Mathematische Methoden der Elektrotechnik
1018
2021
978-3-8385-5777-9
978-3-8252-5777-4
UTB
Jürgen Ulm
Das Buch bietet eine praxisorientierte Einführung in die mathematischen Methoden der Elektrotechnik. Der Schwerpunkt liegt auf der Lösung von gewöhnlichen und partiellen Differenzialgleichungen mittels analytischen und numerischen Methoden. Dabei werden die analytischen Methoden den numerischen gegenübergestellt. Die Differenzialgleichungen wurden mit Blick auf die Problemstellungen der Elektrotechnik gewählt. Gezeigt wird, wie diese beispielsweise auch auf die Mechanik übertragen werden können. Zahlreiche Beispiele und Aufgaben mit ausgearbeiteten Lösungen erleichtern den Transfer des Wissens in die Anwendungen.
<?page no="0"?> Jürgen Ulm Mathematische Methoden der Elektrotechnik <?page no="1"?> utb 5777 Eine Arbeitsgemeinschaft der Verlage Brill | Schöningh - Fink · Paderborn Brill | Vandenhoeck & Ruprecht · Göttingen - Böhlau Verlag · Wien · Köln Verlag Barbara Budrich · Opladen · Toronto facultas · Wien Haupt Verlag · Bern Verlag Julius Klinkhardt · Bad Heilbrunn Mohr Siebeck · Tübingen Narr Francke Attempto Verlag - expert verlag · Tübingen Ernst Reinhardt Verlag · München transcript Verlag · Bielefeld Verlag Eugen Ulmer · Stuttgart UVK Verlag · München Waxmann · Münster · New York wbv Publikation · Bielefeld Wochenschau Verlag · Frankfurt am Main <?page no="2"?> Prof. Dr. Jürgen Ulm lehrt Elektrotechnik und leitet das Institut für Digitalisierung und elektrische Antriebe (IDA) am Campus Künzelsau der Hochschule Heilbronn. <?page no="3"?> Jürgen Ulm Mathematische Methoden der Elektrotechnik expert verlag · Tübingen <?page no="4"?> www.fsc.org MIX Papier aus verantwortungsvollen Quellen FSC ® C083411 ® Umschlagabbildung: © Jürgen Ulm Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http: / / dnb.dnb.de abrufbar. © 2021 · expert verlag GmbH Dischingerweg 5 · D-72070 Tübingen Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Alle Informationen in diesem Buch wurden mit großer Sorgfalt erstellt. Fehler können dennoch nicht völlig ausgeschlossen werden. Weder Verlag noch Autoren oder Herausgeber übernehmen deshalb eine Gewährleistung für die Korrektheit des Inhaltes und haften nicht für fehlerhafte Angaben und deren Folgen. Internet: www.expertverlag.de eMail: info@verlag.expert Einbandgestaltung: Atelier Reichert, Stuttgart CPI books GmbH, Leck utb-Nr.: 5777 ISBN 978-3-8252-5777-4 (Print) ISBN 978-3-8385-5777-9 (ePDF) ISBN 978-3-8463-5777-4 (ePub) <?page no="5"?> Vorwort Die Mathematik ist f¨ ur den Naturwissenschaftler das universelle Werkzeug, ”...denn die Mathematik ist die Grundlage alles exakten naturwissenschaftlichen Erkennens“ (David Hilbert, dt. Mathematiker, 1862-1943). Dem Erlernen der Anwendung des Werkzeugs gilt daher eine besondere Aufmerksamkeit. Wie so oft steht die Erkenntnis der Notwendigkeit gepaart mit der Motivation des Anwenders im Vordergrund. Ist das erkl¨arte Ziel, physikalische Zusammenh¨ange mittels der Mathematik zu beschreiben, so ist hierzu nicht notwendigerweise eine mathematische Strenge vonn¨oten. Wohl d¨ urfte die Anwendung einer mathematischen Strenge diesem Anliegen kontraproduktiv gegen¨ uberstehen. Des Weiteren gilt zudem der G¨odel’sche Unvollst¨andigkeitssatz der Mathematik, welcher sogar der Mathematik selbst ihre Schranken zeigt. Erfahrungsgem¨aß ist ein Bestreben der Anwender zur mathematischen Strenge dann zu beobachten, wenn diese von der Mathematik und deren M¨oglichkeiten ¨ uberzeugt und begeistert sind. Aus diesem Grund sollte der mathematischen Strenge zu Beginn nicht die h¨ochste Priorit¨at einger¨aumt werden. Mathematik lebt aus der Freude ihrer Anwender und Anwendungen! ”Es ist unm¨oglich, die Sch¨onheiten der Naturgesetze angemessen zu vermitteln, wenn jemand die Mathematik nicht versteht. Ich bedaure das, aber es ist wohl so“ (Richard Feynman, Physiker und Nobelpreistr¨ager, 1918-1988), denn ”Das Buch der Natur ist in der Sprache der Mathematik geschrieben“ (Galileo Galilei, 1564-1642). i <?page no="6"?> Taschenrechner, Papier, Bleistift und Radiergummi in Kombination mit Kaffee bilden eine gute Basis. Das universelle Werkzeug der Elektrotechnik ist die Mathematik. Mit ausgew¨ahlten mathematischen Methoden werden ebenso ausgew¨ahlte Themengebiete der Elektrotechnik bearbeitet. Die Bearbeitung erfolgt durch Vorstellen der Grundlagen, Aufgabenbeschreibung und ausf¨ uhrliche Aufgabenl¨osung. Aus dem Vorgehen resultiert auch die Zielgruppe der Leser. Diese sind aus Sicht des Autors: • Studierende der Ingenieurwissenschaften, welche naturwissenschaftliche Themenstellungen mittels mathematischer Methoden bearbeiten m¨ochten. • Softwareingenieure, welche Differenzialgleichungen in Matrizenform in Mikroprozessoren implementieren m¨ochten. • Simulationsingenieure, die gerne mal ”was zu Fuß“ nachrechnen m¨ochten. • Messtechnikingenieure, welche einen Messwert von einem Ort ben¨otigen, an welchem kein Sensor adaptiert werden und f¨ ur diese Stelle nur gerechnet werden kann. • Mathematikerschrockene, bleich im Gesicht, ¨ uberlebt und es nun nochmals mit Mathe probieren m¨ochten. ii <?page no="7"?> Da unsere Wissenschaft spiegelbildlich aufgebaut ist, lohnt sich beispielsweise das vertiefte Einarbeiten in eine wissenschaftliche Disziplin. Hier sei vorzugsweise die Elektrotechnik empfohlen. Durch Auswechseln der Koeffizienten einer Differenzialgleichung erobert sich der begeisterte Leser dieses Buches eine weitere wissenschaftliche Disziplin (daher die Verwendung des Begriffs ”spiegelbildlich“). Wer beispielsweise elektrische Netzwerke (Maschen) l¨osen kann, kann demzufolge auch thermische, magnetische, mechanische und hydraulische Netzwerke l¨osen. Die mathematischen Grundlagen umfassen Rechenregeln, Definitionen, Matrizen, gew¨ohnliche und partielle Differenzialgleichungen sowie Koordinatensysteme. Sie bieten den Zugang zum Verst¨andnis der gew¨ahlten mathematischen Methoden und Anwendungen in der Elektrotechnik. Eine elementare Anwendung in der Elektrotechnik bildet der LCR-Schwingkreis, welcher mit Differenzialgleichungen beschrieben wird und dessen Eigenschaften vorgestellt werden. Die Bildung des inneren Produkts zur L¨osung von Differenzialgleichungen haben die Integraltransformation, die Momentenmethode und die Green’sche Methode gemeinsam. In die beiden zuletzt genannten Methoden wird ausf¨ uhrlich mit Hilfe von Beispielen eingef¨ uhrt. Mit der Momentenmethode erfolgt die ¨ Uberleitung zur Finite-Element- Methode (FEM) und Finite-Differenzen-Methode (FDM) anhand von Anwendungsbeispielen. Anhand der Momentenmethode wird zudem in die Eigenwertproblematik eingef¨ uhrt. Die Entwicklung von unendlichen Reihen durch wechselweise Anwendung des Durchflutungs- und des Induktionsgesetzes f¨ uhrt auf Besselfunktionen sowie auf das Ph¨anomen der Feldverdr¨angung mit Wirkung der Stromverdr¨angung im Leiter. Ausgew¨ahlte Normen sollen dem Leser Hinweise zur Erstellung von wissenschaftlichen Dokumentationen liefern. Es sei noch ein Hinweis zur erweiterten Nutzung des Buches gestattet: Neue ¨ Ubungsaufgaben lassen sich durch einfaches Ab¨andern der gestellten und bereits gel¨osten Originalaufgabe generieren. Die Ab¨anderung der Originalaufgabe soll in der Weise vorgenommen werden, dass deren L¨osung bereits im Voraus bekannt ist. Damit besteht die M¨oglichkeit, die Ergebnisse zu vergleichen und die Einarbeitung weiter zu vertiefen. Denn immer gilt ”Unsicher sind die Berechnungen der Sterblichen“ (Weisheitsliteratur). Mit freundlichen Gr¨ ußen der Autor im Herbst 2021 iii <?page no="9"?> Weitere Infos ¨ uber die Institute siehe auch Anhang B. <?page no="11"?> Inhaltsverzeichnis 1 Erforderliche mathematische Grundlagen 1 1.1 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Rechenoperationen mit Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.2 Addition und Subtraktion zweier Matrizen . . . . . . . . . . . . 2 1.1.3 Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar . . . . . . . . . . . 2 1.1.4 Quadratische Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.5 Einheitsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.6 Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.7 Unterdeterminante oder Minor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.8 Adjunkte oder algebraisches Komplement . . . . . . . . . . . . 5 1.1.9 Inverse Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.10 Transponierte einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.11 Komplex konjugierte Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.12 Hermitesche konjugierte Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.13 Hermitesche Matrix - selbstadjungierte Matrix . . . . . . . . . . 9 1.1.14 Orthogonalmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.15 Unit¨are Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.16 Normalmatrix - Normale Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.17 Norm einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.18 Konditionierte Matrizengleichung und Konditionszahl . . . . . . 12 1.1.19 Eigenwert, Eigenvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.1.20 Quadratische Matrizen - eine Zusammenfassung . . . . . . . . . 15 1.2 Integral-, Differenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.2 Differenzierung skalarer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.3 Gew¨ohnliche Differenzialgleichungen h¨oherer Ordnung . . . . . . 18 vii <?page no="12"?> 1.2.4 Partielle Differenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.2.5 Partielle Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.2.6 Klassifikation von Differenzialgleichungen . . . . . . . . . . . . . 22 1.2.7 Anfangswertaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.2.8 Randwertaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.2.9 Lineare Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.2.10 Inneres Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.2.11 Starke Form/ Formulierung einer Differenzialgleichung . . . . . . 30 1.2.12 Schwache Form/ Formulierung einer Differenzialgleichung . . . . 30 1.3 Vektor-Klassifikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.4 Differenziationsregeln f¨ ur Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.5 Vektoroperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.5.1 Nabla- und Laplace-Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.5.2 Vektoroperator Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.5.3 Vektoroperator Divergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.5.4 Vektoroperator Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.5.5 Gegen¨ uberstellung der Vektoroperatoren . . . . . . . . . . . . . 35 1.5.6 Rechenregeln f¨ ur den Nabla-Operator . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.5.7 Gegen¨ uberstellung Skalar- und Vektorprodukt . . . . . . . . . . 37 1.6 Maxwell’sche Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.6.1 Beziehung zwischen Kreis- und Fl¨achenintegral . . . . . . . . . . 38 1.6.2 Beziehung zwischen Fl¨achen- und Volumenintegral . . . . . . . . 39 1.6.3 Maxwell’sche Gleichungen - Differenzialform . . . . . . . . . . . 40 1.6.4 Maxwell’sche Gleichungen - Integralform . . . . . . . . . . . . . 40 1.6.5 Richtungszuordnung beteiligter Vektorfelder . . . . . . . . . . . 40 1.7 Dirac’sche Deltafunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2 Koordinatensysteme 43 2.1 Kartesisches Koordinatensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2 Zylinderkoordinatensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.3 Kugelkoordinatensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3 LCR-Parallel- und Reihenschwingkreis 51 3.1 Schwingkreise, Impedanzen und Resonanzen . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2 Eigenfrequenz - Fehlerrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 viii <?page no="13"?> 3.3 Spannungsverl¨aufe LCR-Reihenschwingkreis bei Frequenzvariation . . . 56 3.3.1 Spannungsverlauf ¨ uber der Induktivit¨at . . . . . . . . . . . . . . 57 3.3.2 Spannungsverlauf ¨ uber Induktivit¨at und Widerstand . . . . . . 59 3.3.3 Spannungsverlauf ¨ uber dem Widerstand . . . . . . . . . . . . . 61 3.3.4 Spannungsverlauf ¨ uber der Kapazit¨at . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.4 Ged¨ampfter, erzwungener LCR-Reihenschwingkreis . . . . . . . . . . . 64 3.5 Ged¨ampfter, freier LCR-Reihenschwingkreis . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.6 Unged¨ampfter, freier LC-Schwingkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.7 Ged¨ampfter, erzwungener LCR-Parallelschwingkreis . . . . . . . . . . . 70 3.8 Ged¨ampfter, freier LCR-Parallelschwingkreis . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.9 Unged¨ampfter, freier LC-Schwingkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4 Stromverdr¨angung im Leiter 81 4.1 Stromverdr¨angung im Leiter - Modellbildung . . . . . . . . . . . . . . 82 4.2 Stromverdr¨angung im Leiter - Berechnungsergebnis . . . . . . . . . . . 86 4.3 Stromverdr¨angung im Leiter - Simulationsergebnis . . . . . . . . . . . 87 4.4 Stromverdr¨angung im Leiter - Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . 89 5 Besselgleichung und Besselfunktion 91 5.1 Zur Person Wilhelm Friedrich Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 5.2 Besselgleichung des LCR-Parallelschwingkreises . . . . . . . . . . . . . 93 5.3 Besselgleichung der Felddiffusionsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . 94 5.4 Besselfunktion zur Berechnung der Feldverteilung in einem Kondensator 97 5.4.1 Modellanordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 5.4.2 Herleitung der Besselfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 5.5 Besselfunktion zur Berechnung der Flussdichteverteilung in einer Spule 101 5.5.1 Modellanordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.5.2 Herleitung der Besselfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.6 Besselfunktion aus allgemeiner Form der Besselgleichung . . . . . . . . 104 6 L¨osung von Differenzialgleichungen mittels Green’scher Funktionen 109 6.1 Zur Person George Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 6.2 Green’sche Integrals¨atze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 6.3 PDE - Auf-, Integrationspunktanordnungen . . . . . . . . . . . . . . . 114 6.4 PDE - Vorbereitung zur L¨osung nach Green - Differenzialform . . . . . 116 6.5 PDE - Vorbereitung zur L¨osung nach Green - Integralform . . . . . . . 118 ix <?page no="14"?> 6.5.1 Umstellen der PDE nach der zu l¨osenden Variable . . . . . . . . 118 6.5.2 Homogene Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 6.5.3 Inhomogene Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 6.5.4 Dirichlet-Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 6.5.5 Neumann-Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 6.6 PDE - L¨osung der Poisson’schen DGL . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 6.6.1 Aufgabenbeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 6.6.2 L¨osungsweg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 6.7 PDE - L¨osung der Laplace’schen DGL . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 6.7.1 Aufgabenbeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 6.7.2 L¨osungsweg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 6.8 ODE - Vorbereitung zur L¨osung mit der Green’schen Funktion . . . . . 128 6.8.1 Homogene Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 6.8.2 Inhomogene Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 6.8.3 Kontinuit¨ats- und Diskontinuit¨atsbedingungen . . . . . . . . . . 131 6.9 ODE - L¨osung von d 2 u/ dx 2 = − 1 (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 6.9.1 Aufgabenbeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 6.9.2 L¨osungsweg I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 6.9.3 L¨osungsweg II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 6.10 ODE - L¨osung von d 2 y/ dx 2 + y = cosec x . . . . . . . . . . . . . . . . 140 6.10.1 Aufgabenbeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 6.10.2 L¨osungsweg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 6.11 ODE - L¨osung von d 2 y/ dx 2 + y = f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 6.11.1 Aufgabenbeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 6.11.2 L¨osungsweg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 6.12 ODE - L¨osung von d 2 u/ dx 2 = − 1 (II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 6.12.1 Aufgabenbeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 6.12.2 L¨osungsweg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 6.13 ODE - L¨osung von d 2 u/ dx 2 = x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 6.13.1 Aufgabenbeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 6.13.2 L¨osungsweg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 7 Differenzialgleichungen und Finite Elemente 153 7.1 Beispiele aus der Physik f¨ ur Differenzialgleichungen 1’ter Ordnung . . . 153 7.2 Beispiele aus der Physik f¨ ur Differenzialgleichungen 2’ter Ordnung . . . 154 x <?page no="15"?> 7.3 Finite Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 8 Von der Momentenmethode zur Galerkin-Methode 161 8.1 Grundprinzip der Momentenmethode (MOM) . . . . . . . . . . . . . . 161 8.2 Anmerkungen zur Momentenmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 8.2.1 Matrix (l jk ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 8.2.2 Wahl der Basis- und Wichtungsfunktionen φ n und w k . . . . . . 164 8.3 Zur Person Boris Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 8.4 Galerkins Idee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 9 Traditionelle Galerkin-Methode 167 10 Galerkin-Methode - L¨osung von du/ dx = u 169 10.1 Wahl der Basis- und Wichtungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 10.2 Formulierung der schwachen Form mit Basis- und Wichtungsfunktion . 170 10.3 ¨ Uberf¨ uhrung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung . . . . . 171 10.4 L¨osung des linearen Gleichungssystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 11 Galerkin-Methode - L¨osung von − d 2 u/ dx 2 = 4x 2 + 1 175 11.1 Wahl der Basis- und Wichtungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 11.2 Formulierung der schwachen Form mit Basis- und Wichtungsfunktion . 176 11.3 ¨ Uberf¨ uhrung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung . . . . . 176 11.4 L¨osung des linearen Gleichungssystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 12 Galerkin-Methode - L¨osung von d 2 u/ dx 2 = − 1 (I) 181 12.1 Wahl der Basis- und Wichtungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 12.2 Schwache Formulierung der Differenzialgleichung . . . . . . . . . . . . . 182 12.3 ¨ Uberf¨ uhrung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung . . . . . 183 12.4 L¨osung des linearen Gleichungssystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 13 Galerkin-Methode - L¨osung von d 2 u/ dx 2 = − 1 (II) 185 13.1 Wahl der Basis- und Wichtungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 13.2 Formulierung der schwachen Form mit Basis- und Wichtungsfunktion . 186 13.3 ¨ Uberf¨ uhrung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung . . . . . 187 13.4 L¨osung des linearen Gleichungssystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 xi <?page no="16"?> 14 Galerkin-Methode - Durchflutungsgesetz 191 14.1 Galerkin-Methode - Durchflutungsgesetz Innenbereich des Leiters . . . 193 14.1.1 Schwache Formulierung der Differenzialgleichung . . . . . . . . . 193 14.1.2 ¨ Uberf¨ uhrung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung . 194 14.1.3 L¨osung des linearen Gleichungssystems . . . . . . . . . . . . . . 195 14.2 Galerkin-Methode - Durchflutungsgesetz Außenbereich des Leiters . . . 196 14.2.1 Schwache Formulierung der Differenzialgleichung . . . . . . . . . 196 14.2.2 ¨ Uberf¨ uhrung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung . 197 14.2.3 L¨osung des linearen Gleichungssystems . . . . . . . . . . . . . . 198 14.3 Gegen¨ uberstellung von FEMmit Galerkin-Ergebnis . . . . . . . . . . . 199 15 Galerkin-FEM 201 15.1 Galerkin-FEM - Was wird gel¨ost? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 15.2 Galerkin-FEM - Vorgehen zur L¨osung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 16 Galerkin-FEM - L¨osung von d 2 u/ dx 2 = − 1 (I) 205 16.1 Schwache Formulierung der Differenzialgleichung . . . . . . . . . . . . . 206 16.2 Diskretisierung des zu l¨osenden Gebiets Ω . . . . . . . . . . . . . . . . 207 16.3 Wahl der Basis- und Wichtungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 16.4 Formulierung der schwachen Form mit Dreiecksfunktionen φ(x) . . . . 209 16.5 ¨ Uberf¨ uhrung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung . . . . . 210 16.6 L¨osung des linearen Gleichungssystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 17 Galerkin-FEM - L¨osung von d 2 u/ dx 2 = − 1 (II) 217 17.1 Schwache Formulierung der Differenzialgleichung . . . . . . . . . . . . . 218 17.2 Diskretisierung des zu l¨osenden Gebiets Ω . . . . . . . . . . . . . . . . 219 17.3 Wahl der Basis- und Wichtungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 17.4 Formulierung der schwachen Form mit Dreiecksfunktionen φ(x) . . . . 219 17.5 ¨ Uberf¨ uhrung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung . . . . . 219 17.6 L¨osung des linearen Gleichungssystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 18 Galerkin-FEM - Elektrostatische Feldberechnung 223 18.1 Schwache Formulierung der Differenzialgleichung . . . . . . . . . . . . . 223 18.2 Diskretisierung des zu l¨osenden Gebiets Ω . . . . . . . . . . . . . . . . 224 18.3 Wahl der Basis- und Wichtungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 18.4 Formulierung der schwachen Form mit Dreiecksfunktionen φ(x) . . . . 224 xii <?page no="17"?> 18.5 ¨ Uberf¨ uhrung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung . . . . . 226 18.6 L¨osung des linearen Gleichungssystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 19 Galerkin-FEM - Ortsabh¨angige Temperaturberechnung 231 19.1 Schwache Formulierung der Differenzialgleichung . . . . . . . . . . . . . 231 19.2 Diskretisierung des zu l¨osenden Gebiets Ω . . . . . . . . . . . . . . . . 233 19.3 Wahl der Basis- und Wichtungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 19.4 Formulierung der schwachen Form mit Dreiecksfunktionen φ(x) . . . . 233 19.5 ¨ Uberf¨ uhrung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung . . . . . 234 19.6 L¨osung des linearen Gleichungssystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 19.7 Diffusionsvorgang vollendet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 20 Galerkin-FEM - Ortsabh¨angige Magnetfeldberechnung 241 20.1 Schwache Formulierung der Differenzialgleichung . . . . . . . . . . . . . 241 20.2 Diskretisierung des zu l¨osenden Gebiets Ω . . . . . . . . . . . . . . . . 243 20.3 Wahl der Basis- und Wichtungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 20.4 Formulierung der schwachen Form mit Dreiecksfunktionen φ(x) . . . . 243 20.5 ¨ Uberf¨ uhrung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung . . . . . 244 20.6 L¨osung des linearen Gleichungssystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 21 Einf¨ uhrung in die Finite-Differenzen-Methode 251 21.1 Numerische Notation der linearen Felddiffusionsgleichung . . . . . . . . 251 21.2 Zu den Personen Crank und Nicolson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 21.3 L¨osung mit impliziter Methode nach Crank-Nicolson . . . . . . . . . . 252 21.3.1 ¨ Uberf¨ uhrung der Diffusionsgleichung in eine Matrizengleichung . 253 21.3.2 L¨osung der Matrizengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 21.3.3 Anwendungsbeispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 21.4 L¨osung mit expliziter Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 21.4.1 ¨ Uberf¨ uhrung der Diffusionsgleichung in eine Matrizengleichung . 260 21.4.2 L¨osung der Matrizengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 21.4.3 Anwendungsbeispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 22 Anwendungen der FEM zur Produktentwicklung 269 22.1 Analyse eines Proportionalmagnets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 22.1.1 Preprocessing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 22.1.2 Processing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 xiii <?page no="18"?> 22.1.3 Postprocessing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 22.2 Synthese eines planaren Asynchron-Scheibenl¨aufermotors . . . . . . . . 273 22.2.1 Preprocessing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 22.2.2 Processing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 22.2.3 Postprocessing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 22.2.4 Musterbau des planaren Asynchronmotors . . . . . . . . . . . . 274 23 Virtuelle Produktentwicklung 277 23.1 Kopplung zwischen FEM- und Optimierungstool . . . . . . . . . . . . . 277 23.2 Mehrzieloptimierung - Pareto-Optimierung . . . . . . . . . . . . . . . . 278 23.3 Optimierungsbeispiel Elektromagnet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 23.3.1 Monte Carlo-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 23.3.2 Partikelschwarm-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 23.3.3 Evolution¨are Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 23.3.4 Diskussion der Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 24 Eigenwertprobleme 285 24.1 Eigenwertproblem - Einf¨ uhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 24.2 Eigenwertproblem - Momentenmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 24.3 Eigenwertproblem - kanonische Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 25 Eigenwertproblem-MOM - L¨osung von − d 2 u/ dx 2 = λu 289 25.1 Aufgabenbeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 25.2 L¨osungsweg und L¨osung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 25.3 L¨osung f¨ ur 1’ter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 25.4 L¨osung f¨ ur 2’ter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 26 Gemeinsamkeiten von Methoden zur L¨osung von DGLs 297 26.1 Momentenmethode (MOM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 26.2 Integraltransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 26.3 Green’sche Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 27 Wissenswertes zur Modellbildung 303 27.1 Kategorien der Modellbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 27.2 Analytik contra Numerik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 28 N¨ utzliche Normen 307 xiv <?page no="19"?> Literaturverzeichnis 311 A Anhang 317 A.1 MATLAB-Code - W¨armediffusionsskript . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 A.2 MATLAB-Code - Magnetfelddiffusionsskript . . . . . . . . . . . . . . . 321 A.3 Toolvergleich - MATLAB vs. COMSOL . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 B Campus K¨ unzelsau - Inside 329 Index 331 xv <?page no="21"?> Symbole und Abk¨ urzungen Symbol Bedeutung Einheit A Koeffizient, Matrix A Fl¨ache m 2 B Koeffizient, Matrix B, B magnet. Flussdichte, Vektor der magnet. Flussdichte V s/ m 2 B h Interpolations-, Ansatzfunktion C Koeffizient, Matrix C Kapazit¨at As/ V C W¨armekapazit¨at J/ K D Koeffizient, Matrix D Ladungsdichte As/ m 2 D Diskrimminante E Koeffizient, Matrix E, E elektr. Feldst¨arke, Vektor der elektr. Feldst¨arke V / m E L¨angenbezogene elektrische Feldst¨arke V / m 2 F Koeffizient, Funktion F Kraft N, kgm/ s 2 G Green’sche Funktion G Koeffizient H, H magnet. Feldst¨arke, Vektor des magnet. Feldes A/ m H Φ Interpolations-, Ansatzfunktion I Strom A J, J elektr. Stromdichte, Vektor der elektr. Stromdichte A/ m 2 <?page no="22"?> xviii Symbol Bedeutung Einheit K Konstante L Induktivit¨at V s/ A M Matrix N Anzahl Knoten, Laufvariable, Windungszahl P Leistung W P Polynomfunktion Q Ladung As R Residuum R Radius m R Widerstand Ω S Matrix S P Scheitelpunkt U Spannung V V Volumen m 3 W Wronski-Determinante X Blindwiderstand, Reaktanz Ω Z, | Z | Scheinwiderstand, Betrag der Impedanz Ω Z Impedanz (komplexe Impedanz) Ω a Koeffizient a 0 Beschleunigung m/ s 2 b D¨ampfungskonstante kg/ s c Konstante c Federkonstante N/ m c Lichtgeschwindigkeit m/ s c spezifische W¨armekapazit¨at J/ (kgK) d Durchmesser m e e-Funktion e Einheitsvektor f Hilfsvariable, Funktion, Matrix, Spaltenvektor g Hilfsvariable, Funktion, Matrix h Elementl¨ange m <?page no="23"?> xix Symbol Bedeutung Einheit i Laufvariable i Strom A j Laufvariable j imagin¨are Einheit √ − 1 k, k Konstante, komplexe Konstante l L¨ange m l Matrix m Laufvariable m Masse kg n Normale, Anzahl Teilintervalle p Impuls kg m/ s p Variable, Funktion r Radius m s Konstante t Zeit s u Funktion, Interpolations-, Ansatzfunktion u Spannung V ˆ u 0 Spannungsamplitude V v Funktion, Interpolations-, Ansatzfunktion v Geschwindigkeit m/ s w Gewichts-, Wichtungs-, Test-, Formfunktion x Koordinate, Weg m y Koordinate, Weg m y Funktion z Koordinate m Γ Rand des FEM-Gebietes Δ Delta, differenziell Θ Durchflutung A Φ magnetischer Fluss V s Ψ verketteter magnetischer Fluss V s Ω Gebiet, Teilgebiet, Element <?page no="24"?> xx Symbol Bedeutung Einheit α Koeffizient β Koeffizient γ Koeffizient, Randwert δ Abklingkoeffizient ε Permittivit¨at As/ (V m) ε 0 Permittivit¨at des Vakuums [8, 8542 10 − 12 As/ (V m)] As/ (V m) υ Temperatur ◦ C κ spezifische elektrische Leitf¨ahigkeit m/ (Ωmm 2 ) λ W¨armeleitf¨ahigkeit W/ (mK) λ Eigenwert μ Permeabilit¨at V s/ (Am) μ 0 Permeabilit¨at des Vakuums [4π10 − 7 V s/ (Am)] V s/ (Am) ρ Dichte kg/ m 3 ρ Raumladungsdichte As/ m 3 τ Zeitkonstante s υ h Ansatz-, Testfunktion ϕ Potenzial V ϕ Interpolations-, Ansatzfunktion φ Entwicklungs-, Basis-, Dreiecksfunktion ω Winkelgeschwindigkeit, Kreisfrequenz 1/ s L Linearer Operator M Linearer Operator O Null-Operator I Identit¨atsoperator ∇ Nabla-Operator Δ Delta-Operator <?page no="25"?> Kapitel 1 Erforderliche mathematische Grundlagen Die zur numerischen L¨osung von Differenzialgleichungen erforderlichen Grundlagen sind in diesem Kapitel zusammengestellt worden. Diese beinhalten im Wesentlichen Matrizen, Definitionen und Klassifikationen von Differenzialgleichungen sowie Anfangs- und Randwertaufgaben und Vektoroperatoren. Hierzu besonders zu empfehlende Literatur sind [3], [51] sowie [57]. 1.1 Matrizen Die Matrizenschreibweise fasst die Berechnungen mit Funktionen zusammen und erh¨oht damit die ¨ Ubersicht. Hierzu vergleichbar fasst ein Vektoroperator Ableitungen zusammen, welche mit einem einfachen Symbol (Nabla-, Laplace-Operator) gekennzeichnet werden. Die Matrizenschreibweise (Matrizengleichungen) erm¨oglicht mittels den in der Literatur bekannten L¨osungsverfahren die numerische L¨osung von linearen Gleichungssystemen. Daher erhalten Matrix und Matrizen eine besondere Aufmerksamkeit. Hier werden ausgew¨ahlte Matrizenoperationen vorgestellt. Diese beinhalten die erforderlichen Matrizen-Rechenregeln, die Invertierung, Multiplikation einer Matrix, Matrixtypen sowie Determinantenberechnungsregeln u. a. m. Als empfehlenswerte Literatur sei hier auf [51], S. 268 ff. und [27], S. 12 ff. (Zufallsmatrizen - Neue universelle Gesetze) verwiesen. <?page no="26"?> 2 Erforderliche mathematische Grundlagen 1.1.1 Rechenoperationen mit Matrizen In Tab. 1.1 werden die wichtigsten algebraischen Axiome zusammengefasst. Tabelle 1.1: Zusammenfassung der wichtigsten Rechenregeln Assoziativgesetz A (BC) = (AB) C Distributivgesetz A (B+C) = AB + AC (A+B) C = AC + BC Transponieren (AB) T = B T A T Man beachte, dass die Matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist, was A · B = B · A bedeutet. 1.1.2 Addition und Subtraktion zweier Matrizen Zwei Matrizen gleichen Typs werden addiert oder subtrahiert, indem man ihre entsprechenden Elemente addiert oder subtrahiert: A ± B = (a ik ± b ik ) = C, mit i = 1, 2, 3, ..., m und k = 1, 2, 3, ..., n und C die Summen- oder Differenzmatrix. Addition und Subtraktion sind nur f¨ ur Matrizen gleichen Typs (m,n) definiert. 1.1.3 Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar Die Multiplikation einer Matrix mit dem Skalar λ erfolgt durch Multiplikation eines jeden einzelnen Matrixelementes mit dem Skalar λ A = λ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a 11 a 12 ... a 1 m a 21 a 22 ... ... ... ... ... ... a n 1 a n 2 ... a nm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ λ a 11 λ a 12 ... λ a 1 m λ a 21 λ a 22 ... ... ... ... ... ... λ a n 1 λ a n 2 ... λ a nm ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ . <?page no="27"?> 1.1 Matrizen 3 Bei der skalaren Multiplikation findet das Assoziativgesetz und Distributivgesetz Anwendung, da λ = α · β oder λ = α ± β gleichermaßen sein kann. 1.1.4 Quadratische Matrix Quadratische Matrizen besitzen die gleiche Anzahl von Zeilen und Spalten, d. h. m = n mit A = A n,n = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a 11 a 12 ... a 1 n a 21 a 22 ... ... ... ... ... ... a n 1 a n 2 ... a nn ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ . Beispiele f¨ ur quadratische Matrizen sind die Diagonalmatrizen, die symmetrischen Matrizen, Normalmatrizen, hermitesche Matrizen und die Einheitsmatrizen. 1.1.5 Einheitsmatrix Die Einheitsmatrix E ist eine Diagonalmatrix, in welcher alle außerhalb der Hauptdiagonalen liegenden Elemente verschwinden E = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 0 ... 0 0 1 ... 0 ... ... ... ... 0 0 ... 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ und a ii = 1 ist. Die Einheitsmatrix wird gelegentlich auch als Identit¨atsmatrix bezeichnet. Die Einheitsmatrix ist eine quadratische Matrix. Sie ist trotz ihrer Schlichtheit bedeutend. Beispielsweise ist das Ergebnis einer Multiplikation von der Einheitsmatrix mit einer Matrix wieder die Matrix selbst. 1.1.6 Determinante Die Determinante erlaubt die Untersuchung von Matrizen nach ”Mustern“, beispielsweise zur Untersuchung von L¨osungen von Differenzialgleichungen (siehe hierzu die Wronski-Determinate). Determinanten werden von quadratischen Matrizen berechnet. Die Determinante einer 2-reihigen, quadratischen Matrix A = (a ik ) ist die reelle Zahl <?page no="28"?> 4 Erforderliche mathematische Grundlagen det A = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a 11 a 12 a 21 a 22 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = a 11 a 22 − a 12 a 21 . Eine Determinante wird mit einem Skalar λ multipliziert, indem die Elemente einer einzigen Zeile mit dem Skalar multipliziert werden: λ det A = λ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ λ a 11 λ a 12 a 21 a 22 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = λ a 11 a 22 − λ a 12 a 21 . Unter der Determinante einer quadratischen (3,3)-Matrix A = (a ik ) versteht man die Zahl det A = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ . Die 3-reihige Determinante wird nach der Regel von Sarrus det A = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 13 a 22 a 31 − a 11 a 23 a 32 − a 12 a 21 a 33 berechnet. Eine Determinante nimmt den Wert Null an, wenn • alle Elemente gleich Null sind, • zwei Zeilen oder Spalten gleich sind, • zwei Zeilen oder Spalten zueinander proportional sind, • eine Zeile oder Spalte als Linearkombination der ¨ ubrigen Zeilen oder Spalten darstellbar ist. Ein Beispiel hierzu ist det D = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 16 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = − 816 die Determinante des D¨ urer-Quadrates aus seinem Kupferstich MELENCOLIA I. <?page no="29"?> 1.1 Matrizen 5 1.1.7 Unterdeterminante oder Minor Werden bei einer n-reihigen Determinante m beliebige Zeilen und m beliebige Spalten gestrichen, so entsteht eine (n − m)-reihige Determinante, die als Unterdeterminante (n − m)’ter Ordnung oder Minor bezeichnet wird. Ein Beispiel hierzu ist die Determinante A, deren Minor M 1 , 2 gesucht wird. Dieser wird durch Streichen der ersten Zeile und zweiten Spalte erreicht: A = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 2 0 1 3 2 − 4 1 0 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ , M 1 , 2 = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 3 − 4 1 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 3 · 3 − ( − 4 · 1) = 13. Unterdeterminanten werden beispielsweise zur Berechnung der inversen Matrix erforderlich und bilden die Vorstufe zur Berechnung der Adjunkte. 1.1.8 Adjunkte oder algebraisches Komplement Die Adjunkte oder das algebraische Komplement A adj entsteht durch Unterdeterminantenbildung der Matrix A nach der in Abb. 1.1 dargestellten Vorgehensweise. Eine anschließende Multiplikation der Elemente mit dem Vorzeichen ( − 1) i + k , der i-ten Zeile und k-ten Spalte, welche in der Abb. 1.1 fettgedruckt dargestellt sind sowie das Transponieren f¨ uhrt zur Adjunkte A adj der Matrix A. Abbildung 1.1: Vorgehensweise zur Entwicklung der Adjunkte <?page no="30"?> 6 Erforderliche mathematische Grundlagen Ein Beispiel hierzu ist A = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 2 0 1 3 2 − 4 1 0 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ; A adj = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 6 0 − 2 − 13 5 11 − 2 0 4 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ . Die Adjunkte darf nicht mit der adjungierten Matrix verwechselt werden. Der lateinische Begriff ”Adjunkte“ bedeutet die einem Element einer Determinante zugeordnete Unterdeterminante, wobei ”adjungieren“ zuordnen, beif¨ ugen bedeutet. Das lateinische Wort ”Komplement“ bedeutet Erg¨anzung. Mit Hilfe der Adjunkte kann die Inverse einer quadratischen Matrix berechnet werden. 1.1.9 Inverse Matrix Die Berechnung der inversen Matrix A − 1 A − 1 = 1 det A A adj erfolgt unter Verwendung der Adjunkte. Weiterhin gilt AA − 1 = A − 1 A = E. Ein Beispiel hierzu ist A = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 7 2 3 1 5 4 9 3 7 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ , A − 1 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 0, 2473 − 0, 0538 − 0, 0753 0, 3118 0, 2366 − 0, 2688 − 0, 4516 − 0, 0323 0, 3548 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ mit <?page no="31"?> 1.1 Matrizen 7 det A = 93 und AA − 1 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ = E. Die Invertierung einer Matrix erm¨oglicht beispielsweise die L¨osung von linearen Gleichungssystemen. 1.1.10 Transponierte einer Matrix Die transponierte Matrix A T einer Matrix A erh¨alt man durch Vertauschen deren Zeilen mit Spalten. Zwischen den Elementen besteht der folgende Zusammenhang: a T ik = a ki . Ist die Matrix A vom Typ (m,n), so ist die Transponierte Matrix A T vom Typ (n,m). Durch Transponieren geht beispielsweise ein Zeilenvektor in einen Spaltenvektor ¨ uber und umgekehrt. Ein Beispiel einer (m,m)-Matrix ist A = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 7 2 3 1 5 4 9 3 7 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ , A T = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 7 1 9 2 5 3 3 4 7 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ . Beispielsweise ist das Transponieren einer Matrix Bestandteil zur Berechnung der Adjunkte, oder wird zur Eigenwertberechnung angewendet. 1.1.11 Komplex konjugierte Matrix Die konjugiert komplexe Zahl von z = a + bi <?page no="32"?> 8 Erforderliche mathematische Grundlagen ist z ∗ = a − bi. Die komplex konjugierte Matrix von A ist A ∗ in welcher jedes Element der Matrix durch ihr komplex konjugiertes Element ersetzt wird. Ein Beispiel hierzu ist A = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 1 2 3i 1 + 2i 5 − 3i 9 0 7 − 4i ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ , A ∗ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 1 2 − 3i 1 − 2i 5 3i 9 0 7 + 4i ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ . Das Vertauschen des Vorzeichens der imagin¨aren Einheit entspricht der Spiegelung des Imagin¨arteils an der Realachse. 1.1.12 Hermitesche konjugierte Matrix Die hermitesche konjugierte Matrix oder adjungierte einer Matrix oder Adjunkte der Matrix A vom Typ (m.n) mit komplexen Elementen ist die Transponierte ihrer komplex Konjugierten, oder die komplex Konjugierte ihrer Transponierten A H = (A ∗ ) T = ( A T ) ∗ . Ein Beispiel hierzu ist A ∗ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 1 2 − 3i 1 − 2i 5 3i 9 0 7 + 4i ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ , A H = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 1 1 − 2i 9 2 5 0 − 3i 3i 7 + 4i ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ = (A ∗ ) T . Die adjungierte Matrix darf nicht mit der Adjunkte verwechselt werden. <?page no="33"?> 1.1 Matrizen 9 1.1.13 Hermitesche Matrix - selbstadjungierte Matrix Die hermitesche Matrix A ist eine quadratische Matrix mit komplexen Elementen, die gleich ihrer adjungierten Matrix A = (A ∗ ) T = A H ist. Bei reeller Elementbesetzung entsprechen die Begriffe symmetrische und hermitesche Matrix einander. Ein Beispiel hierzu ist A = (A ∗ ) T = ( 3 2 + i 2 − i 1 ) = A H . Hermitesche Matrizen finden beispielsweise in linearen Gleichungssystemen Anwendung. Benannt wurde die Marix nach Charles Hermite, einem franz¨osischen Mathematiker (1822-1901). 1.1.14 Orthogonalmatrix Eine quadratische Matrix A wird als orthogonal bezeichnet, wenn deren Transponierte gleich ihrer Inversen A T = A − 1 oder die Multiplikation der transponierten orthogonalen Matrix mit der orthogonalen Matrix gleich der Einheitsmatix A T A = E ist. Ein Beispiel hierzu ist A T = ( 0 1 1 0 ) , A = ( 0 1 1 0 ) , damit ist <?page no="34"?> 10 Erforderliche mathematische Grundlagen ( 0 1 1 0 ) · ( 0 1 1 0 ) = ( 0 1 1 0 ) = E. Des Weiteren ist • det(A) = 1: A ist eine Drehmatrix • det(A) = -1: A ist eine Dreh-, Spiegelmatrix gegeben. Orthogonale Matrizen finden in linearen Gleichungssystemen sowie in der Matrizenzerlegung Anwendung. 1.1.15 Unit¨are Matrix Eine quadratische Matrix A mit komplexen Elementen wird als unit¨are Matrix definiert, wenn (A ∗ ) T = A − 1 oder A(A ∗ ) T = (A ∗ ) T A = E ist. Sie ist damit die Transponierte ihrer komplexen konjugierten, was der invertierten Matrix entspricht. Im Reellen fallen die Begriffe unit¨ar und orthogonal zusammen. Ein Beispiel hierzu ist A = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 1 √ 2 1 √ 2 0 − 1 √ 2 i 1 √ 2 i 0 0 0 i ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ , A ∗ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 1 √ 2 1 √ 2 0 1 √ 2 i − 1 √ 2 i 0 0 0 − i ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ , A − 1 = (A ∗ ) T = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 1 √ 2 1 √ 2 i 0 1 √ 2 − 1 √ 2 i 0 0 0 − i ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ . Unit¨are Matrizen finden in der Matrizenzerlegung Anwendung. <?page no="35"?> 1.1 Matrizen 11 1.1.16 Normalmatrix - Normale Matrix Eine quadratische Matrix wird als Normale Matrix bezeichnet, wenn sie die Gleichung AA T = A T A erf¨ ullt. Hermitesche, unit¨are, symmetrische und orthogonale Matrizen sind Beispiele von Normalmatrizen. Ein Beispiel einer Normalmatrix ist A = ( i 0 0 3 − 5i ) , A T = ( i 0 0 3 − 5i ) , A T A = A A T = ( − 1 0 0 − 16 − 30i ) . 1.1.17 Norm einer Matrix Gegeben sei die Matrix A mit A = ( 1 2 0 − 1 ) , deren Norm mit • ‖ A ‖ 1 = Summe der Absolutwerte der Reihenelemente 1 = 3, • ‖ A ‖ 2 = Summe der Absolutwerte der Reihenelemente 2 = 1, • ‖ A ‖ ∞ = Maximum aus der Summe der Absolutwerte aller Reihenelemente = N orm ‖ A ‖ = 3 berechnet wird. Matrixnormen werden h¨aufig in der linearen Algebra und in der numerischen Mathematik verwendet. Des Weiteren finden Sie Anwendung um die Konvergenz von Potenzreihen von Matrizen zu untersuchen. <?page no="36"?> 12 Erforderliche mathematische Grundlagen 1.1.18 Konditionierte Matrizengleichung und Konditionszahl Bei der L¨osung einer Matrizengleichung k¨onnen numerische Probleme auftreten, welche es zu bewerten gilt. Gegeben ist die Matrizengleichung I D = A ( 400 − 201 − 800 401 ) ( x 1 x 2 ) = ( 200 − 200 ) mit der L¨osung x 1 = − 100 und x 2 = − 200. Bewirkt nun • eine kleine ¨ Anderung von I ( 401 − 201 − 800 401 ) ( x 1 x 2 ) = ( 200 − 200 ) eine große ¨ Anderung von D, in diesem Fall x 1 = 40.000 und x 2 = 79.800, so gilt das System als schlecht konditioniert, was hier der Fall ist. • eine kleine ¨ Anderung von I eine kleine ¨ Anderung von D, so gilt das System als gut konditioniert. Die Bewertung einer Matrix A erfolgt mit ihrer Konditionszahl cond ‖ A ‖ unter Einbezug ihrer Inversen. Hierbei ist • cond ‖ A ‖ ≈ 1: gut konditionierte Matrix (well conditioned), • cond ‖ A ‖ > 1: schlecht konditionierte Matrix (ill conditioned). Gegeben sind die Matrizen A und A − 1 mit A = ( 400 − 201 − 800 401 ) ; A − 1 = ( − 1, 0025 − 0, 5025 − 2 − 1 ) . Die Konditionszahl cond ‖ A ‖ der Matrix A wird mit der maximalen Summe der Elemente einer Reihe <?page no="37"?> 1.1 Matrizen 13 cond ‖ A ‖ = ‖ A ‖ ∞ ︸ ︷︷ ︸ N orm ‖ A ‖ · ‖ A − 1 ‖ ∞ ︸ ︷︷ ︸ N orm ‖ A −1 ‖ = | − 800 | + | 401 | ︸ ︷︷ ︸ N orm ‖ A ‖ · | − 2 | + | − 1 | ︸ ︷︷ ︸ N orm ‖ A −1 ‖ = 1201 · 3 = 3.603 1 berechnet. Die Matrix gilt als schlecht konditioniert. Des Weiteren wird mittels log(cond ‖ A ‖ ) = log(3.603) = 3, 6 die Anzahl an Dezimalen (Nachkommastellen) berechnet, welche an Genauigkeit verloren gehen. Hier liegt kein klare Definition vor, deshalb ist bei der Anwendung Vorsicht geboten. 1.1.19 Eigenwert, Eigenvektor Als Beispiel sei die Matrizengleichung ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 1 2 0 2 1 0 0 0 − 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ · ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 1 1 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 3 3 − 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ genannt, bei welcher der Spaltenvektor der linken Gleichungsh¨alfte nicht mit dem Ergebnisvektor der rechten Gleichungsh¨alfte ¨ ubereinstimmt. Durch ¨ Anderung des linken Spaltenvektors und erneuter Multiplikation mit der Matrix folgt <?page no="38"?> 14 Erforderliche mathematische Grundlagen ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 1 2 0 2 1 0 0 0 − 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ︸ ︷︷ ︸ A · ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 1 1 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ︸ ︷︷ ︸ v = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 3 3 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ = 3 ︸︷︷︸ λ · ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 1 1 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ︸ ︷︷ ︸ v ein Ergebnisvektor, welcher gleich dem linken Spaltenvektor ist. Die Matrizengleichung nimmt die allgemeine Form A v = λ · v ein, wobei A die Matrix ist, v als Eigenvektor und λ als skalarer Eigenwert bezeichnet wird. Die linke Seite der Gleichung ist eine Matrix-Vektor- und die rechte Seite der Gleichung eine skalare Multiplikation. Wird im Fortgang λ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ = λ · ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ︸ ︷︷ ︸ E mit Hilfe der Einheitsmatrix E beschrieben, so folgt erneut die Matrizengleichung in allgemeiner Form A v = (λ E) · v. Durch Umstellen folgt A v − (λ E) · v = (A − λ E) · v = 0. Gesucht werden Werte f¨ ur λ, welche die Gleichung erf¨ ullen. Die Bedingung wird mit dem charakteristischen Polynom P(λ) <?page no="39"?