 1U1 1U2 w 1 U 1NP L 1P L 2P L 3P U 12P U 23S U 31S U 12S U 23P U 31P N S N P Φ 1 Φ 3 Φ 2 j U 12S U 23S U 31S U 12P U 23P U 31P r U 1NP U 2NP U 3NP U 1NS U 2NS U 3NS U 2NS U 3NS U 1NS U 2NP U 3NP U 1NP U 2U U 3U U 2V U 3V U 2W U 3W U 1NS U 2NS U 3NS U 31S U 12S U 23S w 3 3W1 3W2 U 3W w 3 3V1 3V2 U 3V w 3 3U1 3U2 U 3U w 2 2W1 2W2 U 2W w 2 2V1 2V2 U 2V w 2 2U1 2U2 U 2U 1W1 1W2 w 1 U 31P 1V1 1V2 w 1 U 23P 1U1 1U2 w 1 U 12P L 1P L 2P L 3P N S L 3S L 2S L 1S U 1NS U 2NS U 3NS U 3NS Φ 3 Φ 1 Φ 2 j r U 1NS U 2NS U 12S U 2NS U 3NS U 23S U 1NS U 31S U 12P U 23P U 31P <?page no="182"?> 180 Schaltgruppe Schaltbild Zeigerdiagramm VDE IEC C 1 Dyn5 Phasendrehung 150° rückwärts C 2 Yd5 Phasendrehung 150° rückwärts 2U2 2V2 w 2 1W1 1W2 w 1 U 31P 2W1 2W2 U 3NS w 2 1V1 1V2 w 1 U 23P 2V1 U 2NS w 2 1U1 1U2 w 1 U 12P 2U1 U 1NS L 1S L 2S L 3S N S L 1P L 2P L 3P U 12S U 23S U 31S 1W1 1W2 w 1 U 3NP 1V1 1V2 w 1 U 2NP 1U1 1U2 w 1 U 1NP L 1P L 2P L 3P U 12P U 23P U 31P 2V2 w 2 2W1 2W2 U 23S w 2 2V1 U 12S w 2 2U1 2U2 U 31S L 1S L 2S L 3S N P r Φ 1 Φ 3 j U 12P U 23P U 31P U 12S U 23S U 31S U 1NS U 2NS U 3NS U 2NS -150° U 3NS U 1NS Φ 2 Φ 1 Φ 3 Φ 2 j U 31P U 12S U 23S U 31S U 12P U 23P U 3NP U 1NP U 3NP -150° r U 2NP U 1NP U 2NP Φ 2 Φ 3 <?page no="183"?> 181 Schaltgruppe Schaltbild Zeigerdiagramm VDE IEC C 3 Yzn5 Phasendrehung 150° rückwärts D 1 Dyn11 Phasendrehung 30° vorwärts U 2U U 3U U 2V U 3V U 2W U 3W U 3NS U 1NS U 2NS w 2 1W1 1W2 w 1 U 31P 2W1 2W2 U 3NS w 2 1V1 1V2 w 1 U 23P 2V1 2V2 U 2NS w 2 1U1 1U2 w 1 U 12P 2U1 2U2 U 1NS L 1S L 2S L 3S N S L 1P L 2P L 3P U 12S U 23S U 31S U 12S U 23S L 3S L 2S L 1S U 31S N S U 1NS U 2NS U 3NS 1W1 1W2 w 1 U 3NP 1V1 1V2 w 1 U 2NP 1U1 1U2 w 1 U 1NP L 1P L 2P L 3P U 12P U 23P U 31P w 3 3W1 3W2 U 3W w 3 3V1 3V2 U 3V w 3 3U1 3U2 U 3U w 2 2W1 2W2 U 2W w 2 2V1 2V2 U 2V w 2 2U1 2U2 U 2U Φ 3 Φ 1 Φ 2 j U 12P U 23P r U 2NS U 3NS U 23S U 1NP U 2NP U 3NP U 1NS U 31P U 2NP U 2NS U 12S U 23S U 3NS U 1NS U 31S U 3NP U 1NP -150° r Φ 1 Φ 3 Φ 2 j U 12P U 23P U 31P U 12S U 23S U 31S U 1NS U 3NS U 2NS U 3NS U 1NS U 2NS +30° <?page no="184"?> 182 Schaltgruppe Schaltbild Zeigerdiagramm VDE IEC D 2 Yd11 Phasendrehung 30° vorwärts D 3 Yzn11 Phasendrehung 30° vorwärts r Φ 1 Φ 3 j U 12S U 23P U 31P U 12P U 23S U 31S U 2NP U 3NP U 1NP Φ 2 U 2NP U 3NP U 1NP +30° U 2U U 3U U 2V U 3V U 2W U 3W U 3NS U 1NS U 2NS U 12S U 23S L 3S L 2S L 1S U 31S N S U 1NS U 2NS U 3NS 1W1 1W2 w 1 U 3NP 1V1 1V2 w 1 U 2NP 1U1 1U2 w 1 U 1NP L 1P L 2P L 3P U 12P U 23P U 31P w 3 3W1 3W2 U 3W w 3 3V1 3V2 U 3V w 3 3U1 3U2 U 3U w 2 2W1 2W2 U 2W w 2 2V1 2V2 U 2V w 2 2U1 2U2 U 2U +30° r U 1NS Φ 3 Φ 1 Φ 2 j U 12P U 23P U 23S U 1NP U 2NP U 3NP U 1NS U 31P U 2NP U 2NS U 12S U 3NS U 31S U 3NP U 1NP U 2NS U 3NS 2W1 1W1 1W2 w 1 U 3NP 1V1 1V2 w 1 U 2NP 1U1 1U2 w 1 U 1NP L 1P L 2P L 3P U 12P U 23P U 31P 2V2 w 2 2W2 U 23S w 2 2V1 U 12S w 2 2U1 2U2 U 31S L 1S L 2S L 3S N P <?page no="185"?> 183 In Tabelle 5 bezeichnet die erste Spalte die Schaltgruppe nach VDE 0532 und die zweite Spalte nach IEC. Die internationale Schaltgruppenbezeichnung nach IEC ist aussagekräftiger als die VDE- Bezeichnung. Die dritte Spalte der Schaltgruppe zeigt das Schaltbild von Primär- und Sekundärseite des Drehstromtransformators mit Spannungszählpfeilen. Die Schaltgruppen realisieren verschiedene Kombinationen von Dreieck-, Stern- und Zickzackschaltung. Die vierte Spalte enthält die für alle Schaltgruppen gleichen Magnetflusszeiger zu den Magnetflusszählpfeilen in Bild 87 . Sie bilden die Grundlage zur Ableitung der Spannungszeiger. Jeder Zeiger in der vierten Spalte drückt in Verbindung mit einem gleichnamigen Zählpfeil im Schaltbild Betrag und Phase der Transformatorspannungen aus. In Schaltgruppen mit Zickzackschaltung befindet sich in der vierten Spalte zusätzlich ein Hilfszeigerdiagramm zur Ermittlung der sekundärseitigen Strangspannungen aus den Wicklungsspannungen der Zickzackschaltung. Ausgehend von den Wicklungsspannungen im Schaltbild erhält man durch Maschenumläufe längs der Spannungszählpfeile Gleichungen, die den Rechenbefehl für Addition oder Subtraktion von Zeigern bilden. Das Ziel ist die Ermittlung der Leiterspannungen in der Schaltgruppe. Die Ziffer in der Schaltgruppenbezeichnung nach IEC kennzeichnet die Phasendrehung der sekundären Leiterspannungen gegenüber den primären Leiterspannungen. Im Einzelnen bedeuten die Ziffern: ● 0 keine Phasendrehung ● 5 Phasendrehung von 150° rückwärts ● 6 Phasendrehung von 180° ● 11 Phasendrehung von 30° vorwärts Multipliziert man die Ziffer in der IEC-Bezeichnung mit 30°, erhält man die Phasendrehung rückwärts (z.B. 5 x 30° = 150°). Drehung rückwärts bedeutet: entgegen dem mathematisch positiven Drehsinn. Der mathematisch positive Drehsinn ist in der komplexen Ebene entgegen dem Drehsinn des Uhrzeigers gerichtet. Die Ziffer 11 in der IEC-Bezeichnung mit 30° multipliziert ergibt 330°. Eine Phasendrehung von 330° rückwärts ist gleichbedeutend einer Phasendrehung von 30° vorwärts. Bei einer Phasendrehung von 180° gemäß Ziffer 6 in der IEC-Bezeichnung ist es gleichgültig, ob diese vorwärts oder rückwärts gedeutet wird. Eine weitere Deutungshilfe der Ziffern in den IEC-Bezeichnungen ermöglicht das Zifferblatt einer Analoguhr für 12 Stunden. Mit jeder Stunde dreht sich der Stundenzeiger um 30°. Ordnet man der „12“ auf dem Zifferblatt den Winkel „0°“ zu, entsprechen die Stellungen des Stundenzeigers auf der 5, 6, 11 des Zifferblattes den o.g. Winkeln zur Phasendrehung. Die Bestimmung des Spannungsübersetzungsverhältnisses aus dem Windungszahlenverhältnis ist bei Drehstromtransformatoren nicht ganz so einfach wie bei Einphasen-Wechselstromtransformatoren, bei denen, wie bekannt, das Spannungsübersetzungsverhältnis gleich dem Windungszahlenverhältnis ist. Als Spannungsübersetzungsverhältnis bei Drehstromtransformatoren bezeichnen wir das Verhältnis einer komplexen Leiterspannung auf der Primärseite zur entsprechenden komplexen Leiterspannung auf der Sekundärseite. Zur Erklärung eines Weges für die Bestimmung des Spannungsübersetzungsverhältnisses betrachten wir die Schaltgruppe Yzn11 am Ende von Tabelle 5 : <?page no="186"?> 184 Grundlage bilden die Magnetflüsse Φ 1 , Φ 2 und Φ 3 , die mit Bezug auf Bild 87 die Wicklungen mit den Anschlüssen U, V und W in allen Schaltgruppen durchfluten. In den Zeigerdiagrammen von Tabelle 5 entnehmen wir den Zeigern für die Magnetflüsse die Gleichungen: , und . Die Größe Φ bezeichnet den für alle drei Magnetflüsse gleichgroßen Spitzenwert, der ihrer Zeigerlänge entspricht. Die Darstellungsform von Φ 2 und Φ 3 mit negativem Vorzeichen bewirkt, dass im Exponenten Winkelbeträge stehen, die kleiner als 90° sind. Dadurch werden Fehler bei der Umrechnung komplexer Zahlen von der kartesischen Form in die Exponentialform infolge Zweideutigkeit der Arkus-Tangens- Funktion vermieden. Nach dem Induktionsgesetz für Wechselspannungen induziert der Magnetfluss Φ 1 in der rechten Primärwicklung w 1 in der Tabellenspalte „Schaltbild“ die primäre Strangspannung . Der Magnetfluss Φ 2 induziert in der mittleren Primärwicklung w 1 die primäre Strangspannung . Mit den Zählpfeilen in der Schaltung errechnen wir für die primäre Leiterspannung U 12P = U 1NP - U 2NP und nach Einsetzen der beiden vorherigen Gleichungen . In der rechten Sekundärwicklung w 2 induziert der Magnetfluss Φ 2 die Wicklungsspannung . In der mittleren Sekundärwicklung w 3 induziert der Magnetfluss Φ 2 die Wicklungsspannung . Mit den Zählpfeilen in der Schaltung errechnen wir für die sekundäre Strangspannung U 1NS = U 2U - U 3V und nach Einsetzen der beiden vorherigen Gleichungen . In der mittleren Sekundärwicklung w 2 induziert der Magnetfluss Φ 2 die Wicklungsspannung . Φ 1 = Φ^ Φ 2 = Φ e = - Φ e ^ j 60° / rad - j120° / rad ^ Φ 3 = Φ e = - Φ e ^ - j 60° / rad j120° / rad ^ ^ U 1NP = j ω / rad w 1 Φ^ U 2NP = - j ω / rad w 1 Φ e ^ j 60° / rad U 12P = j ω / rad w 1 Φ ( 1+ e ) ^ j 60° / rad U 2U = j ω / rad w 2 Φ^ U 3V = - j ω / rad w 3 Φ e ^ j 60° / rad U 1NS = j ω / rad Φ ( w 2 + w 3 e ) ^ j 60° / rad U 2V = - j ω / rad w 2 Φ e ^ - j 60° / rad <?page no="187"?> 185 In der linken Sekundärwicklung w 3 induziert der Magnetfluss Φ 3 die Wicklungsspannung . Mit den Zählpfeilen in der Schaltung errechnen wir für die sekundäre Strangspannung U 2NS = U 2V - U 3W und nach Einsetzen der beiden vorherigen Gleichungen . Mit den Zählpfeilen in der Schaltung errechnen wir für die sekundäre Leiterspannung U 12S = U 1NS - U 2NS und nach Einsetzen der beiden vorherigen Strangspannungen und Umformung . Die Wicklungen w 2 und w 3 der Zickzackschaltung in Bild 87 haben gleiche Windungszahlen, die wir mit w 2 bezeichnen. Deshalb setzen wir die Beziehung w 3 = w 2 in obige Gleichung ein und schreiben für diese in vereinfachter Form . Mit dieser Gleichung für die sekundäre Leiterspannung U 12S und der bereits aufgestellten Gleichung für die primäre Leiterspannung U 12P bilden wir das gesuchte Spannungsübersetzungsverhältnis U 12P / U 12S . Dabei entfallen imaginäre Einheit, Kreisfrequenz und Spitzenwert des Magnetflusses im Term j ω / rad Φ durch Kürzen. Das errechnete komplexe Spannungsverhältnis lautet . Diese Gleichung lässt sich wesentlich vereinfachen, indem wir die in ihr vorkommenden komplexen Zahlen im Zähler und Nenner von der Exponentialform in die kartesische Form mit Hilfe der Eulerschen Formel für komplexe Zahlen umwandeln (siehe Gl. (41). Nach Errechnung der Summen und Differenzen verwandeln wir wieder Zähler und Nenner in die Exponentialform. Den Betrag erhalten wir als Wurzel der Quadratsumme von Real- und Imaginärteil und den Winkel als den Arkus-Tangens des Quotienten von Imaginärteil zu Realteil. In einer Nebenrechnung schreiben wir für den Zähler in obiger Gleichung Für den Nenner in der Gleichung für das Spannungsverhältnis schreiben wir U 3W = - j ω / rad w 3 Φ e ^ - j 60° / rad U 2NS = j ω / rad Φ ( w 3 e - w 2 e ) ^ j 60° / rad - j 60° / rad U 12S = j ω / rad Φ [ w 2 ( 1+ e ) + w 3 ( e - e )] ^ j 60° / rad - j 60° / rad j 60° / rad U 12S = j ω / rad w 2 Φ [ ( 1+ e ) + ( e - e )] ^ j 60° / rad - j 60° / rad j 60° / rad ^ w 2 U 12P U 12S = w 1 ( 1+ e ) j 60° / rad ( 1+ e ) + ( e - e ) j 60° / rad j 60° / rad - j 60° / rad ( 1+ e ) j 60° / rad = 1 + cos60° + j sin60° = 1 + 0,5 + j 0,5 3 ( 1+ e ) j 60° / rad = 1,5 + j 0,5 3 = 3 e j 30° / rad <?page no="188"?> 186 Die Ergebnisse der Nebenrechnung von Zähler und Nenner in Exponentialform setzen wir in die Gleichung für das komplexe Spannungsverhältnis ein und erhalten das Ergebnis . Nach Umrechnung des mittleren Teils dieser Gleichung ergibt sich der vereinfachte rechte Ausdruck mit nur einem Zahlenwert und einer Potenz. Nach den Gesetzen der Potenzrechnung erhält man den Exponenten im rechten Ausdruck durch Subtraktion des Exponenten im Nenner des mittleren Teils vom Exponenten im Zähler. Der Betrag obiger Gleichung ist gleich dem Verhältnis der Spitzenwerte U 12P / U 12S und somit auch der Effektivwerte U 12P / U 12S der primärseitigen zur sekundärseitigen Leiterspannung. Der Winkel im Exponenten bezeichnet die Phasenverschiebung zwischen primärseitiger und sekundärseitiger Leiterspannung einer Phase. Betrachten wir U 12S als Bezugsspannung, besagt obige Gleichung: Die primärseitige Leiterspannung U 12P eilt der sekundärseitigen Leiterspannung U 12S um 30° nach. Betrachten wir U 12P als Bezugsspannung, gilt mit obiger Gleichung: Die sekundärseitige Leiterspannung U 12S eilt der primärseitigen Leiterspannung um 30° voraus. Beide Aussagen sind gleichberechtigt. Die Angaben zur Phasendrehung in Tabelle 5 beziehen sich auf primäre Leiterspannungen als Bezugsspannung. Das in diesem Abschnitt abgeleitete Spannungsübersetzungsverhältnis bezieht sich primärseitig und sekundärseitig auf die Spannungen zwischen den Leitern L 1 und L 2 (U 12P und U 12S ). Selbstverständlich gelten diese Ableitungen durch zyklische Vertauschung auch für die Spannungen zwischen den Leitern L 2 und L 3 sowie L 3 und L 1 . Somit gilt allgemein für die Schaltgruppe Yzn11 : Das Spannungsübersetzungsverhältnis für die Effektivwerte der Leiterspannungen von Primärseite (U LP ) zu Sekundärseite (U LS ) beträgt . Die Phasendrehung der sekundärseitigen Leiterspannungen beträgt mit Bezug auf die primärseitigen Leiterspannungen 30° vorwärts. Die Phasenlagen der Leiterspannungen sind in den Zeigerdiagrammen von Tabelle 5 ablesbar. Übungsaufgabe Bestimme für die Schaltgruppe Yd11 das Spannungsübersetzungsverhältnis U LP / U LS und die Phasendrehung der Sekundärspannung gegenüber der Primärspannung . ( 1+ e ) + ( e - e ) = (1,5 + j 0,5 3 ) + j 2 sin60° = 1,5 + j 1,5 3 j 60° / rad j 60° / rad - j 60° / rad ( 1+ e ) + ( e - e ) = (1,5 + j 1,5 3 ) = 3 e j 60° / rad j 60° / rad - j 60° / rad j 60° / rad U 12P U 12S = w 2 w 1 1 3 w 2 w 1 3 e j 30° / rad 3 e j 60° / rad = e − j 30° / rad ^ ^ U LP U LS = w 2 w 1 1 3 <?page no="189"?> 187 Die Spannungsübersetzungsverhältnisse der Schaltgruppen in Tabelle 5 sind in Tabelle 6 verzeichnet. Tabelle 6: Spannungsübersetzungsverhältnisse der Schaltgruppen Schaltgruppe Spannungsübersetzungsverhältnis Phasendrehung sekundärseitig Sekundärer Neutralleiter VDE IEC U LP / U LS A 1 Dd0 unverändert nicht vorhanden A 2 Yyn0 unverändert wenig belastbar A 3 Dzn0 (w 3 = w 2 ) unverändert voll belastbar B 1 Dd6 180° nicht vorhanden B 2 Yyn6 180° wenig belastbar B 3 Dzn6 (w 3 = w 2 ) 180° voll belastbar C 1 Dyn5 150° rückwärts voll belastbar C 2 Yd5 150° rückwärts nicht vorhanden C 3 Yzn5 (w 3 = w 2 ) 150° rückwärts voll belastbar D 1 Dyn11 30° vorwärts voll belastbar D 2 Yd11 30° vorwärts nicht vorhanden D 3 Yzn11 (w 3 = w 2 ) 30° vorwärts voll belastbar Im Kopf der Spalte für das Spannungsübersetzungsverhältnis von Tabelle 6 steht U LP / U LS als Sammelbezeichnung für die Übersetzungsverhältnisse der primärseitigen zu den sekundärseitigen Leiterspannungen U 12P / U 12S , U 23P / U 23S und U 31P / U 31S . Die rechte Spalte von Tabelle 6 enthält Bemerkungen zum sekundärseitigen Neutralleiter. In den Schaltgruppen Yyn0 und Yyn6 ist dieser wenig belastbar. Je größer die Lastunterschiede jeweils zwischen einem Leiter und dem Neutralleiter sind, umso höher ist der Strom im Neutralleiter. An der primärseitigen Sternschaltung liegt in der w 1 w 2 w 1 w 2 w 1 w 2 1 3 w 1 w 2 w 1 w 2 3 1 w 1 w 2 1 3 3 w 1 w 2 w 1 w 2 3 1 w 1 w 2 3 1 3 w 1 w 2 w 1 w 2 3 1 w 1 w 2 <?page no="190"?> 188 Regel kein Neutralleiter zur Aufnahme der Differenzströme gemäß Übersetzungsverhältnis. Als Folge weichen die Strangspannungen nach Betrag und Phase von ihren Normalwerten ab. Das Sternpunktpotential wird dadurch verschoben. An die Strangspannung angeschlossene Verbraucher hätten keine stabile Netzspannung. Für größere unsymmetrische Belastungen der Strangspannungen verwendet man die Dreieck-Stern-Schaltungen Dy5 und Dy11. Bis auf ihre Phasendrehung sind diese beiden häufig verwendeten Schaltungen in ihren Eigenschaften einander gleichwertig. Für Maschinentransformatoren großer Kraftwerke verwendet man vorwiegend die Stern- Dreieck-Schaltung YNd5. (Das „N“ kennzeichnet den herausgeführten Sternpunkt auf der Oberspannungsseite.) In den Tabellen 5 und 6 ist ersichtlich, dass die Schaltungen zu den Kennbuchstaben A nach VDE und zu der Kennziffer 0 nach IEC eine unveränderte sekundärseitige Phasendrehung haben. Diese Schaltungen bilden eine Schaltgruppe. Ebenso bilden die Schaltungen mit dem Kennbuchstaben B nach VDE und der Kennziffer 6 nach IEC mit der Phasendrehung 180° eine Schaltgruppe. Das Gleiche gilt für die Schaltungen mit dem Kennbuchstaben C nach VDE und der Kennziffer 5 nach IEC mit der Phasendrehung 150° rückwärts sowie für die Schaltungen mit dem Kennbuchstaben D nach VDE und der Kennziffer 11 nach IEC mit der Phasendrehung 30° vorwärts. In jeder dieser vier genannten Schaltgruppen sind die dazugehörigen Transformatoren miteinander parallelschaltbar. 9.10 Statischer Drehfeldrichtungsanzeiger Bekannte Drehfeldrichtungsanzeiger besitzen eine drehbar gelagerte Aluminiumscheibe und drei mit L 1 , L 2 und L 3 (früher mit R, S und T) bezeichnete Anschlussklemmen. Dreht sich nach Anschluss der Klemmen an das Drehstromnetz die Scheibe in Pfeilrichtung, stimmt die vorher unbekannte Phasenfolge der Leiter des Drehstromnetzes mit der Klemmenbezeichnung des Drehfeldrichtungsanzeigers überein. Einen statischen Drehfeldrichtungsanzeiger ohne mechanisch bewegte Teile gibt Ohlhans in der Zeitschrift „Archiv für technisches Messen“ (ATM), Heft 264, Januar 1958, Seite 6 an. Die Schaltung dazu zeigt Bild 88 . Bild 88 Statischer Drehfeldrichtungsanzeiger: Richtige Phasenfolge R 1 R 2 C 1 C 2 A B L 1 L 3 L 2 L 2 U R1 U C1 U R2 U C2 U 12 U 23 U AB I 1 I 2 I 1 I 2 Gl <?page no="191"?> 189 Die Schaltung besteht aus zwei Widerständen R 1 und R 2 , aus zwei Kondensatoren C 1 und C 2 sowie aus einer Glimmlampe Gl als Anzeigeelement. Die Anschlüsse L 1 , L 2 und L 3 bezeichnen gleichzeitig die Leiter eines Drehstromnetzes, mit denen die Schaltung verbunden wird. Der Anschluss L 2 ist zwecks übersichtlicher Schaltungsdarstellung zweimal gezeichnet, am Gerät jedoch nur einmal vorhanden. Bei Übereinstimmung der Bezeichnungen der Leiter mit den Anschlussbezeichnungen der Schaltung liegt an den Schaltungspunkten A und B eine Spannung, die z.B. mit einer Glimmlampe nachgewiesen wird. Diese Übereinstimmung liegt in Bild 88 vor, so dass die Glimmlampe leuchtet. Nach Vertauschen von zwei Anschlüssen ist die Spannung zwischen A und B gleich null. Zur Erklärung der Wirkungsweise trennen wir zunächst die Glimmlampe von der Schaltung. Dann erkennen wir an den Anschlüssen L 1 und L 2 eine Reihenschaltung von R 1 und C 1 und an den Anschlüssen L 2 und L 3 eine Reihenschaltung von R 2 und C 2 . Die R-C-Reihenschaltung haben wir in Kap. 6.2.5 ausführlich behandelt. Zusätzlich zu den Angaben in Bild 88 führen wir noch folgende Größen ein: Wechselstromwiderstand der Kondensatoren: Komplexer Widerstand der R-C-Reihenschaltungen: An den Anschlüssen L 1 und L 2 : R 1 = R 1 − j R C1 An den Anschlüssen L 2 und L 3 : R 2 = R 2 − j R C2 Um die geforderte Funktion der Schaltung zu erfüllen, werden folgende Bedingungen an die Werte der Bauelemente gestellt: • Der Winkel der R-C-Reihenschaltung R 1 soll − 60° betragen. • Der Winkel der R-C-Reihenschaltung R 2 soll − 30° betragen. • Der Widerstandsbetrag der R-C-Reihenschaltungen soll gleich sein. Das heißt ⏐R 1 ⏐=⏐R 2 ⏐ . Diese Bedingungen veranschaulichen die Widerstands-Zeigerdiagramme in Bild 88a und 88b . Bild 88a Bild 88b Widerstandszeiger zu R 1 Widerstandszeiger zu R 2 j ω / rad C 1 R C1 = = − j R C1 1 j ω / rad C 2 R C2 = = − j R C2 1 − 60° j r R 1 R C1 R 1 − 30° r j R C2 R 2 R 2 <?page no="192"?