Eine Arbeitsgemeinschaft der Verlage Böhlau Verlag · Wien · Köln · Weimar Verlag Barbara Budrich · Opladen · Toronto facultas · Wien Wilhelm Fink · Paderborn A. Francke Verlag · Tübingen Haupt Verlag · Bern Verlag Julius Klinkhardt · Bad Heilbrunn Mohr Siebeck · Tübingen Ernst Reinhardt Verlag · München · Basel Ferdinand Schöningh · Paderborn Eugen Ulmer Verlag · Stuttgart UVK Verlagsgesellschaft · Konstanz, mit UVK / Lucius · München Vandenhoeck & Ruprecht · Göttingen · Bristol Waxmann · Münster · New York utb Ingolf Terveer Mathematik- Formeln Wirtschaftswissenschaften 2., überarbeitete Auflage UVK Verlagsgesellschaft mbH · Konstanz mit UVK/ Lucius · München Dr. Ingolf Terveer ist Akademischer Oberrat am Institut für Wirtschaftsinformatik der Westfälischen Wilhelms-Universität Münster. Online-Angebote oder elektronische Ausgaben sind erhältlich unter www.utb-shop.de. Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über <http: / / dnb.ddb.de> abrufbar. Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. © UVK Verlagsgesellschaft mbH, Konstanz und München 2017 Lektorat: Rainer Berger Einbandgestaltung: Atelier Reichert, Stuttgart Einbandmotiv: © Ingolf Terveer, Münster Druck und Bindung: Pustet, Regensburg UVK Verlagsgesellschaft mbH Schützenstr. 24 · 78462 Konstanz Tel. 07531-9053-0 · Fax 07531-9053-98 www.uvk.de UTB-Nr. 4291 ISBN 978-3-8252-4811-6 Inhalt 1 Grundlegende Begriffe 11 1.1 Zahlbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.1 Reelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.2 Intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.1.3 Reelle Variablen . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.1.4 Maximum und Minimum . . . . . . . . . . 13 1.2 Mengenoperationen und -relationen . . . . . . . . . 14 1.3 Tupel und Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.1 Tupel und Zeilenvektoren . . . . . . . . . . 15 1.3.2 Spaltenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.3 Kartesisches Produkt . . . . . . . . . . . . 16 1.4 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.1 Grundbegriffe für Funktionen . . . . . . . . 16 1.4.2 Verkettung von Funktionen . . . . . . . . . 17 1.4.3 Identität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4.4 Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.6 Operationen zwischen Matrizen und Vektoren . . . 20 1.6.1 Transposition . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.6.2 Addition und skalare Multiplikation . . . . . 21 1.6.3 Matrixprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . 21 uvk-lucius.de/ terveer 6 Inhalt 2 Lineare Gleichungssysteme 23 2.1 Zeilenumformungen und Zeilenstufenform . . . . . 24 2.1.1 Zeilenstufenform . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.1.2 Basisform . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2 Lösungsmenge eines LGS anhand der Zeilenstufenform 25 2.3 Eliminationsverfahren nach Gauß . . . . . . . . . . 26 3 Vektoren 27 3.1 Linearkombinationen . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.1.1 Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit . 28 3.1.2 Lineare Hülle, Bild . . . . . . . . . . . . . . 28 3.2 Untervektorraum, Basis und Dimension . . . . . . . 28 3.2.1 Dimension und Basis eines Untervektorraums 29 3.2.2 Basis von Kern(A) . . . . . . . . . . . . . 29 3.2.3 Lösungsmenge eines LGS Ax = b mittels Kern(A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.3 Skalarprodukt, Norm und Abstand . . . . . . . . . 30 3.3.1 Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.3.2 Norm eines Vektors . . . . . . . . . . . . . 30 3.3.3 Winkel zwischen Vektoren . . . . . . . . . . 30 3.3.4 Abstand und Offenheit . . . . . . . . . . . 31 3.4 Projektionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.4.1 Normalgleichungen . . . . . . . . . . . . . 32 3.4.2 Orthonormale Projektion . . . . . . . . . . 32 4 Matrizen 33 4.1 Regeln für das Rechnen mit Matrizen . . . . . . . . 33 4.2 Quadratische Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.3 Inverse Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.3.1 Berechnung der inversen Matrix . . . . . . 34 4.3.2 Inverse einer 2 × 2-Matrix . . . . . . . . . . 34 4.3.3 Lösung von LGS mit Matrixinversion . . . . 34 uvk-lucius.de/ terveer Inhalt 7 4.4 Determinanten quadratischer Matrizen . . . . . . . 35 4.4.1 Determinanten in Spezialfällen . . . . . . . 35 4.4.2 Determinante und Zeilenumformungen . . . 35 4.4.3 Determinantenberechnung durch Entwicklung 35 4.4.4 Weitere Rechenregeln . . . . . . . . . . . . 35 4.5 Anwendungen der Determinante . . . . . . . . . . 36 4.5.1 Prüfung auf Invertierbarkeit . . . . . . . . . 36 4.5.2 Cramer’sche Regel . . . . . . . . . . . . . . 36 4.5.3 Eigenwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.6 Symmetrische Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.6.1 Eigenwerte symmetrischer Matrizen . . . . 36 4.6.2 Eigenvektoren symmetrischer Matrizen . . . 37 4.7 Definitheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.7.1 Determinantenkriterium für Definitheit . . . 37 4.7.2 Determinantenkriterium für Semidefinitheit 38 4.7.3 Eigenwertkriterium für (Semi-)Definitheit . 38 4.7.4 Eingeschränkte Definitheit . . . . . . . . . 38 5 Folgen und Reihen 39 5.1 Folgen in den Wirtschaftswissenschaften . . . . . . 39 5.1.1 Summen- und Differenzenfolge . . . . . . . 39 5.1.2 Explizite und implizite Bildungsgesetze . . . 40 5.1.3 Monotone Folgen . . . . . . . . . . . . . . 40 5.1.4 Beschränkte Folgen . . . . . . . . . . . . . 40 5.2 Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 5.2.1 Konvergente Folgen . . . . . . . . . . . . . 41 5.2.2 Eigenschaften konvergenter Folgen . . . . . 41 5.2.3 Grenzwertsätze . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.2.4 Unendliche Reihen . . . . . . . . . . . . . . 42 5.3 Wichtige Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.3.1 Arithmetische Folge . . . . . . . . . . . . . 42 5.3.2 Ganzrationale bzw. rationale Folge . . . . . 43 uvk-lucius.de/ terveer 8 Inhalt 5.3.3 Gebrochen-rationale Folge . . . . . . . . . . 44 5.3.4 Geometrische Folge . . . . . . . . . . . . . 44 5.4 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.4.1 Konvergenzkriterium . . . . . . . . . . . . 45 5.4.2 Ableiten von Potenzreihen . . . . . . . . . 46 5.4.3 Koeffizientenvergleich . . . . . . . . . . . . 46 5.4.4 Wichtige Potenzreihen . . . . . . . . . . . 46 5.5 Finanzmathematische Folgen und Reihen . . . . . . 48 5.5.1 Grundformel der Kapitalentwicklung . . . . 48 5.5.2 Barwert und Endwert . . . . . . . . . . . . 49 5.5.3 Kapitalwert und interner Zinsfuß . . . . . . 50 6 Funktionen einer Variable 51 6.1 Grundlegende Sprechweisen . . . . . . . . . . . . . 51 6.1.1 Graph einer Funktion . . . . . . . . . . . . 51 6.1.2 Ordinatenabschnitt und Nullstellen . . . . . 52 6.1.3 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 6.1.4 Krümmungsverhalten . . . . . . . . . . . . 53 6.1.5 lokale und globale Extrema . . . . . . . . . 54 6.1.6 Wendestellen . . . . . . . . . . . . . . . . 56 6.2 Rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 57 6.2.1 Ganzrationale Funktionen . . . . . . . . . . 57 6.2.2 Gebrochen-rationale Funktionen . . . . . . 58 6.2.3 Nullstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 6.2.4 Partialbruchzerlegung . . . . . . . . . . . . 60 6.2.5 Ableitungen und Stammfunktionen . . . . . 60 6.3 Exponentialfunktion, Logarithmus und Potenz . . . 61 6.3.1 Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . 61 6.3.2 Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 6.3.3 Potenzfunktion . . . . . . . . . . . . . . . 63 6.4 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . 64 6.4.1 Funktionswerttabelle . . . . . . . . . . . . 64 uvk-lucius.de/ terveer Inhalt 9 6.4.2 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . 65 6.4.3 Ableitungen und Stammfunktionen . . . . . 65 6.5 Betragsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 6.6 Indikatorfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 7 Differentialrechnung 67 7.1 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen . . . . . 67 7.1.1 Funktionsgrenzwert . . . . . . . . . . . . . 67 7.1.2 Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 7.2 Partielle Ableitung und Differential . . . . . . . . . 68 7.2.1 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 7.2.2 Differential . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 7.3 Ableitungen bei Funktionen einer Variable . . . . . 69 7.3.1 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . 69 7.3.2 Ableitungen und Stammfunktionen für Funktionen einer Variablen . . . . . . . . . . . . 70 7.4 Kettenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 7.5 Ableitungsbegriffe auf Grundlage des Differentials . 70 7.5.1 Richtungsableitung . . . . . . . . . . . . . 71 7.5.2 Elastizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 7.5.3 Implizite Ableitungen . . . . . . . . . . . . 72 7.6 Homogene Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 73 7.7 Ableitungen zweiter Ordnung . . . . . . . . . . . . 74 7.7.1 Hesse-Matrix und Richtungskrümmung . . . 74 7.7.2 Konvexe und konkave Funktionen . . . . . 74 8 Integralrechnung 75 8.1 Stammfunktionen und unbestimmte Integrale . . . 75 8.2 Bestimmte Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 8.2.1 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 8.2.2 Integrationsregeln . . . . . . . . . . . . . . 77 uvk-lucius.de/ terveer Inhalt 8.2.3 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . 78 8.3 Mehrfachintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 8.3.1 Uneigentliche Mehrfachintegrale . . . . . . 79 8.3.2 Jordan-Mengen . . . . . . . . . . . . . . . 79 8.3.3 Integrationsregeln . . . . . . . . . . . . . . 80 8.3.4 Doppelintegrale bei stetigen Funktionen . . 81 9 Optimierung differenzierbarer Funktionen 83 9.1 Optimierung ohne Nebenbedingungen . . . . . . . 83 9.1.1 Notwendige Bedingung . . . . . . . . . . . 83 9.1.2 Hinreichende Bedingung . . . . . . . . . . 83 9.1.3 Konvexe Optimierung . . . . . . . . . . . . 84 9.2 Optimierung mit Nebenbedingungen . . . . . . . . 84 9.2.1 Lagrange-Funktion . . . . . . . . . . . . . 84 9.2.2 Kuhn-Tucker-Bedingungen . . . . . . . . . 85 9.2.3 Notwendige Bedingung für lokales Minimum 85 9.2.4 Hinreichende Bedingung für lokales Minimum 85 9.2.5 Randwertvergleich für globale Extrema . . . 86 9.2.6 Satz von Kuhn-Tucker, Konvexe Optimierung 86 9.3 Optimierung bei exogenen Parametern . . . . . . . 86 Symbole und Abkürzungen 87 Das griechische Alphabet 92 Index 93 uvk-lucius.de/ terveer 1 1 Grundlegende Begriffe 1.1 Zahlbereiche Reelle Zahlen stellen den Definitionsbereich ökonomischer Größen dar (Preis, Absatz, Produktionsmenge, Gewinn, Kosten,. . . ). Dabei beschränkt man sich vielfach auf positive reelle Zahlen oder ein Teilintervall der positiven reellen Zahlen (den ökonomischen Definitionsbereich). Neben Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division werden weitere Operationen auf reellen Zahlen (Exponenzieren, Radizieren etc.) mittels geeigneter Funktionen erklärt, vgl. Teil 6. 1.1.1 Reelle Zahlen Die grundlegende Zahlenmengen sind N ⊂ N 0 ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R : Natürliche Zahlen: N = { 1, 2, 3, . . . } bzw. N 0 = { 0, 1, 2, . . . } Ganze Zahlen: Z = { . . . , − 2, − 1, 0, 1, 2, . . . } Rationale Zahlen: Q = { p q : p ∈ N 0 , q ∈ N} 1 Reelle Zahlen R : Erweiterung von Q um die irrationalen Zahlen 2 . Jede reelle Zahl kann beliebig genau durch rationale Zahlen angenähert werden. Anordnungseigenschaft von R : Für x, y ∈ R gilt stets entweder x < y oder x = y oder y < x (bzw. x > y). Die Ungleichung x ≤ y (bzw. y ≥ x) bedeutet, dass entweder x = y oder x < y gilt. 1 gleichwertig: rationale Zahlen sind die abbrechenden oder nichtabbrechenden periodischen Dezimalzahlen. 2 d.h. um die nichtabbrechenden, nichtperiodischen Dezimalzahlen. uvk-lucius.de/ terveer 12 1 Grundlegende Begriffe 1.1.2 Intervalle Für a ≤ b ist das abgeschlossene Intervall 3 [a; b] die Menge aller reellen Zahlen x mit a ≤ x ≤ b. das unbeschränkte abgeschlossene Intervall ] −∞ ; b] (bzw. [a; ∞ [) die Menge aller x mit x ≤ b (bzw. x ≥ a). das offene Intervall ]a; b[ die Menge aller x ∈ R mit a < x < b (entsprechend: ] − ∞ ; b[ bzw. ]a; ∞ [) Null zerlegt R in die Bereiche [0; ∞ [ bzw. ] − ∞ ; 0] der positiven bzw. der negativen reellen Zahlen. 4 , 5 1.1.3 Reelle Variablen Eine Variable ist ein Zeichen 6 , 7 , für das ein beliebiges Objekt einer geeigneten Menge 8 M eingesetzt werden darf; Man schreibt (z.B.) x ∈ M (1.1) M heißt dann auch Definitionsbereich der Variablen x. Bei einer reellen Variablen ist R der Definitionsbereich. Soll ausgeschlossen werden, dass die Variable x Werte aus einer Menge M annimmt, so schreibt man x ∈ M (1.2) Bindung von Variablen durch Quantoren Allquantor: ∀ x ∈ M ( A ) bzw. 9 ( A ) ∀ x ∈ M (1.3) Die Aussage ( A ) ist wahr für alle x ∈ M . 3 In der Intervallschreibweise wird das Semikolon oft durch Komma o.ä. ersetzt. 4 Bei ]0; ∞[ , den strikt positiven, bzw. ]−∞; 0[ , den strikt negativen reellen Zahlen wird Null ausgeschlossen. 5 Sinngemäß sind halboffene/ -abgeschlossene Intervalle [ a ; b [ , ] a ; b ] erklärt. 6 Übliche Ausdrücke für Variablen sind x, y, z,. . . 7 Bei der Modellierung ökonomischer Probleme werden oft Zeichenketten als Variablen verwendet, um die Semantik der dazugehörigen quantitativen Größen zu bewahren. Mathematische Ausdrücke werden hierdurch aber sehr schwerfällig. 8 Dies kann auch eine Menge von Tupeln, Vektoren, Matrizen und Funktionen sein. 9 die zweite Schreibweise entspricht eher der sprachlichen Wiedergabe einer Quantorenaussage. uvk-lucius.de/ terveer 1 1.1 Zahlbereiche 13 Existenzquantor: ∃ x ∈ M ( A ) (1.4) Es gibt ein x ∈ M , für das die Aussage ( A ) wahr ist. Indizierte Variablen Mehrere gleichartige ökonomische Größen werden oft mit derselben Variablen bezeichnet, rechts unten ergänzt um einen Index, in Form einer oder mehrerer natürlicher Zahlen, z.B. Einfach-Indizierung: x 1 , x 2 , . . . . Mit dieser Schreibweise werden auch die Einträge in einem Vektor/ einer Folge bezeichnet. Doppel-Indizierung: a 13 bzw. a 1 , 3 . Mit dieser Schreibweise werden auch die Einträge in einer Matrix A bezeichnet 10 . In mathematischen Aussagen werden Indizes oft auch durch Variablen (mit N oder Z als Definitionsbereich) ersetzt, z.B. „x i ∈ R für i = 1, . . . , n“ oder „a ij > 0 für alle i, j “. 1.1.4 Maximum und Minimum Es sei M eine Menge reeller Zahlen. Für endliches M = { a 1 , . . . , a n } ist das Maximum max( M ) bzw. Minimum min( M ) die größte bzw. kleinste der genannten Zahlen 11 . Ist M keine endliche Menge, so sind max( M ) bzw. min( M ) die größte bzw. kleinste Zahl in M , vorausgesetzt, dass diese existieren. Eine Zahl o ∈ R heißt obere Schranke von M , wenn o ≥ x ∀ x ∈ M . Gibt es keine kleinere Zahl, die obere Schranke von M ist, so heißt o Supremum von M (Symbol: sup( M )). Eine Zahl u ∈ R heißt untere Schranke von M , wenn u ≤ x ∀ x ∈ M . Gibt es keine größere Zahl, die untere Schranke von M ist, so heißt u Infimum von M (Symbol: inf( M )). 10 Matrizen bekommen Großbuchstaben, ihre Einträge die entsprechenden Kleinbuchstaben. a ij ist der Eintrag in der Matrix A in der i-ten Zeile, j-ten Spalte. 