Tribologie + Schmierungstechnik 64. Jahrgang 4/ 2017 1 Einleitung Vor dem Hintergrund knapper werdender Ressourcen bei gleichzeitig steigendem Mobilitätsbedarf werden ressourceneffiziente Maschinen- und Motorenelemente benötigt. Mikrostrukturierte Bauteiloberflächen können dabei helfen den Schmierungszustand in geschmierten tribologischen Systemen zu verbessern und damit Reibung und Verschleiß zu reduzieren. Während dies für gering belastete Kontakte bereits eingehend untersucht wurde [1] und Einzug in die industrielle Praxis gefunden hat, beispielsweise für den Kolben/ Zylinderlaufbahn-Kontakt [2], sind die Auswirkungen für höher belastete Wälz- und Wälz- Gleit-Kontakte, bei denen die elastische Deformation der Kontaktkörper eine signifikante Rolle einnimmt, zum Beispiel der Nocken-Tassenstößel-Kontakt, noch Gegenstand aktueller Forschung. Besonders ein effizienter, simulationsbasierter Ansatz kann dabei helfen, Mikrostrukturen bereits in frühen Phasen der Entwicklung optimal auf das Beanspruchungskollektiv auszulegen. Hierbei ist neben der elastischen Deformation der Kontaktpartner und der Fluidströmung des Schmierstoffes (Hydrodynamik) unter anderem auch das mit letzterer verbundene Phänomen der Kavitation durch geeignete Modellierungsansätze abzubilden. Kavitation ist das Aufreißen einer sonst kontinuierlichen Fluidströmung durch eine Gas-, Dampf- oder Mischphase, siehe Bild 1 [3]. 29 Aus Wissenschaft und Forschung * Max Marian, M. Sc., Dipl.-Ing. Martin Weschta Dr.-Ing. Stephan Tremmel, Prof. Dr.-Ing. Sandro Wartzack Lehrstuhl für Konstruktionstechnik Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg 91058 Erlangen Bild 1: Kavitations- und Druckgebiet im EHD-Kontakt Einfluss masseerhaltender Kavitationsmodelle bei der Simulation hydro- und elastohydrodynamischer Kontakte M. Marian, M. Weschta, S. Tremmel, S. Wartzack* Eingereicht: 25. 10. 2016 Nach Begutachtung angenommen: 15. 12. 2016 Numerische Simulationen können bei der Auslegung hydro- (HD) und elastohydrodynamischer (EHD) Kontakte in geschmierten tribologischen Systemen bereits in einer frühen Phase der Produktentwicklung helfen, fundierte Kenntnisse über vorliegende Beanspruchungen und Schmierungszustände zu erlangen. Die Eigenschaften der beteiligten Systempartner und die auftretenden Phänomene - unter anderem Kavitation - sind durch physikalische Modelle möglichst exakt zu repräsentieren, wohingegen Rechenzeiten gering gehalten werden sollen. Vor diesem Hintergrund wird ein effizienter Ansatz für ein masseerhaltendes Kavitationsmodell vorgestellt und dessen Einfluss auf die berechnete Verteilung von Druck und Schmierspalthöhe im Vergleich zu nicht-masseerhaltenden Alternativen anhand beispielhafter Fälle aufgezeigt. Schlüsselwörter Elastohydrodynamik, Finite-Elemente, Hydrodynamik, Masseerhaltendes Kavitationsmodell, Mikrostrukturierte Oberflächen, Simulation Numerical simulations are able to support the design of hydro- (HL) and elastohydrodynamically lubricated (EHL) contacts in tribological systems already at an early stage of product development. The properties of the system partners and occurring phenomena - e. g. cavitation - have to be taken into account physically as precisely as possible while computation time should be kept short. Therefor an efficient approach for a mass-conserving cavitation algorithm is presented and the influence on the distribution of pressure and lubricant gap compared to non-mass-conserving alternatives is shown. Keywords Elastohydrodynamics, Finite-Element, Hydrodynamics, Mass Conserving Cavitation Algorithm, Microtextured Surfaces, Simulation Kurzfassung Abstract T+S_4_17 07.06.17 17: 27 Seite 29 30 Tribologie + Schmierungstechnik 64. Jahrgang 4/ 2017 2 Numerische Behandlung von Kavitationseffekten Die erste Lösung des hydrodynamischen Problems geschmierter Kontakte, repräsentiert durch die R EYNOLDSsche