Tribologie + Schmierungstechnik 63. Jahrgang 4/ 2016 5 Aus Wissenschaft und Forschung 1 Einleitung Es gibt eine Vielzahl von technischen Systemen in denen Wälzlager zum Einsatz kommen. Eine der wichtigsten Anforderungen, die an solche Systeme gestellt werden, ist eine möglichst hohe Effizienz. Um diese Anforderung erfüllen zu können, muss der Konstrukteur unter anderem auch die Verluste, die der Einsatz von Wälzlagern mit sich bringt bereits im Vorfeld möglichst genau berechnen können. Bei der Berechnung der mechanischen Verluste infolge der Reibung, z. B. in den Wälzkontakten zwischen den Wälzkörpern und deren Laufbahn und in Kontaktflächen zwischen den Wälzkörpern und dem Käfig, bietet sich die Möglichkeit auf verschiedene Berechnungsansätze und -verfahren zurückzugreifen (z. B. [1], [2]). Außerdem stellen Wälzlagerhersteller eigenentwickelte Verfahren oder Berechnungswerkzeuge zur Berechnung des Roll- und Gleitreibungsmomentes zur Verfügung (z. B. [3], [4]). Einen weiteren wichtigen Anteil des Gesamtreibmoments eines Wälzlagers bilden die Verluste, die auf die rotationsbedingte Verdrängung des Schmierstoffes aus der Lagerkammer zurückzuführen sind. Diese schmierstoffbedingten Verluste lassen sich * Dipl.-Ing. Jürgen Liebrecht Prof. Dr.-Ing. Bernd Sauer Lehrstuhl für Maschinenelemente und Getriebetechnik (MEGT) / TU Kaiserslautern, 67663 Kaiserslautern Dr.-Ing. Xiaojiang Si Prof. Dr.-Ing. Hubert Schwarze Institut für Tribologie und Energiewandlungsmaschinen (ITR) / TU Clausthal-Zellerfeld, 38678 Clausthal-Zellerfeld Technisch-mathematischer Ansatz zur Berechnung der Plansch- und Strömungsverluste am Kegelrollenlager J. Liebrecht, X. Si, B. Sauer, H. Schwarze* Eingereicht: 12. 2. 2016 Nach Begutachtung angenommen: 15. 2 .2016 In diesem Beitrag wird die Vorgehensweise zur Ableitung eines technisch-mathematischen Modells zur Bestimmung der hydraulischen Verluste eines Kegelrollenlagers vorgestellt. Das Modell basiert auf experimentellen und simulativen Untersuchungen eines Kegelrollenlagers 32208 mit vertikal ausgerichteter Drehachse. Die vertikale Lageranordnung hat rotationssymmetrische Betriebsbedingungen hinsichtlich der Schmierstoff- und Lastverteilung zum Ziel. Die durchgeführten CFD-Simulationen liefern eine eindeutige Aussage über die Größe und die Art der Verluste, die durch einzelne Wälzlagerkomponenten verursacht werden. Auf diese Weise kann zwischen Strömungs- (Schlepp-) und Planschverlusten differenziert werden. Das in diesem Beitrag vorgestellte technischmathematische Modell (CoDaC-Calculation of Drag and Churning) baut auf dieser Unterteilung der Verluste auf. Anhand von vorliegenden Ergebnissen und unter Verwendung von verschiedenen dimensionslosen Berechnungsgrößen werden Gleichungen zur Bestimmung der Strömungs- und der Planschverluste abgeleitet. Schlüsselwörter Kegelrollenlager, CFD, Experiment, Planschverluste, Schleppverluste This paper focuses on a technical-mathematical model to determine hydraulic losses in tapered roller bearings. The model is based on experimental and simulative experiments of a tapered roller bearing 32208 with a vertical aligned axis of rotation. The vertical alignment of the bearing is used to achieve rotationally symmetrical distribution of lubricant and load. The CFD simulations are used to give a definitive answer on the magnitude and type of losses which are caused by each bearing component. This enables a differentiation between the flow (drag) and the churning losses. The technical-mathematical model (CoDaC-Calculation of Drag and Churning) presented in this paper is also based on the differentiation of hydraulic losses. Using existing results and different dimensionless parameters equations to determine the drag and churing losses are derived. Keywords Tapered roller bearings, CFD, experiment, churning losses, drag losses Kurzfassung Abstract T+S_4_16 02.06.16 12: 26 Seite 5 6 Tribologie + Schmierungstechnik 63. Jahrgang 4/ 