Tribologie + Schmierungstechnik 64. Jahrgang 6/ 2017 Problembeschreibung Trapezgewindetriebe sind tribotechnische Systeme mit eingeschränkter reibungsbedingter Wärmebelastbarkeit. Die in das Tribosystem induzierte Wärmeleistung muss kleiner als dessen Wärmeabgabefähigkeit sein. Anderenfalls kann es zu einem Wärmestau und in dessen Folge zu einer Destabilisierung der Stationärphase im Verschleißverlauf führen. Dadurch verkürzt sich die Lebensdauer erheblich. Eine Lebensdauervoraussage für das System ist unter solchen Betriebsbedingungen bedeutend unsicherer. Nach Ehrhard/ Strickle [Erh85] wird als Richtwert für das Maß der Gleitreibungsbelastung der sogenannte „pv- Wert“ herangezogen, der als das Produkt aus Flächenpressung „p“ und Gleitgeschwindigkeit „v“ definiert ist und dessen Maximalwert im Aussetzbetrieb um bis zu 50 % höher angesetzt werden könne. Nicht nur der Aussetzbetrieb erfordert einen Korrekturfaktor, sondern auch die Variation der geometrischen Konvektionsfläche. Die Konvektionsfläche im Hubbereich der Spindel ändert sich mit variabler Hubhöhe und veränderlichem Gewindenenndurchmesser. Es müssen auch die instabilen Reibungsverhältnisse im Reibkontakt oder die Strömungsbewegung des Umgebungsmediums berücksichtigt werden. Der „pv-Wert“ hat die Einheit „W/ mm 2 “ und weist bei der Anwendung an Trapezgewindetrieben Mängel auf, die über mehrere Korrekturfaktoren zu wissenschaftlich umstrittenen Zahlenwertgleichungen führen. Lösungsvorschlag Aus der Fourierschen Wärmeleitungsgleichung für den eindimensionalen Fall ist der Begriff der Wärmestromdichte „q“ bekannt. Im Gegensatz zum „pv-Wert“ berücksichtigt die hier vorgeschlagene spindelbezogene Wärmestromdichte „q“ auch den Aussetzbetrieb, die Reibungscharakteristik und die variable Hublänge. Unter der Annahme, dass die Reibung nahezu vollständig in die Wärme übergeht, lässt sich für die Spindel die 25 Aus Wissenschaft und Forschung * Sven Jung, M.Eng. Prof. Dr.-Ing. Michael Quaß Hochschule Hannover, 30173 Hannover Beitrag zur analytischen Ermittlung der reibungsbedingten Wärmeleistungsgrenzen von Trapezgewindetrieben S. Jung, M. Quaß* Eingereicht: 18. 11 .2016 Nach Begutachtung angenommen: 10. 1. 2017 Die reibungsbedingte thermische Leistungsfähigkeit von Trapezgewindetrieben ist begrenzt. Die herkömmliche Beschreibung des Wärmeverhaltens erfolgt statisch über das empirisch ermittelte Produkt aus der Pressung und der Gleitgeschwindigkeit. Diese statische Methode erfordert Korrekturfaktoren zu Berücksichtigung der dynamisch veränderlichen Betriebsbedingungen. In dieser Arbeit wird eine dynamische Methode zur analytischen Beschreibung der thermischen Leistungsfähigkeit der Trapezgewindetriebe vorgestellt. Diese dynamische Methode basiert auf der Wärmetheorie von Fourier/ Newton sowie auf physikalischen Zusammenhängen und bestehenden thermodynamischen Modellen für Profilzylinder. Schlüsselwörter Reibung, Leistung, Wärme, Temperatur, Pressung, Gleitgeschwindigkeit, Gewinde, Profilzylinder. The friction-based thermal capability of acme threads is limited. Known descriptions of thermal properties are static by using the empirically investigated product of the contact pressure and the sliding speed. This method needs correction factors considering the dynamic operating conditions. This paper presents a dynamic method as an analytic description of the thermal capability of acme threads, based upon the theory of heat by Fourier and Newton as well as physical descriptions and known thermodynamic models for shaped cylinders. Keywords friction, power, heat, temperature, pressure, sliding speed, thread, profile cylinder. Kurzfassung Abstract T+S_6_17 16.10.17 10: 39 Seite 25 26 Tribologie + Schmierungstechnik 64. Jahrgang 6/ 2017 Aus Wissenschaft und Forschung Nomenklatur α̅ [W/ m 2 ∙K] mittlere äquivalente Wärmeübergangskoeffizient α w [W/ m 2 ∙ K] Wärmeübergangszahl α R [W/ m 2 ∙ K] scheinbare Wärmeübergangszahl am Rippenfuß α G [W/ m 2 ∙ K] Wärmeübergangszahl der Grundfläche des Rohres Nu R [-] Nußeltzahl Rippe Nu R,lam [-] Nußeltzahl Rippe mit