Differentialgleichung als zulässige Vereinfachung der N AVIER -S TOKES -Gleichungen, geht auf S OMMER- FELD [4] zurück. Sie berücksichtigt keine Kavitationsgebiete, wodurch sich ein punktsymmetrischer und damit teilweise negativer Druckverlauf ergibt. Um einen negativen Druck physikalisch begründen zu können, müsste der Schmierstoff relativ hohe Zugspannungen übertragen können. Dies ist für Fluide im Allgemeinen und insbesondere unter Berücksichtigung der Randbedingungen tribologischer Kontakte, wie hohe Drücke, hohe tangentiale Scherung und Wärmeeinwirkung, jedoch keine realistische Annahme. Später wurden daher zur Modellierung in numerischen Simulationen verschiedene Ansätze entwickelt, welche sich grundlegend in die Gruppen der nicht-masse- und der masseerhaltenden Kavitationsmodelle einteilen lassen. Bei Ersteren, siehe beispielsweise [5-8], erfolgt der Übergang zwischen Druck- und Kavitationsgebiet, dem Namen folgend, ohne Einhaltung des Gesetzes der Masseerhaltung. Im gesamten Lösungsgebiet wird also von einem vollständig mit Schmierstoff gefüllten Schmierspalt ausgegangen. Im Gegensatz dazu halten masseerhaltende Kavitationsmodelle die Kontinuitätsgleichung ein und auch ein nur teilweise gefüllter Schmierspalt ist möglich. In der Literatur existieren verschiedene Ansätze zu deren numerischer Umsetzung, der interessierte Leser sei an dieser Stelle auf [9-16] verwiesen. Nachteilig bei Verwendung dieser Modelle ist meist der Einsatz von zwei komplementären Lösungsvariablen für den Druck und den Spaltfüllungsgrad beziehungsweise das Dichte- und Viskositätsverhältnis. Zwar liefern die Modelle gute Ergebnisqualität, erlauben jedoch keinen Einsatz von konventionellen Lösungsalgorithmen, wie sie beispielweise in kommerziellen FE-Programmen implementiert sind. Stattdessen kann ein Penalty-basiertes Variable- Dichte-Modell, wie erstmals in [17] vorgestellt, genutzt werden. Bei diesem sind Spaltfüllungsgrad und damit Dichte sowie Viskosität als eine mathematische Funktion formuliert, welche bei Drücken kleiner dem Kavitationsdruck asymptotisch gegen null geht. Der Fokus liegt hier nicht auf absoluter physikalischer Korrektheit, sondern auf numerischer Anwendbarkeit und Stabilität. Nachfolgend werden die Umsetzung und Zulässigkeit eines solchen Variable-Dichte-Modells zunächst bei der Simulation hydro- und anschließend elastohydrodynamischer Kontakte mit kommerziellen FE-Programmen beschrieben sowie der Einfluss auf Druckverlauf und Schmierspalthöhe im Vergleich zu nicht-masseerhaltenden Kavitationsmodellen aufgezeigt. 3 Simulation von geschmierten Kontakten 3.1 Hydrodynamische (HD) Kontakte Für die Berechnung des hydrodynamischen Schmierproblems wird die R EYNOLDS sche Differentialgleichung gelöst. Diese lautet für den eindimensionalen, transienten Fall mit der Koordinate x sowie der Zeit t in modifizierter Form (1) und kann als Differentialgleichung in schwacher Form und unter Berücksichtigung der Randbedingungen p = 0 sowie ∂p/ ∂x = 0 beispielsweise mit der kommerziellen Software COMSOL MULTIPHYSICS gelöst werden. Sowohl Dichte ρ als auch Viskosität η sind vom Druck im Kavitationsgebiet abhängige Zustandsgrößen und werden hierzu mit dem Spaltfüllungsgrad θ multipliziert. Letzterer steht für das Verhältnis von Schmierstoffzu Schmierspalthöhe und wird wie folgt definiert: (2) Dabei ist γ (p) eine Penalty-Funktion, welche für p = 0 den Wert Null und andernfalls den Wert ξ annimmt, wobei letzterer eine ausreichend große reelle Zahl ist. Folglich gilt in der Druckregion p = 0 und θ = 1, sowie im Kavitationsgebiet p = 0 und 0 < θ ≤ 1. Im Gegensatz zu anderen Funktionstypen, zum Beispiel in [18, 19], gewährleistet dies nicht nur Masseerhaltung, sondern ist im gesamten Lösungsgebiet auch stetig differenzierbar und damit numerisch sehr stabil. Bild 2a) zeigt den er- Aus Wissenschaft und Forschung Bild 2: Druck und Spaltfüllungsgrad im