2016 in Plansch- und Strömungsverluste (Schleppverluste) unterteilen [5], [6], [7]. Der Grund für die Entstehung der Schleppverluste ist der Strömungswiderstand, den der Schmierstoff dem Wälzkörpersatz während seiner Bewegung durch das Ölbad entgegensetzt. Die Planschverluste resultieren dagegen aus der Scherung des Schmierstoffes an den freien Oberflächen der Lagerringe, des Käfigs und der Wälzkörper. Zur Berechnung der Plansch- und Strömungsverluste eines Wälzlagers existieren keine allgemeingültigen Verfahren, sondern nur empirische Gleichungen (z. B. [8]) oder Berechnungsansätze, die auf klassischen Theorien der Strömungsmechanik basieren und nur eine grobe Abschätzung dieser hydraulischen Verluste erlauben [9]. Zudem liefern große Wälzlagerhersteller Black-Box-Lösungen in Form von analytischen Gleichungen zur Bestimmung der hydraulischen Verluste, die allerdings keine eindeutigen Aussagen über die signifikanten Einflussgrößen bzw. Wälzlagerelemente zulassen [3]. Um die Entstehung der Strömungs- und Planschverluste zu verstehen und diese fundiert berechnen zu können, wurden im Rahmen eines durch die DFG finanzierten Forschungsprojektes am Lehrstuhl für Maschinenelemente und Getriebetechnik (MEGT) der TU Kaiserslautern sowie am Institut für Tribologie und Energiewandlungsmaschinen (ITR) der TU Clausthal experimentelle und simulative Untersuchungen durchgeführt. Das Ziel dieser Untersuchungen ist unter anderem die Ableitung eines technisch-mathematischen Modells zur näherungsweisen Berechnung der hydraulischen Verluste eines ölbadgeschmierten Kegelrollenlagers. Der Rahmen der Untersuchungen und die Gültigkeit des Modells sind auf vertikal ausgerichtete Kegelrollenlager mit stehendem Außen- und rotierendem Innenring sowie rotationssymmetrische Betriebsbedingungen hinsichtlich der Schmierstoff- und Lastverteilung begrenzt. 2 Stand der Forschung Das Ziel der bisher durchgeführten Arbeiten bestand darin durch ein Zusammenwirken von experimentellen und numerischen Untersuchungen ein Simulationsmodell zu entwickeln, mit dem Plansch- und Strömungsverluste in einem Kegelrollenlager nachgebildet werden können. Zu diesem Zweck wurde am MEGT ein neuer Prüfstand mit vertikal ausgerichteter Prüfwelle entwickelt und konstruiert. Parallel dazu erfolgte am ITR basierend auf verschiedenen Methoden zur Strömungsbzw. Fluidsimulation der Aufbau eines entsprechenden Simulationsmodells bzw. eines Rechengitters, welches eine genaue Nachbildung des Prüflagers und des Prüfraums darstellt [5], [6]. Im nächsten Schritt erfolgten die Verifikation des Simulationsmodells anhand von experimentellen Ergebnissen und die Untersuchungen der Einflussgrößen auf die hydraulischen Verluste. Die experimentelle Erfassung der Verluste wurde durch Messung des Gesamtreibmoments unter Variation des Ölstands realisiert. Mit Hilfe der durchgeführten Untersuchungen wurde gezeigt, dass die Strömungs- und Planschverluste von der Viskosität, der Drehzahl und dem Ölstand maßgebend beeinflusst werden. Des Weiteren hat sich im Rahmen experimenteller Untersuchungen der mit zunehmender Drehzahl ansteigende Luftgehalt (Verschäumungsgrad) als weitere wichtige Einflussgröße herausgestellt. Dieser wirkt sich insbesondere bei höheren Drehzahlen auf die Schmierstoffdichte aus und muss in den Simulationen entsprechend berücksichtigt werden. Dies kann beispielsweise durch die Vorgabe der dynamischen Viskosität als Funktion der Drehzahl erfolgen [6]. Untersuchungen weiterer Wälzlagerbauformen zeigen zudem den Einfluss der Wälzkörpergeometrie. Diese bestimmt die aus der Lagerkammer zu verdrängende Schmierstoffmenge und wirkt sich dadurch signifikant auf die Plansch- und Strömungsverluste aus [7]. 3 Technisch-mathematisches Modell (CoDaC) Die durchgeführten Untersuchungen mittels CFD-Simulationen liefern zahlreiche Erkenntnisse und konkrete Hinweise zum Ableiten eines technisch-mathematischen Modells. Diese Berechnungsansätze basieren auf klassischen Theorien der Strömungsmechanik und einer separaten Betrachtung einzelner Verlustanteile, welche durch die Verwendung entsprechender CFD-Berechnungswerkzeuge möglich wird. Diese Ansätze werden im Folgenden genauer beschrieben. 