> 190 In den Zeigerdiagrammen Bild 88a und b erkennen wir geometrisch betrachtet vier rechtwinklige Dreiecke mit Winkelbeträgen von 30° und 60°. Ein ausgeschnittenes Dreieck dieser Form wäre durch entsprechendes Drehen und Wenden mit jedem dieser vier Dreiecke deckungsgleich. Mit der Bedingung, dass die Beträge der komplexen Widerstände zwischen den Schaltungsanschlüssen in Bild 88 gleich sind, haben die Zeiger R 1 und R 2 gleiche Länge. Diese bilden die Hypotenuse der Dreiecke. Somit sind auch die kurzen Katheten und die langen Katheten untereinander gleich lang. In den Zeigerdiagrammen lesen wir deshalb unmittelbar ab: R 1 = R C2 und R 2 = R C1 . R 1 und R 2 bezeichnen die ohmschen (reellen) Widerstände der Schaltung, und R C1 und R C2 bezeichnen die Beträge der kapazitiven Widerstände mit den Beziehungen und . Für die Winkel in den o.g. Dreiecken gelten die Kosinusfunktionen und . Mit diesen Werten ergeben sich für die Dreieckseiten in den Zeigerdiagrammen und damit für die Widerstandswerte in der Schaltung die Beziehungen , , und . Mit der bereits genannten Bedingung ⏐R 1 ⏐=⏐R 2 ⏐ errechnen wir die Widerstandsverhältnisse und . Zum obigen Verhältnis der kapazitiven Widerstände sind die Kondensatoren in der Schaltung umgekehrt proportional, so dass für das Verhältnis der Kondensatoren gilt. Bei Vorgabe eines Bauelementewertes, z.B. R 1 = 270 kΩ, sind jetzt die übrigen Bauelementewerte errechenbar. Die soeben abgeleiteten Beziehungen zwischen den Schaltelementen bilden die Grundlage zur Wirkungsweise der Schaltung nach Bild 88 . Dazu betrachten wir die Spannungsverhältnisse mit Hilfe von Spannungszeigern in Bild 88c . Diese ermöglichen uns auf graphischem Wege das Verständnis der Schaltung ohne großen mathematischen Aufwand. Im Zeigerdiagramm Bild 86c bilden die Zeiger zu den drei Leiterspannungen eines Drehstromnetzes U 12 , U 23 und U 31 ein gleichseitiges Dreieck. Dieses entsteht durch Parallelverschiebung der üblicherweise im Koordinatenursprung beginnenden Zeiger. Wie bekannt, ist die geometrische Summe der Leiterspannungszeiger gleich null. Das erkennen wir sofort an dem Zeigerdreieck ohne zusätzliche Parallelogrammbildung. Die Darstellungsart mit parallelverschobenen Zeigern gestaltet oft die graphische Addition und Subtraktion von Zeigern übersichtcher. Durch Rückverschiebung der Zeiger in den Ursprung eines komplexen Koordi- 2 ω / rad C 1 R C1 = 1 ω / rad C 2 R C2 = 1 cos 60° = 1 cos 30° = 1 2 3 R 1 = ⏐R 1 ⏐ 2 1 R C2 = ⏐R 2 ⏐ 2 1 R C1 = ⏐R 1 ⏐ 2 1 3 R 2 = ⏐R 2 ⏐ 2 1 3 R 2 R 1 = 3 R C1 R C2 = 3 C 2 C 1 = 3 <?page no="193"?> 191 • • U AB U 12 U 31 U 23 U R1 U C1 U R2 U C2 I 1 I 2 natensystems würde das bekannte sternförmige Zeigerbild entstehen. Das Koordinatensystem befindet sich symbolisch neben dem Zeigerbild. Bild 88c Zeigerdiagramm zu Bild 88 In einem ersten Schritt betrachten wir die linke Teilschaltung in Bild 88 . An den Anschlüssen liegen die Leiter L 1 und L 2 mit der Spannung U 12 . Die Reihenschaltung von R 1 und C 1 ergibt den komplexen Widerstand R 1 . Durch diesen fließt der Strom . Da die Reihenschaltung von R 1 und C 1 eine kapazitive Komponente hat, muss der Stromzeiger I 1 dem Spannungszeiger U 12 vorauseilen, wie in Bild 88c dargestellt. Im Schaltbild 88 ist ersichtlich, dass der Strom I 1 durch den Widerstand R 1 fließt. Folglich hat die Spannung U R1 über R 1 die gleiche Phasenlage wie I 1 . Zusätzlich fließt I 1 durch den Kondensator C 1 . Die Spannung U C1 muss somit dem Strom I 1 um 90° nacheilen. Die Spannungszeiger U R1 und U C1 bilden also einen rechten Winkel. Der Kirchhoffsche Maschensatz ergibt mit den Zählpfeilen in Bild 88 die Beziehung Leiterspannung U 12 = U R1 + U C1 . Nach dem Lehrsatz des Thales ist der Peripheriewinkel im Halbkreis immer ein rechter. Diesen rechten Winkel bilden die Spannungszeiger U R1 und U C1 im linken Halbkreis von Bild 88c . Gleichzeitig erfüllen diese beiden Zeiger obige Beziehung. Die Lage des rechten Winkels der Zeiger auf dem Halbkreis wird vom Verhältnis des ohmschen zum kapazitiven Widerstand eines Schaltungszweiges bestimmt. Aus der geometrischen Struktur des Zeigerdiagramms der Widerstandszeiger in Bild 88a geht hervor, dass das Verhältnis der Beträge des kapazitiven Widerstandes R C1 zum ohmschen Widerstand R 1 beträgt. j r U 12 R 1 I 1 = R C1 R 1 = 3 <?page no="194"?> 192 Da die Spannungsbeträge ⏐ U C1 ⏐ und ⏐ U R1 ⏐ proportional zu den Widerstandsbeträgen R C1 und R 1 sind, gilt für die Spannungszeigerlängen in Bild 88c ebenfalls das Verhältnis . Mit dieser Beziehung ist die Lage des rechten Winkels auf dem linken Halbkreis bestimmt. In einem zweiten Schritt betrachten wir die rechte Teilschaltung in Bild 88 , an der die Leiterspannung U 23 angeschlossen ist. Im Unterschied zur linken Teilschaltung ist in der rechten das Verhältnis der Beträge des kapazitiven Widerstandes zum ohmschen Widerstand umgekehrt. Aus der geometrischen Struktur des Zeigerdiagramms der Widerstandszeiger in Bild 88b geht hervor, dass das Verhältnis der Beträge des ohmschen Widerstandes R 2 zum kapazitiven Widerstand R C2 beträgt. Das zu diesem Widerstandsverhältnis proportionale Spannungsverhältnis beträgt somit . Die dazugehörigen Spannungszeiger im rechten „Thaleshalbkreis“ sind in Bild 88c eingezeichnet. Aus dem Zeigerdiagramm geht Folgendes hervor: • Der Zweigstrom I 2 hat die gleiche Phasenlage wie die Spannung über dem Wider stand R 2 . • Der Zweigstrom I 2 eilt der Spannung über dem Kondensator C 2 um 90° voraus. • Die Spannungszeiger U R2 und U C2 bilden den rechten Peripheriewinkel im Halbkreis. • Die geometrische Addition der Spannungszeiger U R2 und U C2 ergibt den Zeiger der angelegten Leiterspannung U 23 . Die gesuchte Spannung an der Glimmlampe zur Drehfeldrichtungsanzeige ist U AB im Schaltbild Bild 88 . An der mittleren Masche im Schaltbild liest man mit Hilfe der Zählpfeile die Beziehung U AB = U C1 + U R2 ab. Die geometrische Addition obiger Beziehung wird von den zugehörigen Zeigern in Bild 88c ausgeführt. Den Betrag von U AB ermitteln wir wie folgt am Zeigerdiagramm: Wir betrachten das von den Zeigern U R2 , U C2 und U 23 gebildete rechtwinklige Dreieck. Für die Beträge dieser Zeiger gilt laut Pythagoras ⏐ U 23 ⏐ 2 = ⏐ U C2 ⏐ 2 + ⏐ U R2 ⏐ 2 . = 3 ⏐ U C1 ⏐ ⏐ U R1 ⏐ R 2 R C2 = 3 = 3 ⏐ U R2 ⏐ ⏐ U C2 ⏐ <?page no="195"?> 193 Wie wir bereits feststellten, beträgt das Spannungsverhältnis . Daraus folgt nach Umstellen und Quadrieren ⏐ U R2 ⏐ 2 = 3 ⏐ U C2 ⏐ 2 . Nach Einsetzen dieser Beziehung in obige Gleichung erhalten wir ⏐ U 23 ⏐ 2 = ⏐ U C2 ⏐ 2 + 3 ⏐ U C2 ⏐ 2 = 4 ⏐ U C2 ⏐ 2 und nach Radizieren und Umstellen . Der Spannungsbetrag am Kondensator C 2 ist also halb so groß wie der betrachtete Leiterspannungsbetrag. Die Spannungsbeträge entsprechen den Zeigerlängen in Bild 88c . Somit erkennen wir im linken rechtwinkligen Dreieck des Zeigerdiagramms, dass der Spannungsbetrag am Widerstand R 1 halb so groß ist wie die Leiterspannung ⏐ U 12 ⏐ . Bei Betrachtung der geometrischen Struktur des Zeigerdiagramms können wir diese letzten beiden Aussagen wie folgt verallgemeinern: Im Zeigerdiagramm erkennen wir drei kleine gleichseitige Dreiecke. Jede Seite dieser Dreiecke hat die halbe Länge eines Leiterspannungszeigers. Am großen gleichseitigen Dreieck in Diagramm-Mitte erkennen wir die selbstverständlichen gleichen Beträge der Leiterspannungen eines Drehstromnetzes. Diesen geben wir die Sammelbezeichnung ⏐ U L ⏐ = ⏐ U 12 ⏐ = ⏐ U 23 ⏐ = ⏐ U 31 ⏐ (Index L steht für Leiterspannung). Im Zeigerdiagramm lesen wir ab, dass der Zeiger U AB die dreifache Länge einer Dreieckseite der kleinen Dreiecke hat. Daraus schließen wir auf die Beziehung ⏐ U AB ⏐ = 3/ 2 ⏐ U L ⏐ . Nach Einführen von Effektivwerten erhalten wir das Endergebnis U AB = 1,5 U L . Die Spannung U AB zündet die im Schaltbild eingezeichnete Glimmlampe. Sie zeigt an, dass die Phasenfolge des Drehstromnetzes den Anschlussbezeichnungen der Schaltung entspricht. Für die Glimmlampe erübrigt sich ein Vorwiderstand, wenn die Schaltelemente so hochohmig sind, dass der Grenzwert des Glimmlampenstromes nicht überschritten wird. Im letzten Teil dieses Kapitels betrachten wir den Fall, in dem die Phasenfolge des Drehstromnetzes nicht den Anschlussbezeichnungen der Schaltung entspricht. Dazu vertauschen wir die Anschlüsse L 1 und L 3 des Drehstromnetzes in Bild 88 und erhalten Bild 89 , in dem wir auch die Zählpfeilrichtungen den neuen Verhältnissen anpassen. = 3 ⏐ U R2 ⏐ ⏐ U C2 ⏐ ⏐ U C2 ⏐ = ⏐ U 23 ⏐ 1 2 <?page no="196"?> 194 U BA = 0 • • U 12 U 31 U 23 U R1 U C1 U R2 U C2 I 2 I 1 Bild 89 Statischer Drehfeldrichtungsanzeiger: Falsche Phasenfolge Im Unterschied zu Bild 88 liegen infolge der Anschlussvertauschung die Leiterspannung U 12 an den rechten Anschlüssen und die Leiterspannung U 23 an den linken Anschlüssen der Schaltung. Zweckentsprechend haben die Zählpfeile einen entgegengesetzten Richtungssinn gegenüber Bild 88 . Das zugehörige Zeigerdiagramm enthält Bild 89a . Bild 89a Zeigerdiagramm zu Bild 89 Das Leiterspannungsdreieck mit den Zeigern U 12 , U 23 und U 31 ist das gleiche wie in Bild 88c . Auch die Beträge der Ströme und der Spannungen über den Schaltelementen bleiben unverändert, da die Beträge der Leiterspannungen untereinander gleich sind. Durch Tausch der Anschlüsse L 1 mit L 3 hat sich folgendes geändert: • Das Zeigerpaar U R1 und U C1 ergibt jetzt als Summe den Zeiger U 23 (vorher U 12 ). • Das Zeigerpaar U R2 und U C2 ergibt jetzt als Summe den Zeiger U 12 (vorher U 23 ). R 1 R 2 C 1 C 2 A B L 3 L 1 L 2 L 2 U R1 U C1 U R2 U C2 U 23 U 12 U BA I 1 I 2 I 1 I 2 Gl j r <?page no="197"?> 195 Den Rechenbefehl für die Zeigeraddition geben die Zählpfeile im Schaltbild. In diesem lesen wir ab: U 12 = U C2 + U R2 und U 23 = U C1 + U R1 . Geometrisch betrachtet wird das Zeigerpaar U R1 und U C1 vom linken Halbkreis in Bild 88c in den rechten Halbkreis von Bild 89a gelegt; und das Zeigerpaar U R2 und U C2 vom rechten Halbkreis in Bild 88c wird in den linken Halbkreis von Bild 89a gelegt. Als Gleichung für die Spannung U BA an der Glimmlampe lesen wir mit den Zählpfeilen der mittleren Masche im Schaltbild ab: U BA = U R2 + U C1 . Die Zeiger U R2 und U C1 im Zeigerdiagramm Bild 89a haben die gleiche Länge und unterscheiden sich in ihrer Phasenlage um 180°. Deshalb ist ihre Summe U BA = 0 . Die Glimmlampe in Bild 89 bleibt somit dunkel. Selbstverständlich sind die in diesem Kapitel erklärten graphischen Zusammenhänge nach Aufstellung der komplexen Gleichungen zu den Zeigern mathematisch ableitbar. Die Grundlagen dazu vermitteln die vorherigen Kapitel. Bei der Realisierung des beschriebenen statischen Drehfeldrichtungsanzeiger ist es zweckmäßig, die Schaltung doppelt herzustellen. Die beiden Schaltungen sind so an die drei Eingänge anzuschließen, dass eine mit „richtig“ gekennzeichnete Glimmlampe bei richtiger Phasenfolge an den Eingängen leuchtet. Die zweite mit „falsch“ gekennzeichnete Glimmlampe leuchtet bei falscher Phasenfolge an den Eingängen. Dieses Konzept signalisiert, dass keine Kontaktunterbrechung der Schaltung mit dem Drehstromnetz besteht. Zusätzlich signalisiert die Schaltung den Ausfall nur einer Phase des Drehstromnetzes, indem beide Glimmlampen gleichzeitig schwächer leuchten. Eine realisierte Schaltung, doppelt ausgeführt, besteht aus folgenden Bauelementen pro Schaltung (Die Bezeichnungen der Bauelemente beziehen sich auf Bild 88 und Bild 89): Widerstand R 1 = 270 kΩ , 0,5 W Widerstand R 2 = 470 kΩ, 0,5 W Kondensator C 1 = 6,9 nF, 630 V (Parallelschaltung von 4,7 nF und 2,2 nF) Kondensator C 2 = 10 nF, 630 V Glimmlampe Gl TEL 15-01 <?page no="198"?> 196 10 Gleichrichterschaltungen 10.1 Allgemeines In den Kapiteln 6 bis 9 sind Spannungen, Ströme und Magnetflüsse reine Sinusgrößen. In Gleichrichterschaltungen entstehen von der Sinusform abweichende Zeitverläufe der elektrischen Größen. Das erfordert eine andere Betrachtungsweise der Schaltungsfunktionen als bisher. Dazu dienen bevorzugt Liniendiagramme, wobei Zeigerdiagramme und komplexe Rechnung entfallen. Nach wie vor sind Zählpfeile in Schaltungen unentbehrlich, um Schaltungszusammenhänge fehlerfrei zu erkennen. Ziel der Gleichrichterschaltungen ist die Erzeugung einer Gleichspannung bzw. eines Gleichstromes aus einer Wechselspannungsbzw. Wechselstromquelle. Bevorzugt betrachten wir Wechselspannungsquellen. Chemische Spannungsquellen, also Batterien und Akkumulatoren erzeugen Gleichspannungen, die frei von überlagerten periodischen Spannungsschwankungen, sogenannten Oberwellen sind. Von Gleichrichterschaltungen erzeugte Gleichspannungen sind ohne zusätzliche Glättungsmaßnahmen nicht oberwellenfrei. Wie groß der Oberwellenanteil sein darf, richtet sich nach den Anforderungen. Ohne Glättungsmaßnahmen kann die Gleichspannung von null bis zu einem Spitzenwert pulsieren. Mit entsprechendem Glättungsaufwand erreicht die Gleichspannung die Güte einer chemischen Spannungsquelle. Grundschaltelement einer Gleichrichterschaltung ist der Richtleiter. Wie der Name schon sagt, lässt der Richtleiter den Strom nur in einer Richtung, der Durchlassrichtung fließen. In der entgegengesetzten Richtung, der Sperrrichtung, fließt kein Strom. Der Richtleiter wirkt in der Sperrrichtung wie ein unterbrochener Leiter. Herkömmliche und heute noch verwendete Gleichrichter sind Selengleichrichter und Kupferoxydulgleichrichter. Im Zeitalter der Elektronenröhren gab es Gleichrichterröhren. In den folgenden Abhandlungen verwenden wir für den Begriff Richtleiter den Fachausdruck Diode. Das Schaltzeichen einer Diode zeigt Bild 90 . Bild 90 Schaltzeichen der Diode nach DIN In Kennblättern für Dioden gibt der Hersteller die Kennzeichnung der Stromaustrittsstelle an. In vielen Fällen ist das Kennzeichen ein Strich auf dem Bauelement. Als Stromrichtung bezeichnen wir wie bisher die in Kap. 1.3 erklärte technische Stromrichtung. Die Eigenschaften einer Diode betrachten wir qualitativ an der Strom- Spannungskennlinie in Bild 90a . Diese sind nicht so ideal wie bei einem Kontaktschalter, des- Durchlassrichtung Sperrrichtung Stromeintrittsstelle Stromaustrittsstelle <?page no="199"?> 197 sen Durchlasswiderstand vernachlässigt und dessen Sperrwiderstand unendlich hoch angenommen werden kann. Eine gebräuchliche Kleinleistungsdiode hat einen Durchlasswiderstand in der Größenordnung von 10 Ω und einen Sperrstrom im Nanoamperebereich. Auch ist die „Kniespannung“ von ca. 0,7 V bei Siliziumdioden und von ca. 0,3 V bei Germaniumdioden nicht immer vernachlässigbar. Bild 90a Strom-Spannungskennlinie der Diode Für die folgenden qualitativen Betrachtungen der Gleichrichterschaltungen nehmen wir ideale Schalteigenschaften der Dioden mit der dick gezeichneten Kennlinie in Bild 90a an. Bild 91 zeigt je einen Gleichstromkreis mit einer Diode in Durchlassrichtung und einer Diode in Sperrrichtung. Bild 91 Diode in einem Gleichstromkreis Im linken Stromkreis von Bild 91 erzeugt die Batteriespannung U einen Strom I, der durch die Diode D fließt und die Lampe L zum Leuchten bringt. Da wir die Durchlassspannung über D vernachlässigen, entfällt ein Spannungspfeil über D. Deshalb nehmen wir für die Lampenspannung U L den Wert der Batteriespannung U an. Im rechten Stromkreis von Bild 91 sperrt die Diode D den Stromfluss, wodurch der Strompfeil entfällt. Die Spannung über der Lampe L ist gleich null. Somit ist die Sperrspannung U S über D gleich der Batteriespannung U. In den nachfolgend be- I U Sperrstrom Kniespannung Durchlassstrom reale Kennlinie ideale Kennlinie U I U U L + I D L Diode in Durchlassrichtung U + U S D L Diode in Sperrrichtung <?page no="200"?> 198 handelten Gleichrichterschaltungen betrachten wir deshalb nur die Sperrspannungen über den Dioden. Die Spannungspfeile über den Dioden zeigen wie in Bild 91 von der Stromaustrittsstelle zur Stromeintrittsstelle und kennzeichnen die Sperrspannung mit positivem Vorzeichen. 10.2 Einweggleichrichterschaltung Die Einweggleichrichterschaltung in Bild 92 besteht aus einer Wechselspannungsquelle Q u , einer Diode D und einem Verbraucherwiderstand R. Bild 92 Einweggleichrichterschaltung mit Liniendiagrammen Die elektrischen Größen der Schaltung sind mit Spannungspfeilen und einem Strompfeil gekennzeichnet und deren Zeitverläufe in Liniendiagrammen dargestellt. Die Wechselspannungsquelle Q u erzeugt die Sinusspannung u(t), von der eine Periode im oberen Liniendiagramm eingezeichnet ist. Q u kann z.B. die Sekundärwicklung eines Transformators sein. Während der ersten Halbperiode liegt positives Potential am Zählpfeilende von u(t) , so dass Diode D Strom leitet. Der Strom i(t) , der durch den Widerstand R fließt, erzeugt an diesem die Spannung u R (t) . Während der zweiten Halbperiode liegt negatives Potential am Zählpfeilende von u(t), wodurch D den Strom i(t) sperrt. Dann ist die Sperrspannung u S (t) an D gleich der Quellenspannung u(t) , und die Verbraucherspannung u R (t) gleich null. Als Ergebnis liegt am Verbraucherwiderstand R eine pulsierende Gleichspannung, deren Verlauf das untere Liniendiagramm in Bild 92 zeigt. Im Schaltbild liest man die Maschengleichung u(t) = u R (t) − u S (t) ab, der die Kurven in den Liniendiagrammen folgen. Nach Ablauf einer Periode werden die Zeitverläufe in den Liniendiagrammen zyklisch wiederholt. Die Diode der Schaltung muss so beschaffen sein, dass sie den Spitzenwert der angelegten Wechselspannung sperren kann. Ein Gleichspannungsmesser, ωt u(t) u S (t) i(t) ωt u R (t) u(t) u R (t) i(t) R u S (t) D Q u <?page no="201"?> 199 z.B. Drehspulinstrument zeigt den arithmetischen Mittelwert der pulsierenden Gleichspannung an. Er beträgt bei Einweggleichrichtung ca. 32% (= 1 / π) vom Spitzenwert. Größtenteils wird eine Gleichspannung mit geringem Oberwellenanteil gefordert. Zu deren Erzeugung wird ein Glättungskondensator C, auch Ladekondensator genannt, in die Gleichrichterschaltung eingefügt, wie Bild 93 zeigt. Bild 93 Einweggleichrichterschaltung mit Glättungskondensator Wäre kein Lastwiderstand R angeschlossen, würde der Kondensator C auf den Spitzenwert der angelegten Wechselspannung u(t) aufgeladen. Die Kondensatorspannung u C (t) ist dann eine oberwellenfreie Gleichspannung. Der Höchstwert u S (t) an der Diode D ist gleich dem doppelten Spitzenwert von u(t) . Mit einem angeschlossenen Lastwiderstand sinkt u C (t) in der Zeit nach Aufladung vom positiven Spitzenwert von u(t) allmählich ab. Sobald in der nächsten Periode u(t) den geminderten Wert von u C (t) überschreitet, erfolgt die Wiederaufladung von C durch einen Stromimpuls i(t) wie im oberen Liniendiagramm ersichtlich. In der kurzen Zeit der Aufladung wirkt D als geschlossener Schalter. Als Ergebnis liegt am Kondensator C sowie am Verbraucherwiderstand R eine Gleichspannung mit einem Oberwellenanteil, deren Verlauf das untere Liniendiagramm in Bild 93 zeigt. Im Schaltbild liest man die Maschengleichung u(t) = u C (t) − u S (t) ab, der die Kurven in den Liniendiagrammen folgen. Sie entspricht der Maschengleichung zu Bild 93 , denn u C (t) ist gleich u R (t) . Im Unterschied zur Schaltung ohne Glättungskondensator muss die Diode in der Schaltung mit Glättungskondensator so beschaffen sein, dass sie den doppelten Spitzenwert der angelegten Wechselspannung sperren kann. Je höher die Kapazität C und der Widerstand R sind, umso geringer ist der Oberwellenanteil . Für hohe Kapazitäten u(t) i(t) u C (t) R u S (t) D Q u C ωt u(t) u S (t) i(t) ωt u C (t) <?page no="202"?