laminarer Strömung Nu R,tur [-] Nußeltzahl Rippe mit turbulenter Strömung Re [-] Reynoldszahl R w [m 2 ∙ K/ W] Wärmewiderstand Pr [-] Prandtlzahl t [mm] Länge eines Rippenelements t H [s] Hubzeit t S [s] Stillstandszeit an einem Totpunkt/ Umkehrpunkt T S [°C] Spindeltemperatur T U [°C] Umgebungstemperatur ∆T [°C] Temperaturdifferenz p [N/ mm 2 ] Pressung μ G [-] Gleitreibungskoeffizient A S [m 2 ] Wärmeabgebende Oberfläche der Spindel F N [N] Normalkraft F A [N] Axialkraft δ R [mm] mittlere Rippenstärke S L [m] Gleitweg wehrend einer Operation W R [J] Reibungsarbeit w [m/ s] Luftbewegungsgeschwindigkeit v [m/ s] Gleitgeschwindigkeit ν L [m 2 / s] Kinematische Viskosität der Luft q [W/ mm 2 ] Wärmestromdichte der Spindel d 1 [mm] Kerndurchmesser des Gewindes/ Rohres d [mm] Nenndurchmesser des Gewindes/ der Rippe h 3 [mm] Flankenhöhe des Gewindes (entspricht der Rippenhöhe) λ L [W/ m∙K] Wärmeleitfähigkeit der Luft λ R [W/ m∙K] Wärmeleitfähigkeit der Rippe n S [m/ s ] Drehfrequenz der Spindel Wird von der GfT eingerichtet! Nr. Vortrag/ 3 Nach Ehrhard/ Strickle [Erh85] wird als Richtwert für das Maß der Gleitreibungsbelastung der sogenannte „ -Wert“ herangezogen, der als das Produkt aus Flächenpressung „ “ und Gleitgeschwindigkeit „ “ definiert ist und dessen Maximalwert im Aussetzbetrieb um bis zu 50% höher angesetzt werden könne. Nicht nur der Aussetzbetrieb erfordert einen Korrekturfaktor, sondern auch die Variation der geometrischen Konvektionsfläche. Die Konvektionsfläche im Hubbereich der Spindel ändert sich mit variabler Hubhöhe und veränderlichem Gewindenenndurchmesser. Es müssen auch die instabilen Reibungsverhältnisse im Reibkontakt oder die Strömungsbewegung des Umgebungsmediums berücksichtigt werden. Der „ -Wert“ hat die Einheit „W/ mm²“ und weist bei der Anwendung an Trapezgewindetrieben Mängel auf, die über mehrere Korrekturfaktoren zu wissenschaftlich umstrittenen Zahlenwertgleichungen führen. Lösungsvorschlag: Aus der Fourierschen Wärmeleitungsgleichung für den eindimensionalen Fall ist der Begriff der Wärmestromdichte „ “ bekannt. Im Gegensatz zum „ -Wert“ berücksichtigt die hier vorgeschlagene spindelbezogene Wärmestromdichte „ “ auch den Aussetzbetrieb, die Reibungscharakteristik und die variable Hublänge. Unter der Annahme, dass die Reibung nahezu vollständig in die Wärme übergeht, lässt sich für die Spindel die Wärmestromdichte „ “ als eine reibungsbedingte Wärmeenergie „ “ definieren, die in eine Spindeloberfläche „ “ während eines Hubvorgangs „ “ induziert wird. Wobei die induzierte Wärmeenergie der an die Umgebung abgegebener Energie entspricht. Es ist ersichtlich, dass die Wärmestromdichte „ “ dem „ -Wert“ ähnelt. Der erste Bruchterm entspricht aber nicht der Pressung „ “, weil die Konvektionsfläche der Spindel „ “ keine Krafteinleitungsfläche der Axialkraft „ “ ist. Der zweite Bruchterm beinhaltet die Stillstandszeit „ “, was auch nicht der reinen Gleitgeschwindigkeit „ “ entspricht. Der empirisch ermittelter „ -Wert“ und die Wärmestromdichte „ “ haben dieselbe Einheit und beschreiben die thermische Leistungsfähigkeit eines Tribosystems. In Bezug auf eine Gewindespindel ist die Beschreibung der thermischen Leistungsfähigkeit mit dem „ -Wert“ aus genannten Gründen zu statisch. Der maximal zulässige Wert der thermischen Leistungsfähigkeit wird durch eine definierte maximal zulässige Betriebstemperatur der Reibpaarung gekennzeichnet. Zu . . Wird von der GfT eingerichtet! Nr. Vortrag/ 3 Nach Ehrhard/ Strickle [Erh85] wird als Richtwert für das Maß der Gleitreibungsbelastung der sogenannte „ -Wert“ herangezogen, der als das Produkt aus Flächenpressung „ “ und Gleitgeschwindigkeit „ “ definiert ist und dessen Maximalwert im Aussetzbetrieb um bis zu 50% höher angesetzt werden könne. Nicht nur der Aussetzbetrieb erfordert einen Korrekturfaktor, sondern auch die Variation der geometrischen Konvektionsfläche. Die Konvektionsfläche im Hubbereich der Spindel ändert sich mit variabler Hubhöhe und veränderlichem Gewindenenndurchmesser. Es müssen auch die instabilen Reibungsverhältnisse im