3.1 Hydraulische Verluste eines Kegelrollenlagers CFD-Berechnungswerkzeuge bieten die Möglichkeit die in einem Wälzlager entstehenden Plansch- und Schleppverluste einzeln zu bestimmen. Diese auf die Schmierstoffscherung und Schmierstoffverdrängung zurückzuführenden Verluste können in Form von Kraft oder Moment (Schleppbzw. Planschmoment) für jedes einzelne Wälzlagerelement ermittelt werden. Auf diese Weise können kritische Verlustanteile identifiziert und bei der Ableitung des technisch-mathematischen Modells entsprechend berücksichtigt werden [7]. Bild 1 zeigt am Beispiel des untersuchten Kegelrollenlagers 32208 die Zusammensetzung der Plansch- und Strömungsverluste in Abhängigkeit von den Wälzlagerelementen. Es ist ersichtlich, dass die Wälzkörper bzw. der Wälzkörpersatz den größten Teil an Verlusten mit sich bringt. Dabei überwiegen die aus der Schmierstoffverdrängung resultierenden Schleppverluste an den Wälzkörpermantelflächen die Planschverluste. Des Weiteren verursacht die Scherung des Schmierstoffes an den Laufbahnflächen des Innen- und Außenrings einen weiteren nicht zu Aus Wissenschaft und Forschung T+S_4_16 02.06.16 12: 26 Seite 6 Tribologie + Schmierungstechnik 63. Jahrgang 4/ 2016 vernachlässigenden Anteil am Planschmoment. Die Planschverluste durch den Käfig und die Wälzkörperstirnflächen fallen bei diesem Lagertyp sehr gering aus. Dabei ist allerdings zu berücksichtigen, dass das hier untersuchte Kegelrollenlager mit einem Standardkäfig aus Stahlblech ausgestattet ist. Somit lassen diese Ergebnisse keine eindeutige Aussage über die Verluste zu, die der Einsatz eines Käfigs mit abweichender Geometrie mit sich bringen würde. Der Grund hierfür liegt darin, dass signifikante Abweichungen sich auf die Strömungsausbildung in der Lagerkammer und dadurch auch auf die Plansch- und die Schleppverluste auswirken würden. Unter Berücksichtigung der in Bild 1 dargestellten Ergebnisse sind bei der Ableitung eines technisch-mathematischen Modells die Schlepp- und Planschverluste an den Wälzkörpermantelflächen sowie die Planschverluste am Innen- und dem Außenring zu berücksichtigen. Die resultierenden Schleppmomente am Käfig und den Wälzkörperstirnflächen können dagegen unberücksichtigt bleiben. 3.2 Schleppverluste - Wälzkörpersatz Der Ansatz zur Bestimmung des Schleppmomentes, das durch den Wälzkörpersatz verursacht wird, wurde bereits in [7] vorgestellt. Demnach kann das Schleppmoment eines Wälzkörpers nach [9] mit der Widerstandskraft F S , dem mittleren Wälzlagerdurchmesser d m , dem Widerstandsbeiwert C W , der projizierten Wälzkörperfläche A, der Strömungsgeschwindigkeit u sowie der Schmierstoffdichte ρ* nach Gl. (1) berechnet werden. Dabei muss berücksichtigt werden, dass die Dichte ρ* bei der Berechnung von C W nicht konstant angenommen wird, sondern mit zunehmender Umlaufgeschwindigkeit abfällt. Der Grund hierfür ist der mit zunehmender Drehzahl ansteigender Luftgehalt im Schmierstoff. Dieser Effekt wurde im Rahmen experimenteller Untersuchungen festgestellt und in CFD-Simulationen entsprechend berücksichtigt [6]. (1) Der Widerstandsbeiwert C W eines Wälzkörpers stellt in diesem Fall eine unbekannte Größe dar. Diese lässt sich allerdings mit Hilfe aller vorliegenden Ergebnisse für das Schleppmoment M Schlepp aus den Untersuchungen am vollgefluteten Kegelrollenlager (Ölstandstand h = 3 x Lagerbreite) unter Variation der Drehzahl und der Viskosität des verwendeten Schmierstoffes berechnen. Die Strömungsgeschwindigkeit u entspricht der Umlaufgeschwindigkeit des Wälzkörpersatzes. Werden alle nach Gl. (1) berechneten Werte für C W auf die Reynolds-Zahl R e bezogen, ist ein Zusammenhang beider Größen festzustellen (siehe Bild 2). Die