<?page no="1"?> Michael Hernla Messunsicherheit bei Koordinatenmessungen <?page no="3"?> Messunsicherheit bei Koordinatenmessungen Ermittlung der aufgabenspezifischen Messunsicherheit durch Unsicherheitsbilanzen Dr. rr -Ing. Michael Hernla 3., aktualisierte Auflage Mit 55 Bildern und 33 Ta TT bellen <?page no="4"?> 3., aktualisierte Auflage 201 2., aktualisierte und erweiterte Auflage 2014 1. Auflage 2007 Bei der Erstellung des Buches wurde mit großer Sorgfalt vorgegangen; trotzdem lassen sich Fehler nie vollständig ausschließen. Ve VV rlag und Autoren können für fehlerhafte Angaben und deren Folgen weder eine juristische Ve VV rantwortung noch irgendeine Haftung übernehmen. Für Ve VV rbesserungsvorschläge und Hinweise auf Fehler sind Ve VV rlag und Autoren dankbar. rr © 2007 by expert verlag, Wankelstr. rr 13, D -71272 Renningen Te TT l.: + 49 (0) 71 59 - 92 65 - 0, Fax: + 49 (0) 71 59 - 92 65 - 20 E-Mail: expert@expertverlag.de, Internet: www.expertverlag.de Alle Rechte vorbehalten Printed in Germany Das We WW rk einschließlich aller seiner Te TT ile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Ve VV rwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Ve VV rlags unzulässig und strafbar. rr Dies gilt insbesondere für Ve VV rvielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Ve VV rarbeitung in elektronischen Systemen. ISBN 978-3-8169-3373-1 Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http: / / / / w / / ww.dnb.de abrufbar. rr Bibliographic Information published by Die Deutsche Bibliothek Die Deutsche Bibliothek lists this publication in the Deutsche Nationalbibliografie; detailed bibliographic data are available on the internet at http: / / / / w / / ww.dnb.de 7 <?page no="5"?> Vorwort zur 2. und 3. Auflage Die Berechnung der Messunsicherheit von Koordinatenmessungen hat sich inzwischen in der Praxis bewährt. Die Methode ist Gegenstand der Richtlinie VDI/ VDE 2617 Blatt 11 Messunsicherheitsbilanzen und wurde von der Deutschen Akkreditierungsstelle DAkkS als ein Verfahren zur Bestimmung der Messunsicherheit bei der Akkreditierung von Prüflaboratorien in der Koordinatenmesstechnik nach ISO 17025 anerkannt. Außerdem liegen Vergleiche mit den anderen Methoden zur Ermittlung der Messunsicherheit und zur Wirtschaftlichkeit vor, über die im Buch berichtet wird. In der zweiten Auflage wurden die wohl leider unvermeidlichen Fehler korrigiert sowie der Inhalt wesentlich überarbeitet und um folgende Merkmale erweitert: Formabweichung auch für Linien- und Flächenform Alle Arten von Lauf und Gesamtlauf Bei mehreren Tastern bzw. Tasterstellungen Abschätzung der Rotationsabweichungen aus dem Grenzwert der Mehrfachtaster-Ortsabweichung nach ISO 10360-5 Messunsicherheit für Position, Linien- und Flächenform für beliebige Punkte und Orientierungen im Bezugssystem An weiteren Themen wird noch gearbeitet, z.B. Abweichungen des Drehtisches, die Verwendung weiterer (vor allem optischer) Sensoren auf Koordinatenmessgeräten oder die Ausweitung auf verschiedene Arten von Koordinatenmesssystemen. Hier liegen zwar Ideen und einzelne Anwendungen vor, für eine systematische Aufbereitung braucht die Ermittlung der Messunsicherheit jedoch noch Zeit zur Reife. Dortmund, November 2016 Michael Hernla <?page no="6"?> Vorwort des Autors Die Ermittlung der Messunsicherheit von Koordinatenmessungen schien lange Zeit ein schwierig lösbares Problem zu sein. Die Betreiber bzw. Bediener von Koordinatenmessgeräten waren hier in der Regel allein auf ihre Erfahrung aus der täglichen praktischen Arbeit angewiesen. Dieses Buch stellt den ersten Versuch dar, das bisher bekannte Wissen zum Thema zusammenzufassen und in eine einigermaßen bequem handhabbare Form zu bringen. Dabei werden sowohl Messtechniker angesprochen, die mit möglichst geringem Aufwand die Messunsicherheit für ein definiertes und einmal gemessenes Prüfmerkmal ermitteln wollen, als auch Personenkreise mit einem gewissen theoretischen Interesse an Hintergrundwissen. In den Text sind sowohl die mathematischen Grundlagen als auch praktische Erfahrungen eingeflossen, die der Autor in seiner eigenen beruflichen Tätigkeit gesammelt hat. Neu sind vor allem die Berechnungstabellen zur Berechnung der Messunsicherheit für eine Reihe von häufigen und typischen Prüfmerkmalen bei Koordinatenmessungen, die an Hand von Beispielen erläutert werden, und für die entsprechende Formulare als Arbeitsblätter zur Verfügung stehen. Es ist zu hoffen, dass mit diesem Buch etwas mehr Klarheit in die Problematik kommt, und dass die Ermittlung der Messunsicherheit von Koordinatenmessungen damit zu einer Art Routinetätigkeit werden kann. Für Verbesserungsvorschläge sind Verlag und Autor offen und dankbar. Dortmund, November 2006 Michael Hernla <?page no="7"?> Inhalt Vorwort 1 Einleitung......................................................................................................... 1 2 Grundlagen ...................................................................................................... 2 2.1 Begriffe ............................................................................................................ 2 2.2 Messunsicherheit............................................................................................. 4 2.3 Ermittlung der Messunsicherheit ..................................................................... 7 2.3.1 Mathematisches Modell ............................................................................... 7 2.3.2 Eingangsgrößen ........................................................................................... 7 2.3.3 Methoden A und B ....................................................................................... 7 2.3.4 Standardunsicherheiten ............................................................................... 7 2.3.5 Sensitivitätskoeffizienten .............................................................................. 8 2.3.6 Standardunsicherheit der Messgröße .......................................................... 8 2.3.7 Erweiterte Messunsicherheit ........................................................................ 9 2.4 Andere Verteilungen ...................................................................................... 10 2.5 Systematische Messabweichungen............................................................... 12 2.6 Messprozesseignung..................................................................................... 13 2.7 Bestätigung der Konformität .......................................................................... 15 3 Besonderheiten von Koordinatenmessungen ............................................ 16 3.1 Überblick........................................................................................................ 16 3.2 Ausgleichsrechnung ...................................................................................... 17 3.2.1 Einführung.................................................................................................. 17 3.2.2 Kovarianzmatrix ......................................................................................... 18 3.2.3 Kreis ........................................................................................................... 19 3.2.4 Kugel .......................................................................................................... 23 3.2.5 Ebene......................................................................................................... 25 3.2.6 Zylinder ...................................................................................................... 27 3.2.7 Kegel .......................................................................................................... 29 3.2.8 Bevorzugte Messpunktanordnungen.......................................................... 33 3.3 Geometrieabweichungen............................................................................... 34 3.3.1 Längenmessabweichungen........................................................................ 34 3.3.2 Richtungsabweichungen ............................................................................ 36 3.3.3 Formabweichungen.................................................................................... 38 3.3.4 Vereinfachte Grenzwerte ........................................................................... 40 3.3.5 Beispiel....................................................................................................... 42 4 Eingangsgrößen bei Koordinatenmessungen ............................................ 43 4.1 Allgemeines ................................................................................................... 43 4.2 Werkstückoberfläche ..................................................................................... 44 4.2.1 Ermittlungsmethode B ................................................................................ 44 4.2.2 Ermittlungsmethode A ................................................................................ 45 4.3 Taster ............................................................................................................ 46 4.3.1 Einmessen ................................................................................................. 46 4.3.2 Rotationsabweichungen ............................................................................. 47 4.4 Geometrieabweichungen............................................................................... 49 <?page no="8"?> 4.5 Temperatur ................................................................................................... 50 4.6 Definition der Messgröße .............................................................................. 53 4.7 Lageabweichungen ....................................................................................... 54 4.8 Bezugssystem............................................................................................... 56 4.9 Aufspannung................................................................................................. 58 5 Virtuelles KMG .............................................................................................. 59 5.1 Konzept......................................................................................................... 59 5.2 Verfahren ...................................................................................................... 60 5.3 Beispiel ......................................................................................................... 61 5.4 Grenzen des Verfahrens ............................................................................... 62 6 Kalibrierte Werkstücke................................................................................. 63 6.1 Konzept......................................................................................................... 63 6.2 Verfahren ...................................................................................................... 64 6.3 Beispiel ......................................................................................................... 65 6.4 Grenzen des Verfahrens ............................................................................... 66 7 Berechnung der Messunsicherheit ............................................................. 67 7.1 Allgemeines .................................................................................................. 67 7.2 Vorgehen ...................................................................................................... 68 7.3 Beispiele ....................................................................................................... 70 7.3.1 Überblick.................................................................................................... 70 7.3.2 Durchmesser ............................................................................................. 72 7.3.3 Abstand ..................................................................................................... 74 7.3.4 Position...................................................................................................... 78 7.3.5 Symmetrie ................................................................................................. 84 7.3.6 Koaxialität .................................................................................................. 87 7.3.7 Koaxialität zur gemeinsamen Achse.......................................................... 89 7.3.8 Richtung .................................................................................................... 93 7.3.9 Form .......................................................................................................... 96 7.4 Grenzen des Verfahrens ............................................................................... 98 7.5 Anwendung in der Praxis .............................................................................. 99 8 Berechnungstabellen ................................................................................. 103 8.1 Überblick ..................................................................................................... 103 8.2 Durchmesser............................................................................................... 105 8.3 Abstand....................................................................................................... 107 8.4 Position ....................................................................................................... 111 8.5 Symmetrie................................................................................................... 119 8.6 Koaxialität ................................................................................................... 123 8.7 Koaxialität zur gemeinsamen Achse ........................................................... 126 8.8 Richtung und Winkel ................................................................................... 129 8.9 Form ........................................................................................................... 132 8.10 Lauf ............................................................................................................. 134 9 Unabhängige Messabweichungen ............................................................ 135 10 Literatur ....................................................................................................... 138 Stichwortregister .................................................................................................. 141 <?page no="9"?> 1 1 Einleitung Die Ermittlung und Angabe der Messunsicherheit von Koordinatenmessungen ist die Grundvoraussetzung für vergleichbare Messergebnisse, die benötigt werden für die Beurteilung der Eignung von Prüfprozessen, die Bestätigung der Konformität von Messergebnissen mit Spezifikationen und die Sicherstellung der weltweiten Austauschbarkeit von Produkten. In den bekannten Normen DIN EN ISO 10360 ff. und Richtlinien VDI/ VDE 2617 ff. werden die Kenngrößen und Prüfverfahren für die Genauigkeit von Koordinatenmessgeräten beschrieben. Sie eignen sich jedoch nicht zur Ermittlung der aufgabenspezifischen Messunsicherheit von beliebigen Prüfmerkmalen. Diese hängt ganz wesentlich von der Anzahl und Lage der Messpunkte auf der durch Formabweichungen geprägten Oberfläche des Werkstücks ab. Dazu wurden erst in der jüngeren Vergangenheit die Methoden der numerischen Simulation (Virtuelles KMG) bzw. mit kalibrierten Werkstücken sowie die Berechnung aus den abgeschätzten Einzeleinflüssen entwickelt (Messunsicherheitsbilanz). Die letztere ist mit dem geringsten Aufwand verbunden. Das Buch vermittelt die Grundlagen zur Ermittlung der Messunsicherheit nach dem international anerkannten Leitfaden zur Angabe der Unsicherheit beim Messen (GUM) sowie die Umsetzung der dort beschriebenen Methoden bei Koordinatenmessungen. Schwerpunkt ist die Berechnung der Messunsicherheit für eine breite Auswahl von häufigen Prüfmerkmalen, die durch entsprechende Berechnungstabellen unterstützt wird. Themen: Grundbegriffe Ermittlung der Messunsicherheit nach GUM Besonderheiten von Koordinatenmessungen Messunsicherheitseinflüsse bei Koordinatenmessungen Messunsicherheit mit dem Virtuellen KMG Messunsicherheit mit kalibrierten Werkstücken Berechnung der Messunsicherheit Berechnungstabellen für Durchmesser, Abstand, Position, Symmetrie, Koaxialität, Koaxialität zur gemeinsamen Achse, Richtung und Winkel, Form Ausblick: Unabhängige Messabweichungen <?page no="10"?> 2 2 Grundlagen 2.1 Begriffe Die folgenden Begriffserklärungen beruhen im wesentlichen auf dem Internationalen Wörterbuch der Metrologie (VIM) [23] und wurden in einigen Fällen gekürzt bzw. umformuliert. Einflussgröße Physikalische Größe, die sich bei einer direkten Messung nicht auf die Messgröße auswirkt, aber die Beziehung zwischen der Anzeige und dem Messergebnis beeinflusst Eingangsgröße Physikalische Größe, die gemessen werden oder auf andere Weise ermittelt werden muss, um einen Messwert der Messgröße zu erhalten; Bestandteil des Modells der Messung Fehlergrenze Grenzwert der laut Spezifikation zulässigen Messabweichungen eines Messmittels in Bezug auf einen Referenzwert Genauigkeit Ausmaß der Annäherung eines Messwertes an den (unbekannten) wahren Wert der Messgröße; setzt sich aus Richtigkeit und Präzision zusammen; Qualitativer Begriff, der nicht für Zahlenangaben verwendet werden darf Justieren Verändern des Messmittels, um festgelegte Anzeigewerte für die Werte einer Messgröße zu erhalten Kalibrieren Herstellen einer Beziehung zwischen dem Größenwert eines Normals und einem Anzeigewert mit der beigeordneten Messunsicherheit (1) sowie Herstellen einer Beziehung zwischen einem Anzeigewert und einem Messergebnis (2) Kalibrierschein Dokument über das Ergebnis einer Kalibrierung und die Rückführung eines Messergebnisses zur nächsthöheren Ebene der Kalibrierhierarchie bis zum nationalen Normal; enthält Angaben zum Messverfahren, das Messergebnis und die Messunsicherheit (auch: Kalibrierbericht) Messabweichung Differenz zwischen dem Messwert und dem Bezugswert (richtigen Wert) der Messgröße Messen Experimentelle Ermittlung eines Größenwertes, der vernünftigerweise einer Größe zugewiesen werden kann Messergebnis Der Messgröße zugewiesener Größenwert (Messwert) und seine Messunsicherheit; diese kann durch eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion beschrieben, durch einen einzigen Zahlenwert ausgedrückt oder manchmal auch vernachlässigt werden Messgröße Größe, die gemessen werden soll (Prüfmerkmal) <?page no="11"?> 3 Messprozess Alle systematisch geplanten Tätigkeiten und zufällig auftretenden Ereignisse während des Ablaufs einer Messung; umfasst mindest mindestens Messmittel, Normale, Hilfsmittel, Prüfobjekt (Werkstück), Umgebungseinflüsse und Handhabung Messprozesseignung Eigenschaft eines Messprozesses, ein Prüfmerkmal mit einer ausreichenden Genauigkeit zu messen; wird anhand des Verhältnisses der Messunsicherheit U des Messverfahrens zur Toleranz T des Prüfmerkmals beurteilt Messunsicherheit Dem Messergebnis beigeordneter Parameter, der die mögliche Streuung der Messwerte kennzeichnet; meist wird die erweiterte Messunsicherheit U für eine Überdeckungswahrscheinlichkeit (Vertrauensniveau) von 95 % angegeben Präzision Ausmaß der Übereinstimmung von Anzeigen oder Messwerten an denselben oder ähnlichen Objekten unter vorgegebenen Bedingungen; Teil der Genauigkeit; Qualitativer Begriff, der nicht für Zahlenangaben verwendet werden darf Prüfen Feststellen der Übereinstimmung eines Prüfmerkmals mit der Spezifikation; Prüfen wird unterteilt in Zählen, nichtmaßliches und maßliches Prüfen, letzteres wiederum in Messen und Lehren Prüfmittel Alle Mittel zur Durchführung einer Prüfung, z.B. Messmittel, Lehren, Normale (Maßverkörperungen), Referenzmaterialien, Vergleichsmuster, Software, Hilfsmittel Prüfmittelfähigkeit Eigenschaft eines Prüfmittels, ein Prüfmerkmal mit einer ausreichenden Genauigkeit zu prüfen; wird anhand des Streubereiches der Ergebnisse statistischer Untersuchungen (z.B. R&R) im Verhältnis zur Toleranz T des Prüfmerkmals beurteilt; Prüfmittelfähigkeit darf nicht mit Messprozesseignung verwechselt werden Richtigkeit Ausmaß der Annäherung des Mittelwertes einer unendlichen Anzahl wiederholter Messwerte an einen Referenzwert; Teil der Genauigkeit; Qualitativer Begriff, der nicht für Zahlenangaben verwendet werden darf Standardunsicherheit Als Standardabweichung ausgedrückte Messunsicherheit (Standardmessunsicherheit) Toleranz Differenz zwischen Höchstwert und Mindestwert bzw. oberer und unterer Spezifikationsgrenze bzw. oberer und unterer Grenzabweichung; Formelzeichen T <?page no="12"?> 4 2.2 Messunsicherheit Im allgemeinen Sprachgebrauch bedeutet das Wort „Unsicherheit“ Zweifel. Der Begriff „Messunsicherheit“ drückt demnach also Zweifel an der Gültigkeit eines Messergebnisses aus. Da kein anderer Begriff zur Verfügung steht, wird derselbe Begriff aber auch für Zahlenangaben als quantitative Maße der Messunsicherheit verwendet. Die Definition im Internationalen Wörterbuch der Metrologie (VIM) [23] lautet: Nichtnegativer Parameter, der die Streuung der Werte kennzeichnet, die der Messgröße auf der Grundlage der benutzten Information beigeordnet ist Dieser Parameter kann z.B. eine Standardabweichung (Standardunsicherheit) oder ein festgelegtes Vielfaches davon sein, oder auch die halbe Spannweite eines Intervalls mit einer vorgegebenen Überdeckungswahrscheinlichkeit. Die Messunsicherheit enthält im allgemeinen viele Komponenten. Einige dieser Komponenten können aus der statistischen Verteilung der Ergebnisse einer Messreihe ermittelt und durch Standardabweichungen gekennzeichnet werden. Die anderen Komponenten, die ebenfalls durch Standardabweichungen charakterisiert werden können, werden aus angenommenen Wahrscheinlichkeitsdichteverteilungen ermittelt, die auf Erfahrung oder anderen Informationen beruhen. Die am häufigsten vorkommende Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung ist die Normalverteilung. Ihre Streubreite lässt sich durch die Standardabweichung s der Messwerte zu ihrem Mittelwert x beschreiben (Bild 2.1). Bild 2.1: Zufallsstreubereich der Normalverteilung Der arithmetische Mittelwert x berechnet sich dabei aus der Summe aller Messwerte, dividiert durch ihre Anzahl n: n i i x n x 1 1 (2.1) Die Standardabweichung s ist die mittlere quadratische Abweichung der einzelnen Messwerte vom Mittelwert x : n i i x x n s 1 2 ) ( 1 1 (2.2) <?page no="13"?> 5 Praktisch ist die Standardabweichung aber nicht besonders gut als Messunsicherheitsangabe geeignet, da nur ca. 68 % der Messwerte in dem Intervall zwischen x -s und x +s liegen. Ein erheblicher Anteil der Messwerte (ca. 32 %) weicht um einen größeren Betrag vom Mittelwert x ab. Deshalb wird im Leitfaden zur Angabe der Unsicherheit beim Messen (GUM) [44] die erweiterte Messunsicherheit U definiert: s k U (2.3) Der Erweiterungsfaktor wird meist mit k=2 für die Überdeckungswahrscheinlichkeit (Vertrauensniveau) P=95 % festgelegt. Die erweiterte Messunsicherheit U ist also gerade doppelt so groß wie die Standardabweichung s. In dem Intervall zwischen x - U und x +U liegen ca. 95 % der Messwerte. Dieser Anteil wird in den meisten Fällen als geeignet angesehen, um den Streubereich der Messwerte zu beschreiben. Es besteht dann aber immer noch ein Restrisiko von 5 %, dass Messwerte außerhalb dieses Bereiches liegen. Werden von derselben Messgröße mehrere Werte als Stichprobe gemessen, so kann aus den Messwerten ein Stichprobenmittelwert berechnet werden. Die Streuung dieses Mittelwertes hängt von der Anzahl der Messwerte in der Stichprobe ab und ist wesentlich kleiner als die der Einzelwerte, siehe Bild 2.2. Bild 2.2: Zufallsstreubereich des Mittelwertes einer Stichprobe aus n=5 Messwerten für die Verteilung aus Bild 2.1 Die Standardabweichung x s dieses Mittelwertes wird auch als Standardunsicherheit u(x) bezeichnet und beträgt: n s x u s x ) ( (2.4) Die Unsicherheit ist also umgekehrt proportional zur Wurzel aus der Messwertanzahl und wird mit wachsender Messwertanzahl n kleiner. Häufig wird jedoch aus Gründen der Wirtschaftlichkeit nur einmal gemessen. Dann ergibt sich mit n=1 wieder die Standardunsicherheit des Einzelmesswertes u(x)=s nach Gleichung (2.2). Die erweiterte Messunsicherheit x U des Mittelwertes erhält man auch hier nach Gleichung (2.3) durch Multiplikation der Standardunsicherheit x s =u(x) mit dem Erweiterungsfaktor k. <?page no="14"?> 6 Wird die Standardabweichung s der Messwerte nur aus einer einzigen und noch dazu relativ kleinen Stichprobe nach Gleichung (2.2) berechnet, sind die Stichprobenmesswerte nicht normalverteilt. Dann ist von einer t-Verteilung (Student-Verteilung) der Messwerte auszugehen, und die erweiterte Messunsicherheit U berechnet sich anstelle von Gleichung (2.3) wie folgt: 1 , 2 / 1 n t s U (2.5) Der Faktor t 1- / 2,n-1 ist der Wert (das Quantil) der t-Verteilung für das zweiseitige Vertrauensniveau P=1- und die Zahl von f=n-1 Freiheitsgraden. Die Tabelle 2.3 zeigt die Werte der t-Verteilung (Student-Verteilung) für verschiedene Freiheitsgrade f und das Vertrauensniveau P=95 %. Für kleine Stichprobenumfänge n sind die Werte deutlich größer als 2, nähern sich aber mit wachsender Messwertanzahl an den Wert 1,96 an. Zur Vereinfachung der Rechnung wurde der Erweiterungsfaktor in Gleichung (2.3) mit k=2 festgelegt. Tabelle 2.3: Werte der t-Verteilung für das Vertrauensniveau P=95 % und verschiedene Freiheitsgrade f=n-1 Die nach Gleichung (2.5) mit dem Wert der t-Verteilung berechnete erweiterte Messunsicherheit U berücksichtigt gegenüber Gleichung (2.3) die größere Unsicherheit aus der Schätzung der Standardabweichung s aus einer kleinen Stichprobe. Das Messergebnis y für die Messgröße Y wird mit der erweiterten Messunsicherheit U und dem Erweiterungsfaktor k in der folgenden Form angegeben: U y Y mit s k U und k=2 (P=95 %) (2.6) Die erweiterte Messunsicherheit U wird maximal mit zwei Ziffernstellen angegeben. In der Regel wird der berechnete Wert aufgerundet, er darf aber auch um maximal 5 % abgerundet werden. Der Wert y der Messgröße wird mit derselben Anzahl von Nachkommastellen angegeben. <?page no="15"?> 7 2.3 Ermittlung der Messunsicherheit 2.3.1 Mathematisches Modell Nach dem Leitfaden zur Angabe der Unsicherheit beim Messen (GUM) [44] ist das mathematische Modell der Messung der Ausgangspunkt der Unsicherheitsermittlung. Es beschreibt den funktionellen Zusammenhang zwischen der Messgröße Y und den Eingangsgrößen X i einschließlich aller Korrektionen (Korrekturen) durch eine Gleichung in der Form Y=f(X i ). Beispiele enthält das Kapitel 7. 2.3.2 Eingangsgrößen Eingangsgrößen sind alle Größen, die gemessen oder auf andere Weise ermittelt werden, um einen Messwert der Messgröße zu erhalten, und die Bestandteil des Modells der Messung sind. Die wichtigsten Eingangsgrößen bei Koordinatenmessungen werden in den Kapiteln 3 und 4 erläutert, das Kapitel 7 enthält Beispiele. 2.3.3 Methoden A und B Der GUM [44] unterscheidet zwei Methoden zur Ermittlung der Messunsicherheit. Bei der Methode A werden Wiederholungsmessungen durchgeführt, bei der Methode B werden bekannte Informationen herangezogen. Die Methode A erfordert z.B. bei Koordinatenmessungen das mehrmalige Messen desselben Werkstücks an verschiedenen Stellen der Oberfläche. Bei der Methode B werden bekannte Informationen aus anderen Quellen verwendet, z.B. Angaben von Messgeräteherstellern (vor allem Fehlergrenzen der Messgeräte), Normen, Richtlinien, Tabellenbücher, Fachliteratur und andere Veröffentlichungen. Das hier beschriebene Vorgehen beruht hauptsächlich auf der Methode B und verzichtet weitgehend auf Wiederholungsmessungen. Es kann aber in Einzelfällen sinnvoll sein, nach der Methode A z.B. dasselbe Werkstück wiederholt an verschiedenen Stellen der Oberfläche zu messen, um kleinere Messunsicherheiten zu erhalten, siehe die Abschnitte 4.2.2 und 7.5. 2.3.4 Standardunsicherheiten Die Unsicherheiten der Eingangsgrößen werden durch Standardunsicherheiten ausgedrückt. Diese lassen sich auf verschiedenen Wegen ermitteln: Bei der Methode A ist die Standardunsicherheit gleich der Standardabweichung der Messreihe, also u(x i )=s. Bei der Methode B wird die Standardunsicherheit aus dem Grenzwert und der Verteilungsform der Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung berechnet. Bei Koordinatenmessungen erhält man die Standardunsicherheiten der Formelementeparameter aus der Ausgleichsrechnung selbst, siehe Kapitel 3. Bei der Methode B ist die Standardunsicherheit u(x i ) das Produkt des Grenzwertes a i der bekannten oder angenommenen Verteilung der Eingangsgröße und des Verteilungsfaktors b i aus Bild 2.4: i i i b a x u ) ( (2.7) <?page no="16"?> 8 Bild 2.4: Verschiedene Wahrscheinlichkeitsdichteverteilungen mit symmetrischen Grenzwerten a, gleichen Standardunsicherheiten u(x i ) und den Verteilungsfaktoren b: Normalverteilung (P=95 %) 5 , 0 b , Rechteckverteilung 58 , 0 3 / 1 b , Dreieckverteilung 41 , 0 6 / 1 b , Arcsin-Verteilung 71 , 0 2 / 1 b , Bimodale Verteilung 1 b Nach dem GUM ist bei einer unbekannten Verteilungsform immer eine Rechteckverteilung anzunehmen. In vielen Fällen lässt sich aber anhand von dokumentierten Messwerten eine annähernde Normalverteilung belegen. Eine Dreieckverteilung entsteht durch Überlagerung von zwei gleich breiten Rechteckverteilungen. Eine Arcsin-Verteilung (auch: U-Verteilung) tritt z.B. bei schlecht geregelten Klimaanlagen auf, wenn periodisch abwechselnd warme und kalte Luft in den Messraum eingeblasen wird und sich damit ein sinusförmiger Temperaturverlauf ergibt. Die Bimodale Verteilung wird bei bekannten, aber nicht korrigierten systematischen Abweichungen angewendet, z.B. wenn eine Temperaturabweichung von der Referenztemperatur 20°C nicht korrigiert wird. 2.3.5 Sensitivitätskoeffizienten Die Sensitivitätskoeffizienten c i (Empfindlichkeitskoeffizienten) sind die partiellen Ableitungen f/ x i der Messgröße Y nach den einzelnen Eingangsgrößen X i für deren aktuelle Werte x i . Sie geben an, wie empfindlich die Messgröße auf Änderungen der jeweiligen Eingangsgröße reagiert, und sind deshalb wie Verstärkungsfaktoren anzusehen. Bei Koordinatenmessungen sind sie z.B. dann zu beachten, wenn die Messpunkte nicht die ganze Oberfläche, sondern nur einen Teil davon erfassen, oder wenn sich die Messlänge deutlich von der Auswertelänge unterscheidet. Dementsprechend sind sie für einzelne Eingangsgrößen als Längenverhältnisse zu berechnen. 2.3.6 Standardunsicherheit der Messgröße Unter der Voraussetzung, dass die Eingangsgrößen unabhängig voneinander sind, erhält man die Standardunsicherheit u(y) der Messgröße nach dem speziellen Fortpflanzungsgesetz der Unsicherheiten aus dem GUM [44]: N i i i x u x f y u 1 2 2 ) ( ) ( (2.8) <?page no="17"?> 9 In einer anderen Schreibweise des Fortpflanzungsgesetzes (2.8) werden die Unsicherheitsbeiträge u i (y) aller N Eingangsgrößen quadratisch addiert: N i i y u y u 1 2 ) ( ) ( (2.9) Bei den Parametern von Ausgleichselementen sind die Unsicherheitsbeiträge u i (y) jeweils das Produkt aus der Standardabweichung s i der zufälligen und unabhängigen Messabweichungen, dem Faktor b i und dem Sensitivitätskoeffizienten c i : i i i i c b s y u ) ( (2.10) Bei allen anderen Eingangsgrößen wird das Produkt aus dem Grenzwert a i , dem Verteilungsfaktor b i und dem Sensitivitätskoeffizient c i berechnet: i i i i c b a y u ) ( (2.11) 2.3.7 Erweiterte Messunsicherheit Die erweiterte Messunsicherheit U erhält man durch Multiplikation der Standardunsicherheit u(y) der Messgröße mit dem Erweiterungsfaktor k: ) (y u k U (2.12) Bei normalverteilten Messgrößen wird mit dem Erweiterungsfaktor k=2 für einen geforderten Grad des Vertrauens von etwa 95 % gerechnet. Die erweiterte Messunsicherheit U wird in der Regel auf eine Ziffernstelle aufgerundet, er darf aber auch um maximal 5 % abgerundet werden. Der Schätzwert y der Messgröße wird mit derselben Anzahl von Nachkommastellen angegeben, z.B. L= (100,000 0,006) mm. In den meisten Fällen kann man davon ausgehen, dass die Voraussetzung der normalverteilten Messgrößen erfüllt ist. Eine Besonderheit ergibt sich, wenn einzelne Unsicherheitsbeiträge u i (y) der Parameter von Ausgleichselementen relativ groß sind und aus nur einer oder wenigen Messungen gewonnen wurden. Dann kann die Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung der Messgröße deutlich von der Normalverteilung abweichen, und es ist statt dessen von einer t-Verteilung auszugehen. An die Stelle des Faktors k=2 tritt der Wert der t-Verteilung für das zweiseitige Vertrauensniveau P=95 %, siehe Tabelle 2.3. Für die f Freiheitsgrade werden die effektiven Freiheitsgrade eff eingesetzt, die im Einzelfall zu berechnen sind: N i i i i i eff m p n y u y u 1 4 4 ) ( ) ( ) ( (2.13) Die Gleichung enthält die Standardunsicherheit u(y) der Messgröße und die Unsicherheitsbeiträge u i (y) der Eingangsgrößen (jeweils in der vierten Potenz) sowie die Anzahl n i der Messpunkte am Formelement. Die Variable p i bezeichnet die Anzahl der freien Parameter des jeweiligen Formelements und m i ggf. die Anzahl der Messungen, aus denen die mittlere Standardabweichung am Ausgleichselement ermittelt wurde. <?page no="18"?> 10 2.4 Andere Verteilungen Der Erweiterungsfaktor k=2 in Gleichung (2.12) gilt nur für normalverteilte Messgrößen. In den meisten Fällen kann man davon ausgehen, dass diese Voraussetzung erfüllt ist. Nach dem zentralen Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung ergibt die Überlagerung vieler voneinander unabhängiger Eingangsgrößen unabhängig von den einzelnen Verteilungen in der Regel annähernd eine Normalverteilung. Bei Verteilungen mit gleich großen Standardabweichungen ergibt sich meist recht schnell eine Normalverteilung. Zum Beispiel erhält man bei der Überlagerung von zwei gleich breiten Rechteckverteilungen eine Dreieckverteilung. Überlagert man dazu eine dritte Rechteckverteilung mit gleicher Breite, ist das Ergebnis kaum noch von einer Normalverteilung zu unterscheiden, siehe Bild 2.5. Bild 2.5: Überlagerung von gleich breiten Rechteckverteilungen durch Simulation; links 1, mitte 2, rechts 3 Verteilungen Eine Ausnahme liegt vor, wenn eine einzelne Eingangsgröße überwiegt und deutlich von der Normalverteilung abweicht. Dann entspricht die Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung der Messgröße häufig z.B. eher einer Rechteckverteilung, und der Erweiterungsfaktor müßte dementsprechend kleiner als k=2 gewählt werden. Er kann dann entweder berechnet oder durch Simulation ermittelt werden. Eine Besonderheit sind die sogenannten Betragsverteilungen erster und zweiter Art, wie sie vor allem bei der Messung von Form- und Lageabweichungen auftreten, siehe die Bilder 2.6 und 2.7. Liegt der Messwert y einer Messgröße mit einer solchen Verteilung nahe bei Null, weicht ihre Form stark von der Normalverteilung ab, und die Vertrauensgrenzen sind deutlich breiter als bei der Normalverteilung. Bild 2.6: Betragsverteilung erster Art für Messgrößen nach dem Modell x y <?page no="19"?> 11 Bild 2.7: Betragsverteilung zweiter Art für Messgrößen nach dem Modell x y Das Problem kann häufig dadurch umgangen werden, dass das Entstehen der Betragsverteilung erster Art von vornherein verhindert wird. Bei der Betragsbildung geht nämlich das Vorzeichen der Abweichung verloren. Wertet man aber anstelle der Beträge die Abweichungen vorzeichenrichtig aus, erhält man immer annähernd eine Normalverteilung. Gleichzeitig lassen sich aus den Messergebnissen ganz einfach Korrekturwerte für die Fertigung ableiten. Bei Merkmalen mit Abweichungen in zwei Koordinatenrichtungen wie z.B. Koaxialität und Position in beliebiger Richtung sind die beiden Koordinaten gesondert und vorzeichenrichtig auszuwerten. Eine andere Möglichkeit ist, die Abweichungen vorzeichenrichtig auf die Verbindungsgerade zwischen Toleranzmitte und Istlage der Abweichung zu projizieren [16]. Die so berechneten Abweichungen in radialer Richtung sind dann auch in der Toleranzmitte normalverteilt, siehe Bild 2.8. Bild 2.8: Kreisförmige Toleranzzone und vorzeichenrichtig projizierte radiale Abweichungen Wie die Bilder 2.6 und 2.7 zeigen, weichen die Betragsverteilungen erster und zweiter Art vor allem dann stark von der Normalverteilung ab, wenn der Messwert y nahe bei Null liegt. Wird der Messwert x größer, nähern sich die Betragsverteilungen an die Normalverteilung an. Schon bei x/ s=3 sind die Messabweichungen praktisch immer normalverteilt. Hier ist der Messwert x nur um die Hälfte größer als die erweiterte Messunsicherheit U=2s nach Gleichung (2.3) bzw. (2.12). Die Messunsicherheit muss aber auf jeden Fall deutlich kleiner als die Toleranz sein (siehe Abschnitt 2.6 Messprozesseignung). Das heißt, dass die Unsicherheiten für eine angenommene Normalverteilung richtig abgeschätzt werden, wenn das Messergebnis in der Nähe der Toleranzgrenze liegt. Erst wenn der Messwert x nahe bei Null liegt, wird die Vertrauensgrenze der Betragsverteilung größer als die der Normalverteilung. Diese größere Unsicherheit hat aber keine Auswirkung auf die Bewertung des Messergebnisses, da diese an der Toleranzgrenze stattfindet. Die größere Unsicherheit in der Toleranzmitte hat also keine praktischen Folgen und kann damit außer acht gelassen werden. <?page no="20"?> 12 2.5 Systematische Messabweichungen Obwohl nach dem Leitfaden zur Angabe der Unsicherheit beim Messen (GUM) [44] bekannte systematische Abweichungen immer zu korrigieren sind, wird das in der messtechnischen Praxis häufig unterlassen. So sind Längenmessungen bei Temperaturen weit verbreitet, die von der Referenztemperatur 20°C abweichen, ohne die dadurch verursachten Längenmessabweichungen zu korrigieren. Diese Tatsache muss mit einer höheren Messunsicherheit berücksichtigt werden. Ein dazu früher häufig angewendetes Vorgehen war die lineare Addition des Betrages der systematischen Messabweichung b zur erweiterten Messunsicherheit U: b y u k U ) ( (2.14) Dieses Vorgehen lässt sich jedoch nicht mit den Grundsätzen des GUM vereinbaren, da dann nicht mehr von der erweiterten Messunsicherheit U mittels Division durch den Erweiterungsfaktor k auf die Standardunsicherheit u(y) in (2.12) zurückgerechnet werden kann. Deshalb muss die bekannte systematische Abweichung b zur Standardunsicherheit u(y) aller anderen Eingangsgrößen quadratisch addiert werden. Diese enthält auch die Unsicherheit, mit der b selbst bestimmt wurde: 2 2 ) ( b y u k U (2.15) Die bekannte systematische Abweichung b kann entweder ein positives oder ein negatives Vorzeichen haben. Sie wird deshalb als eine zusätzliche Eingangsgröße mit Bimodal-Verteilung und der Standardunsicherheit u(x i )=b behandelt. Das Bild 2.8 zeigt die resultierenden Unsicherheiten nach den Gleichungen (2.14) für die lineare Addition, (2.15) für die quadratische Addition sowie für die exakte Lösung, die sich z.B. durch numerische Simulation ermitteln lässt. Bei systematischen Abweichungen mit ) ( 33 , 1 y u b liefert (2.15) eine deutlich größere Unsicherheit, bei kleineren Abweichungen sind die Werte jedoch näher an der exakten Lösung als nach (2.14) [15]. Bild 2.9: Erweiterte Messunsicherheiten U nach Gleichung (2.14) (gestrichelt), nach Gleichung (2.15) (dünn) und für die exakte Lösung (dick) Die größere Messunsicherheit für das GUM-konforme Verfahren nach (2.15) sollte Anlass genug sein, bekannte systematische Abweichungen immer zu korrigieren, z.B. wenn abweichend von der Referenztemperatur 20°C gemessen wurde. <?page no="21"?> 13 2.6 Messprozesseignung Die Grundlagennorm für das betriebliche Qualitätsmanagement DIN EN ISO 9001 [40] legt im Abschnitt 7.6 Anforderungen für die Lenkung von Überwachungs- und Messmitteln fest. Danach muss sichergestellt werden, dass Überwachungen und Messungen in einer Weise durchgeführt werden, die mit den Anforderungen an die Überwachung und Messung vereinbar ist. Das bedeutet, dass die Genauigkeit der Messungen in einem angemessenen Verhältnis zur Toleranz des Prüfmerkmals stehen soll. Diese Forderung lässt sich auf unterschiedliche Weise prüfen, wobei die Messprozesseignung und die Prüfmittelfähigkeit am weitesten verbreitet sind. Prüfmittelfähigkeit ist die Eigenschaft eines Messmittels, ein Prüfmerkmal mit einer ausreichenden Genauigkeit zu messen. Sie wird anhand des Streubereiches der Ergebnisse statistischer Untersuchungen (z.B. R&R) im Verhältnis zur Toleranz T des Prüfmerkmals beurteilt [23]. Die Untersuchungen beschränken sich dabei in der Regel auf einzelne Einflüsse wie z.B. Messmittel und Prüfer (Bediener) und haben damit nur eine begrenzte Aussagekraft. Prüfmittelfähigkeit darf deshalb nicht mit Messprozesseignung verwechselt werden. Der Messprozess umfasst dagegen alle systematisch geplanten Tätigkeiten und zufällig auftretenden Ereignisse während des Ablaufs einer Messung. Das sind mindestens Messmittel, Normale, Hilfsmittel, Messobjekt (Werkstück), Umgebungseinflüsse und Handhabung durch den Bediener. Die Messprozesseignung ist die Eigenschaft eines Messprozesses, ein Prüfmerkmal mit einer ausreichenden Genauigkeit zu messen. Sie wird anhand des Verhältnisses der Messunsicherheit U des Messverfahrens zur Toleranz T des Prüfmerkmals beurteilt. Diese Vorgehensweise wird z.B. in der DGQ-Schrift 13-61 Prüfmittelmanagement [2] und im VDA Band 5 Prüfprozesseignung [32] verfolgt. Sie entspricht der Goldenen Regel der Fertigungsmesstechnik, die bereits in den Zwanziger Jahren des 20. Jahrhunderts formuliert wurde: Die Messunsicherheit soll nicht größer als ein Zehntel bis ein Fünftel der Toleranz sein. Diese Forderung wurde in [1] begründet und später immer wieder übernommen: 2 , 0 ... 