Reibkontakt oder die Strömungsbewegung des Umgebungsmediums berücksichtigt werden. Der „ -Wert“ hat die Einheit „W/ mm²“ und weist bei der Anwendung an Trapezgewindetrieben Mängel auf, die über mehrere Korrekturfaktoren zu wissenschaftlich umstrittenen Zahlenwertgleichungen führen. Lösungsvorschlag: Aus der Fourierschen Wärmeleitungsgleichung für den eindimensionalen Fall ist der Begriff der Wärmestromdichte „ “ bekannt. Im Gegensatz zum „ -Wert“ berücksichtigt die hier vorgeschlagene spindelbezogene Wärmestromdichte „ “ auch den Aussetzbetrieb, die Reibungscharakteristik und die variable Hublänge. Unter der Annahme, dass die Reibung nahezu vollständig in die Wärme übergeht, lässt sich für die Spindel die Wärmestromdichte „ “ als eine reibungsbedingte Wärmeenergie „ “ definieren, die in eine Spindeloberfläche „ “ während eines Hubvorgangs „ “ induziert wird. Wobei die induzierte Wärmeenergie der an die Umgebung abgegebener Energie entspricht. Es ist ersichtlich, dass die Wärmestromdichte „ “ dem „ -Wert“ ähnelt. Der erste Bruchterm entspricht aber nicht der Pressung „ “, weil die Konvektionsfläche der Spindel „ “ keine Krafteinleitungsfläche der Axialkraft „ “ ist. Der zweite Bruchterm beinhaltet die Stillstandszeit „ “, was auch nicht der reinen Gleitgeschwindigkeit „ “ entspricht. Der empirisch ermittelter „ -Wert“ und die Wärmestromdichte „ “ haben dieselbe Einheit und beschreiben die thermische Leistungsfähigkeit eines Tribosystems. In Bezug auf eine Gewindespindel ist die Beschreibung der thermischen Leistungsfähigkeit mit dem „ -Wert“ aus genannten Gründen zu statisch. Der maximal zulässige Wert der thermischen Leistungsfähigkeit wird durch eine definierte maximal zulässige Betriebstemperatur der Reibpaarung gekennzeichnet. Zu . Nr. Vortrag/ 4 wird von der GfT eingerichtet! einer analytischen Ermittlung der Höchsttemperatur an einer Trapezgewindespindel bietet sich das Wärmegesetz von Fourier an. Demnach ist die relative Temperatur der Spindel im wärmsten Bereich „ “ ein Produkt aus dem Wärmewiderstand „ “ und der Wärmestromdichte „ “. Die analytisch ermittelte Temperatur der Spindel kann mit der maximal zulässigen Betriebstemperatur der Leitmutter verglichen werden. Da ein Trapezgewinde einem querangeströmten Profilzylinder bzw. einem berippten Rohr geometrisch ähnelt, wird der Ansatz zur Berechnung des Wärmewiderstands nach Wagner [Wag11] mit der einheitlichen Nusseltzahl-Gleichung nach Gnielinski [Gni75], [Vdi13] vorgeschlagen. Nach diesem Ansatz gleicht der Gesamtwärmestrom eines Rippenelements der Summe aus dem Wärmestrom von der Rippe und dem Wärmestrom von der Rohroberfläche (Abbildung 1). Abbildung 1: spezifische Wärmeströme aus Grundrohr- und Rippenanteil nach Wagner [Wag11] Mit dem Ansatz: erhält man die Gleichung für den mittleren äquivalenten Wärmeübergangskoeffizient „ “ mit der Wärmeübergangszahl der Grundfläche des Rohres „ “ . . Nr. Vortrag/ 4 wird von der GfT eingerichtet! einer analytischen Ermittlung der Höchsttemperatur an einer Trapezgewindespindel bietet sich das Wärmegesetz von Fourier an. Demnach ist die relative Temperatur der Spindel im wärmsten Bereich „ “ ein Produkt aus dem Wärmewiderstand „ “ und der Wärmestromdichte „ “. Die analytisch ermittelte Temperatur der Spindel kann mit der maximal zulässigen Betriebstemperatur der Leitmutter verglichen werden. Da ein Trapezgewinde einem querangeströmten Profilzylinder bzw. einem berippten Rohr geometrisch ähnelt, wird der Ansatz zur Berechnung des Wärmewiderstands nach Wagner [Wag11] mit der einheitlichen Nusseltzahl-Gleichung nach Gnielinski [Gni75], [Vdi13] vorgeschlagen. Nach diesem Ansatz gleicht der Gesamtwärmestrom eines Rippenelements der Summe aus dem Wärmestrom von der Rippe und dem Wärmestrom von der Rohroberfläche (Abbildung 1). Abbildung 1: spezifische Wärmeströme aus Grundrohr- und Rippenanteil nach Wagner [Wag11] Mit dem Ansatz: erhält man die Gleichung für den mittleren äquivalenten Wärmeübergangskoeffizient „ “ mit der Wärmeübergangszahl der Grundfläche des Rohres „ “ . Nr. Vortrag/ 4 wird von der GfT