<?page no="1"?> Eine Arbeitsgemeinschaft der Verlage Böhlau Verlag · Wien · Köln · Weimar Verlag Barbara Budrich · Opladen · Toronto facultas · Wien Wilhelm Fink · Paderborn Narr Francke Attempto Verlag · Tübingen Haupt Verlag · Bern Verlag Julius Klinkhardt · Bad Heilbrunn Mohr Siebeck · Tübingen Ernst Reinhardt Verlag · München Ferdinand Schöningh · Paderborn Eugen Ulmer Verlag · Stuttgart UVK Verlag · München Vandenhoeck & Ruprecht · Göttingen Waxmann · Münster · New York wbv Publikation · Bielefeld utb 4291 UTB (L) Impressum_19.indd 1 20.02.19 12: 37 45222_Terveer_griffleiste.indd 1 06.09.2019 11: 41: 59 <?page no="2"?> 45222_Terveer_griffleiste.indd 2 06.09.2019 11: 41: 59 <?page no="3"?> Ingolf Terveer Formeln für Mathematik und Statistik Wirtschaftswissenschaften 3., überarbeitete und erweiterte Auflage UVK Verlag · München 45222_Terveer_griffleiste.indd 3 06.09.2019 11: 41: 59 <?page no="4"?> Dr. Ingolf Terveer ist Akademischer Oberrat am Institut für Wirtschaftsinformatik der Westfälischen Wilhelms-Universität Münster. Online-Angebote oder elektronische Ausgaben sind erhältlich unter www.utb-shop.de Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über <http: / / dnb.ddb.de> abrufbar. Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. © UVK Verlag 2019 - ein Unternehmen der Narr Francke Attempto Verlag GmbH & Co. KG Lektorat: Rainer Berger, München Einbandgestaltung: Atelier Reichert, Stuttgart Einbandmotiv: © franckreporter - iStock Druck und Bindung: CPI - Clausen & Bosse, Leck UVK Verlag Nymphenburger Str. 48 80335 München Telefon: 089/ 452174-66 Narr Francke Attempto Verlag GmbH & Co. KG Dischingerweg 5 72070 Tübingen Telefon: 07071/ 9797-0 www.narr.de UTB-Nr. 4291 ISBN 978-3-8252-5222-9 45222_Terveer_griffleiste.indd 4 06.09.2019 11: 41: 59 <?page no="5"?> Inhalt 1 Grundlegende Begriffe 9 1.1 Mengen und Zahlbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Mengenoperationen und -relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Ebene Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Tupel und Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.6 Operationen zwischen Matrizen und Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.7 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 Lineare Gleichungssysteme 19 2.1 LGS und Matrixdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Eliminationsverfahren nach Gauß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3 Lösungsmenge eines LGS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4 Lineare Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3 Vektoren 23 3.1 Linearkombinationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2 Untervektorraum, Basis und Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.3 Skalarprodukt, Norm und Abstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.4 Projektionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4 Matrizen 27 4.1 Regeln für das Rechnen mit Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.2 Quadratische Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.3 Inverse Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.4 Determinanten quadratischer Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.5 Anwendungen der Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.6 Symmetrische Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.7 Definitheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 5 Folgen und Reihen 31 5.1 Folgen in den Wirtschaftswissenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 5.2 Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 5.3 Spezielle Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5.4 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 5.5 Finanzmathematische Folgen und Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 6 Funktionen einer Variable 37 6.1 Allgemeine Sprechweisen und Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . 37 45222_Terveer_griffleiste.indd 5 06.09.2019 11: 41: 59 <?page no="6"?> 6 Inhalt 6.2 Rationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 6.3 Exponentialfunktion, Logarithmus und Potenz . . . . . . . . . . . . . . . 42 6.4 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 6.5 Gamma-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 6.6 Betrag und Betragsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 6.7 Indikatorfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 7 Differentialrechnung 47 7.1 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 7.2 Partielle Ableitung und Differential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 7.3 Ableitungen bei Funktionen einer Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 7.4 Mehrdimensionale Kettenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 7.5 Ableitungsbegriffe auf Grundlage des Differentials . . . . . . . . . . . . . 50 7.6 Homogene Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 7.7 Ableitungen zweiter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 8 Integralrechnung 53 8.1 Stammfunktionen und unbestimmte Integrale . . . . . . . . . . . . . . . 53 8.2 Bestimmte Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 8.3 Mehrfachintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 9 Optimierung differenzierbarer Funktionen 57 9.1 Optimierung ohne Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 9.2 Optimierung mit Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 9.3 Optimierung bei exogenen Parametern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 10 Deskriptive Statistik 61 10.1 Univariate Stichprobe x 1 , . . . , x n ∈ R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 10.2 Bivariate Stichprobe x 1 , . . . , x n , y 1 , . . . , y n ∈ R . . . . . . . . . . . . . . 62 10.3 Multivariate Stichproben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 10.4 Agglomeratives Clustern von n Objekten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 11 Wahrscheinlichkeitsrechnung 65 11.1 Kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 11.2 Regeln für allgemeine Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 11.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . 66 11.4 Zufallsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 11.5 Multivariate Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 11.6 Transformation stetiger Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 11.7 Erwartungswert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 11.8 Verteilungskennzahlen für univariate ZV X . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 11.9 Grenzwertsätze für u.i.v. ZV X 1 , X 2 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 11.10 Kennzahlen multivariater Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 12 Verteilungen 71 12.1 Diskrete univariate Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 12.2 Stetige univariate Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 45222_Terveer_griffleiste.indd 6 06.09.2019 11: 42: 00 <?page no="7"?> Inhalt 7 13 Statistische Tests 81 13.1 Einstichprobentests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 13.1.1 Tests für ein- und zweiseitige Hypothesen . . . . . . . . . . . . . . 82 13.1.2 Tests mit einseitigem Ablehnungsbereich . . . . . . . . . . . . . . 83 13.2 Zweistichprobentests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 13.2.1 Tests für ein- und zweiseitige Hypothesen . . . . . . . . . . . . . . 84 13.2.2 Tests mit einseitigem Ablehnungsbereich . . . . . . . . . . . . . . 86 13.3 Regressionsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 13.3.1 Statistisches Modell der Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 13.3.2 Parameterschätzung und Prognose . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 13.3.3 Streuungszerlegung und Varianzschätzung . . . . . . . . . . . . . 89 13.3.4 Hypothesentests im linearen Regressionsmodell . . . . . . . . . . . 89 13.4 Varianzanalyse mit einem Faktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 13.5 Kovarianzanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 14 Verteilungstabellen 93 14.1 Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung . . . . . . . . . . . . . 93 14.2 Quantile der Standardnormal- und t ( n )-Verteilung . . . . . . . . . . . . . 94 14.3 Quantile der χ 2 ( n )-Verteilung, n ≤ 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 14.4 Quantile der F ( m, n )-Verteilung, n ≤ 500, m ≤ 20 . . . . . . . . . . . . 100 14.5 Quantile w α ( n 1 , n 2 ) der Wilcoxon-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . 117 14.6 Quantile d α ( n ) der Kolmogoroff-Verteilung, einfache Hypothese . . . . . . 121 15 R-Befehle 123 15.1 Objekte und Objekteigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 15.2 Vektoren, Matrizen und Arrays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 15.3 Mathematische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 15.4 Matrixoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 15.5 Numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 15.6 Lineare Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 15.7 Datenerzeugung, -import und -export . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 15.8 Deskriptive Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 15.9 Explorative Statistik, Grafische Illustration . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 15.10 Schließende Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 15.11 Grafikfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 15.12 Programmierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 15.13 Arbeiten mit Paketen, Hilfefunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Symbole und Abkürzungen 129 Das griechische Alphabet 134 Index 135 45222_Terveer_griffleiste.indd 7 06.09.2019 11: 42: 00 <?page no="8"?> 45222_Terveer_griffleiste.indd 8 06.09.2019 11: 42: 00 <?page no="9"?> Mathematik 1 Grundlegende Begriffe 1.1 Mengen und Zahlbereiche Reelle Zahlen sind Definitionsbereich ökonomischer Größen (Preis, Absatz, Produktionsmenge, Gewinn, Kosten,. . . ). Vielfach beschränkt man sich auf positive reelle Zahlen oder ein Teilintervall der positiven reellen Zahlen (den ökonomischen Definitionsbereich). Reelle Zahlen Die grundlegende Zahlenmengen sind N ⊂ N 0 ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R: Name Symbol Beschreibung Natürliche Zahlen N { 1 , 2 , 3 , . . . } N 0 { 0 , 1 , 2 , 3 , . . . } Ganze Zahlen Z { . . . , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , . . . } Rationale Zahlen Q { x : x = p q , p ∈ N 0 , q ∈ N } Reelle Zahlen R Dezimaldarstellung Jede Zahl x ∈ R hat eindeutige Darstellung als Dezimalzahl x = ± ∑ ∞ k = − n a k 10 − k (1.1) mit den Stellen a k ∈ { 0 , . . . , 9 } , wobei 1 ∀ n ∈ N ∃ k ≥ n mit a k = 9. Ganzzahlteil [ x ] = ± ∑ 0 k = − n a k 10 − k x ∈ Q g.d.w. ∃ n 0 , d ∈ N mit a k = a k + d ∀ k ≥ n 0 (periodische Dezimalzahl). x ∈ R heißt abbrechende Dezimalzahl g.d.w. ∃ m ∈ N mit a k = 0 ∀ k > m . Eine Zahl x ∈ R \ Q heißt irrational. Anordnungseigenschaft von R Für x, y ∈ R gilt entweder x < y oder x = y oder y < x (bzw. x > y ). x ≤ y (bzw. y ≥ x ) bedeutet, dass entweder x = y oder x < y gilt. Intervalle 2,3,4 abgeschlossen offen [ a ; b ] : = { x ∈ R : a ≤ x ≤ b } ] a ; b [ : = { x ∈ R : a < x < b } [ a ; ∞ ] : = { x ∈ R : a ≤ x < ∞} ] a ; ∞ [ : = { x ∈ R : a < x < ∞} [ −∞ ; b ] : = { x ∈ R : −∞ < x ≤ b } ] − ∞ ; b [ : = { x ∈ R : −∞ < x < b } ] − ∞ ; ∞ [: = R 0 (Null) zerlegt R in die Bereiche [0; ∞ [ bzw. ] − ∞ ; 0] der positiven bzw. der negativen reellen Zahlen 5 . 1 d.h. Darstellungen, bei denen fast alle Ziffern 9 sind, werden ausgeschlossen. 2 Dabei sind a, b ∈ R, a ≤ b 3 In der Intervallschreibweise wird das Semikolon oft durch Komma o.ä. ersetzt. 4 Sinngemäß sind halboffene/ -abgeschlossene Intervalle [ a ; b [, ] a ; b ] erklärt. 5 Bei ]0; ∞ [, den strikt positiven, bzw. ] − ∞ ; 0[, den strikt negativen reellen Zahlen wird Null ausgeschlossen. 45222_Terveer_griffleiste.indd 9 06.09.2019 11: 42: 00 <?page no="10"?> 10 1 Grundlegende Begriffe Maximum und Minimum einer Menge M eine Menge reeller Zahlen max(M) : = x , falls x ∈ M und ∀ y ∈ M : x ≥ y gilt 6,7 . (1.2) min(M) : = x , falls x ∈ M und ∀ y ∈ M : x ≤ y gilt 8 . (1.3) sup(M) : = x , falls x minimal ist mit der Eigenschaft ∀ y ∈ M : x ≥ y . (1.4) inf(M) : = x , falls x maximal ist mit der Eigenschaft ∀ y ∈ M : x ≤ y . (1.5) 1.2 Mengenoperationen und -relationen Es seien A, B Mengen reeller Zahlen 9 . Vereinigungsmenge 10 : A ∪ B : = { x ∈ R : x ∈ A oder x ∈ B } (1.6) Schnittmenge 11 : A ∩ B : = { x ∈ R : x ∈ A und x ∈ B } (1.7) A, B heißen disjunkt, wenn A ∩ B = ∅ . Mengen A 1 , . . . , A n heißen paarweise disjunkt wenn A i ∩ A j = ∅∀ i = j . Komplement 12,13 : A c : = { x ∈ R : x / ∈ A }. (1.8) relatives Komplement: A \ B : = A ∩ B c (1.9) symmetrische Differenz: A ∆ B = ( A \ B ) ∪ ( B \ A ) (1.10) Teilmenge: A ⊆ B g.d.w. ∀ x : x ∈ A ⇒ x ∈ B . echte Teilmenge: A ⊂ B ( A B ) g.d.w. A ⊆ B und A = B . Besondere Teilmengen von R: R und und die leere Menge ∅ R c (enthält kein Element). Mengenkalkül für A, B, C ⊆ R: Kommutativgesetze A ∪ B = B ∪ A (1.11) A ∩ B = B ∩ A (1.12) Assoziativgesetze A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪ C (1.13) A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C (1.14) Distributivgesetze A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) (1.15) A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) (1.16) Gesetze von de Morgan ( A ∪ B ) c = A c ∩ B c (1.17) ( A ∩ B ) c = A c ∪ B c (1.18) 1.3 Ebene Geometrie Rechte Winkel (90 ◦ ) sind mit , der Flächeninhalt ist jeweils mit A bezeichnet. 6 Für endliches M = { a 1 , . . . , a n } schreibt man auch max( a 1 , . . . , a n ) bzw. a 1 ∨ · · · ∨ a n 7 Während bei der Mengenschreibweise üblicherweise jedes Element genau einmal aufgezählt wird, sind bei der funktionalen Schreibweise auch Übereinstimmungen der Elemente a 1 , . . . , a n möglich (sog. Bindungen). 8 Für endliches M = { a 1 , . . . , a n } schreibt man auch min( a 1 , . . . , a n ) bzw. a 1 ∧ · · · ∧ a n 9 Definitionen und Regeln lassen sich wortwörtlich auf Teilmengen von R n bzw. R m oder auf Teilmengen beliebiger anderer Mengen M übertragen. 10 lies: „ A vereinigt (mit) B “ 11 lies: „ A geschnitten (mit) B “ 12 lies: „A Komplement“ 13 Statt A c schreibt man auch A . 45222_Terveer_griffleiste.indd 10 06.09.2019 11: 42: 01 <?page no="11"?> Mathematik 1.3 Ebene Geometrie 11 a b c α β γ h c ( x 1 , y 1 ) ( x 2 , y 2 ) ( x 3 , y 3 ) Dreieck α + β + γ = 180 ◦ (1.19) A = 1 2 · c · h c (1.20) A = √ s ( s − a )( s − b )( s − c ) (1.21) mit s = a + b + c 2 A = ∣∣ 12 3 ∑ i =1 x i ( y i +1 − y i − 1 ) ∣∣ (1.22) mit x 0 = x 3 , y 0 = y 3 , x 4 = x 1 , y 4 = y 1 c 2 = a 2 + b 2 − 2 ab cos( γ ) (1.23) a b c a 0 b 0 c 0 Strahlensätze a a 0 = b b 0 = c c 0 (1.24) c p q b a h c α rechtwinkliges Dreieck c 2 = a 2 + b 2 (1.25) b 2 = pc, a 2 = qc (1.26) h 2 c = pq (1.27) sin( α ) = a c , cos( α ) = b c (1.28) tan( α ) = a b (1.29) a a a h gleichseitiges Dreieck U = 3 a (1.30) h = √ 3 2 a (1.31) A = √ 3 4 a 2 (1.32) a a d Quadrat A = a 2 (1.33) U = 4 a (1.34) d = a √ 2 (1.35) 45222_Terveer_griffleiste.indd 11 06.09.2019 11: 42: 01 <?page no="12"?> 12 1 Grundlegende Begriffe a b d Rechteck A = ab (1.36) Umfang: U = 2 a + 2 b (1.37) d = √ a 2 + b 2 (1.38) a b h a h b Parallelogramm A = a · h a = b · h b (1.39) a h b Trapez A = a + b 2 · h (1.40) ( x 1 , y 1 ) ( x 2 , y 2 ) ( x 3 , y 3 ) . . . ( x n − 1 , y n − 1 ) ( x n , y n ) Polygon, A = ∣∣∣∣ n ∑ i =1 ( y i + y i +1 )( x i − x i +1 ) ∣∣∣∣ 2 (1.41) mit x n +1 = x 1 , y n +1 = y 1 r r 0 β 0 β b A Kreissektor 0 ≤ r 0 ≤ r , 0 ≤ β 0 ≤ β ≤ 360 ◦ Bogenlänge: b = β − β 0 180 · r · π (1.42) A = β − β 0 360 · π · ( r 2 − r 2 0 ) (1.43) Vollkreis ( r 0 = 0 , β 1 = 0 , β = 360 ◦ ) b = 2 π · r (Umfang) (1.44) A = π · r 2 (1.45) 45222_Terveer_griffleiste.indd 12 06.09.2019 11: 42: 02 <?page no="13"?> Mathematik 1.4 Tupel und Vektoren 13 1.4 Tupel und Vektoren Vektoren bündeln gleichartige ökonomische Größen: Teile einer Fertigungsliste, Lagerbestände verschiedener Produkte, Attribute bzw. Daten eines Kunden, Marktanteile von Anbietern u.v.m. Tupel und Zeilenvektoren Für n ∈ N ist ein n -Tupel bzw. Zeilenvektor eine Liste a = ( a 1 , . . . , a n ) (1.46) von n reellen Zahlen 14 a 1 , . . . , a n , den Komponenten/ Koordinaten des Tupels. R n ist die Menge aller derartigen Zeilenvektoren. Für n = 2 spricht man von (geordneten) Paaren, für n = 3 von Tripeln 15 . Spaltenvektoren Ein Spaltenvektor a ist ein Ausdruck 16 a =  a 1 ... a n  (1.47) mit a 1 , . . . , a n ∈ R. Die Menge aller Spaltenvektoren ist R n . Kartesisches Produkt Für A 1 , . . . , A n ⊆ R ist das kartesische Produkt 17 A 1 × · · · × A n : = {  a 1 ... a n  : ∀ i ∈ { 1 , . . . , n } a i ∈ A i } (1.48) Falls A 1 = · · · = A n = M ⊆ R, schreibt man dafür M n . Ein (abgeschlossener 18 ) Quader ist eine Menge der Form Q = [ a 1 ; b 1 ] × · · · × [ a n ; b n ] (1.49) mit Intervallen [ a i ; b i ], i = 1 , . . . , n . Er hat Volumen V ( Q ) = ( b 1 − a 1 ) · · · ( b n − a n ) Durchmesser 19 D ∞ ( Q ) = max( b 1 − a 1 , . . . , b n − a n ). Sind alle Intervalle gleich lang, so heißt Q Würfel, für [ a i ; b i ] = [0; 1] ∀ i Einheitswürfel. 14 nicht unbedingt verschieden 15 Das Komma zwischen den Komponenten kann je nach Zahldarstellung durch ein anderes Trennzeichen (Semikolon, senkrechter Strich,. . . ) ersetzt werden, um die Übersichtlichkeit zu erhöhen. 16 Vektoren werden mit - ggf. fett gedruckten - Kleinbuchstaben bezeichnet, ihre Komponenten erhalten denselben Buchstaben, ergänzt um einen Index rechts unten. Nummerierung von Vektoren erfolgt mit einem geklammerten Index rechts oben (z.B. a (1) , a (2) , . . . , a ( n ) ). Die Klammern sind zur Unterscheidung von der Potenzschreibweise gedacht. 17 Zur Vereinfachung wird dieselbe Produkt-Schreibweise oft auch für Zeilenvektoren verwendet. Das n -fache kartesische Produkt M × · · · × M wird im Falle von Spaltenvektoren mit M n und im Falle von Zeilenvektoren mit M n bezeichnet. 18 Sinngemäß können Quader auch mit Hilfe von offenen, halboffenen oder auch unbeschränkten Intervallen gebildet werden. 19 im Sinne des Maximum-Abstandes; vorstellbar als Kantenlänge des kleinsten Würfels, der diesen Quader enthält. 45222_Terveer_griffleiste.indd 13 06.09.2019 11: 42: 02 <?page no="14"?> 14 1 Grundlegende Begriffe 1.5 Matrizen Eine (reelle) m × n -Matrix 20,21 A ist ein tabellarisches Schema A = ( a ij ) =  a 11 . . . a 1 n ... ... a m 1 . . . a mn  (1.50) mit m Zeilen, n Spalten und reellen Komponenten a ij . Mit R m × n bezeichnet man die Menge aller (reellen) m × n -Matrizen. Blockmatrix A : eine Darstellung 22 A =  A 11 A 12 A 21 A 22  (1.51) wobei A 11 , A 12 , A 21 , A 22 selbst wieder Matrizen sind. Vektoren bündeln gleichartige ökonomische Größen: Teile einer Fertigungsliste, Lagerbestände verschiedener Produkte, Attribute bzw. Daten eines Kunden, Marktanteile von Anbietern u.v.m. Anwendungsbeispiele für Matrizen A = ( a ij ) m × n -Verflechtungsmatrizen ( m Produkte, n Rohstoffe): a ij gibt an, wieviel Einheiten des Rohstoffes i zur Herstellung einer Einheit des Rohstoffes j benötigt werden. n × n -Input-Output-Matrizen 23 ( n Wirtschaftssektoren): a ij ist der für die Herstellung einer Einheit eines Güterwertes in Sektor j benötigte Güterwert aus Sektor i . n × n -Übergangsmatrizen ( n Anbieter, periodischer Wechsel): a ij ist Anteil der Kunden von Anbieter j , die zu Anbieter i wechseln. N × K -Datenmatrizen stellen statistische Datensätze dar: a ij ist Wert des j -ten Attributs in Datensatz i . 1.6 Operationen zwischen Matrizen und Vektoren Vergleich und Anordnung von m × n -Matrizen A = B ⇔ ∀ i ∈ { 1 , . . . , m } , j ∈ { 1 , . . . , n } : a ij = b ij A ≥ B ⇔ ∀ i ∈ { 1 , . . . , m } , j ∈ { 1 , . . . , n } : a ij ≥ b ij A ≤ B ⇔ ∀ i ∈ { 1 , . . . , m } , j ∈ { 1 , . . . , n } : a ij ≤ b ij (sinngemäß auch für Vergleich und Anordnung von Vektoren) 20 Matrizen werden mit Großbuchstaben, ihre Einträge mit den zugehörigen, doppelt indizierten Kleinbuchstaben bezeichnet. 21 Eine 1 × m Matrix lässt sich mit einem m -Zeilenvektor identifizieren, eine n × 1-Matrix mit einem n -Spaltenvektor. 22 d.h. eine Aufteilung von A in Blöcke, die selbst wieder Matrizen sind, wobei in jeder Zeile bzw. jeder Spalte gleich viele Blöcke auftreten und die Matrizen jeder Zeile (Spalte) gleich viele Zeilen (Spalten) haben. 23 Verwendung in Leontief-Modellen 45222_Terveer_griffleiste.indd 14 06.09.2019 11: 42: 03 <?page no="15"?> Mathematik 1.6 Operationen zwischen Matrizen und Vektoren 15 Transposition  a 11 . . . a 1 n ... ... a m 1 . . . a mn  T =  a 11 . . . a m 1 ... ... a 1 n . . . a mn  (1.52) für Vektoren:  a 1 ... a n  T = ( a 1 , . . . , a n ) , ( a 1 , . . . , a n ) T =  a 1 ... a n  (1.53) Addition und skalare Multiplikation Für A, B ∈ R m × n , α ∈ R (Skalar) und A + B =  a 11 + b 11 . . . a 1 n + b 1 n ... ... a m 1 + b m 1 . . . a mn + b mn  (1.54) αA =  αa 11 . . . αa 1 n ... ... αa m 1 . . . αa mn  (1.55) Vektoraddition x + y und skalare Multiplikation αx für Vektoren x, y ∈ R n :  x 1 ... x n  +  y 1 ... y n  : =  x 1 + y 1 ... x n + y n  , α  x 1 ... x n  : =  αx 1 ... αx n  (1.56) Matrixprodukt AB zweier Matrizen A ∈ R m × k , B ∈ R k × n ist Matrix C ∈ R m × n ,  c 11 · · · c 1 n ... c ij ... c m 1 . . . c mn  =  a 11 . . . a 1 k a i 1 . . . a ik ... ... a m 1 . . . a mk ... ...  ·  b 11 · · · b 1 j · · · b 1 n ... ... ... b k 1 · · · b kj · · · b kn  (1.57) c ij = a i 1 b 1 j + a i 2 b 2 j + · · · + a ik b kj (1.58) Spezialfälle: Produkt Ax ∈ R m von A ∈ R m × n mit Spaltenvektor x ∈ R n . Produkt xA ∈ R n von A ∈ R m × n mit Zeilenvektor x ∈ R m . Matrixpotenz für A ∈ R n × n A 0 : = I n , A k : = A · A · · · A ( k Faktoren) (1.59) Ökonomische Anwendungen des Matrix-Produktes Ist A die Verflechtungsmatrix zwischen Rohstoffen R 1 , . . . , R m und (Zwischen-)Produkten Z 1 , . . . , Z k , so ist Ax der einem Produktvektor x ∈ R k zugeordnete Rohstoffvektor. Ist zudem B die Verflechtungsmatrix zwischen Z 1 , . . . , Z k und Endprodukten E 1 , . . . , E n , so ist AB die Verflechtungsmatrix zwischen R 1 , . . . , R m und E 1 , . . . , E n . 45222_Terveer_griffleiste.indd 15 06.09.2019 11: 42: 04 <?page no="16"?> 16 1 Grundlegende Begriffe Ist A ∈ R n × n die Übergangsmatrix der Kundenwanderung für eine spezielle Periode, so ist Ax die Verteilung der Folgeperiode zur aktuellen Verteilung x ∈ R n . Dabei ist ein stochastischer Vektor bzw. eine Verteilung ein Vektor x mit x j ≥ 0 ∀ j und x 1 + · · · + x n = 1 (1.60) - Eine Verteilung x ∈ R n mit Ax = x bzw. ( I n − A ) x = ¯0 (1.61) heißt stationäre bzw. stabile Verteilung zur Übergangsmatrix A . - A k ist die k -Schritt-Übergangsmatrix für k Zeiteinheiten 24 , d.h. ist x ∈ R n Verteilung einer Periode, so ist A k x die Verteilung nach k weiteren Perioden. - Wenn es ∈ N gibt, so dass A nur strikt positive Einträge hat, so gibt es genau eine stabile Verteilung x . Zudem ist x = lim k →∞ A k x (0) für jede Verteilung x (0) . 1.7 Funktionen Grundbegriffe Gegeben seien zwei Teilmengen D ⊆ R n und 25 W ⊆ R m . Unter einer Funktion f : D → W versteht man eine Teilmenge 26 R von D × W mit folgender Eigenschaft: zu jedem x ∈ D gibt es genau ein y = f ( x ) ∈ W, so dass ( x, y ) ∈ R . Für diese Zuordnung schreibt man auch x → f ( x ) (1.62) Der Ausdruck f ( x ) heißt Funktionsterm, D f : = D wird Definitionsbereich, W f : = W wird Wertebereich von f genannt. Falls W = R (d.h. m = 1), so wird f als einwertige, anderenfalls (d.h. W = R m mit m > 1) als mehrwertige oder vektorwertige Funktion bezeichnet. Das Bild von A ⊆ D unter f ist die Menge aller y ∈ W, die als Funktionswert f ( x ) mit x ∈ A realisiert werden: f (A) : = { y ∈ W : ∃ x ∈ A y = f ( x ) } (1.63) Das Bild von f ist die Menge aller y ∈ W, die als Funktionswert f ( x ) mit x ∈ D realisiert werden: Bild ( f ) : = f (D) ⊆ W (1.64) Das Urbild von B ⊆ W unter f ist die Menge aller x ∈ D, zu denen der Bildwert f ( x ) in B liegt: f − 1 (B) : = { x ∈ D : f ( x ) ∈ B } ⊆ R n (1.65) 24 Angenommen ist gleiches Kundenwechselverhalten für jede Zeiteinheit. 25 im folgenden meist m = 1. 26 Eine Teilmenge R ⊆ D × W wird auch Relation zwischen D und W genannt. 45222_Terveer_griffleiste.indd 16 06.09.2019 11: 42: 04 <?page no="17"?> Mathematik 1.7 Funktionen 17 Verkettung von Funktionen Sind g : D → W und f : W → V Funktionen mit D ⊆ R n , W ⊆ R m , V ⊆ R k , so versteht man unter der Verkettung von f und/ mit g die Funktion 27 f ◦ g : D → V , ( f ◦ g )( x ) = f ( g ( x )) (1.66) Identität id : R n → R n , id( x ) = x (1.67) Umkehrfunktion Eine Funktion f : D → W heißt surjektiv, wenn f (D) = W, injektiv, wenn f − 1 ( { y } ) höchstens einelementig ist ∀ y ∈ W, bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist. Eine bijektive Funktion f : D → W ist umkehrbar, d.h. es gibt zu jedem y ∈ W genau ein x = g ( y ) ∈ D mit f ( x ) = y . Es gilt dann g ◦ f = id , d.h. g ( f ( x )) = x ∀ x ∈ D (1.68) f ◦ g = id , d.h. f ( g ( y )) = y ∀ y ∈ W (1.69) g : W → D heißt Umkehrfunktion zu f und wird mit f − 1 bezeichnet 28 . Funktionen im ökonomischen Sachzusammenhang Darstellung rechnerischer Zusammenhänge zwischen (Gruppen von) ökonomischen Variablen: Kostenfunktion: zwischen eingesetzten Produktionsfaktoren und gesamten Kosten der Herstellung Produktionsfunktion: zwischen Faktoreinsatzmengen den Produktionsoutput. Nachfragefunktion: zwischen abgesetzter Menge und Preis. Umsatzfunktion (Erlösfunktion): zwischen abgesetzter Menge und Umsatz. Gewinnfunktion: Differenz einer Umsatz- und einer Kostenfunktion. Ohne fixe Kosten: Deckungsbeitrags-Funktion. 27 lies: „ f verkettet mit g “ 28 lies: „ f hoch minus Eins“ 45222_Terveer_griffleiste.indd 17 06.09.2019 11: 42: 05 <?page no="18"?> 45222_Terveer_griffleiste.indd 18 06.09.2019 11: 42: 05 <?page no="19"?> Mathematik 2 Lineare Gleichungssysteme 2.1 LGS und Matrixdarstellung Lineares Gleichungssystem (LGS): ein System von m Gleichungen in Unbekannten x 1 , . . . , x n der Form Ax = b (2.1) bzw. a i 1 x 1 + a i 2 x 2 + · · · + a in x n = b i , i = 1 , . . . , m (2.2) mit Variablenvektor x = ( x 1 , . . . , x n ) T , Koeffizientenmatrix 1 A ∈ R m × n Vektor b ∈ R m . Gleichungsmatrix eines LGS (2.1) ist ( A | b ) =  a 11 a 12 . . . a 1 n b 1 ... ... ... ... a m 1 a m 2 . . . a mn b m  (2.3) Lösungsmenge L A,b : = { x ∈ R n : Ax = b } (2.4) Homogenes LGS 2 : Ax = ¯0. Kern ( A ) : = L A, ¯0 wird als Kern der Matrix A bezeichnet. Zeilenumformungen (ZUF) ( A | b ) → ( A ′ | b ′ ) mit L A,b = L A ′ ,b ′ : (ZV( i, j )) Zeile i und j werden vertauscht ( i = j ) (2.5) (ZM( i, β )) Zeile i wird mit Konstante β = 0 multipliziert. (2.6) (ZA( i, j, α )) Zu Zeile j wird das α -fache von Zeile i = j addiert. (2.7) Zeilenstufenform 3,4,5,6,7 : 24 2 Lineare Gleichungssysteme 2.1.1 Zeilenstufenform Durch Zeilenumformungen 3 kann man eine Gleichungsmatrix ( A | b ) in Zeilenstufenform (ZSF) ( Z | c ) überführen 4 , 5 , 6 , 7 : · · · 1 · · · 0 · · · z 1 · · · 0 · · · c 1 · · · 0 · · · 1 · · · z 2 · · · 0 · · · c 2 · · · 0 · · · 0 · · · z k 1 · · · c k · · · 0 · · · 0 · · · 0 0 · · · c k +1 · · · 0 · · · 0 · · · 0 0 · · · c m   ↓ ↓ ↓ ↓ j 1 j 2 j k ... ... ... ... ... ... ... ... (2.5) Rang ( A ) : = k ≤ n heißt Rang von A . Spalten j 1 , . . . , j k heißen Pivotspalten, die zugehörigen Variablen heißen Pivotvariablen. 2.2 Lösungsmenge eines LGS anhand der Zeilenstufenform Falls in (2.5) einer der Werte c k +1 ,. . . , c m von Null verschieden ist, so ist das LGS unlösbar. Anderenfalls ergibt sich die Lösungsmenge, indem die Gleichungen nach den Basisvariablen x j 1 , . . . , x j k freigestellt werden 8 9 , 10 : (2.8) Durch ZUF kann ( A | b ) in diese Zeilenstufenform (2.8) überführt werden. Rg ( A ) : = k ≤ n heißt Rang von A . Basisbzw. Pivotspalten: j 1 , . . . , j k , Basisbzw. Pivotvariablen: x j 1 , . . . , x j k , Pivotstellen: (1 , j 1 ) , . . . , ( k, j k ) . 1 Es wird stets angenommen, dass A nicht die Nullmatrix ist. 2 Ax = b mit b = ¯0 heißt inhomogen 3 Unterhalb der Treppenlinie sind die Einträge der Spalten 1 , . . . , n gleich Null. 4 Bis auf c k +1 , . . . , c m ist ( Z | c ) eindeutig bestimmt. 5 Im Falle der Lösbarkeit darf man die letzten m − k Zeilen streichen. 6 Auch Z - ohne Spalte c - wird als Zeilenstufenform bezeichnet. 7 Abkürzung: ZSF 45222_Terveer_griffleiste.indd 19 06.09.2019 11: 42: 06 <?page no="20"?> 20 2 Lineare Gleichungssysteme 2.2 Eliminationsverfahren nach Gauß START R1: Pivotspalte finden R2: Pivotspalte ab Pivotstelle formatieren R3: Alle Pivotspalten gefunden? R4: Rücksubstitution ja nein Wende auf die Gleichungsmatrix (2.3) nacheinander folgende Zeilenumformungen 8 an: START Setze j 0 = 0 und r = 1. R1 Finde 9 j r > j r − 1 mit a rj r = 0 und a st = 0 ∀ s ≥ r ∀ t < j r . a rj r heißt Pivotelement. R2 ZM( r, 1 / a r,j r ) und dann für alle i > r : ZA( r, i, − a i,j r ) R3 Falls j r = n , r = m oder a i = 0 für alle i > r, > j r , gehe zu R4. Sonst erhöhe r um 1 und gehe zu R1. R4 Mit den gefundenen Pivotstellen (1 , j 1 ) , . . . , ( r, j r ) führe aus 10 : Für r = k, k − 1 , . . . , 2 und jeweils i = 1 , . . . , r − 1: ZA( r, i, − a i,j r ) 2.3 Lösungsmenge eines LGS Gilt in (2.8) c i = 0 für ein i > k , so ist das LGS unlösbar, sonst: Basislösung: x ( B ) = ( x ( B ) 1 , . . . , x ( B ) n ) T mit x ( B ) j 1 = c 1 , . . . , x ( B ) j k = c k , x ( B ) j = 0 für j ∈ { j 1 , . . . , j k } (2.9) Falls k = n , ist x ( B ) eindeutige Lösung. Lösungen für k < n : freie Festlegung der Nichtbasisvariablen, Berechnung der Basisvariablen gemäß 11,12,13 x j p = c p − ∑ = j p z p x , p = 1 , . . . , k (2.10) 8 Die nach einer Zeilenumformung entstandene Gleichungsmatrix wird jeweils wieder mit ( A | b ) bezeichnet. 9 Gegebenenfalls ist eine Zeilenvertauschung nötig, damit man solch ein a rj findet. 10 Die Reihenfolge der Umformungen kann hier beliebig sein, Umformung von rechts nach links ist aber am effizientesten. 11 Wegen z pj r = 0 für r = p erfolgt die Summation in (2.10) tatsächlich nur über Nichtbasis-Indizes, d.h. über j ∈ { j 1 , . . . , j k } ; alle Summanden zu Basisindizes j k = j werden Null. 12 Lösung in Vektorform vgl. (3.6), mit Inverse vgl. (4.6) 13 Alle Aussagen in 2.3 gelten sinngemäß auch bei einer Basisform ( Z | c ). 45222_Terveer_griffleiste.indd 20 06.09.2019 11: 42: 07 <?page no="21"?> Mathematik 2.4 Lineare Optimierung 21 2.4 Lineare Optimierung Ein lineares Optimierungsproblem 14 (LOP) in Standardform 15 hat mit Variablenvektor x = ( x 1 , . . . , x n ) T die Form c T x ! = min unter Ax = b, x ≥ ¯0 (2.11) mit c ∈ R n , A ∈ R m × n , Rg ( A ) = m , b ∈ R m , b ≥ ¯0. Basisform und Basislösung Eine m × ( n + 1) Gleichungsmatrix ( F | d ) ist in Basisform, wenn in F alle Einheitsvektoren e (1) , . . . , e ( m ) als Spalten 16 auftreten. Die zugehörigen Spalten 17 j 1 , . . . , j m heißen Basisspalten 18 . Die zugehörigen Variablen x j 1 , . . . , x j m heißen Basisvariablen 19 . Simplexalgorithmus Simplex- Tableau zur gegebenen Basisform alle δ j ≤ 0? Wähle δ > 0 alle f k ≤ 0? Wähle k mit f k > 0 und x k f k = min Lösung gefunden Basiswechsel an f k Problem unlösbar nein nein ja ja Für LOP in Standardform (2.11), das bereits in Basisform ( F | d ) mit d ≥ ¯0 vorliegt 20 : [1] Simplex-Tableau aufstellen: c 1 . . . c . . . c n x Engpass c j 1 f 11 . . . f 1 . . . f 1 n d 1 d 1 / f 1 ... ... ... ... ... ... c j k f k 1 . . . f k . . . f kn d k d k / f k ... ... ... ... ... ... c j m f m 1 . . .f m . . . f mn d m d m / f m δ 1 . . . δ . . . δ n z 14 auch: lineares Programm 15 Überführung anderer LOP in Standardform: Ein Maximierungsproblem wird durch Multiplikation der Zielfunktion mit − 1 in ein Minimierungsproblem überführt. Eine Nebenbedingung der Form a i 1 x 1 + · · · + a in x n ≤ b i (bzw. ≥ b i ) wird mit einer Schlupfvariable y i ≥ 0 überführt in a i 1 x 1 + · · · + a in x n + y i = b i (bzw. · · · − y i = b i ). Eine Gleichung mit b i < 0 wird mit − 1 multipliziert. Redundante Gleichungen werden schließlich gestrichen. 16 Solche Spalten heißen Einheitsspalten. 17 Anders als bei der ZSF muss nicht j 1 < · · · < j m gelten und liegt auch keine Treppenform vor. 18 bzw. Pivotspalten 19 Die übrigen Variablen heißen Nichtbasisvariablen. 20 Basisspalten seien hier j 1 , . . . , j m . 45222_Terveer_griffleiste.indd 21 06.09.2019 11: 42: 07 <?page no="22"?> 22 2 Lineare Gleichungssysteme mit δ j = m ∑ r =1 c j r f rj − c j (2.12) z = m ∑ r =1 c j r d r (2.13) [2] Falls δ j ≤ 0 ∀ j : Optimallösung erreicht! Sonst wähle 21 ein mit δ > 0. [3] Falls f i ≤ 0 ∀ i : (2.11) unlösbar 22 . Sonst wähle 23 k mit f k > 0 und d k f k minimal. [4] Neue Simplex-Tableau durch Basiswechsel 24,25 an Pivotstelle ( k, ): [a] ZM( k, 1 / f k ), dann [b] ZA( k, i, − f i ) für i = k , [c] ZA( k, m + 1 , − δ ) 26 Fahre mit der neuen Basisform in Schritt [2] fort. Zweiphasenmethode LOP in Standardform Phase 1: Hilfsproblem mit zusätzlichen künstlichen Variablen und künstlicher Kostenfunktion Zielwert in Phase 1 > 0? Problem unlösbar Phase 2: Ausgangsproblem mit Startlösung aus Phase 1 durchführen. ja nein Ein LOP in Standardform (2.11) löst man wie folgt: [1] Phase 1: Fehlen k Einheitsspalten in A , so löse das LOP u 1 + · · · + u k = ¯1 T u ! = min unter Ax + Ku = b ; x, u ≥ ¯0 (2.14) K ∈ R m × k besteht aus den k Einheitsspalten, die in A fehlen 27,28 . Die Lösung des Problems sei mit x (1) , u (1) bezeichnet. [2] Phase 2: Falls ¯1 T u (1) > 0 , so hat das Ausgangsproblem keine Lösung. Anderenfalls ist x (1) eine zulässige Basislösung von (2.11). Bezeichnet ˜ Ax + ˜ Ku = ˜ b die Nebenbedingungen laut Schlusstableau aus Phase 1, so ist [ ˜ A | ˜ b ] eine Basisform, mit der das Ausgangsproblem (2.11) gelöst wird. 21 Bei mehreren Möglichkeiten: Wähle das kleinstmögliche (Bland-Regel, 1. Teil) 22 Die Zielfunktion ist nach unten unbeschränkt. 23 Bei mehreren Möglichkeiten: Wähle k mit am weitesten links liegender Basisspalte (Bland-Regel, 2. Teil). 24 Jede Zeilenumformung bezieht sich immer auf die in der vorigen Zeilenumformung erhaltene Gleichungsmatrix. 25 Basisspalten werden dann j 1 , . . . , j k − 1 , , j k +1 , . . . , j m . 26 Die letzte Umformung entspricht Neuberechnung von δ -Werten und Zielwert gemäß (2.12) und (2.13). 27 Wenn keine Einheitsspalte fehlt, kann Phase 1 übersprungen werden. 28 Die zusätzlichen Variablen u 1 , . . . , u k des LOP heißen künstliche Variablen. 45222_Terveer_griffleiste.indd 22 06.09.2019 11: 42: 08 <?page no="23"?> Mathematik 3 Vektoren Besondere Vektoren des R n sind 1,2 Nullvektor (Ursprung(svektor)) ¯0 = ¯0 n =  0... 0  und Einsvektor ¯1 = ¯1 n =  1... 1  (3.1) für j ∈ { 1 , . . . , n } der j -te Einheitsvektor 3 e ( j ) =  0... 1... 0  (3.2) 3.1 Linearkombinationen Es seien a (1) , . . . , a ( m ) Vektoren des R n und A = [ a (1) , . . . , a ( m ) ] die aus den Spalten a (1) , . . . , a ( m ) gebildete Matrix in R n × m . Jeder Vektor b ∈ R n der Form b = α 1 a (1) + · · · + α m a ( m ) = Aα mit α = ( α 1 , . . . , α m ) T (3.3) heißt Linearkombination (LK) von a (1) , . . . , a ( m ) mit Koeffizienten/ Koordinaten α i . Ob b (eindeutige) LK von a (1) , . . . , a ( m ) ist, bestimmt man durch Lösung des LGS Aα = b . Eine konvexe Linearkombination von a (1) , . . . , a ( m ) ist eine LK α 1 a (1) + · · · + α m a ( m ) (3.4) mit α 1 , . . . , α m ∈ [0; 1] und α 1 + · · · + α m = 1. D ⊆ R n heißt konvex, wenn jede konvexe LK von Vektoren aus D wieder in D liegt (z.B. alle Quader und Kugeln sind konvex). Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit a (1) , . . . , a ( m ) heißen linear abhängig (l.a.), wenn ¯0 sich auf mehrere Arten linear aus diesen kombinieren lässt, d.h. wenn das LGS Aα = ¯0 nicht nur die Lösung α = ¯0 hat. a (1) , . . . , a ( m ) heißen linear unabhängig (l.u.), wenn das LGS genau eine Lösung hat. 1 Bei den Vektoren geht die Anzahl n der Komponenten i.d.R. aus dem Zusammenhang hervor, sonst Indizierung, z.B. ¯0 n . 2 Entsprechend Konstantvektor ¯ s 1 bzw. Konstantmatrix ¯ s m × n für Vektoren bzw. Matrizen mit identischen Einträgen s . 3 d.h. 1 an der j -ten Komponente, 0 sonst. 45222_Terveer_griffleiste.indd 23 06.09.2019 11: 42: 09 <?page no="24"?> 24 3 Vektoren Lineare Hülle L = Span ( a (1) , . . . , a ( m ) ) zum Erzeugendensystem a (1) , . . . , a ( m ) ist die Menge L aller Linearkombinationen von a (1) , . . . , a ( m ) und gleichzeitig die Menge L aller Vektoren Aα , wobei α ∈ R m (das Bild / der Spaltenraum von A ). Man sagt, L wird von a (1) , . . . , a ( m ) aufgespannt (erzeugt). 3.2 Untervektorraum, Basis und Dimension Untervektorraum (UVR) ist eine Menge L ⊆ R n mit ¯0 ∈ L x, y ∈ L , α ∈ R ⇒ α ( x + y ) ∈ L Jeder UVR wird durch endlich viele Vektoren aufgespannt. Dimension dim(L) eines UVR ist Anzahl m linear unabhängiger Vektoren a (1) , . . . , a ( m ) , von denen L aufgespannt wird 4 . UVR der Dimension 1 bzw. 2 heißen Geraden bzw. Ebenen. Basis: Ein l.u. Erzeugendensystem eines UVR. Basis von Kern ( A ) wird wie folgt bestimmt: [1] Bringe A in Basisform 5 Z = ( z ij ) mit Basispalten j 1 , . . . , j k und Nichtbasisspalten ∈ K = { 1 , . . . , n } \ { j 1 , . . . , j k } . [2] Zu jeder Nichtbasisspalte wird Basisvektor b ( ) gebildet 6,7,8 : · · · 1 · · · 0 · · · z 1 · · · 0 · · · · · · 0 · · · 1 · · · z 2 · · · 0 · · · · · · 0 · · · 0 · · · ... 0 · · · · · · 0 · · · 0 · · · z k 1 · · ·   ↓ ↓ ↓ ↓ j 1 j 2 j k ↓ ↓ ↓ ↓ · · · − z 1 · · · − z 2 · · · 1 · · · − z k · · · Z = b ( ) =( ) T (3.5) Lösungsmenge eines LGS Ax = b mittels Kern ( A ) Bestimme mit Zeilenumformungen eine Basisform ( Z | c ). Dann gilt L = { x = x ( B ) + ∑ ∈ K x b ( ) : x ∈ R für ∈ K } (3.6) mit x ( B ) gemäß (2.9) und b ( ) gemäß (3.5). 4 aus einem l.a. Erzeugendensystem a (1) , . . . , a ( k ) bekommt man ein solches l.u. System z.B., indem man A = ( a (1) , . . . , a ( k ) ) mit Zeilenumformungen in Basisform Z überführt und in A alle Vektoren zu Nichtbasisspalten der Basisform streicht. 5 Eventuelle Nullzeilen in Z müssen gestrichen werden. 6 Im Schaubild ist die ZSF angegeben, dies ist sinngemäß auf eine beliebige Basisform übertragbar. 7 Alle „ · · · “ in b sind durch (ggf. leere Sequenzen von) Nullen zu ergänzen. 8 jeder skalar Vielfache Vektor αb ( ) mit α = 0 ist genau so geeignet. 45222_Terveer_griffleiste.indd 24 06.09.2019 11: 42: 09 <?page no="25"?> Mathematik 3.3 Skalarprodukt, Norm und Abstand 25 3.3 Skalarprodukt, Norm und Abstand Skalarprodukt von x, y ∈ R n 〈 x, y 〉 : = x T y = x 1 y 1 + · · · + x n y n (3.7) (Euklidische) Norm von x ∈ R n ‖ x ‖ : = √ 〈 x, x 〉 = √ x T x = √ x 21 + · · · + x 2 n (3.8) Eigenschaften für x, y ∈ R n und α ∈ R: ‖ x ‖ ≥ 0 und ‖ x ‖ = 0 ⇔ x = ¯0 (3.9) ‖ αx ‖ = | α |‖ x ‖ (3.10) ‖ x + y ‖ ≤ ‖ x ‖ + ‖ y ‖ (Dreiecksungleichung) (3.11) |〈 x, y 〉| ≤ ‖ x ‖ · ‖ y ‖ (Cauchy-Schwarz-Ungleichung) (3.12) ‖ x ‖ · ‖ y ‖ · cos( ϕ ) = 〈 x, y 〉 (Winkel ϕ zwischen Vektoren) (3.13) Weitere Normen (mit Eigenschaften (3.9)-(3.11)) Minkowski-Norm 9 ‖ x ‖ p : = p √ | x 1 | p + · · · + | x n | p (3.14) Maximum-Norm: ‖ x ‖ ∞ : = max( | x 1 | , . . . , | x n | ) (3.15) Orthogonalität x, y ∈ R n heißen orthogonal ( x ⊥ y ), wenn 〈 x, y 〉 = 0 und orthonormal, wenn zusätzlich ‖ x ‖ = ‖ y ‖ = 1. Vektoren a (1) , . . . , a ( m ) ∈ R n heißen (paarweise) orthogonal bzw. orthonormal, wenn dies für je zwei verschiedene der Vektoren gilt. Linearkombination mit paarweise orthonormalen Vektoren a (1) , . . . , a ( n ) ∈ R n : x = 〈 a (1) , x 〉 a (1) + · · · + 〈 a ( n ) , x 〉 a ( n ) ∀ x ∈ R n (3.16) Abstand Der euklidische Abstand von x, y ∈ R n ist der Ausdruck 10 ‖ x − y ‖ = √ ( x 1 − y 1 ) 2 + · · · + ( x n − y n ) 2 (3.17) Durchmesser von Q ⊆ R n ist 11 D ( Q ) : = sup {‖ x − y ‖ : x, y ∈ Q } . (Offene) Kugel um x ∈ R n mit Radius r > 0 ist erklärt als B r ( x ) = B ( x, r ) : = { y ∈ R n : ‖ x − y ‖ < r } (3.18) Sie hat das ( n -dimensionale) Volumen V = r n π n/ 2 Γ( n 2 + 1) und den Durchmesser d = 2 r Spezialfall n = 3: V = 4 3 πr 3 (3.19) 9 bzw. p -Norm, für p = 1 auch City-Block-Norm genannt, ‖ x ‖ 1 = | x 1 | + · · · + | x n | . Für p = 2 ergibt sich die euklidische Norm, d.h. ‖ x ‖ 2 = ‖ x ‖ . 10 Auch die anderen genannten Normen ergeben Abstandsmaße, z.B. den City-Block-Abstand ‖ x − y ‖ 1 oder Maximum-Abstand ‖ x − y ‖ ∞ . 11 Analog z.B. Maximum-Durchmesser D ∞ ( Q ) : = sup {‖ x − y ‖ ∞ : x, y ∈ Q } . 45222_Terveer_griffleiste.indd 25 06.09.2019 11: 42: 10 <?page no="26"?> 26 3 Vektoren Offene Mengen Ein innerer Punkt einer Menge D ⊆ R n ist ein Punkt x , für den B r ( x ) ⊆ D für ein (geeignet kleines) r > 0. Eine Menge D ⊆ R n heißt - offen, wenn sie nur innere Punkte enthält, - abgeschlossen, wenn D c offen ist, und - kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt 12 ist. Der Rand ∂ D von D ⊂ R n ist die Menge aller Punkte x , für die jede offene Kugel B r ( x ) mit r > 0 Punkte von D und D c enthält. - Kugeln B r ( x ) sind offen mit ∂B r ( x ) = { y ∈ R n : ‖ y − x ‖ = r } . - Ein Quader D = A 1 × · · · × A n mit Intervallen A j ⊆ R ist offen, wenn alle A j offen sind, und abgeschlossen, wenn alle A j abgeschlossen sind. ∂ D besteht aus den Vektoren x ∈ R n , für die wenigstens ein x j linke oder rechte Intervallgrenze von A j ist. 3.4 Projektionen Ist L ein UVR des R n mit Erzeugendensystem 13 a (1) , . . . , a ( m ) und x ∈ R n , so versteht man unter der Projektion von x auf L proj ( x, L) = z = α 1 a (1) + · · · + α m a ( m ) = Aα ∈ L (3.20) den Vektor z ∈ L mit kleinstem Abstand ‖ x − z ‖ . Für z = proj ( x, L) gilt z ⊥ ( z − x ). (3.21) Normalgleichungen z = proj ( x, L) g.d.w. z − x ⊥ a ( ) ∀ = 1 , . . . , m , d.h. m ∑ p =1 〈 a ( ) , a ( p ) 〉 · α p = 〈 a ( ) , x 〉 , = 1 , . . . , m, bzw. ( A T A ) α = A T x (3.22) Wenn a (1) , . . . , a ( m ) l.u. sind, so ist A T A invertierbar, und es gilt α = ( A T A ) − 1 A T x und proj ( x, L) = A ( A T A ) − 1 A T x. (3.23) Orthonormale Projektion Sind a (1) , . . . , a ( m ) paarweise orthonormal, dann gilt proj ( x, L) = 〈 a (1) , x 〉 a (1) + · · · + 〈 a ( m ) , x 〉 a ( m ) (3.24) 12 eine Menge D ⊂ R n ist beschränkt, wenn es ein K > 0 gibt mit D ⊆ [ − K ; K ] n . 13 Im Folgenden sei A die aus a (1) , . . . , a ( m ) spaltenweise gebildete Matrix. 45222_Terveer_griffleiste.indd 26 06.09.2019 11: 42: 11 <?page no="27"?> Mathematik 4 Matrizen 4.1 Regeln für das Rechnen mit Matrizen Für Matrizen A, B, C und Skalare α, β gelten folgende Regeln 1,2 : Kommutativ- A + B = B + A gesetze ( AB ) T = B T A T generell aber AB = BA α ( AB ) = ( αA ) B = A ( αB ) Assoziativ- A + ( B + C ) = ( A + B ) + C gesetze ( AB ) C = A ( BC ) Distributiv- A ( B + C ) = AB + AC gesetze ( A + B ) C = AC + BC ( α + β ) A = αA + βA α ( A + B ) = αA + αB 4.2 Quadratische Matrizen Notation: A = ( a ij ) i,j =1 ...,n =  a 11 a 12 · · · a 1 n a 21 a 22 · · · a 2 n ... ... a n 1 a n 2 · · · a nn  ∈ R n × n (4.1) Hauptdiagonale: Einträge a 11 , a 22 ,. . . , a nn . Diagonalmatrix: A = diag( a 11 , a 22 , . . . , a nn ) : =  a 11 0 · · · 0 0 a 22 · · · 0 ... . . . 0 0 . . . a nn  (4.2) Einheitsmatrix: I n : = diag(1 , . . . , 1) ∈ R n × n (4.3) Sofern das jeweilige Matrixprodukt gebildet werden kann, gilt: I n · B = B und A · I n = A (4.4) 4.3 Inverse Matrix Inverse Matrix zu A ∈ R n × n : Matrix B mit AB = BA = I n , Schreibweise: A − 1 Invertierbare Matrix 3 : Eine Matrix A , zu der A − 1 existiert. 1 falls die jeweiligen Terme gebildet werden dürfen. 2 sinngemäß auch für den Spezialfall von Zeilenbzw. Spaltenvektoren. 3 auch: reguläre Matrix. Eine nicht invertierbare Matrix heißt singulär. 45222_Terveer_griffleiste.indd 27 06.09.2019 11: 42: 11 <?page no="28"?> 28 4 Matrizen Berechnung der inversen Matrix Überführe ( A | I n ), falls möglich, mit Zeilenumformungen in ZSF ( I n | B ). Dann ist A invertierbar 4 und es ist A − 1 = B . Inverse einer 2 × 2-Matrix  a b c d  − 1 = 1 ad − bc  d − b − c a  (falls ad − bc = 0) (4.5) Lösung von LGS mit Matrixinversion Für invertierbares A : Ax = b ⇔ x = A − 1 b (4.6) 4.4 Determinanten quadratischer Matrizen Spezialfälle n = 1: det( a ) = a (4.7) n = 2: det  a b c d  = ad − bc (4.8) n = 3, Sarrus-Regel: det  a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33  = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 21 a 32 a 13 − a 31 a 22 a 13 − a 21 a 12 a 33 − a 32 a 23 a 11 (4.9) Obere bzw. untere Dreiecksmatrix: det  d 11 ∗ ∗ 0 . . . ∗ 0 0 d nn  = det  d 11 0 0 ∗ . . . 0 ∗ ∗ d nn  = d 11 · · · d nn (4.10) Determinante und Zeilenumformungen det( A ) = ( − 1) k det( B ) / c (4.11) wenn man A mit Zeilenumformungen 5 in B überführt 6 und k die Anzahl der Vertauschungen (ZV) und c das Produkt der Faktoren der Multiplikationen (ZM) ist, Determinantenberechnung durch Entwicklung nach Zeile 7 i : det( A ) = ∑ n =1 ( − 1) i + a i det( A i ) (4.12) nach Spalte 7 j : det( A ) = ∑ n k =1 ( − 1) k + j a kj det( A kj ) (4.13) 4 Falls die Überführung nicht möglich ist, so ist A singulär. 5 zu Zeilenumformungen vgl. S.19. 6 z.B. in eine Dreiecksmatrix 7 A k erhält man jeweils durch Streichen der k -ten Zeile und -ten Spalte aus A . 45222_Terveer_griffleiste.indd 28 06.09.2019 11: 42: 12 <?page no="29"?> Mathematik 4.6 Symmetrische Matrizen 29 Weitere Regeln für quadratische Matrizen A , B Transposition: det( A T ) = det( A ) (4.14) Blockmatrix: det  A ∗ 0 B  = det  A 0 ∗ B  = det( A ) det( B ) (4.15) Matrixprodukt 8 : det( AB ) = det( A ) det( B ) (4.16) 4.5 Anwendungen der Determinante Prüfung auf Invertierbarkeit Eine quadratische Matrix A ist invertierbar genau dann, wenn ihre Determinante det( A ) ungleich Null ist. Cramer’sche Regel Die Lösung des LGS Ax = b mit invertierbarer Matrix A ∈ R n × n ist x = ( x 1 , . . . , x n ) T mit 9 x j = det( A j ) / det( A ) Eigenwerte Charakteristisches Polynom von A ∈ R n × n : p ( λ ) = det( A − λI n ). (4.17) Das charakteristische Polynom von A ∈ R n × n hat Grad n . Eigenwert von A : Nullstelle des charakteristischen Polynoms- (4.18) Eigenvektor von A zum Eigenwert λ : Ein Vektor x = ¯0 mit Ax = λx (4.19) Eigenraum von A zum Eigenwert λ : Der UVR Kern ( A − λI n ) = { ¯0 } (4.20) 4.6 Symmetrische Matrizen Eine Matrix H heißt symmetrisch, wenn H T = H Eigenwerte symmetrischer Matrizen H ∈ R n × n sind ausschließlich reelle Zahlen λ 1 , . . . , λ n (mit Vielfachheit gerechnet 10 ). Das charakteristische Polynom hat die Form det( H − λI n ) = ( − 1) n ( λ − λ 1 ) · · · ( λ − λ n ) (4.21) Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind bei einer symmetrischen Matrix H orthogonal. Zu den Eigenwerten λ 1 , . . . , λ n von H gibt es paarweise orthonormale Eigenvektoren x (1) , . . . , x ( n ) . Setzt man diese zu einer Matrix M = ( x (1) , . . . , x ( n ) ) zusammen, so gilt M T · M = I n und die Hauptachsentransformation H = M · diag( λ 1 , . . . , λ n ) · M T (4.22) 8 sofern dieses gebildet werden kann. 9 Dabei entsteht A j aus A durch Ersetzen der j -ten Spalte mit b . 10 Bei den Werten λ 1 , . . . , λ n können Wiederholungen auftreten. 45222_Terveer_griffleiste.indd 29 06.09.2019 11: 42: 12 <?page no="30"?> 30 4 Matrizen 4.7 Definitheit Eine symmetrische Matrix H ∈ R n × n heißt positiv definit g.d.w. 〈 x, Hx 〉 = x T Hx > 0 ∀ x ∈ R n , x = ¯0 (4.23) positiv semidefinit g.d.w. 〈 x, Hx 〉 ≥ 0 ∀ x ∈ R n (4.24) H heißt negativ (semi-)definit, wenn − H positiv (semi-)definit ist 11 . Eine weder positiv semidefinite noch negativ semidefinite Matrix heißt indefinit. Determinantenkriterium für Definitheit Hauptuntermatrizen H und Hauptminoren (Hauptunterdeterminanten) δ einer symmetrischen n × n -Matrix H sind H =  h 11 . . . h 1 ... ... h 1 . . . h  , δ ( H ) : = det( H ) = 1 , . . . , n (4.25) Determinantenkriterium: H ist positiv definit ⇔ δ ( H ) > 0 ∀ (4.26) Für 2 x 2-Matrizen:  a b b c  ist pos./ neg. semidefinit für a > / < 0 und ac − b 2 = 0. Allgemeiner Fall Ist ein Hauptminor Null, so gelten nur Ausschlusskriterien: H ist indefinit, wenn ∃ ∈ { 2 , 4 , 6 , . . . } mit δ ( H ) < 0. nicht positiv definit, wenn ∃ ∈ { 1 , 3 , . . . } mit δ ( H ) < 0. Eigenwertkriterium H ist positiv (semi)definit ⇔ alle Eigenwerte sind > 0 ( ≥ 0) Eingeschränkte Definitheit Es sei G ∈ R r × n . H heißt 12 positiv definit unter Gx = ¯0, wenn 〈 x, Hx 〉 > 0 ∀ x ∈ R n mit x = ¯0 und Gx = ¯0 (4.27) Reduktionskriterium: (4.28) Setze eine Basis von Kern ( G ) zu einer Matrix A zusammen. H ist positiv/ negativ (semi-)definit unter Gx = ¯0 g.d.w. A T HA ist positiv/ negativ (semi-)definit. Determinantenkriterium: (4.29) Wenn alle Hauptminoren der Blockmatrix  0 G G T H  zu einer Zeilen- und Spaltenzahl größer als 2 r das Vorzeichen ( − 1) r haben, dann ist H positiv definit unter Gx = ¯0. 11 d.h. zur Überprüfung von negativer Definitheit die nachfolgenden Kriterien auf − H anzuwenden. 12 sinngemäß: semidefinit und negativ definit unter Gx = ¯0 45222_Terveer_griffleiste.indd 30 06.09.2019 11: 42: 13 <?page no="31"?> Mathematik 5 Folgen und Reihen 5.1 Folgen in den Wirtschaftswissenschaften Eine (Zahlen-)Folge 1 ( a n ) n ∈ N 0 ist eine Funktion mit Definitionsbereich N 0 und Wertebereich R, n → a n ∈ R , n ∈ N 0 (5.1) a n heißt Folgenglied bzw. Folgenterm zum Folgenindex n . Unter einer Punktfolge (im R k ) versteht man eine Folge ( a ( n ) ) n ∈ N 0 von Vektoren a ( n ) = ( a ( n ) 1 , . . . , a ( n ) k ) T ∈ R k (5.2) festgelegt durch k Koordinatenfolgen ( a ( n ) 1 ) n ∈ N 0 , . . . , ( a ( n ) k ) n ∈ N 0 . Summen- und Differenzenfolge Einer Folge ( a n ) n ∈ N 0 zugeordnet sind die (Partial-)Summenfolge 2 n → s n : = ∑ n j =0 a j : = a 0 + a 1 + · · · + a n (5.3) Indexverschiebung: ∑ n j = m a j = ∑ n − m j =0 a j + m ∀ m ∈ N 0 Differenzenfolge n → ∆ a n : = a n − a n − 1 (5.4) Darstellungsformen explizites Bildungsgesetz n → a n (Folgenterm), implizites/ rekursives Bildungsgesetz a n + k = h ( a n , a n +1 , . . . , a n + k − 1 ) mit einer Funktion h : D ⊆ R k → R. Mit a 0 , . . . , a k − 1 gehen weitere Folgenglieder jeweils aus den k vorangehenden hervor. Monotone Folgen ( a n ) n ∈ N 0 heißt wenn für alle n ∈ N 0 gilt monoton wachsend (isoton): a n ≤ a n +1 (5.5) streng monoton wachsend (streng isoton): a n < a n +1 (5.6) monoton fallend (antiton): a n ≥ a n +1 (5.7) streng monoton fallend (streng antiton): a n > a n +1 (5.8) 1 Eine Folge kann als „unendlich langes“ Tupel ( a 0 , a 1 , a 2 , . . . ) aufgefasst werden. 2 sinngemäß ∑ n j = m a j : = a m + a m +1 + · · · + a n 45222_Terveer_griffleiste.indd 31 06.09.2019 11: 42: 14 <?page no="32"?> 32 5 Folgen und Reihen Beschränktheit Eine Folge ( a n ) n ∈ N 0 heißt nach oben beschränkt, wenn es O ∈ R gibt, so dass ∀ n ∈ N 0 a n ≤ O (5.9) nach unten beschränkt, wenn es U ∈ R gibt, so dass ∀ n ∈ N 0 a n ≥ U (5.10) beschränkt, wenn sie nach oben und unten beschränkt ist. (5.11) Eine Punktfolge heißt beschränkt, wenn ihre Koordinatenfolgen beschränkt sind. Folgen in der Ökonomie Der Folgenindex n steht in der Ökonomie oft für Zeitpunkte am Ende oder Anfang einer Periode. Folgen beschreiben z.B. die Entwicklung/ den Zuwachs eines Kapitals, Preisentwicklungen, Angebots- oder Nachfragebereitschaften. Summenfolgen setzt man zur Untersuchung von Saldi, Differenzenfolgen bei Trendanalysen ein. Je nach Kontext werden Folgen oft auch für Indexbereiche N oder oder Z oder N k = { k, k + 1 , k + 2 , . . . } mit k ∈ Z erklärt 3 . 5.2 Grenzwerte Konvergenz Eine Folge ( a n ) n ∈ N 0 heißt konvergent mit Grenzwert a ∈ R, wenn für jedes ε > 0 fast alle 4 Folgenglieder im Intervall ] a − ε ; a + ε [ liegen, d.h. mit einem (von ε abhängigen) N 0 = N 0 ( ε ) gilt: | a n − a | < ε für alle n ≥ N 0 (5.12) Für den Grenzwert a schreibt man dann lim n →∞ a n = a. (5.13) Eine konvergente Folge mit Grenzwert Null heißt Nullfolge. Eine nicht konvergente Folge heißt divergent. Man schreibt lim n →∞ a n = ∞ bzw. lim n →∞ a n = −∞ (5.14) wenn a n > 0 bzw. a n < 0 für fast alle n und lim n →∞ 1 / a n = 0. Eine Punktfolge ( a ( n ) ) n ∈ N 0 = (( a ( n ) 1 , . . . , a ( n ) k ) T ) n ∈ N 0 heißt konvergent mit Grenzwert a = ( a 1 , . . . , a k ) T ∈ R k , wenn ihre k Koordinatenfolgen konvergent mit Grenzwerten a 1 , . . . , a k sind. Beschränktheit und Konvergenz Eine konvergente Folge ist beschränkt. Eine monotone und beschränkte Folge ist konvergent. Grenzwertsätze Gilt lim n →∞ a n = a und lim n →∞ b n = b , so folgt: lim n →∞ ( a n ± b n ) = a ± b , (5.15) lim n →∞ ( a n b n ) = ab , (5.16) lim n →∞ ( a n / b n ) = a/ b (sofern b = 0). (5.17) 3 die folgenden Sachverhalte übertragen sich sinngemäß auf solche Index-Bereiche. 4 d.h. alle bis auf endlich viele 45222_Terveer_griffleiste.indd 32 06.09.2019 11: 42: 14 <?page no="33"?> Mathematik 5.3 Spezielle Folgen 33 Unendliche Reihe zu einer Folge ( a n ) n ∈ N 0 ist sowohl die Partialsummenfolge ( s n ) n ∈ N 0 mit s n : = n ∑ j =0 a j (5.18) als auch der Grenzwert ∞ ∑ j =0 a j : = lim n →∞ s n . (5.19) Konvergenzkriterien für Reihen ∞ ∑ j =0 a j ist konvergent in folgenden Fällen Majorantenkriterium: Falls | a j | ≤ | b j |∀ j und ∞ ∑ j =0 | b j | < ∞ (5.20) Quotientenkriterium: Falls mit q ∈ ]0; 1[ gilt | a n +1 a n | ≤ q für fast alle n (5.21) 5.3 Spezielle Folgen Arithmetische Folge explizit: a n = α 0 + α 1 n (5.22) implizit: a 0 = α 0 , a n +1 = a n + α 1 für n > 0 (5.23) Eine arithmetische Folge ist konstant für α 1 = 0 streng monoton wachsend für α 1 > 0 streng monoton fallend für α 1 < 0 Eine arithmetische Folge hat die Differenzenfolge ∆ a n = α 1 (5.24) Partialsummenfolge s n = α 0 ( n + 1) + α 1 n ( n +1) 2 (5.25) Ganzrationale bzw. rationale Folge vom Grad k ist eine Folge mit dem expliziten Bildungsgesetz n → a n = α 0 + α 1 n + α 2 n 2 + · · · + α k n k (5.26) mit α 0 , . . . , α k ∈ R und 5 α k = 0. Eine ganzrationale Folge ist divergent für k > 0, ihre Differenzenbzw. Partialsummenfolge ist rational vom Grad k − 1 bzw. k + 1. Neben (5.24) lauten weitere spezielle Summen: n ∑ j =0 j = n ( n +1) 2 (5.27) n ∑ j =0 j 2 = n ( n +1)(2 n +1) 6 (5.28) n ∑ j =0 j 3 = n 2 ( n +1) 2 4 (5.29) n ∑ j =0 j 4 = n ( n +1)(2 n +1) ( 3 n 2 +3 n − 1 ) 30 (5.30) Gebrochen-rationale Folge hat das explizite Bildungsgesetz n → a n = p n / q n (5.31) wobei p n = α 0 + α 1 n + · · · + α k n k bzw. q n = β 0 + β 1 n + · · · + β k n ganzrationale Folgen vom Grad k bzw. sind. Sie ist divergent für k > und konvergent mit Grenzwert 0 für k < bzw. α k / β k für k = 45222_Terveer_griffleiste.indd 33 06.09.2019 11: 42: 15 <?page no="34"?> 34 5 Folgen und Reihen Geometrische Folge explizit n → a n = c · p n , n ∈ N 0 , mit p ∈ R, c ∈ R , c = 0 (5.32) implizit a 0 = c, a n = a n − 1 · p für n > 0 (5.33) Nullfolge für | p | < 1 divergent für | p | > 1 Geometrische Summe ( p = 1): n ∑ j =0 p j = 1 − p n +1 1 − p (5.34) Geometrische Reihe ( | p | < 1): ∞ ∑ j =0 p j = 1 1 − p (5.35) Lineare Differenzengleichung erster Ordnung Für ( a n ) n ∈ N 0 mit Startwert a 0 und ∆ a n = a n − a n − 1 = a + ba n − 1 (mit b = 0) gilt a n = a 0 (1 + b ) n + a b ((1 + b ) n − 1) (5.36) 5.4 Potenzreihen Eine Potenzreihe (erzeugende Funktion von ( a n ) n ∈ N 0 ) ist eine unendliche Reihe f ( x ) = ∞ ∑ j =0 a j x j , x ∈ R (5.37) Konvergenzkriterium Ist n → a n r n beschränkt für ein r > 0, so konvergiert die Potenzreihe (5.37) für | x | < r . Ableiten von Potenzreihen Konvergiert f ( x ) = ∞ ∑ j =0 a j x j für | x | < r , so ist f für | x | < r differenzierbar, und es gilt 6 f ′ ( x ) = ∞ ∑ j =0 j · a j x j − 1 ∀ x ∈ ] − r ; r [ (5.38) Koeffizientenvergleich Falls ∞ ∑ n =0 a n x n = ∞ ∑ n =0 b n x n < ∞ auf ] − r ; r [ (mit r > 0), so gilt a n = b n ∀ n ∈ N 0 . 6 d.h. eine konvergente Potenzreihe darf gliedweise abgeleitet werden, um ihre Ableitung nach x zu berechnen. 45222_Terveer_griffleiste.indd 34 06.09.2019 11: 42: 16 <?page no="35"?> Mathematik 5.5 Finanzmathematische Folgen und Reihen 35 Wichtige Potenzreihen und Bereiche, in denen sie konvergieren Geometrische Reihe ∞ ∑ j =0 x j = 1 1 − x , ∞ ∑ j = k x j = x k 1 − x | x | < 1 (5.39) Exponentialreihe e x = 1 + x + x 2 2 + x 3 6 + · · · x ∈ R (5.40) eulersche Zahl e = 1 + 12 + 16 + 1 24 + · · · ≈ 2 , 718 . . . (5.41) Logarithmusreihe ln(1 + x ) = x − x 2 + x 3 ∓ · · · | x | < 1 (5.42) Sinusreihe sin( x ) = x − x 3 6 + x 5 120 ∓ · · · x ∈ R (5.43) Cosinusreihe cos( x ) = 1 − x 2 2 + x 4 24 ∓ · · · x ∈ R (5.44) Binomische Reihe (1 + x ) α = ∞ ∑ j =1 ( α j ) x k | x | < 1 (5.45) Binomialkoeffizient ( α j ) : = α ( α − 1) ··· ( α − j +1) j ! ∀ j ∈ N , ( α 0 ) : = 1 α > 0 (5.46) 5.5 Finanzmathematische Folgen und Reihen Kapitalentwicklung bei nachschüssiger Rechnung 7 (implizite Form): K n = q n K n − 1 + r n (5.47) mit Startkapital K 0 , Zinsfaktor q n = 1 + p n 100 , Zinsfuß p n > 0, Ein-/ Auszahlungen r n Explizite Kapitalformel Wenn Zinsfaktor q = 1 + p 100 und Ein-/ Auszahlung r unabhängig von n sind: K n = K 0 · q n + r · q n − 1 q − 1 , n ∈ N 0 (5.48) Zinseszinsrechnung Für r = 0 und konstanten Zinsfuß p n = p K n = K 0 (1 + p/ 100) n , n ∈ N 0 (5.49) Unterjährige Verzinsung mit m Perioden pro Jahr, Jahreszinsfuß p und Periodenzinsfuß p m = p/ m . Kapital nach einem Jahr ist K 1 m = K 0 (1 + p m / 100) m (5.50) Stetige Verzinsung mit Jahreszinsfuß p nach einem Jahr K = K 0 · lim m →∞ (1 + p/ 100 m ) m = K 0 · e p/ 100 (5.51) 7 Ein-/ Auszahlung am Ende einer Zinsperiode - es wird nur die nachschüssige Rechnung behandelt. 45222_Terveer_griffleiste.indd 35 06.09.2019 11: 42: 17 <?page no="36"?> 36 5 Folgen und Reihen Rentenrechnung Kapital bei r < 0: siehe (5.48). ewige Rente für K 0 ( q − 1) ≥ − r , anderenfalls beträgt die Laufzeit n = − log q (1 + K 0 ( q − 1) r ) Perioden bei Rente r , (5.52) n Perioden bei Rente r = − K 0 ( q − 1) q n q n − 1 . (5.53) Endwert einer Gegenwartszahlung r > 0 nach n identischen Zinsperioden r · q n − 1 (5.54) Rentenendwert von n solchen Zahlungen ist n − 1 ∑ j =0 rq j = r q n − 1 q − 1 (5.55) Barwert einer in Periode n getätigten Zahlung r > 0 ist r/ q n . Rentenbarwert der ewigen nachschüssigen Rente r > 0 P V e = ( r/ q + r/ q 2 + · · · ) = r q − 1 = r p/ 100 (5.56) Rentenbarwert einer n -maligen nachschüssigen Rente r > 0 P V = P V e (1 − 1 / q n ) (5.57) Kapitalwert ist Barwert einer Investition, d.h. N P V : = − I + n ∑ j =1 r j / q j + / q n (5.58) mit Investitionsbetrag I > 0, Rückflüssen r 1 > 0 , . . . , r n > 0 und Liquidationserlös > 0 (nach Periode n ). Bei konstanten Rückflüssen r j = r > 0 und konstantem Zinsfaktor q ist N P V = − I + r q n · q n − 1 q − 1 + q n (5.59) Interner Zinsfuß einer Investition ist der Zinsfuß p = 100( q − 1), mit N P V = 0. 45222_Terveer_griffleiste.indd 36 06.09.2019 11: 42: 18 <?page no="37"?> Mathematik 6 Funktionen einer Variable 6.1 Allgemeine Sprechweisen und Eigenschaften Im folgenden sei f : D → R eine Funktion einer Variable mit Definitionsbereich 1 D = [ a ; b ]. Graph einer Funktion Menge aller Punkte ( x, f ( x )) mit x ∈ D, d.h. die Menge G f = { ( x | y ) : x ∈ D , y = f ( x ) } (6.1) Die Darstellung von G f in einem Koordinatensystem heißt ebenfalls Graph von f . x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x y 0 f ( x ) Bezeichnungen: Abszisse/ Ordinate (horizontale/ vertikale Achse). Ordinatenabschnitt (im Schaubild: y 0 ), Ursprung (0 | 0) (Schnittpunkt von Abszisse und Ordinate). Nullstelle von f : ein x ∈ D mit f ( x ) = 0. Im Schaubild: x 2 , x 5 Newton-Verfahren Für differenzierbares f lässt sich eine Nullstelle x 0 als Grenzwert der Folge ( a n ) n ∈ N 0 approximieren mit Startwert a 0 ∈ D ausreichend nahe bei x 0 und a n +1 = a n − f ( a n ) / f ′ ( a n ) , n ∈ N 0 (6.2) Monotonie f heißt wenn für alle t 1 < t 2 gilt monoton wachsend (isoton) f ( t 1 ) ≤ f ( t 2 ) (6.3) streng monoton wachsend (streng isoton) f ( t 1 ) < f ( t 2 ) (6.4) monoton fallend (antiton) f ( t 1 ) ≥ f ( t 2 ) (6.5) streng monoton fallend (streng antiton) f ( t 1 ) > f ( t 2 ) (6.6) Im Schaubild S.37 ist f in [ x 1 ; x 3 ] und [ x 5 ; x 6 ] (streng) isoton, in [ x 3 ; x 5 ] (streng) antiton. 1 Die nachfolgenden Begriffe, Aussagen übertragen sich sinngemäß auf Definitionsbereiche der Form ] a ; b [, ] − ∞ ; b ], [ a ; ∞ [, ] − ∞ ; ∞ [ usw. 6 Funktionen einer Variable 6.1 Allgemeine Sprechweisen und Eigenschaften Im folgenden sei f : D → R eine Funktion einer Variable mit Definitionsbereich 1 D = [ a ; b ]. Graph einer Funktion Menge aller Punkte ( x, f ( x )) mit x ∈ D, d.h. die Menge G f = { ( x | y ) : x ∈ D , y = f ( x ) } (6.1) Die Darstellung von G f in einem Koordinatensystem heißt ebenfalls Graph von f . x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x y 0 f ( x ) Bezeichnungen: Abszisse/ Ordinate (horizontale/ vertikale Achse). Ordinatenabschnitt (im Schaubild: y 0 ), Ursprung (0 | 0) (Schnittpunkt von Abszisse und Ordinate). Nullstelle von f : ein x ∈ D mit f ( x ) = 0. Im Schaubild: x 2 , x 5 Newton-Verfahren Für differenzierbares f lässt sich eine Nullstelle x 0 als Grenzwert der Folge ( a n ) n ∈ N 0 approximieren mit Startwert a 0 ∈ D ausreichend nahe bei x 0 und a n +1 = a n − f ( a n ) / f ′ ( a n ) , n ∈ N 0 (6.2) Monotonie f heißt wenn für alle t 1 < t 2 gilt monoton wachsend (isoton) f ( t 1 ) ≤ f ( t 2 ) (6.3) streng monoton wachsend (streng isoton) f ( t 1 ) < f ( t 2 ) (6.4) monoton fallend (antiton) f ( t 1 ) ≥ f ( t 2 ) (6.5) streng monoton fallend (streng antiton) f ( t 1 ) > f ( t 2 ) (6.6) Im Schaubild S.37 ist f in [ x 1 ; x 3 ] und [ x 5 ; x 6 ] (streng) isoton, in [ x 3 ; x 5 ] (streng) antiton. 1 Die nachfolgenden Begriffe, Aussagen übertragen sich sinngemäß auf Definitionsbereiche der Form ] a ; b [, ] − ∞ ; b ], [ a ; ∞ [, ] − ∞ ; ∞ [ usw. 45222_Terveer_griffleiste.indd 37 06.09.2019 11: 42: 19 <?page no="38"?> 38 6 Funktionen einer Variable Überprüfung der Monotonie: Falls f auf D =] a ; b [ differenzierbar ist, so gilt: Schluss auf f -Monotonie: Wenn ∀ x ∈ D dann ist f f ′ ( x ) ≥ 0 isoton (6.7) f ′ ( x ) > 0 streng isoton (6.8) f ′ ( x ) ≤ 0 antiton (6.9) f ′ ( x ) < 0 streng antiton (6.10) Schluss auf f ′ -Vorzeichenverhalten: Wenn f dann gilt ∀ x ∈ D isoton ist f ′ ( x ) ≥ 0 (6.11) antiton ist f ′ ( x ) ≥ 0 (6.12) Spezialfall „konstante Funktion“: f konstant ⇔ f ′ ( x ) = 0 ∀ x ∈ D (6.13) Krümmungsverhalten f heißt wenn ∀ t 1 , t 2 ∈ D mit t 1 = t 2 , ∀ λ ∈ ]0; 1[ gilt: konvex f ( λt 1 + (1 − λ ) t 2 ) ≤ λf ( t 1 ) + (1 − λ ) f ( t 2 ) (6.14) streng konvex f ( λt 1 + (1 − λ ) t 2 ) < λf ( t 1 ) + (1 − λ ) f ( t 2 ) (6.15) konkav f ( λt 1 + (1 − λ ) t 2 ) ≥ λf ( t 1 ) + (1 − λ ) f ( t 2 ) (6.16) streng konkav f ( λt 1 + (1 − λ ) t 2 ) > λf ( t 1 ) + (1 − λ ) f ( t 2 ) (6.17) Im Schaubild S.37 ist f in [ x 1 ; x 4 ] (streng) konkav, in [ x 4 ; x 6 ] (streng) konvex. Überprüfung der Krümmung: Wenn f auf D =] a ; b [ zweimal differenzierbar ist, so gilt: Schluss auf f -Krümmung: Wenn ∀ x ∈ D dann ist f f ′′ ( x ) ≥ 0 konvex (6.18) f ′′ ( x ) > 0 streng konvex (6.19) f ′′ ( x ) ≤ 0 konkav (6.20) f ′′ ( x ) < 0 streng konkav (6.21) Schluss auf f ′′ -Vorzeichenverhalten: Wenn f dann gilt ∀ x ∈ D konvex ist f ′′ ( x ) ≥ 0 (6.22) konkav ist f ′′ ( x ) ≥ 0 (6.23) Spezialfall „lineare Funktion“: f linear ⇔ f ′′ ( x ) = 0 ∀ x ∈ D (6.24) lokale und globale Extrema f hat in x ∈ D ein wenn ∀ ˜ x ∈ D gilt (globales bzw. absolutes) Minimum f ( x ) ≤ f (˜ x ) (6.25) (globales bzw. absolutes) Maximum f ( x ) ≥ f (˜ x ) (6.26) Im Schaubild S.37 hat f bezogen auf D = [ x 1 ; x 6 ] in x 1 ein globales Minimum und in x 3 ein globales Maximum. f hat in x ∈ D ein wenn ∃ ε > 0 ∀ ˜ x ∈ D mit | ˜ x − x | < ε gilt lokales Minimum f ( x ) ≤ f (˜ x ) (6.27) lokales Maximum f ( x ) ≥ f (˜ x ) (6.28) Im Schaubild S.37 hat f bezogen auf [ x 1 ; x 6 ] in x 3 , x 6 lokale Maxima, und in x 1 , x 5 lokale Minima. Extremum ist Oberbegrifffür Minimum bzw. Maximum. Notwendige Bedingung für ein lokales Extremum einer differenzierbaren Funktion in einem offenen Intervall D =] a ; b [: f hat in x ∈ D ein lokales Extremum ⇒ f ′ ( x ) = 0 (6.29) Hinreichende Bedingungen für lokales Extremum von f in x ∈ ] a ; b [ mit f ′ ( x ) = 0: Bedingung erster Ordnung: Mit D ′ =] x − δ ; x + δ [ mit (geeignet kleinem) δ > 0: Wenn ∀ ˜ x ∈ D ′ Art des Extremums von f f ′ (˜ x )(˜ x − x ) ≥ 0 lokales Minimum (6.30) f ′ (˜ x )(˜ x − x ) ≤ 0 lokales Maximum (6.31) 45222_Terveer_griffleiste.indd 38 06.09.2019 11: 42: 20 <?page no="39"?> Mathematik 6.2 Rationale Funktionen 39 Bedingung zweiter Ordnung für 2 × differenzierbares f : Wenn Art des Extremums von f f ′′ ( x ) > 0 lokales Minimum (6.32) f ′′ ( x ) < 0 lokales Maximum (6.33) Extrema für konvexes/ konkaves f : Für differenzierbares f und x ∈ D mit f ′ ( x ) = 0: Wenn Art des Extremums von f in x f auf D konvex und f ′ ( x ) = 0 globales Minimum (6.34) f auf D konkav und f ′ ( x ) = 0 globales Maximum (6.35) Randwertvergleich f stetig, mit kleinstem lok. Minimum u , größtem lok. Maximum v und 2 : g 1 : = lim x →−∞ f ( x ), g 2 : = lim x →∞ f ( x ), x ∨ y = max( x, y ), x ∧ y = min( x, y ) Das Minimum liegt in wenn Maximum liegt in wenn D = [ a ; b ] { u, a, b } { u, a, b } (6.36) D = R u g 1 ∧ g 2 ≥ f ( u ) v g 1 ∨ g 2 ≤ f ( v ) (6.37) D = [ a ; ∞ [ { u, a } g 2 ≥ f ( u ) ∧ f ( a ) { v, a } g 2 ≤ f ( v ) ∨ f ( a ) (6.38) D =] − ∞ ; b ] { u, b } g 1 ≥ f ( u ) ∧ f ( b ) { v, b } g 1 ≤ f ( v ) ∨ f ( b ) (6.39) Wendestellen x ∈ D heißt Wendestelle von f , wenn es ein δ > 0 gibt, so dass f auf ] x − δ ; x ] und [ x ; x + δ [ unterschiedliches Krümmungsverhalten hat 3,4 . Notwendige Bedingung bei 2 × differenzierbarem f : f hat in x ∈ D Wendestelle ⇒ f ′′ ( x ) = 0 (6.40) Hinreichende Bedingung bei 3 × differenzierbarem f : f ′′ ( x ) = 0 und f ′′′ ( x ) = 0 ⇒ f hat in x ∈ D Wendestelle. (6.41) 6.2 Rationale Funktionen Ganzrationale Funktionen Normalform f ( x ) = p ( x ) = a 0 + a 1 x + · · · + a n x n mit a n = 0 (6.42) Grad n (6.43) Leitkoeffizient a n (6.44) normiertes Polynom ein Polynom mit Leitkoeffizient 1 (6.45) Monom (vom Grad n ) p ( x ) = x n (6.46) Faktorisierung p ( x ) = p 1 ( x ) · p 2 ( x ) mit Polynomen p 1 , p 2 (6.47) Polynome vom Grad n = 0 sind konstant. Hier ist auch a 0 = 0 möglich. Spezialfall lineare Funktion ( n = 1) Normalform f ( x ) = ax + b (6.48) Punkt-Steigungs-Form f ( x ) = a ( x − x 0 ) + y 0 mit ( x 0 | y 0 ) ∈ G f (6.49) Linearform f ( x ) = a ( x − x 1 ) mit x 1 = − b a (6.50) 2 es sei angenommen, dass die in den Aussagen genannten Grenzwerte jeweils existieren. 3 d.h. Wechsel von streng konvex nach streng konkav oder umgekehrt. 4 Im Schaubild S.37 ist x 4 eine Wendestelle von f . 45222_Terveer_griffleiste.indd 39 06.09.2019 11: 42: 21 <?page no="40"?> 40 6 Funktionen einer Variable Spezialfall quadratische Funktion ( n = 2) Normalform f ( x ) = ax 2 + bx + c = a ( x 2 + px + q ) mit p = b/ a , q = c/ a (6.51) Scheitelpunktform f ( x ) = a ( x − x 0 ) 2 + y 0 (6.52) Scheitelpunkt ( x 0 | y 0 ) = ( − b 2 a | c − b 2 4 a ) (6.53) Linearform f ( x ) = a ( x − x 1 )( x − x 2 ) (nur falls D = p 2 4 − q ≥ 0) (6.54) mit x 1 , 2 = − p 2 ± √ D Spezialfall kubische bzw. ertragsgesetzliche Funktion. ( n = 3) Normalform f ( x ) = ax 2 + bx + cx + d = a ( x 3 + Ax 2 + Bx + C ) mit A = b a , B = c a , C = d a (6.55) reduzierte Form f ( x ) = a ( z 3 + pz + q ) mit z = x + A 3 , p = B − A 2 3 , q = 2 A 3 27 − AB 3 + C (6.56) Koeffizientenvergleich Zwei Polynome in Normalform p 1 ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x + · · · + a n x n , p 2 ( x ) = b 0 + b 1 x + b 2 x 2 + · · · + b m x m sind genau dann gleich, wenn gilt: n = grad ( p 1 ) = grad ( p 2 ) und a i = b i für alle i = 1 , . . . , n . (6.57) Gebrochen-rationale Funktion eine Funktion f ( x ) = p ( x ) q ( x ) (6.58) mit Polynomen p, q . Nullstellen von q sind Definitionslücken von f . Nullstellen eines Polynoms werden auch Wurzeln genannt. Nullstellen für Polynome vom Grad ≤ 3 f ( x ) = ax + b mit a = 0 x = − b / a (6.59) f ( x ) = x 2 + px + q mit Diskriminante ∆ = p 2 / 4 − q ≥ 0 x = − p / 2 ± √ ∆ (6.60) f ( x ) = x 3 + px + q mit Diskriminante ∆ = q 2 / 4 + p 3 / 27 ∆ = 0, p = 0 x = 0 (6.61) ∆ = 0, p = 0 x 1 = 3 q p , x 2 = − 3 q 2 p (6.62) ∆ > 0 x = u + v mit u 3 = − q 2 + √ ∆, v 3 = − q 2 − √ ∆ (6.63) ∆ < 0 ( ⇒ p < 0) x 1 = √ − 4 p/ 3 · cos( 13 arccos( − q 2 · √ − 27 / p 3 ) ) (6.64) x 2 = − √ − 4 p/ 3 · cos( 13 arccos( − q 2 · √ − 27 / p 3 ) + π 3 ) (6.65) x 3 = − √ − 4 p/ 3 · cos( 13 arccos( − q 2 · √ − 27 / p 3 ) − π 3 ) (6.66) Polynome mit ungeradem Grad haben eine reelle Nullstelle. Nullstellen von Polynomen ab Grad 3 werden numerisch angenähert, z.B. mit dem Newton-Verfahren, vgl. (6.2). 45222_Terveer_griffleiste.indd 40 06.09.2019 11: 42: 22 <?page no="41"?> Mathematik 6.2 Rationale Funktionen 41 Vielfachheit n f ( x 0 ) : = k der Nullstelle x 0 eines Polynoms f ( x ) = v ( x )( x − x 0 ) k , k ≥ 0, dabei ist v ein Polynom mit v ( x 0 ) = 0. Für k ≥ 2 hat f in x 0 ein lokales Extremum, wenn k gerade ist, eine Wendestelle, wenn k ungerade ist. Horner-Schema zur Faktorisierung und Funktionswertberechnung a n a n − 1 · · · a 1 a 0 x 0 0 b n − 1 x 0 · · · b 1 x 0 b 0 x 0 Summe b n − 1 b n − 2 · · · b 0 p ( x 0 ) (6.67) b n − 1 = a n , b m = a m +1 + b m +1 x 0 , p ( x 0 ) = a 0 + b 0 x 0 (6.68) p ( x ) = p ( x 0 ) + ( x − x 0 )( b 0 + b 1 x + · · · + b n − 1 x n − 1 ) (6.69) (6.70) Polynomdivision: p ( x ) − p ( x 0 ) x − x 0 = b n − 1 x n − 1 + b n − 2 x n − 2 + · · · + b 1 x + b 0 (6.71) Nullstellen-Vielfachheit und Polstellen gebrochen-rationaler Funktionen Nullstellen sind immer die Nullstellen des Zählerpolynoms, die keine Definitionslücken sind. Eine gebrochen-rationale Funktion f ( x ) = p ( x ) q ( x ) = ( x − x 0 ) k v ( x ) ( x − x 0 ) w ( x ) mit Vielfachheiten k im Zähler, im Nenner hat im Fall k ≥ eine hebbare Definitionslücke in x 0 , hebbar durch 0, wenn k > (6.72) v ( x 0 ) / w ( x 0 ) wenn k = (6.73) Im Falle k < hat f in x 0 eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei geradem − k (6.74) Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei ungeradem − k . (6.75) Partialbruchzerlegung Sind p, q Polynome mit grad ( p ) < grad ( q ) und q ( x ) = q 1 ( x ) q 2 ( x ) mit Polynomen q 1 , q 2 ohne gemeinsame Nullstelle, so gibt es Polynome p 1 , p 2 mit grad ( p i ) < grad ( q i ) und 5 p ( x ) q ( x ) = p 1 ( x ) q 1 ( x ) + p 2 ( x ) q 2 ( x ) (6.76) Für eine rationale Funktion f ( x ) = p ( x ) / ( x − t ) k mit p ( t ) = 0 und grad ( p ) < k gibt es eine Partialbruchzerlegung der Form 5 p ( x ) ( x − t ) k = A 1 x − t + A 2 ( x − t ) 2 + · · · + A k ( x − t ) k (6.77) 5 Ansatz: Koeffizientenvergleich von p ( x ) und p 1 ( x ) q 2 ( x ) + p 2 ( x ) q 1 ( x ) bzw. A 1 ( x − t ) k − 1 + A 2 ( x − t ) k − 2 + · · · + A k . 45222_Terveer_griffleiste.indd 41 06.09.2019 11: 42: 23 <?page no="42"?