11 Alternativ: funktionale Schreibweise max( a 1 , . . . , a n ) bzw. min( a 1 , . . . , a n ) . Während bei der Mengenschreibweise üblicherweise jedes Element genau einmal aufgezählt wird, sind bei der funktionalen Schreibweise auch Übereinstimmungen der Elemente a 1 , . . . , a n möglich (sog. Bindungen). uvk-lucius.de/ terveer 14 1 Grundlegende Begriffe 1.2 Mengenoperationen und -relationen Es seien A, B Mengen reller Zahlen 12 . Unter der Vereinigungsmenge 13 A ∪ B versteht man die Menge aller x ∈ R , für die gilt x ∈ A oder x ∈ B. Unter der Schnittmenge 14 A ∩ B versteht man die Menge aller x ∈ R , für die gilt x ∈ A und x ∈ B. Unter dem Komplement 15 , 16 A c versteht man die Menge aller x ∈ R , für die x / ∈ A. Das relative Komplement A \ B ist die Menge A ∩ B c , d.h. die Menge aller x ∈ A mit x / ∈ B. A ist Teilmenge von B (Notation: A ⊆ B), wenn für alle x ∈ B gilt: x ∈ A ⇒ x ∈ B. A ist echte Teilmenge von B (Notation A ⊂ B, bzw. A B), wenn A ⊆ B und A = B. Besondere Teilmengen von R sind R selber und die leere Menge ∅ , d.h. die Menge, die kein Element enthält. Rechenregeln für A, B, C ⊆ R Kommutativgesetze: A ∪ B = B ∪ A (1.5) A ∩ B = B ∩ A (1.6) Assoziativgesetze: A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C (1.7) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (1.8) Distributivgesetze: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (1.9) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (1.10) 12 Die folgenden Definitionen und Regeln lassen sich wortwörtlich auf Teilmengen von R n bzw. R m oder auf Teilmengen beliebiger anderer Mengen M übertragen. 13 lies: „A vereinigt (mit) B“ 14 lies: „A geschnitten (mit) B“ 15 lies: „A Komplement“ 16 Statt A c schreibt man auch A. uvk-lucius.de/ terveer 1 1.3 Tupel und Vektoren 15 Gesetze von de Morgan: (A ∪ B) c = A c ∩ B c (1.11) (A ∩ B) c = A c ∪ B c (1.12) 1.3 Tupel und Vektoren Vektoren bündeln gleichartige ökonomische Größen: Teile einer Fertigungsliste, Lagerbestände verschiedener Produkte, Attribute bzw. Daten eines Kunden, Marktanteile von Anbietern u.v.m. 1.3.1 Tupel und Zeilenvektoren Für n ∈ N ist ein n-Tupel bzw. (n-)Zeilenvektor reeller Zahlen eine Liste (x 1 , . . . , x n ) von n (nicht unbedingt verschiedenen) reellen Zahlen x 1 , . . . , x n , den Komponenten/ Koordinaten des Tupels. R n ist die Menge aller derartigen Zeilenvektoren. Für n = 2 spricht man von (geordneten) Paaren, für n = 3 von Tripeln. 17 1.3.2 Spaltenvektoren Unter einem (n-)Spaltenvektor a versteht man den Ausdruck a = ⎛ ⎜ ⎝ a 1 ... a n ⎞ ⎟ ⎠ (1.13) mit a 1 , . . . , a n ∈ R . Die Menge aller Spaltenvektoren ist R n . Vektoren werden mit Kleinbuchstaben bezeichnet, ihre Komponenten erhalten denselben Buchstaben, ergänzt um einen Index rechts unten. Mehrere gleichartige Vektoren erhalten einen geklammerten Index 18 rechts oben (z.B. a (1) , a (2) , . . . , a ( n ) ). 17 Das Komma zwischen den Komponenten kann je nach Zahldarstellung durch ein anderes Trennzeichen (Semikolon, senkrechter Strich,. . . ) ersetzt werden, um die Übersichtlichkeit zu erhöhen. 18 Die Klammern sind zur Unterscheidung von der Potenzschreibweise gedacht. uvk-lucius.de/ terveer 16 1 Grundlegende Begriffe 1.3.3 Kartesisches Produkt Für A 1 , . . . , A n ⊆ R ist das kartesische Produkt A 1 × · · · × A n (1.14) die Menge aller n-Spaltenvektoren 19 a = ⎛ ⎜ ⎝ a 1 ... a n ⎞ ⎟ ⎠ , für die a i ∈ A i gilt ∀ i. Im Falle von A 1 = · · · = A n = M schreibt man M n für das kartesische Produkt. Ein (abgeschlossener 20 ) Quader ist eine Menge der Form Q = [a 1 ; b 1 ] × · · · × [a n ; b n ] (1.15) mit Intervallen [a i ; b i ], i = 1, . . . , n. 21 Er hat Volumen V (Q) = (b 1 − a 1 ) · · · (b n − a n ) (Achsen-)Durchmesser 22 D ∞ (Q) = max(b 1 − a 1 , . . . , b n − a n ). 1.4 Funktionen 1.4.1 Grundbegriffe für Funktionen Gegeben seien zwei Teilmengen D ⊆ R n und 23 W ⊆ R m . Unter einer Funktion f : D → W versteht man eine Teilmenge 24 R von D × W mit folgender Eigenschaft: zu jedem x ∈ D gibt es genau ein y = f(x) ∈ W , so dass (x, y) ∈ R. Für diese Zuordnung schreibt man auch x → f(x) (1.16) 19 Zur Vereinfachung wird dieselbe Produkt-Schreibweise oft auch für Zeilenvektoren verwendet. Das n-fache kartesische Produkt M × · · · × M wird im Falle von Spaltenvektoren mit M n und im Falle von Zeilenvektoren mit M n bezeichnet. 20 Sinngemäß können Quader auch mit Hilfe von offenen, halboffenen oder auch unbeschränkten Intervallen gebildet werden. 21 Sind alle Intervalle gleich lang, so spricht man auch von einem Würfel, im Falle [ a 1 ; b 1 ] = · · · = [ a n ; b n ] = [0; 1] auch vom Einheitswürfel. 22 im Sinne des Maximum-Abstandes; vorstellbar als Kantenlänge des kleinsten Würfels, der diesen Quader enthält. 23 im folgenden meist m = 1 . 24 Eine Teilmenge R ⊆ D × W wird auch Relation zwischen D und W genannt. uvk-lucius.de/ terveer 1 1.4 Funktionen 17 Der Ausdruck f(x) heißt Funktionsterm, D wird Definitionsbereich, W wird Wertebereich von f genannt. Falls W = R (d.h. m = 1), so wird f als einwertige, anderenfalls (d.h. W = R m mit m > 1) als mehrwertige oder vektorwertige Funktion bezeichnet. Das Bild von A ⊆ D unter f ist die Menge aller y ∈ W , die als Funktionswert f(x) mit x ∈ A realisiert werden: f( A ) : = { y ∈ W : ∃ x ∈ A y = f(x) } (1.17) Das Bild von f ist die Menge aller y ∈ W , die als Funktionswert f(x) mit x ∈ D realisiert werden: Bild(f) : = f( D ) ⊆ R m (1.18) Das Urbild von B unter f ist die Menge aller x ∈ D , zu denen der Bildwert f(x) in B liegt: f − 1 ( B ) : = { x ∈ D : f(x) ∈ B} ⊆ R n (1.19) 1.4.2 Verkettung von Funktionen Sind g : D → W und f : W → V Funktionen mit D ⊆ R n , W ⊆ R m , V ⊆ R k , so heißt die Funktion 25 f ◦ g : D → V , (f ◦ g)(x) = f(g(x)) (1.20) die Verkettung von f und/ mit g. 1.4.3 Identität Die Funktion id : R n → R n , id(x) = x (1.21) wird Identität genannt. 25 lies: „f verkettet mit g“ uvk-lucius.de/ terveer 18 1 Grundlegende Begriffe 1.4.4 Umkehrfunktion Eine Funktion f : D → W heißt surjektiv, wenn f( D ) = W , injektiv, wenn f − 1 ( { y } ) höchstens einelementig ist ∀ y ∈ W , bijektiv oder , wenn sie injektiv und surjektiv ist. Eine bijektive Funktion f : D → W ist umkehrbar, d.h. es gibt zu jedem y ∈ W genau ein x = g(y) ∈ D mit f(x) = y. Es gilt dann g ◦ f = id, d.h. g(f(x)) = x ∀ x ∈ D (1.22) f ◦ g = id, d.h. f(g(y)) = y ∀ y ∈ W (1.23) g : W → D heißt Umkehrfunktion zu f und wird mit f − 1 bezeichnet 26 . Funktionen im ökonomischen Sachzusammenhang Mit Funktionen stellt man in der Ökonomie rechnerische Zusammenhänge zwischen (Gruppen von) ökonomischen Variablen dar: Kostenfunktion: ordnet dem eingesetzten Produktionsfaktoren die gesamten Kosten der Herstellung zu. Produktionsfunktion: ordnet den eingesetzten Faktoreinsatzmengen den Produktionsoutput zu. Nachfragefunktion: ordnet der abgesetzten Menge eines Produktes den Marktpreis zu. Umsatzfunktion (Erlösfunktion): ordnet der abgesetzten Menge eines Produktes den Umsatz zu. Gewinnfunktion: Differenz einer Umsatz- und einer Kostenfunktion. Ohne fixe Kosten: Deckungsbeitrags-Funktion. 26 lies: „f hoch minus Eins“ uvk-lucius.de/ terveer 1 1.5 Matrizen 19 1.5 Matrizen Eine (reelle) m × n-Matrix A ist ein tabellarisches Schema A = (a ij ) = ⎡ ⎢ ⎣ a 11 . . . a 1 n ... ... a m 1 . . . a mn ⎤ ⎥ ⎦ (1.24) mit m Zeilen, n Spalten und reellen Komponenten a ij . Mit R m × n bezeichnet man die Menge aller (reellen) m × n-Matrizen. Eine 1 × m Matrix lässt sich mit einem m-Zeilenvektor identifizieren, eine n × 1-Matrix mit einem n-Spaltenvektor. Unter einer Blockmatrix A versteht man eine Darstellung 27 A = [ A 11 A 12 A 21 A 22 ] (1.25) wobei A 11 , A 12 , A 21 , A 22 selbst wieder Matrizen sind. Anwendungsbeispiele für Matrizen A = (a ij ) m × n-Verflechtungsmatrizen zwischen m Produkten und n Rohstoffen: - Spalte j ist die Teileliste je Einheit des Produktes j, - Zeile i ist dem Verbrauch des Rohstoffes i zugeordnet. n × n-Input-Output-Matrizen in Leontief-Modellen sind Verflechtungsmatrizen zwischen Wirtschaftssektoren, deren Produkte wechselseitig benötigt werden. a ij ist der für die Herstellung einer Einheit eines Güterwertes in Sektor j benötigte Güterwert aus Sektor i. n × n-Übergangsmatrizen stellen z.B. den den Wechsel von Kunden zwischen verschiedenen Anbietern eines Produktes binnen eines bestimmten Zeitraums dar: 27 d.h. eine Aufteilung von A in Blöcke, die selbst wieder Matrizen sind, wobei in jeder Zeile bzw. jeder Spalte gleich viele Blöcke auftreten. uvk-lucius.de/ terveer 20 1 Grundlegende Begriffe - Der Eintrag a ij gibt den Anteil der Kunden an, die von Anbieter j zu Anbieter i wechseln - Die Werte jeder Spalte summieren sich zu Eins. N × K-Datenmatrizen stellen statistische Datensätze dar: - jede Zeile enspricht einem von N Datensätzen, - jede Spalte entspricht einem von K in allen Datensätzen beobachteten Attributen. n × n-Adjazenzmatrizen beschreiben Kanten zu einem (gerichteten) Graphen mit n Knoten. - a ij = 1: Zwischen Knoten i und j ist eine Kante 28 . - a ij = 0: Zwischen Knoten i und j ist keine Kante. 1.6 Operationen zwischen Matrizen und Vektoren 1.6.1 Transposition Unter der Transposition einer m × n Matrix A der obigen Form versteht man die n × m-Matrix 29 , 30 A T = ⎡ ⎢ ⎣ a 11 . . . a m 1 ... ... a 1 n . . . a mn ⎤ ⎥ ⎦ (1.26) Unter der Transposition x T eines Spalten- bzw. Zeilenvektors x versteht man den „durch Kippen“ entstehenden Zeilenbzw. Spaltenvektor. ⎛ ⎜ ⎝ a 1 ... a n ⎞ ⎟ ⎠ T : = (a 1 , . . . , a n ) (1.27) (a 1 , . . . , a n ) T : = ⎛ ⎜ ⎝ a 1 ... a n ⎞ ⎟ ⎠ (1.28) 28 Bei bewerteten Graphen können die Kanten auch durch andere positive Gewichte (Kosten, Weglängen, etc.) repräsentiert werden. 29 lies: „A transponiert“ 30 Spalten werden zu Zeilen, Zeilen zu Spalten uvk-lucius.de/ terveer 1 1.6 Operationen zwischen Matrizen und Vektoren 21 1.6.2 Addition und skalare Multiplikation Matrixaddition und skalare Multiplikation: Matrizen A, B ∈ R m × n werden komponentenweise addiert bzw. mit einer Konstanten α ∈ R (Skalar) komponentenweise multipliziert: A + B = ⎡ ⎢ ⎣ a 11 + b 11 . . . a 1 n + b 1 n ... ... a m 1 + b m 1 . . . a mn + b mn ⎤ ⎥ ⎦ (1.29) αA = ⎡ ⎢ ⎣ αa 11 . . . αa 1 n ... ... αa m 1 . . . αa mn ⎤ ⎥ ⎦ (1.30) Vektoraddition x + y und skalare Multiplikation αx für Vektoren x, y ∈ R n und Skalare α ∈ R sind auch komponentenweise erklärt: ⎛ ⎜ ⎝ x 1 ... x n ⎞ ⎟ ⎠ + ⎛ ⎜ ⎝ y 1 ... y n ⎞ ⎟ ⎠ : = ⎛ ⎜ ⎝ x 1 + y 1 ... x n + y n ⎞ ⎟ ⎠ (1.31) α ⎛ ⎜ ⎝ x 1 ... x n ⎞ ⎟ ⎠ : = ⎛ ⎜ ⎝ αx 1 ... αx n ⎞ ⎟ ⎠ (1.32) 1.6.3 Matrixprodukt Das Matrixprodukt AB bzw. A · B zweier Matrizen 31 A ∈ R m × k , B ∈ R k × n ist diejenige Matrix C ∈ R m × n , ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ c 11 . . . c 1 n ... ... c ij ... ... c m 1 . . . c mn ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ a 11 . . . a 1 k ... ... a i 1 . . . a ik ... ... a m 1 . . . a mk ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ · ⎡ ⎢ ⎣ b 11 . . . b 1 j . . . b 1 n ... ... ... b k 1 . . . b kj . . . b kn ⎤ ⎥ ⎦ 31 Das Matrixprodukt AB kann nur gebildet werden, wenn die Zeilenzahl von B mit der Spaltenzahl von A übereinstimmt. uvk-lucius.de/ terveer 22 1 Grundlegende Begriffe welche für i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , k die folgenden Einträge hat: c ij = a i 1 b 1 j + a i 2 b 2 j + · · · + a ik b kj (1.33) Spezialfälle des Matrix-Produktes: Produkt Ax ∈ R m von A ∈ R m × n mit Spaltenvektor x ∈ R n . Produkt xA ∈ R n von A ∈ R m × n mit Zeilenvektor x ∈ R m . Matrixpotenz 32 für A ∈ R n × n A k : = A · A · · · A (k Faktoren) (1.34) Ökonomische Anwendungen des Matrix-Produktes Ist A die Verflechtungsmatrix zwischen Rohstoffen R 1 , . . . , R m und (Zwischen-)Produkten Z 1 , . . . , Z k , so ist Ax der einem Produktvektor x ∈ R k zugeordnete Rohstoffvektor. Ist zudem B die Verflechtungsmatrix zwischen Z 1 , . . . , Z k und Endprodukten E 1 , . . . , E n , so ist AB die Verflechtungsmatrix zwischen R 1 , . . . , R m und E 1 , . . . , E n . Ist A ∈ R n × n die Übergangsmatrix der Kundenwanderung für eine spezielle Periode, so ist Ax die Verteilung der Folgeperiode zur aktuellen Verteilung x ∈ R n . Dabei ist ein stochastischer Vektor bzw. eine Verteilung ein Vektor x mit x j ≥ 0 ∀ j und x 1 + · · · + x n = 1 (1.35) - Eine Verteilung x ∈ R n mit Ax = x bzw. (I n − A)x = ¯0 (1.36) heißt stationäre bzw. stabile Verteilung zur Übergangsmatrix A. - Die Matrix A k ist die k-Schritt-Übergangsmatrix für k Zeiteinheiten 33 , d.h. ist x ∈ R n Verteilung in einer Periode, so ist A k x die Verteilung nach k weiteren Perioden. - Wenn es ein ∈ N gibt, so dass A nur strikt positive Einträge hat, so gibt es genau eine stabile Verteilung x. Zudem ist x = lim k →∞ A k x (0) für jede Verteilung x (0) . 32 lies: „A hoch k“ 33 Angenommen ist gleiches Kundenwechselverhalten für jede Zeiteinheit. uvk-lucius.de/ terveer 2 2 Lineare Gleichungssysteme Ein lineares Gleichungssystem (LGS) ist ein System von m Gleichungen in Unbekannten x 1 , . . . , x n , welches sich mit Koeffizientenmatrix A ∈ R m × n , Variablenvektor x = (x 1 , . . . , x n ) T und einem Vektor b ∈ R m in die Form Ax = b (2.1) bringen lässt. Es hat also m Gleichungen a i 1 x 1 + a i 2 x 2 + · · · + a in x n = b i , i = 1, . . . , m (2.2) Die Lösungsmenge L eines linearen Gleichungssystems Ax = b ist die Menge der Vektoren x ∈ R n , welche alle Gleichungen erfüllen, d.h. für welche die Gleichungen (2.2) zu wahren Aussagen werden. 1 Gleichungsmatrix eines LGS Ax = b ist die m × (n + 1)-Matrix [A | b] = ⎡ ⎢ ⎣ a 11 a 12 . . . a 1 n b 1 ... ... ... ... a m 1 a m 2 . . . a mn b m ⎤ ⎥ ⎦ (2.3) (man füge den Vektor b als (n + 1)-te Spalte an). Sind alle b i = 0, so heißt das LGS homogen, anderenfalls inhomogen. Ein homogenes LGS hat die Form Ax = ¯0 (2.4) Seine Lösungsmenge wird als Kern der Matrix A und mit Kern(A) bezeichnet. 1 In der Regel sind die Variablen auf komplexe Weise über mehrere Gleichungen aneinander gebunden, deshalb spricht man von der impliziten Form eines LGS. uvk-lucius.de/ terveer 24 2 Lineare Gleichungssysteme 2.1 Zeilenumformungen und Zeilenstufenform Durch folgende (elementare) Zeilenumformungen auf [A | b] entsteht jeweils ein LGS [A ′ | b ′ ] mit derselben Lösungsmenge: (ZV) Vertauschen zweier Zeilen: Zwei beliebige Zeilen einer Gleichungsmatrix werden vertauscht. (ZM) Multiplikation einer Zeile mit einer Konstante = 0: Eine beliebige Zeile einer Matrix wird (komponentenweise) mit einer Konstanten β = 0 multipliziert. (ZA) Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen: Ein Vielfaches einer Zeile wird (komponentenweise) zu einer anderen Zeile addiert. 2.1.1 Zeilenstufenform Durch Anwendung elementarer Zeilenumformungen 2 kann man die Gleichungsmatrix [A | b] eines LGS Ax = b in die Zeilenstufenform (ZSF) [Z | c] überführen 3 , 4 , 5 , 6 : · · · 1 · · · 0 · · · z 1 · · · 0 · · · c 1 · · · 0 · · · 1 · · · z 2 · · · 0 · · · c 2 · · · 0 · · · 0 · · · z k 1 · · · c k · · · 0 · · · 0 · · · 0 0 · · · c k +1 · · · 0 · · · 0 · · · 0 0 · · · c m ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ↓ ↓ ↓ ↓ j 1 j 2 j k ... ... ... ... ... ... ... ... (2.5) Rang(A) : = k ≤ n heißt Rang von A. x j 1 , . . . , x j k heißen Pivotvariablen. Die Spalten j 1 , . . . , j k heißen Pivotspalten. 2 z.B. mit dem Gauß’schen Eliminationsverfahren, vgl. S. 26 3 Unterhalb der Treppenlinie sind die Einträge der Spalten 1 , . . . , n gleich Null. 4 Bis auf c k+1 , . . . , c m ist [ Z | c ] eindeutig bestimmt. 