> 200 werden meistens Elektrolytkondensatoren verwendet. Mit höherer abgegebener Leistung steigt die Höhe des Ladestromimpulses, für den die Spannungsquelle Q u und die Diode D ausgelegt sein müssen. In einer weiteren Variante der Einweggleichrichterschaltung speist eine Wechselstromquelle Q i die Schaltung. Die Stromquelle erfordert eine andere Betrachtungsweise als die Spannungsquelle. Die meistens verwendete Spannungsquelle gibt bei offenem Ausgang keine Leistung ab, denn eine Spannung ist vorhanden, aber es fließt kein Strom. Die Spannungsquelle darf nicht kurzgeschlossen werden. Dagegen gibt die Stromquelle bei kurzgeschlossenem Ausgang keine Leistung ab, denn ein Strom ist vorhanden, aber keine Ausgangsspannung. Bei einer Stromquelle steigt die Ausgangsleistung mit zunehmendem Ausgangswiderstand, während bei einer Spannungsquelle die Ausgangsleistung mit abnehmendem Ausgangswiderstand steigt. Diese Betrachtungen beziehen sich auf ideale Spannungs- und Stromquellen. In realen Anordnungen wirken weitere Einflussgrößen, wobei mit technischen Maßnahmen Schäden durch Grenzwertüberschreitungen vorgebeugt wird. Die von einer Wechselstromquelle gespeiste Einweggleichrichterschaltung zeigt Bild 94 . Bild 94 Einweggleichrichterschaltung mit Wechselstromquelle Mit der Wechselstromquelle sind Diode D und Widerstand R parallel verbunden. Eine Periode des von der Stromquelle Q i erzeugten sinusförmigen Wechselstromes i(t) ist im oberen Liniendiagramm von Bild 94 eingezeichnet. Den zugehörigen Strompfeil enthält das Schaltbild. Während der ersten Halbperiode ist D gesperrt und deshalb i(t) = i R (t) . Über R erzeugt i R (t) die Sperrspannung u S (t) mit positivem Vorzeichen am Ende des zugehörigen Spannungspfeils und negativem Vorzeichen an der Spitze des Spannungspfeils, wodurch der Diodenstrom i D (t) gleich null ist. Während der zweiten Halbperiode entspricht die negative Halbwelle einem Strom, der die Stromquelle Q i im entgegengesetzten Richtungssinn des Strompfeils i(t) und die Diode D in Richtung des Strompfeils durchfließt. Bei einer vorausgesetzten idealen Diode ist deshalb die Spannung u S (t) über D und damit über R gleich null. Mit den Strompfeilen im Schaltbild liest man für die Stromknoten die Beziehung ωt i R (t) u S (t) i(t) i R (t) R Q i D i D (t) ωt i(t) i D (t) u S (t) u R (t) <?page no="203"?> 201 i R (t) = i(t) + i D (t) ab, der die Kurven in den Liniendiagrammen folgen. Als Ergebnis fließt durch den Verbraucherwiderstand R ein pulsierender Gleichstrom i R (t) , dessen Zeitverlauf das untere Liniendiagramm in Bild 94 zeigt. Entsprechend dem Ohmschen Gesetz steht über R die Spannung u R (t) = i R (t) R . Diese ist proportional zu i R (t) (im Liniendiagramm nicht eingezeichnet). Die Ausgangsgrößen der Schaltung mit Stromquelle und der Schaltung mit Spannungsquelle haben den gleichen Zeitverlauf (Bild 92 / Bild 94). In der Gleichrichterversion mit Wechselstromquelle wird der Gleichstrom mit einer Drosselspule L geglättet, wie in Bild 95 dargestellt. Für eine anschauliche Erklärung Bild 95 Einweggleichrichterschaltung mit Glättungsdrossel der Wirkungsweise betrachten wir zunächst eine kurzgeschlossene ideale Spule. Ideal bedeutet, dass die Spule nur eine Induktivität L und keinen ohmschen Widerstand hat. Auch die Kurzschlussverbindung soll widerstandsfrei sein. Diese Spule ist mit magnetischer Energie geladen, wenn sie von Gleichstrom durchflossen wird. Die gespeicherte magnetische Energie bleibt erhalten, solange kein ohmscher Widerstand im Spulenstromkreis wirksam ist. Über der Spule liegt auch keine Spannung, wenn sich der Spulenstrom nicht ändert. Dieser Idealfall ist zwar nur theoretisch oder mit „Supraleitung“ möglich, dient jedoch als gute Vorstellungshilfe. Die Spule in Bild 95 soll dem Idealfall entsprechen. Zusätzlich überbrücken wir gedanklich den Verbraucherwiderstand R durch einen Kurzschluss und betrachten die Diode D in Durchlassrichtung als widerstandslose Verbindung. Wir behaupten: „ Mit diesen Voraussetzungen muss in diesem widerstandslosen Kreis ein Gleichstrom i L (t) fließen, dessen Höhe gleich dem Spitzenwert des Wechselstromes i(t) der Quelle Q i ist.“ Im unteren Liniendiagramm von Bild 95 entspräche dieser Strom einer konstanten Linie. u R (t) i(t) R u S (t) D Q i L i D (t) i L (t) ωt i(t) i D (t) ωt i L (t) u S (t) <?page no="204"?> 202 Zur Errechnung des Diodenstromes i D (t) lesen wir mit den Strompfeilen im Schaltbild an den Stromknoten die Beziehung i D (t) = i L (t) − i(t) ab. Die graphische Subtraktion der konstanten Linie (i L (t)) und der Wechselstromkurve i(t) ergibt eine Sinuskurve (i D (t)), die im Liniendiagramm nach oben verschoben die ωt-Achse tangiert. In diesem Idealfall wird Diode D immer in Durchlassrichtung vom Strom i D (t) durchflossen. Der Minimalwert von i D (t) ist gleich null und der Maximalwert gleich dem doppelten Spitzenwert des eingespeisten Wechselstromes i(t) . Demnach überträgt die Wechselstromquelle Q i keine Energie in die Schaltung, da über Q i keine Spannung liegt; andererseits gibt die Drosselspule L keine magnetische Energie ab, da der Stromkreis von L widerstandslos angenommen wurde. Im praktischen Betrieb setzt der Widerstand R im Stromkreis der Schaltung magnetische Energie der Spule L in Wärme um. Deshalb nimmt der Spulenstrom i L (t) allmählich ab. Die Liniendiagramme zum praktischen Betrieb enthält Bild 95 . Die Abnahme von i L (t) beginnt zum Zeitpunkt des Spitzenwertes von i(t) (mittlere Strichellinie im Liniendiagramm) und endet zum Zeitpunkt, in dem i L (t) den gleichen Wert wie der eingespeiste Strom i(t) auf der ansteigenden Flanke der folgenden Periode hat (linke Strichellinie im Liniendiagramm). Der weiter ansteigende Speisestrom i(t) sperrt Diode D bis zum Erreichen seines Spitzenwertes. Die Diode D bleibt im Zeitintervall zwischen linker und mittlerer Strichellinie gesperrt. Dadurch entsteht über D in Sperrrichtung ein hoher Spannungsimpuls u S (t) , der im genannten Zeitintervall den Spulenstrom auf seinen Anfangswert anhebt. Mit den Zählpfeilen im Schaltbild liest man an den Stromknoten die Beziehung i L (t) = i(t) + i D (t) ab, der die Kurven in den Liniendiagrammen folgen. Da Spule L und Widerstand R hintereinandergeschaltet sind, fließt der Strom i L (t) gleichzeitig durch R. Die Spannung über R beträgt demnach u R (t) = i L (t) R . Als Ergebnis liegt am Schaltungsausgang eine geglättete Gleichspannung u R (t) , die mit der Ausgangsspannung u C (t) in Bild 93 vergleichbar ist. Vergleichen wir die Einweggleichrichterschaltung mit Spannungsquelle in Bild 93 und die Einweggleichrichterschaltung mit Stromquelle in Bild 95, erkennen wir die in Tabelle 7 gegenübergestellten Analogien. Die Struktur der Liniendiagramme ist in beiden Schaltungen gleich. Die Zeitfunktionen der Spannungen in Bild 93 entsprechen den Zeitfunktionen der Ströme in Bild 95 , und die Zeitfunktion des Stromimpulses in Bild 93 entspricht der Zeitfunktion des Spannungsimpulses in Bild 95 . Von praktisch größerer Bedeutung sind die an Spannungsquellen angeschlossenen Gleichrichterschaltungen, die wir in den folgenden Kapiteln behandeln. Ein Vorteil der Einweggleichrichterschaltungen besteht darin, dass sowohl Quelle als auch Verbraucher einen gemeinsamen Anschlusspunkt haben, der z.B. auf Erdpotential gelegt werden kann. Nachteilig ist die Nutzung nur einer Halbwelle der Wechselspannung. <?page no="205"?> 203 Tabelle 7: Analogien zwischen zwei Grundvarianten der Einweggleichrichtung Spannungsvariante (Bild 93) Stromvariante (Bild 95) Schaltungseingang Spannungsquelle Q u Stromquelle Q i Gleichrichterdiode D in Reihe mit Q u parallel zu Q i Glättungsglied Kondensator C parallel zu R Drossel L in Reihe zu R Eingangsgröße Wechselspannung u(t) Wechselstrom i(t) Größenverläufe an Diode D Sperrspannung an D : u S (t) Durchlassstrom von D : i D (t) Ladeimpulse Stromimpuls für C : i(t) Spannungsimpuls für L : u S (t) Ausgangsgröße Ausgangsspannung : u C (t) Ausgangsstrom : i L (t) Öffnungszeit von D während des Ladestromimpulses i(t) Periodendauer minus Impulszeit für u S (t) Sperrzeit von D Periodendauer minus Impulszeit für i(t) während des Ladespannungsimpulses u S (t) Strombelastung von D hoher Ladestromimpuls i(t) doppelter Spitzenstrom von Q i Sperrspannung von D doppelte Spitzenspannung von Q u hoher Ladespannungsimpuls u S (t) 10.3 Zweiweggleichrichterschaltung (Mittelpunktschaltung) Bei der Zweiweggleichrichterschaltung werden beide Halbwellen der Wechselspannung zur Gleichspannungserzeugung verwendet. In diesem Kapitel behandeln wir die Mittelpunktschaltung in Bild 96 . Bild 96 Zweiweggleichrichter mit Mittelpunktschaltung Die Mittelpunktschaltung besteht aus einem Transformator T, an dessen Primärwicklung die von einer Wechselspannungsquelle gelieferte Spannung u q (t) liegt. Die Sekundärwicklung hat eine Mittelanzapfung (Mittelpunkt). Zwischen Wicklungsanfang und Mittelpunkt sowie Mittelpunkt und Wicklungsende liegen die Wechselspannuni 1 (t) u 2 (t) u 1 (t) u S1 (t) u S2 (t) i 2 (t) u C (t) u R (t) i R (t) R C D 1 D 2 u q (t) T <?page no="206"?> 204 gen u 1 (t) und u 2 (t) . Deren Spannungspfeile sind so gerichtet, dass u 1 (t) und u 2 (t) durch ein Liniendiagramm in Bild 96a beschrieben werden können. Zusätzlich nehmen wir an, dass die Windungszahl der Sekundärwicklung das Doppelte der Primärwicklung beträgt. Dann sind die Wechselspannungen u q (t) , u 1 (t) und u 2 (t) gleich. Bild 96a Liniendiagramme zur Schaltung in Bild 96 ohne Glättungskondensator C Die Mittelpunktschaltung besteht aus zwei Einweggleichrichterschaltungen mit den Dioden D 1 und D 2 , deren Ausgänge an einem gemeinsamen Verbraucherwiderstand R und im Falle einer Spannungsglättung gleichzeitig an einem gemeinsamen Ladekondensator C liegen. In einer ersten Betrachtung lassen wir den Kondensator C weg, wobei die Liniendiagramme in Bild 96a gelten. Während der positiven Halbwelle von u 1 (t) und u 2 (t) fließt der Strom i 1 (t) ebenfalls in Form einer positiven Halbwelle durch die geöffnete Diode D 1 und den Widerstand R . Dabei ist die Sperrspannung u S1 (t) gleich null. In dieser ersten Halbperiode ist i 1 (t) gleich dem Strom i R (t) durch R, der die erste positive Halbwelle der Ausgangsspannung u R (t) verursacht. In der gleichen Halbperiode liegt das negative Potential von u 2 (t) am Eingang der Diode D 2 und das positive Potential von u R (t) am Ausgang von D 2 wodurch D 2 sperrt. Für die Höhe der Sperrspannung liest man mit den Spannungspfeilen im Schaltbild u S2 (t) = u R (t) + u 2 (t) ab. Damit ergeben die Liniendiagramme als Sperrspannung für D 2 den doppelten Spitzenwert von u 2 (t) bzw. u R (t) (siehe Bild 96a). Analoge Vorgänge laufen während der zweiten Halbperiode ab. In dieser liegt am Spannungspfeilende von u 2 (t) negatives Potential und an der Spannungspfeilspitze positives Potential. Dementsprechend fließt der Strom in Richtung des Strompfeiles i 2 (t) durch die geöffnete Diode D 2 . Der Strom i 2 (t) erscheint gleichzeitig als i R (t) in Form einer positiven Halbwelle in der zweiten Halbperiode der Liniendiagramme. In der gleichen Halbperiode erscheint die Sperrspannung u S1 (t) als Halbwelle mit doppeltem Spitzenwert von u R (t) . Am Ausgang der Mittelpunktschaltung ohne Glättungskondensator entsteht somit eine positive Geichspannung in Form lückenloser Halbwellen, deren Mittelwert ca. 64% vom Spitzenwert beträgt. Der Mittelwert ist gegenüber der Einweggleichrichterschaltung doppelt so hoch. In einer zweiten Betrachtung enthält die Schaltung einen Glättungskondensator C , wie in Bild 96 eingezeichnet. Dieser wird analog zur Einweggleichrichterschaltung auf den Spitzenwert der ωt u q (t) u 1 (t) u 2 (t) i 1 (t) i 2 (t) i 2 (t) i 1 (t) D 1 geöffnet D 2 geöffnet ωt u S2 (t) u S1 (t) u S1 (t) u S2 (t) u R (t) i R (t) <?page no="207"?> 205 Eingangswechselspannung aufgeladen, wobei die Spannungen u 1 (t) und u 2 (t) die Aufladung im Wechsel bewirken. Die zugehörigen Liniendiagramme der Spannungen und Ströme zeigt Bild 96b . Die Eingangsspannungsverläufe u 1 (t) und u 2 (t) in Bild 96a gelten auch für Bild 96b . Bild 96b Liniendiagramme zur Schaltung in Bild 96 mit Glättungskondensator C Entsprechend der Belastung durch den Widerstand R sinkt die Kondensatorspanung u C (t) während einer Halbperiode ab. In der ersten Halbperiode überschreitet die Spannung u 1 (t) noch vor ihrem Spitzenwert die abgesunkene Kondensatorspannung u C (t) , wodurch Diode D 1 öffnet und ein Stromimpuls i 1 (t) den Kondensator um den abgesunkenen Spannungsbetrag nachlädt. Danach sperrt D 1 wieder. Der analoge Vorgang läuft in der zweiten Halbperiode ab, wobei an der Spannungspfeilspitze u 2 (t) positives Potential liegt und Diode D 2 öffnet. Entsprechend lädt ein Stromimpuls i 2 (t) den Kondensator nach. Für die Sperrspannungsverläufe an den Dioden liest man im Schaltbild die Beziehungen u S1 (t) = u C (t) − u 1 (t) und u S2 (t) = u C (t) + u 2 (t) ab. Diese Beziehungen veranschaulichen die Kurven für u S1 (t) und u S2 (t) in Bild 96b . Aus den Kurven zu u S1 (t) und u S2 (t) in Bild 96a und 96b geht hervor, dass die Dioden D 1 und D 2 in der Mittelpunktschaltung sowohl im Betrieb mit als auch ohne Glättungskondensator den doppelten Spitzenwert der eingangsseitigen Spannungen u 1 (t) bzw. u 2 (t) sperren müssen. Im Vergleich zur Einweggleichrichterschaltung tragen bei der Zweiweggleichrichterschaltung beide Halbwellen der gleichzurichtenden Wechselspannung u q (t) zur Gleichspannungserzeugung bei. Ein Nachteil der Mittelpunktschaltung ist die Ausnutzung nur einer Hälfte der Sekundärwicklung auf dem Transformator pro Halbperiode. Ein schaltungstechnischer Vorteil der Mittelpunktschaltung ist das gleiche Potential des Mittelpunktes der Sekundärwicklung und eines Pols der Gleichspannungsseite, das als Bezugspotential dienen kann. D 2 geöffnet D 1 geöffnet ωt u S1 (t) u S2 (t) u C (t) u R (t) i 1 (t) i 2 (t) <?page no="208"?> 206 10.4 Brückengleichrichterschaltung (Graetzschaltung) Die Brückengleichrichterschaltung nutzt wie die Zweiweggleichrichterschaltung beide Halbwellen des Wechselstromes zur Gleichspannungserzeugung. Die Brückengleichrichterschaltung wird auch Graetzschaltung genannt. Ihr Namensgeber ist der deutsche Physiker Leo Graetz. Bild 97 Brückengleichrichterschaltung (Graetzschaltung) Die Graetzschaltung zeigt Bild 97 . Sie besteht aus vier Dioden D 1 bis D 4 , die in bevorzugter Darstellungsform die Seiten eines Quadrates bilden. Die vier Dioden zeigen in Durchlassrichtung von unten nach oben. Als Wechselspannungsquelle Q u wird im Gegensatz zur Zweiweggleichrichterschaltung kein Transformator mit sekundärseitiger Mittelanzapfung benötigt. Die Spannungsquelle Q u liegt am rechten und linken Knoten und der Verbraucherwiderstand R am oberen und unteren Knoten der Schaltung. Ein Glättungskondensator (Ladekondensator) liegt parallel zu R. Als Zählpfeile sind in Bild 97 eingezeichnet: • Spannungspfeil u q (t) für die eingespeiste Wechselspannung, • Strompfeil i q (t) für den eingespeisten Wechselstrom, • Strompfeile i D1 (t) bis i D4 (t) für die Durchlassströme der Dioden D 1 bis D 4 , • Spannungspfeile u S1 (t) bis u S4 (t) für die Sperrspannungen der Dioden D 1 bis D 4 , • Strompfeil i G (t) für den gleichgerichteten Strom, • Strompfeil i C (t) für den Ladestrom des Kondensators C , • Strompfeil i R (t) für den Verbrauchergleichstrom des Widerstandes R , • Spannungspfeil u C (t) / u R (t) für die Ausgangsgleichspannung. R C Q u D 1 D 4 D 3 D 2 u q (t) u C (t) u R (t) u S1 (t) u S3 (t) u S2 (t) u S4 (t) i q (t) i D1 (t) i D2 (t) i D4 (t) i D3 (t) i R (t) i C (t) i G (t) <?page no="209"?> 207 Die Wirkungsweise der Graetzschaltung betrachten wir mit Hilfe einer Sinusperiode der gleichzurichtenden Wechselspannung u q (t) . Dazu entfernen wir zunächst den Kondensator C aus der Schaltung und betrachten das Liniendiagramm in Bild 97a . Bild 97a Verlauf der Eingangsspannung und des Eingangsstromes Während der ersten Halbperiode der Eingangsspannung liegt positives Potential am Ende des Spannungspfeiles u q (t) in Bild 97 . Dadurch fließt der Eingangsstrom i q (t) von der Spannungsquelle Q u in Richtung des Strompfeiles, weiter als i D1 (t) durch die Diode D 1 und als i G (t) zum Widerstand R . Danach verläuft der Strom als i R (t) über R und als i D2 (t) durch die Diode D 2 zurück zur Spannungsquelle Q u . In der ersten Halbperiode sind also die Dioden D 1 und D 2 geöffnet. Den Spannungsverlauf u q (t) und Stromverlauf i q (t) zeigt Bild 97a. Den Verlauf des gleichgerichteten Stromes i R (t) und den von diesem verursachten Gleichspannungsverlauf u R (t) zeigt Bild 97b . Bild 97b Spannungen und Ströme ohne Glättungskondensator Die Dioden D 3 und D 4 sind während der ersten Halbperiode gesperrt. Der Verlauf der Sperrspannungen u S3 (t) und u S4 (t) ist mit dem Gleichspannungsverlauf u R (t) identisch. Während der zweiten Halbperiode der Eingangsspannung liegt das positive Potential an der Spitze des Spannungspfeiles u q (t) in Bild 97 . Dadurch fließt der Eingangsstrom i q (t) von der Spannungsquelle Q u in Gegenrichtung des Strompfeiles, weiter über Diode D 3 , Widerstand R und Diode D 4 , zurück zur Spannungsquelle Q u . In der zweiten Halbperiode sind also die Dioden D 3 und D 4 geöffnet. Auf diesem Weg fließt der Strom in Richtung der Strompfeile i D3 (t) , i G (t) , i R (t) und i D4 (t) , aber in Gegenrichtung des Strompfeiles i q (t) . Deshalb sind in der zweiten Halbperiode der Liniendia- Kondensator C entfernt. ωt i R (t) i D3 (t) i D4 (t) u R (t) u S3 (t) u S4 (t) u R (t) u S1 (t) u S2 (t) i R (t) i D1 (t) i D2 (t) Kondensator C entfernt. ωt u q (t) i q (t) D 1 , D 2 geöffnet D 3 , D 4 geöffnet erste Halbperiode zweite Halbperiode <?page no="210"?> 208 gramme in Bild 97b die Strom- und Spannungswerte positiv, wogegen die eingangsseitigen Strom- und Spannungswerte in Verbindung mit den Zählpfeilen i q (t) und u q (t) in Bild 97a negativ sind (siehe Zählpfeildefinitionen in Kap. 1). Die Dioden D 1 und D 2 sind während der zweiten Halbperiode gesperrt. Der Verlauf der Sperrspannungen u S1 (t) und u S2 (t) ist mit dem Gleichspannungsverlauf u R (t) identisch. Die ausgangsseitigen Verläufe von Gleichstrom und Gleichspannung der Graetzschaltung sind mit denen der Mittelpunktschaltung identisch. Im Gegensatz zu dieser müssen die jeweils gesperrten Dioden der Graetzschaltung nur den einfachen Spitzenwert der Eingangswechselspannung sperren, wie aus Bild 97b hervorgeht. Mit den Spannungspfeilen in Bild 97 und den Spannungsverläufen in Bild 97a und 97b gelten folgende Maschengleichungen: Für die erste Halbperiode: u q (t) = u S4 (t) − u S2 (t) ; (u S2 (t) = 0) u R (t) = u S3 (t) + u S2 (t) ; (u S2 (t) = 0) Für die zweite Halbperiode: u q (t) = − u S1 (t) + u S3 (t) ; (u S3 (t) = 0) u R (t) = u S1 (t) + u S4 (t) ; (u S4 (t) = 0) Die weitere Betrachtung der Graetzschaltung führen wir mit vorhandenem Glättungskondensator C durch. Dieser wird je nach Belastung durch den Widerstand R bis in die Nähe des Spitzenwertes der eingespeisten Wechselspannung aufgeladen. Den Verlauf der Kondensatorspannung u C (t) und somit der Spannung u R (t) zeigt Bild 97c . Bild 97c Spannungen und Ströme mit Glättungskondensator Sie gleicht dem Verlauf von u C (t) in Bild 96b zur Mittelpunktschaltung. Die Aufladung von C erfolgt in der ersten Halbperiode über die Dioden D 1 und D 2 mit den Impulsströmen i D1 (t) und i D2 (t) sowie in der zweiten Halbperiode über D 3 und D 4 mit i D3 (t) und i D4 (t) . Die Dioden sind nur während der Stromimpulsdauer kurz geöffnet und in der übrigen Zeit gesperrt. Daraus ergeben sich deren Sperrspannungsverläufe u S1 (t) bis u S4 (t) in Bild 97c . Sie bilden zwei sinusähnliche um 180° verschobene Kurven mit halber Amplitude der Eingangswechselspannung, die auf der Zeitachse liegen. Die Sperrspannungskurven u S1 (t) und u S2 (t) haben während der ersten Halbperiode in ωt u C (t) u q (t) u S1 (t), u S2 (t) u S3 (t), u S4 (t) i D1 (t) i D2 (t) i D3 (t) i D4 (t) mit Kondensator C <?page no="211"?