> 42 6 Funktionen einer Variable Ableitungen und Stammfunktionen Für Polynome f ( x ) = a 0 + a 1 x + · · · + a n x n : f ′ ( x ) = 0 + a 1 + 2 a 2 x · · · + na n x n − 1 (6.78) ∫ f ( x ) dx = a 0 x + 12 a 1 x 2 + · · · + 1 n +1 a n x n +1 (6.79) Für gebrochen-rationale Funktionen f ( x ) = p ( x ) / q ( x ) f ′ ( x ) = p ′ ( x ) q ( x ) − p ( x ) q ′ ( x ) q ( x ) 2 (6.80) ∫ f ( x ) dx = ln( q ( x )), falls p ( x ) = q ′ ( x ) (6.81) anderenfalls Partialbruchzerlegung und summandenweise Integration 6.3 Exponentialfunktion, Logarithmus und Potenz Rechenregeln für Exponentiale und Logarithmen ( a, b > 0 , x, y ∈ R , n ∈ N) a x + y = a x · a y (6.82) ( a x ) r = a r · x (6.83) a 0 = 1 (6.84) a 1 = a (6.85) a n = a · · · · · a ( n Faktoren) (6.86) b x = a x · log a ( b ) = e x · ln( b ) (6.87) log a ( x · y ) = log a ( x ) + log a ( y ) (6.88) log a ( x r ) = r · log a ( x ) (6.89) log a (1) = 0 (6.90) log a ( a ) = 1 (6.91) log a ( a x ) = x (6.92) log b ( x ) = log a ( x ) log a ( b ) = ln( x ) ln( a ) (6.93) Exponentialfunktion f : R → R, f ( x ) = a x zur Basis a > 0 hat keine Nullstellen. (6.94) ist konvex. (6.95) ist streng isoton für a > 1 und streng antiton für a < 1. (6.96) hat die Ableitung f ′ ( x ) = ln( a ) · a x (6.97) hat Stammfunktion ∫ f ( x ) dx = 1 ln( a ) a x (6.98) (Eulersche) Exponentialfunktion (e-Funktion) x → f ( x ) = exp( x ) = e x (6.99) Ihre Basis ist die eulersche Zahl e = lim m →∞ (1 + 1 m ) m = ∞ ∑ k =0 1 k ! = 2 , 71828 . . . (6.100) Abschätzung: e x ≥ 1 + x ∀ x ∈ R (6.101) Die e -Funktion ist die einzige differenzierbare Funktion mit den beiden Eigenschaften f (0) = 1 (6.102) Ableitung f ′ ( x ) = f ( x ). (6.103) Stammfunktion der e-Funktion ist ∫ e x dx = e x (6.104) Logarithmusfunktion durch Umkehrung der Exponentialfunktion zur Basis a > 0: y = log a ( x ) ⇔ x = a y (6.105) 45222_Terveer_griffleiste.indd 42 06.09.2019 11: 42: 24 <?page no="43"?> Mathematik 6.3 Exponentialfunktion, Logarithmus und Potenz 43 Natürlicher Logarithmus f ( x ) = ln( x ) = log e ( x ) (6.106) Dekadischer Logarithmus lg( x ) = log 10 ( x ) (6.107) Dyadischer Logarithmus ld( x ) = log 2 ( x ) (6.108) Die Logarithmusfunktion x → f ( x ) = log a ( x ) hat nur eine Nullstelle, log a (1) = 0 (6.109) ist streng monoton wachsend und konkav für a > 1, (6.110) ist streng monoton fallend und konvex für 0 < a < 1. (6.111) hat die Ableitung f ′ ( x ) = 1 / ( x ln( a )) (6.112) hat Stammfunktion ∫ f ( x ) dx = ( x ln( x ) − x ) / ln( a ) (6.113) Potenz und Wurzel: a p/ q = q √ a p für a > 0 , p ∈ N 0 , q ∈ N (6.114) Dabei ist 6 q √ a = a 1 / q (positive) Lösung der Gleichung x q = a . (6.115) Verträglichkeit von Potenz mit Produkt bzw. Summe Produktbildung: ( xy ) a = x a · y a ∀ x, y > 0 , a ∈ R . (6.116) Summenbildung: Binomische Formel ( x + y ) n = n ∑ k =0 ( n k ) x k y n − k ∀ x, y ∈ R , n ∈ N (6.117) Dabei ist für n ∈ N 0 , k ∈ { 0 , . . . , n } der Binomialkoeffizient 7 ( n k ) : = n ! k ! ( n − k )! = n ( n − 1) · · · ( n − k + 1) k ( k − 1) · · · 2 · 1 (6.118) Die Funktion x → f ( x ) = x a , x > 0 (bzw. x ≥ 0 für a > 0) (6.119) mit a ∈ R heißt Potenzfunktion (Cobb-Douglas-Funktion). Die Potenzfunktion (nur) für a > 0 die Nullstelle x = 0 und ist streng monoton wachsend und konvex für a > 0, (6.120) streng monoton fallend und konkav für für a < 0. (6.121) Ableitung und Stammfunktion Ableitung der Potenzfunktion ist f ′ ( x ) = ax a − 1 (6.122) Stammfunktion für a ∈ R ist ∫ x a dx = { x a +1 / ( a + 1) a = − 1 ln( x ) a = 1 (6.123) 6 q -te Wurzel von a > 0 7 lies: „ n über k “ 45222_Terveer_griffleiste.indd 43 06.09.2019 11: 42: 25 <?page no="44"?> 44 6 Funktionen einer Variable 6.4 Trigonometrische Funktionen Sinus und Cosinus beschreiben die Koordinaten von Punkten des Einheitskreises in Abhängigkeit vom Winkel 8 ϕ ∈ [0; 2 π ], Tangens und Cotangens die Verhältnisse der Koordinaten. tan( φ ) = sin( φ ) / cos( φ ) cot( φ ) = cos( φ ) / sin( φ ) Funktionswerttabelle für Werte von x im Bogenmaß und Gradmaß 9 α ∈ [0 ◦ ; 360 ◦ ]: x 0 π 4 π 3 π 2 2 π 3 3 π 4 π 5 π 4 4 π 3 3 π 2 5 π 3 7 π 4 2 π α 0 ◦ 45 ◦ 60 ◦ 90 ◦ 120 ◦ 135 ◦ 180 ◦ 225 ◦ 240 ◦ 270 ◦ 300 ◦ 315 ◦ 360 ◦ sin( x ) 0 1 / √ 2 √ 3 / 2 1 √ 3 / 2 1 / √ 2 0 − 1 / √ 2 − √ 3 / 2 − 1 − √ 3 / 2 − 1 / √ 2 0 cos( x ) 1 1 / √ 2 1 / 2 0 − 1 / 2 − 1 / √ 2 − 1 − 1 / √ 2 − 1 / 2 0 1 / 2 1 / √ 2 1 tan( x ) 0 1 √ 3 −√ 3 − 1 0 1 √ 3 −√ 3 − 1 0 cot( x ) 1 1 / √ 3 0 − 1 / √ 3 − 1 1 1 / √ 3 0 − 1 / √ 3 − 1 Phasenverschiebung: sin( x ) = cos( π/ 2 − x ) (6.124) 2 π -Periodizität: sin( x + 2 π ) = sin( x ) , cos( x + 2 π ) = cos( x ) (6.125) Symmetrieeigenschaften: cos( − x ) = cos( x ) , sin( − x ) = − sin( x ) (6.126) Trigonometrischer Pythagoras sin 2 ( x ) + cos 2 ( x ) = 1 (6.127) Additionstheoreme: sin( x + y ) = sin( x ) cos( y ) + sin( y ) cos( x ) (6.128) cos( x + y ) = cos( x ) cos( y ) − sin( x ) sin( y ) (6.129) Umkehrfunktionen sin und tan sind umkehrbar auf ] − π 2 ; π 2 [, cos und cot sind umkehrbar auf ]0; π [. Die entsprechenden Umkehrfunktionen heißen arcsin , arccos , arctan , arccot. 8 Die Kreiskonstante π ≈ 3 , 1415927 ist der halbe Umfang des Kreises mit Radius 1 und Grundlage der Winkelmessung im Bogenmaß. Hier entspricht jeder Winkel der Länge des dem Winkel zugehörigen Kreisbogens, z.B. der Vollkreiswinkel dem Umfang 2 π des Einheitskreises und der rechte Winkel dem Viertelkreisbogen mit der Länge π/ 2. 9 Umrechnung von x (Bogenmaß) in α (Gradmaß): α = 180 x/ π . 45222_Terveer_griffleiste.indd 44 06.09.2019 11: 42: 26 <?page no="45"?> Mathematik 6.7 Indikatorfunktion 45 Ableitungen und Stammfunktionen f ( x ) = sin( x ) cos( x ) tan( x ) cot( x ) f ′ ( x ) = cos( x ) − sin( x ) 1 cos 2 ( x ) − 1 sin 2 ( x ) ∫ f ( x ) dx = − cos( x ) sin( x ) − ln | cos( x ) | ln | sin( x ) | f ( x ) = arcsin( x ) arccos( x ) arctan(x) arccot(x) f ′ ( x ) = 1 √ 1 − x 2 − 1 √ 1 − x 2 1 1 + x 2 − 1 1 + x 2 ∫ f ( x ) dx = x arcsin( x ) x arccos( x ) x arctan( x ) x arccot( x ) + √ 1 − x 2 −√ 1 − x 2 − 12 ln(1 + x 2 ) + 12 ln(1 + x 2 ) 6.5 Gamma-Funktion Γ( x ) = ∫ ∞ 0 t x − 1 e − t dt für x > 0 (6.130) Γ( x + 1) = x · Γ( x ) für x > 0 (6.131) Γ( n + 1) = n ! für n ∈ N (6.132) Γ(1) = 1, Γ( 12 ) = √ π (6.133) 6.6 Betrag und Betragsfunktion (Absolut-)Betrag | x | = { x für x ≥ 0 − x für x < 0 (6.134) Für x, y ∈ R gilt: | x | = max( − x, x ) (6.135) | xy | = | x | · | y | (6.136) | x + y | ≤ | x | + | y | (Dreiecksungleichung) (6.137) Die Betragsfunktion x → | x | ist stetig und (nur) in x = 0 nicht differenzierbar. Vorzeichenfunktion: sgn( x ) = { x/ | x | für x = 0 0 für x = 0 , sgn( x ) ∈ {− 1 , 0 , 1 } (6.138) 6.7 Indikatorfunktion Für A ⊆ R: 1 A : R → { 0 , 1 } , 1 A ( x ) = { 1 falls x ∈ A 0 falls x / ∈ A (6.139) Regeln für die Indikatorfunktion Für Mengen A, B ⊆ R und alle x ∈ R gilt: Komplement 1 A c ( x ) = 1 − 1 A ( ω ) (6.140) Schnitt 1 A ∩ B ( x ) = 1 A ( x )1 B ( x ) = min(1 A ( x ) , 1 B ( x ) (6.141) Vereinigung 1 A ∪ B ( x ) = max(1 A ( x ) , 1 B ( x )) = 1 A ( x ) + 1 B ( x ) − 1 A ∩ B ( x ) (6.142) Symm. Differenz 1 A ∆ B ( x ) = | 1 A ( x ) − 1 B ( x ) | (6.143) 45222_Terveer_griffleiste.indd 45 06.09.2019 11: 42: 26 <?page no="46"?> 45222_Terveer_griffleiste.indd 46 06.09.2019 11: 42: 27 <?page no="47"?> Mathematik 7 Differentialrechnung 7.1 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen Funktionsgrenzwert von f : D ⊆ R → R in x 0 ∈ D ist 1,2 lim x → x 0 f ( x ) : = y ∈ R, (7.1) wenn für jede beliebige Folge ( x n ) n ∈ N in D mit lim n →∞ x n = x 0 gilt lim n →∞ f ( x n ) = y . Funktionsgrenzwert gegen ∞ ist 3 lim x →∞ f ( x ) : = y ∈ R, (7.2) wenn für jede Folge ( x n ) n ∈ N mit lim n →∞ x n = ∞ gilt lim n →∞ f ( x n ) = y Grenzwertsätze Falls lim x → x 0 f i ( x ) = y i ∈ R, i = 1 , 2 für Funktionen f 1 , f 2 , so folgt 4 : lim x → x 0 ( f 1 ( x ) ± f 2 ( x )) = y 1 ± y 2 , (7.3) lim x → x 0 ( f 1 ( x ) f 2 ( x )) = y 1 y 2 . (7.4) lim x → x 0 ( f 1 ( x ) / f 2 ( x )) = y 1 / y 2 , sofern y 2 = 0. (7.5) lim x → x 0 h ( f 1 ( x )) = h ( y 1 ) für stetige Funktion h mit W f 1 ⊆ D h ˙ (7.6) Spezielle Funktionsgrenzwerte Für Polynome p ( x ) = ( x − x 0 ) n p ˜ p ( x ) mit Leitkoeffizient a , n p = n p ( x 0 ), q ( x ) = ( x − x 0 ) n q ˜ q ( x ) mit Leitkoeffizient b , n q = n q ( x 0 ): lim x →∞ f ( x ) f ( x ) = p ( x ) / q ( x ) grad ( p ) < grad ( q ) 0 (7.7) grad ( p ) = grad ( q ) a/ b (7.8) grad ( p ) > grad ( q ) divergent (7.9) f ( x ) = p ( x ) / e x 0 (7.10) f ( x ) = x k ln( x ) Regel von L’Hospital, wenn Grenzwerte f ( x ) = g ( x ) h ( x ) lim x →∞ f ′ ( x ) g ′ ( x ) (7.11) lim x → x 0 f ( x ) n p > n q 0 (7.12) n p = n q ˜ p ( x 0 ) / ˜ q ( x 0 ) (7.13) n p < n q divergent (7.14) für x 0 = 0 0 (7.15) im Zähler und Nenner beide 0 bzw. ∞ sind: lim x → x 0 f ′ ( x ) g ′ ( x ) (7.16) 1 Sinngemäß auch uneigentliche Grenzwerte lim x → x 0 f ( x ) = ∞ bzw. = −∞ (bestimmte Divergenz). 2 Sinngemäß auch für Funktionen mehrerer Variablen, dann werden Zahlenfolgen durch Punktfolgen ersetzt. 3 Sinngemäß auch Grenzwerte lim x →∞ f ( x ) = ∞ bzw. = −∞ (bestimmte Divergenz). 4 Alle Aussagen gelten sinngemäß auch für uneigentliche Grenzwerte, d.h. bei Übergängen x → ∞ , x → −∞ 45222_Terveer_griffleiste.indd 47 06.09.2019 11: 42: 28 <?page no="48"?> 48 7 Differentialrechnung Stetigkeit f : D → R heißt stetig in x (0) ∈ D, wenn lim x → x (0) f ( x ) = f ( x (0) ). (7.17) Innerhalb ihrer Definitionsbereiche 5,6 D jeweils stetig sind Polynomfunktionen, Exponential- und Logarithmusfunktion, Potenzfunktionen, alle trigonometrischen Funktionen, Koordinatenfunktionen ( x 1 , . . . , x n ) → x j , j ∈ { 1 , . . . , n } , die Terme f ± g , f · g , f/ g zu stetigen Funktionen f, g : D → R, Verkettungen f ◦ g in x (0) , wenn g in x (0) und f in g ( x (0) ) stetig ist. 7.2 Partielle Ableitung und Differential Gegeben eine Funktion f : D ⊆ R n → R Partielle Ableitung ∂f ∂x j ( x 1 , . . . , x n ) = lim h → 0 f ( x 1 , . . . , x j + h , . . . , x n ) − f ( x 1 , . . . , , x j , . . . , x n ) h (7.18) (falls Grenzwert existiert). Andere Schreibweisen: ∂f ∂x j bzw. ∂f/ ∂x j Gradient ∇ f ( x ) = ∇ f ( x 1 , . . . , x n ) = ( ∂f ∂x 1 , . . . , ∂f ∂x n ) T (7.19) f heißt partiell differenzierbar in D, wenn ∇ f ( x ) für alle x ∈ D existiert Differential von f : D → R in innerem Punkt x ∈ D ist ein Vektor D f ( x ) ∈ R n mit lim h → ¯0 f ( x + h ) − f ( x ) − 〈 Df ( x ) , h 〉 ‖ h ‖ = 0 (7.20) f heißt (total) differenzierbar in D, wenn (7.20) für alle x ∈ D gilt. Jacobi-Matrix einer mehrwertigen Funktion f = ( f 1 , . . . , f m ) T : D → R m ist die Matrix J f ( x ) : = ∂f ∂x : =  ∂f 1 ∂x 1 · · · ∂f 1 ∂x n ... ... ∂f m ∂x 1 · · · ∂f m ∂x n  (7.21) 5 Dabei jeweils D ⊆ R oder D ⊆ R n 6 d.h. mit Ausnahme von Definitionslücken 45222_Terveer_griffleiste.indd 48 06.09.2019 11: 42: 29 <?page no="49"?> Mathematik 7.4 Mehrdimensionale Kettenregeln 49 Zusammenhänge Ist f in D total differenzierbar, dann auch partiell differenzierbar, und ∀ x ∈ D gilt Df ( x ) = ∇ f ( x ) (7.22) Ist f in D partiell differenzierbar mit stetigen partiellen Ableitungen ∂f/ ∂x j , dann ist f in D total differenzierbar. 7.3 Ableitungen bei Funktionen einer Variable Eine Funktion f einer Variablen ist genau dann partiell differenzierbar, wenn sie total differenzierbar ist. Man nennt sie dann differenzierbar mit Ableitung f ′ ( x ) = lim h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h , x ∈ D (7.23) Ableitungsregeln Für f, g : D → R differenzierbar und c ∈ R gilt: Faktorregel ( cf ) ′ ( x ) = cf ′ ( x ) (7.24) Summenregel ( f + g ) ′ ( x ) = f ′ ( x ) + g ′ ( x ) (7.25) Produktregel ( f g ) ′ ( x ) = f ′ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′ ( x ) (7.26) Quotientenregel ( f g ) ′ ( x ) = f ′ ( x ) g ( x ) − f ( x ) g ′ ( x ) g ( x ) 2 (7.27) Kettenregel ( h ◦ f ) ′ ( x ) = h ′ ( f ( x )) f ′ ( x ) für h : f (D) → R differenzierbar (7.28) Regeln übertragen sich sinngemäß auf partielle Ableitungen. Häufige Ableitungen und Stammfunktionen f ( x ) f ′ ( x ) ∫ f ( x ) dx f ( x ) f ′ ( x ) ∫ f ( x ) dx x a ax a − 1 x a +1 / ( a + 1) ln( x ) 1 x x ln( x ) − x a x a x ln( a ) a x / ln( a ) sin( x ) cos( x ) − cos( x ) e x e x e x cos( x ) − sin( x ) sin( x ) log a ( x ) 1 x ln( a ) x ln( x ) − x ln( a ) tan( x ) 1 cos 2 ( x ) − ln | cos( x ) | Weitere Ableitungen und Stammfunktionen vgl. Abschnitte 6.2, 6.3 und 6.4. Stammfunktionen sind eindeutig bis auf eine additive Konstante c ∈ R, siehe (8.2). 7.4 Mehrdimensionale Kettenregeln Für f : D ⊆ R n → R und h : f (D) → R, bzw. g 1 , . . . , g n : [ a ; b ] → R differenzierbar mit ( g 1 ( t ) , . . . , g n ( t )) T ∈ D gilt: ∂ ( h ◦ f ) ∂x j ( x 1 , . . . , x n ) = h ′ ( f ( x 1 , . . . , x n )) · ∂f ∂x j ( x 1 , . . . , x n ) (7.29) ∂ ( f ◦ ( h 1 , . . . , h n )) ∂t ( t ) = n ∑ k =1 ∂f ∂x k ( h 1 ( t ) , . . . , h n ( t ) ) · h ′ k ( t ) (7.30) 45222_Terveer_griffleiste.indd 49 06.09.2019 11: 42: 30 <?page no="50"?> 50 7 Differentialrechnung 7.5 Ableitungsbegriffe auf Grundlage des Differentials f : D → R sei in x (0) = ( x (0) 1 , . . . , x (0) n ) T ∈ D differenzierbar, y 0 = f ( x (0) ). Richtungsableitung von f in x (0) in Richtung d ∈ R n ist Df ( x (0) , d ) : = lim h → 0 f ( x (0) + h · d ) − f ( x (0) ) h = 〈 ∇ f ( x (0) ) , d 〉 (7.31) Der steilste Anstieg Df ( x (0) , d ) unter ‖ d ‖ = 1 ist ‖∇ f ( x (0) ) ‖ . Die Richtung des steilsten Anstiegs 7 von f in x (0) ist d = ∇ f ( x (0) ) (7.32) Für jede Richtung d mit 〈∇ f ( x (0) ) , d 〉 = 0 ist { x (0) + td : t ∈ R } (7.33) eine Tangente an die Niveaumenge (Iso-Quante) N f ( y 0 ) : = f − 1 ( { y 0 } ) = { x ∈ D : f ( x ) = y 0 } (7.34) (Partielle) Elastizität von f nach x j in x (0) im Fall von f ( x (0) ) = 0 ist ε f,j ( x (0) ) : = x (0) j · ∂f ∂x j ( x (0) ) f ( x (0) ) (7.35) Hat f nur eine Variable x , so schreibt man ε f ( x ) = x · f ′ ( x ) f ( x ) (7.36) Elastizitätsgradient von f in x (0) ist ε f ( x (0) ) : = ( ε f, 1 ( x (0) ) , . . . , ε f,n ( x (0) )) T (7.37) Richtungselastizität von f in x (0) in Richtung d = ( d 1 , . . . , d n ) T ∈ R n ist ε f ( x (0) , d ) : = 〈 ε f ( x (0) ) , d 〉 (7.38) Ändern sich die Inputs x (0) j jeweils um d j Prozent (mit d j ≈ 0), so ändert sich der Output f ( x (0) ) um etwa ε f ( x (0) , d ) Prozent. 7 jeder andere Vektor ˜ d = αd mit α > 0 zeigt ebenfalls in die Richtung des steilsten Anstiegs bzw. mit α < 0 in die Richtung des steilsten Abstiegs. 45222_Terveer_griffleiste.indd 50 06.09.2019 11: 42: 31 <?page no="51"?> Mathematik 7.6 Homogene Funktionen 51 Implizite Ableitungen Für ∂f ∂x k ( x (0) ) = 0 und y 0 = f ( x (0) ) wird die Variable x k auf der Niveaumenge N f ( y 0 ) (lokal) zu einer differenzierbaren Funktion (implizite Funktion) der übrigen Variablen mit partiellen (impliziten) Ableitungen ∂x k ∂x j ( x (0) ) = − ∂f ∂x j ( x (0) ) / ∂f ∂x k ( x (0) ) (7.39) Substitutionsgrenzrate (GRS) von f zwischen x k und x j z = GRS ( x k | x j ) : = ∂x k ∂x j ( x (0) ) = − ∂f ∂x j ( x (0) ) / ∂f ∂x k ( x (0) ) (7.40) sie beschreibt die Änderungsrate für x k , wenn f ( x ) = y 0 bei Änderung von x j konstant bleiben soll, es gilt 8,9 für ∆ ≈ 0 f ( . . . , x j + ∆ , . . . , x k + z · ∆ , . . . ) ≈ y 0 (7.41) Substitutionselastizität zwischen x k und x j ist die Elastizität von t = x k / x j als Funktion von z = GRS ( x k | x j ), d.h. SEL ( x k | x j ) : = ε x k / x j ( GRS ( x k | x j )) (7.42) SEL ( x k | x j ) = − ∂f ∂x j · ∂f ∂x k x j · x k · ( x j · ∂f ∂x j + x k · ∂f ∂x k ) ∂ 2 f ∂x 2 j · ( ∂f ∂x k ) 2 − 2 · ∂ 2 f ∂x j x k · ∂f ∂x j · ∂f ∂x k + ∂ 2 f ∂x 2 k · ( ∂f ∂x j ) 2 (7.43) 7.6 Homogene Funktionen Eine Funktion f : D ⊆ R n → R heißt homogen vom Grad 10 r , wenn für alle x ∈ R n und λ ∈ R mit λx ∈ D gilt f ( λx ) = λ r f ( x ) (7.44) Ist f : D → R differenzierbar und r -homogen, so gilt: x → Df ( x, d ) ist homogen vom Grad r − 1 ∀ d ∈ R n . (7.45) Df ( x, x ) = rf ( x ) für alle x ∈ D (Euler-Formel). (7.46) ε f, 1 ( x ) + · · · + ε f,n ( x ) = r für alle x ∈ D. (7.47) CD-Funktionen f : ]0; ∞ [ n → R , f ( x 1 , . . . , x n ) = c · x a 1 1 · · · x a n n mit 11 c, a 1 , . . . , a n ∈ R sind homogen vom Grad r = a 1 + · · · + a n , (7.48) GRS ( x k | x j ) = − a j a k · x k x j , (7.49) SEL ( x k | x j ) = 1. (7.50) 8 hier für j < k , sinngemäß auch für j > k 9 d.h. ändert sich x j zu x j + ∆, so muss x k zu x k +∆ · GRS ( x k | x j ) geändert werden, um den Wert y 0 näherungsweise zu halten. 10 linear homogen: homogen vom Grad r = 1. 11 Definitionsbereich [0; ∞ [ n falls a i > 0 ∀ i . 45222_Terveer_griffleiste.indd 51 06.09.2019 11: 42: 33 <?page no="52"?> 52 7 Differentialrechnung CES-Funktionen f ( x 1 , . . . , x n ) = q √ c 0 + c 1 x q 1 + · · · + c n x qn mit c i ≥ 0, q = 0 sind 1-homogen für c 0 = 0, (7.51) GRS ( x k | x j ) = − a j a k ( x k x j ) 1 − q , (7.52) SEL ( x k | x j ) = 1 1 − q für q = 1. (7.53) 7.7 Ableitungen zweiter Ordnung Wird die partielle Ableitung ∂f/ ∂x i einer Funktion f : D → R noch einmal nach einer Variablen x j abgeleitet, so erhält man eine partielle Ableitung 2. Ordnung und schreibt D ij f ( x ) bzw. ∂ 2 f ∂x i ∂x j (7.54) Bei einer Variablen ist f ′′ die zweite Ableitung von f und Ableitung von f ′ , f ′′′ die Ableitung von f ′′ usw. Allgemein ist die n -te Ableitung f ( n ) erklärt durch f (0) ( x ) = f ( x ) , f ( n +1) ( x ) = ( f ( n ) ) ′ ( x ) , n ∈ N 0 , x ∈ D (7.55) Hesse-Matrix und Richtungskrümmung Bei zweimal stetig partiell differenzierbaren 12 Funktionen ist die Hesse-Matrix symmetrisch: H f ( x ) : =  D 11 f ( x ) · · · D 1 n f ( x ) ... ... D n 1 f ( x ) · · · D nn f ( x )  =  ∂ 2 f / ∂x 1 ∂x 1 · · · ∂ 2 f / ∂x 1 ∂x n ... ... ∂ 2 f / ∂x n ∂x 1 · · · ∂ 2 f / ∂x n ∂x n  (7.56) Taylor-Entwicklung zweiter Ordnung: lim d → ¯0 f ( x + d ) − f ( x ) − 〈∇ f ( x ) , d 〉 − 12 〈 d, H f ( x ) d 〉 ‖ d ‖ 2 = 0. (7.57) Richtungskrümmung von f in x in Richtung d 〈 d, H f ( x ) d 〉 (7.58) Konvexe und konkave Funktionen Falls D ⊆ R n konvex ist und für alle x, y ∈ D, λ ∈ ]0; 1[ gilt f ( λx + (1 − λ ) y ) ≤ λf ( x ) + (1 − λ ) f ( y ) (7.59) so heißt f : D → R konvex. Wenn in (7.59) das Ungleichungszeichen umgekehrt ist, so heißt f konkav. Eine 2-mal stetig partiell differenzierbare Funktion ist genau konvex (konkav), wenn H f ( x ) positiv (negativ) semidefinit ist ∀ x ∈ D. Eine hinreichende Bedingung für Konvexität (bzw. Konkavität) von f lautet: H f ( x ) ist positiv definit (bzw. negativ definit) ∀ x ∈ D. 12 d.h. die partiellen Ableitungen 2. Ordnung sind stetig. 45222_Terveer_griffleiste.indd 52 06.09.2019 11: 42: 34 <?page no="53"?> Mathematik 8 Integralrechnung 8.1 Stammfunktionen und unbestimmte Integrale F : D ⊆ R → R heißt Stammfunktion von f : D → R, wenn F differenzierbar ist mit F ′ ( x ) = f ( x ) (8.1) für alle x ∈ D. Man nennt F auch das unbestimmte Integral von f und schreibt 1 F ( x ) = ∫ f ( x ) dx bzw. F ( x ) = ∫ f ( x ) dx + c (8.2) Integrationsregeln Für f, g, h : D → R mit Stammfunktionen F, G, H und c ∈ R gilt: Faktorregel: ∫ cf ( x ) dx = c ∫ f ( x ) dx (8.3) Summenregel: ∫ ( f ( x ) + g ( x )) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx (8.4) Partielle Integration: ∫ f ( x ) G ( x ) dx = F ( x ) G ( x ) − ∫ F ( x ) g ( x ) dx (8.5) Substitutionsregel ∫ h ( F ( x )) F ′ ( x ) dx = H ( F ( x )) falls die Verkettung h ◦ F möglich ist (8.6) 8.2 Bestimmte Integrale Das bestimmte Integral einer (meist stetigen) Funktion f : [ a ; b ] → R ist erklärt als Grenzwert, d.h. ∫ b a f ( x ) dx : = lim m →∞ m ∑ i =1 f ( x mi )( b mi − a mi ) (8.7) mit Zerlegungsfolge ([ a m 1 ; b m 1 ] , . . . , [ a m 1 ; b m 1 ]) m ∈ N , d.h. a m 1 = a und b mm = b a m 1 ≤ b m 1 = a m 2 ≤ b m 2 · · · ≤ b m,m − 1 = a mm ≤ b mm x mi ∈ [ a mi ; b mi ] für i = 1 , . . . , m lim n →∞ F (( a m 1 , . . . , a mm ) , ( b m 1 , . . . , b mm )) = 0, vgl. Schaubild 2 : 1 Letzteres drückt aus, dass die Stammfunktion nur bis auf eine additive Konstante c ∈ R eindeutig bestimmt ist. In diesem Sinne können alle in Kapitel 6 und 7 aufgeführten Stammfunktionen durch Addition einer beliebigen Konstanten variiert werden. 2 Dabei heißt F (( a 1 , . . . , a m ) , ( b 1 , . . . , b m )) = max( b 1 − a 1 , . . . , b m − a m ) die Feinheit der Zerlegung von [ a ; b ] in Teilintervalle [ a 1 , b 1 ] , . . . , [ a m , b m ]. 45222_Terveer_griffleiste.indd 53 06.09.2019 11: 42: 35 <?page no="54"?> 54 8 Integralrechnung f heißt (Riemann)-integrierbar, wenn der Grenzwert in (8.7) für jede mögliche Zerlegungsfolge existiert und stets den gleichen Wert annimmt (z.B. für stetiges f ). Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Jede stetige Funktion f : [ a ; b ] → R besitzt eine Stammfunktion F : [ a ; b ] → R und für jede Stammfunktion gilt ∫ b a f ( x ) dx = [ F ( x ) ] b a : = F ( b ) − F ( a ) (8.8) Eine kleinere Übersicht von Stammfunktionen befindet sich auf S. 49. Einige weitere Stammfunktionen sind in den Abschnitten 6.2, 6.3 und 6.4 beschrieben. Integrationsregeln Für Funktionen f, g, h mit Stammfunktionen F, G, H und c ∈ R gilt: Faktorregel: ∫ b a cf ( x ) dx = c ∫ b a f ( x ) dx (8.9) Summenregel: ∫ b a ( f ( x ) + g ( x )) dx = ∫ b a f ( x ) dx + ∫ b a g ( x ) dx (8.10) Partielle Integration: ∫ b a f ( x ) G ( x ) dx = [ F ( x ) G ( x )] ba − ∫ b a F ( x ) g ( x ) dx (8.11) Substitutionsregel: ∫ b a h ( F ( x )) F ′ ( x ) dx = ∫ F ( b ) F ( a ) H ( z ) dz (8.12) Uneigentliche Integrale sind erklärt als Grenzwerte ∫ b −∞ f ( x ) dx : = lim a →−∞ ∫ b a f ( x ) dx (8.13) ∫ ∞ a f ( x ) dx : = lim b →∞ ∫ b a f ( x ) dx (8.14) ∫ ∞ −∞ f ( x ) dx : = ∫ x 0 −∞ f ( x ) dx + ∫ ∞ x 0 f ( x ) dx (8.15) mit beliebigem 3 x 0 ∈ R. Es gelten sinngemäß 4 die Regeln in 8.2. 8.3 Mehrfachintegrale Für eine (meist stetige) Funktion f : D ⊆ R n → R mit Quader D = [ a 1 , b 1 ] × · · · × [ a n , b n ] ist das Mehrfachintegral erklärt als Grenzwert 5 ∫ D f ( x ) dx = ∫ D f ( x 1 , . . . , x n ) dx 1 . . . dx n = lim m →∞ m ∑ i =1 f ( x mi ) V ( Q mi ) (8.16) mit Quader-Zerlegungsfolge ( Q m 1 , . . . , Q mm ) m ∈ N , d.h. 3 d.h. falls der Wert für ein x 0 ∈ R existiert, so ergibt sich der selbe Wert auch für jedes andere x 0 ∈ R. 4 d.h. bei Existenz der Grenzwerte 5 Dabei ist V ( Q mi ) das Volumen des Quaders Q mi . 45222_Terveer_griffleiste.indd 54 06.09.2019 11: 42: 37 <?page no="55"?> Mathematik 8.3 Mehrfachintegrale 55 ∀ m ist D = Q m 1 ∪ · · · ∪ Q mm ∀ m, i, j ist Q mi ∩ Q mj = ∅ für i = j ∀ m, i ist x mi ∈ Q mi , lim m →∞ F ( Q m 1 , . . . , Q mm )) = 0 . 6 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 2 4 6 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 2 4 6 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 2 4 6 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 2 4 6 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 f heißt (Riemann)-integrierbar, wenn der o.g. Grenzwert für jede mögliche Zerlegungsfolge existiert und stets den gleichen Wert annimmt (z.B. bei stetigem f ). Uneigentliche Mehrfachintegrale Die Berechnung kann oft 7 auf unbeschränkte Quader bis hin zu D = R n übertragen werden, dazu notwendig: Grenzwertübergänge, z.B. ∫ R n f ( x ) dx = lim K →∞ ∫ [ − K ; K ] n f ( x ) dx, ∫ [0; ∞ [ n f ( x ) dx = lim K →∞ ∫ [0; K ] n f ( x ) dx (8.17) Berechnung durch iterierte Einfachintegrale bei stetigem f : ∫ [ a 1 ,b 1 ] ×··· [ a n ,b n ] f ( x ) dx 1 . . . dx n = ∫ b 1 a 1 ( · · · ∫ b n a n f ( x 1 , . . . , x n ) dx n . . . ) dx 1 (8.18) (8.18) gilt auch bei anderer Integrationsreihenfolge und für f ≥ 0 sinngemäß auch bei Quadern mit (teilweise) uneigentlichen Integrationsgrenzen. Substitutionsregel D , E ⊆ R n seien offen, f : D → R eine stetige Funktion und g : E → D sei injektiv und differenzierbar mit Jacobi-Matrix J g ( x ). det( J g ( x )) sei auf E stets positiv oder stets negativ. Für jede kompakte Menge T ⊆ E, deren Indikatorfunktion 1 T integrierbar ist 8 , gilt ∫ g (T) f ( x ) dx = ∫ T f ( g ( t )) | det J g ( t ) | dt (8.19) Doppelintegral über Rechteck D = [ a 1 ; b 1 ] × [ a 2 ; b 2 ] bei stetiger Funktionen ∫ D f ( x 1 , x 2 ) dx 1 dx 2 = ∫ b 1 a 1 (∫ b 2 a 2 f ( x 1 , x 2 ) dx 2 ) dx 1 = ∫ b 2 a 2 (∫ b 1 a 1 f ( x 1 , x 2 ) dx 1 ) dx 2 (8.20) 7 z.B. für f ≥ 0. 8 Beispiele solcher Jordan-Mengen T sind beschränkte Quader und Kugeln. 45222_Terveer_griffleiste.indd 55 06.09.2019 11: 42: 38 <?page no="56"?> 56 8 Integralrechnung F : D → R heißt unbestimmtes Integral von f , wenn F zweimal stetig partiell differenzierbar ist mit D 12 F ( x, y ) = D 21 F ( x, y ) = f ( x, y ) ∀ ( x, y ) T ∈ D (8.21) Es gilt dann ∫ D f ( x ) dx = F ( a 2 , b 2 ) − F ( a 1 , b 2 ) − F ( a 2 , b 1 ) + F ( a 1 , b 1 ) (8.22) Normalgebiet mit vertikalen Schnitt-Intervallen 9,10 : D = { ( x, y ) T ∈ R 2 : a 1 ≤ x ≤ b 1 , a 2 ( x ) ≤ y ≤ b 2 ( x ) } (8.23) mit a 1 , b 1 ∈ R und stetigen Funktionen a 2 , b 2 : [ a ; b ] → R mit a 2 ( x ) ≤ b 2 ( x ): ∫ D f ( x, y ) dxdy = ∫ b 1 a 1 ( ∫ b 2 ( x ) a 2 ( x ) f ( x, y ) dy ) dx (8.24) Kreisringsektor K = { ( r cos( φ ) , r sin( φ )) T ∈ R 2 : r 1 ≤ r ≤ r 2 , φ 1 ≤ φ ≤ φ 2 } (8.25) wobei 0 ≤ r 1 ≤ r 2 , 0 ≤ φ 1 ≤ φ 2 < 2 π und f : K → R stetig. ∫ K f ( x, y ) dxdy = ∫ φ 2 φ 1 ∫ r 2 r 1 f ( r cos φ, r sin φ ) · r drdφ (8.26) 9 sinngemäß bei unbeschränkten Normalgebieten mittels uneigentlichen Integralen, z.B. im Spezialfall f ( x, y ) ≥ 0 ∀ x, y . 10 sinngemäß bei horizontalen Schnittintervallen (Vertauschung von x, y ) 45222_Terveer_griffleiste.indd 56 06.09.2019 11: 42: 39 <?page no="57"?> Mathematik 9 Optimierung differenzierbarer Funktionen Viele quantitative Fragestellungen der Ökonomie lassen sich als Optimierungsaufgaben mit Funktionen f, g 1 , . . . , g m , h 1 , . . . , h k : D ⊆ R n → R (9.1) in n Variablen formulieren. Im Folgenden seien alle auftretenden Funktionen differenzierbar. 9.1 Optimierung ohne Nebenbedingungen Man sagt, f hat in x (0) ein globales Minimum (bzw. Maximum), wenn f ( x (0) ) ≤ f ( x ) ∀ x ∈ D (bzw. f ( x (0) ) ≥ f ( x ) ∀ x ∈ D). Gilt dies nur für alle x in einer Umgebung B r ( x (0) ) ⊆ D mit r > 0, so spricht man von einem lokalen Minimum (bzw. Maximum). Notwendige Bedingung für lokales Extremum Wenn f in einem inneren Punkt x (0) ∈ D ein lokales Extremum hat, so sind dort alle partiellen Ableitungen Null: ∇ f ( x (0) ) = ¯0 (9.2) Ein solcher Punkt x (0) ∈ D heißt kritischer Punkt. Hinreichende Bedingung für lokales Extremum Gilt (9.2) in einem inneren Punkt x (0) ∈ D und ist zudem H f ( x (0) ) positiv (negativ) definit, dann hat f in x (0) ein lokales Minimum (Maximum). Konvexe Optimierung Eine konvexe (konkave) Funktion hat im kritischen Punkt ein globales Minimum (Maximum). 9.2 Optimierung mit Nebenbedingungen Vorgegeben: m Nebenbedingungen (NB) g 1 ( x ) = 0 , . . . , g m ( x ) = 0 in =-Form und k Nebenbedingungen h 1 ( x ) ≤ 0 , . . . , h k ( x ) ≤ 0 in ≤ -Form Ein Punkt x ∈ D heißt zulässig, wenn er alle NB erfüllt. 1 1 Im Folgenden werden nur zulässige Punkte x, x (0) , x (1) , . . . ∈ D betrachtet. 45222_Terveer_griffleiste.indd 57 06.09.2019 11: 42: 40 <?page no="58"?> 58 9 Optimierung differenzierbarer Funktionen Eine Ungleichungs-NB h ( x ) ≤ 0 heißt aktiv in x (0) , wenn h ( x (0) ) = 0 und inaktiv in x (0) , wenn h ( x (0) ) < 0. f hat im x (0) ∈ D ein globales Minimum (Maximum) unter den Nebenbedingungen, wenn für alle zulässigen x ∈ D gilt: f ( x (0) ) ≤ f ( x ) ( f ( x (0) ) ≥ f ( x )) (9.3) Gilt (9.3) lediglich für alle zulässigen x in einer (genügend kleinen) Umgebung B r ( x (0) ) ⊆ D mit r > 0, so spricht man von einem lokalen Minimum (Maximum) unter den Nebenbedingungen. Lagrange-Funktion L ( x, λ, µ ) : = f ( x ) + m ∑ j =1 λ j g j ( x ) + k ∑ =1 µ h ( x ) (9.4) mit λ = ( λ 1 , . . . , λ m ) T ∈ R m und µ = ( µ 1 , . . . , µ k ) T ∈ R k heißt Lagrange-Funktion mit den Lagrange-Multiplikatoren (LM) 2 λ 1 , . . . , λ m und µ 1 , . . . , µ k . Kuhn-Tucker-Bedingungen Die KT-Bedingungen lauten 3,4 mit LM λ 1 , . . . , λ m ∈ R, µ 1 , . . . , µ k ≥ 0, und x ∈ D ∂L ∂x j ( x, λ, µ ) = ∂f ∂x j ( x ) + m ∑ i =1 λ i · ∂g i ∂x j ( x ) + k ∑ =1 µ · ∂h ∂x j ( x ) = 0 , j = 1 , . . . , n (9.5) µ r h r ( x ) = 0, d.h. µ r = 0 oder h r ( x ) ≤ 0 ist aktiv in x , r = 1 , . . . , k (9.6) (9.6) sind die Bedingungen vom komplementären Schlupf (BKS). Ein zulässiges x ∈ D mit (9.5) und (9.6) heißt kritischer Punkt. Notwendige Bedingung für lokales Minimum Hat f in x (0) ein lokales Minimum unter NB mit l.u. NB-Gradienten, so gelten in x = x (0) die KT-Bedingungen (9.5) und (9.6). Bei einem lokalem Maximum gelten die KT-Bedingungen sinngemäß mit µ 1 , . . . , µ k ≤ 0. Hinreichende Bedingung für lokales Minimum f hat in x (0) ein lokales Minimum unter den NB, wenn gilt: Die KT-Bedingungen (9.5) und (9.6) sind in x = x (0) erfüllt, x = x (0) ist zulässig. Die Matrix H f ( x (0) ) + m ∑ i =1 λ i H g i ( x (0) ) + ∑ ∈L µ H h ( x (0) ) (9.7) ist positiv definit unter Gx = ¯0, wobei sich G zeilenweise aus den transponierten Gradienten ∇ g 1 ( x (0) ) . . . , ∇ g m ( x (0) ), und ∇ h ( x (0) ), ∈ L , zusammensetzt. Dabei ist L die Menge der in x (0) aktiven NB 5 mit µ > 0. 2 Im engeren Sinne werden spricht man nur dann von Lagrange-Multiplikatoren, wenn die Kuhn- Tucker-Bedingungen erfüllt sind. 3 Bei NB ausschließlich in =-Form entfallen (9.6) und in (9.5) die Summanden zu µ . bei NB ausschließlich in ≤ -Form entfallen in (9.5) die Summanden zu λ j . 4 Bei NB ausschließlich in Gleichungsform lauten die KT-Bedingungen dann ∇ L ( x, λ ) = ¯0. 5 d.h. die Menge der zuhörigen Indizes aus { 1 , . . . , k } 45222_Terveer_griffleiste.indd 58 06.09.2019 11: 42: 41 <?page no="59"?> Mathematik 9.3 Optimierung bei exogenen Parametern 59 Randwertvergleich für globale Extrema Auf D = [ a 1 ; b 1 ] × · · · × [ a n ; b n ] hat f ein globales Minimum und ein globales Maximum unter den NB. Jedes globale Extremum x von f ist (zulässiger) Randpunkt von D ( x j ∈ { a j , b j } für ein j ) oder erfüllt die Bedingungen 6 in (9.5) und (9.6). Satz von Kuhn-Tucker, Konvexe Optimierung f hat in x (0) ein globales Minimum unter den NB, wenn gleichzeitig gilt: Es liegen nur Ungleichungs-NB vor, f, h 1 , . . . , h k sind konvex. Slater-Bedingung: ∃ x (1) ∈ D, in dem alle NB inaktiv sind. Die KT-Bedingungen (9.5) und (9.6) sind erfüllt. 9.3 Optimierung bei exogenen Parametern Im Rahmen der komparativen Statik werden Optimierungsprobleme unter Gleichungs- NB in Abhängigkeit von exogenen Variablen α = ( α 1 , . . . , α r ) T behandelt. Zu diesen exogenen Variablen zählen z.B. die Sollwerte y i von NB g i ( x ) = y i ⇔ g i ( x ) − y i = 0. Der Optimalwert bzw. die zugehörigen Entscheidungsvariablen bzw. LM der NB stellen sich als Funktionen V ( α ) : = inf { f ( x, α ) : g i ( x, α ) = y i ∀ i } (9.8) bzw. x j ( α ) bzw. λ i ( α ) der exogenen Variablen dar 7 . Envelope-Theorem ∂V ∂α s ( α ) = ∂f ∂α s ( x ( α )) + m ∑ i =1 λ i ( α ) ∂g i ∂α s ( x ( α )). (9.9) Schattenpreis-Eigenschaft des LM: ∂V ∂y i = − λ i ( α ). (9.10) 6 unter der Annahme, dass die Gradienten der NB l.u. sind. 7 Annahme dabei: f ( x ) = f ( x, α ), g i ( x ) = g i ( x, α ) hängen differenzierbar von x und α ab. 45222_Terveer_griffleiste.indd 59 06.09.2019 11: 42: 42 <?page no="60"?> 45222_Terveer_griffleiste.indd 60 06.09.2019 11: 42: 43 <?page no="61"?> Statistik 10 Deskriptive Statistik 10.1 Univariate Stichprobe x 1 , . . . , x n ∈ R Empirische Verteilung Kategorielle Daten aus K Kategorien A 1 , . . . , A K werden beschrieben durch absolute Häufigkeiten: H ( A k ) = |{ i : x i = A k }| , 1 ≤ k ≤ K (10.1) relative Häufigkeiten: h ( A k ) = H ( A k ) / n, 1 ≤ k ≤ K (10.2) empirische Verteilungsfunktion metrischer Daten ˆ F n ( x ) = |{ i : x i ≤ x }| n (10.3) Kennzahlen bei nominalen Attrituten Modus: mode ( x ) = A i 0 mit h ( A i 0 ) = max i h ( A i ) (10.4) Entropie: H( x ) = − log( ∑ k i =1 h ( A i )(1 − h ( A i ))) (10.5) Kennzahlen für Lage/ Zentrum bei metrischen Attributen Gleichungen mit ∗ = setzen x 1 ≤ x 2 ≤ · · · ≤ x n voraus. Arithmetisches Mittel ¯ x = x 1 + · · · + x n n (10.6) Geometrisches Mittel ¯ x g = n √ x 1 · · · x n = exp(log( x )), x i > 0 (10.7) Harmonisches Mittel ¯ x h = n / ∑ n i =1 1 x i = 1 / (1 / ¯ x ), x i > 0 (10.8) (Stichproben-)Quantil q α ( x ) ∗ =  12 ( x nα + x nα +1 ) nα ∈ N 0 x nα nα / ∈ N 0 (10.9) falls nα ∈ N 0 , kommt prinzipiell jeder Wert im Intervall [ x nα ; x nα +1 ] in Frage. Unteres (Stichproben-)Quartil q 0 . 25 ( x ) (10.10) (Stichproben-)Median med ( x ) = q 0 . 5 ( x ) (10.11) Oberes (Stichproben-)Quartil q 0 . 75 ( x ) (10.12) Sprechweisen: Terzil ( α = k 3 ), Quintil ( α = k 5 ), Dezil ( α = k 10 ), Perzentil ( α = k 100 ) Quartilmitte ( q 0 . 25 ( x ) + q 0 . 75 ( x )) / 2 (10.13) Für die pythagoreischen Mittel (arithmetisches, geometrisches, harmonisches Mittel) gilt ¯ x ≥ ¯ x g ≥ ¯ x h (10.14) 45222_Terveer_griffleiste.indd 61 06.09.2019 11: 42: 43 <?page no="62"?> 62 10 Deskriptive Statistik Kennzahlen für Skala/ Streuung metrischer Attribute: Grundgesamtheits-Varianz: var ( x ) = σ 2 n ( x ) = 1 n ∑ n i =1 ( x i − ¯ x ) 2 (10.15) Stichprobenvarianz: σ 2 n − 1 ( x ) = 1 n − 1 ∑ n i =1 ( x i − ¯ x ) 2 (10.16) Stichprobenstreung, σ n − 1 ( x ) (10.17) Medianabweichung M A ( x ) = 1 n ∑ n i =1 | x i − med ( x ) | (10.18) Gini-Differenz: GD ( x ) = 1 n 2 ∑ i,j | x i − x j | (10.19) Konzentrationsmaße Mit v i ∗ = ∑ i j =1 x j / ∑ n j =1 x j Lorenzkurve Lineare Interpolation der ( 1 i , v i ), i = 1 , . . . , n . (10.20) Gini-Koeffizient G ( x ) = GD ( x ) / 2¯ x = 1 n 2 ¯ x ∑ n i =2 ∑ i − 1 j =1 ( x i − x j ) (10.21) Lorenz-Konzentration L ( x ) ∗ = 1 − 2 n ∑ n i =1 ( v i − v i − 1 2 + v i − 1 ) (10.22) L ( x ) gibt den Inhalt der Fläche unter der Lorenzkurve an, L ( x ) ∗ = G ( x ) (10.23) 10.2 Bivariate Stichprobe x 1 , . . . , x n , y 1 , . . . , y n ∈ R Empirische Verteilung für kategorielle Attribute mit Klassen A 1 , . . . , A K , B 1 , . . . , B L und Kontingenztafel 1 B 1 · · · B L A 1 H 11 · · · H 1 L H 1 · ... ... ... ... A K H K 1 · · · H KL H K · H · 1 · · · H · L n B 1 · · · B L A 1 h 11 · · · h 1 L h 1 · ... ... ... ... A K h K 1 · · · h KL h K · h · 1 · · · h · L n (10.24) absolute Zellhäufigkeiten H k = |{ i : x i = A k , y i = B }| , (10.25) relative Zellhäufigkeiten h k = H k / n , (10.26) Ordinale Attribute (Klassen gemäß Indizierung geordnet 2 ) x -Ränge R xi = R i ( x 1 , . . . , x n ) = |{ j ∈ { 1 , . . . , n } : x j x i } (10.27) y -Ränge R yi = R i ( y 1 , . . . , y n ) = |{ j ∈ { 1 , . . . , n } : y j y i }| (10.28) Konkordanzen C = |{ i < j : x i ≺ x j , y i ≺ y j }| = ∑ k H k H + k (10.29) Diskordanzen D = |{ i < j : x i ≺ x j , y j ≺ y i }| = ∑ k H k H − k (10.30) Dabei sind H + k = ∑ k ′ >k, ′ > H k ′ ′ , H − k = ∑ k ′ >k, ′ < H k ′ ′ Empirische Verteilungsfunktion für metrische Attribute ˆ F n ( x, y ) = |{ i ∈ { 1 , . . . , n } : x i ≤ x, y i ≤ y }| n (10.31) 1 mit Zeilen- und Spaltensummen H k · , H · h k · = H k · / n , h · = H · / n 2 d.h. z.B. den Klassen A 1 , . . . , A K sind Rangzahlen r i = r ( A i ) zugeordnet mit r 1 ≤ · · · ≤ r K . Es gelte x i x j ⇔ r i ≤ r j und x i ≺ x j ⇔ r ( x i ) < r ( x j ) (sinngemäß für das andere Merkmal). 45222_Terveer_griffleiste.indd 62 06.09.2019 11: 42: 45 <?page no="63"?