<?page no="2"?> Rainer Diaz-Bone Statistik für Soziologen 3., erweiterte Auflage UVK Verlagsgesellschaft mbH • Konstanz mit UVK/ Lucius • München <?page no="3"?> Zum Autor: Dr. Rainer Diaz-Bone ist Professor für Soziologie mit Schwerpunkt qualitative und quantitative Methoden an der Universität Luzern (Schweiz). Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http: / / dnb.ddb.de abrufbar. Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässssig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. 1. Auflage 2006 2. Auflage 2013 3. Auflage 2018 UVK Verlagsgesellschaft mbH, Konstanz und München, 2018 Einbandgestaltung und Grundlayout: Atelier Reichert, Stuttgart Satz: Claudia Wild, Stuttgart Druck: Pustet, Regensburg UVK Verlagsgesellschaft mbH Schützenstr. 24 . D-78462 Konstanz Tel.: 07531-9053-0 . Fax: 07531-9053-98 www.uvk.de UTB-Band Nr. 2782 ISBN 978-3-8252-4880-2 <?page no="4"?> Inhalt Vorwort zur dritten Auflage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Vorwort zur zweiten Auflage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1 Dimensionen und Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Eigenschaften von Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3 Schreibweisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4 Kodierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.5 Datenorganisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 DE SKRIPTIVSTATISTIK 3 Univariate Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.1 Häufigkeitstabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2 Einfache grafische Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2.1 Balkendiagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2.2 Histogramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.2.3 Kreisdiagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.3 Mittelwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.3.1 Arithmetisches Mittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.3.2 Median . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.3.3 Modus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.4 Quantile (Lagemaße) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.5 Streuungsmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.5.1 Spannweite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.5.2 Quartilsabstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.5.3 Varianz und Standardabweichung . . . . . . . . . . . . . . 50 3.5.4 Variationskoeffizient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5 <?page no="5"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- 3.6 Maße der qualitativen Variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.6.1 Lieberson-Index und normierter Lieberson-Index . . . 53 3.6.2 Devianz und relative Devianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.7 Konzentration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.7.1 Lorenzkurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.7.2 Lorenz-Münzner-Maß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.8 Boxplot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.9 z-Standardisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4 Bivariate Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.1 Kausalität und statistische Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.2 Tabellenanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.2.1 Kontingenztabelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.2.2 Spaltenprozentuierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.2.3 Prozentsatzdifferenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.2.4 Odds Ratio und Yule’s Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.2.5 2 und Cramer’s V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.3 Korrelation und Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.3.1 Streudiagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.3.2 Kovarianz und Korrelationskoeffizient . . . . . . . . . . . 92 4.3.3 Bivariate Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.4 Bivariate Zusammenhangsmaße im Überblick . . . . . . . . . . 111 5 Drittvariablenkontrolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5.1 Drittvariablenkontrolle in der Tabellenanalyse . . . . . . . . . . 115 5.2 Drittvariablenkontrolle in der Regressions- und Korrelationsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 INF E R ENZSTATISTIK 6 Zufallsstichproben und Schätzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 6.1 Zufallsstichproben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 6.2 Statistische Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 6.2.1 Die Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 6.2.2 Die t-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 6.3 Stichprobenverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 6.4 Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 6.5 Schätzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 6 I N H A L T <?page no="6"?> 6.5.1 Punktschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 6.5.2 Intervallschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 6.6 Gewichtungen und praktische Probleme . . . . . . . . . . . . . . 159 7 Testen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 7.1 z-Test des Anteilswertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 7.2 z-Test des arithmetischen Mittels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 7.3 Fehler erster und zweiter Art . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 7.4 2 -Unabhängigkeitstest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 7.5 t-Test des Korrelationskoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 7.6 Allgemeine Vorgehensweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 7.7 Unterschied zwischen Schätzen und Testen . . . . . . . . . . . . 184 MULTIVARIATE VERFAHREN 8 Multiple lineare Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 8.1 Logik und Grundmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 8.1.1 Multiple Regressionsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . 194 8.1.2 Standardisierter Regressionskoeffizient . . . . . . . . . . 197 8.1.3 Multipler Determinationskoeffizient . . . . . . . . . . . 198 8.1.4 Erklärungsbeiträge einzelner Variablen im Modell . 199 8.2 Anwendungsvoraussetzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 8.3 Untersuchung der Anwendungsvoraussetzungen (deskriptivstatistisches Beispiel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 8.4 Exkurs: Interaktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 8.5 Multiple Regression mit Stichprobendaten . . . . . . . . . . . . . . 215 8.5.1 Inferenzstatistische Überlegungen . . . . . . . . . . . . . 219 8.5.2 F-Test des multiplen Determinationskoeffizienten . . . 221 8.5.3 Korrigierter Determinationskoeffizient . . . . . . . . . . 223 8.5.4 t-Test des Regressionskoeffizienten . . . . . . . . . . . . . 223 8.5.5 Konfidenzintervalle für b j . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 8.6 Untersuchung der Anwendungsvoraussetzungen (inferenzstatistisches Beispiel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 8.7 Exkurs: Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 9 Logistische Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 9.1 Herleitung der logistischen Regressionsgleichung . . . . . . . . 236 9.2 Logitkoeffizienten und Effektkoeffizienten . . . . . . . . . . . . 240 7 I N H A L T <?page no="7"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- 9.3 Maximum-Likelihood-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 9.4 Pseudo-R 2 -Maße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 9.5 Multiple logistische Regression mit Stichprobendaten . . . . . 250 9.5.1 Likelihood-Ratio-Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 9.5.2 WALD-Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 9.5.3 Konfidenzintervalle für b j und e b j . . . . . . . . . . . . . . 256 10 Multiple Korrespondenzanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 10.1 Logik und Grundkonzepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 10.2 Achsen und Trägheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 10.2.1 Anzahl und Auswahl der Achsen . . . . . . . . . . . . . . . 270 10.2.2 Interpretation der Achsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 10.3 Statistische Erklärung der Kategorien . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 10.4 Passive Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 10.5 Praktische Empfehlungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 10.5.1 Vorbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 10.5.2 Software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 1 1 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 12 Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 12.1 Kurzporträts multivariater Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 12.1.1 Clusteranalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 12.1.2 Ereignisdatenanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 12.1.3 Faktorenanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 12.1.4 Log-lineare Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 12.1.5 Mehrebenenanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 12.1.6 Netzwerkanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 12.1.7 Strukturgleichungsmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 12.2 Sekundäranalysen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 12.2.1 Eigenheiten der Sekundäranalyse . . . . . . . . . . . . . . 294 12.2.2 Datenarchive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 12.2.3 Wichtige Datensätze für die Sekundäranalyse . . . . . 296 12.3 Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 12.4 Rechnen mit dem Summenzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 12.5 Rechnen mit Exponenten und natürlichem Logarithmus . . 304 12.6 Statistische Tabellen (Auszüge) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 Register . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 8 I N H A L T <?page no="8"?> Vorwort zur dritten Auflage Seit dem Erscheinen der zweiten Auflage wurde diese einmal nachgedruckt. Auch der Nachdruck ist vergriffen. Nun liegt eine neue Auflage vor. Die dritte Auflage ist gegenüber der zweiten um das Kapitel 10 erweitert worden, welches eine Einführung in die multiple Korrespondenzanalyse beinhaltet. Dieses Verfahren hat sich in den deutschsprachigen Sozialwissenschaften etabliert. In der dritten Auflage wurde zudem das Kapitel 9.4 zu den Pseudo-R 2 - Maßen erweitert. Die Literaturhinweise wurden erneut aktualisiert und ergänzt. Luzern, im November 2017 9 <?page no="9"?> Vorwort zur zweiten Auflage Das vorliegende Buch hat sich seit der ersten Auflage aus 2006 als Lehrbuch für die Grundausbildung in der Statistik etablieren können. Erfreulich ist, dass es auch in anderen sozialwissenschaftlichen Studiengängen als dem der Soziologie eingesetzt wird. Die erste Auflage wurde mehrfach nachgedruckt. Für die zweite Auflage wurde das Buch komplett durchgesehen. Zudem wurde die Verwendung der statistischen Begrifflichkeiten nach Möglichkeit noch weiter vereinfacht. Neu eingefügt wurden weitere Maße qualitativer Variation. Die Literaturhinweise und Hinweise auf Datenarchive sowie Sekundärdaten wurden aktualisiert und erweitert. Luzern, im Mai 2013 10 <?page no="10"?> Einleitung Das vorliegende Lehrbuch führt in die Grundlagen der sozialwissenschaftlichen Statistik ein. Es wendet sich in erster Linie an Studierende soziologischer und sozialwissenschaftlicher Studiengänge. Die Soziologie wird hierbei als das Kernfach der Sozialwissenschaften betrachtet. Die aufgeführten Beispiele sind soziologische Beispiele, die vorgestellten statistischen Maßzahlen, statistischen Verfahren und Denkweisen bilden das Grundlagenwissen für die soziologische Analyse numerischer Daten. Der Band „Statistik für Soziologen“ versucht, Studierenden die Statistik in zugänglicher Form nahe zu bringen. Auf die Darlegung mathematischer Hintergründe und formaler Herleitungen wurde nach Möglichkeit verzichtet, wenn diese zum soziologischen Verständnis und für den sachlich richtigen Gebrauch der Statistik nicht erforderlich waren. Die frühe Verzahnung des einzuführenden Lehrstoffs mit Beispielen und der Vorrang der sprachlichen und visualisierenden Darstellungsweise gegenüber der formelmäßigen Darstellungsweise sollen den Zugang zur soziologisch relevanten Statistik vereinfachen. Die hier zusammengestellten Inhalte stellen die Wissensbasis für eine thematisch vollständige Statistikausbildung in soziologischen und sozialwissenschaftlichen B. A.-Studiengängen dar. Speziellere statistische Maßzahlen und Vertiefungen in solche Bereiche der Statistik, die in der soziologischen Praxis seltener zum Einsatz kommen, wurden mit der Zielsetzung ausgespart, dass der vorliegende Text in einer zweisemestrigen Lehrveranstaltung auch durchgearbeitet werden kann. Soweit dies möglich war, wurde versucht, die Empfehlungen der Deutschen Gesellschaft für Soziologie (DGS) für die Inhalte der Grundausbildung im Bereich Statistik für Studierende der Soziologie zu berücksichtigen (R EHB E RG 2003). (Siehe zur Statistik- und Methodenausbildung in der Schweiz und in Deutschland die Beiträge in SGS 2016.) Neuere Entwicklungen der soziologischen Statistik, soweit sie in den letzten Jahren Eingang in den Kanon der Grundausbildung gefunden haben, wurden hier aufgenommen. Die Einführung kann auch für die Grundausbildung in benachbarten Fächern wie der Politikwissenschaft oder der Kommunikationswissenschaft eingesetzt werden. 1 11 <?page no="11"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- Definition Statistik (1) Die Statistik ist das Wissenschaftsgebiet, in dem die Methoden und Techniken für die Analyse von numerischen Daten entwickelt werden. Zugleich ist die Statistik eine angewandte Wissenschaft, wenn ihre Methoden und Techniken in den empirischen Wissenschaften in der Datenanalyse zum Einsatz kommen. (2) Mit dem Begriff „Statistik“ werden auch Resultate einer statistischen Analyse wie Tabellen oder Übersichten mit statistischen Informationen bezeichnet. Die Statistik als Wissenschaft wird traditionell in zwei große Bereich unterteilt: Deskriptivstatistik und Inferenzstatistik. Die Deskriptivstatistik dient der Gewinnung von Überblicksinformationen über große Datenmengen sowie der Verdichtung von numerischen Informationen auf verschiedene forschungsrelevante Aspekte hin. Die Deskriptivstatistik heißt auch beschreibende Statistik, womit ihr Hauptanliegen zum Ausdruck kommt: Sie dient der Beschreibung von Datenstrukturen sowie ihrer anschaulichen Darstellung. Die Inferenzstatistik unterscheidet sich von der Deskriptivstatistik zuerst durch eine andere Datenlage: Hier dienen Stichproben aus einer Gesamtheit als Datengrundlage für die Analyse. Die Inferenzstatistik führt damit dann das statistische Prüfen von Aussagen über die Gesamtheit in Form eines Hypothesentests („Testen“) durch, oder es wird versucht, ausgehend von den Stichprobendaten, auf Zustände in der Gesamtheit, aus der die Stichprobe gezogen wurde, mit Hilfe einer Schätzung zu schließen („Schätzen“). Das Testen und das Schätzen sind die beiden Formen des statistischen Schließens, die die Inferenzstatistik kennzeichnen. Daher wird die Inferenzstatistik auch schließende Statistik genannt. In den Sozialwissenschaften ist die Statistik ein wichtiges Instrument der Kausalanalyse. Dies ist die Untersuchung von statistischen Zusammenhängen, mit denen kausale soziologische Annahmen belegt oder widerlegt werden sollen ( fi Kap. 4.1) . Eine andere Zielsetzung verfolgt die explorative Datenanalyse. Hier geht es nicht um die Prüfung von Aussagen über Zusammenhänge, sondern um die (auch hier: theoriegeleitete) Entdeckung von soziologisch interpretierbaren Strukturen in den Daten (Exploration), wobei dem Einsatz von Grafiken eine große Bedeutung zukommt. Verfahren, die für die (inferenzstatistische) Prüfung von Zusammenhangsaussagen geeignet sind, heißen auch strukturprüfend. Verfahren, die explorativ nach Strukturen in den Daten suchen, heißen auch strukturentdeckende Verfahren. Deskriptivstatistik und Inferenzstatistik Kausalanalyse und explorative Datenanalyse strukturprüfende und strukturentdeckende Verfahren 12 E I N L E I T U N G <?page no="12"?> Es gibt nicht nur die eine Statistik. Vielmehr ist die Statistik eine Wissenschaft mit verschiedenen Ansätzen, und sie ist - wie alle Wissenschaften - eine historisch entstandene Wissenschaft. Zu ihrer Entstehung haben verschiedene Strömungen beigetragen. Neben den naturwissenschaftlichen Beiträgen zur Statistik gibt es auch sozialwissenschaftliche Gründungsmomente. Mit dem Entstehen der westeuropäischen Nationalstaaten seit dem 17. Jahrhundert entsteht ein kontinuierlicher Bedarf an Regierungs- und Planungswissen über die nationalen Bevölkerungen und Ökonomien. Noch bevor die Sozialwissenschaften an Universitäten etabliert sind, entstehen bereits im 17. Jahrhundert in England mit der „politische Arithmetik“ und in Deutschland mit der so genannten „Universitätsstatistik“ frühe Vorläufer der empirischen Sozialforschung. Ende des 19. Jahrhunderts wird die Soziologie vor allem durch die wegweisenden theoretischen Arbeiten E MIL E D URKHE IMS (1858 - 1917) und M AX W E B E R S (1864 - 1920) begründet. Bereits diese beiden haben vor nunmehr über hundert Jahren empirische Untersuchungen vorgelegt, die sich der (damals noch einfachen) statistischen Analysetechniken bedienen und mit denen sie auch einer breiten Öffentlichkeit bekannt werden: D UR KHE IM legt 1897 eine international vergleichende Studie vor, die die Selbstmordrate eines Landes mit Hilfe statistischer Daten als sozialen Tatbestand zum ersten Mal soziologisch analysiert (D URKHE IM 1983); W E B E R führt (durch den Verein für Socialpolitik beauftragt) die Auswertung der Befragung von Gutsbesitzern über die Situation der Landarbeiter in den deutschen Regionen östlich der Elbe durch, welche er 1892 veröffentlicht. Seit Mitte des 20. Jahrhunderts zieht mit der Institutionalisierung der Soziologie als universitärer Disziplin die Statistik als Instrument der soziologischen Analyse in die Ausbildung von Soziologinnen und Soziologen ein. Zuerst in den USA. Das erste Statistiklehrbuch für Soziologen von M ARGA- R ET H AGOOD (1907 - 1963) erscheint 1941. In den 1940er und 1950er Jahren etabliert sich die quantitative Sozialforschung in den USA, mit einiger Verzögerung dann auch in Deutschland, in der Schweiz und in Österreich. Heutzutage ist die Statistik ein selbstverständliches Handwerkszeug für die soziologische Analyse, und Statistikkenntnisse zählen zu den wichtigen methodischen Qualifikationen von Absolventinnen und Absolventen in der Soziologie, die auch für die außerwissenschaftliche Berufstätigkeit und den Berufseinstieg als sehr bedeutsam eingeschätzt werden (siehe die Beiträge in E NG E L 2002). Der Einsatz der Statistik in der Soziologie erfolgt im Rahmen eines Forschungsprozesses. Der Ausgangspunkt für jede Forschung ist eine theoriefundierte Fragestellung und ein Forschungsinteresse. Damit ist auch die statistische Analyse theorie- und interessegeleitet. Nur so kann die Datenanalyse die analytische Orientierung erhalten, wozu welche Geschichte der Statistik Professionalisierung der Soziologie Einordnung der Datenanalyse in den Forschungsprozess 13 E I N L E I T U N G <?page no="13"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- Daten wie ausgewertet werden sollen. Daten sind das Resultat von Datenerhebungsprozessen. Wenn man sich dessen bewusst ist, weiß man, dass „Daten“ nicht einfach nur die objektive soziale Realität widerspiegeln, sondern dass sich im Datenerhebungsprozess theoretische Entscheidungen, Messoperationen sowie die Auswirkungen der praktischen Methodenprobleme der konkreten Datenerhebung in den „Daten“ niederschlagen. In der empirischen Sozialforschung ist die Datenanalyse eingebettet in einen Ablauf vieler Forschungsschritte. Der Gebrauch der Statistik in der empirischen Sozialforschung muss das Wissen um die vorangehenden Forschungsschritte einbeziehen. Nur so kann die Qualität der in einem Datensatz enthaltenen Daten beurteilt und entschieden werden, welche statistischen Operationen mit den Daten möglich sind und welchen Informationsgehalt die Daten haben. Die vielleicht wichtigste analytische Denkweise ist der Vergleich. Dies gilt auch für die statistische Analyse in den Sozialwissenschaften. Ein einzelnes statistisches Datum oder eine einzelne statistische Maßzahl (z. B. die Arbeitslosenquote in Berlin) hat für sich allein noch keine sozialwissenschaftliche Aussagekraft. Erst wenn man einzelne Daten oder Maßzahlen entweder untereinander oder zu einer Norm bzw. einer zu erwartenden Ausprägung in Beziehung setzt, erhält man mit diesem Vergleich einen Informationswert für eine statistische Größe. (Man muss also die Arbeitslosenquote Berlins z. B. zur Arbeitslosenquote in Brandenburg oder in der Bundesrepublik in Beziehung setzen.) Bereits D URK - HE IM hat die vergleichende Methode als die soziologische Methode zu etablieren versucht (D UR KHE IM 1984). Daten soziologisch zu sehen, bedeutet daher: soziologische Daten interpretativ zu einem Vergleichsmaßstab in Beziehung zu setzen. Ein wichtiges Prinzip der Datenanalyse in den Sozialwissenschaften ist die Notwendigkeit der Interpretation von Daten. Denn der sozialwissenschaftliche Sinn von Daten bleibt ohne Interpretation unvollständig. G E RHARD S CHUL ZE hat dies deutlich hervorgehoben: „Das ,Ergebnis‘ der empirischen Sozialforschung ist keineswegs identisch mit den Daten. In der Naturwissenschaft mag ein Forschungsprojekt dann an sein Ende kommen, wenn die Meßoperationen abgeschlossen und die dabei gewonnenen Informationen zu möglichst aussagekräftigen Daten verdichtet sind. An diesem Punkt hat die empirische Sozialforschung jedoch immer erst ein Zwischenstadium erreicht. [. . .] Relative Häufigkeitsverteilungen, Zusammenhangsmaße [. . .] bleiben ohne zusätzliche hermeneutische Bemühungen bedeutungslos. [. . .] Aus der Sinnlosigkeit uninterpretierter Daten läßt sich nicht ihre Entbehrlichkeit ableiten. Sie sind Ankerpunkte von Deutungsversuchen, in die viele andere Elemente einfließen: historische Überlegungen, sozialwisvergleichende Methode Notwendigkeit der Interpretation 14 E I N L E I T U N G <?page no="14"?> senschaftliche Theorie, Nachvollziehen fremder Subjektivität, vor allem die Alltagserfahrung des Forschers selbst in der Gesellschaft, die er untersucht, das ungeschriebene Protokoll lebenslang teilnehmender Beobachtung. [. . .] Dieser Deutungsversuch ist das eigentliche Ergebnis; ob er plausibel ist, läßt sich anhand von Daten allein nicht entscheiden. Man muß jedoch zeigen, daß die Daten mit dem Deutungsversuch vereinbar sind.“ (S C HULZ E 2000, S. 562 f.) Für viele Beispiele in diesem Buch wird der ALLBUS 2002 als Datengrundlage verwendet. Der ALLBUS ist die Allgemeine Bevölkerungsumfrage, die seit 1980 alle zwei Jahre als repräsentativer Survey in Deutschland erhoben wird ( fi Kap. 12.2.3) . Ein Survey ist eine „Überblicksbefragung“ einer Stichprobe von Personen aus einer Bevölkerung zu verschiedenen sozialen Themen. Der ALLBUS wurde für die sozialwissenschaftliche Forschung konzipiert und deckt ein breiteres soziologisch relevantes Themenspektrum ab. Der ALLBUS 2002 enthält Daten über 2820 zufällig ausgewählte Personen, die in der Bundesrepublik in Privathaushalten wohnen. Die thematische Konzeption des Fragebogens, die Konstruktion der Stichprobe sowie Informationen zur Datenerhebung sind im Methodenbericht des ALLBUS dokumentiert (B LOHM et al. 2003). Zudem wurde ein Teildatensatz des EUROPEAN SOCIAL SURVEY (ESS) verwendet. Der ESS ist eine internationale Bevölkerungsumfrage, die seit 2002 alle zwei Jahre erhoben wird ( fi Kap. 12.2.3) . Der ESS7 aus 2014 ist die 7. Erhebung und enthält Daten über mehr als 40 000 Personen aus 21 Ländern. Der Teildatensatz ESS7CH enthält Daten über 1532 zufällig ausgewählte Personen, die in der Schweiz in Privathaushalten wohnen. Die Dokumentation der thematischen Konzeption des Fragebogens, der Konstruktion der Stichprobe und der Datenerhebung sind online zugänglich (http: / / www.europeansocialsurvey.org/ ). In Kap. 2 des vorliegenden Bandes werden zunächst die ersten Grundbegriffe und Schreibweisen vorgestellt, in den Kap. 3 - 5 wird in die Grundlagen der Deskriptivstatistik eingeführt. Ausgangspunkt ist in Kap. 3 die statistische Beschreibung einzelner Variablen. Das ist die so genannte univariate Analyse. In Kap. 4 werden die Grundzüge der statistischen Analyse des Zusammenhangs zweier Variablen vorgestellt. Dies ist die bivariate Analyse. Fragt man im nächsten Schritt (Kap. 5) danach, wie statistische Zusammenhänge beeinflusst werden durch zusätzliche Variablen (Drittvariablen), so betritt man das Feld der Drittvariablenkontrolle. Die beiden folgenden Kap. 6 und 7 führen in die Grundlagen der Inferenzstatistik ein. Kap. 6 führt in die Stichprobentheorie und die Stichprobenverteilungen ein, die Voraussetzungen für die Darlegung des Schätzens sind. Kap. 7 schließt dann mit dem Testen an. In der multivariaten Analyse wird der statistische Zusammenhang zwischen vielen Variablen ALLBUS ESS Aufbau des Lehrbuchs 15 E I N L E I T U N G <?page no="15"?> tistik für Soziologen(3)__[Druckbetrachtet. Die Kap. 8 und 9 führen in das am häufigsten verwendete Verfahren der multivariaten Analyse ein: die multiple Regression. Kap. 8 stellt die lineare Regression, Kap. 9 die logistische Regression dar. Letztere hat sich in den letzten Jahren in der soziologischen Grundausbildung etablieren können. Lineare und logistische Regressionen sind strukturprüfende Verfahren. Das Kap. 10 präsentiert mit der multiplen Korrespondenzanalyse ein strukturentdeckendes Verfahren, das der Datenlage in der Soziologie in besonderer Weise Rechnung trägt und geeignet ist, eine mehrdimensionale Tabelle visuell zu analysieren. Die einzelnen Kapitel des vorliegenden Lehrbuchs bauen schrittweise aufeinander auf. Vorher eingeführte Begriffe und Denkweisen werden in späteren Kapiteln vorausgesetzt. Daher ist für das Verständnis einzelner Kapitel die Durcharbeitung der vorangehenden Kapitel in der Regel die Voraussetzung. Zur besseren Orientierung, wo Begriffe bereits eingeführt wurden oder ob sie an späterer Stelle noch einmal vorkommen, dient das Register am Ende des Buchs. Kap. 12 (Anhang) stellt weitere multivariate Verfahren vor. Die Kurzporträts dienen auch dazu, schnell entscheidbar zu machen, welches statistische Verfahren für ein gegebenes Analyseinteresse ein nützliches Werkzeug sein kann. Die wichtigsten Datensätze für die Sozialforschung werden kurz vorgestellt, und es wird auf Datenarchive hingewiesen, die einige Tausend Datensätze für statistische Analysen bereithalten. Wer die Beschäftigung mit den statistischen Grundlagen vertiefen oder mit der Beschäftigung mit multivariaten Verfahren fortsetzen will, erhält im Kap. 12.3 Literaturhinweise dazu. 16 E I N L E I T U N G <?page no="16"?> Grundbegriffe Inhalt 2.1 Dimensionen und Variablen 2.2 Eigenschaften von Variablen 2.3 Schreibweisen 2.4 Kodierungen 2.5 Datenorganisation Dimensionen und Variablen In diesem Kapitel werden erste Grundbegriffe eingeführt. Die Statistik ist bereits als ein Wissenschaftsgebiet definiert worden. Sie kommt zum Einsatz nachdem mit Hilfe von standardisierten Datenerhebungsinstrumenten (wie Fragebögen oder Kategoriensystemen) numerische Daten erhoben worden sind, die nun statistisch ausgewertet und mit Hilfe von Kennzahlen und Grafiken verdichtet und anhand von multivariaten Verfahren ausgewertet werden sollen. Definition Variable Die in Datensätzen enthaltenen Daten repräsentieren Variablen, welche Resultat der Operationalisierung (der Messbarmachung) sind. Unter einer Variablen versteht man eine messbar gemachte Dimension (Merkmal), die verschiedene Ausprägungen (Werte) annehmen kann. Drei soziologische Beispiele für solche Variablen sind Schulabschluss, Einkommen, Familienstand. Die TABELLE 2.1 beinhaltet Beispiele für zugehörige Ausprägungen. Variablen und ihre Ausprägungen „fallen nicht vom Himmel“. In einem standardisierten Forschungsprozess werden die Dimensionen, die 2 2.1 Variablen sind das Resultat der Operationalisierung von Dimensionen 17 <?page no="17"?> tistik für Soziologen(3)__[Druckdurch die Forschungsfrage angesprochen sind, im Prozess ihrer Messbarmachung zu Variablen ausgearbeitet. Dieser Vorgang ist die Operationalisierung. Hierbei werden Dimensionen nicht nur begrifflich definiert, sondern es wird auch festgelegt, welche Ausprägungen unterschieden werden müssen und wie sie konkret gemessen werden. Ausprägungen sind Eigenschaften der Merkmalsträger. Letztere nennt man auch die statistischen Einheiten oder kurz: die Fälle. Bei den drei Variablen in der TA- BELLE 2.1 handelt es sich um soziodemografische Variablen. Merkmalsträger sind hier Personen. Merkmalsträger können je nach soziologischer Forschungsfrage unterschiedliche Einheiten sein. Neben Personen können Haushalte, Familien, soziale Beziehungen, Organisationen, Städte, Länder oder auch Ereignisse, Prozesse, Handlungen sowie bedeutungstragende Materialien (z. B. Wörter, Sätze, Zeichen, Bilder) statistische Einheiten sein, die im Rahmen einer Untersuchung interessierende Merkmale an sich aufweisen. Eigenschaften von Variablen Variablen können verschiedene Eigenschaften aufweisen. Die wichtigste Eigenschaft ist das Skalenniveau oder Messniveau einer Variablen. Bereits im Wortbestandteil „-niveau“ drückt sich eine Hierarchie aus. Skalenniveaus bestimmten die zulässigen Rechenoperationen. Ein höheres Skalenniveau lässt mehr Vergleichsaussagen und Rechenarten zu als ein niedrigeres. Definition Skalenniveau Ein Skalenniveau gibt an, welche Vergleichsaussagen und welche rechnerischen Operationen die Ausprägungen von Variablen sinnvoll zulassen. Tab. 2.1 Variable Ausprägungen Schulabschluss Realschulabschluss, Abitur, kein Abschluss usw. Einkommen 5000 e , 2500 e , 2414 e , 1750 e , 6400 e usw. Familienstand ledig, verheiratet, geschieden usw. Merkmalsträger, statistische Einheiten, Fälle 2.2 18 G R U N D B E G R I F F E <?page no="18"?> Nominales Skalenniveau Das niedrigste Skalenniveau ist das nominale. Eine nominal skalierte Variable hat Ausprägungen, die sich nur daraufhin vergleichen lassen, ob sie bei zwei Merkmalsträgern gleich oder unterschiedlich sind. Beispiele für nominal skalierte Variablen sind der Familienstand, die Zugehörigkeit zu einer Religionsgemeinschaft oder das Geschlecht einer Person. Man kann zwei Personen daraufhin vergleichen, ob sie denselben Familienstand oder einen unterschiedlichen haben, ob sie derselben Religionsgemeinschaft oder zwei verschiedenen angehören, ob sie gleichen oder verschiedenen Geschlechts sind. Ordinales Skalenniveau Das nächst höhere Skalenniveau ist das ordinale. Hier sind die Ausprägungen bei zwei Merkmalsträgern nicht nur daraufhin vergleichbar, ob sie gleich oder unterschiedlich sind, sondern zusätzlich auch daraufhin, ob sie ein „Mehr“ oder ein „Weniger“ auf der zu messenden Dimension anzeigen. Damit lassen sich die verschiedenen möglichen Ausprägungen einer ordinal skalierten Variablen in eine Rangfolge bringen. Beispiele für ordinal skalierte Variablen sind der Schulabschluss oder die Zugehörigkeit von Managern zu Hierarchieebenen der Unternehmensführung, z. B. eingeteilt in untere, mittlere und obere Managementebene. Man kann zwei Personen daraufhin vergleichen, ob sie denselben Schulabschluss haben oder nicht. Wenn sie einen unterschiedlichen Schulabschluss haben, kann man nun zusätzlich feststellen, welche Person den höheren und welche den niedrigeren Schulabschluss hat. Man kann entsprechend zwei Manager nicht nur daraufhin vergleichen, ob sie derselben Managementebene angehören oder nicht. Wenn die Ausprägungen unterschiedlich sind, kann man nun zusätzlich vergleichen, welcher Manager einer höheren und welcher einer niedrigeren Managementebene zugehört. Über die Abstände zwischen den Ausprägungen von ordinal skalierten Variablen kann man aber keine Aussagen machen. Metrisches Skalenniveau Das höchste Skalenniveau ist das metrische. Dieses lässt nicht nur den Vergleich von Ausprägungen auf Gleichheit und Ungleichheit sowie die Bildung von Rangfolgen zu, sondern darüber hinaus kann man hier nun angeben, wie groß die Abstände zwischen je zwei Ausprägungen sind. Man kann mit den Ausprägungen einer metrischen Variablen sinnvoll Differenzen und Summen bilden. Beispiele für metrisch skalierte Variablen sind das Einkommen von berufstätigen Personen in e oder die Anzahl der Kinder einer Familie. Einkommensdifferenzen zwischen zwei berufstätigen Personen oder der Unterschied der Kinderzahl zwischen zwei Fa- Gleichheit oder Unterschiedlichkeit können festgestellt werden zusätzlich können Rangfolgen gebildet werden zusätzlich sind Differenzen und Summen berechenbar 19 E I G E N S C H A F T E N V O N V A R I A B L E N <?page no="19"?> tistik für Soziologen(3)__[Druckmilien können als Differenz berechnet und interpretiert werden. Leben mehrere Einkommensbezieher in einem Haushalt, kann man durch die Summierung der Einkommen das Haushaltseinkommen ermitteln. Das metrische Skalenniveau lässt sich in zwei Skalenniveaus differenzieren. Bei einer verhältnisskalierten Variablen ist die Ausprägung dann 0, wenn das Merkmal empirisch nicht vorhanden ist. Verhältnisskalen lassen damit die Bildung von Verhältnissen zu. Beispiel: Ein Einkommen von 0 e bedeutet: Eine Person hat kein Einkommen. Die Abstände zweier Einkommen vom 0-Punkt kann man hier sinnvoll ins Verhältnis setzen. So kann man beispielsweise sagen, dass ein Einkommen von 5000 e ein doppelt so hohes Einkommen ist wie ein Einkommen von 2500 e . Intervallskalen unterscheiden sich von Verhältnisskalen dadurch, dass die Ausprägung 0 nicht bedeutet, dass das Merkmal empirisch nicht vorhanden ist. Die Folge ist, dass man hier zwar Differenzen zwischen zwei Ausprägungen bilden kann, diese aber nicht ins Verhältnis gesetzt werden können. Beispiel: Misst man die Temperatur in Luzern und Berlin in Grad Celsius und ist es in Luzern 20 °C, in Berlin dagegen nur 10 °C warm, so ist es zulässig zu sagen, dass es in Luzern 10 °C wärmer ist als in Berlin. Es ist aber nicht zulässig zu sagen, dass es in Luzern doppelt so warm ist wie in Berlin. Das Verhältnis der Intervalle 0 °C bis 20 °C (für Luzern) und 0 °C bis 10 °C (für Berlin) gibt nicht das Temperaturverhältnis zwischen beiden Städten wieder. Denn die Ausprägung 0 °C bedeutet nicht, dass das Merkmal Temperatur nicht vorhanden ist. Erst bei -273 °C liegt keine Temperatur mehr vor. (Man müsste die Temperaturen in Grad Celsius beider Städte also zu diesem Wert ins Verhältnis setzen oder eine Temperaturskala verwenden, die ihren Nullpunkt bei -273 °C hat, wie die Kelvinskala.) Eine Intervallskala liegt auch vor, wenn der Wert 0 nicht vorkommen kann und deshalb ein anderer Wert als 0 das Nichtvorhandensein des Merkmals darstellt. Beispiel: Im Rahmen des ALLBUS 2002 wurde gefragt: „Würden Sie von sich sagen, dass Sie eher religiös oder eher nicht religiös sind? “ Die Befragten konnten sich auf einer zehnstufigen Skala einordnen, bei der nur die Extremwerte mit „nicht religiös“ und „religiös“ bezeichnet waren. Die Variable Religiosität variiert von 1 = „nicht religiös“ bis 10 = „religiös“. Eine solche Variable gilt als metrische Variable. Diese ist nun intervallskaliert. Wenn für einen ersten Befragten die Ausprägung 10 und für einen zweiten Befragten die Ausprägung 5 auf dieser Religiositätsskala vorliegen, kann man angeben, welcher Befragte einen höheren Skalenwert angibt, und man kann die Unterschiedlichkeit (die Differenz) der Intervallskalen erlauben nicht, Verhältnisse zu bilden 20 G R U N D B E G R I F F E <?page no="20"?> angegebenen Religiosität ermitteln: Sie beträgt 10 - 5 = 5 Skalenpunkte. Man kann dagegen nicht sagen, der erste Befragte gebe an, doppelt so religiös zu sein wie der zweite Befragte. Das Verhältnis der angegebenen Religiosität lässt sich nicht bilden, indem man 10 zu 5 ins Verhältnis setzt. Für den ersten Befragten beträgt der Abstand zur Ausprägung für 1 = „nicht religiös“ 9 Skalenpunkte, für den zweiten Befragten beträgt dieser Abstand nur 4 Skalenpunkte. Setzt man diese Abstände ins Verhältnis, erkennt man das tatsächliche Verhältnis der angegebenen Religiosität, das 9 zu 4 (= 2,25) und nicht 10 zu 5 (= 2) beträgt. Der erste Befragte gibt also an, mehr als doppelt so religiös zu sein wie der zweite Befragte. Eine einfache Transformation (Umrechnung) besteht darin, dass man von jeder vorliegenden Ausprägung einen Skalenpunkt subtrahiert, so dass die transformierte Variable Religiosität einen Nullpunkt hat, der das Fehlen der (angegebenen) Religiosität repräsentiert. Die Religiositätsskala ist als Beispiel auch gut geeignet, sich bewusst zu machen, dass Daten, die mit einer Befragung erhoben wurden, das Antwortverhalten von Befragten auf Fragen im Rahmen einer Befragung abbilden. Die Religiositätsskala bildet also nicht ab, wie religiös Befragte sind, sondern wie sich Befragte in einer Befragungssituation auf die Frage nach dem Ausmaß ihrer Religiosität selbst beurteilen. Die folgende TABELLE 2.2 vergleicht die vier verschiedenen Skalenniveaus miteinander. In der Tabelle werden die für eine Skala jeweils zulässigen Interpretationen und für sie definierten (logischen) Relationen aufgeführt. Nominalskala Ordinalskala Intervallskala Verhältnisskala („Ratioskala“) Was kann ausgedrückt werden? Identitäten Identitäten + Ränge Identitäten + Ränge + Distanzen Identitäten + Ränge + Distanzen + Verhältnisse zulässige Interpretationen „ist gleich“ „ist ungleich“ zusätzlich: „ist kleiner“ „ist größer“ zusätzlich: Differenzen haben eine empirische Bedeutung zusätzlich: Verhältnisse haben eine empirische Bedeutung definierte Relationen = „ = „ < > = „ < > + - = „ < > + - . : Beispiele Geschlecht, Religion, Familienstand Windstärke (Beaufort), Einkommensklasse Temperatur in °C, Intelligenzquotient Körpergröße, Temperatur in Kelvin, Einkommen Tab. 2.2 Befragungen messen das Antwortverhalten von Befragten 21 E I G E N S C H A F T E N V O N V A R I A B L E N <?page no="21"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- Skalierung (Messeinheit) Vom Skalenniveau zu unterscheiden ist die Skalierung oder Messeinheit einer Variablen. Die Dauer von Zuständen (wie Betriebszugehörigkeit oder Arbeitslosigkeit) kann in Jahren oder in Monaten gemessen werden. Jahre und Monate sind dann unterschiedliche mögliche Messeinheiten der Variablen Betriebszugehörigkeit. Aus statistischen Gründen kann es vorteilhaft sein, wenn man Variablen so umrechnet (transformiert), dass sich die Messeinheiten ändern oder dass eine Variable keine Messeinheiten mehr aufweist. Im letzten Fall liegen die Ausprägungen dann nicht mehr in einer Messdimension vor. Man sagt: „Die Variable ist dimensionslos.“ Im Abschnitt zur z-Standardisierung von Variablen ( fi Kap. 3.9) wird darauf näher eingegangen. Diskrete und stetige Variablen Variablen können weiter danach unterschieden werden, ob sie diskret oder stetig sind. Man sagt, dass eine Variable diskret ist, wenn nur endlich viele oder zumindest „abzählbar“ (unendlich) viele verschiedene Ausprägungen möglich sind. Damit soll ausgedrückt werden, dass bei diesen Variablen keine „Zwischenwerte“ zwischen zwei aufeinander folgenden Ausprägungen möglich sind, dass ihre Ausprägungen nur in „Sprüngen“ vorkommen. Nominal und ordinal skalierte Variablen sind immer diskret. Für nominal skalierte Variablen gilt, dass es „Zwischenwerte“ nicht geben kann. Bei ordinal skalierten Variablen gibt es zwar eine Rangfolge zwischen den Ausprägungen, diese bilden aber dann Abstufungen, die nicht weiter geteilt werden können. Metrisch skalierte Variablen können entweder diskret oder stetig sein. Die Kinderzahl von Familien ist z. B. eine diskrete Variable mit den Ausprägungen „kein Kind“, „ein Kind“, „zwei Kinder“, „drei Kinder“ usw. Die Kinderzahl kann zwar sehr groß sein, aber Zwischenwerte wie „2,15 Kinder“ sind keine möglichen Ausprägungen für die Kinderzahl einer Familie. (Möglich ist eine solche Ausprägung aber für eine statistische Maßzahl wie das arithmetische Mittel, ( fi Kap. 3.3.1.) . Für stetige Variablen gilt dagegen, dass zwischen zwei verschiedenen Ausprägungen immer noch eine dritte Ausprägung vorkommen kann. Hat man etwa das Nettoeinkommen zweier berufstätiger Personen mit unterschiedlichem Einkommen genau ermittelt, so kann es immer eine dritte berufstätige Person geben, deren Nettoeinkommen dazwischen liegt. Sachverhalte, die in Geldbeträgen oder in physikalischen Einheiten (wie Größe in Metern, Zeit in Jahren, Tagen oder Minuten) auch mit Nachkommastellen ausgedrückt werden können, gelten als stetige Variablen. Bei genauerer Betrachtung zeigt sich allerdings, dass im Alltag nur eine beschränkte Anzahl von Nachkommastellen erfasst wird. Bei Geldbeträgen in e verwendet man nur zwei Nachkommastellen für die bei diskreten Variablen sind mögliche Ausprägungen abzählbar nur metrische Variablen können stetig sein bei stetigen Variablen sind alle Zwischenausprägungen möglich 22 G R U N D B E G R I F F E <?page no="22"?> Cents. Praktisch werden also auch solche Sachverhalte zu diskreten Variablen, man behandelt sie in der Statistik dennoch wie stetige. Kategoriale Variablen Eine diskrete Variable, die nur eine geringe Anzahl von verschiedenen Ausprägungen hat, nennt man auch kategoriale Variable. Wenn gesagt wurde, dass die Mehrheit der Variablen im Bereich der Soziologie nominal oder ordinal skaliert ist, so kann man weiter sagen, dass die meisten Variablen kategoriale Variablen sind. Die Ausprägungen einer kategorialen Variablen werden Kategorien genannt. Hat eine kategoriale Variable nur zwei mögliche Ausprägungen so ist sie dichotom, hat sie dagegen mehrere mögliche Ausprägungen, ist sie polytom. Ein Beispiel für eine dichotome Variable ist das Geschlecht mit den beiden Ausprägungen „männlich“ und „weiblich“. Ein Beispiel für eine polytome Variable wäre die Religionsgemeinschaft, der ein Befragter angehört, mit den verschiedenen möglichen Ausprägungen: „evangelisch“, „römisch-katholisch“, „andere christliche Religion“, „andere nichtchristliche Religion“, „keine Religion“. Manifeste und latente Variablen Variablen können weiterhin unterteilt werden in manifeste und latente Variablen. Manifeste Variablen sind solche, deren Ausprägungen man direkt beobachten kann, während latente Variablen solche sind, deren Ausprägungen man nicht direkt beobachten kann. Bei den bisher angeführten Beispielen handelt es sich um manifeste Variablen. Ein Beispiel für latente Variablen aus der Psychologie sind Intelligenzquotienten. Diese kann man bei Personen nur über die Resultate von Intelligenztests indirekt ermitteln, man kann sie nicht direkt beobachten oder gar erfragen. Schreibweisen So wie Musiker sich verständigt haben, wie sie Musik mit Hilfe von Notensystemen in einheitlicher Weise aufschreiben, damit jeder ausgebildete Musiker Partituren lesen kann, so haben sich auch in der Statistik Schreibweisen mit ähnlicher Zielsetzung eingebürgert. Man spricht auch von Notationen. Sie dienen dazu, Sachverhalte in deutlich kürzerer Form darzustellen. Zudem ist es mit Notationen möglich, statistische Überlegungen auszudrücken, die sich nicht auf einzelne konkrete Anwendungen (ein konkretes Beispiel) beziehen, sondern die allgemeinerer Art sein sollen. Statistische Notationen sind insofern einfach Konventionen, wie man etwas aufschreibt. Es gibt zwar keine verbindliche Norm für statistische Notationen, dennoch kann man sagen, dass es üb- Geringe Anzahl von möglichen Ausprägungen kategoriale Variablen überwiegen in der Soziologie 2.3 Funktionen von Notationen 23 S C H R E I B W E I S E N <?page no="23"?> tistik für Soziologen(3)__[Druckliche Schreibweisen gibt und Varianten der Schreibweise bei einzelnen Aspekten vorkommen. Variablen als Buchstaben In der Statistikliteratur werden Variablen häufig einfach nur mit einem Buchstaben repräsentiert. Man schreibt dann in Kurzform „X“ anstelle einer umfangreicheren Variablenbezeichnung. Sollen mehrere Variablen mit Buchstaben repräsentiert und unterschieden werden können, kann man auf verschiedene Buchstaben zurückgreifen. Man schreibt dann: X, Y, Z, . . . oder A, B, C, D usw. Jeder Großbuchstabe repräsentiert eine Variable. Eine andere Möglichkeit, verschiedene Variablen mit nur einem Buchstaben zu unterscheiden, besteht in der Verwendung von Indizes (s. u.). Einzelne Ausprägungen einer Variablen werden in der Statistikliteratur mit den zugehörigen kleinen Buchstaben repräsentiert. Spricht man also von einer Variablen insgesamt als einem Sachverhalt, so steht dafür ein Großbuchstabe, z. B. „X“. Meint man einzelne Ausprägungen der Variablen X, so steht der entsprechende kleine Buchstabe dafür, z. B. „x“. Indizes Als nützlich hat sich die Einführung von Indizes erwiesen. Diese werden in der Statistikliteratur für verschiedene Zwecke verwendet. Einmal dienen sie dazu, verschiedene Merkmalsträger zu unterscheiden, indem man sie mit Hilfe eines Indexes durchnummeriert. Man nennt diesen Vorgang die Indizierung der Merkmalsträger. Beispiel: Für eine Projektarbeit haben sich sieben Studierende zusammengefunden. Die Anzahl der Merkmalsträger ist die Fallzahl, die man mit n abkürzt. Hier ist also n = 7, und die Merkmalsträger sind in diesem Beispiel die Studierenden. Für diese sind die Ausprägungen der beiden Variablen Alter (X) und Geschlecht (Y) ermittelt worden. Für den Index verwendet man ebenfalls einen Buchstaben wie beispielsweise „i“. Man sagt Tab. 2.3 i Alter (X) Geschlecht (Y) 1 26 weiblich 2 24 weiblich 3 22 männlich 4 22 weiblich 5 27 weiblich 6 22 männlich 7 23 männlich Indizierung von Merkmalsträgern Fallzahl n 24 G R U N D B E G R I F F E <?page no="24"?> dann: „Der Index i läuft von i = 1 bis n.“ Die Studierenden können nun unterschieden werden, indem man sie mit i = 1 bis 7 indiziert. Die TA- BELLE 2.3 stellt die Ausprägungen zusammen: Nun kann man die Ausprägung der Variablen bei einem Studierenden in Variablenform darstellen, indem man an die Variable den Indexwert (etwas tiefer gestellt) anfügt: Zum Beispiel ist bei dem Studierenden mit dem Indexwert i = 3 dann x 3 die Ausprägung der Variablen Alter und y 3 die Ausprägung der Variablen Geschlecht. Kurz: x 3 = 22 und y 3 = männlich. Will man in allgemeiner Form ausdrücken, dass man sich auf die konkreten Ausprägungen von X und nicht auf die Variable X insgesamt bezieht, schreibt man x i . Um welchen konkreten Merkmalsträger es sich handelt, ist so nicht spezifiziert. Sind sehr viele Variablen vorhanden, so bietet es sich an, nicht nur die Merkmalsträger mit Hilfe von Indizes zu unterscheiden, sondern für die Variablen einen einzigen Buchstaben zu verwenden, diesen aber mit einem weiteren Index zu versehen, um unterscheiden zu können, welche Variable nun repräsentiert wird. Man verwendet für die Variablen zumeist den Buchstaben X. Als Index für Variablen findet sich häufig der Buchstabe j. Die verschiedenen Variablen werden nun mit diesem Index durchnummeriert. Bei J verschiedenen Variablen läuft der Index j von j = 1 bis J: X 1 , X 2 , : : : X j , : : : X J Nun liegt sowohl für die Merkmalsträger (die Fälle) als auch für Variablen je ein Index vor. Die einzelnen Ausprägungen sind damit durch zwei Indexwerte indizierbar. Man fügt erst den Index für den Merkmalsträger und dann den Indexwert für die Variable an. Allgemein: Die Ausprägung des i-ten Falls hinsichtlich der Variablen X j ist dann x ij . Wie die Indizierung verwendet werden soll, muss also vorher jeweils festgelegt werden. (Die Indizierung von Variablen mit einem tiefer gestellten Index findet sich in den Statistikbüchern. In einer Datenanalysesoftware vereinfacht sich die Indizierungen dann häufig zu einer fortlaufenden Nummerierung von Variablen. Außerdem entfällt auch die Unterscheidung zwischen Groß- und Kleinbuchstaben. So sind im ALLBUS 2002 mehr als 700 Variablen enthalten, die mit einem v (für Variable) und einer fortlaufenden Zahl unterschieden werden. Die Variable Religiosität ist beispielsweise v124.) Das Summenzeichen ( ) Eine Standardschreibweise für Aufsummierungen ist das Summenzeichen. Es ermöglicht, längere Summierungen in kurzer Form zu notieren und damit auch Summen als Bestandteile von Formeln in Kurzform dar- Indizierung von Ausprägungen Indizierung von Variablen 25 S C H R E I B W E I S E N <?page no="25"?> tistik für Soziologen(3)__[Druckzustellen. Als Zeichen für die Summation wird der griechische Großbuchstabe (Sigma) verwendet. Die Summenschreibweise setzt voraus, dass man indizierte und metrische Werte vorliegen hat. Das können indizierte Ausprägungen von Variablen sein, das können aber auch indizierte statistische Maßzahlen sein. Beispiel: Wenn man das Alter, das die sieben Studierenden in der Projektgruppe „zusammenbringen“, aufsummieren möchte (etwa um später den Altersdurchschnitt zu berechnen), kann man schreiben: X 7 i = 1 x i Rechts neben dem Summenzeichen wird hierbei angegeben, welche Summanden in die Summation einbezogen werden. (Summanden sind die zu addierenden Werte.) In dem Beispiel sind das die Ausprägungen x i der Variable X (Alter). Unter dem Summenzeichen steht der Index, der die Summanden indiziert und so unterscheidbar macht. Dieser Index ist der so genannte Laufindex. In dem Beispiel wird also angegeben, dass über i summiert wird: es wird also über die verschiedenen Studierenden summiert. Zugleich steht unter dem Summenzeichen auch, was der Indexwert des ersten Summanden ist, mit dem die Summation beginnt. Dieser Anfangswert für den Laufindex heißt untere Summationsgrenze. In dem Beispiel ist dies i = 1, was bedeutet, dass mit dem Alter des ersten Studierenden die Summierung begonnen werden soll, das ist x 1 = 26. Der zweite Summand, der dann hinzuaddiert wird, hat den um 1 erhöhten Indexwert (= untere Summationsgrenze + 1). Das ist das Alter des Studierenden mit dem Indexwert i = 1 + 1 = 2, also x 2 = 24. Nachdem der zweite Summand hinzuaddiert ist, wird der Laufindex wieder um 1 erhöht und der durch diesen Indexwert gekennzeichnete Summand hinzuaddiert. Dieser Vorgang wird so lange fortgesetzt, bis der letzte Summand einen Indexwert hat, der der oberen Summationsgrenze entspricht. Diese steht oberhalb des Summenzeichens. In dem Beispiel ist die obere Summationsgrenze 7. D. h. dass die Summierung beendet ist, wenn das Alter des Studierenden mit dem Indexwert i = 7 hinzuaddiert wurde. Schreibt man die Summierung nach dieser „Anleitung“ aus, erhält man: X 7 i = 1 x i = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 = 26 + 24 + 22 + 22 + 27 + 22 + 23 = 166 Kurzschreibweise für längere Additionen 26 G R U N D B E G R I F F E <?page no="26"?> Statt der langen Summierung kann man nun in Kurzform schreiben: X 7 i = 1 x i = 166 Gelesen wird diese Summation: „Die Summe aller x i von i = 1 bis 7“. Wenn aus dem Kontext die Grenzen der zu summierenden Werte hervorgehen, wird die Schreibweise für eine Summation oft verkürzt dargestellt. Manchmal wird sogar auch auf die Nennung des Laufindexes verzichtet, wenn dieser aus dem Kontext hervorgeht. P n i = 1 x i wird vereinfacht zu P i x i oder sogar zu P x Das Summenzeichen kann auch auf erweiterte Ausdrücke wie Produkte oder eingeklammerte Ausdrücke angewendet werden ( fi Kap. 12.4) . Kodierungen Für die statistische Datenanalyse werden Computer und Datenanalysesoftware eingesetzt. Computer können nur numerische Informationen verarbeiten. Aus diesem Grund müssen die Ausprägungen von Variablen numerisch kodiert werden. Die Kodierungen für die möglichen Ausprägungen sollen so vergeben werden, dass sie die logischen Operationen des Skalenniveaus ermöglichen. So sollen Rangfolgen bei ordinal skalierten Variablen durch die numerischen Kodes ausgedrückt werden, bei nominal skalierten Variablen reicht die Unterschiedlichkeit der Zahlen, um Ausprägungen zu kodieren. Die Ausprägungen von metrisch skalierten Variablen können zumeist (ohne die zugehörigen Messeinheiten) direkt verwendet und eingegeben werden, so dass hier keine Kodierung benötigt wird. Für Daten, die durch Befragungen erhoben wurden, ist typisch, dass Kodierungen für Antworten wie „weiß nicht“ bzw. für Antwortverweigerungen hinzukommen („keine Angabe“). Fehlen Daten aufgrund solcher Ausfälle bzw. Antwortverweigerungen, spricht man von missing values (engl., „fehlende Werte“). Zudem kann es vorkommen, dass in einem Fragebogen Fragen enthalten sind, für die bei einer Person keine Ausprägungen vorliegen können. Sind in einem Fragebogen beispielsweise Fragen zur Berufstätigkeit enthalten und wird eine nicht berufstätige Person befragt, müssen diese Fragen in der Befragung übersprungen werden. Bei den übersprungenen Variablen erhält eine solche Person dann eine besondere Kodierung für „trifft nicht zu“. Für alle diese Fälle Verkürzte Summenschreibweisen 2.4 Kodierungen sollen das Skalenniveau berücksichtigen Kodierungen können zusätzliche Informationen abbilden 27 K O D I E R U N G E N <?page no="27"?> tistik für Soziologen(3)__[Druckwerden besondere Ziffern (wie 8, 9 oder 98, 99) als Kodes vergeben, anhand derer die betreffenden Personen für statistische Berechnungen ausgeschlossen werden können. Für ordinal skalierte Variablen gilt, dass ihre Ausprägungen so kodiert werden sollen, dass die Rangfolge zwischen den Ausprägungen erhalten bleibt. Die ordinal skalierte Variable Schulabschluss von Befragten könnte in folgender Weise kodiert werden: 1 = „kein Schulabschluss“ 2 = „Volks-/ Hauptschulabschluss“ 3 = „Realschulabschluss“ 4 = „Fachhochschulabschluss“ 5 = „Abitur“ 9 = „keine Angabe“ Die Abstände der numerischen Kodes sind bei ordinal skalierten Variablen nicht sinnvoll interpretierbar. Entsprechend ließe sich auch eine andere Kodierung verwenden. Eine Umkodierung ist also jederzeit möglich, wenn sie die Reihenfolge der Ausprägungen beibehält. Die Ausprägungen von dichotomen Variablen wie der Variablen Geschlecht werden häufig mit 0 und 1 kodiert. 0 = „männlich“ 1 = „weiblich“ Die Kodierung einer nominal skalierten Variablen muss nur die Unterscheidbarkeit verschiedener Ausprägungen gewährleisten. Weder die Differenz zwischen den numerischen Kodes noch deren Reihenfolge ist hierbei sinnvoll zu interpretieren. Differenzbildung und Verhältnisbildung ist bei den numerischen Kodierungen von nominal und ordinal skalierten Variablen damit unzulässig. Datenorganisation Liegen nach der Datenerhebung die Ausprägungen für eine Menge von Merkmalsträgern vor, spricht man von „Daten“. Diese werden in einer Datentabelle angeordnet und gespeichert, die man Datenmatrix nennt. In dieser Datenmatrix stehen die Ausprägungen eines Merkmalsträgers (z. B. einer Person) für alle erhobenen Variablen in einer Reihe. Die bei allen Merkmalsträgern beobachteten Ausprägungen einer Variablen stehen in einer Spalte. Alle Ausprägungen einer Variablen bilden die Vertei- 2.5 28 G R U N D B E G R I F F E <?page no="28"?> lung. In jeder Spalte findet man also jeweils eine Verteilung der vorliegenden Ausprägungen einer Variablen. Die ABBILDUNG 2.1 zeigt einen Ausschnitt aus einer solchen Datenmatrix. Zu sehen sind die kodierten Ausprägungen für die ersten Fälle und die ersten Variablen des ALLBUS 2002. Die allermeisten sozialwissenschaftlichen Daten sind in der Form der Datenmatrix organisiert. Zwei wichtige Ausnahmen sind Datensätze, die Netzwerkdaten oder Ereignisdaten beinhalten. Von Netzwerkdaten spricht man zum Beispiel dann, wenn nicht nur Daten zu den Eigenschaften von Personen vorliegen, sondern auch erhoben wurde, welche sozialen Beziehungen zwischen den Personen mit welchen Eigenschaften vorliegen. Ereignisdaten liegen vor, wenn zum Beispiel Personen nicht nur nach ihrem Familienstand zum Zeitpunkt der Befragung befragt wurden, sondern wenn man rückblickend und zeitlich genau erfasst hat, welchen Familienstand eine Person im Laufe ihres bisherigen Lebens von wann bis wann jeweils innehatte. Ereignisdatensätze enthalten also Informationen über Art, Anfangszeitpunkt und Endzeitpunkt von vorher definierten Zuständen, die bei statistischen Einheiten erhoben worden sind. Netzwerkdaten und Ereignisdaten werden daher in anderer Weise organisiert und gespeichert. Abb. 2.1 Andere Datenorganisationen 29 D A T E N O R G A N I S A T I O N <?page no="30"?> DE SKRIPTIVSTATISTIK 31 D A T E N O R G A N I S A T I O N <?page no="32"?> Univariate Analyse Inhalt 3.1 Häufigkeitstabellen 3.2 Einfache grafische Darstellungen 3.2.1 Balkendiagramm 3.2.2 Histogramm 3.2.3 Kreisdiagramm 3.3 Mittelwerte 3.3.1 Arithmetisches Mittel 3.3.2 Median 3.3.3 Modus 3.4 Quantile (Lagemaße) 3.5 Streuungsmaße 3.5.1 Spannweite 3.5.2 Quartilsabstand 3.5.3 Varianz und Standardabweichung 3.5.4 Variationskoeffizient 3.6 Maße der qualitativen Variation 3.7 Konzentration 3.7.1 Lorenzkurve 3.7.2 Lorenz-Münzner-Maß 3.8 Boxplot 3.9 z-Standardisierung 3 33 <?page no="33"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- Die univariate Analyse analysiert die Verteilungen einzelner Variablen. Die Verteilung einer Variablen wird gebildet durch die vorliegenden Ausprägungen. Der univariaten Analyse stehen verschiedene Strategien zur Verfügung: Verteilungen können in tabellarischer Form oder in grafischer Form dargestellt werden. Zudem stehen statistische Maßzahlen zur Verfügung, die einzelne Eigenschaften von Verteilungen in einer Zahl zum Ausdruck bringen. Will man die Verteilung einer Variablen beschreiben, empfiehlt es sich, eine Kombination der in diesem Abschnitt eingeführten Darstellungsformen und Maßzahlen einzusetzen. Dabei stehen für die Aspekte einer Verteilung wie ihre „Mitte“ oder die Unterschiedlichkeit ihrer Ausprägungen jeweils verschiedene statistische Maßzahlen zur Verfügung. Welche statistische Maßzahl herangezogen werden soll, hängt davon ab, welches Skalenniveau eine Variable aufweist, denn die einzelnen Maßzahlen setzen für ihre Berechnung bestimmte Skalenniveaus voraus. Die Maßzahlen beruhen auf Konstruktionsprinzipien, wie man den interessierenden Aspekt einer Verteilung in einer Zahl zum Ausdruck bringt. Die Interpretation dieser Maßzahlen muss daher die verwendeten Konstruktionsprinzipien berücksichtigen. Die Verteilung einer Variablen bildet eine eigene Ebene, die von der Ebene der einzelnen Ausprägungen der Merkmalsträger (wie Personen) zu unterscheiden ist. Maßzahlen beziehen sich auf Verteilungen und damit auf Kollektive oder Gruppen, nicht auf Einzelfälle oder Individuen. Beispiel: Eine auch im Alltag verwendete Maßzahl ist das arithmetische Mittel, häufig „der Durchschnitt“ genannt. Wenn man vom durchschnittlichen Nettoeinkommen einer Gruppe redet, so ist dieser Wert eine Eigenschaft der Gruppe und keine Eigenschaft einzelner Personen. Auch wenn man sich der Redeweise bedient: „Im Durchschnitt verdient jede Person . . .“, so ist dieser Mittelwert zunächst für die Gruppe insgesamt berechnet worden, um ihn dann auf einzelne Personen zu beziehen. Der Durchschnittswert einer Gruppe kann deshalb auf eine Person bezogen werden, weil sie Mitglied der Gruppe ist. Datensätze beinhalten die erhobenen und gespeicherten Daten einer Menge von Merkmalsträgern. Das sind die empirischen Verteilungen der Variablen. Für Vergleichszwecke und für die Durchführung statistischer Tests kann es immer wieder sinnvoll sein, die empirischen Verteilungen mit theoretischen Verteilungen zu vergleichen. Theoretische Verteilungen sind solche Verteilungen, die sich aus (oft einfachen) mathematischen Überlegungen entwickeln lassen. Für jeden Merkmalsträger wird dann aufgrund dieser Überlegungen eine Ausprägung ermittelt. Ein einfaches Beispiel für eine theoretische Verteilung ist die Gleichverteilung einer kategorialen Variablen: Jede Kategorie hat die gleiche Häufigkeit. (Diese theoretische Verteilung wird beispielsweise im Kap. 3.6 als Bezug heran- Verteilung: Gesamtheit der Ausprägungen einer Variablen Empirische und theoretische Verteilungen 34 U N I V A R I A T E A N A L Y S E <?page no="34"?> gezogen). Nun kann es interessant werden zu fragen, wie stark eine empirische Verteilung von dieser Gleichverteilung abweicht und ob man die Stärke dieser Abweichung in einer Maßzahl zum Ausdruck bringen kann. Zunächst mag an dieser Stelle der Hinweis genügen, dass es neben den erhobenen Daten (empirischen Verteilungen) mit Hilfe theoretischer Überlegungen berechnete Daten (theoretische Verteilungen) geben kann, die in der statistischen Analyse eine Rolle spielen werden. Häufigkeitstabellen Sehr häufig hat man in der soziologischen Analyse Datensätze, die eine sehr große Zahl von Merkmalsträgern (Fällen) beinhalten. Daher ist die „Durchsicht“ eines Datensatzes keine gangbare Strategie, um einen systematischen Überblick über eine Verteilung einer Variablen zu gewinnen. Das Erstellen von Häufigkeitstabellen kann hier helfen, Übersicht über die Verteilung einer Variablen zu gewinnen. Dabei ist zu unterscheiden, ob eine kategoriale Variable mit wenigen Ausprägungen oder eine Variable mit sehr vielen verschiedenen Ausprägungen vorliegt. Zunächst soll eine kategoriale Variable betrachtet werden. Man erstellt eine Auszählung, wie häufig die Kategorien (die Ausprägungen) einer Variablen jeweils vorkommen. Das Resultat dieser Auszählung ist die Häufigkeitsverteilung dieser Variablen. In der Häufigkeitstabelle werden die Kategorien einer Variablen aufgelistet und ihnen die Häufigkeiten, mit der sie auftreten, zugeordnet. Die Information, welchem Merkmalsträger i welche Ausprägung zugehört, kann man einer Häufigkeitstabelle nicht mehr entnehmen. Da bislang die Indizierung i = 1, . . . I verwendet wurde, um die einzelnen Merkmalsträger zu unterscheiden, wird hier für die Häufigkeitstabelle der Index j = 1, . . . J verwendet, um die verschiedenen Kategorien einer Variablen zu unterscheiden. Die absoluten Häufigkeiten werden mit dem Buchstaben f repräsentiert. Damit ist f j die absolute Häufigkeit, mit der die Kategorie j vorliegt. Neben den absoluten Häufigkeiten sind die relativen Häufigkeiten nützliche statistische Informationen. Diese werden mit dem Buchstaben p repräsentiert, die relative Häufigkeit der Kategorie j ist also p j . Die relativen Häufigkeiten erhält man, indem man die absoluten Häufigkeiten f j durch die Anzahl n der Merkmalsträger teilt: p j = f j n 3.1 Indizierung von Kategorien Absolute und relative Häufigkeiten 35 H Ä U F I G K E I T S T A B E L L E N <?page no="35"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- Die Häufigkeitsverteilung einer kategorialen Variablen kann man in einer Häufigkeitstabelle übersichtlich darstellen. Beispiel: Im ALLBUS 2002 ist der Familienstand des (oder der) Befragten (v239) in fünf möglichen Kategorien vorhanden. Die folgende TABELLE 3.1 beinhaltet die Häufigkeitsverteilung der Familienstände. Für jede Kategorie der Variablen erhält man in der TABELLE 3.1 eine Reihe. In der zweiten Spalte steht die j-te Kategorie selber. In der dritten Spalte steht f j als absolute Häufigkeit, mit der die j-te Kategorie der Variablen vorliegt. Addiert man alle absoluten Häufigkeiten auf, erhält man die gesamte Fallzahl n. In der nächsten Spalte stehen die relativen Häufigkeiten p j , die angeben, welchen Anteil die Kategorien an der Gesamtzahl haben. In der letzten Spalte erfolgt die schrittweise Aufaddierung (Kumulation) der relativen Häufigkeiten zu 1, daher die Ergänzung des Index j um „cum“. (Liegt ordinales oder metrisches Skalenniveau vor, so kann man hiermit Aussagen treffen, wie groß die aufaddierten Anteilswerte bis zu einer Kategorie sind.) Relative Häufigkeiten beinhalten dieselbe Information wie Prozentwerte. Es handelt sich nur um verschiedene Darstellungsformen. Multipliziert man relative Häufigkeiten mit 100, erhält man einen Prozentwert. Nimmt man beispielsweise die relative Häufigkeit p 1 = 0,5944 der ersten Kategorie „verheiratet, zus. lebend“, so ist der entsprechende Prozentwert 59,44 %. Man nennt diese als Prozentwert dargestellte relative Häufigkeit prozentuale Häufigkeit. Für kategoriale Variablen, die nur eine kleine Anzahl verschiedener möglicher Ausprägungen haben, erhält man eine übersichtliche Tabelle mit einer kleinen Anzahl von Reihen. Anders verhält es sich, wenn eine Variable sehr viele mögliche Ausprägungen hat. Dann wird die Häufigkeitstabelle entsprechend lang und unübersichtlich. Für stetige Variablen gilt, dass (bei genauer Messung) nicht damit zu rechnen ist, dass bei den Merkmalsträgern nur wenige Ausprägungen wiederholt auftreten. In diesem Fall werden wenige Häufigkeiten vorliegen, die größer als eins sind. Für diese beiden Situationen bietet es sich an, die möglichen Aus- Tab. 3.1 j x j f j p j p j cum 1 verheiratet, zus. lebend 1675 0,5944 0,5944 2 verheiratet, getr. lebend 61 0,0216 0,6160 3 verwitwet 182 0,0646 0,6806 4 geschieden 195 0,0692 0,7498 5 ledig 705 0,2502 1,0000 2818 1,0000 Relative und prozentuale Häufigkeiten 36 U N I V A R I A T E A N A L Y S E <?page no="36"?> prägungen zu klassieren, da ansonsten eine Häufigkeitstabelle zu groß wird und nicht mehr praktikabel zu analysieren ist. Die Ausprägungen werden dafür in Klassen zusammengefasst. Man fasst dafür Bereiche von möglichen Ausprägungen zu einer Klasse zusammen und ordnet dann jeden Merkmalsträger in eine Klasse ein. Danach kann ermittelt werden, wie häufig Ausprägungen in den einzelnen Klassen vorkommen. Damit werden absolute und relative Häufigkeiten nicht mehr einzelnen Ausprägungen, sondern den gebildeten Klassen (von Ausprägungen) zugeordnet. Wie bildet man eigentlich die Klassen? Bei nominal skalierten Variablen lautet die Frage: Wie gruppiert man die Ausprägungen zu Klassen von Ausprägungen? Beispiel: Variablen, die den ausgeübten Beruf erfassen, haben meist über hundert Ausprägungen. Hier kann man für die Gruppierung ein sachlogisches Prinzip wie die Branche oder die überwiegend ausgeübte Tätigkeit heranziehen, um die Ausprägungen zu klassieren, man spricht dann von den gebildeten Klassen als den „Berufsgruppen“. Nominal oder ordinal skalierte Variablen mit sehr vielen Ausprägungen sind aber selten. Bei metrischen Variablen dagegen ist es häufig erforderlich, Ausprägungen zu klassieren. Wie bildet man nun diese Klassen? Hierbei stellen sich zwei Fragen: zum einen, wie viele Klassen sinnvoll einzurichten sind, zum anderen, ob alle Klassen gleich breit sein sollen oder nicht. Für viele soziologische Untersuchungen sind Klassierungen sinnvoll, die unterschiedlich breite Klassen für die Ausprägungen vorsehen. Hier ist dann aus sachlogischen Überlegungen heraus für jede einzelne Klasse zu entscheiden, was die Klassengrenzen sein sollen, wo die Klasse also beginnt (untere Klassengrenze) und wo sie aufhört (obere Klassengrenze). Fehlen theoretische Vorgaben für die Klassengrenzen, richtet man häufig breite Klassen in den Ausprägungsbereichen ein, in denen aufgrund des Untersuchungsinteresses die Ausprägungen nicht so differenziert unterschieden werden müssen. Umgekehrt richtet man eher kleine Klassen in den Ausprägungsbereichen ein, in denen das Untersuchungsinteresse genauer differenzieren können möchte. Beispiel: Der ALLBUS beinhaltet das Nettoeinkommen einmal unklassiert (v361) und dann auch klassiert (v362). Das klassierte Nettoeinkommen liegt im ALLBUS in 22 Klassen vor, wobei sich sieben unterschiedliche Klassenbreiten finden. Dabei sind die höchsten Einkommen in einer einzigen und breiten Klasse zusammengefasst. In den mittleren und unteren Einkommensbereichen sind die Klassenbreiten dagegen geringer und ermöglichen so eine differenziertere Aufgliederung. (Bei klassierten Daten Klassierung stetiger Variablen Prinzipien der Klassierung 37 H Ä U F I G K E I T S T A B E L L E N <?page no="37"?> tistik für Soziologen(3)__[Druckwird der Index j für die Klassen verwendet, nicht mehr für die einzelnen Kategorien. Da 22 Klassen vorliegen, läuft j von j = 1 bis 22.) Zu bedenken ist bei Klassenbildungen, dass die Art der Klassenbildung Einfluss auf die Analysemöglichkeiten hat. Einmal führt die Klassierung von Daten zu Informationsverlust, da die Unterschiedlichkeit der Ausprägungen innerhalb einer Klasse als Information verloren geht. Dieser Informationsverlust ist umso größer, je weniger Klassen eingerichtet werden. Zudem reduziert eine geringe Anzahl von Klassen das Differenzierungsvermögen der Analyse. Auf der anderen Seite sollte die Zahl der Klassen nicht zu groß werden, da sonst das Ziel, die Daten übersichtlicher zu organisieren, unterlaufen wird. In der Statistikliteratur wird empfohlen, eine Klassenzahl zwischen mindestens fünf Klassen und nicht viel mehr als 20 Klassen einzurichten. Empfohlen wird auch, dass die erste und die letzte Klasse „geschlossen“ werden, d. h., dass sie jeweils konkrete Ausprägungen als Klassengrenzen haben. Ist eine Klassierung mit offenen Klassengrenzen für die erste und die letzte Klasse in der Datenerhebung verwendet worden, so müssen diese für die statistische Analyse nachträglich geschlossen werden, wenn die Klassenmitten oder Klassenbreiten für Berechnungen benötigt werden (wie für die Berechnung der Lorenzkurve, fi Kap. 3.7.1) . Die erste Klasse kann in dem Beispiel des klassierten Nettoeinkommens mit dem Wert 0 e für die untere Klas- Tab. 3.2 j Klasse f j p j j Klasse f j p j 1 < 200 e 36 0,0163 12 1375 bis < 1500 e 95 0,0430 2 200 bis < 300 e 64 0,0290 13 1500 bis < 1750 e 255 0,1154 3 300 bis < 400 e 109 0,0493 14 1750 bis < 2000 e 118 0,0534 4 400 bis < 500 e 73 0,0330 15 2000 bis < 2250 e 117 0,0530 5 500 bis < 625 e 180 0,0815 16 2250 bis < 2500 e 65 0,0294 6 625 bis < 750 e 112 0,0507 17 2500 bis < 2750 e 84 0,0380 7 750 bis < 875 e 126 0,0570 18 2750 bis < 3000 e 20 0,0091 8 875 bis < 1000 e 106 0,0480 19 3000 bis < 4000 e 103 0,0466 9 1000 bis < 1125 e 217 0,0982 20 4000 bis < 5000 e 41 0,0186 10 1125 bis < 1250 e 125 0,0566 21 5000 bis < 7500 e 18 0,0081 11 1250 bis < 1375 e 133 0,0602 22 > 7500 e 12 0,0054 2209 1,0000 Klassierung führt zu Informationsverlust Offene Klassen schließen 38 U N I V A R I A T E A N A L Y S E <?page no="38"?> sengrenze geschlossen werden. Die letzte Klasse wird häufig mit dem größten vorliegenden Wert geschlossen, das ist hier x = 15200 e . Einfache grafische Darstellungen Grafiken können statistische Informationen anschaulicher darstellen, ihre Informationen sind daher oftmals besser für die Kognition zu verarbeiten als Zahlenreihen. Für die grafisch gestützte Analyse einer Verteilung werden überwiegend zwei Grafiken eingesetzt: das Balkendiagramm und das Histogramm. Hierbei dient das Balkendiagramm der Visualisierung der Verteilung einer kategorialen Variablen, während das Histogramm der Visualisierung einer klassierten metrischen Variablen dient. (Der Boxplot ist eine weitere Grafik, fi Kap. 3.8.) Balkendiagramm Das Balkendiagramm wird manchmal auch als Streifendiagramm oder Stabdiagramm bezeichnet. Für jede Ausprägung ist im Diagramm ein Balken vorhanden, dessen Höhe (Y-Dimension) der zugehörigen Häufigkeit f j entspricht. Bei nominal skalierten Variablen spielt die Reihenfolge der Balken keine Rolle. Bei ordinalen oder metrischen Variablen ist die verheiratet zusammen lebend 2000 1500 1000 500 0 verheiratet getrennt lebend verwitwet geschieden ledig Abb. 3.1 3.2 3.2.1 Höhe der Balken entspricht Häufigkeit 39 E I N F A C H E G R A F I S C H E D A R S T E L L U N G E N <?page no="39"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- Reihenfolge der Balken bedeutsam. Die Breite der Balken hat dagegen keine Bedeutung. Beispiel: Die Häufigkeitsverteilung der Variablen Familienstand aus TA- BELLE 3.1 wird grafisch in der ABBILDUNG 3.1 veranschaulicht. Histogramm Das Histogramm repräsentiert die Häufigkeitsverteilung klassierter Daten. Dabei gilt, dass die Flächen über den Klassen proportional zu den Häufigkeiten in den Klassen sein sollen. Diese Forderung ist das Prinzip der Flächentreue. Somit können auf der Ordinate (Y-Achse) nicht mehr die Klassenhäufigkeiten abgetragen werden. In der Y-Dimension entspricht die Höhe der jeweiligen Fläche daher der so genannten Häufigkeitsdichte einer Klasse. Man berechnet die Häufigkeitsdichte, indem man die Klassenhäufigkeit durch die Klassenbreite teilt: H ¨ aufigkeitsdichte j = Klassenh ¨ aufigkeit f j Klassenbreite der jten Klasse Das Produkt aus Häufigkeitsdichte und Klassenbreite ergibt wieder die Klassenhäufigkeit. Beispiel: Die hauptberuflich Erwerbstätigen wurden im Rahmen des ALLBUS 2002 gefragt: „Wie viele Stunden pro Woche arbeiten Sie normalerweise in Ihrem Hauptberuf, einschließlich Überstunden? “ Die angegebenen Wochenarbeitsstunden (v214) werden hier in sechs Klassen klassifiziert. Unterschiedliche tarifliche Arbeitszeitregelungen und die Existenz von Teilzeittätigkeit legen hierbei Klassengrenzen (wie 20, 35, 40 Wochenarbeitsstunden) nahe, die zu unterschiedlichen Klassenbreiten führen. Die letzte Klasse wird mit der höchsten angegebenen Wochenarbeitszeit von 112 Stunden geschlossen. Tab. 3.3 Klassengrenze Häufigkeitsdichte j Klasse f j untere obere Breite 1 1 bis < 20 46 1 20 19 2,42 2 20 bis < 35 169 20 35 15 11,27 3 35 bis < 40 276 35 40 5 55,20 4 40 bis < 50 646 40 50 10 64,60 5 50 bis < 60 174 50 60 10 17,40 6 60 bis 112 139 60 112 52 2,67 1450 3.2.2 Größe der Flächen entspricht Häufigkeit 40 U N I V A R I A T E A N A L Y S E <?page no="40"?> Bei unterschiedlichen Klassenbreiten sind die Häufigkeitsdichten nicht mehr proportional zu den Klassenhäufigkeiten f j . Würde man die Häufigkeiten als Y-Dimension verwenden, um dann Flächen über den Klassenbreiten zu ermitteln, würde dieser visuelle Eindruck die tatsächlichen Verhältnisse verzerrt darstellen. Man erkennt anhand der Flächengrößen beispielsweise, dass in der vierten Klasse (40 bis < 50 Wochenstunden) mehr als doppelt so viele Ausprägungen enthalten sind wie in der dritten Klasse (35 bis < 40 Wochenstunden). Die vierte Klasse ist doppelt so breit wie ihre Nachbarklasse. Daher ist ihre Häufigkeitsdichte nicht doppelt so groß wie die der dritten Klasse. Für die grafische Darstellung metrischer Variablen (anhand von Balkendiagramm oder Histogramm) können Begriffe zur Charakterisierung der Gestalt der Verteilung herangezogen werden. Die ABBILDUNG 3.3 stellt verschiedene Beispiele zusammen, die jeweils durch eine Kombination von Begriffen für die Schiefe, für die Symmetrie oder für die Anzahl der „Gipfel“ qualitativ beschrieben werden. Für die Begriffe „eingipfelig“ bzw. „zweigipfelig“ verwendet man auch die Begriffe „unimodal“ bzw. „bimodal“. Die gängigen Statistikprogramme wie IBM SPSS oder Stata bieten nicht die Möglichkeit, Histogramme mit unterschiedlichen Klassenbreiten zu erstellen. Allerdings ist dies mit der (kostenlosen) Datenanalyse- Software R möglich (Manderscheid 2017). Stetige Variablen werden hier mit Histogrammen visualisiert, bei denen eine einheitliche Klassenbreite verwendet werden muss. Selber festlegen kann man dann die Zahl der Klassen, die Klassenbreite sowie den Anfangspunkt der Klassenbildung (die untere Klassengrenze der ersten Klasse). Dabei können die Anzahl der verwendeten Klassen und der Anfangspunkt für die Klassierung einen Einfluss auf die resultierende Gestalt der Histogramme haben. 0 20 40 60 80 100 120 0 10 20 30 40 50 60 70 Abb. 3.2 Beschreibung der Gestalt der Verteilung 41 E I N F A C H E G R A F I S C H E D A R S T E L L U N G E N <?page no="41"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- Beispiel: Die Variable Alter des Befragten (v185) ist im Bereich zwischen 18 Jahren und 94 Jahren im ALLBUS-Datensatz ausgeprägt. Die Verteilung wird mit verschiedenen Klassenbreiten und verschiedenen Anfangspunkten insgesamt viermal dargestellt (ABBILDUNG 3.4). Es zeigt sich, dass die Gestalt der Verteilung unterschiedlich erscheint. Bei gleichen Klassenbreiten, erscheint das rechte Histogramm jeweils symmetrischer als das linke, welches den Eindruck einer rechtsschiefen (linkssteilen) Verteilung vermittelt. Der Unterschied ist bei vier Klassen am deutlichsten, was auch an der geringen Anzahl der Klassen liegt. In diesem Fall liegt eine rechtsschiefe, linkssteile und eingipfelige Verteilung vor, die mit mindestens acht Klassen dargestellt werden sollte. Abb. 3.3 eingipfelig, symmetrisch linksschief, rechtssteil, eingipfelig zweigipfelig, symmetrisch, u-förmig j-förmig 42 U N I V A R I A T E A N A L Y S E <?page no="42"?> Erstellt man mit Hilfe einer Statistiksoftware ein Histogramm (und verzichtet so auf die Möglichkeit, eine theoriegeleitete Einteilung in unterschiedlich breite Klassen zugrunde zu legen), empfiehlt es sich, verschiedene Histogramme mit variierender Klassenzahl und variierendem Anfang anzufertigen und die Wahl des Histogramms nicht den Voreinstellungen der Software zu überlassen (ausführlicher dazu S CH NE LL 1994). Kreisdiagramm Die massenmediale Repräsentation von Daten verwendet häufig das Kreisdiagramm (auch Tortendiagramm oder Kuchendiagramm genannt). Bekannt sind die Darstellungen von Wahlergebnissen, bei denen die von den Parteien erzielten Prozentwerte der Wählerstimmen anhand 0 20 40 60 80 100 Klassenbreite: 25, Anfang: 0, 4 Klassen Klassenbreite: 25, Anfang: 10, 4 Klassen Klassenbreite: 10, Anfang: 10, 9 Klassen Klassenbreite: 10, Anfang: 16, 8 Klassen 0 20 40 60 80 100 0 25 50 75 100 0 2 5 50 75 100 Abb. 3.4 3.2.3 43 E I N F A C H E G R A F I S C H E D A R S T E L L U N G E N <?page no="43"?> tistik für Soziologen(3)__[Druckvon Kreisdiagrammen veranschaulicht werden. Das Kreisdiagramm gilt in der Datenanalyse als eine ungeeignete Datenanalysegrafik, da es visuell die Unterscheidung von Häufigkeiten oder Anteilen dann erschwert, wenn diese ähnlich groß sind. Beispiel: Die in ABBILDUNG 3.5 dargestellten fünf Prozentwerte 17 %, 18 %, 20 %, 22 % und 23 % sind in einem Kreisdiagramm und einem Balkendiagramm dargestellt (vgl. S CHNE L L 1994, S. 6). Das Kreisdiagramm lässt nur schwer erkennen, wie die Größenverhältnisse der Prozentwerte untereinander geartet sind, während dies bei dem Balkendiagramm sofort unterschieden werden kann. Kreisdiagramme verzerren zusätzlich die Einschätzung von Größenverhältnissen, wenn sie dreidimensional und perspektivisch angelegt sind. Mittelwerte Mittelwerte kennzeichnen die „Mitte“ von Verteilungen. Es gibt verschiedene Mittelwerte, deren Berechnung auf jeweils unterschiedlichen Konstruktionsprinzipien basiert. Bei den verschiedenen Mittelwerten liegt deshalb jeweils ein anderes Verständnis davon zugrunde, was unter „der Mitte“ einer Verteilung verstanden werden soll. Die für die soziologische Analyse wichtigen Mittelwerte sind das arithmetische Mittel, der Median und der Modus. Es gibt darüber hinaus noch weitere Mittelwerte für spezielle Anwendungen. Abb. 3.5 1 5 4 3 2 1 2 3 4 5 Warum Kreisdiagramme ungeeignet sein können 3.3 44 U N I V A R I A T E A N A L Y S E <?page no="44"?> Arithmetisches Mittel Das arithmetische Mittel x kann nur für metrisch skalierte Variablen berechnet werden. Es gibt den Schwerpunkt einer Verteilung an. Man bezeichnet diesen Mittelwert einer Verteilung im Alltag als „Durchschnitt“. Berechnet wird das arithmetische Mittel für eine metrische Variable, indem alle Ausprägungen aufaddiert werden und die Summe durch die Anzahl der Merkmalsträger geteilt wird. Die Berechnungsweise des arithmetischen Mittels ist formal: x = 1 n X n i = 1 x i Beispiel: Wenn man das Durchschnittsalter der Studierendengruppe berechnen will ( fi TABELLE 2.2) , summiert man die sieben Ausprägungen der Variable Alter für alle Studierende auf und teilt durch die Anzahl der Studenten: x = 1 7 ð 26 + 24 + 22 + 22 + 27 + 22 + 23 Þ = 166 7 = 23,71 Das Durchschnittsalter der Studenten in der Studierendengruppe beträgt also 23,71 Jahre. Das arithmetische Mittel zieht alle Ausprägungen einer Verteilung für die Berechnung des Mittelwertes heran. Daher beeinflussen auch Extremwerte das arithmetische Mittel. Es kann Werte annehmen, die für die einzelnen Ausprägungen einer diskreten Variablen nicht möglich sind. Beispiel: Im Rahmen des ALLBUS 2002 wurde erfragt, wie viele Personen im Haushalt des bzw. der Befragten leben. Das arithmetische Mittel der Variablen Anzahl der Haushaltspersonen (v363) ist x = 2,63. Allerdings leben in keinem realen Haushalt 2,63 Personen. Dieser Wert ergibt sich nur durch die Berechnungsweise und ist dann ein statistischer Kennwert für die Verteilung insgesamt. Median Der Median ~ x kann für ordinal und metrisch skalierte Variablen berechnet werden. Wenn man die Ausprägungen einer Verteilung der Größe nach ordnet („aufstellt“), dann ist der Median die Ausprägung, die man in der Mitte der geordneten Reihe findet. Der Median ist also im Wortsinn der „mittlere Wert“ einer Verteilung. Er unterteilt die Reihe in zwei Hälften: die eine Hälfte der Ausprägungen ist kleiner als (oder höchstens 3.3.1 Das arithmetische Mittel ist der Durchschnitt 3.3.2 Der Median ist der mittlere Wert 45 M I T T E L W E R T E <?page no="45"?