> 209 der Ladestromzeit den Wert Null und sind dementsprechend abgeflacht. Das Gleiche gilt während der zweiten Halbperiode für die Sperrspannungskurven u S3 (t) und u S4 (t) . Bei unbelastetem Schaltungsausgang (R→∞) ist u C (t) eine Konstante mit dem Spitzenspannungswert von u q (t) , die Ladestromimpulse entfallen, und die Sperrspannungskurven sind zwei um 180° verschobene Sinusfunktionen, die auf der Zeitachse liegen und mit ihren Spitzenwerten die Gerade u C (t) tangieren. Mit den Spannungspfeilen im Schaltbild und den Spannungsverläufen in Bild 97c gelten die Maschengleichungen: u q (t) = u S4 (t) − u S2 (t) = − u S1 (t) + u S3 (t) und u C (t) = u S3 (t) + u S2 (t) = u S1 (t) + u S4 (t) . Ein Vergleich der Sperrspannungsverläufe In Bild 97b und 97c ergibt, dass die maximale Sperrspannung für die Dioden der Graetzschaltung gleich dem einfachen Spitzenwert der Eingangswechselspannung ist. Bei der Brückengleichrichterschaltung ist keine einpolige Verbindung von Eingangswechselspannung und Ausgangsgleichspannung möglich, da kein gemeinsames Bezugspotential existiert. In sehr vielen gerätetechnischen Anwendungsfällen wird die Netzspannung in eine Kleinspannung transformiert. Dann dient die von der Netzspannung galvanisch getrennte Sekundärwicklung eines Transformators als Wechselspannungsquelle. Das Bezugspotential auf der Gleichspannungsseite ist deshalb frei wählbar. Ein Pol der Ausgangsgleichspannung kann z.B. mit der Gerätemasse verbunden werden. Zur Erzeugung einer Gleichspannung mit geringem Oberwellengehalt (häufig spricht man von „Brummspannung“) schließt man an den Ladekondensator ein Siebglied, bestehend aus der Reihenschaltung eines Widerstandes oder einer Drosselspule und eines „Siebkondensators“, an. Der Siebkondensator stellt eine wesentlich besser geglättete Gleichspannung zur Verfügung. Lade- und Siebkondensatoren sind in der Regel Elektrolytkondensatoren hoher Kapazität. 10.5 Gleichrichterschaltungen bei Drehstrom 1. Drehstrom - Mittelpunktschaltung Im Prinzip besteht die Drehstrom - Mittelpunktschaltung aus drei Einweggleichrichterschaltungen, die einen gemeinsamen Verbraucher mit Gleichstrom speisen, dargestellt in Bild 98 . Bild 98 Drehstromgleichrichter - Mittelpunktschaltung L1 L2 L3 u 1 u 2 u 3 u S1 u S2 u S3 i 1 i 2 i 3 i G u G R D 1 D 2 D 3 C T <?page no="212"?> 210 Die gleichzurichtende Drehspannung überträgt der Transformator T in Dreieck-Stern- Schaltung aus dem Drehstromnetz mit den Leitern L1, L2 und L3 . Die sekundärseitigen Strangspannungen u 1 , u 2 und u 3 bilden in Verbindung mit den Dioden D 1 , D 2 und D 3 je einen Einweggleichrichter, deren Ausgänge verbunden sind. Wir betrachten zunächst die Schaltung Bild 98 ohne Kondensator C . Dann liegen am Widerstand R die jeweils größeren Augenblickswerte der um 120° versetzten Strangspannungen. Den Verlauf der drei Strangspannungen während einer Periode zeigt Bild 98a . Die Gleichspannung u G am Widerstand R in der Schaltung verläuft wie die Kur- Bild 98a Gleichzurichtende Strangspannungen in Bild 98 venabschnitte zwischen den oberen Kreuzungspunkten in Bild 98a . Der Verlauf von u G ist in Bild 98b dargestellt. Die Gleichspannung am Verbraucherwiderstand ändert sich demnach während einer drittel Periode vom Spitzenwert û einer Strangspannung bis zum halben Spitzenwert. Bild 98b Verlauf der Sperrspannungen an den Dioden in Bild 98 Aus den Kurven der Strangspannungen und der Gleichspannung ergeben sich die Sperrspannungsverläufe an den Dioden in Bild 98b . Dazu lesen wir mit den Spannungspfeilen im Schaltbild folgende Maschengleichungen ab: Für Diode D 1 u S1 = u G − u 1 , für Diode D 2 u S2 = u G − u 2 und für Diode D 3 u S3 = u G − u 3 . ωt u 1 u 2 u 3 û ½ û 0 240 180 120 60 300 360 ωt in Grad u G 360 u S1 u S1 u S2 u S2 u S2 u S3 u S3 330 270 240 30 180 120 60 300 90 150 210 û √3 û ½ û 0 1,5 û <?page no="213"?> 211 Als Beispiel ermitteln wir den Augenblickswert der Sperrspannung u S1 bei einem Winkel von 210°. In Bild 98b und 98a lesen wir ab: u G = û und u 1 = − ½ û . Mit diesen Werten errechnen wir mit der Gleichung für Diode D 1 den Augenblickswert: u S1 = û − ( − ½ û ) = û + ½ û → u S1 = 1,5 û . Der errechnete Wert befindet sich in Bild 98b auf der Kreuzung der Kurven für u S1 und u S3 . Übungsaufgabe Ermittle weitere Augenblickswerte der Sperrspannungen graphisch und rechnerisch. Zur Drehstrom - Mittelpunktschaltung ohne Ladekondensator erkennen wir in Bild 96b folgende Zusammenhänge: • Die Gleichspannung u G am Verbraucherwiderstand hat eine Oberwelle von dreifacher Frequenz der gleichzurichtenden Drehspannung. Die Gleichspannungsschwankung beträgt 50% vom Spitzenwert. • Jede Diode der Schaltung ist während einer Periode 120° geöffnet (Sperrspannung gleich null) und 240° gesperrt. • Die Sperrspannung jeder Diode beträgt maximal das Wurzeldreifache des Spitzenwertes der Drehspannung. Als Nächstes betrachten wir die Schaltung Bild 98 nur mit Ladekondensator C , aber ohne Verbraucherwiderstand R (Leerlauf). Die zugehörigen Spannungsverläufe zeigt Bild 98c . Bild 98c Spannungsverläufe mit Ladekondensator ohne Belastung in Bild 98 330 270 ωt in Grad 240 30 360 180 120 60 300 90 150 210 u G u S1 u S2 u S3 2 û û 0 ½ û 1,5 û <?page no="214"?> 212 Von den drei Phasen der Strangspannung wird C über die jeweilige Diode in Durchlassrichtung auf den Spitzenwert û der Strangspannungen geladen. Der Kondensator speichert die Ladung. Ohne Belastung bleibt die Kondensatorspannung u G konstant auf dem Spitzenwert û , dargestellt in Bild 98c . Die Sperrspannungsverläufe u S1 , u S2 und u S3 an den Dioden werden mit den bereits angegebenen Maschengleichungen errechnet. Das Ergebnis sind drei um 120° versetzte Sinuskurven in Bild 98c , die um ihren Spitzenwert nach oben verschoben sind. Demnach bleiben die Dioden gesperrt, solange sie keine Ladung dem Kondensator zuführen müssen. Im Leerlauf der Schaltung entsteht an den Dioden die höchste Sperrspannung von 2 û . Liegt parallel zum Ladekondensator ein Widerstand, erfolgt eine Nachladung der im Widerstand verbrauchten Ladung im Gebiet der negativen Spitzenwerte der Sperrspannungskurven. In diesem Fall sind in Bild 98c die Dioden bei 90°, 210° und 330° kurzzeitig geöffnet, und es fließen impulsförmige Ladeströme (im Bild nicht eingezeichnet). Die ausführliche Erklärung zum Einweggleichrichter mit Bild 93 trifft hier für jede Phase zu. Der Sternpunkt auf der Sekundärseite des Transformators T und der negative Pol der Ausgangsgleichspannung in Bild 98 sind miteinander verbunden. Diese Verbindung kann z.B. auf Gerätemasse gelegt oder geerdet werden und somit als Bezugspotential dienen. 2. Drehstrom - Brückenschaltung Zur Erklärung der Drehstrom - Brückenschaltung beziehen wir uns zunächst auf die Drehstromgleichrichter - Mittelpunktschaltung in Bild 98 . Verbinden wir in dieser die drei Ausgänge der Sekundärwicklung des Transformators T zusätzlich mit drei Dioden jedoch in umgekehrter Durchlassrichtung der bereits vorhandenen Dioden, erhalten wir als Vorstufe zur Brückenschaltung die Schaltung in Bild 99 . Zur Einspeisung der Drehspannung dient der Transformator T in Stern-Stern-Schaltung, der die primärseitigen Leiterspannungen zwischen L 1 , L 2 und L 3 im Verhältnis 1: 1 auf die Sekundärseite überträgt. Die Schaltung in Bild 98 entspricht der Teilschaltung mit den Dioden D 1 bis D 3 in Bild 99 mit der erzeugten Gleichspannung u G+ an den Anschlüssen + und dem Sternpunkt 0 mit dem Widerstand R + . Die zusätzlichen Dioden D 4 bis D 6 erzeugen eine zweite Gleichspannung u G− an den Anschlüssen 0 und − mit dem Widerstand R − . Die Summe dieser beiden Gleichspannungen ergibt die Ausgangsgleichspannung u G an den Anschlüssen + und − mit dem Widerstand R . In die Gleichrichterschaltung Bild 99 speisen wir eine Drehspannung in Form der Leiterspannungen u 12 , u 23 und u 31 ein. Die gewählten Verläufe der Leiterspannungen für eine Periode mit Bezug auf die Spannungspfeile im Schaltbild zeigt Bild 99a . Daraus ergeben sich die Strangspannungsverläufe u 1 , u 2 und u 3 in Bild 99b . Als Bezugsgröße in den folgenden Liniendiagrammen dient der Spitzenwert der Leiterspannungen û . Demnach haben die Strangspannungen einen Spitzenwert von . Bei ohmscher Belastung der Schaltung ergeben sich die Gleichspannungsverläufe von u G+ zwischen den Anschlüssen + und 0 in Bild 99c und von u G− zwischen den Anschlüssen 0 und − in Bild 99d . Betrachten wir z.B. den Verlauf der Strangspannung u 1 im Bereich von 60 bis 180 Grad in Bild 99b , würde diese mit dem Durchlassstrom i 1 Diode D 1 öffnen und u 1 im betrachteten Bereich als u G+ an den Schal- √3 û <?page no="215"?> 213 Bild 99 Vorstufe zur Drehstrom - Brückenschaltung Bild 99a Bild 99b Leiterspannungsverläufe Strangspannungsverläufe Bild 99c Bild 99d Gleichspannungsverlauf von u G+ Gleichspannungsverlauf von u G − u 12 u 23 u 31 ωt 0 240 180 120 60 300 360 û Grad u 1 u 2 u 3 ωt 0 240 180 120 60 300 360 √3 û Grad D 1 D 2 D 3 D 3 ωt 0 240 180 120 60 300 360 u G+ √3 û 2√3 û Grad D 4 D 6 D 5 ωt 0 240 180 120 60 300 360 u G − √3 û 2√3 û Grad u 23 u 31 u 12 L3 u S5 D 3 u S3 L2 L1 D 4 D 6 D 2 D 1 D 5 u S4 u S2 u S6 u S1 i 3 i 6 i 2 i 5 i 1 i 4 i G u G+ u G- + u G R − u 1 u 2 u 3 L1 L2 L3 0 T R + R − <?page no="216"?> 214 tungsausgang legen. Diesen Teilspannungsverlauf zeigt Bild 99c mit der Kennzeichnung D 1 für die beteiligte Diode. In einem zweiten Beispiel betrachten wir in Bild 99b den Verlauf der Strangspannung u 3 im Bereich von 120 bis 240 Grad. In diesem Bereich ist u 3 negativ. Deshalb liegt am Spannungspfeil u 3 im Schaltbild der negative Pol am Pfeilende und der positive Pol an der Pfeilspitze. Dadurch fließt der Strom i 6 vom sekundärseitigen Sternpunkt des Transformators T über den Anschluss 0 nach − und über Diode D 6 zu T zurück. Der Strom i 6 bewirkt eine Gleichspannung u G− mit dem Pluspol am Anschluss 0 und dem Minuspol am Anschluss − . Diesen Teilspannungsverlauf zeigt Bild 99d mit der Kennzeichnung D 6 für die beteiligte Diode. Die positiven „Kappen“ der Sinuskurven zwischen den Kurvenkreuzungen in Bild 99b bilden den Gleichspannungsverlauf u G+ mit den jeweils geöffneten Dioden D 1 bis D 3 in Bild 99c . Die negativen „Kappen“ der Sinuskurven zwischen den Kurvenkreuzungen in Bild 99b bilden den Gleichspannungsverlauf u G− mit den jeweils geöffneten Dioden D 4 bis D 6 in Bild 99d . Die Minimalwerte an den Kurvenspitzen von u G+ und u G− betragen die Hälfte des Spitzenwertes der Strangspannungen. Die auf den Sternpunkt 0 bezogenen Gleichspannungen u G+ und u G− dienen nur als Hilfsgrößen zur Ermittlung der Sperrspannungen über den Dioden und der Ausgangsspannung u G zwischen den Anschlüssen + und − . Mit den Spannungspfeilen folgt aus dem Schaltbild die Beziehung . Das Ergebnis erhält man durch Addition der Liniendiagramme in Bild 99c und 99d , dargestellt in Bild 100 . Bild 100 Ausgangsgleichspannung des Drehstrom - Brückengleichrichters Die Spitzenwerte sind gleich dem Spitzenwert der eingespeisten Leiterspannungen. Die Minimalwerte an den Kurvenspitzen betragen , das sind ca. 86% der Spitzenwerte. Der Drehstrom - Brückengleichrichter liefert demnach bereits ohne zusätzliche Glättungsmaßnahmen eine Gleichspannung mit geringem Oberwellenanteil. Der Spannungsverlauf besteht pro Periode aus sechs gleichen sinusförmigen Kappen über je einem Winkel von 60°. Den Sperrspannungsverlauf über den Dioden errechnen wir mit Hilfe der Strangspannungsverläufe in Bild 99b , den Gleichspannungsverläufen von u G+ in Bild 99c und von u G− in Bild 99d . Dazu lesen wir mit den Spannungspfeilen nach Kirchhoff in der Schaltung Bild 99 folgende Beziehungen ab: u G = u G+ + u G− ωt 0 240 180 120 60 300 360 û ½ √3 û u G Grad ½ √3 û <?page no="217"?> 215 Für Diode D 1 : u S1 = u G+ − u 1 . Hierzu Bild 101a (156a) Für Diode D 2 : u S2 = u G+ − u 2 . Hierzu Bild 101b (156b) Für Diode D 3 : u S3 = u G+ − u 3 . Hierzu Bild 101c (156c) Für Diode D 4 : u S4 = u 1 + u G− . Hierzu Bild 101d (156d) Für Diode D 5 : u S5 = u 2 + u G− . Hierzu Bild 101e (156e) Für Diode D 6 : u S6 = u 3 + u G− . Hierzu Bild 101f (156f) Die Sperrspannungsverläufe mit Widerständen am Schaltungsausgang ohne Glättungskondensator zeigen Bild 101a bis 101f . Bild 101 a Bild 101 d Sperrspannung über D 1 Sperrspannung über D 4 Bild 101 b Bild 101 e Sperrspannung über D 2 Sperrspannung über D 5 Bild 101 c Bild 101 f Sperrspannung über D 3 Sperrspannung über D 6 Aus den Sperrspannungsverläufen geht hervor, dass jede Diode in einer Periode während eines Winkels von 240° gesperrt ist. Während eines Winkels von 120° ist die betreffende Diode geöffnet und somit ihre Sperrspannung gleich null. Die maximale Sperrspannung jeder Diode ist gleich dem Spitzenwert û einer Leiterspannung. Die Sperrspannungsverläufe bestehen aus zwei Teilen je einer Sinusfunktion, die an ihrem Berührungspunkt eine Kurvenspitze bilden, deren Wert beträgt. 240 180 120 60 300 360 ωt û 0 ½ √3 û u S1 ωt û 0 240 180 120 60 300 360 ½ √3 û u S2 ωt û 0 240 180 120 60 300 360 ½ √3 û u S3 ωt û 0 240 180 120 60 300 360 ½ √3 û u S4 ωt û 0 240 180 120 60 300 360 ½ √3 û u S5 ωt û 0 240 180 120 60 300 360 ½ √3 û u S6 ½ √3 û <?page no="218"?> 216 Abschließend betrachten wir die Schaltung mit Glättungskondensatoren ohne Widerstände am Ausgang. Dazu ersetzen wir die Widerstände in Bild 99 durch Kondensatoren (im Schaltbild nicht eingezeichnet). Aus Bild 99c und 99d geht hervor, dass je ein Kondensator an den Anschlüssen + und 0 sowie 0 und − auf den Spannungswert aufgeladen wird. Mit den Spannungspfeilen In Bild 99 errechnen wir die Summenspannung zwischen den Gleichspannungsausgängen + und − von . (157) Die geglättete Gleichspannung des unbelasteten Schaltungsausganges gemäß Bild 103 ist demnach ca. 15% höher der Spitzenwert der eingespeisten Leiterspannung des Drehstromnetzes. Für die Errechnung der Dioden-Sperrspannungen gelten wie bei ohmscher Belastung die Gln. (156a) bis (156f). Danach ergeben sich für deren Verlauf sinusförmige Strangspannungen, die um den Betrag der geglätteten Ausgangsgleichspannung u G nach oben verschoben sind. Den Verlauf der Dioden-Sperrspannungen zeigen Bild 102a bis 102f. Bild 102 a Bild 102 d Sperrspannung über D 1 Sperrspannung über D 4 Bild 102 b Bild 102 e Sperrspannung über D 2 Sperrspannung über D 5 Bild 102 c Bild 102 f Sperrspannung über D 3 Sperrspannung über D 6 u G = 2û / √3 ωt 0 240 180 120 60 300 360 u S1 √3 2û √3 û û / √3 u S4 ωt 0 240 180 120 60 300 360 √3 2û √3 û ωt u S2 0 240 180 120 60 300 360 √3 2û √3 û ωt u S5 0 240 180 120 60 300 360 √3 2û √3 û u S3 ωt 0 240 180 120 60 300 360 √3 2û √3 û u S6 ωt 0 240 180 120 60 300 360 √3 2û √3 û <?page no="219"?> 217 Bild 103 Geglättete Ausgangsgleichspannung des Brückengleichrichters Nach Zuschalten einer ohmschen Last an den Schaltungsausgang öffnen die Dioden in einem Winkelbereich, in dem die Sperrspannungskurven die ωt-Achse berühren, wie in Bild 93 veranschaulicht, und sind für Ladestromimpulse zum Glättungskondensator durchlässig. Bild 104 Schaltbild des Drehstrom - Brückengleichrichters Die endgültige Schaltung zum Drehstrom - Brückengleichrichter zeigt Bild 104 . Es entsteht, wenn wir in der Schaltung zur Vorstufe des Gleichrichters in Bild 99 den Transformator T weglassen und den Schaltungseingang direkt mit den Leitern des Drehstromnetzes L1 , L2 und L3 verbinden. Weiterhin entfallen: Der Sternpunkt mit dem Anschluss 0 , die Gleichspannungen u G+ und u G− , die Widerstände R + und R − und die Strangspannungen u 1 , u 2 und u 3 . Mit den genannten Spannungen entfallen auch die Liniendiagramme in Bild 99b bis 99d . Übrig bleibt die Schaltung in Bild 104 . Zu dieser Schaltung gehören die Liniendiagramme in Bild 99a , 100 , 101a bis 101f , 102a bis 102f und 103 . Die weggefallenen Größen dienen nur in Verbindung mit der vorläufigen Schaltung in Bild 99 als Hilfsgrößen zur Bildung der endgültigen Schaltung des Drehstrom - Brückengleichrichters. ωt 0 240 180 120 60 300 360 √3 2û u G R + u 23 u 31 u 12 L3 u S5 D 3 u S3 L2 L1 u G D 4 D 6 D 2 D 1 D 5 u S4 u S2 u S6 u S1 i 3 i 6 i 2 i 5 i 1 i 4 i G − C <?page no="220"?> 218 Trotz des Wegfalls der zur Erklärung dienenden Hilfsgrößen haben die Liniendiagramme zu den Dioden-Sperrspannungen und Gleichspannungen am Ausgang sowohl für Widerstandsbelastung als auch für den Leerlauffall mit Ladekondensator volle Gültigkeit. Als Beweis betrachten wir die Schaltung Bild 104 . Mit den Spannungspfeilen der Sperrspannungen über jeweils zwei übereinander angeordneten Dioden errechnen wir die Ausgangsgleichspannung u G nach Kirchhoff, indem wir im Schaltbild folgende Maschengleichungen ablesen: An Diode D 1 und D 4 : u S1 + u S4 = u G Hierzu Bild 101a , 101d und 102a , 102d An Diode D 2 und D 5 : u S2 + u S5 = u G Hierzu Bild 101b , 101e und 102b , 102e An Diode D 3 und D 6 : u S3 + u S6 = u G Hierzu Bild 101c , 101f und 102c , 102f Zusätzlich müssen die Sperrspannungen von jeweils zwei nebeneinander angeordneten Dioden die angelegten Leiterspannungen ergeben. Für diese lesen wir im Schaltbild folgende Maschengleichungen ab: An Diode D 1 und D 2 : − u S1 + u S2 = u 12 Hierzu Bild 101a , 101b und 102a , 102b An Diode D 4 und D 5 : u S4 − u S5 = u 12 Hierzu Bild 101d , 101e und 102d , 102e An Diode D 2 und D 3 : − u S2 + u S3 = u 23 Hierzu Bild 101b , 101c und 102b , 102c An Diode D 5 und D 6 : u S5 − u S6 = u 23 Hierzu Bild 101e , 101f und 102e , 102f An Diode D 3 und D 1 : − u S3 + u S1 = u 31 Hierzu Bild 101c , 101a und 102c , 102a An Diode D 6 und D 4 : u S6 − u S4 = u 31 Hierzu Bild 101f , 101d und 102f , 102d Die Ergebnisse obiger Maschengleichungen können wir graphisch mit den Liniendiagrammen in den zugeordneten Bildern für beliebige Winkel auf der ωt-Achse überprüfen. Eine mathematische Überprüfung ist durchführbar, wenn wir bei Widerstandslast für die sinusförmigen Kurvenstücke in Bild 101a bis 101f eine Sinusfunktion für die entsprechenden Intervalle ermitteln und diese nach Rechenvorschrift der zugehörigen Maschengleichung mit Hilfe von Additionstheoremen addieren bzw. subtrahieren. Im Leerlaufbetrieb der Schaltung mit Glättungskondensator ist nur ein Rechenvorgang für die ganze Periode mit den Kurven in Bild 102a bis 102f erforderlich. Die Gültigkeit obiger Maschengleichungen beweist, dass die Schaltung zur Vorstufe des Drehstrom - Brückengleichrichters nur zur Erklärung der Funktion des Drehstrom - Brückengleichrichters in Bild 104 dient und praktisch nicht realisiert wird. Den Liniendiagrammen und Rechenergebnissen entnehmen wir, dass bei Widerstandslast jede Diode nur den einfachen Spitzenwert einer Leiterspannung sperren muss. Im Leerlaufbetrieb mit Glättungskondensator muss jede Diode den doppelten Spitzenwert einer Strangspannung sperren. Dieser doppelte Spitzenwert ist nur ca. 15% höher als der Spitzenwert einer Leiterspannung. Beim Drehstrom - Brückengleichrichter in Bild 104 sind Drehstromeingang und Gleichspannungsausgang galvanisch nicht voneinander getrennt. In der Regel ist jedoch der Schaltung ein Drehstromtransformator vorgeschaltet, der die Spannung abwärts transformiert und gleichzeitig den Gleichrichter vom Netz galvanisch trennt. Dadurch kann schaltungstechnisch über das Potential des Ausgangs frei verfügt werden. In vielen Anwendungsfällen wird kein Glättungskondensator benötigt. <?page no="221"?> 219 Übungsaufgabe a) Überprüfe, ob die Summe der Zeitfunktionen u S1 und u S4 über den Dioden D 1 und D 4 in Bild 104 die Zeitfunktion der Ausgangsgleichspannung u G ergibt. Hinweis: Ermittle mit Hilfe der Bilder 101a und 101d die Zeitfunktionen u S1 und u S4 intervallweise zwischen den „Knickstellen“. Vergleiche die Zeitfunktion u G als Ergebnis mit Bild 100 . b) Ermittle die Maschengleichung eines Umlaufs über die Spannungspfeile u S1 , u S2 und u 12 . Überprüfe, ob die ermittelten Zeitfunktionen u S1 und u S 2 über den Dioden D 1 und D 2 in Bild 104 mit der Maschengleichung die Zeitfunktion der Leiterspannung u 12 in Bild 99a ergeben. 10.6 Spannungsvervielfacher Spannungsvervielfacher sind Gleichrichterschaltungen, bei denen die Ausgangsgleichspannung ein Mehrfaches vom Spitzenwert der Eingangswechselspannung beträgt. 