Reynolds-Zahl ist analog zum Widerstandsbeiwert eine dimensionslose Größe, die sich mit der Strömungsgeschwindigkeit u, dem mittleren Wälzkörperdurchmesser d WK und der kinematischen Viskosität v wie folgt bestimmen lässt. (2) Aufgrund der Tatsache, dass die Reynolds-Zahl R e 7 Aus Wissenschaft und Forschung Bild 1: Plansch- und Schleppverluste eines Kegelrollenlagers 32208 in Abhängigkeit der Drehzahl (CFD-Simulation) Bild 2: Widerstandsbeiwert C W eines Wälzkörpers in Abhängigkeit der Reynolds- Zahl R e T+S_4_16 02.06.16 12: 26 Seite 7 8 Tribologie + Schmierungstechnik 63. Jahrgang 4/ 2016 eine Kennzahl der Ähnlichkeitsmechanik darstellt, ist die Anwendbarkeit des in Bild 2 dargestellten C W (R e )- Verlaufs auch bei Wälzlagern anderer Baugrößen denkbar. Nach Berücksichtigung des in Bild 2 dargestellten Zusammenhangs C W = f (R e ) in Gl. (1) und der Umrechnung der Umlaufgeschwindigkeit u in Drehzahl des Käfigs n K lässt sich das Schleppmoment M Schlepp eines Wälzkörpers des hier untersuchten Kegelrollenlagers wie folgt berechnen: (3) 3.3 Planschverluste - Innenbzw. Außenring Die Ursache für die Entstehung der Planschverluste am Innenbzw. dem Außenring ist die Scherung des Schmierstoffes an deren freien Oberflächen [7]. Diese Scherung lässt sich nach [10] bestimmen. Das mit ihr einhergehende Planschmoment kann durch Berücksichtigung der Abstände der Laufbahnflächen des Innensowie Außenrings zur Rotationsachse wie folgt näherungsweise berechnet werden: (4) Als Eingangsgrößen gehen die dynamische Viskosität η, das Schergefälle du iRL / dy iRL , die Wirkfläche A iRL sowie der Abstand zur Drehachse d iRL / 2 in die Berechnung ein. Die Indizes iRL stehen für die Außenbzw. Innenringlaufbahn. Bis auf das Schergefälle du iRL / dy iRL können alle benötigten Größen durch Erfassung der Lagergeometrie und das Hinzuziehen von Schmierstoff-Datenblättern ermittelt werden. Das Schergefälle, welches sich aus dem Geschwindigkeitsunterschied du iRL zwischen benachbarten Schmierstoffschichten und dem Abstand dy iRL zwischen diesen Schichten zusammensetzt, kann allerdings nicht ohne weiteres bestimmt werden. Eine Möglichkeit um die Schichtstärke zwischen dem ruhenden und dem sich bewegenden Fluid zu bestimmen, bietet die Auswertung der zweidimensionalen Visualisierung der Strömung im Prüflager [7]. Dieser Ansatz liefert zwar gute Übereinstimmung zwischen den Simulationsergebnissen und dem technisch-mathematischen Modell, setzt jedoch für eine einfache Anwendbarkeit die Verfügbarkeit von simulativen Ergebnissen zur Erstellung eines Kennfeldes mit Schichtstärken in Abhängigkeit von Betriebsbedingungen und Wälzlagerbaugröße voraus. Die Erstellung eines solchen Kennfeldes ist somit mit einem enormen Rechenaufwand und entsprechenden Kosten verbunden. Eine weitere Möglichkeit die Schichtstärke y iRL zu bestimmen, bietet die Einbeziehung der Reynolds-Zahl R e . Analog zur Vorgehensweise bei der Berechnung des Widerstandsbeiwerts C W in Abschnitt 3.2 können auch in diesem Fall mittels Gl. (4) und den vorliegenden Simulationsergebnissen die Schichtstärken für jeden Betriebspunkt berechnet werden. Werden die berechneten Werte auf den mittleren Laufbahndurchmesser d iRL des Innenbzw. Außenrings bezogen, ergibt sich mit der bezogenen Schichtstärke Y iRL = y iRL / d iRL eine weitere dimensionslose Größe, die eine Funktion der Reynolds-Zahl R e* darstellt. Bild 3 zeigt den Zusammenhang zwischen der bezogenen Schichtstärke Y iRL und der Reynolds-Zahl R e* . Die Berechnung von R e* erfolgt entsprechend Gl. (2). Allerdings wird im Gegensatz dazu, statt dem Laufbahndurchmesser d iRL des betrachten Lagerrings dessen Umfang U iRL in die Berechnung einbezogen. Als Geschwindigkeit u iRL geht für den Außenring die Umlaufgeschwindigkeit des Wälzkörpersatzes u ARL = u K in die Berechnung ein. Beim Innenring muss die Differenz der Umlaufgeschwindigkeiten des Wälzkörpersatzes und des Innenrings u IRL = u K -u IR berücksichtigt