1 , 0 T U (2.16) Der Grenzwert der Messunsicherheit im Verhältnis zur Toleranz des Prüfmerkmals muss von dem Prozessverantwortlichen festgelegt werden. DGQ 13-61 [2] und VDA Band 5 [32] berücksichtigen zwar, dass die Kosten für die Messung mit zunehmender Genauigkeit überproportional ansteigen. Deshalb werden bei kleineren Toleranzen größere Grenzwerte U/ T empfohlen. Dabei bleiben allerdings die Forderungen an den Fertigungsprozess selbst außer acht. Diese werden im folgenden diskutiert. Bei allen Messungen vergrößert sich die fertigungsbedingte Prozesseigenstreuung s 1 durch Überlagerung mit der Streuung der Messeinrichtung s 2 zur beobachteten Prozessgesamtstreuung s [7] [10], wie sie z.B. aus einer Messreihe ermittelt wird: 2 2 2 1 s s s (2.17) <?page no="22"?> 14 Die Prozessgesamtstreuung s wird durch die Forderung an die Prozessfähigkeit c p des Fertigungsprozesses begrenzt, die z.B. durch folgende Beziehung festgelegt ist: s T c p 6 (2.18) Die erweiterte Messunsicherheit U in Gleichung (2.16) wird nach Gleichung (2.3) bzw. (2.12) mit der Standardabweichung s 2 der Messeinrichtung berechnet: T s T U 2 2 (2.19) Damit ergibt sich ein Zusammenhang zwischen dem Verhältnis der Messunsicherheit U zur Toleranz T, dem Grenzwert c p der Prozessfähigkeit und dem Verhältnis der Prozessgesamtstreuung s zur Prozesseigenstreuung s 1 (Bild 2.10): 2 1 3 1 1 T U c s s p (2.20) Bild 2.10: Zusammenhang zwischen der Messunsicherheit U, der Toleranz T, der Prozessfähigkeit c p und dem Verhältnis der Prozessgesamtstreuung s zur Prozesseigenstreuung s 1 Sind die beiden Streuungen s 1 und s 2 gleich groß, beträgt das Verhältnis s/ s 1 =1,41, und die Prozessgesamtstreuung s ist 1,4-mal so groß wie die Prozesseigenstreuung s 1 . Ist die Streuung s 2 der Messeinrichtung nur halb so groß wie die Prozesseigenstreuung, beträgt das Verhältnis s/ s 1 =1,12, und die Prozessgesamtstreuung s vergrößert sich um rund 10 % gegenüber s 1 (gestrichelte Linie im Bild 2.10). Dieses Verhältnis ist sinnvoll, da die Kosten für die gleiche Streuung bei der Messeinrichtung in der Regel kleiner sind als bei der Fertigungseinrichtung. An der gestrichelten Linie im Bild 2.10 kann man deshalb den Grenzwert für das Verhältnis U/ T in Abhängigkeit von dem angestrebten c p ablesen. Bei gleicher Toleranz und zunehmender Forderung an die Prozessfähigkeit muss auch die Messunsicherheit kleiner werden: Für c p =1 reicht U/ T=0,14 aus, für c p =1,67 muss U/ T 0,08 sein. Es ist aber nicht ohne weiteres möglich, aus der Prozessgesamtstreuung und der bekannten Messunsicherheit auf die Prozesseigenstreuung zurückzurechnen, da die Messunsicherheit auch systematische Anteile enthält. Zur Trennung der Streuungen des Fertigungs- und des Messprozesses muss parallel zur Ermittlung der Prozessstreuung ein kalibriertes Werkstück gemessen werden. Daraus sind die zufälligen und systematischen Messabweichungen zu bestimmen (siehe auch [31]). <?page no="23"?> 15 2.7 Bestätigung der Konformität Ein wesentlicher Bestandteil des GPS-Normensystems sind die Entscheidungsregeln zur Feststellung der Übereinstimmung oder Nicht-Übereinstimmung mit Spezifikationen nach DIN EN ISO 14253-1 [45]. Aufgrund der Messunsicherheit ist es möglich, dass Entscheidungen über die Verwendbarkeit falsch getroffen werden, wenn das Messergebnis nahe an einer Spezifikationsgrenze liegt. So könnte ein fehlerhaftes Werkstück als gut oder umgekehrt ein gutes als fehlerhaft eingestuft werden. Um das zu vermeiden, werden die Spezifikationen für den Hersteller (Lieferant) um den Betrag der Messunsicherheit eingeengt und für den Abnehmer (Kunde) entsprechend erweitert, siehe Bild 2.11. Die Messunsicherheit kann natürlich beim Hersteller und beim Abnehmer unterschiedlich groß sein. Bild 2.11: GPS-Entscheidungsregeln nach ISO 14253-1 [45] Der Hersteller darf nur Produkte ausliefern, deren Prüfmerkmale innerhalb dieses eingeschränkten Bereichs der Übereinstimmung liegen. Der Kunde wiederum darf nur Produkte reklamieren, deren Prüfmerkmale außerhalb des erweiterten Bereiches liegen, weil nur dann zweifellos ein Fehler nachgewiesen ist. Die Messunsicherheit wird nach dem Leitfaden zur Angabe der Unsicherheit beim Messen (GUM) [44] und DIN EN ISO 14253-1 [45] als Grenze eines Vertrauensbereiches angegeben, der einem Vertrauensniveau von P=95 % entspricht. Es besteht also immer noch ein Restrisiko von 5 %, dass Messwerte außerhalb dieses Bereiches liegen und deshalb die Entscheidung trotzdem fehlerhaft ist. Das wird jedoch als vertretbar angesehen. Die Festlegungen der Norm gelten überdies nur dann, wenn zwischen Hersteller und Abnehmer nichts anderes vereinbart ist. Ihnen ist freigestellt, in einer ausdrücklichen Vereinbarung auf die Einschränkung bzw. Erweiterung der Spezifikationen zu verzichten, so wie es der bisherigen Praxis entspricht. Im Bereich der geometrischen Größen wurde die Messunsicherheit bisher aus zwei Gründen meist vernachlässigt: Einmal erschien der Anteil der durch die Messunsicherheit verursachten Fehlentscheidungen gering, und zum anderen war die Unsicherheit bei vielen Messungen gar nicht bekannt, um sie in der beschriebenen Weise zu berücksichtigen. Das wird sich aber mit dem Erscheinen weiterer Normen des GPS-Normensystems auf lange Sicht ändern. <?page no="24"?> 16 3 Besonderheiten von Koordinatenmessungen 3.1 Überblick Dieses Kapitel wendet sich ausdrücklich an den mathematisch interessierten Leser, der etwas über die Hintergründe der Formeln und Fehlergrenzen erfahren möchte, die zur Berechnung der Messunsicherheit von Koordinatenmessungen verwendet werden. Das mathematische Verständnis ist aber nicht erforderlich, um die Messunsicherheiten für einzelne Prüfmerkmale zu berechnen. Dazu werden im Kapitel 7 Beispiele und im Kapitel 8 Hilfsmittel in Form von Berechnungstabellen beschrieben. Die wesentliche Besonderheit von Koordinatenmessungen ist die Berechnung der Messergebnisse mittels Ausgleichsrechnung. Dabei werden aus den erfassten Messpunkten mit der Methode der kleinsten Quadrate nach Gauß mittlere Formelemente berechnet, die sich in der Regel durch mehrere Ergebnisparameter charakterisieren lassen. Dementsprechend ist die Unsicherheit nach Abschnitt 3.1.7 des GUM für eine Menge zusammengehöriger Messgrößen zu ermitteln, die gleichzeitig aus derselben Messung gewonnen werden. Auf diese Weise wird der Einfluss der Anzahl und Anordnung der Messpunkte sowie der örtlichen Formabweichungen der Oberfläche des Messobjektes erfasst. Die Antastabweichungen des KMG sind aber ebenfalls enthalten. Auf die Einzelheiten wird im Abschnitt 3.2 sowie im Kapitel 4 ausführlich eingegangen. Darüber hinaus soll auch Einfluss der Geometrieabweichungen des KMG erläutert werden. Bei allen KMG ist zwar der Grenzwert E 0, MPE der Längenmessabweichung spezifiziert, er gilt aber nicht für die Messung von anderen Prüfmerkmalen. Allerdings können dafür aufgrund einfacher geometrischer Zusammenhänge Grenzwerte auf der Basis des Grenzwertes E 0, MPE der Längenmessabweichung abgeleitet werden, siehe Abschnitt 3.3. Dabei wird vorausgesetzt, dass das KMG regelmäßig mit den in den Normen bzw. Richtlinien festgelegten Verfahren überwacht wird, und dass die festgelegten Grenzwerte jederzeit eingehalten sind. Der Einfluss der Umgebungsbedingungen auf die Messung wird vollständig abgeschätzt. Dabei sind sowohl die Temperatureinflüsse auf das Messobjekt als auch auf das KMG selbst in Betracht zu ziehen. Einzelheiten enthält der Abschnitt 4.5. <?page no="25"?> 17 3.2 Ausgleichsrechnung 3.2.1 Einführung Alle Koordinatenmessgeräte arbeiten heute mit der Ausgleichsrechnung, bei der aus mehr oder weniger vielen Messpunkten besteingepasste idealgeometrische Ersatzelemente berechnet werden. Sie hat den wesentlichen Vorteil, durch die Mittelung über alle Messwerte sehr stabile Messergebnisse zu liefern. Sie wurde von C ARL F RIEDRICH G AUSS bereits vor über zweihundert Jahren begründet und ist heute die allgemein anerkannte Grundlage für viele Messungen in Wissenschaft und Technik. Die Ausgleichsrechnung und ihre Unsicherheit werden z.B. in [27] und [33] allgemein beschrieben und haben mit DIN 1319 Teil 4 [35] Eingang in die Normung gefunden. Sie ist auch Gegenstand des GUM-Supplement 2 [55]. Die Messunsicherheit von Koordinatenmessungen wird z.B. in [4] [9] [17] [24] [25] behandelt. Der mathematische Ansatz der Ausgleichsrechnung ist die Forderung, dass die Quadratesumme der Abweichungen i der einzelnen Messpunkte senkrecht zur Oberfläche möglichst klein sein soll (Ausgleichsbedingung): i2 = Minimum (3.1) Deshalb spricht man auch von der Methode der kleinsten Quadrate (MKQ). Der Ansatz führt auf ein lineares homogenes Gleichungssystem der Form: v x M (3.2) Dabei ist M die Matrix der Normalgleichungen (auch: Koeffizientenmatrix), die die Lage der einzelnen Messpunkte auf dem Formelement enthält, v ein Vektor, der die Abweichungen der Messpunkte vom Ausgleichselement enthält, und x der Vektor der Lösungen mit den einzelnen Ergebnisparametern des Formelements, z.B. Mittelpunktkoordinaten und Radius des Ausgleichskreises. Die Matrix M der Normalgleichungen ergibt sich aus der Designmatrix A, indem diese mit ihrer transponierten Matrix A T multipliziert wird: A A M T (3.3) Die Designmatrix A wiederum enthält die partiellen Ableitungen der linearisierten Formelementegleichung für alle Messpunkte. Sie ist für jedes Formelement und jede Messpunktanordnung verschieden. Die Positionen der einzelnen Messpunkte auf der Oberfläche des Formelementes müssen dazu nur näherungsweise bekannt sein. In der Regel reichen die Steuerdaten des KMG aus. Der Vektor v schließlich ist das Produkt der transponierten Designmatrix A T mit den Abweichungen i der Messpunkte vom Ausgleichselement: v = A T i (3.4) Das Gleichungssystem (3.2) wird in der Regel nicht in einem, sondern in mehreren Schritten (iterativ) gelöst. Der Bediener des KMG merkt davon nichts, da das von der Software des KMG automatisch ausgeführt wird. Die Matrix M der Normalgleichungen ist gleichzeitig die Grundlage für die Berechnung der Messunsicherheit - siehe den folgenden Abschnitt. <?page no="26"?> 18 3.2.2 Kovarianzmatrix Die zur Matrix M der Normalgleichungen in (3.2) inverse Gewichtsmatrix M -1 wird häufig auch mit dem Buchstaben Q bezeichnet und liefert durch Multiplikation mit der Varianz 2 der zufälligen und unabhängigen Messabweichungen die Kovarianzmatrix S: 2 2 1 Q M S (3.5) Die Varianz 2 ist meist nicht bekannt und wird durch das Quadrat der Standardabweichung s der Messpunkte vom Ausgleichselement abgeschätzt. Die Kovarianzmatrix S enthält die Varianzen 2 j s (auf der Hauptdiagonalen) und die Kovarianzen s jk der einzelnen Ergebnisparameter. Bei drei Parametern lautet die Matrix allgemein: 2 33 23 13 23 22 12 13 12 11 2 3 23 13 23 2 2 12 13 12 2 1 s q q q q q q q q q s s s s s s s s s S (3.6) Die Standardunsicherheit u j eines Ergebnisparameters ist gleich der Wurzel aus seiner Varianz 2 j s bzw. der Wurzel aus dem Element q jj von der Hauptdiagonalen der Gewichtsmatrix Q, multipliziert mit der Standardabweichung s: s q s u jj j j 2 (3.7) Die Kovarianzen s jk außerhalb der Hauptdiagonalen beschreiben die gegenseitige Abhängigkeit der Ergebnisparameter. Sie sind dann zu berücksichtigen, wenn eine Messgröße aus mehreren Parametern desselben Formelementes berechnet wird. Die Korrelationskoeffizienten r jk erhält man allgemein aus Gleichung (3.6) mittels Division der Kovarianzen s jk durch die Varianzen s j und s k : k j jk jk s s s r (3.8) Der Korrelationskoeffizient liegt immer zwischen -1 und +1. Liegt keine Korrelation vor, ist sein Betrag klein und liegt nahe bei null. Bei bestimmten, bevorzugten Messpunktanordnungen werden die Kovarianzen null, und die einzelnen Parameter sind voneinander unabhängig. Das ist z.B. bei gleichabständig über den ganzen Umfang verteilten Messpunkten am Kreis der Fall. Für solche Sonderfälle lassen sich die Standardunsicherheiten der Ergebnisparameter relativ leicht mit einfach handhabbaren Formeln berechnen. Zur Berechnung der Standardunsicherheiten u(x j ) der Ergebnisparameter muss die Matrix M der Normalgleichungen zur Gewichtsmatrix Q invertiert werden. Dafür sind im Buchhandel fertige Programme in höheren Programmiersprachen erhältlich, z.B. [3]. Für den hier beschriebenen Zweck reicht die Matrizeninversion in den Tabellenkalkulationsprogrammen aus, die heute jede handelsübliche Bürosoftware enthält. <?page no="27"?> 19 3.2.3 Kreis Ein Kreis wird durch die drei Ergebnisparameter x und y für den Mittelpunkt und r für den Radius beschrieben. Dabei muss jeder Punkt (x i , y i ) auf der Kreislinie die folgende Gleichung erfüllen: 0 ) ( ) ( 2 2 2 r y y x x i i (3.9) Praktisch liegen die Messpunkte aber nicht auf dem idealen Kreis, so dass die Koordinaten des Kreismittelpunktes und der Radius nach der Bedingung der kleinsten Summe der Abweichungsquadrate nach (3.2) berechnet werden müssen. Dazu ist zunächst die Kreisgleichung (3.9) zu linearisieren, indem eine Taylorreihenentwicklung nach den Variablen x, y und r nach den ersten Gliedern abgebrochen wird: 0 ) ( ) ( r y y x x i i (3.10) Nach Division durch den Kreisradius r ergibt sich für jeden einzelnen Messpunkt mit dem Polarwinkel i zum Kreismittelpunkt: 0 1 sin cos i i (3.11) So erhält man die Designmatrix A für alle n Messpunkte: 1 sin cos : : : 1 sin cos 1 sin cos 2 2 1 1 n n A (3.12) Die Koeffizientenmatrix M nach (3.3) lautet für den Ausgleichskreis ausführlich: 1 sin cos sin ² sin sin cos cos sin cos ² cos i i i i i i i i i i T A A M (3.13) Summiert wird jeweils über alle n Messpunkte. In (3.13) sind nur die Polarwinkel i der Messpunkte zum Kreismittelpunkt enthalten. Damit ist die Anordnung der Messpunkte ausschlaggebend für die Unsicherheiten der Ergebnisparameter. Der Lösungsvektor x in (3.2) gibt die Reihenfolge der einzelnen Ergebnisparameter an und muss für die richtige Zuordnung der Varianzen und Kovarianzen beachtet werden. Hier ist die Reihenfolge x, y und r: r y x x (3.14) <?page no="28"?> 20 Als Beispiel soll angenommen werden, dass vier Messpunkte gleichabständig über einen Viertelkreis im Bereich zwischen 135° und 225° angeordnet sind. Die Koeffizientenmatrix M nach (3.13) lautet dann: 4 0 35 , 3 0 13 , 1 0 35 , 3 0 87 , 2 M (3.15) Für die dazu inverse Gewichtsmatrix Q ergibt sich: 70 , 10 0 49 , 12 0 88 , 0 0 49 , 12 0 93 , 14 Q (3.16) Daraus erhält man nach Gleichung (3.7) mit der Standardabweichung s der zufälligen und unabhängigen Abweichungen der Messpunkte vom Ausgleichskreis die Standardunsicherheiten u X und u Y der Mittelpunktkoordinaten, u R des Kreisradius sowie u D des Durchmessers: s s u X 86 , 3 93 , 14 (3.17) s s u Y 94 , 0 88 , 0 s s u R 27 , 3 70 , 10 s u u R D 54 , 6 2 Die Unsicherheit u D des Durchmessers ist doppelt so groß wie die des Radius u R . Das Bild 3.1 zeigt die Streubereiche des Kreismittelpunktes und der Kreislinie. Die Unsicherheit der Kreislinie ist dort klein, wo die Messpunkte liegen, und wird immer größer, je weiter sich der betrachtete Ort auf der Kreislinie von diesem Bereich entfernt. Die Unsicherheit des Kreismittelpunktes weist eine ausgeprägte Richtungscharakteristik auf und ist in Richtung der Winkelhalbierenden des Kreisausschnittes, auf dem die Messpunkte liegen, besonders groß. Bild 3.1: Streubereiche des Ausgleichskreises mit vier Messpunkten am Kreisausschnitt 90° <?page no="29"?> 21 Für bestimmte Sonderfälle der Messpunktanordnung ergeben sich einfache Formeln für die Standardunsicherheiten der Ergebnisparameter. Als Beispiel soll angenommen werden, dass die vier Messpunkte gleichabständig über den ganzen Kreisumfang angeordnet sind. Die Koeffizientenmatrix M nach (3.13) lautet dann: 4 0 0 0 2 0 0 0 2 M (3.18) Für die dazu inverse Gewichtsmatrix Q ergibt sich: 25 , 0 0 0 0 5 , 0 0 0 0 5 , 0 Q (3.19) Daraus erhält man nach Gleichung (3.7) mit der Standardabweichung s der zufälligen und unabhängigen Abweichungen der Messpunkte vom Ausgleichskreis die Standardunsicherheiten u X und u Y der Mittelpunktkoordinaten, u R des Radius sowie u D des Durchmessers: s s u u Y X 71 , 0 5 , 0 (3.20) s s u R 5 , 0 25 , 0 s u u R D 2 Die Unsicherheit u D des Durchmessers ist doppelt so groß wie die des Radius u R . Wie das Bild 3.2 zeigt, ist die Unsicherheit bei gleichabständig über den ganzen Kreisumfang angeordneten Messpunkten unabhängig von der Richtung. Der Streubereich der Kreislinie überall gleich breit, und der Streubereich des Kreismittelpunktes ist selbst auch ein Kreis. Bild 3.2: Streubereiche des Ausgleichskreises mit vier am ganzen Umfang gleichmäßig verteilten Messpunkten (gleicher Maßstab wie im Bild 3.1) Für den Sonderfall gleichmäßig am ganzen Kreisumfang angeordneter Messpunkte verschwinden alle Elemente der Koeffizientenmatrix M in (3.18) außerhalb der Hauptdiagonalen. Ihre Kehrwerte ergeben die Elemente der Gewichtsmatrix Q nach (3.19), die somit ganz einfach zu berechnen sind. <?page no="30"?> 22 Die Standardunsicherheiten u M des Kreismittelpunktes und u D des Kreisdurchmessers hängen dann nur noch von der Punktanzahl n und der Standardabweichung s der zufälligen und unabhängigen Messabweichungen ab (Tabelle 3.10): s n u u Y X 2 (3.21) s n u u R D 4 2 In der Gewichtsmatrix Q nach (3.16) stehen in der linken unteren und in der echten oberen Ecke zwei gleiche Zahlenwerte. Das ist die Kovarianz, die durch die Messpunktanordnung im Bild 3.1 entsteht. Im allgemeinen Fall sind alle Kovarianzen als Elemente der Gewichtsmatrix Q von null verschieden. Den Korrelationskoeffizienten r XR erhält man nach Gleichung (3.8) mit den Werten aus (3.16) und (3.17): 99 , 0 27 , 3 86 , 3 49 , 12 R X XR XR s s s r (3.22) Der Korrelationskoeffizient r XR beschreibt die gegenseitige Abhängigkeit der Mittelpunktkoordinate X und des Radius R. Er ist fast eins, d.h. es liegt eine sehr starke Abhängigkeit zwischen diesen beiden Parametern vor. Wird der berechnete Radius aufgrund zufälliger Messabweichungen groß, nimmt auch die Mittelpunktkoordinate einen großen Wert an, und umgekehrt. Die Unsicherheiten am Kreisausschnitt hängen hauptsächlich von dem Bereich ab, den die Messpunkte überdecken [4]. Sind sie innerhalb des Kreisausschnittes gleichabständig angeordnet, lässt sich der Zusammenhang grafisch darstellen (Bild 3.3). Dabei ist u D die Standardunsicherheit des Durchmessers, u I die größte Standardunsicherheit des Mittelpunktes in Richtung der Winkelhalbierenden des Bereiches der Messpunkte und u II die kleinste senkrecht dazu (siehe Bild 3.1). Bild 3.3: Verhältnisse der Unsicherheiten der Parameter am Kreisausschnitt in Abhängigkeit vom Zentriwinkel des Bereiches der Messpunkte, bezogen auf den Vollkreis (logarithmiert, 100 Punkte) <?page no="31"?> 23 3.2.4 Kugel Eine Kugel wird durch die vier Ergebnisparameter x, y und z für den Mittelpunkt und r für den Radius beschrieben. Dabei muss jeder Punkt (x i , y i , z i ) auf der Kugelschale die folgende Gleichung erfüllen: 0 ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 r z z y y x x i i i (3.23) Nach Division der linearisierten Form der Gleichung durch den Kugelradius r ergibt sich für jeden einzelnen Messpunkt: 0 1 sin sin cos i i i (3.24) Dabei ist i der Azimutwinkel in der horizontalen Ebene senkrecht zum Tasterschaft (X-Y-Ebene) und i der Elevationswinkel für die Auslenkung des Messpunktes aus dieser Ebene (in Z-Richtung). Letzterer ist am Äquator null und reicht bis +90° bzw. -90°. Die Koeffizientenmatrix M der Ausgleichskugel nach (3.3) lautet: 1 sin sin cos sin ² sin sin sin sin cos sin sin sin ² sin sin cos cos sin cos sin cos ² cos i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i M (3.25) Summiert wird jeweils über alle n Messpunkte. In (3.25) sind nur die Winkel i und i der Messpunkte zum Kugelmittelpunkt enthalten. Die Anordnung der Messpunkte ist ausschlaggebend für die Unsicherheit der Ergebnisparameter. Im einfachsten Fall wird die Kugel mit fünf Punkten so gemessen, dass ein Punkt auf dem oberen Scheitel (Nordpol) der Kugel und die anderen vier um 90° versetzt am Äquator liegen. Die Koeffizientenmatrix M nach (3.25) lautet dann: 5 1 0 0 1 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 M (3.26) Für die dazu inverse Gewichtsmatrix Q ergibt sich: 25 , 0 25 , 0 0 0 25 , 0 25 , 1 0 0 0 0 5 , 0 0 0 0 0 5 , 0 Q (3.27) Daraus erhält man nach Gleichung (3.7) mit der Standardabweichung s der unabhängigen Abweichungen der Messpunkte von der Ausgleichskugel die Standardunsicherheiten der Mittelpunktkoordinaten u X und u Y (senkrecht zum Tasterschaft), u Z (in Schaftrichtung des Tasters) sowie u R des Radius und u D des Durchmessers: s s u u Y X 71 , 0 5 , 0 (3.28) s s u Z 12 , 1 25 , 1 s s u R 5 , 0 25 , 0 <?page no="32"?> 24 s u u R D 2 Die Unsicherheiten u X und u Y des Kugelmittelpunktes sind gleich groß. Die Unsicherheit u Z der Mittelpunktkoordinate ist dagegen deutlich größer, da in Richtung des Tasterschaftes nur ein Punkt auf dem oberen Scheitel der Kugel angetastet wurde. Die Unsicherheit u D des Durchmessers ist doppelt so groß wie die des Radius u R . Das Bild 3.4 zeigt die Streubereiche des Kugelmittelpunktes und der Kugelschale. Die Unsicherheit der Kugelschale ist am oberen Scheitelpunkt klein und wird immer größer, je weiter sich der betrachtete Ort auf der Kugelschale von diesem Punkt entfernt. Die Unsicherheit des Kugelmittelpunktes weist eine ausgeprägte Richtungscharakteristik auf. Die Unsicherheit ist in Richtung der Winkelhalbierenden des Kugelausschnittes, auf dem die Messpunkte liegen, besonders groß. Bild 3.4: Streubereiche der Ausgleichskugel mit fünf Messpunkten auf einer Halbkugel Wird die Halbkugel mit zwei Punkten auf dem oberen Scheitel - also mit insgesamt sechs Punkten - gemessen, wird die Unsicherheit des Kugelmittelpunktes in Richtung des Tasterschaftes mit s u Z 87 , 0 kleiner. Die Unsicherheiten u X und u Y des Kugelmittelpunktes sowie u D des Durchmessers bleiben unverändert. Für andere Messpunktzahlen und -anordnungen müssen die Standardunsicherheiten jeweils neu berechnet werden. Für die gleichmäßige Punktverteilung auf einer Halbkugel lassen sich folgende Näherungen angeben: s n u u Y X 2 3 , 1 (3.29) s n u Z 2 8 , 1 s n u u R D 4 5 , 1 2 Die Unsicherheit u Z gilt in Richtung des Tasterschaftes, u X und u Y senkrecht dazu. <?page no="33"?> 25 3.2.5 Ebene Eine Ebene wird durch die drei Ergebnisparameter z für die Koordinate des Schwerpunktes (x s , y s , z s ) der Messpunkte senkrecht zur Ebene sowie x und y für die beiden projizierten Winkel beschrieben, die die Ebene mit der X- und der Y-Achse des Koordinatensystems einschließt. Dabei muss jeder Punkt (x i , y i , z i ) auf der Ebene die folgende Gleichung erfüllen: 0 ) ( ) ( z z y y x x i s i Y s i X (3.30) Die Taylorreihenentwicklung nach den Variablen X , Y und z liefert bei Abbruch nach den ersten Gliedern die linearisierte Form der Gleichung: 0 1 si si y x mit s i si x x x und s i si y y y (3.31) Die Koeffizientenmatrix M nach (3.3) ergibt sich dann für die Ausgleichsebene zu: 1 2 2 si si si si si si si si si si y x y y y x x y x x M (3.32) Summiert wird jeweils über alle n Messpunkte. In der Gleichung sind nur die Koordinatenabstände x si und y si der Messpunkte zu ihrem Schwerpunkt enthalten. Damit wird deutlich, dass die Unsicherheit der Ergebnisparameter entscheidend von der Messpunktanordnung abhängt. Im einfachsten Fall werden vier Punkte auf der Ebene so gemessen, dass sie nahe an den Eckpunkten im Abstand von z.B. 10x10 mm liegen. Sie haben dann in jeder Koordinate den gleichen Betrag des Schwerpunktabstandes |x si |=5 bzw. |y si |=5. Die Koeffizientenmatrix M nach (3.32) lautet: 4 0 0 0 100 0 0 0 100 M (3.33) Für die dazu inverse Gewichtsmatrix Q ergibt sich: 25 , 0 0 0 0 01 , 0 0 0 0 01 , 0 Q (3.34) Daraus erhält man nach (3.7) mit der Standardabweichung s der unabhängigen Abweichungen der Messpunkte von der Ausgleichsebene die Standardunsicherheiten u X und u Y der beiden projizierten Winkel sowie u Z der Koordinate senkrecht zur Ebene im Schwerpunkt der Messpunkte: s s u u Y X 1 , 0 01 , 0 (3.35) s s u Z 5 , 0 25 , 0 Das Bild 3.5 zeigt den Streubereich der Ebene. In der Mitte der Ebene, d.h. im Schwerpunkt der Messpunkte, ist die Unsicherheit am kleinsten, und zum Rand hin wird sie immer größer. <?page no="34"?> 26 Bild 3.5: Streubereich der Ausgleichsebene mit vier Messpunkten an den Eckpunkten (Enden) Die Standardunsicherheit u Z der Koordinate z im Schwerpunkt nach (3.35) hängt nur von der Messpunktanzahl n und der Standardabweichung s der zufälligen und unabhängigen Abweichungen der Messpunkte ab: s n u Z 1 (3.36) Die Standardunsicherheiten u X und u Y der beiden projizierten Winkel in (3.35) werden in Bogenmaß berechnet, sind also dimensionslose Größen. Die Standardunsicherheiten u WX und u WY auf der Messlänge L M (in Längeneinheiten) erhält man durch Multiplikation mit dieser Länge: M W L u u (3.37) Die projizierten Winkel X und Y werden - z.B. auf der technischen Zeichnung - üblicherweise in dezimalgeteilten Grad angegeben. Dann sind auch die Standardunsicherheiten u X und u Y von Bogenmaß in Grad umzurechnen: 180 u u (3.38) Die Standardunsicherheiten u X und u Y der projizierten Winkel müssen jeweils für die aktuelle Messpunktanordnung berechnet werden. Für die regelmäßigen Punktmuster im Bild 3.6 sind in Tabelle 3.10 einfache Näherungen angegeben. Bild 3.6: Messpunktmuster auf einer Ebene Für die Anordnung im Raster wie im Bild 3.6 rechts lässt sich keine einfache Formel angeben. Hier wird die Standardunsicherheit mit der Gleichung für die Anordnung in einer Reihe nach oben abgeschätzt. <?page no="35"?> 27 3.2.6 Zylinder Ein Zylinder wird durch die fünf Ergebnisparameter x und y für den Mittelpunkt in dem auf die Achse projizierten Schwerpunkt der Messpunkte, X und Y für die beiden projizierten Winkel der Achse sowie r für den Radius beschrieben. Dabei muss jeder Punkt (x i , y i , z i ) auf der Zylindermantelfläche die folgende Gleichung erfüllen: 0 2 2 r z y y z x x si Y i si X i (3.39) Dabei sind die z si die Abstände der Messpunkte von ihrem auf die Achse projizierten Schwerpunkt z s in Richtung der Zylinderachse. Die Taylorreihenentwicklung nach den Variablen x, y, X , Y und r liefert bei Abbruch nach den ersten Gliedern die linearisierte Form der Gleichung mit den Polarwinkeln i der Messpunkte: 0 1 sin cos sin cos i si i si i i z z (3.40) Die Koeffizientenmatrix M des Ausgleichszylinders nach (3.3) lautet: M (3.41) 1 sin cos sin cos sin sin sin cos sin sin cos cos sin cos cos sin cos cos sin sin sin cos ² sin sin cos cos sin cos cos sin cos ² cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 i si i si i i i si i si i i si i si i i si i si i i si i si i i si i si i i si i i si i i i i i i si i si i i i z z z z z z z z z z z z z z z z Summiert wird jeweils über alle n Messpunkte. In der Gleichung sind nur die Polarwinkel i und die Schwerpunktabstände z si der Messpunkte enthalten. Damit wird deutlich, dass die Unsicherheit der Ergebnisparameter entscheidend von der Messpunktanordnung abhängt. Im einfachsten Fall wird der Zylinder in zwei Radialschnitten mit je vier gleichabständigen Punkten am Umfang gemessen. Für einen Abstand dieser Messebenen von z.B. L M =10 mm beträgt der Betrag des Schwerpunktabstandes für alle Punkte |z si |=5. Die Koeffizientenmatrix M nach (3.41) lautet dann: 8 0 0 0 0 0 100 0 0 0 0 0 100 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 4 M (3.42) <?page no="36"?> 28 Für die dazu inverse Gewichtsmatrix Q ergibt sich: 125 , 0 0 0 0 0 0 01 , 0 0 0 0 0 0 01 , 0 0 0 0 0 0 25 , 0 0 0 0 0 0 25 , 0 Q (3.43) Daraus erhält man nach (3.7) mit der Standardabweichung s der unabhängigen Abweichungen der Messpunkte vom Ausgleichszylinder die Standardunsicherheiten u X und u Y der beiden Mittelpunktkoordinaten im Schwerpunkt, u X und u Y der projizierten Achswinkel sowie u R des Radius bzw. u D des Durchmessers: s s u u Y X 5 , 0 25 , 0 (3.44) s s u u Y X 1 , 0 01 , 0 s s u u R D 71 , 0 125 , 0 2 2 Die Unsicherheit hängt nur noch von der Messpunktanzahl n und der Standardabweichung s (in mm) der zufälligen und unabhängigen Abweichungen der Messpunkte ab. Das Bild 3.7 zeigt die Streubereiche des Zylinders. In der Mitte der Achse, d.h. im Schwerpunkt der Messpunkte, ist die Unsicherheit am kleinsten, und zum Rand hin wird sie immer größer. Bild 3.7: Streubereiche des Ausgleichszylinders mit je vier Messpunkten in zwei Radialschnitten Die Standardunsicherheiten u X und u Y der Winkel werden in Bogenmaß berechnet, die projizierten Winkel X und Y aber üblicherweise in dezimalgeteilten Grad. Die Standardunsicherheiten sind dann nach (3.38) in Grad umzurechnen. Die Standardunsicherheiten der Parameter müssen jeweils für die aktuelle Messpunktanordnung berechnet werden. Für einige regelmäßige Messpunktanordnungen sind in Tabelle 3.10 einfache Näherungen angegeben. <?page no="37"?> 29 3.2.7 Kegel Ein Kegel wird durch die sechs Ergebnisparameter x und y für den Mittelpunkt in dem auf die Achse projizierten Schwerpunkt der Messpunkte, X und Y für die beiden projizierten Winkel der Achse, für den Neigungswinkel sowie r für den Radius (im Schwerpunkt der Messpunkte) beschrieben. Dabei muss jeder Punkt (x i , y i , z i ) auf der Kegelmantelfläche die folgende Gleichung erfüllen: 0 tan 2 2 r z z y y z x x si si Y i si X i (3.45) Dabei sind die z si die Abstände der Messpunkte von ihrem auf die Achse projizierten Schwerpunkt z s in Richtung der Kegelachse. Die Taylorreihenentwicklung nach den Variablen x, y, X , Y , und r liefert bei Abbruch nach den ersten Gliedern näherungsweise die linearisierte Form der Gleichung mit den Polarwinkeln i der Messpunkte: 0 1 cos sin cos sin cos 2 si i si i si i i z z z (3.46) Die Koeffizientenmatrix M des Ausgleichskegels nach (3.3) lautet: M (3.47) 1 cos sin cos sin cos cos cos cos sin cos cos cos sin cos cos sin cos sin sin sin cos sin sin cos cos cos cos sin cos cos sin cos cos sin cos sin sin sin cos ² sin sin cos cos cos cos sin cos cos sin cos ² cos 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 si i si i si i i si si i si i si i si i si i si i si i si i i si i si i i si i si i si i i si i si i i si i si i i si i si i i si i i i i i si i i si i si i i i z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z Summiert wird jeweils über alle n Messpunkte. In der Gleichung sind nur die Polarwinkel i und die Schwerpunktabstände z si der Messpunkte sowie der Neigungswinkel enthalten. Damit wird deutlich, dass die Unsicherheit der Ergebnisparameter entscheidend von der Messpunktanordnung abhängt, aber auch vom Neigungswinkel . Im einfachsten Fall wird der Kegel in zwei Radialschnitten mit je vier gleichabständigen Punkten am Umfang gemessen. Für einen Abstand dieser Messebenen von z.B. L M =10 mm beträgt der Betrag des Schwerpunktabstandes für alle Punkte |z si |=5. Der Neigungswinkel des Kegels soll =10° betragen. <?page no="38"?> 30 Die Koeffizientenmatrix M nach (3.47) lautet dann: 8 0 0 0 0 0 0 6 , 212 0 0 0 0 0 0 100 0 0 0 0 0 0 100 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 4 M (3.48) Für die dazu inverse Gewichtsmatrix Q ergibt sich: 125 , 0 0 0 0 0 0 0 0047 , 0 0 0 0 0 0 0 01 , 0 0 0 0 0 0 0 01 , 0 0 0 0 0 0 0 25 , 0 0 0 0 0 0 0 25 , 0 Q (3.49) Daraus erhält man nach (3.7) mit der Standardabweichung s der unabhängigen Restabweichungen der Messpunkte vom Ausgleichskegel die Standardunsicherheiten u X und u Y der beiden Mittelpunktkoordinaten im Schwerpunkt, u X und u Y der projizierten Achswinkel, u des Neigungswinkels sowie u R des Radius bzw. u D des Durchmessers (im Schwerpunkt der Messpunkte): s s u u Y X 5 , 0 25 , 0 (3.50) s s u u Y X 1 , 0 01 , 0 s s u 069 , 0 0047 , 0 s s u u R D 71 , 0 125 , 0 2 2 Die Unsicherheit hängt nur noch von der Messpunktanzahl n und der Standardabweichung s (in mm) der zufälligen und unabhängigen Abweichungen der Messpunkte sowie vom Neigungswinkel ab. Das Bild 3.8 zeigt die Streubereiche des Kegels. In der Mitte der Achse, d.h. im Schwerpunkt der Messpunkte, ist die Unsicherheit am kleinsten, und zum Rand hin wird sie immer größer. Die Standardunsicherheiten der Winkel in (3.50) werden in Bogenmaß berechnet, die projizierten Winkel X und Y aber üblicherweise in dezimalgeteilten Grad. Die Standardunsicherheiten sind dann nach (3.38) in Grad umzurechnen. Dasselbe gilt für die Standardunsicherheit u des Neigungswinkels . Die Standardunsicherheiten der Parameter müssen jeweils für die aktuelle Messpunktanordnung berechnet werden. Für einige regelmäßige Messpunktanordnungen sind in Tabelle 3.10 einfache Näherungen angegeben. <?page no="39"?> 31 Bild 3.8: Streubereiche des Ausgleichskegels mit je vier Messpunkten in zwei Radialschnitten Mit Gleichung (3.50) wird die Unsicherheit u D des Kegeldurchmessers im Schwerpunkt der Messpunkte berechnet. Das ist jedoch nicht immer die gesuchte Messgröße. Vielmehr wird nicht selten der Durchmesser in einer definierten Stelle auf der Achse gesucht, d.h. am Schnittpunkt des Kegels mit einer Ebene. Den Kegeldurchmesser D S an einer beliebigen Stelle im Abstand L S vom Schwerpunkt der Messpunkte erhält man dann mit dem Durchmesser D im Schwerpunkt und dem Neigungswinkel : tan 2 ) ( S S L D D (3.51) Das Vorzeichen richtet sich nach der Orientierung des Kegels. Für die Unsicherheit hat es jedoch keine Bedeutung, solange die Messpunkte regelmäßig über die Oberfläche verteilt sind. Dann sind der Durchmesser D und der Neigungswinkel unabhängig voneinander, und es kann das spezielle Fortpflanzungsgesetz der Messabweichungen (2.8) angewendet werden. Die Standardunsicherheit u DS des Kegeldurchmessers D S an der Stelle L S lautet dann (siehe Bild 3.9): 2 2 2 2 cos 2 u L u u S D DS (3.52) Bild 3.9: Bezeichnungen am Kegel Neigungswinkel D Durchmesser im Schwerpunkt D S Durchmesser an der Stelle L S L M Messlänge (Bereich der Messpunkte) L S Stelle für Durchmesserauswertung Z S Abstand der Kegelspitze <?page no="40"?> 32 Die Standardunsicherheit u des Neigungswinkels aus (3.50) ist eine dimensionslose Größe. Man erhält für zwei Radialschnitte mit je vier gleichabständigen Punkten (n=8) u D =0,71s sowie mit dem Schwerpunktabstand L S =5 und =10° aus Gleichung (3.52) die Standardunsicherheit u DS =s. Alternativ können auch die Faktoren aus Tabelle 3.10 verwendet werden. Für zwei Radialschnitte mit je vier gleichabständigen Punkten (n=8) sind die Faktoren für den Durchmesser im Schwerpunkt b D =0,71 und für den Neigungswinkel b =0,71. Damit ergibt sich aus der folgenden Gleichung (3.53) ebenfalls u DS =s. Die Rechnung ist wesentlich einfacher, da man ohne die Kovarianzmatrix auskommt: 2 2 2 2 s b L L s b u M S D DS (3.53) Die Unsicherheit wird natürlich mit wachsendem Abstand L S vom Schwerpunkt der Messpunkte immer größer. Deshalb sollte der Abstand nicht wesentlicher größer als die halbe Messlänge sein, d.h. der Durchmesser sollte in dem Bereich ausgewertet werden, in dem der Kegel auch angetastet wurde. In einigen Fällen wird die Koordinate der Kegelspitze auf der Achse berechnet, weil z.B. ein entsprechendes Maß in der Zeichnung eingetragen ist. Der Abstand z S der Kegelspitze von der Kegelmitte (im Schwerpunkt der Messpunkte) berechnet sich aus dem Radius r an dieser Stelle und dem Neigungswinkel (siehe Bild 3.9): tan r z S (3.54) Die Standardunsicherheit u ZS dieses Abstandes erhält man durch Anwendung des Fortpflanzungsgesetzes (2.8) auf diese Gleichung. Mit den Standardunsicherheiten u R des Radius r im Schwerpunkt und u des Neigungswinkels ergibt sich: 2 4 2 2 2 cos tan 1 u r u u R ZS (3.55) Mit dem Radius r=10 sowie den Standardunsicherheiten u R und u aus (3.50) erhält man u ZS als Funktion der Standardabweichung s der zufälligen und unabhängigen Messabweichungen mit u ZS =2,12s. Das ist ein Vielfaches der Werte in (3.50). Bei kleineren Winkeln wird der erste Ausdruck in Gleichung (3.55) noch größer, d.h. die Unsicherheit nimmt dann stark zu. Die Koordinate der Kegelspitze sollte in solchen Fällen besser nicht ausgewertet werden. Erst bei Neigungswinkeln von 40° und mehr fällt die Standardunsicherheit u ZS unter den Wert 0,5s. Hier kann die Auswertung der Koordinate der Kegelspitze sinnvoll sein. <?page no="41"?> 33 3.2.8 Bevorzugte Messpunktanordnungen Die Tabelle 3.10 enthält Faktoren b i für die Parameter von Formelementen für einige bevorzugte regelmäßige Messpunktanordnungen. Die Faktoren sind dimensionslose Größen. Erst durch Multiplikation mit der Standardabweichung s der unabhängigen Messabweichungen erhält man die Standardunsicherheiten u(x i ) der Parameter: s b x u i i ) ( (3.56) Tabelle 3.10: Faktoren b i der Formelementeparameter für bevorzugte regelmäßige Anordnungen von n Messpunkten b i Formelementeparameter n 1 Mittelwert und Schwerpunktkoordinate von Gerade, Ebene Radius von Kreis 1) , Kugel 2) , Zylinder 1) , Kegel 1) (im Schwerpunkt der Messpunkte) n 2 Mittelpunktkoordinate von Kreis 1) und Kugel 2) , Schwerpunktkoordinate von Zylinder 1) und Kegel 1) n 4 Durchmesser von Kreis 1) , Kugel 2) , Zylinder 1) und Kegel 1) (im Schwerpunkt der Messpunkte Winkel 3) von Gerade und Ebene (je n/ 2 an Enden, Bild 3.6) n 8 Winkel 3) einer Ebene (kreisförmige Messpunkte, Bild 3.6) Winkel 3) von Zylinder- und Kegelachse (zwei Radialschnitte mit der Punktzahl n/ 2) ) 1 ( ) 1 ( 12 n n n Winkel 3) von Gerade und Ebene (Messpunkte in Reihe oder gleichmäßige Anordnung auf der Ebene, Bild 3.6) ) 1 ( ) 1 ( 24 n n n Winkel 3) von Zylinder- und Kegelachse (gleichmäßige Punktanordnung auf der ganzen Oberfläche) 2 cos 4 n Neigungswinkel 3) des Kegels (zwei Radialschnitte mit der Punktzahl n/ 2) 2 cos ) 1 ( ) 1 ( 12 n n n Neigungswinkel 3) des Kegels (gleichmäßige Punktanordnung auf der ganzen Oberfläche) Anmerkungen: 1) Bei Kreis, Zylinder und Kegel wird jeweils eine gleichmäßige Messpunktanordnung über den ganzen Umfang vorausgesetzt. Wird an einem Teilstück des Umfangs gemessen, ist der Faktor für den Zentriwinkel des Bereichs der Messpunkte aus dem Diagramm im Bild 3.3 abzulesen und mit b i zu multiplizieren. 2) Mit einem Taster kann in der Regel nur eine Halbkugel angetastet werden. Bei einer gleichmäßigen Verteilung der Messpunkte auf dieser Halbkugel ist der Faktor b i für den Radius bzw. den Durchmesser mit 1,5 zu multiplizieren, für die Mittelpunktkoordinate in Schaftrichtung des Tasters mit 1,8 und für die Koordinaten senkrecht dazu mit 1,3. Für Messungen mit kleinen Punktzahlen bis n=6 gelten die Sonderfälle nach Abschnitt 3.2.4. 3) Die Standardunsicherheiten der Winkel werden nach (3.56) in Längeneinheiten berechnet und beziehen sich immer auf die aktuelle Messlänge L M als der Bereich, den die Messpunkte in der entsprechenden Richtung überdecken. Zur Umrechnung in Bogenmaß sind sie in Umkehrung von (3.37) durch L M zu dividieren und dann ggf. nach (3.38) in Grad umzurechnen. <?page no="42"?> 34 3.3 Geometrieabweichungen 3.3.1 Längenmessabweichungen Die Längenmessabweichung eines KMG ist nach DIN EN ISO 10360-1 [41] die „Anzeigeabweichung, mit der der Wert einer Längenmaßverkörperung ... bestimmt werden kann, wenn die Messung an zwei gegenüberliegenden Antastpunkten auf zwei nominell parallelen Flächen ... ausgeführt wird und die Antastpunkte von entgegengesetzten Richtungen angefahren werden“. Der Grenzwert der Längenmessabweichung wird meist in folgender Form angegeben: K L A E MPE , 0 μm (3.57) Man unterscheidet den konstanten Anteil A und den längenabhängigen Anteil L/ K. Der konstante Anteil A begrenzt dabei die Antaststreuungen des Messgerätes bei der Antastung der Endmaße an deren Messflächen mit je einem Punkt sowie die Abweichung des Tasterdurchmessers vom Einmessen. Er enthält auch die kurzperiodischen Abweichungen, die durch die unvollkommene Interpolation beim Abtasten des Maßstabsgitters entstehen. Bei praktischen Messungen werden in der Regel jedoch mehr als ein bzw. zwei Punkte angetastet. Gleichzeitig überlagern sich die Antaststreuungen mit den örtlichen Formabweichungen der Oberfläche, und die Abweichungen werden durch die Ausgleichsrechnung ausgemittelt. Deshalb kann der konstante Anteil A allein keine Aussage über die Messabweichungen unter diesen Bedingungen liefern. Hier sind die im Kapitel 4 beschriebenen Ansätze erforderlich. Der längenabhängige Anteil L/ K kann dagegen als Grenzwert der Geometrieabweichungen des KMG für die aktuelle Messlänge L angesehen werden, die durch die Maßstabs- und Führungsabweichungen sowie durch die Temperatur in dem spezifizierten Bereich verursacht werden. Streng genommen gilt der Grenzwert nur für den Abstand von zwei Punkten wie am Endmaß, er lässt sich aber auch auf Bohrungsabstände, Durchmesser und Abstände ebener Flächen übertragen. Die Messung einer Positionsabweichung in einer vorgegebenen Richtung entspricht einer Abstandsmessung, wobei das theoretische Maß als Nennmaß eingesetzt wird. Ist die Positionstoleranz mit dem Durchmesserzeichen vor dem Zahlenwert der Toleranz in die Zeichnung eingetragen, wird die Abweichung in beliebiger Richtung ermittelt. Dann sind die Unsicherheiten in den Koordinatenrichtungen einzeln zu berechnen und der größere Wert z.B. zur Bewertung der Messprozesseignung heranzuziehen. Das Bild 3.11 zeigt ein Beispiel für die nach DIN EN ISO 10360-2 [42] ermittelten Längenmessabweichungen mit ihren Grenzwerten. Die Abweichungen liegen meist in der Mitte des durch die beiden Geraden begrenzten Bereiches und nutzen ihn meist nur etwa bis zur Hälfte aus. Auf keinen Fall sind sie gleichmäßig über den ganzen Bereich verteilt, sondern eher normalverteilt. <?page no="43"?