eingerichtet! einer analytischen Ermittlung der Höchsttemperatur an einer Trapezgewindespindel bietet sich das Wärmegesetz von Fourier an. Demnach ist die relative Temperatur der Spindel im wärmsten Bereich „ “ ein Produkt aus dem Wärmewiderstand „ “ und der Wärmestromdichte „ “. Die analytisch ermittelte Temperatur der Spindel kann mit der maximal zulässigen Betriebstemperatur der Leitmutter verglichen werden. Da ein Trapezgewinde einem querangeströmten Profilzylinder bzw. einem berippten Rohr geometrisch ähnelt, wird der Ansatz zur Berechnung des Wärmewiderstands nach Wagner [Wag11] mit der einheitlichen Nusseltzahl-Gleichung nach Gnielinski [Gni75], [Vdi13] vorgeschlagen. Nach diesem Ansatz gleicht der Gesamtwärmestrom eines Rippenelements der Summe aus dem Wärmestrom von der Rippe und dem Wärmestrom von der Rohroberfläche (Abbildung 1). Abbildung 1: spezifische Wärmeströme aus Grundrohr- und Rippenanteil nach Wagner [Wag11] Mit dem Ansatz: erhält man die Gleichung für den mittleren äquivalenten Wärmeübergangskoeffizient „ “ mit der Wärmeübergangszahl der Grundfläche des Rohres „ “ . Wärmestromdichte „q“ als eine reibungsbedingte Wärmeenergie „W R “ definieren, die in eine Spindeloberfläche „A S “ während eines Hubvorgangs „(t H + t S )“ induziert wird. Wobei die induzierte Wärmeenergie der an die Umgebung abgegebener Energie entspricht. (0.01) Es ist ersichtlich, dass die Wärmestromdichte „q“ dem „pv -Wert“ ähnelt. (0.02) Der erste Bruchterm entspricht aber nicht der Pressung „p“, weil die Konvektionsfläche der Spindel „A S “ keine Krafteinleitungsfläche der Axialkraft „F A “ ist. Der zweite Bruchterm beinhaltet die Stillstandszeit „t S “, was auch nicht der reinen Gleitgeschwindigkeit „v“ entspricht. Der empirisch ermittelter „pv-Wert“ und die Wärmestromdichte „q“ haben dieselbe Einheit und beschreiben die thermische Leistungsfähigkeit eines Tribosystems. In Bezug auf eine Gewindespindel ist die Beschreibung der thermischen Leistungsfähigkeit mit dem „pv-Wert“ aus genannten Gründen zu statisch. Der maximal zulässige Wert der thermischen Leistungsfähigkeit wird durch eine definierte maximal zulässige Betriebstemperatur der Reibpaarung gekennzeichnet. Zu einer analytischen Ermittlung der Höchsttemperatur an einer Trapezgewindespindel bietet sich das Wärmegesetz von Fourier an. Demnach ist die relative Temperatur der Spindel im wärmsten Bereich „(T S - T U )“ ein Produkt aus dem Wärmewiderstand „1/ α w “ und der Wärmestromdichte „q“. (0.03) Die analytisch ermittelte Temperatur der Spindel kann mit der maximal zulässigen Betriebstemperatur der Leitmutter verglichen werden. Da ein Trapezgewinde einem querangeströmten Profilzylinder bzw. einem berippten Rohr geometrisch ähnelt, wird der Ansatz zur Berechnung des Wärmewiderstands nach Wagner [Wag11] mit der einheitlichen Nußeltzahl- Gleichung nach Gnielinski [Gni75], [Vdi13] vorgeschlagen. Nach diesem Ansatz gleicht der Gesamtwärmestrom eines Rippenelements der Summe aus dem Wärmestrom von der Rippe und dem Wärmestrom von der Rohroberfläche (Bild 1). Mit dem Ansatz: erhält man die Gleichung für den mittleren äquivalenten Wärmeübergangskoeffizient „α̅ “ T+S_6_17 16.10.17 10: 39 Seite 26 Tribologie + Schmierungstechnik 64. Jahrgang 6/ 2017 (0.04) mit der Wärmeübergangszahl der Grundfläche des Rohres „α G “ (0.05) und mit der scheinbaren Wärmeübergangszahl am Rippenfuß „α R “ (0.06) Zur Berechnung der Nußeltzahl „Nu R “ empfiehlt Wagner [Wag11] die einheitliche Nußeltzahl-Gleichung nach Gnielinski [Gni75], [Vdi13] (0.07) mit einem laminaren Strömungsanteil „Nu R,lam “ (0.08) und mit einem turbulenten Strömungsanteil „Nu R,tur “ (0.09) für den Gültigkeitsbereich 10 < Re < 10 7 ; 0,6 < Pr < 1000 Die Reynoldszahl „Re“ berechnet sich wie folgt (0.10) Unter der Annahme einer Ähnlichkeit zwischen einer Gewindespindel und einem Rippenrohr kann der mittlere äquivalente Wärmeübergangskoeffizient „α̅ “ der Wärmeübergangszahl „α w “ aus dem Fourierschen Wärmegesetz gleichgesetzt werden. Simulationsergebnis Für einen Trapezgewindetrieb mit dem Gewinde Tr20 x 4 ist das