> Statistik 10.3 Multivariate Stichproben 63 Zusammenhangskennzahlen bei nominalen Attributen Chi-Quadrat-Statistik χ 2 = K ∑ k =1 L ∑ =1 ( H k − E k ) 2 E k = n ( K ∑ k =1 L ∑ =1 H 2 k H k · H · − 1 ) (10.32) wobei E k = n · h k · · h · = H k · H · / n Cramér’s V K C = √ χ 2 / ( n (min( K, L ) − 1)) (10.33) Kontingenzindex K P = √ χ 2 χ 2 + n , K ∗ P = K P √ (min( K,L ) − 1) / min ( K,L ) (10.34) Zusammenhangskennzahlen bei ordinalen Attributen Kendall’s tau-a 2( C − D ) / ( n ( n − 1)) (10.35) Kendall’s tau-b 2( C − D ) / √ ( n 2 − ∑ k H 2 k · )( n 2 − ∑ H · ) (10.36) Kendall’s tau-c 2( C − D ) / ( n 2 · (min( K, L ) − 1) / min( K, L )) (10.37) Spearman-Korrelation: ρ S ( x, y ) = ρ P ( r, s ) = ( 1 n ∑ n i =1 R xi R yi − ¯ R x ¯ R y ) / √ var ( R x ) var ( R y ). (10.38) Ohne Bindungen: ρ S ( x, y ) = 1 − 6 ∑ n i =1 ( R xi − R yi ) 2 / ( n ( n 2 − 1)) (10.39) Zusammenhangskennzahlen bei metrischen Attributen Stichprobenkovarianz cov ( x, y ) : = 1 n − 1 n ∑ i =1 ( x i − ¯ x )( y i − ¯ y ) (10.40) Bravais-Pearson-Korrelation ρ P ( x, y ) : = cov ( x,y ) σ n − 1 ( x ) σ n − 1 ( y ) = 1 n n ∑ i =1 x i y i − ¯ x ¯ y √ var ( x ) var ( y ) (10.41) 10.3 Multivariate Stichproben Gegeben ein multivariater Datensatz  x 11 · · · x 1 k ... ... x n 1 · · · x nk  mit n Fällen mit Werten x i · = ( x i 1 , . . . , x ik ) und k Merkmalen bzw. Attributen mit Werten x · = ( x 1 , . . . , x n ) Zentroid der Merkmalsmenge E ⊆ { 1 , . . . , n } ¯ x E : = ∑ i ∈ E x i · / | E | (10.42) für durchweg metrische Merkmale. Kennzahlen für Unähnlichkeit (metrische Attribute) , i, j ∈ { 1 , . . . , k } Minkowski ( p > 0) D ij = (∑ k =1 | x i − x j | p ) 1 / p (10.43) Spezialfälle: Euklid ( p = 2), (City-)Block/ Manhattan ( p = 1) Tschebyscheffmax {| x i − x j | : l = 1 , . . . , k } (10.44) 45222_Terveer_griffleiste.indd 63 06.09.2019 11: 42: 47 <?page no="64"?> 64 10 Deskriptive Statistik Kennzahlen für Ähnlichkeit (binäre Attribute) Gemeinsames Auftreten: x i x j 1 0 1 a b 0 c d (10.45) Damit dann sim( x i · , x j · ) = { ( a + d ) / ( a + b + c + d ) M(atching) a/ ( a + b + c ) S(imilarity) (10.46) 10.4 Agglomeratives Clustern von n Objekten Grundalgorithmus [1] Start: Gegeben Partition C n = {{ 1 } , { 2 } , . . . , { n }} und Distanzmatrix dist( C n ) = ( D ij ) i,j . Setze m = n − 1 und lege eine Linkage-Option fest gemäß (10.4) [2] Für eine gegebene Partition C m +1 = { C 1 , . . . C m +1 } mit Cluster-Distanzmatrix dist( C m +1 ) = ( d ( m +1) ij ) i,j ∈{ 1 ,...,m +1 } : [a] Bestimme den Homogenitätsgrad der Partition h m = min ij d ( m +1) ij = d ( m +1) rs (10.47) mit geeigneten r, s . [b] Neue Partition: C m = C m +1 ∪ { C r ∪ C s } \ { C r , C s } [c] Falls m > 0: Bestimme dist( C m ) = ( d ( m ) ij ) i,j ∈{ 1 ,...,m } gemäß der Linkage-Option für dist( E, F ). [d] Ersetze m durch m − 1 und gehe zu [2] falls m > 0, sonst zu [3]. [3] Lege „plausible“ Partition auf Grundlage von h 1 , . . . , h n − 1 fest. Linkage-Optionen für Cluster-Distanzmatrix d ( A, B ) d ( A ∪ B, C ) single min i ∈ A,j ∈ B D ij min( d ( A, C ) , d ( B, C )) (10.48) complete max i ∈ A,j ∈ B D ij max( d ( A, C ) , d ( B, C )) (10.49) average ∑ i ∈ A,j ∈ B D ij | A || B | | A | d ( A, C ) + | B | d ( B, C ) | A | + | B | (10.50) centroid ‖ ¯ x A − ¯ x B ‖ 2 | A | d ( A, C ) + | B | d ( B, C ) | A | + | B | − | A || B | d ( A, B ) ( | A | + | B | ) 2 (10.51) Ward ‖ ¯ x A − ¯ x B ‖ 2 1 / | A | + 1 / | B | ( | A | + | C | ) d ( A, C ) + ( | B | + | C | ) d ( B, C ) | A | + | B | + | C | (10.52) − | C | d ( B, C ) ( | A | + | B | ) 2 45222_Terveer_griffleiste.indd 64 06.09.2019 11: 42: 48 <?page no="65"?> Statistik 11 Wahrscheinlichkeitsrechnung 11.1 Kombinatorik Fakultät 0! = 1 und für n ∈ N n ! = 1 × 2 × · · · × n (11.1) Stirling-Formel n ! ∼ √ 2 πn ( n e ) n , d.h. lim n →∞ n ! / √ 2 πn ( n e ) n = 1 (11.2) Binomialkoeffizient Für n, k ∈ N 0 : ( n k ) = { n ! k ! ( n − k )! k ≤ n 0 k > n (11.3) Additivität des Binomialkoeffizienten ( n k ) + ( n k +1 ) = ( n +1 k +1 ) (11.4) Ziehung von k Kugeln aus Urne mit n unterscheidbaren Kugeln Permutationen (m. Reihenfolge) Kombinationen (o. Reihenfolge) o. Wiederholung n ! ( n − k )! (11.5) ( n k ) (11.6) m. Wiederholung n k (11.7) ( k + n − 1 n − 1 ) (11.8) Regeln für endliche Mengen A, B : Siebformel: | A ∪ B | = | A | + | B | − | A ∩ B | (11.9) Bijektion: | A | = | B | , wenn es eine bijektive Abbildung f : A → B gibt. (11.10) Partitionen von n Elementen A 1 , . . . , A k ( | A i | = n i ): n ! n 1 ! · · · n k ! (11.11) 11.2 Regeln für allgemeine Wahrscheinlichkeiten Kolmogoroff-Axiome Ein Wahrscheinlichkeitsmodell (Ω , S , P ) besteht aus einem Grundraum Ω = ∅ einer σ -Algebra S ⊆ P (Ω),d.h. mit Ω ∈ S und A ∈ S ⇒ A c ∈ S A 1 , A 2 , · · · ∈ S ⇒ ⋃ ∞ i =1 A i ∈ S , (Ω , S ) heißt messbarer Raum, A ∈ S heißt Ereignis. einem Wahrscheinlichkeitsmaß P : S → [0; 1] mit P (Ω) = 1 P ( ⋃ ∞ i =1 A i ) = ∑ ∞ i =1 P ( A i ), falls A i ∈ S und paarweise disjunkt sind. Beispiele für σ -Algebren Borelσ -Algebra B (Ω = R): kleinste σ -Algebra, die alle Intervalle enthält. Potenzmenge P (Ω): Menge aller Teilmengen von Ω 45222_Terveer_griffleiste.indd 65 06.09.2019 11: 42: 49 <?page no="66"?> 66 11 Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundformeln für Ereignisse A, B, A 1 , A 2 , . . . : unmögliches Ereignis P ( ∅ ) = 0 (11.12) Gegenereignis P ( A c ) = 1 − P ( A ) (11.13) Siebformel P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) (11.14) P ( A 1 ∪ · · · ∪ A n ) = P ( A 1 ) + · · · + P ( A n ), wenn A 1 , . . . , A n paarweise disjunkt sind. (11.15) relatives Komplement P ( B \ A ) = P ( B ) − P ( A ∩ B ) (11.16) Monotonie A ⊆ B ⇒ P ( A ) ≤ P ( B ) (11.17) 11.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit Zwei (stochastisch) unabhängige Ereignisse A, B : P ( A ∩ B ) = P ( A ) P ( B ). (11.18) stoch. unabhängige Ereignisse A 1 , . . . , A n Für alle k ≤ n und je k verschiedene Ereignisse A i 1 , . . . , A i k gilt P ( A i 1 ∩ · · · ∩ A i k ) = P ( A i 1 ) · · · P ( A i k ). (11.19) Bedingte Wahrscheinlichkeit P B ( A ) = P ( A | B ) = P ( A ∩ B ) P ( B ) für P ( B ) > 0. (11.20) Pfadregel P ( A ∩ B ) = P ( A ) P A ( B ), falls P ( A ) > 0. (11.21) P ( A 1 ∩· · ·∩ A n ) = P ( A 1 ) n ∏ i =2 P A 1 ∩···∩ A i − 1 ( A i ), sofern P ( A 1 ∩ · · · ∩ A n − 1 ) > 0 (11.22) jeweils für Ω = ⋃ i ∈ I B i , I ⊆ N, B i paarweise disjunkt, P ( B i ) > 0: Totale P ( A ) = ∑ i ∈ I P ( B i ) P B i ( A ) (11.23) Wahrscheinlichkeit Bayes-Formel P A ( B i ) = P ( B i ) P B i ( A ) / ∑ j ∈ I P ( B j ) P B j ( A ) (11.24) 11.4 Zufallsvariablen Zufallsvariable (ZV): Eine messbare 1 Abbildung X eines Wahrscheinlichkeitsraumes (Ω , S , P ) in einen messbaren Raum ( X , T ). Univariate bzw. multivariate ZV 2 für X = R bzw. X = R k , k ∈ N. Verteilung L ( X ) einer Zufallsvariablen 3 : erklärt durch P ( X ∈ B ) = P ( X − 1 ( B )), B ∈ T . Verteilungsfunktion (VF) einer univariaten ZV: F X ( x ) = P ( X ≤ x ). Spezialfälle Eine diskrete (univariate/ multivariate) Zufallsvariable X hat diskreten (d.h. nur aus isolierten 4 Werten bestehenden) Träger X = { x i : i ∈ I } ⊂ R k , ( I = { 1 , . . . , n } oder I = N) und P ( X ∈ B ) = ∑ i ∈ I P ( X = x i )1 B ( x i ) (11.25) Speziell: L (1 A ) ist eine Bernoulli-Verteilung B (1 , p ), p = P ( A ). 1 d.h. X − 1 ( B ) ∈ S für alle B ∈ T 2 Multivariat: Zufallsvektor 3 L rührt vom englischen Begriff „law“ für Verteilung. 4 Ein Punkt x ∈ D ⊂ R k heißt isoliert innerhalb D, wenn es ein ε > 0 gibt mit B ε ( x ) ∩ D = { x } 45222_Terveer_griffleiste.indd 66 06.09.2019 11: 42: 50 <?page no="67"?> Statistik 11.6 Allgemeine Sprechweisen und Eigenschaften 67 Eine stetige Zufallsvariable X hat ein Trägerintervall X =] a ; b [ (ggf. a = −∞ und/ oder b = ∞ ) und eine (bis auf isolierte Punkte) stetige Dichte f X ( x ) und P ( X ∈ [ r ; s ]) = ∫ s r f X ( x ) dx (11.26) Ihre Verteilungsfunktion ist F X ( x ) = P ( X ≤ x ) = ∫ x −∞ f X ( t ) dt , F ′ X ( x ) = f X ( x ). (Stochastisch) Unabhängige Zufallsvariablen X 1 , . . . , X n : P ( X 1 ∈ B 1 , . . . , X n ∈ B n ) = P ( X 1 ∈ B 1 ) · · · P ( X n ∈ B n ) ∀ Ereignisse B i (11.27) St.u. diskrete ZV: P ( X 1 = x 1 , . . . , X n = x n ) = ∏ n i =1 P ( X i = x i ) ∀ x i ∈ R (11.28) St.u. stetige ZV: f ( x 1 , . . . , x n ) = ∏ n i =1 f i ( x i ) (11.29) mit der gemeinsamen Dichte f und den Randdichten f i von L ( X i ). Zufallsvariablen X 1 , X 2 , . . . sind eine u.i.v.-Folge, wenn ∀ n ∈ N X 1 , X 2 , . . . , X n st.u. sind und alle X i dieselbe Verteilung haben. 11.5 Multivariate Verteilungen Eine multivariate Verteilung L ( X 1 , . . . , X k ) ist die Verteilung eines Zufallsvektors X = ( X 1 , . . . , X k ). Spezialfälle: Diskrete Dichte f ( x 1 , . . . , x k ) = P (X = ( x 1 , . . . , x k )), wobei P (X ∈ X ) = 1 mit einer Menge X = { x (1) , x (2) , . . . , } isolierter 4 Punkte des R k . Stetige Dichte : eine Funktion f ( x 1 , . . . , x k ) ≥ 0 so dass ∀ a i ≤ b i : P (X ∈ [ a 1 ; b 1 ] × · · · × [ a k ; b k ]) = b 1 ∫ a 1 · · · b k ∫ a k f ( x 1 , . . . , x k ) dx 1 . . . , dx k . Randverteilung von X 1 , . . . , X k ist die gemeinsame Verteilung eines Teils X I = ( X i ) i ∈ I der ZV, wobei I ⊆ { 1 , . . . , k } . Es gilt P (X I ∈ B ) = E (1 B (X I )) (11.30) Dichte der bedingten Verteilung L ( X | Y = y ) eines (bivariaten) Zufallsvektors ( X, Y ) mit Dichte f X,Y und Randdichten f X , f Y : f X | Y = y ( x ) = { f X,Y ( x, y ) / f Y ( y ) wenn f Y ( y ) > 0 f X ( x ) wenn f Y ( y ) = 0 (11.31) Formeln sinngemäß auch für allgemeine (höherdimensionale) Zufallsvektoren X, Y 11.6 Transformation stetiger Verteilungen Dichtetransformation bei bijektiver, differenzierbarer Funktion g und h = g − 1 : 45222_Terveer_griffleiste.indd 67 06.09.2019 11: 42: 52 <?page no="68"?> 68 11 Funktionen einer Variable Univariat f g ( X ) ( y ) = ∣∣∣ ∂ ∂y h ( y ) ∣∣∣ f X ( h ( y )) · 1 g ( X ) ( y ) (11.32) Bivariat f g ( X,Y ) ( u, v ) = f X,Y ( h ( u, v )) · | det( J h ( u, v )) | · 1 g ( X ) ( u, v ) (11.33) Algebraische Operationen auf st.u. stetigen ZV X, Y Summe f X + Y ( z ) = ∫ ∞ −∞ f X ( x ) f Y ( z − x ) dx (Faltung) (11.34) Produkt f XY ( z ) = ∫ ∞ −∞ 1 / | x | · f X ( x ) f Y ( z/ x ) dx (11.35) Quotient f X/ Y ( z ) = ∫ ∞ −∞ | x | · f X ( zx ) f Y ( x ) dx (11.36) Faltung st.u. diskreter ZV X, Y mit Träger N 0 P ( X + Y = n ) = n ∑ k =0 P ( X = k ) P ( Y = n − k ) , n ∈ N 0 (11.37) 11.7 Erwartungswert 5 Definition - Transformationsformel, h meßbar Diskret: E ( h ( X 1 , . . . , X k )) ( ∗ ) = ∞ ∑ i =1 h ( x ( i ) 1 , . . . , x ( i ) k ) · f X ( x ( i ) 1 , . . . , x ( i ) k ) (11.38) Stetig: E ( h ( X 1 , . . . , X k )) ( ∗ ) = ∞ ∫ −∞ · · · ∞ ∫ −∞ h ( x 1 , . . . , x k ) · f X ( x 1 , . . . , x k ) dx 1 . . . , dx k (11.39) Integral- E ( X ) = ∫ ∞ 0 (1 − F X ( x )) dx für X ≥ 0 (11.40) darstellungen E ( X ) = ∫ 1 0 F − 1 X ( u ) du (11.41) Linearität E ( aX + bY + c ) ( ∗ ) = aE ( X ) + bE ( Y ) + c ∀ a, b, c ∈ R (11.42) Multiplikativität E ( XY ) = E ( X ) E ( Y ) für st.u. X, Y (11.43) Anordnung X ≥ Y ⇒ E ( X ) ( ∗ ) ≥ E ( Y ) (11.44) Markoff-Ungleichung P ( X ≥ c ) ≤ E ( X ) c ∀ c > 0 für X ≥ 0 (11.45) Jensen-Ungleichung h ( E ( X )) ( ∗ ) ≤ E ( h ( X )) für konvexes g (11.46) Totale WS E ( E ( h ( X ) | Y )) = E ( h ( X )) (11.47) Faktorisierung E ( X · h ( Y ) | Y = y ) = h ( y ) E ( X | Y = y ) f.s. (11.48) Substitution E ( h ( X, Y ) | Y = y ) = E ( h ( X, y )) f.s. für st.u. X, Y (11.49) 5 Regeln ( ∗ ) gelten auch f.s. für E ( · · · | Y = y) unter Verwendung der bedingten Dichte f X | Y=y . 45222_Terveer_griffleiste.indd 68 06.09.2019 11: 42: 54 <?page no="69"?> Statistik 11.10 Kennzahlen multivariater Verteilungen 69 11.8 Verteilungskennzahlen für univariate ZV X Momentenbasierte Kennzahlen k -tes nichtzentrales Moment: E ( X k ) k -tes zentrales Moment: µ k = E (( X − E ( X )) k ). Varianz var ( X ) = µ 2 = E ( X 2 ) − ( E ( X )) 2 (11.50) Standardabweichung σ ( X ) = √ µ 2 (11.51) k -tes standardisiertes Moment: ˆ µ k = µ k / ( σ ( X )) k ). Schiefe ˆ µ 3 = E (( X − E ( X )) 3 ) / σ ( X ) 3 (11.52) Kurtosis ˆ µ 4 = E (( X − E ( X )) 4 ) / var ( X ) 2 (11.53) Regeln für Varianzen var ( aX + bY + c ) = a 2 var ( X ) + b 2 var ( Y ) + ab · cov ( X, Y ) ∀ a, b, c ∈ R. (11.54) Tschebyscheff-Ungleichung: P ( | X − E ( X ) | > ε ) ≤ var ( X ) ε 2 für ε > 0. (11.55) Quantilfunktion : F − 1 X ( t ) : = ξ t ( X ) = inf { x ∈ R : F X ( x ) ≥ t } (11.56) 11.9 Grenzwertsätze für u.i.v. ZV X 1 , X 2 , . . . Satz von Glivenko-Cantelli P ( lim n →∞ sup x ∈ R | ˆ F n ( x ) − F X 1 ( x ) | = 0) = 1 (11.57) Existiert E ( X 1 ) bzw. var ( X 1 ), so gilt ∀ ε > 0 , x ∈ R: Schwaches Gesetz gr. Zahlen lim n →∞ P ( | ¯ X n − E ( X 1 ) | > ε ) = 0 (11.58) Starkes Gesetz gr. Zahlen P ( lim n →∞ ¯ X n = E ( X 1 )) = 1 (11.59) Zentraler Grenzwertsatz lim n →∞ P ( √ n ¯ X n − E ( X 1 ) σ ( X 1 ) ≤ x ) = Φ( x ) (11.60) 11.10 Kennzahlen multivariater Verteilungen Für ZV X, Y mit existierenden Varianzen: Kovarianz cov ( X, Y ) = E (( X − E ( X ))( Y − E ( Y ))) = E ( XY ) − E ( X ) E ( Y )(11.61) Korrelation cor ( X, Y ) = cov ( X, Y ) / √ var ( X ) var ( Y ) ∈ [ − 1; 1] (11.62) X, Y heißen unkorreliert, wenn cov ( X, Y ) = 0. St.u. ZV X, Y mit existierenden Varianzen sind unkorreliert. 45222_Terveer_griffleiste.indd 69 06.09.2019 11: 42: 55 <?page no="70"?> 70 11 Funktionen einer Variable Kovarianzmatrix Für einen Zufallsvektor X = ( X 1 , . . . , X n ) heißt (falls existent) cov (X) =  cov ( X 1 , X 1 ) cov ( X 1 , X 2 ) . . . cov ( X 1 , X n ) cov ( X 2 , X 1 ) cov ( X 2 , X 2 ) . . . cov ( X 2 , X n ) ... ... ... cov ( X n , X 1 ) cov ( X n , X 2 ) . . . cov ( X n , X n )  (11.63) Kovarianzmatrix von X. Eigenschaften: cov (X) ist positiv semidefinit. cov ( A X + b ) = A T cov (X) A für alle A ∈ R k × n , b ∈ R k 45222_Terveer_griffleiste.indd 70 06.09.2019 11: 42: 57 <?page no="71"?> Statistik 12 Verteilungen Formeln mit Bezug auf eine ZV X mit Werten x ∈ X ⊆ R. In Abschnitt 12.1 ist X abzählbar, diskret mit isolierten Trägerpunkten x i ∈ R, in Abschnitt 12.2 ist der Träger X = R oder ein Intervall der Form [ a ; b ],] − ∞ ; a ], [ b ; ∞ [ mit a, b ∈ R. Angegeben werden, falls existent bzw. bekannt: Dichte f ( x ) = f X ( x ) Verteilungsfunktion F ( x ) = P ( X ≤ x ) = {∑ t ∈X ,t ≤ x f ( t ) diskreter Fall ∫ x −∞ f X ( t )1 X ( t ) dt stetiger Fall Erwartungswert E ( X ) =  ∑ x ∈X x · f ( x ) diskreter Fall ∫ ∞ −∞ x · f X ( x )1 X ( x ) dx stetiger Fall Varianz var ( X ) =  ∑ x ∈X ( x − E ( X )) 2 f ( x ) diskreter Fall ∫ ∞ −∞ ( x − E ( X )) 2 1 X ( x ) dx stetiger Fall Median med ( X ) : = ξ 0 . 5 ( X ) Quantil ξ t = ξ t ( X ) = inf { x ∈ R : F ( x ) ≥ t } (d.h. es gilt P ( X ≤ ξ t ) ≥ t und P ( X ≥ ξ t ) ≥ 1 − t . Faltung L ( X ) ∗ L ( Y ) = L ( X + Y ) zweier st.u. ZV aus der Verteilungsfamilie Maximum-Likelihood-Schätzer ˆ θ ML einer u.i.v.-Stichprobe X 1 , . . . , X N zur Dichte f ( x ) = f θ ( x ), d.h. L ( θ, x 1 , . . . , x N ) = N ∏ i =1 f θ ( x i ) (12.1) ˆ θ ML ( x 1 , . . . , x N ) = arg max θ ∈ Θ L ( θ, x 1 , . . . , x N ) (12.2) R-Befehle (<xxx> steht für eine Verteilung) Dichte f ( x ) d<xxx>(x,...) (12.3) Verteilungsfunktion F ( x ) p<xxx>(q=x,...) Option lower.tail=TRUE ergibt P ( X ≤ x ) Option lower.tail=FALSE ergibt P ( X > x ) (12.4) Quantile ξ t q<xxx>(p=t,...) Option lower.tail=TRUE ergibt ξ t Option lower.tail=FALSE ergibt ξ 1 − t (12.5) n Zufallszahlen r<xxx>(n,...) (12.6) 45222_Terveer_griffleiste.indd 71 06.09.2019 11: 42: 59 <?page no="72"?> 72 12 Verteilungen 12.1 Diskrete univariate Verteilungen Gleichverteilung, Laplace-Experiment X = { x 1 , . . . , x n } x 1 < x 2 < · · · < x n Dichte P ( X = x i ) = f ( x i ) = 1 / n (12.7) Verteilungsfunktion F ( x ) = 1 n n ∑ i =1 1 [ x i ; ∞ [ ( x ) (12.8) Erwartungswert E ( X ) = ¯ x = 1 n n ∑ i =1 x i (12.9) Varianz var ( X ) = 1 n n ∑ i =1 ( x i − ¯ x ) 2 (12.10) Median med ( X ) =  x n/ 2 + x n/ 2+1 2 n gerade x ( n +1) / 2 n ungerade (12.11) Quantil ξ t = x nα (12.12) R-Befehle vgl. R-Befehle zur deskriptiven Statistik Bernoulliverteilung Bin (1 , p ) X = { 0 , 1 } p ∈ [0; 1] Dichte f ( x ) = p x (1 − p ) 1 − x (12.13) Verteilungsfunktion F ( x ) = (1 − p ) · 1 [0; ∞ [ ( x ) + p · 1 [1; ∞ [ ( x ) (12.14) Erwartungswert E ( X ) = p (12.15) Varianz var ( X ) = p (1 − p ) (12.16) Median med ( X ) ∈ [0 , 1] ( p = 12 ), = 1 ( p > 12 ), = 0 ( p < 12 ) (12.17) Quantil ξ α = 1 für p > 1 − α , = 0 für p ≤ 1 − α (12.18) ML-Schätzung vgl. Binomialverteilung für n = 1 R-Befehle vgl. Binomialverteilung für n = 1 45222_Terveer_griffleiste.indd 72 06.09.2019 11: 43: 00 <?page no="73"?> Statistik 12.1 Diskrete univariate Verteilungen 73 Binomialverteilung Bin ( n, p ) X = { 0 , . . . , n } n ∈ N, p ∈ [0; 1] Dichte f ( x ) = ( n x ) p x (1 − p ) n − x (12.19) Poisson-GWS f ( x ) ≈ λ x x ! e − λ , n groß, np ≈ λ . (12.20) Verteilungsfunktion F ( x ) n − x = 1 − p ∫ 0 ( n k ) t n − k − 1 (1 − t ) k dt für x < n , k = x . (12.21) Moivre-Laplace P ( √ n X/ n − p √ p (1 − p ) ≤ t ) ≈ Φ( t ) für np (1 − p ) > 9 (12.22) Erwartungswert E ( X ) = np (12.23) Varianz var ( X ) = np (1 − p ) (12.24) Median med ( X ) ∈ [ np ; ( n + 1) p ] (12.25) Faltung Bin ( n 1 , p ) ∗ Bin ( n 2 , p ) = Bin ( n 1 + n 2 , p ) (12.26) ML-Schätzung ˆ p ML = ¯ x (12.27) R-Befehle dbinom, pbinom, qbinom, rbinom mit Optionen size=n, prob=p (12.28) Geometrische Verteilung Geo ( p ) X = N p ∈ ]0; 1] Dichte f ( x ) = p (1 − p ) x − 1 (12.29) Verteilungsfunktion F ( x ) = 1 − (1 − p ) x for x ≥ 1. (12.30) Erwartungswert E ( X ) = 1 / p (12.31) Varianz var ( X ) = (1 − p ) / p 2 (12.32) Median med ( X ) = − 1 / log 2 (1 − p ) (12.33) Quantil ξ α = ln(1 − α ) / ln(1 − p ) (12.34) ML-Schätzung ˆ p ML = 1 / ¯ x (12.35) R-Befehle dgeom,pgeom,qgeom,rgeom mit Option prob=p (12.36) 45222_Terveer_griffleiste.indd 73 06.09.2019 11: 43: 01 <?page no="74"?> 74 12 Verteilungen Negativ-Binomialverteilung N Bin ( r, p ) X = N 0 r ∈ N, p ∈ [0; 1] Dichte f ( x ) = ( r + x − 1 x ) p r (1 − p ) x = ( − 1) x ( − r x ) p r (1 − p ) x (12.37) Verteilungsfunktion F ( x ) = 1 − r · ( r + x x ) · 1 − p ∫ 0 t x (1 − t ) r − 1 dt (12.38) Erwartungswert E ( X ) = rp/ (1 − p ) (12.39) Varianz var ( X ) = rp/ (1 − p ) 2 (12.40) Faltung N Bin ( r 1 , p ) ∗ N Bin ( r 2 , p ) = N Bin ( r 1 + r 2 , p ) (12.41) ML-Schätzung ˆ p ML = r/ (1 + ¯ x ) (12.42) R-Befehle dnbinom, pnbinom,qnbinom,rnbinom mit Optionen size=r,prob=p (12.43) Hypergeometrische Verteilung Hyp ( M, K, n ) 0 ≤ n, K ≤ M X = { max(0 , n − ( M − K )) , . . . , min( K, n ) }} Dichte f ( x ) = ( K x ) · ( M − K n − x )/ ( M n ) (12.44) Erwartungswert E ( X ) = n · K/ M (12.45) Varianz var ( X ) = n · K M M − K M M − n M − 1 (12.46) R-Befehle dhyper,phyper,qhyper,rhyper(nn,...) mit Optionen m=K, n=M-K und k=n (12.47) Poissonverteilung P oi ( λ ) X = N 0 λ > 0 Dichte f ( x ) = λ x x ! · e − λ (12.48) Verteilungsfunktion F ( x ) = ∞ ∫ 1 λ x +1 x ! t x e − λt dt (12.49) Erwartungswert E ( X ) = λ (12.50) Varianz var ( X ) = λ (12.51) 45222_Terveer_griffleiste.indd 74 06.09.2019 11: 43: 02 <?page no="75"?> Statistik 12.2 Stetige univariate Verteilungen 75 Faltung P oi ( λ ) ∗ P oi ( µ ) = P oi ( λ + µ ) (12.52) ML-Schätzung ˆ λ ML ¯ x (12.53) R-Befehle dpois,ppois,qpois,rpois mit Option lambda= λ (12.54) 12.2 Stetige univariate Verteilungen (Stetige) Gleichverteilung, Rechteckverteilung Re ( a, b ) X = [ a ; b ] a < b Dichte f X ( x ) = 1 / ( b − a ) (12.55) Verteilungsfunktion F X ( x ) = x − a b − a · 1 [ a ; b [ ( x ) (12.56) Erwartungswert E ( X ) = ( a + b ) 2 (12.57) Varianz var ( X ) = ( b − a ) 2 / 12 (12.58) Median med ( X ) = a + b 2 (12.59) Quantil ξ α = a + ( b − a ) α (12.60) ML-Schätzungen ˆ a ML = min( x i ) und ˆ b ML = max( x i ) (12.61) R-Befehle dunif,punif,qunif,runif mit Optionen with min=a,max=b (Default 0,1) (12.62) Exponentialverteilung Exp ( λ ) X = [0 , ∞ [ λ > 0 Dichte f X ( x ) = λe − λx (12.63) Verteilungsfunktion F X ( x ) = (1 − e − λx ) (12.64) Erwartungswert E ( X ) = 1 / λ (12.65) Varianz var ( X ) = 1 / λ 2 (12.66) Median med ( X ) = ln(2) / λ (12.67) Quantil ξ α = − ln(1 − α ) / λ (12.68) 45222_Terveer_griffleiste.indd 75 06.09.2019 11: 43: 03 <?page no="76"?> 76 12 Verteilungen ML-Schätzung ˆ λ ML = 1 / ¯ x (12.69) R-Befehle dexp,pexp,qexp,rexp mit Option rate= λ (Default 1) (12.70) Doppelexponentialverteilung DE ( µ, λ ), Laplace-Verteilung) X = R µ ∈ R, λ > 0 Dichte f X ( x ) = 1 2 λ exp( − | x − µ | λ ) (12.71) Verteilungsfunktion F X ( x ) = 1 2 + 12 sgn( x − µ )(1 − exp( − | x − µ | λ )) (12.72) Erwartungswert E ( X ) = µ (12.73) Varianz var ( X ) = 2 λ 2 (12.74) Median med ( X ) = µ (12.75) Quantil ξ α = − µ − b sgn( α − 0 . 5) ln(1 − 2 | α − 12 | ) (12.76) ML-Schätzungen ˆ µ ML = med ( x 1 , . . . , x N ) (Stichprobenmedian) ˆ λ ML = M A ( x 1 , . . . , x N ) (12.77) R-Befehle rmutil: : dlaplace,plaplace,qlaplace, rlaplace, Optionen m= µ , s= σ (Default 0,1) (12.78) Paretoverteilung P ar ( λ, c ) X = [ λ, ∞ [ λ, c > 0 Dichte f X ( x ) = c/ λ · ( λ/ x ) c +1 (12.79) Verteilungsfunktion F X ( x ) = (1 − ( λ/ x ) c ) (12.80) Erwartungswert E ( X ) = λc/ ( c − 1) (f ür c > 1) (12.81) Varianz var ( X ) = λ 2 c/ (( c − 1) 2 ( c − 2)) (für c > 2) (12.82) Median med ( x ) = λ · c √ 2 (12.83) Quantil ξ α = λ/ c √ 1 − α (12.84) ML-Schätzungen ˆ λ ML = min( x i ), ˆ c ML = n / N ∑ i =1 log( x i / ˆ λ ML ) (12.85) R-Befehle VGAM: : dpareto,ppareto,qpareto,rpareto mit Optionen shape= c (Default: 1) scale= λ (Default: 1) (12.86) 45222_Terveer_griffleiste.indd 76 06.09.2019 11: 43: 05 <?page no="77"?> Statistik 12.2 Stetige univariate Verteilungen 77 Normalverteilung N ( µ, σ 2 ) X = R µ ∈ R, σ > 0 Dichte f X ( x ) = 1 √ 2 πσ 2 exp( − ( x − µ ) 2 2 σ 2 ) (12.87) Verteilungsfunktion F X ( x ) = Φ( x − µ σ ) mit Φ( x ) = ∫ x −∞ 1 √ 2 π · e − t 2 2 dt vertafelt bzw. numerisch (R) (12.88) Erwartungswert E ( X ) = med ( X ) = µ (12.89) Varianz var ( X ) = σ 2 (12.90) Median med ( X ) = µ (12.91) Quantil u α : vertafelt bzw. numerisch (R). (12.92) Faltung N ( µ, σ 2 ) ∗ N ( ν, τ 2 ) = N ( µ + ν, σ 2 + τ 2 ) (12.93) ML-Schätzungen ˆ µ ML = ¯ x , ˆ σ 2 ML = σ 2 n ( x ) (vgl. (10.15)) (12.94) R-Befehle dnorm,pnorm,qnorm,rnorm mit Optionen mu= µ , sd= σ (Default: 0,1) (12.95) Lognormalverteilung LN ( µ, σ 2 ) X = [0; ∞ [ µ ∈ R, σ > 0 Dichte f X ( x ) = 1 √ 2 π · σ · 1 x · exp ( − 12 · ( ln( x ) − µ σ ) 2 ) (12.96) Verteilungsfunktion F X ( x ) = Φ((ln( x ) − µ ) / σ ) (12.97) Erwartungswert E ( X ) = exp( µ + σ 2 / 2) (12.98) Varianz var ( X ) = exp(2 µ + σ 2 ) · (exp( σ 2 ) − 1) (12.99) Median med ( X ) = exp( µ ) (12.100) Quantil ξ α = exp( µ + u α · σ ) (12.101) ML-Schätzungen ˆ µ ML = 1 N N ∑ i =1 ln( x i ), ˆ σ 2 ML = 1 N N ∑ i =1 (ln( x i ) − ˆ µ ML ) 2 (12.102) R-Befehle dlnorm,plnorm,qlnorm,rlnorm mit Optionen meanlog= µ ,sdlog= σ (Default 0,1) (12.103) 45222_Terveer_griffleiste.indd 77 06.09.2019 11: 43: 06 <?page no="78"?> 78 12 Verteilungen (Zentrale) Chi-Quadrat-Verteilung χ 2 ( n ) = Γ( 12 , n 2 ) X = [0; ∞ [ n ∈ N Dichte f X ( x ) = x n/ 2 − 1 e − x/ 2 2 n/ 2 Γ( n/ 2) (12.104) Erwartungswert E ( X ) = n (12.105) Varianz var ( X ) = 2 n (12.106) Quantil χ α ( n ): vertafelt, numerisch (R) (12.107) R-Befehle dchisq,pchisq,qchisq,rchisq mit Option df= n (12.108) (Zentrale) Student-t-Verteilung t ( n ) X = R n ∈ N Dichte f X ( x ) = Γ(( n + 1) / 2) √ nπ Γ( n/ 2) · ( 1 + x 2 / n ) − ( n +1) / 2 (12.109) Erwartungswert/ Median E ( X ) = 0 für n > 1, med ( X ) = 0 (12.110) Varianz var ( X ) = n n − 2 for n > 2 (12.111) Quantil t α ( n ): vertafelt, numerisch (R) (12.112) R-Befehle dt,pt,qt,rt mit Option df= n (12.113) (Zentrale) F ( m, n )-Verteilung X = [0; ∞ [ m, n ∈ N Dichte f X ( x ) = m m/ 2 n n/ 2 Γ(( m + n ) / 2) Γ( m/ 2)Γ( n/ 2) x m/ 2 − 1 ( mx + n ) ( m + n ) / 2 (12.114) Erwartungswert E ( X ) = n/ ( n − 2) ( n > 2) (12.115) Varianz var ( X ) = 2 n 2 ( m + n − 2) m ( n − 2) 2 ( n − 4) ( n > 4) (12.116) Quantil F α ( m, n ); vertafelt, numerisch (R) (12.117) R-Befehle df,pf,qf,rf mit Optionen df1=m,df2=n (12.118) 45222_Terveer_griffleiste.indd 78 06.09.2019 11: 43: 08 <?page no="79"?> Statistik 12.2 Stetige univariate Verteilungen 79 Gammaverteilung Γ( λ, c ) X = [0 , ∞ [ λ, c > 0 Dichte f X ( x ) = λ c Γ( c ) x c − 1 e − λx (12.119) Erwartungswert E ( X ) = c/ λ (12.120) Varianz var ( X ) = c/ λ 2 (12.121) Faltung Γ( λ, c ) ∗ Γ( λ, d ) = Γ( λ, c + d ) (12.122) R-Befehle dgamma,pgamma,qgamma,rgamma mit Optionen rate= λ (Default 1), shape= c (Default 1) (12.123) Betaverteilung Be ( α, β ) X =]0 , 1[ α, β > 0 Dichte f X ( x ) = Γ( α + β ) Γ( α )Γ( β ) x α − 1 (1 − x ) β − 1 (12.124) Erwartungswert E ( X ) = α/ ( α + β ) (12.125) Varianz var ( X ) = αβ/ ( α + β + 1)( α + β ) 2 (12.126) R-Befehle dbeta,pbeta,qbeta,rbeta mit Optionen shape1= α , shape1= β , ncp (Default 0) (12.127) Weibullverteilung W ei ( λ, c ) X = [0 , ∞ [ λ, c > 0 Dichte f X ( x ) = c/ λ · ( x/ λ ) c − 1 (12.128) Verteilungsfunktion F X ( x ) = (1 − exp( − ( x/ λ ) c )) (12.129) Erwartungswert E ( X ) = λ Γ(1 + 1 / c ) (12.130) Varianz var ( X ) = λ 2 (Γ(1 + 2 / c ) − Γ(1 + 1 / c ) 2 ) (12.131) Median med ( X ) = λ c √ ln(2) (12.132) Quantil ξ α = λ c √ − ln(1 − α ) (12.133) R-Befehle dweibull,pweibull,qweibull,rweibull mit Optionen shape= c , scale= λ (Default: jeweils 1) (12.134) 45222_Terveer_griffleiste.indd 79 06.09.2019 11: 43: 08 <?page no="80"?> 45222_Terveer_griffleiste.indd 80 06.09.2019 11: 43: 09 <?page no="81"?> Statistik 13 Statistische Tests Statistisches Modell und Notationen: Für ein θ ∈ Θ ⊂ R k sei angenommen: Einstichprobenmodell X 1 , . . . , X n sind u.i.v. ZUV mit L ( X j ) = P θ Zweistichprobenmodell X ij sind st.u. ZV, L ( X ij ) = P i,θ , i = 1 , 2, j = 1 , . . . , n i Teststatistik: Beobachtet werde V = v ∈ R mit Einstichprobenmodell V = V ( X ) = V ( X 1 , . . . , X n ) Zweistichprobenmodell V = V ( X ) = V ( X 11 , . . . , X 1 n 1 , X 21 , . . . , X 2 n 2 ) Hypothesen: Nullhypothese 1 H 0 : Eine Aussage über den Parameterraum, meist umgesetzt in eine Teilmenge Θ 0 ⊂ Θ. Speziell für Θ ⊆ R und geeignetes θ 0 ∈ Θ: linksseitig H 0 : θ ≤ θ 0 (13.1) rechtsseitig H 0 : θ ≥ θ 0 (13.2) zweiseitig H 0 : θ = θ 0 (13.3) Alternative 2 H 1 : die zu Θ 1 = Θ \ Θ 0 gehörige Aussage über den Parameterraum. Speziell für Θ ⊆ R und geeignetes θ 0 ∈ H 0 : rechtsseitig H 1 : θ > θ 0 (13.4) linksseitig H 1 : θ < θ 0 (13.5) zweiseitig H 1 : θ = θ 0 (13.6) Nullverteilung F : Die Verteilung von V für ein geeignetes θ 0 ∈ Θ 0 . Schwellenwert(e): zu vorgegebenem α ∈ ]0; 1[ festgelegt durch geeignete der Quantile q α = F − 1 ( α ), q 1 − α , q α/ 2 bzw. q 1 − α/ 2 . statistischer Test: Eine Entscheidungsregel der Form d ( X ) = { 1 ( H 0 wird abgelehnt/ verworfen) wenn V ( X ) ∈ K 0 ( H 0 wird nicht abgelehnt) wenn V ( X ) ∈ K Dabei ist K ⊆ R der kritische bzw. Ablehnungs-Bereich, d.h. die Menge derjenigen Werte von v , für die H 0 abgelehnt wird; K wird erklärt mit Hilfe der o.a. Schwellenwerte. 1 oft einfach als Hypothese bezeichnet. 2 Zu einer linksseitigen (Null-)Hypothese gehört eine rechtsseitige Alternative. Zu einer rechsseitigen (Null-)Hypothese gehört eine linksseitige Alternative. 45222_Terveer_griffleiste.indd 81 06.09.2019 11: 43: 10 <?page no="82"?> 82 13 Statistische Tests Test zum Niveau α ( α ∈ ]0; 1[): Ein Test mit Ablehnungsbereich K und P θ ( V ∈ K ) ≤ α für alle θ ∈ Θ 0 Gütefunktion eines statistischen Tests: θ → g ( θ ) = P θ ( V ∈ K ), θ ∈ Θ. R-Befehle erzeugen eine Liste u.a. mit folgenden Attributen: statistic Wert V = v der Teststatistik (13.7) p.value p -Wert der Teststatistik (13.8) parameter(s) spezifische Parameter der Nullverteilung (13.9) 13.1 Einstichprobentests 13.1.1 Tests für ein- und zweiseitige Hypothesen Abhängig von H 0 haben die α -Niveau-Tests ( α ∈ ]0; 1[) folgende Struktur: Hypothese H 0 Ablehnungsbereich p -Wert, Signifikanz R: alternative= (1) zweiseitig V / ∈ [ q α 2 ; q 1 − α / 2 ] 2 min( F ( V ) , 1 − F ( V )) "two.sided" ( F symm.) | V | > q 1 − α/ 2 2(1 − F ( | V | ) (2) rechtsseitig V < q α F ( V ) "less" (3) linksseitig V > q 1 − α 1 − F ( V ) "greater" Die Formeln für p -Werte sind nur in stetigen Verteilungsmodellen gültig. Binomialtest Modell für L ( X i ) B (1 , p ) (13.10) Spez. Parameterwert p 0 ∈ ]0; 1[ (13.11) Nullhypothese H 0 (1) p = p 0 bzw. (2) p ≥ p 0 bzwl (3) p ≤ p 0 (13.12) Teststatistik V X 1 + · · · + X n (13.13) Nullverteilung F B ( n, p 0 ) für p = p 0 (13.14) p -Wert (1) 2 min( F ( V ) , 1 − F ( V − 1)) (2) F ( V ) (3) 1 − F ( V − 1) (13.15) Approximation für np 0 (1 − p 0 ) ≥ 9: Gaußtest mit σ 2 = p 0 (1 − p 0 ) R-Befehl binom.test, Optionen x = v , n = n , p = p 0 (13.16) Gaußtest Modell für L ( X i ) N ( µ, σ 2 ), σ bekannt (13.17) Spez. Parameterwert µ 0 ∈ R (13.18) 45222_Terveer_griffleiste.indd 82 06.09.2019 11: 43: 11 <?page no="83"?> Statistik 13.1 Einstichprobentests 83 Nullhypothese H 0 (1) µ = µ 0 bzw. (2) µ ≥ µ 0 bzw. (3) µ ≤ µ 0 (13.19) Teststatistik V √ n ( ¯ X − µ 0 ) / σ (13.20) Nullverteilung F N (0 , 1) für µ = µ 0 (Quantile u α auf S. 94) (13.21) Anwendung Exakt für P θ = N ( µ, σ 2 ), approximativ ( n > 30). Student-t-Test Modell für L ( X i ) N ( µ, σ 2 ), σ unbekannt (13.22) Spez. Parameterwert µ 0 ∈ R (13.23) Nullhypothese H 0 (1) µ = µ 0 bzw. (2) µ ≥ µ 0 bzw. (3) µ ≤ µ 0 (13.24) Teststatistik V √ n ( ¯ X − µ 0 ) / ˆ σ , mit ˆ σ 2 = 1 n − 1 ∑ n i =1 ( X i − ¯ X ) 2 (13.25) Nullverteilung F t ( n − 1) für µ = µ 0 (Quantile t α ( n ) auf S. 94) (13.26) Approximation ( n > 30) Gaußtest, V = √ n ( ¯ X − µ 0 ) / ˆ σ , auch ohne (13.22) R-Befehl t.test(x,y=NULL) (13.27) χ 2 -Varianztest Modell für L ( X i ) N ( µ, σ 2 ), µ bekannt (13.28) Spez. Parameterwert σ 0 > 0 (13.29) Nullhypothese H 0 (1) σ = σ 0 bzw. (2) σ ≥ σ 0 bzw. (3) σ ≤ σ 0 (13.30) Teststatistik V ∑ n i =1 ( X i − µ ) 2 / σ 2 0 (13.31) Nullverteilung F χ 2 ( n ) für σ = σ 0 (Quantile χ α ( n ) auf S. 96) (13.32) µ unbekannt V = ∑ n i =1 ( X i − ¯ X ) 2 / σ 2 0 , Nullverteilung χ 2 ( n − 1) 13.1.2 Tests mit einseitigem Ablehnungsbereich Tests haben zur gegebenen Nullhypothese H 0 , Nullverteilung F und Signifikanzniveau α den Ablehnungsbereich v > q 1 − α und den p -Wert 1 − F ( v ) (stetiger Fall). χ 2 -Anpassungstest Modell für L ( X i ) X i ∈ { A 1 , . . . , A k } (13.33) 45222_Terveer_griffleiste.indd 83 06.09.2019 11: 43: 12 <?page no="84"?> 84 13 Statistische Tests Nullhypothese H 0 P ( X i = A j ) = p j , j = 1 , . . . , k ( p j > 0 vorgegeben) (13.34) Teststatistik V ∑ k j =1 ( H ( A j ) − np j ) 2 / ( np j ), vgl. (10.1) (13.35) Nullverteilung F ca. χ 2 ( k − 1) wenn np j ≥ 5 ∀ j (Quantile χ α ( n ) auf S. 96) (13.36) R-Befehl chisq.test(x,y=NULL), Optionen x= ( p 1 , . . . , p k ) (13.37) Kolmogoroff-Smirnoff-Test Modell für L ( X i ) Die VF x → F ( x ) = P ( X i ≤ x ) ist stetig. (13.38) Nullhypothese H 0 F = F 0 für eine spezifische VF F 0 (13.39) Teststatistik V V = √ n · sup x ∈ R | ˆ F n ( x ) − F 0 ( x ) | (13.40) = max i ∈{ 0 , 1 } ,j ∈{ 1 ,...,n } | F 0 ( x j ) − j − i n | mit x 1 ≤ · · · ≤ x n (13.41) Nullverteilung F Kolmogorov-Verteilung mit approximativer VF G ( x ) = 1 + 2 ∑ ∞ j =1 ( − 1) j e − 2 j 2 x 2 (Quantile d α ( n ) auf S. 121). Ablehnungsbereich V > d n, 1 − α , appr. p -Wert 1 − G ( v ). (13.42) R-Befehl ks.test(x,y), Optionen x= ( x 1 , . . . , x n ), y=Bezeichnung einer (stetigen) VF, z.B. y="pnorm" (13.43) 13.2 Zweistichprobentests 13.2.1 Tests für ein- und zweiseitige Hypothesen Abhängig von H 0 haben die α -Niveau-Tests ( α ∈ ]0; 1[) wieder die eingangs von 13.1.1 angegebene Struktur. Gaußtest Modell für L ( X ij ) N ( µ i , σ 2 i ), (a) σ 2 i bekannt (b) σ 2 i unbekannt (13.44) Spez. Parameterwert δ 0 ∈ R (13.45) Nullhypothese H 0 (1) µ 1 − µ 2 = δ 0 , (2) · · · ≥ δ 0 , (3) · · · ≤ δ 0 (13.46) (a) Teststatistik V ( ¯ X 1 − ¯ X 2 − δ 0 ) / √ σ 2 1 / n 1 + σ 2 2 / n 2 (13.47) (b) Teststatistik V ( ¯ X 1 − ¯ X 2 − δ 0 ) / √ S 2 1 / n 1 + S 2 2 / n 2 (13.48) mit S 2 i = 1 n i − 1 ∑ n i j =1 ( X ij − ¯ X i ) 2 (13.49) Nullverteilung F N (0 , 1) für µ 1 − µ 2 = δ 0 (Quantile u α auf S. 94) (13.50) (b): Approximation, hinreichend für n 1 , n 2 ≥ 30 45222_Terveer_griffleiste.indd 84 06.09.2019 11: 43: 14 <?page no="85"?> Statistik 13.2 Zweistichprobentests 85 Student-t-Test (gleiche Varianzen) Modell für L ( X ij ) N ( µ i , σ 2 ), σ unbekannt (13.51) Spez. Parameterwert δ 0 ∈ R (13.52) Nullhypothese H 0 (1) µ 1 − µ 2 = δ 0 , (2) · · · ≥ δ 0 , (3) · · · ≤ δ 0 (13.53) Teststatistik V ¯ X 1 − ¯ X 2 − δ 0 √ n 1 + n 2 n 1 n 2 (( n 1 − 1) S 2 1 + ( n 2 − 1) S 2 2 ) / ( n 1 + n 2 − 2) mit S 2 i = 1 n i − 1 ∑ n i j =1 ( X ij − ¯ X i ) 2 (13.54) Nullverteilung F t ( n 1 + n 2 − 2) (Quantile t α ( n ) auf S. 94) (13.55) R-Befehl t.test(x,y,mu,var.equal=TRUE), x= ( x 11 , . . . , x 1 n 1 ), y= ( x 21 , . . . , x 2 n 2 ), mu= δ 0 (13.56) Welch-t-Test Modell für L ( X ij ) N ( µ i , σ 2 i ), σ i unbekannt (13.57) Spez. Parameterwert δ 0 ∈ R (13.58) Nullhypothese H 0 (1) µ 1 − µ 2 = δ 0 , (2) · · · ≥ δ 0 ,(3) · · · ≤ δ 0 (13.59) Teststatistik V ( ¯ X 1 − ¯ X 2 − δ 0 ) / √ S 2 1 n 1 + S 2 2 n 2 (13.60) Nullverteilung F approximativ t ( k ) (Quantile t α ( k ) auf S. 94), wobei k = ⌊ S 2 1 / n 1 + S 2 2 / n 2 1 n 1 − 1 ( S 2 1 / n 1 ) 2 + 1 n 2 − 1 ( S 2 2 / n 2 ) 2 ⌋ (13.61) R-Befehl t.test(x,y,mu,var.equal=FALSE), x= ( x 11 , . . . , x 1 n 1 ), y= ( x 21 , . . . , x 2 n 2 ), mu= δ 0 (13.62) Wilcoxon-Rangsummentest Modell für L ( X ij ) Stetige VF, F X 2 ( x ) = F X 1 ( x − a ), a unbekannt (13.63) Nullhypothese H 0 (1) med ( X 1 j ) − med ( X 2 j ) = 0, (2) · · · ≥ 0 , (3) · · · ≤ 0 (13.64) Teststatistik V ∑ n 1 i =1 R i ( X 11 , . . . , X 1 n 1 , X 21 , . . . , X 2 n 2 ) (vgl. (10.27)) (13.65) Nullverteilung F exakt: Wilcoxonverteilung, Quantile w α ( n 1 , n 2 ) auf S.117 (13.66) approx. ( n i > 25): N ( n 1 ( n 1 + n 2 +1) 2 , n 1 n 2 ( n 1 + n 2 +1) 12 ) p -Wert exakt (1) 2 min( F ( V ) , 1 − F ( V − 1)) (2) F ( V ) (3) 1 − F ( V − 1) (13.67) R-Befehl wilcox.test(x,y), x= ( x 11 , . . . , x 1 n 1 ), y= ( x 21 , . . . , x 2 n 2 ) (13.68) 45222_Terveer_griffleiste.indd 85 06.09.2019 11: 43: 16 <?page no="86"?> 86 13 Statistische Tests 13.2.2 Tests mit einseitigem Ablehnungsbereich Tests haben zur gegebenen Nullhypothese H 0 , Nullverteilung F und Signifikanzniveau α den Ablehnungsbereich v > q 1 − α und den p -Wert 1 − F ( v ) (stetiger Fall). χ 2 -Unabhängigkeitstest Modell für L ( X ij ) Zweifachstichprobe mit u.i.v. ZV ( X 1 j , X 2 j ) ∈ { A 1 , . . . , A K } × { B 1 , . . . , B L } (13.69) Nullhypothese H 0 X 1 j und X 2 j sind st.u.. (13.70) Teststatistik V K ∑ k =1 L ∑ =1 ( H k − E k ) 2 E k (vgl. (10.32)) (13.71) Nullverteilung F approx. χ 2 (( K − 1)( L − 1)) für min k, E k ≥ 5. Ablehnung für V > q 1 − α . p -value ist 1 − F ( v ). (13.72) R-Befehl chisq.test(x,y=NULL) mit einer Matrix x, welche die Kontingenztafel ( H k ) enthält. (13.73) 13.3 Regressionsanalyse 13.3.1 Statistisches Modell der Regression Gegeben eine u.i.v.-Stichprobe ( X j 1 , . . . , X jk , Y j ), j = 1 , . . . , n , mit folgenden Eigenschaften: Y j = f ( X j 1 , . . . , X jk ) + ε j , und einer (unbekannten) Funktion f ∈ F . (13.74) E ( ε j ) = 0, var ( ε j ) = σ 2 (unbekannt). (13.75) ε j , ( X j 1 , . . . , X jk ) sind st.u., j = 1 , . . . , n (13.76) Ohne weitere Annahmen an f : Für j = 1 , . . . , n µ j = µ j ( x 1 , . . . , x k ) = E ( Y j | X j 1 = x 1 , . . . , X jk = x k ) = f ( x 1 , . . . , x k ) (13.77) Setze µ = ( µ 1 , . . . , µ n ) T Normalverteilungsannahme L ( ε i ) = N (0 , σ 2 ). (13.78) Multiple lineare Regression: f ∈ F hat die Form f ( x 1 , . . . , x k ) = β 0 + β 1 x 1 + · · · + β k x k (13.79) mit unbekannten β = ( β 0 , . . . , β k ) T ∈ R k +1 . 45222_Terveer_griffleiste.indd 86 06.09.2019 11: 43: 18 <?page no="87"?> Statistik 13.3 Regressionsanalyse 87 Datensatz: x • 1 x • 2 . . . x • k y x 1 • x 11 x 12 . . . x 1 k y 1 x 2 • x 21 x 22 . . . x 2 k y 2 ... ... ... ... ... x n • x n 1 x n 2 . . . x nk y n Spalten-Kennzahlen: Mittelwerte: ¯ x • i , ¯ y Varianzen: σ 2 i = σ 2 n (x • i ), σ 2 y = σ 2 n (y) Korrelationen: ρ rs = ρ P (x • r , x • s ), ρ ry = ρ P (x • r , y) Modellmatrix X =  1 x 11 · · · x 1 k ... ... ... 