Vergleich (a) und Ersatzmodell (b) für einen vereinfachten HD-Kontakt (h 0 = 0,1 μm, R = 10 mm, u 1 = u 2 = 0,5 m/ s, ρ = 850 kg/ m 3 , η = 0,01 kg(m∙s)) Wird von der GfT eingerichtet! Nr. Vortrag/ 3 3. Simulation von geschmierten Kontakten 3.1 Hydrodynamische (HD) Kontakte Für die Berechnung des hydrodynamischen Schmierproblems wird die R EYNOLDS sche Differentialgleichung gelöst. Diese lautet für den eindimensionalen, transienten Fall mit der Koordinate x sowie der Zeit t in modifizierter Form ( ) ( ) 3 OUETTE OISEUILLE C bzw. Keil- Quetschbzw. P - und Geschwindigkeitsterm Verdrängungsterm bzw. Druckterm 0 12 m h h p h u x x x t q r q r q r q h ¶ × × æ ö ¶ × × ¶ ¶ - + × × × + = ç ÷ ¶ × × ¶ ¶ ¶ è ø t ¶ ¶ x ¶ × × ¶ ¶ ¶ x ( ) (1) und kann als Differentialgleichung in schwacher Form und unter Berücksichtigung der Randbedingungen sowie beispielsweise mit der kommerziellen Software COMSOL MULTIPHYSICS gelöst werden. Sowohl Dichte ρ als auch Viskosität η sind vom Druck im Kavitationsgebiet abhängige Zustandsgrößen und werden hierzu mit dem Spaltfüllungsgrad θ multipliziert. Letzterer steht für das Verhältnis von Schmierstoffzu Schmierspalthöhe und wird wie folgt definiert: . (2) Dabei ist γ(p) eine Penalty-Funktion, welche für den Wert Null und andernfalls den Wert ξ annimmt, wobei letzterer eine ausreichend große reelle Zahl ist. Folglich gilt in der Druckregion und , sowie im Kavitationsgebiet und . Im Gegensatz zu anderen Funktionstypen, zum Beispiel in [18, 19], gewährleistet dies nicht nur Masseerhaltung, sondern ist im gesamten Lösungsgebiet auch stetig differenzierbar und damit numerisch sehr stabil. Abbildung 2a) zeigt den errechneten Verlauf von Druck und Spaltfüllungsgrad sowie Abbildung 2b) das verwendete Ersatzmodell für einen stationären und zweidimensionalen hydrodynamischen Zylinder- Ebene-Kontakt mit Radius R und der hydrodynamisch wirksamen Gleitgeschwindigkeit im Vergleich zu einem Finite-Volumen Zwei-Phasen-Modell („CFD- 2PM“). Letzteres ist im kommerziellen CFD-Programm ANSYS FLUENT unter Verwendung des Z WART -G ERBER -B ELAMRI -Kavitationsalgorithmus [20] umgesetzt. Der vorliegende Kontaktfall orientiert sich an einem in [21] beschriebenen Modell, wobei der Schmierspalt mit parabolisch angenähert und konstant gehalten wird. Grundsätzlich zeigt sich eine gute Übereinstimmung der Ergebnisse. Der Spaltfüllungsgrad beider Modelle ist im Bereich des Aufreißens des Schmierfilms identisch und unterscheidet sich erst im Bereich der Reformation. Der Druckverlauf des vorgestellten Ansatzes stimmt sehr gut mit dem Zwei-Phasen-Modell überein, die maximale Abweichung in diesem Fall beträgt 2,7 %. Das Aufreißen dominiert die Ausbildung des Druckes gegenüber der Reformation, weshalb letzterer auch nicht wesentlich durch die Variation des gewählten Modellansatzes beeinflusst wird. Zusätzlich werden als Referenz die S OMMERFELD sche Lösung und der Druckverlauf bei der Verwendung eines nicht-masseerhaltenden Kavitationsmodells dargestellt. Dieses verwendet ein Penalty-Verfahren, welches negative Drücke durch die Addition eines ausreichend großen künstlichen Flusses ausgleicht, siehe [8]. Dabei zeigen sich deutliche Unterschiede mit in diesem Fall Abweichungen von bis zu 12,24 % zwischen den nichtmasse- und masseerhaltenden Kavitationsmodellen. Wird von der GfT eingerichtet! Nr. Vortrag/ 3 3. Simulation von geschmierten Kontakten 3.1 Hydrodynamische (HD) Kontakte Für die Berechnung des hydrodynamischen Schmierproblems wird die R EYNOLDS sche Differentialgleichung gelöst. Diese lautet für den eindimensionalen, transienten Fall mit der Koordinate x sowie der Zeit t in modifizierter Form ( ) ( ) 3 OUETTE OISEUILLE C bzw. Keil- Quetschbzw. P - und Geschwindigkeitsterm Verdrängungsterm bzw. Druckterm 0 12 m h h p h u x x x t q r q r q r q h ¶ × × æ ö ¶ × × ¶ ¶ - + × × × + = ç ÷ ¶ × × ¶ ¶ ¶ è ø ¶x è ø q h ¶ è ø ¶x ¶ × × ¶ ¶ ¶ x è ø x è ø è ø 12 q h q h (1) und kann als Differentialgleichung in schwacher Form und unter Berücksichtigung der Randbedingungen sowie beispielsweise mit der kommerziellen Software COMSOL MULTIPHYSICS gelöst werden. Sowohl Dichte ρ als auch Viskosität η sind vom Druck im Kavitationsgebiet abhängige Zustandsgrößen und werden hierzu mit dem Spaltfüllungsgrad θ multipliziert. Letzterer steht für das Verhältnis von Schmierstoffzu Schmierspalthöhe und wird wie folgt definiert: . (2) Dabei ist γ(p) eine Penalty-Funktion, welche für den Wert Null und andernfalls den Wert ξ annimmt, wobei letzterer eine ausreichend große reelle Zahl ist. Folglich gilt in der Druckregion und , sowie im Kavitationsgebiet und . Im Gegensatz zu anderen Funktionstypen, zum Beispiel in [18, 19], gewährleistet dies nicht nur Masseerhaltung, sondern ist im gesamten Lösungsgebiet auch stetig differenzierbar und damit numerisch sehr stabil. Abbildung 2a) zeigt den errechneten Verlauf von Druck und Spaltfüllungsgrad sowie Abbildung 2b) das verwendete Ersatzmodell für einen stationären und zweidimensionalen hydrodynamischen Zylinder- Ebene-Kontakt mit Radius R und der hydrodynamisch wirksamen Gleitgeschwindigkeit im Vergleich zu einem Finite-Volumen Zwei-Phasen-Modell („CFD- 2PM“). Letzteres ist im kommerziellen CFD-Programm ANSYS FLUENT unter Verwendung des Z WART -G ERBER -B ELAMRI -Kavitationsalgorithmus [20] umgesetzt. Der vorliegende Kontaktfall orientiert sich an einem in [21] beschriebenen Modell, wobei der Schmierspalt mit parabolisch angenähert und konstant gehalten wird. Grundsätzlich zeigt sich eine gute Übereinstimmung der Ergebnisse. Der Spaltfüllungsgrad beider Modelle ist im Bereich des Aufreißens des Schmierfilms identisch und unterscheidet sich erst im Bereich der Reformation. Der Druckverlauf des vorgestellten Ansatzes stimmt sehr gut mit dem Zwei-Phasen-Modell überein, die maximale Abweichung in diesem Fall beträgt 2,7 %. Das Aufreißen dominiert die Ausbildung des Druckes gegenüber der Reformation, weshalb letzterer auch nicht wesentlich durch die Variation des gewählten Modellansatzes beeinflusst wird. Zusätzlich werden als Referenz die S OMMERFELD sche Lösung und der Druckverlauf bei der Verwendung eines nicht-masseerhaltenden Kavitationsmodells dargestellt. Dieses verwendet ein Penalty-Verfahren, welches negative Drücke durch die Addition eines ausreichend großen künstlichen Flusses ausgleicht, siehe [8]. Dabei zeigen sich deutliche Unterschiede mit in diesem Fall Abweichungen von bis zu 12,24 % zwischen den nichtmasse- und masseerhaltenden Kavitationsmodellen. Wird von der GfT eingerichtet! Nr. Vortrag/ 3 3. Simulation von geschmierten Kontakten 3.1 Hydrodynamische (HD) Kontakte Für die Berechnung des hydrodynamischen Schmierproblems wird die R EYNOLDS sche Differentialgleichung gelöst. Diese lautet für den eindimensionalen, transienten Fall mit der Koordinate x sowie der Zeit t in modifizierter Form (1) und kann als Differentialgleichung in schwacher Form und unter Berücksichtigung der Randbedingungen sowie beispielsweise mit der kommerziellen Software COMSOL MULTIPHYSICS gelöst werden. Sowohl Dichte ρ als auch Viskosität η sind vom Druck im Kavitationsgebiet abhängige Zustandsgrößen und werden hierzu mit dem Spaltfüllungsgrad θ multipliziert. Letzterer steht für das Verhältnis von Schmierstoffzu Schmierspalthöhe und wird wie folgt definiert: ( ) g q - × = = 2 liq ( ) e h p p p h . (2) Dabei ist γ(p) eine Penalty-Funktion, welche für 0 p > den Wert Null und andernfalls den Wert ξ annimmt, wobei letzterer eine ausreichend große reelle Zahl ist. Folglich gilt in der Druckregion und , sowie im Kavitationsgebiet und . Im Gegensatz zu anderen Funktionstypen, zum Beispiel in [18, 19], gewährleistet dies nicht nur Masseerhaltung, sondern ist im gesamten Lösungsgebiet auch stetig differenzierbar und damit numerisch sehr stabil. Abbildung 