> 35 Bild 3.11: Beispiel für Längenmessabweichungen E eines KMG mit dem Grenzwert 100 5 , 0 L E MPE μm Die Längenmessabweichung wird in der Regel mit Parallelendmaßen geprüft, andere Möglichkeiten sind Stufenendmaße, Kugelstäbe und Kugelplatten. Bei der Kugelplattenmessung lassen sich aus den Kugelabständen nicht nur die Längenmessabweichungen, sondern z.B. auch Geradheits- und Rechtwinkligkeitsabweichungen berechnen. Für einen gegebenen Grenzwert werden damit auch diese Abweichungen begrenzt und sind auf Längenmessungen rückführbar. Dieser Zusammenhang wird im folgenden benutzt, um Fehlergrenzen für die Geometrieabweichungen des KMG bei Form-, Lage- und Maßabweichungen abzuleiten [12]. Dabei wird natürlich vorausgesetzt, dass das KMG regelmäßig mit den in den Normen bzw. Richtlinien festgelegten Verfahren überwacht wird, und dass die festgelegten Grenzwerte jederzeit eingehalten sind. Der längenabhängige Anteil L/ K begrenzt zum Teil auch die temperaturbedingten Längenmessabweichungen. Hier muss allerdings die Angabe des Herstellers beachtet werden. In den meisten Fällen wird zwischen einem allgemeinen (relativ breiten) Temperaturbereich, in dem das KMG betrieben werden kann, und einem speziellen (relativ engen) Temperaturbereich unterschieden, in dem die Genauigkeit mit dem Grenzwert E 0, MPE der Längenmessabweichung spezifiziert ist. Aber selbst in diesem engen Bereich wird vorausgesetzt, dass die Temperaturen des Werkstücks und der Maßstäbe des KMG gemessen und die temperaturbedingten Längenmessabweichungen rechnerisch korrigiert werden. Ohne diese Korrektur lässt sich der vom Hersteller angegebene Grenzwert E 0, MPE der Längenmessabweichungen in der Regel nicht einhalten. Ein Beispiel enthält der Abschnitt 7.3.3 Abstand. Besonders bei sehr genauen KMG liegen die Unsicherheitsbeiträge der Temperaturen der Maßstäbe und des Werkstücks selbst unter nahezu idealen Bedingungen mit Grenzabweichungen von 0,5 Grad häufig schon in der Größenordnung des längenabhängigen Anteils L/ K oder sogar darüber. Dann ist der Temperatureinfluss nicht im Grenzwert E 0, MPE enthalten und muss zusätzlich berücksichtigt werden. <?page no="44"?> 36 3.3.2 Richtungsabweichungen Rechtwinkligkeit Eine Rechtwinkligkeitsabweichung kann näherungsweise durch eine Längenmessung in Diagonalenrichtung unter dem Winkel =45° bestimmt werden (Bild 3.12). Im ungünstigsten Fall liegt die Ursache der Längenmessabweichung L allein in der Rechtwinkligkeitsabweichung L R . Wegen L*cos =l und cos 2 =0,5 bei =45° ist diese doppelt so groß wie die Längenmessabweichung für die Länge l des Winkelschenkels: K l L L R 2 cos (3.58) Bild 3.12: Längenmessabweichung L und Rechtwinkligkeitsabweichung L R Neigung und Winkel Die Neigungsabweichung L N eines beliebigen Winkels wird durch die Rechtwinkligkeitsabweichung L R und den Winkel selbst bestimmt (Bild 3.13). Die Neigungsabweichung L N beträgt: sin R N L L (3.59) Bild 3.13: Rechtwinkligkeitsabweichung L R und Neigungsabweichung L N eines beliebigen Winkels <?page no="45"?> 37 Der Maximalwert ist L Nmax = L R für =90°. Für kleine Winkel ist die Neigungsabweichung L N vernachlässigbar. Allgemein gilt mit (3.58) und der Länge h der Seite, die dem Winkel gegenüberliegt (Bild 3.13): sin 2 K h L N (3.60) Mit der Beziehung h=Lsin aus Bild 3.13 erhält man: 2 sin 2 K L L N (3.61) Mittels Division durch die Schenkellänge L erhält man die Fehlergrenze des Winkels in Bogenmaß. Dieser Wert kann dann in beliebige andere Winkeleinheiten umgerechnet werden. Dabei sind jedoch die unterschiedlichen Dimensionen der Längen (mm) und der Fehlergrenze L N (μm) zu beachten: 2 sin 2 K L L N (3.62) Parallelität Bei parallelen Geraden wird die Achsneigung in der gemeinsamen Ebene der Geraden gemessen (Bild 3.14 links). Dasselbe gilt für die Rotationsabweichungen, die in Verfahrrichtung auftreten. Die Abweichung lässt sich näherungsweise durch eine Längenmessung in Diagonalenrichtung unter dem Winkel =45° bestimmen (Bild 3.14 rechts). Bild 3.14: Parallelitätsabweichung (Achsneigung) und Rotationsabweichung (Nicken und Gieren); links räumliche Situation, rechts Längenmessabweichung L und Lageabweichung L P Im ungünstigsten Fall liegt die Ursache der Längenmessabweichung L allein in der Parallelitäts- oder Rotationsabweichung. Der längenabhängige Anteil des Grenzwertes der Längenmessabweichung begrenzt damit auch die Parallelitätsbzw. die Rotationsabweichung L P . Wegen L*cos =l und cos 2 =0,5 bei =45° ist diese doppelt so groß wie die Längenmessabweichung für die Länge l des Winkelschenkels: K l L L P 2 cos (3.63) Für l ist der kleinere Wert aus dem Abstand der beiden Formelemente bzw. der Länge des tolerierten Elementes einzusetzen, da bei kleinen Abmessungen der Anteil der Geometrieabweichungen gegen Null gehen muss. <?page no="46"?> 38 3.3.3 Formabweichungen Geradheit Auch die Geradheitsabweichung lässt sich näherungsweise durch eine Längenmessung in Diagonalenrichtung unter dem Winkel =45° ermitteln (Bild 3.15). Im ungünstigsten Fall liegt die Ursache der Längenmessabweichung L allein in der Geradheitsabweichung F G . Diese ist wegen L*cos =l/ 2 und cos 2 =0,5 bei =45° gerade so groß wie die Längenmessabweichung für die Länge l der Geraden: K l L F G cos (3.64) Bild 3.15: Längenmessabweichung L und Geradheitsabweichung F G Ebenheit Auf einer ebenen Fläche überlagern sich die jeweils dazu senkrechten Geradheits- und Rotationsabweichungen (Bild 3.16). Es ist jedoch unwahrscheinlich, dass in irgendeinem Punkt die Extremwerte aller Abweichungen zusammentreffen. Einen Schätzwert der Ebenheitsabweichung F E erhält man durch quadratische Addition der Anteile L P , F GX und F GY . Für eine rechteckige Ebene mit der kleineren Seitenlänge l und der größeren Seitenlänge L ergibt sich: 2 2 2 2 2 5 1 L l K F F L F GY GX P E (3.65) Bild 3.16: Überlagerung von Geradheits- und Rotationsabweichungen an einer Ebene <?page no="47"?> 39 Rundheit Beim Kreis überlagern sich Längenmessabweichungen und Geradheitsabweichungen (jeweils in zwei Koordinatenrichtungen) sowie die Rechtwinkligkeitsabweichung (Bild 3.17). Eine Geradheitsabweichung verursacht dabei am Ausgleichskreis eine etwa halb so große Komponente der Rundheitsabweichung ( F G / 2). Es ist jedoch unwahrscheinlich, dass in irgendeinem Punkt die Extremwerte aller Abweichungen zusammentreffen. Einen Schätzwert der Rundheitsabweichung F R erhält man durch quadratische Addition der Anteile L X , L Y , F GX / 2, F GY / 2 und L R (D=Durchmesser): 4 26 2 2 2 2 2 2 2 K D L F F L L F R GY GX Y X R (3.66) Bild 3.17: Überlagerung von Längenmess-, Geradheits- und Rechtwinkligkeitsabweichungen am Kreis Zylinderform Beim Zylinder überlagert sich die Rundheit im Querschnitt mit der Parallelität (Achsneigung) und Geradheit in beiden Längsschnitten. Es ist jedoch unwahrscheinlich, dass in irgendeinem Punkt die Extremwerte aller Abweichungen zusammentreffen. Einen Schätzwert der Zylinderformabweichung F Z erhält man durch quadratische Addition der Anteile F R , L PX , L PY , F GX und F GY (D=Durchmesser, L=Länge): 2 2 2 2 2 2 2 10 4 26 1 L D K F F L L F F GY GX PY PX R Z (3.67) <?page no="48"?> 40 3.3.4 Vereinfachte Grenzwerte Die beschriebene Vorgehensweise lässt sich auch auf andere Prüfmerkmale zur Ableitung der Zusammenhänge mit der Längenmessabweichung anwenden. Die Tabelle 3.18 enthält eine Übersicht. In jedem Fall handelt es sich um Fehlergrenzen, innerhalb derer normalverteilte Abweichungen angenommen werden können. Dabei sind die unterschiedlichen Dimensionen der Längen (mm) und der Fehlergrenze L N (μm) zu beachten. Wie oben gezeigt, wirken sich praktisch alle Geometrieabweichungen des KMG auf die Längenmessabweichung aus. Anhand von einzelnen Längenmessungen lässt sich deshalb nicht eindeutig unterscheiden, ob die Längenmessabweichung ihre Ursache z.B. in einer Maßstabs-, Rotations-, Rechtwinkligkeits- oder Geradheitsabweichung hat. Da aber für alle diese Abweichungen mit den vollen Beträgen gerechnet wird, ist zu erwarten, dass die Geometrieabweichung eher zu groß als zu klein abgeschätzt wird. Die Schätzung liegt damit auf der sicheren Seite. Dabei wird natürlich vorausgesetzt, dass das KMG regelmäßig überwacht wird und seine Betriebsbedingungen jederzeit eingehalten sind. Allgemein lassen sich folgende Faustregeln für den Zusammenhang zwischen dem Grenzwert E 0, MPE =(A+L/ K) der Längenmessabweichung und den Fehlergrenzen der Geometrieabweichungen von Koordinatenmessgeräten formulieren [12]: Eine Maßabweichung ist nicht größer als der längenabhängige Anteil: K L M (3.68) Eine Lageabweichung ist nicht größer als der zweifache längenabhängige Anteil: K L L 2 (3.69) Eine Formabweichung ist nicht größer als das Vierfache des längenabhängigen Anteils: K L F 4 (3.70) Für L wird jeweils die größte Seitenlänge oder Raumdiagonale des Formelements eingesetzt, bei Lageabweichungen die Raumdiagonale des Volumens, das sowohl den Bezug als auch das tolerierte Element komplett einschließt. Maximal ist das die Raumdiagonale des Messobjekts. Bei allen Lageabweichungen sollte das Bezugselement das längere bzw. größere Element sein. Wird das kürzere Formelement bzw. der kürzere Winkelschenkel als Bezug gewählt, ist der Sensitivitätskoeffizient c i für die Geometrieabweichungen des KMG als Verhältnis des längeren Elements bzw. Schenkels zu dem kürzeren zu berechnen; c i ist dann größer als 1, und die Unsicherheit wird insgesamt größer. <?page no="49"?> 41 Tabelle 3.18: Fehlergrenzen L, und F der Geometrieabweichungen von KMG für verschiedene Prüfmerkmale mit dem Faktor K des Grenzwertes der Längenmessabweichung E 0, MPE =(A+L/ K) μm; L, l und D in mm Prüfmerkmal Fehlergrenze (μm) Bemerkung Länge, Abstand, Durchmesser sowie Position zwischen Punkten K L L L Nennmaß des Prüfmerkmals, Durchmesser bzw. theoretisches Maß der Positionstoleranz Koaxialität (Konzentrizität) und Symmetrie K D L K 2 D Größeres Nennmaß aus den Durchmessern bzw. Breiten Parallelität (Achsneigung und Achsschränkung) sowie Rotation (Rollen, Nicken, Gieren) K L L P 2 L Kleineres Nennmaß aus der Länge des gemessenen Elements bzw. dem dazu senkrechten Abstand der beiden Formelemente (das längere Element ist Bezug 1) ) Rechtwinkligkeit K L L R 2 L Nennmaß der Länge des kürzeren Winkelschenkels (das längere Element ist Bezug 1) ) Neigung 2 sin 2 K L L N L Nennmaß der Länge des tolerierten Elements (der längere Winkelschenkel ist Bezug 1) ) Nennmaß des Winkels Winkelabweichung (in Bogenmaß) 2 sin 2 K Nennmaß des Winkels Geradheit K L F G L Nennmaß der Länge der Geraden Ebenheit 2 2 5 1 L l K F E l Nennmaß der kürzeren Seite der Ebene L Nennmaß der längeren Seite der Ebene Rundheit 4 26 K D F R D Nennmaß des Durchmessers Zylinderform 2 2 10 4 26 1 L D K F Z D Nennmaß des Durchmessers L Nennmaß der Länge 1) Wird das kürzere Formelement bzw. der kürzere Winkelschenkel als Bezug gewählt, ist der Sensitivitätskoeffizient c i für die Geometrieabweichungen des KMG als Verhältnis des längeren Elementes bzw. Schenkels zu dem kürzeren zu berechnen; c i ist dann größer als 1, und die Unsicherheit wird insgesamt größer. <?page no="50"?> 42 3.3.5 Beispiel Die oben abgeleiteten Beziehungen für die Grenzwerte der Geometrieabweichungen können im Einzelfall überprüft werden [14]. Das Bild 3.19 zeigt die Abweichungen eines KMG, die durch Mehrfachmessungen mit einem Lasertracker ermittelt wurden. Bild 3.19: Geometrieabweichungen eines KMG mit Längenmessabweichung L, Rechtwinkligkeitsabweichung L R , Parallelitätsabweichung L P und Geradheitsabweichung F G , jeweils mit der Messlänge L [14] Für das KMG war keine Genauigkeitsspezifikation bekannt. Deshalb muss zunächst der Faktor K für den längenabhängigen Anteil in Gleichung (3.57) so ermittelt werden, dass keine Längenmessabweichung größer als der Grenzwert ist. Die größte Längenmessabweichung wird im Bild 3.19 entlang der oberen Kante auf der Messlänge L=5000 mm mit L=150 μm gemessen. Bei der schrägen Messlinie L=3425 mm ist der Wert genauso groß, das Verhältnis der Messlänge zur Abweichung ist also noch kleiner. Der Faktor K darf maximal den Wert K=3425/ 150= 22,9 haben, damit der Grenzwert in jedem Fall eingehalten wird. Die Geradheitsabweichung beträgt F G =88 μm und ist deutlich kleiner als die Längenmessabweichung auf 5000 mm Länge. Die Rechtwinkligkeitsabweichung ist mit L R =88 μm für die Schenkellänge L=2000 mm im Verhältnis zwar deutlich größer, mit dem Faktor K=22,9 beträgt der Grenzwert nach Gleichung (3.58) aber rund 175 μm. Die Parallelitätsabweichung wird für die Schenkellänge L=2000 mm sogar mit L P =150 μm gemessen, aber auch hier beträgt der Grenzwert nach Gleichung (3.63) rund 175 μm. Selbst in diesem Extremfall ist die gemessene Abweichung also immer noch kleiner als der Grenzwert. Im Bild 3.19 treten die größten Messabweichungen bei den diagonalen Messungen auf der rechten Seite auf. Entsprechende Messungen auf der linken Seite würden viel kleinere Abweichungen ergeben. Deshalb sollten bei den turnusmäßigen Überwachungsprüfungen immer wieder andere Messlinien gewählt werden. Weitere Untersuchungen zur Abschätzung der Geometrieabweichungen im Vergleich mit dem Virtuellen KMG sind in [17] beschrieben, siehe Abschnitt 5.3. <?page no="51"?> 43 4 Eingangsgrößen bei Koordinatenmessungen 4.1 Allgemeines Die erste und wichtigste Voraussetzung zur Ermittlung der Messunsicherheit ist die reproduzierbare Messung. In anderen Bereichen der Technik werden die dazu nötigen Vorgehensweisen als „Gute messtechnische Praxis“ bezeichnet. Wegen der vielfältigen Möglichkeiten, beim Messen Fehler zu machen, soll hier auf Einzelheiten verzichtet und nur auf die Literatur verwiesen werden, z.B. [28] und [29]. Die wesentlichen Eingangsgrößen auf die Unsicherheit von Koordinatenmessungen werden z.B. in VDI/ VDE 2617 Blatt 7 [50] genannt. Sie lassen sich unter den folgenden Stichworten zusammenfassen und werden in den angegebenen Abschnitten erläutert: Werkstückoberfläche (4.2) Einmessen des Tasters (4.3) Geometrieabweichungen des KMG (4.4) Temperatur (4.5) Definition der Messgröße (4.6) Auswertung von Lageabweichungen (4.7) Bezugssystem (4.8) Aufspannung (4.9) Ob bestimmte Eingangsgrößen für eine definierte Messgröße relevant sind oder nicht, kann zunächst einmal aus dem Sachzusammenhang beurteilt werden. So spielt z.B. das Einmessen des Tasterdurchmessers für die Messung eines Durchmessers am Messobjekt eine Rolle, der Tastermittelpunkt dagegen nicht. Ebenso sind die Unsicherheiten der Koordinaten des Tastermittelpunktes vernachlässigbar, wenn der Abstand zwischen zwei Bohrungen mit demselben Taster gemessen wird. Wird mit verschiedenen Tastern gemessen, sind jedoch die Abweichungen beider Tastermittelpunkte im mathematischen Modell zu berücksichtigen. Nach Vorliegen der vollständig dokumentierten Unsicherheitsberechnung können die wichtigsten Eingangsgrößen anhand ihrer Unsicherheitsbeiträge identifiziert werden, ebenso diejenigen, die für die betrachtete Messaufgabe und die Messbedingungen unerheblich sind. Daraus lassen sich Erkenntnisse sowohl für die Optimierung der Messstrategie als auch für zukünftige Messunsicherheitsberechnungen ableiten. Die oben genannten wesentlichen Eingangsgrößen sind in jedem Fall zu berücksichtigen, jedoch nicht immer ausreichend. So ist bei sehr genauen Messungen z.B. auch die zeitliche Drift der Koordinaten zu berücksichtigen, und bei besonders weichen oder harten Materialien auch die unterschiedlichen Abplattungen am Kugelnormal und am Werkstück. <?page no="52"?> 44 4.2 Werkstückoberfläche 4.2.1 Ermittlungsmethode B Die Unsicherheit der berechneten Formelementeparameter hängt wesentlich von der Anzahl und Anordnung der Messpunkte auf der Oberfläche ab. Dieser Zusammenhang wurde bereits im Kapitel 3 erläutert. Die Standardunsicherheiten u(x i ) erhält man analog zu Gleichung (2.7) entsprechend der Methode B des GUM allgemein nach der Beziehung: i i b s x u ) ( (4.1) Dabei ist s die Standardabweichung der zufälligen und unabhängigen Abweichungen der Messpunkte und b i der Faktor der Standardunsicherheiten des betrachteten Formelementeparameters für die Messpunktanzahl. Die Tabelle 3.10 enthält solche Faktoren für bestimmte, bevorzugte Messpunktanordnungen. Beim Antasten des Werkstücks überlagern sich die Antastabweichungen des KMG mit den örtlichen Formabweichungen der Oberfläche. Beide Abweichungen beeinflussen das Messergebnis. Je nach Lage der Messpunkte können die Messwerte stark streuen, wenn die Formabweichungen der Oberfläche groß sind und an verschiedenen Stellen der Oberfläche gemessen wird, siehe Bild 4.1. Bild 4.1: Streuung der Lage einer Geraden durch zwei Punkte bei Wiederholungsmessungen an denselben (oben) und an verschiedenen Stellen der Oberfläche (unten) Die Streuung ist um so größer, je kleiner die Messpunktanzahl ist. Wird das Werkstück dagegen mit sehr vielen Punkten gemessen, wird der Verlauf der Oberfläche bereits recht gut erfasst, und die Antastung an anderen Stellen vergrößert die Streuung der Messwerte nicht. Dasselbe gilt, wenn die örtlichen Formabweichungen der Oberfläche vernachlässigbar klein gegenüber den Antastabweichungen des KMG sind. Zur Berechnung der Standardunsicherheiten u(x i ) der Formelementeparameter nach Gleichung (4.1) wird die Standardabweichung s der zufälligen und unabhängigen Abweichungen der Messpunkte benötigt. Eine erste Abschätzung nach oben ist die Standardabweichung s der Messpunkte vom Ausgleichselement, wie sie üblicherweise von jeder KMG-Software ausgegeben wird. Diese berechnet sich aus den Abweichungen i der einzelnen Messpunkte, die wiederum die örtlichen Formabweihungen der Werkstückoberfläche und die Antaststreuungen des KMG enthalten: n i i p n s 1 2 1 (4.2) <?page no="53"?> 45 Dabei ist p die Anzahl der freien Parameter, d.h. die Anzahl der Ergebnisparameter des Formelements. Beim Kreis z.B. sind es drei (x, y und r), siehe Abschnitt 3.2.3. Die Abschätzung der Standardabweichung s aus einer einzigen Messung kann besonders bei kleinen Messpunktzahlen recht unsicher sein. Deshalb ist es sinnvoll, eine mittlere Standardabweichung zu bestimmen, entweder durch die Messung mehrerer Werkstücke oder durch die mehrfache Messung desselben Werkstücks an verschiedenen Stellen der Oberfläche. Dabei sollten wenigstens 50 Freiheitsgrade vorliegen, z.B. eine einmalige Messung mit deutlich mehr als 50 Punkten oder eine Serie von m=12 Werkstücken, wenn Kreise mit n=8 Punkten gemessen werden. Die Anzahl der Freiheitsgrade beträgt dann bei p=3 freien Parametern am Ausgleichskreis f = m*(n-p) = 12*(8-3) = 60. Ist die Bedingung erfüllt, kann die Berechnung der effektiven Freiheitsgrade eff nach Gleichung (2.13) entfallen, und in Gleichung (2.12) wird mit dem Erweiterungsfaktor k=2 gerechnet. Eine untere Grenze s min für die Standardabweichung am Ausgleichselement erhält man durch die Messung von verschiedenen kleinen Normalen mit vernachlässigbar kleinen Formabweichungen der Oberfläche. Hier wirkt sich praktisch nur die Antaststreuung des KMG (und ggf. die Tasterbiegung) aus. Erfahrungsgemäß liegt die Standardabweichung etwa bei einem Drittel des konstanten Anteils A aus dem vom Hersteller spezifizierten Grenzwert der Längenmessabweichung E 0, MPE =(A+L/ K): 3 min A s (4.3) Dieser Erfahrungswert gilt weitgehend unabhängig vom Typ und Hersteller des KMG, allerdings für relativ kurze und stabile Taster. Bei längeren und weniger stabilen Tastern kann die Streuung deutlich größer sein. Praktisch sind die Formabweichungen der Oberfläche meist nicht vernachlässigbar, und es wird aus wirtschaftlichen Gründen mit einer begrenzten Punktzahl gemessen. Dann ist die Standardabweichung s der zufälligen und unabhängigen Abweichungen größer als s min , und die Messunsicherheit wird mit der Standardabweichung am Ausgleichselement nach oben abgeschätzt. Eine realistische Messunsicherheit erhält man nach der Ermittlungsmethode A des GUM. 4.2.2 Ermittlungsmethode A Ein zweiter Weg zur Ermittlung der Unsicherheit ist die Methode A des GUM. Dazu werden die Formelemente wiederholt an verschiedenen Stellen der Oberfläche gemessen. Die Messstrategie, d.h. die Anzahl und die Charakteristik der Anordnung der Messpunkte, bleibt dabei gleich. Das Punktmuster wird lediglich jeweils seitlich so versetzt, dass alle Stellen der Oberfläche die gleiche Chance haben, gemessen zu werden. Die Standardunsicherheit u(x i ) der Eingangsgröße erhält man dann nach Gleichung (2.2) bzw. (2.4) direkt als Standardabweichung s ihrer Messwerte. Dieses Vorgehen liefert gegenüber der Methode B mit Gleichung (4.1) und der Standardabweichung am Ausgleichselement häufig realistischere Werte für die Messunsicherheit. Es ist aber deutlich aufwendiger und kommt deshalb nur in Ausnahmefällen in Betracht. Ein Beispiel wird im Abschnitt 7.5 diskutiert. <?page no="54"?> 46 4.3 Taster 4.3.1 Einmessen Vor dem Messen des Werkstücks wird in der Regel der Taster an einem Kugelnormal eingemessen. Dabei werden aus dem bekannten Durchmesser des Kugelnormals der Tasterdurchmesser und die Mittelpunktkoordinaten bestimmt. Auf Grund der Antastabweichungen des KMG und der Tasterbiegung sind die so ermittelten Werte auch unsicher. Da die Tasterparameter mittels Ausgleichsrechnung aus den Messungen am Kugelnormal berechnet werden, gelten die Ausführungen des Abschnitts 4.2. Die Standardunsicherheiten der Tasterparameter für einen kugelförmigen Taster ergeben sich allgemein nach Tabelle 3.10 für die Antastung an der zugänglichen Halbkugel mit gleichmäßiger Punktverteilung: s n u DT 4 5 , 1 (4.4) s n u MT 2 3 , 1 s n u ZT 2 8 , 1 Der Tasterdurchmesser hat den Index DT, die Mittelpunktkoordinate in Schaftrichtung des Tasters den Index ZT und die Koordinate senkrecht dazu den Index MT. Häufig werden die Taster mit fünf bzw. sechs Messpunkten eingemessen, wobei ein bzw. zwei Punkte auf dem Pol des Kugelnormals in Schaftrichtung des Tasters und vier weitere jeweils um 90° versetzt an dessen Äquator angetastet werden. Die Standardunsicherheiten werden dann nach Abschnitt 3.2.4 berechnet: s u DT (4.5) s u MT 71 , 0 s u ZT 12 , 1 für n=5 bzw. s u ZT 87 , 0 für n=6 Die Standardabweichung s der zufälligen und unabhängigen Abweichungen der Messpunkte in Gleichung (4.4) bzw. (4.5) kann wieder nach Gleichung (4.3) als untere Grenze s min aus dem konstanten Anteil A des Grenzwertes E 0, MPE der Längenmessabweichung abgeschätzt werden. Ergibt sich beim Einmessen - besonders bei langen und dünnen Tastern - eine größere Standardabweichung, dann ist mit dieser zu rechnen. Ein zweiter möglicher Weg ist auch hier die Methode A mit Wiederholungsmessungen (siehe Abschnitt 4.2.2), besonders bei Serienmessungen, wo immer wieder dieselben Taster bzw. Tasterkombinationen eingemessen werden. <?page no="55"?> 47 4.3.2 Rotationsabweichungen Beim Messen des Werkstücks können sich die eingemessenen Tasterparameter gegenüber dem Einmessen verändern. Das betrifft weniger den Durchmesser, wohl aber die Mittelpunktkoordinaten. Auf Grund von Rotationsabweichungen der Führungen kann der Weg des Tastermittelpunktes von der am Maßstab angezeigten Länge abweichen, siehe Bild 4.2. Bild 4.2: Abweichung erster Ordnung X T durch die Rotationsabweichungen des KMG beim Verfahren des Messkopfes um die Länge L Die dadurch verursachte Abweichung erster Ordnung X T ist proportional zur Länge L T des Tasters und zum Kippwinkel (in Bogenmaß): T T L X (4.6) Diese Abweichung ist bereits im Grenzwert E 0, MPE der Längenmessabweichung berücksichtigt. Der Hersteller gibt in der Regel eine maximale Tasterlänge an, für die dieser Grenzwert gilt. Bei längeren, starren Tastern, die wie im Bild 4.2 in Richtung der Pinole eingespannt sind, wird die Abweichung aber nicht größer - solange sich die Tastkugel noch im Messvolumen des KMG befindet -, da dann die Pinole nicht so weit ausgefahren wird. Auch hier gilt also der Grenzwert E 0, MPE . Häufig wird aber nicht nur mit einem, sondern mit mehreren Tastern gemessen. Diese können zu einer festen Tasterkombination zusammengebaut sein, nacheinander mit der Tasterwechseleinrichtung aus einer Ablage entnommen, durch verschiedene Stellungen eines Dreh-Schwenk-Gelenks oder auch durch mehrere Sensoren an derselben oder an einer anderen Pinole realisiert werden. In allen diesen Fällen können sich beim Verfahren des Messkopfes die Lagen der Tastermittelpunkte gegenüber dem Einmessen verändern. Besonders kritisch sind hier lange Taster, die seitlich von der Pinole auskragend angebracht werden, siehe Bild 4.3. Das Rollen der Pinole um den Winkel führt wie im Bild 4.2 zu einer Abweichung erster Ordnung, die hier proportional zur Gesamtlänge der beiden Taster ist. Diese Abweichung sollte für beliebige Orte im Messvolumen des KMG abgeschätzt werden können. Dazu lassen sich die vom KMG-Hersteller spezifizierten Grenzwerte der Mehrfachtaster-Ortsabweichung P LTj, MPE des Messkopfsystems nach DIN EN ISO 10360-5 [43] verwenden. Der Index j steht dabei für die Art des Messkopfsystems, z.B. festes Mehrfach-Tastersystem (N), festes Mehrfach-Messkopfsystem (M), Dreh- Schwenk-Messkopfsystem mit empirischem (Anwendung in bestimmten Stellungen, E) oder mit abgeleitetem Einmessen (Anwendung in beliebigen Stellungen, I). Die Lageabweichungen werden nach dem Verfahren in DIN EN ISO 10360-5 geprüft: Ein Kugelnormal wird mit fünf sternförmig angeordneten Tastern bzw. in fünf entsprechenden Stellungen des Dreh-Schwenk-Gelenkes gemessen. Die Kugel sollte dabei möglichst weit von dem Ort im Messvolumen des KMG entfernt <?page no="56"?> 48 aufgestellt werden, an dem die Taster eingemessen wurden. Das Kugelnormal wird mit jedem Taster mit 25 Punkten angetastet, die gleichmäßig über die jeweils zugängliche Halbkugel verteilt sind. Die Lageabweichung ist dann die maximale Koordinatendifferenz zwischen den berechneten fünf Kugelmittelpunkten, d.h. die maximale Spannweite für die drei Koordinaten X, Y und Z. Bild 4.3: Abweichung erster Ordnung X T durch Rollen der Pinole um ihre Achse beim Verfahren um die Länge L in Z-Richtung; a) XZ-, b) XY-, c) YZ-Ebene Um die besonders kritischen Rollabweichungen der Pinole sichtbar zu machen, sollte das Kugelnormal in mehreren Höhen entlang der Pinolenachse gemessen werden. Dazu reichen in der Regel zwei lange, seitlich auskragende Taster wie im Bild 4.3 aus. Der spezifizierte Grenzwert P LTj, MPE der Mehrfachtaster-Ortsabweichung des Messkopfsystems darf an keiner Stelle des Messvolumens überschritten werden. Dann kann dieser Grenzwert verwendet werden, um den Unsicherheitsbeitrag für die Messung von Prüfmerkmalen mit zwei verschiedenen Tastern bzw. Stellungen des Dreh-Schwenk-Gelenkes abzuschätzen. Anhand der aufgezeichneten Abweichungen lässt sich in der Regel wieder die Annahme der Normalverteilung begründen. Der Grenzwert gilt zunächst nur für eine spezifizierte Tasterlänge (z.B. L T =100 mm) und muss deshalb gegebenenfalls auf andere Längen umgerechnet werden. In der Regel wird hier eine längenproportionale Umrechnung ausreichen: MPE LTj T T T i P L L L a , 2 1 2 (4.7) Wie das Bild 4.3 zeigt, ist die Summe der beiden Tasterlängen L T1 und L T2 kleiner als der Abstand der Tastermittelpunkte. Da aber der Grenzwert E 0, MPE der Längenmessabweichung nach (3.57) auch für leicht seitlich auskragende Taster gilt, lässt sich der Abstand der beiden Anlageflächen am Messkopf in der Regel vernachlässigen. Das Rollen der Pinole um ihre Achse wirkt sich auch auf die Längenmessung mit nur einem langen, seitlich auskragenden Taster aus, wenn die Messlinie schräg im Raum liegt. Der entsprechende Unsicherheitsbeitrag wird zweckmäßig wieder mit dem <?page no="57"?> 49 spezifizierten Grenzwert P LTj, MPE der Mehrfachtaster-Ortsabweichung des Messkopfsystems abgeschätzt. Hier ist zu berücksichtigen, dass nur mit einem Taster gemessen wird, d.h. der Grenzwert wird zunächst in der Regel halbiert und dann noch längenproportional auf die aktuelle Tasterlänge umgerechnet. Das Rollen der Pinole wirkt sich nicht auf Längenmessungen aus, die parallel zu den Koordinatenachsen ausgeführt werden: Liegt die Messlinie senkrecht zur Pinolenachse, wird die Pinole nicht verfahren, und es tritt deshalb keine Abweichung auf. Ist die Messlinie parallel zur Pinolenachse, liegt die Abweichung senkrecht dazu und ist als Abweichung 2. Ordnung vernachlässigbar. 4.4 Geometrieabweichungen Der Grenzwert E 0, MPE der Längenmessabweichung begrenzt sowohl die Antastabweichungen als auch die Geometrieabweichungen des KMG. Während der konstante Anteil A zur Abschätzung der Antastabweichungen des KMG verwendet wird, lässt sich mit dem längenabhängigen Anteil L/ K der Einfluss der Geometrieabweichungen abschätzen. Der Zusammenhang wird im Kapitel 3 ausführlich erläutert, und die Tabelle 3.18 enthält eine Übersicht über die häufigsten Prüfmerkmale. In jedem Fall handelt es sich um Fehlergrenzen, innerhalb derer normalverteilte Abweichungen angenommen werden können, siehe Abschnitt 3.3.1. Praktisch wirken sich alle Geometrieabweichungen des KMG auf die Längenmessabweichung aus. Anhand von einzelnen Längenmessungen lässt sich deshalb nicht eindeutig unterscheiden, ob die Längenmessabweichung ihre Ursache z.B. in einer Maßstabs-, Rotations-, Rechtwinkligkeits- oder Geradheitsabweichung hat. Da aber für alle diese Abweichungen mit den vollen Beträgen gerechnet wird, ist zu erwarten, dass die Geometrieabweichungen mit Tabelle 3.18 eher zu groß als zu klein abgeschätzt werden. Die Schätzung liegt damit auf der sicheren Seite. Dabei wird natürlich vorausgesetzt, dass das KMG regelmäßig überwacht wird und der Grenzwert E 0, MPE der Längenmessabweichung jederzeit eingehalten ist. Wie bereits im Abschnitt 3.3.1 angesprochen, begrenzt der längenabhängige Anteil L/ K zum Teil auch die temperaturbedingten Längenmessabweichungen. Hier muss allerdings die Angabe des Herstellers beachtet werden. In den meisten Fällen wird zwischen einem allgemeinen (relativ breiten) Temperaturbereich, in dem das KMG betrieben werden kann, und einem speziellen (relativ engen) Temperaturbereich unterschieden, in dem die Genauigkeit mit dem Grenzwert E 0, MPE der Längenmessabweichung spezifiziert ist. Selbst in diesem engen Bereich wird noch vorausgesetzt, dass die Temperaturen des Werkstücks und der Maßstäbe des KMG gemessen und die temperaturbedingten Längenmessabweichungen rechnerisch korrigiert werden. Ohne diese Korrektur lassen sich die vom Hersteller angegebenen Grenzwerte E 0, MPE der Längenmessabweichungen in der Regel nicht einhalten. Ein Beispiel wird im Abschnitt 7.3.3 Abstand diskutiert. Besonders bei sehr genauen KMG liegen die Unsicherheitsbeiträge der Temperaturen der Maßstäbe und des Werkstücks selbst unter nahezu idealen Bedingungen mit Grenzabweichungen von 0,5 Grad häufig schon in der Größenordnung des längenabhängigen Anteils L/ K oder sogar darüber. Dann ist der Temperatureinfluss nicht im Grenzwert E 0, MPE enthalten und muss als zusätzliche Eingangsgröße berücksichtigt werden. <?page no="58"?> 50 4.5 Temperatur Wie bereits im vorangegangenen Abschnitt bemerkt, ist der Temperatureinfluss auf die Maßstäbe und das Werkstück häufig nicht im Grenzwert E 0, MPE der Längenmessabweichung enthalten und muss deshalb gesondert berücksichtigt werden. Dabei wird im allgemeinen davon ausgegangen, dass die Temperatur innerhalb des Werkstücks vollständig ausgeglichen ist. Dann hat die Temperatur keinen Einfluss auf Form- und Lageabweichungen, sondern nur auf absolute Größen wie Maße und Abstände, wozu hier auch die Position zu rechnen ist. In der Regel sind die Abweichungen von der Referenztemperatur 20°C rechnerisch zu korrigieren. Steigt die Temperatur t W des Werkstücks über 20°C, dehnt es sich aus, und die angezeigte Länge wird größer. Mit steigender Temperatur t M der Maßstäbe wird die angezeigte Länge kleiner. Mit den Ausdehnungskoeffizienten W des Werkstücks und M des Messgerätemaßstabs ergibt sich die temperaturbedingte Längenmessabweichung L T : C t C t L L M M W W T 20 20 (4.8) Zur Berechnung der Unsicherheit der Temperaturkorrektur sind die Standardunsicherheiten u t der Temperaturen und u der Ausdehnungskoeffizienten zu bestimmen. Dazu müssen die Grenzwerte bzw. Grenzabweichungen und die Verteilungen abgeschätzt werden, wobei eher von den ungünstigsten Fällen auszugehen ist [8]. Der Unsicherheitsbeitrag setzt sich aus den Anteilen für die Temperaturen t und die Ausdehnungskoeffizienten des Werkstücks (Index W) und der Messgerätemaßstäbe (Index M) zusammen: 2 2 2 2 ) 20 ( ) 20 ( M M W W tM M tW W LT u t u t u u L u (4.9) Wird die temperaturbedingten Längenmessabweichung L T (aus welchen Gründen auch immer) nicht korrigiert, so muss sie als zusätzlicher Messunsicherheitsbeitrag berücksichtigt werden, siehe den Abschnitt 2.5 Systematische Messabweichungen. Um das zu umgehen, kann als mittlere Temperatur 20°C festgelegt werden. Die Grenzabweichungen a t der Temperaturen müssen dann so weit gefasst werden, dass sie alle möglichen Abweichungen von der Referenztemperatur einschließen. Die Standardunsicherheiten u(x i ) der Eingangsgrößen ergeben sich nach Gleichung (2.7) aus den Grenzabweichungen a i für die jeweilige Verteilungsform. Die Tabelle 4.4 zeigt die Ausdehnungskoeffizienten einiger Werkstoffe. Das wesentliche Problem ist das Einsetzen realistischer Werte für die Grenzabweichungen a der Längenausdehnungskoeffizienten. Diese beschreiben die Streuung zwischen verschiedenen Legierungen und Materialchargen. Bei Stahl kann der Ausdehnungskoeffizient zwischen 10 und 14 10 -6 / K liegen (Tabelle 4.4). Im Zweifelsfall ist mit dem Mittelwert W =12 10 -6 / K und der Grenzabweichung ± 20 % zu rechnen, d.h. a W = W / 5. Dasselbe gilt auch für andere Materialien - siehe z.B. den Anhang A3 von VDI/ VDE/ DGQ 2618 Blatt 1.2 [53]. Bei Kunststoffen hängt die Ausdehnung nicht nur vom Grundmaterial, sondern auch von den Beimischungen ab. Größere Anteile von Glas- oder Kohlefasern können die Ausdehnung erheblich verringern und außerdem in Abhängigkeit von der Faserrichtung unterschiedlich beeinflussen. Hier sind genauere Angaben von den Materiallieferanten zu erfragen. <?page no="59"?> 51 Tabelle 4.4: Mittlere Ausdehnungskoeffizienten einiger Werkstoffe in 10 -6 / K Material Material Invarstahl 1,5...2 Titan 6 Chrom 8 Chromstahl (13 %) 10,5 Grauguß 11 Wolframstahl (18 %) 11,2 Endmaßstahl (niedriglegiert) 11,5 Nickelstahl (30 %) 12 Nickel 13 Gußstahl, Manganstahl (14 %) 14 Rostbeständiger Stahl (Cr, Ni) 16,5 Kupfer 16,5 Bronze, Messing 18 Aluminium 24 Magnesium, Zink 26 CFK (in Faserrichtung) -0,4 Zerodur (Glaskeramik) 0...0,1 Wolframkarbid (Endmaße) 4,2 Hartgestein 5,5 Hartmetall 6 Keramik 6 Glasmaßstäbe 8 Holz (in Faserrichtung) 8 Endmaßkeramik 9 Duroplast 50 Polystyrol (PS) 70 Polyamid (PA) 100 Polyvinylchlorid (PVC) 120 Polyethylen (PE) 200 Die Ausdehnungskoeffizienten der Maßstäbe sind meist besser bekannt. Die Grenzabweichung beträgt bei Zerodur a M =0,05 10 -6 / K vom Mittelwert 0,05, bei Glasmaßstäben a M =0,5 10 -6 / K und bei Endmaßstahl a M =1 10 -6 / K [37]. Dabei ist auch auf das Konstruktionsprinzip zu achten: Kann sich der Maßstab unabhängig vom Trägermaterial ausdehnen, gelten die oben angegebenen Werte. Ist er jedoch fest mit diesem verbunden (z.B. ein kompakt aufgeklebter Stahlmaßstab auf Hartgestein), dehnt er sich wie das Grundmaterial aus. Bei massiven Prüfkörpern wie z.B. Stufenendmaßen können schon das Eigengewicht und die Reibung ausreichen, um denselben Effekt hervorzurufen. Die Ausdehnungskoeffizienten werden meist als linear angenommen, praktisch sind sie es jedoch nicht. Deshalb muss bei größeren Abweichungen von 20°C mit deutlich größeren Grenzabweichungen als 20 % gerechnet werden. Bei 30°C können das schon 50 % sein. Im Idealfall sind die Ausdehnungskoeffizienten kalibriert, wie es z.B. bei langen Parallelendmaßen üblich ist. Dabei ist die Angabe einer quadratischen Funktion anstelle der üblichen linearen sinnvoll. Die Temperatur wird im besten Fall mit Körperthermometern (Skalenwert 0,2 K) oder elektrischen Berührungsthermometern gemessen (Temperatursensoren mit Metall- oder Halbleitermesswiderständen). Die Grenzabweichungen betragen in allen Fällen etwa 0,2 K, solange die Temperatursensoren nicht kalibriert sind. Die Messabweichungen hängen aber auch noch von anderen Faktoren ab. Eine wesentliche Rolle spielen örtliche und zeitliche Temperaturunterschiede, z.B. beim Abkühlen eines Werkstückes, das direkt von einer Bearbeitungsmaschine kommt. Auch die Trägheit des Thermometers selbst und der Wärmekontakt an einer rauhen Oberfläche haben einen Einfluss. Wird nur die Raumtemperatur gemessen, ist mit deutlich größeren Grenzabweichungen zu rechnen. In einer nicht klimatisierten Fertigungshalle können sie 2 K und mehr betragen. <?page no="60"?> 52 Die Tabelle 4.5 zeigt, in welchen Größenordnungen die Grenzabweichungen a t der Temperatur bei verschiedenen Messbedingungen liegen können. Die gleichlautenden Angaben bedeuten nicht, dass die Grenzabweichung bei Prüfmittel und Werkstück gleich sein müssen. Im Gegenteil ist oft eine größere Grenzabweichung a tw für das Werkstück anzunehmen, z.B. wegen der Verformung durch ungenügenden Temperaturausgleich. Bei Glasmaßstäben ist die Grenzabweichung wegen der schlechten Wärmeleitfähigkeit größer als bei Metall. Die Grenzabweichung a t enthält auch die Temperaturunterschiede zwischen den Maßstäben, wenn die Software mit einem pauschalen Mittelwert für t M rechnet. Wird die Temperatur für alle drei Achsen einzeln korrigiert, sind die Abweichungen kleiner. Wesentliche Verbesserungen der Genauigkeit kann man vor allem durch Einhalten der Referenztemperatur 20°C im klimatisierten Messraum (auch bei durchgeführter Temperaturkorrektur), ausreichendes Temperieren, genaue Temperaturmessungen an Werkstück und Maßstäben und geringe Unsicherheiten der Ausdehnungskoeffizienten des Werkstücks erreichen. Tabelle 4.5: Grenzabweichungen a t der Temperatur bei verschiedenen Messbedingungen (siehe auch [8]) Messbedingungen a t Freie Temperaturschwankung am Messplatz wie in der Fertigung, z.B. zwischen 15 und 35°C im Jahr (Mittelwert 25°C) 10 K Keine Temperaturmessung, sondern nur „Schätzung“ aufgrund des persönlichen Empfindens 5 K Temperaturmessung nahe am Messplatz mit einem Zimmerthermometer mit dem Skalenwert 1 K 2 K Kein vollständiger Temperaturausgleich und unbekannte Temperaturverteilungen im Messgerät und im Werkstück, Temperaturen nur an je einer Stelle gemessen, schlechter Wärmekontakt durch rauhe Oberflächen 1 K Kein vollständiger Temperaturausgleich beim Messgerät im klimatisierten Messraum, Werkstück nicht austemperiert, Temperaturmessung an jeweils mehreren Stellen 0,5 K Vollständiger Temperaturausgleich im Werkstück durch ausreichendes Temperieren, im Messgerät durch Aluminiumkonstruktion (KMG in CARAT- Technologie von ZEISS) oder mit Thermo-Vollfehlerkorrektur von LEITZ 0,2 K Wenn die Temperatur innerhalb des Werkstücks vollständig ausgeglichen ist, hat eine Abweichung von der Referenztemperatur 20°C keinen Einfluss auf Form- und Lageabweichungen, sondern nur auf absolute Größen wie Maße und Abstände, wozu hier auch die Position zu rechnen ist. Unabhängig von der Geometrie des Werkstücks und vom Prüfmerkmal lassen sich die temperaturbedingte Abweichung und ihre Unsicherheit mit den angegebenen Formeln immer nach oben abschätzen, wenn als Messlänge L die größte Ausdehnung des Werkstücks (Raumdiagonale) eingesetzt wird. Bezieht sich das Prüfmerkmal auf ein Formelement, das deutlich kleiner als das ganze Werkstück ist, wird dessen Raumdiagonale verwendet. <?page no="61"?> 53 4.6 Definition der Messgröße Bei Koordinatenmessungen werden üblicherweise die Ausgleichselemente als besteingepasste mittlere Elemente nach Gauß berechnet, siehe Kapitel 3. Diese mittleren Elemente entsprechen jedoch nicht der Maßdefinition nach DIN EN ISO 14405-1 [46], wonach ein Maß der Abstand zwischen zwei Punkten ist. Danach muss jeder einzelne gemessene Zweipunktabstand innerhalb der Toleranz liegen, siehe Bild 4.6. Weitere mögliche Maßdefinitionen sind der Hüllkreis und der Pferchkreis. Bild 4.6: Maßdefinitionen am Kreis a) Verschiedene Zweipunktmaße b) Mittlerer Kreis (LSC) c) Hüllkreis (MCC) d) Pferchkreis (MIC) Bei der Messung entsprechend diesen Definitionen erhält man durch die örtlichen Formabweichungen der Oberfläche im allgemeinen eine größere Streuung der Messwerte als bei Auswertung der mittleren Elemente. Gerade wegen der kleineren Messunsicherheit haben sich aber die Ausgleichselemente seit vielen Jahrzehnten in der Koordinatenmesstechnik bewährt. Deshalb wird hier davon ausgegangen, dass die Prüfmerkmale für die mittleren Elemente definiert sind. Die Auswertung der Maße für die mittleren Elemente kann auch ausdrücklich in der Zeichnung vorgegeben werden [46]: Maße ISO 14405 Werden im Einzelfall andere Maßdefinitionen gefordert, sind die entsprechenden Symbole hinter der jeweiligen Maßeintragung in der Zeichnung anzugeben [46]. Weitere Erläuterungen zum Thema finden sich in [20] und [21]. In einigen Fällen werden entsprechend der Funktion der Oberfläche die angrenzenden Elemente ausgewertet, z.B. der von außen angrenzende Kreis mit dem kleinstmöglichen Durchmesser (Hüllkreis). Dann ist die Messgröße aber nicht mehr wie im GUM als Mittelwert, sondern als Extremwert definiert. Praktisch werden zur Berech- <?page no="62"?> 54 nung der angrenzenden Elemente die am weitesten hervorstehenden Punkte aus den zufällig erfassten Punkten der Oberfläche verwendet. Das sind aber nicht unbedingt die extremen Punkte der Oberfläche. Der Unsicherheitsbeitrag für diese Abweichung lässt sich prinzipiell nicht mit der Methodik des GUM ermitteln, da dann der Mittelwert nicht mehr der beste Schätzwert der Messgröße ist. Eine alternativer Ansatz wird im Kapitel 9 vorgestellt (siehe auch [22]). 