> tistik für Soziologen(3)__[Druckgleich groß wie) der Median, die andere Hälfte der Ausprägungen ist größer als (oder zumindest gleich groß wie) der Median. Man sieht, dass für die Berechnung des Medians die übrigen Ausprägungen nur insoweit herangezogen werden, als sie zur Aufreihung der Fälle notwendig sind. In die Ermittlung des Medians geht dann ihre Ausprägung nicht ein. Der Median gibt also als Information nur einen Rangplatz (den in der Mitte) und die eine Ausprägung des in der Mitte der geordneten Reihe stehenden Falles wieder. Die übrigen Informationen, die die Variable aufweist, werden nicht ausgenutzt. Berechnet man den Median für metrische Variablen, zeigt sich, dass er unempfindlicher gegenüber Extremwerten ist als das arithmetische Mittel. Der Grund ist, dass für die Berechnung dieses Mittelwerts nur die Rangfolge der Ausprägungen betrachtet wird und nicht die Abstände zwischen den Ausprägungen. Wenn die Anzahl der Merkmalsträger und damit auch die der Ausprägungen ungerade ist, ist der Median ein tatsächlich vorkommender Wert. Wenn die Anzahl der Merkmalsträger aber eine gerade Zahl ist, muss man überlegen, wie man den Median ermittelt. Man könnte die beiden in der Mitte stehenden Ausprägungen angeben und aussagen, dass der Median im Intervall zwischen diesen beiden Werten liegt. Häufig werden aber die beiden Ausprägungen aufaddiert und die Summe durch 2 geteilt. Der Wert, der sich ergibt, wird dann als Median betrachtet. Diese Rechenoperation setzt metrisches Skalenniveau voraus. Beispiel: 27 Studierende sind danach befragt worden, wie häufig sie in den letzten vier Wochen eine Kulturveranstaltung besucht haben. Die 27 Angaben sind der Größe nach geordnet: 0; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 1; 2; 3; 3; 3 Median ; 3; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 6; 8; 8; 8; 10; 16 Die 14. Ausprägung teilt die geordnete Reihe in zwei gleiche Hälften und ist damit der Median: ~ x = 3 Genau besehen, stehen jeweils weniger als 50 % der Ausprägungen in der geordneten Reihe vor bzw. hinter dem Median, da der Median selbst ausgenommen ist. In diesem Beispiel sind dies jeweils 13 Ausprägungen, was also jeweils 48,15 % aller Ausprägungen ausmacht. Bei großer Fahlzahl fällt die eine Ausprägung des Medians aber nicht mehr ins Gewicht. Man kann über die Variable Zahl besuchter Kulturveranstaltungen sagen: Die mittlere Zahl besuchter Kulturveranstaltungen (der letzten vier Wochen) beträgt drei Veranstaltungen. 46 U N I V A R I A T E A N A L Y S E <?page no="46"?> Modus Der Modus h ist die Ausprägung einer diskreten Variablen, die die größte Häufigkeit hat. Die Berechnung des Modus ist für jedes Skalenniveau möglich. Man kann den Modus schnell ermitteln, indem man die Häufigkeitsverteilung erstellt und dann sieht, welche Ausprägung die größte Häufigkeit vorweisen kann. Der Modus ist der häufigste Wert, man kann ihn deshalb als den Wert interpretieren, der „typisch“ für eine Verteilung ist. Will man bei klassierten metrischen Variablen zum Ausdruck bringen, welcher Wert der Modus ist, kann das Problem auftreten, dass die Klasse mit der größten Häufigkeit nicht die Klasse mit der größten Häufigkeitsdichte ist. Man bezeichnet dann die Klasse mit der größten Häufigkeitsdichte als modale Klasse. Bei ordinalen und metrischen Variablen kann sich zeigen, dass zwei weit auseinander liegende Ausprägungen ähnlich oder sogar gleich häufig vorkommen. Dann spricht man von einer bimodalen Verteilung, um zu beschreiben, dass es eigentlich zwei typische Werte gibt, die zusammen geeignet sind, die Verteilung zu repräsentieren. Die Verteilung hat dann - wenn man so will - zwei Mitten. Beispiel: Die Variable Familienstand des Befragten (v239) im ALLBUS-Datensatz hat nominales Skalenniveau. Wenn man angeben will, was die Mitte der Verteilung ist, kann man mit der Ausprägung, die die größte Häufigkeit hat, den typischen Wert der Verteilung als Mitte ausweisen. Die erste Kategorie „verheiratet, zusammenlebend“ hat mit Abstand die größte Häufigkeit von f 1 = 1675 ( fi TABELLE 3.1) . Damit ist der Modus für die Verteilung h = „verheiratet, zusammenlebend“ Der „typische“ Familienstand der Befragten im ALLBUS-Datensatz ist also, verheiratet zu sein und mit dem Ehepartner zusammenzuleben. Quantile (Lagemaße) Ordnet man die Ausprägungen einer Verteilung der Größe nach an, so unterteilen Quantile die Verteilung so, dass ein festgelegter Anteil der Fälle vor ihnen steht. Für diese Fälle gilt, dass sie kleinere als oder höchstens gleich große Ausprägungen wie das Quantil haben. Quantile können für ordinal oder metrisch skalierte Variablen berechnet werden. Um für ein Quantil zu präzisieren, wie groß der Anteil der Ausprägungen ist, der kleiner als (oder höchstens so groß wie) das Quantil ist, ver- 3.3.3 Der Modus ist der häufigste Wert 3.4 Quantile unterteilen die geordnete Reihe in vorgegebener Weise 47 Q U A N T I L E ( L A G E M A ß E ) <?page no="47"?> tistik für Soziologen(3)__[Druckwendet man den Anteilswert als Index: x p ist das p . 100 %-Quantil der Verteilung der Variablen X. Beispiel: x 0.30 ist das 30 %-Quantil einer Verteilung von X. 30 % der Ausprägungen sind kleiner oder höchstens so groß wie x 0.30 . Das 50 %-Quantil x 0.50 ist der Median der Verteilung von X. Weitere häufig verwendete Quantile sind die Quartile. Sie unterteilen die geordnete Reihe der Ausprägungen in vier gleich große Gruppen. Dafür sind drei Quartile erforderlich: das 25 %-Quantil x 0.25 , das 50 %- Quantil x 0.50 (der Median) und das 75 %-Quantil x 0.75 . Man kann Quantile sehr flexibel einrichten, je nachdem, für welche Einteilung der geordneten Ausprägungsreihe man den entsprechenden Kennwert sucht. Quantile können für verschiedene Zwecke verwendet werden, z. B. für die Konstruktion von Streuungsmaßen ( fi Kap. 3.5) . Beispiel: Häufig ist man daran interessiert, Einkommensgruppen zu bilden. Man kann hierfür entweder eine Klassifikation heranziehen, oder man kann sie mit Hilfe von Quantilen einteilen. Wenn man vier Einkommensgruppen bilden will, die jeweils aus gleich vielen Fällen bestehen, kann man die drei Quartile berechnen. Für 2209 der Befragten im ALLBUS-Datensatz liegt eine Ausprägung für das Nettoeinkommen (v361) vor. Da die Anzahl der Ausprägungen sehr groß ist, wird einer Statistiksoftware die Ermittlung der Quartile überlassen. Es ergeben sich folgende Werte: x 0 : 25 = 700 e; x 0 : 50 = 1200 e; x 0 : 75 = 1800 e Diese drei Werte teilen die nach der Größe ihres Nettoeinkommens geordneten Befragten in vier Gruppen ein. Die unteren 25 % der Befragten verdienen bis 700 e , die zweiten 25 % der Befragten verdienen zwischen 700 e und 1200 e , die dritten 25 % der Befragten verdienen zwischen 1200 e und 1800 e und die oberen 25 % der Befragten verdienen 1800 e und mehr. Streuungsmaße Streuungsmaße geben an, wie stark sich die Ausprägungen einer Verteilung voneinander unterscheiden. Die Unterschiedlichkeit wird mit Streuungsmaßen in einer statistischen Maßzahl quantifiziert. Da man verschiedene Konstruktionsprinzipien für Streuungsmaße anwenden kann, je nachdem was man unter „Unterschiedlichkeit“ der Ausprägungen einer Verteilung versteht, existieren verschiedene Streuungsmaße mit verschiedenen Interpretationen. 3.5 Streuung misst die Unterschiedlichkeit metrischer Ausprägungen 48 U N I V A R I A T E A N A L Y S E <?page no="48"?> Spannweite Man kann zunächst eine ganz einfache Strategie anwenden, um die Unterschiedlichkeit der Ausprägungen zu erfassen. Man zieht einfach die kleinste und die größte Ausprägung heran und berechnet die Breite des Spektrums, in dem die Ausprägungen liegen. Dieses Breite des Spektrums nennt man die Spannweite der Verteilung (engl. „range“). Man erhält den Wert für die Spannweite, indem man die kleinste von der größten Ausprägung subtrahiert. Spannweite = größte Ausprägung - kleinste Ausprägung Man kann diese Berechnung auch mit Quantilen ausdrücken: Spannweite = x 1.00 - x 0.00 Beispiel: Das kleinste und das größte im ALLBUS 2002 angegebene Nettoeinkommen betragen x 0.00 = 50 e und x 1.00 = 15200 e . Die Spannweite der Variablen Nettoeinkommen beträgt damit: Spannweite = 15200 e - 50 e = 15150 e Man kann für die Befragten im ALLBUS 2002 sagen, dass das Nettoeinkommen mit einer Spannweite von 15150 e variiert. Die Spannweite hat zwar den Vorteil, dass sie leicht zu berechnen und leicht zu verstehen ist, sie wird aber selten eingesetzt. Denn ihr Nachteil besteht darin, dass nur die beiden Randwerte herangezogen werden und die Informationen der übrigen Daten nicht ausgeschöpft werden. Man erfährt also nichts darüber, wie die Ausprägungen zwischen diesen Randwerten variieren. Diese Randwerte können zudem weitab von den übrigen Werten liegen und Extremwerte sein. Quartilsabstand Häufiger wird deshalb ein anderes Maß eingesetzt, das ein ähnliches Konstruktionsprinzip wie die Spannweite hat. Der Quartilsabstand ist die Differenz zwischen dem ersten und dem dritten Quartil einer Verteilung. Er wird mit IQR (für engl. „interquartile range“) abgekürzt: IQR = x 0.75 - x 0.25 3.5.1 3.5.2 49 S T R E U U N G S M A ß E <?page no="49"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- Wie die Spannweite zieht also auch der Quartilsabstand nur zwei Werte heran, um die Unterschiedlichkeit der Ausprägungen in einer Zahl zum Ausdruck zu bringen. Im Unterschied zur Spannweite umgeht aber dieses Maß das Problem, dass die Randwerte möglicherweise weit von den übrigen Ausprägungen einer Verteilung entfernt liegen können. Der Quartilsabstand ist insofern unempfindlich dagegen. Da zwischen dem ersten und dem dritten Quartil genau 50 % der Ausprägungen liegen, gibt der Quartilsabstand an, wie breit das Spektrum ist, in dem die mittleren 50 % der Ausprägungen variieren. Beispiel: Der Quartilsabstand der angegebenen Nettoeinkommen der im Rahmen des ALLBUS Befragten beträgt: IQR = 1800 e - 700 e = 1100 e Die mittleren 50 % der angegebenen Nettoeinkommen variieren in einem Bereich, der eine Breite von 1100 e aufweist. Varianz und Standardabweichung Einer ganz anderen Logik folgen die Streuungsmaße Varianz var(x) und Standardabweichung s. Diese beiden sind die wichtigsten und gebräuchlichsten Streuungsmaße für metrische Variablen. Sie ziehen nicht nur die Ausprägungen von zwei Quantilen heran, sondern berücksichtigen alle Ausprägungen einer Verteilung. Varianz und Standardabweichung setzen jede Ausprägung in Bezug zum arithmetischen Mittelwert der Verteilung. Zuerst wird für jede Ausprägung die Abweichung zu x berechnet. Dann wird jede Distanz quadriert. Die Varianz ist das durchschnittliche Abweichungsquadrat der Verteilung: var ð x Þ = 1 n X n i = 1 ð x i x Þ 2 Je weiter die einzelnen Ausprägungen um die Mitte der Verteilung streuen, umso größer ist die Varianz der Variablen. Da die Abweichungen vom arithmetischen Mittel für jeden Fall quadriert werden, tragen große Abweichungen stärker zur Varianz bei als kleine Abweichungen. Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz: s = ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi var ð x Þ p Beispiel: Wie groß ist die Unterschiedlichkeit des Alters in der Studierendengruppe? Um diese Frage zu beantworten, kann man die Varianz IQR ist unempfindlich gegen Extremwerte 3.5.3 s und var(x) berücksichtigen alle Ausprägungen 50 U N I V A R I A T E A N A L Y S E <?page no="50"?> oder die Standardabweichung berechnen. Mit dem bekannten arithmetischen Mittelwert von x = 23 ; 71 kann man die TABELLE 3.4 erstellen. Die Varianz des Alters beträgt in der Studierendengruppe 3,63 Jahre 2 . Die Standardabweichung beträgt 1,91 Jahre. Die Werte, die die Varianz und die Standardabweichung jeweils realisieren können, sind wenig anschaulich. Zunächst einmal gilt, dass Varianz und Standardabweichung nur positive Werte realisieren können. (Sollten sie den Wert 0 annehmen, liegt keine Variable vor, da die Ausprägungen alle gleich sind und man eine Konstante hat.) Wenn die Unterschiedlichkeit der Ausprägungen einer Variablen klein ist, nehmen var(x) und s Werte an, die relativ klein, d. h. relativ nahe an 0 sind. var(x) und s werden sehr groß, wenn die Unterschiedlichkeit der Ausprägungen groß ist. Wenn ein Vergleichsmaßstab oder ein Vergleichsbezug fehlt, kann man das Ausmaß der Varianz bzw. Standardabweichung nicht einschätzen, dann weiß man also nicht, ab wann man von einer großen Varianz bzw. Standardabweichung und ab wann man von einer kleinen Varianz bzw. Standardabweichung sprechen kann. Zudem trägt die Skalierung (die Messeinheit) einer Variablen zu der Größenordnung von Varianz und Standardabweichung bei. Wenn man beispielsweise das Alter nicht in Jahren, sondern in Monaten angibt, erhält man andere Zahlenwerte für diese Streuungsmaße. Man kann daher nur Verteilungen mit gleicher Skalierung vergleichen (zum Beispiel die Unterschiedlichkeit der Nettoeinkommen in e für zwei Gruppen), um zu sehen, welche Verteilung eine größere Varianz bzw. Streuung aufweist. Oder i x i (x i - x ) (x i - x ) 2 1 26 2,29 5,22 2 24 0,29 0,08 3 22 - 1,71 2,94 4 22 - 1,71 2,94 5 27 3,29 10,80 6 22 - 1,71 2,94 7 23 - 0,71 0,51 166 0,00 25,43 var ð x Þ = 1 7 25,43 = 3,63 Jahre 2 s = ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi var ð x Þ p = ffiffiffiffiffiffiffiffi 3,63 p = 1,91 Jahre Tab. 3.4 51 S T R E U U N G S M A ß E <?page no="51"?> tistik für Soziologen(3)__[Druckman führt einen Vergleichsmaßstab ein. Diese Überlegung liegt dem Variationskoeffizienten zugrunde. Variationskoeffizient Der Variationskoeffizient v bezieht die Standardabweichung s auf das arithmetische Mittel x: v = s x Er gibt den Grad der Variation in Einheiten des arithmetischen Mittels wieder. Der Variationskoeffizient hat keine Messdimensionen mehr, er ist dimensionslos. Der Variationskoeffizient wird auch als Maß der relativen Streuung bezeichnet. (Zu beachten ist, dass x „ 0 ist, da nicht durch 0 geteilt werden darf.) Beispiel: Der Variationskoeffizient für das Alter in der Studierendengruppe ist: v ¼ 1,91 23,71 ¼ 0,08 Der Wert von 0,08 für den Variationskoeffizienten sagt aus, dass die Standardabweichung des Alters nur 8 % des Altersdurchschnitts in der Studierendengruppe ausmacht. Maße der qualitativen Variation Die Streuungsmaße setzen metrisches Skalenniveau voraus. Die Mehrheit der Variablen, die in soziologischen Datensätzen enthalten sind, weisen dieses Skalenniveau nicht auf. Bei nominal oder ordinal skalierten Variablen wird die Unterschiedlichkeit der Ausprägungen als qualitative Variation oder auch als Diversität bezeichnet. Im Falle einer dichotomen Variablen wäre ein einfaches Maß für die qualitative Variation die relative Häufigkeit p j ( fi Kap. 3.1) . Bei einer dichotomen Variablen mit nur zwei Kategorien gibt es zwei Werte für p j . Das sind p 1 und p 2 , die sich zu 1 aufsummieren (p 1 + p 2 = 1). Ein Beispiel ist die Verteilung des Merkmals Geschlecht bei den Studierenden in einer Vorlesung. Beträgt die relative Häufigkeit der weiblichen Studierenden (j = 1) beispielsweise p 1 = 0,5 so ist die qualitative Variation dieser Variablen maximal, denn die Studierendenschaft in der Vorlesung weist die größtmögliche Variation hinsichtlich des Geschlechts auf. Beträgt sie dagegen p 1 = 1 (nur weibliche Studierende) oder p 1 = 0 (keine weiblichen Studierenden) so ist die qualitative Variation jeweils minimal, denn es gibt in beiden Fällen keine Unterschiede hinsichtlich des Geschlechts. In 3.5.4 Normierung der Standardabweichung 3.6 Qualitative Variation misst die Unterschiedlichkeit kategorialer Ausprägungen 52 U N I V A R I A T E A N A L Y S E <?page no="52"?> diesem Beispiel zeigt sich, dass man nur ein p j benötigt, um die qualitative Variation anzugeben, da für die männlichen Studierenden (j = 2) die relative Häufigkeit p 2 immer die Differenz von p 1 zu 1 bildet (p 2 = 1 - p 1 ). Allerdings hat die relative Häufigkeit p j den Nachteil, dass es zwei Wertebereiche gibt, die zunehmend geringere qualitative Variation zum Ausdruck bringen. Das sind, von p j = 0,5 ausgehend, die Wertebereiche in Richtung 0 und in Richtung 1. Eine Lösung könnte sein, dass man nicht p j selbst verwendet, sondern das Produkt aus p j und (1 - p j ). Das mögliche Minimum liegt dann mit 0 . (1 - 0) = 0 bzw. 1 . (1 - 1) = 0 vor. Das mögliche Maximum liegt dann bei 0,5 . (1 - 0,5) = 0,25 vor. Das Produkt aus p j und (1 - p j ) hat sich nicht als Maß etabliert. Ein Grund ist darin zu sehen, dass damit nur die qualitative Variation für dichotome Variablen erfasst werden kann. (Allerdings taucht es als Bestandteil des Stichprobenfehlers des Anteilswertes wieder auf ( fi Kap. 6.3) . Die im Folgenden eingeführten Maße der qualitativen Variation basieren auf den hier angeführten Überlegungen und auf den relativen Häufigkeiten p j . Sie sind aber so konstruiert, dass sie für Variablen mit mehr als zwei Kategorien geeignet sind. Lieberson-Index und normierter Lieberson-Index Ein solches Maß hat Stanley Lieberson (1969) vorgeschlagen, daher ist es nach ihm benannt worden. Die qualitative Variation wird hierbei als maximal angesehen, wenn alle Kategorien einer kategorialen Variablen die gleiche relative Häufigkeit p j aufweisen. Minimale qualitative Variation liegt vor, wenn von J möglichen Kategorien nur eine empirisch vorkommt, die anderen dagegen nicht. Der Lieberson-Index A w berechnet sich mit A w = 1 X J j = 1 p 2 j Für die Berechnung von A w werden die relativen Häufigkeiten quadriert und dann summiert. Die Differenz zu 1 ist das Ausmaß der qualitativen Variation. Der Lieberson-Index ist 0, wenn die qualitative Variation minimal ist. Er kann maximal den Wert A w max = 1 - ( 1 / J ) annehmen. Man erkennt, dass das mögliche Maximum von A w von der Anzahl der Kategorien J abhängt. Man kann A w -Werte verschiedener Variablen also nur bei gleicher Anzahl von Kategorien J vergleichen. Eine vereinfachte Interpretation ergibt sich, wenn man A w auf das Intervall [0; 1] normiert. Dies ist einfach zu erreichen, indem man den empirischen A w -Wert durch den maximal möglichen Wert A w max teilt und so den normierten Lieberson- Index erhält. 3.6.1 53 M A ß E D E R Q U A L I T A T I V E N V A R I A T I O N <?page no="53"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- A w normiert = A w A w max A w normiert variiert nun im Intervall [0; 1] und kann damit gut interpretiert werden. Sowohl A w als auch A w normiert sind dimensionslose Maße. Beispiel: Im Rahmen des ALLBUS 2002 wurde nach der Wahlabsicht gefragt, konkreter danach, welcher Partei der bzw. die Befragte seine bzw. ihre Zweitstimme geben würde, wenn am kommenden Sonntag Bundestagswahl wäre (v521). Es waren 8 Antwortkategorien möglich (J = 8). Die Summe in der letzten Spalte der TABELLE 3.5 kann man in die Formel zur Berechnung von A w einsetzen: A w = 1 X 8 j = 1 p 2 j = 1 0,2237 = 0,7763 Der Wert zeigt an, dass eine große qualitative Variation vorliegt. Allerdings kann man die Größe des Wertes noch nicht gut einschätzen, da das Spektrum, in dem dieser empirische Wert variieren kann, nicht normiert ist. Für die Normierung wird der maximal mögliche Wert berechnet: A w max = 1 1 J = 1 1 8 = 1 0,125 = 0,875 Der normierte Lieberson-Index beträgt dann: A w normiert = A w A w max = 0,7763 0,8750 = 0,8872 Man sieht hier nun deutlicher, wie groß die qualitative Variation der Wahlabsicht ist, wenn man die Nähe zum möglichen Maximum von 1 bedenkt. Tab. 3.5 j Partei f j p j p j 2 1 CDU/ CSU 734 0,3208 0,1029 2 SPD 664 0,2902 0,0842 3 FDP 296 0,1294 0,0167 4 Bündnis 90/ Grüne 219 0,0957 0,0092 5 Republikaner 27 0,0118 0,0001 6 PDS 113 0,0494 0,0024 7 andere Partei 30 0,0131 0,0002 8 Nichtwähler 205 0,0896 0,0080 2288 1,0000 0,2237 54 U N I V A R I A T E A N A L Y S E <?page no="54"?> Devianz und relative Devianz Ein weiteres und bekannteres Maß der qualitativen Variation ist die Devianz D x (K ÜHNE L / K R E B S 2012). Für die Berechnung von D x wird der natürliche Logarithmus ( fi Kap. 12.5) der relativen Häufigkeiten ermittelt. Die logarithmierten p j werden jeweils mit den absoluten Häufigkeiten f j multipliziert. Die Devianz berechnet sich dann mit: D x = 2 X J j = 1 ln ð p j Þ f j Die Devianz nimmt Werte nahe 0 an, wenn die qualitative Variation klein ist, und sie nimmt sehr große Werte an, wenn die qualitative Variation groß ist. Die Devianz ist dimensionslos. Sie hat den Nachteil, dass ihre Größe nicht nur von dem Ausmaß der qualitativen Variation, sondern auch von der Fallzahl n abhängt. Die relative Devianz teilt die Devianz deshalb durch die Fallzahl: d x = D x n Beispiel: Greifen wir wieder das obige Beispiel zur Wahlabsicht aus dem ALLBUS 2002 auf. Für die qualitative Variation der Wahlabsicht sollen die Devianz D x und die relative Devianz d x berechnet werden. Die Summe der letzten Spalte aus TABELLE 3.6 kann man in die Formel für D x einsetzen: D x ¼ ð 2 Þ ð 3859,52 Þ ¼ 7719,04 Die Devianz wird auch durch dieses Maß als offenbar sehr groß ausgewiesen. Man kann sagen, dass der hier vorliegende Wert für D x weit von 0 entfernt ist, aber die genauere Einschätzung des Ausmaßes der j Partei f j p j ln(p j ) ln(p j ) . f j 1 CDU/ CSU 734 0,3208 - 1,1369 - 834,5025 2 SPD 664 0,2902 - 1,2372 - 821,4684 3 FDP 296 0,1294 - 2,0451 - 605,3419 4 Bündnis 90/ Grüne 219 0,0957 - 2,3464 - 513,8532 5 Republikaner 27 0,0118 - 4,4396 - 119,8691 6 PDS 113 0,0494 - 3,0080 - 339,9091 7 andere Partei 30 0,0131 - 4,3342 - 130,0271 8 Nichtwähler 205 0,0896 - 2,4124 - 494,5468 2288 1,0000 - 3859,5180 Tab. 3.6 3.6.2 55 M A ß E D E R Q U A L I T A T I V E N V A R I A T I O N <?page no="55"?> tistik für Soziologen(3)__[Druckqualitativen Variation ist nicht möglich, da man nicht weiß, was das mögliche Maximum von D x ist. Denn dieses hängt nicht nur von J, sondern auch von n ab und variiert somit (anders als das Maximum bei A w normiert , das für alle Variablen 1 ist). Man kann den erhaltenen Wert mit dem möglichen Maximum für diese Tabelle bei vorliegender Fallzahl vergleichen. Dieser läge vor, wenn die relativen Häufigkeiten der acht Kategorien gleich groß wären. Die TABELLE 3.7 stellt diese theoretische Verteilung dar. Man sieht im Vergleich zwischen der empirischen Devianz D x und der theoretischen maximalen Devianz D x max , dass der empirische Wert für die Devianz bereits sehr hoch ist. Als empirische relative Devianz für die Wahlabsicht erhält man: d x = 7719,04 2288 = 3,37 Die relative Devianz ist 0, wenn die qualitative Variation minimal ist, sie nimmt deutlich kleinere Werte als D x an, wenn die qualitative Variation groß ist. Werte für d x kann man zwischen verschiedenen Verteilungen mit unterschiedlichen Fallzahlen vergleichen. Leider ist d x nicht auf das Intervall [0; 1] normiert, was die Interpretation des Zahlenwertes vereinfachen würde. Die theoretische maximale relative Devianz kann als Bezug dienen: d xmax = D xmax n = 9515,52 2288 = 4,16 Im Vergleich mit dem maximal möglichen Wert für die relative Devianz zeigt sich, dass der empirische Wert ein großes Ausmaß der qualitativen Variation der Wahlabsicht anzeigt. Tab. 3.7 j Partei f j p j ln(p j ) ln(p j ).f j 1 CDU/ CSU 286 0,1250 - 2,0794 - 594,7203 2 SPD 286 0,1250 - 2,0794 - 594,7203 3 FDP 286 0,1250 - 2,0794 - 594,7203 4 Bündnis 90/ Grüne 286 0,1250 - 2,0794 - 594,7203 5 Republikaner 286 0,1250 - 2,0794 - 594,7203 6 PDS 286 0,1250 - 2,0794 - 594,7203 7 andere Partei 286 0,1250 - 2,0794 - 594,7203 8 Nichtwähler 286 0,1250 - 2,0794 - 594,7203 2288 1,0000 - 4757,7622 D xmax = ð 2 Þ ð 4757,76 Þ = 9515,52 Maximale Devianz bei Gleichverteilung 56 U N I V A R I A T E A N A L Y S E <?page no="56"?> Konzentration Für metrische Variablen kann man die Konzentration analysieren. Die Konzentration besteht in dem Ausmaß der „Ballung“ von Merkmalssummen auf Merkmalsträger. Konzentrationsmaße erfassen einen anderen statistischen Aspekt als Streuungsmaße. Während Streuungsmaße die Unterschiedlichkeit der Ausprägungen in einer Maßzahl angeben, bringen Konzentrationsmaße Anteile von Merkmalsträgern in Verbindung zu den Merkmalssummen, die diese Merkmalsträger auf sich vereinigen. Eine Aussage wie: „Die reichsten 10 Prozent der Haushalte in Deutschland besitzen 42 Prozent des Vermögens“ gibt das Ausmaß der Konzentration an, indem eine Konzentrationsrate (42 %) auf einen vorher festgelegten prozentualen Anteil der Merkmalsträger (10 %) bezogen wird. Solche Konzentrationsraten sind zwar anschaulich, sie betrachten aber nur einen Teil der Konzentration einer Verteilung. Die Festlegung, welcher Anteil der Merkmalsträger herangezogen wird, kann willkürlich erscheinen. Lorenzkurve Eine grafische Darstellung der Konzentration, die systematisch Anteile an Merkmalsträgern zu den korrespondierenden Anteilen an Merkmalssummen in Beziehung setzt, ist die Lorenzkurve. Hierfür werden die Merkmalsträger der Größe ihrer Ausprägungen nach geordnet. Dann werden schrittweise die Anteile der Merkmalsträger aufsummiert und die zugehörigen Anteile der Merkmalssummen, die sie jeweils auf sich vereinigen, zugeordnet. Die Lorenzkurve für klassierte Daten wird folgendermaßen berechnet: Bei klassierten Daten ist die Anordnung der Merkmalsträger bereits durch die Klassierung gegeben. Der Anteil der Merkmalsträger in der j-ten Klasse ist im Grunde dasselbe wie die relative Häufigkeit p j der Ausprägungen in dieser Klasse. Daher wird auch hier p j verwendet und nach bekannter Formel berechnet: p j = f j P J j = 1 f j = f j n Dann kumuliert man die Anteile der Einkommensbezieher p j jeweils bis zur j-ten Klasse zu p j cum auf. Der Anteil an der Merkmalssumme, den die Merkmalsträger der j-ten Klasse auf sich vereinigen, ist m j . Für die Berechnung bei klassierten Daten benötigt man die Klassenmitten x j . Diese werden berechnet, indem man die beiden Klassengrenzen einer Klasse 3.7 Streuung vs. Konzentration 3.7.1 Visualisierung der Konzentration 57 K O N Z E N T R A T I O N <?page no="57"?> tistik für Soziologen(3)__[Druckaddiert und die Summe halbiert. Die Klassenmitten x j werden mit der Häufigkeit f j multipliziert, um die Merkmalssumme in der j-ten Klasse zu ermitteln. Das Verhältnis der Merkmalssumme der j-ten Klasse zur Merkmalssumme aller Klassen ist der Anteil der Merkmalssumme m j der j-ten Klasse: Tab. 3.8 j Klasse f j p j X-Koordinaten p j cum x j x j . f j m j Y-Koordinaten m j cum 1 0 bis < 200 e 36 0,0163 0,0163 100,0 3600,0 0,0011 0,0011 2 200 bis < 300 e 64 0,0290 0,0453 250,0 16000,0 0,0049 0,0060 3 300 bis < 400 e 109 0,0493 0,0946 350,0 38150,0 0,0117 0,0177 4 400 bis < 500 e 73 0,0330 0,1277 450,0 32850,0 0,0100 0,0277 5 500 bis < 625 e 180 0,0815 0,2091 562,5 101250,0 0,0310 0,0587 6 625 bis < 750 e 112 0,0507 0,2598 687,5 77000,0 0,0235 0,0822 7 750 bis < 875 e 126 0,0570 0,3169 812,5 102375,0 0,0313 0,1135 8 875 bis < 1000 e 106 0,0480 0,3649 937,5 99375,0 0,0304 0,1439 9 1000 bis < 1125 e 217 0,0982 0,4631 1062,5 230562,5 0,0705 0,2144 10 1125 bis < 1250 e 125 0,0566 0,5197 1187,5 148437,5 0,0454 0,2597 11 1250 bis < 1375 e 133 0,0602 0,5799 1312,5 174562,5 0,0534 0,3131 12 1375 bis < 1500 e 95 0,0430 0,6229 1437,5 136562,5 0,0417 0,3548 13 1500 bis < 1750 e 255 0,1154 0,7383 1625,0 414375,0 0,1267 0,4815 14 1750 bis < 2000 e 118 0,0534 0,7918 1875,0 221250,0 0,0676 0,5492 15 2000 bis < 2250 e 117 0,0530 0,8447 2125,0 248625,0 0,0760 0,6252 16 2250 bis < 2500 e 65 0,0294 0,8742 2375,0 154375,0 0,0472 0,6724 17 2500 bis < 2750 e 84 0,0380 0,9122 2625,0 220500,0 0,0674 0,7398 18 2750 bis < 3000 e 20 0,0091 0,9212 2875,0 57500,0 0,0176 0,7574 19 3000 bis < 4000 e 103 0,0466 0,9679 3500,0 360500,0 0,1102 0,8676 20 4000 bis < 5000 e 41 0,0186 0,9864 4500,0 184500,0 0,0564 0,9240 21 5000 bis < 7500 e 18 0,0081 0,9946 6250,0 112500,0 0,0344 0,9584 22 7500 bis 15200 e 12 0,0054 1,0000 11350,0 136200,0 0,0416 1,0000 2209 1,0000 3271050,0 1,0000 58 U N I V A R I A T E A N A L Y S E <?page no="58"?> m j = x j f j P J j = 1 x j f j Dann kumuliert man die Anteile der Merkmalssummen m j jeweils bis zur j-ten Klasse zu m j cum auf. Die Wertepaare (p j cum ; m j cum ) können als die X-Y-Koordinaten von Punkten betrachtet werden, die man in einem zweidimensionalen X-Y-Koordinatensystem einzeichnen kann. Die Verbindungslinie zwischen den Punkten (p j cum ; m j cum ) bildet die Lorenzkurve. Die Lorenzkurve beginnt immer bei dem Wertepaar (0; 0), denn 0 % der Merkmalsträger vereinigen 0 % der Merkmalssumme auf sich. Der Endpunkt der Lorenzkurve ist immer das Wertepaar (1; 1), denn 100 % der Merkmalsträger vereinigen 100 % der Merkmalssumme auf sich. Beispiel: Anhand der ALLBUS-Daten zum klassierten Nettoeinkommen (v362) soll das Ausmaß der Konzentration des Einkommens grafisch dargestellt werden. Wenn keine Konzentration vorläge, würden sich proportionale Paarungen ergeben, d. h., der kumulierte Anteil der Einkommensbezieher p j cum würde immer den gleichen Anteilswert an kumuliertem Einkommen m j cum auf sich vereinigen. Wenn aber einige der Anteile der Einkommensbezieher mit größeren bzw. geringeren Anteilen an der Einkommenssumme einhergehen, liegt Konzentration vor. 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 Lorenzkurve p j cum m j cum Abb. 3.6 59 K O N Z E N T R A T I O N <?page no="59"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- Die TABELLE 3.8 liefert 22 Wertepaare für die X-Y-Koordinaten. Hinzukommt dann das Wertepaar (0; 0), so dass 23 Punkte zu verbinden sind. Die Lorenzkurve ist die Linie, die in der ABBILDUNG 3.6 unterhalb der grauen Fläche verläuft. Oberhalb der grauen Fläche verläuft die Diagonale, die die Punkte (0; 0) und (1; 1) als Gerade verbindet. Die Größe der Fläche zwischen der Diagonalen und der Lorenzkurve gibt das Ausmaß der Konzentration an. Je stärker die Lorenzkurve von der Diagonalen abweicht, umso stärker ist die Konzentration des metrischen Merkmals. In der ABBILDUNG 3.7 ist die Lorenzkurve der empirischen Konzentration zum Vergleich mit den Lorenzkurven zweier theoretischer Konzentrationen dargestellt (auf Schraffierungen wurde verzichtet). Die empirische Lorenzkurve, die sich im Einkommensbeispiel ergibt, ist mit 2 gekennzeichnet. Die theoretische Lorenzkurve 1 würde sich ergeben, wenn keine Konzentration vorhanden wäre. Dann lägen immer Wertepaare (p j cum ; m j cum ) vor, die aus gleichen Zahlenwerten bestünden. (Keine Konzentration liegt vor, wenn alle Merkmalsträger in eine Klasse fallen.) Die theoretische Lorenzkurve 3 drückt eine stärkere Konzentration als die empirische aus, die aber noch nicht maximal ist. Maximale Konzentration läge vor, wenn ein einziger Merkmalsträger die gesamte Merkmalssumme auf sich vereinigen würde und die übrigen Merkmalsträger keinen Anteil an der Merkmalssumme vorzuweisen hätten. In diesem Falle würde die Lorenzkurve bei (0; 0) beginnend auf der X-Achse Abb. 3.7 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 3 1 2 m j cum p j cum Flächengröße unter Diagonalen repräsentiert Konzentration 60 U N I V A R I A T E A N A L Y S E <?page no="60"?> entlanglaufen und dann (fast genau) bei (0; 1) sprunghaft zum Wert (1; 1) aufsteigen. (Damit dieser idealtypische Verlauf der Lorenzkurve möglich ist, müsste allerdings eine erste Klasse eingerichtet werden, die die Klassenbreite 0 hat, da ansonsten die Merkmalsträger mit der Ausprägung 0 in eine Klasse fielen, die eine von 0 verschiedene Klassenmitte hätte.) Tab. 3.9 j Klasse p j m j cum m j-1 cum p j m j 1cum + m jcum 2 1 0 bis < 200 e 0,0163 0,0011 0,0000 0,0000 2 200 bis < 300 e 0,0290 0,0060 0,0011 0,0001 3 300 bis < 400 e 0,0493 0,0177 0,0060 0,0006 4 400 bis < 500 e 0,0330 0,0277 0,0177 0,0007 5 500 bis < 625 e 0,0815 0,0587 0,0277 0,0035 6 625 bis < 750 e 0,0507 0,0822 0,0587 0,0036 7 750 bis < 875 e 0,0570 0,1135 0,0822 0,0056 8 875 bis < 1000 e 0,0480 0,1439 0,1135 0,0062 9 1000 bis < 1125 e 0,0982 0,2144 0,1439 0,0176 10 1125 bis < 1250 e 0,0566 0,2597 0,2144 0,0134 11 1250 bis < 1375 e 0,0602 0,3131 0,2597 0,0172 12 1375 bis < 1500 e 0,0430 0,3548 0,3131 0,0144 13 1500 bis < 1750 e 0,1154 0,4815 0,3548 0,0483 14 1750 bis < 2000 e 0,0534 0,5492 0,4815 0,0275 15 2000 bis < 2250 e 0,0530 0,6252 0,5492 0,0311 16 2250 bis < 2500 e 0,0294 0,6724 0,6252 0,0191 17 2500 bis < 2750 e 0,0380 0,7398 0,6724 0,0268 18 2750 bis < 3000 e 0,0091 0,7574 0,7398 0,0068 19 3000 bis < 4000 e 0,0466 0,8676 0,7574 0,0379 20 4000 bis < 5000 e 0,0186 0,9240 0,8676 0,0166 21 5000 bis < 7500 e 0,0081 0,9584 0,9240 0,0077 22 7500 bis 15200 e 0,0054 1,0000 0,9584 0,0053 1,0000 0,3100 61 K O N Z E N T R A T I O N <?page no="61"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- Lorenz-Münzner-Maß Von der Lorenzkurve ausgehend lässt sich ein Konzentrationsmaß entwickeln, das quantifiziert, wie stark ein metrisches Merkmal konzentriert ist. Das Konzentrationsmaß ist das Lorenz-Münzner-Maß, das auch Gini-Koeffizient genannt wird. Es ist dimensionslos und wird mit K L notiert. Dieses Maß variiert zwischen 0 (keine Konzentration) und näherungsweise 1 (maximale Konzentration) und lässt sich daher gut interpretieren. K L wird berechnet mit: K L = 1 2 X J j = 1 p j m j 1cum + m jcum 2 Die Werte für p j und m j cum liegen schon in der TABELLE 3.8 vor. Mit Hilfe der TABELLE 3.9 kann man K L berechnen. Es ergibt sich für K L : K L = 1 2 0,31 = 0,38 Hier liegt also eine empirische Konzentration mittlerer Stärke für das klassierte Nettoeinkommen der Befragten im ALLBUS-Datensatz vor. Zum Vergleich: Für die theoretische Lorenzkurve 1 ist K L = 0, für die theoretische Lorenzkurve 3 ist K L = 0,73. Es wird empfohlen für die Erfassung der Konzentration sowohl die Lorenzkurve zu erstellen, als auch das Lorenz- Münzner-Maß zu berechnen. Bemerkung: Die Lorenzkurve und das Lorenz-Münzner-Maß kann man auch konstruieren bzw. berechnen, wenn man nicht klassierte Daten vorliegen hat. Die vereinfachten Formeln für p j und m j erhält man, indem man f j = 1 setzt und dann mit den nicht klassierten Ausprägungen x i statt der Klassenmitten x j rechnet. Boxplot Für metrische Variablen ist der von J OHN W. T UK EY (1915 - 2000) entwickelte Boxplot eine geeignete Datenanalysegrafik, die eine Verteilung hinsichtlich ihrer Mitte, Streuung, Schiefe und Extremwerte anschaulich darstellt. Ist man mit Boxplots erst einmal vertraut, kann man die wesentlichen statistischen Aspekte der Verteilung einer metrischen Variablen grafisch schnell erkennen und interpretieren. Beispiel: Die Verteilung der Zahl besuchter Kulturveranstaltungen von 27 Studierenden ( fi Kap. 3.3.2) wird in ABBILDUNG 3.8 mit einem Boxplot und mit einem Balkendiagramm dargestellt. 3.7.2 3.8 62 U N I V A R I A T E A N A L Y S E <?page no="62"?> (Das Balkendiagramm ist hier gedreht und vertikal angeordnet.) Die Breite des Boxplots hat keine Bedeutung. Der dicke Strich in der Box (in dem Kasten) ist der Median ( ~ x = 3). Die Streuung der Verteilung wird durch die Höhe des Kastens repräsentiert, denn der untere Rand der Box ist das erste Quartil, der obere Rand das dritte Quartil. Die Ausprägungen für das erste und das dritte Quartil sind x 0.25 = 1 und x 0.75 = 4. Die Höhe der Box entspricht damit dem Quartilsabstand (IQR = 4 - 1 = 3). In der Box liegen damit 50 % der Fälle. Diese teilen sich so auf, dass 25 % der Fälle oberhalb und 25 % der Fälle unterhalb des Medians (dicker Strich) in der Box liegen. Wichtig: Obwohl die Fläche der Box oberhalb 2 4 6 8 10 12 14 16 18 0 -2 Boxplot Balkendiagramm Abb. 3.8 Interpretation des Boxplots 63 B O X P L O T <?page no="63"?> tistik für Soziologen(3)__[Druckdes Medians in diesem Fall kleiner ist, liegen hier also genauso viele Fälle wie in dem Bereich der Box unterhalb des Medians. Die beiden T-Formen, die vom unteren Rand der Box nach unten und vom oberen Rand der Box nach oben ragen sind die „Whisker“. Sie ragen jeweils bis zur letzen Ausprägung, die maximal das 1,5fache der Höhe der Box (des Quartilsabstands) von der Box entfernt ist. Werte, die das 1,5fache bis 3fache der Höhe der Box (des Quartilsabstands) von der Box entfernt liegen, sind Ausreißer und werden als Kreis markiert. Hier liegt ein Ausreißer mit x i = 10 vor. Werte, die noch weiter als das 3fache der Höhe der Box (des Quartilsabstands) von der Box entfernt liegen, sind extreme Ausreißer, die mit einem Stern markiert werden. Hier findet sich ein extremer Ausreißer mit x i = 16. Im Vergleich mit dem Balkendiagramm zeigt sich, dass der Boxplot schnell erkennen lässt, wo die Mitte der Verteilung liegt und wie die Streuung zu bemessen ist. Boxplots sind besonders geeignet, um Gruppenvergleiche zu visualisieren, indem man für jede Gruppe einen Boxplot anfertigt und diese nebeneinander plottet. z-Standardisierung Eine für verschiedene Zwecke nützliche Transformation (Umrechnung) ist die z-Standardisierung. Mit ihrer Hilfe können z. B. Verteilungen, die in unterschiedlichen Skalierungen (Messeinheiten) vorliegen, vergleichbar gemacht werden. Jede Ausprägung x i einer Variablen X wird in einen z-Wert transformiert, so dass danach für jeden Merkmalsträger ein x-Wert sowie ein z-Wert vorliegen. Die z-Standardisierung besteht aus zwei Schritten: (1) von jedem x i wird das arithmetische Mittel x subtrahiert, und (2) die so gebildete Differenz (x i - x ) wird dann durch s x , die Standardabweichung von X, geteilt: z i = x i x s x Genauer betrachtet besteht die z-Standardisierung also aus zwei Transformationen. Der erste Schritt ist eine Mittelwertzentrierung und der zweite Schritt eine Normierung. Die Mittelwertzentrierung, also die Berechnung der Differenzen (x i - x ) für alle x i , hat zur Folge, dass der neue Mittelwert der Differenzen bei 0 liegt. Die Verteilung von X wird also in diesem Schritt um den Mittelwert x so verschoben, dass ihr neuer Schwerpunkt bei 0 liegt. Die Normierung bewirkt, dass die Differenzen eine Standardabweichung von s = 1 erhalten. Normiert wird die Standardabweichung der z-Werte (nicht der Bereich ihrer möglichen Ausprägungen). Man Boxplot versus Balkendiagramm 3.9 Zweck der z-Standardisierung Mittelwertzentrierung und Normierung 64 U N I V A R I A T E A N A L Y S E <?page no="64"?> kann verschiedene Eigenschaften der z-Standardisierung festhalten, die für alle z-standardisierten Variablen gelten: (1) das arithmetische Mittel ist immer z ¼ 0 und (2) die Standardabweichung der z-Werte ist immer s z = 1. (3) Da sowohl die Differenzen (x i - x ) als auch die Standardabweichung von X (s x ) in Messeinheiten von X vorliegen, kürzen sich diese durch die Berechnung von z heraus. Die z-Werte haben keine Messdimension mehr, sie sind dimensionslos. Beispiel: Die Gruppe der sieben Studierenden hatte einen arithmetischen Mittelwert für das Alter von x ¼ 23; 71 Jahren und eine Standardabweichung des Alters von s x = 1,91 Jahren. Die TABELLE 3.10 beinhaltet für jeden Studierenden das Alter x i , die Differenz (x i - x ) und z i . Die z i -Werte geben anhand des Vorzeichens unmittelbar Auskunft darüber, ob ein Studierender in Bezug auf den Durchschnitt der Studierendengruppe über- oder unterdurchschnittlich alt ist. z = 0 bedeutet, dass ein Studierender ein Durchschnittsalter aufweist. Ist z < 0 ist der Studierende unterdurchschnittlich alt, also jünger als der Durchschnitt. Ist z > 0, dann ist ein Studierender älter als der Durchschnitt. Diese Information kann man an den z-Werten ablesen, ohne sie mit dem arithmetischen Mittelwert vergleichen zu müssen. Das gilt nicht für die x-Werte. Die Größenordnung von z i gibt auch an, wie viele Standardabweichungen eine Ausprägung vom Durchschnittswert entfernt ist. Der erste Studierende hat einen z-Wert von 1,20. Das Alter des Studierenden ist überdurchschnittlich hoch, und zwar 1,2 Standardabweichungen höher als der Durchschnittswert. i x i (x i - x ) z i 1 26 2,29 1,20 2 24 0,29 0,15 3 22 - 1,71 - 0,90 4 22 - 1,71 - 0,90 5 27 3,29 1,72 6 22 - 1,71 - 0,90 7 23 - 0,71 - 0,37 166 0,00 0,00 Tab. 3.10 Eigenschaften z-standardisierter Variablen Interpretation von z-Werten 65 Z - S T A N D A R D I S I E R U N G <?page no="65"?> Bivariate Analyse Inhalt 4.1 Kausalität und statistische Analyse 4.2 Tabellenanalyse 4.2.1 Kontingenztabelle 4.2.2 Spaltenprozentuierung 4.2.3 Prozentsatzdifferenz 4.2.4 Odds Ratio und Yule’s Q 4.2.5 2 und Cramer’s V 4.3 Korrelation und Regression 4.3.1 Streudiagramm 4.3.2 Kovarianz und Korrelationskoeffizient 4.3.3 Bivariate Regression 4.4 Bivariate Zusammenhangsmaße im Überblick In der bivariaten Analyse wird der statistische Zusammenhang zwischen zwei Variablen untersucht. Der Begriff „bivariat“ bezieht sich auf das gemeinsame Variieren zweier Variablen. Anstatt wie in der univariaten Analyse von jedem Merkmalsträger nur genau eine Ausprägung einer Variablen z. B. X heranzuziehen und so für viele Merkmalsträger deren Ausprägungen x i als die Verteilung von X zu analysieren, werden von jedem Merkmalsträger in der bivariaten Analyse jeweils genau zwei Ausprägungen herangezogen, je eine der beiden betrachteten Variablen z. B. X und Y. Die bivariate Analyse untersucht, wie die Kombinationen der Ausprägungen zweier Variablen sich verteilen. Denn bei jedem Merkmalsträger liegt eine Ausprägungskombination - ein Wertepaar (x i ; y i ) - vor, und diese Ausprägungskombination kann man für eine Menge von Merkmalsträgern als eine Verteilung von Ausprägungskombinationen 4 Bivariate Analyse untersucht gemeinsame Variation zweier Variablen 66 <?page no="66"?> betrachten. Man spricht hier daher auch von einer bivariaten oder zweidimensionalen Häufigkeitsverteilung. Statistisch interessiert nun, ob die bivariate Verteilung der Ausprägungskombinationen einen statistischen Zusammenhang zwischen X und Y zum Ausdruck bringt oder ob eine bivariate Verteilung zweier statistisch voneinander unabhängiger Variablen vorliegt. Man kann statistische Zusammenhänge in einer Grafik visualisieren, tabellarisch darstellen oder versuchen, anhand einer statistischen Maßzahl die Stärke eines statistischen Zusammenhangs auszudrücken. Leitfragen der bivariaten Analyse sind: Gibt es ein „Muster“ in der Verteilung der Ausprägungskombinationen, so dass man sagen kann, es liegt ein statistischer Zusammenhang zwischen zwei Variablen vor? Wie lässt sich die Stärke des Zusammenhangs einfach erfassen, darstellen und interpretieren? Eine Strategie, um das Vorliegen und die Stärke eines Zusammenhangs zu untersuchen, ist der Vergleich einer empirischen bivariaten Verteilung von Ausprägungskombinationen mit einer theoretischen bivariaten Verteilung. Wenn eine theoretische bivariate Verteilung konstruiert werden kann, die sich ergeben würde, wenn kein statistischer Zusammenhang zwischen zwei Variablen X und Y bestünde, dann kann man die empirische Verteilung mit der theoretischen Verteilung daraufhin vergleichen, ob sie voneinander abweichen. Wenn sie voneinander abweichen, dann sagt man, dass ein Zusammenhang zwischen X und Y vorliegt. Kausalität und statistische Analyse Definition Kausalität Von Kausalität spricht man, wenn ein Sachverhalt als eine Ursache angesehen wird und ein anderer Sachverhalt als dessen Wirkung. Nach I MMA- NUE L K ANT ist das Denken in Kausalitätsbeziehungen ein grundlegendes menschliches Erkenntnis- und Denkschema. Damit ist gemeint, dass der menschliche Verstand versucht, Ursachen und Wirkungen auszumachen und beide als durch eine Wirkungsbeziehung vernetzt zu denken. Repräsentiert eine Variable eine Ursache, dann wird für sie häufig die Variablenbezeichnung X verwendet. Repräsentiert eine Variable eine Wirkung, dann wird häufig für diese die Variablenbezeichnung Y verwendet. Man spricht in diesem Fall von Y als abhängiger Variable und von X als unabhängiger Variable. Da hier eine Wirkungsrichtung angenommen Bivariate Verteilung ist Verteilung von Ausprägungskombinationen Bivariate Analyse kann statistische Zusammenhänge untersuchen Theoretische Verteilungen können als Vergleich dienen 4.1 67 K A U S A L I T Ä T U N D S T A T I S T I S C H E A N A L Y S E <?page no="67"?> tistik für Soziologen(3)__[Druckwird, spricht man von einer gerichteten Beziehung oder einem asymmetrischen Zusammenhang zwischen X und Y. Man versucht, statistisch einen kausalen Zusammenhang zwischen zwei Variablen Y und X zu belegen, indem man eine Variation von Y (Unterschiedlichkeit der Wirkung) auf eine Variation von X (Unterschiedlichkeit der Ursache) zurückführt. Aber die Rede von Kausalität ist voraussetzungsvoll. Man sollte unterscheiden zwischen sachlichen Wirkungszusammenhängen, die kausale Beziehungen sind, und statistischen Zusammenhängen, die rechnerisch zwischen Variablen vorliegen und die nicht notwendig auch kausale Zusammenhänge sein müssen. Damit man von Kausalität als einer gerichteten Ursache-Wirkungs- Beziehung zwischen X und Y sprechen kann, muss (1) die Ursache X der Wirkung Y zeitlich vorangehen, muss sich (2) der Zusammenhang statistisch (rechnerisch) belegen lassen und darf (3) der statistische Zusammenhang nicht beeinflusst sein durch den Einfluss anderer Sachverhalte auf die bivariate Beziehung zwischen X und Y. Denn ein Problem kausaler Analysen sind die Einflüsse von Drittvariablen auf den kausalen Zusammenhang zweier Variablen. Beispielsweise kann es sein, dass ein statistisch vorhandener Zusammenhang zwischen zwei Variablen sich als Scheinkausalität erweist, die durch den Einfluss einer Drittvariablen entstanden ist und verschwindet, wenn man diesen Drittvariableneinfluss aus der bivariaten Beziehung herausrechnet. Soziologisch macht der Begriff der Kausalität zudem erst dann Sinn, wenn (4) eine theoretische Erklärung für die Wirkung von X auf Y vorliegt, so dass der statistische Zusammenhang soziologisch als sozialer Wirkungszusammenhang anerkannt werden kann. In der Praxis der sozialwissenschaftlichen Statistik werden häufig Sachverhalte als unabhängige Variablen eingesetzt, die eigentlich keine Ursache sein können wie z. B. das Geschlecht einer Person. Wenn am Ende dieses Kapitels statistisch untersucht wird, wie sich das Geschlecht auf das Einkommen von Hochschulabsolventen auswirkt, so kann soziologisch gesehen nicht das biologische Geschlecht die Ursache dafür sein, dass Einkommensunterschiede zu Tage treten. Statistisch nachgewiesene Unterschiede im Einkommen zwischen Männern und Frauen können in einer soziologischen Interpretation auf die Auswirkung der sozialen Geschlechterrollen und die ungleiche soziale Bewertung von Frauen- und Männerarbeit zurückgeführt werden. An diesem Beispiel wird deutlich, dass die in der statistischen Analyse verwendeten Variablen oft nicht unmittelbar die Ursache-Wirkungs-Beziehung abbilden, sondern dass in der soziologischen Interpretation auf diese erst noch geschlossen werden muss. Eine soziologische Erklärung besteht eben darin, mit Daten zu belegen, wie soziale Sachverhalte durch Kausale Beziehungen und statistische Zusammenhänge Wann liegt Kausalität vor? Variablen repräsentieren oft nur indirekt Ursache und Wirkung 68 B I V A R I A T E A N A L Y S E <?page no="68"?> andere soziale Sachverhalte verursacht bzw. beeinflusst werden können. Hier findet sich eine der von E MILE D URKHE IM (1984) formulierten Regeln der soziologischen Methode: Soziales durch Soziales erklären. An dem Beispiel kann man auch verdeutlichen, was ein Drittvariableneinfluss ist (vgl. fi Kap. 5 ). Denn es kann sein, dass die Einkommensunterschiede zwischen Hochschulabsolventinnen und Hochschulabsolventen nicht auf die ungleiche soziale Bewertung von Frauen- und Männerarbeit zurückzuführen sind, sondern auftreten können, wenn die Hochschulabsolventinnen häufiger Teilzeit arbeiten als die Hochschulabsolventen. Weiter ist denkbar, dass nicht nur eine, sondern mehrere Drittvariablen auf den statistischen Zusammenhang zwischen Geschlecht und Einkommen einwirken, so dass sich die statistische Analyse schnell ausweitet. Ein Problem kausaler Analysen ist, dass Einflüsse von Drittvariablen übersehen werden können. Die oben eingeführte Kausalvorstellung basiert auf gerichteten oder auch asymmetrischen Beziehungen. Die Ursache X bewirkt die Wirkung Y, diese wirkt aber nicht auf den verursachenden Sachverhalt zurück. Von ungerichteten Beziehungen oder einem symmetrischen Zusammenhang spricht man, wenn beide Sachverhalte sich gegenseitig bedingen und keine von beiden als Ursache oder Wirkung der jeweils anderen auszumachen ist. Soziologisch gesehen gibt es viele Sachverhalte, von denen man annehmen kann, dass sie in typischen Konstellationen auftreten, weil sie in einem wechselseitigen Zusammenhang stehen, da ihnen eine symmetrische kausale Beziehung zugrunde liegt. Obwohl der Statistik in der Soziologie häufig zugesprochen wird, für die Analyse von Kausalität zuständig zu sein, vermeiden Statistiker von Kausalität zu sprechen. Mit statistischen Mitteln allein ist eine Kausalanalyse nicht möglich. Der Grund ist einmal darin zu sehen, dass man mit statistischen Methoden nicht zwischen gerichteten und ungerichteten Beziehungen unterscheiden kann. Zum anderen kann man kausale Beziehungen zwischen sozialen Sachverhalten im starken Sinne des Wortes statistisch nicht beweisen. Man kann aber mit Hilfe der Statistik versuchen, soziologische Behauptungen über Ursache-Wirkungs-Beziehungen zu belegen oder in Frage zu stellen. Und erst die Vervollständigung mit soziologischen Erklärungen (Interpretationen und Hypothesen) macht statistische Befunde zu „empirischen Tatsachen“, die unter Soziologen kommuniziert und bewertet werden können. Wenn Kausalität wirklich im Sinne K ANTS ein Denkschema ist, dann ist die Rolle der soziologischen Theorie fundamental. Demnach ermöglicht erst die theoriefundierte statistische Analyse von Daten Orientierung zu stiften, welche Variablen welche sozialen Sachverhalte abbilden, welche kausalen Beziehungen zwischen ihnen zu vermuten sind und wie diese in der Problem: Hat man alle relevanten Drittvariablen berücksichtigt? Statistik allein kann Kausalität nicht analysieren Kausalität und Interpretation 69 K A U S A L I T Ä T U N D S T A T I S T I S C H E A N A L Y S E <?page no="69"?> tistik für Soziologen(3)__[Druckstatistischen Analyse abgebildet werden können. Die statistischen „Resultate“ (Zahlen) müssen dann interpretiert werden, um den Status eines soziologischen Resultats zu erhalten. Der Beleg vorhandener oder fehlender sozialer Kausalbeziehungen ist insgesamt eine soziologische Interpretationsleistung von Daten. Tabellenanalyse Die Häufigkeitstabelle ist der Ausgangspunkt für die Analyse des Zusammenhangs zwischen kategorialen Variablen. Daher wird die Analyse kategorialer Variablen auch Tabellenanalyse genannt. Die Tabelle, die die empirischen Ausprägungskombinationen einer bivariaten Häufigkeitsverteilung darstellt, ist die so genannte Kontingenztabelle. Mit Hilfe einfacher Prozentuierungen kann man bereits die Kontingenztabelle für die Zusammenhangsanalyse einsetzen. Die Bezeichnung Tabellenanalyse schließt nicht aus, dass über die Tabellierung hinaus statistische Maßzahlen für die Erfassung der Stärke des Zusammenhangs zwischen kategorialen Variablen zum Einsatz kommen. Kontingenztabelle Die Kontingenztabelle ist eine systematische Darstellung der Ausprägungskombinationen zweier Variablen. Eine Kontingenztabelle besteht aus den Zellen, die sich aus der Kreuzung von Reihen und Spalten ergeben. Man spricht bei dieser Art der Tabellenkonstruktion auch von Kreuztabulierung, die Tabelle wird auch als Kreuztabelle bezeichnet. Die Ausprägungen der beiden Variablen werden den Reihen bzw. Spalten der Tabelle zugeordnet. Konvention ist, dass bei gerichteten Beziehungen die Ausprägungen der unabhängigen Variablen (X) den Spalten zugeordnet werden und die Ausprägungen der abhängigen Variablen (Y) den Reihen zugeordnet werden. Die Ausprägungen von X werden mit j indiziert, wobei der Index j von j = 1, . . . s läuft. Der Buchstabe s steht für die Anzahl der Spalten und ist so groß wie die Anzahl der Ausprägungen von X. Die Ausprägungen von Y werden mit i indiziert, wobei i von i = 1, . . . r läuft. Hier steht r für die Anzahl der Reihen und ist so groß wie die Anzahl der Ausprägungen von Y. Für jede Ausprägungskombination von i und j liegt damit eine eigene Zelle vor. In den Zellen stehen dann die Häufigkeiten f ij , mit denen die Ausprägungskombination (x j ; y i ) bei den Merkmalsträgern aufgetreten ist. Die TABELLE 4.1 veranschaulicht die Notation der bivariaten Häufigkeitstabelle. Man spricht von der Größe einer Tabelle auch als dem Format einer Tabelle. Das Format einer bivariaten Kontingenztabelle 4.2 4.2.1 Kontingenztabelle stellt bivariate Verteilung der Ausprägungskombinationen dar Schreibweisen für die Kontingenztabelle Größe der Tabelle ist das Format 70 B I V A R I A T E A N A L Y S E <?page no="70"?> besteht aus der Angabe der kombinierten Anzahl von Reihen und Spalten: r s. Man sagt: „Eine Tabelle hat das Format r mal s.“ Die Summierung der Häufigkeiten in den einzelnen Spalten ergibt die Spaltensummen, entsprechend ergibt die Summierung der Häufigkeiten in den einzelnen Reihen die Reihensummen. Spaltensummen und Reihensummen werden auch Randsummen genannt. Diese werden notiert mit f .j (Spaltensumme der j-ten Spalte) bzw. mit f i. (Reihensumme der i-ten Reihe). Die Berechnung kann in Summenschreibweise dargestellt werden mit: X r i = 1 f ij = f : j bzw. X s j = 1 f ij = f i : Summiert man die Zellenhäufigkeiten f ij über alle Zellen auf, erhält man die Fallzahl n, die die Anzahl der Merkmalsträger ist. Auch diese Summierung kann man in Summenschreibweise darstellen. Da über alle Spalten und alle Reihen zu summieren ist, benötigt man zwei Summenzeichen, eines für die Summierung der f ij über die Reihen (rechtes Summenzeichen) und eines für die Summierung über die Spalten (linkes Summenzeichen): X s j = 1 X r i = 1 f ij = n Diese Summierung ist gleich der Summe der Spaltensummen über alle Spalten hinweg oder gleich der Summe der Reihensummen über alle Reihen hinweg, denn auch das ergibt jeweils die Fallzahl n: X s j = 1 X r i = 1 f ij = X s j = 1 f : j = X r i = 1 f i : = n x 1 x 2 . . . x j . . . x s y 1 f 11 f 12 . . . f 1j . . . f 1s f 1. y 2 f 21 f 22 . . . f 2j . . . f 2s f 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . y i f i1 f i2 . . . f ij . . . f is f i. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . y r f r1 f r2 . . . f rj . . . f rs f r. f .1 f .2 . . . f .j . . . f .s n Tab. 4.1 71 T A B E L L E N A N A L Y S E <?page no="71"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- Die vereinfachte Schreibweise für die Summierung der Häufigkeiten über alle Zellen ist: X Zellen f ij = n In den Kontingenztabellen stellen die Spaltensummen bzw. die Reihensummen die beiden Randverteilungen dar. Diese heißen auch marginale Verteilungen von X und Y. Die marginalen Verteilungen sind die univariaten Verteilungen von X und Y. Die Spaltensummen stellen die univariate Verteilung von X und die Reihensummen die univariate Verteilung von Y dar. In den Spalten und den Reihen der Kontingenztabelle liegen die so genannten bedingten Verteilungen vor. Diese werden deshalb „bedingt“ genannt, weil die Ausprägung einer der beiden Variablen konstant ist und unter dieser Voraussetzung für die andere Variable eine Verteilung vorliegt. Die Spalten der Kontingenztabelle stellen bedingte Verteilungen von Y dar, also die jeweilige Verteilung von Y unter der Bedingung, dass für X eine konstante Ausprägung vorliegt. Entsprechend stellen die einzelnen Reihen jeweils eine bedingte Verteilung von X dar, unter der Bedingung, dass für Y eine konstante Ausprägung vorliegt. Schreibweise: Um zu kennzeichnen, dass durch X bedingte Verteilungen einer Variablen Y vorliegen, schreibt man für Y unter der Bedingung x j in Kurzform: Yjx j . Der senkrechte Strich wird dabei gelesen als „unter der Bedingung, dass“. Die Bedingung, die vorliegt, steht dann rechts neben dem Strich. Eine gleichwertige Betrachtungsweise ist, dass man sagt: Die unabhängige Variable X richtet unter den Merkmalsträgern s verschiedene Gruppen ein. Durch jede Ausprägung x j werden die Merkmalsträger in Gruppen eingeteilt. Innerhalb dieser durch X eingerichteten Gruppen variiert X nicht mehr, sondern ist konstant. Unter dieser Voraussetzung kann man dann untersuchen, wie Y in den einzelnen Gruppen variiert, also eine Verteilung aufweist. Beispiel: Im ALLBUS 2002 wurde untersucht, wie die Einstellung zu der Frage, ob Paare, die dauerhaft zusammenleben auch heiraten sollten, mit dem Familienstand des Befragten variiert. Hierzu wird angenommen, dass der Familienstand, den eine Person innehat, sich auf die Einstellung auswirkt. Der Familienstand (v239) wird also als unabhängige Variable betrachtet, die Einstellung zur Heirat bei dauerhaftem Zusammenleben (v6) als abhängige Variable mit den Ausprägungen y 1 = „ja“, y 2 = „nein“, y 3 = „unentschieden“. Die TABELLE 4.2 hat damit ein 3 5-Format. Die univariaten Verteilungen finden sich in der letzten Spalte (für v6) und der unteren Reihe (v239). Differenziert man die Verteilungen nach den Gruppen, die sich mit Hilfe der je anderen Variablen einrichten lassen, ergeben sich die bedingten Verteilungen. In den Spalten werden die Kontingenztabelle enthält zusätzlich die univariaten Verteilungen 72 B I V A R I A T E A N A L Y S E <?page no="72"?> Verteilungen der Einstellungen zum Heiraten dargestellt, die durch den Familienstand bedingt sind. Man erkennt deutlich, dass die bedingten Verteilungen sich unterscheiden. Beispielsweise sind von den Verheirateten, die auch zusammenleben, 1092 (von 1670) der Meinung, dass man in diesem Fall heiraten sollte. Dies ist die deutliche Mehrheit in dieser Gruppe, nämlich fast zwei Drittel. Von den Ledigen meinen nur 213 (von 689), dass man in diesem Fall heiraten sollte. Dies ist weniger als ein Drittel in dieser Gruppe. Die bivariate Häufigkeitstabelle hat den Nachteil, dass hier unterschiedliche Gruppengrößen vorliegen können und damit die Zellenhäufigkeiten f ij nicht direkt erkennen lassen, wie der Zusammenhang geartet ist. Spaltenprozentuierung Die Spaltenprozentuierung ist die einfachste Strategie, mit der man die statistische Beziehung zweier kategorialer Variablen X und Y untersuchen kann. Untersucht werden soll hierbei, ob zwischen X und Y eine gerichtete Beziehung besteht. Dafür werden die Häufigkeiten f ij spaltenweise durch die zugehörigen Spaltensummen f .j geteilt und mit 100 % multipliziert. Die TABELLE 4.3 stellt die Spaltenprozentuierung in allgemeiner Form dar. Die Spaltenprozentuierung führt zu einer neuen Tabelle, die nun Prozentwerte statt absoluter Häufigkeiten aufweist. Summiert man die Prozentwerte in einer Spalte auf, ist die Summe 100 %. Das einfachste Konzept statistischer Unabhängigkeit sagt nun aus, dass Y von X dann statistisch unabhängig ist, wenn die prozentuierten bedingten Verteilungen von Y gleich sind. Dies ist dann der Fall, wenn die Serien der Prozentwerte in den einzelnen Spalten gleich sind. In diesem Fall spielt es keine Rolle, welche Ausprägung von X vorliegt, also von welcher Spalte die Rede ist. Alle durch die Variable X eingerichteten Gruppen weisen dieselbe bedingte Verteilung von Y auf. Es ist also nicht notwendig, die Gruppen zu unterscheiden. Damit ist Y statistisch unab- Tab. 4.2 verheiratet, zus. leb. verheiratet, getr. leb. verwitwet geschieden ledig ja 1092 24 112 45 213 1486 nein 427 33 37 112 395 1004 unentsch. 151 4 30 35 81 301 1670 61 179 192 689 2791 4.2.2 statistische Unabhängigkeit zeigt sich anhand gleicher bedingter prozentuierter Verteilungen 73 T A B E L L E N A N A L Y S E <?page no="73"?> tistik für Soziologen(3)__[Druckhängig von X. Weichen die Serien der Prozentwerte im Vergleich der Spalten aber voneinander ab, dann liegt ein statistischer Einfluss von X auf Y vor. Denn dann spielt es für die Analyse von Y eine Rolle, in welcher Spalte (in welcher der durch X eingeteilten Gruppen) die Verteilung von Y betrachtet wird. Bemerkung: Statistische Unabhängigkeit ist eine symmetrische Eigenschaft. Das heißt, wenn Y von X statistisch unabhängig ist, dann ist auch X von Y statistisch unabhängig. Man erhält also denselben Befund (der statistischen Unabhängigkeit oder statistischen Abhängigkeit), gleichgültig, ob man eine Spaltenprozentuierung oder eine Reihenprozentuierung durchführt. In der TABELLE 4.3 sind auch die Reihensummen als Prozentwerte von der Gesamtzahl n angegeben (letzte Spalte rechts). Diese Serie von Prozentwerten repräsentiert die prozentuierte univariate Verteilung von Y. Diese wird auch prozentuierte marginale Verteilung von Y genannt. Sie kann als ein Bezugspunkt dienen, da sie die durchschnittliche Serie der Prozentzahlen repräsentiert. Die Verteilung Y j x j gibt an, mit welchen Ausprägungen von Y die eine Ausprägung x j kombiniert ist. Die Serie der Prozentwerte in einer Spalte von x j gibt an, mit welchen prozentualen Häufigkeiten die r verschiedenen Ausprägungen y i mit der einen Ausprägung x j kombiniert sind. Hier liegt also ein Muster der Kombination für x j mit den y i vor. Wenn die Kombinationsmuster für verschiedene x j unterschiedlich sind, liegt statistische Abhängigkeit bzw. ein sta- Tab. 4.3 Y|x 1 . . . Y|x j . . . Y|x s y 1 f 11 f : 1 100% . . . f 1j f : j 100% . . . f 1s f : s 100% f 1 : n 100% y 2 f 21 f : 1 100% . . . f 2j f : j 100% . . . f 2s f : s 100% f 2 : n 100% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . y i f i1 f : 1 100% . . . f ij f : j 100% . . . f is f : s 100% f i : n 100% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . y r f r1 f : 1 100% . . . f rj f : j 100% . . . f rs f : s 100% f r : n 100% 100 % . . . 100 % . . . 100 % 100 % Statistische Unabhängigkeit ist eine symmetrische Eigenschaft Marginale Verteilung ist durchschnittliche Verteilung und dient als Bezug 74 B I V A R I A T E A N A L Y S E <?page no="74"?> tistischer Zusammenhang zwischen X und Y vor. Dann „bewirkt“ das Vorliegen einer spezifischen Ausprägung von X eine andere Verteilung der Variablen Y. Obwohl in den Spalten nur eine Variable variiert, ist die Spaltenprozentuierung keine univariate Analyse. Denn der Vergleich verschiedener Serien prozentuierter Häufigkeiten untersucht das gemeinsame Variieren von X und Y. In einer Spalte ist X jeweils konstant, im Vergleich über die Spalten hinweg variiert X aber. Beispiel: Anhand des bereits herangezogenen Zusammenhangs zwischen Familienstand (v239) und der Einstellung zum Heiraten bei dauerhaftem Zusammenleben (v6) soll die Spaltenprozentuierung durchgeführt werden (TABELLE 4.4). Die Unterschiedlichkeit der Größe der fünf „Familienstands-Gruppen“ wird nun durch die Prozentuierung kontrolliert. Mit Hilfe der Spaltenprozentuierung wird einmal das Vorliegen eines Zusammenhangs sichtbar, denn die fünf Spalten unterscheiden sich deutlich in der Abfolge ihrer Prozentwerte. Der Familienstand hat also einen statistischen Einfluss auf die Einstellung zum Heiraten bei dauerhaftem Zusammenleben. Man kann zum anderen auch erkennen, welche der fünf Gruppen sich hinsichtlich des abhängigen Merkmals ähnlich und welche sich unähnlich sind. Die Ähnlichkeit ergibt sich aufgrund der ähnlichen Serien der Prozentwerte der Gruppen. Es zeigt sich, dass einmal die Verwitweten und diejenigen, die verheiratet sind und zusammenleben, sich hinsichtlich ihrer Einstellung zum Heiraten bei dauerhaftem Zusammenleben ähnlich sind. Zum anderen scheinen sich die Gruppen der Ledigen, der Geschiedenen und die Gruppe derjenigen, die verheiratet sind, aber getrennt leben, hinsichtlich ihrer Einstellung zum Heiraten ähnlich zu sein. Man erhält natürlich dieselben Resultate, wenn man statt der Prozentzahlen die relativen Häufigkeiten der bedingten Verteilungen verwendet, die ja dieselbe Information als Dezimalzahl angeben. Eine solche Serie von relativen Häufigkeiten in einer Spalte nennt man ein Tab. 4.4 verheiratet, zus. leb. verheiratet, getr. leb. verwitwet geschieden ledig ja 65,39 % 39,34 % 62,57 % 23,44 % 30,91 % 53,24 % nein 25,57 % 54,10 % 20,67 % 58,33 % 57,33 % 35,97 % unentsch. 9,04 % 6,56 % 16,76 % 18,23 % 11,76 % 10,78 % 100,00 % 100,00 % 100,00 % 100,00 % 100,00 % 100,00 % 75 T A B E L L E N A N A L Y S E <?page no="75"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- Spaltenprofil. Jeder Ausprägung x j ist also ein Spaltenprofil zugeordnet. Die Spaltenprofile addieren sich in jeder Spalte zu 1 auf. Unterscheiden sich die Spaltenprofile, so liegt eine statistische Abhängigkeit vor. Wie bei der Prozentuierung, die man als Spaltenprozentuierung oder Reihenprozentuierung durchführen kann, so können nicht nur Spaltenprofile, sondern auch Reihenprofile erstellt werden, um den Nachweis statistischer Unabhängigkeit bzw. statistischer Abhängigkeit zu führen. Das Konzept des Profils als Serie relativer Häufigkeiten wird in der multiplen Korrespondenzanalyse eingesetzt ( fi Kap. 10) . Der Nachteil der Spaltenprozentuierung (oder auch der Reihenprozentuierung) ist, dass die Stärke des statistischen Zusammenhangs nicht in einer Maßzahl zum Ausdruck gebracht wird. Prozentsatzdifferenz Die Prozentsatzdifferenz (abgekürzt d %) erfasst, wie stark die Spaltenprozente zweier bedingter Verteilungen voneinander abweichen. Sie erfasst in einer Differenz für 2 2-Felder-Tabellen den Grad dieser Abweichung in einem Wert. Die Prozentsatzdifferenz ist also anwendbar für die Kreuztabulierung von zwei dichotomen Variablen. Unterstellt wird dabei eine gerichtete Beziehung zwischen den beiden betrachteten Variablen. Die Prozentsatzdifferenz berechnet sich einfach, indem man für die Reihen die Differenz der Spaltenprozente berechnet. Im Falle einer 2 2-Felder-Tabelle erhält man zwei Prozentsatzdifferenzen, die sich nur im Vorzeichen unterscheiden, so dass eine Prozentsatzdifferenz die Tabelle beschreibt. Die Prozentsatzdifferenz hat als Einheit Prozentpunkte (PP), nicht Prozent, da die Prozentuierungsbasis (der Bezug, was 100 % entspricht) in den Spalten jeweils unterschiedlich ist. Tab. 4.5 West Ost bin derselben Meinung 715 (32,25 %) 270 (52,43 %) 985 bin anderer Meinung 1502 (67,75 %) 245 (47,57 %) 1747 2217 (100 %) 515 (100 %) 2732 Für die beiden Reihen ergibt sich: d % = 32,25 % - 52,43 % = -20,18 PP d % = 67,75 % - 47,57 % = 20,18 PP 4.2.3 d% für Analyse des Zusammenhangs zweier dichotomer Variablen 76 B I V A R I A T E A N A L Y S E <?page no="76"?> Beispiel: Im Rahmen des ALLBUS ist die Zustimmung oder Ablehnung zu der folgenden Aussage erfragt worden: „So wie die Zukunft aussieht, kann man es kaum noch verantworten, Kinder auf die Welt zu bringen“ (v25). Nimmt man als unabhängige Variable die Einteilung in alte und neue Bundesländer (West/ Ost, v3) hinzu, ergibt sich eine 2 2-Felder-Tabelle. Die folgende Kontingenztabelle beinhaltet die beobachteten Häufigkeiten f ij und die Spaltenprozentuierung. Der Anteil der Westdeutschen, die der Aussage zustimmen („bin derselben Meinung“), ist 20,18 Prozentpunkte niedriger als der Anteil der Zustimmenden bei den Ostdeutschen. Die Einteilung der Bundesländer (West/ Ost) hat einen Einfluss auf die Zustimmung bzw. Ablehnung zu dieser Aussage. („Hinter“ der Einteilung stehen dann soziale Sachverhalte, denen hier nicht nachgegangen wird.) Man sieht hier, dass die beiden Prozentsatzdifferenzen im Betrag gleich sind. Man benötigt nur die erste Prozentsatzdifferenz, um die Stärke des statistischen Zusammenhangs einer 2 2-Felder-Tabelle zu beschreiben: Für die TABELLE 4.5 ist die Prozentsatzdifferenz damit d % = -20,18 PP. Die Prozentsatzdifferenz ist eine populäre Maßzahl, und sie ist einfach zu interpretieren. d % variiert im Intervall [-100 PP; +100 PP]. d % ist für eine 2 2-Felder-Tabelle 0 PP, wenn statistische Unabhängigkeit zwischen den beiden dichotomen Variablen vorliegt. Die beiden Intervallgrenzen werden dann erreicht, wenn ein extremer statistischer Zusammenhang vorliegt. Das Vorzeichen von d % gibt an, in welcher Diagonalen der 2 2-Felder-Tabelle die Ausprägungskombinationen überwiegen. Ist d % positiv, so überwiegen f 11 und f 22 ; ist d % negativ, überwiegen f 12 und f 21 . Bei nominalen Variablen gibt es für die Reihenfolge der Ausprägungen keine zwingende Vorgabe. Das Vorzeichen hat bei nominal skalierten Variablen daher keine inhaltliche Bedeutung. Wenn die 2 2-Felder-Tabelle den Zusammenhang zwischen ordinalen oder metrischen Variablen darstellt, kann das Vorzeichen inhaltlich als Richtung des Zusammenhangs interpretiert werden. Odds Ratio und Yule ’s Q Eine Maßzahl, die wie die Prozentsatzdifferenz den Zusammenhang zwischen zwei dichotomen Variablen erfasst, ist das Odds Ratio (OR). Das Odds Ratio basiert auf dem Konzept der Odds. Die Odds und das Odds Ratio erhalten für die Analyse von Zusammenhängen zwischen kategorialen Variablen (insbesondere Logit-Analyse und logistische Regression, fi Kap. 9 ) eine zunehmend bedeutende Rolle. Die Kenntnis dieser beiden und ihre Interpretation sind insofern auch eine Grundlage für die Aneignung fortgeschrittener Verfahren. Eine geeignete Normierung des Interpretation von d % 4.2.4 77 T A B E L L E N A N A L Y S E <?page no="77"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- Odds Ratio stellt das Zusammenhangsmaß Yule’s Q dar, welches am Ende dieses Kapitels eingeführt wird. Odds Der Begriff Odds stammt aus dem Englischen und bedeutet so viel wie „Gewinnchancen“ oder „Wettchancen“. Er stammt aus der Welt des Sports. Dort werden Gewinnchancen nicht als Prozentzahl angegeben, sondern als Verhältnis von Chancen (Chance, dass etwas eintritt, im Verhältnis zu der Chance, dass das Gegenteil eintritt). In der soziologischen Statistik werden die Odds auch mit „Größenverhältnissen“ und das Odds Ratio mit „Kreuzproduktverhältnis“ übersetzt. Bereits die Odds stellen also ein Verhältnis dar. (Man spricht von den Odds immer im Plural.) Das Odds Ratio OR ist demnach ein Verhältnis von Verhältnissen. Die allgemeine Struktur der 2 2-Felder-Tabelle stellt die TABELLE 4.6 dar. Für die Variable Y lassen sich nun zwei Odds berechnen, einmal die Odds unter der Bedingung, dass x 1 vorliegt, zum anderen die Odds unter der Bedingung, dass x 2 vorliegt. Die Odds werden spaltenweise berechnet: Odds y 1 x 1 j = f 11 f 21 und Odds y 1 x 2 j = f 12 f 22 Die Odds haben einen Variationsbereich, der sich unterteilen lässt in die Ausprägung 1 sowie die Bereiche [0; < 1] und [ > 1; + ¥ ]. (1) Wenn die Häufigkeiten f 11 und f 21 bzw. f 12 und f 22 gleich groß sind, dann sind die beiden Odds jeweils genau 1, das Größenverhältnis ist jeweils ausgewogen. (2) Ist die Häufigkeit im Zähler kleiner als die im Nenner des Bruchs, dann sind die Odds kleiner als 1, wobei der minimale Wert für die Odds 0 ist. Das Größenverhältnis ist ungleich, die Ausprägungskombinationen von x 1 bzw. x 2 mit y 2 überwiegen gegenüber denjenigen mit y 1 . (3) Wenn dagegen der Zähler größer ist als der Nenner, also die Ausprägungskombinationen von x 1 bzw. x 2 mit y 1 überwiegen, sind die Odds größer als 1, und sie können sehr große Werte bis gegen Unendlich (+ ¥ ) annehmen. Betrachtet man die beiden letzten Situationen, erkennt man, dass es bei dieser Berechnung von Verhältnissen von der Kodierung abhängt (wel- Tab. 4.6 x 1 x 2 y 1 f 11 f 12 f 1. y 2 f 21 f 22 f 2. f .1 f .2 n Asymmetrischer Variationsbereich des OR 78 B I V A R I A T E A N A L Y S E <?page no="78"?> che Ausprägung y 1 und welche Ausprägung y 2 ist), ob die Odds kleiner oder größer als 1 sind. Für die Reihenfolge der Kodierung gibt es bei nominal skalierten Variablen keine zwingende Vorgabe. Wenn man nun zwei Odds vorliegen hat, die einmal kleiner und einmal größer als 1 sind, und man den Grad des Überwiegens einer der beiden Häufigkeiten vergleichbar machen möchte, kann man die Kehrwertbildung heranziehen: Odds y 1 x 1 j = f 11 f 21 = 1 Odds y 2 x 1 j = 1 f 21 f 11 So sind Odds = 0,5 mit Odds = 2 vergleichbar, denn das jeweilige Größenverhältnis ist reziprok (d. h., es entspricht dem Kehrwert). Einmal ist das Größenverhältnis 1 : 2, das andere Mal 2 : 1. Eine bessere Strategie für das Vergleichen von Odds besteht in der Anwendung einer einfachen Transformation. Berechnet man den natürlichen Logarithmus der Odds, so stellt sich für reziproke Größenverhältnisse derselbe Betrag ln(Odds) ein. Der Ausdruck ln(Odds) heißt Logit. Die Logits unterscheiden sich bei reziproken Größenverhältnissen nur durch das Vorzeichen. Negative Logits erhält man für Odds kleiner als 1, positive Logits erhält man für Odds größer als 1. Sind die Odds = 1, ist ln(Odds) = 0. Damit kann man auch den Grad erkennen, mit dem die Odds von einem ausgeglichenen Größenverhältnis abweichen. Die ln- Transformation hat den Vorteil, dass die Variationsbereiche der Logits gleich groß und symmetrisch zu 0 sind. Für die reziproken Odds von 0,5 und 2 ergibt sich derselbe Betrag für den Logit: ln(0,5) = -0,693 und ln(2) = 0,693. Odds Ratio Das Verhältnis der Odds ist das Odds Ratio (OR). Erst das Odds Ratio gibt die Stärke des Zusammenhangs in einer Zahl an. Es wird berechnet mit: OR y 1 x 1 ; x 2 j = Odds y 1 x 1 j Odds y 1 x 2 j = f 11 f 21 f 12 f 22 = f 11 f 22 f 21 f 12 Die Indizierung des OR zeigt an, welche Kategorie bei der Bildung der Odds im Zähler steht, des Weiteren, welche Odds im Zähler und welche Odds im Nenner des OR stehen. Beispiel: Für die Daten aus TABELLE 4.5 sind die Odds (der Zustimmung zur Ablehnung der Aussage) in West- und in Ostdeutschland: ln-Transformation der Odds 79 T A B E L L E N A N A L Y S E <?page no="79"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- Odds Zustimmung West j = 715 1502 = 0,476 Odds Zustimmung Ost j = 270 245 = 1,102 Man sieht, dass die Odds in Westdeutschland und in Ostdeutschland unterschiedlich sind. Daraus ist ersichtlich, dass die Einteilung West/ Ost einen Einfluss auf die Zustimmung bzw. Ablehnung zu der Aussage hat. Man kann die Odds interpretieren: In Westdeutschland gibt es nur 0,476fach so viel Zustimmende wie Ablehnende, also fast nur halb so viel Zustimmende wie Ablehnende. In Ostdeutschland dagegen gibt es 1,102fach so viele Zustimmende wie Ablehnende. Das Verhältnis ist also in Ostdeutschland fast ausgewogen, allerdings überwiegt die Zahl der Zustimmenden leicht. Berechnet man die Logits, erhält man: ln(0,476) = -0,742 und ln(1,102) = 0,097 Die Ausgewogenheit des Größenverhältnisses in Ostdeutschland schlägt sich in einem Logit nieder, der relativ nahe bei 0 ausgeprägt ist. Das Odds Ratio, welches nun die Stärke des Zusammenhangs erfasst, berechnet sich mit: OR Zustimmung West ; Ost j = 715 1502 270 245 = 715 245 1502 270 = 0,432 Was sagt der OR-Wert aus? Das Odds Ratio variiert im Bereich [0; + ¥ ]. Dieser Variationsbereich lässt sich (wie der Variationsbereich der Odds) in drei Bestandteile unterteilen: in die Ausprägung 1 sowie die Bereiche [0; < 1] und [ > 1; + ¥ ]. (1) Sind die Odds gleich groß, ist das OR genau 1. In diesem Fall liegt kein bivariater Zusammenhang vor. (2) Ist das OR kleiner als 1, dann ist das Größenverhältnis unter der Bedingung x 1 kleiner als unter der Bedingung x 2 . Das Größenverhältnis ist unter der Bedingung x 1 ungünstiger für y 1 (zu y 2 ) als unter der Bedingung x 2 . (3) Ist das OR größer als 1 verhält es sich genau umgekehrt, unter der Bedingung x 1 ist das Größenverhältnis für y 1 (zu y 2 ) günstiger, als das unter der Bedingung x 2 der Fall ist. Beispiel: Der erhaltene Wert von OR Zustimmung | West,Ost = 0,432 gibt an, dass ein Zusammenhang zwischen X und Y vorliegt, da der OR-Wert deutlich von 1 abweicht. Inhaltlich sagt er aus, dass die Odds (das Größenverhält- Interpretation des OR 80 B I V A R I A T E A N A L Y S E <?page no="80"?> nis) in Westdeutschland nur 0,432fach so groß sind wie die Odds (das Größenverhältnis) in Ostdeutschland. Erschwert wird der Vergleich und die Bewertung von OR-Werten auch hier durch das ungleich große Variationsspektrum. Um die Stärke des statistischen Zusammenhangs bei Vorliegen verschiedener OR-Werte vergleichbar zu machen, kann man sich daher wieder mit dem Kehrwert behelfen, da gilt: OR y 1 x 1 ,x 2 j = 1 OR y 1 x 2 ,x 1 j Den Kehrwert erhielte man auch, wenn die Kategorien x 1 und x 2 einer 2 2-Tabelle anders herum kodiert worden wären. Bezogen auf das Beispiel: Wenn also die Kategorie x 1 Ost (statt West) wäre und die Kategorie x 2 West (statt Ost) wäre, erhielte man als OR-Wert den Kehrwert zu 0,432: OR Zustimmung Ost ; West j = 270 245 715 1502 = 270 1502 245 715 = 2,315 = 1 0,432 Die OR-Werte 0,432 und 2,315 drücken daher (bei unterschiedlicher Reihenfolge der Kategorien) dieselbe Stärke des Zusammenhangs aus. Noch besser ist es, auch hier wieder die einfache Transformation heranzuziehen, die in der Logarithmierung besteht. Nun variiert ln(OR) symmetrisch um 0 im Intervall [- ¥ ; + ¥ ]. ln(OR) ist 0, wenn die beiden Variablen statistisch unabhängig sind, ln(OR) nimmt vom Betrag dann sehr große Werte an, wenn ein starker Zusammenhang vorliegt. Dabei ist der Betrag gleich groß, wenn Kehrwerte für das Odds Ratio vorliegen. Beispiel: Die beiden ln(OR)-Werte sind ln(0,432) = -0,839 und ln(2,315) = 0,839. Yule’s Q Sowohl das Odds Ratio als auch ln(OR) variieren allerdings noch in einem wenig anschaulichen Ausprägungsspektrum. Möchte man die OR-Werte auf den Bereich von [-1; 1] normieren, kann man dafür die folgende Transformation verwenden: Q = OR 1 OR + 1 Q ist zugleich ein statistisches Zusammenhangsmaß: Yule’s Q, benannt nach G E ORG E U. Y UL E (1871 - 1951), der es vorgeschlagen hat. Q-Werte kann man einfach interpretieren: Q = 0 besagt, dass kein Zusammenhang zwischen X und Y vorliegt. Kleinere oder größere Q-Werte zeigen einen Zusammenhang an, der umso stärker ist, je näher die Q-Werte bei den mögln-Transformation des OR Normierung des OR 81 T A B E L L E N A N A L Y S E <?page no="81"?> tistik für Soziologen(3)__[Drucklichen Extremen -1 und 1 ausgeprägt sind. Greift man das obige Beispiel wieder auf mit den beiden OR-Werten OR Zustimmung j West,Ost = 0,432 und OR Zustimmung j Ost,West = 2,315 so kann man für diese beiden Werte Yule's Q berechnen mit Q Zustimmung j West,Ost = 0,432 1 0,432 + 1 = 0,400 und Q Zustimmung j Ost,West = 2,315 1 2,315 + 1 = 0,400 Man erkennt, dass die beiden OR-Werte sich nur durch das Vorzeichen unterscheiden und der Betrag gleich groß ausfällt. Zudem wird nun ersichtlich, dass ein bivariater Zusammenhang von mittlerer Stärke vorliegt, da man die Ausprägung nun jeweils in einem gut interpretierbaren Spektrum verorten kann. 2 und Cramer ’s V Eine statistische Maßzahl, die auch für größere als 2 2-Tabellen die Stärke des Zusammenhangs zwischen zwei kategorialen Variablen erfasst, ist 2 (Chi-Quadrat). 2 erfasst die Stärke eines ungerichteten Zusammenhangs. Diese Maßzahl kann aber auch eingesetzt werden, um die Stärke eines gerichteten Zusammenhangs zu berechnen, wenn man in der Interpretation die Richtung des Zusammenhangs berücksichtigt. 2 spielt auch in der multivariaten Statistik eine wichtige Rolle. Das Maß hat allerdings den Nachteil, dass seine Ausprägungen nicht auf ein gut interpretierbares Spektrum begrenzt sind. Aus dem Grund hat sich die Normierung mit dem Maß Cramer’s V etabliert. Dieses wird am Ende des Kapitels vorgestellt. 2 beruht dabei auf dem Vergleich der empirischen bivariaten Kontingenztabelle (TABELLE 4.1) mit einer theoretischen Tabelle. Diese theoretische bivariate Häufigkeitstabelle wird Indifferenztabelle genannt. Sie hat dieselbe Struktur wie die Kontingenztabelle, das heißt, sie hat (1) dasselbe r s-Tabellenformat und sie hat (2) für dieselben Kategorien x j Spalten und y i Reihen. Darüber hinaus hat sie (3) dieselben Randverteilungen von X und Y, also dieselben Reihen- und Spaltensummen wie die Kontingenztabelle. Die Indifferenztabelle unterscheidet sich von der Kontingenztabelle dadurch, dass sie für die Ausprägungskombinationen (x j ; y i ) nun nicht die beobachteten Häufigkeiten beinhaltet, sondern die theoretischen Häufigkeiten, die sich bei perfekter statistischer Unabhängigkeit ergeben würden. Diese sind die erwarteten Häufigkeiten e ij . 4.2.5 Vergleich der empirischen mit der theoretischen Verteilung 82 B I V A R I A T E A N A L Y S E <?page no="82"?> Bei gegebenen empirischen Randverteilungen von X und Y ist immer eine Indifferenztabelle (als theoretische Tabelle) konstruierbar, die solche Häufigkeiten e ij aufweist, die eine perfekte statistische Unabhängigkeit der beiden Variablen X und Y zum Ausdruck bringen und die sich dennoch zu den empirischen Reihen- und Spaltensummen aufaddieren. (Statistische Unabhängigkeit zwischen X und Y setzt also nicht voraus, dass alle Randsummen der Indifferenztabelle gleich sind oder die e ij gleich sein müssen. Dies ist nur ein seltener Sonderfall, der eintritt, wenn die empirischen Randverteilungen Gleichverteilungen sind.) Die erwarteten Häufigkeiten werden für jede Zelle der Indifferenztabelle einzeln berechnet. Dafür wird die zugehörige Spaltensumme mit der zugehörigen Reihensumme multipliziert und das Produkt dann dividiert durch die Fallzahl n: e ij = f i : f : j n Führt man diese Berechnung für jede Zelle durch, ergibt sich folgende Indifferenztabelle: Nun kann man die Kontingenztabelle (vgl. TABELLE 4.1) und die Indifferenztabelle (TABELLE 4.7) zellenweise vergleichen, denn es gibt für jede Ausprägungskombination (x j ; y i ) jeweils eine Zelle in jeder der beiden Tabellen: einmal die empirische Häufigkeit f ij und zum anderen die (bei statistischer Unabhängigkeit sich ergebende) erwartete Häufigkeit e ij . Liegt zwischen den beiden Variablen X und Y eine statistische Unabhängigkeit vor, dann sind Kontingenztabelle und Indifferenztabelle identisch und die beiden Häufigkeiten für jede Ausprägungskombination jeweils gleich, d. h., es gilt: f ij = e ij für alle Ausprägungskombinationen. Liegt dagegen ein statistischer Zusammenhang zwischen X und Y vor, dann sind zumindest für einige Ausprägungskombinationen die bex 1 x 2 . . . x j . . . x s y 1 e 11 e 12 . . . e 1j . . . e 1s f 1. y 2 e 21 e 22 . . . e 2j . . . e 2s f 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . y i e i1 e i2 . . . e ij . . . e is f i. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . y r e r1 e r2 . . . e rj . . . e rs f r. f .1 f .2 . . . f .j . . . f .s n Tab. 4.7 Kontingenztabelle und Indifferenztabelle haben dieselben Randverteilungen Indifferenztabelle stellt die theoretische bivariate Häufigkeitsverteilung der Ausprägungskombinationen dar 83 T A B E L L E N A N A L Y S E <?page no="83"?> tistik für Soziologen(3)__[Druckobachteten Häufigkeiten ungleich den erwarteten Häufigkeiten, d. h., es gilt: f ij „ e ij für zumindest einige Ausprägungskombinationen. Beispiel: Es soll der Zusammenhang zwischen der Konfession und der Einteilung in alte und neue Bundesländer (West/ Ost, v3) berechnet werden. Hier kann man eine gerichtete Beziehung annehmen. 2 ist ein Zusammenhangsmaß, das zwar für ungerichtete Beziehungen konzipiert wurde, aber auch für die Analyse gerichteter Beziehungen eingesetzt werden kann. Die sechs Kategorien der Variablen für die Relgionszugehörigkeit im ALLBUS (v321) wurden zu vier Kategorien zusammengefasst. Für 2804 Personen ergab sich folgende Kontingenztabelle mit einem 4 2-Format. Nun müssen für alle acht Zellen die Erwartungswerte berechnet werden, um die Indifferenztabelle zu konstruieren. Der Erwartungswert für die Katholiken in Westdeutschland wird beispielsweise berechnet mit: e 21 = f 2 : f : 1 n = 934 2276 2804 = 758,13 Die übrigen Erwartungswerte werden entsprechend berechnet. Vergleicht man die Zellen der Kontingenztabelle 4.8 mit denen der Indifferenztabelle 4.9, erkennt man deutliche Abweichungen. Die Ostdeutschen ohne Konfession sind viel stärker repräsentiert, als dies zu erwarten wäre, wenn zwischen der Religionszugehörigkeit und der Einteilung der Bundesländer (West/ Ost) keinerlei statistischer Zusammenhang bestünde. Entsprechend sind die Westdeutschen ohne Religionszugehörigkeit deutlich unterrepräsentiert. Tab. 4.8 West Ost evangelisch 914 154 1068 katholisch 899 35 934 and. Religion 118 7 125 keine Konfession 345 332 677 2276 528 2804 Tab. 4.9 West Ost evangelisch 866,89 201,11 1068,00 katholisch 758,13 175,87 934,00 and. Religion 101,46 23,54 125,00 keine Konfession 549,52 127,48 677,00 2276,00 528,00 2804,00 Unterscheiden sich Indifferenztabelle und Kontingenztabelle, liegt statistischer Zusammenhang vor 84 B I V A R I A T E A N A L Y S E <?page no="84"?> Die Maßzahl 2 berechnet sich, indem man zunächst für jede Ausprägungskombination die Differenz zwischen beobachteter und erwarteter Häufigkeit quadriert, das Quadrat dann durch die erwartete Häufigkeit dividiert. Führt man mit Hilfe der TABELLE 4.10 diese Rechnung für alle Ausprägungskombinationen durch und summiert dann die Resultate, erhält man den 2 -Wert: 2 = X r i = 1 X s j = 1 ð f ij e ij Þ 2 e ij = X Zellen ð f ij e ij Þ 2 e ij Diese Konstruktion für 2 ist von dem Statistiker K AR L P EAR S ON (1857 - 1936) entwickelt worden. Daher heißt sie auch Pearson- 2 . Es gibt weitere Konstruktionen, die in anderer Weise die Abweichungen der beobachteten Häufigkeiten von den erwarteten Häufigkeiten verrechnen und auch als 2 -Maßzahlen bezeichnet werden ( fi Kap. 9) . Wenn hier von 2 die Rede ist, ist das Pearson- 2 gemeint. 2 ist dann 0, wenn die erwarteten und die beobachteten Häufigkeiten für jede Ausprägungskombination jeweils gleich sind, also wenn X und Y statistisch unabhängig sind. 2 wird umso größer, je stärker die beiden Variablen miteinander zusammenhängen. Allerdings kann 2 sehr große Werte (weit über 1) realisieren. Beispiel: Für die acht Zellen aus dem obigen Beispiel sollen deren jeweilige Beiträge zu 2 berechnet und aufsummiert werden. Der empirische Wert ist 2 = 571,18. Er ergibt sich durch die Aufsummierung der letzten Spalte. Damit liegt eine deutliche Abweichung von 0 vor, zwischen den beiden Variablen besteht ein deutlicher Zusammeni j f ij e ij ð f ij e ij Þ 2 ð f ij e ij Þ 2 e ij 1 1 914 866,89 2219,35 2,56 1 2 154 201,11 2219,35 11,04 2 1 899 758,13 19844,36 26,18 2 2 35 175,87 19844,36 112,84 3 1 118 101,46 273,57 2,70 3 2 7 23,54 273,57 11,62 4 1 345 549,52 41828,43 76,12 4 2 332 127,48 41828,43 328,12 2804 2804,00 571,18 Tab. 4.10 2 erfasst alle paarweisen Abweichungen zwischen den f ij und e ij Interpretation von 2 85 T A B E L L E N A N A L Y S E <?page no="85"?> tistik für Soziologen(3)__[Druckhang. Inspiziert man die letzte Spalte der TABELLE 4.10, so kann man hier erkennen, welche Ausprägungskombination große Beiträge zu 2 liefert, für welche Ausprägungskombination also gilt, dass ihre empirische Häufigkeit stark von der erwarteten Häufigkeit abweicht. Die Größenordnung von 2 hängt nicht nur von der Stärke des Zusammenhangs ab, sondern auch vom Tabellenformat und der Fallzahl n. Damit sind die 2 -Werte nicht gut interpretierbar, sobald sie größer als 0 sind. Will man verschiedene Variablenpaare auf ihren statistischen Zusammenhang hin analysieren, sind die 2 -Werte nicht mehr vergleichbar, wenn unterschiedliche Tabellenformate oder Fallzahlen vorliegen. Cramer’s V Eine bivariate Maßzahl, die einen 2 -Wert auf ein Spektrum von 0 bis 1 normiert und zugleich unempfindlich gegen die unterschiedliche Tabellenformate und Fallzahlen ist, ist Cramer’s V. Statistische Unabhängigkeit liegt vor, wenn V = 0 ist. Ein perfekter statistischer Zusammenhang liegt vor bei V = 1. Cramer’s V wird berechnet, nachdem man den 2 -Wert ermittelt hat. Dann stellt man fest, ob die Anzahl der Reihen r oder die Anzahl der Spalten s der Kontingenztabelle die kleinere Zahl ist. (Sind beide Anzahlen gleich groß, kann man r oder s verwenden.) Von der kleineren der beiden Zahlen zieht man 1 ab. Diese Vorgehensweise wird mit „min(r - 1; s - 1)“ notiert. Den 2 -Wert dividiert man dann durch die Fallzahl und durch min(r - 1; s - 1). Aus dem erhaltenen Wert zieht man zuletzt die Quadratwurzel: V = ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 2 n min ð r 1; s 1 Þ s Beispiel: Der erhaltene 2 -Wert von 571,18 soll zu einem V-Wert transformiert werden. Die Kontingenztabelle hat das Format 4 2, so dass die Spaltenzahl s die kleinere Zahl von beiden ist. Damit ist min(r - 1; s - 1) = 2 - 1 = 1. Die Fallzahl ist n = 2804. V = ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 571 ; 18 2804 1 r = ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 0,2037 p 0,45 Damit liegt ein Zusammenhang mittlerer Stärke zwischen den beiden Variablen Religionszugehörigkeit und der Einteilung in West-/ Ostdeutschland vor. Hinweis: Der maximale 2 -Wert für eine r s-Tabelle kann zwar sehr groß werden, er ist aber in der bivariaten Statistik für jede Tabelle mit gegebenem r s-Format sowie bei gegebener Fallzahl n begrenzt und berechenbar mit eben dem Ausdruck, mit dem Cramer’s V den 2 -Wert normiert: n . min(r - 1; s - 1). Normierung von 2 86 B I V A R I A T E A N A L Y S E <?page no="86"?> Korrelation und Regression Die Analyse des bivariaten Zusammenhangs zwischen metrischen Variablen wird als Korrelationsanalyse bzw. Regressionsanalyse bezeichnet. Die Korrelationsanalyse bezeichnet zunächst allgemeiner die „Zusammenhangsanalyse“. Hier werden die Beziehungen zwischen den Variablen als symmetrische Beziehungen betrachtet. In der Regressionsanalyse geht es spezifischer darum, die statistische Analyse gerichteter Beziehungen durchzuführen. Korrelations- und Regressionsanalyse werden zunächst für die Analyse der Beziehungen zwischen zwei Variablen eingeführt. Sie können aber auf die Analyse der Beziehungen zwischen mehr als zwei Variablen ausgeweitet werden ( fi Kap. 8) . Sowohl Korrelationsals auch Regressionsanalyse setzen voraus, dass lineare Beziehungen zu analysieren sind. Für den bivariaten Fall sind Streudiagramme dafür geeignet, zu untersuchen, ob man von einer linearen Beziehung zwischen zwei Variablen ausgehen kann. Streudiagramm Das Streudiagramm ist eine einfache grafische Darstellungsform, die dazu dient, n Merkmalsträger in einem X-Y-Koordinatensystem zu verorten (man sagt auch: „zu plotten“). Ein Streudiagramm visualisiert die bivariaten Streuungsinformationen zweier metrischer Variablen. Dann ist es möglich, jeden Merkmalsträger als einen Punkt anhand seiner Ausprägungskombination (x i ; y j ) darzustellen. Merkmalsträger mit ähnlichen Ausprägungskombinationen liegen im Diagramm nah beieinander, während Merkmalsträger mit unähnlichen Ausprägungskombinationen weit auseinander liegen. Die Nähe ist ein Maß für die Ähnlichkeit. Ein Streudiagramm kann visuell eine Korrelations- oder Regressionsanalyse unterstützen, da es Aufschluss geben kann über die Art der Beziehung zwischen zwei metrischen Variablen. Die ABBILDUNG 4.1 veranschaulicht mit den oberen beiden Streudiagrammen, wie sich positive und negative lineare Zusammenhänge unterscheiden. Für diese Situationen können statistische Maßzahlen berechnet werden, die dann quantifizieren, wie stark X und Y zusammenhängen. Die beiden unteren Streudiagramme stellen Situationen dar, in denen zwei Variablen ebenfalls zusammenhängen, allerdings nicht in linearer Weise. Für solche Situationen sind Maßzahlen dann nicht angemessen, wenn sie für die Erfassung der Stärke eines linearen Zusammenhangs konstruiert wurden. (Werden sie dennoch berechnet, wird die Stärke eines vorhandenen nicht-linearen Zusammenhangs unter- 4.3 4.3.1 Streudiagramm visualisiert bivariate Verteilung der Ausprägungskombinationen metrischer Variablen 87 K O R R E L A T I O N U N D R E G R E S S I O N <?page no="87"?> tistik für Soziologen(3)__[Druckschätzt.) Im Folgenden wird also vorausgesetzt, dass lineare Zusammenhänge zu erfassen sind. Um ein Streudiagramm zu erstellen, darf die Fallzahl nicht zu groß werden, da es bei großer Fallzahl vorkommen kann, dass Punkte übereinander geplottet werden und dann kein zutreffender visueller Eindruck von der Beziehung zwischen den beiden Variablen zustande kommt. Will man dennoch bei großen Fallzahlen nicht auf eine visuelle Inspektion verzichten, kann man auf Darstellungstechniken zurückgreifen, die die Anzahl übereinander liegender (oder eng beieinander liegender) Punkte durch unterschiedliche Farbintensität oder durch unterschiedliche Größen der Punkte im Streudiagramm darstellen ( fi Kap. 4.3.3). Beispiel: Es soll mit Hilfe eines Streudiagramms untersucht werden, wie sich die Bundesländer hinsichtlich zweier kollektiver Wertorientierungen unterscheiden. Dabei wird angenommen, dass es in diesen (im- Abb. 4.1 positiver linearer Zusammenhang negativer linearer Zusammenhang u-förmiger Zusammenhang quadratischer Zusammenhang 88 B I V A R I A T E A N A L Y S E <?page no="88"?> mer noch sehr großen) Bundesländern unterschiedliche Akzeptanzen für bestimmte kollektive Wertorientierungen gibt. Die Bundesländer, nicht ihre Bewohner, sind hierbei die Merkmalsträger. Die Ausprägungen für die Länder werden aus Individualdaten errechnet (aggregiert). (1) Im Rahmen des ALLBUS wurden die Personen befragt, wie gerne sie in einer Gesellschaft leben möchten, „die Wert darauf legt, dass die Menschen tun und lassen können, was sie wollen“ (v61). Diese Frage erfasst die Akzeptanz für das „Laissez-Faire“ als kollektive Wertorientierung. (2) Außerdem wurden die Personen gefragt, wie gerne sie in einer Gesellschaft leben möchten, „die Wert darauf legt, dass sich die Menschen selbst verwirklichen“ (v64). Diese Frage erfasst die Akzeptanz für die Selbstverwirklichung als kollektive Wertorientierung. Die Befragten konnten jeweils anhand einer zehnstufigen metrischen Skala antworten. Dabei bedeutete 1 = „überhaupt nicht gerne“ und 10 = „sehr gerne“. Mit den Zwischenwerten konnten Abstufungen vorgenommen werden. Für jedes Bundesland wurde nun für beide Variablen das arithmetische Mittel aus den Angaben der jeweiligen Bewohner berechnet. (Dabei wurden die Befragten herausgefiltert, die zum Zeitpunkt der Befragung 2002 nicht mindestens seit 15 Jahren in dem Bundesland gewohnt haben. So wurde auch berücksichtigt, dass nach dem Fall der Mauer viele Menschen das Bundesland gewechselt haben. Da Bremen mit wenigen Fällen repräsentiert ist, wird Bremen aus der Analyse ausgeschlossen. Ost- und West-Berlin werden getrennt betrachtet, obwohl sie heute in einem Bundesland vereinigt sind.) Es liegen nun jeweils 16 Ausprägungen für die Akzeptanz der beiden kollektiven Wertorientierungen Laissez-Faire (Variable X) und Selbstverwirklichung (Variable Y) vor. Die TABELLE 4.11 gibt die Ausprägungskombinationen (x i ; y i ) wieder. In der TABELLE 4.11 sind zwei weitere Spalten enthalten, die der Berechnung der Standardabweichungen dienen. Berechnet werden nun die beiden arithmetischen Mittelwerte und Standardabweichungen. Es ergeben sich die arithmetischen Mittelwerte x = 59,15 16 = 3,70 y = 119,53 16 = 7,47 sowie die Standardabweichungen s x = ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 16 2,26 r = 0,38 s y = ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 16 2,63 r = 0,41 Im arithmetischen Durchschnitt liegen die Ausprägungen für die Akzeptanz der kollektiven Wertorientierung Laissez-Faire auf Länder-Ebene Berechnung von Kollektivdaten aus Individualdaten 89 K O R R E L A T I O N U N D R E G R E S S I O N <?page no="89"?> tistik für Soziologen(3)__[Druckbei x = 3,70. Dies ist eine niedrige Ausprägung, wenn man bedenkt, dass die Ausprägungen im Bereich von 1 bis 10 variieren können. Der Durchschnitt für die Akzeptanz der kollektiven Wertorientierung Selbstverwirklichung liegt dagegen bei y = 7,47. Für beide Wertorientierungen kann man sagen, dass die Länder-Ausprägungen eine geringe Standardabweichung aufweisen. Diese Betrachtung des Variierens bezieht sich aber nur auf jeweils eine Variable. Von Interesse ist nun, das gemeinsame Variieren (das „Ko-Variieren“) beider kollektiver Wertorientierungen gleichzeitig zu betrachten. Mit Hilfe der vorliegenden Ausprägungen kann das Streudiagramm erstellt werden (ABBILDUNG 4.2). (1) Das Streudiagramm gibt Aufschluss darüber, welche Länder sich hinsichtlich der Akzeptanz der beiden kollektiven Wertorientierungen ähnlich sind. Diese liegen eng beieinander. Bundesländer, die sich hinsichtlich der Akzeptanz der beiden Wertorientierungen unähnlich sind, liegen entsprechend weit voneinander entfernt. Der größte Unterschied liegt zwischen dem Länderpaar Sachsen und Saarland vor. Sehr kleine Unterschiede finden sich beispielsweise zwischen den Länderpaaren Mecklenburg-Vorpommern und Ost-Ber- Tab. 4.11 i x i y i (x i - x ) 2 (y i - y ) 2 1 West-Berlin 3,35 7,91 0,12 0,19 2 Schleswig-Holstein 4,36 6,96 0,44 0,26 3 Hamburg 4,00 7,59 0,09 0,01 4 Niedersachsen 3,92 7,17 0,05 0,09 5 Nordrhein-Westfalen 3,79 7,27 0,01 0,04 6 Hessen 3,64 7,13 0,00 0,12 7 Rheinland-Pfalz 3,77 7,13 0,01 0,12 8 Baden-Württemberg 3,70 7,16 0,00 0,10 9 Bayern 3,56 7,15 0,02 0,10 10 Saarland 4,42 6,84 0,52 0,40 11 Ost-Berlin 3,51 8,00 0,03 0,28 12 Mecklenburg-Vorpommern 3,51 7,99 0,03 0,27 13 Brandenburg 3,63 7,43 0,00 0,00 14 Sachsen-Anhalt 3,92 7,84 0,05 0,14 15 Thüringen 3,05 7,97 0,42 0,25 16 Sachsen 3,02 7,99 0,46 0,27 59,15 119,53 2,26 2,63 Interpretation des Streudiagramms 90 B I V A R I A T E A N A L Y S E <?page no="90"?> lin, aber auch zwischen Thüringen und Sachsen, sowie zwischen den drei Ländern Bayern, Baden-Württemberg und Hessen. (2) Das Streudiagramm wird auch dafür eingesetzt, um zu untersuchen, ob die Form der Punktewolke eine lineare Tendenz erkennen lässt. In diesem Fall legt das Streudiagramm nahe, dass es eine lineare Tendenz für die bivariate Verteilung der Ausprägungskombinationen gibt. Hohe Ausprägungen für die Akzeptanz von Selbstverwirklichung als kollektiver Wertorientierung gehen tendenziell einher mit niedrigen Ausprägungen für die Akzeptanz von Laissez-Faire als Wertorientierung. Man kann eine „Je-desto-Beziehung“ formulieren: Je höher in einem Land die Akzeptanz für Selbstverwirklichung als Wertorientierung ist, desto niedriger ist tendenziell die Akzeptanz von Laissez-Faire als Wertorientierung. (Da hier keine der beiden Variablen als Ursache oder als Wirkung ausgemacht werden kann, kann die Je-desto-Beziehung auch andersherum formuliert werden.) Man findet damit einen negativen linearen Zusammenhang zwischen den beiden Variablen in dem Streudiagramm repräsentiert. Das ist das empirische Muster für das „Ko-Variieren“ der Ausprägungskombinationen. Das Streudiagramm gibt aber nicht die Stärke der Beziehung zwischen den beiden Variablen in einer Zahl wieder. Die Beziehung wäre perfekt linear, wenn die Punkte wie auf einer gedachten Linie angeordnet wären, die von oben links nach unten rechts verliefe. Die Stärke der Beziehung zwischen den beiden Variablen wäre dann maximal. Anhand der Punktewolke sieht man zwar, dass es eine deutliche Tendenz zu Sachsen Thüringen Ost-Berlin Mecklenb.-Vorp. West-Berlin Sachsen-Anhalt Hamburg Brandenburg Baden-Würt. Bayern Hessen Rh.-Pfalz Nordrh.-Westf. Niedersachsen Schles.-Holst. Saarland 8 7 3 4 Laissez-faire (X) Selbstverwirklichung (Y) Abb. 4.2 91 K O R R E L A T I O N U N D R E G R E S S I O N <?page no="91"?> tistik für Soziologen(3)__[Druckeiner linearen Beziehung gibt, aber die Punkte liegen eben nicht perfekt auf einer Linie, sondern weichen davon ab. Kovarianz und Korrelationskoeffizient Um die Stärke einer ungerichteten (symmetrischen) Beziehung zwischen zwei metrischen Variablen X und Y zu erfassen kann man den von K ARL P EAR S ON entwickelten Korrelationskoeffizienten r berechnen. Dieser lässt sich herleiten aus einem anderen, zunächst anschaulicheren Koeffizienten, der Kovarianz cov(x; y). Beide Maßzahlen nehmen den Wert 0 an, wenn keine lineare Beziehung zwischen X und Y besteht. Mit zunehmender Stärke der Beziehung nimmt der Betrag der Maßzahlen zu. Der Korrelationskoeffizient und die Kovarianz cov(x; y) können negative oder positive Werte realisieren. Das Vorzeichen gibt dabei an, ob eine positive Beziehung oder eine negative Beziehung vorliegt. Für die Berechnung der Kovarianz ermittelt man für jeden Merkmalsträger die Abweichungen seiner Ausprägungen x i bzw. y i zu dem arithmetischen Mittel x bzw. y. Dann wird für jeden Merkmalsträger das Produkt der beiden Abweichungen (x i - x) und (y i - y) berechnet. Das arithmetische Mittel dieser Abweichungsprodukte von allen Merkmalsträgern ist dann die Kovarianz. Sie ist sozusagen das „durchschnittliche Abweichungsprodukt“. cov ð x; y Þ = 1 n X n i = 1 ð x i x Þ ð y i y Þ Beispiel: Der Schwerpunkt der bivariaten Verteilung wird durch den Punkt ð x ; y Þ gebildet. Das ist in der ABBILDUNG 4.3 der Punkt (3,70; 7,47), der der Schnittpunkt der beiden zusätzlichen Linien ist, die das Streudiagramm in vier Quadranten einteilen. In der vertikalen bzw. in der horizontalen Dimension kann von jedem Punkt (x i ; y i ) die direkte Verbindung zu den beiden neuen Linien gezogen werden. Diese Verbindungen entsprechen grafisch den Abweichungen (x i - x) und (y i - y). Die Rechtecke stellen die Produkte dieser Abweichungen dar. Diese Abweichungen von den Mittelwerten und das Produkt der Abweichungen sind beispielhaft für die beiden Bundesländer Hamburg und Niedersachsen eingezeichnet. Für Hamburg ergibt sich als Produkt: 0,30 . 0,12 = 0,036, und für Niedersachsen ergibt sich: (-0,30) . 0,22 = (-0,066). Diese Flächeninhalte werden für alle 16 Länder berechnet (TABELLE 4.12). Im ersten und dritten Quadranten haben die Flächeninhalte ein negatives Vorzeichen, da eine der beiden Abweichungen ein negatives und die andere Abweichung ein positives Vorzei- 4.3.2 Kovarianz und Korrelation setzen Linearität voraus Stärke und Richtung des symmetrischen Zusammenhangs 92 B I V A R I A T E A N A L Y S E <?page no="92"?> chen hat. Im zweiten und vierten Quadranten haben die Flächeninhalte ein positives Vorzeichen, da die beiden Abweichungen immer dasselbe Vorzeichen haben. Werden alle Flächeninhalte aufsummiert und durch die Fallzahl geteilt, ergibt sich ein positiver Wert für cov(x; y), wenn die positiven Flächeninhalte überwiegen. Ein negativer Wert ergibt sich, wenn die negativen Flächeninhalte überwiegen. In der TABELLE 4.12 (letzte Spalte) erkennt man, dass nur für die fünf Punkte, die im zweiten und vierten Quadranten liegen, positive Flächeninhalte vorliegen, für zehn Punkte ergeben sich negative Flächeninhalte. In der Summe überwiegen die negativen Flächeninhalte. Für Baden- Württemberg ergibt sich ein Flächeninhalt von 0, da dieses Land hinsichtlich der kollektiven Wertorientierung Laissez-Faire genau den Durchschnittswert aufweist. Die cov(x; y) für den Zusammenhang zwischen den kollektiven Wertorientierungen Selbstverwirklichung und Laissez-Faire für die 16 Länder beträgt: cov ð x; y Þ = 1 n X n i = 1 ð x i x Þ ð y i y Þ = 1 16 ð 1,7447 Þ = 0,1090 Hier liegt also eine negative Beziehung zwischen den beiden kollektiven Wertorientierungen vor. Die Größenordnung der Kovarianz ist aber auch abhängig von der Messdimension der beiden beteiligten Variablen. (Die Kovarianz liegt zudem in Messeinheiten von X . Messeinheiten von Y vor.) Die Stärke der Beziehung zwischen zwei Variablen ist also nicht anhand der Kovarianz einschätzbar Eine Normierung der Kovarianz er- 1. Quadrant 2. Quadrant 3. Quadrant 4. Quadrant 8 7 3 4 Laissez-faire (X) Selbstverwirklichung (Y) Hamburg (4,00; 7,59) +0,12 +0,30 0,036 -0,30 0,066 Niedersachsen (3,92; 7,17) +0,22 Abb. 4.3 Korrelation als Normierung der Kovarianz 93 K O R R E L A T I O N U N D R E G R E S S I O N <?page no="93"?> tistik für Soziologen(3)__[Druckfolgt, indem man diese durch die Standardabweichung von X und die Standardabweichung von Y dividiert. Diese Normierung ergibt den Korrelationskoeffizienten r: r = cov ð x; y Þ s x s y Der Korrelationskoeffizient r variiert im Bereich von [-1; +1]. (Der Korrelationskoeffizient ist dimensionslos, d. h., er weist keine Messeinheit mehr auf.) Er nimmt (wie die Kovarianz) den Wert 0 an, wenn kein linearer Zusammenhang zwischen X und Y vorliegt. In diesem Fall gleichen sich die negativen und die positiven Flächeninhalte aus. Der Korrelationskoeffizient nimmt den Wert r = 1 an, wenn die beiden Variablen vollständig positiv miteinander korrelieren. Dann ist die Stärke des statistischen Zusammenhangsmaximal. In diesem Fall liegen alle Punkte im zweiten und vierten Quadranten, und zwar auf einer Linie. Umgekehrt nimmt der Korrelationskoeffizient den Wert r = -1 an, wenn die beiden Varia- Tab. 4.12 i x i y i x i - x y i - y ð x i x Þ ð y i y Þ 1 West-Berlin 3,35 7,91 - 0,3500 0,4400 - 0,1540 2 Schles.-Holst. 4,36 6,96 0,6600 - 0,5100 - 0,3366 3 Hamburg 4,00 7,59 0,3000 0,1200 0,0360 4 Niedersachsen 3,92 7,17 0,2200 - 0,3000 - 0,0660 5 Nordrh.-Westf. 3,79 7,27 0,0900 - 0,2000 - 0,0180 6 Hessen 3,64 7,13 - 0,0600 - 0,3400 0,0204 7 Rh.-Pfalz 3,77 7,13 0,0700 - 0,3400 - 0,0238 8 Baden-Württ. 3,70 7,16 0,0000 - 0,3100 0,0000 9 Bayern 3,56 7,15 - 0,1400 - 0,3200 0,0448 10 Saarland 4,42 6,84 0,7200 - 0,6300 - 0,4536 11 Ost-Berlin 3,51 8,00 - 0,1900 0,5300 - 0,1007 12 Mecklenb.-Vorp. 3,51 7,99 - 0,1900 0,5200 - 0,0988 13 Brandenburg 3,63 7,43 - 0,0700 - 0,0400 0,0028 14 Sachsen-Anhalt 3,92 7,84 0,2200 0,3700 0,0814 15 Thüringen 3,05 7,97 - 0,6500 0,5000 - 0,3250 16 Sachsen 3,02 7,99 - 0,6800 0,5200 - 0,3536 59,15 119,53 - 1,7447 94 B I V A R I A T E A N A L Y S E <?page no="94"?> blen vollständig negativ miteinander korrelieren. Auch dann liegt eine maximale Stärke des statistischen Zusammenhangs vor. Dann liegen die Punkte im ersten und dritten Quadranten auf einer Linie. Beispiel: Für die 16 Länder kann man die Korrelation berechnen, indem man den Wert für die Kovarianz durch die oben ermittelten Werte für s x und s y dividiert: r = cov ð x; y Þ s x s y = 0,1090 0,38 0,41 = 0,70 Hier liegt also eine starke negative Korrelation zwischen den beiden kollektiven Wertorientierungen Laissez-Faire (X) und Selbstverwirklichung (Y) vor. Beurteilung von Korrelationen Die Größenordnungen von empirischen Korrelationen - und allgemeiner: von statistischen Zusammenhangsmaßen insgesamt - fallen in der Praxis zumeist deutlich niedriger aus als dies in den Lehrbuchbeispielen der Fall ist. Aber man fasst in der angewandten Sozialforschung auch niedrigere r-Werte als zahlenmäßigen Ausdruck von starken und mittleren Zusammenhängen auf. Beispielhaft soll hier eine Einteilung für die Beschreibung unterschiedlicher Stärken der Korrelation aus der Literatur angeführt werden (K ÜHNE L / K R E B S 2012). Man sieht anhand der TABELLE 4.13, dass eine Korrelation von r = 0,25 (oder entsprechend r = -0,25) bereits als Korrelation mittlerer Stärke aufgefasst wird, obwohl sie nicht in der Mitte des Ausprägungsspektrums für den Betrag von r ( j r j ) liegt. Aggregation und ökologischer Fehlschluss Die für das Länder-Beispiel gewählte Strategie, aus Individualdaten Merkmalsausprägungen für eine „höhere“ statistische Ebene zu berechnen, nennt man Aggregation. Aggregiert wurden hier Individualdaten zu Kollektivmerkmalen. Hier ist die Aggregation erfolgt, indem für die Länder aus den Individualdaten die arithmetischen Mittelwerte berechnet wurden. Eine weitere Möglichkeit, Individualdaten zu aggregieren, besteht in der Berechnung von Prozentwerten. Die Aggregation findet 0,00 £ r £ 0,05 keine Korrelation 0,05 < r < 0,20 schwache Korrelation 0,20 < r < 0,50 mittlere Korrelation 0,50 < r < 0,70 starke Korrelation 0,70 < r < 1,00 sehr starke Korrelation Tab. 4.13 Was sind „starke“, „mittlere“ oder „schwache“ Korrelationen? 95 K O R R E L A T I O N U N D R E G R E S S I O N <?page no="95"?> tistik für Soziologen(3)__[Druckin der Soziologie häufig Anwendung, beispielsweise in der international vergleichenden Sozialforschung. E MILE D URKHE IM (1983) hat in seiner Selbstmordstudie die Aggregation von Individualdaten zu „Nationendaten“ verwendet. Die von ihm berechneten nationalen Selbstmordraten ermöglichten ihm, aufzuzeigen, dass diese auf der Kollektivebene (der Nation) eine gewisse zeitliche Stabilität hatten. Für Durkheim war die Aggregation damit eine soziologische Vorgehensweise, um kollektive Wirklichkeiten zu untersuchen, die ihre Realität nicht in den Individuen, sondern „außerhalb der Individuen“ haben. Mit der Aggregation verbunden ist aber die Möglichkeit eines Fehlschlusses. Die in dem Länder-Beispiel ermittelte Korrelation liegt auf der Ebene der Länder vor, diese sind die statistischen Einheiten. Nicht zulässig wäre nun zu schließen, dass auf der Ebene der Individuen ebenfalls dieser statistische Zusammenhang vorliegt. Diese Art der unzulässigen Schlussfolgerung nennt man ökologischen Fehlschluss. Er besteht darin, den auf der Kollektivebene (hier: Länderebene) vorgefundenen statistischen Zusammenhang auf die Individuenebene zu übertragen. Dass auf Länderebene diese starke Korrelation vorliegt, heißt also nicht, dass auf Individuenebene dasselbe Muster des Ko-Variierens vorliegt. Denkbar ist zum Beispiel, dass es auf Individuenebene keinen statistischen Zusammenhang zwischen den beiden Variablen gibt. Denkbar ist aber auch, dass auf Individuenebene sich der Zusammenhang gegenüber der Aggregatebene umkehrt (und ein negativer Zusammenhang auf der Aggregatebene auf der Individuenebene positiv ist bzw. umgekehrt). Ein multivariates statistisches Verfahren, um verschiedene Ebenen gleichzeitig in eine statistische Analyse einzubeziehen, ist die Mehrebenenanalyse ( fi Kap. 12.1.5). In dieser wird versucht, in die Analyse von Individualdaten auch Kontextmerkmale einzubeziehen. Diese Kontextmerkmale sind Merkmale der Kollektivebenen. Mit Hilfe der Mehrebenenanalyse kann man ökologische Fehlschlüsse vermeiden. Bivariate Regression Für die Analyse einer gerichteten (asymmetrischen) Beziehung zwischen zwei metrischen Variablen wird das Verfahren der Regressionsanalyse verwendet. Die Regressionsanalyse ist in der einfachsten Form die Regression einer abhängigen Variablen Y auf nur eine unabhängige Variable X. Dabei repräsentiert Y die Wirkung und X die Ursache. Man sagt dann, dass Y auf X regressiert (zurückgeführt) wird. In der bivariaten Regression besteht die Ausgangssituation darin, dass für n Merkmalsträger die Wertepaare (x i ; y i ) zweier metrischer Variablen vorliegen. Zudem wird unterstellt, dass Y linear von X abhängt. Nun ist eine Regressionsgerade Aggregation von Individualdaten zu Kollektivdaten Schluss von der Kollektivebene auf die Ebene der Individuen ist unzulässig 4.3.3 Regressionsanalyse untersucht gerichtete Zusammenhänge zwischen metrischen Variablen 96 B I V A R I A T E A N A L Y S E <?page no="96"?> so in eine Punktewolke einzuzeichnen, dass diese Gerade bestmöglichst den linearen Zusammenhang repräsentiert. Die Regressionsgerade repräsentiert daher ein Modell, das an die Punktewolke „angepasst“ wird. Beispiel: Es soll für die alten Bundesländer untersucht werden, wie (auf der Ebene der Länder) die Befürwortung des Heiratens bei dauerhaftem Zusammenleben (Y) statistisch von der Religiosität in diesen Bundesländern (X) abhängt. (Dabei wurden - wie im Beispiel für die Kovarianz und Korrelation - die Befragten herausgefiltert, die zum Zeitpunkt der Befragung 2002 nicht mindestens seit 15 Jahren in dem Bundesland gewohnt haben.) (1) Im ALLBUS wurde gefragt: „Würden Sie von sich sagen, dass Sie eher religiös oder eher nicht religiös sind? “ Die Befragten wurden gebeten, sich auf einer Skala einzuordnen, die als Variable Religiosität (v124) die Ausprägungen von 1 = „nicht religiös“ bis 10 = „religiös“ aufweist. Damit die Variable im Spektrum von 0 bis 9 variiert, wurde von jeder Ausprägung 1 (Skalenpunkt) subtrahiert. Für die Länder wurde dann das arithmetische Mittel berechnet, das als Länder-Wert für die Religiosität metrisch skaliert (verhältnisskaliert) ist und im Bereich von 0 bis 9 variieren kann. (2) Außerdem wurde gefragt: „Meinen Sie, dass man heiraten sollte, wenn man mit einem Partner auf Dauer zusammenlebt? “ (v6). Hier waren die Antwortmöglichkeiten 1 = „ja“, 2 = „nein“, 3 = „unentschieden“. Diese Variable ist nominal skaliert und damit nicht geeignet für die Aufnahme in eine lineare Regressionsanalyse. Wenn man für die Länder den prozentualen Anteil derjenigen berechnet, die die Frage mit „ja“ beantworten, hat man mit der Prozentzahl (Anteil der Ausprägung „1 = ja“ an allen Ausprägungen 100 %) für die Länder- Ebene eine metrische Variable Befürwortung des Heiratens, die von 0 % bis 100 % variieren kann. (Bremen wird als Land ausgeschlossen, da für dieses Land nur wenig Fälle vorliegen. West-Berlin ist hier anstelle des Bundeslandes Berlin einbezogen worden.) Die Länder-Werte x i und y i für die beiden Variablen sind in der TABELLE 4.14 in der zweiten und dritten Spalte aufgeführt. Die arithmetischen Mittelwerte sind: x = 45,71 10 = 4,57 y = 492 10 = 49,20 die Standardabweichungen: s x = ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 10 3,1213 r = 0,56 s y = ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 10 339,54 r = 5,83 Regressionsgerade als Modell 97 K O R R E L A T I O N U N D R E G R E S S I O N <?page no="97"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- Die Religiositäts-Werte liegen auf Länder-Ebene im arithmetischen Mittel bei 4,57. Der durchschnittliche Prozentsatz der Befürwortung des Heiratens liegt bei 49,2 %. Die Unterschiedlichkeit der Länder zeigt sich anhand der Streuungen. Die Standardabweichung bei den Religiositäts-Werten beträgt s x = 0,56 Skalenpunkte, die Standardabweichung bei der Befürwortung des Heiratens liegt bei 5,83 Prozentpunkten. Das Streudiagramm ABBILDUNG 4.4 zeigt die bivariate Verteilung der Ausprägungskombinationen für die zehn Länder. Mit zunehmendem Religiositäts-Wert nimmt die Befürwortung des Heiratens tendenziell zu. Die Punktewolke verläuft von links unten nach rechts oben. Das Streudiagramm veranschaulicht, dass man für dieses Beispiel eine lineare Beziehung zwischen den beiden Variablen annehmen kann. Eine Gerade kann also verwendet werden, um die gerichtete Beziehung zwischen X und Y zu repräsentieren. Allgemein ist nun für Regressionsanalysen das Problem zu lösen, wie die Gerade in die Punktewolke einzuzeichnen ist. Man kann die Strategie zur Ermittlung der bestmöglichen Lage einer Geraden auch als Anpassungsstrategie bezeichnen, da die Zielsetzung ist, durch die Gerade den linearen gerichteten Zusammenhang zwischen den beiden Variablen X und Y bestmöglich zu präsentieren, was gleichbedeutend ist mit der besten Anpassung der Geraden an die Punktewolke. Durch die Regressionsgerade wird jedem x i -Wert ein so genannter Vorhersagewert yˆ i zugeordnet. Die Geradengleichung lässt sich formal einfach darstellen: yˆ i = b 0 + b 1 . x i Tab. 4.14 i x i y i (x i - x) 2 (y i - y) 2 1 West-Berlin 4,37 44,20 0,0400 25,0000 2 Schleswig-Holstein 3,53 45,30 1,0816 15,2100 3 Hamburg 4,00 39,40 0,3249 96,0400 4 Niedersachsen 4,37 58,20 0,0400 81,0000 5 Nordrhein-Westfalen 4,94 49,90 0,1369 0,4900 6 Hessen 4,10 45,80 0,2209 11,5600 7 Rheinland-Pfalz 5,03 50,60 0,2116 1,9600 8 Baden-Württemberg 5,15 52,20 0,3364 9,0000 9 Bayern 5,38 59,00 0,6561 96,0400 10 Saarland 4,84 47,40 0,0729 3,2400 45,71 492,00 3,1213 339,5400 Anpassungsstrategie 98 B I V A R I A T E A N A L Y S E <?page no="98"?> Diese Gleichung beinhaltet die zwei Koeffizienten b 0 und b 1 . Diese sind die so genannten Regressionskoeffizienten. Die Lage jeder Regressionsgeraden ist durch diese beiden Koeffizienten festgelegt (ABBILDUNG 4.5). b 0 ist der Y-Achsenabschnitt, d. h., er markiert die Höhe, auf der die Regressionsgerade die Y-Achse schneidet. b 1 gibt die Steigung der Geraden an. Die Frage, wie man die beiden Regressionskoeffizienten berechnet, wird erst einmal zurückgestellt. Sind die Regressionskoeffizienten bekannt, kann man die x i in die obige Gleichung für die Regressionsgerade einsetzen und erhält die Vorhersagewerte yˆ i . Diese sind theoretische Werte, die sich für die Merkmalsträger ergeben würden, wenn Y vollständig durch X determiniert wäre. Die empirischen Ausprägungen y i und die Vorhersagewerte yˆ i weichen in der Regel aber voneinander ab. Die jeweilige Differenz ist die Residue e i , die für jeden Merkmalsträger berechnet werden kann. e i = y i - yˆ i Die ABBILDUNG 4.5 stellt grafisch den Zusammenhang zwischen empirischer Ausprägung (y i ), Vorhersagewert (yˆ i ), Residue (e i ) und Regressionsgerade beispielhaft für die Ausprägungskombination (x i ; y i ) eines einzelnen Merkmalsträgers dar. Im Unterschied zur Regressionsgerade, die den Vorhersagewert berechnet, gibt die Regressionsgleichung für jeden Merkmalsträger an, wie sich der empirische Wert y i aus dem Vorhersagewert yˆ i und der Residue e i zusammensetzt: y i = yˆ i + e i = b 0 + b 1 . x i + e i 60 50 40 4 5 Religiosität Befürwortung Heiraten (%) Niedersachsen Bayern Baden-Würt. Rh.-Pfalz Nordrh.-Westf. Saarland Hessen West-Berlin Hamburg Schles.-Holst. Abb. 4.4 Residue e i Empirische Ausprägung setzt sich aus Vorhersagewert und Residue zusammen 99 K O R R E L A T I O N U N D R E G R E S S I O N <?page no="99"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- Was heißt nun „bestmöglich anpassen“ im Rahmen der Regressionsanalyse? Für die Ermittlung der bestmöglich angepassten Regressionsgerade verwendet man die Methode der kleinsten Quadrate. Diese soll anhand des bereits eingeführten Beispiels vorgestellt werden. Beispiel: Angenommen, man zeichnet eine Gerade in das Streudiagramm für die zehn Länder ein, die den linearen Trend zwischen der Religiosität und der Befürwortung des Heiratens wiedergeben soll, wie dies in der ABBILDUNG 4.6 erfolgt ist. Dann kann man von jedem Punkt in der vertikalen Dimension das Lot auf die Gerade fällen, also die direkte Verbindungslinie in der vertikalen Dimension ziehen. Für die zehn Länder ist dies in der ABBILDUNG 4.6 erfolgt. Diese vertikalen Linien stellen für jeden Fall die Residue e i dar. Grafisch betrachtet stellt sie für jeden Merkmalsträger in der vertikalen Dimension die Abweichung des y i -Wertes von der Regressionsgeraden dar. Wenn man die Lage der Geraden verändern würde, würden sich auch die in der ABBILDUNG 4.6 eingezeichneten Residuen ändern. Die Methode der kleinsten Quadrate besteht darin, die Gerade so in die Punktewolke einzupassen, dass die Summe der quadrierten Residuen minimal ist: „Minimiere e i2 ! “ Die in die ABBILDUNG 4.6 eingezeichnete Gerade ist diejenige, die sich ergibt, wenn man die Methode der kleinsten Quadrate heranzieht. Jede andere Lage für eine Regressionsgerade würde die Summe der quadrierten Residuen erhöhen. Wenn die Lage der Gerade determiniert ist durch die beiden Regressionskoeffizienten b 0 und b 1 , dann besteht das Minimierungsproblem darin, diejenigen Regressionskoeffizienten zu ermitteln, die zu der kleinsten Summe der quadrierten Residuen führen. Die Regressionskoeffizienten für die Regressionsgerade nach der Me- Abb. 4.5 (x i ; y i ) e i y i = b 0 + b 1 ⋅ x i (x i ; y i ) 0 x i X b 0 y i Y y i ˆ ˆ ˆ Minimiere die Summe der Abweichungsquadrate! 100 B I V A R I A T E A N A L Y S E <?page no="100"?> thode der kleinsten Quadrate lassen sich aus den gegebenen Ausprägungskombinationen (x i ; y i ) mit den beiden folgenden Formeln berechnen. Der Regressionskoeffizient b 1 ergibt sich aus dem Verhältnis der cov(x; y) zur var(x): b 1 = cov ð x; y Þ var ð x Þ = 1 n P i ð x i x Þ ð y i y Þ 1 n P i ð x i x Þ 2 = P i ð x i x Þ ð y i y Þ P i ð x i x Þ 2 Ist b 1 berechnet, kann man b 0 ermitteln: b 0 = y b 1 x Die Regressionskoeffizienten sind nicht dimensionslos: b 0 hat die Dimension von Y, b 1 hat die Dimension von Y dividiert durch die Dimension von X. Die Methode der kleinsten Quadrate hat unter anderem folgende Eigenschaften. (1) Die Summe der Residuen ist immer 0: X i e i = 0 Für das arithmetischen Mittel der Residuen ergibt sich dementsprechend: 1 n X i e i = e = 0 60 50 40 3 4 5 6 Religiosität Befürwortung Heiraten (%) Abb. 4.6 Eigenschaften der Methode der kleinsten Quadrate 101 K O R R E L A T I O N U N D R E G R E S S I O N <?page no="101"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- (Bemerkung: e i ist nicht zu verwechseln mit der Summe der quadrierten Residuen e i2 .) (2) Durch die Quadrierung tragen große Residuen in besonderem Maße zu e i2 bei. Da die Anpassungsstrategie lautet: „Minimiere die Summe der quadrierten Residuen! “, erhält die Vermeidung großer Residuen ein besonderes Gewicht in der Anpassung der Geraden an die Punktewolke. (3) Die Methode der kleinsten Quadrate führt immer zu einer eindeutigen Lösung für die Berechnung der Regressionskoeffizienten b 0 und b 1 . (Wenn man statt der quadrierten Abstände (y i - yˆ i ) 2 zum Beispiel die einfachen Abstände (y i - yˆ i ) nehmen würde, wäre dies nicht der Fall.) Die Methode der kleinsten Quadrate heißt auch OLS-Methode. OLS ist die Abkürzung für den englischen Ausdruck „ordinary least squares“. Beispiel: Für das Beispiel sollen die Regressionskoeffizienten für die Gleichung der Regressionsgeraden berechnet werden (TABELLE 4.15). Mit Hilfe der Summen 3,12 und 20,535 lässt sich b 1 berechnen: b 1 = P i ð x i x Þ ð y i y Þ P i ð x i x Þ 2 = 20,535 3,12 = 6,58 Nun kann b 0 berechnet werden mit: b 0 = y b 1 x = 49,2 6,58 4,57 = 19,13 Tab. 4.15 i x i y i x i - x (x i - x) 2 y i - y (x i - x) . (y i - y) 1 West-Berlin 4,37 44,20 - 0,20 0,04 - 5,00 1,0000 2 Schles.-Holst. 3,53 45,30 - 1,04 1,08 - 3,90 4,0560 3 Hamburg 4,00 39,40 - 0,57 0,32 - 9,80 5,5860 4 Niedersachsen 4,37 58,20 - 0,20 0,04 9,00 - 1,8000 5 Nordrh.-Westf. 4,94 49,90 0,37 0,14 0,70 0,2590 6 Hessen 4,10 45,80 - 0,47 0,22 - 3,40 1,5980 7 Rh.-Pfalz 5,03 50,60 0,46 0,21 1,40 0,6440 8 Baden-Württ. 5,15 52,20 0,58 0,34 3,00 1,7400 9 Bayern 5,38 59,00 0,81 0,66 9,80 7,9380 10 Saarland 4,84 47,40 0,27 0,07 - 1,80 - 0,4860 45,71 492,00 3,12 20,5350 102 B I V A R I A T E A N A L Y S E <?page no="102"?> Damit kann man die Geradengleichung für die Vorhersagewerte aufstellen: yˆ i = 19,13 + 6,58 . x i Die Regressionsgleichung ist: y i = 19,13 + 6,58 . x i + e i Wie lassen sich nun die erhaltenen Regressionskoeffizienten interpretieren? Der Regressionskoeffizient b 0 gibt den Vorhersagewert yˆ i an, wenn x i = 0 ist. Zumeist ist das Interesse an b 0 nur gering. Häufig kommt es vor, dass der Schnittpunkt der Regressionsgeraden mit der Y-Achse in einem Bereich liegt, in dem empirisch keine Ausprägungen vorliegen, nicht zu erwarten sind oder nicht vorkommen können. Der Regressionskoeffizient b 1 kann grafisch als ein Steigungsfaktor für die Regressionsgerade interpretiert werden, was in dem Steigungsdreieck in der ABBIL- DUNG 4.7 zum Ausdruck gebracht werden kann. Er gibt an, wie sich der Vorhersagewert yˆ i verändert, wenn x i sich verändert. Drückt man eine Veränderung von x i mit x und eine dadurch „bewirkte“ Veränderung des Vorhersagewerts yˆ mit yˆ aus, kann der Regressionskoeffizient b 1 als Verhältnis formal beschrieben werden: b 1 ¼ ^ y x Dieses Verhältnis ist konstant, d. h., unabhängig von der Größe des Ausgangswerts x i ist die Veränderungsrate immer gleich. Eine vereinfachte Interpretation von b 1 ergibt sich, wenn man sich die Veränderung von x i um eine Einheit (von X) betrachtet: In dem Fall, in welchem die Verändex 0 x i X b 0 Y y i ∇ x i + x ∇ y ∇ y i + y ∇ y ∇ x ∇ b 1 = ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Abb. 4.7 Interpretation der Regressionskoeffizienten 103 K O R R E L A T I O N U N D R E G R E S S I O N <?page no="103"?> tistik für Soziologen(3)__[Druckrung x = 1 ist, gibt der Regressionskoeffizient genau an, wie yˆ sich verändert: b 1 = ^ y 1 = ^ y Der Regressionskoeffizient b 1 gibt an, mit welchem Faktor oder „Gewicht“ im Regressionsmodell X auf Yˆ einwirkt. Dieser Regressionskoeffizient wird deshalb auch Regressionsgewicht oder Effekt von X genannt. (1) Ist b 1 = 0, dann hat X keinen Effekt auf Yˆ . Dann ist auch yˆ i immer so groß wie b 0 . In diesem Fall kann man auch sagen, dass Y statistisch unabhängig ist von X. Es gibt dann keinen linearen Zusammenhang zwischen X und Y. (2) Wenn b 1 < 0 ist, dann hat X einen negativen Effekt auf Yˆ , eine Erhöhung von X wirkt sich vermindernd auf Yˆ aus. (3) Wenn b 1 > 0 ist, dann hat X einen positiven Effekt auf Yˆ . Ist b 1 „ 0, dann hängt die Größe des Effekts von der Größe des Betrags von b 1 ab. Man muss aber beachten: b 1 ist kein Maß für die Stärke des gerichteten statistischen Zusammenhangs zwischen X und Y. (Ein solches wird mit dem Determinationskoeffizienten r 2 eingeführt). Zudem hängt die Größenordnung von b 1 von den Messdimensionen ab, in denen die Variablen Y und X gemessen wurden und b 1 ist nicht dimensionslos. Beispiel: Der Regressionskoeffizient b 0 = 19,13 sagt aus, dass für ein Land, in dem der Religiositäts-Wert 0 beträgt, sich ein Vorhersagewert von 19,13 % für die Befürwortung des Heiratens errechnet. Da die Religiositätsskala von 0 bis 9 variiert, kann ein solcher Wert vorkommen. In diesem Fall ergibt sich der Regressionskoeffizient b 0 rechnerisch als Vorhersagewert, da man in die Geradengleichung für x i = 0 einsetzt: yˆ i = 19,13 + 6,58 . 0 = 19,13 Der Regressionskoeffizient b 1 = 6,58 gibt an, dass mit jeder Zunahme des Religiositäts-Wertes um einen Skalenpunkt der Vorhersagewert für die Befürwortung des Heiratens um 6,58 Prozentpunkte steigt. Der Determinationskoeffizient r 2 Die „Erklärungsleistung“ eines solchen Regressionsmodells für Y wird durch den Determinationskoeffizienten r 2 quantifiziert. Der Determinationskoeffizient gibt zugleich die Stärke des gerichteten statistischen Zusammenhangs zwischen X und Y an. Er setzt die durch das Regressionsmodell erklärte Varianz der Variablen Y ins Verhältnis zu ihrer Gesamtvarianz. Die Gesamtvarianz von Y ist: var ð y Þ = 1 n X i ð y i y Þ 2 Determinationskoeffizient gibt die Stärke des gerichteten Zusammenhangs an 104 B I V A R I A T E A N A L Y S E <?page no="104"?> Diese Gesamtvarianz kann zerlegt werden in zwei Bestandteile, was in der ABBILDUNG 4.8 veranschaulicht wird. Man kann die Abweichung des empirischen Wertes vom arithmetischen Mittel (y i - y) zerlegen in die Abweichung des Vorhersagewertes vom arithmetischen Mittel (yˆ i - y) und die Abweichung des empirischen Wertes vom Vorhersagewert (y i - yˆ i ). Die Abweichung (y i - yˆ i ) entspricht der Residue e i und ist bereits eingeführt worden. Diese Abweichung ist die durch das Regressionsmodell nicht erklärte Abweichung. Die andere Abweichung (yˆ i - y) wird dagegen als eine erklärte Abweichung betrachtet. Denn dass yˆ i von y abweicht, wird auf den linearen Einfluss von X zurückgeführt, den die Regressionsgerade repräsentiert. Formal gilt also für jeden Fall die folgende Zerlegung der Abweichung: (y i - y) = (yˆ i - y) + (y i - yˆ i ) Es lässt sich zeigen, dass diese Zerlegung auch gilt, wenn man die einzelnen Klammerausdrücke quadriert und die durchschnittlichen summierten Quadrate über alle Fälle berechnet. Dann erhält man die Zerlegung der Gesamtvarianz: 1 n X i ð y i y Þ 2 = 1 n X i ð ^ y i y Þ 2 + 1 n X i ð y i ^ y i Þ 2 (Gesamtvarianz = erklärte Varianz + nicht erklärte Varianz) Diese Gleichung zeigt, dass sich die Gesamtvarianz zerlegen lässt in zwei Bestandteile: die erklärte Varianz und die nicht erklärte Varianz. (Die Formel für die nicht erklärte Varianz sieht auf den ersten Blick nicht wie eine Varianz aus, da hier keine mittlere quadrierte Abwei- (x i ; y i ) e i 0 x i X y i Y y y i - y i = _ y i - y_ y i - y_ ˆ ˆ Abb. 4.8 Varianzzerlegung 105 K O R R E L A T I O N U N D R E G R E S S I O N <?page no="105"?> tistik für Soziologen(3)__[Druckchung von einem Mittelwert vorzuliegen scheint, was der Definition der Varianz als Streuungsmaß entsprechen würde ( fi Kap. 3.5.3) . Wenn man berücksichtigt, dass e ¼ 0 ist, kann man aber zeigen, dass die nicht erklärte Varianz eine mittlere quadrierte Abweichung von einem Mittelwert ist: var ð e Þ = 1 n X i ð e i e Þ 2 = 1 n X i ð e i Þ 2 = 1 n X i ð y i ^ y i Þ 2 Die Varianzzerlegung ist formal also: var(y) = var(yˆ ) + var(e).) Mit Hilfe der Varianzzerlegung lässt sich der Determinationskoeffizient entwickeln, der die Anpassungsleistung des Regressionsmodells insgesamt, die so genannte Erklärungsleistung, zum Ausdruck bringt. Ein Regressionsmodell hat eine umso höhere Erklärungsleistung, je höher der Anteil der erklärten Varianz an der Gesamtvarianz ist. Der Determinationskoeffizient r 2 lässt sich damit als Verhältnis berechnen: r 2 = var ð ^ y Þ var ð y Þ = 1 n P i ð ^ y i y Þ 2 1 n P i ð y i y Þ 2 = P i ð ^ y i y Þ 2 P i ð y i y Þ 2 Da es sich hier um einen Anteilswert handelt, kann man r 2 . 100 % als Prozentwert interpretieren. Er variiert dann im Bereich von 0 % bis 100 %. Der Determinationskoeffizient hat kein Vorzeichen, so dass sich hieran nicht erkennen lässt, ob ein positiver oder ein negativer Zusammenhang vorliegt. (Dafür kann aber das Vorzeichen des Regressionskoeffizienten b 1 herangezogen werden.) Keine Erklärungsleistung des Regressionsmodells für Y liegt vor, wenn r 2 = 0 ist. Dann liegt kein statistischer Zusammenhang zwischen X und Y vor. (Dann ist auch b 1 = 0, d. h., die Regressionsgerade läuft parallel zur X-Achse, siehe ABBILDUNG 4.9, oben links.) Eine maximale Erklärungsleistung des Regressionsmodells liegt vor, wenn r 2 = 1 ist. Dann gelingt es für alle Merkmalsträger, anhand der Regressionsgerade den y i - Wert zu bestimmen, d. h., y i = yˆ i für alle Fälle, was grafisch bedeutet, dass alle Punkte (x i ; y i ) auf der Regressionsgeraden liegen (in der ABBILDUNG 4.9 entspricht dies dem Streudiagramm unten rechts). In diesem Fall ist der statistische Zusammenhang maximal. Der Determinationskoeffizient r 2 gibt damit für eine gerichtete Beziehung an, wie stark X und Y statistisch zusammenhängen, man sagt auch: wie stark Y durch X „statistisch determiniert ist“. Die ABBILDUNG 4.9 stellt zur Veranschaulichung vier (theoretische) bivariate Verteilungen dar. Diese unterscheiden sich hinsichtlich der Stärke des gerichteten Zusammenhangs zwischen X und Y. Für jede der vier Situationen ist eine Re- Determinationskoeffizient gibt Erklärungsleistung des Regressionsmodells an Interpretation des Determinationskoeffizienten Unterschied zwischen b j und r 2 106 B I V A R I A T E A N A L Y S E <?page no="106"?> gressionsgerade ermittelt worden. Die erste Situation veranschaulicht, dass nur in dem Fall, dass b 1 = 0 ist auch r 2 = 0 ist. Bei den drei anderen Regressionen (oben rechts und unten links/ rechts) ist b 1 jeweils konstant, aber r 2 nimmt in dem Ausmaß zu, in dem die Punkte näher an der Regressionsgeraden liegen. Man erkennt hieran gut, was den Unterschied zwischen den beiden Koeffizienten b 1 und r 2 ausmacht, nämlich dass r 2 die Stärke des gerichteten Zusammenhangs zwischen X und Y angibt, während b 1 den Effekt von X auf den Vorhersagewert Yˆ angibt. Beispiel: Für die Regression der Befürwortung des Heiratens auf die Religiosität soll nun die Stärke des gerichteten linearen Zusammenhangs berechnet werden. Die beiden letzten Spaltensummen sind die Werte für var(yˆ ) und var(y), die nun ins Verhältnis zu setzen sind: r 2 = var ð ^ y Þ var ð y Þ = 135,10 339,54 = 0,40 60 50 40 3 4 5 6 b 1 = 0; r 2 = 0 60 50 40 3 4 5 6 b 1 = 6,58; r 2 = 1,00 60 50 40 3 4 5 6 b 1 = 6,58; r 2 = 0,80 60 50 40 3 4 5 6 b 1 = 6,58; r 2 = 0,30 Abb. 4.9 107 K O R R E L A T I O N U N D R E G R E S S I O N <?page no="107"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- Der Determinationskoeffizient von r 2 = 0,40 besagt, dass die Varianz der Befürwortung des Heiratens zu 40 % durch die Varianz der Religiosität statistisch erklärt wird. Die Varianz der abhängigen Variablen wird also zu mehr als zwei Fünfteln erklärt, womit eine mittlere Erklärungsleistung vorliegt. Dies ist ein guter Wert für ein Regressionsmodell mit nur einer unabhängigen Variablen. In der TABELLE 4.16 sind zusätzlich die Residuen für die Länder aufgeführt. Hier erkennt man, für welche Länder das Regressionsmodell gute bzw. schlechte Vorhersagewerte liefert. 0-1-Kodierung (Dummy-Kodierung) Eingangs wurde die Regressionsrechung als ein Verfahren für die Analyse des gerichteten Zusammenhangs zwischen metrischen Variablen vorgestellt. Es gibt eine wichtige Ausnahme: Das Spektrum der Regressionsrechnung erweitert sich für soziologische Anwendungen dadurch, dass als unabhängige Variablen auch dichotome Variablen eingesetzt werden können, wenn sie in bestimmter Weise kodiert sind. Die eine der beiden Kategorien der Variabeln wird in diesem Fall mit „0“, die andere der beiden Kategorien wird mit „1“ kodiert. Die Kategorie mit der Kodierung „0“ ist die so genannte Referenzkategorie. Die Gruppe, die so kodiert wurde ist die Referenzgruppe. Diese Art der Kodierung nennt man 0 - 1-Kodierung oder auch Dummy-Kodierung. Wird eine dichotome Variable in 0 - 1-kodierter Form als unabhängige Variable in eine Regressionsrechnung aufgenommen, liefert die Regressionsrechnung sinnvoll interpretierbare Tab. 4.16 i x i y i yˆ i e i (yˆ i - y) 2 (y i - y) 2 1 West-Berlin 4,37 44,20 47,88 - 3,68 1,74 25,00 2 Schleswig-Holstein 3,53 45,30 42,36 2,94 46,88 15,21 3 Hamburg 4,00 39,40 45,45 - 6,05 14,10 96,04 4 Niedersachsen 4,37 58,20 47,88 10,32 1,74 81,00 5 Nordrhein-Westfalen 4,94 49,90 51,64 - 1,74 5,90 0,49 6 Hessen 4,10 45,80 46,11 - 0,31 9,59 11,56 7 Rheinland-Pfalz 5,03 50,60 52,23 - 1,63 9,13 1,96 8 Baden-Württemberg 5,15 52,20 53,02 - 0,82 14,53 9,00 9 Bayern 5,38 59,00 54,53 4,47 28,35 96,04 10 Saarland 4,84 47,40 50,98 - 3,58 3,14 3,24 45,71 492,00 135,10 339,54 0 - 1-kodierte unabhängige Variablen können in ein Regressionsmodell aufgenommen werden Referenzgruppe wird mit 0 kodiert 108 B I V A R I A T E A N A L Y S E <?page no="108"?> Resultate für die Regressionskoeffizienten sowie für den Determinationskoeffizienten r 2 , der auch hier die Erklärungsleistung der 0 - 1kodierten unabhängigen Variablen für die abhängige Variable angibt. Beispiel: Es soll für die ganztägig berufstätigen Hochschulabsolventen und -absolventinnen untersucht werden, wie sich die Zugehörigkeit zu einer der beiden Geschlechtergruppen (X) auf das Einkommen (Y) auswirkt. Das Geschlecht (v182) ist im ALLBUS 2002 mit 1 (für „Mann“) und 2 (für „Frau“) kodiert. Die Variable wird rekodiert, so dass sie anschließend 0 - 1-kodiert ist. Dabei ist die Kategorie „Mann“ die Referenzkategorie und wird mit 0 kodiert. Für die Hochschulabsolventen ist also x i = 0. Die Kategorie „Frau“ wird mit 1 kodiert. Für die Hochschulabsolventinnen ist also x i = 1. Das Einkommen wird anhand des angegebenen monatlichen Nettoeinkommens in e erfasst (v361). Im ALLBUS 2002 sind 121 ganztags berufstätige Hochschulabsolventen und 59 ganztags berufstätige Hochschulabsolventinnen enthalten. Das Streudiagramm stellt die bivariate Verteilung der insgesamt 180 Fälle dar. In der ABBILDUNG 4.10 zeigt sich, dass sich über den mit x i = 0 (für Mann) und x i = 1 (für Frau) kodierten Ausprägungen der Variable Geschlecht die Punkte wie zwei Säulen auftürmen. Da bei dieser Fallzahl sehr viele Punkte dicht beieinander oder sogar übereinander liegen, ist hier auf eine Darstellungstechnik zurückgegriffen worden, die die Konzentration der Punkte in einem Bereich des Streudiagramms durch die Punktgröße darstellt. Dafür wurde die Fläche des Streudiagramms in gleich große Rechtecke eingeteilt und für jedes Rechteck dann ein Punkt eingetragen, dessen Größe proportional zur Fallzahl in dem Rechteck ist (Cellu- 10000 15000 5000 0 0 1 Abb. 4.10 Bei vielen Fällen Streudiagramm mit Cellulation 109 K O R R E L A T I O N U N D R E G R E S S I O N <?page no="109"?> tistik für Soziologen(3)__[Drucklation). Man erkennt hieran gut, dass innerhalb der beiden Gruppen jeweils eine Streuung vorliegt (Unterschiede in der Y-Dimension) und dass Männer mit Hochschulabschluss im Vergleich zu Frauen mit Hochschulabschluss im Durchschnitt höhere Nettoeinkommen aufweisen. Für die beiden Gruppen kann man die arithmetischen Mittelwerte und die Standardabweichungen berechnen. Da hier viele Fälle vorliegen, wird dies einem Statistikprogramm überlassen. Es ergeben sich folgende Werte: y Mann = 3223,07 s Mann = 2340,96 y Frau = 2248,45 s Frau = 1936,87 Lässt man nun mit Hilfe einer Statistiksoftware die beiden Variablen in eine Regressionsanalyse eingehen, um die Regressionskoeffizienten b 0 und b 1 nach dem Kriterium der Methode der kleinsten Quadrate zu berechnen, erhält man folgende Resultate: b 0 = 3223,07 b 1 = -974,62 Die bivariate Regressionsgleichung ist damit: y i = 3223,07 + (-974,62) . x i + e i Die Vorhersagewerte für das Einkommen der beiden Gruppen lassen sich demnach berechnen mit: yˆ i = 3223,07 + (-974,62) . x i Da nur zwei mögliche Ausprägungen für X vorliegen, kann man für die beiden Gruppen die beiden Vorhersagewerte berechnen, indem man in die Gleichung für die Regressionsgerade einmal die 0 und einmal die 1 für X einsetzt. Für Hochschulabsolventen ergibt sich ein vorherzusagendes Nettoeinkommen von: yˆ i = 3223,07 + (-974,62) . 0 = 3223,07 Für Hochschulabsolventinnen ergibt sich dagegen ein vorherzusagendes Nettoeinkommen von: yˆ i = 3223,07 + (-974,62) . 1 = 3223,07 - 974,62 = 2248,45 110 B I V A R I A T E A N A L Y S E <?page no="110"?> Man sieht, dass sich als Vorhersagewerte für die beiden Gruppen deren Gruppenmittelwerte einstellen. Für diese gilt, dass die Summe der quadrierten Abweichungen in den Gruppen hierzu minimal ist. Dies ist eine Eigenschaft der Gruppenmittelwerte. Inhaltlich heißt dies: Die Summe der quadrierten Abweichungen der Nettoeinkommen in einer Gruppe vom Einkommensdurchschnitt der Gruppe ist kleiner als die Summe der quadrierten Abweichungen der Nettoeinkommen von irgendeinem anderen statistischen Kennwert des Nettoeinkommens. Die 0 - 1-Kodierung ermöglicht, dass die beiden Regressionskoeffizienten sich direkt auf die Gruppenmittelwerte beziehen lassen. Der Regressionskoeffizient b 0 ist der Gruppenmittelwert der Referenzgruppe. In diesem Fall ist b 0 damit der Gruppenmittelwert der Hochschulabsolventen. Der Regressionskoeffizient b 1 entspricht der Differenz zwischen den beiden Gruppenmittelwerten. Der Regressionskoeffizient b 1 drückt damit aus, wie sich der Vorhersagewert (der Gruppenmittelwert) verändert, wenn man von der Gruppe mit der Kodierung x i = 0 zu der Gruppe mit der Kodierung x i = 1 wechselt. In diesem Fall drückt der Regressionskoeffizient b 1 aus, dass die Hochschulabsolventinnen einen vorherzusagenden Einkommenswert haben, der 974,62 e niedriger ist als der der Hochschulabsolventen. In der ABBILDUNG 4.10 ist die Regressionsgerade eingezeichnet. (Streng genommen ist diese für andere X-Werte als 0 und 1 gar nicht definiert.) Ihr Fallen drückt aus, dass die Mittelwertdifferenz hier negativ ist. Wenn man nun angeben will, welche Erklärungsleistung die 0 - 1-kodierte unabhängige Variable für die abhängige metrische Variable hat, kann man auch hier den Determinationskoeffizienten r 2 berechnen. In diesem Beispiel erhält man einen Wert von r 2 = 0,041. Das Geschlecht hat wider Erwarten nur eine geringe Erklärungsleistung für das Einkommen. Nur 4,1 % der Variation des Einkommens wird durch das Geschlecht erklärt. Bivariate Zusammenhangsmaße im Überblick Die TABELLE 4.17 stellt verschiedene Zusammenhangsmaße für die Analyse der Stärke der Beziehung zwischen zwei Variablen X und Y zusammen. Die Zusammenhangsmaße sind danach gruppiert, welches Skalenniveau ihre Anwendung (mindestens) voraussetzt. Die kursiv gesetzten Zusammenhangsmaße setzen voraus, dass eine asymmetrische, also eine gerichtete Beziehung (X fi Y) vorliegt, für die die Stärke des statistischen Zusammenhangs berechnet werden soll. Die nicht kursiv (gerade) gesetzten Zusammenhangsmaße setzen dies nicht voraus. Sie können aber auch für die Berechnung der Stärke einer geb 1 entspricht Mittelwertdifferenz 4.4 111 B I V A R I A T E Z U S A M M E N H A N G S M A ß E I M Ü B E R B L I C K <?page no="111"?> tistik für Soziologen(3)__[Druckrichteten Beziehung verwendet werden, wenn man dies in der Interpretation berücksichtigt. Die fett markierten Zusammenhangsmaße wurden in diesem Kapitel vorgestellt. Die anderen Zusammenhangsmaße finden sich in den folgenden Lehrbüchern: K Ü H N E L / K R E B S 2012: Phi, Somers’ d, Lambda, Gamma, Tau-Maße. K L E M M 2002: Phi, Lambda, Gamma, Tau-Maße. C H E N / P O P OV I C H 2002: Phi, punktbiseriale Korrelation, Eta, Rangkorrelationskoeffizient, Gamma, Tau-Maße. B O R T Z 2010: Phi, punktbiseriale Korrelation, Rangkorrelation. B E N N I N G H AU S 2007: Phi, Lambda, Rangkorrelationskoeffizient, Gamma, Tau-Maße, Eta. Kurzdarstellungen aller Zusammenhangsmaße finden sich Diaz-Bone/ Weischer (Hrsg.) 2015. Tab. 4.17 X Y nominal ordinal metrisch dichotom polytom dichotom Odds Ratio; Yule’s Q; Prozentsatzdifferenz d %; Phi ( ); Tetrachorische Korrelation Biseriale Korrelation; Punktbiseriale Korrelation polytom 2 (Chi-Quadrat); Cramer’s V; Lambda ( ) ordinal Rangkorrelationskoeffizient (Spearman’s rho); Gamma ( ); Tau-Maße ( a , b ); Somers’ d; Polychorische Korrelation metrisch Biseriale Korrelation; Punktbiseriale Korrelation Eta ( ); Eta 2 ( 2 ) Korrelationskoeffizient r; Kovarianz cov(x; y); Determinationskoeffizient r 2 112 B I V A R I A T E A N A L Y S E <?page no="112"?> Drittvariablenkontrolle Inhalt 5.1 Drittvariablenkontrolle in der Tabellenanalyse 5.2 Drittvariablenkontrolle in der Regressions- und Korrelationsrechnung Während die bivariate Analyse den statistischen Zusammenhang zwischen zwei Variablen untersucht, fragt die so genannte Drittvariablenkontrolle: „Wie beeinflusst eine dritte Variable Z den bivariaten Zusammenhang zwischen zwei Variablen X und Y? “ Die bivariate Analyseperspektive wird also erweitert, wenn der Verdacht besteht, dass ein dritter Sachverhalt in die bivariate Beziehung hineinwirkt. Aus diesem Grund besteht das Interesse einmal darin, zu diagnostizieren, ob eine Drittvariable den bivariaten statistischen Zusammenhang beeinflusst, und wenn ja, wie sie das tut. Die ABBILDUNG 5.1 veranschaulicht dieses Analyseinteresse für eine ungerichtete Beziehung zwischen X und Y. In gleicher Weise gilt die Fragestellung auch für eine gerichtete Beziehung. Weiter möchte man den Einfluss der Drittvariablen Z aus dem bivariaten Zusammenhang zwischen X und Y statistisch herausrechnen oder den Einfluss kontrollieren. Daher heißt dieses Anliegen Drittvariablenkontrolle. Die einfachen Grundformen der Drittvariablenkontrolle Wie wirkt Z auf den bivariaten Zusammenhang zwischen X und Y ein? Z X Y Abb. 5.1 5 Fragestellung der Drittvariablenkontrolle 113 <?page no="113"?> tistik für Soziologen(3)__[Drucksollen hier vorgestellt werden. Sie stoßen schnell an ihre Grenzen, wenn man nicht nur eine Drittvariable, sondern den simultanen Einfluss mehrerer Drittvariablen auf eine Beziehung zwischen zwei Variablen untersuchen und kontrollieren will. Dann kann man multivariate statistische Verfahren heranziehen, die die statistischen Beziehungen zwischen vielen Variablen analysieren. Die im Rahmen der einfachen Grundformen der Drittvariablenkontrolle eingeführten Begriffe und Analysestrategien sind aber Voraussetzungen für das Verständnis der multivariaten Analyse, die Drittvariablenkontrolle ist ein Zwischenschritt von der bivariaten Analyse zur multivariaten Analyse. Die Grundidee der Drittvariablenkontrolle findet sich bereits in den Arbeiten von E MIL E D URKHE IM (1858 - 1917). Zur systematischen Ausarbeitung der Drittvariablenkontrolle hat P AUL F. L AZAR S F E LD (1901 - 1976) beigetragen. Von ihm stammt das anschauliche Beispiel des statistischen Zusammenhangs zwischen der Storchenzahl in einem Gebiet und der dortigen Geburtenrate, welcher eine Scheinkausalität darstellt: „Es ist z. B. bekannt, daß es in den Gebieten, in denen mehr Störche anzutreffen sind, auch mehr Kinder gibt. Dieses etwas erstaunliche Resultat wird eher akzeptierbar, wenn man die Unterscheidung zwischen ländlichen und urbanisierten Gebieten als Testfaktor [= Drittvariable, RDB] einführt. Es stellt sich dann heraus, dass innerhalb der beiden Klassen von Gebieten die Beziehung zwischen der Zahl der Störche und der Kinder verschwindet [. . .]. Die ursprüngliche Beziehung entstand durch die Tatsache, daß es in ländlichen Gebieten mehr Störche gibt und daß in den gleichen Gebieten die Geburtenrate höher ist.“ (Lazarsfeld 1976, S. 6, Herv. i. O.) Pfaddiagramm Man kann Variablenkonstellationen mitsamt den zugehörigen Beziehungen zwischen den Variablen anhand eines Pfaddiagramms darstellen. Ein Pfaddiagramm ist eine alternative Darstellungsweise für statistische Modelle. Anstatt mathematische Gleichungen anzuführen, um die Beziehungen zwischen Variablen darzustellen, kann man die Beziehungsstruktur zwischen Variablen als Netzwerk aus Buchstaben und Pfeilen in einem Pfaddiagramm grafisch darstellen. Die Variablen werden als Buchstaben, die gerichteten kausalen Einflüsse zwischen zwei Variablen mit einem geraden Pfeil dargestellt. Vorhandene statistische Zusammenhänge zwischen zwei Variablen, die keine kausalen Beziehungen sind (d. h., die nicht als kausale Beziehungen interpretierbar sind), werden als gebogener Doppelpfeil dargestellt, um sie von kausalen (d. h. kausal interpretierten) Beziehungen zu unterscheiden. Die ABBILDUNG 5.2 veranschaulicht die Situation der Scheinkausalität anhand eines Pfaddiagramms. Pfaddiagramm: grafische Visualisierung der Beziehungsstruktur 114 D R I T T V A R I A B L E N K O N T R O L L E <?page no="114"?> Idealtypisch ist dieses Beispiel einer Scheinkausalität deshalb, weil in der sozialen Realität nicht zu erwarten ist, dass nach Kontrolle einer Drittvariablen die statistische Beziehung zwischen X und Y vollkommen verschwindet. Dennoch kann man auch dann von einer Scheinkausalität sprechen, wenn vor Kontrolle der Drittvariablen Z die bivariate statistische Beziehung zwischen X und Y vorhanden ist und sie nach Kontrolle der Drittvariablen nahezu verschwunden ist. Die Drittvariablenkontrolle ist als ein Instrument der Kausalanalyse entwickelt worden. Aber auch die Drittvariablenkontrolle ist zunächst nur eine statistische Strategie, um dem Verdacht nachzugehen, dass eine bivariate Beziehung zwischen zwei Variablen durch eine dritte Variable beeinflusst wird. Die Begründung des Verdachts (dass die bivariate Beziehung beeinflusst wird), die Auswahl der in Frage kommenden Drittvariablen sowie die Diagnose, wie die Drittvariable den bivariaten Zusammenhang beeinflusst, sind Interpretationsleistungen, für die die Anwendung der Statistik angewiesen ist auf datenanalytische Erfahrung, soziologische Theoriekenntnisse und lebensweltliches Wissen. Drittvariablenkontrolle in der Tabellenanalyse P AUL F. L AZAR S F E L D hat die Drittvariablenkontrolle im Bereich der Tabellenanalyse eingeführt. Die Tabellenanalyse kann für die Drittvariablenkontrolle herangezogen werden, wenn nicht nur X und Y, sondern auch die Drittvariable Z kategorial sind. Die elementare Strategie der Drittvariablenkontrolle im Rahmen der Tabellenanalyse ist die Konstanthaltung der Drittvariablen Z. Praktisch heißt dies, dass man zunächst den bivariaten Zusammenhang zwischen X und Y untersucht. Die Tabelle, die die bivariate Häufigkeitsverteilung darstellt, heißt im Rahmen der Drittvariablenkontrolle Marginaltabelle. Nachdem die Marginaltabelle er- Z „bewirkt“, dass zwischen X und Y scheinbar eine kausale Beziehung besteht; tatsächlich liegt diese nicht vor Ländlichkeit Storchenzahl Geburtenrate Z X Y + + Abb. 5.2 5.1 Strategie: Konstanthaltung 115 D R I T T V A R I A B L E N K O N T R O L L E I N D E R T A B E L L E N A N A L Y S E <?page no="115"?> tistik für Soziologen(3)__[Druckstellt wurde, konstruiert man für jede Ausprägung der Drittvariablen Z eine eigene Tabelle. Diese Tabellen heißen Partialtabellen. Sie stellen nun für die (durch Z eingerichteten) Gruppen die bedingten bivariaten Häufigkeitsverteilungen von X und Y dar. Die Partialtabellen haben das gleiche Tabellenformat wie die Marginaltabelle. In den Partialtabellen wirkt sich nun der Einfluss der Drittvariablen nicht mehr aus, denn hier ist Z jeweils konstant. Ob die Drittvariable Z einen Einfluss auf den bivariaten Zusammenhang zwischen X und Y ausübt, zeigt sich nun im Vergleich: Unterscheidet sich die Stärke des Zusammenhangs zwischen X und Y in der Marginaltabelle von der Stärke des Zusammenhangs dieser beiden Variablen in den Partialtabellen, so liegt ein Einfluss der Drittvariablen vor. Weisen die Partialtabellen dagegen (nahezu) die gleiche Stärke des Zusammenhangs zwischen X und Y auf, wie dies in der Marginaltabelle der Fall ist, so hat die Drittvariable Z keinen Einfluss auf den Zusammenhang zwischen X und Y. Im Rahmen der Tabellenanalyse kann man vier Grundformen unterscheiden, wie die Drittvariable auf eine bivariate Beziehung einwirkt: kein Einfluss, Scheinkausalität, Interaktion und Suppression. Die letzten drei Drittvariablenkonstellationen und die Weise ihrer Diagnose sollen anhand von Beispielen vorgestellt werden. Scheinkausalität Um die Scheinkausalität vorzustellen, wird das Storchenbeispiel mit fiktiven Daten herangezogen (TABELLE 5.1). Beispiel: Die Variablen Storchenzahl (wenig/ viele Störche) und Geburtenrate (niedrige/ hohe Geburtenrate) wurden hierfür dichotomisiert. Man erhält dann eine 2 2-Felder-Tabelle, in deren Zellen insgesamt 1000 Gebiete nach den entsprechenden Ausprägungskombinationen unterschieden werden. Zusätzlich wurde eine Spaltenprozentuierung durchgeführt. Die Spaltenprozente unterscheiden sich, so dass man sagen kann, dass zwischen der Storchenzahl und der Geburtenrate ein statistischer Zusammenhang vorliegt. Das Odds Ratio für diese Marginaltabelle ergibt: Tab. 5.1 wenig Störche (x 1 ) viele Störche (x 2 ) niedrige Geburtenrate (y 1 ) 310 (68,9 %) 240 (43,6 %) 550 hohe Geburtenrate (y 2 ) 140 (31,1 %) 310 (56,4 %) 450 450 (100,0 %) 550 (100,0 %) 1000 Diagnose durch Vergleich von Marginal- und Partialtabellen Vier Grundformen 116 D R I T T V A R I A B L E N K O N T R O L L E <?page no="116"?> OR niedrig wenig,viele j = 310 310 140 240 = 2,86 Der Wert OR = 2,86 bedeutet, dass in den Gebieten mit wenigen Störchen das Größenverhältnis (niedrige/ hohe Geburtenrate) das 2,86fache von dem Größenverhältnis beträgt, welches in Gebieten mit vielen Störchen vorliegt. (Dieser Wert ergibt für Yule’s Q = 0,48). Damit liegt ein starker statistischer Zusammenhang vor. Wenig Störche gehen in den Gebieten mit niedrigen Geburtenraten und viele Störche entsprechend mit hohen Geburtenraten einher. Anhand der dichotomisierten Drittvariablen Ländlichkeit (ländliche/ urbane Gebiete) sind die 1000 Gebiete nun in zwei Gruppen eingeteilt worden. Für jede der beiden Gruppen kann man die Partialtabelle erstellen. Für die beiden TABELLEN 5.2 und 5.3 gilt nun, dass die Spaltenprozentuierung die statistische Unabhängigkeit der Geburtenrate von der Storchenzahl hervortreten lässt. Dies zeigt sich auch, wenn man für beide Partialtabellen jeweils das OR berechnet. Für die ländlichen Gebiete (z 1 ) ergibt sich: OR niedrig wenig ; viele j = 30 280 70 120 = 1 ländliche Gebiete (z 1 ) wenig Störche (x 1 ) viele Störche (x 2 ) niedrige Geburtenrate (y 1 ) 30 (30,0 %) 120 (30,0 %) 150 hohe Geburtenrate (y 2 ) 70 (70,0 %) 280 (70,0 %) 350 100 (100,0 %) 400 (100,0 %) 500 Tab. 5.2 urbane Gebiete (z 2 ) wenig Störche (x 1 ) viele Störche (x 2 ) niedrige Geburtenrate (y 1 ) 280 (80,0 %) 120 (80,0 %) 400 hohe Geburtenrate (y 2 ) 70 (20,0 %) 30 (20,0 %) 100 350 (100,0 %) 150 (100,0 %) 500 Tab. 5.3 117 D R I T T V A R I A B L E N K O N T R O L L E I N D E R T A B E L L E N A N A L Y S E <?page no="117"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- Für die urbanen Gebiete (z 2 ) ergibt sich: OR niedrig wenig,viele j = 280 30 70 120 = 1 Die Odds Ratios sind in beiden Fällen OR = 1 (entsprechend ist Yule’s Q jeweils 0.) Es zeigt sich auch damit, dass weder in den ländlichen noch in den urbanen Gebieten die Storchenzahl einen Einfluss auf die Geburtenrate ausübt. Diagnose: Nach Konstanthaltung der Drittvariablen Z (Ländlichkeit) verschwindet der bivariat vorhandene statistische Zusammenhang zwischen X (Storchenzahl) und Y (Geburtenrate). Der Vergleich der Marginaltabelle mit den beiden Partialtabellen ergibt, dass hier die Drittvariablenkonstellation diejenige einer Scheinkausalität ist (ABBILDUNG 5.2). Der bivariat vorhandene statistische Zusammenhang kann zurückgeführt werden auf den Einfluss der Ländlichkeit auf die beiden Variablen Storchenzahl und Geburtenrate und ist somit kein kausaler Zusammenhang zwischen ihnen. Interaktion Eine Interaktion liegt vor, wenn je nach Ausprägung der Drittvariablen Z der statistische Zusammenhang in den Partialtabellen jeweils verschieden ausfällt. Zum Beispiel kann der Zusammenhang in den Partialtabellen einmal stärker und einmal schwächer vorliegen, als dies in der Marginaltabelle der Fall ist. Beispiel: Anhand der ALLBUS-Daten soll untersucht werden, ob ein bivariater Zusammenhang besteht zwischen dem Alter und der Zustimmung zu der Aussage „Die Aufgabe des Mannes ist es, Geld zu verdienen, die der Frau, sich um Haushalt und Familie zu kümmern“ (v638). Die Annahme ist, dass ältere Menschen eher eine traditionelle Rollenteilung befürworten als jüngere Menschen. Danach soll die Einteilung in West- und Ostdeutschland als Drittvariable West/ Ost (v3) hinzugezogen und deren Einfluss auf den bivariaten Zusammenhang untersucht werden. Die Annahme ist hierbei, dass in Ostdeutschland nicht nur bei den jüngeren, sondern auch bei den älteren Menschen die Zustimmung zu der obigen Aussage geringer als in Westdeutschland sein dürfte. Für Ostdeutschland wäre dann die Stärke des Zusammenhangs zwischen den beiden Variablen geringer als in Westdeutschland. Die Variable Alter (v185) wurde dichotomisiert (unter 40; 40 und älter). Die Zustimmung zu der Aussage wurde ebenfalls dichotomisiert (stimme zu/ stimme nicht zu; dabei wurden diejenigen, die „weder noch“ geantwortet hatten, ausgeschlossen.) Die Marginaltabelle ist eine 2 2-Felder-Tabelle (TABELLE 5.4). Scheinkausalität: bivariater statistischer Zusammenhang ist keine kausale Beziehung 118 D R I T T V A R I A B L E N K O N T R O L L E <?page no="118"?> Bereits anhand der Spaltenprozentuierung erkennt man, dass ein statistischer Zusammenhang besteht. Fast ein Drittel der Älteren (32,8 %) stimmt der Aussage zu, während dies nur bei 14,4 % der Jüngeren der Fall ist. Das Odds Ratio für die Marginaltabelle ist: OR stimmezu < 40,40 þ j = 65 452 386 221 = 0,34 Mit OR = 0,34 liegt ein starker statistischer Zusammenhang zwischen diesen beiden Variablen vor (Yule’s Q = -0,49). Wie ändert sich nun die Situation, wenn man die gerade durchgeführte Analyse getrennt für West- und Ostdeutschland durchführt (siehe TABELLEN 5.5 und 5.6)? Für Westdeutschland ergibt sich: OR stimmezu < 40,40 þ j = 57 338 316 192 = 0,32 < 40 (x 1 ) 40 + (x 2 ) stimme zu (y 1 ) 65 (14,4 %) 221 (32,8 %) 286 stimme nicht zu (y 2 ) 386 (85,6 %) 452 (67,2 %) 838 451 (100,0 %) 673 (100,0 %) 1124 Tab. 5.4 West (z 1 ) < 40 (x 1 ) 40 + (x 2 ) stimme zu (y 1 ) 57 (15,3 %) 192 (36,2 %) 249 stimme nicht zu (y 2 ) 316 (84,7 %) 338 (63,8 %) 654 373 (100,0 %) 530 (100,0 %) 903 Tab. 5.5 119 D R I T T V A R I A B L E N K O N T R O L L E I N D E R T A B E L L E N A N A L Y S E <?page no="119"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- Dagegen ergibt sich für Ostdeutschland: OR stimmezu < 40,40 þ j = 8 115 70 29 = 0,45 Hier zeigt sich, dass die beiden Partialtabellen im Vergleich zur Marginaltabelle einmal einen etwas stärkeren (West) und einmal einen schwächeren statistischen Zusammenhang (Ost) aufweisen. (Yule’s Q ist für Westdeutschland Q = -0,52 und für Ostdeutschland Q = -0,38.) Diagnose: In Ostdeutschland hat das Alter einen geringeren Einfluss auf die Zustimmung zu der Aussage. Der Zusammenhang ist hier schwächer als in Westdeutschland. Anders als im Falle einer Scheinkausalität verschwindet hier der statistische Zusammenhang nicht bei Kontrolle der Drittvariablen, sondern er fällt je nach Ausprägung der Drittvariablen unterschiedlich stark aus. Man sagt, dass die Drittvariable die Stärke des statistischen Zusammenhangs zwischen X und Y „moduliert“. Die ABBILDUNG 5.3 zeigt das Pfaddiagramm für eine Interaktion. Tab. 5.6 Ost (z 2 ) < 40 (x 1 ) 40 + (x 2 ) stimme zu (y 1 ) 8 (10,3 %) 29 (20,1 %) 37 stimme nicht zu (y 2 ) 70 (89,7 %) 115 (79,9 %) 185 78 (100,0 %) 144 (100,0 %) 222 Abb. 5.3 Z X Y Z „moduliert“ die Stärke des Zusammenhangs zwischen X und Y Zustimmung zur traditionellen Rollenteilung Alter West/ Ost Interaktion: Drittvariable „moduliert“ die Stärke der kausalen Beziehung 120 D R I T T V A R I A B L E N K O N T R O L L E <?page no="120"?> Der Interaktionseffekt liegt nicht nur dann vor, wenn die Partialtabellen einmal einen stärkeren und dann einen schwächeren Zusammenhang als die Marginaltabelle aufweisen. Er kann auch in der Form auftreten, dass beide Partialtabellen einen statistischen Zusammenhang aufweisen, der in beiden Fällen höher oder in beiden Fällen niedriger als der Zusammenhang in der Marginaltabelle ist. Worauf es ankommt, ist, dass die Stärke des Zusammenhangs in den Partialtabellen deutlich unterschiedlich ausfällt. Dann wird von einem Interaktionseffekt gesprochen. Suppression Eine dritte elementare Form, wie eine Drittvariable auf einen bivariaten Zusammenhang einwirken kann, ist die Suppression. Diese besteht darin, dass eine Drittvariable Z den vorliegenden kausalen Zusammenhang zwischen zwei Variablen durch ihren Einfluss verdeckt. In der bivariaten Analyse scheint kein kausaler Zusammenhang vorzuliegen. Erst nach Kontrolle des Drittvariableneinflusses von Z tritt der kausale Zusammenhang zwischen X und Y hervor. Beispiel: In einem (fiktiven) Unternehmen wurden die Beschäftigten nach ihrem Interesse an Bildungsurlaub sowie nach ihrer beruflichen Qualifikation befragt. Beide Variablen wurden dichotomisiert (niedrige/ hohe Qualifikation; niedriges/ hohes Interesse an Bildungsurlaub). Angenommen wird, dass ein Zusammenhang besteht zwischen der beruflichen Qualifikation (X) und dem Interesse am Bildungsurlaub (Y). Angenommen wird weiter, dass das Geschlecht (Z) einen Einfluss auf den Zusammenhang zwischen der beruflichen Qualifikation und dem Interesse am Bildungsurlaub ausübt. Zunächst wird die Marginaltabelle konstruiert (TABELLE 5.7). Bereits anhand der Spaltenprozente erkennt man, dass kein statistischer Zusammenhang zwischen der beruflichen Qualifikation und dem Interesse am Bildungsurlaub vorliegt. Das OR ergibt: OR niedrig niedrig,hoch j = 32 42 30 45 = 0 ; 995 1 Qualifikation niedrig (x 1 ) Qualifikation hoch (x 2 ) Interesse niedrig (y 1 ) 32 (51,6 %) 45 (51,7 %) 77 Interesse hoch (y 2 ) 30 (48,4 %) 42 (48,3 %) 72 62 (100,0 %) 87 (100,0 %) 149 Tab. 5.7 121 D R I T T V A R I A B L E N K O N T R O L L E I N D E R T A B E L L E N A N A L Y S E <?page no="121"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- Das OR ist fast 1, bivariat liegt kein statistischer Zusammenhang vor (Yule’s Q 0). Nun werden die Partialtabellen für die beiden Geschlechtergruppen erstellt. Wenn man nun für die Partialtabellen (TABELLEN 5.8 und 5.9) die Stärke des Zusammenhangs ermittelt, ergibt sich für die weiblichen Beschäftigten: OR niedrig niedrig,hoch j = 22 29 11 18 = 3,22 Für die männlichen Beschäftigten ergibt sich: OR niedrig niedrig,hoch j = 10 13 19 27 = 0,25 Beide OR-Werte weichen deutlich von 1 ab und zeigen damit einen Zusammenhang zwischen beruflicher Qualifikation und dem Interesse an Bildungsurlaub in den Partialtabellen an. (Yule’s Q ist für die Frauen Q = 0,53 und für die Männer Q = -0,60.) Diagnose: In der bivariaten Betrachtung findet sich kein Zusammenhang zwischen der beruflichen Qualifikation und dem Interesse am Bildungsurlaub. Erst wenn man die Geschlechtergruppen getrennt betrachtet, stellt sich der Zusammenhang ein. Denn sowohl bei den Frauen als auch Tab. 5.8 Frauen (z 1 ) Qualifikation niedrig (x 1 ) Qualifikation hoch (x 2 ) Interesse niedrig (y 1 ) 22 (66,7 %) 18 (38,3 %) 40 Interesse hoch (y 2 ) 11 (33,3 %) 29 (61,7 %) 40 33 (100,0 %) 47 (100,0 %) 80 Tab. 5.9 Männer (z 2 ) Qualifikation niedrig (x 1 ) Qualifikation hoch (x 2 ) Interesse niedrig (y 1 ) 10 (34,5 %) 27 (67,5 %) 37 Interesse hoch (y 2 ) 19 (65,5 %) 13 (32,5 %) 32 29 (100,0 %) 40 (100,0 %) 69 122 D R I T T V A R I A B L E N K O N T R O L L E <?page no="122"?> bei den Männern ergibt sich jeweils ein starker statistischer Zusammenhang. Allerdings ist dieser in den Gruppen entgegengesetzt: Frauen, die eine hohe Qualifikation haben, wollen sich eher weiterbilden (und Frauen mit niedriger Qualifikation wollen sich eher nicht weiterbilden), während Männer mit hoher Qualifikation sich eher nicht weiterbilden wollen (und Männer mit niedriger Qualifikation sich eher weiterbilden wollen.) Das Pfaddiagramm in ABBILDUNG 5.4 veranschaulicht die Logik der Suppression, wie sie sich anhand des Beispiels zeigt. Die elementaren Formen des Drittvariableneinflusses sind hier anhand von drei einfachen Beispielen vorgestellt worden. Dabei wurden bewusst einige Vereinfachungen vorgenommen und auf weitere Differenzierungen verzichtet. (1) Eine Vereinfachung bestand darin, dass nur dichotome Drittvariablen herangezogen wurden. Man muss aber im Blick behalten, dass die Anzahl der Partialtabellen festgelegt wird durch die Anzahl der Ausprägungen der Drittvariablen. Wenn die Drittvariable Z beispielsweise vier Ausprägungen hat (z 1 , z 2 , z 3 , z 4 ), muss man entsprechend vier Partialtabellen konstruieren. Mit zunehmender Anzahl der Ausprägungen von Z wird die Tabellenanalyse damit zunehmend unübersichtlicher. (2) Es wurde hier nicht systematisch zwischen gerichteten und ungerichteten Beziehungen zwischen X und Y unterschieden. (Vorausgesetzt wurde jeweils auch, dass die Drittvariable Z zeitlich nicht zwischen den beiden betrachteten Variablen X und Y liegt.) Unterscheidet man Drittvariablenkonstellationen nach der zeitlichen Stellung von Z, kann man weitere Drittvariablenkonstellationen differenzieren (siehe K ÜH NE L / K R E B S 2012). Die elementaren Formen der Drittvariablenkonstellation stellen die Grundkonzepte dar. In der Praxis wird sich aber selten eine klare Scheinkausalität oder eine klare Suppression finden lassen. Vielmehr muss man in der Analyse entscheiden, welcher elementaren Form eine vorlie- Z wirkt so auf X und Y ein, dass der vorliegende kausale Zusammenhang zwischen ihnen „verdeckt“ wird Geschlecht Qualifikation Interesse an Bildungsurlaub Z X Y Abb. 5.4 Suppression: Einfluss der Drittvariablen „verdeckt“ vorhandene kausale Beziehung Grenzen der Tabellenanalyse Elementare Drittvariablenkonstellationen sind nur Idealtypen 123 D R I T T V A R I A B L E N K O N T R O L L E I N D E R T A B E L L E N A N A L Y S E <?page no="123"?