1. Einpuls - Verdopplerschaltung (D1 / Villard - Schaltung) Ausgangspunkt der weiteren Betrachtungen ist die Einweggleichrichterschaltung in Bild 93 . Entfernen wir in dieser Schaltung den Widerstand R , geht aus dem zugehörigen Liniendiagramm hervor, dass der Maximalwert der Sperrspannung u S über der Diode D gleich dem doppelten Spitzenwert der Eingangswechselspannung ist. Mit diesem laden wir über eine Diode einen Kondensator. Die Schaltung zur Spannungsverdoppelung zeigt Bild 105 . Bild 105 Spannungsverdopplerschaltung D1 Die Schaltelemente C 1 und D 1 entsprechen C und D in Bild 93 . ωt û u W u S2 C 1 C 2 D 1 D 2 u S1 u C1 u G u W + + ωt û 2 û u S1 ωt û 2 û u S2 u G = 2 û u S1 = û + u W u S2 = û − u W u W = û sinωt u C1 = û <?page no="222"?> 220 In der Schaltung von Bild 105 laden die negativen Halbwellen der eingespeisten Wechselspannung u W über Diode D 1 den Kondensator C 1 auf den Spitzenwert û mit der angegebenen Polarität. Mit den Spannungspfeilen im Schaltbild ergibt die Summe von u C1 und u W die Sperrspannung u S1 über D 1 . Der Maximalwert von u S1 ist gleich dem doppelten Spitzenwert 2 û der eingespeisten Wechselspannung u W . Die Maximalwerte von u S1 laden über Diode D 2 den Kondensator C 2 auf die Ausgangsgleichspannung u G = 2 û . Mit den Spannungspfeilen im Schaltbild errechnen wir als Sperrspannung über D 2 u S2 = u G − u W − u C1 = û − u W . Je nach Bemessung der Kondensatoren und Höhe des Innenwiderstandes der Wechselspannungsquelle erreichen die Kondensatorspannungen erst nach mehreren Perioden der Wechselspannung ihren Endzustand. Auf diesen beziehen sich die Liniendiagramme und Gleichungen in Bild 105 , wobei ideale Schalteigenschaften der Dioden angenommen werden. Die Spannungsverdopplerschaltung findet z.B. in Elektronenblitzgeräten Anwendung. In diesen ist C 2 , der sogenannte „Blitzelko“, sehr viel größer als der Kondensator C 1 . In einer realisierten Schaltung betragen C 1 = 0,25 μF / 250 V und C 2 = 500 μF / 500 V . Der kleine Kondensator C 1 „löffelt“ mit seiner kleinen Ladung in vielen Wechselspannungsperioden den großen Kondensator C 2 auf seine volle Ladung. Dieser Ladevorgang kann mehrere Sekunden dauern, bis die Blitzröhre den Blitzelko in wenigen Millisekunden entlädt. Der Kondensator C 1 muss für den einfachen und der Kondensator C 2 für den doppelten Spitzenwert der Eingangswechselspannung ausgelegt sein. Die Dioden D 1 und D 2 müssen den doppelten Spitzenwert sperren. Eingangswechselspannung und Ausgangsgleichspannung haben gleiches Bezugspotential. 2. Zweipuls - Verdopplerschaltung (D2 nach DIN 41761/ Delon - Schaltung) Bild 106 Spannungsverdopplerschaltung D2 ωt û u W u G = 2 û C 1 C 2 D 1 D 2 u S1 = û − u W u C1 = û u G u W + + + − u C2 = û u S2 = û + u W <?page no="223"?> 221 Schließen wir an eine Wechselspannungsquelle zwei Einweggleichrichterschaltungen mit entgegengesetzt gepolten Dioden an, erhalten wir die Zweipuls - Verdopplerschaltung in Bild 106 . Die positiven Halbwellen der Eingangswechselspannung laden über Diode D 1 den Kondensator C 1 auf den Spitzenwert û mit der angegebenen Polarität. Die negativen Halbwellen laden über die entgegengesetzt gepolte Diode D 2 den Kondensator C 2 ebenfalls auf den Spitzenwert û . Die Reihenschaltung der Kondensatoren im Schaltbild ergeben mit den Spannungspfeilen u C1 und u C2 die Summenspannung u G am Schaltungsausgang mit der angegebenen Polarität. Eingangs- und Ausgangsspannung haben kein gemeinsames Bezugspotential. Ein Anwendungsgebiet der Spannungsverdopplerschaltung D2 sind Messgeräte zur Messung der Spitze-Spitze-Spannung. 3. Vervielfacherschaltung nach Greinacher Die Spannungsverdopplerschaltung D1 in Bild 105 bildet die Grundschaltung für Spannungsvervielfacher. Eine Schaltung zur Erzeugung einer Gleichspannung vom sechsfachen Spitzenwert der Eingangswechselspannung zeigt Bild 107 . Bild 107 Spannungsversechsfacherschaltung Die drei strichpunktiert gerahmten gleichen Schaltungsgruppen sind in Kette geschaltet. Jede Schaltungsgruppe ist eine Spannungsverdopplerschaltung nach Bild 105 . Im Unterschied zu Bild 105 wird jedoch in Bild 107 die Ausgangsspannung u S2 der Schaltungsgruppe über der Diode D 2 abgenommen. Aus Bild 105 übernehmen wir für Bild 107: u W = û sinωt ; u C1 = û ; u S1 = û + u W ; u C2 = 2 û und u S2 = û − u W . Mit dem Maximalwert von u S2 wird in der zweiten Schaltungsgruppe in Bild 107 der Kondensator C 3 über Diode D 3 auf den doppelten Spitzenwert + C 2 C 1 u C1 u C2 D 1 D 2 u S1 u S2 u W u C3 u C5 u C4 u C6 u S3 u S5 u S6 u S4 C 6 C 5 C 4 C 3 D 6 D 5 D 4 D 3 1 3 2 2 1 4 u G32 u G41 + + + + + + + − − <?page no="224"?> 222 u C3 = 2 û der Eingangswechselspannung u W aufgeladen. Als Sperrspannung u S3 über D 3 liest man mit den Spannungspfeilen in Bild 107 ab: u S3 = u C3 − u S2 . Daraus folgt u S3 = 2 û − (û − u W ) und u S3 = û + u W . Ein Vergleich obiger Beziehungen ergibt, dass die Gleichungen für u S1 über Diode D 1 in der ersten Schaltungsgruppe und für u S3 über D 3 in der zweiten Schaltungsgruppe identisch sind. Demnach sind auch die Spannungsgrößen über den nachfolgenden Schaltelementen beider Schaltungsgruppen identisch, so dass gilt: u C4 = u C2 = 2 û und u S4 = u S2 = û − u W . Die Ausgangsspannung u S4 der zweiten Schaltungsgruppe ist gleichzeitig Eingangsspannung der dritten Schaltungsgruppe. Ebenso ist die Ausgangsspannung u S2 der ersten Schaltungsgruppe gleichzeitig Eingangsspannung der zweiten Schaltungsgruppe. Mit der Identität von u S2 und u S4 besteht auch Identität der Schnittstellen zwischen erster und zweiter sowie zweiter und dritter Schaltungsgruppe. Im Schaltbild lesen wir folgende Identitäten ab: u C5 = u C3 ; u C6 = u C4 ; u S5 = u S3 ; u S6 = u S4 . Zusammengefasst erhalten wir mit Bild 107 für die Spannungsversechsfacherschaltung folgende Ergebnisse: Spannung auf Kondensator C 1 u C1 = û Spannung auf den Kondensatoren C 2 ; C 3 ; C 4 ; C 5 ; C 6 u C2 = u C3 = u C4 = u C5 = u C6 = 2 û . Sperrspannungen über den Dioden D 1 ; D 3 ; D 5 u S1 = u S3 = u S5 = û + u W Sperrspannungen über den Dioden D 2 ; D 4 ; D 6 u S2 = u S4 = u S6 = û − u W Kondensator C 1 wird nur auf den einfachen Spitzenwert der Eingangswechselspannung geladen. Die übrigen Kondensatoren in der Schaltung werden auf den doppelten Spitzenwert geladen. Alle Dioden in der Schaltung müssen den doppelten Spitzenwert sperren. Die Kondensatoren C 2 , C 4 und C 6 bilden eine Reihenschaltung. Deren Anfang und Ende liegen an den Ausgangsanschlüssen 2 und 3 der Schaltung. Die Ausgangsgleichspannung u G32 ist somit die Summenspannung u C2 + u C4 + u C6 dieser Reihenschaltung. Sie beträgt u G32 = 6 û als Ergebnis der Spannungsversechsfacherschaltung. <?page no="225"?> 223 Einen Nebenausgang bilden die Anschlüsse 1 und 4 der Schaltung. An diesen liegt die Summenspannung u C1 + u C3 + u C5 der Kondensatoren C 1 , C 3 und C 5 . Sie Beträgt u G41 = 5 û , da C 1 auf den einfachen aber C 3 und C 5 auf den doppelten Spitzenwert der Eingangswechselspannung geladen werden. Demnach wirkt bei Nutzung des Nebenausganges die Schaltung als Spannungsverfünffacher. Dabei können die Schaltelemente C 6 und D 6 entfallen. Die Schaltung in Bild 107 besteht aus drei gleichen Schaltgruppen. Bezeichnen wir die Anzahl der Schaltgruppen mit „n“ , gilt für die Ausgangsgleichspannungen am Hauptausgang u G32 = 2n û und am Nebenausgang u G41 = (2n −1) û . Für n = 3 erhalten wir die bereits genannten Beziehungen. Erweitern wir z.B. die Schaltung in Bild 107 um zwei weitere gleiche Schaltgruppen, wird mit n = 5 die Spannung am Hauptausgang um den Faktor 10 und am Nebenausgang um den Faktor 9 erhöht. Ein ausgangsseitiger Polaritätswechsel erfolgt durch Umpolen der Dioden. Auch nichtsinusförmige Wechselspannungen können eingespeist werden. Spannungsvervielfacher sind bei hoher Vervielfachung nur für sehr geringe Belastungsströme (bis zu 10 mA) geeignet. Durch den Innenwiderstand der Wechselspannungsquelle, Durchlasswiderstände der Dioden und Isolationsströme der Kondensatoren entstehen Spannungsverluste, die für ideale Bedingungen errechnete Ausgangsspannungswerte vermindern. Spannungsvervielfacher werden auch zur Erzeugung sehr hoher Gleichspannungen von ca. 1000 kV verwendet. Hohe Gleichspannungen werden u.a. für Prüfzwecke und Staubfilter benötigt. Der gemeinsame Anschluss eines Aus- und eines Einganges (Anschluss 2 am Hauptausgang oder Anschluss 1 am Nebenausgang) wird geerdet. <?page no="226"?> 224 11 Lösungen von Übungsaufgaben Zu 3.3.4 1. Ableitung der Lösung für U 1 in Bild 9 : Gl. (2) in obere Gleichung des Gleichungssystems (1) einsetzen und nach U 1 umstellen : . E 1 mit Nenner erweitern und auf gemeinsamen Bruchstrich bringen : . Zähler durch Umformen vereinfachen : . Das ist Gl. (3) als Lösung. 2. Überprüfung der errechneten Größen des 1. und 2. Beispiels : Maschengleichungen : 1. Beispiel : 2. Beispiel : − E 1 + U 1 + U 3 = 0 − 6 V + 1,2 V +4,8 V = 0 − 6 V + 2,8 V + 3,2 V = 0 − U 3 + U 2 + E 2 = 0 − 4,8 V + 0,8 V + 4 V = 0 − 3,2 V − 0,8 V + 4 V = 0 Knotengleichung : I 1 − I 2 − I 3 = 0 1,2 mA − 0,4 mA − 0,8 mA = 0 2,8 mA + 0,4 mA − 3,2 mA = 0 Die im 1. und 2. Beispiel errechneten Größen erfüllen die Kirchhoffschen Gleichungen. U 1 = E 1 − E 1 + E 2 R 1 R 2 R 1 R 2 R 1 R 3 1 + + U 1 = E 1 (1 + + ) − ( E 1 + E 2 ) R 1 R 2 R 1 R 3 R 1 R 2 R 1 R 2 R 1 R 3 1 + + (1 + + ) U 1 = ( + ) E 1 - E 2 R 1 R 2 R 1 R 2 R 1 R 3 R 1 R 2 R 1 R 3 <?page no="227"?> 225 3. Errechnung der Funktion U 0 = f (R 2 ) mit Gl. (17) und Bezug auf Bild 10 : In Aufgabenstellung gegebene Widerstandswerte in Leitwerte mit der Einheit mS (Millisiemens) umrechnen : G 0 = 0,5 mS ; G 1 = G 3 = G 4 = 1 mS ; G 2 / mS = 4 ; 2 ; 1,333 ; 1 ; 0,667 ; 0,5 ; 0,333 ; 0,286 ; 0,25 ; 0,222 ; 0,2 . Die errechneten Leitwerte in Gl. (17) einsetzen und Brückenspannungen U 0 errechnen. Die folgenden Darstellungen zeigen die Wertetabelle und das Bild der Funktion (Tabelle und Kurve enthalten zusätzlich zur Aufgabenstellung errechnete Werte). 4. Errechnung des Ersatzwiderstandes der Brückenschaltung in Bild 10 : Das folgende Bild zeigt oben links die Brückenschaltung von Bild 11a mit den eingetragenen Widerstandswerten der Aufgabenstellung, oben rechts die Schaltung nach der Dreieck-Stern-Transformation, unten links eine übersichtlichere Darstellung der vorherigen und unten rechts den errechneten Ersatzwiderstand. -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 R 2 / kΩ U 0 / V 0 -2,4 0,25 -1,333 0,5 -0,706 0,75 -0,293 1 0 1,25 0,218 1,5 0,387 1,75 0,522 2 0,632 2,25 0,723 2,5 0,8 2,75 0,866 3 0,923 3,25 0,973 3,5 1,017 3,75 1,056 4 1,091 4,25 1,122 4,5 1,151 4,75 1,176 5 1,2 R 2 / kΩ U 0 / V Wertetabelle Funktion U 0 = f (R 2 ) Bei dem Wert R 2 = 1 kΩ ist die Brücke abgeglichen (U 0 = 0) . <?page no="228"?> 226 Die Werte der Sternschaltung werden nach der „1. Merkhilfe“ in Kap. 3.3.3 errechnet. 5. Errechnung des Ersatzwiderstandes durch Stern-Dreieck-Transformation am 1. Knoten der Schaltung : 1 2 4 3 A B 1 2 3 4 0 A B 4 3 A B A B 3 1 2 0 4 100 Ω 90 Ω 150 Ω 250 Ω 65 Ω 30 Ω 50 Ω 75 Ω 90 Ω 65 Ω 30 Ω 50 Ω 90 Ω 75 Ω 65 Ω 100 Ω R AB = 100 Ω 3 4 2 A B 3 250 Ω 100 Ω B A 4 2 1 90 Ω 65 Ω 150 Ω 150 Ω 65 Ω 226 Ω 627,78 Ω 565 Ω A B 3 2 4 226 Ω 628 Ω 565 Ω 150 Ω 65 Ω 4 3 226 Ω 121 Ω 58,3 Ω A B 2 <?page no="229"?> 227 Die Brückenschaltung oben links ist zur Hervorhebung des Widerstandssternes am Knoten 1 verzerrt dargestellt. Nach der Stern-Dreieck-Transformation des Widerstandssternes entsteht die Schaltung oben rechts. Die Werte des inneren Widerstandsdreiecks werden mit der „2. Merkhilfe“ in Kap. 3.3.3 oder mit den Gleichungen (26a) , (26b) und (26c) errechnet. In Pfeilrichtung sind die jeweils vereinfachten Ersatzschaltungen dargestellt, die durch Zusammenfassen von parallel- und hintereinandergeschalteter Widerstände entstehen. Die Berechnungen des Ersatzwiderstandes der Wheatstoneschen Brücke zeigen, dass die Berechnung mit der Dreick-Stern-Transformation weniger aufwändig ist, als die Berechnung mit der Stern-Dreieck-Transformation. Beide Ergebnisse sind selbstverständlich gleich. Zu 6.2.6 Zu 1. a) Errechnung der Kreisfrequenz : Mit Gl. (59) errechnen wir → . b) Errechnung des induktiven Widerstandes : Mit Gl. (49) errechnen wir → c) Errechnung des komplexen Widerstandes : Mit Gl. (58) errechnen wir (kartesische Form) . Für den Betrag des komplexen Widerstandes errechnen wir mit Gl. (58a) , und für den Phasenwinkel mit Gl. (58b) . Mit dem errechneten Betrag und Phasenwinkel können wir sofort gemäß Gl. (58c) den gesuchten komplexen Widerstand in der eulerschen Form 4 3 A B 100 Ω R AB = 100 Ω 3 4 226 Ω 179,3 Ω A B ω / = 2 π 400 rad s ω = 2513 rad s R L = j 2513 10 mH = j 2513 0,01 1 s 1 s Vs A R L = j 25,13 Ω R AB = 10 Ω + j 25,13 Ω R AB = (10 Ω) 2 + (25,13 Ω) 2 = 27 Ω 25,13 Ω ϕ = arctan = 1,19 rad = 68° 10 Ω <?page no="230"?> 228 aufschreiben. d) Errechnung des komplexen Leitwertes : Der komplexe Leitwert ist der reziproke Wert des komplexen Widerstandes. Deshalb folgt aus Lösung c) : → (eulersche Form) . Die kartesische Form errechnen wir mit Gl. (41) und erhalten das Ergebnis → e) Errechnung der komplexen Stromaufnahme : Die komplexe Stromaufnahme errechnen wir mit dem Ohmschen Gesetz, angewendet auf komplexe Größen. Somit erhalten wir mit den Bezeichnungen in Bild 28 die Gleichung . Den Wert u AB = 115 V entnehmen wir der Aufgabenstellung und den Wert für R AB der Lösung c). Nach Einsetzen dieser Werte in obige Gleichung erhalten wir das Ergebnis: → . Diesem Ergebnis entnehmen wir den Phasenwinkel ϕ = − 1,19 rad = − 68°. Demnach eilt der Strom der angelegten Spannung in Bild 28 um 68° nach. Zu 2. a) Errechnung der Mindestkapazität des Kondensators C in Bild 37 : Nach der Spannungsteilerregel erhalten wir die Beziehung → . (∗) (Die Unterstreichung von u AB kann entfallen, da die angelegte Spannung als reelle Größe gegeben ist.) Den Betrag von u C auf der linken Gleichungsseite errechnen wir mit dem Betrag des komplexen Nenners auf der rechten Gleichungsseite : . Diese Gleichung stellen wir nach C um. Das Ergebnis lautet : R AB = 27 Ω e = 27 Ω e j 1,19 68° rad j G AB = = 1 R AB 1 27 Ω e j 1,19 G AB = 0,037 S e − j 1,19 G AB = 0,037 S (cos1,19 rad − j sin1,19 rad) G AB = 0,0138 S − j 0,0343 S i = u AB R AB i = = e 115 V 27 Ω e j 1,19 115 V A 27 V − j 1,19 i = 4,26 A e − j 1,19 u C u AB = 1 j ω / rad C R + 1 j ω / rad C u C u AB = 1 1 + j ω / rad RC ⏐u C ⏐ u AB = 1 1+ (ω / rad RC) 2 <?page no="231"?> 229 . Der Aufgabenstellung entnehmen wir die Zahlenwerte : u AB = 10 V ; ⏐u C ⏐= 1 V ; R = 50 Ω ; f = 100 Hz → . Diese setzen wir in obige Gleichung ein : . Die gesuchte Mindestkapazität beträgt C = 317 μF . Praktisch wird als Siebkondensator ein Elektrolytkondensator gewählt, dessen Kapazität größer als 317 μF ist. Der nächst größere Wert aus der Normreihe E3 nach DIN IEC 63 beträgt C = 470 μF . b) Errechnung des Phasenwinkels ϕ von u C : Den Phasenwinkel errechnen wir mit Gl. (∗) , die wir dazu in die eulersche Form umwandeln : . Da der komplexe Ausdruck von Gl. ( ∗ ) im Nenner steht, erscheint dort der Winkel ϕ mit negativem Vorzeichen. Somit entnimmt man aus Gl. ( ∗ ) : − ϕ = arctan(ω / rad RC) . Nach Einsetzen der Zahlenwerte aus Lösung a) errechnet man : → ϕ = − 1,47 rad oder ϕ = − 84° . Der Spannungsverlauf u C über dem Siebkondensator eilt also dem Verlauf der angelegten Spannung u AB um 84° nach. Wie man zusätzlich mit den gegebenen und ermittelten Werten errechnen kann, beträgt der Wechselstromwiderstand des Kondensators nur 10% vom vorgeschalteten ohmschen Widerstand. Qualitativ betrachtet, wird der Strom durch die R-C- Reihenschaltung fast nur vom ohmschen Widerstand R bestimmt. Dadurch ist dieser Strom zur angelegten Spannung nahezu phasengleich. Wie be- C = 1 ω / rad R u AB ⏐u C ⏐ ( ) 2 − 1 ω / rad = 628 1 s 628 . 50 V C = s A 10 V 1 V ( ) 2 − 1 u C u AB = 1 1+ (ω / rad RC) 2 e ϕ rad j − ϕ = arctan(623 50 317 . 10 −6 ) = arctan 9,95 1 s A V V As <?page no="232"?> 230 kannt, erzeugt der einen Kondensator durchfließende Strom über dem Kondensator eine um 90° nacheilende Spannung. Auf die betrachtete Schaltung bezogen, beträgt der errechnete Phasenwinkel ϕ ca. − 90°. Zu 3. Errechnung des Vorschaltkondensators C für den Induktionsmotor gemäß Bild 40 : Spannung über dem Induktionsmotor mit Bezug auf Bild 40 : u M = u R + u L . Angelegte Gesamtspannung (über Motor und Vorschaltkondensator) : u AB . Ohmscher Widerstand des Motors : R . Induktiver Widerstand des Motors : R L = j ω / rad L = j R L . Kapazitiver Widerstand des . Vorschaltkondensators : Aus den obigen Beziehungen folgen die reellen Größen R L = ω / rad L und , die wir wegen eines geringeren Schreibaufwandes im Folgenden verwenden. Anwendung der Spannungsteilerregel : . Um die Berechnungen mit möglichst wenig Einheiten durchzuführen, dividieren wir Zähler und Nenner obige Gleichung durch R und erhalten die Gleichung . Diese Gleichung enthält nur dimensionslose Verhältnisgrößen. Für die weiteren Berechnungen interessieren nur noch die Beträge. Die Betragsbildung der vorherigen Gleichung ergibt : Die weiteren Rechenschritte erfolgen zwecks Umstellung nach : R + j R L R + j (R L − R C ) u M u AB = R L R 1+ j 1+ j ( − ) u M u AB = R L R R C R U M U AB = 1 + ( ) 2 R L R 1 + ( − ) 2 R L R R C R R C R R C = 1 j ω / rad C = - j R C R C = 1 ω / rad C <?page no="233"?> 231 Quadrieren : . Kehrwert bilden : . Umformen : → Radizieren : Umstellen : . In diese Gleichung setzen wir die Zahlenwerte der Aufgabenstellung ein : f = 50 Hz → ω / rad = 314 s -1 ; R L = ω / rad L = 314 s -1 . 10 H → R L = 3140 Ω ; R = 1000 Ω → ; U AB = 110 V ; U M = 220 V → . Werte einsetzen : Mit negativem Vorzeichen gilt : . Mit positivem Vorzeichen gilt : . Errechnung der Kapazitäten : → → → U M U AB ( ) 2 = 1 + ( ) 2 R L R 1 + ( − ) 2 R L R R C R ( ) 2 = U AB U M 1 + ( ) 2 R L R 1 + ( − ) 2 R L R R C R ( ) 2 U AB U M [ 1 + ( ) 2 ] R L R 1 + ( − ) 2 = R L R R C R ( ) 2 U AB U M [ 1 + ( ) 2 ] − 1 R L R ( − ) 2 = R L R R C R ( ) 2 U AB U M [ 1 + ( ) 2 ] − 1 R L R ( − ) = ± R L R R C R = R L R R C R ( ) 2 U AB U M [ 1 + ( ) 2 ] − 1 R L R −+ R L R = 3,14 U AB U M = 0,5 = 3,14 R C R 0,25 (1 + 3,14 2 ) − 1 = 3,14 1,31 −+ −+ R C1 R = 1,83 R C2 R = 4,45 C 1 = 1 314 s -1 . 1,83 . 1000 Ω R C1 = 1 ω / rad C 1 C 1 = 1 ω / rad R C1 C 1 = 1,74 μF <?page no="234"?> 232 Analog hierzu errechnen wir für C 2 : → Lösung zur Zusatzfrage : Bei Resonanz des Reihenschwingkreises haben der induktive und kapazitive Widerstand gleiche Beträge. Dann gilt : und nach Umstellung . Nach Einsetzen der gegebenen Zahlenwerte errechnet man : → C 0 = 1 μF . Realisiert man mit C 0 als Vorschaltkondensator den Resonanzfall, entsteht am Induktionsmotor eine zu hohe Spannung von 362 V , die dem Motor schaden würde. Zu 4. a) Der Resonanzfall des Parallelschwingkreises in Bild 42 liegt vor, wenn der kapazitive und induktive Leitwert gemäß der Beziehung gleich sind. Umstellung dieser Formel nach L : . Einsetzen der vorgegebenen Werte : f 0 = 455 kHz → ω 0 / rad = 2,859 . 10 6 s −1 und C = 150 pF : → L = 816 μH . L ist die Induktivität für den Resonanzfall. b) Die Spannung U AB0 für den Resonanzfall ergibt sich nach dem Ohmschen Gesetz mit Bezug auf Bild 42 und Gl. (83b) als das Produkt U AB0 = I R . Bei der R-L-C-Parallelschaltung ist im Resonanzfall der Eingangswiderstand R AB0 gleich dem Widerstand R . Mit den gegebenen Werten der Aufgabenstellung beträgt demnach U AB0 = 10 μA 120 kΩ → U AB0 = 1,2 V . c) In der Aufgabenstellung wird gefragt, welche Frequenz bzw. Kreisfrequenz der eingespeiste Wechselstrom haben muss, damit das Spannungsverhältnis beträgt . Bei Stromeinspeisung in die Schaltung ω 0 / rad C 0 ω 0 / rad L = 1 (ω 0 / rad ) 2 L C 0 = 1 314 2 . 