Tribologie + Schmierungstechnik 64. Jahrgang 3/ 2017 1 Strömungsmechanisches Fluidmodell Die Navier-Stokes-Gleichung beschreibt die Bewegung eines Teilchens unter dem Einfluss verschiedener Kräfte und ist eine Erweiterung der Euler-Gleichungen um die Viskosität. In der Euler’schen Darstellung der Navier- Stokes-Gleichung wird die Strömung eines Teilchens durch die zeitliche Entwicklung des lokalen Geschwindigkeitsfeldes ø v( ø x, ø t) in einem festen Raumpunkt ø x beschrieben. Unter Vernachlässigung aller weiteren äußeren Kräfte greifen an ein Teilchen in einem Strömungsfeld nur Druckkräfte Ø F p ( ø x) und Reibungskräfte Ø F R an. Mit der Trägheitskraft Ø F T ( ø x) ergibt sich die Kräftebilanz zu: (1) 27 Aus Wissenschaft und Forschung * Dipl. Ing. Mario Müller, Siemens AG, 13629 Berlin Beitrag zur Bestimmung der Grenzschubspannung und zur Beurteilung des Reibungsverhaltens geschmierter Kontakte M. Müller* Eingereicht: 4. 1. 2017 Nach Begutachtung angenommen: 20. 2. 2017 Eine Verbesserung der heute bekannten Modelle und Messmethoden durch die Erfassung des rheologischen und thermophysikalischen Verhaltens der eingesetzten Betriebsstoffe ist notwendig, um einen Beitrag zur Reibungsminimierung wichtiger Antriebskomponenten zu erreichen. Hierbei spielt die Erhöhung des mechanischen Wirkungsgrads durch Reibungsreduzierung in fluidgeschmierten Kontakten eine wesentliche Rolle. In den tribologischen Kontakten treten Drücke auf, bei denen nicht-Newton'sches Verhalten und Viskoelastizität des Schmierstoffes immer wichtiger werden, da erhöhte Tangentialkräfte und Reibungsschubspannungen auftreten. Die Abhängigkeit der thermophysikalischen Eigenschaften von Schmierstoffen hängen in starkem Maße von der chemischen Zusammensetzung und der molekularen Struktur ab und dürfen nicht mehr vernachlässigt werden. Heute eingesetzte numerische Berechnungsprogramme nutzen Annahmen zum rheologischen Verhalten des Schmierstoffes, deren Gültigkeit in Frage zu stellen ist. Die Kenntnis der Wirkmechanismen des Fluiden unter tribologischer Beanspruchung ermöglicht eine direkte Einbindung in den Konstruktionsprozess für die Antriebskomponenten. Dabei ist es für die Reibung in geschmierten tribologischen Systemen entscheidend, wie viel Schubspannung ein Fluid durch Scherung überträgt. Schlüsselwörter Rayleigh, Newton, Maxwell, Eyring, Grenzschubspannung, Strukturviskosität, Dilatanz, Fluidreibung An improvement of the currently known models and measurement methods by detecting the rheological and thermophysical behavior of the used lubricants is necessary in order to achieve a contribution to minimize friction at important drive components. In this case the increase of mechanical efficiency plays an essential role, by reducing friction in fluid-lubricated contacts. In the tribological contacts occur pressures at which non-Newtonian behavior and viscoelasticity of the lubricant are becoming increasingly important, since increased tangential and frictional shear stresses occur. The dependence of the thermophysical properties of lubricants depend on the chemical composition and the molecular structure and may no longer be neglected. Current numerical calculation programs use assumptions for rheological behavior of the lubricant whose validity is to be questioned. Knowing the effective mechanism of fluids under tribological-shear stress enables direct integration into the design process for the drive components. For the friction in lubricated tribological systems it is decisive how much shear stresses can be transmitted through a fluid. Keywords Rayleigh, Newton, Maxwell, Eyring, limit shear stress, shear-thinning, shear-thickening, fluid friction Kurzfassung Abstract F  T =F  P +F  R T+S_3_17 03.04.17 15: 13 Seite 27 28 Tribologie + Schmierungstechnik 64. Jahrgang 3/ 2017 Wenn zwei Strömungen geometrisch und physikalisch ähnlich sind, dürfen diese als ähnlich bezeichnet werden. Geometrische Ähnlichkeit erfordert eine ähnliche Makrogeometrie und physikalische Ähnlichkeit erfordert ähnliche Strömungsbilder. In [1] und [2] postulierte Reynolds, dass zwei Rohrströmungen physikalisch ähnlich sind, wenn das Verhältnis aus Trägheitskräften und Reibungskräften gleich ist. Es gilt: (2) Aufgrund der Kräftebilanz reicht es aus, das Verhältnis zwischen zwei Kraftarten zu betrachten: (3) Für die Bestimmung von Kennzahlen, kann die Methode der Dimensionsanalyse angewendet werden. Dazu werden die physikalischen Größen der Gleichung in Basisdimensionen ausgedrückt. Für die Reibungskraft gilt: (4) Mit den Dimensionen: (5) (6) folgt: (7) Für die Trägheitskraft gilt: (8) Mit den Dimensionen: (9) (10) folgt: (11) Wird die Gleichung 7 und 11 in die Gleichung 3 eingesetzt, ergibt sich das Reynold’sche Ähnlichkeitsgesetz zu: (12) oder mit der Navier-Stokes-Gleichung ausgedrückt: (13) Die Reynoldszahl ist der Quotient, aus dem Produkt der Dichte, der Geschwindigkeit und der charakteristischen Länge, und der dynamischen Viskosität. Die Geschwindigkeit v kann sowohl die Strömungsgeschwindigkeit sein, als auch die Geschwindigkeit eines Körpers der sich durch ein Strömungsfeld bewegt. Da in jedem Punkt andere Kräfte wirken, hat die Reynoldszahl an jedem Punkt der Strömung einen anderen Wert. Somit ist die Reynoldszahl für die gesamte Strömung immer ein Mittelwert. Ebenso ist die Reynoldszahl dynamisch ähnlicher Strömungen gleich und verläuft hinsichtlich ihrer Trägheits- und Reibungskräfte ähnlich, wenn die geometrischen Konturen der umströmten Körper ähnlich sind und die mit korrespondierenden Werten gebildeten Reynoldszahlen übereinstimmen. In Bild 1 sind drei verschiedene Strömungsprofile dargestellt. In jedem Strömungsprofil gibt es korrespondierende Punkte mit gleichen Kräfteverhältnissen und somit identischen Reynoldszahlen. Entsprechend dem Bild 1 gilt: (14) Mit Gleichung 13 ergibt sich: (15) Aus Wissenschaft und Forschung Re= Trägheitskraft Reibungskraft =   v ! " × #! ! "$ v ! " | ×"v ! "| = vL F  T1 F  T2 = F  P1 F  P2 = F  R1 F  R2 F  T1 F  T2 = F  R1 F  R2  ! "# $ = %""#&' × %""#)#*  ! v "# ! t = ! 2 v ! x 2 F ! ! " T1 F ! ! " T2 F ! ! " R1 F ! ! " R2 = F ! ! " T1 F ! ! " R1 F ! ! " T2 F ! ! " R2 = Re 1 Re 2 =1 F R1 =-A dv dx [ A ] =L 2 Re 1 Re 2 =1= v 1 v 2  1  2 2 1 L 1 L 2 $ v x % = v L [ F R ] =-Lv F T =Va [ a ] = v 2 L als auch die Geschwindigkeit eines Körpers der sich durch ein Strömungsfeld bewegt. Da in jedem Punkt andere Kräfte wirken, hat die Reynoldszahl an jedem Punkt der Strömung einen anderen Wert. Somit ist die Reynoldszahl für die gesamte Strömung immer ein Mittelwert. Ebenso ist die Reynoldszahl dynamisch ähnlicher Strömungen gleich und verläuft hinsichtlich ihrer Trägheits- und Reibungskräfte ähnlich, wenn die geometrischen Konturen der umströmten Körper ähnlich sind und die mit korrespondierenden Werten ge- Für die Trägheitskraft gilt: F T =Va (8) Mit den Dimensionen: [ a ] = v 2 L (9) [ V ] =L 3 (10) folgt: [ F T ] =L 2 v 2 (11) Wird die Gleichung 7 und 11 in die Gleichung 3 eingesetzt, ergibt sich das Reynold’sche Ähnlichkeitsgesetz zu: Re=  1 v 1 L 1 1 =  2 v 2 L 2 2 = vL (12) oder mit der Navier-Stokes-Gleichung ausgedrückt: Re= Trägheitskraft Reibungskraft =   v ! × #! $ v !  | ×"v ! | = vL (13) Die Reynoldszahl ist der Quotient, aus dem Produkt der Dichte, der Geschwindigkeit und der charakteristischen Länge, und der dynamischen Viskosität. Die Geschwindigkeit v kann sowohl die Strömungsgeschwindigkeit sein, als auch die Geschwindigkeit eines Körpers der sich durch ein Strömungsfeld bewegt. Da in jedem Punkt andere Kräfte wirken, hat die Reynoldszahl an jedem Punkt der Strömung einen anderen Wert. Somit ist die Reynoldszahl für die gesamte Strömung immer ein Mittelwert. Ebenso ist die Reynoldszahl dynamisch ähnlicher Strömungen gleich und verläuft hinsichtlich ihrer Trägheits- und Reibungskräfte ähnlich, wenn die geometrischen Konturen der umströmten Körper ähnlich sind und die mit korrespondierenden Werten ge- Für die Trägheitskraft gilt: F T =Va (8) Mit den Dimensionen: [ a ] = v 2 L (9) [ V ] =L 3 (10) folgt: [ F T ] =L 2 v 2 (11) Wird die Gleichung 7 und 11 in die Gleichung 3 eingesetzt, ergibt sich das Reynold’sche Ähnlichkeitsgesetz zu: Re=  1 v 1 L 1 1 =  2 v 2 L 2 2 = vL (12) oder mit der Navier-Stokes-Gleichung ausgedrückt: Re= Trägheitskraft Reibungskraft =   v ! × #! $ v !  | ×"v ! | = vL (13) Die Reynoldszahl ist der Quotient, aus dem Produkt der Dichte, der Geschwindigkeit und der charakteristischen Länge, und der dynamischen Viskosität. Die Geschwindigkeit v kann sowohl die Strömungsgeschwindigkeit sein, als auch die Geschwindigkeit eines Körpers der sich durch ein Strömungsfeld bewegt. Da in jedem Punkt andere Kräfte wirken, hat die Reynoldszahl an jedem Punkt der Strömung einen anderen Wert. Somit ist die Reynoldszahl für die gesamte Strömung immer ein Mittelwert. Ebenso ist die Reynoldszahl dynamisch ähnlicher Strömungen gleich und verläuft hinsichtlich ihrer Trägheits- und Reibungskräfte ähnlich, wenn die geometrischen Konturen der Für die Trägheitskraft gilt: F T =Va (8) Mit den Dimensionen: [ a ] = v 2 L (9) [ V ] =L 3 (10) folgt: [ F T ] =L 2 v 2 (11) Wird die Gleichung 7 und 11 in die Gleichung 3 eingesetzt, ergibt sich das Reynold’sche Ähnlichkeitsgesetz zu: Re=  1 v 1 L 1 1 =  2 v 2 L 2 2 = vL (12) oder mit der Navier-Stokes-Gleichung ausgedrückt: Re= Trägheitskraft Reibungskraft =   v ! × #! $ v !  | ×"v ! | = vL (13) Die Reynoldszahl ist der Quotient, aus dem Produkt der Dichte, der Geschwindigkeit und der charakteristischen Länge, und der dynamischen Viskosität. Die Geschwindigkeit v kann sowohl die Strömungsgeschwindigkeit sein, als auch die Geschwindigkeit eines Körpers der sich durch ein Strömungsfeld bewegt. Da in jedem Punkt andere Kräfte wirken, hat die Reynoldszahl an jedem Punkt der Strömung einen anderen Wert. Somit ist die Reynoldszahl für die gesamte Strömung immer ein Mittelwert. Ebenso ist die Reynoldszahl dynamisch ähnlicher Strömungen gleich und verläuft hinsichtlich ihrer Träg- Bild 1: allgemeine Darstellung von Strömungsprofilen Bei allseitig konstantem Druck und unter Vernachlässigung aller äußeren Kräfte gilt für ein finites Volumenelement: (16) bzw.: (17) Diese Differentialgleichung hat Rayleigh in [3] gelöst und erhält als Bewegungszustand bei harmonischer Erregung: T+S_3_17 03.04.17 15: 13 Seite 28 Tribologie + Schmierungstechnik 64. Jahrgang 3/ 2017 (18) mit ω = 2 f =2 n ergibt sich: (19) bzw.: (20) Die Gleichungen 18, 19 und 20 zeigen, dass sich das im Fluid ausbildende Geschwindigkeitsprofil unabhängig von der Anregung ist. Dabei kann die Anregung sowohl rotatorisch als auch oszillatorisch erfolgen und ist somit unabhängig vom Messsystem, solange die Winkelgeschwindigkeit ω gleich ist. Des Weiteren hat Rayleigh gezeigt, dass die Geschwindigkeitsamplitude der Scherströmung, wie im Bild 1 dargestellt, exponentiell im Fluid abfällt und die Haftbedingung zwischen dem Fluid und der Oberfläche nicht gültig ist. Dabei ist die Geschwindigkeitsamplitude des Fluiden an der Oberfläche davon abhängig, wie gut das