4.7 Lageabweichungen In der Norm ISO 1101 sind zwar die Toleranzen und Toleranzzonen für Richtung und Ort, aber nicht die entsprechenden Lageabweichungen definiert. Die Forderung lautet in allen Fällen, dass alle Punkte der tolerierten Elemente innerhalb der Toleranzzone liegen müssen. Praktisch werden jedoch die Oberflächen nur mehr oder weniger lückenhaft erfasst und daraus Ausgleichselemente wie Geraden, Ebenen und Zylinder berechnet. Die Lageabweichungen werden dann in der Regel nur bei Oberflächen für die erfassten Punkte ausgewertet (erfasstes vollständiges Element im Bild 4.7 links nach ISO 14460-1 [47]). Bei Achsen und Symmetrieelementen werden meist die Ausgleichselemente nach Gauß als zugeordnete Elemente berechnet und deren Lageabweichungen ausgewertet (zugeordnetes abgeleitetes Element im Bild 4.7 rechts [47]). Die Ausgleichselemente liefern die stabilsten Messergebnisse mit den kleinsten Messunsicherheiten. Deshalb haben sie sich seit vielen Jahrzehnten bei der Auswertung der Lageabweichungen von Achsen und Symmetrieelementen bewährt. Bild 4.7: Erfasste Elemente und zugeordnete Elemente nach ISO 14460-1 [47] Um diese Vorgehensweise in der Zeichnung auszudrücken, ist die von ISO 1101 abweichende Festlegung in einem gesonderten Dokument, z.B. in einer Werknorm, zu dokumentieren und in der Zeichnung mit dem Symbol für „Altered Default“ (von der Norm abweichende Anforderung) darauf zu verweisen [39]. In der Norm ISO 1101 sind zwar die Ortstoleranzen, nicht aber die entsprechenden Abweichungen für Position, Symmetrie und Koaxialität definiert. Sie werden deshalb unterschiedlich interpretiert, wie das Bild 4.8 anhand des Vergleiches einer klassischen Abstandstoleranz mit einer Positionstoleranz zeigt. Links wird die Abweichung e bestimmt. Bei der Position ist die zulässige Abweichung von der Nennlage aber nur halb so groß wie die Toleranz (T=2). Bei Koordinatenmessgeräten wird deshalb der Betrag der radiusbezogenen Abweichung e mit dem Faktor 2 multipliziert, um ihn direkt mit der Toleranz zu vergleichen. Diese durchmesserbezogene Abweichung b ist jedoch nicht mehr anschaulich darzustellen, siehe Bild 4.8 mitte [16]. <?page no="63"?> 55 Bild 4.8: Toleranzen und Abweichungen; links Abstand, mitte Position in einer Richtung, rechts Position in beliebiger Richtung Bei Position mit einer kreisbzw. zylinderförmigen Toleranzzone und bei Koaxialität wird die radiale Abweichung r ebenfalls verdoppelt, und im Messprotokoll steht die durchmesserbezogene Abweichung d wie im Bild 4.8 rechts. Zusätzlich geht bei der Betragsbildung die Richtungsinformation verloren, so dass keine Korrekturwerte für die Fertigung abgeleitet werden können. Dazu müssen die Original-Koordinaten der Formelemente verwendet werden. Die Messunsicherheiten werden hier nach Kapitel 7 und 8 zunächst radiusbezogen berechnet. Für durchmesserbezogene Abweichungen sind sie auch zu verdoppeln. Die anschauliche Darstellung der Messergebnisse ist das eine Problem. Richtig teuer kann die durchmesserbezogene Auswertung werden, wenn aus den Messergebnissen Prozessfähigkeitskennwerte wie c p und c pk berechnet werden. Dabei wird jeweils das Verhältnis der Toleranz zur Streuung des Fertigungsprozesses bewertet, z.B. nach Gleichung (2.18). Die Toleranz ist bei beiden Auslegungen der Positionsabweichung gleich groß, im Bild 4.8 z.B. T=2 mm. Die Abweichungen sind bei der durchmesserbezogenen Auswertung jedoch doppelt so groß wie bei radiusbezogenen - und damit auch die Streuung. Die übliche Verdopplung der Ortsabweichungen liefert also nur eine halb so gute Bewertung des Fertigungsprozesses wie die einfache Abweichung. Das wird durch die praktische Erfahrung bestätigt. Viele Unternehmen haben gerade bei den Ortstoleranzen große Schwierigkeiten, die vom Kunden geforderten Prozessfähigkeiten nachzuweisen. Deshalb wird dringend empfohlen, die Abweichungen nicht zu verdoppeln. Derselbe Prozess wird sofort und ohne Mehrkosten doppelt so gut bewertet [16]. Dasselbe trifft auch für Messunsicherheit zu. Die radiusbezogene Auswertung mit der einfachen Messunsicherheit führt zu einer doppelt so guten Messprozesseignung wie die durchmesserbezogene Auswertung mit der verdoppelten Unsicherheit. <?page no="64"?> 56 4.8 Bezugssystem In DIN EN ISO 5459 [38] ist die Anlage des Bezugssystems am Werkstück so festgelegt, dass der sekundäre Bezug zum primären Bezug Nennlage einnehmen und von der materialfreien Seite angelegt werden soll. Das entspricht der Darstellung im Bild 4.9 links und gilt sinngemäß auch für den tertiären Bezug bei dreidimensionalen Werkstücken. Die Definition ist für die Außenflächen eindeutig, ihre Umsetzung bei der Messung bereitet jedoch einige Schwierigkeiten. Bei Koordinatenmessungen werden in der Regel nicht die angrenzenden, sondern die mittleren Elemente (Ausgleichselemente) berechnet, weil hier die Messunsicherheit am kleinsten ist. Deshalb haben sie sich seit Jahrzehnten in der Koordinatenmesstechnik bewährt. Die dadurch verursachten Messabweichungen hängen vor allem von den Formabweichungen der Oberfläche und von der Messpunktanzahl ab. Außerdem wird bei Koordinatenmessungen die Koordinate der linken Kante im Bild 4.9 mitte entweder im Schwerpunkt (Mittelpunkt) der linken Kante oder im Durchstoßpunkt durch die Nullebene des Koordinatensystems als Schnittpunkt mit der unteren Kante ausgewertet (Bild 4.9 rechts). Das Bild zeigt deutlich, dass bei der Messung Abweichungen gegenüber der Definition entstehen, die in Abhängigkeit vom Wert der Rechtwinkligkeitsabweichung häufig nicht vernachlässigbar sind. Bild 4.9: Anlage des Bezugssystems an den Außenkanten Im Bild 4.9 rechts ist die Abweichung am größten, aber nur dann, wenn der von den beiden Kanten eingeschlossene Winkel größer als 90° ist. Wird er kleiner als 90°, entspricht die realisierte Ausrichtung der Norm, und es entsteht keine Abweichung. Ist die Rechtwinkligkeitsabweichung der Kante bekannt, kann die Abweichung ohne weiteres berechnet werden. Mit der Winkelabweichung (in Bogenmaß) ergibt sich die Abweichung x als Abweichung 1. Ordnung mit dem Abstand l vom definitionsgemäßen Anlagepunkt in Y-Richtung (Bild 4.9) aus: l x (4.10) <?page no="65"?> 57 Die Norm DIN EN ISO 5459 definiert die Anlage des Bezugssystems auch für den Fall, dass das sekundäre Bezugselement eine Bohrung ist. Dann soll der einbeschriebene Zylinder mit dem größten Durchmesser zum primären Bezugselement senkrecht stehen (Bild 4.10 links). Praktisch liegt das Bezugssystem dann etwa in der Mitte der Achse (Bild 4.10 mitte). Wird dagegen die Koordinate der Bohrungsachse am Durchstoßpunkt durch die Nullebene des Koordinatensystems ausgewertet, ergibt sich wieder ein anderes Bezugssystem (Bild 4.10 rechts). Bild 4.10: Anlage des Bezugssystems in der Bohrung Abhängig vom Auswerteprinzip der KMG-Software wird in einigen Fällen die Forderung der Norm erfüllt, in anderen Fällen nicht. Der Grenzwert der Abweichung lässt sich bei Bedarf mit Gleichung (4.10) aus der Rechtwinkligkeitsabweichung des Formelements bzw. aus seiner zulässigen Abweichung laut Zeichnung als zusätzlicher Unsicherheitsbeitrag abschätzen. Bei den hier besprochenen Beispielen wird jedoch davon ausgegangen, dass die in der Software realisierten und von der Norm abweichenden Bezugssysteme genau so in der Messaufgabe definiert sind. Damit entfällt der zusätzliche Unsicherheitsbeitrag. Um diese Vorgehensweise in der Zeichnung auszudrücken, ist die von ISO 5459 abweichende Festlegung in einem gesonderten Dokument, z.B. in einer Werknorm, zu dokumentieren und in der Zeichnung mit dem Symbol für „Altered Default“ (von der Norm abweichende Anforderung) darauf zu verweisen [39]. Bei einigen Koordinatenmessgeräten kann auch der höchste gemesssene Punkt des Formelements als Anlagepunkt für das Bezugssystem verwendet werden. Dann wird anstelle des gemessenen Formelements (z.B. Gerade oder Ebene) ein Punkt gewählt, und die Abstände vom Schwerpunkt bzw. zur Nullebene sind für diesen Punkt in die Berechnungstabellen einzusetzen. Ob der höchste gemessene Punkt tatsächlich annähernd dem höchsten Punkt der Oberfläche entspricht, muss dann durch eine ausreichend hohe Messpunktanzahl sichergestellt werden. Unabhängig davon ist immer ein Unsicherheitsbeitrag für die Winkelabweichung des Bezugselementes zu berücksichtigen, wenn die Koordinaten von der Software im Durchstoßpunkt durch die Nullebene des Koordinatensystems ausgewertet werden, oder wenn die Schwerpunkte der Formelemente in verschiedenen Höhen liegen. <?page no="66"?> 58 4.9 Aufspannung Bei der Aufspannung kann das Werkstück durch sein Eigengewicht oder durch die Spannkräfte verformt werden. Dadurch ändert sich die Gestalt des Werkstücks und möglicherweise auch die Messgröße. Dieser Effekt muss durch eine geeignete Auflage und Aufspannung des Werkstücks möglichst ausgeschlossen werden. Das entspricht einer guten messtechnischen Praxis, wie sie schon im Abschnitt 4.1 angesprochen wurde. Ob die Aufspannung die Messgröße beeinflusst, lässt sich durch Wiederholungsmessungen nach der Methode A feststellen, indem die Aufspannung leicht variiert wird, z.B. an verschiedenen Stellen des Messtisches, mit verschiedenen Spannunterlagen und mit verschiedenen Spannkräften. Dabei sollten andere Einflüsse wie z.B. die örtlichen Formabweichungen der Oberfläche möglichst nicht mit erfasst werden, d.h. es sind immer dieselben Stellen der Oberfläche zu messen. Die ermittelte Standardabweichung sollte gegenüber den anderen Unsicherheitsbeiträgen vernachlässigbar klein sein. Ist das nicht der Fall, ist zunächst die Aufspannung zu optimieren, z.B. durch eine vorgegebene Lage (Orientierung) des Werkstücks im Messvolumen des KMG, die Definition von Auflagepunkten (Bezugsstellen) und die Vorgabe der Spannkräfte bzw. Drehmomente an den Spannstellen. Erst dann, wenn sich durch technische Maßnahmen tatsächlich keine Verbesserung erreichen lässt, sollte der Einfluss der Aufspannung im Unsicherheitsbeitrag des Werkstücks berücksichtigt werden. Dazu sind die Anzahl der Messungen und die Standardabweichung der Messreihe nach der Ermittlungsmethode A des GUM mit wiederholtem Ab- und Aufspannen in die Berechnungstabelle einzusetzen. Die Schwierigkeit dieses Vorgehens besteht darin, die Aufspannbedingungen so zu beschreiben, dass innerhalb der Möglichkeiten eindeutig zwischen zulässigen und nicht mehr zulässigen Randbedingungen unterschieden werden kann. Im Grunde handelt es sich dabei um dieselben Kriterien, die schon bei Optimierung der Aufspannung genannt wurden. Deshalb sollten die Aufspannbedingungen in jedem Fall möglichst weitgehend definiert werden. <?page no="67"?> 59 5 Virtuelles KMG 5.1 Konzept Eine Möglichkeit zur Ermittlung der Messunsicherheit von Koordinatenmessungen ist die numerische Simulation. Dabei wird der Messprozess mit seinen Eingangsgrößen rechnerisch simuliert. Die Grundlagen sind im GUM-Supplement 1 beschrieben [54]. Speziell für Koordinatenmessungen gelten die Richtlinien ISO/ TS 15530-4 [49] und VDI/ VDE 2617 Blatt 7 [50]. Weitere Einzelheiten enthalten [17] und [30]. Das Verfahren wurde von der Physikalisch-Technischen Bundesanstalt (PTB) in Braunschweig entwickelt. Dabei waren zwei deutsche Hersteller von Koordinatenmessgeräten (Zeiss und Leitz) beteiligt. Diese Hersteller bieten unter der Bezeichnung „Virtuelles KMG“ (VCMM) eine Software an, mit der sich die Messunsicherheiten von Koordinatenmessungen ermitteln lassen. Diese Software kann entweder auf dem KMG oder als externe Version betrieben werden. Das Verfahren basiert auf einem rechnergestützten mathematischen Modell des Messprozesses, das die wesentlichen Eingangsgrößen abbildet. Bei der Simulation werden diese Einflüsse innerhalb ihrer möglichen oder vermuteten Wertebereiche variiert, welche durch Wahrscheinlichkeitsdichteverteilungen beschrieben werden. Der Messprozess wird so als zufällige Kombination aller möglichen Zustände der Eingangsgrößen vielfach wiederholt simuliert. Aus der Streuung der Ergebnisse wird die Unsicherheit ermittelt. Dieses Vorgehen ist mit dem GUM vereinbar. Vom Anbieter der Simulationssoftware muss angegeben werden, welche Eingangsgrößen in seiner Software berücksichtigt sind, und welche Daten der Anwender dazu eingeben muss [47]. Folgende Einflüsse sind mindestens zu berücksichtigen: Geometrieabweichungen des KMG einschließlich Drift Abweichungen des Messkopfsystems Einflüsse aus der Abweichung von der Referenztemperatur 20°C und aus den zeitlichen und räumlichen Temperaturunterschieden bei KMG und Werkstück Das Modell des Messprozesses muss dokumentiert sein, z.B. mit dem kinematischen Modell des KMG und dem Temperaturmodell. Die Wahrscheinlichkeitsdichteverteilungen der Eingangsgrößen und die erweiterte Messunsicherheit sind anzugeben. Die Anwendungsbedingungen und damit die Grenzen des Verfahrens sind ebenfalls vom Hersteller festzulegen, z.B. die Beschaffenheit der Werkstücke, die Auswahl der Messaufgaben und die Messverfahren, der Temperaturbereich und die zulässigen Temperaturunterschiede. Einsatzgebiete des Verfahrens sind die Kalibrierung von Normalen (z.B. für die Überwachung von KMG) und die Kalibrierung von Meisterteilen für die Rückführung von Vergleichsmessungen (Substitutionsmessungen) mit Koordinatenmessgeräten oder Mehrstellenmesseinrichtungen. Die Meisterteile lassen sich auch zur Ermittlung von Messunsicherheiten mit kalibrierten Werkstücken verwenden, siehe Kapitel 6. <?page no="68"?> 60 5.2 Verfahren Die Simulationssoftware muss zunächst mit den Daten über das Verhalten des KMG an seinem Standort und unter den herrschenden Umgebungsbedingungen versorgt werden. Dazu wird das KMG durch eine Reihe von Kugelplattenmessungen in verschiedenen Aufstellungen qualifiziert, d.h. es werden seine Geometrieabweichungen und ihre örtlichen und zeitlichen Unterschiede ermittelt. Diese Messungen müssen ähnlich wie die Überwachung des KMG in festgelegten Zeitabständen wiederholt werden, um die Gültigkeit der ermittelten Daten zu sichern. Das zu kalibrierende Werkstück wird dann einmal mit der zuvor festgelegten Messstrategie (Anzahl und Anordnung der Messpunkte) gemessen und ausgewertet. Anschließend simuliert die Software durch rechnerische Variation der Eingangsgrößen weitere Messungen. Aus den Ergebnissen wird die Standardunsicherheit u(y) der Messgröße berechnet. Der Erweiterungsfaktor k für die erweiterte Messunsicherheit U wird aus der aktuellen Häufigkeitsverteilung der simulierten Messwerte für den Messwertanteil 95 % bestimmt. Die Simulation mit dem Virtuellen KMG berücksichtigt zwar die Abweichungen des Koordinatenmessgerätes selbst, nicht aber den Einfluss der örtlichen Formabweichungen der Oberfläche des Prüfobjekts. Sind diese im Vergleich zu den Antastabweichungen des KMG nicht vernachlässigbar, wird die Messunsicherheit mit dem Virtuellen KMG zu klein abgeschätzt. Deshalb muss auf dem Kalibrierschein die Lage der Messpunkte angegeben werden, und die Unsicherheit gilt nur für diese Punkte. Es ist deshalb vor allem bei Kalibrierungen zweckmäßig, von der vorgegebenen Messstrategie abzuweichen und möglichst viele Punkte auf der Oberfläche zu messen. Da bei den Ausgleichselementen der Mittelwert der beste Schätzwert der Messgröße ist, nähert sich der Messwert mit zunehmender Punktzahl immer mehr an den richtigen Wert an. Damit wird die durch die kleine Messpunktzahl verursachte Abweichung verringert, und man kann auf die Angabe der Lage der einzelnen Messpunkte verzichten [50]. <?page no="69"?> 61 5.3 Beispiel Im Rahmen der Erprobung und Einführung des Virtuellen KMG wurden von den beteiligten Partnern eine Reihe von Untersuchungen an Normalen und Werkstücken durchgeführt. Eines davon war der Prüfzylinder, der auch im Anhang von VDI/ VDE - 2617 Blatt 7 [50] abgebildet ist. Eine ausformulierte Aufgabenstellung für die Messungen sicherte dabei die Vergleichbarkeit der Messergebnisse. Nach derselben Aufgabenstellung wurden auch die Messunsicherheiten der Prüfmerkmale nach dem Berechnungsverfahren ermittelt und mit dem Virtuellen KMG verglichen [17]. Dabei wurden mehrere KMG mit unterschiedlichen Grenzwerten der Längenmessabweichung E 0, MPE simuliert. An dem Prüfzylinder wurden folgende Prüfmerkmale ausgewertet: Durchmesser, Abstand der beiden Stirnflächen, Rechtwinkligkeit der Zylinderachse zu den Stirnflächen, Parallelität der Stirnflächen sowie Koaxialität von zwei Zylinderachsen jeweils an den Enden des Prüfzylinders. Zusätzlich wurde ein Kegel mit dem Neigungswinkel 45° simuliert und sein Durchmesser in verschiedenen Messebenen ausgewertet. Die Punktmuster wurden so variiert, dass sowohl über den ganzen Umfang als auch über Teilbereiche davon gemessen wurde (zwischen 60° und 180°). Insgesamt wurden die Unsicherheiten für 33 Prüfmerkmale ermittelt. Für das KMG mit den größten Geometrieabweichungen sind sie im Bild 5.1 gegenübergestellt. In den meisten Fällen sind die Unsicherheiten aus der Messunsicherheitsbilanz deutlich größer als die vom Virtuellen KMG. Das ist darauf zurückzuführen, dass bei der Berechnung die spezifizierten Grenzwerte verwendet werden, bei der Simulation aber die tatsächlichen Abweichungen und ihre Unsicherheiten. Diese können im Einzelfall wesentlich kleiner sein. Nur bei wenigen Prüfmerkmalen ist die berechnete Unsicherheit kleiner als die vom VCMM: Nr. 1 (Durchmesser), Nr. 2, 6 und 28 (Abstände) sowie Nr. 32 und 33 (Kegeldurchmesser). Die Differenzen sind jedoch relativ gering und liegen in der Größenordnung des Zufallsstreubereiches der Standardabweichung aus den (hier 500) simulierten Messungen. Dieser beträgt z.B. für ein Vertrauensniveau von 95 % rund ± 6 %. Weitere Einzelheiten sind in [17] und [19] beschrieben. Bild 5.1: Vergleich von Messunsicherheiten an einem Prüfzylinder mit dem VCMM (dunkle Balken) und mit der Messunsicherheitsbilanz (helle Balken) <?page no="70"?> 62 5.4 Grenzen des Verfahrens Das Verfahren ist nur dann anwendbar, wenn eine entsprechende Simulationssoftware zur Verfügung steht. Damit ist der Einsatz von vornherein auf einige ausgewählte KMG-Typen von zwei deutschen Herstellern beschränkt [17]. Die Simulation beansprucht nicht vernachlässigbare Rechenzeiten, vor allem, wenn viele Formelemente mit vielen Messpunkten gemessen wurden. Deshalb ist die Anzahl der Simulationen auf zweihundert begrenzt. Damit wird aber die ermittelte Messunsicherheit selbst auch unsicher. Die Häufigkeitsverteilung der Messwerte kann erheblich von der idealen Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung abweichen, die sich durch eine größere Zahl von Simulationen annähern lässt (Bild 5.2). Die erweiterte Messunsicherheit kann sich deutlich vom richtigen Wert unterscheiden. Bild 5.2: Häufigkeitsverteilungen der Messwerte bei 1.000.000 (links) und bei 200 Simulationen (rechts); Messunsicherheit links U=1,96, rechts U=2,14 Die Simulation mit dem Virtuellen KMG berücksichtigt zwar die Abweichungen des Koordinatenmessgerätes selbst, nicht aber den Einfluss der örtlichen Formabweichungen der Oberfläche des Prüfobjekts. Weist diese (im Vergleich zu den Antastabweichungen des KMG) nicht vernachlässigbare Formabweichungen auf, wird die Messunsicherheit mit dem Virtuellen KMG deutlich zu klein abgeschätzt. Deshalb muss auf den Kalibrierscheinen die Lage der Messpunkte angegeben werden, und die Unsicherheit gilt nur für diese Punkte. Das wird von vielen Nutzern in der Industrie als deutlicher Nachteil empfunden, da ihre Werkstücke nicht vernachlässigbare Formabweichungen haben. Bei der mit dem Virtuellen KMG ermittelten Messunsicherheit fehlen die Unsicherheitsbeiträge der einzelnen Eingangsgrößen. Damit können dominierende bzw. vernachlässigbar kleine Einflüsse nicht erkannt und daraus keine Möglichkeiten zur Reduzierung der Messunsicherheit bzw. des Prüfaufwands (Messpunktanzahl) abgeleitet werden. Die Messstrategie lässt sich so nicht gezielt optimieren, sondern es muss im Gegenteil aufwendig nach der Methode von Versuch und Irrtum probiert werden. Außerdem lassen sich bisher mit dem Virtuellen KMG keine Unsicherheiten für das Scanning-Verfahren ermitteln. <?page no="71"?> 63 6 Kalibrierte Werkstücke 6.1 Konzept In DIN EN ISO 15530-3 [48] bzw. VDI/ VDE 2617 Blatt 8 Anhang C [51] wird ein Vorgehen zur experimentellen Ermittlung der Messunsicherheit beschrieben. Dabei wird ein kalibriertes Werkstück als Normal eingesetzt und wiederholt gemessen. Aus den Messwerten werden die Abweichung zwischen dem Mittelwert der Messreihe und dem Kalibrierwert des Normals sowie die Streuung der Messwerte ermittelt. Weitere Einflüsse wie z.B. die Werkstoff- und Prozessstreuung werden rechnerisch abgeschätzt. Der wesentliche Vorteil der Methode ist, dass sie vom Anwender keinerlei Vorkenntnisse oder besondere Voraussetzungen erfordert. Das kalibrierte Werkstück wird mit dem normalen Messprogramm in der üblichen Aufspannung mit den festgelegten Tastern gemessen. Die so ermittelten Messunsicherheiten lassen sich nach DIN EN ISO 15530-3 [48] auf andere Werkstücke übertragen, wenn folgende Ähnlichkeitsbedingungen eingehalten sind: Ähnliche Größe und Gestalt des Werkstücks Ähnliche Oberflächenbeschaffenheit (Formabweichungen, Rauheit) Ähnliche Materialeigenschaften (Ausdehnungskoeffizient, Elastizität, Härte) Gleiche Prüfmerkmale Ähnliche Tasterkonfiguration Ähnliche Messstrategie (Anzahl und Anordnung der Messpunkte) Ähnliche Aufspannung (Handhabung, Position, Orientierung) Ähnliche Temperaturbedingungen (Temperierung, Temperaturkorrektur) Ähnliche Messbedingungen (Messkraft, Messgeschwindigkeit, Messzeit) Diese Ähnlichkeitsbedingungen sind jedoch nicht auf die Unsicherheitsermittlung mit kalibrierten Werkstücken beschränkt, sondern gelten naturgemäß auch für die anderen Methoden zur Ermittlung der Messunsicherheit. <?page no="72"?> 64 6.2 Verfahren Das KMG, die Messstrategie und die Umgebungsbedingungen sind dieselben wie bei der Messung des Werkstücks, für die die Unsicherheit des Messprozesses ermittelt werden soll. Das heißt, dass bei einem automatisierten KMG mit dem vorhandenen Messprogramm gemessen wird. Das kalibrierte Werkstück ist zwanzigmal zu messen. Zusätzlich sind drei weitere Werkstücke ebenfalls je zwanzigmal zu messen. Aus den Messungen am kalibrierten Werkstück werden der Mittelwert y, die Standardabweichung und die „systematische“ Abweichung b des Mittelwertes vom kalibrierten Wert x cal (mit der Standardunsicherheit u cal ) berechnet: cal x y b (6.1) Diese „systematische“ Abweichung b selbst soll zur Korrektur der Messwerte aller Messungen des gleichen Werkstücks verwendet werden, entweder als Bestandteil des korrigierten Messwertes oder als zusätzliche Information. Die Standardabweichung u p wird aus den Messreihen an allen m=4 Werkstücken (einschließlich des kalibrierten) gemittelt: m j j p p u m u 1 2 , 1 (6.2) Die Standardunsicherheit u b der „systematischen“ Abweichung b enthält die Unsicherheit des Ausdehnungskoeffizienten des kalibrierten Werkstücks. Zusätzlich wird die Werkstoff- und Prozessstreuung u w abgeschätzt. Diese soll z.B. die Streuung des Ausdehnungskoeffizienten der Werkstücke aus verschiedenen Materialchargen enthalten sowie weitere Eigenschaften wie die Elastizität der Werkstückoberfläche. Auch der Einfluss der Formabweichungen der Werkstückoberfläche wird ausdrücklich genannt. Wie dieser abgeschätzt werden soll, bleibt allerdings offen. Alle vier Standardunsicherheiten werden quadratisch addiert und mit dem Erweiterungsfaktor k=2 multipliziert. Die erweiterte Messunsicherheit lautet: 2 2 2 2 w b p cal u u u u k U mit k=2 (6.3) Die Messreihen sollen die ganze mögliche Streubreite der Umgebungsbedingungen erfassen, z.B. Temperaturunterschiede über den Tag, die Woche und das Jahr oder eventuellen Schichtbetrieb. Die Messreihen sind deshalb über einen längeren Zeitraum zu verteilen. Die Beschreibung ist darin nicht eindeutig, ob bei den Wiederholungsmessungen immer dieselben oder verschiedene Punkte der Oberfläche angetastet werden sollen. Bei der Antastung an denselben Stellen wird aber der zufällige Streueinfluss der Formabweichungen nicht erfasst. Die „systematische“ Abweichung b zwischen dem Mittelwert der Messwerte und dem Kalibrierwert kann dann je nach Lage der Messpunkte groß oder klein sein und ist damit tatsächlich eine zufällige Abweichung, wie das folgende Beispiel zeigt. <?page no="73"?> 65 6.3 Beispiel Die Tabelle 6.1 zeigt ein Beispiel (ohne die Unsicherheitsbeiträge u cal , u b und u w ). Die mittlere Standardabweichung der Messungen an den verschiedenen Stellen in der letzten Spalte ist mit 1,35 μm deutlich größer als an denselben Stellen (im Mittel u p =0,09 μm), ebenso die erweiterte Messunsicherheit (2,7 μm zu rund 0,2 μm). Tabelle 6.1: Bohrungsdurchmesser aus 20 Wiederholungsmessungen an denselben Stellen (Spalten) bzw. an fünf verschiedenen Stellen der Oberfläche (Zeilen) mit je 8 Messpunkten sowie Messunsicherheiten; Kalibrierwert x cal =100,0114 Messung Messung am Werkstück für Messstellenmuster Nr. Nr. 1 2 3 4 5 x A u A 1 100,0135 100,0112 100,0111 100,0097 100,0107 100,0112 0,00140 2 100,0135 100,0112 100,0111 100,0097 100,0109 100,0113 0,00138 3 100,0136 100,0112 100,0113 100,0098 100,0108 100,0113 0,00140 4 100,0135 100,0112 100,0113 100,0098 100,0108 100,0113 0,00136 5 100,0135 100,0113 100,0114 100,0097 100,0109 100,0114 0,00137 6 100,0135 100,0113 100,0113 100,0098 100,0109 100,0114 0,00134 7 100,0136 100,0113 100,0113 100,0098 100,0109 100,0114 0,00138 8 100,0135 100,0113 100,0114 100,0098 100,0110 100,0114 0,00134 9 100,0135 100,0113 100,0114 100,0097 100,0108 100,0113 0,00138 10 100,0135 100,0113 100,0113 100,0098 100,0109 100,0114 0,00134 11 100,0135 100,0114 100,0114 100,0098 100,0110 100,0114 0,00133 12 100,0134 100,0114 100,0114 100,0098 100,0110 100,0114 0,00130 13 100,0135 100,0114 100,0115 100,0098 100,0110 100,0114 0,00134 14 100,0135 100,0114 100,0115 100,0098 100,0110 100,0114 0,00134 15 100,0135 100,0114 100,0114 100,0098 100,0111 100,0114 0,00133 16 100,0135 100,0114 100,0113 100,0099 100,0110 100,0114 0,00131 17 100,0135 100,0114 100,0115 100,0099 100,0111 100,0115 0,00130 18 100,0135 100,0114 100,0115 100,0099 100,0111 100,0115 0,00130 19 100,0136 100,0115 100,0115 100,0098 100,0111 100,0115 0,00137 20 100,0137 100,0114 100,0115 100,0099 100,0111 100,0115 0,00138 y 100,0135 100,0113 100,0114 100,0098 100,0110 100,0114 b 0,0021 -0,0001 0,0000 -0,0016 -0,0004 0 u P 0,00006 0,00009 0,00012 0,00006 0,00012 0,00135 : : : : : : : U 0,00012 0,00018 0,00024 0,00012 0,00024 0,00270 U 0,00019 Die „systematische“ Abweichung b ist bei den Messstellenmustern 2, 3 und 5 sehr klein, da hier die Mittelwerte der Messreihen nahe am Kalibrierwert liegen. Sie ist also je nach Wahl der Messstellen auf der Oberfläche gar keine systematische, sondern in Wirklichkeit eine zufällige Abweichung. Deshalb ist sie auch nicht zur Korrektur der Messergebnisse geeignet. Vielmehr sollte die Streuung der Messungen an verschiedenen Stellen der Oberfläche Bestandteil der Messunsicherheit sein. <?page no="74"?> 66 6.4 Grenzen des Verfahrens Wie die Tabelle 6.1 zeigt, liefert die Messung an denselben Stellen auch bei beliebig vielen zusätzlichen Messungen immer zu kleine Streuungen und Messunsicherheiten. Dazu kommt, dass schon relativ wenige Messungen an verschiedenen Stellen ausreichen, um die Standardabweichung u A richtig zu ermitteln. Diese Standardabweichung sollte als Bestandteil von u w in Gleichung (6.3) bei der Ermittlung der Messunsicherheit berücksichtigt werden. Aus dem obigen Beispiel lässt sich ableiten, dass das Verfahren zwar zur Ermittlung von systematischen, nicht aber von zufälligen Abweichungen geeignet ist, wenn diese in den Messreihen gar nicht erfasst werden. Das gilt auch für den Temperatureinfluss. Mögliche temperaturbedingte Maßunterschiede werden nur soweit erfasst, wie sich die Temperaturen während der Messreihe tatsächlich ändern. Deshalb muss die Messreihe über einen größeren Zeitraum ausgedehnt werden (was Probleme mit der Organisation bringen kann), und die auftretenden Temperaturen am Werkstück und am KMG sind zu dokumentieren. Die ermittelte Unsicherheit gilt dann nur für diesen Temperaturbereich. Die Formabweichungen der Oberfläche und die Temperatur liefern aber in den meisten Fällen die überwiegenden Beiträge zur Messunsicherheit. Werden diese durch das Ermittlungsverfahren gar nicht erfasst, ist der ganze Aufwand nutzlos, und es werden lediglich zeitliche, materielle und finanzielle Ressourcen vergeudet. Ein praktisches Problem ist die Korrektur der Messergebnisse um die festgestellte „systematische“ Abweichung b. Nach der allgemeinen Erfahrung wird heute z.B. immer noch sehr häufig abweichend von der Referenztemperatur 20°C gemessen, ohne die dadurch bedingten Messabweichungen zu korrigieren. Deshalb erscheint es nicht besonders realistisch, dass dieselben Leute auf einmal anfangen sollten, die Messergebnisse zu korrigieren bzw. den Wert der „systematischen“ Abweichung b gesondert anzugeben. Diese Korrektur auch für die Messungen anzubringen, die vor der Ermittlung der Messunsicherheit durchgeführt wurden, ist vollends unrealistisch - obwohl diese genauso unrichtig sind wie die danach. Ein weiterer kritischer Punkt ist der Aufwand zur Ermittlung der Messunsicherheiten. Die Messungen an den drei zusätzlichen Werkstücken liefern in der Regel keine zusätzlichen Informationen, sondern dienen nur zur statistischen Absicherung der Messunsicherheit. Ohne diese könnte man mit viel weniger Messaufwand denselben Effekt erzielen, wenn man für die effektiven Freiheitsgrade einen größeren Erweiterungsfaktor als k=2 wählt. Das Vorgehen ist im Abschnitt 2.3.7. beschrieben. Die wirtschaftliche Anwendung der kalibrierten Werkstücke wurde anhand eines Beispiels in [18] untersucht. Dabei wurden die Kosten für die Kalibrierung des Werkstücks und die Wiederholmessreihen einerseits den möglichen Einsparungen durch eine genauere Abschätzung der kleineren Messunsicherheiten gegenübergestellt: Der Einsatz rentiert sich erst bei großen Stückzahlen von mehreren Hunderttausend in der Großserien- und Massenfertigung. <?page no="75"?> 67 7 Berechnung der Messunsicherheit 7.1 Allgemeines Die Grundlagen für die rechnerische Ermittlung der aufgabenspezifischen Messunsicherheit von Koordinatenmessungen wurden im Kapitel 3 beschrieben. Das Kapitel 4 enthält Erläuterungen zu den wichtigsten Eingangsgrößen und ihrer Ermittlung. In diesem Kapitel werden Beispiele für verschiedene Prüfmerkmale angegeben. Siehe dazu auch die Richtlinie VDI/ VDE 2617 Blatt 11 [52]. Mit dem Verfahren lassen sich Messunsicherheiten sowohl bei der Prüfung von Werkstücken in der betrieblichen Praxis, bei der Kalibrierung von Normalen in Kalibrierlabors als auch für die Prüfung von Koordinatenmessgeräten bestimmen, um sie nach DIN EN ISO 14253-1 [45] bei der Feststellung der Übereinstimmung oder Nicht-Übereinstimmung mit der Spezifikation zu berücksichtigen, oder um die Messprozesseignung zu beurteilen. Das Berechnungsverfahren kommt überall dort zum Einsatz, wo sich die Simulation nach Kapitel 5 bzw. das Verfahren mit kalibrierten Werkstücken nach Kapitel 6 nicht anwenden lassen, z.B. weil die erforderliche Simulationssoftware oder geeignete Normale nicht zur Verfügung stehen, oder weil diese Verfahren zuviel Aufwand erfordern. Eine typische Anwendung ist die Kalibrierung von Werkstücken mit nicht vernachlässigbaren Formabweichungen der Oberfläche, die mit relativ wenigen Punkten gemessen werden. Außerdem lässt sich das Verfahren einsetzen, wenn die Unsicherheitsbeiträge einzelner Eingangsgrößen benötigt werden, um die Messstrategie für die Anzahl und Anordnung der Messpunkte zu optimieren. Das Verfahren ist für alle Messgrößen anwendbar, für die im Sinne des GUM der Mittelwert der beste Schätzwert ist. Das sind alle mittels Ausgleichsrechnung nach Gauß berechneten Ergebnisse, z.B. Längenmaße wie Durchmesser oder Abstände, aber auch Winkel sowie Ortsabweichungen wie Position, Symmetrie und Koaxialität. Einige Messgrößen sind aber als Extremwerte definiert, z.B. Form, Richtung und Lauf nach DIN EN ISO 1101 [35]. Hier können die Unsicherheiten nicht vollständig ermittelt werden, weil bei der punktweisen Antastung der Oberfläche die höchsten und tiefsten Punkte der Oberfläche nur näherungsweise erfasst werden. Die Abweichung wird also tendenziell zu klein bestimmt. Demgegenüber vergrößern sowohl die Antaststreuung des KMG als auch die Tasterbiegung die angezeigte Abweichung gegenüber dem richtigen Wert. Deshalb muss hier das Messverfahren die in den Abschnitten 7.3.8 bzw. 7.3.9 genannten Voraussetzungen erfüllen. In DIN EN ISO 1101 sind zwar die Lagetoleranzen, nicht aber die Lageabweichungen definiert [6] [16]. Bei den Ortstoleranzen (Position, Symmetrie und Koaxialität) liegen die Toleranzzonen symmetrisch zur Nennlage, d.h. die zulässige Abweichung nach jeder Seite ist halb so groß wie die Toleranz. Hier hat sich die Praxis eingebürgert, die Lageabweichungen durchmesserbezogen anzugeben, d.h. die radiusbezogene Abweichung von der Nennlage wird verdoppelt. Die Unsicherheit wird hier aber zunächst radiusbezogen berechnet. Für durchmesserbezogene Messergebnisse sind die Unsicherheiten deshalb zu verdoppeln (siehe Abschnitt 4.7). <?page no="76"?> 68 7.2 Vorgehen Die Berechnung der aufgabenspezifischen Messunsicherheit von Koordinatenmessungen folgt den im Bild 7.1 dargestellten Schritten. Zunächst wird die für das Prüfmerkmal passende Berechnungstabelle ausgewählt. Dann werden die Daten für das Formelement und die Messung entsprechend der Messstrategie sowie die Daten für das KMG und die Temperaturbedingungen eingegeben. Bild 7.1: Vorgehen bei der Berechnung der aufgabenspezifischen Messunsicherheit von Koordinatenmessungen Folgende Berechnungstabellen stehen zur Verfügung: Durchmesser Abstand Position Symmetrie Koaxialität Koaxialität zur gemeinsamen Achse Richtung und Winkel Form In die Felder der Berechnungstabellen sind die notwendigen Daten einzutragen. Bei den Messbedingungen sind das z.B.: Formelement bzw. Formelemente Messung mit einem oder mehreren Tastern Messpunktmuster auf der Oberfläche Messlänge und Auswertelänge bzw. Bezugslänge Abhängig von den festgelegten Messbedingungen werden zum Teil unterschiedliche Eingangsgrößen wirksam. Die Zeilen mit nicht benötigten Größen werden freigelassen. Weitere notwendige Informationen zur Messung sind z.B.: <?page no="77"?> 69 Methode (A oder B bzw. Anzahl der Messungen bei Methode B) Anzahl der Messpunkte für das gewählte Messpunktmuster bzw. die Verteilungsform einer bekannten oder angenommenen Verteilung Standardabweichung s am Ausgleichselement bzw. Grenzwert a einer bekannten oder angenommenen Verteilung Bei der Methode B wird vorausgesetzt, dass die Standardabweichung an den Ausgleichselementen aus einer größeren Anzahl von Messungen bekannt ist. Praktisch wird hier ein mittlerer Wert eingegeben, der für die Messungen typisch ist. Ist keine Standardabweichung bekannt, muss mindestens mit der minimalen Standardabweichung s min für die Antaststreuung des KMG nach Gleichung (4.3) gerechnet werden, die sich aus dem konstanten Anteil A des Grenzwertes E 0, MPE der Längenmessabweichung ableitet. Werden nur wenige Messungen, im Extremfall sogar nur eine einzige durchgeführt, ist in die zweite Spalte der Tabelle anstelle von „B“ diese Anzahl einzugeben. Dann werden die effektiven Freiheitsgrade nach Gleichung (2.13) und der entsprechende Erweiterungsfaktor nach Tabelle 2.3 berechnet. Die erweiterte Messunsicherheit ergibt sich nach Gleichung (2.5). Wird die Streuung einer Eingangsgröße nach der Methode A entsprechend Abschnitt 4.2.2 durch Wiederholungsmessungen an verschiedenen Stellen der Oberfläche bestimmt, ist in der zweiten Spalte für die Methode „A“ einzugeben. In der dritten Spalte wird die Anzahl der Messungen (anstelle der Messpunktanzahl n) und in der vierten Spalte die Standardabweichung der Messreihe (anstelle der Standardabweichung s am Ausgleichselement) eingetragen. In der fünften Spalte wird der Faktor b i =1 gesetzt. Die effektiven Freiheitsgrade berechnen sich nach Gleichung (2.13) mit p i =1 freien Parametern für den Mittelwert der Messreihe und die Anzahl m i =1 der Messreihen. Der Erweiterungsfaktor k ergibt sich wieder nach Tabelle 2.3 und die erweiterte Unsicherheit nach (2.5). Ein Beispiel ist im Abschnitt 7.5 beschrieben. Die Unsicherheiten von Position, Symmetrie und Koaxialität werden radiusbezogen berechnet. Damit ergibt sich z.B. bei Position dieselbe Unsicherheit wie bei einem konventionellen Abstand [16]. Bei Vergleichen mit anderen Unsicherheitsangaben ist zu beachten, dass diese Abweichungen in der KMG-Software meist durchmesserbezogen ausgewertet werden. Die Unsicherheiten sind dann auch zu verdoppeln, siehe Abschnitt 4.7. Mit der so ermittelten Messunsicherheit wird dann z.B. im Vergleich mit der Toleranz des Prüfmerkmals die Messprozesseignung bewertet (Abschnitt 2.6). Ist der Messprozess nicht geeignet, kann die Messunsicherheit verringert werden durch: 1. Wiederholung der Messung mit einer anderen Messpunktanzahl 2. Temperaturmessung und -korrektur 3. Anderes Verfahren zur Unsicherheitsermittlung, z.B. Wiederholungsmessungen nach Methode A für die örtlichen Formabweichungen der Oberfläche 4. Bessere Temperaturbedingungen durch Einhausung und Klimatisierung 5. Abtrennung der zufälligen Messwertanteile aus den Abweichungen vom Ausgleichselement mit spezieller Software (siehe Kapitel 9) <?page no="78"?> 70 7.3 Beispiele 7.3.1 Überblick Für jede Berechnungstabelle wird anhand des Werkstücks im Bild 7.2 ein Beispiel diskutiert. Die Beschreibung umfasst: Bezeichnung der Messgröße Mathematisches Modell (Funktion) Beschreibung der Eingangsgrößen Erläuterungen für die Schätzwerte und Unsicherheiten der Eingangsgrößen Berechnung der Messunsicherheit Bewertung Bild 7.2: Beispiel-Werkstückzeichnung mit verschiedenen Prüfmerkmalen Allen Beispielen sind folgende Messbedingungen gemeinsam: 1. Das Koordinatenmessgerät hat den Grenzwert der Längenmessabweichung E 0, MPE =(6+L/ 200) μm. Der konstante Anteil beträgt A=6 μm, der längenabhängige Anteil L/ K=L/ 200. Damit ist K=200. Das KMG ist überwacht und erfüllt die Spezifikation. 2. Alle Unsicherheitsangaben beziehen sich auf die Ausgleichselemente, sowohl bei den tolerierten als auch bei den Bezugselementen. 3. Die Taster werden durch Messung einer Halbkugel am Kugelnormal mit jeweils fünf Punkten eingemessen. Die Standardabweichung von der Ausgleichskugel entspricht der minimalen Standardabweichung 2 μm nach Gleichung (4.3). Der Faktor b ergibt sich aus Tabelle 3.10 für den Durchmesser der Halbkugel. 4. Die erweiterte Messunsicherheit des Kugelnormal-Durchmessers wird dem Kalibrierschein entnommen. In der Regel ist sie mit dem Erweiterungsfaktor k=2 für normalverteilte Abweichungen angegeben und wird als Grenzwert a eingesetzt. 5. Die Geometrieabweichungen des KMG sind unbekannt und werden deshalb mit dem Schätzwert 0 eingetragen. Die Abweichungen sind normalverteilt, siehe Abschnitt 3.3.1. Die Grenzwerte der Geometrieabweichungen werden nach Tabelle 3.18 für das jeweilige Prüfmerkmal berechnet. <?page no="79"?> 71 6. Der Temperatureinfluss wird nur bei Durchmesser und Abstand bzw. Position berücksichtigt. Bei allen anderen Prüfmerkmalen wird vorausgesetzt, dass die Temperaturen im Werkstück und im KMG innerhalb der zulässigen Grenzen ausgeglichen sind und zu keinen übermäßigen Verformungen führen. 7. Der Ausdehnungskoeffizient M der Glasmaßstäbe des KMG wird mit 8*10 -6 / K angenommen, seine Grenzabweichung mit 20 % davon. 8. Der Ausdehnungskoeffizient W des Werkstücks wird mit 12*10 -6 / K für Stahl angenommen, seine Grenzabweichung mit 20 % davon. 9. Die mittlere Temperatur t M des KMG beträgt im klimatisierten Messraum 20°C, die maximale Abweichung davon 2 K. 10. Die mittlere Temperatur t W des Werkstücks, das ohne ausreichende Temperierung aus der Fertigung in den Messraum kommt, beträgt 22°C, die maximale Abweichung davon 2 K. 11. Die temperaturbedingte Längenmessabweichung L T wird in der Praxis häufig nicht korrigiert. Sie ist deshalb nach Abschnitt 2.5 als zusätzliche Eingangsgröße zu berücksichtigen. Die Abweichungen für Position, Symmetrie und Koaxialität werden üblicherweise durchmesserbezogen ausgewertet. Die Unsicherheiten werden hier aber zunächst radiusbezogen berechnet. Für durchmesserbezogene Messergebnisse sind die Unsicherheiten deshalb zu verdoppeln (siehe Abschnitt 4.7). Bei einigen Berechnungstabellen werden nicht immer alle Eingangsgrößen benötigt. Die entsprechenden Leerzeilen werden dann hier nicht abgebildet. Dadurch kann sich ein anderer optischer Eindruck als bei der Beschreibung der Berechnungstabellen im Kapitel 8 ergeben. An dem Sachverhalt ändert sich dadurch jedoch nichts. <?page no="80"?