> 1.1 Matrizen 15 det (A − λ E) = P(λ) = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a 11 − λ a 12 . . . a 1 n a 21 a 22 − λ . . . ... ... . . . ... a m 1 · · · · · · a mn − λ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 0 (1.1) beschrieben, welches durch die Entwicklung der Determinante entsteht. Die Bestimmung von Eigenwerten wird in physikalisch-technischen Systemen bevorzugt zur Berechnung von Resonanzfrequenzen herangezogen. 1.1.20 Quadratische Matrizen - eine Zusammenfassung Quadratische Matrizen vom Typ (m m) oder kurz A mm finden h¨aufig zur Beschreibung physikalischer Ph¨anomene eine Anwendung. Folgend werden quadratische Matrizen zusammengefasst, welche in der Physik eine Signifikanz erfahren. <?page no="40"?> 16 Erforderliche mathematische Grundlagen Abbildung 1.2: Zusammenfassung gew¨ahlter Typen quadratischer (n, n) Matrizen <?page no="41"?> 1.2 Integral-, Differenzialgleichungen 17 1.2 Integral-, Differenzialgleichungen Viele Vorg¨ange in Naturwissenschaft und Technik werden mittels Differenzialgleichungen beschrieben. Um den Zugang zu den Differenzialgleichungen zu erleichtern, werden diese hier vorgestellt. Nach anf¨anglichen Begriffsdefinitionen wird eine Klassifizierung von Differenzialgleichungen vorgenommen. Des Weiteren werden Anfangswertaufgaben und Randwertaufgaben vorgestellt. Bei der nachfolgenden Zusammenfassung wurde sich insbesondere der Literatur [3], [52], [58] bedient. 1.2.1 Definitionen • Wenn x und y zwei variable Gr¨oßen sind und wenn sich einem gegebenen x-Wert genau ein y-Wert zuordnen l¨asst, dann nennt man y eine Funktion von x und schreibt y=f(x). • Die ver¨anderliche Gr¨oße x heißt unabh¨angige Variable oder Argument der Funktion y. Die ver¨anderliche Gr¨oße y heißt abh¨angige Variable. • Differenzialgleichung (DGL) wird eine Gleichung genannt, in der neben einer oder mehreren unabh¨angigen Ver¨anderlichen und einer oder mehreren Funktionen dieser Ver¨anderlichen auch noch die Ableitung dieser Funktion nach den unabh¨angigen Ver¨anderlichen auftreten. Die Ordnung einer Differenzialgleichung ist gleich der Ordnung der h¨ochsten in ihr auftretenden Ableitung. • Eine Gleichung, in der Ableitungen einer Funktion y = y(x) bis zur n-ten Ordnung auftreten, heißt gew¨ohnliche Differenzialgleichung n-ter Ordnung. • Partielle Differenzialgleichungen enthalten partielle Ableitungen einer Funktion von mehreren Variablen. • Eine Differenzialgleichung heißt linear, wenn die Funktion und ihre Ableitungen nur linear, d. h. in der ersten Potenz, auftreten. • Eine Differenzialgleichung heißt homogen, wenn die Summe aller Terme, welche die Funktion f oder deren Ableitung von f beinhalten, gleich Null ist. Andernfalls heißt sie inhomogen. • Eine Funktion, deren Gleichung nach der abh¨angigen Ver¨anderlichen aufgel¨ost ist, heißt explizit (explicitus (lat.) auseinandergewickelt). Die allgemeine Form <?page no="42"?> 18 Erforderliche mathematische Grundlagen der expliziten Funktion ist y = f(x). Bei der expliziten Form einer mathematischen Funktion lassen sich deren Werte ohne Umformen der Funktion unmittelbar berechnen (Bsp.: y = √ 1 − x 2 ). • Eine Funktion, deren Gleichung nicht nach der abh¨angigen Ver¨anderlichen aufgel¨ost ist, heißt implizit (implicitus (lat.) hineingewickelt). Die allgemeine Form einer impliziten Funktion ist f(x,y) = 0. Die implizite Form einer Gleichung f(x, y) = 0 erh¨alt man, wenn sich diese Gleichung eindeutig nach y aufl¨osen l¨asst (Bsp.: x 2 − y 2 − 1 = 0). In Tab. 1.2 sind Beispiele von Differenzialgleichungen aufgef¨ uhrt. Tabelle 1.2: Beispiele zur Darstellung und Benennung von Differenzialgleichungen y ′ = 2 x Explizite Dgl 1. Ordnung x + yy ′ = 0 Implizite Dgl 1. Ordnung y ′ + yy ′′ = 0 Implizite Dgl 2. Ordnung ¨ s = − g Explizite Dgl 2. Ordnung y ′′′ + 2 y ′ = cos(x) Implizite Dgl 3. Ordnung y (6) − y (4) + y ′′ = e x Implizite Dgl 6. Ordnung 1.2.2 Differenzierung skalarer Funktionen F¨ ur die Differenzierung skalarer Funktionen gelten die folgenden Regeln: • Summenregel: d(u ± v) = du ± dv (gliedweises Differenzieren), • Produktregel: d(uv) = u dv + v du. 1.2.3 Gew¨ohnliche Differenzialgleichungen h¨oherer Ordnung Die lineare gew¨ohnliche Differenzialgleichung der Ordnung n (Ordinary Differential Equation - ODE) mit nicht konstanten Koeffizienten hat die Form a n (x) d n y(x) dx n + · · · + a 1 (x) dy(x) dx + a 0 (x)y(x) = { f(x) (inhomog. ODE) 0 (homogene ODE). (1.2) <?page no="43"?> 1.2 Integral-, Differenzialgleichungen 19 Ist f(x) = 0, so wird die ODE als homogen, ansonsten als inhomogen bezeichnet. Ein Sonderfall bildet die lineare ODE mit konstanten Koeffizienten a n d n y(x) dx n + · · · + a 1 dy(x) dx + a 0 y(x) = { f(x) (inhomog. ODE) 0 (homogene ODE), (1.3) die im Falle f(x) = 0 als homogen, ansonsten als inhomogen bezeichnet wird. Die L¨osung der ODEs wird wie folgt vorgenommen: • L¨osung des homogenen Falls der ODE von Gl. (1.2): Zur L¨osung der homogenen Gl. (1.2) m¨ ussen n lineare, unabh¨angige Funktionen y 1 (x), y 2 (x), ..., y n (x) bestimmt werden, welche dieser Gleichung gen¨ ugen und als allgemeine L¨osung oder komplement¨are Gleichung y c (x) y c (x) = c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) + ... + c n y n (x) bezeichnet werden. • L¨osung des inhomogenen Falls der ODE von Gl. (1.2): Zu der komplement¨aren L¨osung y c (x) muss noch die partikul¨are L¨osung y p (x) ermittelt werden, welche jede Funktion annehmen kann, welche der inhomogenen Gl. (1.2) gen¨ ugt. Die allgemeine L¨osung der inhomogenen Gl. (1.2) ist damit y(x) = y c (x) + y p (x). • L¨osung des homogenen Falls der ODE von Gl. (1.3): Gesucht wird die komplement¨are Funktion y c (x). Hierzu wird die Ansatzfunktion y(x) = A e λx gew¨ahlt und in die homogene Gl. (1.3) eingesetzt. Die Division durch A e λx f¨ uhrt zur (Hilfs-)Gleichung a n λ n + a n − 1 λ n − 1 + ... + a 1 λ + a 0 = 0. Hieraus k¨onnen in der Regel drei Haupt-L¨osungsf¨alle herausgearbeitet werden, deren L¨osungen linear und unabh¨angig sein k¨onnen. <?page no="44"?> 20 Erforderliche mathematische Grundlagen • L¨osung des inhomogenen Falls der ODE von Gl. (1.3): Zur komplement¨aren L¨osung y c (x) muss zus¨atzlich noch die partikul¨are L¨osung y p (x) bestimmt werden. Es gibt keine allgemein anwendbare Methode f¨ ur lineare ODEs mit konstanten Koeffizienten zum Finden der partikul¨aren L¨osung y p (x). Die allgemeine L¨osung der inhomogenen Gl. (1.3) ist y(x) = y c (x) + y p (x). Es stellt sich die Frage, wie ermittelt wird, dass n individuelle L¨osungen der homogenen Gleichungen (1.2) und (1.3) linear unabh¨angig sind. Zur L¨osung erfolgt die wiederholte Differenzierung der komplement¨aren Gleichung y c c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) + ... + c n y n (x) = 0 c 1 y ′ 1 (x) + c 2 y ′ 2 (x) + ... + c n y ′ n (x) = 0 ... 0 (1.4) c 1 y ( n − 1) 1 (x) + c 2 y ( n − 1) 2 (x) + ... + c n y ( n − 1) n (x) = 0. Sollte dabei die Determinante der Koeffizienten c 1 , c 2 , ..., c n = 0 sein, so verbleibt f¨ ur die L¨osung von Gl. (1.4) nur die triviale L¨osung c 1 = c 2 = ... = c n = 0. Die n Funktionen y 1 (x), y 2 (x), ..., y n (x) sind ¨ uber ein Intervall linear unabh¨angig, wenn W (y 1 , y 2 , ..., y n ) = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ y 1 y 2 . . . y n y ′ 1 y ′ 2 . . . ... ... . . . ... y ( n − 1) 1 · · · · · · y ( n − 1) n ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 0 gilt. Hierbei ist W (y 1 , y 2 , ..., y n ) die Wronski-Determinante, deren Wert noch von x abh¨angt. N¨ utzliche Literatur hierzu siehe [38], Seite 786 ff. sowie [51], Seite 490 ff.. 1.2.4 Partielle Differenzialgleichungen Eine allgemeine Differenzialgleichung mit n-unabh¨angigen Variablen m-ter Ordnung in impliziter Form nennt man die Gleichung F ( x 1 , x 2 , ... , x n , u, ∂u ∂x 1 , ..., ∂u ∂x n , ∂ 2 u ∂x 2 1 , ∂ 2 u ∂x 1 ∂x 2 ..., ) = 0. <?page no="45"?> 1.2 Integral-, Differenzialgleichungen 21 Diese heißt partielle Differenzialgleichung (Partial Differential Equation - PDE). Ist m die h¨ochste Ordnung der darin vorkommenden partiellen Ableitung, so heißt die Gleichung partielle Differenzialgleichung m-ter Ordnung. Wird die Gleichung nach u m (x) aufgel¨ost, so erh¨alt man die explizite Form der gew¨ohnlichen Differenzialgleichung m-ter Ordnung. Empfehlenswerte Literatur: [3], S. 504 ff.; [58], S. 549 ff. Der Wert einer gemischten Ableitung ∂ 2 u ∂x 1 ∂x 2 ist f¨ ur gegebene Werte von x 1 und x 2 unabh¨angig von der Reihenfolge der Ableitungsbildung ∂ 2 u ∂x 1 ∂x 2 = ∂ 2 u ∂x 2 ∂x 1 (Schwarz’scher Vertauschungssatz). Partielle Ableitungen h¨oherer Ordnung sind analog definiert ([3], S. 410). Im Allgemeinen ist ∂ 2 u ∂x 1 ∂x 2 = ∂u ∂x 1 · ∂u ∂x 2 . Hier seien noch Hinweise f¨ ur die Schreibweise von Ableitungen gegeben. Es ist f ′ = ∂f ∂x = df dx . F¨ ur die zweite Ableitung folgt hieraus f ′′ = d 2 f dx 2 , was wiederum nicht mit (f ′ ) 2 = df dx · df dx verwechselt werden darf ([43], S. 327). <?page no="46"?> 22 Erforderliche mathematische Grundlagen 1.2.5 Partielle Integration Die Gleichung zur partiellen Integration ist ˆ u(x) v ′ (x) dx = u(x) v(x) − ˆ u ′ (x) v(x) dx. Diese Gleichung gilt f¨ ur bestimmte Integrale ˆ b a u(x) v ′ (x) dx = [u(x) v(x)] ∣ ∣ b a − ˆ b a u ′ (x) v(x) dx. In einigen F¨allen kann eine mehrmalige partielle Integration erforderlich werden. 1.2.6 Klassifikation von Differenzialgleichungen Zur weiteren Betrachtung werden die gebr¨auchlichen Abk¨ urzungen f¨ ur partielle Ableitungen nach Tab. 1.3 verwendet. Die allgemeine lineare partielle Differenzialgleichung 2’ter Ordnung f¨ ur die Funktion f(x, y) der zwei unabh¨angigen Variablen x und y hat die Form A f xx + B f xy + C f yy + D f x + E f y + F f = G, (1.5) wobei die Koeffizienten A, B, C, D, E, F, G im Allgemeinen Funktionen von x und y sind. Diese partiellen Differenzialgleichungen werden je nach den Werten der Koeffizienten A, B, C in drei Gruppen eingeteilt: Tabelle 1.3: Abk¨ urzungen f¨ ur partielle Ableitungen Partielle Ableitung Abk¨ urzung ∂f ∂x f x ∂f ∂y f y ∂ 2 f ∂x 2 f xx ∂ 2 f ∂y 2 f yy ∂ 2 f ∂x∂y f xy <?page no="47"?> 1.2 Integral-, Differenzialgleichungen 23 • elliptische Differenzialgleichungen: Diese beschreiben Zust¨ande, d. h. abgeschlossene Prozesse, die nicht von der Zeit t abh¨angen (station¨are Vorg¨ange). F¨ ur die L¨osung elliptischer Differenzialgleichungen gilt das Extremum-Prinzip. Das Maximum oder Minimum der L¨osung wird an den R¨andern angenommen und nicht im Inneren des Gebiets. • parabolische Differenzialgleichungen: Sie beschreiben Ausgleichsprozesse, die von der Zeit t abh¨angen (instation¨are Prozesse). Parabolische Probleme sind typischerweise Anfangsbzw. Randwertprobleme. Sie beschreiben thermische oder magnetische Diffusionsprozesse. F¨ ur parabolische Differenzialgleichungen gilt ebenfalls das Extremum-Prinzip. • hyperbolische Differenzialgleichungen: Dieser Typ beschreibt Wellenausbreitungen und Transportvorg¨ange, die von der Zeit t abh¨angen. Hyperbolische Probleme sind reine Anfangswertprobleme. In einem endlichen Gebiet k¨onnen damit Randwerte nicht beliebig vorgegeben werden, sondern werden durch Vertr¨aglichkeitsbedingungen ersetzt. Mit Hilfe von Tab. 1.4 kann die Klassifizierung von Differenzialgleichungen vorgenommen werden. Da die Koeffizienten A, B und C Funktionen von x und y sind, kann die partielle Differenzialgleichung Gl. (1.5) in einem bestimmten Teilgebiet elliptisch, in einem anderen Teilgebiet parabolisch oder hyperbolisch sein [58], S. 463. Tabelle 1.4: Klassifizierung von Differenzialgleichungen Typ Vorzeichen von L¨osungsbereich B 2 − 4AC elliptisch < 0 geschlossen parabolisch = 0 offen hyperbolisch > 0 offen 1.2.7 Anfangswertaufgabe Werden der L¨osung y = y(x) einer gew¨ohnlichen Differenzialgleichung n-ter Ordnung an einer Stelle x 0 die n-Werte <?page no="48"?> 24 Erforderliche mathematische Grundlagen y(x 0 ), y ′ (x 0 ), y ′′ (x 0 ), ..., y n − 1 (x 0 ) vorgegeben, spricht man von einer Anfangswertaufgabe. Die vorgegebenen Werte werden als Anfangswerte oder Anfangsbedingungen bezeichnet [3], S. 504. 1.2.8 Randwertaufgabe Die allgemeine L¨osung einer gew¨ohnlichen Differenzialgleichung n-ter Ordnung enth¨alt n freie Integrationskonstanten, die in einer speziellen L¨osung durch Anfangs- oder Randbedingungen festgelegt werden. Werden an die L¨osung einer gew¨ohnlichen Differenzialgleichung Bedingungen an mehreren Stellen an den ¨außeren Punkten des Definitionsbereichs gestellt, so nennt man diese Bedingungen Randbedingungen. Die gesuchte L¨osung muss an den Enden eines Intervalls der unabh¨angigen Variablen spezielle Bedingungen oder Funktionswerte einnehmen. Eine Differentialgleichung mit Randbedingungen heißt Randwertaufgabe [3], S. 504. Dies sind zus¨atzliche Bedingungen, die die spezielle L¨osung in einem oder mehreren Punkten erf¨ ullen m¨ ussen. Die allgemeine L¨osung einer partiellen Differenzialgleichung enth¨alt dagegen im allgemeinen willk¨ urliche Funktionen als Integrationskonstanten. Um diese festzulegen, m¨ ussen Randbedingungen l¨angs der Berandung Γ vorgegeben werden. Es sind die Randbedingungen • Randbedingung 1. Art: u = γ auf Γ (Dirichlet-Bedingung), • Randbedingung 2. Art: ∂u/ ∂n = γ auf Γ (Neumann-Bedingung), • Randbedingung 3. Art: ∂u/ ∂n + βu = γ auf Γ (Cauchy-Bedingung) zu unterscheiden [52], S. 18 f; [58], S. 464 f. Die Richtungsableitung in der Randbedingung ∂u/ ∂n ist definiert durch ∂u ∂n = n grad u = n 1 u x + n 2 u y . In Abb. 1.3 ist ein rechteckiges Gebiet mit der Berandung Γ 1 bis Γ 4 zu sehen. F¨ ur n = n(x, y) auf dem Rand Γ 1 gilt ∂u ∂n = − ∂u ∂x <?page no="49"?> 1.2 Integral-, Differenzialgleichungen 25 Abbildung 1.3: Beispiel zur Normalenableitung eines rechteckigen Gebiets und damit n = (-1, 0). F¨ ur n auf dem Rand Γ 2 gilt ∂u ∂n = ∂u ∂y und damit n = (0, 1). F¨ ur n auf dem Rand Γ 3 gilt ∂u ∂n = ∂u ∂x und damit n = (1, 0). F¨ ur n auf dem Rand Γ 4 gilt ∂u ∂n = − ∂u ∂y und damit n = (0, -1). 1.2.9 Lineare Operatoren Zusammenfassend folgen die am h¨aufigsten verwendeten Beziehungen von linearen Operatoren. • Linearer Operator L : Ein Operator wird als linear bezeichnet, wenn f¨ ur beide Funktionen f und g und dem Skalar t <?page no="50"?> 26 Erforderliche mathematische Grundlagen L (f + g) = L f + L g L (tf) = t L f gilt. • Adjungierter Operator L a : Dieser ist mit 〈L f, g 〉 = 〈 f, L a g 〉 definiert. • Selbstadjungierter Operator: L a = L . • Null-Operator O , Identit¨atsoperator I : O a = 0 I a = a. Hierbei ist a ein Vektor. • Inverser Operator L − 1 : L f = g L − 1 L f = L − 1 g f = L − 1 g. Es ist LL − 1 = L − 1 L = I . Beispiele hierzu sind: • Beispiel 1: − d 2 f dx 2 = g(x) L = − d 2 dx 2 L f = g(x). <?page no="51"?> 1.2 Integral-, Differenzialgleichungen 27 • Beispiel 2: L u(x) = a 0 d 2 u dx 2 + a 1 du dx + a 2 u L = a 0 d 2 dx 2 + a 1 d dx + a 2 . • Beispiel 3: Es sind L und M zwei lineare Operatoren und a ist ein Vektor, so folgt ( L + M )a = L a + M a (λ L )a = λ( L a) ( LM )a = L ( M a). 1.2.10 Inneres Produkt Ein unendlich dimensionaler Vektorraum von Funktionen, f¨ ur den ein inneres Produkt definiert ist, wird als Hilbert-Raum bezeichnet. Das innere Produkt wird als die Verallgemeinerung des Punktprodukts eingef¨ uhrt. Das innere Produkt entspricht 〈 f, g 〉 = ˆ b a f g dx der Multiplikation zweier Vektoren oder Funktionen mit anschließender Integration ¨ uber das Gebiet Ω ∈ [a, b]. Das Ergebnis ist immer ein Skalar. Aus typografischen Gr¨ unden erfolgt die Darstellung des inneren Produkts mit den beiden Klammern 〈 〉 . • Inneres Produkt von Vektoren: Das innere Produkt, auch Punktprodukt oder Skalarprodukt genannt, beschreibt die skalare Multiplikation von Vektoren. Das Ergebnis ist ein Skalar. Hierbei ist a = (a 1 , a 2 , ..., a n ) und b = (b 1 , b 2 , ..., b n ). Das innere Produkt beider Vektoren erfolgt mit der Schreibweise a · b = 〈 a, b 〉 = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 + ... + a n b n <?page no="52"?> 28 Erforderliche mathematische Grundlagen ([44], S. 24, S. 65). Gezeigt wird der besondere Fall, bei dem das Skalarprodukt gleich dem Integral 〈 a, b 〉 = ˆ Ω a b dx ist. Als Beispiel wird das innere Produkt der ortsabh¨angigen Vektoren a(s) und b(s) gebildet. Die Integration erfolgt in diesem Beispiel entlang der Strecke s. Die Annahme besteht darin, dass die ¨ortliche ¨ Anderung der Vektorkomponenten pro Meter stattfinden. Im Beispiel entspricht die integrale Wegstrecke 4 m. Die geometrische Interpretation entspricht der Fl¨ache unter dem ”Kurvenverlauf“. • Inneres Produkt von Funktionen: In Abb. 1.4 a) bis c) sind die zeitlichen Verl¨aufe der Spannung u(t), des Stroms i(t) und die daraus resultierende Leistung P (t) abgebildet. Berechnet werden soll die elektrische Energie W el als inneres Produkt der beiden Funktionen Spannung u(t) und Strom i(t) mit 〈 u, i 〉 = ˆ Ω u(t) i(t) dt = ˆ Ω P (t) dt = W el , wobei Ω ∈ [0, 5] ist. Die Multiplikation beider Funktionen mit anschließender Integration ¨ uber die Zeit t f¨ uhrt zur elektrischen Energie W el = 19 J . Das selbe Ergebnis liefert Abbildung 1.4: Spannungs-, Strom- und Leistungs-Zeitverl¨aufe <?page no="53"?> 1.2 Integral-, Differenzialgleichungen 29 〈 u, i 〉 = 〈 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 2 3 3 2 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ , ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 3 1 1 2 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 〉 = 2 · 3 + 3 · 1 + 3 · 1 + 2 · 2 + 1 · 3 = 6 + 3 + 3 + 4 + 3 = 19. In diesem Fall sind die Ergebnisse das Integrals und des Skalarprodukts identisch. • Inneres Produkt, normiert: Ein inneres Produkt wird mit ‖ f ‖ = √ 〈 f, f 〉 = [ ˆ b a | f(x) | 2 w(x) dx ] 1 / 2 normiert. Dabei ist w(x) die Wichtungsfunktion. • Normal-Funktion: Eine quadratische integrierbare Funktion f(x) heißt normal, wenn 〈 f(x), f(x) 〉 = ˆ b a (f(x)) 2 dx = 1 ist. • Normalisierte Funktion: Eine normalisierte Funktion ˆ f ist mit ˆ f = f ‖ f ‖ = 1 definiert. • Orthogonal-Funktion: Zwei Funktionen f(x) und g(x) sind orthogonal im Intervall a ≤ x ≤ b mit der Wichtungsfunktion w(x), wenn 〈 f(x), g(x) 〉 = ˆ b a f(x) g(x) w(x) dx = 0 ist. <?page no="54"?> 30 Erforderliche mathematische Grundlagen • Orthonormal-Funktion: Zwei Funktionen f(x) und g(x) sind orthonormal im Intervall a ≤ x ≤ b mit der Wichtungsfunktion w(x), wenn 〈 f(x), f(x) 〉 = ˆ b a (f(x)) 2 w(x) dx = 1 〈 g(x), g(x) 〉 = ˆ b a (g(x)) 2 w(x) dx = 1 ist. F¨ ur eine Einf¨ uhrung in die Thematik des inneren Produktes siehe auch [4], S. 162 und S. 166. 1.2.11 Starke Form/ Formulierung einer Differenzialgleichung Die gew¨ohnliche Differenzialgleichung L(u) beispielsweise in der Form L(u) = 0, x ∈ Ω d 2 u(x) dx 2 + 1 = 0 wird als starke Form (die f¨ ur uns bekannte Form mit den entsprechenden starken Stetigkeitsbedingungen) bezeichnet. 1.2.12 Schwache Form/ Formulierung einer Differenzialgleichung Die gew¨ohnliche Differenzialgleichung L(u) wird mit einer Funktion v(x) multipliziert und ¨ uber das Intervall Ω integriert 〈 L, v 〉 = ˆ Ω L(u) v(x) dx = ˆ Ω ( d 2 u(x) dx 2 + 1 ) v(x) dx = 0 und damit in ihre schwache Form ¨ uberf¨ uhrt, welche schw¨achere Stetigkeitsbedingungen erf¨ ullen muss. Dies kann mit der Schreibweise des inneren Produkts vereinfacht dargestellt werden. Die schwache Form erfordert nur eine einfache Stetigkeit der Ableitung (schwache Stetigkeitsforderung). <?page no="55"?> 1.3 Vektor-Klassifikation 31 1.3 Vektor-Klassifikation Eine Klassifikation von Vektoren wurde in [45], S. 10 mit ”Physical vector quantities may be divided into two classes, in one of which the quantity is defined with reference to a line, while in the other the quantity is defined with reference to an area.“ vorgenommen. Unterschieden werden Vektoren, von denen eine Klasse • mit Bezug auf eine Linie definiert ist. Ein Beispiel hierzu ist die Kraft, berechnet aus der virtuellen Verschiebung, welche entlang dieser kurzen Strecke wirkt. • mit Bezug auf eine Fl¨ache definiert ist. Beispiele hierzu sind die magnetische Flussdichte B und die elektrische Stromdichte J . Beide Vektoren werden aus Flussgr¨oßen, welche senkrecht eine Fl¨ache durchdringen, berechnet. 1.4 Differenziationsregeln f¨ ur Vektoren Im weiteren Verlauf wird die Ableitung von Vektorfunktionen eingef¨ uhrt [3]. Die Vektorfunktion einer skalaren Variablen t beschreibt einen Vektor a = a(t), wenn seine Komponenten Funktionen von t sind: a 1 (t) e 1 , a 2 (t) e 2 , a 3 (t) e 3 . Die Ableitung von a(t) nach t ist eine Vektorfunktion von t d a dt = lim Δ t → 0 a(t + Δt) − a(t) Δt . Ein Vektor wird nach einer skalaren Gr¨oße differenziert, indem die einzelnen Komponenten differenziert werden: d a dt = da 1 dt e 1 + da 2 dt e 2 + da 3 dt e 3 . Der Differentialquotient ist ein Vektor. Das Differential einer Vektorfunktion a(t) wird definiert durch d a = d a dt Δt. <?page no="56"?> 32 Erforderliche mathematische Grundlagen Es ist ϕ(t) eine skalare Funktion. F¨ ur die Differentiation von Vektorprodukten gelten die folgenden Regeln: d dt (ϕ a) = ϕ d a dt + a dϕ dt d dt ( a ± b ± c ) = d a dt ± d b dt ± d c dt d dt ( a · b) = a · d b dt + d a dt · b d dt ( a × b) = a × d b dt + d a dt × b d dt [ a · ( b × c) ] = a · ( b × d c dt ) + a · ( d b dt × c ) + d a dt · ( b × c ) d dt [ a × ( b × c) ] = a × ( b × d c dt ) + a × ( d b dt × c ) + d a dt × ( b × c ) d dt a [ϕ(t)] = d a dϕ · dϕ dt . 1.5 Vektoroperatoren Vorgestellt werden die Operatoren • Nabla- und Laplace-Operator: Erm¨oglicht vereinfachte Schreibweise f¨ ur folgende Vektoroperatoren, • Gradient: Richtungsableitung einer skalaren Funktion, • Divergenz: Untersucht den Fluss des Vektorfeldes (Fluss pro Volumeneinheit) hinsichtlich Flussquellen und Flusssenken, • Rotation: Untersucht ein Vektorfeld nach Wirbeln in kartesischen Koordinaten. 1.5.1 Nabla- und Laplace-Operator Der Nabla-Operator (eng.: del-operator) wird beschrieben mit <?page no="57"?> 1.5 Vektoroperatoren 33 ∇ = ∂ ∂x 1 e 1 + ∂ ∂x 2 e 2 + ∂ ∂x 3 e 3 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ∂ ∂x 1 ∂ ∂x 2 ∂ ∂x 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ . Der Operator hat gleichzeitig die Eigenschaft eines Vektors und eines mathematischen Operators. Der Laplace-Operator Δ wird als Delta-Operator bezeichnet. Diese Bezeichnung darf nicht mit der englischen Bezeichnung f¨ ur Nabla-Operator (del-operator) verwechselt werden. Der Laplace-Operator Δ ist das skalare Produkt des Nabla-Operators Δ = ∇ · ∇ = ∇ 2 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ∂ x 1 ∂ x 2 ∂ x 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ · ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ∂ x 1 ∂ x 2 ∂ x 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ = ∂ 2 ∂x 2 1 + ∂ 2 ∂x 2 2 + ∂ 2 ∂x 2 3 mit sich selbst. 1.5.2 Vektoroperator Gradient Der Gradient der skalaren Ortsfunktion (Potenzialfunktion) ϕ ist in kartesischen Koordinaten grad ϕ = ∂ϕ ∂x 1 e 1 + ∂ϕ ∂x 2 e 2 + ∂ϕ ∂x 3 e 3 = ∇ ϕ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ∂ ∂x 1 ∂ ∂x 2 ∂ ∂x 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ · ϕ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ∂ϕ ∂x 1 ∂ϕ ∂x 2 ∂ϕ ∂x 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ . <?page no="58"?> 34 Erforderliche mathematische Grundlagen Der Gradient ist ein Vektorfeld. Er ist ein Maß f¨ ur die ¨ Anderung der skalaren Funktion ϕ(x 1 , x 2 , x 3 ) in Richtung der Koordinaten x 1 , x 2 , x 3 im betrachteten Punkt P. Der Gradient grad ϕ(x 1 , x 2 , x 3 ) zeigt stets in Richtung des gr¨oßten Anstiegs seiner Potenzialfunktion. Der Gradient steht immer senkrecht auf den Fl¨achen ϕ(x 1 , x 2 , x 3 ). Bei den Rechenregeln f¨ ur den Gradienten sind φ und ψ skalare Felder, c eine Konstante: grad c = 0 grad (c φ) = c (grad φ) grad (φ ± ψ) = grad φ ± grad ψ grad (φ + c) = grad φ grad (φ · ψ) = φ (grad ψ) + ψ (grad φ). 1.5.3 Vektoroperator Divergenz In kartesischen Koordinaten wird die Divergenz mit div B = ∂B 1 ∂x 1 + ∂B 2 ∂x 2 + ∂B 3 ∂x 3 = ∂ B 1 ∂x 1 e 1 + ∂ B 2 ∂x 2 e 2 + ∂ B 3 ∂x 3 e 3 = ∇ B berechnet. Die Divergenz ist ein Skalar. Durch die skalare Multiplikation des Operators mit einem Vektor wird das Skalarprodukt und damit die Divergenz des Vektors B gebildet. Bei den Rechenregeln f¨ ur die Divergenz sind A und B Vektorfelder, φ ist ein Skalarfeld, a ein konstanter Vektor und c eine Konstante: div a = 0 div (φ A) = (grad φ) · A + φ (div A) div (c A) = c (div A) div ( A + B) = div A + div B div ( A + a) = div A div ( A × B) = B rot A − A rot B. <?page no="59"?> 1.5 Vektoroperatoren 35 1.5.4 Vektoroperator Rotation Die Rotation eines Vektorfeldes wird in kartesischen Koordinaten mit rot B = ( ∂B 3 ∂x 2 − ∂B 2 ∂x 3 ) e 1 + ( ∂B 1 ∂x 3 − ∂B 3 ∂x 1 ) e 2 + ( ∂B 2 ∂x 1 − ∂B 1 ∂x 2 ) e 3 berechnet. Die Berechnungsformel l¨asst sich in kartesischen Koordinaten durch eine Determinante rot B = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ e 1 e 2 e 3 ∂ ∂x 1 ∂ ∂x 2 ∂ ∂x 3 B 1 B 2 B 3 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = ∇ × B darstellen. Die Rotation ist ein Vektor. Es folgen die wichtigsten Rechenregeln f¨ ur die Rotation. Dabei sind A und B Vektorfelder, φ ist ein Skalarfeld, a ein konstanter Vektor und c eine Konstante: rot a = 0 rot (φ A) = (grad φ) × A + φ (rot A) rot (c A) = c (rot A) rot ( A ± B) = rot A ± rot B rot ( A + a) = rot A rot rot( A) = grad div A − Δ A rot ( A × B) = A div B − B div A + ( B · ∇ ) A − ( A · ∇ ) B, wobei ( A · ∇ ) = A 1 ∂ ∂x 1 + A 2 ∂ ∂x 2 + A 3 ∂ ∂x 3 ist. 1.5.5 Gegen¨ uberstellung der Vektoroperatoren In der Tabelle 1.5 sind die Vektoroperatoren gegen¨ ubergestellt. Diese beinhaltet die Argumente sowie die Ergebnisse. <?page no="60"?> 36 Erforderliche mathematische Grundlagen Tabelle 1.5: Gegen¨ uberstellung der Vektoroperatoren Operator: grad ϕ div A rot A Argument Skalar Vektor Vektor Ergebnis Vektor Skalar Vektor Nabla-Operator ∇ · ϕ ∇ · A ∇ × A 1.5.6 Rechenregeln f¨ ur den Nabla-Operator Regeln f¨ ur die Differenzierung skalarer Funktionen gelten f¨ ur die Anwendung des Nabla- Operators. Es seien φ und ψ zwei skalare Funktionen, F und G zwei vektorielle Funktionen der Raumkoordinaten. Der Index am ∇ -Operator gibt an, auf welche Funktion der Operator angewendet werden soll. Es gilt unter Anwendung der Summenregel: ∇ (φ ± ψ) = ∇ φ (φ) ± ∇ ψ (ψ) ∇ ( F ± G) = ∇ F ( F ) ± ∇ G ( G). Entsprechend der Produktregel wird die Differentiation mit Hilfe des Nabla-Operators durchgef¨ uhrt: ∇ (φ · ψ) = ∇ φ (φ, ψ) + ∇ ψ (φ, ψ) = ψ ∇ φ (φ) + φ ∇ ψ (ψ) ∇ (φ · F ) = φ ∇ F + F ∇ φ ∇ ( F · G) = ∇ F ( F · G) + ∇ G ( F · G) = ( G ∇ ) F + G × ( ∇ × F ) + ( F ∇ ) G + F × ( ∇ × G) ∇ × (φ · F ) = ∇ φ × F + φ ∇ × F ∇ ( F × G) = ∇ F ( F × G) + ∇ G ( F × G) = G ( ∇ × F ) − F ( ∇ × G) ∇ × ( F + G) = ∇ × F + ∇ × G ∇ × ( F × G) = F ( ∇ F ) − G( ∇ F ) + ( G · ∇ ) F − ( F ∇ ) G. <?page no="61"?> 1.5 Vektoroperatoren 37 1.5.7 Gegen¨ uberstellung Skalar- und Vektorprodukt In Tab. 1.6 wurde eine Gegen¨ uberstellung der Skalar- und Vektorprodukte vorgenommen. Die erste Spalte benennt das Rechengesetz, die zweite Spalte die Skalarprodukte, welche der dritten Spalte, den Vektorprodukten, gegen¨ uber steht. Hierbei sind a, b und c Vektoren und α eine Konstante. Tabelle 1.6: Skalar- und Vekorprodukte Benennung Skalarprodukt Vektorprodukt Kommutativgesetz a b = b a a × b = − b × a = − ( b × a ) Assoziativgesetz bei α ( a b ) = (α a) b α ( a × b ) = α a × b Multiplik. m. Skalar = ( α b ) a = a × α b Assoziativit¨at bei a × ( b × c ) = ( a × b ) × c Multiplik. m. Vektor a ( b c ) = ( a b ) c a × ( b × c ) = ( a · c) b − ( a · b ) c = b ( a · c) − c ( a · b ) ( a × b ) × c = ( a · c) b − ( b · c ) a f¨ ur c = a, d = b folgt ( a × b ) · ( a × b ) = ( a × b ) 2 = ( a · a) ( b · b ) − ( a · b ) 2 Distributivgesetz a ( b + c ) = a b + a c a × ( b + c ) = a × b + a × c α ( a + b ) = α a + α b ( a + b ) × c = a × c + b × c Orthogonalit¨at a b = 0, wenn a ⊥ b a × b = ab, wenn a ⊥ b Kollinearit¨at a b = a b, wenn a b a × b = 0, wenn a ‖ b Quadrat eines Vektors a a = a 2 = a 2 a × a = 0 Skalare Multiplikation a · ( a × b ) = 0 a · ( b × c ) = ( a × b ) · c In Tab. 1.7 sind die Rechenregeln der Einheitsvektoren e 1 , e 2 und e 3 zusammengefasst. Diese werden skalar und vektoriell multipliziert und die Ergebnisse dargestellt. Es kann erkannt werden, dass die skalare Multiplikation eines Einheitsvektors mit sich selbst <?page no="62"?> 38 Erforderliche mathematische Grundlagen die Zahl Eins ergibt, jedoch die vektorielle Multiplikation zu Null f¨ uhrt. Die vektorielle Multiplikation zweier verschiedener Einheitsvektoren ergibt den Einheitsvektor der dritten Dimension. Tabelle 1.7: Rechenregeln f¨ ur Einheitsvektoren e 1 · e 1 = 1 e 1 · e 2 = 0 e 1 × e 1 = 0 e 1 × e 2 = e 3 e 2 · e 2 = 1 e 1 · e 3 = 0 e 2 × e 2 = 0 e 2 × e 3 = e 1 e 3 · e 3 = 1 e 2 · e 3 = 0 e 3 × e 3 = 0 e 3 × e 1 = e 2 1.6 Maxwell’sche Gleichungen Zur Einf¨ uhrung in die Maxwell’schen Gleichungen wird die Beziehung zwischen Kreis- und Fl¨achenintegral vorgestellt. Die Maxwell’schen Gleichungen werden in ihrer Differenzial- und Integralform dargestellt. Des Weiteren erfolgt eine Richtungszuordnung zwischen den beteiligten Vektorfeldern. 1.6.1 Beziehung zwischen Kreis- und Fl¨achenintegral Den Zusammenhang zwischen einem Kreis- und Fl¨achenintegral beschreibt das vierte Maxwell’sche Theorem aus [45], S. 25: ”A line-integral taken round a closed curve may be expressed in terms of a surface-integral taken over a surface bounded by the curve.“ ˛ Γ ... ds = ¨ Ω ... dA. Eine Anwendung ist der Stoke’sche Integralsatz. Der Stoke’sche Integralsatz stellt eine Verbindung zwischen der Zirkulation und der Rotation eines Vektorfeldes her und erm¨oglicht die Umwandlung eines Oberfl¨achenintegrals in ein Linienintegral entlang der Fl¨achenberandung (Randintegral), bzw. die Umwandlung eines Randintegrals in ein Oberfl¨achenintegral. Das Randintegral der Tangentialkomponenten eines Vektorfeldes F l¨angs der geschlossenen Kurve Γ ist gleich dem Oberfl¨achenintegral der Normalkomponente der Rotation von F ¨ uber eine beliebige Fl¨ache A, die durch die Kurve Γ berandet wird <?page no="63"?> 1.6 Maxwell’sche Gleichungen 39 ˛ Γ F d s = ¨ Ω (rot F ) d A. Beispiele hierzu sind: • Ampere’sches Gesetz (Durchflutungsgesetz): ˛ Γ H d s = ¨ Ω J d A = Θ. • Faraday’sches Gesetz (Induktionsgesetz): ˛ Γ E d s = ¨ Ω d B dt d A. Dabei ist H die elektrische Feldst¨arke, J die Stromdichte, E die elektrische Feldst¨arke und B die magnetische Flussdichte. 1.6.2 Beziehung zwischen Fl¨achen- und Volumenintegral Der Gauß’sche Integralsatz stellt eine Verbindung zwischen einem Oberfl¨achen- und einem Volumenintegral her. Die Oberfl¨ache ist eine geschlossene Oberfl¨ache und schließt ein Volumen ein. Eine geschlossene Oberfl¨ache trennt stets zwei R¨aume voneinander ab. Das Oberfl¨achenintegral (H¨ ullintegral) eines Vektorfeldes F ¨ uber eine geschlossene Fl¨ache A ist gleich ‹ Γ F d A = ˚ Ω div F dV dem Volumenintegral der Divergenz des Vektors F ¨ uber das von A eingeschlossene Volumen V . Beispiele hierzu sind • Gauß’sche Satz der Elektrostatik: ‹ Γ E d A = ˚ Ω ρ ε 0 dV. • Quellfreiheit der magnetischen Flussdichte B: ‹ Γ B d A = 0. <?page no="64"?> 40 Erforderliche mathematische Grundlagen 1.6.3 Maxwell’sche Gleichungen - Differenzialform In [30], S. 18-2, Tab. 18-1 sind diese in ihrer Differenzialform ∇ · E = ρ ε 0 (1.6) ∇ × E = − ∂ B ∂t (1.7) ∇ · B = 0 (1.8) c 2 ∇ × B = J ε 0 + ∂ E ∂t (1.9) zu entnehmen. Sie sind daher weder an Koordinatensysteme gebunden noch beinhalten sie jegliche geometrische Gr¨oßen und eignen sich deshalb bevorzugt f¨ ur das Auf- und Umstellen von Gleichungen. 1.6.4 Maxwell’sche Gleichungen - Integralform Die Differenzialform der Maxwell’schen Gleichungen wird mittels des Gauß’schen und des Stoke’schen Satzes in ihre Integralformen ‹ Ω g E n dA = ˚ @Ω g ρ ε 0 dV (1.10) ˛ Γ E ds = ¨ Ω o − ∂ B ∂t dA (1.11) ‹ Ω g B n dA = 0 (1.12) c 2 ˛ Γ B ds = ¨ Ω o [ J ε 0 + ∂ E ∂t ] dA (1.13) ¨ uberf¨ uhrt, welche damit geometrische Gr¨oßen beinhalten. Beispiele hierzu siehe auch [30], S. 18-7. Nach erfolgter Auswahl eines Koordinatensystems sind dementsprechend die Delta-Elemente f¨ ur die Berandungen, Fl¨achen und Volumen zu bestimmen. Die erforderlichen Symbole und deren Bezeichnungen sind in Tab. 1.8 zusammengefasst. 1.6.5 Richtungszuordnung beteiligter Vektorfelder Die Zuordnung erfolgt mit Hilfe der folgenden Konvention: <?page no="65"?> 1.7 Dirac’sche Deltafunktion 41 Tabelle 1.8: Symbole und Bezeichnungen Symbol Bezeichnung Symbol Bezeichnung B magnetische Flussdichte ρ Normalvektor E elektrische Feldst¨arke ε 0 Permittivit¨at d. Vakuums J Stromdichte Ω o , Ω g Fl¨achen: offen, geschlossen n Normalvektor Γ Berandung von Ω c Lichtgeschwindigkeit, ds Delta-L¨angenelement c = 1/ √ ε 0 μ 0 dA Delta-Fl¨achenelement dV Delta-Volumenelement • Rechte-Hand-Regel: Vektoren, resultierend aus einem Kreuzprodukt, oder Vektoren, welche mit einer gegen den Uhrzeigersinn umrandeten Fl¨ache und auf dieser Fl¨ache senkrecht stehenden positiven Gr¨oßen verbunden sind, werden der Rechten-Hand-Regel zugeordnet. Als Beispiel ist hier die Rotation des magnetischen Feldes in den Gleichungen (1.9) und (1.13) zu nennen. Die senkrecht zur Fl¨ache stehenden Vektoren werden als Axialvektoren bezeichnet (vgl. [30], S. 13- 11 f.). • Linke-Hand-Regel: Ein Vektor, welcher mit einer gegen den Uhrzeigersinn umrandeten Fl¨ache und auf dieser Fl¨ache senkrecht stehenden negativen, nach unten zeigenden Gr¨oßen verbunden ist, wurde der Linken-Hand-Regel zugeordnet. Beispiele hierzu sind die Gleichungen (1.7) und (1.11), deren Axialvektor bei gegen¨ uber der Rechte-Hand-Regel gleichbleibender Umrandung negativ wird. In ”On Right-handed and Left-handed Relations in Space“ aus [45], S. 24 f. wurden grundlegende Definitionen eingef¨ uhrt. Elektromagnetische Gr¨oßen sind jedoch nicht immer einer Rechten- oder Linken-Hand-Regel zuzuordnen. Hier sei auf die Literaturstellen [29] S. 52-6 ff. und [30] S. 13-11 f. verwiesen. 1.7 Dirac’sche Deltafunktion Die Dirac’sche Deltafunktion wird am Beispiel der unabh¨angigen Variabel x in Abb. 1.5 eingef¨ uhrt. Die Stelle x 0 kennzeichnet den Ort der Unstetigkeit. Die Deltafunktion ist normiert. Der Fl¨acheninhalt unter ihrer Kurve ist gleich Eins <?page no="66"?> 42 Erforderliche mathematische Grundlagen ˆ + ∞ −∞ δ(x − x 0 ) dx = 1. (1.14) Abbildung 1.5: Die Dirac’sche Deltafunktion am Beispiel mit einer unabh¨angigen Variable Es gilt die Ausblendeigenschaft ˆ b a δ(x − x 0 ) f(x) dx = ˆ x 0 + ε x 0 − ε δ(x − x 0 ) f(x) dx = { f(x 0 ) f¨ ur x = x 0 0 f¨ ur x = x 0 . Weiterf¨ uhrende Literatur hierzu siehe [42]. <?page no="67"?> Kapitel 2 Koordinatensysteme Um Berechnungen zu vereinfachen, werden an die Problemstellung angepasste Koordinatensysteme (KOS) eingef¨ uhrt. Diese sind das kartesische Koordinatensystem, das Zylinderkoordinatensystem und das Kugelkoordinatensystem. Sie geh¨oren zu den orthogonalen (rechtwinkligen) Koordinatensystemen. Hierbei stehen die Koordinatenachsen aufeinander senkrecht. Die eingef¨ uhrten Indizes der Vektoroperatoren beziehen sich auf die Richtung der Basis- und Einheitsvektoren. N¨ utzliche Literatur: [26] (S. 3 ff.), [41], (S. 16 ff.). 2.1 Kartesisches Koordinatensystem Die drei Koordinatenachsen x, y, z des r¨aumlichen, orthogonalen Koordinatensystems sowie Vektor- und Vektoroperatordefinitionen werden mit Bezug auf Abb. 2.1 eingef¨ uhrt. • Vektor: Im kartesischen KOS wird ein differenzieller Vektor mit den Komponenten in Richtung der drei Koordinatenachsen d s(x, y, z) = ds x (x, y, z) e x + ds y (x, y, z) e y + ds z (x, y, z) e z = dx e x + dy e y + dz e z angegeben. • Gradient: F¨ ur die Differentiation gelten im kartesischen KOS die Zusammenh¨ange <?page no="68"?> 44 Koordinatensysteme Abbildung 2.1: Kartesisches Koordinatensystem grad ϕ = ∂ϕ ∂x e x + ∂ϕ ∂y e y + ∂ϕ ∂z e z zur Berechnung des Gradientenfeldes. Die Komponenten des Gradientenfeldes im kartesischen KOS lauten grad x ϕ = ∂ϕ ∂x grad y ϕ = ∂ϕ ∂y grad z ϕ = ∂ϕ ∂z . • Divergenz: Die Berechnung der Divergenz im kartesischen KOS erfolgt mit div A = ∂A x ∂x + ∂A y ∂y + ∂A z ∂z . Die Wortbedeutung Divergenz beschreibt das Auseinandergehen, das Auseinanderstreben. <?page no="69"?> 2.2 Zylinderkoordinatensystem 45 • Rotation: Die Rotation im kartesischen KOS wird gem¨aß rot A = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ e x e y e z ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z A x A y A z ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ berechnet. Die Komponenten der Rotation im kartesischen KOS ergeben sich aus rot x A = ( ∂A z ∂y − ∂A y ∂z ) e x rot y A = ( ∂A x ∂z − ∂A z ∂x ) e y rot z A = ( ∂A y ∂x − ∂A x ∂y ) e z . rot A = ( ∂A z ∂y − ∂A y ∂z ) e x + ( ∂A x ∂z − ∂A z ∂x ) e y + ( ∂A y ∂x − ∂A x ∂y ) e z . • Nabla-Operator: Der Nabla-Operator wird im kartesischen KOS mit ∇ = ∂ ∂x e x + ∂ ∂y e y + ∂ ∂z e z , beschrieben. • Delta-Operator: Der Delta-Operator im kartesischen KOS wird mit Δ = ∂ 2 ∂x 2 + ∂ 2 ∂y 2 + ∂ 2 ∂z 2 beschrieben. 2.2 Zylinderkoordinatensystem Eingef¨ uhrt werden die Koordinaten Φ, r und z sowie Definitionen f¨ ur Vektor und Vektoroperatordefinitionen in Bezug auf Abb. 2.2. <?page no="70"?> 46 Koordinatensysteme Abbildung 2.2: Zylinderkoordinatensystem • Vektor: Im Zylinder-KOS wird ein Vektor mit d s(Φ, r, z) = ds Φ (Φ, r, z) e Φ + ds r (Φ, r, z) e r + ds z (Φ, r, z) e z = r dΦ e Φ + dr e r + dz e z angegeben. • Gradient: Der Gradient der skalaren Funktion ϕ wird im Zylinder-KOS mit gradϕ = grad r ϕ e r + grad Φ ϕ e Φ + grad z ϕ e z berechnet. Seinen Komponenten sind grad r ϕ = ∂ϕ ∂r grad Φ ϕ = 1 r ∂ϕ ∂Φ grad z ϕ = ∂ϕ ∂z . • Divergenz: Die Berechnung der Divergenz des Vektorfeldes A(r, Φ, z) im Zylinder- KOS erfolgt mit <?page no="71"?> 2.3 Kugelkoordinatensystem 47 div A = 1 r ∂ (r A r ) ∂r + 1 r ∂A Φ ∂Φ + ∂A z ∂z . • Rotation: Die Berechnung der Rotation des Vektorfeldes A(r, Φ, z) im Zylinder- KOS erfolgt mit den Beziehungen rot A = 1 r ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ e r r e Φ e z ∂ ∂r ∂ ∂ Φ ∂ ∂z A r r A Φ A z ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ . Die Komponenten der Rotation im Zylinder-KOS ergeben sich aus rot r A = ( 1 r ∂A z ∂Φ − ∂A Φ ∂z ) e r rot Φ A = ( ∂A r ∂z − ∂A z ∂r ) e Φ rot z A = ( 1 r ∂ (rA Φ ) ∂r − 1 r ∂A r ∂Φ ) e z . • Nabla-Operator: F¨ ur den Nabla-Operator gilt im Zylinder-KOS ∇ = ∂ ∂r e r + 1 r ∂ ∂Φ e Φ + ∂ ∂z e z . • Delta-Operator: F¨ ur den Delta-Operator im Zylinder-KOS gilt Δ = 1 r ∂ ∂r ( r ∂ ∂r ) + 1 r 2 ∂ 2 ∂Φ 2 + ∂ 2 ∂z 2 . 2.3 Kugelkoordinatensystem Es werden die orthogonalen, krummlinigen Koordinaten r, Θ, Φ sowie Definitionen von Vektoroperatoren mit Bezug auf die Abbildungen 2.3 und 2.4 eingef¨ uhrt. • Gradient: Der Gradient einer skalaren Potenzialfunktion ϕ wird im Kugel-KOS mit <?page no="72"?> 48 Koordinatensysteme Abbildung 2.3: Koordinaten und Winkel des Kugelkoordinatensystems gradϕ = grad r ϕ e r + grad Θ ϕ e Θ + grad Φ ϕ e Φ und seinen Komponenten grad r ϕ = ∂ϕ ∂r grad Θ ϕ = 1 r sinΦ ∂ϕ ∂Θ grad Φ ϕ = 1 r ∂ϕ ∂Φ berechnet. • Divergenz: F¨ ur die Divergenz im Kugel-KOS gilt div A = 1 r 2 ∂ (r 2 A r ) ∂r + 1 r sin Θ ∂(sin Θ A Θ ) ∂ Θ + 1 r sin Θ ∂A Φ ∂Φ . • Rotation: Die Rotation des Vektorfeldes A(r, Θ, Φ) im Kugel-KOS erfolgt mit der Beziehung <?page no="73"?> 2.3 Kugelkoordinatensystem 49 Abbildung 2.4: Kugelkoordinatensystem rot A = 1 r 2 sin Θ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ e r r e Θ r sin Θ e Φ ∂ ∂r ∂ ∂ Θ ∂ ∂ Φ A r r A Θ r sin Θ A Φ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ . Die Komponenten der Rotation im Kugel-KOS sind rot r A = ( 1 r ∂A Φ ∂Θ − 1 r sinΘ ∂A Θ ∂ Φ ) e r rot Θ A = ( 1 r sinΘ ∂A r ∂Φ − ∂A Φ ∂r ) e Θ rot Φ A = ( ∂A Θ ∂r − 1 r ∂A r ∂Θ ) e Φ . Die Indizes kennzeichnen die Richtung des Rotationsvektors in r-, Θ- oder Φ- Richtung. • Nabla-Operator: Der Nabla-Operator im Kugel-KOS lautet <?page no="74"?> 50 Koordinatensysteme ∇ = ∂ ∂ r e r + 1 r ∂ ∂ Θ e Θ + 1 r sin Θ ∂ ∂ Φ e Φ . • Delta-Operator: Der Delta-Operator im Kugel-KOS ergibt sich aus Δ = 1 r 2 ∂ ∂ r ( r 2 ∂ ∂ r ) + 1 r 2 sin Θ ∂ ∂ Θ ( sin Θ ∂ ∂ Θ ) + 1 r 2 sin 2 Θ ∂ 2 ∂ Φ 2 . <?page no="75"?> Kapitel 3 LCR-Parallel- und Reihenschwingkreis Der Definition der Blindwiderst¨ande folgen deren Frequenzverl¨aufe sowie die Eigenfrequenzberechnung mit anschließender Fehlerrechnung. Hergeleitet und diskutiert werden Spannungsverl¨aufe des LCR-Reihenschwingkreises. Es schließt sich die Eigenkreisfrequenzberechnung des ged¨ampften LCR-Reihen- und Parallelschwingkreises an. Das Kapitel schließt mit der Berechnung des erzwungenen, ged¨ampften LCR-Parallelschwingkreises. 3.1 Schwingkreise, Impedanzen und Resonanzen Die Blindwiderst¨ande (Reaktanzen oder Wechselstromwiderst¨ande) X sowie die komplexen Scheinwiderst¨ande (Impedanzen) Z der einzelnen Bauelemente der Schwingkreise nach Abb. 3.1 werden wie folgt berechnet: • Induktivit¨at oder Spule L: X L = ωL; Z L = j ωL = j X L , • Kapazit¨at oder Kondensator C: X C = 1 ωC ; Z C = 1 j ωC = j X C , • Widerstand oder Resistanz R: X R = R; Z R = R. <?page no="76"?> 52 LCR-Parallel- und Reihenschwingkreis Abbildung 3.1: Reihen- und Parallelschwingkreis mit Effektivwerten In Abb. 3.1 a) ist ein Reihenschwingkreis f¨ ur ged¨ampfte und erzwungene Schwingung ersichtlich. Dieser ist durch den Strom I charakterisiert, welcher durch alle beteiligten Bauelemente (Spannungsquelle, Kondensator C, Induktivit¨at L und Widerstand R) gleichermaßen hindurch fließt. Bei der Eigenkreisfrequenz ω 0 hat die Impedanz den Wert des Wirkwiderstandes der Spule. Die Schaltung ist sehr niederohmig. Es fließt der maximale Resonanzstrom. Unterhalb der Eigenkreisfrequenz dominiert die kapazitive Eigenschaft der Schaltung. Dem gegen¨ uber steht der Frequenzbereich oberhalb der Eigenkreisfrequenz. In diesem Bereich dominiert der induktive Einfluss der Schaltung. Dieser Effekt wird als Spannungsresonanz bezeichnet, da die Spannung ¨ uber der Induktivit¨at und Kapazit¨at gr¨oßer als die Gesamtspannung werden kann. In Abb. 3.2 sind die Verl¨aufe der einzelnen Impedanzen und der sich einstellende Strom ¨ uber der auf die Eigenkreisfrequenz ω 0 normierten Kreisfrequenz ω aufgetragen. Die Gleichung f¨ ur den Betrag der Impedanz Z r ist | Z r | = √ R 2 + ( ωL − 1 ωC ) 2 . Ein Parallelschwingkreis mit erzwungener und ged¨ampfter Schwingung ist Abb. 3.1 b) zu entnehmen. An allen beteiligten Bauelemente liegt die Spannung U 0 an. Durch jedes Bauelement stellt sich ein entsprechender Zweigstrom I R , I L , I C und Summenstrom I ein. Bei einer Parallelschaltung wird die Spannung zur Bezugsgr¨oße, da sie an allen Bauteilen gleichermaßen anliegt. Beim Wirkwiderstand weisen Spannung und Strom keine Phasenverschiebung auf. Der Strom im Kondensatorzweig eilt der Spannung um 90 ◦ voraus. Durch die Spule l¨auft der Strom der Spannung um 90 ◦ nach. Die <?page no="77"?> 3.1 Schwingkreise, Impedanzen und Resonanzen 53 Abbildung 3.2: Charakteristik des Reihenschwingkreises Zweigstr¨ome sind direkt proportional zu den Leitwerten. Im Bereich niedriger Kreisfrequenzen bestimmen die Leitwerte im Spulenzweig das Verhalten der Schaltung. Im Bereich hoher Kreisfrequenzen sind die Leitwerte im Kondensatorzweig bestimmend. Es gibt genau eine Eigenkreisfrequenz ω 0 , bei der die beiden Leitwerte von Induktivit¨at und Kapazit¨at gleich sind. Wegen der zueinander gegens¨atzlichen Phasenverschiebung heben sich die Blindleitwerte bei dieser Kreisfrequenz auf. Der Parallelschwingkreis hat dann die Eigenschaften eines ohmschen Widerstandes, bei dem der Phasenwinkel zwischen Strom und Spannung 0 ◦ betr¨agt. Der Betrag der Impedanz Z p wird mit | Z p | = 1 √ ( 1 R ) 2 + ( ωC − 1 ωL ) 2 berechnet. Bei der Eigenkreisfrequenz verzeichnen Z p und die Spannung ein Maximum (vgl. Abb. 3.3). Unterhalb dieser Eigenkreisfrequenz bestimmt der induktive Einfluss, oberhalb der Eigenkreisfrequenz der kapazitive Einfluss das Schaltungsverhalten. Dieser Effekt wird als Stromresonanz bezeichnet. Hier k¨onnen Zweigstr¨ome auftreten, die gr¨oßer als der Summenstrom sind. Zur Bestimmung der Eigenkreisfrequenz des unged¨ampften Systems ω 0 werden die beiden Blindwiderst¨ande X L und X C gleichgesetzt <?page no="78"?> 54 LCR-Parallel- und Reihenschwingkreis Abbildung 3.3: Charakteristik des Parallelschwingkreises und umgeformt: X L = X C ω L = 1 ω C ω 0 = 1 √ LC . (3.1) Die weitere Umformung f¨ uhrt zur Eigenfrequenz des unged¨ampften Systems f 0 = 1 2 π √ LC , (3.2) wobei die Gl. (3.2) als Thomson’sche Schwingungsformel bezeichnet wird. N¨ utzliche Normen hierzu sind [10], [11], [12] und [13]. <?page no="79"?> 3.2 Eigenfrequenz - Fehlerrechnung 55 3.2 Eigenfrequenz - Fehlerrechnung Bei technischen Anwendungen kommen stets toleranzbehaftete Bauelemente zum Einsatz. Von Interesse sind daher die Auswirkungen der Bauelemente-Toleranzen auf die Eigenfrequenz f 0 mit dem Mittelwert ¯ f 0 und der Messunsicherheit Δf 0 f 0 = ¯ f 0 (L, C) ± Δf 0 (L, C). Hierzu ist der Einfluss jedes unabh¨angigen Parameters (L und C) auf die Eigenfrequenz zu ermitteln. Dies erfolgt durch die Bildung des totalen Differenzials der Eigenfrequenz von Gl. (3.2) mit df 0 = df 0 (L, C) = ∂f 0 (L, C) ∂L dL + ∂f 0 (L, C) ∂C dC. Die dadurch entstandenen Terme entsprechen Geradengleichungen mit der partiellen Ableitung als Steigung multipliziert mit der Delta-Gr¨oße (unabh¨angige Variable). Vgl. hierzu auch die Taylor-Entwicklung. Der Maximalfehler Δf 0 max folgt mit Δf 0 max = ∣ ∣ ∣ ∣ ∂f 0 (L, C) ∂L ΔL ∣ ∣ ∣ ∣ + ∣ ∣ ∣ ∣ ∂f 0 (L, C) ∂C ΔC ∣ ∣ ∣ ∣ = ∣ ∣ ∣ ∣ − C 4 π (LC) 3 / 2 ΔL ∣ ∣ ∣ ∣ + ∣ ∣ ∣ ∣ − L 4 π (LC) 3 / 2 ΔC ∣ ∣ ∣ ∣ . Tabelle 3.1: Verwendete Bauelemente Bauelement Mittelwert Messunsicherheit Messunsicherheit (Absolutwert) in [%] C 2,2 · 10 − 6 F ± 0,11 · 10 − 6 ± 5 L 13,5 · 10 − 3 H ± 0,675 · 10 − 3 ± 5 Unter Einbezug der in Tab. 3.1 benannten Bauelemente folgt der maximale Fehler Δf 0 max <?page no="80"?> 56 LCR-Parallel- und Reihenschwingkreis Δf 0 max = ∣ ∣ ∣ ∣ − 2, 2 10 − 6 F 4 π (13, 5 10 − 3 H · 2, 2 10 − 6 F ) 3 / 2 · 0, 675 · 10 − 3 H ∣ ∣ ∣ ∣ + ∣ ∣ ∣ ∣ − 13, 5 10 − 3 H 4 π (13, 5 10 − 3 H · 2, 2 10 − 6 F ) 3 / 2 · 0, 11 · 10 − 6 F ∣ ∣ ∣ ∣ = 23 Hz + 23 Hz = 46 Hz. Das Ergebnis der Eigenfrequenz f 0 ist damit f 0 = 924 Hz ± 46 Hz. Die prozentuale maximale Messunsicherheit (maximaler Fehler) betr¨agt damit ∣ ∣ ∣ ∣ Δf 0 max ¯ f 0 ∣ ∣ ∣ ∣ = ∣ ∣ ∣ ∣ 46 Hz 924 Hz ∣ ∣ ∣ ∣ = 0, 05 = 5 %. N¨ utzliche Normen hierzu sind [14], [15], [16] und [17]. 