2a) zeigt den errechneten Verlauf von Druck und Spaltfüllungsgrad sowie Abbildung 2b) das verwendete Ersatzmodell für einen stationären und zweidimensionalen hydrodynamischen Zylinder- Ebene-Kontakt mit Radius R und der hydrodynamisch wirksamen Gleitgeschwindigkeit im Vergleich zu einem Finite-Volumen Zwei-Phasen-Modell („CFD- 2PM“). Letzteres ist im kommerziellen CFD-Programm ANSYS FLUENT unter Verwendung des Z WART -G ERBER -B ELAMRI -Kavitationsalgorithmus [20] umgesetzt. Der vorliegende Kontaktfall orientiert sich an einem in [21] beschriebenen Modell, wobei der Schmierspalt mit parabolisch angenähert und konstant gehalten wird. Grundsätzlich zeigt sich eine gute Übereinstimmung der Ergebnisse. Der Spaltfüllungsgrad beider Modelle ist im Bereich des Aufreißens des Schmierfilms identisch und unterscheidet sich erst im Bereich der Reformation. Der Druckverlauf des vorgestellten Ansatzes stimmt sehr gut mit dem Zwei-Phasen-Modell überein, die maximale Abweichung in diesem Fall beträgt 2,7 %. Das Aufreißen dominiert die Ausbildung des Druckes gegenüber der Reformation, weshalb letzterer auch nicht wesentlich durch die Variation des gewählten Modellansatzes beeinflusst wird. Zusätzlich werden als Referenz die S OMMERFELD sche Lösung und der Druckverlauf bei der Verwendung eines nicht-masseerhaltenden Kavitationsmodells dargestellt. Dieses verwendet ein Penalty-Verfahren, welches negative Drücke durch die Addition eines ausreichend großen künstlichen Flusses ausgleicht, siehe [8]. Dabei zeigen sich deutliche Unterschiede mit in diesem Fall Abweichungen von bis zu 12,24 % zwischen den nichtmasse- und masseerhaltenden Kavitationsmodellen. T+S_4_17 07.06.17 17: 27 Seite 30 Tribologie + Schmierungstechnik 64. Jahrgang 4/ 2017 takt unter Berücksichtigung von kompressiblen Fluideigenschaften und Starrkörperverschiebung dar. Das Ersatzmodell wird wiederum in Bild 3b) abgebildet. Auch hier zeigen sich Abweichungen im Druckverlauf bis zu 9,35 % und im sich einstellenden Schmierspalt bis zu 0,02 %. In Folge des kavitierenden Schmierstoffes reduzieren sich Dichte und Viskosität im Bereich des divergierenden Kontaktauslasses, was allerdings in Kombination mit der Starrkörperverschiebung zu einem höheren Schmierspalt bei gleichzeitig niedrigerem Druck im Vergleich zum nicht-masseerhaltendem Kavitationsmodell führt. 3.2 Elastohydrodynamische (EHD) Kontakte Um elastohydrodynamische Kontakte zu simulieren, ist eine gekoppelte Lösung des hydrodynamischen und des elastischen Problems erforderlich. Die Umsetzung entspricht dabei im Wesentlichen dem in [24, 25] beschriebenen Vorgehen. Die Deformation beider Kontaktkörper wird lediglich für einen Körper berechnet, indem ein äquivalenter E-Modul sowie eine äquivalente Querdehnzahl verwendet werden. Die R EYNOLDS gleichung wird in schwacher Form auf dem oberen Rand des vernetzten Körpers gelöst. Die Gleichung der Schmierfilmverteilung, um jeweils einen Term für elastische Deformation δ elastisch sowie Oberflächenstrukturen h struktur erweitert, lautet wie folgt: (4) Da Druckverteilung und elastische Deformation im EHD-Kontakt dem trockenen HERTZschen Kontakt sehr ähnlich sind, werden das hydrodynamische und das elastische Problem auf die HERTZschen Parameter normiert, siehe [26]. Für isotherme EHD-Kontakte im Allgemeinen ergeben sich keine Unterschiede zwischen masse- und nicht-masseerhaltendem Kavitationsmodell. Bild 4a) zeigt den Verlauf von Druck, Schmierspalt und 31 Aus Wissenschaft und Forschung rechneten Verlauf von Druck und Spaltfüllungsgrad und Bild 2b) das verwendete Ersatzmodell für einen stationären und zweidimensionalen hydrodynamischen Zylinder-Ebene- Kontakt mit Radius R und der hydrodynamisch wirksamen Gleitgeschwindigkeit u m = (u 1 + u 2 )/ 2 im Vergleich zu einem Finite-Volumen Zwei-P h a s e n-Mod ell („CFD- 2PM“). Letzteres ist im kommerziellen CFD-Programm ANSYS FLUENT