> tistik für Soziologen(3)__[Druckgende Drittvariablenkonstellation am ehesten entspricht. Dabei kann es sich erweisen, dass Mischformen auftreten. In aller Regel wird sich zudem schnell zeigen, dass mehr als nur eine Drittvariable kontrolliert werden muss, da soziologische Überlegungen zumeist mehrere Einflüsse auf einen bivariaten Zusammenhang nahe legen. Hier stößt die einfache Tabellenanalyse an ihre Grenzen. Dann empfiehlt es sich, gleich auf ein multivariates Verfahren zurückzugreifen, das die Analyse der Kausalstruktur zwischen vielen kategorialen Variablen ermöglicht. Hier bieten sich dann die log-lineare Analyse ( fi Kap. 12.1.4) , die Logit-Analyse oder die logistische Regression ( fi Kap. 9) als Verfahren an. Drittvariablenkontrolle in der Regressions- und Korrelationsrechnung Wenn man den Einfluss einer Drittvariablen Z auf die Beziehung zwischen zwei metrischen Variablen X und Y untersuchen will, könnte man versuchen, die Strategie der Konstanthaltung von Z auch hier wieder einzusetzen. Diese Vorgehensweise ist dann wenig praktikabel, wenn Z nicht kategorial ist. Sind sowohl die beiden Variablen X und Y als auch die Drittvariable Z metrisch, wendet man eine andere Strategie für die Drittvariablenkontrolle an. Diese wird Auspartialisierung von Z genannt. Hierbei rechnet man separat, zunächst aus der Variablen X und dann aus der Variablen Y, jeweils den linearen Einfluss von Z heraus. Praktisch erfolgt die Auspartialisierung von Z, indem man zwei separate Regressionen von X bzw. Y auf Z durchführt. Danach kann man mit den vom Drittvariableneinfluss „bereinigten“ Variablen erneut eine Regressions- oder Korrelationsanalyse durchführen. Drittvariablenkontrolle in drei Schritten (1) Zunächst wird eine Regressionsgleichung ermittelt, in der Z die unabhängige Variable und X die abhängige Variable ist: x i = b 0 Z ! X + b 1 Z ! X z i + e i Z ! X Damit lassen sich Vorhersagewerte für X errechnen: ^ x i = b 0 Z ! X + b 1 Z ! X z i Die Residuen von X sind die Differenzen aus den Vorhersagewerten und den beobachteten Werten von X: 5.2 Strategie: Auspartialisierung Rechnerische Bereinigung mit zwei separaten Regressionen 124 D R I T T V A R I A B L E N K O N T R O L L E <?page no="124"?> e i Z ! X = x i ^ x i = x i ð b 0 Z ! X + b 1 Z ! X z i Þ Die Residuen von X aus dieser Regression von X auf Z (E Z fi X ) sind frei vom linearen Einfluss von Z. (2) Dann wird auch für Y eine Regression berechnet, in der Y auf Z linear zurückgeführt wird: y i = b 0 Z ! Y + b 1 Z ! Y z i + e i Z ! Y Damit lassen sich Vorhersagewerte für Y errechnen: ^ y i = b 0 Z ! Y + b 1 Z ! Y z i Auch hier sind die Residuen von Y aus der Regression von Y auf Z (E fi Y) nun frei vom linearen Einfluss von Z: e i Z ! Y = y i ^ y i = y i ð b 0 Z ! Y + b 1 Z ! Y z i Þ Man muss beachten, dass in den beiden Regressionsgleichungen die Regressionskoeffizienten b 0 und b 1 jeweils andere sind, was durch die Indizierungen Z fi X und Z fi Y zum Ausdruck gebracht werden soll. Auch sind die Residuen aus der ersten Regression nicht die gleichen Residuen, wie aus der zweiten Regression. Die Residuen e i Z! X und e i Z! Y liegen für jeden Merkmalsträger vor und stellen damit zwei Variablen dar: E Z fi X und E Z fi Y . Diese beiden Variablen treten nun an die Stelle der X und Y, nachdem der lineare Einfluss von Z aus X und Y herausgerechnet wurde. (3a) Wenn man den gerichteten, d. h. den asymmetrischen Zusammenhang zwischen X und Y nach rechnerischer Bereinigung des Einflusses (Auspartialisierung) von Z untersuchen will, kann man nun eine Regression berechnen, in der E Z fi Y als abhängige Variable eingesetzt und E Z fi X als unabhängige Variable verwendet wird. Der hierfür berechnete Regressionskoeffizient b 1 X ! Y Z j wird dann partieller Regressionskoeffizient genannt. Er gibt die Effektstärke von X auf Y nach Kontrolle von Z an. Die Stärke des gerichteten Zusammenhangs zwischen X und Y nach Auspartialisierung von Z gibt der Determinationskoeffizient r XY Z j 2 an. (3b) Wenn man den ungerichteten, d. h. den symmetrischen Zusammenhang zwischen X und Y nach rechnerischer Bereinigung des Einflusses (Auspartialisierung) von Z berechnen will, kann man nun die Korrelation zwischen E Z fi X und E Z fi Y ermitteln. Die Korrelation r XY Z j Residuen von X und Y sind vom Einfluss der Drittvariablen Z „bereinigt“ entweder: Berechnung des Determinationskoeffizienten oder: Berechnung der Partialkorrelation 125 D R I T T V A R I A B L E N K O N T R O L L E I N R E G R E S S I O N S - / K O R R E L A T I O N S R E C H N U N G <?page no="125"?> tistik für Soziologen(3)__[Druckheißt Partialkorrelation (oder auch partielle Korrelation) zwischen X und Y: r XY j Z = r ð e iZ ! X ; e iZ ! Y Þ = cov ð e i Z ! X ; e i Z ! Y Þ s e iZ ! X s e iZ ! Y Für die Berechnung der Partialkorrelation gibt es eine einfache Formel, die man anwenden kann, wenn die drei bivariaten Korrelationen r XY , r XZ und r YZ zwischen den drei Variablen X, Y und Z vorliegen. Dann kann die Partialkorrelation zwischen X und Y unter Kontrolle (Auspartialisierung) von Z berechnet werden mit: r XY j Z = r XY r XZ r YZ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 r XZ 2 p ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 r YZ 2 p Die ABBILDUNG 5.5 veranschaulicht die drei Schritte der Drittvariablenkontrolle mit Hilfe der Auspartialisierung von Z. Die Diagnose, welchen Einfluss die Drittvariable Z auf die bivariate Beziehung zwischen X und Y ausübt, wird wieder durchgeführt, indem man die Situation vor der Auspartialisierung mit der Situation nach der Auspartialisierung vergleicht. Das heißt, man vergleicht bei gerichteten Beziehungen den Determinationskoeffizienten vor Auspartialisierung Abb. 5.5 (2) Regression Z → Y, um Residuen E Z → Y zu erhalten (1) Regression Z → X, um Residuen E Z → X zu erhalten (3a) Regression der Residuen von Y (E Z → Y ) auf die Residuen von X (E Z → X ), Berechnung des Determinationskoeffizienten r XY ⏐ Z 2 bzw. (3b) Korrelation der Residuen von Y (E Z → Y ) und der Residuen von X (E Z → X ), Berechnung der Partialkorrelation r XY ⏐ Z Z X Y E Z → X E Z → Y Vergleich der Koeffizienten vor und nach der Auspartialisierung 126 D R I T T V A R I A B L E N K O N T R O L L E <?page no="126"?> mit den neu berechneten Determinationskoeffizienten nach Auspartialisierung von Z. Bei ungerichteten Beziehungen vergleicht man entsprechend die bivariate Korrelation mit der Partialkorrelation. Wie in der Tabellenanalyse können mit der Auspartialisierung Suppression und Scheinkausalität aufgedeckt werden, das Vorliegen einer Interaktion zwischen metrischen Variablen wird jedoch nicht mit Hilfe der Auspartialisierung diagnostiziert. Das Vorliegen einer Interaktion wird in der linearen Regression durch Aufnahme eines Interaktionsterms in die Regressionsgleichung diagnostiziert bzw. berücksichtigt ( fi Kap. 8.4) . Anhand eines fiktiven Beispiels soll die Auspartialisierung einer Drittvariablen aus einer bivariaten Regressionsgleichung erfolgen. Beispiel: Ein Unternehmen verschickt jährlich den gleichen Fragebogen an seine Kunden, um deren Zufriedenheit mit den Produkten des Unternehmens regelmäßig zu erfassen. Es soll nun untersucht werden, wie sich der Zeitaufwand für die Beantwortung des Fragebogens auf die Bereitschaft zur Teilnahme an der nächsten Befragung auswirkt. Die Annahme ist, dass sich mit höherem Zeitaufwand die Bereitschaft, den Fragebogen auch im nächsten Jahr auszufüllen, reduziert. Die Kunden werden gebeten, am Ende des Fragebogens den Zeitaufwand für dessen Beantwortung (in Minuten) einzutragen (X). Außerdem sollen sie eine Prozentzahl angeben, die den Grad ihrer Bereitschaft zur weiteren Teilnahme quantifiziert (Y). Zuletzt wird die Anzahl der bisherigen Teilnahmen an der Befragung erfragt (Z). Die Drittvariable wird erhoben, weil der Verdacht besteht, dass der statistische Zusammenhang zwischen Zeitaufwand (X) und der Bereitschaft zur weiteren Teilnahme (Y) beeinflusst sein kann durch die Anzahl der bisherigen Teilnahmen (Z). Für fünf Kunden liegen die Daten vor (TABELLE 5.10). Für die nun folgenden Schritte werden die Regressionsgleichungen angegeben, ohne ihre Berechnung vorzuführen. (Diese erfolgt wie in Kap. 4.3.3 dargestellt und kann einfach nachvollzogen werden.) i Zeitaufwand (Min.) (x i ) Bereitschaft (%) (y i ) Anzahl Teilnahmen (z i ) 1 21 45 3 2 28 95 1 3 15 10 5 4 19 25 4 5 18 30 4 Tab. 5.10 Suppression und Scheinkausalität können mit Auspartialisierung aufgedeckt werden 127 D R I T T V A R I A B L E N K O N T R O L L E I N R E G R E S S I O N S - / K O R R E L A T I O N S R E C H N U N G <?page no="127"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- Vor der Auspartialisierung von Z ergeben sich die beiden Regressionskoeffizienten b 0 = -93,027 und b 1 = 6,635. Die Regressionsgleichung ist damit: y i = b 0 + b 1 . x i + e i = -93,027 + 6,635 . x i + e i Der Regressionskoeffizient b 1 = 6,635 gibt an, dass ein positiver Effekt des Zeitaufwandes auf die weitere Bereitschaft zur weiteren Teilnahme vorliegt. Mit jeder zusätzlich benötigten Minute Zeitaufwand erhöht sich der Vorhersagewert für die Bereitschaft zur weiteren Teilnahme um 6,635 Prozentpunkte. Mit Hilfe der zu berechnenden Vorhersagewerte yˆ i kann die erklärte Varianz var(yˆ i ) ermittelt werden. Es ergibt sich ein Determinationskoeffizient von r XY 2 = 0,9773. Die Variation der Variablen Bereitschaft zur weiteren Teilnahme (Y) lässt sich demnach zu 97,73 % durch die Variable Zeitaufwand für die Beantwortung des Fragebogens (X) statistisch erklären. Die Varianzaufklärung ist fast vollständig, der bivariate statistische Zusammenhang ist fast perfekt. Dieser sehr starke statistische Zusammenhang ist auf den ersten Blick wenig plausibel. Wie kann es sein, dass diejenigen, die mehr Zeit für die Beantwortung investieren, auch eher motiviert sind, weiterhin den Fragebogen zu beantworten? Und warum sind diejenigen, die den Fragebogen in kürzerer Zeit ausfüllen, eher nicht motiviert, weiterhin an der Befragung teilzunehmen? Nun soll in drei Schritten der Einfluss der Drittvariablen Z auf die Regression von Y auf X durch die Auspartialisierung von Z kontrolliert werden. Der Vergleich der Situation nach Auspartialisierung von Z mit der gerade untersuchten bivariaten Situation (vor Auspartialisierung von Z) soll den Befund erklären helfen. (1) Regression von X auf Z Für die Regression von X auf Z ergibt sich als Regressionsgleichung: x i = b 0 Z ! X + b 1 Z ! X z i + e i Z ! X = 31,0664 + ð 3,196 Þ z i + e i Z ! X Die Berechnung der Residuen von X (E Z fi X ), die nun frei vom linearen Einfluss von Z sind, erfolgt mit: e i Z ! X = x i ^ x i = x i ð 31,0664 + ð 3,196 Þ z i Þ (2) Regression von Y auf Z Für die Regression Y auf Z ergibt sich als Regressionsgleichung: y i = b 0 Z ! Y + b 1 Z ! Y z i + e i Z ! Y = 113 ; 803 + ð 21 ; 413 Þ z i + e i Z ! Y 128 D R I T T V A R I A B L E N K O N T R O L L E <?page no="128"?> Die Berechnung der Residuen von Y (E Z fi Y ), die nun frei vom linearen Einfluss von Z sind, erfolgt mit: e i Z ! Y = y i ^ y i = y i ð 113,803 + ð 21,413 Þ z i Þ (3) Regression von Y auf X nach Auspartialisierung von Z Die TABELLE 5.11 enthält für die fünf Kunden die um den linearen Einfluss von Z bereinigten Residuen von X (E Z fi X ) und Residuen von Y (E Z fi Y ). Nun kann man E Z fi Y auf E Z fi X regressieren. Das ist die Regression von Y auf X nach Auspartialisierung von Z. Die neuen Regressionskoeffizienten nach Auspartialisierung von Z sind b 1 X ! Y Z j = 0,6409 und b 0 X ! Y Z j = 0. Der partielle Regressionskoeffizient b 1 X ! Y Z j gibt nun den Effekt von X auf Y nach Auspartialisierung von Z an. Man sieht, dass der Effekt des Zeitaufwandes auf die Bereitschaft zur weiteren Teilnahme kaum noch vorhanden ist. Um den Determinationskoeffizienten r XY Z j 2 zu berechnen, der sich nach Auspartialisierung von Z ergibt, ermittelt man die Varianz der Vorhersagewerte Ê Z fi Y var( ^ e i Z! Y ) und die Varianz von E Z fi Y var(e i Z ! Y ). Deren Verhältnis ergibt r XY Z j 2 = 0,0067. Diagnose: Vor der Auspartialisierung lag eine starke bivariate Beziehung vor. Der Determinationskoeffizient r XY 2 = 0,97 wies einen fast perfekten gerichteten bivariaten Zusammenhang aus. Nach Kontrolle der Drittvariablen Anzahl der Teilnahmen an der Befragung (Z) zeigt sich anhand des nun berechneten Determinationskoeffizienten r XY Z j 2 , dass der Zeitaufwand (fast) keinen Einfluss auf die Bereitschaft zur weiteren Teilnahme ausübt. Der statistische Zusammenhang ist verschwunden. Nur noch 0,67 % der Variation der Teilnahmebereitschaft an weiteren Befragungen (Y) kann durch den Zeitaufwand erklärt werden. Durch die Einbeziehung des Einflusses der Drittvariablen kann der anfangs wenig plausibel erscheinende gerichtete Zusammenhang zwischen X und Y nun interpretiert werden. Hat ein Kunde an vielen Befragungen teilgenommen, so hat er mit der Beantwortung der Fragen bei e i Z ! X e i Z ! Y 1 - 0,4784 - 4,5652 2 0,1296 2,6087 3 - 0,0864 3,2609 4 0,7176 - 3,1522 5 - 0,2824 1,8478 Tab. 5.11 129 D R I T T V A R I A B L E N K O N T R O L L E I N R E G R E S S I O N S - / K O R R E L A T I O N S R E C H N U N G <?page no="129"?> tistik für Soziologen(3)__[Druckreits Erfahrung, und der Zeitaufwand ist umso geringer, je häufiger er die Befragung mitgemacht hat. Gleichzeitig führt die wiederholte Teilnahme zu einer Verminderung der Bereitschaft zur weiteren Teilnahme an weiteren Befragungen. Die Drittvariable Z steht also in einem negativen Zusammenhang sowohl zu X als auch zu Y und bewirkt so, dass X und Y gemeinsam variieren, ohne dass zwischen X und Y eine kausale Beziehung besteht (ABBILDUNG 5.6). Damit liegt in diesem Beispiel eine Scheinkausalität vor. Ausblick: Die multiple Regressionsanalyse ( fi Kap. 8) ermöglicht, die Drittvariablenkontrolle für die Analyse gerichteter Beziehungen einfacher zu handhaben. Hier kann die Drittvariablenkontrolle für die Konstellationen Suppression und Scheinkausalität auch für mehrere Drittvariablen simultan erfolgen. Abb. 5.6 Z „bewirkt“, dass zwischen X und Y eine kausale Beziehung zu bestehen scheint; tatsächlich ist die vorhandene bivariate statistische Beziehung keine kausale Anzahl der Teilnahmen an bisherigen Befragungen Zeitaufwand Bereitschaft zur weiteren Teilnahme an Befragungen Z X Y − − 130 D R I T T V A R I A B L E N K O N T R O L L E <?page no="130"?> INF E R ENZSTATISTIK 131 D R I T T V A R I A B L E N K O N T R O L L E I N R E G R E S S I O N S - / K O R R E L A T I O N S R E C H N U N G <?page no="132"?> Zufallsstichproben und Schätzen Inhalt 6.1 Zufallsstichproben 6.2 Statistische Verteilungen 6.2.1 Die Normalverteilung 6.2.2 Die t-Verteilung 6.3 Stichprobenverteilungen 6.4 Wahrscheinlichkeit 6.5 Schätzen 6.5.1 Punktschätzung 6.5.2 Intervallschätzung 6.6 Gewichtungen und praktische Probleme In diesem Kapitel werden die Grundlagen der Inferenzstatistik eingeführt. Inferenzstatistische Überlegungen werden erforderlich, wenn man nur für eine Stichprobe aus einer Gesamtheit Daten zur Verfügung hat und dennoch anhand dieser verringerten Informationsbasis Schlussfolgerungen auf die Gesamtheit erfolgen sollen. Definition Inferenzstatistik Die Inferenzstatistik oder schließende Statistik prüft bzw. formuliert Aussagen über Gesamtheiten auf der Basis von Stichproben. Formen des statistischen Schließens sind das Schätzen ( fi Kap. 6.5) und das Testen ( fi Kap. 7) . Nachdem einführend dargelegt wird, was Zufallsstichproben sind, werden verschiedene statistische Verteilungen und Stichprobenverteilungen vorgestellt. Daran schließen die Abschnitte zur Wahrscheinlichkeit 6 133 <?page no="133"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- und zum Schätzen an. Abschließend werden Gewichtungen und praktische Probleme erläutert. Zufallsstichproben Die Gesamtheit aller Fälle (Merkmalsträger) auf die sich eine Forschungsfrage bezieht und über die Erkenntnisse gewonnen werden sollen, nennt man die Grundgesamtheit oder Population. Grundgesamtheiten können je nach Forschungsfrage aus Personen, Haushalten oder Organisationen, aber auch aus Ereignissen, Aussagen oder anderen Sachverhalten bestehen. Grundgesamtheiten können also je nach Forschungsfrage unterschiedlich sein und sie sind für jede Untersuchung vorab zu definieren. In soziologischen Untersuchungen hat man es zumeist mit Personen als Fällen zu tun. Viele soziologische Forschungsfragen beziehen sich dabei auf große Grundgesamtheiten. Häufig bestehen diese Grundgesamtheiten aus allen Personen, die einer administrativen oder organisatorischen Einheit (wie Stadt, Bundesland, Nation, Verband) zugehören und die sich zusätzlich durch ein (oder mehrere) untersuchungsrelevantes Kriterium abgrenzen lassen. Beispiele können Gesamtheiten sein wie: die Studierenden in einem Bundesland, die abhängig Beschäftigten in einer Stadt, die Nutzer einer bestimmen Technik in Deutschland, die Wahlberechtigen für die nächste Bundestagswahl oder alle erwachsenen Personen in Deutschland. Solche Grundgesamtheiten bestehen aus vielen Tausenden oder sogar Millionen von Personen. Werden alle Fälle aus einer Grundgesamtheit erhoben, so führt man eine Totalerhebung (Vollerhebung) durch. Eine Totalerhebung ist bei großen Grundgesamtheiten zumeist nicht möglich. Sie wäre zu teuer und würde zu viel Zeit beanspruchen. Aus diesem Grund zieht man eine Stichprobe aus der Grundgesamtheit (Teilerhebung). Die Verwendung von Stichproben als Datengrundlage stellt den Normalfall der empirischen Sozialforschung dar. Die meisten Datensätze gehen dabei aus Befragungen von Personenstichproben hervor. Stichprobengrößen Die Stichprobengröße ist die Zahl der Fälle in der Stichprobe. Im inferenzstatistischen Kontext wird diese mit n bezeichnet. Die in der Sozialforschung (d. h. auch Markt- und Meinungsforschung) üblichen Stichprobengrößen liegen bei bevölkerungsweiten Umfragen im Bereich zwischen 1000 und 3000 Fällen. Beispiele für bevölkerungsweite Umfragen sind allgemeine Bevölkerungsumfragen (wie der ALLBUS, bei dem die Grundgesamtheit aus der erwachsenen deutschen Bevölkerung in Pri- 6.1 Forschungsfrage bestimmt, was Grundgesamtheit ist Totalerhebung versus Teilerhebung Stichprobengröße n Stichprobengrößen bei Bevölkerungsumfragen 134 Z U F A L L S S T I C H P R O B E N U N D S C H Ä T Z E N <?page no="134"?> vathaushalten besteht) oder Wahlumfragen für Bundestagswahlen (bei denen die Grundgesamtheit aus der wahlberechtigten Bevölkerung besteht). Solche Stichprobengrößen sind auch in der kommerziellen Markt- und Meinungsforschung, die über nationale Märkte oder Einstellungen in der Bevölkerung Aussagen machen möchte, üblich. Für spezifischere und kleinere Grundgesamtheiten wie die Mitlieder einer großen Organisation (Studierende einer Universität, Mitglieder eines großen Verbandes) reichen zumeist Stichprobenumfänge im Bereich zwischen 300 und 1000 Fällen. Sollen Stichproben die Datengrundlage für statistische Analysen liefern, liegt die zu empfehlende Mindestgröße bei 300 Fällen. Stichproben machen zumeist nur einen sehr kleinen Teil der Grundgesamtheit aus. Bei bevölkerungsweiten Umfragen umfasst die Stichprobe normalerweise weniger als 0,01 % der Grundgesamtheit. Eine wichtige Ausnahme stellt der Mikrozensus dar, der für die amtliche Statistik jährlich eine 1 %ige Stichprobe der Bevölkerung erhebt. Kontrollierte Zufallsziehung Obwohl eine Stichprobe nur eine Auswahl der Fälle (Merkmalsträger) aus einer Grundgesamtheit darstellt, soll sie dennoch Aussagen über diese möglich machen. Damit anhand der Stichprobe wissenschaftliche Aussagen über die Grundgesamtheit gewonnnen werden können, muss die Stichprobe systematisch, d. h. unter Anwendung von Regeln gezogen werden. Um inferenzstatistische Aussagen zu gewinnen, sind nur Stichproben geeignet, bei denen das Zufallsprinzip zugrunde gelegt wurde. Eine solche Stichprobe heißt daher Zufallsstichprobe. Für jeden Fall, der Element der Grundgesamtheit ist, soll dabei vor der Stichprobenziehung angegeben werden können, wie groß dessen Chance (Auswahlchance oder Auswahlwahrscheinlichkeit) ist, in die Stichprobe zu gelangen. Die konkrete Ziehung der Stichprobe erfolgt dann unter Anwendung eines kontrollierten Zufallsmechanismus und unter systematischer Ausschaltung anderer Einflüsse auf die Stichprobenziehung. Allein der Zufall entscheidet dann, welche Fälle in die Stichprobe gelangen und welche nicht. Der Zufall ist hierbei berechenbar und die Bedeutung des Begriffs „Zufall“ unterscheidet sich in der Statistik deshalb von Bedeutungen, die er im Alltag haben kann, wo er das unerklärliche (und damit unberechenbare) Zustandekommen von Ereignissen oder Zuständen zum Ausdruck bringen soll. Wissenschaftlicher Stand für die Ziehung von Zufallsstichproben ist, dass die Regeln der Ziehung vorab in einem so genannten Stichprobenplan (Auswahlplan) formuliert werden. Dazu gehört die Definition der Grundgesamtheit, die Festlegung der Stichprobengröße, die Angabe der Schritte für die Stichprobenziehung und die Angabe, wie (und gegebe- Stichprobengröße sollte ca. 300 Fälle betragen Auswahlchance muss berechenbar sein Regeln der Stichprobenziehung 135 Z U F A L L S S T I C H P R O B E N <?page no="135"?> tistik für Soziologen(3)__[Drucknenfalls wie oft) der kontrollierte Zufallsmechanismus zur Anwendung kommt. So kann die Stichprobenziehung (Stichprobenkonstruktion) nachvollzogen und nach denselben Regeln wiederholt werden. Die Art und Weise, wie die Stichprobe vor ihrer Ziehung konzipiert wird, nennt man das Stichprobendesign. „Repräsentativität“ Werden Zufallsstichproben unter idealen Bedingungen erhoben, tendieren diese dazu, eine „verkleinerte Abbildung“ der Grundgesamtheit darzustellen. Man erwartet dann, dass in der Stichprobe die Gestalt der Verteilungen und die statistischen Beziehungen zwischen den Variablen so geartet sind wie in der Grundgesamtheit. Zumeist wird diese Eigenschaft von Zufallsstichproben in der angewandten Sozialforschung (wie Markt- und Meinungsforschung) als „Repräsentativität“ bezeichnet. Wenn man beispielsweise eine Zufallsstichprobe der Wahlberechtigten erhebt und den Prozentsatz der SPD-Wähler ermittelt, dann kann man erwarten, dass der Prozentsatz der SPD-Wähler, der in der Grundgesamtheit vorliegt, sich auch in der Stichprobe einstellen wird. Die Umschreibung „ist zu erwarten“ soll zum Ausdruck bringen, dass Abweichungen zwischen einer statistischen Maßzahl in der Grundgesamtheit (Prozentsatz der SPD-Wähler in der gesamten Wählerschaft) und der entsprechenden Maßzahl in der Zufallsstichprobe (Stichprobenprozentsatz der SPD-Wähler) vorkommen. Diese entstehen bei Zufallsstichproben allein aus Zufallsgründen. Der Vorteil bei der Verwendung von Zufallsstichproben ist, dass man das erwartbare Ausmaß dieser Abweichungen quantifizieren kann, da man ein Maß für die Streuung von solchen (aus Zufallsstichproben berechneten) Maßzahlen ermitteln kann ( fi Kap. 7). Man kann anhand von Zufallsstichproben statistische Aussagen über die Grundgesamtheit machen und die Sicherheit solcher Aussagen statistisch quantifizieren. Der Begriff „Repräsentativität“ ist allerdings kein statistischer Fachbegriff. Er stellt in der Sozialforschung kein klar definiertes Gütekriterium dar und wird von vielen Sozialforschern sogar vermieden. Denn die in der Öffentlichkeit mit dem Begriff assoziierte Vorstellung, dass eine Stichprobe hinsichtlich aller untersuchungsrelevanter Merkmale sowie der statistischen Zusammenhänge zwischen ihnen ein exaktes Abbild sein könnte, ist falsch. Betrachtet man z. B. fünf kategoriale Variablen mit jeweils vier Kategorien, dann liegen 5 4 = 625 Ausprägungskombinationen vor. In einer (fünfdimensionalen) Häufigkeitstabelle müssten sich die Fälle in den 625 Zellen proportional zur Häufigkeitsverteilung in der Grundgesamtheit verteilen. Man sieht schnell, dass eine Stichprobe selbst bei einer Stichprobengröße von mehreren Tausend Fällen Zufallsbedingte Abweichungen erwartbar „Repräsentativität“ ist kein statistischer Fachbegriff 136 Z U F A L L S S T I C H P R O B E N U N D S C H Ä T Z E N <?page no="136"?> allein aufgrund der verhältnismäßig deutlich kleineren Fallzahl die mehrdimensionale (multivariate) Verteilung der Ausprägungskombinationen der Grundgesamtheit nicht exakt repräsentieren kann. Zufallsstichproben weichen zudem (s. o.) zufallsbedingt in einem erwartbaren Ausmaß von der Grundgesamtheit ab. Worauf es bei Zufallsstichproben ankommt, ist, dass sie einen statistisch abgesicherten Schluss auf die Grundgesamtheit zulassen. Der Begriff „repräsentativ“ sollte, wenn er für Zufallsstichproben verwendet wird, in dem eingeschränkten Sinn verwendet werden, dass mit diesen statistisch begründete Schlussfolgerungen auf die Grundgesamtheit möglich sind. Qualitätsurteile beziehen sich bei Zufallsstichproben auf den Ziehungsprozess, nicht auf das Resultat. Wenn die Stichprobenziehung ideal (dem Stichprobenplan folgend) umgesetzt werden konnte, ohne dass es zu systematischen Ausfällen oder nichtzufälligen Beeinflussungen gekommen ist, ist die Qualität der erhaltenen Zufallsstichprobe hoch. Formen von Zufallsstichproben Von einer einfachen Zufallsstichprobe oder uneingeschränkten Zufallsstichprobe spricht man, wenn die Ziehung der Stichprobe in einem Auswahlschritt (einer Auswahlstufe) erfolgt und jeder Fall aus der Grundgesamtheit die gleiche Chance hat, in die Stichprobe zu gelangen. Beispiel: Die Grundgesamtheit besteht aus allen zum Untersuchungszeitpunkt an einer Universität eingeschriebenen 30 000 Studierenden. und man möchte eine Zufallsstichprobe vom Umfang n = 300 ziehen. Die Studierenden werden vollständig in einer elektronischen Datei erfasst und mit 1 beginnend durchnummeriert. Mit Hilfe eines Zufallsgenerators (wie er in elektronischen Taschenrechnern oder PCs enthalten ist) lässt man sich dann 300 verschiedene Nummern im Spektrum von 1 bis 30 000 ausgeben. Die so zufällig ausgewählten Studierenden bilden eine einfache Zufallsstichprobe. Zufallsstichproben, die ein aufwändigeres Konstruktionsprinzip als die einfache Zufallsstichprobe haben, werden komplexe Zufallsstichproben genannt. Die mehrstufige Zufallsstichprobe findet in der Praxis häufige Anwendung, da sie in der Regel kostengünstiger zu erheben ist als die einfache Zufallsstichprobe. Ihr Auswahlprinzip besteht darin, dass die Stichprobe in mehreren Schritten über so genannte Stufen gezogen wird. Ermittelt man beispielsweise für eine Bevölkerungsumfrage zunächst eine Zufallsauswahl der Gemeinden (1. Stufe), um dann aus den ausgewählten Gemeinden eine Zufallsauswahl der Haushalte (2. Stufe) zu ziehen, aus welchen dann eine zu befragenden Person (3. Stufe) zufällig ermittelt wird, Eingeschränkte Bedeutung von Repräsentativität Gleiche Auswahlchancen bei einfachen Zufallsstichproben Einfache versus komplexe Zufallsstichproben 137 Z U F A L L S S T I C H P R O B E N <?page no="137"?> tistik für Soziologen(3)__[Druckso hat man eine dreistufige Auswahl. Mehrstufige Auswahlen können mehr oder weniger Auswahlschritte aufweisen. Kennzeichnend für mehrstufige Auswahlverfahren ist, dass die zufällig ausgewählten Einheiten auf den vorangehenden Stufen jeweils umfassendere Einheiten sind, sich damit von Stufe zu Stufe unterscheiden (in dem Beispiel zunächst Gemeinden, dann Haushalte, zuletzt Personen) und erst auf der letzten Stufe die Fälle ausgewählt werden, an denen die untersuchungsrelevanten Ausprägungen erhoben werden. Die Klumpenstichprobe oder Clusterstichprobe ist eine besondere Form der mehrstufigen Auswahl, die dadurch gekennzeichnet ist, dass auf der letzten Stufe alle Elemente der auf der vorletzten Stufe ausgewählten Einheiten aufgenommen werden. Eine Klumpenstichprobe von deutschen Schülern kann so erfolgen, dass man zunächst eine Zufallsauswahl aus allen deutschen Gemeinden durchführt (1. Stufe), dann wird aus den Schulklassen in den ausgewählten Gemeinden eine Zufallsauswahl getroffen (2. Stufe), von den ausgewählten Schulklassen gelangen dann alle Schüler (3. Stufe) in die Stichprobe. Die Schüler in einer gezogenen Klasse bilden dann einen Klumpen oder einen Cluster. Die geschichtete Zufallsstichprobe wird gezogen, indem man die Grundgesamtheit vor der Stichprobenziehung unter Heranziehung einzelner Merkmale in möglichst homogene Teilgesamtheiten unterteilt („schichtet“), um dann aus jeder Teilgesamtheit je eine Teilstichprobe zu ziehen, die zusammen die geschichtete Zufallsstichprobe ergeben. Ein Vorteil der geschichteten Zufallsstichprobe gegenüber der einfachen Zufallsstichprobe liegt darin, dass die Abbildung der Grundgesamtheit (bei gegebener Stichprobengröße) in der Regel präziser gelingt. (Die erwartbaren Abweichungen der statistischen Maßzahlen aus Stichprobe und Grundgesamtheit reduzieren sich.) Für die Schichtung müssen dafür aber Vorinformationen über die Grundgesamtheit zur Verfügung stehen, mit denen begründet werden kann, warum welche Merkmale zur Schichtung herangezogen werden können. Ein Beispiel für eine geschichtete Stichprobe ist die disproportionale Stichprobe des ALLBUS. Im ALLBUS von 2002 z. B. sind die Ostdeutschen bewusst überrepräsentiert, d. h., sie sind mit einem höheren Prozentsatz im ALLBUS vertreten, als es ihrem Anteil an der gesamtdeutschen Bevölkerung entspricht. Entsprechend sind die Westdeutschen mit einem niedrigeren Prozentsatz vertreten, als es ihrem Bevölkerungsanteil entspricht. Ein Grund für die disproportionale Schichtung besteht darin, dass einzelne Teilgesamtheiten einen kleinen Anteil an der Grundgesamtheit haben können. Will man auch für diese differenzierte Analysen durchführen können, muss man ihren Anteil in der Stichprobe erhöhen. Wenn man also die Ostdeutschen und die Westdeutschen 138 Z U F A L L S S T I C H P R O B E N U N D S C H Ä T Z E N <?page no="138"?> getrennt untersucht und hier jeweils Untergruppen bilden möchte, kommt es auch bei der kleineren Gruppe der Ostdeutschen darauf an, dass genügend Fälle im Datensatz sind, um für die Ostdeutschen genauso Untergruppen bilden zu können wie für die Westdeutschen. Für komplexe Zufallsstichproben ist kennzeichnend, dass die Auswahlchancen der Fälle der Grundgesamtheit, in die Stichprobe zu gelangen, unterschiedlich groß sind. Aber auch hier wird eine kontrollierte Zufallsauswahl angewandt, und auch hier lassen sich - zumindest prinzipiell - die Chancen für die Auswahl eines Falles für die Stichprobe berechnen. Die Unterschiedlichkeit der Auswahlchancen hat zur Folge, dass man für statistische Analysen Gewichtungen einsetzen muss ( fi Kap. 6.6) . Für die Einführung der Stichprobenverteilungen wird hier im Folgenden von einfachen Zufallsstichproben, die weniger als 5 % der Grundgesamtheit ausmachen, ausgegangen. Für diese vereinfachen sich die Formeln und deren Interpretation. Schreibweisen: Eine Konvention ist, dass man statistische Maßzahlen für die Stichprobe mit lateinischen Buchstaben kennzeichnet (wie dies im deskriptivstatistischen Kontext erfolgt ist). Sollen Maßzahlen für die Grundgesamtheit dargestellt werden, verwendet man nun griechische Buchstaben. Statistische Verteilungen Um darlegen zu können, wie Maßzahlen aus Zufallsstichproben verteilt sind und wie man aus Zufallsstichproben Schlussfolgerungen ziehen kann, müssen die dafür notwendigen theoretischen Verteilungsfunktionen eingeführt werden. In diesem Kapitel werden die Normalverteilung und die t-Verteilung vorgestellt. Die 2 -Verteilung wird im Zusammenhang mit dem 2 -Unabhängigkeitstest eingeführt ( fi Kap. 7.4) . Alle drei sind Verteilungen stetiger Variablen. Es sind die Werte dieser stetigen Verteilungen, die sich in der empirischen Praxis immer wieder finden. Auf die Darstellung der theoretischen Verteilungen diskreter Variablen wird hier verzichtet. (Die Begründung dafür ist, dass die statistischen Verteilungen diskreter Variablen bedeutsam sind für das Schätzen und Testen mit kleinen Stichproben. In der soziologischen Praxis hat man aber zumeist mit größeren Stichprobenumfängen zu tun.) Unterschiedliche Auswahlchancen bei komplexen Zufallsstichproben 6.2 139 S T A T I S T I S C H E V E R T E I L U N G E N <?page no="139"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- Die Normalverteilung Eine bedeutende statistische Verteilung in der angewandten Inferenzstatistik ist die Normalverteilung. Sie ist eine theoretische Verteilung einer stetigen Variablen und wurde von A B R AHAM DE M OIVR E (1667 - 1754), P I E RR E -S I- MON L AP LAC E (1749 - 1827) und C ARL F RI EDRICH G AU S S (1777 - 1855) entwickelt. Es gibt nur wenige empirische (und zumeist soziologisch wenig bedeutsame) Sachverhalte, die in Grundgesamtheiten annähernd normalverteilt sind. Die Bedeutung der Normalverteilung hat andere Gründe: Zum einen lassen sich andere statistische Verteilungen aus einer Normalverteilung herleiten oder gehen bei großen Fallzahlen in diese über. Zum anderen sind wichtige statistische Maßzahlen, die man aus Stichproben berechnen kann, unter bestimmten Bedingungen normalverteilt. Anhand eines Beispiels soll die Normalverteilung vorgestellt werden. Beispiel: In einer Grundgesamtheit mit 50 000 Personen seien die Körpergrößen in Zentimeter erhoben worden. Die Körpergröße sei in dieser Gesamtheit eine normalverteilte Variable. Das arithmetische Mittel beträgt = 175 cm, die Standardabweichung beträgt = 5 cm. Da nun einige Zehntausend Körpergrößen vorliegen, werden diese in viele gleich breite Klassen klassiert und in einem Histogramm dargestellt (ABBILDUNG 6.1). Die Höhe der Flächen gibt jeweils die Häufigkeitsdichte in einer Klasse an. Die Flächeninhalte repräsentieren die Fallzahlen in den Klassen. Als durchgezogene Linie ist zusätzlich die Normalverteilungskurve eingezeichnet. Sie gibt die Häufigkeitsdichten für die verschiedenen Körpergrö- Abb. 6.1 155 160 165 170 175 180 185 190 195 Körpergröße (cm) 6.2.1 140 Z U F A L L S S T I C H P R O B E N U N D S C H Ä T Z E N <?page no="140"?> ßen an, wenn man die Klassenbreiten immer weiter verringern würde, so dass diese zuletzt 0 sind. Im Bereich um den Mittelwert von 175 cm gruppieren sich die meisten Körpergrößen. Kleinere und größere Körpergrößen sind anteilig weniger häufig vertreten. Je mehr eine Körpergröße von der durchschnittlichen Körpergröße abweicht, desto kleiner werden die zugehörigen Häufigkeitsdichten. Die Verteilung der Körpergröße ist nur ein Beispiel für eine Normalverteilung. Es gibt unendliche viele (theoretisch mögliche) Normalverteilungen. Mit dem Begriff Normalverteilung wird eine ganze „Familie“ von Verteilungen bezeichnet. Unterschieden werden die Normalverteilungen durch die horizontale Lage, spezifiziert durch den arithmetischen Mittelwert und durch die Standardabweichung . Da mit der Angabe dieser beiden Parameter eine Normalverteilung vollständig definiert ist, nennt man diese explizite Parameter. Man kann damit eine Normalverteilung in Kurzform notieren: N( ; ). Die ABBBILDUNG 6.2 zeigt vier beispielhaft ausgewählte Normalverteilungen, die durch die Kombination von und unterscheidbar sind. Charakteristisch für alle Normalverteilungen ist die zu ihrem Mittelwert symmetrische und eingipfelige Glockenform. Über dem Mittelwert hat eine Normalverteilung ihr Maximum (die größte Dichte). Mit zunehmendem Abstand zum Mittelwert fällt die Normalverteilungskurve kontinuierlich ab und strebt (asymptotisch) gegen die X-Achse (die Kurven laufen bis - ¥ und + ¥ aus). Für alle Häufigkeitsverteilungen von stetigen Variablen gilt, dass die Häufigkeiten durch Flächen repräsentiert werden. Unterhalb der Häufigkeitsdichtekurve liegen dann immer 100 % der Fälle. Entsprechend gilt auch für alle Normalverteilungen, dass die gesamte Fläche unter der 0,8 -2 0 2 4 6 N (0; 0,5) N (2; 1) N (2; 2) N (0; 1) Abb. 6.2 Explizite Parameter spezifizieren die Normalverteilung 141 S T A T I S T I S C H E V E R T E I L U N G E N <?page no="141"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- Normalverteilungskurve immer 100 % der Fälle repräsentiert. Kennzeichnend für alle Normalverteilungen ist weiter, dass sich die Flächenanteile bei allen Normalverteilungen immer in gleicher Weise verteilen. Aufgrund der Symmetrie der Verteilung gilt zunächst, dass 50 % der Fläche links und 50 % der Fläche rechts vom Mittelwert liegen. Bildet man um symmetrische Intervalle, so liegen bei jeder Normalverteilung über bestimmten Intervallen immer die gleichen Flächenanteile, gleich um welche Normalverteilung es sich handelt. Die TABELLE 6.1 stellt fünf häufig verwendete Intervalle vor. Setzt man also für irgendeine konkret gegebene Normalverteilung den Mittelwert und die Standardabweichung für die Berechnung der Intervallgrenzen ein, liegen immer die in der rechten Spalte der TA- BELLE 6.1 angegebenen Flächenanteile über diesen Intervallen. Beispiel: Die Körpergrößen der 50000 Personen folgen der Normalverteilung N(175; 5). Die TABELLE 6.2 gibt die Intervalle an, in denen bestimmte Anteile von Personen nach Körpergrößen liegen. Für diese 50 000 Personen kann man damit Aussagen wie die folgende formulieren: „95 % aller Personen haben eine Körpergröße zwischen 165,2 cm und 184,8 cm.“ Oder: „Fast 100 %, genauer: 99,7 %, der Personen haben eine Körpergröße zwischen 160 cm und 190 cm.“ Mit Hilfe einer Statistiksoftware kann man auch für andere Intervalle die Flächen bestimmen, die über ihnen liegen. Man kann zudem daran interessiert sein, die Intervalle nicht symmetrisch um den Mittelwert zu konstruieren. Flächenanteile lassen sich aber auch ohne eine Soft- Tab. 6.1 Intervall Flächenanteil [ - 1,00 . ; + 1,00 . ] 68,3 % [ - 1,96 . ; + 1,96 . ] 95,0 % [ - 2,00 . ; + 2,00 . ] 95,4 % [ - 2,58 . ; + 2,58 . ] 99,0 % [ - 3,00 . ; + 3,00 . ] 99,7 % Tab. 6.2 Intervall Flächenanteil [175-1,00 . 5; 175 + 1,00 . 5] = [170,0; 180,0] 68,3 % [175-1,96 . 5; 175 + 1,96 . 5] = [165,2; 184,8] 95,0 % [175-2,00 . 5; 175 + 2,00 . 5] = [165,0; 185,0] 95,4 % [175-2,58 . 5; 175 + 2,58 . 5] = [162,1; 187,9] 99,0 % [175-3,00 . 5; 175 + 3,00 . 5] = [160,0; 190,0] 99,7 % Eigenschaften der Normalverteilung 142 Z U F A L L S S T I C H P R O B E N U N D S C H Ä T Z E N <?page no="142"?> ware ermitteln, indem man Tabellierungen heranzieht, die für die Standardnormalverteilung vorliegen. Die Standardnormalverteilung Eine besondere Normalverteilung ist die Standardnormalverteilung. Diese hat den Mittelwert = 0 und die Standardabweichung = 1. Die Standardnormalverteilung ist die Normalverteilung N(0; 1) in ABBILDUNG 6.2. Die Standardnormalverteilung ergibt sich, wenn man die Ausprägungen einer normalverteilten Variablen X mit bekannter Formel z-standardisiert ( fi Kap. 3.9) : z = x Durch die z-Standardisierung wird jede Normalverteilung N( ; ) zu einer Standardnormalverteilung N(0; 1). Daher spricht man bei den Werten einer Standardnormalverteilung auch von z-Werten. Die Standardnormalverteilung ist die Normalverteilung, die für die mathematische Definition anderer statistischer Verteilungen herangezogen wird. In den meisten Statistikbüchern liegen für die Standardnormalverteilung Tabellierungen vor, die für die Quantile der Standardnormalverteilung die zugehörigen Flächenanteile angeben, die links vom Quantil liegen. Ein Quantil ist der Wert einer Verteilung, für den gilt, dass ein bestimmter Anteil der Werte der Verteilung vor ihm liegt ( fi Kap. 3.4) . Da man für jeden Wert einer Verteilung angeben kann, welcher Anteil der übrigen Werte vor ihm liegt, stellt jeder Wert aus einer Verteilung ein Quantil dar. Mit Hilfe der TABELLE 12.1 (Anhang) kann man ermitteln, um welches Quantil es sich bei einem x-Wert einer Normalverteilung N( ; ) handelt, wenn man diesen z-standardisiert. Beispiel: Wenn man wissen möchte, wie viele Personen eine Körpergröße bis 180 cm haben, wenn die Körpergröße nach N(175; 5) verteilt ist, ermittelt man den z-Wert: z = 180 175 5 = 1 Für diesen muss man nun in der TABELLE 12.1 (Anhang) den entsprechenden Anteilswert p nachsehen. Da für den Wert z = 1 der p-Wert nicht tabelliert ist, mittelt man die beiden p-Werte für z = 0,994 und z = 1,015. Der p-Wert für z = 1 ist damit p » 0,8425. Nun weiß man, dass z = 1 das 84,25 %-Quantil der Standardnormalverteilung (z 0.8425 ) ist. Damit ist der Wert x = 180 ebenfalls das 84,25 %-Quantil der Normalverteilung N(175; 5) (x 0.8425 ). Das bedeutet für die Verteilung der Personen, dass 84,25 % eine Körpergröße bis 180 cm haben. Quantile von normalverteilten x- und z-Werten Normalverteilungen können anhand der z-Standardisierung auf die Standardnormalverteilung bezogen werden 143 S T A T I S T I S C H E V E R T E I L U N G E N <?page no="143"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- In der ABBILDUNG 6.3 wird grafisch veranschaulicht, dass sich ein Quantil x p der Normalverteilungen N(175; 5) in das zugehörige Quantil z p der Standardnormalverteilung N(1; 0) durch die z-Standardisierung „übersetzen“ lässt. Die dunkel markierte Fläche beträgt jeweils 84,25 % der Gesamtfläche unter der Kurve. Die t-Verteilung Die t-Verteilung und ihre einzelnen Werte, die t-Werte, sind noch allgegenwärtiger in der statistischen Praxis als die z-Werte oder die Werte von anderen Normalverteilungen. Die t-Verteilung ist von W ILLIAM S . G O S S ET (1876 - 1937) unter dem Pseudonym Student eingeführt worden, weshalb sie auch Student-Verteilung genannt wird. Es gibt viele (theoretisch) mögliche t-Verteilungen. Bei den t-Verteilungen handelt es sich also wieder um eine „Familie“ von Verteilungen. Der einzige explizite Parameter der t-Verteilung ist der so genannte Freiheitsgrad, der mit df (für engl. „degrees of freedom“) abgekürzt wird. Alle t-Verteilungen sind symmetrisch zum Mittelwert = 0. Die Standardabweichung hängt nur von den Freiheitsgraden df ab und wird (für df > 2) berechnet mit: = ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi df df 2 r Abb. 6.3 0,08 155 185 190 160 165 170 175 180 195 Körpergröße N (175; 5) 0,4 -4 2 3 -3 -2 -1 0 1 4 Z N (0; 1) 6.2.2 Freiheitsgrad spezifiziert t-Verteilung 144 Z U F A L L S S T I C H P R O B E N U N D S C H Ä T Z E N <?page no="144"?> Schreibweise: Die t-Verteilung wird mit dem Freiheitsgrad df indiziert, in Kurzform: t df (die Angabe von Quantilen kann dann nach der Angabe der Freiheitsgrade durch ein Semikolon getrennt werden). Die ABBILDUNG 6.4 zeigt drei verschiedene t-Verteilungen mit den Freiheitsgraden df = 30, df = 5 und df = 3. Mit größer werdender Zahl der Freiheitsgrade df geht die t-Verteilung in die Standardnormalverteilung über. Ab df = 30 ist die grafische Gestalt der t-Verteilung fast nicht mehr von der grafischen Gestalt der Standardnormalverteilung zu unterscheiden. In der TABELLE 12.2 (Anhang) sind die 97,5 %-Quantile der t-Verteilung tabelliert. Ein Vergleich mit dem 97,5 %-Quantil der Standardnormalverteilung zeigt beispielhaft, dass sich die t-Werte ab df = 250 (t 250; 0.975 = 1,969) nur noch in der dritten Nachkommastelle von z 0.975 = 1,96 unterscheiden. Ab df = 250 sind t-Werte und z-Werte damit praktisch identisch. In der angewandten Statistik gelten t-Verteilungen bereits ab df = 30 als annähernd standardnormalverteilt. Bemerkung: Das Konzept der Freiheitsgrade taucht in der Statistik immer wieder auf. Allgemein formuliert stellen Freiheitsgrade die Anzahl von Sachverhalten dar, die unabhängig voneinander variieren können und auf denen viele statistische Modelle beruhen. Viele statistische Verteilungen (wie die t-Verteilung), werden durch Freiheitsgrade als explizite Parameter spezifiziert. Stichprobenverteilungen Anhand eines Gedankenexperimentes soll das Konzept von Stichprobenverteilungen eingeführt werden. In einer großen Grundgesamtheit liegt eine Variable X vor, die in der Grundgesamtheit nicht normalverteilt zu sein braucht. Eine solche Grundgesamtheit kann beispielsweise aus allen 0,4 -4 - 2 t df 0 2 4 t 30 t 5 t 3 Abb. 6.4 t-Verteilung geht in Standardnormalverteilung über 6.3 145 S T I C H P R O B E N V E R T E I L U N G E N <?page no="145"?> tistik für Soziologen(3)__[Druckabhängig Beschäftigten eines Landes bestehen, und als interessierende Variable kann man das durch die abhängige Beschäftigung erzielte Einkommen nehmen. In der Grundgesamtheit aller Beschäftigten liegt ein Durchschnittseinkommen und eine Standardabweichung des Einkommens vor. Das Einkommen ist typischerweise nicht normalverteilt. In dem Gedankenexperiment kann man nun aus dieser Grundgesamtheit eine sehr große Anzahl m von Zufallsstichproben mit einem einheitlichen Stichprobenumfang n ziehen. Berechnet man in einem nächsten Schritt für jede dieser Stichproben das Durchschnittseinkommen der n Beschäftigten in den m Stichproben, so erhält man m verschiedene arithmetische Mittelwerte. Da der Zufall im Spiel ist, werden sich die erhaltenen Durchschnittswerte x aus Zufallsgründen unterscheiden. Die Konsequenz ist, dass die Stichprobenmittelwerte nun eine Variable darstellen, genauer: eine Zufallsvariable, da die Variation der Stichprobenmittelwerte nur aus Zufallsgründen entsteht. Statistisch lässt sich nun zeigen, dass die Zufallsvariable X (annähernd und ab einem gewissen Stichprobenumfang) einer Normalverteilung folgt. Bezogen auf das Einkommen der Beschäftigten in den Stichproben heißt dies, dass das Stichprobendurchschnittseinkommen eine Variable ist und einer Normalverteilung folgt. Das Gedankenexperiment, welches soeben für die Stichprobenverteilung des arithmetischen Mittels durchgeführt wurde, kann man genauso für die Stichprobenverteilung des Anteilswertes durchführen. Dafür kann man ein dichotomes Merkmal in der Grundgesamtheit betrachten, wie das Geschlecht der abhängig Beschäftigten. Bei dichotomen Merkmalen ist die Verteilung durch die Angabe des Anteilswertes einer der beiden Kategorien beschrieben. Stellt den Anteilswert der weiblichen Beschäftigten in der Grundgesamtheit aller Beschäftigten dar, so ist der dortige Anteilswert der männlichen Beschäftigten (1 - ). Ermittelt man für die m verschiedenen Zufallsstichproben den Anteil der Frauen, kann man für jede Stichprobe den Anteilswert p berechnen. Auch die Stichprobenanteile aus allen m Stichproben stellen eine Zufallsvariable P dar und folgen (annähernd) einer Normalverteilung, wenn die Stichprobe ausreichend groß ist und gleichzeitig der Anteilswert in der Grundgesamtheit nicht zu nahe an 0 oder 1 ausgeprägt ist. Die statistischen Maßzahlen, die man für einzelne Stichproben berechnet, heißen Stichprobenkennwerte. Die Verteilung der Stichprobenkennwerte aus Stichproben heißt Stichprobenkennwerteverteilung oder kurz Stichprobenverteilung. Viele Stichprobenkennwerte folgen einer Normalverteilung, allerdings nicht alle. Dass sich eine Normalverteilung der Stichprobenkennwerte einstellt ist also nicht Voraussetzung dafür, dass man von einer Stichprobenverteilung sprechen kann. Untersucht man beispielsweise für Stichproben den Zusammenhang zwischen zwei kategorialen Varia- Gedankenexperiment zur Einführung der Stichprobenverteilung Stichprobenkennwerte aus Zufallsstichproben sind Zufallsvariablen Stichprobenkennwerte folgen einer Stichprobenverteilung 146 Z U F A L L S S T I C H P R O B E N U N D S C H Ä T Z E N <?page no="146"?> blen mit dem Zusammenhangsmaß 2 ( fi Kap. 4.2.5) , dann folgen die 2 -Werte (aus vielen Stichproben) einer 2 -Verteilung ( fi Kap. 7.4). Die ABBILDUNG 6.5 veranschaulicht das Zustandekommen der Stichprobenverteilung der Stichprobenmittelwerte oder der Stichprobenanteilswerte. Sie hilft, ein häufiges Missverständnis zu vermeiden: Die Stichprobenverteilung ist nicht die Verteilung einer Variablen X in einer Stichprobe, sondern die Verteilung von vielen statistischen Kennwerten, die aus je einer Stichprobe berechnet werden können. Stichprobe 1 Stichprobe 2 Stichprobe 3 Stichprobe 4 Stichprobe m Stichprobenkennwert 1 Stichprobenkennwert 2 Stichprobenkennwert 3 Stichprobenkennwert 4 Stichprobenkennwert m Stichprobenkennwerte Stichprobenverteilung Grundgesamtheit Abb. 6.5 Stichprobenverteilungen sind nicht Verteilungen in Stichproben 147 S T I C H P R O B E N V E R T E I L U N G E N <?page no="147"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- Zentraler Grenzwertsatz Die statistische Begründung dafür, dass die Stichprobenkennwerte x und p annähernd einer Normalverteilung folgen, liefert der zentrale Grenzwertsatz, der auch zentrales Grenzwerttheorem genannt wird. Dieser Satz sagt aus, dass die Summen voneinander unabhängiger Zufallsvariablen annähernd normalverteilt sind, gleich wie die Zufallsvariablen selber verteilt sind. Auf den ersten Blick ist nicht erkennbar, warum der zentrale Grenzwertsatz in dieser Formulierung für die Verteilung der Stichprobenkennwerte herangezogen werden kann. Man kann aber für jede Stichprobe die n voneinander unabhängigen Ausprägungen x i einer Variablen X als je eine Ausprägung von n verschiedenen Variablen (mit der gleichen Verteilung) auffassen. Praktisch heißt dies: Summiert man die n Ausprägungen x i in jeder Stichprobe auf, so sind die Stichprobensummen annähernd normalverteilt. Gilt der Satz für Summen, so kann man zeigen, dass der zentrale Grenzwertsatz ebenso für arithmetische Mittelwerte und für Anteilswerte dichotomer Variablen gültig ist. Seine Bedeutung ergibt sich aus zwei Aspekten: (1) Die Stichprobenverteilungen von X und P sind annähernd normalverteilt, unabhängig davon, wie das Merkmal X in der Grundgesamtheit verteilt ist. (2) „Annähernd normalverteilt“ heißt, dass sich die Verteilung der Stichprobenkennwerte bereits bei kleinen Stichprobenumfängen einer Normalverteilung ausreichend gut annähert. Bei größer werdendem Stichprobenumfang (n fi ¥ ) gehen die Stichprobenverteilungen dann in eine exakte Normalverteilung über. Explizite Parameter der beiden Stichprobenverteilungen Für die Stichprobenkennwerte x und p kann nun angegeben werden, unter welchen Bedingungen diese annähernd normalverteilt sind und wie sich die expliziten Parameter der beiden Stichprobenverteilungen ermitteln lassen. Schreibweisen: Auch die expliziten Parameter der Stichprobenverteilungen werden mit griechischen Buchstaben notiert. Die Stichprobenmittelwerte x aus Zufallsstichproben mit einem einheitlichen Umfang von n ‡ 30 folgen annähernd der Normalverteilung N( X ; X ). Dabei ist X der arithmetische Mittelwert der Stichprobenmittelwerte. Dieser Wert entspricht dem arithmetischen Mittelwert des metrischen Merkmals X in der Grundgesamtheit: X = Im Durchschnitt sind also die Stichprobenmittelwerte so groß wie der Durchschnitt der Grundgesamtheit. Die Standardabweichung X gibt Mittelwert der Stichprobenmittelwerte 148 Z U F A L L S S T I C H P R O B E N U N D S C H Ä T Z E N <?page no="148"?> das Ausmaß der Streuung der Stichprobenmittelwerte um den Mittelwert X an. Die Berechnung erfolgt mit: X = ffiffiffi n p ist die Standardabweichung des metrischen Merkmals in der Grundgesamtheit und stellt eine konstante Größe dar. Die Standardabweichung X heißt Stichprobenfehler des arithmetischen Mittels. Der Stichprobenfehler X gibt das erwartbare Ausmaß an, in dem die Stichprobenmittelwerte von dem Grundgesamtheitsmittelwert aus Zufallsgründen abweichen. Die Stichprobenmittelwerte streuen umso geringer um den Mittelwert der Stichprobenverteilung X , je größer der Umfang der Stichprobe ist. (Bei Stichprobenumfängen kleiner als n = 30 gilt der zentrale Grenzwertsatz für den arithmetischen Mittelwert nicht. Hier ist die t-Verteilung mit df = n - 1 die exakte Stichprobenverteilung des Stichprobenmittelwertes. Diesen muss man vorab z-standardisieren, und es muss dann vorausgesetzt werden, dass das Merkmal X in der Grundgesamtheit normalverteilt ist.) Die Stichprobenanteilswerte p aus Zufallsstichproben folgen annähernd der Normalverteilung N( P ; P ). Die dafür ausreichende Stichprobengröße liegt vor, wenn folgende zweiteilige Faustregel eingehalten ist: n ð 1 Þ > 9 und n ð 1 Þ > 9 Für einen Anteilswert in der Grundgesamtheit im Intervall [0,24; 0,76] genügen damit bereits Stichproben vom Umfang n = 30, damit die Stichprobenverteilung von P als normalverteilt angesehen werden kann. Bereits ab einem Stichprobenumfang von n = 100 folgen die Stichproben aus Grundgesamtheiten mit einem Anteilswert im Intervall [0,09; 0,91] ausreichend genau einer Normalverteilung. Der arithmetische Mittelwert der Stichprobenanteilswerte ist gleich dem Anteilswert in der Grundgesamtheit: P = Auch hier gilt, dass im Durchschnitt die Anteilswerte in Stichproben so groß sind wie der Anteilswert in der Grundgesamtheit. Die Streuung der Stichprobenanteilswerte P wird berechnet mit: P = ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð 1 Þ n r Streuung der Stichprobenmittelwerte Stichprobenfehler gibt Streuung der Stichprobenkennwerte an Mittelwerte der Stichprobenanteilswerte 149 S T I C H P R O B E N V E R T E I L U N G E N <?page no="149"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- P ist der Stichprobenfehler des Anteilswertes. Er quantifiziert das erwartbare Ausmaß, in dem die Stichprobenanteilswerte p aus Zufallsgründen von dem entsprechenden Anteilswert der Grundgesamtheit abweichen. Betrachtet man als eine gegebene Größe in der Grundgesamtheit, so variiert die Streuung der Stichprobenanteile mit der Stichprobengröße n. Mit zunehmender Stichprobengröße verringert sich der Stichprobenfehler. Beispiel: In der Gesamtheit der abhängig Beschäftigten sei der Anteil der Frauen = 42 %. Für Stichproben vom Umfang n = 1000 ergibt sich ein Stichprobenfehler von: P = ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 0,42 ð 1 0 ; 42 Þ 1000 r = 0,0156 Die ABBILDUNG 6.6 (links) stellt die Verteilung N(0,42; 0,0156) grafisch dar. Berechnet man die Intervallgrenzen, in denen 95 % aller Stichprobenanteilswerte liegen, ergibt sich: 0,42 - 1,96 . 0,0156 = 0,3894 und 0,42 + 1,96 . 0,0156 = 0,4506 Man kann also sagen, dass 95 % aller Stichproben vom Umfang n = 1000 aus der Gesamtheit der abhängig Beschäftigten einen Frauenanteil zwischen 38,94 % und 45,06 % aufweisen werden. In der ABBILDUNG 6.6 (rechts) sind die Stichprobenverteilungen des Anteilswertes für Frauen geplottet, die sich nur darin unterscheiden, dass sie sich auf Zufallsstichproben mit unterschiedlichem Stichprobenumfang beziehen. Man erkennt gut, dass die Streuung des Stichproben- Abb. 6.6 25 0,3732 P 0,4356 0,4200 0,4044 0,3888 0,4512 0,4668 N (0,24; 0,0156) 25 0,36 0,38 P 0,40 0,42 0,44 0,46 0,48 N (0,24; 0,0156) n = 1000 N (0,24; 0,0221) n = 500 N (0,24; 0,0312) n = 250 Streuung der Stichprobenanteilswerte 150 Z U F A L L S S T I C H P R O B E N U N D S C H Ä T Z E N <?page no="150"?> anteils zunimmt, wenn der Stichprobenumfang reduziert wird. Eine Reduzierung des Stichprobenumfangs auf ein Viertel (n = 250) führt zu einer Verdoppelung des Stichprobenfehlers ( P = 0,0312). Das bedeutet entsprechend: Will man den Stichprobenfehler halbieren, muss man die Stichprobengröße vervierfachen. Dieser Befund lässt sich auch auf den Stichprobenfehler des arithmetischen Mittels übertragen. Die TABELLE 6.3 stellt noch einmal die verwendeten Schreibweisen und Formeln für die Grundgesamtheit, die Stichprobe und die Stichprobenverteilungen zusammen. Wahrscheinlichkeit Der Begriff der Wahrscheinlichkeit spielt in der Inferenzstatistik eine wichtige Rolle. betrachtet wird: metrische Variable X dichotome Variable X Grundgesamtheit Wert der Grundgesamtheit arithmetisches Mittel Anteilswert (einer Kategorie) Standardabweichung in der Grundgesamtheit - Stichprobe Stichprobenkennwert in der Stichprobe x p Standardabweichung in der Stichprobe s - Stichprobenverteilung Stichprobenverteilungen Stichprobenmittelwert N( X ; X ) Stichprobenanteilswert N( P ; P ) Mittelwert der Stichprobenverteilung X = P = Stichprobenfehler (Standardabweichung der Stichprobenkennwerte) X = ffiffi n p P = ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ð 1 Þ n q Tab. 6.3 Stichprobenfehler wird kleiner, wenn Stichprobengröße zunimmt 6.4 151 W A H R S C H E I N L I C H K E I T <?page no="151"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- Definition Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeiten quantifizieren in einer Zahl zwischen 0 und 1 die Chance, dass ein bestimmtes Ereignis eintritt. Unter einem solchen mit einer Wahrscheinlichkeit zu bewertenden Ereignis kann man eine oder mehrere Ausprägungen von Zufallsvariablen verstehen. Kann ein Ereignis nicht eintreten, dann ist die Wahrscheinlichkeit 0. Ist dagegen sicher, dass ein Ereignis eintreten muss, ist die Wahrscheinlichkeit 1. Die möglichen Zwischenwerte werden als Dezimalzahlen angegeben. Man kann Wahrscheinlichkeiten aber auch als Prozentzahl zum Ausdruck bringen. Schreibweise: Die Wahrscheinlichkeit kürzt man mit P ab (für engl. „probability“), nicht zu verwechseln mit der Schreibweise P für den Anteilswert als Variable. Der Sachverhalt, für den eine Wahrscheinlichkeit angegeben wird, wird hinter dem P in Klammern angeführt. Kurz: Die Wahrscheinlichkeit von . . . ist P(. . .). Ein einfaches Beispiel, für das man Ereignisse unterscheiden kann, ist der Würfelwurf. Ein Vorgang wie das Würfeln wird als Zufallsexperiment bezeichnet. Dieses zeichnet sich durch folgende Eigenschaften aus: Die möglichen Ereignisse sind vorab bekannt. Welches Ereignis sich als Resultat einstellt, ist nur vom Zufall abhängig. Alle möglichen Ereignisse sind gleich wahrscheinlich. Das Zufallsexperiment muss prinzipiell unter den gleichen Bedingungen wiederholbar sein. Die möglichen Ereignisse des Würfelwurfs sind die nach dem Wurf oben liegenden Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6. Diese möglichen Ereignisse bilden den Ereignisraum. Man kann die Augenzahlen, die man dem Würfelwurf zuordnet, als eine diskrete Zufallsvariable auffassen und dann den sechs verschiedenen Ausprägungen Wahrscheinlichkeiten zuordnen. Da bei einem handelsüblichen Würfel davon auszugehen ist, dass die Wahrscheinlichkeiten für die sechs Ausprägungen der Zufallsvariable Augenzahl gleich sind, kann man schreiben: P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = 1 6 = 0,1667 In vielen Würfelspielen spielt die Augenzahl 6 eine besondere Rolle. Diese ist dann das interessierende Ereignis. Die Wahrscheinlichkeit, beispielsweise eine 6 zu würfeln, beträgt also 0,1667 oder 16,67 %. Eine andere und empirische Strategie, die Wahrscheinlichkeit für die Augenzahl 6 beim Würfelwurf zu ermitteln, wäre, vielfach zu würfeln und dann den Quotienten zu bilden, der die Würfe, die eine 6 ergeben Was heißt P(. . .)? Eigenschaften des Zufallsexperiments Ereignisraum des einfachen Würfelwurfs 152 Z U F A L L S S T I C H P R O B E N U N D S C H Ä T Z E N <?page no="152"?> haben, ins Verhältnis setzt zur Gesamtzahl aller Würfe. Hier kann sich zeigen, dass die Wahrscheinlichkeit dann von 0,1667 zunächst abweicht. Mit größer werdender Zahl der Würfe sollte der Quotient gegen 0,1667 streben, d. h., 0,1667 müsste sich als Grenzwert ergeben. Nun kann man die Wahrscheinlichkeit formal definieren. Das interessierende Ereignis, für das man die Wahrscheinlichkeit bestimmen will, nennt man A. Dann ist Häufigkeit, mit der das Ereignis A bei einer Vielzahl von unter gleichen Bedingungen durchgeführten Zufallsvorgängen aufgetreten ist f(A). Die Zahl der Wiederholungen dieses Zufallsexperiments ist W. Die Wahrscheinlichkeit kann man dann so bestimmen, dass man gedanklich die Gesamtzahl der Wiederholungen W sehr groß werden lässt (W fi ¥ ) und dann f(A) ins Verhältnis zu W setzt: P ð A Þ = lim W ! 1 f ð A Þ W Wenn man wissen will, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, eine Augenzahl von mindestens 4 zu würfeln, dann besteht das interessierende Ereignis nicht mehr aus einer einzigen Augenzahl, sondern setzt sich aus mehreren Ereignissen zusammen. Man hat sozusagen ein zusammengesetztes Ereignis. Das zusammengesetzte Ereignis tritt ein, wenn die Augenzahl 4 oder die Augenzahl 5 oder die Augenzahl 6 gewürfelt wird. Hierfür kann man die Wahrscheinlichkeit einfach ermitteln: P(Augenzahl ‡ 4) = P(4) + P(5) + P(6) = 0,1667 + 0,1667 + 0,1667 = 0,5 Die Wahrscheinlichkeit für das zusammengesetzte Ereignis „Augenzahl mindestens 4“ ist also so groß wie die Wahrscheinlichkeit für die Augenzahl 4 und die Wahrscheinlichkeit für die Augenzahl 5 und die Wahrscheinlichkeit für die Augenzahl 6. Nun soll ein anderes Zufallsexperiment vorgeführt werden, das darin besteht, dass zwei Würfel geworfen werden. Dabei ist wichtig, die beiden Würfel zu unterscheiden, z. B., indem man einen roten und einen grünen Würfel verwendet. Die möglichen Ereignisse des doppelten Würfelwurfs bestehen nun aus Augenpaaren. Die TABELLE 6.4 stellt alle möglichen Ereignisse zusammen, die den Ereignisraum des doppelten Würfelwurfs bilden. Der Ereignisraum wird aus 36 Ereignissen gebildet. Dabei muss man beachten, dass Augenpaare, die sich durch die Reihenfolge der Augenzahlen unterscheiden, je ein eigenes Ereignis bilden, dass also z. B. das Ereignis (2; 3) zu unterscheiden ist von dem Ereignis (3; 2). Wenn man nun die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen will, dass der erste Würfel die Augenzahl 2 und der zweite Würfel die Augenzahl 3 aufweist, so ist das Ereignisraum des doppelten Würfelwurfs 153 W A H R S C H E I N L I C H K E I T <?page no="153"?> tistik für Soziologen(3)__[Druckinteressierende Ereignis das Augenpaar (2; 3), welches nur einmal vorkommt. Die Wahrscheinlichkeit ist damit: P ð 2; 3 Þ = 1 36 = 0 ; 0278 Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis (2; 3) beträgt also nur 0,0278 oder knapp 3 %. Diese Wahrscheinlichkeit ergibt sich für alle 36 Ereignisse des doppelten Würfelwurfs. Summiert man alle 36 Wahrscheinlichkeiten für die möglichen Ereignisse des doppelten Würfelwurfs auf, so erhält man die Summe 1. Da die beiden Würfel zwar gleichzeitig geworfen werden, aber die Augenzahl jedes Würfels sich unabhängig realisiert, kann man die Wahrscheinlichkeit auch auf anderem Wege ermitteln. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der erste Würfel die Augenzahl 2 aufweist und (nicht: oder) der zweite Würfel die Augenzahl 3 aufweist ist: P ð 2; 3 Þ = 1 6 1 6 = 1 36 = 0,0278 Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis (2; 3) ist so groß wie das Produkt aus der Wahrscheinlichkeit P(Augenzahl des ersten Würfels ist 2) und der Wahrscheinlichkeit P(Augenzahl des zweiten Würfels ist 3). Im Kap. 9.3 wird diese Berechnungsweise im Rahmen der Maximum-Likelihood-Schätzung verwendet. In den soziologischen Anwendungen spielen diskrete Zufallsvariablen eine untergeordnete Rolle. Meist hat man es mit stetigen Zufallsvariablen zu tun. Hier ergibt sich ein wichtiger Unterschied, denn bei stetigen Zufallsvariablen erfolgt die Zuordnung von Wahrscheinlichkeiten nicht für einzelne Ausprägungen. Man kann sich das grafisch veranschaulichen, indem man als Beispiel für eine stetige Zufallsvariable den Stichprobenanteil P nimmt. Diese ist in ABBILDUNG 6.6 (links) dar- Tab. 6.4 zweiter Würfel erster Würfel (1; 1) (1; 2) (1; 3) (1; 4) (1; 5) (1; 6) (2; 1) (2; 2) (2; 3) (2; 4) (2; 5) (2; 6) (3; 1) (3; 2) (3; 3) (3; 4) (3; 5) (3; 6) (4; 1) (4; 2) (4; 3) (4; 4) (4; 5) (4; 6) (5; 1) (5; 2) (5; 3) (5; 4) (5; 5) (5; 6) (6; 1) (6; 2) (6; 3) (6; 4) (6; 5) (6; 6) Wahrscheinlichkeit für unabhängige Ereignisse 154 Z U F A L L S S T I C H P R O B E N U N D S C H Ä T Z E N <?page no="154"?> gestellt. Die Wahrscheinlichkeit für einen Anteilswert in einem Intervall entspricht der Fläche über diesem Intervall und unter der Kurve. Beispiel: Wenn die Stichprobenverteilung des Anteilswertes P nach N(0,42; 0,0156) verteilt ist, dann ist die Wahrscheinlichkeit für einen Stichprobenanteilswert im Intervall 0,4044 bis 0,4356: P(0,4044 £ P £ 0,4356) = 0,683 Dieser Wert für die Wahrscheinlichkeit ist schnell ermittelt, da es sich hier um das Intervall [ P - 1,00 . P ; P + 1,00 . P ] handelt ( fi TABELLE 6.1) . Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Zufallsstichprobe einen Stichprobenanteil zwischen 0,4044 und 0,4356 aufweist, beträgt 68,3 %. Die Wahrscheinlichkeit für eine einzelne Ausprägung des Stichprobenanteils ist so groß wie die Fläche über einem Intervall, das nur aus einem Wert besteht und damit keine Ausdehnung hat. Diese Fläche ist 0, und damit ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines einzigen bestimmten Stichprobenanteils 0. Die Y-Achse stellt bei stetigen Zufallsvariablen also nicht die Wahrscheinlichkeiten, sondern die Wahrscheinlichkeitsdichten dar. Schätzen In der Regel ist die Ausprägung von interessierenden Maßzahlen wie Anteilswert oder arithmetisches Mittel in der Grundgesamtheit unbekannt. Dann kann man eine Schätzung durchführen. Das Schätzen ist neben dem Testen von Hypothesen ( fi Kap. 7) eine von zwei Formen des statistischen Schließens (der Inferenz). Praktisch hat man dabei nur eine Stichprobe zur Verfügung. Das Schätzen besteht in der statistischen Schlussfolgerung von Erkenntnissen, die man aus der Stichprobe gewonnen hat, auf Zustände in der Grundgesamtheit. Diese Schlussrichtung heißt Repräsentationsschluss oder Induktionsschluss. Man kann zwei Formen des Schätzens unterscheiden: die Punktschätzung und die Intervallschätzung. Punktschätzung Bei der Punktschätzung errechnet man aus der Stichprobe einen Stichprobenkennwert und schätzt damit die entsprechende Maßzahl in der Grundgesamtheit. Der Stichprobenkennwert, mit dem die Schätzung erfolgt, heißt auch Schätzer. Bei stetigen Zufallsvariablen werden Wahrscheinlichkeiten durch Flächen repräsentiert Einzelnen Ausprägungen werden Wahrscheinlichkeitsdichten zugeordnet 6.5 Schluss von Stichprobe auf Grundgesamtheit 6.5.1 155 S C H Ä T Z E N <?page no="155"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- Schreibweise: Um Schätzungen als solche zu kennzeichnen, werden sie mit einem Dach „ ˆ “ gekennzeichnet. Beispiel: Wenn man mit dem ALLBUS 2002 schätzen will, wie groß das durchschnittliche Nettoeinkommen (v361) in dieser Grundgesamtheit ist, dann ist der Stichprobenmittelwert des Nettoeinkommens eine Punktschätzung für das durchschnittliche Nettoeinkommen der Grundgesamtheit. Für die Stichprobe ergibt sich ein arithmetisches Mittel von 1437,04 e . Dieser Wert wird als Punktschätzung für den arithmetischen Mittelwert in der Grundgesamtheit verwendet: x = 1437,04 = ^ Für Punktschätzungen gibt es verschiedene Gütekriterien. Die beiden wichtigsten sind Erwartungstreue und Effizienz. Eine Schätzung ist erwartungstreu, wenn sie im Durchschnitt (bei wiederholter Durchführung mit verschiedenen Zufallsstichproben) den zu schätzenden Grundgesamtheitswert richtig schätzt. Der Stichprobenmittelwert oder der Stichprobenanteilswert sind erwartungstreue Schätzer. Die Standardabweichung eines metrischen Merkmals in der Stichprobe s ist dagegen keine erwartungstreue Schätzung für die Standardabweichung des metrischen Merkmals in der Grundgesamtheit . Aus einer Stichprobe kann man aber mit folgender Formel erwartungstreu schätzen: ^ = ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 n 1 X i ð x i x Þ 2 s Ist ein Schätzer nicht erwartungstreu, führt die Punktschätzung zu verzerrten Schätzungen. Man spricht bei Verzerrung auch von „Bias“ (engl., „Verzerrung“). Ein Schätzer ist effizient, wenn die Schätzungen (bei wiederholter Schätzung mit verschiedenen Zufallsstichproben) um den arithmetischen Mittelwert so gering streuen, dass kein anderer Schätzer eine geringere Streuung aufweist. Die Effizienz eines Schätzers ist damit nur im Vergleich (und bei konstanten Stichprobenumfängen) zu beurteilen. Ein Schätzer ist ineffizient, wenn seine Streuung größer ist als die eines anderen Schätzers. Punktschätzungen haben den Nachteil, dass sie keine Information zur Verfügung stellen können, mit welcher Verlässlichkeit geschätzt wird. Und bei einer Punktschätzung ist aus Zufallsgründen immer damit zu rechnen, dass der Schätzer von dem wahren Grundgesamtheitswert abweicht. Gütekriterien der Punktschätzung 156 Z U F A L L S S T I C H P R O B E N U N D S C H Ä T Z E N <?page no="156"?> Intervallschätzung Bei einer Intervallschätzung wird ein Bereich angegeben, in dem mit einem bestimmten Vertrauen oder einer bestimmten Sicherheit der Grundgesamtheitswert liegt. Diese Intervalle nennt man Konfidenzintervalle. Das Konzept der Konfidenzintervalle sowie deren statistische Interpretation ist von J E R ZY N EYMAN (1894 - 1981) und E GON S . P EAR S ON (1895 - 1980, Sohn von K ARL P EAR S ON ) in den 1930er Jahren ausgearbeitet worden. Konfidenzintervalle geben einen Bereich an, in dem mit einem bestimmten Vertrauen - man sagt auch: in dem mit einer bestimmten Sicherheit - eine Maßzahl in der Grundgesamtheit ausgeprägt ist. Das Vertrauensniveau ist ein Anteilswert (1 - a ) bzw. ein Prozentsatz 100 . (1- a ) %, der den „Grad des Vertrauens“ oder den Grad der Sicherheit angibt. Das üblicherweise verwendete Vertrauensniveau beträgt (1 - a ) = 0,95 oder 95 %. Die Grundidee von Konfidenzintervallen kann man einfach einführen, wobei zur Vereinfachung davon ausgegangen wird, dass die Stichproben ausreichend groß sind. Wenn man einen unbekannten Anteilswert mit einer Sicherheit von 95 % schätzen möchte, kann man hierfür an das oben verwendete Gedankenexperiment für die Einführung der Stichprobenverteilung ( fi Kap. 6.3) anschließen: Wenn man sehr viele Stichproben aus der Grundgesamtheit zieht und jeweils den Stichprobenanteil ermittelt, dann weiß man, dass diese normalverteilt sind und dass 95 % der Stichprobenanteile im Intervall [ P - 1,96 . P ; P + 1,96 . P ] liegen. Konstruiert man nun um jeden Stichprobenanteilswert p ein symmetrisches Intervall [p - 1,96 . P ; p + 1,96 . P ], so kann man dann erwarπ Abb. 6.7 6.5.2 Gedankenexperiment zur Einführung der Konfidenzintervalle 157 S C H Ä T Z E N <?page no="157"?> tistik für Soziologen(3)__[Druckten, dass 95 % der so konstruierten Konfidenzintervalle den Grundgesamtheitswert beinhalten und 5 % der Konfidenzintervalle nicht beinhalten. Die ABBILDUNG 6.7 zeigt 20 solcher Konfidenzintervalle als horizontale Linien. Die vertikale Linie kennzeichnet die Lage des unbekannten Anteilswertes in der Grundgesamtheit. 19 Konfidenzintervalle (95 % von 20) beinhalten , ein Konfidenzintervall (5 % von 20) beinhaltet nicht. Da praktisch nur eine Stichprobe vorliegt, die man zur Konstruktion eines Konfidenzintervalls heranziehen kann, sagt man, dass mit „einer Sicherheit von 95 %“ der Grundgesamtheitswert in dem Konfidenzintervall [p - 1,96 . P ; p + 1,96 . P ] enthalten ist. In Kurzschreibweise: KONF[untere Grenze; obere Grenze] = 0,95 TABELLE 6.5 stellt die Formeln für die Berechnung der Grenzen der 95 %-Konfidenzintervalle für ^ bzw. ^ zusammen. Will man ein anderes Konfidenzniveau als 95 % verwenden, dann benötigt man entsprechend ein anderes z-Quantil. Das z-Quantil für die Berechnung von Konfidenzintervallen ist: z 1 - ( a / 2) . Für ein Konfidenzniveau von 99 % ist a = 0,01, und man verwendet z 1 - 0.005 = z 0.995 = 2,58. Für die Intervallschätzung des arithmetischen Mittels fehlt im Normalfall die Kenntnis der Standardabweichung , die für die Berechnung des Stichprobenfehlers X benötigt wird. Dann erfolgt vor Berechnung des Konfidenzintervalls mit Hilfe der Stichprobendaten die Punktschätzung von , so dass damit dann ^ X berechnet werden kann. Die Breite von Konfidenzintervallen hängt von der Stichprobengröße ab. Da man mit einer größeren Stichprobe eine größere Informationsmenge hat, fallen die Konfidenzintervalle schmaler aus und sind daher informativer. Sie grenzen den zu schätzenden Grundgesamtheitswert besser ein. Beispiel: Anhand des ALLBUS soll der Anteil der erwerbstätigen Frauen (an allen Erwerbstätigen) in der deutschen Bevölkerung geschätzt werden. Der ALLBUS enthält 1624 erwerbstätige Personen, davon sind 726 erwerbstätige Frauen. In dieser Stichprobe ergibt sich damit ein Anteilswert von p = 726 : 1624 = 0,45. Der Stichprobenfehler P wird mit Tab. 6.5 Konfidenzintervall für: ^ ^ untere Grenze x z 0 : 975 X p z 0 : 975 P obere Grenze x + z 0 : 975 X p + z 0 : 975 P Berechnung der Konfidenzintervalle 158 Z U F A L L S S T I C H P R O B E N U N D S C H Ä T Z E N <?page no="158"?> Hilfe des Stichprobenkennwertes p geschätzt: _ P = ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 0,45 ð 1 0,45 Þ 1624 r = 0,0123 Für das 95 %-Konfidenzintervall ergeben sich folgende Intervallgrenzen: untere Grenze = 0,45 - 1,96 . 0,0123 = 0,4259 obere Grenze = 0,45 + 1,96 . 0,0123 = 0,4741 Man kann damit sagen, dass mit einer 95 %igen Sicherheit der Anteilswert der erwerbstätigen Frauen an allen Erwerbstätigen zwischen 42,59 % und 47,41 % liegt. In Kurzschreibweise: KONF[0,4259; 0,4741] = 0,95 Die für die Punktschätzung angeführten Gütekriterien lassen sich auch auf die Intervallschätzung beziehen. Konfidenzintervalle sind exakt, wenn (bei wiederholter Berechnung mit verschiedenen Zufallsstichproben) 100 . (1 - a )% von ihnen den zu schätzenden Grundgesamtheitswert tatsächlich beinhalten. Exakte Konfidenzintervalle sind unverzerrt (engl. „unbiased“). Kann man Konfidenzintervalle auf verschiedene Weise konstruieren, so ist - bei gegebenem Konfidenzniveau und gegebener Stichprobengröße - die Schmalheit (engl. „narrowness“) ein Gütekriterium, das für den Vergleich herangezogen werden kann. Schmalere Konfidenzintervalle sind informativer. Bei kleinen Stichprobenumfängen und wenn man für die Berechnung des Stichprobenfehlers X punktschätzen muss, sind Konfidenzintervalle, die mit t-Quantilen anstatt z-Quantilen konstruiert werden, die exakteren Konfidenzintervalle. Aber auch hier sind ab n = 100 die Unterschiede praktisch zu vernachlässigen. Gewichtungen und praktische Probleme In der Statistikliteratur werden zumeist einfache Zufallsstichproben angenommen bzw. herangezogen, sie sind in der Sozialforschung aber die Ausnahme. Hier sind komplexe Zufallsstichproben der Normalfall. Dies hat Konsequenzen für Punktschätzungen und die Berechnung von Stichprobenfehlern. Für die statistische Praxis in der Sozialforschung (Datenanalyse) können sich zudem Probleme stellen, die mit der Befragung als dem wichtigsten Datenerhebungsverfahren und Personen als den typischen Merkmalsträgern sozialwissenschaftlicher Untersuchun- Gütekriterien der Intervallschätzung 6.6 159 G E W I C H T U N G E N U N D P R A K T I S C H E P R O B L E M E <?page no="159"?> tistik für Soziologen(3)__[Druckgen zusammenhängen: zufällig ausgewählte Personen sind nicht immer bereit, einzelne Fragen zu beantworten oder überhaupt an einer Befragung teilzunehmen. Design-Gewichtungen Bei komplexen Zufallsstichproben werden Gewichtungen eingesetzt, die berücksichtigen sollen, dass die gezogenen Fälle unterschiedliche Auswahlchancen hatten, in die Stichprobe zu gelangen. Für disproportionale Stichproben sind die Gewichtungen einfach durchzuführen, indem man die Fälle mit einem zur Auswahlchance reziproken Gewicht in die statistischen Berechnungen eingehen lässt. Da bei komplexen Zufallsstichproben diese Unterschiedlichkeit der Auswahlchance auf das Stichprobendesign zurückzuführen ist, heißen die Gewichtungen, die dieses Stichprobendesign „korrigieren“ sollen, Design-Gewichtungen. Sie können - zumindest prinzipiell - im Voraus ermittelt werden, wenn die Auswahlchancen für die einzelnen Fälle auf den jeweiligen Stufen bzw. in den jeweiligen Schichten vorab bekannt sind. Beispiel: Im ALLBUS 2002 sind die Westdeutschen und die Ostdeutschen disproportional enthalten. Wenn Auswertungen der ALLBUS-Daten bevölkerungsweit aussagekräftig sein sollen, müssen die Ost- und Westdeutschen mit unterschiedlicher Gewichtung in die Auswertung eingehen. Man muss also die Überrepräsentation der Ostdeutschen und die Unterrepräsentation der Westdeutschen durch einen personenbezogenen Gewichtungsfaktor rechnerisch korrigieren. Diesen Gewichtungsfaktor kann man als Variable (Personenbezogenes Ost-West-Gewicht, v719) im Datensatz ALLBUS 2002 finden. Dann „schaltet“ man die Gewichtung vor der Durchführung von statistischen Berechnungen durch die Statistiksoftware ein, so dass die einzelnen Fälle ihrem Gewicht entsprechend in die Berechnungen eingehen. Die Gewichtung lässt die einzelnen Befragten also nicht mit einem Gewicht von 1 in Rechnungen eingehen. Da die Ostdeutschen überrepräsentiert sind, gehen sie mit einem kleineren Gewicht ein (der Gewichtungsfaktor ist ca. 0,60), während die Westdeutschen, die unterrepräsentiert sind, mit einem größeren Gewicht eingehen (der Gewichtungsfaktor ist ca. 1,18). Mit Hilfe solcher Design-Gewichte kann man (wenn keine anderen verzerrenden Einflüsse vorliegen) erwartungstreue Punktschätzungen für metrische Maßzahlen in der Grundgesamtheit erreichen. Zudem sind die kategorialen Variablen in der Stichprobe univariat proportional verteilt zu der entsprechenden Verteilung in der Grundgesamtheit. Bei komplexen Zufallsstichproben sind die Stichprobenfehler anders als bei einfachen Zufallsstichproben zu berechnen. Damit liegt ein zweites Problem vor, das durch solche fallbezogenen Gewichte nicht korrigiert Design-Gewichtung soll unterschiedliche Auswahlchancen ausgleichen 160 Z U F A L L S S T I C H P R O B E N U N D S C H Ä T Z E N <?page no="160"?> werden kann. Die Berechnung der validen Stichprobenfehler ist heutzutage mit den gängigen Statistik-Programmen möglich. (Dafür müssen im Datensatz Variablen enthalten sein, die für jeden Fall die Information abbilden, welchen Stufen bzw. Schichten die Fälle im Auswahlvorgang zugehört haben und welche Auswahlchancen jeweils vorlagen. Dies ist bislang aber die Ausnahme für die Datensätze, die der Sozialforschung zur Verfügung stehen.) Eine Design-Gewichtung, die nur fallbezogen gewichtet, reicht also bei komplexen Zufallsstichproben nicht aus. Die Folge ist, dass die Stichprobenfehler unterschätzt werden, d. h., sie fallen in den Berechnungen tendenziell zu klein aus. Damit geraten Konfidenzintervalle bei komplexen Zufallsstichproben ebenfalls tendenziell zu klein. In der Praxis werden überwiegend Formen komplexer Zufallsstichproben verwendet, was die Berechnung der Auswahlchancen und die für deren Angleichung verwendeten Design-Gewichtungen aufwändiger werden lässt. Zudem kann es vorkommen, dass die Auswahlchancen sich im Nachhinein nicht mehr berechnen lassen oder dass sie von vornherein nicht ermittelbar waren. (Zum Beispiel, weil keine Auflistung der Personen einer Grundgesamtheit zur Verfügung stand und die Grundgesamtheit damit vorab zwar definierbar war, ihre exakte Größe aber nicht bekannt war.) Redressment Eine Gewichtung, die im Nachhinein die Verteilungen in Stichproben an die Grundgesamtheit anzupassen versucht, heißt Redressment oder auch Randanpassung. Für das Redressment werden mehrere soziodemografische Merkmale herangezogen, für die die Verteilung in der Grundgesamtheit bekannt sein muss. Als Referenzstatistik dient dabei in der Regel der Mikrozensus. Mit den Mikrozensus-Daten lassen sich die Häufigkeiten der Merkmalskombinationen der herangezogenen soziodemografischen Variablen errechnen. Für diese (mehrdimensionale) Verteilung wird dann eine Gewichtung erstellt, mit der die Verteilungen in der zu gewichtenden Stichprobe an den Mikrozensus angepasst werden. Das Redressment ist eine häufige Anpassungsstrategie. Die Grundüberlegung ist, dass eine Anpassung einer Stichprobe an ausgesuchte soziodemografische Merkmale der Grundgesamtheit auch dazu führt, dass untersuchungsrelevante Merkmale in der Stichprobe nun ebenfalls „repräsentativ“ verteilt sind. Für die untersuchungsrelevanten Variablen hat man ja zumeist die Information nicht, wie diese in der Grundgesamtheit verteilt sind (was eben der Grund der Stichprobenziehung ist). Diese Überlegung muss voraussetzen, dass es einen engen statistischen Zusammenhang zwischen den für das Redressment herangezoge- Korrekte Stichprobenfehler können berechnet werden Redressment versucht Anpassung im Nachhinein Voraussetzung für Redressment 161 G E W I C H T U N G E N U N D P R A K T I S C H E P R O B L E M E <?page no="161"?> tistik für Soziologen(3)__[Drucknen Variablen und den anderen untersuchungsrelevanten Variablen gibt. In Simulationen hat sich jedoch gezeigt, dass die Annahme eines solchen Zusammenhangs nicht zutreffen muss. Nonresponse Unter realen Bedingungen können Probleme auftreten, die zu einer kontroversen Diskussion geführt haben, ob überhaupt Gewichtungen verwendet werden sollen bzw. können. Dazu zählt das Problem der Befragungsausfälle. Diese Ausfälle heißen Nonresponse. Der Anteil der nicht realisierten Befragungen an den vorgesehen Befragungen heißt Nonresponsequote oder Ausfallquote. (Der Anteil der zustande gekommenen Befragungen an den vorgesehenen Befragungen ist die Ausschöpfungsquote.) Ausfälle haben verschiedene Ursachen. Die meisten Ausfälle kommen dadurch zustande, dass Personen, die Teil der Zufallsstichprobe sind, die Teilnahme an der Befragung verweigern. Weitere Ausfallgründe sind Krankheit oder die Nichterreichbarkeit von zu befragenden Personen. Dabei wird unterschieden zwischen vollständigen Ausfällen (Unit-Nonresponse) und dem selektiven Fehlen (Ausfall) von Antworten zu einzelnen Fragen (Item-Nonresponse). Nonresponse führt zunächst einmal zur Reduzierung der Fallzahlen. Problematisch an Nonresponse ist dabei nicht unbedingt die Höhe der Nonresponse-Quote, sondern die Frage, ob die Ausfälle systematisch erfolgen oder ob sie zufällig sind. Zufällig sind Ausfälle, wenn die Chancen für Ausfälle nicht mit bestimmten Merkmalen zusammenhängen. Systematisch erfolgen Ausfälle dann, wenn das Gegenteil der Fall ist. So kann es sein, dass die Ausfälle aufgrund von Nichterreichbarkeit bei berufstätigen Personen höher ausfallen als bei nicht berufstätigen Personen. Ist dieses Merkmal untersuchungsrelevant oder korreliert es mit untersuchungsrelevanten Merkmalen, ist die Folge eine systematische Verzerrung („Bias“). Die Verzerrungen, die aufgrund von Nonresponse zustande kommen, können gravierend sein, und sie stellen wohl die größte Fehlerquelle bei der Inferenz von Stichproben auf Grundgesamtheiten dar. Nonresponse sollte nicht ignoriert werden, wenn nicht begründet werden kann, dass die Ausfälle zufällig sind. Denn dann liegen systematische Einflüsse für das Ausfallen vor. Eine einfache Maßnahme, festzustellen, ob gravierende Verzerrungen durch Nonresponse vorliegen, ist der Abgleich soziodemografischer Verteilungen in der Stichprobe mit den entsprechenden Verteilungen eines Referenzdatensatzes (wie dem Mikrozensus). Diese Strategie heißt Nettovalidierung. Diese einfache Strategie kann aber nur dazu dienen, grobe Abweichungen der Stichprobenverteilungen von denen der abzubildenden Grundgesamtheit zu identifizieren, und sie ist keine Versicherung gegen vorliegende Verzerrungen. Mit ihr ist aber Gründe für Nonresponse Folgen von Nonresponse Vergleich mit Referenzstatistik 162 Z U F A L L S S T I C H P R O B E N U N D S C H Ä T Z E N <?page no="162"?