3.3 Spannungsverl¨aufe LCR-Reihenschwingkreis bei Frequenzvariation In Abb. 3.4 ist das Schaltbild eines erzwungenen und ged¨ampften Reihenschwingkreises, bestehend aus den Bauelementen Widerstand R, Induktivit¨at L und dem Kondensator C mit den komplexen Spannungen U R , U L , U C , U RL sowie der Quellenspannung U 0 und dem komplexen Strom I als Effektivwerte ersichtlich. Die Erregung durch die Spannungsquelle erfolgt harmonisch mit der Kreisfrequenz ω = [0, ∞ ]. Die Spannungsgleichung wird in die Reaktanzgleichung U L + U R + U C = U 0 jωL I + R I + 1 jωC I = U 0 jωL + R + 1 jωC = U 0 I (3.3) ¨ uberf¨ uhrt, wobei eine Division durch den komplexen Effektivwert des Stroms I vorgenommen wird, welcher nicht den Wert Null annehmen kann. <?page no="81"?> 3.3 Spannungsverl¨aufe LCR-Reihenschwingkreis bei Frequenzvariation 57 Abbildung 3.4: Beispiel eines LCR-Reihenschwingkreises 3.3.1 Spannungsverlauf ¨ uber der Induktivit¨at Die Frequenzvariation der Quellenspannung bewirkt eine Variation der Spannung ¨ uber der Induktivit¨at, welche nachfolgend bezogen auf die Quellenspannung als normierte Spannung U L / U 0 in Abh¨angigkeit eines Vielfachen der Resonanzfrequenz ω/ ω 0 dargestellt wird. Hierzu wird in Gl. (3.3) der komplexe Strom I durch jωL + R + 1 jωC = U 0 U L jωL − ω 2 LC + RjωC + 1 jωC = U 0 U L jωL ersetzt sowie ein gemeinsamer Nenner gebildet. Die sich anschließende Division durch jωL, KehrwertsjωL jωC 1 − ω 2 LC + RjωC = U L U 0 und Betragsbildung f¨ uhrt zu ωL √ R 2 + ( 1 ωC − ωL) 2 = U L U 0 . Die weitere Substitution mit ω = x ω 0 = x/ √ LC erlaubt die Schreibweise x 2 √ LC √ (x R C) 2 + LC (1 − x 2 ) 2 = U L U 0 . (3.4) Die Gleichung kann wie folgt interpretiert werden: <?page no="82"?> 58 LCR-Parallel- und Reihenschwingkreis Abbildung 3.5: Frequenzabh¨angige Verl¨aufe der auf die Quellenspannung U 0 bezogenen Spannung U L ¨ uber der Induktivit¨at • ω = 0: Der Kondensator C sperrt. Damit ist weder ein Strom durch bzw. Spannungsabfall ¨ uber der Induktivit¨at zu verzeichnen. • ω = ω 0 : Z r nimmt den Wert des Widerstandes R an und erlaubt einen maximalen Stromfluss. • ω → ∞ : Die Induktivit¨at L sperrt. Der Spannungsabfall ¨ uber der Induktivit¨at strebt gegen die Quellspannung U 0 . • R → 0: Der Widerstandseinfluss verschwindet. Die Gleichung geht ¨ uber in x 2 1 − x 2 = U L U 0 und weist bei x = 1 eine Singularit¨at auf. In Abb. 3.5 sind die normierten Spannungsverl¨aufe mit dem Widerstand als Scharparameter f¨ ur x = [0, 5] der Gl. (3.4) dargestellt. Als Ordinate ist die auf die Quel- <?page no="83"?> 3.3 Spannungsverl¨aufe LCR-Reihenschwingkreis bei Frequenzvariation 59 lenspannung bezogene Spannung der Induktivit¨at und auf der Abszisse die auf die Eigenkreisfrequenz bezogene Kreisfrequenz dargestellt. 3.3.2 Spannungsverlauf ¨ uber Induktivit¨at und Widerstand Reale Induktivit¨aten beinhalten einen ohmschen Widerstand. Eine gemessene Spannung ¨ uber der Induktivit¨at beinhaltet daher noch den spannungswirksamen ohmschen Anteil, wie dieser in Abb. 3.4 als U RL bereits definiert wurde. Im Fortgang soll die Spannung ¨ uber einer realen Induktivit¨at als Funktion der Kreisfrequenz und dem Widerstand als Scharparameter ermittelt werden. In Gl. (3.3) wird der komplexe Strom I durch Abbildung 3.6: Frequenzabh¨angige Verl¨aufe der auf die Quellenspannung U 0 bezogenen Spannung U RL ¨ uber der Induktivit¨at und dem Widerstand jωL + R + 1 jωC = U 0 U RL (R + jωL) ersetzt. Die anschließende <?page no="84"?> 60 LCR-Parallel- und Reihenschwingkreis • Division durch (R + jωL), • Hauptnennerbildung, • Kehrwertbildung, • Betragsbildung f¨ uhrt zu der Gleichung √ ( − 2ω 2 LRC) 2 + (ωR 2 C − ω 3 L 2 C) 2 (R − 2ω 2 LRC) 2 + (ωL + ωR 2 C − ω 3 L 2 C) 2 = U RL U 0 . Die weitere Substitution mit ω = x ω 0 = x/ √ LC, x = [0, 5] erlaubt die Schreibweise √ √ √ √ √ √ ( 2 x 2 R √ LC ) 2 + (x R 2 C − x 3 L) 2 ( R √ LC − 2 x 3 R √ LC ) 2 + (x L + x R 2 C − x 3 L) 2 = U RL U 0 , deren normierte Verl¨aufe in Abb. 3.6 mit dem Widerstand als Scharparameter dargestellt sind. Auf der Abszisse ist die auf die Eigenkreisfrequenz bezogene Kreisfrequenz und auf der Ordinate die auf die Quellenspannung bezogene Spannung ¨ uber der Induktivit¨at und dem Widerstand aufgetragen. Der Abbildung kann entnommen werden, dass • bei ω = 0 ¨ uber dem Widerstand und der Induktivit¨at keine Spannung abf¨allt, da der Kondensator sperrt. • bei ω → ∞ die Impedanz des Kondensators gegen sehr kleine Werte und die der Induktivit¨at und Widerstand gegen sehr hohe Werte strebt. Die Spannung ¨ uber der Induktivit¨at n¨ahert sich dem Wert der Quellenspannung. • das Spannungsmaximum mit abnehmendem Widerstand gegen niedrigere Frequenzwerte, bis ω = ω 0 , verschoben wird. • ein zunehmender Widerstand eine zunehmende D¨ampfung bewirkt, mit Folge eines sinkenden Spannungsmaximums. <?page no="85"?> 3.3 Spannungsverl¨aufe LCR-Reihenschwingkreis bei Frequenzvariation 61 3.3.3 Spannungsverlauf ¨ uber dem Widerstand Wird in Gl. (3.3) der komplexe Strom I durch U / R ersetzt, so folgt jωL + R + 1 jωC = U 0 R U R . Wird anschließend • eine Division durch R, • die Kehrwertbildung, • die Betragsbildung vorgenommen, so folgt die Gleichung Abbildung 3.7: Frequenzabh¨angige Verl¨aufe der auf die Quellenspannung U 0 bezogenen Spannung U R ¨ uber dem Widerstand <?page no="86"?> 62 LCR-Parallel- und Reihenschwingkreis 1 √ (1 + ( 1 ωRC − ωL R ) 2 = U R U 0 . Die Substitution mit ω = x ω 0 = x/ √ LC, x = [0, 5] f¨ uhrt zur Schreibweise 1 √ 1 + ( √ L xR √ C − x √ L R √ C ) 2 = U R U 0 . Die dazu geh¨origen normierten Spannungsverl¨aufe mit dem Widerstand als Scharparameter sind der Abb. 3.7 zu entnehmen. Anzumerken ist, dass • bei ω = 0 (Gleichspannung) der Kondensator sperrt, mit Folge, dass kein Strom durch den Widerstand fließt und damit ¨ uber dem Widerstand der Spannungsabfall gleich Null ist. • bei ω → ∞ die Induktivit¨at L strebt gegen hohe Impedanz werte, mit Folge, dass der Strom sowie der Spannungsabfall ¨ uber dem Widerstand gegen Null streben. • Im Resonanzfall bei ω = ω 0 kompensieren sich die Blindwiderst¨ande der Induktivit¨at und Kapazit¨at. Der Strom und damit gekoppelt der Spannungsabfall ¨ uber dem Widerstand nehmen Maximalwert Eins an. Ein Widerstand ist kein Energiespeicher, daher ist auch keine Spannungs¨ uberh¨ohung ¨ uber diesem zu erwarten. 3.3.4 Spannungsverlauf ¨ uber der Kapazit¨at Wird in Gl. (3.3) der komplexe Strom I durch U jωC ersetzt, so folgt jωL + R + 1 jωC = U 0 U C 1 jωC . Wird eine anschließende • Multiplikation mit jωC, • Kehrwertbildung, • Betragsbildung <?page no="87"?> 3.3 Spannungsverl¨aufe LCR-Reihenschwingkreis bei Frequenzvariation 63 vorgenommen, so f¨ uhrt dies zu der Gleichung 1 √ (1 − ω 2 LC) 2 + (RCω) 2 = U C U 0 . Die Substitution mit ω = x ω 0 = x/ √ LC, x = [0, 5] f¨ uhrt zur Schreibweise 1 √ (1 − x 2 ) 2 + ( R √ C L x ) 2 = U C U 0 . Abbildung 3.8: Frequenzabh¨angige Verl¨aufe der auf die Quellenspannung U 0 bezogenen Spannung U C ¨ uber der Kapazit¨at Die dazu geh¨origen normierten Spannungsverl¨aufe mit dem Widerstand als Scharparameter sind der Abb. 3.8 zu entnehmen. Anzumerken ist, dass • bei ω = 0 (Gleichspannung) die gesamte Spannung ¨ uber dem Kondensator abf¨allt, da dieser sperrt. <?page no="88"?> 64 LCR-Parallel- und Reihenschwingkreis • bei ω → ∞ die Kondensatorimpedanz gegen Null und damit die Spannung U C ebenfalls gegen Null strebt. • das Maximum der Spannungs¨ uberh¨ohung mit abnehmendem Widerstand zu h¨oheren Frequenzen hin verschoben wird, bis ω = ω 0 erreicht wird. 3.4 Ged¨ampfter, erzwungener LCR-Reihenschwingkreis Gegenstand der Untersuchungen ist der ged¨ampfte und erzwungene Reihenschwingkreis nach Abb. 3.9, bestehend aus der Spannungsquelle u 0 , dem zur Spannungsquelle parallel geschalteten Widerstand R q (Quellenwiderstand) sowie die Bauelemente Induktivit¨at L, Kondesator oder Kapazit¨at C und Widerstand R. Die oszillierende Spannung der Spannungsquelle u 0 regt den Schwingkreis zum Schwingen an. Die Schaltung wird mit der Spannungsdifferenzialgleichung u L + u R + u C = u 0 L di dt + R i + 1 C ˆ T i dt = u 0 d 2 i dt 2 + R L di dt + 1 LC i = 1 L du 0 dt beschrieben. Zur L¨osung erfolgt die Transformation in den komplexen Bildbereich in Effektivwertdarstellung und mit Hilfe von Tab. 3.2 p 2 I + R L p I + 1 LC I = 1 L U 0 s p 2 + R L p + 1 LC = 1 L U 0 I s. Die Substitutionen • U 0 / I = U 0 e jϕ u / I e jϕ i ; mit ϕ u ϕ i = 0 des Widerstandes folgt U 0 / I = R q , • ω e = R q / L erm¨oglichen <?page no="89"?> 3.4 Ged¨ampfter, erzwungener LCR-Reihenschwingkreis 65 Abbildung 3.9: Beispiele eines ged¨ampften LCR-Reihenschwingkreises p 2 + R L p + 1 LC = R q L s p 2 + R L p + 1 LC = R q L jω 1 p 2 + R L p + 1 LC = j ( R q L ) 2 p 2 + R L p + 1 LC − j ( R q L ) 2 = 0. Die erhaltene quadratische Gleichung wird mit Hilfe der Mitternachtsformel (geht auf die Arbeit von Evariste Galois (1811-1831) zur¨ uck) <?page no="90"?> 66 LCR-Parallel- und Reihenschwingkreis Tabelle 3.2: Transformationstabelle Zeitbereich, komplexer Bildbereich Zeitbereich komplexer komplexer Bildbereich Bildbereich (Effektivwert) i i I di dt jω i = p i jω I = p I d 2 i dt 2 (jω) 2 i = p 2 i (jω) 2 I = p 2 I du 0 dt jω e u 0 = s u 0 jω e U 0 = s U 0 p 1 , 2 = − R L ± √ ( R L ) 2 − 4 ( 1 LC − j ( R q L ) 2 ) 2 = − R 2L ± √ j 4 ( R 2L ) 2 − j 4 1 LC + j 4 j ( R q L ) 2 = − R 2L ± √ − j 2 ( R 2L ) 2 + j 2 1 LC + j 2 j 3 ( R q 2L ) 2 = − R 2L ± j √ 1 LC − ( R 2L ) 2 − j ( R q L ) 2 (3.5) = − δ ± j √ ω 2 0 − δ 2 − j ω 2 e = − δ ± j ω d = j ω 1 , 2 gel¨ost. Die Umformung obiger Gleichungen erfolgt mit dem selbstgew¨ahlten Ziel, den Term 1/ (LC) alleinstehend und positiv darzustellen. Hierbei ist • ω 0 die Eigenkreisfrequenz des unged¨ampften Systems ω 0 = 1 √ LC , (3.6) • f 0 die Eigenfrequenz des unged¨ampften Systems f 0 = ω 0 2π , (3.7) <?page no="91"?> 3.5 Ged¨ampfter, freier LCR-Reihenschwingkreis 67 • δ der Abklingkoeffizient oder D¨ampfungsfaktor δ = R 2L , (3.8) • ω d die Eigenkreisfrequenz des ged¨ampften Systems ω d = √ ω 2 0 − δ 2 , (3.9) • f d die Eigenfrequenz des ged¨ampften Systems f d = ω d 2π , (3.10) • ω e die Erregerkreisfrequenz ω e = R q L , (3.11) welche mit der imagin¨aren Einheit unter dem Wurzelausdruck multipliziert wird. 3.5 Ged¨ampfter, freier LCR-Reihenschwingkreis Der Schwingkreis des ged¨ampften und erzwungenen Reihenschwingkreises nach Abb. 3.9 wird mit R q = 0 in den Zustand des ged¨ampften und freien Schwingkreises nach Abb. 3.10 ¨ uberf¨ uhrt. Die Spannungsquelle wird kurzgeschlossen, bzw. entfernt. Der Kondensator wird f¨ ur den Zustand t = 0 als Spannungsquelle angenommen. Es verbleibt aus Gl. (3.5) die Gleichung p 1 , 2 = − R 2L ± j √ 1 LC − ( R 2L ) 2 = − δ ± j √ ω 2 0 − δ 2 (3.12) = − δ ± j ω d = j ω 1 , 2 <?page no="92"?> 68 LCR-Parallel- und Reihenschwingkreis Abbildung 3.10: Beispiele eines ged¨ampften LCR-Reihenschwingkreises Abbildung 3.11: LTspice-Simulationsergebnis - freier, ged¨ampfter LCR- Reihenschwingkreis ¨ uber deren Schwingungsart die Diskriminante D = ω 2 0 − δ 2 entscheidet. An der Gl. (3.12) k¨onnen drei F¨alle unterschieden werden: • D = 0: Aperiodischer Grenzfall. Die D¨ampfung erlaubt gerade keine Schwingung mehr (aperiodisch = nicht periodisch). <?page no="93"?> 3.6 Unged¨ampfter, freier LC-Schwingkreis 69 Tabelle 3.3: Parameter und Vergleich von Eigenkreis-, Eigenfrequenzen des freien und ged¨ampften LCR-Reihenschwingkreises nach Abb. 3.10 Simulationsparameter: C = 2,2 μF L = 13,5 mH ω 0 = 5803 s − 1 nach Gl. (3.6) Widerstand R [Ω] Methode 1 5 10 20 ω d nach Gl. (3.9) [s − 1 ] 5802,5 5799,6 5790 5755 ω d aus Abb. 3.11 [s − 1 ] 5806 5799 5730 5711 f d aus Gl. (3.10) [Hz] 923,5 923,0 921,6 916 f d aus Abb. 3.11 [Hz] 924 923 912 909 δ aus Gl. (3.8) [s − 1 ] 37 185 370 740 • D < 0: Aperiodisches Verhalten oder Kriechfall. Das System ist zu keiner echten Schwingung mehr f¨ahig und strebt gegen einen stabilen Zustand (Spannungsausgleich). • D > 0: Schwache D¨ampfung. Das System ist schwingungsf¨ahig und f¨ uhrt eine ged¨ampfte, oszillierende Schwingung durch. Eine Gegen¨ uberstellung der LTspice-Simulationsergebnisse aus Abb. 3.11 mit den aus den Gleichungen (3.9) und (3.10) erzielten Ergebnissen erfolgte in Tab. 3.3. Die Abweichungen sind auf die gew¨ahlten Zeitschritte der LTspice-Simulation zur¨ uckzuf¨ uhren, welche mit zunehmender Frequenz gr¨oßer werden. 3.6 Unged¨ampfter, freier LC-Schwingkreis Wird im Fortgang noch R = 0 gesetzt, so geht die Abb. 3.10 in die Abb. 3.12 ¨ uber. Dabei ist u L = u C = u. Als Quelle wurde in der Darstellung der Kondensator C gew¨ahlt. Des Weiteren geht die Gl. (3.12) in die Gl. (3.6) p 1 , 2 = 0 ± j √ ω 2 0 j ω 1 , 2 = 0 ± j ω 0 ω 1 , 2 = ± ω 0 = ± 1 √ LC , <?page no="94"?> 70 LCR-Parallel- und Reihenschwingkreis Abbildung 3.12: Unged¨ampfter LC-Schwingkreis den Zustand des freien und unged¨ampften LC-Schwingkreises ¨ uber. Hier ist die positive Eigenkreisfrequenz die L¨osung. 3.7 Ged¨ampfter, erzwungener LCR-Parallelschwingkreis In Abb. 3.13 ist ein ged¨ampfter Parallelschwingkreis f¨ ur eine erzwungene Schwingung abgebildet. Dieser besteht aus der Spannungsquelle u 0 , dem in Reihe geschalteten Innenwiderstand R q (Quellenwiderstand) sowie den Bauelementen Widerstand R, Induktivit¨at L und Kondensator oder Kapazit¨at C. Die oszillierende Spannung der Spannungsquelle u 0 regt die Schaltung zum Schwingen an. Im Fortgang soll das Schwingverhalten der Schaltung untersucht werden. Hierzu muss die Schaltung mit Hilfe einer Differenzialgleichung beschrieben werden. Mit dem Knotensatz f¨ ur den Knoten 1 wird die Summe der Str¨ome gebildet. Diese werden mit Hilfe ihrer Spannungen ausgedr¨ uckt und damit die Differenzialgleichung des Schwingkreises formuliert i C + i R + i L = i 0 C du dt + 1 R u + 1 L ˆ T u dt = i 0 d 2 u dt 2 + 1 RC du dt + 1 LC u = 1 C di 0 dt . <?page no="95"?> 3.7 Ged¨ampfter, erzwungener LCR-Parallelschwingkreis 71 Tabelle 3.4: Transformationstabelle Zeitbereich, komplexer Bildbereich Zeitbereich komplexer komplexer Bildbereich Bildbereich (Effektivwert) u u U du dt jω u = p u jω U = p U d 2 u dt 2 (jω) 2 u = p 2 u (jω) 2 U = p 2 U di 0 dt jω e i 0 = s i 0 jω e I 0 = s I 0 Abbildung 3.13: Beispiel eines erzwungenen und ged¨ampften LCR-Schwingkreises Unter Zuhilfenahme der Transformationstabelle Tab. 3.4 folgt die algebraische Gleichung p 2 U + 1 RC p U + 1 LC U = 1 C s I 0 p 2 + 1 RC p + 1 LC = s C I 0 U . Die Substitutionen • I 0 / U = I 0 e jϕ i / U e jϕ u ; mit ϕ i ϕ u = 0 des Widerstandes folgt I 0 / U = 1/ R q , • ω e = 1/ (R q C) erm¨oglichen die quadratische Gleichung <?page no="96"?> 72 LCR-Parallel- und Reihenschwingkreis Tabelle 3.5: Simulationsparameter und Simulationsergebnisse des ged¨ampften LCR- Schwingkreises nach Abb. 3.13 Berechungs- und Berechnungs- und Simulationsparameter Simulationsergebnisse R q = 200 Ω ω 0 = 5802 s − 1 , berechnet mit Gl. (3.14 ) R = 1 kΩ f 0 = 923,5 Hz, berechnet mit Gl. (3.15) L = 13,5 mH ω d = 5798 s − 1 , berechnet mit Gl. (3.17 ) C = 2,2 μF f d = 923 Hz, berechnet mit Gl. (3.18) ˆ u 0 = 5 V Erregerfrequenz f = f 0 p 2 + 1 RC p + 1 LC − j (R q C) 2 = 0, deren L¨osung mit Hilfe der Mitternachtsformel p 1 , 2 = − 1 RC ± √ 1 ( RC ) 2 − 4 ( 1 LC − j ( R q C ) 2 ) 2 = − 2 2 RC ± √ 4 (2 RC ) 2 − 4 ( 1 LC − j ( R q C ) 2 ) 2 = − 1 2RC ± √ j 4 (2RC) 2 − j 4 LC + jj 4 (R q C) 2 = − 1 2RC ± j √ 1 LC − 1 (2RC) 2 − j (R q C) 2 (3.13) = − δ ± j √ ω 2 0 − δ 2 − j ω 2 e = − δ ± j ω d = j ω 1 , 2 vollzogen wird. Die Umformung obiger Gleichungen erfolgt mit dem selbstgew¨ahlten Ziel, den Term 1/ (LC) alleinstehend und positiv darzustellen, was eine Vergleichbarkeit mit weiteren Schaltungsanordnungen erlaubt. Der Term mit der imagin¨aren Einheit unter dem Wurzelausdruck repr¨asentiert die Erregerkreisfrequenz. Weiterhin ist <?page no="97"?> 3.7 Ged¨ampfter, erzwungener LCR-Parallelschwingkreis 73 Abbildung 3.14: LTspice-Simulationsergebnis - Spannungen und Str¨ome des LCR- Parallelschwingkreises erregt mit u 0 bei f = f 0 = 923 Hz • ω 0 die Eigenkreisfrequenz des unged¨ampften Systems ω 0 = 1 √ LC , (3.14) • f 0 die Eigenfrequenz f 0 = ω 0 2 π , (3.15) • δ der Abklingkoeffizient δ = 1 2 RC . (3.16) F¨ ur R → ∞ nimmt die Schaltung den Zustand einer unged¨ampften Schwingung an. F¨ ur R → 0 geht die Schaltung in den aperiodischen Zustand ¨ uber. Sie ist zu keiner echten Schwingung mehr f¨ahig, da ein Kurzschluss dies verhindert. <?page no="98"?> 74 LCR-Parallel- und Reihenschwingkreis • ω d die Eigenkreisfrequenz des ged¨ampften Systems ω d = √ ω 2 0 − δ 2 , (3.17) • f d die Eigenfrequenz f d = ω d 2 π , (3.18) • ω e die Erregerkreisfrequenz ω e = 1 R q C . (3.19) F¨ ur R q → ∞ nimmt die Schaltung den Zustand einer freien Schwingung an. Abbildung 3.15: LTspice-Simulationsergebnis - LCR-Parallelschwingkreis, bei f = f 0 = 923 Hz im Einschwingvorgang als Phasendiagramm <?page no="99"?> 3.7 Ged¨ampfter, erzwungener LCR-Parallelschwingkreis 75 Als Beispiel eines LCR-Schwingkreises, welcher mit der Eigenfrequenz f 0 erregt wird, sind in Abb. 3.14 die zeitlichen Verl¨aufe der Quellenspannung u 0 , der Kondensatorspannung u C , des Kondensatorstroms i C , des Stroms durch die Induktivit¨at i L sowie des Stroms durch den Widerstand i R der Schaltung von Abb. 3.13 ersichtlich. Erkannt wird, dass • der Kondensator eine initiale Spannung von 10 V zum Zeitpunkt t = 0 s zugewiesen wurde, • Kondensatorspannung und -strom in ihrer Amplitude und damit im Effektivwert mit zunehmender Simulationszeit steigen, • die Spannung ˆ u 0 = 5 V betr¨agt, • nach dem Einschwingvorgang die Spannung u 0 phasengleich mit der Spannung u C und den Str¨omen i R und i 0 liegt. Abbildung 3.16: LTspice-Simulationsergebnis - Spannungen und Str¨ome des LCR- Parallelschwingkreises erregt mit u 0 bei f = 992 Hz Die Simulationsparameter und Simulationsergebnisse sind in Tab. 3.5 zusammengefasst. In Abb. 3.15 ist der Einschwingvorgang (Bewegungen) beginnend bei t = 1 ms <?page no="100"?> 76 LCR-Parallel- und Reihenschwingkreis bis t = 2,9 ms (aus Abb. 3.14) bei 923 Hz als Phasendiagramm dargestellt. Ein Einschwingen entgegen dem Uhrzeigersinn ist als zunehmender Radius erkennbar. In Abb. 3.16 sind die Spannungs-, Stromverl¨aufe, erregt mit einer von f 0 und f d abweichenden, h¨oheren Frequenz ersichtlich. Die Spannung u 0 eilt nach erfolgtem Einschwingvorgang der Spannung u C vor. Wird die Schaltung mit einer Frequenz f < f 0 erregt, so eilt die Spannung u 0 nach erfolgtem Einschwingvorgang der Spannung u C hinterher. Eine Phasengleichheit zwischen der Spannung u 0 , u C und den Str¨omen i R , i 0 ist nicht mehr gegeben. 3.8 Ged¨ampfter, freier LCR-Parallelschwingkreis Strebt in Abb. 3.13 der Widerstand R q → ∞ , so geht die Schaltung in den zustand eines ged¨ampften und freien LCR-Parallelschwingkreis nach Abb. 3.17 ¨ uber. Aus Gl. (3.13) verbleibt Abbildung 3.17: Beispiel eines freien und ged¨ampften LCR-Parallelschwingkreises mit L als Quelle p 1 , 2 = − 1 2RC ± j √ 1 LC − 1 (2RC) 2 (3.20) = − δ ± j √ ω 2 0 − δ 2 = − δ ± j ω d . Eine Fallunterscheidung des Schwingungsverhaltens kann wie in Kap. 3.5 vorgenommen, durchgef¨ uhrt werden. Die Gl. (3.20) wird wie folgt interpretiert: <?page no="101"?> 3.8 Ged¨ampfter, freier LCR-Parallelschwingkreis 77 Abbildung 3.18: LTspice-Simulationsergebnis - ged¨ampfter LCR-Parallelschwingkreis • R → 0: Eine periodische Schwingung wird nicht mehr erm¨oglicht. Die Schaltung wird kurzgeschlossen. • R → ∞ : Die Eigenkreisfrequenz des ged¨ampften Systems geht ¨ uber in die Eigenkreisfrequenz ω 0 des unged¨ampften LC-Schwingkreises nach Gl. (3.14). Es folgt p 1 , 2 = 0 ± j 1 √ LC = 0 ± j ω 0 j ω 1 , 2 = ± j ω 0 ω 1 , 2 = ± ω 0 , wobei hier die positive Eigenkreisfrequenz ω 1 = ω 0 die L¨osung bildet. In Abb. 3.18 sind die Spannungen des ged¨ampften LCR-Schwingkreises nach Abb. 3.17 mit dem Widerstand als Scharparameter ersichtlich. Sichtbar sind die abklingenden Ausgleichsvorg¨ange. Diese werden mit einem kleiner werdenden Widerstand beschleunigt. Die Einfl¨ usse auf die Eigenfrequenzen sind in Tab. 3.6 zusammengefasst, <?page no="102"?> 78 LCR-Parallel- und Reihenschwingkreis Tabelle 3.6: Parameter und Vergleich von Eigenkreis-, Eigenfrequenzen des ged¨ampften LCR-Parallelschwingkreises nach Abb. 3.17 Simulationsparameter: C = 2,2 μF L = 13,5 mH ω 0 = 5803 s − 1 nach Gl. (3.14) Widerstand R [Ω] Methode 100 200 1000 ω d nach Gl. (3.17) [s − 1 ] 5339 5690 5798 ω d aus Abb. 3.18 [s − 1 ] 5221 5623 5749 f d aus Gl. (3.18) [Hz] 850 906 923 f d aus Abb. 3.18 [Hz] 831 895 915 δ aus Gl. (3.16) [s − 1 ] 2273 1136 227 desgleichen die Simulations-, Berechnungsparameter mit Berechnungsergebnissen. Die Abweichungen zwischen den analytischen und numerischen Ergebnissen sind auf die zeitliche Diskretisierung zur¨ uckzuf¨ uhren. Es wird darauf hingewiesen, dass ω 0 > ω d ist. F¨ ur den Parallelschwingkreis ist in Abb. 3.19 die Spannung ¨ uber dem Strom als Phasendiagramm mit dem Widerstand als Scharparameter ersichtlich. Die Abklingvorg¨ange (Bewegungen) erfolgen entgegen dem Uhrzeigersinn und enden im Zentrum des Diagramms bei u = i = 0. Dagegen beschreibt ein unged¨ampftes System einen Kreis. Es sei noch ein Hinweis auf die angenommenen Stromrichtungen in Abb. 3.17 gegeben: • Werden als Stromrichtungen alle drei Str¨ome als positiv angenommen, wird damit die Knotenregel verletzt, jedoch ¨andert dies nichts am erzielten Ergebnis der Eigenkreisfrequenz des ged¨ampften Systems. Den Grund bildet der quadratische Term in der Wurzel der Mitternachtsformel. • Werden unabh¨angig von der Stromrichtung i R die beiden Str¨ome i C und i L als gleichl¨aufig angenommen, so f¨ uhrt dies zu dem Ergebnis p 1 , 2 = 1 2RC ± j √ 1 LC − 1 (2RC) 2 . Der Realteil ist mit einem Vorzeichenwechsel versehen. Die Eigenkreisfrequenz des ged¨ampften Systems ist gleich der in Gl. (3.20). <?page no="103"?> 3.9 Unged¨ampfter, freier LC-Schwingkreis 79 Abbildung 3.19: LTspice-Simulationsergebnis - LCR-Parallelschwingkreis, Ausschwingvorgang als Phasendiagramm 3.9 Unged¨ampfter, freier LC-Schwingkreis Geht in Abb. 3.17 der Widerstand R → ∞ , so folgt damit der unged¨ampfte und freie LC-Schwingkreis nach Abb. 3.12. Aus Gl. (3.20) folgt die Eigenkreisfrequenz gem. Gl. (3.14) des freien und unged¨ampften LC-Schwingkreises, welcher auch dem unged¨ampften und freien LC-Schwingkreis aus Kap. 3.6 entspricht. <?page no="105"?> Kapitel 4 Stromverdr¨angung im Leiter In Abb. 4.1 a) ist ein elektrischer Leiter im Zylinderkoordinatensystem ersichtlich. Der Leiter ist mittels des Radius R, der L¨ange l sowie der elektrischen Leitf¨ahigkeit κ beschrieben und wird von der Stromdichte J durch die Leiterquerschnittsfl¨ache (stirnseitig) durchdrungen. Abbildung 4.1: Elektrischer Rundleiter mit Stromdichteprofil J(r) Im Falle einer Gleichbestromung J (ω = 0) wird sich die Stromdichte J (r) ¨ uber der Leiterquerschnittsfl¨ache homogen einstellen. Im Falle einer Wechselbestromung J (ω > 0) erfolgt im Leiter eine Stromverdr¨angung hin zu dem Randbereich des Leiters. Die Stromdichte ist damit ¨ uber die Fl¨ache inhomogen verteilt und enth¨alt eine radiale ¨ Anderung. Die Stromdichte ist jedoch entlang des Umfangs konstant (allseitige Stromverdr¨angung). Vergleiche hierzu Abb. 4.1 b). Die effektive Leiterquerschnittsfl¨ache zur <?page no="106"?> 82 Stromverdr¨angung im Leiter Stromdurchleitung nimmt ab. Das Anliegen dieses Kapitels besteht in der Beschreibung des Effektes der Stromverdr¨angung im Leiter mittels der beiden Maxwellgleichungen (1.11) und (1.13), welche bereits geometrische Gr¨oßen zur Modellbildung beinhalten. Die zeitlich ver¨anderliche Stromdichte im Leiter bewirkt eine zeitlich ver¨anderliche Flussdichte, welche ihrerseits ein zeitlich ver¨anderliches elektrisches Feld induziert. Der Effekt der Stromverdr¨angung ist durch die ¨ Uberlagerung (Superposition) der im Leiter induzierten elektrischen Felder begr¨ undet, worauf im Fortgang die Modellbildung fokussiert und der stromdichtef¨ uhrende Term in Gl. (1.13) vernachl¨assigt wird. Die aus der Superposition des elektrischen Feldes herr¨ uhrende Stromverdr¨angung wird mit den Parametern Leiterradius R und Kreisfrequenz ω mittels zu entwickelnder Polynomgleichung beschrieben. 4.1 Stromverdr¨angung im Leiter - Modellbildung Die Ursache der Stromverdr¨angung im Leiter bildet die Feldverdr¨angung im Leiter, deren Ursache eine am Leiter anliegende Wechselspannung ist. Zur Modellbildung findet ein Wechsel vom Zeitin den komplexen Bildbereich statt. Der Leiter nach Abb. 4.1 a) wird in Abb. 4.2 a) mit seinen Fl¨achen A 1 (Leiterquerschnittsfl¨ache) und A 2 (Halbebene), dessen Berandungen Γ 1 und Γ 2 sowie die Leiterl¨ange l bemaßt. Entlang des Leiters treibt in Abb. 4.2 b) die anliegende zeitlich ver¨anderliche Spannung u = E 1 · l den zeitlich ver¨anderlichen Strom. Des Weiteren sind die fl¨achendurchdringenden Feldgr¨oßen, wie die magnetische Flussdichte B und die elektrische Feldst¨arke E eingezeichnet. Beide wurden mit der Vorgehensweise nach Abb. 4.3 entwickelt, in welcher die zur Modellbildung erforderlichen Annahmen benannt sind. Das elektrische Feld E 1 ruft durch das Durchflutungsgesetz (Rechte-Hand-Regel) die magnetische Flussdichte B 1 im Leiter hervor. Bei zunehmender Frequenz induziert die Flussdichte B 1 , gekoppelt durch das Induktionsgesetz (Linke-Hand-Regel), die elektrische Feldst¨arke E 2 , deren Richtung sich am ¨außeren Rand des Leiters gleich und im Leiterinneren entgegen der Richtung von E 1 einstellt. Diese Verkettung von Ursache und Wirkung wurde in der Abb. 4.3 beispielsweise von n = 0 bis n = 2 dargestellt. F¨ ur den Bereich I des Rundleiters [0 ≤ r ≤ R/ 2] nehmen die Integrationskonstanten in Abb. 4.3 die Werte r 1 = 0 und r 2 ≤ R/ 2 an. Die elektrische Feldst¨arke im Zentrum des Leiters E Z (r, ω) wird mit der Polynomgleichung <?page no="107"?> 4.1 Stromverdr¨angung im Leiter - Modellbildung 83 Abbildung 4.2: Elektrischer Leiter mit Fl¨achen, Berandungen und Feldverl¨aufe E Z (r, ω) = E 1 − E 2 − E 3 − E 4 − · · · = [ 1 − 1 2 2 ( ω r c ) 2 − 1 2 2 4 2 ( ω r c ) 4 − 1 2 2 4 2 6 2 ( ω r c ) 6 − · · · ] E 0 e jωt = [ 1 − 1 (1! ) 2 ( ωr 2c ) 2 − 1 (2! ) 2 ( ωr 2c ) 4 − · · · ] E 0 e jωt beschrieben. F¨ ur den Randbereich II des Rundleiters [R/ 2 ≤ r ≤ R] nehmen die Integrationskonstanten in Abb. 4.3 die Werte r 1 = R/ 2 und r 2 ≤ R an. Die elektrische Feldst¨arke im Randbereich des Leiters E R (r, ω) wird mit der Polynomgleichung E R (r, ω) = E 1 + E 2 + E 3 + E 4 + · · · = [ 1 + 1 (1! ) 2 ( ωr 2c ) 2 + 1 (2! ) 2 ( ωr 2c ) 4 + · · · ] E 0 e jωt beschrieben. Die Substitution a = ω r/ (2c) erlaubt die verk¨ urzte Summenschreibweise beider Polynomgleichungen mit E Z (r, ω) = n = ∞ ∑ n =0 [ 1 − 2n | 1 − 2n | a 2 n (n! ) 2 ] E 0 e jωt (4.1) E R (r, ω) = n = ∞ ∑ n =0 [ a 2 n (n! ) 2 ] E 0 e jωt . (4.2) <?page no="108"?> 84 Stromverdr¨angung im Leiter Abbildung 4.3: Vorgehen zur Herleitung der Feld¨ uberlagerung <?page no="109"?> 4.1 Stromverdr¨angung im Leiter - Modellbildung 85 Aus Symmetriegr¨ unden sind die elektrischen Feldst¨arken E 2 , E 3 , usw. an der Stelle R/ 2 gleich Null. Die beiden Polynomgleichungen E Z (r, ω), E R (r, ω) werden durch die Koordinatentransformation auf E Z (R/ 2, ω) = E R (R/ 2, ω) = 0 auf der r-Achse verschoben und bereichsweise definiert, womit an der Stelle R/ 2 nur die Feldst¨arke E 1 verbleibt. Aus den beiden Polynomgleichungen folgt bereichsweise definiert, die elektrische Feldst¨arke E(r, ω) E(r, ω) = { E Z ( − r + R 2 , ω), [0 ≤ r ≤ R/ 2] : Bereich I E Z (r − R 2 , ω), [R/ 2 ≤ r ≤ R] : Bereich II f¨ ur den Rundleiter. Eine ¨ Uberlagerung aller beteiligten elektrischen Felder (konstruktive Superponierung im Bereich II) bewirkt eine h¨ohere Spannung und damit verbunden eine h¨ohere Stromdichte J am Rand des Leiters. Damit konzentriert sich die Stromleitung auf den ¨außeren Bereich des Leiters, was als Skineffekt bezeichnet wird. Im Inneren des Leiters (Bereich I) f¨ uhrt dies zu einer destruktiven Superponierung zwischen dem Feld E 1 und allen weiteren beteiligten elektrischen Felder. Dies kann bis zu einem Stromr¨ uckfluss (negative Stromdichte) im Inneren des Leiters f¨ uhren (siehe hierzu Abb. 4.6). In den Polynomen der Gleichungen (4.1) und (4.2) sind alle Parameter wie Kreisfrequenz ω und Leiterradius r ersichtlich, welche die Stromverdr¨angung beeinflussen. Diese werden wie folgt diskutiert: • Am Randbereich des Leiters nehmen E 3 und E 2 dieselbe Richtung wie E 1 ein. Im Zentrum des Leiters sind E 3 und E 2 der Feldst¨arke E 1 entgegengerichtet. • ω = 0: DC, alle Terme, welche ω beinhalten, verschwinden. Die Stromdichte ist ¨ uber dem Leiterquerschnitt homogen verteilt. Siehe hierzu die Abbildungen 4.1 b) und 4.4. • ω → ∞ : AC, die einzelnen Terme nehmen in ihren Werten zu. Die Polynomgleichungswerte werden am Rand des Leiters ein Maximum und im Zentrum des Leiters ein Minimum einnehmen. Vergleiche hierzu das Ergebnis in Abb. 4.4. • r = 0: Gem¨aß der Modellbildung verschwinden alle Terme, welche den Parameter r beinhalten. Damit verbleibt die Feldst¨arke E 1 . • 0 > r ≥ R/ 2: Feldabschw¨achung im Zentrum des Leiters (destruktive Superponierung aller E-Felder). <?page no="110"?> 86 Stromverdr¨angung im Leiter • R/ 2 > r ≥ R: Feld¨ uberh¨ohung am Randbereich des Leiters (konstruktive Superponierung aller E-Felder). • r = R: An dieser Stelle stellt sich bei ω > 0 die maximale Stromverdr¨angung ein. Eine Vergr¨oßerung des Radius R bei gleichbleibender Kreisfrequenz vergr¨oßert den Effekt der Stromverdr¨angung, was bereits mit den Ergebnissen in den Abbildungen 4.4, 4.5 und 4.6 validiert wurde. • Hohlleiter mit r i < r ≤ R: Die Festlegung der Integrationsgrenzen zur Herleitungen der einzelnen E-Feldterme in Abb. 4.3 l¨asst erkennen, dass bei r = r i , mit r i < R die Beitr¨age der einzelnen Terme geringer ausfallen und damit den Effekt der Stromverdr¨angung verringern. • ωR: Die Kreisfrequenz ω und der Leiterradius R beeinflussen multiplikativ die Stromverdr¨angung. Bei einem zunehmenden Leiterradius R muss beispielsweise die Kreisfrequenz ω verringert werden, um ω R = konstant, den Effekt der Stromverdr¨angung konstant zu belassen. Wird mit Hilfe der Polynomgleichungen eine auf den Leiterradius bezogene elektrische Feldst¨arke E (r) eingef¨ uhrt, so kann zusammen mit der elektrischen Leitf¨ahigkeit κ die Stromdichte J mit J = κ ˆ E (r) dr berechnet werden. Der durch den Leiter fließende Strom wird mit der Integration ¨ uber die Leiterquerschnittsfl¨ache A 1 (Abb. 4.2 a)) I = ˆ ˆ Ω J dA 1 = 2π ˆ R 0 J (r) r dr berechnet. 4.2 Stromverdr¨angung im Leiter - Berechnungsergebnis Die beiden Polynome der Gleichungen (4.1) und (4.2) repr¨asentieren die Stromverdr¨angung im Rundleiter und finden bei einem Rundleiter mit einem Radius von R = <?page no="111"?> 4.3 Stromverdr¨angung im Leiter - Simulationsergebnis 87 0, 001 m Anwendung. Hierzu wurde die Kreisfrequenz ω als Scharparameter gew¨ahlt. Abbildung 4.4: Berechnungsergebnis - normierte elektrische Feldst¨arke E Z (r, ω) und E R (r, ω) in Abh¨angigkeit des Leiterradius und der Kreisfrequenz ω als Scharparameter Das MATLAB-Ergebnis ist in Abb. 4.4 dargestellt. Die Werte der Polynomgleichungen nehmen jeweils im Leiterzentrum ein Minimum und am Leiterrand ein Maximum ein. Die Stromdichte und damit die Stromleitung konzentriert sich mit zunehmender Kreisfrequenz am Leiterrand und kann im Leiterzentrum bei zunehmender Kreisfrequenz negative Werte annehmen. Der Verlauf des elektrischen Feldes ¨ uber dem Leiterquerschnitt bildet die Ursache f¨ ur die sich einstellende radiale Stromdichteverteilung J (r). 4.3 Stromverdr¨angung im Leiter - Simulationsergebnis In den Abbildungen 4.5 und 4.6 sind die Ergebnisse der Stromverdr¨angung J(r) in drei Kupferleitern, simuliert mittels der MATLAB Partial Differential Equation Toolbox, <?page no="112"?> 88 Stromverdr¨angung im Leiter ersichtlich. Der Leiterdurchmesser betr¨agt d 1 = 2 mm. Die weiteren Durchmesser verhalten sich wie d 2 = 2 d 1 und d 3 = 3 d 1 . Im Modell wurde eine spezifische elektrische Leitf¨ahigkeit des Kupfers mit κ = 56, 2 · 10 6 1/ (Ωm) angenommen. Die maximale Stromdichte nimmt den Wert 1 an. Negative Werte kennzeichnen eine Richtungsumkehr der Stromdichte im Leiter. Die Stromverdr¨angung ist ¨ uber dem Leiterumfang konstant. Die Ergebnisse werden wie folgt diskutiert: Abbildung 4.5: Simulationsergebnis - Realteil der Stromdichte J(r) im Kupferleiter bei f = 1 kHz • Beide Abbildungen zeigen, dass der Effekt der Stromverdr¨angung mit zunehmendem Leiterdurchmesser st¨arker wird. • In Abb. 4.5 wurde die Stromverdr¨angung mit einer Kreisfrequenz von 1 kHz simuliert. Eine signifikante Stromverdr¨angung stellt sich hierbei im linken Leiter ein. Dagegen ist im rechten Leiter noch keine Stromverdr¨angung erkennbar. • In Abb. 4.6 wurde die Kreisfrequenz auf 3 kHz erh¨oht. Alle drei Leiter zeigen den Effekt einer Stromverdr¨angung. Die negative Stromdichte im linken Leiter entspricht einer Stromrichtungsumkehr. <?page no="113"?> 4.4 Stromverdr¨angung im Leiter - Zusammenfassung 89 Abbildung 4.6: Simulationsergebnis - Realteil der Stromdichte J(r) im elektrischen Kupferleiter bei f = 3 kHz F¨ ur den interessierten Leser wird in [46] Kap. 3.3 die Stromverdr¨angung mittels Felddiffusionsgleichung hergeleitet und berechnet. 4.4 Stromverdr¨angung im Leiter - Zusammenfassung Die in der Literatur ¨ ubliche Einf¨ uhrung in die Theorie der Stromverdr¨angung in Leitern erfolgt vielfach unter Anwendung der Diffusionsgleichung. Siehe hierzu [55], (S. 287 ff.); [56], (S. 554 ff.) und [49], (S. 172 ff.). Interessanterweise bieten die Maxwellgleichungen in ihrer Integralform einen direkten Zugang zur Theorie der Stromverdr¨angung in Leitern, welcher in Reihenentwicklungen m¨ undet und den Effekt der Stromverdr¨angung beschreibt. Die in diesem Kapitel gewonnenen Erkenntnisse werden wie folgt zusammengefasst: • Das analytische Modell zur Berechnung der Stromverdr¨angung ist gem. Kap. 27 der Kategorie A zuzuordnen (Modellklassifizierung). <?page no="114"?> 90 Stromverdr¨angung im Leiter • Die Modellbildung erfolgt mit zwei Maxwellgleichungen (Durchflutungs- und Induktionsgesetz) in ihren Integralformen. • Die Modellbildung erfolgt im komplexen Bildbereich, was die zeitlichen Ableitungen vereinfacht und der Nachvollzieh- und Lesbarkeit entgegen kommt. • Der Effekt der Stromverdr¨angung wird mittels Superposition aller beteiligten elektrischen Felder dargestellt, welche die Ursache der Stromdichteverteilung im Leiter bilden. • Das Ergebnis der Modellbildung sind Polynomgleichungen zur Beschreibung der radialen E-Feldverteilung, in welchen die Parameter Leiterradius R und Kreisfrequenz ω den Effekt der Stromverdr¨angung sichtbar werden lassen. • Die Modellbildung ist alternativ mit dem Ansatz der Stromdichte c 2 ˛ Γ B ds = ˆ ˆ Ω o J ε 0 dA m¨oglich. Hierzu kann wahlweise J = κE angenommen werden. • Die Vorgehensweise zur Modellbildung eignet sich zur Einf¨ uhrung in die Theorie der Stromverdr¨angung. <?page no="115"?> Kapitel 5 Besselgleichung und Besselfunktion Besselgleichungen und Besselfunktionen erfahren in der Naturwissenschaft und Technik eine hohe Bedeutung zur Berechnung von zylindersymmetrischen Problemen. In diesem Kapitel wird die Person Wilhelm Friedrich Bessel gew¨ urdigt, Besselgleichungen hergeleitet, Anwendungsbeispiele zur Besselfunktion benannt und in Besselfunktionen ¨ uberf¨ uhrt, was als L¨osung der Besselgleichungen bezeichnet wird. In [32] werden mathematisch-physikalische Anwendungsbeispiele genannt, welche auf Besselfunktionen f¨ uhren. Diese sind Schwingen einer homogenen Kette, W¨armeleitungsprobleme und die ”Keppler’sche Aufgabe“ zur Berechnung der Planetenbewegungen. Im Fortgang werden • die Person Wilhelm Friedrich Bessel vorgestellt, • die Besselgleichung aus dem LCR-Parallelschwingkreis, • die Besselgleichung aus der Felddiffusionsgleichung, • die Besselfunktion zur Feldverteilung in einem Plattenkondensator, • die Besselfunktion zur Feldverteilung in einer Zylinderspule, • die Besselfunktion aus der allgemeinen Form der Besselgleichung hergeleitet. Beispielsweise sind in den Abbildungen 5.2 und 5.6 zylindersymmetrische Anordnungen, ein Kondensator und eine Zylinderspule abgebildet, welche zur Herleitung von Besselfunktionen Anwendung finden. Alle zwei Anordnungen haben gemeinsam eine Ursache, welche eine Wirkung hervorruft, die wiederum zur Ursache f¨ ur die Folgewirkung wird. Die Betrachtung kann bis in das Unendliche fortgesetzt werden. In <?page no="116"?> 92 Besselgleichung und Besselfunktion Abb. 5.2 a) ruft ein zeitlich ver¨anderliches elektrisches Feld E zwischen den Kondensatorplatten bei einer zunehmenden Frequenz ein zeitlich ver¨anderliches Magnetfeld B hervor, welches seinerseits wieder ein der Ursache entgegenwirkendes elektrisches Feld hervorruft. Das resultierende elektrische Feld zwischen den Kondensatorplatten wird mit zunehmender Frequenz abgeschw¨acht. In Abb. 5.6 b) ist eine Zylinderspule ersichtlich, innerhalb welcher mit zunehmender Frequenz die resultierende Flussdichte der Spule abnimmt. Die benannten Effekte werden mittels herzuleitender Besselfunktion nachfolgend beschrieben. 5.1 Zur Person Wilhelm Friedrich Bessel Friedrich Wilhelm Bessel war deutscher Astronom und Mathematiker. Er wurde 1784 in Minden geboren und starb 1846 in K¨onigsberg. Zu Beginn arbeitete er als Kaufmann. 1806 wurde er Observator an der Privatsternwarte von J. H. Schr¨oter in Lilienthal und 1810 Professor der Astronomie und Direktor der Sternwarte in K¨onigsberg. Er gilt als der bedeutendste Astronom der ersten H¨alfte des 19. Jahrhunderts. Bessel ver¨offentlichte ¨ uber 350 Abhandlungen und wurde nach Vorlegen einer Bahnbestimmung des Halleyschen Kometen vor allem von H. W. M. Olbers gef¨ordert. Als Begr¨ under der Astrometrie untersuchte Bessel die Grundlagen zur genauen Bestimmung der Position von Gestirnen und gab 1838 als erster die Bestimmung einer Sternparallaxe (Entfernung eines Gestirns), die des Sterns 61 Cygni im Sternbild Schwan an. Bessel leitete daraus die erste sichere Sternentfernung ab. Zudem schloss er 1844 aus der Ver¨anderlichkeit der Eigenbewegung der Sterne auf die Existenz von (damals noch nicht beobachtbaren) Begleitsternen (Doppelsternen) und untersuchte die Aberration (scheinbare Ortsver¨anderung der Gestirne infolge Geschwindigkeit von Licht und Beobachter), Pr¨azession (Bewegung einer Achse), Nutation (kurzperiodische Schwankungen der Pr¨azession) und Schiefe der Ekliptik (Erdbahnebene). Bessel wies 1844 die Polh¨ohenschwankung nach. Er lieferte bedeutende Arbeiten zur Geod¨asie und Geophysik, vor allem zur genauen Festlegung der astronomischen Koordinatensysteme, zur Potential- und St¨orungstheorie (Einf¨ uhrung der Zylinder- oder Bessel-Funktionen) und zu den Abmessungen des Erdellipsoids. Die allgemeine Form der Besselgleichung ist gem. [32], Gl. (4) x 2 d 2 y dx 2 + x dy dx + (x 2 − ν 2 ) y = 0. (5.1) <?page no="117"?> 5.2 Besselgleichung des LCR-Parallelschwingkreises 93 5.2 Besselgleichung des LCR-Parallelschwingkreises In Abb. 5.1 ist ein ged¨ampfter Parallelschwingkreis ersichtlich. Die in den Zweigen dargestellten Stromrichtungen wurden bereits vorteilhaft f¨ ur die Entwicklung der Besselgleichung gew¨ahlt. Der Parallelschwingkreis wird mit einer Spannungsdifferenzialgleichung 2’ter Ordnung beschrieben, welche anschließend in die Besselgleichung (homogene Differenzialgleichung 2’ter Ordnung) nach Gl. (5.1) ¨ uberf¨ uhrt wird. Die Herleitung der Spannungsdifferenzialgleichung f¨ ur den Knoten (0) erfolgt mit den Schritten i C + i R − i L = 0 C du dt + 1 R u − 1 L ˆ u dt = 0 C d 2 u dt 2 + 1 R du dt − 1 L u = 0. Abbildung 5.1: Ged¨ampfter LCR-Parallelschwingkreis mit L als Quelle Eine Multiplikation mit R 2 C f¨ uhrt zu R 2 C 2 d 2 u dt 2 + RC du dt − R 2 C L u = 0. Die Substitution t = RC = τ 1 erlaubt die Darstellung τ 2 1 d 2 u dτ 2 1 + τ 1 du dτ 1 − R τ 1 L u = 0. <?page no="118"?> 94 Besselgleichung und Besselfunktion Durch eine erneute Substitution von τ 2 = L/ R, Erweiterung mit den Beziehungen von τ 1 , τ 2 und Umstellen der Gleichung folgt τ 2 1 τ 2 2 τ 2 2 d 2 u dτ 2 1 + τ 1 τ 2 τ 2 du dτ 1 − τ 1 τ 2 u = 0 τ 2 1 τ 2 2 d 2 u d ( τ 1 τ 2 ) 2 + τ 1 τ 2 du d ( τ 1 τ 2 ) − τ 1 τ 2 τ 1 τ 2 τ 2 τ 1 u = 0. Mit τ 1 τ 2 = R 2 C L = a wird a 2 d 2 u da 2 + a du da − a 2 τ 2 τ 1 u = 0. Hierbei ist anzumerken, dass mit − a 2 τ 2 τ 1 = ( a 2 − ν 2 ) − 2 a 2 τ 2 τ 1 = − ν 2 2 a 2 = v 2 τ 1 τ 2 = v 2 a 2 a = ν 2 die Besselgleichung in der Form von Gl. (5.1) a 2 d 2 u da 2 + a du da + ( a 2 − ν 2 ) u = 0 folgt, wobei ν hier nicht ganzzahlig ist. 5.3 Besselgleichung der Felddiffusionsgleichung Ein m¨oglicher Weg zur Herleitung der Besselgleichung f¨ uhrt ¨ uber die Herleitung der Diffusionsgleichung, welche im Anschluss in eine Besselgleichung in ihrer allgemeinen <?page no="119"?> 5.3 Besselgleichung der Felddiffusionsgleichung 95 Form ¨ uberf¨ uhrt wird. Mit dem Durchflutungsgesetz und der daraus resultierenden elektrischen Feldst¨arke rot B = J μ 0 = κ E μ 0 E = 1 κ μ 0 rot B unter Einbezug des Induktionsgesetzes rot E = − ∂ B ∂t folgt durch Einsetzen 1 κ μ 0 rot rot B = − ∂ B ∂t . Die Zuhilfenahme der Beziehung der Vektoranalysis rot rot B = grad div B ︸ ︷︷ ︸ =0 − Δ B erlaubt die vereinfachte Darstellung 1 κ μ 0 ( − Δ B ) = − ∂ B ∂t . Die weitere Umformung f¨ uhrt zur Diffusionsgleichung in Integralform Δ B = κ μ 0 ∂ B ∂t . Im Fortgang wird die Gleichung mittels Zylinderkoordinaten entwickelt. Hierzu ist Δ B = 1 r ∂ ∂r ( r ∂B ∂r ) + 1 r 2 ∂ 2 B ∂Φ 2 ︸ ︷︷ ︸ =0 + ∂ 2 B ∂z 2 ︸ ︷︷ ︸ =0 . Die Anwendung der Produktregel <?page no="120"?> 96 Besselgleichung und Besselfunktion ∂ ∂r ( r ∂B ∂r ) = r ∂ 2 B ∂r 2 + ∂B ∂r ∂r ∂r = r ∂ 2 B ∂r 2 + ∂B ∂r f¨ uhrt zur partiellen Ableitung 1 r [ r ∂ 2 B ∂r 2 + ∂B ∂r ] = ∂ 2 B ∂r 2 + 1 r ∂B ∂r . Durch Einsetzen folgt die Diffusionsgleichung als partielle Differenzialgleichung 2’ter Ordnung in Zylinderkoordinaten ∂ 2 B ∂r 2 + 1 r ∂B ∂r = κ μ 0 ∂B ∂t . Hierbei ist B = B z (r, t). Diese Gleichung gilt es in die Form der Gl. (5.1) zu ¨ uberf¨ uhren, was im Folgenden schrittweise erfolgt. Zu Beginn erfolgt die Transformation der Gleichung in den komplexen Bildbereich, indem die Flussdichte B B z (r, t) = ˆ B z (r) e jωt transformiert wird, womit die Diffusionsgleichung d 2 ˆ B z (r) dr 2 e jωt + 1 r d ˆ B z (r) dr e jωt = j ω κ μ 0 ˆ B z (r) e jωt f¨ ur den komplexen Bildbereich folgt. Die Zeitableitung wurde demzufolge in eine Multiplikation der abh¨angigen Variable B mit jω ¨ uberf¨ uhrt, welche in nullter Ordnung erscheint. Die Division durch e jωt mit Umstellen der Gleichung f¨ uhrt zu d 2 ˆ B z (r) dr 2 + 1 r d ˆ B z (r) dr + (0 − j ω κ μ 0 ) ˆ B z (r) = 0. Die Multiplikation mit r 2 r 2 d 2 ˆ B z (r) dr 2 + r d ˆ B z (r) dr + (0 − j ω κ μ 0 ) ˆ B z (r) r 2 = 0 n¨ahert die Gleichung der gew¨ unschten Form von Gl. (5.1) weiter an. Die Klammer (0 − j ω κ μ 0 ) r 2 erscheint damit ohne Si-Einheit. Die Gleichung wird mit der Substitution k 2 = − j ω κ μ 0 sowie k <?page no="121"?> 5.4 Besselfunktion zur Berechnung der Feldverteilung in einem Kondensator 97 r 2 k 2 k 2 d 2 ˆ B z (r) dr 2 + rk k d ˆ B z (r) dr + ( 0 + r 2 k 2 ) ˆ B z (r) = 0 erweitert. Um eine weitere Ann¨aherung an die Gl. (5.1) zu erreichen, wird eine erneute Substitution a 2 = k 2 r 2 und eine Umstellung erforderlich, welche die Schreibweise a 2 d 2 ˆ B z (r) da 2 + a d ˆ B z (r) da + ( a 2 + 0 ) ˆ B z (r) = 0 erlaubt, was zur Besselgleichung nullter Ordnung (ν 2 = 0), erster Art gem¨aß Gl. (5.1) f¨ uhrt. 5.4 Besselfunktion zur Berechnung der Feldverteilung in einem Kondensator Gegenstand der nachfolgenden Untersuchung ist der Plattenkondensator, wie dieser in Abb. 5.2 a) und b) ersichtlich ist. Bekanntermaßen ist bei zunehmender Erregerfrequenz eine Abnahme der Kapazit¨at zu verzeichnen. Dieser Effekt soll mithilfe der herzuleitenden Besselfunktion verifiziert werden. 5.4.1 Modellanordnung An einem Kondensator, bestehend aus zwei kreisrunden, parallel im Abstand h angeordneten metallischen Platten mit dem Radius R nach Abb. 5.2 a) soll der Einfluss der Frequenz auf die radiale elektrische Feldverteilung zwischen den Kondensatorplatten untersucht werden. Abbildung 5.2: Kondensatoranordnung mit Fl¨achen und deren Berandungen <?page no="122"?> 98 Besselgleichung und Besselfunktion 5.4.2 Herleitung der Besselfunktion Die im Fortgang getroffenen Annahmen zielen darauf ab, die radiale Verteilung des elektrischen Feldes im Kondensator mittels Besselfunktion darzustellen. Die erforderliche mathematische Beschreibung erfolgt in der komplexen Schreibweise. In Abb. 5.2 b) ist die Fl¨ache A 1 mit ihrer Berandung Γ 1 , welche von der magnetischen Flussdichte B durchsetzt wird und die Fl¨ache A 2 mit deren Berandung Γ 2 , welche die elektrische Feldst¨arke E begrenzt, ersichtlich. Aufgrund der hohen Leitf¨ahigkeit beider Kondensatorplatten entfallen an diesen die tangentialen Komponenten der elektrischen Feldst¨arke. Eine Wechselbestromung des Kondensators von Abb. 5.2 a) verursacht bei hoher Frequenz ein zunehmendes, zeitlich ver¨anderliches magnetisches Feld, welches den Kondensator am Umfang umschließt und die Fl¨ache A 1 im Randbereich gem. Abb. 5.2 a) durchsetzt. Dieses Randfeld ergibt sich bei infinitesimaler Betrachtungsweise einzelner als differenziell angenommener Kondensatorfl¨achenelemente ΔA 2 , welche senkrecht vom zeitlich ver¨anderlichen elektrischen Feld E durchsetzt werden und deshalb mit einem zeitlich ver¨anderlichen magnetischen Feld B umschlossen werden. Innerhalb benachbarter finiter Fl¨achenelemente hebt sich das magnetische B-Feld auf (destruktive Superponierung der Felder). Damit verbleibt ein resultierendes magnetisches B-Feld am Rand, welches alle Fl¨achenelemente umschließt (konstruktive Superponierung der Felder). Das vom B-Feld hervorgerufene E-Feld wirkt dem urspr¨ unglichen E-Feld entgegen (negative (-) z-Richtung), was zu einer Feldabschw¨achung in den Randbereichen des Kondensators f¨ uhrt. In Abb. 5.3 wurden diese Wechselwirkungen f¨ ur die Schritte n = 0 bis n = 2 dargestellt. Die dabei entstehenden elektrischen Felder werden mit E = E 1 − E 2 + E 3 − · · · = [ 1 − ( ωr 2c ) 2 1 (1! ) 2 + ( ωr 2c ) 4 1 (2! ) 2 − · · · ] E 0 e jωt ¨ uberlagert. In der Kondensatormitte bei r = 0 ist das Feld E 1 zu verzeichnen. Mit zunehmendem Radius und Frequenz wird das Feld in den Außenbereichen des Kondensators abgeschw¨acht. Mit der Substitution a = ωr/ (2c) folgt E(a) = [ 1 − a 2 (1! ) 2 + a 4 (2! ) 2 − a 6 (3! ) 2 + · · · ] E 0 e jωt , welche verk¨ urzt in der Summenschreibweise <?page no="123"?> 5.4 Besselfunktion zur Berechnung der Feldverteilung in einem Kondensator 99 Abbildung 5.3: Vorgehen zur Herleitung der Besselfunktion nullter Ordnung und erster Art am Beispiel der radialen, elektrischen Feldverteilung in einem Kondensator <?page no="124"?