Fluid mit der Oberfläche interagiert. Experimentell wurde das exponentiell abfallende Geschwindigkeitsprofil von Li mit Hilfe von Hochgeschwindigkeitskameras bei Fetten nachgewiesen [4, 5]. Für einen Punkt, an dem die Geschwindigkeitsamplitude auf 1 % abgefallen ist, gilt: (21) umgestellt nach x ergibt sich: (22) Dies wird auch als die 1 % Eindringtiefe bezeichnet. Da die Gleichungen 18, 19 und 20 nur unter Vernachlässigung der Brown’schen Molekularbewegung gelten, ist ab einem bestimmten Punkt die Geschwindigkeitsamplitude so weit abgefallen, das diese der Brown’schen Molekularbewegung entspricht und kein weiterer Geschwindigkeitsabfall mehr erfolgt (Bild 2). Mit x = L und eingesetzt in die Gleichung 15 ergibt sich: (23) Somit ergibt sich in Abhängigkeit vom Abstand zur bewegten Oberfläche für zwei korrespondierende Punkte unterschiedlicher Strömungsprofile aber gleicher Reynoldszahl: (24) Wird das Rayleigh’sche Strömungsprofil auf eine Geometrie mit konstanten Spalt, Druck und Winkelgeschwindigkeit übertragen, so kann sich das in Bild 3a dargestellte Strömungsprofil ausbilden. Unter Vernachlässigung der Brown’schen Molekularbewegung wird die Strömungsgeschwindigkeit innerhalb des Spaltes exponentiell abfallen. Wird nun, wie in Bild 3b dargestellt, der Spalt verkleinert oder die Winkelgeschwindigkeit erhöht, so wird es einen Zustand geben, bei der an der gegenüberliegenden Seite die Fluidgeschwindigkeit gleich der Brown’schen Molekularbewegung ist. Wird der Spalt weiter reduziert oder die Winkelgeschwindigkeit erhöht, kann es dazu führen, dass das Strömungsprofil, wie in Bild 3c dargestellt, über der gegenüberliegenden Seite gezogen wird. Die in Bild 3 dargestellten Zustände können auch mit konstantem Spalt, Druck und Winkelgeschwindigkeit aber zunehmender Dichte erreicht werden. Da bei einem tribologischen Kontakt nicht von einem allseitig konstanten Druck ausgegangen werden kann, kommt es zu einer Überlagerung der Druck- und Scherströmung. Im Bild 4a ist das sich ausbildende Strö- 29 Aus Wissenschaft und Forschung 5  ! $ = %&' × %)#* (16) bzw.:  ! v ! t = ! 2 v ! x 2 (17) Diese Differentialgleichung hat Rayleigh in [3] gelöst und erhält als Bewegungszustand bei harmonischer Erregung: v ( x,t ) =v + ×e - , " 2 x × cos - "t- , " 2 x . (18) mit "=2 f=2 n ergibt sich: v ( x,t ) =v + ×e - ,  f x × cos - 2 ft- ,  f x . (19) bzw.: v ( x,t ) =v + ×e - ,  n x × cos - 2 nt- ,  n x . (20) 7 Mit x=L und eingesetzt in die Gleichung 15 ergibt sich: Re 1 Re 2 =1= v 1 v 2  1  2 2 1 L 1 L 2 = v 1 v 2  1  2 2 1 ln [ 100 ]  ! "! 2 #! ln [ 100 ]  $"$ 2 #$ Somit ergibt sich in Abhängigkeit vom Abstand zur bewegten Oberfläche für zwei korrespondierende Punkte unterschiedlicher Strömungsprofile aber gleicher Reynoldszahl: 1= v 12 v 22  1  2 2 1 ! 2 ! 1 Wird das Rayleigh’sche Strömungsprofil auf eine Geometrie mit konstanten Spalt, Druck und Winkelgeschwindigkeit übertragen, so kann sich das in 3a dargestellte Strömungsprofil ausbilden. Unter Vernachlässigung der Brown’schen Molekularbewegung wird die Strömungsgeschwindigkeit innerhalb des Spaltes exponentiell abfallen. Wird nun, wie in Bild 3b der Spalt verkleinert oder die Winkelgeschwindigkeit erhöht, so wird es einen Zustand geben, bei der an der gegenüberliegenden Seite die Fluidgeschwindigkeit gleich der Brown’schen Molekularbewegung ist. Wird der Spalt weiter reduziert oder die Winkelgeschwindigkeit erhöht, kann es dazu führen, dass das Strömungsprofil, wie in Bild 3c dargestellt, über der gegenüberliegenden Seite gezogen wird. Die in Bild 3 dargestellten Zustände können auch mit konstantem Spalt, Druck und Winkelgeschwindigkeit aber zunehmender Dichte erreicht werden. Bild 3: Scherströmung bei allseitig konstantem Druck Da bei einem tribologischen Kontakt nicht von einem allseitig konstanten Druck ausgegangen werden kann, kommt es zu einer Überlagerung der Druck- und Scherströmung. Im Bild 4a ist das sich ausbildende Strömungsprofil für eine reine Druckströmung dargestellt. Kommt es zusätzlich zu der 7 Mit x=L und eingesetzt in die Gleichung 15 ergibt sich: Re 1 Re 2 =1= v 1 v 2  1  2 2 1 L 1 L 2 = v 1 v 2  1  2 2 1 ln [ 100 ]  ! "! 2 #! ln [ 100 ]  $"$ 2 #$ Somit ergibt sich in Abhängigkeit vom Abstand zur bewegten Oberfläche für zwei korrespondierende Punkte unterschiedlicher Strömungsprofile aber gleicher Reynoldszahl: 1= v 12 v 22  1  2 2 1 ! 2 ! 1 Wird das Rayleigh’sche Strömungsprofil auf eine Geometrie mit konstanten Spalt, Druck und Winkelgeschwindigkeit übertragen, so kann sich das in 3a dargestellte Strömungsprofil ausbilden. Unter Vernachlässigung der Brown’schen Molekularbewegung wird die Strömungsgeschwindigkeit innerhalb des Spaltes exponentiell abfallen. Wird nun, wie in Bild 3b dargestellt, der Spalt verkleinert oder die Winkelgeschwindigkeit erhöht, so wird es einen Zustand geben, bei der an der gegenüberliegenden Seite die Fluidgeschwindigkeit gleich der Brown’schen Molekularbewegung ist. Wird der Spalt weiter reduziert oder die Winkelgeschwindigkeit erhöht, kann es dazu führen, dass das Strömungsprofil, wie in Bild 3c dargestellt, über der gegenüberliegenden Seite gezogen wird. Die in Bild 3 dargestellten Zustände können auch mit konstantem Spalt, Druck und Winkelgeschwindigkeit aber zunehmender Dichte erreicht werden. Bild 3: Scherströmung bei allseitig konstantem Druck Da bei einem tribologischen Kontakt nicht von einem allseitig konstanten Druck ausgegangen werden kann, kommt es zu einer Überlagerung der Druck- und Scherströmung. Im Bild 4a ist das sich ausbildende Strömungsprofil für eine reine Druckströmung dargestellt. Kommt es zusätzlich zu der 5  ! $ = %&' × %)#* (16) bzw.:  ! v ! t = ! 2 v ! x 2 (17) Diese Differentialgleichung hat Rayleigh in [3] gelöst und erhält als Bewegungszustand bei harmonischer Erregung: v ( x,t ) =v + ×e - , " 2 x × cos - "t- , " 2 x . (18) mit "=2 f=2 n ergibt sich: v ( x,t ) =v + ×e - ,  f x × cos - 2 ft- ,  f x . (19) bzw.: v ( x,t ) =v + ×e - ,  n x × cos - 2 nt- ,  n x . (20) 5  ! $ = %&' × %)#* (16) bzw.:  ! v ! t = ! 2 v ! x 2 (17) Diese Differentialgleichung hat Rayleigh in [3] gelöst und erhält als Bewegungszustand bei harmonischer Erregung: v ( x,t ) =v + ×e - , " 2 x × cos - "t- , " 2 x . (18) mit "=2 f=2 n ergibt sich: v ( x,t ) =v + ×e - ,  f x × cos - 2 ft- ,  f x . (19) bzw.: v ( x,t ) =v + ×e - ,  n x × cos - 2 nt- ,  n x . (20) 6 Die Gleichungen 18, 19 und 20 zeigen, dass sich das in dem Fluid ausbildende Geschwindigkeitsprofil unabhängig von der Anregung ist. Dabei kann die Anregung sowohl rotatorisch als auch oszillatorisch erfolgen und ist somit unabhängig vom Messsystem, solange die Winkelgeschwindigkeit gleich ist. Des Weiteren hat Rayleigh gezeigt, dass die Geschwindigkeitsamplitude der Scherströmung exponentiell im Fluid abfällt und die Haftbedingung zwischen dem Fluid und der Oberfläche nicht gültig ist. Dabei ist die Geschwindigkeitsamplitude des Fluiden an der Oberfläche davon abhängig, wie gut das Fluid mit der Oberfläche interagiert. Experimentell wurde das exponentiell abfallende Geschwindigkeitsprofil von Li mit Hilfe von Hochgeschwindigkeitskameras bei Fetten nachgewiesen [4, 5]. Für einen Punkt, an dem die Geschwindigkeitsamplitude auf 1% abgefallen ist, gilt: 0,01v  =v  ×e -  2! x (21) umgestellt nach x ergibt sich: x= ln [ 100 ]  2! (22) Dies wird auch als die 1% Eindringtiefe bezeichnet. Da die Gleichungen 18, 19 und 20 nur unter Vernachlässigung der Brown’schen Molekularbewegung gelten, ist ab einem bestimmten Punkt die Geschwindigkeitsamplitude so weit abgefallen, das diese der Brown’schen Molekularbewegung entspricht und kein weiterer Geschwindigkeitsabfall mehr erfolgt. Bild 2: Strömungsprofil bei ungehinderter Ausbreitung 6 Die Gleichungen 18, 19 und 20 zeigen, dass sich das in dem Fluid ausbildende Geschwindigkeitsprofil unabhängig von der Anregung ist. Dabei kann die Anregung sowohl rotatorisch als auch oszillatorisch erfolgen und ist somit unabhängig vom Messsystem, solange die Winkelgeschwindigkeit gleich ist. Des Weiteren hat Rayleigh gezeigt, dass die Geschwindigkeitsamplitude der Scherströmung exponentiell im Fluid abfällt und die Haftbedingung zwischen dem Fluid und der Oberfläche nicht gültig ist. Dabei ist die Geschwindigkeitsamplitude des Fluiden an der Oberfläche davon abhängig, wie gut das Fluid mit der Oberfläche interagiert. Experimentell wurde das exponentiell abfallende Geschwindigkeitsprofil von Li mit Hilfe von Hochgeschwindigkeitskameras bei Fetten nachgewiesen [4, 5]. Für einen Punkt, an dem die Geschwindigkeitsamplitude auf 1% abgefallen ist, gilt: 0,01v  =v  ×e -  2! x (21) umgestellt nach x ergibt sich: x= ln [ 100 ]  2! (22) Dies wird auch als die 1% Eindringtiefe bezeichnet. Da die Gleichungen 18, 19 und 20 nur unter Vernachlässigung der Brown’schen Molekularbewegung gelten, ist ab einem bestimmten Punkt die Geschwindigkeitsamplitude so weit abgefallen, das diese der Brown’schen Molekularbewegung entspricht und kein weiterer Geschwindigkeitsabfall mehr erfolgt. Bild 2: Strömungsprofil bei ungehinderter Ausbreitung Bild 2: Strömungsprofil bei ungehinderter Ausbreitung Bild 4: Überlagerung von Druck- und Scherströmung Bild 3: Scherströmung bei allseitig konstantem Druck T+S_3_17 03.04.17 15: 13 Seite 29 30 Tribologie + Schmierungstechnik 64. Jahrgang 3/ 2017 mungsprofil für eine reine Druckströmung dargestellt. Kommt es zusätzlich zu der Druckströmung zu einer Scherströmung, so kann sich, wie in Bild 4b dargestellt, ein beliebiges Strömungsprofil ausbilden. Entsprechend des Bildes 4c, kann es auch bei der Überlagerung von Druck- und Scherströmung den Zustand geben, dass das Strömungsprofil über die gegenüberliegende Seite gezogen wird. 2 Das Reibungsverhalten tribologischer Kontakte In der Rheologie beschreiben rheologische Modelle den Zusammenhang zwischen der Verformung eines Körpers und der diese Verformung bewirkenden äußeren Kraft. Das rheologische Verhalten realer Fluide kann durch die Reihen- und Parallelschaltung der Grundmodellkörper Feder und Dämpfungszylinder modelliert werden. Die Eigenschaften eines idealen Festkörpers können durch eine Feder (Hooke-Element) und die einer idealen Flüssigkeit, auch als Newton‘sches Fluid bezeichnet, als Dämpfer (Newton-Element) abgebildet werden. Die Reihenschaltung von Hooke- und Newton-Element, bekannt als Maxwell-Körper, stellt eine viskoelastische Flüssigkeit dar. Im Bild 5 sind die Energieanteile und im Bild 6 die Viskositätsanteile eines viskoelastischen Fluidmodells dargestellt. Wird dem Maxwell-Körper durch Temperaturerhöhung eine bestimmte Menge an Energie zugeführt, dehnt sich der Arbeitsraum des Dämpfungszylinders aus und der Flüssigkeitsanteil im Fluid nimmt zu. Aufgrund der höheren kinetischen Energie des Fluiden, wird mehr Energie beim Zusammenstoß der Teilchen übertragen und der Anteil der Energie, die durch Reibung und Wechselwirkung verloren geht, nimmt ab. Als Folge dessen, nimmt die dynamische Viskosität und der Festkörperanteil im Fluid ab. Wird die Dichte aufgrund der Einwirkung einer äußeren Kraft im Arbeitsraum