> feststellbar, für welche Gruppen die Abweichungen gravierend sind, und man kann Hinweise über die Mechanismen erhalten, die für Ausfälle verantwortlich sind. Um fehlende Daten zu schätzen und zu ersetzen, können Korrekturverfahren angewandt werden, die Informationen über Ausfallgründe heranziehen. Dieses Verfahren nennt man Imputation. Die Verwendung von Redressments zur Korrektur von Nonresponse-Problemen wird von vielen Sozialforschern kritisch beurteilt, wenn die Mechanismen, die zu den Ausfällen geführt haben, nicht bekannt sind und wenn keine theoretische Fundierung vorliegt, die begründen kann, warum die Anpassung an einige (soziodemografische) Merkmale den Datensatz auch hinsichtlich anderer untersuchungsrelevanter Merkmale „verbessern“ kann. Grundlegender ist, sich um die Verbesserung des Datenerhebungsprozesses zu bemühen, was nicht nur bedeutet, die Ausschöpfungsquote zu erhöhen, sondern auch während der Datenerhebung Informationen über verbleibende Systematiken des Ausfalls zu sammeln. Für die statistische Auswertung von Daten ist die Kenntnis der konkreten vorangehenden Forschungsphasen eine wichtige Voraussetzung. Dies nicht nur, um mit den Operationalisierungen der Merkmale zu Variablen und dem Stichprobendesign vertraut zu sein, sondern auch um die in der Datenerhebungsphase aufgetretenen Probleme und ihre Folgen für die Datenqualität (bei den Befragungen: Ausfallquoten, Systematiken dafür etc.) einschätzen zu können. Insgesamt muss man einschätzen können, welche Aussagen mit welcher Genauigkeit der statistischen Analyse die vorlaufende Datenerhebungsphase ermöglichen kann. Kenntnis der vorangehenden Forschungsphasen ist Voraussetzung für Datenanalyse 163 G E W I C H T U N G E N U N D P R A K T I S C H E P R O B L E M E <?page no="163"?> Testen Inhalt 7.1 z-Test des Anteilswertes 7.2 z-Test des arithmetischen Mittels 7.3 Fehler erster und zweiter Art 7.4 2 -Unabhängigkeitstest 7.5 t-Test des Korrelationskoeffizienten 7.6 Allgemeine Vorgehensweise 7.7 Unterschied zwischen Schätzen und Testen In diesem Kapitel wird die Grundlogik der klassischen Testtheorie eingeführt. Diese wurde in den 1930er Jahren von Jerzy Neyman (1894-1981) und E GON S. P EAR S ON (1895-1980) entwickelt und bildet das erste vollständige Prozedere für das statistische Prüfen von Hypothesen. Sie ist bis heute dafür das Grundmodell geblieben und heißt auch Neyman-Pearson- Ansatz. Das Anliegen von N E YMAN und P EAR S ON war, eine Entscheidungsregel für oder gegen eine Hypothese über die Grundgesamtheit zu entwickeln. Eine Hypothese über die Grundgesamtheit soll anhand eines Tests entweder verworfen oder beibehalten werden. Die Datengrundlage, um die Entscheidung über eine Hypothese zu fällen, ist wieder eine einzige Zufallsstichprobe. In diesem Kapitel werden vier Tests vorgestellt, zwei z-Tests (für den Anteilswert und das arithmetische Mittel) und zwei Tests für bivariate Zusammenhänge (zwischen kategorialen bzw. metrischen Variablen). Danach wird die allgemeine Vorgehensweise des Testens vorgestellt, und abschließend werden das Schätzen ( fi Kap. 7.7) und das Testen miteinander verglichen. 7 Neyman-Pearson-Ansatz als Entscheidungsregel 164 <?page no="164"?> z-Test des Anteilswertes Der z-Test des Anteilswertes prüft eine Hypothese über einen Anteilswert in der Grundgesamtheit. Vorausgesetzt wird, dass die Prüfung der Hypothese anhand einer Stichprobe erfolgt, die ausreichend groß ist, so dass die Stichprobenverteilung von P einer Normalverteilung N( P ; P ) folgt ( fi Kap. 6.3) . Das folgende Beispiel veranschaulicht die vier Schritte des z-Tests. (1) Hypothesen Beispiel: Es wird behauptet, dass 60 % aller Schüler ein Mobiltelefon besitzen, d. h., behauptet wird ein Anteilswert in der Grundgesamtheit von = 0,6. Diese Hypothese wird im Folgenden die Nullhypothese, kurz: H 0 , genannt. Die Gegenhypothese dazu ist die Alternativhypothese, kurz: H 1 . Man sagt, dass der Anteilswert in der Grundgesamtheit sich von 0,6 unterscheidet. Formal: H 0 : = 0,6 und H 1 : „ 0,6. Nun wird vorläufig unterstellt, dass die Nullhypothese die Grundgesamtheit (das sind alle Schüler) richtig beschreibt, dass also der Prozentsatz von 60 % in der Grundgesamtheit zutrifft. Zu einem späteren Zeitpunkt soll eine Zufallsstichprobe aus der Gesamtheit aller Schüler gezogen werden. Vorab weiß man aber bereits, wie groß die Stichprobe sein soll. In diesem Beispiel sollen 100 Schüler zufällig ausgewählt werden. (2) Stichprobenverteilung Aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes kann man sagen, dass sich die Anteilswerte aus Zufallsstichproben normalverteilen. Da der Stichprobenumfang von n = 100 bekannt ist und man vorläufig davon ausgeht, dass die H 0 zutrifft, hat man nun alle notwendigen Informationen zur Verfügung, um die expliziten Parameter der Stichprobenverteilung zu bestimmen: p = 0,6 und P = ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 0,6 ð 1 0,6 Þ 100 r = 0,0490 Die Verteilung des Stichprobenanteilswertes P folgt N(0,6; 0,0490). Wichtig ist, sich (noch einmal) zwei Aspekte bewusst zu machen: (1) Da aus Zufallsgründen Stichprobenanteilswerte möglich sind, die von 0,6 abweichen, liegt eine Streuung der Stichprobenanteilswerte vor, auch dann, wenn die H 0 als Beschreibung der unbekannten Grundgesamtheit tatsächlich zutrifft. Eben deswegen spricht man von dem Stichproben- 7.1 Nullhypothese und Alternativhypothese 165 Z - T E S T D E S A N T E I L S W E R T E S <?page no="165"?> tistik für Soziologen(3)__[Druckkennwert als einer Zufallsvariablen und deswegen leitet man die zugehörige Stichprobenverteilung her. (2) Die Stichprobenverteilung kann man herleiten, ohne bereits eine Stichprobe gezogen zu haben. Denn für die Ermittlung der expliziten Parameter fließen nur theoretische bzw. hypothetische Überlegungen ein. (3) Annahme- und Rückweisungsbereich Stichprobenanteilswerte, die nur moderat von dem behaupteten Grundgesamtheitswert = 0,6 abweichen, werden als gut vereinbar mit der H 0 angesehen. Sollte sich also ein Stichprobenanteil „in der Nähe“ von 0,6 einstellen, so wird entschieden, dass dann die H 0 beibehalten wird. Was könnte nun Anlass dafür geben, dass man die H 0 verwirft und stattdessen die Alternativhypothese H 1 annimmt? Man sagt, dass gegen die H 0 solche Stichprobenanteilswerte sprechen, die so stark von 0,6 abweichen, dass sie unter der vorläufigen Annahme der H 0 nur eine sehr kleine Auftrittschance haben. Diese - aus Sicht der H 0 - extremen Stichprobenanteile liegen sehr weit links und sehr weit rechts von 0,6 entfernt. Was ist nun „moderat“ und was „extrem“? Für die Festlegung zieht man eine Wahrscheinlichkeit heran. Denn mit Hilfe der Stichprobenverteilung kann man Auftrittschancen berechnen, d. h. Wahrscheinlichkeiten angeben. Diese werden durch die Flächen unter der Kurve für die Stichprobenverteilung repräsentiert. Nun muss noch festgelegt werden, was genau eine kleine Auftrittschance für die extremen Stichprobenanteile ist. Diese Festlegung erfolgt konventionell, indem man ein bestimmtes Wahrscheinlichkeitsniveau - üblicherweise 5 % - verwendet. Dieses Niveau heißt Signifikanzniveau, es wird mit SN oder a abgekürzt. Man kann nun mit diesem Signifikanzniveau die Stichprobenverteilung in zwei Bereiche einteilen: den Annahmebereich und den Rückweisungsbereich. Der Annahmebereich, kurz: A 0 , umfasst die möglichen Stichprobenkennwerte, die mit der H 0 vereinbar sind, während der Rückweisungsbereich, kurz: R 0 , diejenigen Stichprobenkennwerte umfasst, die gegen die H 0 sprechen. Die Einrichtung dieser beiden Bereiche erfolgt vor der Stichprobenziehung (zumindest vor ihrer Auswertung), und sie entspricht auch einer Festlegung, wie man sich in zwei sich ausschließenden Situationen entscheiden wird: Wenn der Stichprobenkennwert in den A 0 fällt, dann wird die H 0 beibehalten, wenn der Stichprobenkennwert dagegen in den R 0 fällt, dann wird die H 0 verworfen. Die Dichotomisierung der möglichen Realisationen des Stichprobenkennwertes ermöglicht die Entscheidung für oder gegen die H 0 . Die ABBILDUNG 7.1 veranschaulicht die Entscheidungsregel anhand der Einrichtung von Annahme- und Rückweisungsbereich. Gegen die H 0 sprechen „extreme“ Stichprobenkennwerte Größe des Signifikanzniveaus wird durch Konvention festgelegt Dichotomisierung in A 0 und R 0 166 T E S T E N <?page no="166"?> Da sowohl extrem kleine als auch extrem große Stichprobenkennwerte gegen die H 0 sprechen, ist der Rückweisungsbereich R 0 zweigeteilt. Man spricht in diesem Fall von einem zweiseitigen z-Test. Über jedem der beiden Teile von R 0 liegen 2,5 % der Fläche unter der Kurve für die Verteilung von P. Über dem Annahmebereich liegen 95 % der Fläche. Die beiden p-Werte, die den Annahmebereich vom Rückweisungsbereich trennen, sind die Rückweisungswerte p r1 und p r2 . (Sie gehören beide noch zum R 0 ). In der ABBILDUNG 7.1 ist auch eine Z-Achse eingetragen. Hier sind sozusagen zwei Normalverteilungen für N(0,6; 0,0490) und für N(0; 1) „übereinander geplottet“ (indem ihre Größen grafisch etwas gestaucht bzw. gestreckt wurden). Auf der Z-Achse liegen die z-Werte, die den p-Werten korrespondieren. Man erkennt, dass p r1 dem z-Wert z r1 = -1,96 und dass p r2 dem z-Wert z r2 = +1,96 entspricht. Diese beiden z-Werte sind ebenfalls Rückweisungswerte, da sie genauso den Rückweisungsbereich kennzeichnen wie p r1 und p r2 . Die Berechnung der Rückweisungswerte p r1 und p r2 erfolgt bei einem Signifikanzniveau von 5 % allgemein nach den Formeln: p r1 = z 0 : 975 P und p r2 = + z 0 : 975 P (Diese Formeln ergeben sich, wenn man die Formel für die z-Standardisierung nach p umstellt.) In diesem Fall ergeben sich die Werte: p r1 = 0,6 - 1,96 . 0,0490 = 0,504 und p r2 = 0,6 + 1,96 . 0,0490 = 0,696 p r2 = 0,696 μ P = 0,6 P N (0,6; 0,0490) Rückweisungsbereich R 0 Rückweisungsbereich R 0 Z 2,5% 2,5% p r1 = 0,504 z r1 = -1,96 Annahmebereich A 0 z r2 = 1,96 0 Abb. 7.1 zweiseitiger Test 167 Z - T E S T D E S A N T E I L S W E R T E S <?page no="167"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- Man kann mit diesen Rückweisungswerten die Wahrscheinlichkeit zum Ausdruck bringen, dass ein Stichprobenanteilswert in den Rückweisungsbereich fällt. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Stichprobe aus der (durch die H 0 zutreffend beschriebenen) Grundgesamtheit einen Anteilswert aufweist, der kleiner/ gleich 0,504 oder größer/ gleich 0,696 ist, ist jeweils 2,5 %: P(P £ 0,504) = 0,025 und P(P ‡ 0,696) = 0,025. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Stichprobe aus der (durch die H 0 zutreffend beschriebenen) Grundgesamtheit einen Anteilswert aufweist, der in den Annahmebereich A 0 fällt, ist entsprechend: P(0,504 < P < 0,696) = 0,95 (4) Auswertung der Stichprobe und Testentscheidung Nachdem Annahme- und Rückweisungsbereich eingerichtet wurden, kann man die Stichprobe ziehen und auswerten, d. h. den Anteilswert in der Stichprobe berechnen und feststellen, in welchen der beiden Bereiche dieser fällt. Damit ist die Entscheidung verbunden für die Rückweisung der H 0 (wenn p in den R 0 fällt) bzw. die Beibehaltung der H 0 (wenn p in den A 0 fällt). In diesem Beispiel möge sich ergeben, dass von den 100 Schülern 52 ein Mobiltelefon besitzen. Es liegt somit ein Anteilswert in der Stichprobe von p = 0,52 vor. Damit ist die Entscheidung verbunden, die H 0 nicht zu verwerfen und diese weiterhin als zutreffende Beschreibung für die Grundgesamtheit anzusehen. Man sagt nun: „Der Stichprobenbefund ist nicht signifikant“, die Nullhypothese kann nicht verworfen werden. Man geht nun bis auf weiteres davon aus, dass 60 % der Schüler in der Grundgesamtheit ein Mobiltelefon besitzen. Man hätte diese Testentscheidung auch erhalten, wenn man den Stichprobenbefund p = 0,52 z-standardisiert hätte und den erhaltenen z-Wert mit z r1 und z r2 verglichen hätte. Als z-Wert ergibt sich: z = p P P = 0,52 0,6 0,0490 = 1,63 Dieser z-Wert liegt im Annahmebereich, da -1,96 < -1,63 < +1,96 ist. Man kann also den Test „auf zwei Achsen“ durchführen: Entweder man berechnet die Rückweisungswerte p r1 und p r2 auf der P-Achse und vergleicht dann den Stichprobenanteilswert p damit oder man z-standardisiert den Stichprobenanteilswert und vergleicht ihn mit z r1 und z r2 . Stichprobenbefund „nicht signifikant“ 168 T E S T E N <?page no="168"?> z-Test des arithmetischen Mittels Der z-Test des arithmetischen Mittels prüft eine Hypothese über das arithmetische Mittel eines metrischen Merkmals in der Grundgesamtheit. Um die Prüfung dieser Hypothese mit einem z-Test durchzuführen, wird vorausgesetzt, dass der Stichprobenumfang mindestens n = 30 beträgt, so dass nach dem zentralen Grenzwertsatz die Stichprobenverteilung von X der Normalverteilung N( X ; X ) folgt. (1) Hypothesen Beispiel: Es wird behauptet, dass Schüler im Durchschnitt 60 Minuten täglich für ihre Schulaufgaben verwenden. Diese Hypothese soll geprüft werden. Anhand eines z-Tests für das arithmetische Mittel ist eine Entscheidung zwischen der Nullhypothese und der Alternativhypothese zu treffen. Letztere besagt, dass in der Grundgesamtheit der Schüler die durchschnittliche Zeit für die Hausaufgaben sich von 60 Minuten unterscheidet. Formal: H 0 : = 60 und H 1 : „ 60 Gezogen werden soll eine Stichprobe vom Umfang n = 100. (2) Stichprobenverteilung Vorläufig wird unterstellt, dass die H 0 in der Grundgesamtheit zutrifft, so dass die Stichprobenverteilung ermittelt werden kann. Hier ist das Problem zu lösen, dass für den Stichprobenfehler des Stichprobenmittelwertes X die Standardabweichung des Merkmals X in der Grundgesamtheit bekannt sein muss. Da zumeist nicht bekannt ist, wird diese Maßzahl kurzerhand aus der Stichprobe mit s geschätzt. Der Stichprobenfehler ist damit: ^ X = ^ ffiffiffi n p wobei ^ = s = ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1 n 1 X i ð x i x Þ 2 s Diese Schätzung ist zulässig, weil sie nicht den zu testenden Wert schätzt. Die aus der Stichprobe vorab ermittelte Standardabweichung möge s = 40 Minuten ergeben haben, und so ist ^ = 40. Damit liegen alle Informationen für die Ermittlung der expliziten Parameter vor: X = 60 und ^ X = 40 ffiffiffiffiffiffiffi 100 p = 4 7.2 169 Z - T E S T D E S A R I T H M E T I S C H E N M I T T E L S <?page no="169"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- Unter der Annahme, dass die H 0 in der Grundgesamtheit zutrifft, folgen die Stichprobenmittelwerte N(60; 4). (3) Annahme- und Rückweisungsbereich Aus Zufallsgründen können die Stichprobenanteilswerte von dem behaupteten Grundgesamtheitswert = 60 abweichen, selbst dann, wenn die H 0 zutrifft. Wenn die Stichprobenmittelwerte nur moderat abweichen, wird die H 0 beibehalten. Wenn die Abweichungen aber groß sind, dann soll die H 0 verworfen werden. Bei einem Signifikanzniveau von SN = 5 % bilden die 5 % der möglichen Stichprobenmittelwerte, die extrem größer oder extrem kleiner als x = 60 sind, den zweigeteilten Rückweisungsbereich R 0 . In der ABBILDUNG 7.2 sind diese links und rechts gekennzeichnet. In der Mitte liegt der Annahmebereich A 0 mit den möglichen Stichprobemittelwerten, die als mit der H 0 vereinbar angesehen werden. Die Rückweisungswerte x r1 und x r2 werden berechnet mit den Formeln: x r1 = z 0 : 975 X und x r2 = + z 0 : 975 X In diesem Fall sind die Rückweisungswerte damit: x r1 = 60 1,96 4 = 52,16 und x r2 = 60 + 1,96 4 = 67,84 Trifft die H 0 in der Grundgesamtheit zu, dann sind die Wahrscheinlichkeiten für Stichprobenmittelwerte im Rückweisungsbereich: Abb. 7.2 N (60; 4) Rückweisungsbereich R 0 Rückweisungsbereich R 0 Z 2,5% 2,5% z r1 = -1,96 Annahmebereich A 0 z r2 = 1,96 0 X x r2 = 67,84 μ x = 60 x r1 = 52,16 170 T E S T E N <?page no="170"?> P( X £ 52,16) = 0,025 und P( X ‡ 67,84) = 0,025 Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Stichprobenmittelwert in den Annahmebereich fällt, ist: P(52,16 < X < 67,84) = 0,95 (4) Auswertung der Stichprobe und Testentscheidung In der Stichprobe von 100 Schülern möge sich eine durchschnittliche Zeit für die Hausaufgaben von 70 Minuten ergeben haben. Dieser Wert fällt in den Rückweisungsbereich, da 70 ‡ 67,84 ist. Die Testentscheidung ist, dass die H 0 verworfen wird. Man sagt: „Der Stichprobenbefund ist signifikant“. Man nimmt daher nun an, dass die Alternativhypothese in der Grundgesamtheit zutrifft. Man kann also davon ausgehen, dass die Zeit für die Hausaufgeben in der Grundgesamtheit aller Schüler nicht 60 Minuten beträgt, sondern davon abweicht. Auch hier hätte man den gleichen Testbefund erhalten, indem man den Stichprobenbefund z-standardisiert hätte: z = x X X = 70 60 4 = 2,5 Da z ‡ z r2 ist, liegt der z-Wert im Rückweisungsbereich. Bemerkung: die beiden z-Tests sind hier als zweiseitige Tests eingeführt worden. Ein Test ist immer dann ein zweiseitiger Test, wenn sowohl sehr große als auch sehr kleine Stichprobenkennwerte inhaltlich gegen die H 0 sprechen und zu ihrer Verwerfung führen können. Ein z-Test wird dagegen als ein einseitiger Test durchgeführt, wenn eine H 0 zu testen ist, die behauptet, dass in der Grundgesamtheit eine statistische Maßzahl kleiner oder größer ausgeprägt ist als ein bestimmter Wert. Wenn die Nullhypothese in dem Beispiel zum z-Test des arithmetischen Mittels anders formuliert wäre, nämlich: „In der Grundgesamtheit der Schüler beträgt die durchschnittliche täglich für Hausaufgaben verwendete Zeit weniger als 60 Minuten! “, dann würden nur sehr große Stichprobenkennwerte gegen die H 0 sprechen. Formal: H 0 : < 60. Die H 1 würde entsprechend lauten H 1 : ‡ 60. In diesem Fall wäre ein Rückweisungsbereich nur auf der rechten Seite der Stichprobenverteilung einzurichten. In der soziologischen Praxis finden sich fast ausschließlich zweiseitige z-Tests. Auch die noch einzuführenden t-Tests für den Korrelationskoeffizienten ( fi Kap. 7.5) und für die Regressionskoeffizienten ( fi Kap. 8.5.4) sind in der Praxis zweiseitige Tests. Es gibt aber Tests, die nur einseitige Tests sein können, wie der 2 -Test ( fi Kap. 7.4) und der F-Test des Determinationskoeffi- Stichprobenbefund „signifikant“ einseitige und zweiseitige Tests 171 Z - T E S T D E S A R I T H M E T I S C H E N M I T T E L S <?page no="171"?> tistik für Soziologen(3)__[Druckzienten ( fi Kap. 8.5.2) , da hier jeweils nur sehr große Stichprobenkennwerte (für 2 bzw. für F) gegen die H 0 sprechen. t-Test und z-Test Wenn der Stichprobenumfang n < 30 ist, ist statt des z-Tests der t-Test zu verwenden. Dann muss vorausgesetzt werden, dass das metrische Merkmal X in der Grundgesamtheit normalverteilt ist. Der t-Test ist bei größeren Stichprobenumfängen mit dem z-Test praktisch identisch. Dann geht die t-Verteilung in die Standardnormalverteilung über ( fi Kap. 6.2.2) . Wer einen z-Test des arithmetischen Mittels mit Hilfe einer Statistik-Software durchführen will, findet diesen dann häufig nur in Form des t-Tests. Fehler erster und zweiter Art Die Zielsetzung von N EYMAN und P EA R S ON bei der Entwicklung dieser Vorgehensweise des Testens war, jeden möglichen Stichprobenkennwert einer von zwei Testentscheidungen zuzuordnen und so über eine Hypothese aufgrund eines Stichprobenkennwertes statistisch zu entscheiden. Diese Strategie, Testentscheidungen zu treffen, ist jedoch nicht ohne Risiko. Man kann Fehler machen, wenn man im Rahmen des Testens die Nullhypothese verwirft, aber auch, wenn man sie beibehält. Jedes der beiden Testresultate ist mit dem Risiko für einen Fehler verknüpft. Die zwei möglichen Fehler nennt man Fehler erster Art, der auch a -Fehler genannt wird, und Fehler zweiter Art, der auch b -Fehler genannt wird. Man kann jeweils nur einen dieser beiden Fehler machen, je nachdem, welche Testentscheidung getroffen wurde. Fehler erster Art ( a -Fehler) Der Fehler erster Art besteht darin, irrtümlich die H 0 zu verwerfen, obwohl sie die Grundgesamtheit richtig beschreibt. Wie ist das möglich? Die eine Entscheidungsregel war: Die H 0 wird verworfen, wenn ein Stichprobenbefund in den R 0 fällt. Begründung: Dann wird es nicht als plausibel angesehen, dass die Stichprobe aus einer Grundgesamtheit stammt, die durch die H 0 richtig beschrieben wird. Aber selbst wenn die H 0 in der Grundgesamtheit zutrifft, ist es möglich, dass in wenigen und daher wenig wahrscheinlichen Fällen die Stichprobenkennwerte extrem von dem in der H 0 behaupteten Wert abweichen. Beispiel: Im z-Test des arithmetischen Mittels wurde die H 0 verworfen, wonach Schüler im Durchschnitt 60 Minuten täglich für ihre Schulaufgaben verwenden. Sollte der Durchschnittswert in der Grundgesamtheit tatsächlich = 60 betragen, so gibt es dennoch eine kleine Wahrscheint-Werte und z-Werte 7.3 Testentscheidungen und Fehler Fehler erster Art kann man nur begehen, wenn H 0 zutrifft 172 T E S T E N <?page no="172"?> lichkeit dafür, dass deutlich davon abweichende Stichprobenanteilswerte auftreten, die kleiner/ gleich 52,16 oder größer/ gleich 67,84 sind und damit im R 0 liegen. Diese Auftrittswahrscheinlichkeit ist genauso groß wie das Signifikanzniveau, also 5 %. Das ist nicht zufällig so, denn die „signifikant“ vom H 0 -Wert ( = 60) abweichenden Stichprobenanteile sprechen zwar intuitiv gegen die H 0 , sie sind aber mit eben dieser Wahrscheinlichkeit von genau 5 % möglich, wenn die H 0 in der Grundgesamtheit zutrifft. Das Signifikanzniveau wird aus diesem Grund auch Irrtumswahrscheinlichkeit genannt. Denn wenn die H 0 zutrifft, wird man in 5 % aller Hypothesentests den Irrtum begehen, diese zu verwerfen. Fehler zweiter Art ( b -Fehler) Den Fehler zweiter Art begeht man, wenn man irrtümlich die H 0 beibehält, obwohl sie in der Grundgesamtheit nicht zutrifft. Wie ist das möglich? Die andere Festlegung für eine Testentscheidung war: Wenn der Stichprobenbefund in den Annahmebereich fällt, wird die H 0 beibehalten. Beispiel: Man stelle sich vor, in Wirklichkeit sei der Anteil der Schüler, die ein Mobiltelefon besitzen, in der Grundgesamtheit von 0,6 verschieden. Damit wäre die H 0 in Wirklichkeit eine falsche Hypothese, und die H 1 wäre die zutreffende Hypothese. Nun ist es aus Zufallsgründen dennoch möglich, dass selbst wenn die H 1 ( „ 0,6) die Grundgesamtheit zutreffend beschreibt, ein Stichprobenanteilswert eintritt, der in den Annahmebereich für die H 0 (zwischen 50,4 % und 69,6 %) fällt. Dies hätte zur Folge, dass die H 0 nicht verworfen, sondern irrtümlich beibehalten würde. Der Fehler zweiter Art besteht also in dem Irrtum, die zutreffende H 1 nicht durch den Test zu erkennen und die H 0 beizubehalten. Vergleich der beiden Fehler Die beiden Fehler liegen in den zwei zu unterscheidenden Situationen vor, wenn man sich irrtümlich für eine falsche Hypothese entschieden hat. Ob man dies getan hat, kann man allerdings nicht wissen, da die Grundgesamtheit unbekannt ist (man hat ja nur Hypothesen über die Grundgesamtheit). Wissen kann man nach Durchführung des Tests nur, welchen der beiden Fehler man prinzipiell begangen haben kann: Bei Verwerfung der H 0 , kann man nur den Fehler erster Art, nicht aber den Fehler zweiter Art begangen haben. Und entsprechend kann man bei Beibehaltung der H 0 nur den Fehler zweiter Art, nicht aber den Fehler erster Art begangen haben. Die TABELLE 7.1 stellt die verschiedenen Situationen zusammen. Die Spalten unterscheiden sich danach, welche unbekannte Grundgesamtheit vorliegt. Die Reihen unterscheiden sich danach, was das Testergebnis und die damit verbundene Testentscheidung war. Fehler zweiter Art kann man nur begehen, wenn die H 0 falsch ist Man kann nur einen der beiden Fehler begehen 173 F E H L E R E R S T E R U N D Z W E I T E R A R T <?page no="173"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- Da man die Grundgesamtheit nicht kennt, weiß man im Grunde nicht, in welcher Spalte der TABELLE 7.1 man sich befindet. Nachdem die Testentscheidung getroffen wurde, weiß man aber, in welcher Reihe der TABELLE 7.1 man sich befindet. Berechnung des Fehlers zweiter Art Wie groß ist nun der Fehler zweiter Art? Man kann diesen anhand des Beispiels einmal berechnen. Da die Alternativhypothese in dem Beispiel für den z-Test des Anteilswertes eine globale Aussage über den Anteilswert in der Grundgesamtheit macht („der Anteilswert ist in der Grundgesamtheit ungleich 0,6! “) muss man zur Veranschaulichung willkürlich einen einzelnen Anteilswert für die Grundgesamtheit herausgreifen, um den Fehler zweiter Art für einen Wert berechnen und grafisch darstellen zu können. Angenommen, in Wirklichkeit wäre der Anteilswert in der Schülerschaft = 0,45. Dieser Wert widerspräche der H 0 und wäre in Übereinstimmung mit der H 1 . Man hat es nun mit einer anderen Stichprobenverteilung zu tun, wenn die H 1 zutrifft (für die hier der Wert = 0,45 stellvertretend herausgegriffen wurde), denn aus dieser Grundgesamtheit verteilen sich die Stichprobenanteile anders. Wie groß wäre nun die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man aus dieser Grundgesamtheit eine Zufallsstichprobe ziehen würde, die einen Anteilswert im Annahmebereich hätte? Die ABBILDUNG 7.3 stellt die Wahrscheinlichkeit für den Fehler zweiter Art dar. Dieser entspricht der Fläche, die über dem Annahmebereich für die H 0 und unter der Kurve der Stichprobenverteilung für die H 1 (hier durch einen Wert beispielhaft repräsentiert) liegt. Um den Flächeninhalt zu berechnen, muss man die gegebenen Rückweisungswerte p r1 und p r2 z-standardisieren, um dann die Wahrscheinlichkeit für den Fehler zweiter Art zu ermitteln. Zu beachten ist dabei, dass die beiden Stichprobenverteilungen unterschiedliche Mittelwerte p und unterschiedliche Stichprobenfehler p haben. Annahme- und Rückweisungsbereiche sind zwar unter Verwendung der rechten Vertei- Tab. 7.1 Was trifft in der unbekannten Grundgesamtheit zu? H 0 trifft zu H 1 trifft zu Was ist das Testergebnis? H 0 wird beibehalten richtige Entscheidung Fehler zweiter Art ( b -Fehler) H 0 wird verworfen Fehler erster Art ( a -Fehler) richtige Entscheidung Berechnung des Fehlers zweiter Art für einen beispielhaften H 1 -Wert 174 T E S T E N <?page no="174"?> lung in ABBILDUNG 7.3 eingerichtet worden. Jetzt ist über dem Annahmebereich aber eine Fläche zu berechnen, die unter der linken Verteilung liegt. Die Werte für p r1 sowie p r2 werden also nicht verändert, aber eine andere Verteilung wird herangezogen. Es ergeben sich für die linke Verteilung als explizite Parameter: p = 0,45 und p = ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 0,45 ð 1 0,45 Þ 100 q = 0,0497 Für die z-Standardisierung bedeutet das, dass der Wert 0,45 anstelle von 0,6 als Mittelwert p und für den Stichprobenfehler p der Wert 0,0497 anstelle von 0,0490 herangezogen werden müssen. Die Z-Achse bildet also die z-Werte ab, die mit den p-Werten der linken Normalverteilung N(0,45; 0,0497) korrespondieren. Jetzt kann man die neuen z-Werte, die auf die alternative Stichprobenverteilung bezogen sind, ausrechnen: z 1 = 0,504 0,45 0,0497 = 1,0865 und z 2 = 0,696 0,45 0,0497 = 4,9497 Nun muss man die Wahrscheinlichkeit für die z-Werte ermitteln, die zwischen z 1 = 1,0865 und z 2 = 4,9497 liegen. Dies ist zugleich die Wahrscheinlichkeit für den Fehler zweiter Art. Gesucht ist also: P(Fehler zweiter Art) = P(z 1 < Z < z 2 ) = P(1,0865 < Z < 4,9497) N (0,60; 0,0490) R 0 R 0 Z β -Fehler A 0 z 2 = 4,9497 z 1 = 1,0865 0 P μ P = 0,60 μ P = 0,45 N (0,45; 0,0497) Abb. 7.3 z-Standardisierung mit anderen expliziten Parametern 175 F E H L E R E R S T E R U N D Z W E I T E R A R T <?page no="175"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- Die Wahrscheinlichkeit kann man mit Hilfe der TABELLE 12.1 (Anhang) ermitteln. Dafür muss man die Fläche links von 4,497 und die Fläche links von 1,0865 ermitteln. Die Differenz dieser beiden Flächen ist die gesuchte Fläche, die der gesuchten Wahrscheinlichkeit entspricht. Der Fläche links von z = 4,9497 ist näherungsweise 100 % also 1. Die Fläche links von z = 1,0865 ist ca. 0,86. P(z 1 < Z < z 2 ) = P(Z < 4,9497) - P(Z < 1,0865) » P(Z < 4,9497) - P(Z < 1,08) » 1 - 0,86 = 0,14 Unter der Bedingung, dass in Wirklichkeit der Anteilswert von Mobiltelefonbesitzern in der Grundgesamtheit der Schülerschaft 0,45 beträgt, ist die Wahrscheinlichkeit, die H 0 irrtümlich beizubehalten, 14 %. Die Veranschaulichung für den Fehler zweiter Art ist damit für einen einzelnen Wert durchgeführt worden. Man kann diese Veranschaulichung aber mit dem gleichen Recht für alle anderen Werte durchführen, die durch die H 1 abgedeckt werden und erhielte damit jeweils verschiedene Resultate für den Fehler zweiter Art. Denn die Lage der alternativen Stichprobenverteilung würde sich jeweils ändern (ändern würde sich auch jeweils der Stichprobenfehler) und damit die Größe der Fläche unter der alternativen Stichprobenverteilung, die über dem Annahmebereich der H 0 liegt. Der Fehler zweiter Art wird umso kleiner sein, je weiter die beiden Verteilungen für H 0 und H 1 voneinander entfernt sind. Praktisch heißt dies, dass das Risiko, eine zutreffende Alternativhypothese nicht durch den Test zu erkennen, umso kleiner ist, je weiter der tatsächliche Grundgesamtheitswert von dem durch die H 0 behaupteten Wert entfernt ist. Der Fehler zweiter Art variiert also, während der Fehler erster Art immer konstant ist, da er durch Konvention festgelegt wurde. Testgüte Die Wahrscheinlichkeit, eine zutreffende Alternativhypothese zu erkennen, nennt man die Testgüte (engl. „power“). Ein guter Test soll bei einem möglichst niedrigen Signifikanzniveau eine möglichst hohe Testgüte aufweisen. Die Wahrscheinlichkeit, eine zutreffende H 0 zu verwerfen, soll möglichst gering sein, gleichzeitig soll die Wahrscheinlichkeit, eine zutreffende H 1 anzunehmen, möglichst hoch sein. Diese beiden Ziele sind allerdings gegenläufig: Eine Reduzierung des Signifikanzniveaus führt zu einer Reduzierung der Testgüte und umgekehrt. Man versucht also, eine Balance zu finden. Daher erklärt sich, dass man zumeist ein SN Fehler zweiter Art variiert Wahrscheinlichkeit, sich für eine zutreffende Alternativhypothese zu entscheiden 176 T E S T E N <?page no="176"?> von 5 %, seltener ein SN von 1 % verwendet. Die Testgüte kann man einfach berechnen, wenn man die Wahrscheinlichkeit für den Fehler zweiter Art bereits berechnet hat. Dann ist die Differenz zu 1 die Testgüte. Beispiel: In der ABBILDUNG 7.3 entspricht die Testgüte der Fläche unter der linken Kurve, die nicht schraffiert ist: 1 - P( b -Fehler). Da die Wahrscheinlichkeit für den Fehler zweiter Art ca. 14 % beträgt, ist die Testgüte hier ca. 86 %. Die Testgüte wurde beispielhaft für den Wert = 0,45 berechnet. Ordnet man allen durch die Alternativhypothese abgedeckten Werten für die Testgüte zu, erhält man die Testgütefunktion. Die Testgüte variiert mit dem H 1 -Wert. 2 -Unabhängigkeitstest Der 2 -Unabhängigkeitstest prüft die Nullhypothese, dass zwei kategoriale Variablen in der Grundgesamtheit statistisch voneinander unabhängig sind. Die Alternativhypothese lautet entsprechend, dass in der Grundgesamtheit die beiden Variablen statistisch zusammenhängen. Als Prüfgröße wird das Maß 2 von K AR L P EA R S ON herangezogen ( fi Kap. 4.2.5) . Trifft die H 0 in der Grundgesamtheit zu, dann ist in der Grundgesamtheit 2 = 0. Berechnet man dieses 2 -Maß für Zufallsstichproben aus dieser (durch die H 0 beschriebenen) Grundgesamtheit, dann folgen die 2 -Werte (näherungsweise) der mathematischen 2 -Verteilung. Für diese Verteilung sind ausgewählte 95 %-Quantile in der TA- BELLE 12.3 (Anhang) tabelliert. Auf die Unterscheidung zwischen der mathematischen 2 -Verteilung und der Maßzahl 2 von Pearson hinzuweisen, ist deshalb wichtig, weil es neben dem Pearson- 2 noch weitere 2 -Maße gibt, die ebenfalls (näherungsweise) der mathematischen 2 -Verteilung folgen. Dazu zählt das Likelihood- 2 (L 2 ) ( fi Kap. 9.5.1) . 2 -Verteilung Die mathematische 2 -Verteilung ist (wie die Normalverteilung oder die t-Verteilung) die Verteilung einer stetigen Variablen. Auch für die mathematische 2 -Verteilung gilt, dass mit dem Begriff eine ganze „Familie“ von Verteilungen bezeichnet wird. Der einzige explizite Parameter ist die Zahl der Freiheitsgrade df. Es gibt damit viele 2 -Verteilungen. Die ABBILDUNG 7.4 stellt drei verschiedene 2 -Verteilungen dar. Der Mittelwert der 2 -Verteilung ist = df. Die 2 -Verteilung geht mit wachsenden Freiheitsgraden in eine Normalverteilung über. Die möglichen 2 -Werte variieren im Spektrum von 0 bis ¥ . 7.4 2 -Verteilung als Stichprobenverteilung 177 2 - U N A B H Ä N G I G K E I T S T E S T <?page no="177"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- Schreibweise: Um zu spezifizieren, welche 2 -Verteilung vorliegt, wird die Zahl der Freiheitsgrade tiefer gesetzt angefügt: 2df . Zu klären ist nun, welche mathematische 2 -Verteilung für den 2 -Unabhängigkeitstest herangezogen wird. Diese wird anhand der Zahl der Freiheitsgrade bestimmt. Die Zahl der Freiheitsgrade hängt von der Größe der Kontingenztabelle ab und wird berechnet mit: df = (Zahl der Reihen - 1) . (Zahl der Spalten - 1) Ergibt sich in der Stichprobe ein 2 -Wert in der Nähe von 0, spricht dieser inhaltlich für die Beibehaltung der H 0 . Moderate Abweichungen von 0 werden als zufallsbedingte Abweichungen betrachtet. Ergibt sich in der Stichprobe dagegen ein sehr großer 2 -Wert, dann spricht dies inhaltlich eher dagegen, dass die H 0 in der Grundgesamtheit zutrifft. Verwendet man ein Signifikanzniveau von 5 %, dann legt man sich darauf fest, dass man sagt: Wenn ein so großer 2 -Wert in der Stichprobe vorkommt, dass er nur in 5 % (oder weniger) der Zufallsstichproben vorkommt, dann wird die H 0 verworfen. Der 2 -Unabhängigkeitstest ist immer ein einseitiger Test, d. h., der Rückweisungsbereich ist nicht zweigeteilt. Denn nur sehr große 2 -Werte sprechen inhaltlich gegen die H 0 . Der Rückweisungsbereich liegt rechts von dem Rückweisungswert 2df; 0.95 . Der Annahmebereich liegt links davon. Die Rückweisungswerte können aus der TABELLE 12.3 (Anhang) ermittelt werden. Beispiel: Das ALLBUS-Beispiel aus Kap. 4.2.5 soll hier nun inferenzstatistisch aufgegriffen werden. Die Fragestellung ist: Besteht in der Grundgesamtheit der erwachsenen deutschen Bevölkerung ein Zusammenhang zwischen der Religionszugehörigkeit (v321, reklassifiziert in vier Abb. 7.4 0,10 0 10 20 30 χ 2 5 χ 2 20 χ 2 10 χ 2 df Ein Rückweisungsbereich rechts vom Rückweisungswert 178 T E S T E N <?page no="178"?> Kategorien: kath., evang., andere Religion, keine Religion) und der Einteilung in West-/ Ostdeutschland (v3)? Der ALLBUS wird als einfache Zufallsstichprobe aus dieser Grundgesamtheit betrachtet. (1) Hypothesen H 0 : „Die Religionszugehörigkeit hängt in der Grundgesamtheit nicht mit der Einteilung in West- und Ostdeutschland zusammen! “ H 1 : „Es besteht in der Grundgesamtheit ein Zusammenhang zwischen der Religionszugehörigkeit und der Einteilung in West- und Ostdeutschland! “ (2) Stichprobenverteilung Da vier Kategorien für die Religionszugehörigkeit und zwei Kategorien für die Einteilung West-/ Ostdeutschland bestehen, folgen die 2 -Werte einer 2 -Verteilung mit: df = (4 - 1) . (2 - 1) = 3 Die Stichprobenverteilung ist damit 23 . (3) Annahme- und Rückweisungsbereich Der Test soll mit einem Signifikanzniveau von 5 % durchgeführt werden. Das 95 %-Quantil der 23 -Verteilung kann man der TABELLE 12.3 (Anhang) entnehmen: 23r = 7,815. (4) Auswertung der Stichprobe und Testentscheidung Der Stichprobenkennwert ist 2 3 ¼ 571; 18 . Damit fällt der Stichprobenkennwert in den Rückweisungsbereich, der Stichprobenbefund ist signifikant. Die H 0 muss verworfen werden. Man kann nun behaupten, dass in der Grundgesamtheit ein Zusammenhang zwischen Religionszugehörigkeit und der Einteilung in West-/ Ostdeutschland existiert. Die Stärke des Zusammenhangs in der Grundgesamtheit ist nicht Gegenstand des 2 -Unabhängigkeitstests. Wenn also die H 1 statt der H 0 (vorläufig) angenommen wird, dann ist damit keine Aussage über die Stärke des Zusammenhangs in der Grundgesamtheit möglich. Voraussetzung für die Anwendung des 2 -Unabhängigkeitstests ist, dass in der Indifferenztabelle der prozentuale Anteil der Erwartungswerte e ij , die kleiner als 5 sind, nicht mehr als 20 % ausmacht. 2 -Unabhängigkeitstest prüft keine Aussage über die Stärke des Zusammenhangs 179 2 - U N A B H Ä N G I G K E I T S T E S T <?page no="179"?> tistik für Soziologen(3)__[Druckt-Test des Korrelationskoeffizienten Der t-Test des Korrelationskoeffizienten r prüft die Nullhypothese, dass in der Grundgesamtheit zwei metrisch skalierte Merkmale voneinander statistisch unabhängig sind. Praktisch geprüft wird die Nullhypothese, dass der Korrelationskoeffizient in der Grundgesamtheit gleich 0 ist. Der Korrelationskoeffizient in der Grundgesamtheit wird mit dem griechischen Kleinbuchstaben (gr., kleines Rho) notiert. Die Hypothesen sind damit formal: H 0 : = 0 und H 1 : „ 0 Der t-Test für den Korrelationskoeffizienten ist ein zweiseitiger Test, da sowohl kleinere als auch größere Werte als 0 inhaltlich gegen die H 0 sprechen. Es handelt sich deshalb um einen t-Test, da die Stichprobenkorrelationen einer t-Verteilung folgen, wenn die H 0 in der Grundgesamtheit zutrifft. Die Stichprobenkorrelationen werden dafür nach folgender Gleichung in t-Werte umgerechnet: t df = r ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi n 2 1 r 2 r Die Zahl der Freiheitsgrade hängt von der Stichprobengröße ab und ermittelt sich mit df = n - 2. Damit folgen die Stichprobenkorrelationen der Verteilung t n-2 . Die t-Verteilung ist die exakte Verteilung, bei größeren Stichprobenumfängen entsprechen die t-Werte den Werten einer Standardnormalverteilung, also z-Werten. Die Voraussetzung für die Anwendung des t-Tests ist, dass die beiden metrischen Merkmale bivariat normalverteilt sind. Die beiden metrischen Variablen sollen also nicht je für sich in der Grundgesamtheit normalverteilt sein, sondern ihre Merkmalskombinationen sollen in den zwei Dimensionen simultan normalverteilt sein. Diese Voraussetzung lässt sich nicht einfach prüfen. Die (schlechte) statistische Praxis ist, dass diese Voraussetzung zumeist auch gar nicht geprüft wird. Beispiel: Im ALLBUS ist nach der Oben-Unten-Selbsteinstufung gefragt worden (v969). Die Skala ist metrisch erhoben worden und variiert im Bereich von 1 = „Oben“ bis 10 = „Unten“. Zudem ist erfragt worden, welche Bedeutung ein hoher Lebensstandard für den Befragten als anzustrebender Wert hat (v9). Die Bedeutung, die der Befragte diesem Wert beimisst, ist mit einer metrischen Skala, die im Bereich von 1 = „unwichtig“ bis 7 = „sehr wichtig“ variiert, erfragt worden. Der ALLBUS wird als eine Zufallsstichprobe aus der deutschen Bevölkerung betrachtet. Zudem wird hier vorausgesetzt, dass die bivariate Verteilung in der 7.5 Zweigeteilter Rückweisungsbereich t-Verteilung als Stichprobenverteilung Voraussetzung für den t-Test 180 T E S T E N <?page no="180"?> Grundgesamtheit ausreichend einer bivariaten Normalverteilung entspricht. (1) Hypothesen Es soll nun die Nullhypothese geprüft werden, dass in der Grundgesamtheit kein statistischer Zusammenhang zwischen den beiden Skalen vorliegt. Die Alternativhypothese besagt, dass doch ein statistischer Zusammenhang vorliegt. Formal: H 0 : = 0 und H 1 : „ 0 (2) Stichprobenverteilung Für 1350 Personen im Datensatz liegen die Ausprägungen bei beiden Skalen vor. Trifft die H 0 in der Gesamtheit der Deutschen zu, dann folgen die Stichprobenkorrelationen einer t-Verteilung mit df = 1350 - 2 = 1348. Bei diesen Freiheitsgraden entsprechen die Quantile der t-Verteilung ausreichend genau den Quantilen der z-Verteilung. (3) Annahme- und Rückweisungsbereich Der Test soll wieder mit einem Signifikanzniveau von 5 % durchgeführt werden. Die Rückweisungswerte sind also t r1 = -1,96 und t r2 = +1,96. Der Bereich zwischen diesen Werten ist der Annahmebereich. Ein t-Wert in diesem A 0 führt zur Beibehaltung der H 0 . Ein t-Wert, der kleiner/ gleich -1,96 oder größer/ gleich +1,96 ist, führt zur Verwerfung der H 0 und der Annahme der H 1 . (4) Auswertung der Stichprobe und Testentscheidung In der Stichprobe liegt eine Korrelation von r = -0,127 vor. Damit kann nun der korrespondierende t-Wert berechnet werden: t 1348 = ð 0,127 Þ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi 1350 2 1 ð 0,127 Þ 2 s = ð 0,127 Þ 37,01 = 4,7 Der Stichprobenbefund fällt in den Rückweisungsbereich und ist daher signifikant. Die H 0 muss verworfen werden. In der Grundgesamtheit liegt ein statistischer Zusammenhang zwischen der Oben-Unten-Selbsteinstufung und einem hohen Lebensstandard als Wert vor, d. h. „ 0. Auch der t-Test des Korrelationskoeffizienten prüft keine Aussage über die Größe der Korrelation in der Grundgesamtheit. Ist der Stichprobenbefund signifikant, ist damit nicht belegt, dass die Korrelation in der Grundgesamtheit groß ist. t-Test prüft keine Aussage über die Stärke des Zusammenhangs 181 T - T E S T D E S K O R R E L A T I O N S K O E F F I Z I E N T E N <?page no="181"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- Allgemeine Vorgehensweise Die von J E R ZY N E YMAN und E GON S . P EA R S ON entwickelte Vorgehensweise lässt sich auf die verschiedensten Sachverhalte anwenden. Es gibt weit über 100 verschiedene Tests, die sich schnell nachschlagen und anwenden lassen, wenn das Grundprinzip der Durchführung von Hypothesentests verstanden ist. Schrittfolge für das Testen von Hypothesen Zunächst ist zu klären, über welchen Sachverhalt in der Grundgesamtheit eine Hypothese geprüft werden soll. Dann kann eine geeignete statistische Maßzahl gewählt werden, die den zu prüfenden Sachverhalt zahlenmäßig abbildet und die in einer Zufallsstichprobe dann als Stichprobenkennwert betrachtet wird. Es erfolgt vorab die Festlegung des Signifikanzniveaus. In aller Regel ist dies der Wert 5 %. (1) Hypothesen: Nun werden zwei sich ausschließende Hypothesen H 0 und H 1 formuliert, die die möglichen Ausprägungen der Stichprobenkennwerte abdecken, so dass jede mögliche Ausprägung des Stichprobenkennwertes einer der beiden Hypothesen zugeordnet ist. So kann die Entscheidung für oder gegen die H 0 immer klar getroffen werden. (2) Stichprobenverteilung: Damit sollte nun die Stichprobenverteilung unter der vorläufigen Annahme der H 0 ermittelbar sein. (Gegebenenfalls muss noch ein expliziter Parameter aus der Stichprobe geschätzt werden. Auf diesen darf sich die Prüfung allerdings nicht beziehen.) (3) Annahme- und Rückweisungsbereich: Mit dem Signifikanzniveau steht vorab eine konventionell festgelegte Wahrscheinlichkeit fest, die den Bereich der Stichprobenverteilung abgrenzbar macht, der die Stichprobenkennwerte beinhaltet, die inhaltlich gegen die H 0 sprechen. Dieser Bereich ist der Rückweisungsbereich. Die Stichprobenkennwerte, die inhaltlich für die Beibehaltung der H 0 sprechen, bilden den Annahmebereich. Diese drei Schritte sollen erfolgt sein, bevor die Stichprobe herangezogen wird, um die Ausprägung des zu prüfenden Stichprobenkennwertes auszurechnen. (4) Auswertung der Stichprobe und Testentscheidung: Nun wird der Stichprobenkennwert für die Stichprobe ermittelt und festgestellt, ob dieser in den Annahmebereich oder in den Rückweisungsbereich fällt. Mit der Zuordnung zu einem der beiden Bereiche wird zwangsläufig die zugehörige Testentscheidung getroffen. 7.6 182 T E S T E N <?page no="182"?> Was wird berichtet? Allein die Angabe, dass ein Stichprobenbefund signifikant ist, ist wenig informativ. Berichtet werden sollten neben dem geprüften Hypothesenpaar (H 0 und H 1 ) die Ausprägung des Stichprobenkennwertes, dessen Stichprobenfehler und die Stichprobengröße. So kann jeder Leser selbst einschätzen, welche Situation vorliegt und wie sie zu beurteilen ist. Zudem ist dann auch jedem möglich, ein Konfidenzintervall zu konstruieren (wenn dieses nicht gleich mit angegeben wird). In vielen Publikationen findet sich häufig die Angabe des Stichprobenkennwertes, ohne dass die Hypothese angegeben wird. (Diese kann dann aus dem Kontext erschlossen werden, wenn es sich um multivariate Verfahren handelt, bei denen standardmäßig die Hypothese geprüft wird, dass ein Koeffizient in der Grundgesamtheit gleich 0 ist.) Die Stichprobenkennwerte werden in den Publikationen häufig mit einem Asterisk (*) versehen, wenn unter der H 0 die Auftrittwahrscheinlichkeit für diesen Wert oder einen (aus Sicht der H 0 ) noch extremeren kleiner/ gleich 0,05 ist. Die herkömmliche Statistiksoftware gibt Testbefunde auf eine ganz andere Weise an. Der Stichprobenkennwert wird ausgegeben und zusätzlich die Auftrittswahrscheinlichkeit für den vorliegenden oder einen extremeren Stichprobenkennwert unter der Voraussetzung, dass die H 0 in der Grundgesamtheit zutrifft. Irritierenderweise werden diese angegebenen Auftrittswahrscheinlichkeiten häufig mit „Signifikanz“ überschrieben, was zu Verwechslungen mit dem Signifikanzniveau führen kann. Letzteres ist konventionell und vorher festzulegen. Ein Testbefund ist nur dann auf dem 5 %-Niveau „signifikant“, wenn der Wert in einem Software-Output kleiner/ gleich 0,05 ist. Probleme statistischer Tests (1) Häufig wird die Bedeutung von statistischen Tests überbewertet. Das beginnt bei der Überbewertung des statistischen Begriffs „signifikant“. Dieser sagt nur aus, dass ein Stichprobenkennwert gegen eine H 0 spricht. Er besagt nicht, dass ein Grundgesamtheitswert auch bedeutsam von dem in der H 0 behaupteten Wert abweicht oder in der Grundgesamtheit eine bedeutsame Größe hat. Beispiel: Führt der Test der Hypothese, dass 60 % der Schüler ein Mobiltelefon besitzen, zu einem signifikanten Ergebnis, bedeutet das nicht, dass in der Grundgesamtheit aller Schüler der Anteil deutlich davon abweichen muss. Es heißt nur, dass eine statistische Evidenz vorliegt, dass sich der Anteil in der Grundgesamtheit von 0,6 unterscheidet. Werden sehr große Zufallsstichproben verwendet, neigen bereits kleine Differenzen zwischen dem wahren Grundgesamtheitswert „signifikant“ heißt nicht „bedeutsame Größe“ 183 A L L G E M E I N E V O R G E H E N S W E I S E <?page no="183"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- und dem H 0 -Wert dazu, signifikante Testergebnisse hervorzubringen. Gerade hier sollte man Konfidenzintervalle hinzuziehen, anstatt sich allein auf Testergebnisse zu verlassen. In vielen Fällen werden Nullhypothesen verwendet, die postulieren, dass ein Koeffizient in der Grundgesamtheit = 0 ist. Bei großen Stichproben werden dann bereits kleine Abweichungen der Stichprobenkennwerte von 0 tendenziell signifikant, ohne dass dies bedeuten muss, dass dieser Koeffizient in der Grundgesamtheit groß ist. (2) Werden viele Hypothesentests durchgeführt, so ist allein aufgrund der Anzahl der Tests damit zu rechnen, dass signifikante Testresultate auftreten, die zu einer irrtümlichen Ablehnung der H 0 führen. Beispiel: Bei Durchführung von 20 Tests und einem Signifikanzniveau von 5 % ist bei zutreffenden Nullhypothesen damit zu rechnen, dass sich ein signifikantes Testresultat einstellt, das zu einer irrtümlichen Verwerfung der betreffenden H 0 führt. Unterschied zwischen Schätzen und Testen Die Logik des Testens und des Schätzens ( fi Kap. 6) weisen einige Ähnlichkeiten auf. Beide erfolgen mit nur einer Stichprobe. Die Konstruktion des Konfidenzintervalls beim Schätzen ist vergleichbar mit der Konstruktion des Annahmebereichs beim Testen. Vordergründig gleichen sich diese beiden Verfahren. Tatsächlich unterliegt ihnen eine unterschiedliche Richtung der Inferenz. Die Richtung des statistischen Schließens ist genau entgegengesetzt: Beim Schätzen schließt man von einer Maßzahl in der Stichprobe auf eine Maßzahl in der Grundgesamtheit. Man schließt also von der Kenntnis über wenige Fälle (die Stichprobe) auf alle Fälle (die Grundgesamtheit). Dies ist ein induktiver Schluss. Beim Testen hat man dagegen bereits eine hypothetische Kenntnis über eine interessierende Maßzahl in der Grundgesamtheit. Von dieser hypothetischen Kenntnis ausgehend wird dann auf die Auftrittswahrscheinlichkeit des Stichprobenkennwertes in der Stichprobe geschlossen. Aus Sicht der hypothetischen bekannten Grundgesamtheit kann dann festgestellt werden, ob der Stichprobenkennwert eher in den Bereich der wahrscheinlichen oder in den Bereich der eher unwahrscheinlichen Stichprobenkennwerte fällt, ob also die Stichprobe eher vereinbar oder eher unvereinbar mit der hypothetisch bekannten Grundgesamtheit ist. Man schließt damit beim Testen von der hypothetischen Kenntnis über eine Grundgesamtheit auf wenige Fälle (die Stichprobe). Dies ist ein deduktiver Schluss. Die induktive Schließweise des Schätzens ist schnell plausibel: Man hat keine Kenntnis über die Ausprägung 7.7 Testen und Schätzen schließen in entgegengesetzter Richtung Induktiver versus deduktiver Schluss 184 T E S T E N <?page no="184"?> einer statistischen Maßzahl in der Grundgesamtheit und versucht diese mit Hilfe der Daten über einen Teil der Grundgesamtheit zu schätzen. Die Schließweise des Testens erscheint nicht sofort verständlich. Warum soll man die Auftrittswahrscheinlichkeit eines Stichprobenkennwertes beurteilen? Der Sinn, auf eine Stichprobe zu schließen, erschließt sich erst, wenn man sieht, dass mit Hilfe der Beurteilung einer Stichprobe eine Entscheidung über eine Hypothese gefällt werden kann. Und diese Hypothese beinhaltet nun eine Aussage über die Grundgesamtheit. Über diesen Umweg führt also auch das Testen von Hypothesen zu Erkenntnissen über die Grundgesamtheit. Testen und Schätzen führen zu Erkenntnissen über die Grundgesamtheit 185 U N T E R S C H I E D Z W I S C H E N S C H Ä T Z E N U N D T E S T E N <?page no="186"?> MULTIVARIATE VE RFAHR EN 187 U N T E R S C H I E D Z W I S C H E N S C H Ä T Z E N U N D T E S T E N <?page no="188"?> Multiple lineare Regression Inhalt 8.1 Logik und Grundmodell 8.1.1 Multiple Regressionsgleichung 8.1.2 Standardisierter Regressionskoeffizient 8.1.3 Multipler Determinationskoeffizient 8.1.4 Erklärungsbeiträge einzelner Variablen im Modell 8.2 Anwendungsvoraussetzungen 8.3 Untersuchung der Anwendungsvoraussetzung (deskriptivstatistisches Beispiel) 8.4 Exkurs: Interaktion 8.5 Multiple Regression mit Stichprobendaten 8.5.1 Inferenzstatistische Überlegungen 8.5.2 F-Test des multiplen Determinationskoeffizienten 8.5.3 Korrigierter Determinationskoeffizient 8.5.4 t-Test des Regressionskoeffizienten 8.5.5 Konfidenzintervalle für b j 8.6 Untersuchung der Anwendungsvoraussetzung (inferenzstatistisches Beispiel) 8.7 Exkurs: Transformation In der multiplen Regressionsanalyse wird der gerichtete Einfluss mehrerer unabhängiger Variablen auf eine abhängige Variable untersucht. Um diese Form der Regression begrifflich gegenüber der bivariaten Regression mit nur einer unabhängigen Variablen abzusetzen, heißt sie „multipel“. 8 189 <?page no="189"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- Die multiple Regression kann als eine Erweiterung der bivariaten Regression angesehen werden. Dieses Kapitel schließt insofern an die im Kap. 4.3.3 zur bivariaten Regression eingeführten Grundbegriffe und Denkweisen an. Für die allermeisten soziologischen Anwendungen sind multiple Regressionen realitätsnäher als bivariate Regressionen. Denn zumeist liegen viele Einflüsse auf einen interessierenden Sachverhalt vor, die nun mit Hilfe eines multiplen Regressionsmodells gleichzeitig als erklärende Sachverhalte einbezogen werden können. Definition Multiple Regression Die multiple Regression ist ein multivariates Verfahren. „Multivariat“ ist der Oberbegriff für statistische Analyseverfahren, die die statistischen Beziehungen zwischen vielen Variablen analysieren. „Multiple“ bezeichnet hierbei die Form einer Regression, bei dem der gerichtete Einfluss mehrerer Variablen auf nur eine abhängige Variable analysiert wird. Eine Fragestellung, die vorgibt, was als abhängige Variable zu untersuchen ist, und eine Theorieperspektive stehen am Anfang der angewandten Regressionsanalyse. Die Auswahl der unabhängigen Variablen erfolgt ebenso theoriegeleitet. Wie im Fall der bivariaten Regressionsgleichung, so stellt auch die multiple Regressionsgleichung ein Modell dar. Unterstellt wird, dass jeweils gerichtete Beziehungen vorliegen, die sich mit Hilfe der multiplen Regression modellieren lassen. Die abhängige Variable muss metrisches Skalenniveau aufweisen. Als unabhängige Variablen können sowohl metrisch skalierte als auch 0 - 1-kodierte dichotome Variablen in ein Regressionsmodell aufgenommen werden. Nun liegen mehrere Zielsetzungen vor. Einmal ist man daran interessiert, den zu erklärenden Sachverhalt („die Wirkung“) in einem hohen Ausmaß statistisch durch eine theoretisch begründete Auswahl mehrerer unabhängiger Variablen („die Ursachen“) zu erklären. Zum anderen ist man daran interessiert, die einzelnen unabhängigen Variablen je für sich daraufhin zu betrachten, ob und wie stark sie jeweils auf die abhängige Variable einwirken. Zudem kann man daran interessiert sein, die Einflüsse und Erklärungsbeiträge der einzelnen Variablen im Modell untereinander zu vergleichen. Im Folgenden wird die multiple Regressionsanalyse zunächst deskriptivstatistisch eingeführt. Hierbei werden die vorliegenden Daten als Daten einer durch ein Forschungsinteresse eingegrenzten Grundgesamtheit betrachtet. Daran anschließend werden inferenzstatistische Gesichtspunkte besprochen. Diese kommen hinzu, wenn man die Daten Theoriegeleitete Auswahl der Variablen Zielsetzungen der multiplen Regressionsanalyse 190 M U L T I P L E L I N E A R E R E G R E S S I O N <?page no="190"?> als eine Stichprobe aus einer Grundgesamtheit ansieht. Auch hier wird vorausgesetzt, dass es sich um eine Zufallsstichprobe handelt. Dann kann man einmal Hypothesen über das Regressionsmodell insgesamt sowie über den Einfluss einzelner Variablen in der Grundgesamtheit prüfen („Testen“). Zum anderen kann man - ausgehend von der Stichprobe - Schätzungen über die Einflussstärken einzelner Variablen in der Grundgesamtheit durchführen („Schätzen“). All diese Zielsetzungen charakterisieren die multiple Regression als ein strukturprüfendes Verfahren. Logik und Grundmodell Anhand eines einfachen multiplen Regressionsmodells mit zunächst nur zwei unabhängigen Variablen soll die Logik der multiplen Regressionsanalyse vorgestellt werden, die auch für Modelle mit mehr als zwei unabhängigen Variablen gilt. Schreibweisen: Da nun mehrere unabhängige Variablen X in die Analyse einbezogen werden, werden diese mit einem Index j, mit j = 1, . . . J indiziert. Dabei gibt J die Anzahl der unabhängigen Variablen an. Die Ausprägung der abhängigen Variablen für einen Merkmalsträger i wird mit y i notiert. Die Ausprägung der unabhängigen Variablen X j des Merkmalsträgers i wird mit x ji notiert. Beispiel: Neun Absolventen verschiedener Soziologie-Studiengänge seien danach befragt worden, wie viele Semester (Y) sie studiert haben, um den B. A.-Abschluss und den M. A.-Abschluss zu erwerben. (Diese neun Studierenden werden als eine kleine Gesamtheit, nicht als eine Stichprobe betrachtet.) Die Variable Semesterzahl (Y) soll als abhängige metrische Variable auf zwei andere metrische Variablen zurückgeführt werden. Zum einen wurden die Absolventen gebeten anzugeben, wie viele Wochenstunden (X 1 ) sie durchschnittlich für das Studium verwendet haben. Zum anderen wurden sie aufgefordert, die Studienbedingungen (X 2 ) in ihrem Studiengang auf einer Skala von 1 = „sehr schlecht“ bis 10 = „sehr gut“ einzustufen, wobei sie mit den Werten dazwischen eine Abstufung vornehmen Wochenstunden Studienbedingungen X 1 Y X 2 E Residue Semesterzahl Abb. 8.1 8.1 191 L O G I K U N D G R U N D M O D E L L <?page no="191"?> tistik für Soziologen(3)__[Druckkonnten. Es wird angenommen, dass beide unabhängigen Variablen negativ und linear auf die abhängige Variable einwirken: Eine höhere Zahl in das Studium investierter Wochenstunden und bessere Studienbedingungen müssten sich reduzierend auf die Semesterzahl auswirken. Das Pfadmodell für das Beispiel ist in ABBILDUNG 8.1 dargestellt. Die TABELLE 8.1 beinhaltet die Ausprägungskombinationen (y i ; x 1i ; x 2i ) für die neun Absolventen. Damit kann man ein dreidimensionales Streudiagramm erstellen. Die Ausprägungskombinationen (y i ; x 1i ; x 2i ) geben dann für jeden Fall die Koordinaten in dem durch die drei Variablen aufgespannten Raum an. Tab. 8.1 i Semesterzahl (Y) Wochenstunden (X 1 ) Studienbedingungen (X 2 ) 1 15 20 3 2 14 25 2 3 13 25 5 4 11 25 8 5 13 30 2 6 12 35 3 7 10 40 6 8 10 35 9 9 9 45 10 Abb. 8.2 0 4 8 12 16 30 40 2 4 6 8 10 Y X 1 X 2 192 M U L T I P L E L I N E A R E R E G R E S S I O N <?page no="192"?> Der Würfel in ABBILDUNG 8.2 stellt den Ausschnitt aus dem Raum dar, in dem die empirischen Wertekombinationen liegen. Um die räumliche Position der neun schwarzen Punkte besser erkennen zu können, ist von jedem Punkt das senkrechte Lot auf den Boden des Würfels (bei y = 0) eingezeichnet. Man erkennt, dass hohe Semesterzahlen sowohl von den Wochenstunden als auch von den Studienbedingungen abhängen. Wer viel Zeit in das Studium investiert hat, hat tendenziell kürzer studiert. Wer an einem Institut mit besseren Studienbedingungen studiert hat, hat ebenfalls tendenziell sein Studium in kürzerer Zeit absolviert. Jede Variable hat also einen negativen Einfluss auf die Semesterzahl. Wie im bivariaten Fall soll nun versucht werden, eine grafische Repräsentation für den linearen Einfluss von X 1 und X 2 auf die abhängige Variable einzuführen. Die Punktewolke ist in diesem Fall nun nicht durch eine Gerade, sondern durch eine Ebene bestmöglich zu repräsentieren. Dafür wird wieder als Anpassungskriterium die Methode der kleinsten Quadrate herangezogen. In der ABBILDUNG 8.3 ist diejenige Regressionsebene (als engmaschiges Gitter) in die Punktewolke eingezeichnet, die sich unter Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate ergibt ( fi Kap. 4.3.3) . Für die neun Absolventen liegt jeweils eine empirische Ausprägungskombination hinsichtlich Wochenstundenzahl (X 1 ) und Studienbedingungen (X 2 ) vor, so dass dadurch jeweils ein Punkt (0; x 1i ; x 2i ) auf dem Würfelboden bestimmbar ist. Die Höhe der Ebene über jedem der neun Punkte auf dem Würfelboden gibt den zugehörigen Vorhersagewert yˆ i für die Semesterzahl an. Die Punkte (yˆ i ; x 1i ; x 2i ) sind als graue Punkte auf der Ebene markiert. Man er- 0 4 8 12 16 30 40 2 4 6 8 10 Y X 1 X 2 Abb. 8.3 Regressionsebene als grafische Repräsentation des Regressionsmodells 193 L O G I K U N D G R U N D M O D E L L <?page no="193"?> tistik für Soziologen(3)__[Druckkennt, dass die schwarzen Punkte (empirische Werte) in den meisten Fällen nur wenig von der Ebene abweichen, so dass die Regressionsebene ein gutes Modell für die empirischen Daten zu sein scheint. (Die jeweilige Abweichung eines Punktes von der Regressionsebene als Distanz in der vertikalen Dimension ist wie im bivariaten Fall die Residue e i = y i - yˆ i für den zugehörigen Fall i). Die Ebene ist in zwei Dimensionen geneigt, d. h., sie weist nun in den beiden Dimensionen X 1 und X 2 jeweils eine Steigung auf. Wichtig ist hierbei, dass diese Steigungen in den beiden X-Dimensionen der Ebene konstant sind. (Voraussetzung dafür ist allerdings, dass die Regressionsgleichung keinen Interaktionsterm beinhaltet ( fi Kap. 8.4) .) Geometrisch kann man sich das anhand eines Gedankenexperiments folgendermaßen vor Augen führen: Angenommen man könnte auf der Ebene laufen. Dann könnte man sich entschließen, von irgendeinem Punkt auf der Ebene aus in Richtung einer der beiden X-Dimensionen zu gehen. Wenn man in Richtung der X 1 -Dimension auf der Ebene laufen will, dann ist die Steigung, die man bergauf oder bergab laufen muss immer dieselbe, unabhängig davon, bei welcher X 2 -Koordinate man losläuft. Die gleiche Überlegung gilt natürlich auch, wenn man in Richtung der X 2 -Dimension auf der Ebene laufen möchte. Hier wird nun geometrisch anschaulich, was es bedeutet, wenn man im Rahmen der multiplen Regressionsanalyse aussagt, dass eine Variation einer der beiden unabhängigen Variablen isoliert für sich daraufhin betrachtet werden kann, wie sie sich auf Yˆ auswirkt. Geometrisch heißt dies: Eine Ortsveränderung auf der Ebene in einer der beiden X-Dimensionen geht jeweils in konstanter Weise mit einer Höhenveränderung auf der Ebene einher. Eine solche geometrische Darstellung des multiplen Regressionsmodells ist nur möglich, wenn lediglich zwei unabhängige Variablen vorliegen. Weist ein multiples Regressionsmodell mehr als zwei unabhängige Variablen auf, muss man auf eine geometrische Veranschaulichung verzichten. Die Grundlogik bleibt aber dieselbe. Multiple Regressionsgleichung Wie im bivariaten Fall kann man eine multiple lineare Regression in Gleichungsform darstellen. Allgemein wird eine multiple Regressionsgleichung mit J verschiedenen unabhängigen Variablen dargestellt mit: y i = b 0 + b 1 . x 1i + . . .+ b j . x ji +. . .+ b J . x Ji + e i Gedankenexperiment zur Interpretation der beiden Steigungen 8.1.1 194 M U L T I P L E L I N E A R E R E G R E S S I O N <?page no="194"?> Die Vorhersagewerte lassen sich (bei gegebenen Werten für b 0 und die b j ) für die einzelnen Merkmalsträger errechnen, wenn man die zugehörigen x ji in die folgende Gleichung einsetzt: yˆ i = b 0 + b 1 . x 1i + . . .+ b j . x ji +. . .+ b J . x Ji Die Koeffizienten b j heißen in der multiplen Regressionsanalyse partielle Regressionskoeffizienten. Sie geben die Effektstärke der zugehörigen Variablen X j auf Yˆ an. Partielle Regressionskoeffizienten heißen diese Regressionskoeffizienten deshalb, weil sie den Effekt einer unabhängigen Variablen X j auf Yˆ unter rechnerischer Kontrolle (Auspartialisierung) der übrigen unabhängigen Variablen angeben ( fi Kap. 5.2) . So ergibt sich eine wichtige Strategie der Drittvariablenkontrolle im Rahmen der Regressionsanalyse: Um Drittvariableneinflüsse zu kontrollieren, nimmt man diese Drittvariablen in die Regressionsgleichung mit auf. Dann werden die Regressionskoeffizienten der anderen Variablen so berechnet, dass sie um den Einfluss der Drittvariablen rechnerisch bereinigt sind. Eine vorherige Auspartialisierung von Drittvariablen ist damit nicht notwendig. (Diese regressionsanalytische Strategie kontrolliert allerdings nur die linearen Drittvariableneinflüsse. Eine Interaktion kann so nicht kontrolliert werden ( fi Kap. 8.4) .) Die Berechnung der partiellen Regressionskoeffizienten ist in der multiplen Regressionsanalyse aufwändiger als im bivariaten Fall. In der Praxis wird ihre Berechnung der Statistiksoftware überlassen. Die auch im multiplen Fall zur Anwendung kommende Methode der kleinsten Quadrate hat wieder die wichtigen Eigenschaften, dass die Koeffizienten eindeutig bestimmbar sind und dass die Summe der Residuen 0 ist ( fi Kap. 4.3.3) . Beispiel: In der TABELLE 8.2 sind die Regressionskoeffizienten b 0 und die b j für das oben genannte Beispiel dargestellt. Für dieses Beispiel ergibt sich dann die Regressionsgleichung: y i = 18,062 + (-0,137) . x 1i + (-0,361) . x 2i + e i j Variable X j b j 1 Wochenstunden -0,137 2 Studienbedingungen -0,361 Konstante b 0 =18,062 r 2 = 0,941 Tab. 8.2 Drittvariablenkontrolle durch Aufnahme ins Regressionsmodell 195 L O G I K U N D G R U N D M O D E L L <?page no="195"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- Die Vorhersagewerte auf der Regressionsebene lassen sich errechnen mit: yˆ i = 18,062 + (-0,137) . x 1i + (-0,361) . x 2i Das Regressionsmodell unterstellt eine bestimmte Form des kausalen Zusammenhangs. Anhand der Gleichung für die Vorhersagewerte kann man sehen, dass sich ein Vorhersagewert additiv aus den Beiträgen der unabhängigen Variablen zusammensetzt. Die Interpretation von b 0 sowie der einzelnen partiellen Regressionskoeffizienten b j soll anhand des Beispiels erfolgen: (1) Die Konstante b 0 = 18,062 wäre der Vorhersagewert Yˆ (Semesterzahl) für einen Absolventen, wenn dessen Ausprägungen für die unabhängigen Variablen x 1i = 0 und x 2i = 0 wären. Da die Variable X 2 (Studienbedingungen) im Bereich von 1 bis 10 variiert, kann ein solcher Fall nicht vorliegen. Die Konstante hat hier (wie in vielen empirischen Anwendungen) keine inhaltliche Bedeutung. (2) Der Regressionskoeffizient b 1 = -0,137 für die Variable X 1 (Wochenstunden) gibt an, dass der Vorhersagewert yˆ i sich um 0,137 verringert, wenn die Variable X 1 um eine Einheit zunimmt. Inhaltlich heißt dies: Mit jeder zusätzlichen Stunde, die man während des Studiums für die Studienarbeiten und Seminare investiert, verkürzt sich das Studium im Durchschnitt um 0,137 Semester. Wenn eine Person acht Wochenstunden mehr in das Studium investiert, verkürzt sich die Semesterzahl für das Studium im Schnitt um ca. ein Semester (da -0,137 . 8 = -1,096). (3) Und entsprechend: Der Regressionskoeffizient für die Variable X 2 (Studienbedingungen) b 2 = -0,361 gibt an, dass sich der Vorhersagewert yˆ i um 0,361 verringert, wenn die zugehörige Variable X 2 um eine Einheit zunimmt. Inhaltlich heißt dies: Mit jeder Verbesserung der Studienbedingungen um einen Skalenpunkt verringert sich die Studiendauer im Schnitt um 0,361 Semester. An Instituten, an denen die Studienbedingungen um drei Skalenpunkte besser sind, ist damit zu rechnen, dass die Semesterzahl im Durchschnitt um ca. ein Semester verkürzt wird (da -0,361 . 3 = -1,083). Wichtig: Die durch die Variation von X 1 (Wochenstunden) bewirkte Veränderung des Vorhersagewertes Yˆ (Semesterzahl) ist unabhängig von der vorliegenden Ausprägung für die andere Variable X 2 (Studienbedingungen) und umgekehrt. (Diese unabhängige Interpretation einzelner Regressionskoeffizienten ist nicht mehr möglich, wenn zwischen den zugehörigen Variablen Interaktionen vorliegen ( fi Kap 8.4.) .) Interpretation der partiellen Regressionskoeffizienten 196 M U L T I P L E L I N E A R E R E G R E S S I O N <?page no="196"?> Standardisierter Regressionskoeffizient Betrachtet man in diesem Beispiel die Größe der beiden Regressionskoeffizienten b 1 und b 2 , so könnte man meinen, dass die Variable X 2 (Studienbedingungen) stärker auf Yˆ (Semesterzahl) einwirkt, als die Variable X 1 (Wochenstunden). Denn der Betrag von b 2 ist größer als der Betrag von b 1 . Die Regressionskoeffizienten b j sind jedoch nicht dimensionslos. Ihre Messeinheit ist: Messeinheit von b j = Messeinheit von Y Messeinheit von X j Damit sind die b j auch in ihrer Größe abhängig von der Messeinheit von Y und X j . Hätte man beispielsweise die für das Studium aufgewendete Zeit nicht in Wochenstunden, sondern in Stunden pro Tag erfragt, wäre die Größenordnung des zugehörigen Koeffizienten deutlich größer ausgefallen. Für die Regressionskoeffizienten gibt es eine Standardisierung. Der standardisierte Regressionskoeffizient ist b j * und wird berechnet mit: b j = b j s x j s y b 1 * ist dimensionslos und ermöglicht den Vergleich der Effektstärken der unabhängigen Variablen eines Regressionsmodells untereinander. Die standardisierten Regressionskoeffizienten haben dann aber keine anschauliche Interpretation mehr. Beispiel: Für die drei Variablen Semesterzahl, Wochenstunden und Studienbedingungen ergeben sich die Standardabweichungen: s y = 2,028 s x 1 = 8,207 s x 2 = 3,082 Wenn man mit diesen Werten nun die Standardisierung der Regressionskoeffizienten durchführt, erhält man: b 1 = 0,137 8,207 2,028 = 0,554 und b 2 = 0,361 3,082 2,028 = 0,549 Diese standardisierten Regressionskoeffizienten sind nun geeignet, die Effektstärken der unabhängigen Variablen miteinander zu vergleichen. Man sieht hier in diesem Beispiel, dass die beiden unabhängigen Variablen tatsächlich einen nahezu gleich starken Effekt auf Yˆ ausüben. 8.1.2 Die b j werden von Messdimensionen beeinflusst Innerhalb eines Modells können die b j * verglichen werden 197 L O G I K U N D G R U N D M O D E L L <?page no="197"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- Bemerkungen: (1) Dieser standardisierte Regressionskoeffizient wird auch „Beta-Koeffizient“ genannt. Dies ist insofern eine irritierende Bezeichnung, als dies zu Verwechslungen mit den unten noch einzuführenden b -Koeffizienten führen kann. (2) Sind die Variablen eines (bivariaten oder multiplen) Regressionsmodells z-standardisiert, so sind die (bivariaten oder partiellen) Regressionskoeffizienten zugleich standardisierte Regressionskoeffizienten. (3) Die Standardisierung ist nicht sinnvoll anzuwenden auf die Regressionskoeffizienten von 0 - 1-kodierten Variablen. Denn dafür müsste eine Standardabweichung s x für die 0 - 1-kodierte Variable berechnet werden, was wenig sinnvoll ist (diese hängt von dem Verhältnis der Gruppengrößen und damit vom Mittelwert der dichotomen Variablen ab). (4) Standardisierte Regressionskoeffizienten dienen dem Vergleich der Effektstärken. Für sich betrachtet haben sie keine anschauliche Interpretation mehr. Insofern können sie in der Analyse die Regressionskoeffizienten b j ergänzen, aber nicht ersetzen. (5) Zu beachten ist, dass man (weder unstandardisierte noch standardisierte) Regressionskoeffizienten aus verschiedenen Regressionsmodellen, die unterschiedliche Variablensets beinhalten, nicht miteinander vergleichen kann. Multipler Determinationskoeffizient Der Determinationskoeffizient r 2 ist im Kapitel 4.3.3 zur bivariaten Regression als Maßzahl für die Erklärungsleistung des Modells eingeführt worden. Im bivariaten Fall war damit die Erklärungsleistung einer unabhängigen Variablen quantifizierbar: r 2 gibt im bivariaten Fall an, zu welchem Anteil die Variation von Y durch die Variation von X erklärt werden kann. In der multiplen Regression liegen mehrere unabhängige Variabeln vor. Der hier nun verwendete Koeffizient wird deshalb multipler Determinationskoeffizient r 2 genannt. Er gibt den Anteil der Variation von Y an, der durch alle im multiplen Regressionsmodell enthaltenen Variablen gemeinsam erklärt wird. Beispiel: Für das multiple Regressionsmodell mit den beiden unabhängigen Variablen Wochenstunden und Studienbedingungen wird ein multipler Determinationskoeffizient von r 2 = 0,941 errechnet. Man kann damit sagen, dass die Varianz der Variablen Semesterzahl zu 94,1 % durch die beiden unabhängigen Variablen erklärt werden kann oder auch: dass die Semesterzahl zu 94,1 % durch die beiden unabhängigen Variablen statistisch determiniert ist. Die Erklärungsleistung dieses Regressionsmodells (mit fiktiven Daten) ist damit sehr hoch. 8.1.3 r 2 gibt Erklärungsleistung des Modells an 198 M U L T I P L E L I N E A R E R E G R E S S I O N <?page no="198"?> Erklärungsbeiträge einzelner Variablen im Modell Man kann für jede unabhängige Variable ermitteln, welcher Teil der Erklärungsleistung des Regressionsmodells ihr allein zuzurechnen ist. Eine einfache Berechnungsstrategie im Rahmen der multiplen Regressionsanalyse besteht darin, dass man das vollständige multiple Regressionsmodell mit allen unabhängigen Variablen mit einem reduzierten Regressionsmodell vergleicht, in dem eine vorher bestimmte unabhängige Variable nicht enthalten ist. Für beide Regressionsmodelle kann man dann die Erklärungsleistung ermitteln. Die Differenz der Erklärungsleistungen stellt dann den Teil der Erklärungsleistung dar, der ausschließlich dieser vorher bestimmten Variablen zuzurechnen ist. Wenn r 2 die Erklärungsleistung des vollständigen Modells darstellt und wenn man den r 2 -Wert für das reduzierte Modell, in dem eine bestimmte Variable X j fehlt, mit r 2(j) kennzeichnet, dann ist die Differenz r 2 = r 2 - r 2(j) der Teil der Erklärungsleistung des vollständigen Modells, der ausschließlich der Variablen X j zuzurechnen ist. (Achtung: Der Index (j) drückt nun das Fehlen von X j und r 2(j) eine Erklärungsleistung ohne den Beitrag von X j aus! ) Beispiel: Wenn man nun für die beiden unabhängigen Variablen Wochenstunden und Studienbedingungen die Frage stellt, welcher Teil der Erklärungsleistung des vollständigen Modells ihnen jeweils allein zugerechnet werden kann, so muss die gerade eingeführte Überlegung zweimal angewandt werden. (1) Der Teil der Erklärungsleistung des vollständigen Regressionsmodells, der ausschließlich der unabhängigen Variable X 1 (Wochenstunden) zuzurechnen ist, errechnet sich, wenn man den r 2 -Wert des vollständigen Regressionsmodells (mit X 1 und X 2 als unabhängigen Variablen) vergleicht mit dem r 2(1) -Wert des um die Variable X 1 reduzierten Regressionsmodells. r 2 ist bereits bekannt. Führt man anhand des reduzierten Regressionsmodells Y auf X 2 zurück, erhält man eine Erklärungsleistung von r 2(1) = 0,728. Damit ergibt sich: r 2 = r 2 - r 2(1) = 0,941 - 0,728 = 0,213 Man kann sagen, dass die 21,3 % der Erklärungsleistung des vollständigen Modells ausschließlich auf die unabhängige Variable X 1 (Wochenstunden) zurückzuführen sind. 8.1.4 Wie berechnet man den Beitrag einzelner Variablen zur Erklärungsleistung des Modells? 199 L O G I K U N D G R U N D M O D E L L <?page no="199"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- (2) Der Teil der Erklärungsleistung des vollständigen Modells, der ausschließlich der unabhängigen Variable X 2 (Studienbedingungen) zuzurechnen ist, errechnet sich entsprechend, wenn man den r 2 -Wert des vollständigen Regressionsmodells vergleicht mit dem r 2(2) -Wert des um die Variable X 2 reduzierten Regressionsmodells. Man erhält für das reduzierte Regressionsmodell eine Erklärungsleistung von r 2(2) = 0,732. Damit ergibt sich: r 2 = r 2 - r 2(2) = 0,941 - 0,732 = 0,209 Hier kann man nun sagen, dass 20,9 % der Erklärungsleistung des vollständigen Modells ausschließlich der Variablen X 2 (Studienbedingungen) zuzurechnen sind. Vergleicht man die Resultate, fällt auf, dass die beiden Werte von 21,3 % und 20,9 %, die Erklärungsbestandteile darstellen, die ausschließlich einer der beiden Variablen zuzurechnen sind, sich nicht zur Erklärungsleistung des vollständigen Modells von 94,1 % aufsummieren. Das liegt daran, dass es noch einen Teil der Erklärungsleistung gibt, der nicht ausschließlich einer unabhängigen Variablen zuzurechnen ist, sondern der in der „Überlappung“ (engl. „overlap“) der Erklärungsleistungen von X 1 und X 2 besteht. Grafisch kann man dies für den allgemeinen Fall anhand der ABBIL- DUNG 8.4 (nach C OHEN et al. 2003) veranschaulichen. Die Grafik stellt die Variationen der drei beteiligten Variablen Y, X 1 und X 2 als drei Kreise dar. Für die Variation einer Variablen ist jeweils ein eigener Kreis vorhanden. Schnittmengen stellen gemeinsame Variationen und damit im Falle gerichteter Beziehungen Erklärungsleistungen dar. Zunächst sollen zwei Schnittmengen betrachtet werden: (1) die Schnittmenge der Kreise von X 1 und Y (a + c) stellt die Erklärungsleistung von X 1 für die Variation Y dar, wenn man in einem reduzierten Modell Y auf X 1 regressiert; (2) die Schnittmenge der Kreise von X 2 und Y (b + c) stellt die Erklärungsleistung von X 2 für die Variation von Y dar, wenn man in einem reduzierten Modell Y auf X 2 regressiert. Fragt man nun für ein vollständiges Modell (Y wird gleichzeitig auf X 1 und X 2 regressiert) danach, wie groß die Erklärungsleistungen sind, die den Variablen X 1 und X 2 jeweils allein zuzurechnen sind, so erkennt man anhand der Grafik, dass die Erklärungsleistung, die X 1 allein zuzurechnen ist, nur aus der Fläche a besteht und dass die Erklärungsleistung, die X 2 allein zuzurechnen ist, nur aus der Fläche b besteht. Denn die Fläche c erfasst die Erklärungsleistung, die keiner der beiden Variablen allein zuzurechnen ist. (Die Größe der Fläche c ist nur dann 0, wenn die beiden Ausschließlicher Beitrag zur Erklärungsleistung versus „überlappende“ Erklärungsleistung 200 M U L T I P L E L I N E A R E R E G R E S S I O N <?page no="200"?> unabhängigen Variablen X 1 und X 2 statistisch auch voneinander unabhängig sind, dann überschneiden sich die Kreise der beiden Variablen nicht.) Beispiel: Nun kann man erkennen, warum die reduzierten Modelle, in denen nur jeweils eine unabhängige Variable (Wochenstunden bzw. Studienbedingungen) enthalten war, dennoch mit r 2(1) = 0,732 bzw. r 2(2) = 0,728 so hohe Erklärungsleistungen aufweisen konnten. Die TABELLE 8.3 schlüsselt die Zurechnung von Erklärungsleistungen für das Beispiel auf. Verantwortlich für die Überlappung ist dabei die Korrelation zwischen den unabhängigen Variablen X 1 und X 2 . Wichtig: Die in einem Regressionsmodell ausschließlich einer einzelnen Variablen zurechenbare Erklärungsleistung ist nicht einfach eine Eigenschaft der Variablen, sondern hängt davon ab, welche weiteren unabhängigen Variablen im Regressionsmodell enthalten sind. Ob einer Variablen allein ein großer Teil der Erklärungsleistung (für Y) zurechenbar ist, hängt davon ab, ob die übrigen unabhängigen Varia- X 1 X 2 Y c a b Abb. 8.4 Zurechnung der Erklärungsleistung für Y um X 2 reduziertes Modell um X 1 reduziertes Modell vollständiges Modell a ausschließlich X 1 0,213 - 0,213 b ausschließlich X 2 - 0,209 0,209 c Überlappung 0,519 0,519 0,519 0,732 0,728 0,941 Tab. 8.3 201 L O G I K U N D G R U N D M O D E L L <?page no="201"?> tistik für Soziologen(3)__[Druckblen mit ihr gering oder sogar überhaupt nicht korrelieren. Daher begründet sich auch die Strategie, jeweils das vollständige Modell mit einem reduzierten Modell zu vergleichen. Der durch den Vergleich von vollständigem und reduziertem Regressionsmodell errechenbare ausschließliche Beitrag einer Variablen zur Erklärungsleistung des Modells lässt sich auch errechnen, indem man aus dieser einen Variablen die übrigen unabhängigen Variablen auspartialisiert und dann die Residuen der Variablen mit Y korreliert. Diese Korrelation heißt Semipartialkorrelation, abgekürzt: sr (für engl. „semipartial correlation“). In der englischsprachigen Literatur findet sich für die Semipartialkorrelation auch die Bezeichnung „part correlation“, weshalb die Semipartialkorrelation auch als Teilkorrelation übersetzt wird. Der Wortbestandteil „Semi-“ kommt daher, dass nur aus einer von zwei korrelierten Variablen die übrigen (Dritt-)Variablen auspartialisiert wurden, hier also nur aus X j auspartialisiert wurde und nicht auch noch aus Y die übrigen unabhängigen Variablen. Wären diese auch noch aus Y auspartialisiert worden, dann läge eine Partialkorrelation vor ( fi Kap. 5.2) . Das Quadrat der Semipartialkorrelation (sr 2 ) entspricht dem ausschließlich dieser einen unabhängigen Variablen zurechenbaren Beitrag an der Erklärungsleistung des vollständigen Modells. Anwendungsvoraussetzungen Unter Anwendungsvoraussetzungen für die multiple lineare Regression sind die Bedingungen zu verstehen, die (in ausreichender Weise) erfüllt sein sollen, damit die Regressionsanalyse valide Resultate liefern kann. Die Anwendungsvoraussetzungen werden hier eingangs kurz angeführt. Sie werden erst voll verständlich werden, wenn sie anhand von Beispielen untersucht werden und ihre Analyse weiter erläutert wird. Die Voraussetzungen für Regressionsanalysen sind: (1) Linearität: Der Einfluss der einzelnen unabhängigen Variablen auf die abhängige Variable soll jeweils linear sein. (2) Keine hohe Multikollinearität: Die unabhängigen Variablen sollen untereinander nicht stark korrelieren. Wenn die unabhängigen Variablen untereinander korrelieren, spricht man von Multikollinearität. Idealerweise soll nur geringe oder gar keine Multikollinearität vorliegen. (3) Varianzhomogenität der Residuen: Das Regressionsmodell soll für die abhängige Variable Y eine einheitliche gute Vorhersageleistung erbringen. Regressionstechnisch bedeutet dies, dass die Residuen e i für alle Größenordnungen von Yˆ eine einheitliche (homogene) Varianz Semipartialkorrelation versus Partialkorrelation 8.2 202 M U L T I P L E L I N E A R E R E G R E S S I O N <?page no="202"?> aufweisen sollen. (Varianzhomogenität wird auch als „Homoskedastizität“ bezeichnet.) (4) Normalverteilung der Residuen: Die Residuen e i sollen normalverteilt sein. Diese Anwendungsvoraussetzung ist nur im inferenzstatistischen Kontext bedeutsam. (5) Unkorreliertheit der Residuen: Die Residuen sollen untereinander nicht korrelieren. Eine Korrelation zwischen den Residuen ist dann zu erwarten, wenn man Zeitreihendaten als Variablen in eine Regressionsanalyse einbezieht. Zeitreihendaten sind Serien von Messungen, die zu unterschiedlichen Zeitpunkten an denselben Merkmalsträgern erhoben wurden. Beispiele für Zeitreihen sind die Umsätze von Unternehmen in aufeinander folgenden Jahren oder die Arbeitslosenquoten von Regionen in aufeinander folgenden Monaten. Zeitreihendaten sind in soziologischen Anwendungen selten. (Allerdings können Korrelationen unter den Residuen auch auftreten bei Verwendung komplexer Stichprobenverfahren wie Klumpenstichproben.) Hier wird die Untersuchung dieser Anwendungsvoraussetzung im Folgenden vernachlässigt. Residuenanalyse (Diagnostik) Die Analyse der Anwendungsvoraussetzungen wird Residuenanalyse genannt. Verstöße gegen die Anwendungsvoraussetzungen lassen sich durch die Untersuchung der Residuen diagnostizieren. Daher spricht man bei der Residuenanalyse auch von Regressionsdiagnostik, kurz: Diagnostik. Die regressionsanalytische Prüfung der Anwendungsvoraussetzungen weist folgende Eigenheiten auf. (1) Das Vorliegen der Anwendungsvoraussetzungen kann erst diagnostiziert werden, nachdem eine erste Berechnung einer Regressionsgleichung (mit deren Hilfe man dann Residuen ermitteln kann) erfolgt ist. (2) Die Regressionsdiagnostik erfolgt stark grafisch gestützt. Dafür werden spezifische Datenanalyseplots eingesetzt. Für diese ist kennzeichnend, dass sie nur für Zwecke der Analyse und nicht im Bericht der regressionsanalytischen Befunde Verwendung finden. (3) Die Analytikerin bzw. der Analytiker befindet sich in der Situation, zwischen verschiedenen Graden der Erfülltheit von Anwendungsvoraussetzungen unterscheiden zu müssen. Hierbei muss entschieden werden, wann die Anwendungsvoraussetzungen noch ausreichend gegeben sind und ab wann dies nicht mehr der Fall ist. (4) Verstöße gegen einzelne Anwendungsvoraussetzungen können andere Anwendungsvoraussetzungen beeinträchtigen. Ein Verstoß gegen die Linearitätsannahme kann beispielsweise die angestrebte Varianzhomogenität beeinträchtigen. 