10 Vs C 0 = s 2 A ω / rad C = ω / rad L 1 (ω 0 / rad ) 2 C L = 1 (2,859 . 10 6 s −1 ) 2 . 150 pF L 0 = 1 U AB U AB0 = 1 2 C 2 = 1 314 s -1 . 4,45 . 1000 Ω C 2 = 0,716 μF <?page no="235"?> 233 gilt . Mit Bezug auf Gl. (83b) erhalten wir nach Umstellung und Betragsbildung die Gleichung . Die gesuchten Kreisfrequenzen, die obige Gleichung erfüllen, errechnen wir mit folgendem Rechenweg : Obige Gleichung quadrieren : . Kehrwert bilden : . Vereinfachen : . Diese Gleichung erfüllen zwei Kreisfrequenzen. Eine Kreisfrequenz ergibt eine positive Differenz in der Klammer. Diese bezeichnen wir mit oberer Grenzfrequenz ω 2 / rad . Eine weitere Kreisfrequenz ergibt eine negative Differenz in der Klammer. Diese bezeichnen wir mit unterer Grenzfrequenz ω 1 / rad . In beiden Fällen ist das Quadrat des Klammerinhaltes immer positiv. Um für den weiteren Rechenweg eine negative Klammerdifferenz zu umgehen, vertauschen wir für die untere Grenzfrequenz die Ausdrücke in der Klammer und schreiben zwei getrennte Gleichungen : Für die untere Grenzfrequenz: Für die obere Grenzfrequenz: Mit diesen Gleichungen setzen wir den Rechenweg parallel fort : Nach Radizieren auf Normalform für quadtratische Gleichungen umformen : Quadratische Ergänzungen hinzufügen : U AB U AB0 = 1 2 ⏐R AB ⏐ R = 1 + ( ω / rad RC − ) 2 ω / rad L R 1 ⏐R AB ⏐ R = 1 2 = 1 + ( ω / rad RC − ) 2 ω / rad L R 1 1 2 = 2 1 + ( ω / rad RC − ) 2 ω / rad L R = ( ω / rad RC − ) 2 ω / rad L R = 1 ( − ω 1 / rad RC ) 2 = 1 ω 1 / rad L R ( ω 2 / rad RC − ) 2 = 1 ω 2 / rad L R ω 1/ rad2 + ω 1/ rad − = 0 RC 1 LC 1 ω 2/ rad2 − ω 2/ rad − = 0 RC 1 LC 1 1 ω 1/ rad2 + ω 1/ rad + ( ) 2 − = ( ) 2 2RC 2 LC 1 2RC 2RC 1 1 ω 2/ rad2 − ω 2/ rad + ( ) 2 − = ( ) 2 2RC 2 LC 1 2RC 2RC 1 <?page no="236"?> 234 Mit quadratischem Klammerausdruck zusammenfassen : Radizieren und nach Kreisfrequenzen umstellen : Gleichung für untere Grenzfrequenz : Gleichung für obere Grenzfrequenz : Diese Gleichungen unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen der Ausdrücke neben der Wurzel. Errechnung der Grenzfrequenzdifferenz : → . Bei der Differenzbildung entfallen die Wurzelausdrücke. Berechnungen nach Einsetzen folgender bisher gegebener und berechneter Zahlenwerte in die gerahmten Formeln : R = 120 kΩ , L = 816 μH , C = 150 pF . Zwischenergebnisse : ; ; . Ergebnisse : ω 1/ rad = 2,83 . 10 6 s -1 , ω 2/ rad = 2,89 . 10 6 s -1 , Δω / rad = 6 . 10 4 s -1 In kHz umgerechnete Ergebnisse : f 1 = 450 kHz , f 2 = 460 kHz , Δf = 10 kHz . Die Frequenzdifferenz Δf wird als „Bandbreite“ des Schwingkreises bezeichnet. An den Bandgrenzen mit den Frequenzen f 1 und f 2 beträgt die Schwingkreisspannung noch ca. 70% vom Maximalwert der Spannung bei Resonanz, wie in der Aufgabenstellung vorgegeben. Für die Berechnung wird der genaue Wert 1/ 2 verwendet. ( ω 1/ rad + ) 2 = ( ) 2 + 2RC 1 2RC 1 LC 1 ( ω 2/ rad − ) 2 = ( ) 2 + 2RC 1 2RC 1 LC 1 2RC 1 LC 1 ω 1/ rad = ( ) 2 + − 2RC 1 2RC 1 LC 1 ω 2/ rad = ( ) 2 + + 2RC 1 Δω / rad = ω 2/ rad − ω 1/ rad Δω / rad = RC 1 2RC 1 = 2,78 . 10 4 s -1 LC 1 = 8,17 . 10 12 s -2 ( ) 2 + 2RC 1 LC 1 = 2,86 . 10 6 s -1 <?page no="237"?> 235 Zu 5. a) Der Phasenwinkel zwische Spannung und Strom der R-L-Reihenschaltung in Bild 44 (ohne Kondensator) ist gleich dem Winkel des komplexen Eingangswiderstandes R AB . Die Gleichung für diesen lautet: und in Exponentialform mit . Nach Einsetzen der in der Aufgabenstellung gegebenen Werte errechnet man → b) Erstellung der komplexen Leitwertformel zur Ersatzschaltung einer Leuchtstofflampe in Bild 44 : Die Leitwertformel ist der Kehrwert der Widerstandsformel. In Bild 44 liest man für diese ab : . Nach Umformungen zwecks Trennung von Real- und Imaginärteil errechnet man : . Nullsetzen des Imaginärteils : . Umstellen nach C 0 : . Nach Einsetzen der Werte laut Aufgabenstellung errechnet man : → . Der zur Leuchtstofflampe parallelgeschaltete Kondensator C 0 kompensiert deren Blindstrom und verbessert den Leistungsfaktor cosϕ von 0,6 auf 1. R AB = R + j ω / rad L R AB = R 2 + (ω / rad L) 2 e ϕ rad j ϕ = arctan ω / rad L R 500 Ω ϕ = arctan = arctan 1,256 314 s -1 2 H ϕ = 51,5° → cosϕ = 0,622 G AB = + j ω / rad C R + j ω / rad L 1 R 2 + (ω / rad L) 2 R 2 + (ω / rad L) 2 G AB = + j [ω / rad C − ] R ω / rad L ω / rad C 0 − = 0 R 2 + (ω / rad L) 2 ω / rad L C 0 = R 2 + (ω / rad L) 2 L C 0 = 2 H 25 . 10 4 Ω 2 + (314 s -1 . 2 H) 2 C 0 = 3 μF <?page no="238"?> 236 Zu 8.2 Spaltpolmotor Die Ergebnisse der Aufgabenstellung mit Bezug auf Bild 62 zeigt die nebenstehende Wertetabelle und das darunterstehende zugehörige Bild der Funktion in in einer komplexen Zahlenebene. Die vorgegebenen Zahlenwerte für die Zeitkonstante des Kurzschluss ringes im Spaltponmotor enthält die linke Tabellenspalte. Sie erscheinen ebenfalls als Parameter auf der Kurve im Bild. Die mit Gl. (123c) errechneten reellen Funktionswerte zum Magnetfluss im Spaltpol enthält die mitt lere Tabellenspalte und die mit Gl. (123d) errechne ten imaginären Funktionswerte die rechte Tabellen spalte. Die Tabellenwerte sind normiert dargestellt. Sie entsprechen den Kurvenpunkten im Bild der Funktion. Die Kurve wird als „Ortskurve“ bezeichnet. Zu 9 Drehstrom Zu 1. Ableitung der Gln. (130c) und (130d) Ableitung der Gl. (130c) : Die Maschengleichung Gl. (129a) mit Bezug auf Bild 63 lautet: u 23 = u 20 − u 30 . Gleichungen (126b) und (126c) einsetzen : . 0 1 0 0,13 0,983 − 0,128 0,27 0,932 − 0,252 0,41 0,856 − 0,351 0,58 0,748 − 0,434 0,76 0,634 − 0,482 1 0,5 − 0,5 1,32 0,365 − 0,481 1,72 0,253 − 0,435 2,44 0,144 − 0,351 3,7 0,068 − 0,252 7,6 0,017 − 0,129 ∞ 0 0 ω / rad τ K Re{Φ S } Φ H Im{Φ S } Φ H -0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 j r Re{Φ S } Φ H Im{Φ S } Φ H 0,13 0,27 0,41 0,58 0,76 1 1,32 1,72 2,44 3,7 7,6 Φ S Φ H ω / rad τ K rad ωt −120° j u 23 = ( e − e ) U^ ωt +120° rad j <?page no="239"?> 237 Mit Potenzgesetzen umwandeln : . Klammerinhalt in kartesische Form umwandeln : → → . In kartesische Form umwandeln : Der Realteil dieser Gleichung ist die reelle Zeitfunktion in Form von Gl. (130c) : und nach trigonometrischer Umformung . Ableitung der Gl. (130d) : Die Maschengleichung Gl. (129b) mit Bezug auf Bild 63 lautet : u 31 = u 30 − u 10 . Gln. (126c) und (126a) einsetzen : Mit Potenzgesetzen umwandeln : Klammerinhalt in kartesische Form umwandeln : → → Klammerausdruck in Exponentialform umwandeln : Betrag der komplexen Zahl in der Klammer : . Winkel der komplexen Zahl in der Klammer : . Infolge Zweideutigkeit der arctan-Funktion sind rechnerisch beide Winkel richtig. Der Klammerausdruck in der kartesischen Gleichungsform bezeichnet eindeutig eine komplexe Zahl im 2. Quadranten des Koordinatensystems. Für den zugehörigen Zeiger ist deshalb nur der Winkel von 150° richtig. Ein Zeiger mit einem Winkel von − 30° würde im 4. Quadranten liegen. u 23 = e (e − e ) U^ rad ωt j rad −120° j rad 120° j u 23 = e [cos120° − j sin120° − (cos120° + j sin120°)] U^ rad ωt j u 23 = e ( − j 2 sin120° ) = e ( − j 3 ) U^ rad ωt j rad ωt j U^ u 23 = 3 e U^ rad ωt −90° j u 23 = 3 [ cos(ωt − 90°) + j sin(ωt − 90°) ] U^ u 23 = 3 cos(ωt − 90°) U^ u 23 = 3 sinωt U^ rad ωt +120° j u 31 = ( e − e ) U^ ωt rad j u 31 = e ( e − 1 ) rad 120° j U^ ωt rad j u 31 = e ( cos120° + j sin120° − 1 ) U^ rad ωt j u 31 = e ( − 0,5 + j 0,5 3 − 1 ) U^ rad ωt j u 31 = e ( − 1,5 + j 0,5 3 ) U^ rad ωt j ( −1,5 ) 2 + ( 0,5 ) 2 = 3 3 1,5 − 0,5 ϕ = arctan = − 30° ; 150° 3 <?page no="240"?> 238 Somit lautet die in Exponentialform umgewandelte Gleichung : (siehe Gl. (130b)). Die Umrechnung dieser Gleichung in die kartesische Form ergibt die Beziehung . Der Realteil dieser Gleichung ist die reelle Zeitfunktion und somit das Ergebnis der Ableitung von Gl. (130d) . Zu 2. Graphische Kontrolle der Ergebnisse : Diese beiden Zeigerdiagramme als Ergebnis der graphischen Kontrolle beziehen sich auf die Zeiger in Bild 65 . Zu 9.2 Drehstromtransformator • Beweise, dass die Summe der Magnetflüsse im Sternzentrum gleich null ist : Aufstellung der komplexen Gleichungen zu den Magnetfeldzeigern in Bild 67 : ; ; . Mit Potenzgesetzen umwandeln : ; ; . In kartesische Form umwandeln : ; ; . ; ; . j r u 10 u 30 u 31 j r u 20 u 23 u 30 u 23 = u 20 − u 30 u 31 = u 30 − u 10 u 31 = e U^ 3 ωt +150° rad j u 31 = cos(ωt+150°) U^ 3 u 31 = [cos(ωt+150°) + j sin(ωt+150°)] U^ 3 Φ 1 = e Φ^ ωt −90° rad j Φ 2 = e Φ^ ωt +150° rad j Φ 3 = e Φ^ ωt +30° rad j Φ 1 = e ( − j ) Φ^ ωt rad j Φ 2 = e e Φ^ ωt rad j 150° rad j Φ 3 = e e Φ^ ωt rad j 30° rad j Φ 1 = e ( −j ) Φ^ ωt rad j Φ 2 = e ( cos150°+jsin150° ) Φ^ ωt rad j Φ 3 = e ( cos30°+jsin30° ) Φ^ ωt rad j Φ 1 = e ( −j ) Φ^ ωt rad j Φ 2 = e ( − 0,5 + j 0,5 ) Φ^ ωt rad j 3 Φ 3 = e ( 0,5 + j 0,5 ) Φ^ ωt rad j 3 <?page no="241"?> 239 Addieren : → Φ 1 + Φ 2 + Φ 3 = 0 was zu beweisen war. • Leite die Gleichungen (136a) bis (136c) für die elektrischen Größen ab : Gln. (134a) bis (134c) nach Φ umstellen und in die Gln. (133a) bis (133c) einsetzen : Die Ergebnisse lauten : ; ; . In diese Gleichungen Gln. (135a) bis (135c) einsetzen : Die Ergebnisse lauten : ; ; . Damit sind die Gln. (136a) bis (136c) abgeleitet. • Überprüfe die komplexen Funktionen in Tabelle 3 . Gegebene komplexe Drehspannungen : ; ; . Mit dem Induktionsgesetz errechnete Magnetflüsse : ; ; . Mit dem ohmschen Gesetz für magnetische Kreise errechnete magnetische Urspannungen : ; ; . Mit dem Durchflutungsgesetz errechnete Magnetisierungsströme : ; ; . Lösungsschritte durch Einsetzen der jeweils vorherigen Gleichungen : ; ; . ; ; . Φ 1 + Φ 2 + Φ 3 = e ( − j − 0,5 + j 0,5 + 0,5 + j 0,5 ) Φ^ ωt rad j 3 3 u 1 = j ω / rad w Θ 1 R m u 2 = j ω / rad w Θ 2 R m u 3 = j ω / rad w Θ 3 R m w 2 R m u 1 = j ω / rad i 1 w 2 R m u 2 = j ω / rad i 2 w 2 R m u 3 = j ω / rad i 3 u 1 = U e ω t j rad ∧ u 2 = U e (ω t − 120°) j rad ∧ u 3 = U e (ω t + 120°) j rad ∧ j ω / rad w Φ 1 = u 1 j ω / rad w Φ 2 = u 2 j ω / rad w Φ 3 = u 3 Θ 1 = Φ 1 R m Θ 2 = Φ 2 R ma Θ 3 = Φ 3 R m i 1 = Θ 1 w i 2 = Θ 2 w i 3 = Θ 3 w Φ 1 = e ∧ U ω / rad w ωt −90° rad j Φ 2 = e ∧ U ω / rad w ωt +150° rad j Φ 3 = e ∧ U ω / rad w ωt +30° rad j ∧ U Θ 1 = e R m ω / rad w ωt −90° rad j ∧ U Θ 2 = e R ma ω / rad w ωt +150° rad j ∧ U Θ 3 = e R m ω / rad w ωt +90° rad j <?page no="242"?> 240 ; ; . Errechnen von i 0 im Neutralleiter : Mit Anwendung des Knotensatzes in Bild 69 folgt : i 0 = i 1 + i 2 + i 3 . Nach Einsetzen der vorherigen Gleichungen und Ausklammern gemeinsamer Faktoren folgt die Gleichung : . Klammerinhalt in kartesische Form umwandeln : vereinfachen : umformen : Klammerinhalt in Exponentialform umwandeln : Ergebnis : Mit R ma = R m wäre in Bild 69 der magnetische Widerstand des mittleren Trafoschenkels gleich den magnetischen Widerständen der beiden Außenschenkel. Für diesen symmetrischen Fall ist i 0 = 0 , wie die obige Gleichung bestätigt. Die doppelt unterstrichenen Gleichungen sind identisch mit den überprüften komplexen Funktionen der Magnetflüsse und Magnetisierungsströme in Tabelle 3 . Die zugehörigen Zeiger enthält Bild 71 . R m ω / rad w 2 U e (ω t − 90°) j rad ∧ i 1 = R ma ω / rad w 2 U e (ω t +150°) j rad ∧ i 2 = R m ω / rad w 2 U e (ω t +30°) j rad ∧ i 3 = i 0 = e [ R m e + R ma e + R m e ] ω / rad w 2 ∧ U ω t j rad 90° rad −j 150° rad j 30° rad j i 0 = e [ R m ( − j + 0,5 + j 0,5 ) + R ma ( − 0,5 + j 0,5 ) ] ω / rad w 2 ∧ U ω t j rad 3 3 i 0 = e [ R m ( 0,5 − j 0,5 ) − R ma ( 0,5 − j 0,5 ) ] ω / rad w 2 ∧ U ω t j rad 3 3 R m − R ma ω / rad w 2 i 0 = e e ∧ U ω t j rad j −30° rad R m − R ma ω / rad w 2 i 0 = e ∧ U ω t −30° j rad <?page no="243"?> 241 Zu 9.4 Dreieckschaltung Errechne mit den Angaben in Bild 74 die Spannung u 11 : • Mit komplexer Rechnung : Gln. (139a) bis (139c) in komplexe Form bringen : ; ; . In Exponentialform umwandeln : ; ; . Rechte Exponentialausdrücke in kartesische Form bringen : ; ; . Klammerinhalte ausrechnen : ; ; . Mit den Zählpfeilen in Bild 74 gilt der Maschensatz : u 11 = u 12 + u 23 + u 31 . Vorherige Spannungsgleichungen einsetzen : Ergebnis : u 11 = 0 , denn der Klammerausdruck ist gleich null. Mit diesem Ergebnis ist bewiesen dass die Anschlüsse 1 - 1 der drei Wechselspannungsquellen mit gleichen Beträgen und den angegebenen Phasenlagen in Bild 74 verbunden werden können. Die Schaltung bildet eine Drehspannungsquelle in Dreieckschaltung. • Ohne komplexe Rechnung : Mit dem Maschensatz liest man für die reellen Spannungen in Bild 74 ab : u 11 = u 12 + u 23 + u 31 . Nach Einsetzen der Gln. (139a) bis (139c) erhalten wir : . . cos-Funktionen umformen : . Vereinfachen : Ergebnis : u 11 = 0 , denn alle Glieder in der Klammer heben sich weg . u 12 = [cos(ωt+30°) + j sin(ωt+30°)] ∧ U u 23 = [cos(ωt−90°) + j sin(ωt−90°)] ∧ U u 31 = [cos(ωt+150°) + j sin(ωt+150°)] ∧ U u 12 = e e ∧ U ω t j rad j 30° rad u 23 = e e ∧ U ω t j rad j −90° rad u 12 = e e ∧ U ω t j rad j 150° rad u 12 = e (cos30° + j sin30°) ∧ U ω t j rad u 23 = e (cos90° − j sin90°) ∧ U ω t j rad u 31 = e (cos150° + j sin150°) ∧ U ω t j rad u 12 = e (0,5 + j 0,5) ∧ U ω t j rad 3 u 23 = e ( − j ) ∧ U ω t j rad u 31 = e (− 0,5 + j 0,5) ∧ U ω t j rad 3 u 11 = e ( 0,5 + j 0,5 − j − 0,5 + j 0,5 ) ∧ U ω t j rad 3 3 u 11 = [cos(ωt+30°) + cos(ωt − 90°) + cos(ωt+150°)] ∧ U u 11 = ( cosωt cos30° − sinωt sin30° + cosωt cos90° + sinωt sin90° + cosωt cos150° − sinωt sin150° ) ∧ U u 11 = ( 0,5 cosωt − 0,5 sinωt + sinωt − 0,5 cosωt − 0,5 sinωt ) ∧ U 3 3 <?page no="244"?> 242 In diesem Beispiel wird gezeigt, dass die Zählpfeile in Schaltbildern sowohl für komplexe als auch für reelle Größen gelten. Zu 9.5 Drehfeld Erklärung der Drehrichtungsumkehr durch Vertauschen von zwei Leitungen am Drehstrommotor : Im obigen Bild sind die drei Anschlussklemmen eines Drehstrommotors sechsmal schematisch dargestellt und jeweils mit a, b und c bezeichnet. Mit den Anschlussklemmen sind die Leiter L1, L2 und L3 eines Drehstromnetzes in sechs möglichen Varianten verbunden. In der oberen linken Darstellung soll die mit Bezug auf Bild 77 bezogene Erklärung der Drehfelderzeugung für eine Rechtsdrehung des Läufers zutreffen. Die anschlussbezogene Drehrichtung zeigen halbkreisförmigen Pfeile. In der oberen Bildreihe sind die Leiter zyklisch vertauscht. Das heißt, alle drei Leiter werden in einem beliebigen Umlaufsinn um jeweils einen Anschluss versetzt. Dadurch ändert sich die Drehrichtung des Motors nicht, denn bei dessen rotationssymmetrischem Aufbau treffen die gleichen physikalischen Zusammenhänge bei einer um 120° gedrehten Ansicht in Bild 77 zu. In der oberen Bildreihe lesen wir ab, dass der von den Klemmenbezeichnungen in alphabetischer Reihenfolge gebildete Umlaufsinn auch von den Leitern befolgt wird. a c b L1 L2 L3 a c b L2 L3 L1 a c b L3 L1 L2 Rechtsdrehung Rechtsdrehung Rechtsdrehung a c b L1 L3 L2 a c b L2 L1 L3 a c b L3 L2 L1 Linksdrehung Linksdrehung Linksdrehung L2 mit L3 vertauscht L3 mit L1 vertauscht L1 mit L2 vertauscht <?page no="245"?> 243 Die einzelnen Reihenfolgen sind oben links: L1 - L2 - L3 → a - b - c ; oben mitte: L1 - L2 - L3 → c - a - b ; oben rechts: L1 - L2 - L3 → b - c - a . Daraus folgt: Ergeben Leiter- und Klemmenbezeichnungen den gleichen Umlaufsinn, dreht sich der Motor rechts herum. In der unteren Bildreihe lesen wir unten ab unten links: L1 - L2 - L3 → a - c - b ; unten mitte: L1 - L2 - L3 → b - a - c ; unten rechts: L1 - L2 - L3 → c - b - a . Daraus folgt: Ergeben Leiter- und Klemmenbezeichnungen einen ungleichen Umlaufsinn, dreht sich der Motor links herum. Betrachten wir jeweils zwei senkrecht angeordnete Teilbilder, erkennen wir, dass am unteren Anschluss zwei Leiter gegenüber dem oberen Anschluss vertauscht sind. Damit ist erklärt, dass durch Vertauschen von zwei beliebigen Zuleitungen die Drehrichtung eines Drehstrommotors umgekehrt wird. Zu 9.6.2 Die Leistung in Drehstromnetzen ohne Neutralleiter Aronschaltung für Wirkleistungsmessung, 2. Beispiel : Gl. (153) lautet : . Bei kapazitiver Last sind ϕ 1 = - 90° und ϕ 3 = - 90° . In Gl. (153) einsetzen : P W = U 12 I 1 cos( - 90° + 30°) + U 32 I 3 cos( - 90° - 30°) , → P W = U 12 I 1 cos( - 60° ) + U 32 I 3 cos( -120° ) , → P W = 0,5 U 12 I 1 - 0,5 U 32 I 3 . Mit U 12 = U 32 und I 1 = I 3 ist P W = 0 , was zu beweisen war. • Errechnung von Wirk- und Blindleistung mit Tabelle 4 : Die Effektivwerte der Leiterspannungen in Tabelle 4 sind gleich. Sie betragen gemäß Aufgabenstellung U 12 = U 21 = U 23 = U 32 = U L = 400 V . Zusätzlich enthält Tabelle 4 die zur Blindleistungsmessung benötigten Spannungen zwischen einem Leiter und dem künstlichen Nullpunkt U 10 = U 01 = U 30 = U 03 = = 231 V . Die Leiterströme betragen in der Aufgabenstellung I 1 = 20 A und I 3 = 10 A . Mit diesen Werten sind Wirk- und Blindleistung in Tabelle 8 errechnet. P W = U 12 I 1 cos(ϕ 1 + 30°) + U 32 I 3 cos(ϕ 3 - 30°) U L 3 <?page no="246"?> 244 Tabelle 8: Wirk- und Blindleistung zur Aufgabe in Kap. 9.6.2 Phasenwinkel Wirkleistung Blindleistung ϕ 1 ϕ 3 P W = P B = 0 0 ½ 400 V (20 A+10 A) = 10,4 kW ½ 231 V (20 A+10 A) = 2 kVA 30° 30° ½ 400 V 20 A + 400 V 10 A = 8 kW 3/ 2 231 V 20 A - 0 = 6,9 kVA - 30° - 30° 400 V 20 A + ½ 400 V 10 A = 10 kW 0 - 3/ 2 231 V 10 A = - 3,5 kVA - 30° 30° 400 V 20 A + 400 V 10 A = 12 kW 0 - 0 = 0 kVA 30° - 30° ½ 400 V (20 A + 10 A) = 6 kW 3/ 2 231 V (20 A - 10 A) = 3,5 kVA 60° 60° 0 + ½ 400 V 10 A = 3,5 kW 231 V ( 20 A + ½ 10 A) = 10 kVA - 60° - 60° ½ 400 V 20 A + 0 = 6,9 kW - 231 V ( ½ 20 A + 10 A ) = - 8 kVA - 60° 60° ½ 400 V (20 A + 10 A) = 10,4 kW ½ 231 V ( - 20 A + 10 A) = - 2 kVA 60° - 60° 0 + 0 = 0 kW 231 V ( 20 A - 10 A ) = 4 kVA 90° 90° ½ 400 V ( - 20 A + 10 A) = - 2 kW 3/ 2 231 V (20 A + 10 A) = 10,4 kVA - 90° - 90° ½ 400 V (20 A - 10 A) = 2 kW - 3/ 2 231 V (20 A + 10 A) = - 10,4 kVA - 90° 90° ½ 400 V (20 A + 10 A) = 6 kW 3/ 2 231 V ( - 20 A + 10 A) = - 3,5 kVA 90° - 90° - ½ 400 V (20 A + 10 A) = - 6 kW 3/ 2 231 V (20 A - 10 A) = 3,5 kVA Mit den Gln. (153) und (155) errechnete Wirk- und Blindleistungen sind mit den Tabellenwerten identisch. Zu 9.8 Petersenspule Zu 1. Errechnung der Effektivwerte der Ströme I 1E ; I 2E ; I 3E im ungestörten Netz in Bild 86 : Im Text von Kap. 9.8 sind im ungestörten Fall für die kapazitiven Ströme die komplexen Gleichungen I 1E = U 1S j ω / rad C 1E , I 2E = U 2S j ω / rad C 2E und I 3E = U 3S j ω / rad C 3E abgeleitet. Gefragt ist nach den Effektivwerten der kapazitiven Ströme. Für diese folgen aus obigen Gleichungen I 1E = U 1S ω / rad C 1E , I 2E = U 2S ω / rad C 2E und I 3E = U 3S ω / rad C 3E . Die Effektivwerte der Strangspannungen U 1S , U 2S und U 3S haben gleiche Beträge, für die wir ohne Unterschiede die Bezeichnung U S verwenden. Ebenso nehmen wir für die Erdkapazitäten C 1E , C 2E und C 3E gleiche Beträge an mit der gemein- 3 3 3 3 3 3 3 3 3 <?page no="247"?