<?page no="0"?> Bernd Klein Prozessorientierte Statistische Tolerierung im Maschinen- und Fahrzeugbau - Mathematische Grundlagen - Toleranzverknüpfungen - Prozesskontrolle - Maßkettenrechnung - Praktische Anwendungen 5. Auflage <?page no="1"?> Bernd Klein Prozessorientierte Statistische Tolerierung im Maschinen- und Fahrzeugbau <?page no="3"?> Prof. em. Dr.-Ing. Bernd Klein Prozessorientierte Statistische Tolerierung im Maschinen- und Fahrzeugbau Mathematische Grundlagen - Toleranzverknüpfungen - Prozesskontrolle - Maßkettenrechnung - Praktische Anwendungen 5., aktualisierte und ergänzte Auflage Mit 90 Bildern und 60 Tabellen Haus der Technik Fachbuch Band 73 Herausgeber: Prof. Dr. Werner Klaffke · Essen <?page no="4"?> 5., aktualisierte und ergänzte Auflage 2017 4., neu bearbeitete Auflage 2016 3., neu bearbeitete Auflage 2014 2., neu bearbeitete Auflage 2011 1. Auflage 2007 Bei der Erstellung des Buches wurde mit großer Sorgfalt vorgegangen; trotzdem lassen sich Fehler nie vollständig ausschließen. Verlag und Autoren können für fehlerhafte Angaben und deren Folgen weder eine juristische Verantwortung noch irgendeine Haftung übernehmen. Für Verbesserungsvorschläge und Hinweise auf Fehler sind Verlag und Autoren dankbar. © 2007 by expert verlag, Wankelstr. 13, D -71272 Renningen Tel.: + 49 (0) 71 59 - 92 65 - 0, Fax: + 49 (0) 71 59 - 92 65 - 20 E-Mail: expert@expertverlag.de, Internet: www.expertverlag.de Alle Rechte vorbehalten Printed in Germany Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Dies gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. ISBN 978-3-8385-5164-7 Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http: / / www.dnb.de abrufbar. Bibliographic Information published by Die Deutsche Bibliothek Die Deutsche Bibliothek lists this publication in the Deutsche Nationalbibliografie; detailed bibliographic data are available on the internet at http: / / www.dnb.de <?page no="5"?> Haus der Technik Fachbuch Herausgeber der Reihe Prof. Dr. Werner Klaffke Geschäftsführendes Vorstandsmitglied des Hauses der Technik e.V. Die Konkurrenzfähigkeit einer rohstoffarmen Volkswirtschaft hängt ganz wesentlich vom Faktor „Wissen“ ab. Verbunden mit kreativem Gestaltungswillen wird aus Wissen Kompetenz. Kompetenzvermittlung ist der zentrale Aspekt des Hauses der Technik, die weit über 80 Jahre schon praxisorientiert und disziplinenüberschreitend durch Tagungen, Symposien, Seminare und Workshops qualitativ hochstehend dargestellt wird. Damit arbeiten wir an den Grundlagen für neue Produkte und Dienstleistungen, deren Vermarktung zu Innovationen und damit zu Wertschöpfung führen. Mehr als 70% der erfolgreichen Innovationen, ob inkrementell oder radikal, entstehen aus der Verknüpfung häufig bereits bekannter Elemente, weshalb es geradezu essentiell ist, akademische Schubladen zu verlassen und die Elemente der Kompetenzen intelligent und bedarfsorientiert zu kombinieren. Das geschieht in branchenübergreifenden Innovationsnetzwerken und Technologieclustern, die sich in neuen Wertschöpfungsketten zusammenfinden. Neue Elemente der Netzwerkbildung belebt durch die zunehmende Digitalisierung der Arbeitswelt gesellen sich zu den traditionellen Informationsquellen, zu denen auch die vorliegende Publikation gehört. Die bewährten Haus der Technik Fachbücher befassen sich mit den wichtigen Themen der Technik, der Wirtschaft und angrenzender Gebiete, wie Medizintechnik, Biotechnik und neue Medien. Das Beste, das oft mühsam und mit viel Aufwand von den Veranstaltungsreferenten zusammengetragen wurde, wird damit einem größeren Fachpublikum zugänglich gemacht. Die Haus der Technik Fachbücher dienen den Teilnehmern als nützliches Nachschlagewerk und anderen Interessenten beim Selbststudium zu beruflichem Nutzen und Erfolg. <?page no="7"?> Vorwort Vorwort zur 1. Auflage Maßkontrolle, Toleranzfestsetzung und Maßkettenrechnung sind immer noch von vielen Konstrukteuren ungeliebte Tätigkeiten. Die eigentliche Ingenieurarbeit sieht man in der Schaffung von Innovationen. Aber die großen technischen Innovationen dieses Jahrhunderts waren nur möglich, weil Standards für Maß- und Geometrieabweichungen eingeführt wurden. Ein schönes Beispiel hierfür gibt der Automobilbau: Anfang der 1890er-Jahre baute die Pariser Maschinenfabrik Panhard et Levassor Holzbearbeitungsmaschinen und Autos auf Bestellung. Mit mehreren hundert Autos pro Jahr galt P & L als der führende Automobilbauer Europas. Die Arbeitskräfte waren überwiegend ausgebildete Handwerker, die in sorgfältiger Detailarbeit Autos zusammenbauten. An eine Serienproduktion war kaum zu denken, da alle Teile nachgearbeitet und aneinander angepasst werden mussten / WOM 97/ . Kein Auto war daher maßlich mit einem anderen gleich, da man die „schleichende Maßwanderung“ nicht beherrscht hat. Auf diesen Erfahrungen baute Henry Ford auf, als er 1908 anfing, das legendäre T-Modell zu bauen. Dieses Auto war auf einfache Fertigung, Montage, Reparatur und Bedienung ausgelegt, weshalb es kostengünstig herstellbar war und in der Endstufe mit 1,8 Mio. Fahrzeugen/ Jahr eine breite Käuferschicht fand. Viele verbinden den Erfolg von Ford mit der Fließbandfertigung, die aber erst 1913 eingeführt wurde. Damit aber überhaupt mit der Serienfertigung begonnen werden konnte, war eine „Werknormung für Maße, Passungen, Oberflächen und Geometrie“ notwendig. Dies war eine Leistung von Ford, die sich lange Zeit als wettbewerbsentscheidend erwiesen hat. So konnte er als einziger Automobilbauer einen Vierzylinder- Motorblock in einem Stück gießen und in Großserie montieren. Diese Erkenntnis haben später viele amerikanische Unternehmen aufgegriffen und große Erfolge mit der Massenproduktion von Gütern aller Art erzielt. Hiermit hat sich auch das Prinzip von der „vollständigen zur unvollständigen Austauschbarkeit“ weiterentwickelt. In der klassischen handwerklichen Tradition galt der Grundsatz Teile herzustellen, die absolut identisch und gegen jedes andere beliebig austauschbar sind. In der Serienproduktion treten hingegen Abweichungen auf, was sich in der Montage durch Variierbarkeit größtenteils wieder kompensieren lässt. Eine Serientolerierung kann daher ganz anders sein als eine Einzeltolerierung, weil hier Wahrscheinlichkeitsgesetzmäßigkeiten vorteilhaft genutzt werden können. Unter Wahrscheinlichkeitsbetrachtungen sind die gewöhnlichen Mini-Max-Simulationen unsinnig, weil das Aufeinandertreffen von extremen Maßen sehr unwahrscheinlich ist. Tatsächlich treffen Teile aufeinander, die mit bestimmten Verteilungen gefertigt worden sind, womit sich dann auch für das entscheidende Funktionsmaß eine Verteilung ergibt, deren Spannweite je nach Qualitätsvorgabe gut gesteuert werden kann. Bei den Vorgaben steht heute die Vision SIX-SIGMA im Raum, welche als Ziel die „Null- Fehler-Strategie“ verfolgt. Hierbei wird auch für die Toleranzen eine Spanne von SIGMA 6   angestrebt. Gegenüber den bisherigen Forderungen von SIGMA 3   oder SIGMA 4   bringt dies in der Gutteilrate zwar große Vorteile, welches jedoch mit einem exponentiellen Aufwand verbunden ist. Insofern muss man dies als strategisches Ziel auffassen, welches ein überarbeitetes Design und angepasste Prozesse erfordert. Der Nutzen liegt dann in kleinen Qualitätskosten und einer großen Kundenzufriedenheit. Dies wiederum führt zu einer verbesserten Marktstellung mit Rückwirkungen auf den Gewinn / HAR 00/ . <?page no="8"?> Vorwort Unter Gewichtung aller Randbedingungen lässt sich daher in der Klein- und Großserienfertigung das statistische Tolerierungsprinzip sehr zweckgerecht nutzen. Der Erfolg liegt dabei in einer Entfeinerung von Bauteilen, einer wirtschaftlicheren Prozessführung, einfacheren Qualitätsüberwachung und letztlich einer abgesicherten Montage. Diese Vorteile muss man sich jedoch mit einem geringfügigen Mehraufwand bei der Produktspezifizierung erkaufen, wozu das Manuskript eine Hilfestellung geben soll. Entstanden ist das Manuskript aus einer Loseblatt-Sammlung, die in einer Vielzahl von Weiterbildungsseminaren entstanden und zusammengetragen worden sind. Die mühevolle Umsetzung in ein Manuskript hat dankenswerterweise Frau Marina Winter übernommen. Calden bei Kassel, im September 2007 B. Klein Vorwort zur 5. Auflage Nachdem auch die 4. Auflage vergriffen ist, habe ich die Möglichkeit genutzt, die Neuauflage zu aktualisieren und an den neuen Normenstand in der Tolerierung anzupassen. Dies erforderte einige textliche Änderungen und auch Anpassungen bei den Beispielen. Das Buch ist somit wieder auf einem aktuellen Stand und verfolgt weiter das Ziel, Studierende des Maschinen- und Fahrzeugbaus sowie praktisch tätigen Konstrukteuren an die Prinzip- und Anwendungsfelder der prozessorientierten Tolerierung heranzuführen. Die erforderliche Mathematik ist einfach bzw. wird Schritt für Schritt entwickelt. Es gibt daher keine Hürden, die der sofortigen Anwendung der „Statistischen Tolerierung“ entgegenstehen. Calden bei Kassel, im Juni 2017 B. Klein <?page no="9"?> Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Vorwort 1 Einleitung ......................................................................................................................... 1 2 Umfeld der Statistischen Tolerierung ............................................................................ 3 2.1 Toleranzgerechte Konstruktion ...................................................................................... 3 2.2 Toleranzgerechte Fertigung............................................................................................ 4 2.3 Toleranzgerechte Qualitätssicherung ............................................................................. 5 3 Berechnung von Maßketten ............................................................................................ 6 3.1 Grundbegriffe der Tolerierung ....................................................................................... 6 3.2 Beschreibung der Maßtoleranzzone ............................................................................... 7 3.3 Entstehung von Maßketten ............................................................................................. 8 3.4 Bedeutung des Schließmaßes und der Schließmaßtoleranz ........................................... 8 3.5 Arithmetische Berechnung von Toleranzketten ............................................................. 9 4 Grundlagen der Statistischen Tolerierung................................................................... 14 4.1 Mathematische Grundlagen.......................................................................................... 14 4.1.1 Allgemeine Statistik ............................................................................................. 14 4.1.2 Ermittlung von Verteilungen................................................................................ 18 4.1.3 Großserienverteilung ............................................................................................ 21 4.1.3.1 Allgemeine Beschreibung von stetigen Verteilungen ...................................... 21 4.1.3.2 Beschreibung der Gauß´schen Normalverteilung ............................................ 22 4.1.4 Zusammenhang zwischen Standardabweichung und Toleranz............................ 24 4.2 Verknüpfung mehrerer Maße ....................................................................................... 25 4.2.1 Maßketten............................................................................................................. 25 4.2.2 Mittelwertsatz....................................................................................................... 25 4.2.3 Abweichungsfortpflanzungsgesetz....................................................................... 26 4.2.4 Anwendung des Abweichungsfortpflanzungsgesetzes und des Mittelwertsatzes 27 4.2.4.1 Behandlung linearer Maßketten ....................................................................... 27 4.2.4.2 Behandlung ebener Maßketten......................................................................... 27 4.2.4.3 Elektrische Schaltung als Maßkette ................................................................. 28 4.2.5 Zentraler Grenzwertsatz ....................................................................................... 31 4.2.5.1 Nachweis des zentralen Grenzwertsatzes......................................................... 31 4.2.5.2 Beispiel für die Verknüpfung mehrerer Maße ................................................. 31 4.3 Die Faltung ................................................................................................................... 33 5 Analyse von Grundproblemen bei der Maßketten-Verknüpfung.............................. 35 5.1 Symbolische Montage von rechteckig verteilten Sollmaßen ....................................... 36 5.1.1 Tolerierungsparameter ......................................................................................... 36 5.1.2 Tabellarische Ergebnisübersicht .......................................................................... 36 5.1.3 Toleranzanalyse.................................................................................................... 37 5.2 Symbolische Montage von dreieckig verteilten Sollmaßen ......................................... 40 5.2.1 Tolerierungsparameter ......................................................................................... 40 5.2.2 Tabellarische Ergebnisübersicht .......................................................................... 40 5.2.3 Toleranzanalyse.................................................................................................... 41 <?page no="10"?> Inhaltsverzeichnis 5.3 Symbolische Montage von normal- und dreieckig verteilten Sollmaßen .................... 42 5.3.1 Tolerierungsparameter ......................................................................................... 42 5.3.2 Tabellarische Ergebnisübersicht .......................................................................... 42 5.3.3 Toleranzanalyse.................................................................................................... 43 5.4 Symbolische Montage von normalverteilten Sollmaßen.............................................. 44 5.4.1 Tolerierungsparameter ......................................................................................... 44 5.4.2 Tabellarische Ergebnisübersicht .......................................................................... 44 5.4.3 Toleranzanalyse.................................................................................................... 45 5.5 Symbolische Montage von normalverteilten Sollmaßen.............................................. 46 5.5.1 Tolerierungsparameter ......................................................................................... 46 5.5.2 Tabellarische Ergebnisübersicht .......................................................................... 46 5.5.3 Toleranzanalyse.................................................................................................... 47 5.5.4 Sensitivitätsanalyse .............................................................................................. 48 5.6 Symbolische Montage normalverteilter Sollmaße mit Spiel........................................ 49 5.6.1 Tolerierungsparameter ......................................................................................... 49 5.6.2 Tabellarische Ergebnisübersicht .......................................................................... 49 5.6.3 Toleranzanalyse.................................................................................................... 50 5.7 Symbolische Montage zweier Sollmaße mit Form- und Lagetoleranz ........................ 52 5.7.1 Tolerierungsparameter ......................................................................................... 52 5.7.2 Tabellarische Ergebnisübersicht .......................................................................... 52 5.7.3 Toleranzanalyse.................................................................................................... 53 5.7.4 Form- und Lagetoleranzen ................................................................................... 55 5.8 Sollmaßabstimmung für eine Baugruppenfunktionalität.............................................. 56 5.8.1 Tolerierungsparameter ......................................................................................... 56 5.8.2 Toleranzanalyse.................................................................................................... 57 5.9 Übergreifendes Beispiel zur Toleranzanalyse .............................................................. 59 5.9.1 Montagesituation .................................................................................................. 59 5.9.2 Aufstellung des Maßplans .................................................................................... 60 5.9.3 Arithmetische Tolerierung ................................................................................... 60 5.9.4 Statistische Tolerierung........................................................................................ 61 5.9.5 Montagesimulation............................................................................................... 65 6 Toleranzsynthese ............................................................................................................ 69 7 Robust Design ................................................................................................................. 71 7.1 Praktische Bedeutung ................................................................................................... 71 7.2 Herkömmliche Toleranzphilosophie ............................................................................ 71 7.3 Japanische Toleranzphilosophie ................................................................................... 72 7.4 Beispiel zur Quantifizierung des Qualitätsverlustes..................................................... 74 7.4.1 Definitionen zum Toleranzdesign ........................................................................ 74 7.4.2 Ermittlung einer wirtschaftlichen Toleranz.......................................................... 74 7.4.3 Bewertung des tatsächlichen Qualitätsverlustes .................................................. 77 7.4.4 Problematik der Herstellungstoleranzen .............................................................. 79 7.5 Praktischer Ansatz ........................................................................................................ 82 8 Überwachung eines Produktionsprozesses................................................................... 83 8.1 Fähigkeitsnachweise..................................................................................................... 83 8.2 Die Qualitätsregelkarte (QRK)..................................................................................... 84 <?page no="11"?> Inhaltsverzeichnis 9 Statistische Prozesslenkung............................................................................................ 86 9.1 Prozessgüte und Prozessfähigkeit................................................................................. 86 9.2 Prozessgüte ................................................................................................................... 86 9.3 Prozessfähigkeitsindizes............................................................................................... 87 9.3.1 Relative Prozessstreubreite .................................................................................. 87 9.3.2 Prozessfähigkeit ................................................................................................... 88 9.3.3 Prozessfähigkeitsindex ......................................................................................... 88 9.3.4 Bewertung der Prozessfähigkeit........................................................................... 89 9.3.5 Prozessbeurteilung ............................................................................................... 90 9.3.6 Maschinenfähigkeitsindizes ................................................................................. 91 9.3.7 Messmittelfähigkeit .............................................................................................. 91 10 SimulationderMontage einerBaugruppe beigleichverteiltenFertigungstoleranzen .... 92 10.1 Arithmetische Berechnung ........................................................................................... 93 10.2 Statistische Berechnung............................................................................................... 93 10.3 Simulation ................................................................................................................... 94 10.4 Bauteilpool .................................................................................................................. 95 11 Toleranzrechnung an linearen Systemen................................................................... 100 11.1 Analyse einer Presspassung........................................................................................ 101 11.1.1 Zeichnerische Darstellung.................................................................................. 101 11.1.2 Tolerierungsparameter ....................................................................................... 101 11.1.3 Tabellarische Ergebnisübersicht ........................................................................ 101 11.1.4 Berechnungen..................................................................................................... 102 11.2 Analyse einer Spielpassung ........................................................................................ 107 11.2.1 Zeichnerische Darstellung.................................................................................. 107 11.2.2 Konstruktionsparameter ..................................................................................... 107 11.2.3 Tabellarische Kurzübersicht............................................................................... 107 11.2.4 Berechnungen..................................................................................................... 108 11.3 Analyse eines Türfeststellers ...................................................................................... 113 11.3.1 Zeichnerische Darstellung.................................................................................. 113 11.3.2 Maßgrößen aller Einzelteile ............................................................................... 113 11.3.3 Vektorieller Maßplan ......................................................................................... 114 11.3.4 Tabellarische Kurzübersicht............................................................................... 114 11.3.5 Berechnungen..................................................................................................... 115 11.4 Analyse einer Laufrolle .............................................................................................. 119 11.4.1 Zeichnerische Darstellung.................................................................................. 119 11.4.2 Parameter............................................................................................................ 121 11.4.3 Maßplan.............................................................................................................. 121 11.4.4 Betrachtung der Form- und Lagetoleranzen der Baugruppe .............................. 122 11.4.5 Tabellarische Kurzübersicht............................................................................... 122 11.4.6 Berechnungen..................................................................................................... 123 11.5 Toleranzkennzeichnung nach alter DIN 7186 ............................................................ 126 12 Toleranzrechnung an nichtlinearen Systemen........................................................... 129 12.1 Anwendungsumfeld................................................................................................... 129 12.2 Vorgehen ................................................................................................................... 129 12.3 Volumentolerierung................................................................................................... 130 12.4 Bestimmung eines Lochabstandes............................................................................. 136 12.5 Schaltung von Ohm´schen Widerständen ................................................................. 142 <?page no="12"?> Inhaltsverzeichnis 12.6 Schubkurbelgetriebe .................................................................................................. 147 12.7 Reibschlussverbindung.............................................................................................. 153 13 Toleranzen und Passungen in der Kunststofftechnik ............................................... 159 13.1 Einflussfaktoren auf Maßungenauigkeiten in der Kunststofftechnik......................... 159 13.1.1 Fertigungsbedingte Maßabweichungen.............................................................. 160 13.1.2 Anwendungsbedingte Maßabweichungen.......................................................... 160 13.2 Ursachen für die Maßabweichungen ......................................................................... 161 13.3 Einflussfaktoren auf Werkzeug- und Formteilmaß ................................................... 162 13.4 Verarbeitungsschwindung ......................................................................................... 163 13.5 Beispiel zur Tolerierung von Kunststoffteilen .......................................................... 163 13.5.1 Verteilungsgesetzmäßigkeit ............................................................................... 163 13.5.2 Auswertung ........................................................................................................ 163 13.5.2.1 Ermittlung des Maßverhaltens ..................................................................... 163 13.5.2.2 Ermittlung der Schwindungsverteilung........................................................ 165 14 Rechnerunterstützte Toleranzsimulation................................................................... 167 15 Voraussetzung für die Statistische Tolerierung ........................................................ 172 A Anhang .............................................................................................................................. 174 B Glossar ............................................................................................................................... 181 C Fallbeispiele zur Statistischen Tolerierung.................................................................... 203 D Einige Softwareprogramme zur Tolerierung................................................................ 218 E Literatur ........................................................................................................................... 220 Stichwortverzeichnis ............................................................................................................. 225 <?page no="13"?> Einleitung 1 1 Einleitung Die immer höhere Komplexität technischer Produkte, die Einführung neuer Technologien und Verfahren sowie die Bestrebungen zur Kostensenkung durch Reduzierung der Fertigungstiefe haben in der Industrie zu einer fortschreitenden Arbeitsteilung / WOM 97/ geführt. Aus diesem Grunde ergab sich die Notwendigkeit zur eindeutigen Definition von Schnittstellen. Diese Schnittstellen bedingen jedoch Festlegungen zu Maß- und Geometrieeingrenzungen. Hiermit wird berücksichtigt, dass jede industrielle Produktion mit Schwankungen behaftet ist, die Abweichungen von den vom Konstrukteur erwünschten Sollmaßen verursachen. In der Sprache des Qualitätsmanagements werden alle Abweichungen durch die „Fünf Ms“ hervorgerufen, die letztlich ursächlich für Fehlerquellen sind. Wesentlichen Einfluss haben hiernach  der Mensch,  die Maschine und Vorrichtung,  das Material,  die Methode und  die Mitwelt (Arbeitsumgebung) des Produktes. Bild 1.1 visualisiert dem gemäß einen verallgemeinerten Produktionsprozess unter Einwirkung dieser fünf Einflussgrößen. Produktionsprozess Produkt Material Mensch Mitwelt Methode Maschine Maßnahmen am Prozess Qualitätsüberwachung Maßnahmen am Produkt Bild 1.1: Regelungssystem eines Produktionsprozesses nach der SIX-Sigma-Philosophie Das stochastische Zusammenwirken dieser Einflüsse führt in einem Prozess zu schwer quantifizierbaren Streuungen, deren Größe sich in Maß- und Geometrieabweichungen, d. h. realen „Toleranzen“ wiederfindet. Die Toleranzen müssen so gewählt werden, dass die Erfüllung von Funktionsvorgaben und die Montage sicher gewährleistet wird. Andererseits darf der Toleranzrahmen aber nicht zu eng gewählt werden, da unnötig kleine Toleranzen erhöhte Fertigungs-, Werkzeug- und Prüfkosten zur Folge haben. Die Einhaltung von Toleranzen ermöglicht nämlich erst die Austauschbarkeit / SZY 93/ serienmäßig hergestellter Bauteile, die wirtschaftliche Aufgliederung von Fertigungsabläufen sowie die Gewährleistung einer gleich bleibenden hohen Produktqualität. <?page no="14"?> Einleitung 2 Daher ist die Festlegung von Toleranzen zwangsläufig eng mit  der Wirtschaftlichkeit,  der Qualität und Zuverlässigkeit, oder insgesamt mit  der Entsprechung *) eines Produktes verbunden. Dem in Deutschland traditionell vorherrschenden Verfahren der Toleranzfestlegung liegt die unbedingte Austauschbarkeit aller Bauteile (handwerkliche Produktion) zugrunde. In diesem Manuskript sollen jedoch Verfahren der Toleranzfestlegung unter Einbindung der Gesetzmäßigkeiten der Statistik und Wahrscheinlichkeit bei der Fertigung von Bauteilen betrachtet werden. Dies wird auch als Methode der bedingten Austauschbarkeit (Serienfertigung) bezeichnet. Diese Methode kann die Toleranzwahl gegenüber der Methode der absoluten Austauschbarkeit bedeutend wirtschaftlicher gestalten / KLE 93a/ . Viele Unternehmen auf der ganzen Welt setzen mittlerweile die Statistische Tolerierung ein, die in der DIN 7186 **) und teilweise in der ASME-Norm (Y 14.5-2009) als geometrisches Definitionsverfahren festgeschrieben worden ist. Für die Einführung in dieses neuartige Prinzip wird ein aufbauendes Stufenkonzept verfolgt:  In den Kapiteln 2 und 3 werden zunächst die Randbedingungen und Definitionen von Toleranzen dargelegt und deren Übertragung auf das herkömmliche arithmetische Tolerierungsprinzip gezeigt.  Im Kapitel 4 werden die Grundbeziehungen der Statistik (Mittelwertsatz, Abweichungsfortpflanzungsgesetz, zentraler Grenzwertsatz) mit dem Fokus auf Toleranzberechnung entwickelt und im Anwendungszusammenhang gestellt.  Das Kapitel 5 dient der Darstellung von Toleranzpotenzialen an einem Spektrum unterschiedlicher Beispiele.  Im Kapitel 6 wird beispielhaft auf die Toleranzsynthese, d. h. das Runterbrechen einer Funktionstoleranz auf Einzeltoleranzen, eingegangen.  Das Kapitel 7 zeigt einen Ansatz zur Toleranzoptimierung unter Berücksichtigung von Fertigungsgegebenheiten.  In den Kapiteln 8 und 9 wird der Zusammenhang zwischen Prozesslenkung, Tolerierung und der Sensitivität von Prozessen dargestellt.  Nachdem der theoretische Beweis der Vorteile der statistischen Tolerierung bis hier erbracht worden ist, soll im Kapitel 10 mittels einer realen Simulation das Potenzial bestätigt werden.  Die Kapitel 11 und 12 zeigen noch einmal ein differenziertes Anwendungsspektrum von linearen und nichtlinearen Problemstellungen und deren Bearbeitungssystematik.  Beispielhaft wird mit Kapitel 13 die Serienfertigung von Kunststoffteilen diskutiert. Und  abschließend wird im Kapitel 14 die Rechneranwendung und im Kapitel 15 die Voraussetzungen zur Anwendung der dargestellten Prinzipien umrissen. Alle Ausführungen sind für die Zielgruppe Ingenieurstudenten sowie Entwickler, Konstrukteure und Fertigungsplaner in der Praxis aufbereitet worden und setzen nur wenige mathematische Grundkenntnisse voraus. *) Anmerkung: Entsprechung = Kundenerwartung von einem Produkt **) Anmerkung: Die DIN 7186 ist 1974 bzw. 1980 in zwei Teilen erschienen. Wegen zu vieler Einsprüche aus der Praxis ist die Norm 1985 wieder zurückgezogen worden. <?page no="15"?> Umfeld der Statistischen Tolerierung 3 2 Umfeld der Statistischen Tolerierung 2.1 Toleranzgerechte Konstruktion In vielen Unternehmen finden bislang statistische Erkenntnisse und Gesetzmäßigkeiten in Bezug auf die Fertigung und die nachfolgende Montage von Baugruppen nur geringe Berücksichtigung. Dies behindert im Zusammenspiel von Konstruktion, Fertigungsplanung, Fertigung und Qualitätssicherung eine wirtschaftlichere Herstellung der Produkte. Zurückzuführen ist dies weitgehend auf die in der Realität noch immer bestehende Trennung von Konstruktion und Fertigung, was oft auch eine mangelnde Kommunikation zwischen diesen beiden Bereichen zur Folge hat. Dies bewirkt, dass die Konstruktionsabteilungen der Unternehmen oft nur ungenügend über die fertigungstechnische Realisierbarkeit der Konstruktionsvorgaben (z. B. / JOR 01/ ) informiert sind. Theoretisch lassen die heutigen Möglichkeiten von CAD/ CAM, CAQ und DMU einen solchen Informationsaustausch ohne weiteres zu. Der Ausbau dieser Kommunikationswege dient letztlich auch dazu, die Fertigung zu optimieren. Dem Konstrukteur kommt dabei eine Schlüsselstellung zu. Die Konstruktion gibt die fertigungstechnischen Beschränkungen vor und hat damit den größeren Einfluss (  70 %) auf die wirtschaftliche Fertigung eines Produktes. Werden der Planung und Fertigung bei der Realisierung von Größe und Lage der Maß-, Form-, Profil- und Lagetoleranzen ein größerer Spielraum gelassen, so kann dieses im Rahmen der erforderlichen Arbeitsgänge zu einem insgesamt kürzeren Arbeitszyklus führen. Der enorm große Einfluss von Toleranzen auf die Fertigungszeit und somit auch auf eine wirtschaftliche Fertigung ist bereits belegt / VDI 2247/ . Eine größere Toleranz bedeutet immer eine kostengünstigere Fertigung und Qualitätssicherung. Signifikante Toleranzerweiterungen sind jedoch nur bei einer Abkehr von der üblichen arithmetischen Toleranzsystematik möglich. Die aufgezeigten mathematischen Zusammenhänge für die statistische Toleranzsimulation machen schnell deutlich, dass dies für den Konstrukteur einen etwas größeren Mehraufwand bedeutet. Dieser Aufwand war deshalb in der Vergangenheit das Motiv für die Nichtakzeptanz der Statistischen Tolerierung. Trotzdem zeigt sich, dass dieser Mehraufwand aufgrund des enormen Einsparungspotenzials in der Fertigung lohnend ist. Einfacher und sinnvoller scheint allerdings der Einsatz entsprechender Software (siehe Liste im Anhang) in der Bauteilauslegung. Die Statistische Tolerierung trägt somit aufgrund ihrer höheren Praxisnähe zu einer Verbesserung der Qualitätsprävention im Nutzungsumfeld bei. Prävention umfasst im Engineeringbereich / KLE 94a/ alle Maßnahmen zur Stabilisierung der Produktmerkmale unter Einschluss geometrischer Abweichungen, weil dies Basismerkmale sind für die Simulation aller weiteren Gebrauchseigenschaften mittels  Digital Mock-Up (DMU) bzw. Handhabung/ Robotik,  Design for Manufacture and Assembly (DFMA),  Design of Experiments (DoE) sowie  FEM/ Festigkeitsanalysen (CAE). Statistischebzw. Sensitivitäts-Analysen spielen dabei eine immer größere Rolle und sind ein wichtiges Glied des Quality Engineerings (QE) im Produktentstehungsprozess. <?page no="16"?> Umfeld der Statistischen Tolerierung 4 2.2 Toleranzgerechte Fertigung Statistische Methoden können heute in allen Bereichen der Produkt- und Prozessentwicklung vorteilhaft angewandt werden, da die Statistik ein Mittel für Trendanalysen und die Erforschung von durch Zufallsgrößen beeinflusster Zusammenhänge ist. Statistik wird zudem bei jeder Art von Wiederholungen wie in der Klein- und Großserienfertigung / HER 94/ wirksam. Die hieraus resultierenden Abweichungen sind auf eine Vielzahl (s. Bild 2.1) von Ursachen zurückzuführen, deren Hauptwirkungen in der Maschine, dem Werkzeug, dem Werkstoff und der Umwelt zu suchen sind: Lagerspiel, Verschleiß Werkzeug/ Werkzeugsystem Schwingungen Drehzahlschwankungen Eigenspannungen/ Schnittkräfte Maß- und Geometrieabweichungen Bild 2.1: Stochastische Einflüsse bei der Fertigung Diese Einflussgrößen / AUT 01/ sind alle miteinander verwoben und lösen daher bei Bauteilen und Baugruppen Zufallsereignisse aus, die zu Maßveränderungen, Maßwanderungen oder Maßabweichungen führen. Normalerweise strebt die Fertigung danach, alle Istmaße auf Mitte Toleranz zu fertigen. Da dies nicht haltbar ist, entsteht letztlich eine Verteilung der Istmaße. Im Idealfall des reinen Zufalls ist dies eine Gauß’sche Normalverteilung (NV). Die Fertigung ist jedoch nicht nur von zufälligen Einflüssen bestimmt, sondern es treten auch systematische Einflüsse (Bias) innerhalb von Fertigungsprozessen auf. Diese können zum einen durch einen proportionalen Verschleiß eines Werkzeugs oder zum anderen durch die stetige Erwärmung des Werkzeugs oder der Werkzeugmaschine ausgelöst werden. Diese systematischen Einflüsse auf die Fertigung lassen sich durch Werkzeugpositionsänderungen korrigieren. Dies gilt jedoch nicht für Reib-, Stanz-, Präge- oder Spritzgusswerkzeuge, da diese keine direkten Korrekturmöglichkeiten bieten. Bei diesen Fertigungsprozessen muss dann aufgrund der systematischen Einflussfaktoren für die Parameter der gefertigten Bauteile eine gleichverteilte Häufigkeit innerhalb des Toleranzfeldes angenommen werden. Wünschenswert für eine prozessfähige Auslegung wäre, wenn der Konstrukteur über die Fertigungsstatistik und somit über die sich real ergebenden Verteilungen verfügen würde. Dies stellt im Allgemeinen für die Fertigung kein Problem dar, da die erforderlichen Informationen bereits heute schon mittels SPC ermittelt werden können. Voraussetzung ist allerdings, dass die Verteilung durch eine entsprechende Stückzahl abgesichert ist. Da dies bei einer modernen Prozessüberwachung von Klein- und Großserien rechnerunterstützt erfolgt, braucht kein großer Zusatzaufwand betrieben zu werden. Ein kurzer Abriss über die bestehenden Möglichkeiten der statistischen Prozesslenkung wird im Kapitel 8 gegeben. Statistisch ausgelegte Toleranzen wirken sich sowohl auf die Fertigung als auch auf die Montage von Bauteilen günstig aus. Durch ihre Anwendung ergeben sich insbesondere im Zeitalter der immer kleiner werdenden Bausysteme - der so genannten „Miniaturisierung“ - sehr große Freiheiten. Durch sie können größtmögliche Einzeltoleranzen vorgegeben und dabei enge Schließmaßtoleranzen eingehalten werden. Die sich daraus ergebenden Kostenvorteile sind ohne Zusatzaufwand zu realisieren. <?page no="17"?> Umfeld der Statistischen Tolerierung 5 Mit der Statistischen Tolerierung eng verbunden sind weitere Produkt- und Prozessaspekte wie  erweiterte Qualitätsfähigkeit nach SPC,  Messmittelfähigkeit,  Montagegerechtheit,  minimiertes Ausschussrisiko,  reduzierte Stückkosten,  Austauschbarkeit von Bauteilen,  Funktionssicherheit von Baugruppen. Um diese Potenziale stetig zu nutzen, muss der Informationsfluss zwischen Produktnutzer, Entwickler und Fertiger / KLE 99/ verbessert werden. Dies ermöglicht letztlich eine optimale Toleranzauslegung bei verbesserter Kundenzufriedenheit und hoher Produktleistung. 2.3 Toleranzgerechte Qualitätssicherung Die Qualitätssicherung ist heute neu ausgerichtet auf vermehrte Prävention, d. h. Vermeidung von Fehlern während der Produktentwicklung (s. auch DIN SPEC 1115). Kuration am Prozess ist rückwärts orientiert und gewährleistet keinen hohen Qualitätsstandard. Dementsprechend werden in der japanischen QM-Philosophie die „Offline-Methoden“ für E&K- Aufgaben stärker als die „Online-Methoden“ zur Produktüberwachung ausgeprägt. Diese Erkenntnis ist konform mit der so genannten „Verzehnfachungsregel“ (Kostenfortpflanzung von der Idee bis zur Realisierung), die ausweist: Die Fehlerbehebungskosten verzehnfachen sich von Stufe zu Stufe über die Planung, Entwicklung, Arbeitsvorbereitung, Fertigung, Endprüfung bis zum Kunden. Ein frühes Erkennen von Abweichungen, die zu Fehlern führen, ist somit notwendig und wirtschaftlich. In diesem Zusammenhang spielen die virtuelle Toleranzsimulation und der Nachweis über die Einhaltung von Toleranzen eine dominante Rolle. Mit engen Toleranzen wird eine Spirale zu hohen Kosten geformt, deren Segmente eine permanent überwachte Fertigung, einen erheblichen Qualitätssicherungsaufwand und dies alles mit qualifiziertem Personal erforderlich macht. Kleine Toleranzen bewirken weiter einen großen Aufwand bei der Messsystem- und Messmittelfähigkeit *) sowie deren Überwachung, da in Audits stets nachgewiesen werden muss, ob die Einrichtungen im Gebrauchsumfeld überhaupt die Toleranzen (Genauigkeit, Abweichungsspanne, Wiederholbarkeit usw.) sicher nachweisen können. Damit gilt natürlich auch der Umkehrschluss, dass weite Toleranzen die wenigsten Probleme in der Fertigung, Kontrolle und Montage / NUS 98/ bereiten. Hiermit wird also die Kostenspirale unterbrochen und der Weg zur Entfeinerung von Produkten geebnet. Das Ziel muss also sein: „Toleranzen so weit wie möglich und nur so eng wie nötig“ festzulegen. Diese Erkenntnis gilt es in einem abgestimmten Konzept zu sichern, weshalb hierfür ein umfangreiches Richtlinienwerk wie GUM, DIN EN 13005, VDA 5 geschaffen worden ist. *) Anmerkung: Die Messsystem- und Prüfmittelfähigkeit verlangt, dass ein geeignetes Messgerät 10-30 % eines Toleranzfeldes sicher und reproduzierbar messen kann. <?page no="18"?> Berechnung von Maßketten 6 3 Berechnung von Maßketten 3.1 Grundbegriffe der Tolerierung Im Rahmen der Produktgestaltung legt der Konstrukteur in technischen Zeichnungen eine Zielgröße für ein Maß fest. Dies ist das so genannte Sollmaß. Es beschreibt den geometrisch idealen Zustand eines Werkstücks. Von diesem Sollmaß soll das Istmaß eines Werkstücks so wenig wie möglich abweichen. Da eine konstante Fertigung aus technischen Gründen nicht möglich ist, müssen Abweichungen vom Sollmaß zugelassen werden. Hierbei wird die Größe der zulässigen Abweichungen, die Toleranz, durch Funktion und Herstellung des Werkstücks bestimmt. Dabei ist zu beachten, dass unnötig enge Toleranzen zu steigenden Kosten führen und meist nur eine geringfügige Verbesserung der Funktionalität bewirken. Jedes Werkstück ist demnach mit Abweichungen vom Sollmaß behaftet. Diese unterscheiden es von anderen Werkstücken aus gleichen oder ähnlichen Prozessen. Diese Erkenntnis fließt mittlerweile in das System der „geometrischen Produktspezifizierung (GPS)“ ein. In der ISO 14 660 ist die reale Gestehungsfolge beschrieben: ideales Werkstück, hergestelltes Werkstück, messtechnisch erfasstes Werkstück und Vergleich mit dem Geometrieideal. Damit ist ein Nachweisprozess transparent beschrieben. technische Zeichnung hergestelltes Werkstück erfasstes Werkstück ideale Geometrieelemente E A C D F G B Legende: A = Nenn-(Soll-)Geometrie B = Mittellinie C = Istgeometrie D = erfasste Geometrie E = abgeleitete Mittellinie F = ideales Geometrieelement G = abgeleitetes Geometrieelement für Vergleich mit A Bild 3.1: Beschriebenes, hergestelltes, erfasstes und definiertes Geometrieelement Nachfolgend wird hauptsächlich auf die geometrischen Eigenschaften eines Werkstücks eingegangen. Es ist mit den in diesem Skript vorgestellten Verfahren jedoch auch eine Betrachtung von anderen mit Toleranzen behafteten Produktkenngrößen möglich. Die maßlichen und geometrischen Eigenschaften eines Werkstücks / ISO 1101/ werden durch <?page no="19"?> Berechnung von Maßketten 7  Größen(=Längen)maße,  Form-, Richtungs-, Orts- und Lauftoleranzen sowie  Oberflächenungenauigkeiten beschrieben. Weichen diese unzulässig von einer Idealgestalt ab, so hat dies für gewöhnlich nicht nur Auswirkungen auf das Werkstück, sondern auch auf die Baugruppe und das System, das dann seine Leistungsziele nur unzureichend erfüllen kann. Meist führen diese zu Reklamationen, Nacharbeit und Unzufriedenheit bei Kunden. Im Folgenden sollen zunächst an einem kleinen Beispiel die grundlegenden Begriffe zur Beschreibung von maßlichen Toleranzzonen kurz dargelegt werden. 3.2 Beschreibung der Maßtoleranzzone Das Istmaß eines Werkstücks (einschl. ISO-Codeangaben, wie H7 oder g6 nach neuem Messprinzip) wird stets mittels einer Zweipunktmessung *) festgestellt. Das heißt, an einer bestimmten Stelle wird das Istmaß ermittelt und mit dem Sollmaß verglichen. Hierbei muss das Istmaß innerhalb eines Toleranzfeldes liegen, das von dem in der technischen Zeichnung angegebenen bzw. aus deren Angaben ermittelten Kleinst- und Größtmaß / ISO 286/ begrenzt wird. Beispiel: Interpretation von Angaben nach ISO 14405 + 0,3 - 0,1 20 + - N o T 0,3 -0,1 (Zeichnung nicht maßstabsgetreu) 20 es G o ei G u Bild 3.2: Maßtolerierter Bolzen - Zeichnung und Abmaße *) Anmerkung: ISO 286 T1 bezüglich Längenmaße: „Ein Maß ist der Abstand zwischen zwei gegenüberliegenden Punkten.“ Die Maßtoleranz ist daher im Zweipunktmessverfahren zu prüfen (s. auch ISO 14405). o N Nennmaß 20,0 o G Größtmaß 20,3 u G Kleinstmaß 19,9 es oberes Abmaß + 0,3 ei unteres Abmaß - 0,1 T Toleranz (es - ei) + 0,4   u o G G  Maß: Das Größenmaß für den Durchmesser dieses Bolzens ist mit M =  20 + 0,3/ -0,1 angegeben. Daraus ergeben sich die in der Tabelle aufgelisteten Grenzmaße für Zweipunktmessungen: ei es oi i N M  <?page no="20"?> Berechnung von Maßketten 8 Jedes am Werkstück gemessene Istmaß muss also im Toleranzfeld, das heißt zwischen 19,9 mm und 20,3 mm liegen, wenn die Zeichnungsangabe eingehalten werden soll. Jede Messung ist mit einer Messunsicherheit behaftet, z. B. ist die zulässige Geräteabweichung u  eines Messschiebers in der DIN 862 festgeschrieben. Die Ergebnisunsicherheit für ein Maß bei einer einmaligen Messung ist somit u M  . Bei n-Wiederholungsmessungen ist hingegen   n / s t u n    , n t = Quantile der t-Verteilung, s = Messstreuung Muss ein Maß in einer Serienfertigung nachgewiesen werden, so ist die Messmittelfähigkeit     s 6 / T k C g    , k = 0,1- 0,3 (je nach Industrievereinbarung) zu gewährleisten. 