Simulationsergebnis mit den Wärmewiderständen bei verschiedenen Gleitgeschwindigkeiten in Bild 2 dargestellt. Weil die angetriebene Spindel gegen unbewegte Umgebungsluft reibt, entspricht die Gleitgeschwindigkeit in diesem Fall der Relativgeschwindigkeit zwischen der Konvektionsfläche der Spindel und der Umgebungsluft. Bei einer kleiner werdenden Relativgeschwindigkeit ist eine steiler werdende Steigung der Kennlinie und somit ein höherer Wärmewiderstand zu beobachten. Dies deutet auf ein langsameres Wärmeübergangsverhalten der Trapezgewindetriebe bei niedrigerer Relativgeschwindigkeit hin. 27 Aus Wissenschaft und Forschung Wird von der GfT eingerichtet! Nr. Vortrag/ 5 und mit der scheinbaren Wärmeübergangszahl am Rippenfuß „ “ Zur Berechnung der Nußeltzahl „ “ empfiehlt Wagner [Wag11] die einheitliche Nußeltzahl-Gleichung nach Gnielinski [Gni75][Vdi13] mit einem laminaren Strömungsanteil „ “ und mit einem turbulenten Strömungsanteil „ “ für den Gültigkeitsbereich 10< <10 7 ; 0,6< <1000 Die Reynoldszahl „ “ berechnet sich wie folgt Unter der Annahme einer Ähnlichkeit zwischen einer Gewindespindel und einem Rippenrohr kann der mittlere äquivalente Wärmeübergangskoeffizient „ “ der Wärmeübergangszahl „ “ aus dem Fourierschen Wärmegesetz gleichgesetzt werden. Simulationsergebnis: Für einen Trapezgewindetrieb mit dem Gewinde Tr20x4 ist das Simulationsergebnis mit den Wärmewiderständen bei verschiedenen Gleitgeschwindigkeiten in der Abbildung 2 dargestellt. Weil die angetriebene Spindel gegen unbewegte Umgebungsluft reibt, . . Wird von der GfT eingerichtet! Nr. Vortrag/ 5 und mit der scheinbaren Wärmeübergangszahl am Rippenfuß „ “ Zur Berechnung der Nußeltzahl „ “ empfiehlt Wagner [Wag11] die einheitliche Nußeltzahl-Gleichung nach Gnielinski [Gni75][Vdi13] mit einem laminaren Strömungsanteil „ “ und mit einem turbulenten Strömungsanteil „ “ für den Gültigkeitsbereich 10< <10 7 ; 0,6< <1000 Die Reynoldszahl „ “ berechnet sich wie folgt Unter der Annahme einer Ähnlichkeit zwischen einer Gewindespindel und einem Rippenrohr kann der mittlere äquivalente Wärmeübergangskoeffizient „ “ der Wärmeübergangszahl „ “ aus dem Fourierschen Wärmegesetz gleichgesetzt werden. Simulationsergebnis: Für einen Trapezgewindetrieb mit dem Gewinde Tr20x4 ist das Simulationsergebnis mit den Wärmewiderständen bei verschiedenen Gleitgeschwindigkeiten in der Abbildung 2 dargestellt. Weil die angetriebene Spindel gegen unbewegte Umgebungsluft reibt, . . Wird von der GfT eingerichtet! Nr. Vortrag/ 5 und mit der scheinbaren Wärmeübergangszahl am Rippenfuß „ “ Zur Berechnung der Nußeltzahl „ “ empfiehlt Wagner [Wag11] die einheitliche Nußeltzahl-Gleichung nach Gnielinski [Gni75][Vdi13] mit einem laminaren Strömungsanteil „ “ und mit einem turbulenten Strömungsanteil „ “ für den Gültigkeitsbereich 10< <10 7 ; 0,6< <1000 Die Reynoldszahl „ “ berechnet sich wie folgt Unter der Annahme einer Ähnlichkeit zwischen einer Gewindespindel und einem Rippenrohr kann der mittlere äquivalente Wärmeübergangskoeffizient „ “ der Wärmeübergangszahl „ “ aus dem Fourierschen Wärmegesetz gleichgesetzt werden. Simulationsergebnis: Für einen Trapezgewindetrieb mit dem Gewinde Tr20x4 ist das Simulationsergebnis mit den Wärmewiderständen bei verschiedenen Gleitgeschwindigkeiten in der Abbildung 2 dargestellt. Weil die angetriebene Spindel gegen unbewegte Umgebungsluft reibt, . . Wird von der GfT eingerichtet! Nr. Vortrag/ 5 und mit der scheinbaren Wärmeübergangszahl am Rippenfuß „ “ Zur Berechnung der Nußeltzahl „ “ empfiehlt Wagner [Wag11] die einheitliche Nußeltzahl-Gleichung nach Gnielinski [Gni75][Vdi13] mit einem laminaren Strömungsanteil „ “ und mit einem turbulenten Strömungsanteil „ “ für den Gültigkeitsbereich 10< <10 7 ; 0,6< <1000 Die Reynoldszahl „ “ berechnet sich wie folgt Unter der Annahme einer Ähnlichkeit zwischen einer Gewindespindel und einem Rippenrohr kann der mittlere äquivalente Wärmeübergangskoeffizient „ “ der Wärmeübergangszahl „ “ aus dem Fourierschen Wärmegesetz gleichgesetzt werden. Simulationsergebnis: Für einen Trapezgewindetrieb