> 72 7.3.2 Durchmesser Die Berechnungstabelle wird für die Durchmesserunsicherheiten von Kreis, Halbkugel und Zylinder eingesetzt. Bei der Kugel wird vorausgesetzt, dass die Messpunkte gleichmäßig über den zugänglichen Teil der Kugeloberfläche (Halbkugel) verteilt sind. Der Zylinder kann auch in zwei Radialschnitten gemessen werden. Die Standardunsicherheiten der Durchmesser werden nach Tabelle 3.10 abgeschätzt. Bei Kreis und Zylinder lässt sich die Anordnung der Messpunkte auf einem Teil des Umfangs berücksichtigen, indem der Faktor an der Kurve der Standardunsicherheit u D des Durchmessers im Bild 3.3 abgelesen oder eine Näherungsfunktion berechnet wird. Die Tabelle 7.3 zeigt als Beispiel den Durchmesser eines Ausgleichskreises. Folgende Eingangsgrößen werden berücksichtigt (siehe auch 7.3.1): D WE Durchmesser des Ausgleichselements am Werkstück Der Kreis wird mit n=4 Punkten gemessen, die gleichmäßig über den ganzen Umfang verteilt sind. Bei einer Serie von 50 Werkstücken beträgt die mittlere Standardabweichung am Ausgleichskreis s=5 μm. Der Faktor b ergibt sich aus Tabelle 3.10 für den Durchmesser. D T Durchmesser der Ausgleichskugel beim Einmessen des Tasters Der Taster wird mit fünf Punkten am Kugelnormal eingemessen, wobei vier Punkte am Äquator der Kugel und einer auf ihrem Nordpol liegen. Die minimale Standardabweichung beträgt nach Gleichung (4.3) s=A/ 3=2 μm. D C Kalibrierter Durchmesser des Kugelnormals Der Durchmesser des Kugelnormals und seine Unsicherheit sind im Kalibrierschein vermerkt. Für die erweiterte Messunsicherheit U=0,4 μm mit dem Erweiterungsfaktor k=2 ist mit einer Normalverteilung zu rechnen. L KMG Geometrieabweichungen des KMG Die Grenzabweichung wird nach Tabelle 3.18 mit dem Durchmesser D=150 berechnet. L M Längenabweichung für die Abweichung des Ausdehnungskoeffizienten des Maßstabs (20 %) L W Längenabweichung für die Abweichung des Ausdehnungskoeffizienten des Werkstücks (20 %) L tM Längenabweichung für die Temperaturabweichung des Maßstabs L tW Längenabweichung für die Temperaturabweichung des Werkstücks L TK Temperaturbedingte Längenmessabweichung, wenn nicht korrigiert Die Messung des Werkstücks mit 4 Punkten und der mittleren Standardabweichung s=5 μm am Ausgleichskreis liefert den größten Unsicherheitsbeitrag mit 5,0 μm (D W ). Bei z.B. n=100 Punkten verringert er sich auf 1,0 μm, und die erweiterte Messunsicherheit beträgt nur noch 9,9 μm. Jetzt leistet die nicht korrigierte temperaturbedingte Längenmessabweichung L TK den größten Beitrag, dicht gefolgt von der Temperaturabweichung L tW des Werkstücks und dem Durchmesser D T der Ausgleichskugel beim Einmessen des Tasters. Die Unsicherheitsbeiträge des Kugelnormaldurchmessers und der Geometrieabweichungen sind hier vernachlässigbar. <?page no="81"?> 73 Tabelle 7.3: Unsicherheit des Bohrungsdurchmessers Messgröße: D Durchmesser, korrigiert auf die Referenztemperatur 20°C Funktion: D = D WE - ( D T - D C ) - L KMG - L T + L TK mit L T = L W - L M + L tW - L tM = D * [ W *(t W -20°C) - M *(t M -20°C) ] Eingangsgrößen: D WE Durchmesser des Ausgleichselements am Werkstück D T Durchmesser der Ausgleichskugel beim Einmessen des Tasters (Halbkugel) D C Kalibrierter Durchmesser des Kugelnormals L KMG Geometrieabweichungen des KMG L M Längenabweichung für die Abweichung des Ausdehnungskoeffizienten des Maßstabs L W Längenabweichung für die Abweichung des Ausdehnungskoeffizienten des Werkstücks L tM Längenabweichung für die Temperaturabweichung des Maßstabs L tW Längenabweichung für die Temperaturabweichung des Werkstücks L TK Temperaturbedingte Längenmessabweichung, wenn nicht korrigiert Messbedingungen: Element 4 Auswahl: 4 Kreis, 5 Halbkugel, 6 Zylinder D = 150 Nennmaß des Durchmessers Winkelbereich der Messpunkte am Umfang (Standard 360°) A = 6 Konstanter Anteil A des Grenzwertes E 0, MPE der Längenmessabweichungen K = 200 Faktor K des Grenzwertes der Längenmessabweichungen E 0, MPE = (A+L/ K) μm U C = 0,4 Kalibrierunsicherheit des Kugelnormal-Durchmessers (μm) M = 8 Ausdehnungskoeffizient der KMG-Maßstäbe (10 -6 / K) t M = 20 Mittlere Temperatur der Maßstäbe (°C) t M = 2 Maximale Abweichung von der mittleren Temperatur (K) W = 12 Ausdehnungskoeffizient des Werkstücks (10 -6 / K) t W = 22 Mittlere Temperatur des Werkstücks (°C) t W = 2 Maximale Abweichung von der mittleren Temperatur (K) Temperat. 0 Temperaturbedingte Längenmessabweichung korrigiert: 0 nein, 1 ja Eingangsgröße Methode bzw. Anzahl Messpunktanzahl bzw. Verteilung Standardabweichung bzw. Grenze Faktor für Punktzahl / Verteilung Sensitivitätskoeffizient Unsicherheitsbeitrag (μm) Effektive Freiheitsgrade X i m i n i s i bzw. a i b i c i u i (y) eff D WE B 4 5 1,00 1 5,0 D T B 5 2 1,00 1 2,0 D C B Normal 0,4 0,50 1 0,2 L KMG B Normal 0,8 0,50 1 0,4 L M B Rechteck 1,6 0,58 0,0 0,0 L W B Rechteck 2,4 0,58 0,3 0,4 L tM B Rechteck 2,0 0,58 1,2 1,4 L tW B Rechteck 2,0 0,58 1,8 2,1 L TK B Bimodal 3,6 1 1 3,6 Standardunsicherheit der Messgröße: u(y) = 7,0 Erweiterungsfaktor: k = 2,00 Erweiterte Messunsicherheit (P=95 %): U = 13,9 <?page no="82"?> 74 7.3.3 Abstand Die Berechnungstabelle wird für die Unsicherheit des Abstandes zwischen zwei Formelementen eingesetzt. Dabei kann das Prüfmerkmal sowohl als Abstandstoleranz oder auch als Positionstoleranz in einer vorgegebenen Richtung mit einem Bezug (kein Bezugssystem) in die Zeichnung eingetragen sein. Im zweiten Fall wird das theoretische Maß als Nennmaß eingesetzt. Falls die Positionsabweichung durchmesserbezogen angegeben wird, ist die Messunsicherheit ebenfalls zu verdoppeln (siehe Abschnitt 4.7). Es sind verschiedene Formelemente und Bezugselemente möglich. Die Elemente können mit demselben oder mit verschiedenen Tastern gemessen werden. Ebenso erhält man verschiedene Ergebnisse und Unsicherheiten, wenn die Koordinaten von der KMG-Software entweder im Schwerpunkt der Messpunkte oder im Durchstoßpunkt durch die Nullebene des Koordinatensystems ausgewertet werden. Im zweiten Fall sind zusätzlich die Winkelabweichungen des Bezuges für den Schwerpunktabstand der Messpunkte vom Durchstoßpunkt zu berücksichtigen. Die Tabelle 7.4 zeigt die Unsicherheit des Abstandes 450 aus dem Bild 7.2, wobei beide Formelemente mit verschiedenen Tastern gemessen wurden. Folgende Eingangsgrößen werden berücksichtigt (siehe auch 7.3.1): X E Koordinate des tolerierten Elements im Schwerpunkt Die Bohrung wird als Zylinder mit n=8 Punkten gemessen, jeweils gleichmäßig über den ganzen Umfang verteilt. Bei einer Serie von 50 Werkstücken beträgt die mittlere Standardabweichung am Ausgleichszylinder s=5 μm. Der Faktor b ergibt sich aus Tabelle 3.10 für die Messpunktanzahl n. W E1 Erster Winkel des tolerierten Elements Die Winkelabweichung der Zylinderachse liefert einen Beitrag für den größten Abstand der Zylinderachse vom Durchstoßpunkt durch die Nullebene des Koordinatensystems (im Bild 7.2 oben). Punktzahl und Standardabweichung sind dieselben wie bei X E , da es sich um dasselbe Element handelt. Der Faktor b ergibt sich aus Tabelle 3.10 für den Winkel der Achse bei zwei Radialschnitten. Der Sensitivitätskoeffizient ist das Verhältnis des größten Abstandes vom Durchstoßpunkt L NE zur Messlänge L ME . Mit L ME =80 und L NE =100 ist c i =L NE / L ME 1,3. X TE Mittelpunktkoordinate des Tasters für das tolerierte Element Der Taster für die Bohrung wird mit n=5 Punkten eingemessen, wobei ein Punkt in Richtung des Tasterschaftes auf dem Pol und vier gleichabständig am Äquator angeordnet sind. Die Standardabweichung beträgt s=s min =A/ 3= =2 μm. Der Faktor b ergibt sich aus Tabelle 3.10 bzw. Gleichung (3.28) für u X =u Y mit b=0,71, da der Tasterschaft in der Bohrung senkrecht zur Auswerterichtung steht. Der Sensitivitätskoeffizient ist c i =1. X B Koordinate des Bezugselements im Schwerpunkt Die Ebene links wird mit n=4 Punkten gemessen, die in der Nähe der Eckpunkte angeordnet sind. Bei einer Serie von 50 Werkstücken beträgt die mittlere Standardabweichung an der Ausgleichsebene s=5 μm. Der Faktor b ergibt sich aus Tabelle 3.10 für den Ebenenschwerpunkt. W B1 1. Winkel des Bezugselements Die zwei Winkel der Ebene liefern je einen Beitrag, wenn die Koordinaten in den Durchstoßpunkten durch die Nullebenen des Koordinatensystems ausgewertet werden. Die Standardabweichung ist dieselbe wie bei X B , da es sich <?page no="83"?> 75 um dasselbe Element handelt. Die Messpunkte sind in zwei Reihen entlang der Längsseiten der Ebene angeordnet (wie im Bild 3.6 links). Der Faktor b ergibt sich aus Tabelle 3.10 für die Punktanordnung in der Reihe. Der Sensitivitätskoeffizient ist das Verhältnis des Schwerpunktabstandes L NB1 der Messpunkte am Bezug vom Durchstoßpunkt zur Messlänge L MB1 . Mit L MB1 =310 und L NB1 =165 ist c i =L NB1 / L MB1 0,5. W B2 2. Winkel des Bezugselements Für den zweiten Winkel quer zur Ebene trifft die Punktanordnung an den Enden zu. Die Standardabweichung ist dieselbe wie bei X B und W B1 , da es sich um dasselbe Element handelt. Der Faktor b ergibt sich aus Tabelle 3.10. Der Sensitivitätskoeffizient ist das Verhältnis des Schwerpunktabstandes L NB2 der Messpunkte am Bezug vom Durchstoßpunkt zur Messlänge L MB2 . Mit L MB2 =230 und L NB2 =125 ist c i =L NB2 / L MB2 0,5. X TB Mittelpunktkoordinate des Tasters für das Bezugselement Der Taster für die Ebene links wird mit n=5 Punkten eingemessen, wobei ein Punkt in Richtung des Tasterschaftes auf dem Pol und vier gleichabständig am Äquator angeordnet sind. Die Standardabweichung beträgt s=s min =A/ 3= =2 μm. Der Faktor b ergibt sich aus Tabelle 3.10 bzw. Gleichung (3.28) für u X =u Y mit b=1,12, da der Tasterschaft senkrecht zur Ebene bzw. parallel zur Auswerterichtung steht. Der Sensitivitätskoeffizient ist c i =1. D TB Durchmesser der Ausgleichskugel beim Einmessen des Tasters am Bezug An der Ebene links wird die Koordinate um den Tasterradius korrigiert. Die Standardabweichung ist dieselbe wie bei X TB , da es sich um denselben Einmessvorgang handelt. Der Faktor b ergibt sich aus Tabelle 3.10 bzw. Gleichung (3.28) für den Durchmesser bei n=5 Messpunkten mit b i =1. Der Sensitivitätskoeffizient ist c i =0,5, da hier nicht um den Tasterdurchmesser, sondern um den Tasterradius korrigiert wird. D C Kalibrierter Durchmesser des Kugelnormals Bei der Ebene links wird die Koordinate um den Tasterradius korrigiert. Deshalb ist hier nur der halbe Durchmesser des Kugelnormals zu berücksichtigen, und der Sensitivitätskoeffizient ist c i =0,5. X TR Rotationsabweichung der Tastermittelpunkte zwischen Element und Bezug Die beiden Tasterlängen L TE und L TB entsprechen der Länge, für die die Mehrfachtaster-Ortsabweichung P LTj, MPE spezifiziert ist. Bei anderen Tasterlängen ist der Grenzwert nach Abschnitt 4.3.2. umzurechnen (siehe auch Tabelle 8.4). Die Abweichungen können als normalverteilt angesehen werden, wenn entsprechende Auswertungen der turnusmäßigen Überwachungen vorliegen. Dann ist der Faktor für die Verteilungsform b=0,5, und der Sensitivitätskoeffizient beträgt in jedem Fall c i =1. L KMG Geometrieabweichungen des KMG Die Grenzabweichung des Abstands wird nach Tabelle 3.18 mit der Länge L=450 berechnet. Die Abweichungen können als normalverteilt angesehen werden, wenn entsprechende Auswertungen der turnusmäßigen Überwachungen vorliegen. Dann ist der Faktor für die Verteilungsform b=0,5, und der Sensitivitätskoeffizient beträgt in jedem Fall c i =1. L M Längenabweichung für die Abweichung des Ausdehnungskoeffizienten des Maßstabs (20 %) L W Längenabweichung für die Abweichung des Ausdehnungskoeffizienten des Werkstücks (20 %) <?page no="84"?> 76 L tM Längenabweichung für die Temperaturabweichung des Maßstabs L tW Längenabweichung für die Temperaturabweichung des Werkstücks L TK Temperaturbedingte Längenmessabweichung, wenn nicht korrigiert Tabelle 7.4: Unsicherheit des Abstandes 450 zwischen Ausgleichsebene und Ausgleichszylinder bei Messung mit demselben Taster und Auswertung in der Nullebene des Koordinatensystems Messgröße: L Länge, korrigiert auf die Referenztemperatur 20°C Funktion: L = ( X E - W E1 *L NE1 / L ME1 - X TE ) - ( X B - W B1 *L NB1 / L MB1 - W B2 *L NB2 / L MB2 - X TB + + (D TB -D C )/ 2 ) - X TR - L KMG - L T + L TK mit: L T = L M - L W + L tM - L tW = L NA * [ W *(t W -20°C) - M *(t M -20°C) ] Messbedingungen: Taster 2 Auswahl: 1 derselbe Taster, 2 verschiedene Taster für Element und Bezug L NA = 450 Nennmaß des Abstandes (bei Position theoretisches Maß) Element 6 1 Punkt, 2 Gerade, 3 Ebene, 4 Kreis, 5 Halbkugel, 6 Zylinder, 7 Kegel Merkmal - Koordinate im Schwerpunkt der Messpunkte senkrecht zur Achse Muster E1 2 Punktmuster: 1 gleichmäßig verteilt, 2 zwei Radialschnitte L ME1 = 80 Messlänge am tolerierten Element (Bereich der Messpunkte) L NE1 = 100 Größter Abstand des tol. Elements vom Schwerpunkt bzw. von der Nullebene Taster E Tasterschaft senkrecht zur Auswerterichtung (parallel zur Achse) L TE = 100 Tasterlänge (Abstand zwischen Kugelmittelpunkt und Anlage am Tastkopf) Bezug 3 1 Punkt, 2 Gerade, 3 Ebene, 4 Kreis, 5 Halbkugel, 6 Zylinder, 7 Kegel Merkmal - Koordinate im Schwerpunkt der Messpunkte senkrecht zur Oberfläche Muster B1 1 Punktmuster: 1 in Reihe oder im Raster, 2 an den Enden, 3 kreisförmig L MB1 = 310 Messlänge am Bezugselement (Bereich der Messpunkte) L NB1 = 165 Schwerpunktabstand vom Schwerpunkt des tol. Elements / von der Nullebene Muster B2 2 2. Punktmuster: 1 in Reihe oder im Raster, 2 an den Enden, 3 kreisförmig L MB2 = 230 2. Messlänge am Bezugselement (Bereich der Messpunkte - nur bei Ebene) L NB2 = 125 2. Schwerpunktabstand vom Schwerpunkt des tol. Elements / von d. Nullebene Taster B 2 Tasterschaft: 1 senkrecht, 2 parallel zur Auswerterichtung L TB = 100 Tasterlänge (Abstand zwischen Kugelmittelpunkt und Anlage am Tastkopf) A = 6 Konstanter Anteil A des Grenzwertes E 0, MPE der Längenmessabweichungen K = 200 Faktor K des Grenzwertes der Längenmessabweichungen E 0, MPE = (A+L/ K) μm P LTj, MPE = 2 Grenzwert der Mehrfachtaster-Ortsabweichung des Messkopfsystems L T = 100 Tasterlänge für die spezifizierte Mehrfachtaster-Ortsabweichung U C = 0,4 Kalibrierunsicherheit des Kugelnormal-Durchmessers (μm) M = 8 Ausdehnungskoeffizient der KMG-Maßstäbe (10 -6 / K) t M = 20 Mittlere Temperatur der Maßstäbe (°C) t M = 2 Maximale Abweichung von der mittleren Temperatur (K) W = 12 Ausdehnungskoeffizient des Werkstücks (10 -6 / K) t W = 22 Mittlere Temperatur des Werkstücks (°C) t W = 2 Maximale Abweichung von der mittleren Temperatur (K) Temperat. 0 Temperaturbedingte Längenmessabweichung korrigiert: 0 nein, 1 ja Software 1 Auswertung: 0 im Schwerpunkt der Messpunkte, 1 in der Nullebene Fortsetzung nächste Seite <?page no="85"?> 77 Tabelle 7.4: Unsicherheit Abstand (Fortsetzung) Eingangsgröße Methode bzw. Anzahl Messpunktanzahl bzw. Verteilung Standardabweichung bzw. Grenze Faktor für Punktzahl / Verteilung Sensitivitätskoeffizient Unsicherheitsbeitrag (μm) Effektive Freiheitsgrade X i m i n i s i bzw. a i b i c i u i (y) eff X E B 8 5 0,50 1 2,5 W E1 B 8 5 1,00 1,3 6,3 X TE B 5 2 0,71 1 1,4 X B B 8 5 0,35 1 1,8 W B1 B 8 5 1,08 0,5 2,9 W B2 B 8 5 0,71 0,5 1,9 W B2 B 5 2 1,12 1 2,2 D TB B 5 2 1,00 0,5 1,0 D C B Normal 0,4 0,50 0,5 0,1 X TR B Normal 2,0 0,50 1 1,0 L KMG B Normal 2,3 0,50 1 1,1 L M B Rechteck 1,6 0,58 0,0 0,0 L W B Rechteck 2,4 0,58 0,9 1,2 L tM B Rechteck 2,0 0,58 3,6 4,2 L tW B Rechteck 2,0 0,58 5,4 6,2 L TK B Bimodal 10,8 1 1 10,8 Standardunsicherheit der Messgröße: u(y) = 15,7 Erweiterungsfaktor: k = 2,00 Erweiterte Messunsicherheit (P=95 %): U = 31,3 Wegen der großen Länge (450 mm) überwiegt der Unsicherheitsbeitrag L TK aus der nicht ausgeführten Temperaturkorrektur, gefolgt von dem Winkel der Zylinderachse W E1 und den Temperaturabweichungen L tW des Werkstücks. Die Beiträge D C des Kugelnormals und L KMG der Geometrieabweichungen sind hier vernachlässigbar. Als erste Maßnahme sollte die temperaturbedingte Längenmessabweichung korrigiert werden. Die erweiterte Messunsicherheit verringert sich auf 22,7 μm. Die Messung der Positionsabweichung in einer vorgegebenen Richtung entspricht einer Abstandsmessung, wenn das theoretische Maß als Nennmaß eingesetzt wird. Falls die Positionsabweichung wie bei den meisten KMG durchmesserbezogen angegeben wird, ist die Messunsicherheit zu verdoppeln (siehe Abschnitt 4.7). Im Abschnitt 3.3.1 wurde bereits darauf hingewiesen, dass der längenabhängige Anteil L/ K des Grenzwertes E 0, MPE nicht nur die Geometrie-, sondern zum Teil auch die temperaturbedingten Längenmessabweichungen begrenzt. In Tabelle 7.4 sind die beiden Unsicherheitsbeiträge aus den Temperaturen L tW des Werkstücks (6,2 μm) und L tM der Maßstäbe (4,2 μm) deutlich größer als der Beitrag L KMG der Geometrieabweichungen des KMG (1,1 μm). Selbst unter nahezu idealen Bedingungen mit Grenzabweichungen der Temperatur von 0,5 K liegen diese Unsicherheitsbeiträge mit L tW =1,6 μm und mit L tM =1,0 μm schon in der Größenordnung von L KMG . Die Spezifikation lässt sich also nur einhalten, wenn die Temperaturen bei der Annahmeprüfung deutlich genauer bestimmt werden. Daraus folgt auch, dass bei größeren Temperaturabweichungen dieser Einfluss nicht im Grenzwert E 0, MPE enthalten ist, sondern gesondert abgeschätzt werden muss. <?page no="86"?> 78 7.3.4 Position Die Berechnungstabelle wird für die Unsicherheit der Positionsabweichung eines Formelementes (bzw. eines Punktes darauf) in einem Bezugssystem eingesetzt. Es sind verschiedene Formelemente und Bezugselemente möglich. Die Elemente können mit demselben oder mit verschiedenen Tastern gemessen werden. Ebenso ergeben sich verschiedene Ergebnisse und Unsicherheiten, wenn die Koordinaten von der KMG-Software entweder im Schwerpunkt der Messpunkte oder im Durchstoßpunkt durch die Nullebene des Koordinatensystems ausgewertet werden. Im jedem Fall werden die Winkelabweichungen der Bezüge berücksichtigt. Die Tabelle 7.6 zeigt die Unsicherheit der Positionsabweichung aus Bild 7.5, wobei alle Elemente mit demselben Taster gemessen wurden. Entsprechend dem mathematischen Modell in Tabelle 7.6 sind die beiden Winkel und aus Bild 7.5 zu beachten. Der Winkel liegt in der XY-Ebene, wird von der positiven X-Achse aus gemessen und geht von 0° bis 360°. Der Winkel beschreibt die Auslenkung aus der XY-Ebene, wird von dieser Ebene aus gemessen und geht von -90° bis +90°. Für die Auswertung der X-Koordinate ist =0° und =0°, für die Y-Koordinate =90° und =0° und für die Z-Koordinate =90° ( ist hier beliebig). Bild 7.5: Positionstoleranz eines Bohrungsmittelpunktes im Bezugssystem Zur Berechnung der Unsicherheitsbeiträge der Geometrieabweichungen des KMG und der Temperatur wird der auf die Auswerterichtung projizierte Abstand L NA des betrachteten Punktes des Formelementes vom Koordinatenursprung benötigt: L NA = (x E *cos + y E *sin ) *cos + z E *sin (7.1) Mit x E =40, y E =10 und z E =0 sowie =0° und =0° im Bild 7.5 ist L NA =40. Für die Positionsabweichung aus Bild 7.5 werden folgende Eingangsgrößen berücksichtigt (siehe auch 7.3.1). X E0 Koordinate des tolerierten Elements im Schwerpunkt Die Bohrung auf dem Teilkreis wird als Kreis mit n=4 Punkten gemessen, gleichmäßig über den ganzen Umfang verteilt. Bei einer Serie von 50 Werkstücken beträgt die mittlere Standardabweichung am Ausgleichszylinder s=2 μm. Der Faktor b ergibt sich aus Tabelle 3.10 für die Punktanzahl n. Der Sensitivitätskoeffizient ist immer c i =1. <?page no="87"?> 79 X NB Nullpunkt der X-Koordinate des Bezugssystems Der Nullpunkt der X-Koordinate des Bezugssystems wird durch die Mitte der Mittelbohrung festgelegt. Sie wird als Kreis mit n=4 Punkten gemessen, gleichmäßig über den ganzen Umfang verteilt. Bei einer Serie von 50 Werkstücken beträgt die mittlere Standardabweichung am Ausgleichszylinder s=2 μm. Der Faktor b ergibt sich aus Tabelle 3.10 für die Punktanzahl n. Der Sensitivitätskoeffizient ist mit =0° und =0° c i =cos( )*cos( )=1,0. Y NB Nullpunkt der Y-Koordinate des Bezugssystems Die Stirnseite des Zylinders wird als Ebene mit n=8 Punkten gemessen. Bei einer Serie von 50 Werkstücken beträgt die mittlere Standardabweichung an der Ausgleichsebene s=2 μm. Der Faktor b ergibt sich aus Tabelle 3.10 für die Punktzahl n. Der Sensitivitätskoeffizient ist mit =0° c i =sin( )*cos( )=0. Z NB Nullpunkt der Z-Koordinate des Bezugssystems Der Nullpunkt der X-Koordinate des Bezugssystems wird durch die Mitte der Mittelbohrung festgelegt. Die Punktzahl und die Standardabweichung sind dieselben wie bei X B , da es sich um dasselbe Element handelt. Der Faktor b ergibt sich aus Tabelle 3.10 für die Punktanzahl n. Der Sensitivitätskoeffizient ist mit =0° c i =sin( )=0. W BXY Drehung um die X-Achse des Bezugssystems mit Nullpunktabstand Y Die Winkeldrehung um die X-Achse wird durch die Ebene Bezug A bestimmt. Sie wird mit n=8 Punkten gemessen, die kreisförmig angeordnet sind. Bei einer Serie von 50 Werkstücken beträgt die mittlere Standardabweichung an der Ausgleichsebene s=2 μm. Der Faktor b ergibt sich aus Tabelle 3.10 für die kreisförmige Anordnung mit der Punktzahl n. Der Sensitivitätskoeffizient ist das Verhältnis der Koordinatendifferenz zwischen dem Mittelpunkt y E des tolerierten Elements und der Y-Koordinate y NX des Bezuges, der den Nullpunkt der X-Koordinate definiert, zur Messlänge L MBWX . Mit y E =-25, y NX =-5 und L MBWX =90 für den Durchmesser des Messpunktkreises auf der Ebene sowie =0° ist c i =(y E -y NX )/ L MBWX *sin( )=0. W BXZ Drehung um die X-Achse des Bezugssystems mit Nullpunktabstand Z Die Standardabweichung ist dieselbe wie bei W BXY , da es sich um dasselbe Element handelt. Bei anderen Messpunktmustern treten ggf. andere Messlängen und Faktoren b auf. Der Sensitivitätskoeffizient ist das Verhältnis der Koordinatendifferenz zwischen dem Mittelpunkt z E des tolerierten Elements und der Y-Koordinate z NX des Bezuges, der den Nullpunkt der Z-Koordinate definiert, zur Messlänge L MBWX . Mit z E =0, z NX =0 und L MBWX =90 für den Durchmesser des Messpunktkreises auf der Ebene sowie =0° ist c i =(z E -z NX )/ L MBWX *sin( )*cos( )=0. X BYX1 1. Mittelpunktkoordinate des Bezuges für Drehung um die Y-Achse mit X Die Winkeldrehung um die Y-Achse wird durch die Mittelpunkte der Mittelbohrung (Index 1) und der seitlichen Bohrung (Index 2) bestimmt. Die Mittelbohrung wird als Kreis mit n=4 Punkten gemessen, gleichmäßig über den ganzen Umfang verteilt. Bei einer Serie von 50 Werkstücken beträgt die mittlere Standardabweichung an der Mittelbohrung s=2 μm. Der Faktor b ergibt sich aus Tabelle 3.10 für die Punktanzahl n. Der Sensitivitätskoeffizient ist das Verhältnis der Koordinatendifferenz zwischen dem Mittelpunkt x E des tolerierten Elements und der X-Koordinate x NY des Bezuges, der den Nullpunkt der X-Koordinate definiert, zur Messlänge <?page no="88"?> 80 L MBWY . Mit x E =40, x NY =0 und L MBWY =40 für den Abstand der beiden Kreismittelpunkte sowie =0° ist c i =(x E -x NY )/ L MBWY *sin( )=0. X BYZ1 1. Mittelpunktkoordinate des Bezuges für Drehung um die Y-Achse mit Z Die Standardabweichung ist dieselbe wie bei X BYX1 , da es sich um dasselbe Element handelt. Der Sensitivitätskoeffizient ist das Verhältnis der Koordinatendifferenz zwischen dem Mittelpunkt z E des tolerierten Elements und der Z- Koordinate z NY des Bezuges, der den Nullpunkt der Z-Koordinate definiert, zur Messlänge L MBWY . Mit z E =0, z NY =0 und L MBWY =40 für den Abstand der beiden Kreismittelpunkte sowie =0° und =0° ist c i =(z E -z NY )/ L MBWY *cos( ) *cos( )=0. X BYX2 2. Mittelpunktkoordinate des Bezuges für Drehung um die Y-Achse mit X Die seitliche Bohrung wird als Kreis mit n=4 Punkten gemessen, gleichmäßig über den ganzen Umfang verteilt. Bei einer Serie von 50 Werkstücken beträgt die mittlere Standardabweichung am Ausgleichszylinder s=2 μm. Der Faktor b ergibt sich aus Tabelle 3.10 für die Punktanzahl n. Der Sensitivitätskoeffizient ist das Verhältnis der Koordinatendifferenz zwischen dem Mittelpunkt x E des tolerierten Elements und der X-Koordinate x NY des Bezuges, der den Nullpunkt der X-Koordinate definiert, zur Messlänge L MBWY . Mit x E =40, x NY =0 und L MBWY =40 für den Abstand der beiden Kreismittelpunkte sowie =0° ist c i =(x E -x NY )/ L MBWY *sin( )=0. X BYZ2 2. Mittelpunktkoordinate des Bezuges für Drehung um die Y-Achse mit Z Die Standardabweichung ist dieselbe wie bei X BYX2 , da es sich um dasselbe Element handelt. Der Sensitivitätskoeffizient ist das Verhältnis der Koordinatendifferenz zwischen dem Mittelpunkt z E des tolerierten Elements und der Z- Koordinate z NY des Bezuges, der den Nullpunkt der Z-Koordinate definiert, zur Messlänge L MBWY . Mit z E =0, z NY =0 und L MBWY =40 für den Abstand der beiden Kreismittelpunkte sowie =0° und =0° ist c i =(z E -z NY )/ L MBWY *cos( ) *cos( )=0. W BZX Drehung um die Z-Achse des Bezugssystems mit Nullpunktabstand X Die Winkeldrehung um die Z-Achse wird durch die Ebene an der Stirnseite bestimmt. Sie wird mit n=8 Punkten gemessen, die kreisförmig angeordnet sind. Bei einer Serie von 50 Werkstücken beträgt die mittlere Standardabweichung an der Ausgleichsebene s=2 μm. Der Faktor b ergibt sich aus Tabelle 3.10 für die kreisförmige Anordnung mit der Punktzahl n. Der Sensitivitätskoeffizient ist das Verhältnis der Koordinatendifferenz zwischen dem Mittelpunkt x E des tolerierten Elements und der X-Koordinate x NZ des Bezuges, der den Nullpunkt der X-Koordinate definiert, zur Messlänge L MBWZ . Mit x E =40, x NZ =0 und L MBWZ =90 für den Durchmesser des Messpunktkreises auf der Ebene sowie =0° und =0° ist c i =(x E -x NZ )/ L MBWZ *sin( ) *cos( )=0. W BZY Drehung um die Z-Achse des Bezugssystems mit Nullpunktabstand Y Die Standardabweichung ist dieselbe wie bei W BZX , da es sich um dasselbe Element handelt. Bei anderen Messpunktmustern treten ggf. andere Messlängen und Faktoren b auf. Der Sensitivitätskoeffizient ist das Verhältnis der Koordinatendifferenz zwischen dem Mittelpunkt y E des tolerierten Elements und der Y-Koordinate y NZ des Bezuges, der den Nullpunkt der Y-Koordinate definiert, zur Messlänge L MBWZ . Mit y E =-25, y NZ =-5 und L MBWZ =90 für den Durchmesser des Mess- <?page no="89"?> 81 punktkreises auf der Ebene sowie =0° und =0° ist c i =(y E -y NZ )/ L MBWZ *cos( )*cos( ) 0,2. L KMG Geometrieabweichungen des KMG Die Geometrieabweichungen des KMG werden nach Tabelle 3.18 berechnet. Mit dem auf die Auswerterichtung projizierten Abstand L N =40 nach Gleichung (7.1) und K=200 aus dem Grenzwert der Längenmessabweichung ist die Grenzabweichung a i =L N / K=0,2. L M Längenabweichung für die Abweichung des Ausdehnungskoeffizienten des Maßstabs (20 %) L W Längenabweichung für die Abweichung des Ausdehnungskoeffizienten des Werkstücks (20 %) L tM Längenabweichung für die Temperaturabweichung des Maßstabs L tW Längenabweichung für die Temperaturabweichung des Werkstücks L TK Temperaturbedingte Längenmessabweichung, wenn nicht korrigiert Tabelle 7.6: Unsicherheit der Positionsabweichung des Bohrungsmittelpunktes aus Bild 7.5 im Bezugssystem Messgröße: E P Abweichung der Koordinate des betrachteten Punktes auf der Oberfläche bzw. Achse, korrigiert auf die Referenztemperatur 20°C (radiusbezogen) Funktion: E P = X E0 - L KMG - L T + L TK + - [ X NB - (X BYZ1 -X BYZ2 )*(Z E -Z NY )/ L MBWY - W BZY *(Y E -Y NZ )/ L MBWZ ] *cos( )*cos( ) + + [ Y NB - W BXZ *(Z E -Z NX )/ L MBWX - W BZX *(X E -X NZ )/ L MBWZ ] *sin( )*cos( ) + + [ Z NB - (X BYX1 -X BYX2 )*(X E -X NY )/ L MBWY - W BXY *(Y E -Y NX )/ L MBWX ] *sin( ) mit: L T = L M - L W + L tM - L tW = L NA * [ W *(t W -20°C) - M *(t M -20°C) ] Messlänge: L NA = (x E *cos + y E *sin ) *cos + z E *sin Eingangsgrößen: X E0 Koordinate des tolerierten Elements im Schwerpunkt X B Bezugselement mit Nullpunkt der X-Koordinate des Bezugssystems Y B Bezugselement mit Nullpunkt der Y-Koordinate des Bezugssystems Z B Bezugselement mit Nullpunkt der Z-Koordinate des Bezugssystems W BXY Winkel des Bezugselements für die Drehung um die X-Achse mit Nullpunktabstand Y W BXZ Winkel des Bezugselements für die Drehung um die X-Achse mit Nullpunktabstand Z X BYX1 1. Mittelpunktkoordinate des Bezugselements für Drehung um die Y-Achse mit X X BYZ1 1. Mittelpunktkoordinate des Bezugselements für Drehung um die Y-Achse mit Z X BYX2 2. Mittelpunktkoordinate des Bezugselements für Drehung um die Y-Achse mit X X BYZ2 2. Mittelpunktkoordinate des Bezugselements für Drehung um die Y-Achse mit Z W BZX Winkel des Bezugselements für die Drehung um die Z-Achse mit Nullpunktabstand X W BZY Winkel des Bezugselements für die Drehung um die Z-Achse mit Nullpunktabstand Y L KMG Geometrieabweichungen des KMG L M Längenabweichung für die Abweichung des Ausdehnungskoeffizienten des Maßstabs L W Längenabweichung für die Abweichung des Ausdehnungskoeffizienten des Werkstücks L tM Längenabweichung für die Temperaturabweichung des Maßstabs L tW Längenabweichung für die Temperaturabweichung des Werkstücks L TK Temperaturbedingte Längenmessabweichung, wenn nicht korrigiert Fortsetzung nächste Seite <?page no="90"?> 82 Tabelle 7.6: Unsicherheit Position (Fortsetzung) Messbedingungen: X E = 40 Theoretisches Maß in der X-Koordinate für den Punkt am tolerierten Element Y E = -25 Theoretisches Maß in der Y-Koordinate für den Punkt am tolerierten Element Z E = 0 Theoretisches Maß in der Z-Koordinate für den Punkt am tolerierten Element = 0 Azimutwinkel in ° (in der XY-Ebene, von der X-Achse aus gemessen) = 0 Elevationswinkel in ° (Auslenkung aus der XY-Ebene) L NA = 40,0 Nennwert der Messlänge für Geometrieabweichungen und Temperatur Element 4 1 Punkt, 2 Gerade, 3 Ebene, 4 Kreis, 5 Halbkugel, 6 Zylinder, 7 Kegel Merkmal - Mittelpunktkoordinate senkrecht zur Achse und zum Tasterschaft Muster E1 Messpunkte gleichmäßig am ganzen Kreisumfang Taster E 1 Tasternummer für das tolerierte Element Bezug BNX 4 1 Punkt, 2 Gerade, 3 Ebene, 4 Kreis, 5 Halbkugel, 6 Zylinder, 7 Kegel Merkmal - Mittelpunktkoordinate senkrecht zur Achse und zum Tasterschaft Y NX = -5 Y-Koordinate des Bezugselements im Schwerpunkt bzw. in der Nullebene Z NX = 0 Z-Koordinate des Bezugselements im Schwerpunkt bzw. in der Nullebene Taster BNX 1 Tasternummer des Bezugselementes für den Nullpunkt in der X-Achse Bezug BNY 3 1 Punkt, 2 Gerade, 3 Ebene, 4 Kreis, 5 Halbkugel, 6 Zylinder, 7 Kegel Merkmal - Mittelpunktkoordinate senkrecht zur Achse und zum Tasterschaft X NY = 0 X-Koordinate des Bezugselements im Schwerpunkt bzw. in der Nullebene Z NY = 0 Z-Koordinate des Bezugselements im Schwerpunkt bzw. in der Nullebene Taster BNY 1 Tasternummer des Bezugselementes für den Nullpunkt in der Y-Achse Bezug BNZ 4 1 Punkt, 2 Gerade, 3 Ebene, 4 Kreis, 5 Halbkugel, 6 Zylinder, 7 Kegel Merkmal - Mittelpunktkoordinate senkrecht zur Achse und zum Tasterschaft X NZ = 0 X-Koordinate des Bezugselements im Schwerpunkt bzw. in der Nullebene Y NZ = -5 Y-Koordinate des Bezugselements im Schwerpunkt bzw. in der Nullebene Taster BNZ 1 Tasternummer des Bezugselementes für den Nullpunkt in der Z-Achse Bezug BWX 3 Drehung um X: 2 Gerade, 3 Ebene, 4 2_Kreise, 6 Zylinder, 7 Kegel Muster BWX 3 Punktmuster: 1 in Reihe oder im Raster, 2 an den Enden, 3 kreisförmig L MBWX = 90 Messlänge am Bezug BWX für die Drehung um X (Bereich der Messpunkte) Bezug BWY 4 Drehung um Y: 2 Gerade, 3 Ebene, 4 2_Kreise, 6 Zylinder, 7 Kegel Muster BWY Messpunkte gleichmäßig am ganzen Kreisumfang L MBWY = 40 Messlänge am Bezug BWY für die Drehung um Y (Abstand der Mittelpunkte) Bezug BWZ 3 Drehung um Z: 2 Gerade, 3 Ebene, 4 2_Kreise, 6 Zylinder, 7 Kegel Muster BWZ 3 Punktmuster: 1 in Reihe oder im Raster, 2 an den Enden, 3 kreisförmig L MBWZ = 90 Messlänge am Bezug BWZ für die Drehung um Z (Bereich der Messpunkte) A = 6 Konstanter Anteil A des Grenzwertes E 0, MPE der Längenmessabweichungen K = 200 Faktor K des Grenzwertes der Längenmessabweichungen E 0, MPE = (A+L/ K)μm P LTj, MPE = 2 Grenzwert der Mehrfachtaster-Ortsabweichung für das Messkopfsystem (μm) L T = 100 Tasterlänge für die spezifizierte Mehrfachtaster-Ortsabweichung U C = 0,4 Kalibrierunsicherheit des Kugelnormal-Durchmessers (μm) M = 8 Ausdehnungskoeffizient der KMG-Maßstäbe (10 -6 / K) t M = 20 Mittlere Temperatur der Maßstäbe (°C) t M = 2 Maximale Abweichung von der mittleren Temperatur (K) W = 12 Ausdehnungskoeffizient des Werkstücks (10 -6 / K) t W = 22 Mittlere Temperatur des Werkstücks (°C) t W = 2 Maximale Abweichung von der mittleren Temperatur (K) Temperatur 0 Temperaturbedingte Längenmessabweichung korrigiert: 0 nein, 1 ja Fortsetzung nächste Seite <?page no="91"?> 83 Tabelle 7.6: Unsicherheit Position (Fortsetzung) Eingangsgröße Metho-de bzw. Anzahl Messpunktanzahl bzw. Verteilung Standardabweichung bzw. Grenze Faktor für Punktzahl / Verteilung Sensitivitätskoeffizient Unsicherheitsbeitrag (μm) Effektive Freiheitsgrade X i m i n i s i bzw. a i b i c i u i (y) eff X E0 B 4 2 0,71 1 1,4 X NB B 4 2 0,71 1,0 1,4 Y NB B 8 2 0,35 0,0 0,0 Z NB B 4 2 0,50 0,0 0,0 W BXY B 8 2 1,00 0,0 0,0 W BXZ B 8 2 1,00 0,0 0,0 X BYX1 B 4 2 0,71 0,0 0,0 X BYZ1 B 4 2 0,71 0,0 0,0 X BYX2 B 4 2 0,71 0,0 0,0 X BYZ2 B 4 2 0,71 0,0 0,0 W BZX B 8 2 1,00 0,0 0,0 W BZY B 8 2 1,00 0,2 0,4 L KMG B Normal 0,2 0,50 1 0,1 L M B Rechteck 1,6 0,58 0,0 0,0 L W B Rechteck 2,4 0,58 0,1 0,1 L tM B Rechteck 2,0 0,58 0,3 0,4 L tW B Rechteck 2,0 0,58 0,5 0,6 L TK B Bimodal 0,9 1 1 1,0 Standardunsicherheit der Messgröße: u(y) = 2,4 Erweiterungsfaktor: k = 2,00 Verdoppelt: Erweiterte Messunsicherheit (P=95 %): U = 4,7 9,5 Wegen des kleinen theoretischen Maßes x E =40 überwiegen die Unsicherheitsbeiträge des Kreismittelpunktes für das tolerierte Element x E0 und des Nullpunktes der X-Koordinate x B . Als erste Maßnahme können diese mit mehr Punkten gemessen werden. Dann folgen die Beiträge der nicht ausgeführten Temperaturkorrektur L TK und der Temperaturabweichung des Werkstücks L tW . Ist die Positionstoleranz mit dem Durchmesserzeichen vor dem Zahlenwert der Toleranz in die Zeichnung eingetragen, kann die Abweichung in irgendeiner Richtung auftreten. Dann ist die größte Unsicherheit in beliebiger Richtung zu berechnen und zur Bewertung der Messprozesseignung heranzuziehen. Im Beispiel ist das die Z- Koordinate mit dem Winkel =90° ( ist beliebig), und es ergibt sich mit zusätzlichen Unsicherheitsbeiträgen für die Drehung um die Y-Achse die erweiterte Messunsicherheit U=5,4 μm. Die erweiterte Messunsicherheit wird hier radiusbezogen berechnet. Falls die Positionsabweichung wie bei den meisten KMG durchmesserbezogen ausgewertet wird, ist die Messunsicherheit ebenfalls zu verdoppeln (siehe Abschnitt 4.7). <?page no="92"?> 84 7.3.5 Symmetrie Die Berechnungstabelle wird für die Unsicherheit von Symmetrieabweichungen eingesetzt. Dabei kann es sich sowohl beim Bezug als auch beim tolerierten Element um eine Achse (z.B. eines Zylinders oder durch zwei Kreise) oder um ein Symmetrieelement handeln (z.B. von zwei Geraden oder Ebenen). In jedem Fall sind es sich aber idealgeometrische Elemente, so dass die Formabweichungen keine Rolle spielen. Die Elemente können mit verschiedenen Tastern gemessen werden. Die Tabelle 7.7 zeigt die Unsicherheit der Symmetrieabweichung aus Bild 7.2. Die beiden Bezüge werden mit demselben Taster gemessen. Folgende Eingangsgrößen werden berücksichtigt (siehe auch 7.3.1): X E1 Koordinate des (ersten) tolerierten Elements im Schwerpunkt Die Bohrung links wird in zwei Ebenen als Zylinder wird mit n=8 gleichmäßig über den ganzen Umfang angeordneten Punkten gemessen. Bei einer Serie von 50 Werkstücken beträgt die mittlere Standardabweichung am Ausgleichszylinder s=5 μm. Der Faktor b ergibt sich aus Tabelle 3.10 für den Mittelpunkt. Der Sensitivitätskoeffizient für das tolerierte Element ist c i =1. W E1 Winkel des tolerierten Elements Die Winkelabweichung der Zylinderachse liefert einen Beitrag für den größten Abstand der Zylinderachse vom Durchstoßpunkt durch die Nullebene des Koordinatensystems. Die Standardabweichung ist dieselbe wie bei X E1 , da es sich um dasselbe Element handelt. Der Faktor b ergibt sich aus Tabelle 3.10 für den Winkel der Achse bei zwei Radialschnitten. Der Sensitivitätskoeffizient ist das Verhältnis des größten Abstandes L NE1 =140 vom Durchstoßpunkt (Nullebene) zur Messlänge L ME1 =130 und beträgt c i =L NE / L ME 1,1. X TE1 Mittelpunktkoordinate des Tasters für das tolerierte Element Der Taster für die Bohrung wird mit n=5 Punkten eingemessen, wobei ein Punkt in Richtung des Tasterschaftes auf dem Pol und vier gleichabständig am Äquator angeordnet sind. Die Standardabweichung beträgt s=s min =A/ 3= =2 μm. Der Faktor b ergibt sich aus Tabelle 3.10 bzw. Gleichung (3.28) für u X =u Y mit b=0,71, da der Tasterschaft in der Bohrung senkrecht zur Auswerterichtung steht. Der Sensitivitätskoeffizient ist c i =1. X B1 Koordinate des ersten Bezugselements im Schwerpunkt An einer Seitenfläche wird eine Ebene mit n=4 Punkten gemessen. Bei einer Serie von 50 Werkstücken beträgt die mittlere Standardabweichung an jeder Ausgleichsebene s=5 μm. Der Faktor b ergibt sich aus Tabelle 3.10 für den Ebenenschwerpunkt. Der Sensitivitätskoeffizient ist c i =0,5, da die Koordinaten zwischen den beiden Bezugsebenen gemittelt werden. W B1 Winkel des ersten Bezugselements Die Punktzahl und die Standardabweichung sind dieselben wie bei X B1 , da es sich um dasselbe Element handelt. Der Faktor b ergibt sich aus Tabelle 3.10 für den Winkel der Ebene. Der Sensitivitätskoeffizient ist das Verhältnis des Schwerpunktabstandes L NB1 der Bezugsebene vom Durchstoßpunkt (Nullebene) zu ihrer Messlänge L MB1 , d.h. dem Bereich, in dem die Messpunkte liegen. Er wird halbiert, weil die Winkelabweichungen zwischen beiden Ebenen gemittelt werden. Mit L NB1 =300 und L MB1 =500 ist c i =L NB1 / L MB1 / 2=0,3. <?page no="93"?> 85 X TB1 Mittelpunktkoordinate des Tasters für den ersten Bezug Der Taster für die Bohrung wird mit n=5 Punkten eingemessen, wobei ein Punkt in Richtung des Tasterschaftes auf dem Pol und vier gleichabständig am Äquator angeordnet sind. Die Standardabweichung beträgt s=s min =A/ 3= =2 μm. Der Faktor b ergibt sich aus Tabelle 3.10 bzw. Gleichung (3.28) für u X =u Y mit b=0,71, da der Tasterschaft parallel zur Ebene bzw. senkrecht zur Auswerterichtung steht. Der Sensitivitätskoeffizient ist c i =1. X B2 Koordinate des zweiten Bezugselements im Schwerpunkt Die zweite Ebene wird wie die erste gemessen; es gelten dieselben Werte. W B2 Winkel des zweiten Bezugselements Die zweite Ebene wird wie die erste gemessen; es gelten dieselben Werte. X TR Rotationsabweichung der Tastermittelpunkte zwischen Element und Bezug Hier werden nur die Taster für das erste tolerierte Element und den ersten Bezug betrachtet. Werden die tolerierten Elemente oder die Bezüge jeweils mit verschiedenen Tastern gemessen, sind die Rotationsabweichungen in X TER bzw. X TBR enthalten. Die beiden Tasterlängen L TE1 und L TB1 entsprechen der Länge, für die die Mehrfachtaster-Ortsabweichung P LTj, MPE spezifiziert ist. Bei anderen Tasterlängen ist der Grenzwert nach Abschnitt 4.3.2. umzurechnen (siehe auch Tabelle 8.10). Die Abweichungen können als normalverteilt angesehen werden, wenn entsprechende Auswertungen der turnusmäßigen Überwachungen vorliegen. Dann ist der Faktor für die Verteilungsform b=0,5. Der Sensitivitätskoeffizient beträgt c i =1. E KMG Geometrieabweichungen des KMG Die Grenzabweichung der Symmetrie wird nach Tabelle 3.18 mit der Breite des Teils (D B =250) berechnet. Den größten Unsicherheitsbeitrag in Tabelle 7.7 liefert der Winkel W E1 des tolerierten Elements, gefolgt von dessen Koordinate X E1 . Beide lassen sich durch eine größere Messpunktzahl verringern. Um den Unsicherheitsbeitrag des Winkels auf ca. 1,4 μm (d. h. rund ein Viertel) zu verringern, müssen sechzehnmal so viele Punkte gemessen werden, das sind hier etwa 128. Die erweiterte Messunsicherheit wird hier radiusbezogen berechnet. Falls die Symmetrieabweichung wie bei den meisten KMG durchmesserbezogen ausgewertet wird, ist die Messunsicherheit ebenfalls zu verdoppeln (siehe Abschnitt 4.7). Tabelle 7.7: Unsicherheit der Symmetrieabweichung der Bohrung 150 zur Symmetrieebene zwischen den beiden Seitenflächen aus Bild 7.2 Messgröße: E S Symmetrieabweichung (radiusbezogen) Funktion: E S = X E1 + W E1 *L NE1 / L ME1 - X TE1 - [ X B1 + W B1 *L NB1 / L MB1 + X B2 + W B2 *L NB2 / L MB2 ] / 2 - X TR - E KMG Fortsetzung nächste Seite <?page no="94"?> 86 Tabelle 7.7: Unsicherheit Symmetrie (Fortsetzung) Messbedingungen: Element 1 6 Auswahl: 1 Punkt, 2 Gerade, 3 Ebene, 4 Kreis, 6 Zylinder, 7 Kegel Merkmal - Koordinate im Schwerpunkt der Messpunkte senkrecht zur Achse Muster E1 2 Punktmuster: 1 gleichmäßig verteilt, 2 zwei Radialschnitte D E = 150 Größter Durchmesser bzw. größte Breite des tolerierten Elements L ME1 = 130 Messlänge am tolerierten Element (Bereich der Messpunkte) L NE1 = 140 Größter Abstand des tol. Elements vom Schwerpunkt bzw. von der Nullebene Taster E1 1 Tasternummer für das erste tolerierte Element Taster E1 Tasterschaft senkrecht zur Auswerterichtung L TE1 = 100 Tasterlänge (Abstand zwischen Kugelmittelpunkt und Anlage am Tastkopf) Bezug 1 3 Auswahl: 2 Gerade, 3 Ebene, 6 Zylinder, 7 Kegel Merkmal - Koordinate im Schwerpunkt der Messpunkte senkrecht zur Oberfläche Muster B1 2 Punktmuster: 1 in Reihe oder im Raster, 2 an den Enden, 3 kreisförmig D B = 250 Größter Durchmesser bzw. größte Breite des Bezugselements L MB1 = 500 Messlänge am ersten Bezugselement (Bereich der Messpunkte) L NB1 = 300 Schwerpunktabstand vom Schwerpunkt des tol. Elements / von der Nullebene Taster B1 2 Tasternummer für das erste Bezugselement Taster B1 1 Tasterschaft: 1 senkrecht, 2 parallel zur Auswerterichtung L TB1 = 100 Tasterlänge (Abstand zwischen Kugelmittelpunkt und Anlage am Tastkopf) Bezug 2 3 Auswahl: 2 Gerade, 3 Ebene, 4 Kreis, 6 Zylinder, 7 Kegel Merkmal - Koordinate im Schwerpunkt der Messpunkte senkrecht zur Oberfläche Muster B2 2 Punktmuster: 1 in Reihe oder im Raster, 2 an den Enden, 3 kreisförmig L MB2 = 500 Messlänge am zweiten Bezugselement (Bereich der Messpunkte) L NB2 = 300 Schwerpunktabstand vom Schwerpunkt des tol. Elements / von der Nullebene Taster B2 2 Tasternummer für das zweite Bezugselement Taster B2 L TB1 = A = 6 Konstanter Anteil A des Grenzwertes E 0, MPE der Längenmessabweichungen K = 200 Faktor K des Grenzwertes der Längenmessabweichungen E 0, MPE = (A+L/ K) μm P LTj, MPE = 2 Grenzwert der Mehrfachtaster-Ortsabweichung des Messkopfsystems L T = 100 Tasterlänge für die spezifizierte Mehrfachtaster-Ortsabweichung Software 1 Auswertung: 0 im Schwerpunkt der Messpunkte, 1 in der Nullebene Eingangsgröße Methode bzw. Anzahl Messpunktanzahl bzw. Verteilung Standardabweichung bzw. Grenze Faktor für Punktzahl / Verteilung Sensitivitätskoeffizient Unsicherheitsbeitrag (μm) Effektive Freiheitsgrade X i m i n i s i bzw. a i b i c i u i (y) eff X E1 B 8 5 0,50 1 2,5 W E1 B 8 5 1,00 1,1 5,4 X TE1 B 5 2 0,71 1,0 1,4 X B1 B 4 5 0,50 0,5 1,3 W B1 B 4 5 1,00 0,3 1,5 X TB1 B 5 2 0,71 1,0 1,4 X B2 B 4 5 0,50 0,5 1,3 W B2 B 4 5 1,00 0,3 1,5 X TR B Normal 2,0 0,50 1 1,0 E KMG B Normal 0,6 0,50 1 0,3 Standardunsicherheit der Messgröße: u(y) = 6,9 Erweiterungsfaktor: k = 2,00 Verdoppelt: Erweiterte Messunsicherheit (P=95 %): U = 13,9 27,7 <?page no="95"?