unter Verwendung des Z WART -G ERBER -B ELAMRI -Kavitationsalgorithmus [20] umgesetzt. Der vorliegende Kontaktfall orientiert sich an einem in [21] beschriebenen Modell, wobei der Schmierspalt mit h = h 0 + x 2 / (2 ∙R) parabolisch angenähert und konstant gehalten wird. Grundsätzlich zeigt sich eine gute Übereinstimmung der Ergebnisse. Der Spaltfüllungsgrad beider Modelle ist im Bereich des Aufreißens des Schmierfilms identisch und unterscheidet sich erst im Bereich der Reformation. Der Druckverlauf des vorgestellten Ansatzes stimmt sehr gut mit dem Zwei-Phasen- Modell überein, die maximale Abweichung in diesem Fall beträgt 2,7 %. Das Aufreißen dominiert die Ausbildung des Druckes gegenüber der Reformation, weshalb letzterer auch nicht wesentlich durch die Variation des gewählten Modellansatzes beeinflusst wird. Zusätzlich werden als Referenz die S OMMERFELD sche Lösung und der Druckverlauf bei der Verwendung eines nicht-masseerhaltenden Kavitationsmodells dargestellt. Dieses verwendet ein Penalty-Verfahren, welches negative Drücke durch die Addition eines ausreichend großen künstlichen Flusses ausgleicht, siehe [8]. Dabei zeigen sich deutliche Unterschiede mit in diesem Fall Abweichungen von bis zu 12,24 % zwischen den nichtmasse- und masseerhaltenden Kavitationsmodellen. Weiterhin sei angemerkt, dass die Schmierstoffeigenschaften nicht nur, wie zuvor modelliert, vom Druck im Kavitations-, sondern auch im Druckgebiet selbst abhängen. Um dies zu beschreiben, kann das Verhalten der Dichte ρ nach D OWSON und H IGGINSON [22] sowie das der Viskosität η nach R OELANDS [23] modelliert werden. Zudem ist der Schmierspalt in tatsächlichen hydrodynamischen Kontakt nicht konstant, so wie bisher vereinfacht angenommen, und deshalb als variabel zu formulieren. Das Integral über den Druck gleicht dabei die Kontaktlast F aus: (3) Dies wird durch ein Anpassen der Starrkörperverschiebung h 0 erreicht. Bild 3a) stellt den Vergleich zwischen masse- und nicht-masseerhaltendem Kavitationsmodell für einen solchen beispielhaften hydrodynamischen Kon- Bild 3: Vergleich zwischen masse- und nicht-masseerhaltendem Kavitationsmodell (a) und Ersatzmodell (b) für einen HD-Kontakt (R = 10 mm, u 1 = u 2 = 0,5 m/ s, F = 10 N) Nr. Vortrag/ 4 wird von der GfT eingerichtet! Abbildung 2: Druck und Spaltfüllungsgrad im Vergleich (a) und Ersatzmodell (b) für einen vereinfachten HD-Kontakt (h 0 = 0,1 μm, R = 10 mm, u 1 = u 2 = 0,5 m/ s, ρ = 850 kg/ m³, η = 0,01 kg(m·s)) Weiterhin sei angemerkt, dass die Schmierstoffeigenschaften nicht nur, wie zuvor modelliert, vom Druck im Kavitations-, sondern auch im Druckgebiet selbst abhängen. Um dies zu beschreiben, kann das Verhalten der Dichte ρ nach D OWSON und H IGGINSON [22] sowie das der Viskosität η nach R OELANDS [23] modelliert werden. Zudem ist der Schmierspalt in tatsächlichen hydrodynamischen Kontakt nicht konstant, so wie bisher vereinfacht angenommen, und deshalb als variabel zu formulieren. Das Integral über den Druck gleicht dabei die Kontaktlast F aus: c c (x) d p F W W = ò . (3) Dies wird durch ein Anpassen der Starrkörperverschiebung h 0 erreicht. Abbildung 3a) stellt den Vergleich zwischen masse- und nicht-masseerhaltendem Kavitationsmodell für einen solchen beispielhaften hydrodynamischen Kontakt unter Berücksichtigung von kompressiblen Fluideigenschaften und Starrkörperverschiebung dar. Das Ersatzmodell wird wiederum in Abbildung 3b) abgebildet. Auch hier zeigen sich Abweichungen im Druckverlauf bis zu 9,35 % und im sich einstellenden Schmierspalt bis zu 0,02 %. In Folge des kavitierenden Schmierstoffes reduzieren sich Dichte und Viskosität im Bereich des divergierenden Kontaktauslasses, was allerdings in Kombination mit der Starrkörperverschiebung zu einem höheren Schmierspalt bei gleichzeitig niedrigerem Druck im Vergleich zum nicht-masseerhaltendem Kavitationsmodell führt. Wird von der GfT