1 x n 1 · · · x nk  , q = Rg (X) , µ = X β (13.80) Spezialfall polynomiale Regression: f ∈ F ist Polynom vorgegebenen Grades k ∈ N f ( x ) = β 0 + β 1 x + · · · + β k x k (13.81) mit unbekannten β 0 , β 1 , . . . , β k ∈ R. k = 1: einfache lineare Regression: f ( x ) = β 0 + β 1 x (13.82) k = 2: quadratische Regression f ( x ) = β 0 + β 1 x + β 2 x 2 (13.83) Die Modellmatrix X hat die Einträge x ji = x ij 1 (13.84) 13.3.2 Parameterschätzung und Prognose Kleinste-Quadrate-Schätzung für β, σ 2 ˆ β = ˆ β KQ = argmin β ∈ R k +1 ‖ y − X β ‖ 2 (13.85) ˆ y = (ˆ y 1 , ˆ y 2 , . . . , ˆ y n ) T = X ˆ β (13.86) ˆ σ 2 = 1 n − q ‖ y − ˆ y ‖ 2 . (13.87) Unter der Voraussetzung, dass C = ( c ij ) i,j =0 ,...,k = (X T X) − 1 existiert, gilt 3,4 ˆ β KQ = CX T y = (X T X) − 1 X T y (13.88) cov ( ˆ β KQ ) = σ 2 C (13.89) σ ( ˆ β i ) = √ c ii · ˆ σ (Standardfehler) (13.90) (1 − α )-Konfidenzintervall | β i − ˆ β i | ≤ t 1 − α/ 2 ( n − q )ˆ σ i (13.91) KQ-Schätzung von µ j : 3 unter NV-Annahme (13.78) werden die Konfidenz- und Prognoseintervalle gebildet und sind die KQ-Schätzer auch ML-Schätzer. 4 dabei sind ˜ x j • = (1 , x j 1 , . . . , x jk ), ˜ x = (1 , x 1 , . . . , x k ). 45222_Terveer_griffleiste.indd 87 06.09.2019 11: 43: 20 <?page no="88"?> 88 13 Statistische Tests ˆ µ j = ˆ y j = ¯ y + ∑ k i =1 ˆ β i ( x ji − ¯ x • i ) (13.92) (1 − α )-Konfidenzintervall | µ j − ˆ µ j | ≤ t 1 − α/ 2 ( n − q ) · ˆ σ · √˜ x j • C ˜ x T j • (13.93) KQ-Prognose von y bei gegebenen x = ( x 1 , . . . , x k ) ˆ y(x) = ˜ x T ˆ β (13.94) (1 − α )-Prognoseintervall | y − ˆ y(x) | ≤ t 1 − α/ 2 ( n − q ) · ˆ σ · √ 1 + ˜ xC ˜ x T (13.95) Spezialfälle der multiplen linearen Regression ein Regressor ( k = 1): f ( x ) = β 0 + β 1 x 1 ˆ β 1 = σ y σ 1 · ρ 1y (13.96) ˆ β 0 = ¯ y − ˆ β 1 ¯ x • 1 (13.97) ˆ σ 2 = n n − 2 σ 2 y (1 − ρ 21y ) (13.98) Standardfehler der Parameterschätzer: ˆ σ 1 = σ y σ 1 · √ 1 n − 2 (1 − ρ 21y ) (13.99) ˆ σ 0 = σ y σ 1 · √ 1 n − 2 (1 − ρ 21y )( σ 2 1 + ¯ x 2 • 1 ) (13.100) zwei Regressoren ( k = 2): f ( x ) = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 ˆ β 2 = σ y σ 2 · ρ 2y − ρ 12 ρ 1y 1 − ρ 212 (13.101) ˆ β 1 = σ y σ 1 · ρ 1y − ρ 12 ρ 2y 1 − ρ 212 (13.102) ˆ β 0 = ¯ y − ˆ β 1 ¯ x • 1 − ˆ β 2 ¯ x • 2 (13.103) ˆ σ 2 = n n − 3 σ 2 y ( 1 − ρ 21y − 2 ρ 1y ρ 2y ρ 12 + ρ 22y 1 − ρ 212 ) (13.104) Standardfehler der Parameterschätzer: ˆ σ 2 = ˆ σ σ 1 · √ 1 n (1 − ρ 212 ) (13.105) ˆ σ 1 = ˆ σ σ 2 √ 1 n (1 − ρ 212 ) (13.106) ˆ σ 0 = ˆ σ · √ ( σ 2 1 + ¯ x 2 • 1 )( σ 2 2 + ¯ x 2 • 2 ) − ( σ 1 σ 2 ρ 12 + ¯ x • 1 ¯ x • 2 ) 2 nσ 2 1 σ 2 2 (1 − ρ 212 ) (13.107) 45222_Terveer_griffleiste.indd 88 06.09.2019 11: 43: 22 <?page no="89"?> Statistik 13.3 Regressionsanalyse 89 13.3.3 Streuungszerlegung und Varianzschätzung Residuen : Res (y) = ˆ y − y = nσ 2 y (13.108) Streuungszerlegung SS T = SS R + SS Res (13.109) SS T = ‖ y − ¯ y¯1 ‖ 2 = n ∑ i =1 ( y i − ¯ y) 2 = nσ 2 y (13.110) SS Res = ‖ Res (y) ‖ 2 = ‖ ˆ y − y ‖ 2 = ( n − q )ˆ σ 2 (13.111) SS R = ‖ ˆ y − ¯ y¯1 ‖ 2 (13.112) Bestimmtheitsmaß R 2 = SS R / SS T = 1 − SS Res / SS T (13.113) R 2 a = 1 − SS Res / n − q SS T / n − 1 = 1 − (1 − R 2 ) n − 1 n − q = R 2 − (1 − R 2 ) q − 1 n − q (13.114) Spezialfälle der multiplen linearen Regression: Ein Regressor ( k = 1) SS Res = nσ 2 y (1 − ρ 21 y ) (13.115) SS R = nσ 2 y ρ 21y = nσ 2 1 ˆ β 2 1 (13.116) R 2 = ρ 21y (13.117) Zwei Regressoren ( k = 2) SS Res = nσ 2 y ( 1 − ρ 21y − 2 ρ 1y ρ 2y ρ 12 + ρ 22y 1 − ρ 212 ) (13.118) SS R = nσ 2 y ρ 21y − 2 ρ 1y ρ 2y ρ 12 + ρ 22y 1 − ρ 212 = n ( σ 2 1 ˆ β 2 1 + σ 2 2 ˆ β 2 2 +2 σ 1 σ 2 ˆ β 1 ˆ β 2 ρ 12 ) (13.119) R 2 = ρ 21y − 2 ρ 1y ρ 2y ρ 12 + ρ 22y 1 − ρ 212 (13.120) 13.3.4 Hypothesentests im linearen Regressionsmodell Alle Tests werden unter Normalverteilungsannahme (13.78) angewendet. (Mehr-)Parameter-Hypothese Mit vorgegebenen 1 ≤ i 1 < · · · < i m ≤ k H 0 : β i 1 = · · · = β i m = 0 (13.121) 45222_Terveer_griffleiste.indd 89 06.09.2019 11: 43: 24 <?page no="90"?> 90 13 Statistische Tests Unter H 0 ist Y = X H β H + ε (13.122) X H ( β H ) entsteht aus X ( β ) durch Streichen der Spalten (Einträge) i 1 + 1 , . . . , i m + 1. KQ-Schätzer bei Gültigkeit von H mit C H = (X T H X H ) − 1 und p = Rg (X H ) < q ˆ β H = C H X T H Y (13.123) ˆ y H = X H ˆ β H (13.124) F -Test der Hypothese H 0 : β i 1 = · · · = β i m = 0 Teststatistik V = 1 q − p · ‖ ˆ y − ˆ y H ‖ 2 / ˆ σ 2 = ‖ ˆ y − ˆ y H ‖ 2 / ( q − p ) ‖ ˆ y − y ‖ 2 / ( n − q ) (13.125) Nullverteilung F = F ( q − p, n − q ) (13.126) Ablehnungsbereich v > F 1 − α ( q − p, n − q ) (13.127) p -Wert 1 − F ( v ) (13.128) F -Test des Gesamtmodells, Hypothese H 0 : β 1 = · · · = β k = 0 Teststatistik V = SS R / k SS Res / ( n − q ) = n − q k R 2 1 − R 2 (13.129) Nullverteilung F = F ( k, n − q ) (13.130) Ablehnungsbereich v > F 1 − α ( k, n − q ) (13.131) p -Wert 1 − F ( v ) (13.132) t -Test der Hypothese H 0 : β j = 0: Teststatistik V = ˆ β j / √ c jj ˆ σ 2 (13.133) Nullverteilung F = t ( n − q ) (13.134) Ablehnungsbereich | v | > t 1 − α/ 2 ( n − q ) (13.135) p -Wert 2(1 − F ( | v | )) (13.136) 13.4 Varianzanalyse mit einem Faktor Gegeben eine u.i.v.-Stichprobe ( U 1 , Y 1 ) , . . . , ( U n , Y n ) mit folgenden Eigenschaften: 45222_Terveer_griffleiste.indd 90 06.09.2019 11: 43: 26 <?page no="91"?> Statistik 13.5 Kovarianzanalyse 91 U j = u j ∈ { 1 , . . . , p } , dabei ist p ∈ N (Faktor mit p Stufen) sowie Dummy-Variablen X ji = { 1 U j = i 0 U j = i (13.137) Y j = y j = β 0 + ∑ p − 1 i =1 β i X ji + ε j mit β 0 , . . . , β p − 1 ∈ R (unbekannt) (13.138) E ( ε j ) = 0, var ( ε j ) = σ 2 (unbekannt). (13.139) ε j , U j sind st.u., j = 1 , . . . , n (13.140) Regressionsfunktion 5 für j = 1 , . . . , n und x j ∈ { 0 , 1 } , ∑ x j ≤ 1 E ( Y j | X j 1 = x 1 , . . . , X jp − 1 = x p − 1 ) = β 0 + β 1 x 1 + · · · + β p − 1 x p − 1 (13.141) Setze ¯ y •• = 1 n n ∑ j =1 y j und für i ∈ { 1 , . . . , p } : n i = # { j : u j = i } (13.142) ¯ y i • = 1 n i ∑ j : u j = i y j (13.143) Normalverteilungsannahme 6 : L ( ε i ) = N (0 , σ 2 ). (13.144) KQ-Schätzer 7 ˆ β 0 = ¯ y p • , ˆ β i = ¯ y i • − ¯ y p • , für i = 1 , . . . , p − 1 (13.145) ˆ σ 2 = 1 n − p SS Res = 1 n − p ∑ ij ( y j − ¯ y i • ) 2 (13.146) F -Test der Hypothese H 0 : β 1 = · · · = β p − 1 = 0 Teststatistik V = 1 p − 1 ∑ p i =1 n i (¯ y i • − ¯ y •• ) 2 / ˆ σ 2 (13.147) Nullverteilung F = F ( p − 1 , n − p ) (13.148) Ablehnungsbereich v > F 1 − α ( p − 1 , n − p ) (13.149) p -Wert 1 − F ( v ) (13.150) 13.5 Kovarianzanalyse Gegeben eine u.i.v.-Stichprobe ( U 1 , V 1 , Y 1 ) , . . . , ( U n , V n , Y n ) mit folgenden Eigenschaften: U j = u j ∈ { 1 , . . . , p } , dabei ist p ∈ N (Faktor mit p Stufen) sowie Dummy-Variablen X ji = { 1 U j = i 0 U j = i (13.151) V j = v j ∈ R 5 d.h. Faktorstufe p entspricht dem mittleren Effekt β 0 , die Parameter β 1 , . . . , β p − 1 beschreiben Abweichungen der übrigen Faktorstufen vom mittleren Effekt. In R sind die Faktorstufen (lexikografisch) sortiert und die kleinste Stufe entspricht dem mittleren Effekt. 6 für Modell- und Parametertests erforderlich 7 Hier und im folgenden ist mit ∑ ij . . . die Doppelsumme ∑ p i =1 ∑ j : u j = i . . . gemeint. 45222_Terveer_griffleiste.indd 91 06.09.2019 11: 43: 28 <?page no="92"?> 92 13 Statistische Tests Y j = y j = β 0 + ∑ p − 1 i =1 β i X ji + γV j + ε j mit β 0 , . . . , β p − 1 , γ ∈ R (unbekannt) (13.152) E ( ε j ) = 0, var ( ε j ) = σ 2 (unbekannt). (13.153) ε j , U j sind st.u., j = 1 , . . . , n (13.154) Regressionsfunktion 5 für j = 1 , . . . , n und x j ∈ { 0 , 1 } , ∑ x j ≤ 1 , v ∈ R E ( Y j | X j 1 = x 1 , . . . , X jp − 1 = x p − 1 , V j = v ) = β 0 + β 1 x 1 + · · · + β p − 1 x p − 1 + γv (13.155) Setze ¯ y •• = 1 n ∑ n j =1 y j , ¯ v •• = 1 n ∑ n j =1 v j und für i ∈ { 1 , . . . , p } : n i = # { j : u j = i } (13.156) ¯ y i • = 1 n i ∑ j : u j = i y j , ¯ v i • = 1 n i ∑ j : u j = i v j (13.157) Normalverteilungsannahme 6 : L ( ε i ) = N (0 , σ 2 ). (13.158) KQ-Schätzer 7 ˆ β 0 = ¯ y p • − ˆ γ ¯ v p • (13.159) ˆ β i = ¯ y i • − ¯ y p • − ˆ γ ( ¯ v i • − ¯ v p • ) für i = 1 , . . . , p − 1 (13.160) ˆ γ = ∑ ij ( v j − ¯ v i • )( y j − ¯ y i • ) / ∑ ij ( v j − ¯ v i • ) 2 (13.161) ˆ σ 2 = SS Res / ( n − p − 1) (13.162) SS Res = ∑ ij ( y j − ¯ y i • ) 2 − (∑ ij ( v j − ¯ v i • )( y j − ¯ y i • ) ) 2 ∑ ij ( v j − ¯ v i • ) 2 (13.163) F -Test der Hypothese H 0 : γ = 0 Teststatistik V = (∑ ij ( v j − ¯ v i • )( y j − ¯ y i • ) ) 2 / ˆ σ 2 ∑ ij ( v j − ¯ v i • ) 2 (13.164) Nullverteilung F = F (1 , n − p − 1) (13.165) Ablehnungsbereich v > F 1 − α (1 , n − p − 1) (13.166) F -Test der Hypothese H 0 : β 1 = · · · = β p − 1 = 0 Teststatistik V = ∑ ij (y i • − y •• + ˆ γ ( v j − v i • ) − ˆˆ γ ( v j − v •• )) 2 ( p − 1)ˆ σ 2 (13.167) mit ˆˆ γ = ∑ n j =1 ( v j − ¯ v •• )( y j − ¯ y •• ) / ∑ n j =1 ( v j − ¯ v •• ) 2 (13.168) Nullverteilung F = F ( p − 1 , n − p ) (13.169) Ablehnungsbereich v > F 1 − α ( p − 1 , n − p ) (13.170) p -Wert ist jeweils 1 − F ( v ). 45222_Terveer_griffleiste.indd 92 06.09.2019 11: 43: 30 <?page no="93"?> Statistik 14 Verteilungstabellen Alle Werte wurden mit R berechnet 1 und wie angegeben gerundet. 14.1 Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung 000 005 010 015 020 025 030 035 040 045 050 055 060 065 070 075 080 085 090 095 0.0 500 502 504 506 508 510 512 514 516 518 520 522 524 526 528 530 532 534 536 538 0.1 540 542 544 546 548 550 552 554 556 558 560 562 564 566 567 569 571 573 575 577 0.2 579 581 583 585 587 589 591 593 595 597 599 601 603 604 606 608 610 612 614 616 0.3 618 620 622 624 626 627 629 631 633 635 637 639 641 642 644 646 648 650 652 654 0.4 655 657 659 661 663 665 666 668 670 672 674 675 677 679 681 683 684 686 688 690 0.5 691 693 695 697 698 700 702 704 705 707 709 711 712 714 716 717 719 721 722 724 0.6 726 727 729 731 732 734 736 737 739 741 742 744 745 747 749 750 752 753 755 756 0.7 758 760 761 763 764 766 767 769 770 772 773 775 776 778 779 781 782 784 785 787 0.8 788 790 791 792 794 795 797 798 800 801 802 804 805 806 808 809 811 812 813 815 0.9 816 817 819 820 821 823 824 825 826 828 829 830 831 833 834 835 836 838 839 840 1.0 841 843 844 845 846 847 848 850 851 852 853 854 855 857 858 859 860 861 862 863 1.1 864 865 867 868 869 870 871 872 873 874 875 876 877 878 879 880 881 882 883 884 1.2 885 886 887 888 889 890 891 892 893 893 894 895 896 897 898 899 900 901 901 902 1.3 903 904 905 906 907 907 908 909 910 911 911 912 913 914 915 915 916 917 918 918 1.4 919 920 921 921 922 923 924 924 925 926 926 927 928 929 929 930 931 931 932 933 1.5 933 934 934 935 936 936 937 938 938 939 939 940 941 941 942 942 943 944 944 945 1.6 945 946 946 947 947 948 948 949 949 950 951 951 952 952 953 953 954 954 954 955 1.7 955 956 956 957 957 958 958 959 959 960 960 960 961 961 962 962 962 963 963 964 1.8 964 964 965 965 966 966 966 967 967 967 968 968 969 969 969 970 970 970 971 971 1.9 971 972 972 972 973 973 973 974 974 974 974 975 975 975 976 976 976 976 977 977 2.0 977 978 978 978 978 979 979 979 979 980 980 980 980 981 981 981 981 981 982 982 2.1 982 982 983 983 983 983 983 984 984 984 984 984 985 985 985 985 985 986 986 986 2.2 986 986 986 987 987 987 987 987 987 988 988 988 988 988 988 989 989 989 989 989 2.3 989 989 990 990 990 990 990 990 990 990 991 991 991 991 991 991 991 991 992 992 2.4 992 992 992 992 992 992 992 993 993 993 993 993 993 993 993 993 993 994 994 994 2.5 994 994 994 994 994 994 994 994 994 995 995 995 995 995 995 995 995 995 995 995 1 Skripten online verfügbar 45222_Terveer_griffleiste.indd 93 06.09.2019 11: 43: 32 <?page no="94"?> 94 14 Verteilungstabellen 000 005 010 015 020 025 030 035 040 045 050 055 060 065 070 075 080 085 090 095 2.6 995 995 995 996 996 996 996 996 996 996 996 996 996 996 996 996 996 996 996 996 2.7 997 997 997 997 997 997 997 997 997 997 997 997 997 997 997 997 997 997 997 997 2.8 997 997 998 998 998 998 998 998 998 998 998 998 998 998 998 998 998 998 998 998 2.9 998 998 998 998 998 998 998 998 998 998 998 998 998 998 999 999 999 999 999 999 3.0 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 3.1 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 3.2 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 1 Beispiel 2 : Φ(1 . 240) = Φ(1 . 3 + . 040) ≈ 0 . 893. Für nicht aufgeführte x : x ≥ 3 . 2: Φ( x ) ≈ 1 für x ≥ 3 . 2. Für x < 0: Φ( x ) = 1 − Φ( − x ) Interpolation: Φ( λx + (1 − λ ) y ) ≈ λ Φ( x ) + (1 − λ )Φ( y ) 14.2 Quantile der Standardnormal- und t ( n )-Verteilung n = α =.900 .950 .975 .990 .995 .999 .9995 ∞ 1.28 1.64 1.96 2.33 2.58 3.09 3.29 1 3.08 6.31 12.71 31.82 63.66 318.31 636.62 2 1.89 2.92 4.30 6.96 9.92 22.33 31.60 3 1.64 2.35 3.18 4.54 5.84 1.21 12.92 4 1.53 2.13 2.78 3.75 4.60 7.17 8.61 5 1.48 2.02 2.57 3.36 4.03 5.89 6.87 6 1.44 1.94 2.45 3.14 3.71 5.21 5.96 7 1.41 1.89 2.36 3.00 3.50 4.79 5.41 8 1.40 1.86 2.31 2.90 3.36 4.50 5.04 9 1.38 1.83 2.26 2.82 3.25 4.30 4.78 10 1.37 1.81 2.23 2.76 3.17 4.14 4.59 11 1.36 1.80 2.20 2.72 3.11 4.02 4.44 12 1.36 1.78 2.18 2.68 3.05 3.93 4.32 13 1.35 1.77 2.16 2.65 3.01 3.85 4.22 14 1.35 1.76 2.14 2.62 2.98 3.79 4.14 15 1.34 1.75 2.13 2.60 2.95 3.73 4.07 16 1.34 1.75 2.12 2.58 2.92 3.69 4.01 17 1.33 1.74 2.11 2.57 2.90 3.65 3.97 18 1.33 1.73 2.10 2.55 2.88 3.61 3.92 19 1.33 1.73 2.09 2.54 2.86 3.58 3.88 20 1.33 1.72 2.09 2.53 2.85 3.55 3.85 21 1.32 1.72 2.08 2.52 2.83 3.53 3.82 22 1.32 1.72 2.07 2.51 2.82 3.50 3.79 23 1.32 1.71 2.07 2.50 2.81 3.48 3.77 24 1.32 1.71 2.06 2.49 2.80 3.47 3.75 25 1.32 1.71 2.06 2.49 2.79 3.45 3.73 2 in Tabelle weiß hervorgehoben 45222_Terveer_griffleiste.indd 94 06.09.2019 11: 43: 34 <?page no="95"?> Statistik 14.2 Quantile der Standardnormal- und t ( n )-Verteilung 95 n = α =.900 .950 .975 .990 .995 .999 .9995 26 1.31 1.71 2.06 2.48 2.78 3.43 3.71 27 1.31 1.70 2.05 2.47 2.77 3.42 3.69 28 1.31 1.70 2.05 2.47 2.76 3.41 3.67 29 1.31 1.70 2.05 2.46 2.76 3.40 3.66 30 1.31 1.70 2.04 2.46 2.75 3.39 3.65 31 1.31 1.70 2.04 2.45 2.74 3.37 3.63 32 1.31 1.69 2.04 2.45 2.74 3.37 3.62 33 1.31 1.69 2.03 2.44 2.73 3.36 3.61 34 1.31 1.69 2.03 2.44 2.73 3.35 3.60 35 1.31 1.69 2.03 2.44 2.72 3.34 3.59 36 1.31 1.69 2.03 2.43 2.72 3.33 3.58 37 1.30 1.69 2.03 2.43 2.72 3.33 3.57 38 1.30 1.69 2.02 2.43 2.71 3.32 3.57 39 1.30 1.68 2.02 2.43 2.71 3.31 3.56 40 1.30 1.68 2.02 2.42 2.70 3.31 3.55 41 1.30 1.68 2.02 2.42 2.70 3.30 3.54 43 1.30 1.68 2.02 2.42 2.70 3.29 3.53 44 1.30 1.68 2.02 2.41 2.69 3.29 3.53 45 1.30 1.68 2.01 2.41 2.69 3.28 3.52 46 1.30 1.68 2.01 2.41 2.69 3.28 3.51 47 1.30 1.68 2.01 2.41 2.68 3.27 3.51 49 1.30 1.68 2.01 2.40 2.68 3.27 3.50 50 1.30 1.68 2.01 2.40 2.68 3.26 3.50 51 1.30 1.68 2.01 2.40 2.68 3.26 3.49 52 1.30 1.67 2.01 2.40 2.67 3.25 3.49 53 1.30 1.67 2.01 2.40 2.67 3.25 3.48 54 1.30 1.67 2.00 2.40 2.67 3.25 3.48 56 1.30 1.67 2.00 2.39 2.67 3.24 3.47 57 1.30 1.67 2.00 2.39 2.66 3.24 3.47 59 1.30 1.67 2.00 2.39 2.66 3.23 3.46 62 1.30 1.67 2.00 2.39 2.66 3.23 3.45 63 1.30 1.67 2.00 2.39 2.66 3.22 3.45 64 1.29 1.67 2.00 2.39 2.65 3.22 3.45 66 1.29 1.67 2.00 2.38 2.65 3.22 3.44 68 1.29 1.67 2.00 2.38 2.65 3.21 3.44 69 1.29 1.67 1.99 2.38 2.65 3.21 3.44 71 1.29 1.67 1.99 2.38 2.65 3.21 3.43 73 1.29 1.67 1.99 2.38 2.64 3.21 3.43 74 1.29 1.67 1.99 2.38 2.64 3.20 3.43 76 1.29 1.67 1.99 2.38 2.64 3.20 3.42 77 1.29 1.66 1.99 2.38 2.64 3.20 3.42 79 1.29 1.66 1.99 2.37 2.64 3.20 3.42 81 1.29 1.66 1.99 2.37 2.64 3.19 3.41 85 1.29 1.66 1.99 2.37 2.63 3.19 3.41 88 1.29 1.66 1.99 2.37 2.63 3.19 3.40 89 1.29 1.66 1.99 2.37 2.63 3.18 3.40 96 1.29 1.66 1.98 2.37 2.63 3.18 3.39 99 1.29 1.66 1.98 2.36 2.63 3.17 3.39 45222_Terveer_griffleiste.indd 95 06.09.2019 11: 43: 36 <?page no="96"?> 96 14 Verteilungstabellen n = α =.900 .950 .975 .990 .995 .999 .9995 102 1.29 1.66 1.98 2.36 2.62 3.17 3.39 106 1.29 1.66 1.98 2.36 2.62 3.17 3.38 112 1.29 1.66 1.98 2.36 2.62 3.16 3.38 118 1.29 1.66 1.98 2.36 2.62 3.16 3.37 128 1.29 1.66 1.98 2.36 2.61 3.16 3.37 129 1.29 1.66 1.98 2.36 2.61 3.15 3.37 132 1.29 1.66 1.98 2.35 2.61 3.15 3.37 134 1.29 1.66 1.98 2.35 2.61 3.15 3.36 152 1.29 1.65 1.98 2.35 2.61 3.14 3.36 154 1.29 1.65 1.98 2.35 2.61 3.14 3.35 159 1.29 1.65 1.97 2.35 2.61 3.14 3.35 171 1.29 1.65 1.97 2.35 2.60 3.14 3.35 182 1.29 1.65 1.97 2.35 2.60 3.14 3.34 185 1.29 1.65 1.97 2.35 2.60 3.13 3.34 202 1.29 1.65 1.97 2.34 2.60 3.13 3.34 222 1.29 1.65 1.97 2.34 2.60 3.13 3.33 237 1.29 1.65 1.97 2.34 2.60 3.12 3.33 247 1.28 1.65 1.97 2.34 2.60 3.12 3.33 259 1.28 1.65 1.97 2.34 2.59 3.12 3.33 285 1.28 1.65 1.97 2.34 2.59 3.12 3.32 332 1.28 1.65 1.97 2.34 2.59 3.11 3.32 401 1.28 1.65 1.97 2.34 2.59 3.11 3.31 433 1.28 1.65 1.97 2.33 2.59 3.11 3.31 473 1.28 1.65 1.96 2.33 2.59 3.11 3.31 538 1.28 1.65 1.96 2.33 2.58 3.11 3.31 555 1.28 1.65 1.96 2.33 2.58 3.10 3.31 675 1.28 1.65 1.96 2.33 2.58 3.10 3.30 1712 1.28 1.65 1.96 2.33 2.58 3.09 3.30 ∞ 1.28 1.64 1.96 2.33 2.58 3.09 3.29 Beispiele 3 : t 0 . 95 (15) ≈ 1 . 75 und u 0 . 975 = t 0 . 975 ( ∞ ) ≈ 1 . 96 Fehlendes n : nächstkleineres n in Tabelle nutzen, z.B. t 0 . 9 (250) ≈ t 0 . 9 (247) ≈ 1 . 28 α ≤ . 1: t α ( n ) = − t 1 − α ( n ), u α = − u 1 − α n > 2000: t α ( n ) ≈ t α ( ∞ ) 14.3 Quantile der χ 2 ( n )-Verteilung, n ≤ 100 n = α =0.0005 0.001 0.0025 0.005 0.01 0.025 0.05 0.1 1 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.001 0.004 0.016 2 0.001 0.002 0.005 0.010 0.020 0.051 0.103 0.211 3 0.015 0.024 0.045 0.072 0.115 0.216 0.352 0.584 4 0.064 0.091 0.145 0.207 0.297 0.484 0.711 1.064 3 in Tabelle weiß hervorgehoben 45222_Terveer_griffleiste.indd 96 06.09.2019 11: 43: 38 <?page no="97"?> Statistik 14.3 Quantile der χ 2 ( n )-Verteilung, n ≤ 100 97 n = α =0.0005 0.001 0.0025 0.005 0.01 0.025 0.05 0.1 5 0.158 0.210 0.307 0.412 0.554 0.831 1.145 1.610 6 0.299 0.381 0.527 0.676 0.872 1.237 1.635 2.204 7 0.485 0.598 0.794 0.989 1.239 1.690 2.167 2.833 8 0.710 0.857 1.104 1.344 1.646 2.180 2.733 3.490 9 0.972 1.152 1.450 1.735 2.088 2.700 3.325 4.168 10 1.265 1.479 1.827 2.156 2.558 3.247 3.940 4.865 11 1.587 1.834 2.232 2.603 3.053 3.816 4.575 5.578 12 1.934 2.214 2.661 3.074 3.571 4.404 5.226 6.304 13 2.305 2.617 3.112 3.565 4.107 5.009 5.892 7.042 14 2.697 3.041 3.582 4.075 4.660 5.629 6.571 7.790 15 3.108 3.483 4.070 4.601 5.229 6.262 7.261 8.547 16 3.536 3.942 4.573 5.142 5.812 6.908 7.962 9.312 17 3.980 4.416 5.092 5.697 6.408 7.564 8.672 10.085 18 4.439 4.905 5.623 6.265 7.015 8.231 9.390 10.865 19 4.912 5.407 6.167 6.844 7.633 8.907 10.117 11.651 20 5.398 5.921 6.723 7.434 8.260 9.591 10.851 12.443 21 5.896 6.447 7.289 8.034 8.897 10.283 11.591 13.240 22 6.404 6.983 7.865 8.643 9.542 10.982 12.338 14.041 23 6.924 7.529 8.450 9.260 10.196 11.689 13.091 14.848 24 7.453 8.085 9.044 9.886 10.856 12.401 13.848 15.659 25 7.991 8.649 9.646 10.520 11.524 13.120 14.611 16.473 26 8.538 9.222 10.256 11.160 12.198 13.844 15.379 17.292 27 9.093 9.803 10.873 11.808 12.879 14.573 16.151 18.114 28 9.656 10.391 11.497 12.461 13.565 15.308 16.928 18.939 29 10.227 10.986 12.128 13.121 14.256 16.047 17.708 19.768 30 10.804 11.588 12.765 13.787 14.953 16.791 18.493 20.599 31 11.389 12.196 13.407 14.458 15.655 17.539 19.281 21.434 32 11.979 12.811 14.056 15.134 16.362 18.291 20.072 22.271 33 12.576 13.431 14.709 15.815 17.074 19.047 20.867 23.110 34 13.179 14.057 15.368 16.501 17.789 19.806 21.664 23.952 35 13.787 14.688 16.032 17.192 18.509 20.569 22.465 24.797 36 14.401 15.324 16.700 17.887 19.233 21.336 23.269 25.643 37 15.020 15.965 17.373 18.586 19.960 22.106 24.075 26.492 38 15.644 16.611 18.050 19.289 20.691 22.878 24.884 27.343 39 16.273 17.262 18.732 19.996 21.426 23.654 25.695 28.196 40 16.906 17.916 19.417 20.707 22.164 24.433 26.509 29.051 41 17.544 18.575 20.106 21.421 22.906 25.215 27.326 29.907 42 18.186 19.239 20.799 22.138 23.650 25.999 28.144 30.765 43 18.832 19.906 21.496 22.859 24.398 26.785 28.965 31.625 44 19.483 20.576 22.196 23.584 25.148 27.575 29.787 32.487 45 20.137 21.251 22.900 24.311 25.901 28.366 30.612 33.350 46 20.794 21.929 23.606 25.041 26.657 29.160 31.439 34.215 47 21.456 22.610 24.316 25.775 27.416 29.956 32.268 35.081 48 22.121 23.295 25.029 26.511 28.177 30.755 33.098 35.949 49 22.789 23.983 25.745 27.249 28.941 31.555 33.930 36.818 50 23.461 24.674 26.464 27.991 29.707 32.357 34.764 37.689 51 24.136 25.368 27.185 28.735 30.475 33.162 35.600 38.560 52 24.814 26.065 27.909 29.481 31.246 33.968 36.437 39.433 53 25.495 26.765 28.636 30.230 32.018 34.776 37.276 40.308 54 26.179 27.468 29.365 30.981 32.793 35.586 38.116 41.183 55 26.866 28.173 30.097 31.735 33.570 36.398 38.958 42.060 56 27.555 28.881 30.831 32.490 34.350 37.212 39.801 42.937 57 28.248 29.592 31.568 33.248 35.131 38.027 40.646 43.816 58 28.943 30.305 32.307 34.008 35.913 38.844 41.492 44.696 59 29.640 31.020 33.048 34.770 36.698 39.662 42.339 45.577 60 30.340 31.738 33.791 35.534 37.485 40.482 43.188 46.459 61 31.043 32.459 34.537 36.301 38.273 41.303 44.038 47.342 62 31.748 33.181 35.284 37.068 39.063 42.126 44.889 48.226 63 32.455 33.906 36.033 37.838 39.855 42.950 45.741 49.111 64 33.165 34.633 36.785 38.610 40.649 43.776 46.595 49.996 45222_Terveer_griffleiste.indd 97 06.09.2019 11: 43: 39 <?page no="98"?> 98 14 Verteilungstabellen n = α =0.0005 0.001 0.0025 0.005 0.01 0.025 0.05 0.1 65 33.877 35.362 37.538 39.383 41.444 44.603 47.450 50.883 66 34.591 36.093 38.293 40.158 42.240 45.431 48.305 51.770 67 35.307 36.826 39.050 40.935 43.038 46.261 49.162 52.659 68 36.025 37.561 39.809 41.713 43.838 47.092 50.020 53.548 69 36.745 38.298 40.570 42.494 44.639 47.924 50.879 54.438 70 37.467 39.036 41.332 43.275 45.442 48.758 51.739 55.329 71 38.192 39.777 42.096 44.058 46.246 49.592 52.600 56.221 72 38.918 40.519 42.862 44.843 47.051 50.428 53.462 57.113 73 39.646 41.264 43.629 45.629 47.858 51.265 54.325 58.006 74 40.376 42.010 44.398 46.417 48.666 52.103 55.189 58.900 75 41.107 42.757 45.169 47.206 49.475 52.942 56.054 59.795 76 41.841 43.507 45.941 47.997 50.286 53.782 56.920 60.690 77 42.576 44.258 46.714 48.788 51.097 54.623 57.786 61.586 78 43.312 45.010 47.489 49.582 51.910 55.466 58.654 62.483 79 44.051 45.764 48.265 50.376 52.725 56.309 59.522 63.380 80 44.791 46.520 49.043 51.172 53.540 57.153 60.391 64.278 81 45.533 47.277 49.822 51.969 54.357 57.998 61.261 65.176 82 46.276 48.036 50.602 52.767 55.174 58.845 62.132 66.076 83 47.021 48.796 51.384 53.567 55.993 59.692 63.004 66.976 84 47.767 49.557 52.167 54.368 56.813 60.540 63.876 67.876 85 48.515 50.320 52.952 55.170 57.634 61.389 64.749 68.777 86 49.264 51.085 53.737 55.973 58.456 62.239 65.623 69.679 87 50.015 51.850 54.524 56.777 59.279 63.089 66.498 70.581 88 50.767 52.617 55.312 57.582 60.103 63.941 67.373 71.484 89 51.521 53.386 56.102 58.389 60.928 64.793 68.249 72.387 90 52.276 54.155 56.892 59.196 61.754 65.647 69.126 73.291 91 53.032 54.926 57.684 60.005 62.581 66.501 70.003 74.196 92 53.790 55.698 58.476 60.815 63.409 67.356 70.882 75.100 93 54.549 56.472 59.270 61.625 64.238 68.211 71.760 76.006 94 55.309 57.246 60.065 62.437 65.068 69.068 72.640 76.912 95 56.070 58.022 60.861 63.250 65.898 69.925 73.520 77.818 96 56.833 58.799 61.659 64.063 66.730 70.783 74.401 78.725 97 57.597 59.577 62.457 64.878 67.562 71.642 75.282 79.633 98 58.362 60.356 63.256 65.694 68.396 72.501 76.164 80.541 99 59.128 61.137 64.056 66.510 69.230 73.361 77.046 81.449 100 59.896 61.918 64.857 67.328 70.065 74.222 77.929 82.358 n = α =0.9 0.95 0.975 0.99 0.995 0.9975 0.999 0.9995 1 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 9.141 10.828 12.116 2 4.605 5.991 7.378 9.210 10.597 11.983 13.816 15.202 3 6.251 7.815 9.348 11.345 12.838 14.320 16.266 17.730 4 7.779 9.488 11.143 13.277 14.860 16.424 18.467 19.997 5 9.236 11.070 12.833 15.086 16.750 18.386 20.515 22.105 6 10.645 12.592 14.449 16.812 18.548 20.249 22.458 24.103 7 12.017 14.067 16.013 18.475 20.278 22.040 24.322 26.018 8 13.362 15.507 17.535 20.090 21.955 23.774 26.124 27.868 9 14.684 16.919 19.023 21.666 23.589 25.462 27.877 29.666 10 15.987 18.307 20.483 23.209 25.188 27.112 29.588 31.420 11 17.275 19.675 21.920 24.725 26.757 28.729 31.264 33.137 12 18.549 21.026 23.337 26.217 28.300 30.318 32.909 34.821 13 19.812 22.362 24.736 27.688 29.819 31.883 34.528 36.478 14 21.064 23.685 26.119 29.141 31.319 33.426 36.123 38.109 15 22.307 24.996 27.488 30.578 32.801 34.950 37.697 39.719 16 23.542 26.296 28.845 32.000 34.267 36.456 39.252 41.308 17 24.769 27.587 30.191 33.409 35.718 37.946 40.790 42.879 18 25.989 28.869 31.526 34.805 37.156 39.422 42.312 44.434 19 27.204 30.144 32.852 36.191 38.582 40.885 43.820 45.973 20 28.412 31.410 34.170 37.566 39.997 42.336 45.315 47.498 21 29.615 32.671 35.479 38.932 41.401 43.775 46.797 49.011 22 30.813 33.924 36.781 40.289 42.796 45.204 48.268 50.511 45222_Terveer_griffleiste.indd 98 06.09.2019 11: 43: 41 <?page no="99"?> Statistik 14.3 Quantile der χ 2 ( n )-Verteilung, n ≤ 100 99 n = α =0.9 0.95 0.975 0.99 0.995 0.9975 0.999 0.9995 23 32.007 35.172 38.076 41.638 44.181 46.623 49.728 52.000 24 33.196 36.415 39.364 42.980 45.559 48.034 51.179 53.479 25 34.382 37.652 40.646 44.314 46.928 49.435 52.620 54.947 26 35.563 38.885 41.923 45.642 48.290 50.829 54.052 56.407 27 36.741 40.113 43.195 46.963 49.645 52.215 55.476 57.858 28 37.916 41.337 44.461 48.278 50.993 53.594 56.892 59.300 29 39.087 42.557 45.722 49.588 52.336 54.967 58.301 60.735 30 40.256 43.773 46.979 50.892 53.672 56.332 59.703 62.162 31 41.422 44.985 48.232 52.191 55.003 57.692 61.098 63.582 32 42.585 46.194 49.480 53.486 56.328 59.046 62.487 64.995 33 43.745 47.400 50.725 54.776 57.648 60.395 63.870 66.403 34 44.903 48.602 51.966 56.061 58.964 61.738 65.247 67.803 35 46.059 49.802 53.203 57.342 60.275 63.076 66.619 69.199 36 47.212 50.998 54.437 58.619 61.581 64.410 67.985 70.588 37 48.363 52.192 55.668 59.893 62.883 65.739 69.346 71.972 38 49.513 53.384 56.896 61.162 64.181 67.063 70.703 73.351 39 50.660 54.572 58.120 62.428 65.476 68.383 72.055 74.725 40 51.805 55.758 59.342 63.691 66.766 69.699 73.402 76.095 41 52.949 56.942 60.561 64.950 68.053 71.011 74.745 77.459 42 54.090 58.124 61.777 66.206 69.336 72.320 76.084 78.820 43 55.230 59.304 62.990 67.459 70.616 73.624 77.419 80.176 44 56.369 60.481 64.201 68.710 71.893 74.925 78.750 81.528 45 57.505 61.656 65.410 69.957 73.166 76.223 80.077 82.876 46 58.641 62.830 66.617 71.201 74.437 77.517 81.400 84.220 47 59.774 64.001 67.821 72.443 75.704 78.809 82.720 85.560 48 60.907 65.171 69.023 73.683 76.969 80.097 84.037 86.897 49 62.038 66.339 70.222 74.919 78.231 81.382 85.351 88.231 50 63.167 67.505 71.420 76.154 79.490 82.664 86.661 89.561 51 64.295 68.669 72.616 77.386 80.747 83.943 87.968 90.887 52 65.422 69.832 73.810 78.616 82.001 85.220 89.272 92.211 53 66.548 70.993 75.002 79.843 83.253 86.494 90.573 93.531 54 67.673 72.153 76.192 81.069 84.502 87.766 91.872 94.849 55 68.796 73.311 77.380 82.292 85.749 89.035 93.168 96.163 56 69.919 74.468 78.567 83.513 86.994 90.301 94.461 97.475 57 71.040 75.624 79.752 84.733 88.236 91.565 95.751 98.784 58 72.160 76.778 80.936 85.950 89.477 92.827 97.039 100.090 59 73.279 77.931 82.117 87.166 90.715 94.087 98.324 101.394 60 74.397 79.082 83.298 88.379 91.952 95.344 99.607 102.695 61 75.514 80.232 84.476 89.591 93.186 96.599 100.888 103.993 62 76.630 81.381 85.654 90.802 94.419 97.852 102.166 105.289 63 77.745 82.529 86.830 92.010 95.649 99.104 103.442 106.583 64 78.860 83.675 88.004 93.217 96.878 100.353 104.716 107.875 65 79.973 84.821 89.177 94.422 98.105 101.600 105.988 109.164 66 81.085 85.965 90.349 95.626 99.330 102.845 107.258 110.451 67 82.197 87.108 91.519 96.828 100.554 104.089 108.526 111.736 68 83.308 88.250 92.689 98.028 101.776 105.330 109.791 113.018 69 84.418 89.391 93.856 99.228 102.996 106.570 111.055 114.299 70 85.527 90.531 95.023 100.425 104.215 107.808 112.317 115.578 71 86.635 91.670 96.189 101.621 105.432 109.045 113.577 116.854 72 87.743 92.808 97.353 102.816 106.648 110.279 114.835 118.129 73 88.850 93.945 98.516 104.010 107.862 111.513 116.092 119.402 74 89.956 95.081 99.678 105.202 109.074 112.744 117.346 120.673 75 91.061 96.217 100.839 106.393 110.286 113.974 118.599 121.942 76 92.166 97.351 101.999 107.583 111.495 115.203 119.850 123.209 77 93.270 98.484 103.158 108.771 112.704 116.430 121.100 124.475 78 94.374 99.617 104.316 109.958 113.911 117.655 122.348 125.739 79 95.476 100.749 105.473 111.144 115.117 118.879 123.594 127.001 80 96.578 101.879 106.629 112.329 116.321 120.102 124.839 128.261 81 97.680 103.010 107.783 113.512 117.524 121.323 126.083 129.520 82 98.780 104.139 108.937 114.695 118.726 122.543 127.324 130.778 83 99.880 105.267 110.090 115.876 119.927 123.761 128.565 132.033 84 100.980 106.395 111.242 117.057 121.126 124.979 129.804 133.288 85 102.079 107.522 112.393 118.236 122.325 126.195 131.041 134.540 86 103.177 108.648 113.544 119.414 123.522 127.409 132.277 135.792 45222_Terveer_griffleiste.indd 99 06.09.2019 11: 43: 43 <?page no="100"?> 100 14 Verteilungstabellen n = α =0.9 0.95 0.975 0.99 0.995 0.9975 0.999 0.9995 87 104.275 109.773 114.693 120.591 124.718 128.623 133.512 137.041 88 105.372 110.898 115.841 121.767 125.913 129.835 134.745 138.290 89 106.469 112.022 116.989 122.942 127.106 131.046 135.978 139.537 90 107.565 113.145 118.136 124.116 128.299 132.256 137.208 140.782 91 108.661 114.268 119.282 125.289 129.491 133.464 138.438 142.027 92 109.756 115.390 120.427 126.462 130.681 134.672 139.666 143.269 93 110.850 116.511 121.571 127.633 131.871 135.878 140.893 144.511 94 111.944 117.632 122.715 128.803 133.059 137.083 142.119 145.751 95 113.038 118.752 123.858 129.973 134.247 138.288 143.344 146.990 96 114.131 119.871 125.000 131.141 135.433 139.491 144.567 148.228 97 115.223 120.990 126.141 132.309 136.619 140.693 145.789 149.465 98 116.315 122.108 127.282 133.476 137.803 141.894 147.010 150.700 99 117.407 123.225 128.422 134.642 138.987 143.094 148.230 151.934 100 118.498 124.342 129.561 135.807 140.169 144.293 149.449 153.167 14.4 Quantile der F ( m, n )-Verteilung, n ≤ 500, m ≤ 20 Bei nicht aufgeführtem n ≤ 500 ist das Quantil zum nächstkleineren, in der Tabelle vorhandenen ˜ n zu verwenden. Quantile für α = 0 , 9 n = m =1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 39.86 49.50 53.59 55.83 57.24 58.20 58.91 59.44 59.86 60.19 2 8.53 9.00 9.16 9.24 9.29 9.33 9.35 9.37 9.38 9.39 3 5.54 5.46 5.39 5.34 5.31 5.28 5.27 5.25 5.24 5.23 4 4.54 4.32 4.19 4.11 4.05 4.01 3.98 3.95 3.94 3.92 5 4.06 3.78 3.62 3.52 3.45 3.40 3.37 3.34 3.32 3.30 6 3.78 3.46 3.29 3.18 3.11 3.05 3.01 2.98 2.96 2.94 7 3.59 3.26 3.07 2.96 2.88 2.83 2.78 2.75 2.72 2.70 8 3.46 3.11 2.92 2.81 2.73 2.67 2.62 2.59 2.56 2.54 9 3.36 3.01 2.81 2.69 2.61 2.55 2.51 2.47 2.44 2.42 10 3.29 2.92 2.73 2.61 2.52 2.46 2.41 2.38 2.35 2.32 11 3.23 2.86 2.66 2.54 2.45 2.39 2.34 2.30 2.27 2.25 12 3.18 2.81 2.61 2.48 2.39 2.33 2.28 2.24 2.21 2.19 13 3.14 2.76 2.56 2.43 2.35 2.28 2.23 2.20 2.16 2.14 14 3.10 2.73 2.52 2.39 2.31 2.24 2.19 2.15 2.12 2.10 15 3.07 2.70 2.49 2.36 2.27 2.21 2.16 2.12 2.09 2.06 16 3.05 2.67 2.46 2.33 2.24 2.18 2.13 2.09 2.06 2.03 17 3.03 2.64 2.44 2.31 2.22 2.15 2.10 2.06 2.03 2.00 18 3.01 2.62 2.42 2.29 2.20 2.13 2.08 2.04 2.00 1.98 19 2.99 2.61 2.40 2.27 2.18 2.11 2.06 2.02 1.98 1.96 20 2.97 2.59 2.38 2.25 2.16 2.09 2.04 2.00 1.96 1.94 21 2.96 2.57 2.36 2.23 2.14 2.08 2.02 1.98 1.95 1.92 22 2.95 2.56 2.35 2.22 2.13 2.06 2.01 1.97 1.93 1.90 23 2.94 2.55 2.34 2.21 2.11 2.05 1.99 1.95 1.92 1.89 24 2.93 2.54 2.33 2.19 2.10 2.04 1.98 1.94 1.91 1.88 25 2.92 2.53 2.32 2.18 2.09 2.02 1.97 1.93 1.89 1.87 26 2.91 2.52 2.31 2.17 2.08 2.01 1.96 1.92 1.88 1.86 27 2.90 2.51 2.30 2.17 2.07 2.00 1.95 1.91 1.87 1.85 28 2.89 2.50 2.29 2.16 2.06 2.00 1.94 1.90 1.87 1.84 29 2.89 2.50 2.28 2.15 2.06 1.99 1.93 1.89 1.86 1.83 30 2.88 2.49 2.28 2.14 2.05 1.98 1.93 1.88 1.85 1.82 31 2.87 2.48 2.27 2.14 2.04 1.97 1.92 1.88 1.84 1.81 32 2.87 2.48 2.26 2.13 2.04 1.97 1.91 1.87 1.83 1.81 33 2.86 2.47 2.26 2.12 2.03 1.96 1.91 1.86 1.83 1.80 45222_Terveer_griffleiste.indd 100 06.09.2019 11: 43: 45 <?page no="101"?> Statistik 14.4 Quantile der F ( m, n )-Verteilung, n ≤ 500, m ≤ 20 101 n = m =1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 34 2.86 2.47 2.25 2.12 2.02 1.96 1.90 1.86 1.82 1.79 35 2.85 2.46 2.25 2.11 2.02 1.95 1.90 1.85 1.82 1.79 36 2.85 2.46 2.24 2.11 2.01 1.94 1.89 1.85 1.81 1.78 37 2.85 2.45 2.24 2.10 2.01 1.94 1.89 1.84 1.81 1.78 38 2.84 2.45 2.23 2.10 2.01 1.94 1.88 1.84 1.80 1.77 39 2.84 2.44 2.23 2.09 2.00 1.93 1.88 1.83 1.80 1.77 40 2.84 2.44 2.23 2.09 2.00 1.93 1.87 1.83 1.79 1.76 41 2.83 2.44 2.22 2.09 1.99 1.92 1.87 1.82 1.79 1.76 42 2.83 2.43 2.22 2.08 1.99 1.92 1.86 1.82 1.78 1.75 44 2.82 2.43 2.21 2.08 1.98 1.91 1.86 1.81 1.78 1.75 45 2.82 2.42 2.21 2.07 1.98 1.91 1.85 1.81 1.77 1.74 47 2.82 2.42 2.20 2.07 1.97 1.90 1.85 1.80 1.77 1.74 48 2.81 2.42 2.20 2.07 1.97 1.90 1.85 1.80 1.77 1.73 49 2.81 2.41 2.20 2.06 1.97 1.90 1.84 1.80 1.76 1.73 51 2.81 2.41 2.19 2.06 1.96 1.89 1.84 1.79 1.76 1.73 52 2.80 2.41 2.19 2.06 1.96 1.89 1.84 1.79 1.75 1.72 53 2.80 2.41 2.19 2.05 1.96 1.89 1.83 1.79 1.75 1.72 54 2.80 2.40 2.19 2.05 1.96 1.89 1.83 1.79 1.75 1.72 55 2.80 2.40 2.19 2.05 1.95 1.88 1.83 1.78 1.75 1.72 56 2.80 2.40 2.18 2.05 1.95 1.88 1.83 1.78 1.75 1.71 57 2.80 2.40 2.18 2.05 1.95 1.88 1.82 1.78 1.74 1.71 58 2.79 2.40 2.18 2.04 1.95 1.88 1.82 1.78 1.74 1.71 59 2.79 2.39 2.18 2.04 1.95 1.88 1.82 1.78 1.74 1.71 60 2.79 2.39 2.18 2.04 1.95 1.87 1.82 1.77 1.74 1.71 61 2.79 2.39 2.18 2.04 1.94 1.87 1.82 1.77 1.74 1.71 62 2.79 2.39 2.17 2.04 1.94 1.87 1.82 1.77 1.73 1.70 63 2.79 2.39 2.17 2.04 1.94 1.87 1.81 1.77 1.73 1.70 64 2.79 2.39 2.17 2.03 1.94 1.87 1.81 1.77 1.73 1.70 65 2.78 2.39 2.17 2.03 1.94 1.87 1.81 1.77 1.73 1.70 66 2.78 2.38 2.17 2.03 1.94 1.87 1.81 1.77 1.73 1.70 67 2.78 2.38 2.17 2.03 1.94 1.86 1.81 1.76 1.73 1.70 68 2.78 2.38 2.17 2.03 1.93 1.86 1.81 1.76 1.73 1.69 69 2.78 2.38 2.16 2.03 1.93 1.86 1.81 1.76 1.72 1.69 70 2.78 2.38 2.16 2.03 1.93 1.86 1.80 1.76 1.72 1.69 72 2.78 2.38 2.16 2.02 1.93 1.86 1.80 1.76 1.72 1.69 74 2.77 2.38 2.16 2.02 1.93 1.86 1.80 1.75 1.72 1.69 75 2.77 2.37 2.16 2.02 1.93 1.85 1.80 1.75 1.72 1.69 76 2.77 2.37 2.16 2.02 1.92 1.85 1.80 1.75 1.72 1.68 77 2.77 2.37 2.16 2.02 1.92 1.85 1.80 1.75 1.71 1.68 79 2.77 2.37 2.15 2.02 1.92 1.85 1.79 1.75 1.71 1.68 82 2.77 2.37 2.15 2.01 1.92 1.85 1.79 1.75 1.71 1.68 84 2.77 2.37 2.15 2.01 1.92 1.85 1.79 1.74 1.71 1.68 85 2.77 2.37 2.15 2.01 1.92 1.84 1.79 1.74 1.71 1.67 86 2.76 2.37 2.15 2.01 1.92 1.84 1.79 1.74 1.71 1.67 87 2.76 2.36 2.15 2.01 1.91 1.84 1.79 1.74 1.70 1.67 90 2.76 2.36 2.15 2.01 1.91 1.84 1.78 1.74 1.70 1.67 91 2.76 2.36 2.14 2.01 1.91 1.84 1.78 1.74 1.70 1.67 95 2.76 2.36 2.14 2.00 1.91 1.84 1.78 1.74 1.70 1.67 97 2.76 2.36 2.14 2.00 1.91 1.84 1.78 1.73 1.70 1.67 98 2.76 2.36 2.14 2.00 1.91 1.84 1.78 1.73 1.70 1.66 99 2.76 2.36 2.14 2.00 1.91 1.83 1.78 1.73 1.70 1.66 100 2.76 2.36 2.14 2.00 1.91 1.83 1.78 1.73 1.69 1.66 102 2.76 2.36 2.14 2.00 1.90 1.83 1.78 1.73 1.69 1.66 103 2.75 2.35 2.14 2.00 1.90 1.83 1.78 1.73 1.69 1.66 105 2.75 2.35 2.14 2.00 1.90 1.83 1.77 1.73 1.69 1.66 109 2.75 2.35 2.13 2.00 1.90 1.83 1.77 1.73 1.69 1.66 114 2.75 2.35 2.13 1.99 1.90 1.83 1.77 1.72 1.69 1.66 115 2.75 2.35 2.13 1.99 1.90 1.83 1.77 1.72 1.69 1.65 118 2.75 2.35 2.13 1.99 1.90 1.82 1.77 1.72 1.69 1.65 119 2.75 2.35 2.13 1.99 1.90 1.82 1.77 1.72 1.68 1.65 45222_Terveer_griffleiste.indd 101 06.09.2019 11: 43: 48 <?page no="102"?