3.3 Entstehung von Maßketten Maße und Toleranzen von Bauteilen stehen meistens nicht für sich allein, sondern hängen in Form von Maßketten zusammen. Derartige Verhältnisse ergeben sich immer bei Zusammenbauten (ZSB) mit funktionellen Abhängigkeiten. Hierbei betrachtet man zwei grundsätzliche Möglichkeiten der Entstehung von Maßketten:  Zusammenfügen von Bauteilen zu einer Baugruppe In diesem Fall treten zwangsläufig immer Maßketten auf, da in jedem Fall die geometrischen Eigenschaften miteinander verknüpft sind. Die Einzelmaße sind hierbei gewöhnlich unabhängig voneinander.  Verknüpfung mehrerer geometrischer Eigenschaften am Einzelteil Auch an einzelnen Bauteilen sind oft geometrische Eigenschaften miteinander verknüpft. Dies kann zum Beispiel die Verknüpfung zweier Maße oder eines Maßes mit einer Form- und Lagetoleranz sein. Zur Vermeidung von Anpassarbeiten müssen Einzelmaße bzw. die zusammenhängenden Maßketten über mehrere Bauteile / SYM 93/ stets miteinander abgestimmt werden. 3.4 Bedeutung des Schließmaßes und der Schließmaßtoleranz Einzelmaße i M , die sich bei einem Zusammenbau in eine Richtung erstrecken, bilden eine lineare Maßkette. In diesem Sinne schließt das Schließmaß 0 M Anfang und Ende einer Maßkette. Dieses Schließmaß hat gewöhnlich eine Toleranz, die sich aus den Einzeltoleranzen i T aller Einzelteile bestimmt. Je nach Art der Ermittlung dieser Toleranz wird sie als <?page no="21"?> Berechnung von Maßketten 9  arithmetische Schließtoleranz A T oder  statistische Schließtoleranz S T bezeichnet. Dies drückt bereits die Art ihrer rechnerischen Ermittlung aus, die entweder aus einfacher Addition oder statistischer Überlagerung entsteht. Neben linearen Maßketten haben ebene und räumliche Maßketten bei vielen Anwendungen (z. B. DMU im Fahrzeugbau) eine noch größere Bedeutung. Ihre Bestimmung führt auf nichtlineare Zusammenhänge / TRU 97/ , auf die später noch ausführlich eingegangen wird. Darüber hinaus gibt es zwei weitere Möglichkeiten der Toleranzkettenbehandlung. In der Anwendung sind dies:  Toleranzanalyse Man berechnet aus den Einzeltoleranzen die Schließmaßtoleranz. Dieses Verfahren wird bei der Untersuchung der Funktionsfähigkeit einer Maßkette bei angegebenen Toleranzen der Einzelbauteile eingesetzt. Es dient zudem als Hilfsmittel bei der Funktionskontrolle.  Toleranzsynthese Zur Sicherung der Funktionsfähigkeit einer Baugruppe gibt man eine Schließtoleranz vor. Diese wird dann auf die Einzeltoleranzen der Bauteile aufgeteilt. Dieses Verfahren wird bei der konstruktiven Ableitung eines Bauteils angewandt. Im Folgenden soll zuerst auf die arithmetische Berechnung von Maßketten eingegangen werden, da sie die Grundlage zur statistischen Maßkettenberechnung bildet. 3.5 Arithmetische Berechnung von Toleranzketten Gewöhnlich wird bei der Überprüfung von Toleranzketten das so genannte Mini-Max-Prinzip angewandt. International hat sich hierfür die Bezeichnung worst case (dt. schlechtester Fall) durchgesetzt. Hierbei wird angenommen, dass einmal alle Maximalmaße und einmal alle Minimalmaße ein Schließmaß bilden. Da die Auswirkung der Maße auf das Schließmaß betrachtet wird, müssen die Maximalmaße nicht immer nur die Größtmaße der einzelnen Bauteile bzw. die Minimalmaße nicht immer nur die Kleinstmaße der entsprechenden Bauteile sein, da zusätzlich noch geometrische Toleranzen auftreten können. Mit diesen Maßen müssen alle Montierbarkeitsprüfungen hinsichtlich Spiel oder Übermaß / KLE 99/ durchgeführt werden. Der einfachen Toleranzkettenberechnung liegt somit eine Addition bzw. Subtraktion der Einzelmaße zugrunde, weswegen auch von der arithmetischen Maß- oder Toleranzkettenberechnung gesprochen wird. <?page no="22"?> Berechnung von Maßketten 10 Schrittfolge zur Ermittlung des Schließmaßes: 1. Zählrichtung für Einzelmaße festlegen 2. Maßplan erstellen 3. Tabelle der benötigten Maße erstellen 4. Nennschließmaß 0 N bestimmen 5. Höchstschließmaß O P bestimmen 6. Mindestschließmaß U P bestimmen 7. Schließmaß 0 M mit Toleranz zusammenstellen 8. Kontrolle Beispiel zur arithmetischen Toleranzkettenrechnung: An einer lokalen Einbausituation soll der lineare Ansatz zunächst gezeigt werden. Das Beispiel nach Bild 3.3 zeigt eine Axialfixierung an einem Stirnradantrieb eines Lkw-Vorgeleges. Die Maßeintragungen sind aus der Montagebzw. Fertigungszeichnung übernommen worden. 0,3 A M 0 A  50 M = 45 0,5 3  M = 3,5 0,1 1  M = 4 2 +0 - 0,2 M = 46 4 +0,2 - 0,4 Anmerkung: Nach der ISO 8015 (Unabhängigkeitsprinzip) sind die Maßtoleranzen und die F+L-Toleranzen unabhängig voneinander einzuhalten. Gemäß der alten DIN 7167 (Hüllprinzip) müssen die Formtoleranzen und die Parallelitätstoleranz in einer Hülle liegen. Die Hülle wird aus dem Maximum-Material-Maß gebildet und kann gegebenenfalls durch F+L-Toleranzen virtuell aufgeweitet werden. ISO 8015 4 3p 3 2 1 0 M M M M M M       Bild 3.3: Schematische Einbausituation eines Stirnradantriebs in einem Vorgelegegetriebe (Annahme: Es wirkt nur die Parallelitätstoleranz, weil die Bohrung absolut rechtwinkelig ist.) Bei diesem Fallbeispiel ist das Spiel zwischen Stirnrad und Sicherungsring funktionswichtig. Wird dieses Spiel 0 M 0  , dann kann der Sicherungsring nicht mehr aufgebracht werden und <?page no="23"?> Berechnung von Maßketten 11 das Zahnrad ist dann axial nicht mehr gesichert. Im Weiteren soll nun die Toleranzanalyse nach den zuvor beschriebenen Schritten beschrieben werden, wobei die Lagetoleranz als eigenständiges Maß (s. Definitionen in der ISO 8015 und / KLE 15/ ) mit seiner funktionellen Wirkung zu berücksichtigen ist, wobei das Zweipunktmaß (M 3 ) nicht überschritten werden darf. 1. Zählrichtung für Einzelmaße festlegen Die Festlegung erfolgt entsprechend ihrer Auswirkung auf das Schließmaß 0 M . Maße, bei denen eine Vergrößerung der Maßabweichung eine Vergrößerung des Schließmaßes bewirkt, werden als positiv angenommen. Die Vektoren dieser Maße zeigen im Maßplan in die positive Zählrichtung. Maße, bei denen eine Vergrößerung der Maßabweichung eine Verringerung des Schließmaßes bewirkt, werden als negativ angenommen. Die Vektoren dieser Maße zeigen im Maßplan in die negative Zählrichtung. 2. Maßplan erstellen Im Maßplan werden alle Maße (einschließlich F+L-Toleranzen) aufgenommen. Die Kette wird durch das Schließmaß 0 M geschlossen. Bei Geometrietoleranzen ist zu untersuchen, ob sie die Montage begünstigen oder behindern. Im vorliegenden Fall fällt die Parallelitätstoleranz nach innen, womit sie „positiv“ wirkt. Bei Härteverzug ist auch eine „negative“ Wirkung möglich. M 0 + - M 4 M 3 M 2 M 1 Maßplan M 3p 3. Tabelle der benötigten Maße erstellen Maß Nennmaße Bezeichnung Nennmaß i N / [mm] Größtmaß oi G / [mm] Kleinstmaß ui G / [mm] Toleranz i T / [mm] 1 M  1 N Sicherungsring 3,5 3,6 3,4 0,2 2 M  2 N Nutbreite 4,0 4,0 3,8 0,2 3 M  3 N Zahnradbreite 45,0 45,5 44,5 1,0 p 3 M  p 3 N Parallelitätstoleranz 0 0,3 0 0,3 4 M  4 N Wellenabsatz 46,0 46,2 45,6 0,6 Tabelle 3.1: Tabelle der benötigten Maße für die Arithmetische Tolerierung Bild 3.4: Maßplan aller wirksamen Einzelmaße (d. h. inklusive Lagetoleranz) <?page no="24"?> Berechnung von Maßketten 12 4. Nennschließmaß N 0 bestimmen Das Nennschließmaß 0 N berechnet sich entsprechend dem Maßplan:       i i 0 N N N . (3.1) Beispiel     mm 5 , 1 00 , 45 50 , 3 0 0 , 46 0 , 4 N N N N N N 3 1 p 3 4 2 0            5. Höchstschließmaß P O bestimmen Das Höchstschließmaß O P wird nach folgender Gleichung berechnet:       i u i o O G G P . (3.2) (Summe der Größtmaße der positiven Maße minus Summe der Kleinstmaße der negativen Maße) Beispiel     mm 3 , 2 5 , 44 4 , 3 0 2 , 46 0 , 4 G G G G G P 3 u 1 u p 3 o 4 o 2 o O            6. Mindestschließmaß P U bestimmen Das Mindestschließmaß U P wird nach folgender Gleichung berechnet:       i o i u U G G P . (3.3) (Summe der Kleinstmaße der positiven Maße minus Summe der Größtmaße der negativen Maße) Beispiel     mm 3 , 0 5 , 45 6 , 3 0 6 , 45 8 , 3 G G G G G P 3 o 1 o p 3 u 4 u 2 u U            <?page no="25"?> Berechnung von Maßketten 13 7. Schließmaß M 0 zusammenstellen Oberes Abmaß einen Innenmaßes 1 A T ES  = 0 O N P  (3.4) Unteres Abmaß eines Innenmaßes 2 A T EI  = 0 U N P  (3.5) Normgerechtes Schließmaß mit Abmaßen 1 A 2 A T T 0 0 N M  Toleranzbestimmung: 1 A T = 0 O N P  = 2,3 -1,5 = 0,8 mm, 2 A T = 0 U N P  = 0,3 -1,5 = -1,2 mm Daraus folgt für Schließmaß: mm 5 , 1 N M 8 , 0 2 , 1 T T 0 0 1 A 2 A    . Im vorliegenden Fall sorgt die auftretende Parallelitätsabweichung für ein zusätzliches Montagespiel und wirkt damit insgesamt positiv. 8. Kontrolle Jede Montagesituation sollte noch einmal kontrolliert werden! Die Summe der einzelnen Toleranzen des Schließmaßes i T muss gleich der Gesamttoleranz A T sein: U O A P P T   . (3.6) Die Schließmaßtoleranz A T entspricht der arithmetischen Toleranzsumme   i A T T . (3.7) Beispiel für Maßkontrolle über Längenmaß-Toleranzen: mm 0 , 2 3 , 0 3 , 2 P P T U O A       mm 0 , 2 0 6 , 0 0 , 1 2 , 0 2 , 0 T i        <?page no="26"?> Grundlagen der Statistischen Tolerierung 14 4 Grundlagen der Statistischen Tolerierung 4.1 Mathematische Grundlagen 4.1.1 Allgemeine Statistik Die in den folgenden Abschnitten erläuterten Gesetzmäßigkeiten kann man als die Grundbeziehungen der Statistik / PAP 97/ bezeichnen. Diese Beziehungen sind zunächst abstrakt und werden durch die Übertragung auf die „Toleranzrechnung“ sehr konkret. Grundbeziehungen der Statistik:  der Mittelwertsatz,  der Zusammenhang zwischen Standardabweichung und Toleranz,  das Abweichungsfortpflanzungsgesetz sowie  der zentrale Grenzwertsatz. Wenn man dies im Gesamtzusammenhang sieht, so ist ein wichtiges Teilgebiet der Mathematik die Stochastik, welche in die Wahrscheinlichkeitstheorie und die Statistik unterteilt werden kann. Die Wahrscheinlichkeitstheorie befasst sich mit den theoretischen Grundlagen der Erklärung zufälliger Ereignisse, während die Statistik sich mit der praktischen Auswertung der Häufigkeit von Ergebnissen beschäftigt. C. F. Gauß (1777-1855) hat die Anwendung der Stochastik wesentlich erweitert. Bei der Auswertung von astronomischen Messungen hat er erkannt, dass sich nicht die Fehler von Messwerten fortpflanzten, sondern deren Varianzen, welches zu völlig neuen Einsichten geführt hat. Das Verständnis für Zufallsereignisse erschließt zunächst die Wahrscheinlichkeitsrechnung, z. B. mit der Bestimmung der Wahrscheinlichkeit des Eintritts eines bestimmten Ereignisses. Solange man keine physikalischen oder mathematischen Zusammenhänge kennt, die den Eintritt eines bestimmten Ereignisses auf eine bestimmte Weise beeinflussen, betrachtet man das Auftreten n möglicher Ereignisse stets als gleich wahrscheinlich und ordnet jedem Ereignis die Wahrscheinlichkeit p zu. Als Beispiel soll hier das Würfeln mit einem Würfel (Laplace-Experiment) angeführt werden: Es können die Zahlen 1 bis 6 erwürfelt werden, wobei es n = 6 mögliche Ereignisse gibt p = n 1  Fälle möglichen der Anzahl Fälle günstigen der Anzahl . Die Wahrscheinlichkeit des Erscheinens einer bestimmten Zahl beträgt demnach p = 1/ 6. Um Stochastik betreiben zu können, benötigt man also ein Experiment. Hierbei gibt es Zufallsvariable, die nur diskrete Werte annehmen können, d. h., sie sind nur endlich oder abzählbar unendlich. Zwischenzustände treten nicht auf. Diese sind z. B. <?page no="27"?> Grundlagen der Statistischen Tolerierung 15  das Würfeln mit einem Würfel, hier können nur die Werte 1...6 auftreten (nicht 3 ½),  ein Münzwurf (nur Wappen oder Zahl) oder  Funktion in Ordnung oder nicht in Ordnung. In der Maßtheorie werden hingegen nur stetige Zufallsvariable behandelt. Eine stetige Zufallsvariable kann jeden beliebigen Wert, meist innerhalb eines gegebenen Intervalls annehmen. Eine typische stetige Zufallsvariable ist zum Beispiel ein streuender Wellendurchmessers als Folge von Fertigungsabweichungen (Werkzeug und Maschine). Die Wahrscheinlichkeit gibt dann an, wie viele Ereignisse im Mittel bei einer großen Gesamtzahl zu dem betrachteten Ergebnis (z. B. einen bestimmten Wellendurchmesser) führen. Man ermittelt die Wahrscheinlichkeit empirisch aus der so genannten relativen Häufigkeit des Auftretens eines Ereignisses. Diese ist definiert als das Verhältnis des Eintretens eines bestimmten Ereignisses im Verhältnis zur Anzahl aller Möglichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines bestimmten Ereignisses ist der Grenzwert für dieses Verhältnis bei unendlich vielen Beobachtungen. Als Beispiel sei hier wieder das Würfeln mit einem homogenen Würfel aufgeführt. Dabei ist das Auftreten von sechs verschiedenen Ereignissen, nämlich das Werfen einer bestimmten Augenzahl von 1...6, gleich wahrscheinlich. Die mathematisch ausgedrückte Wahrscheinlichkeit beträgt also p = 1/ 6 = 0,166, welches das nachfolgende Experiment belegt. Bild 4.1: Gesetz der großen Zahl beim Würfelexperiment Bild 4.1 zeigt die Verteilung der Zahlen eins bis sechs bei einer Simulation von 10, 60 und 600 Würfen mit einem Würfel. Je mehr Würfe durchgeführt werden, desto näher liegt die Häufigkeit des Auftretens einer bestimmten Zahl bei 1/ 6. Durch das Würfeln erhält man diskrete Werte; bei der Ermittlung der Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines stetigen Wertes, z. B. eines Wellendurchmessers geht man hingegen anders vor. Ein Bauteil wird dann hinsichtlich eines relevanten Merkmals (Istwert) messtechnisch 10 Würfe Anzahl des Auftretens 2* 1* 3* 4* Häufigkeit 0,1 0,2 0,3 0,4 1/ 6 60 Würfe Anzahl des Auftretens Häufigkeit 1/ 6 2/ 6 10* 15* 5* 20* 11* 10* 14* 8* 8* 9* 600 Würfe Anzahl des Auftretens Anzahl Anzahl Häufigkeit Häufigkeit Häufigkeit 1/ 6 2/ 6 100* 150* 50* 200* 109* 95* 99* 90* 96* 0,18 0,15 0,185 0,16 0,165 0,158 0,183 0,133 0,133 0,167 0,15 <?page no="28"?> Grundlagen der Statistischen Tolerierung 16 geprüft und erhält nach der Prüfung eine Wertigkeit, durch den Vergleich des Prüfergebnisses mit einem Vergleichswert. Dieser kann sein:  ein Nennwert,  ein Sollwert, oder  ein Grenzwert. Streuende Abweichung hiervon bezeichnet man als Toleranz (Plus/ Minus). Die Anzahl aller gefertigten Bauteile (größere Produktionsmenge) einer vorgesehenen Ausführung nennt man Grundgesamtheit. Geprüft wird gewöhnlich aber anhand einer kleinen Stichprobe (50 Stück), die dieser Grundgesamtheit entnommen wird. Man unterscheidet somit in der Statistik zwischen  einer „wirklichen Großgesamtheit   s , x “ mit endlichem Umfang und  einer „gedachten Grundgesamtheit     , “ mit unendlichem Umfang. Eine Stichprobe besteht somit immer aus einer begrenzten Anzahl von Werten aus der Grundgesamtheit, beispielsweise die real gefertigten Durchmesser einer Welle im Vergleich mit dem Nennmaß oder die wirklichen Widerstandswerte eines elektrischen Widerstands im Vergleich mit dem Sollwert. Der Umfang der Stichprobe sollte nicht zu klein (n  6-8 Werte) gewählt werden, da hieraus eine direkte Auswirkung auf die Aussagekraft resultiert. Aus einer Stichprobe mit dem Umfang n der Zufallsvariablen x ergibt sich dann eine Anzahl von Werten i x mit i = 1..n. Aus diesen Werten i x lassen sich dann die erforderlichen statistischen Kenngrößen / BRO 95/ bestimmen. Es sind dies  der arithmetische Mittelwert x ,  die Standardabweichung s und  die Varianz 2 s . Der arithmetische Mittelwert berechnet sich nach der bekannten Formel:    n 1 i i x n 1 x (i = 1, ..., n) (4.1) und soll im Weiteren auch mit Erwartungswert benannt werden. Das ist der Wert, der am häufigsten in einem Los auftreten wird. Die Streuung der Werte i x um den arithmetischen Mittelwert x wird als Standardabweichung s *) bezeichnet. Dies ist die Wurzel aus der mittleren quadratischen Abweichung der Stichprobenwerte vom Mittelwert. Sie wird nach folgender Formel berechnet: *) Anmerkung: Bei großen Stichproben wird als Vorfaktor 1/ n und bei kleinen Stichproben 1/ (n-1) angesetzt. <?page no="29"?> Grundlagen der Statistischen Tolerierung 17      n 1 i 2 i ) x x ( 1 n 1 s . (4.2) Die Varianz ist entsprechend        n 1 i 2 i 2 x x 1 n 1 s . (4.3) Das arithmetische Mittel und die Standardabweichung charakterisieren die jeweilige Stichprobe und die Form der Verteilung. Beispiel: Ermittlung der NV-Kenngrößen In einer Abfüllanlage für Bierflaschen soll die tatsächliche Menge des Bieres in der Flasche im Vergleich mit dem Sollwert V = 0,5 l abgeglichen werden. Der Tagesausstoß beträgt 10.000 Flaschen. Deshalb entnimmt man an einem Tag jede 200. Flasche und überprüft die tatsächliche Füllmenge. Man erhält so eine Stichprobe mit der Anzahl n = 50 Flaschen und kann die Füllmengen für die Flaschen Nr. 1 bis 50 bestimmen. Fl.Nr. Füllung/ [l] Fl.Nr. Füllung/ [l] Fl.Nr. Füllung/ [l] Fl.Nr. Füllung/ [l] Fl.Nr. Füllung/ [l] 1 0,49 11 0,51 21 0,53 31 0,54 41 0,56 2 0,51 12 0,51 22 0,54 32 0,49 42 0,51 3 0,55 13 0,56 23 0,52 33 0,50 43 0,51 4 0,51 14 0,57 24 0,55 34 0,58 44 0,57 5 0,55 15 0,58 25 0,49 35 0,53 45 0,49 6 0,50 16 0,49 26 0,49 36 0,51 46 0,57 7 0,56 17 0,54 27 0,57 37 0,56 47 0,57 8 0,54 18 0,48 28 0,51 38 0,55 48 0,56 9 0,51 19 0,54 29 0,53 39 0,53 49 0,58 10 0,52 20 0,54 30 0,52 40 0,53 50 0,55 Mittelwert x / [l]: Standardabweichung s/ [l]: Varianz 2 s / [l 2 ]: 0,53 0,02800 0,00078 Tabelle 4.1: Ermittlung von Mittelwert und Standardabweichung bei einer Abfüllanlage zur Einstufung deren Genauigkeit Im Durchschnitt werden also alle Flaschen mit 0,53 l gefüllt, wobei die Streuung 0,028 l beträgt. Die Füllmengen sind also zufallsbedingt und nicht voneinander abhängig. Die Füllmengen bzw. deren Häufigkeit können somit über die Gaußfunktion (NV) abgeschätzt werden. <?page no="30"?> Grundlagen der Statistischen Tolerierung 18 4.1.2 Ermittlung von Verteilungen Jede industrielle Fertigung hat mehr oder weniger Zufallscharakter. Um die Gesetzmäßigkeit zu erkennen, muss die Verteilung eines Prozesses bzw. eines Arbeitsganges ermittelt werden. Dazu muss ein hinreichend großes Los von Messgrößen ausgewertet werden. Die Verteilung kann dann wie folgt ermittelt / ISO 22514/ werden: Man teilt die Toleranzspanne der Messgröße in gleiche Intervalle ein. Diese Intervalle bezeichnet man als Klassen. Dann entnimmt man der Fertigung eine hinreichend große Stichprobe und sortiert diese in die Klassen ein. Für den Idealfall (infinitesimal kleine Intervalle) kann man über die Anzahl n der Istmaße pro unabhängigem Messwert i x eine Verteilungskurve ermitteln. Gewöhnlich werden viele Messwerte in der Mitte der Toleranzspanne liegen und die Anzahl der Messwerte wird zu den Rändern hin abnehmen. Dies ist das typische Zeichen eines Häufigkeitszentrums wie bei der Normalverteilung (NV). Das folgende Beispiel zeigt im Bild 4.2 die Ermittlung der Häufigkeitsverteilung einer Stichprobe aus 50 Messungen bei der Fertigung eines Wellenzapfens / FOR 85/ . Beispiel: Herstellung eines Wellenzapfen bzw. Auswertung einer Drehoperation   22,4 0,1 G = 22,30 u G = 22,50 o Messwerte von 50 Wellen: (Angegeben sind nur die Nachkommastellen, d. h. 48 entspricht 22,48 mm) Nr. Wert Nr. Wert Nr. Wert Nr. Wert Nr. Wert Nr. Wert Nr. Wert 1 48 9 40 17 32 25 46 33 52 41 37 49 38 2 37 10 35 18 40 26 41 34 41 42 43 50 43 3 38 11 43 19 39 27 38 35 44 43 45 4 45 12 42 20 41 28 43 36 45 44 41 5 43 13 51 21 40 29 35 37 42 45 39 6 41 14 40 22 38 30 42 38 36 46 42 7 42 15 39 23 41 31 39 39 38 47 44 8 36 16 43 24 43 32 41 40 40 48 40 Ergebnis angenommen: 48 verworfen: 2 (grau unterlegt) Bild 4.2: Wellenzapfen-Messwerte eines Außendurchmessers <?page no="31"?> Grundlagen der Statistischen Tolerierung 19 Auswertung der Klassenhäufigkeiten Klassen Anzahl % 1 22,30 < d < 22,32 0 0 Mittelwert: 2 22,32 < d < 22,34 / 1 2 mm 41 , 22 x  3 22,34 < d < 22,36 / / 2 4 4 22,36 < d < 22,38 / / / / 4 8 Standardabweichung: 5 22,38 < d < 22,40 / / / / / / / / / 9 18 s = 0,03 mm 6 22,40 < d < 22,42 / / / / / / / / / / / / / / 14 28 7 22,42 < d < 22,44 / / / / / / / / / / / 11 22 2 Stück = 4 % 8 22,44 < d < 22,46 / / / / / 5 10 wurden verworfen. 9 22,46 < d < 22,48 / / 2 4 10 22,48 < d < 22,50 0 0 Daraus ergibt sich die folgende Häufigkeit bzw. Verteilung: G u G o Toleranz = 0,1 mm  x = 22,41 x = 22,41 Häufigkeit x Häufigkeit in % 28 28 12 14 10 86420 20 16 12 840 d Bild 4.3: Auswertung der vorherigen Messreihe als Histogramm und Verteilung Die umseitige Tabelle 4.2 zeigt verschiedene Möglichkeiten von Verteilungen, die sich bei unterschiedlichen Fertigungsverfahren einstellen können. Bild 4.3 zeigt die verschiedenen Entwicklungsstufen bis zur Erstellung der Verteilung. In diesem Beispiel erhält man eine Gauß’sche Normalverteilung. Diese wird sich bei jeder Art von Serienfertigung (d. h. bei hinreichend großen Losen n  50-100 Teile) einstellen. Eine Normalverteilung repräsentiert immer den Zufall, sie erfasst also keine systematischen Effekte. (Zur Beschreibung der Normalverteilung siehe Kapitel 4.1.3). Bei einer Fertigung mit systematischen Einflussfaktoren (Werkzeugverschleiß, Änderung von Prozessparametern) stellt sich in der Regel eine Rechteckverteilung ein. Die Rechteckverteilung kann auch als die Einhüllende einer wandernden Normalverteilungen interpretiert werden. Bei einer Kleinserienfertigung (< 50 Teile) tritt hingegen meistens eine Dreiecksverteilung auf, da bei kleinen Stückzahlen in der Regel überwacht auf Sollmaß produziert wird. Eine Trapezverteilung stellt sich real nicht ein, d. h., sie ist eine Simulationsverteilung für die Rechteckverteilung mit einer abgeschwächten Randbewertung. Man unterscheidet Trapezverteilungen nach der Breite des horizontalen Bereichs der Verteilungskurve. Sie tritt auch bei der Verknüpfung zweier Rechteckverteilungen (siehe Kapitel 4.3) auf. <?page no="32"?> Grundlagen der Statistischen Tolerierung 20 Art der Verteilung Varianz s Toleranz T 2 Simulationsfall Rechteckverteilung Trapezverteilung Trapezverteilung Trapezverteilung Dreiecksverteilung Normalverteilung 1 2 3 T G u f(x) T T/ 5 G u f(x) T T/ 2 f(x) T G u f(x) T T/ 3 G u f(x) T G u f(x) +s -s außerhalb der Toleranz liegen 0,27 % der Teile “Worst Case” oder Simulation eines wandernden Mittelwertes durch Werkzeugverschleiß Ergebnisverteilung bei der Faltung oder Simulation eines abgeschwächten Werkzeugverschleißes Simulation einer Kleinserie 12 T s 2 2  s 10 / 48 2 T   s 4641 , 3   192 T 10 s 2 2   s 3 2 T   s 3818 , 4   108 T 5 s 2 2   s 5 / 27 2 T   s 6476 , 4   300 T 13 s 2 2   s 13 / 75 2 T   s 8038 , 4   s 8990 , 4   s 6   s 6 2 T   s 3 2 T    24 T s 2 2  36 T s 2 2  x x x x x x Simulation einer Großserie z. B. bei ; s 3   C , C kann nur auf normalverteilte Werte angewandt werden. p pk 1 C pk  G u o G o G o G o G o G o G Tabelle 4.2: Kenngrößenauswertung verschiedener Verteilungen für ein Produktionslos <?page no="33"?> Grundlagen der Statistischen Tolerierung 21 4.1.3 Großserienverteilung 4.1.3.1 Allgemeine Beschreibung von stetigen Verteilungen Eine zufällig auftretende Variable x kann durch eine stetige Verteilungsfunktion F(x) (auch Summenfunktion genannt) beschrieben werden, wenn eine nicht negative Funktion f(x) existiert, sodass das Integral F(x) beschrieben werden kann:     x dx ) x ( f ) x ( F . (4.4) Die Funktion f(x) wird als Dichte oder Dichtefunktion der Verteilung bezeichnet. Sie ist wie folgt definiert:          1 dx ) x ( f F oder 100 %. (4.5) Diese Dichtefunktion beschreibt, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine zufällige Variable in einem bestimmten Intervall (z. B. [-  , x)) auftritt / PFA 68/ . f(x) x a b P(a x b)   Bild 4.4: Geometrische Darstellung der Wahrscheinlichkeit P für die Variable x Die schraffierte Fläche im Bild 4.4 stellt die Häufigkeitswahrscheinlichkeit P für das Auftreten der Variablen x zwischen den festen Grenzen a und b dar:       b a dx ) x ( f ) a ( F ) b ( F ) b x a ( P . (4.6) Für viele Dichtefunktionen ist dieses Integral tabelliert (siehe Seite 183 ff.) und zu beliebigen Grenzen ausgewertet, womit die Wahrscheinlichkeiten sofort gegeben sind. <?page no="34"?> Grundlagen der Statistischen Tolerierung 22 4.1.3.2 Beschreibung der Gauß´schen Normalverteilung Die Normalverteilung ist die wohl am häufigsten auftretende Verteilung. Sie wurde erstmals von De Moivre entdeckt und von Laplace, Gauß und Galton weiterentwickelt. Man findet sie bei der Beschreibung von Zufallsgrößen in der Sozialstatistik, bei Verteilungen von Merkmalen im Bereich der Medizin und Biologie sowie der Technik / LEH 00/ . Eine Normalverteilung bildet sich dann aus, wenn mehrere Einflussfaktoren rein zufallsbedingte Abweichungen verursachen. Nicht zufallsbedingte Ereignisse (z. B. Alterung, Verschleiß) können somit nicht abgebildet werden, dies ermöglicht hingegen die universellere Weibull-Verteilung. Eine Zufallsgröße heißt normalverteilt, wenn ihre Wahrscheinlichkeitsdichte durch die folgende Funktion beschrieben werden kann:   2 s 2 2 x x e 2 s 1 ) x ( f     . (4.7) Die Verteilungsfunktion ist dann   dx e 2 s 1 ) x ( F x 2 s 2 2 x x        . (4.8) Diese Funktion hat eine glockenförmige Gestalt (siehe Bild 4.5), weshalb sie auch als Gauß´sche Glockenkurve bezeichnet wird. Im Mittelwert x liegen sowohl das Maximum als auch das Symmetriezentrum. Unterhalb und oberhalb liegen jeweils 50 % an Flächenanteil der Verteilungskurve. f(x) x Wendepunkt x s 1   s 1   Die Position der Standardabweichung s 1   beschreibt die Wendepunkte der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion. Mit Vielfachen von s lassen sich somit Flächenanteile eingrenzen. Da s und x beliebige Werte annehmen können, gibt es auch beliebig viele Normalverteilungen. Zur Herstellung der Vergleichbarkeit verwendet man daher die Transformation s x x u   (4.9) Bild 4.5: Gauß´sche Glockenkurve bzw. Normalverteilung <?page no="35"?> Grundlagen der Statistischen Tolerierung 23 und überführt damit die Dichtefunktion in die Standardfunktion 2 2 u e 2 1 ) u ( f    (4.10) mit x = 0 und s = 1. Die dazugehörige Summenfunktion lautet dann:       u 2 2 u dx e 2 1 ) u ( F . (4.11) Es gelten nun die folgenden Zusammenhänge unterhalb der NV: u < 0 F(-u) Flächenanteil der Verteilung im Bereich -  < x < -u u > 0 F(u) Flächenanteil der Verteilung im Bereich -  < x < u Q(u) Flächenanteil der Verteilung im Bereich u < x <  F(u)-Q(u) Flächenanteil der Verteilung im Bereich -u < x < u F(-u) = 1 - F(u) = Q(u) Tabelle 4.3: Funktionelle Zusammenhänge des Flächenanteils bei der Normalverteilung Da die rechnerische Auswertung dieser Beziehungen aufwändig ist, liegt die standardisierte Normalverteilung (N(0, 1)) gewöhnlich tabelliert *) vor (siehe hier Seite 183 ff. oder geläufige Statistikbücher). Die eingegrenzten Flächenanteile zeigt Bild 4.6. u = 0 u F(u) - Q(u) Q(u) F(-u) = Q(u) F(u) +u +u -u f(u) f(u) u = 0 Bild 4.6: Funktionelle Zusammenhänge der Flächenanteile bei der Normalverteilung Zu einem Maß mit den zugehörigen Toleranzgrenzen lassen sich also die Gut- und Schlechtanteile recht sicher abschätzen. *) Anmerkung: Die Dichtefunktion ist regelmäßig nur für positive u-Werte tabelliert. Weil die NV symmetrisch ist, gilt: 1 - F(u) = Q(u). <?page no="36"?> Grundlagen der Statistischen Tolerierung 24 4.1.4 Zusammenhang zwischen Standardabweichung und Toleranz Die Toleranzweite eines Maßes wird bei der Statistischen Tolerierung durch eine Spanne beschrieben, die in Vielfachen von der Standardabweichung (z. B. i i s 6 T   ) angegeben wird. Man nennt diese Angabe auch Streugrenze. Die Vorgabe für einen beherrschten Prozess liegt heute noch bei s 3 x   , erst bei Einhaltung dieser Streugrenzen gilt ein Prozess als fähig / MER 91/ (siehe Kapitel 8.3.4). Diese Streugrenzen (auch natürliche Streuung genannt) geben an, dass mindestens 99,73 % aller Merkmalswerte innerhalb der vorgegebenen Toleranz liegen. Im Zuge des Total Quality Management wird weitgehend schon die Forderung nach s 4 x   gestellt (z. B. seitens „Ford“ und „VW“ an deren Zulieferern). In diesem Fall müssen 99,994 % aller Merkmalswerte innerhalb der Toleranz liegen. Es gibt jedoch auch schon Forderungen nach einer Spanne von s 5 x   oder gemäß der SIX-SIGMA-Philosophie / MAG 01/ nach s 6 x   *) . Über die Angabe dieser Spanne kann somit bestimmt werden, wie viel Prozent der Maßgrößen bei einer Normalverteilung im Toleranzbereich erwartet werden können und wie groß die Wahrscheinlichkeit für die Überschreitung des Toleranzbereiches ist. Das folgende Bild 4.7 zeigt, wie viel Prozent der Istmaße im Gutbereich in Abhängigkeit von der Toleranzspanne liegen. T=2s 68,26 % der Messwerte im Toleranzbereich T=6s 99,73 % der Messwerte im Toleranzbereich T=4s 95,45 % der Messwerte im Toleranzbereich T=8s 99,9937 % der Messwerte im Toleranzbereich 99,9999999 % der Messwerte im Toleranzbereich T=12s T=10s 99,99994 % der Messwerte im Toleranzbereich s 1  s 2   s 3   s 4   s 5   s 6   s x   2 s x   4 s 2 x   s 4 x   x x x s x   4 s x   2 x s 2 x   s 4 x   s x   4 s x   2 s 2 x   s 4 x   s x   4 s x   2 s 2 x   s 4 x   x s x   4 s x   2 s 2 x   s 4 x   x s 6 x  s x   4 s x   2 s 2 x   s 4 x   s 6 x   Bild 4.7: Einschluss von Gutteilen unterhalb der Gauß´schen Normalverteilung *) Anmerkung: Gute Unternehmen erreichen heute Langzeitwerte zwischen (+ 4,3-+5,1) s  <?page no="37"?> Grundlagen der Statistischen Tolerierung 25 4.2 Verknüpfung mehrerer Maße 4.2.1 Maßketten In den vorhergehenden Abschnitten wurde die Beschreibung eines einzelnen Ereignisses (eines einzelnen Messwertes oder Maßes) mit statistischen Methoden geklärt. Die folgenden Kapitel sollen auf die Verknüpfung von mehreren Ereignissen (Messwerten/ Maßen) mit statistischen Methoden eingehen. Diese Beziehungen sind weitestgehend grundlegend bei der Behandlung von Problemen, die sich bei der linearen und nichtlinearen Verknüpfung zu Maßketten mit statistischen Gesetzmäßigkeiten / BOS 93/ ergeben. Alle statistischen Grundgleichungen werden auf die zu bearbeitenden Tolerierungsaufgaben zugeschnitten. 4.2.2 Mittelwertsatz Dieser Satz ist maßgebend zur Bestimmung des Mittelwertes bzw. des Erwartungswertes des Schließmaßes 0 M einer Maßkette, die sich gewöhnlich als Verteilungsmittelwert einstellt. Der Mittelwertsatz sagt aus: Mittelwerte aus verschiedenen Verteilungen werden vorzeichenbehaftet addiert, wie    n 1 i i 0 x x , n 2 1 0 N N N x      (bei Fertigung auf Nennwert) bzw. (4.12) n 2 1 0 C C C x      (bei Fertigung auf Toleranzmitte). Hierin sind: i x der Mittelwert der einzelnen Maßbestandteile der Montagebaugruppe (entspricht den Nennmaßen i N mit symmetrischen Abmaßen bzw. den Mittenwerten i C bei unsymmetrischen Abmaßen) 0 x der Gesamtmittelwert (entspricht dem mittleren Schließmaß) i N die Nennmaße der Einzelbauteile Bei unsymmetrischen Abmaßen gilt 2 G G x ui oi i   : = i C , (mit i C = Mittenwert) (4.13) d. h., es muss die Mitte des Toleranzfeldes berücksichtigt werden. Als Beispiel hierzu dient die Betrachtung der Ermittlung des Schließmaßes einer linearen Maßkette nach Kapitel 3.5. <?page no="38"?> Grundlagen der Statistischen Tolerierung 26 4.2.3 Abweichungsfortpflanzungsgesetz Einer der wichtigsten Erkenntnisse von Gauß ist, dass sich bei so genannten direkten Größen (d. h. statistisch unabhängig) nicht die Abweichungen addieren, sondern die Varianzen / VDI 2620/ . Insofern ist die Schließtoleranz einer Maßkette über das Abweichungsfortpflanzungsgesetz zu ermitteln. Das universelle Fehler- oder Abweichungsfortpflanzungsgesetz lautet somit für einen beliebigen funktionellen Zusammenhang ) x ,..., x ( f n 1 , wobei die einzelnen i x voneinander unabhängig sein müssen. Die Varianz ist somit: 2 i 2 n 1 i x x i n 1 2 0 s x f )) x ,... x ( f ( s              . (4.14) Der Hinweis in der Klammer besagt: Die Ableitungen aller Größen x sind stets am Mittelwert x zu bilden. Das allgemeine Abweichungsfortpflanzungsgesetz wird für die nichtlineare Maßkettenrechnung benötigt. Das Abweichungsfortpflanzungsgesetz bei der linearen Maßkettenrechnung sagt aus: „Die Varianz des Schließmaßes ergibt sich als Summe der Varianzen der Einzelmaße“, d. h.    n 1 i 2 i 2 0 s s . (4.15) Dies stellt einen Sonderfall der Gl. (4.14) dar. Aus der Analogie zwischen der Größe des Toleranzfeldes und der Varianz bzw. Streuung leitet sich dann die Schließmaßtoleranz her, z. B. 0 S s u 2 T    bzw. für u = 3 0 S s 6 T   . Die folgenden kleinen Beispiele sollen die Anwendung des Abweichungsfortpflanzungsgesetzes und des Mittelwertsatzes auf typische Fälle zeigen. <?page no="39"?> Grundlagen der Statistischen Tolerierung 27 4.2.4 Anwendung des Abweichungsfortpflanzungsgesetzes und des Mittelwertsatzes 4.2.4.1 Behandlung linearer Maßketten Angenommen seien Maßketten, bei denen das Schließmaß   0 0 y M  aus der Addition zweier Einzelmaße   2 1 x x  und alternativ der Subtraktion zweier Einzelmaße   2 1 x x  gebildet wird. Addition Subtraktion Maßfunktion   2 1 2 1 x x x , x f y    x x ) x , f(x y 2 1 2 1    mit bekannten 2 1 s , s Erwartungswert 2 1 0 x x y   2 1 0 x x y   Varianz 2 0 s 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 0 s s s 1 s 1 s ) x ( f s ) x ( f s             2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 0 s s s ) 1 ( s 1 s ) x ( f s ) x ( f s              4.2.4.2 Behandlung ebener Maßketten Angenommen sei ein ebener Fall, bei dem ein Maßabstand unter Nutzung des Satzes von Pythagoras zu bestimmen ist. Der funktionelle Zusammenhang sei 2 1 2 2 2 1 2 1 s , s bekannten mit x x ) x , x ( f y    , dann folgt für das Schließmaß   0 y und die Varianz   2 0 s Erwartungswert des Schließmaßes Gesamtvarianz des Schließmaßes            2 2 2 1 2 1 0 2 2 2 1 0 x x u mit u oder u y x x y     2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 0 s x x x s x x x s x ' f s x ' f s         Die partiellen Ableitungen werden wie folgt gebildet:   2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 0 1 0 1 x x x x x x 2 2 1 x 2 u 2 1 x u u y x y x ' f                        , analog dazu gilt für   2 2 2 1 2 2 0 2 x x x x y x ' f      . <?page no="40"?> Grundlagen der Statistischen Tolerierung 28 4.2.4.3 Elektrische Schaltung als Maßkette In industriell hergestellten Messsystemen kommt beispielsweise die im Bild 4.8 gezeigte Spannungsteilerschaltung mit einem Vorwiderstand vor. Von Interesse ist die Größe des Gesamtwiderstandes bei streuenden Einzelwiderständen. R 1 R 4 R 2 = R 0 R 3 Es wird angenommen, dass die Widerstände einer überwachten Großserie entstammen und die Werte über den Toleranzbereich normalverteilt sind. Die Fertigungsstreuung soll mit s 3   eingegrenzt werden. Daraus folgt für die normalverteilte Standardabweichung 6 T s i R R i  , mit i R T =    i R . Für die Widerstände ergeben sich damit die tabellierten Parameter: Nennwert/ [  ] Toleranz R  / [  ] Standardabw. R s / [  ] Varianz 2 R s /   2  1 R 270  10 % 54 9,00 81,00 2 R 100  5 % 10 1,67 2,78 3 R 150  20 % 60 10,00 100,00 4 R 330  5 % 33 5,50 30,25 Tabelle 4.4: Datensatz der Widerstände Bei in Reihe geschalteten Widerständen wird der Gesamtwiderstand durch Addition der Einzelwiderstände ermittelt. Bei parallel geschalteten Widerständen addieren sich die Leitwerte. Der Leitwert ist der Kehrwert des Ohm‘schen Widerstands. Daher ist der Gesamtwiderstand zweier parallel geschalteter Ohm‘scher Widerstände der Kehrwert des Gesamtleitwerts. Somit wird 0 R berechnet zu . R R R R R R R R 1 R 1 R R 4 3 2 3 2 1 4 1 3 2 1 0               (4.16) Bild 4.8: Schaltung von Ohm‘schen Widerständen <?page no="41"?> Grundlagen der Statistischen Tolerierung 29 Für den mittleren Gesamtwiderstand 0 R folgt:                   660 330 150 100 150 100 270 R R R R R R R 4 3 2 3 2 1 0 . Nun soll die Gesamtvarianz der Schaltung ermittelt werden. Nach dem Abweichungsfortpflanzungsgesetz gilt für die Varianz von nichtlinear verbundenen Fehlergrößen:     2 i 2 n 1 i x x i 2 0 s x f x f s              . Übertragen auf die Varianz des Gesamtwiderstandes folgt daraus: 2 R 2 4 1 i i 0 2 R i R 0 s R R s           . Nun müssen die Ableitungen nach den einzelnen Widerständen i R bestimmt werden. Es gilt für 1 R und 4 R (hier gezeigt für 1 R ): 0 0 1 R R R R R R R R R R R R R R R R R R 1 4 1 3 2 3 2 1 1 1 4 3 2 3 2 1 1 0                                  . Für 2 R und 3 R gilt (hier explizit gezeigt für 2 R ):   0 R R R 0 R R R R R R R R R R R R R R R R R R 2 3 2 2 3 2 4 2 3 2 3 2 2 1 2 4 3 2 3 2 1 2 0                                   Anmerkungen zur Mathematik: Hier wurden die folgenden Ableitungsregeln angewandt: Ableitung einer Konstanten k: 0 ) x ( f k ) x ( f     Ableitung: 1 ) x ( f x ) x ( f     Kettenregel: 2 v v u v u ) x ( f v u ) x ( f          <?page no="42"?> Grundlagen der Statistischen Tolerierung 30 analog dazu gilt für   0 R R R 0 R R 2 3 2 2 2 3 0       . Wie zuvor herausgestellt, müssen im Abweichungsfortpflanzungsgesetz die Widerstände am Nennwert berücksichtigt werden:             . 17 , 114 25 , 30 100 026 , 0 78 , 2 130 , 0 81 25 , 30 100 100 150 100 78 , 2 100 150 150 81 s 1 s R R R s R R R s 1 s 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 R 2 2 R 2 2 3 2 2 2 2 R 2 2 3 2 2 3 2 R 2 2 R 4 3 2 1 0                                                                 Daraus ergibt sich für die Standardabweichung des Gesamtwiderstandes   68 , 10 s 0 R . Das heißt, bei dieser Schaltung ist in 68,27 % aller Fälle (s. S. 24) mit Widerstandsschwankungen in der Größe von        68 , 10 660 s 1 R R 0 R 0 0 zu rechnen. Andere Streubereiche können einfach über die Spannweite der standardisierten Normalverteilung bestimmt werden, so wie vorher schon mehrfach gezeigt wurde. Anmerkung zur Ableitung der Funktion:       2 3 2 2 3 2 3 2 3 2 2 3 3 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 3 2 3 2 R R R R R R R R R R R R 1 R R ) R R ( R v u v v u f Beispiel als R ) f ( f mit v u R R R R f                               <?page no="43"?> Grundlagen der Statistischen Tolerierung 31 4.2.5 Zentraler Grenzwertsatz Für beliebige Zufallsvariablen gilt nach Gauß *) der „zentrale Grenzwertsatz“: Werden n unabhängige Werte i x aus derselben Grundgesamtheit oder aus verschiedenen Grundgesamtheiten zusammengefasst, so ist die Summe normalverteilt, auch dann, wenn die einzelnen Grundgesamtheiten nicht normalverteilt sind. Dies tritt ab drei Werte schwach und ab vier Werte sicher ein, welches sich über die Faltung von Verteilungen exakt beweisen lässt. 4.2.5.1 Nachweis des zentralen Grenzwertsatzes Als Beispiel für die Verknüpfung mehrerer Werte diene hier vereinfacht die Verteilung von Ergebnissen beim Würfelexperiment: Beim Würfeln mit einem Würfel erhält man bekanntlich eine Rechteckverteilung, d. h., alle Ereignisse (die Zahlen 1-6) sind gleich wahrscheinlich. Beim Würfeln mit zwei Würfeln sind aber nicht alle Ereignisse gleich wahrscheinlich, man erhält eine Dreiecksverteilung. SUMME: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5 + 2 3 + 3 2 + 5 4 + 4 3 + 2 4 + 2 3 + 4 5 + 3 5 + 4 2 + 2 2 + 3 2 + 4 4 + 3 3 + 5 4 + 5 5 + 5 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + 1 6 + 2 6 + 3 6 + 4 6 + 5 1 + 1 1 + 2 1 + 3 1 + 4 1 + 5 1 + 6 2 + 6 3 + 6 4 + 6 5 + 6 6 + 6 Bereits bei drei Würfeln stellt sich die Form einer Glockenkurve und ab vier Würfeln eine gute ausgeprägte Normalverteilung ein, was sich leicht beweisen lässt. 4.2.5.2 Beispiel für die Verknüpfung mehrerer Maße Nun soll eine Kombination aus vier „rechteckverteilten Maßen“ betrachtet werden. Dieser Fall zeigt, dass bei der Verknüpfung von gleich oder mehr als vier unterschiedlich verteilten Maßen die Verteilung des Schließmaßes tatsächlich einer Normalverteilung entspricht. Als Beispiel dienen hier Distanzscheiben mit dem Breitenmaß b = 2  0,05 mm zur Einstellung eines Anschlags. Da die Fertigung dieser Scheiben unter Inkaufnahme von Werkzeugverschleiß geschieht, sind die Maße der Distanzscheiben rechteckverteilt anzunehmen. Der Anschlag soll nun auf ges b = 8 mm eingestellt werden. Dazu benötigt man vier Distanzscheiben hintereinander. *) Anmerkung: Für die Toleranzsimulation ist dies eine wichtige Erkenntnis, da man für die Schließmaßbildung eine „Normalverteilung annahmen kann, wenn vier Verteilungen aufeinandertreffen. Tabelle 4.5: Ergebnismöglichkeiten mit zwei Würfeln <?page no="44"?> Grundlagen der Statistischen Tolerierung 32 In der Tabelle ist die Verteilung der Maße für den Anschlag ges b aufgestellt worden, die wiederum aus vier Serien mit rechteckverteilten Maßen vom Umfang elf Werte aus dem Toleranzraum generiert wurden. Wert Nr. Serie 1 Serie 2 Serie 3 Serie 4 1 1,95 1,95 1,95 1,95 2 1,96 1,96 1,96 1,96 3 1,97 1,97 1,97 1,97 4 1,98 1,98 1,98 1,98 5 1,99 1,99 1,99 1,99 6 2,00 2,00 2,00 2,00 7 2,01 2,01 2,01 2,01 8 2,02 2,02 2,02 2,02 9 2,03 2,03 2,03 2,03 10 2,04 2,04 2,04 2,04 11 2,05 2,05 2,05 2,05 Aus diesen Serien werden mittels eines Zufallsgenerators zweihundert zufällige Kombinationen aus den Serien 1 bis 4 erzeugt. Der folgende Verlauf im Bild 4.9 zeigt die Verteilung dieser Werte. Bild 4.9: Häufigkeitsverteilung der Messwerte bei der Montagesimulation Mit der Höhe der Balkenpiks sind die Häufigkeiten des sich einstellenden Abstandsmaßes aufgetragen. Die in das Diagramm eingefügte Gauß´sche Normalverteilung hat die Parameter: Mittelwert: 0 x = 8,00 mm, Standardabweichung: 0 s = 0,04, Varianz: 0016 , 0 s 2 0  . 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 7,80 7,82 7,84 7,86 7,88 7,90 7,92 7,94 7,96 7,98 8,00 8,02 8,04 8,06 8,08 8,10 8,12 8,14 8,16 8,18 8,20 Anzahl pro Klasse Gauß´sche Glockenkurve Tabelle 4.6: Vier systematisierte rechteckverteilte Bauteile bzw. Serien <?page no="45"?> Grundlagen der Statistischen Tolerierung 33 4.3 Die Faltung Durch die mathematische Operation der Faltung ist es möglich, die resultierende Verteilungskurve von mehreren miteinander verknüpften aber voneinander unabhängigen Einzelmaßen zu ermitteln. Demnach beinhaltet die Faltung die Addition zweier oder mehrerer Verteilungsfunktionen. Dies geschieht durch die Kombination eines jeden Punktes des ersten Toleranzfeldes mit allen Punkten der übrigen Toleranzfelder unter Berücksichtigung der an den entsprechenden Punkten vorliegenden Häufigkeit. Die Verteilungsfunktionen können dabei unterschiedliche Formen aufweisen, d. h., eine Dreiecksverteilung kann beispielsweise mit einer Rechteckverteilung gefaltet werden. Das Ergebnis einer solchen Faltoperation bezeichnet man als Faltprodukt. Es stellt die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Überlagerung dar. Für zwei diskrete Verteilungen 1 F und 2 F ergibt sich folgendes Faltprodukt:              i 2 1 i x F i F x F . (4.17) Somit ist die diskrete Verteilung der Summe bekannt. Für stetige Verteilungen wird die Verteilungsdichte F(x) aus den Verteilungen der Summanden (x) F 1 und (x) F 2 gebildet:       dy y F y x F x F y 2 1        . (4.18) Soll aus n Einzelverteilungen die Verteilungsfunktion gebildet werden, so muss über (n-1) Parameter integriert bzw. summiert werden, sodass sich in der Ausführung dieser Rechnung praktisch ein iteratives Verfahren ergibt:                 ... x F x F x F x F x F 4 3 2 1 ges      mit ion Faltoperat :  (4.19) Obige Gleichung ist unter der Berücksichtigung des Kommutativ- und des Assoziativ-Gesetzes anzuwenden:         x F x F x F x F 1 2 2 1    ,(Kommutativgesetz)                 x F x F x F x F x F x F 3 2 1 3 2 1      ,(Assoziativgesetz) Der Mittelwert ges x eines Faltproduktes setzt sich linear aus den Mittelwerten der Ausgleichsverteilungen nach Gl. (4.12) zusammen:    n 1 i i ges x x . Die Faltoperationen beschränken sich nicht nur auf die Faltung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen, sondern es ist auch möglich, Häufigkeitsverteilungen zu falten. <?page no="46"?> Grundlagen der Statistischen Tolerierung 34 Nachfolgend sind einige typische Verteilungen charakterisiert. Man erkennt, dass  die Faltung zweier Rechteckverteilungen mit gleichen Spannweiten eine Dreiecksverteilung ergibt;  die Faltung zweier Rechteckverteilungen mit unterschiedlichen Spannweiten eine Trapezverteilung ergibt;  die Faltung einer Rechteckmit einer Dreiecksverteilung und die Faltung zweier Dreiecksverteilungen ergeben eine Glockenkurve;  die Faltung zweier Dreiecksverteilungen ergibt ebenfalls eine Glockenkurve und  die Faltung zweier Normalverteilungen ergibt wieder eine Normalverteilung. T 1 f (x) 1 a b T =T 1 2 f (x) 2 c d T S f(x) a+c b+d T 1 f (x) 1 a b T 2 f (x) 2 c d T S f(x) a+c b+d b+c a+d T 1 f (x) 1 a b T 2 f (x) 2 T S f(x) T 1 f (x) 1 T 2 f (x) 2 T S f(x) T 1 f (x) 1 T 2 f (x) 2 T S ‹ (T +T ) 1 2 f(x) Verteilung1 Verteilung 2 Ergebnis Dreiecksverteilung Trapezverteilung Glockenkurve Glockenkurve Normalverteilung * * * * * Tabelle 4.7: Verschiedene Verteilungen und deren Faltprodukt e (siehe auch Seite 20) Als Ergebnis der Kombination einer Normalverteilung mit einer anderen beliebigen Verteilung kann näherungsweise eine Normalverteilung angenommen werden. <?page no="47"?> Analyse von Grundproblemen bei der Maßketten-Verknüpfung 35 5 Analyse von Grundproblemen bei der Maßketten-Verknüpfung In den nachfolgenden Beispielen sollen verschiedene Montageprobleme nachgebildet und dabei das Potenzial der Statistischen Tolerierung offen gelegt werden. Ziel der Beispiele ist es auch, exemplarisch zu zeigen, wie mit bestimmten Problemsituationen umzugehen ist. Für die Diskussion wurde eine „Bauklötzchen-Methode“ gewählt, die den Blick auf das Wesentliche lenken soll. In realen technischen Zeichnungen oder Fertigungssituationen kommen die gezeigten Fälle tatsächlich sehr häufig vor. Mit den Beispielen soll exemplarisch auch die Behandlung von Passungsspiel sowie Form- und Lagetoleranzen gezeigt werden. Zusätzlich wurde der Sonderfall „theoretisch exakte Maße“ (nach ISO 1101 = TED) aufgenommen. Tolerierungsbeispiele:  Symbolische Montage mit rechteckig verteilten Sollmaßen  Symbolische Montage mit dreieckig verteilten Sollmaßen  Symbolische Montage mit normal- und dreieckig verteilten Sollmaßen  Symbolische Montage mit normalverteilten Sollmaßen  Exemplarische Toleranzsynthese mit Bauteilfestlegung  Symbolische Montage normalverteilter Sollmaße mit Spiel  Symbolische Montage von Sollmaßen mit Form- und Lagetoleranz  Symbolische Maßabstimmung in einer Baugruppe Bei den durchgerechneten Beispielen wird mit einem Streubereich von s 3   (entspricht 99,73 % Gutteile bzw. 2.700 ppm n.i.O.-Teile) bei den Einzelteiltoleranzen und auch bei der Schließmaßtoleranz gearbeitet. In der Mathematik bezeichnet man dies als den „natürlichen Streubereich“. Mit diesem Streubereich korrespondiert der Prozessfähigkeitsindex 0 , 1 C pk  , der wiederum als untere Grenze der Prozessfähigkeit angesehen wird. Der Prozessfähigkeitsindex 1) lässt sich durch Veränderung des Streubereichs nach Vorgabe des Qualitätsziels beeinflussen. Im Six-Sigma-Engineering strebt man im übertragenen Sinne s 6   bei der Schließmaßtoleranz an. Dies bedingt eine Fehlerrate (Teil passt/ passt nicht) von 6,8 Fällen in Lose von 1 Million Teilen. Hierin ist eine Mittelwertwanderung von s 5 , 1  eingearbeitet, die in Großserienfertigung durch systematische Effekte eintreten kann. Damit bezieht sich die Forderung letztlich auf s 5 , 4   . In der Praxis ist belegt, dass eine derartige Fehlerrate eingehalten werden kann. Die statistische Tolerierung ist in diesem Umfeld ein effektives Mittel, diese Zielsetzung durch Abstimmung der Einzelteile zu erreichen. Hierfür stehen auch die nachfolgenden Beispiele. 