> 100 Besselgleichung und Besselfunktion E(a) = ∞ ∑ m =0 ( − 1) m a 2 m (m! ) 2 E 0 e jωt = J 0 (a) E 0 e jωt dargestellt werden kann. Die Gleichung entspricht einer Besselfunktion nullter Ordnung, erster Art. Siehe hierzu auch [30], S. 23-4. Das elektrische Feld am Kondensatorrand erf¨ahrt damit eine Abschw¨achung im Vergleich zum Innenbereich des Kondensators. In Abb. 5.4 ist der Verlauf der Besselfunktion J 0 (a) f¨ ur a = [0, 2.6] dargestellt. F¨ ur ω = 0 verbleibt das statische elektrische homogene Feld im Kondensator. Bei einer zunehmenden Frequenz und einem gew¨ahlten Radius R nimmt das elektrische Feld an dieser Stelle gem. Abb. 5.4 ab. Eine weitere Frequenzerh¨ohung l¨asst das elektrische Feld am Rande gleich Null werden und kann sich dar¨ uber hinaus noch invertieren. In Abb. 5.5 ist der Verlauf des elektrischen Feldes E zwischen den Kondensatorplatten in Abh¨angigkeit einzelner Terme skizziert. Die Feld¨ uberlagerung (Superponierung) bewirkt die Abnahme des elektrischen Feldes am Rande der Kondensatorplatten. Abbildung 5.4: Verlauf der Besselfunktion J 0 (a) <?page no="125"?> 5.5 Besselfunktion zur Berechnung der Flussdichteverteilung in einer Spule 101 Abbildung 5.5: Feldverlauf in Abh¨angigkeit einzelner E-Feld-Terme 5.5 Besselfunktion zur Berechnung der Flussdichteverteilung in einer Spule Gegenstand der nachfolgenden Untersuchung ist die zylinderf¨ormige Luftspule, wie diese in Abb. 5.6 a) mit N Windungen angedeutet ist. Bekanntermaßen ist bei zunehmender Erregerfrequenz eine Abnahme der Induktivit¨at zu verzeichnen. Dieser Effekt soll mithilfe der herzuleitenden Besselfunktion verifiziert werden. 5.5.1 Modellanordnung Die Besselfunktion erlaubt die Berechnung der Feldverteilung innerhalb einer Zylinderspule. Die Zylinderspule ist in Abb. 5.6 b) mit den entsprechenden Bezeichnungen und Bemaßungen ersichtlich. Hierbei wird die vom Rand Γ 1 berandete Fl¨ache A 1 von der Flussdichte B und die vom Rand Γ 2 berandete Fl¨ache A 2 von der elektrischen Feldst¨arke E durchsetzt. 5.5.2 Herleitung der Besselfunktion Zur weiteren Vorgehensweise findet ein Wechsel vom Zeitin den komplexen Bildbereich statt. Die sich aufgrund der Bestromung einstellende Flussdichte B 1 , in Abb. 5.6 b), induziert die elektrische Feldst¨arke E 1 . Entsprechend der Rechten-Hand-Regel ruft <?page no="126"?> 102 Besselgleichung und Besselfunktion diese die Flussdichte B 2 hervor. Die Flussdichte B 2 induziert die elektrische Feldst¨arke E 2 . Diese Vorg¨ange k¨onnen beliebig fortgesetzt werden. In Abb. 5.7 ist die dazu erforderliche Vorgehensweise von n = 0 bis n = 2 dokumentiert. Die Multiplikation der elektrischen Feldst¨arke-Gleichungen E 1 und E 2 in den Schritten n = 0 und n = 1 mit ( − 1) bewirken die Richtungsanpassungen der magnetischen Flussdichteverl¨aufe und m¨ unden in die Polynomgleichung B = B 1 + B 2 + B 3 + · · · = [ 1 − ( ωr 2c ) 2 1 (1! ) 2 + ( ωr 2c ) 4 1 (2! ) 2 − · · · ] B 0 e jωt . (5.2) Abbildung 5.6: Zylinderspule mit Fl¨achen, Berandungen und Feldverl¨aufe Das Polynom beschreibt die Flussdichte an der Stelle R. Hierbei ist das Quadrat der Lichtgeschwindigkeit c 2 = 1/ (μ 0 ε 0 ). Mit der Substitution a = ωr/ (2c) folgt B = [ 1 − a 2 (1! ) 2 + a 4 (2! ) 2 − a 6 (3! ) 2 + · · · ] B 0 e jωt , = ∞ ∑ n =0 ( − 1) n a 2 n (n! ) 2 B 0 e jωt = J 0 (a) B 0 e jωt , <?page no="127"?> 5.5 Besselfunktion zur Berechnung der Flussdichteverteilung in einer Spule 103 Abbildung 5.7: Vorgehen zur Herleitung der Besselfunktion anhand einer Zylinderspule welche die Form der Besselgleichung nullter Ordnung und erster Art annimmt und deren Verlauf in Abb. 5.8 ersichtlich ist. Die magnetische Flussdichte zeigt demzufol- <?page no="128"?> 104 Besselgleichung und Besselfunktion ge eine Frequenz- und Radiusabh¨angigkeit und alterniert zudem im Vorzeichen. Im Spuleninneren k¨onnen sich gleichzeitig gegenl¨aufige, ¨ortlich verteilte Flussdichten einstellen. Wird die Flussdichte B 0 in Abh¨angigkeit eines Erregerstroms formuliert, die Polynomgleichung ¨ uber die Spulenfl¨ache gliedweise integriert und den so erhaltenen magnetischen Fluss ¨ uber dem Erregerstrom dargestellt, so f¨ uhrt dies zur Induktivit¨at L. 5.6 Besselfunktion aus allgemeiner Form der Besselgleichung Die Besselgleichung in ihrer allgemeinen Form a 2 d 2 B z (r) da 2 + a dB z (r) da + ( a 2 + ν 2 ) B z (r) = 0 wird zur L¨osung in ihre Besselfunktion als unendliche Reihen ¨ uberf¨ uhrt. Hierzu erfolgt die Umstellung der Besselgleichung mittels der Division durch a 2 , wodurch die Besselgleichung d 2 B z (r) da 2 + 1 a dB z (r) da + ( 1 − ν 2 a 2 ) B z (r) = 0 (5.3) in ihre Normalform ¨ uberf¨ uhrt wird. Bei a = 0 entsteht eine Singularit¨at. Um diese zu umgehen, wird ein Ansatz mit der Frobenius-Potenzreihe B z (r) = a σ ∞ ∑ n =0 B n a n (5.4) dB z (r) da = ∞ ∑ n =0 (n + σ) B n a n + σ − 1 d 2 B z (r) da 2 = ∞ ∑ n =0 (n + σ) (n + σ − 1) B n a n + σ − 2 gew¨ahlt. Hierbei sei n als ganzzahlig anzunehmen. Durch Einsetzen dieser Beziehungen in Gl.(5.3) und anschließende Multiplikation mit a 2 − σ folgt ∞ ∑ n =0 (n + σ) (n + σ − 1) B n a n + 1 a ∞ ∑ n =0 (n + σ) B n a n +1 + ( 1 − ν 2 a 2 ) ∞ ∑ n =0 B n a n +2 = 0. <?page no="129"?> 5.6 Besselfunktion aus allgemeiner Form der Besselgleichung 105 Tabelle 5.1: Bestimmung der Koeffizienten B n Eine anschließende Zusammenfassung durch Ausmultiplizieren der Klammern, Anwenden des ersten binomischer Lehrsatzes sowie eines Potenzgesetzes f¨ uhrt zu ∞ ∑ n =0 [ (n + σ) 2 − ν 2 ] B n a n + ∞ ∑ n =0 B n a n +2 = 0. Die Gleichung muss f¨ ur alle Werte von a Null ergeben. Da a die unabh¨angige Variable ist, kann diese einen von Null verschiedenen Wert annehmen. Die unterschiedlichen Potenzen von a erlauben ebenfalls nicht das Erf¨ ullen der Gleichung. Somit verbleibt, dass die Koeffizienten von a selbst den Wert Null annehmen m¨ ussen. Der Koeffizient B n ist in beiden Termen der Gleichung enthalten. Dies f¨ uhrt zu der Annahme, B n = 0 zu setzen, was die Gleichung erf¨ ullt. Ein weiterer Weg, die Gleichung zu erf¨ ullen, besteht in der Verschiebung der Indizes ∞ ∑ n =0 [ (n + σ) 2 − ν 2 ] B n a n + ∞ ∑ n =0 B n − 2 a n = 0 ∞ ∑ n =0 [( (n + σ) 2 − ν 2 ) B n + B n − 2 ] a n = 0, was zu einer Rekursionsgleichung f¨ uhrt, in welcher die unabh¨angige Variable a nur mit gleicher Potenz erscheint und a n ausgeklammert werden kann. F¨ ur die Rekursionsgleichung gilt n ≥ 2, mit Folge, dass B − 2 = B − 1 = 0 ist. Die Bestimmung von B n erfolgt mit <?page no="130"?> 106 Besselgleichung und Besselfunktion ∞ ∑ n =0 [ (n + σ) 2 − ν 2 ] B n a n = ∞ ∑ n =0 − B n − 2 a n . Wird im Fortgang σ = ± ν gesetzt und umgeformt, so folgt ∞ ∑ n =0 B n a n = ∞ ∑ n =0 − 1 n (n ± 2ν) B n − 2 a n . In Tab. 5.1 werden die Koeffizienten B n beispielhaft definiert. Die Gammafunktion liefert die folgenden Ergebnisse: • Γ(1) = 1, • Γ(1 ± ν) = ν! , wenn ν positiv und ganzzahlig ist, • Γ(ν) = ∞ , wenn ν ganzzahlig ≤ 0. Die Herleitung der Gammafunktion ist [51], S. 635 f. zu entnehmen. Das Ergebnis der Gammafunktion fließt ein in die L¨osung der Besselgleichung in Form der Frobenius- Potenzreihe nach Gl. (5.4), einer Besselfunktion mit gew¨ahlter nullter Ordnung ν = 0 und erster Art B(a) = ( 1 − a 2 2 · 2 + a 4 2 2 4 2 − · · · ) B 0 = [ 1 − ( a 2 ) 2 1 (1! ) 2 + ( a 2 ) 4 1 (2! ) 2 − · · · ] ︸ ︷︷ ︸ J 0 ( a ) B 0 , oder in Summenschreibweise B(a) = ∞ ∑ m =0 ( − 1) m a 2 m 2 2 m m! Γ(1 + m) B 0 = ∞ ∑ m =0 ( − 1) m a 2 m 2 2 m (m! ) 2 B 0 = J 0 (a) B 0 . (5.5) In Abb. 5.8 sind Verl¨aufe der Besselfunktionen erster Art der Ordnungen ν = 0 bis ν = 3 als L¨osung der Besselgleichung Gl. (5.3) ersichtlich. Die nullte Ordnung besitzt im Gegensatz zu den weiteren Ordnungen den Funktionswert J 0 (0) = 1. Der hierzu erforderliche MATLAB-Code ist nachfolgend ersichtlich: <?page no="131"?> 5.6 Besselfunktion aus allgemeiner Form der Besselgleichung 107 Abbildung 5.8: Beispiele f¨ ur Besselfunktionen erster Art mit der Ordnung ν als Scharparameter a = 0: 0.2: 15; figure; plot(a,besselj(0,a),’r-’,a,besselj(1,a),’k--’,a,besselj(2,a),’k-o’, a,besselj(3,a),’k-d’,’Linewidth’,2); grid on; ax = gca; ax.FontSize = 14; xlabel(’a’); ylabel(’J(a)’); legend(’J_0(a), \nu = 0’,’J_1(a), \nu = 1’,’J_2(a), \nu = 2’, ’J_3(a), \nu = 3’); print -depsc2 -tiff Bessel_01.eps print -dpng Bessel_01.png <?page no="133"?> Kapitel 6 L¨osung von Differenzialgleichungen mittels Green’scher Funktionen George Green stammt aus einfachsten Verh¨altnissen und wurde zu einem bedeutenden Mathematiker. Er steht stellvertretend f¨ ur viele, die sich noch nicht selbst entdeckt haben, das aber demn¨achst tun k¨onnen. Im Fortgang wird die Person George Green vorgestellt und auszugsweise in seine Methoden mit Anwendungen eingef¨ uhrt. 6.1 Zur Person George Green George Green (1793-1841), geboren in Nottingham, war britischer Mathematiker und Physiker und M¨ uller. Green arbeitete in der M¨ uhle seines Vaters. Bereits als kleiner Junge besaß er ein großes Interesse an der Mathematik und wurde im Alter von acht Jahren an die Robert Goodacre-Akademie in der Lower Parliament Street in Nottingham geschickt. In seinen sp¨ateren Arbeiten befasste er sich mit Potenzialfunktionen, Additions- und Vertauschungstheoremen und den Gauß’schen Satz erf¨ ullende Integralgleichungen zweier Parameterfunktionen in r¨aumlichen Bereichen unter Ausschließung von Unstetigkeitsstellen. In seiner Ver¨offentlichung ”An Essay on the Application of Mathematical Analysis in the Theories of Electricity and Magnetism“ (1828) wird u. a. in die als Green’sche Theoreme benannten Integrals¨atze eingef¨ uhrt [33]. Als weitere empfehlenswerte Literaturen sind [51], Kap. 15 und Kap. 21; [44], Kap. 8; [36], Kap. 1.10 sowie [45] Art. 100 und Art. 101 zu nennen. <?page no="134"?> 110 L¨osung von Differenzialgleichungen mittels Green’scher Funktionen Abbildung 6.1: Vorgehensweise zur DGL-L¨osung mittels Green’scher Methode Eines der Grundprobleme der Feldtheorie ist die Konstruktion von L¨osungen f¨ ur lineare Differentialgleichungen (DGLs), wenn eine definierte Quelle vorliegt und die Differenzialgleichung gegebene Randbedingungen erf¨ ullen muss. Die Methode nach Green erm¨oglicht das L¨osen einer breiten Vielfalt von Differenzialgleichungstypen, f¨ ur welche ggf. kein alternativer, analytischer L¨osungsweg vorliegt. Im Allgemeinen sind die Green’schen Funktionen eher Verteilungsfunktionen. Die Green’sche Funktion ist die L¨osung f¨ ur Differentialgleichungen mit einem von einer Punktquelle gegebenen Quellterm. Praktisch kann die L¨osung derselben Differentialgleichung mit einem beliebigen Quellterm Punkt f¨ ur Punkt get¨atigt werden, indem die Green’sche Funktion ¨ uber den Quellterm integriert wird. Dies ist gleichbedeutend mit einer unz¨ahligen ¨ Uberlagerung von L¨osungen von Gleichungen mit der Punktquelle, weshalb die Linearit¨at des Differentialoperators wichtig ist. Eine ¨ Uberlagerung setzt immer eine Linearit¨at des Systems <?page no="135"?> 6.1 Zur Person George Green 111 voraus. Im Fortgang folgt gem. Abb. 6.1 Abbildung 6.2: Zusammenfassung und Systematik von Differenzialgleichungen zur L¨osung mittels Green’scher Funktionen • die ¨ Ubersicht von h¨aufigen Differenzialgleichungen in Abb. 6.2, welche mit Hilfe von Green’schen Funktionen gel¨ost werden k¨onnen, • die Herleitung der Green’schen Integrals¨atze, • die Erl¨auterung des Prinzips, welche zur Green’schen Funktion f¨ uhrt, • die Vorbereitungen der PDEs zur L¨osung mittels Green’scher Funktion in Differenzial- und Integralform, • der Einbezug der Randbedingungen, • die Vorbereitung der ODEs unter Ber¨ ucksichtigung der Rand- und Kontinuit¨atsbedingungen, <?page no="136"?> 112 L¨osung von Differenzialgleichungen mittels Green’scher Funktionen • die L¨osung gew¨ahlter PDEs und ODEs mittels Green’scher Funktion. Die L¨osung der PDEs und ODEs besteht in der Suche nach einer geeigneten Green’schen Funktion unter Einbezug von Randbedingungen. 6.2 Green’sche Integrals¨atze Die Herleitung der Green’schen Integrals¨atze erfolgt mittels des Gauß’schen Integralsatzes ‹ ∂ Ω F n dA = ˚ Ω div F dV, Abbildung 6.3: Im Raum Ω befindliche Quellen, deren Vektorfeld F ¨ uber die Oberfl¨ache ∂Ω austritt wobei F ein rotationsfreies Quellenfeld repr¨asentiert. Siehe hierzu auch Art. 25 ”On the effect of the operator ∇ on a vectorfunction“ [45], S. 25 und Abb. 6.3. Hier dringt das rotationsfreie Quellenfeld F ¨ uber die Oberfl¨ache ∂Ω aus dem Volumen Ω heraus (oder hinein). Mit der Substitution F = v ∇ u folgt ‹ ∂ Ω (v ∇ u) n dA = ˚ Ω div (v ∇ u) dV. Mit den frei w¨ahlbaren Skalarfunktionen u und v und den Beziehungen • ∇ u n = ∂u ∂n , ∇ v n = ∂v ∂n , • div (v ∇ u) = ∇ v ∇ u + v ∇ 2 u, div (u ∇ v) = ∇ u ∇ v + u ∇ 2 v <?page no="137"?> 6.2 Green’sche Integrals¨atze 113 folgt die erste Green’sche Gleichung (erstes Green’sches Theorem) ‹ ∂ Ω v ∂u ∂n dA = ˚ Ω ( ∇ v ∇ u + v ∇ 2 u ) dV (6.1) sowie ‹ ∂ Ω u ∂v ∂n dA = ˚ Ω ( ∇ u ∇ v + u ∇ 2 v ) dV. (6.2) Durch Subtraktion von Gl. (6.1) mit Gl. (6.2) folgt ‹ ∂ Ω ( v ∂u ∂n − u ∂v ∂n ) dA = ˚ Ω ( v ∇ 2 u − u ∇ 2 v ) dV (6.3) die zweite Green’sche Gleichung (zweites Green’sches Theorem). Die Entwicklung der Theoreme ist in [33] sowie [45] Art. 100 einsehbar. Es darf in Anlehnung an Abb. 6.3 noch angemerkt werden, dass der Gauß’sche Integralsatz auf ein Volumen anwendbar ist, das von einer mehrfach (in diesem Beispiel zweifach) verbundenen Region eingeschlossen ist. Das Oberfl¨achenintegral von Gl. (6.3) beschreibt in Abb. 6.4 die Integration ¨ uber die Oberfl¨achen ∂Ω 1 und ∂Ω 2 , welche das Differenzvolumen Ω = Ω 1 − Ω 2 berandet. Es gilt zu beachten, dass die positiven Oberfl¨achen vom Volumen weg verlaufen, was durch die Normalenvektoren n in Abb. 6.4 gekennzeichnet ist. Eine n¨ utzliche Anwendung des Gauß’schen Satzes ist als Green’sches Theorem bekannt ([50], S. 21 f.). Abbildung 6.4: Volumen mit mehrfach zusammenh¨angenden Regionen <?page no="138"?> 114 L¨osung von Differenzialgleichungen mittels Green’scher Funktionen 6.3 PDE - Auf-, Integrationspunktanordnungen In Abb. 6.5 wird eine Fallunterscheidung zwischen einer Punktladungsanordnung, welche im Zentrum des Koordinatensystems (erste Spalte) und außerhalb des Koordinatenursprungs (zweite Spalte) angeordnet ist, vorgenommen. Abbildung 6.5: Potenzialberechnungen von Punktladungen, Ladungsanh¨aufungen und Raumladungsdichten Die Punktladung Q erh¨alt die Notation P 0 , die als Integrationspunkt bezeichnet wird. Am Punkt P 1 , welcher als Aufpunkt bezeichnet wird, soll das Potenzial ϕ berechnet werden. Des Weiteren werden in der rechten Spalte die Gleichungen zur Berechnung des Potenzials aus Punktladungen und Raumladungsdichten benannt. Die Abb. 6.5 a) zeigt die Punktladungsanordnung im Zentrum des 2D-Koordinatensystems. An der Stelle x 1 ist der Aufpunkt P 1 dargestellt. Der Abstand zwischen Integrations- und Auf- <?page no="139"?> 6.3 PDE - Auf-, Integrationspunktanordnungen 115 punkt ist demzufolge der Abstand x 1 . Das ¨andert sich in Abb. 6.5 b) dahingehend, dass der Integrationspunkt und damit die Punktladung Q vom Ursprung weg an der Stelle P 0 = x 0 positioniert wurde. Der Abstand zwischen Auf- und Integrationspunkt ist demzufolge | x 1 − x 0 | . In Abb. 6.5 d) folgt der Wechsel in das 3D-Koordinatensystem, mit zentrischer Anordnung der Punktladung Q. Damit ist r 0 an der Stelle x 0 = 0. Die Beschreibung des Abstandes zwischen Integrations- und Aufpunkt erfolgt nur mit dem Radius r 0 . In Abb. 6.5 e) wird die Punktladung Q am Integrationspunkt P 0 positioniert und mit dem Radius r 0 beschrieben. Der Abstand zwischen Integrations- und Aufpunkt ist demzufolge | r 1 − r 0 | . In den Abbildungen 6.5 g) und h) sind erstmals Punktladungsanh¨aufungen zusammengefasst in die Raumladungsdichten ρ, beide in Kugelformen, ersichtlich. Beide Abbildungen haben gemeinsam, dass sich der Aufpunkt P 1 außerhalb des ladungsbehafteten Raums befindet. In Abb. 6.5 g) ist der ladungsbehaftete Bereich zentrisch im Koordinatenursprung angeordnet und der Sonderfall gezeichnet, bei welchem eine Punktladung zentrisch angeordnet ist und damit der Aufpunktradius r 0 = 0 ist. Werden alle ¨ ubrigen Punktladungen zur Berechnung herangezogen, so wird der Aufpunktradius damit r 0 = 0, was der Vorgehensweise in Abb. 6.5 h) entspricht. In dieser Abbildung wurde zudem der ladungsbehaftete Bereich aus dem Koordinatenursprung heraus verschoben. Der Zusammenhang zwischen der Raumladungsdichte ρ, den Einzelladungen q und der Gesamtladung Q ist mit ρ = lim Δ V → 0 ΔQ ΔV Q = ˚ Ω ρ dV = ∑ q i gegeben. Das Potenzial ϕ kann einerseits mit einer Superponierung aller Einzelladungen q, andererseits mit dem Integral ¨ uber der Raumladungsdichte ρ berechnet werden. Nun kann mit Hilfe der Abbildungen 6.5 d) und e) argumentiert werden, dass eine Punktladung eine Ladungsverteilung (Ladungsdichte ρ) ist, welche nur an der Stelle P 0 bei x = x 0 , y = y 0 und z = z 0 vorhanden und ¨ uber ein infinitesimales Volumen integriert ˆ x =( x 0 + ε ) x =( x 0 − ε ) ˆ y =( y 0 + ε ) y =( y 0 − ε ) ˆ z =( z 0 + ε ) z =( z 0 − ε ) ρ dx dy dz = { Q an P = P 1 (x 0 ± ε, y 0 ± ε, z 0 ± ε) 0 an P = P 1 die Punktladung Q ergibt, was der Eigenschaft einer Deltafunktion <?page no="140"?> 116 L¨osung von Differenzialgleichungen mittels Green’scher Funktionen ˆ x =( x 0 + ε ) x =( x 0 − ε ) ˆ y =( y 0 + ε ) y =( y 0 − ε ) ˆ z =( z 0 + ε ) z =( z 0 − ε ) ρ dx dy dz = ˆ x =( x 0 + ε ) x =( x 0 − ε ) ˆ y =( y 0 + ε ) y =( y 0 − ε ) ˆ z =( z 0 + ε ) z =( z 0 − ε ) Q δ(x − x 0 , y − y 0 , z − z 0 ) dx dy dz = Q entspricht, und deren Einf¨ uhrung in Abb. 1.5 erfolgt. Des Weiteren gilt an der Stelle r = r 0 im Kugelkoordinatensystem mit dV K = 4πr 2 dr ˆ r 0 0 ρ dr = ˆ r 0 0 Q δ(r − r 0 ) dr = Q. Hierbei ist r | r(x, y, z) | r 0 | r 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) | . F¨ ur die Berechnung von Ladungsanh¨aufungen aus den Abbildungen 6.5 g) und h) wird das Superpositionsprinzip verwendet, welches eine Linearit¨at des Anwendungsfalls fordert. 6.4 PDE - Vorbereitung zur L¨osung nach Green - Differenzialform Die Vorbereitung einer PDE zur L¨osung mittels Green’scher Funktion erfolgt in der Differenzialform. Gel¨ost werden soll die inhomogene partielle Differenzialgleichung (PDE) vom Typ ∇ 2 u(r) = f(r) im Kugelkoordinatensystem. Das zu betrachtende Volumen in Abb. 6.3 b) sei nur vom Radius r ∈ [0, R] abh¨angig. Mit dem linearen Differenzialoperator L = ∇ 2 und dessen Anwendung auf u(r) folgt <?page no="141"?> 6.4 PDE - Vorbereitung zur L¨osung nach Green - Differenzialform 117 L u(r) = f(r). (6.4) Das Ziel ist die L¨osung der PDE nach u. Dies kann durch Multiplikation mit dem inversen linearen Operator in der allgemeinen Darstellung L − 1 L u(r) = L − 1 f(r) u(r) = L − 1 f(r) (6.5) erfolgen, wobei hieraus L − 1 L = 1 hervor geht. Oder durch Einf¨ uhren der noch zu bestimmenden Green’schen Funktion G und der Dirac’schen Deltafunktion in der Gleichung δ(r − r 0 ) = L G(r, r 0 ), (6.6) wobei sich r 0 im Gebiet Ω, also im Volumen befindet und den Integrationspunktradius verk¨orpert. Durch Integration ¨ uber den Bereich Ω folgt ˆ Ω δ(r − r 0 ) dr = ˆ Ω L G(r, r 0 ) dr = 1. Eine Einf¨ uhrung in die Dirac’sche Deltafunktion ist Abb. 1.5 zu entnehmen. Siehe hierzu auch [48], S. 562 f.. Es schließt sich die Erweiterung der Gl. (6.4) mit Eins L u(r) ˆ Ω L G(r, r 0 ) dr ︸ ︷︷ ︸ =1 = ˆ Ω δ(r − r 0 ) dr ︸ ︷︷ ︸ =1 f(r) oder L u(r) ˆ Ω δ(r − r 0 ) dr = ˆ Ω L G(r, r 0 ) dr f(r) L u(r) = L ˆ Ω f(r) G(r, r 0 ) dr an. Letztere Schreibweise erlaubt das K¨ urzen mit dem linearen Operator. Damit folgt die allgemeine L¨osung <?page no="142"?> 118 L¨osung von Differenzialgleichungen mittels Green’scher Funktionen u(r) = ˆ Ω G(r, r 0 ) f(r) dr (6.7) = 〈 G(r, r 0 ), f(r) 〉 der PDE von Gl. (6.4) nach u, welche der L¨osung nach Gl. (6.12) unter Einbezug der homogenen Randbedingungen entspricht. Die Green’sche Funktion ist damit auch die L¨osung von Gl. (6.6) und muss im Fortgang noch bestimmt werden. In Gl. (6.7) kann die Green’schen Funktion als Kern des Integrals verstanden werden. Des Weiteren kann die L¨osung dieser Gleichung als inneres Produkt interpretiert werden. Anzumerken ist, dass r 0 die Position der Unstetigkeitsstelle verk¨orpert. 6.5 PDE - Vorbereitung zur L¨osung nach Green - Integralform Die Vorbereitung einer PDE zur L¨osung mittels Green’scher Funktion erfolgt in der Integralform. Gel¨ost werden soll die inhomogene partielle Differenzialgleichung (PDE) vom Typ ∇ 2 u(x, y, z) = f(x, y, z) (6.8) (Poisson’sche DGL) in kartesischen Koordinaten nach u. Der inhomogene Term sei hier f(x, y, z) und repr¨asentiert eine W¨armequelle im station¨aren Zustand, oder eine Ladungsverteilung eines elektrostatischen Problems in einem Raum (Volumen) Ω, welcher gem. Abb. 6.3 a) durch die Oberfl¨ache ∂Ω begrenzt ist. 6.5.1 Umstellen der PDE nach der zu l¨osenden Variable Die Vorbereitung einer PDE zur L¨osung mittels Green’scher Funktion erfolgt in der Integralform. Unter Einbezug der Green’schen Integrals¨atze (6.1) und (6.3) sowie der jeweiligen Umbenennung von v durch G folgt ‹ ∂ Ω G ∂u ∂n dA = ˚ Ω ( ∇ G ∇ u + G ∇ 2 u ) dV <?page no="143"?> 6.5 PDE - Vorbereitung zur L¨osung nach Green - Integralform 119 ‹ ∂ Ω ( G ∂u ∂n − u ∂G ∂n ) dA = ˚ Ω ( G ∇ 2 u − u ∇ 2 G ) dV. (6.9) G sei hier die Green’sche Funktion, welche das PDE-Problem f¨ ur u l¨ost. Durch Einsetzen der Gl. (6.8) in Gl. (6.9) folgt ‹ ∂ Ω ( G ∂u ∂n − u ∂G ∂n ) dA = ˚ Ω ( G f − u ∇ 2 G ) dV = ˚ Ω G f dV − ˚ Ω u ∇ 2 G dV = ˚ Ω G f dV − u ˚ Ω ∇ 2 G dV. Ein erneutes Umstellen liefert ˚ Ω G f dV − ‹ ∂ Ω ( G ∂u ∂n − u ∂G ∂n ) dA = u ˚ Ω ∇ 2 G dV. Linksseitig der Gleichung befindet sich das Volumenintegral ¨ uber G f sowie das H¨ ullintegral, welches die Randbedingungen auf der Oberfl¨ache enth¨alt. Rechtsseitig steht die zu l¨osende Funktion u vor dem Volumenintegral. Die Anstrengungen richten sich nun dahingehend, dieses so zu l¨osen, dass das Integral der rechten Gleichungsseite den Wert Eins annimmt. Hierzu wird die Funktion ∇ 2 G = δ(x − x 0 , y − y 0 , z − z 0 ) (6.10) eingef¨ uhrt, wobei die rechte Seite der Gleichung die Dirac-Deltafunktion verk¨orpert und x 0 , y 0 , z 0 im Volumen Ω liegen. Die Funktion ist physikalisch als Impulsantwort bei x = x 0 , y = y 0 und z = z 0 zu deuten. Eine Kurzbeschreibung der Dirac’schen Deltafunktion ist in Abb. 1.5 zusammengefasst. Damit folgt ˚ Ω G f dV − ‹ ∂ Ω ( G ∂u ∂n − u ∂G ∂n ) dA = u ˚ Ω δ(x − x 0 , y − y 0 , z − z 0 )dx 0 dy 0 dz 0 ︸ ︷︷ ︸ 1 u(x, y, z) = ˚ Ω G f dV − ‹ ∂ Ω ( G ∂u ∂n − u ∂G ∂n ) dA (6.11) <?page no="144"?> 120 L¨osung von Differenzialgleichungen mittels Green’scher Funktionen die L¨osung der PDE f¨ ur u bei einer gegebenen Green’schen Funktion G G = G(x, y, z, x 0 , y 0 , z 0 ), welche in diesem Beispiel von sechs Variablen abh¨angig ist und im Fortgang noch bestimmt werden muss. Die Green’sche Funktion ist damit auch die L¨osung von Gl. (6.10). Zudem wurden in Gl. (6.11) noch keine Randbedingungen gesetzt. 6.5.2 Homogene Randbedingungen Das Oberfl¨achenintegral der Gl. (6.11) verschwindet unter Einbezug von homogenen Randbedingungen (Randbedingungen, welche zu Null gesetzt werden). Zu nennen sind • Dirichlet-Randbedingung: Hierbei sei u gleich Null auf der Oberfl¨ache ∂Ω: u = 0, oder • Neumann-Randbedingung: Hierbei sei die Ableitung auf der Oberfl¨ache (Rand) ∂Ω: ∂u/ ∂n = 0. Da jeweils nur eine Randbedingung erf¨ ullt sein kann, folgt f¨ ur G • G sei Null auf der Oberfl¨ache ∂Ω: G = 0, oder • da sich die Koordinaten x 0 , y 0 und z 0 innerhalb des Volumes befinden, folgt f¨ ur G auf der Oberfl¨ache (Rand) ∂Ω: ∂G/ ∂n = 0. Die gleichzeitige Forderung, die unabh¨angige Variable oder deren Ableitung als Null anzunehmen, f¨ uhrt zur Cauchy-Randbedingung und damit zu einer ¨ Uberbestimmtheit, welche keine L¨osung mehr erwarten l¨asst. Die Gl. (6.11) wird unter Einbezug der homogenen Randbedingungen zur allgemeinen L¨osung u(x, y, z) = ˚ Ω G(x, y, z, x 0 , y 0 , z 0 ) f(x, y, z) dV (6.12) = 〈 G(x, y, z, x 0 , y 0 , z 0 ), f(x, y, z) 〉 , was auch der L¨osung von Gl. (6.7) entspricht. <?page no="145"?> 6.5 PDE - Vorbereitung zur L¨osung nach Green - Integralform 121 6.5.3 Inhomogene Randbedingungen Die Superposition getrennter L¨osungen bietet beispielsweise die M¨oglichkeit, einen Variablenwechsel in PDEs vorzunehmen, um zwischen der Inhomogenit¨at der Randbedingungen und der Inhomogenit¨at der Gleichung zu transformieren. Die Inhomogenit¨at einer PDE wird entweder durch die PDE selbst oder durch die Randbedingungen festgelegt, welche der L¨osung auferlegt werden. Siehe hierzu auch [51] Kap. 21.5. 6.5.4 Dirichlet-Randbedingungen Ist u an der Oberfl¨ache (Rand) des Volumens gegeben, so muss eine Green’sche Funktion G(r, r 0 ) gefunden werden, welche 1. die Eigenschaft G(r, r 0 ) = G(r 0 , r) (gilt auch f¨ ur 2) und 3)), 2. die Bedingung ∇ 2 G(r, r 0 ) = δ(r, r 0 ), 3. die Eigenschaft G(r, r 0 ) = 0, wenn r 0 auf der Oberfl¨ache, der Begrenzung des Volumens V , liegt, 4. eine Singularit¨at bei r = r 0 besitzt. Diese wird als Dirichlet-Green’sche Funktion bezeichnet und ist f¨ ur den Innenraum des Volumens V definiert. 6.5.5 Neumann-Randbedingungen Ist ∂u/ ∂n an der Oberfl¨ache (Rand) des Volumens gegeben, so muss eine Green’sche Funktion G(r, r 0 ) gefunden werden, • welche die Eigenschaft ∂G(r, r 0 )/ ∂n = 0 annimmt, wenn r 0 auf der Oberfl¨ache, der Begrenzung des Volumens V , liegt. • oder die einfachste Randbedingung, welche als Neumann-Green’sche Funktion ∂G(r, r 0 ) ∂n = 1 A bezeichnet wird. Hierbei liegt r auf der Oberfl¨ache ∂Ω (H¨ ullfl¨ache A) der Begrenzung des Volumens Ω. <?page no="146"?> 122 L¨osung von Differenzialgleichungen mittels Green’scher Funktionen 6.6 PDE - L¨osung der Poisson’schen DGL Mittels der Green’schen Methode soll die aus der Literatur bereits bekannte Poisson’sche DGL ∇ 2 ϕ = − ρ ε 0 nach dem Potenzial ϕ(ρ, r) gel¨ost werden. Ausgangssituation ist eine Ansammlung von Punktladungen q als Ursache des Potenzials ϕ ϕ = 1 4πε 0 ∑ k q k r k . Die Summe einzelner Punktladungen q wird als Q bezeichnet. r k beschreibt den Abstand zwischen Integrations- und Aufpunkt, wie dieser in Abb. 6.5 dargestellt ist. Mit dem ¨ Ubergang der Summe von Punktladungen in eine Ladungsdichte ρ Q = ˚ Ω ρ(r) dV (r) folgt erneut das bereits aus der Literatur bekannte Potenzial ϕ(r) = 1 4πε 0 ˆ Ω ρ(r) | r 1 − r 0 | dV (r), vgl. hierzu auch Abb. 6.5 i). Das Augenmerk liegt auf dem zur Standardvorgehensweise (zweifache Integration, Bestimmung der Integrationskonstanten, Einbringen weiterer Bedingungen, ...) kurzen L¨osungsweg. 6.6.1 Aufgabenbeschreibung Gegeben sei eine Kugel mit dem Radius R, bef¨ ullt mit der Ladungsdichte ρ im Zylinderkoordinatensystem gem. den Abbildungen 6.5 g) und 6.6. Die Anordnung mit dem Volumen V (Ω), welches durch die Oberfl¨ache A (∂Ω) begrenzt wird, ist sph¨arisch und am Koordinatenursprung zentriert angeordnet. Damit ist das Potenzial nur vom Radius r abh¨angig. Gesucht wird das Potenzial ϕ(r, ρ) der PDE ∇ 2 ϕ = − ρ ε 0 <?page no="147"?> 6.6 PDE - L¨osung der Poisson’schen DGL 123 im Außenraum mit r ∈ [R, ∞ ] der Anordnung von Abb. 6.6, welches mit der Poisson’schen DGL in Kugelkoordinaten beschrieben wird. Als Randbedingung soll das Potenzial ϕ(r) → 0 f¨ ur r → ∞ annehmen. Abbildung 6.6: Ladungsbef¨ ullte Kugel im Vakuum, deren Potenzial im Außenraum gesucht wird 6.6.2 L¨osungsweg Mit der Gl. (6.11) wird das Potenzial ϕ ϕ(r) = ˚ Ω G(r, r 0 ) f(r) dV (r) − ‹ ∂ Ω ( G(r, r 0 ) ∂ϕ(r) ∂n − ϕ(r) ∂G(r, r 0 ) ∂n ) dA beschrieben. Der Einbezug der homogenen Randbedingungen • Dirichlet: G(r, r 0 ) = 0 ∂Ω, • ϕ(r → ∞ ) = 0 l¨asst das Oberfl¨achenintegral verschwinden. Es verbleibt ϕ(r 0 ) = ˚ Ω G(r, r 0 ) f(r) dV (r 0 ). (6.13) Da die gesuchte Green’sche Funktion auch die L¨osung von ∇ 2 G(r, r 0 ) = δ(r − r 0 ) <?page no="148"?> 124 L¨osung von Differenzialgleichungen mittels Green’scher Funktionen ist, wird wegen der n¨ utzlichen Deltafunktion die Integration ¨ uber den Raum Ω ˚ Ω ∇ 2 G(r, r 0 ) dV (r 0 ) = ˚ Ω δ(r − r 0 ) dV (r 0 ) = 1. durchgef¨ uhrt. Durch Anwenden des Gauß’schen Integralsatzes (Divergenztheorems) auf die linke Seite der Gleichung folgt ˚ Ω ∇ 2 G(r, r 0 ) dV (r 0 ) = ‹ ∂ Ω ∇ G(r, r 0 ) dA r (r 0 ) = 1. An r 0 = R (also auf der Oberfl¨ache) gilt ∇ G(r, r 0 ) A r (r 0 ) = 1. Der Nabla-Operator, angewendet auf die Green’sche Funktion im Kugelkoordinatensystem und die Entwicklung des Fl¨achenelementes dA r liefern ∇ G(r, r 0 ) = ∂G(r, r 0 ) ∂r e r + 1 r ∂G(r, r 0 ) ∂Θ e Θ ︸ ︷︷ ︸ =0 + 1 r sin Θ ∂G(r, r 0 ) ∂Φ e Φ ︸ ︷︷ ︸ =0 und dA r = r 2 sin Θ dΘ dΦ ˆ dA r = r 2 ˆ π 0 sin Θ dΘ ˆ 2 π 0 dΦ = 4 π r 2 ∣ ∣ ∣ ∣ r = R r =0 . Durch Umstellen und erneutes Integrieren folgt die Green’sche Funktion dG(r, r 0 ) dr 4πr 2 ∣ ∣ r = R r =0 = 1 dG(r, r 0 ) dr = 1 4πr 2 G(r, r 0 ) = 1 4π ˆ 1 r 2 dr = − 1 4πr + F (r, r 0 ), (6.14) <?page no="149"?> 6.7 PDE - L¨osung der Laplace’schen DGL 125 wobei die Integrationskonstante F (r, r 0 ) zu Null gesetzt werden darf. Mit dem Einsetzen von Gl. (6.14) in die Gl. (6.13) sowie mit der Substitution f(r) = − ρ(r 0 ) ε 0 folgt ϕ(r) = ˚ Ω − 1 4πr − ρ(r 0 ) ε 0 dV (r 0 ) = 1 4πε 0 ˚ Ω ρ(r 0 ) | r − r 0 | dV (r 0 ), das bereits bekannte Potenzial der Ladungsanh¨aufung von Abb. 6.6 und Abb. 6.5 i) im Außenraum. Nach erfolgter Integration und r R folgt ϕ(r) = 1 4πε 0 Q r das Potenzial mit der Summe Q aller Ladungen. 6.7 PDE - L¨osung der Laplace’schen DGL Mittels der Green’schen Methode soll die aus der Literatur bereits bekannte Laplace’sche DGL ∇ 2 ϕ = 0 gel¨ost werden, deren L¨osung ϕ(r) = Q 4πε 0 r ebenfalls bekannt ist. 6.7.1 Aufgabenbeschreibung Gel¨ost werden soll die Laplace’sche PDE ∇ 2 ϕ = 0 <?page no="150"?> 126 L¨osung von Differenzialgleichungen mittels Green’scher Funktionen nach dem Potenzial ϕ(r) f¨ ur r ∈ [0, ∞ ]. Durch Anwendung des Kugelkoordinatensystems ist das Potenzial ϕ nur noch vom Radius r abh¨angig. Als Randbedingung soll das Potenzial ϕ(r) → 0 f¨ ur r → ∞ annehmen. 6.7.2 L¨osungsweg Es gilt die allgemeine Potenzialgleichung ϕ(r) = ˚ Ω G(r, r 0 ) f(r) dV (r) − ‹ ∂ Ω ( G(r, r 0 ) ∂ϕ(r) ∂n − ϕ(r) ∂G(r, r 0 ) ∂n ) dA r (r) durch Ermittlung der Green’schen Funktion zu l¨osen. Mit f(r) = 0 wird das Volumenintegral zu Null und die Potenzialgleichung in ein Randwertproblem ϕ(r) = − ‹ ∂ Ω ( G(r, r 0 ) ∂ϕ(r) ∂n − ϕ(r) ∂G(r, r 0 ) ∂n ) dA r (r) ¨ uberf¨ uhrt. Die L¨osung erfolgt durch Suchen von Randbedingungen. Die Anwendung der Dirichlet-Randbedingung G(r, r 0 ) = 0 auf der Oberfl¨ache A l¨asst in der rechten Seite der Gleichung den ersten Term verschwinden. Gleichwohl darf aber nicht ∂G(r, r 0 )/ ∂n = 0 gesetzt werden, da damit die Bedingungen ‹ ∂ Ω ∂G(r, r 0 ) ∂n dA r = ‹ ∂ Ω ∇ G(r, r 0 ) n dA r = ˚ Ω ∇ 2 G(r, r 0 )dV = 1 verletzt werden w¨ urden. Dies f¨ uhrt zur einfachsten erlaubten Neumann-Randbedingung (Neumann-Green’sche Funktion) ∂G(r, r 0 ) ∂n A r = 1. Weitere Darstellungsformen des Bruchs sind ∂G(r, r 0 ) ∂n = dG(r, r 0 ) dn = G ′ (r, r 0 ) r | r | = G ′ (r, r 0 ) e r = dG(r, r 0 ) dr e r , und f¨ uhren zu dG(r, r 0 ) dr = 1 A r = 1 4πr 2 . <?page no="151"?> 6.7 PDE - L¨osung der Laplace’schen DGL 127 Es sei an dieser Stelle noch eine Anmerkung zu den Einheitsvektoren get¨atigt. Grunds¨atzlich ist das Potenzial ϕ(r) eine skalare Gr¨oße. Diese wird durch die Multiplikation mit dem Einheitsvektor e r dG(r, r 0 ) dr e r A r e r = dG(r, r 0 ) dr A r erreicht, da e r · e r = 1. Im Fortgang wird der Funktion ϕ(r) ein fester Wert K auf der Oberfl¨ache von A r zugewiesen. Damit folgt K = dG(r, r 0 ) dr A r . Die Integration der Gleichung ¨ uber r f¨ uhrt zur gesuchten Green’schen Funktion G(r, r 0 ) = ˆ r dG(r, r 0 ) dr dr = ˆ r 1 A r dr = ˆ r 1 4πr 2 dr = − 1 4πr + F (r, r 0 ), wobei die Integrationskonstante F (r, r 0 ) gleich Null gesetzt werden darf. Damit folgt das Potenzial ϕ(r) mit ϕ(r) = K G(r, r 0 ) = K − 1 4πr . Es verbleibt noch die Bestimmung der Konstante K. Hier wird auf die Gegebenheit des Potenzials der Poisson’schen DGL im Außenraum zur¨ uckgegriffen. Dieses ist identisch mit dem Potenzial der Laplace’schen DGL. Der Ort der Bestimmung beider Potenziale erfolgt im ladungsfreien Außenraum. Daher folgt die Konstante K mit K = − Q ε 0 = − ˝ ρ(r 0 ) dV (r 0 ) ε 0 , wobei das Vorzeichen ¨ uber positive oder negative Ladungstr¨ager entscheidet. Die L¨osung nach dem Potenzial ϕ(r) ist damit ϕ(r) = Q 4πε 0 r . <?page no="152"?> 128 L¨osung von Differenzialgleichungen mittels Green’scher Funktionen 6.8 ODE - Vorbereitung zur L¨osung mit der Green’schen Funktion Angenommen wird die inhomogene ODE n-ter Ordnung mit a n (x) d n y(x) dx n + · · · + a 1 (x) dy(x) dx + a 0 (x) y(x) = f(x), (6.15) welche nur von x abh¨angt und nach y gel¨ost werden soll und f(x) eine frei w¨ahlbare Funktion repr¨asentiert. Vorbereitend wird der lineare Operator L L = a n (x) d n dx n + · · · + a 1 (x) d dx + a 0 eingef¨ uhrt, welcher die vereinfachte Schreibweise L y(x) = f(x) (6.16) erlaubt. Die allgemeine L¨osung der Differenzialgleichung erfolgt durch Multiplikation mit dem inversen linearen Operator L − 1 L − 1 L y(x) = L − 1 f(x) y(x) = L − 1 f(x), wobei L − 1 L = 1 ist. Die exakte L¨osung der Differenzialgleichung soll mit der Green’schen Methode erfolgen, was der Bestimmung des inversen linearen Operators gleichkommt. Im Fortgang wird die Differenzialgleichung Gl. (6.16) mittels der noch zu ermittelnden Green’schen Funktion G(x, z) unter Ber¨ ucksichtigung der Randbedingungen im Bereich a ≤ x ≤ b gel¨ost. Die Green’sche Funktion G(x, z) entspricht der Funktion y(x). Eine Substitution, welche die Green’sche Methode erkennen l¨asst. Zudem gilt die Ausblendeigenschaft der Dirac’schen Funktion (siehe hierzu Kap. 1.7) δ(x − z) = L G(x, z) (6.17) = f(x), <?page no="153"?> 6.8 ODE - Vorbereitung zur L¨osung mit der Green’schen Funktion 129 was physikalische der Impulsantwort eines Systems entspricht. Die Green’sche Funktion G(x, z) muss hier der urspr¨ unglichen ODE, linke Gleichungsseite von Gl. (6.15) gen¨ ugen (also L¨osung von ihr sein), wobei die linke Seite der Gl. (6.17) der Deltafunktion entspricht. Die sich anschließende Integration ˆ b a δ(x − z) dx = ˆ b a L G(x, z) dx = ˆ b a f(x) dx = 1 liefert die Zahl Eins ist. Die Multiplikation von Gl. (6.16) mit Eins bietet mehrere M¨oglichkeiten, von denen L y(x) ˆ b a δ(x − z) dx ︸ ︷︷ ︸ =1 = ˆ b a L G(x, z) dx ︸ ︷︷ ︸ L −1 f(x) y(x) = ˆ b a G(x, z) dx f(x) = ˆ b a G(x, z) f(z) dz (6.18) = 〈 G(x, z), f(z) 〉 gew¨ahlt wird, da der lineare Operator gek¨ urzt werden kann, die zu l¨osende Gleichung y(x) auf der linken Seite steht und diese von der zu bestimmenden Green’schen Funktion abh¨angt und als inneres Produkt dargestellt werden kann. Die Anwendung des linearen Differenzialoperators L auf beide Seiten der Gl. (6.18 ) f¨ uhrt zu L y(x) = ˆ b a [ L G(x, z)] f(z) dz = f(x). (6.19) Ein Vergleich mit der Deltafunktion und ihren Eigenschaften f(x) = ˆ b a δ(x − z) f(z) dz (6.20) zeigt, dass Gl. (6.19) f¨ ur eine frei w¨ahlbare Funktion f(x) im Intervall a ≤ x ≤ b fordert. Die Entwicklung der Green’schen Funktion basiert auf der Gegebenheit, dass immer wenn x = z ist, dann L G(x, z) = 0 wird. Dies gilt f¨ ur x < z und x > z, womit G(x, z) als L¨osung einer homogenen ODE ausgedr¨ uckt wird. Die rechte Seite der Gleichung kann aus physikalischer Sicht als Systemantwort auf einen Einheitsimpuls bei x = z <?page no="154"?> 130 L¨osung von Differenzialgleichungen mittels Green’scher Funktionen gewertet werden. Der Green’schen Funktion G(x, z) m¨ ussen zur L¨osung Bedingungen auferlegt werden. Diese sind die Rand- und Kontinuit¨atsbedingungen. Unterschieden werden • homogene und inhomogene Randbedingungen, • Kontinuit¨atssowie Diskontinuit¨atsbedingungen. 6.8.1 Homogene Randbedingungen F¨ ur die allgemeine L¨osung von y(x) der Gl. (6.18) muss G(x, y) den Randbedingungen gen¨ ugen. y(x) oder deren Ableitung m¨ ussen an vorgegebenen Punkten den Wert Null annehmen. Dies wird am leichtesten dadurch erreicht, dass G(x, z) selbst den Randbedingungen gen¨ ugt. Es sei beispielsweise y(a) = y(b) = 0, dann wird auch G(a, z) = G(b, z) = 0 gefordert. 6.8.2 Inhomogene Randbedingungen Als inhomogene Randbedingungen sind beispielsweise y(a) = α, y(b) = β oder y(0) = y ′ (0) = γ zu nennen, wobei α, β und γ von Null verschieden sind. F¨ ur eine DGL n ′ ter Ordnung werden im Allgemeinen n Randbedingungen zur L¨osung der DGL erforderlich. Diese n Randbedingungen k¨onnen unterschiedlichen Typs • n-Punkte-Randbedingungen: y(x m ) = y m , wobei m ∈ [1, n] ist, • 1-Punkt-Randbedingungen: y(x 0 ) = y ′ (x 0 ) = y ′′ (x 0 ) = ... = y ( n − 1) (x 0 ) = y 0 , • eine Kombination zwischen n- und 1-Punkt-Randbedingungen sein. Die einfachste Methode zur L¨osung der ODE besteht in der Vorgehensweise nach u(x) = y(x) + p(x). Hierbei ist • u(x) die nach x gel¨oste inhomogene ODE mit inhomogenen Randbedingungen y(a) = α und y(b) = β. • y(x) die nach x gel¨oste homogene ODE mit homogenen Randbedingungen y = u(a) = u(b) = 0. <?page no="155"?> 6.8 ODE - Vorbereitung zur L¨osung mit der Green’schen Funktion 131 • p(x) das Polynom (n − 1)’ter-Ordnung, welches die Randbedingungen erf¨ ullt. Dabei ist p = mx + c, mit m = (α − β)/ (a − b) und c = (βa − αb)/ (a − b). 6.8.3 Kontinuit¨ats- und Diskontinuit¨atsbedingungen Die Kontinuit¨ats- und Diskontinuit¨atsbedingungen (Stetigkeits-, Unstetigkeitsbedingungen) betreffen die Green’sche Funktion G(x, z) und deren Ableitungen bei x = z, welche durch Integration von Gl. (6.17) nach x ¨ uber das kleine Intervall [z − ε, z + ε] und der Bedingung ε → 0 lim ε → 0 n ∑ m =0 ˆ z + ε z − ε a m (x) d m G(x, z) dx m dx = lim ε → 0 ˆ z + ε z − ε δ(x − z) dx = 1 (6.21) mit folgendem Ergebnis ermittelt werden: Existiert d n G/ dx n an x = z mit Wert unendlich (unendliche Unstetigkeit), so muss • die (n − 1)te Ableitung eine endliche Unstetigkeit aufweisen, • w¨ahrend alle niedrigeren Ordnungen d m G/ dx m mit m < (n − 1) eine Stetigkeit an x = z aufweisen m¨ ussen. Deshalb k¨onnen Terme, welche diese Ableitung enthalten, keinen Beitrag zum Integral der linken Seite von Gl. (6.21) liefern. Eine partielle Integration der linken Seite von Gl. (6.21) liefert lim ε → 0 ˆ z + ε z − ε a n (x) d n G(x, x 0 ) dx n dx = lim ε → 0 ∣ ∣ ∣ ∣ a n (x) d n − 1 G(x, z) dx n − 1 ∣ ∣ ∣ ∣ z + ε z − ε − lim ε → 0 ˆ z + ε z − ε a n − 1 (x) d n G(x, z) dx n dx = 1. Mit m ∈ [0, n − 1] folgt lim ε → 0 ˆ z + ε z − ε a m (x) d m G(x, z) dx m dx = 0, da aufgrund der geforderten Kontinuit¨at die Ableitung sehr kleine Werte annehmen und zudem das Integral ¨ uber das sehr kleine Intervall z ± ε vernachl¨assigt werden darf. Somit liefert nur der verbleibende Term d n G/ dx n einen Beitrag zum Integral der Gl. (6.21). Weiterhin bestehen n-Bedingungen, wobei f¨ ur G(x, z) und ihre Ableitungen bis <?page no="156"?> 132 L¨osung von Differenzialgleichungen mittels Green’scher Funktionen hoch zur n − 2-ten Ordnung an der Stelle x = z eine Kontinuit¨at bestehen muss, wobei d n − 1 G/ dx n − 1 eine Diskontinuit¨at von 1/ a n (z) bei x = z a n (z) d n − 1 G(x, z) dx n − 1 ∣ ∣ ∣ ∣ x =( z ± ε ) = 1 d n − 1 G(x, z) dx n − 1 ∣ ∣ ∣ ∣ x =( z ± ε ) = 1 a n (z) , aufweist, was auch d n − 1 G dx n − 1 ∣ ∣ ∣ ∣ x =( z + ε ) − d n − 1 G dx n − 1 ∣ ∣ ∣ ∣ x =( z − ε ) = 1 a n (z) bedeutet. Siehe hierzu auch Abb. 6.7. Im Fortgang gilt es, die Green’sche Funktion G zu bestimmen und damit die Differenzialgleichungen Gl. (6.18) zu l¨osen. Abbildung 6.7: Verl¨aufe der abgeleiteten Green’schen Funktionen <?page no="157"?> 6.9 ODE - L¨osung von d 2 u/ dx 2 = − 1 (I) 133 6.9 ODE - L¨osung von d 2 u/ dx 2 = − 1 ( I ) Gegeben ist die gew¨ohnliche Differenzialgleichung 2’ter Ordnung d 2 u(x) dx 2 + 1 = 0, x ∈ Ω (6.22) im Gebiet Ω = [0, 1] mit den homogenen Dirichlet-Randbedingungen u(0) = u(1) = 0, deren L¨osung u(x) = − 1 2 x 2 + 1 2 x = 1 2 ( x − x 2 ) , eine quadratische Gleichung (nach unten ge¨offnete Parabel) ist, bei welcher sich die Koeffizienten nur durch das Vorzeichen unterscheiden, der Scheitelpunkt S P (1/ 2 | 1/ 8) ist und die Nullstellen a = 0 und b = 1 aufweist. Das zweimalige Differenzieren dieser Gleichung f¨ uhrt zur Gl. (6.22). In Abb. 6.8 ist der exakte Verlauf der Gleichung ersichtlich. 6.9.1 Aufgabenbeschreibung Mittels Green’scher Methode gel¨ost werden soll die gew¨ohnliche Differenzialgleichung 2’ter Ordnung d 2 u(x) dx 2 + 1 = 0, x ∈ Ω oder d 2 u(x) dx 2 = − 1 mit den homogenen Randbedingungen u(0) = u(1) = 0, deren L¨osung u(x) = − 1 2 x 2 + 1 2 x = 1 2 ( x − x 2 ) ist. Hierzu werden zwei L¨osungswege vorgestellt. <?page no="158"?> 134 L¨osung von Differenzialgleichungen mittels Green’scher Funktionen Abbildung 6.8: L¨osung u(x) der Differenzialgleichung 2’ter Ordnung 6.9.2 L¨osungsweg I Es ist L = d 2 dx f(x) = − 1. Damit folgt L u(x) = f(x). Im Intervall [0, 1] besteht die Forderung L G(x, z) = δ(x − z). <?page no="159"?> 6.9 ODE - L¨osung von d 2 u/ dx 2 = − 1 (I) 135 Der L¨osungsweg beginnt mit der Substitution von u(x) durch G(x, z) d 2 G(x, z) dx 2 = δ(x − z). Die allgemeine L¨osung der Green’schen Funktion folgt mit dem allgemeinen Ansatz G(x, z) = { A(z) x + B(z) f¨ ur x < z C(z) x + D(z) f¨ ur x > z, wobei die Koeffizienten A(z), B(z), C(z) und D(z) im Fortgang noch bestimmt werden m¨ ussen. Dies erfolgt unter Einbezug der Randbedingungen G(0, z) = 0 = A(z) 0 + B(z) ⇒ B(z) = 0 G(1, z) = 0 = C(z) 1 + D(z) ⇒ D(z) = − C(z), womit erneut die Green’sche Funktion G(x, z) = { A(z) x f¨ ur x < z C(z) x − C(z) f¨ ur x > z notiert werden kann. Die Ber¨ ucksichtigung der Kontinuit¨ats- und Diskontinuit¨atsbedingungen (links- und rechtsseitig der Unstetigkeitsstelle) von G(x, z) an der Stelle x = z C(z) z − C(z) − A(z) z = 0 A(z) z = C(z) z − C(z) A(z) = C(z) − 1 z C(z) = C(z) ( 1 − 1 z ) sowie die Ableitung von G(x, z) mit dG/ dx ergeben dG(x, z) dx = { A(z) f¨ ur x < z C(z) f¨ ur x > z. Die Fortsetzung der Koeffizientenbestimmung erfolgt durch Einbezug der links- und rechtsseitigen Ableitungen <?page no="160"?> 136 L¨osung von Differenzialgleichungen mittels Green’scher Funktionen C(z) − A(z) = 1 C(z) − C(z) ( 1 − 1 z ) = 1 C(z) − C(z) + C(z) z = 1 C(z) = z sowie mit C(z) folgt A(z) = C(z) ( 1 − 1 z ) = z ( 1 − 1 z ) = z − 1. Es folgt erneut die Green’sche Funktion mit G(x, z) = { (z − 1) x f¨ ur x < z z x − z f¨ ur x > z, deren Integration ¨ uber den Bereich Ω gem. Gl. (6.18) die L¨osung der ODE liefert u(x) = ˆ 1 0 G(x, y) ( − 1) dz = − [ ˆ x 0 (z x − z) dz + ˆ 1 x (z − 1) x dz ] = − [ x ˆ x 0 z dz − ˆ x 0 z dz + x ˆ 1 x z dz − x ˆ 1 x dz ] = − [ x 2 z 2 ∣ ∣ ∣ x 0 − 1 2 z 2 ∣ ∣ ∣ 1 0 + x 2 z 2 ∣ ∣ ∣ 1 x − x z ∣ ∣ ∣ 1 x ] = − [ x 3 2 − x 2 2 + x 2 − x 3 2 − x + x 2 ] = − ( x 2 2 − x 2 ) = 1 2 ( x − x 2 ) , was der L¨osung der ODE in Kap. 16 gleichkommt. Was die abschnittsweise Definition der Green’schen Funktion und deren Integrationsgrenzen-Zuordnungen zur Durchf¨ uhrung der Integration betrifft, so sei hier noch Folgendes angemerkt: <?page no="161"?> 6.9 ODE - L¨osung von d 2 u/ dx 2 = − 1 (I) 137 • Die Integration erfolgt ¨ uber die unabh¨angige Variable z. • Somit ist dem ersten Integral das Integrationsintervall z = 0 bis z = x zuzuordnen, was auch bedeutet, dass z < x und damit x > z ist. • Integriert wird damit ¨ uber die Funktion zx − z. 6.9.3 L¨osungsweg II Ein anders gestalteter L¨osungsweg sei mittels der Wronski-Determinante vorgestellt. Angenommen wird, dass y 1 und y 2 die linearen, unabh¨angigen L¨osungen der homogenen ODE L u(x) = 0 im Bereich [0, 1] bilden. Gefordert wird, dass y 1 (0) = 0 und y 2 (1) = 0 ist. Alle homogenen L¨osungen von L u(x) = 0, welche y(0), y(1) = 0 gen¨ ugen, m¨ ussen eine Proportionalit¨at zu den Konstanten A(z), B(z) besitzen, welche von x unabh¨angig sind. Damit folgt die Green’sche Funktion G(x, z) = { A(z) y 1 (x) f¨ ur x < z B(z) y 2 (x) f¨ ur x > z. Es gilt die Kontinuit¨atsbedingung G(x, z) ∣ ∣ ∣ z − ε = G(x, z) ∣ ∣ ∣ z + ε A(z) y 1 (x) = B(z) y 2 (x) und Diskontinuit¨atsbedingung (Sprung in der Ableitung) dG(x, z) dx ∣ ∣ ∣ z − ε − dG(x, z) dx ∣ ∣ ∣ z + ε = 1 a 2 A(z) y ′ 1 (z) − B(z) y ′ 2 (z) = 1 a 2 . Der Koeffizient a 2 ist der h¨ochsten Ableitung zuzuordnen, welcher in der Normalform den Wert Eins annimmt. Siehe hierzu auch Gl. (6.21). Im Fortgang wird die Kontinuit¨atsbedingung nach A(z) A(z) = B(z) y 2 (z) y 1 (z) umgestellt. Ein erneutes Einsetzen in die Diskontinuit¨atsbedingung mit fortgesetzter Umstellung f¨ uhrt zur Proportionalit¨atskonstante B(z) <?page no="162"?> 138 L¨osung von Differenzialgleichungen mittels Green’scher Funktionen B(z) y 2 (z) y ′ 1 (z) y 1 (z) − B(z) y ′ 2 (z) = 1 a 2 B(z) y 2 (z) y ′ 1 (z) − y ′ 2 (z) y 1 (z) y 1 (z) = 1 a 2 B(z) = y 1 (z) [y 2 (z) y ′ 1 (z) − y ′ 2 (z) y 1 (z)] a 2 = y 1 (z) W (z) a 2 . Dabei ist W (z) die Wronski-Determinante W (z) = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ y 1 y 2 y ′ 1 y ′ 2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = y 1 y ′ 2 − y 2 y ′ 1 = 0. Mit der Kontinuit¨atsbedingung und B(z) folgt die Bestimmung der Proportionalit¨atskonstante A(z) B(z) = A(z) y 1 (z) y 2 (z) sowie durch Einsetzen in die Diskontinuit¨atsbedingung folgt A(z) y ′ 1 (z) − A(z) y 1 (z)y ′ 2 (z) y 2 (z) = 1 a 2 A(z) y ′ 1 (z)y 2 (z) − y 1 (z)y ′ 2 (z) y 2 (z) = 1 a 2 , welche durch Umstellung A(z) A(z) = y 2 (z) [y ′ 1 (z)y 2 (z) − y 1 (z)y ′ 2 (z)] a 2 = y 2 (z) W (z) a 2 erzielt. Mit den Proportionalit¨atskonstanten A(z) und B(z) folgt erneut die Green’sche Funktion G(x, z) = { y 2 ( z ) y 1 ( x ) W ( z ) a 2 f¨ ur x < z y 1 ( z ) y 2 ( x ) W ( z ) a 2 f¨ ur x > z. <?page no="163"?> 6.9 ODE - L¨osung von d 2 u/ dx 2 = − 1 (I) 139 Es verbleibt noch die Bestimmung von y 1 (x) und y 2 (x) aus den Randbedingungen y 1 (0) = 0 : y 1 (x) = x; y ′ 1 (x) = 1 y 2 (1) = 0 : y 2 (x) = x − 1; y ′ 2 (x) = 1. Damit wird der Wert der Wronski-Determinante mit W (z) = y 1 y ′ 2 − y 2 y ′ 1 = z 1 − (z − 1)1 = z − z + 1 = 1 bestimmt. Mit dem Koeffizienten der h¨ochsten Ableitung a 2 = 1 folgt die Green’sche Funktion G(x, z) = { x (z − 1) f¨ ur x < z (x − 1) z f¨ ur x > z, was der Green’schen Funktion des erstgenannten L¨osungswegs entspricht. Die L¨osung der ODE erfordert deren Integration u(x) = ˆ 1 0 G(x, z) f(z) dz = ˆ x 0 B(z) y 2 (x) f(z) dz + ˆ 1 x A(z) y 1 (x) f(z) dz = y 2 (x) ˆ x 0 y 1 (z) W (z) a 2 f(z) dz + y 1 (x) ˆ 1 x y 2 (z) W (z) a 2 f(z) dz = ˆ x 0 (x − 1) z ( − 1) dz + ˆ 1 x x (z − 1) ( − 1) dz, wobei hier f(z) = ( − 1) ist. Die L¨osung ist identisch mit der L¨osung aus Kap. 6.9.2. Es sei hier noch ein Hinweis zur Suche der Funktion y 2 get¨atigt. Die Funktion y 2 (x) = 1 − x erf¨ ullt ebenfalls die homogene Randbedingung und f¨ uhrt aber auf die Green’sche Funktion G(x, z) = { x (1 − z) f¨ ur x < z (1 − x) z f¨ ur x > z, welche eine um das Vorzeichen verkehrte L¨osung der gesuchten ODE hervorbringt. <?page no="164"?> 140 L¨osung von Differenzialgleichungen mittels Green’scher Funktionen 6.10 ODE - L¨osung von d 2 y/ dx 2 + y = cosec x Zu l¨osen ist die inhomogene ODE 2’ter Ordnung mit homogenen Randbedingungen. 6.10.1 Aufgabenbeschreibung Die inhomogene ODE 2’ter Ordnung d 2 y dx 2 + y = cosec x = 1 sin x mit den Randbedingungen y(0) = y(π/ 2) = 0 soll mittels Green’scher Methode gel¨ost werden. 6.10.2 L¨osungsweg Es ist L = d 2 dx 2 + 1 f(x) = cosec x. Damit folgt L u(x) = f(x). Im Intervall [0, π/ 2] wird L G(x, z) = δ(x − z) gefordert. Der L¨osungsweg beginnt mit der Substitution von u(x) durch G(x, z) d 2 G(x, z) dx 2 + G(x, z) = δ(x − z). Die allgemeine L¨osung der Grenn’schen Funktion ist G(x, z) = { A(z) sin x + B(z) cos x f¨ ur 0 < x < z C(z) sin x + D(z) cos x f¨ ur z < x < π/ 2. <?page no="165"?