mit dem Gewinde Tr20x4 ist das Simulationsergebnis mit den Wärmewiderständen bei verschiedenen Gleitgeschwindigkeiten in der Abbildung 2 dargestellt. Weil die angetriebene Spindel gegen unbewegte Umgebungsluft reibt, . . . Nr. Vortrag/ 4 wird von der GfT eingerichtet! einer analytischen Ermittlung der Höchsttemperatur an einer Trapezgewindespindel bietet sich das Wärmegesetz von Fourier an. Demnach ist die relative Temperatur der Spindel im wärmsten Bereich „ “ ein Produkt aus dem Wärmewiderstand „ “ und der Wärmestromdichte „ “. Die analytisch ermittelte Temperatur der Spindel kann mit der maximal zulässigen Betriebstemperatur der Leitmutter verglichen werden. Da ein Trapezgewinde einem querangeströmten Profilzylinder bzw. einem berippten Rohr geometrisch ähnelt, wird der Ansatz zur Berechnung des Wärmewiderstands nach Wagner [Wag11] mit der einheitlichen Nusseltzahl-Gleichung nach Gnielinski [Gni75], [Vdi13] vorgeschlagen. Nach diesem Ansatz gleicht der Gesamtwärmestrom eines Rippenelements der Summe aus dem Wärmestrom von der Rippe und dem Wärmestrom von der Rohroberfläche (Abbildung 1). Abbildung 1: spezifische Wärmeströme aus Grundrohr- und Rippenanteil nach Wagner [Wag11] Mit dem Ansatz: erhält man die Gleichung für den mittleren äquivalenten Wärmeübergangskoeffizient „ “ mit der Wärmeübergangszahl der Grundfläche des Rohres „ “ . . Nr. Vortrag/ 4 wird von der GfT eingerichtet! einer analytischen Ermittlung der Höchsttemperatur an einer Trapezgewindespindel bietet sich das Wärmegesetz von Fourier an. Demnach ist die relative Temperatur der Spindel im wärmsten Bereich „ “ ein Produkt aus dem Wärmewiderstand „ “ und der Wärmestromdichte „ “. Die analytisch ermittelte Temperatur der Spindel kann mit der maximal zulässigen Betriebstemperatur der Leitmutter verglichen werden. Da ein Trapezgewinde einem querangeströmten Profilzylinder bzw. einem berippten Rohr geometrisch ähnelt, wird der Ansatz zur Berechnung des Wärmewiderstands nach Wagner [Wag11] mit der einheitlichen Nusseltzahl-Gleichung nach Gnielinski [Gni75], [Vdi13] vorgeschlagen. Nach diesem Ansatz gleicht der Gesamtwärmestrom eines Rippenelements der Summe aus dem Wärmestrom von der Rippe und dem Wärmestrom von der Rohroberfläche (Abbildung 1). Abbildung 1: spezifische Wärmeströme aus Grundrohr- und Rippenanteil nach Wagner [Wag11] Mit dem Ansatz: erhält man die Gleichung für den mittleren äquivalenten Wärmeübergangskoeffizient „ “ mit der Wärmeübergangszahl der Grundfläche des Rohres „ “ . Wird von der GfT eingerichtet! Nr. Vortrag/ 5 und mit der scheinbaren Wärmeübergangszahl am Rippenfuß „ “ Zur Berechnung der Nußeltzahl „ “ empfiehlt Wagner [Wag11] die einheitliche Nußeltzahl-Gleichung nach Gnielinski [Gni75][Vdi13] mit einem laminaren Strömungsanteil „ “ und mit einem turbulenten Strömungsanteil „ “ für den Gültigkeitsbereich 10< <10 7 ; 0,6< <1000 Die Reynoldszahl „ “ berechnet sich wie folgt Unter der Annahme einer Ähnlichkeit zwischen einer Gewindespindel und einem Rippenrohr kann der mittlere äquivalente Wärmeübergangskoeffizient „ “ der Wärmeübergangszahl „ “ aus dem Fourierschen Wärmegesetz gleichgesetzt werden. Simulationsergebnis: Für einen Trapezgewindetrieb mit dem Gewinde Tr20x4 ist das Simulationsergebnis mit den Wärmewiderständen bei verschiedenen Gleitgeschwindigkeiten in der Abbildung 2 dargestellt. Weil die angetriebene Spindel gegen unbewegte Umgebungsluft reibt, . . . Nr. Vortrag/ 4 wird von der GfT eingerichtet! einer analytischen Ermittlung der Höchsttemperatur an einer Trapezgewindespindel bietet sich das Wärmegesetz von Fourier an. Demnach ist die relative Temperatur der Spindel im wärmsten Bereich „ “ ein Produkt aus dem Wärmewiderstand „ “ und der Wärmestromdichte „ “. Die analytisch ermittelte Temperatur der Spindel kann mit der maximal zulässigen Betriebstemperatur der Leitmutter verglichen werden. Da ein Trapezgewinde einem querangeströmten Profilzylinder bzw. einem berippten Rohr geometrisch ähnelt, wird der Ansatz zur Berechnung des Wärmewiderstands nach Wagner [Wag11] mit der einheitlichen