1) Anmerkung: s 3   entspricht 0 , 1 C pk  s 4   entspricht 33 , 1 C pk  s 5   entspricht 67 , 1 C pk  s 6   entspricht 0 , 2 C pk  <?page no="48"?> Analyse von Grundproblemen bei der Maßketten-Verknüpfung 36 5.1 Symbolische Montage von rechteckig verteilten Sollmaßen Gewöhnlich werden bei einer Einzelteilfertigung die Maße rechteckvereilt angenommen. Die Ergebnisverteilung von zwei beliebigen Rechteckverteilungen ist eine Trapezverteilung. M = 30±0,05 1 M = 50±0,1 2 M = 80±0,14 0 x 1 T1 x 2 Bauteil 1 M = 80±0,15 (arithmetisch) 0 Bauteil 2 5.1.1 Tolerierungsparameter Die dargestellten Bauteile weisen die folgenden Fertigungsgrößen auf: Nennmaße: 1 N = 30 mm, 2 N = 50 mm Größe der Toleranzfelder: 1 T = 0,1 mm, 1 T = 0,2 mm Erwartungswerte 1) : 1 x = 30 mm, 2 x = 50 mm 5.1.2 Tabellarische Ergebnisübersicht Bezeichnung Formelzeichen Formel Ergebnis Bemerkung Nennschließmaß 0 N 2 1 0 N N N   80 mm Arithmetische Toleranz A T      n 1 i 2 1 i A T T T T 0,3 =  0,15 mm Erwartungswert 0 x 2 1 0 x x x   80 mm 0 N ˆ  Fertigungsstreuung 0 s 12 / T s i i  108 T 5 s 2 0   1 s = 0,02887 mm 2 s = 0,05774 mm 0 s = 0,06454 mm 1/ 2 s : Rechteckverteilung 0 s : Trapezverteilung 2 Statistische Toleranz S T 0,2853 mm =  0,14 mm Statistisch toleriertes Schließmaß 0 M   2 / T x M s 0 0   80  0,14 mm Tabelle 5.1: Verknüpfung zweier rechteckverteilter Bauteile 1) Anmerkung: Falls keine symmetrischen Abmaße vorliegen, sind die i x als Mittenwerte i C zu bilden. Bild 5.1: Rechteckverteilte Istmaße <?page no="49"?> Analyse von Grundproblemen bei der Maßketten-Verknüpfung 37 5.1.3 Toleranzanalyse a) Arithmetische Toleranzrechnung Bestimmung des Nennschließmaßes 2 1 0 N N N   = 30 mm + 50 mm = 80 mm Bestimmung der arithmetischen Schließmaßtoleranz   mm 15 , 0 mm 1 , 0 mm 05 , 0 T T T T n 1 i 2 1 i A           b) Statistisches Schließmaß Bestimmung des Verteilungsmittelwertes des Schließmaßes    2 1 0 x x x 30 mm + 50 mm = 80 mm Hierbei ist angenommen, dass man in der Fertigung immer Mitte Toleranz anstrebt. Der Verteilungsmittelwert ist insofern der Erwartungswert des Schließmaßes. c) Verteilungen Eine Rechteckverteilung drückt aus, dass jedes Maß mit der gleichen Wahrscheinlichkeit im Toleranzraum vorkommt. In der herkömmlichen arithmetischen Toleranzrechnung stellt dies der so genannte „worst case“ (der insgesamt „ungünstigste Fall“) dar. Das Ergebnis der Faltung von zwei Rechteckverteilungen mit ungleichen Spannweiten ist bekanntlich eine Trapezverteilung. Die Auswertung über das Faltprodukt würde bei nur zwei Maßen das identische Ergebnis wie die reine Toleranzaddition zeigen. Hier soll aber nach Möglichkeit ein statistischer Vorteil ausgenutzt werden, und zwar derart, dass die Spannweite des Trapezes nur zu 99,73 % ausgenutzt wird. Dies ist etwa gleichbedeutend wie s 3   bei einer Normalverteilung. Umseitig ist der durchzuführende Faltprozess sichtbar gemacht worden. Zweckmäßig ist es, mit variablen Toleranzgrenzen (a, b, c, d) zu operieren und diese dann zu spezialisieren. Hierbei ist es ausreichend, nur mit den absoluten Toleranzgrenzfeldern (z. B. a = 0, b = T) zu kalkulieren, wodurch die Rechnung vereinfacht wird. Innerhalb der Trapezspannweite kann dann die statistische Toleranz abgesteckt werden. Bei einer Maßkette aus mehr als vier Einzelmaßen lässt sich jedoch auch mit der insgesamt ungünstigen Rechteckverteilung ein kleiner fertigungstechnischer Vorteil herausholen. <?page no="50"?> Analyse von Grundproblemen bei der Maßketten-Verknüpfung 38 d) Toleranzfelder und Faltung Die bauteilspezifischen Toleranzfelder sind mit ihren Wahrscheinlichkeitsdichten dargestellt. f(x) f(y) 1/ T 1 1/ T 2 x y a b G u1 G o1 C 1 1 x C 2 2 x T 1 c d G u2 G o2 T 2 Bild 5.2: Die zwei Rechteckverteilungen der Bauteile Zur Berechnung des resultierenden Toleranzfeldes müssen die beiden vorstehenden Rechteckverteilungen überlagert werden. Dies geschieht durch eine so genannte Faltoperation: f(z) 1/ (d-c) z a+c T = T 1 2 + T b+c a+d b+d P u P O Die Summenfunktion für den Bereich (a + c) < s z < (b + c) ist anzusetzen als                                       c a a z a c a c z c 2 c a 2 z c d a b 1 2 0027 , 0 z F s s 2 2 s . (5.2) f(z) 1/ (d-c) z z = z = ? S T S P U P O F(z) F S Z = X  Y (5.1) Um die weitere Rechnung zu vereinfachen, kann hier gesetzt werden: 1 C = (a + b)  0,5, 2 C = (c + d)  0,5 a = 0, b = 0,1, c = 0, d = 0,2. Bild 5.3: Faltergebnis der beiden Rechteckverteilungen Anmerkung: T F = 100 % (Fläche unterhalb des Trapezes) F(z) = 0,135 % (einseitige Fehlerfläche)  s F 100 % - 2  0,135 % = 99,73 % Bild 5.4: Intervalldarstellung der Flächenanteile <?page no="51"?> Analyse von Grundproblemen bei der Maßketten-Verknüpfung 39 Der Vorteil besteht nun darin, dass über s z ein Mittelbereich s F ausgewiesen ist, in dem in 99,73 % aller Fälle die Schließmaße liegen werden. Für das eingegrenzte Intervall (a + c)  s z  (b + c) gilt somit mit den speziellen Werten:     d b 2 z 2 z d b 1 00135 , 0 z F 2 s 2 s      . (5.3) Daraus folgt: mm 0073485 , 0 mm 2 , 0 mm 1 , 0 00135 , 0 2 d b ) z ( F 2 z s         (5.4) und die statistische Toleranz mm 2853 , 0 mm 0073485 , 0 2 mm 3 , 0 z 2 T T s S        . e) Statistisch toleriertes Schließmaß Aus vorhergehender Rechnung bestimmt sich mm 14 , 0 mm 80 2 T x M S 0 0     gegenüber dem ermittelten arithmetischen Schließmaß    2 T N M A 0 0 80 mm  0,15 mm. Ein nahe liegender Schluss wäre, aus dieser geringen Differenz auf einen nur kleinen Vorteil durch die Statistische Tolerierung zu schließen. Wie zuvor schon ausgeführt wurde, werden größere Effekte aber erst sichtbar bei einer Vielzahl von Maßen oder bei Zugrundlegung von Normalverteilungen, wie die weiteren Beispiele zeigen sollen. <?page no="52"?> Analyse von Grundproblemen bei der Maßketten-Verknüpfung 40 5.2 Symbolische Montage von dreieckig verteilten Sollmaßen Dreiecksverteilungen dienen der Simulation von Kleinserien. Die Ergebnisverteilung von zwei beliebigen Dreiecksverteilungen ist näherungsweise eine Normalverteilung. M = 30±0,05 1 M = 50±0,1 2 M = 80±0,135 (statistisch) 0 Bauteil 1 x 2 T2 x 1 T1 Bauteil 2 Bild 5.5: Dreieckig verteilt anfallende Istmaße 5.2.1 Tolerierungsparameter Nennmaße: 1 N = 30 mm, 2 N = 50 mm Größe der Toleranzfelder: 1 T = 0,1 mm, 2 T = 0,2 mm Erwartungswerte: 1 x = 30 mm, 2 x = 50 mm 5.2.2 Tabellarische Ergebnisübersicht Bezeichnung Formelzeichen Formel Ergebnis Bemerkung Nennschließmaß 0 N 2 1 0 N N N   80 mm Arithmetische Toleranz A T      n 1 i 2 1 i A T T T T 0,3/  0,15 mm Erwartungswert 0 x 2 1 0 x x x   80 mm Fertigungsstreuung 0 s   6 2 / T s i i     2 1 i 2 i 0 s s 1 s = 0,02041 mm 2 s = 0,04082 mm 0 s = 0,0456 mm 1/ 2 s : Dreiecksverteilung 0 s : Normalverteilung Statistische Toleranz S T 0 S s 6 T   0,2736 mm =  0,135 mm für s 3   Statistisch toleriertes Schließmaß 0 M   / 2 T x M S 0 0   80  0,135 mm Tabelle 5.2: Verknüpfung zweier dreieckig verteilter Bauteile <?page no="53"?> Analyse von Grundproblemen bei der Maßketten-Verknüpfung 41 5.2.3 Toleranzanalyse a) Arithmetische Toleranzrechnung Bestimmung des Nennschließmaßes    2 1 0 N N N 30 mm + 50 mm = 80 mm Bestimmung der arithmetischen Schließmaßtoleranz   mm 15 , 0 mm 1 , 0 mm 05 , 0 T T T T n 1 i 2 1 i A           b) Statistischer Mittelwert Bestimmung des Erwartungswertes bzw. Schließmaßes    2 1 0 x x x 30 mm + 50 mm = 80 mm c) Statistische Toleranzrechnung Bei Dreiecksverteilungen gilt bekanntlich der Zusammenhang: mm 02041 , 0 6 2 mm 1 , 0 6 2 T s 1 1    , mm 04082 , 0 6 2 mm 2 , 0 6 2 T s 2 2    . Für die Überlagerung von zwei Dreieckverteilungen kann näherungsweise das Abweichungsfortpflanzungsgesetz herangezogen werden     mm 0456 , 0 mm 04082 , 0 mm 02041 , 0 s s 2 2 2 1 i 2 i 0       . d) Statistische Toleranz Für die Streuweite der Schließmaßtoleranz soll hier 0 s 3   angesetzt werden. Damit ergibt sich die statistische Toleranz zu mm 2736 , 0 mm 0456 , 0 6 s 6 T 0 S      . e) Statistisch toleriertes Schließmaß mm 135 , 0 mm 80 2 T x M S 0 0     <?page no="54"?> Analyse von Grundproblemen bei der Maßketten-Verknüpfung 42 5.3 Symbolische Montage von normal- und dreieckig verteilten Sollmaßen In der Praxis kommt oft die Montage von in Eigenfertigung hergestellten Kleinserienteilen mit Großserienteilen (z. B. Normteile) vor. Die Überlagerung führt im Ergebnis zu einer Normalverteilung. M = 30±0,05 1 M = 50±0,1 2 M = 80±0,13 0 Bauteil 1 x 1 T1 x 2 2 T Bauteil 2 5.3.1 Tolerierungsparameter Nennmaße: 1 N = 30 mm, 2 N = 50 mm Größe der Toleranzfelder: 1 T = 0,1 mm, 2 T = 0,2 mm Erwartungswerte: 1 x = 30 mm, 2 x = 50 mm 5.3.2 Tabellarische Ergebnisübersicht Bezeichnung Formelzeichen Formel Ergebnis Bemerkung Nennschließmaß 0 N 2 1 0 N N N   80 mm Arithmetische Toleranz A T      n 1 i 2 1 i A T T T T  0,15 mm Erwartungswert 0 x 2 1 0 x x x   80 mm Fertigungsstreuung 0 s        2 1 i 2 i 0 2 2 1 1 s s 6 2 / T s 6 / T s 1 s = 0,01667 mm 2 s = 0,04082 mm 0 s = 0,04409 mm 1/ 2 s : Normal- und Dreiecksverteilung 0 s : Normalverteilung Statistische Toleranz S T 0 S s 6 T   0,2645 mm =  0,13 mm für s 3   Statistisch toleriertes Schließmaß 0 M   2 / T x M S 0 0   80  0,13 mm Tabelle 5.3: Verknüpfung eines normal- und eines dreiecksverteilten Bauteils Bild 5.6: Normal- und dreieckig verteilte Istmaße <?page no="55"?> Analyse von Grundproblemen bei der Maßketten-Verknüpfung 43 5.3.3 Toleranzanalyse a) Arithmetische Toleranzrechnung Bestimmung des Nennschließmaßes    2 1 0 N N N 30 mm + 50 mm = 80 mm Bestimmung der arithmetischen Schließmaßtoleranz   mm 15 , 0 mm 1 , 0 mm 05 , 0 T T T T n 1 i 2 1 i A           b) Statistischer Mittelwert Bestimmung des Erwartungswertes    2 1 0 x x x 30 mm + 50 mm = 80 mm c) Statistische Toleranzrechnung Für die Normalverteilung und die Dreiecksverteilung gilt jeweils: . mm 04082 , 0 6 2 mm 2 , 0 6 2 T s , mm 01667 , 0 6 mm 1 , 0 6 T s 2 2 1 1       Als Ergebnis kann eine Normalverteilung angenommen werden:     mm 04409 , 0 mm 04082 , 0 mm 01667 , 0 s s 2 2 2 1 i 2 i 0       . d) Statistische Toleranz Unter Annahme von 0 s 3   ist anzusetzen: . mm 2645 , 0 mm 04409 , 0 6 s 6 T 0 S      e) Statistisch toleriertes Schließmaß mm 13 , 0 mm 80 2 T x M S 0 0     <?page no="56"?> Analyse von Grundproblemen bei der Maßketten-Verknüpfung 44 5.4 Symbolische Montage von normalverteilten Sollmaßen Die Montage von zwei normalverteilten Großserienbauteilen führt im Ergebnis wieder zu einer Normalverteilung. M = 30±0,05 1 M = 50±0,1 2 M = 80±0,15 (arithmetisch) 0 M = 80±0,11 (statistisch) 0 Bauteil 1 Bauteil 2 x 1 T1 x 2 2 T 5.4.1 Tolerierungsparameter Nennmaße: 1 N = 30 mm, 2 N = 50 mm Größe der Toleranzfelder: 1 T = 0,1 mm, 2 T = 0,2 mm Erwartungswerte: 1 x = 30 mm, 2 x = 50 mm 5.4.2 Tabellarische Ergebnisübersicht Bezeichnung Formelzeichen Formel Ergebnis Bemerkung Nennschließmaß 0 N 2 1 0 N N N   80 mm Arithmetische Toleranz A T      n 1 i 2 1 i A T T T T  0,15 mm Erwartungswert 0 x 2 1 0 x x x   80 mm Fertigungsstreuung 0 s     2 1 i 2 i 0 i i s s 6 / T s 1 s = 0,01667 mm 2 s = 0,0333 mm 0 s = 0,0373 mm 1/ 2 s : Normalverteilungen 0 s : Normalverteilung Statistische Toleranz S T 0 q S s 6 T T    0,2238 mm =  0,11 mm für s 3   Statistisch toleriertes Schließmaß 0 M   2 / T x M S 0 0   80  0,11 mm Tabelle 5.4: Verknüpfung zweier normalverteilter Bauteile Bild 5.7: Normalverteilt anfallende Istmaße <?page no="57"?> Analyse von Grundproblemen bei der Maßketten-Verknüpfung 45 5.4.3 Toleranzanalyse a) Arithmetische Toleranzrechnung Bestimmung des so genannten Nennschließmaßes und der arithmetischen Toleranz    2 1 0 N N N 30 mm + 50 mm = 80 mm   mm 15 , 0 mm 1 , 0 mm 05 , 0 T T T T n 1 i 2 1 i A           b) Statistischer Mittelwert Der statistische Mittelwert entspricht dem Erwartungswert (= häufigsten Wert)    2 1 0 x x x 30 mm + 50 mm = 80 mm c) Statistische Toleranzrechnung Für die beiden Normalverteilungen ist bei   ppm 700 . 2 ˆ 0 , 1 C pk   anzusetzen: . mm 0333 , 0 6 mm 2 , 0 6 T s , mm 01667 , 0 6 mm 1 , 0 6 T s 2 2 1 1       Die Gesamtstreuung kann hier wieder über das Abweichungsfortpflanzungsgesetz bestimmt werden:      mm 0373 , 0 mm 0333 , 0 mm 01667 , 0 s s 2 2 2 1 i 2 i 0       . d) Statistische Toleranz bzw. Größe des Toleranzfeldes mm 2238 , 0 mm 0373 , 0 6 s 6 s u 3 T 0 0 0 S         e) Statistisch toleriertes Schließmaß mm 11 , 0 mm 80 2 T x M S 0 0     Interpretation: Mit der Annahme von 2.700 ppm für die beiden Einzelteile, liegt auch das Schließmaß M 0 mit  1.350 ppm innerhalb von S T . <?page no="58"?> Analyse von Grundproblemen bei der Maßketten-Verknüpfung 46 5.5 Symbolische Montage von normalverteilten Sollmaßen Als Ergebnis von vier normalverteilten Großserienteilen kann für das Schließmaß   0 M eine sehr gut ausgeprägte Normalverteilung erwartet werden. M = 50±0,2 4 M = 140±0,46 (arithmetisch) 0 M = 140±0,27 (statistisch) 0 M = 30±0,15 1 Bauteil 1 M = 20±0,01 2 M = 40±0,1 3 Bauteil 2 Bauteil 3 x 1 T1 x 2 2 T x 3 3 T x 4 4 T Bauteil 4 Bild 5.8: Vier normalverteilte Serienbauteile 5.5.1 Tolerierungsparameter Nennmaße: 1 N = 30 mm, 2 N = 20 mm, 3 N = 40 mm, 4 N = 50 mm Toleranzfelder: 1 T = 0,3 mm, 2 T = 0,02 mm, 3 T = 0,2 mm, 4 T = 0,4 mm Erwartungswerte: 1 x = 30 mm, 2 x = 20 mm, 3 x = 40 mm, 4 x = 50 mm 5.5.2 Tabellarische Ergebnisübersicht Bezeichnung Formelzeichen Formel Ergebnis Bemerkung Nennschließmaß 0 N    n 1 i i 0 N N 140 mm Arithmetische Toleranz A T    n 1 i i A T T  0,46 mm Erwartungswert 0 x    n 1 i i 0 x x 140 mm Fertigungsstreuung 0 s     4 2 i 2 i 0 i i s s 6 / T s 1 s = 0,05 mm 2 s = 0,00333 mm 3 s = 0,0333 mm 4 s = 0,0667 mm 0 s = 0,0898 mm 1/ 2/ 3/ 4 s : Normalverteilungen 0 s : Normalverteilung Statistische Toleranz S T 0 q S s 6 T T    0,5388 mm =  0,27 mm für s 3   Statistisch toleriertes Schließmaß 0 M   2 / T M S 0 0 x   140  0,27 mm Tabelle 5.5: Verknüpfung von vier normalverteilten Istmaßen <?page no="59"?> Analyse von Grundproblemen bei der Maßketten-Verknüpfung 47 5.5.3 Toleranzanalyse a) Arithmetische Toleranzrechnung Bestimmung des Nennschließmaßes      4 3 2 1 0 N N N N N 30 mm + 20 mm + 40 mm + 50 mm = 140 mm Bestimmung der arithmetischen Schließmaßtoleranz   mm 46 , 0 mm 2 , 0 mm 1 , 0 mm 01 , 0 mm 15 , 0 T T T T T T n 1 i 4 3 2 1 i A               b) Statistischer Mittelwert Bestimmung des Erwartungswertes nach dem Mittelwertsatz      4 3 2 1 0 x x x x x 30 mm + 20 mm + 40 mm + 50 mm = 140 mm c) Statistische Toleranzrechnung Für die Normalverteilungen ist anzusetzen: . mm 0667 , 0 6 mm 4 , 0 6 T s , mm 0333 , 0 6 mm 2 , 0 6 T s , mm 00333 , 0 6 mm 02 , 0 6 T s , mm 05 , 0 6 mm 3 , 0 6 T s 4 4 3 3 2 2 1 1             Die Gesamtstreuung wird über das Abweichungsfortpflanzungsgesetz gebildet zu         mm 0898 , 0 mm 0667 , 0 mm 0333 , 0 mm 00333 , 0 mm 05 , 0 s s 2 2 2 2 4 1 i 2 i 0         . d) Statistische Toleranz mm 5388 , 0 mm 0898 , 0 6 s 6 s u 3 T 0 0 0 S         e) Statistisch toleriertes Schließmaß mm 27 , 0 mm 140 2 T x M S 0 0     <?page no="60"?> Analyse von Grundproblemen bei der Maßketten-Verknüpfung 48 5.5.4 Sensitivitätsanalyse Das Schließmaß über die dargestellten vier Bauteile wird durch die lineare Funktion ) x ( f x x x x x 4 3 2 1 0      gebildet. Nach Gauß (bzw. entsprechend nach Taylor) kann die Sensitivität einer Funktion über das Abweichungsfortpflanzungsgesetz getestet werden, d. h., die Bewertung erfolgt über die Varianzanteile 3 3 3 5 3 2 4 2 3 2 2 2 1 2 0 10 05 , 8 10 45 , 4 10 09 , 1 10 12 , 1 10 5 , 2 s s s s s                    . In dieser Gleichung erkennt man natürlich, dass die Gesamtstreuung nur auf große Toleranzen reagiert und kleine Toleranzen faktisch vernachlässigbar sind. Als pragmatischen Begriff hierfür hat man in der Praxis den Ansatz der „Beitragsleister“ für die Auswirkung einer Toleranz auf die Gesamttoleranz geprägt. Für das vorstehende Beispiel sind die Verhältnisse wie folgt zu bilden: [%] 100 s s B 2 0 2 i T i   Beitragsleister Einzelbeitrag 100 s s B 2 0 2 1 1 T   31 % 100 s s B 2 0 2 2 2 T   0,14 % 100 s s B 2 0 2 3 3 T   13,54 % 100 s s B 2 0 2 4 4 T   55,27 % Tabelle 5.6: Übersicht über die einzelnen Beitragsleister Erkenntnis hieraus ist: Toleranzen sollten in einer Montage etwa die gleiche Größenordnung besitzen. Kleine Toleranzen werden numerisch „ausgelöscht“. Die Toleranz des Bauteils 2 sollte daher überprüft werden. Diese kann mit großer Wahrscheinlichkeit ohne Einfluss auf die Funktion vergrößert werden. Das Erweiterungspotenzial lässt sich über den Toleranzerweiterungsfaktor: S A T / T e  abschätzen. <?page no="61"?> Analyse von Grundproblemen bei der Maßketten-Verknüpfung 49 5.6 Symbolische Montage normalverteilter Sollmaße mit Spiel Oft müssen Bauteile mit Spiel montiert werden. Zweckmäßig ist es dann, Längenmaße und Spiel getrennt zu behandeln. M = 50±0,2 2 M = 30±0,05 1 Bauteil 1 M = 20±0,1 3 Bauteil 3 M 0 M = 10 4 H8 f7 H8: f 7: +22 µm 0 -13 µm -28 µm x 1 T1 x 2 2 T x 3 3 T Bauteil 2 5.6.1 Tolerierungsparameter Nennmaße: 1 N = 30 mm, 2 N = 50 mm, 3 N = 20 mm Toleranzfelder: 1 T = 0,1 mm, 2 T = 0,4 mm, 3 T = 0,2 mm Erwartungswerte: 1 x = 30 mm, 2 x = 50 mm, 3 x = 20 mm 5.6.2 Tabellarische Ergebnisübersicht Bezeichnung Formelzeichen Formel Ergebnis Bemerkung Nennschließmaß 0 N    n 1 i i 0 N N 100 mm Arithmetische Toleranz A T    n 1 i i A T T  0,375 mm Arithmetisches Schließmaß 0 M 375 , 0 100  mm Erwartungswert der Längenmaße L 0 x    n 1 i i L 0 x x 100 mm Verteilungsmittelwert des Passungsspiels SP 0 x 2 / T x SP SP 0  0,01575 mm Gesamtmittelwert der Maßkette 0 x SP 0 L 0 0 x x x   100,01575 mm Fertigungsstreuung 0 s     4 1 i 2 i 0 i i s s 6 / T s 1 s = 0,01667 mm 2 s = 0,06667 mm 3 s = 0,03334 mm B 4 s = 0,003667 mm W 4 s = 0,0025 mm 0 s = 0,0765 mm 1/ 2/ 3 s : Längenmaße 4 s : Passung Bild 5.9: Normalverteilte Istmaße mit Spiel. Tolerierung ISO 14405 <?page no="62"?> Analyse von Grundproblemen bei der Maßketten-Verknüpfung 50 Bezeichnung Formelzeichen Formel Ergebnis Bemerkung Statistische Toleranz S T 0 S s 6 T   0,4591 mm =  0,23 mm für s 3   Statistisch toleriertes Schließmaß 0 M 2 / T M S 0 0 x   100,01575  0,23 mm Tabelle 5.7: Verknüpfung normalverteilter Istmaße mit Spiel 5.6.3 Toleranzanalyse a) Arithmetische Toleranzrechnung Bestimmung des Nennschließmaßes mm 100 mm 0 mm 20 mm 50 mm 30 N N N N N 4 3 2 1 0          Für ein Spiel ist im Allgemeinen anzusetzen: 2 / 05 , 0 2 / T i 0 0 M     , d. h. . 0 N N 4 i   Arithmetische Toleranz unter Berücksichtigung einer Mini-/ Max-Betrachtung in der Passung                                n 1 i u 4 u 3 u 2 u 1 iu Au n 1 i o 4 o 3 o 2 o 1 io Ao mm 3750 , 0 2 / mm 05 , 0 mm 1 , 0 mm 2 , 0 mm 05 , 0 T T T T T T , mm 3750 , 0 2 / mm 05 , 0 mm 1 , 0 mm 2 , 0 mm 05 , 0 T T T T T T Damit erhält man für das arithmetische Schließmaß mm 625 , 99 M , mm 375 , 100 M , 100 M Gu Go 375 , 0 0     . b) Statistische Mittelwerte Die Erwartungswerte der Längenmaße und des Spiels werden zweckmäßigerweise getrennt ermittelt.  Erwartungswerte der Längenmaße:     3 2 1 L 0 x x x x 30 mm + 50 mm + 20 mm = 100 mm <?page no="63"?> Analyse von Grundproblemen bei der Maßketten-Verknüpfung 51  Erwartungswert des Passungsspiels: mm 01575 , 0 2 mm 0315 , 0 2 T x , mm 0315 , 0 2 mm 972 , 9 mm 987 , 9 2 mm 10 mm 022 , 10 2 G G 2 G G T SP oSP uWelle oWelle . uBohr . oBohr SP                              Gesamtmittelwert der Maßkette:    oSP L 0 0 x x x 100 mm + 0,01575 = 100,01575 mm c) Statistische Toleranzrechnung Für die Längenmaße ist anzusetzen: . mm 0333 , 0 6 mm 2 , 0 6 T s , mm 06667 , 0 6 mm 4 , 0 6 T s , mm 01667 , 0 6 mm 1 , 0 6 T s 3 3 2 2 1 1          Für die Passung ist entsprechend anzusetzen: mm 0025 , 0 6 mm 015 , 0 6 T s , mm 003667 , 0 6 mm 022 , 0 6 T s 5 Welle 4 4 . Bohr 4       . Für die Normalverteilung gilt dann           . mm 0765 , 0 mm 0025 , 0 mm 003667 , 0 mm 0333 , 0 mm 0667 , 0 mm 01667 , 0 s s s s s s 2 2 2 2 2 2 Welle 4 2 . Bohr 4 2 3 2 2 2 1 0            d) Toleranzfeld des Schließmaßes mm 23 , 0 mm 4591 , 0 mm 0765 , 0 6 s 6 T 0 S        e) Schließmaß sowie Höchst- und Kleinstmaß 23 , 0 mm 01575 , 100 2 T x M S 0 0     mit mm 24575 , 100 M Go  , mm 78575 , 99 M Gu  <?page no="64"?> Analyse von Grundproblemen bei der Maßketten-Verknüpfung 52 5.7 Symbolische Montage zweier Sollmaße mit Form- und Lagetoleranz Eine in der Praxis oft bestehende Unsicherheit liegt in der Behandlung von Form- und Lagetoleranzen. Da diese über verschiedenartige Verteilungen verfügen, sind Form- und Lagetoleranzen als eigenständige Maßgrößen zu behandeln. Ihr Einfließen in eine Maßkette ist vom verwandten Tolerierungsgrundsatz (Hüll- oder Unabhängigkeitsprinzip) abhängig. M = 30±0,1 1 M = 50±0,2 2 Bauteil 1 x=0 x F 0,15 Bauteil 2 1 1 T , x 2 2 T , x ISO 8015 (Unabhängigkeitsprinzip) E A A 5.7.1 Tolerierungsparameter Spezifikationsgrößen der zu montierenden Bauteile: Nennmaße: 1 N = 30 mm, 2 N = 50 mm, 3 N = 0 mm Toleranzfelder: 1 T = 0,2 mm, 2 T = 0,4 mm, 3 T = 0,15 mm Erwartungswerte: 1 x = 30 mm, 2 x = 50 mm, 3 x = F x 5.7.2 Tabellarische Ergebnisübersicht Bezeichnung Formelzeichen Formel Ergebnis Bemerkung Nennschließmaß 0 N    n 1 i i 0 N N 80 mm Arithmetische Toleranz A T    n 1 i i A T T  0,30 mm Arithmetisches Schließmaß 0 M 30 , 0 30 , 0 80  mm Erwartungswert 0 x    n 1 i i 0 x x 80,04 mm Fertigungsstreuung 0 s 2 2 2 F 2 1 0 i i s s s s 6 / T s     F s = 0,03 mm 1 s = 0,03334 mm 2 s = 0,06667 mm 0 s = 0,0989 mm BNV1 NV Statistische Toleranz S T 0 S s 6 T   0,59 mm für s 3   Statistisch toleriertes Schließmaß 0 M   2 / T x M S 0 0   80,04  0,296 mm Tabelle 5.8: Verknüpfung normalverteilter Istmaße mit Lagetoleranz Bild 5.10: Symbolischer Verbau von zwei Bauteilen mit normalverteilten Istmaßen und betragsnormalverteilter Lagetoleranz. Die Hülle mit „E“ darf nicht überschritten werden. <?page no="65"?> Analyse von Grundproblemen bei der Maßketten-Verknüpfung 53 5.7.3 Toleranzanalyse Die Lagetoleranz „Rechtwinkligkeit“ ist entsprechend der möglichen Lageausbildung als eigenständiges Maß anzusetzen: 15 , 00 r 3 0 M   , ein Bauteil darf nach Norm sein Höchstmaß aufweisen und zusätzlich seine F+L-Toleranz voll ausnutzen. Bei Passmaßen ist dies zu berücksichtigen. a) Arithmetische Toleranzrechnung Bestimmung des Nennschließmaßes     r 3 2 1 0 N N N N 30 mm + 50 mm - 0 mm = 80 mm Arithmetische Mini-/ Max-Toleranzen *)     mm 30 , 0 mm 0 mm 2 , 0 mm 1 , 0 T T T T T , mm 30 , 0 mm 0 mm 2 , 0 mm 1 , 0 T T T T T n 1 i rw 3 u 2 u 1 iu Au n 1 i rw 3 o 2 o 1 io Ao                        Arithmetisches Schließmaß 30 , 0 30 , 0 80 M 0   . b) Statistische Toleranzrechnung mit Rechtwinkligkeitstoleranz Entsprechend zu den Maßverteilungen weisen die F+L-Toleranzen auch Verteilungen auf. Ein besonderes Merkmal ist, dass F+L-Toleranzen vorhanden oder nicht vorhanden sind. Lagetoleranzen fallen nur in eine Richtung (ohne Nulllage, aber mit Häufigkeitszentrum), bzw. Formtoleranzen können einseitig oder zweiseitig (mit Nulllage) ausfallen. Formbzw. Lagetoleranzen sind meist „betragsnormalverteilt“ (BNV1 nach / STR 92/ ), dies gilt insofern auch für die Rechtwinkligkeitsabweichung. Hierfür ist somit anzusetzen: mm 05 , 0 3 mm 15 , 0 3 T s F    , (5.5) mm 04 , 0 28 , 6 mm 05 , 0 2 2 s 2 x F       , (5.6) mm 03 , 0 mm 05 , 0 2 1 s 2 1 s F                  . (5.7) *) Anmerkung: Bei M 1o =30,1 fällt T 3rw nach innen, bei M 1u =29,9 fällt T 3rw nach außen. Insofern hat die Parallelitätstoleranz bei der arithmetischen Rechnung keinen Einfluss. <?page no="66"?> Analyse von Grundproblemen bei der Maßketten-Verknüpfung 54 x = 0 x F BNV (= s ) F NV (= s) x f(x) s 3 T F   Bild 5.11: Betragsnormalverteilung BNV1, beispielsweise für die Rechtwinkligkeitstoleranz Erwartungswert *) der Maßkette     2 F 1 0 x x x x 30 mm + 0,04 mm + 50 mm = 80,04 mm c) Fertigungsstreuungen Berücksichtigung der Maßstreuungen und der zusätzlichen Lagestreuung für die Längenmaße mm 06667 , 0 6 mm 4 , 0 6 T s , mm 03333 , 0 6 mm 2 , 0 6 T s 2 2 1 1       und somit für die Gesamtstreuung       0989 , 0 06667 , 0 03 , 0 03333 , 0 s s s s 2 2 2 2 2 2 F 2 1 0        . d) Statistische Toleranz (für s 3   ) mm 59 , 0 mm 0989 , 0 6 s 6 T 0 S      e) Statistisch toleriertes Schließmaß mm 295 , 0 mm 04 , 80 2 T x M S 0 0     . Dieses Beispiel soll zeigen, dass die F+L-Toleranz oft nicht vernachlässigt werden darf. *) Anmerkung: Bei Vereinbarung der ISO 8015 darf ein Geometrieelement (Zylinder oder Element mit gegenüberliegenden parallelen Flächen) sein „Maximum-Material-Maß“ und seine „Form- oder Lagetoleranz“ voll ausnutzen. Dennoch darf die Zweipunkt-Messbedingung nicht verletzt werden. <?page no="67"?> Analyse von Grundproblemen bei der Maßketten-Verknüpfung 55 5.7.4 Form- und Lagetoleranzen Mit F+L-Toleranzen bezeichnet man Abweichungen bezüglich der Form, des Profils und der Lage von Geometrieelementen von ihrer idealen Sollgeometrie. Die einzelnen Formen und Lagen mit ihren Symbolen und Toleranzzonen sind in der DIN ISO 1101: 2013 festgelegt worden. Charakteristik ist, das F+L-Toleranzen nur zusammen mit Längenmaßen auftreten und diese gewöhnlich symmetrische Toleranzfelder haben. Möglich ist aber auch, dass F+L-Toleranzen einseitig fallen bzw. sich einseitig auswirken. Bei einseitigen Toleranzen tritt hingegen die zuvor eingeführte Betragsnormalverteilung (BNV) auf. Vereinfacht kann man dies als „halbe“ Normalverteilung auffassen. In der nebenstehenden Abbildung ist eine Zuordnung von Verteilungen erfolgt. Geometriemerkmal Verteilungstyp Längenmaße NV Form Symbol tolerierte Eigenschaften Symbol tolerierte Eigenschaften Geradheit Ebenheit Rundheit Zylinderform BNV1 Linienform Flächenform NV Richtung Parallelität Rechtwinkligkeit BNV1 Winkligkeit Linienform Flächenform NV Ort Position Koaxialität, Konzentrizität 2-D/ 3-D-NV Symmetrie Linienform Flächenform NV Dynamischer Lauf Gesamtrundlauf einfacher Lauf/ Schlag BNV1 Rauheit BNV1 Unwucht BNV2 Drehmoment NV Bild 5.12: Verteilungsformen zur Simulation von F+L-Toleranzen (NV und BNV1 = 2-D, 3-D-NV = 3-D-Normalverteilung) <?page no="68"?> Analyse von Grundproblemen bei der Maßketten-Verknüpfung 56 5.8 Sollmaßabstimmung für eine Baugruppenfunktionalität Ein bei der Baugruppenmontage sehr häufig vorkommendes Problem besteht in der Einhaltung vorgegebener Funktionsspiele unter Berücksichtigung von Maßabweichungen und Form- und Lagetoleranzen. Im vorliegenden Fall soll ein Basisteil weitere drei Bauteile aufnehmen und so abgestimmt werden, dass möglichst ein Mindestfunktionsspiel von 0 M 0  bis maximal 2,0 mm gesichert ist, wenn die Positionstoleranz voll ausgenutzt wird. M = 50 1 ± 0,3 M 4 A 0,4 A M = 30 2 ± 0,2 M = 20 3 ± 0,1 0 < M 0 2,0 < Bauteil 1 Bauteil 4 Bauteil 2 Bauteil 3 x 1 x 2 x 3 TED ISO 8015 Bild 5.13: Passgenaue Serienmontage mit streuenden Maß- und Geometriemerkmalen 5.8.1 Tolerierungsparameter Die in die Montage eingehenden Fertigungsgrößen seien folgendermaßen festgelegt: Nennmaße Toleranzfelder Erwartungswerte mm 20 N mm 30 N mm 50 N 3 2 1    mm 2 , 0 T mm 4 , 0 T mm 6 , 0 T 3 2 1    mm 20 x mm 30 x mm 50 x 3 2 1    abzustimmendes Funktionsmaß ? M 4  Die angegebene Positionstoleranz hat ein symmetrisches Toleranzfeld (NV). Die Mitte des Toleranzfeldes wird durch das „theoretisch exakte Maß (TED)“ festgelegt. <?page no="69"?> Analyse von Grundproblemen bei der Maßketten-Verknüpfung 57 Geometriemaß 0 N ps 4    2 , 0 4 , 0 t ps 4    0 x ps 4  . 5.8.2 Toleranzanalyse a) Arithmetische Toleranzrechnung Maßkettengleichung   ps 4 4 3 2 1 0 M M M M M M       ; 0 M wird kleiner, wenn 2 / t ps 4  auftritt! Maßabstimmung Wenn die Bauteilmaße , M 1 2 M und 3 M am größten sind und die Positionstoleranz ) 4 , 0 t ( ps 4   ungünstig ausgenutzt wird, muss zur Montage noch ein Spiel 0 M vorhanden sein: 3 o 2 o 1 o ps 4 4 min 0 G G G 2 t M M      bzw. umgestellt nach mm 80 , 100 1 , 20 2 , 30 3 , 50 2 , 0 0 M 4       gewählt mm 101 M TED 4  . Spielkontrolle , mm 8 , 1 G G G 2 t M M , mm 2 , 0 G G G 2 t M M 3 u 2 u 1 u ps 4 4 max 0 3 o 2 o 1 o ps 4 4 min 0             d. h., beide Spieleinstellungen sind zulässig und die Montage ist gewährleistet. Das Schließmaß kann somit auch angegeben werden zu mm 0 , 1 C M 8 , 0 2 / A T 0     bzw. mm 6 , 1 T A  . <?page no="70"?> Analyse von Grundproblemen bei der Maßketten-Verknüpfung 58 b) Statistische Toleranzrechnung Neben dem zuvor schon mehrfach gezeigten Lösungsweg über das Abweichungsfortpflanzungsgesetz ist bei Maßketten mit ausschließlich normalverteilten Maßen auch die „quadratische Toleranzrechnung“ zulässig. Aus dem Abweichungsfortpflanzungsgesetz leitet sich nämlich ab: 6 T s mit , s s s s s s i i 2 ps 4 2 4 2 3 2 2 2 1 2 0               mm 42 , 0 84 , 0 72 , 0 4 , 0 0 2 , 0 4 , 0 6 , 0 T T T T T T 2 2 2 2 2 ps 4 2 4 2 3 2 2 2 1 S               (5.8) mit 42 , 0 0 , 1 M 0   wird somit immer ein ausreichendes Montagespiel vorliegen. c) Berücksichtigung einer erhöhten Prozesssicherheit In der Praxis werden Bauteile oftmals in speziellen Prozessen mit einer höheren Anforderung an die Prozesssicherheit hergestellt. Die Toleranzen werden dann innerhalb des Prozesspotenzials eingeschränkt, und zwar durch   s 6 f T p C    mit 0 , 1 f 0 , 1 p C   (5.9) 75 , 0 f 33 , 1 p C    59 , 0 f 67 , 1 p C   Unter der Annahme, dass einige Bauteile mit 33 , 1 C p  einfließen sollen, ergibt sich somit         6325 , 0 4 , 0 0 , 1 0 2 , 0 75 , 0 4 , 0 75 , 0 6 , 0 0 , 1 T 2 2 2 2 2 S           bzw. . mm 398 , 0 79 , 0 T S    Für das Schließmaß findet sich sodann . mm 0 , 1 M 40 , 0 0   Hiermit ist eine Einschränkung in der Ausnutzbarkeit einzelner Toleranzfehler verbunden, welches jedoch eine höhere Sicherheit für die Einhaltung des Montagespiels bedeutet. <?page no="71"?> Analyse von Grundproblemen bei der Maßketten-Verknüpfung 59 5.9 Übergreifendes Beispiel zur Toleranzanalyse Dem konventionellen Toleranzmodell liegt bekanntlich die Vorstellung der absoluten Austauschbarkeit zu Grunde. Ein Konstrukteur wird danach eine Baugruppe so tolerieren, dass eine Montage in jedem Fall möglich ist. Hierzu simuliert er bei allen Funktionsmaßen den „worst case“, d. h., er kontrolliert die Funktion bei einer Extremallage der Toleranzen. Dazu werden jeweils die oberen und unteren Grenzmaße oi i oi A N G   (5.10) und ui i ui A N G   (5.11) gebildet und in einer Maßkette berücksichtigt. 5.9.1 Montagesituation Im Bild 5.14 ist der Rückwärtsgang in einem PKW-Getriebe gezeigt. Die arithmetische Toleranzberechnung zeigt ein mögliches Montageproblem, welches statistisch weiter analysiert werden soll. M = 106,5 4 +0,2 0 M = 1,3 = 1,3 5 H13 +0,14 0 Ø25 M = 51 1 +0,2 -0,1 M = 43,2±0,15 2 M = 12±0,05 3 M 0 M = 1,2 = 1,2 6 h11 0 -0,06 +0,1 Bild 5.14: Einbausituation beim Rückwärtsgang eines Schaltgetriebes <?page no="72"?> Analyse von Grundproblemen bei der Maßketten-Verknüpfung 60 5.9.2 Aufstellung des Maßplans M 4 M 3 M 2 M 1 M 0 M 6 M 5 + - Bild 5.15: Maßrichtungen bei der Montage 5.9.3 Arithmetische Tolerierung Das zu bearbeitende Beispiel zeigt eine einfache Situation für eine Schließmaß- und Schließtoleranzbestimmung. Es soll sich hier um eine Loslagerung handeln, bei der Spiel zwischen dem Sicherungsring und dem Lager vorhanden sein muss. Demnach kann die Maßkettengleichung wie folgt aufgestellt werden: Maßkettengleichung    0 Schließmaß Nennmaße (5.12) Nennschließmaß Unter Berücksichtigung der sich aus dem Maßplan ergebenden Richtungen findet sich nach Bild 5.15 für das Nennschließmaß: . mm 4 , 0 mm 2 , 1 mm 12 mm 2 , 43 mm 51 mm 3 , 1 mm 5 , 106 N , N N N N N N N 0 6 3 2 1 5 4 0              Größtmaß des Schließmaßes Das Größtmaß des Schließmaßes stellt sich danach ein, wenn die Größtmaße aller positiven Maße und die Kleinstmaße aller negativen Maße aufeinandertreffen:       ui oi O G G P , (5.13)         . mm 1 , 1 mm 14 , 1 mm 95 , 11 mm 05 , 43 mm 9 , 50 mm 44 , 1 mm 7 , 106 P , G G G G G G P O 6 u 3 u 2 u 1 u 5 o 4 o O              Mit 6 5 4 3 2 1 0 M M M M M M M        <?page no="73"?> Analyse von Grundproblemen bei der Maßketten-Verknüpfung 61 Kleinstmaß des Schließmaßes Das Kleinstmaß des Schließmaßes stellt sich ein, wenn die Kleinstmaße aller positiven Maße und die Größtmaße aller negativen Maße aufeinandertreffen:       oi ui U G G P , (5.14)         . mm 0 , 0 mm 2 , 1 mm 05 , 12 mm 34 , 43 mm 2 , 51 mm 3 , 1 mm 5 , 106 G G G G G G P 6 o 3 o 2 o 1 o 5 u 4 u U              Arithmetische Toleranz Somit folgt für die Größe des Toleranzfeldes U O A P P T   = 1,1 mm - 0 mm = 1,1 mm. Arithmetisches Schließmaß mm 4 , 0 N M 7 , 0 4 , 0 T T 0 0 1 A 2 A    Das Mittenmaß ist hier beispielsweise 0 C = 0,55 mm. Mit den bestimmten Maßen ergeben sich somit die folgenden Abmaße: 0 O A1 N P T   = 1,1 mm - 0,4 mm = 0,7 mm und 0 U A2 N P T   = 0 mm - 0,4 mm = -0,4 mm, womit die Toleranz bestimmt ist. 5.9.4 Statistische Tolerierung Die Statistische Tolerierung geht regelmäßig über die Fragestellung einer „normalen” Tolerierung hinaus und ermöglicht es, alternativ  bei gegebenen Einzeltoleranzen mit einer weiten Schließmaßtoleranz oder  bei einer gegebenen Schließmaßtoleranz mit möglichst großen Einzeltoleranzen zu arbeiten. <?page no="74"?> Analyse von Grundproblemen bei der Maßketten-Verknüpfung 62 Des Weiteren ist eine Aussage möglich über die „Verbaubarkeit“ von Teilen, die außerhalb der Toleranz gefertigt wurden, wenn von einer Stichprobe Mittelwert und Streuung bekannt sind. Hieraus lässt sich ableiten, dass die Arithmetische Tolerierung sicherlich bei einer Einzelfertigung unumgänglich ist, dass aber für eine Serienfertigung die Statistische Tolerierung sehr vorteilhaft sein wird. Die Vorgehensweise bei einer Statistischen Tolerierung ist etwa die, dass man von dem arithmetischen Schließmaß ausgeht, sich dann über die Einzelverteilungen der Merkmale informiert, um qualitativ das Faltergebnis abschätzen zu können. Für die Faltprodukte ist dann jeweils die Varianz und die Spannweite bzw. Toleranz bekannt. An dem zuvor schon benutzten Beispiel soll dies nochmals demonstriert werden. Bei der auszulegenden Lagerung müssen die Maße 1 M bis 6 M so abgestimmt werden, dass im Grenzfall bei 0 M ein Spiel von null übrig bleibt. Man kann hier unterstellen, dass es sich um Serienbauteile handelt, sodass jedes Maß als normalverteilt angenommen werden kann. Des Weiteren sei angenommen, dass jede Einzelverteilung im Bereich i i s 3 x   das Toleranzfeld nicht überschreitet. Maßmittelwerte und Standardabweichungen Die Mittelwerte und die Standardabweichungen bestimmen sich aus den Maßangaben zu: Mittelwerte Standardabweichungen 1 x = 51,05 mm 1 s = 0,050 mm 2 x = 43,20 mm 2 s = 0,050 mm 3 x = 12,00 mm 3 s = 0,017 mm 4 x = 106,6 mm 4 s = 0,033 mm 5 x = 1,37 mm 5 s = 0,024 mm 6 x = 1,17 mm 6 s = 0,010 mm Nach dem Abweichungsfortpflanzungsgesetz (siehe Gl. (4.18)) ergibt sich dann die Gesamtstandardabweichung der komplettierten Baugruppe zu             mm 083988 , 0 s , mm 010 , 0 mm 024 , 0 mm 033 , 0 mm 017 , 0 mm 05 , 0 mm 05 , 0 s , s s s s s s s 0 2 2 2 2 2 2 0 2 6 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 0              und der zu erwartende Gesamtmittelwert bzw. Erwartungswert nach Gl. (4.15) zu . mm 55 , 0 mm 17 , 1 mm 12 mm 2 , 43 mm 05 , 51 mm 37 , 1 mm 6 , 106 x , x x x x x x x 0 6 3 2 1 5 4 0              <?page no="75"?> Analyse von Grundproblemen bei der Maßketten-Verknüpfung 63 Innerhalb der Darstellung der Statistischen Tolerierung ist noch ein Nachtrag über die Definition der quadratischen Toleranzrechnung nach DIN 7186 angebracht. Danach errechnet sich die quadratische Schließtoleranz q T aus der Quadratwurzel der Summe aller quadrierten Einzeltoleranzen unter der Annahme, dass alle Einzelmaße normalverteilt vorliegen. Diese Vorgehensweise ist somit nicht möglich, wenn unterschiedliche Verteilungen aufeinandertreffen, hier muss dann das allgemeine Abweichungsfortpflanzungsgesetz herangezogen werden. Quadratische Schließtoleranz Die Größe der Schließtoleranz kann im vorliegenden Fall direkt aus dem vereinfachten quadratischen Ansatz *) bestimmt werden und ergibt sich dann zu    n 1 i 2 i q T T , (5.15)             . mm 5031 , 0 mm 06 , 0 mm 14 , 0 mm 2 , 0 mm 1 , 0 mm 3 , 0 mm 3 , 0 T 2 2 2 2 2 2 q        Statistische Schließtoleranz Alternativ kann die statistische Schließtoleranz auch wieder nach folgendem Zusammenhang ermittelt werden: 36 T s 2 S 2 0  , mm 503 , 0 mm 083988 , 0 6 s 6 T 0 S      . Man sieht, dass bei Normalverteilungen kein Unterschied in den Lösungswegen vorliegt. Statistisches Schließmaß mm 25 , 0 55 , 0 2 T x M S 0 0     (5.16) Größtmaß des Schließmaßes mm 8 , 0 2 mm 5 , 0 mm 55 , 0 2 T x P S 0 O      (5.17) *) Anmerkung: In der amerikanischen Literatur wird dieser Ansatz „RSS-Analyse“ (Root-Sum-Square-Methode) bezeichnet. <?page no="76"?> Analyse von Grundproblemen bei der Maßketten-Verknüpfung 64 Kleinstmaß des Schließmaßes mm 3 , 0 2 mm 5 , 0 mm 55 , 0 2 T x P S 0 U      (5.18) Toleranzreduktion bzw. Erweiterung Im Vergleich zur arithmetischen Toleranz beträgt die wahrscheinliche Ausnutzung der Schließtoleranz % 72 , 45 4572 , 0 mm 1 , 1 mm 503 , 0 T T r A S     . (5.19) In diesem Fall ist r der Reduktionsfaktor, um den die arithmetische Schließtoleranz tatsächlich ausgenuzt ist. Damit gibt das Komplement zu 1 die prozentuale Reduzierung des arithmetisch berechneten Schließmaßes wieder. Dies wird nachfolgend nochmals grafisch dargestellt. T S 0 0,55 1,1 [mm] [mm] 0,8 0,3 0,55 arithmetisches Schließmaß statistisches Schließmaß 0 Häufigkeit 99,73 % 0,135 % 6 s 0 Bild 5.16: Gegenüberstellung der Verteilungen Der Kehrwert des Reduktionsfaktors gibt das Potenzial zur Toleranzerweiterung wieder. Im vorliegenden Fall beträgt der Erweiterungsfaktor . 186 , 2 5031 , 0 1 , 1 T T r 1 e S A     (5.20) <?page no="77"?> Analyse von Grundproblemen bei der Maßketten-Verknüpfung 65 Erweiterung der Einzelmaßtoleranzen Im umgekehrten Sinne kann das Ergebnis auch zu einer Toleranzerweiterung aller beteiligten Maße um den reziproken Wert von r genutzt werden, dem so genannten Erweiterungsfaktor e. Das bedeutet: Behält man die arithmetisch berechnete Schließmaßtoleranz von 1,1 mm bei, so kann man alle Einzeltoleranzen dieser Maßkette um den Faktor 2,18 vergrößern - in diesem Falle also verdoppeln. Somit würden sich die neuen Toleranzfelder (Effektivtoleranzen) wie folgt darstellen: mm 3 , 0 T alt 1  , mm 6 , 0 mm 3 , 0 mm 186 , 2 T e T alt 1 neu 1      mm 3 , 0 T alt 2  , mm 66 , 0 mm 3 , 0 mm 186 , 2 T e T alt 2 neu 2      mm 2 , 0 T alt 4  , mm 44 , 0 mm 2 , 0 mm 186 , 2 T e T alt 4 neu 4      mm 14 , 0 T alt 5  , mm 31 , 0 mm 14 , 0 mm 186 , 2 T e T alt 5 neu 5      Die Toleranzen des Lagers und des Sicherungsringes können nicht erweitert werden, da es sich hier um Normteile handelt. Die erweiterten Toleranzfelder sind entprechend der Ausgangsfestlegung aufzuteilen (d. h. auf die untere und obere Grenze) 5.9.5 Montagesimulation Als erweiterte Anwendung kann mit der Statistischen Tolerierung auch eine Montagesimulation für Extrembedingungen vorgenommen werden. Am bereits bearbeiteten Beispiel der Getriebesituation soll dies exemplarisch angedeutet werden. Es sei angenommen, dass in einer überwachten Fertigung festgestellt wird, dass Zahnräder außerhalb der Toleranz gefertigt wurden und im Fertigungslos Zahnräder mit einer Größtmaßüberschreitung vorkommen. In diesem Fall kann statistisch abgeschätzt werden, wie hoch der Anteil der als „nicht gut” angesehenen Teile des Loses ist und ob dennoch alle fünf Teile montiert werden können. Mit dieser Annahme soll sich für das Zahnrad die in Bild 5.17 dargestellte Verteilung zwischen dem Kleinstmaß 1 u G = 50,9 mm und dem Größtmaß neu 1 o G = 51,45 mm,   mm 2 , 51 G alt 1 o  einstellen. <?page no="78"?> Analyse von Grundproblemen bei der Maßketten-Verknüpfung 66 Mittelwert der Fertigungsstichprobe mm 175 , 51 2 G G x 1 u neu 1 o neu 1    (5.21) Streuung der Fertigungsstichprobe mm 09167 , 0 6 mm 9 , 50 mm 45 , 51 6 T s S neu 1     (5.22) 50,9 51,0 51,1 51,2 51,3 51,4 51,45 p = 0,13 % p = 39,35 % Toleranzfeld Zahnräder außerhalb des Toleranzfeldes [mm] x 1neu = 51,175 Bild 5.17: Alte und neue Fertigungsverteilung des Zahnrad-Breitenmaßes Zur Ermittlung des interessierenden Fehleranteils an der oberen und unteren Toleranzgrenze muss man von der Transformation auf die Standard-Normalverteilung Gebrauch machen und die überschreitende Fläche unterhalb der Verteilungsdichtekurve ausintegrieren. Für derartige Operationen können Tabellen (siehe Seite 183) herangezogen werden. u F(u) Q(u) F(u)-Q(u) f(u) ... 0,26 0,60255 0,39743 0,20514 0,38568 0,27 0,60642 0,39358 0,21284 0,38466 0,28 0,61026 0,38974 0,22052 0,38361 ... ... ... 2,99 0,99861 0,00139 0,99721 0,00457 3,00 0,99865 0,00135 0,99730 0,00443 3,01 0,99869 0,00131 0,99739 0,00430 ... ... Tabelle 5.9: Auszug aus tabellierte standardisierte Normalverteilung Die Erläuterung der Abkürzungen (F(u), Q(u) und F(u) - Q(u)) erfolgte vorher schon im Kapitel 4.1.3.2 auf Seite. 23. <?page no="79"?> Analyse von Grundproblemen bei der Maßketten-Verknüpfung 67 Obere Toleranzgrenzen-Überschreitung Führt man die Transformation durch, so erhält man für die obere Toleranzgrenze 2727 , 0 mm 09167 , 0 mm 175 , 51 mm 2 , 51 s x G u neu 1 neu 1 alt 1 o oben      und damit aus der vorherigen Tabelle Q(u) = 0,3935, welches einem Fehleranteil von % 35 , 39 p o  entspricht. Untere Toleranzgrenzen-Überschreibung Die Transformation für die unter Toleranzgrenze ist auf die gleiche Weise durchzuführen. Daraus ergibt sich: 3 mm 09167 , 0 mm 175 , 51 mm 9 , 50 s x G u neu 1 neu 1 alt 1 u unten       . Hierfür findet sich wieder aus der Tabelle Q(u) = 0,00135, was einem Fehleranteil von % 135 , 0 p u  entspricht. Neuberechnung des Erwartungswertes der Maßkette In Folge der Toleranzüberschreitung beim Zahnrad ergibt sich als Erwartungswert der Maßkette mm 425 , 0 x 0neu  . Gesamtstreuung mm 113827 , 0 s 0neu  Statistische Toleranz mm 68296 , 0 mm 113827 , 0 6 s 6 T 0neu Sneu      Neues Schließmaß 34 , 0 425 , 0 2 mm 68296 , 0 mm 425 , 0 2 T x M Sneu neu 0 neu 0       <?page no="80"?> Analyse von Grundproblemen bei der Maßketten-Verknüpfung 68 Größtes Funktionsmaß 765 , 0 2 mm 68296 , 0 mm 425 , 0 2 T x P Sneu neu 0 oneu      mm Kleinstes Funktionsmaß 085 , 0 2 mm 68296 , 0 mm 425 , 0 2 T x P Sneu neu 0 Uneu      mm Resümee Daraus folgt, dass trotz einer Breitenmaßüberschreitung beim Zahnrad wahrscheinlich in 99,73 % aller Fälle eine Montage möglich ist, da 0 P Uneu  ist. Methodische Einordnung Die zuvor gezeigte Methodik der Toleranzfestlegung läuft letztlich auf eine Entfeinerung von Einzelteilen und eine „robuste Gesamtauslegung“ hinaus. Dies sind auch Ziele im kostengerechten Konstruieren nach der Philosophie „Design to Costs“. Spitzenleistungen in der Fertigung resultieren hiernach aus der Durchgängigkeit von Produkt- und Prozessqualität. Hiermit ist verbunden, Produkte mit einer festen Mittelwertlage bei geringer Streuung herstellen zu können. Weil hiervon weitgehend die Kundenzufriedenheit abhängt, sollten sich Unternehmen von einem Drei-Sigma-Niveau über Vier- und Fünf-Sigma letztlich zu Six-Sigma weiterentwickeln. Mit dieser Steigerung sind enorme Anstrengungen in der Produktauslegung und Toleranzsimulation verbunden. <?page no="81"?> Toleranzsynthese 69 6 Toleranzsynthese Nach dem Konzept der statistischen Tolerierung ist eine Toleranzsynthese eigentlich recht schwierig zu bewerkstelligen, weil ein Faltprodukt rückentwickelt werden muss. Numerische Lösungen / KLE 94b/ sind hierfür bekannt. In der Praxis wird das Syntheseproblem aber stets in der Abstimmung von Serienlösungen auftreten. Daher ist es ausreichend, hier nur eine Näherungslösung für Normalverteilungen anzugeben, wofür die folgenden Gleichungen genutzt werden können. Eine Einzeltoleranz ergibt sich somit zu i n 1 i 2 i 2 i F i u u T T        mit min i i T T   . (6.1) Um die s ' i  (Relation der Toleranzen untereinander) festlegen zu können, muss eine Abstufung der Toleranzen (sehr genau, weniger genau etc.) vorgenommen werden. Das Bauteil mit der kleinsten Toleranz erhält daher den Wert i  = 1. Die anderen Toleranzen sind hieran zu wichten. Weiter geht noch der Streuungsweitenfaktor ein, über den die Prozessfähigkeit   pk C , und zwar für jede Einzeltoleranz   i u und die Funktionstoleranz (u), gesteuert werden kann: i i i s T u  . (6.2) Am einfachsten kann die Vorgehensweise an einem kleinen Beispiel vermittelt werden. Das Beispiel ist schon einmal im Kapitel 5.5 (Seite 46) benutzt worden und zeigt die symbolische Montage von vier Einzelteilen, sowie im Bild 6.1 angedeutet ist. T = u • s F 0 x 0 Aufteilung in Einzeltoleranzen T 1 T 2 T n ... Bild 6.1: Aufteilung der Funktionstoleranz in Einzeltoleranzen pk C i u , u 1,0 6 1,33 8 1,66 10 2,0 12 Legende: F T = Funktionstoleranz der Montagegruppe (  ˆ Schließmaßtoleranz) i T = eingehende Einzeltoleranz i  = Relationsfaktor i u , u = Streuungsweitenfaktor <?page no="82"?> Toleranzsynthese 70 Die Genauigkeit der Einzeltoleranzen ist zuvor schon festgelegt worden und soll hier übernommen werden. Insofern erhält man für die Toleranzsynthese, d. h. das erste Maß   mm 0,15 bzw. mm 15 , 0 15 726 mm 27 , 0 15 20 10 1 15 36 1 6 mm 27 , 0 T , u u u u u T T 2 2 2 2 1 1 2 4 2 4 2 3 2 3 2 2 2 2 2 1 2 1 F 1                            (6.3) und weiter mm 01 , 0 1 726 mm 27 , 0 T 2    bzw. mm 01 , 0 T 2   , mm 1 , 0 10 726 mm 27 , 0 T 3    bzw. mm 1 , 0 T 3   , mm 2 , 0 20 726 mm 27 , 0 T 4    bzw. mm 2 , 0 T 4   . Zur Kontrolle ist das Fallbeispiel von Seite 46 im Bild 6.2 noch einmal wiedergegeben. Es soll belegen, dass die gewählte Approximation tatsächlich zum „bekannten“ Ergebnis führt. M = 50±0,2 4 M = 140±0,27 (statistisch) 0 µ T 4 4 M = 30±0,15 1 µ T 1 1 Bauteil 1 M =20±0,01 2 M = 40±0,1 3 µ T 2 2 Bauteil 2 µ T 3 3 Bauteil 3 Bauteil 4 Bild 6.2: Symbolische Synthese eines Funktionsmaßes T F aus vier Einzelteilen mit T i In dem Beispiel haben die i  -Werte eine unrealistisch differierende Stufung. Dies ist eine Folge davon, dass zuvor die Toleranzen willkürlich gewählt wurden. In einem realen Anwendungsfall werden die i  viel näher zusammenliegen. <?page no="83"?