> 6.10 ODE - L¨osung von d 2 y/ dx 2 + y = cosec x 141 Durch Einsetzen der Randbedingungen f¨ ur x < z G(0, z) = 0 = A(z) 0 + B(z) 1 ⇒ B(z) = 0 und f¨ ur x > z G(π/ 2, z) = 0 = C(z) 1 + D(z) 0 ⇒ C(z) = 0 folgt die Green’sche Funktion G(x, z) = { A(z) sin x f¨ ur 0 < x < z D(z) cos x f¨ ur z < x < π/ 2. Hier sind B(z) = C(z) = 0. Die Ableitung der Green’schen Funktion f¨ uhrt zu dG(x, z) dx ∣ ∣ ∣ ∣ x = z = { A(z) cos z f¨ ur 0 < x < z − D(z) sin z f¨ ur z < x < π/ 2. Deren Kontinuit¨ats- und Diskontinuit¨atsbedingungen liefern dD(z) cos z dz − dA(z) sin z dz = 1 − D(z) sin z − A(z) cos z = 1. Es ist D(z) cos z − A(z) sin z = 0. Nach dem Erhalt von zwei Gleichungen, welche die Koeffizienten A(z) und D(z) beinhalten, folgt die Aufl¨osung nach A(z) und D(z) A(z) = − cos z D(z) = − sin z sowie mit dem Einsetzen in die Green’sche Funktion folgt G(x, z) = { − cos z sin x f¨ ur 0 < x < z − sin z cos x f¨ ur z < x < π/ 2. <?page no="166"?> 142 L¨osung von Differenzialgleichungen mittels Green’scher Funktionen Durch Integration ¨ uber den Bereich [0, π/ 2] folgt gem. der Gl. (6.18) y(x) = ˆ π/ 2 0 G(x, y) cosec z dz = − cos x ˆ x 0 sin z cosec z dz − sin x ˆ π/ 2 x cos z cosec z dz = − x cos x + sin x ln(sin x) die gesuchte Funktion y(x). Was die abschnittsweise Definition der Green’schen Funktion und deren Integrationsgrenzen-Zuordnungen zur Durchf¨ uhrung der Integration betrifft, so sei hier ebenfalls noch Folgendes anzumerken: Die Integration erfolgt ¨ uber die unabh¨angige Variable z. Somit ist dem ersten Integral das Integrationsintervall z = 0 bis z = x zuzuordnen, was auch bedeutet, dass z < x und damit x > z ist. Integriert wird damit ¨ uber die Funktion − sin z cos x cosec z. 6.11 ODE - L¨osung von d 2 y/ dx 2 + y = f ( x ) Zu l¨osen ist die inhomogene ODE 2’ter Ordnung mit homogenen Randbedingungen. 6.11.1 Aufgabenbeschreibung Die inhomogene ODE 2’ter Ordnung d 2 y dx 2 + y = f(x) mit den Randbedingungen y(0) = y ′ (0) = 0 soll mittels Green’scher Methode gel¨ost werden. 6.11.2 L¨osungsweg Der lineare Differenzialoperator ist L = d 2 dx + 1, womit <?page no="167"?> 6.11 ODE - L¨osung von d 2 y/ dx 2 + y = f(x) 143 L y = f(x) folgt. Weiterhin gilt L G(x, z) = δ(x − z). Die allgemeine L¨osung mit Hilfe trigonometrischer Funktionen der Green’schen Funktion ist G(x, z) = { A(z) sin x + B(z) cos x f¨ ur 0 < x < z C(z) sin x + D(z) cos x f¨ ur z < x < ∞ . Die Randbedingungen f¨ ur 0 < x < z werden wie folgt herangezogen: • G(0,z) = 0: A(z) · sin 0 + B(z) · cos 0 = 0 ⇒ B(z) = 0, • G’(0,z) = 0: A(z) cos 0 ⇒ A(z) = 0. Die Green’sche Funktion wird damit zu G(x, z) = { 0 f¨ ur 0 < x < z C(z) sin x + D(z) cos x f¨ ur z < x < ∞ . Die Kontinuit¨ats-, Diskontinuit¨atsbedingung links- und rechtsseitig der Unstetigkeitsstelle x = z G(x = z, z) : C(z) sin z + D(z) cos z − 0 = 0 sowie deren Ableitung dG(x, z) dx ∣ ∣ ∣ ∣ x = z : C(z) cos z − D(z) sin z = 1 f¨ uhren zu zwei Gleichungen, welche die Bestimmung der Koeffizienten C(z) und D(z) C(z) = cos z D(z) = − sin z <?page no="168"?> 144 L¨osung von Differenzialgleichungen mittels Green’scher Funktionen erlauben. Im Anschluss wird die Green’sche Funktion neu mit G(x, z) = { 0 f¨ ur 0 < x < z sin x cos z − cos x sin z f¨ ur z < x < ∞ formuliert, was auch G(x, z) = { 0 f¨ ur 0 < x < z sin(x − z) f¨ ur z < x < ∞ entspricht. Die gesuchte L¨osung f¨ ur y(x) folgt mit y(x) = ˆ ∞ 0 G(x, z) f(z) dz = ˆ x 0 sin(x − z) f(z) dz − ˆ ∞ x 0 f(z) dz ︸ ︷︷ ︸ 0 . Es sei hier noch ein Hinweis zur alternativen Berechnung gegeben: Die L¨osung wurde mit dem Abschnitt der Green’schen Funktion f¨ ur das Intervall 0 < x < z begonnen. Alternativ kann die Berechnung auch mit dem Abschnitt der Green’schen Funktion f¨ ur das Intervall z < x < ∞ begonnen werden. Dies f¨ uhrt am Ende des L¨osungsvorgehens zur Integration ¨ uber dieselbe Green’sche Funktion. Hierbei wird allerdings das erste Integral zu Null (Intervall [0, x]). Das zweite, zu subtrahierende Integral, ist das Integral ¨ uber die Green’sche Funktion mit dem Intervall [x, ∞ ]. 6.12 ODE - L¨osung von d 2 u/ dx 2 = − 1 ( II ) Zu l¨osen ist die inhomogene ODE 2’ter Ordnung mit inhomogenen Dirichlet-Randbedingungen. 6.12.1 Aufgabenbeschreibung Der Differenzialgleichung d 2 u(x) dx 2 = − 1 (6.23) wurden die inhomogenen Randbedingungen u(0) = 0 und u(4/ 5) = 2/ 25 zugewiesen. Die L¨osung der Differenzialgleichung ist <?page no="169"?> 6.12 ODE - L¨osung von d 2 u/ dx 2 = − 1 (II) 145 u(x) = − 1 2 x 2 + 1 2 x. Der Funktionsverlauf ist in Abb. 6.9 einsehbar. Abbildung 6.9: Vorgehen zur L¨osung der ODE Gl. (6.23) mit inhomogenen Randbedingungen 6.12.2 L¨osungsweg Der L¨osungsweg beginnt, indem die Randbedingungen von u(0) = u(4/ 5) = 2/ 25 auf y(0) = y(4/ 5) = 0 gesetzt werden. Die zugeh¨orige Funktion wird mit der abh¨angigen Variable y benannt. Die Fortsetzung folgt mit der Suche dem (n − 1)’ten Polynom p(x) p(x) = m x = 0, 08 0, 8 x = 1 10 x, welches die Randbedingungen erf¨ ullt. Der Verlauf der Polynomfunktion ist ebenfalls in Abb. 6.9 ersichtlich. Die L¨osung setzt sich damit aus der homogenen L¨osung y(x) und der inhomogenen L¨osung p(x) <?page no="170"?> 146 L¨osung von Differenzialgleichungen mittels Green’scher Funktionen u(x) = y(x) + p(x) zusammen. Zur L¨osung der homogenen ODE y(x) mittels Green’scher Funktion wird der lineare Ansatz G(x, z) = { A(z) x + B(z) f¨ ur 0 < x < z C(z) x + D(z) f¨ ur z < x < 4/ 5 gew¨ahlt, bei dem die Koeffizienten im Fortgang einzeln bestimmt werden. Mit den Randbedingungen A(z) 0 + B(z) = 0 ⇒ B(z) = 0 C(z) 4/ 5 + D(z) = 0 ⇒ D(z) = − 4/ 5 C(z) folgt erneut die Green’sche Funktion G(x, z) = { A(z) x f¨ ur 0 < x < z C(z) (x − 4/ 5) f¨ ur z < x < 4/ 5. Das Hinzuziehen der Kontinuit¨atsbedingungen an der Stelle x = z bringt C(z) (z − 4/ 5) = A(z) z C(z) ( 1 − 4 5z ) = A(z). Die Ableitung der Green’schen Funktion (Diskontinuit¨atsbedingung) dG(x, z) dx ∣ ∣ ∣ ∣ x = z = { A(z) f¨ ur 0 < x < z C(z) f¨ ur z < x < 4/ 5 f¨ uhrt auf C(z) C(z) − A(z) = 1 C(z) − C(z) ( 1 − 4 5 z ) = 1 C(z) = 5 4 z <?page no="171"?> 6.12 ODE - L¨osung von d 2 u/ dx 2 = − 1 (II) 147 sowie auf D(z) D(z) = − 4 5 C(z) = − 4 5 5 4 z = − z. Letztendlich wird damit A(z) A(z) = C(z) ( 1 − 4 5z ) = 5 4 z ( 1 − 4 5z ) = 5 4 z − 1 bestimmt. Die Green’sche Funktion G(x, z) = { ( 5 4 z − 1 ) x f¨ ur 0 < x < z 5 4 z x − z f¨ ur z < x < 4/ 5 ist damit vollst¨andig bestimmt und wird y(x) = ˆ 4 / 5 0 G(x, z) f(z) dz = ˆ 4 / 5 0 G(x, z) ( − 1) dz integriert. Im Einzelnen folgen die gliedweisen Integrationsschritte y(x) = − [ ˆ x 0 ( 5 4 z x − z ) dz + ˆ 4 / 5 x ( 5 4 z − 1 ) x dz ] = − [ ( 5 8 z 2 x − 1 2 z 2 ) ∣ ∣ ∣ ∣ z = x z =0 + ( 5 8 z 2 x − xz ) ∣ ∣ ∣ ∣ z =4 / 5 z = x ] = − [ 5 8 x 3 − 1 2 x 2 + 2 5 x − 4 5 x − 5 8 x 3 + x 2 ] = 2 5 x − 1 2 x 2 . Die Probe ergibt y(0) = y(4/ 5) = 0. Die Gleichung ist in Abb. 6.9 abgebildet. Mit der Addition folgt <?page no="172"?> 148 L¨osung von Differenzialgleichungen mittels Green’scher Funktionen u(x) = y(x) + p(x) = 2 5 x − 1 2 x 2 + 1 10 x = 1 2 x − 1 2 x 2 = 1 2 ( x − x 2 ) die L¨osung der gesuchten ODE. 6.13 ODE - L¨osung von d 2 u/ dx 2 = x Die homogene ODE 2’ter Ordnung mit inhomogenen Randbedingungen soll mittels Green’scher Methode gel¨ost werden. 6.13.1 Aufgabenbeschreibung Der Differenzialgleichung d 2 u(x) dx 2 = x L u(x) = x mit den inhomogenen Randbedingungen u(0) = 1 und u(1) = 2, deren L¨osung u(x) = 1 6 x 3 + 5 6 x + 1 auch durch Integration erreicht werden kann, soll mittels der Green’schen Methode gel¨ost werden. Es ist L = d 2 / dx 2 der lineare Operator. 6.13.2 L¨osungsweg Die ODE wird nachfolgend mit der Green’schen Methode gel¨ost. Hierzu wird • die urspr¨ ungliche Differenzialgleichung L u(x) = x in eine homogene Differenzialgleichung L y(x) = 0 mit den Randbedingungen y(0) = y(1) = 0 in die zu bestimmenden Funktion y(x) ¨ uberf¨ uhrt, <?page no="173"?> 6.13 ODE - L¨osung von d 2 u/ dx 2 = x 149 • eine partikul¨are L¨osung p(x) gesucht, welche beide Randbedingungen erf¨ ullt. Gefunden wurde die Gleichung p(x) p(x) = x + 1. Die L¨osung der gesuchten Differenzialgleichung bildet die Summe aus partikul¨arer und homogener L¨osung u(x) = y(x) + p(x). Mit der Green’schen Methode wird folgend die L¨osung der homogenen ODE L y(x) = 0 ermittelt. Die allgemeine Form der Green’schen Funktion ist G(x, z) = { A(z) y 1 (x) f¨ ur x < z B(z) y 2 (x) f¨ ur x > z. Zudem wird die Kontinuit¨atsbedingung G(x, z) ∣ ∣ ∣ z − ε = G(x, z) ∣ ∣ ∣ z + ε A(z) y 1 (x) = B(z) y 2 (x) und Diskontinuit¨atsbedingung (Sprung in der Ableitung) dG(x, z) dx ∣ ∣ ∣ z − ε − dG(x, z) dx ∣ ∣ ∣ z + ε = 1 a 2 A(z) y ′ 1 (z) − B(z) y ′ 2 (z) = 1 a 2 mit einbezogen. Der Koeffizient a 2 ist der h¨ochsten Ableitung zuzuordnen. Siehe hierzu auch Gl. (6.21), welcher in der Normalform den Wert Eins annimmt. Im Fortgang gilt es, A(z), B(z), y 1 (x), y ′ 1 (x), y 2 (x) und y ′ 2 (x) zu bestimmen. Hierzu werden y 1 (x) und y 2 (x) aus den Randbedingungen y 1 (0) = 0 : y 1 (x) = x; y ′ 1 (x) = 1 y 2 (1) = 0 : y 2 (x) = x − 1; y ′ 2 (x) = 1 <?page no="174"?> 150 L¨osung von Differenzialgleichungen mittels Green’scher Funktionen ermittelt. Die Wronski-Determinante W (z) W (z) = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ y 1 y 2 y ′ 1 y ′ 2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = y 1 y ′ 2 − y 2 y ′ 1 = 0 nimmt den Wert W (z) = y 1 y ′ 2 − y 2 y ′ 1 = z 1 − (z − 1) 1 = z − z + 1 = 1 an. Die Green’sche Funktion G(x, z) = ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ y 2 (z) W (z) a 2 ︸ ︷︷ ︸ A ( z ) y 1 (x) f¨ ur 0 < x < z y 1 (z) W (z) a 2 ︸ ︷︷ ︸ B ( z ) y 2 (x) f¨ ur z < x < 1 wird zu G(x, z) = { x (z − 1) f¨ ur 0 < x < z (x − 1) z f¨ ur z < x < 1. Die Herleitung der Koeffizienten A(z) und B(z) ist Kap. 6.9.3 zu entnehmen. Die homogene L¨osung folgt durch Integration der allgemeinen L¨osung nach Gl. (6.18) mit y(x) = ˆ 1 0 G(x, z) f(z) dz = (x − 1) ˆ z = x z =0 z z dz + x ˆ z =1 z = x (z − 1) z dz = (x − 1) 1 3 z 3 ∣ ∣ ∣ ∣ z = x z =0 + x ( 1 3 z 3 − 1 2 z 2 ) ∣ ∣ ∣ ∣ z =1 z = x = 1 3 x 4 − 1 3 x 3 + 1 3 x − 1 2 x − ( 1 3 x 4 − 1 2 x 3 ) = 1 6 x 3 − 1 6 x. <?page no="175"?> 6.13 ODE - L¨osung von d 2 u/ dx 2 = x 151 Abbildung 6.10: Vorgehen zur L¨osung der ODE Gl. (6.24) mit inhomogenen Randbedingungen Die gesuchte L¨osung der inhomogenen ODE nach u(x) folgt aus der Summe der homogenen und partikul¨aren Einzell¨osungen mit u(x) = y(x) + p(x) = 1 6 x 3 − 1 6 x + x + 1 = 1 6 x 3 + 5 6 x + 1. In Abb. 6.10 sind die Funktionsverl¨aufe dargestellt. <?page no="177"?> Kapitel 7 Differenzialgleichungen und Finite Elemente Vorgestellt werden h¨aufig verwendete Differenzialgleichungen 2’ter Ordnung und deren L¨osung mit der Galerkin-Methode als meist verwendeter Methode innerhalb der Finite- Element-Methode (FEM). Zudem werden die im FEM-Einsatz verwendeten Elemente gezeigt. Die FEM z¨ahlt zu den dominierenden numerischen Methoden zur Berechnung von Gleichungssystemen. Sie hat ihren Ursprung in der Strukturanalysis. Eine mathematische Beschreibung der Methode erfolgte bereits 1943. Erst 1968 erfolgte die Anwendung der Methode auf elektromagnetische Feldprobleme. Die FEM hat sich als leistungsf¨ahiger und flexibler in ihrer Anwendung auf komplexe Geometrien und inhomogene Stoffe im Vergleich zu anderen Methoden erwiesen und damit durchgesetzt. Aus diesem Grund konnten Computerprogramme entwickelt werden, welche eine große Vielfalt von Anwendungsm¨oglichkeiten schufen. Viele Vorg¨ange in Naturwissenschaft und Technik werden mittels partieller Differenzialgleichungen 1’ter und 2’ter Ordnung beschrieben. Die folgenden Abhandlungen des Manuskripts wurden im Wesentlichen mit der Literatur [1], [2], [28], [31] und [47] erstellt. 7.1 Beispiele aus der Physik f¨ ur Differenzialgleichungen 1’ter Ordnung Differenzialgleichungen 1’ter Ordnung enthalten eine Ableitung der unabh¨angigen Variablen. Bei Ableitungen nach der Zeit verk¨orpern diese oft einen Energiespeicher. Beispiele von Differenzialgleichungen 1’ter Ordnung sind in Abb. 7.1 zusammengefasst. Die <?page no="178"?> 154 Differenzialgleichungen und Finite Elemente erforderlichen unabh¨angigen Variablen werden hinsichtlich ihres Ansatzes am Element gegliedert: Abbildung 7.1: Beispiele von Differenzialgleichungen 1’ter Ordnung • ”Across Variables“: Variablen, deren Gr¨oßen ¨ uber das Element hinweg (across, entlang) wirken. Beispiele sind der elektrische Spannungsabfall entlang eines Widerstandes, der Druckabfall entlang einer Wasserleitung, der Temperaturabfall entlang eines Bauelementes bzw. durch eine Wand hindurch. • ”Through Variables“: Variablen, deren Gr¨oßen durch das Element hindurch (through, durch) str¨omen. Beispiele sind der elektrische Strom, der Massen- Volumenstrom und der W¨armestrom. 7.2 Beispiele aus der Physik f¨ ur Differenzialgleichungen 2’ter Ordnung Beispiele von Differenzialgleichungen 2’ter Ordnung sind in Abbildungen 7.2 und 7.3 zusammengefasst. In Abb. 7.2 a) sind die Schwingungsgleichungen des elektrischen und <?page no="179"?> 7.2 Beispiele aus der Physik f¨ ur Differenzialgleichungen 2’ter Ordnung 155 mechanischen Schwingkreises zu entnehmen. Schwingungsf¨ahige Systeme sind durch zwei unabh¨angige Energieformen gekennzeichnet, in welche die Energie beim Austausch jeweils ¨ uberf¨ uhrt wird. Die zeitlichen Ableitungen in den Gleichungen verk¨orpern jeweils einen Energiespeicher. Bei den Differenzialgleichungen handelt es sich jeweils um einen ged¨ampften Reihenschwingkreis mit Erregung. Gel¨ost wird nach dem Strom i bzw. nach dem Weg x. Abbildung 7.2: Beispiele von Differenzialgleichungen 2’ter Ordnung Die Diffusionsgleichung ist Abb. 7.3 b) zu entnehmen. Gezeigt werden die Felddiffusions- <?page no="180"?> 156 Differenzialgleichungen und Finite Elemente und W¨armediffusionsgleichung. Die Gleichungen sind durch zwei Orts- und eine Zeitableitung charakterisiert. Gel¨ost wird nach der Flussdichte B bzw. nach der Temperatur υ. Die Poisson’sche Differenzialgleichung der Elektrostatik zur L¨osung des Potenzials ϕ ist der Abb. 7.3 c) zu entnehmen. Die Wellengleichung in Abb. 7.3 d) ist mit zwei Ortsableitungen und zwei Zeitableitungen charakterisiert. Gel¨ost wird jeweils nach der elektrischen Feldst¨arke E bzw. nach der magnetischen Feldst¨arke H. Mit Blick auf die Schwingungsgleichung in Abb. 7.2 a) lassen sich Analogien zwischen mechanischen und elektrischen Schwingern herausarbeiten. Erkenntnisse, welche am Beispiel mechanischer Schwinger gewonnen wurden, lassen sich demzufolge auf elektrische Schwingkreise ¨ ubertragen. Es gilt die Umkehrung dieser Feststellung. Zwei schwingungsf¨ahige Anordnungen werden als analog bezeichnet, wenn diese durch dieselbe Differenzialgleichung beschrieben werden. In Tab. 7.1 erfolgt eine Gegen¨ uberstellung zwischen den elektrischen und mechanischen Gr¨oßen der Schwingungsgleichungen, welche in den elektrischen Reihen- und Parallelschwingkreis unterteilt sind [35], S. 210. Abbildung 7.3: Beispiele von Differenzialgleichungen 2’ter Ordnung - Fortsetzung Die analogen Beziehungen wurden aus der Abb. 7.2 a) hergeleitet. Eine Interpretation dieser Beziehungen f¨ uhrt zu den folgenden Feststellungen: <?page no="181"?> 7.2 Beispiele aus der Physik f¨ ur Differenzialgleichungen 2’ter Ordnung 157 Tabelle 7.1: Analogie elektrischer und mechanischer Gr¨oßen Elektrische Analogie Mechanische Analogie Reihenschwingkreis: Spannung u Kraft F Strom i Geschwindigkeit v Kehrwert Kapazit¨at C Federkonstante c Widerstand R D¨ampfungskonstante b Induktivit¨at L Masse m Parallelschwingkreis: Spannung u Geschwindigkeit v Strom i Kraft F Kapazit¨at C Masse m Kehrwert Widerstand 1/ R Viskosit¨atskoeffizient b Kehrwert Induktivit¨at 1/ L Federkonstante c • In Abh¨angigkeit der Schaltungsanordnung (Reihen- oder Parallelschaltung) wechseln die elektrischen gegen¨ uber den mechanischen Parametern. • Beispielsweise kann die mechanische Schwingungsgleichung mit der Wegvariable x als unabh¨angiger Parameter geschrieben werden: m d 2 x dt 2 + b dx dt + c x = F 0 d 2 x dt 2 + b m dx dt + c m x = a 0 . Die Wegvariable x entspricht im elektrischen Reihenschwingkreis dem Strom i und im elektrischen Parallelschwingkreis der Spannung u. • Mittels zeitlicher Integration der zuletzt gezeigten Gleichung folgt dx dt + b m x + c m ˆ x dt = v 0 die Schwinungsgleichung mittels eingepr¨agter Geschwindigkeit v 0 eines Parallelschwingers. Alle beteiligten Elemente erfahren dieselbe Geschwindigkeit, was im elektrischen Parallelschwingkreis der Spannungsquelle u 0 entspricht. <?page no="182"?> 158 Differenzialgleichungen und Finite Elemente 7.3 Finite Elemente Die Diskretisierung des L¨osungsraums oder L¨osungsgebietes erfordert die Aufteilung in einzelne R¨aume bzw. einzelne Gebiete, die finiten Elemente. In Abb. 7.4 sind typische finite Elemente nach Raumdimensionen und Ordnung der Ansatzfunktion geordnet dargestellt. Abbildung 7.4: Klassifizierung gew¨ahlter finiter Elemente Zur Diskretisierung der Randwertprobleme im zweidimensionalem Gebiet finden vorzugsweise Dreiecks- oder Viereckselemente Anwendung. Bei Dreieckselementen werden h¨aufig elementweise lineare, quadratische oder kubische Ansatzfunktionen verwendet. <?page no="183"?> 7.3 Finite Elemente 159 Diese sind genau in einem Knoten gleich Eins und in allen verbleibenden Knoten gleich Null. Bei elementweise quadratischen Ansatzfunktionen werden zus¨atzlich noch Kantenmittelknoten verwendet. Hier werden quadratische Ansatzfunktionen definiert, welche in einem Dreiecksknoten gleich Eins und in den verbleibenden Eckknoten gleich Null sind. Bei den Viereckselementen werden bilineare, biquadratische oder quadratische Funktionen verwendet (siehe hierzu auch [37], S. 227 ff.). <?page no="185"?> Kapitel 8 Von der Momentenmethode zur Galerkin-Methode Die Momentenmethode oder Method of Moments (MOM) ist eine numerische Methode zur L¨osung von Randwertproblemen vorzugsweise im Gebiet Elektromagnetismus. Gleich wie die Finite-Elemente-Methode ¨ uberf¨ uhrt die Momentenmethode Gleichungen eines vorliegenden Randwertproblems in eine Matrixgleichung zur L¨osung mit einem Computer. Eine geschlossene Formulierung der Methode wird in [34] vorgestellt. Sie wurde zu einer vorherrschenden Methode f¨ ur Berechnungen im Gebiet des Elektromagnetismus entwickelt. In [53] wird das Phasen-Diskretisierungsraster-Verfahren (PDRV) als eine Erweiterung der MOM zur Berechnung des Feld-Streuverhaltens elektrisch leitf¨ahiger K¨orper vorgestellt. 8.1 Grundprinzip der Momentenmethode (MOM) Eine gelungene Einf¨ uhrung in die Momentenmethode ist in [34], S. 5 ff. gegeben. Das Grundprinzip der MOM beruht auf der Umwandlung einer Funktionsgleichung (Randwertproblem) mittels numerischer Approximation in eine Matrixgleichung zur L¨osung mit bekannten Vorgehensweisen. Zur Veranschaulichung der Methode wird die inhomogene Gleichung L f = g (8.1) betrachtet. Wobei L ein linearer Operator, f die unbekannte, zu bestimmende Funktion und g die bekannte Funktion ist, welche den Quellterm repr¨asentiert. Hierbei handelt <?page no="186"?> 162 Von der Momentenmethode zur Galerkin-Methode es sich um ein deterministisches Problem, dessen L¨osung eindeutig ist, was bedeutet, dass nur eine f mit einer gegebenen g verbunden ist. Ein Analyseproblem liegt vor, wenn L und g gegeben sind und f zu bestimmen ist. Ein Syntheseproblem liegt vor, wenn f und g gegeben sind und L zu bestimmen ist. Im Fortgang werden ausschließlich Analyseprobleme behandelt. Der L¨osungsbereich ist mit Ω definiert. Zur L¨osungsfindung wird f als Reihe der Funktionen φ 1 , φ 2 , φ 3 , ... im Bereich von Ω f = N ∑ j =1 a j φ j (8.2) entwickelt. Dabei sind a j die unbekannten Entwicklungskoeffizienten und φ j die Entwicklungs- oder Basisfunktionen. Die dabei entstehende endliche Summe muss entsprechend abgebrochen werden. Damit folgt die inhomogene Gleichung N ∑ j =1 a j L φ j = g. Folgend werden Wichtungs- oder Testfunktionen w 1 , w 2 , w 3 definiert und mit diesen das innere Produkt N ∑ j =1 a j 〈 w k , L φ j 〉 = 〈 w k , g 〉 mit k = 1, 2, 3, ... gebildet. Die Gleichung wird in Matrixschreibweise (l jk ) (a j ) = (g k ) notiert. Dabei sind (l jk ) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 〈 w 1 , L φ 1 〉 〈 w 1 , L φ 2 〉 ... 〈 w 2 , L φ 1 〉 〈 w 2 , L φ 2 〉 ... ... ... ... ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ (8.3) (a j ) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a 1 a 2 . . ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (8.4) <?page no="187"?> 8.2 Anmerkungen zur Momentenmethode 163 (g k ) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 〈 w 1 , g 〉 〈 w 2 , g 〉 . . ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ . Unter der Voraussetzung der Nichtsingularit¨at der Matrix (l) ist die Bestimmung der Koeffizienten a mit (a j ) = (l − 1 jk ) (g k ) m¨oglich. Dies entspricht der L¨osung von f. Die Ausdr¨ ucke zur L¨osung von f werden mit (φ j ) = (φ 1 φ 2 φ 3 ...) und f = (φ j ) (a k ) = (φ j ) (l − 1 jk ) (g k ) gek¨ urzt wiedergegeben. Ob die L¨osung exakt oder approximiert ist, h¨angt von der Wahl von φ j und w k ab. 8.2 Anmerkungen zur Momentenmethode Im Folgenden werden dem Anwender der MOM Hinweise und Empfehlungen hinsichtlich der Matrix, der Wahl der Basis- und Wichtungsfunktion gegeben. 8.2.1 Matrix (l jk ) Ist die Matrix (l jk ) unendlicher Ordnung, so kann ihre Invertierung nur f¨ ur einige spezielle F¨alle wie beispielsweise eine Diagonalmatrix durchgef¨ uhrt werden. Die klassische Eigenfunktionsmethode f¨ uhrt auf eine Diagonalmatrix und kann als spezieller Fall der MOM aufgefasst werden. Sind dagegen φ j und w k endlich, so nimmt die Matrix eine endliche Ordnung an und kann mittels bereits bekannter Methoden invertiert werden. <?page no="188"?> 164 Von der Momentenmethode zur Galerkin-Methode 8.2.2 Wahl der Basis- und Wichtungsfunktionen φ n und w k Eine der Hauptaufgaben aller speziellen Probleme ist die Wahl der Basisφ j und Wichtungsfunktion w k . Die Basisfunktion sollte linear unabh¨angig sein und dabei so gew¨ahlt werden, dass die Superponierung von Gl. (8.2) die Funktion f angemessen und gut approximiert. Die Wichtungsfunktion w k sollte ebenfalls linear unabh¨angig und so gew¨ahlt werden, dass das innere Produkt 〈 w k , g 〉 relativ unabh¨angig von der Eigenschaft von g ist. Eine Orientierung zur Auswahl der Basis- und Wichtungsfunktionen k¨onnen die Koeffizienten der MacLaurin-Reihe, welche die gesuchte Funktion beschreibt, bieten. Einige weitere Faktoren, welche die Wahl von φ j und w k beeinflussen, sind • die gew¨ unschte Genauigkeit der L¨osung, • der Aufwand zur Entwicklung der Matrixelemente, • die zu invertierende Matrixgr¨oße, • die Realisierung einer wohl konditionierten Matrix. Dieses Kapitel informiert ¨ uber die Idee des Mathematikers Galerkin und f¨ uhrt in dessen Methode ein. Die Galerkin-Methode findet eine sehr breite Anwendung zur L¨osung von Differenzialgleichungen beispielsweise in der Strukturmechanik, der Str¨omungsmechanik, dem W¨arme- und Massetransport, der Akustik sowie in Mikrowellenanwendungen. Probleme, beschrieben durch gew¨ohnliche Differenzialgleichungen, partielle Differenzialgleichungen und Integralgleichungen k¨onnen mittels des Galerkin-Formalismus untersucht werden. ”Any problem for which governing equation can be written down is a candidate for a Galerkin method.“ [31], S. 1. Der Ursprung der Methode wird auf eine Ver¨offentlichung von Galerkin (1915) zur¨ uckgef¨ uhrt. Galerkin war ein Maschinenbauingenieur, der 1899 in St. Petersburg seinen Abschluss machte [31]. 8.3 Zur Person Boris Galerkin Boris Grigorjewitsch Galjorkin (Galerkin) (1871-1945) war ein sowjetischer Maschinenbauingenieur und Mathematiker. Galerkin studierte ab 1893 am Polytechnikum in <?page no="189"?> 8.4 Galerkins Idee 165 Sankt Petersburg. Ab 1899 arbeitete er in einer Lokomotivfabrik als Ingenieur und half beim Bau einer Eisenbahnlinie in der Mandschurei. Zur¨ uck in Sankt Petersburg arbeitete er als leitender Ingenieur in einer Dampfkesselfabrik. Galerkin kam 1907 wegen Zar-kritischer ¨ Außerungen ins Gef¨angnis und befasste sich dort mit dem Bauwesen. Im Jahre 1908 erschien seine erste Ver¨offentlichung ¨ uber die Baustatik. In Leningrad nahm er 1922 einen Lehrstuhl f¨ ur Bauingenieurwesen an, und lehrte am Leningrader Institut f¨ ur Eisenbahningenieurwesen und an der Staatlichen Universit¨at in Leningrad. An der dortigen Milit¨arischen Ingenieurtechnischen Universit¨at wurde er Professor und Leiter des Bauingenieurwesens. Galerkin war ab 1940 bis zu seinem Tode in Moskau Vorstand des Instituts f¨ ur Mechanik der sowjetischen Akademie der Wissenschaften in Sankt Petersburg. 8.4 Galerkins Idee Die spezielle Wahl, als Wichtungsfunktion die Basisfunktion w j = φ j zu nehmen, wird als Galerkin-Methode bezeichnet. ”Galerkin method is used to reduce an ordinary differential equation to a system of algebraic equations.“ [31], S. 4. <?page no="191"?> Kapitel 9 Traditionelle Galerkin-Methode Eines der Schl¨ usselmerkmale der traditionellen oder herk¨ommlichen Galerkin-Methode wird im Folgenden vorgestellt. Ein 2D-Problem wird durch die lineare Differenzialgleichung (DGL) L u = 0 (9.1) im Gebiet D(x, y) mit den Randbedingungen S(u) = 0, ∂D beschrieben. Die Galerkin-Methode nimmt an, dass u durch die N¨aherungsl¨osung u a = u 0 (x, y) + N ∑ j =1 a j φ j (x, y) (9.2) genau dargestellt wird. Dabei gilt: • φ j ist eine bekannte analytische Funktion (Basisfunktion), • u 0 wird eingef¨ uhrt, um die Randbedingungen zu erf¨ ullen, • a j sind zu bestimmende Koeffizienten. Mit dem Einsetzen von Gl. (9.2) in Gl. (9.1) folgt <?page no="192"?> 168 Traditionelle Galerkin-Methode L u a = L u 0 + N ∑ j =1 a j L φ j = R(a 0 , a 1 , ..., a N , x, y) (9.3) = 0. Mit der Galerkin-Methode werden die unbekannten Koeffizienten a j durch die Entwicklung des inneren Produkts 〈 φ k , R 〉 = 0, k = 1, ..., N (9.4) im Gebiet D ∈ [0, 1], mit dem Residuum R (lateinisch residuum = das Zur¨ uckbleibende oder in der Mathematik die Abweichung) und der aus Gl. (9.2) bekannten analytischen Funktion φ k (Wichtungsfunktion) bestimmt. Da im vorliegenden Beispiel eine lineare Differenzialgleichung zugrunde liegt, kann die Gl. (9.4) direkt als Matrizengleichung f¨ ur den Koeffizienten a j als N ∑ j =1 a j 〈 φ k , L φ j 〉 = −〈 φ k , L u 0 〉 (9.5) geschrieben werden. Das L¨osen und Einsetzen von a j in die Gl. (9.2) f¨ uhrt zur N¨aherungsl¨osung von u a . Die Wirkung der Galerkin-Methode wird in den nachfolgend bearbeiteten Beispielen transparent. <?page no="193"?> Kapitel 10 Galerkin-Methode - L¨osung von du/ dx = u Die Galerkin-Methode wird nachfolgend zur Reduktion einer gew¨ohnlichen Differenzialgleichung auf ein System algebraischer Gleichungen angewendet. Gel¨ost werden soll die gew¨ohnliche Differenzialgleichung 1’ter Ordnung du dx − u = 0 (10.1) im Gebiet Ω mit 0 ≤ x ≤ 1 und der Randbedingung y(0) = 1, deren L¨osung u(x) = e x ist. 10.1 Wahl der Basis- und Wichtungsfunktion Im Fortgang wird die Funktion u mittels Reihenentwicklung u j = N ∑ j =0 a j x j = a 0 + N ∑ j =1 a j x j , (10.2) <?page no="194"?> 170 Galerkin-Methode - L¨osung von du/ dx = u beschrieben, wobei x j die Basisfunktion darstellt. Der Koeffizient a 0 = 1 wird so gew¨ahlt, dass er die Randbedingung erf¨ ullt. Die bewusste Strukturierung der Versuchsl¨osung zur Erf¨ ullung der Randbedingungen ist eine g¨angige Praxis bei der Anwendung der traditionellen Galerkin-Methode. Vergleiche hierzu Gl. (9.2). Mit dem Einsetzen von Gl. (10.2) in Gl. (10.1) folgt d dx ( a 0 + N ∑ j =1 a j x j ) − ( a 0 + N ∑ j =1 a j x j ) = 0 = R. Nach dem Ableiten verbleibt N ∑ j =1 a j jx j − 1 − 1 − N ∑ j =1 a j x j = 0 − 1 + N ∑ j =1 a j ( jx j − 1 − x j ) = 0 = R. 10.2 Formulierung der schwachen Form mit Basis- und Wichtungsfunktion Eingef¨ uhrt wird die Wichtungsfunktion w = x k − 1 . Im Fortgang erfolgt die Entwicklung des inneren Produktes mit der Wichtungsfunktion 〈 R, w 〉 = 0 ˆ 1 0 R x k − 1 dx = 0, k = 1, ..., N ˆ 1 0 [ − 1 + N ∑ j =1 a j ( jx j − 1 − x j ) ] x k − 1 dx = 0 ˆ 1 0 [ − x k − 1 + N ∑ j =1 a j ( jx j − 1 − x j ) x k − 1 ] dx = 0 ˆ 1 0 N ∑ j =1 a j ( jx j − 1 − x j ) x k − 1 dx = ˆ 1 0 x k − 1 dx. <?page no="195"?> 10.3 ¨ Uberf¨ uhrung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung 171 Nach erfolgter Integration und Einsetzen der Integrationsgrenzen folgt j j + k − 1 x j + k − 1 ∣ ∣ ∣ ∣ 1 0 − 1 j + k x j + k ∣ ∣ ∣ ∣ 1 0 = 1 k x k ∣ ∣ ∣ ∣ 1 0 j j + k − 1 − 1 j + k = 1 k die schwache Formulierung von Gl. (10.1). 10.3 ¨ Uberf¨ uhrung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung Die Gleichungen werden in ein System linearer Gleichungen M A = D mit den Elementen von M und D m kj = 〈 jx j − 1 − x j , x k − 1 〉 = j j + k − 1 − 1 j + k d k = 〈 1, x k − 1 〉 = 1 k ¨ uberf¨ uhrt. A ist der Vektor der unbekannten Koeffizienten a j . Die einzelnen Elemente der Matrix M werden nun mit N = 3 berechnet. Beispielhaft erfolgt die Berechnung der Elemente m(3, j) f¨ ur k = 3: m 31 = 1 1 + 3 − 1 − 1 1 + 3 = 1 12 m 32 = 2 2 + 3 − 1 − 1 2 + 3 = 3 10 m 33 = 3 3 + 3 − 1 − 1 3 + 3 = 13 30 . 10.4 L¨osung des linearen Gleichungssystems Das so erhaltene lineare Gleichungssystem <?page no="196"?> 172 Galerkin-Methode - L¨osung von du/ dx = u ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 1 2 2 3 3 4 1 6 5 12 11 20 1 12 3 10 13 30 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ︸ ︷︷ ︸ M · ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ a 1 a 2 a 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ︸ ︷︷ ︸ A = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 1 1 2 1 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ︸ ︷︷ ︸ D wird mit A = M − 1 D gel¨ost. Die Galerkin-Methode ¨ uberf¨ uhrt die gew¨ohnliche DGL in ein algebraisches Gleichungssystem. Die L¨osung der Koeffizienten ist Abbildung 10.1: Gegen¨ uberstellung der exakten analytischen mit den numerischen N¨aherungsl¨osungen <?page no="197"?> 10.4 L¨osung des linearen Gleichungssystems 173 A = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ a 1 a 2 a 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 1, 014 0, 423 0, 282 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ . Aus der anschließenden Substitution von Gl. (10.2) folgt die N¨aherungsl¨osung u 3 = 1 + 1, 014 x 1 + 0, 423 x 2 + 0, 282 x 3 . Die exakte L¨osung ist u 4 = e x . In Abb. 10.1 wurde die Gegen¨ uberstellung zwischen der exakten und der N¨aherungsl¨osung vorgenommen. Es ist zu erkennen, dass die Funktion u 3 und u 4 deckungsgleich erscheinen. <?page no="199"?> Kapitel 11 Galerkin-Methode - L¨osung von − d 2 u/ dx 2 = 4 x 2 + 1 Es sei die inhomogene Differenzialgleichung 2’ter Ordnung − d 2 u(x) dx 2 = 4 x 2 + 1 (11.1) mit den Randbedingung u(0) = u(1) = 0 gegeben. Hierbei handelt es sich um ein Randwertproblem mit der L¨osung u(x) = − 1 3 x 4 − 1 2 x 2 + 5 6 x im Gebiet Ω = [0, 1]. Die Differenzialgleichung wird im Fortgang mit der traditionellen Galerkin-Methode gel¨ost. 11.1 Wahl der Basis- und Wichtungsfunktion Mit Hilfe der Ansatz- oder Basisfunktion u n u n = x − x n +1 wird die Funktion u(x) mit dem Polynom u u = N ∑ n =1 a n u n = N ∑ n =1 a n ( x − x n +1 ) <?page no="200"?> 176 Galerkin-Methode - L¨osung von − d 2 u/ dx 2 = 4x 2 + 1 entwickelt. Gem¨aß der Galerkin-Methode wird die Wichtungsfunktion w gleich der Basisfunktion w m = x − x m +1 = u n gew¨ahlt. 11.2 Formulierung der schwachen Form mit Basis- und Wichtungsfunktion Mit der Wichtungsfunktion gleich der Basisfunktion folgt 〈 w m , L u 〉 = 〈 w m , g 〉 N ∑ n =1 a n 〈 w m , L u n 〉 = 〈 w m , g 〉 N ∑ n =1 a n 〈 x − x m +1 , − d 2 dx 2 ( x − x n +1 ) 〉 = 〈 x − x m +1 , 4x 2 + 1 〉 und damit die schwache Form der Differenzialgleichung N ∑ n =1 a n ︸︷︷︸ ( a n ) ˆ Ω ( x − x m +1 ) ( − d 2 dx 2 ( x − x n +1 ) ) dx ︸ ︷︷ ︸ T erm 1 ( l mn ) = ˆ Ω ( x − x m +1 + 4x 3 − 4x m +3 ) dx ︸ ︷︷ ︸ T erm 2 ( g m ) . 11.3 ¨ Uberf¨ uhrung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung Die Gleichung wird in ein System (a n ) (l mn ) = (g m ) ¨ uberf¨ uhrt. Hierzu werden die Terme 1 und 2 wie folgt entwickelt: <?page no="201"?> 11.3 ¨ Uberf¨ uhrung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung 177 • Term 1 (l mn ): Integration erfolgt durch zweifache Anwendung der partiellen Integration. Die erste Anwendung der partiellen Integration liefert ˆ 1 0 ( x − x m +1 ) − d 2 dx 2 ( x − x n +1 ) dx = [ ( x − x m +1 ) − d dx ( x − x n +1 ) ] ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 0 ︸ ︷︷ ︸ =0 − ˆ 1 0 − (m + 1) x m − d dx ( x − x n +1 ) dx. Die zweite Anwendung der partiellen Integration f¨ uhrt zu − ˆ 1 0 (m + 1) x m d dx ( x − x n +1 ) dx = − [ (m + 1) x m ( x − x n +1 )] ∣ ∣ ∣ 1 0 ︸ ︷︷ ︸ =0 + ˆ 1 0 m (m + 1) x m − 1 ( x − x n +1 ) dx = ˆ 1 0 m (m + 1) x m − m (m + 1) x m + n dx = [ m(m + 1) m + 1 x m +1 − m(m + 1) m + n + 1 x m + n +1 ] ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 0 = m (m + n + 1) − m (m + 1) m + n + 1 = m n m + n + 1 = (l mn ). • Term 2 (g m ): L¨osung erfolgt durch gliedweise Integration: ˆ 1 0 ( x − x m +1 + 4x 3 − 4x m +3 ) dx = ( 1 2 x 2 − 1 m + 2 x m +2 + x 4 − 4 m + 4 x m +4 ) ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 0 = 1 2 − 1 m + 2 + 1 − 4 m + 4 . Der gemeinsame Hauptnenner und die Zusammenfassung des Z¨ahlers erm¨oglicht 1 2 − 1 m + 2 + 1 − 4 m + 4 = m (3m + 8) 2 (m + 2) (m + 4) = (g m ). <?page no="202"?> 178 Galerkin-Methode - L¨osung von − d 2 u/ dx 2 = 4x 2 + 1 11.4 L¨osung des linearen Gleichungssystems Die L¨osung des linearen Gleichungssystems (l mn ) − 1 (g m ) = (a n ) f¨ ur N = 1 ist (l mn ) − 1 (g m ) = ( 11 10 ) . Damit wird die Reihe der Funktion u u = 1 ∑ n =1 a n ( x − x n +1 ) = 11 10 ( x − x 2 ) = − 11 10 x 2 + 11 10 x. Die L¨osung f¨ ur N = 2 ist (l mn ) − 1 (g m ) = ( 1 10 2 3 ) . Damit wird die Reihe der Funktion u u = 2 ∑ n =1 a n ( x − x n +1 ) = 1 10 ( x − x 2 ) + 2 3 ( x − x 3 ) = − 2 3 x 3 − 1 10 x 2 + 23 30 x. Die L¨osung f¨ ur N = 3 lautet (l mn ) − 1 (g m ) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 1 2 0 1 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ . <?page no="203"?> 11.4 L¨osung des linearen Gleichungssystems 179 Tabelle 11.1: Koeffizienten f¨ ur N = 4 (l mn ) (g m ) n m 1 2 3 4 1 1 3 1 2 3 5 2 3 11 30 2 1 2 4 5 1 8 7 7 12 3 3 5 1 9 7 3 2 51 70 4 2 3 8 7 3 2 16 9 5 6 Die Polynomfunktion u wird zu u = 3 ∑ n =1 a n ( x − x n +1 ) = 1 2 ( x − x 2 ) + 0 ( x − x 3 ) + 1 3 ( x − x 4 ) = − 1 3 x 4 − 1 2 x 2 + 5 6 x. Eine zweimalige Differenziation f¨ uhrt auf Gl. (11.1). F¨ ur N = 4 wurden die Koeffizienten f¨ ur (l mn ) und (g m ) in Tab. 11.1 zusammengefasst. Der Abb. 11.1 sind die grafischen Darstellungen der einzelnen Entwicklungsschritte zu entnehmen. <?page no="204"?> 180 Galerkin-Methode - L¨osung von − d 2 u/ dx 2 = 4x 2 + 1 Abbildung 11.1: Funktion u(x) mit der Anzahl Reihenglieder N als Scharparameter <?page no="205"?> Kapitel 12 Galerkin-Methode - L¨osung von d 2 u/ dx 2 = − 1 ( I ) Gegeben ist die gew¨ohnliche inhomogene Differenzialgleichung 2’ter Ordnung d 2 u(x) dx 2 + 1 = 0, x ∈ Ω (12.1) im Gebiet Ω = [0, 1] mit den Dirichlet-Randbedingungen u(0) = u(1) = 0, deren L¨osung u(x) = − 1 2 x 2 + 1 2 x = 1 2 ( x − x 2 ) ist und deren Funktionsverlauf in Abb. 12.1 ersichtlich ist. Die gew¨ohnliche Differenzialgleichung Gl. (12.1) wird im Fortgang mit der traditionellen Galerkin-Methode gel¨ost. Zur L¨osung der Differenzialgleichung wird dieser die Bedingung auf dem Intervall Ω = [a, b] = [0, 1] mit u(x) = 0, x ∂Ω auferlegt und zur L¨osung eine nichtlineare Wichtungsfunktion gew¨ahlt. Es folgt erneut 〈 w, R 〉 = ˆ Ω w R dx = ˆ Ω w ( d 2 u(x) dx 2 + 1 ) dx = 0, mit dem Residuum R und Wichtungs- oder Testfunktion w. <?page no="206"?> 182 Galerkin-Methode - L¨osung von d 2 u/ dx 2 = − 1 (I) Abbildung 12.1: L¨osung u(x) von Gl. (12.1) 12.1 Wahl der Basis- und Wichtungsfunktion Im Fortgang wird u(x) = N ∑ n =1 a n ( x − x n +1 ) (12.2) w(x) = x − x m +1 nach Galerkin die zu l¨osende Funktion u(x) als Polynom mit der gleichen Funktionsklasse wie die Wichtungsfunktion angenommen. 12.2 Schwache Formulierung der Differenzialgleichung Daraus folgt die schwache Formulierung der Gl. (16.1) mit <?page no="207"?> 12.3 ¨ Uberf¨ uhrung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung 183 N ∑ n =1 a n ˆ Ω ( x − x m +1 ) d 2 dx 2 ( x − x n +1 ) dx = − ˆ Ω ( x − x m +1 ) dx. (12.3) 12.3 ¨ Uberf¨ uhrung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung Der linke Term der Gl. (12.3) wird mit Hilfe der partiellen Integration und der rechte Term durch Integration in die Form N ∑ n =1 a n ( n 2 + n n x n + m +1 − n + mn + n 2 m + n + 1 x n +1 ) ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 0 ︸ ︷︷ ︸ ( lmn ) = − ( 1 2 x 2 − 1 m + 2 x m +2 ) ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 0 ︸ ︷︷ ︸ ( g m ) ¨ uberf¨ uhrt. Das Gebiet wird mit Ω = [0, 1] gem. Abb. 16.5 eingegrenzt. 12.4 L¨osung des linearen Gleichungssystems Das so entstandene lineare Gleichungssystem (a n ) (l mn ) = (g m ) wird nach (a n ) gel¨ost. Es ist ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ a 1 a 2 a 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 80/ 3 256 8448/ 5 112 5504/ 5 7424 1968/ 5 3968 191232/ 7 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ − 1 ︸ ︷︷ ︸ (l −1 mn ) · ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 40/ 3 56 984/ 5 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ︸ ︷︷ ︸ (g m ) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 1/ 2 0 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ . Damit folgt die L¨osung der Differenzialgleichung von Gl. (12.1) in der Darstellung von Gl. (12.2) <?page no="208"?> 184 Galerkin-Methode - L¨osung von d 2 u/ dx 2 = − 1 (I) u(x) = a 1 ( x − x 1+1 ) + a 2 ( x − x 2+1 ) + a 3 ( x − x 3+1 ) = 1 2 ( x − x 2 ) = − 1 2 x 2 + 1 2 x. <?page no="209"?> Kapitel 13 Galerkin-Methode - L¨osung von d 2 u/ dx 2 = − 1 ( II ) Die gew¨ohnliche Differenzialgleichung 2’ter Ordnung d 2 u(x) dx 2 + 1 = 0 = R (13.1) deren L¨osung im Gebiet Ω = [0, 4] mit den homogenen Dirichlet-Randbedingungen u(0) = u(4) = 0 u(x) = − 1 2 x 2 + 2 x (13.2) und in Abb. 13.1 abgebildet ist, soll im Fortgang mit der traditionellen Galerkin- Methode durch Entwicklung des inneren Produkts 〈 w, R 〉 = 0 ˆ Ω w(x) ( d 2 u(x) dx 2 + 1 ) dx = 0 gel¨ost werden. 13.1 Wahl der Basis- und Wichtungsfunktion Gem¨aß der Galerkin-Methode ist w m = u n zu setzen. Geeignete Wichtungs- und Basisfunktionen m¨ ussen gesucht und gepr¨ uft werden. Die gesuchte Funktion muss stets die <?page no="210"?> 186 Galerkin-Methode - L¨osung von d 2 u/ dx 2 = − 1 (II) Abbildung 13.1: L¨osung u(x) der Gl. (13.1) geforderten Randbedingungen w(x) = u(x) = 0 bei x ∂ Ω erf¨ ullen. Gesucht, gefunden und gepr¨ uft wurde u(x) = N ∑ n =1 a n ( x n − 1 4 x n +1 ) w(x) = x m − 1 4 x m +1 . 13.2 Formulierung der schwachen Form mit Basis- und Wichtungsfunktion Die gefundene Basis- und Wichtungsfunktion wird in die oben stehende Gleichung zur Berechnung des inneren Produkts eingesetzt und umgeformt. Daraus folgt <?page no="211"?> 13.3 ¨ Uberf¨ uhrung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung 187 ˆ Ω ( x m − 1 4 x m +1 ) [ d 2 dx 2 N ∑ n =1 a n ( x n − 1 4 x n +1 ) + 1 ] = 0 a n N ∑ n =1 ˆ Ω ( x m − 1 4 x m +1 ) d 2 dx 2 ( x n − 1 4 x n +1 ) dx ︸ ︷︷ ︸ ( l mn ) = − ˆ Ω ( x m − 1 4 x m +1 ) dx ︸ ︷︷ ︸ ( g m ) die schwache Form der Differenzialgleichung. 13.3 ¨ Uberf¨ uhrung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung Die ¨ Uberf¨ uhrung der schwachen Form der Gleichung in die Matrizengleichung erfolgt mittels partieller Integration. Eine anschließende Bildung der Stammfunktion und Einsetzen der R¨ander x(0) = x(4) = 0 ergeben die beiden Matrizen • Matrix (l mn ) : ( − n x m + n − 1 ( − n 3 x 2 + 8 n 3 x − 16 n 3 + n x 2 − 8 n x + 16 n) 16 (m 3 + 3 m 2 n + 3 m n 2 − m + n 3 − n) − m 2 n x m + n − 1 (16 n − 8 n x + n x 2 + x 2 − 16) 16 (m 3 + 3 m 2 n + 3 m n 2 − m + n 3 − n) + m n x m + n − 1 ( − 2 n 2 x 2 + 16 n 2 x − 32 n 2 − n x 2 + 16 n + x 2 + 16) 16 (m 3 + 3 m 2 n + 3 m n 2 − m + n 3 − n) ) ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 4 0 = − 2 4 m + n − 1 m n m 3 + 3 m 2 n + 3 m n 2 − m + n 3 − n . F¨ ur m = [1 2 3] und n = [1 2 3] folgt die Matrix (l mn ) (l mn ) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ − 4 3 − 8 3 − 32 5 − 8 3 − 128 15 − 128 5 − 32 5 − 128 5 − 3072 35 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ . Dabei ist det(l mn ) = − 65536/ 2625 = 0. <?page no="212"?> 188 Galerkin-Methode - L¨osung von d 2 u/ dx 2 = − 1 (II) • Matrix (g m ) : − ˆ Ω ( x m − 1 4 x m +1 ) dx = − ( ˆ Ω x m dx − ˆ Ω 1 4 x m +1 dx ) = − ⎛ ⎝ 1 m + 1 x m +1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 4 0 − 1 4(m + 2) x m +2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 4 0 ⎞ ⎠ = − 1 m + 1 4 m +1 + 1 4(m + 2) 4 m +2 . F¨ ur m = [1, 2, 3] folgt (g m ) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ − 8 3 − 16 3 − 64 5 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ . • Matrix (a n ) : Die Matrix der zu l¨osenden Variabel a ist f¨ ur n = [1, 2, 3] (a n ) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ a 1 a 2 a 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ . 13.4 L¨osung des linearen Gleichungssystems Das so entstandene lineare Gleichungssystem (a n ) (l mn ) = (g m ) wird nach (a n ) mit ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ a 1 a 2 a 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ − 4 3 − 8 3 − 32 5 − 8 3 − 128 15 − 128 5 − 32 5 − 128 5 − 3072 35 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ − 1 ︸ ︷︷ ︸ (l mn ) · ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ − 8 3 − 16 3 − 64 5 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ︸ ︷︷ ︸ (g m ) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 2 0 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ <?page no="213"?> 13.4 L¨osung des linearen Gleichungssystems 189 gel¨ost. Damit folgt die L¨osung der Differenzialgleichung von Gl. (13.1) in der Darstellung von Gl. (13.2) u(x) = a 1 ( x − 1 4 x 1+1 ) + a 2 ( x − 1 4 x 2+1 ) + a 3 ( x − 1 4 x 3+1 ) = 2 ( x − 1 4 x 2 ) = − 1 2 x 2 + 2 x. <?page no="215"?> Kapitel 14 Galerkin-Methode - Durchflutungsgesetz Das Ampere’sche Durchflutungsgesetz aus Abb. 7.1 in seiner Differenzialform wird mit der Galerkin-Methode in eine Matrizengleichung ¨ uberf¨ uhrt und nach der magnetischen Feldst¨arke H gel¨ost. Die L¨osung erfolgt f¨ ur den Innen- und Außenbereich des Leiters. In Abb. 14.1 ist die Integralform des Durchflutungsgesetzes dargestellt. Das Durchflutungsgesetz wird mittels dem vierten Maxwell’schen Theorem beschrieben, was den Zusammenhang zwischen einem Kreis- und Fl¨achenintegral wiedergibt. Ebenfalls in der Abb. 14.1 sind die analytischen Herleitungen der magnetischen Feldst¨arken f¨ ur den Innenraum, f¨ ur die Oberfl¨ache und den Außenraum des Leiters dargestellt. Stellvertretend f¨ ur Innen- und Außenbereich ist die magnetische Feldlinie H Φ a im Außenbereich mit Radius r eingezeichnet. Die Legende ist der Abbildung zu entnehmen. In Abb. 14.2 ist die grafische L¨osung beider Gleichungen der magnetischen Feldst¨arke f¨ ur den Innen- und Außenraum des Leiters ersichtlich. Im Innenraum des Leiters nimmt die magnetische Feldst¨arke proportional zum Radius r zu. Die maximale magnetische Feldst¨arke stellt sich an der Leiteroberfl¨ache R ein. Die magnetische Feldst¨arke nimmt ab der Leiteroberfl¨ache mit einer Hyperbelfunktion ab, welche mit sehr großem Radius r gegen Null strebt. <?page no="216"?> 192 Galerkin-Methode - Durchflutungsgesetz Abbildung 14.1: Herleitung der magnetischen Feldst¨arke H Abbildung 14.2: Verlauf der magnetischen Feldst¨arke im und außerhalb des Leiterstabs <?page no="217"?> 14.1 Galerkin-Methode - Durchflutungsgesetz Innenbereich des Leiters 193 14.1 Galerkin-Methode - Durchflutungsgesetz Innenbereich des Leiters Aus Gr¨ unden der Anschaulichkeit wird die Integralform des Durchflutungsgesetzes eingef¨ uhrt. F¨ ur den Innenbereich des Leiters f¨ uhrt nach Abb. 14.1 eine Radiuszunahme beim Kreisintegral von Gl. (1) zu einer Vergr¨oßerung der magnetischen Feldst¨arke samt Feldlinienl¨ange, womit das durch die Feldlinie begrenzte Fl¨achenintegral der rechten Seite der Gleichung ebenfalls zu- und ein Maximum an der Oberfl¨ache gem. Gl. (3), Abb. 14.1 einnimmt. Vergleiche hierzu auch Abb. 14.2. Der Rechenweg wird mit der Differenzialform des Durchflutungsgesetzes fortgesetzt. Hierbei ist die Rotation der magnetischen Feldst¨arke im Zylinderkoordinatensystem mit rot H Φ i = J rot z H Φ i = ⎛ ⎜ ⎝ 1 r ∂rH Φ i ∂r − 1 r ∂H r ∂Φ ︸ ︷︷ ︸ =0 ⎞ ⎟ ⎠ 1 r ∂rH Φ i ∂r = 1 r ∂ ∂r ( r J 2 r ) = J (14.1) gegeben. Die Gleichung soll nach H Φ i gel¨ost werden. Das Feld besitzt nur eine Komponente in Umfangsrichtung Φ, daher verschwindet der weitere Term der Gleichung. Die L¨osung des magnetischen Feldes erfolgt f¨ ur das Leiterinnere. Das Vorgehen zur L¨osung entspricht dem Vorgehen nach Kap. 8. 14.1.1 Schwache Formulierung der Differenzialgleichung Durch Umstellen von Gl. (14.1) folgt ∂rH Φ i (r) ∂r = r J. Bei einer als konstant angenommenen Stromdichte J und sich vergr¨oßernden Radius r (rechte Seite der Gleichung) ist die Ableitung der linken Seite der Gleichung als nicht konstant anzunehmen. Die Gleichung ist nach der magnetischen Feldst¨arke im Innenraum des Leiters H Φ i zu l¨osen. Unter Verwendung der geeigneten Basisfunktion H Φ i (r) = N ∑ n =1 a n r n − 1 (14.2) <?page no="218"?> 194 Galerkin-Methode - Durchflutungsgesetz folgt N ∑ n =1 a n d dr ( r · r n − 1 ) = r J. Unter Einbezug der Wichtungsfunktion w m folgt die Darstellung mit Hilfe des inneren Produkts N ∑ n =1 a n 〈 w m , d dr r · r n − 1 〉 = 〈 w m , r J 〉 und aus dem Galerkin-Ansatz w m = r m − 1 folgt die schwache Formulierung des Durchflutungsgesetzes N ∑ n =1 a n 〈 r m − 1 , d dr r · r n − 1 〉 = 〈 r m − 1 , r J 〉 in der Summenschreibweise mit Anzahl N noch zu bestimmenden Summanden. 14.1.2 ¨ Uberf¨ uhrung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung Die schwache Form des Durchflutungsgesetzes wird mittels Integrale ¨ uber dem Raum Ω N ∑ n =1 a n ˆ Ω r m − 1 · d dr ( r · r n − 1 ) dr ︸ ︷︷ ︸ T erm 1 = ˆ Ω r m − 1 · r · J dr ︸ ︷︷ ︸ T erm 2 formuliert. Dabei ist Ω = r ∈ [0, R], mit Leiterradius R. Die Entwicklung des ersten Terms erfolgt mittels partieller Integration zu ˆ R 0 r m − 1 · d dr ( r · r n − 1 ) dr = [ r m + n − 1 ] R 0 − ˆ R 0 (m − 1) r m − 2 r n dr = R m + n − 1 − m − 1 m + n − 1 R m + n − 1 = n m + n − 1 R m + n − 1 . <?page no="219"?> 14.1 Galerkin-Methode - Durchflutungsgesetz Innenbereich des Leiters 195 Die Entwicklung des zweiten Terms erfolgt durch Integration zu ˆ R 0 r m − 1 · r · J dr = J m + 1 R m +1 . Die schwache Formulierung wird damit erneut als Summe N ∑ n =1 a n n m + n − 1 R m + n − 1 ︸ ︷︷ ︸ ( l mn ) = J m + 1 R m +1 ︸ ︷︷ ︸ ( g m ) dargestellt. 