> 87 7.3.6 Koaxialität Die Berechnungstabelle wird für die Unsicherheit von Koaxialitätsabweichungen eingesetzt. Dabei kann es sich sowohl beim Bezug als auch beim tolerierten Element um eine Achse (z.B. eines Zylinders oder durch zwei Kreise) oder um einen Mittelpunkt handeln (z.B. eines Kreises). In jedem Fall sind es aber idealgeometrische Elemente, so dass die Formabweichungen keine Rolle spielen. Im Bild 7.2 ist die Koaxialitätstoleranz an der rechten Bohrung eingetragen, die linke Bohrung ist der Bezug. Die Bohrungen werden mit verschiedenen Tastern gemessen. Die Tabelle 7.8 zeigt die Unsicherheit der Koaxialitätsabweichung. Folgende Eingangsgrößen werden berücksichtigt (siehe auch 7.3.1): X E Mittelpunktkoordinate des tolerierten Elements Die rechte Bohrung wird in zwei Ebenen als Zylinder wird mit n=8 gleichmäßig über den ganzen Umfang verteilten Punkten gemessen. Bei einer Serie von 50 Werkstücken beträgt die mittlere Standardabweichung am Ausgleichskreis s=5 μm. Der Faktor b ergibt sich aus Tabelle 3.10. W E Winkel des tolerierten Elements Die Standardabweichung ist dieselbe wie bei X E , da es sich um dasselbe Element handelt. Der Faktor b ergibt sich aus Tabelle 3.10 für den Winkel der Achse bei zwei Radialschnitten. Der Sensitivitätskoeffizient ist das Verhältnis der halben Länge L E des Formelements zur Messlänge L ME . Mit L E =100 und L ME =80 ist c i =L E / 2/ L ME 0,6. X TE Mittelpunktkoordinate des Tasters des tolerierten Elements vom Einmessen Beim Einmessen wird die zugängliche Halbkugel angetastet. Der Faktor b ergibt sich aus Tabelle 3.10 für den Mittelpunkt senkrecht zum Tasterschaft. X B1 Mittelpunktkoordinate des (ersten) Bezugselements Die linke Bohrung wird in zwei Ebenen als Zylinder wird mit n=8 gleichmäßig über den ganzen Umfang verteilten Punkten gemessen. Bei einer Serie von 50 Werkstücken beträgt die mittlere Standardabweichung am Ausgleichskreis s=5 μm. Der Faktor b ergibt sich aus Tabelle 3.10 für den Mittelpunkt. W B1 Winkel des Bezugselements Die Standardabweichung ist dieselbe wie bei X B , da es sich um dasselbe Element handelt. Der Faktor b ergibt sich aus Tabelle 3.10 für den Winkel der Achse bei zwei Radialschnitten. Der Sensitivitätskoeffizient ist das Verhältnis des größten Abstandes L A des tolerierten Elements vom Schwerpunkt der Messpunkte am Bezug zur Messlänge L MB . Mit L A =450 und L MB =130 ist c i =L A / L MB 3,5. X TB Mittelpunktkoordinate des Tasters des Bezugselements vom Einmessen Beim Einmessen wird die zugängliche Halbkugel angetastet. Der Faktor b ergibt sich aus Tabelle 3.10 für den Mittelpunkt senkrecht zum Tasterschaft. X TR Rotationsabweichung der Tastermittelpunkte zwischen Element und Bezug Die Abweichung wird mit dem Grenzwert der Mehrfachtaster-Ortsabweichung P LTj, MPE abgeschätzt. Da die aktuellen Tasterlängen L TE =100 und L TB =100 mit der spezifizierten Länge L T übereinstimmen, kann der Grenzwert direkt übernommen werden. Bei anderen Tasterlängen ist der Grenzwert nach Abschnitt 4.3.2. umzurechnen (siehe auch Tabelle 8.13). Anhand der bei der Überwachung dokumentierten Abweichungen lässt sich die Annahme einer Normalverteilung rechtfertigen. <?page no="96"?> 88 E KMG Geometrieabweichungen des KMG Die Grenzabweichung der Koaxialität berechnet sich nach Tabelle 3.18 mit dem Durchmesser D B =150 des Bezugselements. Der Sensitivitätskoeffizient berechnet sich wie bei W B . Tabelle 7.8: Unsicherheit für die Koaxialität der rechten Bohrung zur linken nach Bild 7.2, gemessen mit verschiedenen Tastern Messgröße: E K Koaxialitätsabweichung (radiusbezogen) Funktion: E K = X E + W E *L E / 2/ L ME - X TE - X B1 - (W B1 - E KMG )*L A / L MB - X TB - X TR Messbedingungen: Taster 2 Auswahl: 1 derselbe Taster, 2 verschiedene Taster für Element und Bezug Element 6 Auswahl: 4 Kreis, 6 Zylinder, 7 Kegel Merkmal - Koordinate im Schwerpunkt der Messpunkte senkrecht zur Achse Muster E 2 Punktmuster: 1 gleichmäßig verteilt, 2 zwei Radialschnitte D E = 100 Durchmesser des tolerierten Elements L A = 450 Größter Abstand des Elements vom Schwerpunkt der Messpunkte am Bezug L E = 100 Auswertelänge am tolerierten Element (Gesamtlänge bis zum Rand) L ME = 80 Messlänge am tolerierten Element (Bereich der Messpunkte) L TE = 100 Tasterlänge (Abstand zwischen Kugelmittelpunkt und Anlage am Messkopf) Bezug 1 6 Auswahl: 4 Kreis, 6 Zylinder, 7 Kegel Merkmal Koordinate im Schwerpunkt der Messpunkte senkrecht zur Achse Muster B 2 Punktmuster: 1 gleichmäßig verteilt, 2 zwei Radialschnitte Bezug 2 Auswahl: 4 Kreis, 6 Zylinder, 7 Kegel (für die gemeinsame Achse) D B = 150 Durchmesser des Bezugselements L MB = 130 Messlänge am Bezugselement (Bereich der Messpunkte) L TB = 100 Tasterlänge (Abstand zwischen Kugelmittelpunkt und Anlage am Messkopf) A = 6 Konstanter Anteil A des Grenzwertes E 0, MPE der Längenmessabweichungen K = 200 Faktor K des Grenzwertes der Längenmessabweichungen E 0, MPE = (A+L/ K) μm P LTj, MPE = 2 Grenzwert der Mehrfachtaster-Ortsabweichung des Messkopfsystems L T = 100 Tasterlänge für die spezifizierte Mehrfachtaster-Ortsabweichung Eingangsgröße Methode bzw. Anzahl Messpunktanzahl bzw. Verteilung Standardabweichung bzw. Grenze Faktor für Punktzahl / Verteilung Sensitivitätskoeffizient Unsicherheitsbeitrag (μm) Effektive Freiheitsgrade X i m i n i s i bzw. a i b i c i u i (y) eff X E B 8 5 0,50 1 2,5 W E B 8 5 1,00 0,6 3,1 X TE B 5 2 0,71 1 1,4 X B1 B 8 5 0,50 1,0 2,5 W B1 B 8 5 1,00 3,5 17,3 X TB B 5 2 0,71 1 1,4 X TR B Normal 2,0 0,50 1 1,0 E KMG B Normal 0,4 0,50 3,5 0,6 Standardunsicherheit der Messgröße: u(y) = 18,1 Erweiterungsfaktor: k = 2,00 Verdoppelt: Erweiterte Messunsicherheit (P=95 %): U = 36,2 72,4 <?page no="97"?> 89 Der weitaus größte Unsicherheitsbeitrag stammt von der Winkelabweichung W B1 der Bezugsachse. Ursache ist der Sensitivitätskoeffizient, der sich aus dem Längenverhältnis L A / L MB ergibt. Das entspricht den geometrischen Verhältnissen am Werkstück und lässt sich deshalb auch nicht ändern. Wegen der großen Messunsicherheit sollte hier die Art der Toleranzeintragung nach Bild 7.2 selbst in Frage gestellt werden, die in den meisten Fällen gar nicht der Funktion entspricht. Tatsächlich sind in der Regel beide Bohrungen gleichberechtigte Lagerstellen einer Welle, für die eher die Koaxialität zu ihrer gemeinsamen Achse funktionsbestimmend ist, siehe das folgende Beispiel. Die erweiterte Messunsicherheit wird hier radiusbezogen berechnet. Falls die Koaxialitätsabweichung wie bei den meisten KMG durchmesserbezogen ausgewertet wird, ist die Messunsicherheit ebenfalls zu verdoppeln (siehe Abschnitt 4.7). 7.3.7 Koaxialität zur gemeinsamen Achse Die Berechnungstabelle wird für die Unsicherheit der Koaxialitätsabweichung zur gemeinsamen Achse eingesetzt. Diese wird gemessen, wenn zwei Bohrungen gleichberechtigte Lagerstellen einer Welle sind. (Dasselbe gilt natürlich auch für die beiden Lagerstellen der Welle als Außendurchmesser.) Das tolerierte Element ist dann gleichzeitig auch Bezugselement. Es wird die Abweichung der Achse des tolerierten Elements von der gemeinsamen Achse der beiden Elemente berechnet. Bei dem tolerierten Element muss es sich um eine Achse handeln (z.B. eines Zylinders oder durch zwei Kreise), das (zweite) Bezugselement kann eine Achse oder ein Mittelpunkt sein (z.B. eines Kreises). Das tolerierte Element und der (zweite) Bezug können mit verschiedenen Tastern gemessen werden. Das Bild 7.9 zeigt das Werkstück aus Bild 7.2 mit den Koaxialitätstoleranzen der linken und der rechten Bohrung zu ihrer gemeinsamen Achse. Bild 7.9: Beispiel-Werkstückzeichnung mit Koaxialitätstoleranzen zur gemeinsamen Achse Die gemeinsame Achse von zwei Bohrungen ist in DIN EN ISO 5459 [38] definiert als gemeinsame Achse von zwei größten einbeschriebenen, koaxialen, einander zugeordneten Zylindern (Bild 7.10). <?page no="98"?> 90 Bild 7.10: Definition der gemeinsamen Achse von zwei Bohrungen nach ISO 5459 [38] Diese Definition ist eindeutig. Allerdings verfügen handelsübliche Koordinatenmessgeräte in der Regel über keine Software, die eine dementsprechende Auswertung der gemeinsamen Achse gestattet. Man erhält jedoch eine gute Näherung, wenn man die Verbindungsgerade zwischen den Mittelpunkten der Bohrungen berechnet (Bild 7.11). Diese ergeben sich als Schnittpunkte der Zylinderachse mit der mittleren Ebene der Bohrung oder als Symmetriepunkte von je zwei gemessenen Kreisen. Die Koaxialitätsabweichung einer einzelnen Bohrungsachse zur gemeinsamen Achse ergibt sich als Abstand der beiden Achsen am Ende der Bohrung. Bild 7.11: Realisierung der gemeinsamen Achse als Gerade durch die Bohrungsmittelpunkte Die Tabelle 7.12 zeigt die Unsicherheit der Koaxialitätsabweichung zur gemeinsamen Achse nach Bild 7.11. Die Bohrungen werden mit verschiedenen Tastern gemessen. Folgende Eingangsgrößen werden berücksichtigt (siehe auch 7.3.1): X E1 Mittelpunktkoordinate des (ersten) tolerierten Elements Die rechte Bohrung wird in zwei Ebenen als Zylinder wird mit n=8 gleichmäßig über den ganzen Umfang angeordneten Punkten gemessen. Der Abstand der Messebenen beträgt L ME =80 mm, also je 10 mm vom Rand. Bei einer Serie von 50 Werkstücken ist die mittlere Standardabweichung am Ausgleichskreis s=5 μm. Der Faktor b ergibt sich aus Tabelle 3.10 für den Mittelpunkt. Der Sensitivitätskoeffizient ist das Verhältnis der halben Länge L E des Formelements zum größten Abstand L A des tolerierten Elements vom Schwerpunkt der Messpunkte am Bezug. Mit L E =100 und L A =400 ist c i = =L E / 2/ L A 0,1. W E1 Winkel des tolerierten Elements Die Standardabweichung ist dieselbe wie bei X E , da es sich um dasselbe Element handelt. Der Faktor b ergibt sich aus Tabelle 3.10 für den Winkel der Achse bei n=8 Punkten und zwei Radialschnitten. Der Sensitivitätskoeffizient ist das Verhältnis der halben Länge L E des Formelements zur Messlänge L ME . Mit L E =100 und L ME =80 ist c i =L E / 2/ L ME 0,6. <?page no="99"?> 91 X TE Mittelpunktkoordinate des Tasters des tolerierten Elements vom Einmessen Beim Einmessen wird die zugängliche Halbkugel angetastet. Der Faktor b ergibt sich aus Tabelle 3.10 für den Mittelpunkt senkrecht zum Tasterschaft. Der Sensitivitätskoeffizient ergibt sich mit den Längenverhältnissen aus dem mathematischen Modell. Mit L E =100 und L A =400 ist c i =L E / 2/ L A 0,1. X B1 Mittelpunktkoordinate des (ersten) Bezugselements Die linke Bohrung wird in zwei Ebenen als Zylinder wird mit n=8 gleichmäßig über den ganzen Umfang angeordneten Punkten gemessen. Der Faktor b ergibt sich aus Tabelle 3.10 für den Mittelpunkt. Der Sensitivitätskoeffizient ist das Verhältnis der halben Länge L E des Formelements zum größten Abstand L A des tolerierten Elements vom Schwerpunkt der Messpunkte am Bezug. Mit L E =100 und L A =400 ist c i =L E / 2/ L A 0,1. X TB Mittelpunktkoordinate des Tasters des Bezugselements vom Einmessen Beim Einmessen wird die zugängliche Halbkugel angetastet. Der Faktor b ergibt sich aus Tabelle 3.10 für den Mittelpunkt senkrecht zum Tasterschaft. Der Sensitivitätskoeffizient ergibt sich mit den Längenverhältnissen aus dem mathematischen Modell. Mit L E =100 und L A =400 ist c i =L E / 2/ L A 0,1. X TR Rotationsabweichung der Tastermittelpunkte zwischen Element und Bezug Die Abweichung wird mit dem Grenzwert der Mehrfachtaster-Ortsabweichung P LTj, MPE abgeschätzt. Da die aktuellen Tasterlängen L T1 und L T2 mit der spezifizierten Länge L T übereinstimmen, ist der längenproportionale Umrechnungsfaktor 1, und der Grenzwert wird direkt übernommen. Bei anderen Tasterlängen ist der Grenzwert nach Abschnitt 4.3.2. umzurechnen (siehe auch Tabelle 8.16). Anhand der bei der Überwachung dokumentierten Abweichungen lässt sich die Annahme einer Normalverteilung rechtfertigen. Der Sensitivitätskoeffizient ergibt sich mit den Längenverhältnissen aus dem mathematischen Modell. Mit L E =100 und L A =400 ist c i =L E / 2/ L A 0,1. E KMG Geometrieabweichungen des KMG Die Grenzabweichung der Koaxialität zur gemeinsamen Achse berechnet sich nach Tabelle 3.18 mit den Abmessungen des tolerierten Elements. Der Sensitivitätskoeffizient ist c i =1. Die erweiterte Messunsicherheit der Koaxialitätsabweichung der rechten Bohrung zur gemeinsamen Achse wird mit D=100, L E =100 und L ME =80 berechnet und beträgt 6,3 μm. Für die linke Bohrung ergibt sich mit D=150, L E =140 und L ME =130 U=5,6 μm. Die Unsicherheit ist in beiden Fällen deutlich kleiner als die in Tabelle 7.8, vor allem, weil hier die Sensitivitätskoeffizienten alle kleiner als 1 sind. Das heißt, dass die funktionsgerechte Koaxialitätsabweichung zur gemeinsamen Achse im Bild 7.9 bei sonst gleichen Bedingungen prinzipiell sehr viel genauer gemessen werden kann als die nicht funktionsgerechte Koaxialität nach Bild 7.2. Der überwiegende Unsicherheitsbeitrag kommt aus der Winkelabweichung der Achse des tolerierten Elements. Er lässt sich durch eine höhere Messpunktzahl verringern. Der Beitrag der Geometrieabweichungen des KMG ist hier vernachlässigbar. <?page no="100"?> 92 Tabelle 7.12: Unsicherheit für die Koaxialitätsabweichung der rechten Bohrung zur gemeinsamen Achse durch beide Bohrungen nach Bild 7.9 Messgröße: E K Koaxialitätsabweichung zur gemeinsamen Achse (radiusbezogen) Funktion: E K = (X E1 - X TE - X B1 + X TB - X TR ) * L E / 2/ L A + W E1 *L E / 2/ L ME - E KMG Messbedingungen: Taster 2 Auswahl: 1 derselbe Taster, 2 verschiedene Taster für Element und Bezug Element 1 6 Auswahl: 4 Kreis, 6 Zylinder, 7 Kegel (Element ist gleichzeitig auch Bezug) Merkmal - Koordinate im Schwerpunkt der Messpunkte senkrecht zur Achse Muster E 2 Punktmuster: 1 gleichmäßig verteilt, 2 zwei Radialschnitte Element 2 Auswahl: 4 Kreis, 6 Zylinder, 7 Kegel (Element ist gleichzeitig auch Bezug) D E = 100 Durchmesser des tolerierten Elements L A = 400 Größter Abstand des Elements vom Schwerpunkt der Messpunkte am Bezug L E = 100 Auswertelänge am tolerierten Element (Gesamtlänge bis zum Rand) L ME = 80 Messlänge am tolerierten Element (Bereich der Messpunkte) L TE = 100 Tasterlänge (Abstand zwischen Kugelmittelpunkt und Anlage am Messkopf) Bezug 1 6 Auswahl: 4 Kreis, 6 Zylinder, 7 Kegel Merkmal - Koordinate im Schwerpunkt der Messpunkte senkrecht zur Achse Bezug 2 Auswahl: 4 Kreis, 6 Zylinder, 7 Kegel (für die gemeinsame Achse) L TB = 100 Tasterlänge (Abstand zwischen Kugelmittelpunkt und Anlage am Messkopf) A = 6 Konstanter Anteil A des Grenzwertes E 0, MPE der Längenmessabweichungen K = 200 Faktor K des Grenzwertes der Längenmessabweichungen E 0, MPE = (A+L/ K) μm P LTj, MPE = 2 Grenzwert der Mehrfachtaster-Ortsabweichung des Messkopfsystems L T = 100 Tasterlänge für die spezifizierte Mehrfachtaster-Ortsabweichung Eingangsgröße Methode bzw. Anzahl Messpunktanzahl bzw. Verteilung Standardabweichung bzw. Grenze Faktor für Punktzahl / Verteilung Sensitivitätskoeffizient Unsicherheitsbeitrag (μm) Effektive Freiheitsgrade X i m i n i s i bzw. a i b i c i u i (y) eff X E1 B 8 5 0,50 0,1 0,3 W E1 B 8 5 1,00 0,6 3,1 X TE B 5 2 0,71 0,1 0,2 X B1 B 8 5 0,50 0,1 0,3 X TB B 5 2 0,71 0,1 0,2 X TR B Normal 2,0 0,50 0,1 0,1 E KMG B Normal 0,3 0,50 1 0,1 Standardunsicherheit der Messgröße: u(y) = 3,2 Erweiterungsfaktor: k = 2,00 Verdoppelt: Erweiterte Messunsicherheit (P=95 %): U = 6,3 12,7 Die erweiterte Messunsicherheit wird hier radiusbezogen berechnet. Falls die Koaxialitätsabweichung wie bei den meisten KMG durchmesserbezogen ausgewertet wird, ist die Messunsicherheit ebenfalls zu verdoppeln (siehe Abschnitt 4.7). <?page no="101"?> 93 7.3.8 Richtung Die Richtungsabweichungen Parallelität, Rechtwinkligkeit und Neigung sind in DIN EN ISO 1101 [35] als Extremwerte definiert. Hier können die Unsicherheiten an Oberflächen nicht vollständig ermittelt werden, weil bei der punktweisen Antastung die höchsten und tiefsten Punkte der Oberfläche nur näherungsweise erfasst werden. Die Abweichung wird also tendenziell zu klein gemessen. Demgegenüber vergrößert die Antaststreuung des KMG die angezeigte Formabweichung gegenüber dem richtigen Wert. Deshalb muss die tolerierte Oberfläche mit demselben Taster sowie mit ausreichend vielen Messpunkten gemessen werden, d.h. bei Geraden mindestens 100 Punkte, bei ebenen Flächen noch deutlich mehr. Für die Antaststreuung des KMG wird bei E A die minimale Standardabweichung s min nach Gleichung (4.3) eingesetzt. Bei Achsen und Symmetrieelementen stellt sich die Frage nicht, da deren Richtungsabweichungen üblicherweise für die mittleren Elemente ausgewertet werden, siehe Abschnitt 4.7. Die Antaststreuung entfällt hier. Dasselbe gilt für Winkel. Die Unsicherheiten sind bei allen Richtungsabweichungen (Parallelität, Rechtwinkligkeit und Neigung) bis auf die Geometrieabweichungen des KMG annähernd gleich. Entscheidend sind die Längenverhältnisse der tolerierten Elemente zu den Bezugselementen, was sich in den Sensitivitätskoeffizienten niederschlägt. Die Tabelle 7.13 zeigt die Unsicherheit der Neigungsabweichung der Bohrungsachse 75° aus Bild 7.2 zur gemeinsamen Achse A-B. Die beiden Bezugbohrungen wurden mit verschiedenen Tastern gemessen. Folgende Eingangsgrößen werden berücksichtigt (siehe 7.3.1): W E1 Winkel des tolerierten Elements Die Bohrung wird als Zylinder in zwei Messebenen mit je vier Punkten (n=8) gemessen. Die Punkte sind jeweils gleichabständig am ganzen Umfang verteilt. Bei einer Serie von 50 Werkstücken beträgt die mittlere Standardabweichung am Ausgleichszylinder s=5 μm. Der Faktor b ergibt sich aus Tabelle 3.10 für den Winkel der Zylinderachse. Der Sensitivitätskoeffizient berechnet sich als Verhältnis der Auswertelänge L E des tolerierten Elements zu seiner Messlänge L ME als Abstand der beiden Messebenen. Mit L E =150 und L ME =100 ist c i =L E / L ME =1,5. X B1 Koordinate des 1. Bezugselements Die Bohrung links wird als Zylinder mit n=8 Punkten gemessen, die in zwei Radialschnitten gleichmäßig über den ganzen Umfang verteilt sind. Bei einer Serie von 50 Werkstücken beträgt die mittlere Standardabweichung am Ausgleichskreis s=5 μm. Der Faktor b ergibt sich aus Tabelle 3.10 für den Mittelpunkt. Der Sensitivitätskoeffizient berechnet sich als Verhältnis der Auswertelänge L E des tolerierten Elements zur Messlänge L MB als Bereich der Messpunkte über beide Bezugselemente. Mit L E =150 und L MB =380 ist c i =L E / L MB 0,4. X B2 Koordinate des 2. Bezugselements Die rechte Bohrung wird wie die linke gemessen. Es ergibt sich derselbe Unsicherheitsbeitrag. <?page no="102"?> 94 X TB1 Tastermittelpunkt des 1. Bezugselements vom Einmessen Der Taster für das linke Bezugselement wird am Kugelnormal mit n=5 Punkten eingemessen, die gleichmäßig über die zugängliche Halbkugel verteilt sind. Die Standardabweichung von der Ausgleichskugel entspricht der minimalen Standardabweichung 2 μm nach Gleichung (4.3). Der Faktor b ergibt sich aus Tabelle 3.10 für den Mittelpunkt der Halbkugel senkrecht zum Tasterschaft. Der Sensitivitätskoeffizient berechnet sich wie bei X B1 . X TB2 Tastermittelpunkt des 2. Bezugselements vom Einmessen Der Taster für das rechte Bezugselement wird wie der am linken Bezugselement eingemessen. Es ergibt sich derselbe Unsicherheitsbeitrag. X TBR Rotationsabweichung der Tastermittelpunkte am Bezug Die Abweichung wird mit dem Grenzwert der Mehrfachtaster-Ortsabweichung P LTj, MPE abgeschätzt. Da die aktuellen Tasterlängen L TB1 und L TB2 mit der spezifizierten Länge L T übereinstimmen, wird der Grenzwert direkt übernommen. Bei anderen Tasterlängen ist der Grenzwert nach Abschnitt 4.3.2. umzurechnen (siehe auch Tabelle 8.19). Anhand der bei der Überwachung dokumentierten Abweichungen lässt sich die Annahme einer Normalverteilung rechtfertigen. E KMG Geometrieabweichungen des KMG Die Grenzabweichung der Neigung wird nach Tabelle 3.18 mit der Auswertelänge L E =150, dem Abstand vom Bezug L A 100, der Messlänge am Bezug L MB =380 als Abstand der beiden Schwerpunkte und dem Winkel =75° berechnet. Der Sensitivitätskoeffizient ist c i =1. Der weitaus größte Unsicherheitsbeitrag in Tabelle 7.13 stammt mit 7,5 μm aus der Messung der Bohrung als Zylinder in zwei Radialschnitten mit nur je 4 Punkten. Wird der Zylinder z.B. mit 100 Punkten gemessen, verringern sich sein Beitrag auf 2,1 μm und die erweiterte Messunsicherheit auf 5,6 μm. Der Beitrag der Geometrieabweichungen des KMG ist hier vernachlässigbar. Die Unsicherheiten von Richtungsabweichungen wie in Tabelle 7.13 werden in Längeneinheiten berechnet und beziehen sich immer auf die Auswertelänge L E am tolerierten Element. Zur Umrechnung in Winkeleinheiten (Bogenmaß) sind sie durch diese Länge zu dividieren, und zur Umrechnung in Grad ist der Wert noch einmal mit 180/ zu multiplizieren: 180 E L U U (7.2) Dabei sind die unterschiedlichen Einheiten von U (μm) und L E (mm) zu beachten. Für das Beispiel in Tabelle 7.13 ergibt sich die Winkelunsicherheit U =0,0059°. <?page no="103"?> 95 Tabelle 7.13: Unsicherheit der Neigungsabweichung zwischen der Zylinderachse und der gemeinsamen Achse durch zwei Kreismittelpunkte als Bezug, gemessen mit zwei verschiedenen Tastern Messgröße: E R Richtungsabweichung des tolerierten Elements zum Bezug Funktion: E R = [ W E1 / L ME - ( X B1 - X TB1 - X B2 + X TB2 - X TBR ) / L MB ] * L E - E KMG Messbedingungen: Merkmal 3 1 Parallelität, 2 Rechtwinkligkeit, 3 Neigung, 4 Winkel = 75 Nennwert des Neigungswinkels (in Grad) Element 1 6 Auswahl: 1 Punkt, 2 Gerade, 3 Ebene, 4 Kreis, 6 Zylinder, 7 Kegel Muster E 2 Punktmuster: 1 gleichmäßig verteilt, 2 zwei Radialschnitte Element 2 Auswahl: 4 Kreis, 6 Zylinder, 7 Kegel L E = 150 Auswertelänge (Länge des tolerierten Elements) L ME = 100 Messlänge am tolerierten Element (Bereich der Messpunkte) L A = 100 Kleinster Abstand des tolerierten Elements vom Bezugselement Bezug 1 6 Auswahl: 1 Punkt, 2 Gerade, 3 Ebene, 4 Kreis, 6 Zylinder, 7 Kegel Muster B Gemeinsame Achse Bezug 2 6 Auswahl: 4 Kreis, 6 Zylinder, 7 Kegel L MB = 380 Messlänge am Bezugselement (Abstand der Schwerpunkte) Taster B 2 Auswahl: 1 derselbe Taster, 2 verschiedene Taster L TB1 = 100 Tasterlänge 1 (Abstand zwischen Kugelmittelpunkt und Anlage am Messkopf) L TB2 = 100 Tasterlänge 2 (Abstand zwischen Kugelmittelpunkt und Anlage am Messkopf) A = 6 Konstanter Anteil A des Grenzwertes E 0, MPE der Längenmessabweichungen K = 200 Faktor K des Grenzwertes der Längenmessabweichungen E 0, MPE = (A+L/ K) μm P LTj, MPE = 2 Grenzwert der Mehrfachtaster-Ortsabweichung des Messkopfsystems L T = 100 Tasterlänge für die spezifizierte Mehrfachtaster-Ortsabweichung Eingangsgröße Methode bzw. Anzahl Messpunktanzahl bzw. Verteilung Standardabweichung bzw. Grenze Faktor für Punktzahl / Verteilung Sensitivitätskoeffizient Unsicherheitsbeitrag (μm) Effektive Freiheitsgrade X i m i n i s i bzw. a i b i c i u i (y) eff W E1 B 8 5 1,00 1,5 7,5 X B1 B 8 5 0,50 0,4 1,0 X B2 B 8 5 0,50 0,4 1,0 X TB1 B 5 2 0,71 0,4 0,6 X TB2 B 5 2 0,71 0,4 0,6 X TBR B Normal 2,0 0,50 0,4 0,4 E KMG B Normal 1,4 0,50 1 0,7 Standardunsicherheit der Messgröße: u(y) = 7,7 Erweiterungsfaktor: k = 2,00 Erweiterte Messunsicherheit (P=95 %): U = 15,4 <?page no="104"?> 96 7.3.9 Form Die Formabweichungen sind in DIN EN ISO 1101 [35] als Extremwerte definiert. Hier können die Unsicherheiten nicht vollständig ermittelt werden, weil bei der punktweisen Antastung die höchsten und tiefsten Punkte der Oberfläche nur näherungsweise erfasst werden. Die Formabweichung wird also tendenziell zu klein abgeschätzt. Demgegenüber vergrößern sowohl die Antaststreuung des KMG als auch die Tasterbiegung in der Regel die angezeigte Formabweichung gegenüber dem richtigen Wert. Deshalb muss das Messverfahren folgende Voraussetzungen erfüllen: 1. Die ganze Oberfläche wird mit demselben Taster sowie mit ausreichend großer Messpunktzahl gemessen, d.h. bei Gerade und Kreis mindestens 100 Punkte, bei ebenen Flächen und Zylindermantelflächen noch deutlich mehr; bei den beiden Extrempunkten A 1 und A 2 wird für die Antaststreuung des KMG die minimale Standardabweichung s min nach Gleichung (4.3) eingesetzt. 2. Bei Rundheit, Zylinderform und Flächenform werden die Biegeabweichungen des Tasters durch eine Messung an einem kleinen Normal von der Gestalt und räumlichen Orientierung des Werkstücks bestimmt. Die Anzahl und die Anordnung der Messpunkte muss der Messung am Werkstück entsprechen. Die gemessene Formabweichung F wird als Grenzabweichung a für die Biegeabweichungen des Tasters F T eingesetzt. Als Verteilung wird eine Rechteckverteilung angenommen. 3. Bei Geradheit und Ebenheit hat die richtungsabhängige Tasterbiegung F T keinen Einfluss auf das Messergebnis, da die Antastrichtung immer dieselbe ist, und entfällt damit. Die Biegeabweichungen des Tasters werden üblicherweise für den einen am Werkstück eingesetzten Taster ermittelt. Manchmal werden zur Messung der Formabweichung aber mehrere Taster bzw. derselbe Taster in verschiedenen Stellungen des Dreh-Schwenk-Gelenks eingesetzt. Dann werden die Biegeabweichungen für diese Taster bzw. Tasterstellungen ermittelt und in die Rechnung eingesetzt. Die Anzahl und die Anordnung der Messpunkte muss der Messung am Werkstück entsprechen. Die Tabelle 7.14 zeigt die Unsicherheit einer Zylinderformabweichung. Es werden folgende Eingangsgrößen berücksichtigt: A 1 , A 2 Maximale positive bzw. maximale negative Abweichung am Werkstück Für die Antaststreuung des KMG wird die minimale Standardabweichung s min nach Gleichung (4.3) eingesetzt. F T Biegeabweichungen des Tasters Die am Normal gemessene Formabweichung F wird als Grenzabweichung a für die Biegeabweichungen des Tasters F T eingesetzt. Als Verteilung wird eine Rechteckverteilung angenommen. F KMG Geometrieabweichungen des KMG Die Grenzabweichung der Zylinderform wird nach Tabelle 3.18 mit dem Durchmesser D=150 und der Länge L=140 der Bohrung berechnet. <?page no="105"?> 97 Tabelle 7.14: Unsicherheit einer Zylinderformabweichung Messgröße: E F Formabweichung Funktion: E F = A 1 - A 2 - F T - F KMG Eingangsgrößen: A 1 Maximale positive Abweichung der Oberfläche (Antaststreuung des KMG) A 2 Maximale negative Abweichung der Oberfläche (Antaststreuung des KMG) F T Biegeabweichungen des Tasters (Messung am Normal) F KMG Geometrieabweichungen des KMG Messbedingungen: Element 6 Auswahl: 2 Gerade, 3 Ebene, 4 Kreis, 5 Halbkugel, 6 Zylinder, 7 Kegel Merkmal 4 1 Geradheit, 3 Rundheit, 4 Zylinderform L = 140 Nennmaß der Länge (größere Länge) D (l) = 150 Nennmaß des (mittleren) Durchmessers bzw. der Breite (kleinere Länge) A = 6 Konstanter Anteil A des Grenzwertes E 0, MPE der Längenmessabweichungen K = 200 Faktor K des Grenzwertes der Längenmessabweichungen E 0, MPE = (A+L/ K) μm F = 2,5 Formabweichung am Normal aufgrund der Tasterbiegung (μm) Eingangsgröße Methode bzw. Anzahl Messpunktanzahl bzw. Verteilung Standardabweichung bzw. Grenze Faktor für Punktzahl / Verteilung Sensitivitätskoeffizient Unsicherheitsbeitrag (μm) X i m i n i s i bzw. a i b i c i u i (y) A 1 B Stand.-abw. 2,0 1 1 2,0 A 2 B Stand.-abw. 2,0 1 1 2,0 F T B Rechteck 2,5 0,58 1 1,4 F KMG B Normal 2,9 0,50 1 1,5 Standardunsicherheit der Messgröße: u(y) = 3,5 Erweiterungsfaktor: k = 2,00 Erweiterte Messunsicherheit (P=95 %): U = 7,0 Die größten Unsicherheitsbeiträge kommen aus der Antaststreuung des KMG. Diese kann nur durch die Messung auf einem genauerem KMG mit einem kleineren konstanten Anteil A im Grenzwert E 0, MPE der Längenmessabweichung verringert werden. Dasselbe gilt sinngemäß für den Beitrag F KMG der Geometrieabweichungen des KMG, der aus dem längenabhängigen Anteil L/ K abgeschätzt wird. Der Beitrag F T aus der Tasterbiegung lässt sich durch einen steiferen Taster verringern. Die Messung zur Bestimmung der Biegeabweichungen F T des Tasters kann entfallen, wenn der verwendete Taster demjenigen entspricht, für den der Grenzwert P FTU, MPE der Einzeltaster-Formabweichung nach DIN EN ISO 10360-5 [43] spezifiziert ist. Dann wird dieser Grenzwert verwendet. In vielen Fällen wird der Taster jedoch größere Biegungen aufweisen, die dann im Einzelfall zu ermitteln sind. <?page no="106"?> 98 7.4 Grenzen des Verfahrens Die Ermittlung der aufgabenspezifischen Messunsicherheit von Koordinatenmessungen mit den besprochenen Berechnungstabellen ist an folgende Voraussetzungen gebunden: 1. Auswertung mittels Ausgleichsrechnung (Methode der kleinsten Quadrate nach Gauß) für besteingepasste mittlere Elemente 2. Die Eingangsgrößen sind voneinander unabhängig und nicht miteinander korreliert 3. Gleichmäßige Anordnung der Messpunkte auf der ganzen Oberfläche (z.B. am ganzen Kreisumfang), soweit nicht anders angegeben 4. Turnusmäßige Überwachung des KMG, der Grenzwert E 0, MPE der Längenmessabweichung ist eingehalten 5. Bei Formabweichungen und allen Prüfmerkmalen, die Formabweichungen einschließen (Richtung, Lauf), Messung mit großen Messpunktzahlen, so dass die extremen Punkte der Oberflächen mit erfasst werden 6. Änderungen des Tasters bzw. der Tasterkombination nach dem Einmessen, z.B. durch Temperaturänderungen an langen Tastern oder durch die Drift des KMG, werden nicht berücksichtigt 7. Einflüsse der Größe des Tasterdurchmessers und zusätzlicher Filterungen, durch die sich Unterschiede zu anderen Messverfahren ergeben können, werden nicht berücksichtigt 8. Nur Einzelpunktantastungen; der dynamische Einfluss beim Scanning wird nicht berücksichtigt Diese Grenzen entsprechen bis auf 2. und 3. denen bei den anderen Verfahren (Virtuelles KMG und kalibrierte Werkstücke). Für andere Messpunktanordnungen sind die Kovarianzmatrizen nach der Beschreibung im Kapitel 3 zu berechnen und die entsprechenden Faktoren b i für die Standardunsicherheiten der Formelementeparameter in die Rechnung einzusetzen. Zusätzlich lassen sich aus den Kovarianzbzw. den Gewichtsmatrizen der Ausgleichselemente nach Abschnitt 3.2.2. auch die Korrelationskoeffizienten berechnen und bei der Ermittlung der Standardunsicherheit der Messgröße berücksichtigen. Insofern ist die Ermittlung der aufgabenspezifischen Messunsicherheit nur durch die hier beschriebenen Berechnungstabellen als formale Hilfsmittel begrenzt, nicht jedoch prinzipiell. <?page no="107"?> 99 7.5 Anwendung in der Praxis Die Berechnung der aufgabenspezifischen Messunsicherheit von Koordinatenmessungen mit den besprochenen Berechnungstabellen lässt sich in der Praxis überprüfen. Wegen des großen Aufwandes für die dazu erforderlichen Messreihen muss sich diese Überprüfung auf ausgewählte Prüfmerkmale beschränken. Hier soll als Beispiel die Unsicherheit des Ausgleichskreisdurchmessers betrachtet werden. Das Werkstück im Bild 7.15 weist eine annähernd elliptische Form auf, und die Formabweichung beträgt rund 30 μm. Es wird mit acht Punkten gemessen. Bei einer Reihe von je 20 Wiederholungsmessungen an fünf verschiedenen Stellen der Oberfläche erhält man die in Tabelle 6.1 angegebenen Durchmesser. Die Standardabweichung der Messungen an den verschiedenen Messstellen beträgt im Mittel s=1,35 μm. Bild 7.15: Kreisprofil mit annähernd elliptischen Formabweichungen Zunächst wird die kleinstmögliche Messunsicherheit berechnet, die mit dem KMG erreicht werden kann. Dazu wird für die Methode B die minimale Standardabweichung s min =A/ 3 nach Gleichung (4.3) für die Antaststreuung des KMG eingesetzt, siehe Tabelle 7.16. Die erweiterte Messunsicherheit beträgt U=2,4 μm. Diese kleinstmögliche Messunsicherheit lässt sich bereits vor der Messung anhand der festgelegten Messstrategie berechnen. Damit liefert sie wesentliche Informationen zur Optimierung der Messstrategie, z.B. hinsichtlich der Messpunktanzahl und -anordnung sowie der Temperaturbedingungen. Die einzige fehlende Information ist der Einfluss der Formabweichungen der Werkstückoberfläche, die in der Standardabweichung am Ausgleichselement steckt (in Tabelle 7.16 wurde mit s min gerechnet). Diese erhält man erst, wenn das Werkstück tatsächlich gemessen wurde. <?page no="108"?> 100 Tabelle 7.16: Unsicherheit des Ausgleichskreisdurchmessers nach Bild 7.15 nach Methode B mit der kleinsten Messunsicherheit für s min =0,7 μm Messbedingungen: Element 4 Auswahl: 4 Kreis, 5 Halbkugel, 6 Zylinder D = 100 Nennmaß des Durchmessers Winkelbereich der Messpunkte am Umfang (Standard 360°) A = 2 Konstanter Anteil A des Grenzwertes E 0, MPE der Längenmessabweichungen K = 300 Faktor K des Grenzwertes der Längenmessabweichungen E 0, MPE = (A+L/ K) μm U C = 0,4 Kalibrierunsicherheit des Kugelnormal-Durchmessers (μm) M = 8 Ausdehnungskoeffizient der KMG-Maßstäbe (10 -6 / K) t M = 20 Mittlere Temperatur der Maßstäbe (°C) t M = 1 Maximale Abweichung von der mittleren Temperatur (K) W = 12 Ausdehnungskoeffizient des Werkstücks (10 -6 / K) t W = 20 Mittlere Temperatur des Werkstücks (°C) t W = 1 Maximale Abweichung von der mittleren Temperatur (K) Temperatur 1 Temperaturbedingte Längenmessabweichung korrigiert: 0 nein, 1 ja Eingangsgröße Methode bzw. Anzahl Messpunktanzahl bzw. Verteilung Standardabweichung bzw. Grenze Faktor für Punktzahl / Verteilung Sensitivitätskoeffizient Unsicherheitsbeitrag (μm) Effektive Freiheitsgrade X i m i n i s i bzw. a i b i c i u i (y) eff D WE B 8 0,7 0,71 1 0,5 D T B 5 0,7 1,00 1 0,7 D C B Normal 0,4 0,50 1 0,2 L KMG B Normal 0,3 0,50 1 0,2 L M B Rechteck 1,6 0,58 0,0 0,0 L W B Rechteck 2,4 0,58 0,2 0,0 L tM B Rechteck 2,0 0,58 0,8 0,5 L tW B Rechteck 2,0 0,58 1,2 0,7 Standardunsicherheit der Messgröße: u(y) = 1,2 Erweiterungsfaktor: k = 2,00 Erweiterte Messunsicherheit (P=95 %): U = 2,4 Die Tabelle 7.16 gibt die kleinstmögliche Messunsicherheit an, die mit dem KMG erreicht werden kann. Wegen der Formabweichungen der Oberfläche ist sie tatsächlich jedoch größer. Um diese größere Messunsicherheit zu ermitteln, lassen sich im einfachsten Fall die Informationen aus der Messung des Werkstücks verwenden. Wird es genau einmal gemessen, trägt man in die Berechnungstabelle in der zweiten Spalte die Anzahl der Messungen m=1 ein. In die vierte Spalte wird die Standardabweichung am Ausgleichselement aus der einen Messung eingetragen, hier z.B. s=9 μm. Die Anzahl der freien Parameter in (2.13) ist p=3. Mit eff =5,3 effektiven Freiheitsgraden und dem Erweiterungsfaktor k=2,53 ergibt sich die erweiterte Messunsicherheit U=16,3 μm, siehe Tabelle 7.17. <?page no="109"?> 101 Tabelle 7.17: Unsicherheit des Ausgleichskreisdurchmessers aus Bild 7.15 bzw. Tabelle 7.16 aus einer Messung mit der Standardabweichung s=9 μm Eingangsgröße Methode bzw. Anzahl Messpunktanzahl bzw. Verteilung Standardabweichung bzw. Grenze Faktor für Punktzahl / Verteilung Sensitivitätskoeffizient Unsicherheitsbeitrag (μm) Effektive Freiheitsgrade X i m i n i s i bzw. a i b i c i u i (y) eff D WE 1 8 9 0,71 1 6,4 3,3E+02 D T B 5 0,7 1,00 1 0,7 D C B Normal 0,4 0,50 1 0,2 L KMG B Normal 0,3 0,50 1 0,2 L M B Rechteck 1,6 0,58 0,0 0,0 L W B Rechteck 2,4 0,58 0,2 0,3 L tM B Rechteck 2,0 0,58 0,8 0,9 L tW B Rechteck 2,0 0,58 1,2 1,4 Standardunsicherheit der Messgröße: u(y) = 6,5 5,3 Erweiterungsfaktor: k = 2,53 Erweiterte Messunsicherheit (P=95 %): U = 16,3 Die Messunsicherheit wird kleiner, wenn die Standardabweichung am Ausgleichselement nicht nur aus einer Messung, sondern aus mehreren Messungen bekannt ist. Dabei kann es sich um mehrere Teile aus einer Serie handeln oder auch um Messungen an demselben Teil, aber an jeweils anderen Stellen der Oberfläche. Die Tabelle 6.1 enthält solche Daten. Um den Einfluss der Formabweichungen zu ermitteln, wurde fünfmal an verschiedenen Stellen gemessen. Die Standardabweichungen am Ausgleichskreis liegen zwischen 8,5 und 10 μm, im Mittel bei 9 μm. Mit m=5 Messungen erhält man im Unterschied zu Tabelle 7.17 eff =26,6 effektive Freiheitsgrade, den Erweiterungsfaktor k=2,05 und die erweiterte Messunsicherheit U=13,3 μm. Das sind rund 20 % weniger. Bei m=100 Messungen sind k=2,00 und U=12,9 μm. Die 20 Wiederholungsmessungen bringen also trotz des erheblichen Aufwandes keine kleinere Messunsicherheit. Die Messunsicherheit nach Tabelle 7.17 hat den Vorteil, dass sie sich mit relativ geringem Aufwand ermitteln lässt. Wird die Standardabweichung aus einer Serie von Werkstücken ermittelt, sind gar keine zusätzlichen Messungen zur Ermittlung der Messunsicherheit erforderlich. Allerdings wird der Einfluss der Formabweichungen der Oberfläche nach oben abgeschätzt, d.h. die so berechnete Messunsicherheit ist in der Regel größer als die richtige. Die richtige Messunsicherheit erhält man aus einer Wiederholmessreihe an demselben Werkstück, wenn jedesmal andere Stellen der Oberfläche angetastet werden. Es handelt sich dann um die Ermittlungsmethode A des GUM. In Tabelle 6.1 beträgt die Standardabweichung der Durchmesser an den fünf verschiedenen Messstellen im Mittel s=1,35 μm. Über die 20 Wiederholungsmessungen unterscheiden sich die Werte kaum. Es genügt also, diese Standardabweichung einmalig aus wenigen Messungen zu bestimmen. <?page no="110"?> 102 Zur Ermittlung der Messunsicherheit wird in die zweite Spalte der Berechnungstabelle die Methode „A“ eingetragen, in die dritte Spalte die Anzahl der Messungen n=5 und in die vierte Spalte die Standardabweichung s=1,35 μm der fünf Durchmesser. Der Faktor für die Punktzahl bzw. Verteilung ist bei Methode A immer b = 1, siehe Tabelle 7.18. Die Anzahl der freien Parameter in (2.13) ist jetzt p=1. Für eff =11,4 effektive Freiheitsgrade erhält man den Erweiterungsfaktor k=2,19. Die erweiterte Messunsicherheit ist mit U=3,8 μm deutlich kleiner als die nach der Methode B mit der Standardabweichung am Ausgleichskreis ermittelte. Allerdings ist der Aufwand für die Wiederholungsmessungen an den verschiedenen Stellen der Oberfläche auch größer. Tabelle 7.18: Unsicherheit des Ausgleichskreisdurchmessers aus Bild 7.15 bzw. Tabelle 7.16 nach Methode A mit fünf Wiederholungsmessungen an verschiedenen Stellen der Oberfläche des Werkstücks (Tabelle 6.1) Eingangsgröße Methode bzw. Anzahl Messpunktanzahl bzw. Verteilung Standardabweichung bzw. Grenze Faktor für Punktzahl / Verteilung Sensitivitätskoeffizient Unsicherheitsbeitrag (μm) Effektive Freiheitsgrade X i m i n i s i bzw. a i b i c i u i (y) eff D WE A 5 1,35 1,00 1 1,4 8,3E-01 D T B 5 0,7 1,00 1 0,7 D C B Normal 0,4 0,50 1 0,2 L KMG B Normal 0,3 0,50 1 0,2 L M B Rechteck 1,6 0,58 0,0 0,0 L W B Rechteck 2,4 0,58 0,2 0,0 L tM B Rechteck 2,0 0,58 0,8 0,4 L tW B Rechteck 2,0 0,58 1,2 0,7 Standardunsicherheit der Messgröße: u(y) = 1,8 11,4 Erweiterungsfaktor: k = 2,19 Erweiterte Messunsicherheit (P=95 %): U = 3,8 Die richtige Messunsicherheit liegt immer zwischen den Schätzwerten, die man aus der Antaststreuung des KMG bzw. aus der Standardabweichung am Ausgleichselement erhält. Mit der letzteren wird die Unsicherheit mit dem geringsten Aufwand nach oben abgeschätzt. Für eine bessere Schätzung sind entweder Messungen an verschiedenen Stellen der Oberfläche durchzuführen oder bei der einmaligen Messung mit geeigneten mathematischen Verfahren die zufälligen von den systematischen Messwertanteilen zu trennen [4] [9] [11]. Eine Einführung gibt das Kapitel 9. <?page no="111"?> 103 8 Berechnungstabellen 8.1 Überblick Im vorangegangenen Kapitel wurden Beispiele für Messunsicherheitsberechnungen besprochen. Dabei lag jeweils eine definierte Messaufgabe mit einer definierten Messstrategie zugrunde, d.h. die zu messenden Formelemente und die Anordnungen der Messpunkte waren vorgegeben. Es ist jedoch häufig wünschenswert und sogar notwendig, dieselbe Messaufgabe mit verschiedenen Messstrategien zu lösen, also z.B. anstelle eines Zylinders Kreise in mehreren Messebenen zu messen - oder umgekehrt. Dementsprechend sollten die Berechnungstabellen variabel gehandhabt werden können. Im folgenden werden Berechnungstabellen für die Beispiele aus Kapitel 7 vorgestellt und verschiedene Anwendungsfälle angegeben. Die Struktur ist dabei immer gleich: 1. Definition der Messgröße 2. Angabe des mathematischen Modells der Messung (Funktion) 3. Erläuterung der Eingangsgrößen 4. Eingabe für die Messbedingungen mit Auswahl der Formelemente, Messpunktmuster, Messung mit demselben oder verschiedenen Tastern, Auswertebedingungen am Werkstück, Daten zum KMG und zu den Temperaturbedingungen 5. Tabelle für die Messunsicherheitsbilanz mit den Eingaben für die Methode (A oder B), die Messpunktanzahl n i bzw. die Verteilungsform und die Standardabweichung s i bzw. den Grenzwert a i der Verteilung sowie mit den weiteren Berechnungen Zunächst werden die Messbedingungen eingetragen. Dann sind entsprechend der gewählten Messstrategie anhand der Auswahltabelle Fallunterscheidungen zu treffen, um die aktuell zutreffenden Eingangsgrößen zu identifizieren bzw. die nicht benötigten aus der Unsicherheitstabelle auszulassen. (Bei den Beispielen im Kapitel 7 wurden diese Zeilen weggelassen, um die Darstellung nicht zu überfrachten. Eine variabel handhabbare Berechnungstabelle muss aber alle Möglichkeiten zulassen.) Schließlich sind die noch fehlenden Daten in die Unsicherheitstabelle einzutragen und nach den angegebenen Formeln die weiteren Werte zu berechnen: Faktoren b i für die Punktzahl bzw. die Verteilung, Sensitivitätskoeffizienten c i , Unsicherheitsbeiträge u i , Standardunsicherheit der Messgröße u(y), effektive Freiheitsgrade eff , Erweiterungsfaktor k und erweiterte Messunsicherheit U. Bei den Tabellen für Durchmesser, Abstand und Position wird unterschieden, ob die temperaturbedingte Längenmessabweichung L T bei der Messung korrigiert wurde oder nicht. Im zweiten Fall wird sie nach Abschnitt 2.5 als zusätzliche Eingangsgröße berücksichtigt. Die für alle Berechnungstabellen benötigten Formeln sind in der folgenden Übersicht zusammengestellt (Tabelle 8.1). <?page no="112"?