> 245 samen Bezeichnung C E . Die gleichen Beträge der Strangspannungen und Erdkapazitäten ergeben auch gleiche Beträge der kapazitiven Ströme gegen Erde. Jeden dieser Ströme errechnen wir mit der Formel I E = U S ω / rad C E . In der Aufgabenstellung sind die Zahlenwerte U S = 20 kV und C E = 1 μF sowie f = 50 Hz gegeben. Wie bekannt, entspricht einer Frequenz von 50 Hz die Kreisfrequenz ω / rad = 314 s -1 . Nach Einsetzen dieser Werte in die vorherige Gleichung errechnen wir für den kapazitiven Erdstrom jedes Leiters im ungestörten Netz den Effektivwert I E = 20 10 3 V 314 s -1 10 -6 As / V → I E = 6,28 A . Zu 2. Errechnung der Effektivwerte der Ströme I 1 und I 2 im gestörten Netz : Das gestörte Netz beschreibt Bild 86 mit dem gestrichelt eingezeichneten Erdschluss. Der dadurch überbrückte Kondensator C 3E entfällt in den weiteren Betrachtungen. Der Erdstrom I 3E fließt über den Erdschluss, und die Spannung U 3E ist gleich null. Vergleichen wir die Spannungszeiger U 1E und U 2E im gestörten Netz (Bild 86b) und im ungestörten Netz (Bild 86a), stellen wir fest, dass die Beträge der Spannungszeiger im gestörten Netz um den Faktor größer sind als im ungestörten Netz. In obige Formel für I E zum ungestörten Netz fügen wir nur diesen Faktor ein und erhalten als Ergebnis . Mit den gegebenen Zahlenwerten der Aufgabenstellung schreiben wir somit I 1E = I 2E = 20 kV 314 s -1 1 μF → I 1E = I 2E = 10,88 A . Zu 3. Errechnung der Induktivität L 0 der Petersenspule für die vollständige Kompensation des Erdschluss-Stromes I 3E : Die im Text zum gestörten Netz abgeleitete Bestimmungsgleichung für L 0 lautet . 3 I 1E = I 2E = U S ω / rad C E 3 3 L 0 = 3 (ω / rad ) 2 C E 1 für I 3E = 0 <?page no="248"?> 246 Mit dieser Gleichung errechnen wir nach Einsetzen der in der Aufgabenstellung angenommenen Erdkapazität C E = 1 μF : → L 0 = 3,38 H . Zu 4. Errechnung des Stromes I P durch die Petersenspule : Aus Bild 86 folgt die im Text abgeleitete Gleichung . Aus dieser Gleichung ergibt sich für die Effektivwert-Beträge mit der Induktivität zur Kompensation des Erdschluss-Stromes die Beziehung . Nach Einsetzen der bekannten Zahlenwerte errechnen wir für den Strom durch die Petersenspule → I P = 18,8 A . Zu 9.9 Schaltgruppen von Drehstromtransformatoren Bestimmung des Spannungsübersetzungsverhältnisses für die Schaltgruppe Yd11 : Wir betrachten in Tabelle 5 zur Schaltgruppe Yd11 die Schaltung und das Zeigerdiagramm. Die Primärwicklungen (oben) bilden eine Sternschaltung und die Sekundärwicklungen (unten) eine Dreieckschaltung. Die Phasendrehung der sekundären Leiterspannungen U 12S , U 23S und U 31S gegenüber den primären Leiterspannungen U 12P , U 23P und U 31P lesen wir im Zeigerdiagramm unmittelbar ab: Sie beträgt 30° vorwärts (im mathematisch positiven Drehsinn), wie unter dem Zeigerdiagramm vermerkt. Zur Bestimmung des Spannungsübersetzungsverhältnisses interessieren nur die Effektivwerte der primärseitigen und sekundärseitigen Leiterspannungen. Da diese jeweils zwischen allen drei Leitern der Primär- und Sekundärseite gleich sind, bezeichnen wir die primärseitigen Leiterspannungsbeträge mit U LP und die sekundärseitigen Leiterspannungsbeträge mit U LS . Da die betrachtete Schaltungsgruppe primärseitig eine Sternschaltung bildet, bezeichnen wir die ebenfalls gleichen Beträge der Strangspannungen mit U NP . In der Schaltung erkennen wir, dass auf jedem der drei Schenkel des Trafokerns an den Anschlüssen einer Primärwicklung eine Strangspannung U NP und an den Anschlüssen einer Sekundärwicklung eine Leiterspannung U LS liegt. demnach ist auf jedem Schenkel das Spannungsverhältnis gleich dem Windungszahlenverhältnis: . Definitionsgemäß bezieht sich das Spannungsübersetzungsverhältnis auf die Leiterspannungen: . Deshalb ersetzen wir in der Gleichung für L 0 = 3 (314 s -1 ) 2 1 μF 1 = 3 314 2 A 10 6 Vs j ω / rad L I P = U 3S ω / rad L 0 I P = U S 20 kV 314 s -1 3,38 H I P = U NP U LS = w 1 w 2 ü = U LP U LS <?page no="249"?> 247 das Windungszahlenverhältnis die Strangspannung U NP durch die Leiterspannung U LP mit der bekannten Beziehung U LP = U NP . Daraus folgt und nach Einsetzen des Windungszahlenverhältnisses . Das ist die Gleichung für das gesuchte Spannungsverhältnis in Tabelle 6 . Zu 10.5 Gleichrichterschaltungen bei Drehstrom 1. Drehstrom-Mittelpunktschaltung a) Ermittlung des Augenblickswertes u S3 an Diode D 3 bei einem Winkel von ωt = 150° : Im Liniendiagramm Bild 98b lesen wir ab: u G = ½ û , und in Bild 98a lesen wir ab: u 3 = − û . In der Schaltung Bild 98 lesen wir mit den Spannungspfeilen die Maschengleichung u S3 = u G − u 3 ab . Nach Einsetzen obiger Werte errechnen wir das Ergebnis u S3 = ½ û − ( −û ) → u S3 = 1,5 û . Diesen Wert lesen wir in Bild 98b an der Kurve für u S3 ab. b) Ermittlung des Augenblickswertes u S3 an Diode D 3 bei einem Winkel von ωt = 120° : Im Liniendiagramm Bild 98b lesen wir ab, dass zwischen dem Spitzenwert û der Kurve zu u G bei 90° und dem gesuchten Augenblickswert bei 120° eine Winkeldifferenz von 30° besteht. Somit errechnen wir für den gesuchten Augenblickswert u G = û cos30° = û ½ . In Bild 98a besteht zur Kurve u 3 ebenfalls zwischen ihrem negativen Spitzenwert bei 150° und dem gesuchten Augenblickswert bei 120° eine Winkeldifferenz von 30°. Somit errechnen wir für den gesuchten Augenblickswert u 3 = − û cos30° = − û ½ . Mit der im vorherigen Beispiel verwendeten Maschengleichung errechnen wir nach Einsetzen obiger Werte das Ergebnis u S3 = ½ û − ( − ½ û ) → u S3 = û . Dieses Ergebnis ist der Spitzenwert der Kurve zu u S3 bei 120° in Bild 98b . 2. Drehstrom-Brückenschaltung a) Überprüfung der Übereinstimmung der Summe von u S1 und u S4 mit u G : Da alle in dieser Aufgabe zu betrachtenden Liniendiagramme „Knickstellen“ aufweisen, lösen wir die Aufgabe intervallweise. 3 ü = = 3 w 1 w 2 U LP U LS ü = 3 U NP U LS 3 3 3 3 3 <?page no="250"?> 248 Als erstes Intervall betrachten wir den Bereich 0 bis 60° auf der ωt-Achse in Bild 101a . Rein graphisch erkennen wir, dass die Kurve in diesem Intervall das Ende der ersten Halbwelle einer Sinusfunktion bildet. Als mathematischen Ausdruck finden wir dazu die Beziehung u S1 = û sin(ωt + 120° ) ; 0 ≤ ωt ≤ 60° . Für ωt = 0 errechnen wir den Augenblickswert u S1 = ½ û und für ωt = 60° u S1 = 0 . Beide Werte sind in Bild 101a ablesbar. Jetzt betrachten wir in Bild 101d das gleiche Intervall. Die Kurve dazu bildet den Anfang einer Sinusfunktion, beschrieben mit u S4 = û sinωt ; 0 ≤ ωt ≤ 60° . Für ωt = 0 errechnen wir u S4 = 0 und für ωt = 60° u S4 = ½ û . Diese Werte an den Intervallgrenzen sind in Bild 101d gekennzeichnet. In Bild 104 lesen wir die Maschengleichung u G = u S1 + u S4 ab. Nach Einsetzen obiger Beziehungen erhalten wir u G = û [sin(ωt + 120° ) + sinωt ] und nach trigonometrischer Umformung u G = û [sinωt cos120° + cosωt sin120° + sinωt ] , → u G = û ( ½ sinωt + ½ cosωt ) . Nach nochmaliger trigonometrischer Umformung erhalten wir das Ergebnis u G = û sin(ωt + 60° ) ; 0 ≤ ωt ≤ 60° . Diese Gleichung beschreibt das erste sinusförmige Kurvenstück in Bild 100 . In der gleichen Weise errechnen wir die Spannungsfunktionen für die weiteren Intervalle einer Periode auf der ωt -Achse. Die Ergebnisse enthält Tabelle 9 . Aus der rechten Tabellenspalte für die Gleichspannungsfunktion geht hervor, dass bei ohmscher Last am Gleichspannungsausgang u G sechs sinusförmige Oberwellen pro Periode entstehen, die jeweils von zwei Knickpunkten in einem Intervall von 60° begrenzt werden. Tabelle 9: Sperrspannungs- und Gleichspannungsfunktionen in Bild 104 Intervall auf der ωt-Achse Sperrspannungsfunktion über D 1 (Bild 101a) Sperrspannungsfunktion über D 4 (Bild 101d) Gleichspannungsfunktion u G = u S1 + u S4 (Bild 100) 0 - 60° u S1 = û sin(ωt + 120°) u S4 = û sinωt u G = û sin(ωt + 60°) 60° - 120° u S1 = 0 u S4 = û sinωt u G = û sinωt 120° - 180° u S1 = 0 u S4 = û sin(ωt - 60°) u G = û sin(ωt - 60°) 180° - 240° u S1 = û sin(ωt - 180°) u S4 = û sin(ωt - 60°) u G = û sin(ωt - 120°) 240° - 300° u S1 = û sin(ωt - 180°) u S4 = 0 u G = û sin(ωt - 180°) 300° - 360° u S1 = û sin(ωt - 240°) u S4 = 0 u G = û sin(ωt - 240°) 3 3 3 <?page no="251"?> 249 b) Überprüfung, dass die Zeitfunktionen u S1 und u S2 mit dem Maschensatz die Leiterspannung u 12 ergeben : Diese Aufgabe wird ähnlich wie die vorherige mit folgenden Unterschieden gelöst. • Der Maschenumlauf ergibt die Spannungsdifferenz u 12 = u S2 − u S1 . • Die mittleren Intervalle umfassen 120° zwischen zwei Knickpunkten. Deshalb werden nur vier Intervalle benötigt. • Statt der Sperrspannungsfunktion u S4 wird hier u S2 benötigt, Die Zwischen- und Endergebnisse enthält Tabelle 10 . Die Sperrspannungsfunktion u S1 wurde Tabelle 9 entnommen. Aus der rechten Spalte von Tabelle 10 geht hervor, dass die Knickspannungsfunktionen über den Dioden D 1 und D 2 die kontinuierliche Leiterspannungsfunktion u 12 wie gefordert ergeben. Tabelle 10: Sperrspannungs- und Leiterspannungsfunktionen in Bild 104 Intervall auf der ωt-Achse Sperrspannungsfunktion über D 1 (Bild 101a) Sperrspannungsfunktion über D 2 (Bild 101b) Leiterspannungsfunktion u 12 = - u S1 + u S2 (Bild 99a) 0 - 60° u S1 = û sin(ωt + 120°) u S2 = û sin(ωt + 60°) u 12 = û sinωt 60° - 180° u S1 = 0 u S2 = û sinωt u 12 = û sinωt 180° - 300° u S1 = û sin(ωt - 180°) u S2 = 0 u 12 = û sinωt 300° - 360° u S1 = û sin(ωt - 240°) u S2 = û sin(ωt - 300°) u 12 = û sinωt Die in dieser Übungsaufgabe durchgeführten Überprüfungen sind mit den übrigen möglichen Sperrspannungs- und Leiterspannungskombinationen ebenfalls durchführbar. <?page no="252"?> 250 Literatur [1] Rose, Heinz: Basiswissen für Fachkräfte energietechnischer Elektroberufe. VDE Verlag GmbH Berlin und Offenbach, 2002 [2] Bieneck, Wolfgang: Elektro-T. Verlag Holland + Josenhans, 5. Aufl. 2005 [3] Bronstein, I. N.; Semendjajew, K. A.: Taschenbuch der Mathematik. B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig, 1983 [4] Banda, Siegfried: SI, Unlogische Logik. Broschüre im Internet downladbar unter www.unlogische-logik.de , 2006 [5] Fischer, Rolf: Physikalisch-Technische Einheiten. VEB Verlag Technik, Berlin 1980 [6] Schönfeld, Heinz: Die wissenschaftlichen Grundlagen der Elektrotechnik. S. Hirzel Verlag, Leipzig 1952 [7] Hütte, Des Ingenieurs Taschenbuch. Verlag Wilhelm Ernst & Sohn, 28. Auflage Berlin 1957 [8] Varduhn, Adalbert; Nell, Walter: Handbuch der Elektrotechnik Band 1 . Fachbuchverlag GmbH Leipzig, 1952 [9] Stamm, Hans: Über die Erzeugung hoher Spannungen. Aufbau-Verlag Berlin, 1952 [10] DIN EN 60375: Vereinbarungen für Stromkreise und magnetische Kreise [11] Ohlhans: Archiv für Technisches Messen (ATM) , Heft 264 , Januar 1958 Seite 6 <?page no="253"?> 251 Bildverzeichnis Bild S. 1 Monozelle mit Spannungs(zähl)pfeil .................................................................8 2 Monozelle mit umgedrehtem Spannungspfeil ....................................................8 3 Batteriestromkreis mit Strom(zähl)pfeil ..............................................................9 4 Batteriestromkreis mit umgedrehtem Strompfeil ..............................................10 5 Magnetischer Kreis mit Luftspalt ......................................................................11 6 Spannungs - Zeitfunktion an einem Widerstand ..............................................13 7 Stromknoten mit Stromzählpfeilen ...................................................................16 8 Masche mit Spannungszählpfeilen...................................................................16 9 T - Schaltung mit zwei Gleichspannungsquellen.............................................17 10 Wheatstonesche Messbrücke ..........................................................................21 11a Ersatzwiderstandsbildung durch Dreieck - Stern -Transformation .................27 11b Ersatzwiderstandsbildung durch Stern - Dreieck -Transformation .................27 12a Überlagerte Darstellung einer Dreieck- und einer Sternschaltung...................28 12b Vierpol - Ersatzschaltungen zu Bild 12a..........................................................92 13 Stromdurchflossener Leiter erzeugt Magnetfluss.............................................36 14 Darstellungsvarianten zum Durchflutungsgesetz mit Zählpfeilen ...................37 15 Magnetischer Kreis mit Zählpfeilen ................................................................38 15a Kraftwirkung eines stromdurchflossenen Leiters im Magnetfeld......................40 15b Zum elektrodynamischen Kraftgesetz ..............................................................42 16a Magnetflussänderung erzeugt elektrische Spannung ......................................43 16b Erzeugte Spannung treibt elektrischen Strom an.............................................43 17 Induzierte Spannung in Abhängigkeit von Magnetflussänderung....................45 17a Spannungserzeugung durch bewegten Leiter im Magnetfeld..........................48 18 Liniendiagramme sinusförmiger Spannungsfunktionen ...................................50 19a Liniendiagramm der Kosinusfunktion einer Spannung ....................................52 19b Zeigerdiagramm der Kosinusfunktion einer Spannung ....................................52 20 Zeiger eines komplexen Widerstandes ............................................................57 21 Ohmscher Widerstand an einer Wechselspannungsquelle .............................57 22 Induktiver Widerstand an einer Wechselspannungsquelle ..............................62 23 Zeiger zu den Größen in Bild 22 ......................................................................62 24 Zeiger eines induktiven Leitwertes ...................................................................65 25 Kondensator mit Zählpfeilen.............................................................................66 26 Kapazitiver Widerstand an einer Wechselspannungsquelle ............................67 27 Zeiger zu den Größen in Bild 26 ......................................................................67 28 Reihenschaltung eines ohmschen und induktiven Widerstandes....................68 29 Zeigerdiagramm der Widerstände in Bild 28 ....................................................69 30 Zeigerdiagramm zu Bild 28 mit induktivem Verhalten: Strom und Spannungen....................................................................................71 31 Strom - und Spannungsfunktion des Zahlenbeispiels zu Bild 28 ....................74 32 Parallelschaltung eines ohmschen und induktiven Widerstandes ...................76 33 Zeigerdiagramm zur R - L - Parallelschaltung: Spannungen und Ströme......78 34 Zeigerdiagramm der Leitwerte zur R - L - Parallelschaltung ..........................79 35 Parallelschaltung eines ohmschen und kapazitiven Widerstandes .................80 36 Zeigerdiagramme zur R - C - Parallelschaltung .............................................81 <?page no="254"?> 252 Bild S. 37 Reihenschaltung eines ohmschen und kapazitiven Widerstandes ................. 82 38 Widerstands - Zeigerdiagramm zur R - C - Reihenschaltung ........................ 82 39 Zeigerdiagramm zur R - C - Reihenschaltung: Strom und Spannungen ....... 83 40 R - L - C - Reihenschaltung (Reihenschwingkreis) ...................................... 84 41a Zeigerdiagramm zur R - L - C - Reihenschaltung mit induktivem Verhalten: Strom und Spannungen ......................................... 85 41b Zeigerdiagramm zur R - L - C - Reihenschaltung mit kapazitivem Verhalten: Strom und Spannungen........................................ 86 42 R - L - C -Parallelschaltung (Parallelschwingkreis) ....................................... 87 43 Zeigerdiagramm zur R - L - C - Parallelschaltung mit kapazitivem Verhalten: Spannung und Ströme......................................... 88 44 Induktiver Verbraucher mit Phasenschieberkondensator ................................ 91 45 Zeitfunktion der Leistung P(t) als Produkt von u(t) mal i(t) .............................. 92 46 Zeitfunktion der Leistung P(t) bei 90° Phasenverschiebung zwischen u(t) und i(t) ........................................................................................ 93 47 Zeigerdiagramm zur komplexen Leistung........................................................ 96 48 Zählpfeile zum Induktionsgesetz für sinusförmige Wechselgrößen ................ 98 49 Diagramme zum Induktionsgesetz für sinusförmige Wechselgrößen ............. 99 50 Idealer Transformator..................................................................................... 102 51 Zeigerdiagramm zum idealen Transformator................................................. 102 52 Idealer Transformator mit Last ....................................................................... 106 53 Zeigerdiagramm des belasteten idealen Transformators .............................. 108 54 Realer Transformator mit Last ....................................................................... 109 55 Ersatzschaltbild des Transformators mit Streuverlusten ............................... 112 56 Vollständiges Ersatzschaltbild des Transformators ....................................... 113 57 Zeigerdiagramm des realen Transformators ................................................. 114 58 Messschaltung zur Bestimmung der Eisenverluste in Bild 56 ....................... 117 59 Ersatzschaltung zur Kurzschlussmessung .................................................... 118 60 Messschaltung zur Bestimmung von R 1 und L 2σ ....................................................................... 120 61 Schematische Darstellung des Spaltpolmotors ............................................. 122 62 Zeigerdiagramm der Magnetflüsse in Haupt- und Spaltpolen ....................... 127 63 Drehspannungserzeugung mit drei Wechselspannungsgeneratoren .......... 129 64 Liniendiagramm für Drehspannung................................................................ 130 65 Zeigerdiagramm für Drehspannung ............................................................... 131 66 Vorstufe zum Drehstromtransformator .......................................................... 135 67 Zeigerdiagramm zur Vorstufe zum Drehstromtransformator ......................... 136 68 „Tempeltype“ des Drehstromtransformators .................................................. 137 69 Dreischenkel - Drehstromtransformator ........................................................ 139 70 Schaltzeichen des Drehstromtransformators................................................. 140 71 Zeigerdiagramm zum Dreischenkel - Drehstromtransformator..................... 141 72 Schema eines Drehstromtransformators mit Anschlussbezeichnungen ...... 141 73 Sternschaltung von Drehstromverbrauchern ................................................. 142 74 Reihenschaltung von drei Wechselspannungsgeneratoren .......................... 144 75 Dreieckschaltung zur Drehspannungserzeugung.......................................... 145 76 Dreieckschaltung von Drehstromverbrauchern ............................................. 146 <?page no="255"?