> Robust Design 71 7 Robust Design 7.1 Praktische Bedeutung Seit den 80er-Jahren hat sich im Quality Engineering die Philosophie des „robust designs“ (nach Genichi Taguchi *) ) entwickelt. Die Idee ist hierbei, Produkte und Prozesse so zu entwickeln und auszulegen, dass ihre Leistung unempfindlich gegen jede Art von Schwankungen und Störgrößen wird. Kunden sollen damit im Gebrauch eine konstant hohe Qualität erfahren. Als ein ganz wichtiges Kernelement für diese Zielprojektion ist das Parameter- und Toleranzdesign erkannt worden. Im Parameterdesign geht es im Wesentlichen um die Maßabstimmung, um vorgegebene Leistungsziele zu erreichen. Über das Toleranzdesign erfolgt eine Feinabstimmung hin zu einem Optimum. Der dazu notwendige Aufwand sollte kostenminimal oder neutral sein. Unternehmen, die das Toleranzdesign beherrschen, können letztlich eine hohe Qualität für einen akzeptablen Preis bieten. 7.2 Herkömmliche Toleranzphilosophie Die traditionelle deutsche Qualitätsphilosophie gründet sich auf ein einfaches Gut/ Schlecht- Denken. Dies ist auch der Ansatz bei der Arithmetischen Tolerierung. Diesen Grundansatz kann mit der folgenden Aussage beschrieben werden: Innerhalb eines Toleranzfeldes sind alle Teile (gleich) gut. Außerhalb des Toleranzfeldes sind alle Teile (gleich) schlecht. Das nachfolgende Bild 7.1 soll diesen Sachverhalt anhand einer so genannten Qualitätsverlustfunktion grafisch darstellen. Es wird ein Sollmaß „m“ mit dem Toleranzfeld „T“ betrachtet. Die Abmaße sind demnach +T/ 2 und -T/ 2. Der Qualitätsverlust für das Istmaß „y“ lässt sich dann mathematisch wie folgt ausdrücken:  m Q(y) y schlecht schlecht GUT A N 0 = m + T/ 2 G o = m - T/ 2 G u Mit Blick auf den Qualitätsverlust bedeutet dies:  jedes Teil innerhalb der Toleranzgrenzen ist gleich gut, und *) Anmerkung: Taguchi war ein japanischer Ingenieur, der die Philosophie des „robust designs“ begründet hat. Er wollte die Spirale, dass eine höhere Qualität gleichbedeutend mit höheren Kosten ist, durchbrechen. Bild 7.1: Qualitätsverlustfunktion (in €) aus konventioneller Sicht      A sonst 2 T m y wenn , 0 ) y ( Q <?page no="84"?> Robust Design 72  für jedes Teil außerhalb der Toleranzgrenzen treten die gleichen Kosten A für Nacharbeit oder Ausschuss auf. Die Praxis zeigt jedoch, dass diese Bewertung zu einfach und unrealistisch ist. Beispiel: Wirkung der Toleranzgrenzen In der Führung eines Ventiltriebes soll eine Distanzhülse der Länge mm 5 , 0 10 L   montiert werden. Eine Toleranzüberschreitung auf oben L = 10,7 mm ist aber anders zu bewerten als eine Toleranzunterschreitung auf unten L = 9,4 mm. Die zu große Hülse wäre ein Nacharbeitungsteil, während die zu kleine Hülse ein Ausschussteil ist. Insofern bildet der vorstehende Verlauf des Qualitätsverlustes die Möglichkeiten unvollständig ab. 7.3 Japanische Toleranzphilosophie Die japanische Philosophie des Toleranzdesigns ist dagegen völlig anders. Alle konstruktiven und fertigungstechnischen Maßnahmen folgen der Vorgabe: Es ist eine Nullfehlerstrategie anzustreben. Dies verlangt:  Jede Abweichung vom Sollwert ist möglichst zu vermeiden.  Auch Teile innerhalb eines Toleranzfeldes sind differenziert zu bewerten.  Toleranzfelder sind so weit wie möglich auszudehnen, und  Die Qualität einer Fertigungsstelle kann über die Qualitätsverlustfunktion in Geld gemessen werden. Der Qualitätsverlust lässt sich nach / TAG 89/ am besten durch die Strafffunktion beschreiben: 2 ) m y ( k ) y ( Q   (7.1) mit: k Konstante zur näheren Beschreibung eines Toleranzfalles y Istwert m Sollwert Wenn diese Funktion angesetzt wird, ergibt sich für den Toleranzverlauf eine Parabel. Am Sollwert (y = m) ist dann Q = 0 und nimmt mit zunehmender Sollwertabweichung einen quadratischen Verlauf an:  An den Toleranzgrenzen beträgt der Kostenaufwand zur Nacharbeit (bzw. sinngemäß Ausschuss) eines einzelnen Teils A (in €).  Der funktionale Verlauf der Qualitätsverlustfunktion kann somit an den Toleranzgrenzen quantifiziert werden. Somit gilt für <?page no="85"?> Robust Design 73 2 T m y y o    und 2 T m y y u    an den Toleranzgrenzen gilt daher der Zusammenhang 2 2 2 T k m 2 T m k A                 , (7.2) bzw. für die eingehende Konstante erhält man 2 2 T A k      . (7.3) Insofern lautet die Qualitätsfunktion bei Zielwerteinstellung   m Q auf den Sollwert ( 0 x m  ): Q(y) y m - T / 2 1 m - T / 2 2 2 1 m + T / 2 2 m + T / 2 1 0 x m  2 A 1 A Bild 7.2: Zentrierte Qualitätsverlustfunktion nach Taguchi für zwei Bauteilspezifikationen Die vorstehenden Beziehungen gelten zunächst für ein Teil. Wenn ein Merkmal in Serie hergestellt wird, muss die Qualitätsverlustfunktion angepasst werden. Mit den Verteilungsparametern   Varianz s und Mittelwert x 2 0 0   kann dann ein durchschnittlicher Qualitätsverlust Q einer „Großgesamtheit“ definiert werden:     2 0 2 0 2 s m x 2 T A Q        . (7.4) Der erste Teil stellt die Mittelwertabweichung, der zweite Teil die Prozessstreuung dar. Die Mittelwertabweichung kann in der Praxis leicht auf null gebracht werden. Zur Reduzierung der Streuung sind hingegen Eingriffe am Produkt (Toleranzen) oder in den Prozess nötig. Gewöhnlich ist dies sehr kostenaufwändig. 2 0 2 m s 2 T A Q       <?page no="86"?> Robust Design 74 7.4 Beispiel zur Quantifizierung des Qualitätsverlustes 7.4.1 Definitionen zum Toleranzdesign Das Toleranzdesign dient der Festlegung funktionaler und wirtschaftlicher Toleranzbereiche. Die ermittelten Werte sollten möglichst „robust“ sein, d. h., die Zielgröße Schließmaß muss aus streuenden Einzelgrößen reproduzierbar gebildet werden können. Weiterhin muss die Schließmaßtoleranz zum Kunden und zur Fertigung hin abgesichert werden. Der Kunde darf Variabilität nicht als Qualitätsmangel erfahren, und die Fertigung muss qualitätsfähig erfolgen können. Toleranzen müssen somit in einem schwierigen Spannungsfeld festgelegt werden, weshalb die folgenden Definitionen notwendig sind: / 2 T 0 0   = Toleranzbereich des Kunden (Außerhalb dieser Toleranzgrenze wird der Kunde das Produkt ablehnen.) / 2 T   = Herstellertoleranzabweichung (Sicherheitstoleranz für hohe Qualität) 0 A = Gesamtkosten, die aufgrund von Toleranzüberschreitungen entstehen (z.B. unnötige Transporte, Löhne, Bestellungen, Lagerung) A = Kosten für den Hersteller bei Toleranzüberschreitung (Herstellkosten zuzüglich Ausschuss, Nacharbeit, Montagekosten etc.) m = einzuhaltender Sollwert s = Streuung y = Istmaß 7.4.2 Ermittlung einer wirtschaftlichen Toleranz Im Weiteren soll an einem kleinen Lehrbeispiel / TAG 89/ der Sinn funktionaler Grenzen bzw. Toleranzen diskutiert werden. Taguchi verwendet zur Darstellung des Problems den Einbau eines Fensterrahmens in Mauerwerk. Dieses Beispiel kann auch auf die Produktion und den Einbau eines Autoseitenfensters übertragen werden. Hier soll vereinfacht nur die Länge (y = m   ) der Scheibe toleriert werden:  Die angenommenen Herstellkosten A für die Scheibe seien 20,- €.  Das zunächst gewählte Längenmaß sei y = 900  3 mm. Ist das Fenster zu groß (Länge o y ), so ist es in der Dichtung schwergängig; ist es zu kurz (Länge u y ), so ist bei eingebautem Zustand die Abdichtung nicht mehr gewährleistet, der Kunde *) wird insgesamt unzufrieden sein. Zunächst wird der Erwartungswert aus den Längen der derzeit von einem Zulieferanten gefertigten Fenster ermittelt. Dieser sei über ein Produktionslos von n Scheiben: m n y y n 1 i i     . (7.5) *) Anmerkung: Mit Kunde und Hersteller wird die QS-Nomenklatur benutzt; der Kunde ist in diesem Fall der Automobilhersteller (OEM), welcher von einem Zulieferanten beliefert wird. <?page no="87"?> Robust Design 75 o y u y Bild 7.3: Einbausituation bei zu kleinem ( u y ) und zu großem ( o y ) Seitenfenster Dieser Mittelwert sei zentriert und entspricht bei einer normalverteilten Fertigung mit symmetrischen Toleranzgrenzen dem Sollmaß m. Die Kundentoleranzabweichung liegt somit zwischen einem akzeptablen Größt- und Kleinstwert: 2 y y u o 0    . (7.6) Das Einbaumaß muss sich somit im Intervall 0 Δ m  bewegen. Die Kundentoleranz muss allerdings anders bewertet werden als die Herstellertoleranz. Der Verlust 0 A bei der Reklamation der Scheibe wird höher ausfallen als die Herstellkosten der Fensterscheibe von A = 20,- €, da hier noch weitere Kostentreiber eingehen. Im Einzelnen sind dies alle Zusatzkosten für  den Transport,  die Arbeit,  die Bestellung und Anlieferung,  die Montage und Demontage sowie  die Kundenbindung. Im nächsten Schritt soll versucht werden, diesen Verlust in Geld zu quantifizieren. Hierfür gilt es, die Abweichungen in geldwertem Aufwand zu bewerten: 2 0 2 0 0 2 s A ) m y ( k )) y ( Q      . <?page no="88"?> Robust Design 76 Zur Bestimmung der wirtschaftlichsten Toleranz für die Fensterlänge muss der Gesamtverlust 0 A kalkuliert werden, der entsteht, wenn durch eine unzweckmäßig ausgefallene Kundentoleranz das Fenster nicht funktionssicher ist. Wie zuvor schon festgestellt, ergibt sich der Gesamtverlust aus den Herstellkosten des Fensters zuzüglich aller Folgekosten bis zu der Feststellung, dass es nicht passt. Damit kann für die Kundentoleranz der folgende proportionale Zusammenhang *) angenommen werden: 2 2 0 0 A A    . (7.7) Daraus folgt für die zulässige Abweichung bzw. als Herstellertoleranz: 0 0 A A    . (7.8) Bisher wurden die Fenster in der Fertigungszeichnung mit  =  3 mm toleriert. Gleichzeitig wurde ein Gesamtaufwand von 0 A = 60,- € festgestellt, wenn erst zu einem späten Zeitpunkt nach abgeschlossener Montage bemerkt wird, dass die Scheibe eigentlich als Ausschuss anzusehen ist. Die Toleranzgrenze, bei der eigentlich keine Scheibe mehr das Herstellerwerk verlassen dürfte, sollte somit auf   mm 7 , 1 mm 3 € , 60 € , 20         eingegrenzt werden. In der Fertigungsunterlage sollte daher die Länge der Fensterscheibe auf mm 7 , 1 900  korrigiert werden. Prozesssicherheit fordert: 1. „Toleranzsicherheit“ und 2. „unmittelbare Funktionssicherheit“. Der Sinn dieser Grenze besteht in der Festlegung einer Toleranzsicherheit. Dies ist der identische Ansatz zur Prozessfähigkeit. Auch die p C bzw. pk C -Faktoren verfolgen das Ziel einer Toleranzsicherheit, in dem die in den Zeichnungen angegebenen Toleranzen nur eingeschränkt genutzt werden dürfen. Auf diesen Aspekt ist auf S. 58 schon hingewiesen worden und dieser soll im Weiteren noch vertieft werden. C pk =1,33, lässt nur eine 75 %ige Ausnutzung der Toleranz zu! *) Anmerkung: Dieser exponentielle Zusammenhang gilt nur innerhalb einer Fertigungstechnologie. Muss bei kleineren Toleranzen die Fertigungstechnologie geändert werden, beispielsweise vom Feindrehen zum Schleifen, dann kann der Zusammenhang wie oben nicht mehr ohne weiteres angenommen werden. <?page no="89"?> Robust Design 77 7.4.3 Bewertung des tatsächlichen Qualitätsverlustes Nach dieser Analyse und der Neufestlegung der Toleranz soll nun der tatsächlich entstehende Qualitätsverlust betrachtet werden. Vorausgegangen sei schon die Optimierung des Herstellungsprozesses. Verbindliche Qualitätsanforderung für das Scheibenmaß ist jetzt L = 900  1,7 mm. Zur Bewertung der tatsächlichen Qualität wird eine kleine Stichprobe von 20 Fensterscheiben aus der Produktion entnommen und die Längen vermessen. Aufgelistet sind die Abweichungen vom Sollmaß. Da die Werte zufallsverteilt sind, liegt eine Normalverteilung zugrunde. Nr. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Abw. i  +1,1 +1,6 -0,5 0,0 +1,0 +1,7 -0,8 +0,9 +1,3 +0,2 Nr. 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Abw. i  +0,8 +1,1 -0,9 +0,7 +1,4 +0,6 +1,2 -1,3 +1,5 0,0 Tabelle. 7.1: Abweichung der Länge der produzierten Glasscheiben zufolge einer Stichprobe Damit kann eine statistische Auswertung der Produktionsdaten vorgenommen werden: Mittl. Toleranzabweichung m  Varianz 2 s der Istwerte Standardabw. s Formel      20 1 i i m 20 1          20 1 i 2 m i 2 1 20 1 s          20 1 i 2 m i 1 20 1 s Wert m  = +0,58 2 s = 0,8 s = 0,895 Tabelle 7.2: Statistische Kennwerte geometrischer Abweichungen Nun kann man unter Anwendung von Gl. (7.4) den durchschnittlichen Qualitätsverlust der Fertigung bewerten 22 , 22 8 , 0 47 , 1 € 0 6 s A Q 2 2 2 0      € mit 47 , 1 s m      , (7.9) d. h., der für den Kunden (hier Automobilhersteller/ OEM) eventuell wirksame Qualitätsverlust hat sich etwa gedrittelt. Der Qualitätsverlust ist somit ein Maßstab für die „Unqualität“ einer Fertigung, die jeder Scheibe etwa ein Risiko von 22,22 € mitgibt. <?page no="90"?> Robust Design 78 Im Qualitätsmanagement wird für Prozessstudien die Varianzanalyse genutzt. Beispielhaft soll jetzt auf das vorliegende Problem eine einparametrige Varianzanalyse ANOVA (engl. ANalysis Of VAriance) angewandt werden. Hierzu sind zunächst die folgenden Größen zu bestimmen:  Die Summe der quadrierten Abweichungen der betrachteten Messgrößen       n 1 i 2 i 94 , 21 SQA (Freiheitsgrad 20 f SQA   ), (7.10)  die Summe der quadrierten Mittelwertabweichungen der betrachteten Messgrößen 728 , 6 20 6 , 11 n SQM 2 2 n 1 i i m           (Freiheitsgrad 1 f m SQM  ) (7.11) und  die Quadratsumme der Varianz der Messgrößen 212 , 15 728 , 6 94 , 21 SQM SQA SQF m 2 s       (Freiheitsgrad 19 f SQF  ). (7.12) Nun kann man die folgende ANOVA-Tabelle aufstellen, die anteilmäßige Varianzschätzungen ermöglicht. Einfluss auf Freiheitsgrad i f Quadratsummen i SQ Varianz i i i / f SQ V  Fisher-Wert F * Parameter ' SQ i p [%] Mittelwert 1 6,728 6,728 5,928 27,02 Schwankung 19 15,212 0,8 8,10 (99 %) 4,35 (95 %) 16,012 72,98 Toleranz 20 21,94 1,097 21,94 100 Tabelle 7.3: Ergebnis der ANOVA-Analyse der Toleranzen für ein großes Los an Teilen Weiterhin werden noch die folgenden Formeln für ANOVA benötigt: 1. Parameter = Mittelwertauswertung 2. Parameter = Streuungsauswertung 928 , 5 8 , 0 1 728 , 6 V f SQM ´ SQ 2 s m SQM m        (7.13) 012 , 16 8 , 0 ) 19 20 ( 212 , 15 V ) f f ( SQF ´ SQ 2 s SQF SQA 2 s 2 s           (7.14) Der noch aufgeführt Fisher-Wert „F“ ist ein Maß für die Signifikanz eines Faktors für einen Effekt. Dieser Wert wird aus der im Anhang tabellarisch vorliegenden Fisher-Verteilung ermittelt (siehe Seite 187). Es gilt für eine Abschätzung: % 99 i % 95 F V F   , Vermutung ist signifikant (**) % 95 i F V  , Datenumfang ist noch zu gering, um diese Vermutung zu bestätigen <?page no="91"?> Robust Design 79 Hier ist 4,35 F 1 20  als Grenze zu einem 95-%-Signifikanzniveau und 8,10 F 1 20  zu einem 99-%-Signifikanzniveau ermittelt worden. Da % 95 m F 728 , 6 V   ist, kann die Aussage zunächst für den Mittelwert als „signifikant“ bezeichnet werden. Für die Streuung (d. h. Schwankung) ist hingegen % 95 s F V  , weshalb mit 20 Werten diese Aussage noch unsicher ist. Aus der ANOVA können für normalverteilte Messwerte weitreichende Schlüsse gezogen werden. Zunächst kann aus dem Datensatz eine hohe Variabilität (Streuung) gegenüber dem Mittelwert festgestellt werden. Für die Abmaße des Fensters heißt dies, dass die Prozessstreuung etwa dreimal mehr durchschlägt, als die Mittelwertverschiebung. Für ein Toleranzfeld von +1,7 mm ist eine Streuung von 0,8 mm relativ groß. Ein weiteres Indiz dafür ist der Median (siehe Seite 77: mm 5 , 0 2 / 0 , 1 11 10      , der ebenfalls eine relativ große Abweichung aufweist. Ziel für eine qualitätsoptimierte Herstellung sollte die Einstellung des Mittelwertes auf den Sollwert m = 900 mm sein und die tatsächliche Varianz 2 s muss für eine Serienproduktion deutlicht kleiner werden. In der Praxis bedeutet dies eine Produktion mit einem „festen Mittelwert“ (Sollwert), welches durch Maschineneinstellung zu gewährleisten ist. Eingestellt und überwacht wird dies mittels der Maschinenfähigkeit mk C . Die Streuung der Werte (Istwerte) im Toleranzfeld ist auch bei einer überwachten und beherrschten Produktion zufällig. Überwacht wird dies durch die Prozessfähigkeit pk C . Engere Toleranzen rufen natürlich höhere Herstellkosten hervor, weswegen sich auch A (Herstellkosten, zuzüglich alle Kosten bei Toleranzüberschreitung) verändert. Dies muss ebenfalls im Rahmen einer Optimierung berücksichtigt werden. 7.4.4 Problematik der Herstellungstoleranzen Bei jeder Serienfertigung treten gemäß der vorstehenden Analyse mehr oder weniger große Streuungen und somit Maßabweichungen auf. Daher sollte bei der Bestimmung der wirtschaftlichen Toleranz   2 die Fertigungsstreuung s schon von Anfang an berücksichtigt werden. Dies bedingt, dass der Anteil der außerhalb der Zieltoleranz hergestellten Bauteile abgegrenzt werden muss. Hierzu kann die Verteilungsfunktion der standardisierten Gauß´schen Normalverteilung (u) F NV (siehe Kapitel 4.1.3) herangezogen werden. Man erhält dann den folgenden Zusammenhang für die Toleranzanpassung: 0 NV 0 F A A     . (7.15) Diese Gleichung kann regelmäßig nur iterativ aufgelöst werden, wie das nachfolgende Beispiel exemplarisch zeigen soll. <?page no="92"?> Robust Design 80 Beispiel: Toleranzoptimierung bei gegebener Streuung Ein Flansch soll mit dem Außendurchmesser d = 40  0,2 mm gefertigt werden. Die Streuung bei der Fertigung sei normalverteilt. Die Herstellung dieses Flansches verursacht Kosten in Höhe von A = 1,50 €. Durch das Überschreiten dieser Toleranz würde ein geldwerter Verlust von 0 A = 5 € entstehen. Die Streuung des Herstellungsprozesses sei mit s = 0,065 mm festgestellt worden. Nach der zuvor angeführten Beziehung sollte nun für die Herstellertoleranz angesetzt werden:   mm 1 , 0 mm 10954 , 0 mm 2 , 0 Euro 5 Euro 5 , 1 Δ A A Δ 0 0         . Mittels der normierten Dichtefunktion (u=Δ/ s) der Gauß´schen Normalverteilung kann abgeschätzt werden, wie viele Teile dann außerhalb der Zieltoleranz gefertigt werden. Dazu verwendet man wieder die Standardtabellen auf Seite 183: % 40 , 95 9540 , 0 ) 685 , 1 ( F 065 , 0 10954 , 0 F ) u ( F NV NV NV         . Dies bedeutet: Sollte das Toleranzfeld mit  0,1 mm gewählt werden, würden bei der vorliegenden Prozessstreuung dennoch 4,60 % der Teile außerhalb der Zieltoleranz liegen. Dies ist sicherlich für eine Serienfertigung nicht akzeptabel. Iterative Anpassung über den Qualitätsverlust Nun soll versucht werden, mit Gl. (7.15) die Toleranz besser anzupassen: mm 1121 , 0 2 , 0 954 , 0 Euro 5 Euro 5 , 1 F A A 0 NV 0 ) 1 (            9577 , 0 065 , 0 1121 , 0 F u F 1 NV       . Der unter 1. für   u F NV ermittelte Wert wird jetzt wieder eingesetzt: mm 1119 , 0 2 , 0 9577 , 0 Euro 5 Euro 5 , 1 F A A 0 1 NV 0 ) 2 (            9574 , 0 065 , 0 1119 , 0 F u F 2 NV       , mm 1119 , 0 2 , 0 9574 , 0 Euro 5 Euro 5 , 1 F A A 0 2 NV 0 ) 3 (            9574 , 0 065 , 0 1119 , 0 F u F 3 NV       . Im vorliegenden Fall ermöglicht die Iteration nur eine kleine Verbesserung. Durch Neufestsetzung auf mm 11 , 0 40 d   werden die Verlustkosten zwar maßgeblich gesenkt, der Anteil der Teile außerhalb der Toleranz hat sich mit 4,26 % nur unwesentlich verringert. Eine deutliche Verbesserung würde sich erst bei einer kleineren Herstellungsstreuung ergeben. <?page no="93"?> Robust Design 81 Nimmt man für den Toleranzbereich hingegen s 3 2 T      an, so folgt daraus mm 03667 , 0 3 11 , 0 s neu    . Hiermit bestimmt sich die Verteilungsfunktion zu % 73 , 99 ) 999 , 2 ( F 0367 , 0 11 , 0 F ) u ( F NV        , womit nur noch 0,3 % der Teile außerhalb der Toleranz liegen. Bei einer Produktionsmenge von 800 Flanschen am Tag beträgt der Anteil der nicht toleranzgerechten Flansche ca. 2-3 Stück/ Tag. Damit zeigt sich die Notwendigkeit, die Produktion zu SIX-SIGMA weiterzuentwickeln, da somit erst die „Qualitätskosten“ minimiert werden können. Iterative Anpassung über den pk C -Faktor Wie schon ausgeführt, ist mit der Vorgabe eines pk C -Faktors eine unmittelbare Toleranzsicherheit verbunden. Demzufolge kann die vorstehende Formel modifiziert werden zu 0 NV c F f    . (7.16) Angewandt auf das vorstehende Beispiel mit gegebener Prozessstreuung von s= 0,065 mm und einem geforderten pk C = 1,33 (s.S. 58 f c =0,752) folgt: , 99264 , 0 ) 68 , 2 ( F 065 , 0 174 , 0 F mm 174 , 0 2 , 0 9973 , 0 752 , 0 1 NV ) 1 (            , 9807 , 0 ) 34 , 2 ( F 065 , 0 15 , 0 F mm 15 , 0 174 , 0 9926 , 0 752 , 0 2 NV ) 2 (            d. h., mit der gegebenen Prozessstreuung kann nur in 98,1 % der Fälle eine Toleranz von mm 15 , 0  gehalten werden. Mehr Gutteile erhält man nur durch eine Vergrößerung der Toleranz oder eine Verkleinerung der Streuung. <?page no="94"?> Robust Design 82 7.5 Praktischer Ansatz Für die Praxis empfiehlt sich der folgende vereinfachte Ansatz zur Bewertung des Qualitätsverlustes. Der Qualitätsverlust wird hierbei auf 1,- € normiert. Dies bedeutet, man nimmt für ein auf der Toleranzgrenze liegendes Teil einen pauschalen Qualitätsverlust von 1,- € an / LEM 90/ . Somit lässt sich die Fertigungsqualität im SIX-SIGMA-Fokus wie folgt bewerten: Q(y) = (y-m) 2 T 2 2 Sollwert Istwert halbes Toleranzfeld normierter Qualitätsverlust Qualitätsverlustfunktion eines einzelnen Teils Qualitätsverlustfunktion bei Serienfertigung Mittelwert Varianz Sollwert 1€ T 2 2 Q(y) = [(y m) -s ]  2 2 1€ Bild 7.4: Qualitätsverlust eines Teils bzw. einer Serie Durch die Normierung der Qualitätsverlustfunktion ist ein prinzipieller Vergleich z. B. von unterschiedlichen Fertigungsstufen oder -verfahren möglich. Auf die Beispiele Autoscheibe oder Flansch bezogen würde dies bedeuten, man könnte unterschiedliche Fertigungsverfahren oder Stufen bezüglich ihres Qualitätsverlustes vergleichen, um ein Optimum zu finden. Man bestimmt somit normierte Qualitätsverlustkurven für einzelne Verfahren. Diese eignen sich dann für einen direkten Qualitäts- oder Kostenvergleich untereinander. Bei einer Serienfertigung sieht man deutlich, dass der Qualitätsverlust durch eine Mittelwert- Zielwert-Einstellung und eine Verringerung der Varianz reduziert werden kann. Die Mittelwerteinstellung ist regelmäßig kostenneutral zu erhalten, während jede Streuungsreduzierung in einer Produktion allerdings sehr kostentreibend ist. Eine Verringerung der Streuung verlangt regelmäßig ein genaueres Herstellverfahren.   Anmerkung: Entwicklung der Qualitätsverlustfunktion für Serienfertigung     2 2 2 2 i 2 2 i 2 2 2 2 i 2 n 1 i 2 i n 1 i 2 i 2 n 2 3 2 2 2 1 ) m y ( s k folgt s ) y y ( n 1 mit ) m y ( ) y y ( n 1 k m m y 2 y y y n 1 k m m y 2 y n 1 k ) m y ( n 1 k ) m y ( ... ) m y ( ) m y ( ) m y ( m 1 k ) y ( Q                                                     <?page no="95"?> Überwachung eines Produktionsprozesses 83 8 Überwachung eines Produktionsprozesses 8.1 Fähigkeitsnachweise Von jedem Produktionsverfahren wird verlangt, dass es möglichst eine konstante Qualität liefern soll. Für das Produkt heißt dies, dass jedes geometrische Merkmal mit einer geringen Streuung im Toleranzbereich gefertigt wird. In einer Serienfertigung kann dies nur mit einem entsprechenden Vorbereitungs- und Daueraufwand gewährleistet werden. Die dazu erforderlichen Stufen der Qualifizierung bzw. des Fähigkeitsnachweises sind im Bild 8.1 aufgeführt. Musterserie 0-Serie Pilotserie Vorserie Serie Zeit Nachweis der Maschinenfähigkeit Nachweis der Prozessfähigkeit stat. Prozessüberwachung Einheiten oder Stück Installation der Serieneinrichtungen Betrieb der Serieneinrichtungen vorläufige Prozessfähigkeit Bild 8.1: Stadien eines Serienanlaufs und einer überwachten Serienfertigung nach VDA Bd. 4 Gemäß den ausgewiesenen Prozessstufen muss ein abschnittsweiser Fähigkeitsnachweis erbracht werden, so wie die Merkmale tatsächlich in der Herstellung anfallen. Entsprechend dem Status des Nachweises ist die Fähigkeit vor und nach Beginn der Serienfertigung nachzuweisen. Vor Serienanlauf / LIN 02/ unterscheidet man zwischen Kurzzeituntersuchungen zur Beurteilung der Maschine (Maschinenfähigkeit) und Vorlaufuntersuchungen des Herstellungsprozesses (vorläufige Prozessfähigkeit). Die Maschinenfähigkeit   mk m C , C wird üblicherweise als Abnahmeprüfung bei neuen Maschinen oder erstmaliger Inbetriebnahme (auch nach Instandsetzung) angewendet. Hierzu werden im Normalfall 50 hintereinander gefertigte Teile (entspricht einer Stichprobe 10-mal à 5 Teile) untersucht. <?page no="96"?> Überwachung eines Produktionsprozesses 84 Die vorläufige Prozessfähigkeitsuntersuchung   pk p P , P dient der Beurteilung der Prozessfähigkeit vor Serienanlauf. Dabei sollen die endgültigen Serienbedingungen bereits realisiert und alle Einflussgrößen (Mensch, Maschine, Methode, Material, Umwelt) berücksichtigt werden. Zur Durchführung dieser Untersuchung werden in regelmäßigen Abständen mindestens 20 Stichproben à 3 Teile (häufig auch 25-mal à 5 Teile) analysiert. Die nach dem Serienanlauf durchzuführende Prozessfähigkeit   pk p C , C dient dazu, die Qualitätsfähigkeit unter realen Prozessbedingungen zu beurteilen. Eine derartige Untersuchung muss sich über einen längeren Zeitabschnitt erstrecken, damit alle streuungsrelevanten Faktoren wirksam werden können. Gewöhnlich wird hierzu ein Beobachtungszeitraum von 20 Tagen gewählt. Hieran schließt sich die Langzeit-Prozessfähigkeit mittels SPC an. Über eine Schicht werden dazu 10 Stichproben à 5 Teile ausgewertet. Alle Fähigkeitsuntersuchungen beruhen auf der Messung von Merkmalwerten (s./ ISO 22514/ ), weshalb hier auch die Prüfmittelfähigkeit eine wichtige Rolle spielt. 8.2 Die Qualitätsregelkarte (QRK) Mithilfe einer Qualitätsregelkarte kann das Prozessverhalten visualisiert werden, und zwar bezüglich seiner Lage und Streuung. Dazu werden prozessspezifische Kennwerte (z. B. Anzahl fehlerhafter Einheiten, Urwerte, Mittelwerte, Mediane, Standardabweichungen und Spannweiten) zur Lage- und Streuungsbeurteilung über der Zeit dargestellt und mit Grenzlinien (so genannte Eingriffsgrenzen) verglichen. Anhand dieser Vergleiche ist eine Beurteilung der Prozessgüte / TAV 91/ möglich. Als Beispiel ist im Bild 8.2 eine so genannte Urwert-Annahme-Qualitätsregelkarte dargestellt. In diese Karte werden die gemessenen Einzelwerte einer Stichprobe direkt eingetragen. Damit können die Lage und die Streuung der Messwerte analysiert werden. Mittenmaß (C bzw. ) x obere Warngrenze (OWG) untere Warngrenze (UWG) untere Eingriffsgrenze (UEG) obere Eingriffsgrenze (OEG) Zeit (Stichproben) Messwerte X 0,99 T 0,95 T k E  k E  Bild 8.2: Aufbau von Urwert-Annahme-Qualitätsregelkarten (je Zeitpunkt werden 5 Einheiten gezogen) <?page no="97"?> Überwachung eines Produktionsprozesses 85 Neben dieser Urwertkarte (für kontinuierliche Merkmale) gibt es noch eine Vielzahl anderer Karten, die Mittelwerte, Streuungen und Spannweiten anzeigen. Des Weiteren gibt es noch p-Karten (für diskrete Merkmale), mit der fehlerhafte Einheiten festgestellt werden können. Die Näherung oder Überschreitung der Warnbzw. Eingriffsgrenzen ist ein Hinweis dafür, dass der Prozess wegdriftet oder unkontrolliert wird. Hier sind dann Maßnahmen wie Justierung oder Werkzeugwechsel erforderlich. Für die Festlegung der Grenzen können die folgenden Gleichungen herangezogen werden: Eingriffsgrenzen (99 %) Warngrenzen (95 %) OEG UEG OWG UWG n s 58 , 2 x   , n s 58 , 2 x   n s 96 , 1 x   , n s 96 , 1 x   Die Auswertung bedingt, dass die Prozessstreuung aus ca. 100 Messwerten bekannt ist; ist dies nicht gegeben, so können aus Tabellen Schätzwerte herangezogen werden. <?page no="98"?> Statistische Prozesslenkung 86 9 Statistische Prozesslenkung 9.1 Prozessgüte und Prozessfähigkeit Zuvor wurden schon die erforderlichen Fähigkeitsnachweise und die Bedeutung von SPC, der Prüfmittelfähigkeit und die Regelkarten eingegangen. Im Weiteren sollen jetzt verschiedene gebräuchliche Fähigkeitsindices / VDA 86/ definiert werden. Im Allgemeinen versteht man unter einer Qualitätsfähigkeitskennzahl den Zahlenwert, der sich aus dem rechnerischen Vergleich der Prozessleistung im Vergleich zur vorgegebenen Toleranz ergibt. Aus diesem Blickwinkel heraus kann ein Prozesspotenzial und eine Prozessfähigkeit (s. auch / ISO 21747/ ) definiert werden:  Das Prozesspotenzial drückt die Fähigkeit eines Prozesses aus, ein Merkmal in gleich bleibender Weise innerhalb vorgegebener Spezifikationsgrenzen zu erzeugen: eubreite Prozessstr eite Toleranzbr C p  . Gleichfalls kann das Prozesspotenzial auch über m C (Maschinenfähigkeit) oder p P (vorläufige Prozessfähigkeit) ausgedrückt werden.  Die Prozessfähigkeit fordert hiergegen noch strenger die Einhaltung einer bestimmten Mittelwertlage des Prozesses innerhalb des Toleranzfeldes:   . C ; C min C , eubreite Prozessstr halbe telwert, Prozessmit zum enze Toleranzgr unteren der Abstand C , eubreite Prozessstr halbe telwert Prozessmit zum enze Toleranzgr oberen der Abstand C pu po pk pu po    Weitere Quantifizierungen sind mk C (kritische Maschinenfähigkeit) oder pk P (vorläufige kritische Prozessfähigkeit). Aus diesen Betrachtungen wird deutlich, dass Prozesse unmittelbar über die Streuungen und die Toleranzen gesteuert werden. Insofern sollten Toleranzen mit den Fähigkeiten bzw. Möglichkeiten der Fertigung abgestimmt werden. 9.2 Prozessgüte Gemäß Auswertung der Prozessfähigkeit sind die folgenden Charakterisierungen möglich: Bei einem beherrschten Prozess weichen bei unterschiedlichen Stichproben Streuung und Mittellage des Prozesses nur gering voneinander ab. <?page no="99"?> Statistische Prozesslenkung 87 Bei einem nicht beherrschten Prozess schwankt die Streuung und Mittellage des Prozesses stark bei unterschiedlichen Stichproben. Ein fähiger Prozess wird durch schmale und symmetrische Verteilungen gekennzeichnet. Diese müssen innerhalb der Eingriffsgrenzen liegen. Ein nicht fähiger Prozess besitzt eine zu große Prozessstreuung. Er kann allerdings durchaus beherrscht sein (bei konstanten x und 2 s ). 9.3 Prozessfähigkeitsindizes Die Prozessfähigkeit sagt aus, ob ein Prozess mit den vorgegebenen Qualitätsforderungen übereinstimmt. Die Untersuchung der Prozessfähigkeit erfolgt unter Anwendung mathematisch-statistischer Auswerteverfahren. Die Vorgabe für einen beherrschten Prozess liegt heute noch bei s 3 x   , erst bei Einhaltung dieser Streugrenzen gilt ein Prozess als fähig / VDA 86/ . Diese Streugrenzen geben an, dass mindestens 99,73 % aller Merkmalswerte innerhalb der vorgegebenen Toleranz liegen (dazu siehe auch Bild 4.7). Im Zuge des Total Quality Managements werden seit längerem schon die Forderungen nach s 4 x   bzw. s 5 x   gestellt bzw. in der SIX-SIGMA-Philosophie sogar s 6 x   angestrebt. 9.3.1 Relative Prozessstreubreite Die relative Prozessstreubreite p f sollte in der Regel nicht mehr als 75 % der Werkstücktoleranz bei quantitativen (messbaren) Qualitätsmerkmalen und auch nicht mehr als 75 % der vorgegebenen Qualitätsforderung bei qualitativen (zählbaren) Qualitätsmerkmalen (siehe VDA Bd. 4) betragen. Quantitative Qualitätsmerkmale sind z. B. der Anteil der fehlerhaften Einheiten oder die Anzahl der Fehler pro Stichprobe. Allgemein wird p f durch die folgende Gleichung beschrieben: und für die Forderung s 3   berechnet zu USG OSG s 6 f p    . (9.1) Hierbei sind OSG die obere Spezifikationsgrenze und USG die untere Spezifikationsgrenze. % 75 Toleranz eubereich Prozessstr f p   <?page no="100"?> Statistische Prozesslenkung 88 9.3.2 Prozessfähigkeit Die Prozessfähigkeit (engl.: process capability) p C ist ein Maß für die Streuung eines Fertigungsprozesses. Die Berechnung der Prozessfähigkeit für die Forderung s 3   erfolgt durch p p f 1 sˆ 6 USG OSG C     . (9.2) sˆ ist der Schätzwert für die Standardabweichung der Momentanstreuung. Für sˆ werden die folgenden Größen eingesetzt:  Für quantitative (messbare) Qualitätsmerkmale gilt r s sˆ  r s ist der Schätzwert der Standardabweichung des Merkmalswertes nach der Spannweitenmethode,  für qualitative (zählbare) Merkmale gilt sˆ entspricht angenähert der Standardabweichung der Grundgesamtheit. Die Einzelstichprobengröße sollte hierbei nicht kleiner als 50 sein. 9.3.3 Prozessfähigkeitsindex Mit dem Kennwert der Prozessfähigkeit p C wird die grundsätzliche Fähigkeit eines Prozesses beschrieben. Der Prozessfähigkeitsindex (engl.: process capability index) pk C berücksichtigt neben der Streuung des Fertigungsprozesses zusätzlich die Lage des Mittelwertes zu den Spezifikationsgrenzen. Bei der Bestimmung dieses Wertes wird also zusätzlich die Angabe der Fertigungslage miteinbezogen. pk C bewertet die Beherrschung eines Prozesses und ist deshalb anwendbar bei der Prozessfähigkeitsuntersuchung von Prozessen mit nicht nachstellbaren Merkmalen und bei Prozessen, deren Qualitätsmerkmale eine einseitige Begrenzung aufweisen. Dies sind z. B. alle qualitativen Qualitätsmerkmale sowie Planläufe, Rundläufe, Ebenheiten, usw. Für die Forderung s 3   wird pk C berechnet zu sˆ 3 z C krit pk   . (9.3) Hierbei ist krit z der kritische Abstand des Gesamtmittelwertes zur Spezifikationsgrenze. <?page no="101"?> Statistische Prozesslenkung 89 Es gilt weiter: USG x 1 krit    , sollte x zur unteren Spezifikationsgrenze hin verschoben sein, bzw. x OSG 2 krit    bei Verschiebung von x in Richtung der oberen Spezifikaktionsgrenze. In Gl. (9.3) ist dann einzusetzen: 2 krit 1 krit krit , min z    . (9.4) 9.3.4 Bewertung der Prozessfähigkeit Für die Beurteilung der Fähigkeit eines Prozesses gelten die nachfolgenden Voraussetzungen: Ein Prozess ist fähig, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind: p f < 75 %, p C > 1,33 und pk C > 1,33. Ein Prozess ist bedingt fähig * , wenn gilt: 1,33 > pk C > 1,00. In diesem Fall erfordert der Prozess eine entsprechende Überwachung und eine bessere Zentrierung. Dies ist nur zulässig bei quantitativen Qualitätsmerkmalen. In diesem Fall kann schon eine geringe Verschiebung des Mittelwertes dazu führen, dass der Prozess nicht mehr beherrschbar ist. Ein Prozess ist nicht fähig, bei pk C < 1. Ist pk p C C  , dann liegt der Mittelwert der Verteilung außerhalb der Toleranzmitte. Ein Prozess, der fähig ist, muss aber nicht zwangsläufig auch beherrscht werden; ebenso gilt: Ein beherrschter Prozess muss nicht unbedingt auch fähig sein. Ziel muss es jedoch sein, einen fähigen Prozess auch zu beherrschen. * ) Anmerkung: pk C = 1,0 entspricht s 3   bzw. 99,73 % oder 2.700 ppm pk C = 1,33 entspricht s 4   bzw. 99,9937 % oder 63 ppm pk C = 1,67 entspricht s 5   bzw. 99,999943 % oder 0,57 ppm pk C = 2,0 entspricht s 6   bzw. 99,9999998 % oder 0,002 ppm <?page no="102"?> Statistische Prozesslenkung 90 9.3.5 Prozessbeurteilung Das folgende Beispiel zeigt den Zusammenhang zwischen p f , p C und pk C und die Änderung der Werte bei Verschiebung des Mittelwertes in Richtung auf eine der Spezifikationsgrenzen. Beispiel An einer CNC-Säge werden Strangpressprofile für Führungsschienen von Transportfahrzeugen der Länge 500 mm abgesägt. Die zulässige Toleranz für die Weiterverarbeitung beträgt  3 mm. Die Verteilung der Längenmaße entspricht einer Gauß´schen Normalverteilung. Man hat eine Standardabweichung von 75 , 0 sˆ  ermittelt. Bei Verteilung I liegt der Mittelwert der Längenmaße genau in der Mitte der Toleranzzone, bei Verteilung II ist er um 1,25 mm in Richtung der oberen Spezifikationsgrenze OSG verschoben. Beispiel: Spezifikation 500,0 3 mm  Toleranz = 6 UEG USG = 497  OEG OSG = 503  Toleranz = 6 z = 1,75 krit  s  s  s  s  s x Soll x Ist = 501,25  s  s  s  s  s x x x Soll Ist = = 500,00 5 , 4 ˆ 6   s 5 , 4 ˆ 6   s z = 3,00 krit x Ist Verteilung I: x = 500,00 mm 75 , 0 sˆ  USG = 497,00 mm OSG = 503,00 mm % 75 75 , 0 497 503 75 , 0 6 USG OSG sˆ 6 f p         33 , 1 f 1 sˆ 6 USG OSG C p p      33 , 1 75 , 0 3 500 503 sˆ 3 x OSG sˆ 3 z C krit pk          Verteilung II: x = 501,25 mm 75 , 0 sˆ  USG = 497,00 mm OSG = 503,00 mm % 75 75 , 0 497 503 75 , 0 6 USG OSG sˆ 6 f p         33 , 1 f 1 sˆ 6 USG OSG C p p      78 , 0 75 , 0 3 25 , 501 503 sˆ 3 x OSG sˆ 3 z C krit pk          Bild 9.1: Vergleich von p f , p C und pk C <?page no="103"?> Statistische Prozesslenkung 91 Wie dieses Beispiel zeigt, erfolgt durch Verschiebung des Mittelwertes eine Änderung des Prozessfähigkeitsindexes pk C . Die Indexgrößen p C und p f werden davon nicht betroffen. Bei diesem Beispiel wäre der Prozess  bei Verteilung I fähig,  bei Verteilung II hingegen nicht fähig! 9.3.6 Maschinenfähigkeitsindizes Die Maschinenfähigkeit m C und der Maschinenfähigkeitsindex mk C beschreiben lediglich die Fähigkeiten/ Einflüsse der Fertigungsmaschinen auf den Prozess. Bevor also eine Serienproduktion aufgenommen wird, ist nachzuweisen, ob Fertigungsmaschinen überhaupt in der Lage sind, die Maßbereiche einzuhalten. Gewöhnlich erfolgt dieser Nachweis unter Serienbedingungen an einem kleinen Musterlos. Aufgabe ist es dabei, die systematischen Effekte zu eliminieren. Diese resultieren gewöhnlich aus  Werkzeughalterung,  Werkzeugeinstellungen,  Einspannung,  Wirkung der Umgebungseinflüsse sowie  Materialbeschaffenheit. Für die Maschinenfähigkeit strebt man gewöhnlich mk C  1,67 an. 9.3.7 Messmittelfähigkeit Gemäß ISO 9000 müssen Messwerte (x) und kleine Toleranzen auch sicher nachgewiesen werden. Hierfür ist ein so genannter Genauigkeits-   g C und Fähigkeitsindex   gk C eingeführt worden. Diese können prozess- oder toleranzbezogen nachgewiesen werden: sˆ 6 ) USG OSG ( 2 , 0 C g     (9.5) bzw. sˆ 3 x ) T 1 , 0 x ( C gk      . (9.6) Man erkennt wieder, dass kleine Toleranzen auch notwendig hochgenaue Messmittel erfordern, welche gewöhnlich teuer und aufwändig zu bedienen sind. Bei Toleranzen kleiner als 10  m ist eine Mess- und Prüfmittelfähigkeit nur sehr schwer nachzuweisen. <?page no="104"?> Simulation der Montage einer Baugruppe bei gleichverteilten Fertigungstoleranzen 92 10 Simulation der Montage einer Baugruppe bei gleichverteilten Fertigungstoleranzen Nachfolgend sollen anhand einer einfachen Montagesimulation eines Getriebes die Kostenvorteile der Statistischen Tolerierung anschaulich dargestellt werden. 3 10±1 6±1 29±1 38±1 8±1 12±1 maximales Spiel M 0 Bild 10.1: Getriebeausschnitt mit schwimmender Lagerung Fokus der zu klärenden Frage: Wie groß stellt sich das Schließmaß 0 M tatsächlich ein, wenn ein funktionelles maximales Spiel von 3 mm zur Längenkompensation bei höheren Temperaturen notwendig ist? <?page no="105"?> Simulation der Montage einer Baugruppe bei gleichverteilten Fertigungstoleranzen 93 10.1 Arithmetische Berechnung Mit den bekannten Gleichungen       i i 0 N N N , (10.1)       i u i o O G G P , (10.2)       i o i u U G G P (10.3) und U O A P P T   (10.4) kann das Schließmaß einfach bestimmt werden. In dieser Maßkette sind alle Einzelmaße in ihrer Auswirkung auf das Schließmaß positiv. Somit ergeben sich 0 N = 10 mm + 6 mm + 29 mm + 38 mm + 8 mm + 12 mm + 3 mm = 106 mm, O P = 11 mm + 7 mm + 30 mm + 39 mm + 9 mm + 13 mm + 3 mm = 112 mm, U P = 9 mm + 5 mm + 28 mm + 37 mm + 7 mm + 11 mm + 3 mm = 100 mm, und mit der Toleranzbestimmung erhält man für das arithmetische Schließmaß mm 6 106 M A 0   . 10.2 Statistische Berechnung Für die statistische Berechnung des Schließmaßes sind zunächst die Häufigkeitsverteilungen der einzelnen Maße festzustellen. Für die Simulation werden diese alle gleichverteilt angenommen. Somit ergibt sich für die Statistische Tolerierung einer linearen Maßkette aus k = 6 Gliedern mit gleich großen Einzeltoleranzen i T = 2 mm und rechteckig verteilten Einzelmaßen die folgende Standardabweichung der Einzelmaße: mm 577 , 0 12 mm 2 12 T s i i    . Für das Schließmaß ergibt sich dann nach dem Abweichungsfortpflanzungsgesetz auch eine Normalverteilung mit folgender Standardabweichung: mm 4133 , 1 mm 577 , 0 6 s k s i 0      . (10.5) Wird ein Fehleranteil von p = 0,27 % in der Montage akzeptiert, so ergibt sich die wahrscheinliche Schließtoleranz mit <?page no="106"?> Simulation der Montage einer Baugruppe bei gleichverteilten Fertigungstoleranzen 94 mm 4798 , 8 mm 4133 , 1 3 2 s u 2 T 0 S        . (10.6) Die Toleranzreduktion gegenüber der Arithmetischen Tolerierung beträgt somit 7066 , 0 mm 12 mm 48 , 8 T T r A S    , dadurch kann eine um 29,34 % reduzierte Schließmaßtoleranz bei unveränderten Einzeltoleranzen angenommen werden. Als Ergebnis der Analyse erhält man: statistisch berechnetes Schließmaß arithmetisch berechnetes Schließmaß mm 4,24 106 M S 0   mm 6 106 M A 0   10.3 Simulation Das Ergebnis der Statistischen Tolerierung soll nun mittels einer einfachen Simulation bestätigt werden. Folgende Annahmen werden dazu gemacht:  Es sollen 21 Getriebe montiert werden.  Die jeweils 21 Bauelemente weisen nach der Fertigung alle eine Gleichverteilung ihrer Längenmaße innerhalb ihrer Toleranz auf. Bei der angedeuteten Keilriemenscheibe des Getriebes ergibt sich hiernach die folgende Häufigkeitsverteilung: Häufigkeit [mm] 38,0 38,5 37,5 37,0 1 39,0 Bild 10.2: Häufigkeitsverteilung der Keilriemenscheibe Gemäß dem Beispiel der Keilriemenscheibe sind nun in dem nachfolgenden Arbeitsblatt für jedes der sechs Bauteile die Häufigkeitsverteilungen bzw. die einzelnen Messwerte dargestellt. <?page no="107"?> Simulation der Montage einer Baugruppe bei gleichverteilten Fertigungstoleranzen 95 10.4 Bauteilpool Kopieren Sie bitte die Seite und schneiden Sie mit einer Schere die einzelnen Elemente des Arbeitsblattes aus und mischen Sie nach Gruppen sortiert. Bilden Sie anschließend für jede Gruppe einen Stapel und legen Sie die sechs sich ergebenden Stapel nebeneinander. Die Montage des Getriebes wird nun simuliert, indem Sie von den Stapeln 1 bis 6 jeweils einen Zettel nehmen und das jeweils auf dem Zettel angegebene Maß in der Tabelle 10.1: Arbeitsplatt zur Simulation von Einzel- und Schließmaßen eintragen. Anschließend sind die Schließmaße als Summe der jeweiligen Zeilen einzutragen. Arbeitsbogen zur Montagesimulation eines Getriebes bitte schneiden Sie die einzelnen Elemente mit einer Schere aus - Gruppe 1 Lager 1 9,0 mm Lager 1 9,1 mm Lager 1 9,2 mm Lager 1 9,3 mm Lager 1 9,4 mm Lager 1 9,5 mm Lager 1 9,6 mm Lager 1 9,7 mm Lager 1 9,8 mm Lager 1 9,9 mm Lager 1 10,0 mm Lager 1 10,1 mm Lager 1 10,2 mm Lager 1 10,3 mm Lager 1 10,4 mm Lager 1 10,5 mm Lager 1 10,6 mm Lager 1 10,7 mm Lager 1 10,8 mm Lager 1 10,9 mm Lager 1 11,0 mm Gruppe 2 Dist.hülse 1 5,0 mm Dist.hülse 1 5,1 mm Dist.hülse 1 5,2 mm Dist.hülse 1 5,3 mm Dist.hülse 1 5,4 mm Dist.hülse 1 5,5 mm Dist.hülse 1 5,6 mm Dist.hülse 1 5,7 mm Dist.hülse 1 5,8 mm Dist.hülse 1 5,9 mm Dist.hülse 1 6,0 mm Dist.hülse 1 6,1 mm Dist.hülse 1 6,2 mm Dist.hülse 1 6,3 mm Dist.hülse 1 6,4 mm Dist.hülse 1 6,5 mm Dist.hülse 1 6,6 mm Dist.hülse 1 6,7 mm Dist.hülse 1 6,8 mm Dist.hülse 1 6,9 mm Dist.hülse 1 7,0 mm Gruppe 3 Zahnrad 28,0 mm Zahnrad 28,1 mm Zahnrad 28,2 mm Zahnrad 28,3 mm Zahnrad 28,4 mm Zahnrad 28,5 mm Zahnrad 28,6 mm Zahnrad 28,7 mm Zahnrad 28,8 mm Zahnrad 28,9 mm Zahnrad 29,0 mm Zahnrad 29,1 mm Zahnrad 29,2 mm Zahnrad 29,3 mm Zahnrad 29,4 mm Zahnrad 29,5 mm Zahnrad 29,6 mm Zahnrad 29,7 mm Zahnrad 29,8 mm Zahnrad 29,9 mm Zahnrad 30,0 mm <?page no="108"?> Simulation der Montage einer Baugruppe bei gleichverteilten Fertigungstoleranzen 96 Gruppe 4 Riemensch. 37,0 mm Riemensch. 37,1 mm Riemensch. 37,2 mm Riemensch. 37,3 mm Riemensch. 37,4 mm Riemensch. 37,5 mm Riemensch. 37,6 mm Riemensch. 37,7 mm Riemensch. 37,8 mm Riemensch. 37,9 mm Riemensch. 38,0 mm Riemensch. 38,1 mm Riemensch. 38,2 mm Riemensch. 38,3 mm Riemensch. 38,4 mm Riemensch. 38,5 mm Riemensch. 38,6 mm Riemensch. 38,7 mm Riemensch. 38,8 mm Riemensch. 38,9 mm Riemensch. 39,0 mm Gruppe 5 Dist.hülse 2 7,0 mm Dist.hülse 2 7,1 mm Dist.hülse 2 7,2 mm Dist.hülse 2 7,3 mm Dist.hülse 2 7,4 mm Dist.hülse 2 7,5 mm Dist.hülse 2 7,6 mm Dist.hülse 2 7,7 mm Dist.hülse 2 7,8 mm Dist.hülse 2 7,9 mm Dist.hülse 2 8,0 mm Dist.hülse 2 8,1 mm Dist.hülse 2 8,2 mm Dist.hülse 2 8,3 mm Dist.hülse 2 8,4 mm Dist.hülse 2 8,5 mm Dist.hülse 2 8,6 mm Dist.hülse 2 8,7 mm Dist.hülse 2 8,8 mm Dist.hülse 2 8,9 mm Dist.hülse 2 9,0 mm Gruppe 6 Lager 2 11,0 mm Lager 2 11,1 mm Lager 2 11,2 mm Lager 2 11,3 mm Lager 2 11,4 mm Lager 2 11,5 mm Lager 2 11,6 mm Lager 2 11,7 mm Lager 2 11,8 mm Lager 2 11,9 mm Lager 2 12,0 mm Lager 2 12,1 mm Lager 2 12,2 mm Lager 2 12,3 mm Lager 2 12,4 mm Lager 2 12,5 mm Lager 2 12,6 mm Lager 2 12,7 mm Lager 2 12,8 mm Lager 2 12,9 mm Lager 2 13,0 mm Bild 10.3: Arbeitsbogen zur Montagesimulation <?page no="109"?> Simulation der Montage einer Baugruppe bei gleichverteilten Fertigungstoleranzen 97 Lager 1 10  1 Distanzhülse 1 6  1 Zahnrad 29  1 Riemenscheibe 38  1 Distanzhülse 2 8  1 Lager 2 12  1 max. zul. Spiel 3 Schließmaß 0 M [mm] 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 3 7 3 8 3 9 3 10 3 11 3 12 3 13 3 14 3 15 3 16 3 17 3 18 3 19 3 20 3 21 3 Tabelle 10.1: Arbeitsblatt zur Simulation von Einzel- und Schließmaßen <?page no="110"?> Simulation der Montage einer Baugruppe bei gleichverteilten Fertigungstoleranzen 98 Lager 1 10  1 Distanzhülse 1 6  1 Zahnrad 29  1 Riemenscheibe 38  1 Distanzhülse 2 8  1 Lager 2 12  1 max. zul. Spiel 3 Schließmaß 0 M [mm] 1 9,9 5,3 28,8 37,1 8,0 11,2 3 103,3 2 10,5 5,4 28,5 37,7 8,1 11,4 3 104,6 3 9,1 6,2 28,9 37,0 8,7 13,0 3 105,9 4 10,7 6,4 29,9 37,8 7,6 12,1 3 107,5 5 10,6 5,7 28,4 38,1 8,3 12,7 3 106,8 6 9,2 6,0 29,1 37,3 7,3 11,1 3 103,0 (min) 7 10,3 5,8 28,6 38,3 7,4 11,6 3 105,0 8 10,9 5,9 28,1 37,5 8,5 12,3 3 106,2 9 10,0 6,9 28,2 37,9 7,0 11,5 3 104,5 10 9,5 6,5 29,2 38,5 8,4 11,8 3 106,9 11 10,2 7,0 29,7 37,6 8,2 12,0 3 107,7 12 9,7 6,8 30,0 37,4 7,2 12,8 3 106,9 13 9,8 6,6 28,7 37,2 7,7 11,3 3 104,3 14 9,4 5,6 29,3 38,7 9,0 11,9 3 106,9 15 9,0 5,0 29,0 38,4 7,1 11,7 3 103,2 16 9,6 6,7 29,5 38,0 7,5 12,5 3 106,8 17 10,4 5,1 28,3 38,6 8,8 12,6 3 106,8 18 10,1 5,5 29,4 39,0 8,6 12,2 3 107,8 19 10,8 6,3 29,8 38,8 7,9 12,9 3 109,5 (max) 20 11,0 5,2 29,6 38,2 8,9 11,0 3 106,9 21 9,3 6,1 28,0 38,9 7,8 12,4 3 105,5 Tabelle 10.2: Anwendung des Arbeitsblattes zur Simulation der Montage von Einzel- und Schließmaßen <?page no="111"?> Simulation der Montage einer Baugruppe bei gleichverteilten Fertigungstoleranzen 99 Tabelle 10.2 zeigt ein mögliches Ergebnis einer solchen Simulation. Betrachtet werden sollen nun die Extremwerte des Schließmaßes. arithmetisch statistisch aus Simulation 0(max) M 112 mm 110,24 mm 109,5 mm 0(min) M 100 mm 101,76 mm 103,0 mm Tabelle 10.3: Betrachtung der Extremwerte des Schließmaßes Aus der Betrachtung der Simulation und der sich daraus ergebenden Extremwerte des Schließmaßes ergibt sich, dass eine Toleranzreduzierung von 29,34 % nach der statistischen Toleranzrechnung tatsächlich realistisch ist, da keine der 21 Baugruppen die Extremwerte der arithmetischen oder statistischen Toleranzrechnung erreicht. Dieses Ergebnis kann nun entweder zur Toleranzerweiterung des Schließmaßes benutzt werden, oder es besteht die Möglichkeit, das Reduzierungspotenzial des Schließmaßes auf die einzelnen Bauelemente aufzuteilen. Bei den einzelnen Bauteilen wird dies zu größeren Toleranzen führen. Derartige Situationen wird man in der Praxis recht häufig antreffen. Gegenüber der arithmetischen Maßkettenrechnung ermöglicht die statistische Betrachtung oft eine erhebliche Toleranzaufweitung. Weitere Toleranzen bedeuten stets eine kostengünstige Fertigung und Montage. <?page no="112"?