eingerichtet! Nr. Vortrag/ 5 Abbildung 3: Vergleich zwischen masse- und nicht-masseerhaltendem Kavitationsmodell (a) und Ersatzmodell (b) für einen HD-Kontakt (R = 10 mm, u 1 = u 2 = 0,5 m/ s, F = 10 N) 3.2 Elastohydrodynamische (EHD) Kontakte Um elastohydrodynamische Kontakte zu simulieren, ist eine gekoppelte Lösung des hydrodynamischen und des elastischen Problems erforderlich. Die Umsetzung entspricht dabei im Wesentlichen dem in [24, 25] beschriebenen Vorgehen. Die Deformation beider Kontaktkörper wird lediglich für einen Körper berechnet, indem ein äquivalenter E-Modul sowie eine äquivalente Querdehnzahl verwendet werden. Die R EYNOLDS gleichung wird in schwacher Form auf dem oberen Rand des vernetzten Körpers gelöst. Die Gleichung der Schmierfilmverteilung, um jeweils einen Term für elastische Deformation δ elastisch sowie Oberflächenstrukturen h struktur erweitert, lautet wie folgt: ( ) ( ) ( ) 2 0 elastisch struktur , , , 2 x h x t h x t h x t R d = + + + × . (4) Da Druckverteilung und elastische Deformation im EHD-Kontakt dem trockenen H ERTZ schen Kontakt sehr ähnlich sind, werden das hydrodynamische und das elastische Problem auf die H ERTZ schen Parameter normiert, siehe [26]. Für isotherme EHD-Kontakte im Allgemeinen ergeben sich keine Unterschiede zwischen masse- und nicht-masseerhaltendem Kavitationsmodell. Abbildung 4a) zeigt den Verlauf von Druck, Schmierspalt und Spaltfüllungsgrad für ein ausgewähltes, höher belastetes Beispiel jeweils bei einer Berechnung mit dem vorgestellten Ansatz im Vergleich zur Penalty- Methode für einen zweidimensionalen Linienkontakt im stationären Zustand und Abbildung 4b) für den Durchlauf einer trapezförmige Mikrostruktur, zum Zeitpunkt an dem sich diese bei X = -0,5 befindet. T+S_4_17 07.06.17 17: 27 Seite 31 32 Tribologie + Schmierungstechnik 64. Jahrgang 4/ 2017 Spaltfüllungsgrad für ein ausgewähltes, höher belastetes Beispiel jeweils bei einer Berechnung mit dem vorgestellten Ansatz im Vergleich zur Penalty-Methode für einen zweidimensionalen Linienkontakt im stationären Zustand und Bild 4b) für den Durchlauf einer trapezförmige Mikrostruktur, zum Zeitpunkt an dem sich diese bei X = - 0,5 befindet. Wird für den EHD-Kontakt jedoch nicht mehr nur der isotherme Fall betrachtet, sondern auch thermische Effekte mit berücksichtigt, gewinnt die Verwendung eines masseerhaltenden Kavitationsmodells an Bedeutung. Für das thermische Problem wird eine modifizierte R EYNOLDS gleichung nach [27] verwendet, bei der Dichte und Viskosität zusätzlich in Spalthöhenrichtung integriert werden. Die Lösung erfolgt schließlich durch Berechnung von Wärmekonvektions- und Diffusionsgleichungen für das Fluid und die beiden Körper sowie Wärmequellen durch Fluidkompression oder -expansion und -scherung, siehe [28, 29]. Die Gleichungen werden wiederum analog zum bereits beschriebenen Vorgehen um die Variable für den Spaltfüllungsgrad erweitert. Der reduzierte Fluidvolumenbeziehungsweise Massenstrom beeinflusst Wärmentwicklung und -abfuhr, was zu einem stärkeren Anstieg der Temperatur vor allem im Bereich des Kontaktauslasses und damit höheren Drücken sowie geringen Schmierspalthöhen führt. Bild 5a) vergleicht den Druck-, Schmierspalt- und Temperaturver- Aus Wissenschaft und Forschung Bild 4: Vergleich zwischen masse- und nicht-masseerhaltendem Kavitationsmodell für einen isothermen EHD-Kontakt im stationären Zustand (a) sowie mit trapezförmiger Mikrostruktur an der Position X = -0,5 (b) im Fall M = 20, L = 15, SSR = 0,8 Bild 5: Vergleich zwischen masse- und nicht-masseerhaltendem Kavitationsmodell für einen TEHD-Kontakt im stationären Zustand (a) sowie mit trapezförmiger Mikrostruktur an der Position X = -0,5 (b) im Fall M = 5, L = 10, SRR = 0,67 Bild 6: Vergleich zwischen masse- und nicht-masseerhaltendem Kavitationsmodell für einen TEHD-Kontakt über die Zeit beim Durchlauf einer trapezförmigen