14.1.3 L¨osung des linearen Gleichungssystems Die Summenschreibweise der schwachen Form wird in die Matrixschreibweise f¨ ur N = 3 (a n ) · (l mn ) = (g m ) (a n ) · ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ R R 2 R 3 R 2 2 2 R 3 3 3 R 4 4 R 3 3 R 4 2 3 R 5 5 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ = (g m ) (a n ) = (l mn ) − 1 · (g m ) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 9 R − 36 R 2 30 R 3 − 18 R 2 96 R 3 − 90 R 4 10 R 3 − 60 R 4 60 R 5 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ · ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ JR 2 2 JR 3 3 JR 4 4 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ a 1 a 2 a 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 0 J 2 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ¨ uberf¨ uhrt. Durch Einsetzen in die Basisfunktion Gl. (14.2) folgt H Φ i (r) = 0 · r 0 + J 2 · r 1 + 0 · r 2 = J 2 · r = 0, 509 · 10 6 A 2 m 2 · 2, 5 · 10 − 3 m = 636, 25 A/ m <?page no="220"?> 196 Galerkin-Methode - Durchflutungsgesetz das Ergebnis der Feldst¨arke, was dem analytischen Ergebnis aus Abb. 14.1 an der Leiteroberfl¨ache entspricht. 14.2 Galerkin-Methode - Durchflutungsgesetz Außenbereich des Leiters Im Außenraum gilt die Rotationsfreiheit des magnetischen Feldes mit rot H Φ a = 1 r ∂rJ R 2 ∂2r = 0. Das magnetische Feld kann demzufolge nicht mehr mit seiner Rotation berechnet werden. Gem¨aß des Kreisintegrals von Gl. (1) in Abb. 14.1 f¨ uhrt eine Radiusvergr¨oßerung der magnetischen Feldlinie zu einer Vergr¨oßerung der zu integrierenden Fl¨ache, was mittels des vierten Maxwell’schen Theorems beschrieben wird. Die Fl¨achenintegration erfolgt ¨ uber den stromdichtef¨ uhrenden Bereich hinaus. Beim Fl¨achenintegral liefert aber nur die Integration ¨ uber den stromdichtef¨ uhrenden Bereich (Leiter) einen Beitrag zum Fl¨achenintegral. Somit bleibt die rechte Seite der Gl. (1) in Abb. 14.1 konstant. Die Wirkung des zunehmenden Radius r beim Kreisintegral f¨ uhrt zu einer Verringerung der magnetischen Feldst¨arke gem. Gl. (4). Die magnetische Feldst¨arke multipliziert mit ihrer L¨ange ist konstant und entspricht dem Fl¨achenintegral ¨ uber der Stromdichte. Vergleiche hierzu auch Abb. 14.1. Mit den Abbildungen 14.2 und 14.1 Gl. (4) gewinnt man durch Ableitung des sich abschw¨achenden Magnetfeldes bei zunehmendem Radius r die Differenzialgleichung dH Φ (r) dr = − J R 2 2 1 r 2 , deren Ableitung ebenfalls vom Radius r abh¨angt und damit nicht konstant ist. Die Gleichung wird nach der magnetischen Feldst¨arke f¨ ur den Außenbereich des Leiters H Φ a gel¨ost. 14.2.1 Schwache Formulierung der Differenzialgleichung Mittels ¨ Uberlegungen zur Gleichung der magnetischen Feldst¨arke im Außenbereich (vgl. Abb. 14.1) konnte durch MacLaurin-Reihenentwicklung die Basis- und zugleich Wichtungsfunktion <?page no="221"?> 14.2 Galerkin-Methode - Durchflutungsgesetz Außenbereich des Leiters 197 H Φ i (r) = N ∑ n =1 a n r − n ermittelt werden. Damit folgt N ∑ n =1 a n d dr r − n = − J R 2 2 1 r 2 . Der Einbezug der Wichtungsfunktion w m , welche der Basisfunktion entspricht, liefert die schwache Formulierung des Durchflutungsgesetzes f¨ ur den Außenbereich des Leiters N ∑ n =1 a n 〈 w m , d dr r − n 〉 = 〈 w m , − J R 2 2 1 r 2 〉 N ∑ n =1 a n 〈 r − m , d dr r − n 〉 = 〈 r − m , − J R 2 2 1 r 2 〉 . 14.2.2 ¨ Uberf¨ uhrung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung Die schwache Form des Durchflutungsgesetzes wird durch Integration ¨ uber den Bereich Ω N ∑ n =1 a n ˆ Ω r − m d dr r − n dr ︸ ︷︷ ︸ T erm 1 = ˆ Ω r − m − J R 2 2 1 r 2 ︸ ︷︷ ︸ T erm 2 formuliert. Hierbei ist Ω = r ∈ [R, ∞ ]. Im Fortgang erfolgt die Entwicklung der Terme 1 und 2: • Term 1: Die partielle Integration liefert <?page no="222"?> 198 Galerkin-Methode - Durchflutungsgesetz ˆ ∞ R r − m d dr r − n dr = [ r − m r − n ] ∞ R − ˆ ∞ R − m r − m − 1 r − n dr = r − m − n ∣ ∣ ∣ ∞ R − ˆ ∞ R − m r − m − n − 1 dr = r − m − n ∣ ∣ ∣ ∞ R − − m − m − n r − m − n ∣ ∣ ∣ ∞ R = 0 − R − m − n − ( 0 − − m − m − n R − m − n ) = ( − m − m − n − 1 ) R − m − n = − n − m − n R − m − n . • Term 2: Die Integration liefert − J R 2 2 ˆ ∞ R r − m r − 2 = − J R 2 2 ˆ ∞ R r − m − 2 dr = − J R 2 2 1 − m − 1 r − m − 1 ∣ ∣ ∣ ∞ R = − J R 2 2 1 − m − 1 ( 0 − R − m − 1 ) = J R 2 2 1 − m − 1 R − m − 1 . Damit folgt erneut die schwache Formulierung mit N ∑ n =1 a n − n − m − n R − m − n ︸ ︷︷ ︸ ( l mn ) = J R 2 2 1 − m − 1 R − m − 1 ︸ ︷︷ ︸ ( g m ) . 14.2.3 L¨osung des linearen Gleichungssystems Die Ergebnisse der Summenschreibweise der schwachen Form werden in die Matrixschreibweise f¨ ur N = 3 ¨ uberf¨ uhrt und deren Matrixelemente in Tab. 14.1 zusammengefasst. Damit folgt die L¨osung des magnetische Feldes H Φ a im Außenbereich des Leiters mit H Φ a (r) = a 1 · r − 1 + a 2 · r − 2 + a 3 · r − 3 = J R 2 2 · r − 1 + 0 · r − 2 + 0 · r − 3 . <?page no="223"?> 14.3 Gegen¨ uberstellung von FEMmit Galerkin-Ergebnis 199 Tabelle 14.1: Ergebnisse der Matrizenelemente (l mn ) n m 1 2 3 (g m ) 1 1 2 R − 2 2 3 R − 3 3 4 R − 4 J 4 R 0 2 1 3 R − 3 2 4 R − 4 3 5 R − 5 J 6 R − 1 3 1 4 R − 4 2 5 R − 5 3 6 R − 6 J 8 R − 2 (a n ) J 2 R 2 0 0 Die damit berechnete magnetische Feldst¨arke an der Stelle r = 10 mm mit den Angaben von Tab. 14.3, Nr. 7 wird in Tab. 14.2, Nr. 7 gegen¨ ubergestellt. 14.3 Gegen¨ uberstellung von FEMmit Galerkin- Ergebnis Die Ergebnisgegen¨ uberstellung findet anhand eines gew¨ahlten Leiters statt. F¨ ur den Ergebnisvergleich zwischen numerischer Berechnung nach Galerkin und der FEM-Software COMSOL Multiphysics wurde in Tab. 14.3 die Nr. 2 als Referenz herangezogen. In Tab. 14.2 sind beide Ergebnisse gegen¨ ubergestellt. Eine Abweichung zwischen den beiden Ergebnissen stellt sich im Rahmen der numerischen Genauigkeit und der ber¨ ucksichtigten Nachkommastellen ein. Nachfolgend sind die FEM-Ergebnisse mit COMSOL Multiphysics ersichtlich. In Abb. 14.3 folgt das dazugeh¨orige magnetische Feld im und außerhalb des Leiters. Das Maximum der magnetischen Feldst¨arke befindet sich immer auf der Leiteroberfl¨ache. Die magnetische Feldst¨arke des Leiters mit dem Durchmesser von 5 mm ist an der Leiteroberfl¨ache mit 625 A/ m abzulesen. Tabelle 14.2: Ergebnisvergleich der magnetischen Feldst¨arke H o an der Leiteroberfl¨ache Nr. COMSOL Multiphysics Galerkin traditionell 2 636,4 A/ m 636,25 A/ m 7 160,4 A/ m 160 A/ m <?page no="224"?> 200 Galerkin-Methode - Durchflutungsgesetz Abbildung 14.3: FEM-Simulationsergebnis der magnetischen Feldst¨arke im und außerhalb des Leiterstabs mit Leiterstabdurchmesser als Scharparameter Tabelle 14.3: Simulationsdaten Leiter- Leiter- Strom I Strom- Felddurchmesser d fl¨ache A dichte J st¨arke H o Nr. [mm] [(mm) 2 ] [A] [A/ (mm) 2 ] [A/ m] 1 2 3,14 10 3,183 1592,0 2 5 19,63 10 0,509 636,4 3 8 50,27 10 0,199 398,0 4 11 95,03 10 0,105 289,6 5 14 153,93 10 0,065 227,8 6 17 226,98 10 0,044 188,0 7 20 314,16 10 0,032 160,4 <?page no="225"?> Kapitel 15 Galerkin-FEM ”The Galerkin finite-element method has been the most popular method of weighted residuals, used with piecewise polynomials of low degree, since the early 1970s.“ [31], S. 86. 15.1 Galerkin-FEM - Was wird gel¨ost? Die Galerkin-FEM dient zur L¨osung von Differenzialgleichungen ≥ 2’ter Ordnung. In der Galerkin-FEM findet eine abschnittsweise definierte lineare Wichtungs- oder Testfunktion Anwendung. In der Literatur wird diese oft als Form- oder Interpolations- oder Dreiecksfunktion nach Abb. 15.1 b) bezeichnet, welche zudem die einfachste Form darstellt. Die Testl¨osung in einem eindimensionalen Gebiet x 1 ≤ x ≤ x N ist beispielsweise mit der globalen, f¨ ur das gesamte Gebiet geltenden Gleichung u h = N ∑ i =1 u i φ i (x) (15.1) gegeben, wobei φ i (x) die Dreiecksfunktion und u i die zu l¨osenden nodalen Werte (Koeffizienten) darstellt. In Abb. 15.1 a) ist ersichtlich, dass u h die Funktion u linear zwischen den unbekannten Knotenwerten interpoliert und das f¨ ur jedes Element. Entnommen werden kann in Abb. 15.1 b) der lineare Abfall vom Wert Eins an einem jeweiligen Knoten auf den Wert Null bei den beiden benachbarten Knoten und dar¨ uber hinaus im verbleibenden Gebiet. Nur zwei Formfunktionen und zwei unbekannte Knotenwerte liefern einen von Null verschiedenen Beitrag zur Gl. (15.1). Beispielsweise liefern am <?page no="226"?> 202 Galerkin-FEM Abbildung 15.1: Interpolation finiter Elemente mittels Dreiecksfunktion Element 2 nur die Formfunktionen φ 2 und φ 3 einen Beitrag zu u h der Gl. (15.1). Zudem kann der Abb. 15.1 3) entnommen werden, dass u h entlang der Elemente kontinuierlich und die Ableitung du h / dx an den Elementr¨andern diskontinuierlich verl¨auft. Weiterhin ist erkennbar, dass nur die Knotenwerte mit u ¨ ubereinstimmen. Mit der Einf¨ uhrung von u h ist demzufolge ein Interpolationsfehler verbunden. 15.2 Galerkin-FEM - Vorgehen zur L¨osung Der Leser wird in die L¨osung einer Differenzialgleichung mittels der Galerkin-Methode anhand eines 1D-Beispiels eingef¨ uhrt. Die Methode nach Galerkin ist in die Klasse der Methoden der gewichteten Residuen einzuordnen [31], S. 24. Die erforderlichen Bedingungen der Galerkin-Methode sind nach [31], S. 30: • Die Wichtungsfunktion w ist von derselben Klasse wie die Basisfunktion φ. <?page no="227"?> 15.2 Galerkin-FEM - Vorgehen zur L¨osung 203 • Die Wichtungs- und Basisfunktionen sind bei der Galerkin-FEM linear unabh¨angig. • Die Basisfunktion sollte den Anfangs-, wie auch den Randbedingungen exakt gen¨ ugen. Die allgemeine Vorgehensweise zur Anwendung der Galerkin-Methode zur L¨osung einer partiellen Differenzialgleichung wird in die folgenden Schritte unterteilt: 1. ¨ Uberf¨ uhrung der starken Form der zu l¨osenden partiellen Differenzialgleichung in die schwache Form (schwache Formulierung), 2. Diskretisierung des zu l¨osenden Gebietes Ω in eine endliche Anzahl n von Teilgebieten Ω n mit N Knoten bei der Galerkin-FEM, 3. Wahl der Basis- und Wichtungsfunktionen, 4. Formulierung der schwachen Form der erhaltenen Differenzialgleichung mittels gew¨ahlter Basis- und Wichtungsfunktion, 5. ¨ Uberf¨ uhrung der Gleichung in eine Matrizengleichung, 6. L¨osung des erhaltenen linearen Gleichungssystems. <?page no="229"?> Kapitel 16 Galerkin-FEM - L¨osung von d 2 u/ dx 2 = − 1 ( I ) Gegeben ist die gew¨ohnliche inhomogene Differenzialgleichung 2’ter Ordnung Abbildung 16.1: L¨osung u(x) von Gl. (16.1) <?page no="230"?> 206 Galerkin-FEM - L¨osung von d 2 u/ dx 2 = − 1 (I) d 2 u(x) dx 2 + 1 = 0, x ∈ Ω (16.1) im Gebiet Ω = [0, 1] mit den Dirichlet-Randbedingungen u(0) = u(1) = 0, deren L¨osung die Funktion u(x) u(x) = − 1 2 x 2 + 1 2 x = 1 2 ( x − x 2 ) ist und deren Funktionsverlauf Abb. 16.1 entnommen werden kann. Die Differenzialgleichung soll mittels der Galerkin-FEM gel¨ost werden. 16.1 Schwache Formulierung der Differenzialgleichung Die Gl. (16.1) soll mit Hilfe linearer Wichtungsfunktionen in eine Matrixgleichung ¨ uberf¨ uhrt und gel¨ost werden. Gesucht ist die Funktion u(x) der Gl. (16.1) auf dem Intervall Ω = [a, b] = [0, 1] mit u(x) = 0, x ∂ Ω. Die starke Form der Gl. (16.1) wird folgend in die schwache Form zur L¨osung mit der Galerkin-Methode ¨ uberf¨ uhrt ˆ Ω R w dx = 〈 R, w 〉 = 0. Es sind w = Wichtungs- oder Testfunktion und R = Residuum. Mit R = d 2 u(x) dx 2 + 1 w = w(x) folgt ˆ Ω ( d 2 u(x) dx 2 + 1 ) w(x) dx = 0 ˆ Ω d 2 u(x) dx 2 w(x) dx + ˆ Ω w(x) dx = 0. <?page no="231"?> 16.2 Diskretisierung des zu l¨osenden Gebiets Ω 207 Mit partieller Integration w(x) du(x) dx − ˆ Ω du(x) dx dw(x) dx dx + ˆ Ω w(x) dx = 0 und Einbezug der Dirichlet-Randbedingungen an den ¨außeren Knoten (R¨ander) u(x) = w(x) = 0; x ∂Ω wird der erste Term der Gleichung gem. Kap. 1.2.5 w(x) du(x) dx ∣ ∣ ∣ ∣ b a = 0. Dies ist der Fall, da die Wichtungsfunktionen nur f¨ ur die inneren Knoten Anwendung finden und an den ¨außeren Knoten den Wert Null annehmen. Daraus folgt die schwache Form der Differenzialgleichung (16.1) ˆ Ω du(x) dx dw(x) dx dx − ˆ Ω w(x) dx = 0. (16.2) 16.2 Diskretisierung des zu l¨osenden Gebiets Ω Das Intervall [a, b] wird in n Teilintervalle Ω n mit N Knoten unterteilt. F¨ ur die grafische Darstellung gem. Abb. 16.2 sind dies n = 5 Teilintervalle (Elemente, Teilgebiete) mit N = 6 Knoten. Die Intervallgrenzen werden mit x 0 = a und x 6 = b gesetzt und als ¨außere Knoten bezeichnet. 16.3 Wahl der Basis- und Wichtungsfunktion Gew¨ahlt werden lineare Funktionen vom Typ Geradengleichungen, welche gem. Abb. 16.3 den einzelnen Knoten zugeordnet werden. Aus Gr¨ unden der Anschauung wird diese Funktion in der Literatur als Dreiecksfunktion bezeichnet. Die Dreiecksfunktion wird f¨ ur einen Knoten definiert, an welchem sie den Wert Eins annimmt. Die Dreiecksfunktion besitzt an dieser Stelle eine Unstetigkeit, was eine abschnittsbzw. elementweise Funktionsdefinition erfordert. Den Funktionswerten aller benachbarten Knoten wird <?page no="232"?> 208 Galerkin-FEM - L¨osung von d 2 u/ dx 2 = − 1 (I) Abbildung 16.2: 1D-Diskretisierung des Gebiets Ω in n Teilgebiete Ω i der Wert Null zugeordnet. Der Vorteil dieses Typs der Geradengleichungen besteht in deren vereinfachten Ableitungen, welche eine Konstante ergeben. Jedem inneren Knoten x i , i = 1, ..., N − 1 werden zwei Geradengleichungen (Dreiecksfunktion) φ i (x) mit der abschnittsweisen Definition φ i (x) = ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ m · x + b, x i − 1 < x ≤ x i − m · x + b, x i < x ≤ x i +1 0, sonst. zugeordnet. Die Geradensteigung m und der Achsenabschnitt b werden aus den Randbedingungen x ∂x i − 1 = 0, x ∂x i = 1 sowie x ∂x i = 1 und x ∂x i +1 = 0 bestimmt, was φ i (x) = ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ 1 x i − x i−1 x − x i−1 x i − x i−1 = x − x i−1 h , x i − 1 < x ≤ x i − 1 x i+1 − x i x + x i+1 x i+1 − x i = x i+1 − x h , x i < x ≤ x i +1 0, sonstige entspricht. An den R¨andern des Gebiets Ω sind keine Basisfunktionen definiert. Dabei ist h = Ω n der ¨aquidistante Abstand zwischen zwei Knoten (Elementl¨ange). In Abb. 16.3 sind die Dreiecksfunktionen im Gebiet Ω andeutungsweise eingezeichnet. Mit Blick auf Gl. (16.2) werden Ableitungen der Funktion erforderlich. Somit schließen sich die abschnittsweisen Ableitungen der Dreiecksfunktionen mit <?page no="233"?> 16.4 Formulierung der schwachen Form mit Dreiecksfunktionen φ(x) 209 Abbildung 16.3: Nodale Zuordnung der Dreiecksfunktionen φ(i) mit deren Ableitungen im Gebiet Ω dφ i (x) dx = ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ 1 h , x i − 1 < x ≤ x i − 1 h , x i < x ≤ x i +1 0, sonst. an. Dreiecksfunktionen und deren Ableitungen nehmen mit dieser Definition außerhalb ihrer nodalen Zuordnungen den Wert Null an. 16.4 Formulierung der schwachen Form mit Dreiecksfunktionen φ ( x ) Die Galerkin-Methode beinhaltet, dass die Basisfunktion gleich der Wichtungsfunktion ist. Im Fortgang wird die Dreiecksfunktion φ(x) als Basis- und Wichtungsfunktion verwendet. Die zu l¨osende Funktion u(x) wird durch die gen¨aherte Ansatzfunktion u h (x) f¨ ur ein 1D-Element mit den zwei Knoten x i und x i +1 u h (x) = 2 ∑ i =1 u i φ i (x) = u 1 φ 1 (x) + u 2 φ 2 (x) w(x) = φ(x) ersetzt. Dabei ist u i die gesuchte Variable, nach der zu l¨osen ist und φ i (x) die Basis- und φ(x) die Wichtungsfunktion. Eingesetzt in Gl. (16.2) folgt <?page no="234"?> 210 Galerkin-FEM - L¨osung von d 2 u/ dx 2 = − 1 (I) n ∑ i =1 [ ˆ Ω d(u i φ i (x)) dx dφ(x) dx dx ] − ˆ Ω φ(x) dx = 0 (16.3) mit anschließendem Ausmultiplizieren ˆ Ω [ u 1 dφ 1 (x) dx dφ(x) dx + u 2 dφ 2 (x) dx dφ(x) dx ] dx = ˆ Ω φ(x) dx. Die Methode nach Galerkin sieht vor, dass die Basisfunktion gleich der Wichtungsfunktion ist, und diese ein Produkt bilden. Insofern m¨ ussen im Fortgang die beiden Ableitungen der identischen und abschnittsweise definierten Basis- und Wichtungsfunktionen miteinander multipliziert werden. Dies betrifft jeweils die Multiplikation der Ableitungen der steigenden und fallenden Geraden der Dreiecksfunktionen. Hieraus entstehen zwei Gleichungen. Zur Bestimmung von u 1 wird der verbleibenden Funktion φ(x) die Funktion φ 1 (x) und zur Bestimmung von u 2 die Funktion φ 2 (x) zugeordnet. Damit folgt f¨ ur u 1 am Knoten x i u 1 ˆ Ω dφ 1 dx dφ 1 dx dx + u 2 ˆ Ω dφ 2 dx dφ 1 dx dx = ˆ Ω φ 1 (x) dx und f¨ ur u 2 am Knoten x i +1 u 1 ˆ Ω dφ 1 dx dφ 2 dx dx + u 2 ˆ Ω dφ 2 dx dφ 2 dx dx = ˆ Ω φ 2 (x) dx, oder in Matrizenschreibweise zusammengefasst ˆ Ω ( dφ 1 ( x ) dx dφ 1 ( x ) dx dφ 2 ( x ) dx dφ 1 ( x ) dx dφ 1 ( x ) dx dφ 2 ( x ) dx dφ 2 ( x ) dx dφ 2 ( x ) dx ) dx ( u 1 u 2 ) = ˆ Ω φ(x) dx ( 1 1 ) . (16.4) Bei dem rechten Term der Integration der Funktion ¨ uber Ω ist eine Unterscheidung mittels Indizes 1, 2 nicht erforderlich, da eine derartige Unterscheidung das Integral nicht beeinflussen wird. 16.5 ¨ Uberf¨ uhrung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung Jedes Element wird mit zwei Knoten begrenzt. Im Fortgang werden mit Hilfe der Gl. (16.4) die beiden Knotenmatrizen hergeleitet, zu einer Elementmatrix zusammen- <?page no="235"?> 16.5 ¨ Uberf¨ uhrung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung 211 gef¨ uhrt und diese f¨ ur alle Elemente in eine globale Matrix, die Koeffizientenmatrix ¨ uberf¨ uhrt. Dem Gedanken von Galerkin folgend ist ¨ uber die Ableitung der Basis- und Wichtungsfunktion zu integrieren. Beide sind gem. Abb. 16.3 abschnittsweise definiert und erfordern eine abschnittsweise Integration der Ableitung der steigenden und fallenden Flanken beider Dreiecksfunktionen: • Knotenmatrix des inneren Knotens x i mit Wichtungsfunktion φ = φ 1 : Der innere Knoten x i entspricht dem inneren Knoten x 1 der Abb. 16.3. Damit folgt das Integrationsintervall [x 0 , x 2 ]. Mit Hilfe von Gl. (16.4) folgt u 1 ˆ x 1 x 0 dφ 1 dx dφ 1 dx dx + u 2 ˆ x 1 x 0 dφ 2 dx dφ 1 dx dx+u 1 ˆ x 2 x 1 dφ 1 dx dφ 1 dx dx + u 2 ˆ x 2 x 1 dφ 2 dx dφ 1 dx dx = ˆ Ω φ 1 dx jeweils f¨ ur die Ableitungen der aufsteigenden und fallenden Flanken der Dreiecksfunktionen φ 1 und φ 2 . Das Integrationsintervall entspricht der Elementl¨ange h, dem Teilintervall Ω i . Die Ableitung der Basis- und Wichtungsfunktionen erfolgt mit Betrachtung von Abb. 16.3, womit u 1 ˆ x 1 x 0 1 h 1 h dx + u 2 ˆ x 1 x 0 0 1 h dx+u 1 ˆ x 2 x 1 − 1 h − 1 h dx + u 2 ˆ x 2 x 1 1 h − 1 h dx = ˆ Ω φ 1 dx erreicht wird. Im zweiten Term ist die Ableitung f¨ ur φ 2 im Intervall [x 0 , x 1 ] nicht definiert und nimmt daher den Wert Null an. Eine weitere Zusammenfassung f¨ uhrt zu u 1 ˆ x 1 x 0 1 h 2 dx + 0 + u 1 ˆ x 2 x 1 1 h 2 dx + u 2 ˆ x 2 x 1 − 1 h 2 dx = ˆ Ω φ 1 dx. Die Integration erfolgt gliedweise ¨ uber die Teilintervalle Ω i (Elementl¨ange h), bzw. bei der Funktion φ 1 ¨ uber das Intervall Ω mit ˆ Ω i 1 h 2 dx = ˆ h 0 1 h 2 dx = 1 h 2 ˆ h 0 dx = 1 h 2 x ∣ ∣ ∣ ∣ h 0 = 1 h ˆ Ω i − 1 h 2 dx = ˆ h 0 − 1 h 2 dx = − 1 h 2 ˆ h 0 dx = − 1 h 2 x ∣ ∣ ∣ ∣ h 0 = − 1 h ˆ Ω φ 1 dx = h. <?page no="236"?> 212 Galerkin-FEM - L¨osung von d 2 u/ dx 2 = − 1 (I) Vereinfachend wird die untere Integrationsgrenze des Intervalls Ω i mit Null und die obere Integrationsgrenze mit h angenommen. Durch Einsetzen der Integrationsergebnisse folgt die Knotenmatrix u 1 1 h + 0 + u 1 1 h − u 2 1 h = h 1 h ( 2 − 1 ) ( u 1 u 2 ) = h (16.5) f¨ ur den Knoten x 1 . • Knotenmatrix des inneren Knotens x i +1 mit Wichtungsfunktion φ = φ 2 : Der innere Knoten x i +1 entspricht dem inneren Knoten x 2 der Abb. 16.3. Daraus folgt das Integrationsintervall [x 1 , x 3 ]. Mit Hilfe von Gl. (16.4) folgt u 1 ˆ x 2 x 1 dφ 1 dx dφ 2 dx dx + u 2 ˆ x 2 x 1 dφ 2 dx dφ 2 dx dx+u 1 ˆ x 3 x 2 dφ 1 dx dφ 2 dx dx + u 2 ˆ x 3 x 2 dφ 2 dx dφ 2 dx dx = ˆ Ω φ 2 dx das identische Vorgehen wie beim Knoten x 1 . Die Ableitung der Basis- und Wichtungsfunktionen folgt aus der Betrachtung von Abb. 16.3, womit u 1 ˆ x 2 x 1 − 1 h 1 h dx + u 2 ˆ x 2 x 1 1 h 1 h dx+u 1 ˆ x 3 x 2 0 − 1 h dx + u 2 ˆ x 3 x 2 − 1 h − 1 h dx = ˆ Ω φ 2 dx erreicht wird. Im dritten Term ist die Ableitung f¨ ur φ 1 im Intervall [x 2 , x 3 ] nicht definiert und nimmt daher den Wert Null an. Eine weitere Zusammenfassung f¨ uhrt zu u 1 ˆ x 2 x 1 − 1 h 2 dx + u 2 ˆ x 2 x 1 1 h 2 dx + 0 + u 2 ˆ x 3 x 2 1 h 2 dx = ˆ Ω φ 2 dx. Die Integration erfolgt gliedweise ¨ uber die Teilintervalle wie beim Knoten x 1 . Durch Einsetzen der Integrationsergebnisse folgt die Knotenmatrizengleichung <?page no="237"?> 16.5 ¨ Uberf¨ uhrung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung 213 u 1 − 1 h + u 2 1 h + 0 + u 2 1 h = h 1 h ( − 1 2 ) ( u 1 u 2 ) = h (16.6) f¨ ur den Knoten x 2 . • Elementmatrix: Stellvertretend wird f¨ ur das Element, begrenzt durch die inneren Knoten x 1 und x 2 unter Einbezug der Knotenmatrizengleichungen (16.5) und (16.6) die Elementmatrix und damit die Elementmatrizengleichung 1 h ( 2 − 1 − 1 2 ) · ( u 1 u 2 ) = h ( 1 1 ) erstellt. • Koeffizientenmatrix: Die einzelnen Elementgleichungen der inneren Knoten x 1 bis x 4 werden in der globalen Matrix (Koeffizientenmatrix) S durch Erweiterung 1 h ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 2 − 1 0 0 − 1 2 − 1 0 0 − 1 2 − 1 0 0 − 1 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ︸ ︷︷ ︸ S · ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ u 1 u 2 u 3 u 4 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ︸ ︷︷ ︸ u h = h ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 1 1 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ︸ ︷︷ ︸ f in der Koeffizientenmatrizengleichung zusammengefasst. Bleiben noch die Dirichlet-Randbedingungen der ¨außeren Knoten zu ber¨ ucksichtigen. In der angenommenen Beispielgleichung wurde die starke Form der Gl. (16.1) durch zweimaliges Differenzieren von Gl. (16.1) erreicht. Leicht ersichtlich ist, dass damit auch Informationen verloren gingen, welche im Fortgang als Randbedingungen wieder hinzugef¨ ugt werden m¨ ussen, um den Verlauf der Gl. (16.1) in Abb. 16.1 anzun¨ahern. <?page no="238"?> 214 Galerkin-FEM - L¨osung von d 2 u/ dx 2 = − 1 (I) 16.6 L¨osung des linearen Gleichungssystems Das so erhaltene lineare Gleichungssystem 1 h S u h = h f Abbildung 16.4: Ergebnisdarstellung mittels Galerkin-Methode wird nach S − 1 (S u h ) = h 2 S − 1 f ( S − 1 S ) ︸ ︷︷ ︸ E u h = h 2 S − 1 f u h = h 2 S − 1 f = h 2 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 2 3 3 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ <?page no="239"?> 16.6 L¨osung des linearen Gleichungssystems 215 Abbildung 16.5: Gegen¨ uberstellung von analytischem und numerischem Ergebnis gel¨ost. Das Gleichungssystem ist unter Einbezug der Dirichlet-Randbedingungen zu erweitern ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 0 0 0 0 0 − 1 2 -1 0 0 0 0 -1 2 -1 0 0 0 0 -1 2 -1 0 0 0 0 -1 2 − 1 0 0 0 0 0 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ︸ ︷︷ ︸ S · ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ u 0 u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ︸ ︷︷ ︸ u h = h 2 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 1 1 1 1 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ︸ ︷︷ ︸ f . (16.7) Mit diesem Vorgehen k¨onnen im Spaltenvektor f beliebige Randbedingungen vorgegeben werden, wie zum Beispiel der Funktionswert Null an den beiden ¨außeren Knoten. Damit folgen die Werte der inneren Knoten an den Stellen x i <?page no="240"?> 216 Galerkin-FEM - L¨osung von d 2 u/ dx 2 = − 1 (I) u h = 4 ∑ i =1 u i (x) φ i (x) = h 2 (2 φ 1 + 3 φ 2 + 3 φ 3 + 2 φ 4 ) . Die Basisfunktionen nehmen an den Stellen x i den Wert Eins an. Elementl¨ange, Randbedingungen und Ergebnisse der numerischen N¨aherung an den Verlauf von Gl. (16.1) sind in Tab. 16.1 zusammengefasst und in Abb. 16.5 grafisch dargestellt. Der Abb. 16.4 ist die grafische Ergebnisinterpretation der Galerkin-Methode zu entnehmen. Die Dirichlet-Randbedingungen u(x 0 ) = u(x 5 ) = 0 sind im Funktionsverlauf nicht eingezeichnet. Tabelle 16.1: Numerische Ergebnisse d. Gl. u(x) = 1 2 (x − x 2 ) Elementl¨ange h: 0,2 Dirichlet Bedingung linker Rand 0 Dirichlet Bedingung rechter Rand 0 Knotennummer i 0 1 2 3 4 5 Position x i 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 u(x i ) 0 0,08 0,12 0,12 0,08 0 <?page no="241"?> Kapitel 17 Galerkin-FEM - L¨osung von d 2 u/ dx 2 = − 1 ( II ) Gegeben ist die gew¨ohnliche Differenzialgleichung 2’ter Ordnung d 2 u(x) dx 2 + 1 = 0, x ∈ Ω (17.1) im Gebiet Ω = [0, 4] mit den Randbedingungen u(0) = u(4) = 0, deren L¨osung die quadratische Gleichung (nach unten ge¨offnete Parabel) mit Scheitelpunkt S P (2 | 2) u(x) = − 1 2 x 2 + 2 x (17.2) mit Nullstellen a = 0 und b = 4 ist. In Abb. 17.1 ist der exakte Verlauf der Gleichung ersichtlich. Die Differenzialgleichung wird mittels Galerkin-FEM gel¨ost. Das Vorgehen zur L¨osung erfolgt nach den in Kap. 15.2 definierten Schritten und ist identisch mit dem Vorgehen in Kap. 16. Durch zweimaliges Differenzieren der Gl. (17.2) folgt die partielle Differenzialgleichung 2’ter Ordnung (Poisson’sche Differenzialgleichung) in der starken Formulierung d 2 u(x) dx 2 + 1 = 0, x ∈ Ω (17.3) u(x) = 0, x ∂Ω. (17.4) Es ist leicht zu erkennen, dass Gl. (17.3) damit wieder dem Typ der Gl. (16.1) entspricht, und nur durch die Randbedingungen exakt bestimmbar ist. Gesucht ist im Fortgang die Funktion u(x) auf dem Intervall Ω = [a, b] = [0, 4]. <?page no="242"?> 218 Galerkin-FEM - L¨osung von d 2 u/ dx 2 = − 1 (II) Abbildung 17.1: L¨osung u(x) der Gl. (17.1) 17.1 Schwache Formulierung der Differenzialgleichung Die starke Form der Gl. (17.3) wird folgend in die schwache Form zur L¨osung mit der Galerkin-Methode ¨ uberf¨ uhrt ˆ Ω w R dx = 〈 w, R 〉 = 0. Es sind w = Wichtungs- oder Testfunktion und R = Residuum. Aus R = d 2 u(x) dx 2 + 1 w = w(x) folgt ˆ Ω ( d 2 u(x) dx 2 + 1 ) w(x) dx = 0 <?page no="243"?> 17.2 Diskretisierung des zu l¨osenden Gebiets Ω 219 ˆ Ω d 2 u(x) dx 2 w(x) dx + ˆ Ω w(x) dx = 0. Die Anwendung der partiellen Integration unter Einbezug der homogenen Randbedingungen sowie Multiplikation mit (-1) f¨ uhrt zu ˆ Ω du(x) dx dw(x) dx dx − ˆ Ω w(x) dx = 0, der schwachen Form von Gl. (17.3). 17.2 Diskretisierung des zu l¨osenden Gebiets Ω Die Diskretisierung erfolgt nach Abb. 16.2. Das Gebiet Ω oder Intervall [a, b] wird erneut in f¨ unf Teilintervalle Ω n mit sechs Knoten diskretisiert, wobei x 0 und x 5 die ¨außeren Knoten bilden. 17.3 Wahl der Basis- und Wichtungsfunktion Die Wahl der Basis- und Wichtungsfunktion ist gleich der in Kap. 16.3 gew¨ahlten Dreiecksfunktionen. Die Funktionen und deren Ableitungen sind abschnittsweise definiert. Siehe hierzu auch Abb. 16.3. 17.4 Formulierung der schwachen Form mit Dreiecksfunktionen φ ( x ) Unter Anwendung des Vorgehens nach Kap. 16.4 folgt die schwache Form der Differenzialgleichung in Matrizenschreibweise nach Gl. (16.4). 17.5 ¨ Uberf¨ uhrung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung Hier gen¨ ugt die Anwendung des Kapitels 16.5. Es werden die beiden Knotenmatrizen erstellt, in einer Elementmatrix zusammengef¨ uhrt und anschließend die Koeffizientenmatrix erstellt. <?page no="244"?> 220 Galerkin-FEM - L¨osung von d 2 u/ dx 2 = − 1 (II) 17.6 L¨osung des linearen Gleichungssystems Aus dem in Kap. 16.6 beschriebenen Vorgehen folgt erneut die Gl. (16.7). Die erforderlichen Werte und Ergebnisse sind in Tab. 17.1 zusammengefasst. Die ¨außeren Knoten erhalten gem. den Randbedingungen den Wert Null. Es verbleiben die inneren Knoten mit u h = 4 ∑ i =1 u i (x) φ i (x) = h 2 (2 φ 1 + 3 φ 2 + 3 φ 3 + 2 φ 4 ) . Abbildung 17.2: Ergebnisdarstellung mittels Galerkin-Methode In Abb. 17.2 ist das Ergebnis grafisch mittels Dreiecksfunktionen (Basis- und Wichtungsfunktionen) dargestellt. In Abb. 17.3 ist die Gegen¨ uberstellung zwischen analytisch und numerisch errechnetem Ergebnis ersichtlich. <?page no="245"?> 17.6 L¨osung des linearen Gleichungssystems 221 Tabelle 17.1: Numerische Ergebnisse d. Gl. u(x) = − 1 2 x 2 + 2x Elementl¨ange h: 0,8 Dirichlet Bedingung linker Rand 0 Dirichlet Bedingung rechter Rand 0 Knotennummer i 0 1 2 3 4 5 Position x i 0 0,8 1,6 2,4 3,2 4,0 u(x i ) 0 1,28 1,92 1,92 1,28 0 Abbildung 17.3: Gegen¨ uberstellung von analytischem und numerischem Ergebnis <?page no="247"?> Kapitel 18 Galerkin-FEM - Elektrostatische Feldberechnung Das elektrostatische Feld eines Plattenkondensators nach Abb. 18.2 a) soll mittels der Poisson’schen Differenzialgleichung ∇ 2 ϕ = − ρ ε berechnet werden. Am Kondensator wird eine Spannung von U c = 100 V angelegt. Das Vorgehen erfolgt gem¨aß der Auflistung aus Kap. 10. Im Anschluss wird das elektrostatische Feld durch Gradientenbildung des Potenzials errechnet. 18.1 Schwache Formulierung der Differenzialgleichung Zur Berechnung des elektrostatischen Feldes wird die Differenzialgleichung in Abb. 7.3 c), dargestellt in ihrer starken Form, nach dem Potenzial gel¨ost. Durch Umstellen folgt ∇ (ε ∇ ϕ) ︸ ︷︷ ︸ = D + ρ = 0 = R. Durch Wichtung mit der Funktion w des Residuums und Integration ¨ uber das zu betrachtende Gebiet Ω (Plattenabstand) folgt <?page no="248"?> 224 Galerkin-FEM - Elektrostatische Feldberechnung ˆ Ω w R dx = 0 ˆ Ω w [ ∇ (ε ∇ ϕ) + ρ] dx = 0 ˆ Ω w ( ∂ϕ 2 ∂x 2 + ρ ε ) dx = 0 ˆ Ω w ( ∂ϕ 2 ∂x 2 ) dx + ˆ Ω w ( ρ ε ) dx = 0. Durch partielle Integration des ersten Terms der linken Gleichungsh¨alfte folgt die schwache Formulierung der Differenzialgleichung w dϕ dx − ˆ Ω ( dϕ dx dw dx ) dx + ˆ Ω w ( ρ ε ) dx = 0 w ∇ ϕ − ˆ Ω ( ∇ ϕ ∇ w) dx + ˆ Ω w ( ρ ε ) dx = 0. (18.1) 18.2 Diskretisierung des zu l¨osenden Gebiets Ω Die Diskretisierung des Gebietes Ω erfolgt gem. Abb. 16.2. Die Elementl¨ange ist h = 2 mm. 18.3 Wahl der Basis- und Wichtungsfunktion Als Basis- und Wichtungsfunktionen werden gem. Kap. 16.3 Dreiecksfunktionen φ(x) gew¨ahlt. 18.4 Formulierung der schwachen Form mit Dreiecksfunktionen φ ( x ) Die Vorgehensweise erfolgt in Anlehnung an Kap. 16.4. Das Gebiet Ω wurde zwischenzeitlich in n = 5 Teilgebiete (Elemente) Ω n eingeteilt und der Wichtungs- und Basisfunktion die Dreiecksfunktion zugewiesen. Beim ersten Term der Gl. (18.1) sind gem. Kap. 1.2.5 f¨ ur das bestimmte Integral als Randbedingung jeweils der linke und rechte Rand einzusetzen. An den Berandungen nehmen die Dreiecksfunktionen und damit <?page no="249"?> 18.4 Formulierung der schwachen Form mit Dreiecksfunktionen φ(x) 225 verbunden auch der Term den Wert Null an. Die Berechnung reduziert sich auf die inneren Knoten. Durch Summenbildung ¨ uber alle Teilgebiete folgt n ∑ i =1 [ ˆ Ω ( ∇ ϕ ∇ φ(x)) dx − ρ ε ˆ Ω φ(x) dx ] = 0. Unter Einbezug der Ansatzfunktion ϕ h (x) = 2 ∑ i =1 ϕ i φ i (x) = ϕ 1 φ 1 (x) + ϕ 2 φ 2 (x), durch Umstellen und Einsetzen folgt ˆ Ω [ ϕ 1 dφ 1 (x) dx dφ(x) dx + ϕ 2 dφ 2 (x) dx dφ(x) dx ] dx = ρ ε ˆ Ω φ(x) dx ︸ ︷︷ ︸ Quellterm . Zur Bestimmung von ϕ 1 wird der Funktion φ(x) die Funktion φ 1 (x) und zur Bestimmung von ϕ 2 die Funktion φ 2 (x) zugeordnet. F¨ ur ϕ 1 am Knoten x 1 folgt ˆ Ω [ ϕ 1 dφ 1 (x) dx dφ 1 (x) dx + ϕ 2 dφ 2 (x) dx dφ 1 (x) dx ] dx = ρ ε ˆ Ω φ 1 (x) dx und f¨ ur ϕ 2 am Knoten x 2 folgt ˆ Ω [ ϕ 1 dφ 1 (x) dx dφ 2 (x) dx + ϕ 2 dφ 2 (x) dx dφ 2 (x) dx ] dx = ρ ε ˆ Ω φ 2 (x) dx. In Matrizenschreibweise zusammengefasst lautet die Gleichung wie folgt: ˆ Ω ( dφ 1 ( x ) dx dφ 1 ( x ) dx dφ 2 ( x ) dx dφ 1 ( x ) dx dφ 1 ( x ) dx dφ 2 ( x ) dx dφ 2 ( x ) dx dφ 2 ( x ) dx ) dx ( ϕ 1 ϕ 2 ) = ρ ε ˆ Ω φ(x) dx ( 1 1 ) . Beim rechten Term der Gleichung ist eine Unterscheidung der Funktion φ mittels Indizes nicht erforderlich, da diese keinen Einfluss auf das Integrationsergebnis hat. <?page no="250"?> 226 Galerkin-FEM - Elektrostatische Feldberechnung 18.5 ¨ Uberf¨ uhrung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung Die Vorgehensweise erfolgt in Anlehnung an Kap. 16.5. Mit der schwachen Form der Differenzialgleichung folgten die Knotengleichungen eines Elements, welche in die Elementmatrix, die Koeffizientenmatrix und anschließend in das lineare Gleichungssystem ¨ uberf¨ uhrt wird: • Knotenmatrix des ersten inneren Knotens x i mit φ(x) = φ 1 (x). Hiermit folgt das Intervall [x 0 , x 2 ]: ϕ 1 ˆ Ω ( dφ 1 (x) dx dφ 1 (x) dx ) dx + ϕ 2 ˆ Ω ( dφ 2 (x) dx dφ 1 (x) dx ) dx = ρ ε ˆ Ω φ(x) dx und durch Anpassung des Integrationsintervalls ϕ 1 ˆ x 1 x 0 dφ 1 dx dφ 1 dx dx + ϕ 2 ˆ x 1 x 0 dφ 2 dx dφ 1 dx dx+ϕ 1 ˆ x 2 x 1 dφ 1 dx dφ 1 dx dx + ϕ 2 ˆ x 2 x 1 dφ 2 dx dφ 1 dx dx = ρ ε ˆ Ω φ dx. Unter Einbezug der Gegebenheiten von Kap. 16.3 folgt gem¨aß den Vorgehen nach Kap. 16.5 ϕ 1 ˆ x 1 x 0 1 h 1 h dx + ϕ 2 ˆ x 1 x 0 0 1 h dx+ϕ 1 ˆ x 2 x 1 − 1 h − 1 h dx + ϕ 2 ˆ x 2 x 1 1 h − 1 h dx = ρ ε ˆ Ω φ dx. Im zweiten Term ist die Ableitung f¨ ur φ 2 im Intervall [x 0 , x 1 ] nicht definiert und nimmt daher den Wert Null an. Eine weitere Zusammenfassung f¨ uhrt zu ϕ 1 ˆ x 1 x 0 1 h 2 dx + 0 + ϕ 1 ˆ x 2 x 1 1 h 2 dx + ϕ 2 ˆ x 2 x 1 − 1 h 2 dx = ρ ε ˆ Ω φ dx. Nach gliedweiser Integration und Umstellung folgt die Knotenmatrix f¨ ur den Knoten x 1 <?page no="251"?> 18.5 ¨ Uberf¨ uhrung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung 227 ϕ 1 1 h + 0 + ϕ 1 1 h − ϕ 2 1 h = ρ ε h 1 h ( 2 − 1 ) ( ϕ 1 ϕ 2 ) = ρ ε h. • Knotenmatrix des zweiten inneren Knotens x i +1 mit φ(x) = φ 2 (x). Hiermit folgt das Intervall [x 1 , x 3 ]: ϕ 1 ˆ Ω ( dφ 1 (x) dx dφ 2 (x) dx ) dx + ϕ 2 ˆ Ω ( dφ 2 (x) dx dφ 2 (x) dx ) dx = ρ ε ˆ Ω φ(x) dx und durch Anpassung des Integrationsintervalls ϕ 1 ˆ x 2 x 1 dφ 1 dx dφ 2 dx dx + ϕ 2 ˆ x 2 x 1 dφ 2 dx dφ 2 dx dx+ϕ 1 ˆ x 3 x 2 dφ 1 dx dφ 2 dx dx + ϕ 2 ˆ x 3 x 2 dφ 2 dx dφ 2 dx dx = ρ ε ˆ Ω φ dx. Wie zuvor, folgt unter Einbezug der Gegebenheiten von Kap. 16.3 und nach dem Vorgehen in Kap. 16.5 ϕ 1 ˆ x 2 x 1 − 1 h 1 h dx + ϕ 2 ˆ x 2 x 1 1 h 1 h dx+ϕ 1 ˆ x 3 x 2 0 − 1 h dx + ϕ 2 ˆ x 3 x 2 − 1 h − 1 h dx = ρ ε ˆ Ω φ dx. Im dritten Term ist die erste Ableitung f¨ ur φ 2 im Intervall [x 0 , x 1 ] nicht definiert und nimmt daher den Wert Null an. Eine weitere Zusammenfassung f¨ uhrt zu ϕ 1 ˆ x 2 x 1 − 1 h 2 dx + ˆ x 2 x 1 1 h 2 dx + 0 + ϕ 2 ˆ x 3 x 2 1 h 2 dx = ρ ε ˆ Ω φ dx. Nach gliedweiser Integration und Umstellung folgt die Knotenmatrix f¨ ur den Knoten x 2 ϕ 1 − 1 h + ϕ 2 1 h + 0 + ϕ 2 1 h = ρ ε h 1 h ( − 1 2 ) ( ϕ 1 ϕ 2 ) = ρ ε h. <?page no="252"?> 228 Galerkin-FEM - Elektrostatische Feldberechnung • Elementmatrix: Die Knotengleichungen der beiden inneren Knoten x i und x i +1 werden als Elementgleichung 1 h ( 2 − 1 − 1 2 ) · ( ϕ 1 ϕ 2 ) = ρ ε h ( 1 1 ) zusammengefasst. • Koeffizientenmatrix: Alle Knotengleichungen werden in der Koeffizientenmatrix zu einem linearen Gleichungssystem (Koeffizientenmatrizengleichung) ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 2 − 1 0 0 − 1 2 − 1 0 0 − 1 2 − 1 0 0 − 1 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ · ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ϕ 1 ϕ 2 ϕ 3 ϕ 4 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ρ h 2 ε ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 1 1 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ zusammengef¨ uhrt. • Gem¨aß Aufgabenstellung liegt am Kondensator eine Spannung an, welche durch die Dirichlet-Randbedingungen ber¨ ucksichtigt wird (elliptische Differenzialgleichung). Der Quellterm ρ ist deshalb gleich Null zu setzen, um eine ¨ Uberbestimmtheit zu vermeiden. Unter Einbezug der Dirichlet-Randbedingungen (ϕ(x 0 ) = 0V, ϕ(x 5 ) = 100V ) folgt das lineare Gleichungssystem mit ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 0 0 0 0 0 − 1 2 − 1 0 0 0 0 − 1 2 − 1 0 0 0 0 − 1 2 − 1 0 0 0 0 − 1 2 − 1 0 0 0 0 0 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ · ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ϕ 0 ϕ 1 ϕ 2 ϕ 3 ϕ 4 ϕ 5 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 0 0 0 0 100 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ . 18.6 L¨osung des linearen Gleichungssystems Die L¨osung des linearen Gleichungssystems erfolgt gem. Kap. 16.6. Der Ergebnisvektor des Potenzials f¨ ur alle Knoten ist <?page no="253"?> 18.6 L¨osung des linearen Gleichungssystems 229 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ϕ 0 ϕ 1 ϕ 2 ϕ 3 ϕ 4 ϕ 5 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 20 40 60 80 100 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ und f¨ ur die inneren Knoten ϕ h = 4 ∑ i =1 ϕ i (x) φ i (x) = 20 φ 1 + 40 φ 2 + 60 φ 3 + 80 φ 4 . In Tab. 18.1 sind die Ergebnisse zusammengefasst. In Abb. 18.1 ist die grafische Darstellung der L¨osung einschließlich der vier Basisfunktionen und Dirichlet-Randbedingungen ersichtlich. Abbildung 18.1: Ergebnisdarstellung des Potenzialverlaufs mittels Galerkin-Methode In Abb. 18.2 a) ist der Plattenkondensator mit dem elektrostatischen Feld und den Potenzialen der inneren Knoten ϕ 1 bis ϕ 4 ersichtlich. Die Dirichlet-Randbedingungen <?page no="254"?> 230 Galerkin-FEM - Elektrostatische Feldberechnung Tabelle 18.1: Numerische Ergebnisse des Potenzialverlaufs Elementl¨ange h [mm] 2 Dirichletrandbedingungen linker Rand ϕ 0 (x = 0), [V] 0 rechter Rand ϕ 5 (x = 10mm), [V] 100 Knotennummer i 0 1 2 3 4 5 Position x i , [mm] 0 2 4 6 8 10 ϕ h (x i ) [V ] 0 20 40 60 80 100 Abbildung 18.2: Plattenkondensator und Potenzialverlauf wurden den ¨außeren Knoten ϕ 0 = 0 V und ϕ 5 = 100 V auferlegt. In Abb. 18.2 b) ist das Ergebnis des Potenzialverlaufs ¨ uber dem Plattenabstand (x-Achse) dargestellt. Aus dem Potenzialverlauf der Abb. 18.2 b) wird das elektrostatische Feld mit E = − gradϕ = − dϕ dx n = − 20 V 2 mm = − 10 kV / m berechnet. Zur Probe erfolgt die Berechnung der Spannung U c ¨ uber dem Kondensator durch Integration entlang des Plattenabstandes mit ˆ x 5 x 0 E d l = 10 kV / m · 10 mm = 100 V. <?page no="255"?> Kapitel 19 Galerkin-FEM - Ortsabh¨angige Temperaturberechnung Der W¨armedurchgang durch K¨orper wird mittels der W¨armediffusionsgleichung beschrieben. Diese ist durch eine Zeit- und zwei Ortsableitungen gekennzeichnet. Zur anschaulichen Deutung der eindimensionalen W¨armediffusion dient Abb. 19.1. Ein K¨orper mit der W¨armeleitf¨ahigkeit λ aus Kupfer wird an der Stirnfl¨ache einseitig auf 100 ◦ C erw¨armt. Der W¨armestrom breitet sich dabei nur in x-Richtung aus. Beispielsweise steigt an einem gew¨ahlten Ort auf der x-Achse die Temperatur mit zunehmender Zeit t an. Gesucht wird im Fortgang bei einem Zeitpunkt t die ¨ortliche Temperaturverteilung im K¨orper, die mittels der dunkel dargestellten Pfeile im Balken symbolisiert wird. 19.1 Schwache Formulierung der Differenzialgleichung Die eindimensionale W¨armediffusionsgleichung nach Abb. 7.3, b2) wird in die Poisson’sche Differenzialgleichung der Form d 2 υ(x) dx 2 = ρ c λ dυ dt ︸ ︷︷ ︸ K (19.1) d 2 υ(x) dx 2 = K, x ∈ Ω mit den Randbedingungen υ(x 0 ) und υ(x 5 ) ¨ uberf¨ uhrt. Die L¨osung der Differenzial- <?page no="256"?> 232 Galerkin-FEM - Ortsabh¨angige Temperaturberechnung Abbildung 19.1: Beispiel eines eindimensionalen W¨armediffusionsvorgangs gleichung erfolgt f¨ ur ein angenommenes dυ/ dt in der N¨ahe eines angenommenen Zeitschritts t, gefolgt von der Bildung des inneren Produkts durch Integration des gewichteten Residuums ¨ uber das Gebiet Ω ˆ Ω R w dx = 0 ˆ Ω ( d 2 υ(x) dx 2 − K ) w dx = 0 ˆ Ω d 2 υ(x) dx 2 w dΩ − K ˆ Ω w dx = 0. Nach erfolgter partieller Integration des ersten Terms folgt die schwache Form der Diffusionsgleichung w dυ(x) dx − ˆ Ω dυ(x) dx dw dx dx − K ˆ Ω w dx = 0 w ∇ υ(x) − ˆ Ω ∇ υ(x) ∇ w dx − K ˆ Ω w dx = 0. (19.2) <?page no="257"?> 19.2 Diskretisierung des zu l¨osenden Gebiets Ω 233 19.2 Diskretisierung des zu l¨osenden Gebiets Ω Die Diskretisierung des Gebietes Ω erfolgt gem. Abb. 16.2. Die Elementl¨ange betr¨agt h = 10 mm. 19.3 Wahl der Basis- und Wichtungsfunktion Als Basis- und Wichtungsfunktionen werden gem. Kap. 16.3 Dreiecksfunktionen definiert. 19.4 Formulierung der schwachen Form mit Dreiecksfunktionen φ ( x ) Die Vorgehensweise erfolgt in Anlehnung an Kap. 16.4. Das Gebiet Ω wurde zwischenzeitlich in n = 5 Teilgebiete (Elemente) Ω n eingeteilt. Die Wichtungsfunktion und die Basisfunktion wurden mit der Dreiecksfunktion φ(x) gleichgesetzt. Aufgrund der Randbedingungen wird der erste Term von Gl. (19.2) gleich Null gesetzt, da die Dreiecksfunktionen am Rande gleich Null sind. Damit reduziert sich die Berechnung auf die inneren Knoten. Unter Einbezug der Ansatzfunktion υ h (x) = 2 ∑ i υ i φ i (x) = υ 1 φ 1 (x) + υ 2 φ 2 (x) und Einsetzen in Gl. (19.2) mit anschließendem Umformen folgt ˆ Ω [ υ 1 dφ 1 dx dφ dx + υ 2 dφ 2 dx dφ dx ] dx = K ˆ Ω φ(x) dx ︸ ︷︷ ︸ Quellterm . Zur Bestimmung der Temperaturen υ 1 und υ 2 an den Knoten x 1 und x 2 kann erneut die Matrizenschreibweise ˆ Ω ( dφ 1 ( x ) dx dφ 1 ( x ) dx dφ 2 ( x ) dx dφ 1 ( x ) dx dφ 1 ( x ) dx dφ 2 ( x ) dx dφ 2 ( x ) dx dφ 2 ( x ) dx ) dx ( υ 1 υ 2 ) = K ˆ Ω φ(x) dx ( 1 1 ) angewendet werden. <?page no="258"?> 234 Galerkin-FEM - Ortsabh¨angige Temperaturberechnung Tabelle 19.1: Werkstoffangaben/ Koeffizienten/ Randbedingungen Angaben f¨ ur Werkstoff Kupfer Dichte ρ, [kg/ m 3 ] 8933 Spez. W¨armekapazit¨at c, [J/ (kgK)] 383 W¨armeleitf¨ahigkeit λ, [W/ (mK)] 384 ρ c/ λ, [s/ m 2 ] 8937 dυ/ dt, [K/ s]; (48,41-51,61) ◦ C/ 0,5 s, bei t= 4 s -6,4 K, [K/ m 2 ] -57 196,8 h, [m] 0,01 K h 2 , [K] -5,72 Dirichlet-Randbedingungen υ(x 0 ), [ ◦ C] 100 υ(x 5 ), [ ◦ C] 20 19.5 ¨ Uberf¨ uhrung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung Die Vorgehensweise erfolgt in Anlehnung an Kap. 16.5. • Knotenmatrix des ersten inneren Knotens x i mit φ(x) = φ 1 (x). Hiermit folgt das Intervall [x 0 , x 2 ]: 1 h ( 2 − 1 ) · ( υ 1 υ 2 ) = K h. • Knotenmatrix des zweiten inneren Knotens x i +1 mit φ(x) = φ 2 (x). Hiermit folgt das Intervall [x 1 , x 3 ]: 1 h ( − 1 2 ) · ( υ 1 υ 2 ) = K h. • Elementmatrix: Die beiden inneren Knoten x i und x i +1 werden als Elementgleichung zusammengefasst: <?page no="259"?> 19.6 L¨osung des linearen Gleichungssystems 235 1 h ( 2 − 1 − 1 2 ) · ( υ 1 υ 2 ) = K h ( 1 1 ) . • Koeffizientenmatrix: Die beiden Knotengleichungen werden in der Koeffizientenmatrix zu einem linearen Gleichungssystem zusammengef¨ uhrt: ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 2 − 1 0 0 − 1 2 − 1 0 0 − 1 2 − 1 0 0 − 1 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ︸ ︷︷ ︸ S · ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ υ 1 υ 2 υ 3 υ 4 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ︸ ︷︷ ︸ υ h = K h 2 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 1 1 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ︸ ︷︷ ︸ f . • Unter Einbezug der Dirichlet-Randbedingungen nach Tab. 19.1 folgt erneut das Gleichungssystem f¨ ur die inneren und ¨außeren Knoten: ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 0 0 0 0 0 − 1 2 − 1 0 0 0 0 − 1 2 − 1 0 0 0 0 − 1 2 − 1 0 0 0 0 − 1 2 − 1 0 0 0 0 0 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ · ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ϕ 0 ϕ 1 ϕ 2 ϕ 3 ϕ 4 ϕ 5 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 100 − 5, 72 − 5, 72 − 5, 72 − 5, 72 20 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ . 19.6 L¨osung des linearen Gleichungssystems Die L¨osung des linearen Gleichungssystems erfolgt gem. Kap. 16.6 mit dem Aufstellen der Matrizengleichung, gefolgt vom Umformen nach der gesuchten Temperatur υ h <?page no="260"?> 236 Galerkin-FEM - Ortsabh¨angige Temperaturberechnung S υ = f S − 1 (S υ h ) = S − 1 f ( S − 1 S ) ︸ ︷︷ ︸ E υ h = S − 1 f υ h = S − 1 f = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 100, 0 72, 6 50, 8 34, 8 24, 6 20, 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ . Abbildung 19.2: MATLAB-Ergebnis eines eindimensionalen W¨armediffusionsvorgangs F¨ ur die inneren Knoten folgt υ h = 4 ∑ i =1 υ i (x) φ i (x) = 72, 6 φ 1 + 50, 8 φ 2 + 34, 8 φ 3 + 24, 6 φ 4 . <?page no="261"?> 19.6 L¨osung des linearen Gleichungssystems 237 In Tab. 19.1 sind die erforderlichen Angaben zur Berechnung angegeben. Die Werkstoffdaten wurden den Tabellen aus [40], die Angaben zur Berechnung des Koeffizienten K aus Abb. 19.3 entnommen. In Abb. 19.2 ist das MATLAB-Ergebnis einer Temperaturverteilung ¨ uber Ort und Zeit dargestellt, erstellt mit der PDE-Toolbox. Der dazugeh¨orige MATLAB-Code kann dem Anhang A.1 entnommen werden. Der ¨ Ubergang zur Darstellung der Temperatur ¨ uber dem Ort wurde in Abb. 19.3 vollzogen. Diese Darstellung erm¨oglicht eine Gegen¨ uberstellung mit den oben erzielten Ergebnissen. Die Abweichungen sind auf Rundungen und Ablesegenauigkeit (MATLAB-Data-Cursor steht nicht genau auf den Knoten) zur¨ uckzuf¨ uhren. Zudem wurde dυ/ dt bei einem mittleren Weg (19, 8 mm) abgelesen. In Tab. 19.2 sind die Ergebnisse einander gegen¨ ubergestellt. Abbildung 19.3: MATLAB-Ergebnis eines eindimensionalen W¨armediffusionsvorgangs mit der Zeit t als Scharparameter In Abb. 19.4 sind schematisch die Basisfunktionen einschl. deren Ansatzfunktionen der inneren Knoten ¨ uber dem Ort (Ω) dargestellt. Die Dirichlet-Randbedingungen werden durch die ¨außeren Knoten (υ 0 , υ 5 ) verk¨orpert. Eine Gegen¨ uberstellung der mit MATLAB- und mit Galerkin-Methode erzielten Ergebnisse ist der Abb. 19.5 zu entnehmen. Die dazu erforderlichen Wertepaare wurden aus Tab. 19.2 ¨ ubernommen. <?page no="262"?> 238 Galerkin-FEM - Ortsabh¨angige Temperaturberechnung Abbildung 19.4: Grafische Ergebnisdarstellung der ¨ortlichen Temperaturverteilung 19.7 Diffusionsvorgang vollendet Der Diffusionsvorgang wird als vollendet betrachtet, wenn die zeitliche Temperatur¨anderung des rechten Terms der Gl. (19.1) f¨ ur t → ∞ ρ c λ dυ dt → 0 gegen den Wert Null strebt und damit ein station¨arer Zustand eintritt. Die Poisson’sche Differenzialgleichung wird damit in die Laplace’sche Differenzialgleichung ¨ uberf¨ uhrt. Tabelle 19.2: Gegen¨ uberstellung der Ergebnisse des Temperatur- und Ortsverlaufs m. H. Abb. 19.3 Knotennummer i 0 1 2 3 4 5 Position x i [mm] 0 10 20 30 40 50 υ h [ ◦ C] bei t = 4 s; Galerkin 100 72,6 50,8 34,8 24,6 20 υ [ ◦ C] bei t = 4 s; MATLAB 100 73,9 51,6 33,8 22,8 20 υ h [ ◦ C] bei t = ∞ s; Galerkin 100 84 68 52 36 20 <?page no="263"?> 19.7 Diffusionsvorgang vollendet 239 Abbildung 19.5: Ergebnisgegen¨ uberstellung Das lineare Gleichungssystem wird zu ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 0 0 0 0 0 − 1 2 − 1 0 0 0 0 − 1 2 − 1 0 0 0 0 − 1 2 − 1 0 0 0 0 − 1 2 − 1 0 0 0 0 0 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ · ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ υ 0 υ 1 υ 2 υ 3 υ 4 υ 5 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 100 0 0 0 0 20 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ . Die L¨osung ergibt die ¨ortliche Temperaturverteilung des Beharrungszustandes ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ υ 0 υ 1 υ 2 υ 3 υ 4 υ 5 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 100 84 68 52 36 20 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ . Der Beharrungszustand ist in Abb. 19.5 und in Tab. 19.2 dokumentiert. <?page no="265"?> Kapitel 20 Galerkin-FEM - Ortsabh¨angige Magnetfeldberechnung In Abb. 20.1 a) ist der Schnitt eines Topfanker-Magnetkreises, bestehend aus Anker, Joch, R¨ uckstellfeder, Federvorspannh¨ ulse, Wicklungstr¨ager und Wicklung, ersichtlich. W¨ahrend des Einschaltvorgangs durchdringen die geschlossenen B-Feldlinien die Polfl¨achen von innen nach außen. Die weiterf¨ uhrende Betrachtung wird auf den Ausschnitt im Innenpol der Abb. 20.1 b) beschr¨ankt. In aller Regel finden bei Elektromagneten ferromagnetische Werkstoffe mit nichtlinearer B(H)-Kennlinie Anwendung. Im Fortgang wird dagegen ein Werkstoffmit linearer B(H)-Kennlinie angenommen. Als K¨orper- Werkstoffwurde der lineare paramagnetische Werkstoff Kupfer gew¨ahlt, um eine konstante Permeabilit¨at zu erhalten. Am linken Rand des Polausschnitts wird eine hohe Flussdichte eingepr¨agt. Die Intensit¨at der Flussdichte nimmt in radialer Ausdehnung ab und erreicht am Innenradius des Innenpols (rechter Rand) ein Minimum. Die Flussdichte breitet sich damit normal zur Flussrichtung aus (transversale Ausbreitung). Dieser Diffusionsvorgang unterliegt zudem einer zeitlichen ¨ Anderung. 