> Toleranzrechnung an linearen Systemen 100 11 Toleranzrechnung an linearen Systemen Im Folgenden sollen anhand von häufig in der Praxis vorkommenden Fragestellungen die in den verschiedenen Kapiteln gewonnen Erkenntnisse angewandt und erweitert werden. Teilweise wurden die Beispiele aus einem größeren Zusammenhang herausgelöst. Fallbeispiele:  Analyse einer Presspassung  Analyse einer Spielpassung  Analyse eines Türfeststellers  Analyse einer Laufrolle Der Fokus in den Beispielen ist dabei nicht auf den maximalen „statistischen Gewinn“ gelegt worden, der bei vielen Bauteilen bekanntlich größer ist. Insofern sind die Passungsbeispiele atypisch, weil hier nur zwei Bauteile beteiligt sind. Und trotzdem kann ein statistischer Gewinn realisiert werden. Im Vorgriff auf das Ergebnis wird sich zeigen, dass auch hier eine Entfeinerung um eine IT-Klasse möglich ist. Der weiter betrachtete Türfeststeller steht als Beispiel dafür, dass das Schließmaß auch durch ein einzupassendes Bauteil (hier Feder) gebildet werden kann. Bei der Laufrolle geht es darum, verschiedene Spielanteile und Geometrietoleranzen abzustimmen, sodass die Funktion gewährleistet bleibt. Um eine Systematik zu vermitteln, werden alle Beispiele nach einem festen Schema abgearbeitet:  Zuerst erfolgen die zeichnerische Darstellung und die Angabe der Konstruktionsparameter.  Um einen Überblick über die Auswirkung der Betrachtung des Problems mit der Methode der Statistischen Tolerierung zu erhalten, werden in einer Tabelle die Ergebnisse der Berechnungen in Kurzform aufgeführt. Die Werte gelten für pk C = 1.  Dann erfolgt eine ausführliche Darstellung der Toleranzrechnung mit Diskussion, die Toleranzen insgesamt funktioneller und wirtschaftlicher zu gestalten. und  Es werden die Auswirkungen auf die Funktion dargestellt. Das Bearbeitungsschema lässt sich auf beliebige Anwendungsfälle erweitern. <?page no="113"?> Toleranzrechnung an linearen Systemen 101 11.1 Analyse einer Presspassung Die gewählte Maßabstimmung soll Umfangskräfte unter Reibschluss übertragen. 11.1.1 Zeichnerische Darstellung Ø15 H8 M 0 - + Bauteil 1 Ø15 u8 +0,027 0 +0,060 +0,033 M 1 M 2 E E Bild 11.1: Presspassung in einem Scharnier für Cabrio-Verdecke 11.1.2 Tolerierungsparameter 8 H 1 15 M  E 0 027 , 0 15   8 u 2 15 M  E 060 , 0 033 , 0 15   11.1.3 Tabellarische Ergebnisübersicht Bezeichnung Formelzeichen Formel Ergebnisse Arithmetisches Schließmaß 0 M 2 1 0 M M M   mm 0 006 , 0 060 , 0  Arithmetische Toleranz A T 1 u 1 o A P P T   0,054 mm Fertigungsstreuung 0 s     n 1 i 2 i 0 i i s s 6 T s 1 s = 0,0045 mm 2 s = 0,0045 mm 0 s = 0,006363 mm Toleranzfeld S T 0 q S s 6 T T    0,038 mm Toleranzerweiterungsfaktor e S A T T e  1,421 Höchstmaß des stat. Schließmaßes 1 o z   S 1 o 1 o T 1 e 2 1 P z    -0,0139 mm Mindestmaß des stat. Schließmaßes 1 u z   S 1 u 1 u T 1 e 2 1 P z    -0,0520 mm Erwartungswert als stat. Schließmaß 0 x 2 1 0 x x x   -0,033 mm Statistisch toleriertes Schließmaß 0 M 2 z z x M 2 u 1 o 0 0    -0,033  0,019 mm Tabelle 11.1: Verknüpfung zweier normalverteilter Funktionsmaße als tabellarische Übersicht <?page no="114"?> Toleranzrechnung an linearen Systemen 102 11.1.4 Berechnungen a) Arithmetische Toleranzrechnung Schließmaß bzw. Übermaß 2 1 0 M M M   Erweiterte Maßrichtungskonvention Positives Maß: Ein direktes Maß ist positiv, wenn sich bei seiner Vergrößerung das Schließmaß in der gleichen Richtung verändert, indem das Spiel vergrößert oder das Übermaß verkleinert wird. Negatives Maß: Ein direktes Maß ist negativ, wenn sich bei seiner Vergrößerung das Schließmaß in der entgegengesetzten Richtung verändert, indem das Spiel verkleinert oder das Übermaß vergrößert wird. Nennmaß mm 0 N N N 02 01 0    Höchst- und Mindestschließmaß mm 0,006 mm 15,033 mm 15,027 G G P u2 o1 o1       , mm 06 , 0 mm 06 , 15 mm 15 G G P o2 u1 u1       Arithmetische Toleranz     mm 054 , 0 mm 06 , 0 mm 006 , 0 P P T u1 o1 A        Oberes und unteres Abmaß des arithmetisch berechneten Schließmaßes mm 006 , 0 mm 0 mm 006 , 0 N P T 0 o1 1 A        , mm 06 , 0 mm 0 mm 06 , 0 N P T 0 u1 2 A        Arithmetisches Schließmaß bzw. Schließübermaß mm 0 N M 006 , 0 060 , 0 1 A T 2 A T 0 0    <?page no="115"?> Toleranzrechnung an linearen Systemen 103 b) Statistische Toleranzrechnung Fertigungsstreuungen von Welle und Nabe mm 0045 , 0 6 mm 027 , 0 6 T s 1 1    , mm 0045 , 0 6 mm 027 , 0 6 T s 2 2    Gesamtstreuung mm 0063639 , 0 0045 , 0 2 s s 2 n 1 i 2 i 0       Größe des statistischen Toleranzfeldes mm 038 , 0 s 6 T T 0 q S     Toleranzerweiterungsfaktor 421 , 1 mm 038 , 0 mm 054 , 0 T T e S A    Wenn A T gleich der Funktionstoleranz bleiben darf, dann können Toleranzen erweitert werden, s. Ableitung im Bild 11.2. Höchst- und Mindestmaß des statistischen Schließmaßes         mm 0520 , 0 mm 038 , 0 1 421 , 1 2 1 mm 06 , 0 T 1 e 2 1 P z , mm 0139 , 0 mm 038 , 0 1 421 , 1 2 1 mm 006 , 0 T 1 e 2 1 P z S u1 u1 S o1 o1                       Erwartungswert als statistisches Schließmaß    2 1 0 x x x 15,0135 mm - 15,0465 mm = -0,033 mm Statistisches Schließmaß   mm 019 , 0 mm 033 , 0 2 mm 052 , 0 mm 0139 , 0 mm 033 , 0 2 z z x M u1 o1 0 0                oder auch 014 , 0 052 , 0 0 0 M   . <?page no="116"?> Toleranzrechnung an linearen Systemen 104 c) Interpretation der Erweiterung der Schließmaßtoleranz f(z) z P u1 P o1 f(z) z P u2 P o2 f(z) z P u1 P o1 100 % T A xx x x 054 , 0 T A  054 , 0 T A  e T 038 , 0 T S  1 u z 1 o z 2 o z 2 u z % 73 , 99 P a  % 73 , 99 P a  2 1 e  A F T T    S A T T 2 1  c1) arithmetische Gesamttoleranz    n 1 i ai A T T c2) statistische Gesamttoleranz               n 1 i 2 ai n 1 i 2 ai 0 S T 6 T 6 s 3 2 T c3) Erweiterungsfaktor S A T T e  Umkehrschluss: Die statistischen Einzeltoleranzen werden gleich den erweiterten arithmetischen Einzeltoleranzen gesetzt, d.h. aufgespreizt zu ai si T e T   c4) Funktionstoleranz           n 1 i 2 ai n 1 i 2 ai F T e T e T ,     A A A F e T 1 e 2 1 2 T T e 2 T T       Bild 11.2: Interpretation der Erweiterung der Schließmaßtoleranz c) Zulässige Erweiterung der Einzeltoleranzfelder mm 0384 , 0 mm 027 , 0 421 , 1 T e T alt 1 neu 1      , , mm 00639 , 0 6 mm 0384 , 0 6 T s neu 1 neu 1    mm 0384 , 0 mm 027 , 0 421 , 1 T e T alt 2 neu 2      , mm 00639 , 0 6 mm 0384 , 0 6 T s neu 2 neu 2    ,   mm 009 , 0 mm 00639 , 0 2 s s 2 n 1 i 2 ineu neu 0       , mm 054 , 0 mm 009 , 0 6 s 6 T T neu 0 A F       <?page no="117"?> Toleranzrechnung an linearen Systemen 105 d) Schließmaßbestimmung bei erweitertem Toleranzfeld Mindest- und Höchstmaß des Schließmaßes mit erweiterten statistischen Einzelmaßen   A 1 u 2 u T 1 e 2 1 P P      mm 07137 , 0 mm 054 , 0 1 421 , 1 2 1 mm 06 , 0 P 2 u          A 1 o 2 o T 1 e 2 1 P P      mm 00537 , 0 mm 054 , 0 1 421 , 1 2 1 mm 006 , 0 P 2 o        Erweiterte Gesamttoleranz   mm 0767 , 0 mm 07137 , 0 mm 00537 , 0 P P T 2 u 2 o e       Resümee T = 0,054 A T = 0,038 s T = 0,0767 e T = 0,054 F P = +0,00537 o2 -0,014 T = 0,054 A 100 % -0,06 -0,033 -0,006 P = -0,07137 u2 arith. Tol. stat. Analyse erw. stat. Tol. 0 Spiel Pressung 99,73 % 99,73 % Bild 11.3: Resümee der Erweiterung der Schließmaßtoleranz Die Toleranzerweiterung kann zu einer geringfügigen Überschreitung der Nulllinie führen, wodurch eine ebenfalls geringe Unwägbarkeit des Übergangs zu Spiel anstatt Pressung besteht. <?page no="118"?> Toleranzrechnung an linearen Systemen 106 e) Abmaßbestimmung bei den Einzelmaßen Mindest- und Höchstmaße der statistisch erweiterten Einzelmaße   ai ui uSi T 1 e 2 1 G G      mm 994 , 14 mm 027 , 0 1 421 , 1 2 1 mm 15 G 1 uS      ,   mm 027 , 15 mm 027 , 0 1 421 , 1 2 1 mm 033 , 15 G 2 uS        ai oi oSi T 1 e 2 1 G G      mm 032 , 15 mm 027 , 0 1 421 , 1 2 1 mm 027 , 15 G 1 oS      ,   mm 065 , 15 mm 027 , 0 1 421 , 1 2 1 mm 06 , 15 G 2 oS      Erweiterte statistische Abmaße der Einzelmaße i oSi Si Si N G es / ES   ,  1 S ES 15,032 mm - 15 mm = 0,032 mm,  2 S es 15,065 mm - 15 mm = 0,065 mm, i uSi Si Si N G ei / EI   ,  1 S EI 14,994 mm - 15 mm = -0,006 mm,  2 S ei 15,027 mm 15 mm = 0,027 mm Statistisch erweiterte Einzelmaße 032 , 0 006 , 0 1 15 M   , 065 , 0 027 , 0 2 15 M   <?page no="119"?> Toleranzrechnung an linearen Systemen 107 11.2 Analyse einer Spielpassung Die gewählte Maßbestimmung soll jetzt eine freie Beweglichkeit ermöglichen. 11.2.1 Zeichnerische Darstellung Ø15 H7 M 0 + - Bauteil 1 Ø15 g6 +0,021 0 -0,007 -0,020 M 1 M 2 E E Bild 11.4: Spielpassung in einem Scharnier für Cabrio-Verdecke 11.2.2 Konstruktionsparameter H7 1 15 M  E 021 , 0 0 15   , 6 g 2 15 M  E 007 , 0 020 , 0 15   . 11.2.3 Tabellarische Kurzübersicht Bezeichnung Formelzeichen Formel Ergebnisse Arithmetisches Schließmaß 0 M 2 1 0 M M M   041 , 0 007 , 0 0  mm Arithmetische Toleranz A T 1 u 1 o A P P T   0,034 mm Fertigungsstreuung 0 s     n 1 i 2 i 0 i i s s 6 T s 1 s = 0,0035 mm 2 s = 0,002167 mm 0 s = 0,0041165 mm Toleranzfeld S T 0 q S s 6 T T    0,0247 mm Toleranzerweiterungsfaktor e S A T T e  1,36 Höchstmaß des stat. Schließmaßes 1 o z   S 1 o 1 o T 1 e 2 1 P z    0,0365 mm Erwartungswert des stat. Schließmaßes 1 u z   S 1 u 1 u T 1 e 2 1 P z    0,0115 mm Mittelwert als stat. Schließmaß 0 x 2 1 0 x x x   0,024 mm Tabelle 11.2: Analyse der Spielpassung - tabellarische Ergebnisse <?page no="120"?> Toleranzrechnung an linearen Systemen 108 11.2.4 Berechnungen a) Arithmetische Toleranzrechnung Schließmaß 2 1 0 M M M   Höchstschließmaß mm 041 , 0 mm 98 , 14 mm 021 , 15 G G P u2 o1 o1      Mindestschließmaß mm 007 , 0 mm 993 , 14 mm 15 G G P o2 u1 u1      Arithmetische Toleranz mm 034 , 0 mm 007 , 0 mm 041 , 0 P P T u1 o1 A      Nennschließmaß mm 0 mm 15 mm 15 N N N 2 1 0      Oberes und unteres Abmaß des arithmetisch berechneten Schließmaßes mm 041 , 0 mm 0 mm 041 , 0 N P T 0 o1 1 A      , mm 007 , 0 mm 0 mm 007 , 0 N P T 0 u1 2 A      Arithmetisches Schließmaß mm 0 N M 041 , 0 007 , 0 1 A T 2 A T 0 0    D.h., die Passung ist so ausgelegt worden, dass immer etwas Spiel bleiben soll. <?page no="121"?> Toleranzrechnung an linearen Systemen 109 b) Statistische Toleranzrechnung Fertigungsstreuungen mm 0035 , 0 6 mm 021 , 0 6 T s 1 1    , mm 002167 , 0 6 mm 013 , 0 6 T s 2 2    ,     mm 0041165 , 0 mm 002167 , 0 mm 0035 , 0 s s 2 2 2 1 i 2 i 0       Statistisches Toleranzfeld mm 025 , 0 mm 0247 , 0 s 6 T T 0 q S      Toleranzerweiterungsfaktor, wenn A T gleich Funktionstoleranz bleiben darf 36 , 1 mm 025 , 0 mm 034 , 0 T T e S A    Höchst- und Mindestmaß des statistischen Schließmaßes     mm 0365 , 0 mm 025 , 0 1 36 , 1 2 1 mm 041 , 0 T 1 e 2 1 P z S o1 o1          ,     mm 0115 , 0 mm 025 , 0 1 36 , 1 2 1 mm 007 , 0 T 1 e 2 1 P z S u1 u1          Oberes und unteres Abmaß des statistischen Schließmaßes mm 0365 , 0 mm 0 mm 0365 , 0 N z T 0 o1 S1      , mm 0115 , 0 mm 0 mm 0115 , 0 N z T 0 u1 S2      Mittelwert des statistischen Schließmaßes mm 024 , 0 mm 9865 , 14 mm 0105 , 15 x x x 2 1 0      Statistisches Schließmaß mm 0 N M 036 , 0 012 , 0 S1 T S2 T 0 0    gegenüber dem arithmetischen mit 041 , 0 007 , 0 0 0 M   mm <?page no="122"?> Toleranzrechnung an linearen Systemen 110 c) Erweiterung der Einzeltoleranzfelder mm 0285 , 0 mm 021 , 0 36 , 1 T e T alt 1 neu 1      , mm 0177 , 0 mm 013 , 0 36 , 1 T e T alt 2 neu 2      , mm 00476 , 0 6 mm 0285 , 0 6 T s neu 1 neu 1    , mm 00295 , 0 6 mm 0177 , 0 6 T s neu 2 neu 2    ,     mm 0056 , 0 mm 00295 , 0 mm 00476 , 0 s s 2 2 n 1 i 2 ineu neu 0       , mm 034 , 0 mm 0056 , 0 6 s 6 T neu 0 F      d) Abmaßbestimmung bei erweitertem Toleranzfeld Mindest- und Höchstmaß des Schließmaßes mit erweiterten statistischen Einzelmaßen   F u1 u2 T 1 e 2 1 P P    ,   mm 00088 , 0 mm 034 , 0 1 36 , 1 2 1 mm 007 , 0 P u2      ,   F o1 o2 T 1 e 2 1 P P    ,   mm 04712 , 0 mm 034 , 0 1 36 , 1 2 1 mm 041 , 0 P o2      Äquivalente arithmetische Gesamttoleranz mm 46 , 0 mm 00088 , 0 mm 04712 , 0 P P T o2 o2 e      e) Abmaßbestimmung bei Einhaltung des statistischen Schließmaßes Mindest- und Höchstmaß der statistisch erweiterten Einzelmaße   ai ui uSi T 1 e 2 1 G G    , <?page no="123"?> Toleranzrechnung an linearen Systemen 111   mm 996 , 14 mm 021 , 0 1 36 , 1 2 1 mm 15 G 1 uS      ,   mm 977 , 14 mm 014 , 0 1 36 , 1 2 1 mm 98 , 14 G 2 uS      ,   ai oi oSi T 1 e 2 1 G G    ,   mm 024 , 15 mm 021 , 0 1 36 , 1 2 1 mm 021 , 15 G 1 oS      ,   mm 995 , 14 mm 014 , 0 1 36 , 1 2 1 mm 993 , 14 G 2 oS      Erweiterte statistische Abmaße der Einzelmaße i oSi Si Si N G es / ES   ,  1 S ES 15,024 mm - 15 mm = 0,024 mm,  2 S es 14,995 mm - 15 mm = -0,005 mm, i uSi Si Si N G ei / EI   ,  1 S EI 14,996 mm - 15 mm = -0,004 mm, 2 S ei = 14,977 mm - 15 mm = -0,023 mm Statistisch erweiterte Einzelmaße 024 , 0 004 , 0 1 15 M   , 005 , 0 023 , 0 2 15 M   Umseitig sind die Verteilungen zu den durchgeführten Maß-Simulationsrechnungen dargestellt. <?page no="124"?> Toleranzrechnung an linearen Systemen 112 f) Interpretation der Erweiterung der Schließmaßtoleranz Resümee T = 0,034 A T = 0,025 S P =99,73% a T = 0,046 e T = 0,034 F P = 0,04712 o2 P =99,73% a T = 0,034 A 100 % 0,007 0,024 0,041 P = 0,00088 u2 0 Bild 11.5: Gegenüberstellung bei der Spielpassung Ø25 Ø25 g6 +0,021 0 +0,024 0 -0,007 -0,020 -0,004 -0,023 Ø25 Ø25 H7 Arithmetisch Statistisch Bild 11.6: Interpretation bei der Spielpassung Die Toleranzerweiterung um 36 % führt in dem Beispiel leider noch nicht dazu, dass ein gröberes Toleranzfeld (H7  H8 bzw. g6  g7) gewählt werden kann. Deshalb gilt besonders für Spielpassungen, dass der Vorteil der statistischen Auslegung besser durch Abmaße ausgeschöpft werden kann. <?page no="125"?> Toleranzrechnung an linearen Systemen 113 11.3 Analyse eines Türfeststellers 11.3.1 Zeichnerische Darstellung M = Ø7 2 0 -0,036 M = 2,25±0,1 1 M = 4,5±0,05 4 M = 2,525±0,05 5 M = 3,5±0,1 3 M 0 M = Ø5 6 0 -0,00 3 M = 4,05±0,1 7 M = 52 8 +0,2 0 Bild 11.7: Türfeststeller als Funktionszeichnung Das gesuchte Schließmaß 0 M ist somit die abgestimmte Federlänge im eingebauten Zustand. 11.3.2 Maßgrößen aller Einzelteile Tolerierte Maße [mm] Größtmaße [mm] Kleinstmaße [mm] Toleranzfelder [mm] 1 , 0 25 , 2 M 1   1 o G = 2,35 1 u G = 2,15 0,2 0 036 , 0 2 7 M   2 o G = 7 2 u G = 6,964 0,036 1 , 0 5 , 3 M 3   3 o G = 3,6 3 u G = 3,4 0,2 05 , 0 5 , 4 M 4   4 o G = 4,55 4 u G = 4,45 0,1 05 , 0 525 , 2 M 5   5 o G = 2,575 5 u G = 2,475 0,1 0 03 , 0 6 5 M   6 o G = 5 6 u G = 4,97 0,03 1 , 0 05 , 4 M 7   7 o G = 4,15 7 u G = 3,95 0,2 2 , 00 8 52 M   8 o G = 52,2 8 u G = 52 0,2 1,066 Der dargestellte Türfeststeller wird in Großserie hergestellt und in PKWs eingebaut. Er übernimmt die Aufgabe, die Seitentüren in bestimmten Rastpositionen feststellen zu können. Das umschließende Gehäuse sitzt in der Türe, bzw. die Haltestange ist an der A-Säule befestigt. Durch Kröpfung der Haltestange, bei gleichzeitigem Eintauchen in das Gehäuse, werden die Rastungen hergestellt. Erforderlich ist dazu eine kraftauslösende Feder mit einer definierten Blocklänge. Ist die Blocklänge zu groß, so liegt Schwergängigkeit vor. Ist die Blocklänge zu klein, so ist der Feststeller wirkungslos. <?page no="126"?> Toleranzrechnung an linearen Systemen 114 Tabelle 11.3: Parameter des Türfeststellers 11.3.3 Vektorieller Maßplan M 5 M 4 M 3 M 2 M 1 M 0 M 7 M 6 M 8 - + Bild 11.8: Maßplan entspricht der Einbausituation der Bauteile 11.3.4 Tabellarische Kurzübersicht Bezeichnung Formelzeichen Formel Ergebnis Bemerkung Arithmetisches Schließmaß 0 M No Po No Pu 0 0 N M   mm 175 , 23 40 , 0 666 , 0   Arithmetische Toleranz A T u o A P P T   1,066 mm Toleranzfeld S T   2 i S T T 0,4268 mm alles NV-verteilte Maße Toleranzerweiterungsfaktor e S A T T e  2,53 für alle Bauteile Statistisch toleriertes Schließmaß 0 M 2 T x M S 0 0   28,4  0,21 mm Tabelle 11.4: Verknüpfung der acht Systemmaße <?page no="127"?> Toleranzrechnung an linearen Systemen 115 11.3.5 Berechnungen a) Arithmetische Toleranzrechnung Nennschließmaß             n 1 i 8 7 6 5 4 3 2 1 i 0 N N N N N N N N N N , 0 N = -2,25mm-7mm - 3,5mm - 4,5mm - 2,525mm - 5mm - 4,05 mm + 52 mm =23,175mm Größtwert des Schließmaßes     u7 u6 u5 u4 u3 u2 u1 o8 o G G G G G G G G P         ,     mm 841 , 23 mm 95 , 3 mm 97 , 4 mm 475 , 2 mm 45 , 4 mm 4 , 3 mm 964 , 6 mm 15 , 2 mm 2 , 52 P o          Kleinstwert des Schließmaßes     o7 o6 o5 o4 o3 o2 o1 u8 U G G G G G G G G P         ,     mm 775 , 22 mm 15 , 4 mm 5 mm 575 , 2 mm 55 , 4 mm 6 , 3 mm 7 mm 35 , 2 mm 52 P U          Arithmetische Toleranz mm 066 , 1 mm 775 , 22 mm 841 , 23 P P T u o A      Arithmetisch toleriertes Schließmaß als Mittenmaß mm 533 , 0 31 , 23 2 T 2 P P M A u o 0      oder Arithmetisch toleriertes, asymmetrisches Schließmaß mm 175 , 23 mm 175 , 23 N M 666 , 0 4 , 0 175 , 23 841 , 23 175 , 23 775 , 22 0 N o P 0 N u P 0 0       Hiermit ist die Federlänge im „worst case“ bestimmt. <?page no="128"?> Toleranzrechnung an linearen Systemen 116 b) Statistische Toleranzrechnung Für alle Bauteile können normalverteilte Fertigungstoleranzen angenommen werden, da der Feststeller in einer sehr großen Serie gebaut wird. Maßkettengleichung 8 7 6 5 4 3 2 1 0 M M M M M M M M M          Mittenwert bei unsymmetrischen Abmaßen mm 1 , 52 2 mm 52 mm 2 , 52 2 G G C , mm 985 , 4 2 mm 97 , 4 mm 5 2 G G C , mm 982 , 6 2 mm 964 , 6 mm 7 2 G G C u8 o8 8 u6 o6 6 u2 o2 2                Alle anderen tolerierten Maße besitzen symmetrische Abmaße. Nennschließmaß als Erwartungswert 8 7 6 5 4 3 2 1 0 C N C N N N C N x          , mm 308 , 23 mm 1 , 52 mm 05 , 4 mm 985 , 4 mm 525 , 2 mm 5 , 4 mm 5 , 3 mm 982 , 6 mm 25 , 2 x 0           Statistische Schließmaßtoleranz                 mm 4268 , 0 mm 182196 , 0 mm 2 , 0 mm 2 , 0 mm 03 , 0 mm 1 , 0 mm 1 , 0 mm 2 , 0 mm 036 , 0 mm 2 , 0 T T , T T T T T T T T T T T 2 2 2 2 2 2 2 2 2 q S 2 8 2 7 2 6 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 n 1 i 2 i q S                        Statistisch toleriertes Schließmaß mm 21 , 0 mm 31 , 23 2 T x M S 0 0     <?page no="129"?> Toleranzrechnung an linearen Systemen 117 Der Federweg variiert also viel weniger, wodurch die Federkraft konstanter wird. Reduktionsfaktor des Schließmaßes 3939 , 0 mm 066 , 1 mm 42 , 0 T T r A S    Dies entspricht einer Toleranzausnutzung von nur 39,4 % bzw. einer möglichen Erweiterung von 60,69 %. Erweiterungsfaktor für alle Einzeltoleranzen 53 , 2 3939 , 0 1 r 1 e    Damit ergeben sich die neuen erweiterten Effektivitätstoleranzen zu mm. 5 , 0 53 , 2 mm 2 , 0 e T T mm, 5 , 0 53 , 2 mm 2 , 0 e T T mm, 075 , 0 53 , 2 mm 03 , 0 e T T mm, 25 , 0 53 , 2 mm 1 , 0 e T T mm, 25 , 0 53 , 2 mm 1 , 0 e T T mm, 5 , 0 53 , 2 mm 2 , 0 e T T mm, 091 , 0 53 , 2 mm 036 , 0 e T T mm, 5 , 0 53 , 2 mm 2 , 0 e T T alt 8 neu 8 alt 7 neu 7 alt 6 neu 6 alt 5 neu 5 alt 4 neu 4 alt 3 neu 3 alt 2 neu 2 alt 1 neu 1                                         Kontrollrechnung                 mm 067 , 1 mm 5 , 0 mm 5 , 0 mm 075 , 0 mm 25 , 0 mm 25 , 0 mm 5 , 0 mm 091 , 0 mm 5 , 0 T , T T T T T T T T T , mm 066 , 1 T T 2 2 2 2 2 2 2 2 qneu 2 neu 8 2 neu 7 2 neu 6 2 neu 5 2 neu 4 2 neu 3 2 neu 2 2 neu 1 qneu i a qneu                     <?page no="130"?> Toleranzrechnung an linearen Systemen 118 Die Maße bzw. Toleranzen aller Bauteile sollten zweckmäßigerweise wie folgt festgelegt werden: Maß [mm] altes Abmaß [mm] neues Abmaß [mm] 1 M  2,25 1 , 0  25 , 0  2 M  12 0 036 , 0  0 091 , 0  3 M  3,5 1 , 0  25 , 0  4 M  4,5 05 , 0  12 , 0  5 M  2,525 05 , 0  12 , 0  6 M  5 0 03 , 0  0 075 , 0  7 M  4,05 1 , 0  25 , 0  8 M  52 2 , 00  5 , 00  Tabelle 11.5: Veränderung der Abmaße Die Herstellung und Prüfung des Türfeststellers wird durch die Neufestlegung der Toleranzen um ca. 5 % kostengünstiger, ohne dass dies negative Effekte auf die Funktionen Rastung und Betätigungskräfte hat. Bei einer täglichen Produktion von 60.000 Stück steht dem im Jahr eine Kostenersparnis von 1,5 Mio. Euro gegenüber. <?page no="131"?> Toleranzrechnung an linearen Systemen 119 11.4 Analyse einer Laufrolle 11.4.1 Zeichnerische Darstellung Bei der dargestellten Laufrolle *) für ein Transportband soll ein axiales Montagespiel für den Einbau der Kugellager auf dem Bundbolzen von minimal größer 0,0 mm und maximal 0,5 mm von den beteiligten Komponenten eingehalten werden. Dieses Spiel ist auch bezüglich der Lebensdauer als nötig ermittelt worden. Bild 11.9: Laufrolle komplett Für die Bestimmung des sich einstellenden Axialspiels sind hierbei die geometrischen Verhältnisse an  der Laufrolle,  dem Bundsteg,  den Kugellagern und  dem Abstandsring relevant. Alle Einzelmaße können der umseitigen Einzelteilzeichnung (Bild 11.10) entnommen werden. Die beiden Kugellager und der Sicherungsring sind als maßlich feste Normbauteile zu behandeln. Ein geometrischer Einfluss aus der Durchbiegung des Bundbolzens wird oft vermutet, kann aber selbst bei 1,5facher Lastüberhöhung (maximale Durchbiegung w = 0,0028 mm) sicher ausgeschossen werden. Insofern kann die ebene Maßabstimmung als ausreichend angesehen werden. *) Anmerkung: Beispiel in Anlehnung einer Ausarbeitung von Prof. Dr. W. Kochem, FH-Köln, im HDT- Manuskript, Nov. 2000 <?page no="132"?> Toleranzrechnung an linearen Systemen 120 0,05 x 56 (7) 40±0,1 9 1,6x45° 10 1,6x45° Ø34 0,5x45° 0,5x45° 3xM4 = 0,05 -0,3 -0,1 Ø28 -0,1 -0,3 0,02 A 2 Abstandsring 2 x DIN 332 - A3,15x6,7 M x1,5 16 geschliffen 1,5 A 1x45° 22 (32) 1 43 Ø33,8 Ø28 Ø20 Ø19 0,02 0,05 0,02 0,1 X R0,8 5,2 max 4 Bundbolzen 1 Laufrolle ISO 8015 Ra Rz +0,2 H13 h11 h6 +0,1 X 1 Ra Rz E E E E E Bild 11.10: Einzelteile der Laufrolle *) *) Anmerkung: Symbole für F+L-Toleranzen nach ISO 1101, Oberflächenbeschaffenheit nach ISO 1302 und Werkstückkanten nach ISO 13715. <?page no="133"?> Toleranzrechnung an linearen Systemen 121 11.4.2 Parameter Tolerierte Maße [mm] Anzahl Größtmaße [mm] Kleinstmaße [mm] Toleranz [mm] Einbaulänge + 1 M = 39,25 1 1 o G = 39,25 1 u G = 39,25 1 T = 0,0 Positionstoleranz der Einbaulänge + Po 1 M = 0  0,05 1 Po 1 o G = +0,05 Po 1 u G = - 0,05 Po 1 T = 0,1 Breite Sicherungsring - 0 06 , 0 2 2 , 1 M   1 2 o G = 1,20 2 u G = 1,14 2 T = 0,06 Breite Kugellager - 0 12 , 0 3 12 M   2 3 o G = 12,00 3 u G = 11,88 3 T = 0,12 Lauftoleranz Kugellager - 016 , 00 L 3 0 M   2 L 3 o G = +0,016 L 3 u G = 0 L 3 T = 0,016 Breite Abstandsring - 1 , 0 14 M 4   1 4 o G = 14,10 4 u G = 13,90 4 T = 0,20 Parallelitätstoleranz Abstandsring - 02 , 00 Pa 4 0 M   1 Pa 4 o G = +0,02 Pa 4 u G = 0,0 Pa 4 T = 0,02 Tabelle 11.6: Parameter der Laufrolle 11.4.3 Maßplan M 3 M 4 M 4Pa M 1Po M 2 M 3 M 0 + - Wellenausschnitt M 3L M 3L M 1 TED NV 2-D-NV M = i M = 1Po Interpretation: Bild 11.11: Einbau und Maßplan mit angegeuteten F+L-Toleranzen <?page no="134"?> Toleranzrechnung an linearen Systemen 122 11.4.4 Betrachtung der Form- und Lagetoleranzen der Baugruppe Das Zusammenwirken der Komponenten zeigt die symbolische Montagezeichnung im Bild 11.9. Im Wesentlichen wirken hier Bundbolzen (Längemaß 1 M mit Positionstoleranz Po 1 M ), die beiden Lager (Längemaße 3 M mit der Lauftoleranz L 3 M ), der Abstandsring (Längenmaß 4 M mit Parallelitätstoleranz Pa 4 M ) und der Sicherungsring (Längemaß 2 M ) auf das Axialspiel. Für die Maßkettenanalyse ist der angeführte Tolerierungsgrundsatz der Unabhängigkeit (nach ISO 8015) maßgebend. Wenn man weiter unterstellt, dass das Fügen des Sicherungsrings äquivalent ist zur Herstellung einer Passfunktionalität, so kann gemäß ISO 2692 mit dem wirksamen Zustand operiert werden. Danach darf ein Bauteil sein Maximum-Material-Maß und seine F+L-Toleranz voll ausnutzen. Die Toleranzzone der Position kann hierbei in Bezug auf das Montagespiel „positiv“ und die Parallelitätstoleranz kann „negativ“ wirken. Ebenfalls negativ wirken die beiden Lauftoleranzen der Kugellager. Einen weiteren Effekt bewirken die Verteilungen von Position und Parallelität. Die Parallelität kann wie zuvor schon als BNV1 angenommen werden, während die Position fast normalverteilt (NV) wirkt. 11.4.5 Tabellarische Kurzübersicht Als Ergebnisvorschau steht die Tabelle 11.7. Die Notwendigkeit zur statistischen Montageüberprüfung wird auch hier sichtbar. Bezeichnung Formelzeichen Formel Ergebnis Bemerkung Arithmetisches Schließmaß 0 M No Po No Pu 0 0 N M   mm 05 , 0 420 , 0 135 , 0  Funktion so nicht gewährleistet! Arithmetische Toleranz A T u o A P P T   0,652 mm Toleranzfeld S T   2 i S T T 0,288 mm Toleranzerweiterungsfaktor e S A T T e  2,23 Statistisch toleriertes Schließmaß 0 M 2 T x M S 0 0   0,179 mm  0,145 mm Bei Betrachtung des Problems mit Statistischer Tolerierung Funktion gewährleistet! Tabelle 11.7: Ergebnisübersicht zur Laufrolle <?page no="135"?> Toleranzrechnung an linearen Systemen 123 11.4.6 Berechnungen a) Arithmetische Toleranzrechnung Nennschließmaß            n 1 i 4Pa 4 3L 3 2 1Po 1 i 0 ) N N ( ) N N ( 2 N ) N N ( N N , 0 N = (39,25 mm + 0,0 m) - 1,2 mm - 2  (12 mm + 0 mm) - (14 mm + 0 mm) = 0,05 mm Größtwert des Schließmaßes ) G G ( ) G G ( 2 G ) G G ( P Pa 4 u 4 u L 3 u 3 u 2 u Po 1 o 1 o o         , o P = (39,25 mm + 0,05 mm) - 1,14 mm - 2  (11,88 mm + 0,016 mm) - (13,9 mm + 0 mm) = 0,468 mm  0,47 mm Kleinstwert des Schließmaßes       Pa 4 o 4 o L 3 o 3 o 2 o Po 1 u 1 u u G G G G 2 G G G P         , u P = (39,25 mm - 0,05 mm) - 1,2 mm - 2  (12,0 mm + 0,016 mm) - (14,1 mm + 0 mm) = - 0,132mm  - 0,13 mm Arithmetische Toleranz    u o A P P T +0,468 mm - (-0,132 mm) = 0,60 mm Arithmetisch toleriertes Schließmaß 420 , 0 135 , 0 05 , 0 47 , 0 05 , 0 13 , 0 N P N Pu 0 0 05 , 0 05 , 0 N M 0 o 0          Die maßliche Überprüfung nach dem „worst-case-Prinzip“ ergibt somit, dass die Rolle unter Berücksichtigung der Form- und Lagetoleranzen nach dem arithmetischen Prinzip eigentlich nicht sicher montierbar ist. Hierbei wurden die folgenden Annahmen getroffen: die Lauftoleranz der Kugellager sollen immer konstant wirken, die Parallelitätstoleranz des Abstandsringes ist jeweils von der Größe des längenmaßes ab hängig (Zweipunktmaß darf nicht verletzt werden). <?page no="136"?> Toleranzrechnung an linearen Systemen 124 b) Statistische Toleranzrechnung Als Annahme sollen wieder normalverteilte Fertigungstoleranzen gelten, da die Rolle in Großserien hergestellt wird. Maßkettengleichung       Pa 4 4 L 3 3 2 Po 1 1 0 M M M M 2 M M M M         , a 4P 4 2L 3 2 o 1P 1 0 M M 2M 2M M M M M        Nennmaße als Erwartungswerte 1 x = 39,25 mm , (als geometrisch ideales Maß angegeben) Po 1 x = 0 , (zweiseitige Toleranz) , mm 14 x mm, 008 , 0 2 mm 0 mm 016 , 0 2 G G x mm, 94 , 11 2 mm 11,88 mm 00 , 12 2 G G x mm, 17 , 1 2 mm 14 , 1 mm 20 , 1 2 G G x 4 L 3 u L 3 o L 3 3 u 3 o 3 2 u 2 o 2                 005 , 0 2 3 02 , 0 2 2 3 T 2 x Pa 4 Pa 4        *) (BNV1, einseitige Toleranz) Nennschließmaß als Verteilungsmittelwert ) x x ( ) x x ( 2 x ) x x ( x Pa 4 4 L 3 3 2 Po 1 1 0         , mm 179 , 0 ) 005 , 0 14 ( ) 008 , 0 94 , 11 ( 2 17 , 1 ) 0 25 , 39 ( x 0          Quadratische Schließmaßtoleranz *) Anmerkung: Verteilung der Parallelitätstoleranz siehe Seite 53; weiter muss berücksichtigt werden:   36 / T 4 3 / T 2 Pa 2 Pa   , der Teiler 36 wegen quadratischer Toleranzrechnung. <?page no="137"?> Toleranzrechnung an linearen Systemen 125 mm 29 , 0 0845 , 0 02 , 0 4 2 , 0 ) 016 , 0 12 , 0 ( 2 06 , 0 1 , 0 0 T 4 T ) T T ( 2 T T T T T 2 2 2 2 2 2 2 2 Pa 4 2 4 2 L 3 2 3 2 2 2 Po 1 2 1 q S                      Statistisch toleriertes Schließmaß mm 0,145 mm 179 , 0 2 T x M S 0 0     Größt- und Kleinstmaß mm 324 , 0 M o G 0  , mm 034 , 0 M u G 0  , womit die Montagefähigkeit auch mit F+L-Toleranzen gegeben ist. <?page no="138"?> Toleranzrechnung an linearen Systemen 126 11.5 Toleranzkennzeichnung nach alter DIN 7186 Im Zusammenhang mit dem vorstehenden Beispiel stellt sich in der Praxis auch die Frage, wie statistisch tolerierte Maße sinnvoll zu kennzeichnen sind. Dies soll hier exemplarisch an der Distanzhülse im Bild 11.12 diskutiert werden, wobei die alte DIN 7186 schon mehrere Möglichkeiten vorgeschlagen hat. 14 0,1 0,065 P95   14,0 0,1  statistisch arithmetisch Damit ist durch die Angaben am Maß Folgendes vereinbart: Maß Bez. Erklärung 14,0 0 0 N x  Erwartungswert bzw. Nennmaß +0,1 +T/ 2 Toleranzgrenzen für bestimmten pk C -Wert (z. B. pk C = 1,0) +0,065 P 95 % Im Bereich 14 + 0,065 sollen 95 % alle Maße liegen s u x x 0    mit u = 1,96 aus NV-Tabelle und s = T/ 6 = 0,0334 Tabelle 11.8: Maßtabelle Beispiel Toleranzkennzeichnung Liegen über die Seiteninhalte der Verteilung keine besonderen Vorschriften vor, so sind in jedem Seitenbereich höchstens % 100 2 P 1 m   der Einzelistmaße zulässig. Für das Beispiel bedeutet dies in den Seitenbereichen jeweils % 5 , 2 % 100 2 95 1    . Das folgende Bild 11.13 zeigt die grafische Darstellung der vereinbarten Verhältnisse. Bild 11.12: Toleranzkennzeichnung nach DIN 7186 <?page no="139"?> Toleranzrechnung an linearen Systemen 127 14,0 13,94 13,9 14,0614,1 95 % 2,5 % 2,5 % linker Seitenbereich rechter Seitenbereich aller Bauteile Bild 11.13: Grafische Darstellung der Verteilung Weitere Möglichkeiten der Angaben sind: Bezugnahme auf den Zentralwert des Intervalls durch die Toleranzangabe 14,0  0,1  0,02Z. Diese Angabe hat keine Auswirkung auf Bezugsmaß, Größtmaß und Kleinstmaß. Der Zentralwert der Verteilung muss jedoch zwischen 14,0 - 0,02 und 14,0 + 0,02 mm liegen. Durch die Angabe 14,0  0,1  0,02A wird die Lage des arithmetischen Mittelwerts der Fertigungsverteilung festgelegt. Er muss zwischen 14,0 - 0,02 und 14,0 + 0,02 mm liegen. Werden statistische Einzeltoleranzen in Zeichnungen nur mit ihrem Sollmaß eingetragen, weil z. B. firmenintern eine Vorschrift über die Fertigungsverteilung besteht, so sind die an einer statistisch tolerierten Maßkette beteiligten Einzelmaße zu kennzeichnen. DIN 7186 schlägt folgende Kennzeichnung vor: 14,0  0,1 Sollen die Angaben zur Statistischen Tolerierung in Zeichnungen statt auf Einzeltoleranzen auf Schließmaßtoleranzen angewendet werden, so sind diese Toleranzen zur Unterscheidung von statistischen Einzeltoleranzen wie folgt zu kennzeichnen: (14,0  0,1  0,02Z). Seit einigen Jahren sind auf internationaler Ebene einige Bestrebungen (siehe ISO/ TC 213) aufgegriffen worden, für die „Statistische Tolerierung“ eine ISO-Norm zu entwickeln. In diesem Normenentwurf sind auch Vorschläge zur grafischen Hervorhebung in technischen Zeichnungen enthalten, die sich weitgehend an die amerikanische ASME-Norm (ASME Y14.5-2009) anlehnen. Ein ergänzendes Anwendungsbeispiel hierzu zeigen Bild 11.14 und Bild 11.15. <?page no="140"?> Toleranzrechnung an linearen Systemen 128 A 0,15 A C pk 1,0 ST ST C pk 1,33 0,1 ASME Y14.5-2009 Bild 11.14: Angaben zu statistische tolerierten Maßen Ähnlich wie in der DIN-Norm sind im ISO-Normentwurf auch Angaben über prozentuale Anteile innerhalb von Toleranzverteilungen vorgesehen. A 0,05 A 0,03 P 95 % 0,065 P 95 % 0,1 ST ST Maß Bezeichnung Erklärung 0,03 P 95 % % P t 03 , 0 016 , 0 96 , 1 s u 016 , 0 3 / t 2/ 1 s P P P           0,065 P 95 % / 2 T % s  065 , 0 0334 , 0 96 , 1 s u 0334 , 0 6 / 2 , 0 s         Bild 11.15: Anteilangaben bei statistisch tolerierten Maßen Insgesamt ist festzustellen, dass französische und amerikanische Unternehmen die Statistische Tolerierung intensiver in der Serienfertigung von komplexen Baugruppen nutzen. <?page no="141"?> Toleranzrechnung an nichtlinearen Systemen 129 12 Toleranzrechnung an nichtlinearen Systemen 12.1 Anwendungsumfeld Zuvor wurden sehr ausführlich lineare Maßketten dargelegt. Charakteristisch hierbei war, dass das Schließmaß immer als Summe oder Differenz aus mehreren Einzelmaßen gebildet wurde. In diesen Fällen greift auch das einfache Abweichungsfortpflanzungsgesetz. Darüber hinaus gibt es in der Praxis auch eine Vielzahl an Fällen, wo zwischen den Einzelmaßen und dem Schließmaß ein nichtlinearer Zusammenhang besteht. Manchmal ist dieser Zusammenhang einfach, aber genauso oft nur mathematisch aufwändig herzustellen. Im nichtlinearen Fall muss auch das vollständige Abweichungsfortpflanzungsgesetz mit seinen partiellen Ableitungen herangezogen werden, welches die Anwendung schwierig erscheinen lässt. Gegenüber anderen Verfahren ist der statistische Ansatz aber immer noch sehr vorteilhaft, da hier nur diskrete Einstellungen bewertet werden brauchen. Dennoch ist der Ansatz so universell, dass weit reichende Schlüsse gezogen werden können. Zur Darstellung des Ansatzes wird ein Querschnitt von Anwendungsfällen gezeigt und Hilfen zur Überwindung von besonderen Schwierigkeiten gegeben. Tolerierungsbeispiele:  die Betrachtung der Querschnittsänderung eines Dichtrings in einem Hydraulikventil;  die Ermittlung des Abstandes zweier lageversetzter Bohrungen;  eine kombinierte Reihen- und Parallelschaltung von elektrischen Widerständen;  ein exzentrisches Schubkurbelgetriebe und  die Auslegung einer Reibschlussverbindung. 12.2 Vorgehen Zur Bearbeitung der Beispiele soll wieder ein festes Schema gewählt werden, welches die folgenden Schritte umfasst: 1. Erstellung einer Funktionsskizze mit allen Abhängigkeiten 2. Ermittlung eines funktionellen Zusammenhangs für die zu untersuchende Größe 3. Ableitung eines Maßplans 4. Arithmetische Bestimmung des Schließmaßes der Maßkette 5. Bestimmung der statistischen Kenngrößen als Mittelwert und Varianz 6. Bestimmung des statistischen Schließmaßes 7. Ermittlung des Erweiterungs- und Reduktionsfaktors 8. Grafische Darstellung der Toleranzfelder/ Verteilungen <?page no="142"?> Toleranzrechnung an nichtlinearen Systemen 130 12.3 Volumentolerierung In Hydraulikblöcken werden die Abdichtungsaufgaben von Dichtringen / KLE 93b/ übernommen. Durch die Verquetschung des Volumens verändern sich jedoch die Strömungsverhältnisse, weshalb es von Wichtigkeit ist, den wahrscheinlichen Bereich des Innendurchmessers d eingrenzen zu können. Dieser Bereich hängt jedoch von der ganzen übrigen Maßumgebung ab. 1. Schritt - Erstellung einer Funktionsskizze Druckkanal Hydraulikventil Abdeckplatte Ød=? Strömung ØD 1 h 1 Ød 2 ØD 2 h 2 Bild 12.1: Hydraulikblock mit Funktionsmaßen und Dichtringabmessungen <?page no="143"?> Toleranzrechnung an nichtlinearen Systemen 131 Parameter 005 , 0 35 , 1 h 1 , 0 1 , 10 D 1 1     15 , 0 15 , 7 d 15 , 0 45 , 10 D 2 2     12 , 1 bis 08 , 1 Q 1 , 0 6 , 1 h 2    Mit: Q: Quellfaktor des Kunststoffs d : deformierter Innendurchmesser D, h: spezifische Baumaße Das hier diskutierte Problem kommt in der Hydraulik und Pneumatik sehr oft vor. Eingesetzte Dichtringe verengen unter ihrer Montagevorspannung Strömungsquerschnitte und stellen fluidische Widerstände dar, die eigentlich unerwünscht sind. Für eine Strömungssimulation ist die tatsächliche Querschnittsverengung eine wichtige Rechengröße, weshalb diese auch hier möglichst real bestimmt werden soll. Im vorliegenden Fall handelt es sich um einen Hydraulikblock, der in sehr großer Stückzahl in der Mobilhydraulik (z. B. LKW-Hublader, Greifarme, Ladepritschen) eingesetzt wird. Da hier nur kleine Pumpvolumina verfügbar sind, sollten die inneren Widerstände möglichst klein sein. Eine Kenngröße dafür ist der „lichte Durchmesser" eines verpressten Dichtrings. 2. Schritt - Ermittlung des funktionellen Zusammenhangs Volumen des verpressten Dichtrings   1 2 2 1 1 h 4 d D V      Volumen des unverpressten Dichtrings   Q h 4 d D V 2 2 2 2 2 2       Annahme: 2 1 V V  Durch die Einbausituation kann im Weiteren von einer Volumenkonstanz des Dichtrings ausgegangen werden, sodass in Verbindung mit der Senkung folgende Beziehung angesetzt werden kann:     Q h 4 d D h 4 d D 2 2 2 2 2 1 2 2 1           . Daraus ergibt sich der deformierte Innendurchmesser   1 2 2 2 2 2 2 1 h Q h d D D d      (12.1) <?page no="144"?> Toleranzrechnung an nichtlinearen Systemen 132 oder das parameterielle Problem   Q , h , D , h , D , d f d 2 2 1 1 2  . 3. Schritt - Ableitung eines Maßplans D 1 D 2 d 2 h 1 h 2 Q d - + 4. Schritt - Arithmetische Bestimmung des Schließmaßes der Maßkette Minimal- und Maximalwerte des Innendurchmessers des deformierten Dichtringes min 1 max max 2 2 min 2 2 max 2 2 min 1 min h Q h d D D d        ,       mm 68364 , 2 mm 3 , 1 12 , 1 mm 7 , 1 mm 7 mm 6 , 10 mm 10 d 2 2 2 min         bzw. max 1 min min 2 2 max 2 2 min 2 2 max 1 max h Q h d D D d        ,   mm 55308 , 6 mm 4 , 1 08 , 1 mm 5 , 1 mm) 3 , 7 ( mm) 3 , 10 ( mm 2 , 10 d 2 2 2 max       Mittenwert bzw. Mittelwert des Innendurchmessers mm 61836 , 4 2 mm 55308 , 6 mm 68364 , 2 2 d d d C max min 0 d       Aus dem funktionellen Zusammenhang nach Gl. (12.1) ist die Richtung der Maßvektoren zu bestimmen. Maße, deren Vergrößerung ebenfalls eine Vergrößerung des Schließmaßes - hier der Durchmesser d - bewirken, sind als positiv anzunehmen. Maße, deren Verringerung eine Vergrößerung des Schließmaßes bewirken, haben einen negativen Maßvektor. Bild 12.2: Maßplan für die Querschnittsänderung eines Dichtrings <?page no="145"?> Toleranzrechnung an nichtlinearen Systemen 133 Arithmetische Toleranz des Innendurchmessers mm 86944 , 3 mm 68364 , 2 mm 55308 , 6 d d T min max A      Schließmaß des Innendurchmessers des deformierten Gummiringes 93472 , 1 61836 , 4 2 mm 86944 , 3 mm 61836 , 4 2 T C M A d 0       5. Schritt - Bestimmung der statistischen Kenngrößen Funktion der Zielgröße in Abhängigkeit von den parameteriellen Mittelwerten 1 2 2 2 2 2 2 1 h Q h d D D d        Varianz der Zielgröße aus allgemeinem Abweichungsfortpflanzungsgesetz             n 1 i 2 i x 2 x i 2 s x f s , 2 Q 2 2 2 h 2 2 2 1 h 2 1 2 2 d 2 2 2 2 D 2 2 2 1 D 2 1 2 d s Q d s h d s h d s d d s D d s D d s                                                             Partielle Ableitungen aller Parameter 96983 , 1 h Q h d Q h D h D D D d 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1            , 65700 , 2 d D Q h h D h Q h d Q h D h D Q h D D d 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2                        , 81795 , 1 d D Q h h D h Q h d Q h D h D Q h d d d 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2                      , <?page no="146"?> Toleranzrechnung an nichtlinearen Systemen 134   46939 , 5 d D Q h h D h 2 h Q h d Q h D h D d D Q h h d 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1                             , 61480 , 4 d D Q h h D 2 h Q h d Q h D h D d D Q h d 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2                               , 71243 , 6 d D Q h h D 2 h Q h d Q h D h D d D h Q d 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2                               Mit den partiellen Ableitungen erhält man                   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 d mm 06419 , 0 mm 006 , 0 71243 , 6 mm 03 , 0 61480 , 4 mm 0166 , 0 46939 , 5 mm 05 , 0 81795 , 1 mm 05 , 0 65700 , 2 mm 03 , 0 96983 , 1 s                 Standardabweichung der Zielgröße mm 25335 , 0 mm 06419 , 0 s s 2 2 d d    Statistische Toleranz des Innendurchmessers mm 5201 , 1 mm 25335 , 0 6 s 3 T d S       6. Schritt - Bestimmung des statistischen Schließmaßes mm 76 , 0 618 , 4 2 T d M S 0 0     7. Schritt - Bestimmung des Erweiterungs- und Reduktionsfaktors Reduktionsfaktor 3928 , 0 mm 86 , 3 mm 52 , 1 T T r A S    <?page no="147"?> Toleranzrechnung an nichtlinearen Systemen 135 Dies entspricht einer Reduktion von 60,7 % oder es werden tatsächlich nur 39,3 % des Toleranzfeldes ausgenutzt. Größtmaße, Kleinstmaße und Standardabweichung der einzelnen Parameter Maß Größtmaß (mm) Kleinstmaß (mm) Standardabweichung (mm)   s 6 T s   bei normalverteilten Fertigungstoleranzen 1 D o G = 10,2 u G = 10 033 , 0 6 G G s u o 1 D    2 D o G = 10,6 u G = 10,3 05 , 0 s 2 D  2 d o G = 7,3 u G = 7 05 , 0 s 2 d  1 h o G = 1,4 u G = 1,3 0166 , 0 s 1 h  2 h o G = 1,7 u G = 1,5 033 , 0 s 2 h  Q o G = 1,12 u G = 1,08 0066 , 0 s Q  Tabelle 12.1: Größtmaße, Kleinstmaße und Standardabweichungen 8. Schritt - Grafische Darstellung der Toleranzfelder/ Verteilung 4,62 2,69 6,55 G u G o C d 4,62 3,86 5,38 G u G o -3s +3s d o Resümee Eine wichtige Erkenntnis der statistischen Maßanalyse ist, dass die tatsächliche Durchflussbehinderung und die Störung der Strömung durch die verquetschte Dichtung geringer ist, als nach der arithmetischen Rechnung ausgewiesen wird. Die Simulation des Hydraulikkreislaufs zeigt in dem vorliegenden Fall, dass mit der nächstkleineren Pumpe gearbeitet werden kann, was die Systemkosten insgesamt senkt. Bild 12.3: Arithmetisches Toleranzfeld Bild 12.4: Statistisches Toleranzfeld <?page no="148"?> Toleranzrechnung an nichtlinearen Systemen 136 12.4 Bestimmung eines Lochabstandes Im Bild 12.5 ist ein Plattensegment mit zwei Bohrungen dargestellt. Dieses Plattensegment soll so montiert werden, dass in die beiden Bohrungen zwei Zapfen eingreifen können. Für die Funktion ist somit der diagonale Lochabstand maßgebend, der sich aus einer nichtlinearen Maßbeziehung berechnet. Da derartige Fälle in der Praxis sehr häufig sind, soll hier eine exemplarische Lösung entwickelt werden. Angemerkt sei aber, dass die Vermaßung des Lochbildes nicht mehr normkonform ist. Nach der ISO 5458 ist die Positionsbzw. Mustertolerierung zu benutzen. 1. Schritt - Erstellung einer Funktionsskizze (nicht normgerecht) 15  0,2 M = 15 2  0,2 M 0 10 H7 8 H7 15  0,2 Bild 12.5: Zeichnungsausschnitt eines Plattensegments mit Plus-/ Minus-Tolerierung 2. Schritt - Ermittlung des funktionellen Zusammenhangs Zunächst muss die Diagonale 0 M der beiden Bohrungsmittelpunkte bestimmt werden. Dazu wird der Satz des Pythagoras verwendet. Das Schließmaß 0 M ist somit eine Funktion der beiden Abstandsmaße. Es gilt:   2 2 2 1 2 1 0 M M M , M f M    (12.2) Bez.: Maß Toleranz 1 M 10 mm  0,2 mm 2 M 15 mm  0,2 mm Tolerierung DIN 7167 (Hüllbedingung) <?page no="149"?> Toleranzrechnung an nichtlinearen Systemen 137 3. Schritt - Ableitung eines Maßplans In diesem Fall ist der Maßplan mit zwei unabhängigen Größen einfach zu bestimmen. Vergrößern sich 1 M oder 2 M , vergrößert auch sich 0 M , d. h., alle Maße sind positiv. M 1 M 0 M 2 + - Maßplan 4. Schritt - Arithmetische Bestimmung des Schließmaßes der Maßkette Nennmaß, Höchstmaß und Mindestmaß des Lochabstandes  Nennmaß Ausgehend von den Zeichnungsangaben ergibt sich das Nennmaß der Diagonalen zu . mm 0278 , 18 15 10 N N N 2 2 2 2 2 1 0       Höchstmaß Sollten zwei Bohrungen zusammentreffen, welche die Abstandstoleranzen voll ausnutzen, erhält man für das Höchstmaß . mm 3052 , 18 2 , 15 2 , 10 G G P 2 2 2 2 o 2 1 o O       Mindestmaß Für das Mindestmaß erhält man analog mm. 7505 , 17 8 , 14 8 , 9 G G P 2 2 2 2 u 2 1 u U      Bild 12.6: Maßplan des Lochabstand nach Pythagoras <?page no="150"?> Toleranzrechnung an nichtlinearen Systemen 138  Arithmetische Toleranz des Lochabstandes Der „worst-case“ führt zu mm. 5547 , 0 7505 , 17 3052 , 18 P P T U O A      Daraus folgt: Der Lochabstand bewegt sich in einem Bereich von mm 03 , 18 N M 28 , 0 28 , 0 0 N O P 0 N U P 0 0     . 5. Schritt - Bestimmung der statistischen Kenngrößen  Grundannahmen Es soll angenommen werden, dass  die einzelnen Maße normalverteilt sind und  die Fertigungsstreuung s 3   betrage. Die Varianzen der Einzelmaße können nach der bekannten Beziehung 6 T s i i  bestimmt werden. Toleranz i T / [mm] Streuung i s / [mm] Varianz   2 2 i mm / s + 1 M 0,4 0,0667 0,0044 + 2 M 0,4 0,0667 0,0044 Nun muss nach dem Abweichungsfortpflanzungsgesetz die Varianz des Schließmaßes bestimmt werden, gemäß Gl. (4.15) gilt: 2 i 2 n 1 i x i n 1 2 s s x f )) ,...x x ( f (             . Daraus folgt für dieses Beispiel     2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 0 s M M M s M M M M , M f s                     , <?page no="151"?> Toleranzrechnung an nichtlinearen Systemen 139 mit den partiellen Ableitungen am Mittelwert 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 M M M M M M            und 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 M M M M M M            folgt     2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 0 s M M M s M M M M , M f s                   . Setzt man die Zahlenwerte ein, erhält man             . mm 0044 , 0 0044 , 0 mm 15 mm 10 mm 15 0044 , 0 mm 15 mm 10 mm 10 M , M f s 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 0                    Die Gesamtstreuung ist dann mm 0663 , 0 s 0  . 6. Schritt - Bestimmung der Toleranz mm 40 , 0 mm 0663 , 0 6 s 3 2 s 3 T 0 S          gegenüber A T = 0,5547. Das statistisch tolerierte Schließmaß ist somit 0 M = 18,03  0,20 mm. 7. Schritt - Ermittlung des Erweiterungs- und Reduktionsfaktors Reduktionsfaktor 7273 , 0 55 , 0 40 , 0 T T r A S    <?page no="152"?> Toleranzrechnung an nichtlinearen Systemen 140 Dies bedeutet: Bei der jetzigen maßlichen Auslegung der Einzelteile wird das Schließmaß S T nur A T 73 , 0  betragen. Insofern können bei Beibehaltung von S A T T  alle Einzeltoleranzen (im Beispiel die abstandsbildenden Maße) erweitert werden. Der Erweiterungsfaktor beträgt somit 37 , 1 T T r 1 e S A    . Wie zuvor erwähnt, ist nach der DIN EN ISO 5458 die zuvor benutzte Bemaßung über Abmaße nicht mehr zulässig, d. h., es ist eine Positionstolerierung (s. / HEN 11/ ) zu benutzen. Bild 12.7: Alternative Bemaßung mit Positionstoleranzen   PS t Gemäß den in der Zeichnung dargestellten Verhältnissen ergibt sich eine völlig andere Betrachtung. Die Abstände 2 1 M , M sind hier wieder theoretisch genaue Maße (TED) ohne jede Toleranz. Es ergibt sich somit die theoretische Lage der Mitten der Toleranzfelder zu mm 0278 , 18 M M N 2 2 2 1 0    . Die Diagonale 0 N erweitert oder verkürzt sich jetzt in den beiden Toleranzfeldern PS t . Somit ergibt sich: <?page no="153"?> Toleranzrechnung an nichtlinearen Systemen 141  Höchstmaß mm 43 , 18 4 , 0 0278 , 18 2 t 2 N P PS 0 O        Mindestmaß mm 63 , 17 4 , 0 0278 , 18 2 t 2 N P PS 0 U       Für die arithmetische Schließmaßtoleranz erhält man somit mm 8 , 0 P P T U O A    . Wie vorstehend schon im Kapitel 5.7.4 dargestellt, kann jede Positionstoleranz als normalverteilt *) angenommen werden. Die Streuungen ergeben sich somit zu 06667 , 0 6 4 , 0 6 t s PS 1 PS    , 1 PS 2 PS s s  . Gemäß dem Abweichungsfortpflanzungsgesetz ergibt sich die Gesamtstreuung der Abstandsdiagonalen zu 0943 , 0 s 414 , 1 s 2 s s s 1 PS 1 PS 2 PS 2 1 PS 2 0        und damit als diagonale Toleranz mm 28 , 0 5657 , 0 s 6 T 0 S      . Insofern ist ein Abstandsmaß im Bereich 28 , 0 0278 , 18 2 T N M S 0 0     zu erwarten. Dies hat ein Höchstmaß von mm 31 , 18 M max 0  und ein Mindestschließmaß von mm 75 , 17 M mim 0  zur Folge. *) Anmerkung: Positionstoleranzen für Bohrungsmitten sind 3D-normalverteilt; hier soll vereinfacht eine 2D- Schnitt-Normalverteilung angenommen werden. <?page no="154"?> Toleranzrechnung an nichtlinearen Systemen 142 12.5 Schaltung von Ohm´schen Widerständen Zuvor wurde schon im Kapitel 4.2.4.3 (siehe Seite 28) die Ohm’sche Widerstandsschaltung als typisches nichtlineares Problem behandelt. Weil Widerstandsschaltungen in elektrische Seriengeräte häufig vorkommen, soll das zuvor entwickelte Bearbeitungsschema auch noch mal auf diesen Anwendungsfall übertragen werden. 