203 A N W E N D U N G S V O R A U S S E T Z U N G E N <?page no="203"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- (5) In sehr vielen Fällen sind die Anwendungsvoraussetzungen ausreichend gegeben. Die Untersuchung der Anwendungsvoraussetzungen kann aber ergeben, dass diese nicht ausreichend erfüllt sind. Die Regressionsdiagnostik soll dann auch Aufschlüsse darüber geben, welche Maßnahmen man zur Verbesserung des Ausgangsmodells ergreifen kann, damit dieses anschließend die Anwendungsvoraussetzung ausreichend erfüllt. (6) Werden Maßnahmen zur Verbesserung des Ausgangsmodells durchgeführt, dann sind alle Anwendungsvoraussetzungen erneut zu untersuchen, da eine Anpassung des Ausgangsmodells hinsichtlich einer Anwendungsvoraussetzung sich auch auf andere Anwendungsvoraussetzungen auswirken kann. Die (unten vorgestellten) einfachen Strategien der Residuenanalyse sollten standardmäßig immer durchgeführt werden. Im günstigsten Fall erweist sich, dass man keine Hinweise auf unzureichende Anwendungsvoraussetzungen diagnostiziert und man daher (vorläufig) davon ausgehen kann, dass die regressionsanalytischen Befunde valide interpretierbar sind. Eine Untersuchung der Anwendungsvoraussetzungen soll für das bereits eingeführte deskriptivstatistische Beispiel erfolgen. Ein gravierender Verstoß gegen einige Anwendungsvoraussetzungen kann dabei im deskriptivstatistischen Kontext weniger problematisch sein als im inferenzstatistischen Kontext. Dies gilt für Verstöße gegen die Varianzhomogenität. Da im inferenzstatistischen Kontext zusätzliche Problematiken entstehen können, sollen die Anwendungsvoraussetzungen auch anhand eines zweiten Beispiels mit Stichprobendaten untersucht werden. Untersuchung der Anwendungsvoraussetzungen (deskriptivstatistisches Beispiel) Prüfung der Linearitätsannahme Die Linearitätsannahme besagt, dass jede der unabhängigen Variablen für sich linear mit der abhängigen Variablen zusammenhängen soll. Wenn man also jeweils eine paarweise Kombination von Y mit einer der unabhängigen Variablen in einem Streudiagramm darstellt, sollte sich jeweils eine lineare Beziehung zwischen Y und X j anhand der Form der Verteilung der Punkte im Streudiagramm zu erkennen geben. Im Fall der multiplen Regression besteht aber das Problem, dass einfache Streudiagramme bei vorhandener Multikollinearität die Einflüsse der übrigen unabhängigen Variablen nicht kontrollieren. Diese Einflüsse können sich verzerrend auf die Form der Beziehung zwischen Y und einer der un- 8.3 204 M U L T I P L E L I N E A R E R E G R E S S I O N <?page no="204"?> abhängigen Variablen auswirken. Denn für die paarweise Betrachtung stellen die übrigen unabhängigen Variablen im Regressionsmodell nun Drittvariablen dar. Um die Einflüsse der übrigen unabhängigen Variablen zu kontrollieren, werden diese jeweils aus Y und X j auspartialisiert und dann die Residuen von Y gegen die Residuen von X j in einem Streudiagramm aufgetragen. Die so konstruierten Streudiagramme heißen partielle Regressionsdiagramme. Sie stellen den partiellen Zusammenhang zwischen einer paarweisen Kombination von Y und einer Variablen X j nach Auspartialisierung aller übrigen unabhängigen Variablen in grafischer Form dar. Man kann so viele partielle Regressionsdiagramme erstellen, wie es unabhängige Variablen im Regressionsmodell gibt. Beispiel: Zu untersuchen ist einmal, ob die Beziehung zwischen der Semesterzahl (Y) und der Wochenstundenzahl (X 1 ) ausreichend linear ist, wenn man aus beiden Variablen vorher den linearen (und möglicherweise verzerrenden Einfluss) der Variablen Studienbedingungen (X 2 ) auspartialisiert hat. Zum anderen ist die Form des Zusammenhangs zwischen Semesterzahl (Y) und Studienbedingungen (X 2 ) nach Auspartialisierung der Wochenstunden (X 1 ) auf ausreichende Linearität zu untersuchen. Die ABBILDUNG 8.5 stellt die beiden partiellen Regressionsdiagramme dar. Der partielle Zusammenhang in dem linken Diagramm zwischen Semesterzahl und Wochenstundenzahl ist erkennbar linear. In dem anderen Diagramm rechts ist eine leichte Abweichung hin zu einer (negativen) quadratischen Beziehungsform zwischen Semesterzahl und Studienbedingungen Abb. 8.5 2 0 1 -1 -2 -10 -5 5 0 10 Semesterzahl (Residuen) Wochenstunden (Residuen) 2 -1 0 -2 -4 -2 2 0 4 Semesterzahl (Residuen) Studienbedingungen (Residuen) Partielle Regressionsdiagramme zur Diagnose von Linearität 205 U N T E R S U C H U N G D E R A N W E N D U N G S V O R A U S S E T Z U N G E N <?page no="205"?> tistik für Soziologen(3)__[Druckzu erkennen. In solchen Fällen muss man entscheiden, ob eine lineare Beziehung ein dennoch vertretbares Modell ist. Dies ist hier der Fall. Liegen im partiellen Regressionsdiagramm starke Abweichungen von der Linearität vor, so kann man versuchen, diese Beziehung zu linearisieren. Dies erfolgt, indem man eine der beiden Variablen transformiert ( fi Kap. 8.7) . Starke Abweichungen von der Linearität haben zur Folge, dass die regressionstechnische Berechnung der partiellen Regressionskoeffizienten verzerrte Resultate liefert. Prüfung auf geringe Multikollinearität Um das Ausmaß der Multikollinearität zwischen den unabhängigen Variablen zu quantifizieren, könnte man die bivariaten Korrelationen zwischen je zwei unabhängigen Variablen (in einer Korrelationsmatrix) angeben. Hierbei werden allerdings die Drittvariableneinflüsse der übrigen unabhängigen Variablen (auf die paarweise berechneten bivariaten Korrelationen) nicht kontrolliert. Aus diesem Grund hat sich eine andere Maßzahl etabliert. Für jede Variable X j kann die so genannte Toleranz (T j ) berechnet werden, die angibt, wie groß der Anteil ihrer Variation ist, der nicht durch die übrigen unabhängigen Variablen im Modell erklärt wird. Man berechnet die Toleranz für eine unabhängige Variable X j , indem man diese als abhängige Variable auf die übrigen unabhängigen Variablen regressiert. (Bei der Prüfung der Multikollinearität und der Ermittlung der Toleranz bleibt also die abhängige Variable Y außen vor.) Man erhält in dieser Regression einen Determinationskoeffizienten r j2 , der angibt, zu wie viel Prozent X j durch die übrigen unabhängigen Variablen erklärt werden kann. Die Differenz (1 - r j2 ) ist dann der Anteil an der Variation von X j , der nicht durch die übrigen Variablen erklärt werden kann: T j = (1 - r j2 ) Für jede unabhängige Variable kann eine solche Regression auf die übrigen unabhängigen Variablen durchgeführt werden, daher ist die Toleranz mit j indiziert. Beispiel: Die Toleranz der unabhängigen Variablen Wochenstunden (X 1 ) ist der Anteil ihrer Variation, der nicht durch die Variable Studienbedingungen (X 2 ) erklärt werden kann. Führt man eine Regression durch, in welcher die Variable Wochenstunden als abhängige Variable regressiert wird auf die Variable Studienbedingungen, erhält man einen r 12 -Wert von 0,304. Die Toleranz ist damit: T 1 = 1 - 0,304 = 0,696 Maßnahme bei Verstoß gegen Linearitätsvoraussetzung Toleranz als Maßzahl zur Diagnose von Multikollinearität 206 M U L T I P L E L I N E A R E R E G R E S S I O N <?page no="206"?> Man kann sagen, dass fast 70 % der Variation der Wochenstunden nicht durch die Variation der Studienbedingungen erklärt werden kann. Wenn man nun die Toleranz für die Variable Studienbedingungen T 2 berechnen will, führt man erneut eine Regression durch, in der die Variable Studienbedingungen nun die abhängige und die Variable Wochenstunden die unabhängige ist. Da hier nur zwei unabhängige Variablen vorliegen, handelt es sich um das gleiche Variablenpaar wie für die Berechnung von T 1 , nur „mit vertauschten Rollen“, konkret: Es wird umgekehrt regressiert. Die Erklärungsleistung ist in diesem Fall dieselbe, r 22 = 0,304. Die Toleranz T 2 ist: T 2 = 1 - 0,304 = 0,696 Nur in dem Fall zweier unabhängiger Variablen wäre die bivariate Korrelation ein anwendbares Maß für die Erfassung der Multikollinearität. In diesem Fall gelten bivariate Korrelationen zwischen den unabhängigen Variablen kleiner als -0,9 bzw. größer als +0,9 als problematisch (K ÜHN E L / K R E B S 2012). Allgemein gilt: Die Toleranz variiert im Bereich zwischen 0 und 1. Ist die Toleranz für alle J unabhängigen Variablen T j = 1, bedeutet dies, dass keine Multikollinearität zwischen ihnen vorliegt. Beträgt die Toleranz für eine unabhängige Variable X j dagegen T j = 0, dann kann diese unabhängige Variable durch die übrigen unabhängigen Variablen im Regressionsmodell vollständig erklärt werden. Sie hat dann keinen eigenen Informationsgehalt, der nicht auch durch die übrigen unabhängigen Variablen im Regressionsmodell „abgedeckt“ wäre. Die Regressionsrechnung ist gegen vorliegende Multikollinearität allerdings robust. Damit ist gemeint, dass man trotz hoher Multikollinearität die partiellen Regressionskoeffizienten ermitteln kann. Für die angewandte multiple Regressionsanalyse gelten auch niedrige Toleranzwerte als unproblematisch. Eine Faustregel ist, dass die Toleranzen nicht kleiner als 0,1 sein dürfen (C OHEN et al. 2003, S. 424). Aber solche Faustregeln sind mit Vorsicht zu verwenden. Verallgemeinert man obige Aussage aus K ÜHNE L / K R E B S , müsste man Toleranzwerte kleiner als ca. 0,2 bereits als problematisch beurteilen (da 1 - 0,9 2 = 0,19). Um vorliegende hohe Multikollinearität zu „beheben“, kann man verschiedene Strategien anwenden. Zum einen kann man aus einer unabhängigen Variablen mit niedrigem Toleranzwert die übrigen unabhängigen Variablen auspartialisieren (um dann mit den Residuen die Regressionsanalyse weiterzurechnen). Ist die Multikollinearität für eine Variable X j extrem, ist zum zweiten ein Verzicht auf diese Variable zu empfehlen. In diesem Fall können sonst die partiellen Regressionskoeffizienten nicht mehr ermittelt werden. Eigenschaften der Toleranz „Faustregel“ für Toleranzen Maßnahmen bei sehr hoher Multikollinearität 207 U N T E R S U C H U N G D E R A N W E N D U N G S V O R A U S S E T Z U N G E N <?page no="207"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- Bemerkung: Anstelle der Toleranz findet sich in der Statistikliteratur auch dessen Kehrwert, das ist der VIF-Wert (für engl. „variance inflation factor“). Prüfung auf Varianzhomogenität Leistet ein Regressionsmodell eine einheitliche Vorhersageleistung über alle Größenordnungen von Yˆ hinweg, so ergibt sich eine einheitliche Streuung der Residuen, wenn man diese gegen die Vorhersagewerte Yˆ in einem Streudiagramm aufträgt. In ABBILDUNG 8.6 ist mit dem Streudiagramm oben links eine idealtypische Situation (für 150 Fälle) wiedergegeben, in der Varianzhomogenität (Homoskedastizität) vorliegt. Hierbei formt sich die Punktewolke wie ein horizontal verlaufendes Band mit einheitlicher Breite. Die Residuen e i streuen in der Vertikalen einheitlich um den Wert e i = 0. In den verschiedenen horizontalen Abschnitten ist die Varianz der Residuen gleich groß. Das Streudiagramm oben rechts zeigt eine typische Situation (für 150 Fälle), in der Varianzheterogenität (Heteroskedastizität) vorliegt. Hier weist das Regressionsmodell eine uneinheitliche Vorhersageleistung auf. Die Punktewolke hat die Form eines sich nach rechts öffnenden Trichters. Hier ändert sich das Ausmaß, in dem die Residuen streuen, in Abhängigkeit von Yˆ . Das heißt, für kleine y i -Werte leistet das Modell im Vergleich zu großen y i -Werten bessere Vorhersagen, was sich an der kleinen Varianz (um e i = 0) der Residuen in diesem Bereich zeigt. Je größer die Vorhersagewerte werden, desto schlechter ist die Vorhersageleistung. Varianzheterogenität liegt auch vor, wenn der Trichter sich zur anderen Seite öffnet oder wenn sich die Varianz der Residuen in den mittleren Regionen eines Streudiagramms von den Regionen links und rechts deutlich unterscheidet. Um die Varianzhomogenität bzw. die Varianzheterogenität visuell noch deutlicher hervorzuheben, kann man die Vorhersagewerte gruppieren und dann für diese Gruppen die Verteilung der Residuen anhand von Boxplots ( fi Kap. 3.8) vergleichen. Für die beiden gerade besprochenen Streudiagramme werden die Vorhersagewerte in je drei gleich große Gruppen (mit je 50 Fällen) eingeteilt. Für die Situation der Varianzhomogenität erkennt man in ABBIL- DUNG 8.6 unten links, dass die Residuen sich sehr ähnlich in den drei Gruppen verteilen. Die drei Boxen (Kästen) sind jeweils ähnlich hoch (ihre Höhe entspricht dem Quartilsabstand). Im Fall der Varianzheterogenität in der ABBILDUNG 8.6 unten rechts erkennt man, dass die Boxen von links nach rechts in der Höhe zunehmen. Eine alternative Strategie zur Visualisierung der Varianzheterogenität mit Hilfe der Boxplots ist Plot der Residuen gegen die Vorhersagewerte für Diagnose von Varianzhomogenität Boxplots für Diagnose Berechnung von Varianzen für Diagnose 208 M U L T I P L E L I N E A R E R E G R E S S I O N <?page no="208"?> die Berechnung der Varianzen für die Residuen in den drei Gruppen. Diese können dann verglichen werden, ob sie ähnlich groß sind. Beispiel: Plottet man für das Beispiel die Residuen der Semesterzahl gegen die Vorhersagewerte (durch das Regressionsmodell vorhergesagte Semesterzahl für jeden Fall), ergibt sich das Streudiagramm in ABBIL- DUNG 8.7. Abb. 8.6 1 0 -1 0 5 15 10 20 Residuen Vorhersagewerte Bsp. Varianzhomogenität 40 0 20 -20 0 10 20 30 Residuen Vorhersagewerte Bsp. Varianzheterogenität 1 0 0 0 -1 1 2 3 Residuen Gruppierte Vorhersagewerte 40 0 20 -20 1 2 3 Residuen Gruppierte Vorhersagewerte 209 U N T E R S U C H U N G D E R A N W E N D U N G S V O R A U S S E T Z U N G E N <?page no="209"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- Ob Varianzhomogenität vorliegt, kann man hier am besten untersuchen, wenn man die Vorhersagewerte gruppiert und für die Gruppen die Streuung der Residuen vergleicht. Da die Fallzahl sehr klein ist, ist es unpraktikabel, mehr als zwei Gruppen zu bilden. In die erste Gruppe werden die fünf Fälle mit den fünf kleinsten Vorhersagewerten gruppiert, die zweite Gruppe besteht aus den Fällen mit den vier übrigen (den vier größten) Vorhersagewerten. Die Fallzahl in den Gruppen ist gering, hier bietet sich an, für die Gruppen die Varianzen zu berechnen. Die Varianz der ersten Gruppe beträgt v = 0,30, die Varianz der zweiten Gruppe beträgt v = 0,17. Die Varianzen unterscheiden sich um den Faktor 1,8. In diesem Fall liegt Varianzheterogenität vor, die aber ausreichend klein ist (Faustregel dazu fi Kap. 8.6 ). Das Streudiagramm kann nicht nur der Untersuchung auf Varianzhomogenität dienen. Man kann die Verteilung der Punkte im Streudiagramm interpretieren. Kleine und große Vorhersagewerte gehen mit positiven Residuen einher, hier tendiert das Modell dazu, die Semesterzahl jeweils zu unterschätzen. Mittlere Vorhersagewerte gehen mit negativen Residuen einher, hier gibt es die Tendenz des Modells, die Semesterzahl zu überschätzen. Die Punkte verteilen sich V-förmig. Das Muster ist auf die vorher diagnostizierte leichte Nichtlinearität zurückzuführen. Man kann bei deutlicher Varianzheterogenität schließen, dass noch (mindestens) ein systematischer Effekt vorliegt, der nicht im Regressionsmodell berücksichtigt wurde. Dieser Effekt kann im Fehlen einer Variablen bestehen, die für die Varianzheterogenität der Residuen verantwortlich ist und deren Aufnahme in das Modell diese reduzieren würde. Abb. 8.7 0 1 -1 8 10 14 12 Residuen Vorhersagewerte Ursachen von Varianzheterogenität 210 M U L T I P L E L I N E A R E R E G R E S S I O N <?page no="210"?> Die Varianzheterogenität kann aber auch andere Ursachen haben, wie eine nichtlineare Beziehung zwischen Y und den erklärenden X j . Eine andere Erklärung kann eine nicht berücksichtigte Interaktion zwischen den beiden unabhängigen Variablen sein ( fi Kap. 8.4) . Maßnahmen zur Reduzierung der Varianzheterogenität sind die Aufnahme fehlender relevanter Variablen, gegebenenfalls die Bildung und Aufnahme von Interaktionen. In der Literatur findet sich die Empfehlung, Y zu transformieren. Häufig lässt sich die Varianzheterogenität reduzieren, wenn die abhängige Variable sehr schief verteilt ist und diese mit Hilfe einer Transformation symmetrisiert werden kann. Eine weitere Maßnahme ist die Verwendung der Methode der gewichteten kleinsten Quadrate, abgekürzt: WLS (für engl. „weighted least squares“) als Schätzverfahren. Dies wird aber nur erfahrenen Anwendern empfohlen. Exkurs: Interaktion Von einer Interaktion spricht man im Rahmen von Regressionsanalysen, wenn der Effekt einer unabhängigen Variablen X j auf Y durch eine andere Variable moduliert wird („moderator approach“). Beispiel: Angenommen, der Effekt, mit der die Wochenstunden (X 1 ) sich auf die Semesterzahl (Y) auswirken, ist nicht konstant, sondern hängt davon ab, wie die Studienbedingungen (X 2 ) an einem Institut ausgeprägt sind. Eine Erhöhung der Wochenstunden wirkt sich dann nicht einheitlich auf die Semesterzahl aus. In Studiengängen mit guten Studienbedingungen wirkt sich die zusätzlich investierte Zeit anders aus als in Studiengängen mit schlechten Studienbedingungen. In dem Pfaddiagramm in ABBILDUNG 8.8 ist durch einen Pfeil verdeutlicht, dass der Effekt der Wochenstunden (X 1 ) auf die Semesterzahl (Y) durch die Studienbedingungen (X 2 ) moduliert wird. Die Effektstärke variiert nun in Abhängigkeit der Studienbedingungen. Man berechnet eine Interaktion, indem man die Variablen, zwischen denen eine Interaktion vorliegt, miteinander multipliziert. Für jeden Merkmalsträger i werden also die Ausprägungen x 1i und x 2i miteinander multipliziert. Für jeden Merkmalsträger liegt danach eine zusätzliche Ausprägung (x 1i . x 2i ) vor, und das Produkt kann wie eine neue Variable Wochenstunden Studienbedingungen X 1 Y X 2 E Residue Semesterzahl Abb. 8.8 Maßnahmen bei starker Varianzheterogenität 8.4 211 E X K U R S : I N T E R A K T I O N <?page no="211"?> tistik für Soziologen(3)__[Druckbehandelt werden. Die Regressionsgleichung für das erweiterte Regressionsmodell ist damit: y i = b 0 + b 1 x 1i + b 2 x 2i + b 3 ð x 1i x 2i Þ + e i Man kann an dieser Gleichung sehen, dass die unabhängigen Variablen X 1 und X 2 nicht mehr allein additiv auf Y einwirken, sondern dass es einen zusätzlichen kombinierten Effekt auf Y gibt. Die Produktvariable X 1 . X 2 wird als Interaktionsterm bezeichnet. Sie erhält einen eigenen Regressionskoeffizienten b 3 . Durch Ausklammerung von X 1 kann man die Modulierung des Effekts von X 1 auf Y durch X 2 veranschaulichen: y i = b 0 + ð b 1 + b 3 x 2i Þ |fflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflffl} modulierter Effekt von X 1 x 1i + b 2 x 2i + e i Der Effekt von X 1 auf Y wird durch den eingeklammerten Ausdruck quantifizierbar. Dieser besteht nun nicht mehr allein aus dem Regressionskoeffizienten b 1 , sondern zusätzlich aus einem veränderlichem Bestandteil, dessen Größe von X 2 abhängt. Bemerkung: Die Unterscheidung, welche der beiden interagierenden Variablen die modulierende und welche die modulierte ist, ist eine soziologische. Regressionstechnisch kann man die Ausklammerung genauso mit der anderen Variablen durchführen. Beispiel: Durch die Aufnahme des Interaktionsterms lässt sich die Erklärungsleistung des Regressionsmodells auf r 2 = 0,989 steigern. Die quadrierte Semipartialkorrelation sr 2 = 0,048 gibt den Zuwachs an Erklärungsleistung gegenüber dem Anfangsmodell (r 2 = 0,941) an. Die TA- BELLE 8.4 beinhaltet auch die Regressionskoeffizienten für das erweitere Regressionsmodell b 0 und b j . Die erweiterte Regressionsgleichung lautet damit: y i = 22,008 + ð 0,268 Þ x 1i + ð 1,033 Þ x 2i + 0,021 ð x 1i x 2i Þ + e i Klammert man X 1 aus, erhält man: y i = 22,008 + ð 0,268 + 0,021 x 2i Þ |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} modulierter Effekt der Wochenstunden x 1i + ð 1,033 Þ x 2i + e i Tab. 8.4 j Variable b j b j * sr 2 T j 1 Wochenstunden - 0,268 - 1,083 0,162 0,138 2 Studienbedingungen - 1,033 - 1,571 0,107 0,043 3 Interaktionsterm 0,021 1,404 0,048 0,025 Konstante b 0 = 22,008 r 2 = 0,989 Effektstärke wird moduliert 212 M U L T I P L E L I N E A R E R E G R E S S I O N <?page no="212"?> Der Klammerausdruck gibt an, dass um eine Skaleneinheit besser bewertete Studienbedingungen den Effekt der Wochenstunden auf die Semesterzahl um +0,021 verändern. Werden die Studienbedingungen als sehr schlecht (x 2i = 1) beurteilt, so ist der modulierte Effekt (-0,268 + 0,021) = -0,247. Werden die Studienbedingungen dagegen als sehr gut (x 2i = 10) beurteilt, so ist der modulierte Effekt (-0,268 + 0,021 . 10) = -0,058. Je besser die Studienbedingungen sind, desto weniger wirkt sich eine Erhöhung der Wochenstunden auf die Reduzierung der Semesterzahl aus. Wenn Interaktionen zwischen Variablen vorliegen, so sind diese für das Modell relevante Sachverhalte und sollten in das Regressionsmodell aufgenommen werden. Fehlende Interaktionen können dann zu Varianzheterogenität (Heteroskedastizität) eines Modells führen. Die Aufnahme von Interaktionen kann Probleme lösen, sie bringt aber andere Probleme ein. (1) Sind Interaktionsterme in einem Regressionsmodell aufgenommen worden, so hat dies Folgen für die Interpretation der Regressionskoeffizienten b j derjenigen Variablen, die miteinander interagieren. Diese geben nur unter der Bedingung den Effekt von X j auf Y an, dass die mit ihr interagierende Variable die Ausprägung 0 hat. Daher sind die Regressionskoeffizienten von Variablen, zwischen denen eine Interaktion vorliegt, keine partiellen Regressionskoeffizienten, sondern konditionale Regressionskoeffizienten (engl. „conditional effects“). Kann die Ausprägung 0 bei einer Variablen nicht vorkommen, so hat dies weitere Folgen für die Interpretierbarkeit des konditionalen Regressionskoeffizienten der mit ihr interagierenden Variablen. So auch in dem Beispiel: Da die Variable Studienbedingungen im Spektrum von 1 bis 10 variiert und damit die Ausprägung 0 nicht aufweisen kann, ist der konditionale Regressionskoeffizient für die Variable Wochenstunden b 1 nicht sinnvoll interpretierbar. (2) Werden Interaktionsterme aufgenommen, so ist erwartbar, dass die Multikollinearität im Modell zunimmt und die Toleranzen der erklärenden Variablen abnehmen. In dem erweiterten Regressionsmodell des Beispiels sind die Toleranz-Werte T j (in TABELLE 8.4) kritisch. Abhilfe für die beiden Probleme kann eine Mittelwertzentrierung der interagierenden Variablen schaffen, die durchgeführt wird, bevor der Interaktionsterm berechnet wird. Mittelwertzentrierung bedeutet: Von jeder Ausprägung einer Variablen x ji wird das arithmetische Mittel der Variablen x j subtrahiert. Der neue Mittelwert ist x jzentriert = 0. Die Regressionskoeffizienten b j von zentrierten Variablen geben dann den Effekt von X j zentriert auf Y an, wenn die mit ihr interagierende (mittelwertzentrierte) Variable durchschnittlich ausgeprägt ist. Durch Folgen der Aufnahme von Interaktionstermen Abhilfe durch Mittelwertzentrierung 213 E X K U R S : I N T E R A K T I O N <?page no="213"?> tistik für Soziologen(3)__[Druckdie vorherige Mittelwertzentrierung wird auch erreicht, dass die Zunahme der Multikollinearität durch die Aufnahme des Interaktionsterms nicht problematisch ist. Beispiel: Führt man die Mittelwertzentrierung für die Variablen Wochenstundenzahl und Studienbedingungen durch und berechnet danach den Interaktionsterm, verändern sich die Regressionskoeffizienten b 0 , b 1 und b 2 . Das Ausmaß der Modulation (das durch b 3 = 0,021 quantifiziert wird), die Steigerung der Erklärungsleistung durch die Aufnahme des Interaktionsterms (sr 2 = 0,048) sowie die Erklärungsleistung des erweiterten Modells insgesamt (r 2 = 0,989) ändern sich nicht. Dagegen verschwinden die problematischen Aspekte des Modells. (a) Die Interpretierbarkeit der beiden konditionalen Regressionskoeffizienten b 1 und b 2 hat sich verbessert: Sie geben nun den Effekt der zugehörigen Variablen auf die Semesterzahl an, wenn die andere Variable durchschnittlich ausgeprägt ist. Tab. 8.5 j Variable b j b j * sr 2 T j 1 Wochenstunden (zentriert) - 0,156 - 0,633 0,255 0,637 2 Studienbedingungen (zentriert) - 0,385 - 0,585 0,224 0,682 3 Interaktionsterm 0,021 0,244 0,048 0,814 Konstante b 0 = 11,630 r 2 = 0,989 Abb. 8.9 0 1 -1 8 10 12 14 Residuen Vorhersagewerte 214 M U L T I P L E L I N E A R E R E G R E S S I O N <?page no="214"?> (b) Die TABELLE 8.5 gibt die Toleranzwerte für die drei unabhängigen Variablen an. Die Multikollinearität ist hier deutlich niedriger, die Toleranzwerte fallen gut aus (alle T j sind größer als 0,6). (c) Anhand des Streudiagramms in ABBILDUNG 8.9 kann man erkennen, dass die Varianzheterogenität immer noch niedrig ist. (Die Varianz für die fünf Fälle mit den fünf kleinsten Vorhersagewerten ist v = 0,04 und für die anderen vier Fälle v = 0,07.) Man erkennt nun aber, dass nach Aufnahme des Interaktionsterms in das Regressionsmodell das V-förmige Muster verschwunden ist. Es liegt keine Systematik mehr vor. Multiple Regression mit Stichprobendaten In dem oben angeführten Beispiel war die Fallzahl mit n = 9 sehr klein. Diese Fälle wurden als eine kleine Gesamtheit angesehen und daher deskriptivstatistisch analysiert. Zudem war die Erklärungsleistung (es handelte sich um fiktive Daten) für soziologische Anwendungen untypisch hoch. Typisch sind Situationen, in denen viele Einflüsse vorliegen und die Erklärungsleistung weitaus geringer ausfällt. Anhand eines zweiten Beispiels sollen verschiedene Aspekte berücksichtigt werden: (1) Zunächst soll ein Regressionsmodell erstellt werden, das deutlich mehr Fälle einbezieht. (2) Zudem werden die einbezogenen Fälle als eine Zufallsstichprobe aus einer sehr viel größeren Grundgesamtheit betrachtet, so dass hier nun inferenzstatistische Überlegungen hinzukommen. (3) Im inferenzstatistischen Kontext ergibt sich für die Anwendungsvoraussetzungen eine zusätzliche Perspektive: die Folgen extremer Verstöße für das Testen und Schätzen im Rahmen der Regressionsrechnung. Beispiel: Anstatt zu fragen, welche Partei eine Person zuletzt gewählt hat oder bei der nächsten Wahl zu wählen beabsichtigt, kann man erfragen, wie hoch eine Person ihre eigene Bereitschaft einschätzt, überhaupt einmal diese oder jene Partei zu wählen. Damit kann man sowohl klare Parteipräferenzen bzw. klare Ablehnungen von Parteien als auch die graduellen Abstufungen dazwischen erfassen. Im Rahmen des ALLBUS 2002 wurden die Befragten vom Interviewer um folgende Auskunft gebeten: „Es gibt eine ganze Reihe von politischen Parteien in Deutschland. Jede davon würde bei Wahlen gerne Ihre Stimme bekommen. Sagen Sie mir bitte für jede der folgenden Parteien, wie wahrscheinlich es ist, dass Sie diese Partei jemals wählen werden.“ Die Befragten konnten für jede Partei diese Wahlwahrscheinlichkeit auf einer Skala von 1 (= „sehr unwahrscheinlich“) bis 10 (= „sehr wahrscheinlich“) zum Ausdruck brin- 8.5 215 M U L T I P L E R E G R E S S I O N M I T S T I C H P R O B E N D A T E N <?page no="215"?> tistik für Soziologen(3)__[Druckgen. Das Ausmaß für die Bereitschaft der (wahlberechtigten) Deutschen, die CDU/ CSU zu wählen, soll mit Hilfe einer multiplen Regressionsanalyse erklärt werden. Dieses Untersuchungsinteresse zielt damit auf die Grundgesamtheit der (erwachsenen) deutschen Bevölkerung ab. Im Jahr 2002 war die CDU/ CSU nicht an der Bundesregierung, aber an verschiedenen Länderregierungen beteiligt. Die Wahlwahrscheinlichkeit für die CDU/ CSU repräsentiert die abhängige Variable und wird als metrisch skaliert betrachtet. Sie soll regressiert werden auf fünf Variablen: (1) die angegebene Religiosität (v124 mit den Ausprägungen 1 = „nicht religiös“ bis 10 = „religiös“); (2) die Links-Rechts-Selbsteinstufung (v106 mit den Ausprägungen 1 = „links“ bis 10 = „rechts“); (3) die Oben-Unten-Selbsteinstufung (v696, mit den Ausprägungen 1 = „oben“ bis 10 = „unten“); (4) das Vertrauen in die Bundesregierung (v38, mit den Ausprägungen 1 = „gar kein Vertrauen“ bis 7 = „großes Vertrauen“); (5) das Vertrauen in die politischen Parteien (v40, mit den Ausprägungen 1 = „gar kein Vertrauen“ bis 7 = „großes Vertrauen“). Zusätzlich werden drei soziodemografische Variablen einbezogen: das Alter (v185) in Jahren sowie zwei dichotome 0 - 1-kodierte Variablen: das Vorliegen des Abiturs (Referenzkategorie „kein Abitur“) und das Geschlecht (Referenzkategorie „männlich“). Damit soll ihr möglicher Drittvariableneinfluss auf den Zusammenhang zwischen der abhängigen und den unabhängigen Variablen X 1 bis X 5 kontrolliert werden. Regressionstechnisch erfolgt dies, indem die Regressionskoeffizienten b 1 bis b 5 so berechnet werden, dass sie von den (möglicherweise verzerrenden) Einflüssen der aufgenommenen Drittvariablen X 6 bis X 8 bereinigt sind. Das Pfadmodell in ABBILDUNG 8.10 veranschaulicht das Regressionsmodell grafisch. Für 1249 der Befragten in der ALLBUS-Stichprobe liegen die Ausprägungen der abhängigen und unabhängigen Variablen vor. Für die Stichprobe kann man die multiple Regressionsgleichung und die Erklärungsleistung des Modells - unter Verwendung einer Statistiksoftware - schnell ermitteln. In der TABELLE 8.6 sind (neben einigen inferenzstatistischen Informationen) die Regressionskoeffizienten b 0 und b j aufgeführt. Für die Stichprobe kann man sagen: Alle acht unabhängigen Variablen haben eine gemeinsame Erklärungsleistung von r 2 = 0,223. Für die 1249 Befragten erklärt das Regressionsmodell also 22,3 % der Unterschiede der Wahlwahrscheinlichkeit für die CDU/ CSU. Das ist ein niedriger Wert, das Modell hat für die Wahlwahrscheinlichkeiten für die CDU/ CSU der 1249 Befragten eine schwache Erklärungsleistung. In der empirischen Sozialfor- 216 M U L T I P L E L I N E A R E R E G R E S S I O N <?page no="216"?> schung sind die r 2 -Werte aber häufig niedrig ausgeprägt, r 2 -Werte über 0,5 werden selten erreicht. Die Ausprägungen der b j lassen sich für die Stichprobe inhaltlich interpretieren. Sie geben jeweils die Effektstärke einer unabhängigen Variablen auf die vorherzusagende Wahlwahrscheinlichkeit für die CDU/ CSU an. Vertrauen in Bundesregierung Vertrauen in politische Parteien X 4 Oben-Unten- Selbsteinstufung X 3 Links-Rechts- Selbsteinstufung X 2 Religiösität X 1 Y X 5 Alter X 6 Abitur X 7 Geschlecht X 8 E Residue Wahlwahrscheinlichkeit CDU/ CSU Abb. 8.10 j Variable b j b j t 1 Religiosität 0,180 0,028 6,429 2 Links-Rechts-Selbsteinstufung 0,539 0,046 11,717 3 Oben-Unten-Selbsteinstufung - 0,222 0,058 - 3,828 4 Vertrauen in Bundesregierung - 0,385 0,072 - 5,347 5 Vertrauen in politische Parteien 0,670 0,079 8,481 6 Alter - 0,007 0,005 - 1,400 7 Abitur (kein Abitur = 0) - 0,148 0,204 - 0,725 8 Geschlecht (männlich = 0) - 0,579 0,166 - 3,488 Konstante b 0 = 2,534 n = 1249 r 2 = 0,223 r 2 korr = 0,218 Tab. 8.6 217 M U L T I P L E R E G R E S S I O N M I T S T I C H P R O B E N D A T E N <?page no="217"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- Mit Zunahme der Religiosität um einen Skalenpunkt, nimmt die vorherzusagende Wahlwahrscheinlichkeit für die CDU/ CSU um 0,180 Einheiten zu. Wer angibt, eher religiös zu sein, gibt durchschnittlich eine höhere Wahlwahrscheinlichkeit für die CDU/ CSU an. Mit Zunahme der Links-Rechts-Selbsteinstufung um einen Skalenpunkt nimmt die vorherzusagende Wahlwahrscheinlichkeit für die CDU/ CSU um 0,539 Einheiten zu. Wer sich eher rechts einordnet, gibt ebenfalls im Durchschnitt eine höhere Wahlwahrscheinlichkeit für die CDU/ CSU an. Entsprechend ist die Interpretation der b 3 bis b 6 . Die Regressionskoeffizienten für die beiden dichotomen Variablen geben an, wie sich die vorherzusagende Wahlwahrscheinlichkeit für die CDU/ CSU ändert, wenn man von der mit 0 kodierten Referenzgruppe zu der mit 1 kodierten Gruppe wechselt. Diese b j geben zugleich die Mittelwertdifferenz zwischen den beiden Gruppen an. Wechselt man von der Gruppe ohne Abitur zu der Gruppe mit Abitur, so reduziert sich die durchschnittliche Wahlwahrscheinlichkeit für die CDU/ CSU um 0,148 Einheiten. Wer eine höhere Schulbildung hat, gibt durchschnittlich eine geringe Wahlwahrscheinlichkeit für die CDU/ CSU an. Vergleicht man die Gruppe der Männer mit der Gruppe der Frauen, so geben die Frauen im Durchschnitt eine um 0,579 Einheiten geringere Wahlwahrscheinlichkeit für die CDU/ CSU an. (Die Drittvariablen stehen aber zumeist nicht im Fokus des Untersuchungsinteresses, weshalb ihr Effekt auf die abhängige Variable zumeist nicht betrachtet wird.) Will man die Effektstärken der verschiedenen X j auf Y vergleichen, kann man die Regressionskoeffizienten der metrisch skalierten X j standardisieren. In der TABELLE 8.7 sind die standardisierten Regressionskoeffizienten b j * aufgeführt. Man erkennt hier im Vergleich, welche der X j einen stärkeren oder schwächeren Einfluss auf den Vorhersagewert hat, was anhand der nicht standardisierten Regressionskoeffizienten (aufgrund ihrer Abhängigkeit von den Messeinheiten) nicht zu erkennen ist. In der TABELLE 8.7 sind in der vorletzten Spalte die quadrierten Semipartialkorrelationen sr 2 (quadrierte Teilkorrelationen) aufgeführt. Diese geben für jede Variable X j an, welchen Beitrag zur Erklärungsleistung des Modells für Y ausschließlich dieser einen Variablen zugerechnet werden kann. Würde man das Regressionsmodell um eine Variable X j reduzieren, so würde die Erklärungsleistung des Modells (von r 2 = 0,223) um den zugehörigen sr 2 -Wert sinken. Wieder hängt die Größe sr 2 für eine Variable auch davon ab, mit welchen anderen unabhängigen Variablen sie im Regressionsmodell enthalten ist. Variablen, die einen niedrigen sr 2 -Wert aufweisen, bringen - über die durch die anderen Variablen erbrachte Erklärungsleistung hinaus - kaum zusätzliche Erklärungsleistung in das Regressionsmodell ein. Man sieht in dem Beispiel, dass die Drittvariablen 218 M U L T I P L E L I N E A R E R E G R E S S I O N <?page no="218"?> sowie die Unten-Oben-Selbsteinstufung keine oder nur geringe zusätzliche Beiträge zur Erklärungsleistung der angegebenen Wahlwahrscheinlichkeit für die CDU/ CSU leisten. Inferenzstatistische Überlegungen Das inferenzstatistische Interesse besteht darin, anhand der Stichprobendaten Erkenntnisse über die Grundgesamtheit zu gewinnen. Bezogen auf das Beispiel heißt dies, dass man Erkenntnisse über alle wahlberechtigten Deutschen gewinnen will. Die beiden wichtigen Formen des Schließens (der Inferenz) sind auch in der Regressionsanalyse das Testen (von Hypothesen über die Grundgesamtheit) und das Schätzen. Man geht zunächst davon aus, dass in der Grundgesamtheit ein gerichteter Zusammenhang zwischen der abhängigen und den unabhängigen Variablen vorliegt. Will man das Regressionsmodell für die Grundgesamtheit in Gleichungsform darstellen, so werden die Regressionskoeffizienten in der Grundgesamtheit mit b j notiert (gr., kleines Beta). Die Regressionsgleichung für die Grundgesamtheit ist damit: y i = b 0 + b 1 . x 1i + . . .+ b j . x ji +. . .+ b J . x Ji + e i Für das Beispiel mit insgesamt acht unabhängigen Variablen (J = 8) ergibt sich damit für die Grundgesamtheit die Regressionsgleichung: y i = b 0 + b 1 . x 1i + b 2 . x 2i + . . . + b 8 . x 8i + e i j Variable b j b j * sr 2 T j 1 Religiosität 0,180 0,168 0,025 0,890 2 Links-Rechts-Selbsteinstufung 0,539 0,306 0,086 0,919 3 Oben-Unten-Selbsteinstufung - 0,222 - 0,099 0,009 0,948 4 Vertrauen in Bundesregierung - 0,385 - 0,175 0,018 0,577 5 Vertrauen in politische Parteien 0,670 0,279 0,046 0,587 6 Alter - 0,007 - 0,038 0,001 0,925 7 Abitur (kein Abitur = 0) - 0,148 - 0,000 0,912 8 Geschlecht (männlich = 0) - 0,579 - 0,008 0,965 Tab. 8.7 8.5.1 219 M U L T I P L E R E G R E S S I O N M I T S T I C H P R O B E N D A T E N <?page no="219"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- Der multiple Determinationskoeffizient in der (unbekannten) Grundgesamtheit, der für die Regression in der Grundgesamtheit die Erklärungsleistung quantifiziert, wird mit 2 ( für gr., kleines Rho) notiert. Hier wird das bereits vorgestellte Gedankenexperiment ( fi Kap. 6.3) erneut herangezogen: Wenn man aus dieser Grundgesamtheit, für die ein Regressionsmodell (mit unbekannten Werten für b 0 und b j ) vorliegt, eine sehr große Zahl von Zufallsstichproben zieht, so kann man für jede Stichprobe die Regressionskoeffizienten berechnen. Die für jede Stichprobe ermittelbaren Werte für die b 0 und die b j können aus Zufallsgründen von den entsprechenden Werten für b 0 und die b j in der Grundgesamtheit abweichen. Damit kann man die Stichprobenwerte von b 0 und den b j als Zufallsvariablen auffassen: Sie variieren aus Zufallsgründen von Stichprobe zu Stichprobe. Die Verteilungen dieser Zufallsvariablen sind Stichprobenverteilungen. Sie können für Hypothesentests oder für die Konstruktion von Konfidenzintervallen herangezogen werden. (In der Regel sind Tests von Hypothesen über b 0 bzw. Konfidenzintervalle für b 0 nicht von Interesse, da b 0 keinen Effekt einer unabhängigen Variablen auf Y angibt. Hier wird das statistische Schließen auf b 0 daher vernachlässigt.) Die Variablen B j folgen jeweils einer eigenen Stichprobenverteilung, d. h. auf das Beispiel bezogen: Es gibt für die Regressionskoeffizienten der acht unabhängigen Variablen jeweils eine eigene Stichprobenverteilung, da sie unabhängig voneinander variieren können. Mit Hilfe von Tests der Hypothesen über die b j kann man prüfen, ob die einzelnen unabhängigen Variablen jeweils auch in der Grundgesamtheit einen Einfluss ausüben. Für die Stichprobe werden die Regressionskoeffizienten b 0 und die b j wieder mit der Methode der kleinsten Quadrate berechnet. Diese Methode ist im inferenzstatistischen Kontext zugleich das Schätzverfahren für die Regressionskoeffizienten in der Grundgesamtheit. Man erhält mit den durch diese Methode ermittelten Regressionskoeffizienten für die Stichprobe zugleich erwartungstreue Punktschätzungen für die entsprechenden Regressionskoeffizienten in der Grundgesamtheit: b j = ^ j Mit Hilfe von Konfidenzintervallen kann man zudem die Frage beantworten, in welchem Ausprägungsbereich die interessierenden Effektstärken mit einem bestimmten Vertrauen in der Grundgesamtheit liegen. Teststatistiken und Konfidenzintervalle für die b j werden von den meisten Statistik-Softwareprogrammen standardmäßig zur Verfügung gestellt. Regressionskoeffizienten sind Zufallsvariablen Für jeden Regressionskoeffizienten eine Stichprobenverteilung 220 M U L T I P L E L I N E A R E R E G R E S S I O N <?page no="220"?> Das Gedankenexperiment kann man auch auf den multiplen Determinationskoeffizienten anwenden. In der (unbekannten) Grundgesamtheit ist 2 der Determinationskoeffizient, der die Erklärungsleistung des Regressionsmodells in der Grundgesamtheit quantifiziert. Zieht man aus dieser Grundgesamtheit eine große Zahl von Stichproben und ermittelt für jede Stichprobe die Erklärungsleistung r 2 mit Hilfe des multiplen Regressionsmodells in der Stichprobe, so können die r 2 -Werte aus Zufallsgründen von 2 abweichen und daher variieren. Damit ist auch R 2 eine Zufallsvariable mit einer Stichprobenverteilung. Auch hier gilt, dass man mit Hilfe der Stichprobenverteilung Hypothesen über 2 testen kann. Man kann auch für 2 Konfidenzintervalle berechnen. Zumeist reicht hier aber eine Punktschätzung. (Die Konfidenzintervalle für 2 sind etwas aufwändiger zu berechnen. Sie werden durch die übliche Statistik-Software auch nicht ausgegeben.) Solche Gedankenexperimente, in denen man überlegt, wie die Stichprobenwerte vieler Zufallsstichproben verteilt wären, dienen dazu, nachzuvollziehen, was die Stichprobenverteilungen der B j und R 2 bedeuten. Praktisch führt man die Inferenz (das Testen oder das Schätzen) immer nur mit einer Stichprobe durch. F-Test des multiplen Determinationskoeffizienten Die erste Frage ist, ob das Regressionsmodell auch in der Grundgesamtheit überhaupt eine Erklärungsleistung aufweist. Dieser Frage muss nachgegangen werden, bevor man die Einflüsse der einzelnen unabhängigen Variablen in der Grundgesamtheit untersucht. Geprüft wird die Nullhypothese, dass keine Erklärungsleistung in der Grundgesamtheit vorliegt, dass also 2 = 0 ist. Kann diese Nullhypothese verworfen werden, kann man behaupten, dass das Modell auch für die Grundgesamtheit eine Erklärungsleistung aufweist, dass also 2 > 0 ist. Formal: H 0 : 2 = 0 H 1 : 2 > 0 Wenn die H 0 für die Grundgesamtheit zutrifft, dann folgen die r 2 -Werte in Stichproben einer F-Verteilung mit den beiden expliziten Parametern df 1 = J und df 2 = n - J - 1. (Siehe für die grafische Darstellung der F-Verteilung im Anhang ( fi Abb. 12.4) .) Man kann daher die Nullhypothese mit einem so genannten F-Test prüfen. Der empirische F-Wert wird aus dem Stichprobenwert r 2 berechnet mit: F df 1 df 2 = r 2 1 r 2 n J 1 J Determinationskoeffizienten als Zufallsvariablen 8.5.2 F-Test prüft, ob Regressionsmodell für die Grundgesamtheit eine Erklärungsleistung aufweist 221 M U L T I P L E R E G R E S S I O N M I T S T I C H P R O B E N D A T E N <?page no="221"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- Liegt in der Stichprobe ein kleiner F-Wert vor, so spricht dies für die Beibehaltung der H 0 . Kleine r 2 -Werte sind mit der H 0 vereinbar, ihr Vorkommen hat unter der vorläufigen Annahme der H 0 eine große Wahrscheinlichkeit. Große F-Werte sprechen gegen die H 0 und für die H 1 . Denn ihr Vorkommen hat unter der vorläufigen Annahme der H 0 nur eine geringe Wahrscheinlichkeit. Beträgt die Auftrittswahrscheinlichkeit für den empirischen F-Wert (oder einen noch größeren) unter der H 0 nur 5 % oder weniger, dann wird die H 0 verworfen. Dann ist der empirische F-Wert F emp größer als der Rückweisungswert F r . Man kann den F-Test des multiplen Determinationskoeffizienten r 2 auch so auffassen, dass er die Nullhypothese prüft: „In der Grundgesamtheit übt keine der J unabhängigen Variablen einen Einfluss auf Y aus, und daher kommt keine Erklärungsleistung in der Grundgesamtheit zustande! “ Dann gilt: b 1 = b 2 = b 3 = . . .= b j = . . .= b J = 0 Die Alternativhypothese behauptet, dass zumindest eine der unabhängigen Variablen einen Einfluss in der Grundgesamtheit hat und dass damit zumindest ein b j in der Grundgesamtheit von 0 verschieden ist. Formal: H 0 : b j = 0 für alle j H 1 : b j „ 0 für mindestens ein j Der F-Test ist ein globaler Test, er prüft den Regressionsansatz insgesamt. Ist der empirische F-Wert größer als der Rückweisungswert, muss die H 0 verworfen werden. Ist der empirische F-Wert dagegen kleiner als der Rückweisungswert, dann kann man nicht länger annehmen, dass das Regressionsmodell überhaupt eine Erklärungsleistung beanspruchen kann, und man sollte den Regressionsansatz für die Analyse der abhängigen Variablen insgesamt verwerfen. Beispiel: Für die Wahlwahrscheinlichkeit von CDU/ CSU gilt, dass die r 2 -Werte unter der H 0 einer F-Verteilung mit df 1 = J = 8 und df 2 = n - J - 1 = 1249 - 8 - 1 = 1240 folgen. Der Rückweisungswert F r ist (für ein Signifikanzniveau von 5 %): F 8 1240 r = 1,95 ( fi TABELLE 12.4 im Anhang) . Den Rückweisungsbereich bilden alle F-Werte, die größer oder gleich dem Rückweisungswert sind. Der empirische r 2 -Wert wird nun zu einem empirischen F-Wert umgerechnet. Man erhält durch das Einsetzen: F 8 1240 emp = 0,223 1 0,223 1249 8 1 8 = 44,485 F-Test ist ein einseitiger Test, Rückweisungsbereich liegt rechts vom Rückweisungswert 222 M U L T I P L E L I N E A R E R E G R E S S I O N <?page no="222"?> Da F emp > F r ist, kann die H 0 verworfen werden. Auch in der Grundgesamtheit aller Wahlberechtigten hat das Regressionsmodell eine Erklärungsleistung. Korrigierter Determinationskoeffizient Wenn die Erklärungsleistung eines Regressionsmodells anhand von Stichprobendaten berechnet wird, dann ist der r 2 -Wert kein unverzerrter Schätzer für den entsprechenden Wert 2 in der Grundgesamtheit. Der r 2 -Wert ist als Schätzer für die Erklärungsleistung in der Grundgesamtheit systematisch etwas zu groß. Diese Verzerrung ist tendenziell umso größer, je mehr unabhängige Variablen in einem Modell enthalten sind. Der Grund ist darin zu sehen, dass aus Zufallsgründen auch unsubstantielle (rein zufällige) Beiträge zur Erklärungsleistung in das Modell eingehen können, die sich prinzipiell nur in einer Steigerung des Determinationskoeffizienten auswirken können. Daher wird bei Verwendung von Stichprobendaten nicht r 2 , sondern ein korrigierter Wert r korr2 als Schätzung für die Erklärungsleistung des Regressionsmodells in der Grundgesamtheit angegeben. Die Korrektur wird berechnet mit: r 2 korr = r 2 J ð 1 r 2 Þ n J 1 Für das Beispiel ergibt sich ein korrigierter r 2korr -Wert von: r 2 korr = 0,223 8 ð 1 0,223 Þ 1249 8 1 = 0,218 Der korrigierte Determinationskoeffizient ist zumeist nur geringfügig niedriger als der r 2 -Wert. So auch in dem Beispiel. Man würde also hier als Schätzwert angeben, dass in der Grundgesamtheit der Deutschen 21,8 % der Variation der Wahlwahrscheinlichkeit von CDU/ CSU durch die acht unabhängigen Variablen erklärt wird. t-Test des Regressionskoeffizienten Nachdem der F-Test für den Determinationskoeffizienten des Regressionsmodells zur Verwerfung der Nullhypothese geführt hat, steht an, die unabhängigen Variablen einzeln daraufhin zu untersuchen, ob sie jeweils in der Grundgesamtheit einen Einfluss auf die abhängige Variable ausüben. Dies erfolgt mit dem t-Test. Geprüft wird für jede der J unabhängigen Variablen X j die Nullhypothese: „X j übt in der Grundgesamtheit keinen Einfluss auf Y aus! “ Diese Nullhypothese ist gleichbedeutend mit der Behauptung: „Der X j zugehö- 8.5.3 8.5.4 t-Test prüft Einfluss einzelner unabhängiger Variablen 223 M U L T I P L E R E G R E S S I O N M I T S T I C H P R O B E N D A T E N <?page no="223"?> tistik für Soziologen(3)__[Druckrige Regressionskoeffizient b j ist in der Grundgesamtheit 0! “ Die Alternativhypothese lautet: „X j übt in der Grundgesamtheit durchaus einen Einfluss aus, und dementsprechend unterscheidet sich der zugehörige Regressionskoeffizient b j in der Grundgesamtheit von 0! “ Formal: H 0 : b j = 0 H 1 : b j „ 0 Für jeden der Regressionskoeffizienten liegt eine eigene Stichprobenverteilung der Zufallsvariablen B j vor. Denn aus Zufallsgründen gibt es eine Variation der Stichprobenwerte b j . Diese Variation wird ausgedrückt durch den Stichprobenfehler der Zufallsvariablen B j , abgekürzt: b j . (Dieser Wert quantifiziert, wie die Stichprobenwerte für b j variieren, wenn b j für viele Stichproben berechnet wird, und ist nicht zu verwechseln mit der Standardabweichung von X j in der Stichprobe s x j ! ) Als Prüfgröße wird diese t-Verteilung verwendet. Daher heißt dieser Test t-Test des Regressionskoeffizienten. Die Regressionskoeffizienten b j werden in t-Werte umgerechnet, die einer t-Verteilung mit df = n - J - 1 Freiheitsgraden folgen. Diese t-Verteilung ist damit zugleich die Stichprobenverteilung des Regressionskoeffizienten. Sie geht mit größer werdenden Freiheitsgraden in die Standardnormalverteilung N(0; 1) über. Unter der Annahme, dass die H 0 zutrifft, lassen sich die empirischen t-Werte mit folgender Formel errechnen: t n J 1 = b j b j Die Werte für b j und b j werden durch die Statistik-Software aus den Stichprobendaten berechnet. Trifft die H 0 für die Grundgesamtheit zu, dann sind im Durchschnitt die t-Werte in den Stichproben 0. Geringe zufallsbedingte Abweichungen vom arithmetischen Mittelwert sind dabei wahrscheinlich, extreme Abweichungen (bei zutreffender H 0 ) aber unwahrscheinlich. Findet sich in der Stichprobe ein empirischer t-Wert, der nur gering von 0 abweicht, so ist dies mit der H 0 vereinbar. Weicht der empirische t-Wert aber so stark von 0 ab, dass die Auftrittswahrscheinlichkeit für einen solch extremen t-Wert (oder einen noch extremeren) unter der H 0 nur 5 % oder weniger beträgt, so nimmt man an, dass die Zufallsstichprobe nicht aus einer Grundgesamtheit stammt, die durch die H 0 zutreffend beschrieben wird. In diesem Fall spricht der empirische t-Wert gegen die H 0 , und diese wird dann verworfen. Um festzustellen, ob die H 0 verworfen wird, wird der empirische t-Wert verglichen mit zwei theoretischen t-Werten, den Rückweisungswerten. Es sind zwei t-Werte, da eine Abweichung von 0 in zwei Richtungen erfol- Stichprobenfehler des Regressionskoeffizienten t-Verteilung ist Stichprobenverteilung von B j t-Test ist zweiseitiger Test 224 M U L T I P L E L I N E A R E R E G R E S S I O N <?page no="224"?> gen kann: Sehr kleine negative t-Werte und sehr große positive t-Werte sprechen gegen die H 0 . Beispiel: In der TABELLE 8.6 sind für die acht unabhängigen Variablen die Regressionskoeffizienten b j , deren Stichprobenfehler b j und die daraus berechenbaren empirischen t-Werte angegeben. Die t-Werte folgen unter der H 0 jeweils einer t-Verteilung mit df = 1249 - 8 - 1 = 1240 Freiheitsgraden. Damit entspricht die t-Verteilung praktisch der Standardnormalverteilung N(0; 1). Die Rückweisungswerte sind (für ein Signifikanzniveau von 5 %): t r 1 = 1,96 und t r 2 = + 1,96 Der Rückweisungsbereich R 0 besteht aus zwei Teilen. Einen Teil von R 0 bilden alle t-Werte, die kleiner/ gleich -1,96 sind. Den anderen Teil von R 0 bilden die t-Werte, die größer/ gleich +1,96 sind. Da für jede Variable die H 0 formuliert wird, muss achtmal festgestellt werden, ob die empirischen t-Werte in den R 0 fallen oder nicht (siehe TABELLE 8.6). Die beiden t-Werte der Regressionskoeffizienten der Variablen Alter und Abitur fallen nicht in den R 0 . Für diese beiden Variablen kann man demnach die Nullhypothese nicht verwerfen. Für die übrigen sechs Variablen fällt der empirische t-Wert jeweils in den R 0 . Für diese Variablen kann man also die H 0 verwerfen und danach annehmen, dass sie auch in der Grundgesamtheit einen Einfluss ausüben. Konfidenzintervalle für b j Das Testergebnis (gleich, wie es ausfällt) informiert nicht darüber, in welcher Größenordnung der wahre Grundgesamtheitswert b j ausgeprägt ist. Dafür kann man Konfidenzintervalle symmetrisch um den Stichprobenbefund b j konstruieren. Diese Konfidenzintervalle geben mit einer bestimmten Sicherheit an, in welchem Bereich b j liegt. Für ein übliches Vertrauensniveau von 95 % berechnet man für ein Konfidenzintervall die untere Grenze mit: b j t 0 : 975 b j und die obere Grenze mit: b j + t 0 : 975 b j Das Konfidenzintervall ist dann: KONF ½ b j t 0 : 975 b j ; b j + t 0 : 975 b j = 0,95 8.5.5 225 M U L T I P L E R E G R E S S I O N M I T S T I C H P R O B E N D A T E N <?page no="225"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- Beispiel: Das Konfidenzintervall für den Regressionskoeffizienten b 1 der ersten unabhängigen Variablen Religiosität hat die untere Grenze: 0,180 - 1,96 . 0,028 = 0,125 und die obere Grenze: 0,180 + 1,96 . 0,028 = 0,235 Das Konfidenzintervall ist damit: KONF[0,125; 0,235] = 0,95. Man kann sagen, dass mit einer Sicherheit von 95 % der Grundgesamtheitswert für den Regressionskoeffizienten der Variablen Religiosität im Intervall von 0,125 bis 0,235 liegt. Die TABELLE 8.8 stellt für alle unabhängigen Variablen die Grenzen der Konfidenzintervalle für ein Vertrauensniveau von 95 % zusammen. Ein Konfidenzintervall ist umso informativer, je schmaler es ist. Setzt man ein bestimmtes Vertrauensniveau voraus, dann hängt die Breite des Konfidenzintervalls für einen Regressionskoeffizienten von dessen Stichprobenfehler b j ab. Ist b j klein, führt dies zu einem schmalem Konfidenzintervall. Je größer b j ist, desto weniger informativ ist das Konfidenzintervall. (Der Stichprobenfehler b j selbst wird von der Stichprobengröße beeinflusst. Mit wachsender Stichprobengröße wird der Stichprobenfehler des Regressionskoeffizienten kleiner.) Ein Konfidenzintervall macht plausibel, in welcher Größenordnung ein Regressionskoeffizient b j in der Grundgesamtheit ausgeprägt ist. Eine solche Information stellt ein Hypothesentest nicht zur Verfügung. Man kann an Konfidenzintervallen auch erkennen, ob der Test der H 0 : b j = 0 für einen Regressionskoeffizienten jeweils verworfen wird oder nicht. Beinhaltet das Konfidenzintervall den Wert b j = 0, so führt ein Test der H 0 nicht zu ihrer Verwerfung. Wenn sich die Vorzeichen der Intervallgrenzen unterscheiden, dann beinhaltet das Konfidenzintervall den Wert b j = 0. Dies ist der Fall bei den Konfidenzintervallen für die Regressionskoeffizienten b 6 und b 7 der beiden Variablen Alter und Abitur. Für diese beiden Variablen hatte der Test der H 0 nicht zur ihrer Verwerfung geführt. Konfidenzintervalle für b j sind aussagekräftiger als t-Tests 226 M U L T I P L E L I N E A R E R E G R E S S I O N <?page no="226"?> Untersuchung der Anwendungsvoraussetzungen (inferenzstatistisches Beispiel) Prüfung der Linearitätsannahme Für die Darstellung der Linearität der Beziehung zwischen je einer der unabhängigen Variablen X j und der abhängigen Variablen Y kann man die partiellen Regressionsdiagramme heranziehen. Hier zeigt sich, ob die Beziehungsform der Variablenpaare (nach Auspartialisierung aller übrigen unabhängigen X j ) jeweils ausreichend linear ist. Für die partiellen Regressionsdiagramme sind zusätzlich zwei Techniken eingesetzt worden, die die visuelle Prüfung auf Linearität unterstützen sollen. (1) Will man ein Streudiagramm für große Fallzahlen erstellen, so entsteht das Problem, dass viele Fälle dicht beieinander oder sogar übereinander geplottet werden. Um das Problem zu lösen, wurden verschiedene Strategien entwickelt. Eine davon ist die von J OHN W. T U K EY entwickelte Cellulation. Dabei wird das Streudiagramm in viele gleich große rechteckige Bereiche eingeteilt und ermittelt, wie viele Punkte in jedem Rechteck liegen. Dann wird in jedes Rechteck nur ein Punkt mit einer Größe proportional zur Fallzahl im Rechteck geplottet. (2) Um die Form der Beziehung zwischen zwei Variablen in einem Streudiagramm zu visualisieren, kann man lokal gewichtete Regressionen 95 %- Konfidenzintervalle j Variable b j b j untere Grenze obere Grenze 1 Religiosität 0,180 0,028 0,125 0,235 2 Links-Rechts-Selbsteinstufung 0,539 0,046 0,449 0,629 3 Oben-Unten-Selbsteinstufung - 0,222 0,058 - 0,336 - 0,108 4 Vertrauen in Bundesregierung - 0,385 0,072 - 0,526 - 0,244 5 Vertrauen in pol. Parteien 0,670 0,079 0,515 0,825 6 Alter - 0,007 0,005 - 0,017 0,003 7 Abitur (kein Abitur = 0) - 0,148 0,204 - 0,548 0,252 8 Geschlecht (männlich = 0) - 0,579 0,166 - 0,905 - 0,253 Tab. 8.8 8.6 Cellulation für Streudiagramme mit vielen Fällen 227 U N T E R S U C H U N G D E R A N W E N D U N G S V O R A U S S E T Z U N G E N <?page no="227"?> tistik für Soziologen(3)__[Druckeinsetzen, diese heißen LOWESS (für engl. „locally weighted scatterplot smoothing“). Anstatt eine durchgehende Regressionslinie für alle Fälle in das Streudiagramm einzuzeichnen, die den x i -Werten die yˆ i zuordnet, werden für einzelne x i -Werte jeweils lokale Regressionen berechnet, um ihnen damit Vorhersagewerte yˆ i zuzuordnen. Verbindet man die so berechneten Vorhersagewerte, erhält man die LOWESS-Linie (für die LOWESS-Kurven siehe S CHNE L L 1994 und F OX 2000). Abb. 8.11 10 0 5 -5 -10 -5 5 0 Wahlwahr. CDU-CSU (Residuen) Religiositätsskala (Residuen) 10 0 5 -5 -10 -5 5 0 Wahlwahr. CDU-CSU (Residuen) Links-Rechts-Selbsteinstufung (Residuen) 10 0 5 -5 -10 -5 5 0 Wahlwahr. CDU-CSU (Residuen) Oben-Unten-Selbsteinstufung (Residuen) 10 0 5 -5 -10 -5 5 0 Wahlwahr. CDU-CSU (Residuen) Vertrauen in Bundesregierung (Residuen) 10 0 5 -5 -5 5 0 Wahlwahr. CDU-CSU (Residuen) Vertrauen in politische Parteien (Residuen) 10 0 5 -5 -10 -40 -20 60 40 20 0 Wahlwahr. CDU-CSU (Residuen) Alter (Residuen) LOWESS zur Diagnose von Linearität 228 M U L T I P L E L I N E A R E R E G R E S S I O N <?page no="228"?> Diese Strategie gibt keine für alle Fälle durchgängige Beziehungsform vor. Liegt tatsächlich eine einheitliche und durchgehend lineare Beziehung zwischen zwei Variablen vor, dann ist auch die LOWESS-Linie eine Gerade. Liegt aber eine andere, deutlich nichtlineare (z. B. eine quadratische) Form in der Beziehung zwischen X j und Y vor, so kann die LO- WESS-Linie dies zum Ausdruck bringen. Praktisch werden die lokalen Regressionen für einen x i -Wert berechnet, indem nur ein bestimmter Prozentsatz (die Spannweite) der in der X-Dimension näher liegenden Fälle einbezogen wird. Je nach Entfernung werden diese dann auch unterschiedlich gewichtet. Die Gewichtungsfunktion ist die Kernel-Funktion. In den sechs partiellen Regressionsdiagrammen in ABBILDUNG 8.11 sind die Residuen der abhängigen Variablen gegen die Residuen je einer unabhängigen metrischen Variablen geplottet. (Für die beiden dichotomen unabhängigen Variablen Abitur und Geschlecht ist die Linearitätsannahme unproblematisch ( fi Kap. 4.3.3) . Für alle sechs unabhängigen metrischen Variablen kann man sagen, dass eine lineare Beziehungsform mit Y vorliegt. Im inferenzstatistischen Kontext wäre ein Verstoß gegen die Linearitätsvoraussetzung, dass dann die Regressionskoeffizienten verzerrt geschätzt würden. Prüfung auf geringe Multikollinearität Alle unabhängigen Variablen haben in dem Beispiel ausreichend gute Toleranzwerte (TABELLE 8.7). Im inferenzstatistischen Kontext würde sich starke Multikollinearität nachteilig auf die Stichprobenfehler der Regressionskoeffizienten ( b j ) auswirken. Die Stichprobenfehler würden zu groß und die Regressionskoeffizienten damit weniger präzise geschätzt. Prüfung auf Varianzhomogenität Man erkennt anhand der beiden Grafiken in ABBILDUNG 8.12, dass die Varianz der Residuen bei mittleren Vorhersagewerten im Vergleich etwas größer ist als die Varianz der Residuen, die mit relativ kleinen oder großen Vorhersagewerten einhergehen. (Die abfallenden Linien in dem linken Streudiagramm kommen dadurch zustande, dass die abhängige Variable zehn Ausprägungen hat. Dieses Muster deutet nicht auf Varianzheterogenität hin.) Anhand der Boxplots ist zu erkennen, dass bei kleinen Vorhersagewerten die Tendenz vorhanden ist, dass die Wahlwahrscheinlichkeit damit überschätzt wird (negative Residuen überwiegen), während mit großen Vorhersagewerten die Wahlwahrscheinlichkeit eher unterschätzt wird (positive Residuen überwiegen). 229 U N T E R S U C H U N G D E R A N W E N D U N G S V O R A U S S E T Z U N G E N <?page no="229"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- Aber die Varianz der Residuen in den gebildeten Gruppen ist ausreichend homogen, die Boxplots weisen ähnliche Streuungen aus. (Die Varianzen in den Gruppen variieren von 7,06 bis 9,16.) Man kann hier also von ausreichend gegebener Varianzhomogenität sprechen. Inferenzstatistisch ist die Folge von gravierender Varianzheterogenität, dass die Stichprobenfehler der Teststatistiken (t-Test und F-Test) größer werden (Ineffizienz) und die Testergebnisse nicht mehr zuverlässig sind. Dies gilt insbesondere für den F-Test, dessen Resultate bei Varianzheterogenität nicht als zuverlässig angesehen werden können. Mit der Vergrößerung der Stichprobenfehler sind entsprechend auch die Konfidenzintervalle für die b j nachteilig betroffen, sie fallen zu groß aus. Es ist nicht einfach anzugeben, bis zu welchem Ausmaß eine Varianzheterogenität (Heteroskedastizität) unproblematisch ist. Eine Strategie, die Varianzheterogenität zu quantifizieren, ist, die Vorhersagewerte in Gruppen einzuteilen und für diese die Varianz zu berechnen. Eine Faustregel besagt, dass sich die kleinste und die größte der Varianzen um ein Vielfaches unterscheiden müssen, damit die Varianzheterogenität problematisch ist (C OHEN et al. 2003, S. 146). Prüfung auf normalverteilte Residuen Eine im inferenzstatistischen Kontext zu untersuchende Anwendungsvoraussetzung ist, dass die Residuen normalverteilt sein sollen. Dies ist dann der Fall, wenn das Regressionsmodell alle systematischen Einflüsse auf Y beinhaltet. Eine Normalverteilung stellt sich dann ein, wenn nur noch rein zufallsbedingte Abweichungen von einem Mittelwert vorliegen. Die Residuen repräsentieren dann nur noch zufällige (und nicht systematische) Einflüsse. Die ABBILDUNG 8.13 zeigt das Histogramm der Abb. 8.12 0 4 6 8 10 -10 -5 0 5 10 3 4 5 -10 -5 0 5 10 2 1 2 Vorhersagewerte Residuen Gruppierte Vorhersagewerte Residuen „Faustregel“ für problematisches Ausmaß an Varianzheterogenität Wenn keine Systematik mehr enthalten ist, verteilen sich Residuen normal 230 M U L T I P L E L I N E A R E R E G R E S S I O N <?page no="230"?> (z-standardisierten) Residuen. Zudem ist die Standardnormalverteilungskurve N(0; 1) eingezeichnet, um das Ausmaß der Abweichung von gegebener und erwarteter Verteilung zu visualisieren. Man sieht hier, dass im mittleren Bereich die empirische Verteilung der Residuen von der Standardnormalverteilung abweicht. Die kleinen Residuen sind unterproportional vertreten. Bei Regressionsanalysen mit kleinen Stichproben (n < 40) sind die Befunde von F-Test und t-Test nicht mehr verlässlich, wenn die Abweichung als gravierend beurteilt wird. Bei großen Stichproben sind Abweichungen wenig problematisch. Exkurs: Transformation Manchmal kann man eine Variable transformieren, um Anwendungsvoraussetzungen für die Regressionsanalyse einzurichten. Ein Grund für die Durchführung einer Transformation ist, dass man eine nichtlineare Form der Beziehung zwischen zwei Variablen in eine möglichst lineare Form bringen möchte („linearisieren“). Dafür transformiert man eine der beiden Variablen. Nach der Transformation kann sich dann erweisen, dass die Beziehung zwischen den Variablen nun ausreichend linear ausfällt. Anlass für die Transformation einer Variablen im Rahmen der Regressionsanalyse kann auch eine sehr schiefe Verteilung der Variablen sein. Dann kann man versuchen, die Verteilung der Variablen mit Hilfe einer Transformation zu symmetrisieren. Symmetrisierte unabhängige Variablen weisen nach ihrer Transformation häufig eine höhere Erklä- -4 -2 0 2 4 z-standardisierte Residuen Abb. 8.13 8.7 Zweck der Transformationen 231 E X K U R S : T R A N S F O R M A T I O N <?page no="231"?> tistik für Soziologen(3)__[Druckrungsleistung auf. Bei starker Varianzheterogenität oder starker Abweichung der Residuenverteilung von einer Normalverteilung ist eine Transformation der abhängigen Variablen in einigen Fällen eine Maßnahme, um die Verstöße zu korrigieren. Praktisch werden alle vorhandenen Ausprägungen einer Variablen mit einer Rechenoperation in neue Werte umgerechnet. Im Rahmen von Regressionsanalysen werden Transformationen von Variablen mit Hilfe von einfachen Funktionen durchgeführt. Verwendet werden häufig der natürliche Logarithmus f(x) = ln(x) oder einfache Exponentialfunktionen wie f(x) = x 2 (Quadrierung) und f(x) = x 0,5 (Quadratwurzel). Um eine geeignete Transformation zu erreichen werden in der Praxis zumeist mehrere verschiedene Exponentialfunktionen (mit den Exponenten 2, 0,5, -0,5, -1, -2) und die ln(x)-Funktion nacheinander ausprobiert. Der Nachteil von transformierten Variablen ist, dass sie weniger anschaulich zu interpretieren sind als die ursprünglichen Variablen. Man hat es nach der Transformation eben mit einem anders zu interpretierenden Sachverhalt zu tun. (Zur Transformation und den Strategien der Linearisierung siehe T UK EY 1977, F OX 1991, S CHNE L L 1994.) Beispiel: Für die verheirateten, berufstätigen Befragten im ALLBUS 2002, die angegeben haben, mit einem nicht berufstätigen Ehepartner zusammen zu leben, soll der Zusammenhang zwischen dem Nettoeinkommen und der wöchentlichen Hausarbeitszeit (in Stunden) untersucht werden. Zunächst soll ein Streudiagramm erstellt werden, in dem die Hausarbeitsstunden gegen das Nettoeinkommen geplottet werden. Da das Einkommen eine Variable ist, die sehr häufig linksschief verteilt ist, soll zudem ein Histogramm (mit gleichen Klassenbreiten) für das Einkommen erstellt werden. Abb. 8.14 0 3000 6000 9000 12000 15000 0 10 20 30 40 50 60 0 3000 6000 9000 12000 15000 0 50 100 150 Nettoeinkommen Anzahl Hausarbeitsstunden Nettoeinkommen Für Transformation verschiedene Funktionen probieren 232 M U L T I P L E L I N E A R E R E G R E S S I O N <?page no="232"?> In ABBILDUNG 8.14 erkennt man, dass mit zunehmendem Einkommen die Zahl der Hausarbeitsstunden sinkt. Je höher das Einkommen ist, umso mehr überlassen die berufstätigen Befragten die Hausarbeit dem nicht berufstätigen Ehepartner (oder kaufen sich dafür Dienstleistungen ein). Die Beziehungsform zwischen den Hausarbeitsstunden und dem Einkommen ist aber deutlich nichtlinear. Die LOWESS-Linie zeigt eine zunächst steil abfallende Tendenz, dann einen fast horizontalen Verlauf. Ein lineares Regressionsmodell wäre keine adäquate Repräsentation des Zusammenhangs. Das Histogramm der Einkommensvariablen zeigt, dass diese sehr schief (linkssteil) verteilt ist. Das Einkommen wird nun logarithmiert. Das neue Streudiagramm in der ABBILDUNG 8.15 (links) zeigt dann, dass sich der Zusammenhang durch die Transformation linearisiert hat. Die LOWESS-Linie zeigt nur geringe Abweichungen von einer linearen Beziehungsform an. In der ABBILDUNG 8.15 ist rechts das Histogramm des logarithmierten Einkommens dargestellt. Die Transformation hat die Verteilung symmetrisiert. Im multiplen Fall eignen sich die partiellen Regressionsplots dazu, die Abweichung der vorhandenen Beziehungsform von einer linearen Beziehungsform zu erkennen. Ist es erforderlich, eine unabhängige Variable X j zu transformieren, dann werden allerdings nicht die im partiellen Regressionsplot verwendeten Residuen der unabhängigen Variablen (nach Auspartialisierung der übrigen unabhängigen Variablen) transformiert, sondern X j selber. Um hier die Identifikation der vorliegenden Beziehungsform zu unterstützen, können so genannte partielle Residuenplots (engl. „component-plus-residual-plots“) verwendet werden. Um einen solchen Plot für eine Variable X j zu erstellen, geht man in drei Schritten 4 5 6 9 0 10 20 30 40 50 60 3 4 5 10 0 20 40 60 80 100 120 ln(Nettoeinkommen) 8 10 7 Anzahl Hausarbeitstunden ln(Nettoeinkommen) 6 7 8 9 Abb. 8.15 233 E X K U R S : T R A N S F O R M A T I O N <?page no="233"?> tistik für Soziologen(3)__[Druckvor: Zuerst wird für jeden Fall die Residue von Y (e i ) aus dem multiplen Regressionsmodell berechnet. Dann wird zu jeder Residue e i , der Teil von Y hinzuaddiert, der sich linear auf X j zurückführen lässt (die Komponente b j . x ji ). Zuletzt werden für alle Fälle die Werte (e i + b j . x ji ) gegen die x ji geplottet. Partielle Residuenplots werden standardmäßig nicht durch alle Statistikprogramme zur Verfügung gestellt, sie können aber leicht selbst erstellt werden (Speichern der Residuen des multiplen Regressionsmodells und Hinzuaddieren der Komponente ergibt die Werte für die Y-Dimension). 234 M U L T I P L E L I N E A R E R E G R E S S I O N <?page no="234"?> Logistische Regression Inhalt 9.1 Herleitung der logistischen Regressionsgleichung 9.2 Logitkoeffizienten und Effektkoeffizienten 9.3 Maximum-Likelihood-Methode 9.4 Pseudo-R 2 -Maße 9.5 Multiple logistische Regression mit Stichprobendaten 9.5.1 Likelihood-Ratio-Test 9.5.2 WALD-Test 9.5.3 Konfidenzintervalle für b j und e b j Die logistische Regression ermöglicht, eine dichotome abhängige Variable in ein Regressionsmodell aufzunehmen. Dadurch erweitert sich für soziologische Analysen das mögliche Anwendungsspektrum für Regressionsanalysen deutlich. Denn sehr viele Sachverhalte, die soziologisch bedeutsam sind, lassen sich durch eine 0 - 1-kodierte Variable numerisch darstellen. Die TABELLE 9.1 stellt beispielhaft mögliche dichotome Sachverhalte zusammen, die abhängige 0 - 1-kodierte Variablen sein können. Kodierung abhängiger Sachverhalt 0 1 Ereignis/ Situation tritt nicht ein tritt ein Zustand liegt nicht vor liegt vor Risiko niedrig hoch Entscheidung/ Einstellung gegen etwas für etwas . . . . . . . . . Tab. 9.1 9 235 <?page no="235"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- Eine logistische Regression, die eine dichotome abhängige Variable auf eine oder mehrere unabhängige Variablen regressiert, nennt man auch binäre logistische Regression. Davon wird die multinomiale logistische Regression unterschieden, die eine abhängige Variable mit drei oder mehr Kategorien aufweist (polytome Variablen). In vielen Fällen kann man die binäre logistische Regression dennoch für die Analyse einer zunächst polytomen abhängigen Variablen verwenden, wenn man diese in geeigneter Weise dichotomisiert. Wie bei der multiplen linearen Regression liegen auch hier wieder die Zielsetzungen vor, ein Regressionsmodell zu entwickeln, das die abhängige Variable in einem möglichst hohen Ausmaß statistisch erklärt, und den gerichteten Einfluss der einzelnen unabhängigen Variablen auf die abhängige Variable zu quantifizieren. Liegen Stichprobendaten vor, ist man auch daran interessiert, Hypothesen über die Erklärungsleistung des Modells sowie über die Einflüsse der einzelnen Variablen in der Grundgesamtheit zu prüfen. Auch die logistische Regression kann als ein strukturprüfendes Verfahren charakterisiert werden. Die logistische Regression stellt eine Form der nichtlinearen Regression zwischen der dichotomen abhängigen Variablen und den unabhängigen Variablen dar. Dies hat zur Folge, dass sich trotz vieler Ähnlichkeiten zwischen der linearen und der logistischen Regressionsanalyse diese beiden multivariaten Verfahren hinsichtlich einiger ihrer Konzepte voneinander unterscheiden. Die logistische Regressionsanalyse hat im Vergleich zur linearen multiplen Regression weniger Anwendungsvoraussetzungen. Dazu zählt die Anforderung geringer Multikollinearität: Die erklärenden Variablen sollten untereinander nicht stark korrelieren. Zudem sollten die beiden Kategorien der abhängigen dichotomen Variablen nicht extrem ungleich besetzt sein (z. B. nicht mit 5 % und 95 %). Die unabhängigen Variablen müssen metrisches Skalenniveau haben oder 0 - 1-kodiert sein. Empfohlen wird, dass die Fallzahl pro Kategorie mehr als 25 Fälle umfassen sollte. Bei mehreren unabhängigen Variablen sollte die Fallzahl einige Hundert Fälle umfassen. Dieses letzte Kapitel soll aber auf die Einführung der binären logistischen Regression beschränkt bleiben, ohne die Anwendungsvoraussetzungen und die Residuenanalyse dieser Form der Regression zu vertiefen. Herleitung der logistischen Regressionsgleichung Anhand eines Beispiels sollen die Logik und die Konzepte der logistischen Regression eingeführt werden. Dafür wird ein logistisches Regressionsmodell mit nur einer metrischen unabhängigen Variablen verwendet. Binäre und multinomiale logistische Regression Logistische Regression ist nicht linear Anwendungsvoraussetzungen der logistischen Regression 9.1 236 L O G I S T I S C H E R E G R E S S I O N <?page no="236"?> Beispiel: Neun Studierende seien danach befragt worden, ob sie nach Abschluss des Studiums an ihrem Studienort bleiben oder lieber in eine andere Stadt ziehen möchten (Bleiben? Y). Die Antwort „ich möchte am Studienort bleiben“ wird mit 1 (= bleiben) kodiert, die Antwort „ich möchte nicht am Studienort bleiben“ wird mit 0 (= nicht bleiben) kodiert. Es sei zudem erfragt worden, wie groß das Netzwerk aus Freunden und Verwandten der Studierenden am jetzigen Studienort ist (Netzwerkgröße X). Die Fallzahl n = 9 ist für die Anwendung der logistischen Regression eigentlich zu gering, hier wird sie aber aus Gründen der besseren Darstellbarkeit für das Beispiel gewählt. Die ABBILDUNG 9.1 stellt die Daten in einem Streudiagramm dar. Man sieht anhand des Streudiagramms, dass mit zunehmender Anzahl von Freunden und Verwandten die Neigung tendenziell zunimmt, auch nach Abschluss des Studiums am Studienort bleiben zu wollen. Mit zunehmender Netzwerkgröße steigt tendenziell die Bindung an den Studienort. Man erkennt aber auch, dass eine Regressionslinie hier keine angemessene Repräsentation des gerichteten Einflusses sein kann. Denn die abhängige Variable kann nur die beiden Werte 0 und 1 annehmen, eine Regressionslinie würde dagegen Vorhersagewerte dazwischen sowie unterhalb von 0 und oberhalb von 1 nahe legen. Das zu lösende Problem ist nun, eine Regressionsgleichung zu entwickeln, die die dichotome abhängige Variable mit dem bekannten Regressionsausdruck aus der linearen Regression (b 0 + b 1 . x i + e i ) verbindet. Offensichtlich kann man hier nicht einfach gleichsetzen und die Koeffizienten ermitteln. Die logistische Regressionsgleichung wird nun in der Weise entwickelt, 1 0 0 5 10 15 bleiben? Netzwerkgröße Abb. 9.1 237 H E R L E I T U N G D E R L O G I S T I S C H E N R E G R E S S I O N S G L E I C H U N G <?page no="237"?> tistik für Soziologen(3)__[Druckdass die abhängige Variable so transformiert wird, dass ihr Variationsbereich mit dem Variationsbereich des Regressionsausdrucks [- ¥ ; + ¥ ] übereinstimmt. Danach wird die transformierte abhängige Variable mit diesem gleichgesetzt. Dies erfolgt in drei Transformationsschritten. (1) Zunächst betrachtet man als zu erklärenden Sachverhalt nicht mehr die Variable Y selber, sondern die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einem Fall i für die Variable Y die Ausprägung y = 1 vorliegt. Das ist P i (y = 1). Diese Wahrscheinlichkeit variiert im Bereich [0; 1]. (2) Nun ermittelt man für jeden Fall das Verhältnis der Wahrscheinlichkeit P i (y = 1), dass die Ausprägung 1 vorliegt, zu der Gegenwahrscheinlichkeit, dass die Ausprägung 1 nicht vorliegt, das ist 1 - P i (y = 1). Diese Gegenwahrscheinlichkeit ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass die Ausprägung 0 vorliegt: 1 - P i (y = 1) = P i (y = 0). Das Wahrscheinlichkeitsverhältnis oder auch Chancenverhältnis sind die Odds i für den Fall i ( fi Kap. 4.2.4) : Odds i = P i ð y = 1 Þ 1 P i ð y = 1 Þ = P i ð y = 1 Þ P i ð y = 0 Þ Die Odds i können im Bereich [0; + ¥ ] variieren. (3) Zuletzt berechnet man den natürlichen Logarithmus der Odds und erhält so für jeden Fall den Logit ( fi Kap. 4.2.4) : ln ð Odds i Þ = ln P i ð y = 1 Þ 1 P i ð y = 1 Þ = Logit i Der Logit wird mit L i abgekürzt. Da er für jeden Fall vorliegt, ist er mit i indiziert. Der Vorteil dieser Transformation ist, dass der Logit nun im Bereich [- ¥ ; + ¥ ] symmetrisch um 0 variiert. L i kann man nun gleichsetzen mit dem bekannten Regressionsausdruck (b 0 + b 1 . x i + e i ) und erhält so ein Logit-Modell: ln(Odds i ) = L i = b 0 + b 1 . x i +e i Der Logit ist hierbei die abhängige transformierte Variable, die linear von der unabhängigen Variablen X abhängt. Dass die logistische Regression eine nichtlineare Form der Regression ist, zeigt sich erst, wenn man die Gleichung des Logit-Modells umstellt nach P i (y = 1). Das Resultat ist die logistische Regressionsgleichung, hier für den bivariaten Fall: P i ð y = 1 Þ = 1 1 + e ð b 0 + b 1 x i + e i Þ = 1 1 + e L i (mit e = 2,718 . . .). Diese Gleichung hat den Nachteil, dass sie nicht mehr unmittelbar erkennen lässt, wie eine Variation von X sich auf P(y = 1) P i (y = 1) statt Y Odds Logit Logit-Modell Logistische Regressionsgleichung 238 L O G I S T I S C H E R E G R E S S I O N <?page no="238"?> auswirkt. Nun hat man diese Transformation durchgeführt und einfach gleichgesetzt. Aber ist das Resultat auch sinnvoll, d. h. als Modell für die Daten angemessen? Beispiel: In der ABBILDUNG 9.2 ist die Kurve eingezeichnet, die möglichen Werten für die unabhängige Variable Netzwerkgröße eine Wahrscheinlichkeit P(y = 1) dafür zuordnet, dass ein Studierender angibt, nach dem Studienabschluss am Studienort bleiben zu wollen. Die logistische Regressionsfunktion liefert nun auch Werte zwischen 0 und 1 für P(y = 1). Kleinere Werte als 0 und größere Werte als 1 können nicht vorkommen. Die Kurve ist immer S-förmig. In diesem Beispiel steigt sie von links nach rechts an. Ihre S-förmige Gestalt ist als Modell dem Sachverhalt hier angemessen, da sie Werte für P(y = 1) liefert, die klein sind für die Studierenden mit einem kleinen Netzwerk, wohingegen sie große Werte liefert für Studierende mit einem großen Netzwerk. Die logistische Regressionskurve legt zudem eine Art Sättigungseffekt nahe, der darin zu sehen ist, dass für Studierende mit vielen Freunden und Verwandten zusätzliche Freunde bzw. Verwandte die Wahrscheinlichkeit für das Bleiben am Studienort nicht mehr deutlich steigern können. Entsprechend ist es auf der linken Seite der ABBIL- DUNG 9.2: Wer nur wenige Freunde oder Verwandte hat, für den ist die Wahrscheinlichkeit für das Bleiben bereits so gering, dass eine Verringerung der Netzwerkgröße keine deutliche Veränderung für P i (y = 1) bewirken würde. 1 0 0 5 10 15 bleiben? / P (y = 1) Netzwerkgröße Abb. 9.2 239 H E R L E I T U N G D E R L O G I S T I S C H E N R E G R E S S I O N S G L E I C H U N G <?page no="239"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- Logitkoeffizienten und Effektkoeffizienten Die Koeffizienten für die logistische Regressionsgleichung werden Logitkoeffizienten genannt. Im bivariaten Fall liegen nur zwei Logitkoeffizienten b 0 und b 1 vor. In der ABBILDUNG 9.3 sind verschiedene logistische Regressionsfunktionen für den bivariaten Fall dargestellt. Ist b 1 ein positiver Wert, dann steigt die Regressionsfunktion von links nach rechts an. Eine Erhöhung von X steigert dann den vorherzusagenden Wert für P(y = 1). Ist b 1 dagegen negativ, so fällt die Regressionsfunktion von links nach rechts ab. Entsprechend bewirkt eine Erhöhung von X eine Verringerung des vorherzusagenden Wertes für P(y = 1). Der Betrag von b 1 wirkt sich in der unterschiedlichen Steilheit des Kurvenverlaufs aus. Der Logitkoeffizient b 0 bestimmt, wie groß der Schätzwert für P(y = 1) an der Stelle x = 0 ist. Fortan wird für diese Einführung in die logistische Regression die Residue e i vernachlässigt. (Genau genommen werden im Folgenden jeweils geschätzte Ausprägungen für die Wahrscheinlichkeit bzw. für die Odds oder für den Logit berechnet. Hier wird auf die jeweilige Kennzeichnung als Schätzwert durch ein „ ˆ “ verzichtet, um die Schreibweise nicht kompliziert werden zu lassen.) In dem eingeführten Beispiel sind die Logitkoeffizienten b 0 = -3,951 und b 1 = 0,609. Zieht man diese heran, erhält man die die logistische Regressionsgleichung: P i ð y = 1 Þ = 1 1 + e ð 3,951 + 0,609 x i Þ Mit dieser logistischen Regressionsgleichung kann man nun für einen Studierenden die Wahrscheinlichkeit P i (y = 1) dafür ausrechnen, dass er Abb. 9.3 1,0 0,0 0,5 -6 -2 0 2 6 -4 4 P (y = 1) b 0 = -2; b 1 = 1 b 0 = 0; b 1 = 2 b 0 = 1; b 1 = -1 b 0 = 0; b 1 = -0,5 9.2 Interpretation der Logitkoeffizienten 240 L O G I S T I S C H E R E G R E S S I O N <?page no="240"?> angibt, am Studienort nach Abschluss des Studiums bleiben zu wollen, wenn man dessen Ausprägung für die Netzwerkgröße x i in die logistische Regressionsgleichung einsetzt. Eine einfache Interpretation der Logitkoeffizienten ergibt sich, wenn man das Logit-Modell heranzieht. Die Logits werden in dem Beispiel berechnet mit der Gleichung: L i = (-3,951) + 0,609 . x i Hier zeigt sich, dass die Interpretation der Logitkoeffizienten der Interpretation der Regressionskoeffizienten in der linearen Regressionsanalyse gleicht. Der wichtige Unterschied besteht darin, dass im Logit-Modell die abhängige Variable nicht Y selbst ist, sondern der Logit. Der Logitkoeffizient b 1 gibt dann die (durchschnittliche) lineare Veränderung des Logit an, wenn die unabhängige Variable um eine Einheit zunimmt. Aber auch diese Interpretation hat den Nachteil, dass der Logit keine anschauliche Größe ist. Der Effektkoeffizient e b Das Interpretationsproblem der logistischen Regressionsgleichung besteht darin, das man anhand dieser Gleichung nicht unmittelbar nachvollziehen kann, wie sich eine Veränderung von X auf P(y = 1) auswirkt. Eine Lösung dieses Problems stellt folgende Beziehung zwischen den Odds und dem Logit dar: e ln ð Odds i Þ = e b 0 + b 1 x i = Odds i Diese Beziehung erhält man, wenn man die beiden Seiten der Gleichung des Logit-Modells in den Exponenten zur Basis e setzt ( fi Kap. 12.5) . Wenn man nun x i um eine Einheit erhöht, verändern sich die Odds in folgender Weise: e b 0 + b 1 ð x i + 1 Þ = e b 0 + b 1 x i + b 1 = e b 0 + b 1 x i e b 1 = Odds i e b 1 Eine Erhöhung von X um 1 bewirkt also eine multiplikative Veränderung der Odds um den Faktor e b 1 , der Effektkoeffizient genannt wird. Variation der Logits, P(y = 1) und der Odds im Vergleich Soweit sind die Auswirkungen der Erhöhung von X auf den Logit und die Odds einzeln vorgestellt worden. Anschaulicher wird der Einfluss und die Interpretation der Logit- und Effektkoeffizienten, wenn man die Folge einer schrittweisen Erhöhung von X auf die Logits, die Wahrscheinlichkeiten P(1 = 1) und die Odds einmal gegenüberstellt. Beispiel: Die TABELLE 9.2 stellt für mögliche Ausprägungen der unabhängigen Variablen Netzwerkgröße (X) im Bereich von x = 0 bis x = 15 die Interpretation der Effektkoeffizienten 241 L O G I T K O E F F I Z I E N T E N U N D E F F E K T K O E F F I Z I E N T E N <?page no="241"?