des Dämpfungszylinders erhöht, verringert sich der Flüssigkeitsanteil im Fluid. Da mehr Energie durch Fluidreibung und Wechselwirkung verloren geht, steigt die Viskosität. Gleichzeitig wird weniger Energie beim Zusammenstoß übertragen und der Festkörperanteil nimmt zu. Eine Zunahme der Scherrate bzw. die Erhöhung des Geschwindigkeitsabfalls im Fluid kann durch die Erhöhung der inneren Reibung und der Wechselwirkungskräfte bzw. der Viskosität erfolgen. Somit bewirkt die Zunahme der Viskosität eine Verkleinerung des Arbeitsraums im Dämpfungszylinder, der Flüssigkeitsanteil nimmt ab und die Dichte zu. Gleichzeitig nimmt die Energie die beim Zusammenstoß übertragen wird ab und der Festkörperanteil zu. Wird durch die Erhöhung der Oberflächengeschwindigkeit dem Fluid mehr Energie zur Verfügung gestellt, steigt die kinetische Energie der Teilchen. Dies führt dann zu einer Viskositätsabnahme, da die Platzwechselgeschwindigkeit erhöht wird. Der Einfluss der Oberflächengeschwindigkeit auf die Viskosität wurde in [6] vorgestellt. Dieses Verhalten entspricht dem eines strukturviskosen Fluiden. Ist im Gegensatz dazu, das Molekül sehr weich und verformbar, so wird viel Energie in Deformationsenergie umgewandelt, die innere Reibung und Wechselwirkung nimmt zu und die Viskosität steigt an. Dies entspricht dem Verhalten eines dilatanten Fluiden. In Analogie zu den komplexen Zahlen ergibt sich nach Bild 6 die komplexe Viskosität aus der vektoriellen Addition des viskosen und des elastischen Anteils. Dabei entspricht der viskose Anteil dem Realteil und der elastische Anteil dem Imaginärteil. Es gilt: (25) Für die Messung der dynamischen oder auch kinematischen Viskosität gibt es eine Vielzahl von verschiedenen Messverfahren. Im Folgenden soll gezeigt werden, wie mit Hilfe der dynamischen Viskositätsmessung der elastische Viskositätsanteil bestimmt werden kann. Dazu wird die von Reynolds postulierten Gleichung 2 um den Schubspannungsanteil erweitert. Es gilt: (26) bzw.: (27) Aus Wissenschaft und Forschung Bild 5: Darstellung der Energieanteile beim viskoelastischen Fluidmodell Bild 6: Darstellung der Viskositätsanteile beim viskoelastischen Fluidmodell 10 Bild 6: Darstellung der Viskositätsanteile beim viskoelastischen Fluidmodell In Analogie zu den komplexen Zahlen ergibt sich nach Bild 6 die komplexe Viskosität aus der vektoriellen Addition des viskosen und des elastischen Anteils. Dabei entspricht der viskose Anteil dem Realteil und der elastische Anteil dem Imaginärteil. Es gilt:   komplex 2 = !  viskos " 2 + !  elastisch " 2 (25) Für die Messung der dynamischen oder auch kinematischen Viskosität gibt es eine Vielzahl von verschiedenen Messverfahren. Im Folgenden soll gezeigt werden, wie mit Hilfe der dynamischen Viskositätsmessung der elastische Viskositätsanteil bestimmt werden kann. Dazu wird die von Reynolds postulierten Gleichung 2 um den Schubspannungsanteil erweitert. Es gilt: F T1 F T2 = F P1 F P2 = F R1 F R2 = 1 A 1 2 A 2 (26) bzw.: F T F T0 = F P F P0 = F R F R0 = $ A 0 A 0 (27) Unter der Voraussetzung, dass sich der Reibflächenanteil zwischen den Teilchen im Kontakt nicht ändert, gilt: F T F T0 = F P F P0 = F R F R0 = $ 0 (28) Bild 6: Darstellung der Viskositätsanteile beim viskoelastischen Fluidmodell In Analogie zu den komplexen Zahlen ergibt sich nach Bild 6 die komplexe Viskosität aus der vektoriellen Addition des viskosen und des elastischen Anteils. Dabei entspricht der viskose Anteil dem Realteil und der elastische Anteil dem Imaginärteil. Es gilt:   komplex 2 = !  viskos " 2 + !  elastisch " 2 Für die Messung der dynamischen oder auch kinematischen Viskosität gibt es eine Vielzahl von verschiedenen Messverfahren. Im Folgenden soll gezeigt werden, wie mit Hilfe der dynamischen Viskositätsmessung der elastische Viskositätsanteil bestimmt werden kann. Dazu wird die von Reynolds postulierten Gleichung 2 um den Schubspannungsanteil erweitert. Es gilt: F ##$ T1 F ##$ T2 = F ##$ P1 F ##$ P2 = F ##$ R1 F ##$ R2 = 1 ###$ A 1 2 ###$ A 2 bzw.: F T F T0 = F P F P0 = F R F R0 = $ A 0 A 0 Unter der Voraussetzung, dass sich der Reibflächenanteil zwischen den Teilchen im Kontakt nicht ändert, gilt: F T F T0 = F P F P0 = F R F R0 = $ 0 Bild 6: Darstellung der Viskositätsanteile beim viskoelastischen Fluidmodell In Analogie zu den komplexen Zahlen ergibt sich nach Bild 6 die komplexe Viskosität aus der vektoriellen Addition des viskosen und des elastischen Anteils. Dabei entspricht der viskose Anteil dem Realteil und der elastische Anteil dem Imaginärteil. Es gilt:   komplex 2 = !  viskos " 2 + !  elastisch " 2 Für die Messung der dynamischen oder auch kinematischen Viskosität gibt es eine Vielzahl von verschiedenen Messverfahren. Im Folgenden soll gezeigt werden, wie mit Hilfe der dynamischen Viskositätsmessung der elastische Viskositätsanteil bestimmt werden kann. Dazu wird die von Reynolds postulierten Gleichung 2 um den Schubspannungsanteil erweitert. Es gilt: F T1 F T2 = F P1 F P2 = F R1 F R2 = 1 A 1 2 A 2 bzw.: F ##$ T F ##$ T0 = F ##$ P F ##$ P0 = F ##$ R F ##$ R0 = $ A 0 ###$ A 0 Unter der Voraussetzung, dass sich der Reibflächenanteil zwischen den Teilchen im Kontakt nicht ändert, gilt: F T F T0 = F P F P0 = F R F R0 = $ 0 T+S_3_17 03.04.17 15: 13 Seite 30 Tribologie + Schmierungstechnik 64. Jahrgang 3/ 2017 Unter der Voraussetzung, dass sich der Reibflächenanteil zwischen den Teilchen im Kontakt nicht ändert, gilt: (28) Unter Anwendung des Newton’schen Schubspannungsansatzes: (29) gilt: (30) Entsprechend der Gleichung 18 ergibt sich für den Geschwindigkeitsabfall im Fluid: (31) Somit gilt für das Geschwindigkeitsgefälle im Fluid: (32) bzw. für die Schubspannung: (33) Das negative Vorzeichen in der Gleichung 33 gibt an, dass die Schubspannung bzw. die Reibkraft der Bewegung entgegengesetzt wirkt. Die Gleichung 33 zeigt ebenso, dass die Schubspannung im Fluid abfällt, je weiter ein Punkt von der bewegten Oberfläche betrachtet wird. Für die mittlere Schubspannung gilt: (34) Wird als Bereichsgrenze der Bereich bis ˆ v = 0,01× ˆ v betrachtet und unter Berücksichtigung der Gleichung 22 gilt: (35) bzw.: (36) Wie schon für die Reynoldszahl gilt auch für die Schubspannung, dass diese an jedem Punkt der Strömung einen anderen Wert hat, da in jedem Punkt andere Reibkräfte am Teilchen angreifen. Die Schubspannung für die gesamte Strömung ist immer nur ein Mittelwert. Die Schubspannung dynamisch ähnlicher Strömungen ist gleich und verläuft hinsichtlich der Trägheits- und Reibungskräfte ähnlich, wenn die geometrischen Konturen der umströmten Körper ähnlich sind und die mit korrespondierenden Werten gebildeten Schubspannungen übereinstimmen. Somit gilt: (37) bzw.: (38) Nach Gleichung 24 gilt: (39) bzw.: (40) Eingesetzt in die Gleichung 38 ergibt: (41) Mit Gleichung 37 gilt: (42) bzw. für das Scherratenverhältnis gilt: (43) Somit kann aus der gemessenen Eigenfrequenz des Schwingquarzes das Scherratenverhältnis berechnet werden mit: (44) In [7] veröffentlichte Eyring eine Gleichung zur Beschreibung des nicht-Newton‘schen Verhaltens. Nach Eyring gibt es folgenden Zusammenhang zwischen Schubspannung und Scherrate: (45) In der Gleichung 45 ist τ 0 keine Grenzschubspannung, sondern die Schubspannung im Bezugspunkt. Im Bezugspunkt gilt: (46) Des Weiteren lässt sich die Gleichung 45 umstellen zu: (47) bzw.: (48) oder: (49) 31 Aus Wissenschaft und Forschung 10 F T1 F T2 = F P1 F P2 = F R1 F R2 = 1 A 1 2 A 2 (26) bzw.: F T F T0 = F P F P0 = F R F R0 = $ A 0 A 0 (27) Unter der Voraussetzung, dass sich der Reibflächenanteil zwischen den Teilchen im Kontakt nicht ändert, gilt: F ##$ T F ##$ T0 = F ##$ P F ##$ P0 = F ##$ R F ##$ R0 = $ 0 ###$ (28) 12 ähnlicher Strömungen ist gleich und verläuft hinsichtlich Ihrer Trägheits- und Reibungskräfte ähnlich, wenn die geometrischen Konturen der umströmten Körper ähnlich sind und die mit korrespondierenden Werten gebildeten Schubspannungen übereinstimmen. Somit gilt:   ! = v "# ! 2  0 v " 0 # 0! 0 20 =1 bzw.: 1= v " 2 v " 02 0   0 ! ! 0 Nach Gleichung 24 gilt: 1= v " 2 v " 02 0  0  ! 0 ! bzw.: v " 2 v " 02 = 0   0 ! ! 0 Eingesetzt in die Gleichung 38 ergibt: 1= $   0 ! ! 0 % 2 Mit Gleichung 37 gilt: 0 & = $   0 ! ! 0 % 2 bzw. für das Scherratenverhältnis gilt: ' ' 0 =   0 ( ! ! 0 ) 2 Somit kann aus der gemessenen Eigenfrequenz des Schwingquarzes das Scherratenverhältnis berechnet werden mit: ' ' 0 =   0 ( f f 0 ) 2 In [7] veröffentlichte Eyring eine Gleichung zur Beschreibung des nicht- Newton‘schen Verhaltens. Nach Eyring gibt es folgenden Zusammenhang zwischen Schubspannung und Scherrate: ' = 0  sinh ( 0 ) In der Gleichung 45 ist 0 keine Grenzschubspannung, sondern die Schubspannung im Bezugspunkt. 12 ähnlicher Strömungen ist gleich und verläuft hinsichtlich Ihrer Trägheits- und Reibungskräfte ähnlich, wenn die geometrischen Konturen der umströmten Körper ähnlich sind und die mit korrespondierenden Werten gebildeten Schubspannungen übereinstimmen. Somit gilt:   ! = v "# ! 2  0 v " 0 # 0! 0 20 =1 bzw.: 1= v " 2 v " 02 0   0 ! ! 0 Nach Gleichung 24 gilt: 1= v " 2 v " 02 0  0  ! 0 ! bzw.: v " 2 v " 02 = 0   0 ! ! 0 Eingesetzt in die Gleichung 38 ergibt: 1= $   0 ! ! 0 % 2 Mit Gleichung 37 gilt: 0 & = $   0 ! ! 0 % 2 bzw. für das Scherratenverhältnis gilt: ' ' 0 =   0 ( ! ! 0 ) 2 Somit kann aus der gemessenen Eigenfrequenz des Schwingquarzes das Scherratenverhältnis berechnet werden mit: ' ' 0 =   0 ( f f 0 ) 2 In [7] veröffentlichte Eyring eine Gleichung zur Beschreibung des nicht- Newton‘schen Verhaltens. Nach Eyring gibt es folgenden Zusammenhang zwischen Schubspannung und Scherrate: ' = 0  sinh ( 0 ) In der Gleichung 45 ist 0 keine Grenzschubspannung, sondern die Schubspannung im Bezugspunkt. 12 ähnlicher Strömungen ist gleich und verläuft hinsichtlich Ihrer Trägheits- und Reibungskräfte ähnlich, wenn die geometrischen Konturen der umströmten Körper ähnlich sind und die mit korrespondierenden Werten gebildeten Schubspannungen übereinstimmen. Somit gilt:   ! = v "# ! 2  0 v " 0 # 0! 0 20 =1 bzw.: 1= v " 2 v " 02 0   0 ! ! 0 Nach Gleichung 24 gilt: 1= v " 2 v " 02 0  0  ! 0 ! bzw.: v " 2 v " 02 = 0   0 ! ! 0 Eingesetzt in die Gleichung 38 ergibt: 1= $   0 ! ! 0 % 2 Mit Gleichung 37 gilt: 0 & = $   0 ! ! 0 % 2 bzw. für das Scherratenverhältnis gilt: ' ' 0 =   0 ( ! ! 0 ) 2 Somit kann aus der gemessenen Eigenfrequenz des Schwingquarzes das Scherratenverhältnis berechnet werden mit: ' ' 0 =   0 ( f f 0 ) 2 In [7] veröffentlichte Eyring eine Gleichung zur Beschreibung des nicht- Newton‘schen Verhaltens. Nach Eyring gibt es folgenden Zusammenhang zwischen Schubspannung und Scherrate: ' = 0  sinh ( 0 ) In der Gleichung 45 ist 0 keine Grenzschubspannung, sondern die Schubspannung im Bezugspunkt. 12 Reibungskräfte ähnlich, wenn die geometrischen Konturen der umströmten Körper ähnlich sind und die mit korrespondierenden Werten gebildeten Schubspannungen übereinstimmen. Somit gilt:   ! = v "# ! 2  0 v " 0 # 0! 0 20 =1 bzw.: 1= v " 2 v " 02 0   0 ! ! 0 Nach Gleichung 24 gilt: 1= v " 2 v " 02 0  0  ! 0 ! bzw.: v " 2 v " 02 = 0   0 ! ! 