werden. Die bezogene Schichtstärke Y iRL lässt sich nun in Abhängigkeit der Reynolds-Zahl R e* in Gl. (4) angeben und die Planschverluste am Innenbzw. Außenring unter Berücksichtigung der Käfigbzw. Innenringdrehzahl mit Gl. (5) und Gl. (6) berechnen. Als Eingangsgrößen für die Berechnung der Planschverluste werden somit die Laufbahnfläche des Innen- A IRL bzw. Außenrings A ARL , die Dichte des Schmierstoffes ρ*, die kinematische Viskosität ν, die mittleren Laufbahndurchmesser des Innend IRL bzw. Außenrings d ARL , der mittlere Wälzlagerdurchmesser d m sowie die Aus Wissenschaft und Forschung Bild 3: Bezogene Schichtstärke am Innenbzw. am Außenring in Abhängigkeit der Reynolds-Zahl R e* T+S_4_16 02.06.16 12: 26 Seite 8 Tribologie + Schmierungstechnik 63. Jahrgang 4/ 2016 Käfign K und Innenringdrehzahl n IR benötigt. (5) (6) 3.4 Planschverluste - Wälzkörper Um die Planschverluste an Wälzkörpern bestimmen zu können, wird der Zusammenhang zwischen dem Plansch- M Pl,WK und Schleppmoment M Schlepp näher betrachtet. Tabelle 1 zeigt das Verhältnis zwischen dem Schlepp- und dem Planschmoment in Abhängigkeit von der kinematischen Viskosität ν, der Drehzahl n IR und dem Ölstand h. Der Ölstand wird dabei dimensionslos als Vielfaches der Lagerbreite angegeben (vgl. Bild 2). Es ist ersichtlich, dass das Plansch- und das Schleppmoment der Wälzkörper mit dem Ölstand proportional ansteigen. Die Viskosität und die Drehzahl scheinen auf deren Verhältnis keinen signifikanten Einfluss zu haben. Die geringfügigen Abweichungen im Falle der niedrigen Viskosität ν = 8,5 mm 2 / s und hoher Drehzahl n IR = 6300 min -1 können aufgrund sehr niedriger Werte des Schlepp- und des Planschmomentes vernachlässigt werden. Mit den Ergebnissen lässt sich ableiten, dass im Falle eines halbgefluteten Kegelrollenlagers (h = 0,5) das Planschmoment eines Wälzkörpers ≈ 13 % seines Schleppmomentes beträgt. Beim vollgefluteten Lager (h = 3) beträgt dieses entsprechend ≈ 21 %. 3.5 Einflussgröße - Ölstand Die bisher abgeleiteten Gleichungen ermöglichen die Berechnung der Plansch- und Strömungsverluste für ein vollgeflutetes Prüflager mit dem Ölstand h = 3 entsprechend Bild 2. Um den Einfluss des Ölstands im technisch-mathematischen Modell berücksichtigen zu können, wird folgende Vereinfachung getroffen: Es wird angenommen, dass Planschmomente im untersuchten Bereich hinsichtlich der Ölstände (0,5 ≤ h ≤ 3) linear ansteigen. Der Grund für diese Annahme sind experimentelle Ergebnisse, die diese Tendenz andeuten. Bild 4 zeigt exemplarisch die mit dem Ölstand ansteigenden hydraulischen Verluste in Abhängigkeit der Drehzahl. Unabhängig von der Drehzahl ist im Bereich 0,5 ≤ h ≤ 3 ein nahezu linearer Anstieg der Verluste zu verzeichnen. Da der zur Verfügung stehende Prüfstand aufgrund seiner Baugröße keine Un- 9 Aus Wissenschaft und Forschung Bild 4: Hydraulische Verluste in Abhängigkeit des Ölstands und Drehzahl (Experiment) Tabelle 1: Ergebnisse für M Pl,WK / M Schlepp in Abhängigkeit von Ölstand h, Drehzahl n IR und kinematischer Viskosität ν kin. Viskosität ν Drehzahl n IR M Pl,WK / M Schlepp M Pl,WK / M Schlepp [mm 2 / s] [min -1 ] (Ölstand: h = 0,5) (Ölstand: h = 3) [%] [%] 2000 13 20 3150 13 20 38 4500 13 20 6300 12 20 2000 12 20 3150 12 21 18,7 4500 11 20 6300 13 22 2000 12 20 3150 12 22 15,2 4500 14 22 6300 13 23 2000 13 21 3150 13 21 8,5 4500 15 22 6300 19 24 T+S_4_16 02.06.16 12: 26 Seite 9 10 Tribologie + Schmierungstechnik 63. Jahrgang 4/ 2016 tersuchungen mit Ölständen h > 3 zulässt, liegen keine Ergebnisse vor, die eine eindeutige Aussage über die Tendenz außerhalb des untersuchten Bereichs zulassen würden. Ausgehend von einem linearen Anstieg der Planschverluste lassen sich mit Hilfe der Simulationsergebnisse für die vorliegenden Ölstände (h = 0,5 und h = 3) die Verluste z. B. für ein vollgeflutetes Kegelrollenlager mit h = 1 bestimmen. Bild 5 zeigt das exemplarisch am Beispiel der Planschverluste am Innenring. Durch