Nusseltzahl-Gleichung nach Gnielinski [Gni75], [Vdi13] vorgeschlagen. Nach diesem Ansatz gleicht der Gesamtwärmestrom eines Rippenelements der Summe aus dem Wärmestrom von der Rippe und dem Wärmestrom von der Rohroberfläche (Abbildung 1). Abbildung 1: spezifische Wärmeströme aus Grundrohr- und Rippenanteil nach Wagner [Wag11] Mit dem Ansatz: erhält man die Gleichung für den mittleren äquivalenten Wärmeübergangskoeffizient „ “ mit der Wärmeübergangszahl der Grundfläche des Rohres „ “ . Bild 1: spezifische Wärmeströme aus Grundrohr- und Rippenanteil nach Wagner [Wag11] Nr. Vortrag/ 6 wird von der GfT eingerichtet! entspricht die Gleitgeschwindigkeit in diesem Fall der Relativgeschwindigkeit zwischen der Konvektionsfläche der Spindel und der Umgebungsluft. Bei einer kleiner werdenden Relativgeschwindigkeit ist eine steiler werdende Steigung der Kennlinie und somit ein höherer Wärmewiderstand zu beobachten. Dies deutet auf ein langsameres Wärmeübergangsverhalten der Trapezgewindetriebe bei niedrigerer Relativgeschwindigkeit hin. Abbildung 2: Wärmewiderstand als Funktion der Gleitgeschwindigkeit des Tr20x4 Auch bei der Variation des Gewindenenndurchmessers beim gleichen Lastkollektiv sind unterschiedliche Wärmewiderstände in der Abbildung 3 zu beobachten. Abbildung 3: Wärmewiderstand als Funktion des Gewindenenndurchmessers bei 22,6m/ min Ein kleineres Normgewinde mit höherer Windungsdichte und kleinerer Trapezgeometrie hat offensichtlich bei gleicher Relativgeschwindigkeit einen kleineren Wärmewiderstand als ein größeres Normgewinde mit niedrigerer Windungsdichte und größerer Trapezgeometrie. Zusammenfassung: Aus der Untersuchung geht hervor, dass das Wärmeverhalten von Trapezgewindetrieben durch die Konvektionsfläche der Spindel dominant geprägt ist. Nr. Vortrag/ 6 wird von der GfT eingerichtet! entspricht die Gleitgeschwindigkeit in diesem Fall der Relativgeschwindigkeit zwischen der Konvektionsfläche der Spindel und der Umgebungsluft. Bei einer kleiner werdenden Relativgeschwindigkeit ist eine steiler werdende Steigung der Kennlinie und somit ein höherer Wärmewiderstand zu beobachten. Dies deutet auf ein langsameres Wärmeübergangsverhalten der Trapezgewindetriebe bei niedrigerer Relativgeschwindigkeit hin. Abbildung 2: Wärmewiderstand als Funktion der Gleitgeschwindigkeit des Tr20x4 Auch bei der Variation des Gewindenenndurchmessers beim gleichen Lastkollektiv sind unterschiedliche Wärmewiderstände in der Abbildung 3 zu beobachten. Abbildung 3: Wärmewiderstand als Funktion des Gewindenenndurchmessers bei 22,6m/ min Ein kleineres Normgewinde mit höherer Windungsdichte und kleinerer Trapezgeometrie hat offensichtlich bei gleicher Relativgeschwindigkeit einen kleineren Wärmewiderstand als ein größeres Normgewinde mit niedrigerer Windungsdichte und größerer Trapezgeometrie. Zusammenfassung: Aus der Untersuchung geht hervor, dass das Wärmeverhalten von Trapezgewindetrieben durch die Konvektionsfläche der Spindel dominant geprägt ist. Bild 2: Wärmewiderstand als Funktion der Gleitgeschwindigkeit des Tr20 x 4 Nr. Vortrag/ 6 wird von der GfT eingerichtet! entspricht die Gleitgeschwindigkeit in diesem Fall der Relativgeschwindigkeit zwischen der Konvektionsfläche der Spindel und der Umgebungsluft. Bei einer kleiner werdenden Relativgeschwindigkeit ist eine steiler werdende Steigung der Kennlinie und somit ein höherer Wärmewiderstand zu beobachten. Dies deutet auf ein langsameres Wärmeübergangsverhalten der Trapezgewindetriebe bei niedrigerer Relativgeschwindigkeit hin. Abbildung 2: Wärmewiderstand als Funktion der Gleitgeschwindigkeit des Tr20x4 Auch bei der Variation des Gewindenenndurchmessers beim gleichen Lastkollektiv sind unterschiedliche Wärmewiderstände in der Abbildung 3 zu beobachten. Abbildung 3: Wärmewiderstand als Funktion des Gewindenenndurchmessers bei 22,6m/ min Ein kleineres Normgewinde mit höherer Windungsdichte und kleinerer Trapezgeometrie hat offensichtlich bei gleicher Relativgeschwindigkeit einen kleineren Wärmewiderstand als ein größeres Normgewinde mit niedrigerer Windungsdichte und größerer