1. Schritt - Erstellung einer Funktionsskizze R 1 R 4 R 2 = R 0 R 3 Bild 12.8: Schaltung von Ohm‘schen Widerständen Es sollen die folgenden Maßgrößen angenommen werden: Nennwerte/ [  ] Toleranz T/ [  ] 1 R 270  10 % 54 2 R 100  5 % 10 3 R 150  20 % 60 4 R 330  5 % 33 2. Schritt - Ermittlung des funktionellen Zusammenhangs Bei in Reihe geschalteten Widerständen wird der Gesamtwiderstand durch Addition der Einzelwiderstände ermittelt. Bei parallel geschalteten Widerständen addieren sich die Leitwerte. Der Leitwert ist der Kehrwert des Ohm‘schen Widerstands. Daher ist der Gesamtwiderstand zweier parallel geschalteter Ohm‘scher Widerstände der Kehrwert des Gesamtleitwerts. Demgemäß wird der Gesamtwiderstand 0 R berechnet zu . R R R R R R R R 1 R 1 R R 4 3 2 3 2 1 4 1 3 2 1 0               (12.3) Infolge des verknüpften Mittelterms liegt eine nichtlineare Beziehung vor. <?page no="155"?> Toleranzrechnung an nichtlinearen Systemen 143 3. Schritt - Ableitung eines Maßplans Zur Erstellung des Maßplans muss zunächst wieder der funktionelle Zusammenhang betrachtet werden. Diesen kann man im ersten Schritt in drei für das Schließmaß voneinander unabhängige Teile zerlegen. Es sind dies  der Widerstand 1 R ,  der Widerstand 4 R und  die Parallelschaltung aus 2 R und 3 R . Für den Maßplan muss geklärt werden, wie sich der Ersatzwiderstand a R bei extremen 2 R und 3 R verhält. Dazu muss man jeweils die Größt- und Kleinstwiderstände einsetzen: 3 2 3 2 a R R R R R    . Man erhält dann die folgenden Ergebnisse für den Ersatzwiderstand: 2 R 3 R Ersatzwiderstand a R max = 105  max = 180  66,32  (MAXIMAL) max = 105  min = 120  56,00  min = 95  max = 180  62,18  min = 95  min = 120  53,02  (MINIMAL) Tabelle 12.2: Bestimmung des Parallelwiderstandes a R mit extremen 2 R - und 3 R -Widerständen Aus dieser Tabelle kann man ersehen, dass a R maximal wird für maximale 2 R und 3 R . Für 2 R und 3 R minimal wird auch a R minimal. Somit sind die einzelnen Vektoren der Maßkette als positiv anzunehmen. Man erhält den folgenden Maßplan *) : R a R 1 M 0 R 2 R 3 + - Maßplan für Reihen-/ Parallelschaltung *) Anmerkung: Der Maßplan ist bei physikalischen Größen in Analogie zu den Maßgrößen zu verstehen. Bild 12.9: Maßplan für die Schaltung elektrischer Widerstände <?page no="156"?> Toleranzrechnung an nichtlinearen Systemen 144 4. Schritt - Arithmetische Bestimmung des Schließmaßes der Maßkette Mittelwert, Höchstmaß und Mindestmaß des Gesamtwiderstands Berechnung nach dem funktionellen Zusammenhang wegen des Mittelwertsatzes:  Mittelwert Der mittlere Gesamtwiderstand 0 R ist mit den Nennwerten i R aller Einzelwiderstände zu bilden:                  660 330 150 100 150 100 270 R R R R R R R 4 3 2 3 2 1 0 .  Höchstmaß                   31 , 726 363 180 105 180 105 297 R R R R R R R max 4 max 3 max 2 max 3 max 2 max 1 O  Mindestmaß                   02 , 593 297 120 95 120 95 243 R R R R R R R min 4 min 3 min 2 min 3 min 2 min 1 U Arithmetische Toleranz des Gesamtwiderstandes A T         29 , 133 02 , 593 31 , 726 R R T U O A und % 10 660 ˆ 660 660 R M 31 , 66 69 , 66 660 31 , 726 660 02 , 593 0 R O R 0 R U R 0 0            5. Schritt - Bestimmung der statistischen Kenngrößen Grundannahmen Es wird auch hier angenommen, dass die Widerstände in Großserie hergestellt werden und ihre Werte somit normalverteilt sind. Weiterhin wird eine beherrschte Produktion unterstellt, was ein 1 C pk  bzw. eine Fertigungsstreuung von s 3   voraussetzt. <?page no="157"?> Toleranzrechnung an nichtlinearen Systemen 145 Bestimmung der Varianzen der Einzelmaße Nennwerte/ [  ] Toleranz T/ [  ] Standardabw. ] [ / s R  Varianz ] [ / s 2 R  1 R 270  10 % 54 9,00 81,00 2 R 100  5 % 10 1,67 2,78 3 R 150  20 % 60 10,00 100,00 4 R 330  5 % 33 5,50 30,25 Varianzbestimmung des Schließmaßes nach dem Abweichungsfortpflanzungsgesetz 2 i 2 n 1 i x i 4 3 2 1 2 s x f )) R , R , R , R ( f ( s             mit den partiellen Ableitungen     . 1 R R R R , 0 R R R 0 R R , 0 R R R 0 R R R R R R R R R R R R R R R R R R , 0 0 1 R R R R R R R R R R R R R R R R R R 1 ges 4 ges 2 3 2 2 2 3 ges 2 3 2 2 3 2 4 2 3 2 3 2 2 1 2 4 3 2 3 2 1 2 ges 1 4 1 3 2 3 2 1 1 1 4 3 2 3 2 1 1 ges                                                                                    Einsetzen liefert nun die Gesamtvarianz             . 17 , 114 25 , 30 100 026 , 0 78 , 2 130 , 0 81 25 , 30 100 100 150 100 78 , 2 100 150 150 81 s 1 s R R R s R R R s 1 s 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 R 2 2 3 R 2 2 3 2 2 2 2 2 R 2 2 3 2 2 3 2 1 R 2 2 0 R                                                               Die Gesamtstreuung ist somit Ω 68 , 10 s 0 R  . <?page no="158"?> Toleranzrechnung an nichtlinearen Systemen 146 6. Schritt - Bestimmung der Toleranz Auch für den Gesamtwiderstand soll wieder die gleiche Streubreite angenommen werden. Dann ergibt sich für die statistische Toleranz . 11 , 64 68 , 10 6 s 6 T 0 R S        Als Gesamtwiderstand ist somit zu erwarten: 2 T R M S 0 0   mm = 660   32,05  . Dies entspricht ungefähr % 5 660 M 0    . Im Vergleich dazu beläuft sich die arithmetische Schließmaßtoleranz auf A T = 133,29  . Dies entspricht einer Abweichungstoleranz von  10 %. 7. Schritt - Ermittlung des Erweiterungs- und Reduktionsfaktors Äquivalent wie Längentoleranzen lassen sich auch die physikalischen Toleranzen steuern. Toleranzerweiterungen vereinfachen daher auch hier die Fertigung. Reduktionsfaktor 48 0 29 133 11 64 T T r A S , , ,      , d. h., nur ein Bereich von 48 % der arithmetischen Toleranz wird tatsächlich genutzt. Erweiterungsfaktor 07 2 T T r 1 e S A ,    , d. h., bei jedem Widerstand i R kann die Toleranz um den 2,07fachen Wert erweitert werden. <?page no="159"?> Toleranzrechnung an nichtlinearen Systemen 147 12.6 Schubkurbelgetriebe Für das in Bild 12.10 dargestellte Schubkurbelgetriebe soll die augenblickliche Lage des Kolbens 0 M für einen Kurbelwinkel von  = 40° vor dem Auslass berechnet werden. 1. Schritt - Ermittlung eines Funktionsskizze M 2 M 3 M 1  Auslasskanal Bild 12.10: Schubkurbelgetriebe Bezeichnung Nennwerte i N / [mm] Toleranz i T / [mm] Größtmaß oi G / [mm] Kleinstmaß ui G / [mm] 1 M Kurbelradius 240  1,50 241,50 238,50 2 M Länge des Übertragungsgelenks 400  2,50 402,50 397,50 3 M Versetzung 100  0,75 100,75 99,25  Kurbelwinkel 40° 0 M Position des Kolbens (Schließmaß) ? Tabelle 12.3: Maße des Schubkurbelgetriebes 2. Schritt - Ermittlung des funktionellen Zusammenhangs Die Kolbenposition wird durch die folgende Übertragungsfunktion nullter Ordnung beschrieben:   2 3 1 2 2 1 0 M sin M M cos M M         (12.4) <?page no="160"?> Toleranzrechnung an nichtlinearen Systemen 148 3. Schritt - Ableitung eines Maßplans Zur Erstellung eines Maßplans muss zunächst nochmals die Übertragungsfunktion betrachtet werden. Da der Verlauf des Schließmaßes nichtlinear ist, müssen zunächst die einzelnen Glieder der Übertragungsfunktion untersucht werden:   2 3 1 2 2 1 0 M sin M M cos M M         . Diese kann man als Summe aus zwei Teilen mit unterschiedlicher Auswirkung auf das Endmaß beschreiben. Der erste Teil a M besteht aus    cos M M 1 a . Vergrößert sich a M , so vergrößert sich auch 0 M . Daher ist a M als positiv anzunehmen. Für den zweiten Teil betrachtet man das Verhalten der Wurzel bei sich ändernden Maßen:   2 3 1 2 2 b M sin M M M      . Vergrößert sich b M , so vergrößert sich auch 0 M . Daher auch ist auch b M als positiv anzunehmen. b M kann nun wiederum in die einzelnen Faktoren b1 M , b2 M und b3 M zerlegt werden mit  2 2 1 b M M  ,     sin M M 1 b2 und  2 3 3 b M M  . Auf dieser Basis kann man dann den Maßplan erstellen: M M M M M M b b1 b2 b3 a 0 + - Maßplan: Schubkurbelgetriebe Dieser Maßplan gilt nur für Winkel  zwischen 0° und 90° ( sin  und cos  > 0). Sollten sin  oder cos  negativ werden, muss eine neue Betrachtung erfolgen.  b1 M größer => b M vergrößert => 0 M vergrößert => b1 M ist als positiv anzunehmen  b2 M größer => b M verringert => 0 M verringert => b2 M ist als negativ anzunehmen  b3 M größer => b M vergrößert => 0 M vergrößert => b3 M ist als positiv anzunehmen Bild 12.11: Maßplan des Schubkurbelgetriebes <?page no="161"?> Toleranzrechnung an nichtlinearen Systemen 149 4. Schritt - Arithmetische Bestimmung des Schließmaßes der Maßkette  Mittenmaß/ Nennwert Der Stellungs-Nennwert 0 N für den Kurbelwinkel  = 40° bestimmt sich zu       . mm 15 , 580 mm 100 40 sin mm 240 mm 400 40 cos mm 240 N 40 sin N N cos40 N N 2 2 2 3 1 2 2 1 0                   Höchststellungswert Nach den Überlegungen bei der Aufstellung des Maßplanes folgt nun für       . mm 054 , 584 mm 75 , 100 40 sin mm 5 , 238 mm 5 , 402 40 cos mm 5 , 241 G 40 sin G G cos40 G P 2 2 2 o3 1 u 2 2 o o1 O                   Mindeststellungswert Für das Mindestmaß folgt entsprechend       . mm 240 , 576 mm 25 , 99 40 sin mm 5 , 301 mm 5 , 397 40 cos mm 5 , 238 G sin40 G G cos40 G P 2 2 2 u3 1 o 2 2 u u1 U                  Arithmetische Stellungstoleranz mm 7,81 mm 240 , 576 mm 054 , 584 P P T U O A      <?page no="162"?> Toleranzrechnung an nichtlinearen Systemen 150 Arithmetisch eingegrenztes Stellungsmaß mm] [ 580 ] mm [ 15 , 580 N M 9 , 3 6 , 3 15 , 580 054 , 584 15 , 580 240 , 576 0 N O P 0 N U P 0 0       5. Schritt - Bestimmung der statistischen Kenngrößen Das gezeigte Schubkurbelgetriebe ist vom Aufbau her zwar einfach, steht aber für eine ganze Klasse von Mechanismen, wie sie für Klappenbewegungen (Motorhaube, Kofferraumdeckel etc.) in Fahrzeugen eingesetzt werden. Insofern wird man es hier mit einem Großserienbauteil zu tun haben. Grundannahme: Die einzelnen Maße sollen normalverteilt angenommen werden, wobei die Fertigungsstreuung wieder s 3   betragen soll. Bestimmung der Varianzen der Einzelmaße Es gilt 6 T s i i  , daraus folgt für die Einzelvarianzen: Toleranz Streuung Varianz i T / [mm] i s / [mm]   2 mm 2 i s 1 M 3,0 0,50 0,25 2 M 5,0 0,83 0,69 3 M 1,5 0,25 0,06 Tabelle 12.4: Toleranzen des Schubkurbelgetriebes Nun muss nach dem verallgemeinerten Abweichungsfortpflanzungsgesetz die Varianz des Schließmaßes bestimmt werden. Es gilt wieder 2 i 2 n 1 i x i n 1 2 0 s x f )) x ,... x ( f ( s             . Daraus folgt für dieses Beispiel der Zusammenhang   2 i 2 n 1 i x i 2 3 1 2 2 1 3 2 1 2 0 s x M sin M M cos M )) M , M , M ( f ( s                      . <?page no="163"?> Toleranzrechnung an nichtlinearen Systemen 151 Zur Bestimmung dieser Varianz müssen die Ableitungen von 0 M nach 1 M , 2 M und 3 M gebildet werden. Man erhält dann für die partiellen Ableitungen 2 3 1 2 2 3 2 1 1 0 ) M sin M ( M sin M sin M cos M M               , (12.5) 2 3 1 2 2 2 2 0 ) M sin M ( M M M M        , (12.6) 2 3 1 2 2 3 1 3 0 ) M sin M ( M M sin M M M           . (12.7) Anmerkung: Zur ausführlichen Berechnung der Differenziale siehe Kapitel 14.3 im Anhang. Diese Differenziale kann man nun in Gl. (12.4) einsetzen. Man erhält   . s ) M sin (M M M sin M s ) M sin (M M M s ) M sin (M M sin M sin M cos s x M sin M M cos M )) M , M , (f(M s 2 3 2 2 3 1 2 2 3 1 2 2 2 3 1 2 2 2 2 1 2 2 3 1 2 2 3 2 1 2 i 2 n 1 i x i 2 3 1 2 2 1 3 2 1 2 0                                                                    Durch Einsetzen der Zahlenwerte bestimmt sich die Varianz wie folgt: <?page no="164"?> Toleranzrechnung an nichtlinearen Systemen 152       . mm 8236 , 0 25 , 0 ) mm 100 40 sin mm 240 ( mm 400 40 sin mm 240 83 , 0 ) mm 100 40 sin mm 240 ( mm 400 mm 400 5 , 0 ) mm 100 40 sin mm 240 ( mm 400 40 sin mm 100 40 sin mm 240 40 cos s 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0                                               Die Quadratwurzel aus der Varianz liefert dann die Streuung des Schließmaßes mm 9075 , 0 s 0  . 6. Schritt - Bestimmung der Toleranz mm 5,44 mm 9075 , 0 6 s 3 2 s 3 T 0 0 S          gegenüber A T = 7,81 mm bei der arithmetischen Betrachtung. Das statistisch eingegrenzte Stellungsmaß ist somit 0 M = 580,15  2,72 mm. 7. Schritt - Ermittlung des Erweiterungs- und Reduktionsfaktors Reduktionsfaktor 6965 , 0 81 , 7 44 , 5 T T r A S    Dies bedeutet, dass tatsächlich nur 69,65 % des arithmetisch bestimmten Stellungsmaßes ausgenutzt werden. Erweiterungsfaktor 43 , 1 T T r 1 e S A    , d. h., den arithmetisch zulässigen Stellungsbereich erreicht man auch, wenn alle Einzeltoleranzen um den Faktor 1,43 erweitert werden. <?page no="165"?> Toleranzrechnung an nichtlinearen Systemen 153 12.7 Reibschlussverbindung Die in Bild 12.12 dargestellte Reibschlussverbindung für eine Sicherheitskupplung soll auf ihr übertragbares Drehmoment hin abgestimmt werden. Es handelt sich hierbei um eine Momentübertragung von einer Hohlwelle aus Stahl auf eine Nabe aus gleichem Material. 1. Schritt - Erstellung einer Funktionsskizze M t d = 60 F d = 40 0,3 ± d = 60 Ii Ia +0,030 0 +0,060 +0,041 d = 60 Ai d = 100 0,5 ± Aa b = 55 0,3 ± Hierbei sind folgende Werte für die Berechnung vorgegeben: Bezeichnung Maß/ [mm] Toleranz/ [mm] Hohlwelle - Innendurchmesser Ii d 40  0,3 - Außendurchmesser Ia d 60 r6 +0,060/ +0,041 Nabe - Innendurchmesser Ai d 60 H7 +0,030/ 0 - Außendurchmesser Aa d 100  0,5 Nabenbreite b 55  0,3 Fügedurchmesser F d 60 Übermaß U = Ai Ia d d  Rautiefe Maß/ [µm] der Hohlwelle bei d I tI R 3 der Nabe bei A d tA R 4 Stahl St50 - E-Modul E 2,1* 5 10 2 Nmm  - Haftreibungskoeffizient µ 0,1 Tabelle 12.5: Maßtabelle zur Reibschlussverbindung Bild 12.12: Prinzip einer Reibschlussverbindung <?page no="166"?> Toleranzrechnung an nichtlinearen Systemen 154 2. Schritt - Ermittlung des funktionellen Zusammenhangs Das übertragbare Drehmoment wird bei einer Reibschlussverbindung nach / DIN 7190/ durch die folgende Gleichung beschrieben:           . d d 1 E b d R R 2 , 1 d d 4 1 d d 1 E b d R R 2 , 1 U 4 1 M 2 Aa 2 Ai F tA tI Ai Ia 2 Aa 2 Ai F tA tI t                                  (12.8) Die hierin eingehenden konstanten Größen sollen zu einzelnen Faktoren i k zusammengefasst werden: mm 0084 , 0 ) mm 004 , 0 mm 003 , 0 ( 2 , 1 ) R R ( 2 , 1 k tA tI 1      und mm N 100 . 989 mm N 10 1 , 2 mm 60 14 , 3 1 , 0 4 1 E d π μ 4 1 k 2 5 F 2            . Man erhält somit             2 Aa 2 Ai 1 Ai Ia 2 t d d 1 b ) k d d ( k M 3. Schritt - Ableitung eines Maßplans Im vorliegenden Zusammenhang trägt eine Toleranzänderung der folgenden Maße zur Änderung des übertragbaren Drehmoments bei: Bez. im Maßplan Bemerkung i C / [mm] oi G / [mm] ui G / [mm] Ia d + 1 M 60,051 60,060 60,041 Ai d - 2 M siehe Analyse im Text 60,015 60,030 60,000 Aa d + 3 M 100,000 100,500 99,500 b + 4 M 55,000 55,300 54,700 t M 0 M Schließmaß Für die Maße 1 M , 3 M und 4 M liegt die Richtung des Maßvektors durch einfaches Betrachten des funktionellen Zusammenhangs vor:             2 3 2 2 4 1 2 1 2 0 M M 1 M ) k M M ( k M . <?page no="167"?> Toleranzrechnung an nichtlinearen Systemen 155 Das Maß 2 M (Innendurchmesser der Nabe Ai d ) tritt in zwei funktionellen Zusammenhängen auf. Deshalb muss zur Bestimmung der Richtung des Vektors 2 M zunächst überprüft werden, wie die Toleranzgrenzen das Schließmaß beeinflussen. Man diskutiert zur Überprüfung der Richtung die beiden Annahmen: Wirkt 2 M positiv oder negativ auf das Höchstmaß: a) 2 M = positiv Nmm 135 . 756 000 , 100 030 , 60 1 mm 3 , 55 mm) 0084 , 0 mm 030 , 60 mm 060 , 60 ( mm N 100 . 989 G 1 G ) k G ( k P 2 2 o3 o4 1 o1 2 t O                                   o2 o2 G G b) 2 M = negativ Nmm 321 . 806 . 1 000 , 100 000 , 60 1 mm 3 , 55 mm) 0084 , 0 mm 000 , 60 mm 060 , 60 ( mm N 100 . 989 G 1 G ) k G ( k P 2 2 o3 o4 1 o1 2 t O                                   u2 u2 G G Da das Drehmoment für die zweite Annahme „ 2 M kleiner“ größer ist, ist 2 M als negativ anzunehmen. 4. Schritt - Arithmetische Bestimmung des Schließmaßes der Maßkette  Nennwert Die Bestimmung des Nennwertes erfolgt durch die Ermittlung der Mittenwerte auf den funktionalen Zusammenhang. Dieser berechnet sich zu . Nm 257 , 943 Nmm 257 . 943 mm 000 , 100 mm 015 , 60 - 1 mm 000 , 55 mm) 0084 , 0 mm 015 , 60 mm 0505 , 60 ( mm N 100 . 989 C C 1 C ) k C C ( k N 2 2 3 2 2 4 1 2 1 2 t 0                               <?page no="168"?> Toleranzrechnung an nichtlinearen Systemen 156  Höchstmaß Für den Höchstwert des Drehmomentes erhält man . Nm 32 , 806 . 1 Nmm 321 . 806 . 1 000 , 100 000 , 60 1 mm 3 , 55 mm) 0084 , 0 mm 000 , 60 mm 060 , 60 ( mm N 100 . 989 G G 1 G ) k G (G k P 2 2 o3 u2 o4 1 u2 o1 2 t O                                     Mindestmaß Entsprechend ermittelt man den Mindestwert des Drehmomentes . Nm 47 , 89 Nmm 466 . 89 5 , 99 030 , 60 1 mm 7 , 54 mm) 0084 , 0 mm 030 , 60 mm 041 , 60 ( mm N 100 . 989 G G 1 G ) k G (G k P 2 2 u3 o2 u4 1 o2 u1 2 t U                                    Toleranz des zu übertragenden Drehmomentes Nm 86 , 716 . 1 Nm 466 , 89 Nm 321 , 806 . 1 P P T t U t O t A      Daraus folgt, das Drehmoment schwankt in einem Bereich von Nm 26 , 943 N M 863 854 t 0 N t O P t 0 N t U P t 0 t 0      . Für das Einsatzgebiet der Kupplung wäre der Streubereich jedoch viel zu groß. 5. Schritt - Bestimmung der statistischen Kenngrößen Die ausgelegte Verbindung soll unter Großserienbedingungen hergestellt werden, insofern können wieder normalverteilte Verhältnisse innerhalb von s 3   angenommen werden. <?page no="169"?> Toleranzrechnung an nichtlinearen Systemen 157 Bestimmung der Varianzen der Einzelmaße Innerhalb der folgenden Tabelle erkennt man extreme Einzelstreuungen, die jetzt wegen der großen Variabilität des Drehmomentes zu dem Schluss führen können, die Maße 3 M und 4 M stärker einzuschränken. Ob dies richtig ist, soll jetzt weiter untersucht werden. Toleranz Streuung Varianz ] mm [ / T i i s / [mm] ] mm / [ s 2 2 i + 1 M 0,019 0,003 1,0 * 5 10  - 2 M 0,030 0,005 2,5 * 5 10  + 3 M  0,50 0,167 0,027 + 4 M  0,30 0,100 0,010 Zunächst gilt es, die Varianz des Schließmaßes zu bestimmen: Es gilt wiederum nach Gl. (4.15)                               4 1 i 2 i i C i M 2 i 2 3 2 2 4 1 2 1 2 4 3, 2 1, 2 0 s M M M 1 M ) k M (M k )) M M , M (f(M s mit     3 3 2 2 1 2 1 4 2 3 2 3 2 2 4 1 2 1 2 2 3 3 2 4 2 2 3 2 1 1 4 2 4 2 2 2 3 2 2 4 1 2 1 2 2 3 2 2 4 2 1 2 3 2 2 4 1 2 1 2 M M k M M M k 2 M M M 1 M ) k M (M k , M M M k 3 M M k M M k 2 M k M M M 1 M ) k M (M k , M M 1 M k M M M 1 M ) k M M ( k                                                                    und                         2 3 2 2 1 2 1 2 4 2 3 2 2 4 1 2 1 2 M M 1 ) k M M ( k M M M 1 M ) k M M ( k . <?page no="170"?> Toleranzrechnung an nichtlinearen Systemen 158 Setzt man die Zahlwerte ein, so erhält man für die Gesamtvarianz                 2 2 10 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 mm N 10 245 , 4 1 , 0 466 . 17 167 , 0 816 . 10 005 , 0 549 . 824 . 34 003 , 0 320 . 816 . 34 s           und die Gesamtstreuung Nm 206 Nmm 025 . 206 s 0   . Zuvor wurde im Kapitel 5.5.4 die Sensitivität von Toleranzgrößen über die Analyse der Beiträge ausgedrückt. Angewandt auf den vorliegenden Fall führt dies zu den folgenden Beitragsleistern: %. 0072 , 0 B %, 0075 , 0 B %, 42 , 71 B %, 56 , 28 B 4 M 3 M 2 M 1 M     Daraus folgt, dass es sinnvoll ist, Toleranzerweiterungen nur auf die Maßgrößen 1 M und 2 M zu legen. 6. Schritt - Bestimmung der Toleranz Da die Kupplung ein Sicherheitsteil ist, soll hier mit einer Toleranzgrenze von 0 s 4   gearbeitet werden. Damit ergibt sich Nm 824 Nm 648 . 1 Nm 206 4 2 T t S       , also nur eine geringfügige Eingrenzung gegen t A T . 7. Schritt - Ermittlung des Erweiterungs- und Reduktionsfaktors Das Erweiterungspotenzial beträgt somit nur 04 , 1 648 . 1 716 . 1 T T e t S t A    , d. h. ca. 4-5 % für 1 M und 2 M . <?page no="171"?> Toleranzen und Passungen in der Kunststofftechnik 159 13 Toleranzen und Passungen in der Kunststofftechnik 13.1 Einflussfaktoren auf Maßungenauigkeiten Wie auch bei allen anderen Produktionsverfahren des Maschinenbaus sind Maßungenauigkeiten bei der Herstellung von Kunststoffformteilen sowie den dafür benötigten Werkzeugen unvermeidbar. Allerdings spielen in der Kunststofftechnik noch einige andere Einflussfaktoren, die sowohl die Werkzeuge als auch die Formteile betreffen, eine Rolle. Diese Einflussfaktoren sind nach / STA 96/ in der folgenden Tabelle 13.1 zusammengefasst. Ursache von Maßungenauigkeiten an Formteilen Ursache von Maßungenauigkeiten am Werkzeug, verursacht bei der Herstellung Anwendung Ungenauigkeiten bei der Konturbearbeitung Temperaturveränderung Härteverzug Verschleiß Ungleichmäßigkeiten galvanischer elastische Verformung Oberflächenschichten plastische Verformung Versatz von Werkzeugteilen ungenaue Führung Maßungenauigkeiten ungenaue Zentrierung Ursache von Maßungenauigkeiten am Formteil, verursacht bei der Herstellung Anwendung Streuung der Verarbeitungsschwindung Maßungenauigkeiten Schwindungsanisotropie Verzug Anisotropie der Molekül- und Quellen Kristallorientierung Relaxation elastischer Eigenspannungen Streuung in der Formmasse-Konditionierung Verschleiß ungleichmäßige Dosierung elastische und plastische Verformung Streuung der Prozessbedingungen Strukturumwandlungen Verzug (Nachhärtung, Nachkristallisation) ungleicher Werkzeugschluss Orientierungsrelaxation Maßungenauigkeiten des Werkzeuges Maßabweichungen Fertigungsungenauigkeiten bei Form- und Lagetoleranzen spanender Bearbeitung Tabelle 13.1: Übersicht über die Ursachen von Maßungenauigkeiten Erfahrungsgemäß lassen sich mit amorphen und faserverstärkten Werkstoffen engere Toleranzen einhalten als mit teilkristallinen Thermoplasten (s. DIN 16742), welches ihre Ursache in der Molekülbeweglichkeit hat. Weitere Abweichungen / MEY 13/ werden durch das Werkzeug, die Maschine und der Prozessführung hervorgerufen. <?page no="172"?> Toleranzen und Passungen in der Kunststofftechnik 160 13.1.1 Fertigungsbedingte Maßabweichungen Die entsprechend dem Stand der Technik erzielbaren Längenmaßtoleranzen für nicht poröse Formteile sind in der / DIN 16742/ (Sachfolgenorm für / DIN 16901/ ) in zur ISO 286 abgestimmter Stufung tabelliert worden. Die danach festgelegten Allgemeintoleranzen gelten für das Spritzgießen, Spritzprägen, Spritzpressen und Pressen von Formteilen aus Thermoplasten, thermoplastischen Elastomeren und Duromeren. Eine Toleranzzuordnung erfolgt über 9 Toleranzgruppen (TG1 - TG9) und über 4 Nennmaßbereiche (von 1-1.000 mm). Für das Eingrenzen einer Toleranzgruppe (Genauigkeitsgruppe) werden verschiedene Einzeleinflüsse bewertet und zu einer Gesamtpunktzahl zusammengefasst, welche wieder zu werkzeuggebundenen bzw. nicht werkzeuggebundenen Abmaßen führen. Darüber hinaus haben sich als praktische Richtwerte für einhaltbare Toleranzen die folgenden Relationen bewährt:  Normaler Spritzguss % 2 1 T Fert   von 0 N ,  technischer Spritzguss % 1 5 , 0 T Fert   von 0 N und  Präzisionsspritzguss % 3 , 0 1 , 0 T Fert   von 0 N . Diese Toleranzen müssen über das Werkzeug realisiert werden, weshalb die Werkzeugtoleranzen (IT-Wzg  IT(Formteil) - (2-4 IT-Klassen)) deutlich kleiner sein müssen. Um weiter noch Korrekturmöglichkeiten in der Werkzeugherstellung zu haben, sollten die teilbestimmten Maße möglichst symmetrische Abmaße (s. DIN 16749) erhalten. 13.1.2 Anwendungsbedingte Maßabweichungen Kunststoffformteile erfahren nach Ihrer Herstellung noch nachträgliche Maßveränderungen, welche verursacht werden durch das Einwirken von Umwelteinflüssen (z. B. durch Nachschwindung, Quellen, thermische Ausdehnung und elastische bzw. plastische Verformung). Diese können sich sowohl in einer Vergrößerung oder Verkleinerung des betrachteten Maßes als auch in einer zusätzlichen Vergrößerung der Streuung auswirken. Um somit eine bestimmte Genauigkeitsforderung unter Einsatzbedingungen aufrechterhalten zu können, muss an den Herstellprozess eine verschärfte Genauigkeitsanforderung gestellt werden. Das immer weitere Verkleinern von Werkzeugtoleranzen findet in den Kosten und der Technologie eine natürliche Grenze. Der Weg über die Statistik zeigt aber auch hier, dass eine andere Denkweise derartige Situationen ebenfalls entschärfen kann. <?page no="173"?> Toleranzen und Passungen in der Kunststofftechnik 161 13.2 Ursachen für die Maßabweichungen Wie bereits erwähnt, haben bei der Herstellung von Kunststoffprodukten vielfältige Einflussgrößen unterschiedlich starke Auswirkungen auf die Maßabweichungen. Als wichtigster werkstoffabhängiger Faktor für Maßabweichungen kann die Verarbeitungsschwindung VS betrachtet werden. Diese ist in der / DIN 16749/ (bzw. alten / DIN 16901/ ) wie folgt definiert: „Unter der Verarbeitungsschwindung VS versteht man den Unterschied zwischen den Maßen des Werkzeugs W L und den Maßen des Kunststoffformteils F L bei folgenden Bedingungen“: Werkzeugtemperatur 23  2 °C bei 50 % 10  Feuchte Zeitpunkt des Vermessens des Formteiles 16 Stunden nach seiner Herstellung Lagerung des Formteiles bis zum Messen im Normklima ISO 291 Tabelle 13.2: Bedingungen zur Ermittlung der Verarbeitungsschwindung Berechnet wird die lineare Verarbeitungsschwindung wie folgt: 100 L L 1 VS W F        in % (13.1) VS: Verarbeitungsschwindung F L : Maß des Formteils W L : Maß des Werkzeugs Die Verarbeitungsschwindung ist keine reine Werkstoffkenngröße, sondern sie ist stark von den Prozessbedingungen (Druck- und Temperaturverlauf im Werkzeug, Fließrichtung, Fließgeschwindigkeit) abhängig. Aufgrund der Fließbedingungen im Werkzeug entsteht eine Schwindungsanisotropie, d. h., die Verarbeitungsschwindung tritt in radialer (Fließ-) und tangentialer (Quer-)Richtung unterschiedlich stark auf. Die Verarbeitungsschwindungsdifferenz berechnet sich mit T R VS VS VS    (13.2)  VS: Verarbeitungsschwindungsdifferenz R VS : radiale Verarbeitungsschwindung T VS : tangentiale Verarbeitungsschwindung Durch die von außen nach innen einfrierende Schmelze treten oft Behinderungen der Längs- und Breitenschwindungen auf. In diesen Fällen wird dann ein Großteil der Schwindung (etwa 90-95 %) in Wandstärkenschwankungen verbraucht, weil hier meist zwangsfreies Schwinden möglich ist. Die Schwindung selbst folgt einer Verteilungsfunktion, d. h., innerhalb einer Charge tritt eine gewisse Streuung der Schwindungswerte auf. Diese Verteilungsfunktion ist mit Mittelwert und Streuung beschreibbar. <?page no="174"?> Toleranzen und Passungen in der Kunststofftechnik 162 Ebenfalls einen Einfluss auf die Maßbildung haben die Schwankungen der Prozessgrößen der Maschine (Druck, Temperatur, Zeiten, Geschwindigkeit), da sich diese auf den Füllgrad und den Füllzustand des Werkzeuges auswirken. Von großer Bedeutung sind auch die Steifigkeit und die Erwärmung der Schließeinheit. Es entstehen elastische Verformungen, die sich insbesondere bei mechanischen Schließsystemen als ein durch den Werkzeuginnendruck bedingtes Auffedern des Werkzeugs sowie als verstärkte Kompression auswirken. Neben den selbstverständlich auch hier auftretenden fertigungsbedingten Maßungenauigkeiten im Werkzeug spielt zusätzlich dessen Verschleiß eine wesentliche Rolle. Dieser Verschleiß bezieht sich nicht nur auf die formgebende Kontur, sondern auch in starkem Maße auf die Führungen und die Trennebene. Der durch die fließende Formmasse verursachte Verschleiß (Kavitation) tritt besonders stark an Stellen hoher Fließgeschwindigkeiten und hoher Drücke auf. Dies sind vor allem die angussnahen Bereiche. 13.3 Einflussfaktoren auf Werkzeug- und Formteilmaß Ergänzend zu dem bereits erteilten Überblick über die werkzeugseitigen Einflussfaktoren auf die Maßbildung sollen nun diese Faktoren noch mal analysiert und die entsprechenden Schlussfolgerungen für den Werkzeugbau gezogen werden. Da die sich ergebende Maßabweichung des Formteils zu einem großen Teil vom Werkzeug *) abhängt, müssen die Werkzeugtoleranzen, wie vorher erwähnt, deutlich enger gewählt werden als die gewünschten Formteiltoleranzen. Bei der Konstruktion ist darauf zu achten, dass größere elastische Verformungen auf jeden Fall verhindert werden. Der Gesamtkonstruktion muss durch große Wanddicken der Platten, geschlossener Distanzrahmen, kleinen Auswerferräumen, großen Querschnitten bei der Verriegelung von Schiebern und Kernzügen eine möglichst hohe Steifigkeit gegeben werden. Die Fertigungsverfahren für die Werkzeuge müssen so gewählt werden, dass die hohen Präzisionsanforderungen erfüllt werden können (z. B. verzugsarme Werkzeugstähle, Einsatzhärtung, etc.). Das Werkzeugaufmaß ist durch ein korrigiertes Formteilmaß zu berücksichtigen: S V 1 L L F F     , mit 100 / VS S V   . Um Maßunterschieden sowie Temperatur- und Druckdifferenzen zwischen den einzelnen Formnestern vorzubeugen, ist aus qualitativer Sicht stets eine möglichst geringe Fachzahl (Anzahl der Nester) des Werkzeuges anzustreben. Die Erhöhung der Fachzahl um nur ein Nest erhöht die Schwindungsstreuung um 1 bis 5 %. Damit in allen Nestern die gleichen Druckverhältnisse wirken, müssen bei Mehrfachwerkzeugen die Fließweglängen und -querschnitte entweder gleich oder rheologisch angepasst sein. Günstiger ist jedoch die Einzelanspritzung mittels Heißkanalverteilern. Bei der Festlegung der konturgebenden Maße kann man lediglich die Maßverschiebung durch den geschätzten mittleren Schwindungswert berücksichtigen. Die Schwindungsstreuungen bewirken eine generelle Verbreiterung des Toleranzfeldes. *) Anmerkung: Nach der DIN 16749 sollten formgebende Werkzeugmaße etwa 7-33 % der Toleranzen und Grenzabmaße des Kunststoffformteils erhalten. Hiervon abweichend kalkuliert man in der Praxis mit 15-30 %. <?page no="175"?> Toleranzen und Passungen in der Kunststofftechnik 163 13.4 Verarbeitungsschwindung Während des Fertigungsvorganges ist der Einhaltung der als optimal ermittelten Füll- und Nachdrücke besondere Aufmerksamkeit zu schenken, da durch die Veränderung der Werkzeugfülldrücke theoretisch jede beliebige Verarbeitungsschwindung realisiert werden kann. Insbesondere zeigen Nachdruck und Temperatur den größten Einfluss. Bei der Temperatur ist weiter ein Kompromiss zwischen erhöhter Temperaturschwindung und erforderlicher Viskosität der Schmelze zur Formfüllung zu suchen. 13.5 Beispiel zur Tolerierung von Kunststoffteilen 13.5.1 Verteilungsgesetzmäßigkeit Anhand von zwei Beispielen soll jetzt ermittelt werden, wie sich beim Spritzgießen einmal die Maßverteilung und einmal die Verteilung der Schwindung (/ STA 96/ ) einstellt. 13.5.2 Auswertung 13.5.2.1 Ermittlung des Maßverhaltens Das Werkzeug des Bauteils „Straßenleuchte” für Modellbausätze besteht aus vier Nestern. Am Bauteil wurden jeweils an einer Stichprobe von 50 Spritzzyklen aus allen vier Nestern jeweils vier Maße pro Bauteil aufgenommen. Der Stichprobenumfang beträgt demnach 200 Maße. Bild 13.1 zeigt das Bauteil. Exemplarisch soll hier die Verteilung von Maß D (der Breite der Straßenleuchte) über alle Nester betrachtet werden. 6,8 0,2 10,3 +0,2 - 0 +0,1 - 0 3,0 D = +0,2 -0 Bild 13.1: Bauteil „Straßenleuchte“ mit ihren werkzeuggebundenen und nicht-werkzeuggebundenen Maßen <?page no="176"?> Toleranzen und Passungen in der Kunststofftechnik 164 Man erhält dann die folgende Verteilung: Häufigkeitsklassen und Normalverteilung 0 10 20 30 40 50 60 70 3,02 3,03 3,04 3,05 3,06 3,07 3,08 3,09 3,10 3,11 3,12 Klasse Anzahl Bild 13.2: Gemessene Häufigkeitsverteilung und Normalverteilung des Kunststoffteils „Straßenleuchte“ Die Parameter zur Bestimmung der Normalverteilung sind: Mittelwert x : Standardabweichung s: 3,07 mm 0,02 mm Dieses Beispiel zeigt: Wie anfänglich vermutet wurde, tritt auch bei werkzeugbildenden Maßen eine Normalverteilung auf. Da dieses Bauteil in Serienfertigung montiert wird, kann diese Erkenntnis bei der Fertigung neuer Werkzeuge und bei der Konzipierung der Montagehilfen berücksichtigt werden. <?page no="177"?> Toleranzen und Passungen in der Kunststofftechnik 165 13.5.2.2 Ermittlung der Schwindungsverteilung In diesem Fall soll die Schwindungsverteilung mehrerer Maße betrachten. Es handelt sich um das in Bild 13.3 gezeigte Werkzeug für das Gehäuse einer Bahnhofsuhr, ebenfalls für einen Modellbaukasten. 25,81 H7 Prüfmaß 25,81H7 +0,021 -0 Werkzeug Bahnhofsuh r 25,81H7 E Angabe nach neuer Norm: Bild 13.3: Werkzeug "Bahnhofsuhr" An diesem Bauteil wurde exemplarisch die Schwindungsverteilung des Prüfmaßes gemessen. 25,3 +0,3 - 0 Bild 13.4: Bauteil "Bahnhofsuhr" <?page no="178"?> Toleranzen und Passungen in der Kunststofftechnik 166 Die Messung des Bauteils ergab die folgende Häufigkeitsverteilung: Häufigkeitsverteilung Klasse K Anzahl n 25,45 1 25,46 6 25,47 5 25,48 8 25,49 16 25,50 10 25,51 4 Mit diesen Kenngrößen wird die Gauß´sche Normalverteilung bestimmt: Mittelwert x : Standardabweichung s: 25,4856 mm 0,0153 Man erhält die in Bild 13.5 angedeutete grafische Auswertung: Häufigkeit einzelner Werte und Gauß´sche Normalverteilung 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 25,45 25,46 25,47 25,48 25,49 25,50 25,51 Klassen Anzahl Anzahl n Normalverteilung Bild 13.5: Häufigkeitsverteilung der Verarbeitungsschwindung des Kunststoffteils „Bahnhofsuhr“ Über Standardabweichung, Mittelwert und Verteilungsdichte konnte die gezeigte Gauß´sche Normalverteilung ermittelt werden. Auch bei diesem Bauteil wird sichtbar, dass die Schwindung als Maßeffekt einer Normalverteilung gehorcht, daher können eventuell bei zukünftigen Werkzeugen die Passungen gröber gewählt werden. Tabelle 13.3: Häufigkeitsverteilung der Verarbeitungsschwindung eines Kunststoffteils <?page no="179"?> Rechnerunterstützte Toleranzsimulation*) 167 14 Rechnerunterstützte Toleranzsimulation *) Erkenntnis der vorstehenden Kapitel war, dass die Statistische Tolerierung in der Herstellung und Montage große funktionale und wirtschaftliche Vorteile bietet und daher zu einem unverzichtbaren Werkzeug des Produktentstehungsprozesses gereift ist. Großen Anteil hieran hat sicherlich die Verfügbarwerdung von Computerprogrammen (s. Auflistung im Anhang) bzw. heute die umfassende 3-D-Toleranzsimulation (CAT = Computer Aided Tolerancing). Moderne CAT-Software koppelt mittlerweile CAD, FEM und Toleranzrechnung zu einer bisher nicht verfügbaren Aussagetiefe und ermöglicht eine präzise Simulation hochkomplexer dreidimensionaler Toleranzketten sowie die Überprüfung der resultierenden Produkteigenschaften in Abhängigkeit von den dimensionalen Streuungen in Einzelteilen und Fertigungsmitteln. Mithilfe mathematischer und statistischer Techniken können funktionale und kundenrelevante Qualitätsmerkmale analysiert, die dafür kritischen Beitragsleister identifiziert und - durch den Vergleich von Produkt- und Prozessvarianten - die Stabilität der geplanten Produktionsprozesse erhöht werden. Im Folgenden werden die wesentlichen Hauptschritte für eine 3-D-Toleranzsimulation zur Analyse fertigungsbedingter dimensionaler Abweichungen in einem Fahrwerk für Pkws dargestellt. Die Prozesskette in Bezug auf die Anwendung einer leistungsfähigen Simulationssoftware (VisVSA ® ) wird hierfür exemplarisch beschrieben. Zu Anfang müssen alle maßgeblichen Parameter und Informationen hinsichtlich der Produktgestaltung (Geometrie, Abmaße, Bezugselemente), des Fertigungsprozesses (Fügefolge, Positionierung, Betriebsmittel, Montagespiel) und der zu gewährleistenden Qualitätsmerkmale (Typologie, Lage, Messprüfung) spezifiziert werden (Bild 14.1). Bild 14.1: Prozesskette für eine 3-D-Toleranzsimulation (nach Variation Systems Analysis GmbH) Die Produktgestaltung wird aus der nominalen CAD-Geometrie von Einzelteilen und Baugruppen als Ersatzgeometrie in die CAT-Software eingelesen. Allgemein entspricht die Ersatzgeometrie einem tessellierten 3-D-Format, das aus unterschiedlichen CAD-Systemen sowohl direkt als auch über standardisierte Schnittstellen generiert werden kann. Die Bezugssysteme werden dann zusammen mit Ausrichtungselementen und Spannvorrichtungen festgelegt und in der Simulationsumgebung die Modelle der Einzelteile hinzugefügt. Darüber hinaus werden die Toleranzen in den funktional relevanten Bauteilelementen (z. B. Montage- *) Anmerkung: Das Kapitel wurde von M. Carnevale und F. Weidenhiller, Experten der Firma Variation Systems Analysis GmbH, Feldkirchen ausgearbeitet. Qualitätsmerkmale: - Typologie - Lage - Messtechnik Produkt: - Geometrie - Abmaße und Toleranzen - Bezüge Prozess: - Fügefolge - Positionierung (3-2-1) - Fertigungsmittel - Montagespiel 3-D-Toleranzsimulation Monte-Carlo High-Low-Median <?page no="180"?> Rechnerunterstützte Toleranzsimulation*) 168 fläche, Positionierbolzen, Messstelle, usw.) abgeleitet und dargestellt. Nur durch eine realistische Auslegung von Bezugssystemen und Einzelteiltoleranzen ist es möglich, das Verhalten von Werkstoffen und Materialien sowie die Ungenauigkeiten aus den Fertigungsverfahren (wie z. B. Pressen, Drehen, Spritzgießen) hinreichend genug abzubilden und zu untersuchen. Um die Montageprozesse spezifisch zu analysieren, können die realen Vorgehensweisen und Fügefolgen, die zum Zusammenbau der Einzelteile geplant wurden, systematisch erfasst und in das Simulationsmodell eingefügt werden. Zu diesem Zweck wird jede Fügeoperation durch die Sperrung unterschiedlicher Freiheitsgrade (3 Rotationen und 3 Translationen im dreidimensionalen Raum) definiert und dargestellt. Gleichzeitig können auch kinematische Zusammenhänge sowie statisch überbestimmte Zustände mitberücksichtigt werden. Damit wird der gesamte Prozess von der Entstehung der Komponenten bis zum fertigen Endprodukt detailliert betrachtet. Die qualitativen Anforderungen werden durch zielgerichtete Qualitätsmerkmale dargestellt, die in dem Fall eines Fahrwerks hauptsächlich funktionalen Kriterien (wie z. B. Spur und Sturz) entsprechen. Alle dieser Daten sind als Eingangswerte für die 3-D-Toleranzsimulation erforderlich und werden in einem so genannten „Prozessdokument“ (PDO) strukturiert abgelegt (Bild 14.2). Bild 14.2: Simulationsdaten und Prozessparameter (nach Variation Systems Analysis GmbH) Nach Bearbeitung aller benötigten Daten und Informationen kann die Simulationsprozedur initiiert werden. Mittels der Analysesoftware VisVSA ® werden zwei voneinander unabhängige statistische Simulationstechniken angewandt, um die zu erwartende Produktqualität zu ermitteln. Das Ergebnis einer Monte-Carlo-Simulation erzeugt die Vorhersage, welche Streuung bzw. Prozessstabilität die untersuchten Qualitätsmerkmale in der Realität höchstwahrscheinlich aufweisen werden. Dafür werden viele digitale Modelle der Einzelteile automatisch generiert und mittels eines iterativen Verfahrens virtuell montiert, gemessen ausgetauscht und erneut zusammengebaut. Nach zahlreichen Iterationsschleifen (in der Regel mehrere hundert) werden die Messergebnisse statistisch analysiert und eine Aussage bezüglich der Standardabweichung, Prozessfähigkeit und dem Ausschuss abgeleitet. Durch eine so genannte High- Low-Median-Simulation können der prozentuale Beitrag und die Sensitivität jeder dimensionalen Abweichung auf die untersuchten Qualitätsmerkmale berechnet werden. Bei dieser Simulationsart nehmen die einzelnen Toleranzwerte jeder Komponente abwechselnd ihren statistischen Höchst-, Median- und Tiefstwert an, während alle restlichen Toleranzen der Baugruppe und aller weiteren Komponenten ihren statistischen Medianwert behalten. Für das be- Nominale Einzelteil Baugruppe Produkt Bezugssystem Funktionales Bauteilelement Fügeoperation Qualitätsmerkmal <?page no="181"?> Rechnerunterstützte Toleranzsimulation*) 169 trachtete Fahrwerk war die Auslenkung vom Nominalzustand von besonderem Interesse. Die Ergebnisse der Toleranzsimulation sind in Bild 14.3 dargestellt. Mittels der zuvor beschriebenen Methoden ist es möglich, die Auswirkungen von fertigungsbedingten dimensionalen Abweichungen bei der Montage starrer Einzelteile zu untersuchen. Sollten aber im Montageprozess nachgiebigen Komponenten auftreten, deren Verformungen nicht vernachlässigt werden können (wie z. B. Blechteile im Karosserierohbau), würden die Simulationsergebnisse die Realität nicht mehr deutlich darstellen. Falls z. B. das gewöhnliche Verfahren des Punktschweißens zu analysieren ist, sollte man berücksichtigen, dass die Effekte von Vorrichtungen und Einspannungen schon in der Positionierungsphase wesentliche Verformungen der Bauteile verursachen. Darüber hinaus findet der Zusammenbau unter Spannung statt und der Prozess endet mit einer elastischen Rückfederung, welche von der gesamten Steifigkeit des Zusammenbaus abhängig ist (Bild 14.4). Als Folge daraus resultiert eine Gestaltabweichung der Komponenten, die die Anwendung von Simulationsmethoden, die nur auf der Analyse der dimensionalen Einzelabweichungen basieren, nicht ermöglicht. Bild 14.4: Dimensionale Abweichungen und Auswirkungen der Nachgiebigkeit (nach Variation Systems Analysis GmbH) -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 Suspension Travel [mm] Right Toe [deg] 80 Auswirkungen der Nachgiebigkeit: Krafteingriff durch - Spannprozesse - Schweißprozesse Rücksprungverhalten durch - Öffnung von Schweißwerkzeugen - Öffnung von Spannwerkzeugen - Herausnehmen aus Vorrichtungen Prozesstoleranzen Einzelteiltoleranzen Bild 14.3: Variation der Vorspur über Auslenkung von Nulllage (nach Variation Systems Analysis GmbH) <?page no="182"?> Rechnerunterstützte Toleranzsimulation*) 170 Das Problem der Untersuchung von Baugruppen elastischer Bauteilen kann durch einen spezifischen Ansatz bewältigt werden, der die Integration zwischen Finite-Elemente-Methode (FEM) und 3-D-Toleranzsimulation betrifft / LIU 97/ und / ZÄH 03/ . Mithilfe der FEM-Simulation werden die Wechselwirkungen von Komponenten und Betriebsmitteln modelliert und die Auswirkungen der Verformungen, die während des Montageprozesses auftreten, abgebildet. Auf dieser Basis wird der Montageprozess in vier Schritte, die das Positionieren, das Einspannen, das Fügen und das Ausspannen der Bauteile repräsentieren, unterteilt. Bild 14.5: Modellierung des Montageprozesses nachgiebiger Bauteile (nach Variation Systems Analysis GmbH) Die resultierenden Deformationen werden mittels einer FEM-Analyse berechnet und bei der Durchführung der 3-D-Toleranzsimulation in einer integrierten Prozesskette mitberücksichtigt. Diese Funktionalitäten werden derzeit exklusiv vor der Software VisVSA ® angeboten, die auf Basis der nominalen CAD-Geometrie die Einbindung der Ergebnisse aus I-DEAS Master FEM ® oder Nastran ® ermöglicht. Die geometrischen und topologischen Randbedingungen sind in beiden Systemen identisch und die Freiheitsgrade der Toleranzsimulation werden bei der FEM-Analyse in Form von „Single Point Constraints“ dargestellt. Wichtig ist, dass die geometrischen Punkte übereinstimmen mit den Spann- und Schweißvorgängen und diese wiederum den Angriffspunkt für die in den FEM-Modellen zu definierenden Prozesskräfte darstellen. Die Ergebnisse der FEM-Simulationen können in VisVSA ® direkt eingelesen und mit den entsprechenden Bauteilen verlinkt werden. V U = Bauteilabweichung von der Nominallage {F U } = [K U ] . {V U } F U = Schließkraft K U = Steifigkeit des Bauteils {F W } = [K W ] . {V W } K W = Steifigkeit der Schweiß-Struktur V W = zu ermittelnde Abweichung V U Positionierung F U Einspannen F U Fügen V W F W Ausspannen <?page no="183"?> Rechnerunterstützte Toleranzsimulation*) 171 Bild 14.6: Vorgehensweise zur Integration von 3-D-Toleranzsimulation und FEM-Analyse (nach Variation Systems Analysis GmbH) Zusammenfassend lässt sich feststellen, dass durch die Ausrichtung auf eine durchgängige CAT-Lösung die Akzeptanz der Konstrukteure für die Statistische Tolerierung zunimmt. Für die weitere Verknüpfung mit FEM wurde eine neue Funktionalität hergestellt, die elastische Vorgänge miterfassen kann. Damit kann als wichtiges Anwendungsfeld der Blechleichtbau (Fahrzeugindustrie bzw. Karosseriebau) erschlossen werden, wo elastische Rückfeder- oder Ausdehnungseffekte funktionsrelevant sein können. Die vorgestellte Softwarelösung VisVSA ® ist in dieser Hinsicht richtungsweisend und bietet ungeahnte Möglichkeiten, den Produktentwicklungsprozess weiterzuentwickeln. Damit ist eine bisher noch bestehende Methodenlücke in der Bauteilentwicklung geschlossen worden. In einigen Jahren wird die dargestellte Methodenkette ein etabliertes Vorgehen in jeder integrierten CAE-Lösungn sein. Vernetzung, FEM- Analyse und Export der Ergebnisse Prozess- und Toleranz- Modellierung sowie Integration der FEM- Analyseergebnisse 3-D-Toleranzsimulation und realitätsnahe Prozessabbildung <?page no="184"?> Voraussetzung für die Statistische Tolerierung 172 15 Voraussetzung für die Statistische Tolerierung Im vorausgegangenen Text ist fallweise auf die Rahmenbedingungen eingegangen worden, unter denen die Statistische Tolerierung die erwünschten Ergebnisse in der Praxis erbringt. Die Voraussetzungen hierfür sind / BOS 93/ : 1. Alle auftretenden „Einzel-Istmaße“ sind unkorrelierte Zufallsgrößen Bei den durchgeführten Montagesimulationen ist immer angenommen worden, dass die Teile verschieden sind und in getrennten Fertigungsprozessen hergestellt werden. Wenn ca. 60 - 100 Teile gefertigt werden und hierbei additive Zufallsereignisse wirken, stellt sich über die Toleranz eine Normalverteilung ein. Falls jedoch in einer Baugruppe mehrere identische Teile vorkommen, die hintereinander mit derselben Einrichtung gefertigt und verbaut wurden, ist eine statistische Kompensation unwahrscheinlich, weshalb sich die Simulationsergebnisse in der Praxis nicht bestätigen werden. 2. Lineare Maßketten In der Anwendung treten lineare und nichtlineare Maßketten auf. Bei linearen Maßketten wird das einfache Abweichungsfortpflanzungsgesetz wirksam, welches keine Näherung enthält. Bei nichtlinearen Maßketten wird das erweiterte Abweichungsfortpflanzungsgesetz aus einer Reihenentwicklung um den Erwartungswert der Maßfunktion gewonnen, welches eine fehlerbehaftete Näherung darstellt. Hierdurch ergibt sich ein Fehler, welcher in seiner Größe vom Funktionsaufbau abhängt. 3. Mindestens viergliedrige Maßkette Der zentrale Grenzwertsatz führt erst beim Zusammenfügen von vier unabhängigen Teilen zu einer resultierenden Normalverteilung, ganz gleich wie die Einzelverteilungen sind. Bei jeder Montage aus vier oder mehr Teilen ist dann das Auftreten eines extremen Schließmaßes (an der unteren und oberen Grenze) extrem unwahrscheinlich. 4. Gleich große Toleranzen Ein statistischer Ausgleich von positiven und negativen Ist-Maßabweichungen kann nur dann sicher funktionieren, wenn die Zufallsstreubereiche der Maße (d. h. die Toleranzen) in etwa von der gleichen Größe sind und die Toleranzspanne in der Fertigung voll ausgeschöpft wird. Tritt der Fall auf, dass ein Maß in seinem Toleranzfeld stark driftet, so darf das Maß simulativ nur als Rechteckverteilung erfasst werden. 