> tistik für Soziologen(3)__[Druckzugehörigen Logits, die Wahrscheinlichkeiten P(y = 1) sowie die Odds zusammen. Betrachtet man die Spalten, kann man hieran sehen, wie sich diese drei statistischen Größen verändern, wenn die unabhängige Variable schrittweise um eine Einheit erhöht wird. Die Logits verändern sich von Zeile zu Zeile jeweils additiv um den Wert b 1 = 0,609. Die Wahrscheinlichkeiten P(y = 1) sind zunächst sehr klein, nehmen langsam zu, steigen dann schnell an, um sich zuletzt in nur noch kleineren Schritten an 1 anzunähern. Die Odds verändern sich jeweils multiplikativ um den Faktor e b 1 = e 0,609 = 1,839 wenn die Netzwerkgröße um eine Person zunimmt. Der Effektkoeffizient ist am anschaulichsten zu interpretieren. In dem Beispiel bedeutet dies, dass die Erhöhung der Netzwerkgröße um einen zusätzlichen Freund oder Verwandten eines Studierenden das Chancenverhältnis (bleiben/ nicht bleiben) um den Faktor 1,839 zugunsten des Bleibens erhöht. Tab. 9.2 X Logit P(y = 1) Odds = P ð y = 1 Þ P ð y = 0 Þ 0 - 3,9510 0,0189 0,0192 1 - 3,3420 0,0342 0,0354 2 - 2,7330 0,0611 0,0650 3 - 2,1240 0,1068 0,1196 4 - 1,5150 0,1802 0,2198 5 - 0,9060 0,2878 0,4041 6 - 0,2970 0,4263 0,7430 7 0,3120 0,5774 1,3662 8 0,9210 0,7152 2,5118 9 1,5300 0,8220 4,6182 10 2,1390 0,8946 8,4909 11 2,7480 0,9398 15,6114 12 3,3570 0,9663 28,7030 13 3,9660 0,9814 52,7730 14 4,5750 0,9898 97,0280 15 5,1840 0,9944 178,3950 242 L O G I S T I S C H E R E G R E S S I O N <?page no="242"?> Im multiplen Fall liegen mehrere unabhängige Variablen X j vor, und für jede können der Logitkoeffizient b j und der Effektkoeffizient e b j berechnet werden. Die TABELLE 9.3 stellt in den ersten beiden Spalten drei verschiedene Ausprägungsbereiche für die Logitkoeffizienten bzw. Effektkoeffizienten und in den folgenden drei Spalten die Auswirkung der Erhöhung von X um eine Einheit auf den Logit, auf P(y = 1) und auf die Odds dar. Bemerkung: Liegt eine dichotome 0 - 1-kodierte unabhängige Variable X vor, so gibt ihr Effektkoeffizient an, wie sich die Odds multiplikativ verändern, wenn man von der Gruppe, die mit x = 0 kodiert ist, zu der Gruppe, die mit x = 1 kodiert ist, wechselt. Setzt man die Odds der beiden Gruppen ins Verhältnis, zeigt sich, dass der Effektkoeffizient der dichotomen unabhängigen Variablen X zugleich das Odds Ratio für den Zusammenhang zwischen X und Y ist. Für den bivariaten Fall sei dies veranschaulicht: OR = Odds y = 1 x = 1 j Odds y = 1 x = 0 j = e b 0 + b 1 1 e b 0 + b 1 0 = e b 0 e b 1 e b 0 e 0 = e b 1 Maximum-Likelihood-Methode Die Logitkoeffizienten werden mit der Maximum-Likelihood-Methode (ML-Methode) ermittelt. Das Konzept der Likelihood wurde von R ONALD A. F I S HE R (1890 - 1962) in die Statistik eingeführt. Die Likelihood wird mit L abgekürzt. Anders als bei der Methode der kleinsten Quadrate, für die in der bivariaten linearen Regression einfache Gleichungen für die Berechnung der beiden Regressionskoeffizienten vorliegen, müssen bei der ML- Methode die Logitkoeffizienten der logistischen Regressionsgleichung Logitkoeffizient Effektkoeffizient Logit P(y = 1) Odds = P ð y = 1 Þ P ð y = 0 Þ b j < 0 0 < e b j < 1 nimmt um b j ab nimmt ab nehmen um den Faktor e b j ab b j = 0 e b j = 1 bleibt unverändert bleibt unverändert bleiben unverändert b j > 0 e b j > 1 nimmt um b j zu nimmt zu nehmen um den Faktor e b j zu Tab. 9.3 Vergleich der Ausprägungsbereiche von Logit- und Effektkoeffizienten 9.3 243 M A X I M U M - L I K E L I H O O D - M E T H O D E <?page no="243"?> tistik für Soziologen(3)__[Druckiterativ, d h. schrittweise, ermittelt werden. Man beginnt mit ersten Werten für b 0 sowie b 1 und verändert diese iterativ, so dass man am Ende diejenigen Logitkoeffizienten erhält, die die beste Anpassung der logistischen Regressionsfunktion an die vorliegenden Daten ermöglichen. Die Likelihood L ist das Maß, das diese Anpassung in einer Zahl zum Ausdruck bringt. Die Anpassungsstrategie der ML-Methode lautet: „Maximiere die Likelihood! “ Praktisch möglich geworden ist die Durchführung der ML-Methode mit der Entwicklung leistungsfähiger Computer, die diese iterative Ermittlung der Logitkoeffizienten mit Hilfe von Algorithmen ausführen können. In den herkömmlichen Statistikprogrammen sind diese Algorithmen heutzutage enthalten. Anhand des deskriptivstatistischen Beispiels werden die iterative Logik der ML-Methode und das Konzept der Likelihood vorgestellt. Beispiel: Die Zielsetzung ist, diejenigen Logitkoeffizienten für eine logistische Regressionsgleichung zu ermitteln, die die „zutreffendsten“ Wahrscheinlichkeiten P i (y = 1) für die neun vorliegenden y i -Ausprägungen berechnet. Zutreffend heißt dabei: Die Wahrscheinlichkeiten sollen bei den Studierenden möglichst nahe an 1 sein, für die auch empirisch der Wert y i = 1 vorliegt. Dagegen sollen die Wahrscheinlichkeiten P i (y = 1) bei den Studierenden dann möglichst nahe an 0 sein, wenn für Studierende der empirische Wert y i = 0 vorliegt. Bei diesen Studierenden soll der Wert für die Gegenwahrscheinlichkeit 1 - P i (y = 1) = P i (y = 0) demnach möglichst nahe an 1 sein. In der TABELLE 9.4 sind auf der linken Seite für die neun Studierenden die empirischen x i - und y i -Werte angegeben. Für die Berechnung der P i (y = 1)-Werte in den vier Spalten auf der rechten Seite liegen vier verschiedene Kombinationen von Logitkoeffizienten (b 0 ; b 1 ) zugrunde. Diese Kombinationen stellen vier Iterationsschritte der ML-Methode dar, wobei die Iteration von links nach rechts erfolgt. Die Anfangswerte der Iteration sind b 0 = -2,626 und b 1 = 0,383. Die Endwerte sind b 0 = -3,951 und b 1 = 0,609. In den zugehörigen Spalten sind für die neun Studierenden die Wahrscheinlichkeiten P i (y = 1) angegeben, die sich mit jeder der vier Kombinationen von Logitkoeffizienten errechnen lassen. Dafür setzt man in die logistische Regressionsgleichung die beiden Logitkoeffizienten und dann für die neun Studierenden jeweils deren x i -Wert ein. Betrachtet man die TABELLE 9.4 zeilenweise, so sieht man, dass für die meisten Fälle von links nach rechts die Werte P i (y = 1) besser an die vorliegenden Ausprägungen y i angepasst sind. Der erste Studierende hat die empirische Ausprägung y 1 = 1 (bleiben). Die durch die vier logistischen Regressionsgleichungen berechneten Wahrscheinlichkeiten P 1 (y = 1) nehmen von 0,8776 bis 0,9663 zu. Der zweite Studierende hat die empirische Ausprägung y 2 = 0 (nicht bleiben). Hier nehmen die Werte für P 2 (y = 1) ML-Methode ist iterativ Wenn y i = 1 vorliegt, soll P i (y = 1) nahe 1 sein Wenn y i = 0 vorliegt, soll P i (y = 1) nahe 0 sein Verschiedene Kombinationen von Logitkoeffizienten liefern schrittweise bessere Anpassungen 244 L O G I S T I S C H E R E G R E S S I O N <?page no="244"?> von 0,1859 bis 0,1068 ab, was ebenfalls einer besseren Anpassung für diesen Fall entspricht. Allerdings stellt sich die Verbesserung nicht für alle Fälle ein. Für zwei von neun Studierenden liegen auch in der letzten Spalte schlecht angepasste Wahrscheinlichkeitswerte vor. Für den dritten Studierenden mit der empirischen Ausprägung y 3 = 1 liefert die letzte logistische Regressionsgleichung mit P 3 (y = 1) = 0,2878 einen deutlich zu niedrigen Wert. Für den fünften Studierenden mit der empirischen Ausprägung y 5 = 0 ist P 5 (y = 1) = 0,7152 deutlich zu hoch ausgefallen. Anstatt die Anpassung für einzelne Fälle zu beurteilen, berechnet man die Likelihood, die die simultane Anpassung des logistischen Regressionsmodells für alle vorliegenden Fälle quantifiziert. Hierfür zieht man bei den Fällen mit der Ausprägung y i = 1 den Wert P i (y = 1) heran und für die Fälle mit der Ausprägung y i = 0 den Wert 1 - P i (y = 1). Das Produkt aus allen neun Werten ist die Likelihood L. Für die erste Kombination der Logitkoeffizienten ist die Likelihood für die neun vorliegenden Ausprägungen von Y: Likelihood(-2,626; 0,383) = 0,8776 . (1 - 0,1859) . 0,3294 . (1 - 0,2509) . (1 - 0,6078) . 0,9132 . 0,7692 . 0,5137 . (1 - 0,3294) = 0,016731 b 0 - 2,626 - 3,558 - 3,906 - 3,951 b 1 0,383 0,539 0,601 0,609 i x i y i P i (y = 1) P i (y = 1) P i (y = 1) P i (y = 1) 1 12 1 0,8776 0,9483 0,9646 0,9663 2 3 0 0,1859 0,1255 0,1088 0,1068 3 5 1 0,3294 0,2967 0,2888 0,2878 4 4 0 0,2509 0,1975 0,1821 0,1802 5 8 0 0,6078 0,6800 0,7114 0,7152 6 13 1 0,9132 0,9692 0,9803 0,9814 7 10 1 0,7692 0,8620 0,8913 0,8946 8 7 1 0,5137 0,5535 0,5747 0,5774 9 5 0 0,3294 0,2967 0,2888 0,2878 L 0,016731 0,020549 0,020928 0,020939 lnL - 4,090492 - 3,884943 - 3,866667 - 3,866142 - 2lnL 8,180984 7,769886 7,733334 7,732284 Tab. 9.4 Likelihood wird als Produkt berechnet 245 M A X I M U M - L I K E L I H O O D - M E T H O D E <?page no="245"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- Für die letzte Kombination errechnet sich die Likelihood für die neun vorliegenden Ausprägungen von Y mit: Likelihood(-3,951; 0,609) = 0,9663 . (1 - 0,1068) . 0,2878 . (1 - 0,1802) . (1 - 0,7152) . 0,9814 . 0,8946 . 0,5774 . (1 - 0,2878) = 0,020939 In der TABELLE 9.4 sind die Likelihood-Werte L für die Kombinationen der Logitkoeffizienten angegeben. Man erkennt, dass die Iteration bereits im dritten Schritt fast die maximale Likelihood ermittelt hat, die im vierten Schritt vorliegt. Im Unterschied zu den Wahrscheinlichkeiten P i (y = 1), die sich auf die Ausprägungen einzelner Fälle beziehen, stellt die Likelihood die gemeinsame Auftrittschance der vorliegenden Kombination der y i -Werte für alle Fälle dar. Maximum-Likelihood-Schätzung Liegt eine Stichprobe aus einer Grundgesamtheit vor, so wird eine Likelihood für die Stichprobe berechnet. Die Anpassungsstrategie, die Logitkoeffizienten zu ermitteln, die die Likelihood maximieren, ist dann zugleich die Schätzstrategie für die Logitkoeffizienten b 0 und b 1 in der Grundgesamtheit. Daher hat die ML-Methode als Schätzverfahren ihren Namen: Maximum-Likelihood-Schätzung, kurz: ML-Schätzung. Die ML-Schätzung kommt auch bei multiplen logistischen Regressionen zum Einsatz, bei denen mehrere unabhängige Variablen X j (mit j = 1, . . . J) vorliegen und dementsprechend für b 0 und J verschiedene b j geschätzt werden müssen. Die ML-Schätzung liefert auch eine Schätzung der Stichprobenfehler der Logitkoeffizienten b j . Die ML-Methode ist von R ONALD A. F I S HE R als ein Schätzverfahren eingeführt worden. Dies ist ihr eigentlicher Entwicklungskontext und Einsatzbereich (auch wenn das Verfahren hier als Anpassungsstrategie deskriptivstatistisch eingeführt wurde). Die ML-Schätzung wird heutzutage für viele moderne multivariate Verfahren genutzt. Ihre Grundlogik, die Koeffizienten für ein Modell so zu schätzen, dass die Daten einer Stichprobe mit der größten Likelihood ausgestattet werden, ist viel allgemeiner verwendbar als nur für die logistische Regression. Die Grundlage der Vorgehensweise für das Schätzen und Testen ( fi Kap. 6 und fi Kap. 7) war in der linearen Regression ( fi Kap. 8) noch die klassische Testtheorie (Neyman-Pearson-Ansatz). Mit der Verwendung der Likelihood und der ML-Schätzung in der logistischen Regression hat man den Neyman-Pearson-Ansatz hinter sich gelassen. Likelihood des vollständigen Modells ist maximale Likelihood 246 L O G I S T I S C H E R E G R E S S I O N <?page no="246"?> Eigenschaften der Likelihood Eine Likelihood hat viele Ähnlichkeiten mit einer Wahrscheinlichkeit. Die Likelihood variiert ebenfalls im Bereich [0; 1]. Der englische Begriff Likelihood bedeutet „Wahrscheinlichkeit“. Aber: in der englischsprachigen Statistik-Literatur wird für die Wahrscheinlichkeit der Begriff „probability“ verwendet. Eine Likelihood ist nämlich keine Wahrscheinlichkeit. Likelihoods verstoßen gegen Prinzipien der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Wenn man im Rahmen der Schätzung der Logitkoeffizienten einer logistischen Regressionsgleichung für alle möglichen Kombinationen von Logitkoeffizienten die Likelihoods berechnet, dann überschreitet die Summe dieser Likelihoods den Wert 1, was für Wahrscheinlichkeit nicht möglich sein darf. Die Likelihood, die man mit einer Kombination von Logitkoeffizienten berechnen kann, ist dann 1, wenn damit die Anpassung der logistischen Regressionsgleichung an die vorliegenden Daten perfekt gelingt. Likelihoods tendieren dazu, umso niedriger auszufallen, je größer die Zahl der Fälle ist. (Zudem werden die L-Werte durch die Schiefe der Verteilung von Y beeinflusst.) Einzelne Likelihood-Werte sind nicht sehr aussagekräftig. Aus diesem Grund werden nicht einzelne Likelihoods, sondern Maßzahlen, die auf zwei Likelihood- Werten basieren, als Anpassungsmaße bzw. als Prüfgrößen in der logistischen Regression verwendet. Transformationen der Likelihood Die Algorithmen zur Maximierung der Likelihood L verwenden die logarithmierte Likelihood lnL, die so genannte Log-Likelihood. Dies geschieht aus rechentechnischen Gründen, da das Maximum von lnL leichter iterativ zu ermitteln ist als das Maximum von L. In der vorletzten Zeile der TABELLE 9.4 sind die lnL-Werte angegeben. Sie nehmen wie die Likelihoods von links nach rechts zu. Multipliziert man die Log-Likelihood mit -2 erhält man die Devianz -2lnL. (Die hier eingeführte Devianz lässt sich mit anderer Notation auch als ein Maß qualitativer Variation einsetzen, ( fi Kap. 3.6) .) Die Verbindung zwischen beiden Verwendungen der Devianz zeigen K ÜHN E L / K R E B S 2012 auf.) Viele Softwareprogramme geben die lnL-Werte oder die -2lnL-Werte statt der L-Werte aus. Bei der Devianz ist zu beachten, dass kleine Likelihood-Werte sehr großen Devianz- Werten und große Likelihood-Werte sehr kleinen Devianz-Werten entsprechen. Die Maximierung der Likelihood-Werte entspricht damit der Minimierung der -2lnL-Werte. Eine minimal mögliche Devianz von 0 entspricht einer maximal möglichen Likelihood von 1. In der TABELLE 9.4 sind in der letzten Zeile die -2lnL-Werte angegeben. Diese werden von links nach rechts mit zunehmend besserer Anpassung der logistischen Regressionsgleichung an die Daten kleiner. Likelihood ist keine Wahrscheinlichkeit Minimierung der Devianz 247 M A X I M U M - L I K E L I H O O D - M E T H O D E <?page no="247"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- Pseudo-R 2 -Maße Für die Beurteilung der Erklärungsleistung eines logistischen Regressionsmodells kann man nicht auf den Determinationskoeffizienten r 2 aus der linearen Regression zurückgreifen, da im Fall der logistischen Regression die Varianzzerlegung nicht möglich ist, mit deren Hilfe der Determinationskoeffizient konstruiert wurde ( fi Kap. 4.3.3) . Im Rahmen der logistischen Regression werden daher Maße, die eine ähnliche Interpretation wie der Determinationskoeffizient ermöglichen sollen „Pseudo-R 2 -Maße“ genannt. Allerdings geben sie nicht an, in welchem Ausmaß die Variation einer abhängigen Variablen durch die Variation einer bzw. mehrerer unabhängiger Variablen statistisch erklärt wird. Stattdessen geben sie an, in welchem Ausmaß eine Anpassungsverbesserung des vollständigen Modells im Vergleich zum Nullmodell erfolgt. Diese verbesserte Anpassungsleistung wird auf die im vollständigen Modell enthaltenen unabhängigen Variablen zurückgeführt. Von M C F ADD EN ist ein solches Maß vorgeschlagen worden, das in einer Zahl angibt, in welchem Ausmaß die unabhängigen Variablen zur Anpassungsverbesserung des logistischen Regressionsmodells beiträgt. Dafür müssen zwei Modelle verglichen werden: ein Modell, in dem die unabhängigen Variablen nicht berücksichtigt sind, und ein Modell, für das die unabhängigen Variablen hinzugezogen werden. Das Nullmodell ist ein logistisches Regressionsmodell, in dem ohne die Kenntnis der x i -Ausprägungen die Wahrscheinlichkeiten P(y = 1) berechnet werden. Dafür wird im bivariaten Fall (mit nur einer unabhängigen Variablen) der Logitkoeffizient der unabhängigen Variablen einfach b 1 = 0 gesetzt. Man wertet die Information über die Ausprägungen der unabhängigen Variablen hierfür also nicht aus. (Im multiplen Fall werden für das Nullmodell alle b j = 0 gesetzt.) Dann wird nur b 0 mit der ML- Methode ermittelt. Für das Nullmodell kann man dann eine Likelihood L 0 und eine Devianz -2lnL 0 ermitteln. Das vollständige Modell ist dasjenige, in dem sowohl b 0 als auch b 1 mit der ML-Methode ermittelt werden. Hier werden also die Ausprägungen der unabhängigen Variablen für die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten einbezogen. Man erhält dafür die Likelihood L V und die Devianz -2lnL V . Das Pseudo-R 2 -Maß nach McFadden (kurz McFadden’s-R 2 ) erfasst dann die relative Anpassungsverbesserung des vollständigen Modells gegenüber dem Ausgangsmodell: McFadden 0 s-R 2 = 2lnL 0 ð 2lnL V Þ 2lnL 0 Ist eine Anpassungsverbesserung vorhanden, so kann man sagen, dass ein (gerichteter) Zusammenhang zwischen der unabhängigen und der abhängigen Variablen besteht. Das McFadden’s-R 2 kann man auf diese 9.4 Vergleich von Nullmodell und vollständigem Modell Pseudo-R 2 gibt relative Anpassungsverbesserung an 248 L O G I S T I S C H E R E G R E S S I O N <?page no="248"?> Weise auch für ein multiples logistisches Regressionsmodell berechnen. Für das vollständige Modell zieht man dann in einem Schritt alle J unabhängigen Variablen hinzu und ermittelt mit der ML-Methode b 0 sowie die J verschiedenen b j . McFadden’s-R 2 -Werte unter 0,05 weisen auf einen nur schwachen Zusammenhang, McFadden’s-R 2 -Werte über 0,2 auf einen starken Zusammenhang hin. Werte über 0,4 treten selten auf (A NDR E S S et al. 1997, S. 288). McFadden’s-R 2 hat sich zwar als Standard etabliert, es hat aber den Nachteil, dass es nicht im Spektrum von 0 bis 1 variiert. Mittlerweile liegen viele weitere Versionen von Pseudo-R 2 -Maßen vor, die dazu dienen sollen, diesen Nachteil auszugleichen. Das Pseudo- R 2 -Maß von Nagelkerke (kurz Nagelkerke’s-R 2 ) hat sich hier als beste Lösung erwiesen. Das Maß wird unter Verwendung der Likelihood- Werte L 0 und L V berechnet mit: Nagelkerke 0 s-R2 = 1 L 0 L V 2 = n 1 L 2 = n 0 Dabei ist n die Anzahl der einbezogenen Fälle. Wenn L V nur so groß ist wie L=, dann ist keine Anpassungsverbesserung gelungen und Nagelkerke’s-R 2 ist 0 (wie McFadden’s-R 2 ). Wenn eine perfekte Anpassungsverbesserung gelingt, dann ist Nagelkerke’s R 2 gleich 1. Hinweis: Einige Datenanalyseprogramme geben Cox und Snell’s-R 2 aus. Es hat wie McFadden’s-R 2 den Nachteil, dass es nicht den Wert 1 annehmen kann. Nagelkerke’s-R 2 kann als Normierung von Cox und Snell’s-R 2 aufgefasst werden (Behnke 2015). Die Formel für Cox und Snell’s-R 2 steht in der Formel für Nagelkerke’s-R 2 im Zähler. Beispiel: Für das Nullmodell wird nur die Kenntnis der Variablen Am Studienort bleiben? als Informationsbasis herangezogen, um eine logistische Regressionsgleichung zu entwickeln, die die Wahrscheinlichkeiten P(y = 1) ermittelt. Der mit der ML-Methode ermittelte Logitkoeffizient ist b 0 = 0,223. Da sich in dieser logistischen Regressionsgleichung die Unterschiede der Netzwerkgröße nicht auswirken, wird für alle neun Studierenden dieselbe Wahrscheinlichkeit P i (y = 1) dafür ermittelt, bleiben zu wollen. Diese ist einheitlich P i (y = 1) = 0,5556. Dieses Resultat erhält man auch durch die folgende einfache Überlegung: Da fünf von neun Studierenden angegeben haben, bleiben zu wollen, ist die Wahrscheinlichkeit für jeden der neun Studierenden, zu bleiben P i (y = 1) = 5 : 9 = 0,5556. Für das Nullmodell wird nun die Likelihood berechnet: Likelihood(-0,223; 0) = L 0 = 0,5556 . (1 - 0,5556) . 0,5556 . (1 - 0,5556) . (1 - 0,5556) . 0,5556 . 0,5556 . 0,5556 . (1 - 0,5556) = 0,002065 Berechnung der Likelihood des Nullmodells 249 P S E U D O - R 2 - M A ß E <?page no="249"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- Die Devianz für das Nullmodell ist -2lnL 0 = -2 . ln(0,002065) = 12,3653. Die Devianz des vollständigen Modells (TABELLE 9.4) ist, auf vier Nachkommastellen gerundet, -2lnL = 7,7323. Die Maße nach McFadden und Nagelkerke sind damit: McFadden 0 s-R 2 = 2lnL 0 ð 2lnL V Þ 2lnL 0 = 12,3653 7,7323 12,3653 = 0,37 Nagelkerke 0 s-R2 = 1 L 0 L V 2 = n 1 L 2 = n 0 = 1 0,002065 0,020939 2 = 9 1 0,002065 2 = 9 = 1 0,5976 1 0,2531 = 0,4024 0,7469 = 0,5388 McFadden’s-R 2 weist aus, dass die Aufnahme der unabhängigen Variablen die Anpassungsleistung um 37 % verbessert. Der Wert 0,5388 für Nagelkerke’s-R 2 zeigt an, dass hier eine starke Anpassungsverbesserung vorliegt. Inhaltlich bedeutet das, dass die Netzwerkgröße einen starken Einfluss auf die Entscheidung hat, ob die Studierenden nach Abschluss des Studiums am Studienort bleiben oder ob sie an einen anderen Ort umziehen wollen. Multiple logistische Regression mit Stichprobendaten Erweitert man das binäre logistische Regressionsmodell um zusätzliche unabhängige Variablen, erhält man ein multiples logistisches Regressionsmodell. Anhand eines Beispiels soll die multiple logistische Regression mit Stichprobendaten durchgeführt werden, so dass hier nun inferenzstatistische Gesichtspunkte hinzutreten. Beispiel: Der ALLBUS wird als einfache Zufallsstichprobe betrachtet. Im Rahmen des ALLBUS 2002 sind viele Fragen zum Thema Religion gestellt worden. Eine davon lautet: „Glauben Sie an ein Leben nach dem Tod? “ (v172). Diese Frage konnte mit „ja“ oder „nein“ beantwortet werden, so dass eine dichotome Variable im Datensatz vorliegt. Diese wird mit 0 („nein“) und 1 („ja“) rekodiert. Mit den folgenden unabhängigen Variablen wird ein logistisches Regressionsmodell erstellt: (1) West/ Ost (v3, Referenzkategorie „alte Bundesländer“ = 0); (2) das Geschlecht (v182, Referenzkategorie „männlich“ = 0); 9.5 Variablen im logistischen Regressionsmodell 250 L O G I S T I S C H E R E G R E S S I O N <?page no="250"?> (3) das Alter in Jahren (v185); (4) Schulabschluss Abitur (rekodiert aus v187, Referenzkategorie „kein Abitur“ = 0); (5) die Oben-Unten-Selbsteinstufung (v696, mit den Ausprägungen 1= „oben“ bis 10 = „unten“). Die Variablen West/ Ost, Geschlecht und Abitur sind 0 - 1-kodiert, die beiden Variablen Alter und Oben-Unten-Selbsteinstufung sind metrisch. (Für die Analyse wurden nur diejenigen Fälle herangezogen, die in dem Landesteil interviewt wurden, in dem sie auch geboren waren.) Die ABBILDUNG 9.4 stellt das Pfaddiagramm für das logistische Regressionsmodell dar. Für 912 Befragte liegen die Ausprägungen aller Variablen vor. 409 von ihnen geben an, an ein Leben nach dem Tod zu glauben, das sind 44,85 %. Ein erster Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit eines Befragten, an ein Leben nach dem Tod zu glauben, wäre also P i (y = 1) = 0,4485. Wenn die fünf unabhängigen Variablen X 1 bis X 5 einen Einfluss auf die abhängige Variable ausüben, so müsste sich mit der Kenntnis der fünf Ausprägungen jedes Befragten (x 1i , x 2i , x 3i , x 4i , x 5i ) ein logistisches Regressionsmodell ermitteln lassen, das für möglichst viele der 912 Befragten eine zutreffendere Wahrscheinlichkeit als P i (y = 1) = 0,4485 liefert. In der TABELLE 9.5 sind die Logitkoeffizienten b j für die fünf unabhängigen Variablen und b 0 enthalten, die in dieser Kombination die maximale Likelihood für die Stichprobendaten hervorbringen. Mit den beiden -2lnL-Werten für das Nullmodell und das vollständige Modell aus TABELLE 9.5 ergibt sich ein McFadden’s-R 2 von: McFadden 0 s-R 2 = 2lnL 0 ð 2lnL V Þ 2lnL 0 = 1255,432 1145,650 1255,432 = 0,09 Die Größe der relativen Anpassungsverbesserung des Modells beträgt nach McFadden 0,09. Man kann interpretieren, dass die Aufnahme der Alter Abitur X 3 Oben-Unten- Selbsteinstufung X 2 West/ Ost X 1 Y X 4 X 5 E Residue Glaube an ein Leben nach dem Tod Geschlecht Abb. 9.4 251 M U L T I P L E L O G I S T I S C H E R E G R E S S I O N M I T S T I C H P R O B E N D A T E N <?page no="251"?> tistik für Soziologen(3)__[Druckunabhängigen Variablen die Anpassung (gegenüber dem Nullmodell) um 9 % verbessert. Das ist nur eine geringe Anpassungsverbesserung. (Nagelkerke’s-R 2 beträgt 0,15 und zeigt damit ebenfalls an, dass die Anpassungsleistung des Modells gering ist.) Um die Anpassungsleistung des logistischen Regressionsmodells detaillierter zu analysieren, kann man sich die Klassifizierungstabelle erstellen lassen (TABELLE 9.6). In dieser Tabelle werden die Fälle in den Spalten danach unterschieden, ob das logistische Regressionsmodell ihnen eine Wahrscheinlichkeit P i (y = 1) größer oder kleiner als 0,5 zuordnet. In den Reihen werden die Fälle danach unterschieden, welche empirische Ausprägung y i jeweils vorliegt. Die Klassifizierungstabelle ermöglicht so, die Anpassungsleistung des logistischen Regressionsmodells in den beiden Kategorien einzeln zu bewerten. Die 503 Personen, die angeben, nicht an ein Leben nach dem Tod zu glauben (y i = 0), stehen in der ersten Reihe der Tabelle. Aufgrund der durch die logistische Regressionsgleichung errechneten Wahrschein- Tab. 9.5 j Variable b j b j e b j WALD 1 West/ Ost (alte Bundesländer = 0) - 1,632 0,206 0,196 62,9775 2 Geschlecht (männlich = 0) 0,738 0,142 2,092 27,115 3 Alter - 0,010 0,005 0,991 4,328 4 Abitur (kein Abitur = 0) - 0,037 0,173 0,964 0,046 5 Oben-Unten-Selbsteinstufung 0,015 0,053 1,015 0,075 Konstante b 0 = 0,094 n = 912 - 2lnL 0 = 1255,432 - 2lnL V = 1145,650 Tab. 9.6 mit log. Regressionsgleichung berechnete Wahrscheinlichkeiten richtige Vorhersagen P i (y = 1) < 0,5 P i (y = 1) > 0,5 empirische y i = 0 361 142 503 71,77 % Ausprägungen y i = 1 184 225 409 55,01 % 545 367 912 Klassifikationstabelle zur Diagnose der Anpassungsleistung 252 L O G I S T I S C H E R E G R E S S I O N <?page no="252"?> lichkeit P i (y = 1) würde man bei 361 von ihnen die Ausprägung 0 vorhersagen. Diese Vorhersage wäre bei diesen Befragten zutreffend. Für 142 Personen aus dieser Gruppe wäre die berechnete Wahrscheinlichkeit aber größer als 0,5 und damit würde für diese die Ausprägung 1 vorhergesagt, was eine falsche Vorhersage wäre. Dennoch leistet das Modell für diese Gruppe bei ca. 72 % der Personen eine richtige Vorhersage. Für die Gruppe der Befragten, die angeben, an ein Leben nach dem Tod zu glauben, ist der Prozentsatz richtiger Vorhersagen mit 55 % dagegen schlechter ausgeprägt. Die logistische Regressionsgleichung ( fi Kap. 9.1) ist für die Stichprobe: P i ð y = 1 Þ = 1 1 + e ð 0,094 1,632 x 1i + 0,738 x 2i 0,010 x 3i 0,037 x 4i + 0,015 x 5i Þ Die Logitkoeffizienten b j der fünf Variablen geben an, welchen Effekt eine Variable X j auf den Logit hat. Obwohl der Logit kein sehr anschaulicher Sachverhalt ist, kann man hier für die Stichprobe anhand der Vorzeichen der b j feststellen, in welche Richtung die Variablen auf P(y = 1) wirken. Im Vergleich zu den Westdeutschen wird für die Ostdeutschen eine geringere Wahrscheinlichkeit durch die logistische Regressionsgleichung berechnet, dafür, dass sie an ein Leben nach dem Tod glauben. Diese Wahrscheinlichkeit fällt für Frauen höher aus als für Männer. Die anderen drei Variablen üben nur einen sehr geringen Effekt auf P(y = 1) aus. Betrachtet man die Effektkoeffizienten e b j (TABELLE 9.5), so sieht man, dass die Odds der Ostdeutschen nur ein Fünftel so groß sind wie die Odds der Westdeutschen. Die Odds der Frauen sind mehr als doppelt so groß wie die Odds der Männer. Die Effektkoeffizienten der anderen drei Variablen unterscheiden sich wenig von 1, was wieder auf den nur geringen Einfluss hinweist. Bemerkung: Da die Variablen West/ Ost, Geschlecht und Abitur jeweils dichotom sind, stellen deren Effektkoeffizienten zugleich das jeweilige Odds Ratio dar. Die Logitkoeffizienten und Effektkoeffizienten sind in der Größenordnung beeinflusst durch die Skalierung von X j . Eine Standardisierung der Logitkoeffizienten - vergleichbar mit derjenigen für die Regressionskoeffizienten in der multiplen linearen Regression ( fi Kap. 8.1.2) - besteht in der Multiplikation der Logitkoeffizienten b j mit der Standardabweichung von X j : b j = b j s x j Die Anwendung dieser Standardisierung ist nur sinnvoll für die Logitkoeffizienten metrisch skalierter unabhängiger Variablen. 253 M U L T I P L E L O G I S T I S C H E R E G R E S S I O N M I T S T I C H P R O B E N D A T E N <?page no="253"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- Likelihood-Ratio-Test Entsprechend zum F-Test in der linearen multiplen Regressionsanalyse, gibt es auch in der logistischen Regressionsanalyse einen globalen Anpassungstest. Dieser Test ist der Likelihood-Ratio-Test, kurz: LR-Test. Er verwendet die Differenz der beiden Devianz-Werte des Nullmodells und des vollständigen Modells als Prüfgröße. Die Nullhypothese behauptet, dass in der Grundgesamtheit keine der unabhängigen Variablen zur Anpassungsverbesserung beiträgt, d. h. inhaltlich, dass keine der unabhängigen Variablen in der Grundgesamtheit einen Einfluss auf P(y = 1) ausübt. Die Alternativhypothese behauptet dagegen, dass in der Grundgesamtheit zumindest eine der unabhängigen Variablen zur Anpassungsverbesserung beiträgt. Formal: H 0 : b j = 0 für alle j H 1 : b j „ 0 für mindestens ein j Die Differenz zwischen den beiden Devianz-Werten ist die Prüfgröße L 2 : L 2 = 2lnL 0 ð 2lnL V Þ Bei der Prüfgröße L 2 handelt es sich um eine 2 -Konstruktion (wie auch das Pearson- 2 ). L 2 heißt daher auch Likelihood- 2 . L 2 ist 2 -verteilt mit df = J, der Anzahl der unabhängigen Variablen. Wenn die H 0 in der Grundgesamtheit zutrifft, dann ist in der Grundgesamtheit der L 2 -Wert 0. Aus Zufallsgründen kann dennoch in der Stichprobe der L 2 -Wert etwas größer ausfallen. Kleine L 2 -Werte in der Nähe von 0 sprechen also für die Beibehaltung der H 0 . Liegt in der Stichprobe aber ein großer L 2 -Wert vor, so spricht dies für die Verwerfung der H 0 . Der Rückweisungswert für den rechtsseitigen 2 -Test kann aus der TABELLE 12.3 (Anhang) entnommen werden. Beispiel: Die L 2 -Werte folgen unter der H 0 einer 2 -Verteilung mit fünf Freiheitsgraden. Der Rückweisungswert (bei einem Signifikanzniveau von 5 %) ist 2r = 11,070. L 2 -Werte, die kleiner als 11,070 sind, fallen in den Annahmebereich A 0 , L 2 -Werte, die größer oder gleich 11,070 sind, fallen in den Rückweisungsbereich R 0 . Der TABELLE 9.5 kann man die beiden -2lnL-Werte entnehmen und die Differenz berechnen: L 2 = 1255,432 - 1145,65 = 109,782 Da der empirische L 2 -Wert größer ist als der Rückweisungswert kann die H 0 verworfen werden. Auch in der Gesamtheit (der deutschen er- 9.5.1 LR-Test prüft logistisches Regressionsmodell insgesamt Prüfgröße L 2 L 2 folgt unter H 0 einer 2 -Verteilung 254 L O G I S T I S C H E R E G R E S S I O N <?page no="254"?> wachsenen Bevölkerung in Privathaushalten) erbringt das logistische Regressionsmodell eine Anpassungsleistung. WALD-Test Wenn der Likelihood-Ratio-Test zur Verwerfung der Nullhypothese geführt hat, kann man Hypothesen über die Einflüsse der einzelnen unabhängigen Variablen prüfen. Diese Prüfung erfolgt mit dem WALD-Test. Getestet wird für jede unabhängige Variable die Nullhypothese, dass sie in der Grundgesamtheit keinen Einfluss auf P(y = 1) ausübt. Die Alternativhypothese behauptet dagegen, dass die Variable in der Grundgesamtheit einen Einfluss auf P(y = 1) ausübt. Formal: H 0 : b j = 0 H 1 : b j „ 0 Als Prüfgröße werden die so genannten WALD-Werte verwendet. Diese lassen sich berechnen, indem man die Logitkoeffizienten durch ihren Stichprobenfehler teilt und das Resultat quadriert: WALD = b j b j ! 2 Die WALD-Werte folgen unter der H 0 einer 2 -Verteilung mit einem Freiheitsgrad. Damit ist (bei einem Signifikanzniveau von 5 %) der Rückweisungswert 2r = 3,841. Beispiel: Die WALD-Werte sind in der letzten Spalte der TABELLE 9.5 angegeben. Es zeigt sich, dass für die ersten drei Variablen der WALD-Test jeweils zu einem signifikanten Testresultat führt, da deren WALD-Werte größer als 3,841 sind. Für die Variablen West/ Ost, Geschlecht und Alter kann damit die H 0 verworfen werden. Man kann aussagen, dass diese drei Variablen in der Grundgesamtheit einen Einfluss auf P(y = 1) ausüben. Für die beiden Variablen Abitur und Oben-Unten-Selbsteinstufung kann die H 0 nicht verworfen werden. Hier kann man nicht aussagen, dass diese Variablen in der Grundgesamtheit einen Einfluss P(y = 1) haben. Alternativ zum WALD-Test kann man den z-Test verwenden. Hierfür werden standardnormalverteilte z-Werte ermittelt, indem man die Logitkoeffizienten b j durch deren Stichprobenfehler b j teilt. 9.5.2 WALD-Test prüft Einfluss einzelner unabhängiger Variablen Wald-Test und z-Test äquivalent 255 M U L T I P L E L O G I S T I S C H E R E G R E S S I O N M I T S T I C H P R O B E N D A T E N <?page no="255"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- Konfidenzintervalle für b j und e b j Ausgehend von den Stichprobenwerten kann man für jeden Logitkoeffizienten das Konfidenzintervall konstruieren, in dem mit einer Sicherheit von 95 % der wahre Logitkoeffizient in der Grundgesamtheit b j enthalten ist. Da die Effektkoeffizienten anschaulicher zu interpretieren sind, erstellt man zumeist auch die Konfidenzintervalle für e j . Für ein Vertrauensniveau von 95 % berechnet man für ein Konfidenzintervall die untere bzw. obere Grenze mit: b j z 0 : 975 b j bzw. b j + z 0 : 975 b j Das 95 %-Konfidenzintervall für den Logitkoeffizienten ist: KONF ½ b j z 0 : 975 b j ; b j + z 0 : 975 b j = 0,95 Beispiel: Das Konfidenzintervall für den Logitkoeffizienten b 1 der ersten unabhängigen Variablen West/ Ost erhält man, indem man die Werte für b j und b j aus TABELLE 9.5 heranzieht. Die untere bzw. obere Grenze ist: ð 1,632 Þ 1,96 0,206 = 2,036 bzw. ð 1,632 Þ + 1,96 0,206 = 1,228 Mit einer Sicherheit von 95 % beinhaltet das Intervall KONF[-2,036; -1,228] den Logitkoeffizienten der Grundgesamtheit. Mit den berechneten Grenzen des Konfidenzintervalls für den Logitkoeffizienten kann man die Grenzen des Konfidenzintervalls für den Effektkoeffizienten berechnen. Für den Effektkoeffizienten e 1 der Variablen West/ Ost ergeben sich die untere bzw. obere Grenze mit: e (-2,036) = 0,131 bzw. e (-1,228) = 0,293 Tab. 9.7 95 %-Konfidenzintervalle für b j 95 %-Konfidenzintervalle für e j j Variable untere Grenze obere Grenze untere Grenze obere Grenze 1 West/ Ost (alte Bundesländer = 0) - 2,036 - 1,228 0,131 0,293 2 Geschlecht (männlich = 0) 0,460 1,016 1,584 2,762 3 Alter - 0,018 - 0,001 0,982 0,999 4 Abitur (kein Abitur = 0) - 0,376 0,301 0,687 1,351 5 Oben-Unten-Selbsteinstufung - 0,089 0,118 0,915 1,125 9.5.3 256 L O G I S T I S C H E R E G R E S S I O N <?page no="256"?> Mit einer Sicherheit von 95 % beinhaltet das Intervall KONF[0,131; 0,293] den Effektkoeffizienten in der Grundgesamtheit. Die TABELLE 9.7 stellt die 95 %-Konfidenzintervalle der Logit- und Effektkoeffizienten für alle fünf unabhängigen Variablen zusammen. Beinhaltet das Konfidenzintervall für b j den Wert 0 bzw. das Konfidenzintervall für e j den Wert 1, dann kann nicht mit 95 %iger Sicherheit angegeben werden, in welche Richtung die unabhängige Variable X j in der Grundgesamtheit auf die abhängige Variable wirkt. Der zugehörige WALD-Test (bzw. z-Test) des Logitkoeffizienten führt nicht zur Verwerfung der Nullhypothese. Konfidenzintervall lässt erkennen, ob Stichprobenbefund signifikant ist 257 M U L T I P L E L O G I S T I S C H E R E G R E S S I O N M I T S T I C H P R O B E N D A T E N <?page no="257"?> Multiple Korrespondenzanalyse Inhalt 10.1 Logik und Grundkonzepte 10.2 Achsen und Trägheiten 10.3 Statistische Erklärung der Kategorien 10.4 Passive Variablen 10.5 Praktische Empfehlungen Die multiple Korrespondenzanalyse ermöglicht die grafische und numerische Analyse einer mehrdimensionalen Häufigkeitstabelle. Dabei wird der Zusammenhang zwischen mehreren kategorialen Variablen ( fi Kap. 2.2) untersucht. Die multiple Korrespondenzanalyse ist für sozialwissenschaftliche Analysen im Allgemeinen und für soziologische Analysen im Besonderen aus verschiedenen Gründen ein besonders geeignetes multivariates Analyseverfahren. (1) Einmal deswegen, weil sie der Situation Rechnung trägt, dass die Mehrheit der Variablen in sozialwissenschaftlichen Datensätzen nominal oder ordinal skaliert ist und nur wenige Ausprägungen haben - eben das sind kategoriale Daten. Metrisch skalierte Variablen stellen eher die Ausnahme dar. Und auch diese lassen sich in multiple Korrespondenzanalysen einbeziehen, wenn man sie geeignet rekodiert, so dass sie anschließend nur wenige Kategorien aufweisen. (2) Ein weiterer Grund ist darin zu sehen, dass für viele Untersuchungen nicht vorab feststeht, was abhängige und was unabhängige Variablen sind, sondern dass man daran interessiert ist, Zusammenhangsmuster in den Daten überhaupt erst zu identifizieren. Die Korrespondenzanalyse ist daher ein strukturentdeckendes Verfahren. (3) Ein dritter Grund für die Geeignetheit der multiplen Korrespondenzanalyse für sozialwissenschaftliche Untersuchungen liegt darin, dass diese anstrebt, einen möglichst großen Anteil der statistischen Informationen einer mehrdimensionalen Tabelle grafisch in einem Raum zu visu- 10 MCA für Sozialwissenschaften besonders geeignet 258 <?page no="258"?> alisieren, der nur wenige Dimensionen hat. Dieses Anliegen der Dimensionsreduktion wird ermöglicht, indem latente Variablen - sogenannte Achsen - ermittelt werden. Mit Hilfe der Achsen wird dann die grafische Darstellung des Zusammenhangs zwischen den gemessenen Variablen interpretierbar gemacht, indem man in dieser Grafik die Kategorien platziert und so die Beziehungen („Korrelationen“) zwischen ihnen darstellt. Die multiple Korrespondenzanalyse ist von Jean-Paul Benzècri (1992) in Frankreich entwickelt worden. Dort wird sie auch als „geometrische Datenanalyse“ (Le Roux/ Rouanet 2004, 2010) bezeichnet. In der deutschsprachigen Soziologie hat insbesondere Pierre Bourdieu dieses Verfahren bekannt gemacht mit seiner einflussreichen Studie zur Sozialstruktur Frankreichs „Die feinen Unterschiede“ (Bourdieu 1982). In Frankreich zählt die Korrespondenzanalyse seit Jahrzehnten zu den am häufigsten eingesetzten multivariaten Verfahren überhaupt. Heutzutage liegen verschiedene Versionen der Korrespondenzanalyse vor, wobei die multiple Korrespondenzanalyse (MCA) sich als die vielversprechendste Form erwiesen hat, die sich schrittweise internationalisiert hat (Blasius/ Greenacre Hrsg. 1994; Greenacre 2017). Logik und Grundkonzepte Ausgangspunkt für die multiple Korrespondenzanalyse (MCA) ist ein kleines Set von kategorialen Variablen, zwischen denen Zusammenhänge angenommen werden, welche man nun nicht (jeweils) bivariat, sondern (simultan) multivariat untersuchen möchte. Eine bivariate oder einfache Korrespondenzanalyse (CA) zieht nur zwei Variablen für die Analyse des Zusammenhangs zwischen ihnen heran. Von multipler Korrespondenzanalyse ist die Rede, wenn mehr als zwei Variablen gleichberechtigt in die Analyse einbezogen werden. Es gibt eine Reihe von Unterschieden zwischen der multiplen Korrespondenzanalyse und den in den vorherigen Kapiteln eingeführten Verfahren. Die Abgrenzung zu Eigenheiten der linearen Regression ( fi Kap. 8) sowie der logistischen Regression ( fi Kap. 9) soll das Verständnis für die Logik der MCA in einem ersten Schritt vereinfachen. Ein Beispiel wird in einem zweiten Schritt skizzieren, was eine MCA ist und leisten soll. (1) Anders als bei den beiden Formen der Regression geht man bei der Korrespondenzanalyse nicht vorab davon aus, dass einseitig gerichtete Beziehungen zwischen einer abhängigen und mehreren unabhängigen Variablen vorliegen müssen. (2) Ein weiterer wichtiger Unterschied insbesondere zur linearen Regression ist, dass in der Korrespondenzanalyse die statistischen Bezie- 10.1 Unterschiede zu linearer und logistischer Regression 259 L O G I K U N D G R U N D K O N Z E P T E <?page no="259"?> tistik für Soziologen(3)__[Druckhungen zwischen den Variablen nicht linear sein müssen. Da hier auch keine Anforderungen an das Skalenniveau gestellt werden - die Variablen sollen lediglich kategorial sein (was man auch für metrische Variablen einrichten kann) -, ist das mögliche Anwendungsspektrum der multiplen Korrespondenzanalyse sehr groß. (3) Und da im Grunde keine Anwendungsvoraussetzungen vorliegen, entfällt auch der statistische Aufwand, das Vorliegen (des Ausmaßes) der Anwendungsvoraussetzungen zu prüfen. (4) Während in den Formen der Regressionsanalyse die Beziehungen zwischen Variablen mit Hilfe von statistischen Koeffizienten und Zusammenhangsmaßen erfolgt, fokussiert die Korrespondenzanalyse die Beziehungen zwischen den Ausprägungen der Variablen und den Beziehungen zwischen ihnen. Damit ist eine detailliertere Analyse von sozialwissenschaftlich relevanten Zusammenhängen möglich. (5) Anders als bei den verschiedenen Formen der Regressionsanalyse (als jeweils strukturprüfenden Verfahren) ist mit der Korrespondenzanalyse nicht das Ziel verbunden, Hypothesen über eine Grundgesamtheit zu prüfen oder Grundgesamtheitskennwerte zu schätzen. Die Logik der Korrespondenzanalyse ist explorativ, d. h. stukturentdeckend, und sie liefert zunächst visuell Resultate über Zusammenhänge zwischen den Kategorien, die sich auf die vorliegende Datenbasis beziehen. Kennzeichnend für strukturentdeckende Verfahren ist, dass hier mit Hilfe statistischer Verfahren Muster und latente Dimensionen identifiziert werden, die dann theoriegestützt und erfahrungsgestützt interpretiert werden müssen. Hier entsteht ein erforderlicher Aufwand im Wesentlichen in der systematischen Interpretation und durch die Möglichkeiten, Interpretationen zu verfeinern bzw. zu validieren. Am Ende kann ein Resultat darin bestehen, dass man die statistisch identifizierte und interpretierte Struktur als „tiefer“ liegende Struktur der sozialen Realität auffasst. Eine weitere (darauf aufbauende oder damit kombinierbare) Möglichkeit für ein Resultat besteht darin, dass man Hypothesen über kausale Zusammenhänge gewinnt, die zu erklären versuchen, warum sich diese Strukturen ergeben haben. Um die Grundlogik, die der MCA unterliegt, und um erste Grundkonzepte einzuführen, wird nun ein Beispiel eingeführt. Beispiel: Es wird mit dem (Teil-)Datensatz EUROPEAN SOCIAL SURVEY für die Schweiz aus dem Jahr 2014 (ESS7CH) untersucht, wie die Befragten das Alltagsleben mit „anderen Volksgruppen und Ethnien“ erleben. (Der Bezug, um zu klären, wer diese „anderen“ sind, war dabei „die Mehrheit“ der in der Schweiz lebenden Menschen.) Die Schweiz ist sehr stark durch regionale Unterschiede gekennzeichnet. Die Unterschiedlichkeit Beziehungen zwischen Kategorien stehen im Vordergrund MCA ist ein exploratives, d. h. strukturentdeckendes Verfahren Strukturentdeckende Verfahren sind wesentlich grafisch gestützt 260 M U L T I P L E K O R R E S P O N D E N Z A N A L Y S E <?page no="260"?> der Bevölkerung hinsichtlich regionaler Gruppen, aber auch hinsichtlich Ethnien und Ausländergruppen ist in der Schweiz im Vergleich zu Deutschland aber größer. Im Jahr 2014 betrug der Ausländeranteil in der Schweiz 24,3 %, wohingegen dieser Anteil in Deutschland 2014 bei 8,2 % lag. Und wie in vielen Ländern hat sich in den letzten Jahren auch in der Schweiz die öffentliche Diskussion über das Verhältnis zwischen Staatsbürgern und Ausländern intensiviert. Anhand des Datensatzes soll nun in einem ersten Schritt untersucht werden, wie Angehörige anderer Volksgruppen und Ethnien praktisch im Freundeskreis und in der Wohngegend von Schweizerinnen und Schweizern vorhanden sind, wie häufig die Kontakte zu ihnen sind und wie sie bewertet werden. Für die MCA stehen 4 „aktive“ Variablen zur Verfügung. In einem zweiten Schritt sollen dann später ( fi Kap. 10.4) drei zusätzliche „passive“ Variablen herangezogen werden, die Daten zur Ortsgröße, zum Alter und zur Bildung der Befragten beinhalten. Als aktiv werden Variablen bezeichnet, die für die Konstruktion der grafischen Darstellung der Korrespondenzanalyse verwendet werden. Als passiv werden solche Variablen bezeichnet, die dann nachträglich in die grafische Darstellung der Korrespondenzanalyse einbezogen werden, ohne einen Einfluss auf die Geometrie dieser Darstellung auszuüben. Für die Korrespondenzanalyse wurden aus dem (Teil-)Datensatz nur diejenigen Befragten herangezogen, die bei allen vier aktiven Variablen und bei allen drei passiven Variablen ( fi Kap. 10.4) eine der vorgegebenen inhaltlichen Antwortmöglichkeiten gegeben hatten, d. h. die Fälle mit fehlenden Werten (missing values) werden aus der Analyse ausgeschlossen. Zudem wurden nur die Fälle in die Analyse einbezogen, für die galt, dass die Schweizer Staatsbürgerschaft angegeben wurde (das sind die Fälle mit der Ausprägung 1 bei der Variablen ctzcntr im Datensatz ESS7CH). Die resultierende Fallzahl beträgt n = 1151. Die multiple Korrespondenzanalyse beginnt mit der Auswahl und Vorbereitung der aktiven Variablen. (1) Freunde: Zunächst wurde gefragt, ob man enge Freunde habe, die einer anderen „Volksgruppe oder ethnischen Gruppe“ angehören als die meisten Schweizer. Die Befragten hatten drei Antwortmöglichkeiten zur Auswahl: „Ja, mehrere“, „Ja, ein paar wenige“ und „Nein, überhaupt keine“. Die resultierende Variable (im Datensatz dfegcf) ist ordinal skaliert und hat 3 Kategorien. (2) Kontakt: Weiter wurde gefragt: „Wie oft haben Sie, wenn Sie unterwegs sind, Kontakt mit Menschen, die einer anderen Volksgruppe oder ethnischen Gruppe angehören als die meisten Schweizerinnen und Schweizer? Das kann in einem öffentlichen Verkehrsmittel sein, auf der Straße, in Läden oder in der Nachbarschaft.“ Hier lagen die Kategorien Aktive und passive Variablen 261 L O G I K U N D G R U N D K O N Z E P T E <?page no="261"?> tistik für Soziologen(3)__[Druckvor: „nie“, „weniger als einmal pro Monat“, „einmal pro Monat“, „mehrmals pro Monat“, „einmal pro Woche“, „mehrmals pro Woche“ und „jeden Tag“. Die Kategorie „nie“ konnte ausgeschlossen werden. (Denn diejenigen Befragten, die diese Kategorie angegeben hatten, wurden bei der folgenden Frage - siehe Bewertung -übersprungen, da sie dort sachlich keine Angaben machen konnten, mit der Folge, dass sie im Datensatz dort fehlende Werte hatten. Für diese Analyse wurden sie daher ganz ausgeschlossen.) Die beiden folgenden Kategorien „weniger als einmal pro Monat“ und „einmal pro Monat“ wurden zusammengefasst zu „bis einmal im Monat“. Die resultierende Variable (im Datensatz dfegcon) ist ebenfalls ordinal skaliert und hat 5 Kategorien. (3) Bewertung: Dann wurde gefragt, wie gut oder schlecht diese Kontakte in der Regel seien. Hier wurde eine 11er-Skala von 0 „extrem schlecht“ bis 10 „extrem gut“ vorgegeben. Die resultierende Variable (im Datensatz dfeghbg) kann als metrisch betrachtet werden mit zunächst noch 11 Kategorien. Diese wurden nun zu 4 Kategorien zusammengefasst: „(sehr) schlecht“ (0 bis 4), „weder noch“ (5 und 6), „gut“ (7 und 8), „sehr gut“ (9 und 10). (Da die ursprüngliche Variable sehr schief verteilt ist, wurde eine nichtsymmetrische Rekodierung durchgeführt, um Kategorien mit niedrigen relativen Häufigkeiten zu vermeiden.) (4) Wohngebiet: Zudem wurden die Befragten gebeten, ihr Wohngebiet danach einzuschätzen, ob darin viele, einige oder keine Menschen, die einer anderen (als der Schweizer) Volksgruppe oder Ethnie angehören, leben. Die resultierende Variable (im Datensatz acetalv) ist ordinal skaliert und hat 3 Kategorien. Die univariaten Häufigkeitsverteilungen für die Variablen Freunde, Kontakt, Bewertung und Wohngebiet sind in TABELLE 10.1 dargestellt. Für die grafische Darstellung der Kategorien werden nun auch einfach zu interpretierende Labels (Bezeichnungen) vergeben. Diese sollten möglichst kurz sein, um in der grafischen Darstellung wenig Platz einzunehmen. Sie fangen mit einem Großbuchstaben an, der die Variable kennzeichnet, zu der die Kategorien gehören. Dann folgt nach einem Unterstrich eine Abkürzung, die die spezifische Kategorie schnell erkennbar werden lässt. In der TABELLE 10.1 sind dann die absoluten Häufigkeiten f j und die relativen Häufigkeiten p j pro Variable aufgeführt. Die absoluten Häufigkeiten summieren sich pro Variable zur Gesamtfallzahl n, die relativen Häufigkeiten summieren sich pro Variable zu 1. In der letzten Spalte sind zusätzlich für jede Kategorie die Massen m k aufgeführt. Diese addieren sich nicht pro Variable, sondern über alle Variablen zu 1. Die Masse einer Kategorie errechnet sich einfach, indem die relative Häufig- Massen 262 M U L T I P L E K O R R E S P O N D E N Z A N A L Y S E <?page no="262"?> keit p j durch die Anzahl der (aktiven) Variablen dividiert wird, in diesem Fall also durch 4. Die hier eingeführte Indizierung verwendet bei den absoluten und relativen Häufigkeiten den Index j = 1, . . . J, wobei J für die Anzahl der Kategorien der Variable steht, der die Kategorie angehört ( fi Kap. 3.1) . Für die erste Variable Freunde ist J = 3, für die Variable Kontakte ist J = 5 usw. In der MCA ist es allerdings üblich, die Variablen nicht mit j = 1, . . . J zu indizieren (wie in der Regressionsanalyse), sondern mit q = 1, . . . Q (Le Roux/ Rouanet 2004, 2010). In diesem Fall ist damit Q = 4, da insgesamt vier Variablen vorliegen. Üblich ist auch, für die Massen einen Index k zu verwenden, der über die Kategorien aktive Variablen Label f j p j m k Freunde „ja, mehrere“ F_mehre 260 0,2259 0,0565 „ja, ein paar wenige“ F_wenig 490 0,4257 0,1064 „nein, überhaupt keine“ F_keine 401 0,3484 0,0871 1151 1,0000 0,2500 Kontakt „bis einmal im Monat“ K_-1xMo 211 0,1833 0,0458 „mehrmals pro Monat“ K_mMo 177 0,1538 0,0384 „einmal pro Woche“ K_1xWo 135 0,1173 0,0293 „mehrmals pro Woche“ K_mWo 314 0,2728 0,0682 „jeden Tag“ K_taegl 314 0,2728 0,0682 1151 1,0000 0,2500 Bewertung „(sehr) schlecht“ B_sschl 78 0,0678 0,0169 „weder noch“ B_wedno 366 0,3180 0,0795 „gut“ B_gut 561 0,4874 0,1219 „sehr gut“ B_sgut 146 0,1268 0,0317 1151 1,0000 0,2500 Wohngebiet „viele“ W_viele 317 0,2754 0,0689 „einige“ W_einig 614 0,5334 0,1334 „niemand“ W_niema 220 0,1911 0,0478 1151 1,0000 0,2500 Tab. 10.1 Spezifische Indizierungen in der MCA 263 L O G I K U N D G R U N D K O N Z E P T E <?page no="263"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- Kategorien aller Variablen läuft. Die Massen m k sind daher mit k = 1, . . . K indiziert, wobei K die Anzahl der Kategorien über alle Variablen hinweg bezeichnet. Hier ist die Anzahl K = 3 + 5 + 4 + 3 = 15. Die TABELLE 10.1 stellt die univariaten Häufigkeitsverteilungen der aktiven Variablen dar. Was soll man nun hinsichtlich der Zusammenhänge zwischen den Variablen und ihren Kategorien erwarten? Statistisch gesehen ist denkbar, dass keine Zusammenhänge vorliegen. Das würde beispielsweise bedeuten, dass die Häufigkeit der Kontakte keinen Einfluss hat auf deren Bewertung. Oder dass die Zahl der Menschen in der Wohngegend, die einer anderen ethnischen und nationalen Minderheit angehören, nicht zusammenhängt mit der Zahl der Freunde, die man hier hat. Und wie könnten sich statistische Zusammenhänge zeigen? Hier sind verschiedene und auch gegenteilige Erwartungen möglich. Beispielsweise kann man vermuten, dass die Bewertung der Kontakte eher negativ ausfällt, wenn sie häufig sind und/ oder wenn man in einer Wohngegend wohnt, in der viele Menschen leben, die einer Minderheit angehören. Umgekehrt bieten viele Kontakte zu Angehörigen von Minderheiten die Möglichkeit, Freundschaften zu knüpfen und positive Erfahrungen zu machen - insbesondere, wenn viele von ihnen auch in der eigenen Wohngegend leben. Wenn man nun untersuchen will, ob die vier Variablen miteinander zusammenhängen, kann man zunächst den 2 -Wert als Zusammenhangsmaß nun nicht für die Quantifizierung der Stärke eines bivariaten Zusammenhangs ( fi Kap. 4.2.5) , sondern für die Quantifizierung des multivariaten Zusammenhangs zwischen den vier Variablen bestimmen. 2 hätte den Wert 0, wenn die Variablen untereinander statistisch unabhängig wären. 2 ist größer als 0, wenn ein Zusammenhang vorliegt und nimmt sehr große Werte an, wenn der Zusammenhang stark ist. In diesem Beispiel ist 2 = 3165,25 und damit sehr groß. Allerdings ist der 2 -Wert nur ein globales Maß für die ganze Tabelle und daher wenig geeignet, um detaillierter zu untersuchen, wie es um die Beziehungen zwischen den vier Variablen und konkreter zwischen den Kategorien der vier Variablen steht. Hinweis: Es besteht aber die Möglichkeit, mit Hilfe der log-linearen Analyse ( fi Kap. 12.1.4) 2 -Werte zu zerlegen und den verschiedenen Zusammenhängen zwischen Konstellationen von je zwei, je drei usw. Variablen zuzuordnen. Eine andere Strategie wäre, eine Kontingenztabelle ( fi Kap. 4.2.1) zu erstellen und diese anhand der Häufigkeiten der Kombinationen der Kategorien zu untersuchen. Die Tabelle hätte allerdings ein 3 5 4 3-Format mit 180 Zellen (das ist zugleich die Anzahl der möglichen Kombinationen der Kategorien) und sie wäre vierdimensional zu erstellen. 2-Wert nur globales Maß 264 M U L T I P L E K O R R E S P O N D E N Z A N A L Y S E <?page no="264"?> Damit wäre die Tabelle weder räumlich darstellbar (wie das als Quader für dreidimensionale Tabellen möglich wäre) noch wäre sie übersichtlich anhand von Teiltabellen (beispielsweise in Form von vielen Kreuztabellen für Untergruppen) repräsentierbar. Stattdessen wird bei der MCA nun eine dritte Strategie gewählt, nämlich die grafische Darstellung der Beziehungen zwischen den Kategorien. Die ABBILDUNG 10.1 stellt die 15 Kategorien der 4 aktiven Variablen in einem zweidimensionalen Raum (als Dreiecke) so dar, dass Kategorien einer Variablen, die „sich ähnlich sind“ und Kategorien verschiedener Variablen, d. h. die überproportional häufig zusammen auftreten, nahe beieinanderliegen. Dagegen liegen Kategorien, für die das nicht zutrifft, weiter voneinander entfernt. Damit setzt die Korrespondenzanalyse „Ähnlichkeit“ (bzw. „Unähnlichkeit“) von Kategorien in räumliche Nähe (bzw. Entfernung) um. Betrachtet man die ABBILDUNG 10.1, so wird die Leistungsfähigkeit der MCA deutlich, die darin besteht, dass sie sozialwissenschaftlich zumeist gut interpretierbare Grafiken von statistischen Zusammenhängen liefert. Man kann sofort identifizieren, dass rechts oben eine Konstellation von Kategorien nah beieinander liegt, die belegt, dass häufige Kon- ● −1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 −1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 MCA (aktive Variablen) Dim 1 (14.37 %) Dim 2 (11.22 %) F_mehre F_wenig F_keine K_−1xMo K_mMo K_1xWo K_mWo K_taegl B_sschl B_wedno B_gut B_sgut W_niema W_einig W_viele Abb. 10.1 265 L O G I K U N D G R U N D K O N Z E P T E <?page no="265"?> tistik für Soziologen(3)__[Drucktakte mit vielen Freunden und Nachbarn einhergehen, welche Angehörige einer ethnischen Minderheit oder anderen Volksgruppen sind. Und hier werden diese Kontakte auch eher positiv bewertet. Dahingegen liegt links oben eine Konstellation von Kategorien nah beieinander, die belegt, dass wenige Kontakte mit solchen Minderheiten vorliegen und dass auch keine Freunde oder Nachbarn hierzu gehören. In der unteren Hälfte der Grafik finden sich die eher „mittleren“ Kategorien, also solche, die keine „extreme“ Ausprägung repräsentieren. Die Gruppierung in solche Konstellationen von Kategorien ist eine erste Leistung der MCA. Eine weitere Leistung kann darin bestehen, dass die Konstellationen von Kategorien auch in räumliche Oppositionen gesetzt werden. Diese Oppositionen erfolgen anhand der Dimensionen, die in der Grafik durch die Achsen repräsentiert werden. In der ABBILDUNG 10.1 setzt die horizontale 1. Achse offenbar die „extremen“ Kategorien in Opposition (links und rechts), während die vertikale 2. Achse die mittleren oder „moderaten“ Kategorien (unten) in Opposition setzt zu den „extremen“ Kategorien (oben). Die Achsen spielen in der MCA eine wichtige Rolle, da sie als „fundamentale“ Prinzipien interpretiert werden können, die „hinter“ den Variablen stehen und man kann sie mit Hilfe der Kategorien zu interpretieren versuchen. Bei der Interpretation von korrespondenzanalytischen Grafiken ist allerdings Vorsicht geboten. Einmal aus dem Grund, dass die zweidimensionalen Grafiken die Distanzen (und damit die Stärke des statistischen Zusammenhangs) zwischen den Kategorien zumeist nicht getreu wiedergeben können, denn eine zweidimensionale Grafik bringt eine Reduktion der tatsächlichen Anzahl der Dimensionen mit sich, so dass ein Informationsverlust entsteht. Ein weiterer Grund ist, dass nicht alle Kategorien in gleicher Weise mit den Achsen zusammenhängen, so dass man hier entscheiden muss, welche Kategorien in die Interpretation der Achsen einbezogen werden sollten und welche nicht. Korrespondenzanalysen bestehen im Wesentlichen aus der Interpretation solcher Grafiken (wie ABBILDUNG 10.1), deren Auswertung aber ergänzt wird um (1) Kennwerte ( fi Kap. 10.2) und (2) weitere passive Variablen ( fi Kap. 10.4) . Achsen und Trägheiten Bislang wurden die Konzepte der Achse und des Raumes nur en passant eingeführt, aber sie wurden noch nicht weiter erläutert. Die Achsen können prinzipiell in zwei Weisen gedacht werden. (1) Achsen können „hinter“ den gemessenen Variablen stehende zwar latente aber „reale“ Sachverhalte repräsentieren, die sich sozialwissen- Konstellationen und Oppositionen von Kategorien Probleme der nur visuellen Analyse 10.2 266 M U L T I P L E K O R R E S P O N D E N Z A N A L Y S E <?page no="266"?> schaftlich interpretieren lassen. Dann sind die Achsen als substantielle Sachverhalte gedacht. (2) Oder Achsen können lediglich als neue synthetische Variablen gedacht werden. Der letztere Fall liegt vor, wenn keine substantielle Interpretation der Achsen in der sozialwissenschaftlichen Anwendung beabsichtigt ist. In beiden Fällen können die Achsen als statistisch erklärende Variablen für die verwendeten Variablen und für deren Kategorien eingesetzt werden. Wenn also die MCA strukturentdeckend ist, in dem Sinne, dass zwischen den verwendeten Variablen keine Abhängigkeiten (vorab) angenommen werden, so ermöglicht die MCA dennoch, dass zwei Ebenen von Variablen eingeführt werden: die Ebene der manifesten Variablen und die Ebene der latenten Achsen. Dass die MCA kein strukturprüfendes Verfahren ist, zeigt sich nicht nur daran, dass hier keine Hypothesen geprüft werden, sondern auch daran, dass die Richtung der Erklärung auch „umgekehrt“ werden kann, da nicht nur die Achsen die Kategorien der Variablen statistisch erklären können, sondern die Kategorien auch herangezogen werden, um die Variation auf den Achsen, kurz die Variation der Achsen oder „Trägheit“, zu erklären und zu interpretieren ( fi Kap. 10.2) . Damit liegen also keine einseitig gerichteten Beziehungen vor, wie sie Voraussetzung sind in den Formen der Regressionsanalyse. Die Achsen können als die fundamentalen Hauptdimensionen „in den Daten“ aufgefasst werden. Daher spannen sie den Raum in der Weise auf, dass die Achsen die fundamentalen Raumdimensionen darstellen, die den Raum „entfalten“ oder „aufspannen“, in dem die Kategorien liegen. Aus diesem Grund werden die Achsen auch Dimensionen genannt (was durch die Abkürzung „Dim“ in der ABBILDUNG 10.1 angezeigt wird). Insbesondere in den französischsprachigen Sozialwissenschaften werden die Achsen auch Faktoren genannt. Korrespondenzanalytisch haben die Achsen einige wichtige Eigenschaften. (1) Wie erwähnt, haben die Achsen die Eigenschaft, dass sie nacheinander immer weniger an Trägheit aufweisen. Die absteigende Erklärungsleistung rechtfertigt, dass man zumeist die ersten beiden Achsen für die MCA heranzieht, da sie die beiden größten Beiträge zur Gesamtträgheit einbringen. (2) Die Achsen kreuzen sich dort, wo sie den Wert 0 haben. Die Achsen können selbst wiederum als metrisch skalierte (stetige) Variablen aufgefasst werden. Sie stehen zueinander rechtwinklig im Raum und sind statistisch voneinander unabhängig. (3) Kategorien haben jeweils eine Ausprägung auf jeder Achse. Für die grafische Darstellung des korrespondenzanalytischen Raumes werden Was stellen die Achsen dar? Achsen werden auch Dimensionen oder Faktoren genannt Eigenschaften der Achsen 267 A C H S E N U N D T R Ä G H E I T E N <?page no="267"?> tistik für Soziologen(3)__[Druckdiese Ausprägungen als Koordinaten für die räumliche Positionierung der Kategorien verwendet. (4) Im Unterschied zu den aktiven Variablen werden die Achsen als metrische Variablen zumeist mit dem Buchstaben Y repräsentiert, da mehrere Achsen vorliegen, müssen sie, um unterschieden werden zu können, indiziert werden (so wie bei der multiplen linearen Regression die unabhängigen Variablen indiziert werden mussten, die dort allerdings mit X repräsentiert wurden). (5) Der Kreuzungspunkt der Achsen liegt dort, wo variablenweise der Durchschnitt der Kategorien zu liegen kommt. Da das Achsenkreuz den Durchschnitt für alle (aktiven) Variablen zugleich repräsentiert, stellt es sozusagen die „Mitte“ oder den Schwerpunkt der multivariaten Verteilung insgesamt dar. (Diese Eigenschaft nennt man auch das „baryzentrische Prinzip“.) Kategorien, die „durchschnittlicher“ sind, liegen näher am Achsenkreuz; Kategorien, die sich von den übrigen Kategorien deutlich unterscheiden, liegen weiter vom Achsenkreuz entfernt. Bemerkung: Das Achsenkreuz repräsentiert für jede Variable ihr Durchschnittsprofil. Das Konzept des Profils ist bereits in der (bivariaten) Tabellenanalyse eingeführt worden als Serie der relativen Häufigkeiten der Kategorien einer Variablen in den Spalten einer Tabelle ( fi Kap. 4.2.2) . Dort wurden Spaltenprofile als bedingte Verteilungen eingeführt. Das Durchschnittsprofil ist nun die Serie der marginalen relativen Häufigkeiten, also der (relativen) Randsummen. Man kann die gerade getroffenen Aussagen nun auf das Profil der Kategorien beziehen; denn Kategorien, deren Profil dem Durchschnittsprofil ähnlich ist, liegen näher am Achsenkreuz, wohingegen Kategorien, deren Profil sich vom Durchschnittsprofil deutlich unterscheiden, weiter vom Achsenkreuz entfernt liegen. Mit dem Konzept der Achse hängt dasjenige des Raumes eng zusammen. Dies naheliegenderweise deshalb, weil die Achsen den Raum aufspannen und entweder als substantielle, „tiefer“ liegende Prinzipien oder als statistische „synthetische“ Dimensionen des Raumes aufgefasst werden. Spätestens mit der Verwendung des Raumkonzeptes kommt die Frage auf, wie denn von einem Raum gesprochen werden kann, denn dieser verlangt - wie bereits die metrisch skalierten Achsen - eine Metrik, also berechenbare metrische Distanzen zwischen den Kategorien, die in diesem Raum geplottet werden. Da die in der MCA verwendeten Variablen aber vorwiegend nominal und ordinal skaliert sind, scheint eine Distanzberechnung zwischen Kategorien auf den ersten Blick nicht möglich. Wie bereits für die Ermittlung der Masse für die qualitative Variation ( fi Kap. 3.6) sowie auch für die Berechnung von 2 ( fi Kap. 4.2.5) greift man nun schlichtweg auf die Strategie zurück, dass man nicht die einzelnen Ausprägungen, sondern die Häufigkeiten der Fälle in einer Achsenkreuz repräsentiert den Durchschnitt der Daten Achsenkreuz als Durchschnittsprofil Raum in der MCA 268 M U L T I P L E K O R R E S P O N D E N Z A N A L Y S E <?page no="268"?> Kategorie heranzieht. Damit repräsentieren die Kategorien Häufigkeiten wie beispielsweise Gruppen von Befragten, die eben dieser Kategorie angehören und es liegen somit metrische Informationen vor. Die metrische Distanz zwischen zwei Kategorien kann dann ermittelt werden, indem man die Häufigkeit heranzieht, mit der Befragte zwei Kategorien gemeinsam aufweisen. Umso häufiger zwei Kategorien kombiniert bei Befragten auftreten, umso enger korrelieren sie miteinander und umso kürzer ist die räumliche Distanz zwischen ihnen. Der korrespondenzanalytische Raum hat so viele Achsen, dass alle metrischen Distanzen zwischen den Kategorien ohne Informationsverlust dargestellt werden können ( fi Kap. 10.2.1) . Das sind zumeist deutlich mehr als praktikabel analysiert werden können. Wie im Fall der ABBIL- DUNG 10.1 werden zumeist Ebenen verwendet, welche letztlich eine Projektion eines Raumes mit deutlich mehr als zwei Dimensionen auf einen nur zweidimensionalen „Raum“ darstellen - mit der Folge von Informationsverlust. Bemerkung: Berechnet werden faktisch euklidische Distanzen zwischen den Kategorien, die mit den Massen m k gewichtet werden, so dass die Häufigkeit des gemeinsamen Auftretens noch in Beziehung gesetzt wird zu den Häufigkeiten der jeweiligen Kategorie insgesamt. Man spricht daher auch von „gewichteten euklidischen Distanzen“ oder von „ 2 -Distanzen“. Durch die Gewichtung mit der Masse m k , haben Kategorien mit großer Masse auch einen größeren Einfluss auf die Geometrie des Raumes. Praktisch besteht der Einfluss darin, dass sie tendenziell näher am Achsenkreuz zu liegen kommen. Der Grund ist, dass sie mehr Einfluss auf die Ermittlung der Lage des Achsenkreuzes haben, da Kategorien mit großer Massen einflussreicher für die Berechnung des Durchschnitts sind. Dagegen tendieren Kategorien, die eine kleine Masse haben, dazu, weit vom Achsenkreuz entfernt zu liegen. (Es sei denn, ihr Profil ist so geartet wie das Durchschnittsprofil.) Hinweise: (1) Wenn der 2 -Wert einer Tabelle gleich 0 ist, dann liegt kein multivariater Zusammenhang zwischen den Kategorien vor. In diesem Fall würden in einer grafischen Darstellung des korrespondenzanalytischen Raumes, alle Kategorien auf dem Kreuzungspunkt liegen, es gäbe im Wortsinn keine Streuung der Kategorien. Umso höher der 2 -Wert für eine Tabelle ist, umso weiter streuen die Kategorien im Raum. (2) Eine Darlegung der Geometrie des Raumes sowie der Berechnungen der Distanzen in der MCA findet sich bei Le Roux und Rouanet (2010). Blasius (2001) veranschaulicht das geometrische Konzept der 2 -Distanzen. Kategorien repräsentieren Gruppen von Befragten Massen als Gewichtungen 2-Distanzen 269 A C H S E N U N D T R Ä G H E I T E N <?page no="269"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- Anzahl und Auswahl der Achsen In der MCA hängt die maximale Anzahl der existierenden Achsen von der Summe der Kategorien über alle (aktiven) Variablen K sowie von der Anzahl der Variablen Q ab. Man nennt diese Anzahl auch Dimensionalität, abgekürzt L. L ist maximal so groß wie die Differenz aus K und Q. L £ K Q Im eingeführten Beispiel liegen insgesamt K = 15 Kategorien und J = 4 Variablen vor. L £ 15 4 = 11 Man kann also davon ausgehen, dass der Raum, in dem die Gesamtträgheit dargestellt werden kann, maximal 11 Dimensionen hat. L ist kleiner als 11, wenn sich erweist, dass man die Gesamtträgheit in einem niedriger dimensionalisierten Raum bereits vollständig repräsentieren kann. In der MCA haben die einzelnen Achsen jeweils eine Trägheit (engl. „inertia“). Die Trägheit wird mit (gr. für kleines Lambda) abgekürzt. (Man findet auch die Bezeichnung Eigenwert für die Trägheit.) Da jeder Achse eine Trägheit zugeordnet wird, ist die Zahl der Trägheiten gleich der Zahl der Achsen. Man kann also sowohl Trägheiten als auch die Achsen mit l = 1, . . . L indizieren. Die Trägheit l stellt den Erklärungsbeitrag der l-ten Achse an der gesamten Streuungsinformation der mehrdimensionalen Tabelle als absoluten Wert dar. Die Trägheiten der Achsen l variieren im Bereich [0; 1]. Die Gesamtträgheit ergibt sich aus der Summierung der einzelnen Trägheiten. Gesamttr ¨ agheit = X L l = 1 l Die Gesamtträgheit repräsentiert die Streuungsinformation in der gesamten Tabelle. Man kann sie alternativ auch über die einfache Formel berechnen: Gesamttr ¨ agheit = K Q 1 Damit ist die Gesamtträgheit im Beispiel: Gesamttr ¨ agheit = 15 4 1 = 2,75 Man erkennt, dass sowohl die Dimensionalität L als auch die Gesamtträgheit stärker beeinflusst werden durch Variablen, die viele Kategorien haben. 10.2.1 Dimensionalität Trägheit 270 M U L T I P L E K O R R E S P O N D E N Z A N A L Y S E <?page no="270"?> Für das Beispiel gibt die TABELLE 10.2 die Trägheiten der 11 Achsen an. Man erkennt hier, dass die Trägheiten beginnend bei der ersten Achse schrittweise kleiner werden. Die Summe der Trägheiten über alle 11 Achsen aufsummiert ergibt die Gesamtträgheit von 2,75. Die letzte Spalte der TABELLE 10.2 zeigt, dass die ersten beiden Achsen 25,59 % der Gesamtträgheit repräsentieren können. Es ist in den meisten sozialwissenschaftlichen Analysen üblich, dass nur zwei Achsen verwendet werden und entsprechend für die zweidimensionale grafische Darstellung der MCA zugrunde gelegt werden. Dafür spricht zunächst kein statistisches, sondern ein pragmatisches Argument, dass zweidimensionale Darstellungen besser präsentiert werden können. Hinweis: Es ist problemlos möglich, die sozialwissenschaftliche Analyse von drei Achsen durchzuführen. Dies erfolgt, indem verschiedene zweidimensionale Grafiken generiert werden, die eine der ersten beiden Achsen jeweils mit der dritten Achse kombinieren und so ermöglichen, einen dreidimensionalen Raum auch in der „Tiefe“ zu analysieren. Beispielhaft hat dies Bourdieu (1982) vorgeführt. (Die Einbeziehung von mehr als drei Achsen in eine Datenanalyse ist dann wenig praktikabel, da hier die visuelle Repräsentation nur mit einer Vielzahl an zweidimensionalen Grafiken möglich ist.) Wie entscheidet man die Anzahl der Achsen? Die grafische Darstellbarkeit legt zunächst einmal zwei, maximal drei Achsen nahe. Das Kriterium ist hier die praktikable grafische Analysierbarkeit. Ein qualitatives und ebenso praktisches Kriterium ist die sozialwissenschaftlich gute Interpretierbarkeit sowie auch die zufriedenstellende Exploration und Beschreibung der Daten. Wenn also erst ein dreidimensionaler Raum einen Sachverhalt angemessen zu beschreiben ermöglicht, dann wird eben die dritte Achse in die Analyse eingezogen. Es gibt einfache statistische Strategien, die Zahl der in die Analyse einzubeziehenden Achsen zu beurteilen (Le Roux/ Rouanet 2010). (1) Eine erste Strategie besteht darin, die Serie der Trägheiten daraufhin zu untersuchen, wie die jeweils folgenden Trägheiten sich prozentual gegenüber den vorangehenden Trägheiten reduzieren. Die TABELLE 10.2 führt in den letzten beiden Spalten die absolute und die prozentuale Differenz der Trägheit zur jeweils folgenden Achse an. In dem Beispiel zeigt sich, dass die erste und die zweite Achse jeweils hohe absolute und prozentuale Differenzen zur folgenden Achse aufweisen (21.95 % und 11,75 %) und sich so gut absetzen können, während die dritte Achse sich gegenüber der vierten Achse nicht mehr stark absetzt (2,22 %). Dies kann als Hinweis genommen werden, dass die MCA mit zwei Achsen durchgeführt werden kann. Zumeist werden nur zwei Achsen analysiert Kriterien für Anzahl 271 A C H S E N U N D T R Ä G H E I T E N <?page no="271"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- (2) Ein anderes Kriterium ist der Durchschnitt der Eigenwerte. = 1 L X L l = 1 l = Gesamttr ¨ agheit L In dem Beispiel kann die durchschnittliche Trägheit berechnet werden mit = 2,75 11 = 0,25 Die TABELLE 10.2 weist die ersten fünf Achsen als mit einer überdurchschnittlichen Trägheit ausgestattet aus. Das Kriterium sollte in der Weise verwendet werden, dass hiermit die maximal in Betracht kommende Anzahl an Achsen identifiziert werden. Die folgenden Achsen sollten für eine empirische Analyse nicht einbezogen werden. In diesem Fall schließen die ersten fünf Achsen die ersten beiden ein und die Auswahl nur der ersten beiden Achsen erscheint aufgrund des ersten Kriteriums angemessen. Hinweis: die MCA führt typischerweise zur Ermittlung solcher Trägheiten, die zwar in der Größe nach und nach abfallen, die aber nicht die ersten beiden Achsen mit einem großen Anteil an der Gesamtträgheit ausstatten. Daher ist von Jean-Paul Benzécri, eine nachträgliche „Justierung“ der Trägheitswerte eingeführt worden, die man verwenden kann, um der Erklärungsleistung der verwendeten Achsen besser gerecht zu werden (Blasius 2001; Le Roux/ Rouanet 2010). Hier wird schlicht empfoh- Tab. 10.2 Achse Trägheit l Trägheit l % Trägheit % kumuliert Differenz Differenz % 1 0,3952127 14,37 14,37 0,0868 21,95 2 0,3084455 11,22 25,59 0,0362 11,75 3 0,2722099 9,90 35,49 0,0060 2,22 4 0,2661748 9,68 45,17 0,0152 5,73 5 0,2509264 9,12 54,29 0,0155 6,16 6 0,2354615 8,56 62,85 0,0055 2,35 7 0,2299364 8,36 71,21 0,0089 3,89 8 0,2210000 8,04 79,25 0,0143 6,48 9 0,2066743 7,52 86,77 0,0119 5,74 10 0,1948070 7,08 93,85 0,0257 13,17 11 0,1691516 6,15 100,00 0,1692 100,00 2,7500000 100,00 ctr kl %-Werte angeben 272 M U L T I P L E K O R R E S P O N D E N Z A N A L Y S E <?page no="272"?> len, statt der absoluten Trägheiten die prozentualen Anteile der Trägheiten an der Gesamtträgheit zu verwenden und vorrangig zu berichten. Interpretation der Achsen Die einzelnen Kategorien tragen zur Trägheit der Achsen bei. Für jede Achse kann man ihre Trägheit vollständig zerlegen in die Beiträge, die die K Kategorien der Q (aktiven) Variablen leisten. Die absoluten Beiträge der k-ten Kategorie für die l-te Achse werden mit ctr k (für engl. „contribution“) abgekürzt. Die absoluten ctr kl -Werte lassen sich berechnen, indem man die zugehörige Koordinate, die mit y kl notiert wird (TABELLE 10.3), quadriert und mit der jeweiligen Masse (siehe TABELLE 10.1) multipliziert. Für die k-te Kategorie und für die l-te Achse berechnet sich ctr kl mit: ctr kl = m k y 2 kl Für die Kategorie B_wedno ergibt sich der ctr kl -Wert: ctr B WEDNO 1 : Achse = 0,0795 0,5762 ð Þ 2 = 0,0264 Man kann die absoluten Beiträge auch auf die Trägheit der l-ten Achse beziehen, so dass man die prozentualen Beiträge, die ctr kl %-Werte, erhält, die anschaulicher zu interpretieren sind. ctr kl % = ctr kl l 100 Für die Kategorie B_wedno und die erste Achse ergibt sich: ctr B WEDNO 1 : Achse % = 0,0264 0 : 3952 100 = 6,68 Die Kategorie B_wedno erklärt also 6,68 % der Varianz der 1. Achse. Die TABELLE 10.3 ordnet für die beiden herangezogenen Achsen jeder Kategorie k die Koordinatenwerte y k1 und y k2 sowie die absoluten und prozentualen Beiträge zur Trägheit der jeweiligen Achse zu. Die TABELLE 10.3 zeigt auch, dass sich die ctr kl -Werte über alle Kategorien zur Trägheit der l-ten Achse und die ctr kl %-Werte zu 100 % aufsummieren. Formal lässt sich das für ctr kl -Werte und die l-te Achse einfach darstellen: X K k = 1 ctr kl = l 10.2.2 273 A C H S E N U N D T R Ä G H E I T E N <?page no="273"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- Und für die ctr kl %-Werte entsprechend: X K k = 1 ctr kl % = 100 % Tab. 10.3 Kategorien Label Achse 1 Achse 2 y 1k ctr k1 ctr k1 % y 2k ctr k2 ctr k2 % Freunde F_mehre 1,2026 0,0817 20,66 0,6176 0,0215 6,98 F_wenig 0,0145 0,0000 0,01 -0,8087 0,0696 22,57 F_keine - 0,7974 0,0554 14,01 0,5878 0,0301 9,76 0,1371 34,68 0,1212 39,31 Kontakt K_-1xMo - 1,1764 0,0634 16,05 0,4272 0,0084 2,71 K_mMo 0,0351 0,0000 0,01 - 1,3360 0,0686 22,25 K_1xWo - 0,3525 0,0036 0,92 - 0,0444 0,0001 0,02 K_mWo 0,1849 0,0023 0,59 0,0012 0,0000 0,00 K_taegl 0,7374 0,0371 9,38 0,4839 0,0160 5,18 0,1065 26,95 0,0930 30,16 Bewertung B_sschl - 0,8921 0,0135 3,41 1,1084 0,0208 6,75 B_wedno - 0,5762 0,0264 6,68 0,0001 0,0000 0,00 B_gut 0,2450 0,0073 1,85 - 0,3694 0,0166 5,39 B_sgut 0,9797 0,0304 7,70 0,8271 0,0217 7,03 0,0776 19,64 0,0591 19,17 Wohngebiet W_viele 1,0120 0,0489 12,38 0,3591 0,0062 2,00 W_einig - 0,0536 0,0004 0,10 - 0,3495 0,0163 5,28 W_niema - 0,5985 0,0247 6,24 0,4278 0,0126 4,09 0,0740 18,72 0,0351 11,37 0,3952 100,00 0,3084 100,00 274 M U L T I P L E K O R R E S P O N D E N Z A N A L Y S E <?page no="274"?> (1) Variablenbasierte Interpretation der Achsen Man kann die Interpretation der beiden Achsen zunächst einmal mit der Betrachtung der Erklärungsleistungen der beteiligten Variablen beginnen. Man kann erkennen, dass die Größe der Erklärungsleistungen in der Reihenfolge (bei beiden Achsen) absteigt, wie die Variablen in der TABELLE 10.3 von oben nach unten aufgeführt sind. Die Q = 4 (aktiven) Variablen teilen sich für jede Achse die Trägheit zu 100 % auf. Eine Erklärungsleistung von über 25 % an einer Achse ist überdurchschnittlich. Beide Achsen werden überdurchschnittlich durch die Variablen Freunde und Kontakt erklärt. Die Variable Freunde hat insgesamt den größten Einfluss auf die beiden Achsen mit fast 35 % bzw. fast 40 %. Die Variablen Freunde sowie Kontakt sollen bei der inhaltlichen Interpretation der beiden Achsen dabei eine größere Rolle spielen. Die Erklärungsbeiträge der Variablen Bewertung und Wohngegend sind unterdurchschnittlich, dennoch beeinflusst insbesondere die Variable Bewertung die beiden Achsen mit jeweils fast 20 %. Dahingegen spielt die Variable Wohngegend nur eine vernachlässigbare Rolle für die zweite Achse. Interpretation: Man kann interpretieren, dass die beiden Achsen und der durch sie repräsentierte Raum im Wesentlichen das praktische Engagement mit Angehörigen anderer Volksgruppen und ethnischer Minderheiten darstellen. Freunde haben oder nicht haben sowie die Häufigkeit der Kontakte sind prägend. (2) Kategorienbasierte Interpretation der Achsen Um die Interpretation der Achsen zu verfeinern, ist es erforderlich, nicht nur die Variablen insgesamt auf ihren Erklärungsbeitrag hin zu betrachten, sondern auf die Ebene der Kategorien zu wechseln. Kategorien, die eine überdurchschnittlichen ctr kl -Wert bzw. ctr kl %-Wert haben, sollten herangezogen werden, um so Achsen als Prinzipien interpretieren zu können, welche Kategorien aller (aktiven) Variablen in Opposition zueinander setzen (Le Roux/ Rouanet 2010). In der TABELLE 10.3 sind von 15 aktiven Kategorien diejenigen Kategorien fett gesetzt, die einen solchen überdurchschnittlichen Beitrag aufweisen. Das sind diejenigen, die mehr als 100 %: 15 = 6,67 % Erklärungsleistung aufweisen. Berücksichtigt man die Vorzeichen der Koordinaten, kann man für jede Achse die durch sie in Opposition gestellten Konstellationen von Kategorien systematisieren. Dies erfolgt in TABELLE 10.4, in der die Kategorien zusätzlich nach der Größe ihres Erklärungsbeitrages angeordnet sind. Bei der Interpretation der Kategorien kann man sich folgende Überlegung zunutze machen: Die Kategorien repräsentieren jeweils auch die Gruppe der Befragten, die in der Befragung diese Kategorien angegeben haben. In der korrespondenzanalytischen Grafik repräsentiert der geometrische Ort 275 A C H S E N U N D T R Ä G H E I T E N <?page no="275"?> tistik für Soziologen(3)__[Druckder Kategorie den Durchschnitt dieser Gruppe in dem durch die Achsen aufgespannten Raum. Man sieht in der TABELLE 10.4, dass die hier herangezogenen Kategorien 87 % der Trägheit der ersten Achsen erklären, so dass der Informationsverlust hier gering ausfällt. Für die zweite Achse gilt, dass immer noch 75 % der Trägheit durch die herangezogenen Kategorien erklärt werden. Interpretation: Die erste Achse setzt diejenigen Befragten, die intensiv in Kontakte mit Menschen aus anderen Volksgruppen und Ethnien engagiert sind, die diese auch als Nachbarn haben und diese Kontakte als sehr positiv erfahren (positive Seite), in Opposition zu denjenigen, die mit Menschen aus anderen Volksgruppen und Ethnien im Grunde nicht viel zu tun haben und die Kontakte zu ihnen als neutral beurteilen (negative Seite). Die erste Achse setzt somit die beiden möglichen Extremformen, wie man mit Menschen anderer Volksgruppen und Ethnien zu tun haben kann, in Opposition. Die zweite Achse hat die Eigenschaft, dass hier diejenigen, die in moderater Form mit Menschen anderer Volksgruppen und Ethnien zu tun haben (positive Seite), in Opposition gesetzt werden zu denjenigen, die eine sehr entschiedene Form des Engagements und Bewertung angeben (negative Seite). Erst die zweite Achse lässt diese dritte Form des eher moderaten Engagements gegenüber den extremen Formen des Engagements hervortreten. Auffällig ist, dass für dieses moderate Engagement keine Kategorien der Variablen Be- Tab. 10.4 Achse 1 negativ ctr k1 % positiv ctr k1 % K_-1xMo 16,05 F_mehre 20,66 F_keine 14,01 W_viele 12,38 B_wedno 6,68 K_taegl 9,38 B_sgut 7,70 36,74 50,12 86,86 Achse 2 negativ ctr k2 % positiv ctr k2 % F_wenig 22,57 F_keine 9,76 K_mMo 22,25 B_sgut 7,03 F_mehre 6,98 B_sschl 6,75 44,82 30,52 75,34 276 M U L T I P L E K O R R E S P O N D E N Z A N A L Y S E <?page no="276"?> wertung maßgeblich sind, obwohl in der ABBILDUNG 10.1 der Eindruck nahegelegt wird, dass die Kategorie B_gut hier zuzuordnen wäre. Es zeigt sich aber, dass diese Kategorie nur unterdurchschnittlich zur zweiten Achse beiträgt und für deren Interpretation daher nicht maßgeblich ist. Insgesamt bestätigt aber die Interpretation der beiden Achsen anhand der ctr kl %-Werte den Hauptbefund aus der ersten Interpretation der ABBILDUNG 10.1 am Anfang ( fi Kap. 10.1) , denn die dort identifizierte Differenzierung von drei Konstellationen von Kategorien lässt sich durch die durch die Achsen eingerichteten Oppositionen begründen. Hinweise: (1) die Kategorie B_gut ist ein Beispiel für eine der Kategorien der vier (aktiven) Variablen, die weder für die erste noch für die zweite Achse einflussreich sind. Ihr statistischer Einfluss auf die Gesamtträgheit kommt erst bei weiteren Achsen zum Tragen, welche hier nicht in die Interpretation einbezogen wurden. (2) Um die Interpretierbarkeit der Achsen zu verbessern, werden gelegentlich auch Kategorien herangezogen, die eine nur knapp unterdurchschnittliche Erklärungsleistung beitragen (Le Roux/ Rouanet 2010). Gründe sind einmal, dass die Kategorien mit überdurchschnittlicher Erklärungsleistung in der Summe die Trägheit einer Achse nur unzureichend abdecken oder dass man für die beiden Seiten der Oppositionen einer Achse mehrere Kategorien (möglichst verschiedener Variablen) gruppieren können möchte. Statistische Erklärung der Kategorien Die MCA ermöglicht auch zu untersuchen, wie gut die Kategorien durch die Achsen erklärt werden. Man dreht die Erklärungsperspektive aus dem Kap. 10.2 im Grunde um, indem man quantifiziert, wie viel der Variation einer Kategorie durch die Trägheit einer Achse erklärt wird. Inhaltlich bedeutet dies zu fragen, wie gut die Gruppe der Befragten „in“ einer Kategorie durch die in der Analyse verwendeten Achsen erklärt wird. Der Wert, der den relativen Anteil der statistischen Erklärung der k-ten Kategorie durch die l-te Achse angibt, ist der cos 2kl -Wert. Wenn alle L Achsen herangezogen werden, dann wird die Variation in einer Kategorie vollständig erklärt. Summiert man über alle Achsen, dann ist die Erklärungsleistung 100 %. Die Summe der cos 2kl- Werte über alle L Achsen ist dann für die k-te Kategorie gleich 1. X L l = 1 cos 2 kl = 1 Da praktisch angestrebt wird, nur eine geringe Anzahl von Achsen (zumeist zwei und maximal drei Achsen) heranzuziehen, folgt, dass die Ka- 10.3 Wie gut wird eine Kategorie durch die Achsen erklärt? 