Trapezgeometrie. Zusammenfassung: Aus der Untersuchung geht hervor, dass das Wärmeverhalten von Trapezgewindetrieben durch die Konvektionsfläche der Spindel dominant geprägt ist. Nr. Vortrag/ 6 wird von der GfT eingerichtet! entspricht die Gleitgeschwindigkeit in diesem Fall der Relativgeschwindigkeit zwischen der Konvektionsfläche der Spindel und der Umgebungsluft. Bei einer kleiner werdenden Relativgeschwindigkeit ist eine steiler werdende Steigung der Kennlinie und somit ein höherer Wärmewiderstand zu beobachten. Dies deutet auf ein langsameres Wärmeübergangsverhalten der Trapezgewindetriebe bei niedrigerer Relativgeschwindigkeit hin. Abbildung 2: Wärmewiderstand als Funktion der Gleitgeschwindigkeit des Tr20x4 Auch bei der Variation des Gewindenenndurchmessers beim gleichen Lastkollektiv sind unterschiedliche Wärmewiderstände in der Abbildung 3 zu beobachten. Abbildung 3: Wärmewiderstand als Funktion des Gewindenenndurchmessers bei 22,6m/ min Ein kleineres Normgewinde mit höherer Windungsdichte und kleinerer Trapezgeometrie hat offensichtlich bei gleicher Relativgeschwindigkeit einen kleineren Wärmewiderstand als ein größeres Normgewinde mit niedrigerer Windungsdichte und größerer Trapezgeometrie. Zusammenfassung: Aus der Untersuchung geht hervor, dass das Wärmeverhalten von Trapezgewindetrieben durch die Konvektionsfläche der Spindel dominant geprägt ist. Bild 3: Wärmewiderstand als Funktion des Gewindenenndurchmessers bei 22,6 m/ min Auch bei der Variation des Gewindenenndurchmessers beim gleichen Lastkollektiv sind unterschiedliche Wärmewiderstände in Bild 3 zu beobachten. Ein kleineres Normgewinde mit höherer Windungsdichte und kleinerer Trapezgeometrie hat offensichtlich bei gleicher Relativgeschwindigkeit einen kleineren Wärmewiderstand als ein größeres Normgewinde mit niedrigerer Windungsdichte und größerer Trapezgeometrie. T+S_6_17 16.10.17 10: 40 Seite 27 28 Tribologie + Schmierungstechnik 64. Jahrgang 6/ 2017 Zusammenfassung Aus der Untersuchung geht hervor, dass das Wärmeverhalten von Trapezgewindetrieben durch die Konvektionsfläche der Spindel dominant geprägt ist. Die Beschreibungsmethode des Wärmeverhaltens von Trapezgewindetrieben mittels Wärmestromdichte „q“ ist vorteilhaft. Sie erübrigt die Korrekturen des herkömmlichen „pv-Werts“ und vermeidet die Zahlenwertgleichungen. Über die analytische Ermittlung der Wärmestromdichte und des Wärmewiderstandes wurde eine Möglichkeit zur Berechnung der Gleitflächentemperatur an der Spindel aufgezeigt, die anschließend mit der zulässigen Betriebstemperatur der Leitmutter verglichen werden kann. Die vorgeschlagene dynamische Methode zur analytischen Charakterisierung der thermischen Leistungsfähigkeit von Trapezgewindetrieben beruht auf einer Hypothese und muss empirisch nachgewiesen werden. Literatur [Erh85] Erhard, G.; Strickle, E.: „Maschinenelemente aus Thermoplastischen Kunststoffen. Lager und Antriebselemente“. VDI-Verlag, 2. Auflage, Düsseldorf 1985, ISBN 3-18-400712-X [Wag11] Wagner, W.: Wärmeübertragung. 7 überarb. Aufl., Vogel Buchverlag, Würzburg 2011, S.100ff [Vdi13] VDI-Wärmeatlas: Berechnungsmethoden für Wärmeleitung, konvektiven Wärmeübergang und Wärmestrahlung. 11 Aufl. Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013, S. 29 [Gni75] Gnielinski, V.: Berechnung mittlerer Wärme- und Stoffübergangskoeffizienten an laminar und turbulent überströmten Einzelkörpern mit Hilfe einer einheitlichen Gleichung. Forsch. Ing.-Wes. 41 Nr. 5, Karlsruhe 1975, S. 145-153 Aus Wissenschaft und Forschung Anzeige Nutzen Sie auch unseren Internet-Novitäten-Service: www.expertverlag.de mit unserem kompletten Verlagsprogramm, über 800 lieferbare Titel aus Wirtschaft und Technik Umzug oder Adressenänderung? Bitte T+S nicht vergessen! Wenn Sie umziehen oder Ihre Adresse sich aus sonstigen Gründen ändert, benachrichtigen Sie bitte auch den expert verlag. expert@expertverlag.de | Tel: (07159) 9265-0 | Fax (07159) 9265-20 T+S erreicht Sie dann ohne Verzögerung und ohne unnötigen Aufwand. Danke, dass Sie daran denken. T+S_6_17 16.10.17 10: 40 Seite 28