20.1 Schwache Formulierung der Differenzialgleichung Die eindimensionale Felddiffusionsgleichung wurde Abb. 7.3 b) entnommen. Da im Fortgang nur eine Dimension des Vektors B betrachtet wird, ist der Vektor gleich dessen Betrag B. Die eindimensionale Felddiffusionsgleichung wird in die Form <?page no="266"?> 242 Galerkin-FEM - Ortsabh¨angige Magnetfeldberechnung Abbildung 20.1: Beispiel einer eindimensionalen Magnetfelddiffusion d 2 B(x) dx 2 = μ 0 κ dB dt ︸ ︷︷ ︸ K d 2 B dx 2 = K, x ∈ Ω ¨ uberf¨ uhrt und ihr werden die Randbedingungen B(x 0 ), B(x 5 ) zugeordnet. Die L¨osung erfolgt f¨ ur ein angenommenes B/ dt. Es folgt die Integration ¨ uber das mit w gewichtete Residuum ˆ Ω R w dx = 0 ˆ Ω ( d 2 B(x) dx 2 − K ) w dx = 0 ˆ Ω d 2 B(x) dx 2 w dx − K ˆ Ω w dx = 0. Nach erfolgter partieller Integration des ersten Terms folgt die schwache Form der Felddiffusionsgleichung w dB(x) dx − ˆ Ω dB(x) dx w dx dx − K ˆ Ω w dx = 0 w ∇ B(x) − ˆ Ω ∇ B(x) ∇ w dx − K ˆ Ω w dx = 0. (20.1) <?page no="267"?> 20.2 Diskretisierung des zu l¨osenden Gebiets Ω 243 20.2 Diskretisierung des zu l¨osenden Gebiets Ω Die Diskretisierung des Gebietes Ω erfolgt gem. Abb. 16.2. Die Elementl¨ange betr¨agt h = 2 mm. 20.3 Wahl der Basis- und Wichtungsfunktion Die Basisfunktionen werden gem. Kap. 16.3 definiert. 20.4 Formulierung der schwachen Form mit Dreiecksfunktionen φ ( x ) Die Vorgehensweise erfolgt in Anlehnung an Kap. 16.4. Das Gebiet Ω wurde zwischenzeitlich in n = 5 Teilgebiete (Elemente) Ω n eingeteilt und die Wichtungsfunktion W zusammen mit der Basisfunktion durch die Dreiecksfunktion φ(x) ersetzt. Aufgrund der Randbedingungen wird der erste Term von Gl. (20.1) gleich Null gesetzt, da die Basisfunktionen am Rande gleich Null sind. Damit reduziert sich die Berechnung auf die inneren Knoten. Unter Einbezug der Ansatzfunktion B h (x) = 2 ∑ i =1 B i φ i (x) = B 1 φ 1 (x) + B 2 φ 2 (x) folgt durch Einsetzten und Umstellen ˆ Ω [ B 1 dφ 1 dx dφ dx + B 2 dφ 2 dx dφ dx ] dx = K ˆ Ω φ i (x) dx ︸ ︷︷ ︸ Quellterm . Zur Bestimmung der Flussdichte B 1 und B 2 an den Knoten x 1 und x 2 kann erneut die Matrizenschreibweise ˆ Ω ( dφ 1 ( x ) dx dφ 1 ( x ) dx dφ 2 ( x ) dx dφ 1 ( x ) dx dφ 1 ( x ) dx dφ 2 ( x ) dx dφ 2 ( x ) dx dφ 2 ( x ) dx ) dx ( B 1 B 2 ) = K ˆ Ω φ(x) dx ( 1 1 ) angewendet werden. <?page no="268"?> 244 Galerkin-FEM - Ortsabh¨angige Magnetfeldberechnung 20.5 ¨ Uberf¨ uhrung des Gleichungssystems in eine Matrizengleichung Die Vorgehensweise erfolgt in Anlehnung an Kap. 16.5. • Knotenmatrix des ersten inneren Knotens x i mit φ(x) = φ 1 (x). Hiermit folgt das Intervall [x 0 , x 2 ]: 1 h ( 2 − 1 ) · ( B 1 B 2 ) = K h. • Knotenmatrix des zweiten inneren Knotens x i +1 mit φ(x) = φ 2 (x). Hiermit folgt das Intervall [x 1 , x 3 ]: 1 h ( − 1 2 ) · ( B 1 B 2 ) = K h. • Elementmatrix: Die beiden inneren Knoten x i und x i +1 werden als Elementgleichung zusammengefasst 1 h ( 2 − 1 − 1 2 ) · ( B 1 B 2 ) = K h. • Koeffizientenmatrix: Die beiden Knotengleichungen werden in der Koeffizientenmatrix zu einem linearen Gleichungssystem zusammengef¨ uhrt 1 K h 2 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 2 − 1 0 0 − 1 2 − 1 0 0 − 1 2 − 1 0 0 − 1 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ︸ ︷︷ ︸ S · ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ B 1 B 2 B 3 B 4 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ︸ ︷︷ ︸ B h = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 1 1 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ︸ ︷︷ ︸ f . • Unter Einbezug der Dirichlet-Randbedingungen ( B(x 0 ) = 1 T , B(x 5 ) = 0, 2 T ) folgt erneut das Gleichungssystem <?page no="269"?> 20.6 L¨osung des linearen Gleichungssystems 245 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 0 0 0 0 0 17, 7 − 35, 4 17, 7 0 0 0 0 17, 7 − 35, 4 17, 7 0 0 0 0 17, 7 − 35, 4 17, 7 0 0 0 0 17, 7 − 35, 4 17, 7 0 0 0 0 0 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ · ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ B 0 B 1 B 2 B 3 B 4 B 5 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 1 1 1 1 0, 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ . 20.6 L¨osung des linearen Gleichungssystems Die L¨osung des linearen Gleichungssystems erfolgt gem. Kap. 16.6 mit Abbildung 20.2: MATLAB-Ergebnis eines eindimensionalen Magnetfelddiffusionsvorgangs <?page no="270"?> 246 Galerkin-FEM - Ortsabh¨angige Magnetfeldberechnung Tabelle 20.1: Werkstoffangaben/ Koeffizienten/ Randbedingungen Angaben f¨ ur Werkstoff Kupfer Permeabilit¨at μ 0 , [V s/ (Am)] 4 π 10 − 7 ≈ 1,2 10 − 6 Spez. elektr. Leitf¨ahigkeit κ, [A/ (V m)] 56,2 10 6 dB/ dt, [T / s]; (0,49-0,53) T/ 0,2 ms -200 K, [V s/ m 4 ] -14 124,6 h, [m] 0,002 K h 2 , [V s/ m 2 ] -0,0565 1/ (K h 2 ), [m 2 / (V s)] -17,7 Dirichlet-Randbedingungen B(x 0 ), [T ] 1 B(x 5 ), [T ] 0,2 S B h = f S − 1 (S B h ) = S − 1 f ( S − 1 S ) ︸ ︷︷ ︸ E B h = S − 1 f B h = S − 1 f = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1, 00 0, 73 0, 51 0, 35 0, 25 0, 20 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ . F¨ ur die inneren Knoten folgt B h = 4 ∑ i =1 B i (x) φ i (x) = 0, 73 φ 1 + 0, 51 φ 2 + 0, 35 φ 3 + 0, 25 φ 4 . In Tab. 20.1 sind die erforderlichen Angaben zur Berechnung angegeben. Die Werkstoffdaten wurden den Tabellen aus [40], die Angaben zur Berechnung des Koeffizienten K <?page no="271"?> 20.6 L¨osung des linearen Gleichungssystems 247 Abbildung 20.3: MATLAB-Ergebnis eines eindimensionalen Felddiffusionsvorgangs mit der Zeit t als Scharparameter aus Abb. 20.3 entnommen. In Abb. 20.2 ist das MATLAB-Ergebnis einer Flussdichteverteilung ¨ uber Ort und Zeit dargestellt, erstellt mit der PDE-Toolbox. Der dazugeh¨orige MATLAB-Code ist dem Anhang A.2 zu entnehmen. Das Ergebnis wurde mit COM- SOL Multiphysics best¨atigt. Der ¨ Ubergang in die Darstellung der Flussdichte ¨ uber dem Ort mit der Zeit t als Scharparameter wurde in Abb. 20.3 vollzogen. Diese Darstellung erm¨oglicht eine Gegen¨ uberstellung mit den oben erzielten Ergebnissen. Die Abweichungen sind auf Rundungen und Ableseungenauigkeit (MATLAB-Data-Cursor steht nicht genau auf den Knoten) zur¨ uckzuf¨ uhren. Zudem wurde dB/ dt bei einem mittleren Weg (4, 08 mm) abgelesen. In Tab. 20.2 sind die Ergebnisse einander gegen¨ ubergestellt. In Abb. 20.4 sind schematisch die Basisfunktionen einschl. deren Ansatzfunktionen der inneren Knoten ¨ uber dem Ort (Ω) dargestellt. Die Dirichlet-Randbedingungen werden durch die ¨außeren Knoten (B 0 , B 5 ) verk¨orpert. Eine Gegen¨ uberstellung der MATLAB- und mit Galerkin-Methode erzielten Ergebnisse ist der Abb. 20.5 zu entnehmen. Die dazu erforderlichen Wertepaare wurden aus Tab. 20.2 ¨ ubernommen. Im Anhang A.3 wurden die mit der MATLAB-PDE-Toolbox erzielten Ergebnisse den Ergebnissen von COMSOL-Multiphysics gegen¨ ubergestellt. <?page no="272"?> 248 Galerkin-FEM - Ortsabh¨angige Magnetfeldberechnung Tabelle 20.2: Gegen¨ uberstellung der Ergebnisse des Flussdichte- und Ortsverlaufs m. H. Abb. 20.3 Knotennummer i 0 1 2 3 4 5 Position x i [mm] 0 2 4 6 8 10 B(x i ) [T ] bei t = 1,4 ms; Galerkin 1 0,73 0,51 0,35 0,25 0,2 B(x i ) [T ] bei t = 1,4 ms; MATLAB 1 0,75 0,53 0,36 0,26 0,2 Abbildung 20.4: Grafische Ergebnisdarstellung der ¨ortlichen Flussdichteverteilung <?page no="273"?> 20.6 L¨osung des linearen Gleichungssystems 249 Abbildung 20.5: Ergebnisgegen¨ uberstellung mit Wertepaaren aus Tab. 20.2 <?page no="275"?> Kapitel 21 Einf¨ uhrung in die Finite-Differenzen-Methode Diese Methode sieht das Ersetzen des Differenzialquotienten durch einen Differenzenquotienten vor. Daraus folgt: Diff erenzialquotient = Diff erenzenquotient + Diskretisationsf ehler. Mit dieser Diskretisation wird eine Gleichung in eine algebraische Gleichung ¨ uberf¨ uhrt (algebraisiert). In Abb. 7.3 b) ist die Felddiffusionsgleichung in Delta-Operator-Schreibweise ersichtlich. Die Differentialoperator-Schreibweise lautet ∂ 2 B ∂x 2 = μ 0 κ ∂ B ∂t . (21.1) Die L¨osung erfolgt mittels der Finite-Differenzen-Methode (FDM) mit impliziter und expliziter Methode. Als empfehlenswerte Literatur sei hier [52], Kap. 3: ”Finite Difference Methods“ mit Aufgaben und L¨osungen genannt. 21.1 Numerische Notation der linearen Felddiffusionsgleichung Gl. (21.1) wird als eindimensionale Felddiffusionsgleichung mittels numerischer Methoden gel¨ost. Im weiteren Verlauf werden die Ableitungen mit Hilfe von Differenzenquotienten ausgedr¨ uckt. Hierzu wird Gl. (21.2) als Vorw¨artsdifferenzenquotient und Gl. (21.3) als Zentraldifferenzenquotient geschrieben ([52], S. 126 f.) <?page no="276"?> 252 Einf¨ uhrung in die Finite-Differenzen-Methode ∂B ∂t = B j +1 − B j Δt (21.2) ∂ 2 B ∂x 2 = B i +1 − 2B i + B i − 1 (Δx) 2 . (21.3) Werden die Gleichungen (21.2) und (21.3) in Gl. (21.1) eingesetzt, so folgt B i +1 ,j − 2B i,j + B i − 1 ,j (Δx) 2 = μκ B i,j +1 − B i,j Δt . (21.4) Die L¨osung von Gl. (21.4) erfolgt mittels impliziter und expliziter Methode. 21.2 Zu den Personen Crank und Nicolson John Crank (1916-2006) war ein englischer Mathematiker, dessen Arbeiten zur numerischen L¨osung partieller Differenzialgleichungen wegweisend waren. Er studierte an der Universit¨at of Manchester Mathematik. Phyllis Nicolson (1917-1968) war eine englische Mathematikerin. Ihre bekannteste Arbeit ist das Crank-Nicolson-Verfahren, welches sie gemeinsam mit John Crank entwickelte. Auch sie studierte an der University of Manchester Mathematik und Physik. 21.3 L¨osung mit impliziter Methode nach Crank- Nicolson In diesem Anwendungsfall muss die Zeit und die Strecke in kleinere Einheiten unterteilt (diskretisiert) werden. Dies macht den Einsatz der Finite-Differenzen-Methode vorteilhaft. Die Differenzenquotienten der Diffusionsgleichung (Differenzialgleichung 2’ter Ordnung) werden durch Differenzenquotienten ersetzt. Im weiteren Verlauf wird die implizite Methode nach Crank-Nicolson angewendet. Es folgt die ¨ Uberf¨ uhrung der Gleichung in ein lineares (n, n)-Gleichungssystem mit anschließender L¨osung, gefolgt von einem Anwendungsbeispiel. <?page no="277"?> 21.3 L¨osung mit impliziter Methode nach Crank-Nicolson 253 21.3.1 ¨ Uberf¨ uhrung der Diffusionsgleichung in eine Matrizengleichung Hierzu wird der linke Term der Gl. (21.4) durch den Mittelwert des zentralen Differenzenquotienten der j’ten und (j + 1)’ten Zeitreihe ersetzt: 1 2 ( B i +1 ,j − 2B i,j + B i − 1 ,j (Δx) 2 + B i +1 ,j +1 − 2B i,j +1 + B i − 1 ,j +1 (Δx) 2 ) = μ κ B i,j +1 − B i,j Δt . Durch Umstellen folgt (B i +1 ,j − 2B i,j + B i − 1 ,j + B i +1 ,j +1 − 2B i,j +1 + B i − 1 ,j +1 ) Δt 2(Δx) 2 μκ = B i,j +1 − B i,j . Mit der Substitution k = 1 2μ κ Δt (Δx) 2 (21.5) wird die Lesbarkeit erleichtert kB i +1 ,j − 2kB i,j + kB i − 1 ,j + kB i +1 ,j +1 − 2kB i,j +1 + kB i − 1 ,j +1 = B i,j +1 − B i,j . Durch Umsortieren und Trennung der einzelnen Terme nach den j’ten und (j + 1)’ten Zeitschritt folgt kB i − 1 ,j − 2kB i,j + B i,j + kB i +1 ,j = − kB i − 1 ,j +1 + B i,j +1 + 2kB i,j +1 − kB i +1 ,j +1 . Eine anschließende Zusammenfassung erm¨oglicht kB i − 1 ,j + (1 − 2k) B i,j + kB i +1 ,j = − kB i − 1 ,j +1 + (1 + 2k) B i,j +1 − kB i +1 ,j +1 (21.6) das Umstellen der Gleichung nach dem j’ten und (j + 1)’ten Zeitschritt. Die linke Seite der Gl. (21.6) ist bekannt, da diese den gegenw¨artigen j’ten Zeitschritt und bekannte geometrische Schritte enth¨alt. Dem gegen¨ uber steht die rechte Seite der Gl. (21.6) mit zwar bekannten geometrischen Schritten, aber dem unbekannten Zustand zur Zeit j + 1 (vgl. Abb. 21.1). Mit der Substitution der linken Seite von Gl. (21.6) <?page no="278"?> 254 Einf¨ uhrung in die Finite-Differenzen-Methode Abbildung 21.1: Schritteinteilung der impliziten Methode b 1 = k B i − 1 ,j + (1 − 2k) B i,j + k B i +1 ,j = (k (1 − 2k) k) ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ B i − 1 ,j B i,j B i +1 ,j ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ (21.7) und Substitution der rechten Seite von Gl. (21.6) folgt jeweils in Matrixschreibweise b 1 = ( − k (1 + 2k) − k) ︸ ︷︷ ︸ A ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ B i − 1 ,j +1 B i,j +1 B i +1 ,j +1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ︸ ︷︷ ︸ x . (21.8) Die Gleichungen haben damit die Form b = A x, (21.9) wobei A und x Matrizen sind. 21.3.2 L¨osung der Matrizengleichung Eine Voraussetzung f¨ ur die L¨osbarkeit eines inhomogenen linearen (n, n)-Systems b = A x ist die quadratische Matrix, was bei Gl. (21.8) noch nicht der Fall ist. Um diese <?page no="279"?> 21.3 L¨osung mit impliziter Methode nach Crank-Nicolson 255 L¨osungsmethode dennoch anwenden zu k¨onnen, werden die geometrischen Schritte von Gl. (21.7) mit b 2 = (k (1 − 2k) k) ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ B i,j B i +1 ,j B i +2 ,j ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ (21.10) b 3 = (k (1 − 2k) k) ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ B i +1 ,j B i +2 ,j B i +3 ,j ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ (21.11) und die der Gl. (21.8) mit b 4 = ( − k (1 + 2k) − k) ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ B i,j +1 B i +1 ,j +1 B i +2 ,j +1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ (21.12) b 5 = [ − k (1 + 2k) − k) ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ B i +1 ,j +1 B i +2 ,j +1 B i +3 ,j +1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ (21.13) erweitert. Gl. (21.10) und Gl. (21.11) werden in Gl. (21.7) eingef¨ ugt, b 1 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ k (1 − 2k) k 0 0 0 k (1 − 2k) k 0 0 0 k (1 − 2k) k 0 0 0 k (1 − 2k) 0 0 0 0 k ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ · ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ B i − 1 ,j B i,j B i +1 ,j B i +2 ,j B i +3 ,j ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ k B i − 1 ,j + (1 − 2k) B i,j + k B i +1 ,j k B i,j + (1 − 2k)B i +1 ,j + k B i +2 ,j k B i +1 ,j + (1 − 2k)B i +2 ,j + k B i +3 ,j k B i +2 ,j + (1 − 2k)B i +3 ,j k B i +3 ,j ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ︸ ︷︷ ︸ b alle Elemente enthalten bekannte Gr¨oßen. Gl. (21.12) und Gl. (21.13) werden in Gl. (21.8) eingef¨ ugt. Damit folgt <?page no="280"?> 256 Einf¨ uhrung in die Finite-Differenzen-Methode Abbildung 21.2: Erweiterte Schritteinteilung der impliziten Methode b 1 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ − k (1 + 2k) − k 0 0 0 − k (1 + 2k) − k 0 0 0 − k (1 + 2k) − k 0 0 0 − k (1 + 2k) 0 0 0 0 − k ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ︸ ︷︷ ︸ A · ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ B i − 1 ,j +1 B i,j +1 B i +1 ,j +1 B i +2 ,j +1 B i +3 ,j +1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ︸ ︷︷ ︸ x . Die Abb. 21.2 zeigt die Erweiterung der geometrischen Schritte. Die Matrix A ist nun quadratisch. Damit gen¨ ugt die Gleichung den Anforderungen zur L¨osung linearer Gleichungssysteme mit Hilfe der Cramer’schen Regel. F¨ ur den darauf folgenden Zeitschritt wird j zu j + 1 und j + 1 zu j + 2. Der L¨osungsvorgang bei Matrizengleichungen beginnt mit der Pr¨ ufung auf Nichtsingularit¨at der Matrix A, was mit det(A) = 0 = − k 5 gegeben ist. Im Fortgang erfolgt die Bildung der inversen Matrix A − 1 <?page no="281"?> 21.3 L¨osung mit impliziter Methode nach Crank-Nicolson 257 Tabelle 21.1: Werkstoffangaben Angaben f¨ ur Werkstoff Kupfer: Permeabilit¨at μ 0 , [V s/ (Am)] 4 π 10 − 7 = 1,2 10 − 6 Spez. elektr. Leitf¨ahigkeit κ, [A/ (V m)] 56,2 10 6 1/ (2 μ κ), [m 2 / s] 0,0071 A − 1 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ − 1 k − 2 k +1 k 2 − 3 k 2 +4 k +1 k 3 − 4 k 3 +10 k 2 +6 k +1 k 4 − 5 k 4 +20 k 3 +21 k 2 +8 k +1 k 5 0 − 1 k − 2 k +1 k 2 − 3 k 2 +4 k +1 k 3 − 4 k 3 +10 k 2 +6 k +1 k 4 0 0 − 1 k − 2 k +1 k 2 − 3 k 2 +4 k +1 k 3 0 0 0 − 1 k − 2 k +1 k 2 0 0 0 0 − 1 k ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ mit bekannten Methoden. Damit verbleibt die Multiplikation mit der Matrix b zur L¨osung des Flussdichte-Spaltenvektors x des (j + 1)’ten Zeitschrittes gem¨aß A − 1 b = A − 1 A ︸ ︷︷ ︸ E x A − 1 b = x fort. E ist die Einheitsmatrix. 21.3.3 Anwendungsbeispiel Als Anwendungsbeispiel dient das Nachrechnen eines Magnetfeld-Diffusionsvorgangs nach Abb. 21.3. Hierzu wurden f¨ unf geometrische Schritte x 0 bis x 4 festgelegt. Die zu vergleichenden Schritte sind mit dem MATLAB Data Cursor in der Abbildung gekennzeichnet. Der 0’te Zeitschritt (t = 0 ms) ist dadurch gekennzeichnet, dass am linken Rand, bei x = 0 m die Randbedingung B(x 0 ) gesetzt wurde. Die Gegen¨ uberstellung erfolgt mit dem zweiten Zeitschritt t = 0,2 ms. Die zur Nachrechnung erforderlichen Daten sind den Tabellen 21.1 und 21.2 zu entnehmen. Unter Einbezug der Dirichlet- Randbedingungen wird die Matrixgleichung mit <?page no="282"?> 258 Einf¨ uhrung in die Finite-Differenzen-Methode Abbildung 21.3: MATLAB-Ergebnis eines eindimensionalen Felddiffusionsvorgangs mit der Zeit t als Scharparameter f¨ ur Faktor k = 0,2272 in Tab. 21.2 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 0 0 0 0 0 − 0, 2272 1, 4544 − 0, 2272 0 0 0 − 0, 2272 1, 4544 − 0, 2272 0 0 0 − 0, 2272 1, 4544 0 0 0 0 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ · ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ B i − 1 ,j +1 B i,j +1 B i +1 ,j +1 B i +2 ,j +1 B i +3 ,j +1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 0 0 0 0, 001 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ berechnet. Die Orts- und Zeitangaben der Flussdichte B wurden dem MATLAB-Simulationsergebnis Abb. 21.3 entnommen und in Tab. 21.2 eingef¨ ugt. Die Ergebniswertepaare aus Tab. 21.2 wurden in Abb. 21.4 grafisch gegen¨ ubergestellt. Die Ann¨aherung des Crank-Nicolson-Ergebnisses an das MATLAB-Ergebnis wird durch die willk¨ urliche Variation der Randbedingung B(x 4 ) ver¨andert, um den Einfluss auf das Ergebnis zu erkennen. Wird in der Crank-Nicolson-Methode die Randbedingung B(x 4 ) = 57,9 10 − 6 T (Wert aus Abb. 21.3) durch die Randbedingung B(x 4 ) = 1 mT ersetzt, so wird eine deutliche Ann¨aherung an das MATLAB-PDE-Ergebnis erzielt. <?page no="283"?> 21.3 L¨osung mit impliziter Methode nach Crank-Nicolson 259 Tabelle 21.2: Gegen¨ uberstellung der Ergebnisse des Flussdichte- und Ortsverlaufs m. H. Abb. 21.3 Dirichlet-Randbedingungen: Linker Rand B(x 0 ), [T ] 1 Rechter Rand B(x 4 ), [T ] 0,001 und 57,9 10 − 6 Zeitliche, r¨aumliche Diskretisierung, k-Faktor: Δt, [s] 0,0002 Δx, [m] 0,0025 Δt/ Δx 2 , [m/ s 2 ] 32 k, [1] 0,2272 x-Position B(t=0 s) B(t=0,2 ms) B(t=0,2 ms) B(t=0,2 ms) [m] [T ] MATLAB Crank-Nicolson Crank-Nicolson 0 1,0 1,0 1,0 1,0 0,0025 0 0,3035 0,25 0,0145 0,005 0 0,0322 0,04 0,0023 0,0075 0 0,0016 0,0064 0,37 10 − 3 0,01 0 57,9 10 − 6 0,001 57,9 10 − 6 <?page no="284"?> 260 Einf¨ uhrung in die Finite-Differenzen-Methode Abbildung 21.4: Vergleich zwischen MATLAB-PDE- und Crank-Nicolson-Ergebnis 21.4 L¨osung mit expliziter Methode Im Fortgang wird die explizite Methode zur L¨osung der Felddiffusionsgleichung Gl. (21.1) vorgestellt. 21.4.1 ¨ Uberf¨ uhrung der Diffusionsgleichung in eine Matrizengleichung Hierzu wird die Gl. (21.4) B i +1 ,j − 2B i,j + B i − 1 ,j (Δx) 2 = μκ B i,j +1 − B i,j Δt herangezogen. Mit der Substitution des Faktors k gem. Gl. (21.5) folgt k B i +1 ,j − 2k B i,j + k B i − 1 ,j = B i,j +1 − B i,j . <?page no="285"?> 21.4 L¨osung mit expliziter Methode 261 Mit dem Umsortieren der einzelnen Terme nach dem Zeitschritt j und j + 1 wird k B i − 1 ,j + (1 − 2k) B i,j + k B i +1 ,j = B i,j +1 erreicht. In Matrixschreibweise folgt Abbildung 21.5: Schritteinteilung der expliziten Methode (k (1 − 2k) k) ︸ ︷︷ ︸ A ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ B i − 1 ,j B i,j B i +1 ,j ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ︸ ︷︷ ︸ b = B i,j +1 ︸ ︷︷ ︸ x . (21.14) Der linke Term von Gl. (21.14) ist bekannt, da dieser den gegenw¨artigen Zeitschritt und bekannte geometrische Schritte beinhaltet. Abb. 21.5 ist die Schritteinteilung zu entnehmen. 21.4.2 L¨osung der Matrizengleichung Nach erfolgter Berechnung der Funktionswerte des gegenw¨artigen Zeitschrittes j kann daraus der Funktionswert des zuk¨ unftigen Zeitschrittes j + 1 explizit berechnet werden. Die lineare Gl. (21.14) wird auf ein (m, n)-System <?page no="286"?> 262 Einf¨ uhrung in die Finite-Differenzen-Methode ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ k (1 − 2k) k 0 0 0 k (1 − 2k) k 0 0 0 k (1 − 2k) k ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ︸ ︷︷ ︸ A · ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ B i − 1 ,j B i,j B i +1 ,j B i +2 ,j B i +3 ,j ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ︸ ︷︷ ︸ b = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ B i,j +1 B i +1 ,j +1 B i +2 ,j +1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ︸ ︷︷ ︸ x erweitert. Abb. 21.6 zeigt die Erweiterung der geometrischen Schritte. Die Anzahl der Knoten im (j + 1)’ten Zeitschritt entspricht der Anzahl der Knoten im j’ten Zeitschritt vermindert um 2. Abbildung 21.6: Erweiterte Schritteinteilung der expliziten Methode 21.4.3 Anwendungsbeispiel In Abb. 21.7 ist das MATLAB-Ergebnis eines Felddiffusionsvorgangs ersichtlich. Nachgerechnet wird der Diffusionsvorgang von der Zeit 2 ms auf die Zeit 4 ms. Die zur Nachrechnung erforderlichen Daten sind in Tab. 21.3 zusammengefasst. Mit dem dort errechneten k-Faktor konnte die beste Ann¨aherung an das MATLAB-Ergebnis erzielt werden. Die zu l¨osende Matrixgleichung ist <?page no="287"?> 21.4 L¨osung mit expliziter Methode 263 ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 1, 42 − 1, 84 1, 42 0 0 0 1, 42 − 1, 84 1, 42 0 0 0 1, 42 − 1, 84 1, 42 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ · ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 0, 668 0, 391 0, 198 0, 087 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 0, 74 0, 51 0, 31 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ . Abbildung 21.7: MATLAB-Ergebnis eines eindimensionalen Felddiffusionsvorgangs mit der Zeit t als Scharparameter f¨ ur Faktor k = 1,42 in Tab. 21.3 Im Fortgang wird eine weitere Berechnung durchgef¨ uhrt und dabei der Faktor k so gew¨ahlt, dass (1-2k) = 0 wird. Die Matrixgleichung wird zu ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 0, 5 0 0, 5 0 0 0 0, 5 0 0, 5 0 0 0 0, 5 0 0, 5 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ · ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 0, 499 0, 157 0, 0347 0, 0069 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 0, 579 0, 267 0, 082 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ . <?page no="288"?> 264 Einf¨ uhrung in die Finite-Differenzen-Methode Tabelle 21.3: Beispiel 1: Gegen¨ uberstellung der Ergebnisse des Flussdichte- und Ortsverlaufs m. H. Abb. 21.7 Dirichlet-Randbedingungen: Linker Rand B(x 0 ), [T ] 1 Zeitliche, r¨aumliche Diskretisierung, k-Faktor: Δt, [s] 0,0002 Δx, [m] 0,001 Δt/ Δx 2 , [m/ s 2 ] 200 k, [1] 1,42 x-Position B(t=0,2 ms) [T ] B(t=0,4 ms) [T ] B(t=0,4 ms) [T ] [m] MATLAB MATLAB Explizit 0 1,0 - - 0,001 0,67 0,76 0,74 0,002 0,39 0,54 0,51 0,003 0,20 0,36 0,31 0,004 0,09 - - Die dazu erforderlichen Daten zur Nachrechnung sind der Abb. 21.8 zu entnehmen und in Tab. 21.4 zusammengefasst. Das dritte Rechenbeispiel ist in Tab. 21.5 ersichtlich. Diese abschließende Rechnung erlaubt eine Einsch¨atzung des k-Faktor-Einflusses (Wahl des k-Faktors) auf die Berechnungsergebnisse. <?page no="289"?> 21.4 L¨osung mit expliziter Methode 265 Abbildung 21.8: MATLAB-Ergebnis eines eindimensionalen Felddiffusionsvorgangs mit der Zeit t als Scharparameter f¨ ur Faktor k = 0,5 in Tab. 21.4 <?page no="290"?> 266 Einf¨ uhrung in die Finite-Differenzen-Methode Tabelle 21.4: Beispiel 2: Gegen¨ uberstellung der Ergebnisse des Flussdichte- und Ortsverlaufs m. H. Abb. 21.8 Dirichlet-Randbedingungen: Linker Rand B(x 0 ), [T ] 1 Zeitliche, r¨aumliche Diskretisierung, k-Faktor: Δt, [s] 0,0002 Δx, [m] 0,001685 Δt/ Δx 2 , [m/ s 2 ] 70,44 k, [1] 0,5 x-Position B(t=0,2 ms) [T ] B(t=0,4 ms) [T ] B(t=0,4 ms) [T ] [m] MATLAB MATLAB Explizit 0 1,0 - - 0,00168 0,499 0,633 0,579 0,00337 0,157 0,317 0,267 0,005 0,035 0,135 0,082 0,0064 0,0069 - - <?page no="291"?> 21.4 L¨osung mit expliziter Methode 267 Tabelle 21.5: Beispiel 3: Gegen¨ uberstellung der Ergebnisse des Flussdichte- und Ortsverlaufs m. H. Abb. 21.3 Dirichlet-Randbedingungen: Linker Rand B(x 0 ), [T ] 1 Zeitliche, r¨aumliche Diskretisierung, k-Faktor: Δt, [s] 0,0002 Δx, [m] 0,0025 Δt/ Δx 2 , [m/ s 2 ] 32 k, [1] 0,2272 x-Position B(t=0,2 ms) [T ] B(t=0,4 ms) [T ] B(t=0,4 ms) [T ] [m] MATLAB MATLAB Explizit 0 1,0 - - 0,0025 0,3022 0,466 0,398 0,005 0,0032 0,1296 0,086 0,0075 0,0016 0,025 0,0079 0,01 57 10 − 6 - - <?page no="293"?> Kapitel 22 Anwendungen der FEM zur Produktentwicklung Die Anwendung der FEM beschr¨ankt sich f¨ ur den Anwender i. d. R. auf die Bedienung geeigneter FEM-Programme. Allen gemeinsam ist die dreischrittige Vorgehensweise in der Programmanwendung, welche in die drei Phasen • Preprocessing, • Processing, • Postprocessing gegliedert werden kann. Als Beispiele zur Anwendung der FEM wird 1. das Nachrechnen (Analyse) eines bereits vorhandenen Proportionalmagnets, 2. das Vorausberechnen (Entwurf) eines planaren Asynchron-Scheibenl¨aufermotors vorgestellt. 22.1 Analyse eines Proportionalmagnets Als Beispiel zur Nachrechnung eines vorhandenen Produkts dient der Proportionalmagnet mit geometrischer Kennlinienbeeinflussung nach Abb. 22.1 von der Fa. Robert Bosch GmbH, welcher an der Hubschieber-Reiheneinspritzpumpe zur Regelung der Kraftstofff¨orderung eingesetzt wird. Die Benennung der Magnetelemente erfolgt in Tab. 22.1. <?page no="294"?> 270 Anwendungen der FEM zur Produktentwicklung Abbildung 22.1: Teilschnitt eines Proportionalmagnets Tabelle 22.1: Bezeichnungen des Proportionalmagnets Nr. Bezeichnung Nr. Bezeichnung 1 magnetischer R¨ uckschluss (Stator) 4 Anker mit Wirkelement 2 nichtmagnetische H¨ ulse 5 orthozyklische Wicklung 3 Gleitlagerbuchse 6 Umspritzung 22.1.1 Preprocessing Die Phase des Preprocessing beinhaltet das Zeichnen der gew¨ unschten Kontur mit anschließender Vernetzung. Das Zeichnen erfolgt entweder mittels des in der FEM- Software integrierten Grafikeditors oder durch Zeichnen mittels eines externen Grafikeditors und anschließender Importierung der Grafik in die FEM-Software. Desgleichen erfolgt die Vernetzung entweder direkt mit der FEM-Software oder durch Vernetzung der extern erstellten Grafik mit anschließendem Import in die FEM-Software. In Abb. 22.2 a) ist ein 2D-L¨angsschnitt des Proportionalmagnets nach Abb. 22.1 mit dem umgebenden Luftraum abgebildet. Die Vernetzung (Meshing) aller Bauelemente einschließlich des Luftraums ist in Abb. 22.2 b) erfolgt. Die Rotationsachse befindet sich jeweils im Bild links der Geometrie. Den einzelnen Bauelementen werden stoffliche Eigenschaften sowie Randbedingungen zugewiesen. Siehe hierzu auch Kap. 1.2.8. <?page no="295"?> 22.1 Analyse eines Proportionalmagnets 271 Abbildung 22.2: Preprocessing am Beispiel eines Proportionalmagnets 22.1.2 Processing Die Phase des Processings umfasst die eigentliche L¨osung der bei der FEM verwendeten Gleichungen. Unterschieden werden zwei grundlegende L¨osungsmethoden: • Direkte Methode: Die L¨osung wird in einem (einzigen) riesigen Rechenschritt erarbeitet. Als Vertreter sei die Galerkin-Methode genannt. Die Solver arbeiten nach der vom polnischen Mathematiker, Astronom und Geodesist Tadeusz Banachiewicz 1938 ver¨offentlichten ”LU decomposition-method“. Dabei steht LU f¨ ur ”lower“ und ”upper“ und ”decomposition“ f¨ ur ”Zerlegung“. Die LU-Zerlegung bezieht sich auf die quadratische Matrix A in eine Matrix L, in welcher die Elemente links unten bis zur Diagonalen besetzt sind und der Matrix U, in welcher die Elemente rechts oberhalb der Diagonalen besetzt sind. Damit sei A = L · U. Als n¨ utzliche Literaturstelle sei hierzu auf [54], S. 405 ff. verwiesen. • Iterative Methode: Die iterativen Methoden n¨ahern sich der L¨osung schrittweise an. Zu nennen sind hier ”conjugate gradient method“, ”generalized minimum residual method“ sowie ”biconjugate gradient stabilized method“. Diese Methoden erlauben w¨ahrend einer konvergierenden Berechnung die Beobachtung des kleiner werdenden Fehlers (Konvergenz) und der Anzahl der bereits berechneten Schritte. <?page no="296"?> 272 Anwendungen der FEM zur Produktentwicklung Gut konditionierte Rechenprobleme weisen eine monotone Konvergenz auf. Zeigt sich jedoch nur ein verlangsamtes oder ein oszillierendes Konvergenzverhalten, deutet dies auf ein weniger gut konditioniertes Rechenproblem hin. Der Software-Anwender kann bei kommerzieller Software i. d. R. keinen Einfluss auf den L¨osungsalgorithmus nehmen. Selbst die erforderlichen Randbedingungen werden seitens der Software bereits vorgeschlagen oder angepasst. 22.1.3 Postprocessing Die Phase des Postprocessings beinhaltet die eigentliche Analysephase, in welcher das Ergebnis der gel¨osten Variabel mittels farblicher Codierung dargestellt wird und interpretiert werden muss. In Abb. 22.3 sind die magnetische Flussdichte B farblich und die Isolinien des magnetischen Flusses Φ grau hinterlegt. Rote Farben verk¨orpern hohe, blaue Farben niedrige Flussdichten. Abbildung 22.3: Postprocessing am Beispiel eines Proportionalmagnets <?page no="297"?> 22.2 Synthese eines planaren Asynchron-Scheibenl¨aufermotors 273 22.2 Synthese eines planaren Asynchron-Scheibenl¨aufermotors Im Rahmen eines ¨offentlich gef¨orderten Projekts der AiF Projekt GmbH (ZIM-Kooperationsprojekt) wurde ein Dreiphasen-Asynchron-Scheibenl¨aufermotor mit Hilfe der FEM entwickelt und im Anschluss gem¨aß den errechneten Daten gebaut. Das magnetische Wanderfeld der Statorwicklung induziert im L¨aufer einen Strom, welcher seinerseits ein Magnetfeld ausbildet und mit dem umlaufenden Wanderfeld interagiert. Im Fokus der Entwicklung stand das zu reduzierende Motorgewicht. Der Motor besticht durch seine flache Bauweise. Als FEM-Tool wurde JAMG der Fa. Powersys erfolgreich angewendet. 22.2.1 Preprocessing Die Phase des Preprocessings ist in Abb. 22.4 dargestellt. In Abb. 22.4 a) werden die Motorelemente mittels des JMAG-Editors gezeichnet. Zu erkennen ist der Rotor und der Stator. In Abb. 22.4 b) ist die automatische Vernetzung von Rotor und Stator mittels 3D-Volumenelementen erfolgt. Abbildung 22.4: Preprocessing am Beispiel des planaren Asynchronmotors 22.2.2 Processing Die Vorgehensweise des Processings erfolgt gem. Kap. 22.1.2. <?page no="298"?> 274 Anwendungen der FEM zur Produktentwicklung 22.2.3 Postprocessing In Abb. 22.5 ist die magnetische Flussdichte B in farblicher Codierung dargestellt. Hier bedeuten helle und rote Farben eine hohe Flussdichte und dunklere und blaue Farben eine niedrige Flussdichte. Dargestellt ist der Stator und der Kurzschlussl¨aufer (Kurzschlussst¨abe mit Kurzschlussringen). Abbildung 22.5: Postprocessing am Beispiel des planaren Asynchronmotors 22.2.4 Musterbau des planaren Asynchronmotors In Abb. 22.6 ist der Prototyp des planaren Asynchron-Scheibenl¨aufermotors ersichtlich. In Abb. 22.6 a) ist die Frontansicht mit Halteplatte und Motorwelle erkennbar. Abb. 22.6 b) bildet die R¨ uckansicht nach erfolgter Montage. Die Motor-Seitenansicht ist Abb. 22.6 c) zu entnehmen. Erkennbar ist der mittig angeordnete Scheibenl¨aufer (Doppel-Kurzschlussk¨afigrotor, Rotor), welcher links- und rechtsseitig mit einem Kurzschlussk¨afig versehen ist. Beide Statoren, bestehend aus jeweils einer Platine mit Eisenr¨ uckschluss sind beidseitig am Rotor angebracht. Die Einstellung des Luftspalts erfolgt ¨ uber Distanzh¨ ulsen. In Abb. 22.7 ist der zerlegt Scheibenl¨aufermotor ersichtlich. <?page no="299"?> 22.2 Synthese eines planaren Asynchron-Scheibenl¨aufermotors 275 Abbildung 22.6: Musteraufbau des planaren Asynchron-Scheibenl¨aufermotors Der abmontierte Frontstator mit gedruckten Windungen in Abb. 22.7 a) erm¨oglicht den Blick auf den Doppel-Kurzschlussk¨afig-Rotor in Abb. 22.7 b). Hinter diesem befindet sich der zweite Stator. Die Doppelstatoranordnung erm¨oglicht die Kompensation der auftretenden Rotor-Axialkr¨afte. Alle erforderlichen Bezeichnungen sind in Tab. 22.2 hinterlegt. Bez¨ uglich der Fertigung sei angemerkt, dass die beiden Eisenr¨ uckschl¨ usse der Statoren wie auch der Rotor aus Scheiben, bestehend aus Pulververbundwerkstoff, hergestellt wurden. Abbildung 22.7: Detailansicht mit Stator (links) und Rotor (rechts) Der Pulververbundwerkstoffdient der Flussf¨ uhrung und zeichnet sich durch eine sehr <?page no="300"?> 276 Anwendungen der FEM zur Produktentwicklung Tabelle 22.2: Bezeichnungen und Simulationsergebnisse des Asynchron-Scheibenl¨aufermotors von Abb. 22.7 Nr. Bezeichnung Nr. Bezeichnung 1 Pulververbundwerkstoff 5 Distanzh¨ ulse (Stator) (Rotor, Stator) 2 Kurzschlussring außen (Rotor) 6 Antriebswelle (Rotor) 3 Kurzschlussstab (Rotor) 7 Halteschraube (Stator) 4 Kurzschlussring innen (Rotor) 8 gedruckte Windung (Stator) Moment bei f min max. Moment M max 0,17 Nm bei 50 Hz 0,28 Nm bei 150 Hz niedrige spezifische elektrische Leitf¨ahigkeit aus. Die Statorwicklungen wurden auf Platinen im Druckverfahren hergestellt. Die erforderlichen Konturen f¨ ur die Leiterbahnen und Kurzschlussst¨abe wurden gefr¨ast. In Abb. 22.8 ist der simulierte Motormomentenverlauf ¨ uber der Ansteuerfrequenz ersichtlich. Die erzielten Simulationsergebnisse sind ebenfalls in Tab. 22.2 dokumentiert. Abbildung 22.8: FEM-Simulationsergebnis - Motormomentenverlauf <?page no="301"?> Kapitel 23 Virtuelle Produktentwicklung Die virtuelle Produktentwicklung (Virtual Prototyping) erlaubt eine kosteneffiziente Entwicklung. Iterationszyklen, welche einen Prototypenbau und dessen Tests vorsehen, finden dann sinnvollerweise am Ende eines Produktentwicklungszyklusses Eingang und verk¨ urzen diesen damit. Eine CAE-basierte Optimierung unter Einbezug einer CAEbasierten Robustheitsbewertung wird beim virtuellen Prototyping immer wichtiger. Die Kombination von Optimierungen und Robustheitsbewertung f¨ uhrt zu zielf¨ uhrenden Strategien der Entwurfsoptimierung und damit zur Verk¨ urzung des Produktentwicklungszyklusses. Eine zyklusverk¨ urzende Maßnahme zur virtuellen Produktentwicklung bildet die effiziente Kopplung der FEMmit einem Optimierungstool. 23.1 Kopplung zwischen FEM- und Optimierungstool Die Optimierung h¨alt in die virtuelle Produktentwicklung Einzug. Hierzu wurde in Abb. 23.1 die schematische Einbettung einer FEM-Software in eine Optimierungssoftware dargestellt. Ein parametrisiertes FEM-Modell wird ¨ uber Schnittstellen mit einem Optimierungstool gekoppelt und Ein- und Ausgabevariablen festgelegt. Nach Wahl der Optimierungsstrategie und der Variablen variiert der Optimierer deren Inhalte und ¨ ubergibt diese dem FEM-Tool. Das FEM-Tool berechnet das Modell und liefert nach Beendigung der Berechnung das Berechnungs- und Simulationsergebnis dem Optimierer zur¨ uck. Ein Algorithmus des Optimierers pr¨ uft das Ergebnis auf Plausibilit¨at und entscheidet ¨ uber die Optimierungsfortsetzung. Dieses Vorgehen erlaubt die Optimierung mit vielen unabh¨angigen Variablen (multikriterielle Optimierung). <?page no="302"?> 278 Virtuelle Produktentwicklung Abbildung 23.1: Einbettung der FEM in ein Optimierungstool 23.2 Mehrzieloptimierung - Pareto-Optimierung Bei der Mehrzieloptimierung (multikriterielle Optimierung) werden an eine Probleml¨osung mehrere Anforderungen gestellt, die es bestm¨oglich zu erf¨ ullen gilt. Diese Anforderungen sind typischerweise gegens¨atzlich, sodass ein Optimum bez¨ uglich aller Funktionen nicht mit einer L¨osung zu erreichen ist. Ein Beispiel ist die Pareto-Optimierung, benannt nach dem italienischen ¨ Okonom Vilfredo Pareto (1848 - 1923). Ein Pareto- Optimum ist ein Zustand, in dem es nicht m¨oglich ist, eine L¨osung besser zu stellen, ohne zugleich eine andere L¨osung schlechter zu gestalten. Die Menge der Paretooptimalen Punkte heißt Pareto-Front. Ein Berechnungsergebnis einer Mehrzieloptimierung ist der Abb. 23.2 zu entnehmen. Ersichtlich ist eine Motormoment-Optimierung in Abh¨angigkeit von den geometrischen Parametern d 1 und d 2 . Alle Punkte und Kreise kennzeichnen dabei eine L¨osung. Die bestm¨oglichen L¨osungen verteilen sich entlang der Pareto-Front. Mehrzieloptimierverfahren suchen bei der Pareto-Optimierung nicht nur <?page no="303"?> 23.3 Optimierungsbeispiel Elektromagnet 279 nach einer m¨oglichst guten L¨osung, sondern nach einer Menge von Kompromissl¨osungen, aus denen der Anwender eine zur Realisierung ausw¨ahlt. Weitere Beispiele zur Optimierung eines rotatorischen Antriebs (permanentmagnetisch erregten Synchronmaschine) sind der Dissertationsschrift [39] zu entnehmen. Abbildung 23.2: Simulationsergebnis einer Mehrzieloptimierung 23.3 Optimierungsbeispiel Elektromagnet In Abb. 23.3 a) ist ein Tauchankermagnet mit Anker (1), Schulterst¨ uck (2), Boden mit Ankergegenst¨ uck (3), magnetischer R¨ uckschluss (4) und Spule (5) ersichtlich. Der Tauchankermagnet wird einer Variablenzuweisung (Bemaßung) gem. Abb. 23.3 b) unterzogen. Die Variablen sind in Tab. 23.1 zusammengefasst. F¨ ur die anstehende Optimierung werden alle Variablen zur Variablenvariation freigegeben und mit Intervallgrenzen versehen. Das Optimierungsziel sei die maximale magnetische Kraft F mag unter Ber¨ ucksichtigung der ohmschen Verlustleistung P V in der Spule. Der Optimierungsvorgang erfordert zudem die st¨andige Neuberechnung einer in das Wicklungsfenster angepassten Spule. Die Optimierung erfolgt mit dem Softwaretool OptiSLang. OptiSLang ist eine algorithmische Toolbox f¨ ur Sensitivit¨atsanalysen, Optimierungen, Robustheitsbewertungen, Zuverl¨assigkeitsanalysen und Robust Design Optimization (RDO). Unter Einbezug der folgenden L¨osungsmethoden <?page no="304"?> 280 Virtuelle Produktentwicklung Abbildung 23.3: Beispiel Tauchankermagnet • Monte Carlo-Methode, • Partikelschwarm-Methode, • Evolution¨are Methode wurde im Fortgang die Optimierung des in Abb. 23.3 a) vorgestellen Tauchankermagneten vorgenommen. Die bei der Optimierung fixierten Variablen sind die Spannung, die Leitf¨ahigkeit des Kupferdrahts, der Außendurchmesser d a und der Luftspalt. Die verbleibenden Variableninhalte wurden dem Optimierer zur Variation freigegeben. 23.3.1 Monte Carlo-Methode Die Monte Carlo-Methode sieht die mehrfache Simulation mathematischnaturwissenschaftlicher Modelle mittels Zufallszahlen vor. Den gew¨ahlten Variablen werden Zufallswerte innerhalb ihrer Intervallgrenzen zugeordnet. Zufallszahlen sind realisierte Zufallsgr¨oßen, welche festgelegten Verteilungen unterliegen. Zu nennen sind • Gleichverteilte Zufallszahlen: In einem betrachteten Intervall sind die Zufallszahlen gleichverteilt. • Nicht gleichverteilte Zufallszahlen: Zufallszahlen werden mit einer beliebigen Verteilungsfunktion erzeugt. <?page no="305"?> 23.3 Optimierungsbeispiel Elektromagnet 281 Tabelle 23.1: Benennungen aus Abb. 23.3 b) Variable Bezeichnung Variable Bezeichnung b w Breite Wicklungsfenster l w Wicklungsfensterl¨ange d a Außendurchmesser l 1 Bodendicke d ai innerer Durchmesser l 2 L¨ange Ankergegenst¨ uck magnetischer R¨ uckschluss d i Durchmesser l 3 L¨ange Magnetkreis, innen Ankergegenst¨ uck l A Ankerl¨ange l 4 Magnetkreisl¨ange d n Drahtdurchmesser U Spannung Abbildung 23.4: Optimierungsergebnis mittels Monte Carlo-Methode In Abb. 23.4 sind die Ergebnisse der Magnetkraft F mag ¨ uber der Verlustleistung P V der Spule abgebildet. Alle Punkte repr¨asentieren Magnetkreisdesigns. Die Werte der in Tab. 23.1 benannten Variablen wurden dabei innerhalb ihrer festgelegten Grenzen zuf¨allig, ohne Beteiligung eines Entscheidungsalgorithmus, ausgew¨ahlt. <?page no="306"?> 282 Virtuelle Produktentwicklung 23.3.2 Partikelschwarm-Methode Die Partikelschwarmoptimierung ist eine von der Natur inspirierte Methode. Sie ist ein schwarmintelligenzbasierter biologischer Algorithmus und ahmt das soziale Verhalten eines Bienenschwarms auf der Nahrungssuche nach. In Abb. 23.5 ist das mit dieser Methode erreichte Optimierungsergebnis dargestellt. Abbildung 23.5: Optimierungsergebnis mittels Partikelschwarm-Methode 23.3.3 Evolution¨are Methode Die Evolution¨are Methode ist wie die Partikelschwarm-Methode eine von der Natur inspirierte Methode. Die Methode imitiert die Evolution (Optimierung) in der Natur. Zu nennen sind: • ¨ Uberleben des St¨arkeren, • Evolution aufgrund von Mutation, Rekombination und Selektion. <?page no="307"?> 23.3 Optimierungsbeispiel Elektromagnet 283 Die Methode wurde f¨ ur Optimierungsprobleme entwickelt, f¨ ur die keine Gradienteninformationen verf¨ ugbar sind, wie z. B. bin¨are oder diskrete Suchr¨aume. In Abb. 23.6 sind die Ergebnisse dargestellt, welche mittels einer evolution¨aren Strategie erzielt wurden. Abbildung 23.6: Optimierungsergebnis mittels evolution¨arer Methode 23.3.4 Diskussion der Ergebnisse Die Simulationsergebnisse werden wie folgt zusammengefasst: • Bei der Monte Carlo-Methode sind aufgrund ihrer zuf¨allig gew¨ahlten Variableninhalte mehr Designrechnungen zu erwarten, bis ein aussagef¨ahiges Ergebnis vorliegt. • Sowohl Partikelschwarmwie auch die Evolutionsstrategien-Methode liefern durch die Nachahmung nat¨ urlicher Selektionsmechanismen (zielgerichtete Suche) mit weniger Designrechnungen bereits ein aussagef¨ahiges Ergebnis. <?page no="309"?> Kapitel 24 Eigenwertprobleme Viele naturwissenschaftlich-technische Vorg¨ange wie diejenigen, die beispielsweise den Abbildungen 7.1, 7.2 zu entnehmen sind, werden mittels Randwertaufgaben beschrieben. Sind beispielsweise bei den Schwingungsgleichungen der Abb. 7.2 nur die Resonanzfrequenzen der Differenzialgleichung von Interesse, so werden die Differenzialgleichungen der Randwertaufgaben in eine Abh¨angigkeit des Parameters λ ¨ uberf¨ uhrt. Von Interesse sind diese Werte des Parameters (Eigenwerte), welche zu einer L¨osung der Differenzialgleichung (Eigenl¨osungen, Eigenfunktionen) f¨ uhren. Die zu den Eigenfunktionen geh¨orende L¨osungen werden als Eigenwerte bezeichnet. Eigenfunktionen sind homogene Funktionen. Die Randwertaufgabe (Randwertproblem) wurde damit in eine Eigenwertaufgabe (Eigenwertproblem) ¨ uberf¨ uhrt, deren L¨osung beispielsweise nur f¨ ur bestimmte Frequenzen (Resonanzfrequenzen) existiert. Erneut besteht das allgemeine L¨osungsvorgehen in der Umwandlung (Reduktion) einer Eigenwertgleichung in eine Matrizengleichung, welche mit den bekannten Algorithmen gel¨ost werden kann. Empfehlenswerte Literatur hierzu ist [34], Kap. 7 sowie [51], Kap. 17. 24.1 Eigenwertproblem - Einf¨ uhrung Im Vergleich zur Gl. (8.1) folgt eine weitere Form von Gleichungen L f = λ f, welche die allgemeine Form der Eigenfunktion L f = λ M f (24.1) <?page no="310"?> 286 Eigenwertprobleme annimmt. Hierbei sind L und M lineare Operatoren. F¨ ur den Parameter λ speziell zul¨assige Werte werden als Eigenwerte bezeichnet, welche zur L¨osung von f, der Eigenfunktion, f¨ uhren. 24.2 Eigenwertproblem - Momentenmethode Die Anwendung der Methode ¨ uberf¨ uhrt eine Eigenfunktion in eine Matrix-Eigenwertgleichung, welche mit den aus der Literatur bekannten Methoden gel¨ost werden kann und ist in der Anwendung vergleichbar mit dem Vorgehen in Kap. 8. Bei der Eigenfunktion Gl. (24.1) werden Basisfunktionen φ 1 , φ 2 , φ 3 , ... f = N ∑ j =1 a j φ j (24.2) gew¨ahlt, in Gl. (24.1) eingesetzt ergibt sich N ∑ j =1 a j L φ j = λ N ∑ j =1 a j M φ j . Die Bildung des inneren Produkts unter Einbezug der Wichtungs- oder Testfunktionen w 1 , w 2 , ..., w m f¨ uhrt zu N ∑ j =1 a j 〈 w k , L φ j 〉 = λ N ∑ j =1 a j 〈 w k , M φ j 〉 , dabei ist k = 1, 2, 3, ..., welche in der Matrix-Eigenwertgleichung (l jk ) (a j ) = λ (m jk ) (a j ) (24.3) notiert wird. Hierbei ist (m jk ) = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 〈 w 1 , M φ 1 〉 〈 w 1 , M φ 2 〉 ... 〈 w 2 , M φ 1 〉 〈 w 2 , M φ 2 〉 ... ... ... ... ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ , <?page no="311"?> 24.3 Eigenwertproblem - kanonische Form 287 (l jk ) die Matrix gem¨aß Gl. (8.3) und (a j ) der Spaltenvektor gem¨aß Gl. (8.4). Die Gl. (24.3) kann nur L¨osungen haben, wenn det | l jk − λ m jk | = 0 (24.4) gilt. Die Determinante ist ein Polynom von λ, mit L¨osungen λ 1 , λ 2 , λ 3 ... . Dabei sind λ l die Eigenwerte der Matrixgleichung Gl. (24.3) welche die Eigenwerte der Funktion Gl. (24.1) approximieren. Die dazugeh¨origen Matrizen (a j ) 1 , (a j ) 2 , (a j ) 3 , ... sind Eigenvektoren der Gl.(24.3) und sind Koeffizienten der Funktionen f a i = (φ n ) T (a n ) i , (24.5) welche der Eigenfunktion der Gl. (24.1) ann¨ahern. In Gl. (24.5) ist (Φ n ) die Matrix der Basisfunktionen Φ n . Der Erfolg der MOM h¨angt vom Einfallsreichtum in der Wahl der passenden Basisfunktion Φ n und der Wichtungsfunktion w n ab. Die spezielle Wahl w n = Φ n wird als Galerkin-Methode bezeichnet. Existiert der lineare Operator M , so folgt mit Gl. (24.1) M − 1 L f = λ f. Das Innere Produkt 〈 w k , M φ j 〉 ist damit identisch mit 〈 w k , φ j 〉 . 24.3 Eigenwertproblem - kanonische Form Die kanonische Form der Eigenwertgleichung wird oft mit L f = λ f dargestellt, was besagt, dass eine symmetrische Matrix durch ihre Eigenwertmatrix dargestellt werden kann, wenn M den Einheitsoperator bildet. <?page no="313"?> Kapitel 25 Eigenwertproblem-MOM - L¨osung von − d 2 u/ dx 2 = λu Das Beispiel dient zur Verdeutlichung des im Kap. 24 vorgestellten Konzepts. Eingef¨ uhrt wird zudem in die Normierung von Funktionen zum Zwecke des Vergleichs untereinander. 25.1 Aufgabenbeschreibung Gel¨ost werden soll das Eigenwertproblem − d 2 u dx 2 = λu mit den Randbedingungen u(0) = u(1) = 0, dessen Eigenwerte λ l = (lπ) 2 ; l = 1, 2, 3, ... und Eigenfunktionen u l = √ 2 sin(lπx) (25.1) bereits aus der Literatur bekannt sind. <?page no="314"?> 290 Eigenwertproblem-MOM - L¨osung von − d 2 u/ dx 2 = λu 25.2 L¨osungsweg und L¨osung Mit dem linearen Operator L = − d 2 dx 2 folgt die Darstellung L u = λ u. (25.2) Die Vorgehensweise erfolgt gem¨aß der Momentenmethode. Gew¨ahlt wird die N¨aherungs- oder Ansatzfunktion u = N ∑ j =1 a j u j (25.3) u j = x − x j +1 w k = x − x k +1 , welche die Dirichlet-Randbedingungen u(0) = u(1) = 0 erf¨ ullt. Gew¨ahlt wird bei der Galerkin-Methode die Wichtungsfunktion w k , welche gleich der Basisfunktion u j ist. Durch Einsetzen in Gl. (25.2) folgt die Gleichung N ∑ j =1 a j 〈 w k , L u j 〉 ︸ ︷︷ ︸ T erm 1 = λ N ∑ j =1 a j 〈 w k , u j 〉 ︸ ︷︷ ︸ T erm 2 , (25.4) deren Terme im Fortgang entwickelt werden. 25.3 L¨osung f¨ ur 1’ter Ordnung Die Basisfunktion Gl. (25.3) besteht bei N = 1 aus einem Term. Es schließt sich die Entwicklung der Terme 1 und 2 der Gl. (25.4) an. • Term 1: Die Entwicklung der Matrix (l jk ) erfolgt mit (l jk ) = 〈 w k , L u j 〉 = 〈 x − x k +1 , L ( x − x j +1 ) 〉 = ˆ 1 0 ( x − x k +1 ) − d 2 dx 2 ( x − x j +1 ) dx. <?page no="315"?