5 Im Falle der Lösbarkeit darf man die letzten m − k Zeilen streichen. 6 Auch Z - ohne Spalte c - wird als Zeilenstufenform bezeichnet. uvk-lucius.de/ terveer 2 2.2 Lösungsmenge eines LGS anhand der Zeilenstufenform 25 2.1.2 Basisform Eine k × (n + 1) Gleichungsmatrix [A | b] ist in Basisform, wenn in ihr alle Einheitsvektoren e (1) , . . . , e ( k ) als Spalten 7 auftreten. Die Zeilenstufenform [Z | c] eines lösbaren LGS ist eine Basisform 8 . Die Spalten j 1 , . . . , j k der Basisform, in denen die Einheitsvektoren e (1) , . . . , e ( k ) stehen 9 , heißen Basisspalten oder Pivotspalten. Die zugehörigen Variablen x j 1 , . . . , x j k heißen Basisvariablen 10 . Die Gleichungsmatrix [A | b] zu einem lösbaren LGS kann stets durch elementare Zeilenumformungen in eine Basisform überführt werden. 2.2 Lösungsmenge eines LGS anhand der Zeilenstufenform Falls in der ZSF (2.5) einer der Werte c k +1 ,. . . ,c m von Null verschieden ist, so ist das LGS unlösbar. Anderenfalls ergibt sich die Lösungsmenge, indem die Gleichungen nach den Basisvariablen x j 1 , . . . , x j k freigestellt werden 11 , 12 , 13 , 14 : x j p = c p − ∑ j =j p z pj x j , p = 1, . . . , k (2.6) Basislösung: x ( B ) = (x ( B ) 1 , . . . , x ( B ) n ) T mit x ( B ) j 1 = c 1 , . . . , x ( B ) j k = c k , x ( B ) j = 0 für j ∈ { j 1 , . . . , j k } (2.7) Falls k = n, ist x ( B ) eindeutige Lösung. Lösungen für k < n: freie Festlegung der Nichtbasisvariablen, Berechnung der Basisvariablen gemäß (2.6). 7 Spalten in Form von Einheitsvektoren heißen Einheitsspalten. 8 unter der Annahme, dass Nullzeilen in [ Z, c ] gestrichen wurden, vgl. Fußnote 5. 9 Anders als bei der Zeilenstufenform (2.5) muss hierbei nicht j 1 < · · · < j k gelten und liegt auch keine Treppenform vor. 10 Die übrigen Variablen heißen Nichtbasisvariablen. 11 Wegen z pj r = 0 für r = p erfolgt die Summation in (2.6) tatsächlich nur über Nichtbasis-Indizes, d.h. über j ∈ { j 1 , . . . , j k } ; alle Summanden zu Basisindizes j k = j werden Null. 12 Weil in dieser Darstellung eine explizite Angabe der Lösungsmenge möglich ist, spricht man auch von einer expliziten Form eines LGS. 13 Lösung in Vektorform vgl. (3.7), mit Inverse vgl. (4.16) 14 Alle Aussagen in 2.2 gelten sinngemäß auch bei einer Basisform [ Z | c ] . uvk-lucius.de/ terveer 26 2 Lineare Gleichungssysteme 2.3 Eliminationsverfahren nach Gauß Die ZSF eines LGS erhält man mit dem Gauß’schen Eliminationsverfahren (GEV), nachfolgend in schematischer Darstellung: START R1: Pivotspalte finden R2: Pivotspalte unterhalb der Pivotstelle formatieren R3: A ′ = 0? nein ja R4: Rücksubstitution Mit der Gleichungsmatrix werden hierbei im Detail folgende Einzelschritte ausgeführt 15 : R1 In [A | b] sei j die Nummer der am weitesten links stehenden von Null verschiedenen Spalte. Mit (ZV), (ZM) sorge man dafür, dass der Eintrag in der ersten Zeile, j-ten Spalte Eins wird. R2 Mit (ZA) sorge man dafür, dass die Einträge in der j-ten Spalte unterhalb der ersten Zeile alle Null werden. R3 Nach R1, R2 hat die Gleichungsmatrix die Gestalt: ↓ Spalte j ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 0 . . . 0 1 ∗ . . . ∗ ∗ 0 . . . 0 0 . . . ... . . . ... ... ... A ′ ... b ′ 0 . . . 0 0 . . . ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ (2.8) Falls A ′ keine Spalten oder nur Nullkoeffizienten hat, fortfahren mit R4 (die Staffelform ist erreicht). Sonst: R1, R2 und R3 auf [A ′ | b ′ ] anwenden. R4 die Einträge in den Pivotspalten oberhalb der Pivotstellen werden durch (ZA) in Null umgeformt. 15 Zu den Abkürzungen vgl. S. 24 uvk-lucius.de/ terveer 3 3 Vektoren Besondere Vektoren des R n sind 1 der Nullvektor bzw. Ursprung(svektor) ¯0 = ⎛ ⎜ ⎝ 0 ... 0 ⎞ ⎟ ⎠ (3.1) für j ∈ { 1, . . . , n } der j-te Einheitsvektor 2 e ( j ) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 ... 1 ... 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (3.2) 3.1 Linearkombinationen Es seien a (1) , . . . , a ( m ) Vektoren des R n und A = [a (1) , . . . , a ( m ) ] die aus den Spalten a (1) , . . . , a ( m ) gebildete Matrix in R n × m . Jeder Vektor b ∈ R n der Form b = α 1 a (1) + · · · + α m a ( m ) = Aα mit α = (α 1 , . . . , α m ) T (3.3) heißt Linearkombination (LK) von a (1) , . . . , a ( m ) , die α i heißen Koeffizienten/ Koordinaten der LK. Ob b (eindeutige) LK von a (1) , . . . , a ( m ) ist, bestimmt man durch Lösung des LGS Aα = b. 1 Bei beiden Vektoren geht die Anzahl n der Komponenten i.d.R. aus dem Zusammenhang hervor. 2 d.h. 1 an der j-ten Komponente, 0 sonst. uvk-lucius.de/ terveer 28 3 Vektoren Eine konvexe Linearkombination von a (1) , . . . , a ( m ) ist eine LK x = α 1 a (1) + · · · + α m a ( m ) = Aα (3.4) mit α 1 , . . . , α m ∈ [0; 1] und α 1 + · · · + α m = 1, d.h. mit stochastischem Vektor α = (α 1 , . . . , α m ) T . D ⊆ R n heißt konvex, wenn jede konvexe LK von Vektoren aus D wieder in D liegt (z.B. alle Quader und Kugeln sind konvex). 3.1.1 Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit a (1) , . . . , a ( m ) heißen linear abhängig (l.a.), wenn ¯0 sich auf mehr als eine Art linear aus diesen kombinieren lässt, d.h. wenn das LGS Aα = ¯0 nicht nur die Lösung α = ¯0 hat. a (1) , . . . , a ( m ) heißen linear unabhängig (l.u.), wenn das LGS Aα = ¯0 genau eine Lösung hat. 3.1.2 Lineare Hülle, Bild Die lineare Hülle L = Span(a (1) , . . . , a ( m ) ) zum Erzeugendensystem a (1) , . . . , a ( m ) ist die Menge L aller Linearkombinationen von a (1) , . . . , a ( m ) und 3 aller Vektoren Aα, wobei α ∈ R m (das Bild von A). Man sagt, L wird von a (1) , . . . , a ( m ) aufgespannt (erzeugt). 3.2 Untervektorraum, Basis und Dimension Eine Teilmenge L des R n , in der ¯0 und mit x, y ∈ L auch x + y und αx für alle α ∈ R liegen, heißt Untervektorraum (UVR). Jede lineare Hülle Span(a (1) , . . . , a ( m ) ) ist ein UVR. Kern(A) ist ein UVR. Jeder UVR ist lineare Hülle von endlich vielen Vektoren. Jeder UVR ist Lösungsmenge eines homogenen LGS 4 . 3 Beide Definitionen sind gleichwertig. 4 also von der Form Kern ( A ) uvk-lucius.de/ terveer 3 3.2 Untervektorraum, Basis und Dimension 29 3.2.1 Dimension und Basis eines Untervektorraums Ein UVR L hat die Dimension dim( L ) : = m, wenn er von m linear unabhängigen Vektoren a (1) , . . . , a ( m ) aufgespannt wird 5 . Ein solches Erzeugendensystem heißt Basis von L . Die UVR der Dimension 1 bzw. 2 heißen Geraden bzw. Ebenen. 3.2.2 Basis von Kern(A) Dimensionsformel: dim(Kern(A)) = n − Rang(A) = n − k (3.5) Bestimmme eine Basis von Kern(A) aus n − k Vektoren wie folgt: [1] Bringe A in Basisform 6 Z = (z ij ) mit Basispalten j 1 , . . . , j k und Nichtbasisspalten K = { 1, . . . , n } \ { j 1 , . . . , j k } . [2] Zu jeder Nichtbasisspalte sei b ( ) = (b ( ) 1 , . . . , b ( ) n ) T ein Vektor mit folgenden Einträgen: b ( ) = 1. b ( ) j 1 = − z 1 , , b ( ) j 2 = − z 2 , , . . . , b ( ) j k = − z k, . Alle übrigen Einträge in b ( ) werden gleich Null gesetzt. Schematische Bildung 7 , 8 des Basisvektors b ( ) für die ZSF: · · · 1 · · · 0 · · · z 1 · · · 0 · · · · · · 0 · · · 1 · · · z 2 · · · 0 · · · · · · 0 · · · 0 · · · ... 0 · · · · · · 0 · · · 0 · · · z k 1 · · · ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ↓ ↓ ↓ ↓ j 1 j 2 j k ↓ ↓ ↓ ↓ · · · − z 1 · · · − z 2 · · · 1 · · · − z k · · · Z = b ( ) =( ) T (3.6) 5 aus einem l.a. System a (1) , . . . , a (k) bekommt man ein solches l.u. System z.B., indem man A = [ a (1) , . . . , a (k) ] in die ZSF Z überführt und in A alle Vektoren zu Nichtbasisspalten streicht. 6 Eventuelle Nullzeilen in Z müssen gestrichen werden. 7 Alle „ · · · “ in b sind durch (ggf. leere Sequenzen von) Nullen zu ergänzen. 8 jeder skalar Vielfache Vektor αb ( ) mit α = 0 ist genau so geeignet. uvk-lucius.de/ terveer 30 3 Vektoren 3.2.3 Lösungsmenge eines LGS Ax = b mittels Kern(A) Bestimme mit Zeilenumformungen eine Basisform [Z | c]. Dann gilt L = { x = x ( B ) + ∑ ∈K x b ( ) : x ∈ R für ∈ K } (3.7) mit x ( B ) gemäß (2.7), K gemäß 3.2.2 und b ( ) gemäß (3.6). 3.3 Skalarprodukt, Norm und Abstand 3.3.1 Skalarprodukt Unter dem Skalarprodukt zweier Vektoren x, y ∈ R n versteht man 〈 x, y 〉 : = x T y = x 1 y 1 + · · · + x n y n (3.8) 3.3.2 Norm eines Vektors Die (euklidische) Norm eines Vektors x = (x 1 , . . . , x n ) T ∈ R n ist ‖ x ‖ : = √ 〈 x, x 〉 = √ x T x = √ x 2 1 + · · · + x 2 n (3.9) Cauchy-Schwarz-Ungleichung: |〈 x, y 〉| ≤ ‖ x ‖ · ‖ y ‖ ∀ x, y ∈ R n (3.10) 3.3.3 Winkel zwischen Vektoren Über den Zusammenhang ‖ x ‖ · ‖ y ‖ · cos(ϕ) = 〈 x, y 〉 (3.11) lässt sich der Winkel ϕ zwischen Vektoren x, y = ¯0 erklären. x, y heißen orthogonal, wenn 〈 x, y 〉 = 0. Man schreibt dann x ⊥ y. a (1) , . . . , a ( m ) ∈ R n heißen (paarweise) orthonormal, wenn gilt: ‖ a (1) ‖ = · · · = ‖ a ( m ) ‖ = 1 Die Vektoren sind paarweise orthogonal 9 . Für orthonormale Vektoren a (1) , . . . , a ( m ) ∈ R n gilt x = 〈 a (1) , x 〉 a (1) + · · · + 〈 a ( n ) , x 〉 a ( n ) ∀ x ∈ R n (3.12) 9 d.h. je zwei der Vektoren sind orthogonal. uvk-lucius.de/ terveer 3 3.3 Skalarprodukt, Norm und Abstand 31 Eigenschaften der Norm (für x, y ∈ R n und α ∈ R ) ‖ x ‖ ≥ 0 und ‖ x ‖ = 0 ⇔ x = ¯0 (3.13) ‖ αx ‖ = | α |‖ x ‖ (3.14) ‖ x + y ‖ ≤ ‖ x ‖ + ‖ x ‖ (Dreiecksungleichung) (3.15) Weitere Normen (mit Eigenschaften (3.13)-(3.15)) Minkowski-Norm 10 ‖ x ‖ p : = p √ | x 1 | p + · · · + | x n | p (3.16) Maximum-Norm: ‖ x ‖ ∞ : = max( | x 1 | , . . . , | x n | ) (3.17) 3.3.4 Abstand und Offenheit Der euklidische Abstand von x, y ∈ R n ist der Ausdruck 11 ‖ x − y ‖ = √ (x 1 − y 1 ) 2 + · · · + (x n − y n ) 2 (3.18) Durchmesser von Q ⊆ R n ist 12 D(Q) : = sup {‖ x − y ‖ : x, y ∈ Q } . Die offene Kugel um x mit Radius r > 0 ist erklärt als B r (x) = B(x, r) : = { y ∈ R n : ‖ x − y ‖ < r } (3.19) Ein innerer Punkt einer Menge D ⊆ R n ist ein Punkt x, für den B r (x) ⊆ D für ein (geeignet kleines) r > 0. Die Menge D heißt offen, wenn sie nur innere Punkte enthält, und abgeschlossen, wenn ihr Komplement D c offen ist. Der Rand ∂ D von D ⊂ R n ist die Menge aller Punkte x, für die jede offene Kugel B r (x) mit r > 0 Punkte von D und D c enthält. Kugeln B r (x) sind offen mit ∂B r (x) = { y ∈ R n : ‖ y − x ‖ = r } . 10 bzw. p-Norm, für p = 1 auch City-Block-Norm genannt, ‖ x ‖ 1 = | x 1 | + · · · + | x n | . Für p = 2 ergibt sich die euklidische Norm, d.h. ‖ x ‖ 2 = ‖ x ‖ . 11 Auch die anderen genannten Normen ergeben Abstandsmaße, z.B. den City-Block-Abstand ‖ x − y ‖ 1 oder Maximum-Abstand ‖ x − y ‖ ∞ . 12 Analog z.B. Maximum-Durchmesser D ∞ ( Q ) : = sup{‖ x − y ‖ ∞ : x, y ∈ Q } . uvk-lucius.de/ terveer 32 3 Vektoren Ein Quader D = A 1 × · · · × A n mit Intervallen A j ⊆ R ist - offen, wenn alle A j offen sind, - abgeschlossen, wenn alle A j abgeschlossen sind. Beim Quader besteht ∂ D aus allen Vektoren x ∈ R n , bei denen wenigstens ein x j linke oder rechte Intervallgrenze von A j ist. 3.4 Projektionen Ist L ein UVR des R n mit Erzeugendensystem 13 a (1) , . . . , a ( m ) und x ∈ R n , so versteht man unter der Projektion von x auf L proj(x, L ) = z = α 1 a (1) + · · · + α m a ( m ) = Aα ∈ L (3.20) den Vektor z ∈ L mit kleinstem Abstand ‖ x − z ‖ . Für z = proj(x, L ) gilt z ⊥ (z − x). (3.21) 3.4.1 Normalgleichungen z = proj(x, L ) genau dann, wenn z − x ⊥ a ( ) ∀ = 1, . . . , m, d.h. m ∑ p =1 〈 a ( ) , a ( p ) 〉 · α p = 〈 a ( ) , x 〉 , = 1, . . . , m (3.22) Matrizenform der Normalgleichungen: (A T A)α = A T x (3.23) Wenn a (1) , . . . , a ( m ) l.u. sind, so ist A T A invertierbar, und es gilt α = (A T A) − 1 A T x (3.24) proj(x, L ) = A(A T A) − 1 A T x. (3.25) 3.4.2 Orthonormale Projektion Sind a (1) , . . . , a ( m ) orthonormal, dann gilt proj(x, L ) = 〈 a (1) , x 〉 a (1) + · · · + 〈 a ( m ) , x 〉 a ( m ) (3.26) 13 Im Folgenden sei A die aus a (1) , . . . , a (m) spaltenweise gebildete Matrix. uvk-lucius.de/ terveer 4 4 Matrizen 4.1 Regeln für das Rechnen mit Matrizen Für Matrizen A, B, C und Skalare α, β gelten folgende Regeln 1 , 2 : Kommutativgesetze A + B = B + A (4.1) (AB) T = B T A T (4.2) generell aber AB = BA (4.3) α(AB) = (αA)B = A(αB) (4.4) Assoziativgesetze A + (B + C) = (A + B) + C (4.5) (AB)C = A(BC) (4.6) Distributivgesetze A(B + C) = AB + AC (4.7) (A + B)C = AC + BC (4.8) (α + β)A = αA + βA (4.9) α(A + B) = αA + αB (4.10) 4.2 Quadratische Matrizen Eine n × n-Matrix A = [a ij ] i,j =1 ...,n = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ a 11 a 12 · · · a 1 n a 21 a 22 · · · a 2 n ... ... a n 1 a n 2 · · · a nn ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ (4.11) heißt quadratische Matrix. Hauptdiagonale: Einträge a 11 , a 22 ,. . . , a nn . 1 falls die jeweiligen Terme gebildet werden dürfen. 2 sinngemäß auch für den Spezialfall von Zeilenbzw. Spaltenvektoren. uvk-lucius.de/ terveer 34 4 Matrizen Diagonalmatrix: eine n × n-Matrix A der Form A = diag(a 11 , a 22 , . . . , a nn ) : = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ a 11 0 · · · 0 0 a 22 · · · 0 ... . . . 0 0 . . . a nn ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ (4.12) Einheitsmatrix: I n : = diag(1, . . . , 1) ∈ R n × n (4.13) Sofern das jeweilige Matrixprodukt gebildet werden kann, gilt: I n · B = B und A · I n = A (4.14) 4.3 Inverse Matrix Inverse Matrix zu A ∈ R n × n : Matrix B mit AB = BA = I n (Schreibweise: A − 1 ) Invertierbare Matrix 3 : Eine Matrix A , zu der A − 1 existiert. 4.3.1 Berechnung der inversen Matrix Überführe [A | I n ], falls möglich, mit Zeilenumformungen in ZSF [I n | B]. Dann ist A invertierbar 4 und es ist A − 1 = B. 4.3.2 Inverse einer 2 × 2 -Matrix [ a b c d ] − 1 = 1 ad − bc [ d − b − c a ] (falls ad − bc = 0) (4.15) 4.3.3 Lösung von LGS mit Matrixinversion Für invertierbares A: Ax = b ⇔ x = A − 1 b (4.16) 3 auch: reguläre Matrix. Eine nicht invertierbare Matrix heißt singulär. 4 Anderenfalls ist A singulär. uvk-lucius.de/ terveer 4 4.4 Determinanten quadratischer Matrizen 35 4.4 Determinanten quadratischer Matrizen 4.4.1 Determinanten in Spezialfällen n = 1, 2: det[a] = a und det [ a b c d ] = ad − bc (4.17)(4.18) n = 3, Sarrus-Regel: det [ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ] = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 21 a 32 a 13 − a 31 a 22 a 13 − a 21 a 12 a 33 − a 32 a 23 a 11 (4.19) Obere bzw. untere Dreiecksmatrix: det ⎡ ⎣ d 11 ∗ ∗ 0 . . . ∗ 0 0 d nn ⎤ ⎦ = det ⎡ ⎣ d 11 0 0 ∗ . . . 0 ∗ ∗ d nn ⎤ ⎦ = d 11 · · · d nn (4.20) 4.4.2 Determinante und Zeilenumformungen det(A) = ( − 1) k det(B)/ c (4.21) wenn man A mit Zeilenumformungen 5 in B überführt 6 und dabei k die Anzahl der Vertauschungen (ZV) und c das Produkt der Faktoren der Multiplikationen (ZM) ist, 4.4.3 Determinantenberechnung durch Entwicklung nach Zeile 7 i: det(A) = ∑ n =1 ( − 1) i + a i det(A i ) (4.22) nach Spalte 7 j: det(A) = ∑ n k =1 ( − 1) k + j a kj det(A kj ) (4.23) 4.4.4 Regeln für quadratische Matrizen A , B Transposition: det(A T ) = det(A) (4.24) Blockmatrix: det [ A ∗ 0 B ] = det [ A 0 ∗ B ] = det(A) det(B) (4.25) Matrixprodukt 8 : det(AB) = det(A) det(B) (4.26) 5 zu Zeilenumformungen vgl. S.24. 