> 253 Bild S. 77 Wirkungsweise eines Drehstrommotors.........................................................147 78 Drei Augenblickszustände zur Drehfeldentstehung .......................................149 79 Leistungsmessung im Drehstromnetz mit Neutralleiter .................................153 80 Zeigerdiagramm zu den Spannungen und Strömen in Bild 79 ......................153 81 Leistungsmessung im Drehstromnetz ohne Neutralleiter ..............................156 82 Zeigerdiagramm zu den Spannungen und Strömen in Bild 81 ......................157 83 Aronschaltung zur Messung der Wirkleistung ................................................158 84 Aronschaltung zur Messung der Blindleistung ...............................................162 85 Scott-Transformator, 1. Variante ....................................................................165 85a Zeigerdiagramm zu Bild 85.............................................................................165 85b Scott-Transformator, 2. Variante ....................................................................167 86 Erdung mit Petersenspule ..............................................................................168 86a Zeigerdiagramm zum ungestörten Fall in Bild 86...........................................169 86b Zeigerdiagramm zum gestörten Fall in Bild 86...............................................170 87 Drehstromtransformator mit Zickzackschaltung.............................................173 87a Zeigerdiagramm: Magnetflüsse und Spannungen in Bild 87 .........................174 88 Statischer Drehfeldrichtungsanzeiger: Richtige Phasenfolge ........................188 88a Widerstandszeiger zu R 1 ...............................................................................189 88b Widerstandszeiger zu R 2 ...............................................................................189 88c Zeigerdiagramm zu Bild 88.............................................................................191 89 Statischer Drehfeldrichtungsanzeiger: Falsche Phasenfolge ........................194 89a Zeigerdiagramm zu Bild 89.............................................................................194 90 Schaltzeichen der Diode nach DIN ................................................................196 90a Strom-Spannungskennlinie der Diode............................................................197 91 Diode in einem Gleichstromkreis....................................................................197 92 Einweggleichrichterschaltung mit Liniendiagrammen ....................................198 93 Einweggleichrichterschaltung mit Glättungskondensator ..............................199 94 Einweggleichrichterschaltung mit Wechselstromquelle .................................200 95 Einweggleichrichterschaltung mit Glättungsdrossel.......................................201 96 Zweiweggleichrichter mit Mittelpunktschaltung ..............................................203 96a Liniendiagramme zur Schaltung in Bild 96 ohne Glättungskondensator C........................................................................204 96b Liniendiagramme zur Schaltung in Bild 96 mit Glättungskondensator C.......205 97 Brückengleichrichterschaltung (Graetzschaltung)..........................................206 97a Verlauf der Eingangsspannung und des Eingangsstromes ...........................207 97b Spannungen und Ströme ohne Glättungskondensator ..................................207 97c Spannungen und Ströme mit Glättungskondensator .....................................208 98 Drehstromgleichrichter - Mittelpunktschaltung ..............................................209 98a Gleichzurichtende Strangspannungen in Bild 98 ...........................................210 98b Verlauf der Sperrspannungen an den Dioden in Bild 98................................210 98c Spannungsverläufe mit Ladekondensator ohne Belastung in Bild 98 ...........211 99 Vorstufe zur Drehstrom - Brückenschaltung .................................................213 99a Leiterspannungsverläufe ................................................................................213 99b Strangspannungsverläufe...............................................................................213 99c Gleichspannungsverlauf von u G+ ....................................................................213 99d Gleichspannungsverlauf von u G − ...................................................................213 <?page no="256"?> 254 Bild S. 100 Ausgangsgleichspannung des Drehstrom - Brückengleichrichters ............. 214 101a Sperrspannung über D 1 ................................................................................. 215 101b Sperrspannung über D 2 ................................................................................ 215 101c Sperrspannung über D 3 ................................................................................. 215 101d Sperrspannung über D 4 ................................................................................. 215 101e Sperrspannung über D 5 ................................................................................. 215 101f Sperrspannung über D 6 ................................................................................. 215 102a Sperrspannung über D 1 ................................................................................. 216 102b Sperrspannung über D 2 ................................................................................. 216 102c Sperrspannung über D 3 ................................................................................. 216 102d Sperrspannung über D 4 ................................................................................. 216 102e Sperrspannung über D 5 ................................................................................. 216 102f Sperrspannung über D 6 ................................................................................. 216 103 Geglättete Ausgangsgleichspannung des Brückengleichrichters.................. 217 104 Schaltbild des Drehstrom - Brückengleichrichters ........................................ 217 105 Spannungsverdopplerschaltung D1............................................................... 219 106 Spannungsverdopplerschaltung D2............................................................... 220 107 Spannungsversechsfacherschaltung ............................................................. 221 <?page no="257"?> 255 Tabellenverzeichnis Tab. S. 1 Numerische Berechnungen zur Schaltung in Bild 28.......................................75 2 Errechnete Augenblickswerte für die Spannungen in Bild 28 ..........................76 3 Gleichungen der Größen zum Dreischenkel Drehstromtransformator ..........140 4 Phasenwinkelabhängigkeit der Leistungsgleichungen .................................163 5 Schaltgruppen von Drehstromtransformatoren ..............................................177 7 Analogien zwischen zwei Grundvarianten der Einweggleichrichterschaltungen ...................................................................................................203 8 Wirk- und Blindleistung zur Aufgabe in Kap. 9.6.2.........................................244 9 Sperrspannungs- und Gleichspannungsfunktionen in Bild 104 .....................248 10 Sperrspannungs- und Leiterspannungsfunktionen in Bild 104 ......................249 <?page no="258"?> 256 Sichwortverzeichnis A Amplitude ........................................ 208 Arbeit ......................................... 94, 155 Arithmetischer Mittelwert.................. 199 Aronschaltung .........157, 158, 160, 161 Asynchroner Antrieb ....................... 128 Augenblickswert .................... 50, 53, 55 Ausgangsleistung............................. 200 Ausgangsleitung ...................... 113, 166 Ausgangsspannung ................. 116, 166 Ausgangsstrom ........................ 116, 203 Ausgangswiderstand........................ 200 B Belastung ................................. 116, 155 Berechnung von Gleichstromschaltungen...................................... 17 Blindleistung....................................... 94 Blindwiderstand............................ 56, 61 Brückenschaltung ........................ 21, 26 D Diode ................................................ 196 Drehfeld............................................ 147 Drehfeldrichtungsanzeiger, statischer........................................ 188 Drehstrom ........................................ 129 Drehstrom-Brückenschaltung .......... 212 Drehstromtransformator................... 135 − Schaltgruppen ......................172-188 Dreieckschaltung ......... 26, 28, 142, 144 Dreieck - Stern -Transformation ........ 30 Durchflutungsgesetz .......................... 36 E Effektivwert......................................... 63 Erdschlusslöschspule ...................... 168 Eulersche Formel für komplexe Zahlen............................. 54 Exponentialform ................................. 54 F Farad .................................................. 65 G Gegeninduktion................................ 104 Gegenkorkenzieherregel ..... 44, 98, 104 Gegenuhrzeigerregel ......................... 44 Glättungskondensator...................... 199 Gleichrichterschaltungen ................. 196 − bei Drehstrom ..................... 209-218 − Einwegschaltung........................ 198 − Zweiwegschaltung ..................... 203 − Brückenschaltung ...................... 206 Gleichspannung ........ 10, 17, 55, 65,196 − pulsierende ................................ 198 Gleichspannungsmesser ................. 198 Gleichspannungsquelle ..................... 10 Gleichstromkreise .............................. 15 H Henry ................................................. 58 I Imaginäre Einheit ............................... 51 Induktionsgesetz ................................ 43 − für sinusförmige Wechselgrößen............................. 98 Induktiver Widerstand .. 58, 62, 160, 230 Induktivität .................................... 58, 59 K Kapazität ............................................ 65 Kapazitiver Widerstand...... 65, 160, 230 Kappsches Dreieck .................. 114, 115 Kirchhoffsche Gesetze....................... 15 1. Kirchhoffsches Gesetz ............ 15 2. Kirchhoffsches Gesetz ............ 16 Knotenpunktgleichung ....................... 16 Komplexer Leitwert ............................ 64 Komplexer Widerstand .............. 55, 189 Komplexe Leistungsberechnung ....... 92 Komplexe Zahlenebene..................... 51 Komplexer induktiver Widerstand ...... 61 Komplexer kapazitiver Leitwert.......... 67 Komplexer kapazitiver Widerstand .... 67 Konjugiert komplexe Zahl .................. 94 Korkenzieherregel.............................. 36 <?page no="259"?> 257 Kosinusfunktion ..................................50 Kreisfrequenz .....................................51 Kurzschlussspannung ......................118 L Ladekondensator..............................199 Ladung eines Kondensators ..............65 Leistung bei Drehstrom ....................151 Leistungsfaktor ...................................97 Leitwert ............................ 23, 28, 32, 33 Liniendiagramm ..................................50 Linksschraubenregel ..........................44 M Magnetfluss ..................................11, 36 Magnetfluss-Pfeil ................................11 Magnetische Feldlinien.......................11 Magnetische Spannung......................11 Magnetischer Kreis.......................11, 38 Magnetischer Widerstand...................59 Maschengleichungen ...................18, 22 Maschensatz ......................................16 O Ohmsches Gesetz ........................15, 55 − für den magnetischen Kreis .........59 P Parallelschwingkreis...........................86 Petersenspule ..................................168 Phasenwinkel ...............................57, 69 R Rechtsschraubenregel .......................36 Reihenschwingkreis ...........................83 Resonanz ...........................................84 Resonanzfall...........................85, 86, 88 Resonanzfrequenz .............................84 Richtleiter..........................................196 Rogowski-Spule .................................39 Rotierende Zeiger.......................51, 152 S Scheinleistung ....................................95 Scheinwiderstand .........................56, 69 Schwingkreis ......................................83 Scott-Transformator ........ 164, 165, 167 Selbstinduktion ...........................59, 104 Sinusfunktion ......................................50 Spaltpolmotor ...................................122 Spannungsüberhöhung...................... 85 Spannungspfeile ..............................8, 9 Spannungsvervielfacher...................219 Spannungs-Zeitfunktion .......13, 51, 144 Spitzenwert.............................50, 62, 69 Stern - Dreieck -Transformation .........................................26, 27, 32 Sternschaltung .............26, 28, 132, 142 Stromknoten ....................................... 16 Strompfeile .....................................9, 10 T T-Schaltung ........................................ 17 Technische Stromrichtung ................. 10 Transformator...................................102 − idealer..................................102, 105 − realer ...........................................108 Transformatorengleichung ...............101 U Uhrzeigerregel.................................... 36 V Vierpol-Ersatzschaltungen ................. 29 W Wechselspannungsquelle .................. 10 Wechselstromkreise........................... 50 Wechselstromquelle ........................... 10 Wheatstonesche Messbrücke ............ 21 Widerstand − ohmscher..............................57, 123 − induktiver ................................58, 62 − kapazitiver ..............................65, 67 Widerstandskombinationen................ 68 Winkelgeschwindigkeit ....................... 51 Wirkleistung........................................ 92 Wirkwiderstand................................... 56 Z Zählpfeile......................................... 7,13 Zeiger ................................................. 51 − eines induktiven Leitwertes .......... 65 − eines komplexen Widerstandes ... 57 Zeigerdiagramm .....................51, 69, 96 − für Drehspannung ......................131 <?page no="260"?> Dipl.-In Lic Ber Grund 2002, 14 (Reihe T ISBN 97 Zum Buc Das Buch lichttechn Zur vort werden R beschrieb angegebe Problemlö Inhalt: Definition geometris sind - Ko und Feld Anwendu diffus und - Von Fl felder - A für lichttec Die Inter - Studiere - Projekta - Beschäf ng. Siegf httec rech lagen - V 42 S., 58 A Technik) 78-3-8169ch: h beschreibt G ischer Zusam teilhaften D Regeln der benen Geset enen Gleic ösungen. und schen Größe omplexe Dars dern in vek ng des Phot d flächenhom ächenlichtqu Anhang: Bes chnische Ber ressenten: ende technis anten von Be ftigte in der L fried Ban chni nung Verfahre Abb., 10 Ta -2128-8 Grundlagen mmenhänge Durchführung Vektoralge tzmäßigkeite chungen e Beschreibun en, die für d stellung von ktorieller Fo tometrischen mogen strahl uellen erzeu chreibung m rechnungen sch-physikalis eleuchtungsa Licht- und Be Be Tel: 071 E-Mail: ex nda sche gen en - Eige afeln, 28,00 und Lösungs mit Hilfe kom g lichttechn bra und Fe en sind mit B rmöglichen ng von die Lichttech lichttechnisc rm - Modi n Grundgeset ende Fläche gte Beleuch mathematisch scher Fachri anlagen eleuchtungst estellhot 159 / 92 65xpert@exp e enschafte 0 €, 48,20 swege für di mplexer Bere nischer Be eldlehre ang Beispielen, B nach Um vektoriellen hnik relevan chen Größen ifikation und tzes für idea enlichtquellen htungsstärke her Hilfsmitte chtungen technik tline: 0 • Fax: -20 pertverlag.d en CHF e Ermittlung echnungen. rechnungen gewendet. Bildern, Diag msetzung n nt n d al n eel 0 de Die ausführ grammen un in Rechen rlich abgele nd Tabellen nprogramme eiteten und belegt. Die schnelle <?page no="261"?> Dipl.-In exp Sta 1700 B Störun 3., neu b CD-ROM (expertL ISBN 97 Zum Buc Das Lexi Elektrizitä Formelan Aufladung sprachlich die einen und Syste Die Inter - Studen zu beacht - Konstru Chemie u - Herstell - Verant Kraftfahrz - Alle, die - Präsum - Lehrkrä - Prüfstel Rezensio »Die lexik Informatio verschaffe »Insgesam Anwendun ng. Günt pert P atisch Begriffe z ngen und bearb. Auf M mit Präs Lexikon) 78-3-8169ch: ikon erklärt ät, stellt die B hang die re gen als Ursa hen Dschung Bezug zur eme. ressenten: ten aller Fa ten ist ukteure und B nd der Mine er und Anwe twortliche fü zeugen e mit empfind tive Erfinder fte an Schule len, aufsichts onen: kalische Stru onssuchende en. Eine aus mt finden sic ngen statisch ter Lüttge Prax he E zu Gefah d Anwen l. 2013, 30 sentationen -3137-9 alle Begrif Beurteilungsk elevanten Be ache von Br gel elektrosta elektrostatisc achrichtungen Betreiber von ralölverarbei ender von Ku ür Entwicklu dlichen elektr r, die elektros en und Hoch sführende B ktur, verbund en die Mög sgezeichnete ch in dem 30 her Elektrizit Be Tel: 071 E-Mail: ex ens und xislex lektr ren, dungen 05 S., 82 A n, 55,00 €, ffe aus dem kriterien und eziehungen s ränden und atischer Stör chen Auflad n, in denen n Anlagen im tung unststoffen ung und Fe ronischen Ge statische Mö hschulen ehörden, Be den mit ausg lichkeit, sich Zusammens 00 Seiten sta tät.« estellhot 159 / 92 65xpert@exp 3 Mitaut xiko rizitä Abb., 91,00 CH m Bereich d die messtec statischer E Explosionen rungen in de ung haben, Elektrostatik m Bereich de ertigung von eräten umge öglichkeiten n erufsgenosse gezeichnet g h über die stellung, eine arken Werk tline: 0 • Fax: -20 pertverlag.d toren n ät F der Statisch chnischen M lektrizität, be n, führt durc r Mikroelektr und erläuter k er n ehen nutzen wollen enschaften, S gewählten Ve gesuchte T e Information über 1.700 B 0 de hen Möglichkeiten efasst sich m h den von A ronik, listet d rt elektrostat n Sachversiche erweisen zu w Thematik ein nsquelle mit Begriffe zu G zusammen, mit den elekt Anglizismen die aktuellen tische Verfah erer weiteren Beg nen guten Ü erheblichen Der Sach Gefahren, St Sichere Ch , zeigt die im trostatischen dominierten Normen auf hren, Geräte griffen, biete Überblick zu Tiefgang.« hverständige örungen und emiearbeit m n n f, e t u e d <?page no="262"?> Dr.-Ing unter M Dipl.-P und Di Hrsg. v FEM Elektrot zu FEM Lösung 3. Aufl. 2 €, 142,0 (Edition ISBN 97 Zum Buc Das Buch Simulation Es ergänz - FEM für - FEM für - FEM für Dem Inge Möglichke Classic al Die grun Strömung Felder un Gebieten. bzw. kom Die Quell Start die V Inhalt: Grundlage spiele ein Lösung un Die Inter - Ingenieu - Praktike Der Auto Dr.-Ing. S technolog g. Wolfga Mitarbeit Phys. Tho ipl.-Ing. M von Dr.-I M für technik: B -Anwendu gen mit de 2014, 454 00 CHF expertsoft 78-3-8169ch: h behandelt n von Anwen zt die bereits r Praktiker: G r Praktiker: T r Praktiker: S enieur oder eiten aufgeze s auch mit A dsätzliche E gsfelder, elek nd Wellenfe . Von den B binieren, das ltexte auf de Verfügbarkei en, Progra nschließlich d nd Auswertu ressenten: ure, Technik er (zum Nach or: Schätzing be gische Zweck ang Schä t von omas Sc Matthias ng. Günt r Pra Basiswisse ungen in d m Program S., zahlr. B t, 60) -3183-6 t die Anwen ndungsfällen s erschienene Grundlagen Temperaturfe Strukturdynam Physiker, de eigt, die ANS ANSYS-Work Einteilung e ktrostatische lder. Schwe Beispielen au ss er sich sc er beiliegend it des Progra mmiermetho deren Aufbe ung ker und Wisse hschlagen) earbeitet seit ke und deren Be Tel: 071 E-Mail: ex ätzing chliesch Ulmer. ter Mülle aktik en und Ar der Elektro mm ANSY Beispiele a ndung der F elektrotechn en Bände: elder mik. er eine elek SYS® zur Lö kbench ange erfolgt (wie Felder, ma erpunkt sind usgehend, k hrittweise se den CD erfo amms ANSYS odik, Anwen reitung, Mod enschaftler ( t Jahrzehnte n Modellierun estellhot 159 / 92 65xpert@exp er ker,IV rbeitsbeisp otechnik. YS® auf CD-RO Finite-Eleme nischer Natu ktrotechnisch sung bietet. esprochen. in der Ele agnetostatisc viele lauffä kann dann d einer eigenen ordern zum S®. ndungsbeidellbildung, (für die Einar en Probleme ng. tline: 0 • Fax: -20 pertverlag.d V: piele OM, 86,00 ent-Methode r. he Problems Dabei wird s ektrotechnik che Felder, q ähige Anwe er Nutzer d n Problemste rbeitung) e der direkte 0 de (FEM) für tellung zu b sowohl die B allgemein quasistationä ndungsbeisp ie Aufgaben ellung annäh en Nutzung die Modelli bearbeiten h ehandlung m üblich) in äre elektrom piele aus al nstellung so hert. der Elektroe ierung und at, werden mit ANSYSelektrische magnetische len diesen abwandeln energie für