Bilden des Quotienten aus dem Planschmoment für h = 3 und h = 0,5 für alle verfügbaren Werte ist festzustellen, dass diese trotz unterschiedlicher Drehzahlen und Viskositäten annähernd die gleiche Größenordnung aufweisen (siehe Tabelle 2). Der arithmetische Mittelwert der berechneten Werte liefert einen Korrekturfaktor k IR ≈ 3,18, der zusammen mit der Gleichung (5) die Berechnung der Planschverluste für den Ölstand h = 0,5 ermöglicht. Auf die gleiche Art und Weise lassen sich auch die Planschverluste am Außenring sowie an Wälzkörpern berechnen. Während bei der Berechnung der Planschverluste in Bezug auf den Ölstand ein linearer Zusammenhang angenommen wurde, ist beim Vergleich der Schleppverluste keine eindeutige Tendenz zu erkennen, die eine solche Annahme zulassen würde. Betrachtet man allerdings das Verhältnis zwischen dem Planschmoment des Wälzkörpers M Pl,WK und seinem Schleppmoment M Schlepp in Tabelle 1, ist festzustellen, dass die berechneten Quotienten M Pl,WK / M Schlepp = m Pl/ Schlepp bei einer Erhöhung des Ölstands von h = 0,5 auf h = 3 unabhängig von der Drehzahl und Viskosität um einen vergleichbaren Faktor ansteigen. Aus diesem Grund wird analog zur Berechnung der Planschverluste auch in diesem Fall die Annahme eines linearen Anstiegs von m Pl/ Schlepp mit dem Ölstand getroffen (Bild 6). Aufgrund des angenommenen linearen Zusammenhangs zwischen den Planschbzw. den Schleppverlusten und dem Ölstand im Bereich 0,5 ≤ h ≤3, können die einzelnen Verlustanteile aus Bild 1 mit dem technischmathematischen Berechnungsmodell (CoDaC) nach Bild 7 berechnet werden. Der Ölstand h ist dabei immer als vielfaches der Lagerbreite anzugeben. Zur Aus Wissenschaft und Forschung Bild 5: Angenommener linearer Anstieg der Planschmomente am Außenring mit dem Ölstand (Simulation) Bild 6: Verhältnis aus dem Planschmoment M Pl,WK und Schleppmoment M Schlepp unter der Annahme eines linearen Anstiegs mit dem Ölstand (Simulation) Tabelle 2: Ergebnisse für M Pl,IR (h = 3) / M Pl,IR (h = 0,5) in Abhängigkeit von Drehzahl n IR und kin. Viskosität ν kin. Viskosität ν M Pl,IR (h = 3) / M Pl,IR (h = 0,5) bei Drehzahl n IR 2000 min -1 3150 min -1 4500 min -1 6300 min -1 38 mm 2 / s 2,9 2,8 3,0 3,0 18,7 mm 2 / s 2,8 3,2 3,6 3,4 15,2 mm 2 / s 3,0 3,1 3,1 4,0 8,5 mm 2 / s 2,9 3,5 3,3 3,1 T+S_4_16 02.06.16 12: 26 Seite 10 Tribologie + Schmierungstechnik 63. Jahrgang 4/ 2016 Berechnung der Verluste im Falle eines Ölstands h ≤ 0,5 sind die Verluste für das halbgeflutete Lager (h = 0,5) zu berechnen und diese um den Faktor, der sich aus dem Verhältnis der gefluteten Lagerbreite zur gesamten Lagerbreite berechnen lässt, zu reduzieren. Des Weiteren ist nicht ausgeschlossen, dass diese Gleichungen auch im Bereich h > 3 ihre Gültigkeit haben. Diese Annahme muss allerdings durch weitere Untersuchungen überprüft werden. 4 Abgleich des Modells Den Vergleich zwischen dem abgeleiteten technisch-mathematischen Modell (CoDaC), den Simulationssowie experimentellen Ergebnissen zeigen exemplarisch Bild 8 und Bild 9. In beiden Abbildungen sind Ergebnisse für das vollgeflutete (h = 3) und das halbgeflutete (h = 0,5) Kegelrollenlager 32208 dargestellt. Das Modell gibt die Simulationsergebnisse in guter Näherung wieder. Insbesondere ist bei einer niedrigen Viskosität des Schmierstoffes eine gute Übereinstimmung zwischen berechneten und Simulationsergebnissen festzustellen. Die Abweichungen zwischen Experiment und Simulation sind wahrscheinlich darauf zurückzuführen, dass der im Versuch gemessene Luftgehalt bzw. Verschäumungsgrad, der in Simulationen durch die Vorgabe der Dichte des Schmierstoffes berücksichtigt wird, von dem tatsächlichen Wert abweicht (siehe [6]). Durch diese Abweichung lässt sich auch die Diskrepanz zwischen Simulation und Berechnungsergebnissen bei höheren Drehzahlen erklären, weil für die in Bild 8 und Bild 9 dargestellten Berechnungsergebnisse für den gesamten Drehzahlbereich eine konstante Dichte