0 Eingesetzt in die Gleichung 38 ergibt: 1= $   0 ! ! 0 % 2 Mit Gleichung 37 gilt: 0 & = $   0 ! ! 0 % 2 bzw. für das Scherratenverhältnis gilt: ' ' 0 =   0 ( ! ! 0 ) 2 Somit kann aus der gemessenen Eigenfrequenz des Schwingquarzes das Scherratenverhältnis berechnet werden mit: ' ' 0 =   0 ( f f 0 ) 2 In [7] veröffentlichte Eyring eine Gleichung zur Beschreibung des nicht- Newton‘schen Verhaltens. Nach Eyring gibt es folgenden Zusammenhang zwischen Schubspannung und Scherrate: ' = 0  sinh ( 0 ) In der Gleichung 45 ist 0 keine Grenzschubspannung, sondern die Schubspannung im Bezugspunkt. 12 ähnlicher Strömungen ist gleich und verläuft hinsichtlich Ihrer Trägheits- und Reibungskräfte ähnlich, wenn die geometrischen Konturen der umströmten Körper ähnlich sind und die mit korrespondierenden Werten gebildeten Schubspannungen übereinstimmen. Somit gilt:   ! = v "# ! 2  0 v " 0 # 0! 0 20 =1 (37) bzw.: 1= v " 2 v " 02 0   0 ! ! 0 (38) Nach Gleichung 24 gilt: 1= v " 2 v " 02 0  0  ! 0 ! (39) bzw.: v " 2 v " 02 = 0   0 ! ! 0 (40) Eingesetzt in die Gleichung 38 ergibt: 1= $   0 ! ! 0 % 2 (41) Mit Gleichung 37 gilt: 0 & = $   0 ! ! 0 % 2 (42) bzw. für das Scherratenverhältnis gilt: ' ' 0 =   0 ( ! ! 0 ) 2 (43) Somit kann aus der gemessenen Eigenfrequenz des Schwingquarzes das Scherratenverhältnis berechnet werden mit: ' ' 0 =   0 ( f f 0 ) 2 (44) In [7] veröffentlichte Eyring eine Gleichung zur Beschreibung des nicht- Newton‘schen Verhaltens. Nach Eyring gibt es folgenden Zusammenhang zwischen Schubspannung und Scherrate: ' = 0  sinh ( 0 ) (45) In der Gleichung 45 ist 0 keine Grenzschubspannung, sondern die Schubspannung im Bezugspunkt. 12 ähnlicher Strömungen ist gleich und verläuft hinsichtlich Ihrer Trägheits- und Reibungskräfte ähnlich, wenn die geometrischen Konturen der umströmten Körper ähnlich sind und die mit korrespondierenden Werten gebildeten Schubspannungen übereinstimmen. Somit gilt:   ! = v "# ! 2  0 v " 0 # 0! 0 20 =1 (37) bzw.: 1= v " 2 v " 02 0   0 ! ! 0 (38) Nach Gleichung 24 gilt: 1= v " 2 v " 02 0  0  ! 0 ! (39) bzw.: v " 2 v " 02 = 0   0 ! ! 0 (40) Eingesetzt in die Gleichung 38 ergibt: 1= $   0 ! ! 0 % 2 (41) Mit Gleichung 37 gilt: 0 & = $   0 ! ! 0 % 2 (42) bzw. für das Scherratenverhältnis gilt: ' ' 0 =   0 ( ! ! 0 ) 2 (43) Somit kann aus der gemessenen Eigenfrequenz des Schwingquarzes das Scherratenverhältnis berechnet werden mit: ' ' 0 =   0 ( f f 0 ) 2 (44) In [7] veröffentlichte Eyring eine Gleichung zur Beschreibung des nicht- Newton‘schen Verhaltens. Nach Eyring gibt es folgenden Zusammenhang zwischen Schubspannung und Scherrate: ' = 0  sinh ( 0 ) (45) In der Gleichung 45 ist 0 keine Grenzschubspannung, sondern die Schubspannung im Bezugspunkt. 12 Reibungskräfte ähnlich, wenn die geometrischen Konturen der umströmten Körper ähnlich sind und die mit korrespondierenden Werten gebildeten Schubspannungen übereinstimmen. Somit gilt:   ! = v "# ! 2  0 v " 0 # 0! 0 20 =1 (37) bzw.: 1= v " 2 v " 02 0   0 ! ! 0 (38) Nach Gleichung 24 gilt: 1= v " 2 v " 02 0  0  ! 0 ! (39) bzw.: v " 2 v " 02 = 0   0 ! ! 0 (40) Eingesetzt in die Gleichung 38 ergibt: 1= $   0 ! ! 0 % 2 (41) Mit Gleichung 37 gilt: 0 & = $   0 ! ! 0 % 2 (42) bzw. für das Scherratenverhältnis gilt: ' ' 0 =   0 ( ! ! 0 ) 2 (43) Somit kann aus der gemessenen Eigenfrequenz des Schwingquarzes das Scherratenverhältnis berechnet werden mit: ' ' 0 =   0 ( f f 0 ) 2 (44) In [7] veröffentlichte Eyring eine Gleichung zur Beschreibung des nicht- Newton‘schen Verhaltens. Nach Eyring gibt es folgenden Zusammenhang zwischen Schubspannung und Scherrate: ' = 0  sinh ( 0 ) (45) In der Gleichung 45 ist 0 keine Grenzschubspannung, sondern die Schubspannung im Bezugspunkt. 12 Reibungskräfte ähnlich, wenn die geometrischen Konturen der umströmten Körper ähnlich sind und die mit korrespondierenden Werten gebildeten Schubspannungen übereinstimmen. Somit gilt:   ! = v "# ! 2  0 v " 0 # 0! 0 20 =1 (37) bzw.: 1= v " 2 v " 02 0   0 ! ! 0 (38) Nach Gleichung 24 gilt: 1= v " 2 v " 02 0  0  ! 0 ! (39) bzw.: v " 2 v " 02 = 0   0 ! ! 0 (40) Eingesetzt in die Gleichung 38 ergibt: 1= $   0 ! ! 0 % 2 (41) Mit Gleichung 37 gilt: 0 & = $   0 ! ! 0 % 2 (42) bzw. für das Scherratenverhältnis gilt: ' ' 0 =   0 ( ! ! 0 ) 2 (43) Somit kann aus der gemessenen Eigenfrequenz des Schwingquarzes das Scherratenverhältnis berechnet werden mit: ' ' 0 =   0 ( f f 0 ) 2 (44) In [7] veröffentlichte Eyring eine Gleichung zur Beschreibung des nicht- Newton‘schen Verhaltens. Nach Eyring gibt es folgenden Zusammenhang zwischen Schubspannung und Scherrate: ' = 0  sinh ( 0 ) (45) In der Gleichung 45 ist 0 keine Grenzschubspannung, sondern die Schubspannung im Bezugspunkt. 12 Reibungskräfte ähnlich, wenn die geometrischen Konturen der umströmten Körper ähnlich sind und die mit korrespondierenden Werten gebildeten Schubspannungen übereinstimmen. Somit gilt:   ! = v "# ! 2  0 v " 0 # 0! 0 20 =1 (37) bzw.: 1= v " 2 v " 02 0   0 ! ! 0 (38) Nach Gleichung 24 gilt: 1= v " 2 v " 02 0  0  ! 0 ! (39) bzw.: v " 2 v " 02 = 0   0 ! ! 0 (40) Eingesetzt in die Gleichung 38 ergibt: 1= $   0 ! ! 0 % 2 (41) Mit Gleichung 37 gilt: 0 & = $   0 ! ! 0 % 2 (42) bzw. für das Scherratenverhältnis gilt: ' ' 0 =   0 ( ! ! 0 ) 2 (43) Somit kann aus der gemessenen Eigenfrequenz des Schwingquarzes das Scherratenverhältnis berechnet werden mit: ' ' 0 =   0 ( f f 0 ) 2 (44) In [7] veröffentlichte Eyring eine Gleichung zur Beschreibung des nicht- Newton‘schen Verhaltens. Nach Eyring gibt es folgenden Zusammenhang zwischen Schubspannung und Scherrate: ' = 0  sinh ( 0 ) (45) In der Gleichung 45 ist 0 keine Grenzschubspannung, sondern die Schubspannung im Bezugspunkt. Im Bezugspunkt gilt: 0 =  0 × 0 (46) Des Weiteren lässt sich die Gleichung 45 umstellen zu:  × 0 = sinh 0 ! (47) bzw.: 0 = sinh 0 ! (48) oder: = 0 sinh "  ×  0 × 0 # (49) Unter der Voraussetzung, dass eine Änderung der Schubspannung nur aufgrund der Scherrate erfolgt, somit das Viskositätsverhältnis konstant ist und im Bezugspunkt sich die Geschwindigkeit im Fluid linear mit  0 =1 ändert, gilt: = 0 sinh (  ) (50) Des Weiteren ist zu berücksichtigen, dass der lineare Geschwindigkeitsabfall im Bezugspunkt für ein Fluid nur bei ausreichend kleiner Dichte bzw. hoher Im Bezugspunkt gilt: 0 =  0 × 0 (46) Des Weiteren lässt sich die Gleichung 45 umstellen zu:  × 0 = sinh 0 ! (47) bzw.: 0 = sinh 0 ! (48) oder: = 0 sinh "  ×  0 × 0 # (49) Unter der Voraussetzung, dass eine Änderung der Schubspannung nur aufgrund der Scherrate erfolgt, somit das Viskositätsverhältnis konstant ist und im Bezugspunkt sich die Geschwindigkeit im Fluid linear mit  0 =1 ändert, gilt: = 0 sinh (  ) (50) Des Weiteren ist zu berücksichtigen, dass der lineare Geschwindigkeitsabfall im Bezugspunkt für ein Fluid nur bei ausreichend kleiner Dichte bzw. hoher Im Bezugspunkt gilt: 0 =  0 × 0 (46) Des Weiteren lässt sich die Gleichung 45 umstellen zu:  × 0 = sinh 0 ! (47) bzw.: 0 = sinh 0 ! (48) oder: = 0 sinh "  ×  0 × 0 # (49) Unter der Voraussetzung, dass eine Änderung der Schubspannung nur aufgrund der Scherrate erfolgt, somit das Viskositätsverhältnis konstant ist und im Bezugspunkt sich die Geschwindigkeit im Fluid linear mit  0 =1 ändert, gilt: = 0 sinh (  ) (50) Des Weiteren ist zu berücksichtigen, dass der lineare Geschwindigkeitsabfall im Bezugspunkt für ein Fluid nur bei ausreichend kleiner Dichte bzw. hoher Im Bezugspunkt gilt: 0 =  0 × 0 (46) Des Weiteren lässt sich die Gleichung 45 umstellen zu:  × 0 = sinh 0 ! (47) bzw.: 0 = sinh 0 ! (48) oder: = 0 sinh "  ×  0 × 0 # (49) Unter der Voraussetzung, dass eine Änderung der Schubspannung nur aufgrund der Scherrate erfolgt, somit das Viskositätsverhältnis konstant ist und im Bezugspunkt sich die Geschwindigkeit im Fluid linear mit  0 =1 ändert, gilt: = 0 sinh (  ) (50) Des Weiteren ist zu berücksichtigen, dass der lineare Geschwindigkeitsabfall 11 Unter Anwendung des Newton’schen Schubspannungsansatzes: =×  (29) gilt: 0 ! =    0  0 (30) Entsprechend der Gleichung 18 ergibt sich für den Geschwindigkeitsabfall im Fluid: v ( x ) =v " ×e - # ! 2 x (31) Somit gilt für das Geschwindigkeitsgefälle dv dx im Fluid: dv dx =-v " × # ! 2 ×e - # ! 2 x (32) bzw. für die Schubspannung: =-×v " × # ! 2 ×e - # ! 2 x (33) Das negative Vorzeichen in der Gleichung 33 gibt an, dass die Schubspannung bzw. die Reibkraft der Bewegung entgegengesetzt wirkt. Die Gleichung 33 zeigt ebenso, dass die Schubspannung im Fluid abfällt, je weiter ein Punkt von der bewegten Oberfläche betrachtet wird. Für die mittlere Schubspannung gilt: $ =× % v ( x ) x % 0 x (34) Wird als Bereichsgrenze der Bereich bis v " =0,01×v " betrachtet und unter Berücksichtigung der Gleichung 22 gilt: $ =× v " & 1-0,01 '# ! 2 ln [ 100 ] (35) bzw.: ($ ( ) $ = v "# ! 2  0 v " 0 # 0! 0 20 (36) Wie schon für die Reynoldszahl gilt auch für die Schubspannung, dass diese an jedem Punkt der Strömung einen anderen Wert hat, da in jedem Punkt andere Reibkräfte am Teilchen angreifen. Die Schubspannung für die gesamte Strömung ist immer nur ein Mittelwert. Die Schubspannung dynamisch 11 Unter Anwendung des Newton’schen Schubspannungsansatzes: =×  (29) gilt: 0 ! ! ! =    0  0 (30) Entsprechend der Gleichung 18 ergibt sich für den Geschwindigkeitsabfall im Fluid: v ( x ) =v " ×e - # ! 2 x (31) Somit gilt für das Geschwindigkeitsgefälle dv dx im Fluid: dv dx =-v " × # ! 2 ×e - # ! 2 x (32) bzw. für die Schubspannung: =-×v " × # ! 2 ×e - # ! 2 x (33) Das negative Vorzeichen in der Gleichung 33 gibt an, dass die Schubspannung bzw. die Reibkraft der Bewegung entgegengesetzt wirkt. Die Gleichung 33 zeigt ebenso, dass die Schubspannung im Fluid abfällt, je weiter ein Punkt von der bewegten Oberfläche betrachtet wird. Für die mittlere Schubspannung gilt: $ =× % v ( x ) x % 0 x (34) Wird als Bereichsgrenze der Bereich bis v " =0,01×v " betrachtet und unter Berücksichtigung der Gleichung 22 gilt: $ =× v " & 1-0,01 '# ! 2 ln [ 100 ] (35) bzw.: ($ ( ) $ = v "# ! 2  0 v " 0 # 0! 0 20 (36) Wie schon für die Reynoldszahl gilt auch für die Schubspannung, dass diese an jedem Punkt der Strömung einen anderen Wert hat, da in jedem Punkt andere Reibkräfte am Teilchen angreifen. Die Schubspannung für die gesamte Strömung ist immer nur ein Mittelwert. Die Schubspannung dynamisch 11 Unter Anwendung des Newton’schen Schubspannungsansatzes: =×  (29) gilt: 0 ! =    0  0 (30) Entsprechend der Gleichung 18 ergibt sich für den Geschwindigkeitsabfall im Fluid: v ( x ) =v " ×e - # ! 2 x (31) Somit gilt für das Geschwindigkeitsgefälle dv dx im Fluid: dv dx =-v " × # ! 2 ×e - # ! 2 x (32) bzw. für die Schubspannung: =-×v " × # ! 2 ×e - # ! 2 x (33) Das negative Vorzeichen in der Gleichung 33 gibt an, dass die Schubspannung bzw. die Reibkraft der Bewegung entgegengesetzt wirkt. Die Gleichung 33 zeigt ebenso, dass die Schubspannung im Fluid abfällt, je weiter ein Punkt von der bewegten Oberfläche betrachtet wird. Für die mittlere Schubspannung gilt: $ =× % v ( x ) x % 0 x (34) Wird als Bereichsgrenze der Bereich bis v " =0,01×v " betrachtet und unter Berücksichtigung der Gleichung 22 gilt: $ =× v " & 1-0,01 '# ! 