> 102 14 Verteilungstabellen n = m =1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 123 2.75 2.35 2.13 1.99 1.89 1.82 1.77 1.72 1.68 1.65 127 2.75 2.34 2.13 1.99 1.89 1.82 1.76 1.72 1.68 1.65 129 2.74 2.34 2.13 1.99 1.89 1.82 1.76 1.72 1.68 1.65 135 2.74 2.34 2.12 1.99 1.89 1.82 1.76 1.72 1.68 1.65 139 2.74 2.34 2.12 1.99 1.89 1.82 1.76 1.71 1.68 1.64 142 2.74 2.34 2.12 1.98 1.89 1.82 1.76 1.71 1.68 1.64 146 2.74 2.34 2.12 1.98 1.89 1.81 1.76 1.71 1.67 1.64 155 2.74 2.34 2.12 1.98 1.88 1.81 1.76 1.71 1.67 1.64 159 2.74 2.34 2.12 1.98 1.88 1.81 1.75 1.71 1.67 1.64 166 2.74 2.33 2.12 1.98 1.88 1.81 1.75 1.71 1.67 1.64 172 2.73 2.33 2.12 1.98 1.88 1.81 1.75 1.71 1.67 1.64 177 2.73 2.33 2.11 1.98 1.88 1.81 1.75 1.71 1.67 1.63 178 2.73 2.33 2.11 1.98 1.88 1.81 1.75 1.70 1.67 1.63 189 2.73 2.33 2.11 1.97 1.88 1.81 1.75 1.70 1.66 1.63 193 2.73 2.33 2.11 1.97 1.88 1.80 1.75 1.70 1.66 1.63 210 2.73 2.33 2.11 1.97 1.87 1.80 1.75 1.70 1.66 1.63 215 2.73 2.33 2.11 1.97 1.87 1.80 1.74 1.70 1.66 1.63 239 2.73 2.32 2.11 1.97 1.87 1.80 1.74 1.70 1.66 1.63 244 2.73 2.32 2.11 1.97 1.87 1.80 1.74 1.70 1.66 1.62 250 2.73 2.32 2.11 1.97 1.87 1.80 1.74 1.69 1.66 1.62 260 2.72 2.32 2.10 1.97 1.87 1.80 1.74 1.69 1.66 1.62 269 2.72 2.32 2.10 1.97 1.87 1.80 1.74 1.69 1.65 1.62 281 2.72 2.32 2.10 1.96 1.87 1.80 1.74 1.69 1.65 1.62 284 2.72 2.32 2.10 1.96 1.87 1.79 1.74 1.69 1.65 1.62 327 2.72 2.32 2.10 1.96 1.86 1.79 1.74 1.69 1.65 1.62 331 2.72 2.32 2.10 1.96 1.86 1.79 1.73 1.69 1.65 1.62 394 2.72 2.32 2.10 1.96 1.86 1.79 1.73 1.69 1.65 1.61 417 2.72 2.32 2.10 1.96 1.86 1.79 1.73 1.68 1.65 1.61 429 2.72 2.31 2.10 1.96 1.86 1.79 1.73 1.68 1.65 1.61 467 2.72 2.31 2.10 1.96 1.86 1.79 1.73 1.68 1.64 1.61 490 2.72 2.31 2.09 1.96 1.86 1.79 1.73 1.68 1.64 1.61 n = m =11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 60.47 60.71 60.90 61.07 61.22 61.35 61.46 61.57 61.66 61.74 2 9.40 9.41 9.41 9.42 9.42 9.43 9.43 9.44 9.44 9.44 3 5.22 5.22 5.21 5.20 5.20 5.20 5.19 5.19 5.19 5.18 4 3.91 3.90 3.89 3.88 3.87 3.86 3.86 3.85 3.85 3.84 5 3.28 3.27 3.26 3.25 3.24 3.23 3.22 3.22 3.21 3.21 6 2.92 2.90 2.89 2.88 2.87 2.86 2.85 2.85 2.84 2.84 7 2.68 2.67 2.65 2.64 2.63 2.62 2.61 2.61 2.60 2.59 8 2.52 2.50 2.49 2.48 2.46 2.45 2.45 2.44 2.43 2.42 9 2.40 2.38 2.36 2.35 2.34 2.33 2.32 2.31 2.30 2.30 10 2.30 2.28 2.27 2.26 2.24 2.23 2.22 2.22 2.21 2.20 11 2.23 2.21 2.19 2.18 2.17 2.16 2.15 2.14 2.13 2.12 12 2.17 2.15 2.13 2.12 2.10 2.09 2.08 2.08 2.07 2.06 13 2.12 2.10 2.08 2.07 2.05 2.04 2.03 2.02 2.01 2.01 14 2.07 2.05 2.04 2.02 2.01 2.00 1.99 1.98 1.97 1.96 15 2.04 2.02 2.00 1.99 1.97 1.96 1.95 1.94 1.93 1.92 16 2.01 1.99 1.97 1.95 1.94 1.93 1.92 1.91 1.90 1.89 17 1.98 1.96 1.94 1.93 1.91 1.90 1.89 1.88 1.87 1.86 18 1.95 1.93 1.92 1.90 1.89 1.87 1.86 1.85 1.84 1.84 19 1.93 1.91 1.89 1.88 1.86 1.85 1.84 1.83 1.82 1.81 20 1.91 1.89 1.87 1.86 1.84 1.83 1.82 1.81 1.80 1.79 21 1.90 1.87 1.86 1.84 1.83 1.81 1.80 1.79 1.78 1.78 22 1.88 1.86 1.84 1.83 1.81 1.80 1.79 1.78 1.77 1.76 23 1.87 1.84 1.83 1.81 1.80 1.78 1.77 1.76 1.75 1.74 24 1.85 1.83 1.81 1.80 1.78 1.77 1.76 1.75 1.74 1.73 25 1.84 1.82 1.80 1.79 1.77 1.76 1.75 1.74 1.73 1.72 26 1.83 1.81 1.79 1.77 1.76 1.75 1.73 1.72 1.71 1.71 45222_Terveer_griffleiste.indd 102 06.09.2019 11: 43: 50 <?page no="103"?> Statistik 14.4 Quantile der F ( m, n )-Verteilung, n ≤ 500, m ≤ 20 103 n = m =11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 27 1.82 1.80 1.78 1.76 1.75 1.74 1.72 1.71 1.70 1.70 28 1.81 1.79 1.77 1.75 1.74 1.73 1.71 1.70 1.69 1.69 29 1.80 1.78 1.76 1.75 1.73 1.72 1.71 1.69 1.68 1.68 30 1.79 1.77 1.75 1.74 1.72 1.71 1.70 1.69 1.68 1.67 31 1.79 1.77 1.75 1.73 1.71 1.70 1.69 1.68 1.67 1.66 32 1.78 1.76 1.74 1.72 1.71 1.69 1.68 1.67 1.66 1.65 33 1.77 1.75 1.73 1.72 1.70 1.69 1.67 1.66 1.65 1.64 34 1.77 1.75 1.73 1.71 1.69 1.68 1.67 1.66 1.65 1.64 35 1.76 1.74 1.72 1.70 1.69 1.67 1.66 1.65 1.64 1.63 36 1.76 1.73 1.71 1.70 1.68 1.67 1.66 1.65 1.64 1.63 37 1.75 1.73 1.71 1.69 1.68 1.66 1.65 1.64 1.63 1.62 38 1.75 1.72 1.70 1.69 1.67 1.66 1.65 1.63 1.62 1.61 39 1.74 1.72 1.70 1.68 1.67 1.65 1.64 1.63 1.62 1.61 40 1.74 1.71 1.70 1.68 1.66 1.65 1.64 1.62 1.61 1.61 41 1.73 1.71 1.69 1.67 1.66 1.64 1.63 1.62 1.61 1.60 42 1.73 1.71 1.69 1.67 1.65 1.64 1.63 1.62 1.61 1.60 43 1.72 1.70 1.68 1.67 1.65 1.64 1.62 1.61 1.60 1.59 44 1.72 1.70 1.68 1.66 1.65 1.63 1.62 1.61 1.60 1.59 45 1.72 1.70 1.68 1.66 1.64 1.63 1.62 1.60 1.59 1.58 46 1.71 1.69 1.67 1.65 1.64 1.63 1.61 1.60 1.59 1.58 47 1.71 1.69 1.67 1.65 1.64 1.62 1.61 1.60 1.59 1.58 48 1.71 1.69 1.67 1.65 1.63 1.62 1.61 1.59 1.58 1.57 49 1.71 1.68 1.66 1.65 1.63 1.62 1.60 1.59 1.58 1.57 50 1.70 1.68 1.66 1.64 1.63 1.61 1.60 1.59 1.58 1.57 51 1.70 1.68 1.66 1.64 1.62 1.61 1.60 1.59 1.57 1.57 52 1.70 1.67 1.65 1.64 1.62 1.61 1.59 1.58 1.57 1.56 53 1.70 1.67 1.65 1.63 1.62 1.60 1.59 1.58 1.57 1.56 54 1.69 1.67 1.65 1.63 1.62 1.60 1.59 1.58 1.57 1.56 55 1.69 1.67 1.65 1.63 1.61 1.60 1.59 1.58 1.56 1.55 56 1.69 1.67 1.65 1.63 1.61 1.60 1.58 1.57 1.56 1.55 57 1.69 1.66 1.64 1.63 1.61 1.60 1.58 1.57 1.56 1.55 58 1.68 1.66 1.64 1.62 1.61 1.59 1.58 1.57 1.56 1.55 60 1.68 1.66 1.64 1.62 1.60 1.59 1.58 1.56 1.55 1.54 61 1.68 1.66 1.64 1.62 1.60 1.59 1.57 1.56 1.55 1.54 62 1.68 1.65 1.63 1.62 1.60 1.59 1.57 1.56 1.55 1.54 63 1.68 1.65 1.63 1.61 1.60 1.58 1.57 1.56 1.55 1.54 64 1.67 1.65 1.63 1.61 1.60 1.58 1.57 1.56 1.55 1.54 65 1.67 1.65 1.63 1.61 1.59 1.58 1.57 1.55 1.54 1.53 67 1.67 1.65 1.63 1.61 1.59 1.58 1.56 1.55 1.54 1.53 68 1.67 1.64 1.62 1.61 1.59 1.58 1.56 1.55 1.54 1.53 69 1.67 1.64 1.62 1.60 1.59 1.57 1.56 1.55 1.54 1.53 70 1.66 1.64 1.62 1.60 1.59 1.57 1.56 1.55 1.54 1.53 71 1.66 1.64 1.62 1.60 1.59 1.57 1.56 1.55 1.53 1.52 72 1.66 1.64 1.62 1.60 1.58 1.57 1.56 1.54 1.53 1.52 73 1.66 1.64 1.62 1.60 1.58 1.57 1.55 1.54 1.53 1.52 75 1.66 1.63 1.61 1.60 1.58 1.57 1.55 1.54 1.53 1.52 76 1.66 1.63 1.61 1.59 1.58 1.56 1.55 1.54 1.53 1.52 78 1.65 1.63 1.61 1.59 1.58 1.56 1.55 1.54 1.53 1.52 79 1.65 1.63 1.61 1.59 1.58 1.56 1.55 1.54 1.52 1.51 80 1.65 1.63 1.61 1.59 1.57 1.56 1.55 1.53 1.52 1.51 82 1.65 1.63 1.61 1.59 1.57 1.56 1.54 1.53 1.52 1.51 84 1.65 1.63 1.60 1.59 1.57 1.56 1.54 1.53 1.52 1.51 85 1.65 1.62 1.60 1.59 1.57 1.55 1.54 1.53 1.52 1.51 86 1.65 1.62 1.60 1.58 1.57 1.55 1.54 1.53 1.52 1.51 88 1.65 1.62 1.60 1.58 1.57 1.55 1.54 1.53 1.51 1.50 89 1.64 1.62 1.60 1.58 1.57 1.55 1.54 1.52 1.51 1.50 90 1.64 1.62 1.60 1.58 1.56 1.55 1.54 1.52 1.51 1.50 92 1.64 1.62 1.60 1.58 1.56 1.55 1.53 1.52 1.51 1.50 96 1.64 1.62 1.59 1.58 1.56 1.54 1.53 1.52 1.51 1.50 97 1.64 1.61 1.59 1.58 1.56 1.54 1.53 1.52 1.51 1.50 45222_Terveer_griffleiste.indd 103 06.09.2019 11: 43: 52 <?page no="104"?> 104 14 Verteilungstabellen n = m =11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 98 1.64 1.61 1.59 1.57 1.56 1.54 1.53 1.52 1.51 1.50 100 1.64 1.61 1.59 1.57 1.56 1.54 1.53 1.52 1.50 1.49 102 1.63 1.61 1.59 1.57 1.56 1.54 1.53 1.51 1.50 1.49 103 1.63 1.61 1.59 1.57 1.55 1.54 1.53 1.51 1.50 1.49 105 1.63 1.61 1.59 1.57 1.55 1.54 1.52 1.51 1.50 1.49 111 1.63 1.61 1.58 1.57 1.55 1.53 1.52 1.51 1.50 1.49 113 1.63 1.60 1.58 1.57 1.55 1.53 1.52 1.51 1.50 1.49 114 1.63 1.60 1.58 1.56 1.55 1.53 1.52 1.51 1.50 1.49 115 1.63 1.60 1.58 1.56 1.55 1.53 1.52 1.51 1.50 1.48 116 1.63 1.60 1.58 1.56 1.55 1.53 1.52 1.51 1.49 1.48 118 1.63 1.60 1.58 1.56 1.55 1.53 1.52 1.50 1.49 1.48 121 1.62 1.60 1.58 1.56 1.54 1.53 1.52 1.50 1.49 1.48 123 1.62 1.60 1.58 1.56 1.54 1.53 1.51 1.50 1.49 1.48 132 1.62 1.60 1.58 1.56 1.54 1.52 1.51 1.50 1.49 1.48 133 1.62 1.60 1.57 1.56 1.54 1.52 1.51 1.50 1.49 1.48 136 1.62 1.59 1.57 1.55 1.54 1.52 1.51 1.50 1.49 1.47 138 1.62 1.59 1.57 1.55 1.54 1.52 1.51 1.50 1.48 1.47 141 1.62 1.59 1.57 1.55 1.54 1.52 1.51 1.49 1.48 1.47 145 1.62 1.59 1.57 1.55 1.53 1.52 1.51 1.49 1.48 1.47 147 1.61 1.59 1.57 1.55 1.53 1.52 1.51 1.49 1.48 1.47 149 1.61 1.59 1.57 1.55 1.53 1.52 1.50 1.49 1.48 1.47 162 1.61 1.59 1.57 1.55 1.53 1.51 1.50 1.49 1.48 1.47 165 1.61 1.59 1.56 1.55 1.53 1.51 1.50 1.49 1.48 1.47 167 1.61 1.59 1.56 1.55 1.53 1.51 1.50 1.49 1.48 1.46 169 1.61 1.59 1.56 1.55 1.53 1.51 1.50 1.49 1.47 1.46 170 1.61 1.58 1.56 1.54 1.53 1.51 1.50 1.49 1.47 1.46 176 1.61 1.58 1.56 1.54 1.53 1.51 1.50 1.48 1.47 1.46 184 1.61 1.58 1.56 1.54 1.52 1.51 1.50 1.48 1.47 1.46 188 1.61 1.58 1.56 1.54 1.52 1.51 1.49 1.48 1.47 1.46 189 1.60 1.58 1.56 1.54 1.52 1.51 1.49 1.48 1.47 1.46 209 1.60 1.58 1.56 1.54 1.52 1.50 1.49 1.48 1.47 1.46 215 1.60 1.58 1.56 1.54 1.52 1.50 1.49 1.48 1.47 1.45 218 1.60 1.58 1.55 1.54 1.52 1.50 1.49 1.48 1.47 1.45 220 1.60 1.58 1.55 1.54 1.52 1.50 1.49 1.48 1.46 1.45 225 1.60 1.58 1.55 1.53 1.52 1.50 1.49 1.48 1.46 1.45 227 1.60 1.57 1.55 1.53 1.52 1.50 1.49 1.48 1.46 1.45 232 1.60 1.57 1.55 1.53 1.52 1.50 1.49 1.47 1.46 1.45 249 1.60 1.57 1.55 1.53 1.51 1.50 1.49 1.47 1.46 1.45 255 1.60 1.57 1.55 1.53 1.51 1.50 1.48 1.47 1.46 1.45 266 1.59 1.57 1.55 1.53 1.51 1.50 1.48 1.47 1.46 1.45 298 1.59 1.57 1.55 1.53 1.51 1.49 1.48 1.47 1.46 1.45 303 1.59 1.57 1.55 1.53 1.51 1.49 1.48 1.47 1.46 1.44 315 1.59 1.57 1.55 1.53 1.51 1.49 1.48 1.47 1.45 1.44 321 1.59 1.57 1.54 1.53 1.51 1.49 1.48 1.47 1.45 1.44 335 1.59 1.57 1.54 1.52 1.51 1.49 1.48 1.47 1.45 1.44 341 1.59 1.57 1.54 1.52 1.51 1.49 1.48 1.46 1.45 1.44 345 1.59 1.56 1.54 1.52 1.51 1.49 1.48 1.46 1.45 1.44 388 1.59 1.56 1.54 1.52 1.50 1.49 1.48 1.46 1.45 1.44 396 1.59 1.56 1.54 1.52 1.50 1.49 1.47 1.46 1.45 1.44 448 1.58 1.56 1.54 1.52 1.50 1.49 1.47 1.46 1.45 1.44 Quantile für α = 0 , 95 n = m =1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 161.5 199.5 215.7 224.6 230.2 234.0 236.8 238.9 240.5 241.8 2 18.51 19.00 19.16 19.25 19.30 19.33 19.35 19.37 19.38 19.40 3 10.13 9.55 9.28 9.12 9.01 8.94 8.89 8.85 8.81 8.79 4 7.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.04 6.00 5.96 45222_Terveer_griffleiste.indd 104 06.09.2019 11: 43: 54 <?page no="105"?> Statistik 14.4 Quantile der F ( m, n )-Verteilung, n ≤ 500, m ≤ 20 105 n = m =1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 6.61 5.79 5.41 5.19 5.05 4.95 4.88 4.82 4.77 4.74 6 5.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.15 4.10 4.06 7 5.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.73 3.68 3.64 8 5.32 4.46 4.07 3.84 3.69 3.58 3.50 3.44 3.39 3.35 9 5.12 4.26 3.86 3.63 3.48 3.37 3.29 3.23 3.18 3.14 10 4.96 4.10 3.71 3.48 3.33 3.22 3.14 3.07 3.02 2.98 11 4.84 3.98 3.59 3.36 3.20 3.09 3.01 2.95 2.90 2.85 12 4.75 3.89 3.49 3.26 3.11 3.00 2.91 2.85 2.80 2.75 13 4.67 3.81 3.41 3.18 3.03 2.92 2.83 2.77 2.71 2.67 14 4.60 3.74 3.34 3.11 2.96 2.85 2.76 2.70 2.65 2.60 15 4.54 3.68 3.29 3.06 2.90 2.79 2.71 2.64 2.59 2.54 16 4.49 3.63 3.24 3.01 2.85 2.74 2.66 2.59 2.54 2.49 17 4.45 3.59 3.20 2.96 2.81 2.70 2.61 2.55 2.49 2.45 18 4.41 3.55 3.16 2.93 2.77 2.66 2.58 2.51 2.46 2.41 19 4.38 3.52 3.13 2.90 2.74 2.63 2.54 2.48 2.42 2.38 20 4.35 3.49 3.10 2.87 2.71 2.60 2.51 2.45 2.39 2.35 21 4.32 3.47 3.07 2.84 2.68 2.57 2.49 2.42 2.37 2.32 22 4.30 3.44 3.05 2.82 2.66 2.55 2.46 2.40 2.34 2.30 23 4.28 3.42 3.03 2.80 2.64 2.53 2.44 2.37 2.32 2.27 24 4.26 3.40 3.01 2.78 2.62 2.51 2.42 2.36 2.30 2.25 25 4.24 3.39 2.99 2.76 2.60 2.49 2.40 2.34 2.28 2.24 26 4.23 3.37 2.98 2.74 2.59 2.47 2.39 2.32 2.27 2.22 27 4.21 3.35 2.96 2.73 2.57 2.46 2.37 2.31 2.25 2.20 28 4.20 3.34 2.95 2.71 2.56 2.45 2.36 2.29 2.24 2.19 29 4.18 3.33 2.93 2.70 2.55 2.43 2.35 2.28 2.22 2.18 30 4.17 3.32 2.92 2.69 2.53 2.42 2.33 2.27 2.21 2.16 31 4.16 3.30 2.91 2.68 2.52 2.41 2.32 2.25 2.20 2.15 32 4.15 3.29 2.90 2.67 2.51 2.40 2.31 2.24 2.19 2.14 33 4.14 3.28 2.89 2.66 2.50 2.39 2.30 2.23 2.18 2.13 34 4.13 3.28 2.88 2.65 2.49 2.38 2.29 2.23 2.17 2.12 35 4.12 3.27 2.87 2.64 2.49 2.37 2.29 2.22 2.16 2.11 36 4.11 3.26 2.87 2.63 2.48 2.36 2.28 2.21 2.15 2.11 37 4.11 3.25 2.86 2.63 2.47 2.36 2.27 2.20 2.14 2.10 38 4.10 3.24 2.85 2.62 2.46 2.35 2.26 2.19 2.14 2.09 39 4.09 3.24 2.85 2.61 2.46 2.34 2.26 2.19 2.13 2.08 40 4.08 3.23 2.84 2.61 2.45 2.34 2.25 2.18 2.12 2.08 41 4.08 3.23 2.83 2.60 2.44 2.33 2.24 2.17 2.12 2.07 42 4.07 3.22 2.83 2.59 2.44 2.32 2.24 2.17 2.11 2.06 43 4.07 3.21 2.82 2.59 2.43 2.32 2.23 2.16 2.11 2.06 44 4.06 3.21 2.82 2.58 2.43 2.31 2.23 2.16 2.10 2.05 45 4.06 3.20 2.81 2.58 2.42 2.31 2.22 2.15 2.10 2.05 46 4.05 3.20 2.81 2.57 2.42 2.30 2.22 2.15 2.09 2.04 47 4.05 3.20 2.80 2.57 2.41 2.30 2.21 2.14 2.09 2.04 48 4.04 3.19 2.80 2.57 2.41 2.29 2.21 2.14 2.08 2.03 49 4.04 3.19 2.79 2.56 2.40 2.29 2.20 2.13 2.08 2.03 50 4.03 3.18 2.79 2.56 2.40 2.29 2.20 2.13 2.07 2.03 51 4.03 3.18 2.79 2.55 2.40 2.28 2.20 2.13 2.07 2.02 52 4.03 3.18 2.78 2.55 2.39 2.28 2.19 2.12 2.07 2.02 53 4.02 3.17 2.78 2.55 2.39 2.28 2.19 2.12 2.06 2.01 54 4.02 3.17 2.78 2.54 2.39 2.27 2.18 2.12 2.06 2.01 55 4.02 3.16 2.77 2.54 2.38 2.27 2.18 2.11 2.06 2.01 56 4.01 3.16 2.77 2.54 2.38 2.27 2.18 2.11 2.05 2.00 57 4.01 3.16 2.77 2.53 2.38 2.26 2.18 2.11 2.05 2.00 58 4.01 3.16 2.76 2.53 2.37 2.26 2.17 2.10 2.05 2.00 59 4.00 3.15 2.76 2.53 2.37 2.26 2.17 2.10 2.04 2.00 60 4.00 3.15 2.76 2.53 2.37 2.25 2.17 2.10 2.04 1.99 61 4.00 3.15 2.76 2.52 2.37 2.25 2.16 2.09 2.04 1.99 62 4.00 3.15 2.75 2.52 2.36 2.25 2.16 2.09 2.03 1.99 63 3.99 3.14 2.75 2.52 2.36 2.25 2.16 2.09 2.03 1.98 64 3.99 3.14 2.75 2.52 2.36 2.24 2.16 2.09 2.03 1.98 45222_Terveer_griffleiste.indd 105 06.09.2019 11: 43: 57 <?page no="106"?> 106 14 Verteilungstabellen n = m =1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 65 3.99 3.14 2.75 2.51 2.36 2.24 2.15 2.08 2.03 1.98 66 3.99 3.14 2.74 2.51 2.35 2.24 2.15 2.08 2.03 1.98 67 3.98 3.13 2.74 2.51 2.35 2.24 2.15 2.08 2.02 1.98 68 3.98 3.13 2.74 2.51 2.35 2.24 2.15 2.08 2.02 1.97 69 3.98 3.13 2.74 2.50 2.35 2.23 2.15 2.08 2.02 1.97 70 3.98 3.13 2.74 2.50 2.35 2.23 2.14 2.07 2.02 1.97 71 3.98 3.13 2.73 2.50 2.34 2.23 2.14 2.07 2.01 1.97 72 3.97 3.12 2.73 2.50 2.34 2.23 2.14 2.07 2.01 1.96 74 3.97 3.12 2.73 2.50 2.34 2.22 2.14 2.07 2.01 1.96 75 3.97 3.12 2.73 2.49 2.34 2.22 2.13 2.06 2.01 1.96 76 3.97 3.12 2.72 2.49 2.33 2.22 2.13 2.06 2.01 1.96 77 3.97 3.12 2.72 2.49 2.33 2.22 2.13 2.06 2.00 1.96 78 3.96 3.11 2.72 2.49 2.33 2.22 2.13 2.06 2.00 1.95 80 3.96 3.11 2.72 2.49 2.33 2.21 2.13 2.06 2.00 1.95 81 3.96 3.11 2.72 2.48 2.33 2.21 2.12 2.05 2.00 1.95 83 3.96 3.11 2.71 2.48 2.32 2.21 2.12 2.05 1.99 1.95 84 3.95 3.11 2.71 2.48 2.32 2.21 2.12 2.05 1.99 1.95 85 3.95 3.10 2.71 2.48 2.32 2.21 2.12 2.05 1.99 1.94 87 3.95 3.10 2.71 2.48 2.32 2.20 2.12 2.05 1.99 1.94 89 3.95 3.10 2.71 2.47 2.32 2.20 2.11 2.04 1.99 1.94 91 3.95 3.10 2.70 2.47 2.31 2.20 2.11 2.04 1.98 1.94 92 3.94 3.10 2.70 2.47 2.31 2.20 2.11 2.04 1.98 1.94 93 3.94 3.09 2.70 2.47 2.31 2.20 2.11 2.04 1.98 1.93 96 3.94 3.09 2.70 2.47 2.31 2.19 2.11 2.04 1.98 1.93 98 3.94 3.09 2.70 2.46 2.31 2.19 2.10 2.03 1.98 1.93 100 3.94 3.09 2.70 2.46 2.31 2.19 2.10 2.03 1.97 1.93 101 3.94 3.09 2.69 2.46 2.30 2.19 2.10 2.03 1.97 1.93 102 3.93 3.09 2.69 2.46 2.30 2.19 2.10 2.03 1.97 1.92 103 3.93 3.08 2.69 2.46 2.30 2.19 2.10 2.03 1.97 1.92 107 3.93 3.08 2.69 2.46 2.30 2.18 2.10 2.03 1.97 1.92 109 3.93 3.08 2.69 2.45 2.30 2.18 2.09 2.02 1.97 1.92 112 3.93 3.08 2.69 2.45 2.30 2.18 2.09 2.02 1.96 1.92 113 3.93 3.08 2.68 2.45 2.29 2.18 2.09 2.02 1.96 1.92 114 3.92 3.08 2.68 2.45 2.29 2.18 2.09 2.02 1.96 1.91 116 3.92 3.07 2.68 2.45 2.29 2.18 2.09 2.02 1.96 1.91 121 3.92 3.07 2.68 2.45 2.29 2.17 2.09 2.02 1.96 1.91 123 3.92 3.07 2.68 2.45 2.29 2.17 2.08 2.01 1.96 1.91 124 3.92 3.07 2.68 2.44 2.29 2.17 2.08 2.01 1.96 1.91 126 3.92 3.07 2.68 2.44 2.29 2.17 2.08 2.01 1.95 1.91 129 3.91 3.07 2.67 2.44 2.28 2.17 2.08 2.01 1.95 1.90 132 3.91 3.06 2.67 2.44 2.28 2.17 2.08 2.01 1.95 1.90 138 3.91 3.06 2.67 2.44 2.28 2.16 2.08 2.01 1.95 1.90 141 3.91 3.06 2.67 2.44 2.28 2.16 2.08 2.00 1.95 1.90 142 3.91 3.06 2.67 2.44 2.28 2.16 2.07 2.00 1.95 1.90 143 3.91 3.06 2.67 2.43 2.28 2.16 2.07 2.00 1.95 1.90 145 3.91 3.06 2.67 2.43 2.28 2.16 2.07 2.00 1.94 1.90 149 3.90 3.06 2.67 2.43 2.27 2.16 2.07 2.00 1.94 1.89 150 3.90 3.06 2.66 2.43 2.27 2.16 2.07 2.00 1.94 1.89 154 3.90 3.05 2.66 2.43 2.27 2.16 2.07 2.00 1.94 1.89 162 3.90 3.05 2.66 2.43 2.27 2.15 2.07 2.00 1.94 1.89 165 3.90 3.05 2.66 2.43 2.27 2.15 2.07 1.99 1.94 1.89 167 3.90 3.05 2.66 2.43 2.27 2.15 2.06 1.99 1.94 1.89 170 3.90 3.05 2.66 2.42 2.27 2.15 2.06 1.99 1.94 1.89 171 3.90 3.05 2.66 2.42 2.27 2.15 2.06 1.99 1.93 1.89 176 3.89 3.05 2.66 2.42 2.27 2.15 2.06 1.99 1.93 1.88 178 3.89 3.05 2.66 2.42 2.26 2.15 2.06 1.99 1.93 1.88 180 3.89 3.05 2.65 2.42 2.26 2.15 2.06 1.99 1.93 1.88 185 3.89 3.04 2.65 2.42 2.26 2.15 2.06 1.99 1.93 1.88 197 3.89 3.04 2.65 2.42 2.26 2.14 2.06 1.99 1.93 1.88 200 3.89 3.04 2.65 2.42 2.26 2.14 2.06 1.98 1.93 1.88 45222_Terveer_griffleiste.indd 106 06.09.2019 11: 43: 59 <?page no="107"?> Statistik 14.4 Quantile der F ( m, n )-Verteilung, n ≤ 500, m ≤ 20 107 n = m =1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 203 3.89 3.04 2.65 2.42 2.26 2.14 2.05 1.98 1.93 1.88 209 3.89 3.04 2.65 2.41 2.26 2.14 2.05 1.98 1.92 1.88 215 3.89 3.04 2.65 2.41 2.26 2.14 2.05 1.98 1.92 1.87 216 3.88 3.04 2.65 2.41 2.26 2.14 2.05 1.98 1.92 1.87 221 3.88 3.04 2.65 2.41 2.25 2.14 2.05 1.98 1.92 1.87 224 3.88 3.04 2.64 2.41 2.25 2.14 2.05 1.98 1.92 1.87 231 3.88 3.03 2.64 2.41 2.25 2.14 2.05 1.98 1.92 1.87 250 3.88 3.03 2.64 2.41 2.25 2.13 2.05 1.98 1.92 1.87 254 3.88 3.03 2.64 2.41 2.25 2.13 2.05 1.97 1.92 1.87 260 3.88 3.03 2.64 2.41 2.25 2.13 2.04 1.97 1.92 1.87 268 3.88 3.03 2.64 2.41 2.25 2.13 2.04 1.97 1.91 1.87 271 3.88 3.03 2.64 2.40 2.25 2.13 2.04 1.97 1.91 1.87 277 3.88 3.03 2.64 2.40 2.25 2.13 2.04 1.97 1.91 1.86 280 3.87 3.03 2.64 2.40 2.25 2.13 2.04 1.97 1.91 1.86 292 3.87 3.03 2.64 2.40 2.24 2.13 2.04 1.97 1.91 1.86 298 3.87 3.03 2.63 2.40 2.24 2.13 2.04 1.97 1.91 1.86 309 3.87 3.02 2.63 2.40 2.24 2.13 2.04 1.97 1.91 1.86 344 3.87 3.02 2.63 2.40 2.24 2.12 2.04 1.97 1.91 1.86 349 3.87 3.02 2.63 2.40 2.24 2.12 2.04 1.96 1.91 1.86 361 3.87 3.02 2.63 2.40 2.24 2.12 2.03 1.96 1.91 1.86 374 3.87 3.02 2.63 2.40 2.24 2.12 2.03 1.96 1.90 1.86 388 3.87 3.02 2.63 2.39 2.24 2.12 2.03 1.96 1.90 1.86 391 3.87 3.02 2.63 2.39 2.24 2.12 2.03 1.96 1.90 1.85 397 3.86 3.02 2.63 2.39 2.24 2.12 2.03 1.96 1.90 1.85 430 3.86 3.02 2.63 2.39 2.23 2.12 2.03 1.96 1.90 1.85 444 3.86 3.02 2.62 2.39 2.23 2.12 2.03 1.96 1.90 1.85 468 3.86 3.01 2.62 2.39 2.23 2.12 2.03 1.96 1.90 1.85 n = m =11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 243.0 243.9 244.7 245.4 246.0 246.4 246.9 247.3 247.7 248 2 19.40 19.41 19.42 19.42 19.43 19.43 19.44 19.44 19.44 19.45 3 8.76 8.74 8.73 8.71 8.70 8.69 8.68 8.67 8.67 8.66 4 5.94 5.91 5.89 5.87 5.86 5.84 5.83 5.82 5.81 5.80 5 4.70 4.68 4.66 4.64 4.62 4.60 4.59 4.58 4.57 4.56 6 4.03 4.00 3.98 3.96 3.94 3.92 3.91 3.90 3.88 3.87 7 3.60 3.57 3.55 3.53 3.51 3.49 3.48 3.47 3.46 3.44 8 3.31 3.28 3.26 3.24 3.22 3.20 3.19 3.17 3.16 3.15 9 3.10 3.07 3.05 3.03 3.01 2.99 2.97 2.96 2.95 2.94 10 2.94 2.91 2.89 2.86 2.85 2.83 2.81 2.80 2.79 2.77 11 2.82 2.79 2.76 2.74 2.72 2.70 2.69 2.67 2.66 2.65 12 2.72 2.69 2.66 2.64 2.62 2.60 2.58 2.57 2.56 2.54 13 2.63 2.60 2.58 2.55 2.53 2.51 2.50 2.48 2.47 2.46 14 2.57 2.53 2.51 2.48 2.46 2.44 2.43 2.41 2.40 2.39 15 2.51 2.48 2.45 2.42 2.40 2.38 2.37 2.35 2.34 2.33 16 2.46 2.42 2.40 2.37 2.35 2.33 2.32 2.30 2.29 2.28 17 2.41 2.38 2.35 2.33 2.31 2.29 2.27 2.26 2.24 2.23 18 2.37 2.34 2.31 2.29 2.27 2.25 2.23 2.22 2.20 2.19 19 2.34 2.31 2.28 2.26 2.23 2.21 2.20 2.18 2.17 2.16 20 2.31 2.28 2.25 2.22 2.20 2.18 2.17 2.15 2.14 2.12 21 2.28 2.25 2.22 2.20 2.18 2.16 2.14 2.12 2.11 2.10 22 2.26 2.23 2.20 2.17 2.15 2.13 2.11 2.10 2.08 2.07 23 2.24 2.20 2.18 2.15 2.13 2.11 2.09 2.08 2.06 2.05 24 2.22 2.18 2.15 2.13 2.11 2.09 2.07 2.05 2.04 2.03 25 2.20 2.16 2.14 2.11 2.09 2.07 2.05 2.04 2.02 2.01 26 2.18 2.15 2.12 2.09 2.07 2.05 2.03 2.02 2.00 1.99 27 2.17 2.13 2.10 2.08 2.06 2.04 2.02 2.00 1.99 1.97 28 2.15 2.12 2.09 2.06 2.04 2.02 2.00 1.99 1.97 1.96 29 2.14 2.10 2.08 2.05 2.03 2.01 1.99 1.97 1.96 1.94 30 2.13 2.09 2.06 2.04 2.01 1.99 1.98 1.96 1.95 1.93 45222_Terveer_griffleiste.indd 107 06.09.2019 11: 44: 03 <?page no="108"?> 108 14 Verteilungstabellen n = m =11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 31 2.11 2.08 2.05 2.03 2.00 1.98 1.96 1.95 1.93 1.92 32 2.10 2.07 2.04 2.01 1.99 1.97 1.95 1.94 1.92 1.91 33 2.09 2.06 2.03 2.00 1.98 1.96 1.94 1.93 1.91 1.90 34 2.08 2.05 2.02 1.99 1.97 1.95 1.93 1.92 1.90 1.89 35 2.07 2.04 2.01 1.99 1.96 1.94 1.92 1.91 1.89 1.88 36 2.07 2.03 2.00 1.98 1.95 1.93 1.92 1.90 1.88 1.87 37 2.06 2.02 2.00 1.97 1.95 1.93 1.91 1.89 1.88 1.86 38 2.05 2.02 1.99 1.96 1.94 1.92 1.90 1.88 1.87 1.85 39 2.04 2.01 1.98 1.95 1.93 1.91 1.89 1.88 1.86 1.85 40 2.04 2.00 1.97 1.95 1.92 1.90 1.89 1.87 1.85 1.84 41 2.03 2.00 1.97 1.94 1.92 1.90 1.88 1.86 1.85 1.83 42 2.03 1.99 1.96 1.94 1.91 1.89 1.87 1.86 1.84 1.83 43 2.02 1.99 1.96 1.93 1.91 1.89 1.87 1.85 1.83 1.82 44 2.01 1.98 1.95 1.92 1.90 1.88 1.86 1.84 1.83 1.81 45 2.01 1.97 1.94 1.92 1.89 1.87 1.86 1.84 1.82 1.81 46 2.00 1.97 1.94 1.91 1.89 1.87 1.85 1.83 1.82 1.80 47 2.00 1.96 1.93 1.91 1.88 1.86 1.84 1.83 1.81 1.80 48 1.99 1.96 1.93 1.90 1.88 1.86 1.84 1.82 1.81 1.79 49 1.99 1.96 1.93 1.90 1.88 1.85 1.84 1.82 1.80 1.79 50 1.99 1.95 1.92 1.89 1.87 1.85 1.83 1.81 1.80 1.78 51 1.98 1.95 1.92 1.89 1.87 1.85 1.83 1.81 1.79 1.78 52 1.98 1.94 1.91 1.89 1.86 1.84 1.82 1.81 1.79 1.78 53 1.97 1.94 1.91 1.88 1.86 1.84 1.82 1.80 1.79 1.77 54 1.97 1.94 1.91 1.88 1.86 1.83 1.82 1.80 1.78 1.77 55 1.97 1.93 1.90 1.88 1.85 1.83 1.81 1.79 1.78 1.76 56 1.96 1.93 1.90 1.87 1.85 1.83 1.81 1.79 1.78 1.76 57 1.96 1.93 1.90 1.87 1.85 1.82 1.81 1.79 1.77 1.76 58 1.96 1.92 1.89 1.87 1.84 1.82 1.80 1.78 1.77 1.75 59 1.96 1.92 1.89 1.86 1.84 1.82 1.80 1.78 1.77 1.75 60 1.95 1.92 1.89 1.86 1.84 1.82 1.80 1.78 1.76 1.75 61 1.95 1.91 1.88 1.86 1.83 1.81 1.79 1.78 1.76 1.75 62 1.95 1.91 1.88 1.85 1.83 1.81 1.79 1.77 1.76 1.74 63 1.94 1.91 1.88 1.85 1.83 1.81 1.79 1.77 1.75 1.74 64 1.94 1.91 1.88 1.85 1.83 1.80 1.78 1.77 1.75 1.74 65 1.94 1.90 1.87 1.85 1.82 1.80 1.78 1.76 1.75 1.73 66 1.94 1.90 1.87 1.84 1.82 1.80 1.78 1.76 1.75 1.73 67 1.93 1.90 1.87 1.84 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.73 68 1.93 1.90 1.87 1.84 1.82 1.79 1.78 1.76 1.74 1.73 69 1.93 1.90 1.86 1.84 1.81 1.79 1.77 1.76 1.74 1.72 70 1.93 1.89 1.86 1.84 1.81 1.79 1.77 1.75 1.74 1.72 71 1.93 1.89 1.86 1.83 1.81 1.79 1.77 1.75 1.73 1.72 72 1.92 1.89 1.86 1.83 1.81 1.79 1.77 1.75 1.73 1.72 73 1.92 1.89 1.86 1.83 1.81 1.78 1.76 1.75 1.73 1.72 74 1.92 1.89 1.85 1.83 1.80 1.78 1.76 1.74 1.73 1.71 75 1.92 1.88 1.85 1.83 1.80 1.78 1.76 1.74 1.73 1.71 76 1.92 1.88 1.85 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.73 1.71 77 1.92 1.88 1.85 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.71 78 1.91 1.88 1.85 1.82 1.80 1.77 1.76 1.74 1.72 1.71 79 1.91 1.88 1.85 1.82 1.79 1.77 1.75 1.74 1.72 1.70 80 1.91 1.88 1.84 1.82 1.79 1.77 1.75 1.73 1.72 1.70 81 1.91 1.87 1.84 1.82 1.79 1.77 1.75 1.73 1.72 1.70 82 1.91 1.87 1.84 1.81 1.79 1.77 1.75 1.73 1.71 1.70 84 1.90 1.87 1.84 1.81 1.79 1.77 1.75 1.73 1.71 1.70 85 1.90 1.87 1.84 1.81 1.79 1.76 1.74 1.73 1.71 1.70 86 1.90 1.87 1.84 1.81 1.78 1.76 1.74 1.73 1.71 1.69 87 1.90 1.87 1.83 1.81 1.78 1.76 1.74 1.72 1.71 1.69 88 1.90 1.86 1.83 1.81 1.78 1.76 1.74 1.72 1.71 1.69 89 1.90 1.86 1.83 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.70 1.69 92 1.89 1.86 1.83 1.80 1.78 1.75 1.73 1.72 1.70 1.69 93 1.89 1.86 1.83 1.80 1.78 1.75 1.73 1.72 1.70 1.68 45222_Terveer_griffleiste.indd 108 06.09.2019 11: 44: 06 <?page no="109"?> Statistik 14.4 Quantile der F ( m, n )-Verteilung, n ≤ 500, m ≤ 20 109 n = m =11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 94 1.89 1.86 1.83 1.80 1.77 1.75 1.73 1.71 1.70 1.68 95 1.89 1.86 1.82 1.80 1.77 1.75 1.73 1.71 1.70 1.68 96 1.89 1.85 1.82 1.80 1.77 1.75 1.73 1.71 1.70 1.68 97 1.89 1.85 1.82 1.80 1.77 1.75 1.73 1.71 1.69 1.68 98 1.89 1.85 1.82 1.79 1.77 1.75 1.73 1.71 1.69 1.68 101 1.88 1.85 1.82 1.79 1.77 1.74 1.72 1.71 1.69 1.68 102 1.88 1.85 1.82 1.79 1.77 1.74 1.72 1.71 1.69 1.67 103 1.88 1.85 1.82 1.79 1.76 1.74 1.72 1.70 1.69 1.67 105 1.88 1.85 1.81 1.79 1.76 1.74 1.72 1.70 1.69 1.67 106 1.88 1.84 1.81 1.79 1.76 1.74 1.72 1.70 1.69 1.67 107 1.88 1.84 1.81 1.79 1.76 1.74 1.72 1.70 1.68 1.67 108 1.88 1.84 1.81 1.78 1.76 1.74 1.72 1.70 1.68 1.67 112 1.88 1.84 1.81 1.78 1.76 1.73 1.71 1.70 1.68 1.67 113 1.87 1.84 1.81 1.78 1.76 1.73 1.71 1.70 1.68 1.66 114 1.87 1.84 1.81 1.78 1.75 1.73 1.71 1.70 1.68 1.66 115 1.87 1.84 1.81 1.78 1.75 1.73 1.71 1.69 1.68 1.66 117 1.87 1.84 1.80 1.78 1.75 1.73 1.71 1.69 1.68 1.66 119 1.87 1.83 1.80 1.78 1.75 1.73 1.71 1.69 1.67 1.66 121 1.87 1.83 1.80 1.77 1.75 1.73 1.71 1.69 1.67 1.66 126 1.87 1.83 1.80 1.77 1.75 1.72 1.70 1.69 1.67 1.65 127 1.86 1.83 1.80 1.77 1.75 1.72 1.70 1.69 1.67 1.65 128 1.86 1.83 1.80 1.77 1.75 1.72 1.70 1.68 1.67 1.65 129 1.86 1.83 1.80 1.77 1.74 1.72 1.70 1.68 1.67 1.65 132 1.86 1.83 1.79 1.77 1.74 1.72 1.70 1.68 1.67 1.65 134 1.86 1.83 1.79 1.77 1.74 1.72 1.70 1.68 1.66 1.65 135 1.86 1.82 1.79 1.77 1.74 1.72 1.70 1.68 1.66 1.65 137 1.86 1.82 1.79 1.76 1.74 1.72 1.70 1.68 1.66 1.65 142 1.86 1.82 1.79 1.76 1.74 1.72 1.70 1.68 1.66 1.64 143 1.86 1.82 1.79 1.76 1.74 1.71 1.69 1.68 1.66 1.64 146 1.85 1.82 1.79 1.76 1.74 1.71 1.69 1.67 1.66 1.64 147 1.85 1.82 1.79 1.76 1.73 1.71 1.69 1.67 1.66 1.64 153 1.85 1.82 1.78 1.76 1.73 1.71 1.69 1.67 1.65 1.64 156 1.85 1.81 1.78 1.76 1.73 1.71 1.69 1.67 1.65 1.64 158 1.85 1.81 1.78 1.75 1.73 1.71 1.69 1.67 1.65 1.64 164 1.85 1.81 1.78 1.75 1.73 1.71 1.69 1.67 1.65 1.63 166 1.85 1.81 1.78 1.75 1.73 1.70 1.68 1.67 1.65 1.63 170 1.85 1.81 1.78 1.75 1.73 1.70 1.68 1.66 1.65 1.63 172 1.84 1.81 1.78 1.75 1.72 1.70 1.68 1.66 1.65 1.63 179 1.84 1.81 1.78 1.75 1.72 1.70 1.68 1.66 1.64 1.63 180 1.84 1.81 1.77 1.75 1.72 1.70 1.68 1.66 1.64 1.63 185 1.84 1.80 1.77 1.75 1.72 1.70 1.68 1.66 1.64 1.63 187 1.84 1.80 1.77 1.74 1.72 1.70 1.68 1.66 1.64 1.63 194 1.84 1.80 1.77 1.74 1.72 1.70 1.68 1.66 1.64 1.62 197 1.84 1.80 1.77 1.74 1.72 1.70 1.67 1.66 1.64 1.62 198 1.84 1.80 1.77 1.74 1.72 1.69 1.67 1.66 1.64 1.62 203 1.84 1.80 1.77 1.74 1.72 1.69 1.67 1.65 1.64 1.62 207 1.84 1.80 1.77 1.74 1.71 1.69 1.67 1.65 1.64 1.62 208 1.83 1.80 1.77 1.74 1.71 1.69 1.67 1.65 1.64 1.62 216 1.83 1.80 1.77 1.74 1.71 1.69 1.67 1.65 1.63 1.62 220 1.83 1.80 1.76 1.74 1.71 1.69 1.67 1.65 1.63 1.62 228 1.83 1.79 1.76 1.74 1.71 1.69 1.67 1.65 1.63 1.62 230 1.83 1.79 1.76 1.73 1.71 1.69 1.67 1.65 1.63 1.62 238 1.83 1.79 1.76 1.73 1.71 1.69 1.67 1.65 1.63 1.61 243 1.83 1.79 1.76 1.73 1.71 1.69 1.66 1.65 1.63 1.61 245 1.83 1.79 1.76 1.73 1.71 1.68 1.66 1.65 1.63 1.61 252 1.83 1.79 1.76 1.73 1.71 1.68 1.66 1.64 1.63 1.61 260 1.83 1.79 1.76 1.73 1.70 1.68 1.66 1.64 1.63 1.61 265 1.82 1.79 1.76 1.73 1.70 1.68 1.66 1.64 1.63 1.61 272 1.82 1.79 1.76 1.73 1.70 1.68 1.66 1.64 1.62 1.61 282 1.82 1.79 1.75 1.73 1.70 1.68 1.66 1.64 1.62 1.61 45222_Terveer_griffleiste.indd 109 06.09.2019 11: 44: 08 <?page no="110"?> 110 14 Verteilungstabellen n = m =11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 296 1.82 1.78 1.75 1.73 1.70 1.68 1.66 1.64 1.62 1.61 299 1.82 1.78 1.75 1.72 1.70 1.68 1.66 1.64 1.62 1.61 306 1.82 1.78 1.75 1.72 1.70 1.68 1.66 1.64 1.62 1.60 318 1.82 1.78 1.75 1.72 1.70 1.68 1.65 1.64 1.62 1.60 322 1.82 1.78 1.75 1.72 1.70 1.67 1.65 1.64 1.62 1.60 333 1.82 1.78 1.75 1.72 1.70 1.67 1.65 1.63 1.62 1.60 351 1.82 1.78 1.75 1.72 1.69 1.67 1.65 1.63 1.62 1.60 364 1.81 1.78 1.75 1.72 1.69 1.67 1.65 1.63 1.62 1.60 367 1.81 1.78 1.75 1.72 1.69 1.67 1.65 1.63 1.61 1.60 395 1.81 1.78 1.74 1.72 1.69 1.67 1.65 1.63 1.61 1.60 425 1.81 1.77 1.74 1.72 1.69 1.67 1.65 1.63 1.61 1.60 427 1.81 1.77 1.74 1.71 1.69 1.67 1.65 1.63 1.61 1.60 431 1.81 1.77 1.74 1.71 1.69 1.67 1.65 1.63 1.61 1.59 461 1.81 1.77 1.74 1.71 1.69 1.67 1.64 1.63 1.61 1.59 472 1.81 1.77 1.74 1.71 1.69 1.66 1.64 1.63 1.61 1.59 489 1.81 1.77 1.74 1.71 1.69 1.66 1.64 1.62 1.61 1.59 Quantile für α = 0 , 99 n = m =1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 4052 5000 5403 5625 5764 5859 5928 5981 6022 6056 2 98.50 99.00 99.17 99.25 99.30 99.33 99.36 99.37 99.39 99.40 3 34.12 30.82 29.46 28.71 28.24 27.91 27.67 27.49 27.35 27.23 4 21.20 18.00 16.69 15.98 15.52 15.21 14.98 14.80 14.66 14.55 5 16.26 13.27 12.06 11.39 10.97 10.67 10.46 10.29 10.16 10.05 6 13.75 10.92 9.78 9.15 8.75 8.47 8.26 8.10 7.98 7.87 7 12.25 9.55 8.45 7.85 7.46 7.19 6.99 6.84 6.72 6.62 8 11.26 8.65 7.59 7.01 6.63 6.37 6.18 6.03 5.91 5.81 9 10.56 8.02 6.99 6.42 6.06 5.80 5.61 5.47 5.35 5.26 10 10.04 7.56 6.55 5.99 5.64 5.39 5.20 5.06 4.94 4.85 11 9.65 7.21 6.22 5.67 5.32 5.07 4.89 4.74 4.63 4.54 12 9.33 6.93 5.95 5.41 5.06 4.82 4.64 4.50 4.39 4.30 13 9.07 6.70 5.74 5.21 4.86 4.62 4.44 4.30 4.19 4.10 14 8.86 6.51 5.56 5.04 4.69 4.46 4.28 4.14 4.03 3.94 15 8.68 6.36 5.42 4.89 4.56 4.32 4.14 4.00 3.89 3.80 16 8.53 6.23 5.29 4.77 4.44 4.20 4.03 3.89 3.78 3.69 17 8.40 6.11 5.18 4.67 4.34 4.10 3.93 3.79 3.68 3.59 18 8.29 6.01 5.09 4.58 4.25 4.01 3.84 3.71 3.60 3.51 19 8.18 5.93 5.01 4.50 4.17 3.94 3.77 3.63 3.52 3.43 20 8.10 5.85 4.94 4.43 4.10 3.87 3.70 3.56 3.46 3.37 21 8.02 5.78 4.87 4.37 4.04 3.81 3.64 3.51 3.40 3.31 22 7.95 5.72 4.82 4.31 3.99 3.76 3.59 3.45 3.35 3.26 23 7.88 5.66 4.76 4.26 3.94 3.71 3.54 3.41 3.30 3.21 24 7.82 5.61 4.72 4.22 3.90 3.67 3.50 3.36 3.26 3.17 25 7.77 5.57 4.68 4.18 3.85 3.63 3.46 3.32 3.22 3.13 26 7.72 5.53 4.64 4.14 3.82 3.59 3.42 3.29 3.18 3.09 27 7.68 5.49 4.60 4.11 3.78 3.56 3.39 3.26 3.15 3.06 28 7.64 5.45 4.57 4.07 3.75 3.53 3.36 3.23 3.12 3.03 29 7.60 5.42 4.54 4.04 3.73 3.50 3.33 3.20 3.09 3.00 30 7.56 5.39 4.51 4.02 3.70 3.47 3.30 3.17 3.07 2.98 31 7.53 5.36 4.48 3.99 3.67 3.45 3.28 3.15 3.04 2.96 32 7.50 5.34 4.46 3.97 3.65 3.43 3.26 3.13 3.02 2.93 33 7.47 5.31 4.44 3.95 3.63 3.41 3.24 3.11 3.00 2.91 34 7.44 5.29 4.42 3.93 3.61 3.39 3.22 3.09 2.98 2.89 35 7.42 5.27 4.40 3.91 3.59 3.37 3.20 3.07 2.96 2.88 36 7.40 5.25 4.38 3.89 3.57 3.35 3.18 3.05 2.95 2.86 37 7.37 5.23 4.36 3.87 3.56 3.33 3.17 3.04 2.93 2.84 38 7.35 5.21 4.34 3.86 3.54 3.32 3.15 3.02 2.92 2.83 45222_Terveer_griffleiste.indd 110 06.09.2019 11: 44: 11 <?page no="111"?> Statistik 14.4 Quantile der F ( m, n )-Verteilung, n ≤ 500, m ≤ 20 111 n = m =1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 39 7.33 5.19 4.33 3.84 3.53 3.30 3.14 3.01 2.90 2.81 40 7.31 5.18 4.31 3.83 3.51 3.29 3.12 2.99 2.89 2.80 41 7.30 5.16 4.30 3.81 3.50 3.28 3.11 2.98 2.87 2.79 42 7.28 5.15 4.29 3.80 3.49 3.27 3.10 2.97 2.86 2.78 43 7.26 5.14 4.27 3.79 3.48 3.25 3.09 2.96 2.85 2.76 44 7.25 5.12 4.26 3.78 3.47 3.24 3.08 2.95 2.84 2.75 45 7.23 5.11 4.25 3.77 3.45 3.23 3.07 2.94 2.83 2.74 46 7.22 5.10 4.24 3.76 3.44 3.22 3.06 2.93 2.82 2.73 47 7.21 5.09 4.23 3.75 3.43 3.21 3.05 2.92 2.81 2.72 48 7.19 5.08 4.22 3.74 3.43 3.20 3.04 2.91 2.80 2.71 49 7.18 5.07 4.21 3.73 3.42 3.19 3.03 2.90 2.79 2.71 50 7.17 5.06 4.20 3.72 3.41 3.19 3.02 2.89 2.78 2.70 51 7.16 5.05 4.19 3.71 3.40 3.18 3.01 2.88 2.78 2.69 52 7.15 5.04 4.18 3.70 3.39 3.17 3.00 2.87 2.77 2.68 53 7.14 5.03 4.17 3.70 3.38 3.16 3.00 2.87 2.76 2.68 54 7.13 5.02 4.17 3.69 3.38 3.16 2.99 2.86 2.76 2.67 55 7.12 5.01 4.16 3.68 3.37 3.15 2.98 2.85 2.75 2.66 56 7.11 5.01 4.15 3.67 3.36 3.14 2.98 2.85 2.74 2.66 57 7.10 5.00 4.15 3.67 3.36 3.14 2.97 2.84 2.74 2.65 58 7.09 4.99 4.14 3.66 3.35 3.13 2.96 2.83 2.73 2.64 59 7.08 4.98 4.13 3.65 3.34 3.12 2.96 2.83 2.72 2.64 60 7.08 4.98 4.13 3.65 3.34 3.12 2.95 2.82 2.72 2.63 61 7.07 4.97 4.12 3.64 3.33 3.11 2.95 2.82 2.71 2.63 62 7.06 4.96 4.11 3.64 3.33 3.11 2.94 2.81 2.71 2.62 63 7.06 4.96 4.11 3.63 3.32 3.10 2.94 2.81 2.70 2.62 64 7.05 4.95 4.10 3.63 3.32 3.10 2.93 2.80 2.70 2.61 65 7.04 4.95 4.10 3.62 3.31 3.09 2.93 2.80 2.69 2.61 66 7.04 4.94 4.09 3.62 3.31 3.09 2.92 2.79 2.69 2.60 67 7.03 4.94 4.09 3.61 3.30 3.08 2.92 2.79 2.68 2.60 68 7.02 4.93 4.08 3.61 3.30 3.08 2.91 2.78 2.68 2.59 69 7.02 4.93 4.08 3.60 3.29 3.08 2.91 2.78 2.68 2.59 70 7.01 4.92 4.07 3.60 3.29 3.07 2.91 2.78 2.67 2.59 71 7.01 4.92 4.07 3.60 3.29 3.07 2.90 2.77 2.67 2.58 72 7.00 4.91 4.07 3.59 3.28 3.06 2.90 2.77 2.66 2.58 73 7.00 4.91 4.06 3.59 3.28 3.06 2.89 2.77 2.66 2.57 74 6.99 4.90 4.06 3.58 3.28 3.06 2.89 2.76 2.66 2.57 75 6.99 4.90 4.05 3.58 3.27 3.05 2.89 2.76 2.65 2.57 76 6.98 4.90 4.05 3.58 3.27 3.05 2.88 2.75 2.65 2.56 77 6.98 4.89 4.05 3.57 3.26 3.05 2.88 2.75 2.65 2.56 78 6.97 4.89 4.04 3.57 3.26 3.04 2.88 2.75 2.64 2.56 79 6.97 4.88 4.04 3.57 3.26 3.04 2.87 2.75 2.64 2.55 80 6.96 4.88 4.04 3.56 3.26 3.04 2.87 2.74 2.64 2.55 81 6.96 4.88 4.03 3.56 3.25 3.03 2.87 2.74 2.63 2.55 82 6.95 4.87 4.03 3.56 3.25 3.03 2.87 2.74 2.63 2.54 83 6.95 4.87 4.03 3.55 3.25 3.03 2.86 2.73 2.63 2.54 84 6.95 4.87 4.02 3.55 3.24 3.02 2.86 2.73 2.63 2.54 85 6.94 4.86 4.02 3.55 3.24 3.02 2.86 2.73 2.62 2.54 86 6.94 4.86 4.02 3.55 3.24 3.02 2.85 2.73 2.62 2.53 87 6.94 4.86 4.02 3.54 3.24 3.02 2.85 2.72 2.62 2.53 88 6.93 4.85 4.01 3.54 3.23 3.01 2.85 2.72 2.62 2.53 89 6.93 4.85 4.01 3.54 3.23 3.01 2.85 2.72 2.61 2.53 90 6.93 4.85 4.01 3.53 3.23 3.01 2.84 2.72 2.61 2.52 91 6.92 4.85 4.00 3.53 3.23 3.01 2.84 2.71 2.61 2.52 92 6.92 4.84 4.00 3.53 3.22 3.00 2.84 2.71 2.61 2.52 93 6.92 4.84 4.00 3.53 3.22 3.00 2.84 2.71 2.60 2.52 94 6.91 4.84 4.00 3.53 3.22 3.00 2.84 2.71 2.60 2.52 95 6.91 4.84 3.99 3.52 3.22 3.00 2.83 2.70 2.60 2.51 96 6.91 4.83 3.99 3.52 3.21 3.00 2.83 2.70 2.60 2.51 97 6.90 4.83 3.99 3.52 3.21 2.99 2.83 2.70 2.60 2.51 98 6.90 4.83 3.99 3.52 3.21 2.99 2.83 2.70 2.59 2.51 45222_Terveer_griffleiste.indd 111 06.09.2019 11: 44: 14 <?page no="112"?> 112 14 Verteilungstabellen n = m =1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 99 6.90 4.83 3.99 3.51 3.21 2.99 2.83 2.70 2.59 2.51 100 6.90 4.82 3.98 3.51 3.21 2.99 2.82 2.69 2.59 2.50 101 6.89 4.82 3.98 3.51 3.20 2.99 2.82 2.69 2.59 2.50 102 6.89 4.82 3.98 3.51 3.20 2.98 2.82 2.69 2.59 2.50 103 6.89 4.82 3.98 3.51 3.20 2.98 2.82 2.69 2.58 2.50 105 6.88 4.81 3.97 3.50 3.20 2.98 2.81 2.69 2.58 2.49 106 6.88 4.81 3.97 3.50 3.19 2.98 2.81 2.68 2.58 2.49 108 6.88 4.81 3.97 3.50 3.19 2.97 2.81 2.68 2.58 2.49 109 6.87 4.81 3.97 3.50 3.19 2.97 2.81 2.68 2.57 2.49 110 6.87 4.80 3.96 3.49 3.19 2.97 2.81 2.68 2.57 2.49 111 6.87 4.80 3.96 3.49 3.19 2.97 2.80 2.68 2.57 2.48 112 6.87 4.80 3.96 3.49 3.19 2.97 2.80 2.67 2.57 2.48 113 6.86 4.80 3.96 3.49 3.18 2.97 2.80 2.67 2.57 2.48 114 6.86 4.80 3.96 3.49 3.18 2.96 2.80 2.67 2.57 2.48 115 6.86 4.79 3.96 3.49 3.18 2.96 2.80 2.67 2.57 2.48 116 6.86 4.79 3.96 3.49 3.18 2.96 2.80 2.67 2.56 2.48 117 6.86 4.79 3.95 3.48 3.18 2.96 2.80 2.67 2.56 2.48 118 6.85 4.79 3.95 3.48 3.18 2.96 2.79 2.67 2.56 2.47 119 6.85 4.79 3.95 3.48 3.17 2.96 2.79 2.66 2.56 2.47 121 6.85 4.78 3.95 3.48 3.17 2.95 2.79 2.66 2.56 2.47 123 6.85 4.78 3.94 3.48 3.17 2.95 2.79 2.66 2.55 2.47 124 6.84 4.78 3.94 3.47 3.17 2.95 2.79 2.66 2.55 2.47 126 6.84 4.78 3.94 3.47 3.17 2.95 2.78 2.66 2.55 2.46 127 6.84 4.78 3.94 3.47 3.16 2.95 2.78 2.65 2.55 2.46 128 6.84 4.77 3.94 3.47 3.16 2.95 2.78 2.65 2.55 2.46 129 6.84 4.77 3.94 3.47 3.16 2.94 2.78 2.65 2.55 2.46 130 6.83 4.77 3.94 3.47 3.16 2.94 2.78 2.65 2.55 2.46 131 6.83 4.77 3.93 3.47 3.16 2.94 2.78 2.65 2.55 2.46 132 6.83 4.77 3.93 3.46 3.16 2.94 2.78 2.65 2.54 2.46 135 6.83 4.77 3.93 3.46 3.16 2.94 2.77 2.65 2.54 2.45 136 6.82 4.76 3.93 3.46 3.15 2.94 2.77 2.64 2.54 2.45 139 6.82 4.76 3.93 3.46 3.15 2.93 2.77 2.64 2.54 2.45 140 6.82 4.76 3.92 3.46 3.15 2.93 2.77 2.64 2.54 2.45 142 6.82 4.76 3.92 3.45 3.15 2.93 2.77 2.64 2.53 2.45 144 6.81 4.76 3.92 3.45 3.15 2.93 2.77 2.64 2.53 2.45 145 6.81 4.75 3.92 3.45 3.15 2.93 2.76 2.64 2.53 2.45 146 6.81 4.75 3.92 3.45 3.15 2.93 2.76 2.64 2.53 2.44 147 6.81 4.75 3.92 3.45 3.14 2.93 2.76 2.63 2.53 2.44 150 6.81 4.75 3.91 3.45 3.14 2.92 2.76 2.63 2.53 2.44 152 6.80 4.75 3.91 3.45 3.14 2.92 2.76 2.63 2.53 2.44 153 6.80 4.75 3.91 3.44 3.14 2.92 2.76 2.63 2.53 2.44 154 6.80 4.75 3.91 3.44 3.14 2.92 2.76 2.63 2.52 2.44 155 6.80 4.74 3.91 3.44 3.14 2.92 2.76 2.63 2.52 2.44 158 6.80 4.74 3.91 3.44 3.14 2.92 2.75 2.63 2.52 2.43 159 6.80 4.74 3.91 3.44 3.13 2.92 2.75 2.62 2.52 2.43 161 6.79 4.74 3.91 3.44 3.13 2.92 2.75 2.62 2.52 2.43 162 6.79 4.74 3.90 3.44 3.13 2.92 2.75 2.62 2.52 2.43 163 6.79 4.74 3.90 3.44 3.13 2.91 2.75 2.62 2.52 2.43 165 6.79 4.74 3.90 3.43 3.13 2.91 2.75 2.62 2.52 2.43 167 6.79 4.73 3.90 3.43 3.13 2.91 2.75 2.62 2.52 2.43 168 6.79 4.73 3.90 3.43 3.13 2.91 2.75 2.62 2.51 2.43 172 6.78 4.73 3.90 3.43 3.13 2.91 2.74 2.62 2.51 2.43 173 6.78 4.73 3.90 3.43 3.12 2.91 2.74 2.62 2.51 2.42 174 6.78 4.73 3.90 3.43 3.12 2.91 2.74 2.61 2.51 2.42 176 6.78 4.73 3.89 3.43 3.12 2.91 2.74 2.61 2.51 2.42 178 6.78 4.73 3.89 3.43 3.12 2.90 2.74 2.61 2.51 2.42 181 6.78 4.72 3.89 3.42 3.12 2.90 2.74 2.61 2.51 2.42 184 6.77 4.72 3.89 3.42 3.12 2.90 2.74 2.61 2.51 2.42 185 6.77 4.72 3.89 3.42 3.12 2.90 2.74 2.61 2.50 2.42 190 6.77 4.72 3.89 3.42 3.11 2.90 2.73 2.61 2.50 2.42 45222_Terveer_griffleiste.indd 112 06.09.2019 11: 44: 16 <?page no="113"?