277 S T A T I S T I S C H E E R K L Ä R U N G D E R K A T E G O R I E N <?page no="277"?> tistik für Soziologen(3)__[Drucktegorien durch die Trägheit der wenigen Achsen nicht vollständig statistisch erklärt werden und entsprechend in dem durch die wenigen Achsen aufgespannten Raum nicht gut repräsentiert sein können. Beispiel: Nachdem die beiden ersten Achsen interpretiert worden sind und damit ein inhaltliches Verständnis des zweidimensionalen Raumes als Raum des Engagements mit Menschen von (wahrgenommenen ethnischen) Minderheiten vorliegt, kann man nun untersuchen, wie gut denn die Kategorien durch die beiden ersten Achsen und damit durch diesen Raum erklärt werden. Die TABELLE 10.5 stellt die Erklärungsbeiträge, die die ersten beiden Achsen an den Kategorien der (aktiven) Variablen haben, zusammen. In der vorletzten Spalte werden die cos 2kl -Werte addiert und in der letzten Spalte werden diese cos 2kl -Werte als Prozentwerte ausgegeben. Tab. 10.5 Kategorien Label Achse 1 Achse 2 cos 2k1 cos 2k2 % Freunde F_mehre 0,4220 0,1113 0,5333 53,33 F_wenig 0,0002 0,4848 0,4850 48,50 F_keine 0,3400 0,1847 0,5247 52,47 Kontakt K_-1xMo 0,3106 0,0410 0,3516 35,16 K_mMo 0,0002 0,3244 0,3246 32,46 K_1xWo 0,0165 0,0003 0,0168 1,68 K_mWo 0,0128 0,0000 0,0128 1,28 K_taegl 0,2040 0,0878 0,2918 29,18 Bewertung B_sschl 0,0579 0,0893 0,1472 14,72 B_wedno 0,1548 0,0000 0,1548 15,48 B_gut 0,0571 0,1297 0,1868 18,68 B_sgut 0,1394 0,0994 0,2388 23,88 Wohngebiet W_viele 0,1361 0,0696 0,2057 20,57 W_einig 0,0033 0,1397 0,1430 14,30 W_niema 0,2420 0,0305 0,2725 27,25 278 M U L T I P L E K O R R E S P O N D E N Z A N A L Y S E <?page no="278"?> Man sieht, dass alle Kategorien der Variable Freunde jeweils zu ungefähr 50 % durch die ersten beiden Achsen erklärt werden. Die Kategorien K_-1xMo, K_mMo und K_taegl der Variablen Bewertung sind zu ungefähr noch 30 % statistisch durch die beiden Achsen erklärt. Es zeigt sich also auch, dass es Kategorien dieser beiden Variablen sind, die nicht nur Einfluss auf die Achsen haben (hohe ctr kl %-Werte), sondern umgekehrt auch durch diese in einem hohen Ausmaß erklärt werden (hohe cos 2kl -Werte). Die Erklärungsleistung der anderen Kategorien, die nicht durch die beiden ersten Achsen gut erklärt werden, erfolgt entsprechend durch folgende Achsen. Will man also diese anderen Kategorien (und die durch sie eingeteilten sowie durch sie im Raum repräsentierten Gruppen) besser interpretieren können, dann kann man versuchen, die Achsen mit hohen cos 2kl -Werten für die interessierenden Kategorien heranzuziehen. Passive Variablen Die Interpretation der Abbildung 10.1 kann validiert oder auch für Zwecke einer interpretativ vorgehenden Erklärung erweitert werden, indem man zusätzlich passive Variablen in die Analyse aufnimmt (Blasius 2001). Passive Variablen sind solche, für deren Kategorien die Massen in die MCA eingehen. Alternativ kann man formulieren, dass die Masse der Kategorien von passiven Variablen den Wert 0 aufweist. Damit können diese Variablen keinen Einfluss auf die Berechnung und die Lage der Achsen haben, daher sind sie für die MCA „passiv“. Ihr Erklärungsbeitrag für die Achsen ist entsprechend 0, ihre Kategorien haben ctr kl - Werte und ctr kl %-Werte von 0. Umgekehrt bestimmen die vorab (mit Hilfe der aktiven Variablen) ermittelten Achsen dennoch die Lage der Kategorien der passiven Variablen im Raum. Es wird also nachträglich ermittelt, wo diese zusätzlichen Kategorien (im Engl. daher auch „supplementary points“ genannt) zwischen den Kategorien der aktiven Variablen zu liegen kommen. Daraus folgt, dass die passiven Variablen keinen Einfluss haben auf die Interpretation der Achsen. Und sie ändern auch nicht die sozialwissenschaftliche Sicht darauf, was für eine Art von Raum die Achsen aufspannen. Mit der Option, passive Variablen hinzuzufügen, ergeben sich verschiedene mögliche Strategien. (1) Man kann die MCA nun so einsetzen, dass man (mit interpretierten Achsen und einem ersten Verständnis, was das denn für ein Raum ist, den diese aufspannen) neue zusätzliche Kategorien in diesen Raum einfügen lässt, um den Raum, die Interpretation der Konfiguration von Kategorien (der aktiven Variablen) sowie die Interpretation der Achsen zu 10.4 Kategorien von passiven Variablen haben keine Masse 279 P A S S I V E V A R I A B L E N <?page no="279"?> tistik für Soziologen(3)__[Druckplausibilisieren und so zu validieren. Das ist eine rein interpretative und keine mit statistischen Kennzahlen erfolgende Vorgehensweise. (2) Will man andere Sachverhalte mit den vorhandenen Achsen und mit Hilfe der aktiven Variablen und ihrer Kategorien interpretieren, so kann man diese anderen Sachverhalte als passive Variablen in den MCA aufnehmen. Die Achsen erhalten nun den Status von erklärenden latenten Sachverhalten auch für die zusätzlichen Kategorien der passiven Variablen. Diese Erklärung ist eine interpretative Strategie und keine Quantifizierung einer statistischen Erklärungsleistung. Für das bereits eingeführte Beispiel soll eine Einführung von passiven Variablen erfolgen. Beispiel: Wie in Deutschland so prägen auch in der Schweiz insbesondere Stadt-Land-Unterschiede die Beurteilung sowie die Kontaktgelegenheiten zu Menschen, die als Angehörige anderer Nationen und Ethnien wahrgenommen werden. Zudem ist zu erwarten, dass man ein besseres Verständnis von dem Engagement mit Menschen anderer Minderheiten erhält, wenn man soziodemographische Variablen wie Alter und Bildung hinzuzieht. Die Bildung wird anhand der erzielten Diplome operationalisiert. Im Teildatensatz ESS7CH finden sich drei Variablen, die hier nun als passive Variablen herangezogen werden. (1) Ortsgröße: Im Rahmen des ESS7 wurde gefragt, welche der fünf vorgegebenen Kategorien das Wohngebiet der Befragten am treffendsten beschreibt: „Großstadt“, „Außenquartier oder Vorort einer Großstadt“, „Mittel- oder Kleinstadt“, „Dorf“ oder „Bauernhof oder Weiler“. Die resultierende Variable (im Datensatz domicil) ist nominal skaliert und hat 5 Kategorien. (2) Alter: Das Alter wurde in Jahren erfragt (im Datensatz agea) und wurde hier in vier Kategorien rekodiert „16 bis 30 Jahre“, „31 bis 45 Jahre, „46 bis 65 Jahre“ sowie „66 Jahre und älter“. Die resultierende Variable ist ordinal skaliert und hat 4 Kategorien. (3) Diplome: Die Befragten wurden nach dem höchsten formalen Bildungsabschluss befragt. Damit liegen die Informationen über die höchsten schulischen und akademischen Diplome sowie Berufsabschlüsse vor. Im Datensatz liegen die Bildungsabschlüsse mit über 20 Kategorien vor, daher wurde die ursprüngliche Variable (im Datensatz edlvdch) zu vier Gruppen rekodiert mit den Kategorien: „kein(e) Abitur/ Berufsausbildung“, „Berufsausbildung“, „Abitur“, sowie „Uni, FH, PH“. (In der Schweiz und in Österreich heißt das Abitur auch Matura.) Die resultierende Variable ist ordinal skaliert und hat 4 Kategorien. Die drei passiven Variablen bringen insgesamt 13 neue Kategorien in die MCA ein. Die TABELLE 10.6 führt die Kategorien der passiven Variablen auf. Zudem auch die vergebenen Labels, dann die absoluten Häufigkeiten f j , die relativen Häufigkeiten p j sowie die Koordinaten, die die Ka- Mit passiven Variablen validieren oder erklären 280 M U L T I P L E K O R R E S P O N D E N Z A N A L Y S E <?page no="280"?> tegorien y 1 und y 2 der passiven Variablen auf den beiden herangezogenen Achsen haben. (Die Kategorien der passiven Variablen haben keine m k -Werte und daher keine ctr kl %-Werte.) Hinweis: Anstatt den Raum mit Hilfe der Kategorien der passiven Variablen besser zu deuten, könnte man auch die Achsen heranziehen, um die Kategorien der passiven Variablen zu erklären. Dann könnte man die cos 2kl -Werte für diese Kategorien berechnen, um zu quantifizieren, in welchem Ausmaß die Achsen dieses leisten. In dem vorliegenden Beispiel ist die Erklärung der Kategorien der soziodemographischen Variablen durch die hier erhaltenen Achsen sozialwissenschaftlich nicht sinnvoll. Will man nun eine grafische Darstellung erstellen, die die Kategorien der passiven Variablen zusätzlich in die ABBILDUNG 10.1 plottet, so ist Tab. 10.6 Kategorien passive Variablen Label f j p j y 1 y 2 Ortsgröße „Großstadt“ O_GS 79 0,0686 0,4994 0,0311 „Vorort einer Großstadt“ O_VorGS 129 0,1121 0,2836 0,0547 „Mittel- oder Kleinstadt“ O_MKS 244 0,2120 0,1580 0,0065 „Dorf“ O_Dorf 641 0,5569 - 0,1321 - 0,0177 „Bauernhof oder Weiler“ O_Land 58 0,0504 - 0,5164 0,0046 1151 1,0000 Alter „16 bis 30 Jahre“ A_16-30 258 0,2242 0,3854 0,1166 „31 bis 45 Jahre“ A_31-45 246 0,2137 0,1350 0,0040 „46 bis 65 Jahre“ A_45-65 398 0,3458 - 0,0492 - 0,0080 „älter als 65“ A_66+ 249 0,2163 - 0,4541 - 0,1120 1151 1,0000 Diplome „kein(e) Abitur/ Berufsausbildung“ D_kAbBe 210 0,1825 0,0562 0,0109 „Berufsausbildung“ D_BeAus 635 0,0747 0,2374 0,0307 „Abitur“ D_Ab 86 0,5517 - 0,1127 0,0099 „Uni, FH, PH“ D_UFHPH 220 0,1911 0,1790 - 0,0509 1151 1,0000 281 P A S S I V E V A R I A B L E N <?page no="281"?> tistik für Soziologen(3)__[Druckaufgrund der Anzahl der Kategorien kaum erkennbar, wo die neuen Kategorien zu liegen kommen. Da das hier verfolgte Ziel eine Plausibilisierung der Achsen bzw. des zweidimensionalen Raumes ist, werden die 15 Kategorien der aktiven Variablen nicht in eine neue Abbildung geplottet. In der ABBILDUNG 10.2 sind daher nur die Kategorien der passiven Variablen in den zweidimensionalen Raum geplottet, der durch die beiden verwendeten Achsen aufgespannt wird. Die Abbildung 10.2 zeigt, an welcher Stelle in dem zweidimensionalen Raum sich welche soziodemografischen Gruppen befinden. Es zeigt sich, dass rechts die formal höher Gebildeten, die Jüngeren und die in größeren Städten Lebenden sich im Raum befinden. Während links diejenigen mit einer Berufsausbildung, die Älteren und die eher in ländlichen Regionen Lebenden verortet sind. Es fällt auf, dass die Kategorien der passiven Variablen vorrangig entlang der horizontalen Dimension der ersten Achse gestreut sind, was der Opposition zwischen denjenigen, die intensiv in als positiv erfahrene Kontakte mit Menschen aus anderen Volksgruppen und Ethnien engagiert sind (rechte Seite) und denjenigen, die mit Menschen aus solchen Minderheiten nichts oder nicht viel zu tun haben, die diese Kontakte aber auch neutral beurteilen (linke Seite). Die Abb. 10.2 scheint also die vorher erfolgte Interpretation der Achsen zu stützen. In urbanen Wohngegenden ist das Engagement mit Minderheiten intensiver als in ländlichen, höher Gebildete und Jüngere sind hierfür aufgeschlossener. Eine sozialwissenschaftliche Interpretation kann nun weitergehen und präzisere Hypothesen formulieren, warum sich eben dieser Zusammenhang zwischen den rechts geplotteten Kategorien der passiven Variablen in ABBILDUNG 10.2 und den rechts geplotteten Kategorien der aktiven Variablen in ABBILDUNG 10.1 ergibt. Abb. 10.2 ● −0.6 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 −0.2 −0.1 0.0 0.1 0.2 MCA (passive Variablen) Dim 1 (14.37 %) Dim 2 (11.22 %) O_GS O_VorGS O_MKS O_Dorf O_Land A_16−30 A_31−45 A_46−65 A_66+ D_kAbBe D_Ab D_BeAus D_UFHPH 282 M U L T I P L E K O R R E S P O N D E N Z A N A L Y S E <?page no="282"?> Praktische Empfehlungen Um eine MCA durchzuführen sind bei der Analyse von Survey-Daten einige praktische Strategien hilfreich ( fi Kap. 10.5.1) . Zudem soll auch auf eine Software hingewiesen werden, mit der die MCA auch für Studierende einfach durchführbar ist ( fi Kap. 10.5.2) . Vorbereitung Die Vorbereitung von aktiven und passiven Variablen, die in die Analyse eingehen sollen, ist entscheidend dafür, dass die MCA auch praktikabel durchgeführt werden kann. (1) Variablen, die sehr viele Ausprägungen haben oder die stetig skaliert sind, müssen entsprechend auf wenige Ausprägungen rekodiert und so kategorisiert werden. (2) Da die MCA wesentlich grafisch gestützt erfolgt, sollte die Anzahl der einbezogenen (aktiven) Variablen J und die Gesamtzahl ihrer Kategorien K möglichst gering sein, damit die visuell gestützte Interpretation gut möglich ist. (3) Kategorienlabels, die die Kategorie verständlich ausweisen, sind dafür förderlich. (4) Da Kategorien von aktiven Variablen mit sehr geringen Massen zur Folge haben, dass diese eher kleine ctr kl %-Werte generieren und in den korrespondenzanalytischen Grafiken weit vom Zentrum (Achsenkreuz) entfernt liegen, kann eine sachlich begründete und geeignete Zusammenfassung von Kategorien helfen, kleine Massen zu vermeiden. Die in Survey-Datensätzen häufig vorkommenden Antwortmöglichkeiten wie „Sonstige“, „keine Angabe“ oder „weiß nicht“ sollten in Korrespondenzanalysen ausgeschlossen werden, da sie zumeist kaum interpretierbar sind und ebenfalls kleine Massen aufweisen. Fälle mit fehlenden Werten werden daher in der Regel vorab ausgeschlossen. (5) In der MCA üben aktive Variablen, die im Vergleich viele Kategorien haben, mehr Einfluss auf die Trägheiten der Achsen aus. Daher empfiehlt es sich, Variablen in die MCA aufzunehmen, die jeweils ähnlich viele Kategorien haben. Software Die MCA lässt sich einfach mit dem R-Paket FactoMineR durchführen. R ist eine leistungsfähige und kostenlose Software. Die etablierten Datenanalysesoftwareprogramme sind für die MCA wenig brauchbar (die Ausnahme ist SPAD). Für die Handhabung von R gibt es grafische Benutz- 10.5 10.5.1 10.5.2 R-Paket FactoMineR 283 P R A K T I S C H E E M P F E H L U N G E N <?page no="283"?> tistik für Soziologen(3)__[Druckeroberflächen (GUIs) wie den „R Commander“. Der R Commander ermöglicht eine menügesteuerte Nutzung von R (allerdings mit reduziertem Funktionsumfang). Das R-Paket FactoMineR kann dann nachträglich als eigenes Menü in den R Commander installiert werden. Der FactoMineR beinhaltet neben der MCA viele weitere strukturentdeckende statistische Verfahren. Das Paket liefert für die MCA als Output die Grafiken und alle wichtigen statistischen Kennwerte wie Trägheiten, Koordinaten, ctr kl %-Werte und cos 2kl -Werte, dies sowohl für aktive als auch für passive Variablen. Hinweis: Um den FactoMineR verwenden zu können, installiert man zunächst die Software R (Download unter https: / / cran.r-project.org/ ). Diese muss man dann aufrufen, um den R Commander zu installieren. Dazu im R-Menü „Pakete“ unter „Setze CRAN-mirror“ erst einen Server für den Download auswählen, dann im Menü „Pakete“ unter „Installiere Paket(e)“ den R Commander installieren, das ist das Paket „Rcmdr“. R installiert dann den R Commander und für dessen Funktionieren weitere benötigte Pakete. Nun installiert man anschließend auf dieselbe Weise das Paket „RcmdrPlugin.FactoMineR“. Danach startet man (in R) den R Commander mit der Befehlszeile: library(Rcmdr) Dann muss man im R Commander-Menü „Extras“ das Untermenü „Lade Rcmdr Plugin(s)“ auswählen. Abschließend kann man das gerade installierte Paket auswählen. Nach einem Neustart des R Commander findet sich nun ein zusätzliches Menü „FactoMineR“. Der R Commander enthält nun das Menü „FactoMineR“. Datensätze gängiger kommerzieller Datenanalyseprogramme lassen sich über das Menü „Datenmanagement“ und das Untermenü „Importiere Daten“ einlesen. Danach wählt man im Menü „FactoMineR“ die MCA. Eine Dokumentation und Einführung des Pakets FactoMineR findet sich in dem Band von Husson, Lê und Pagès (2017). (Siehe auch http: / / factominer.free.fr/ .) Mittlerweile gibt es mehrere R-Pakete für die Korrespondenzanalyse. Für diejenigen mit R-Kenntnissen sei das Paket „soc.ca“ empfohlen. Eine grundlegende Einführung zu R und eine kurze Darstellung der R-Pakete auch für die MCA findet sich in Manderscheid (2017). 284 M U L T I P L E K O R R E S P O N D E N Z A N A L Y S E <?page no="284"?> Literatur ADM/ AG.MA Arbeitskreis Deutscher Markt- und Sozialforschungsinstitute e. V./ Arbeitsgemeinschaft Media-Analyse e. V. (Hrsg.) (1999): Stichproben-Verfahren in der Umfrageforschung. Opladen: Leske + Budrich. Agresti, Alan (2013): Categorical data analysis. 3. Aufl. New York: Wiley. Allison, Paul D. (1984): Event history analysis. Regression for longitudinal data. Newbury Park: Sage. Allison, Paul D. (2002): Missing data. Thousand Oaks/ CA: Sage. 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Köln: Kiepenheuer & Witsch. 287 L I T E R A T U R <?page no="287"?> Anhang Inhalt 12.1 Kurzporträts multivariater Verfahren 12.1.1 Clusteranalyse 12.1.2 Ereignisdatenanalyse 12.1.3 Faktorenanalyse 12.1.4 Log-lineare Analyse 12.1.5 Mehrebenenanalyse 12.1.6 Netzwerkanalyse 12.1.7 Strukturgleichungsmodelle 12.2 Sekundäranalysen 12.2.1 Eigenheiten der Sekundäranalyse 12.2.2 Datenarchive 12.2.3 Wichtige Datensätze für die Sekundäranalyse 12.3 Literaturhinweise 12.4 Rechnen mit dem Summenzeichen 12.5 Rechnen mit Exponenten und natürlichem Logarithmus 12.6 Statistische Tabellen (Auszüge) 12 288 <?page no="288"?> Kurzporträts multivariater Verfahren Die Zahl der multivariaten statistischen Verfahren, die für soziologische Analysen zur Verfügung stehen, ist umfangreich, die Zahl ihrer Neuerungen und Spezialformen ist kaum mehr zu überschauen. Das gilt auch für die Zahl der Software-Programme für die statistische Datenanalyse, von denen einige ein umfassendes Spektrum von statistischen Verfahren und Prozeduren anbieten. Dazu zählen IBM SPSS (B RO S IU S 2013) und Stata (K OHL E R / K R EUTE R 2016). Diese sind die wichtigsten (kommerziellen) Software-Programme in den Sozialwissenschaften. Mit dem Programm PSPP steht eine kostenlose Alternative zu IBM SPSS zur Verfügung, die sich an IBM SPSS orientiert (Oberfläche fi Abb. 2.1 ) oder sogar gleicht (Syntax) und die im Vergleich zwar einen reduzierten Funktionsumfang aufweist, die aber für einfache Analysen ausreichend ist. PSPP ermöglicht bereits die Anwendung einiger multivariater Verfahren (darunter lineare und logistische Regression). Eine ebenfalls kostenlose Open Source-Software für die Datenanalyse ist R (www.r-project.org). R ist die leistungsfähigste Statistiksoftware und hat sich ebenfalls in den Sozialwissenschaften etabliert. (Siehe die Einführung in R von Manderscheid 2017). Für einzelne multivariate Verfahren stehen heute in der Regel zusätzlich spezifische Software-Programme zur Verfügung. Notwendig werden spezielle Software-Programme, wenn die Datenstruktur sich nicht mehr in Form einer Datenmatrix speichern lässt (wie bei Netzwerkdaten). Hier werden einige multivariate statistische Verfahren in Kurzform vorgestellt, die häufige Verwendung in der Sozialforschung finden. Dabei handelt es sich zumeist um eine Gruppe von Verfahren. Für die Aneignung der meisten multivariaten Verfahren ist die Kenntnis der multiplen Regressionsrechnung die Voraussetzung. Clusteranalyse Clusteranalysen dienen dazu, die Fälle eines Datensatzes zu gruppieren. Unterstellt wird, dass eine Gruppierung („Typologie“) in der sozialen Wirklichkeit vorliegt, aber die Gruppenzugehörigkeiten entweder nicht ermittelt wurden oder die Gruppierung noch unbekannt ist. Die Clusteranalyse gruppiert die Fälle eines Datensatzes schrittweise (iterativ) so, dass die zu bildenden Gruppen (Cluster) in sich möglichst homogen und untereinander möglichst heterogen sind. Für die Clusterung müssen Variablen vorliegen, die die wesentlichen Unterschiede zwischen den Gruppen zum Ausdruck bringen. Will man beispielsweise Lebensstilgruppen clusteranalytisch untersuchen, müssen die Lebensstil-Dimensionen operationalisiert worden sein und als Variablen im Datensatz 12.1 12.1.1 289 K U R Z P O R T R Ä T S M U L T I V A R I A T E R V E R F A H R E N <?page no="289"?> tistik für Soziologen(3)__[Druckenthalten sein. Clusteranalysen gehören zu den explorativen (strukturentdeckenden) multivariaten Verfahren, sie dienen nicht dem Zweck, Hypothesen (z. B. über die Gruppenstruktur) zu prüfen, sondern dazu, Strukturen freizulegen. Kennzeichnend für explorative Verfahren ist, dass die Resultate eine theoriefundierte Hermeneutik erfordern. Die erhaltenen Cluster müssen soziologisch interpretiert werden. Eine Einführung in die Clusteranalyse findet sich in B AC KHAU S et al. 2015. Eine umfassende Darstellung vieler Clusterverfahren liefert B ACHE R et al. 2010. Es gibt mehrere Grundformen von Clusteranalysen, welche sich mit der verbreiteten Statistik-Software rechnen lassen. Ereignisdatenanalyse Ein multivariates Verfahren, das soziale Prozesse im Zeitverlauf kausal analysiert, ist die Ereignisdatenanalyse (engl. „event history analysis“ oder „event history modeling“). Die Ereignisdatenanalyse unterscheidet sich von den anderen multivariaten Verfahren durch die besondere Art von Daten, die analysiert werden. Die sonst üblichen Datensätze beinhalten Messungen an Fällen zu einem einzigen Zeitpunkt. Panelanalysen führen Messungen an denselben Fällen mehrfach wiederholt und zeitversetzt durch. Ereignisdatenanalysen setzen nicht die Erfassung von Zuständen zu diskreten Zeitpunkten voraus, sondern die Erfassung, in welchen verschiedenen Zuständen sich Personen über kontinuierliche Zeitabschnitte befunden haben. Für die Analyse von Erwerbsbiografien können beispielsweise bestimmte untersuchungsrelevante Zustände vorher definiert werden: „in Berufsausbildung befindlich“, „arbeitslos“, „erste Berufstätigkeit“, „zweite Berufstätigkeit“, „weitere Berufstätigkeit“, „nicht berufstätig“, „in Weiterbildung“, „verrentet“. Dann erfragt man, wann eine Person zum ersten Mal in einen der definierten Zustände eingetreten ist und wann dieser Zustand beendet wurde. Dann wird erfasst, in welchen Zustand gewechselt wurde und bis wann dieser angedauert hat, anschließend wird erfragt, in welchen Zustand als nächstes gewechselt wurde usw. Drei Informationen: die Art eines eingenommenen Zustandes, der Zeitpunkt seiner Einnahme und der Zeitpunkt des Austritts aus ihm, bilden eine Episode. Ereignisdaten bestehen aus Serien von Episoden für die befragten Personen. Untersucht wird nun, wie die Zustandswechsel (Übergangsraten) modelliert werden können und wie sie durch die vorhergehenden Zustände sowie durch andere soziale Bedingungen beeinflusst werden. Eine einfache Einführung bietet A LLI S O N 1984. R OHWE R / P ÖTTE R 2001 betten die Ereignisdatenanalyse in ihre (eher mathematisch ansetzende) Einführung in die sozialwissenschaftliche Statistik ein. Grundlagenbände sind B LO S S F E LD et al. 1986 und B LO S S F E LD / R OHWE R 2001. 12.1.2 290 A N H A N G <?page no="290"?> Faktorenanalyse Die Faktorenanalyse ist im Rahmen der Intelligenzforschung entwickelt worden. Die Zielsetzung für die Entwicklung dieses Verfahrens war, eine nicht direkt beobachtbare (latente) Größe - wie die Intelligenz - anhand verschiedener beobachtbarer (manifester) Variablen zu messen. In der statistischen Ermittlung latenter Sachverhalte kann eine Gemeinsamkeit zwischen Faktorenanalyse und Korrespondenzanalyse ( fi Kap. 10) gesehen werden. Im Unterschied zur Korrespondenzanalyse, die von kategorialen (manifesten) Variablen ausgeht, geht die Faktorenanalyse von metrischen skalierten (manifesten) Variablen aus. Solche Variablen können erzielte Punkte bei der Lösung von Aufgaben in einem Intelligenztest sein. Die Faktorenanalyse errechnet anhand der Punkte die dahinter stehenden latenten Dimensionen der Intelligenz, diese sind die Faktoren. Faktorenanalysen ersetzen also eine Anzahl von manifesten Variablen durch eine geringere Anzahl von Faktoren. Es gibt verschiedene Formen der Faktorenanalyse. Die gebräuchlichste Form ist die Hauptkomponentenanalyse, abgekürzt: PCA (für engl. „principle component analysis“). In der Hauptkomponentenanalyse wird eine große Anzahl von erhobenen Variablen durch eine möglichst geringe Anzahl von errechneten Faktoren, die hier Hauptkomponenten heißen, ersetzt. Mit Hilfe der Hauptkomponenten kann man auf diese Weise Variablen „bündeln“, so dass einzelne Variablengruppen durch je eine Hauptkomponente repräsentiert werden. Man verdichtet so einen multivariaten Datenraum mit vielen Dimensionen (= Anzahl der Variablen) auf einen Raum, der nur noch wenige Dimensionen (= Anzahl der Hauptkomponenten) hat. Die Faktorenanalyse ist wie die Clusteranalyse ein strukturentdeckendes Verfahren. B ACKHAU S et. al. 2015 und B ORTZ 2010 führen mit einzelnen Kapiteln in die Faktorenanalyse ein. Eine vollständigere Darstellung der Faktorenanalyse bietet Ü B E RLA 1971. Log-lineare Analyse Die Kausalstruktur mehrdimensionaler Kontingenztabellen kann mit einer log-linearen Analyse systematisch „aufgeschlüsselt“ werden. Die einfachen Techniken der Tabellenanalyse (nach P AUL L AZAR S F E L D ) stoßen schnell an ihre Grenzen, wenn die Ausprägungskombinationen von mehr als drei Variablen betrachtet werden (und wenn diese zudem noch viele Kategorien besitzen). Bei mehr als zwei Variablen sind nicht nur bivariate Zusammenhänge, sondern auch die Zusammenhänge höherer Ordnung zwischen je drei, je vier usw. Variablen möglich, welche mit den log-linearen Verfahren vielseitig untersucht werden können. Das Verfah- 12.1.3 12.1.4 291 K U R Z P O R T R Ä T S M U L T I V A R I A T E R V E R F A H R E N <?page no="291"?> tistik für Soziologen(3)__[Druckren heißt „log-linear“, da die Grundidee ist, die logarithmierten Häufigkeiten in den Zellen additiv zurückzuführen auf Effekte einzelner Variablen, auf Effekte von Zusammenhängen zwischen je zwei, je drei usw. Variablen. Log-lineare Verfahren sind erweitert worden, so dass auch latente Variablen einbezogen werden können. Werden bei log-linearen Modellen die Kausalstrukturen zunächst als symmetrisch betrachtet, so können diese auch asymmetrisiert werden, womit man dann Logit-Modelle erhält. Log-lineare Analysen lassen sich inferenzstatistisch zur Prüfung von Modellen einsetzen. Eine Einführung findet sich bei A NDR E S S et al. 1997, eine leicht lesbare kurze Einführung ist der Band von K N OK E / B URKE 1980. Standardwerke sind B I S HO P et al. 2008 und W ICK EN S 1989, einen Abriss der verschiedenen Verfahren gibt A G R E STI 2013. Mehrebenenanalyse Die Mehrebenenanalyse (engl. „multilevel analysis“, abgekürzt: MLA, oder auch „multilevel modeling“) untersucht, wie individuelles Handeln sowohl durch individuelle als auch durch kontextuelle Einflüsse beeinflusst wird. Die Berücksichtigung verschiedener Ebenen unterscheidet Mehrebenenanalysen von multiplen Regressionsanalysen. Ein soziologischer Grundgedanke für die Verwendung solcher Modelle ist, dass in verschiedenen sozialen Kollektiven (Gruppen, Organisationen) die Ursache-Wirkungs-Beziehungen unterschiedlich ausfallen können. Daher ist die Erweiterung von multiplen Regressionsmodellen um Interaktionen, die den modulierenden Effekt von Kontexten (Kollektiven) auf Ursache- Wirkungs-Beziehungen (auf der Individuenebene) darstellen, ein Zwischenschritt zwischen Regressionsmodellen und Mehrebenenmodellen ( fi Kap. 8.4) . Mehrebenenmodelle stellen einen statistischen Ansatz dar, um Mikro-Makro-Beziehungen zu analysieren. Einführungen sind K R E F T / D E L E EUW 1998, S NI J D E R S / B O S K E R 2012 und L U K E 2004. Mit L ANG E R 2009 liegt eine deutschsprachige Einführung vor. Netzwerkanalyse Die sozialwissenschaftliche Netzwerkanalyse ist nicht einfach ein multivariates statistisches Verfahren. Es handelt sich hierbei um einen sozialwissenschaftlichen Ansatz, der die Beziehungen zwischen sozialen Elementen bzw. sozialen Akteuren (Personen, Organisationen) und deren Einbettung in Netzwerke untersucht. In der Netzwerkanalyse sind viele weitgehend eigenständige statistische Verfahren für die Analyse sowohl einfacher als auch komplexer Netzwerkstrukturen entwickelt worden. Die Besonderheit netzwerkanalytischer Verfahren ist, dass hierbei nicht 12.1.5 12.1.6 292 A N H A N G <?page no="292"?> die Merkmale von Fällen (attributionale Merkmale) im Vordergrund stehen, sondern dass die zwischen ihnen vorliegenden Beziehungen, deren Eigenschaften (relationale Merkmale) und die Struktur, die die Beziehungen bilden, untersucht werden. Die Folge ist, dass man eigene Dateiformate und Software-Programme (wie UCINEToder Pajek) dafür entwickelt hat. Die so genannte ego-zentrierte Netzwerkanalyse untersucht die personalen Netzwerke z. B. daraufhin, wie ihre Dichte oder ihre interne Organisation ausgeprägt ist. Diese Form der Netzwerkanalyse ist die einfachste, und sie ist insofern die Ausnahme unter den netzwerkanalytischen Zugängen, als hierfür die herkömmlichen Statistikprogramme verwendet werden können. Die netzwerkanalytischen Strategien für große Netzwerke lassen sich derzeit in drei große Strömungen unterteilen: Kohäsionsanalysen, Blockmodellanalysen und die new network analysis. Kohäsionsanalysen untersuchen die unterschiedliche Intensität der Vernetzung, d. h. wie sich Netzwerke intern in Regionen ausdifferenzieren, die dichter oder weniger dicht vernetzt sind. Blockmodellanalysen untersuchen die Makrostruktur in Netzwerken, indem Akteure, die ein ähnliches Vernetzungsmuster haben, zu Gruppen (Blöcken) zusammengefasst („geblockt“) werden. Die new network analysis versucht, Zufallsnetzwerke und auf Verteilungsannahmen basierende (theoretische) komplexe Netzwerkstrukturen in Beziehung zu setzen zu empirischen Netzwerken, um die Unterschiede aus soziologischen Prozessen der Netzwerkbildung herzuleiten. Die Netzwerkanalyse untersucht insgesamt, wie sich die Struktureigenschaften von Netzwerken als Ermöglichungskontext (z. B. als soziales Kapital) oder als Begrenzung auf das Wahrnehmen und Handeln von Individuen, vernetzten Gruppen oder von Organisationen auswirken. Einführungen in die Netzwerkanalyse liegen mit J AN S EN 2006 und F UH S E 2016 vor. In die ego-zentrierte Netzwerkanalyse führt D IAZ -B ONE 1997 ein. Die umfassendste Darstellung netzwerkanalytischer Verfahren findet sich in W AS S E R MAN / F AU ST 1994. Eine an diesen Band anschließende Darstellung der neueren Trends in der Netzwerkanalyse ist der Band von C A RRINGTON et al. 2005. Ein umfangreicher deutschsprachiger Sammelband liegt mit S T E G BAUE R / H ÄU ß LING 2010 vor. In der deutschen Gesellschaft für Soziologie gibt es eine eigene Sektion Soziologische Netzwerkforschung. Die internationale Organisation für die sozialwissenschaftliche Netzwerkforschung ist das International Network of Social Network Analysis, auf deren Internetseite http: / / www.insna.org sich viele Links u. a. zu den zahlreichen Software-Programmen und weiterer Literatur finden. 293 K U R Z P O R T R Ä T S M U L T I V A R I A T E R V E R F A H R E N <?page no="293"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- Strukturgleichungsmodelle Strukturgleichungsmodelle werden dafür verwendet, Kausalmodelle zwischen latenten Variablen „zu prüfen“. Der Ansatz wird auch als LISREL- Ansatz bezeichnet, da LISREL die erste Software für die Berechnung von Strukturgleichungsmodellen war. Etwas vereinfachend könnte man sagen, dass Strukturgleichungsmodelle Faktorenanalysen und Regressionsanalysen kombinieren. Denn in einem Strukturgleichungsmodell werden Messmodelle, anhand derer die latenten Variablen erfasst werden, mit dem Strukturmodell verbunden, welches die gerichteten Beziehungen zwischen den latenten Variablen darstellt. Das System der Kausalbeziehungen im Strukturgleichungsmodell soll als Ganzes ein theoretisch fundiertes Modell darstellen, das auch als Ganzes daraufhin geprüft wird, ob und wie gut es sich an die Daten anpassen lässt. Man kann andere multivariate Verfahren (wie Faktorenanalysen oder Pfadanalysen) als Sonderformen von Strukturmodellen auffassen, so dass diese ein sehr breites Anwendungsspektrum erhalten. In B AC KHAU S et al. 2015 findet sich ein einführendes Kapitel; ein Grundlagenwerk ist B O LL EN 1989, als eine verständliche Einführung gilt L O EHLIN 2004 und mit R E INE CK E (2014) gibt es eine deutschsprachige Darstellung. Die rechnerische Durchführung eines solchen Strukturgleichungsmodells hat sich durch die grafische Oberfläche von Softwareprogrammen wie AMOS vereinfacht, da hier das Strukturgleichungsmodell als Pfaddiagramm (anstatt als Gleichungssystem) eingegeben und dargestellt werden kann. Sekundäranalysen Von einer Sekundäranalyse spricht man, wenn ein Forschungsprojekt Daten nicht selbst erhebt, sondern auf vorhandene Datensätze zurückgreift. Werden die Daten, die für ein Forschungsprojekt benötigt werden, durch dieses selbst erhoben, spricht man von einer Primäranalyse. Eigenheiten der Sekundäranalyse Sekundäranalysen sind möglich, wenn bereits verfügbare Datensätze vorliegen, die die benötigten Informationen für ein Forschungsprojekt in Variablenform beinhalten. Sie sind erforderlich, wenn ein Forschungsprojekt nicht die Mittel hat, selbst Daten zu erheben. Gerade für Studierende gilt, dass ihre Qualifikationsarbeiten häufig Fragestellungen aufgreifen, die eine bevölkerungsweite Grundgesamtheit betreffen, dass die Studierenden aber die Kosten für die Erhebung einer ausrei- 12.1.7 12.2 12.2.1 294 A N H A N G <?page no="294"?> chend großen Stichprobe nicht aufbringen können. Am Anfang steht nicht der Datensatz, sondern ein Forschungsinteresse. Der nächste Schritt ist dann die Suche nach einem geeigneten Datensatz, der für die relevante Grundgesamtheit und die durch das Forschungsinteresse angesprochenen Sachdimensionen geeignete Variablen beinhaltet. Der Nachteil bei Sekundäranalysen ist, dass man sich auf die Operationalisierungen einlassen muss, die den von anderen definierten Variablen zugrunde liegen. Sekundäranalysen haben daher eine von Primäranalysen etwas abweichende Logik, da hier ein Abgleich von Forschungsinteresse und Datenlage erforderlich wird. Neben der Kostenersparnis haben Sekundäranalysen, die Datensätze aus Datenarchiven verwenden, den Vorteil, dass die Resultate auch von anderen kritisch nachvollzogen werden können. Damit eine informierte Datenanalyse möglich ist, müssen neben den Datensätzen die Fragebögen (mit den Frageformulierungen und den in der Befragung eingesetzten Materialien, Schaubildern etc.), die Stichprobenpläne sowie Informationen zu den jeweiligen Datenerhebungsprozessen (Art der Datenerhebung, Ausfallquoten, Informationen zu systematischen Einflüssen) vorliegen. Seit vielen Jahren nimmt die Zahl der Datensätze, die für Sekundäranalysen zur Verfügung stehen, stetig zu. Die Möglichkeit der elektronischen Speicherung und Vervielfältigung von Datensätzen sowie institutionelle Zusammenschlüsse haben die Zugänglichkeit deutlich vereinfacht. Erster Anlaufpunkt für die Suche nach geeigneten Datensätzen sind Datenarchive. Darüber hinaus finden sich bei vielen wissenschaftlichen Einrichtungen, aber auch bei Verbänden, Non-Profit-Organisationen und Behörden Datensätze, deren Nutzungsmöglichkeiten jeweils erfragt werden müssen. Einen Überblick über die Infrastruktur der sozialwissenschaftlichen Datenproduktion gibt der Bericht der KVI 2001. Datenarchive Datenarchive stellen heutzutage für Sekundäranalysen Tausende von Datensätzen zur Verfügung. Diese sind entweder für bestimmte Forschungsprojekte erhoben worden und können auch für andere Fragestellungen ausgewertet werden, oder sie wurden von vornherein mit der Zielsetzung der Datengenerierung für zukünftige sekundäranalytische Forschung erhoben. Die Datensätze werden von den Datenarchiven für wissenschaftliche Untersuchungen zumeist gegen eine geringe Nutzungsgebühr zur Verfügung gestellt. Das wichtigste deutsche Datenarchiv ist das Datenarchiv für Sozialwissenschaften (DAS), das eine Abteilung der GESIS (Gesellschaft Sozialwissenschaftlicher Infrastruktureinrichtungen) ist. Das wichtigste Schweizer Datenarchiv ist Teil von 12.2.2 295 S E K U N D Ä R A N A L Y S E N <?page no="295"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- FORS (Schweizer Kompetenzzentrum für Forschung). Auf europäischer Ebene sind die Datenarchive im Council of European Social Science Data Archives (CESSDA) organisiert. http: / / www.gesis.org/ das-institut/ wissenschaftliche-abteilungen/ http: / / forscenter.ch/ de/ http: / / www.nsd.uib.no/ cessda/ Wichtige Datensätze für die Sekundäranalyse ALLBUS Seit 1980 wird alle zwei Jahre die Allgemeine Bevölkerungsumfrage (ALLBUS) durchgeführt. Träger ist die GESIS (Mannheim). Die Grundgesamtheit ist die erwachsene deutsche Bevölkerung in Privathaushalten. Die mehrstufige und geschichtete Stichprobengröße beträgt jeweils zwischen 2500 und ca. 3500 befragte Personen. Zielsetzung dieser Bevölkerungsumfrage ist, für die sozialwissenschaftliche Forschung regelmäßig Daten für Sekundäranalysen zur Verfügung zu stellen, so dass im ALLBUS nicht nur soziodemografische Variablen enthalten sind, sondern zu vielen sozialwissenschaftlichen Themen Variablen zu finden sind. Darunter finden sich Themen wie soziale Ungleichheit, Berufstätigkeit, Bildung und Kultur, Religiosität, soziale Beziehungen, Familie, Lebenszufriedenheit, Wertorientierungen, politische Einstellungen und politische Partizipation. Der ALLBUS wird über das Datenarchiv für Sozialwissenschaften zur Verfügung gestellt. Bemerkenswert ist die umfassende Dokumentation. Der ALLBUS beinhaltet (als nationale allgemeine Bevölkerungsumfrage) auch jeweils die zwei Fragebatterien des jährlich durchgeführten ISSP. http: / / www.gesis.org/ allbus/ allbus/ ISSP Seit 1985 wird das International Social Survey Program (ISSP) als jährliches sozialwissenschaftliches Fragenprogramm in den nationalen Bevölkerungsumfragen eingesetzt. Dabei wird zu jeweils einem sozialwissenschaftlichen Thema eine international standardisierte Datenerhebung durchgeführt. Beteiligt sind fast 50 Länder. Wie beim ESS werden hier einige Themenblöcke wiederholt abgefragt, so dass auch ISSP-Daten gut für international vergleichende Forschung sowie die Analyse des sozialen Wandels geeignet sind. Zu beziehen sind diese Daten über das Datenarchiv für Sozialwissenschaften. http: / / www.issp.org/ 12.2.3 296 A N H A N G <?page no="296"?> ESS Seit 2002 wird der European Social Survey (ESS) als zweijährliche Erhebung in über 20 europäischen Ländern durchgeführt. Dabei werden einige Themenblöcke jedes Mal erfragt (wie z. B. Mediennutzung, Vertrauen in soziale Institutionen, Religion, sozio-politische Einstellungen), so dass sozialer Wandel auch im Ländervergleich gut mit ESS-Daten beforschbar ist. Die gesamte Erhebung ist exzellent dokumentiert und die Daten sind einfach und frei über die Homepage des ESS verfügbar. http: / / www.europeansocialsurvey.org SOEP Das Sozio-oekonomische Panel (SOEP) ist ein seit 1984 jährlich erhobenes Panel. Ein Panel ist eine Wiederholungsbefragung bei denselben Personen. Die Datenerhebungen bei Panels finden zumeist in regelmäßigen Abständen statt, jede einzelne wird „Welle“ genannt (E NG E L / R E INE CK E 1994). Damit unterscheidet sich ein Panel wie das SOEP von anderen Befragungsprogrammen, die immer wieder neue Stichproben ziehen. Das SOEP hat zur Zielsetzung, für die sozial- und wirtschaftswissenschaftliche Forschung Daten bereitzustellen, anhand derer auch soziale Veränderungsprozesse auf der Mikroebene (Personenebene) untersucht werden können. Dieser Datensatz beinhaltet Variablen zu Themen wie Lebensbedingungen, Wertvorstellungen, Berufstätigkeit, soziale Mobilität, Familie und Lebensformen. Zudem gibt es wechselnde Themenschwerpunkte. Kennzeichnend ist, dass die Grundgesamtheit die deutschen Privathaushalte sind. Das SOEP ist damit eine so genannte repräsentative Längsschnittstudie privater Haushalte in Deutschland. Es liegen Daten zu allen Personen der gezogenen Haushalte vor. Verfügbar ist das SOEP für die wissenschaftliche Forschung als anonymisierter Scientific Use-File über das Deutsche Institut für Wirtschaftsforschung (DIW), bei dem das SOEP angesiedelt ist. Allerdings muss die Handhabung der Daten vorher geschult werden. Es steht ein umfangreiches Angebot an Informationen zum SOEP online bereit, das Erhebungsprogramm ist gut dokumentiert. http: / / www.diw.de/ soep Mikrozensus Der Mikrozensus (MZ) ist die jährlich erhobene (geschichtete und mehrstufige) Stichprobe der amtlichen Statistik. Der MZ wird für eine 1 %ige Stichprobe der deutschen Bevölkerung in Privathaushalten erhoben und hat damit einen Stichprobenumfang von über 800 000 Personen. Die Frageinhalte des Mikrozensus betreffen die soziale und wirtschaftliche Lage sowie die Erwerbstätigkeit der Bevölkerung in Deutschland. 297 S E K U N D Ä R A N A L Y S E N <?page no="297"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- Die Teilnahme an der Befragung ist gesetzlich verpflichtend, so dass der Mikrozensus eine Ausschöpfungsquote von ca. 97 % hat. Seit 1987 steht der wissenschaftlichen Forschung eine 70 %ige anonymisierte Unterstichprobe des Mikrozensus mit über 550 000 Fällen als Scientific Use- File zur Verfügung. Aufgrund der hohen Ausschöpfungsquote wird der Mikrozensus für viele andere Stichproben als Referenz herangezogen, um hiermit die Verteilungen der soziodemografischen Variablen abzugleichen. So kann versucht werden, zumindest grobe systematische Verzerrung zu identifizieren. (Dennoch hat auch die amtliche Statistik eigene Defizite und Probleme bei der Datenerhebung.) Bezogen werden kann der Scientific Use-File beim Statistischen Bundesamt. http: / / www.forschungsdatenzentrum.de/ bestand/ mikrozensus/ Literaturhinweise Geschichte der Statistik in den Sozialwissenschaften Um die Konzepte und auch die Heterogenität der Statistik zu verstehen, ist eine Beschäftigung mit ihrer Genealogie nützlich. Viele Sozialwissenschaftler, die die Statistik genutzt oder sogar weiterentwickelt haben, haben sich auch aus diesem Grund mit der Geschichte der Statistik (und der Geschichte der Statistik in der Soziologie) befasst. Einen kurzen Abriss der Geschichte der empirischen Sozialforschung mit Bezügen auf die Rolle der Statistik ist das Kap. 2 in S CHN E LL et al. 2011. Eine sehr empfehlenswerte, soziologische Darstellung der Geschichte der sozialwissenschaftlichen Statistik liegt mit D E S RO S IÈR E S 2005 vor. Dort finden sich weitere Literaturangaben. Der Klassiker für die Geschichte der Statistik ist S TIG L E R 1986, der die Geschichte der Statistik bis 1900 darstellt. Die Essaysammlung S TIG L E R 1999 stellt dann die weitere Geschichte der Statistik bis in die 1930er Jahre dar. Zur Geschichte der Inferenzstatistik in den Sozialwissenschaften siehe auch R OHWE R / P ÖTTE R 2002 und die dortigen Literaturangaben. W E I S CHE R 2004 stellt das Feld der deutschen Sozialforschung insgesamt für die zweite Hälfte des 20. Jahrhunderts dar, darin auch die Rolle der Statistik für die empirische Sozialforschung. Deskriptiv- und inferenzstatistische Grundlagen Die beiden Statistiklehrbücher K ÜHNE L / K R E B S 2012 und K LEMM 2002 behandeln die Grundlagen der Deskriptivstatistik und der Inferenzstatistik ausführlicher. Hier finden sich weitere Zusammenhangsmaße. Für K ÜH NE L / K R E B S 2012 liegt zudem eine Aufgabensammlung vor (K ÜHN E L et al. 2003). B ENNIN GHAU S 2007 und C HEN / P O P OVICH 2002 versammeln sehr 12.3 298 A N H A N G <?page no="298"?> viele Zusammenhangsmaße. Dort fehlt jeweils das Odds Ratio, welches mit seinen Eigenschaften ausführlicher bei R UDAS 1998 behandelt wird. Eine Einführung in die Inferenzstatistik bietet S AHN E R 2008. Das Lehrbuch K ROMR EY et al. 2016 bietet neben einer Einführung in die empirische Sozialforschung zusätzlich eine Einführung in die Deskriptivstatistik. Hier findet sich auch eine ausführlichere Darstellung der Konzentrationsmaße. V ON DE R L I P P E 1993 stellt die statistischen Eigenschaften deskriptivstatistischer Maß- und Indexzahlen vor. C HEN / P O P OVICH 2002 stellt die inferenzstatistischen Eigenschaften des Korrelationskoeffizienten r und verwandter Maßzahlen dar. In den Lehrbüchern K LEMM 2002, K ÜHNE L / K R E B S 2012 und B ORTZ 2010 finden sich weitere Tests für statistische Maßzahlen. Über die Grundlagen hinaus seien noch folgende Titel empfohlen: R OHWE R / P ÖTT E R 2002 untersucht, welche Vorstellungen von Wahrscheinlichkeit in der sozialwissenschaftliche Statistik vorliegen und wo sie aus sozialwissenschaftlicher Sicht problematisch werden. Die gesammelten Beiträge in H ARLOW et al. 1997 geben einen aktuellen Überblick zu der Diskussion über die Grenzen der Aussagekraft von Signifikanztests. Ebenso wie in der Darstellung von S MITH S ON 2003 findet man hier auch eine Aufwertung der Bedeutung von Konfidenzintervallen. Eine Einführung in die Bayes’sche Statistik, eine zum Neymann-Pearson-Ansatz alternative inferenzstatistische Position, gibt I VE R S EN 1984. Eine neuere Darstellung der fortgeschrittenen Datenanalyseverfahren gibt das „Handbuch der sozialwissenschaftlichen Datenanalyse“ (W O L F / B E ST 2010). Eine klassische Grundlage für die kausale Denkweise der Soziologie ist D URKHEIMS „Die Regeln der soziologischen Methode“ (1984, zuerst 1895). Heute noch lesenswert sind die Marienthalstudie „Die Arbeitslosen von Marienthal“ von J AHODA et al. (1975, zuerst 1933) und der Band „Die Sprache der Zahlen“ von Z E I S E L (1970, zuerst 1947), der in der Tradition von L AZA R S F E LD steht. Diese Klassiker sind sicher nicht auf dem heutigen Stand der statistischen Analyse, aber sie zeigen anschaulich, wie man soziologische Überlegungen mit methodischen Strategien und einfachen statistischen Darstellungsformen verzahnt. L I E B E R S ON 1985 beinhaltet eine kritische Beurteilung der soziologischen Kausalanalyse und Drittvariablenkontrolle. Einführungen in kausale Argumentation und Forschungsdesigns für die kausale Analyse liefert S CHNE L L et al. 2011, Kap. 5. Hier finden sich auch weitere Literaturangaben. Explorative Datenanalyse/ Datenanalysegrafiken Die explorative Datenanalyse (EDA) ist mit T UK EY 1977 systematisch in die Statistik eingeführt worden. Dabei handelt es sich nicht um eine Sammlung von univariaten Maßen oder Grafiken, die einfach kom- 299 L I T E R A T U R H I N W E I S E <?page no="299"?> tistik für Soziologen(3)__[Druckbiniert einzusetzen wären. Dieses Missverständnis wird immer noch von einigen Lehrbüchern der Deskriptivstatistik bedient. Explorative Datenanalyse wurde von J OHN W. T UK EY als eine „Geisteshaltung“ gekennzeichnet, die eine Praxis der Datenanalyse begründet, in der man versucht, schrittweise (iterativ) nach „Strukturen“ in den Daten zu suchen und Modelle zu entwickeln. Eine herausragende Bedeutung hat dabei der Einsatz spezifischer Datenanalysegrafiken. T UK EY 1977, J AM BU 1992 und S C HNE LL 1994 geben Einblicke in die Strategien der EDA sowie in das Spektrum der Datenanalysegrafiken. Dabei zeigt sich, dass man von verschiedenen Schulen der EDA sprechen kann. Es zeigt sich, dass die explorative Datenanalyse und die Strategien der Visualisierung von Datenstrukturen für die Analyse sehr großer Datenmengen aus verschiedenen Datenquellen im Zuge der zunehmenden Digitalisierung (das Stichwort ist „Big Data“) an Bedeutung gewonnen haben. Multiple lineare Regressionsanalyse Die besten Darstellungen zur multiplen und logistischen Regressionsrechnung sind englischsprachig. Eine empfehlenswerte Abhandlung zur multiplen linearen Regression ist C OHEN et al. 2003. Dieses Lehrbuch verzichtet auf Matrixschreibweise und integriert (in der dritten Auflage) die grafisch gestützte Residuenanalyse. Den Schwerpunkt auf grafische gestützte Regressionsanalyse legt C OOK / W E I S B E RG 1999, in dem die Visualisierungsmöglichkeiten für Regressionsmodelle, für die Residuenanalyse sowie für die Identifikation einflussreicher Fälle vorgestellt werden. Die dafür verwendete Software (ARC) kann kostenlos aus dem Internet heruntergeladen werden. Im Sage-Verlag erscheint die Reihe „Quantitative applications in the social sciences“. In dieser auflagenstarken Reihe erscheinen 70bis 95-seitige Publikationen zu aktuellen Entwicklungen statistischer Verfahren, die für sozialwissenschaftliche Anwendungen bedeutsam sind. Darunter sind einige, die sich spezifischen Aspekten der Regressionsanalyse widmen, wie der Dummy-Kodierung (H A RDY 1993 und K ÜH NE L / K R E B S 2012), der Regressionsdiagnostik (F OX 1991), Interaktionen in der linearen Regression (C OHEN et al. 2003 und J AC CAR D / T URR I S I 2003). Logistische Regression Das Grundlagenwerk zur logistischen Regression ist der Band von H OS - ME R / L EME S HOW 2013. Einführungen in die logistische Regressionsanalyse sind in der oben erwähnten Sage-Reihe erschienen mit M E NAR D 2001 und P AMP E L 2000. Eine deutschsprachige Einführung bietet B EHNK E 2015. Die Interaktion in der logistischen Regressionsanalyse untersucht J AC CA RD 2001. In den beiden deutschsprachigen Lehrbüchern A NDR E S S et al. 1997 und B ACKHAU S et al. 2015 findet sich jeweils ein einführendes Kapitel zur logisti- 300 A N H A N G <?page no="300"?> schen Regression. In A NDR E S S et al. 1997 und etwas ausführlicher in E LIA S ON 1993 finden sich Einführungen in die Maximum-Likelihood-Schätzung. Weitere multivariate Verfahren Für einzelne multivariate statistische Verfahren, die in der soziologischen Analyse heute eine bedeutende Rolle spielen, finden sich Literaturhinweise bei den Kurzporträts ( fi Kap. 12.1) . Vier Ansätze, die für die Analyse von kategorialen Daten nützlich sind, werden anschaulich in A NDR E S S et al. 1997 dargestellt (das sind: logistische Regression, log-lineare Analyse, GSK-Ansatz und latente Klassenanalyse). Das Standardwerk für die sozialwissenschaftliche Analyse kategorialer Daten ist immer noch A G R E STI 2013. Beginnend bei den Grundlagen (Analyse der 2 2-Felder-Tabelle) bis hin zu den Zusammenhängen von log-linearer Analyse und logistischer Regression und Logit-Analyse werden die statistischen Verfahren inklusive ihrer Voraussetzungen für die Analyse gerichteter und ungerichteter Zusammenhänge vorgestellt. Das Lehrbuch zu multivariaten statistischen Verfahren von B ACKHAU S et al. 2015 ist für die Anwender in der Wirtschaft und der Marktforschung geschrieben. Das ist auch ein Praxisbereich von Sozialwissenschaftlern. Der Anwendungsbezug erhöht hier die Zugänglichkeit der Darstellung. Sehr empfehlenswert ist die Reihe „Quantitative Applications in the Social Sciences“ (QASS), die im Sage Verlag erscheint. Hier sind bald zweihundert sehr verständliche, kurze Einführungen in viele Themenbereiche der quantitativen Methodologien und der Statistik erschienen. Sekundäranalysen Eine kurze einführende Darstellung in die Logik und Probleme der Sekundäranalyse findet sich in K I E COLT / N ATHAN 1986, eine Monographie zum Thema ist H YMAN 1987, ein umfangreicherer Sammelband liegt mit B ULME R et al. 2006 vor. Stichproben und Gewichtung Die in der Sozialforschung verbreiteten Stichprobenverfahren werden in den Methodenlehrbüchern (D I E KMANN 2012, K ROMR E Y et al. 2016, S CHNE L L et al. 2011) vorgestellt. Ausführliche Darstellungen zu praktischen Problemen der Stichprobenziehung finden sich in G AB L E R et al. 1997 und ADM/ AG.MA 1999. Zum Nonresponse siehe S CH NE LL 1997, zum Thema Gewichtungen G AB L E R et al. 1994 und den Aufsatz S CHNE L L 1993. Zeitschriften In vielen soziologischen Fachzeitschriften finden sich - wenn auch selten - Beiträge zu statistischen Themen. Halbjährlich erscheint die 301 L I T E R A T U R H I N W E I S E <?page no="301"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- Online-Zeitschrift „Methoden - Daten - Analysen“, die bei der GESIS angesiedelt ist und online verfügbar ist über http: / / www.gesis.org/ publikationen/ zeitschriften/ mda/ . Es gibt eine Vielzahl von internationalen Zeitschriften, die über die Entwicklungen der soziologisch relevanten Statistik berichten. Dazu zählen „Sociological Methods & Research“ oder „Sociological Methodology“. Rechnen mit dem Summenzeichen Das Summenzeichen (gr., großes Sigma) ist eine Schreibweise für eine Aufsummierung: x 1 + x 2 + x 3 + : : : + x i + : : : + x n 1 + x n = X n i = 1 x i Der Anfangswert für den Index i heißt untere Summationsgrenze und steht unterhalb des Summenzeichens. Der Endwert von i für die Summierung heißt obere Summationsgrenze und steht oberhalb des Summenzeichens. Der Index i selber ist der Laufindex. ( fi Kap. 2.3) . Geht aus dem Kontext hervor, was der Laufindex ist und was zu summieren ist, findet sich auch die Kurzschreibweise x. Die Summierung bezieht sich nur auf das Produkt oder den eingeklammerten Ausdruck, der rechts neben dem Summenzeichen steht. Steht dann noch ein weiterer Ausdruck daneben, wird der nicht in die Summation einbezogen. Beispiele: X n i = 1 x i y i = x 1 y 1 + x 2 y 2 + : : : + x i y i + : : : + x n y n und X n i = 1 ð x i + y i Þ = x 1 + y 1 + x 2 + y 2 + : : : + x i + y i + : : : + x n + y n aber X n i = 1 x i + y i = x 1 + x 1 + : : : + x i + : : : + x n + y i Konstanten Sind Konstanten zu summieren, kann die Summation als ein Produkt ausgedrückt werden: X n i = 1 a = n a 12.4 302 A N H A N G <?page no="302"?> Sind die zu summierenden Ausdrücke Produkte mit einem konstanten Faktor c, so kann Letzterer vor das Summenzeichen gestellt werden: c z 1 + c z 2 + : : : + c z n = X n i = 1 c z i = c X n i = 1 z i Wenn ein Index kein Laufindex ist Ist ein Index nicht Laufindex, so wird über ihn nicht summiert. Ist beispielsweise m ein Laufindex (von m = 1, . . . M), aber i nicht, dann ist die Summation von x mi über m: X M m = 1 x mi = x li + x 2i + x mi + : : : + x Mi Für den Index, der kein Laufindex ist, muss aus dem Kontext hervorgehen, welche Ausprägung der Index hat. Mehrfachsummen Wenn man Ausprägungen x ij über zwei Indizes i (von i = 1, . . . I) und j (j = 1, . . . J) aufaddieren will, verwendet man zwei Summenzeichen: X I i = 1 X J j = 1 x ij Es wird dabei unterschieden zwischen äußerer Summation und innerer Summation. Die äußere Summation wird durch das linke Summenzeichen und die innere Summation wird durch das rechte Summenzeichen dargestellt. Die innere Summation beginnt mit der unteren Summationsgrenze, läuft dann einmal vollständig durch. Dann erst wird die äußere Summation um 1 erhöht und wieder läuft die innere Summation vollständig durch usw.: X I i = 1 X J j = 1 x ij = x 11 + x 12 + : : : + x lJ + x 21 + x 22 + : : : + x 2J + : : : + x I1 + x I2 + : : : + x IJ 303 R E C H N E N M I T D E M S U M M E N Z E I C H E N <?page no="303"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- Ein Beispiel für eine Doppelsumme ist die Summierung von Zellenhäufigkeiten f ij über alle Zellen einer r s-Kontingenztabelle ( fi Kap. 4.3.1) . Die Kurzschreibeweise ist: X r i = 1 X s j = 1 f ij = X Zellen f ij Rechnen mit Exponenten und natürlichem Logarithmus Exponenzierungen, Exponentialfunktionen und die Logarithmusfunktion ln(x) finden in der sozialwissenschaftlichen Statistik in Verfahren wie der Logit-Analyse, der logistischen Regression oder der log-linearen Analyse Verwendung. Exponenten Exponenten geben an, wie oft eine Zahl mit sich selbst multipliziert werden soll. Diese Zahl heißt Basis, das Resultat heißt Potenz. Basis Exponent = Potenz a n = a a a : : : a |fflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflffl} n Beispiel: 10 5 = 10 10 10 10 10 |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} 5 = 10 000 Rechenregeln für Potenzen: a m a n = a m + n a n b n = ð a b Þ n a m a n = a m n a n = 1 a n Konvention: a 0 = 1 Exponentialfunktion Gibt man eine Basis a als konstanten Wert fest vor und exponenziert diese Basis mit den Werten x einer Variablen X, erhält man eine Exponentialfunktion. Zur Erinnerung: Eine Funktion ordnet jedem Wert x der Variablen X einen zugehörigen Funktionswert f(x) zu, eine Funktion ist eine Zuordnungsregel. Eine Exponentialfunktion ordnet dann jedem x-Wert den Wert a x zu. Anders notiert: f(x) = a x . Eine wichtige Exponentialfunktion ist die zur Basis e, der eulerschen Zahl mit: e = 2,71828183. . . 12.5 304 A N H A N G <?page no="304"?> Hier ist e auf die achte Nachkommastelle gerundet. Die eulersche Zahl ist eine nichtrationale Zahl. Die Exponentialfunktion ist: e x = 2,71828183 . . . x Natürlicher Logarithmus ln(x) Die Logarithmusfunktion weist jeder Potenz den Exponenten zu, der bei gegebener Basis einzusetzen ist, um diese Potenz zu erhalten. Eine wichtige Logarithmusfunktion ist der Logarithmus zur Basis e, der natürlicher Logarithmus heißt. Schreibweise: f(x) = ln(x). Wenn e b = x, dann ist ln(x) = b. Dann ist auch e ln(x) = x. Rechenregeln für Logarithmen: ln ð n m Þ = ln ð n Þ + ln ð m Þ ln n m = ln ð n Þ ln ð m Þ Anwendungsbeispiel: Das Odds Ratio OR drückt das Verhältnis zweier Odds aus, das logarithmierte OR drückt die Differenz zwischen zwei Logits aus. Denn es gilt die Beziehung: ln ð OR Þ = ln Odds y 1 j x 1 Odds y 1 j x 2 ! = ln ð Odds y 1 j x 1 Þ ln ð Odds y 1 j x 2 Þ Der Unterschied zwischen den Logits ist gleich ln(OR). Ist die Differenz der beiden Logits von 0 verschieden, liegt ein Einfluss von X auf Y vor. 10 5 0 5 -10 -10 -5 0 5 10 In(x) e x Abb. 12.1 305 R E C H N E N M I T E X P O N E N T E N U N D N A T Ü R L I C H E M L O G A R I T H M U S <?page no="305"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- In der ABBILDUNG 12.1 sind die Exponentialfunktion e x und die Logarithmusfunktion ln(x) für den Bereich [-10; 10] dargestellt. Man erkennt grafisch, dass e x die Umkehrfunktion von ln(x) ist. Für negative x-Werte ist ln(x) nicht definiert. Statistische Tabellen (Auszüge) TABELLE 12.1 Ausgewählte Quantile der Standardnormalverteilung Der Wert p gibt den Anteilswert der z-Werte an, die kleiner/ gleich z sind. z p ist damit das p . 100 %-Quantil. Beispiele: z = 1,200 ist das 88,5 %-Quantil (z 0.885 ) z = -0,050 ist das 48,0 %-Quantil (z 0.480 ) 12.6 306 A N H A N G <?page no="306"?> Tab. 12.1 p z p p z p p z p p z p p z p 0,000 - ¥ 0,005 - 2,576 0,205 - 0,824 0,405 - 0,240 0,605 0,266 0,805 0,860 0,010 - 2,326 0,210 - 0,806 0,410 - 0,228 0,610 0,279 0,810 0,878 0,015 - 2,170 0,215 - 0,789 0,415 - 0,215 0,615 0,292 0,815 0,896 0,020 - 2,054 0,220 - 0,772 0,420 - 0,202 0,620 0,305 0,820 0,915 0,025 - 1,960 0,225 - 0,755 0,425 - 0,189 0,625 0,319 0,825 0,935 0,030 - 1,881 0,230 - 0,739 0,430 - 0,176 0,630 0,332 0,830 0,954 0,035 - 1,812 0,235 - 0,722 0,435 - 0,164 0,635 0,345 0,835 0,974 0,040 - 1,751 0,240 - 0,706 0,440 - 0,151 0,640 0,358 0,840 0,994 0,045 - 1,695 0,245 - 0,690 0,445 - 0,138 0,645 0,372 0,845 1,015 0,050 - 1,645 0,250 - 0,674 0,450 - 0,126 0,650 0,385 0,850 1,036 0,055 - 1,598 0,255 - 0,659 0,455 - 0,113 0,655 0,399 0,855 1,058 0,060 - 1,555 0,260 - 0,643 0,460 - 0,100 0,660 0,412 0,860 1,080 0,065 - 1,514 0,265 - 0,628 0,465 - 0,088 0,665 0,426 0,865 1,103 0,070 - 1,476 0,270 - 0,613 0,470 - 0,075 0,670 0,440 0,870 1,126 0,075 - 1,440 0,275 - 0,598 0,475 - 0,063 0,675 0,454 0,875 1,150 0,080 - 1,405 0,280 - 0,583 0,480 - 0,050 0,680 0,468 0,880 1,175 0,085 - 1,372 0,285 - 0,568 0,485 - 0,038 0,685 0,482 0,885 1,200 0,090 - 1,341 0,290 - 0,553 0,490 - 0,025 0,690 0,496 0,890 1,227 0,095 - 1,311 0,295 - 0,539 0,495 - 0,013 0,695 0,510 0,895 1,254 0,100 - 1,282 0,300 - 0,524 0,500 0,000 0,700 0,524 0,900 1,282 0,105 - 1,254 0,305 - 0,510 0,505 0,013 0,705 0,539 0,905 1,311 0,110 - 1,227 0,310 - 0,496 0,510 0,025 0,710 0,553 0,910 1,341 0,115 - 1,200 0,315 - 0,482 0,515 0,038 0,715 0,568 0,915 1,372 0,120 - 1,175 0,320 - 0,468 0,520 0,050 0,720 0,583 0,920 1,405 0,125 - 1,150 0,325 - 0,454 0,525 0,063 0,725 0,598 0,925 1,440 0,130 - 1,126 0,330 - 0,440 0,530 0,075 0,730 0,613 0,930 1,476 0,135 - 1,103 0,335 - 0,426 0,535 0,088 0,735 0,628 0,935 1,514 0,140 - 1,080 0,340 - 0,412 0,540 0,100 0,740 0,643 0,940 1,555 0,145 - 1,058 0,345 - 0,399 0,545 0,113 0,745 0,659 0,945 1,598 0,150 - 1,036 0,350 - 0,385 0,550 0,126 0,750 0,674 0,950 1,645 0,155 - 1,015 0,355 - 0,372 0,555 0,138 0,755 0,690 0,955 1,695 0,160 - 0,994 0,360 - 0,358 0,560 0,151 0,760 0,706 0,960 1,751 0,165 - 0,974 0,365 - 0,345 0,565 0,164 0,765 0,722 0,965 1,812 0,170 - 0,954 0,370 - 0,332 0,570 0,176 0,770 0,739 0,970 1,881 0,175 - 0,935 0,375 - 0,319 0,575 0,189 0,775 0,755 0,975 1,960 0,180 - 0,915 0,380 - 0,305 0,580 0,202 0,780 0,772 0,980 2,054 0,185 - 0,896 0,385 - 0,292 0,585 0,215 0,785 0,789 0,985 2,170 0,190 - 0,878 0,390 - 0,279 0,590 0,228 0,790 0,806 0,990 2,326 0,195 - 0,860 0,395 - 0,266 0,595 0,240 0,795 0,824 0,995 2,576 0,200 - 0,842 0,400 - 0,253 0,600 0,253 0,800 0,842 1,000 + ¥ 307 S T A T I S T I S C H E T A B E L L E N ( A U S Z Ü G E ) <?page no="307"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- Aus der Tabelle können für zweiseitige t-Tests auch die 2,5 %-Quantile entnommen werden, da gilt t df; 0.025 = -t df; 0.975 . Abb. 12.2 Ausgewählte 97,5 %-Quantile der t-Verteilungen 0 t df; 0.975 t df Tab. 12.2 df t df; 0.975 df t df; 0.975 df t df; 0.975 df t df; 0.975 1 12,706 12 2,179 23 2,069 50 2,009 2 4,303 13 2,160 24 2,064 75 1,992 3 3,182 14 2,145 25 2,060 100 1,984 4 2,776 15 2,131 26 2,056 150 1,976 5 2,571 16 2,120 27 2,052 200 1,972 6 2,447 17 2,110 28 2,048 250 1,969 7 2,365 18 2,101 29 2,045 500 1,965 8 2,306 19 2,093 30 2,042 1000 1,962 9 2,262 20 2,086 35 2,030 2000 1,961 10 2,228 21 2,080 40 2,021 5000 1,960 11 2,201 22 2,074 45 2,014 ¥ 1,960 308 A N H A N G <?page no="308"?> Tab. 12.3 df 2 df; 0.95 df 2 df; 0.95 df 2 df; 0.95 df 2 df; 0.95 1 3,841 9 16,919 17 27,587 25 37,652 2 5,991 10 18,307 18 28,869 26 38,885 3 7,815 11 19,675 19 30,144 27 40,113 4 9,488 12 21,026 20 31,410 28 41,337 5 11,070 13 22,362 21 32,671 29 42,557 6 12,592 14 23,685 22 33,924 30 43,773 7 14,067 15 24,996 23 35,172 31 44,985 8 15,507 16 26,296 24 36,415 32 46,194 Ausgewählte 95 %-Quantile der 2 -Verteilungen 0 μ = df χ 2 df; 0.95 χ 2 df Abb. 12.3 309 S T A T I S T I S C H E T A B E L L E N ( A U S Z Ü G E ) <?page no="309"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- Abb. 12.4 Ausgewählte 95 %-Quantile der F-Verteilung df 1 , df 2 ; 0.95 F F df 1 , df 2 F Tab. 12.4 df 1 df 2 1 2 3 4 6 8 10 12 15 5 6,608 5,786 5,409 5,192 4,950 4,818 4,735 4,678 4,619 10 4,965 4,103 3,708 3,478 3,217 3,072 2,978 2,913 2,845 15 4,543 3,682 3,287 3,056 2,790 2,641 2,544 2,475 2,403 20 4,351 3,493 3,098 2,866 2,599 2,447 2,348 2,278 2,203 25 4,242 3,385 2,991 2,759 2,490 2,337 2,236 2,165 2,089 30 4,171 3,316 2,922 2,690 2,421 2,266 2,165 2,092 2,015 40 4,085 3,232 2,839 2,606 2,336 2,180 2,077 2,003 1,924 50 4,034 3,183 2,790 2,557 2,286 2,130 2,026 1,952 1,871 60 4,001 3,150 2,758 2,525 2,254 2,097 1,993 1,917 1,836 70 3,978 3,128 2,736 2,503 2,231 2,074 1,969 1,893 1,812 80 3,960 3,111 2,719 2,486 2,214 2,056 1,951 1,875 1,793 90 3,947 3,098 2,706 2,473 2,201 2,043 1,938 1,861 1,779 100 3,936 3,087 2,696 2,463 2,191 2,032 1,927 1,850 1,768 150 3,904 3,056 2,665 2,432 2,160 2,001 1,894 1,817 1,734 200 3,888 3,041 2,650 2,417 2,144 1,985 1,878 1,801 1,717 250 3,879 3,032 2,641 2,408 2,135 1,976 1,869 1,791 1,707 300 3,873 3,026 2,635 2,402 2,129 1,969 1,862 1,785 1,700 350 3,868 3,022 2,630 2,397 2,125 1,965 1,858 1,780 1,695 400 3,865 3,018 2,627 2,394 2,121 1,962 1,854 1,776 1,691 500 3,860 3,014 2,623 2,390 2,117 1,957 1,850 1,772 1,686 600 3,857 3,011 2,620 2,387 2,114 1,954 1,846 1,768 1,683 700 3,855 3,009 2,618 2,385 2,112 1,952 1,844 1,766 1,681 800 3,853 3,007 2,616 2,383 2,110 1,950 1,843 1,764 1,679 900 3,852 3,006 2,615 2,382 2,109 1,949 1,841 1,763 1,678 1000 3,851 3,005 2,614 2,381 2,108 1,948 1,840 1,762 1,676 1250 3,849 3,003 2,612 2,379 2,106 1,946 1,838 1,760 1,674 1500 3,848 3,002 2,611 2,378 2,105 1,945 1,837 1,759 1,673 2000 3,846 3,000 2,609 2,376 2,103 1,943 1,835 1,757 1,671 3000 3,845 2,999 2,608 2,375 2,102 1,941 1,834 1,755 1,670 5000 3,843 2,998 2,607 2,374 2,100 1,940 1,833 1,754 1,668 10000 3,842 2,997 2,606 2,373 2,099 1,939 1,832 1,753 1,667 310 A N H A N G <?page no="310"?> Register 2 (Chi-Quadrat) . . . . . . . . . . . . . . 82 2 -Distanz . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 2 -Unabhängigkeitstest . . . . . . . . . . 177 0-1-Kodierung, Referenzkategorie . . . . . 109 Achse . . . . . . . . . . . . . . 259, 266-268 Aggregation . . . . . . . . . . . . . . . . 95 ALLBUS . . . . . . . . . . . . . . . . . 15, 296 Annahmebereich . . . . . . . . . . . . . . 166 arithmetisches Mittel . . . . . . . . . . . 45 Auspartialisierung . . . . . . . . . . . . . 124 Balkendiagramm . . . . . . . . . . . . . . 39 baryzentrische Prinzip . . . . . . . . . . . 268 Benzècri, Jean-Paul . . . . . . . . . . 259, 272 Bourdieu, Pierre . . . . . . . . . . . 259, 271 Boxplot . . . . . . . . . . . . . . . . 62, 208 Cellulation . . . . . . . . . . . . . . 110, 227 Clusteranalyse . . . . . . . . . . . . . . 289 Cox und Snell’s-R 2 , siehe unter Pseudo-R 2 -Maße Cramer’s V . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Datenarchiv für Sozialwissenschaften . . . 295 Datenmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Deskriptivstatistik . . . . . . . . . . . . . 12 Determinationskoeffizient - korrigierter . . . . . . . . . . . . . . . 223 - multipler . . . . . . . . . . . . . . . . 198 Determinationskoeffizient r 2 . . . . . . . . 104 Devianz . . . . . . . . . . . . . . . . 55, 247 Diversität . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Drittvariable . . . . . . . . . . . . . . 69, 113 Drittvariablenkontrolle, in der Regressionsanalyse . . . . . . . . . . . 195 Durkheim, Emile . . . . . . . . 13, 69, 96, 114 Effektkoeffizient . . . . . . . . . . . . . . 241 Eigenwert, siehe unter Trägheit Ereignisdatenanalyse . . . . . . . . . . 290 Ereignisraum . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Erklärung, soziologische . . . . . . . . . . 68 ESS . . . . . . . . . . . . . . . . . 15, 296-297 eulerschen Zahl . . . . . . . . . . . . . 304 explizite Parameter . . . . . . . . . . . . 141 explorative Datenanalyse . . . . . . . 12, 299 F-Test, des Determinationskoeffizienten . . 221 FactoMineR . . . . . . . . . . . . . . . . 283 Faktorenanalyse . . . . . . . . . . . . . . 291 Fehler erster Art . . . . . . . . . . . . . 172 Fehler zweiter Art . . . . . . . . . . . 172-173 Fisher, Ronald A. . . . . . . . . . . 243, 246 Format (einer Tabelle) . . . . . . . . . . . . 70 FORS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 Freiheitsgrad . . . . . . . . . . . . . . . 144 Gauß, Carl Friedrich . . . . . . . . . . . . 140 GESIS . . . . . . . . . . . . . . 295-296, 301 Gewichtung . . . . . . . . . . . . . . . . 301 - Design-Gewichtung . . . . . . . . . . 160 - Redressment . . . . . . . . . . . . . . 161 Gewichtungen . . . . . . . . . . . . . . 139 Gini-Koeffizient . . . . . . . . . . . . . . . 62 Gosset, William S. . . . . . . . . . . . . . 144 Grundgesamtheit . . . . . . . . . . . . . 134 Gütekriterien - Intervallschätzung . . . . . . . . . . . 159 - Punktschätzung . . . . . . . . . . . . 156 Hagood, Margaret . . . . . . . . . . . . . 13 Häufigkeiten - absolute . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 - prozentuale . . . . . . . . . . . . . . . 36 - relative . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Häufigkeitstabelle . . . . . . . . . . . . . 35 Heteroskedastizität, siehe unter Varianzheterogenität Histogramm . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Homoskedastizität, siehe unter Varianzhomogenität Imputation . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Indifferenztabelle . . . . . . . . . . . . . . 82 Indizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Indizierung . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Interaktion - in der Regressionsanalyse . . . . . . . 211 - Tabellenanalyse . . . . . . . . . . . . 118 Interaktionsterm . . . . . . . . . . . . . 212 Intervallschätzung . . . . . . . . . . . . 157 ISSP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 Kant, Immanuel . . . . . . . . . . . . . . . 67 Kausalanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Kausalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Klassifizierungstabelle . . . . . . . . . . 252 Kodierungen . . . . . . . . . . . . . . . . 27 311 <?page no="311"?> tistik für Soziologen(3)__[Druck- Konfidenzintervall . . . . . . . . . . . . 157 - des Logitkoeffizienten . . . . . . . . . 256 - des Regressionskoeffizienten . . . . . 225 Kontingenztabelle . . . . . . . . . . . . . 70 Konzentrationsrate . . . . . . . . . . . . . 57 Korrelationskoeffizient . . . . . . . . . . . 92 Korrespondenzanalyse, multiple 16, 76, 258-261 Kovarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Kreuztabelle . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Laplace, Pierre-Simon . . . . . . . . . . . 140 Lazarsfeld, Paul . . . . . . . . . . . . 114, 291 Lieberson, Stanley . . . . . . . . . . . . . 53 Lieberson-Index . . . . . . . . . . . . . . . 53 - normiert . . . . . . . . . . . . . . . 53-54 - normierter . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Likelihood . . . . . . . . . . . . . . 243, 247 Likelihood-Ratio-Test . . . . . . . . . . . 254 Log-Likelihood . . . . . . . . . . . . . . 247 log-linearen Analyse . . . . . . . . . 264, 291 Logit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Logitkoeffizient, standardisierter . . . . 253 Logitkoeffizienten . . . . . . . . . . . . 240 Lorenz-Münzner-Maß . . . . . . . . . . . . 62 Lorenzkurve . . . . . . . . . . . . . . . . 57 LOWESS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 Marginaltabelle . . . . . . . . . . . . . . . 115 Masse . . . . . . . . . . . . 262-264, 269, 273 Maximum-Likelihood-Schätzung . . . . . 246 McFadden’s-R 2 , siehe unter Pseudo-R 2 -Maße Median . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Mehrebenenanalyse . . . . . . . . . 96, 292 Merkmalsträger . . . . . . . . . . . . . . 18 Methode der gewichteten kleinsten Quadrate . . . . . . . . . . . . . . . . 211 Methode der kleinsten Quadrate . . . . . 100 Mikrozensus . . . . . . . . . . . . . . . 297 missing values . . . . . . . . . . . . . . . 27 Mittelwertzentrierung . . . . . . . . 64, 213 Modulierung . . . . . . . . . . . . . . . 212 Modus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Moivre, Abraham de . . . . . . . . . . . 140 Multikollinearität . . . . . . . . . . . . . 202 multipel . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 multivariat . . . . . . . . . . . . . . . . 190 Nagelkerke’s-R 2 , siehe unter Pseudo-R 2 -Maße natürlicher Logarithmus . . . . . . . . . 305 Nettovalidierung . . . . . . . . . . . . . 162 Netzwerkanalyse . . . . . . . . . . . . . 292 Neyman, Jerzy . . . . . . . . 157, 164, 172, 182 Nonresponse . . . . . . . . . . . . . . . 162 Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . 140 Normierung . . . . . . 52, 54, 64, 81, 86, 93 Notationen . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Odds . . . . . . . . . . . . . . . . . 78, 238 Odds Ratio . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 ökologischer Fehlschluss . . . . . . . . . . 96 Operationalisierung . . . . . . . . . . . . 18 Panel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 Partialkorrelation . . . . . . . . . . . . . 126 Partialtabellen . . . . . . . . . . . . . . . 116 partielle Regressionsdiagramme . . . . . . 205 partielle Residuenplots . . . . . . . . . . 233 Pearson, Egon S. . . . . . . . 157, 164, 172, 182 Pearson, Karl . . . . . . . . . . . . 85, 92, 177 Pfaddiagramm . . . . . . . . . . . . . . . 114 Primäranalysen . . . . . . . . . . . . . . 294 Profil . . . . . . . . . . . . . . . . 76, 268-269 Prozentsatzdifferenz . . . . . . . . . . . . 76 Pseudo-R 2 -Maße . . . . . . . . . . . . . . 248 PSPP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 Punktschätzung . . . . . . . . . . . . . . 155 - erwartungstreue . . . . . . . . . . . . 156 - verzerrte . . . . . . . . . . . . . . . . 156 Punktsschätzung, effiziente . . . . . . . . 156 Quantile, der Standardnormalverteilung . 143 Quartile . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Quartilsabstand . . . . . . . . . . . . . . 49 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 Regression, bivariate . . . . . . . . . . . . 96 Regressionsdiagnostik . . . . . . . . . . . 203 Regressionsebene . . . . . . . . . . . . . 193 Regressionsgerade . . . . . . . . . . . . . 98 Regressionsgleichung, bivariate . . . . . . 99 Regressionsgleichung, logistische . . . . . 238 Regressionsgleichung, multiple . . . . . . 194 Regressionskoeffizient . . . . . . . . . . . 99 - partieller . . . . . . . . . . . . . . 125, 195 - standardisierter . . . . . . . . . . . . . 197 Regressionskoeffizienten, konditionaler . . 213 Repräsentativität . . . . . . . . . . . . . 136 Residue . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Residuenanalyse . . . . . . . . . . . . . . 203 Rückweisungsbereich . . . . . . . . . . . 166 Schätzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 Scheinkausalität, Tabellenanalyse . . . . . 116 Sekundäranalyse . . . . . . . . . . . . . . 301 Sekundäranalysen . . . . . . . . . . . . . 294 Semipartialkorrelation . . . . . . . . . . . 202 Signifikanzniveau . . . . . . . . . . . . . 166 Skalenniveau . . . . . . . . . . . . . . . 18 - Intervallskala . . . . . . . . . . . . . . 20 - metrisches . . . . . . . . . . . . . . . 19 - nominales . . . . . . . . . . . . . . . . 19 - ordinales . . . . . . . . . . . . . . . . 19 - Verhältnisskala . . . . . . . . . . . . . 20 Skalierung . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 SOEP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 Spaltenprofil . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Spannweite . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Standardabweichung . . . . . . . . . . . 50 312 R E G I S T E R <?page no="312"?> Standardnormalverteilung . . . . . . . . . 143 Stichprobe . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Stichprobendesign . . . . . . . . . . . . . 136 Stichprobenfehler - des Anteilswertes . . . . . . . . . . . . 150 - des arithmetischen Mittels . . . . . . . 149 - des Regressionskoeffizienten . . . . . . 224 Stichprobengrößen . . . . . . . . . . . . 134 Stichprobenkennwerte . . . . . . . . . . . 146 Stichprobenplan . . . . . . . . . . . . . . 135 Stichprobenverteilung . . . . . . . . . . . 146 Stichprobenverteilungen . . . . . . . . . . 145 Streudiagramm . . . . . . . . . . . . . . 87 strukturentdeckende Verfahren 12, 16, 258, 260, 267, 284, 290-291 Strukturgleichungsmodelle . . . . . . . 294 strukturprüfende Verfahren 12, 16, 191, 236, 260, 267 Summenzeichen . . . . . . . . . . . . . . 25 Suppression, Tabellenanalyse . . . . . . . 121 Survey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 t-Test - des Korrelationskoeffizienten . . . . . . 180 - des Regressionskoeffizienten . . . . . . 224 Tabellenanalyse . . . . . . . . . . . . . . 291 Testgüte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 Testtheorie, klassische . . . . . . . . 164, 246 Toleranz . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 Totalerhebung . . . . . . . . . . . . . . . 134 Trägheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 Transformation . . . . . . . . . . 21, 64, 231 Tukey, John W. . . . . . . . . . . . . . 62, 227 Variable - abhängige . . . . . . . . . . . . . . . . 67 - dichotome . . . . . . . . . . . . . . . 23 - diskrete . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 - kategoriale . . . . . . . . . . . 23, 258-259 - latente . . . . . . . . . . . . . . . 23, 259 - manifeste . . . . . . . . . . . . . . . . 23 - polytome . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 - stetige . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 - unabhängige . . . . . . . . . . . . . . . 67 Variance Inflation Factor . . . . . . . . . 208 Varianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Varianzheterogenität . . . . . . . . . . . 208 Varianzhomogenität . . . . . . . . . . . 202 Varianzzerlegung . . . . . . . . . . . . . 106 Variationskoeffizient . . . . . . . . . . . . 52 Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . 29, 34 - bedingte . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 - bivariate . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 - empirische . . . . . . . . . . . . . . . . 34 - marginale . . . . . . . . . . . . . . . . 72 - theoretische . . . . . . . . . . . . . . . 34 Verteilung, Randverteilung . . . . . . . . . 72 Vertrauensniveau . . . . . . . . . . . . . 157 Vorhersagewert . . . . . . . . . . . . . . . 98 Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . 152 WALD-Test, des Logitkoeffizienten . . . . 255 Weber, Max . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Yule’s Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 z-Standardisierung . . . . . . . . . . 64, 143 z-Test - des Anteilswertes . . . . . . . . . . . 165 - des arithmetischen Mittels . . . . . . . 169 - des Logitkoeffizienten . . . . . . . . . 255 z-Werte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 zentraler Grenzwertsatz . . . . . . . . . 148 Zufallsexperiment . . . . . . . . . . . . 152 Zufallsstichprobe . . . . . . . . . . . . . 135 - disproportionale . . . . . . . . . . . . 138 - einfache . . . . . . . . . . . . . . . . 137 - geschichtete . . . . . . . . . . . . . . 138 - Klumpenstichprobe . . . . . . . . . . 138 - mehrstufige . . . . . . . . . . . . . . 137 Zufallsstichproben, komplexe . . . . . . . 137 Zufallsvariable . . . . . . . . . . . . . . 146 313 R E G I S T E R <?page no="313"?> www.uvk.de STUDIEREN IM QUADRAT Erfolgreich studieren, das ist leichter gesagt, als getan. Denn zwischen Hörsaal, Bibliothek und Prüfungen gibt es im Studi-Alltag so manche Herausforderung zu meistern. Die UVK-Reihe »Studieren im Quadrat« hilft Ihnen dabei, in allen Lebenslagen cool zu bleiben - vom Praktikum, über die Studienkrise bis hin zur Gründung des ersten Start-ups. Also keine Sorge, die bunten Bücher stehen Ihnen bei Fragen rund ums Studium bei. ISBN 978-3-86764-702-1 ISBN 978-3-86764-703-8 ISBN 978-3-86764-764-9 ISBN 978-3-86764-700-7 ISBN 978-3-86764-765-6 ISBN 978-3-86764-701-4 ISBN 978-3-86764-704-5 ISB ISBN 9 N 978 78-3 8 3-8676 6764 7 4-704 04-55 ISB ISBN 9 N 978 78-3 8 3-8676 6764 7 4-701 01-44 ISB ISBN 9 N 978 78-3 8 3-8676 6764 7 4-700 00-77 ISB ISBN 9 N 978 78-3 8 3-8676 6764 7 4-765 65-66 ISB ISBN 9 N 978 78-3 8 3-8676 6764 7 4-702 02-11 ISB ISBN 9 N 978 78-3 8 3-8676 6764 7 4-703 03-88 ISB ISBN 9 N 978 78-3 8 3-8676 6764 7 4-764 64-99 <?page no="314"?> www.uvk.de Die Aufmerksamkeit für Fair Trade hat in den letzten Jahren (inter-)national weiter zugenommen. In der 3., vollständig überarbeiteten Auflage geht es den Autoren vor allem darum, den Lesern die zentralen Argumentationslinien zu Fair Trade verständlich und übersichtlich zu vermitteln. Sie stellen das Konzept aus der Perspektive nachhaltiger Entwicklung dar und zeigen die theoretische Begründung und die empirische Bedeutung des Fairen Handels auf. 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Werner Heinrichs liefert die Antworten. Er beleuchtet alle kulturellen, sozialen, wirtschaftlichen und naturwissenschaftlichen Aspekte der Epoche auf spannende Weise. Damit unterscheidet sich der Ansatz dieses Buches deutlich von einschlägigen Kulturgeschichten des 20. Jahrhunderts, die die Moderne nur als eine Zeit der Entwicklung der Künste und gesellschaftspolitischer Veränderungen wahrnehmen. Es beinhaltet außerdem viele originelle und spannende Zitate berühmter Persönlichkeiten. Dieses Buch richtet sich an Studierende wirtschafts- und sozialwissenschaftlicher Studiengänge und eignet sich ebenfalls als Nachschlagewerk für Leser mit kulturellem und geschichtlichem Interesse. Werner Heinrichs Die Moderne Bilanz einer Epoche 2017, 510 Seiten, Hardcover ISBN 978-3-86764-808-0 Bilanz einer Epoche <?page no="316"?> www.uvk.de Als Lester Sternberg eines Morgens in die Arbeit kommt, ist nichts mehr so, wie es einmal war. Denn er steht unter dringendem Tatverdacht seinen Chef, Professor van Slyke, ermordet zu haben. Um seine Unschuld zu beweisen sucht er auf eigene Faust nach dem wahren Täter. Hilfe erhält er von der Studentin Milena - und die kann er sehr gut gebrauchen, denn der Mörder seines Doktorvaters ist nun hinter ihm her. Ist der Grund seine wissenschaftliche Arbeit über die Kritik am Bankensystem? Aber wer würde deshalb töten? Eine rasante Verfolgungsjagd durch Europa beginnt, bei der einige Banken und ein internationales Forschungsinstitut verwickelt sind. Licht ins Dunkle könnten dabei bekannte Ökonomen bringen. Die sind längst verstorben, aber ihre Ideen sind wichtiger als je zuvor! Stell dir vor, dein Prof wurde ermordet und du bist der Hauptverdächtige. Was würdest DU tun? Johann Graf Lambsdorff, Björn Frank Geldgerinnung Ein Wirtschaftskrimi 2017, 180 Seiten, Broschur ISBN 978-3-86764-812-7 DER Krimi für alle WiWi-Studenten