2 ln [ 100 ] (35) bzw.: ($ ( ) $ = v "# ! 2  0 v " 0 # 0! 0 20 (36) Wie schon für die Reynoldszahl gilt auch für die Schubspannung, dass diese an jedem Punkt der Strömung einen anderen Wert hat, da in jedem Punkt andere Reibkräfte am Teilchen angreifen. Die Schubspannung für die gesamte Strömung ist immer nur ein Mittelwert. Die Schubspannung dynamisch 11 Unter Anwendung des Newton’schen Schubspannungsansatzes: =×  (29) gilt: 0 ! =    0  0 (30) Entsprechend der Gleichung 18 ergibt sich für den Geschwindigkeitsabfall im Fluid: v ( x ) =v " ×e - # ! 2 x (31) Somit gilt für das Geschwindigkeitsgefälle dv dx im Fluid: dv dx =-v " × # ! 2 ×e - # ! 2 x (32) bzw. für die Schubspannung: =-×v " × # ! 2 ×e - # ! 2 x (33) Das negative Vorzeichen in der Gleichung 33 gibt an, dass die Schubspannung bzw. die Reibkraft der Bewegung entgegengesetzt wirkt. Die Gleichung 33 zeigt ebenso, dass die Schubspannung im Fluid abfällt, je weiter ein Punkt von der bewegten Oberfläche betrachtet wird. Für die mittlere Schubspannung gilt: $ =× % v ( x ) x % 0 x (34) Wird als Bereichsgrenze der Bereich bis v " =0,01×v " betrachtet und unter Berücksichtigung der Gleichung 22 gilt: $ =× v " & 1-0,01 '# ! 2 ln [ 100 ] (35) bzw.: ($ ( ) $ = v "# ! 2  0 v " 0 # 0! 0 20 (36) Wie schon für die Reynoldszahl gilt auch für die Schubspannung, dass diese an jedem Punkt der Strömung einen anderen Wert hat, da in jedem Punkt andere Reibkräfte am Teilchen angreifen. Die Schubspannung für die gesamte Strömung ist immer nur ein Mittelwert. Die Schubspannung dynamisch 11 Unter Anwendung des Newton’schen Schubspannungsansatzes: =×  (29) gilt: 0 ! =    0  0 (30) Entsprechend der Gleichung 18 ergibt sich für den Geschwindigkeitsabfall im Fluid: v ( x ) =v " ×e - # ! 2 x (31) Somit gilt für das Geschwindigkeitsgefälle dv dx im Fluid: dv dx =-v " × # ! 2 ×e - # ! 2 x (32) bzw. für die Schubspannung: =-×v " × # ! 2 ×e - # ! 2 x (33) Das negative Vorzeichen in der Gleichung 33 gibt an, dass die Schubspannung bzw. die Reibkraft der Bewegung entgegengesetzt wirkt. Die Gleichung 33 zeigt ebenso, dass die Schubspannung im Fluid abfällt, je weiter ein Punkt von der bewegten Oberfläche betrachtet wird. Für die mittlere Schubspannung gilt: $ =× % v ( x ) x % 0 x (34) Wird als Bereichsgrenze der Bereich bis v " =0,01×v " betrachtet und unter Berücksichtigung der Gleichung 22 gilt: $ =× v " & 1-0,01 '# ! 2 ln [ 100 ] (35) bzw.: ($ ( ) $ = v "# ! 2  0 v " 0 # 0! 0 20 (36) Wie schon für die Reynoldszahl gilt auch für die Schubspannung, dass diese an jedem Punkt der Strömung einen anderen Wert hat, da in jedem Punkt andere Reibkräfte am Teilchen angreifen. Die Schubspannung für die gesamte Strömung ist immer nur ein Mittelwert. Die Schubspannung dynamisch 11 Unter Anwendung des Newton’schen Schubspannungsansatzes: =×  (29) gilt: 0 ! =    0  0 (30) Entsprechend der Gleichung 18 ergibt sich für den Geschwindigkeitsabfall im Fluid: v ( x ) =v " ×e - # ! 2 x (31) Somit gilt für das Geschwindigkeitsgefälle dv dx im Fluid: dv dx =-v " × # ! 2 ×e - # ! 2 x (32) bzw. für die Schubspannung: =-×v " × # ! 2 ×e - # ! 2 x (33) Das negative Vorzeichen in der Gleichung 33 gibt an, dass die Schubspannung bzw. die Reibkraft der Bewegung entgegengesetzt wirkt. Die Gleichung 33 zeigt ebenso, dass die Schubspannung im Fluid abfällt, je weiter ein Punkt von der bewegten Oberfläche betrachtet wird. Für die mittlere Schubspannung gilt: $ =× % v ( x ) x % 0 x (34) Wird als Bereichsgrenze der Bereich bis v " =0,01×v " betrachtet und unter Berücksichtigung der Gleichung 22 gilt: $ =× v " & 1-0,01 '# ! 2 ln [ 100 ] (35) bzw.: ($ ( ) $ = v "# ! 2  0 v " 0 # 0! 0 20 (36) Wie schon für die Reynoldszahl gilt auch für die Schubspannung, dass diese an jedem Punkt der Strömung einen anderen Wert hat, da in jedem Punkt andere Reibkräfte am Teilchen angreifen. Die Schubspannung für die gesamte Strömung ist immer nur ein Mittelwert. Die Schubspannung dynamisch 11 Unter Anwendung des Newton’schen Schubspannungsansatzes: =×  (29) gilt: 0 ! =    0  0 (30) Entsprechend der Gleichung 18 ergibt sich für den Geschwindigkeitsabfall im Fluid: v ( x ) =v " ×e - # ! 2 x (31) Somit gilt für das Geschwindigkeitsgefälle dv dx im Fluid: dv dx =-v " × # ! 2 ×e - # ! 2 x (32) bzw. für die Schubspannung: =-×v " × # ! 2 ×e - # ! 2 x (33) Das negative Vorzeichen in der Gleichung 33 gibt an, dass die Schubspannung bzw. die Reibkraft der Bewegung entgegengesetzt wirkt. Die Gleichung 33 zeigt ebenso, dass die Schubspannung im Fluid abfällt, je weiter ein Punkt von der bewegten Oberfläche betrachtet wird. Für die mittlere Schubspannung gilt: $ =× % v ( x ) x % 0 x (34) Wird als Bereichsgrenze der Bereich bis v " =0,01×v " betrachtet und unter Berücksichtigung der Gleichung 22 gilt: $ =× v " & 1-0,01 '# ! 2 ln [ 100 ] (35) bzw.: ($ ( ) $ = v "# ! 2  0 v " 0 # 0! 0 20 (36) Wie schon für die Reynoldszahl gilt auch für die Schubspannung, dass diese an jedem Punkt der Strömung einen anderen Wert hat, da in jedem Punkt andere Reibkräfte am Teilchen angreifen. Die Schubspannung für die gesamte Strömung ist immer nur ein Mittelwert. Die Schubspannung dynamisch 11 Unter Anwendung des Newton’schen Schubspannungsansatzes: =×  (29) gilt: 0 ! =    0  0 (30) Entsprechend der Gleichung 18 ergibt sich für den Geschwindigkeitsabfall im Fluid: v ( x ) =v " ×e - # ! 2 x (31) Somit gilt für das Geschwindigkeitsgefälle dv dx im Fluid: dv dx =-v " × # ! 2 ×e - # ! 2 x (32) bzw. für die Schubspannung: =-×v " × # ! 2 ×e - # ! 2 x (33) Das negative Vorzeichen in der Gleichung 33 gibt an, dass die Schubspannung bzw. die Reibkraft der Bewegung entgegengesetzt wirkt. Die Gleichung 33 zeigt ebenso, dass die Schubspannung im Fluid abfällt, je weiter ein Punkt von der bewegten Oberfläche betrachtet wird. Für die mittlere Schubspannung gilt: $ =× % v ( x ) x % 0 x (34) Wird als Bereichsgrenze der Bereich bis v " =0,01×v " betrachtet und unter Berücksichtigung der Gleichung 22 gilt: $ =× v " & 1-0,01 '# ! 2 ln [ 100 ] (35) bzw.: ($ ( ) $$$ = v "# ! 2  0 v " 0 # 0! 0 20 (36) Wie schon für die Reynoldszahl gilt auch für die Schubspannung, dass diese an jedem Punkt der Strömung einen anderen Wert hat, da in jedem Punkt andere Reibkräfte am Teilchen angreifen. Die Schubspannung für die gesamte Strömung ist immer nur ein Mittelwert. Die Schubspannung dynamisch 11 Unter Anwendung des Newton’schen Schubspannungsansatzes: =×  (29) gilt: 0 ! =    0  0 (30) Entsprechend der Gleichung 18 ergibt sich für den Geschwindigkeitsabfall im Fluid: v ( x ) =v " ×e - # ! 2 x (31) Somit gilt für das Geschwindigkeitsgefälle dv dx im Fluid: dv dx =-v " × # ! 2 ×e - # ! 2 x (32) bzw. für die Schubspannung: =-×v " × # ! 2 ×e - # ! 2 x (33) Das negative Vorzeichen in der Gleichung 33 gibt an, dass die Schubspannung bzw. die Reibkraft der Bewegung entgegengesetzt wirkt. Die Gleichung 33 zeigt ebenso, dass die Schubspannung im Fluid abfällt, je weiter ein Punkt von der bewegten Oberfläche betrachtet wird. Für die mittlere Schubspannung gilt: $ =× % v ( x ) x % 0 x (34) Wird als Bereichsgrenze der Bereich bis v " =0,01×v " betrachtet und unter Berücksichtigung der Gleichung 22 gilt: $ =× v " & 1-0,01 '# ! 2 ln [ 100 ] (35) bzw.: ($ ( ) $ = v "# ! 2  0 v " 0 # 0! 0 20 (36) Wie schon für die Reynoldszahl gilt auch für die Schubspannung, dass diese an jedem Punkt der Strömung einen anderen Wert hat, da in jedem Punkt andere Reibkräfte am Teilchen angreifen. Die Schubspannung für die gesamte Strömung ist immer nur ein Mittelwert. Die Schubspannung dynamisch T+S_3_17 03.04.17 15: 13 Seite 31 32 Tribologie + Schmierungstechnik 64. Jahrgang 3/ 2017 Unter der Voraussetzung, dass eine Änderung der Schubspannung nur aufgrund der Scherrate erfolgt, somit das Viskositätsverhältnis konstant ist, und im Bezugspunkt sich die Geschwindigkeit im Fluid linear mit ∙ γ 0 =1 ändert, gilt: (50) Des Weiteren ist zu berücksichtigen, dass der lineare Geschwindigkeitsabfall im Bezugspunkt für ein Fluid nur bei ausreichend kleiner Dichte bzw. hoher Temperatur sichergestellt ist. Für die Gleichung 50 ergibt sich der in Bild 7 logarithmisch dargestellte graphische Zusammenhang zwischen der Scherrate und der Schubspannung. Wird die Gleichung 30 logarithmisch umgeformt, so ergibt sich: (51) Unter der Voraussetzung, dass eine Schubspannung nur entsteht, wenn im Fluid eine Scherrate bzw. ein Geschwindigkeitsabfall vorliegt und im Bezugspunkt sowohl die Schubspannung als auch die Scherrate vernachlässigbar klein sind, ergibt sich wieder das Newton’sche Schubspannungsgesetz. Somit erweitert die Eyring’sche Schubspannungsgleichung den Definitionsbereich der Newton’schen Schubspannungsgleichung auf hohe Scherraten. Die Eyring’sche Schubspannungsgleichung gibt an, wie groß die Schubspannung im Fluid bei einem definierten Geschwindigkeitsabfall (Scherrate) ist. Es wird deutlich, dass mit zunehmender Scherrate und somit zunehmender Fluidreibung die Schubspannung im Fluid ansteigt. Ebenso wird deutlich, dass die Scherrate direkt mit der Fluidreibung und somit mit der Viskosität verknüpft ist. Aufgrund der direkten Verknüpfung zwischen Fluidreibung und Viskosität haben die thermophysikalischen Eigenschaften eines Fluiden maßgeblichen Einfluss auf das Reibungsverhalten des tribologischen Kontaktes. Die in der Tabelle 1 aufgeführten Fluide wurden hinsichtlich der thermophysikalischen Eigenschaften untersucht und anschließend das Reibungsverhalten im tribologischen Kontakt beurteilt. Dazu wurden die Fluide sowohl bei Normaldruckbedingungen als auch in einem Hochdruckautoklaven mit einem Torsionsschwingquarz vermessen. Die Ergebnisse der Viskositätsmessungen bei Normaldruckbedingungen sind in den Bildern 8 und 9 dargestellt. Wie zu erwarten, nimmt die Viskosität mit zunehmender Temperatur ab. Nach Gleichung 42 und 43 ergeben sich bei Normaldruckbedingungen die in den Bildern 10 und 11 dargestellten Zusammenhänge zwischen Schubspannung und Scherrate. Es zeigt sich eine gute Übereinstimmung mit der Eyring’schen Schubspannungsgleichung. Des Weiteren wird deutlich, dass sich die Fluide bei Normaldruckbedingungen wie Newton’sche Fluide verhalten. Wird die Viskosität über der Scherrate in einem doppellogarithmischen Diagramm dargestellt, so ergeben sich die in den Bildern 12 und 13 dargestellten Diagramme. Aus den Bildern 12 und 13 wird deutlich, dass mit zu- Aus Wissenschaft und Forschung 13 0 = sinh 0 ! (47) bzw.: 0 = sinh 0 ! (48) oder: = 0 sinh "  ×  0 × 0 # (49) Unter der Voraussetzung, dass eine Änderung der Schubspannung nur aufgrund der Scherrate erfolgt, somit das Viskositätsverhältnis konstant ist und im Bezugspunkt sich die Geschwindigkeit im Fluid linear mit  0 =1 ändert, gilt: = 0 sinh (  ) (50) Des Weiteren ist zu berücksichtigen, dass der lineare Geschwindigkeitsabfall im Bezugspunkt für ein Fluid nur bei ausreichend kleiner Dichte bzw. hoher Temperatur sichergestellt ist. Für die Gleichung 50 ergibt sich der in Bild 7 logarithmisch dargestellte graphische Zusammenhang zwischen der Scherrate und der Schubspannung. Wird