> 25.3 L¨osung f¨ ur 1’ter Ordnung 291 Die zweifache Anwendung der partiellen Integration liefert ˆ x =1 x =0 ( x − x k +1 ) − d 2 dx 2 ( x − x j +1 ) dx = [ ( x − x k +1 ) − d dx ( x − x j +1 ) ] ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ x =1 x =0 ︸ ︷︷ ︸ 0 − ˆ x =0 x =1 (1 − (k + 1)x k ) − d dx (x − x j +1 ) dx − ˆ 1 0 (1 − (k + 1)x k ) − d dx (x − x j +1 ) dx = − [( 1 − (k + 1)x k ) ( − (x − x j +1 ) )] ∣ ∣ ∣ 1 0 ︸ ︷︷ ︸ 0 + ˆ 1 0 ( k(k + 1)x k − 1 (x − x j +1 ) ) dx, was zu ˆ 1 0 ( k(k + 1)x k − 1 (x − x j +1 ) ) dx = ˆ 1 0 (k 2 + k)x k − (k 2 + k)x k + j dx = [ k 2 + k k + 1 x k +1 − k 2 + k k + j + 1 x k + j +1 ] ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ x =1 x =0 = [ k(k + 1) k + 1 − k 2 + k k + j + 1 ] und schließlich aufgrund des gemeinsamen Nenners zur Matrix (l jk ) (l jk ) = j k j + k + 1 f¨ uhrt. • Term 2: Die Entwicklung der Matrix (m jk ) erfolgt mit (m jk ) = 〈 w k , u j 〉 = 〈 x − x k +1 , x − x j +1 〉 = ˆ Ω ( x 2 − x 1 x j +1 − x k +1 x 1 + x k +1 x j +1 ) dx = ˆ Ω ( x 2 − x j +2 − x k +2 + x k + j +2 ) dx. <?page no="316"?> 292 Eigenwertproblem-MOM - L¨osung von − d 2 u/ dx 2 = λu Tabelle 25.1: Koeffizienten f¨ ur N = 4 (m jk ) (l jk ) j j k 1 2 3 4 1 2 3 4 1 1 30 1 20 5 84 11 168 1 3 1 2 3 5 2 3 2 1 20 8 105 11 120 32 315 1 2 4 5 1 8 7 3 5 84 11 120 1 9 13 105 3 5 1 9 7 3 2 4 11 168 32 315 13 105 32 231 2 3 8 7 3 2 16 9 Durch gliedweise Integration folgt (m jk ) = ( 1 3 x 3 − 1 j + 3 x j +3 − 1 k + 3 x k +3 + 1 k + j + 3 x k + j +3 ) ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 0 = 1 3 − 1 j + 3 − 1 k + 3 + 1 k + j + 3 = j k (k + j + 6) 3 (j + 3) (k + 3) (k + j + 3) . Damit folgt die zu l¨osende Matrizengleichung (l jk ) (a j ) = λ (m jk ) (a j ). (25.5) Die Konvergenz der L¨osung wird mit zunehmender Zahl N der Basisfunktionen gezeigt. Die erforderlichen Matrizenelemente wurden in Tab. 25.1 bis N = 4 zusammengestellt. F¨ ur N = 1 folgt aus Gl. (25.5) das Ergebnis 1 3 a 1 = λ 1 30 a 1 . Der Eigenwert λ 1 = λ (1) 1 = 10 kann direkt abgelesen werden. Der exakte Wert f¨ ur λ betr¨agt (1 · π) 2 = 9, 9. Die Schreibweise (1) kennzeichnet N = 1. Es verbleibt noch die Bestimmung von a 1 der Eigenfunktion. Die Vergleichbarkeit mit Gl. (25.1) wird durch die Normierung der approximierten Eigenfunktion u (1) 1 = a 1 (x − x 2 ) gem. <?page no="317"?> 25.3 L¨osung f¨ ur 1’ter Ordnung 293 ‖ u (1) 1 ‖ = √ 〈 u (1) 1 , u (1) 1 〉 = √ ˆ 1 0 (a 2 1 (x − x 2 )) 2 dx = a 1 1 √ 30 = 1 Abbildung 25.1: Vergleich von Funktionsmit Eigenfunktionsverlauf (N = 1) erreicht, womit a 1 = √ 30 und die Eigenfunktion u (1) 1 u (1) 1 = √ 30 (x − x 2 ) wird. Ein Vergleich mit Gl. (25.1) ist Abb. 25.1 zu entnehmen. <?page no="318"?> 294 Eigenwertproblem-MOM - L¨osung von − d 2 u/ dx 2 = λu 25.4 L¨osung f¨ ur 2’ter Ordnung F¨ ur die Ordnung N = 2 entspricht die L¨osung des ersten Terms der 1’ter Ordnung u (2) 1 = √ 30 ( x − x 2 ) = u (1) 1 . Gl. (25.3) besteht bei N = 2 aus zwei Termen, womit Gl. (25.5) zu ( 1 3 1 2 1 2 4 5 ) ( a 1 a 2 ) = λ ( 1 30 1 20 1 20 8 105 ) ( a 1 a 2 ) und 1 3 a 1 + 1 2 a 2 = λ ( 1 30 a 1 + 1 20 a 2 ) (25.6) 1 2 a 1 + 4 5 a 2 = λ ( 1 20 a 1 + 8 105 a 2 ) (25.7) wird. Die Eigenwerte werden mit Hilfe von Gl. (24.4) det | l jk − λ m jk | = 0 ermittelt, womit durch Einsetzen det ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ( 1 3 1 2 1 2 4 5 ) − λ ( 1 30 1 20 1 20 8 105 ) ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = det ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 1 3 − λ 1 30 1 2 − λ 1 20 1 2 − λ 1 20 4 5 − λ 8 105 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = 0 folgt. Die Entwicklung der Determinante f¨ uhrt zur quadratischen Gleichung 1 25200 λ 2 − 13 6300 λ + 1 60 = 0, welche auf die Mitternachtsformel λ 1 / 2 = 13 6300 ± √ ( 13 6300 ) 2 − 4 1 25200 1 60 2/ 25200 <?page no="319"?> 25.4 L¨osung f¨ ur 2’ter Ordnung 295 f¨ uhrt. Die L¨osung sind die Eigenwerte λ 1 = λ (2) 1 = 42 λ 2 = λ (2) 2 = 10, wobei der exakte Wert f¨ ur λ 2 = (2 · π) 2 = 39, 5 ist. Damit verbleibt noch die Bestimmung von a 1 und a 2 mit dem folgenden Vorgehen. Das Einsetzen von λ 2 in die Gleichungen (25.6) und (25.7) f¨ uhrt zum Ergebnis Null. Das Einsetzen von λ 1 f¨ uhrt auf a 2 = − 2/ 3 a 1 u (2) 2 = a 1 (x − x 2 ) − a 2 (x − x 3 ) = a 1 (x − x 2 ) − 2 3 a 1 (x − x 3 ) = a 1 ( (x − x 2 ) − 2 3 (x − x 3 ) ) . Der verbleibende Koeffizient a 1 wird durch die Normierung ‖ u (2) 2 ‖ = √ 〈 u (2) 2 , u (2) 2 〉 = 1 = √ ˆ 1 0 u (2) 2 dx = 1 = √ ˆ 1 0 [ a 1 ( (x − x 2 ) − 2 3 (x − x 3 ) )] 2 dx = 1 = a 1 √ ˆ 1 0 [( (x − x 2 ) − 2 3 (x − x 3 ) )] 2 dx = 1 = a 1 1 √ 1890 = 1 ermittelt. Es verbleibt a 1 = √ 1890 a 2 = − 2 3 √ 1890, was auf die Eigenwertgleichung u (2) 2 = √ 1890 ( x − x 2 ) − 2 3 √ 1890 ( x − x 3 ) f¨ uhrt. Eine Gegen¨ uberstellung ist Abb. 25.2 zu entnehmen. <?page no="320"?> 296 Eigenwertproblem-MOM - L¨osung von − d 2 u/ dx 2 = λu Abbildung 25.2: Vergleich von Funktionsmit Eigenfunktionsverlauf (N = 2) <?page no="321"?> Kapitel 26 Gemeinsamkeiten von Methoden zur L¨osung von DGLs Benannt werden die Gemeinsamkeiten der Methoden • Method of Moment (MOM), • Integraltransformation, • Green’sche Methode zur L¨osung von Differenzialgleichungen. Alle Methoden gemeinsam ist die Bildung des inneren Produkts 〈 f, g 〉 = ˆ c f g dΩ, was die Integration der Funktionen f und G im Intervall c ¨ uber den Bereich Ω vorsieht. Die Methoden werden einzeln und in aller K¨ urze vorgestellt. 26.1 Momentenmethode (MOM) Die zu l¨osende Funktion wird als Reihe einer selbst gew¨ahlten Funktion (Basisfunktion) entwickelt. Die Reihenglieder beinhalten Koeffizienten. Durch Bildung des inneren Produktes mit einer Wichtungsfunktion und ¨ Uberf¨ uhrung in eine Matrizengleichung wird die L¨osung der gesuchten Funktion bestimmt. Galerkin sieht vor, die Wichtungsfunktion gleich der Basisfunktion zu w¨ahlen. <?page no="322"?> 298 Gemeinsamkeiten von Methoden zur L¨osung von DGLs Es sei L f = g, wobei L ein linearer Operator, f die unbekannte, zu bestimmende Funktion und g die bekannte Funktion im L¨osungsbereich Ω ist. Zur L¨osungsfindung wird f als Reihe f = N ∑ j =1 a j φ j eingef¨ uhrt. Dabei sind a j die unbekannten Entwicklungskoeffizienten und φ j die Entwicklungs- oder Basisfunktionen. Damit folgt die inhomogene Gleichung N ∑ j =1 a j L φ j = g. Eine Wichtungs- oder Testfunktion w 1 , w 2 , w 3 wird definiert und mit dieser das innere Produkt N ∑ j =1 a j 〈 w k , L φ j 〉 = 〈 w k , g 〉 mit k = 1, 2, 3, ... gebildet. In Matrixschreibweise folgt [l jk ] [a j ] = [g k ] , wobei [l jk ] = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 〈 w 1 , L φ 1 〉 〈 w 1 , L φ 2 〉 ... 〈 w 2 , L φ 1 〉 〈 w 2 , L φ 2 〉 ... ... ... ... ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ [a j ] = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a 1 a 2 . . ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ <?page no="323"?> 26.2 Integraltransformation 299 [g k ] = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 〈 w 1 , g 〉 〈 w 2 , g 〉 . . ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ist. Die Bestimmung der Koeffizienten a ist mit [a j ] = [l − 1 jk ] [g k ] m¨oglich. Dies entspricht der L¨osung von f. Die Ausdr¨ ucke zur L¨osung von f werden mit [φ n ] = [φ 1 φ 2 φ 3 ...] und f = [φ j ] [a j ] = [φ j ] [l − 1 jk ] [g k ] gek¨ urzt wiedergegeben. Siehe hierzu auch Kap. 8. 26.2 Integraltransformation Unter einer Integraltransformation versteht man einen Zusammenhang zwischen zwei Funktionen f(t) und F (p) der Form des inneren Produkts F (p) = ˆ + ∞ −∞ K(p, t) f(t) dt. (26.1) Die Funktion F (p) ist die Bildfunktion mit dem Bildbereich als Definitionsbereich. Die Funktion f(t) heißt Originalfunktion. Ihr Definitionsbereich heißt Originalbereich. Die Funktion K(p, t) heißt der Kern der Transformation. Die Variable t ist eine reelle ver¨anderliche Variable. Die Variable p = δ + jω ist eine komplexe Variable. Eine verk¨ urzte Schreibweise der Transformation erreicht man durch die Einf¨ uhrung des Symbols T mit <?page no="324"?> 300 Gemeinsamkeiten von Methoden zur L¨osung von DGLs F (p) = T { f(t) } . Integraltransformationen eignen sich zur L¨osung von gew¨ohnlichen und partiellen Differentialgleichungen, von Integralgleichungen und Differenzengleichungen. Methoden von Integraltransformationen werden h¨aufig Operatorenmethoden genannt. Die beiden wichtigsten Integraltransformationen sind die Fourier-Transformation und die Laplace- Transformation [3]. Die Laplace-Transformation ist dadurch gekennzeichnet, dass der Kern der Transformation von Gl. (26.1) K(p, t) = e − pt ist. Die mathematische Methode wird als Laplace-Transformation bezeichnet. Zudem werden einzelne Schritte innerhalb der Methode als Laplace-Transformation benannt. Die Laplace-Transformation wird auf lineare Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten angewendet. Die L¨osung der Differenzialgleichung erfolgt in folgenden drei Schritten: 1. ¨ Uberf¨ uhrung der gegebenen Differenzialgleichung mit Hilfe der Laplace-Transformation in eine lineare algebraische Gleichung. 2. L¨osen der algebraischen Gleichung. Die L¨osung der linearen algebraischen Gleichung ist die Bildfunktion der gesuchten L¨osung. 3. R¨ ucktransformation (inverse Laplace-Transformation) der Bildfunktion. Dies ergibt die L¨osung der gesuchten Differenzialgleichung (Originalfunktion). 26.3 Green’sche Methode Gel¨ost werden soll ∇ 2 u(r) = f(r) Mit dem linearen Differenzialoperator L = ∇ 2 folgt L u(r) = f(r). <?page no="325"?> 26.3 Green’sche Methode 301 Die Multiplikation mit dem inversen linearen Operator in der allgemeinen Darstellung ist L − 1 L u(r) = L − 1 f(r) u(r) = L − 1 f(r). Es ist G die Green’sche Funktion und δ die Dirac’sche Deltafunktion δ(r − r 0 ) = L G(r, r 0 ). Durch Integration ¨ uber den Bereich Ω folgt ˆ Ω δ(r − r 0 ) dr = ˆ Ω L G(r, r 0 ) dr = 1. Es schließt sich die Multiplikation L u(r) ˆ Ω δ(r − r 0 ) dr ︸ ︷︷ ︸ =1 = ˆ Ω L G(r, r 0 ) dr f(r) L u(r) = L ˆ Ω f(r) G(r, r 0 ) dr an. Durch K¨ urzen mit dem linearen Operator folgt die L¨osung nach der gesuchten Funktion u(r) durch Bildung des inneren Produkts mit u(r) = ˆ Ω G(r, r 0 ) f(r) dr = 〈 G(r, r 0 ), f(r) 〉 . Siehe hierzu auch Kap. 6. <?page no="327"?> Kapitel 27 Wissenswertes zur Modellbildung Im Vorfeld der Modellbildung eines naturwissenschaftlich-technischen Systems gilt es zu kl¨aren, welche Aussagen das Modell t¨atigen, f¨ ur welchen Zweck das Modell erstellt werden und welcher Aufwand hierf¨ ur investiert werden soll. Im Fortgang werden derartige Gedanken in den Punkten • Kategorien der Modellbildung, • Analytik contra Numerik zusammengefasst. 27.1 Kategorien der Modellbildung Die zu unterscheidenden Modelle werden in die Kategorien A bis D nach zunehmenden Komplexit¨atsgrad gegliedert: • Kategorie A: Mathematisches, analytisches Modell auf der Basis von Integral-, Differenzialgleichungen zur Nachbildung eines naturwissenschaftlich-technischen Systems. Das Modell dient zur Darstellung rudiment¨arer Zusammenh¨ange und Untersuchungen sowie zur Erarbeitung eines grundlegenden Verst¨andnisses eines naturwissenschaftlich-technischen Systems. • Kategorie B: Mathematisches, physikalisches Modell basierend auf Integral-, Differenzialgleichungen unter Einbindung von Messwerten, Datentabellen (lookup-Tables). Modelle der Kategorie B sind aus diesem Grund keine rein analytischen Modelle, da ggf. unter Einbindung von Mess- und Datentabellen oder durch <?page no="328"?> 304 Wissenswertes zur Modellbildung Umschalten zwischen Modellstrukturen Unstetigkeiten auftreten k¨onnen. Modelle der Kategorie B dienen bspw. zur Grobdimensionierung im Entwicklungsprozess. Die erzielten Ergebnisse sind Eingangsgr¨oßen f¨ ur Modelle der Kategorie C und D. • Kategorie C: Numerisches Modell unter Einsatz von numerischen Methoden zur Nachbildung naturwissenschaftlich-technischer Systeme. • Kategorie D: Modelle, welche sich aus der Kombination von Modellen der Kategorie B und C ergeben. Die Kategorie D bietet den h¨ochsten Grad der Modellbildung, deren Fehler in der Vorhersage ein Minimum und der zu spendierende Aufwand ein Maximum einnimmt. 27.2 Analytik contra Numerik In Tab. 27.1 findet eine zusammenfassende Gegen¨ uberstellung von analytischen und numerischen Methoden f¨ ur die Magnetaktorsimulation statt. Als Vertreter der analytischen Methode sei hier die Reluktanz- und als Vertreter der numerischen Methode die Finite-Element-Methode genannt. Aus der Gegen¨ uberstellung k¨onnen folgende Ergebnisse abgeleitet werden: • Der Nachteil der Reluktanzmethode ist gerade der Vorteil der FEM-Methode und umgekehrt. • Die gleichzeitige Anwendung beider Methoden f¨ uhrt zu einem Erkenntnisgewinn. • Der Anspruch an den Anwender der Reluktanzmethode ist die Kenntnis ¨ uber die Verl¨aufe magnetischer Fl¨ usse sowie ggf. Kenntnis ¨ uber partielle Flussdichte- Inhomogenit¨aten (S¨attigungserscheinungen). • Der Anspruch an den Anwender der FEM liegt in der sinnvollen Diskretisierung des FEM-Gebietes begr¨ undet. • Eine Ann¨aherung der Simulationsergebnisse swe Reluktanz-Methode an die FEM- Simulationsergebnisse wird durch die Erh¨ohung der Reluktanzanzahl in einem magnetischen Netzwerk erreicht. <?page no="329"?> 27.2 Analytik contra Numerik 305 Tabelle 27.1: Gegen¨ uberstellung analytischer und numerischer Methoden Analytische Methode Numerische Methode Vertreter Reluktanzmethode Finite-Element-Methode (FEM) Modellbildung Nachbildung der Geometrie mit Die Diskretisierung des r¨aum- (Preprocessing) magnetischen Widerst¨anden lichen Gebietes (Luftraum, (Reluktanzen) und magnet- Eisenkreis) erm¨oglicht Festischen Spannungsquellen. legung der Knotenkoordinaten sowie Zuweisung von Randbedingungen. Gleichungsl¨osung a) Gleichung linear: Numerische L¨osung: (Processing) Analytische L¨osung m¨oglich Aufstellen und L¨osen der b) Gleichung nichtlinear: Matrizen-Gleichungen. Numerische Methode erforderlich. Aufstellen und L¨osen der Matrizen-Gleichung. Ergebnisdar- analytische Gleichungen grafische Darstellung stellung statische Kennlinien und farbliche Codierung der (Postprocessing) transiente Verl¨aufe Ergebnisse Vorteil: Stoffliche und geometrische Zu- Anspruchsvolle geometrische sammenh¨ange aus Gleichungen Anordnungen m¨oglich, daraus ersichtlich. resultiert die Anwendung der FEM in der Phase der Feindimensionierung. Nachteil: Einfache geometrische Anord- Keine stofflichen, nungen m¨oglich, daraus resulgeometrischen tiert die Anwendung der Reluk- Zusammenh¨ange erkennbar. tanzmethode in der Phase der Grobdimensionierung. <?page no="331"?> Kapitel 28 N¨ utzliche Normen In diesem Kapitel werden empfohlene und n¨ utzliche Normen zur Erstellung von Dokumentationen, Thesen, wissenschaftlicher Berichte und dergleichen aufgelistet. • DIN 1301-Teil 1: ”Einheiten - Einheitennamen, Einheitenzeichen“. In der Norm sind Einheiten des Internationalen Einheitensystems (SI) sowie weitere empfohlene Einheiten mit Gr¨oße, Einheitenname, Einheitenzeichen und Definitionen aufgef¨ uhrt [6]. • DIN 1301-Beiblatt: Das Beiblatt enth¨alt keine weiteren Normen, sondern zus¨atzliche Informationen zum Teil 1 [5]. • DIN 1302: ”Allgemeine mathematische Zeichen und Begriffe“. Diese Norm legt mathematische Zeichen und Begriffe sowie ihre Benennungen fest [7]. • DIN 1303: ”Vektoren, Matrizen, Tensoren - Zeichen und Begriffe“. In der Norm werden Zeichen und Begriffe behandelt, die Vektoren, Matrizen und Tensoren betreffen. Dabei wird die algebraische Struktur dargestellt [8]. • DIN 1304-Teil 1: ”Formelzeichen - Allgemeine Formelzeichen“. In dieser Norm werden Formelzeichen f¨ ur physikalische Gr¨oßen festgelegt. Zudem sind allgemeine Formelzeichen aufgef¨ uhrt, die in Physik und Technik Anwendung finden [9]. • DIN 1338: ”Formelschreibweise und Formelsatz“. Diese Norm gilt f¨ ur die Schreibweise und den Satz mathematischer, physikalischer und chemischer Formeln. Sie dient dem Verfasser (Studierende, Korrektoren, ...) zur Erstellung guter Formels¨atze [18]. <?page no="332"?> 308 N¨ utzliche Normen • DIN 4895 Teil 1: ”Orthogonale Koordinatensysteme - Allgemeine Begriffe“. Diese Norm befasst sich mit Koordinatensystemen in dreidimensionalen euklidischen R¨aumen und mit der Darstellung physikalischer Gr¨oßen in solchen Koordinatensystemen [22]. • DIN 4895 Teil 2: ”Orthogonale Koordinatensysteme - Differentialoperatoren der Vektoranalysis“. In dieser Norm werden Differenzialoperatoren der Vektoranalysis in ihren orthogonalen Koordinaten dargestellt [21]. Im Fortgang sind Normen bez¨ uglich Schwingungen und Wellen gelistet: • DIN 1311 Teil 1: ”Schwingungen und schwingungsf¨ahige Systeme“. Diese Norm legt Begriffe zu Schwingungen und schwingungsf¨ahigen Systemen vorwiegend im Bereich der Mechanik fest [11]. • DIN 1311 Teil 2: ”Schwingungen und schwingungsf¨ahige Systemen“. Diese Norm legt Begriffe zu Schwingungen und schwingungsf¨ahigen Systemen vorwiegend im Bereich der Mechanik fest und gibt zus¨atzlich Leitlinien f¨ ur deren Anwendung. Behandelt werden schwingungsf¨ahige Systeme mit einem Freiheitsgrad [12]. • DIN 1311 Teil 3: ”Schwingungen und schwingungsf¨ahige Systeme“. Diese Norm legt Begriffe der Schwingungstechnik und Mechanik f¨ ur mehrere Freiheitsgraden fest [13]. • DIN 1311 Teil 4: ”Schwingungslehre - Schwingende Kontinua, Wellen“. Diese Norm beinhaltet Definitionen ¨ uber Kontinua, Gleichungen des schwingenden Kontinuums, Schwingungen des Kontinuums und Wellen [10]. Es schließt sich eine zusammenfassende Auflistung von Normen an, in welchen zeitabh¨angige Gr¨oßen und Wechselstromgr¨oßen behandelt werden: • DIN 5483 Teil 1: ”Benennungen der Zeitabh¨angigkeit“. Diese Norm beinhaltet die Beschreibung gleichbleibender und periodischer Vorg¨ange, des mehrphasigen Sinusvorgangs, des Mehrphasenvorgangs, sinusverwandter Vorg¨ange, Schwingungen, des Impulses, impulsf¨ormiger Vorg¨ange, des Stoßes, der periodischen Impulsfolge, des modulierten Pulses, des Sprungs und dessen Differentialquotienten, des linearen Anstiegsvorgangs, des Keilvorgangs, ¨ Ubergangsvorgangs, Ausgleichsvorgangs sowie des Rauschvorgangs [23]. <?page no="333"?> 309 • DIN 5483 Teil 2: ”Formelzeichen“. Diese Norm beinhaltet Formelzeichen f¨ ur zeitabh¨angige Gr¨oßen sowie Beispiele f¨ ur zeitabh¨angige Gr¨oßen [24]. • DIN 5483 Teil 3: ”Komplexe Darstellung sinusf¨ormig zeitabh¨angiger Gr¨oßen“. Diese Norm beinhaltet die komplexe Darstellung von Sinusgr¨oßen, besondere komplexe Werte, die komplexe Darstellung eines zeitabh¨angigen Vektors, den Drehoperator, das Rechnen mit komplexen Gr¨oßen [25]. • DIN 40110 Teil 1: ”Wechselstromgr¨oßen - Mehrleiter-Stromkreise“. In dieser Norm werden Mess- und Rechengr¨oßen von Wechselstromkreisen in ihren funktionalen Abh¨angigkeiten zusammenh¨angend dargestellt [19]. • DIN 40110 Teil 2: ”Wechselstromgr¨oßen - Zweileiter-Stromkreise“. Diese Norm ist bei Berechnungen von Mehrleiter-Stromkreisen in der elektrischen Energietechnik anzuwenden [20]. Normen, in welchen die Grundlagen und Grundbegriffe der Messtechnik vorgestellt und Auswertungen von Messungen vorgenommen werden, sind ersichtlich in • DIN 1319 Teil 1: ”Grundlagen der Messtechnik - Grundbegriffe“. In dieser Norm sind allgemeine Grundbegriffe der Metrologie (Wissensbereich, der sich auf Messungen bezieht) definiert und beschrieben [14]. • DIN 1319 Teil 2: ”Grundlagen der Messtechnik - Begriffe f¨ ur Messmittel“. In dieser Norm sind Begriffe der Messtechnik definiert, die f¨ ur die Anwendung von Messmitteln von Bedeutung sind [15]. • DIN 1319 Teil 3: ”Grundlagen der Messtechnik - Auswertung von Messungen einer einzelnen Messgr¨oße, Messunsicherheit“. Diese Norm gilt f¨ ur die Ermittlung des Werts einer einzelnen Messgr¨oße und deren Messunsicherheit durch Auswertung von Messungen [16]. • DIN 1319 Teil 4: ”Grundlagen der Messtechnik - Auswertung von Messungen, Messunsicherheit“. Diese Norm gilt f¨ ur die gemeinsame Ermittlung und Angabe der Messergebnisse und Messunsicherheiten von Messgr¨oßen bei der Auswertung von Messungen [17]. <?page no="335"?> Literaturverzeichnis Bastos, J. ; Ida, N. : Electromagnetics and Calculation of Fields; 2 Auflage. Springer, 1997 Bastos, J. ; Sadowski, N. : Electromagnetic Modeling by Finite Element Methods. Marcel Dekker, Inc., 2003 Bronstein, I. N. ; Semendjajew, K. A. ; Musilo, G. ; M¨ uhlig, H. : Taschenbuch der Mathematik. 5. Auflage. Verlag Harri Deutsch, 2000 Burke-Hubbard, B. : Wavelets. Die Mathematik der kleinen Wellen. Birkh¨auser Verlag, 1997 DIN-1301-1 : Einheiten - Einheiten¨ahnliche Namen und Zeichen; Beiblatt zu Teil Beuth Verlag GmbH, 1982 DIN-1301-1 : Einheiten - Teil 1: Einheitennamen, Einheitenzeichen. Beuth Verlag GmbH, 2002 DIN-1302 : Allgemeine mathematische Zeichen und Begriffe. Beuth Verlag GmbH, 1999 DIN-1303 : Vektoren, Matrizen, Tensoren - Zeichen und Begriffe. Beuth Verlag GmbH, 1987 DIN-1304-1 : Formelzeichen - Teil 1: Allgemeine Formelzeichen. Beuth Verlag GmbH, 1994 DIN-1311 : Blatt 4: Schwingungslehre. Schwingende Kontinua, Wellen. Beuth Verlag GmbH, 1974 DIN-1311-1 : Schwingungen und schwingungsf¨ahige Systeme; Teil 1: Grundbegriffe, Einteilungen. Beuth Verlag GmbH, 2000 <?page no="336"?> 312 LITERATURVERZEICHNIS [12] DIN-1311-2 : Schwingungen und schwingungsf¨ahige Systeme; Teil 2: Lineare, zeitinvariante schwingungsf¨ahige Systeme mit einem Freiheitsgrad. Beuth Verlag GmbH, 2002 [13] DIN-1311-3 : Schwingungen und schwingungsf¨ahige Systeme; Teil 3: Lineare, zeitinvariante schwingungsf¨ahige Systeme mit endlich vielen Freiheitsgraden. Beuth Verlag GmbH, 2000 [14] DIN-1319-1 : Grundlagen der Messtechnik; Teil 1: Grundbegriffe. Beuth Verlag GmbH, 1995 [15] DIN-1319-2 : Grundlagen der Messtechnik; Teil 2: Begriffe f¨ ur Messmittel. Beuth Verlag GmbH, 2005 [16] DIN-1319-3 : Grundlagen der Messtechnik; Teil 3: Auswertung von Messungen einer einzelnen Messgr¨oße, Messunsicherheit. Beuth Verlag GmbH, 1996 [17] DIN-1319-4 : Grundlagen der Messtechnik; Teil 4: Auswertung von Messungen, Messunsicherheit. Beuth Verlag GmbH, 1999 [18] DIN-1338 : Formelschreibweise und Formelsatz. Beuth Verlag GmbH, 2011 [19] DIN-40110-1 : Wechselstromgr¨oßen; Teil 1: Zweileiterstromkreise. Beuth Verlag GmbH, 1994 [20] DIN-40110-2 : Wechselstromgr¨oßen; Teil 2: Mehrleiter-Stromkreise. Beuth Verlag GmbH, 2002 [21] DIN-4895 : Orthogonale Koordinatensysteme - Teil 2: Differentialoperatoren der Vektoranalysis. Beuth Verlag GmbH, 1977 [22] DIN-4895 : Orthogonale Koordinatensysteme - Teil 1: Allgemeine Begriffe. Beuth Verlag GmbH, 1997 [23] DIN-5483-1 : Zeitabh¨angige Gr¨oßen - Teil 1: Benennung der Zeitabh¨angigkeit. Beuth Verlag GmbH, 1983 [24] DIN-5483-2 : Zeitabh¨angige Gr¨oßen - Teil 2: Formelzeichen. Beuth Verlag GmbH, 1982 <?page no="337"?> LITERATURVERZEICHNIS 313 DIN-5483-3 : Zeitabh¨angige Gr¨oßen - Teil 3: Komplexe Darstellung sinusf¨ormig zeitabh¨angiger Gr¨oßen. Beuth Verlag GmbH, 1994 Eom, H. J. : Primary Theory of Electromagnetics. Springer Verlag, 2013 Eynard, B. : Zufallsmatrizen - Neue universelle Gesetze. Spektrum der Wissenschaft, Heft 10, 2018 Fetzer, J. ; Haas, M. ; Kurz, S : Numerische Berechnung elektromagnetischer Felder - Band 627. Expert Verlag GmbH, 2002 Feynman, R. ; Leighton, R. ; Sands, M. : Lectures on Physics Vol. I. Addison- Wesley Publishing Company, 1963 Feynman, R. ; Leighton, R. ; Sands, M. : Lectures on Physics Vol. II. Addison-Wesley Publishing Company, 1963 Fletcher, C.A.J. : Computational Galerkin Methods. Springer, 1984 Graf, J. H. ; Gubler, E. : Einleitung in die Theorie der Bessel’schen Funktionen. Verlag Wyss, 1898 Green, G. : An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism. https: / / arxiv.org/ abs/ 0807.0088, Letzter Zugriffam 29.12.20 Harrington, R. F. : Field Computation by Moment Methods. Macmillan, 1968 Hering, E. ; Steinhardt, H. : Taschenbuch der Mechatronik. Fachbuchverlag Leipzig, 2005 Jackson, J. D. : Classical Electrodynamics. 4th Ed. John Wiley and Sons, Inc., 1998 Jung, M. ; Langer, U. : Methode der finiten Elemente f¨ ur Ingenieure; 2. Auflage. Springer/ Vieweg, 2013 Kiepert, L. : Integral-Rechnung Band II - Theorie der gew¨ohnlichen Differential- Gleichungen. Helwingsche Verlagsbuchhandlung, 1922 <?page no="338"?> 314 LITERATURVERZEICHNIS Krotsch, J. : Mehrkriterielle Optimierung permanentmagneterregter Synchronmotoren in Außenl¨auferbauweise unter besonderer Ber¨ ucksichtigung der Radial-kr¨afte. Dissertationsschrift, Friedrich-Alexander-Universit¨at, Erlangen- N¨ urnberg, 2016 Kuchling, H. : Taschenbuch der Physik. Verlag Harri Deutsch, 1991 Lee, Y. H. : Introduction to Engineering Electromagnetics. Springer Verlag, 2013 Leighthill, M. J. : Introduction to Fourier Analysis and generalised Functions. Cambridge, 1959 Liedl, R. ; Kuhnert, K. : Analysis in einer Variablen. B. I. Wissenschaftsverlag M¨ unchen, 1992 Marsden, J. E. ; Tromba, A. J. : Vector Calculus. W. H. Freeman and Company, 2000 Maxwell, J. C. : A Treatise on Electricity and Magnetism, Volume 1. Cambridge University Press, 2010 Morisco, D. : Berechnung der Stromverdr¨angung in Mehrleiteranordnungen in der Umgebung von bewegten ferromagnetischen K¨orpern durch Verkn¨ upfung von Finite Elemente Methode und Teilleitermethode. Dissertationsschrift TU Ilmenau; Cuvillier Verlag G¨ottingen, 2020 Munz, C.D. ; Westermann, T. : Numerische Behandlung gew¨ohnlicher und partieller Differenzialgleichungen; 2. Auflage. Springer, 2009 Papula, L. : Mathematik f¨ ur Ingenieure und Naturwissenschaftler - Band 2. Verlag Vieweg/ Teubner, 2009 Philippow, E. : Taschenbuch Elektrotechnik, Band 1: Allgemeine Grundlagen. VEB Verlag Technik Berlin, 1976 Plonsey, R. ; Collin R. E. : Principles and Applications of Electromagnetic Fields. Mc Graw-Hill Book Company, Inc., 1961 Riley, K. F. ; Hobson, M. P. ; Bence, S. J. : Mathematical Methods for Physics and Engineering - Third Edition. Cambridge University Press, 2015 <?page no="339"?> LITERATURVERZEICHNIS 315 [52] Sadiku, M. N. O. : Numerical Techniques in Elektromagnetics - 2nd ed. CRC Press LLC, 2001 [53] Sawitzki, A. : Zur Berechnung der elektromagnetischen Felder von ausgedehnten komplexen Systemen durch Erweiterung der Momentenmethode um eine effiziente Rasterung. Dissertationsschrift, Technische Universit¨at Ilmenau, 2017 [54] Schwarzenberg-Czerny, A. : On Matrix Factorization and Efficient Least Squares Solution. Astronomy and Astrophysics Supplement, v.110, p.405, 1995 [55] S¨ uße, R. : Theoretische Grundlagen der Elektrotechnik - Band 2. Teubner Verlag, 2006 [56] Simonyi, K. : Theoretische Elektrotechnik, 10. Auflage. Barth Verlag, Leipzig, 1993 [57] Weisstein, E. : Wolfram Mathworld - The web’s most extensive mathematics resource. https: / / mathworld.wolfram.com, Letzter Zugriffam 15.02.21 [58] Weller, F. : Numerische Mathematik f¨ ur Ingenieure und Naturwissenschaftler. Verlag Vieweg, 1996 <?page no="341"?> Anhang A A.1 MATLAB-Code - W¨armediffusionsskript % -------------------------------------------------------------- % Reinhold-Wuerth Hochschule Campus Kuenzelsau % Autor: Prof. Dr.-Ing. J. Ulm % MATLAB-Programm zur Loesung der thermischen Diffusionsgleichung % Datum: Sommer 2021 % -------------------------------------------------------------function pde_Diffusion close all; clear all; clc; t = [0: 0.5: 4]; % Linearvektor %t = linspace(0,1.0E-3,10); % Linearvektor x = linspace(0,0.05,20); % Linearvektor<<< %x = linspace(0,0.05,150); % Linearvektor m = 0; % Ordnungszahl Symmetrieproblem der Ebene % Loest Randwertprobleme elliptischer und parabolischer PDEs u = pdepe(m,@pdex1pde,@pdex1ic,@pdex1bc,x,t); % Matrix u: Zeilen beinhalten Weginfo, beginnend bei null % Spalten beinhalten Zeitinfo, beginnend bei null <?page no="342"?> 318 Anhang % Rufe Funktion auf um Werkstoffname zu erhalten Mat_Name = ’Kupfer’; % Figure-Titel % Position Figure links = 20; % Bezugskoordinate linker Bildrand (vertikal) unten = 300; % Bezugskoordinate unterer Bildrand (horizontal) breite = 600; % Bildbreite augehend von ’Bezugskoordinate linker Bildrand’ hoehe = 350; % Bildhoehe ausgehend von ’Bezugskoordinate unterer Bildrand’ figure(’position’,[links,unten,breite,hoehe]); surf(x,t,u,’Linewidth’,1.5); set(gca,’Fontsize’,12); view(8,12); %Titel = strcat(’Werkstoff: ’, Mat_Name, ’ \kappa / \kappa_0 = ’,num2str(Faktor)); Titel = strcat(’Werkstoff: ’, Mat_Name); title(Titel); xlabel(’(Linker Rand) Weg x [m] (rechter Rand)’); ylabel(’Zeit t [s]’); zlabel(’\varphi_h [ ◦ C]’); %print -depsc2 -tiff Diff1.eps links = 700; % Bezugskoordinate linker Bildrand (vertikal) unten = 300; % Bezugskoordinate unterer Bildrand (horizontal) breite = 600; % Bildbreite augehend von ’Bezugskoordinate linker Bildrand’ hoehe = 350; % Bildhoehe ausgehend von ’Bezugskoordinate unterer Bildrand’ figure(’position’,[links,unten,breite,hoehe]); %plot(rot90(u,3),’Linewidth’,1.2); plot(x,rot90(u,3),’Linewidth’,1.2); <?page no="343"?> A.1 MATLAB-Code - W¨armediffusionsskript 319 Titel = strcat(’Werkstoff: ’, Mat_Name); set(gca,’Fontsize’,12); xlabel(’(Linker Rand) Weg x [m] (rechter Rand)’); ylabel(’[ ◦ C]’); title(Titel); legend(’4,0 s’,’3,5 s’,’3,0 s’,’2,5 s’,’2,0 s’,’1,5 s’, ’1,0 s’,’0,5 s’,’0,0 s’) grid on; % Beispiele fuer Bildausgaben %print -depsc2 -tiff Diff2.eps %print -depsc2 -tiff Name.eps %print -dpng Name.png %print -dbmp Name.bmp % -------------------------------------------------------------- % Partielle Differenzialgleichung % Angaben aus Kuchling; Taschenbuch der Physik function [c,f,s] = pdex1pde(x,t,u,DuDx) Rho = 8933; % kg/ m^3; cth = 383; % J/ (kg K); Lamda = 384; % W/ (m K); c = Rho * cth / Lamda; f = DuDx; s = 0; % -------------------------------------------------------------- % Anfangsbedingung (initial conditions) function u0 = pdex1ic(x) u0 = 0; % -------------------------------------------------------------- % Randbedingungen <?page no="344"?> 320 Anhang function [pl,ql,pr,qr] = pdex1bc(xl,ul,xr,ur,t) % l = linker Rand, Anfang des Probekoerpers bei x = 0 % r = rechter Rand, Ende des Probekoerpers bei x = x_max % Randbedingung Beispiel 1- Kupfer - Referenz COMSOL % mit Randbedingung u0=0 % Temperatur = 100; % pl = ul-Temperatur; % ql = 0; % pr = ur-0; % qr = 0; %print -depsc2 -tiff Diffusion_Beispiel_1.eps % Randbedingung Beispiel 2 - Diff-Laenge gegnueber Bsp. 1 halbiert % mit Randbedingung u0=0 Temperatur = 100.0; pl = ul-Temperatur; ql = 0; pr = ur; qr = 20; %print -depsc2 -tiff Diffusion_Beispiel_2.eps % Randbedingung Beispiel 3 - Diff-Laenge gegnueber Bsp. 1 halbiert % mit Randbedingung u0=0 % Temperatur = 100; % pl = ul-Temperatur; % ql = 0; % pr = 0; % qr = ur-1 ; %print -depsc2 -tiff Diffusion_Beispiel_3.eps % -------------------------------------------------------------- <?page no="345"?> A.2 MATLAB-Code - Magnetfelddiffusionsskript 321 A.2 MATLAB-Code - Magnetfelddiffusionsskript % -------------------------------------------------------------- % Reinhold-Wuerth Hochschule Campus Kuenzelsau % Autor: Prof. Dr.-Ing. J. Ulm % MATLAB-Programm zur Loesung der Magnetfeld-Diffusionsgleichung % Datum: Sommer 2021 % -------------------------------------------------------------function pde_Diffusion close all; clear all; clc; t = [0E-4: 2E-4: 1.4E-3]; % Linearvektor %t = linspace(0,1.0E-3,10); % Linearvektor x = linspace(0,0.010,50); % Linearvektor m = 0; % Ordnungszahl Symmetrieproblem der Ebene % Loest Randwertprobleme elliptischer und parabolischer PDEs u = pdepe(m,@pdex1pde,@pdex1ic,@pdex1bc,x,t); % Matrix u: Zeilen beinhalten Weginfo, beginnend bei null % Spalten beinhalten Zeitinfo, beginnend bei null % rufe Funktion auf um Werkstoffname zu erhalten [my_kappa,Mat_Name] = Permeabilitaet_kappa(0.1); % Position Figure links = 20; % Bezugskoordinate linker Bildrand (vertikal) unten = 300; % Bezugskoordinate unterer Bildrand (horizontal) breite = 600; % Bildbreite augehend von ’Bezugskoordinate linker Bildrand’ hoehe = 350; % Bildhoehe ausgehend von ’Bezugskoordinate unterer Bildrand’ <?page no="346"?> 322 Anhang figure(’position’,[links,unten,breite,hoehe]); surf(x,t,u,’Linewidth’,1.5); set(gca,’Fontsize’,12); view(8,12); %Titel = strcat(’Werkstoff: ’, Mat_Name, ’ \kappa / \kappa_0 = ’,num2str(Faktor)); Titel = strcat(’Werkstoff: ’, Mat_Name); %title(Titel); xlabel(’(Linker Rand) Weg x [m] (rechter Rand)’); ylabel(’Zeit t [s]’); zlabel(’B [T]’); %print -depsc2 -tiff Diff_B_Galerkin_01.eps links = 700; % Bezugskoordinate linker Bildrand (vertikal) unten = 300; % Bezugskoordinate unterer Bildrand (horizontal) breite = 600; % Bildbreite augehend von ’Bezugskoordinate linker Bildrand’ hoehe = 350; % Bildhoehe ausgehend von ’Bezugskoordinate unterer Bildrand’ figure(’position’,[links,unten,breite,hoehe]); %plot(rot90(u,3),’Linewidth’,1.2); plot(x,rot90(u,3),’Linewidth’,1.2); Titel = strcat(’Werkstoff: ’, Mat_Name); set(gca,’Fontsize’,12); xlabel(’(Linker Rand) Weg x [m] (rechter Rand)’); ylabel(’B [T]’); legend(’1,4 ms’, ’1,2 ms’, ’1,0 ms’, ’0,8 ms’, ’0,6 ms’, ’0,4 ms’, ’0,2 ms’, ’0,0 ms’); %title(Titel); grid on; % Beispiele fuer Bildausgaben %print -depsc2 -tiff Diff_B_Galerkin_02.eps %print -depsc2 -tiff Diff_B_Galerkin_02.eps <?page no="347"?> A.2 MATLAB-Code - Magnetfelddiffusionsskript 323 %print -depsc2 -tiff Name.eps %print -dpng Name.png %print -dbmp Name.bmp % -------------------------------------------------------------- % Partielle Differenzialgleichung function [c,f,s] = pdex1pde(x,t,u,DuDx) [my_kappa,Mat_Name] = Permeabilitaet_kappa(u); c = my_kappa; f = DuDx; s = 0; % -------------------------------------------------------------- % Anfangsbedingung (initial conditions) function u0 = pdex1ic(x) u0 = 0; % -------------------------------------------------------------- % Randbedingungen function [pl,ql,pr,qr] = pdex1bc(xl,ul,xr,ur,t) % l = linker Rand, Anfang des Probekoerpers bei x = 0 % r = rechter Rand, Ende des Probekoerpers bei x = x_max % Randbedingung Beispiel 1- Kupfer - Referenz COMSOL % mit Randbedingung u0=0 % Tesla = 1.0; % pl = ul-Tesla; % ql = 0; % pr = ur-0.2; % qr = 0; %print -depsc2 -tiff Diffusion_Beispiel_1.eps % Randbedingung Beispiel 2 - Diff-Laenge gegnueber Bsp. 1 halbiert <?page no="348"?> 324 Anhang % mit Randbedingung u0=0 Tesla = 1.0; pl = ul-Tesla; ql = 0; pr = ur; qr = 1; %print -depsc2 -tiff Diffusion_Beispiel_2.eps % Randbedingung Beispiel 3 - Diff-Laenge gegnueber Bsp. 1 halbiert % mit Randbedingung u0=0 % Tesla = 1.0; % pl = ul-Tesla; % ql = 0; % pr = 0; % qr = ur-1 ; %print -depsc2 -tiff Diffusion_Beispiel_3.eps % -------------------------------------------------------------- % -------------------------------------------------------------function [my_kappa,Mat_Name] = Permeabilitaet_kappa(B) % -------------------------------------------------------------- % zur Verfuegung stehende Werkstoffe Werkstoff_M = 2; % waehle Werkstoff aus (1 ... 5) perm = 3; % 1 = differenzeille Permeab.; % 2 = Permeabilitaet % 3 = Permeabilitaet des Vakuums if Werkstoff_M == 1 % Vacoflux 50 Mat_Name= [’Vacoflux50’]; H_mat = [0 13 20 22 26 30 34 39 45 52 60 69 79 91 104 138 242 447 782 2393 5514 15000 50000 ]; B_mat = [0 0.04 0.1 0.16 0.26 0.43 0.65 0.86 1.09 1.28 1.42 1.51 1.59 1.65 1.71 1.81 1.95 2.07 2.15 2.25 2.28 2.30 2.40]; <?page no="349"?> A.2 MATLAB-Code - Magnetfelddiffusionsskript 325 kappa = 2.5.*10.^6; elseif Werkstoff_M == 2 % Kupfer Mat_Name= [’Kupfer’]; H_mat = [0 10 25000 50000]; B_mat = [0 1.2566E-5 0.0314159 0.062831853]; kappa = 56.2.*10.^6; elseif Werkstoff_M == 3 Mat_Name= [’9SMn28K’]; H_mat = [ 0 396 793 1031 1190 1587 3174 5952 9920 19841 30158 50000]; B_mat = [ 0 0.6 0.97 1.15 1.24 1.39 1.53 1.63 1.7 1.75 1.77 1.8 ]; kappa = 4.5.*10.^6; % Leitfaehigkeit geschaetzt elseif Werkstoff_M == 4 Mat_Name= [’11SMn 30’]; H_mat = [0 1250 2500 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000 50000 ]; B_mat = [0 0.95 1.29 1.65 1.81 1.89 1.95 2 2.02 2.04 2.05 2.07 2.09]; kappa = 4.55.*10.^6; elseif Werkstoff_M == 5 Mat_Name= [’100Cr6’]; H_mat = [0 100 300 500 1250 2500 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000 50000]; B_mat = [0 0.01 0.10 0.21 0.63 1.17 1.37 1.47 1.54 1.58 1.60 1.63 1.65 1.66 1.67 1.69]; kappa = 4.65.*10.^6; else error(’Waehle Werkstoff aus! ! ! ’) end my_0 = 4*pi*10^-7; if perm == 1 % Differenzielle Permeabilitaet dB = diff(B_mat); <?page no="350"?> 326 Anhang dH = diff(H_mat); my_mat = zeros(size(H_mat)); my_mat(1: end-1) = dB./ dH; my_kappa = interp1(B_mat,my_mat,B,’pchip’) .* kappa; elseif perm == 2 % Permeabilitaet my_mat = B_mat./ (H_mat+eps); my_mat(1) = my_mat(2); % unterdruecke NAN-Ausgabe my_kappa = interp1(B_mat,my_mat,B,’pchip’) .* kappa; elseif perm == 3 % Permeabilitaet des Vakuums my_kappa = kappa.*my_0; else error(’Waehle Permeabilitaet aus! ! ! ’) end % -------------------------------------------------------------- <?page no="351"?> A.3 Toolvergleich - MATLAB vs. COMSOL 327 A.3 Toolvergleich - MATLAB vs. COMSOL Gegen¨ ubergestellt werden die beiden Simulationsergebnisse eines eindimensionalen Felddiffusionsvorgangs in einem unendlich langen Kupferk¨orper mit einer spezifischen elektrischen Leitf¨ahigkeit κ = 56 10 6 1/ (Ωm) und konstanter Permeabilit¨at μ 0 . Als Randbedingung wurde einseitig die Flussdichte von 1 T vorgegeben. In der Abb. A.1 ist das mit der MATLAB PDE-Toolbox und in Abb. A.2 das mit COMSOL Multiphysics erzielte Ergebnis ersichtlich. In beiden Ergebnisdarstellungen wurde die Zeit t als Scharparameter gew¨ahlt. Die Ergebnisse beider Tools stimmen sehr gut ¨ uberein. Der MATLAB-Code kann dem Anhang A.2 entnommen werden. Abbildung A.1: MATLAB-PDE-Toolbox-Simulationsergebnis <?page no="352"?> 328 Anhang Abbildung A.2: COMSOL Multiphysics-Simulationsergebnis <?page no="353"?> Anhang B Campus K¨ unzelsau - Inside Der Campus K¨ unzelsau zeichnet sich durch seine Studieng¨ange Elektrotechnik, Automatisierungstechnik & Elektromaschinenbau aus. In den Bachelorstudieng¨angen liest der Autor die Module ”Elektrische Maschinen“ und ”Konstruktion Antriebssysteme“ und im Masterstudiengang Elektrotechnik, in dessen Schwerpunkt Elektromagnetische Systeme (EMS) die Module ”Theorie der elektromagnetischen Felder“ und die ”Elektromagneto-mechanischen Energiewandler“. Abbildung B.1: Neues Forschungsgeb¨aude am Campus K¨ unzelsau (Foto: Wilhelm Feucht) Seine Forschungsschwerpunkte umfassen • Elektromagnetische Energiewandler, 329 <?page no="354"?> 330 Campus K¨ unzelsau - Inside • Magnetische Sensortechnik, • Magnetische Werkstoffpr¨ ufung, • Analytische und numerische Berechnungsmethoden/ Simulationstechniken. Das Institut f¨ ur schnelle mechatronische Systeme (ISM), aus welchem zahlreiche Patente, Ver¨offentlichungen und Preise in der Zusammenarbeit mit der regionalen Industrie hervorgingen, wurde 2010 gegr¨ undet. Im Rahmen des Campusausbaus 2019 wurde ein Forschungsgeb¨aude, das Geb¨aude im Vordergrund von Abb. B.1 errichtet und ebenfalls 2019 zudem das Institut f¨ ur Digitalisierung und elektrische Antriebe (IDA) gegr¨ undet, welches 2020 seine Arbeit im Erdgeschoss (400 m 2 ) aufnahm. F¨ ur den Aufbau und die Leitung wurde Prof. Dr.-Ing. J¨ urgen Ulm als gesch¨aftsf¨ uhrender Direktor bestellt. Ihm zur Seite steht Prof. Dr.-Ing. Ingo K¨ uhne als stellvertretender Institutsdirektor und Institutsassistentin Fr. Dr. Anna Konyev. Im Jahr 2020 erhielt Prof. Ulm zudem eine Forschungsprofessur f¨ ur Elektromagnetische Systeme. Die inhaltliche Grundausrichtung von IDA liegt in der angewandten Forschung im Themenfeld Digitalisierung elektromagnetischer Antriebe, Sensorik und Messtechnik: • IDA unterst¨ utzt regionale Firmen, indem es insbesondere KMUs einen Zugang zur Forschung und Entwicklung in Verbindung mit der Hochschule erm¨oglicht, • IDA deckt Engp¨asse in der Forschung und Entwicklung (F&E) in Unternehmen ab, indem diese F&E-Aufgaben an IDA auslagern, • IDA unterst¨ utzt bei der Verwirklichung eigener Ideen und verhilft zu innovativen Produkten. Weitere Infos bez¨ uglich beider Institute k¨onnen jeweils der Homepage • https: / / www.hs-heilbronn.de/ ida, • https: / / www.hs-heilbronn.de/ ism entnommen werden. Mein herzlicher Dank gilt an dieser Stelle meinem Team beider Institute f¨ ur die Bereitstellung der Bilder und die Unterst¨ utzung bei der Erstellung dieses Buches! Herzliche Gr¨ uße J¨ urgen Ulm <?page no="355"?> Index Abklingkoeffizient 67 Deltafunktion 41 Across Variables 154 Determinante 3 adjungieren 6 deterministisches Problem 162 Adjunkte 5 Differenzenquotient, zentraler 251 Analogie elektr. und mechan. Gr¨oßen 155 Differenzialgleichung 17 Analyseproblem 162 Differenzialgleichung, elliptisch 23 Anfangswertaufgabe 23 Differenzialgleichung, explizit 17 Aperiodischer Grenzfall 68 Differenzialgleichung, gew¨ohnliche 17 Aperiodisches Verhalten 69 Differenzialgleichung, homogen 17 Assoziativgesetz 37 Differenzialgleichung, hyperbolisch 23 Asynchronmotor, Musteraufbau 275 Differenzialgleichung, implizit 18 Aufpunkt 114 Differenzialgleichung, inhomogen 17 Basisfunktion 162 Differenzialgleichung, Klassifikation 22 Bessel, Wilhelm Friedrich 92 Differenzialgleichung, lineare 17 Besselfunktion, erster Art 106 Differenzialgleichung, parabolisch 23 Besselgleichung, allgemeine Form 92 Differenzialgleichung, partielle 17 Besselgleichung, Feld im Kondensator 100 Differenzialgleichung, schwache Form 30 Besselgleichung, Felddiffusion 97 Differenzialgleichung, starke Form 30 Besselgleichung, Flussdichteverteilung 102 Differenzialquotient 251 Besselgleichung, Parallelschwingkreis 94 Diffusionsgleichung 111 Blindwiderst¨ande 51 Dirac’sche Deltafunktion 41 Crank, John 252 Diskontinuit¨atsbedingung 130 Crank-Nicolson, explizite Methode 260 Diskretisierungsfehler 251 Crank-Nicolson, implizite Methode 252 Diskriminante 68 D¨ampfer, Geschwindigkeits-DGL 154 Distributivgesetz 37 D¨ampfungsfaktor 67 Drehmatrix 10 <?page no="356"?> 332 Index Dreiecksfunktion 201 Hyperbolische Differenzialgleichung 23 Dreiecksmatrix 16 Impedanzen 51 Durchflutungsgesetz 154 Impulserhaltungsgesetz 154 D¨ urer-Quadrat 4 Induktionsgesetz 154 e-Funktion 169 Induktivit¨at, Strom-DGL 154 Eigenfrequenz 54 Inneres Produkt von Funktionen 28 Eigenfrequenz, Fehlerrechnung, 55 Inneres Produkt von Vektoren 27 Eigenfrequenz, ged¨ampftes System 67 Inneres Produkt, normiert 29 Eigenfunktionen 285 Integration, partiell 22 Eigenkreisfrequenz, ged¨ampftes System 67 Integrationspunkt 114 Eigenl¨osungen 285 Kartesisches Koordinatensystem 43 Eigenvektor 14 Kategorien, Modellbildung 303 Eigenwert 14 Kern der Transformation 299 Eigenwertproblem, kanonische Form 287 Kommutativgesetz 37 Einheitsmatrix 3 Komplement, algebraisches 5 Einheitsvektoren, Rechenregeln 38 Kondensator, Spannungs-DGL 154 Elektrische Feldst¨arke, bezogene 86 Kontinuit¨atsbedingung 131 Elliptische Differenzialgleichung 23 Koordinatensystme 43 Erregerkreisfrequenz 67 Kriechfall 69 Evolution¨are Methode 282 Kugelkoordinatensystem 47 Fehlerrechnung 55 Laplace-Operator 33 Felddiffusionsgleichung 242 Laplace’sche Differenzialgleichung 125 Finite Elemente, Klassifizierung 155 LCR-Schwingkreise, reihe, parallel 52 Finite-Differenzen-Methode 251 Linearer Operator 25 Galerkin, Boris 164 Linke-Hand-Regel 41 Galerkin-Methode 161 L¨osung, komplement¨aren 19 Gammafunktion 106 L¨osung, partikul¨ar 19 Gauß’sche Satz, Elektrostatik 39 LU-Zerlegung 271 Gew¨ohnliche Differenzialgleichungen 17 Matrix, adjungiert 8 Green, George 109 Matrix, antihermitesche 16 Green’sche Integrals¨atze 112 Matrix, hermitesche konjugierte 8 Helmholtzgleichung 111 Matrix, inverse 6 Hermite, Charles 9 Matrix, komplex konjugierte 7 Hilbert-Raum 27 Matrix, konditionierte 12 H¨ ullintegral 39 Matrix, Konditionszahl 12 <?page no="357"?> Index 333 Matrix, Norm 11 Partikelschwarm-Methode 282 Matrix, normale 11 PDE 21 Matrix, orthogonale 9 Phasendiagramm 74 Matrix, quadratische 3 Poisson’sche DGL der Elektrostatik 156 Matrix, selbstadjungierte 9 Poisson’sche Differenzialgleichung 111 Matrix, transponierte 7 Postprocessing 272 Matrix, unit¨are 10 Potenzial 223 Maxwell’sche Gleichungen 40 Potenzialverlauf 230 Maxwell’sches IV Theorem 38 Preprocessing 270 Mehrzieloptimierung 278 Problem, deterministisches 162 Methods of Moments (MOM) 161 Processing 271 Modellbildung, Kategorien 303 Produkt, inneres, normiert 29 MOM 161 Produktentwicklung, virtuelle 277 Momentenmethode, Grundprinzip 161 Proportionalmagnet 269 Monte Carlo-Methode 280 Randbedingung, Cauchy 24 Nabla-Operator 32 Randbedingung, Dirichlet 24 Neumann-Green’sche Funktion 121 Randbedingung, Neumann 24 Nicolson, Phyllis 252 Randwertaufgabe 21 Normal-Funktion 29 Reaktanzen 51 Normalisierte Funktion 29 Rechte-Hand-Regel 41 Normen, n¨ utzliche 307 Reihenschwinger, mechanischer 155 Null-Operator 26 Reihenschwingkreis, elektrischer 155 ODE 18 Residuum 168 Operator, invers 26 Sarrus, Regel von 4 Operator, linear 25 Schwache Form, Differenzialgleichung 30 Operator, selbstadjungiert 26 Schwarz’scher Vertauschungssatz 21 Optimierungstool 278 Skalarprodukt 27 Orthogonal-Funktion 29 Skalarprodukt, Kollinearit¨at 37 Orthonormal-Funktion 30 Skalarprodukt, Orthogonalit¨at 37 Parabolische Differenzialgleichung 23 Spiegelmatrix 8 Parallelschwinger, mechanischer 155 Starke Form, Differenzialgleichung 30 Parallelschwingkreis, elektrischer 155 Stoke’scher Integralsatz 38 Pareto-Front 278 Stromdichte 81 Pareto-Optimierung 278 Stromverdr¨angung 81 Partielle Differenzialgleichungen 17 Sturm-Liouville-Gleichung 111 <?page no="358"?> 334 Index Syntheseproblem 162 Vektoroperator Gradient 33 Tauchankermagnet 279 Vektoroperator Rotation 35 Testfunktion 162 Vektorprodukt 37 Through Variables 154 Vektorprodukt, Kollinearit¨at 37 Transformation, Zeit-, Bildbereich 64 Vektorprodukt, Orthogonalit¨at 37 Unterdeterminante 5 Virtuelle Produktentwicklung 277 Variable, abh¨angige 17 W¨armediffusionsgleichung 156 Variable, unabh¨angige 17 W¨armedurchgang 231 Vektor, Klassifikation 31 Wellengleichung 156 Vektoren, Differenziationsregeln 31 Wichtungsfunktion 163 Vektoren, inneres Produkt 27 Wronski-Determinante 20 Vektoroperator Divergenz 34 Zylinderkoordinatensystem 45 Alle Abbildungen und Tabellen wurden vom Autor selbst erstellt. <?page no="359"?> Elektrotechnik ,! 7ID8C5-cfhhhe! ISBN 978-3-8252-5777-4 Dies ist ein utb-Band aus dem expert verlag. utb ist eine Kooperation von Verlagen mit einem gemeinsamen Ziel: Lehr- und Lernmedien für das erfolgreiche Studium zu veröffentlichen. utb.de QR-Code für mehr Infos und Bewertungen zu diesem Titel Das Buch bietet eine praxisorientierte Einführung in die mathematischen Methoden der Elektrotechnik. Der Schwerpunkt liegt auf der Lösung von gewöhnlichen und partiellen Differenzialgleichungen mittels analytischer und numerischer Methoden. Dabei werden die analytischen Methoden den numerischen gegenübergestellt. Die Differenzialgleichungen wurden mit Blick auf die Problemstellungen der Elektrotechnik gewählt. Gezeigt wird, wie diese beispielsweise auch auf die Mechanik übertragen werden können. Zahlreiche Beispiele und Aufgaben mit ausgearbeiteten Lösungen erleichtern den Transfer des Wissens in die Anwendungen.