Mikrostruktur im Fall M = 5, L = 10, SRR = 0,67 T+S_4_17 07.06.17 17: 27 Seite 32 Tribologie + Schmierungstechnik 64. Jahrgang 4/ 2017 lauf für das masse- und nicht-masseerhaltende Kavitationsmodell beispielhaft bei einem geringer belasteten zweidimensionalen Linienkontakt im stationären Zustand, Bild 5b) wiederum für den Durchlauf einer trapezförmigen Mikrostruktur zum Zeitpunkt, an dem sich diese bei X = - 0,5 befindet. Weiterhin werden in Bild 6 der maximale Druck, die minimale Schmierfilmhöhe sowie die maximale Temperatur über der Zeit beim Durchlauf der Mikrostruktur dargestellt. 4 Zusammenfassung Im Rahmen dieses Beitrags wurde ein masseerhaltender Kavitationsalgorithmus für die numerische Simulation geschmierter Kontakte vorgestellt, welcher auf einer Penalty-Variable-Dichte-Formulierung basiert. Mit diesem lassen sich hydro- und elastohydrodynamische Kontakte, auch bei mikrotexturierten Oberflächen oder im nicht-isothermen Fall, aufgrund der Verwendbarkeit konventioneller Lösungsalgorithmen und lediglich einer Lösungsvariable sehr effizient mit kommerziellen FE- Programmen berechnen. Während im isothermen hydrodynamischen Fall bereits deutliche Unterschiede bezüglich der berechneten Druckverteilung und Schmierspalthöhe zwischen masse- und nicht-masseerhaltenden Kavitationsmodellen vorliegen, ergeben sich keine nennenswerten Differenzen im elastohydrodynamischen Fall. Erst bei Berücksichtigung thermischer Effekte im Rahmen der TEHD-Simulation zeigt sich ein Einfluss masseerhaltender Kavitationsmodelle. Bei nicht-masseerhaltenden Kavitationsmodellen in TEHD-Berechnungen besteht aufgrund des Verstoßes gegen die Kontinuitätsgleichung die Gefahr, dass die sich einstellenden Druck- und Temperaturverteilungen unterbzw. die Schmierspalthöhe überschätzt werden. Danksagung Die Autoren danken der Deutschen Forschungsgemeinschaft (DFG) für die Förderung der Forschungsarbeiten im Rahmen des Schwerpunktprogramms 1551 „Ressourceneffiziente Konstruktionselemente“. Literatur [1] D UFFET, G., S ALLAMAND , P., V ANNES , A. 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MwSt.); Studenten und persönliche Mitglieder der GfT erhalten gegen Vorlage eines entsprechenden Nachweises einen Nachlass von 20 % auf das Abo-Netto. Für Mitglieder der ÖTG ist der Abonnementspreis im Mitgliedschaftsbeitrag enthalten. Die Abonnementsgebühren sind jährlich im Voraus bei Rechnungsstellung durch den Verlag ohne Abzug zahlbar; kürzere Rechnungszeiträume bedingen einen Bearbeitungszuschlag von 3,- 7 pro Rechnungslegung. Abbestellungen müssen spätestens sechs Wochen vor Ende des Bezugsjahres schriftlich vorliegen. Der Bezug der Zeitschriften zum Jahresvorzugspreis verpflichtet den Besteller zur Abnahme eines vollen Jahrgangs. Bei vorzeitiger Beendigung eines Abonnementauftrages wird der Einzelpreis nachbelastet. Bei höherer Gewalt keine Lieferungspflicht. Erfüllungsort und Gerichtsstand: Leonberg expert verlag, 71272 Renningen ISSN 0724-3472 4/ 17 Tribologie und Schmierungstechnik Organ der Gesellschaft für Tribologie | Organ der Österreichischen Tribologischen Gesellschaft | Organ der Swiss Tribology Heft 4 Juli/ August 2017 64. Jahrgang Herausgeber und Schriftleiter: Prof. Dr.-Ing. Dr. h.c. Wilfried J. Bartz Mühlhaldenstr. 91, 73770 Denkendorf Tel./ Fax (07 11) 3 46 48 35 E-Mail wilfried.bartz@tribo-lubri.de www.tribo-lubri.de Redaktion: Dr. rer. nat. Erich Santner, Bonn Tel. (02 28) 9 61 61 36 E-Mail esantner@arcor.de Redaktionssekretariat: expert verlag Tel. (0 71 59) 92 65 - 0, Fax (0 71 59) 92 65 -20 E-Mail: expert@expertverlag.de Beiträge, die mit vollem Namen oder auch mit Kurzzeichen des Autors gezeichnet sind, stellen die Meinung des Autors, nicht unbedingt auch die der Redaktion dar. Unverlangte Zusendungen redaktioneller Beiträge auf eigene Gefahr und ohne Gewähr für die Rücksendung. 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