> Statistik 14.4 Quantile der F ( m, n )-Verteilung, n ≤ 500, m ≤ 20 113 n = m =1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 191 6.77 4.72 3.89 3.42 3.11 2.90 2.73 2.61 2.50 2.41 193 6.77 4.72 3.88 3.42 3.11 2.90 2.73 2.60 2.50 2.41 197 6.77 4.71 3.88 3.42 3.11 2.89 2.73 2.60 2.50 2.41 198 6.76 4.71 3.88 3.42 3.11 2.89 2.73 2.60 2.50 2.41 199 6.76 4.71 3.88 3.41 3.11 2.89 2.73 2.60 2.50 2.41 205 6.76 4.71 3.88 3.41 3.11 2.89 2.73 2.60 2.49 2.41 211 6.76 4.71 3.88 3.41 3.11 2.89 2.72 2.60 2.49 2.41 212 6.76 4.71 3.88 3.41 3.10 2.89 2.72 2.60 2.49 2.41 213 6.76 4.71 3.87 3.41 3.10 2.89 2.72 2.60 2.49 2.41 214 6.75 4.71 3.87 3.41 3.10 2.89 2.72 2.60 2.49 2.40 215 6.75 4.71 3.87 3.41 3.10 2.89 2.72 2.59 2.49 2.40 216 6.75 4.70 3.87 3.41 3.10 2.89 2.72 2.59 2.49 2.40 220 6.75 4.70 3.87 3.41 3.10 2.88 2.72 2.59 2.49 2.40 222 6.75 4.70 3.87 3.40 3.10 2.88 2.72 2.59 2.49 2.40 231 6.75 4.70 3.87 3.40 3.10 2.88 2.72 2.59 2.48 2.40 233 6.74 4.70 3.87 3.40 3.10 2.88 2.72 2.59 2.48 2.40 238 6.74 4.70 3.86 3.40 3.09 2.88 2.72 2.59 2.48 2.40 239 6.74 4.70 3.86 3.40 3.09 2.88 2.71 2.59 2.48 2.40 240 6.74 4.69 3.86 3.40 3.09 2.88 2.71 2.59 2.48 2.40 242 6.74 4.69 3.86 3.40 3.09 2.88 2.71 2.59 2.48 2.39 244 6.74 4.69 3.86 3.40 3.09 2.88 2.71 2.58 2.48 2.39 250 6.74 4.69 3.86 3.40 3.09 2.87 2.71 2.58 2.48 2.39 251 6.74 4.69 3.86 3.39 3.09 2.87 2.71 2.58 2.48 2.39 256 6.73 4.69 3.86 3.39 3.09 2.87 2.71 2.58 2.48 2.39 265 6.73 4.69 3.86 3.39 3.09 2.87 2.71 2.58 2.47 2.39 269 6.73 4.68 3.86 3.39 3.09 2.87 2.71 2.58 2.47 2.39 270 6.73 4.68 3.85 3.39 3.09 2.87 2.71 2.58 2.47 2.39 273 6.73 4.68 3.85 3.39 3.08 2.87 2.71 2.58 2.47 2.39 275 6.73 4.68 3.85 3.39 3.08 2.87 2.70 2.58 2.47 2.39 279 6.73 4.68 3.85 3.39 3.08 2.87 2.70 2.58 2.47 2.38 281 6.73 4.68 3.85 3.39 3.08 2.87 2.70 2.57 2.47 2.38 284 6.72 4.68 3.85 3.39 3.08 2.87 2.70 2.57 2.47 2.38 288 6.72 4.68 3.85 3.38 3.08 2.87 2.70 2.57 2.47 2.38 289 6.72 4.68 3.85 3.38 3.08 2.86 2.70 2.57 2.47 2.38 307 6.72 4.67 3.85 3.38 3.08 2.86 2.70 2.57 2.47 2.38 310 6.72 4.67 3.85 3.38 3.08 2.86 2.70 2.57 2.46 2.38 312 6.72 4.67 3.84 3.38 3.08 2.86 2.70 2.57 2.46 2.38 319 6.71 4.67 3.84 3.38 3.08 2.86 2.70 2.57 2.46 2.38 320 6.71 4.67 3.84 3.38 3.07 2.86 2.70 2.57 2.46 2.38 323 6.71 4.67 3.84 3.38 3.07 2.86 2.69 2.57 2.46 2.38 330 6.71 4.67 3.84 3.38 3.07 2.86 2.69 2.57 2.46 2.37 333 6.71 4.67 3.84 3.38 3.07 2.86 2.69 2.56 2.46 2.37 339 6.71 4.67 3.84 3.37 3.07 2.86 2.69 2.56 2.46 2.37 342 6.71 4.67 3.84 3.37 3.07 2.85 2.69 2.56 2.46 2.37 358 6.71 4.66 3.84 3.37 3.07 2.85 2.69 2.56 2.46 2.37 365 6.70 4.66 3.84 3.37 3.07 2.85 2.69 2.56 2.46 2.37 370 6.70 4.66 3.83 3.37 3.07 2.85 2.69 2.56 2.46 2.37 374 6.70 4.66 3.83 3.37 3.07 2.85 2.69 2.56 2.45 2.37 386 6.70 4.66 3.83 3.37 3.06 2.85 2.69 2.56 2.45 2.37 393 6.70 4.66 3.83 3.37 3.06 2.85 2.68 2.56 2.45 2.37 404 6.70 4.66 3.83 3.37 3.06 2.85 2.68 2.56 2.45 2.36 408 6.70 4.66 3.83 3.37 3.06 2.85 2.68 2.55 2.45 2.36 412 6.70 4.66 3.83 3.36 3.06 2.85 2.68 2.55 2.45 2.36 421 6.70 4.66 3.83 3.36 3.06 2.84 2.68 2.55 2.45 2.36 425 6.69 4.66 3.83 3.36 3.06 2.84 2.68 2.55 2.45 2.36 429 6.69 4.65 3.83 3.36 3.06 2.84 2.68 2.55 2.45 2.36 455 6.69 4.65 3.82 3.36 3.06 2.84 2.68 2.55 2.45 2.36 472 6.69 4.65 3.82 3.36 3.06 2.84 2.68 2.55 2.44 2.36 487 6.69 4.65 3.82 3.36 3.05 2.84 2.68 2.55 2.44 2.36 45222_Terveer_griffleiste.indd 113 06.09.2019 11: 44: 19 <?page no="114"?> 114 14 Verteilungstabellen n = m =11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 6083 6106 6126 6143 6157 6170 6181 6192 6201 6209 2 99.41 99.42 99.42 99.43 99.43 99.44 99.44 99.44 99.45 99.45 3 27.13 27.05 26.98 26.92 26.87 26.83 26.79 26.75 26.72 26.69 4 14.45 14.37 14.31 14.25 14.20 14.15 14.11 14.08 14.05 14.02 5 9.96 9.89 9.82 9.77 9.72 9.68 9.64 9.61 9.58 9.55 6 7.79 7.72 7.66 7.60 7.56 7.52 7.48 7.45 7.42 7.40 7 6.54 6.47 6.41 6.36 6.31 6.28 6.24 6.21 6.18 6.16 8 5.73 5.67 5.61 5.56 5.52 5.48 5.44 5.41 5.38 5.36 9 5.18 5.11 5.05 5.01 4.96 4.92 4.89 4.86 4.83 4.81 10 4.77 4.71 4.65 4.60 4.56 4.52 4.49 4.46 4.43 4.41 11 4.46 4.40 4.34 4.29 4.25 4.21 4.18 4.15 4.12 4.10 12 4.22 4.16 4.10 4.05 4.01 3.97 3.94 3.91 3.88 3.86 13 4.02 3.96 3.91 3.86 3.82 3.78 3.75 3.72 3.69 3.66 14 3.86 3.80 3.75 3.70 3.66 3.62 3.59 3.56 3.53 3.51 15 3.73 3.67 3.61 3.56 3.52 3.49 3.45 3.42 3.40 3.37 16 3.62 3.55 3.50 3.45 3.41 3.37 3.34 3.31 3.28 3.26 17 3.52 3.46 3.40 3.35 3.31 3.27 3.24 3.21 3.19 3.16 18 3.43 3.37 3.32 3.27 3.23 3.19 3.16 3.13 3.10 3.08 19 3.36 3.30 3.24 3.19 3.15 3.12 3.08 3.05 3.03 3.00 20 3.29 3.23 3.18 3.13 3.09 3.05 3.02 2.99 2.96 2.94 21 3.24 3.17 3.12 3.07 3.03 2.99 2.96 2.93 2.90 2.88 22 3.18 3.12 3.07 3.02 2.98 2.94 2.91 2.88 2.85 2.83 23 3.14 3.07 3.02 2.97 2.93 2.89 2.86 2.83 2.80 2.78 24 3.09 3.03 2.98 2.93 2.89 2.85 2.82 2.79 2.76 2.74 25 3.06 2.99 2.94 2.89 2.85 2.81 2.78 2.75 2.72 2.70 26 3.02 2.96 2.90 2.86 2.81 2.78 2.75 2.72 2.69 2.66 27 2.99 2.93 2.87 2.82 2.78 2.75 2.71 2.68 2.66 2.63 28 2.96 2.90 2.84 2.79 2.75 2.72 2.68 2.65 2.63 2.60 29 2.93 2.87 2.81 2.77 2.73 2.69 2.66 2.63 2.60 2.57 30 2.91 2.84 2.79 2.74 2.70 2.66 2.63 2.60 2.57 2.55 31 2.88 2.82 2.77 2.72 2.68 2.64 2.61 2.58 2.55 2.52 32 2.86 2.80 2.74 2.70 2.65 2.62 2.58 2.55 2.53 2.50 33 2.84 2.78 2.72 2.68 2.63 2.60 2.56 2.53 2.51 2.48 34 2.82 2.76 2.70 2.66 2.61 2.58 2.54 2.51 2.49 2.46 35 2.80 2.74 2.69 2.64 2.60 2.56 2.53 2.50 2.47 2.44 36 2.79 2.72 2.67 2.62 2.58 2.54 2.51 2.48 2.45 2.43 37 2.77 2.71 2.65 2.61 2.56 2.53 2.49 2.46 2.44 2.41 38 2.75 2.69 2.64 2.59 2.55 2.51 2.48 2.45 2.42 2.40 39 2.74 2.68 2.62 2.58 2.54 2.50 2.46 2.43 2.41 2.38 40 2.73 2.66 2.61 2.56 2.52 2.48 2.45 2.42 2.39 2.37 41 2.71 2.65 2.60 2.55 2.51 2.47 2.44 2.41 2.38 2.36 42 2.70 2.64 2.59 2.54 2.50 2.46 2.43 2.40 2.37 2.34 43 2.69 2.63 2.57 2.53 2.49 2.45 2.41 2.38 2.36 2.33 44 2.68 2.62 2.56 2.52 2.47 2.44 2.40 2.37 2.35 2.32 45 2.67 2.61 2.55 2.51 2.46 2.43 2.39 2.36 2.34 2.31 46 2.66 2.60 2.54 2.50 2.45 2.42 2.38 2.35 2.33 2.30 47 2.65 2.59 2.53 2.49 2.44 2.41 2.37 2.34 2.32 2.29 48 2.64 2.58 2.53 2.48 2.44 2.40 2.37 2.33 2.31 2.28 49 2.63 2.57 2.52 2.47 2.43 2.39 2.36 2.33 2.30 2.27 50 2.63 2.56 2.51 2.46 2.42 2.38 2.35 2.32 2.29 2.27 51 2.62 2.55 2.50 2.45 2.41 2.37 2.34 2.31 2.28 2.26 52 2.61 2.55 2.49 2.45 2.40 2.37 2.33 2.30 2.27 2.25 53 2.60 2.54 2.49 2.44 2.40 2.36 2.33 2.29 2.27 2.24 54 2.60 2.53 2.48 2.43 2.39 2.35 2.32 2.29 2.26 2.24 55 2.59 2.53 2.47 2.42 2.38 2.34 2.31 2.28 2.25 2.23 56 2.58 2.52 2.47 2.42 2.38 2.34 2.30 2.27 2.25 2.22 57 2.58 2.51 2.46 2.41 2.37 2.33 2.30 2.27 2.24 2.22 58 2.57 2.51 2.45 2.41 2.36 2.33 2.29 2.26 2.23 2.21 59 2.56 2.50 2.45 2.40 2.36 2.32 2.29 2.26 2.23 2.20 60 2.56 2.50 2.44 2.39 2.35 2.31 2.28 2.25 2.22 2.20 45222_Terveer_griffleiste.indd 114 06.09.2019 11: 44: 22 <?page no="115"?> Statistik 14.4 Quantile der F ( m, n )-Verteilung, n ≤ 500, m ≤ 20 115 n = m =11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 61 2.55 2.49 2.44 2.39 2.35 2.31 2.28 2.25 2.22 2.19 62 2.55 2.49 2.43 2.38 2.34 2.30 2.27 2.24 2.21 2.19 63 2.54 2.48 2.43 2.38 2.34 2.30 2.27 2.23 2.21 2.18 64 2.54 2.48 2.42 2.37 2.33 2.29 2.26 2.23 2.20 2.18 65 2.53 2.47 2.42 2.37 2.33 2.29 2.26 2.23 2.20 2.17 66 2.53 2.47 2.41 2.36 2.32 2.28 2.25 2.22 2.19 2.17 67 2.52 2.46 2.41 2.36 2.32 2.28 2.25 2.22 2.19 2.16 68 2.52 2.46 2.40 2.36 2.31 2.28 2.24 2.21 2.18 2.16 69 2.52 2.45 2.40 2.35 2.31 2.27 2.24 2.21 2.18 2.15 70 2.51 2.45 2.40 2.35 2.31 2.27 2.23 2.20 2.18 2.15 71 2.51 2.45 2.39 2.34 2.30 2.26 2.23 2.20 2.17 2.15 72 2.50 2.44 2.39 2.34 2.30 2.26 2.23 2.20 2.17 2.14 73 2.50 2.44 2.38 2.34 2.29 2.26 2.22 2.19 2.16 2.14 74 2.50 2.43 2.38 2.33 2.29 2.25 2.22 2.19 2.16 2.14 75 2.49 2.43 2.38 2.33 2.29 2.25 2.22 2.18 2.16 2.13 76 2.49 2.43 2.37 2.33 2.28 2.25 2.21 2.18 2.15 2.13 77 2.49 2.42 2.37 2.32 2.28 2.24 2.21 2.18 2.15 2.12 78 2.48 2.42 2.37 2.32 2.28 2.24 2.21 2.17 2.15 2.12 79 2.48 2.42 2.36 2.32 2.27 2.24 2.20 2.17 2.14 2.12 80 2.48 2.42 2.36 2.31 2.27 2.23 2.20 2.17 2.14 2.12 81 2.47 2.41 2.36 2.31 2.27 2.23 2.20 2.17 2.14 2.11 82 2.47 2.41 2.35 2.31 2.27 2.23 2.19 2.16 2.13 2.11 83 2.47 2.41 2.35 2.30 2.26 2.22 2.19 2.16 2.13 2.11 84 2.47 2.40 2.35 2.30 2.26 2.22 2.19 2.16 2.13 2.10 85 2.46 2.40 2.35 2.30 2.26 2.22 2.19 2.15 2.13 2.10 86 2.46 2.40 2.34 2.30 2.25 2.22 2.18 2.15 2.12 2.10 87 2.46 2.40 2.34 2.29 2.25 2.21 2.18 2.15 2.12 2.10 88 2.46 2.39 2.34 2.29 2.25 2.21 2.18 2.15 2.12 2.09 89 2.45 2.39 2.34 2.29 2.25 2.21 2.17 2.14 2.12 2.09 90 2.45 2.39 2.33 2.29 2.24 2.21 2.17 2.14 2.11 2.09 91 2.45 2.39 2.33 2.28 2.24 2.20 2.17 2.14 2.11 2.09 92 2.45 2.38 2.33 2.28 2.24 2.20 2.17 2.14 2.11 2.08 93 2.44 2.38 2.33 2.28 2.24 2.20 2.17 2.13 2.11 2.08 94 2.44 2.38 2.33 2.28 2.24 2.20 2.16 2.13 2.10 2.08 95 2.44 2.38 2.32 2.28 2.23 2.20 2.16 2.13 2.10 2.08 96 2.44 2.38 2.32 2.27 2.23 2.19 2.16 2.13 2.10 2.07 97 2.44 2.37 2.32 2.27 2.23 2.19 2.16 2.13 2.10 2.07 98 2.43 2.37 2.32 2.27 2.23 2.19 2.16 2.12 2.10 2.07 99 2.43 2.37 2.32 2.27 2.22 2.19 2.15 2.12 2.09 2.07 100 2.43 2.37 2.31 2.27 2.22 2.19 2.15 2.12 2.09 2.07 101 2.43 2.37 2.31 2.26 2.22 2.18 2.15 2.12 2.09 2.06 102 2.43 2.36 2.31 2.26 2.22 2.18 2.15 2.12 2.09 2.06 103 2.42 2.36 2.31 2.26 2.22 2.18 2.15 2.11 2.09 2.06 104 2.42 2.36 2.31 2.26 2.22 2.18 2.14 2.11 2.08 2.06 105 2.42 2.36 2.30 2.26 2.21 2.18 2.14 2.11 2.08 2.06 106 2.42 2.36 2.30 2.25 2.21 2.17 2.14 2.11 2.08 2.06 107 2.42 2.36 2.30 2.25 2.21 2.17 2.14 2.11 2.08 2.05 108 2.42 2.35 2.30 2.25 2.21 2.17 2.14 2.11 2.08 2.05 109 2.41 2.35 2.30 2.25 2.21 2.17 2.14 2.10 2.08 2.05 110 2.41 2.35 2.30 2.25 2.21 2.17 2.13 2.10 2.07 2.05 111 2.41 2.35 2.29 2.25 2.20 2.17 2.13 2.10 2.07 2.05 112 2.41 2.35 2.29 2.25 2.20 2.16 2.13 2.10 2.07 2.05 113 2.41 2.35 2.29 2.24 2.20 2.16 2.13 2.10 2.07 2.04 114 2.41 2.34 2.29 2.24 2.20 2.16 2.13 2.10 2.07 2.04 116 2.40 2.34 2.29 2.24 2.20 2.16 2.12 2.09 2.07 2.04 117 2.40 2.34 2.29 2.24 2.20 2.16 2.12 2.09 2.06 2.04 118 2.40 2.34 2.28 2.24 2.19 2.16 2.12 2.09 2.06 2.04 119 2.40 2.34 2.28 2.24 2.19 2.15 2.12 2.09 2.06 2.04 120 2.40 2.34 2.28 2.23 2.19 2.15 2.12 2.09 2.06 2.03 122 2.40 2.33 2.28 2.23 2.19 2.15 2.12 2.09 2.06 2.03 45222_Terveer_griffleiste.indd 115 06.09.2019 11: 44: 25 <?page no="116"?> 116 14 Verteilungstabellen n = m =11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 123 2.40 2.33 2.28 2.23 2.19 2.15 2.12 2.08 2.06 2.03 124 2.39 2.33 2.28 2.23 2.19 2.15 2.11 2.08 2.06 2.03 125 2.39 2.33 2.28 2.23 2.19 2.15 2.11 2.08 2.05 2.03 126 2.39 2.33 2.27 2.23 2.18 2.15 2.11 2.08 2.05 2.03 127 2.39 2.33 2.27 2.23 2.18 2.14 2.11 2.08 2.05 2.03 128 2.39 2.33 2.27 2.22 2.18 2.14 2.11 2.08 2.05 2.02 130 2.39 2.32 2.27 2.22 2.18 2.14 2.11 2.08 2.05 2.02 132 2.38 2.32 2.27 2.22 2.18 2.14 2.11 2.07 2.05 2.02 133 2.38 2.32 2.27 2.22 2.18 2.14 2.10 2.07 2.04 2.02 135 2.38 2.32 2.26 2.22 2.17 2.14 2.10 2.07 2.04 2.02 137 2.38 2.32 2.26 2.21 2.17 2.13 2.10 2.07 2.04 2.01 140 2.38 2.31 2.26 2.21 2.17 2.13 2.10 2.07 2.04 2.01 141 2.38 2.31 2.26 2.21 2.17 2.13 2.10 2.06 2.04 2.01 143 2.37 2.31 2.26 2.21 2.17 2.13 2.09 2.06 2.03 2.01 145 2.37 2.31 2.26 2.21 2.16 2.13 2.09 2.06 2.03 2.01 146 2.37 2.31 2.25 2.21 2.16 2.13 2.09 2.06 2.03 2.01 147 2.37 2.31 2.25 2.21 2.16 2.12 2.09 2.06 2.03 2.01 148 2.37 2.31 2.25 2.20 2.16 2.12 2.09 2.06 2.03 2.00 151 2.37 2.30 2.25 2.20 2.16 2.12 2.09 2.06 2.03 2.00 153 2.37 2.30 2.25 2.20 2.16 2.12 2.09 2.05 2.03 2.00 154 2.36 2.30 2.25 2.20 2.16 2.12 2.08 2.05 2.03 2.00 155 2.36 2.30 2.25 2.20 2.16 2.12 2.08 2.05 2.02 2.00 157 2.36 2.30 2.25 2.20 2.15 2.12 2.08 2.05 2.02 2.00 158 2.36 2.30 2.24 2.20 2.15 2.12 2.08 2.05 2.02 2.00 160 2.36 2.30 2.24 2.20 2.15 2.11 2.08 2.05 2.02 1.99 161 2.36 2.30 2.24 2.19 2.15 2.11 2.08 2.05 2.02 1.99 164 2.36 2.29 2.24 2.19 2.15 2.11 2.08 2.05 2.02 1.99 166 2.36 2.29 2.24 2.19 2.15 2.11 2.08 2.04 2.02 1.99 168 2.35 2.29 2.24 2.19 2.15 2.11 2.07 2.04 2.02 1.99 169 2.35 2.29 2.24 2.19 2.15 2.11 2.07 2.04 2.01 1.99 172 2.35 2.29 2.24 2.19 2.14 2.11 2.07 2.04 2.01 1.99 173 2.35 2.29 2.23 2.19 2.14 2.11 2.07 2.04 2.01 1.99 175 2.35 2.29 2.23 2.19 2.14 2.10 2.07 2.04 2.01 1.98 176 2.35 2.29 2.23 2.18 2.14 2.10 2.07 2.04 2.01 1.98 180 2.35 2.28 2.23 2.18 2.14 2.10 2.07 2.04 2.01 1.98 182 2.35 2.28 2.23 2.18 2.14 2.10 2.07 2.03 2.01 1.98 184 2.35 2.28 2.23 2.18 2.14 2.10 2.06 2.03 2.01 1.98 185 2.34 2.28 2.23 2.18 2.14 2.10 2.06 2.03 2.00 1.98 189 2.34 2.28 2.23 2.18 2.13 2.10 2.06 2.03 2.00 1.98 190 2.34 2.28 2.22 2.18 2.13 2.10 2.06 2.03 2.00 1.98 193 2.34 2.28 2.22 2.18 2.13 2.09 2.06 2.03 2.00 1.97 194 2.34 2.28 2.22 2.17 2.13 2.09 2.06 2.03 2.00 1.97 200 2.34 2.27 2.22 2.17 2.13 2.09 2.06 2.03 2.00 1.97 202 2.34 2.27 2.22 2.17 2.13 2.09 2.06 2.02 2.00 1.97 205 2.34 2.27 2.22 2.17 2.13 2.09 2.05 2.02 2.00 1.97 206 2.33 2.27 2.22 2.17 2.13 2.09 2.05 2.02 1.99 1.97 211 2.33 2.27 2.22 2.17 2.12 2.09 2.05 2.02 1.99 1.97 212 2.33 2.27 2.21 2.17 2.12 2.09 2.05 2.02 1.99 1.97 215 2.33 2.27 2.21 2.17 2.12 2.08 2.05 2.02 1.99 1.96 217 2.33 2.27 2.21 2.16 2.12 2.08 2.05 2.02 1.99 1.96 224 2.33 2.26 2.21 2.16 2.12 2.08 2.05 2.02 1.99 1.96 227 2.33 2.26 2.21 2.16 2.12 2.08 2.05 2.01 1.99 1.96 230 2.33 2.26 2.21 2.16 2.12 2.08 2.04 2.01 1.99 1.96 231 2.33 2.26 2.21 2.16 2.12 2.08 2.04 2.01 1.98 1.96 232 2.32 2.26 2.21 2.16 2.12 2.08 2.04 2.01 1.98 1.96 238 2.32 2.26 2.21 2.16 2.11 2.08 2.04 2.01 1.98 1.96 240 2.32 2.26 2.20 2.16 2.11 2.08 2.04 2.01 1.98 1.96 242 2.32 2.26 2.20 2.16 2.11 2.08 2.04 2.01 1.98 1.95 243 2.32 2.26 2.20 2.16 2.11 2.07 2.04 2.01 1.98 1.95 246 2.32 2.26 2.20 2.15 2.11 2.07 2.04 2.01 1.98 1.95 45222_Terveer_griffleiste.indd 116 06.09.2019 11: 44: 27 <?page no="117"?> Statistik 14.5 Quantile w α ( n 1 , n 2 ) der Wilcoxon-Verteilung 117 n = m =11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 256 2.32 2.25 2.20 2.15 2.11 2.07 2.04 2.01 1.98 1.95 258 2.32 2.25 2.20 2.15 2.11 2.07 2.04 2.00 1.98 1.95 262 2.32 2.25 2.20 2.15 2.11 2.07 2.03 2.00 1.98 1.95 263 2.32 2.25 2.20 2.15 2.11 2.07 2.03 2.00 1.97 1.95 266 2.31 2.25 2.20 2.15 2.11 2.07 2.03 2.00 1.97 1.95 273 2.31 2.25 2.20 2.15 2.10 2.07 2.03 2.00 1.97 1.95 276 2.31 2.25 2.19 2.15 2.10 2.07 2.03 2.00 1.97 1.95 278 2.31 2.25 2.19 2.15 2.10 2.07 2.03 2.00 1.97 1.94 280 2.31 2.25 2.19 2.15 2.10 2.06 2.03 2.00 1.97 1.94 284 2.31 2.25 2.19 2.14 2.10 2.06 2.03 2.00 1.97 1.94 298 2.31 2.24 2.19 2.14 2.10 2.06 2.03 2.00 1.97 1.94 299 2.31 2.24 2.19 2.14 2.10 2.06 2.03 1.99 1.97 1.94 306 2.31 2.24 2.19 2.14 2.10 2.06 2.02 1.99 1.96 1.94 312 2.30 2.24 2.19 2.14 2.10 2.06 2.02 1.99 1.96 1.94 321 2.30 2.24 2.19 2.14 2.09 2.06 2.02 1.99 1.96 1.94 326 2.30 2.24 2.18 2.14 2.09 2.06 2.02 1.99 1.96 1.94 327 2.30 2.24 2.18 2.14 2.09 2.06 2.02 1.99 1.96 1.93 331 2.30 2.24 2.18 2.14 2.09 2.05 2.02 1.99 1.96 1.93 337 2.30 2.24 2.18 2.13 2.09 2.05 2.02 1.99 1.96 1.93 356 2.30 2.23 2.18 2.13 2.09 2.05 2.02 1.99 1.96 1.93 357 2.30 2.23 2.18 2.13 2.09 2.05 2.02 1.98 1.96 1.93 367 2.30 2.23 2.18 2.13 2.09 2.05 2.01 1.98 1.95 1.93 378 2.29 2.23 2.18 2.13 2.09 2.05 2.01 1.98 1.95 1.93 389 2.29 2.23 2.18 2.13 2.08 2.05 2.01 1.98 1.95 1.93 396 2.29 2.23 2.18 2.13 2.08 2.05 2.01 1.98 1.95 1.92 397 2.29 2.23 2.17 2.13 2.08 2.05 2.01 1.98 1.95 1.92 403 2.29 2.23 2.17 2.13 2.08 2.04 2.01 1.98 1.95 1.92 414 2.29 2.23 2.17 2.12 2.08 2.04 2.01 1.98 1.95 1.92 443 2.29 2.23 2.17 2.12 2.08 2.04 2.01 1.97 1.95 1.92 444 2.29 2.22 2.17 2.12 2.08 2.04 2.01 1.97 1.95 1.92 457 2.29 2.22 2.17 2.12 2.08 2.04 2.01 1.97 1.94 1.92 458 2.29 2.22 2.17 2.12 2.08 2.04 2.00 1.97 1.94 1.92 478 2.28 2.22 2.17 2.12 2.08 2.04 2.00 1.97 1.94 1.92 495 2.28 2.22 2.17 2.12 2.07 2.04 2.00 1.97 1.94 1.92 14.5 Quantile w α ( n 1 , n 2 ) der Wilcoxon-Verteilung Anwendungsbeispiele: w 0 . 005 (7 , 5) = 30 w 1 − α ( n 1 , n 2 ) = n 1 ( n 1 + n 2 + 1) − w α ( n 1 , n 2 ) F ü r max( n 1 , n 2 ) > 25 ist w α ( n 1 , n 2 ) ≈ u α · √ n 1 n 2 ( n 1 + n 2 + 1) 12 + n 1 ( n 1 + n 2 + 1) 2 Quantile für α = 0 , 005 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 3 6 6 6 6 6 6 6 7 7 7 8 8 8 9 9 9 9 10 10 10 11 11 11 12 4 10 10 10 10 11 11 12 12 13 13 14 14 15 16 16 17 17 18 19 19 20 20 21 21 5 15 15 15 16 17 17 18 19 20 21 22 23 23 24 25 26 27 28 29 30 30 31 32 33 6 21 21 22 23 24 25 26 27 28 29 31 32 33 34 35 37 38 39 40 41 43 44 45 46 7 28 28 29 30 32 33 35 36 38 39 41 42 44 45 47 48 50 51 53 54 56 58 59 61 45222_Terveer_griffleiste.indd 117 06.09.2019 11: 44: 30 <?page no="118"?> 118 14 Verteilungstabellen 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 8 36 36 38 39 41 43 44 46 48 50 52 54 55 57 59 61 63 65 67 69 71 72 74 76 9 45 46 47 49 51 53 55 57 59 62 64 66 68 70 73 75 77 79 82 84 86 89 91 93 10 55 56 58 60 62 65 67 69 72 74 77 80 82 85 87 90 93 95 98 100 103 106 108 111 11 66 67 69 72 74 77 80 83 85 88 91 94 97 100 103 106 109 112 115 118 121 124 127 130 12 78 80 82 85 88 91 94 97 100 103 106 110 113 116 120 123 126 130 133 137 140 143 147 150 13 91 93 95 99 102 105 109 112 116 119 123 126 130 134 137 141 145 149 152 156 160 164 167 171 14 105 107 110 113 117 121 124 128 132 136 140 144 148 152 156 160 164 169 173 177 181 185 189 193 15 120 123 126 129 133 137 141 145 150 154 158 163 167 172 176 181 185 190 194 199 203 208 212 217 16 136 139 142 146 150 155 159 164 168 173 178 182 187 192 197 202 207 211 216 221 226 231 236 241 17 153 156 160 164 169 173 178 183 188 193 198 203 208 214 219 224 229 235 240 245 250 256 261 266 18 171 174 178 183 188 193 198 203 209 214 219 225 230 236 242 247 253 259 264 270 276 281 287 293 19 191 194 198 203 208 213 219 224 230 236 242 248 254 260 265 272 278 284 290 296 302 308 314 320 20 211 214 219 224 229 235 241 247 253 259 265 271 278 284 290 297 303 310 316 323 329 336 342 349 21 232 235 240 246 251 257 264 270 276 283 290 296 303 310 316 323 330 337 344 350 357 364 371 378 22 254 258 263 268 275 281 288 294 301 308 315 322 329 336 343 350 358 365 372 379 387 394 401 409 23 277 281 286 292 299 306 312 320 327 334 341 349 356 364 371 379 386 394 402 409 417 425 432 440 24 301 305 311 317 324 331 338 346 353 361 369 376 384 392 400 408 416 424 432 440 448 456 465 473 25 326 331 336 343 350 358 365 373 381 389 397 405 413 422 430 438 447 455 464 472 481 489 498 506 Quantile für α = 0 , 01 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 3 6 6 6 6 6 7 7 8 8 8 9 9 9 10 10 11 11 11 12 12 12 13 13 14 4 10 10 10 11 12 12 13 14 14 15 16 16 17 18 18 19 20 20 21 22 22 23 24 24 5 15 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 6 21 21 23 24 25 26 28 29 30 31 33 34 35 37 38 40 41 42 44 45 46 48 49 51 7 28 29 30 32 33 35 36 38 40 41 43 45 46 48 50 52 53 55 57 59 60 62 64 65 8 36 37 39 41 43 44 46 48 50 52 54 57 59 61 63 65 67 69 71 73 75 77 79 82 9 45 47 49 51 53 55 57 60 62 64 67 69 72 74 77 79 82 84 86 89 91 94 96 99 10 55 57 59 62 64 67 69 72 75 78 80 83 86 89 92 94 97 100 103 106 109 111 114 117 11 66 68 71 74 76 79 82 85 89 92 95 98 101 104 108 111 114 117 120 124 127 130 133 137 12 78 81 84 87 90 93 96 100 103 107 110 114 117 121 125 128 132 135 139 143 146 150 154 157 13 92 94 97 101 104 108 112 115 119 123 127 131 135 139 143 147 151 155 159 163 167 171 175 179 14 106 108 112 116 119 123 128 132 136 140 144 149 153 157 162 166 171 175 179 184 188 193 197 201 15 121 124 128 132 136 140 145 149 154 158 163 168 172 177 182 187 191 196 201 206 211 215 220 225 16 137 140 144 149 153 158 163 168 173 178 183 188 193 198 203 208 213 219 224 229 234 239 245 250 17 154 158 162 167 172 177 182 187 192 198 203 209 214 220 225 231 236 242 247 253 259 264 270 276 18 172 176 181 186 191 196 202 208 213 219 225 231 237 242 248 254 260 266 272 278 284 290 296 302 19 192 195 200 206 211 217 223 229 235 241 247 254 260 266 273 279 285 292 298 304 311 317 324 330 20 212 216 221 227 233 239 245 251 258 264 271 278 284 291 298 304 311 318 325 332 338 345 352 359 21 233 237 243 249 255 262 268 275 282 289 296 303 310 317 324 331 338 345 353 360 367 374 382 389 22 255 259 265 272 278 285 292 299 307 314 321 329 336 344 351 359 366 374 381 389 397 404 412 420 23 278 283 289 296 303 310 317 325 332 340 348 356 364 371 379 387 395 403 411 419 427 435 444 452 24 302 307 314 321 328 336 343 351 359 367 376 384 392 400 409 417 425 434 442 451 459 468 476 485 25 327 333 339 347 355 362 371 379 387 396 404 413 421 430 439 448 456 465 474 483 492 501 510 518 Quantile für α = 0 , 025 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6 6 7 7 7 7 7 3 6 6 6 7 8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 13 13 14 14 15 15 16 16 17 17 4 10 10 11 12 13 14 15 15 16 17 18 19 20 21 22 22 23 24 25 26 27 28 28 29 5 15 16 17 18 19 21 22 23 24 25 27 28 29 30 31 33 34 35 36 38 39 40 41 43 45222_Terveer_griffleiste.indd 118 06.09.2019 11: 44: 35 <?page no="119"?> Statistik 14.5 Quantile w α ( n 1 , n 2 ) der Wilcoxon-Verteilung 119 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6 6 7 7 7 7 7 6 21 23 24 25 27 28 30 32 33 35 36 38 39 41 43 44 46 47 49 51 52 54 55 57 7 28 30 32 34 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73 8 37 39 41 43 45 47 50 52 54 56 59 61 63 66 68 71 73 75 78 80 82 85 87 90 9 46 48 50 53 56 58 61 63 66 69 72 74 77 80 83 85 88 91 94 96 99 102 105 108 10 56 59 61 64 67 70 73 76 79 82 85 89 92 95 98 101 104 108 111 114 117 120 123 127 11 67 70 73 76 80 83 86 90 93 97 100 104 107 111 114 118 122 125 129 132 136 140 143 147 12 80 83 86 90 93 97 101 105 108 112 116 120 124 128 132 136 140 144 148 152 156 160 164 168 13 93 96 100 104 108 112 116 120 125 129 133 137 142 146 151 155 159 164 168 172 177 181 186 190 14 107 111 115 119 123 128 132 137 142 146 151 156 161 165 170 175 180 184 189 194 199 204 208 213 15 122 126 131 135 140 145 150 155 160 165 170 175 180 185 191 196 201 206 211 217 222 227 232 238 16 138 143 148 152 158 163 168 174 179 184 190 196 201 207 212 218 223 229 235 240 246 252 257 263 17 156 160 165 171 176 182 188 193 199 205 211 217 223 229 235 241 247 253 259 265 271 277 283 289 18 174 179 184 190 196 202 208 214 220 227 233 239 246 252 258 265 271 278 284 291 297 304 310 317 19 193 198 204 210 216 223 229 236 243 249 256 263 269 276 283 290 297 304 310 317 324 331 338 345 20 213 219 225 231 238 245 252 259 266 273 280 287 294 301 309 316 323 330 338 345 352 360 367 374 21 235 240 247 254 261 268 275 282 290 297 305 312 320 328 335 343 351 358 366 374 382 389 397 405 22 257 263 270 277 284 292 299 307 315 323 331 339 347 355 363 371 379 387 395 404 412 420 428 436 23 280 286 294 301 309 317 325 333 341 350 358 366 375 383 392 400 409 417 426 434 443 452 460 469 24 304 311 318 326 334 343 351 360 368 377 386 395 403 412 421 430 439 448 457 466 475 484 493 502 25 329 336 344 353 361 370 379 388 397 406 415 424 433 443 452 461 471 480 489 499 508 518 527 537 Quantile für α = 0 , 05 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 7 7 7 8 8 8 9 9 9 10 10 3 6 6 7 8 9 9 10 10 11 12 12 13 14 14 15 16 16 17 18 18 19 20 20 21 4 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 5 16 17 18 20 21 22 24 25 27 28 29 31 32 34 35 36 38 39 41 42 44 45 46 48 6 22 24 25 27 29 30 32 34 36 38 39 41 43 45 47 48 50 52 54 56 58 59 61 63 7 29 31 33 35 37 40 42 44 46 48 50 53 55 57 59 62 64 66 68 70 73 75 77 79 8 38 40 42 45 47 50 52 55 57 60 63 65 68 70 73 76 78 81 84 86 89 91 94 97 9 47 49 52 55 58 61 64 67 70 73 76 79 82 85 88 91 94 97 100 103 106 109 112 115 10 57 60 63 67 70 73 76 80 83 87 90 93 97 100 104 107 111 114 118 121 124 128 131 135 11 68 72 75 79 83 86 90 94 98 101 105 109 113 117 121 124 128 132 136 140 144 148 152 156 12 81 84 88 92 96 100 105 109 113 117 121 126 130 134 139 143 147 151 156 160 164 169 173 177 13 94 98 102 107 111 116 120 125 129 134 139 143 148 153 157 162 167 172 176 181 186 190 195 200 14 108 113 117 122 127 132 137 142 147 152 157 162 167 172 177 183 188 193 198 203 208 213 219 224 15 124 128 133 139 144 149 154 160 165 171 176 182 187 193 198 204 209 215 221 226 232 237 243 249 16 140 145 151 156 162 167 173 179 185 191 197 202 208 214 220 226 232 238 244 250 256 262 268 274 17 157 163 169 174 180 187 193 199 205 211 218 224 231 237 243 250 256 263 269 275 282 288 295 301 18 176 181 188 194 200 207 213 220 227 233 240 247 254 260 267 274 281 288 295 302 308 315 322 329 19 195 201 208 214 221 228 235 242 249 256 263 271 278 285 292 300 307 314 321 329 336 343 351 358 20 215 222 229 236 243 250 258 265 273 280 288 295 303 311 318 326 334 341 349 357 365 372 380 388 21 237 243 251 258 266 273 281 289 297 305 313 321 329 337 345 353 362 370 378 386 394 402 411 419 22 259 266 274 282 290 298 306 314 322 331 339 348 356 365 373 382 390 399 408 416 425 433 442 451 23 282 290 298 306 314 323 331 340 349 358 367 375 384 393 402 411 420 429 438 447 456 466 475 484 24 307 314 323 331 340 349 358 367 376 386 395 404 414 423 432 442 451 461 470 480 489 499 508 518 25 332 340 349 358 367 376 386 395 405 415 424 434 444 454 463 473 483 493 503 513 523 533 543 553 Quantile für α = 0 , 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 2 3 3 4 5 5 5 6 6 7 7 8 8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 12 13 13 3 6 7 8 9 10 11 12 12 13 14 15 16 17 17 18 19 20 21 22 22 23 24 25 26 45222_Terveer_griffleiste.indd 119 06.09.2019 11: 44: 40 <?page no="120"?> 120 14 Verteilungstabellen 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 4 11 12 13 15 16 17 18 20 21 22 23 24 26 27 28 29 31 32 33 34 36 37 38 39 5 17 18 20 21 23 24 26 28 29 31 33 34 36 38 39 41 43 44 46 47 49 51 52 54 6 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 56 58 60 62 64 66 68 70 7 30 33 35 37 40 42 45 47 50 52 55 57 60 62 65 67 70 72 75 77 80 82 85 87 8 39 42 44 47 50 53 56 59 61 64 67 70 73 76 79 82 85 88 91 93 96 99 102 105 9 48 51 55 58 61 64 68 71 74 77 81 84 87 91 94 98 101 104 108 111 114 118 121 124 10 59 62 66 69 73 77 80 84 88 92 95 99 103 107 110 114 118 122 126 129 133 137 141 145 11 70 74 78 82 86 90 94 98 103 107 111 115 119 124 128 132 136 140 145 149 153 157 162 166 12 83 87 91 96 100 105 109 114 118 123 128 132 137 142 146 151 156 160 165 170 174 179 184 188 13 96 101 105 110 115 120 125 130 135 140 145 150 155 160 166 171 176 181 186 191 196 201 206 212 14 110 116 121 126 131 137 142 147 153 158 164 169 175 180 186 191 197 203 208 214 219 225 230 236 15 126 131 137 143 148 154 160 166 172 178 184 189 195 201 207 213 219 225 231 237 243 249 255 261 16 142 148 154 160 166 173 179 185 191 198 204 211 217 223 230 236 243 249 256 262 268 275 281 288 17 160 166 172 179 185 192 199 206 212 219 226 233 239 246 253 260 267 274 281 288 295 301 308 315 18 178 185 192 199 206 213 220 227 234 241 249 256 263 270 278 285 292 300 307 314 322 329 336 344 19 198 205 212 219 227 234 242 249 257 264 272 280 288 295 303 311 319 326 334 342 350 358 365 373 20 218 226 233 241 249 257 265 273 281 289 297 305 313 321 330 338 346 354 362 371 379 387 395 404 21 240 247 255 263 272 280 288 297 305 314 323 331 340 348 357 366 374 383 392 400 409 418 426 435 22 262 270 279 287 296 305 313 322 331 340 349 358 367 376 385 395 404 413 422 431 440 449 458 468 23 285 294 303 312 321 330 339 349 358 367 377 386 396 405 415 424 434 444 453 463 472 482 492 501 24 310 319 328 337 347 357 366 376 386 396 406 415 425 435 445 455 465 475 485 495 505 516 526 536 25 335 345 354 364 374 384 394 404 415 425 435 446 456 466 477 487 498 508 519 529 540 550 561 571 45222_Terveer_griffleiste.indd 120 06.09.2019 11: 44: 41 <?page no="121"?> Statistik 14.6 Quantile d α ( n ) der Kolmogoroff-Verteilung, einfache Hypothese 121 14.6 Quantile d α ( n ) der Kolmogoroff-Verteilung, einfache Hypothese Für fehlende n wird der nächstkleinere, in der Tabelle aufgeführte Wert ˜ n verwendet. n = α =0.9 0.95 0.99 0.995 0 .999 1 0.95 0.97 0.99 1.00 1.00 2 1.10 1.19 1.31 1.34 1.38 3 1.10 1.23 1.44 1.50 1.59 4 1.13 1.25 1.47 1.55 1.70 5 1.14 1.26 1.49 1.58 1.75 6 1.15 1.27 1.51 1.60 1.78 7 1.15 1.28 1.52 1.61 1.80 8 1.16 1.28 1.53 1.62 1.81 9 1.16 1.29 1.54 1.63 1.83 10 1.17 1.29 1.55 1.64 1.84 11 1.17 1.30 1.55 1.65 1.84 12 1.17 1.30 1.56 1.65 1.85 13 1.17 1.30 1.56 1.66 1.86 14 1.18 1.31 1.56 1.66 1.86 15 1.18 1.31 1.57 1.66 1.87 16 1.18 1.31 1.57 1.67 1.87 20 1.18 1.32 1.58 1.67 1.88 21 1.18 1.32 1.58 1.68 1.88 22 1.19 1.32 1.58 1.68 1.89 27 1.19 1.32 1.58 1.68 1.90 28 1.19 1.32 1.59 1.69 1.90 32 1.19 1.33 1.59 1.69 1.90 36 1.19 1.33 1.59 1.69 1.91 38 1.20 1.33 1.59 1.69 1.91 40 1.20 1.33 1.59 1.70 1.91 > 41 1.22 1.36 1.63 1.73 1.95 45222_Terveer_griffleiste.indd 121 06.09.2019 11: 44: 43 <?page no="122"?> 45222_Terveer_griffleiste.indd 122 06.09.2019 11: 44: 43 <?page no="123"?> R-Befehle 15 R-Befehle Die Erläuterungen wurden - soweit verfügbar und ggf. gekürzt - der R-Dokumentation entnommen. 15.1 Objekte und Objekteigenschaften m o d e (x ) # G et/ set ty p e / stora g e m o d e of an o bje ct le n gth (x) # G et/ set the le n gth of a R o bje ct cla s s (x) # retrie v e s th e cla ss of o bje ct x attrib ute s ( o bj) # a c c e s s an o bject ’ s attrib ute s . s u m m ary ( o bjekt ,...) # pro d u c e s re s ult s u m m arie s for v ario u s m o d el fittin g fu n ctio n s . plot(x ,y ,...) # plottin g of R o bje cts . as . < Class >( o bje ct) # c o ercin g an o bje ct to a giv e n < Class > , e . g . as . n u m eric , ... is . < Class >( o bje ct) # te sts w h eth er o bje ct ca n be tre ate d as fro m < Class > 15.2 Vektoren, Matrizen und Arrays le n gth (x) # G et or set the le n gth of v e ctors (in clu din g lists ) a n d fa ctors c (...) # c o m bin e s its arg u m e nts to for m a v e ctor. c bin d (...) # C o m bin e arg u m e nts by c olu m n s rbin d (...) # C o m bin e arg u m e nts by ro w s x: y # G e n erate re g ular s e q u e n c e s , e . g . 1: 4 2 a: b # for factors , e q uiv ale nt to intera ctio n (a , b ) se q (fro m = 1 , to = 1 , by = ((to fro m )/ (le n gth . o ut - 1)), ...) # G e n erate re g ular s e q u e n c e s . re p (x , ...) # re p re plic ate s th e v alu e s in x. n a m e s (x) # g et or set th e n a m e s of an o bje ct fa ctor (x ,...) # e n c o d e a v e ctor as a fa ctor arra y ( d ata = NA , dim = le n gth ( d ata ), di m n a m e s = N U L L ) # C re ate s or te sts for arra y s . dim (x) # R etrie v e / set di m e n sio n of an o bje ct. m atrix ( d ata = NA , nro w = 1 , n c ol = 1 , b yro w = F A L S E , di m n a m e s = N U L L ) # cre ate s a m atrix . 45222_Terveer_griffleiste.indd 123 06.09.2019 11: 44: 44 <?page no="124"?> 124 15 R-Befehle 15.3 Mathematische Funktionen sin (x), cos (x), ta n (x) # trig . fu n ctio n s , in v ers e a < xxx > exp (x) # c o m p ute s th e e x p o n e ntial fu n ctio n log (x , b a s e = exp (1)) # lo g arith m s qrt(x) # c o m p ute s the s q u are ro ot of x a bs (x) # c o m p ute s th e a b s olute v alu e of x fa ctorial(x) # x! for non n e g ativ e inte g er x g a m m a (x) # G a m m a - F u n ctio n + x # return s a n u m eric or c o m ple x v e ctor x # return s a n u m eric or c o m ple x v e ctor x + -*/ ^ y # ele m e nt w is e o p eratio n s x % / % y # inte g er divisio n of x by y c o n d 1 & & c o n d 2 # lo gic al A N D . || for O R . ! ( c o n d ) # lo gic al n e g atio n xor ( cond1 , c o n d 2 ) # lo gic al X O R 15.4 Matrixoperationen x % * % y # m ultiplie s c o nfor m a ble m atric e s d et(x) # c alc ulate s th e d eter m in a nt of a m atrix s olv e (a , b ) # s olv e s th e e q u atio n a % * % x = b . s olv e ( a ) # in v ers e of m atrix a eig e n (x , sy m m etric , o nly . v alu e s = F A L S E , EIS P A C K = F A L S E ) # a list with eig e n v alu e s ... $ v alu e s an d eig e n v e ctors ... $ v e ctors svd (x , nu = min (n , p ), nv = min (n , p ), LI N P A C K = F A L S E ) # sin g ular v alu e d e c o m p o sitio n of a re cta n g ular m atrix 15.5 Numerische Integration inte grate (f, lo w er , upper , ..., s u b divisio n s = 10 0 L , rel. tol = . M a c hin e $ d o u ble . e ps ^0.2 5 , a bs .tol = rel.tol , sto p . on . error = T R U E , k e e p . xy = F A L S E , a ux = N U L L ) # A d a ptiv e n u m eric inte gratio n fu n ctio n s of o n e v aria ble 15.6 Lineare Optimierung b o ot: : si m ple x (a , A1 = N U LL , b1 = N U LL , A2 = N U LL , b2 = N U LL , A3 = N U LL , b3 = N U LL , ...) # o pti m iz e s a % * % x s u bje ct to A1 % * % x <= b1 , A2 % * % x >= b2 , A3 % * % x = b3 , x >= 0. lp S olv e : : lp ( dire ctio n = " min ", o bje ctiv e .in , c o n st. mat , c o n st. dir , c o n st.rhs , ...) # Interfa c e to lp \ _ s olv e lin e ar/ inte g er pro gra m m in g s y ste m 45222_Terveer_griffleiste.indd 124 06.09.2019 11: 44: 46 <?page no="125"?> R-Befehle 15.8 Deskriptive Statistik 125 15.7 Datenerzeugung, -import und -export list (...) # c o n stru cts a list; arg u m e nts are of th e for m < value > or < ta g n a m e > = < value >. a[i] # e xtra cts / re pla c e s ith p art of list/ v e ctor a [[i]] # e xtra cts / re pla c e s ith p art of list/ v e ctor w hile dro p pin g its n a m e a $ < ta g n a m e > # e xtra ct/ re pla c e v alu e of <tn > in list d ata .fra m e (...) # cre ate s d ata fra m e s ; arg u m e nts are of th e for m < value > or <tag > = < value > a $ <tn > # V e ctor of attrib ute v alu e s w .r.t. <tn > a [ < b o olv e ctor > ,] # s ele cts ro w s in d ata fra m e a c orre s p o n din g to < b o olv e ctor >. atta c h ( < na m e >) # < na m e > is atta c h e d to th e R s e arc h p ath d eta c h ( < na m e >) # < na m e > is re m o v e d fro m th e R s e arc h p ath re a d .ta ble (file , ...) # cre ate s a d ata fra m e fro m fro m a file in ta ble for m at. re a d . csv (file ,...) # R e a d s a file in csv -for m at. re a d . csv 2 if a c o m m a is u s e d as d e ci m al p oint a n d a s e m ic olo n as field s e p arator . w rite .ta ble (x , file = "", ...) # prints d ata fra m e x to a file or c o n n e ctio n . w rite . csv (x ,file = "" ,...) # prints d ata fra m e x to a csv file . w rite . csv 2 : see re a d . csv 15.8 Deskriptive Statistik ta ble (...) # u s e s th e cross cla s sifyin g fa ctors to b uild a c o ntin g e n c y ta ble of th e c o u nts at e a c h c o m bin atio n of fa ctor le v els . fta ble (...) # C re ate ’flat ’ c o ntin g e n c y ta ble s . s u m m ary ( o bject , ...) # g e n eric fu n ctio n u s e d to pro d u c e re s ult s u m m arie s of the re s ults of v ario u s m o d el fittin g fu n ctio n s . cut(x , breaks , la b els = N U LL ,...) # divid e s th e ra n g e of x into interv als a nd c o d e s it a c c ordin gly . m ax (..., na .rm = F A L S E ) # R eturn s th e m a xi m a of th e in p ut v alu e s . min (..., na .rm = F A L S E ) # R eturn s th e m ini m a of th e in p ut v alu e s . m e a n (x , tri m = 0 , na .rm = F A L S E , ...) # G e n eric fu n ctio n for th e ( tri m m e d ) arith m etic m e a n . m e dia n (x , na .rm = F A L S E ) # C o m p ute th e s a m ple m e dia n . q u a ntile (x , pro b s = se q (0 , 1, 0.2 5) , na .rm = F A L S E , n a m e s = T R U E , ty p e = 7 , ...) # ro d u c e s s a m ple q u a ntile s c orre s p o n din g to th e giv e n pro b a bilitie s . sd (x , na .rm = F A L S E ) # c o m p ute s the sta n d ard d e viatio n of th e v alu e s in x. 45222_Terveer_griffleiste.indd 125 06.09.2019 11: 44: 47 <?page no="126"?