6 z.B. in eine Dreiecksmatrix 7 A k erhält man jeweils durch Streichen der k-ten Zeile und -ten Spalte aus A. 8 sofern dieses gebildet werden kann. uvk-lucius.de/ terveer 36 4 Matrizen 4.5 Anwendungen der Determinante 4.5.1 Prüfung auf Invertierbarkeit Eine quadratische Matrix A ist invertierbar genau dann, wenn ihre Determinante det(A) ungleich Null ist. 4.5.2 Cramer’sche Regel Die Lösung des LGS Ax = b mit invertierbarer Matrix A ∈ R n × n ist x = (x 1 , . . . , x n ) T mit 9 x j = det(A j )/ det(A) 4.5.3 Eigenwerte Charakteristisches Polynom von A ∈ R n × n : Das Polynom p(λ) = det(A − λI n ). Es hat Grad n. Eigenwert von A: Nullstelle des charakteristischen Polynoms Eigenvektor von A: Ein Vektor x = ¯0 mit Ax = λx Eigenraum zum Eigenwert λ von A: Der UVR Kern(A − λI n ) 4.6 Symmetrische Matrizen Eine Matrix H heißt symmetrisch, wenn H T = H 4.6.1 Eigenwerte symmetrischer Matrizen Jede symmetrische Matrix H ∈ R n × n hat ausschließlich reelle Eigenwerte λ 1 , . . . , λ n (mit Vielfachheit gerechnet 10 ). Das charakteristische Polynom hat die Form det(H − λI n ) = ( − 1) n (λ − λ 1 ) · · · (λ − λ n ) (4.27) 9 Dabei entsteht A j aus A durch Ersetzen der j-ten Spalte mit b. 10 Bei den Werten λ 1 , . . . , λ n können Wiederholungen auftreten. uvk-lucius.de/ terveer 4 4.7 Definitheit 37 4.6.2 Eigenvektoren symmetrischer Matrizen Eigenvektoren verschiedener Eigenwerte einer symmetrischen Matrix H sind orthogonal. Zu den Eigenwerten λ 1 , . . . , λ n von H gibt es orthonormale Eigenvektoren x (1) , . . . , x ( n ) . Setzt man diese zu einer Matrix M = [x (1) , . . . , x ( n ) ] zusammen, so gilt M T · M = I n und die Hauptachsentransformation H = M · diag(λ 1 , . . . , λ n ) · M T (4.28) 4.7 Definitheit Sprechweisen für eine symmetrische Matrix H ∈ R n × n : positiv definit: 〈 x, Hx 〉 = x T Hx > 0 ∀ x ∈ R n ,x = ¯0 (4.29) negativ definit: 〈 x, Hx 〉 = x T Hx < 0 ∀ x ∈ R n ,x = ¯0 (4.30) positiv semidefinit: 〈 x, Hx 〉 ≥ 0 ∀ x ∈ R n (4.31) negativ semidefinit: 〈 x, Hx 〉 ≤ 0 ∀ x ∈ R n (4.32) Eine nicht semidefinite Matrix heißt indefinit. 4.7.1 Determinantenkriterium für Definitheit Hauptuntermatrizen und Hauptminoren (Hauptunterdeterminanten) einer symmetrischen n × n-Matrix H sind H = ⎡ ⎢ ⎣ h 11 . . . h 1 ... ... h 1 . . . h ⎤ ⎥ ⎦ , δ (H) : = det(H ) = 1, . . . , n (4.33) Determinantenkriterium: H ist positiv definit ⇔ δ (H) > 0 ∀ (4.34) negativ definit ⇔ ( − 1) δ (H) > 0 ∀ (4.35) uvk-lucius.de/ terveer 38 4 Matrizen 4.7.2 Determinantenkriterium für Semidefinitheit Spezialfall 2 × 2 -Matrix [ a b b c ] ist positiv/ negativ semidefinit für a > 0/ < 0 und ac − b 2 = 0. Allgemeiner Fall Ist ein Hauptminor Null, so gelten nur Ausschlusskriterien: H ist indefinit, wenn ∃ ∈ { 2, 4, 6, . . . } mit δ (H) < 0. nicht positiv definit, wenn ∃ ∈ { 1, 3, . . . } mit δ (H) < 0. nicht negativ definit, wenn ∃ ∈ { 1, 3, . . . } mit δ (H) > 0. 4.7.3 Eigenwertkriterium für (Semi-)Definitheit H istpositiv (semi)definit ⇔ alle Eigenwerte sind > 0 ( ≥ 0) H ist negativ (semi)definit ⇔ alle Eigenwerte sind < 0 ( ≤ 0) 4.7.4 Eingeschränkte Definitheit Es sei G ∈ R r × n . H heißt 11 positiv definit unter Gx = ¯0, wenn 〈 x, Hx 〉 > 0 ∀ x ∈ R n mit x = ¯0 und Gx = ¯0 (4.36) Reduktionskriterium: (4.37) Setze eine Basis von Kern(G) zu einer Matrix A zusammen. H ist positiv/ negativ (semi-)definit unter Gx = ¯0 ⇔ A T HA ist positiv/ negativ (semi-)definit. Determinantenkriterium: (4.38) Wenn alle Hauptminoren der Blockmatrix [ 0 G G T H ] zu einer Zeilen- und Spaltenzahl größer als 2r das Vorzeichen ( − 1) r haben, dann ist H positiv definit unter Gx = ¯0. 11 sinngemäß: semidefinit und negativ definit unter Gx = ¯ 0 uvk-lucius.de/ terveer 5 5 Folgen und Reihen 5.1 Folgen in den Wirtschaftswissenschaften Eine (Zahlen-)Folge 1 (a n ) n ∈N 0 ist eine Funktion mit Definitionsbereich N 0 und Wertebereich R , n → a n ∈ R , n ∈ N 0 (5.1) a n heißt Folgenglied zum Folgenindex n. Unter einer Punktfolge (im R k ) versteht man eine Folge (a ( n ) ) n ∈N 0 von Vektoren a ( n ) = (a ( n ) 1 , . . . , a ( n ) k ) T ∈ R k (5.2) festgelegt durch k Koordinatenfolgen (a ( n ) 1 ) n ∈N 0 , . . . , (a ( n ) k ) n ∈N 0 . 5.1.1 Summen- und Differenzenfolge Einer Folge (a n ) n ∈N 0 zugeordnet sind die (Partial-)Summenfolge 2 n → s n : = n ∑ j =0 a j : = a 0 + a 1 + · · · + a n für n ∈ N 0 (5.3) Indexverschiebung: n ∑ j = m a j = n − m ∑ j =0 a j + m ∀ m ∈ N 0 Differenzenfolge n → Δa n : = a n − a n − 1 für n ∈ N (5.4) 1 Eine Folge kann als „unendlich langes“ Tupel ( a 0 , a 1 , a 2 , . . . ) aufgefasst werden. 2 sinngemäß ∑ n j=m a j : = a m + a m+1 + · · · + a n uvk-lucius.de/ terveer 40 5 Folgen und Reihen 5.1.2 Explizite und implizite Bildungsgesetze Folgen lassen sich meist auf eine von zwei Arten festlegen: durch ein explizites Bildungsgesetz n → a n (Folgenterm), durch ein implizites/ rekursives Bildungsgesetz a n + k = h(a n , a n +1 , . . . , a n + k − 1 ) (5.5) mit einer Funktion h : D ⊆ R k → R . Mit a 0 , . . . , a k − 1 gehen weitere Folgenglieder jeweils aus den k vorangehenden hervor. 5.1.3 Monotone Folgen Eine Folge (a n ) n ∈N 0 heißt monoton wachsend (bzw. isoton), wenn a n ≤ a n +1 ∀ n ∈ N 0 (5.6) streng monoton wachsend (bzw. streng isoton), wenn a n < a n +1 ∀ n ∈ N 0 (5.7) monoton fallend (bzw. antiton), wenn a n ≥ a n +1 ∀ n ∈ N 0 (5.8) streng monoton fallend (bzw. streng antiton) , wenn a n > a n +1 ∀ n ∈ N 0 (5.9) 5.1.4 Beschränkte Folgen Eine Folge (a n ) n ∈N 0 heißt nach oben beschränkt, wenn es eine Zahl O ∈ R gibt, so dass a n ≤ O für alle n ∈ N 0 (5.10) nach unten beschränkt, wenn es eine Zahl U ∈ R gibt, so dass a n ≥ U für alle n ∈ N 0 (5.11) beschränkt, wenn sie nach oben und unten beschränkt ist. Eine Punktfolge heißt beschränkt, wenn ihre Koordinatenfolgen beschränkt sind. uvk-lucius.de/ terveer 5 5.2 Grenzwerte 41 Folgen in der Ökonomie Der Folgenindex n steht in der Ökonomie oft für Zeitpunkte am Ende oder Anfang einer Periode. Folgen beschreiben z.B. die Entwicklung/ den Zuwachs eines Kapitals, Preisentwicklungen, Angebots- oder Nachfragebereitschaften. Summenfolgen setzt man zur Untersuchung von Saldi, Differenzenfolgen bei Trendanalysen ein. Je nach Kontext werden Folgen oft auch für Indexbereiche N oder oder Z oder N k = { k, k + 1, k + 2, . . . } mit k ∈ Z erklärt 3 . 5.2 Grenzwerte 5.2.1 Konvergente Folgen Eine Folge (a n ) n ∈N 0 heißt konvergent mit Grenzwert a ∈ R , wenn für jedes ε > 0 im Intervall ]a − ε; a + ε[ fast alle 4 Folgenglieder liegen, d.h. mit einem (von ε abhängigen) N 0 = N 0 (ε) gilt: | a n − a | < ε für alle n ≥ N 0 (5.12) Für den Grenzwert a schreibt man dann lim n →∞ a n = a. (5.13) Eine konvergente Folge mit Grenzwert Null heißt Nullfolge. Eine nicht konvergente Folge heißt divergent. Man schreibt lim n →∞ a n = ∞ bzw. lim n →∞ a n = −∞ (5.14) wenn a n > 0 bzw. a n < 0 für fast alle n und lim n →∞ 1/ a n = 0. Eine Punktfolge (a ( n ) ) n ∈N 0 = ((a ( n ) 1 , . . . , a ( n ) k ) T ) n ∈N 0 heißt konvergent mit Grenzwert a = (a 1 , . . . , a k ) T ∈ R k , wenn ihre k Koordinatenfolgen konvergent mit Grenzwerten a 1 , . . . , a k sind. 5.2.2 Eigenschaften konvergenter Folgen Eine konvergente Folge ist beschränkt. Eine monotone und beschränkte Folge ist konvergent. 3 die folgenden Sachverhalte übertragen sich sinngemäß auf solche Index-Bereiche. 4 d.h. alle bis auf endlich viele uvk-lucius.de/ terveer 42 5 Folgen und Reihen 5.2.3 Grenzwertsätze Gilt lim n →∞ a n = a und lim n →∞ b n = b, so folgt: lim n →∞ (a n ± b n ) = a ± b, (5.15) lim n →∞ (a n b n ) = ab, (5.16) lim n →∞ (a n / b n ) = a/ b (sofern b = 0). (5.17) 5.2.4 Unendliche Reihen Eine (unendliche) Reihe zu einer Folge (a n ) n ∈N 0 ist sowohl die Partialsummenfolge (s n ) n ∈N 0 mit s n : = n ∑ j =0 a j (5.18) als auch der Grenzwert ∞ ∑ j =0 a j : = lim n →∞ s n . (5.19) Konvergenzkriterien für Reihen Majorantenkriterium: (5.20) Falls | a j | ≤ | b j |∀ j, so konvergiert mit ∞ ∑ j =0 | b j | auch ∞ ∑ j =0 a j . Quotientenkriterium: Es gebe q ∈ ]0; 1[, so dass (5.21) | a n +1 a n | ≤ q für fast alle n. Dann konvergiert ∞ ∑ j =0 a j . 5.3 Wichtige Folgen 5.3.1 Arithmetische Folge Eine arithmetische Folge ist eine rationale Folge vom Grad ≤ 1, also von der Form a n = α 0 + α 1 n (5.22) uvk-lucius.de/ terveer 5 5.3 Wichtige Folgen 43 mit α 0 , α 1 ∈ R . Sie hat das implizite Bildungsgesetz a 0 = α 0 , a n +1 = a n + α 1 für n > 0 (5.23) Eine arithmetische Folge ist konstant für α 1 = 0 streng monoton wachsend für α 1 > 0 streng monoton fallend für α 1 < 0 Eine arithmetische Folge hat die Differenzenfolge Δa n = a n − a n − 1 = α 1 (5.24) Partialsummenfolge 5 (s n ) n ∈N 0 mit s n = n ∑ j =0 (α 0 + α 1 j) = α 0 (n + 1) + α 1 n(n + 1) 2 (5.25) 5.3.2 Ganzrationale bzw. rationale Folge Eine ganzrationale Folge vom Grad k ist eine Folge mit dem expliziten Bildungsgesetz n → a n = α 0 + α 1 n + α 2 n 2 + · · · + α k n k (5.26) mit α 0 , . . . , α k ∈ R und 6 α k = 0. Eine ganzrationale Folge ist divergent für k > 0, ihre Differenzenfolge ist rational vom Grad k − 1, ihre Partialsummenfolge ist rational vom Grad k + 1. Neben (5.25) lauten weitere spezielle Summen: n ∑ j =0 j 2 = n(n + 1)(2n + 1) 6 (5.27) n ∑ j =0 j 3 = n 2 (n + 1) 2 4 (5.28) n ∑ j =0 j 4 = n(n + 1)(2n + 1) ( 3n 2 + 3n − 1 ) 30 (5.29) 5 dies ist die so genannte Gauß’sche Summenformel. 6 Im Fall Grad 0 ist auch α 0 = 0 , d.h. a n = 0 ∀ n möglich. uvk-lucius.de/ terveer 44 5 Folgen und Reihen 5.3.3 Gebrochen-rationale Folge Eine gebrochen-rationale Folge hat das explizite Bildungsgesetz n → a n = p n / q n (5.30) wobei p n = α 0 +α 1 n+ · · · +α k n k bzw. q n = β 0 +β 1 n+ · · · +β k n ganzrationale Folgen vom Grad k bzw. sind. Sie hat folgendes Konvergenzverhalten: Ist k < , so gilt lim n →∞ p n / q n = 0. (5.31) Ist k > , so ist p n / q n divergent. (5.32) Ist k = , so gilt lim n →∞ p n / q n = α k / β k . (5.33) 5.3.4 Geometrische Folge Eine geometrische Folge hat das explizite Bildungsgesetz n → a n = c · p n , n ∈ N 0 (5.34) mit p ∈ R , c ∈ R , c = 0; ihr implizites Bildungsgesetz lautet a 0 = c, a n = a n − 1 · p für n > 0 (5.35) Konvergenzverhalten der geometrischen Folge Für | p | < 1 gilt lim n →∞ cp n = 0. (5.36) Für | p | > 1 ist (cp n ) n ∈N 0 unbeschränkt und divergent. (5.37) Für p = 1 ist n → cp n konstant. Für p = − 1 nimmt n → cp n abwechselnd die Werte c (n gerade) und − c (n ungerade) an und ist divergent. Verhalten bei Differenzen- und Summenbildung: Für p = 0, p = 1 ist n → Δa n = cp n − cp n − 1 = c p − 1 p · p n (5.38) wieder eine geometrische Folge. uvk-lucius.de/ terveer 5 5.4 Potenzreihen 45 Geometrische Summe: Für p = 1 und n ∈ N 0 gilt n ∑ j =0 p j = 1 − p n +1 1 − p (5.39) Geometrische Reihe: Für | p | < 1 ist die geometrische Reihe konvergent und hat den Grenzwert ∞ ∑ j =0 p j = 1 1 − p (5.40) Für | p | ≥ 1 ist die geometrische Reihe divergent. Lineare Differenzengleichung erster Ordnung Die implizite Folge (a n ) n ∈N 0 mit Startwert a 0 und implizitem Bildungsgesetz Δa n = a n − a n − 1 = a + ba n − 1 (5.41) (mit b = 0) hat die explizite Form a n = a 0 (1 + b) n + a b ((1 + b) n − 1) (5.42) 5.4 Potenzreihen Potenzreihen sind unendliche Reihen der Form f(x) = ∞ ∑ j =0 a j x j (5.43) dabei ist x ∈ R und (a n ) n ∈N 0 eine vorgegebene Folge. f heißt auch erzeugende Funktion von (a n ) n ∈N 0 . 5.4.1 Konvergenzkriterium Ist die Folge n → a n r n beschränkt für ein r > 0, so konvergiert die Potenzreihe (5.43) für alle x ∈ ] − r; r[. uvk-lucius.de/ terveer 46 5 Folgen und Reihen 5.4.2 Ableiten von Potenzreihen Konvergiert eine Potenzreihe f(x) = ∞ ∑ j =0 a j x j für x ∈ ] − r; r[, so ist f in ] − r; r[ differenzierbar, und es gilt 7 f ′ (x) = ∞ ∑ j =0 j · a j x j − 1 ∀ x ∈ ] − r; r[ (5.44) 5.4.3 Koeffizientenvergleich Zwei auf ] − r; r[ (mit r > 0) konvergente erzeugende Funktionen f(x) = ∞ ∑ n =0 a n x n , g(x) = ∞ ∑ n =0 b n x n stimmen genau dann auf ] − r; r[ überein, wenn a n = b n ∀ n ∈ N 0 . 5.4.4 Wichtige Potenzreihen Geometrische Reihe: ∞ ∑ j =0 x j = 1 1 − x , ∞ ∑ j = k x j = x k 1 − x , ∀| x | < 1, k ∈ N (5.45) Exponentialreihe: e x = 1 + x + x 2 2 + x 3 6 + · · · = ∞ ∑ j =0 x j j! , ∀ x ∈ R (5.46) 7 d.h. eine konvergente Potenzreihe darf gliedweise abgeleitet werden, um ihre Ableitung nach x zu berechnen uvk-lucius.de/ terveer 5 5.4 Potenzreihen 47 Insbesondere ist die eulersche Zahl e = 1 + 1 2 + 1 6 + 1 24 + 1 120 · · · = ∞ ∑ j =0 1 j! ≈ 2, 71828 . . . (5.47) Dabei ist j! : = 1 · 2 · · · j (Fakultät) (5.48) Sinusreihe: sin(x) = x − x 3 6 + x 5 120 ∓ · · · = ∞ ∑ j =0 ( − 1) j x 2 j +1 (2j + 1)! ∀ x ∈ R (5.49) Cosinusreihe cos(x) = 1 − x 2 2 + x 4 24 ∓· · · = ∞ ∑ j =0 ( − 1) j x 2 j (2j)! ∀ x ∈ R (5.50) Logarithmusreihe: ln(1 + x) = x − x 2 + x 3 ∓ · · · = ∞ ∑ j =1 ( − 1) j +1 x j j ∀| x | < 1 (5.51) Binomische Reihe: (1 + x) α = ∞ ∑ j =1 ( α j ) x k ∀| x | < 1, α > 0 (5.52) mit dem verallgemeinerten Binomialkoeffizienten ( α j ) : = α(α − 1) · · · (α − k + 1) k! ∀ j ∈ N , ( α 0 ) : = 1 (5.53) (5.46), (5.49), (5.50) und (5.51) sind Reihendarstellungen der gleichnamigen Funktionen. uvk-lucius.de/ terveer 48 5 Folgen und Reihen 5.5 Finanzmathematische Folgen und Reihen Kapitalentwicklung bei nachschüssiger Rechnung 8 : K 0 sei das Kapital zu Beginn der ersten Periode (zum Ende der nullten Periode). Für n ∈ N sei K n − 1 das Kapital am Ende von Periode n − 1. In der Folgeperiode n werde K n − 1 durch den Zinsfaktor q n = 1 + p n / 100 (5.54) zum Zinsfuß p n > 0 aufgezinst und durch Einbzw. Auszahlungen r n vermehrt bzw. verringert. Das Kapital am Ende der Folgeperiode n ist (implizite Form) K n = q n K n − 1 + r n (5.55) 5.5.1 Grundformel der Kapitalentwicklung Sind Zinsfuß p, Zinsfaktor q = 1 + p 100 und Ein-/ Auszahlung r unabhängig von n, so lautet die Kapitalentwicklung explizit: K n = K 0 · q n + r · q n − 1 q − 1 , n ∈ N 0 (5.56) Es folgen Spezialfälle der Kapitalentwicklung bei konstantem q, r. Zinseszinsrechnung Für r = 0 und konstanten Zinsfuß p n = p bekommt die Kapitalentwicklungsformel (5.56) die Form K n = K 0 (1 + p/ 100) n , n ∈ N 0 (5.57) Stetige Verzinsung Einteilung einer Periode in m Zeiträume mit nachschüssiger Verzinsung zum Zinsfuß p/ m; dann m → ∞ . 8 Ein-/ Auszahlung am Ende einer Zinsperiode - in diesem Abschnitt wird nur die nachschüssige Rechnung betrachtet. uvk-lucius.de/ terveer 5 5.5 Finanzmathematische Folgen und Reihen 49 Ein Kapital K 0 wird bei stetiger Verzinsung in einer Periode zu K = K 0 · lim m →∞ (1 + p/ 100 m ) m = K 0 · e p/ 100 (5.58) Dabei ist e = lim m →∞ (1 + 1/ m) m die eulersche Zahl. Rentenrechnung Den Zinserträgen K n − 1 · q > 0 steht eine Auszahlung r < 0 entgegen. Es gilt wieder die Grundformel (5.56) der Kapitalentwicklung. Falls K 0 (q − 1) ≥ − r, liegt eine ewige Rente vor; anderenfalls ist das Kapital aufgebraucht nach n = − log q (1 + K 0 (q − 1) r ) Perioden mit Rente r, (5.59) nach n Perioden mit Rente r = − K 0 (q − 1) q n q n − 1 . (5.60) Annuitätentilgung K 0 ist eine Darlehensschuld und r < 0 eine monatliche Rückzahlung, die sich aus Zins und Tilgung ergibt: r = − K 0 p + t 100 (5.61) Hier sind p > 0 bzw. t > 0 jeweils 1/ 12 eines Jahreszinsbzw. Jahrestilgungsfußes. Mit diesen Bezeichnungen gilt die Grundformel (5.56), wobei n in Monaten gerechnet wird, für die Darlehenslaufzeit n sinngemäß die Formel (5.59). 