die Gleichung 30 logarithmisch umgeformt, so ergibt sich: ln ( ) =ln ( ×  ) +ln ( 0 ) -ln $ 0 ×  0 % (51) Unter der Voraussetzung, dass eine Schubspannung nur entsteht, wenn im Fluid eine Scherrate bzw. ein Geschwindigkeitsabfall vorliegt und im Bezugspunkt sowohl die Schubspannung als auch die Scherrate vernachlässigbar klein sind, ergibt sich wieder das Newton’sche Schubspannungsgesetz. Somit erweitert die Eyring’sche Schubspannungsgleichung den Definitionsbereich der Newton’schen Schubspannungsgleichung auf hohe Scherraten. Die Eyring’sche Schubspannungsgleichung gibt an, wie groß die Schubspannung im Fluid bei einem definierten Geschwindigkeitsabfall (Scherrate) ist. Es wird deutlich, dass mit zunehmender Scherrate und somit zunehmender Fluidreibung die Schubspannung im Fluid ansteigt. Ebenso wird deutlich, dass die Scherrate direkt mit der Fluidreibung und somit mit der Viskosität verknüpft ist. 13 × 0 = sinh 0 ! (47) bzw.: 0 = sinh 0 ! (48) oder: = 0 sinh "  ×  0 × 0 # (49) Unter der Voraussetzung, dass eine Änderung der Schubspannung nur aufgrund der Scherrate erfolgt, somit das Viskositätsverhältnis konstant ist und im Bezugspunkt sich die Geschwindigkeit im Fluid linear mit  0 =1 ändert, gilt: = 0 sinh (  ) (50) Des Weiteren ist zu berücksichtigen, dass der lineare Geschwindigkeitsabfall im Bezugspunkt für ein Fluid nur bei ausreichend kleiner Dichte bzw. hoher Temperatur sichergestellt ist. Für die Gleichung 50 ergibt sich der in Bild 7 logarithmisch dargestellte graphische Zusammenhang zwischen der Scherrate und der Schubspannung. Wird die Gleichung 30 logarithmisch umgeformt, so ergibt sich: ln ( ) =ln ( ×  ) +ln ( 0 ) -ln $ 0 ×  0 % (51) Unter der Voraussetzung, dass eine Schubspannung nur entsteht, wenn im Fluid eine Scherrate bzw. ein Geschwindigkeitsabfall vorliegt und im Bezugspunkt sowohl die Schubspannung als auch die Scherrate vernachlässigbar klein sind, ergibt sich wieder das Newton’sche Schubspannungsgesetz. Somit erweitert die Eyring’sche Schubspannungsgleichung den Definitionsbereich der Newton’schen Schubspannungsgleichung auf hohe Scherraten. Die Eyring’sche Schubspannungsgleichung gibt an, wie groß die Schubspannung im Fluid bei einem definierten Geschwindigkeitsabfall (Scherrate) ist. Es wird deutlich, dass mit zunehmender Scherrate und somit zunehmender Fluidreibung die Schubspannung im Fluid ansteigt. Ebenso wird deutlich, dass die Scherrate direkt mit der Fluidreibung und somit mit der Viskosität verknüpft ist. Bild 7: Newton’scher und Eyring’scher Definitionsbereich Tabelle 1: charakteristische Kennwerte der untersuchten Fluide Bezeichnung Bezeichnung ISO ν 40°C η 40°C ρ 40°C lang kurz VG [mm 2 / s] [mPas] [kg/ m 3 ] Mineralöl 100 MIN 100 100 103,36 89,4 864,91 Mineralöl 100 MIN 100 4%A99 4%A99 100 92,55 80,7 871,88 Polyalphaolefin 10 PAO 10 68 68,27 56,9 833,43 TMP-Ester 10 TMP 10 46 51,58 46,8 907,30 Gruppe 3 Grundöl GOE A 22 25,67 21,1 821,86 GOE A+friction modifier A FMA 68 69,56 58,5 840,97 1/ 3 GOE A und 2/ 3 Ester GOE AE 22 24,03 19,8 824,00 GOE AE+friction modifier A ESA 68 59,97 53,7 895,37 T+S_3_17 03.04.17 15: 13 Seite 32 Tribologie + Schmierungstechnik 64. Jahrgang 3/ 2017 nehmender Viskosität die Scherrate bzw. der Geschwindigkeitsabfall im Fluid zunimmt. Somit sind Viskosität, Scherrate und Dichte direkt proportional zueinander. Daraus folgt, dass mit zunehmender Scherrate sowohl die Viskosität als auch die Dichte zunimmt. Wird in den Bildern 12 und 13 eine Winkelhalbierende eingetragen, dann ist der Abstand zur Winkelhalbierenden ein Maß für den viskosen Anteil im Fluid. Werden die Wertepaare an der Winkelhalbierenden gespiegelt und um 45° gedreht, so ergeben sich die in den Bildern 14 und 15 33 Aus Wissenschaft und Forschung Bild 8: Temperatur-Viskosität Bild 9: Temperatur-Viskosität Bild 10: Scherrate-Schubspannung Bild 11: Scherrate-Schubspannung Bild 12: Scherrate-Viskosität Bild 13: Scherrate-Viskosität Bild 14: Masterkurven Bild 15: Masterkurven T+S_3_17 03.04.17 15: 13 Seite 33 34 Tribologie + Schmierungstechnik 64. Jahrgang 3/ 2017 dargestellte Masterkurven. In Bild 16 ist schematisch die Konstruktion der Masterkurve dargestellt. Aus dem Maxwell-Körper folgt, dass jedes Fluid einen viskosen und elastischen Anteil hat. Nach Bild 16 berechnet sich das Viskositätsverhältnis des idealen Newton’schen Fluiden aus der vektoriellen Addition des viskosen und des elastischen Anteils. Somit gilt: (52) Für den scherratenabhängigen viskosen und elastischen Anteil im Fluid folgt daraus: (53) (54) Die Bilder 14 und 15 zeigen deutlich, dass sich die untersuchten Fluide bei Normaldruckbedingungen, mit einem viskosen Anteil von über 95 %, nahezu wie ein ideales Newton’sches Fluid verhalten. Bisher wird der Einfluss der Scherrate auf die Viskosität in den Fließkurven dargestellt und auf ein strukturviskoses oder dilatantes Verhalten des Fluiden geschlossen. Dabei wird mit Hilfe eines Rotationsviskosimeters die Scherrate durch ändern der Drehzahl erhöht. Da durch die höhere Oberflächengeschwindigkeit auch die Fluidgeschwindigkeit zunimmt, kann dies zu einer Abnahme der gemessenen Viskosität führen. Im Gegensatz dazu, wird ein in sich stark vernetztes elastisches Fluid eine Zunahme der Viskosität zeigen. So nimmt z. B. bei Stärkebrei die Dichte und Viskosität zu, sobald der Stärkebrei einer Geschwindigkeitszunahme ausgesetzt ist und sich Stärkebreibrocken bilden. Da sich das thermodynamische System geändert hat, kann die Auswertung der Viskosität bei einer Fließkurvenmessung nur erfolgen, wenn die Dichte konstant ist. Damit gibt das bestehende Messverfahren zur Bestimmung der Fließkurven nicht die Scherratenabhängigkeit der Viskosität an, sondern vielmehr den Einfluss der Oberflächengeschwindigkeit auf die Viskosität und somit das Interaktionsverhalten zwischen Fluid und Oberfläche wieder. Da die Scherrate bzw. der Geschwindigkeitsabfall im Fluid direkt proportional zur Fluidreibung und der Viskosität ist, kann ausgehend vom Coulomb’schen Reibungsgesetz und unter Verwendung des Newton’schen Reibungsgesetzes ein Fluidreibwert nach Gleichung 57 bestimmt werden. Es gilt: (55) (56) bzw.: (57) In den Bildern 17 und 18 ist der Fluidreibwert über der Viskosität aufgetragen. Es zeigt sich, dass der Fluidreibwert bei Normaldruckbedingungen in der doppeltlogarithmischen Auftragung linear mit der Viskosität zunimmt. Aus Wissenschaft und Forschung Bild 17: Viskosität-Fluidreibwert Bild 18: Viskosität-Fluidreibwert Bild 16: Konstruktion der Masterkurve 16 Bild 16: Konstruktion der Masterkurve Aus dem Maxwell-Körper folgt, dass jedes Fluid einen viskosen und elastischen Anteil hat. Nach Bild 16 berechnet sich das Viskositätsverhältnis des idealen Newton’schen Fluiden aus der vektoriellen Addition des viskosen und des elastischen Anteils. Somit gilt: 1=   Newton  0 2 =   viskos  0 2 +   elastisch  0 2 (52) 16 Bild 16: Konstruktion der Masterkurve Aus dem Maxwell-Körper folgt, dass jedes Fluid einen viskosen und elastischen Anteil hat. Nach Bild 16 berechnet sich das Viskositätsverhältnis des idealen Newton’schen Fluiden aus der vektoriellen Addition des viskosen und des elastischen Anteils. Somit gilt: 1=   Newton  0 2 =   viskos  0 2 +   elastisch  0 2 (52) Für den scherratenabhängigen viskosen und elastischen Anteil im Fluid folgt daraus:  viskos  0 =1-   0 (53)  elastisch  0 =  1- 1- !  0 " 2 (54) Die Bilder 14 und 15 zeigen deutlich, dass sich die untersuchten Fluide bei Normaldruckbedingungen, mit einem viskosen Anteil von über 95%, nahezu wie ein ideales Newton’sches Fluid verhalten. Bisher wird der Einfluss der Scherrate auf die Viskosität in den Fließkurven dargestellt und auf ein strukturviskoses oder dilatantes Verhalten des Fluiden geschlossen. Dabei wird mit Hilfe eines Rotationsviskosimeters die Scherrate durch ändern der Drehzahl erhöht. Da durch die höhere Oberflächengeschwindigkeit auch die Fluidgeschwindigkeit zunimmt, kann dies zu einer Abnahme der gemessenen Viskosität führen. Im Gegensatz dazu, wird ein in sich stark vernetztes elastisches Fluid eine Zunahme der Viskosität zeigen. So nimmt z. B. bei Stärkebrei die Dichte und Viskosität zu, sobald der Stärkebrei einer Geschwindigkeitszunahme ausgesetzt ist und sich Stärkebreibrocken bilden. Da sich das thermodynamische System geändert hat, kann die Auswertung der Viskosität bei einer Fließkurvenmessung nur erfolgen, wenn die Dichte konstant ist. Damit gibt das bestehende Messverfahren zur Bestimmung der Fließkurven nicht die Scherratenabhängigkeit der Viskosität an, sondern vielmehr den Einfluss der Oberflächengeschwindigkeit auf die Viskosität und somit das Interaktionsverhalten zwischen Fluid und Oberfläche wieder. Da die Scherrate bzw. der Geschwindigkeitsabfall im Fluid direkt proportional zur Fluidreibung und der Viskosität ist, kann ausgehend vom Coulomb’schen Reibungsgesetz und unter Verwendung des Newton’schen Reibungsgesetzes ein Fluidreibwert nach Gleichung 57 bestimmt werden. Es gilt: F R = F N (55) = p (56) bzw.: =  # p (57) 17  viskos  0 =1-   0 (53)  elastisch  0 =  1- 1- !  0 " 2 (54) Die Bilder 14 und 15 zeigen deutlich, dass sich die untersuchten Fluide bei Normaldruckbedingungen, mit einem viskosen Anteil von über 95%, nahezu wie ein ideales Newton’sches Fluid verhalten. Bisher wird der Einfluss der Scherrate auf die Viskosität in den Fließkurven dargestellt und auf ein strukturviskoses oder dilatantes Verhalten des Fluiden geschlossen. Dabei wird mit Hilfe eines Rotationsviskosimeters die Scherrate durch ändern der Drehzahl erhöht. Da durch die höhere Oberflächengeschwindigkeit auch die Fluidgeschwindigkeit zunimmt, kann dies zu einer Abnahme der gemessenen Viskosität führen. Im Gegensatz dazu, wird ein in sich stark vernetztes elastisches Fluid eine Zunahme der Viskosität zeigen. So nimmt z. B. bei Stärkebrei die Dichte und Viskosität zu, sobald der Stärkebrei einer Geschwindigkeitszunahme ausgesetzt ist und sich Stärkebreibrocken bilden. Da sich das thermodynamische System geändert hat, kann die Auswertung der Viskosität bei einer Fließkurvenmessung nur erfolgen, wenn die Dichte konstant ist. Damit gibt das bestehende Messverfahren zur Bestimmung der Fließkurven nicht die Scherratenabhängigkeit der Viskosität an, sondern vielmehr den Einfluss der Oberflächengeschwindigkeit auf die Viskosität und somit das Interaktionsverhalten zwischen Fluid und Oberfläche wieder. Da die Scherrate bzw. der Geschwindigkeitsabfall im Fluid direkt proportional zur Fluidreibung und der Viskosität ist, kann ausgehend vom Coulomb’schen Reibungsgesetz und unter Verwendung des Newton’schen Reibungsgesetzes ein Fluidreibwert nach Gleichung 57 bestimmt werden. Es gilt: F R = F N (55) = p (56) bzw.: =  # p (57) Für den scherratenabhängigen viskosen und elastischen Anteil im Fluid folgt daraus:  viskos  0 =1-   0 (53)  elastisch  0 =  1- 1- !  