angenommen wird. Bei Berücksichtigung des mit zunehmender Drehzahl ansteigenden Luftgehalts und der daraus resultierenden Dichte ist festzustellen, dass das Modell geringere Werte liefert als die Simulation (siehe Bild 10). Das lässt sich dadurch erklären, dass im Modell, im Gegensatz zur Simulation, die Verluste, welche außerhalb der Lagerkammer entstehen nicht berücksichtigt werden. Zur Berechnung der in Bild 10 dargestellten Ergebnisse wird entsprechend der Simulation beispielsweise für die Drehzahl n = 6300 min -1 eine um ca. 20 % reduzierte Dichte vorgegeben. Die in den Simulationen angenommenen Dichten sowie entsprechende Messungen zur Erfassung des Luftgehalts und der Dichte sind in [6] beschrieben. Die Verwendung der dimensionslosen Reynolds-Zahl R e bei der Herleitung der Gleichungen zur Berechnung der Plansch- und Strömungsverluste lässt die Annahme der Anwendbarkeit dieser Berechnungsansätze auch bei Kegelrollenlagern anderer Baugrößen zu. Um dies zu überprüfen wurden die hydraulischen Verluste eines Kegelrollenlagers 32216 berechnet und mit den Ergebnissen der Berechnungsansätze aus [3] und [8] verglichen. Dabei ist allerdings zu beachten, dass diese Ansätze zur Berechnung von horizontal ausgerichteten Lagerungen gedacht sind. Aus diesem Grund ist ein Vergleich zwischen den Modellen nur bei vollgefluteten Lagern möglich. Des Weiteren wird nach [8] ein lastunabhängiges Reibmoment in Abhängigkeit vom Ölstand bestimmt. In die- 11 Aus Wissenschaft und Forschung Bild 7: Technisch-mathematisches Modell (CoDaC) zur Berechnung der Plansch- und Schleppverluste am Kegelrollenlager T+S_4_16 02.06.16 12: 26 Seite 11 12 Tribologie + Schmierungstechnik 63. Jahrgang 4/ 2016 sem Fall bedeutet das, dass hier im Ergebnis nicht nur die hydraulischen sondern auch die mechanischen Verluste infolge der Mindestlast berücksichtigt werden. Aus diesem Grund muss, um die hydraulischen Verluste von den mechanischen trennen zu können, die Differenz zwischen den Ergebnissen für ein vollgeflutetes und ein Kegelrollenlager unter Minimalmengenschmierung betrachtet werden. Der Ölstand der in diesem Fall der Minimalmengenschmierung entsprechen soll, entspricht der Hälfte des untersten Wälzkörpers. Bild 11 zeigt exemplarisch die mittels des technischmathematischen Modells (CoDaC) sowie die nach [3] und [8] berechneten hydraulischen Verluste. Dabei sind Ergebnisse bei einer höheren und einer niedrigeren Viskosität dargestellt. Es ist ersichtlich, dass in dem hier vorgestellten Modell die Viskosität neben der Drehzahl eine wichtige Einflussgröße darstellt. Die hydraulischen Verluste steigen mit der Viskosität, im Vergleich zu Berechnungsansätzen nach [3] und [8], viel stärker an. Während beim Vergleich mit den Ergebnissen nach [3] bei der höheren Viskosität (ν = 95 mm 2 / s) eine gute Übereinstimmung festzustellen ist, liegt bei der niedrigeren Viskosität (ν = 11 mm 2 / s) eine größere Diskrepanz vor. Der Unterschied zwischen dem Modell und dem Berechnungsansatz nach [8] ist dagegen im unteren Viskositäts- und hohen Drehzahlbereich deutlich geringer. Somit ist festzustellen, dass das Modell im Viskositätsbereich ν ≤ 95 mm 2 / s mit dem Berechnungsansatz nach [3] und im Bereich ν ≥ 11 mm 2 / s mit dem Berechnungsansatz nach [8] besser korreliert. Allerdings muss hier noch einmal betont werden, dass diese Ansätze zur Berechnung der Verluste an horizontal ausgerichteten Lagerungen gedacht sind und dadurch womöglich nicht alle Effekte einer vertikalen Lageranordnung berücksichtigen. Aus Wissenschaft und Forschung Bild 8: Vergleich der Versuchs-, Simulations- und Berechnungsergebnisse für ν = 38 mm 2 / s Bild 9: Vergleich der Versuchs-. Simulations- und Berechnungsergebnisse für ν = 18,7 mm 2 / s Bild 10: Vergleich der Simulations- und Berechnungsergebnisse unter Berücksichtigung des Verschäumungsgrades T+S_4_16 02.06.16 12: 26 Seite 12 Tribologie + Schmierungstechnik 63. Jahrgang 4/ 2016 5 Zusammenfassung