5.5.2 Barwert und Endwert Barwert bzw. Endwert machen Zahlungen vergleichbar, die zu verschiedenen Zeitpunkten getätigt werden, indem sie auf den gemeinsamen Anfangsbzw. Endzeitpunkt der Zahlungsreihe abbzw. aufgezinst werden 9 . Bei nachschüssiger Verzinsung gilt: 9 Statt „abzinsen“ wird auch der Begriff „diskontieren“ verwendet. uvk-lucius.de/ terveer 50 5 Folgen und Reihen Eine Gegenwartszahlung r > 0 hat nach n identischen Zinsperioden den Endwert r · (1 + p/ 100) n − 1 (5.62) Der Rentenendwert von n solchen Zahlungen ist n − 1 ∑ j =0 r(1 + p/ 100) j = r (1 + p/ 100) n − 1 p/ 100 (5.63) Barwert einer in Periode n getätigten Zahlung r > 0 ist r/ q n . Die ewige nachschüssige Rente r > 0 hat den Rentenbarwert P V e = (r/ q + r/ q 2 + · · · ) = r q − 1 = r p/ 100 (5.64) Rentenbarwert einer n-maligen nachschüssigen Rente r > 0 ist P V = P V e (1 − 1/ q n ) (5.65) 5.5.3 Kapitalwert und interner Zinsfuß Kapitalwert: Kennziffer einer Investition, welche im Barwert N P V : = − I + n ∑ j =1 r j / q j + / q n (5.66) den Investitionsbetrag I > 0, die zeitlich nachfolgenden Rückflüsse r 1 > 0, . . . , r n > 0 und den Liquidationserlös > 0 (nach Periode n) zusammenführt. Bei konstanten Rückflüssen r j = r > 0 ist N P V = − I + r q n · q n − 1 q − 1 + q n (5.67) Interner Zinsfuß einer Investition ist der Zinsfuß p = 100(q − 1) (5.68) für den N P V = 0 gilt, d.h. für den der Barwert aus Rückflüssen und Liquidationserlös der Investition I entspricht. uvk-lucius.de/ terveer 6 6 Funktionen einer Variable 6.1 Grundlegende Sprechweisen Im folgenden sei f : D → R eine Funktion einer Variable mit Definitionsbereich 1 D = [a; b]. 6.1.1 Graph einer Funktion Der Graph von f ist die Menge aller Punkte (x, f(x)), für die x im Definitionsbereich von f liegt, d.h. die Menge { (x | y) : x ∈ D , y = f(x) } (6.1) Die Darstellung dieser Menge in einem Koordinatensystem wird ebenfalls als Graph von f bezeichnet. Die horizontale Achse heißt Abszisse, die vertikale heißt Ordinate. Der Schnittpunkt von Abszisse und Ordinate wird Ursprung genannt. 1 Die nachfolgenden Begriffe, Aussagen übertragen sich sinngemäß auf Definitionsbereiche der Form ] a ; b [ , ] − ∞; b ] , [ a ; ∞[ , ] − ∞; ∞[ usw. uvk-lucius.de/ terveer f x x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x y 3 y 4 y 5 52 6 Funktionen einer Variable 6.1.2 Ordinatenabschnitt und Nullstellen f(0) ist Ordinatenabschnitt 2 (y-Achsenabschnitt). x ∈ D heißt Nullstelle 3 von f, wenn f(x) = 0. Newton-Verfahren Für differenzierbares f lässt sich eine Nullstelle als Grenzwert der Folge (a n ) n ∈N 0 approximieren mit Startwert 4 a 0 ∈ D und a n +1 = a n − f(a n )/ f ′ (a n ), n ∈ N 0 (6.2) 6.1.3 Monotonie f heißt monoton wachsend 5 (isoton), wenn gilt: ∀ t 1 , t 2 ∈ D t 1 ≤ t 2 ⇒ f(t 1 ) ≤ f(t 2 ) (6.3) streng monoton wachsend 5 (streng isoton), wenn gilt: ∀ t 1 , t 2 ∈ D t 1 < t 2 ⇒ f(t 1 ) < f(t 2 ) (6.4) monoton fallend 5 (antiton), wenn gilt: ∀ t 1 , t 2 ∈ D t 1 ≤ t 2 ⇒ f(t 1 ) ≥ f(t 2 ) (6.5) streng monoton fallend 5 (streng antiton), wenn gilt: ∀ t 1 , t 2 ∈ D t 1 < t 2 ⇒ f(t 1 ) > f(t 2 ) (6.6) 2 Im Schaubild S.51 ist y 4 = f (0) . 3 Im Schaubild S.51 sind x 2 , x 5 Nullstellen von f. 4 Im Schaubild S. 51 wählt man z.B. zur Bestimmung der Nullstelle x 2 einen Startwert a 0 , der „ausreichend nahe“ bei x 2 liegt. Anderenfalls könnte eine andere Nullstelle approximiert werden oder die Folge divergent sein. 5 Im Schaubild S.51 ist f in [ x 1 ; x 3 ] und [ x 5 ; x 6 ] (streng) monoton wachsend und in [ x 3 ; x 5 ] (streng) monoton fallend. uvk-lucius.de/ terveer 6 6.1 Grundlegende Sprechweisen 53 Überprüfung der Monotonie Falls f auf D =]a; b[ differenzierbar ist, so gilt: Schluss vom f ′ -Vorzeichenverhalten auf f-Monotonie: - f ′ (x) > 0 für alle x ∈ D ⇒ f ist streng isoton. (6.7) - f ′ (x) < 0 für alle x ∈ D ⇒ f ist streng antiton. (6.8) - f ′ (x) ≥ 0 für alle x ∈ D ⇒ f ist isoton. (6.9) - f ′ (x) ≤ 0 für alle x ∈ D ⇒ f ist antiton. (6.10) Schluss von f-Monotonie auf f ′ -Vorzeichenverhalten: - f isoton ⇒ f ′ (x) ≥ 0 für alle x ∈ D . (6.11) - f antiton ⇒ f ′ (x) ≤ 0 für alle x ∈ D . (6.12) Spezialfall „konstante Funktion“: - f ist konstant auf D ⇔ f ′ (x) = 0 für alle x ∈ D (6.13) 6.1.4 Krümmungsverhalten f heißt konvex 6 , wenn ∀ t 1 , t 2 ∈ D ∀ λ ∈ [0; 1] gilt: f(λt 1 + (1 − λ)t 2 ) ≤ λf(t 1 ) + (1 − λ)f(t 2 ) (6.14) f heißt streng konvex 6 , wenn ∀ t 1 , t 2 ∈ D ∀ λ ∈ ]0; 1[ gilt: f(λt 1 + (1 − λ)t 2 ) < λf(t 1 ) + (1 − λ)f(t 2 ) (6.15) f heißt konkav 6 , wenn ∀ t 1 , t 2 ∈ D ∀ λ ∈ [0; 1] gilt: f(λt 1 + (1 − λ)t 2 ) ≥ λf(t 1 ) + (1 − λ)f(t 2 ) (6.16) f heißt streng konkav 6 , wenn ∀ t 1 , t 2 ∈ D ∀ λ ∈ ]0; 1[ gilt: f(λt 1 + (1 − λ)t 2 ) > λf(t 1 ) + (1 − λ)f(t 2 ) (6.17) 6 Im Schaubild S.51 ist f in [ x 1 ; x 4 ] (streng) konkav (rechtsgekrümmt) und in [ x 4 ; x 6 ] (streng) konvex (linksgekrümmt). uvk-lucius.de/ terveer 54 6 Funktionen einer Variable Überprüfung der Krümmung Wenn f zweimal differenzierbar ist, so gilt: Schluss von f ′′ -Vorzeichenverhalten auf f-Krümmung: - f ′′ (x) > 0 für alle x ∈ D ⇒ f ist streng konvex. (6.18) - f ′′ (x) < 0 für alle x ∈ D ⇒ f ist streng konkav. (6.19) - f ′′ (x) ≥ 0 für alle x ∈ D ⇒ f ist konvex. (6.20) - f ′′ (x) ≤ 0 für alle x ∈ D ⇒ f ist konkav. (6.21) Schluss von f-Krümmung auf f ′′ -Vorzeichenverhalten: - f ist konvex ⇒ f ′′ (x) ≥ 0 für alle x ∈ D (6.22) - f ist konkav ⇒ f ′′ (x) ≤ 0 für alle x ∈ D (6.23) Spezialfall „lineare Funktion“: - f ist lineare Funktion ⇔ f ′′ (x) = 0 ∀ x ∈ D (6.24) 6.1.5 lokale und globale Extrema x ∈ D heißt (globales bzw. absolutes) Minimum 7 , 8 von f , wenn f(x) ≤ f(˜ x) ∀ ˜ x ∈ D (6.25) (globales bzw. absolutes) Maximum 7 , 8 von f, wenn f(x) ≥ f(˜ x) ∀ ˜ x ∈ D (6.26) lokales Minimum 7 , 8 von f, wenn es ε > 0 gibt mit f(x) ≤ f(˜ x) ∀ ˜ x ∈ D mit | ˜ x − x | < ε (6.27) lokales Maximum 7 , 8 von f, wenn es ε > 0 gibt mit f(x) ≥ f(˜ x) ∀ ˜ x ∈ D mit | ˜ x − x | < ε (6.28) Extremum ist Oberbegrifffür Minimum bzw. Maximum. 7 Im Schaubild S.51 sind x 3 , x 6 Stellen eines lokalen Maximums und x 1 , x 5 Stellen eines lokalen Minimums. x 1 ist gleichzeitig globales Minimum und x 3 ist globales Maximum im Intervall D = [ x 1 ; x 6 ] . 8 bzw. Stelle eines solchen Extremums. uvk-lucius.de/ terveer 6 6.1 Grundlegende Sprechweisen 55 Überprüfung von lokalen Extrema Notwendige Bedingung für ein lokales Extremum einer differenzierbaren Funktion in einem offenen Intervall D =]a; b[: f hat in x ∈ D ein lokales Extremum ⇒ f ′ (x) = 0 (6.29) Hinreichende Bedingungen für ein lokales Extremum einer differenzierbaren Funktion in x ∈ ]a; b[ mit f ′ (x) = 0: Bedingung erster Ordnung: Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung in D ′ =]x − δ; x + δ[ mit (geeignet kleinem) δ > 0: - f ′ (˜ x)(˜ x − x) ≥ 0 ∀ ˜ x ∈ D ′ ⇒ lokales Minimum. (6.30) - f ′ (˜ x)(˜ x − x) ≤ 0 ∀ ˜ x ∈ D ′ ⇒ lokales Maximum. (6.31) Bedingung zweiter Ordnung: - f ′′ (x) > 0 ⇒ lokales Minimum. (6.32) - f ′′ (x) < 0 ⇒ lokales Maximum. (6.33) Überprüfung von Extrema bei konvexen/ konkaven Funktionen Es f : D → R differenzierbar und x ∈ D mit f ′ (x) = 0. f auf D konvex ⇒ f hat in x ein globales Minimum. (6.34) f auf D konkav ⇒ f hat in x ein globales Maximum. (6.35) Überprüfung von Extrema durch Randwertvergleich Es seien u, v ∈ D derart, dass f(u) das kleinste lokale Minimum und f(v) das größte lokale Maximum ist. Weiter seien 9 g 1 : = lim x →−∞ f(x), g 2 : = lim x →∞ f(x) (6.36) 9 in den folgenden Aussagen sei angenommen, dass die dort verwendeten Grenzwerte jeweils existieren. uvk-lucius.de/ terveer 56 6 Funktionen einer Variable Eine stetige Funktion f : [a; b] → R hat stets ein - Minimum in einem der Werte u, a, b, (6.37) - Maximum in einem der Werte v, a, b. (6.38) Eine stetige Funktion f : ] − ∞ ; ∞ [ → R hat für - min(g 1 , g 2 ) ≥ f(u) ein Minimum in u (6.39) - max(g 1 , g 2 ) ≤ f(v) ein Maximum in v (6.40) Eine stetige Funktion f : [a; ∞ [ → R hat für - g 2 ≥ min(f(u), f(a)) ein Minimum in u oder a (6.41) - g 2 ≤ max(f(v), f(a)) ein Maximum in v oder a (6.42) Einer stetige Funktion f : ] − ∞ ; b] → R hat für - g 1 ≥ min(f(u), f(b)) ein Minimum in u oder b (6.43) - g 1 ≤ max(f(v), f(b)) ein Maximum in v oder b (6.44) 6.1.6 Wendestellen x ∈ D heißt Wendestelle von f, wenn es ein δ > 0 gibt, so dass f auf ]x − δ; x] und [x; x + δ[ unterschiedliches Krümmungsverhalten hat. 10 , 11 Überprüfung von Wendestellen Notwendige Bedingung für Wendestelle in x ∈ D bei zweimal differenzierbarer Funktion f: f hat in x Wendestelle ⇒ f ′′ (x) = 0 (6.45) Hinreichende Bedingung für Wendestelle in x ∈ D mit f ′′ (x) = 0 bei dreimal differenzierbarer Funktion f: f ′′′ (x) = 0 ⇒ f hat in x Wendestelle. (6.46) 10 d.h. Wechsel von streng konvex nach streng konkav oder umgekehrt. 11 Im Schaubild S.51 ist x 4 eine Wendestelle von f. uvk-lucius.de/ terveer 6 6.2 Rationale Funktionen 57 6.2 Rationale Funktionen 6.2.1 Ganzrationale Funktionen Eine ganzrationale Funktion (Polynom) hat den Funktionsterm f(x) = p(x) = a 0 + a 1 x + · · · + a n x n (6.47) mit a i ∈ R , a n = 0 (Normalform). grad(f) = n ist der Grad des Polynoms. Spezialfälle: (6.48) - n = 1: lineare Funktion. , - n = 2: quadratische Funktion. - n = 3: kubische bzw. ertragsgesetzliche Funktion. p(x) = x n heißt Monom (vom Grad n). (6.49) Unter einer Faktorisierung eines Polynoms p(x) versteht man folgende Darstellung mit Polynomen p 1 , p 2 : p(x) = p 1 (x) · p 2 (x) (6.50) Spezialfall lineare Funktion Normalform: f(x) = ax + b (6.51) Punkt-Steigungs-Form: f(x) = a(x − x 0 ) + y 0 (6.52) dabei ist (x 0 | y 0 ) ein Punkt auf dem Graph von f. Linearform: f(x) = a(x − x 1 ) mit x 1 = − b a (6.53) Spezialfall quadratische Funktion Normalform: f(x) = ax 2 + bx + c = a(x 2 + px + q) (6.54) mit p = b/ a, q = c/ a. Scheitelpunktform: f(x) = a(x − x 0 ) 2 + y 0 (6.55) mit dem Scheitelpunkt (x 0 | y 0 ) = ( − b 2 a | c − b 2 4 a ) (6.56) Linearform: f(x) = a(x − x 1 )(x − x 2 ) (6.57) (nur falls D = p 2 4 − q ≥ 0) mit x 12 = − p 2 ± √ p 2 4 − q (6.58) uvk-lucius.de/ terveer 58 6 Funktionen einer Variable Koeffizientenvergleich Zwei Polynome in Normalform p 1 (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x + · · · + a n x n p 2 (x) = b 0 + b 1 x + b 2 x 2 + · · · + b m x m sind genau dann gleich, wenn gilt: n = grad(p 1 ) = grad(p 2 ) (6.59) a i = b i für alle i = 1, . . . , n. (6.60) 6.2.2 Gebrochen-rationale Funktionen Eine gebrochen-rationale Funktion ist eine Funktion f(x) = p(x) q(x) (6.61) mit Polynomen p, q. Nullstellen von q heißen Definitionslücken von f. 6.2.3 Nullstellen Die Nullstellen eines Polynoms werden auch Wurzeln genannt. Ein Polynom f(x) = a 0 + a 1 x + · · · + a n x n vom Grad n ≤ 2 hat für n = 1 die Nullstelle x 0 = − a 0 a 1 , (6.62) für n = 2 nur dann die Nullstelle(n) x 0 = − a 1 2a 2 ± √ D (6.63) wenn die Diskriminante D = a 2 1 4a 2 2 − a 0 a 2 (6.64) größer oder gleich Null ist, anderenfalls hat f keine Nullstelle (Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung). Polynome mit ungeradem Grad haben immer eine Nullstelle. Für Polynome vom Grad 5 oder höher lassen sich die Nullstellen in der Regel nur noch numerisch annähern, z.B. mit (6.2). uvk-lucius.de/ terveer 6 6.2 Rationale Funktionen 59 Nullstellen-Vielfachheit ganzrationaler Funktionen Ein Polynom p vom Grad n lässt sich als p(x) = v(x) · (x − x 0 ) k (6.65) faktorisieren mit Polynom v vom Grad n − k und v(x 0 ) = 0. Die Zahl k ≥ 0 heißt Vielfachheit der (möglichen) Nullstelle x 0 . Für k > 0 gilt p(x 0 ) = 0. Zusätzlich gilt dann: - k gerade ⇒ p hat in x 0 lokales Extremum. (6.66) - k > 3 ungerade ⇒ p hat in x 0 Wendestelle. (6.67) Der Fall k = 0 besagt, dass x 0 keine Nullstelle von p ist. Faktorisierung eines Linearfaktors (x − x 0 ) und Funktionswertberechnung bei einem Polynom erfolgt mit dem Horner-Schema: a n a n − 1 · · · a 1 a 0 x 0 0 b n − 1 x 0 · · · b 1 x 0 b 0 x 0 Summe b n − 1 b n − 2 · · · b 0 p(x 0 ) (6.68) b n − 1 = a n , b m = a m +1 + b m +1 x 0 , p(x 0 ) = a 0 + b 0 x 0 (6.69) p(x) = p(x 0 ) + (x − x 0 )(b 0 + b 1 x + · · · + b n − 1 x n − 1 ) (6.70) Nullstellen-Vielfachheit gebrochen-rationaler Funktionen Nullstellen gebrochen-rationaler Funktionen sind immer die Nullstellen des Zählerpolynoms, die keine Definitionslücken sind. Eine gebrochen-rationale Funktion f(x) = p(x) q(x) = (x − x 0 ) k v(x) (x − x 0 ) w(x) (6.71) mit Vielfachheit k bzw. im Zähler bzw. Nenner hat im Fall k ≥ eine hebbare Definitionslücke in x 0 , hebbar durch 0 (Nullstelle der Vielfachheit k − ), wenn k > (6.72) v(x 0 )/ w(x 0 ) wenn k = (6.73) Im Falle k < hat f in x 0 eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei geradem − k (6.74) Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei ungeradem − k. (6.75) uvk-lucius.de/ terveer 60 6 Funktionen einer Variable 6.2.4 Partialbruchzerlegung Sind p, q Polynome mit grad(p) < grad(q) und q(x) = q 1 (x)q 2 (x) mit Polynomen q 1 , q 2 ohne gemeinsame Nullstelle, so gibt es Polynome p 1 , p 2 mit grad(p i ) < grad(q i ) und 12 p(x) q(x) = p 1 (x) q 1 (x) + p 2 (x) q 2 (x) (6.76) Für eine rationale Funktion f(x) = p(x)/ (x − t) k mit p(t) = 0 und grad(p) < k gibt es eine Partialbruchzerlegung der Form 12 p(x) (x − t) k = A 1 x − t + A 2 (x − t) 2 + · · · + A k (x − t) k (6.77) 6.2.5 Ableitungen und Stammfunktionen Für Polynome f(x) = a 0 + a 1 x + · · · + a n x n gilt f ′ (x) = 0 + a 1 + · · · + na n x n − 1 , (6.78) ∫ f(x)dx = a 0 x + 1 2 a 1 x 2 + · · · + 1 n +1 a n x n +1 . (6.79) Für gebrochen-rationale Funktionen f(x) = p(x)/ q(x) gilt: f ′ (x) = p ′ (x)q(x) − p(x)q ′ (x) q(x) 2 (6.80) ∫ f(x)dx kann oft wie folgt gewonnen werden: - im Spezialfall p(x) = q ′ (x) mit der Substitutionsregel: ∫ q ′ (x) q(x) dx = ln(q(x)) (6.81) - in anderen Fällen mittels Partialbruchzerlegung und aus deren Ergebnis mittels summandenweiser Integration. 