5. Bekannte Einzelverteilungen Eine Toleranzsimulation stimmt nur dann gut mit der Realität überein, wenn die Mittellage und Streuung der Einzelverteilungen beherrscht werden und auf das Mittemaß zentriert sind. In der Regel stammen diese Erkenntnisse aus kleinen Stichproben, welche nur näherungsweise für ein großes Los stehen. Manchmal ist es auch so, dass eine Stichprobenverteilung an eine „theoretische“ Verteilung angenähert werden muss. <?page no="185"?> Voraussetzung für die Statistische Tolerierung 173 Die vorstehenden Punkte sollen eine Erklärung dafür geben, wenn die Statistische Tolerierung nicht völlig exakt mit der späteren Realität übereinstimmt. Hierbei muss aber berücksichtigt werden, dass mit dieser Vorgehensweise ein recht schneller Kostenvorteil in der Herstellung und Montage verwirklicht werden kann. <?page no="186"?> A Anhang 174 A Anhang A.1 Vorgehen bei der Bearbeitung linearer Maßketten 1. Zählrichtung für Einzelmaße festlegen 2. Maßplan zeichnen 3. Tabelle der benötigten Maße erstellen 4. Nennschließmaß 0 N bestimmen 5. Höchstschließmaß O P bestimmen 6. Mindestschließmaß U P bestimmen 7. Schließmaß mit Toleranzen zusammenstellen 8. Kontrolle 9. Ermittlung der Mittelwerte und Standardabweichungen der Einzelmaße 10. Ermittlung der statistischen Schließtoleranz 11. Toleranzreduktion/ Erweiterung A.2 Vorgehen bei der Bearbeitung nichtlinearer Maßketten 1. Schritt - Erstellung einer Funktionsskizze ZEICHNUNG Bez.: Maß M/ [mm] Toleranz T/ [mm] 1 M xxx  xxx 2 M xxx  xxx ... i M xxx  xxx 2. Schritt - Ermittlung des funktionellen Zusammenhangs GEMÄSS GEOMETRISCHER BZW. PHYSIKALISCHER RELATION 3. Schritt - Ableitung eines Maßplans ZEICHNUNG und BETRACHTUNG DER RICHTUNG DER MAßVEKTOREN ZU BEACHTEN: Wenn Maße auf unterschiedliche Weise miteinander verknüpft sind (wie z. B. parallel geschaltete Widerstände als Summe und als Produkt, siehe auch Kapitel 12.5) muss ermittelt werden, wie sich das Schließmaß für extreme Ausdehnungen der Einzelmaße verhält. 4. Schritt - Arithmetische Bestimmung des Schließmaßes der Maßkette Berechnung des Schließmaßes nach dem entsprechenden funktionellen Zusammenhang <?page no="187"?> A Anhang 175  Nennmaß 0 N , Höchstwert O P und Kleinstwert U P 0 N O P 0 N U P 0 0 N M    Arithmetische Toleranz A T des Schließmaßes U O A P P T   5. Schritt - Bestimmung der statistischen Kenngrößen GRUNDANNAHMEN VERTEILUNGSART FERTIGUNGSSTREUUNG als  s u  Bestimmung der Einzelmaßgrößen Toleranz i T / [mm] Streuung i s / [mm] Varianz   2 2 i mm / s 1 M  2 M  ... i M VARIANZBESTIMMUNG DES SCHLIEßMAßES NACH DEM ABWEICHUNGSFORT- PFLANZUNGSGESETZ 2 i 2 n 1 i x i n 1 2 0 s x f )) ,...x (f(x s             BESTIMMUNG DER STREUUNG DES SCHLIEßMAßES 2 0 0 s s  6. Schritt - Bestimmung der Toleranz mm 2 / T x M S 0   7. Schritt - Bestimmung des Erweiterungs- und Reduktionsfaktors Formel Bedeutung Reduktionsfaktor r A S T T r  Schließmaßtoleranz kann bei Beibehaltung der Einzeltoleranzen um 1-r % reduziert werden. Erweiterungsfaktor e S A T T r 1 e   Einzeltoleranzen können bei Beibehaltung des Schließmaßes um das e-fache erweitert werden. <?page no="188"?> A Anhang 176 A.3 Gesetzmäßigkeiten der Verteilungen Die Verteilungsarten und ihre Varianzen 1. Normalverteilung 2. Trapezverteilung (1/ 5) 3. Trapezverteilung (1/ 3) g(x) x-4s x-2s x x+2s x+4s g(x) G u x = (G + G )/ 2 o u G o (x) 1/ 5 R R = T g(x) (x) G u x = (G + G )/ 2 o u G o 1/ 3 R R = T 36 T s 2 2  (bei u = 3) 300 T 13 s 2 2  108 T 5 s 2 2  4. Trapezverteilung (1/ 2) 5. Symm. Dreiecksverteilung 6. Allg. Dreiecksverteilung g(x) G u R = T 1/ 2 R g(x) c=2/ (G -G ) o u a =G u x = (G +G )/ 2 o u b = G o (x) R = T g(x) c=2/ (G -G ) o u a = G u (G +G )/ o u x b = G o H (x) R=T 192 T 10 s 2 2  24 T s 2 2                      2 u u u o 2 u o 2 G H G H G G G G 18 1 s 7. Rechteckverteilung g(x) c=1/ (G -G ) o u a = G u x = (G +G )/ 2 o u b = G o R = T 12 T s 2 2  Tabelle A.1: Die Verteilungsarten und ihre Varianzen <?page no="189"?> A Anhang 177 Maßbezeichnung Anzahl n Toleranz T Art der Verteilung Berechnung Varianz 2 s Wert Varianz 2 s Summe n s 2     n 1 i 2 i s u =       n 1 i 2 i S s u 2 T Tabelle A.2: Rechenschema zur Ermittlung der statistischen Schließmaßtoleranz bei linearen Maßketten <?page no="190"?> A Anhang 178 A.4 Berechnung der Ableitungen für das Schubkurbelbeispiel Im Kapitel 12.6 ist als Beispiel für eine nichtlineare Maßkette die Übertragungsfunktion eines Schubkurbelgetriebes ausgewertet worden. Die bereits abgeleitete Gl. (12.4) lautete:   2 3 1 22 1 0 M sin M M cos M M         . Im Einzelnen bestimmen sich die erforderlichen Differenziale wie folgt: 1.) 1 0 M M   Hierbei sind 2 M , 3 M und sin  als konstant zu betrachten. Zuerst erfolgt die Anwendung der Summenregel *)   ) x ( g ) x ( f ) x ( g ) x ( f       mit      cos M M f 1 1 und     1 M g . Man erhält dann für   1 2 3 1 22 1 0 M M sin M M cos M M            . (A.1) Zur Bestimmung der Ableitung der Wurzel muss man die Kettenregel anwenden. Für drei ineinander verschachtelte Funktionen gilt beispielsweise                   x h g f x h g x h x h g f        . Hier ist   2 3 1 22 1 M sin M M ) f(g(h(M      mit   3 1 1 M sin M M h          sin M h' 1 2 1 22 1 )) (h(M M ) g(h(M     3 1 1 1 M sin M 2 ) h(M 2 ) g'(h(M       *) Anmerkung: :    heißt x /   <?page no="191"?> A Anhang 179 und )) g(h(M ))) f(g(h(M 1 1  )) f'(g(h(M 1  2 3 1 22 1 ) M sin (M M 2 1 )) g(h(M 2 1       (A.2) Daraus folgt dann für diesen Teil der Ableitung durch Einsetzen:   2 3 1 22 3 2 1 1 0 M sin M M sin M sin M cos M M               (A.3) 2.) 2 0 M M   Hierbei sind 1 M , 3 M und sin  als konstant zu betrachten. In diesem Fall muss man nur die Kettenregel für zweifach verschachtelte Funktionen anwenden, da die Ableitung des ersten Summanden der Funktion Null wird. Die Ableitung der Wurzelfunktion nach 2 M ergibt nach folgender Ableitungsregel: b ax ax ) x ( f b ax ) x ( f 2 2       mit   2 3 1 22 2 M sin M b und M x , 1 a        folgt     3 1 2 2 1 M sin M M M M ' f      . Daher erhält man für   3 1 2 2 2 0 M sin M M M M M        . (A.4) 3.) 3 0 M M   <?page no="192"?> A Anhang 180 Hier muss wieder analog die Kettenregel für dreifach verschachtelte Funktionen angewendet werden. Der erste Summand der Übertragungsfunktion wird wieder null, da in diesem Fall 1 M , 2 M und sin  als konstant zu betrachten sind. Es gilt in diesem Fall   2 3 1 22 3 M sin M M ) f(g(h(M      mit   3 1 3 M sin M M h       1 M h' 3   2 3 22 3 )) (h(M M ) g(h(M     3 1 3 3 M sin M 2 ) h(M 2 ) g'(h(M       und )) g(h(M ))) f(g(h(M 3 3  )) '(g(h(M f 3  2 3 1 22 3 ) M sin (M M 2 1 )) g(h(M 2 1       . Daraus folgt für         . M sin M M M sin M M sin M M 2 1 M sin M 2 1 ))) '(g(h(M f )) g'(h(M M h' ))) '(g(h(M f M M 2 3 1 22 3 1 2 3 1 22 3 1 3 3 3 3 3 0                         (A.5) Der mathematische Exkurs zeigt, dass die Auflösung des allgemeinen Abweichungsfortpflanzungsgesetzes teils kompliziert werden kann. Dies ist auch der Grund dafür, weshalb die nichtlineare Toleranzrechnung so gut wie gar nicht automatisiert werden kann. <?page no="193"?> B Glossar 181 B Glossar B.1 Toleranzbegriffe nach DIN ISO 286 Begriff Erklärung Nennmaß N Größenangabe, auf welche die Abmaße bezogen werden Istmaß I wird durch Messen des Bauteils ermittelt. Es ist mit einer Messunsicherheit behaftet. Abmaß E, e ist die Algebraische Toleranz zwischen Grenzmaß und Nennmaß.  Kleinbuchstaben (es, ei) bezeichnen Wellenabmaße.  Großbuchstaben (ES, EI) bezeichnen Bohrungsabmaße. Oberes Abmaß Es, es Differenz zwischen dem Höchstmaß und Nennmaß  Bei Wellen es  Bei Bohrungen ES Unteres Abmaß EI, ei Differenz zwischen dem Mindestmaß und Nennmaß  Bei Wellen ei  Bei Bohrungen EI Grundabmaß legt die Lage des Toleranzfeldes bezüglich der Nulllinie fest. Grenzmaße G sind die zulässigen Maße zwischen denen das Istmaß liegen soll. Liegt das Istmaß außerhalb der Grenzmaße, ist das Bauteil in der Regel zu verwerfen. Höchstmaß o , O G ist das größte zugelassene Grenzmaß.  Welle: oW G = N + es  Bohrung: oB G = N + ES Mindestmaß u , U G ist das kleinste zugelassene Grenzmaß.  Welle: uW G = N ei  Bohrung: uB G = N - EI Maßtoleranz T ist die algebraische Differenz von Höchstmaß und Mindestmaß. Sie ist nicht vorzeichenbehaftet.  Allgemein: u o G G T    Welle: ei es G G T uW oW      Bohrung: EI ES G G T uB oB     Toleranzfeld wird durch das obere und untere Abmaß begrenzt. Es wird durch die Größe der Toleranz und die Lage zur Nulllinie festgelegt. Indizes O, o U, u für Schließmaß große Buchstaben, für Einzelmaße kleine Buchstaben Tabelle B.1: Toleranzbegriffe nach DIN ISO 286 <?page no="194"?> B Glossar 182 B.2 Begriffe zur Beschreibung von Maßketten Begriff Erklärung Maßkette Einzelmaße i M , die sich in einer Richtung erstrecken, bilden eine Maßkette. Einzelmaß i M Maß eines Bauteils einer Maßkette in Richtung der Maßkette Schließmaß 0 M verbindet Anfang und Ende der Maßkette. Positive Zählrichtung Maße, bei denen eine Vergrößerung der Maßabweichung eine Vergrößerung des Schließmaßes bewirkt, werden als positiv angenommen. Die Vektoren dieser Maße zeigen in die positive Zählrichtung. Negative Zählrichtung Maße, bei denen eine Verringerung der Maßabweichung eine Vergrößerung des Schließmaßes bewirkt, werden als negativ angenommen. Die Vektoren dieser Maße zeigen in die negative Zählrichtung. Nennschließmaß 0 N wird ermittelt durch die vorzeichenbehaftete Addition der Vektoren der Nennmaße der Bauteile der Maßkette.       i i 0 N N N Höchstschließmaß O P       i u i o O G G P Man setzt ein:  für positiv gerichtete Maße das Höchstmaß  für negativ gerichtete Maße das Mindestmaß Mindestschließmaß U P       i o i u U G G P Man setzt ein:  für positiv gerichtete Maße das Mindestmaß  für negativ gerichtete Maße das Höchstmaß Abmaße der Toleranzkette Oberes Abmaß 1 A T 0 O 1 A N P T   Unteres Abmaß 2 A T 0 U 2 A N P T   Gesamttoleranz A T U O A P P T   Darstellung des Schließmaßes 0 N O P 0 N U P 0 1 A T 2 A T 0 0 N N M    Tabelle B.2: Begriffe zur Beschreibung von Maßketten <?page no="195"?> B Glossar 183 B.3 Begriffe zu Grundlagen der Statistik Begriff Erklärung Relative Häufigkeit ist definiert als das Verhältnis des Eintretens eines bestimmten Ereignisses im Verhältnis zur Anzahl der Beobachtungen. Wahrscheinlichkeit p gibt an, wie viele Ereignisse im Mittel bei einer großen Gesamtzahl zu dem betrachteten Ergebnis führen. Stichprobe Eine Stichprobe besteht aus einer begrenzten Anzahl von Werten aus der Grundgesamtheit, z. B. der real gefertigte Durchmesser einer Welle im Vergleich mit dem Nennmaß oder der wirkliche Widerstandswerte eines elektrischen Widerstands im Vergleich mit dem Nennwert. Mittelwert x    n 1 i i x n 1 x Standardabweichung s Dies ist die mittlere quadratische Abweichung der Stichprobenwerte vom Mittelwert.      n 1 i 2 i i ) x (x 1 n 1 s Varianz 2 s        n 1 i 2 i i 2 x x 1 n 1 s Tabelle B.3: Begriffe zu Grundlagen der Statistik B.4 Begriffe zur Verknüpfung mehrerer Maße Begriff Erklärung Mittelwertsatz Der Mittelwertsatz beschreibt die Verknüpfung von Mittelwerten von Einzelmaßen in einer Maßkette zur Bestimmung des Gesamtmittelwerts einer Maßkette..    n 1 i i 0 x x siehe Gl. (4.13) Abweichungsfortpflanzungsgesetz Das Abweichungsfortpflanzungsgesetz beschreibt die Verknüpfung von Einzelvarianzen zur Bestimmung der Gesamtvarianz einer Maßkette: Bei eindimensionalen Maßketten:    n 1 i 2 i 2 0 s s siehe Gl. (4.16) Bei mehrdimensionalen Maßketten mit voneinander unabhängigen Messgrößen i x :               n 1 i 2 i 2 x i n 1 2 0 s x f x , x f s  siehe Gl. (4.15) Tabelle B.4: Begriffe zu Mittelwertsatz und Abweichungsfortpflanzungsgesetz <?page no="196"?> B Glossar 184 Art der Verteilung Varianz 2 s Toleranz T Reduktionsfaktor RV r Statistische Schließtoleranz S T *) mit 3 u p 1   Rechteckverteilung x T G U G O f(x) 12 T s 2 2  s 4641 , 3 s 3 2 T     k 3 u r p 1 RV     2 i S T 7321 , 1 T mit k = Anzahl der Bauteile Trapezverteilung  x T T/ 2 G U G O f(x) 192 T 10 s 2 2   s 3818 , 4 s 10 / 48 2 T     k 48 u 10 r p 1 RV      2 i S T 3694 , 1 T Trapezverteilung  x T T/ 3 G U G O f(x) 108 T 5 s 2 2   s 6476 , 4 s 5 / 27 2 T     k 27 u 5 r p 1 RV      2 i S T 2910 , 1 T Trapezverteilung  x T T/ 5 G U G O f(x) 300 T 13 s 2 2   s 8038 , 4 s 13 / 75 2 T     k 75 u 13 r p 1 RV      2 i S T 2490 , 1 T Dreiecksverteilung x T G U G O f(x) 24 T s 2 2  s 8990 , 4 s 6 2 T     k 3 2 u 2 r p 1 RV      2 i S T 2247 , 1 T Normalverteilung xT G U G O f(x) s s 36 T s 2 2  s 6 s 3 2 T      außerhalb der Toleranz liegen 0,27 % der Teile k 3 u r p 1 RV      2 i S T 0000 , 1 T Tabelle B.5: Quantifizierung der geläufigen, mathematischen Verteilungen *) Anmerkung: Hier ist der allgemeine Ansatz benutzt worden:    2 i S s u 2 T <?page no="197"?> B Glossar 185 B.5 Tabelle der Summenfunktion F NV (u i ) der standardisierten Normalverteilung Standardisierte Normalverteilung mit der Variablen s x x u   Q(u) F(u) - Q(u) u -u Q(u) 0 F(u) Q(u) u 0 u F(u) Q(u) F(u)-Q(u) f(u) u F(u) Q(u) F(u)-Q(u) f(u) 0 0,5 0,5 0 0,39894 0,41 0,6591 0,3409 0,31819 0,36678 0,01 0,50399 0,49601 0,00798 0,39892 0,41 0,6591 0,3409 0,31819 0,36678 0,02 0,50798 0,49202 0,01596 0,39886 0,42 0,66276 0,33724 0,32551 0,36526 0,03 0,51197 0,48803 0,02393 0,39876 0,43 0,6664 0,3336 0,3328 0,36371 0,04 0,51595 0,48405 0,03191 0,39862 0,44 0,67003 0,32997 0,34006 0,36213 0,05 0,51994 0,48006 0,03988 0,39844 0,45 0,67364 0,32636 0,34729 0,36053 0,06 0,52392 0,47608 0,04784 0,39822 0,46 0,67724 0,32276 0,35448 0,35889 0,07 0,5279 0,4721 0,05581 0,39797 0,47 0,68082 0,31918 0,36165 0,35723 0,08 0,53188 0,46812 0,06376 0,39767 0,48 0,68439 0,31561 0,36877 0,35553 0,09 0,53586 0,46414 0,07171 0,39733 0,49 0,68793 0,31207 0,37587 0,35381 0,1 0,53983 0,46017 0,07966 0,39695 0,5 0,69146 0,30854 0,38293 0,35207 0,11 0,5438 0,4562 0,08759 0,39654 0,51 0,69497 0,30503 0,38995 0,35029 0,12 0,54776 0,45224 0,09552 0,39608 0,52 0,69847 0,30153 0,39694 0,34849 0,13 0,55172 0,44828 0,10343 0,39559 0,53 0,70194 0,29806 0,40389 0,34667 0,14 0,55567 0,44433 0,11134 0,39505 0,54 0,7054 0,2946 0,4108 0,34482 0,15 0,55962 0,44038 0,11924 0,39448 0,55 0,70884 0,29116 0,41768 0,34294 0,16 0,56356 0,43644 0,12712 0,39387 0,56 0,71226 0,28774 0,42452 0,34105 0,17 0,56749 0,43251 0,13499 0,39322 0,57 0,71566 0,28434 0,43132 0,33912 0,18 0,57142 0,42858 0,14285 0,39253 0,58 0,71904 0,28096 0,43809 0,33718 0,19 0,57535 0,42465 0,15069 0,39181 0,59 0,7224 0,2776 0,44481 0,33521 0,2 0,57926 0,42074 0,15852 0.39104 0,6 0,72575 0,27425 0,45149 0,33322 0,21 0,58317 0,41683 0,16633 0,39024 0,61 0,72907 0,27093 0,45814 0,33121 0,22 0,58706 0,41294 0,17413 0,3894 0,62 0,73237 0,26763 0,46474 0,32918 0,23 0,59095 0,40905 0,18191 0,38853 0,63 0,73565 0,26435 0,47131 0,32713 0,24 0,59483 0,40517 0,18967 0,38762 0,64 0,73891 0,26109 0,47783 0,32506 0,25 0,59871 0,40129 0,19741 0,38667 0,65 0,74215 0,25785 0,48431 0,32297 0,26 0,60257 0,39743 0,20514 0,38568 0,66 0,74537 0,25463 0,49075 0,32086 0,27 0,60642 0,39358 0,21284 0,38466 0,67 0,74857 0,25143 0,49714 0,31874 0,28 0,61026 0,38974 0,22052 0,38361 0,68 0,75175 0,24825 0,5035 0,31659 0,29 0,61409 0,38591 0,22818 0,38251 0,69 0,7549 0,2451 0,50981 0,31443 0,3 0,61791 0,38209 0,23582 0,38139 0,7 0,75804 0,24196 0,51607 0,31225 0,31 0,62172 0,37828 0,24344 0,38023 0,71 0,76115 0,23885 0,5223 0,31006 0,32 0,62552 0,37448 0,25103 0,37903 0,72 0,76424 0,23576 0,52848 0,30785 0,33 0,6293 0,3707 0,2586 0,3778 0,73 0,7673 0,2327 0,53461 0,30563 0,34 0,63307 0,36693 0,26614 0,37654 0,74 0,77035 0,22965 0,5407 0,30339 0,35 0,63683 0,36317 0,27366 0,37524 0,75 0,77337 0,22663 0,54675 0,30114 0,36 0,64058 0,35942 0,28115 0,37391 0,76 0,77637 0,22363 0,55275 0,29887 0,37 0,64431 0,35569 0,28862 0,37255 0,77 0,77935 0,22065 0,5587 0,29659 0,38 0,64803 0,35197 0,29605 0,37115 0,78 0,7823 0,2177 0,56461 0,29431 0,39 0,65173 0,34827 0,30346 0,36973 0,79 0,78524 0,21476 0,57047 0,292 0,4 0,65542 0,34458 0,31084 0,36827 0,8 0,78814 0,21185 0,57629 0,28969 <?page no="198"?> B Glossar 186 u F(u) Q(u) F(u)-Q(u) f(u) u F(u) Q(u) F(u)-Q(u) f(u) 0,81 0,79103 0,20897 0,58206 0,28737 1,41 0,92073 0,07927 0,84146 0,14764 0,82 0,79389 0,20611 0,58778 0,28504 1,42 0,9222 0,0778 0,84439 0,14556 0,83 0,79673 0,20327 0,59346 0,28269 1,43 0,92364 0,07636 0,84728 0,1435 0,84 0,79955 0,20045 0,59909 0,28034 1,44 0,92507 0,07493 0,85013 0,14146 0,85 0,80234 0,19766 0,60468 0,27798 1,45 0,92647 0,07353 0,85294 0,13943 0,86 0,80511 0,19489 0,61021 0,27562 1,46 0,92786 0,07215 0,85571 0,13742 0,87 0,80785 0,19215 0,6157 0,27324 1,47 0,92922 0,07078 0,85844 0,13542 0,88 0,81057 0,18943 0,62114 0,27086 1,48 0,93056 0,06944 0,86113 0,13344 0,89 0,81327 0,18673 0,62653 0,26848 1,49 0,93189 0,06811 0,86378 0,13147 0,9 0,81594 0,18406 0,63188 0,26609 1,5 0,93319 0,06681 0,86639 0,12952 0,91 0,81859 0,18141 0,63718 0,26369 1,51 0,93448 0,06552 0,86896 0,12758 0,92 0,82121 0,17879 0,64243 0,26129 1,52 0,93574 0,06426 0,87149 0,12566 0,93 0,82381 0,17619 0,64763 0,25888 1,53 0,93699 0,06301 0,87398 0,12376 0,94 0,82639 0,17361 0,65278 0,25647 1,54 0,93822 0,06178 0,87644 0,12188 0,95 0,82894 0,17106 0,65789 0,25406 1,55 0,93943 0,06057 0,87886 0,12001 0,96 0,83147 0,16853 0,66294 0,25164 1,56 0,94062 0,05938 0,88124 0,11816 0,97 0,83398 0,16602 0,66795 0,24923 1,57 0,94179 0,05821 0,88358 0,11632 0,98 0,83646 0,16354 0,67291 0,24681 1,58 0,94295 0,05705 0,88589 0,1145 0,99 0,83891 0,16109 0,67783 0,24439 1,59 0,94408 0,05592 0,88817 0,1127 1 0,84134 0,15866 0,68269 0,24197 1,6 0,9452 0,0548 0,8904 0,11092 1,01 0,84375 0,15625 0,6875 0,23955 1,61 0,9463 0,0537 0,8926 0,10915 1,02 0,84614 0,15386 0,69227 0,23713 1,62 0,94738 0,05262 0,89477 0,10741 1,03 0,8485 0,15151 0,69699 0,23471 1,63 0,94845 0,05155 0,8969 0,10567 1,04 0,85083 0,14917 0,70166 0,2323 1,64 0,9495 0,0505 0,89899 0,10396 1,05 0,85314 0,14686 0,70628 0,22988 1,65 0,95053 0,04947 0,90106 0,10226 1,06 0,85543 0,14457 0,71086 0,22747 1,66 0,95154 0,04846 0,90309 0,10059 1,07 0,85769 0,14231 0,71538 0,22506 1,67 0,95254 0,04746 0,90508 0,09892 1,08 0,85993 0,14007 0,71986 0,22265 1,68 0,95352 0,04648 0,90704 0,09728 1,09 0,86214 0,13786 0,72429 0,22025 1,69 0,95449 0,04551 0,90897 0,09566 1,1 0,86433 0,13567 0,72867 0,21785 1,7 0,95543 0,04457 0,91087 0,09405 1,11 0,8665 0,1335 0,733 0,21546 1,71 0,95637 0,04363 0,91273 0,09246 1,12 0,86864 0,13136 0,73729 0,21307 1,72 0,95728 0,04272 0,91457 0,09089 1,13 0,87076 0,12924 0,74152 0,21069 1,73 0,95818 0,04182 0,91637 0,08933 1,14 0,87286 0,12714 0,74571 0,20831 1,74 0,95907 0,04093 0,91814 0,0878 1,15 0,87493 0,12507 0,74986 0,20594 1,75 0,95994 0,04006 0,91988 0,08628 1,16 0,87698 0,12302 0,75395 0,20357 1,76 0,9608 0,0392 0,92159 0,08478 1,17 0,879 0,121 0,758 0,20121 1,77 0,96164 0,03836 0,92327 0,08329 1,18 0,881 0,119 0,762 0,19886 1,78 0,96246 0,03754 0,92492 0,08183 1,19 0,88298 0,11702 0,76595 0,19652 1,79 0,96327 0,03673 0,92655 0,08038 1,2 0,88493 0,11507 0,76986 0,19419 1,8 0,96407 0,03593 0,92814 0,07895 1,21 0,88686 0,11314 0,77372 0,19186 1,81 0,96485 0,03515 0,9297 0,07754 1,22 0,88877 0,11123 0,77754 0,18954 1,82 0,96562 0,03438 0,93124 0,07614 1,23 0,89065 0,10935 0,7813 0,18724 1,83 0,96638 0,03363 0,93275 0,07477 1,24 0,89251 0,10749 0,78502 0,18494 1,84 0,96712 0,03288 0,93423 0,07341 1,25 0,89435 0,10565 0,7887 0,18265 1,85 0,96784 0,03216 0,93569 0,07206 1,26 0,89617 0,10383 0,79233 0,18037 1,86 0,96856 0,03144 0,93711 0,07074 1,27 0,89796 0,10204 0,79592 0,1781 1,87 0,96926 0,03074 0,93852 0,06943 1,28 0,89973 0,10027 0,79945 0,17585 1,88 0,96995 0,03005 0,93989 0,06814 1,29 0,90147 0,09853 0,80295 0,1736 1,89 0,97062 0,02938 0,94124 0,06687 1,3 0,9032 0,0968 0,8064 0,17137 1,9 0,97128 0,02872 0,94257 0,06562 1,31 0,9049 0,0951 0,8098 0,16915 1,91 0,97193 0,02807 0,94387 0,06438 1,32 0,90658 0,09342 0,81317 0,16694 1,92 0,97257 0,02743 0,94514 0,06316 1,33 0,90824 0,09176 0,81648 0,16474 1,93 0,9732 0,0268 0,94639 0,06195 1,34 0,90988 0,09012 0,81975 0,16256 1,94 0,97381 0,02619 0,94762 0,06077 1,35 0,91149 0,08851 0,82298 0,16038 1,95 0,97441 0,02559 0,94882 0,05959 1,36 0,91309 0,08692 0,82617 0,15822 1,96 0,975 0,025 0,95 0,05844 1,37 0,91466 0,08534 0,82931 0,15608 1,97 0,97558 0,02442 0,95116 0,0573 1,38 0,91621 0,08379 0,83241 0,15395 1,98 0,97615 0,02385 0,9523 0,05618 1,39 0,91774 0,08226 0,83547 0,15183 1,99 0,9767 0,0233 0,95341 0,05508 1,4 0,91924 0,08076 0,83849 0,14973 2 0,97725 0,02275 0,9545 0,05399 <?page no="199"?> B Glossar 187 u F(u) 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0,99935 0,00119 3,81 0,99993 0,00007 0,99986 0,00028 3,42 0,99969 0,00031 0,99937 0,00115 3,82 0,99993 0,00007 0,99987 0,00027 3,43 0,9997 0,0003 0,9994 0,00111 3,83 0,99994 0,00006 0,99987 0,00026 3,44 0,99971 0,00029 0,99942 0,00107 3,84 0,99994 0,00006 0,99988 0,00025 3,45 0,99972 0,00028 0,99944 0,00104 3,85 0,99994 0,00006 0,99988 0,00024 3,46 0,99973 0,00027 0,99946 0,001 3,86 0,99994 0,00006 0,99989 0,00023 3,47 0,99974 0,00026 0,99948 0,00097 3,87 0,99995 0,00005 0,99989 0,00022 3,48 0,99975 0,00025 0,9995 0,00094 3,88 0,99995 0,00005 0,9999 0,00021 3,49 0,99976 0,00024 0,99952 0,0009 3,89 0,99995 0,00005 0,9999 0,00021 3,5 0,99977 0,00023 0,99953 0,00087 3,9 0,99995 0,00005 0,9999 0,0002 3,51 0,99978 0,00022 0,99955 0,00084 3,91 0,99995 0,00005 0,99991 0,00019 3,52 0,99978 0,00022 0,99957 0,00081 3,92 0,99996 0,00004 0,99991 0,00018 3,53 0,99979 0,00021 0,99958 0,00079 3,93 0,99996 0,00004 0,99992 0,00018 3,54 0,9998 0,0002 0,9996 0,00076 3,94 0,99996 0,00004 0,99992 0,00017 3,55 0,99981 0.00019 0,99961 0,00073 3,95 0,99996 0,00004 0,99992 0,00016 3,56 0,99981 0,00019 0,99963 0,00071 3,96 0,99996 0,00004 0,99993 0,00016 3,57 0,99982 0,00018 0,99964 0,00068 3,97 0,99996 0,00004 0,99993 0,00015 3,58 0,99983 0,00017 0,99966 0,00066 3,98 0,99997 0,00003 0,99993 0,00014 3,59 0,99983 0,00017 0,99967 0,00063 3,99 0,99997 0,00003 0,99993 0,00014 3,6 0,99984 0,00016 0,99968 0,00061 4 0,99997 0,00003 0,99994 0,00013 F Q u g 0,5 0,5 0 0,6 0,4 0,2533 0,7 0,3 0,5244 0,8 0,2 0,8416 0,9 0,1 1,2816 0,95 0,05 1,6449 0,975 0,025 1,96 0,99 0,01 2,3263 0,995 0,005 2,5758 0,9975 0,0025 2,807 0,999 0,001 3,0902 0,9995 0,0005 3,2905 0,9999 0,0001 3,719 0,99995 0,00005 3,8906 Näherung für u > 4: 2 2 n e 2 1 ) u ( g           8 6 4 2 u 105 u 15 u 3 u 1 1 u ) u ( g ) u ( Q 0,99999 0.00001 4,2649 Tabelle B.6: Tabelle der Summenfunktion der standardisierten Normalverteilung <?page no="201"?> B Glossar 189 B.6 Schwellenwerte der Fisher-Verteilung für alle Vertrauensniveaus Freiheitsgrad f 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 161,4 199,5 215,7 224,6 230,2 234,0 236,8 238,9 240,5 241,5 243,0 243,9 244,7 245,4 2 18,51 19,00 19,16 19,25 19,30 19,33 19,35 19,37 19,38 19,40 19,41 19,41 19,42 19,42 3 10,13 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,89 8,85 8,81 8,79 8,76 8,74 8,73 8,71 4 7,71 6,94 6,59 6,39 6,20 6,16 6,09 6,04 6,00 5,96 5,94 5,91 5,89 5,87 5 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,77 4,74 4,70 4,68 4,66 4,64 6 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10 4,06 4,03 4,00 3,98 3,96 7 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68 3,64 3,60 3,57 3,55 3,53 8 5,32 4,46 4,07 3,84 3,84 3,58 3,50 3,44 3,39 3,35 3,31 3,28 3,26 3,24 9 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 3,18 3,14 3,10 3,07 3,05 3,03 10 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,14 3,07 3,02 2,98 2,94 2,91 2,89 2,86 11 4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 3,01 2,95 2,90 2,85 2,82 2,79 2,76 2,74 12 4,75 3,89 3,49 3,26 3,11 3,00 2,91 2,85 2,80 2,75 2,72 2,69 2,66 2,64 13 4,67 3,81 3,41 3,18 3,03 2,92 2,83 2,77 2,71 2,67 2,63 2,60 2,58 2,55 14 4,60 3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 2,76 2,70 2,65 2,60 2,57 2,53 2,51 2,48 15 4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,71 2,64 2,59 2,54 2,51 2,48 2,45 2,42 16 4,49 3,63 3,24 3,01 2,85 2,74 2,66 2,59 2,54 2,49 2,46 2,42 2,40 2,37 17 4,45 3,59 3,20 2,96 2,81 2,70 2,61 2,55 2,49 2,45 2,41 2,38 2,35 2,33 18 4,41 3,55 3,16 2,93 2,77 2,66 2,58 2,51 2,46 2,41 2,37 2,34 2,31 2,29 19 4,38 3,52 3,13 2,90 2,74 2,63 2,54 2,48 2,42 2,38 2,34 2,31 2,28 2,26 20 4,35 3,49 3,10 2,87 2,71 2,60 2,51 2,45 2,39 2,35 2,31 2,28 2,25 2,23 21 4,32 3,47 3,07 2,84 2,68 2,57 2,49 2,42 2,37 2,32 2,28 2,25 2,22 2,20 22 4,30 3,44 3,05 2,82 2,66 2,55 2,46 2,40 2,34 2,30 2,26 2,23 2,20 2,17 23 4,28 3,42 3,03 2,80 2,64 2,53 2,44 2,37 2,32 2,27 2,24 2,20 2,18 2,15 24 4,26 3,40 3,01 2,78 2,62 2,51 2,42 2,36 2,30 2,25 2,22 2,18 2,15 2,13 25 4,24 3,39 2,99 2,76 2,60 2,49 2,40 2,34 2,28 2,24 2,20 2,16 2,14 2,11 26 4,23 3,37 2,98 2,74 2,59 2,47 2,39 2,32 2,27 2,22 2,18 2,15 2,12 2,09 27 4,21 3,35 2,96 2,73 2,57 2,46 2,37 2,31 2,25 2,20 2,17 2,13 2,10 2,08 28 4,20 3,34 2,95 2,71 2,56 2,45 2,36 2,29 2,24 2,19 2,15 2,12 2,09 2,06 29 4,18 3,33 2,93 2,70 2,55 2,43 2,35 2,28 2,22 2,18 2,14 2,10 2,08 2,05 30 4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 2,42 2,33 2,27 2,21 2,16 2,13 2,09 2,06 2,04 35 4,12 3,27 2,87 2,64 2,49 2,37 2,29 2,22 2,16 2,11 2,08 2,04 2,01 1,99 40 4,08 3,23 2,84 2,61 2,45 2,34 2,25 2,18 2,12 2,08 2,04 2,00 1,97 1,95 45 4,06 3,20 2,81 2,58 2,42 2,31 2,22 2,15 2,10 2,05 2,01 1,97 1,94 1,92 50 4,03 3,18 2,79 2,56 2,40 2,29 2,20 2,13 2,07 2,03 1,99 1,95 1,92 1,89 60 4,00 3,15 2,76 2,53 2,37 2,25 2,17 2,10 2,04 1,99 1,95 1,92 1,89 1,86 70 3,98 3,13 2,74 2,50 2,35 2,23 2,14 2,07 2,02 1,97 1,93 1,89 1,86 1,84 80 3,96 3,11 2,72 2,49 2,33 2,21 2,13 2,06 2,00 1,95 1,91 1,88 1,84 1,82 100 3,94 3,09 2,70 2,46 2,31 2,19 2,10 2,03 1,97 1,93 1,89 1,85 1,82 1,79 120 3,92 3,07 2,68 2,45 2,29 2,17 2,09 2,02 1,96 1,91 1,87 1,83 1,80 1,78 240 3,88 3,03 2,64 2,41 2,25 2,14 2,05 1,98 1,92 1,87 1,83 1,79 1,76 1,73 Freiheitsgrad f 2  3,84 3,00 2,60 2,37 2,21 2,10 2,01 1,94 1,88 1,83 1,79 1,75 1,72 1,69 Tabelle B.7: Fisher-Verteilung 95 % (Teil 1) <?page no="202"?> B Glossar 190 Schwellenwerte für ein Vertrauensniveau von 1 -  = 95 % Freiheitsgrad f 1 15 16 17 18 19 20 24 30 40 60 120 240  1 245,9 246,5 246,9 247,3 247,7 248,0 249,1 250,1 251,1 152,2 253,3 253,8 254,3 2 19,43 19,43 19,44 19,44 19,44 19,45 19,45 19,46 19,47 19,48 19,49 19,49 19,50 3 8,70 8,69 8,68 8,67 8,67 8,66 8,64 8,62 8,59 8,57 8,55 8,54 8,53 4 5,86 5,84 5,83 5,82 5,81 5,80 5,77 5,75 5,72 5,69 5,66 5,64 5,63 5 4,62 4,60 4,59 4,58 4,57 4,56 4,53 4,50 4,46 4,43 4,40 4,38 4,36 6 3,94 3,92 3,91 3,90 3,88 3,87 3,84 3,81 3,77 3,74 3,70 3,69 3,67 7 3,51 3,49 3,48 3,47 3,46 3,44 3,41 3,38 3,34 3,30 3,27 3,25 3,23 8 3,22 3,20 3,19 3,17 3,16 3,15 3,12 3,08 3,04 3,01 2,97 2,95 2,93 9 3,01 2,99 2,97 2,96 2,95 2,94 2,90 2,86 2,83 2,79 2,75 2,73 2,71 10 2,85 2,83 2,81 2,80 2,79 2,77 2,74 2,70 2,66 2,62 2,58 2,56 2,54 11 2,72 2,70 2,69 2,67 2,66 2,65 2,61 2,57 2,53 2,49 2,45 2,43 2,40 12 2,62 2,60 2,58 2,57 2,56 2,54 2,51 2,47 2,43 2,38 2,34 2,32 2,30 13 2,53 2,51 2,50 2,48 2,47 2,46 2,42 2,38 2,34 2,30 2,25 2,23 2,21 14 2,46 2,44 2,43 2,41 2,40 2,39 2,35 2,31 2,27 2,22 2,18 2,16 2,13 15 2,40 2,38 2,37 2,35 2,34 2,33 2,29 2,25 2,20 2,16 2,11 2,09 2,07 16 2,35 2,33 2,32 2,30 2,29 2,28 2,24 2,19 2,15 2,11 2,06 2,04 2,01 17 2,31 2,29 2,27 2,26 2,24 2,23 2,19 2,15 2,10 2,06 2,01 1,99 1,96 18 2,27 2,25 2,23 2,22 2,20 2,19 2,15 2,11 2,06 2,02 1,97 1,94 1,92 19 2,23 2,21 2,20 2,18 2,17 2,16 2,11 2,07 2,03 1,98 1,93 1,91 1,88 20 2,20 2,18 2,17 2,15 2,14 2,12 2,08 2,04 1,99 1,95 1,90 1,87 1,84 21 2,18 2,16 2,14 2,12 2,11 2,10 2,05 2,01 1,96 1,92 1,87 1,84 1,81 22 2,15 2,13 2,11 2,10 2,08 2,07 2,03 1,98 1,94 1,89 1,84 1,81 1,78 23 2,13 2,11 2,09 2,08 2,06 2,05 2,01 1,96 1,91 1,86 1,81 1,79 1,76 24 2,11 2,09 2,07 2,05 2,04 2,03 1,98 1,94 1,89 1,84 1,79 1,76 1,73 25 2,09 2,07 2,05 2,04 2,02 2,01 1,96 1,92 1,87 1,82 1,77 1,74 1,71 26 2,07 2,05 2,03 2,02 2,00 1,99 1,95 1,90 1,85 1,80 1,75 1,72 1,69 27 2,06 2,04 2,02 2,00 1,99 1,97 1,93 1,88 1,84 1,79 1,73 1,70 1,67 28 2,04 2,02 2,00 1,99 1,97 1,96 1,91 1,87 1,82 1,77 1,71 1,69 1,65 29 2,03 2,01 1,99 1,97 1,96 1,94 1,90 1,85 1,81 1,75 1,70 1,67 1,64 30 2,01 1,99 1,98 1,96 1,95 1,93 1,89 1,84 1,79 1,74 1,68 1,65 1,62 35 1,96 1,94 1,92 1,91 1,89 1,88 1,83 1,79 1,74 1,68 1,62 1,59 1,56 40 1,92 1,90 1,89 1,87 1,85 1,84 1,79 1,74 1,69 1,64 1,58 1,54 1,51 45 1,89 1,87 1,86 1,84 1,82 1,81 1,76 1,71 1,66 1,60 1,54 1,51 1,47 50 1,87 1,85 1,83 1,81 1,80 1,78 1,74 1,69 1,63 1,58 1,51 1,48 1,44 60 1,84 1,82 1,80 1,78 1,76 1,75 1,70 1,67 1,59 1,53 1,47 1,43 1,39 70 1,81 1,79 1,77 1,75 1,74 1,72 1,67 1,62 1,57 1,50 1,44 1,40 1,35 80 1,79 1,77 1,75 1,73 1,72 1,70 1,65 1,60 1,54 1,48 1,41 1,37 1,32 90 1,78 1,76 1,74 1,72 1,70 1,69 1,64 1,59 1,53 1,46 1,39 1,35 1,30 100 1,77 1,75 1,73 1,71 1,69 1,68 1,63 1,57 1,52 1,45 1,38 1,33 1,28 120 1,75 1,73 1,71 1,69 1,67 1,66 1,61 1,55 1,50 1,43 1,35 1,31 1,25 240 1,71 1,69 1,67 1,65 1,63 1,61 1,56 1,51 1,45 1,38 1,29 1,24 1,17 Freiheitsgrad f 2  1,67 1,64 1,62 1,60 1,59 1,57 1,52 1,46 1,39 1,32 1,22 1,15 1,00 Tabelle B.8: Fisher-Verteilung 95 % (Teil 2) <?page no="203"?> B Glossar 191 Schwellenwerte für ein Vertrauensniveau von 1 -  = 99 % Freiheitsgrad f 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 4052 4999 5403 5625 5764 5859 5928 5981 6022 6056 6083 6106 6126 6143 2 98,50 99,00 99,17 99,25 99,30 99,33 99,36 99,37 99,39 99,40 99,41 99,42 99,42 99,43 3 34,12 30,87 29,46 28,71 28,24 27,91 27,67 27,49 27,35 27,23 27,13 27,05 26,98 26,92 4 21,20 18,00 16,69 15,98 15,52 15,21 14,98 14,80 14,66 14,55 14,45 14,37 14,31 14,25 5 16,26 13,27 12,06 11,39 10,97 10,67 10,46 10,29 10,16 10,05 9,96 9,89 9,82 9,77 6 13,75 10,92 9,78 9,15 8,75 8,47 8,26 8,10 7,98 7,87 7,79 7,72 7,66 7,60 7 12,25 9,55 8,45 7,85 7,46 7,19 6,99 6,84 6,72 6,62 6,54 6,47 6,41 6,36 8 11,26 8,65 7,59 7,01 6,63 6,37 6,18 6,03 5,91 5,81 5,73 5,67 5,61 5,56 9 10,56 8,02 6,99 6,42 6,06 5,80 5,61 5,47 5,35 5,26 5,18 5,11 5,05 5,01 10 10,04 7,56 6,55 5,99 5,64 5,39 5,20 5,06 4,94 4,85 4,77 4,71 4,65 4,60 11 9,65 7,21 6,22 5,67 5,32 5,07 4,89 4,74 4,63 4,54 4,46 4,40 4,34 4,29 12 9,33 6,93 5,95 5,41 5,06 4,82 4,64 4,50 4,39 4,30 4,22 4,16 4,10 4,05 13 9,07 6,70 5,74 5,21 4,86 4,62 4,44 4,30 4,19 4,10 4,02 3,96 3,91 3,86 14 8,86 6,51 5,56 5,04 4,69 4,46 4,28 4,14 4,03 3,94 3,86 3,80 3,75 3,70 15 8,68 6,36 5,42 4,89 4,56 4,32 4,14 4,00 3,89 3,80 3,73 3,67 3,61 3,56 16 8,53 6,23 5,29 4,77 4,44 4,20 4,03 3,89 3,78 3,69 3,62 3,55 3,50 3,45 17 8,40 6,11 5,18 4,67 4,34 4,10 3,93 3,79 3,68 3,59 3,52 3,46 3,40 3,35 18 8,29 6,01 5,09 4,58 4,25 4,01 3,84 3,71 3,60 3,51 3,43 3,37 3,32 3,27 19 8,18 5,93 5,01 4,50 4,17 3,94 3,77 3,63 3,52 3,43 3,36 3,30 3,24 3,19 20 8,10 5,85 4,94 4,43 4,10 3,87 3,70 3,56 3,46 3,37 3,29 3,23 3,18 3,13 21 8,02 5,78 4,87 4,37 4,04 3,81 3,64 3,51 3,40 3,31 3,24 3,17 3,12 3,07 22 7,95 5,72 4,82 4,31 3,99 3,76 3,59 3,45 3,35 3,26 3,18 3,12 3,07 3,02 23 7,88 5,66 4,76 4,26 3,94 3,71 3,54 3,41 3,30 3,21 3,14 3,07 3,02 2,97 24 7,82 5,61 4,72 4,22 3,90 3,67 3,50 3,36 3,26 3,17 3,09 3,03 2,98 2,93 25 7,77 5,57 4,68 4,18 3,85 3,63 3,46 3,32 3,22 3,13 3,06 2,99 2,94 2,89 26 7,72 5,53 4,64 4,14 3,82 3,59 3,42 3,29 3,18 3,09 3,02 2,96 2,90 2,86 27 7,68 5,49 4,60 4,11 3,78 3,56 3,39 3,26 3,15 3,06 2,99 2,93 2,87 2,82 28 7,64 5,45 4,57 4,07 3,75 3,53 3,36 3,23 3,12 3,03 2,96 2,90 2,84 2,79 29 7,60 5,42 4,54 4,04 3,73 3,50 3,33 3,20 3,09 3,00 2,93 2,87 2,81 2,77 30 7,56 5,39 4,51 4,02 3,70 3,47 3,30 3,17 3,07 2,98 2,91 2,84 2,79 2,74 35 7,42 5,27 4,40 3,91 3,59 3,37 3,20 3,07 2,96 2,88 2,80 2,74 2,69 2,64 40 7,31 5,18 4,31 3,83 3,51 3,29 3,12 2,99 2,89 2,80 2,73 2,66 2,61 2,56 45 7,23 5,11 4,25 3,77 3,45 3,23 3,07 2,94 2,83 2,74 2,67 2,61 2,55 2,51 50 7,17 5,06 4,20 3,72 3,41 3,19 3,02 2,89 2,79 2,70 2,63 2,56 2,51 2,46 60 7,08 4,98 4,13 3,65 3,34 3,12 2,95 2,82 2,72 2,63 2,56 2,50 2,44 2,39 70 7,01 4,92 4,07 3,60 3,29 3,07 2,91 2,78 2,67 2,59 2,51 2,45 2,40 2,35 80 6,96 4,88 4,04 3,56 3,26 3,04 2,87 2,74 2,64 2,55 2,48 2,42 2,36 2,31 90 6,93 4,85 4,01 3,54 3,23 3,01 2,84 2,72 2,61 2,52 2,45 2,39 2,33 2,29 100 6,90 4,82 3,98 3,51 3,21 2,99 2,82 2,69 2,59 2,50 2,43 2,37 2,31 2,27 120 6,85 4,79 3,95 3,48 3,17 2,96 2,79 2,66 2,56 2,47 2,40 2,34 2,28 2,23 240 6,74 4,70 3,86 3,40 3,09 2,88 2,71 2,59 2,48 2,40 2,32 2,26 2,21 2,16 Freiheitsgrad f 2  6,63 4,61 3,78 3,32 3,02 2,80 2,64 2,51 2,41 2,32 2,25 2,18 2,13 2,08 Tabelle B.9: Fisher-Verteilung 99 % (Teil 1) <?page no="204"?> B Glossar 192 Schwellenwerte für ein Vertrauensniveau von 1 -  = 99 % Freiheitsgrad f 1 15 16 17 18 19 20 24 30 40 60 120 240  1 6157 6170 6181 6192 6201 6209 6235 6261 6287 6313 6339 6353 6366 2 99,43 99,44 99,44 99,44 99,45 99,45 99,46 99,47 99,47 99,48 99,49 99,45 99,50 3 26,87 26,83 26,79 26,75 26,72 26,69 26,40 26,50 26,41 26,32 26,22 26,17 26,13 4 14,20 14,15 14,12 14,08 14,05 14,02 13,93 13,84 13,75 13,65 13,56 13,51 13,46 5 9,72 9,68 9,64 9,61 9,58 9,55 9,47 9,38 9,29 9,20 9,11 9,07 9,02 6 7,56 7,52 7,48 7,45 7,42 7,40 7,31 7,23 7,14 7,06 6,97 6,93 6,88 7 6,31 6,28 6,24 6,21 6,18 6,16 6,07 5,99 5,91 5,82 5,74 5,69 5,65 8 5,52 5,48 5,44 5,41 5,38 5,36 5,28 5,20 5,12 5,03 4,95 4,90 4,86 9 4,96 4,92 4,89 4,86 4,83 4,81 4,73 4,65 4,57 4,48 4,40 4,35 4,31 10 4,56 4,52 4,49 4,46 4,43 4,41 4,33 4,25 4,17 4,08 4,00 3,95 3,91 11 4,25 4,21 4,18 4,15 4,12 4,10 4,02 3,94 3,86 3,78 3,69 3,65 3,60 12 4,01 3,97 3,94 3,91 3,88 3,86 3,78 3,70 3,62 3,54 3,45 3,41 3,36 13 3,82 3,78 3,75 3,72 3,69 3,66 3,59 3,51 3,43 3,34 3,25 3,21 3,17 14 3,66 3,62 3,59 3,56 3,53 3,51 3,43 3,35 3,27 3,18 3,09 3,05 3,00 15 3,52 3,49 3,45 3,42 3,40 3,37 3,29 3,21 3,13 3,05 2,96 2,91 2,87 16 3,41 3,37 3,34 3,31 3,28 3,26 3,18 3,10 3,02 2,93 2,84 2,80 2,75 17 3,31 3,27 3,24 3,21 3,19 3,16 3,08 3,00 2,92 2,83 2,75 2,70 2,65 18 3,23 3,19 3,16 3,13 3,10 3,08 3,00 2,92 2,84 2,75 2,66 2,61 2,57 19 3,15 3,12 3,08 3,05 3,03 3,00 2,92 2,84 2,76 2,67 2,58 2,54 2,49 20 3,09 3,05 3,02 2,99 2,96 2,94 2,86 2,78 2,69 2,61 2,52 2,47 2,42 21 3,03 2,99 2,96 2,93 2,90 2,88 2,80 2,72 2,64 2,55 2,46 2,41 2,36 22 2,98 2,94 2,91 2,88 2,85 2,83 2,75 2,67 2,58 2,50 2,40 2,36 2,31 23 2,93 2,89 2,86 2,83 2,80 2,78 2,70 2,62 2,54 2,45 2,35 2,31 2,26 24 2,89 2,85 2,82 2,79 2,76 2,74 2,66 2,58 2,49 2,40 2,31 2,26 2,21 25 2,85 2,81 2,78 2,75 2,72 2,70 2,62 2,54 2,45 2,36 2,27 2,22 2,17 26 2,81 2,78 2,75 2,72 2,69 2,66 2,58 2,50 2,42 2,33 2,23 2,18 2,13 27 2,78 2,75 2,71 2,68 2,66 2,63 2,55 2,47 2,38 2,29 2,20 2,15 2,10 28 2,75 2,72 2,68 2,65 2,63 2,60 2,52 2,44 2,35 2,26 2,17 2,12 2,06 29 2,73 2,69 2,66 2,63 2,60 2,57 2,49 2,41 2,33 2,23 2,14 2,09 2,03 30 2,70 2,66 2,63 2,60 2,57 2,55 2,47 2,39 2,30 2,21 2,11 2,06 2,01 35 2,60 2,56 2,53 2,50 2,47 2,44 2,36 2,28 2,19 2,10 2,00 1,95 1,89 40 2,52 2,48 2,45 2,42 2,39 2,37 2,29 2,20 2,11 2,02 1,92 1,86 1,80 45 2,46 2,43 2,39 2,36 2,34 2,31 2,23 2,14 2,05 1,96 1,85 1,80 1,74 50 2,42 2,38 2,35 2,32 2,29 2,27 2,18 2,10 2,01 1,91 1,80 1,75 1,68 60 2,35 2,31 2,28 2,25 2,22 2,20 2,12 2,03 1,94 1,84 1,73 1,67 1,60 70 2,31 2,27 2,23 2,20 2,18 2,15 2,07 1,98 1,89 1,78 1,67 1,61 1,54 80 2,27 2,23 2,20 2,17 2,14 2,12 2,03 1,94 1,85 1,75 163 1,57 1,49 90 2,24 2,21 2,17 2,14 2,11 2,09 2,00 1,92 1,82 1,72 1,60 1,53 1,46 100 2,22 2,19 2,15 2,12 2,09 2,07 1,98 1,89 1,80 1,69 1,57 1,50 1,43 120 2,19 2,15 2,12 2,09 2,06 2,03 1,95 1,86 1,76 1,66 1,53 1,46 1,38 240 2,11 2,08 2,04 2,01 1,98 1,87 1,87 1,78 1,68 1,57 1,43 1,35 1,25 Freiheitsgrad f 2  2,04 2,00 1,97 1,93 1,90 1,88 1,79 1,70 1,59 1,47 1,32 1,22 1,00 Tabelle B.10: Fisher-Verteilung 99 % (Teil 2) <?page no="205"?> B Glossar 193 Schwellenwerte für ein Vertrauensniveau von 1 -  = 99,9 % Freiheitsgrad f 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 4053* 5000* 5404* 5625* 5764* 5859* 5929* 5981* 6023* 6056* 6084* 6107* 6126* 6143* 2 998,5 999,0 999,2 999,2 999,3 999,3 999,4 999,4 999,4 999,4 999,4 999,4 999,4 999,4 3 167,0 148,5 141,1 137,1 134,6 132,8 131,6 130,6 129,9 129,2 128,7 128,3 128,0 127,6 4 74,14 61,25 56,18 53,44 51,71 50,53 49,66 49,00 48,47 48,05 47,70 47,41 47,16 46,95 5 47,18 37,12 33,20 31,09 29,75 28,84 28,16 27,64 27,24 26,92 26,65 26,42 26,22 26,06 6 35,51 27,00 23,70 21,92 20,81 20,03 19,46 19,03 18,69 18,41 18,18 17,99 17,82 17,68 7 29,25 21,69 18,77 17,19 16,21 15,52 15,02 14,63 14,33 14,08 13,88 13,71 13,56 13,43 8 25,42 18,49 15,83 14,39 13,49 12,86 12,40 12,04 11,77 11,54 11,35 11,19 11,06 10,94 9 22,86 16,39 13,90 12,56 11,75 11,13 10,70 10,37 10,11 9,89 9,72 9,57 9,44 9,33 10 21,04 14,91 12,55 11,28 10,48 9,92 9,52 9,20 8,96 8,75 8,59 8,45 8,32 8,22 11 19,69 13,81 11,56 10,35 9,58 9,05 8,66 8,35 8,12 7,92 7,76 7,63 7,51 7,41 12 18,64 12,97 10,80 9,63 8,89 8,38 8,00 7,71 7,48 7,29 7,14 7,00 6,89 6,79 13 17,81 12,31 10,21 9,07 8,35 7,86 7,49 7,21 6,98 6,80 6,65 6,52 6,41 6,31 14 17,14 11,78 9,73 8,62 7,92 7,43 7,08 6,80 6,58 6,40 6,26 6,13 6,02 5,93 15 16,59 11,34 9,34 8,25 7,57 7,09 6,74 6,47 6,26 6,08 5,94 5,81 5,71 5,62 16 16,12 10,97 9,00 7,94 7,27 6,81 6,46 6,19 5,98 5,81 5,67 5,55 5,44 5,35 17 15,72 10,66 8,73 7,68 7,02 6,56 6,22 5,96 5,75 5,58 5,44 5,32 5,22 5,13 18 15,38 10,39 8,49 7,46 6,81 6,35 6,02 5,76 5,56 5,39 5,25 5,13 5,03 4,94 19 15,08 10,16 8,28 7,26 6,62 6,18 5,85 5,59 5,39 5,22 5,08 4,97 4,87 4,78 20 14,82 9,95 8,10 7,10 6,46 6,02 5,69 5,44 5,24 5,08 4,94 4,82 4,72 4,64 21 14,59 9,77 7,94 6,95 6,32 5,88 5,56 5,31 5,11 4,95 4,81 4,70 4,60 4,51 22 14,38 9,61 7,80 6,81 6,19 5,76 5,44 5,19 4,99 4,83 4,70 4,58 4,49 4,40 23 14,19 9,47 7,67 6,69 6,08 5,65 5,33 5,09 4,89 4,73 4,60 4,48 4,39 4,30 24 14,03 9,34 7,55 6,59 5,98 5,55 5,23 4,99 4,80 4,64 4,51 4,39 4,30 4,21 25 13,88 9,22 7,45 6,49 5,88 5,46 5,15 4,91 4,71 4,56 4,42 4,31 4,22 4,13 26 13,74 9,12 7,35 6,41 5,80 5,38 5,07 4,83 4,64 4,48 4,35 4,24 4,14 4,06 27 13,61 9,02 7,27 6,33 5,73 5,31 5,00 4,76 4,57 4,41 4,28 4,17 4,08 3,99 28 13,50 8,93 7,19 6,25 5,66 5,24 4,93 4,69 4,50 4,35 4,22 4,11 4,01 3,93 29 13,39 8,85 7,12 6,19 5,59 5,18 4,87 4,64 4,45 4,29 4,16 4,05 3,96 3,88 30 13,29 8,77 7,05 6,12 5,53 5,12 4,82 4,58 4,39 4,24 4,11 4,00 3,91 3,82 35 12,90 8,47 6,79 5,88 5,30 4,89 4,60 4,36 4,18 4,03 3,90 3,79 3,70 3,62 40 12,61 8,25 6,60 5,70 5,13 4,73 4,44 4,21 4,02 3,887 3,75 3,64 3,55 3,47 45 12,39 8,09 6,45 5,56 5,00 4,61 4,32 4,09 3,91 3,76 3,64 3,53 3,44 3,36 50 12,22 7,96 6,34 5,46 4,90 4,51 4,22 4,00 3,82 3,67 3,55 3,44 3,35 3,27 60 11,97 7,76 6,17 5,31 4,76 4,37 4,09 3,87 3,69 3,54 3,42 3,31 3,23 3,15 70 11,80 7,64 6,06 5,20 4,66 4,28 3,99 3,77 3,60 3,45 3,33 3,23 3,14 3,06 80 11,67 7,54 5,97 5,12 4,58 4,20 3,92 3,70 3,53 3,39 3,27 3,16 3,07 3,00 90 11,57 7,47 5,91 5,06 4,53 4,15 3,87 3,65 3,48 3,34 3,22 3,11 3,02 2,95 100 11,50 7,41 5,86 5,02 4,48 4,11 3,83 3,61 3,44 3,30 3,18 3,07 2,99 2,91 120 11,38 7,32 5,79 4,95 4,42 4,04 3,77 3,55 3,38 3,24 3,12 3,02 2,93 2,85 240 11,10 7,11 5,60 4,78 4,26 3,89 3,62 3,41 3,24 3,10 2,98 2,88 2,79 2,71 Freiheitsgrad f 2  10,83 6,91 5,42 4,62 4,10 3,74 3,47 3,27 3,10 2,96 2,84 2,74 2,66 2,58 Tabelle B.11: Fisher-Verteilung 99,9 % (Teil 1) <?page no="206"?> B Glossar 194 Schwellenwerte für ein Vertrauensniveau von 1 -  = 99,9 % Freiheitsgrad f 1 15 16 17 18 19 20 24 30 40 60 120 240  1 6158* 6170* 6182* 6192* 6201* 6209* 6235* 6261* 6287* 6313* 6340* 6353* 6366* 2 999,4 999,4 999,4 999,4 999,4 999,4 999,5 999,5 999,5 999,5 999,5 999,5 999,5 3 127,4 127,1 126,9 126,7 126,6 126,4 125,9 125,4 125,0 124,5 124,0 123,7 123,5 4 46,76 46,60 46,45 46,32 46,21 46,10 45,77 45,43 45,09 44,75 44,40 44,23 44,05 5 25,91 25,78 25,67 25,57 25,48 25,39 25,14 24,87 24,60 24,33 24,06 23,92 23,79 6 17,56 17,45 17,35 17,27 17,19 17,12 16,89 16,67 16,44 16,21 15,99 15,86 15,75 7 13,32 13,14 13,14 13,06 12,99 12,93 12,73 12,53 12,33 12,12 11,91 11,80 11,70 8 10,84 10,67 10,67 10,60 10,54 10,48 10,30 10,11 9,92 9,73 9,53 9,43 9,33 9 9,24 9,15 9,08 9,01 8,95 8,90 8,72 8,55 8,37 8,19 8,00 7,91 7,81 10 8,13 8,05 7,98 7,91 7,86 7,80 7,64 7,47 7,30 7,12 6,94 6,85 6,76 11 7,32 7,24 7,17 7,11 7,06 7,01 6,85 6,68 6,52 6,35 6,17 6,09 6,00 12 6,71 6,63 6,57 6,51 6,45 6,40 6,25 6,09 5,93 5,76 5,59 5,51 5,42 13 6,23 6,16 6,09 6,03 5,98 5,93 5,78 5,63 5,47 5,30 5,14 5,05 4,97 14 5,85 5,78 5,71 5,66 5,60 5,56 5,41 5,25 5,10 4,94 4,77 4,69 4,60 15 5,54 5,46 5,40 5,35 5,29 5,25 5,10 4,95 4,80 4,64 4,47 4,39 4,31 16 5,27 5,20 5,14 5,09 5,04 4,99 4,84 4,70 4,54 4,39 4,23 4,14 4,06 17 5,05 4,99 4,92 4,87 4,82 4,78 4,63 4,48 4,33 4,18 4,14 3,93 3,85 18 4,87 4,80 4,74 4,68 4,63 4,59 4,45 4,30 4,15 4,00 3,84 3,75 3,67 19 4,70 4,64 4,58 4,52 4,47 4,43 4,29 4,14 3,99 3,84 3,68 3,60 3,51 20 4,56 4,49 4,44 4,38 4,33 4,29 4,15 4,00 3,86 3,70 3,54 3,46 3,38 21 4,44 4,37 4,31 4,26 4,21 4,17 4,03 3,88 3,74 3,58 3,42 3,34 3,26 22 4,33 4,26 4,20 4,15 4,10 4,06 3,92 3,78 3,63 3,48 3,32 3,24 3,15 23 4,23 4,16 4,10 4,05 4,00 3,96 3,82 3,68 3,53 3,38 3,22 3,14 3,05 24 4,14 4,07 4,02 3,96 3,92 3,87 3,74 3,59 3,45 3,29 3,14 3,05 2,97 25 4,06 3,99 3,94 3,88 3,84 3,79 3,66 3,52 3,37 3,22 3,06 2,98 2,89 26 3,99 3,92 3,86 3,81 3,77 3,72 3,59 3,44 3,30 3,15 2,99 2,91 2,82 27 3,92 3,86 3,80 3,75 3,70 3,66 3,52 3,38 3,23 3,08 2,92 2,84 2,75 28 3,86 3,80 3,74 3,69 3,64 3,60 3,46 3,32 3,18 3,02 2,86 2,78 2,69 29 3,80 3,74 3,68 3,63 3,59 3,54 3,41 3,27 3,12 2,97 2,81 2,73 2,64 30 3,75 3,69 3,63 3,58 3,53 3,49 3,36 3,36 3,07 2,92 2,76 2,68 2,59 35 3,55 3,48 3,43 3,38 3,33 3,29 3,16 3,02 2,87 2,72 2,56 2,47 2,38 40 3,40 3,34 3,28 3,23 3,19 3,15 3,01 2,87 2,73 2,57 2,41 2,32 2,23 45 3,29 3,23 3,17 3,12 3,08 3,04 2,90 2,76 2,62 2,46 2,30 2,21 2,12 50 3,20 3,14 3,09 3,04 2,99 2,95 2,82 2,68 2,53 2,38 2,21 2,12 2,03 60 3,08 3,02 2,96 2,91 2,87 2,83 2,69 2,55 2,41 2,25 2,08 1,99 1,89 70 2,99 2,93 2,88 2,83 2,78 2,74 2,61 2,47 2,32 2,16 1,99 1,90 1,79 80 2,93 2,87 2,81 2,76 2,72 2,68 2,54 2,41 2,26 2,10 1,92 1,83 1,72 90 2,88 2,82 2,76 2,71 2,67 2,63 2,50 2,36 2,21 2,05 1,87 1,77 1,66 100 2,84 2,78 2,73 2,68 2,63 2,59 2,46 2,32 2,17 2,01 1,83 1,73 1,61 120 2,78 2,72 2,67 2,62 2,58 2,53 2,40 2,26 2,11 1,95 1,76 1,66 1,54 240 2,65 2,59 2,53 2,48 2,44 2,40 2,27 2,12 1,97 1,80 1,61 1,49 1,35 Freiheitsgrad f 2  2,51 2,45 2,40 2,35 2,31 2,27 2,13 1,99 1,84 1,66 1,45 1,31 1,00 Tabelle B.12: Fisher-Verteilung 99,9 % (Teil 2) <?page no="207"?> B Glossar 195 B.7 Faltung von Verteilungen T 1 f (x) 1 a b T =T 1 2 f (x) 2 c d T S f(x) a+c b+d T 1 f (x) 1 a b T 2 f (x) 2 c d T S f(x) a+c b+d b+c a+d T 1 f (x) 1 a b T2 f (x) 2 TS f(x) T 1 f (x) 1 T 2 f (x) 2 f(x) T 1 f (x) 1 T 2 f (x) 2 T S ‹T +T 1 2 f(x) Verteilung 1 Verteilung 2 Ergebnis Dreiecksverteilung Trapezverteilung Normalverteilung Normalverteilung Normalverteilung * * * * * Tabelle B.13: Verschiedene Verteilungen und deren Faltprodukte <?page no="208"?> B Glossar 196 B.8 Begriffe zur Statistischen Tolerierung von Maßketten Begriff Erklärung Mittelwert 0 x Wird berechnet auf jeweils Mitte Toleranzfeld    n 1 i i C x Mittenmaß C 2 P P x C ui oi i i    Quadratische Schließtoleranz q T    n 1 i 2 i q T T Statistisches Schließmaß 2 T x M S 0 0   Toleranzerweiterung e r 1 T T e S A   Toleranzreduktion r e 1 T T r A S   Tabelle B.14: Begriffe Statistischen Tolerierung von Maßketten <?page no="209"?> B Glossar 197 B.9 Begriffe zu Prozessfähigkeit Begriff Erklärung Grenzwerte geben die Grenzen eines Prozesses an. Bei Fertigung eines Bauteils in der Regel die Abmaße. oberer OGW unterer UGW Eingriffsgrenzen Grenzen, deren Überschreitung ein Eingreifen in den Prozess erforderlich macht obere OEG untere UEG relative Prozessstreubreite p f Prozessstreubereich/ Toleranz Prozessfähigkeit p C Toleranz/ Prozessstreubereich p p f 1 ˆ 6 USG OSG C     siehe Gl. (8.2) Prozessfähigkeitsindex pk C   ˆ 3 z C krit pk siehe Gl. (8.3) Kritischer Abstand zur Spezifikationsgrenze krit z USG 1 krit     sollte µ zur unteren Spezifikationsgrenze hin verschoben sein, bzw.     OSG krit bei Verschiebung von µ in Richtung der oberen Spezifikationsgrenze mit 2 kri 1 krit krit , Min z    . Tabelle B.15: Begriffe zur Bestimmung der Prozessfähigkeit <?page no="210"?> B Glossar 198 B.10 Begriffe zur Qualitätsverlustfunktion Begriff Erklärung Qualitätsverlustfunktion Q(y)     2 2 0 m y 2 T A ) y ( Q   Toleranz i T ... eines Einzelteils Sollwert m Istwert y 2 T m y   oder 2 T m y   Kundentoleranz 0  2 y y min i max i 0    Herstellertoleranz  globaler Qualitätsverlust einer Serie Q       2 0 2 0 2 0 s m x 2 T A Q    ANOVA Analyse Freiheitsgrad i f m SQM f FHG für Mittelwert SQX f FHG für Faktoren Quadratsummen SQX Summe der quadrierten Abweichungen vom Mittelwert  SQA      n 1 i 2 i SQA Summe der Mittelwertabweichungen der betrachteten Größe m SQM n SQM 2 n 1 i i m         Quadratsumme des Wiederholungsfehlers 2 s SQF des Wiederholungsfehlers m 2 s SQM SQA SQF    Varianz V SQ/ f Fisher-Wert F Maß für die Signifikanz eines Faktors F < V Streuungsunterschied signifikant F > V Streuungsunterschied zufällig V < % 95 F noch keine Aussage möglich % 95 F < V < % 99 F , Streuungsunterschied zufällig % 99 F < V < % 9 , 99 F , Streuungsunterschied signifikant % 99 F < V, Streuungsunterschied hochsignifikant Tabelle B.16: Begriffe zur Ermittlung der Qualitätsverlustfunktion <?page no="211"?> B Glossar 199 B.11 Streuungsübersicht Aus SPC-Auswertungen von verschiedenen Produktionsunternehmen sind die folgenden Richtwerte entwickelt worden: Herstellverfahren Anzahl Messwerte Fertigungsstreuung Bemerkung Längsdrehen s  0,030 Plandrehen s  0,040 Umfangsfräsen s  0,035 Stirnfräsen s  0,035 Bohren 150 s  0,0413 CNC-Maschine Bohren 150 s  0,018 Teil in Vorrichtung auf Fräsmaschine Feinbearbeitung Räumen s  0,030 Längsschleifen s  0,0055 Rundschleifen 456 s  0,006 Außenform, spitzenlos Planschleifen 152 s  0,03 Einstechschleifen 150 s  0,022 Reiben 1.526 s  0,001 Innenform Honen s  0,0005 Feinstbearbeitung Läppen s  0,0005 Erodieren 556 s  0,013 Elektrode m. konst. Breite Sonder Erodieren 278 s  0,018 mit Verfahrweg-Nullung kursiv = abgeschätzte Werte gerade = gemessene Werte Tabelle B.17: Fertigungsstreuungen in der Serie aus Messungen bzw. Abschätzungen <?page no="212"?> B Glossar 200 B.12 Verwendete Abkürzungen Zeichen und Abkürzungen Allgemein: k : Anzahl der Bauteile N : Nennmaß o G : Größtmaß u G : Kleinstmaß es : oberes Grenzabmaß einer Welle ei : unteres Grenzabmaß einer Welle Es : oberes Grenzabmaß einer Bohrung EI : unteres Grenzabmaß einer Bohrung o A : Oberes Abmaß u A : Unteres Abmaß I : Istmaß T : Toleranz f : Abstand t : Toleranzzone Maßketten: i M : Einzelmaße [i =1..n] 0 M : Schließmaß i N : Nenneinzelmaße [i =1..n] 0 N : Nennschließmaß oi P : Höchsteinzelmaß [i =1..n] O P : Höchstschließmaß ui P : Mindesteinzelmaß [i =1..n] U P : Mindestschließmaß n : Anzahl der Einzelmaße r : Toleranzreduktionsfaktor e : Toleranzerweiterungsfaktor i T : Einzeltoleranzen [i=1..n] A T : Arithmetische Schließtoleranz S T : Statistische Schließtoleranz q T : Quadratische Schließtoleranz O z : Höchstmaß des stat. Schließmaß U z : Mindestmaß des stat. Schließmaß i x : Mittelwert eines Einzelmaßes 0 x : Mittelwert eines Schließmaßes i s : Standardabweichung eines Einzelmaßes 0 s : Standardabweichung eines Schließmaßes <?page no="213"?