0 " 2 (54) Die Bilder 14 und 15 zeigen deutlich, dass sich die untersuchten Fluide bei Normaldruckbedingungen, mit einem viskosen Anteil von über 95%, nahezu wie ein ideales Newton’sches Fluid verhalten. Bisher wird der Einfluss der Scherrate auf die Viskosität in den Fließkurven dargestellt und auf ein strukturviskoses oder dilatantes Verhalten des Fluiden geschlossen. Dabei wird mit Hilfe eines Rotationsviskosimeters die Scherrate durch ändern der Drehzahl erhöht. Da durch die höhere Oberflächengeschwindigkeit auch die Fluidgeschwindigkeit zunimmt, kann dies zu einer Abnahme der gemessenen Viskosität führen. Im Gegensatz dazu, wird ein in sich stark vernetztes elastisches Fluid eine Zunahme der Viskosität zeigen. So nimmt z. B. bei Stärkebrei die Dichte und Viskosität zu, sobald der Stärkebrei einer Geschwindigkeitszunahme ausgesetzt ist und sich Stärkebreibrocken bilden. Da sich das thermodynamische System geändert hat, kann die Auswertung der Viskosität bei einer Fließkurvenmessung nur erfolgen, wenn die Dichte konstant ist. Damit gibt das bestehende Messverfahren zur Bestimmung der Fließkurven nicht die Scherratenabhängigkeit der Viskosität an, sondern vielmehr den Einfluss der Oberflächengeschwindigkeit auf die Viskosität und somit das Interaktionsverhalten zwischen Fluid und Oberfläche wieder. Da die Scherrate bzw. der Geschwindigkeitsabfall im Fluid direkt proportional zur Fluidreibung und der Viskosität ist, kann ausgehend vom Coulomb’schen Reibungsgesetz und unter Verwendung des Newton’schen Reibungsgesetzes ein Fluidreibwert nach Gleichung 57 bestimmt werden. Es gilt: F R = F N (55) = p (56) bzw.: =  # p (57) 17 daraus:  viskos  0 =1-   0 (53)  elastisch  0 =  1- 1- !  0 " 2 (54) Die Bilder 14 und 15 zeigen deutlich, dass sich die untersuchten Fluide bei Normaldruckbedingungen, mit einem viskosen Anteil von über 95%, nahezu wie ein ideales Newton’sches Fluid verhalten. Bisher wird der Einfluss der Scherrate auf die Viskosität in den Fließkurven dargestellt und auf ein strukturviskoses oder dilatantes Verhalten des Fluiden geschlossen. Dabei wird mit Hilfe eines Rotationsviskosimeters die Scherrate durch ändern der Drehzahl erhöht. Da durch die höhere Oberflächengeschwindigkeit auch die Fluidgeschwindigkeit zunimmt, kann dies zu einer Abnahme der gemessenen Viskosität führen. Im Gegensatz dazu, wird ein in sich stark vernetztes elastisches Fluid eine Zunahme der Viskosität zeigen. So nimmt z. B. bei Stärkebrei die Dichte und Viskosität zu, sobald der Stärkebrei einer Geschwindigkeitszunahme ausgesetzt ist und sich Stärkebreibrocken bilden. Da sich das thermodynamische System geändert hat, kann die Auswertung der Viskosität bei einer Fließkurvenmessung nur erfolgen, wenn die Dichte konstant ist. Damit gibt das bestehende Messverfahren zur Bestimmung der Fließkurven nicht die Scherratenabhängigkeit der Viskosität an, sondern vielmehr den Einfluss der Oberflächengeschwindigkeit auf die Viskosität und somit das Interaktionsverhalten zwischen Fluid und Oberfläche wieder. Da die Scherrate bzw. der Geschwindigkeitsabfall im Fluid direkt proportional zur Fluidreibung und der Viskosität ist, kann ausgehend vom Coulomb’schen Reibungsgesetz und unter Verwendung des Newton’schen Reibungsgesetzes ein Fluidreibwert nach Gleichung 57 bestimmt werden. Es gilt: F R = F N (55) = p (56) bzw.: =  # p (57) 17  viskos  0 =1-   0 (53)  elastisch  0 =  1- 1- !  0 " 2 (54) Die Bilder 14 und 15 zeigen deutlich, dass sich die untersuchten Fluide bei Normaldruckbedingungen, mit einem viskosen Anteil von über 95%, nahezu wie ein ideales Newton’sches Fluid verhalten. Bisher wird der Einfluss der Scherrate auf die Viskosität in den Fließkurven dargestellt und auf ein strukturviskoses oder dilatantes Verhalten des Fluiden geschlossen. Dabei wird mit Hilfe eines Rotationsviskosimeters die Scherrate durch ändern der Drehzahl erhöht. Da durch die höhere Oberflächengeschwindigkeit auch die Fluidgeschwindigkeit zunimmt, kann dies zu einer Abnahme der gemessenen Viskosität führen. Im Gegensatz dazu, wird ein in sich stark vernetztes elastisches Fluid eine Zunahme der Viskosität zeigen. So nimmt z. B. bei Stärkebrei die Dichte und Viskosität zu, sobald der Stärkebrei einer Geschwindigkeitszunahme ausgesetzt ist und sich Stärkebreibrocken bilden. Da sich das thermodynamische System geändert hat, kann die Auswertung der Viskosität bei einer Fließkurvenmessung nur erfolgen, wenn die Dichte konstant ist. Damit gibt das bestehende Messverfahren zur Bestimmung der Fließkurven nicht die Scherratenabhängigkeit der Viskosität an, sondern vielmehr den Einfluss der Oberflächengeschwindigkeit auf die Viskosität und somit das Interaktionsverhalten zwischen Fluid und Oberfläche wieder. Da die Scherrate bzw. der Geschwindigkeitsabfall im Fluid direkt proportional zur Fluidreibung und der Viskosität ist, kann ausgehend vom Coulomb’schen Reibungsgesetz und unter Verwendung des Newton’schen Reibungsgesetzes ein Fluidreibwert nach Gleichung 57 bestimmt werden. Es gilt: F R = F N (55) = p (56) bzw.: =  # p (57) T+S_3_17 03.04.17 15: 13 Seite 34 Tribologie + Schmierungstechnik 64. Jahrgang 3/ 2017 In den Bildern 19 und 20 ist der Fluidreibwert über der Temperatur aufgetragen. Da der Fluidreibwert direkt proportional zur Viskosität ist, entspricht dies dem Temperatur-Viskositätsverlauf. Somit wird schon im Temperatur- Viskositätsverlauf deutlich, welches Fluid das Potenzial hat, die Fluidreibung bei Normaldruck zu reduzieren. Um das Reibungsverhalten der Fluide in einem tribologischen Kontakt beurteilen zu können, wurden die thermophysikalischen Eigenschaften der Fluide in einem Hochdruckautoklaven bestimmt und das viskoelastische Fluidmodell auf die Hochdruckviskositätsmessung angewendet. In den Bildern 21 bis 28 sind die Viskositäten der 35 Aus Wissenschaft und Forschung Bild 19: Temperatur-Fluidreibwert Bild 20: Temperatur-Fluidreibwert Bild 21: MIN 100 Bild 22: MIN 100 4%A99 Bild 23: PAO 10 Bild 24: TMP 10 Bild 25: Grundöl A (GOE A) Bild 26: FMA (GOE A+friction modifier) T+S_3_17 03.04.17 15: 13 Seite 35 36 Tribologie + Schmierungstechnik 64. Jahrgang 3/ 2017 isobaren Quarzviskosimetermessung (QV isobar) und die Viskositäten der isothermen Hochdruckquarzviskosimetermessung (HD-QV isotherm) über der Dichte dargestellt. Hierbei wird deutlich, dass bei gleicher Dichte und somit gleichen mittleren Molekülabstand die gemessenen isothermen HD-Quarzviskositäten immer kleiner sind, als die isobaren Viskositäten des Quarzviskosimeters. In den Bildern 29 bis 36 sind die Masterkurven der untersuchten Fluide dargestellt. Dazu wurde die in Bild 16 dar- Aus Wissenschaft und Forschung Bild 29: MIN 100 Bild 30: MIN 100 4%A99 Bild 31: PAO 10 Bild 32: TMP 10 Bild 33: Grundöl A (GOE A) Bild 34: FMA (GOE A+friction modifier) Bild 27: Grundöl AE (GOE AE) Bild 28: ESA (GOE AE+friction modifier) T+S_3_17 03.04.17 15: 13 Seite 36 Tribologie + Schmierungstechnik 64. Jahrgang 3/ 2017 gestellte Konstruktionsvorschrift angewendet. Es zeigt sich, dass das Fluid unter Druckbelastung ein verändertes Scherratenverhalten zeigt. So nimmt im Gegensatz zu den Normaldruckbedingungen der viskose Anteil unter Druckbelastung stark ab. Des Weiteren zeigt sich, dass der viskose Anteil mit der Temperatur zunimmt. Dies liegt daran, dass bei hohen Temperaturen die kinetische Energie der Moleküle größer ist, die Energiebarriere schneller überwunden wird und somit die Viskosität kleiner ist. Der Einfluss der kinetischen Energie auf die Platzwechselgeschwindigkeit wurde in [8] dargestellt. Ebenso wird deutlich, dass der Schnittpunkt des viskosen und elastischen Anteils bei ca. 0,7 liegt. Das bedeutet, dass bei dieser Scherrate der viskose bzw. flüssige Anteil bei ca. 70 % und der elastische bzw. feste Anteil bei ca. 30 % liegen. Da dies in etwa der dichtesten Kugelpackung oder dem kubisch raumzentriertem Gitter entspricht, steigt ab dieser Scherrate die Viskosität progressiv an. Ein Vergleich mit der Viskositätsmessung zeigt, dass alle Fluide die den Schnittpunkt durchlaufen haben, einen progressiven Anstieg im Viskositätsverlauf zeigen. Somit ist der progressive Anstieg bei der Hochdruckviskositätsmessung nicht auf eine Verfestigung des Fluiden zurückzuführen. Vielmehr sind die Fluide auch bei höheren Dichten noch flüssig und haben die thermophysikalischen Eigenschaften eines Feststoffes. In den Bildern 37 bis 44 ist das Scherraten-Schubspannungsverhalten der untersuchten Fluide dargestellt. Aufgrund dessen, dass die Ergebnisse der Normaldruckmessung nahezu identisch mit denen der Hochdruckautoklavenmessung sind, genügen die Ergebnisse der Normaldruckmessung, um die Parameter der Eyring’schen Schubspannungsgleichung nach Gleichung 58 zu bestimmen. (58) Es zeigt sich, dass alle Fluide bei kleinen Scherraten ein Newton’sches Verhalten zeigen und mit Zunahme der 37 Aus Wissenschaft und Forschung Bild 37: MIN 100 Bild 38: MIN 100 4%A99 Bild 39: PAO 10 Bild 40: TMP 10 Bild 35: Grundöl AE (GOE AE) Bild 36: ESA (GOE AE+friction modifier) 21 In den Bildern 37 bis 44 ist das Scherraten-Schubspannungsverhalten der untersuchten Fluide dargestellt. Aufgrund dessen, dass die Ergebnisse der Normaldruckmessung nahezu identisch mit denen der Hochdruckautoklavenmessung sind, genügen die Ergebnisse der Normaldruckmessung, um die Parameter der Eyring’schen Schubspannungsgleichung nach Gleichung 58 zu bestimmen. 0 = sin (  ) =a 1 e a 2  -a 3 e -a 4  (58) Es zeigt sich, dass alle Fluide bei kleinen Scherraten ein Newton’sches Verhalten zeigen und mit Zunahme der Scherrate in den progressiven Anstieg übergehen. Auffällig ist, dass der progressive Anstieg beim MIN 100 4%A99, TMP 10, Grundöl AE und beim ESA sehr klein ausfallen und diese Fluide sich somit auch bei hohen Scherraten noch nicht im Eyring’schen Definitionsbereich befinden. Des Weiteren wird deutlich, dass das TMP 10 die geringsten Scherraten und Schubspannungen hat und ursächlich an der geringen Viskosität und somit Fluidreibung liegt. Bild 37: MIN 100 Bild 39: PAO 10 Bild 41: Grundöl A (GOE A) Bild 38: MIN 100 4%A99 Bild 40: TMP 10 Bild 42: FMA (GOE A+friction modifier) T+S_3_17 03.04.17 15: 13 Seite 37 38 Tribologie + Schmierungstechnik 64. Jahrgang 3/ 2017 Scherrate in den progressiven Anstieg übergehen. Auffällig ist, dass der progressive Anstieg beim MIN 100 4%A99, TMP 10, Grundöl AE und beim ESA sehr klein ausfallen und diese Fluide sich somit auch bei hohen Scherraten noch nicht im Eyring’schen Definitionsbereich befinden. Des Weiteren wird deutlich, dass das TMP 10 die geringsten Scherraten und Schubspannungen hat, was ursächlich an der geringen Viskosität und somit Fluidreibung liegt. In den Bildern 45 bis 52 ist das Dichte-Schubspannungsverhalten der untersuchten Fluide dargestellt und gibt so- Aus Wissenschaft und Forschung Bild 41: Grundöl A (GOE A) Bild 42: FMA (GOE A+friction modifier) Bild 43: Grundöl AE (GOE AE) Bild 44: ESA (GOE AE+friction modifier) Bild 45: MIN 100 Bild 46: MIN 100 4%A99 Bild 47: PAO 10 Bild 48: TMP 10 T+S_3_17 03.04.17 15: 13 Seite 38 Tribologie + Schmierungstechnik 64. Jahrgang 3/ 2017 mit die zulässige Schubspannung für ein Fluid bei einer definierten Dichte und Temperatur an. Wird von außen eine größere Schubspannung angelegt, kann diese nicht