12 Ansatz: Koeffizientenvergleich von p 1 ( x ) q 2 ( x ) + p 2 ( x ) q 1 ( x ) und p ( x ) bzw. von A 1 ( x − t ) k−1 + A 2 ( x − t ) k−2 + · · · + A 1 und p ( x ) . uvk-lucius.de/ terveer 6 6.3 Exponentialfunktion, Logarithmus und Potenz 61 6.3 Exponentialfunktion, Logarithmus und Potenz 6.3.1 Exponentialfunktion Die (allgemeine) Exponentialfunktion f : R → R , f(x) = a x zur Basis a > 0 hat die folgenden Eigenschaften: f hat keine Nullstellen, f(0) = 1. (6.82) f ist streng monoton wachsend für a > 1. (6.83) f ist streng monoton fallend für a < 1. (6.84) f ist konvex. (6.85) Für n ∈ N ist a n = a · · · a (mit n Faktoren). (6.86) Für p, q ∈ N ist a p/ q = q √ a p = ( q √ a) p . (6.87) Dabei versteht man unter der q-ten Wurzel q √ a = a 1 / q (6.88) von a > 0 die (positive) Lösung der Gleichung x q = a. Alle Exponentialfunktionen können ineinander überführt werden: Für x ∈ R , a, b > 0 gilt: b x = a x · log a ( b ) (6.89) Regeln für die Exponentialfunktion a x Für alle x, y ∈ R ist a x + y = a x · a y (6.90) Für alle x, y ∈ R ist (a x ) y = a xy . (6.91) Euler’sche Exponentialfunktion Die Exponentialfunktion x → f(x) = exp(x) = e x (6.92) zur Basis e wird als (eulersche) Exponentialfunktion (kurz: e- Funktion) bezeichnet. uvk-lucius.de/ terveer 62 6 Funktionen einer Variable Ihre Basis ist die eulersche Zahl e = lim m →∞ (1 + 1 m ) m = ∞ ∑ k =0 1 k! = 2, 71828 . . . (6.93) Sie ist die einzige Exponentialfunktion mit folgender Eigenschaft e x ≥ 1 + x ∀ x ∈ R (6.94) Außerdem ist sie die einzige differenzierbare Funktion mit den beiden Eigenschaften f(0) = 1 (6.95) Ableitung f ′ (x) = f(x). (6.96) Stammfunktion der e-Funktion ist ∫ e x dx = e x (6.97) 6.3.2 Logarithmus Umkehrung der Exponentialfunktion ergibt den Logarithmus zur Basis a > 0: es ist y = log a (x) ⇔ x = a y (6.98) Alle Logarithmen können ineinander überführt werden: log a (x) = log b (x)/ log b (a) ∀ a, b, x > 0 (6.99) Regeln für den Logarithmus log a (xy) = log a (x) + log a (y) für a, x, y > 0 (6.100) log a (x r ) = r log a (x) für a, x > 0 und r ∈ R . (6.101) Die Logarithmusfunktion x → f(x) = log a (x) hat nur eine Nullstelle, log a (1) = 0 (6.102) ist streng monoton wachsend und konkav für a > 1, (6.103) ist streng monoton fallend und konvex für 0 < a < 1. (6.104) hat die Ableitung f ′ (x) = 1/ (x ln(a)) (6.105) hat Stammfunktion ∫ f(x)dx = (x ln(x) − x)/ ln(a) (6.106) uvk-lucius.de/ terveer 6 6.3 Exponentialfunktion, Logarithmus und Potenz 63 Natürlicher Logarithmus f(x) = ln(x) = log e (x) heißt natürlicher Logarithmus und hat Ableitung f ′ (x) = 1/ x (6.107) Stammfunktion ∫ ln(x)dx = x ln(x) − x (6.108) 6.3.3 Potenzfunktion Die Funktion x → f(x) = x a , x > 0 (6.109) mit a ∈ R heißt Potenzfunktion (Cobb-Douglas-Funktion). Die Potenzfunktion hat keine Nullstellen und ist streng monoton wachsend und konvex für a > 0, (6.110) streng monoton fallend und konkav für für a < 0. (6.111) Verträglichkeit von Potenz mit Produkt bzw. Summe Produktbildung: (xy) a = x a · y a ∀ x, y > 0, a ∈ R . (6.112) Summenbildung: Binomische Formel (x + y) n = n ∑ k =0 ( n k ) x k y n − k ∀ x, y ∈ R , n ∈ N (6.113) Dabei ist für n ∈ N 0 , k ∈ { 0, . . . , n } der Binomialkoeffizient 13 ( n k ) : = n! k! (n − k)! = n(n − 1) · · · (n − k + 1) k(k − 1) · · · 2 · 1 (6.114) Ableitung und Stammfunktion Ableitung der Potenzfunktion ist f ′ (x) = ax a − 1 (6.115) Stammfunktion für a = − 1 ist ∫ x a dx = x a +1 / (a + 1) (6.116) 13 lies: „n über k“ uvk-lucius.de/ terveer 64 6 Funktionen einer Variable 6.4 Trigonometrische Funktionen sin(ϕ) und cos(ϕ) beschreiben die Koordinaten von Punkten des Einheitskreises in Abhängigkeit vom Winkel 14 ϕ ∈ [0; 2π]. Die Zuordnungen Sinus: x → sin(x), gemäß Schaubild (6.117) Cosinus: x → cos(x), gemäß Schaubild (6.118) Tangens: x → tan(x) = sin(x)/ cos(x) (6.119) Cotangens: x → cot(x) = cos(x)/ sin(x), (6.120) heißen trigonometrische Funktionen. 6.4.1 Funktionswerttabelle Angegeben sind Werte von x im Bogenmaß und das zugehörige Gradmaß 15 α ∈ [0 ◦ ; 360 ◦ ]: x 0 π 4 π 3 π 2 2π 3 3π 4 π 5π 4 4π 3 3π 2 5π 3 7π 4 2π α 0 ◦ 45 ◦ 60 ◦ 90 ◦ 120 ◦ 135 ◦ 180 ◦ 225 ◦ 240 ◦ 270 ◦ 300 ◦ 315 ◦ 360 ◦ sin(x) 0 1 √ 2 √ 3 2 1 √ 3 2 1 √ 2 0 − 1 √ 2 − √ 3 2 − 1 − √ 3 2 − 1 √ 2 0 cos(x) 1 1 √ 2 1 2 0 − 1 2 − 1 √ 2 − 1 − 1 √ 2 − 1 2 0 1 2 1 √ 2 1 tan(x) 0 1 √ 3 − √ 3 − 1 0 1 √ 3 − √ 3 − 1 0 cot(α) 1 1 √ 3 0 − 1 √ 3 − 1 1 1 √ 3 0 − 1 √ 3 − 1 14 Die Kreiskonstante π ≈ 3 , 1415927 ist der halbe Umfang des Kreises mit Radius 1 und Grundlage der Winkelmessung im Bogenmaß. Hier entspricht jeder Winkel der Länge des dem Winkel zugehörigen Kreisbogens, z.B. der Vollkreiswinkel dem Umfang 2 π des Einheitskreises und der rechte Winkel dem Viertelkreisbogen mit der Länge π/ 2 . 15 Umrechnung von x (Bogenmaß) in α (Gradmaß): α = 360 2π x. uvk-lucius.de/ terveer 6 6.5 Betragsfunktion 65 6.4.2 Rechenregeln Phasenverschiebung: sin(x) = cos(π/ 2 − x) (6.121) 2π-Periodizität: sin(x + 2π) = sin(x), cos(x + 2π) = cos(x) (6.122) Symmetrieeigenschaften: cos( − x) = cos(x), sin( − x) = − sin(x) (6.123) Trigonometrischer Pythagoras sin 2 (x) + cos 2 (x) = 1 (6.124) Additionstheoreme: sin(x + y) = sin(x) cos(y) + sin(y) cos(x) (6.125) cos(x + y) = cos(x) cos(y) − sin(x) sin(y) (6.126) 6.4.3 Ableitungen und Stammfunktionen Ableitungen sind (sin(x)) ′ = cos(x), (cos(x)) ′ = − sin(x) (6.127) (tan(x)) ′ = 1 cos 2 (x) , (cot(x)) ′ = − 1 sin 2 (x) (6.128) Stammfunktionen sind: ∫ sin(x)dx = − cos(x), ∫ cos(x)dx = sin(x) (6.129) ∫ tan(x)dx = − ln | cos(x) | , ∫ cot(x)dx = ln | sin(x) | (6.130) 6.5 Betragsfunktion Der (Absolut-)Betrag ist erklärt als | x | = { x für x ≥ 0 − x für x < 0 (6.131) uvk-lucius.de/ terveer 66 6 Funktionen einer Variable Regeln für den Betrag Für x, y ∈ R gilt | x | = max( − x, x) (6.132) | xy | = | x | · | y | (6.133) | x + y | ≤ | x | + | y | (Dreiecksungleichung) (6.134) Die Betragsfunktion x → | x | ist stetig und (nur) in x = 0 nicht differenzierbar. 6.6 Indikatorfunktion Für A ⊆ R ist die Indikatorfunktion von A erklärt als 16 1 A : R → { 0, 1 } , 1 A (x) = { 1 falls x ∈ A 0 falls x / ∈ A (6.135) Regeln für die Indikatorfunktion Für Mengen A, B ⊆ R und alle x ∈ R gilt: Vereinigungsmengen-Indikator: 1 A ∪ B (x) = max(1 A (x), 1 B (x)) (6.136) 1 A ∪ B (x) = 1 A (x) + 1 B (x) − 1 A ∩ B (x) (6.137) Schnittmengen-Indikator: 1 A ∩ B (x) = min(1 A (x), 1 B (x)) (6.138) 1 A ∩ B (x) = 1 A (x) · 1 B (x) (6.139) Komplement-Indikator: 1 A c (x) = 1 − 1 A (x) (6.140) Indikator der symmetrischen Differenz 17 1 A Δ B (x) = | 1 A (x) − 1 B (x) | (6.141) 16 Für Punktmengen A ⊆ R n lässt sich die Definition wörtlich übertragen. 17 A Δ B enthält alle x ∈ A ∪ B, die nicht in A ∩ B liegen uvk-lucius.de/ terveer 7 7 Differentialrechnung 7.1 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen 7.1.1 Funktionsgrenzwert Es sei D ⊆ R . Für eine Funktion f : D → R und ein x 0 ∈ D heißt 1 lim x → x 0 f(x) : = y ∈ R (7.1) Grenzwert von f für x gegen x 0 , wenn für jede beliebige Folge (x n ) n ∈N in D mit lim n →∞ x n = x 0 gilt lim n →∞ f(x n ) = y. Für eine Funktion f : D → R mit D ⊆ R n und x (0) ∈ D ist lim x → x (0) f(x) : = lim m →∞ f(x ( m ) ) (7.2) durch Punktfolgen mit lim m →∞ x ( m ) = x (0) erklärt. 2 7.1.2 Stetigkeit Eine Funktion f : D → R heißt stetig in einem (bzw. für alle) x (0) ∈ D , wenn lim x → x (0) f(x) = f(x (0) ). Innerhalb ihrer Definitionsbereiche 3 , 4 D jeweils stetig sind Polynomfunktionen, Exponential- und Logarithmusfunktion, Potenzfunktionen, alle trigonometrischen Funktionen, Koordinatenfunktionen (x 1 , . . . , x n ) → x j , j ∈ { 1, . . . , n } , die Terme f ± g, f · g, f/ g zu stetigen Funktionen f, g : D → R , Verkettungen f ◦ g in x (0) , wenn g in x (0) und f in g(x (0) ) stetig ist. 1 Sinngemäß können lim x→∞ f ( x ) und lim x→−∞ f ( x ) erklärt werden. 2 Sofern sich für jede derartige Punktfolge derselbe Grenzwert ergibt. 3 Dabei jeweils D ⊆ R oder D ⊆ R n 4 d.h. mit Ausnahme von Definitionslücken uvk-lucius.de/ terveer 68 7 Differentialrechnung 7.2 Partielle Ableitung und Differential 7.2.1 Gradient Für eine Funktion f : D → R , D ⊆ R n , von n Variablen x 1 , . . . , x n ist die partielle Ableitung von f nach x j , d.h. ∂f ∂x j (x 1 , . . . , x n ), kurz: ∂f ∂x j bzw. ∂f/ ∂x j (7.3) erklärt als lim h → 0 f(x 1 , . . . , x j + h, . . . , x n ) − f(x 1 , . . . , x j , . . . , x n ) h (7.4) (falls der Grenzwert existiert). Der Vektor ∇ f(x) = ∇ f(x 1 , . . . , x n ) = ( ∂f ∂x 1 , . . . , ∂f ∂x n ) T (7.5) wird als Gradient von f in x 1 , . . . , x n bezeichnet 5 . Wenn ∇ f(x) für alle x ∈ D existiert, heißt f partiell differenzierbar in D . Unter der Jacobi-Matrix einer mehrwertigen Funktion f = (f 1 , . . . , f m ) : D → R m , D ⊆ R n versteht man die Matrix J f (x) : = ∂f ∂x : = ⎡ ⎢ ⎣ ∂f 1 ∂x 1 · · · ∂f 1 ∂x n ... ... ∂f m ∂x 1 · · · ∂f m ∂x n ⎤ ⎥ ⎦ (7.6) 7.2.2 Differential Es sei x ∈ R n innerer Punkt von D ⊆ R n . Eine einwertige 6 Funktion f : D → R heißt total differenzierbar bzw. differenzierbar in x ∈ D mit Differential Df(x) ∈ R n , wenn lim h → ¯ 0 f(x + h) − f(x) − 〈 Df(x), h 〉 ‖ h ‖ = 0 (7.7) f heißt (total) differenzierbar in D , wenn (7.7) für alle x ∈ D gilt. 5 sprich: „Nabla f “. 6 Der Begrifflässt sich auf mehrwertige Funktionen übertragen: An die Stelle des Differentials tritt die Jacobi-Matrix J f ( x ) , das Skalarprodukt 〈 D f ( x ) , h 〉 wird durch das Matrix-Vektorprodukt J f ( x ) · h ersetzt. uvk-lucius.de/ terveer 7 7.3 Ableitungen bei Funktionen einer Variable 69 Zusammenhänge zwischen partieller und totaler Differenzierbarkeit Es sei D ⊆ R n und f : D → R Wenn f in D total differenzierbar ist, dann ist f partiell differenzierbar in D , und für alle x ∈ D gilt Df(x) = ∇ f(x) (7.8) Wenn f in D partiell differenzierbar ist und die partiellen Ableitungen (x 1 , . . . , x n ) → ∂f ∂x j (x 1 , . . . , x n ) (7.9) in D stetige Funktionen sind, ist f in D total differenzierbar. 7.3 Ableitungen bei Funktionen einer Variable Eine Funktion einer Variablen ist genau dann partiell differenzierbar, wenn sie total differenzierbar ist. Man nennt sie dann differenzierbar mit Ableitung f ′ (x) = lim h → 0 f(x + h) − f(x) h , x ∈ D (7.10) Weiter ist f ′′ die Ableitung von f ′ , f ′′′ die Ableitung von f ′′ usw. Allgemein ist die n-te Ableitung f ( n ) erklärt durch f (0) (x) = f(x), f ( n +1) (x) = (f ( n ) ) ′ (x), n ∈ N 0 , x ∈ D (7.11) 7.3.1 Ableitungsregeln Für differenzierbare Funktionen f, g : D → R einer Variablen und c ∈ R gilt (sinngemäß auch für partielle Ableitungen): Faktorregel: (cf) ′ (x) = cf ′ (x) (7.12) Summenregel: (f + g) ′ (x) = f ′ (x) + g ′ (x) (7.13) Produktregel: (f g) ′ (x) = f ′ (x)g(x) + f(x)g ′ (x) (7.14) Quotientenregel: ( f g ) ′ (x) = f ′ (x)g(x) − f(x)g ′ (x) g(x) 2 (7.15) uvk-lucius.de/ terveer 70 7 Differentialrechnung 7.3.2 Ableitungen und Stammfunktionen für Funktionen einer Variablen f(x) f ′ (x) ∫ f(x)dx f(x) f ′ (x) ∫ f(x)dx x a ax a − 1 x a +1 a + 1 ln(x) 1 x x ln(x) − x a x a x ln(a) a x ln(a) cos(x) − sin(x) sin(x) e x e x e x cos(x) − sin(x) sin(x) log a (x) 1 x ln(a) x ln(x) − x ln(a) tan(x) 1 cos 2 (x) − ln | cos(x) | 7.4 Kettenregeln Für f : D ⊆ R n → R und h : f( D ) → R , h 1 , . . . , h n : [a; b] → R differenzierbar mit (h 1 (t), . . . , h n (t)) T ∈ D gilt: Kettenregel für h ◦ f: ∂(h ◦ f) ∂x j (x 1 , . . . , x n ) = h ′ (f(x 1 , . . . , x n )) · ∂f ∂x j (x 1 , . . . , x n ) (7.16) Für eine Funktion f einer Variable: (h ◦ f) ′ (x) = h ′ (f(x))f ′ (x) (7.17) Kettenregel für f ◦ h: ∂(f ◦ (h 1 , . . . , h n )) ∂t (t) = n ∑ k =1 ∂f ∂x k ( h 1 (t), . . . , h n (t) ) · h ′ k (t) (7.18) 7.5 Ableitungsbegriffe auf Grundlage des Differentials Im folgenden sei f : D → R in x (0) = (x (0) 1 , . . . , x (0) n ) T ∈ D differenzierbar und habe dort den Funktionswert y 0 = f(x (0) ). uvk-lucius.de/ terveer 7 7.5 Ableitungsbegriffe auf Grundlage des Differentials 71 7.5.1 Richtungsableitung Richtungsableitung von f in x (0) in Richtung d ∈ R n ist Df(x (0) , d) : = lim h → 0 f(x (0) + h · d) − f(x (0) ) h = 〈 ∇ f(x (0) ), d 〉 (7.19) Der steilste Anstieg Df(x (0) , d) unter ‖ d ‖ = 1 ist ‖∇ f(x (0) ) ‖ . Die Richtung des steilsten Anstiegs 7 von f in x (0) ist d = ∇ f(x (0) ) (7.20) Für jede Richtung d mit 〈∇ f(x (0) ), d 〉 = 0 ist { x (0) + td : t ∈ R} (7.21) eine Tangente an die Niveaumenge (Iso-Quante) N f (y 0 ) : = f − 1 ( { y 0 } ) = { x ∈ D : f(x) = y 0 } (7.22) 7.5.2 Elastizität Für f(x (0) ) = 0 heißt ε f,j (x (0) ) : = x (0) j · ∂f ∂x j (x (0) ) f(x (0) ) (7.23) die (partielle) Elastizität von f nach x j in x (0) . Hat f nur eine Variable x, so schreibt man ε f (x) = x · f ′ (x) f(x) (7.24) Der Vektor ε f (x (0) ) : = (ε f, 1 (x (0) ), . . . , ε f,n (x (0) )) T (7.25) 7 jeder andere Vektor ˜ d = αd mit α > 0 zeigt ebenfalls in die Richtung des steilsten Anstiegs bzw. mit α < 0 in die Richtung des steilsten Abstiegs. uvk-lucius.de/ terveer 72 7 Differentialrechnung heißt Elastizitätsgradient von f in x (0) . Für einen Vektor d = (d 1 , . . . , d n ) T ∈ R n beschreibt ε f (x (0) , d) : = 〈 ε f (x (0) ), d 〉 (7.26) die Richtungselastizität von f in x (0) in Richtung d. Ändern sich die Inputs x (0) j jeweils um d j Prozent (mit d j ≈ 0), so ändert sich der Output f(x (0) ) um etwa ε f (x (0) , d) Prozent. 7.5.3 Implizite Ableitungen Für ∂f ∂x k (x (0) ) = 0 wird die Variable x k auf der Niveaumenge N f (y 0 ) (lokal) zu einer differenzierbaren Funktion (implizite Funktion) der übrigen Variablen mit partiellen (impliziten) Ableitungen ∂x k ∂x j (x (0) ) = − ∂f ∂x j (x (0) ) / ∂f ∂x k (x (0) ) (7.27) Die Substitutionsgrenzrate (GRS) von f zwischen x k und x j , z = GRS(x k | x j ) : = ∂x k ∂x j (x (0) ) = − ∂f ∂x j (x (0) ) ∂f ∂x k (x (0) ) (7.28) beschreibt die Änderungsrate für x k , wenn f(x) = y 0 bei Änderung von x j konstant bleiben soll, es gilt 8 , 9 für Δ ≈ 0 f(. . . , x j + Δ, . . . , x k + z · Δ, . . . ) ≈ y 0 (7.29) Die Substitutionselastizität zwischen x k und x j ist die Elastizität von t = x k / x j als Funktion von z = GRS(x k | x j ), d.h. SEL(x k | x j ) : = ε x k / x j (GRS(x k | x j )) (7.30) 8 hier für j < k, sinngemäß auch für j > k 9 d.h. ändert sich x j zu x j + Δ , so muss x k zu x k + Δ · GRS ( x k | x j ) geändert werden, um den Wert y 0 näherungsweise zu halten. uvk-lucius.de/ terveer 7 7.6 Homogene Funktionen 73 Formel für die Substitutionselastizität SEL(x k |x j ) − ∂f ∂x j · ∂f ∂x k x j · x k · ( x j · ∂f ∂x j + x k · ∂f ∂x k ) ∂ 2 f ∂x 2 j · ( ∂f ∂x k ) 2 − 2 · ∂ 2 f ∂x j x k · ∂f ∂x j · ∂f ∂x k + ∂ 2 f ∂x 2 k · ( ∂f ∂x j ) 2 (7.31) 7.6 Homogene Funktionen Eine Funktion f : D ⊆ R n → R heißt homogen vom Grad 10 r, wenn für alle x ∈ R n und λ ∈ R mit λx ∈ D gilt f(λx) = λ r f(x) (7.32) Ist f : D → R differenzierbar und r-homogen, so gilt: x → Df(x, d) ist homogen vom Grad r − 1 ∀ d ∈ R n . (7.33) Df(x, x) = rf(x) für alle x ∈ D (Euler-Formel). (7.34) ε f, 1 (x) + · · · + ε f,n (x) = r für alle x ∈ D . (7.35) Beispiele homogener Funktionen auf D = [0; ∞[ n Für CD-Funktionen f(x 1 , . . . , x n ) = c · x a 1 1 · · · x a n n (Cobb- Douglas-Funktionen) mit c, a 1 , . . . , a n ∈ R gilt: - sie sind homogen vom Grad r = a 1 + · · · + a n , (7.36) - GRS(x k | x j ) = − a j a k · x k x j , (7.37) - SEL(x k | x j ) = 1. (7.38) Für CES-Funktionen f(x 1 , . . . , x n ) = q √ c 0 + c 1 x q 1 + · · · + c n x q n mit c 0 , c 1 , . . . , c n ≥ 0, q = 0 gilt: - für c 0 = 0 sind sie 1-homogen, (7.39) - GRS(x k | x j ) = − a j a k ( x k x j ) 1 − q , (7.40) - SEL(x k | x j ) = 1 1 − q für q = 1. (7.41) 10 linear homogen: homogen vom Grad r = 1 . uvk-lucius.de/ terveer 74 7 Differentialrechnung 7.7 Ableitungen zweiter Ordnung Wird die partielle Ableitung ∂f/ ∂x i einer Funktion f : D → R noch einmal nach einer Variablen x j abgeleitet, so erhält man eine partielle Ableitung 2. Ordnung und schreibt dafür D ij f(x) bzw. ∂ 2 f ∂x i ∂x j (7.42) Bei einer Variablen schreibt man f ′′ (x) für die zweite Ableitung. 7.7.1 Hesse-Matrix und Richtungskrümmung Bei zweimal stetig 11 partiell differenzierbaren Funktionen ist die so genannte Hesse-Matrix H f (x) : = ⎡ ⎢ ⎣ D 11 f(x) · · · D 1 n f(x) ... ... D n 1 f(x) · · · D nn f(x) ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ∂ 2 f ∂x 1 ∂x 1 · · · ∂ 2 f ∂x 1 ∂x n ... ... ∂ 2 f ∂x n ∂x 1 · · · ∂ 2 f ∂x n ∂x n ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ (7.43) symmetrisch. Es gilt die Taylor-Entwicklung zweiter Ordnung: lim d → ¯ 0 f ( x + d ) − f ( x ) −〈∇ f ( x ) ,d 〉− 1 2 〈 d,H f ( x ) d 〉 ‖ d ‖ 2 = 0. (7.44) Die Richtungskrümmung von f in x in Richtung d ist erklärt als 〈 d, H f (x)d 〉 (7.45) 7.7.2 Konvexe und konkave Funktionen Falls D ⊆ R n konvex ist und für alle x, y ∈ D , λ ∈ ]0; 1[ gilt f(λx + (1 − λ)y) ≤ λf(x) + (1 − λ)f(y) (7.46) so heißt f : D → R konvex. Wenn in (7.46) das Ungleichungszeichen umgekehrt ist, so heißt f konkav. Eine 2-mal stetig partiell differenzierbare Funktion ist genau konvex (konkav), wenn H f (x) positiv (negativ) semidefinit ist ∀ x ∈ D . Eine hinreichende Bedingung für Konvexität (bzw. Konkavität) von f lautet: H f (x) ist positiv definit (bzw. negativ definit) ∀ x ∈ D . 