> 104 Tabelle 8.1: Zusammenstellung der Formeln in den Berechnungstabellen Größe Formelzeichen Gleichung Nr. Formel Unsicherheitsbeitrag der Eingangsgröße X i u i (y) (2.10) (2.11) i i i i c b s y u ) ( i i i i c b a y u ) ( Standardunsicherheit der Messgröße u(y) (2.9) N i i y u y u 1 2 ) ( ) ( Quotient aus Potenzen und Freiheitsgraden --- (2.13) i i i i m p n y u ) ( ) ( 4 Effektive Freiheitsgrade eff (2.13) N i i i i i eff m p n y u y u 1 4 4 ) ( ) ( ) ( Erweiterungsfaktor k Tabelle 2.3 Faktor der t-Verteilung für f = eff Erweiterte Messunsicherheit U (2.12) ) (y u k U Variablen: a i Methode B: Grenzwert der Verteilung nach Bild 2.4 b i Methode B: Verteilungsfaktoren für die Verteilungsformen nach Bild 2.4: 41 , 0 6 / 1 Dreieckverteilung, 50 , 0 4 / 1 Normalverteilung (P=95 %), 58 , 0 3 / 1 Rechteckverteilung, 71 , 0 2 / 1 Arcsin-Verteilung; Methode A: b i =1 k Erweiterungsfaktor für die Standardunsicherheit u(y) der Messgröße n i Methode B: Anzahl der Messpunkte am Ausgleichselement; Methode A: Anzahl der Wiederholungsmessungen m i Methode B: Anzahl der Messungen am Ausgleichselement; Methode A: m i =1 p i Methode B: Freie Parameter (Anzahl p i der Formelementeparameter): Punkt 1, Gerade 2, Ebene 3, Kreis 3, Kugel (Taster) 4, Zylinder 5, Kegel 6 Methode A: p i =1 s i Methode B: Standardabweichung am Ausgleichselement; Methode A: Standardabweichung der Wiederholungsmessungen <?page no="113"?> 105 8.2 Durchmesser Tabelle 8.2: Auswahltabelle Durchmesser Eingangsgröße Standardabweichung bzw. Grenze Faktor für Punktzahl bzw. Verteilung Sensitivitätskoeffizient X i s i bzw. a i b i c i D WE 3 min A s 1) n 4 3) 4) 1 D E n 4 4) 1 D C C i U a 1 L KMG K D a i 2) 1 L M 5 M i a Verteilungsfaktoren nach Tabelle 8.1 1000 ) 20 ( M t D L W 5 W i a 1000 ) 20 ( W t D L tM M i t a 1000 M D L tW W i t a 1000 W D L TK T i L a 5) 1 1 Anmerkungen: 1) Standardabweichung s vom Ausgleichselement oder s min mit dem Faktor A aus dem Grenzwert der Längenmessabweichungen E 0, MPE = (A+L/ K) μm 2) Faktor K aus dem Grenzwert der Längenmessabweichungen E 0, MPE = (A+L/ K) μm, mit L=D Durchmesser des Formelements 3) Bei Messung am Kreisausschnitt Faktor für den Winkelbereich der Messpunkte aus dem Diagramm im Bild 3.3 entnehmen und mit dem Faktor b i multiplizieren 4) Halbkugel mit: n b i / 4 5 , 1 (bei n i =5 und n i =6 Punkten: b i =1) 5) Nicht ausgeführte Temperaturkorrektur: )] 20 ( ) 20 ( [ M M W W T t t D L Tabelle 8.3: Berechnungstabelle Durchmesser Messgröße: D Durchmesser, korrigiert auf die Referenztemperatur 20°C Funktion: D = D WE - ( D T - D C ) - L KMG - L T + L TK mit: L T = L W - L M + L tW - L tM = D * [ W *(t W -20°C) - M *(t M -20°C) ] Fortsetzung nächste Seite <?page no="114"?> 106 Tabelle 8.3: Berechnungstabelle Durchmesser (Fortsetzung) Eingangsgrößen: D WE Durchmesser des Ausgleichselements am Werkstück D T Durchmesser der Ausgleichskugel beim Einmessen des Tasters (Halbkugel) D C Kalibrierter Durchmesser des Kugelnormals L KMG Geometrieabweichungen des KMG L M Längenabweichung für die Abweichung des Ausdehnungskoeffizienten des Maßstabs L W Längenabweichung für die Abweichung des Ausdehnungskoeffizienten des Werkstücks L tM Längenabweichung für die Temperaturabweichung des Maßstabs L tW Längenabweichung für die Temperaturabweichung des Werkstücks L TK Temperaturbedingte Längenmessabweichung, wenn nicht korrigiert Messbedingungen: Element Auswahl: 4 Kreis, 5 Halbkugel, 6 Zylinder D = Nennmaß des Durchmessers = Winkelbereich der Messpunkte am Umfang (Standard 360°) A = Konstanter Anteil A des Grenzwertes E 0, MPE der Längenmessabweichungen K = Faktor K des Grenzwertes der Längenmessabweichungen E 0, MPE = (A+L/ K) μm U C = Kalibrierunsicherheit des Kugelnormal-Durchmessers (μm) M = Ausdehnungskoeffizient der KMG-Maßstäbe (10 -6 / K) t M = Mittlere Temperatur der Maßstäbe (°C) t M = Maximale Abweichung von der mittleren Temperatur (K) W = Ausdehnungskoeffizient des Werkstücks (10 -6 / K) t W = Mittlere Temperatur des Werkstücks (°C) t W = Maximale Abweichung von der mittleren Temperatur (K) Temperatur Temperaturbedingte Längenmessabweichung korrigiert: 0 nein, 1 ja Eingangsgröße Methode bzw. Anzahl Messpunktanzahl bzw. Verteilung Standardabweichung bzw. Grenze Faktor für Punktzahl / Verteilung Sensitivitätskoeffizient Unsicherheitsbeitrag (μm) Effektive Freiheitsgrade X i m i n i s i bzw. a i b i c i u i (y) eff D WE 1 D T 1 D C B Normal 0,5 1 0 L KMG B Normal 0,5 1 0 L M B Rechteck 0,58 0 L W B Rechteck 0,58 0 L tM B Rechteck 0,58 0 L tW B Rechteck 0,58 0 L TK B Bimodal 1 1 0 Standardunsicherheit der Messgröße: u(y) = = Erweiterungsfaktor: k = eff = Erweiterte Messunsicherheit (P=95 %): U = <?page no="115"?> 107 8.3 Abstand Tabelle 8.4: Auswahltabelle Abstand; Faktoren für die Punktzahl nach Tabelle 3.10 bzw. für die Verteilung nach Tabelle 8.1; Längen nach Bild 8.5 Eingangsgröße Bedingung Standardabweichung bzw. Grenze Sensitivitätskoeffizient X i s i bzw. a i c i X E , X B Immer 1 W E1 Toleriertes Element: Gerade, Ebene, Zylinder, Kegel 1 1 ME NE L L W E2 Toleriertes Element: Ebene 2 2 ME NE L L W B1 Bezug: Gerade, Ebene, Zylinder, Kegel 3 min A s 1) 1 1 MB NB L L W B2 Bezug: Ebene 2 2 MB NB L L X TE , X TB Zwei verschiedene Taster 1 D TE , D TB Oberfläche, kein Stufenmaß mit demselben Taster 1 5) D C Mindestens eine Oberfläche, kein Stufenmaß mit demselben Taster C i U a 1 5) X TR Zwei verschiedene Taster MPE LTj T TB TE i P L L L a , 2 2) 1 L KMG Immer K L a i 3) 1 L M Immer 5 M i a 1000 ) 20 ( M t L L W Immer 5 W i a 1000 ) 20 ( W t L L tM Immer M i t a 1000 M L L tW Immer W i t a 1000 W L L TK Wenn nicht korrigiert T i L a 4) 1 Anmerkungen: 1) Standardabweichung s vom Ausgleichselement oder s min mit dem Faktor A aus dem Grenzwert der Längenmessabweichungen E 0, MPE = (A+L/ K) μm 2) Grenzwert P LTj, MPE der Mehrfachtaster-Ortsabweichung 3) Faktor K aus dem Grenzwert der Längenmessabweichungen E 0, MPE = (A+L/ K) μm; mit Nennmaß des Abstandes L=L NA 4) Nicht ausgeführte Temperaturkorrektur: )] 20 ( ) 20 ( [ M M W W T t t L L <?page no="116"?> 108 5) Wenn nur eine Oberfläche oder zwei Oberflächen mit verschiedenen Tastern (bei D TE und D TB ) bzw. nur eine Oberfläche (bei D C ): c i =0,5 Konstanten: L Mij Messlänge am Element oder am Bezug (Bereich der Messpunkte L ME oder L MB ) L NBj Schwerpunktabstand vom Schwerpunkt des tol. Elements bzw. v. d. Nullebene L NEj Größter Abstand des tol. Elements v. seinem Schwerpunkt bzw. v. d. Nullebene L T Tasterlänge für die spezifizierte Mehrfachtaster-Ortsabweichung P LTj, MPE L Ti Tasterlänge am Element (Index E) bzw. am Bezug (Index B) Bild 8.5: Bezeichnungen in den Tabellen 8.4 und 8.6; links jeweils Schwerpunktabstand, rechts Abstand in der Nullebene (oben) <?page no="117"?> 109 Tabelle 8.6: Berechnungstabelle Abstand Messgröße: L Länge, korrigiert auf die Referenztemperatur 20°C Funktion: L = ( X E - W E1 *L NE1 / L ME1 - W E2 *L NE2 / L ME2 - X TE - (D TE -D C )/ 2 ) - ( X B - W B1 *L NB1 / L MB1 - W B2 *L NB2 / L MB2 - X TB + (D TB -D C )/ 2 ) - X TR - L KMG - L T + L TK mit: L T = L M - L W + L tM - L tW = L NA * [ W *(t W -20°C) - M *(t M -20°C) ] Eingangsgrößen: X E Koordinate des tolerierten Elements im Schwerpunkt W E1 Winkel des tolerierten Elements für die Messlänge L ME1 W E2 2. Winkel des tolerierten Elements für die Messlänge L ME2 (nur bei Ebene) X TE Mittelpunktkoordinate des Tasters für das tolerierte Element vom Einmessen (Halbkugel) D TE Durchmesser der Ausgleichskugel beim Einmessen des Tasters für das tolerierte Element X B Koordinate des Bezugselements im Schwerpunkt W B1 Winkel des Bezugselements für die Messlänge L MB1 W B2 2. Winkel des Bezugselements für die Messlänge L MB2 (nur bei Ebene) X TB Mittelpunktkoordinate des Tasters für das Bezugselement vom Einmessen (Halbkugel) D TB Durchmesser der Ausgleichskugel beim Einmessen des Tasters für das Bezugselement D C Kalibrierter Durchmesser des Kugelnormals X TR Rotationsabweichung der Tastermittelpunkte zwischen Element und Bezug L KMG Geometrieabweichungen des KMG L M Längenabweichung für die Abweichung des Ausdehnungskoeffizienten des Maßstabs L W Längenabweichung für die Abweichung des Ausdehnungskoeffizienten des Werkstücks L tM Längenabweichung für die Temperaturabweichung des Maßstabs L tW Längenabweichung für die Temperaturabweichung des Werkstücks L TK Temperaturbedingte Längenmessabweichung, wenn nicht korrigiert Messbedingungen: Taster Auswahl: 1 derselbe Taster, 2 verschiedene Taster für Element und Bezug Maß Auswahl: 0 Stufenmaß, 1 Innen- oder Außenmaß L NA = Nennmaß des Abstandes (bei Position theoretisches Maß) Element Auswahl: 1 Punkt, 2 Gerade, 3 Ebene, 4 Kreis, 5 Halbkugel, 6 Zylinder, 7 Merkmal - Koordinate im Schwerpunkt der Messpunkte senkrecht zur Oberfläche (Achse) Muster E1 Punktmuster: 1 in Reihe (gleichmäßig) , 2 an Enden (2 Kreise), 3 kreisförmig L ME1 = Messlänge am tolerierten Element (Bereich der Messpunkte) L NE1 = Größter Abstand des tol. Elements vom Schwerpunkt bzw. von der Nullebene Muster E2 2. Punktmuster: 1 in Reihe (gleichmäßig) , 2 an Enden (2 Kreise), 3 kreisförmig L ME2 = 2. Messlänge am tolerierten Element (Bereich der Messpunkte - nur Ebene) L NE2 = 2. Größter Abstand des tol. Elements vom Schwerpunkt bzw. von d. Nullebene Taster E Tasterschaft: 1 senkrecht, 2 parallel zur Auswerterichtung L TE = Tasterlänge (Abstand zwischen Kugelmittelpunkt und Anlage am Messkopf) Bezug Auswahl: 1 Punkt, 2 Gerade, 3 Ebene, 4 Kreis, 5 Halbkugel, 6 Zylinder, 7 Merkmal - Koordinate im Schwerpunkt der Messpunkte senkrecht zur Oberfläche (Achse) Muster B1 Punktmuster: 1 in Reihe (gleichmäßig) , 2 an Enden (2 Kreise), 3 kreisförmig Fortsetzung nächste Seite <?page no="118"?> 110 Tabelle 8.6: Berechnungstabelle Abstand (Fortsetzung) L MB1 = Messlänge am Bezugselement (Bereich der Messpunkte) L NB1 = Schwerpunktabstand vom Schwerpunkt des tol. Elements / von der Nullebene Muster B2 2. Punktmuster: 1 in Reihe (gleichmäßig) , 2 an Enden (2 Kreise), 3 kreisförmig L MB2 = 2. Messlänge am Bezugselement (Bereich der Messpunkte - nur bei Ebene) L NB2 = 2. Schwerpunktabstand vom Schwerpunkt des tol. Elements / von d. Nullebene Taster B Tasterschaft: 1 senkrecht, 2 parallel zur Auswerterichtung L TB = Tasterlänge (Abstand zwischen Kugelmittelpunkt und Anlage am Messkopf) A = Konstanter Anteil A des Grenzwertes E 0, MPE der Längenmessabweichungen K = Faktor K des Grenzwertes der Längenmessabweichungen E 0, MPE = (A+L/ K) P LTj, MPE = Grenzwert der Mehrfachtaster-Ortsabweichung des Messkopfsystems L T = Tasterlänge für die spezifizierte Mehrfachtaster-Ortsabweichung U C = Kalibrierunsicherheit des Kugelnormal-Durchmessers (μm) M = Ausdehnungskoeffizient der KMG-Maßstäbe (10 -6 / K) t M = Mittlere Temperatur der Maßstäbe (°C) t M = Maximale Abweichung von der mittleren Temperatur (K) W = Ausdehnungskoeffizient des Werkstücks (10 -6 / K) t W = Mittlere Temperatur des Werkstücks (°C) t W = Maximale Abweichung von der mittleren Temperatur (K) Temperatur Temperaturbedingte Längenmessabweichung korrigiert: 0 nein, 1 ja Software Auswertung: 0 im Schwerpunkt der Messpunkte, 1 in der Nullebene Eingangsgröße Methode bzw. Anzahl Messpunktanzahl bzw. Verteilung Standardabweichung bzw. Grenze Faktor für Punktzahl / Verteilung Sensitivitätskoeffizient Unsicherheitsbeitrag (μm) Effektive Freiheitsgrade X i m i n i s i bzw. a i b i c i u i (y) eff X E 1 W E1 W E2 X TE 1 D TE 1 X B 1 W B1 W B2 X TB 1 D TB 1 D C B Normal 0,5 0 X TR B Normal 0,5 1 0 L KMG B Normal 0,5 1 0 L M B Rechteck 0,58 0 L W B Rechteck 0,58 0 L tM B Rechteck 0,58 0 L tW B Rechteck 0,58 0 L TK B Bimodal 1 1 0 Standardunsicherheit der Messgröße: u(y) = = Erweiterungsfaktor: k = eff = Erweiterte Messunsicherheit U = <?page no="119"?> 111 8.4 Position Tabelle 8.7: Auswahltabelle Position; Faktoren für die Punktzahl nach Tabelle 3.10 bzw. für die Verteilung nach Tabelle 8.1; Längen nach Bild 8.8 Eingangs größe Bedingung Standardabweichung bzw. Grenze Sensitivitätskoeffizient X i s i bzw. a i c i X E Immer 1 W E1 Gerade, Ebene, Zylinder, Kegel 1 1 ME NE L L W E2 Ebene 3 min A s 1) 2 2 ME NE L L X TE Verschiedene Taster 1 D TE Punkt, Gerade, Ebene und verschiedene Taster 0,5 X NB , Y NB , Z NB Immer 1 2) 3) 4) X TBX , Y TBY , Z TBZ Verschiedene Taster bei Element und Bezug 3 min A s 1) 1 2) 3) 4) D TBX , D TBY , D TBZ Punkt, Gerade, Ebene und verschiedene Taster 0,5 2) 3) 4) W BXY Gerade, Ebene, Zylinder, Kegel MBWX NX E L Y Y 4) W BXZ Gerade, Ebene, Zylinder, Kegel MBWX NX E L Z Z 3) W BYX Gerade, Ebene, Zylinder, Kegel 3 min A s 1) MBWY NY E L X X 4) W BYZ Gerade, Ebene, Zylinder, Kegel MBWY NY E L Z Z 2) W BZX Gerade, Ebene, Zylinder, Kegel MBWZ NZ E L X X 3) W BZY Gerade, Ebene, Zylinder, Kegel MBWZ NZ E L Y Y 2) X BXY1(2) Zwei Kreismittelpunkte MBWX NX E L Y Y 4) X BXZ1(2) Zwei Kreismittelpunkte 3 min A s 1) MBWX NX E L Z Z 3) Fortsetzung nächste Seite <?page no="120"?> 112 Tabelle 8.7: Auswahltabelle Position (Fortsetzung) Eingangs größe Bedingung Standardabweichung bzw. Grenze Sensitivitätskoeffizient X i s i bzw. a i c i X BYX1(2) Zwei Kreismittelpunkte MBWY NY E L X X 4) X BYZ1(2) Zwei Kreismittelpunkte 3 min A s 1) MBWY NY E L Z Z 2) X BZX1(2) Zwei Kreismittelpunkte MBWZ NZ E L X X 3) X BZY1(2) Zwei Kreismittelpunkte MBWZ NZ E L Y Y 2) D C Mindestens eine Oberfläche 2 C i U a 5) X TR Verschiedene Taster MPE LTj T TBNX TE i P L L L a , 2 6) 1 2) Y TR Verschiedene Taster MPE LTj T TBNY TE i P L L L a , 2 6) 1 3) Z TR Verschiedene Taster MPE LTj T TBNZ TE i P L L L a , 2 6) 1 4) L KMG Immer K L a N i 7) 8) 1 L M Immer 5 M i a 1000 20 M N t L 8) L W Immer 5 W i a 1000 20 W N t L 8) L tM Immer M i t a 1000 M N L 8) L tW Immer W i t a 1000 W N L 8) L TK Temperaturabweichung nicht korrigiert (Bimodalverteilung) TK i L a 9) 1 Anmerkungen: 1) Standardabweichung s vom Ausgleichselement oder s min mit Faktor A aus dem Grenzwert der Längenmessabweichungen E 0, MPE = (A+L/ K) μm 2) Wert multipliziert mit dem Faktor cos *cos (Auswertung der X-Koordinate) 3) Wert multipliziert mit dem Faktor sin *cos (Auswertung der Y-Koordinate) 4) Wert multipliziert mit dem Faktor sin (Auswertung der Z-Koordinate) <?page no="121"?> 113 5) Sensitivitätskoeffizient c i = ( 1 + cos *cos - sin *cos - sin ) / 2 6) Grenzwert P LTj, MPE der Mehrfachtaster-Ortsabweichung 7) Faktor K aus E 0, MPE = (A+L/ K) μm, mit L=L NA 8) Projizierter Abstand vom Koordinatenursprung (wirksame Länge): L NA = ( x E * cos + y E * sin ) * cos + z E * sin 9) Nicht korrigierte Temperaturabweichung: )] 20 ( ) 20 ( [ M M W W NA TK t t L L Konstanten: Azimutwinkel der Auswerterichtung in der XY-Ebene, von der positiven X- Achse aus gemessen Elevationswinkel der Auswerterichtung (Auslenkung aus der XY-Ebene) L MBWX Messlänge am Bezugselement für die Drehung um die X-Achse (Bereich der Messpunkte bzw. Abstand der Mittelpunkte) L MBWY Messlänge am Bezugselement für die Drehung um die Y-Achse (Bereich der Messpunkte bzw. Abstand der Mittelpunkte) L MBWZ Messlänge am Bezugselement für die Drehung um die Z-Achse (Bereich der Messpunkte bzw. Abstand der Mittelpunkte) L ME1 1. Messlänge am tolerierten Element für 1. Winkel (Bereich der Messpunkte) L ME2 2. Messlänge am tolerierten Element für 2. Winkel (Bereich der Messpunkte) L NA Nennwert der Messlänge für die Geometrieabweichungen des KMG und die Temperatur (projizierter Abstand vom Koordinatenursprung) L NE1 1. Abstand der Auswertestelle am tolerierten Element von seinem Schwerpunkt L NE2 2. Abstand der Auswertestelle am tolerierten Element von seinem Schwerpunkt X E Theoretisches Maß der X-Koordinate für den Punkt am tolerierten Element X NY X-Koordinate des Bezugselements für den Y-Nullpunkt im Schwerpunkt bzw. in der Nullebene X NZ X-Koordinate des Bezugselements für den Z-Nullpunkt im Schwerpunkt bzw. in der Nullebene Y E Theoretisches Maß der Y-Koordinate für den Punkt am tolerierten Element Y NX Y-Koordinate des Bezugselements für den X-Nullpunkt im Schwerpunkt bzw. in der Nullebene Y NZ Y-Koordinate des Bezugselements für den Z-Nullpunkt im Schwerpunkt bzw. in der Nullebene Z E Theoretisches Maß der Z-Koordinate für den Punkt am tolerierten Element Z NX Z-Koordinate des Bezugselements für den X-Nullpunkt im Schwerpunkt bzw. in der Nullebene Z NY Z-Koordinate des Bezugselements für den Y-Nullpunkt im Schwerpunkt bzw. in der Nullebene <?page no="122"?> 114 Bild 8.8 a): Bezeichnungen in den Tabellen 8.7 und 8.9 für eine Flächenformtoleranz im Bezugssystem Bild 8.8 b): Bezeichnungen in den Tabellen 8.7 und 8.9 für eine Positionstoleranz im Bezugssystem mit Auswertung in den Schwerpunkten <?page no="123"?> 115 Bild 8.8 c): Bezeichnungen in den Tabellen 8.7 und 8.9 für eine Positionstoleranz mit Auswertung in der Nullebene (Durchstoßpunkte in den Ebenen A und B) Bei der Bestimmung von Winkeln des Bezugssystems aus zwei Kreismittelpunkten (z.B. X BXY1 und X BXY2 ) wird vorausgesetzt, dass beide mit demselben Taster gemessen wurden. Ist der Bezug ein Symmetrieelement, wird die Gesamtsumme der Messpunkte eingesetzt, und das Punktmuster wird als gleich vorausgesetzt. Tabelle 8.9: Berechnungstabelle Position Messgröße: E P Abweichung der Koordinate des betrachteten Punktes auf der Oberfläche bzw. Achse, korrigiert auf die Referenztemperatur 20°C (radiusbezogen) Funktion: E P = [ X E0 - W E1 *L NE1 / L ME1 - W E2 *L NE2 / L ME2 - X TE - (D TE -D C )/ 2 ] - [ X NB - W BYZ *(Z E -Z NY )/ L MBWY - W BZY *(Y E -Y NZ )/ L MBWZ - X TBX + (D TBX -D C )/ 2 - X TR ] *cos( )*cos( ) + [ Y NB - W BZX *(X E -X NZ )/ L MBWZ - W BXZ *(Z E -Z NX )/ L MBWX - Y TBY + (D TBY -D C )/ 2 - Y TR ] *sin( )*cos( ) + [ Z NB - W BXY *(Y E -Y NX )/ L MBWX - W BYX *(X E -X NY )/ L MBWY - Z TBZ + (D TBZ -D C )/ 2 - Z TR ] *sin( ) - L KMG - L T + L TK mit: L T = L M - L W + L tM - L tW = L NA * [ W *(t W -20°C) - M *(t M -20°C) ] Messlänge: L NA = (x E *cos + y E *sin ) *cos + z E *sin Winkel: W Bxy = X Bxy1 - X Bxy2 Fortsetzung nächste Seite <?page no="124"?> 116 Tabelle 8.9: Berechnungstabelle Position (Fortsetzung) Eingangsgrößen: X E0 Koordinate des tolerierten Elements im Schwerpunkt W E1 1. Winkel des tolerierten Elements mit der Messlänge L ME1 W E2 2. Winkel des tolerierten Elements mit der Messlänge L ME2 X TE Mittelpunktkoordinate des Tasters für das tolerierte Element vom Einmessen (Halbkugel) D TE Durchmesser der Ausgleichskugel beim Einmessen des Tasters für das tolerierte Element X NB Bezugselement mit Nullpunkt der X-Koordinate des Bezugssystems X TBX Mittelpunktkoordinate des Tasters für das Bezugselement der X-Koordinate vom Einmessen D TBX Durchmesser der Ausgleichskugel beim Einmessen des Tasters für das Bezugselement in X Y NB Bezugselement mit Nullpunkt der Y-Koordinate des Bezugssystems Y TBY Mittelpunktkoordinate des Tasters für das Bezugselement der Y-Koordinate vom Einmessen D TBY Durchmesser der Ausgleichskugel beim Einmessen des Tasters für das Bezugselement in Y Z NB Bezugselement mit Nullpunkt der Z-Koordinate des Bezugssystems Z TBZ Mittelpunktkoordinate des Tasters für das Bezugselement der Z-Koordinate vom Einmessen D TBZ Durchmesser der Ausgleichskugel beim Einmessen des Tasters für das Bezugselement in Z W BXY Winkel des Bezugselements für die Drehung um die X-Achse mit Nullpunktabstand Y W BXZ Winkel des Bezugselements für die Drehung um die X-Achse mit Nullpunktabstand Z X BXY1(2) 1. bzw. 2. Mittelpunktkoordinate des Bezugselements für Drehung um die X-Achse mit Y X BXZ1(2) 1. bzw. 2. Mittelpunktkoordinate des Bezugselements für Drehung um die X-Achse mit Z W BYX Winkel des Bezugselements für die Drehung um die Y-Achse mit Nullpunktabstand X W BYZ Winkel des Bezugselements für die Drehung um die Y-Achse mit Nullpunktabstand Z X BYX1(2) 1. bzw. 2. Mittelpunktkoordinate des Bezugselements für Drehung um die Y-Achse mit X X BYZ1(2) 1. bzw. 2. Mittelpunktkoordinate des Bezugselements für Drehung um die Y-Achse mit Z W BZX Winkel des Bezugselements für die Drehung um die Z-Achse mit Nullpunktabstand X W BZY Winkel des Bezugselements für die Drehung um die Z-Achse mit Nullpunktabstand Y X BZX1(2) 1. bzw. 2. Mittelpunktkoordinate des Bezugselements für Drehung um die Z-Achse mit X X BYZ1(2) 1. bzw. 2. Mittelpunktkoordinate des Bezugselements für Drehung um die Z-Achse mit Y D C Kalibrierter Durchmesser des Kugelnormals X TR Rotationsabweichung des Tastermittelpunktes X des tolerierten Elements Y TR Rotationsabweichung des Tastermittelpunktes Y des tolerierten Elements Z TR Rotationsabweichung des Tastermittelpunktes Z des tolerierten Elements L KMG Geometrieabweichungen des KMG L M Längenabweichung für die Abweichung des Ausdehnungskoeffizienten des Maßstabs L W Längenabweichung für die Abweichung des Ausdehnungskoeffizienten des Werkstücks L tM Längenabweichung für die Temperaturabweichung des Maßstabs L tW Längenabweichung für die Temperaturabweichung des Werkstücks L TK Temperaturbedingte Längenmessabweichung, wenn nicht korrigiert Messbedingungen: X E = Theoretisches Maß in der X-Koordinate für den Punkt am tolerierten Element Y E = Theoretisches Maß in der Y-Koordinate für den Punkt am tolerierten Element Z E = Theoretisches Maß in der Z-Koordinate für den Punkt am tolerierten Element = Azimutwinkel in ° (in der XY-Ebene, von der X-Achse aus gemessen) = Elevationswinkel in ° (Auslenkung aus der XY-Ebene) L NA = Nennwert der Messlänge für Geometrieabweichungen und Temperatur Element 1 Punkt, 2 Gerade, 3 Ebene, 4 Kreis, 5 Halbkugel, 6 Zylinder, 7 Kegel Merkmal - Mittelpunktkoordinate senkrecht zur Achse und zum Tasterschaft Muster E1 Punktmuster: 1 in Reihe oder im Raster, 2 an den Enden, 3 kreisförmig L ME1 = 1. Messlänge am tolerierten Element (Bereich der Messpunkte) Fortsetzung nächste Seite <?page no="125"?> 117 Tabelle 8.9: Berechnungstabelle Position (Fortsetzung) L NE1 = 1. Abstand der Auswertestelle des tolerierten Elements vom Schwerpunkt Muster E2 Punktmuster: 1 in Reihe oder im Raster, 2 an den Enden, 3 kreisförmig L ME2 = 2. Messlänge am tolerierten Element (Bereich der Messpunkte) L NE2 = 2. Abstand der Auswertestelle des tolerierten Elements vom Schwerpunkt Taster E Tasternummer für das tolerierte Element Taster E Tasterschaft: 1 senkrecht, 2 parallel zur Auswerterichtung L TE = Tasterlänge (Abstand zwischen Kugelmittelpunkt und Anlage am Tastkopf) Bezug BNX 1 Punkt, 2 Gerade, 3 Ebene, 4 Kreis, 5 Halbkugel, 6 Zylinder, 7 Kegel Merkmal - Mittelpunktkoordinate senkrecht zur Achse und zum Tasterschaft Y NX = Y-Koordinate des Bezugselements im Schwerpunkt bzw. in der Nullebene Z NX = Z-Koordinate des Bezugselements im Schwerpunkt bzw. in der Nullebene Taster BNX Tasternummer des Bezugselementes für den Nullpunkt in der X-Achse Taster BNX Tasterschaft senkrecht zur Auswerterichtung (parallel zur Achse) L TBNX = Tasterlänge (Abstand zwischen Kugelmittelpunkt und Anlage am Tastkopf) Bezug BNY 1 Punkt, 2 Gerade, 3 Ebene, 4 Kreis, 5 Halbkugel, 6 Zylinder, 7 Kegel Merkmal - Mittelpunktkoordinate senkrecht zur Achse und zum Tasterschaft X NY = X-Koordinate des Bezugselements im Schwerpunkt bzw. in der Nullebene Z NY = Z-Koordinate des Bezugselements im Schwerpunkt bzw. in der Nullebene Taster BNY Tasternummer des Bezugselementes für den Nullpunkt in der Y-Achse Taster BNY Tasterschaft: 1 senkrecht, 2 parallel zur Auswerterichtung L TBNY = Tasterlänge (Abstand zwischen Kugelmittelpunkt und Anlage am Tastkopf) Bezug BNZ 1 Punkt, 2 Gerade, 3 Ebene, 4 Kreis, 5 Halbkugel, 6 Zylinder, 7 Kegel Merkmal - Mittelpunktkoordinate senkrecht zur Achse und zum Tasterschaft X NZ = X-Koordinate des Bezugselements im Schwerpunkt bzw. in der Nullebene Y NZ = Y-Koordinate des Bezugselements im Schwerpunkt bzw. in der Nullebene Taster BNZ Tasternummer des Bezugselementes für den Nullpunkt in der Z-Achse Taster BNZ Tasterschaft senkrecht zur Auswerterichtung (parallel zur Achse) L TBNZ = Tasterlänge (Abstand zwischen Kugelmittelpunkt und Anlage am Tastkopf) Bezug BWX Drehung um X: 2 Gerade, 3 Ebene, 4 2_Kreise, 6 Zylinder, 7 Kegel Muster BWX Punktmuster: 1 in Reihe oder im Raster, 2 an den Enden, 3 kreisförmig L MBWX = Messlänge am Bezug BWX für die Drehung um X (Bereich der Messpunkte) Bezug BWY Drehung um Y: 2 Gerade, 3 Ebene, 4 2_Kreise, 6 Zylinder, 7 Kegel Muster BWY Messpunkte gleichmäßig am ganzen Kreisumfang L MBWY = Messlänge am Bezug BWY für die Drehung um Y (Abstand der Mittelpunkte) Bezug BWZ Drehung um Z: 2 Gerade, 3 Ebene, 4 2_Kreise, 6 Zylinder, 7 Kegel Muster BWZ Punktmuster: 1 in Reihe oder im Raster, 2 an den Enden, 3 kreisförmig L MBWZ = Messlänge am Bezug BWZ für die Drehung um Z (Bereich der Messpunkte) A = Konstanter Anteil A des Grenzwertes E 0, MPE der Längenmessabweichungen K = Faktor K des Grenzwertes der Längenmessabweichungen E 0, MPE = (A+L/ K)μm P LTj, MPE = Grenzwert der Mehrfachtaster-Ortsabweichung für das Messkopfsystem (μm) L T = Tasterlänge für die spezifizierte Mehrfachtaster-Ortsabweichung U C = Kalibrierunsicherheit des Kugelnormal-Durchmessers (μm) M = Ausdehnungskoeffizient der KMG-Maßstäbe (10 -6 / K) t M = Mittlere Temperatur der Maßstäbe (°C) t M = Maximale Abweichung von der mittleren Temperatur (K) W = Ausdehnungskoeffizient des Werkstücks (10 -6 / K) t W = Mittlere Temperatur des Werkstücks (°C) t W = Maximale Abweichung von der mittleren Temperatur (K) Temperatur Temperaturbedingte Längenmessabweichung korrigiert: 0 nein, 1 ja Fortsetzung nächste Seite <?page no="126"?> 118 Tabelle 8.9: Berechnungstabelle Position (Fortsetzung) Eingangsgröße Metho-de bzw. Anzahl Messpunktanzahl bzw. Verteilung Standardabweichung bzw. Grenze Faktor für Punktzahl / Verteilung Sensitivitätskoeffizient Unsicherheitsbeitrag (μm) Effektive Freiheitsgrade X i m i n i s i bzw. a i b i c i u i (y) eff X E0 W E1 W E2 X TE D TE X NB X TBX D TBX Y NB Y TBY D TBY Z NB Z TBZ D TBZ W BXY W BXZ X BXY1 X BXZ1 X BXY2 X BXZ2 W BYX W BYZ X BYX1 X BYZ1 X BYX2 X BYZ2 W BZX W BZY X BZX1 X BZY1 X BZX2 X BZY2 D C X TR Y TR Z TR L KMG B L M B L W B L tM B L tW B L TK B Standardunsicherheit der Messgröße: u(y) = = Erweiterungsfaktor: k = eff = Erweiterte Messunsicherheit (P=95 %): U = <?page no="127"?> 119 8.5 Symmetrie Tabelle 8.10: Auswahltabelle Symmetrie; Faktoren für die Punktzahl nach Tabelle 3.10 bzw. für die Verteilung nach Tabelle 8.1; Längen nach Bild 8.11 Eingangsgröße Bedingung Standardabweichung bzw. Grenze Sensitivitätskoeffizient X i s i bzw. a i c i X E1 Immer 1 4) W E1 Gerade, Ebene, Zylinder, Kegel 3 min A s 1) 1 1 ME NE L L 4) X TE1 Verschiedene Taster 1 4) D TE1 Element 1 Oberfläche mit verschiedenen Tastern 0,5 5) X E2 Zweites Element 0,5 W E2 Zweites Element Gerade, Ebene, Zylinder, Kegel 3 min A s 1) 5 , 0 2 2 ME NE L L X TE2 Zweites Element mit verschiedenen Tastern 0,5 D TE2 Zweites Element Oberfläche mit verschiedenen Tastern 0,5 5) X TER Erstes und zweites Element mit verschiedenen Tastern MPE LTj T TE TE i P L L L a , 2 1 2 2) 0,5 X B1 Immer 1 4) W B1 Gerade, Ebene, Zylinder, Kegel 3 min A s 1) 1 1 MB NB L L 4) X TB1 Verschiedene Taster 1 4) D TB1 Erster Bezug Oberfläche mit verschiedenen Tastern 0,5 5) X B2 Zweiter Bezug 0,5 W B2 Zweiter Bezug Gerade, Ebene, Zylinder, Kegel 3 min A s 1) 5 , 0 2 2 MB NB L L X TB2 Zweiter Bezug mit verschiedenen Tastern 0,5 D TB2 Zweiter Bezug Oberfläche mit verschiedenen Tastern 0,5 5) X TBR Erster und zweiter Bezug mit verschiedenen Tastern MPE LTj T TB TB i P L L L a , 2 1 2 2) 0,5 X TR Element und Bezug mit verschiedenen Tastern MPE LTj T TB TE i P L L L a , 1 1 2 2) 1 E KMG Immer K D a i 2 3) 1 <?page no="128"?> 120 Anmerkungen: 1) Standardabweichung s vom Ausgleichselement oder s min mit dem Faktor A aus dem Grenzwert der Längenmessabweichungen E 0, MPE = (A+L/ K) μm 2) Grenzwert P LTj, MPE der Mehrfachtaster-Ortsabweichung 3) Faktor K aus dem Grenzwert der Längenmessabweichungen E 0, MPE = (A+L/ K) μm; mit D = Max(D E ; D B ) als größter Durchmesser bzw. größte Breite des tolerierten Elements (D E ) oder des Bezugselements(D B ) 4) Ist das Element oder der Bezug ein Symmetrieelement, wird c i halbiert 5) Werden beide Seiten mit demselben Taster gemessen, entfällt der Unsicherheitsbeitrag Konstanten: L MBi Messlänge am Bezugselement: Bereich der Messpunkte (Index i=1 oder 2) L MEi Messlänge am tolerierten Element: Bereich der Messpunkte (Index i=1 oder 2) L NBi Schwerpunktabstand vom Schwerpunkt des tolerierten Elements bzw. von der Nullebene (Index i=1 oder 2) L NEi Größter Abstand des tolerierten Elements von seinem Schwerpunkt bzw. von der Nullebene (Index i=1 oder 2) L T Tasterlänge für die spezifizierte Mehrfachtaster-Ortsabweichung P LTj, MPE L TBi Tasterlänge am Bezugselement (Index i=1 oder 2) L TEi Tasterlänge am tolerierten Element (Index i=1 oder 2) Bild 8.11: Bezeichnungen in den Tabellen 8.10 und 8.12; links jeweils Symmetrie in den Schwerpunkten, rechts Symmetrie in der Nullebene (oben) <?page no="129"?> 121 Tabelle 8.12: Berechnungstabelle Symmetrie Messgröße: E S Symmetrieabweichung (radiusbezogen) Funktion: E S = [X E1 +W E1 *L NE1 / L ME1 -X TE1 +D TE1 / 2+X E2 +W E2 *L NE2 / L ME2 -X TE2 -D TE2 / 2- X TER ] / 2 - [X B1 +W B1 *L NB1 / L MB2 -X TB1 +D TB1 / 2+X B2 +W B2 *L NB2 / L MB2 -X TB2 -D TB2 / 2- X TBR ] / 2 - X TR - E KMG Eingangsgrößen: X E1 Koordinate des ersten tolerierten Elements im Schwerpunkt W E1 Winkel des ersten tolerierten Elements X TE1 Mittelpunktkoordinate des Tasters für das erste tolerierte Element vom Einmessen (Halbkugel) D TE1 Durchmesser des Tasters für das erste tolerierte Element vom Einmessen (Halbkugel) X E2 Koordinate des zweiten tolerierten Elements im Schwerpunkt W E2 Winkel des zweiten tolerierten Elements X TE2 Mittelpunktkoordinate des Tasters für das zweite toler. Element vom Einmessen (Halbkugel) D TE2 Durchmesser des Tasters für das zweite tolerierte Element vom Einmessen (Halbkugel) X TER Rotationsabweichung der Tastermittelpunkte am tolerierten Element X B1 Koordinate des ersten Bezugselements im Schwerpunkt W B1 Winkel des ersten Bezugselements X TB1 Mittelpunktkoordinate des Tasters für das erste Bezugselement vom Einmessen (Halbkugel) D TB1 Durchmesser des Tasters für das erste Bezugselement vom Einmessen (Halbkugel) X B2 Koordinate des zweiten Bezugselements im Schwerpunkt W B2 Winkel des zweiten Bezugselements X TB2 Mittelpunktkoordinate des Tasters für das zweite Bezugselement vom Einmessen (Halbkugel) D TB2 Durchmesser des Tasters für das zweite Bezugselement vom Einmessen (Halbkugel) X TBR Rotationsabweichung der Tastermittelpunkte am Bezug X TR Rotationsabweichung der Tastermittelpunkte zwischen Element und Bezug E KMG Geometrieabweichungen des KMG Messbedingungen: Element 1 Auswahl: 1 Punkt, 2 Gerade, 3 Ebene, 4 Kreis, 6 Zylinder, 7 Kegel Merkmal - Koordinate im Schwerpunkt der Messpunkte senkrecht zur Oberfläche (Achse) Muster E1 Punktmuster: 1 in Reihe (gleichmäßig) , 2 an Enden (2 Kreise), 3 kreisförmig D E = Größter Durchmesser bzw. größte Breite des tolerierten Elements L ME1 = Messlänge am ersten tolerierten Element (Bereich der Messpunkte) L NE2 = Größter Abstand des tol. Elements vom Schwerpunkt bzw. von der Nullebene Taster E1 Tasternummer für das erste tolerierte Element Taster E1 Tasterschaft: 1 senkrecht, 2 parallel zur Auswerterichtung L TE1 = Tasterlänge (Abstand zwischen Kugelmittelpunkt und Anlage am Tastkopf) Element 2 Auswahl: 1 Punkt, 2 Gerade, 3 Ebene, 4 Kreis, 6 Zylinder, 7 Kegel Merkmal - Koordinate im Schwerpunkt der Messpunkte senkrecht zur Oberfläche (Achse) Muster E2 Punktmuster: 1 in Reihe (gleichmäßig) , 2 an Enden (2 Kreise), 3 kreisförmig L ME2 = Messlänge am tolerierten Element (Bereich der Messpunkte) L NE2 = Größter Abstand des tol. Elements vom Schwerpunkt bzw. von der Nullebene Taster E2 Tasternummer für das zweite tolerierte Element Taster E2 Tasterschaft: 1 senkrecht, 2 parallel zur Auswerterichtung L TE2 = Tasterlänge (Abstand zwischen Kugelmittelpunkt und Anlage am Tastkopf) Fortsetzung nächste Seite <?page no="130"?> 122 Tabelle 8.12: Berechnungstabelle Symmetrie (Fortsetzung) Bezug 1 Auswahl: 1 Punkt, 2 Gerade, 3 Ebene, 4 Kreis, 6 Zylinder, 7 Kegel Merkmal - Koordinate im Schwerpunkt der Messpunkte senkrecht zur Oberfläche (Achse) Muster B1 Punktmuster: 1 in Reihe (gleichmäßig) , 2 an Enden (2 Kreise), 3 kreisförmig D B = Größter Durchmesser bzw. größte Breite des Bezugselements L MB1 = Messlänge am ersten Bezugselement (Bereich der Messpunkte) L NB1 = Schwerpunktabstand vom Schwerpunkt des tol. Elements / von der Nullebene Taster B1 Tasternummer für das erste Bezugselement Taster B1 Tasterschaft: 1 senkrecht, 2 parallel zur Auswerterichtung L TB1 = Tasterlänge (Abstand zwischen Kugelmittelpunkt und Anlage am Tastkopf) Bezug 2 Auswahl: 1 Punkt, 2 Gerade, 3 Ebene, 4 Kreis, 6 Zylinder, 7 Kegel Merkmal - Koordinate im Schwerpunkt der Messpunkte senkrecht zur Oberfläche (Achse) Muster B2 Punktmuster: 1 in Reihe (gleichmäßig) , 2 an Enden (2 Kreise), 3 kreisförmig L MB2 = Messlänge am zweiten Bezugselement (Bereich der Messpunkte) L NB2 = Schwerpunktabstand vom Schwerpunkt des tol. Elements / von der Nullebene Taster B2 Tasternummer für das zweite Bezugselement Taster B2 Tasterschaft: 1 senkrecht, 2 parallel zur Auswerterichtung L TB2 = Tasterlänge (Abstand zwischen Kugelmittelpunkt und Anlage am Tastkopf) A = Konstanter Anteil A des Grenzwertes E 0, MPE der Längenmessabweichungen K = Faktor K des Grenzwertes der Längenmessabweichungen E 0, MPE = (A+L/ K) μm P LTj, MPE = Grenzwert der Mehrfachtaster-Ortsabweichung für das Messkopfsystem (μm) L T = Tasterlänge für die spezifizierte Mehrfachtaster-Ortsabweichung Software Auswertung: 0 im Schwerpunkt der Messpunkte, 1 in der Nullebene Eingangsgröße Methode bzw. Anzahl Messpunktanzahl bzw. Verteilung Standardabweichung bzw. Grenze Faktor für Punktzahl / Verteilung Sensitivitätskoeffizient Unsicherheitsbeitrag (μm) Effektive Freiheitsgrade X i m i n i s i bzw. a i b i c i u i (y) eff X E1 W E1 X TE1 D TE1 X E2 W E2 X TE2 D TE2 X TER B Normal 0,5 1 0 X B1 W B1 X TB1 D TB1 X B2 W B2 X TB2 D TB2 X TBR B Normal 0,5 1 0 X TR B Normal 0,5 1 0 E KMG B Normal 0,5 1 0 Standardunsicherheit der Messgröße: u(y) = = Erweiterungsfaktor: k = eff = Erweiterte Messunsicherheit (P=95 %): U = <?page no="131"?> 123 8.6 Koaxialität Tabelle 8.13: Auswahltabelle Koaxialität; Faktoren für die Punktzahl nach Tabelle 3.10 bzw. für die Verteilung nach Tabelle 8.1; Längen nach Bild 8.14 Eingangsgröße Bedingung Standardabweichung bzw. Grenze Sensitivitätskoeffizient X i s i bzw. a i c i X E Immer 1 W E Zylinder oder Kegel 3 min A s 1) ME E L L 2 X TE Zwei verschiedene Taster 1 X B1 Nur ein Bezugselement 1 Gemeinsame Achse durch zwei Bezugselemente 3 min A s 1) 5 , 0 MB A L L W B1 Bezug (2 Winkel): Ebene, Zylinder oder Kegel MB A L L X B2 Gemeinsame Achse durch zwei Bezugselemente 5 , 0 MB A L L X TB Zwei verschiedene Taster 1 X TR Zwei verschiedene Taster MPE LTj T TB TE i P L L L a , 2 2) 1 E KMG Zwei Kreise in einer Ebene K D a i 2 3) 1 Sonst immer MB A L L Anmerkungen: 1) Standardabweichung s vom Ausgleichselement oder s min mit dem Faktor A aus dem Grenzwert der Längenmessabweichungen E 0, MPE = (A+L/ K) μm 2) Grenzwert P LTj, MPE der Mehrfachtaster-Ortsabweichung 3) Faktor K aus dem Grenzwert der Längenmessabweichungen E 0, MPE = (A+L/ K) μm; mit L=D größter Durchmesser des Bezugselements Konstanten: L A Größter Abstand des tolerierten Elements vom Schwerpunkt der Messpunkte am Bezugselement L E Länge des tolerierten Elements (Gesamtlänge bis zum Rand) L MB Messlänge am Bezug (Bereich der Messpunkte bzw. Abstand der Schwerpunkte der beiden Bezugselemente) L ME Messlänge am tolerierten Element (Bereich der Messpunkte) L T Tasterlänge für die spezifizierte Mehrfachtaster-Ortsabweichung P LTj, MPE L TB Tasterlänge am Bezugselement L TE Tasterlänge am tolerierten Element <?page no="132"?> 124 Bild 8.14: Bezeichnungen in den Tabellen 8.13 und 8.15 Tabelle 8.15: Berechnungstabelle Koaxialität Messgröße: E K Koaxialitätsabweichung (radiusbezogen) Funktion: E K = X E + W E *L E / 2/ L ME - X TE - X B1 - (W B1 - E KMG )*L A / L MB - X TB - X TR oder: E K = X E + W E *L E / 2/ L ME - X TE - (X B1 +X B2 )/ 2 - (X B2 -X B1 - E KMG )*L A / L MB - X TB - X TR Eingangsgrößen: X E Mittelpunktkoordinate des tolerierten Elements W E Winkel des tolerierten Elements X TE Mittelpunktkoordinate des Tasters für das tolerierte Element vom Einmessen (Halbkugel) X B1 Mittelpunktkoordinate des (ersten) Bezugselements W B1 Winkel des Bezugselements im Bereich der Bezugslänge X B2 Mittelpunktkoordinate des zweiten Bezugselements X TB Mittelpunktkoordinate des Tasters für das Bezugselement vom Einmessen (Halbkugel) X TR Rotationsabweichung der Tastermittelpunkte zwischen Element und Bezug E KMG Geometrieabweichungen des KMG Fortsetzung nächste Seite <?page no="133"?> 125 Tabelle 8.15: Berechnungstabelle Koaxialität (Fortsetzung) Messbedingungen: Taster Auswahl: 1 derselbe Taster, 2 verschiedene Taster für Element und Bezug Element Auswahl: 4 Kreis, 6 Zylinder, 7 Kegel Merkmal - Koordinate im Schwerpunkt der Messpunkte (Mittelpunkt) senkrecht zur Achse Muster E Punktmuster: 1 gleichmäßig verteilt, 2 zwei Radialschnitte D E = Größter Durchmesser des tolerierten Elements L A = Größter Abstand des Elements vom Schwerpunkt der Messpunkte am Bezug L E = Auswertelänge am tolerierten Element (Gesamtlänge bis zum Rand) L ME = Messlänge am tolerierten Element (Bereich der Messpunkte) L TE = Tasterlänge (Abstand zwischen Kugelmittelpunkt und Anlage am Messkopf) Bezug 1 Auswahl: 4 Kreis, 6 Zylinder, 7 Kegel Merkmal - Koordinate im Schwerpunkt der Messpunkte (Mittelpunkt) senkrecht zur Achse Muster B Punktmuster: 1 gleichmäßig verteilt, 2 zwei Radialschnitte Bezug 2 Auswahl: 4 Kreis, 6 Zylinder, 7 Kegel Merkmal - Koordinate im Schwerpunkt der Messpunkte (Mittelpunkt) senkrecht zur Achse D B = Größter Durchmesser des Bezugselements L MB = Messlänge (Bereich der Messpunkte bzw. Abstand der Schwerpunkte) L TB = Tasterlänge (Abstand zwischen Kugelmittelpunkt und Anlage am Messkopf) A = Konstanter Anteil A des Grenzwertes E 0, MPE der Längenmessabweichungen K = Faktor K des Grenzwertes der Längenmessabweichungen E 0, MPE = (A+L/ K) μm P LTj, MPE = Grenzwert der Mehrfachtaster-Ortsabweichung des Messkopfsystems L T = Tasterlänge für die spezifizierte Mehrfachtaster-Ortsabweichung Eingangsgröße Methode bzw. Anzahl Messpunktanzahl bzw. Verteilung Standardabweichung bzw. Grenze Faktor für Punktzahl / Verteilung Sensitivitätskoeffizient Unsicherheitsbeitrag (μm) Effektive Freiheitsgrade X i m i n i s i bzw. a i b i c i u i (y) eff X E 1 W E X TE X B1 W B1 X B2 X TB X TR B Normal 0,5 1 0 E KMG B Normal 0,5 1 0 Standardunsicherheit der Messgröße: u(y) = = Erweiterungsfaktor: k = eff = Erweiterte Messunsicherheit (P=95 %): U = <?page no="134"?> 126 8.7 Koaxialität zur gemeinsamen Achse Tabelle 8.16: Auswahltabelle Koaxialität zur gemeinsamen Achse; Faktoren für die Punktzahl nach Tabelle 3.10 bzw. für die Verteilung nach Tabelle 8.1; Längen nach Bild 8.17 Eingangsgröße Bedingung Standardabweichung bzw. Grenze Sensitivitätskoeffizient X i s i bzw. a i c i X E1 Zylinder oder Kegel A E L L 2 Zwei Kreise, Zylinder oder Kegel ME E A E L L L L 2 4 W E1 Zylinder oder Kegel 3 min A s 1) ME E L L 2 X E2 Zwei Kreise, Zylinder oder Kegel ME E A E L L L L 2 4 X TE Zwei verschiedene Taster A E L L 2 X B1 Nur ein Bezugselement A E L L 2 Zwei Kreise, Zylinder oder Kegel 3 min A s 1) A E L L 4 X B2 Zwei Kreise, Zylinder oder Kegel A E L L 4 X TB Zwei verschiedene Taster A E L L 2 X TR Zwei verschiedene Taster MPE LTj T TB TE i P L L L a , 2 2) A E L L 2 E KMG Immer K D a i 2 3) 1 Anmerkungen: 1) Standardabweichung s vom Ausgleichselement oder s min mit dem Faktor A aus dem Grenzwert der Längenmessabweichungen E 0, MPE = (A+L/ K) μm 2) Grenzwert P LTj, MPE der Mehrfachtaster-Ortsabweichung 3) Faktor K aus dem Grenzwert der Längenmessabweichungen E 0, MPE = (A+L/ K) μm, mit L=D größter Durchmesser des tolerierten Elements <?page no="135"?