> 126 15 R-Befehle var (x , y = N U LL , na .rm = F A L S E , use ) # c o m p ute th e s a m ple v aria n c e of x. if y is a vector , cov (x ,y) is c o m p ute d . e c df(x) # C o m p ute an e m piric al c u m ulativ e distrib utio n fu n ctio n of n u m eric v e ctor. in e q : : Lc (x , n = rep (1 ,le n gth (x)), plot = F A L S E ) # C o m p ute s th e ( e m piric al) ordin ary a n d g e n eraliz e d L ore n z c urv e of a v e ctor x in e q : : Gini(x , c orr = F A L S E , na .rm = T R U E ) # c o m p ute s th e Gini c o efficie nt. cov (x , y = N U LL , use = " e v erythin g ", m eth o d = c(" p e ars o n ", " k e n d all", " s p e ar m a n ")) # c o m p ute s s a m plin g c o v aria n c e follo w in g th e giv e n m eth o d cor (x , y = N U LL , use = " e v erythin g ", m eth o d = c(" p e ars o n ", " k e n d all", " s p e ar m a n ")) # c o m p ute s c o v aria n c e follo w in g the giv e n m eth o d 15.9 Explorative Statistik, Grafische Illustration plot(x , y , ...) # G e n eric plottin g of R o bje cts . b arplot ( h eig ht , h oriz = F A L S E ...) # C re ate s a b ar plot with v ertic al or h oriz o ntal b ars . pie (x , la b els = n a m e s (x), ...) # D ra w pie c h art hist(x ,...) # c o m p ute s histo gra m of d ata v alu e s x b o x plot (x , ...) # P ro d u c e box and w his k er plot(s) of th e giv e n ( gro u p e d ) v alu e s . V aria nt: b o x plot (y ~ x ,...) c o m p ute s b o x plots of y gro u p e d by fa ctor x. jitter (x , fa ctor = 1 , a m o u nt = N U L L ) # A d d a s m all a m o u nt of n ois e to a n u m eric v e ctor. M A S S : : p arc o ord (x , col = 1 , lty = 1 , var.la b el = F A L S E , ...) # a p arallel c o ordin ate s plots of m atrix / d ata fra m e x is dra w n . dist(x ,...) # c o m p ute s the dista n c e m atrix of x h clu st(d , m eth o d = " c o m plete ", m e m b ers = N U L L ) # H ierarc hic al clu ster a n aly sis on a set of dis si m ilaritie s a n d m eth o d s for a n aly zin g it. c utre e (tree , k = N U LL , h = N U L L ) # C uts a tree , e . g., as re s ultin g fro m hclust , into s e v eral gro u p s eith er by s p e cifyin g th e d e sire d n u m b er (s) of gro u p s or th e cut h eig ht(s ). k m e a n s (x , ce nters , iter. m ax = 10 , n start = 1 , alg orith m = c (" H artig a n - W o n g ", " Llo y d ", " F org y ", " M a c Q u e e n "), tra c e = F A L S E ) # P erfor m k m e a n s clu sterin g on a d ata m atrix . c m d s c ale (d , k = 2 , eig = F A L S E , ad d = F A L S E , x.ret = F A L S E , list. = eig || a dd || x.ret) # C la s sic al m ultidi m e n sio n al s c alin g ( M D S ) of a d ata m atrix . Als o k n o w n as prin cip al c o ordin ate s a n aly sis ( G o w er , 1 9 6 6). rp art: : rp art(for m ula , data ,...) # c o n stru cts a C A R T follo w in g B rei m a n ( C la s sific atio n a n d R e gre s sio n Tre e s (1 9 8 4) , W a d s w orth ). 45222_Terveer_griffleiste.indd 126 06.09.2019 11: 44: 49 <?page no="127"?> R-Befehle 15.11 Grafikfunktionen 127 tre e : : tre e (for m ula , data ,...) # c o n stru cts a C A R T , r ei m ple m e ntatio n of S fu n ctio n tre e . 15.10 Schließende Statistik d e n sity (x ,...) # c o m p ute s k ern el d e n sity e sti m ate s . q q plot(x ,y ,...) # pro d u c e s a Q Q plot of tw o d ata s ets q q n or m (y ,...) # pro d u c e s a n or m al Q Q plot of th e v alu e s in y stats 4 : : mle ( m in u slo gl , start = for m als ( m in u slo gl), m eth o d = " B F G S ", fix e d = list (), nobs , ...) # E sti m ate p ara m eters by th e m eth o d of m a xi m u m lik elih o o d . lm (for m ula , data , ...) # is u s e d to fit lin e ar m o d els . F or g e n eraliz e d lin e ar m o d els , e . g . lo gistic re gre ssio n , use glm (...) 15.11 Grafikfunktionen p ar (..., no . re a d o nly = F A L S E ) # u s e d to set or q u ery gra p hic al p ara m eters . plot(x , y , ...) # G e n eric fu n ctio n for plottin g of R o bje cts . c urv e ( expr , fro m = N U LL , to = N U LL , n = 101 , ...) # D ra w s a c urv e c orre s p o n din g to a fu n ctio n o v er th e interv al [ fro m , to ]. c urv e can plot als o an e x pre s sio n in th e v aria ble xna m e , d efa ult x. p ers p (x , ...) # dra w s p ers p e ctiv e plots of a s urfa c e o v er th e x -y pla n e . p ers p is a g e n eric fu n ctio n . c o nto ur (x ,...) # C re ate a c o nto ur plot , or a d d c o nto ur lin e s to an e xistin g plot. a blin e ( a = N U LL , b = N U LL , ...) # a d d s o n e or m ore straig ht lin e s thro u g h th e c urre nt plot. grid ( nx = N U LL , ny = nx , ...) # a d d s an nx by ny re cta n g ular grid to an e xistin g plot. p oints (x , y = N U LL , ty p e = " p ", ...) # dra w s a s e q u e n c e of p oints . lin e s (x , y = N U LL , ty p e = "l", ...) # A g e n eric fu n ctio n ta kin g c o ordin ate s giv e n in v ario u s w a ys a nd joinin g th e c orre s p o n din g p oints with lin e s e g m e nts . ru g (x , tic k siz e = 0.03 , sid e = 1 , lw d = 0.5 , col = p ar("fg " ), q uiet = g et O ptio n (" w arn ") < 0 , ...) # A d d s a ru g re pre s e ntatio n (1 d plot) of the d ata to th e plot. rgl: : plot3 d (x , y , z ,...) # D ra w s a 3 D s c atterplot. ste pfu n (x , y , f = as . n u m eric ( rig ht), tie s = " ord ere d ", rig ht = F A L S E ) # return s an interp olatin g ste p fu n ctio n w .r.t. x ,y 45222_Terveer_griffleiste.indd 127 06.09.2019 11: 44: 50 <?page no="128"?> 128 15 R-Befehle 15.12 Programmierung F U N <-fu n ctio n ( arglist ) e x pr # d efin e s a fu n ctio n F U N if ( < cond >) < e x pre s sio n > # c o n ditio nin g if ( < cond >) < e x pre s sio n > els e < alt. expr > # c o n ditio nin g with altern ativ e ifels e (test , yes , no ) # c o n ditio nin g with altern ativ e s witc h ( E X P R , ...) # e v alu ate s E X P R a nd a c c ordin gly c h o o s e s o n e of th e furth er arg u m e nts (in ...). for ( < var > in < seq >) < e x pre s sio n > # lo o p with c o u nter < var > w hile ( < cond >) < e x pre ssio n > # w hile -lo o p with c o n ditio n re p e at < e x pre s sio n > # rep e at -lo o p bre a k # bre a k s a o ut of a for , w hile or re p e at lo o p n e xt # h alts the pro c e s sin g of the c urre nt iteratio n a n d a d v a n c e s th e lo o pin g in d e x V e ctoriz e ( FU N , v e ctoriz e . arg s = arg . na m es , S I M P LIF Y = T R U E , U S E . N A M E S = T R U E ) # cre ate s a fu n ctio n w ra p p er th at v e ctoriz e s th e a ctio n of its arg u m e nt F U N . a p ply (X , M A R GIN , FU N , ...) # R eturn s v e ctor/ arra y / list by a p plyin g F U N to m argin s of arra y / m atrix X . la p ply (X , FU N , ...) # return s a list of th e s a m e le n gth as X , e a c h ele m e nt of w hic h is the re s ult of a p plyin g F U N to the c orre s p o n din g ele m e nt of X . s a p ply (X , FU N , ...) # user frie n dly v ersio n / w ra p p er of la p ply by d efa ult returnin g a v e ctor or m atrix m a p ply ( FU N , ...) # a p plie s F U N to first/ s e c o n d etc . ele m e nts of e a c h ... arg u m e nt ta p ply (X , IN D E X , F U N = N U LL , ...) # A p ply a fu n ctio n to e a c h c ell of a ra g g e d arra y . by ( data , IN DIC E S , FU N , ...) # w ra p p er for ta p ply a p plie d to d ata fra m e s . o uter (X , Y , F U N = "*", ...) # O uter pro d u ct of arra y s X , Y w .r.t. fu n ctio n F U N s o urc e (file ,...) # c a u s e s R to a c c e pt its in p ut ( R - C o d e ) fro m n a m e d file or U R L or c o n n e ctio n 15.13 Arbeiten mit Paketen, Hilfefunktionen h elp (topic ,...) # (? to pic ) interfa c e to h elp s y ste m s . h elp . s e arc h ( p attern , ..) # ( or ? ? p attern ) S e arc hin g th e h elp s y ste m for d o c u m e ntatio n m atc hin g a giv e n c h ara cter strin g in the (file ) na m e , alias , title , c o n c e pt or k e y w ord e ntrie s ( or a ny c o m bin atio n th ere of library ( p a c k a g e ) # ( a n d re q uire ( p a c k a g e )) lo a d a n d atta c h add on p a c k a g e s . d ata (...) # L o a d s s p e cifie d d ata sets , or list the a v aila ble d ata s ets . s o urc e (file ,...) # e v alu ate R c o d e fro m file 45222_Terveer_griffleiste.indd 128 06.09.2019 11: 44: 52 <?page no="129"?> Symbole und Abkürzungen Symbole und Abkürzungen f ′ ( x ) Ableitung der Funktion f an der Stelle x vgl. S. 49 f ′′ ( x ) zweite Ableitung der Funktion f an der Stelle x vgl. S. 52 f ( n ) ( x ) n -te Ableitung der Funktion f an der Stelle x | x | Absolutbetrag der reellen Zahl x vgl. S. 45 ∀ Allquantor: für alle x . . . bzw. ∀ x . . . A ⇔ B Äquivalenz: A ist genau dann wahr, wenn B wahr ist. arg max x ∈ D f ( x ) Argument des Maximums, Stelle x ∈ D, an der die Funktion f ihr Maximum annimmt. Sinngemäß: arg min x ∈ D f ( x ) B r ( x ) (auch B ( x, r )) offener Ball/ offene Kugel um x mit Radius r vgl. S. 25 BKS Bedingungen vom komplementären Schlupf vgl. S. 58 Be ( α, β ) Beta-Verteilung vgl. S. 79 Bild ( f ) Bild der Funktion f vgl. S. 16 ( n k ) Binomialkoeffizient vgl. S. 43 Bin ( n, p ) Binomialverteilung vgl. S. 73 B Borel’sche σ -Algebra, kleinste σ -Algebra über R, die alle Intervalle enthält vgl. S. 65 χ 2 ( n ) (Zentrale) Chi-Quadrat-Verteilung mit n Freiheitsgraden vgl. S. 77 CD Cobb-Douglas vgl. S. 51 CES Constant elasticity of substitution vgl. S. 52 D f Definitionsbereich der Funktion f vgl. S. 16 diag( . . . ) Diagonalmatrix vgl. S. 27 Df ( x ) Differential der Funktion f im Punkt x vgl. S. 48 dim(L) Dimension des UVR L vgl. S. 24 DE ( µ, λ ) Doppelexponentialverteilung, Laplace-Verteilung vgl. S. 76 I n Einheitsmatrix vgl. S. 27 e ( i ) Einheitsvektor vgl. S. 23 ¯1, ¯1 n Einsvektor vgl. S. 23 ∈ , ∈ x ist Element der Menge A bzw. x ∈ A 45222_Terveer_griffleiste.indd 129 06.09.2019 11: 44: 53 <?page no="130"?> 130 Symbole und Abkürzungen e eulersche Zahl, e = 2 , 71828 . . . vgl. S. 42 ∃ Existenzquantor: es gibt x . . . bzw. ∃ x . . . exp( x ) bzw. e x Exponentialfunktion vgl. S. 42 Exp ( λ ) Exponentialverteilung vgl. S. 75 F ( m, n ) (zentrale) F -Verteilung vgl. S. 78 n ! Fakultät der Zahl n vgl. S. 65 L ( X ) ∗ L ( Y ) Faltung der beiden Verteilungen, Summenverteilung der st.u. ZV X, Y vgl. S. 71 Z Menge der ganzen Zahlen vgl. S. 9 Γ( x ) Gamma-Funktion vgl. S. 45 Γ( λ, c ) Gamma-Verteilung vgl. S. 79 g.d.w. genau dann, wenn Geo ( p ) geometrische Verteilung vgl. S. 73 ∇ f ( x ) Gradient der Funktion f im Punkt x vgl. S. 48 ∗ = Gleichung setzt geordnete Daten, d.h. x 1 ≤ · · · ≤ x n voraus vgl. S. 61 G f Graph der Funktion f vgl. S. 37 lim n →∞ a n Grenzwert der Folge ( a n ) n ∈ N vgl. S. 32 lim x → x 0 f ( x ) Grenzwert der Funktion f ( x ) mit x → x 0 . Auch uneigentlich, d.h. für x 0 = ∞ verwendet vgl. S. 47 x größte ganze Zahl kleiner oder gleich x H f ( x ) Hesse-Matrix der Funktion f in x vgl. S. 52 Hyp ( M, K, n ) Hypergeometrische Verteilung vgl. S. 74 id Identität vgl. S. ? ? A ⇒ B Implikation: Aus A folgt B, d.h. wenn A wahr ist, dann ist auch B wahr. i.d.R. in der Regel 1 S ( x ) Indikatorfunktion der Menge S . Nimmt den Wert Eins an, wenn x ∈ S und Null sonst vgl. S. 45 inf Infimum vgl. S. 10 [ a ; b ] abgeschlossenes Intervall mit den Grenzen a und b vgl. S. 9 ] a ; b [ offenes Intervall mit den Grenzen a , b [ a ; b [, ] a ; b ] halbabgeschlossenes bzw. halboffenes Intervall mit den Grenzen a und b ∫ b a f ( x ) dx bestimmtes Integral von f in den Grenzen von a bis b vgl. S. 53 ∫ f ( x ) dx unbestimmtes Integral (Stammfunktion) der Funktion f vgl. S. 53 A − 1 Inverse der Matrix A vgl. S. 27 45222_Terveer_griffleiste.indd 130 06.09.2019 11: 44: 55 <?page no="131"?> Symbole und Abkürzungen Symbole und Abkürzungen 131 J f ( x ) Jacobi-Matrix der partiellen Ableitungen des Funktionsvektors f nach den Variablen des Vektors x , vgl. auch partielle Ableitung vgl. S. 48 A × B kartesisches Produkt der Mengen A , B ; Menge aller Vektoren ( x, y ) T ∈ R 2 bzw. Paare ( x, y ) mit x ∈ A und y ∈ B vgl. S. 13 M n n -faches kartesisches Produkt der Menge M ; Menge aller (Spalten- )Vektoren, deren Komponenten in M liegen vgl. S. 13 Kern ( A ) Kern der Matrix A : Lösungsmenge des homogenen LGS Ax = ¯0 vgl. S. 19 x kleinste ganze Zahl größer oder gleich x cor theoretische, empirische (Bravais-)Pearson-Korrelation oder Korrelationsmatrix„ auch mit ρ oder ρ P bezeichnet cos( x ) Kosinus der reellen Zahl x vgl. S. 44 A c Komplement der Menge A mit Bezug auf eine Obermenge M (meist R oder R n ). Alle Punkte, die nicht in A enthalten sind vgl. S. 10 cot( x ) Kotangens der reellen Zahl x vgl. S. 44 cov theoretische, empirische Kovarianz, oder Kovarianzmatrix ∅ bzw. {} leere Menge; Menge, die kein Element enthält vgl. S. 10 l.a. linear abhängig vgl. S. 23 l.u. linear unabhängig vgl. S. 23 LGS Lineares Gleichungssystem vgl. S. 19 LK Linearkombination vgl. S. 23 LM Lagrange-Multiplikator vgl. S. 58 log( x ),ln( x ) Logarithmus von x zur Basis e . Der Logarithmus zur Basis a ∈ R wird mit log a ( x ) bezeichnet vgl. S. 42 LN ( µ, σ 2 ) Lognormalverteilung vgl. S. 77 ( a (1) , . . . , a ( m ) ) Die aus den Spalten(-vektoren) a (1) , . . . , a ( m ) zusammengesetzte Matrix A . vgl. S. 23 A n Matrixpotenz, n -faches Produkt der Matrix A mit sich selbst vgl. S. 15 R m × n Menge der m × n -Matrizen vgl. S. 14 max Maximum vgl. S. 10 x ∨ y max( x, y ) vgl. S. 10 min Minimum vgl. S. 10 x ∧ y min( x, y ) vgl. S. 10 AB , A · B Produkt der Matrizen A , B . vgl. S. 15 45222_Terveer_griffleiste.indd 131 06.09.2019 11: 44: 56 <?page no="132"?> 132 Symbole und Abkürzungen N Menge der natürlichen Zahlen (ohne Null). N 0 bezeichnet Menge der natürlichen Zahlen inklusive Null, N k Menge der ganzen Zahlen ab k ∈ Z. vgl. S. 9 NB Nebenbedingung vgl. S. 57 N Bin ( r, p ) Negativ-Binomialverteilung vgl. S. 73 ‖ x ‖ euklidische Norm des Vektors x . vgl. S. 25 ‖ x ‖ ∞ Maximum-Norm des Vektors x . vgl. S. 25 ‖ x ‖ p p -Norm bzw. Minkowski-Norm des Vektors x . vgl. S. 25 N ( µ, σ 2 ) Normalverteilung vgl. S. 77 n f ( x 0 ) Nullstellenordnung von f in x 0 vgl. S. 41 ¯0, ¯0 n Nullvektor. Eine m × n -Matrix mit Nulleinträgen wird mit ¯0 m × n bezeichnet. vgl. S. 23 x ⊥ y Die Vektoren x und y sind orthogonal vgl. S. 25 P ar ( λ, c ) Pareto-Verteilung vgl. S. 76 ∂f ∂x , D i f ( x ) partielle Ableitung der Funktion f nach der ( i -ten) Variablen x , vgl. auch Jacobi-Matrix vgl. S. 48 ∂f ∂x ∣∣ x = x (0) Einsetzen von x = x (0) in den Ausdruck ∂f ∂x π Kreiskonstante „Pi“, π = 3 , 1415926 . . . vgl. S. 44 P oi ( λ ) Poisson-Verteilung vgl. S. 74 P (Ω) Potenzmenge, Menge aller Teilmengen von Ω vgl. S. 65 ∂A Rand der Menge A vgl. S. 26 Q Menge der rationalen Zahlen vgl. S. 9 Re ( a, b ) Rechteckverteilung, stetige Gleichverteilung vgl. S. 75 R Menge der reellen Zahlen vgl. S. 9 A \ B relatives Komplement vgl. S. 10 Df ( x, d ) Richtungsableitung der Funktion f im Punkt x in Richtung d vgl. S. 50 ≈ Runden einer Zahl auf eine bestimmte Anzahl von Nachkommastellen. Im Zusammenhang mit Grenzwerten bedeutet x ≈ x 0 , dass x im Sinne des Grenzwertes „beliebig nahe“ bei x 0 liegt. A ∩ B Schnitt(menge) der Mengen A und B vgl. S. 10 sgn( x ) Signum der reellen Zahl x , gibt das Vorzeichen von x an bzw. 0, wenn x = 0. vgl. S. 45 sin( x ) Sinus der reellen Zahl x vgl. S. 44 〈 x, y 〉 Skalarprodukt der Vektoren x und y vgl. S. 25 R n Menge d. Spaltenvektoren über R vgl. S. 13 45222_Terveer_griffleiste.indd 132 06.09.2019 11: 44: 58 <?page no="133"?> Symbole und Abkürzungen Symbole und Abkürzungen 133 SEL ( y | x ) Substitutionselastizität zwischen y und x vgl. S. 51 GRS ( y | x ) Substitutionsgrenzrate zwischen y und x vgl. S. 51 n ∑ i =1 a i Summe der Folgenglieder a 1 ,. . . , a n vgl. S. 31 ∑ i = k a i Summe der Folgenglieder a i mit Folgenindex ungleich k . Statt i = k kann auch ein anderer logischer Ausdruck verwendet werden, z.B. i ∈ M mit M ⊆ N. sup Supremum vgl. S. 10 A ∆ B symmetrische Differenz der Mengen A, B vgl. S. 10 t ( n ) (zentrale) t -Verteilung vgl. S. 78 tan( x ) Tangens der reellen Zahl x vgl. S. 44 ⊆ , ⊇ A ist Teilmenge von B bzw. A ⊆ B (alternativ B ist Obermenge von A bzw. B ⊇ A ) vgl. S. 10 ⊂ , ⊃ A ist echte Teilmenge von B bzw. A ⊂ B (alternativ B ist echte Obermenge von A bzw. B ⊃ A ) vgl. S. 10 A T Transponierte der Matrix A vgl. S. ? ? ∞ Unendlich ∞ ∑ i =1 a i unendliche Reihe der a i vgl. S. 33 ≤ , < , ≥ , > Ungleichungsbeziehungen zwischen reellen Zahlen vgl. S. 9 UVR Untervektorraum vgl. S. 24 A ∪ B Vereinigung(smenge) der Mengen A und B vgl. S. 10 f ◦ g Verkettung der Funktionen f und g vgl. S. 17 L ( X ) Verteilung der ZV X („Law“) vgl. S. 66 Φ( x ) Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung vgl. S. 77 P ( A ) Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A , mit ZV X ist P ( X ∈ B ) = P ( X − 1 ( B )) vgl. S. 65 W ei ( λ, c ) Weibull-Verteilung vgl. S. 79 W f Wertebereich der Funktion f vgl. S. 16 ZSF Zeilenstufenform vgl. S. 19 R n Menge d. Zeilenvektoren über R. Auch: geordnete n -Tupel vgl. S. 13 ZUF Zeilenumformung(en) vgl. S. 19 ZA Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile vgl. S. 19 ZM Multiplikation einer Zeile mit einer Konstanten ungleich Null vgl. S. 19 ZV Zeilenvertauschung vgl. S. 19 ZV Zufallsvariable vgl. S. 66 45222_Terveer_griffleiste.indd 133 06.09.2019 11: 44: 59 <?page no="134"?> 134 Symbole und Abkürzungen Das griechische Alphabet 1 Kleinbuchstabe Großbuchstabe Aussprache α ( A ) Alpha β ( B ) Beta γ Γ Gamma δ ∆ Delta ε , ε ( E ) Epsilon ζ ( Z ) Zeta η ( H ) Eta θ , ϑ Θ Theta ι ( I ) Iota κ ( K ) Kappa λ Λ Lambda µ ( M ) Mü ν ( N ) Nü ξ Ξ Xi ( o ) ( O ) Omikron π Π Pi ρ , P Rho σ Σ Sigma τ ( T ) Tau υ Υ Ypsilon φ , ϕ Φ Phi χ ( X ) Chi ψ Ψ Psi ω Ω Omega 1 Einige Buchstaben entsprechen der lateinischen Schreibweise (teilweise auch anderer Buchstaben) und werden daher in Formeln nicht verwendet, was durch Klammerung gekennzeichnet wird. 45222_Terveer_griffleiste.indd 134 06.09.2019 11: 45: 00 <?page no="135"?> Index abbrechende Dezimalzahl 9 Ablehnungsbereich 81 Ableitung 49 implizite 51 partielle 48 2. Ordnung, 52 Richtungs- 50 zweite 52 Absolutbetrag 45 absolute Häufigkeit 61 Abstand City-Block- 25 euklidischer 25 Maximum- 25 Abszisse 37 Addition von Matrizen 15 von Vektoren 15 Additionstheoreme 44 aktive Nebenbedingung 58 Alternative 81 Assoziativgesetz der Matrixalgebra 27 der Mengenalgebra 10 Attribut 63 Aufspannen eines UVR 24 Barwert 36 Basis der Exponentialfunktion 42 eines UVR 24 vom Kern einer Matrix 24 Basisform 21 Basislösung 20 Basisspalte 21 einer Zeilenstufenform 19 Basisvariable 19, 21 Bayes-Formel 66 bedingte Verteilung 67 Bernoulli-Verteilung 72 beschränkt 32 nach oben 32 nach unten 32 bestimmte Divergenz 47 bestimmtes Integral 53 Bestimmtheitsmaß 89 Beta-Verteilung 79 Betrag 45 Bild einer Funktion 16 einer Matrix 24 Binomialkoeffizient 43, 65 verallgemeinert 35 Binomialtest 82 Binomialverteilung 73 Binomische Formel 43 Binomische Reihe 35 Bland-Regel 22 Blockmatrix 14 Bogenmaß 44 Borelσ -Algebra 65 Bravais-Pearson-Korrelation 63 Cauchy-Schwarz-Ungleichung 25 CES-Funktion 52 charakteristisches Polynom 29 Chi-Quadrat-Anpassungstest 83 Chi-Quadrat-Statistik 63 Chi-Quadrat-Test auf Unabhängigkeit 86 Chi-Quadrat-Varianztest 83 Chi-Quadrat-Verteilung 77 Cluster-Distanzmatrix 64 Cobb-Douglas-Funktion 43, 51 Cosinusreihe 35 Cramér’s V 63 Datenmatrix 14 de Morgan’sches Gesetz 10 Deckungsbeitragsfunktion 17 Definitheit 30 Determinantenkriterium für 30 Eigenwertkriterium 30 unter Nebenbedingungen 30 Determinantenkriterium, 30 Reduktionskriterium, 30 Definitionsbereich einer Funktion 16 Definitionslücke einer gebrochen-rationalen Funktion 40 hebbare, 41 45222_Terveer_griffleiste.indd 135 06.09.2019 11: 45: 00 <?page no="136"?> 136 Index Dekadischer Logarithmus 43 Determinantenkriterium für Definitheit 30 für eingeschränkte Definitheit 30 spezielles für n = 2 30 Dezimaldarstellung einer reellen Zahl 9 Diagonalmatrix 27 Dichtetransformation 67 Differenzenfolge 31 Dimension 24 disjunkt 10 Diskordanz 62 Diskriminante 40 Distanz (City-)Block- 63 average-lingage 64 centroid-linkage 64 complete-linkage 64 euklidische 63 Manhattan- 63 Minkowski- 63 single-linkage 64 Tschebyscheff- 63 Ward- 64 Distributivgesetz der Matrixalgebra 27 der Mengenalgebra 10 divergent 32 Doppelexponentialverteilung 76 Dreieck 11 Dreiecksmatrix 28 Dreiecksungleichung 25, 45 Dummy-Variable 91 Durchmesser einer Menge 25 eines Quaders 13 Maximum- 25 Dyadischer Logarithmus 43 e-Funktion 42 Ebene 24 Eigenraum 29 Eigenvektor 29 Eigenwert 29 Eigenwertkriterium 30 Einheitsmatrix 27 Einheitsspalte 21 Einheitsvektor 23 Einheitswürfel 13 Einstichprobenmodell 81 Einsvektor 23 Elastizität partielle 50 Elastizitätsgradient 50 Empirische Verteilungsfunktion 62 empirische Verteilungsfunktion 61 Endwert 36 Entropie 61 Envelope-Theorem 59 Ereignis 65 Gegen- 66 Komplementär- 66 relatives, 66 unmögliches 66 ertragsgesetzliche Funktion 40 Erwartungswert 71 erzeugende Funktion 34 Erzeugendensystem 24 Euler-Formel 51 eulersche Exponentialfunkion 42 eulersche Zahl 35, 42 ewige Rente 36 exogene Variablen 59 explizite Folge 31 Exponentialfunktion 42 Exponentialreihe 35 Exponentialverteilung 75 Extremum 38 F-Test 90 Kovarianzanalyse 92 Varianzanalyse 91 F-Verteilung 78 Faktorisierung eines Polynoms 39 Faktorregel 49 bestimmte Integrale 54 unbestimmte Integrale 53 Fakultät 65 Fall 63 Faltung 68, 71 fast alle 32 Feinheit einer Intervallzerlegung 53 Folge 31 divergente 32 explizite 31 ganzrationale 33 gebrochen-rationale 33 implizite 31 konvergente 32 monoton fallende 31 monoton wachsende 31 rekursive 31 streng monoton fallende 31 streng monoton wachsende 31 45222_Terveer_griffleiste.indd 136 06.09.2019 11: 45: 01 <?page no="137"?> Index 137 Folgenglied 31 Folgenindex 31 Folgenterm 31 Funktion 16 antitone 37 bijektive 17 differenzierbare 49 einwertige 16 ertragsgesetzliche 40 homogene 51 implizite 51 injektive 17 isotone 37 konkave 38, 52 konvexe 38, 52 kubische 40 linear homogene 51 mehrwertige 16 monoton fallende 37 monoton wachsende 37 Riemann-integrierbare 54, 55 stetige 48 streng antitone 37 streng isotone 37 streng konkave 38 streng konvexe 38 surjektive 17 umkehrbare 17 vektorwertige 16 Funktionsterm 16 Gütefunktion 82 Gamma-Funktion 45 Gamma-Verteilung 79 Ganze Zahlen 9 Ganzzahlteil 9 Gaußtest Einstichprobentest 82 Zweistichprobentest 84 gebrochen-rationale Funktion 40 Geometrische Reihe 34, 35 Geometrische Summe 34 geometrische Verteilung 73 geordnetes Paar 13 Gerade 24 Gesetz großer Zahlen schwaches 69 starkes 69 Gewinnfunktion 17 Gini-Differenz 62 Gini-Koeffizient 62 gleichseitiges Dreieck 11 Gleichungsmatrix 19 Glivenko-Cantelli Satz von 69 Grad einer ganzrationalen Folge 33 eines Polynoms 39 Gradient 48 Gradmaß 44 Graph 37 Grenzwert einer Folge 32 einer Funktion 47 Grenzwertsätze für Folgen 32 für Funktionen 47 Grundraum 65 Häufigkeit absolut 61 relativ 61 Hauptachsentransformation 29 Hauptdiagonale 27 Hauptminor 30 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 54 Hauptuntermatrix 30 Hesse-Matrix 52 Hinreichende Bedingung für lokales Extremum 38 homogenes LGS 19 Homogenitätsgrad 64 Horner-Schema 41 hypergeometrische Verteilung 74 Hypothese 81 Identität 17 implizite Ableitung 51 Folge 31 Form der Kapitalentwicklung 35 Funktion 51 inaktive Nebenbedingung 58 indefinit 30 Indexverschiebung 31 Indikatorfunktion 45 inhomogenes LGS 19 innerer Punkt 26 Input-Output-Matrix 14 Integral bestimmtes 53 Doppel- 55 Mehrfach- 54 unbestimmtes 53 uneigentliches 54 interner Zinsfuß 36 Inverse Matrix 27 45222_Terveer_griffleiste.indd 137 06.09.2019 11: 45: 01 <?page no="138"?> 138 Index Invertierbare Matrix 27 irrationale Zahl 9 isoliert 66 Jacobi-Matrix 48 Jensen-Ungleichung 68 Jordan-Menge 55 künstliche Variable 22 Kapitalwert 36 kartesisches Produkt 13 Kendall’s tau-a 63 Kendall’s tau-b 63 Kendall’s tau-c 63 Kern einer Matrix 19 Kettenregel 49 Koeffizient Matching 64 Similarity 64 Koeffizient einer LK 23 Koeffizientenmatrix 19 Koeffizientenvergleich bei Polynomen 40 Kolmogoroff-Smirnoff-Test 84 Kombination 65 Kommutativgesetz der Matrixalgebra 27 der Mengenalgebra 10 komparative Statik 59 Komplement 10 relatives 10 komplementärer Schlupf 58 Komponente eines Tupels 13 konkave Funktion 52 Konkordanz 62 Kontingenzindex 63 Kontingenztafel 62 konvergent 32 konvexe Funktion 52 Menge 23 Koordinaten einer Linearkombination 23 eines Tupels 13 Koordinatenfolgen 31 Koordinatenfunktion 48 Koordinatensystem 37 Korrelation 69 Kostenfunktion 17 Kovarianz 69 Kovarianzanalyse 91 Kovarianzmatrix 70 Kreis 12 Kreisringsektor 56 Kreissektor 12 kritischer Bereich 81 kritischer Punkt 57, 58 kubische Funktion 40 Kugeloffene 25 Kuhn-Tucker-Bedingungen 58 Kurtosis 69 Lösungsmenge eines LGS 19 Lagrange-Funktion 58 Lagrange-Multiplikatoren 58 Laplace-Verteilung 76 leere Menge 10 Leitkoeffizient eines Polynoms 39 Leontief-Modell 14 linear abhängig 23 linear unabhängig 23 Lineare Differenzengleichung erster Ordnung 34 lineare Funktion einer Variablen 39 lineare Hülle 24 lineares Optimierungsproblem 21 Linearform 39, 40 Linearkombination 23 konvexe 23 Logarithmus 42 Logarithmusreihe 35 Lognormalverteilung 77 lokales Minimum 57 unter NB 58 LOP 21 Lorenz-Konzentration 62 Lorenzkurve 62 Majorantenkriterium 33 Markoff-Ungleichung 68 Matching-Koeffizient 64 Matrix 14 indefinite 30 invertierbare 27 negativ definite 30 negativ semidefinite 30 positiv definite 30 positiv semidefinite 30 reguläre 27 singuläre 27 symmetrische 29 45222_Terveer_griffleiste.indd 138 06.09.2019 11: 45: 02 <?page no="139"?> Index 139 Matrixaddition 15 Matrixpotenz 15 Matrixprodukt 15 Maximum einer Menge 10 globales 38 lokales 38 Maximum-Likelihood-Schätzer 71 Median 71 Mehrfachintegral 54 Menge abgeschlossene 26 beschränkte 26 kompakte 26 offene 26 Merkmal 63 messbarer Raum 65 Minimum einer Funktion 57 unter NB, 58 einer Menge 10 globales 38 lokales 38 Mittel arithmetisches 61 geometrisches 61 harmonisches 61 Mittlere absolute Medianabweichung 62 Modus 61 Moment nichtzentrales 69 standardisiertes 69 zentrales 69 Monom 39 n -Tupel 13 Nachfragefunktion 17 nachschüssige Rechnung 35 Natürliche Zahlen 9 Natürlicher Logarithmus 43 Negativbinomialverteilung 73 negative Zahl 9 Newton-Verfahren 37 Nichtbasisvariable 21 Niveaumenge 50 Norm 25 p -Norm 25 City-Block- 25 Maximum- 25 Minkowski- 25 Normalform einer kub. Funktion 40 einer linearen Funktion 39 einer quadr. Funktion 40 eines Polynoms 39 Normalgebiet 56 Normalgleichungen 26 Normalverteilung 77 Notwendige Bedingung für lokales Extremum 38 Nullfolge 32 Nullhypothese 81 Nullstelle 37 Nullvektor 23 Nullverteilung 81 Oberes Stichprobenquartil 61 ökonom. Definitionsbereich 9 Optimalwertfunktion 59 Ordinate 37 Ordinatenabschnitt 37 orthogonal 25 orthonormal 25 paarweise disjunkt 10 Parallelogramm 12 Paretoverteilung 76 Partialbruchzerlegung 41 partiell differenzierbar 48 Partielle Integration bestimmte Integrale 54 unbestimmte Integrale 53 Partition 64, 65 periodische Dezimalzahl 9 Permutation 65 Pfadregel 66 Phasenverschiebung 44 Pivotelement 20 Pivotspalte einer Basisform 21 einer Zeilenstufenform 19 Pivotstelle 19 Pivotstellen 20 Pivotvariable 19 Poisson-Verteilung 74 Polstelle mit Vorzeichenwechsel 41 ohne Vorzeichenwechsel 41 Polygon 12 Polynom charakteristisches 29 normiert 39 positiv definit 30 unter Nebenbedingung 30 positiv semidefinit 30 positive Zahl 9 Potenzfunktion 43 45222_Terveer_griffleiste.indd 139 06.09.2019 11: 45: 03 <?page no="140"?> 140 Index Potenzmenge 65 Potenzreihe 34 Produktionsfunktion 17 Produktregel 49 Projektion 26 Punkt-Steigungs-Form 39 Punktfolge 31 pythagoreische Mittel 61 Quader 13 Quadrat 11 quadratische Funktion einer Variablen 40 Quantil 71 Quantilfunktion 69 Quartilmitte 61 Quotientenkriterium 33 Quotientenregel 49 Rand 26 Randverteilung 67 Rang 19, 62 Rationale Zahlen 9 Rechteck 12 Rechteckverteilung 75 Rechter Winkel 10 rechtwinkliges Dreieck 11 Reduktionskriterium 30 reduzierte 40 Reelle Zahlen 9 Regel von L’Hospital 47 Regression einfache lineare 87 KQ-Schätzung 87 polynomial 87 quadratische 87 Reihe 33 Relation 16 relative Häufigkeit 61 Rente n -malig 36 ewige 36 Rentenbarwert 36 Rentenendwert 36 Residuum 89 Richtung des steilsten Anstiegs 50 Richtungsableitung 50 Richtungselastizität 50 Richtungskrümmung 52 Sarrus-Regel 28 Satz von Kuhn-Tucker 59 Schattenpreis 59 Scheitelpunkt 40 Scheitelpunktform 40 Schiefe 69 Schlupfvariable 21 Schnittmenge 10 Schwellenwert 81 Siebformel 65, 66 Sigma-Algebra 65 Similarity-Koeffizient 64 singulär 27 Sinusreihe 35 Skalar 15 skalare Multiplikation von Matrizen 15 Skalarprodukt 25 Slater-Bedingung 59 Spaltenraum 24 Spaltenvektor 13 Spearman-Korrelation 63 stabile Verteilung 16 Stammfunktion 53 Standardabweichung empirisch 62 theoretische 69 Standardfehler 87 Standardform eines LOP 21 Startkapital 35 stationäre Verteilung 16 statistischer Test 81 Stelle 9 Stetige Gleichverteilung 75 stetige Verzinsung 35 Stichprobenkovarianz 63 Stichprobenmedian 61 Stichprobenquantil 61 Stichprobenstreuung 62 Stirling-Formel 65 stochastischer Vektor 16 Strahlensätze 11 Streuungszerlegung 89 strikt negative Zahl 9 strikt positive Zahl 9 Substitutionselastizität 51 Substitutionsgrenzrate 51 Substitutionsregel bestimmte Integrale 54 mehrdimensionale 55 unbestimmte Integrale 53 Summenfolge 31 Summenregel 49 bestimmte Integrale 54 unbestimmte Integrale 53 symmetrisch 29 symmetrische Differenz 10 45222_Terveer_griffleiste.indd 140 06.09.2019 11: 45: 03 <?page no="141"?> Index 141 t-TestEinstichprobentest 83 für Regressionsparameter 90 Zweistichprobengleiche Varianzen, 85 Welch-, 85 t-Verteilung 78 Tangente 50 Taylor-Entwicklung 52 Teilmenge 10 Test zum Niveau α 82 Teststatistik 81 Träger 66 Transposition 15 Trapez 12 Trigonometrischer Pythagoras 44 Tripel 13 Tschebyscheff-Ungleichung 69 u.i.v.-Folge 67 Übergangsmatrix 14 Umkehrfunktion 17 Umsatzfunktion 17 unabhängig stochastisch 66 unbestimmtes Integral 53 in zwei Variablen 56 uneigentliches Integral 54 unkorreliert 69 Unteres Stichprobenquartil 61 Unterjährige Verzinsung 35 Untervektorraum 24 Urbild 16 Ursprung 37 Varianz 71 Grundgesamtheits- 62 Stichproben- 62 theoretische 69 Varianzanalyse 90 Vektoraddition 15 Vereinigungsmenge 10 Verflechtungsmatrix 14 Verkettung 17 Verteilung 16 multivariate 67 Verteilungsfunktion 66, 71 Vielfachheit der Nullstelle eines Polynoms 41 Vollkreis 12 Volumen einer Kugel 25 Volumen (Quader) 13 Vorzeichenfunktion 45 Würfel 13 Wahrscheinlichkeit bedingte 66 totale 66, 68 Wahrscheinlichkeitsmaß 65 Weibull-Verteilung 79 Wendestelle 39 Wertebereich 16 Wilcoxon-Test 85 Wurzel einer positiven Zahl 43 eines Polynoms 40 Zeilenstufenform 19 Zeilenumformungen 19 Zeilenvektor 13 Zellhäufigkeit absolut 62 relativ 62 Zentraler Grenzwertsatz 69 Zentroid 63 Zinsfaktor 35 Zinsfuß 35 interner 36 ZUF 19 Zufallsvariable 66 diskrete 66 multivariate 66 stetig 67 univariate 66 Verteilung einer 66 Zufallsvektor 66 zulässiger Punkt 57 Zweistichprobenmodell 81 45222_Terveer_griffleiste.indd 141 06.09.2019 11: 45: 04 <?page no="142"?> www.utb-shop.de Mit Einblicken in die Marketingpraxis Elisabeth Fröhlich, Sascha Lord, Kristina Steinbiß, Torsten Weber Marketing Theorie und Praxis 2018, 230 Seiten, Broschur ISBN 978-3-8252-4990-8 Marketing ist allgegenwärtig! Es begegnet Ihnen im Supermarkt, in Onlineshops und in sozialen Medien. Doch was steckt konkret hinter dem Marketing und wie gestalten Unternehmen es erfolgreich? Auf diese und weitere Fragen geht das Buch im Detail ein. Zu Beginn vermittelt es Grundlagen zum Konsumentenverhalten, zum Kaufprozess und zur persönlichen Kaufentscheidung. Vor diesem Hintergrund erläutert es Ziele und Maßnahmen der strategischen Marketingplanung. Darauf aufbauend präsentiert es Aspekte einer operativen Marketingplanung und diskutiert die Marken-, Produkt-, Distributions-, Kommunikationssowie Preispolitik ausführlich. Marketingprofis geben Einblicke in die Praxis. Ein Best-Practice-Beispiel mach das Gelernte schnell (be)greifbar. 45222_Terveer_griffleiste.indd 142 06.09.2019 11: 45: 05 <?page no="143"?> www.uvk-lucius.de/ schritt-fuer-schritt Keine Angst vor Excel Wer an Excel denkt, denkt oft an komplizierte Tabellen, Formeln und Funktionen. Viele schrecken davor zurück. Doch jeder Student der Wirtschaftswissenschaften wird sich im Laufe seines Studiums mit Excel auseinandersetzen müssen - sei es im Rahmen von Seminarbzw. Bachelorarbeiten oder im Praktikum. Dieses Buch im Großformat trainiert die wichtigsten Grund- und Spezialfunktionen sowie die Darstellung von Graphiken. Zahlreiche Abbildungen, Merksätze und Beispiele helfen dabei sich in den Menüs zurechtzufinden. Durch Übungsaufgaben mit Lösungen sehen die Leser, wie mit Excel effektiv gearbeitet werden kann. Am Ende der Lernabschnitte haben sie die Gelegenheit ihr neues Wissen anzuwenden: Anhand einer Investitionsrechnung aus dem Grundstudium entwickeln sie selbstständig eine komplexe Excel-Lösung. Zur Überprüfung stehen Musterlösungen mit einer Schritt-für-Schritt-Anleitung zur Verfügung. Sebastian Prexl Excel für BWLer Schritt für Schritt Arbeitsbuch 2016, 200 Seiten, Broschur ISBN 978-3-8252-8640-8 € (D) 24,99 45222_Terveer_griffleiste.indd 143 06.09.2019 11: 45: 06 <?page no="144"?> Eine neue und innovative Sicht auf die BWL Wilhelm Schmeisser, Wolfgang Becker, Markus Beckmann, Alexander Brem, Peter P. Eckstein, Matthias Hartmann (Hg.) Neue Betriebswirtschaft Theorien, Methoden, Geschäftsfelder 2018, 629 Seiten, Hardcover ISBN 978-3-86764-828-8 Die Betriebswirtschaft erfindet sich immer wieder neu. Sie entwickelt regelmäßig Theorien und Methoden und verfängt sich nicht in den methodischen Fehlschluss, die Wirtschaftswissenschaften müssten nach naturwissenschaftlichen-mathematischen Gesetzmäßigkeiten in der Wirtschaft suchen. Vor diesem Hintergrund ist die neue Betriebswirtschaft ein Ansatz, die klassische Betriebswirtschaft mit aktuellen Fragestellungen zu verbinden. Dieses Buch stellt deshalb klassische Themen wie Buchhaltung, Kosten-, Erfolgs- und Umsatzrechnung, Finanzierung dar, aber auch explizit Statistik zur Datengewinnung und Datenauswertung. All diese Themen werden stets im Lichte der aktuellen Entwicklungen von Digitalisierung, Internationalisierung und innovativen Geschäftsmodellen behandelt. Die Autoren wenden sich klassischen Funktionen des Betriebes zu, aber auch Themen wie Security, Compliance, Nachhaltigkeit, Online-Marketing, Innovationsmarketing, Strategisches Controlling, Cross-Mergers and Acquisitions, u.a. in Verbindung mit der Unternehmensbewertung, sowie Risk-Management. Das Buch richtet sich an Dozenten und Studierende der Wirtschaftswissenschaften sowie an Unternehmer und Manager, die sich mit betriebswirtschaftlichen Themen in Theorie und Praxis auseinandersetzen. www.uvk.de 45222_Terveer_griffleiste.indd 144 06.09.2019 11: 45: 07