11 d.h. die partiellen Ableitungen 2. Ordnung sind stetig. uvk-lucius.de/ terveer 8 8 Integralrechnung 8.1 Stammfunktionen und unbestimmte Integrale Eine differenzierbare Funktion F : D → R einer Variablen heißt Stammfunktion einer Funktion f : D → R , wenn F ′ (x) = f(x) (8.1) für alle x ∈ D . Man nennt F auch das unbestimmte Integral von f und schreibt 1 F (x) = ∫ f(x)dx bzw. F (x) = ∫ f(x)dx + c (8.2) Eine stetige Funktion f : [a; b] → R hat stets eine Stammfunktion. 2 Integrationsregeln Für f, g, h : D → R mit Stammfunktionen F, G, H und c ∈ R gilt: Faktorregel: ∫ cf(x)dx = c ∫ f(x)dx (8.3) Summenregel: ∫ (f(x) + g(x))dx = ∫ f(x)dx + ∫ g(x)dx (8.4) 1 Letzteres drückt aus, dass die Stammfunktion nur bis auf eine additive Konstante c ∈ R eindeutig bestimmt ist. In diesem Sinne können alle in Teil 6 aufgeführten Stammfunktion durch Addition einer beliebigen Konstanten variiert werden. 2 Eine kleinere Übersicht von Stammfunktionen befindet sich auf S. 70. Einige weitere Stammfunktionen sind in den Abschnitten 6.2, 6.3 und 6.4 beschreiben uvk-lucius.de/ terveer 76 8 Integralrechnung Partielle Integration: ∫ f(x)G(x)dx = F (x)G(x) − ∫ F (x)g(x)dx (8.5) Substitutionsregel 3 : ∫ h(F (x))F ′ (x)dx = H(F (x)) (8.6) 8.2 Bestimmte Integrale Mit bestimmten Integralen lassen sich Flächeninhalte zwischen bzw. unter Kurven (Funktionen) berechnen, sie treten als stetige Wahrscheinlichkeiten in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und als Lösungen von Differentialgleichungen auf. Das bestimmte Integral einer (meist stetigen) Funktion f : [a; b] → R ist erklärt als Grenzwert, d.h. ∫ b a f(x)dx : = lim m →∞ m ∑ i =1 f(x mi )(b mi − a mi ) (8.7) mit Zerlegungsfolge ([a m 1 ; b m 1 ], . . . , [a m 1 ; b m 1 ]) m ∈N , d.h. a m 1 = a und b mm = b a m 1 ≤ b m 1 = a m 2 ≤ b m 2 · · · ≤ b m,m − 1 = a mm ≤ b mm x mi ∈ [a mi ; b mi ] für i = 1, . . . , m lim n →∞ F ((a m 1 , . . . , a mm ), (b m 1 , . . . , b mm )) = 0, vgl. Schaubild 4 : 3 falls die Verkettung h ◦ F möglich ist. 4 Dabei heißt F(( a 1 , . . . , a m ) , ( b 1 , . . . , b m )) = max( b 1 − a 1 , . . . , b m − a m ) die Feinheit der Zerlegung von [ a ; b ] in Teilintervalle [ a 1 , b 1 ] , . . . , [ a m , b m ] . uvk-lucius.de/ terveer 8 8.2 Bestimmte Integrale 77 Bei stetigen Funktionen f ist der Grenzwert unabhängig von der Art der gewählten Zerlegung 5 . Eine Funktion f heißt (Riemann)integrierbar, wenn der Grenzwert in (8.7) für jede mögliche Zerlegungsfolge existiert und stets den gleichen Wert annimmt. 8.2.1 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Jede stetige Funktion f : [a; b] → R besitzt eine Stammfunktion F : [a; b] → R und für jede Stammfunktion gilt ∫ b a f(x)dx = [ F (x) ] b a : = F (b) − F (a) (8.8) 8.2.2 Integrationsregeln Mit dem Hauptsatz übertragen sich die obigen Integrationsregeln von den unbestimmten auf die bestimmten Integrale, d.h. für Funktionen f, g, h mit Stammfunktionen F, G, H und c ∈ R gilt: Faktorregel: ∫ b a cf(x)dx = c ∫ b a f(x)dx (8.9) Summenregel: ∫ b a (f(x) + g(x))dx = ∫ b a f(x)dx + ∫ b a g(x)dx (8.10) Regel der partiellen Integration: ∫ b a f(x)G(x)dx = [F (x)G(x)] b a − ∫ b a F (x)g(x)dx (8.11) Substitutionsregel: ∫ b a h(F (x))F ′ (x)dx = ∫ F ( b ) F ( a ) H(z)dz (8.12) 5 Hier ist auch jede Teilfolge denkbar mit der Konsequenz, dass z.B. auch Zerlegungsfolgen mit fortgesetzter Intervallhalbierung (wie im Schaubild S.76) verwendet werden dürfen. uvk-lucius.de/ terveer 78 8 Integralrechnung 8.2.3 Uneigentliche Integrale Uneigentliche Integrale sind erklärt als Grenzwerte ∫ b −∞ f(x)dx : = lim a →−∞ ∫ b a f(x)dx (8.13) ∫ ∞ a f(x)dx : = lim b →∞ ∫ b a f(x)dx (8.14) ∫ ∞ −∞ f(x)dx : = ∫ x 0 −∞ f(x)dx + ∫ ∞ x 0 f(x)dx (8.15) mit beliebigem 6 x 0 ∈ R . Es gelten sinngemäß 7 die Regeln in 8.2.2. 8.3 Mehrfachintegrale Für eine (meist stetige) Funktion f : D ⊆ R n → R mit Quader D = [a 1 , b 1 ] × · · · × [a n , b n ] ist das Mehrfachintegral ∫ D f(x)dx = ∫ D f(x 1 , . . . , x n )dx 1 . . . dx n (8.16) erklärt als Grenzwert 8 lim m →∞ m ∑ i =1 f(x mi )V (Q mi ) (8.17) mit Quader-Zerlegungsfolge (Q m 1 , . . . , Q mm ) m ∈N , d.h. ∀ m ist D = Q m 1 ∪ · · · ∪ Q mm ∀ m, i, j ist Q mi ∩ Q mj = ∅ für i = j ∀ m, i ist x mi ∈ Q mi , lim m →∞ F (Q m 1 , . . . , Q mm )) = 0, vgl. Schaubild 9 S.79: 6 d.h. falls der Wert für ein x 0 ∈ R existiert, so ergibt sich der selbe Wert auch für jedes andere x 0 ∈ R . 7 d.h. bei Existenz der Grenzwerte 8 Dabei ist V ( Q mi ) das Volumen des Quaders Q mi . 9 Dabei heißt F( Q 1 , . . . , Q m ) = max( D ∞ ( Q 1 ) , . . . , D ∞ ( Q m )) Feinheit der Zerlegung von D in die Quader Q 1 , . . . , Q m mit Maximum-Durchmessern D ∞ ( Q 1 ) , . . . , D ∞ ( Q n ) . uvk-lucius.de/ terveer 8 8.3 Mehrfachintegrale 79 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 2 4 6 0.5 0.6 0.7 0.8 0 9 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 2 4 6 0.5 0.6 0.7 0.8 0 9 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 2 4 6 0.5 0.6 0.7 0.8 0 9 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 2 4 6 0.5 0.6 0.7 0.8 0 9 Bei stetigen Funktionen f ist der Grenzwert unabhängig von der Art der gewählten Zerlegung 10 . Eine Funktion f heißt (Riemann)-integrierbar, wenn der o.g. Grenzwert für jede mögliche Zerlegungsfolge existiert und stets den gleichen Wert annimmt. 8.3.1 Uneigentliche Mehrfachintegrale Die Berechnung kann oft 11 auf unbeschränkte Quader bis hin zu D = R n übertragen werden, dazu sind - ggf. mehrfache - Grenzwertübergänge wie im eindimensionalen Fall durchzuführen, z.B. ∫ R n f(x)dx = lim K →∞ ∫ [ − K ; K ] n f(x)dx (8.18) ∫ [0; ∞ [ n f(x)dx = lim K →∞ ∫ [0; K ] n f(x)dx (8.19) 8.3.2 Jordan-Mengen Für eine Menge S ⊆ R n heißt die Funktion 1 S : R n → R , 1 S (x) = { 1 falls x ∈ S 0 falls x ∈ S (8.20) Indikatorfunktion von S . 10 Auch hier kann man zu Teilfolgen übergehen und damit fortgesetzte synchrone Verfeinerungen der Intervalle [ a j ; b j ] in jeder Variable x j wie z.B. fortgesetzte Intervallhalbierung (vgl. Schaubild S.79) realisieren. 11 z.B. für f ≥ 0 . uvk-lucius.de/ terveer 80 8 Integralrechnung Die Regeln (6.136) bis (6.141) aus Abschnitt 6.6 für Indikatorfunktionen einer Variablen gelten wörtlich auch hier. Eine Menge S heißt Jordan-Menge, wenn ihre Indikatorfunktion integrierbar ist. Beschränkte Quader und Kugeln sind Beispiele von Jordan-Mengen. 8.3.3 Integrationsregeln Berechnung durch iterierte Einfachintegrale bei stetigem f: Falls D = [a 1 , b 1 ] × · · · [a n , b n ] ein Quader ist, so gilt ∫ D f(x)dx = ∫ b 1 a 1 ( . . . ∫ b n a n f(x 1 , . . . , x n )dx n . . . ) dx 1 (8.21) d.h. zuerst wird die Stammfunktion in x n gebildet und in [a n ; b n ] ausgewertet, vom Ergebnis wird die Stammfunktion in x n − 1 gebildet und ausgewertet,. . . . Jede andere Integrationsreihenfolge bzgl. der n Variablen liefert dasselbe Ergebnis. Falls zusätzlich f(x 1 , . . . , x n ) ≥ 0 ∀ (x 1 , . . . , x n ) T ∈ D , so gilt die angegebene Formel sinngemäß auch bei Quadern mit einer oder mehreren uneigentlichen Integrationsgrenzen. Substitutionsregel Voraussetzungen: D , E ⊆ R n seien offen, f : D → R eine stetige Funktion und - g : E → D sei eine injektive (d.h. auf ihrem Wertebereich g( E ) ⊆D umkehrbare) und differenzierbare Funktion. - Die Determinante det(J g (x)) der Jacobi-Matrix von g auf E sei stets positiv oder stets negativ. Für jede abgeschlossene und beschränkte Jordan-Menge T ⊆ E ist dann S = g( T ) wieder eine Jordan-Menge und es gilt ∫ g ( T ) f(x)dx = ∫ T f(g(t)) | det J g (t) | dt (8.22) uvk-lucius.de/ terveer 8 8.3 Mehrfachintegrale 81 8.3.4 Doppelintegrale bei stetigen Funktionen Spezialfall Quader 12 D = [a 1 ; b 1 ] × [a 2 ; b 2 ]: ∫ D f(x 1 , x 2 )dx 1 dx 2 = ∫ b 1 a 1 ( ∫ b 2 a 2 f(x 1 , x 2 )dx 2 ) dx 1 (8.23) = ∫ b 2 a 2 ( ∫ b 1 a 1 f(x 1 , x 2 )dx 1 ) dx 2 (8.24) F : D → R heißt unbestimmtes Integral von f, wenn F zweimal stetig partiell differenzierbar ist mit D 12 F (x, y) = D 21 F (x, y) = f(x, y) ∀ (x, y) T ∈ D (8.25) Es gilt dann ∫ D f(x)dx = F (a 2 , b 2 ) − F (a 1 , b 2 ) − F (a 2 , b 1 ) + F (a 1 , b 1 ) (8.26) Spezialfall Normalgebiet 13 mit vertikalen Schnitt-Intervallen: D = { (x, y) T ∈ R 2 : a 1 ≤ x ≤ b 1 , a 2 (x) ≤ y ≤ b 2 (x) } (8.27) mit a 1 , b 1 ∈ R und stetigen Funktionen a 2 , b 2 : [a; b] → R mit a 2 (x) ≤ b 2 (x), siehe Schaubild: Für ein Normalgebiet D gilt ∫ D f(x, y)dxdy = ∫ b 1 a 1 ( ∫ b 2 ( x ) a 2 ( x ) f(x, y)dy ) dx (8.28) 12 sinngemäß bei unbeschränkten Quadern mittels uneigentlichen Integralen, z.B. im Spezialfall f ( x, y ) ≥ 0∀ x, y. 13 sinngemäß bei unbeschränkten Normalgebieten mittels uneigentlichen Integralen, z.B. im Spezialfall f ( x, y ) ≥ 0∀ x, y. uvk-lucius.de/ terveer 82 8 Integralrechnung Spezialfall Normalgebiet 13 mit horizontalen Schnitt-Intervallen: D = { (x, y) T ∈ R 2 : a 2 ≤ y ≤ b 2 , a 1 (y) ≤ x ≤ b 1 (y) } (8.29) mit a 2 , b 2 ∈ R und stetigen Funktionen a 1 , b 1 : [a; b] → R mit a 1 (y) ≤ b 1 (y), siehe Schaubild: Das Mehrfachintegral ist dann: ∫ D f(x, y)dxdy = ∫ b 2 a 2 ( ∫ b 1 ( y ) a 1 ( y ) f(x, y)dx ) dy (8.30) Spezialfall Kreisringsektor: Hierunter versteht man K = { (r cos(φ), r sin(φ)) T ∈ R 2 : r 1 ≤ r ≤ r 2 , φ 1 ≤ φ ≤ φ 2 } (8.31) wobei 0 ≤ r 1 ≤ r 2 und 0 ≤ φ 1 ≤ φ 2 < 2π, siehe Schaubild: Für einen Kreisringsektor K gilt ∫ K f(x, y)dxdy = ∫ φ 2 φ 1 ∫ r 2 r 1 f(r cos φ, r sin φ) · r drdφ (8.32) uvk-lucius.de/ terveer 9 9 Optimierung differenzierbarer Funktionen Viele quantitative Fragestellungen der Ökonomie lassen sich als Optimierungsaufgaben mit Funktionen f, g 1 , . . . , g m , h 1 , . . . , h k : D ⊆ R n → R (9.1) in n Variablen formulieren. In diesem Abschnitt seien alle auftretenden Funktionen differenzierbar. 9.1 Optimierung ohne Nebenbedingungen Man sagt, f hat in x (0) ein globales Minimum (bzw. Maximum), wenn f(x (0) ) ≤ f(x) ∀ x ∈ D (bzw. f(x (0) ) ≥ f(x) ∀ x ∈ D ). Gilt dies nur für alle x in einer Umgebung B r (x (0) ) ⊆ D mit r > 0, so spricht man von einem lokalen Minimum (bzw. Maximum). 9.1.1 Notwendige Bedingung für lokales Extremum Wenn f in einem inneren Punkt x (0) ∈ D ein lokales Extremum hat, so sind dort alle partiellen Ableitungen Null: ∇ f(x (0) ) = ¯0 (9.2) Ein solcher Punkt x (0) ∈ D heißt kritischer Punkt. 9.1.2 Hinreichende Bedingung für lokales Extremum Gilt (9.2) in einem inneren Punkt x (0) ∈ D und zudem H f (x (0) ) ist positiv (negativ) definit. (9.3) dann hat f in x (0) ein lokales Minimum (Maximum). uvk-lucius.de/ terveer 84 9 Optimierung differenzierbarer Funktionen 9.1.3 Konvexe Optimierung Eine konvexe (konkave) Funktion hat im kritischen Punkt ein globales Minimum (Maximum). 9.2 Optimierung mit Nebenbedingungen Vorgegeben: m Nebenbedingungen (NB) in =-Form g 1 (x) = 0, . . . , g m (x) = 0 (9.4) und k Nebenbedingungen in ≤ -Form h 1 (x) ≤ 0, . . . , h k (x) ≤ 0 (9.5) Ein Punkt x ∈ D heißt zulässig, wenn er alle NB erfüllt. 1 Eine Ungleichungs-NB h (x) ≤ 0 heißt aktiv in x (0) , wenn h (x (0) ) = 0 und inaktiv in x (0) , wenn h (x (0) ) < 0. f hat im x (0) ∈ D ein globales Minimum (Maximum) unter den Nebenbedingungen, wenn für alle zulässigen x ∈ D gilt: f(x (0) ) ≤ f(x) (f(x (0) ) ≥ f(x)) (9.6) Gilt (9.6) lediglich für alle zulässigen x in einer (genügend kleinen) Umgebung B r (x (0) ) ⊆ D mit r > 0, so spricht man von einem lokalen Minimum (Maximum) unter den Nebenbedingungen. 9.2.1 Lagrange-Funktion L(x, λ, μ) : = f(x) + m ∑ j =1 λ j g j (x) + k ∑ =1 μ h (x) (9.7) mit λ = (λ 1 , . . . , λ m ) T ∈ R m und μ = (μ 1 , . . . , μ k ) T ∈ R k heißt Lagrange-Funktion mit den Lagrange-Multiplikatoren (LM) 2 λ 1 , . . . , λ m und μ 1 , . . . , μ k . 1 Im Folgenden werden nur zulässige Punkte x, x (0) , x (1) , . . . ∈ D betrachtet. 2 Im engeren Sinne werden spricht man nur dann von Lagrange-Multiplikatoren, wenn die Kuhn-Tucker-Bedingungen erfüllt sind. uvk-lucius.de/ terveer 9 9.2 Optimierung mit Nebenbedingungen 85 9.2.2 Kuhn-Tucker-Bedingungen Die KT-Bedingungen lauten 3 , 4 mit geeigneten LM λ 1 , . . . , λ m ∈ R , μ 1 , . . . , μ k ≥ 0, geeignetem x ∈ D und j = 1, . . . , m, r = 1, . . . , k: ∂f ∂x j (x) + m ∑ i =1 λ i · ∂g i ∂x j (x) + k ∑ =1 μ · ∂h ∂x j (x) = 0 (9.8) μ r h r (x) = 0, d.h. μ r = 0 oder h r (x) ≤ 0 ist aktiv in x (9.9) (9.9) sind die Bedingungen vom komplementären Schlupf (BKS). x ∈ D mit (9.8) und (9.9) heißt kritischer Punkt. 9.2.3 Notwendige Bedingung für lokales Minimum Hat f in x (0) ein lokales Minimum unter NB mit l.u. NB-Gradienten, so gelten in x = x (0) die KT-Bedingungen 9.2.2. Bei einem lokalem Maximum gelten die KT-Bedingungen sinngemäß mit μ 1 , . . . , μ k ≤ 0. 9.2.4 Hinreichende Bedingung für lokales Minimum f hat in x (0) ein lokales Minimum unter den NB, wenn gilt: Die KT-Bedingungen 9.2.2 sind in x = x (0) erfüllt. Die Matrix H f (x (0) ) + m ∑ i =1 λ i H g i (x (0) ) + ∑ ∈L μ H h (x (0) ) (9.10) ist positiv definit unter Gx = ¯0, wobei sich G zeilenweise aus den transponierten Gradienten ∇ g 1 (x (0) ) . . . , ∇ g m (x (0) ), und ∇ h (x (0) ), ∈ L , zusammensetzt. Dabei ist L die Menge der in x (0) aktiven NB 5 mit μ > 0. 3 Bei NB ausschließlich in = -Form entfallen (9.9) und in (9.8) die Summanden zu μ . bei NB ausschließlich in ≤ -Form entfallen in (9.8) die Summanden zu λ j . 4 Zusammen mit NB ausschließlich in Gleichungsform lauten die KT-Bedingungen dann ∇ L ( x, λ ) = ¯ 0 . 5 d.h. die Menge der zuhörigen Indizes aus {1 , . . . , k } uvk-lucius.de/ terveer 86 9 Optimierung differenzierbarer Funktionen 9.2.5 Randwertvergleich für globale Extrema Auf D = [a 1 ; b 1 ] × · · · × [a n ; b n ] hat f ein globales Minimum und ein globales Maximum unter den NB. Jedes globale Extremum x von f ist (zulässiger) Randpunkt von D (x j ∈ { a j , b j } für ein j) oder erfüllt die Bedingungen 6 in 9.2.3. 9.2.6 Satz von Kuhn-Tucker, Konvexe Optimierung f hat in x (0) ein globales Minimum unter den NB, wenn folgende Voraussetzungen gegeben sind: Es liegen nur Ungleichungs-NB vor, f, h 1 , . . . , h k sind konvex. Slater-Bedingung: ∃ x (1) ∈ D , in dem alle NB inaktiv sind. Die KT-Bedingungen 9.2.2 sind erfüllt. 