und Ausblick Dieser Beitrag zeigt die Vorgehensweise bei der Ableitung eines technisch -mathematischen Berechnungsmodells (CoDaC - Calculation of Drag and Churning) zur Berechnung der Plansch- und Strömungsverluste eines Kegelrollenlagers mit vertikaler Rotationsachse. Die Grundlage für die Berechnung bilden die konventionellen Ansätze der Strömungsmechanik zur Berechnung von Strömungswiderständen umströmter Körper und der damit verbundenen Schubspannungen. Um diese Ansätze anwenden zu können werden die mittels CFD-Simulationen berechneten hydraulischen Verluste mit Hilfe entsprechender CFD-Programme in Plansch- und Schleppverluste unterteilt und ausgewertet. Die Berechnung dieser schmierstoffbedingten Verluste setzt die Kenntnis des Schergefälles d uiR / d yiR bzw. des Widerstandsbeiwertes C W voraus. Durch entsprechende Darstellung der Simulationsergebnisse wird der Zusammenhang zwischen der Reynolds-Zahl R e und diesen Größen aufgezeigt. Dadurch kann sowohl der Widerstandsbeiwert als auch das Schergefälle bestimmt werden. Das ermöglicht wiederum die Anwendung der gewählten Berechnungsansätze bei der Herleitung von Gleichungen zur Berechnung einzelner Verlustanteile. Diese Gleichungen basieren auf der Annahme eines linearen Anstiegs der Plansch- und Schleppverluste mit dem Ölstand. Der Vergleich zwischen den mit Hilfe des abgeleiteten technisch-mathematischen Modells (CoDaC) berechneten und experimentellen Ergebnissen zeigt eine gute Übereinstimmung. Diese setzt allerdings die richtige Angabe der Schmierstoffdichte voraus. Der Grund hierfür ist der Verschäumungsgrad des Schmierstoffes, der mit zunehmender Drehzahl ansteigt und seine Dichte verringert. Über die Anwendbarkeit des Modells auf Kegelrollenlager anderer Baugrößen kann keine eindeutige Aussage getroffen werden. Der Grund hierfür liegt darin, dass ein Abgleich mit verfügbaren Berechnungsmodellen nur bedingt möglich ist, weil diese im Hinblick auf die hydraulischen Verluste in der Regel nur die Berechnung von horizontal ausgerichteten Lagerungen abdecken. Danksagung Die Autoren danken der Deutschen Forschungsgemeinschaft für die Förderung im Rahmen des Projektes „Entwicklung eines analytischen Modells zur Berechnung von Gesamtreibmomenten an Wälzlagerungen unter Ölschmierung“ (DFG-SA898/ 12-1 sowie DFG-SCHW826/ 9-1). Literatur [1] KIEKBUSCH, T.; AUL, V.; MARQUART, M.; SAUER, B.: Experimental and Simulative Studies of Friction Torque in Roller Bearings with Minimum Amount of Lubrication. 18 th International Colloquium Tribology (TAE), 2012, Ostfildern [2] AUL, V.: Kontaktmodelle zur dynamischen Simulation vollrolliger Zylinderrollenlager. Dissertation, TU Kaiserslautern, 2014. ISBN: 978-3-943995-55-8 [3] SKF GRUPPE. Wälzlager-Katalog. PUB BU/ P1 10000/ 2 DE, 2014 [4] SCHAEFFLER TECHNOLOGIES AG&CO.KG. Wälzlagerkatalog, 2012 [5] LIEBRECHT, J., SI, X., SAUER, B., SCHWARZE, H.: Untersuchungen von hydraulischen Verlusten an Kegelrollenlagern. In: Tribologie und Schmierungstechnik, 3 / 2015, S. 14-21 [6] LIEBRECHT, J., SI, X., SAUER, B., SCHWARZE, H.: Investigation of Drag and Churning Losses on Tapered Roller Bearings. In: Strojniški vestnik - Journal of Mechanical Engineering (2015), Nr. 6, S. 399-408 [7] LIEBRECHT, J., SI, X., SAUER, B., SCHWARZE, H.: Wälzlagerungen - Plansch- und Strömungsverluste. In: Tagungsband: 56 Tribologie-Fachtagung (2015), Band II, 54/ 1-11 [8] KORYCIAK, J.: Einfluss der Ölmenge auf das Reibmoment von Wälzlagern mit Linienberührung. Dissertation, Ruhr-Universität Bochum, 2007. ISBN: 3-89194-178-1 [9] GUPTA, PRADDEP K.: Advanced Dynamics of Rolling Elements. New York-Springer, 1984. ISBN: 978-1-4612- 5276-4. S. 100-105 [10] KALIDE, W.: Einführung in die technische Strömungslehre. München: Hanser, 1990. S. 39-41 13 Aus Wissenschaft und Forschung Bild 11: Vergleich des entwickelten technisch-mathematischen Modells (CoDaC) mit Berechnungsmodellen nach [3] und [8] T+S_4_16 02.06.16 12: 26 Seite 13