> B Glossar 201 Grundlagen der Statistik: x : Mittelwert s : Standardabweichung 2 s : Varianz p : Wahrscheinlichkeit a p : Annahmewahrscheinlichkeit f(x) : Wahrscheinlichkeitsdichte F(x) : Verteilungsfunktion p 1 u  : Standard-Normalvariable P(x) : Faltprodukt aus diskreten Verteilungen i P : Diskrete Verteilungen F T : Funktionstoleranz einer Montagegruppe i  : Relationsfaktor i  : Streuungsweitenfaktor Qualitätsverlustfunktion: Q(y) : Qualitätsverlustfunktion Q : Globaler Qualitätsverlust einer Serie A : Kosten für den Hersteller aufgrund von Toleranzüberschreitungen 0 A : Kosten für die Gesellschaft aufgrund von Toleranzüberschreitungen  : Toleranz des Herstellers 0  : Toleranz des Kunden   : Mittlere Toleranz  Q : Durchschnittlicher Qualitätsverlust f : Freiheitsgrad F * : Fisher-Wert Prozessüberwachung: OEG : obere Eingriffsgrenze UEG : untere Eingriffsgrenze OSG : obere Spezifikationsgrenze USG : Untere Spezifikationsgrenze OGW : oberer Grenzwert UGW : unterer Grenzwert p f : relative Prozessstreubreite p C : Prozessfähigkeit pk C : Prozessfähigkeitsindex krit z : kritischer Abstand zur Spezifikationsgrenze <?page no="214"?> B Glossar 202 RQL : Rejectable Quality Level OEG W : Wahrscheinlichkeit des Überschreitens des oberen Grenzwertes UEG W : Wahrscheinlichkeit des Überschreitens des unteren Grenzwertes Indizes Allgemein: o, O : Oben u, U : Unten i : Zählvariable Statistische Tolerierung: i : Zählvariable 0 : Bezeichnung des Schließmaßes a : arithmetisch (Einzeltoleranz) A : arithmetisch (Maßkette) s : statistisch (Einzeltoleranz) S : statistisch (Maßkette) q : quadratisch Toleranzen in der Kunststofftechnik VS : Verarbeitungsschwindung F L : Maß Formteil W L : Maß Werkzeug  VS : Verarbeitungsschwindungsdifferenz S VR : radiale Verarbeitungsschwindung T VS : tangentiale Verarbeitungsschwindung <?page no="215"?> C Fallbeispiele zur Statistischen Tolerierung 203 C Fallbeispiele zur Statistischen Tolerierung Fallbeispiel 1: Nachfolgend ist eine einfache Scheibenkupplung dargestellt. Von dieser Scheibenkupplung wird in einem Los eine Kleinserie von 50 Stück gefertigt. Der Distanzring soll allerdings von einem Hersteller bezogen werden, der diesen in Großserie herstellt (größer 1.000 Stück). Kontrollieren Sie die Montierbarkeit durch eine arithmetische und statistische Maßkettenanalyse. Arbeitsprogramm: A) Arithmetische Kontrolle   0 A U O 0 M , T , P , P , N B) Statistische Kontrolle   0 S 0 M , T , x Hinweis: Kleinserie = Dreieckverteilung Großserie = Normalverteilung C) Stellen Sie die beiden Verteilungen aus den Rechnungen grafisch gegenüber <?page no="216"?> C Fallbeispiele zur Statistischen Tolerierung 204 Musterlösung zu Fallbeispiel 1: zu A) Nennmaß: mm 05 , 0 P , mm 6 , 0 P , mm 0 N U O 0    Toleranzfeld: mm 55 , 0 T A  Schließmaß: mm 0 N M 05 , 0 6 , 0 0 N U P 0 N O P 0 0     oder mm 325 , 0 C M 275 , 0 2 A T 0 0     zu B) Erwartungswert: 325 , 0 x 0  Statistische Toleranz: 21 , 0 422 , 0 T S    Schließmaß: mm 325 , 0 2 T x M 21 , 0 S 0 0     Höchstmaß: , 535 , 0 P O  Mindestmaß: 115 , 0 P U  <?page no="217"?> C Fallbeispiele zur Statistischen Tolerierung 205 Fallbeispiel 2: Für die dargestellte Situation aus einem Cabrioverdeckmechanismus ist die Montierbarkeit zu überprüfen. Da etwa 1.000 Seitenteile arbeitstäglich hergestellt werden, kann von Großserienverhältnissen ausgegangen werden, weshalb alle Bauteile als normalverteilt angenommen werden können. M 2 M 6 M 5 M 3 M 4 M 1 M 0 Arbeitsprogramm: A) Arithmetische Kontrolle   0 A U O 0 M , T , P , P , N B) Statistische Kontrolle   0 0 0 M . bzw s , x <?page no="218"?> C Fallbeispiele zur Statistischen Tolerierung 206 Musterlösung zu Fallbeispiel 2: zu A) Arithmetische Kontrollrechnung Nennmaß: mm 6 , 0 N N N N N N N 6 3 2 1 5 4 0        Höchstmaß:     mm 8 , 1 G G G G G G P 6 u 3 u 2 u 1 u 5 o 4 o O        Mindestmaß:     mm 1 , 0 G G G G G G P 6 o 3 o 2 o 1 o 5 u 4 u U        Toleranzfeld: mm 7 , 1 P P T U O A    Schließmaß: 5 , 0 2 , 1 6 , 0 0 N U P 0 N O P 0 0 N M       zu B) Statistische Kontrollrechnung Streuungen: 1 s = mm 067 , 0 s s 3 2   4 s = 0,05 mm 5 s = 0,023 mm 6 s = 0,01 mm Abweichungsfortpflanzungsgesetz: 1289 , 0 01663 , 0 s s 6 1 i 2 i 0      Statistische Toleranz: mm 77 , 0 s 3 2 T 0 S     Erwartungswert: mm 95 , 0 72 , 1 15 9 , 31 15 92 , 1 65 , 62 x x x x x x x 6 3 2 1 5 4 0              Schließmaß: mm 95 , 0 2 77 , 0 95 , 0 2 T x M 385 , 0 S 0 0       <?page no="219"?> C Fallbeispiele zur Statistischen Tolerierung 207 Fallbeispiel 3: Ein Zusammenbau soll aus drei Teilen bestehen, wovon zwei Kaufteile sind und ein Teil in Eigenfertigung hergestellt wird. Bei allen Teilen handelt es sich um Großserienbauteile. Führen Sie eine Toleranzsynthese für das Eigenfertigungsteil durch, weil die Kaufteile mit festen Toleranzen geliefert werden. 1. Lösung über Ansatz der „Quadratischen Tolerierung“ nach DIN 7186 2. Lösung über „Synthese der Funktionstoleranz“ nach Kapitel 6 27 , 0 T F   15 , 0 T 1   2 , 0 T 3   ? T 2  <?page no="220"?> C Fallbeispiele zur Statistischen Tolerierung 208 Musterlösung zu Fallbeispiel 3: Lösungsweg 1 mm 1 , 0 2 , 0 T 0416 , 0 T T T T T T T T 2 2 3 2 1 2 q 2 2 2 3 2 2 2 1 2 q           Lösungsweg 2 1. Annahme: 0 , 2 , 0 , 1 , 5 , 1 3 2 1       11 , 0 1 0 , 2 1 5 , 1 54 , 0 T T 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 F 2               Hier sind auch beliebige andere Annahmen möglich! <?page no="221"?> C Fallbeispiele zur Statistischen Tolerierung 209 Fallbeispiel 4: Bei einem Klappenmechanismus für Pkws wird eine drehbare Verbindung benötigt. Diese wird durch Anstauchung eines Bolzens hergestellt. Damit aber die Verbindung noch drehbar bleibt, muss etwas axiales Spiel vorhanden sein. Bestimmen Sie das entsprechende Schließmaß unter den Voraussetzungen einer Großserienfertigung. 0 0 Gleitbuchsendicke 0,48 + 0,02 - + Zählrichtung M 1 = M 0,48 + 0,02 2 = M 12,5 3 - 0,12 = M = 0,48 + 0,02 4 Schließmaß M 0 0 0 Maßplan (nicht maßstäblich) M 0 Arbeitsprogramm: A) Arithmetische Kontrolle   0 A U O 0 M , T , P , P , N B) Statistische Kontrolle   0 U O 0 S q M , P , P , x , T / T C) Erweitern Sie die Toleranzfelder der Einzelteile und legen Sie die Teile   i oS i uS G , G maßlich neu fest <?page no="222"?> C Fallbeispiele zur Statistischen Tolerierung 210 Musterlösung zu Fallbeispiel 4: zu A) Arithmetische Kontrollrechnung Nennmaß: mm 04 , 0 N N N N N 4 3 2 1 0      Höchstmaß:   mm 3 , 0 G G G G P 4 u 3 u 2 u 1 o O      Mindestmaß:   mm 0 G G G G P 4 o 3 o 2 o 1 u U      Toleranzfeld: mm 3 , 0 T A  Schließmaß: 04 , 0 26 , 0 0 N U P 0 N O P 0 0 04 , 0 N M       zu B) Statistische Kontrollrechnung Toleranzfeld: mm 166 , 0 T T T T T T 2 4 2 3 2 2 2 1 S q       Erwartungswert: mm 15 , 0 x x x x x 4 3 2 1 0      Schließmaß: mm 15 , 0 2 166 , 0 15 , 0 2 T x M 083 , 0 S 0 0       Höchstmaß: mm 233 , 0 P O  Mindestmaß: mm 067 , 0 P U  Erweiterungsfaktor: 8 , 1 T T e S A   zu C) Erweiterung der Einzeltoleranzen (gemäß S. 105) i i i i i i a o oS a u uS t 2 ) 1 e ( G G t 2 ) 1 e ( G G         alte Maßgrenzen neue Maßgrenzen <?page no="223"?> C Fallbeispiele zur Statistischen Tolerierung 211 altes Maß neue Maßgrenzen i i i uSi i oSi N M N G N G    erweiterte Einzelmaße mm 46 , 13 1 , 0 2 1 8 , 1 5 , 13 G 1 uS      mm 64 , 13 1 , 0 2 1 8 , 1 6 , 13 G 1 oS      mm 44 , 0 04 , 0 2 1 8 , 1 46 , 0 G 2 uS      mm 52 , 0 04 , 0 2 1 8 , 1 50 , 0 G 2 oS      mm 33 , 12 12 , 0 2 1 8 , 1 38 , 12 G 3 uS      mm 55 , 12 12 , 0 2 1 8 , 1 5 , 12 G 3 oS      2 4 uS uS G G  2 4 oS oS G G  Zum Beispiel: 5 , 13 04 , 0 5 , 13 46 , 13 14 , 0 5 , 13 64 , 13 5 , 13 N M N G N G i i i uSi i oSi         <?page no="224"?> C Fallbeispiele zur Statistischen Tolerierung 212 Fallbeispiel 5: Die Skizze zeigt eine Situation aus einem ABS-Steuerventil. In einem Bremssystem sind vier Steuerventile in Aktion. Da aber nur ein Behälter mit Bremsflüssigkeit vorgesehen ist, ist von Interesse, welches Flüssigkeitsvolumen mitgeführt werden muss. M = Schließmaß 0 M = 2 + 0,025 3 d = Ø15,4±0,1 3 M = 2,3+0,1 2 M = 34,4+0,1 1 M = 20,4 5 -0,1 d = Ø15,4±0,1 2 3 2 L = 16,4 2 -0,1 L = 12,1+0,2 3 0 1 M = 9,5+0,1 4 Arbeitsprogramm: A) Bestimmen Sie das arithmetische Schließmaß 0 M (als Längenmaß) B) Bestimmen Sie das statistische Schließmaß 0 M C) Bestimmen Sie das Speichervolumen unter arithmetischen Verhältnissen D) Bestimmen Sie das Speichervolumen unter statistischen Verhältnissen <?page no="225"?> C Fallbeispiele zur Statistischen Tolerierung 213 Musterlösung zu Fallbeispiel 5 zu A) Arithmetisches Schließmaß mm 8 , 4 8 , 4 N M 325 , 0 425 , 0 8 , 4 475 , 4 8 , 4 225 , 5 0 N U P 0 N O P 0 0          mit mm 75 , 0 T A  zu B) Statistisches Schließmaß mm 182 , 0 85 , 4 2 T x M mm 364 , 0 T T T S 0 0 2 i a S q         zu C) Speichervolumen unter arithmetischen Verhältnissen 3 min 0 3 max 0 3 2 1 0 mm 12 , 209 . 7 V , mm 70 , 785 . 7 V V V V V      Volumentoleranz 3 VA mm 58 , 576 T  zu D) Speichervolumen unter statistischen Verhältnissen   6 2 3 L 2 3 0 2 3 d 2 3 0 2 2 L 2 2 0 2 2 d 2 2 0 2 0 M 2 0 0 2 1 d 2 1 0 2 0 3 2 3 ´ 2 2 2 0 2 1 3 2 0 3 2 1 0 mm 14 , 189 . 1 s L V s d V s L V s d V s M V s d V s L 4 d L 4 d M 4 d L , L , M , d , d , d f V                                                            mit 2 2 3 L 2 2 3 d 2 2 2 L 2 2 2 d 2 2 0 M 2 2 1 d mm 0044 , 0 s , mm 001 , 0 s , mm 00028 , 0 s , mm 001 , 0 s , mm 00368 , 0 s , mm 00003 , 0 s       <?page no="226"?> C Fallbeispiele zur Statistischen Tolerierung 214 6 2 3 L 2 2 3 2 3 d 2 3 3 2 2 L 2 2 2 2 2 d 2 2 2 2 0 M 2 2 1 2 1 d 2 0 1 2 0 mm 14 , 189 . 1 s 4 d s L 2 d s 4 d s L 2 d s 4 d s M 2 d s                                                        3 o VS 3 0 mm 90 , 206 s 3 2 T mm 48 , 34 s      <?page no="227"?> C Fallbeispiele zur Statistischen Tolerierung 215 Fallbeispiel 6: Im Kapitel 12.7 wurde eine Reibschlussverbindung als Beispiel für ein vielparametriges, nichtlineares Problem dargestellt. In der Praxis geht es bei derartigen Problemen regelmäßig um die Auffindung einer optimalen Lösung. Dies ist heute insbesondere eine Aufgabenstellung des „Tolerance-Designs“ innerhalb von SIX-SIGMA. Hierbei wird ToD mit DoE (Design of Experiments) verknüpft. M t d = 60 F d = 40 0,3 ± d = 60 Ii Ia +0,030 0 +0,060 +0,041 d = 60 Ai d = 100 0,5 ± Aa b = 55 0,3 ± Das Problem optimale maßliche Abstimmung für ein hohes zu übertragendes Drehmoment wird nach S. 146 durch 11 Parameter bestimmt. Für DoE ist dies schon ein „großes“ Problem, bei dem 11 3 = 177.147 Kombinationen *) durchgespielt werden müssten. Um Probleme zu verkleinern, unterscheidet man gemäß dem Block-Bild:  Stellgrößen   i m sind in der Regel nicht variabel, sondern können aus dem Kenntnisstand über das Problem sofort richtig bzw. innerhalb der vorgegebenen Restriktionen eingestellt werden.  Steuergrößen   i z können meist frei spezifiziert werden, und zwar so, bis die Wirkungsfunktion den gewünschten Optimalwert erreicht. Falls die Steuergrößen direkten Einfluss auf die Herstellkosten haben, sind große Toleranzen anzustreben. *) Anmerkung:   n 3 bedeutet drei Einstellungen   o o u G , N , G bei jedem Parameter. Wirkung y y = f (x i , z i ) Stellgrößen m i Steuergrößen z i Störgrößen x i <?page no="228"?> C Fallbeispiele zur Statistischen Tolerierung 216  Störgrößen   i x lassen sich in der Realität nicht oder nur sehr schwer beeinflussen. Sie erzeugen regelmäßig Abweichungen von der Soll-Wirkungsgröße und verursachen somit einen Qualitätsverlust. Unter den 11 Parametern können insgesamt nur 4 Steuergrößen (auf den Stufen o u G , G ) ausgemacht werden. Diese sind: Maß phys. Größe unter Stufe (-) obere Stufe (+) 1 M a I d [mm] 60,041 60,060 2 M i A d [mm] 60,000 60,030 3 M a A d [mm] 99,500 100,500 4 M b[mm] 54,700 55,300 Mittels DoE kann die optimale Parameterkonstellation über einen Standardversuchsplan ermittelt werden. Bei dem vorliegenden nichtlinearen Problem müsste insofern ein 4 3 -Plan mit 81 Kombinationen (sprich Versuchen) bearbeitet werden. Innerhalb des Tolerance- Designs geht es aber nur um das „Aussieben“ der hinsichtlich der Wirkung wesentlichen Parameter. Dies wird gewöhnlich mit so genannten Screening-Plänen probiert. Hiernach könnte ein vollfaktorieller Versuchsplan 4 2 mit einem Umfang von 16 Versuchen bzw. simultanen Kombinationen zur Bestimmung der Bedeutung der Parameter und deren gegenseitige Beeinflussung (Wechselwirkung) herangezogen werden. Das zu analysierende Problem weist aber die Besonderheit auf, dass mit Sicherheit der Parameter 4 M = b unabhängig von den Parametern, 1 M , 2 M und 3 M ist. Genau dann kann ein kleinerer 1 4 2  -Teilfaktorenplan *) mit einem Umfang von 8 Versuchen die gleichen Informationen wie ein vollfaktorieller Plan erbringen. Der entsprechende Plan lautete: Exp. HW 1 M HW 2 M HW 3 M (1,3-WW) 4 M   m t N / M y  1 - - - - 1.122,99 2 + - - + 1.796,99 3 - + - + 90,49 4 + + - - 743,64 5 - - + + 1.148,16 6 + - + - 1.797,61 7 - + + - 90,53 8 + + + + 760,32 Die erste Erkenntnis aus den durchgeführten Variationen ist, dass die Wirkungsfunktion maximal wird, wenn die folgenden Parametereinstellungen vorliegen: *) Anmerkung: In Versuchsplänen existieren Hauptwirkungs- (HW) und Wechselwirkungsspalten (WW), wenn keine Wechselwirkungen vorliegen, kann die Spalte auch mit einer HW belegt werden. <?page no="229"?> C Fallbeispiele zur Statistischen Tolerierung 217 , G d M , G d M 2 u i A 2 1 o a I 1     . G b M , G d M 4 u 4 3 o a A 3     Des Weiteren kann aus den Einstellungen auch der Effekt oder die „Stärke“ jedes Parameters auf die Wirkungsfunktion bestimmt werden. Die Effekte berechnen sich zufolge     n 1 i i y ) Vorzeichen ( n 2 Effekt mit n = Versuchsumfang Nm 64 , 044 . 1 8 y y y y y y y y 2 E Nm 26 , 661 8 y y y y y y y y 2 E 8 7 6 5 4 3 2 1 2 M 8 7 6 5 4 3 2 1 1 M                              bzw. entsprechend , Nm 64 , 044 . 1 E , Nm 26 , 661 E 2 M 1 M    . Nm 29 , 10 E , Nm 61 , 10 E 4 M 3 M   Hieraus folgt maßgeblich für das Problem ein hohes Drehmoment zu erzeugen sind die Parameter 2 M und 1 M , während 3 M und 4 M völlig ohne Bedeutung sind. Dies lässt sich auch eindrucksvoll in einem Effektediagramm darstellen. 0 -200 -400 -600 -800 -1000 200 400 600 800 M 3 (-1044,66 Nm) (10,61Nm) (10,29 Nm) Effekt auf das Reibmoment Parameter + (= verstärkend) - (= abschwächend) Bild: Auswertung der Parameterbedeutung <?page no="230"?> D Einige Softwareprogramme zur Tolerierung 218 D Einige Softwareprogramme zur Tolerierung 1. 3DCS Analyst: 3-D-Toleranzsimulation und Fertigungsprozessanalyse www.cenit.de/ 3DCS 3DCS ist für die 3-D-Toleranzanalysen in der deutschen Automobil- und Luftfahrtindustrie weit verbreitet. 3DCS ermöglicht neben den üblichen Toleranzanalysen auch die Simulation und Analyse der Fertigungsprozesse hinsichtlich der zu erwartenden Qualität und Funktionssicherheit. Hierzu werden neben den Bauteiltoleranzen auch die Einflüsse der Fertigungs- und Montageprozesse mit allen Einstellvorgängen und eingesetzten Betriebsmittel simuliert. Besondere Produktmerkmale sind:  verfügbar als Standalone Lösung oder in integriert in CATIA V5,  Toleranzanalysen über die Methode der Monte-Carlo-Simulation, über linearisierte Gleichungsmodelle, sowie Worst-Case Analysen,  Beitragsleister- und Sensitivitätsanalyse,  Toleranzoptimierung mittels der Toleranzsynthese,  Simulation von komplexen kinematischen Baugruppen,  Berücksichtigung von flexiblen Bauteilen und Temperaturausdehnungen über die Integration der FEM mit Kopplungen zu Nastran, Abaqus und Ansys,  Nutzung von realen Messdaten für die Toleranz- und Beitragsleisteranalyse,  grafische Animation der Toleranzlagen und des Montageprozesses,  Specification Study zur schnellen Darstellung von Grenzlagenmodellen,  Übernahme der CATIA FTA Toleranzen in der integrierten Version,  Excel-Kopplung zum Ex- und Import von Toleranzdefinitionen,  Berechnungen im Batch-Modus möglich. Über die Integration der FEM werden auch Einflüsse durch Einspannen, Schweißen, Schrauben, Nieten, Entspannen sowie die Blechrückfederung berücksichtigt. 2. TOL1/ TOL2 : Toleranzprogramme für Konstrukteure Fa. Hexagon Industriesoftware, Kirchheim/ Teck www.hexagon.de/ tol_d.htm Mit TOL1 können Bauteilmerkmale ausgelegt und mit TOL2 der Zusammenbau von Baugruppen simuliert werden. Die Einschränkung ist, dass nur normalverteilte Maße verarbeitet werden können. Insofern ist diese Software nur für die Simulation einer Serienfertigung geeignet, womit die Anwendungsbreite sehr eingeschränkt ist. Nicht sehr ansprechend ist die Maßeingabe gelöst, die eine vom gängigen Formalismus abweichende Konvention benutzt, welches eine unnötige Fehlerquelle darstellt. 3. Tolerance Designer : Tolerierung von Maßen und Maßketten Fa. TEQ, Chemnitz www.teq.de/ chemnitz/ tol-desg.htm Das Programm Tolerance Designer bietet vielfältige Möglichkeiten zur Toleranzanalyse im Maschinen- und Fahrzeugbau. Herauszustellen sind die alternativen Eingabemöglichkeiten (Abmaße, Passungen, Histogramme) sowie das breite Spektrum an Verteilungen, welches Normalverteilung, Rechteckverteilung, Dreickverteilung, Beta- und Gamma-Verteilung, Exponentialverteilung und Weibull-Verteilung umfasst. Hiermit kann ein weites Spektrum an mechanischen und elektrotechnischen Tolerierungsfällen in Klein- und Großserie abgedeckt werden. <?page no="231"?> D Einige Softwareprogramme zur Tolerierung 219 4. VisVSA: 3-D-Toleranzsimulation www.vsa-ing.com oder www.ttc3.com Die VSA-Software ist die wohl älteste Rechnerlösung zur Statistischen Tolerierung und in der amerikanischen, europäischen und deutschen Automobilindustrie weit verbreitet. Während die Ursprungsidee nur darin bestand, die Toleranz- und Montagesimulation in einem 2-D-CAD-System zu verknüpfen, ermöglicht der heute verfügbare VisVSA-Stand eine vollständige 3-D-Toleranzsimulation. VisVSA definiert damit einen Stand, den bisher keine andere Software erreicht. Das Programmpaket ermöglicht es, in allen Phasen des Produktentstehungsprozesses die Einflüsse von Fertigungstoleranzen und Zusammenbaueffekten (Fügefolge, Betriebsmittel etc.) auf einzelne Qualitätsmerkmale zu untersuchen. Zum Leistungsspektrum von VISVSA gehören:  Abbildung 3-dimensionaler Geometrieeffekte,  Simulation komplexer kinematischer Zusammenhänge,  Simulation und Handhabung großer Analysemodelle (z. B. vollständige Karosserien),  Koppelung von Toleranzsimulationen mit Ergebnissen aus FEM-Analysen,  Rückführung realer Messdaten,  nominale und toleranzbehaftete Kollisionsuntersuchungen und  umfangreiche Lösungen zur Visualisierung, Animation und Dokumentation. Bisher ist die volle Funktionalität aber nur im Zusammenwirken mit den CAE-Paketen I-DEAS und MSC.Nastran geben. An weiteren Integrationen (z. B. CATIA) wird gearbeitet. 5. VALISYS - Assembly: Montagesimulation Fa. TECNOMATRIX, Frankfurt www.valisys.com Das VALISYS-Paket besteht aus neun Einzelmodulen, die gewöhnlich in CAD/ CAM-Systeme integriert werden. Für die Tolerierung stehen die Module VALISYS/ DESIGN, GD+T sowie ASSEMBLY zur Verfügung. Als Kernmodul ist hier sicherlich ASSEMBLY herauszustellen, mit dem Montagepläne erstellt und von dieser Struktur ausgehend dann statistische Toleranzsimulationen mit normalverteilten Maßen durchgeführt werden können. 6. PROTOBE: Toleranzprogramm für Konstrukteure Haumaier-GmbH@t-online.de Das Programm PROTOBE versteht sich als Tolerierungsprogramm für Konstrukteure bzw. Werkzeugbauer und deckt die Toleranzanalyse und -optimierung von der Konzeptphase bis zum Serienanlauf ab. Die Berechnung des Schließmaßes erfolgt auf der Vorgabe von Simulationsverteilungen (Rechteck-, Dreieck-, Trapez- und Normalverteilung). Als Erweiterung kann das Programm auch Form- und Lagetoleranzen (Betragsnormal-Verteilung, Rayheigh-Verteilung) simulieren. 7. Convolution Builder harald.friedl@zf-group.de Fa. ZF Lemförder Fahrwerktechnik AG & Co. KG, Lemförde Ein in der Praxis weit bekanntes Programm stellt die Realisierung „Convolution Builder“ dar. Das Programm ist vor vielen Jahren in der Konstruktionsumgebung von Pkw-Fahrwerken entstanden und wird kontinuierlich weiterentwickelt. Insofern zeichnet sich das Programm durch eine große Vollständigkeit hinsichtlich Verteilungen und QS-Dokumentation aus und berücksichtigt auch Form- und Lagetoleranzen. Hervorzuheben ist die gute Dokumentation mit Beispielen, welches die Anwendung erleichtert. <?page no="232"?> E Literatur 220 E Literatur / AUT 01/ Autorenkollektiv: Anwendung der Normen über Form- und Lagetoleranzen in der Praxis DIN-Normenheft 7, Beuth-Verlag, Berlin 2001 / BEC 01/ Becker, N.; Hüster, T.: Statistische Tolerierung von Serienbauteilen Studienarbeit, Universität Gesamthochschule Kassel, 2001 / BOH 98/ Bohn, M.: Toleranzmanagement im Entwicklungsprozess - Reduzierung der Auswirkungen von Toleranzen auf Zusammenbauten der Automobil-Karosserie Dissertation, Universität Karlsruhe, 1998 / BRO 95/ Bronstein, Semendajew; Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik Frankfurt am Main, Deutsch 2. Aufl., 1995 / HAR 00/ Harry, M.; Schroeder, R.: SIX SIGMA Campus Verlag, Frankfurt - New York 2000 / HEN 11/ Henzold, G.: Form und Lage Beuth-Verlag, Berlin, 3. Aufl., 2011 / HER 94/ Hering, E.; Triemel, J.; Blank, H.-P.: Qualitätssicherung für Ingenieure VDI-Verlag, Düsseldorf 1994 / JOR 01/ Jorden, W.; Schütte, W: Form- und Lagetoleranzen Hanser-Verlag, München, 8. Aufl., 2014 / KLE 93a/ Klein, B.: Prozessgerechtere Konstruktion von Bauteilen durch statistische Tolerierung Konstruktion, 25 (1993) 5, S. 176-184 / KLE 93b/ Klein, B.: Volumenorientierung - Der Einsatz von Gummidichtelementen Technica, 42 (1993) 22, S. 25-28 / KLE 94a/ Klein, B.: Mit statistischer Tolerierung die Herstellkosten senken Konstruktion, 46 (1994) 12, S. 405-410 / KLE 94b/ Klein, B.; Li, Z.: Statistisches Toleranzmodell mit approximierender Gesamtdichtefunktion Qualität und Zuverlässigkeit, 39 (1994) 10, S. 1127-1132 <?page no="233"?> E Literatur 221 / KLE15/ Klein, B.: Toleranzdesign im Maschinen- und Fahrzeugbau De Gryter-Oldenbourg Verlag, München, 3. Aufl., 2015 / KLE 99/ Klein, B.: Montagesimulation in der virtuellen Produktentwicklung Automobiltechnische Zeitschrift 101 (1999) 7/ 8, S. 492-499 / LEH 00/ Lehn, J.; Wegmann, H.: Einführung in die Statistik Teubner-Verlag, Stuttgart - Leipzig 2000 / LIU 97/ Lui, S. C., Hu, S. J.: Variation Simulation for Deformable Sheet Metal Assemblies Using Finite Element Methods Journal of Manufacturing Science Engineering - Transactions of ASME, 1997, Vol. 119 / MAG 01/ Magnusson, K.; Kroslid, D.; Bergman, B.: Six Sigma umsetzen Hanser-Verlag, München - Wien 2001 / MEY 13/ Meyer, B.-R.; Falke, D.: Maßhaltige Kunststoff-Formteile Hanser-Verlag, München 2013 / NUS 98/ Nusswald, M. Fertigung von Produkten mit Maßkettenoptimierung nach Kosten und Durchlaufzeiten Dissertation, Universität Dortmund 1998 / PAP 97/ Papula, L.: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Vieweg-Verlag, Braunschweig - Wiesbaden 1997 / PFA 68/ Pfanzagl, J.: Allgemeine Methodenlehre der Statistik Verlag Gruyter, Berlin 1968 / STA 96/ Starke,: L. Toleranzen, Passungen und Oberflächengüte in der Kunststofftechnik Hanser-Verlag, München 1996 / STR 92/ Streinz, H.; Hausberger, H.; Anghel, C.: Unsymmetriegrößen erster und zweiter Art richtig auswerten Qualität und Zuverlässigkeit 37 (1992) 12, S. 755-758 / SZY 93/ Szyminski, S.: Toleranzen und Passungen Vieweg-Verlag, Braunschweig - Wiesbaden 1993 <?page no="234"?> E Literatur 222 / TAG 89/ Taguchi, G.: Einführung in Quality Engineering qfmt - Gesellschaft für Management und Technologie-Verlag, München 1989 / TAV 91/ Tavangarian, D. (Hrsg.): Simulationstechnik Tagungsband, 7. Symposium in Hagen, Vieweg-Verlag, Wiesbaden 1991 / TGL 19115/ Berechnung von Maß- und Toleranzketten Wahrscheinlichkeitstheoretische Methode ehem. Verlag für Standardisierung, Leipzig 1983 / TRU 97/ Trumpold, H.; Beck, Ch.; Richter, G.: Toleranzsysteme und Toleranzdesign Hanser-Verlag, München 1997 / VDA 86/ Autorenkollektiv: Qualitätsmanagement in der Automobilindustrie - Sicherung der Qualität vor Serieneinsatz VDA, Bd. 4/ 2. Auflage, Frankfurt 1986 / VDI 2247/ VDI 2247 (zurückgezogen): Qualitätsmanagement in der Produktentwicklung VDI-Verlag, Düsseldorf 1994 / VDI 2620/ VDE/ VDI 2620: Fortpflanzung von Fehlergrenzen bei Messungen Beuth-Verlag, Berlin 1998 / WOM 97/ Womack, J. P.; Jones, D. T.; Roos, D.: Die zweite Revolution in der Autoindustrie Heyne-Verlag, München 1997 / ZÄH 03/ Zäh, M. F.; Carnevale, M.: Toleranzanalyse nachgiebiger Bauteile: Simulation zur Qualitätserhöhung im Produktentstehungsprozess wt-online, Springer VDI Verlag, 09-2003, Seite 614. Firmendruckschriften / BOS 85/ N. N.: Technische Statistik (SPC) Bd. 6 Qualitätssicherung in der Bosch-Gruppe Fa. R. Bosch, Stuttgart 1985 / BOS 93/ N.N.: Statistische Tolerierung Bd. 5 Qualitätssicherung in der Bosch-Gruppe Fa. R. Bosch, Stuttgart 1993 <?page no="235"?> E Literatur 223 / FOR 85/ N.N.: Statistische Prozessregelung - Leitfaden Fa. Ford, Köln 1985 / LEM 90/ Friedel, H.: Statistische Tolerierung Lemförder Metallwaren, Lemförde 1990 / MER 91/ N.N.: Statistische Prozeßregelung (SPC) - Planen, Einführen, Betreiben Mercedes Benz AG, Stuttgart 1991 / NEU 93/ Neupert, F.: Statistische Toleranzbestimmung von Maßketten Schulungsunterlage der VW AG, Wolfsburg 1993 Ergänzende DIN EN ISO-Normen / ISO 286/ DIN EN ISO 286: ISO-Toleranzsystem für Längenmaße Beuth-Verlag, Berlin 2010 / ISO 1101/ DIN EN ISO 1101: Geometrische Produktspezifikation - Geometrische Tolerierung - Tolerierung von Form, Richtung, Ort und Lauf Beuth-Verlag, Berlin 2017 / ISO 14405/ Geometrische Produktspezifikation, T. 1: Lineare Größenmaße, T. 2: Andere Maße, T. 3: Winkelgrößenmaße Beuth-Verlag, Berlin 2016 / ISO 5458/ Geometrische Produktspezifikation - Positions- und Mustertolerierung Beuth-Verlag, Berlin 2016 / ISO 5459/ DIN EN ISO 5459: Geometrische Produktspezifikation - Bezüge und Bezugssysteme Beuth-Verlag, Berlin 2016 / ISO 8015/ DIN EN ISO 8015: Geometriche Produktspezifikation - Grundlagen, Konzepte, Prinzipien, Regeln (Unabhängigkeitsprinzip) Beuth-Verlag, Berlin 2011 / ISO 14660/ DIN EN ISO 14660: Geometrieelemente (GPS), Teil 1: Grundbegriffe und Definitionen Beuth-Verlag, Berlin 1999 / DIN 7167/ DIN 7167 (Hüllbedingung zurückgezogen): Zusammenhang zwischen Maß-, Form- und der Parallelitätstoleranz Beuth-Verlag, Berlin 1987 <?page no="236"?> E Literatur 224 / DIN 7186/ DIN 7186, Blatt 1 (zurückgezogen): Statistische Tolerierung - Begriffe, Anwendungsrichtlinien und Zeichnungsangaben Beuth-Verlag, Berlin 1974 Blatt 2 (zurückgezogen): Statistische Tolerierung - Grundlagen für Rechenverfahren Beuth-Verlag, Berlin 1980 / DIN 16901/ DIN 16901(zurückgezogen, neu DIN 16742): Kunststoff - Formteile - Toleranzen und Abnahmebedingungen für Längenmaße Beuth-Verlag, Berlin 1982 / DIN 16742/ DIN 16742: Kunststoff-Formteile - Toleranzen und Abnahmebedingungen Beuth-Verlag, Berlin 2013 / DIN 16749/ DIN 16749 (ersatzlos zurückgezogen): Presswerkzeuge und Spritzgusswerkzeuge - Maßtoleranzen für formgebende Werkzeugteile Beuth-Verlag, Berlin 1986 / DIN 32950/ DIN V 32950: Geometrische Produktspezifikation (GPS) - Übersicht Beuth-Verlag, Berlin 1997 / ISO 21747/ DIN ISO 21747: (zurückgezogen) Statistische Verfahren - Prozessleistungs- und Prozessfähigkeitskenngrößen Beuth-Verlag, Berlin 2007 / ISO 22514/ Statistische Methoden im Prozessmanagement - Fähigkeit und Leistung Beuth-Verlag, Berlin 2014 Amerikanische Tolerierungsnorm / ASME 09/ ASME Y14.5 - 2009: Bemaßung und Tolerierung - Verfahren für technische Zeichnungen und zugehörige Dokumentationen Deutsche Übersetzung von S. Rust, Beuth-Verlag, Berlin <?page no="237"?> F Stichwortverzeichnis 225 F Stichwortverzeichnis A Abfüllanlage 17 Ableitungen, partielle 133 Abmaß 13 Abmaßbestimmung 106 Abweichungsfortpflanzungsgesetz 14, 26, 41, 150 ANOVA 78 Arbeitsbogen 96 ASME 2 Assoziativgesetz 33 Autoseitenfenster 74 B Bahnhofsuhr 165 Baugruppe 122 Beitragsleister 48 Betragsnormalverteilung 54 C C pk 88, 89, 91 C m 86 CNC 90 C p 88 D DFMA 3 Dichtefunktion 21, 80 DIN 7186 2, 125 Distanzhülse 125 Distanzscheiben 31 DMU 3 DoE 3 Dreiecksverteilung 19, 40 E Effektivitätstoleranz 117 Einflüsse, systematische 4 Einflussgrößen 4 Eingriffsgrenzen 85 Entfeinerung 5, 68 Erwartungswert 16, 41, 43, 45 Erweiterungsfaktor 65, 140, 152 F F+L-Toleranzen 53 Faltprodukt 33, 34, 37, 62 Faltung 33, 34 Fehleranteil 67 Fehlerfortpflanzungsgesetz 26 Fertigung, wirtschaftliche 3 Fertigungsstreuung 103, 109 Fertigungsverteilung 66 Fisher-Wert 78 Form-/ Lagetoleranz 52, 123 Formteile 159 Freiheitsgrad 78 Fünf Ms 1 Funktionsspiel 56 Funktionstoleranz 69, 104 G Gauß, C. F. 14, 19, 22, 24 Genauigkeitsindex 91 Gesamttoleranz 110 Gesamtvarianz 145 Gesamtverlust 76 Getriebe 92 Glockenkurve 34 Grenzwert 16 Grenzwertsatz 31 Grundgesamtheit 31 Grundprobleme 35 H Häufigkeit 4, 15 Häufigkeitsverteilung 18, 94 Herstellertoleranz 76 Herstellkosten 74 Höchstschließmaß 12 I Idealgestalt 7 Intervalle 18 ISO 9000 91 Istmaß 7 K Klassen 19 Klassenhäufigkeit 19 Kommutativgesetz 33 Kontrollrechnung 117 Kostenspirale 5 Kundentoleranz 75 Kunststofftechnik 159 <?page no="238"?> F Stichwortverzeichnis 226 L Langzeit-Prozessfähigkeit 84 Laufrolle 119 Leitwerte 28 Lkw-Vorgelege 10 M Maschinenfähigkeit 83 Maßabweichung 161 Maße, theoretisch genaue 140 Maßfunktion 27 Maßkette 8, 25, 93 Maßkettengleichung 60, 116 Maßplan 9, 11, 60, 114, 143, 148 Maßungenauigkeiten 159 Messmittel 91 Messmittelfähigkeit 5 Messwert 18 Mindestschließmaß 12 Mittelwert 16 Mittelwertauswertung 78 Mittelwertsatz 25 Mittelwert-Zielwert-Einstellung 82 Montage 69 Montagesicherheit 5 Montagesimulation 65, 92 Montagesituation 59 Münzwurf 15 N Nacharbeit 72 Nennschließmaß 12, 60 Nennwert 16 Normalverteilung 22, 43, 47, 51, 79 Normalverteilung, standardisierte 66 Normteile 65 Nullfehlerstrategie 72 O Ohm’sche Widerstandsschaltung 142 P Positionstolerierung 136 Prävention 5 Presspassung 100 Produktionsdaten 77 Produktionsprozess 1 Produktspezifizierung 6 Prozessfähigkeit 69, 88 Prozessfähigkeitsindex 35 Prozessfähigkeitsindizes 87 Prozessfähigkeitsuntersuchung 84 Prozessgrößen 162 Prozessgüte 86 Prozesslenkung 4, 86 Prozesspotenzial 86 Prozessstreubreite, relative 87 Prozessstufen 83 Q Qualitätsmerkmal 87 Qualitätsphilosophie 71 Qualitätsregelkarte 84 Qualitätsverlust 71 Qualitätsverlustfunktion 73, 82 Quality Engineering 3 R Rechteckverteilung 19, 36 Reduktionsfaktor 64, 134, 139, 152 Reibschlussverbindung 153 robust design 71 S Satz von Pythagoras 27 Schließmaß 8, 9, 13 Schließmaßtoleranz 112 Schließtoleranz 8 Schließtoleranz, quadratische 63 Schubkurbelgetriebe 147 Schwindung 161 Schwindungsstreuung 162 Sensitivität 48 Serienfertigung 82 Signifikanz 78 Signifikanzniveau 79 Simulation 93, 94 SIX-SIGMA 24 Sollmaß 6, 49 Sollwert 74 Spezifikationsgrenze 86 Spiel 10, 49 Spielpassung 107 Spritzguss 160 Standardabweichung 16, 22 Statistik 4 Stichprobe 17, 77 Stochastik 14 Strafffunktion 72 Straßenleuchte 163 Streuungsauswertung 78 Streuungsreduzierung 82 <?page no="239"?> F Stichwortverzeichnis 227 Summenfunktion 21, 38 T Taguchi 74 Toleranzanalyse 9 Toleranzdesign 71 Toleranzerweiterung 105 Toleranzfeld 7, 71, 160 Toleranzkennzeichnung 127 Toleranzraum 32 Toleranzreduktion 64, 94 Toleranzsimulation 5 Toleranzsynthese 9 Toleranzzonen 7 Transformation 22 Trapezverteilung 19 U Übertragungsfunktion 147 Überwachung 89 Umwelteinflüsse 160 V Varianz 17, 26, 29 Verarbeitungsschwindung 161, 163 Verteilung 19, 20 Verteilungsdichte 33 Verteilungsfunktion 21, 22 Verteilungsmittelwert 37 Verzehnfachungsregel 5 Volumentolerierung 130 W Wahrscheinlichkeit 14, 21 Wahrscheinlichkeitsdichte 22, 38 Warngrenzen 85 Wellenzapfen 18 Wendepunkt 22 Werkzeugtoleranz 162 Werkzeugverschleiß 19 worst case 9, 37 Würfelexperiment 31 Z Zählrichtung 11 Zentralwert 127 Zielgröße 133 Zielwerteinstellung 73 Zufallsvariable 14 Zweipunktmessung 7 <?page no="240"?> Prof. em. Dr.-Ing. Bernd Klein P: \AK\DIG\u1\u1gr jpg Wertanalyse-Praxis für Konstrukteure Ein effizientes Werkzeug für die Produktentwicklung 2., neu bearb. Aufl. 2017, ca. 210 S., ca. 39,80 €, 52,00 CHF (Reihe Technik) ISBN 978-3-8169-3408-0 Zum Buch: Das Buch zeigt die Theorie und Praxis der Wertanalyse im Konstruktions- und »Fabrikprozess«. Es wird die Vorgehensweise nach den neuesten DIN-Normen sowie den VDI-Richtlinien des VDI-Wertanalyse-Zentrums dargestellt. Neben einfachen Leitbeispielen werden WA und einige ergänzende Hilfstechniken anhand von drei umfangreicheren Fallstudien aus der Industrie eingeübt. Inhalt: Vorgeschichte - Perspektiven der WA-Anwendung - Chancen mit WA - Einsatzfelder von WA - Notwendigkeiten für WA-Arbeit - WA-Moderation - Das System »Wertanalyse« - Funktionen - Schwerpunktbildungen - Kundenforderungen erfüllen - Zielgerichtete Kostensenkung - Zielbezogene WA-Arbeitspläne - Leitbeispiel Produkt-WA - WA-Arbeitsplan-Struktur - Kurzkalkulationsverfahren - Reverse Engineering und Benchmarking - Zusammenwirken WA mit QE-Strategien - Gemeinkosten- Wertanalyse - Anwendung kreativer Techniken - WA-Einführung im Unternehmen - Anhang: Unterstützende Arbeitstechniken, Fallstudien Die Interessenten: Das Buch wendet sich an Industriepraktiker (Designer, Konstrukteure, Fertigungsplaner) und Studierende technischer Fachrichtungen, die in einer kompakten Darstellung gesicherte Kenntnisse über Wertanalyse erwerben möchten. Rezensionen: »Kompakt und verständlich! « .......... MM MaschinenMarkt Der Autor: Univ.-Prof. em. Dr.-Ing. Bernd Klein war 28 Jahre lang Leiter des Fachgebietes für Leichtbau- Konstruktion an der Universität Kassel. Seine Arbeitsgebiete waren Konstruktiver Leichtbau, FEM, Konstruktionsmethodik und Betriebsfestigkeit. Er verfügt über zwölf Jahre Erfahrung im Maschinen- und Fahrzeugbau und ist seit 32 Jahren in der beruflichen Weiterbildung engagiert. Über fünfzehn Jahre leitete er den Arbeitskreis E&K beim VDI und war sieben Jahre Vorsitzender des VDI-Nordhessen. Blätterbare Leseprobe und einfache Bestellung unter: www.expertverlag.de/ 3408 Bestellhotline: Tel: 07159 / 92 65-0 • Fax: -20 E-Mail: expert@expertverlag.de <?page no="241"?> Prof. Dr.-Ing. Bernd Klein P: \AK\DIG\u1\ Bemaßung und Tolerierung von Kunststoff-Bauteilen Maße und Abmaße - Form- und Lagetoleranzen - Tolerierungsprinzipien - Werkzeug und Prozess - Maßketten am Teil - Qualitätsfähigkeit sichern 3., akt. u. erw. Aufl. 2017, 353 S., 350 Abb., 69,80 €, 86,00 CHF (Reihe Technik) ISBN 978-3-8169-3407-3 Zum Buch: Die Ausbildung von Ingenieuren und Technikern hat normalerweise ihren Schwerpunkt in der Gestaltung, Auslegung und Berechnung von Konstruktionen aus Metallen. Darüber hinaus haben natürlich Kunststoffe einen festen Platz gefunden, weil sich bestimmte Anwendungen eben besser mit synthetischen Werkstoffen abdecken lassen. Viele Anwender tun sich aber schwer mit Kunststoffen, weil sie deren Verhalten nicht richtig einschätzen können. So können sich die Kurzzeit-, Langzeit- und Betriebseigenschaften von Kunststoffen ändern durch Belastung, Temperatur und Zeit, Technoklima (Quellen, Alterung, Versprödung), Kriechen und Relaxation sowie durch Verarbeitungsbedingungen und den Formgebungsprozess. Diese Faktoren wirken sich auf die Belastbarkeit sowie die Maß- und Geometriehaltigkeit aus. Das Buch zeigt diese Zusammenhänge auf, wobei der besondere Fokus auf den Maß- und Winkelveränderungen sowie den Form- und Lageveränderungen am Produkt liegt. Die gezeigten Tolerierungsfälle berücksichtigen den aktuellen Stand der DIN EN ISO-Normung. Die Interessenten: Ingenieure, Konstrukteure und Techniker in Entwicklung und Produktion aller produzierenden Branchen sowie Qualitätsbeauftragte und Prüfingenieure. Rezensionen: »Das Studium des Buches benötigt keine Vorkenntnisse und entwickelt schrittweise das notwendige Wissen für Konstrukteure, um Kunststoffformteile sicher und wirtschaftlich auslegen zu können.« maschinenbau - Das Schweizer Industriemagazin »Das Buch ist für Ingenieure und Techniker gedacht, die bislang bei Konstruktionen eher auf den Werkstoff Metall gesetzt haben und eine Einführung in das Verhalten von Kunststoffen suchen. Das Buch erklärt die Zusammenhänge, wobei der besondere Schwerpunkt auf den Maß- und Winkelveränderungen sowie den Form- und Lageveränderungen am Produkt liegt.« GAK - Gummi - Fasern - Kunststoffe Der Autor: Univ.-Prof. em. Dr.-Ing. Bernd Klein war 28 Jahre lang Leiter des Fachgebietes für Leichtbau- Konstruktion an der Universität Kassel. Seine Arbeitsgebiete waren Konstruktiver Leichtbau, FEM, Konstruktionsmethodik und Betriebsfestigkeit. Er verfügt über zwölf Jahre Erfahrung im Maschinen- und Fahrzeugbau und ist seit 32 Jahren in der beruflichen Weiterbildung engagiert. Über fünfzehn Jahre leitete er den Arbeitskreis E&K beim VDI und war sieben Jahre Vorsitzender des VDI-Nordhessen. Darüber hinaus hat er in Normenausschüssen mitgearbeitet. Blätterbare Leseprobe und einfache Bestellung unter: www.expertverlag.de/ 3407 Bestellhotline: Tel: 07159 / 92 65-0 • Fax: -20 E-Mail: expert@expertverlag.de <?page no="242"?> Prof. D QFD Dep 2., verb. CD-ROM (Edition e ISBN 97 Zum Buc Das Buch deren Ziel und wirtsc auf QFD ( ist, Kunde ausschließ Anhand v Entwicklun dazu ist d Marketingintegrierten dargestellt Erfolg ang 6.1 und Q werden. Inhalt: Japanisch als Untern Produktpla Erfassung Target-Co - QFD zu bliche D Umsetzun - Fallbeisp Die Intere Zielgruppe - Marketin - Designe - Fertigun aber auch - Geschäf Der Auto Prof. Dr.-In sowie Betr an Techni tätigkeit he Dr.-Ing. B D - Q ploym u. erw. Au M, 54,00 €, expertsoft, 8-3-8169-3 ch: h gibt einen es ist, Dien chaftlich erfo (technisches enwünsche ßlichen Kund on Beispiele ngsvorgaben das »House - und Kosten n Planung w te Konzept is gewandt. Im QS-9000 ge e Managem nehmensziel anung und von Kunde sting - QFD ur Geschäft ifferenzierun g von QFD - piele essenten: e des Buches ngleiter r, Entwickler gsplaner und ftsführer und or: ng. DI Bernd riebsfestigke ischen Akad ervorgegang ernd Kle Qual ment ufl. 2012, 1 89,50 CH , 87) ) 3088-4 n Überblick nstleistungen olgreich zu m s Entwicklung zu erfassen den-nutzens en wird gez n mit begleit e of Quality« nbestandteile weiterentwic st praktisch e Zusammenehört QFD z mentmethode l - QFD al -entwicklu enwünschen D als integrie tsprozessopt ng - Betr - Softwareei s sind Führu r und Konstru d Qualitätsm Inhaber von d Klein lehrt a eit. Neben se demien. Das en. Viele Un Be Tel: 0715 E-Mail: ex ein ity F t 69 S., 94 A F über die m und Produk machen. Der gsmarketing n, zu bewer im Unterneh zeigt, wie Ku endem Cont « bzw. die e erweitert w ckelt worden erprobt und w -hang mit de zu den Schl n - Kunden s Strategiee ung - Sy n - Benchm rtes Planung timierung - ieblicher N nsatz mit CD ngskräfte un ukteure anagementn Dienstleistu an der Unive einer Hochsc s vorliegende ternehmen n estellhotl 59 / 92 65-0 xpert@expe Func Abb., 5 Ta modernen QM kte effizient z r Schwerpun ), welches e rten und im men umzuse undenforderu trolling umg vierstufige P wird. QFD ist n und schlie wird mittlerw er Höherbew lüsselmethod norientierung element der ystematische marking und gsinstrument Wettbewer- Nutzen und D: LbK_QFD nd Umsetzer, -Beauftragte, ungs- oder P ersität Kasse chultätigkeit is e Buch ist nutzen mittle line: 0 • Fax: -20 ertverlag.de tion b., M-Techniken zu entwickel kt liegt dabe eine Methode m Fokus de etzen. ungen ermit esetzt werde Prozesskask t damit zu ei eßt so alle weile in vielen wertung des den, die als g r e d t d D , und zwar , Produktionsun l die Fächer st er Obman im Wesentli erweile sein Q e n, n ei e s telt, struktur en. Das bekade, welche nem univers Lücken der n Unternehm Qualitätsma s Anwendun nternehmen Leichtbau-K n im VDI/ GP chen aus V QFD-Konzep riert, priorisi -stimmende e um Benc sellen Instrum Produktplan men mit zune anagements ngsnachweis aller Branch Konstruktion, PP sowie Se Vortragsun pt. ert und in Werkzeug hmarking-, ment einer nung. Das ehmendem nach VDA s gefordert en. CAD/ FEM minarleiter d Berater- <?page no="243"?> Dr.-Ing. Frank Mannewitz P: \AK\DIG\u1\u1g jpg Statistische Toleranzberechnung Leitfaden zur systematischen Anwendung 2016, 50 S., 9 Abb., 11 Tab., 19,80 €, 25,80 CHF (Haus der Technik Fachbuch, 141) ISBN 978-3-8169-3344-1 Zum Buch: Vor dem Hintergrund steigender Qualitätsanforderungen an technische Produkte, kürzerer Entwicklungszyklen sowie paralleler Entwicklungsprozesse wird es zunehmend wichtiger, frühzeitig eine Aussage über kritische Einflüsse und Risiken in den Baugruppenfunktionen zu erhalten, um eine eventuelle Fehlerbeseitigung möglichst kostenneutral zu gestalten. Eine Methode - neben den bereits etablierten Simulationsverfahren in der Entwicklung und Konstruktion - ist die statistische Toleranzberechnung. Über die Beispielrechnung an einer Schneckenwellenlagerung zeigt das vorliegende Buch auf, wie eine arithmetische und statistische Toleranzberechnung systematisch durchzuführen ist. Inhalt: Zielsetzung des Leitfadens - Aufgabenstellung - Funktionsmaße an der Schneckenwellenlagerung - Vorzeichen(-richtung) der Funktionsmaße - Arithmetische Toleranzberechnung - Statistische Toleranzberechnung - Statistische Toleranzberechnung an der Schneckenwellenlagerung - Zusammenfassung - Arbeitsschritte - Literatur - Formelzeichen - Formelsammlung - Anhang Die Interessenten: Das vorliegende Buch gibt Ingenieuren, Technikern, technischen Produktdesignern und Studenten kompakt eine systematische Einführung und fundierte Hilfestellung in das Themengebiet der statistischen Toleranzberechnung an die Hand Rezensionen: »Der in der Reihe Haus der Technik Fachbuch erschienene Titel bietet Ingenieuren, Technikern, technischen Produktdesignern und Studenten eine systematische Einführung in das Themengebiet der statistischen Toleranzberechnung.« QZ - Qualität und Zuverlässigkeit Der Autor: Dr.-Ing. Frank Mannewitz (Jahrgang 1961) ist seit über 20 Jahren im Themengebiet der statistischen Toleranzberechnung aktiv. Nach seiner Ausbildung zum Betriebsschlosser bei der Volkswagen AG in Kassel begann er sein Maschinenbaustudium an der Universität Kassel, wo er zunächst mit dem Diplom I abschloss. Nach zwei weiteren Ingenieurstätigkeiten bei der Daimler AG in Stuttgart-Untertürkheim und der WEGU Holding GmbH in Kassel setzte er sein Maschinenbaustudium an der Universität Kassel fort und promovierte dort im Anschluss an sein Diplom II zum Dr.-Ing. im Fachgebiet Leichtbau-Konstruktion. Seit 1995 ist er Geschäftsführer der casim GmbH & Co. KG in Kassel Blätterbare Leseprobe und einfache Bestellung unter: www.expertverlag.de/ 3344 Be Tel: 071 E-Mail: ex estellhot 159 / 92 65xpert@exp tline: 0 • Fax: -20 pertverlag.d 0 de <?page no="244"?> Prof. D Kos Ent und Grundl 3., übera (Kontakt ISBN 97 Zum Buc Der Them kostenopti Grundlage Von Entw Produkte e besser no seiner Tät Anforderun wirtschaftli schaftsleh rechnung. einer koste Inhalt: Wirtschaftl wirtschaftli - Berechn analyse un anteilen - Kosten be ziele und G Die Intere Durch sei Selbststud Maschinen Studenten und Ingen betriebswi Der Auto Prof. Dr.-In Fachgebie REFA-Indu »TAE Tec für Entwic nung für Produktma Dr.-Ing. Pe stenb wick d Kon agen - M arb. Aufl. 2 & Studium 8-3-8169-3 ch: menband füh malen Vorge en für die Ent wicklern, Kon erwartet, die ch übertreffe igkeit gewon ngen zu be iche Optimie re und die Der Theme enoptimalen liches Entw iche Grundla nen der Hers nd Wertgest - Kosten be i der Bewert Gebrauchsw essenten: ine verständ dium und a nbaus, der der Ingenie ieuren im Te rtschaftliche or: ng. Peter W et »Konstrukt ustrial-Engin chnischen Ak ckler und Ko Ingenieure anagement« eter Web bewu keln nstru Methoden 013, 228 S m, 380) 3198-0 hrt Entwickle ehensweise. twicklung un nstrukteuren e in technisch en. Aufgrund nnenen prakt erücksichtige erung der P konkreten F enband schli und erfolgre wickeln und agen für den stellkosten - taltung - Ab ei der Hardw ung von Kon wert dliche und als Nachsch Elektrotechn eurwissensch echnischen M n Aspekte ei Weber, Profes tion und Pro eer und VD kademie Ess onstrukteure« « zählen: , »Grundlage Be Tel: 0715 E-Mail: ex ber usst uiere n - Beisp S., 170 Abb er und Kons Er vermitte d Konstruktio und Produ her und wirts d der spezie tischen Erfah en und in te Produkte feh Fertigkeiten i eßt diese W eichen Produ d Konstruier n Entwickler - Kostensenk schätzen vo ware-Softwar nstruktionen praxisnahe hlagewerk fü nik und der haften und fü Managemen nes effizient ssor an der » duktmanage DI-Wertanalyt slingen« in W «. Zu seinen »Methodisch en der Autom estellhotl 59 / 92 65-0 xpert@expe tes en piele b., 46,00 € strukteure zu elt zudem die on technisch uktplanern in schaftlicher ellen Ausbild hrung ist er echnische F hlen aber h im Verständ Wissenslücke uktentwicklun ren - Bet und Konstru kung durch on Herstellko re-Realisieru - Unternehm Darstellung ür Entwickle r Mechatron ür Autodidak nt bietet das ten Produktm »Hochschule ement« an d tiker, ist unt Weiterbildung n weiteren A hes Entwic matisierungst line: 0 • Fax: -20 ertverlag.de €, 76,00 CH u einer effiz e betriebswir her Produkte n technische Hinsicht die ung des Ent im Allgemein Funktionen u häufig die G dnis und im e und hilft, d ng zu überwin riebsukteur Wertostenung - mensg eignet sic er und Kon ik. Es eigne kten, in Stud Buch die pr managements e Karlsruhe - er Fakultät » ter anderem gsangeboten Arbeitsschwe ckeln und technik mit S e HF zienten, met rtschaftlichen . en Entwicklu gestellten A twicklers/ Kon nen sicher in umzusetzen. Grundkenntn Umgang mi ie Anwendu nden. ch das Buc nstrukteure et sich in b dium und Pra raxisrelevant s. - Technik u »Maschinenb m tätig als L n mit der The rpunkten ne Konstruieren STEP7« und thodischen n und kalkul ungsprojekte Anforderunge nstrukteurs n der Lage, t . Für die n isse der Be it Fragen de ungshürde zu ch hervorrag in Unterneh besonderer axis. Wissen ten Grundlag nd Wirtscha bau und Mec Lehrgangsleit ematik »Kos eben der »Ko n«, »Teamo »SMD-Tech und damit atorischen en werden en erfüllen, und der in technische notwendige etriebswirter Kostenu Gunsten gend zum hmen des Weise für nschaftlern gen für die ft« für das chatronik«, ter an der stenwissen ostenrechorientiertes hnologie«.