über das Fluid übertragen werden. Da das Fluid nur eine bestimmte Menge an Energie aufnehmen kann, nimmt mit zunehmender thermischer Belastung die kinetische Energie zu, die Platzwechsel der Moleküle werden erleichtert und die zulässige Schubspannung nimmt ab. Der horizontale Verlauf stellt dabei die maximal zulässige Schubspannung für das Fluid dar. Ebenso wird deutlich, dass die Temperatur bei einigen der Fluide keinen großen Einfluss auf die maximal zulässige Schubspannung hat. Im Gegensatz dazu, zeigt das FMA eine thermische Abhängigkeit der maximal zulässigen Schubspannung. Ausgehend vom Coulomb’schen Reibungsgesetz kann für jedes Fluid ein dichteabhängiger Fluidreibwert nach Gleichung 57 bestimmt werden. Die Ergebnisse sind in den Bildern 53 bis 60 dargestellt. Die Ergebnisse zeigen, dass mit zunehmender Dichte der Fluidreibwert erst bis auf ein Minimum abnimmt und dann kontinuierlich ansteigt. Aufgrund des freien Volumens können sich die Moleküle bis zum Reibungsminimum frei ausbreiten, wenn ein Platzwechsel durchzuführen ist. Ist das Reibungsminimum überschritten, hat das freie Volumen soweit abgenommen, dass sich mehrere Moleküle mehr oder weniger beim Platzwechsel behindern und interagieren und somit den Reibwert ansteigen lassen. Des Weiteren zeigt sich, dass einige Fluide einen Fluidreibwert größer 1 haben. In diesem Fall ist die Reibkraft bzw. Schubspannung größer, als die von außen einwirkende Normalkraft bzw. Druck. Im Gegensatz dazu, zeigt das TMP 10, mit Ausnahme des Grundöls AE, auch unter hohen Belastungen den niedrigsten Fluidreibwert und hat somit das Potenzial die Reibung im tribologischen Kontakt zu reduzieren. Da das Fluid nur kleine Schubspannungen bzw. Scherkräfte übertragen kann, ist dieses Öl aber nicht als Traktionsfluid geeignet. 39 Aus Wissenschaft und Forschung Bild 49: Grundöl A (GOE A) Bild 50: FMA (GOE A+friction modifier) Bild 51: Grundöl AE (GOE AE) Bild 52: ESA (GOE AE+friction modifier) Bild 53: MIN 100 Bild 54: MIN 100 4%A99 T+S_3_17 03.04.17 15: 13 Seite 39 40 Tribologie + Schmierungstechnik 64. Jahrgang 3/ 2017 Da die Haftbedingung zwischen Fluid und Oberfläche nicht gilt, wird die maximal übertragbare Schubspannung für einen tribologischen Kontakt maßgeblich durch die Interaktion des Fluiden mit der Oberfläche bestimmt und kann bei schlechter Oberflächeninteraktion um ein Vielfaches kleiner sein, als die zulässige Fluidschubspannung. Wird der Fluidreibwert über der Schubspannung dargestellt, kann die für einen tribologischen Kontakt maximal übertragbare Schubspannung abgelesen werden. Ist der zwischen Fluid und der Oberfläche maximal mögliche Fluidreibwert bekannt, z. B. durch eine Fluidreibwertmessung mit einem Hochdruckrotationsviskosi- Aus Wissenschaft und Forschung Bild 61: MIN 100 Bild 62: MIN 100 4%A99 Bild 55: PAO 10 Bild 56: TMP 10 Bild 57: Grundöl A (GOE A) Bild 58: FMA (GOE A+friction modifier) Bild 59: Grundöl AE (GOE AE) Bild 60: ESA (GOE AE+friction modifier) T+S_3_17 03.04.17 15: 13 Seite 40 Tribologie + Schmierungstechnik 64. Jahrgang 3/ 2017 meter, so kann aus den Bildern 61 bis 68 die Grenzschubspannung und somit die maximal mit dem tribologischen Kontakt übertragbare Schubspannung bestimmt werden. Des Weiteren kann abgeschätzt werden, ob es zu einer Beschädigung der Oberfläche kommt. Ist die abgelesene Schubspannung kleiner als die maximal zulässige Schubspannung des Werkstoffes an der Oberfläche, so wird es zu keiner Beschädigung der Oberfläche kommen. In den Bildern 69 bis 76 ist der Fluidreibwert über der Viskosität dargestellt. Es zeigt sich, dass in der doppeltlogarithmischen Darstellung der Fluidreibwert bei Nor- 41 Aus Wissenschaft und Forschung Bild 63: PAO 10 Bild 64: TMP 10 Bild 65: Grundöl A (GOE A) Bild 66: FMA (GOE A+friction modifier) Bild 67: Grundöl AE (GOE AE) Bild 68: ESA (GOE AE+friction modifier) Bild 69: MIN 100 Bild 70: MIN 100 4%A99 T+S_3_17 03.04.17 15: 13 Seite 41 42 Tribologie + Schmierungstechnik 64. Jahrgang 3/ 2017 maldruckbedingungen linear mit der Viskosität zunimmt. Im Gegensatz dazu, nimmt der druckabhängige Fluidreibwert erst bis auf ein Reibungsminimum ab und steigt anschließend nahezu linear mit der Viskosität an. 3 Zusammenfassung Um den Druckaufbau im geschmierten Kontakt berechnen zu können und somit eine Aussage über der sich ergebenden Schmierspalthöhe zu ermöglichen, bedarf es der Kenntnis der thermophysikalischen Eigenschaften des zu verwendenden Fluiden. Dabei erfolgt die Berechnung des Druckaufbaus und der daraus resultierenden Schmierfilmhöhe mit Hilfe der Reynold’schen Differentialgleichung. In die Reynolds’sche Differentialgleichung werden die thermophysikalischen Eigenschaften des Fluiden durch die Druck- und Temperaturabhängigkeit der Viskosität und der Dichte, sowie durch die Einbeziehung der Relativgeschwindigkeit ebenso der Einfluss der Scherrate bzw. der Geschwindigkeitsabfall im Spalt auf den Druckaufbau berücksichtigt. Da die Reibung des tribologischen Kontakts maßgeblich von der Viskosität und der Interaktion des Fluiden mit der Oberfläche abhängt, ist es zwingend notwendig die thermophysikalischen Eigenschaften in Abhängigkeit von Druck, Temperatur und Scherrate zu kennen. Die Viskositätsmessung bei isobarer temperaturabhängiger Normaldruckbedingung erfolgte mit einem Quarzviskosimeter in einem Temperaturbereich von -30 °C bis 120 °C. Wie erwartet steigt die dynamische Viskosität aller Fluide mit abnehmender Temperatur an. Die Messung der isothermen druckabhängigen Viskosität erfolgte mit einem Quarzviskosimeter in einem Hochdruckautoklaven bei 20 °C, 40 °C, 60 °C und 80 °C in einem Druckbereich bis 10000 bar. Es zeigte sich, dass die isotherme druckabhängige Viskosität mit zunehmender Temperatur bei konstanter Dichte abnimmt und immer kleiner ist, als die Aus Wissenschaft und Forschung Bild 71: PAO 10 Bild 72: TMP 10 Bild 73: Grundöl A (GOE A) Bild 74: FMA (GOE A+friction modifier) Bild 75: Grundöl AE (GOE AE) Bild 76: ESA (GOE AE+friction modifier) T+S_3_17 03.04.17 15: 13 Seite 42 Tribologie + Schmierungstechnik 64. Jahrgang 3/ 2017 isobare temperaturabhängige Viskosität bei gleicher Dichte. Des Weiteren wurde im Beitrag deutlich, dass Rayleigh mit seinem Ansatz zur Beschreibung des Strömungsprofils gezeigt hat, dass die Geschwindigkeit und somit das Strömungsprofil in Spalthöhenrichtung davon abhängt, wie gut das Fluid mit der Oberfläche korrespondiert, die Haftbedingung nicht gilt und das Geschwindigkeitsprofil der Scherströmung exponentiell abfällt. Dieser Ansatz bildete zusammen mit der Gleichung zur Berechnung der Reynoldszahl die Grundlage zur Entwicklung eines strömungsmechanischen Fluidmodells. Dabei macht der Ansatz von Rayleigh deutlich, dass das Strömungsprofil im Fluid unabhängig von der aufgeprägten Bewegungsart (rotatorisch, oszillatorisch oder translatorisch) ist, solange der zurückgelegte Weg um ein Vielfaches größer als der Molekülabstand ist. Wird das strömungsmechanische Fluidmodell auf die Viskositätsmessungen angewendet, so sind die Abhängigkeiten von Viskosität, Dichte und Scherrate darstellbar. Mit Hilfe der Eyring’schen Schubspannungsgleichung wurde gezeigt, dass die Fluide auch unter äußerer Belastung ein Newton‘sches Verhalten zeigen. Ebenso wurde deutlich, dass durch Eyring der Definitionsbereich der Newton’schen Schubspannungsgleichung erweitert wurde und eine Entlinearisierung der von Newton aufgestellten Gleichung erfolgte. Des Weiteren wurde mit Hilfe des Maxwell-Körpers ein viskoelastisches Fluidmodell entwickelt und gezeigt, dass alle untersuchten Fluide bei Normaldruckbedingungen sich nahezu wie ein ideales Newton’sches Fluide verhalten. Anschließend wurde gezeigt, dass Fluide die einen hohen Druck unterliegen den Newton’schen Definitionsbereich verlassen und die Scherratenabhängigkeit nur mit der Eyring’schen Schubspannungsgleichung beschreibbar ist. Ebenso wurde gezeigt, dass oberhalb der Normaldruckbedingungen der viskose Anteil stark abnimmt und der elastische Anteil zunimmt. In diesem Zusammenhang wurde deutlich, dass der progressive Anstieg in den druckabhängigen Viskositätsverlauf kein Anzeichen für die Verfestigung eines Fluiden ist. Es wurde auch deutlich, dass heutige bekannte Messverfahren zur Fließkurvenbestimmung nicht die Scherratenabhängigkeit sondern vielmehr die Geschwindigkeitsabhängigkeit der Viskosität darstellen. Des Weiteren wurde deutlich, dass mit der Zunahme der Scherrate auch die Dichte ansteigen kann und somit eine Einteilung in Strukturviskos oder Dilatant nur erfolgen kann, wenn bei der Viskositätsmessung für die Fließkurve die Dichte konstant ist. Anschließend wurde auf Basis des Coulomb’schen Reibungsgesetzes der Fluidreibwert ermittelt. In dem Beitrag wurde gezeigt, dass die Grenzschubspannung, also die maximal auf das Fluid zu übertragene Schubspannung davon abhängig ist, wie gut das Fluid mit der Oberfläche korrespondiert. Dabei kann die Wechselwirkung zwischen Fluid und Oberfläche durch die Zugabe von Additiven beeinflusst werden und somit des Reibungsverhalten im tribologischen Kontakt beeinflussen. 4 Formelzeichen f Frequenz [1/ s] n Drehzahl [1/ s] p Druck [N/ m 2 ] v Geschwindigkeit [m/ s 2 ] ˆ v Geschwindigkeit des Fluiden an der bewegten Oberfläche [m/ s 2 ] F N Normalkraft [N] F R Reibkraft [N] Re Reynoldszahl [ ] T Temperatur [K] T 0 Temperatur am Bezugspunkt [K] γ, ∙ γ Scherrate [1/ s] ∙ γ 0 Scherrate am Bezugspunkt [1/ s] η Viskosität [Pa s] η 0 Viskosität am Bezugspunkt [Pa s] θ Temperatur [°C] μ Reibwert [ ] ρ Dichte [kg/ m 3 ] ρ 0 Dichte am Bezugspunkt [kg/ m 3 ] τ Schubspannung [N/ m 2 ] τ 0 Schubspannung am Bezugspunkt [N/ m 2 ] ω Drehfrequenz [rad/ s] 5 Literatur [1] O. Reynolds; An Experimental Investigation of the Circumstances which determine whether the Motion of Water shall be direct or sinuous an of the Law of Resistance in Parallel Channels; Philosophical Transaction of the Royal Society; Vol. 174; 1883 [2] O. Reynolds; On the Dynamical Theory of Incompressible Fluids and the Determination of the Criterion; Philosophical Transaction of the Royal Society; Vol. 186; 1894 [3] J. W. S. Rayleigh; The Theory of Sound; Dover Publications; 1945 [4] Jinxia Li, Lars G. Westerberg, Erik Höglund, P. M. Lugt, P. Baart; Lubricating grease shear flow and boundary layers in a concentric cylinder configuration; Tribology Transactions; Juli 2014 [5] Jinxia Li, Lars G. Westerberg, Erik Höglund, T. Staffan Lundström; Design of test rig for visualizations of cylindrical shear and pressure driven Couette flow using μPIV; 4 th International Conference on experimental fluid mechanics; August 2014 [6] M. Müller, Einfluss der Oberflächengeschwindigkeit auf die Viskosität, Tribologie und Schmierungstechnik 1/ 2017 [7] Eyring, H.; Viscosity, Plasticity, and Diffusion as Examples of Absolute Reaction Rates; J. Chem. Phys.; Band 4, S. 283-291; 1936 [8] M. Müller, Bestimmung der Aktivierungsenergie von Fluiden mit Hilfe der Viskositätsmessung, Tribologie und Schmierungstechnik 2/ 2016 43 Aus Wissenschaft und Forschung T+S_3_17 03.04.17 15: 13 Seite 43