> 127 Konstanten: L A Größter Abstand des Elements vom Schwerpunkt der Messpunkte am Bezug L E Auswertelänge am tolerierten Element (Gesamtlänge bis zum Rand) L ME Messlänge (Bereich der Messpunkte bzw. Abstand der Schwerpunkte) L T Tasterlänge für die spezifizierte Mehrfachtaster-Ortsabweichung P LTj, MPE L TB Tasterlänge am Bezugselement L TE Tasterlänge am tolerierten Element Bild 8.17: Bezeichnungen in den Tabellen 8.16 und 8.18 Bei der Koaxialität zur gemeinsamen Achse A-B nach Bild 8.17 ist die rechte Bohrung (Bezug B) gleichzeitig das tolerierte Element. Zur Unterscheidung der beiden Elemente A und B wird hier aber nur A als Bezugselement bezeichnet. Es kann sowohl in einer als auch in zwei Ebenen gemessen werden. Die zweite Variante empfiehlt sich, wenn auch die Koaxialitätsabweichung der linken Bohrung Bezug A zur gemeinsamen Achse A-B wie im Bild 7.10 ausgewertet werden soll. Tabelle 8.18: Berechnungstabelle Koaxialität zur gemeinsamen Achse Messgröße: E K Koaxialitätsabweichung zur gemeinsamen Achse (radiusbezogen) Funktion: E K = ( X E1 - X TE - X B1 + X TB - X TR ) * L E / 2/ L A + W E1 *L E / 2/ L ME - E KMG oder: E K = [ (X E1 +X E2 )/ 2 -X TE - (X B1 -X B2 )/ 2 +X TB - X TR ]*L E / 2/ L A + (X E1 -X E2 )*L E / 2/ L ME - E KMG Eingangsgrößen: X E1 Mittelpunktkoordinate des tolerierten Elements (Element ist gleichzeitig auch Bezug) W E1 Winkel des tolerierten Elements (bei Zylinder und Kegel) X E2 Mittelpunktkoordinate des zweiten tolerierten Elements X TE Mittelpunktkoordinate des Tasters für das tolerierte Element vom Einmessen (Halbkugel) X B1 Mittelpunktkoordinate des Bezugselements (nicht toleriertes Bezugselement) X B2 Mittelpunktkoordinate des zweiten Bezuges X TB Mittelpunktkoordinate des Tasters für den Bezug vom Einmessen (Halbkugel) X TR Rotationsabweichung der Tastermittelpunkte zwischen Element und Bezug E KMG Geometrieabweichungen des KMG Fortsetzung nächste Seite <?page no="136"?> 128 Tabelle 8.18: Koaxialität zur gemeinsamen Achse (Fortsetzung) Messbedingungen: Taster Auswahl: 1 derselbe Taster, 2 verschiedene Taster für Element und Bezug Element 1 Auswahl: 4 Kreis, 6 Zylinder, 7 Kegel (Element ist gleichzeitig auch Bezug) Merkmal - Koordinate im Schwerpunkt der Messpunkte (Mittelpunkt) senkrecht zur Achse Muster E Punktmuster: 1 gleichmäßig verteilt, 2 zwei Radialschnitte Element 2 Auswahl: 4 Kreis, 6 Zylinder, 7 Kegel (Element ist gleichzeitig auch Bezug) Merkmal - Mittelpunktkoordinate senkrecht zur Achse und zum Tasterschaft D E = Größter Durchmesser des tolerierten Elements L A = Größter Abstand des Elements vom Schwerpunkt der Messpunkte am Bezug L E = Auswertelänge am tolerierten Element (Gesamtlänge bis zum Rand) L ME = Messlänge (Bereich der Messpunkte bzw. Abstand der Schwerpunkte) L TE = Tasterlänge (Abstand zwischen Kugelmittelpunkt und Anlage am Messkopf) Bezug 1 Auswahl: 4 Kreis, 6 Zylinder, 7 Kegel Merkmal - Koordinate im Schwerpunkt der Messpunkte (Mittelpunkt) senkrecht zur Achse Bezug 2 Auswahl: 4 Kreis, 6 Zylinder, 7 Kegel Merkmal - Koordinate im Schwerpunkt der Messpunkte (Mittelpunkt) senkrecht zur Achse L TB = Tasterlänge (Abstand zwischen Kugelmittelpunkt und Anlage am Messkopf) A = Konstanter Anteil A des Grenzwertes E 0, MPE der Längenmessabweichungen K = Faktor K des Grenzwertes der Längenmessabweichungen E 0, MPE = (A+L/ K) μm P LTj, MPE = Grenzwert der Mehrfachtaster-Ortsabweichung des Messkopfsystems L T = Tasterlänge für die spezifizierte Mehrfachtaster-Ortsabweichung Eingangsgröße Methode bzw. Anzahl Messpunktanzahl bzw. Verteilung Standardabweichung bzw. Grenze Faktor für Punktzahl / Verteilung Sensitivitätskoeffizient Unsicherheitsbeitrag (μm) Effektive Freiheitsgrade X i m i n i s i bzw. a i b i c i u i (y) eff X E1 W E1 X E2 X TE X B1 X B2 X TB X TR B Normal 0,5 1 0 E KMG B Normal 0,5 1 0 Standardunsicherheit der Messgröße: u(y) = = Erweiterungsfaktor: k = eff = Erweiterte Messunsicherheit (P=95 %): U = <?page no="137"?> 129 8.8 Richtung und Winkel Tabelle 8.19: Auswahltabelle Richtung; Faktoren für die Punktzahl nach Tabelle 3.10 bzw. für die Verteilung nach Tabelle 8.1; Längen nach Bild 8.20 Eingangsgröße Bedingung Standardabweichung bzw. Grenze Sensitivitätskoeffizient X i s i bzw. a i c i W E Ein Element toleriert X E1 , X E2 Gemeinsames Element aus zwei Elementen toleriert 3 min A s 1) MEj Ej L L X TE1 , X TE2 Zwei Elemente mit verschiedenen Tastern X TER Zwei Elemente mit verschiedenen Tastern MPE LTj T TE TE i P L L L a , 2 1 2 2) MEj Ej L L W B Ein Bezug X B1 , X B2 Gemeinsamer Bezug aus zwei Elementen 3 min A s 1) MBj Ej L L X TB1 , X TB2 Zwei Bezugselemente mit verschiedenen Tastern X TBR Zwei Bezugselemente mit verschiedenen Tastern MPE LTj T TB TB i P L L L a , 2 1 2 2) MBj Ej L L A 1 , A 2 Richtung an Oberflächen (Gerade, Ebene) 3 min A s 1) 1 F KMG Richtung an Oberflächen (Gerade, Ebene) Tabelle 3.18 1 E KMG Immer Tabelle 3.18 1 Anmerkungen: 1) Standardabweichung s vom Ausgleichselement oder s min mit dem Faktor A aus dem Grenzwert der Längenmessabweichungen E 0, MPE = (A+L/ K) μm 2) Grenzwert P LTj, MPE der Mehrfachtaster-Ortsabweichung (in μm) 3) Faktor K aus dem Grenzwert der Längenmessabweichung E 0, MPE = (A+L/ K) μm Konstanten: B E Nur bei Richtungsabweichung an der Ebene: Breite der Ebene L A Kleinster Abstand des tolerierten Elements vom Bezugselement L E Auswertelänge am tolerierten Element (Gesamtlänge bis zum Rand) L MB Messlänge am Bezugselement (Bereich der Messpunkte bzw. bei zwei Bezügen Abstand der Schwerpunkte) L ME Messlänge am tolerierten Element (Bereich der Messpunkte bzw. bei zwei Elementen Abstand der Schwerpunkte) L T Tasterlänge für die spezifizierte Mehrfachtaster-Ortsabweichung P LTj, MPE L TBj Tasterlänge am Bezugselement (Index j=1 oder j=2) L TEj Tasterlänge am tolerierten Element (Index j=1 oder j=2) <?page no="138"?> 130 Bild 8.20: Bezeichnungen in den Tabellen 8.19 und 8.21 Das Messverfahren muss folgende Voraussetzungen erfüllen: 1. Ist das tolerierte Element eine Oberfläche (Gerade oder Ebene), ist die Formabweichung Bestandteil des Messergebnisses (nicht bei Winkeln). Um die extremen Punkte zu erfassen, ist hier die ganze Oberfläche mit ausreichend großer Messpunktzahl zu messen. Der Unsicherheitsbeitrag der extremen Punkte wird dann bei A 1 und A 2 aus der Antaststreuung der Messpunkte abgeschätzt. 2. Ist das tolerierte Element ein formideales Ersatzelement (z.B. die Achse eines Zylinders), hat die Formabweichung der Oberfläche keinen direkten Einfluss auf das Messergebnis und seine Unsicherheit. Tabelle 8.21: Berechnungstabelle Richtung und Winkel Messgröße: E R Richtungsabweichung des tolerierten Elements zum Bezug Messgröße: E W Winkelabweichung des tolerierten Elements zum Bezug Funktion: E R = ( W E1 / L ME - W B1 / L MB ) * L E + A 1 - A 2 - F KMG - E KMG Funktion: E W = [ ( W E1 / L ME - W B1 / L MB ) * L E - E KMG ] / L E Winkel: W i = X i1 - X Ti1 - D Ti1 / 2 - X i2 + X Ti2 + D Ti2 / 2 - X TiR - X Di mit i = (E oder B) Eingangsgrößen: W E1 Winkel des tolerierten Elements (entfällt bei gemeinsamem Element) X E1 Koordinate des 1. tolerierten Elements (nur bei gemeinsamem Element) X E2 Koordinate des 2. tolerierten Elements (nur bei gemeinsamem Element) X TE1 Tastermittelpunkt des 1. tolerierten Elements vom Einmessen (nur bei zwei Tastern) D TE1 Tasterdurchmesser des 1. tolerierten Elements (nur bei Oberflächen und zwei Tastern) X TE2 Tastermittelpunkt des 2. tolerierten Elements vom Einmessen (nur bei zwei Tastern) D TE2 Tasterdurchmesser des 2. tolerierten Elements (nur bei Oberflächen und zwei Tastern) X TER Rotationsabweichung der Tastermittelpunkte am tolerierten Element W B1 Winkel des Bezugselements (entfällt bei gemeinsamem Element als Bezug) X B1 Koordinate des 1. Bezugselements (nur bei gemeinsamem Bezug) X B2 Koordinate des 2. Bezugselements (nur bei gemeinsamem Bezug) X TB1 Tastermittelpunkt des 1. Bezuges vom Einmessen (nur bei zwei Tastern) D TB1 Tasterdurchmesser des 1. Bezuges (nur bei Oberflächen und zwei Tastern) X TB2 Tastermittelpunkt des 2. Bezuges vom Einmessen (nur bei zwei Tastern) D TB2 Tasterdurchmesser des 2. Bezuges (nur bei Oberflächen und zwei Tastern) X TBR Rotationsabweichung der Tastermittelpunkte am Bezug A 1 Maximale positive Abweichung der Oberfläche (Antaststreuung des KMG) A 2 Maximale negative Abweichung der Oberfläche (Antaststreuung des KMG) F KMG Geometrieabweichung des KMG für die Form (nur bei Oberflächen) E KMG Geometrieabweichung des KMG für die Lage des mittleren tolerierten Elements Fortsetzung nächste Seite <?page no="139"?> 131 Tabelle 8.21: Berechnungstabelle Richtung und Winkel (Fortsetzung) Messbedingungen: Merkmal 1 Parallelität, 2 Rechtwinkligkeit, 3 Neigung, 4 Winkel = Nennwert des (Neigungs-) Winkels (in Grad) Element 1 Auswahl: 1 Punkt, 2 Gerade, 3 Ebene, 4 Kreis, 6 Zylinder, 7 Kegel Muster E Punktmuster: 1 in Reihe (gleichmäßig) , 2 an Enden (2 Kreise), 3 kreisförmig Element 2 Auswahl: 1 Punkt, 2 Gerade, 3 Ebene, 4 Kreis, 6 Zylinder, 7 Kegel Taster E Auswahl: 1 derselbe Taster, 2 verschiedene Taster L E = Auswertelänge (Länge des tolerierten Elements) L ME = Messlänge (Bereich der Messpunkte bzw. Abstand der Schwerpunkte) B E = Breite der Ebene (nicht bei Winkel) L A = Kleinster Abstand des tolerierten Elements vom Bezugselement L TE1 = Tasterlänge 1 (Abstand zwischen Kugelmittelpunkt und Anlage am Messkopf) L TE2 = Tasterlänge 2 (Abstand zwischen Kugelmittelpunkt und Anlage am Messkopf) Bezug 1 Auswahl: 1 Punkt, 2 Gerade, 3 Ebene, 4 Kreis, 6 Zylinder, 7 Kegel Muster B Punktmuster: 1 in Reihe (gleichmäßig) , 2 an Enden (2 Kreise), 3 kreisförmig Bezug 2 Auswahl: 1 Punkt, 2 Gerade, 3 Ebene, 4 Kreis, 6 Zylinder, 7 Kegel Taster B Auswahl: 1 derselbe Taster, 2 verschiedene Taster L MB = Messlänge (Bereich der Messpunkte bzw. Abstand der Schwerpunkte) L TB1 = Tasterlänge 1 (Abstand zwischen Kugelmittelpunkt und Anlage am Messkopf) L TB2 = Tasterlänge 2 (Abstand zwischen Kugelmittelpunkt und Anlage am Messkopf) A = Konstanter Anteil A des Grenzwertes E 0, MPE der Längenmessabweichungen K = Faktor K des Grenzwertes der Längenmessabweichungen E 0, MPE = (A+L/ K) P LTj, MPE = Grenzwert der Mehrfachtaster-Ortsabweichung des Messkopfsystems L T = Tasterlänge für die spezifizierte Mehrfachtaster-Ortsabweichung Eingangsgröße Methode bzw. Anzahl Messpunktanzahl bzw. Verteilung Standardabweichung bzw. Grenze Faktor für Punktzahl / Verteilung Sensitivitätskoeffizient Unsicherheitsbeitrag (μm) Effektive Freiheitsgrade X i m i n i s i bzw. a i b i c i u i (y) eff W E1 X E1 X E2 X TE1 D TE1 X TE2 D TE2 X TER B Normal 0,5 0 W B1 X B1 X B2 X TB1 D TB1 X TB2 D TB2 X TBR B Normal 0,5 0 A 1 B Stand.-abw. 1 1 0 A 2 B Stand.-abw. 1 1 0 F KMG B Normal 0,5 1 0 E KMG B Normal 0,5 1 0 Standardunsicherheit der Messgröße: u(y) = = Erweiterungsfaktor: k = eff = Erweiterte Messunsicherheit (P=95 %): U = <?page no="140"?> 132 8.9 Form Tabelle 8.22: Auswahltabelle Form; Faktoren für die Verteilung nach Tabelle 8.1 Eingangsgröße Bedingung / Merkmal Standardabweichung bzw. Grenze X i s i bzw. a i A i Immer 3 min A s 1) F T Kreis, Kugel, Zylinder, Kegel (nicht bei Gerade und Ebene) F 2) F KMG Geradheit: L = Länge der Geraden K L a i 3) Ebenheit: l = kürzere, L = längere Seite der Ebene 2 2 5 1 L l K a i 3) Rundheit: D = Durchmesser 4 26 K D a i 3) Zylinderform: L = Länge, D = Durchmesser 2 2 10 4 26 1 L D K a i 3) Flächenform: L = Raumdiagonale des Formelements K L a i 4 3) Anmerkungen: 1) Minimale Standardabweichung s min mit dem Faktor A aus dem Grenzwert der Längenmessabweichungen E 0, MPE = (A+L/ K) μm 2) Formabweichung am Normal 3) Faktor K aus dem Grenzwert der Längenmessabweichungen E 0, MPE = (A+L/ K) μm Das Messverfahren muss folgende Voraussetzungen erfüllen: 1. Die ganze Oberfläche wird mit demselben Taster sowie mit ausreichend großer Messpunktzahl gemessen, um die extremen Punkte der Oberfläche zu erfassen. Die Antaststreuung des KMG wird an diesen beiden Punkten durch die minimale Standardabweichung s min =A/ 3 abgeschätzt. 2. Bei Rundheit, Zylinderform und Flächenform werden die Biegeabweichungen des Tasters durch eine Messung an einem kleinen Normal von Gestalt des Werkstücks bestimmt. Die Anzahl und die Anordnung der Messpunkte muss der Messung am Werkstück entsprechen. Die gemessene Formabweichung F wird als Grenzabweichung a für F T eingesetzt. Als Verteilung wird eine Rechteckverteilung angenommen. 3. Bei Geradheit und Ebenheit hat die richtungsabhängige Tasterbiegung keinen Einfluss auf das Messergebnis, da immer in derselben Richtung angetastet wird. Sie leistet deshalb keinen Beitrag zur Messunsicherheit, und F T entfällt. <?page no="141"?> 133 Tabelle 8.23: Berechnungstabelle Form Messgröße: E F Formabweichung Funktion: E F = A 1 - A 2 - F T - F KMG Eingangsgrößen: A 1 Maximale positive Abweichung der Oberfläche (Antaststreuung des KMG) A 2 Maximale negative Abweichung der Oberfläche (Antaststreuung des KMG) F T Biegeabweichungen des Tasters (Messung am Normal) F KMG Geometrieabweichungen des KMG Messbedingungen: Element 2 Gerade, 3 Ebene, 4 Kreis, 5 Halbkugel, 6 Zylinder, 7 Kegel, 8 Freiformfläche Merkmal 1 Geradheit, 2 Ebenheit, 3 Rundheit, 4 Zylinderform, 5 Linienbzw. Flächenform L = Nennmaß der Länge (größere Länge) D (l) = Nennmaß des (mittleren) Durchmessers bzw. der Breite (kleinere Länge) A = Konstanter Anteil A des Grenzwertes E 0, MPE der Längenmessabweichungen K = Faktor K des Grenzwertes der Längenmessabweichungen E 0, MPE = (A+L/ K) μm F = Formabweichung am Normal aufgrund der Tasterbiegung (μm) Eingangsgröße Methode bzw. Anzahl Messpunktanzahl bzw. Verteilung Standardabweichung bzw. Grenze Faktor für Punktzahl / Verteilung Sensitivitätskoeffizient Unsicherheitsbeitrag (μm) X i m i n i s i bzw. a i b i c i u i (y) A 1 B Stand.-abw. 1 1 A 2 B Stand.-abw. 1 1 F T B Rechteck 0,58 1 F KMG B Normal 0,5 1 Standardunsicherheit der Messgröße: u(y) = Erweiterungsfaktor: k = 2,00 Erweiterte Messunsicherheit (P=95%): U = Die Messung zur Bestimmung der Biegeabweichungen F T des Tasters kann entfallen, wenn der verwendete Taster demjenigen entspricht, für den der Grenzwert P FTU, MPE der Einzeltaster-Formabweichung nach DIN EN ISO 10360-5 [43] spezifiziert ist. In vielen Fällen wird der Taster jedoch größere Biegungen aufweisen, die dann im Einzelfall zu ermitteln sind. Die Biegeabweichungen des Tasters werden üblicherweise für den einen am Werkstück eingesetzten Taster ermittelt. Manchmal werden zur Messung der Formabweichung aber mehrere Taster bzw. derselbe Taster in verschiedenen Stellungen des Dreh-Schwenk-Gelenks eingesetzt. Dann werden die Biegeabweichungen für diese Taster bzw. Tasterstellungen ermittelt und in die Rechnung eingesetzt. Die Anzahl und die Anordnung der Messpunkte muss der Messung am Werkstück entsprechen. <?page no="142"?> 134 8.10 Lauf In einer gemessenen Rundlaufabweichung sind sowohl die Abweichung des Mittelpunktes in dem gemessenen Kreisquerschnitt (wie bei Koaxialität) als auch die Formabweichungen der Oberfläche (wie bei Rundheit) enthalten. Die Rundlaufabweichung ergibt sich also durch Addition der Rundheitsabweichung zur Koaxialitätsabweichung. Dabei ist aber zu beachten, dass in den beschriebenen Tabellen die Koaxialitätsabweichung und ihre Unsicherheit radiusbezogen berechnet werden, beim Rundlauf aber immer durchmesserbezogen eingehen. Die Koaxialitätsabweichung ist deshalb zu verdoppeln. Die Modellfunktion lautet: F K R E E E 2 Die radiusbezogene Koaxialitätsabweichung E K berechnet sich nach Tabelle 8.15, die Rundheit E F nach Tabelle 8.23. Zu den Beschreibungen der einzelnen Eingangsgrößen wird auf die Abschnitte 8.6 und 8.9 verwiesen. Beim Gesamtrundlauf wird nicht nur in einem Querschnitt gemessen, sondern innerhalb einer Messung die gesamte Oberfläche erfasst. Die Modellfunktion ist dieselbe wie beim Rundlauf, der Unterschied liegt allein in den Geometrieabweichungen des KMG für die Form: Sie werden beim Gesamtrundlauf anstelle der Rundheit des Kreises mit der Zylinderformabweichung abgeschätzt. Ähnlich wie bei der Koaxialität lassen sich auch der Rundlauf und der Gesamtrundlauf zur gemeinsamen Achse auswerten. Das setzt aber voraus, dass sowohl die Achse der beiden Bezüge als auch die gemeinsame Achse aus denselben Messpunkten berechnet werden, die auch zur Ermittlung der Laufabweichungen dienen. Dann gilt dieselbe Modellfunktion wie oben, aber mit der radiusbezogenen Koaxialitätsabweichung E K zur gemeinsamen Achse, berechnet nach Tabelle 8.18 im Abschnitt 8.7. Eine gemessene Planlaufabweichung entspricht der Rechtwinkligkeitsabweichung einer nominell ebenen Fläche zu einer Achse. Die Berechnung ist dieselbe, und es gibt auch keinen Unterschied bei der Modellfunktion, siehe Tabelle 8.21 im Abschnitt 8.8. Beim (einfachen) Planlauf wird die Ebene lediglich in einem Kreisring angetastet, bei der Rechtwinkligkeit aber die ganze Ebene - wie auch beim Gesamtrundlauf. <?page no="143"?> 135 9 Unabhängige Messabweichungen Das wesentliche Problem bei der Unsicherheitsberechnung ist die Bestimmung der Varianz 2 der zufälligen und unabhängigen Messabweichungen in Gleichung (3.4) bzw. die Schätzung der entsprechenden Standardabweichung s. Die Abschätzung aus dem konstanten Anteil A des Grenzwertes E 0, MPE der Längenmessabweichung liefert nur bei vernachlässigbar kleinen Formabweichungen der Oberfläche richtige Werte. Sind die örtlichen Formabweichungen relevant, ergeben sich mit der Standardabweichung am Ausgleichselement besonders bei größeren Messpunktzahlen zu große Unsicherheiten. Das Problem kann durch die Trennung der zufälligen von den systematischen Messwertanteilen gelöst werden, da beide Anteile charakteristische Eigenschaften aufweisen (Bild 9.1). Bild 9.1: Kreisformprofile mit je 100 Punkten und gleichen Standardabweichungen; links systematische Abweichungen (Ellipse), rechts zufällige Abweichungen (Profil aus Zufallszahlen konstruiert) Beim systematischen Profil (links) unterscheiden sich die Abweichungen von benachbarten Messpunkten kaum voneinander. Beträge und Vorzeichen ändern sich nur in kleinen Schritten, und es gibt ausgedehnte Bereiche mit gleichen Vorzeichen. Beim zufälligen Profil (rechts) sind die Abweichungen von benachbarten Messpunkten unabhängig voneinander, Beträge und Vorzeichen ändern sich willkürlich innerhalb des gesamten Streubereiches, und es gibt keine Bereiche mit gleichen Vorzeichen. Aus der Mathematik sind statistische Tests bekannt, mit denen sich durch Vergleich einer Testgröße mit entsprechenden kritischen Werten die Zufälligkeit feststellen lässt, z.B. der Vorzeichentest in DIN 1319 Teil 4 [36] und der Korrelationskoeffizient für die Abweichungen von benachbarten Messpunkten [4] [5] [11]. <?page no="144"?> 136 Am realen Werkstück überlagern sich Systematik und Zufall mit verschiedenen Anteilen, wobei die Mischung von der Oberflächengestalt selbst, der Anzahl und zufälligen Lage der Messpunkte sowie von der Genauigkeit des Messgerätes abhängt. Das Bild 9.2 zeigt als Beispiel einen Ausgleichskreis durch 100 Messpunkte. Deutlich sind drei Abschnitte mit positiven und drei mit negativen Vorzeichen der Abweichungen zu erkennen, was auf einen hohen Anteil an systematischen Abweichungen schließen lässt. So ist die im Amplitudenspektrum der harmonischen Analyse dominierende dritte Harmonische keine Überraschung. Die Abweichungen vom Ausgleichskreis („Messwerte“) weisen eine schiefe Häufigkeitsverteilung auf. Bild 9.2: Ausgleichskreis mit 100 Messpunkten, Häufigkeitsverteilung der Abweichungen und Amplitudenspektrum der Harmonischen Der Vorzeichentest und der Korrelationskoeffizient bestätigen, dass es sich nicht nur um zufällige Messabweichungen handelt, sondern auch systematische Anteile enthalten sind. Wird nun die dritte Harmonische aus den Messabweichungen herausgerechnet, können die Restabweichungen erneut getestet werden. Auf diese Weise lassen sich nacheinander in der Reihenfolge ihrer Amplitudengröße weitere Harmonische als systematische Messwertanteile erkennen, bis eine statistisch unabhängige Zahlenfolge übrig bleibt. Im Beispiel werden so die 2. bis 7. Harmonische aus den Messwerten eliminiert. Für die verbleibenden Restabweichungen kann die Standardabweichung berechnet werden. Das aus den eliminierten systematischen Harmonischen zusammengesetzte mittlere Profil nähert den mittleren Verlauf der Messwerte recht gut an, siehe Bild 9.3. Die Restabweichungen sind normalverteilt und damit nicht nur unkorreliert, sondern auch unabhängig voneinander. Die Amplituden der übriggebliebenen zufälligen Harmonischen zeigen eine typische Verteilung, für die sich ebenfalls kritische Werte ableiten lassen [4] [5]. <?page no="145"?> 137 Bild 9.3: Messpunkte aus Bild 9.2 mit dem mittleren Profil aus den 2. bis 7. Harmonischen sowie den Häufigkeitsverteilungen der Restabweichungen und der Amplituden der Harmonischen, dazu die theoretische Verteilung der Amplituden und deren Zufallshöchstwerte für die Vertrauensniveaus 95 % und 99 % Das mittlere Profil beschreibt den Oberflächenverlauf als stetige Funktion und lässt sich z.B. zur Bestimmung der angrenzenden Elemente und der Formabweichung verwenden. Hier ist also der Mittelwert bzw. das mittlere Element der beste Schätzwert der Messgröße. Da die Unsicherheit des mittleren Profils lückenlos bekannt ist, können auch die Unsicherheiten der angrenzenden Elemente und der Formabweichung nach den Methoden des GUM abgeschätzt werden [4] [5] [11]. Das Bild 9.4 zeigt ein Beispiel. Bild 9.4: Mittleres Profil aus Bild 9.3 mit Hüllkreis und Streubereichen Die systematischen Anteile der Messabweichungen lassen sich nicht nur durch Harmonische Analyse, sondern auch durch andere mathematische Ansätze ermitteln, z.B. Polynome oder Filterung mit Gauß- oder Splinefiltern und variablen Grenzwellenlängen [4] [11]. Allen Verfahren gemeinsam sind jedoch die Testgrößen, mit denen die zufälligen Messwertanteile identifiziert werden. Es lässt sich zeigen, dass die Messunsicherheit mit den Restabweichungen der Messpunkte zum mittleren Profil realistisch abgeschätzt wird [4] [9]. Weitere Ausführungen zu dieser Frage sind in [22] enthalten. <?page no="146"?> 138 10 Literatur [1] Berndt, G.; Hultzsch, E.; Weinhold, E.: Funktionstoleranz und Messunsicherheit. Wissenschaftliche Zeitschrift der TU Dresden 17 (1968) 2, S. 465-471 [2] DGQ-Band 13-61: Prüfmittelmanagement. Beuth Verlag Berlin 2003 [3] Engeln-Müllges, G.; Reutter, F.: Numerik-Algorithmen. VDI-Verlag Düsseldorf 1996 (ISBN 3-540-62170-9) [4] Hernla, M.: Abschätzung der Messunsicherheit bei Koordinatenmessungen unter den Bedingungen der industriellen Fertigung. 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Beuth Verlag Berlin 2014 [36] DIN 1319 Teil 4: Grundlagen der Messtechnik; Teil 4: Auswertung von Messungen; Messunsicherheit. Beuth Verlag Berlin 1999 [37] DIN EN ISO 3650: Geometrische Produktspezifikationen (GPS) - Längennormale - Parallelendmaße. Beuth Verlag Berlin 1999 [38] DIN EN ISO 5459: Geometrische Produktspezifikationen (GPS) - Geometrische Tolerierung - Bezüge und Bezugssysteme. Beuth Verlag Berlin 2011 [39] DIN EN ISO 8015: Geometrische Produktspezifikationen (GPS) - Grundlagen - Konzepte, Prinzipien und Regeln. Beuth Verlag Berlin 2011 [40] DIN EN ISO 9001: Qualitätsmanagementsysteme; Anforderungen. Beuth Verlag Berlin 2015 <?page no="148"?> 140 [41] DIN EN ISO 10360-1: GPS - Annahmeprüfung und Bestätigungsprüfung für Koordinatenmessgeräte (KMG) - Teil 1: Begriffe. Beuth Verlag Berlin 2003 [42] DIN EN ISO 10360-2: GPS - Annahmeprüfung und Bestätigungsprüfung für Koordinatenmessgeräte (KMG) - Teil 2: KMG angewendet für Längenmessungen. Beuth Verlag Berlin 2010 [43] DIN EN ISO 10360-5: GPS - Annahmeprüfung und Bestätigungsprüfung für Koordinatenmessgeräte (KMG) - Teil 5: Prüfung der Antastabweichung von KMG mit berührendem Messkopfsystem. Beuth Verlag Berlin 2011 [44] DIN V ENV 13005: Leitfaden zur Angabe der Unsicherheit beim Messen. Beuth Verlag Berlin 1999 (zurückgezogen) JCGM 100: Evaluation of measurement data - Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement (GUM). Bureau International des Poids et Mesures (BIPM), Sèvres 2008 (www.bipm.org) [45] DIN EN ISO 14253-1: GPS - Prüfung von Werkstücken und Messgeräten durch Messungen - Teil 1: Entscheidungsregeln für die Feststellung von Übereinstimmung oder Nicht-Übereinstimmung mit Spezifikationen. Beuth Verlag Berlin 2013 [46] DIN EN ISO 14405-1: Geometrische Produktspezifikationen (GPS) - Dimensionelle Tolerierung - Teil 1: Längenmaße. 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Beuth Verlag Berlin 2006 [52] VDI/ VDE 2617 Blatt 11: Genauigkeit von Koordinatenmessgeräten; Kenngrößen und deren Prüfung; Ermittlung der Unsicherheit von Messungen auf Koordinatenmessgeräten durch Messunsicherheitsbilanzen. Beuth Verlag Berlin 2011 [53] VDI/ VDE/ DGQ 2618 Blatt 1.2: Anweisungen zur Überwachung von Messmitteln für geometrische Größen - Messunsicherheit. Beuth Verlag Berlin 2003 [54] JCGM 101: 2008 Evaluation of measurement data - Supplement 1 to the “Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement” - Propagation of distributions using a Monte Carlo Method. Bureau International des Poids et Mesures (BIPM), Sèvres 2008 (www.bipm.org) [55] JCGM 102: 2011: Evaluation of measurement data - Supplement 2 to the “Guide to the expression of uncertainty in measurement” - Extension to any number of output quantities. Bureau International des Poids et Mesures (BIPM), Sèvres 2011 (www.bipm.org) <?page no="149"?> 141 Stichwortregister A ntastabweichung 16, 44, 46, 49, 60, 62, 141 Arcsin-Verteilung 8, 104 Aufspannung 58, 63 Ausdehnungskoeffizient 50-52, 63-64, 71-72, 75-76, 81-82, 100, 106, 109-110, 117-118 Ausgleichselement 10, 17, 18, 44-45, 53-54, 56, 60, 69-70, 72, 89-102, 104, 107, 112, 120, 123, 126, 129, 135 Ausgleichsrechnung 7, 16-17, 34, 46, 67, 98 B etragsverteilung 10-11 Bezugssystem 43, 56-57, 78-81, 114- 117, 140 D esignmatrix 17, 19 Dreieckverteilung 8, 10, 104 Durchstoßpunkt 56-57, 74-75, 78, 84, 115 E bene 25-26, 33, 38, 41, 74-76, 79- 81, 84-85 Effektive Freiheitsgrade 9, 45, 66, 69, 100-103, 104 Einflussgröße 2 Eingangsgröße 2, 7-10, 12, 43, 45, 49-50, 59-60, 62, 67-71, 103-104, 105, 107, 111-112, 119, 123, 126, 129, 132, 134 Einmessen (Taster) 34, 43, 46-47, 72, 75, 87, 91, 94, 98 Entscheidungsregeln 15 Erweiterte Messunsicherheit 3, 5-6, 9, 11-12, 14-15, 59-60, 62, 64, 65, 69-70, 72-73, 77, 83, 85, 89, 91- 92, 94, 99-103, 104 Erweiterungsfaktor 5-6, 9-10, 12, 45, 60, 64, 66, 69-70, 72-73, 100- 103, 104 F ehlergrenze 2, 7, 16, 35, 37, 40- 41, 49 Filterung 98, 137 Freiheitsgrade 6, 9, 45, 66, 69, 100- 103, 104 Formabweichungen 16, 34, 38-40, 44-45, 53, 56, 58, 60, 62-64, 66, 69, 96-98, 99-101, 130, 132-134, 135-137 Fortpflanzungsgesetz 8-9, 31-32 Fourieranalyse s. Harmonische Analyse G enauigkeit 2-3 Geometrieabweichungen 16, 34-35, 37, 40-42, 43, 49, 59-61, 70, 72, 75, 77, 78, 81, 85, 88, 91, 93-94, 96-97, 113, 134 Gewichtsmatrix 18, 20-23, 25, 28, 30 Gleichungssystem 17 Grenzwert 2, 7-10, 13-14, 16, 3435, 37, 40-42, 45-49, 50, 57, 61, 69- 70, 75, 77, 81, 85, 87, 91, 94, 97, 98, 103-105, 107, 112-113, 120, 123, 126, 129, 132-133, 135 H armonische Analyse 136-137 Hüllkreis 53, 137 <?page no="150"?> 142 K alibrieren 2, 51, 59-60 Kalibrierte Werkstücke 14, 51, 59, 63- 66, 67, 98 Kalibrierschein 2, 60, 62 Kegel 29-32, 33, 61 Koaxialität 11, 41, 54-55, 61, 67-69, 71, 87-89, 123-125 Koaxialität zur gemeinsamen Achse 68, 89-92, 126-128 Koeffizientenmatrix 17, 19-21, 23, 25, 27, 29-30 Konformität 15 Konzentrizität 41 Korrelation 18, 22, 98, 135, 136 Kovarianz 18-19, 22 Kovarianzmatrix 18, 32, 98 Kreis 19-22, 33, 39, 45, 53, 72-73, 96, 98, 99-103, 104, 105, 132, 134, 135-137 Kugel 23-24, 33, 46, 48, 70, 72, 75, 77, 87, 91, 94, 104, 105 Kugelnormal 43, 46-48, 70, 72, 75, 77, 94, L ageabweichungen 10, 37, 40, 43, 47-48, 50, 52, 54, 67 Lagetoleranzen 67 Längenmessabweichung 12, 16, 34- 42, 45-50, 61, 69-72, 77, 81, 97- 98, 103, 105, 107, 112, 120, 123, 126, 129, 132, 135 M atrix der Normalgleichungen 17- 18 Mehrfachtaster-Ortsabweichung 75, 85, 87, 94, 107-108, 113, 120, 123, 126, 129 Meisterteil 59 Messabweichung 2, 9, 11-12, 14, 16, 18, 22, 31-35, 37-42, 45-51, 56, 61, 66, 69-72, 135-137 Messen 2-3 Messergebnis 2-3, 4, 6, 11, 15, 16- 17, 44, 54-55, 61, 65-67, 71, 96, 130, 132 Messgröße 2, 4-11, 15, 16, 18, 31, 43, 53-54, 58, 60, 67, 70, 98, 103-104 Messprozess 3, 13-14, 59, 64 Messprozesseignung 3, 11, 13-14, 34, 55, 67, 69, 83 Messunsicherheit 2-3, 4-7, 9, 11-15, 16-17, 43, 45, 50, 53-56, 59-62, 63-66, 67-70, 72, 77, 83, 85, 89, 91-92, 94, 98, 99-103, 104, 132, 137 Methode A 7, 45-46, 58, 69, 101-102, 104 Methode B 44-45, 69, 99-100, 102, 104 Modell, mathematisches 2, 7, 10-11, 43, 59, 70, 78, 103, 134 N eigung 36, 37, 39, 41, 93-95, 131 Neigungswinkel am Kegel 29-33, 61, 95 Normalverteilung 4, 8-11, 48, 72, 87, 91, 94, 104 Nullebene 56-57, 74, 78, 84, 108, 113, 120 O rtsabweichung 55, 67 Ortstoleranz 54-55, 67 P arallelität 37, 39, 41-42, 61, 93 Position 11, 34, 41, 50, 52, 54-55, 67- 69, 71, 74, 77, 78-83, 103, 111- 118 Präzision 2-3 Profil, mittleres 135-137 Prozesseigenstreuung 13-14 Prozessgesamtstreuung 13-14 <?page no="151"?> 143 Prüfen 3 Prüfmittel 3, 52 Prüfmittelfähigkeit 3, 13 Prüfprozess 3, 13 Prüfprozesseignung s. Messprozesseignung R echteckverteilung 8, 10, 96, 104, 132 Rechtwinkligkeit 35-36, 39-42, 49, 56- 57, 61, 93, 134 Restabweichungen 136-137 Richtigkeit 2-3 Rotation 37-38, 40-41, 47, 49 Rotation (Taster) 47, 75, 85, 87, 91, 94 S ensitivitätskoeffizient 8-9, 40-41 Simulation 10, 12, 59-62, 67 Standardabweichung 3-7, 9-10, 14, 18, 20-23, 25-26, 28, 30, 32-33, 44-46, 58, 61, 64,-66, 69-70, 99- 103, 104, 105, 107, 111-112, 119-120, 123, 126, 129, 132, 135-136 Standardunsicherheit 3-5, 7-9, 12, 18, 21-26, 28, 30-33, 44-46, 50, 60, 64, 72, 98, 103, 104 Standardunsicherheit der Messgröße 8, 98, 103, 104 Student-Verteilung s. t-Verteilung Symmetrie 41, 54, 67-69, 71, 84-86, 93, 115, 119-122 T aster 23, 33-34, 43, 45-49, 63, 67- 68, 70, 72, 74-76, 84-85, 87, 90- 91, 93-94, 96-97, 98, 103, 104, 107-108, 111-113, 115, 119-120, 123, 126, 129, 132-133 Tasterbiegung 45-46, 67, 96-97, 132- 133 Temperatur 8, 12, 16, 34-35, 43, 49, 50-52, 59, 63-64, 66, 68-69, 71, 72, 77, 83, 98-99, 103, 105, 107, 113 Temperaturausgleich 52 Temperaturkorrektur 50, 52, 63, 77, 83, 105, 107, 113 Temperaturmessung 52, 69 Toleranz 3, 11, 13-14, 34, 43, 54-55, 67, 69, 74, 78, 83 t-Verteilung 6, 9, 104 U mgebung 3, 13, 16, 60, 64 Unabhängigkeit 8-10, 18, 20-23, 25- 26, 28, 30-33, 44-46, 98, 135-137 U-Verteilung s. Arcsin-Verteilung V arianz 18-19, 135 Verteilung 4-12, 48, 50, 59-60, 62, 69, 72, 75, 85, 87, 91, 94, 96, 103, 104 Verteilungsfaktor 7-9, 104 Verteilungsform 7-8, 50, 69, 75, 85, 103, 104 Vertrauensbereich 15 Virtuelles KMG 59-62, 98 Vorzeichentest 135-136 W ahrscheinlichkeitsdichteverteilung 4, 7-11, 59, 62 Wiederholungsmessungen 7, 44, 46, 58, 64-65, 69, 99, 101-102, 104 Z ufallshöchstwert 137 Zweipunktabstand 53 Zylinder 27-28, 33, 39, 41, 54, 57, 72, 74, 76-77, 78-80, 84, 87, 89-91, 93-94, 96, 103, 104 <?page no="152"?> Dipl.-Ing. (FH) Hans-Gerd Pressel, Dipl.-Ing. (FH) Theo Hageney P: \AK\ pg Messunsicherheit von Prüfmerkmalen in der Koordinatenmesstechnik Von den Genauigkeitsangaben des KMG zur Messunsicherheit von Prüfmerkmalen 2., durchgesehene Auflage 2016, 160 S., 120 Abb., 15 Tab., 39,80 €, 52,00 CHF (Reihe Technik) ISBN 978-3-8169-3104-1 Zum Buch: Ein praxisnaher Simulator zur Ermittlung der Messunsicherheit von Prüfmerkmalen, entwickelt von der PTB in Zusammenarbeit mit namhaften Herstellern, hat die Phase der Pilotanwender verlassen und ist dabei, die Ergebnisse von Messungen auf Koordinatenmessgeräten auf eine vertrauenswürdige Basis zu stellen.Unter dem Namen »Virtuelles KMG« hat der Anwender jetzt die Möglichkeit, die mit seinem real existierenden Koordinatenmessgerät erzielbaren Messunsicherheiten für Prüfmerkmale, wie sie z.B. bei Maß-, Form- und Lagetoleranzen vorkommen, zu bestimmen. Das Buch gibt einen Überblick zur derzeitigen in der Normung festgeschriebenen Definition der Genauigkeit von Koordinatenmessgeräten und die hierfür geltenden Umgebungsbedingungen. Es zeigt mit vielen Illustrationen den Einfluss typischer Komponentenabweichungen des KMG auf die Ergebnisse bestimmter Messaufgaben und führt damit zum Kernthema, dem Virtuellen KMG. Inhalt: Genauigkeitsangaben für KMG - KMG-Abweichungen von der Idealgeometrie - Auswirkungen der KMG- Abweichungen auf die Messergebnisse - Ein Werkzeug zur Ermittlung der Messunsicherheit: Das »Virtuelle Koordinatenmessgerät« - Messunsicherheit eines Prüfmerkmals - Ein Prüfkörper zur Ermittlung der Messunsicherheit - Prüfkörper zur Überprüfung der KMG-Geometrie genauer betrachtet Die Interessenten: Das Buch wendet sich an alle, die sich kritisch mit der Gültigkeit oder dem Vertrauensbereich von Messergebnissen befassen, die mit Koordinatenmessgeraten erzielt werden, also an: Führungs- und Fachkräfte der Bereiche Fertigung und Qualitätssicherung - Systemverantwortliche und Anwender von Koordinatenmessgeräten - Verantwortliche für die Festlegung von Toleranzen in der Konstruktion - Fachkräfte aus dem Bereichen Planung und Beschaffung von Messmitteln Rezensionen: »Die Autoren zeigen, wie in der Koordinatenmesstechnik mit einem neuen Verfahren die Messunsicherheit für ein gemessenes Prüfmerkmal bestimmt werden kann. Dabei wird der gesamte Messprozess mit allen wesentlichen Einflussgrößen für das betreffende Koordinatenmessgerät (KMG) unter den am Einsatzort geltenden Umgebungsbedingungen mithilfe einer Software simuliert.« QZ - Qualität und Zuverlässigkeit (+QZ-online.de) Die Autoren: Dipl. Ing. (FH) Hans-Gerd Pressel studierte Feinmechanik und Optik an der FH in München. Er war 30 Jahre bei der Firma Carl Zeiss, Oberkochen, tätig Bis heute berät er die Fa. eμmetron. Dipl. Ing. (FH) Theo Hageney studierte Nachrichtentechnik an der FH in Krefeld. Er wurde Mitgründer der Fa. eμmetron GmbH, Aalen, einem Partnerunternehmen der Carl Zeiss Industrielle Messtechnik GmbH. Hier betreibt er erfolgreich ein akkreditiertes DAkkS-Kalibrierlaboratorium. Als geschäftsführender Gesellschafter zeichnet er verantwortlich für den Bereich »Präzisionsmessungen und Kalibrierungen«. Blätterbare Leseprobe und einfache Bestellung unter: www.expertverlag.de/ 3104 Bestellhotline: Tel: 07159 / 92 65-0 • Fax: -20 E-Mail: expert@expertverlag.de <?page no="153"?> Prof. Dr Ao. Univ Zus von Das Leh 7., bearb DVD-RO ISBN 97 Zum Buc Dieses b Maschine in seiner steht die Instandha ergänzend nach wie an die m Allgemein hänge kan Hinsichtlic schluss a den werde Überblick Rechnung Mit der a virtuellen werden kö Inhalt: Ziele und gungsana erkennung matischer DVD für e Die Inter Fach- und Messsyste Rezensio »Ein wert werkzeug generiere »Das durc dem erfah Die Auto Dr. Josef Schwingu Prof. Dr. J r. Josef Ko v.-Prof. D stand n Mas hr- und Ar beitete Aufla OM, 79,00 € 78-3-8169ch: bekannte B enüberwachu sechsten, g Organisation altung; ande d vorgestellt vor auf eine mathematisch nwissens. Da nn auch dem ch Messtech an die Grund en hier in üb von Norme g zu tragen. A uf einer mitg Analysator önnen. Konzepte e alyse: Verfa g und Diagn r Hintergrund ein virtuelles ressenten: d Führungsk emen - Stud onen: rtvolles Hilfsm ge auf eigen n, eigene Str rchgehende K hrenen Expe oren: Kolerus: Ho ungsüberwac Johann Wass olerus, ipl.-Ing. D dsübe schin rbeitsbuch age 2016, 4 , 129,00 CH -3377-9 Buch mit s ung und Sch gründlich üb n einer zusta ere Einsatz t, Aspekte d e gut verstän hen und phy as durchgehe m erfahrenen hnik und Ana dlagen zu ve berschaubare en und Rich Auch laufend gelieferten D erweitert we einer Maschin ahren und nose - Wirtsc d - Normen Messgerät ( räfte in Insta denten des M mittel für jed ne Faust ver trategien zu e Konzept eine rten einige n onorarprofes chung im NA sermann: Te Be Tel: 071 E-Mail: ex r. techn. J erwa nen h für den P 08 S., 252 A HF (Edition seiner prax hwingungsdia berarbeiteten andsabhängig gebiete wie der Wirtscha dliche Einfüh ysikalischen ende Konzep Experten ei alyseverfahre erlieren. Verf er Weise vorg htlinien, um de Projekte w DVD Softwar erden, auf d nenüberwach Messsystem chaftlicher N n und Richtli PC) - Testda andhaltung, te Maschinenba den, der mi rsuchen will, entwickeln.« er Abstützun neue Erkennt sor an der T LS/ VDI sowi echnische Un estellhot 159 / 92 65xpert@exp Johann W achun Praktiker Abb., 7 Tab expertsoft, isnahen Da agnose ersc n Auflage. Im gen und kos e Qualitätsk aftlichkeit kom hrung in dies Kenntnisse pt einer Abst niges an neu en wurde der fahren wie Z gestellt. Der ihrer steige wie die Richt re LabVIEW dem die erw hung - Schw me - Feh Nutzen - Mat inien - Beg atenbank echnischer D aus it Hilfe der tiefer in da ng auf plausi tnisse liefern Technischen ie des Arbeit niversität Wie tline: 0 • Fax: -20 pertverlag.d Wasserman ng b., 79) arstellung d heint nunme m Hintergru stenoptimiert kontrolle od mmen ebenf ses vielfältig bewegt sic tützung auf p uen Erkenntn r Inhalt weite Zeit-Frequenz Band enthä enden Bede tlinie VDI 455 W 2013 Stude worbenen Ke winhlertheleit- Diagnose un heute verfü as Metier ein ible physikal n.« Universität tskreises VD en, Institut fü 0 de nn der ehr nd en der Produkt falls zur Spr e Fachgebie ch dabei im plausible phy nissen liefern er aktualisier z-Analyse od lt einen ausf utung spezi 50 werden be ent kann de enntnisse ve d Automatisi gbaren leist nzudringen, lische Zusam Wien, Obma I GPP FA627 ür Mechanik tionssicherun rache. Groß et gelegt. De m Rahmen te ysikalische Z n. rt, ohne jedo der multivari führlichen un ell auf dies ereits mit be er eigene PC ertieft und a ierung - Entw tungsfähigen eigene Wer Werk mmenhänge ann des Arb 7 (VDI 4550) und Mechatr 7., bearbeitete Auf ng werden er Wert ist r Anspruch echnischen Zusammench den Anate Methond aktuellen em Gebiet etrachtet. C zu einem ausgetestet wickler von n Softwarerkzeuge zu & Technik kann auch VDI-Z beitskreises ) ronik flage <?page no="154"?> Dipl.-In Dipl.-P Dipl.-In Mec elek Grund zur tec 8., akt. u 49,80 €, ISBN 97 Zum Buc Der Them Für die ph wird nebe dynamisc Aufnehme Abgleich Ergebniss Beispielen gezeigten Produktio Inhalt: Dehnungs Aufnehme - PC-gest Die Inter Techniker Verfahren Regeltech Entwicklu der Quali sowie Te die sich mechanis als Nachs Rezensio »Das Buc wie sie in Die Autor sind in de zur Auswa ng. Mich Phys. Ber ng. Klaus chan ktris lagen un chnische und erw. A , 81,00 CH 78-3-8169ch: menband führ hysikalischen en Auswahl u he Verhalte erprinzipien von Messk se, d.h. die n illustriert, d n Anwendung n und Qualit smessstreife er - Kapaziti tütztes Mess ressenten: r und Inge ns- und Fertig hnik, die in ng oder in d tätssicherun echniker und erstmalig scher Größe schlagewert z onen: ch bietet eine der praktisch ren er Fachwelt a ahl und zum ael Laibl rnhard B s Gehrke nisch sch g nd Beisp en Ausfü Aufl. 2014, HF - (Konta -3215-4 rt aus der Sic n Größen Kr und Ersatzm en eingega und ihre Vo ketten, die P Ermittlung damit der Le gen komme tätssicherung en - DMSu ive Aufnehm sen - Ermittlu nieure des gungstechni den Berei der Fertigung g oder Betr d Ingenieure mit dem n befassen. zu empfehle e gut lesbare hen Messtec anerkannte M Einsatz von Be Tel: 071 E-Mail: ex le, Bill, e he G geme iele hrung 271 S., 22 akt & Stud cht des Prak raft, Weg, De öglichkeiten angen. Der or- und Nach Planung und der Messun eser das ver n aus allen g, um ein mö nd piezoresi mer - Neuere ung von Mes Maschinen k sowie der ichen Forsc g tätig sind; iebsmittelübe aller Fachr elektrischen Für geübte n. e und gut ver chnik benötig Messtechnik Messtechni estellhot 159 / 92 65xpert@exp Größe esse 21 Abb., 5 T ium, 45) ktikers in das ehnung, Gew von Sensor r Themenb hteile, die Au d Durchführ nsicherheit. rmittelte Wis Bereichen öglichst breite istive Aufneh e Sensorprinz ssabweichun nbaus, der Mess- und chung und Fachleute erwachung richtungen, n Messen e Praktiker rständliche E gt wird.« ker aus der P k mit zahlrei tline: 0 • Fax: -20 pertverlag.d en, en Tab., s elektrische wicht, Druck, ren und Mes and erläute uswahl von rung von M - Die theo ssen leichter der Messtec es Spektrum hmer - Piezo zipien - Mes ng und Messu Einführung so V Praxis, die m chen Beispie 0 de Messen mec Drehmome sketten auch ert die am Messverstär essungen s retischen G in die Prax chnik wie Fo an Anwend oelektrische ssverstärker unsicherheit owie eine ko Vakuum in F mit diesem B elen anschau chanischer G ent und Besc h auf das sta m Markt v rkern, den A sowie die A Grundlagen w xis umsetzen orschung, E ungen abzud Aufnehmer - Digitale M ompetente Or Forschung u Buch Grundla ulich vermitte Größen ein. chleunigung atische und verfügbaren Aufbau und Angabe der werden mit n kann. Die ntwicklung, decken. - Induktive Messtechnik rientierung, und Praxis agenwissen eln. <?page no="155"?> Priv.-D Info dur Grundl der Sig 2006, 30 (Reihe T ISBN 97 Zum Buc Dieses verschiede systematis Beginnend allgemeine Größe »In über die technische Inhalt: Einführung Fourier-Tra ponentiala des Messp - Anwendu Die Intere Studenten Sensorik - Rezension »Ein sehr Probleme »Der Auto Vordergrun Lesenswe Der Auto Studium d Verschiede grammentw Auswertes Seit 1993 den Gebie GC/ AES/ M Herstellun Schleifun oz. Dr. H orma rch M agen un gnalanaly 08 S., 169 A Technik) 8-3-8169-2 ch: neue Stan ensten Seit sch dar. d mit Stoch en Informatio formation«. Parameterin e Zusammen g in die Stat ansformation analyse - All prozesses - ung der Spe essenten: , Wissensch - Bioinformat nen: r empfehlens des Messen or rückt das nd. So geling rt.« or: der Physik v ene Lehrve wicklung in systems ANA Privatdozen eten Sensorik MS-Daten un g von nicht nd Poliermas Hermann ation Mess d Anwen yse Abb., 31 T 2568-2 ndardwerk ten der S hastik und onsgewinns z Die vorgeste nformation z nhänge. tistik - Multi n - Faltun lgemeines z Einführung ktralinformat haftler und tik - Medizin swertes Buc ns eindringen s Verständni gt es ihm, ein von 1962 - rpflichtungen einem Tech ASTAT. Hab nt am Institut k, Aktorik, Si nd zur Umwe t sphärische schinen. Mitin Be Tel: 0715 E-Mail: ex Döhler sgew sung ndungen Tab., 62,00 der Signa ignalaufnahm Analysis, fü zur Theoretis ellte Theorie zur semantis ple lineare R ng - Entfal um Wissen der Paramet tion Ingenieure i ische Biome h. Es kann n wollen.« s und die p ne Brücke zw 1967 in Je n an der P hnikum für H ilitation über t für Informa ignalanalyse eltanalytik. 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