9.3 Optimierung bei exogenen Parametern Im Rahmen der komparativen Statik werden Optimierungsprobleme unter Gleichungs-NB in Abhängigkeit von exogenen Variablen α = (α 1 , . . . , α r ) T behandelt. Zu diesen exogenen Variablen zählen z.B. die Sollwerte y i von NB g i (x) = y i ⇔ g i (x) − y i = 0. Der Optimalwert bzw. die zugehörigen Entscheidungsvariablen bzw. Lagrange-Multiplikatoren der NB stellen sich als Funktionen V (α) : = inf { f(x, α) : g i (x, α) = y i ∀ i } (9.11) bzw. x j (α) bzw. λ i (α) der exogenen Variablen dar 7 . Für die Änderungsraten von V gilt das Envelope-Theorem ∂V ∂α s (α) = ∂f ∂α s (x(α)) + m ∑ i =1 λ i (α) ∂g i ∂α s (x(α)). (9.12) Schattenpreis-Eigenschaft des LM: ∂V ∂y i = − λ i (α). (9.13) 6 unter der Annahme, dass die Gradienten der NB l.u. sind. 7 d.h. f ( x ) = f ( x, α ) , g i ( x ) = g i ( x, α ) hängen differenzierbar auch von α ab. uvk-lucius.de/ terveer Symbole und Abkürzungen f ′ (x) Ableitung der Funktion f an der Stelle x vgl. S. 69 f ′′ (x) zweite Ableitung der Funktion f an der Stelle x vgl. S. 74 f ( n ) (x) n-te Ableitung der Funktion f an der Stelle x | x | Absolutbetrag der reellen Zahl x vgl. S. 65 A ⇔ B Äquivalenz: A ist genau dann wahr, wenn B wahr ist. B r (x) (auch B(x, r)) offener Ball/ offene Kugel um x mit Radius r vgl. S. 31 BKS Bedingungen vom komplementären Schlupf vgl. S. 85 Bild(f) Bild der Funktion f vgl. S. 17 ( n k ) Binomialkoeffizient vgl. S. 63 CD Cobb-Douglas vgl. S. 73 CES Constant elasticity of substitution vgl. S. 73 diag(. . . ) Diagonalmatrix vgl. S. 34 Df(x) Differential der Funktion f im Punkt x vgl. S. 68 I n Einheitsmatrix vgl. S. ? ? e ( i ) Einheitsvektor vgl. S. 27 ∈ , ∈ x ist Element der Menge A bzw. x ∈ A vgl. S. 12 e eulersche Zahl, e = 2, 71828 . . . vgl. S. 62 ∃ es gibt x . . . bzw. ∃ x . . . vgl. S. 13 exp(x) bzw. e x Exponentialfunktion vgl. S. 61 uvk-lucius.de/ terveer 88 Symbole und Abkürzungen n! Fakultät der Zahl n vgl. S. 47 ∀ für alle x . . . bzw. ∀ x . . . vgl. S. 12 Z Menge der ganzen Zahlen vgl. S. 11 GEV Gauß’sches Eliminationsverfahren vgl. S. 26 ∇ f(x) Gradient der Funktion f im Punkt x vgl. S. 68 lim n →∞ a n Grenzwert der Folge (a n ) n ∈N vgl. S. 41 lim x → x 0 f(x) Grenzwert der Funktion f(x) mit x → x 0 . Auch uneigentlich, d.h. für x 0 = ∞ verwendet vgl. S. 67 H f (x) Hesse-Matrix der Funktion f in x vgl. S. 74 id Identität vgl. S. 17 A ⇒ B Implikation: Aus A folgt B , d.h. wenn A wahr ist, dann ist auch B wahr. 1 S (x) Indikatorfunktion der Menge S. Nimmt den Wert Eins an, wenn x ∈ S und Null sonst vgl. S. 66 inf Infimum vgl. S. 13 [a; b] abgeschlossenes Intervall mit den Grenzen a und b vgl. S. 12 ]a; b[ offenes Intervall mit den Grenzen a, b vgl. S. 12 [a; b[, ]a; b] halbabgeschlossenes bzw. halboffenes Intervall mit den Grenzen a und b vgl. S. 12 ∫ b a f(x)dx bestimmtes Integral der Funktion f in den Grenzen von a bis b vgl. S. 76 ∫ f(x)dx unbestimmtes Integral (Stammfunktion) der Funktion f vgl. S. 75 A − 1 Inverse der Matrix A vgl. S. 34 J f (x) Jacobi-Matrix der partiellen Ableitungen des Funktionsvektors f nach den Variablen des Vektors x, vgl. auch partielle Ableitung vgl. S. 68 uvk-lucius.de/ terveer Symbole und Abkürzungen A × B kartesisches Produkt der Mengen A,B; Menge aller Vektoren (x, y) T ∈ R 2 bzw. Paare (x, y) mit x ∈ A und y ∈ B vgl. S. 16 M n n-faches kartesisches Produkt der Menge M ; Menge aller (Spalten-)Vektoren, deren Komponenten in M liegen vgl. S. 16 Kern(A) Kern der Matrix A: Lösungsmenge des homogenen LGS Ax = ¯0 vgl. S. 23 cos(x) Kosinus der reellen Zahl x vgl. S. 64 A c Komplement der Menge A mit Bezug auf eine Obermenge M (meist R oder R n ). Alle Punkte, die nicht in A enthalten sind vgl. S. 14 cot(x) Kotangens der reellen Zahl x vgl. S. 64 KT Kuhn-Tucker(-Bedingungen) vgl. S. ? ? ∅ bzw. {} leere Menge; Menge, die kein Element enthält vgl. S. 14 l.a. linear abhängig vgl. S. 28 l.u. linear unabhängig vgl. S. 28 LGS Lineares Gleichungssystem vgl. S. 23 LK Linearkombination vgl. S. 27 LM Lagrange-Multiplikator vgl. S. 84 log(x),ln(x) Logarithmus von x zur Basis e. Der Logarithmus zur Basis a ∈ R wird mit log a (x) bezeichnet vgl. S. 62 [a (1) , . . . , a ( m ) ] Die aus den Spalten(-vektoren) a (1) , . . . , a ( m ) zusammengesetzte Matrix A. vgl. S. 27 A n Matrixpotenz, n-faches Produkt der Matrix A mit sich selbst vgl. S. 22 R m × n Menge der m × n-Matrizen vgl. S. 19 max Maximum vgl. S. 13 uvk-lucius.de/ terveer 90 Symbole und Abkürzungen min Minimum vgl. S. 13 AB bzw. A · B Produkt der Matrizen A, B. vgl. S. 21 N Menge der natürlichen Zahlen (ohne Null). N 0 bezeichnet Menge der natürlichen Zahlen inklusive Null, N k Menge der ganzen Zahlen ab k ∈ Z . vgl. S. 11 NB Nebenbedingung vgl. S. 84 ‖ x ‖ euklidische Norm des Vektors x. vgl. S. 30 ‖ x ‖ ∞ Maximum-Norm des Vektors x. vgl. S. 31 ‖ x ‖ p p-Norm bzw. Minkowski-Norm des Vektors x. vgl. S. 31 ¯0 Nullvektor vgl. S. 27 x ⊥ y Die Vektoren x und y sind orthogonal vgl. S. 30 ∂f ∂x bzw. D i f(x) partielle Ableitung der Funktion f nach der (i-ten) Variablen x, vgl. auch Jacobi-Matrix vgl. S. 68 ∂f ∂x ∣ ∣ x = x (0) Einsetzen von x = x (0) in den Ausdruck ∂f ∂x π Kreiskonstante „Pi“, π = 3, 1415926 . . . vgl. S. 64 ∂A Rand der Menge A vgl. S. 31 Q Menge der rationalen Zahlen vgl. S. 11 R Menge der reellen Zahlen vgl. S. 11 A \ B relatives Komplement vgl. S. 14 Df(x, d) Richtungsableitung der Funktion f im Punkt x in Richtung d vgl. S. 71 ≈ Runden einer Zahl auf eine bestimmte Anzahl von Nachkommastellen. Im Zusammenhang mit Grenzwwerten bedeutet x ≈ x 0 , dass x im Sinne des Grenzwertes „beliebig nahe“ bei x 0 liegt. A ∩ B Schnitt(menge) der Mengen A und B vgl. S. 14 sin(x) Sinus der reellen Zahl x vgl. S. 64 uvk-lucius.de/ terveer Symbole und Abkürzungen 〈 x, y 〉 Skalarprodukt der Vektoren x und y vgl. S. 30 R n Menge d. Spaltenvektoren über R vgl. S. 15 SEL(y | x) Substitutionselastizität zwischen y und x vgl. S. 72 GRS(y | x) Substitutionsgrenzrate zwischen y und x vgl. S. 72 n ∑ i =1 a i Summe der Folgenglieder a 1 ,. . . ,a n vgl. S. 39 ∑ i = k a i Summe der Folgenglieder a i mit Folgenindex ungleich k. Statt i = k kann auch ein anderer logischer Ausdruck verwendet werden, z.B. i ∈ M mit M ⊆ N . sup Supremum vgl. S. 13 tan(x) Tangens der reellen Zahl x vgl. S. 64 ⊆ , ⊇ A ist Teilmenge von B bzw. A ⊆ B (alternativ B ist Obermenge von A bzw. B ⊇ A) vgl. S. 14 ⊂ , ⊃ A ist echte Teilmenge von B bzw. A ⊂ B (alternativ B ist echte Obermenge von A bzw. B ⊃ A) vgl. S. 14 A T Transponierte der Matrix A vgl. S. 20 ∞ Unendlich ∞ ∑ i =1 a i unendliche Reihe der a i vgl. S. 42 ≤ , <, ≥ , > Ungleichungsbeziehungen zwischen reellen Zahlen vgl. S. 11 UVR Untervektorraum vgl. S. 28 A ∪ B Vereinigung(smenge) der Mengen A und B vgl. S. 14 f ◦ g Verkettung der Funktionen f und g vgl. S. 17 ZSF Zeilenstufenform vgl. S. 24 R n Menge d. Zeilenvektoren über R . Auch: geordnete n- Tupel vgl. S. 15 uvk-lucius.de/ terveer 92 Symbole und Abkürzungen Das griechische Alphabet 1 Kleinbuchstabe Großbuchstabe Aussprache α (A) Alpha β (B) Beta γ Γ Gamma δ Δ Delta ε, ε (E) Epsilon ζ (Z) Zeta η (H) Eta θ, ϑ Θ Theta ι (I) Iota κ (K) Kappa λ Λ Lambda μ (M ) Mü ν (N ) Nü ξ Ξ Xi (o) (O) Omikron π Π Pi ρ, P Rho σ Σ Sigma τ (T ) Tau υ Υ Ypsilon φ, ϕ Φ Phi χ (X) Chi ψ Ψ Psi ω Ω Omega 1 Einige Buchstaben entsprechen der lateinischen Schreibweise (teilweise auch anderer Buchstaben) und werden daher in Formeln nicht verwendet, was durch Klammerung gekennzeichnet wird. uvk-lucius.de/ terveer Index Ableitung 69 implizite 72 partielle 68 2. Ordnung, 74 Richtungs- 71 zweite 74 Absolutbetrag 65 Abstand City-Block- 31 euklidischer 31 Maximum- 31 Abszisse 51 Addition von Matrizen 21 von Vektoren 21 Additionstheoreme 65 Adjazenzmatrix 20 aktive Nebenbedingung 84 Allquantor 12 Assoziativgesetz der Matrixalgebra 33 der Mengenalgebra 14 Aufspannen eines UVR 28 Barwert 49, 50 Basis der Exponentialfunktion 61 eines Untervektorraums 29 Basisform 25 Basislösung 25 Basisspalte 25 Basisvariable 25 beschränkt 40 nach oben 40 nach unten 40 bestimmtes Integral 76 Betrag 65 Bild einer Funktion 17 einer Matrix 28 Binomialkoeffizient 63 verallgemeinert 47 Binomische Formel 63 Binomische Reihe 47 Blockmatrix 19 Bogenmaß 64 Cauchy-Schwarz-Ungleichung 30 CES-Funktion 73 charakteristisches Polynom 36 Cobb-Douglas-Funktion 63, 73 Cosinus 64 Potenzreihe 47 Cotangens 64 Datenmatrix 20 de Morgan’sches Gesetz 15 Deckungsbeitragsfunktion 18 Definitheit 37 Determinantenkriterium für 37 Eigenwertkriterium 38 unter Nebenbedingungen 38 Determinantenkriterium, 38 Reduktionskriterium, 38 Definitionsbereich einer Funktion 17 einer Variable 12 Definitionslücke einer gebrochen-rationalen Funktion 58 hebbare, 59 Determinantenkriterium für Definitheit 37 uvk-lucius.de/ terveer 94 Index für eingeschränkte Definitheit 38 Diagonalmatrix 34 Differential 68 Differenzenfolge 39 Dimension 29 Dimensionsformel 29 diskontieren 49 Diskriminante 58 Distributivgesetz der Matrixalgebra 33 der Mengenalgebra 14 divergent 41 Doppel-Indizierung 13 Dreiecksmatrix 35 Dreiecksungleichung 31, 66 Durchmesser einer Menge 31 eines Quaders 16 Maximum- 31, 78 e-Funktion 61 Ebene 29 Eigenraum 36 Eigenvektor 36 Eigenwert 36 Eigenwertkriterium 38 Einfach-Indizierung 13 Einheitsmatrix 34 Einheitsspalte 25 Einheitsvektor 27 Einheitswürfel 16 Elastizität 71 partielle 71 Elastizitätsgradient 72 Endwert 49, 50 Envelope-Theorem 86 ertragsgesetzliche Funktion 57 erzeugende Funktion 45 Erzeugendensystem 28 Euler-Formel 73 eulersche Exponentialfunkion 61 eulersche Zahl 47, 49, 62 ewige Rente 49 Existenzquantor 13 exogene Variablen 86 explizite Folge 40 Form eines LGS 25 Exponentialfunktion 61 Exponentialreihe 46 Extremum 54 Faktoreinsatzverhältnis 72 Faktorisierung eines Polynoms 57 Faktorregel 69 bestimmte Integrale 77 unbestimmte Integrale 75 Fakultät 47 fast alle 41 Feinheit einer Intervallzerlegung 76 einer Quaderzerlegung 78 Folge 39 antitone 40 arithmetische 42 divergente 41 explizite 40 ganzrationale 43 gebrochen-rationale 44 geometrische 44 implizite 40 konvergente 41 monoton fallende 40 monoton wachsende 40 rekursive 40 streng antitone, 40 isotone, 40 streng monoton fallende, 40 wachsende, 40 Folgenglied 39 Folgenindex 39 Folgenterm 40 Funktion 16 antitone 52 bijektive 18 differenzierbare 68, 69 einwertige 17 ertragsgesetzliche 57 uvk-lucius.de/ terveer Index 95 homogene 73 Identität 17 implizite 72 injektive 18 isotone 52 konkave 53, 74 konvexe 53, 74 kubische 57 linear homogene 73 lineare 57 mehrwertige 17 monoton fallende 52 monoton wachsende 52 quadratische 57 Riemann-integrierbare 77, 79 stetige 67 streng antitone 52 streng isotone 52 streng konkave 53 streng konvexe 53 streng monoton fallende 52 streng monoton wachsende 52 surjektive 18 total differenzierbare 68 umkehrbare 18 vektorwertige 17 Funktionsterm 17 Ganze Zahlen 11 ganzrationale Funktion 57 Gauß’sches Eliminationsverfahren 26 gebrochen-rationale Funktion 58 Geometrische Reihe 45, 46 Geometrische Summe 45 geordnetes Paar 15 Gerade 29 Gewinnfunktion 18 Gleichungsmatrix 23 Grad einer ganzrationalen Folge 43 eines Polynoms 57 Gradient 68 Gradmaß 64 Graph 51 Grenzwert einer Folge 41 einer Funktion 67 Grenzwertsätze für Folgen 42 Hauptachsentransformation 37 Hauptdiagonale 33 Hauptminor 37 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 77 Hauptuntermatrix 37 Hesse-Matrix 74 Hinreichende Bedingung für lokales Extremum 55 homogenes LGS 23 Horner-Schema 59 Identität 17 implizite Ableitung 72 Folge 40 Form der Kapitalentwicklung 48 Form eines LGS 23 Funktion 72 inaktive Nebenbedingung 84 indefinit 37 Index 13 Indexverschiebung 39 Indikatorfunktion 66, 79 Infimum 13 inhomogenes LGS 23 innerer Punkt 31, 68 Input-Output-Matrix 19 Integral bestimmtes 76 Doppel- 81 Mehrfach- 78 unbestimmtes 75 uneigentliches 78 interner Zinsfuß 50 Intervall 12 Inverse Matrix 34 uvk-lucius.de/ terveer 96 Index Invertierbare Matrix 34 irrationale Zahlen 11 Jacobi-Matrix 68 Jordan-Menge 80 Kapitalwert 50 kartesisches Produkt 16 Kern einer Matrix 23 Kettenregel 70 Koeffizient einer LK 27 Koeffizientenmatrix 23 Koeffizientenvergleich bei Polynomen 58 Kommutativgesetz der Matrixalgebra 33 der Mengenalgebra 14 komparative Statik 86 Komplement 14 relatives 14 komplementärer Schlupf 85 Komponente eines Tupels 15 konkave Funktion 53, 74 konvergent 41 konvexe Funktion 53, 74 Menge 28 Koordinaten einer Linearkombination 27 eines Tupels 15 Koordinatenfolgen 39 Koordinatenfunktion 67 Koordinatensystem 51 Kostenfunktion 18 Kreisringsektor 82 kritischer Punkt 83, 85 kubische Funktion 57 Kugel, offene 31 Kuhn-Tucker-Bedingungen 85 Lösungsmenge einer quadr. Gleichung 58 eines LGS 23 Lagrange-Funktion 84 Lagrange-Multiplikatoren 84 leere Menge 14 linear abhängig 28 linear unabhängig 28 Lineare Differenzengleichung erster Ordnung 45 lineare Funktion einer Variablen 57 Lineare Hülle 28 Linearform 57 Linearkombination 27 konvexe 28 Logarithmus 62 Potenzreihe 47 lokales Minimum 83 unter NB 84 Majorantenkriterium 42 Matrix 19 indefinite 37 invertierbare 34 negativ definite 37 negativ semidefinite 37 positiv definite 37 positiv semidefinite 37 quadratische 33 reguläre 34 singuläre 34 symmetrische 36 Matrixaddition 21 Matrixpotenz 22 Matrixprodukt 21 Maximum einer Menge 13 globales 54 lokales 54 Mehrfachintegral 78 Menge abgeschlossene 31 offene 31 Minimum einer Funktion 83 unter NB, 84 einer Menge 13 globales 54 lokales 54 uvk-lucius.de/ terveer Index 97 Monom 57 n -Tupel 15 Nachfragefunktion 18 nachschüssige Rechnung 48 Natürliche Zahlen 11 natürlicher Logarithmus 63 negativ definit 37 negativ semidefinit 37 negative Zahl 12 Newton-Verfahren 52 Nichtbasisvariable 25 Niveaumenge 71 Norm p -Norm 31 City-Block- 31 euklidische 30 Maximum- 31 Minkowski- 31 Normalform einer linearen Funktion 57 einer quadr. Funktion 57 eines Polynoms 57 Normalgebiet 81 Normalgleichungen 32 Notwendige Bedingung für lokales Extremum 55 Nullfolge 41 Nullstelle 52 Nullvektor 27 Obere Schranke 13 ökonom. Definitionsbereich 11 Optimalwertfunktion 86 Ordinate 51 Ordinatenabschnitt 52 orthogonal 30 paarweise 30 orthonormal 30 Partialbruchzerlegung 60 partiell differenzierbar 68 Partielle Integration bestimmte Integrale 77 unbestimmte Integrale 76 Phasenverschiebung 65 Pivotspalte einer Basisform 25 einer Zeilenstufenform 24 Pivotvariable 24 Polstelle mit Vorzeichenwechsel 59 ohne Vorzeichenwechsel 59 Polynom 57 charakteristisches 36 positiv definit 37 unter Nebenbedingung 38 positiv semidefinit 37 positive Zahl 12 Potenzfunktion 63 Potenzreihe 45 Produktionsfunktion 18 Produktregel 69 Projektion 32 Punkt-Steigungs-Form 57 Punktfolge 39 Quader 16 quadratische Funktion einer Variablen 57 Quotientenkriterium 42 Quotientenregel 69 Rand 31 Rang 24 Rationale Zahlen 11 Reduktionskriterium 38 Reelle Zahlen 11 Reihendarstellung 47 Relation 16 Rentenbarwert 50 Rentenendwert 50 Richtung des steilsten Anstiegs 71 Richtungsableitung 71 Richtungselastizität 72 Richtungskrümmung 74 Sarrus-Regel 35 Satz von Kuhn-Tucker 86 Schattenpreis 86 Scheitelpunkt 57 uvk-lucius.de/ terveer 98 Index Scheitelpunktform 57 Schnittmenge 14 singulär 34 Sinus 64 Potenzreihe 47 Skalar 21 skalare Multiplikation von Matrizen 21 Skalarprodukt 30 Slater-Bedingung 86 Spaltenvektor 15 stabile Verteilung 22 Staffelform 26 Stammfunktion 75 stationäre Verteilung 22 stetige Verzinsung 48 stochastischer Vektor 22, 28 streng monoton wachsende Folge 40 strikt negative Zahl 12 strikt positive Zahl 12 Substitutionselastizität 72 Substitutionsgrenzrate 72 Substitutionsregel bestimmte Integrale 77 mehrdimensionale 80 unbestimmte Integrale 76 Summenfolge 39 Summenregel 69 bestimmte Integrale 77 unbestimmte Integrale 75 Supremum 13 symmetrisch 36 Tangens 64 Tangente 71 Taylor-Entwicklung 74 Teilmenge 14 Transposition 20 trigonometrische Funktionen 64 Trigonometrischer Pythagoras 65 Tripel 15 Übergangsmatrix 19 Umkehrfunktion 18 Umsatzfunktion 18 unbestimmtes Integral 75 in zwei Variablen 81 uneigentliches Integral 78 unendliche Reihe 42 Untere Schranke 13 Untervektorraum 28 Urbild 17 Ursprung 51 Variable 12 reelle 12 Vektoraddition 21 Vereinigungsmenge 14 Verflechtungsmatrix 19 Verkettung 17 Verteilung 22 Vielfachheit einer Nullstelle 59 Volumen (Quader) 16 Würfel 16 Wendestelle 56 Wertebereich 17 Winkel 30 Wurzel einer positiven Zahl 61 eines Polynoms 58 Zeilenaddition 24 Zeilenmultiplikation 24 Zeilenstufenform 24 Zeilenumformungen 24 Zeilenvektor 15 Zeilenvertauschung 24 Zinsfaktor 48 Zinsfuß 48 interner 50 zulässiger Punkt 84 uvk-lucius.de/ terveer www.uvk-lucius.de/ schritt-fuer-schritt Keine Angst vor Excel Wer an Excel denkt, denkt oft an komplizierte Tabellen, Formeln und Funktionen. 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